Análisis dimensional y semejanza dinámica

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INTRODUCCIÓN

Mediante el análisis dimensionalpodemos formaragrupaciones adimensionales

y trabajar con ellasen lugar de con las magnitudes físicas reales. Conello se

reduce el número de variables.

Para establecer los posibles adimensionales,supongamos que intervienen a la

vez todaslas posibles fuerzas sobre el flujo: de presión,de gravedad, de

fricción, de elasticidady detensión superficial.

En los temas anteriores hemos analizado el comportamiento de fluidos en el

ámbito de estática, en donde cualquier tipo de problema, se puede abordar y

tener una solución analítica directa. También, nos hemos introducido en la

dinámica de fluidos (cuando existe flujo) y lo hemos analizado a través de las

tres ecuaciones básicas mediante el método del volumen de control. En este

último caso, no existen soluciones directas en muchos casos de problemas

que se nos pueden plantear, por ejemplo, siempre tenemos el problema de la

valoración de la altura de pérdidas (h fricción), por lo que se ha de recurrir al

análisis experimental, es decir, al trabajo de laboratorio para poder encontrar

las correlaciones que nos hacen falta.

En general se aplican estas técnicas cuando se conocen las variables que

intervienen en el problema (fenómeno físico), mientras que la relación que

existe entre ellas se desconoce.

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OBJETIVOS

Encontrar la solución a problemas mediante métodos teóricos.

Conocer las aplicaciones de las dimensiones de cada magnitud.

Entender el teorema de π.

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U.P.C.Departamento de Maquinas y Motores Térmicos.“Prof. J.J. de Felipe”

Teorema de Pi O Buckingham

“Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una relación

dimensionalmente homogénea que comprende a n parámetros dimensionales,

tales como:

x1 = f (x2, x3,...., xn)

Donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que

contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como:

f’ ( n-k)

Donde los “ ” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”.

La reducción “k” generalmente es igual al número de dimensiones

fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que él”.

Semejanzas de Modelos

Muchas veces, con la experimentación; en vez de examinar un fenómeno

físico, que ocurre en un objeto particular o en un conjunto de objetos, nos

interesa estudiar un conjunto de fenómenos, sobre un objeto o conjunto de

objetos. Por ejemplo, se quiere predecir el campo de presiones en un pilar de

un puente que está sobre un río. Para ello tenemos dos opciones:

Construirlo a escala 1:1, y medir directamente las presiones. Si la resistencia

es adecuada dejarlo, y si no, destruirlo y volverlo a construir adecuadamente.

Construir un modelo a escala, por ejemplo 1:60, y realizar pruebas en un

laboratorio de hidráulica, y extrapolar los resultados para construir un pilar

adecuado.

Como es obvio la opción a) es inviable y tendremos que recurrir a la opción b).

Para ello deberemos relacionar el modelo a escala con el prototipo real, de

alguna manera; para poder predecir el comportamiento de éste a partir de los

resultados obtenidos experimentalmente en el modelo a escala. Por ello

debemos hablar de las leyes de semejanza.

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Leyes de semejanza.

Para poder extrapolar los resultados, previamente se han de cumplir:

El modelo ha de ser geométricamente igual que el prototipo.

Por tanto, las longitudes L, superficies A y volúmenes V deben ser homólogos

entre el prototipo y el modelo, y han de verificar la siguiente relación:

32 ;;Vm

Vp

Am

Ap

Lm

Lp

Siendo la escala del prototipo en relación al modelo.

El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo.

Para que los fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no

basta que los modelos de estructuras o máquinas hidráulicas sean

geométricamente semejantes a los prototipos, sino que también los flujos, o

sea las líneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que

las velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean semejantes.

Cuando se cumple la semejanza geométrica y dinámica se dice que el modelo

tiene semejanza cinemática con el prototipo.

Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervención de todas

las fuerzas señaladas anteriormente, se debería cumplir:

Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem

Esta condición sólo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo

tamaño.

Afortunadamente, en un buen número de casos puede prescindirse de la

influencia de tres de las fuerzas y consecuentemente, de sus tres

adimensionales correspondientes.

Grupos adimensionales importantes en la Mecánica de Fluidos.

En todos los problemas relacionados con la Mecánica de Fluidos, aparece

siempre un número determinado de grupos adimensionales. Veamos cuales

son, y por qué son estos y no otros.

Así, a nivel general, sabemos que la suma de fuerzas que actúan sobre un

fluido, puede provocar una aceleración del mismo:

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amF

*

Esta fuerza de inercia se puede expresar como:

22 *** Lvam

Las fuerzas que componen el sumatorio de fuerzas, son las másicas y las

superficiales, y pueden ser:

Fuerzas másicas:

Fuerzas debido a la gravedad:

Fuerzas superficiales:

Fuerzas normales o de presión:

pLFp *2

Fuerzas tangenciales o de fricción debido a la viscosidad:

vLF fricción **

Fuerzas tangenciales debido a la tensión superficial:

*LF

Fuerzas normales debido a la compresibilidad:

*2LF

Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos:

22223 ********* LvLLvLpLgL

Esta es una expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:

0,,,,,,, vgplf

Como intervienen 3 magnitudes básicas (masa, longitud y tiempo), se han de

obtener 5 grupos adimensionales:

Dividiendo la ecuación del F por las fuerzas de inercia, obtendremos:

1****

*2222 vvLv

p

v

gL

Estos cinco números adimensionales, en general, se les da otra forma y se les

asigna unos nombres particulares:

gLFm **3

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Número de Reynolds.

***Re

lvl; es el cociente entre las fuerzas de inercia y las de

fricciones producidas por la viscosidad.

Número de Euler.

p

vEu

*2

; representa la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de

inercia y las de presión.

Número de Froude.

gl

vFr

* ; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las

de gravedad.

Número de Mach.

vMa ; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de

elasticidad. Siendo la velocidad del sonido en el fluido en cuestión.

Número de Weber.

l

vWe

*

; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las

debidas a la tensión superficial.

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Análisis Dimensional y Semejanza - C. Gherardelli - U. de Chile

Teorema π de Buckingham

Uno de los puntos importantes a determinar es el número de grupos o

productos adimensionalesnecesarios para representar un fenómeno dado, en

forma adimensional. La respuesta a estapregunta la entrega el siguiente

teorema:

El número de grupos adimensionales (π) independientes necesarios

para describirun fenómeno dimensionalmente homogéneo, en el que

intervienen k variables dimensionales,es igual a k-r, donde r es,

generalmente, el número de dimensiones básicas o fundamentales

mínimas necesarias para representar las variables del fenómeno

El teorema entrega solo el número de grupos adimensionales necesarios para

representar un fenómeno dado y no la forma que tienen estos grupos así y

como tampoco entrega información acerca de la relación funcional que

representa un fenómeno dado. Esta relación de determinarse ya sea analítica o

experimentalmente.

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