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UNIDADES TECNOLOGICAS DE SANTANDER Departamento de ciencias básicas

Mecánica

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ING. Idelfonso BELLO JULIO http://aulamecanica.blogspot.com/ [email protected]

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PROFESOR: IDELFONSO BELLO JULIO

ASIGNATURA: MECANICAMECANICAMECANICAMECANICA


Mecánica

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DINAMICA La dinámica es la parte de la física que Estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza, describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho sistema. Los científicos actuales consideran que las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero existen excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeños comparables a los tamaños moleculares. La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al hombre determinar el valor, dirección y sentido de la fuerza que hay que aplicar para que se produzca un determinado movimiento o cambio en el cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra, hay que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad que lo atrae; de la misma manera, para que un mecanismo transporte una determinada carga hay que aplicarle la fuerza adecuada en el lugar adecuado.

Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinámica. Estos conceptos son los de fuerza , masa y aceleración.

1.1 TIPOS DE FUERZAS 1.1.1 Fuerzas Fundamentales

Fuerzas fundamentales son aquellas fuerzas del Universo que no se pueden explicar en función de otras más básicas. Las fuerzas o interacciones fundamentales conocidas hasta ahora son cuatro: gravitatoria, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear débil.

• La gravitatoria es la fuerza de atracción que una masa ejerce sobre otra, y afecta a todos los cuerpos. La gravedad es una fuerza muy débil y de un sólo sentido, pero de alcance infinito.

• La fuerza electromagnética afecta a los cuerpos eléctricamente cargados, y es la fuerza involucrada en las transformaciones físicas y químicas de átomos y moléculas. Es mucho más intensa que la fuerza gravitatoria, puede tener dos sentidos (atractivo y repulsivo) y su alcance es infinito.

• La fuerza o interacción nuclear fuerte es la que mantiene unidos los componentes de los núcleos atómicos, y actúa indistintamente entre dos nucleones cualesquiera, protones o neutrones. Su alcance es del orden de las dimensiones nucleares, pero es más intensa que la fuerza electromagnética.

• La fuerza o interacción nuclear débil es la responsable de la desintegración beta de los neutrones; los neutrinos son sensibles únicamente a este tipo de interacción. Su intensidad es menor que la de la fuerza electromagnética y su alcance es aún menor que el de la interacción nuclear fuerte.

1.1.2 FUERZAS MECANICAS ESPECIALES a) PESO DE UN CUERPO: El peso es la medida de la fuerza que ejerce la gravedad sobre un cuerpo. Cerca de la superficie de la tierra, la aceleración de la gravedad es aproximadamente constante; esto significa que el peso de un objeto material es proporcional a su masa.

Realmente, dado que la intensidad de la fuerza gravitatoria varía según la posición, en los polos es igual a 9,83 m/s², en la línea ecuatorial es igual a 9,79 m/s² y en latitud de 45° es igual a 9.8 m/s², el p eso depende de la ubicación. Si no se especifica lo contrario, se entiende que se trata del peso provocado

1. CONCEPTO DE FUERZA Se le llama fuerza a cualquier acción o influencia capaz de modificar el estado de movimiento o de reposo de un cuerpo, o de producir variación en su forma es decir, de imprimirle una aceleración modificando la velocidad, la dirección o el sentido de su movimiento, incluso su forma física.


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2por una intensidad de la gravedad definida como normal, de valor 9,81 m/s² .Al estado en el que un cuerpo tiene peso nulo, se le llama ingravidez.

Los objetos diferentes son atraídos por fuerzas gravitatorias de magnitud distinta. La fuerza gravitatoria que actúa sobre un objeto de masa m se puede expresar matemáticamente por la expresión g.mP = Donde: P = peso, m = masa y g= aceleración de la gravedad (aproximadamente 9,8m/s2) No se debe confundir el peso con la masa ya que, según la ecuación expresada en la parte superior, la

masa es igual: g

Pm =

En el uso moderno del campo de la mecánica, el peso y la masa son cantidades fundamentalmente diferentes: la masa es una propiedad intrínseca de la materia mientras que el peso es la fuerza que resulta de la acción de la gravedad en la materia Ejemplos:

1. ¿Cuánto pesa un hombre que tiene una masa de 100Kg? Solución

Variables conocidas variables desconocidas

m= 100Kg P = ? g = 9,8m/s2 Como g.mP = , reemplazando se tiene

Ns/m,KgP 98089100 2 =×= 2. ¿Cuál es la masa de un cuerpo que pesa un cuerpo que pesa 432 N?.

Solución Variables conocidas variables desconocidas

P= 432N m = ? g = 9,8m/s2

Como 44,08Kg9,8m/s

432Kg.m/s

g

Pm

2

2

===

b) FUERZA NORMAL (N): La fuerza normal, es la fuerza ejercida por una superficie sobre un cuerpo que se encuentra apoyado en ella, se aprecia también como la reacción del plano o fuerza que ejerce el plano sobre el cuerpo y depende del peso del cuerpo, la inclinación del plano y de otras fuerzas que se ejerzan sobre el cuerpo. Supongamos que un bloque de masa m está en reposo sobre una superficie horizontal, las únicas fuerzas que actúan sobre él son el peso mg y la fuerza y la fuerza normal N. De las condiciones de equilibrio se obtiene que la fuerza normal N es igual al peso m.g.

g.mN =

Si ahora, el plano está inclinado un ángulo θ, el bloque está en equilibrio en sentido perpendicular al plano inclinado por lo que la

El peso, al ser una fuerza, se mide con un dinamómetro (báscula o romana) y su unidad en el sistema internacional es el newton (N). El dinamómetro está formado por un resorte con un extremo libre y posee una escala graduada en unidades de peso. Para saber el peso de un objeto sólo se debe colgar del extremo libre del resorte, el que se estirará; mientras más se estire, más pesado es el objeto

A diferencia de la masa, el peso depende de la posición relativa del objeto o de su distancia a la Tierra, y de la aceleración con que se mueve. También depende del planeta u otro cuerpo masivo que actúa sobre el objeto. En las proximidades de la Tierra, y mientras no haya una causa que lo impida, todos los objetos caen animados de una aceleración de la gravedad, g, por lo que están sometidos a una fuerza constante, que es el peso.


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fuerza normal N es igual a la componente del peso perpendicular al plano, θcos.g.mN =

c) FUERZA ELÁSTICA RECUPERADORA: La ley de Hooke.

d) FUERZA DE ROZAMIENTO: La fuerza de rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contacto y es una fuerza muy importante cuando se estudia el movimiento de los cuerpos. Es la causante, por ejemplo, de que podamos andar (cuesta mucho más andar sobre una superficie con poco rozamiento, hielo, por ejemplo, que por una superficie con rozamiento como, por ejemplo, un suelo rugoso). Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática. La experiencia nos muestra que:

• la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos no depende del tamaño de la superficie de contacto entre los dos cuerpos, pero sí depende de cuál sea la naturaleza de esa superficie de contacto, es decir, de que materiales la formen y si es más o menos rugosa.

• la magnitud de la fuerza de rozamiento entre dos cuerpos en contacto es proporcional a la normal entre los dos cuerpos, es decir: N.Fr µ=

Donde µ es lo que conocemos como coeficiente de rozamiento. Hay dos coeficientes de rozamiento: el estático

sµ y el cinético

kµ , siendo el primero mayor que el

segundo: s

µ > k

µ

En el caso de deslizamiento en seco, cuando no existe lubricación, la fuerza de rozamiento es casi independiente de la velocidad. La fuerza de rozamiento tampoco depende del área aparente de contacto entre un objeto y la superficie sobre la cual se desliza. El área real de contacto (la superficie en la que las rugosidades microscópicas del objeto y de la superficie de deslizamiento se tocan realmente) es relativamente pequeña. Cuando un objeto se mueve por encima de la superficie de deslizamiento, las minúsculas rugosidades del objeto y la superficie chocan entre sí, y se necesita fuerza para hacer que

Se entiende por elasticidad a la propiedad que poseen los cuerpos de recuperar su forma original una vez deformados por el efecto de una fuerza externa. Todos los cuerpos en mayor o menor grado son elásticos, dependiendo dicha elasticidad de factores tales como la estructura molecular interna y la fuerza exterior que se aplique. A las fuerzas de restauración, originadas en la parte interna del material, que tienen a regresar el cuerpo a su posición original y que están aplicadas sobre el cuerpo que origina la deformación se llaman Fuerzas elásticas. Una fuerza puede deformar un resorte, como alargarlo o acortarlo. Cuanto mayor sea la fuerza, mayor será la deformación del resorte (∆x), en muchos resortes, y dentro de un rango de fuerzas limitado, es proporcional a la fuerza:

k: Constante que depende del material y dimensiones del resorte. ∆x: Variación del resorte o estiramiento con respecto a su longitud normal.

Existe rozamiento incluso cuando no hay movimiento relativo entre los dos cuerpos que están en contacto. Hablamos entonces de Fuerza de rozamiento estática. Por ejemplo, si queremos empujar un armario muy grande y hacemos una fuerza pequeña, el armario no se moverá. Esto es debido a la fuerza de rozamiento estática que se opone al movimiento. Si aumentamos la fuerza con laque empujamos, llegará un momento en que superemos está fuerza de rozamiento y será entonces cuando el armario se pueda mover. Una vez que el cuerpo empieza a moverse, hablamos de fuerza de rozamiento dinámica. Esta fuerza de rozamiento dinámica es menor que la fuerza de rozamiento estática.


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se sigan moviendo. El área real de contacto depende de la fuerza perpendicular entre el objeto y la superficie de deslizamiento. Frecuentemente, esta fuerza no es sino el peso del objeto que se desliza. Si se empuja el objeto formando un ángulo con la horizontal, la componente vertical de la fuerza dirigida hacia abajo se sumará al peso del objeto. La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza perpendicular total.

Superficies en contacto s

µ k

µ

Cobre sobre acero 0.53 0.36 Acero sobre acero 0.74 0.57 Aluminio sobre acero 0.61 0.47 Caucho sobre concreto 1.0 0.8 Madera sobre madera 0.25-0.5 0.2 Madera encerada sobre nieve húmeda

0.14 0.1

Teflón sobre teflón 0.04 0.04 Coeficientes de rozamiento estático y cinético

e) FUERZA DE TENSION Es la ejercida por una cuerda considerada de masa despreciable e inextensible, sobre un cuerpo que está ligado a ella.

EJEMPLOS: f) FUERZA GRAVITATORIA

Uno de los aportes más importantes de Newton, fue la deducción teórica

de las leyes observadas experimentalmente del movimiento de los

planetas y de la Luna. Esta deducción, se basaba en las tres leyes del

movimiento y en una cuarta ley que propuso para la fuerza gravitatoria,

conocida como Ley de Gravitación Universal. Esta ley establece que todos los objetos del universo se atraen entre sí

con una fuerza directamente proporcional a las masas de ambos objetos

e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.


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La expresión matemática de esta ley es:

Ejemplo1.

Calcular la fuerza con que se atraen dos masas de 100 y 1000 kg. situadas a una distancia de 20 m. Solución:

112

m M N mF G 6,67 10

d−= =

2

kg2

100 kg 1000 kg2 220 m

81,67 10 N−=

Como se puede observar debido a la pequeñez de la constante de gravitación, la fuerza de atracción es muy débil, prácticamente inapreciable.

Ejemplo2.

Calcular la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de 50 kg. situado en su superficie. Datos: MTierra= 6 10 24 Kg ; RTierra = 6400 km

Solución:

Debido a la pequeñez de la constante de gravitación la fuerza de gravedad sólo es apreciable entre cuerpos cuya masa sea muy grande (planetas, estrellasE)

2d

MmGF =

Fuerza de atracción gravitatoria. Si se consideran cuerpos grandes la fuerza apunta hacia el centro de los mismos.

Constante de Gravitación Universal. Tiene el mismo valor para todo el Universo.

Para el S.I:

Masas de los cuerpos en kg

Distancia entre los cuerpos en metros. Si son cuerpos grandes la distancia se toma entre los centros.

2

2111067,6

kg

mNG −=Combinando la Ley de Gravitación con

F = m a, podemos deducir cuál será la aceleración con que se mueve un cuerpo situado en la superficie de un planeta sometido a la acción de la fuerza gravitatoria: Observa que el valor de la aceleración, no depende de la masa del cuerpo, sino de datos propios del planeta que consideremos tales como su masa y su radio.

2R

MmGF =amF =

22;

R

MGga

R

MmGam ===

;

M

m

F

R R Llamamos peso a la fuerza con que los cuerpos son atraídos por la Tierra (u otro planeta)

El peso de un cuerpo vale: P = m . g y se mide en newtons (N)

Para la Tierra g = 10 m/s2

Para Marte g = 3,7 m/s2

Diferencia claramente entre masa y peso. La masa es una

propiedad del cuerpo; el peso, depende del valor de g. Como éste es distinto para cada planeta el peso de un cuerpo, o fuerza con que es atraído, varía de un planeta a otro. Un cuerpo de 1 kg de masa tendría la misma masa aquí y en Marte, pero su peso sería de 10 N en la Tierra y de 3,7 N en Marte. Marte lo atrae más débilmente.

Los conceptos de masa y peso se confunden en el lenguaje normal.

M

m

FR

Como se puede apreciar en la figura, siempre que la altura a la que se encuentre el cuerpo sea despreciable frente al valor del radio de la Tierra, se puede tomar d = RTierra


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112

m M N mF G 6,67 10

R−= =

2

kg2

50 kg 246 10 kg6 2 2(6,4 10 ) m

488,5 N=

En este caso, y debido a que la masa de la Tierra es muy grande, la fuerza de atracción es considerable. Observar que, en realidad, la ecuación que da el valor de la fuerza de gravedad se puede escribir separando la masa del cuerpo de los datos propios del planeta (en este caso la Tierra) de esta manera:

El término encerrado entre paréntesis, tiene un valor fijo e igual a 9,8 m/s2, que es el valor de la aceleración de la gravedad o, también llamado, valor del campo gravitatorio.

De aquí que la fuerza con que un cuerpo es atraído por la Tierra (u otro planeta), peso, puede escribirse de forma más sencilla: P = m g, donde g es el valor de la aceleración de la gravedad:

2. MASA La masa, en física, es la medida de la inercia, que únicamente para algunos casos puede entenderse como la magnitud que cuantifica la cantidad de materia de un cuerpo. La unidad de masa, en el Sistema Internacional de Unidades es el kilogramo (kg). Es una cantidad escalar y no debe confundirse con el peso, que es una cantidad vectorial que representa una fuerza. Ya que este último varía de un lugar a otro del espacio según el campo de gravedad en el que se encuentra inmerso. Por ejemplo el peso de un cuerpo en la Luna es apenas 1/6 con respecto al del mismo cuerpo situado en la superficie terrestre mientras la masa del propio cuerpo permanece idéntica en cualquier lugar. La masa es por lo tanto una magnitud invariable, que no depende de ningún modo de la situación física en la que se encuentra el cuerpo. 3. ACELERACIÓN

2

Mg G

R=

A partir de esta ecuación podemos calcular el valor de g para cualquier cuerpo celeste si conocemos sus datos. Por ejemplo para Marte: R Marte= 3400 km MMarte = 6,5 10

23 11Marte 2

M N mg G 6,67 10

R−= =

2

2kg

236,5 10 kg

6 2(3,4 10 ) m2 2

m3,5

s=

112

M N mF m G 50 kg 6,67 10

R−

= =

2

2kg

246 10 kg

6 2(6,4 10 ) m2 2

m50 kg 9,8 488,5 N

s

= =

La aceleración es una cantidad que me dice qué tan rápido está aumentando o disminuyendo la velocidad de un cuerpo. Digamos que si un objeto tiene una aceleración de 10 m/s 2, eso querrá decir que su velocidad aumenta en 10 m /s por cada segundo que pasa. ( Es decir, si al principio su velocidad es cero, después de un segundo será de 10 m/s, después de 2 seg será de 20 m/s, etc.).


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PRINCIPIOS FUNDAMENTALES Las leyes fundamentales de la mecánica, que rigen los fenómenos del mundo macroscópico fueron enunciadas por Isaac Newton (1643-1727) en el año 1687 con la publicación de su libro Philosophiae naturalis principia matemática, marcando la culminación de una de las revoluciones científicas más grandes de la historia de la Física. 1º Principio: PRINCIPIO DE INERCIA

"todo cuerpo permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme a menos que alguna fuerza actúe sobre él y lo obligue a cambiar de estado".

Es decir, si un objeto se viene moviendo con MRU, va a seguir moviéndose con MRU a menos que sobre el actúe una fuerza.

Para entender esto imagínate que vienes empujando un carrito de compras y de golpe lo soltaste. Si no hay rozamiento, el carrito va a seguir por inercia. La forma matemática de escribir la primera ley es:

Si F = 0 → a = 0 ( V = cte )

En otras palabras, si un objeto está en reposo, seguirá indefinidamente en ese estado excepto que alguna fuerza actúe sobre él para ponerlo en movimiento. De la misma manera, un objeto en movimiento libre de fricción, seguirá en esa condición a menos que actúe una fuerza externa que modifique su estado de movimiento. La masa de un cuerpo, es una medida de su inercia: cuanto más masa tiene un objeto, más inercia tiene. Basta con probar patear una lata de gaseosa vacía y una piedra. ¿Cuál de las dos se moverá más rápido? Dentro de este concepto podemos distinguir dos tipos de inercia:

• Inercia del reposo: un cuerpo en reposo permanece quieto si ninguna fuerza actúa sobre él.

• Inercia del movimiento: un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme permanece en movimiento si ninguna fuerza actúa sobre él.

Ambos tipos de inercia dependen de la masa del objeto, denominada masa inercial que es una medida de la cantidad de materia que tiene el objeto.

Recordemos que cuando definimos movimiento en el módulo anterior, siempre lo hacíamos respecto de un sistema de referencia: un objeto se mueve respecto de algo. El principio de inercia es válido para sistemas de referencia que no están acelerados, denominados sistemas inerciales.

2º Principio: PRINCIPIO DE MASA.

'Todo cuerpo sometido a la acción de una fuerza, recibe una aceleración proporcional a su intensidad y de la misma dirección y sentido'

F = m.a Imaginemos una caja de 50 kg (masa) en reposo sobre el piso, libre de rozamiento: ¿Qué fuerza deberíamos aplicar para ponerla en movimiento a razón de 2 m/seg2?

F 50 Kg De acuerdo con el segundo principio, la fuerza necesaria sería: F = m . a = 50 kg . 2 m/seg2 = 100 kg.m/seg2 = 100 Newton ( 100 N ) Veamos cuáles son las unidades de fuerza, masa y aceleración en los tres sistemas:

1ra LEY


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Sistema Masa Aceleración Masa x aceleración Unidad de Fuerza

Técnico u.t.(m) m/seg2 u.t.(m).m/seg2 Kg M.K.S. Kg m/seg2 Kg.m/seg2 Newton (N)

C.G.S. G cm/seg2 g.cm/seg2 Dina (Dyn) 3º Principio: PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN

'Cuando un cuerpo ejerce una fuerza, denominada acción, sobre otro cuerpo, éste ejerce sobre el primero una fuerza igual y de sentido contrario denominada reacción.

Imaginemos el siguiente dispositivo: un carrito en cuyas paredes opuestas se colocan dos imanes de diferente poder con sus polos iguales enfrentados como muestra la figura: ¿Se moverá el carrito? La respuesta es no. ¿Por qué?. Si representamos las fuerzas de repulsión que ejercen mutuamente los imanes, veremos que son iguales y de sentido contrario: Como ambas fuerzas están aplicadas a objetos distintos, unidos entre sí por el carrito, la resultante del sistema sobre éste es nula. Veamos un ejemplo más simple que nos permitirá individualizar mejor este par de fuerzas de interacción llamas acción y reacción: cuando ejercemos fuerza con la mano sobre una pared, ¿Por qué la pared no se mueve? La respuesta la tiene la tercera Ley de Newton: porque la pared ejerce sobre la mano una fuerza igual y contraria sobre la mano, llamada reacción. Si alguna vez disparaste un rifle de aire comprimido, habrás notado que al efectuar el disparo, el rifle retrocede: la fuerza que el rifle ejerce sobre el balín de plomo (acción) es exactamente igual a la fuerza que ejerce este último sobre el rifle (reacción). Entonces: ¿por qué el rifle no se acelera con la misma intensidad que la bala? Piensen en la segunda ley de Newton y encontrarán la respuesta. Es importante recordar que ambas fuerzas, acción y reacción, actúan sobre cuerpos diferentes. Estos principios enunciados por Newton significaron un avance muy importante en la comprensión del mundo natural y ejercieron una gran influencia sobre la ciencia y la manera de entenderla. Durante dos siglos, las leyes de Newton del movimiento fueron la base de la mecánica. En el siglo XX, los fenómenos del mundo microscópico demostraron que estas leyes no podían explicar el comportamiento atómico. Surge así una barrera muy importante entre la física clásica (o física newtoniana) y la física cuántica del siglo XX.

No obstante esto, los principios de Newton son un marco fundamental para la interpretación de los fenómenos macroscópicos del mundo que nos rodea.

1 Kgf = 9,8 Newtons


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Ejemplo: Una persona desea patear una pelota de plomo que pesa 10 Kgf. ¿ En donde le va a doler más el pie ? :

a) - En la Tierra. ( P = 10 Kgf ) b) - En la Luna. ( P = 1,66 Kgf ) b) - En una nave espacial donde la pelota no pesa nada.

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Un cuerpo de m = 250 g es empujado hacia la derecha con una fuerza de 1,5 N. Si el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es de 0,4. Calcular:

a) El valor de la fuerza de rozamiento. b) La aceleración con que se mueve. c) El valor de la fuerza con que se debe empujar si se quiere que deslice con velocidad

constante de 1 m/s

Solución:

a) Diagrama de fuerzas actuantes:

Eje Y : N – P = 0 ; N = P = m g Cálculo de la fuerza de rozamiento: F roz = µ N = µ m g = 0,4 . 0,250 kg . 10 m/s2 = 1 N

b) Eje X : F – F roz = m a ; ( ) 2roz1,5 1 NF F

a 2 m / sm 0,250 kg

−−= = =

c) Según la primera ley de Newton para que un cuerpo se mueva con velocidad constante la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él debe de ser nula:

La resultante de las que actúan según el eje Y es nula ya que : : N – P = 0

Para que sea nula la de las que actúan según el eje X habrá de cumplirse: F – Froz = 0. Por tanto: F = Froz = 1 N. La fuerza deberá equilibrar a la fuerza de rozamiento.

Para lograr que la velocidad se mantenga invariable en 1 m/s se comunicaría esa velocidad al cuerpo y entonces se haría F = 1 N.

2. Si el coeficiente de rozamiento es el mismo en los dos casos:

a) ¿Para cuál de los cuerpos será mayor la fuerza de rozamiento? b) ¿Cuál frenará antes?

a) Froz = µ N = µ m g ; Froz = µ m g

Patear una pelota significa acelerarla hasta que adquiera una determinada velocidad. En los tres casos el pie le va a doler lo mismo. Lo que importa es la masa del objeto, no su peso. Los objetos solo tienen peso en la Tierra o en los planetas. Pero la masa es la cantidad de materia que tiene el cuerpo. Siempre tiene la misma cantidad de partículas.

El dolor que la persona siente depende de la masa de lo que quiera patear, y la masa de un cuerpo no depende de en qué lugar del universo donde este.

F

P

N

Froz

N

P

Froz m = 1 kg N

P

Froz m = 0,5 kg


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Como la fuerza de rozamiento depende del valor de la masa, será doble para el cuerpo de 1 kg.

b) Calculemos la aceleración de frenada (debida a la fuerza de rozamiento)

Froz = m a ; µ N = m a ; µ m g = m a ; a = µ g

Como se observa en la ecuación deducida, la aceleración de frenada es independiente de la masa, luego ambos cuerpos tardarán lo mismo en frenar (y recorrerán la misma distancia) 3. Un ascensor que sube acelerando a razón de 0,5 m/s2 lleva, apoyada en el piso, una caja que pesa 200 N ¿ que fuerzas actúan sobre la caja? ¿Cuánto valen cada una? Este tipo de problemas, conviene, para resolverlos realizar un diagrama de fuerzas, esto es: Aquí visualizamos las fuerzas que están actuando sobre el cuerpo: Estas son: el peso P (la fuerza con que la tierra lo atrae) y la fuerza de contacto que el piso del ascensor ejerce sobre el cuerpo Fc. De acuerdo con la ecuación de Newton y considerando positivas a todas las fuerzas que acompañan al movimiento, en este caso hacia arriba:

Fc – P = m . a Despejando:

Fc = m . a + P Para calcularlo debemos conocer la masa del cuerpo, su peso y la aceleración:

P = 200 N a = 0,5 m/s2

kg m/s

N

g

Pm

24,20

8,9

200 ===

Sustituyendo estos valores, tenemos:

Fc = 20,4 kg . 0,5 m/s2 + 200 N = 210, 2 N 4. - Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda. Datos:.

Hacemos un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos:

a

P

Fc


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Para cada diagrama se plantea la ecuación de Newton. Ahora resolver el sistema de 2 x 2 que me quedó. Tengo lo siguiente: Ahora sumo estas 2 ecuaciones para que se vaya la tensión.

� T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a � – froz d + PB = ( mA + mB ). a

49 N – 19,6 N = 15 kg . a � 15 kg . a = 29,4 kg.m/s2 � a = 1,96 m/s2

¿ Cómo calculo ahora la tensión en la cuerda ? Bueno, sólo tengo que reemplazar esta aceleración en cualquiera de las ecuaciones del principio y despejar T. Por ejemplo: Para verificar este resultado se reemplaza la aceleración en la otra ecuación. 5. Calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la soga para el sistema de la figura. ( No hay rozamiento). Tomamos un sentido arbitrario para la aceleración y vemos qué pasa. Al final, los resultados del ejercicio dirá si la aceleración va en ese sentido o al revés. ¿ Cómo me doy cuenta de esto ?. Rta: Por el signo. Si el resultado es de signo menos es que va al revés. En este caso suponemos que el sistema va a la dere cha →→→→, es decir, que el cuerpo A sube y el B baja. Los diagramas de cuerpo libre quedan así:

; ⋅=−⋅=− amTPamfT BBAROZ d

( )

cuerda la en Tensión 2,39

96,18,95

22

←=⇒

−⋅=⇒

−⋅=⇒

⋅−⋅=⇒

⋅−=⇒⋅=−

NT

s

m

s

mKgT

agmT

amgmT

amPTamTP

B

BB

BBBB

( )( ) ⋅+=⋅⋅−⋅⇒ 22

BAROZ dB

mm

aKg5Kg10sm

8,9Kg102,0sm

8,9Kg5

Un inconveniente y es que no sabemos si el sistema va para

la derecha o para la izquierda. A es más pesado que B, pero el ángulo del plano inclinado es más pequeño, de manera que a simplemente no se puede saber la dirección de del desplazamiento de los cuerpos.

Diagramas de cuerpo libre.


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Las ecuaciones:

Estas 2 ecuaciones forman un sistema de 2 por 2.

T – PA. sen 30 º = m A . a

P B. sen 45 – T = m B . a

Sumando las ecuaciones.

T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a

Las tensiones se simplifican porque una es positiva y la otra es negativa. Entonces :

– P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a

Despejo a :

VER

a = - 0,357 2s

m

La aceleración dio negativa !. ¿ Qué significa eso ?. quiere decir que la aceleración va al contrario de como se tomo inicialmente. Asumimos que iba para allá →→→→ , pues no va para allá ←←←←. (Es decir, A baja y B sube). Ahora calculo la tensión en la cuerda. Reemplazo la a que obtuve en cualquiera de las ecuaciones del principio: T – PA . Sen 30 º = m A . a Se reemplaza la aceleración pero con el signo obtenido.. ( Es decir, negativo ). Entonces reemplazo a por –0,375 m/s2: Verifico reemplazando la aceleración en la otra ecuación:

PB. sen 45 – T = mB . a

amTPx:BPara

amPxTA:Para

BB

AA

⋅=−←⋅=−

Ecuaciones

( )

cuerda la en Tensión

←=⇒

−⋅+⋅=⇒

⋅=°⋅−

N14,37T

sm

357,0Kg85,0N80T

am30senPT

2

AA

(Verifica)

N14,37T

sm

0357Kg5707,0N50T

am707,0PT

2

BB

=⇒

−⋅−⋅=⇒

⋅−⋅=⇒

58

707,01055,0108a

707,05,0a

22

KgKg

smKgsmKg

mm

PP

BA

BA

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====⇒⇒⇒⇒

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Aceleración del sistema

Recomendación: Toda la solución del problema

consistió en hacer los diagramas de cuerpo libre. Una vez que los diagramas están hechos plantear las ecuaciones es más sencillo. Si un problema no sale, revisamos el diagrama de cuerpo libre.


Mecánica

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Ejercicios propuestos I 1. Si sobre un cuerpo de 8 kg de masa se ejercen fuerzas de 12 N y 5 N que forman entre sí un ángulo de 90º, calcular la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo y la aceleración que experimenta. 2. Sobre un cuerpo de 4 kg de masa, inicialmente en reposo, actúa una fuerza de 32 N, ¿qué velocidad llevará el cuerpo cuando ha recorrido 14 m? 3. Dos personas halan de un cuerpo de 20 kg con fuerzas de 100 N y 200 N, calcular la aceleración de la masa si: a. Las fuerzas se ejercen horizontalmente en el mismo sentido. b. Las fuerzas actúan horizontalmente en sentido contrario. c. Las fuerzas forman entre sí un ángulo de 60º. 4. Sobre una superficie horizontal descansan dos bloques de masas m

1 = 2 Kg y m

2 = 5 Kg unidos por

una cuerda inextensible y de masa despreciable. Una fuerza de 15 N pone en movimiento ambos bloques. Hallar la aceleración del sistema y la tensión que soporta la cuerda. Resp. a= 2.14 m/s

2; T=4.3

6. Halle la aceleración y las tensiones para los siguientes sistemas: a)- b)- c)-

a) a=2.9 m/s2; T1=426N; T2=582 N b) a= 2.32 m/s2; T1= 631.32N; T2=911.33 N c) a= 0.82m/s2; T1=1101.60N; T2=794.30N, T3=757.4N

7. Un bloque de 45 kg se halla en reposo sobre un plano inclinado de 38º. Si al aplicarle una fuerza descendente de 35 N el bloque empieza a deslizarse, ¿Cuánto vale µ ? Si al aplicar una fuerza de 27 N el cuerpo se mueve a velocidad constante, ¿cuál es el valor de µ? ¿Con qué aceleración se desplazará si se le aplica una fuerza de 50 N ?. Resp. µ = 0.88; µ = 0.86; a = 0.5 m/s2 8. Analice el sentido de movimiento del sistema de la figura, calculando las aceleraciones de cada cuerpo y la tensión sobre la soga que los vincula. Suponga que la soga es de masa despreciable frente a la de los cuerpos. Resp. a=0,44 m/s2, T=0,9 kgf

9. Se arrastra un carrito cuya masa es de 20 kg por una superficie horizontal, mediante una soga de la cual se tira formando un ángulo de 30° con la vertical. Si la aceleración que se logra así es de 0,5 m/s2, a)¿cuál es el módulo de la fuerza ejercida mediante la soga? b) ¿Qué valor toma la normal del piso sobre el carrito?. Resp. a) 20N, b) 182,7 N 10. La siguiente figura indica un juego sencillo de poleas para levantar un objeto pesado.

a) ¿Cuál es la tensión en las sogas a, b, c y d si el cuerpo de masa m se mueve hacia arriba con una velocidad constante de 0.05 m/s?

b) ¿Cuál es la tensión en el punto d si m sube con una aceleración de 0.5 m/s²?.


Mecánica

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11. Calcule el máximo valor de la masa m2 para la cual el sistema indicado permanece en equilibrio.

12. Dado el sistema indicado por la figura:

a) Diga si está en equilibrio. b) ¿Qué aceleración tiene cuando se mueve?

Resp. b) 0,53 m/s2

Resp. a) Ta=Tb=Td=320 N, Tc=640 N; b) Td=336 N, suponiendo que la masa de la polea es despreciable

Resp. 100 g

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