mecánica de fluidos

Capítulo 1 Propiedades de los fluidos y

definiciones

Contenido

1.1 Introducción .................................................................................. 2

1.2 Sólidos, líquidos y gases .............................................................. 3

1.3 El medio continuo ......................................................................... 4

1.4 Densidad, volumen específico, peso específico y gravedad específica ..................................................................................... 5

1.5 Viscosidad .................................................................................... 8

1.5.1 Fluidos newtonianos ............................................................ 9

1.5.2 Fluidos no newtonianos ..................................................... 10

1.6 Fluidos compresibles e incompresibles ...................................... 11

1.7 Compresibilidad de los líquidos .................................................. 12

1.8 Ecuaciones de estado para gases ............................................. 13

1.9 Compresibilidad de los gases ..................................................... 15

1.10 Tensión superficial y capilaridad ................................................ 15

1.11 Presión de vapor ........................................................................ 20

1.12 Bibliografía ................................................................................. 21

Capítulo 1

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1.1 Introducción Cualquier característica de un sistema se conoce como propiedad. Algunas propiedades conocidas son la presión P, la temperatura T, el volumen V y la masa m. La lista se puede extender hasta incluir unas menos conocidas como viscosidad, conductividad térmica, módulo de elasticidad, coeficiente de expansión térmica, resistividad eléctrica e, inclusive, la velocidad y la elevación.

Se considera que las propiedades son intensivas o extensivas. Las propiedades intensivas son independientes de la masa de un sistema, como la temperatura, la presión y la densidad. Las propiedades extensivas son aquellas cuyos valores dependen del tamaño, o extensión, del sistema. La masa total, el volumen total V, y la cantidad total de movimiento son ejemplos de propiedades extensivas.

Figura 1.1 Propiedades intensivas y extensivas.

En general, se usan letras mayúsculas para denotar las propiedades extensivas (la masa m es una excepción importante) y minúsculas para las propiedades intensivas (las excepciones obvias son la presión P y la temperatura T).

Las propiedades extensivas por unidad de masa se llaman propiedades específicas. Algunos ejemplos de propiedades específicas son el volumen específico (v = V/m) y la energía total específica (e = E/m).

El estado de un sistema se describe por sus propiedades. Pero, con base en la experiencia, se conoce que no es necesario especificar todas las propiedades para identificar un estado. Después que se especifican los valores de una cantidad suficiente de propiedades, el resto de éstas toman ciertos valores. Es decir, la especificación de un número de propiedades es suficiente para identificar un estado.

Propiedades de los fluidos y definiciones

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El número de propiedades necesario para identificar el estado de un sistema se expresa por medio del postulado del estado: El estado de un sistema compresible simple queda por completo especificado por dos propiedades intensivas independientes.

Dos propiedades son independientes si se pueden hacer variar una de ellas mientras que la otra permanece constante. No todas las propiedades son independientes y algunas se definen en términos de otras, como se explica en la Sección 1.4.

1.2 Sólidos, líquidos y gases La materia puede existir en tres formas físicas o fases diferentes: sólida, líquida y gaseosa. Algunas veces se añade una cuarta fase llamada plasma. Un plasma es un gas con una porción significativa de sus moléculas o átomos cargada eléctricamente; sin embargo, mucho del comportamiento de un plasma es como el de un gas.

Figura 1.2 Estado (a) sólido, (b) líquido y (c) gaseoso.

Desde el punto de vista de la Mecánica de Fluidos, la materia sólo puede presentarse en dos estados: sólido y fluido, quedando dentro de este último los líquidos y los gases. La diferencia entre los sólidos y los fluidos radica en la reacción de ambos a un esfuerzo tangencial o cortante. Un sólido puede resistir un esfuerzo cortante con una deformación estática, un fluido no. Cualquier esfuerzo cortante aplicado a un fluido, por muy pequeño que sea, provocará el movimiento del fluido. Éste se mueve y se deforma continuamente mientras se siga aplicando el esfuerzo.

Diferencia entre un gas y un líquido. Como se mencionó anteriormente, un fluido puede ser gas o líquido. Las moléculas de un gas están mucho más alejadas que en un líquido, de aquí que el gas es muy compresible y cuando se elimina toda presión externa, éste tiende a expandirse indefinidamente. Un gas está por lo tanto en equilibrio solamente cuando está completamente encerrado. Un líquido es relativamente incompresible y si se elimina toda la presión, excepto su propia presión de vapor, la cohesión entre las moléculas lo

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mantiene unido, de manera que un líquido no se expande indefinidamente. Por lo tanto, un líquido puede tener una superficie libre.

Figura 1.3 Comparación entre líquido y gas.

Un vapor es un gas cuya temperatura y presión son tales que éste se encuentra muy cerca de su fase líquida. Un gas se puede definir como un vapor altamente sobrecalentado; esto es, su estado está bastante alejado de su fase líquida.

1.3 El medio continuo Todas las sustancias se componen de un número extremadamente grande de partículas discretas denominadas moléculas. En una sustancia pura como el agua, todas las moléculas son idénticas; otras sustancias, como el aire, son mezclas de diferentes tipos de moléculas. Las moléculas interactúan entre sí a través de colisiones y fuerzas intermoleculares. La fase de una muestra de materia –sólido, líquido o gas– es una consecuencia del espaciamiento y fuerzas intermoleculares. Las moléculas de un sólido se encuentran relativamente cerca (el espaciamiento es del orden de un diámetro molecular) y ejercen fuerzas intermoleculares grandes; las moléculas de un gas están muy alejadas (el espaciamiento es de un orden de magnitud mayor que el diámetro molecular) y ejercen fuerzas intermoleculares relativamente débiles. Como éstas son débiles, un gas cambia fácilmente tanto de forma como de volumen. Como las fuerzas intermoleculares en un sólido son más fuertes, esto causa que mantengan tanto su volumen como su forma. En un líquido, las fuerzas intermoleculares son lo suficientemente fuertes para conservar el volumen pero no la forma.

En principio podría ser posible describir una muestra de fluido en términos de la dinámica de sus moléculas individuales; esto en la práctica es imposible, en virtud de la gran cantidad de moléculas que lo componen. Para la mayoría de los casos de interés práctico, es posible ignorar la naturaleza molecular de la materia y suponerla homogénea y continua; es decir, un medio continuo. El modelo del medio continuo supone que la estructura molecular es tan pequeña en relación con las dimensiones consideradas en problemas de interés práctico, que se puede ignorar.


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Cuando se emplea el modelo del continuo, un fluido se describe en función de sus propiedades, las cuales representan características promedio de su estructura molecular. Por ejemplo, se emplea la masa por unidad de volumen o densidad en lugar del número de moléculas y la masa molecular. Si la materia fuera realmente un continuo, las propiedades serían funciones continuas del tiempo y el espacio. La velocidad de un fluido en movimiento se define como la velocidad del centro de masa del conjunto de moléculas cercanas a un determinado punto. Como las propiedades de los fluidos y la velocidad son funciones continuas, se puede emplear el cálculo para analizar un continuo en vez de aplicar matemáticas discretas a cada molécula.

Para que el modelo del continuo sea válido, la muestra más pequeña de materia de interés práctico debe contener un número elevado de moléculas, de tal manera que se puedan calcular promedios que tengan significado. Para tener cierta idea de las distancias que intervienen en el nivel molecular, considérese un recipiente lleno con oxígeno a las condiciones atmosféricas. El diámetro de la molécula de oxígeno es aproximadamente de 3 × 10-10 m y su masa es de 5,3 × 10-26 kg. Asimismo, la trayectoria libre media de la molécula de oxígeno a la presión de 1 atm y a 20°C es 6,3 × 10-8 m. Es decir, una molécula de oxígeno recorre, en promedio, una distancia de 6,3 × 10-8 m (alrededor de 200 veces su diámetro) antes de chocar contra otra.

También, se tiene alrededor de 2,5 × 1016 moléculas de oxígeno en el diminuto volumen de 1 mm3 a la presión de 1 atm y a 20°C. El modelo del medio continuo es aplicable en tanto la longitud característica del sistema (como su diámetro) sea mucho mayor que la trayectoria libre media de las moléculas. A vacíos muy altos o a elevaciones muy grandes, la trayectoria libre media puede volverse grande (por ejemplo, es de alrededor de 0,1 m para el aire atmosférico a una elevación de 100 km). Para estos casos, debe aplicarse la teoría del flujo de gas rarificado y se debe considerar el impacto de las moléculas por separado. En este curso se limitará la consideración a las sustancias que se pueden modelar como un medio continuo.

1.4 Densidad, volumen específico, peso específico y gravedad específica

La densidad (ρ) de un fluido es su masa por unidad de volumen. La densidad tiene un valor en cada punto dentro de un continuo y puede variar de un punto a otro. Supóngase que se escoge un volumen arbitrario ∆V en un fluido. Sea m∆ la masa del fluido contenida en dicho volumen. La densidad promedio ( ρ ) es

Vm

∆∆

≡ρ (1.1)

Esta densidad promedio podría depender del tamaño y localización del volumen elegido.

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Considérese, por ejemplo, un vaso de agua lleno hasta la mitad. Si el volumen elegido coincide exactamente con el volumen de agua en la mitad inferior del vaso, se obtendría un valor de aproximadamente 1000 kg/m3 (62,4 lbm/pie3) para la densidad promedio; sin embargo, si el volumen elegido hubiera sido todo el vaso, la densidad promedio habría sido tan sólo la mitad, ya que la mitad superior del vaso no contiene agua. Una definición exacta de densidad debe implicar un límite. La inclinación natural sería tomar el límite de ρ a medida que ∆V tiende a cero; si se hace así, ∆V se hará tan pequeño que la estructura molecular del fluido se volvería aparente y la densidad variaría como se ilustra en la Figura 1.4. La irregularidad que se observa con valores muy pequeños de ∆V se debe a la estructura molecular. A medida que ∆V se hace más grande, la densidad varía de forma continua, ya que se incluye un gran número de moléculas en ∆V. El volumen más pequeño (δV) para el cual la variación de la densidad es uniforme es el límite de la hipótesis del medio continuo. Entonces la densidad de un fluido se puede definir como

Vm

VV ∆∆

≡→∆ δ

ρ lim (1.2)

Figura 1.4 Dependencia de la densidad (promedio) respecto al volumen de muestra para volúmenes pequeños.

El volumen pequeño (δV) representa el tamaño de un “punto” típico en el medio continuo. Para fluidos a presiones y temperaturas cercanas a las atmosféricas, (δV) es del orden de 10-9 mm3. Todas las propiedades de los fluidos se interpretan como representación promedio de la estructura molecular del fluido en este pequeño volumen.


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La densidad de los fluidos varía ampliamente entre ellos. En condiciones atmosféricas, la densidad del aire es de aproximadamente 1,22 kg/m3 (0,076 lbm/pie3), la del agua es aproximadamente 1 000 kg/m3 (62,4 lbm/pie3) y la del mercurio es de 13 500 kg/m3 (846 lbm/pie3). Para un fluido concreto la densidad varía con la temperatura y la presión. Esta variación es bastante fuerte para los gases pero relativamente débil en los líquidos. Si la variación de la densidad se pudiera despreciar, se diría que el fluido es incompresible.

Otras propiedades de los fluidos están directamente relacionadas con la densidad. El volumen específico (v) es el volumen ocupado por una unidad de masa del fluido. Éste se aplica comúnmente en gases y se expresa generalmente en m3/kg (pie3/slug). El volumen específico es el recíproco de la densidad, esto es

ρ1

≡v (1.3)

Figura 1.5 Definición de la densidad y volumen específico.

El peso específico (γ) es el peso del fluido por unidad de volumen, esto es gργ ≡ (1.4)

Donde g es la aceleración local debida a la fuerza de gravedad.

La gravedad específica (s), o densidad relativa, de un fluido es la relación de su densidad con la de un fluido de referencia. La ecuación que la define es

ref

sρρ

≡ (1.5)

Para los líquidos, el fluido de referencia es el agua pura a 4°C y 101,33 Pa, ρref = 1000 kg/m3 (62,4 lbm/pie3 o 1,94 slug/pie3). La gravedad específica de un gas es la relación de su densidad con la del hidrógeno o la del aire a alguna presión y

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temperatura especificadas, pero no hay un acuerdo general sobre estos estándares y éstos deberán establecerse para cualquier caso dado.

Ya que la densidad de un fluido varía con la temperatura, las gravedades específicas deberán determinarse y especificarse a temperaturas particulares.

1.5 Viscosidad La viscosidad de un fluido es una medida de su resistencia a una deformación angular o esfuerzo cortante. Las fuerzas de fricción en el flujo de un fluido resultan de la cohesión y el intercambio de cantidad de movimiento entre las moléculas en el fluido.

Cuando la temperatura se incrementa, la viscosidad de todos los líquidos disminuye, mientras que la de los gases aumenta. Esto se debe a que la fuerza de cohesión, la cual disminuye con la temperatura, predomina en los líquidos, mientras que el factor dominante en los gases es el intercambio de moléculas entre las capas de velocidades diferentes. Así una molécula moviéndose rápidamente hacia una capa que se mueve más lentamente, provoca que la velocidad de esta última se incremente. Y una molécula que se mueve lentamente entrando a una capa moviéndose más rápidamente, provoca que ésta disminuya su velocidad. Este intercambio molecular causa un esfuerzo cortante o produce una fuerza de fricción entre capas adyacentes. El incremento de la actividad molecular a temperaturas altas causa que la viscosidad de los gases se incremente con la temperatura.

Figura 1.6. Viscosidad de líquidos y gases.


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1.5.1 Fluidos newtonianos

Cuando un fluido es sometido a un esfuerzo cortante, comienza a moverse con una velocidad de deformación inversamente proporcional a una propiedad llamada coeficiente de viscosidad (µ). En la Figura 1.7 se muestra una partícula de fluido sometida a un esfuerzo cortante (τ) en un plano. El ángulo δθ de la deformación aumentará continuamente con el tiempo mientras siga actuando el esfuerzo τ, moviéndose la superficie superior con una velocidad δu mayor que la de la inferior. Los fluidos comunes como el agua, el aceite y el aire, presentan una variación lineal entre el esfuerzo aplicado y la velocidad de deformación resultante; esto es,

tδδθατ (1.6)

De la geometría de la Figura 1.7a, se tiene que

ytu

δδδδθ =tan (1.7)

Figura 1.7 Deformación continua en el fluido debida a un esfuerzo cortante.

En el caso límite de variaciones infinitesimales, queda una relación entre la velocidad de deformación y el gradiente de la velocidad,

dydu

dtd

=θ

(1.8)

Comparando la Ec.(1.8) con la Ec.(1.6), se encuentra que el esfuerzo aplicado también es proporcional al gradiente de la velocidad para fluidos comunes. La constante de proporcionalidad es la viscosidad absoluta (o dinámica) µ,

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dydu

dtd µθµτ == (1.9)

Los fluidos que obedecen a la Ec.(1.9) se denominan fluidos newtonianos. En el SI, la viscosidad µ tiene unidades de kg/m.s (slug/pie.s en el sistema inglés).

Como se verá más adelante, el parámetro primario que determina el comportamiento, viscoso o no, de los fluidos newtonianos es el número adimensional de Reynolds:

νLuLu

==µ

ρRe (1.10)

donde u y L representan la velocidad y longitud características del flujo. Como ρ y µ entran como cociente en este parámetro, dicho cociente tiene significado propio y se denomina viscosidad cinemática,

ρµ

=ν (1.11)

La viscosidad cinemática v, tiene unidades de metros al cuadrado por segundo (m2/s) o pies al cuadrado por segundo (pie2/s).

1.5.2 Fluidos no newtonianos

Los fluidos que no siguen la ley lineal de la Ec.(1.9) se denominan no newtonianos. La Figura 1.8a compara cuatro ejemplos de estos fluidos con uno newtoniano. Un fluido dilatante es aquel en que la resistencia a la deformación aumenta al aumentar el esfuerzo cortante. Por el contrario, un fluido pseudoplástico es el que disminuye su resistencia al aumentar el esfuerzo. Si este efecto es muy importante, como el caso marcado en la figura con línea discontinua, el fluido se denomina plástico. El caso límite de sustancia plástica es aquel que requiere un esfuerzo finito (límite de fluencia) antes de que fluya. La idealización del fluido plástico de Bingham se muestra en la figura; pero el comportamiento en la fluencia puede ser también no lineal.


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Figura 1.8 Comportamiento reológico de diversos materiales (a) Esfuerzo en función de la velocidad de deformación; (b) Efecto del tiempo sobre los esfuerzos aplicados.

Una complicación adicional al comportamiento no newtoniano es el efecto transitorio que se muestra en la Figura 1.8b. Algunos fluidos precisan un aumento gradual en el esfuerzo cortante para mantener constante la velocidad de deformación; a éstos se les denomina reopécticos. El caso opuesto es el de un fluido que requiere esfuerzos decrecientes; es el denominado tixotrópico.

1.6 Fluidos compresibles e incompresibles Considerando varios tipos de fluidos bajo condiciones estáticas, se encuentra que ciertos fluidos sufren cambios muy pequeños en la densidad a pesar de la existencia de grandes presiones. Estos fluidos están invariablemente en estado líquido. Bajo tales circunstancias, al fluido se le denomina incompresible, y se supone durante los cálculos que la densidad es constante. Cuando la densidad no se puede considerar constante bajo condiciones estáticas, como en un gas, al fluido se le denomina compresible.

Estas clasificaciones de compresibilidad están reservadas para estática. En dinámica de fluidos, la cuestión de cuándo la densidad se puede tratar como constante involucra más que sólo la naturaleza del fluido. Realmente, esto depende principalmente de un parámetro del flujo (el número de Mach). Entonces se habla de flujos compresibles e incompresibles, en vez de fluidos compresibles o incompresibles. Siempre que las variaciones de densidad en un problema sean de poca importancia, gases y líquidos se analizan de la misma manera.

ESFUERZO CORTANTEESFUERZO CORTANTE

0

TIEMPO

REOPÉCTICO

FLUIDOS COMUNES

TIXOTRÓPICO

VELOCIDAD DE DEFORMACIÓN ANGULAR0

LÍMITE DEFLUENCIA

PLÁSTICO IDEALDE BINGHAM

PLÁSTICO DILATANTE

NEWTONIANO

PSEUDOPLÁSTICO

(a) (b)

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1.7 Compresibilidad de los líquidos En general un líquido se puede considerar como incompresible, pero en situaciones en que se tengan cambios de presión bruscos o muy grandes, su compresibilidad es importante. La compresibilidad de los líquidos también es importante cuando se tienen cambios de temperatura.

Considérese una partícula de fluido de volumen V. Si la partícula está sujeta a un cambio de presión dP, se produce un cambio de volumen (dV) y el módulo de elasticidad (o compresibilidad) volumétrica es

TdVdPVK

−= (1.12a)

El signo negativo es necesario, ya que un incremento en la presión provoca una disminución en el volumen. Como la masa de la partícula del fluido está fija, K también se puede expresar en función del volumen específico o de la densidad:

TT ddP

ddPK

=

−=

ρρ

vv (1.12b)

donde el subíndice T indica que la compresión del líquido se realiza a temperatura constante (compresión isotérmica).

El módulo de compresibilidad también se puede expresar de manera aproximada en términos de cambios finitos como

( )constante=∆∆

≅∆∆

−≅ TPVV

PKρρ

(1.13)

Nótese que si ∆V/V o ∆ρ/ρ son adimensionales, K debe tener dimensiones de presión (Pa o psi). Asimismo, el módulo de compresibilidad representa el cambio en la presión correspondiente a un cambio relativo en el volumen o la densidad del fluido, mientras la temperatura permanezca constante. Entonces se llega a la conclusión de que el módulo de compresibilidad de una sustancia verdaderamente incompresible (V = constante) es infinito. Un valor grande de K indica que se necesita un cambio también grande en la presión para causar un pequeño cambio relativo en el volumen y, de este modo, un fluido con un K grande en esencia es incompresible. Esto es típico para los líquidos y explica por qué éstos suelen considerarse como incompresibles. Por ejemplo, la presión del agua en condiciones atmosféricas normales debe elevarse hasta 210 atm para comprimirla en 1 por ciento, lo que corresponde a un valor del módulo de compresibilidad de K = 21 000 atm.

El inverso del módulo de compresibilidad es el coeficiente de compresibilidad β,

TT dPd

dPdV

VK

=

−==

ρρ

β 111 (1.14)


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1.8 Ecuaciones de estado para gases Realmente no existe tal cosa como un gas perfecto, pero el aire y otros gases reales que están bastante alejados de su fase líquida se pueden considerar así. La ecuación de estado para un gas perfecto es:

RTPP== v

ρ (1.15)

teniendo además calores específicos constantes. En la ecuación anterior, P es la presión absoluta, ρ la densidad, v el volumen específico, R la constante del gas, que depende del gas en particular, y T la temperatura absoluta. Se debe diferenciar claramente el gas perfecto del fluido ideal. Un fluido ideal no tiene fricción y es incompresible, mientras que un gas perfecto tiene viscosidad y, por tanto, puede desarrollar esfuerzos cortantes, además de ser compresible.

Para el aire, el valor de R es 287 N.m/kg.K (1 715 pie-lb/slug°R). Ya que γ = ρ g, la Ec. (1.15) también se puede escribir como

RTPg

=γ (1.16)

con la cual se puede calcular el peso específico de cualquier gas a cualquier temperatura y presión, si se conocen R y g.

La ley de Avogadro establece que todos los gases a la misma temperatura y presión bajo la acción de un valor dado de g, tienen el mismo número de moléculas por unidad de volumen, es decir, que el peso específico del gas es proporcional a su peso molecular. Así, si M representa el peso molecular (o masa molar), γ2/γ1 = M2/M1, y de la Ec. (1.16) γ2/γ1 = R1/R2 para los mismos valores de temperatura, presión y g. Con esto,

M1R1 = M2R2 = constante = R~ (1.17)

donde R~ es conocida como la constante universal de los gases y, de acuerdo con la Ec. (1.17), es la misma para todos los gases y su valor depende de las unidades utilizadas; por ejemplo,

R~ = 8314,3 J/kmol·K

8,3143 J/mol·K

1,9859 Btu/lb-mol·°R

1543,3 ft·lbf/lb-mol·°R

49 710 ft·lbf/slug·°R

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Ya que v = V/m, usando la Ec.(1.17), la Ec.(1.15) se puede escribir como

MTRmTRmPV

~== (1.18)

Con frecuencia se usa el mol como medida de la cantidad de una sustancia cuando se trata con sustancias y reacciones químicas. Por ende, el kilogramo-mol (kgmol o kmol) se puede definir como la unidad SI para la cantidad de sustancia que tiene una masa numéricamente igual al peso kilogramo molecular de la sustancia. La relación matemática entre el número de moles N (en kmol), la masa m (en kg) y el peso molecular M (en kg/kmol) es entonces

MmN = (1.19)

Con lo que la Ec.(1.18) se puede escribir como

TRNPV ~= (1.20)

Lo anterior se cumple sólo para gases perfectos. La ecuación exacta para cualquier gas real es más complicada que la Ec. (1.17), y con esto MR no es estrictamente constante. Para gases reales el valor de MR varía entre 48700 y 49800 pie-lb/slug-°R, lo cual representa una variación menor del 3%.

Otra ecuación fundamental para un gas perfecto es

constantePP nn == 11 vv (1.21)

donde P es la presión absoluta, v el volumen específico y n puede tener cualquier valor desde cero a infinito, dependiendo del proceso al que está sujeto el gas. Si el proceso es a temperatura constante (isotérmico), n = 1. Si no hay transferencia de calor hacia o desde el gas, el proceso se conoce como adiabático. Un proceso adiabático sin fricción es llamado isoentrópico y n se representa mediante k, donde k = cp/cv, la relación del calor específico a presión constante con el de volumen constante. Para expansión con fricción n es menor que k y para compresión con fricción es mayor. Para aire y gases a temperaturas normales, k se puede tomar como 1,4.

Combinado las Ecs.(1.15) y (1.21), es posible obtener otras relaciones útiles, tales como:

( )/nnn

PP

TT

1

1

2

1

2

1

1

2

−−

=

=

vv

(1.22)


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1.9 Compresibilidad de los gases Derivando la Ec. (1.21), se obtiene

01 =+− dPdnP nn vvv (1.23)

Despejando de esta expresión dP y sustituyéndolo en la Ec.(1.12b) se obtiene,

K = nP (1.24)

de manera que para un proceso isotérmico de un gas K = P y para un proceso isentrópico K = kP.

1.10 Tensión superficial y capilaridad Las moléculas de un líquido ejercen fuerzas pequeñas de atracción, unas sobre otras. Dentro de un líquido, en el que cada molécula está completamente rodeada de otras moléculas, la fuerza neta es cero. Sin embargo, para las moléculas de la superficie del líquido no existen fuerzas de atracción que actúen de arriba de la superficie hacia el interior del líquido (el efecto de las moléculas de aire es pequeño y se considera despreciable). Como resultado, las moléculas de la capa superficial experimentan fuerzas netas debidas a las moléculas vecinas, que están justo debajo de la superficie. Este impulso hacia abajo sobre las moléculas de la superficie causa que el líquido se contraiga y resista ser estirado o roto, propiedad que se conoce como tensión superficial.

Figura 1.9. Tensión superficial

El efecto neto de la tensión superficial es hacer que el área de la superficie de un líquido sea tan pequeña como sea posible. Esto es, un volumen dado de líquido tiende

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a adoptar la forma que tiene el área superficial menor. Como resultado, las gotas de agua y las burbujas de jabón tienen formas esféricas. Al formarse una gota o una burbuja, la tensión superficial tira de las moléculas a reunirlas para minimizar el área superficial.

Figura 1.10 Tensión superficial en (a) una gota y (b) una burbuja.

Por otro lado, es la misma tensión superficial la que permite que un insecto se pose sobre la superficie de un líquido. La superficie actúa como una membrana elástica bajo tensión y las fuerzas moleculares a lo largo de la depresión formada sobre la superficie del agua por las patas del insecto, forman un ángulo con la superficie. Las componentes verticales de estas fuerzas equilibran el peso del insecto.

Es de esta forma como en la interfaz entre un líquido y un gas o dos líquidos inmiscibles se forma una capa especial sobre el líquido, aparentemente debido a la atracción de las moléculas de líquido debajo de la superficie. Esto puede observarse al colocar una aguja sobre una superficie de agua en reposo, donde la aguja queda soportada por el líquido.

La formación de esta capa puede visualizarse como energía de superficie o trabajo por unidad de área requerido para atraer las moléculas de fluido hacia la superficie. Cuantitativamente, la tensión superficial (σ) en una película líquida se define como la fuerza por unidad de longitud que actúa a lo largo de una línea (por ejemplo, a lo largo de un alambre) cuando se estira la superficie:

LF

=σ (1.25)

La tensión superficial aumenta la presión dentro de una gota y dentro de una burbuja de agua. En una pequeña gota esférica de radio R, la presión interna necesaria para balancear la fuerza debida a la tensión superficial, se calcula analizando las fuerzas que actúan en un cuerpo libre de forma hemisférica, como se muestra en la Figura 1.11a, de donde

( ) ( ) ( ) 022 =+− RRP mi πσπ

donde (Pi)m es la presión interna de la gota sobre la de la atmósfera. Despejando (Pi)m


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( )R

P miσ2

= (1.26)

(a) (b) Figura 1.11 Tensión superficial sobre (a) media gota de agua y (b) media burbuja.

Considérese ahora el caso de una burbuja. Si se corta la burbuja por la mitad, del diagrama de cuerpo libre que se muestra en la Figura 1.1b se observa que la tensión superficial existe en dos superficies, la interior y la exterior de la burbuja. Considerando que los radios interior y exterior son aproximadamente iguales, para la condición de equilibrio dentro de la burbuja, se tiene que

( ) ( )[ ] 0222 =+− RRP mi πσπ

( )R

P miσ4

= (1.27)

Adhesión, cohesión y acción capilar.

El que un líquido se adhiera o no a una superficie, depende de las tensiones relativas de las fuerzas adhesivas y cohesivas entre las moléculas. Todos los líquidos tienen cohesión y adhesión. La primera permite al líquido resistir esfuerzos de tensión, mientras que la segunda le permite adherirse a otro cuerpo.

Las fuerzas adhesivas (o de adhesión) son fuerzas de atracción entre moléculas diferentes. Las fuerzas cohesivas (o de cohesión) son fuerzas atrayentes entre moléculas semejantes. Las fuerzas cohesivas mantienen reunida una sustancia y las fuerzas adhesivas mantienen juntas a sustancias diferentes.

Si las fuerzas adhesivas entre las moléculas de un líquido y las de la superficie son mayores que las fuerzas cohesivas entre las moléculas del líquido, el líquido mojará la

F

TENSIÓN SUPERFICIAL

TENSIÓN SUPERFICIALPRESIÓN INTERNA

2R

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superficie. Por otro lado, si las fuerzas cohesivas son mayores que las fuerzas adhesivas, el líquido no humedecerá la superficie.

Figura 1.12 Fuerzas cohesivas y adhesivas.

Aunque las fuerzas cohesivas y adhesivas son difíciles de analizar, una medida relativa de sus efectos es el ángulo de contacto (φ). Éste es el ángulo entre la superficie y una línea que se traza tangente al líquido, como se muestra en la Figura 1.13. En esta figura se observa que φ es menor de 90° si el líquido moja la superficie y mayor de 90° si no la moja.

Figura 1.13 Ángulo de contacto.

Cuando un líquido está en contacto con un sólido, si la adhesión del líquido con el sólido excede la cohesión en el líquido, el líquido moja la superficie sólida y la tensión superficial hace que el líquido suba sobre el punto de contacto y forme un menisco curvado hacia arriba (cóncavo), como se muestra en la Figura 1.14a para el caso de agua y vidrio. Esta curvatura se mide por el ángulo θ. El ascenso capilar, h, para un fluido y un sólido dados, depende del diámetro interior del tubo. La elevación h se incrementa con la disminución del diámetro interior del tubo.


19

Figura 1.14 Efectos capilares de cohesión y adhesión.

Si la adhesión del líquido con el sólido es menor que la cohesión en el líquido, entonces la tensión superficial tiende a abatir la superficie del líquido por abajo del punto de contacto y se forma un menisco curvado hacia abajo, como se muestra en la Figura 1.14b para el caso de mercurio y vidrio. Estos efectos son llamados capilaridad. En la Figura 1.15 se muestran los efectos de capilaridad para el mercurio y el agua en tubos circulares de vidrio.

Figura 1.15 Capilaridad en tubos circulares de vidrio limpios.

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Del diagrama de cuerpo libre de la Figura 1.14a, se tiene que

( ) 0cos =− wD θπσ

donde w es el peso de la columna de líquido, el cual es igual a γ V, siendo V = Ah el volumen de la columna. Con esto,

( ) 04

cos2

=

− hDD πγθπσ

Dh

γθσ cos4

= (1.28)

Esta expresión se puede usar para calcular el aumento o depresión capilar aproximada en un tubo. Si el tubo está limpio, θ = 0° para el agua y aproximadamente de 140° para el mercurio. Para tubos de diámetros mayores de ½ pulgada (12 mm), los efectos de capilaridad se desprecian. Las curvas de la Figura 1.15 son para agua o mercurio en contacto con aire. Si el mercurio está en contacto con el agua, los efectos de la tensión superficial son ligeramente menores que cuando está en contacto con aire.

1.11 Presión de vapor La presión de vapor o más comúnmente presión de saturación es la presión a la que a cada temperatura las fases líquida y vapor se encuentran en equilibrio; su valor es independiente de las cantidades de líquido y vapor presentes mientras existan ambas. En la situación de equilibrio, las fases reciben la denominación de líquido saturado y vapor saturado.

Considérese una ampolla de cristal en la que se ha realizado el vacío y que se mantiene a una temperatura constante; si se introduce una cierta cantidad de líquido en su interior éste se evaporará rápidamente al principio hasta que se alcance el equilibrio entre ambas fases. Las moléculas de la superficie del líquido que tengan una mayor energía escaparán de la superficie pasando a la fase vapor (evaporación) mientras que las moléculas del vapor chocarán con las paredes de la ampolla y entre sí perdiendo energía y cayendo al líquido (condensación).

Inicialmente sólo se produce la evaporación ya que no hay vapor; sin embargo a medida que la cantidad de vapor aumenta y por tanto la presión en el interior de la ampolla, se va incrementando también la velocidad de condensación, hasta que transcurrido un cierto tiempo ambas velocidades se igualan. Llegados a este punto se habrá alcanzado la presión máxima posible en la ampolla (presión de vapor o de saturación) que no podrá superarse salvo que se incremente la temperatura.

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADquido�

http://es.wikipedia.org/wiki/Vapor�


21

El equilibrio se alcanzará más rápidamente cuanto mayor sea la superficie de contacto entre el líquido y el vapor, pues así se favorece la evaporación del líquido; del mismo modo que un charco de agua extenso pero de poca profundidad se seca más rápido que uno más pequeño pero de mayor profundidad que contenga igual cantidad de agua. Sin embargo, el equilibrio se alcanza en ambos casos para igual presión.

El factor más importante que determina el valor de la presión de saturación es la propia naturaleza del líquido, encontrándose que en general entre líquidos de naturaleza similar, la presión de vapor a una temperatura dada es tanto menor cuanto mayor es el peso molecular del líquido.

La actividad molecular, y por tanto la presión de saturación, se incrementa con la temperatura. A cualquier temperatura, la presión sobre la superficie del líquido puede ser mayor que su presión de saturación, pero no puede ser menor, ya que cualquier ligera reducción provoca una rápida tasa de evaporación conocida como ebullición.

En la Tabla 1.1 se presenta la presión de vapor para algunos líquidos seleccionados.

Tabla 1.1 Presión de vapor para algunos líquidos a 20°C (68°F). N/m2, abs mbar, abs psia

Mercurio 0,17 0,0017 0,000025 Agua 2 340 23,4 0,339 Keroseno 3 200 32 0,46 Tetracloruro de carbono 12 100 121 1,76 Gasolina 55 000 550 8,0

1.12 Bibliografía 1. Çengel, Y.A., y Cimbala, J.M., Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones

2. Daugherty, R.L., & Franzini, J.B.,

, 1ª ed., McGraw-Hill Interamericana, 2006.

Fluid Mechanics with Engineering Applications

3. Gerhart, P.M., Gross, R.J. y Hochstein, J.I.,

, 6th ed., McGraw-Hill, 1977.

Fundamentos de Mecánica de Fluidos

4. Shames, I.H.,

, 2ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

Mechanics of Fluids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1982.

http://es.wikipedia.org/wiki/Peso_molecular�

Capítulo 2 Estática de fluidos

Contenido 2.1 Presión en un punto: Ley de Pascal ............................................. 23 2.2 Variación de la presión en un fluido en reposo ............................. 24 2.2.1 Fluido incompresible ........................................................... 25 2.2.2 Fluido compresible .............................................................. 27 2.3 Presiones manométrica y absoluta ............................................... 29 2.4 Atmósfera estándar ....................................................................... 29 2.5 Medida de la presión – manómetros ............................................. 32 2.5.1 Manómetro de Bourdon ...................................................... 32 2.5.2 Transductor de presión ....................................................... 32 2.5.3 Columna piezométrica ........................................................ 33 2.5.4 Manómetro simple ............................................................... 34 2.5.5 Manómetros diferenciales ................................................... 35 2.6 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas .................... 35 2.6.1 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida . ............................................................................................ 36 2.6.2 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva sumergida . ............................................................................................ 40 2.7 Flotación y estabilidad .................................................................. 42 2.8 Bibliografía .................................................................................... 46

Capítulo 2

22

Estática de fluidos

23

2.1 Presión en un punto: Ley de Pascal

En un fluido en reposo no hay esfuerzos cortantes; de aquí que únicamente están presentes los esfuerzos de presión normales. La intensidad de la presión promedio se define como la fuerza ejercida sobre una unidad de área. Si F representa la fuerza total sobre alguna área finita A, mientras dF representa la fuerza sobre un área infinitesimal dA, la presión es

dAdFP = (2.1)

Si la presión es uniforme sobre el área total, entonces P = F/A.

Para definir la presión en un punto, es necesario tomar el límite del cociente de la fuerza normal entre el área, conforme ésta tiende a cero en el punto. La presión así definida tiene el mismo valor en todas direcciones para un fluido en reposo.

Para demostrar lo anterior, considérese un elemento pequeño en forma de cuña, de un fluido en reposo, de espesor unitario dy, como el que se muestra en la Figura 2.1. Como en un fluido estático no se tienen fuerzas cortantes, las únicas fuerzas que actúan sobre el elemento son las normales a la superficie y el peso del fluido. De esta manera, las ecuaciones de equilibrio en las direcciones x y z son, respectivamente,

0cos =−=∑ dydzPPdydlF xx α

021sin =−−=∑ dxdydzPdydldxdyPF zz γα

Figura 2.1 Diagrama de cuerpo libre de un

elemento de fluido en forma de cuña.

Teniendo en cuenta que dz = dl cos α, de la componente en x se tiene que P = Px. El último término de la componente en z es un infinitésimo de orden superior al resto de los términos y, por lo tanto, se puede despreciar. Ya que dx = dl sen α, la componente en z se reduce a P = Pz. Se puede demostrar también que P = Py considerando un caso tridimensional. Los resultados son independientes de α; con esto se demuestra que la presión en un punto de un fluido en reposo es la misma en todas direcciones. Este es un axioma importante en hidrostática, conocido como ley de Pascal.

Capítulo 2

24

2.2 Variación de la presión en un fluido en reposo

Considérese el elemento diferencial de un fluido estático mostrado en la Figura 2.2. Ya que el elemento es muy pequeño, se puede suponer que la densidad del fluido dentro del elemento es constante. Las fuerzas que actúan sobre el elemento de fluido en la dirección vertical son: la acción de la gravedad sobre la masa dentro del elemento (fuerza de cuerpo), la cual se puede expresar como −γδxδyδz, y las fuerzas transmitidas por los alrededores (fuerzas de superficie), las cuales actúan en ángulos rectos sobre las caras inferior, superior y laterales del elemento. Si la presión en el centro del elemento es P, la fuerza de superficie que actúa en la cara perpendicular al eje y, más próxima al origen de coordenadas, es

zxyyPP δδδ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−2

mientras que la fuerza en la superficie que se ejerce en la cara opuesta es

zxyyPP δδδ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+2

donde δy/2 es la distancia desde el centro del elemento a cualquiera de sus caras perpendiculares al eje y.

Figura 2.2 Elemento en forma de paralelepípedo rectangular de un fluido en reposo.


25

Al sumar todas las fuerzas que actúan sobre el elemento en la dirección y, se obtiene

zyxzyxyPFy δδδγδδδ −∂∂

−=∑

En las direcciones x y z, donde no se tienen fuerzas de cuerpo:

zyxzPFzyx

xPF zx δδδδδδ

∂∂

−=∂∂

−= ∑∑

Ya que el fluido está en reposo, el elemento está en equilibrio y la sumatoria de las fuerzas que actúan sobre él en cualquier dirección deberá ser cero. Con esto, se obtiene la ley de la variación de la presión para un fluido en reposo, esta es,

00 =∂∂

−=∂∂

=∂∂

zP

yP

xP γ (2.2)

La primera y tercera derivadas parciales, que representan la variación de la presión en el plano horizontal, constituyen una forma del principio de Pascal y establecen que dos puntos de igual elevación en una misma masa continua de fluido en reposo tienen la misma presión.

Dado que P es función únicamente de y, se puede escribir

dydP γ−= (2.3)

Esta sencilla ecuación diferencial relaciona el cambio de presión con el peso específico y el cambio de elevación, y es válida tanto para fluidos compresibles como para incompresibles.

Para fluidos incompresibles, γ es constante y la Ec.(2.3) se puede integrar directamente. Sin embargo, para fluidos compresibles, γ se deberá expresar algebraicamente en función de y o P para determinar la presión en función de la elevación.

2.2.1 Fluido incompresible

Para un fluido incompresible, la ley de la variación de la presión hidrostática frecuentemente se escribe en la forma

hP γ= (2.4)

en la cual h se mide verticalmente hacia abajo (h = − y) a partir de la superficie libre del líquido, y P es el correspondiente aumento de la presión sobre el valor que toma en dicha superficie.

Capítulo 2

26

Con frecuencia, es común expresar la presión en términos de la altura de una columna de fluido. Considere el tanque abierto que se muestra en la Figura 2.3, el cual contiene un líquido en cuya superficie no hay presión, aunque en realidad la presión mínima en cualquier superficie líquida es su propia presión de vapor. De acuerdo con la Ec. (2.4), la presión a cualquier profundidad es P = γ h. Si γ se considera constante, hay una relación definida entre P y h. Esto es, la presión (fuerza por unidad de área) es equivalente a la altura h de un fluido de peso específico constante.

Figura 2.3 Presión expresada en términos de la altura de un fluido.

Si la superficie del líquido está bajo alguna presión, solamente es necesario convertir dicha presión en una altura equivalente del fluido en cuestión y sumar éste al valor de h para obtener la presión total.

La relación h = P/γ es válida para cualquier sistema consistente de unidades. Si P está en kN/m2, γ deberá estar en kN/m3 y h estará en metros. Cuando la presión se expresa de esta manera, es comúnmente referida como carga de presión. Ya que la presión se expresa comúnmente en kN/m2 (o lb/pulg2 en el sistema inglés), y como el valor de γ para el agua se supone generalmente de 9,81 kN/m3 (62,4 lb/pie3), una relación conveniente es

( ) 22

2 mkN102,081,9mkNOH de m ×==h

( ) psi308,24,62psi144OH de pies 2 ×=

×=h


27

2.2.2 Fluido compresible

Para determinar la variación de la presión en un fluido compresible en reposo, el análisis se restringe a un gas ideal, el cual es válido para el aire y la mayoría de sus componentes para relativamente grandes rangos de presión y temperatura. Ya que γ está relacionado con υ (γ = g/υ), se usará la ecuación de estado para un gas ideal (Pυ = RT).

CASO 1: GAS IDEAL ISOTÉRMICO

Para este caso, la ecuación de estado indica que el producto Pυ es constante. Así, en cualquier posición del fluido, usando el subíndice 1 para indicar datos conocidos,

Pυ = P1υ1 = C (2.5)

donde C es una constante. Sustituyendo υ = g/γ en la ecuación anterior,

Cg

PgP ==1

11 γγ

(2.6)

Suponiendo que el rango de elevación es bastante pequeño, de manera que g es constante, dividiendo entre g la ecuación anterior, se tiene

'1

1 CgCPP===

γγ (2.7)

Usando la relación anterior, la Ec.(2.3) se puede expresar como sigue:

'CP

dydP

−=−= γ

Separando variables e integrando desde P1 hasta P, y de y1 hasta y, se tiene

y

y

P

P

y

y

P

P CyP

Cdy

PdP

1111 '

ln ; '

−=−= ∫∫

de donde

( )11 '

1ln yyCP

P−−=

Ahora, usando P1/γ1 = C ’ de la Ec.(2.7) y despejando P,

( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= 1

1

11 exp yy

PPP

γ (2.8)

Esto proporciona la relación deseada entre la elevación y la presión en términos de condiciones conocidas P1, γ1 a una elevación y1.

Capítulo 2

28

CASO 2: VARIACIÓN LINEAL DE LA TEMPERATURA CON LA ELEVACIÓN

En este caso, la variación de la temperatura está dada por

yTT β+= 1 (2.9)

donde T1 es la temperatura en la referencia (y = 0) y β es una constante. Para problemas terrestres, β será negativa. Con el fin de hacer posible la separación de variables en la Ec.(2.3), se deberá despejar γ de la ecuación de estado y, además, determinar dy de la Ec.(2.9), esto es,

RTPg

=γ (2.10a)

βdTdy = (2.10b)

Sustituyendo en la Ec.(2.3), se obtiene, arreglando términos,

TdT

Rg

PdP

β−= (2.11)

Integrando desde el nivel de referencia (y = 0) donde P1, T1, etc., son conocidas, se tiene

Rg

TT

TT

Rg

PP β

β⎟⎠⎞

⎜⎝⎛== 11

1

lnlnln

Despejando P y remplazando la temperatura T por T1 + βy, se obtiene la expresión final

Rg

yTTPP

β

β ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=1

11 (2.12)

donde T1 deberá estar en grados absolutos.


29

2.3 Presiones manométrica y absoluta

Cuando la presión se mide respecto al nivel de presión nula se denomina presión absoluta; por otro lado, cuando se toma de base la presión atmosférica se denomina presión manométrica a la presión superior a la atmosférica y presión de vacío a la inferior. Estas denominaciones se ilustran en la Figura 2.4.

Figura 2.4 Presiones absoluta, manométrica y de vacío.

Todos los valores de presión absoluta son positivos, igual que la presión manométrica, mientras que la presión de vacío es negativa. De lo anterior, se tienen las siguientes relaciones:

manatmabs PPP += (2.13a)

vacatmabs PPP −= (2.13b)

La presión atmosférica también es llamada presión barométrica y varía con la altitud. También, en un lugar dado, la presión varía con el tiempo debido a los cambios en las condiciones meteorológicas.

2.4 Atmósfera estándar

La presión absoluta de la atmósfera se mide mediante el barómetro, de ahí su nombre de presión barométrica. Si un tubo, como el que se muestra en la Figura 2.5, tiene su extremo inferior sumergido en un líquido expuesto a la presión atmosférica, y se elimina el aire del tubo, el líquido se elevará dentro de él. Si el aire fuera completamente eliminado, la única presión sobre la superficie del líquido en el tubo será su propia presión de vapor y el líquido habrá alcanzado su altura máxima.

Capítulo 2

30

Figura 2.5 Principio del barómetro.

De los conceptos desarrollados en la Sección 2.2, la presión en O dentro del tubo deberá ser igual a la presión en la superficie del líquido fuera del mismo (punto a); esto es, PO = Pa. De las condiciones de equilibrio estático del líquido sobre el punto O en el tubo de área de sección transversal A, se tiene

0=−− AyAPAP vaporatm γ

yPP vaporatm γ+= (2.14)

Si la presión de vapor sobre la superficie del líquido en el tubo fuera despreciable, entonces se tendría,

yPatm γ=

Generalmente se emplea mercurio para los barómetros, debido a que su densidad es lo suficientemente grande, lo cual permite usar un tubo razonablemente corto y también porque su presión de vapor es despreciable a temperaturas ordinarias.

Se ha establecido una atmósfera estándar que se asemeja a la atmósfera real que se encuentra en muchas partes del mundo, y su valor es bastante exacto para usarse en la mayoría de los trabajos de ingeniería. A nivel de mar, las condiciones atmosféricas estándares se muestran en la Tabla 2.1.

Tabla 2.1 Condiciones al nivel del mar de la atmósfera estándar.

Propiedad Símbolo Sistema Internacional Sistema Inglés

Temperatura T 15°C = 288 K 59°F = 519°R Presión P 101,3 kPa = 760 mm Hg 2 116,2 lb/pie2 = 29,92 pulg Hg Densidad ρ 1,2232 kg/m3 0,002378 slug/pie3

Peso específico γ 11,99 N/m3 0,07651 lb/pie3

Viscosidad μ 1,777×10-8 kN.s/m2 3,719×10-7 lb.s/pie2


31

Las variaciones de temperatura y presión en la Atmósfera Estándar US se presentan en la Figura 2.6. En la capa más baja de 11,02 km (36 200 pies), denominada troposfera, la temperatura disminuye rápidamente y en forma lineal de acuerdo con la relación

)pies(R)003560.0519()m(K)006489.0288(

enyyTenyyT

°−=−=

(2.15)

donde y es la elevación sobre el nivel del mar. En la siguiente capa, denominada estratosfera, de un espesor de 9 km aproximadamente (30 000 pies), la temperatura se mantiene constante en –56,5°C (−69,7°F). En la mesosfera, a una altitud alrededor de 50 km (165 000 pies o 31 millas), la temperatura aumenta lentamente al principio y luego más rápidamente, hasta un máximo de –2,5°C (27,5°F). Por encima de ésta, en la ionosfera, la temperatura disminuye otra vez.

La presión absoluta estándar se comporta de una manera muy distinta a la temperatura (Figura 2.6), disminuyendo rápidamente y suavemente hasta un valor de casi cero a una altitud de 30 km (98 000 pies). El perfil de presiones se calculó a partir de las temperaturas estándar utilizando lo métodos de la Estática de fluidos (Sección 2.2).

Figura 2.6 Distribuciones de temperatura y presión de la Atmósfera Estándar US.

Capítulo 2

32

2.5 Medida de la presión – manómetros

Existen muchas formas de medir la presión en un fluido. Algunas de estas técnicas se tratan a continuación.

2.5.1 Manómetro de Bourdon

Las presiones manométricas o de vacío se pueden medir usando el manómetro de Bourdon, como el que se muestra en la Figura 2.7. En este tipo de manómetro un tubo curvado de sección elíptica cambiará su curvatura al cambiar la presión dentro del tubo. El extremo móvil del tubo gira la manecilla de un cuadrante mediante un mecanismo de unión articulado. La combinación de un manómetro de presión y de vacío se denomina manómetro compuesto, el cual se muestra en la Figura 2.7b.

(a) Principio de operación.

(b) Manómetro compuesto.

Figura 2.7 Manómetro de Bourdon.

2.5.2 Transductor de presión

Un transductor es un dispositivo que trasfiere energía (en cualquier forma) de un sistema a otro. En manómetro de Bourdon, por ejemplo, es un transductor mecánico por el hecho de tener un elemento elástico que convierte la energía del sistema de presión en un desplazamiento en el sistema mecánico de medida. Un transductor de presión eléctrico convierte el desplazamiento de un sistema mecánico (normalmente un diafragma de metal) en una señal eléctrica, ya sea activamente si genera su propio potencial eléctrico de salida, o pasivamente si requiere un potencial eléctrico de entrada que cambia en función del desplazamiento mecánico.


33

En la Figura 2.8 se muestra el diagrama de un tipo de transductor de presión eléctrico. En este transductor de presión se pega una banda extensiométrico a un diafragma. Al cambiar la presión, cambia la deflexión del diafragma. Éste, a su vez, cambia el potencial eléctrico de salida, que se puede relacionar con la presión mediante una calibración correcta. Se puede utilizar este dispositivo conectado a un registrador de cinta para dar un registro continuo de la presión. En lugar de un registrador de cinta, los datos se pueden grabar en una cinta magnética o disquete a intervalos de tiempo fijo, utilizando el sistema de adquisición de datos de una computadora y/o se pueden mostrar en la pantalla de la computadora en forma digital.

Figura 2.8 Esquema de un transductor de presión eléctrico con registrador de cinta.

2.5.3 Columna piezométrica

Una columna piezométrica es un dispositivo sencillo para la medición de presiones moderadas en líquidos. Consiste en un tubo de longitud adecuada en donde el líquido puede subir sin llegar a rebosar, como se muestra en la Figura 2.9. La altura del líquido en el tubo dará directamente un valor de la altura de presión. Para reducir los errores capilares el diámetro del tubo debe ser como mínimo de 12 mm (0,5 pulg).

Figura 2.9 Piezómetro.

Capítulo 2

34

2.5.4 Manómetro simple

Como el piezómetro de tubo abierto es incómodo para su uso con líquidos a presiones altas y no se puede utilizar con gases, el manómetro simple o manómetro U, como el que se muestra en la Figura 2.10, es un dispositivo más conveniente para la medición de presiones.

Si se integra la Ec.(2.3) para un fluido incompresible (γ = constante) entre los puntos 1 y 2, se tiene

)( 1212 yyPP −−=− γ (2.16)

de donde se observa que un cambio de altura en un líquido, y2 – y1, es equivalente a una diferencia de presión de (P2 – P1)/γ. Por ello, para medir diferencias de presión entre dos puntos se pueden utilizar columnas estáticas de uno o más líquidos. Un instrumento de este tipo se denomina manómetro. El tipo más simple de manómetro es el tubo U, como el que se muestra en la Figura 2.10. Este manómetro está conectado a un tanque que contiene un fluido A, cuya presión en el punto a se desea medir. Si se aplica la Ec.(2.16) en dos etapas, primero de a a M y luego de N a 0, se tiene

)( 21 dPPdPP HgONAMa −−=−−=− γγ

El peso de la pequeña cantidad de aire existente entre 0 y el extremo abierto se desprecia y se supone que P0 ≈ Patm. Cuando se suman las dos ecuaciones anteriores, PM se cancela con PN y se obtiene el resultado deseado,

12 ddPP AHgatma γγ −+= (2.17)

Figura 2.10 Manómetro simple o tubo U.


35

2.5.5 Manómetros diferenciales

Considere ahora el manómetro de múltiples fluidos mostrado en la Figura 2.11. Para encontrar la diferencia de presión entre las dos cámaras A y B, se aplica repetidamente la Ec. (2.16); esto es,

PA – P1 = –γ1(yA – y1) P1 – P2 = –γ2(y1 – y2)

P2 – P3 = –γ3(y2 – y3) P3 – PB = –γ4(y3 – yB)

Sumando las cuatro diferencias se obtiene PA – PB,

PA – PB = −γ1 d1 + γ2 d2 −γ3 d3 + γ4 d4 (2.18)

Figura 2.11 Manómetro complicado de múltiples fluidos, para relacionar pA con pB.

2.6 Fuerzas hidrostáticas sobre superficies sumergidas

Ahora que se ha determinado la manera en que varía la presión en un fluido estático, se puede examinar la fuerza sobre una superficie sumergida en un líquido.

Con el fin de determinar por completo la fuerza que actúa sobre la superficie sumergida, se deben especificar la magnitud y la dirección de la fuerza, así como su línea de acción. Se deben considerar superficies sumergidas tanto planas como curvas.

Dr. Belman

Resaltado

Capítulo 2

36

2.6.1 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana sumergida

Puesto que no puede haber esfuerzos de corte en un fluido estático, todas las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre una superficie sumergida en dicho fluido deberán ser normales a la misma.

Si la presión se distribuye uniformemente sobre un área, como se muestra en la Figura 2.12a, la fuerza es igual a la presión por el área, y el punto de aplicación de la fuerza es el centroide del área. En el caso de fluidos compresibles (gases), la variación de la presión con la distancia vertical es muy pequeña debido a su bajo peso específico; de aquí, cuando se calcula la fuerza estática ejercida por un gas, P se puede considerar constante. Así, para este caso,

PAdAPPdAF === ∫∫ (2.19)

En el caso de líquidos, la distribución de la presión no es uniforme; de aquí que es necesario un análisis más amplio. Considere una superficie plana vertical, como la que se muestra en la Figura 2.12b, cuyo extremo superior coincide con la superficie libre del líquido. La presión variará desde cero en M, hasta NK en N. Así, la fuerza total sobre un lado es la sumatoria de los productos de los elementos de área por la presión sobre ellos. Es claro que la resultante de este sistema de fuerzas paralelas deberá estar aplicada en un punto por abajo del centroide del área, ya que el centroide de un área es el punto de aplicación de la resultante de un sistema de fuerzas paralelas uniformes.

Si la superficie se sumerge hasta la posición M’N’ mostrada en la Figura 2.12c, el cambio proporcional de presión de M’ a N’ es menor que el de M a N. De aquí que el centro de presión estará más cercano al centroide de la superficie. Entre más se sumerja la superficie, la presión sobre ésta llegará a ser más uniforme y el centro de presión estará cada vez más cerca del centroide.

Figura 2.12 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie plana vertical.


37

La Figura 2.13 muestra una superficie plana de forma arbitraria sumergida completamente en un líquido, la cual forma un ángulo θ con la horizontal. A la derecha se muestra la proyección de esta superficie sobre un plano vertical. Sea h la profundidad de cualquier punto y y la distancia del punto a la superficie libre en el plano de la placa.

Figura 2.13 Superficie plana sumergida.

Considere un elemento de área seleccionado de manera que la presión ejercida sobre él es uniforme. Si x representa el ancho del área a cualquier profundidad, entonces dA = x dy. Como P = γ h y h = y sen θ, la fuerza dF sobre un elemento de área será,

dAsenydAhPdAdF θγγ ===

Integrando esta ecuación, tomando en cuenta que el centroide de un área se define

como ( )∫= ydAAyc1 , se tiene

AysenydAsenF cθγθγ == ∫ (2.20)

Si se representa mediante hc la profundidad del centroide, entonces hc = yc sen θ y

AhF cγ= (2.21)

Ya que γ hc es la presión en el centroide, la Ec.(2.21) indica que la fuerza sobre una cara de cualquier superficie plana sumergida en un fluido estático, es igual a la presión que hay en el centroide de dicha cara por su área, independientemente de la forma de la superficie y de su ángulo de inclinación.

Dr. Belman

Resaltado

Capítulo 2

38

Centro de Presión

Para completar el análisis de fuerzas planas, se debe determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Este punto se denomina centro de presión. Tomando el eje x de la Figura 2.13 como un eje de momentos, el momento de la fuerza dF = γ y sen θ dA es

dAsenyydF θγ 2=

Si yp representa la distancia al centro de presión, ypF es el momento de la fuerza resultante y

xxp IsendAysenFy 2 θγθγ == ∫

donde ∫= dAyI xx2 es el momento de inercia del área plana alrededor de x.

Si la ecuación anterior se divide entre el valor de F dado por la Ec.(2.21), se tiene

AyI

AysenIsen

AhIsen

yc

xx

c

xx

c

xxp ===

θγθγ

γθγ (2.22)

El teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia establece que

AyII cxx2+= ξξ

donde ξξI es el momento de inercia del área con respecto a un eje paralelo al eje x

(ξ) que pasa a través del centro del área. Con esto, la Ec.(2.22) se puede escribir como,

AyI

yyc

cpξξ+= (2.23)

De esta ecuación, se puede observar que el centro de presión es independiente del ángulo θ. También, se puede ver que el centro de presión siempre está por abajo del centroide y que, cuando la profundidad del centroide se incrementa, el centro de presión se aproxima al centroide.

En la Figura 2.14 se dan los valores de ξξI para algunas áreas comunes.


39

Figura 2.14 Centroide y momentos centroidales de inercia para algunas geometrías

comúnes..

Para determinar la posición lateral del centro de presión, considérese la vista normal A-A de la Figura 2.13, que se muestra en la Figura 2.15.

Figura 2.15 Vista normal de la superficie plana.

Capítulo 2

40

El centro de presión se muestra en la posición yp, determinada previamente, y a una distancia desconocida xp del eje y. Igualando el momento alrededor del eje y de la fuerza resultante con el momento correspondiente de la distribución de presión, se obtiene

( )∫ ∫==A A

p xydAsendAysenxFx θγθγ

Sustituyendo F = γ yc sen θ A, se obtiene

( ) xypc IsenxAseny θγθγ = Por lo tanto,

c

xyp yA

Ix

=

donde Ixy es el producto de inercia alrededor de los ejes de referencia. Empleando el teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia,

AyxII ccxy += ξη

donde ξηI es el producto de inercia con respecto a los ejes cetroidales, se obtiene

AyI

xxc

cpξη+= (2.24)

Un modo fácil de calcular xp es fijar el sistema de ejes coordenados xy, de tal manera que el eje y pase a través del centroide del área y x = 0 esté en el centroide. Si el área es simétrica en relación con cualquiera de los ejes, el producto de inercia en el centroide es cero, y xp coincide con el centroide.

2.6.2 Fuerzas hidrostáticas sobre una superficie curva sumergida

Las fuerzas que actúan sobre una superficie curva sumergida en un fluido estático, se pueden determinar parcialmente mediante el método usado para superficies planas.

Considere la superficie curva que se muestra en la Figura 2.16, sumergida en un fluido estático. La fuerza sobre cualquier elemento de área dA de esta superficie está sobre la normal al elemento de área y está dada por

APddF −=


41

donde el vector dA está dirigido hacia fuera del área. Tomando el producto punto de cada lado de la ecuación anterior con el vector unitario i, se obtiene la componente dFx sobre el lado izquierdo; esto es,

iA ˆ⋅−= PddFx

pero iA ˆ⋅d es realmente la proyección del elemento de área sobre el plano yz, dAx, (Figura 2.16).

Figura 2.16 Superficie curva sumergida en un fluido estático.

Para obtener Fx se tiene,

∫−= xx PdAF

donde en el límite de la integración, Ax es la proyección de la superficie sobre el plano yz. El problema de encontrar Fx se convierte ahora en el problema de encontrar la fuerza sobre una superficie plana sumergida perpendicularmente a la superficie libre.

Por lo tanto, se puede utilizar el método desarrollado en la sección anterior para resolver este problema. Similarmente, se tiene para Fz

∫−= zz PdAF

donde Az es la proyección de la superficie curva sobre el plano xy. Por lo tanto, dos componentes ortogonales de la fuerza resultante se pueden determinar mediante el método para superficies planas sumergidas. Note que estas componentes son paralelas a la superficie libre.

Considere ahora la componente normal a la superficie libre. La presión P debida a la columna de fluido en un punto de la superficie es ∫γ dy, con límites entre y’ sobre la superficie curva y y0 en la superficie libre (Figura 2.17).

Capítulo 2

42

Figura 2.17 Columna de fluido sobre una superficie curva.

Para la componente vertical de la fuerza sobre la superficie curva se tiene,

yy dAPdPdF −=⋅−= jA ˆ

y

y

yy

y

yy dAdydAdyF oo

∫∫ −=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=

''γγ

De la Figura 2.17 se observa que γdydAy es el peso de un elemento infinitesimal de fluido en la columna que se encuentra directamente sobre dA. Esta columna se extiende hasta la superficie libre, o una superficie libre hipotética sobre una altura equivalente. Integrando esta cantidad desde y’ hasta y0, dFy representa el peso de la columna de fluido que se encuentra directamente sobre dA. Obviamente, cuando se integra dFy sobre la superficie completa, se obtiene el peso de la columna total de fluido que se encuentra sobre la superficie curva. El signo negativo indica que una superficie curva con una proyección dAy positiva (parte superior de un objeto), está sujeta a una fuerza negativa en la dirección de y (hacia abajo). Esta componente de la fuerza tiene una línea de acción que pasa por el centro de gravedad del prisma de fluido “reposando” sobre la superficie.

2.7 Flotación y estabilidad

La fuerza resultante ejercida sobre un cuerpo por un fluido estático, en el cual está sumergido o flotando se denomina fuerza de flotación. La causa de esta fuerza es la diferencia de presiones existente sobre las superficies superior e inferior.


43

Considere el objeto totalmente sumergido en un líquido estático, como se muestra en la Figura 2.18. La fuerza vertical sobre el cuerpo, debida a la presión hidrostática, puede encontrarse más fácilmente considerando elementos de volumen cilíndricos similares al que se muestra en esta figura.

Figura 2.18 Cuerpo inmerso en un fluido estático.

En un fluido estático

gdhdP ρ=

Integrando con ρ constante, se obtiene hgPP ρ+= 0

La fuerza vertical neta sobre el elemento es

( ) ( ) ( ) dAhhgdAhgPdAhgPdFz 121020 −=+−+= ρρρ

Pero ( ) VddAhh =− 12 , es el volumen del elemento; por lo tanto,

VgVdgdFFVzz ρρ === ∫ ∫ (2.25)

donde V es el volumen del objeto. Pero la relación Vgρ es, sencillamente, el peso del líquido cuyo volumen es igual al volumen del objeto. Se llega a la conclusión que la fuerza de flotación que actúa sobre el objeto es igual al peso del líquido desplazado por el propio objeto. Nótese que la fuerza de flotación es independiente de la distancia del objeto a la superficie libre y de la densidad del cuerpo sólido. Además, el peso y la fuerza de flotación deben tener la misma línea de acción para crear un momento cero. Esto se conoce como principio de Arquímedes, en honor del matemático griego (287-212 a.C.), quien aparentemente la usó en el año 220 a.C. para determinar el contenido de oro en la corona del Rey Hiero II.

Capítulo 2

44

Para los cuerpos flotantes, el peso del cuerpo completo debe ser igual a la fuerza de flotación, la cual es el peso del fluido cuyo volumen es igual al de la parte sumergida de ese cuerpo; es decir:

totalcuerpopromsumergidofB VgVgWF ,ρρ =→=

f

cuerpoprom

total

sumergido

VV

ρρ ,= (2.26)

Por lo tanto, la fracción sumergida del volumen de un cuerpo flotante es igual a la razón de la densidad promedio del cuerpo a la densidad del fluido. Nótese que cuando la razón de densidades es igual o mayor que uno, el cuerpo flotante se vuelve por completo sumergido. Con base en esto, se puede concluir que un cuerpo sumergido en un fluido: (1) permanece en reposo en cualquier punto en el fluido, cuando su densidad es igual a la densidad del fluido; (2) se hunde hasta el fondo, cuando su densidad es mayor que la del fluido; y (3) asciende hasta la superficie del fluido y flota cuando la su densidad es menor que la del fluido.

Estabilidad de cuerpos sumergidos y flotantes La fuerza de flotación sobre un cuerpo siempre actúa a través del centroide del volumen desplazado, mientras que el peso lo hace a través del centro de gravedad. Estas características pueden hacer que un cuerpo parcial o totalmente sumergido sea estable o inestable. Un objeto se encuentra en equilibrio estable si un ligero desplazamiento genera fuerzas o momentos que restablecen la posición original del objeto. Un objeto está en equilibrio inestable si un ligero desplazamiento genera fuerzas o momentos que desplazan aún más el objeto. Un objeto se encuentra en equilibrio indiferente si el desplazamiento no genera fuerzas ni momentos. La estabilidad es similar a lo que le sucede a una bola cuando se desplaza ligeramente sobre las tres superficies que se muestran en la Figura 2.19.

Figura 2.19 Ilustración del concepto de estabilidad.

Para un cuerpo sumergido o flotante en equilibrio estático, el peso y la fuerza de flotación que actúan sobre él se equilibran entre sí y, de manera inherente, esos cuerpos son estables en la dirección vertical. Si un cuerpo sumergido neutralmente flotante se asciende o desciende hasta una profundidad diferente, el cuerpo permanecerá en equilibrio en esa ubicación. Si un cuerpo flotante se asciende o desciende mediante una fuerza vertical, el cuerpo regresará a su posición original tan pronto como se elimine el efecto externo. Por lo tanto, un cuerpo flotante posee estabilidad vertical, mientras que uno sumergido neutralmente flotante está en equilibrio indiferente, puesto que no regresa a su posición original después de una perturbación.

Dr. Belman

Resaltado


45

La estabilidad rotacional de un cuerpo sumergido depende de las ubicaciones relativas del centro de gravedad G del cuerpo y del centro de flotación B, el cual es el centroide del volumen desplazado. Un cuerpo sumergido total o parcialmente (flotante) está en equilibrio estable si su centro de gravedad G se encuentra debajo de su centro de flotación B, como se ilustra en la Figura 2.20. Si el cuerpo gira, se establece un momento para enderezarlo y regresarlo a su posición original con G directamente debajo de B. Si el centro de gravedad de un cuerpo totalmente sumergido está arriba del de flotación, el cuerpo está en equilibrio inestable, ya que se establece un desbalanceo de momento cuando el cuerpo gira, tal como se ilustra en la Figura 2.21.

Figura 2.20 Cuerpo flotante con el centro de gravedad G debajo del centro de flotación B: (a) posición de equilibrio; (b) posición después del giro.

Figura 2.21 Cuerpo sumergido con el centro de gravedad G arriba del centro de flotación B: (a) posición de equilibrio; (b) posición después del giro.

Si el centro de gravedad de un cuerpo flotante está arriba de su centro de flotación, el cuerpo podría ser estable o inestable ya que el centro de flotación cambia a medida que el objeto gira. Las razones para esta diferencia se pueden ilustrar con dos bloques flotantes de madera: uno corto y ancho (Figura 2.22a y b), y uno largo y delgado (Figura 2.22c y d). En ambos bloques el centro de flotación se mueve por arriba de la superficie. Para el mismo ángulo de rotación, el centro de flotación del bloque corto y ancho se mueve más hacia la derecha que el del bloque largo y delgado. El resultado es que el nuevo centro de flotación B’ del bloque corto y ancho se encuentra ahora a la derecha del centro de gravedad, mientras que el nuevo centro de flotación del bloque largo y delgado se encuentra todavía a la izquierda del centro de flotación. El bloque corto y ancho tiene un momento de restablecimiento y es estable, mientras que el bloque largo y delgado tiene un momento perturbador y es inestable.

Capítulo 2

46

Figura 2.22 Comparación de estabilidad entre dos bloques de madera, uno corto y ancho y el otro largo y delgado: (a) y (c) posición de “equilibrio”; (b) y (d) posición

después del giro.

2.8 Bibliografía

1. Çengel, Y.A., y Cimbala, J.M., Mecánica de Fluidos, fundamentos y aplicaciones, 1ª ed., McGraw-Hill Interamericana, 2006.

2. Fox, R.W., & McDonald, A.T., Introduction to Fluid Mechanics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1995.

3. Gerhart, P.M., Gross, R.J. y Hochstein, J.I., Fundamentos de Mecánica de Fluidos, 2ª ed., Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

4. Shames, I.H., Mechanics of Fluids, 2nd ed., McGraw-Hill, 1982.

5. Daugherty, R.L., & Franzini, J.B., Fluid Mechanics with Engineering Applications, 6th ed., McGraw-Hill, 1977.

6. Franzini, J.B., y Finnemore, E.J., Mecánica de Fluidos con aplicaciones en Ingeniería, 9ª edición, McGraw-Hill, 1999.

Capítulo 3 Conceptos fundamentales para el

análisis del flujo de fluidos

46

3.1 El campo de velocidades

La propiedad más importante de un flujo es el campo de velocidad V(x, y, z, t). De hecho, determinar la velocidad es a menudo equivalente a resolver el problema ya que otras propiedades se obtienen directamente de ésta.

En general la velocidad es un vector función de la posición y el tiempo, que tienen tres componentes escalares u, v y w.

(3.1)

Otras magnitudes, denominadas propiedades cinemáticas, se pueden calcular matemáticamente a partir de la velocidad. Ejemplos de aquellas son el vector de desplazamiento, el vector de velocidad angular local y el flujo volumétrico.

Si las propiedades en cada punto del campo de flujo no cambian con el tiempo, el flujo se denomina permanente. La definición matemática de un flujo permanente es

donde η representa cualquier propiedad del fluido. Para un flujo permanente:

y

Así, en un flujo permanente, cualquier propiedad puede variar de punto en punto en el campo, pero todas las propiedades permanecen constantes con el tiempo.

3.1.1 Flujos uni, bi y tridimensionales

El flujo se clasifica como uni, bi y tridimensional dependiendo del número de coordenadas espaciales requeridas para describir el campo de velocidad. La Ec. (3.1) indica que el campo de velocidad puede ser una función de tres coordenadas espaciales y del tiempo. Dicho campo de flujo se denomina tridimensional (también es no permanente o transitorio) ya que la velocidad en cualquier punto del campo de flujo depende de las tres coordenadas espaciales requeridas para localizar el punto en el espacio.

47

No todos los campos de flujo son tridimensionales. Por ejemplo, el flujo permanente a través de una tubería recta de sección transversal uniforme. Lejos de la entrada del tubo la distribución de velocidad se puede describir como

Este perfil de velocidad se muestra en la Figura 3.1 donde se emplean coordenadas cilíndricas (r, θ, z) para localizar cualquier punto en el campo de flujo. El campo de velocidad es una función de r únicamente; es independiente de z y θ, de manera que este es un flujo unidimensional.

Figura 3.1 Ejemplo de flujo unidimensional.

Un ejemplo de un campo bidimensional se ilustra en la Figura 3.2. En esta figura se representa la distribución de velocidad para el flujo entre paredes rectas divergentes, infinitas en la dirección de z. Ya que se considera que el ducto es infinito en z, el campo de velocidad será idéntico en todos los planos perpendiculares a este eje. Consecuentemente, el campo de velocidad es únicamente función de las coordenadas espaciales x, y.

Figura 3.2 Ejemplo de flujo bidimensional.

Como se podría esperar, la complejidad del análisis se incrementa considerablemente con el número de dimensiones del campo de flujo. El más simple de analizar es el flujo unidimensional, siendo el más complicado el flujo tridimensional. Para muchos análisis en ingeniería, un análisis unidimensional es suficiente para obtener soluciones aproximadas, con la precisión que se requiere en ingeniería.

48

3.1.2 Líneas de flujo

En el análisis de problemas en mecánica de fluidos, frecuentemente es ventajoso obtener una representación visual del campo de flujo. Esta representación se puede obtener mediante cuatro tipos diferentes de curvas o líneas de flujo; estas son: líneas de tiempo, trayectorias, líneas de emisión y líneas de corriente.

Si un número de partículas de fluido adyacentes en un campo de flujo se marcan en un instante dado, éstas forman una línea en el fluido en ese instante; esta línea es llamada una línea de tiempo. Observaciones subsecuentes de la línea pueden proporcionar información acerca del campo de flujo. Por ejemplo, cuando se discutió el comportamiento de un fluido Newtoniano bajo la acción de un esfuerzo cortante constante, se usó una línea de tiempo para demostrar la deformación del fluido en instantes sucesivos.

Figura 3.3 Líneas de tiempo

Una trayectoria o senda es el camino seguido por una partícula de fluido en movimiento. Para hacer visible una trayectoria, se podría identificar una partícula de fluido en un instante dado, por ejemplo, usando tinta, y tomar entonces una fotografía de larga exposición de un movimiento subsiguiente. La línea trazada así por la partícula es una trayectoria.

49

Figura 3.4 Líneas de trayectoria.

Por otro lado, se podría elegir una posición en el espacio e identificar, nuevamente usando tinta, todas las partículas de fluido que pasan a través de este punto. Después de un corto periodo de tiempo tendríamos un número identificable de partículas de fluido en el flujo, todas las cuales habrían pasado, en algún momento, por un punto fijo en el espacio. La línea que une a estas partículas de fluido se define como una traza o línea de emisión.

Figura 3.5 Líneas de traza

50

Las líneas de corriente son líneas dibujadas en el campo de flujo de tal forma que, en un instante dado, éstas son tangentes a la dirección del vector velocidad en cada punto del campo de flujo. Ya que en un flujo no permanente la magnitud y dirección del vector velocidad cambiarán con el tiempo en cualquier punto, las líneas de corriente están definidas para un instante dado.

Figura 3.6 Líneas de corriente

En un flujo permanente, la velocidad en cada punto en el campo de flujo permanecerá constante con el tiempo y, consecuentemente, las líneas de corriente no varían de un instante a otro. Esto implica que una partícula localizada sobre una línea de corriente dada permanecerá sobre la misma línea de corriente. Además, partículas consecutivas pasando por un punto fijo en el espacio estarán sobre la misma línea de corriente y permanecerán sobre esta línea subsecuentemente. Así, en un flujo permanente, las trayectorias, las líneas de emisión y las líneas de corriente son líneas idénticas en el campo reflujo.

La forma de las líneas de corriente puede variar de un instante a otro si el flujo es no permanente. En este caso, las trayectorias, las líneas de emisión y las líneas de corriente no coinciden.

3.2 El campo de esfuerzos

En el estudio del medio continuo, se distinguen dos tipos de fuerzas actuando sobre el mismo: las fuerzas de superficie y las fuerzas de cuerpo. Las fuerzas de superficie incluyen todas las fuerzas actuando sobre las fronteras de un medio por contacto directo. Las fuerzas desarrolladas sin contacto físico y distribuidas sobre el volumen del fluido son llamadas fuerzas de cuerpo. Las fuerzas gravitacionales y las electromagnéticas son ejemplos de fuerzas de cuerpo que aparecen en un fluido.

La fuerza de cuerpo gravitacional que actúa sobre un elemento de volumen dV, está dada por ρgdV. Donde ρ es la densidad y g es la aceleración gravitacional local. Así, la fuerza de cuerpo gravitacional por unidad de volumen es ρg.

51

Los esfuerzos en un medio resultan de las fuerzas que actúan sobre alguna porción del medio. El concepto de esfuerzo proporciona una manera conveniente de describir la forma en que los esfuerzos que actúan sobre las fronteras del medio se transmiten por el mismo.

En el estudio de la mecánica de sólidos se aprende que las fuerzas de superficie actuando sobre elementos internos aislados matemáticamente (cuerpos libres), dan lugar a esfuerzos normales y tangenciales. En la Figura 3.7 se muestra un paralelepípedo rectangular infinitesimal tomado de un cuerpo, con nueve esfuerzos actuando sobre sus caras exteriores. Se ha empleado un esquema de doble subíndice para identificar los esfuerzos. El primer subíndice indica la dirección normal al plano sobre el cual actúa el esfuerzo, mientras que el segundo indica la dirección del mismo. Los esfuerzos normales tienen subíndices repetidos ya que la normal al plano sobre el que actúa y la dirección del esfuerzo son colineales. Los esfuerzos cortantes tendrán subíndices combinados. Por ejemplo, τyx es el valor del esfuerzo cortante que actúa sobre el plano cuya normal es paralela a y, mientras que el esfuerzo es paralelo a x. El concepto de esfuerzos aplicado a sólidos es válido también para fluidos; en realidad, éste es válido para cualquier medio continuo.

Figura 3.7 Notación para los esfuerzos.

Los esfuerzos en un punto se especifican por nueve componentes:

donde se ha usado σ para designar los esfuerzos normales y τ para los esfuerzos cortantes.

52

Con relación al elemento infinitesimal mostrado en la Figura 3.7, se observa que hay seis planos (dos x, dos y y dos z) sobre los cuales pueden actuar los esfuerzos. Con el fin de designar el plano de interés, éstos se nombran en términos de los ejes coordenados. Los planos son llamados y denominados como positivos o negativos de acuerdo con la dirección de la normal hacia fuera del plano. Así, el plano superior, por ejemplo, es un plano y positivo y el plano de atrás es un plano de atrás es un plano z negativo.

También es necesario adoptar una convención de signos para los esfuerzos. Una componente de esfuerzo se considera positiva cuando la dirección de la componente del esfuerzo y el plano sobre el cual actúa son ambas positivas o negativas. Así, τyx = 5 N/m2 representa un esfuerzo cortante sobre el plano y positivo en la dirección positiva de x o un esfuerzo cortante sobre el plano y negativo en la dirección negativa de x.

3.3 Métodos de análisis

Las leyes básicas que se usan para analizar problemas en mecánica de fluidos son las mismas que se emplean en termodinámica y mecánica básica. El primer paso para resolver un problema es definir el sistema que se desea analizar. En mecánica se usa el diagrama de cuerpo libre. En termodinámica se consideran sistemas abiertos o cerrados. En mecánica de fluidos se usan los términos de sistema y volumen de control para el análisis de problemas.

3.3.1 Sistema y volumen de control

Un sistema está definido como una cantidad identificable de masa fija; las fronteras del sistema lo separan de los alrededores. Estas fronteras pueden ser fijas o móviles; sin embargo, no hay transferencia de masa a través de ellas.

En el arreglo pistón – cilindro de la Figura 3.8, el gas en el cilindro es el sistema. Si el pistón está en movimiento, las fronteras se mueven pero la cantidad de materia dentro de las fronteras del sistema permanece fija.

Figura 3.8 Arreglo pistón-cilindro.

Un volumen de control es un volumen arbitrario en el espacio a través del cual fluye un fluido. La frontera geométrica del volumen de control es llamada superficie de control. La superficie de control puede ser real o imaginaria; ésta puede estar en reposo o en movimiento. La Figura 3.9 muestra una posible superficie de control para

53

el análisis del flujo a través de una tubería. Aquí, la superficie interior del tubo, una frontera física real, comprende parte de la superficie de control. Sin embargo, las porciones perpendiculares a la dirección del flujo, de la superficie de control son imaginarias. Ya que la localización de las superficies de control tiene un efecto directo sobre el procedimiento considerado en la aplicación de las leyes básicas, es muy importante que la superficie de control esté definida adecuadamente antes de cualquier análisis.

3.3.2 Métodos diferencial e integral

Las leyes básicas que se emplean en el estudio de la mecánica de fluidos se pueden formular en términos de sistemas infinitesimales o finitos y de volúmenes de control. Ambos métodos son importantes en el estudio de la mecánica de fluidos.

En el primer caso, las ecuaciones resultantes son ecuaciones diferenciales. La solución de las ecuaciones diferenciales de movimiento proporciona un medio de determinar el comportamiento detallado del flujo (punto por punto).

Frecuentemente, en el problema bajo estudio, la información buscada no requiere un conocimiento detallado del flujo. Muchas veces el interés es el comportamiento global de un dispositivo; en tales casos es más apropiado usar la formulación integral de las leyes básicas. La formulación integral, usando sistemas finitos o volúmenes de control generalmente es fácil de tratar analíticamente.

3.3.3 Métodos de descripción

La mecánica trata casi exclusivamente con sistemas, en los cursos de dinámica se aplican las ecuaciones básicas a cantidades fijas e identificables de masa. Por otro lado, en los cursos de termodinámica, a menudo es necesario utilizar análisis de volúmenes de control (sistemas abiertos) para realizar estudios en sistemas o equipos. De esta forma, resulta obvio que el tipo de análisis depende de la clase de problema a estudiar. Donde es fácil seguir la trayectoria de elementos de masa

Figura 3.9 Flujo de un fluido a través de una tubería.

ρ1 V1

ρ2 V2

A1

A2

Volumen de control

54

identificables (mecánica de partículas) se emplea un método de descripción que siga a la partícula. Este método se conoce como método de descripción Lagrangiano. Considerando, por ejemplo, la aplicación de la segunda ley de Newton a una partícula de masa fija m, la descripción matemática de la segunda ley de Newton queda expresada por

En la ecuación anterior ΣF es la suma de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema, a es la aceleración del centro de masa del sistema, V es la velocidad del centro de masa del sistema y r es el vector de posición del centro de masa del sistema, relacionado a un sistema de coordenadas fijo.

Al analizar el movimiento de un fluido, se puede considerar que éste está compuesto por un número muy grande de partículas cuyo movimiento debe ser descrito. Seguir la trayectoria de flujo de cada partícula de fluido por separado se convertiría en un enorme problema de toma de datos, es decir, la descripción del movimiento de cada partícula resultaría inmanejable. Un método conveniente para el estudio de esta clase de problemas es el empleo de volúmenes de control, de donde se obtiene el método de descripción de campo o Euleriano. Este método de descripción centra su atención en las propiedades de un flujo en un punto dado en el espacio, como una función del tiempo. En el método Euleriano, las propiedades de un campo de flujo son descritas como funciones de coordenadas espaciales y del tiempo.

3.4 Movimiento de un elemento de fluido (cinemática)

Antes de la formulación de los efectos de las fuerzas sobre el movimiento de un fluido (dinámica) es apropiado considerar el movimiento (cinemática) de un elemento de fluido en un campo de flujo, como el que se muestra en la Figura 3.10.

Figura 3.10 Elemento infinitesimal de fluido.

55

Conforme un elemento de masa infinitesimal, dm, se mueve en un campo de flujo, pueden ocurrirle tres movimientos fundamentales: traslación, rotación y deformación. Un elemento que se traslada está sujeto a un desplazamiento lineal de una posición x, y, z a una posición diferente x1, y1, z1. Por rotación del elemento es posible que su orientación paralela a los ejes coordenados (Figura 3.10) cambie. Además, el elemento puede sufrir una deformación que se divide en dos partes: lineal y angular. La deformación lineal implica un cambio en la forma, sin cambio de orientación del elemento. La deformación angular implica una distorsión del elemento en la que los planos que eran originalmente perpendiculares ya no lo son. Estas cuatro componentes del movimiento se ilustran en la Figura 3.11.

Figura 3.11 Representación gráfica de las componentes del movimiento de un fluido.

3.4.1 Aceleración de una partícula de fluido

Considerando un elemento de masa fija dm es posible encontrar la ecuación de movimiento de esta partícula al aplicarle la segunda ley de Newton. Al considerar que la partícula se mueve en un campo de velocidad donde éste queda determinado por una expresión dependiente de las coordenadas espaciales y temporales, tal que V =V(x, y, z, t). De esta forma, conociendo el campo de velocidades del fluido se requiere, a partir de éste, determinar la aceleración de una partícula de fluido.

Dado que la velocidad de la partícula, en su forma más general, depende de las tres coordenadas espaciales y del tiempo, su aceleración quedará expresada por

56

(3.2)

La derivada DV/Dt se denomina comúnmente derivada sustancial o material. De acuerdo con la ecuación anterior, es posible observar que una partícula de fluido que se mueve en un campo de flujo puede experimentar aceleración por dos razones. Puede acelerarse porque se lleva adentro de una región de mayor (o menor) velocidad. Por ejemplo, el flujo permanente a través de una tobera, en el cual el campo de flujo no es función del tiempo, pero la partícula se acelerará conforme se mueva a través de la tobera, es decir, las partículas se llevan a una región de velocidad más alta. Si un campo de flujo es transitorio, una partícula de fluido experimentará una aceleración “local” adicional, debido a que el campo de velocidad es función del tiempo.

Los primeros tres términos en la Ec. (3.2) se conocen como aceleración convectiva, mientras que el último es conocido como aceleración local. La aceleración convectiva puede expresarse en términos del operador vectorial nabla como

de forma que

(3.3)

Como cualquier ecuación vectorial, la Ec. (3.2) puede escribirse mediante ecuaciones de componentes escalares. En relación con un sistema en coordenadas cartesianas, las componentes escalares de la Ec. (3.2) son

(3.4)

(3.5)

(3.6)

57

Las componentes de la aceleración en coordenadas cilíndricas pueden obtenerse del conjunto de ecuaciones anteriores, expresando la velocidad V en coordenadas cilíndricas y empleando la expresión apropiada para el operador ∇, de forma que

(3.7)

(3.8)

(3.9)

3.4.2 Rotación

La rotación, ω , de una partícula de fluido se define como la velocidad angular promedio de dos elementos de línea cualesquiera de la partícula, mutuamente perpendiculares. La rotación es una cantidad vectorial. Una partícula que se mueve en un campo de flujo tridimensional puede rotar alrededor de los tres ejes coordenados,

(3.10)

Como se comentó anteriormente, el movimiento arbitrario de un elemento de fluido consta de traslación, rotación y deformación. Para ilustrar la rotación de un elemento de fluido, considérese, para un tiempo t = to, el volumen de control mostrado en la Figura 3.12. Por simplicidad, se selecciona un elemento rectangular infinitesimal que se traslada en el plano z = 0, con una velocidad (u, v), en su esquina número 1. Las longitudes de los lados, paralelos a las direcciones x e y son Δx y Δy, respectivamente.

58

Figura 3.12 Velocidad angular de un elemento rectangular de fluido.

Debido a las variaciones de velocidad, el elemento de fluido puede rotar y presentar deformación en forma simultánea, por ejemplo, la componente x de la velocidad en la esquina superior (No. 4) del elemento está dada por u + (∂u/∂y)Δy, donde los términos de orden superior son despreciados. En un tiempo posterior (t = to+ Δt) esta diferencia en las velocidades de los segmentos 1–2 y 3–4 causará deformación en el elemento de fluido, como se muestra en el lado derecho de la Figura 3.8. La componente de la velocidad angular ωz del elemento de fluido puede obtenerse al promediar las velocidades angulares instantáneas del los segmentos 1–2 y 1–4 del elemento. La velocidad angular instantánea del segmento 1–2 es la diferencia en las velocidades lineales de las dos aristas de este segmento dividido por la distancia Δx,

y la velocidad angular del segmento 1–4 es

La componente z de la velocidad angular del elemento de fluido es, por lo tanto, el promedio de estas dos componentes,

59

Las dos componentes adicionales de la velocidad angular se pueden obtener de forma similar, con lo que

De esta forma, el vector de velocidad angular queda expresado por

(3.11)

Esta expresión puede presentarse en notación vectorial como

(3.12)

Una partícula de fluido moviéndose sin rotación en un campo de flujo, no puede desarrollar una rotación bajo la acción de una fuerza másica o de fuerzas de superficie normales (presión). El desarrollo de rotación en una partícula de fluido, inicialmente sin ese movimiento, requiere de la acción de un esfuerzo cortante sobre la superficie de la partícula. Puesto que el esfuerzo cortante es proporcional a la relación de deformación angular, entonces una partícula que se encuentra inicialmente sin rotación no desarrollará una rotación sin una deformación angular simultánea. El esfuerzo cortante se relaciona con la relación de la deformación angular mediante la viscosidad. La presencia de fuerzas viscosas significa que el flujo es rotacional.

La condición de irrotacionalidad puede ser una suposición válida para aquellas regiones de flujo en las que son despreciables las fuerzas viscosas.

Una cantidad que es conveniente introducir en este punto es la vorticidad, la cual está definida como el doble de la velocidad angular

(3.13)

La vorticidad es una medida de la rotación de un elemento de fluido conforme éste se mueve en el campo de flujo.

Considerando ahora una superficie abierta S, como la que se muestra en la Figura 3.13, para la cual la curva cerrada C es su frontera, con el empleo del teorema de Stokes la vorticidad en la superficie puede relacionarse con la integral de línea alrededor de C, tal que

60

donde es perpendicular a S. La integral del lado derecho de la ecuación anterior se denomina circulación y se denota por Γ,

(3.14)

Esta relación puede ilustrarse una vez más empleando el elemento de fluido mostrado en la Figura 3.12. La circulación ΔΓ se obtiene al evaluar la integral de línea cerrada de la componente tangencial de la velocidad alrededor del elemento de fluido. Obsérvese que la dirección positiva corresponde a la dirección positiva de ω.

Figura 3.13 Relación entre las integrales de línea y de superficie.

Para el caso general tridimensional estas conclusiones pueden resumirse como

(3.15)

La circulación está por tanto de alguna forma ligada a la rotación en el fluido (por ejemplo, a la velocidad angular en la rotación del tipo de cuerpo sólido). En la Figura 3.14 se presentan dos ejemplos para ilustrar el concepto de circulación. La curva C (líneas punteadas) muestra una circunferencia en ambos casos. En la Figura 3.14(a) el campo de flujo consiste en líneas de corriente circulares concéntricas en la dirección contraria a las manecillas del reloj. Es claro que a lo largo de la trayectoria circular de integración C los vectores velocidad V y segmento de línea dl de la Ec. (3.14) son positivos para todo dl y, por lo tanto, C tiene una circulación positiva.

61

Figura 3.14 Campos de flujo con (a) y sin (b) circulación.

En la Figura 3.14(b), el campo de flujo es el flujo simétrico de una corriente uniforme fluyendo alrededor de un cilindro. Es obvio que dada la simetría del flujo la circulación es cero en este caso.

Para ilustrar el movimiento de un fluido con rotación, se considera el volumen de control mostrado en la Figura 3.15(a) que se mueve a lo argo de la trayectoria l. Asumiendo que las fuerzas viscosas son extremadamente grandes y que el fluido rota como cuerpo rígido a lo largo del trayecto l. En este caso ∇×V ≠ 0 y el flujo se denomina rotacional. Para el movimiento del fluido descrito en la Figura 3.15(b), las fuerzas cortantes en el fluido son despreciables y los elementos de fluido a su alrededor no provocan rotación en él debido a las fuerzas cortantes. En este caso ∇×V = 0 y el flujo se considera irrotacional.

Figura 3.15 Movimiento rotacional e irrotacional de un electo de fluido

mecánica de fluidos

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