Lecciones de Fsica

Mecnica 2

Manuel R. Ortega Girn

Departamento de Fsica Aplicada.Universidad de Crdoba.

Lecciones de Fsica i

Lecciones de Fsica (Mecnica 2)

Novena edicin: enero 2006

Copyright. Reservados todos los derechos.

Ninguna parte de este libro puede ser reproducida porcualquier medio, incluidas las fotocopias, sin elpermiso por escrito del autor.

Copyright: Manuel R. Ortega Girn

Editor: Manuel R. Ortega GirnCL Santa Cruz, 1014.012 Crdoba. Espaa.Tfnos.: +34-957 280 051 (particular)

+34-957 218 483 (departamento)Fax: +34-957 218 483e-mail: mr.ortega@uco.eshttp://www.uco.es/~fa1orgim

Impresin: Reprografa Don FolioCrdoba. Espaa.

I.S.B.N. 84-398-9218-7Depsito legal: CO. 1400-1988

ii Mecnica

A Estela y Olga

Desde la infancia he sido criado en el estudio de las letras y, comoquiera que me aseguraban que por medio de stas se poda adquirir unconocimiento claro y seguro de todo aquello que es til para la vida, yotena un vivsimo deseo de aprenderlas. Pero cuando acab el curso delos estudios, al finalizar los cules es costumbre ser admitido en lajerarqua de los doctos, cambi enteramente de opinin. Por que meencontraba turbado y confuso entre tantas dudas y errores que mepareca no haber obtenido otro provecho, al procurar instruirme, que eldescubrir cada vez mejor mi ignorancia.

REN DESCARTES (1596-1650)El Discurso del Mtodo.

Manuel R. Ortega Girn iii

iv Lecciones de Fsica.

Prlogo del autor

Este libro est destinado a los alumnos de Primer Ciclo de las Facultades deCiencias y Escuelas Tcnicas. Durante su elaboracin he pretendido la consecucinde dos objetivos principales que entiendo que deben orientar la docencia de lasasignaturas de Fsica de Primer Ciclo de los estudios universitarios: familiarizar alalumno con el conjunto de los conceptos y leyes bsicas que constituyen la esenciade la Fsica y desarrollar en el estudiante la habilidad para manejar esas ideas y paraaplicarlas a situaciones concretas. Adems, creo que estas asignaturas, y muyespecialmente la asignatura correspondiente al Primer Curso Universitario, debenproponerse unos objetivos de cimentacin y estructuracin de los conocimientosadquiridos en los cursos de enseanza media.

A lo largo de los sucesivos cursos en los que he participado en la docencia dela Fsica de Primer Ciclo, en las Universidades de Sevilla, Autnoma de Barcelonay Crdoba, he tenido ocasin de ir perfilando los programas de las asignaturas quese imparten a este nivel, tratando de encontrar el punto de equilibrio entre laextensin de los programas y el nivel y profundidad en el tratamiento de cada unode los temas. Durante este proceso de estructuracin y perfeccionamiento, siemprehe tenido muy presente que los programas de estas asignaturas, aunque puedenplantearse de muy diversas formas, con enfoques diferentes, con una gran variedaden cuanto a sus contenidos, ... de ningn modo pueden ser una simple suma de temasinconexos o poco relacionados entre s, por muy interesantes y bien estructurados queestn cada uno de ellos. Entiendo que el propsito primario de estas asignaturas debeser dar al estudiante una visin unificada de la Fsica a travs de la compresin delos conceptos, leyes y principios que constituyen el aspecto ms fundamental de estaciencia.

Por supuesto que conozco muchos y excelentes libros adecuados a este nivel, quesatisfacen en gran medida los requisitos anteriormente expuestos; pero la mayor partede ellos son de procedencia fornea, lo que los distancia, hasta cierto punto, de laproblemtica de la enseanza en nuestras Universidades. Para soslayar esteinconveniente, los profesores suelen recurrir a recomendar a sus alumnos varios librosde texto, como complemento de los apuntes que stos tomen en clase. Sin embargo,pienso que se facilita enormemente el aprovechamiento de las clases cuando elalumno puede disponer de un texto de base, aunque ello no implique la renuncia ala consulta de otros libros de texto y de obras ms especializadas. Fruto de estaconviccin es el presente libro, que ser completado con otros tomos, preparados encolaboracin con colegas de otras Universidades espaolas, hasta cubrir los

Manuel R. Ortega Girn v

vi Prlogo

contenidos que normalmente se desarrollan en las disciplinas de Fsica de PrimerCiclo de nuestras Facultades y Escuelas Tcnicas.

No debera considerarse esta obra como un libro ms de Fsica General, en laacepcin que tradicionalmente tiene esta denominacin, ya que tanto su nivel comosu extensin son notablemente superiores a los que encontramos normalmente en loslibros de texto de tal denominacin. Mi intencin ha sido desarrollar un programa enel que tengan cabida aquellos temas de la Fsica Clsica que configuran loscontenidos de la Fsica que se ensea en los primeros cursos universitarios, en susvertientes cientfica y tcnica, prestando una atencin especial a la asignatura dePrimer Curso, de modo que los profesores puedan seleccionar los temas que seanapropiados a los Planes Docentes de sus Centros.

Incluso algunas Lecciones de esta obra, que normalmente se incluyen en elprograma de la asignatura de Primer Curso, tienen un nivel algo superior al quenormalmente encontramos en los textos de Fsica General. De este modo, el profesorpodr graduar el nivel de sus enseanzas al de la preparacin previa de sus alumnos,evitando as que la Fsica que se ensea en los primeros cursos universitarios sea, enalgunos casos, una mera repeticin de la correspondiente al Curso de OrientacinUniversitaria.

No puedo dejar de expresar mi agradecimiento a todos aquellos compaeros quede un modo u otro han colaborado en la preparacin de este libro, muy especialmentea mis amigos y colegas los Dres. Jos A. Ibez Mengual (U. Murcia) y AlejoVidal-Quadras Roca (UAB), cuyas acertadas sugerencias y tiles intercambios depuntos de vista me han resultado muy provechosos, y a mis compaeros en las tareasdocentes, los Dres. C. Baixeras (UAB), D. Bar (UAB), S. Bordas (UAB),A. Coronas (U. Tarragona), C. Domingo (UAB), F. Gonzlez (U. Granada),F. Fernndez (UAB), A. Hernndez (U. Valladolid), J.I. Jimnez (U. Granada),E. Martn (U. Murcia), R. Perea (E.U. Jan), L.F. Sanz (U. Valladolid),S. Suriach (UAB) y M.A. Villaman (U. Valladolid), por la buena acogida quehan dispensado a estas Lecciones de Fsica y por sus tiles comentarios ysugerencias.

Crdoba, Enero 2006.

Lecciones de Fsica

Mecnica 2

Manuel R. Ortega Girn vii

viii ndice de materias.

I. 1. lgebra vectorial.2. Vectores deslizantes.3. Anlisis vectorial.4. Cinemtica de la partcula.5. Cinemtica del slido rgido.6. Principios de la Mecnica Clsica. La ley de la inercia.7. Segunda y tercera leyes de Newton. Conservacin de la

cantidad de movimiento.8. Las fuerzas de la Naturaleza.9. Sistemas de referencia en rotacin.10. Trabajo y energa.11. Conservacin de la energa.12. Momento angular. Fuerzas centrales.

II. 13. Movimiento armnico simple.14. Oscilaciones amortiguadas y forzadas.15. Superposicin de movimientos armnicos simples.16. Geometra de masas.17. Sistemas de partculas.18. Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos.19. Colisiones.20. Esttica del slido rgido.21. Dinmica del slido rgido.22. Trabajo y energa en el movimiento general del sl. rg.23. Ecuaciones de Euler.24. Dinmica impulsiva del slido rgido.

III. 25. La ley de la Gravitacin Universal.26. El campo gravitatorio.27. Elementos de elasticidad.28. Elastosttica.29. Esttica de los fluidos.30. Tensin superficial.31. Cinemtica de los fluidos.32. Dinmica de los fluidos ideales.33. Dinmica de los fluidos reales.34. Flujo viscoso.

IV. 35. Ondas progresivas.36. Fenmenos ondulatorios en medios ilimitados.37. Fenmenos ondulatorios en medios limitados.38. Ondas estacionarias.39. Acstica fsica.40. Acstica musical y arquitectnica.

Apndices.

ndice de materias

CP. IV.- OSCILACIONES.13.- Movimiento armnico simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

13.1. Movimiento peridico. Oscilaciones (363); 13.2. Cinemtica del movimientoarmnico simple (364); 13.3. Representacin de Fresnel del m.a.s (368);13.4. Dinmica del movimiento armnico simple (370); 13.5. Energa en el m.a.s.(371); 13.6. Energas cintica y potencial medias (373); 13.7. Oscilaciones en lasproximidades del equilibrio (375); 13.8. Sistema masa-muelle (380); 13.9. Pndulosimple (385); 13.10. Solucin exacta del problema del pndulo (388);13.11. Pndulo cicloidal (391); Problemas (392)

14.- Oscilaciones amortiguadas y forzadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39714.1. Rozamiento (398); 14.2. Oscilador armnico amortiguado (399);14.3. Amortiguamiento dbil (400); 14.4. Disipacin de energa (402);14.5. Factor de calidad (404); 14.6. Amortiguamiento crtico (405);14.7. Sobreamortiguamiento (406); 14.8. Oscilaciones forzadas (407);14.9. Absorcin de potencia. Resonancia (412); 14.10. Impedancia de un oscilador(420); Problemas (424)

15.- Superposicin de movimientos armnicos simples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42915.1. Principio de superposicin (429); 15.2. Teorema de Fourier (432);15.3. Convergencia de las series de Fourier (436); 15.4. Fuerzas impulsoras pe-ridicas (436); 15.5. Superposicin de dos m.a.s. en una dimensin (439);15.6. Superposicin de dos m.a.s. en direcciones perpendiculares (444); Problemas(452)

CP. V.- DINMICA DE LOS SISTEMAS DE PARTCULAS.16.- Geometra de masas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457

16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); 16.2. Centro de masa(458); 16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); 16.4. Momentos deinercia (470); 16.5. Radio de giro (472); 16.6. Productos de inercia (472);16.7. Matriz de inercia (473); 16.8. Teoremas concernientes a los momentos yproductos de inercia (474); 16.9. Teoremas de Steiner (477); 16.10. Momento deinercia respecto a un eje cualquiera (479); Problemas (485)

17.- Sistemas de partculas. Leyes de conservacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48917.1. El problema de los N-Cuerpos (490); 17.2. Cantidad de movimiento (492);17.3. Conservacin de la cantidad de movimiento (493); 17.4. Movimiento delcentro de masa (495); 17.5. Sistema de referencia del centro de masa (497);17.6. Momento angular (498); 17.7. Conservacin del momento angular (503);17.8. Momentos angulares orbital e interno (505); 17.9. Energa cintica (508);17.10. Energa potencial (510); 17.11. Conservacin de la energa (512);Problemas (515)

Manuel R. Ortega Girn ix

x ndice de materias

18.- Sistemas de masa variable. El problema de 2-cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 51918.1. Sistemas de masa variable (519); 18.2. Fundamentos de la propulsin de loscohetes (522); 18.3. El problema de dos cuerpos (525); 18.4. Masa reducida (528);18.5. Momento angular y energa cintica (529); 18.6. Oscilaciones de dos cuerpos(531); 18.7. Movimiento en el Sistema Solar (534); Problemas (536)

19.- Colisiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54119.1. Colisiones (541); 19.2. Dinmica impulsiva de la partcula (543);19.3. Colisiones frontales. Coeficiente de restitucin (545); 19.4. Colisionesoblicuas (549); 19.5. Descripcin de la colisin en el referencial del centro de masa(551); 19.6. Transformacin de ngulos (557); 19.7. Balance energtico en lascolisiones. Definicin del Q (560); 19.8. Estudio de las colisiones en funcin delQ (566); 19.9. Algo ms acerca de las colisiones elsticas (568);19.10. Reacciones (573); 19.11. Umbral de reaccin (575); 19.12. Ecuacin delQ (576); Problemas (577)

CP. VI.- DINMICA DEL SLIDO RGIDO.20.- Esttica del slido rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587

20.1. Esttica (587); 20.2. Equilibrio del slido rgido (588); 20.3. Fuerzasaplicadas a un slido rgido (589); 20.4. Ecuaciones cardinales de la esttica (590);20.5. Centro de gravedad (592); 20.6. Sistemas con ligaduras. Grados de libertad(594); 20.7. Esttica del slido rgido sujeto a ligaduras (596); 20.8. Diagrama delcuerpo libre (600); 20.9. Esttica de un sistema de cuerpos rgidos (602);20.10. Concepto de desplazamiento virtual (604); 20.11. Principio de los trabajosvirtuales (605); Problemas (611)

21.- Dinmica del slido rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61921.1. Movimiento de traslacin del slido rgido (620); 21.2. Momento angular delslido rgido. Coeficientes de inercia (621); 21.3. Tensor de inercia (623);21.4. Momentos angulares orbital e intrnseco (625); 21.5. Ejes principales deinercia (626); 21.6. Movimiento de rotacin del slido rgido alrededor de un ejefijo (630); 21.7. Pndulo fsico. Teorema de Huygens (632); 21.8. Conservacindel momento angular (636); 21.9. Movimiento giroscpico. El trompo (640);21.10. El giroscopio (643); 21.11. Aplicaciones del movimiento giroscpico (645);Problemas (648)

22.- Trabajo y energa en el movimiento general del slido rgido. . . . . . . . . . . . . 65522.1. Energa cintica del slido rgido (655); 22.2. Energa cintica de rotacin(657); 22.3. Eje instantneo de rotacin y deslizamiento (660); 22.4. Rodadura(661); 22.5. Resistencia a la rodadura (663); 22.6. Expresin del trabajo (666);22.7. Teorema de la energa cintica (667); 22.8. Conservacin de la energa(668); Problemas (673)

23.- Ecuaciones de Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67923.1. Ecuaciones del movimiento en un referencial solidario (679);23.2. Ecuaciones de Euler (683); 23.3. Movimiento libre del slido rgido (685);23.4. Peonza esfrica (686); 23.5. Peonza simtrica (686); 23.6. Precesin del ejede rotacin de la Tierra (690); 23.7. Estabilidad de la rotacin (691); Problemas(694)

24.- Dinmica impulsiva del slido rgido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69724.1. Dinmica impulsiva del slido rgido (697); 24.2. Percusin y percusinangular (697); 24.3. Ecuaciones fundamentales de la dinmica impulsiva (698);24.4. Movimiento plano. Teorema del centro de percusin (700); 24.5. Percusionessobre un slido ligado (702); 24.6. Percusiones sobre un slido con un punto fijo(703); 24.7. Percusiones sobre un slido con un eje fijo (705); 24.8. Colisiones.

ndice de materias xi

Coeficiente de restitucin (707); 24.9. Ecuacin simblica de la dinmica impulsiva(712); 24.10. Teorema de Carnot (712); Problemas (715)

APNDICES.A.- Resultados de los problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721B.- ndice alfabtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 737

xii ndice de materias

Captulo IV.

Oscilaciones.

13.- Movimiento armnico simple. 363

14.- Oscilaciones amortiguadas y forzadas. 397

15.- Superposicin de

movimientos armnicos simples. 429

Manuel R. Ortega Girn 361

362 Lecciones de Fsica

13.- Movimiento armnico simple.

13.1. Movimiento peridico. Oscilaciones (363); 13.2. Cinemtica del movimientoarmnico simple (364); 13.3. Representacin de Fresnel del m.a.s (368); 13.4. Dinmicadel movimiento armnico simple (370); 13.5. Energa en el m.a.s. (371); 13.6. Energascintica y potencial medias (373); 13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio(375); 13.8. Sistema masa-muelle (380); 13.9. Pndulo simple (385); 13.10. Solucinexacta del problema del pndulo (388); 13.11. Pndulo cicloidal (391); Problemas (392)

13.1. Movimiento peridico. Oscilaciones.- Llamamos movimientoperidico a cualquier movimiento que se repita a intervalos iguales de tiempo. Eltiempo que debe transcurrir para que se produzca la repeticin del movimiento recibeel nombre de periodo y lo designaremos por T. Como veremos en 15.2, eldesplazamiento de una partcula que realiza un movimiento peridico general puedeexpresarse siempre mediante una combinacin apropiada de funciones sinusoidalesy cosinusoidales. Como tales funciones reciben el calificativo de armnicas, elmovimiento peridico suele recibir, tambin, el nombre de movimiento armnico. Enla Fsica, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, encontramos abundantes ejemplosde movimientos peridicos. As, el movimiento de una masa sujeta a un muelle, elmovimiento de la Tierra en el sistema solar, el movimiento de un pndulo o delbalancn de un reloj, las vibraciones de los tomos en una molcula, ... son ejemplosde movimientos peridicos1.

Cuando una partcula que realiza un movimiento peridico se mueve alternativa-mente en un sentido y en otro sobre una misma trayectoria (movimiento de vaivn),su movimiento recibe el nombre de oscilatorio o vibratorio; esta ltima denomina-cin suele reservarse para cuando el periodo es muy pequeo. As, hablaremos de lasoscilaciones de una masa sujeta a un muelle o del pndulo de un reloj, peropreferiremos referirnos a las vibraciones de los tomos en la red cristalina de unslido. En general, las oscilaciones o vibraciones predominantes en los objetos degran tamao suelen ser lentas (oscilaciones), en tanto que las de los objetos pequeos

1 La definicin del movimiento peridico presupone una duracin infinita del movimiento, sinprincipio ni fin. En los procesos reales, los movimientos peridicos estn definidos solamentedurante un cierto intervalo finito de tiempo en el que se verifican las condiciones de periodicidad.

Manuel R. Ortega Girn 363

364 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

suelen ser rpidas (vibraciones). Cuando no estemos interesados en hacer lamatizacin anterior, nos referiremos sencillamente a las oscilaciones.

El movimiento oscilatorio ms importante es el movimiento armnico simple(m.a.s.), debido a que, adems de ser el ms fcil de describir matemticamente,constituye un modelo exacto o aproximado para muchos sistemas fsicos, mecnicosy no mecnicos. En este captulo, concentraremos preferentemente nuestra atencinsobre esta clase de movimiento. Comenzaremos, en esta leccin, con una brevedescripcin puramente cinemtica del m.a.s., para analizar despus algunas de suspropiedades dinmicas que nos permitirn considerar el m.a.s. como un problemafsico real, y no slo como un interesante problema matemtico.

13.2. Cinemtica del movimiento armnico simple.- Decimos que una

Figura 13.1

partcula que se mueve a lo largo del eje x realiza un movimiento armnico simple,centrado en el origen O de dicho sistema coordenado, cuando su desplazamiento xcon respecto al origen viene expresado en funcin del tiempo en la forma:

[13.1]x A sen( t )donde A, y son constantes. La distanciax que separa la partcula del origen O recibeel nombre de elongacin. Puesto que lafuncin seno puede tomar todos los valorescomprendidos entre -1 y +1, los valores dela elongacin estarn comprendidos entre -A

y +A. La cantidad positiva A, que corresponde al valor absoluto de la elongacinmxima, se denomina amplitud del movimiento armnico simple. La cantidad t + recibe el nombre de fase del movimiento y, por ello, la constante es la constantede fase o fase inicial; i.e., el valor de la fase correspondiente al instante inicial (t=0).Puesto que la funcin seno repite sus valores cuando el ngulo aumenta en 2, lapartcula repetir su elongacin (y tambin su velocidad, como veremos) cuando lafase del movimiento aumenta en 2 desde su valor en un instante t. Durante elintervalo tiempo en que la fase aumenta en 2 la partcula completa una oscilacino ciclo de su movimiento. Podemos determinar el periodo T del movimiento teniendoen cuenta que la fase en el instante t+T debe superar en 2 a la fase en el instantet; esto es,

[13.2][ ( t T ) ] [ t ] T 2

de modo que [13.3]T 2

La frecuencia del movimiento es el nmero de oscilaciones o ciclos que secompletan en la unidad de tiempo. Su valor es, obviamente, el recproco del periodo:

[13.4] 1T

13.2.- Cinemtica del movimiento armnico simple. 365

y se mide en ciclos por segundo o hercios (Hz), en honor de H. R. HERTZ2.Obsrvese que tanto la frecuencia como el periodo del m.a.s. son independientes

de la amplitud de las oscilaciones; esta propiedad se suele enunciar diciendo que lasoscilaciones armnicas simples son iscronas, y constituye una caractersticaimportante del m.a.s..

El parmetro recibe el nombre de frecuencia angular y, tambin, el depulsacin, aunque preferiremos el primero. La frecuencia angular se mide en radianespor segundo (rad/s), o sea, en las mismas unidades que la velocidad angular. Entrela frecuencia angular () y la frecuencia () existe la relacin siguiente3:

[13.5] 2

El valor de la constante de fase depende de la eleccin que hagamos delinstante inicial. Si escogemos t=0 en el instante en que x=0, la constante de fase valdr cero o , segn que la partcula se dirija en ese instante inicial hacia las xpositivas o negativas. Entonces, el m.a.s. vendr descrito por una u otra de lasexpresiones siguientes:

[13.6]x A sen t x A sen( t ) A sen tEn cambio, si escogemos el instante t=0 cuando x=A, la constante de fase tomarel valor /2 y la ecuacin del m.a.s. ser

[13.7]x A sen ( t 2

) A cos t

En general, cuando la constante de fase tiene un valor arbitrario cualquiera, en elinstante t=0 la partcula se encontraba en la posicin

[13.8]x0 A sen arcsenx0A

Es fcil comprender que aunque hemos escogido la funcin seno para describir el m.a.s.,igualmente hubiramos podido escoger la funcin coseno. Ambas funciones armnicas tiene lamisma forma; pero la funcin coseno est adelantada en /2 rad respecto a la funcin seno. As,el m.a.s. puede describirse tambin por una ecuacin de la forma

[13.9]x A cos ( t )

2 Heinrich Rudolph HERTZ (1857-94), fsico alemn. Realiz importantes estudios tericos yexperimentales en el campo de la Electrodinmica. Sus investigaciones confirmaron experimen-talmente la existencia de las ondas electromagnticas y la identidad de la naturaleza de stas conla luz, como haban predicho FARADAY y MAXWELL.

3 Muchos autores utilizamos la denominacin comn de frecuencia para referirnos tanto a lafrecuencia () propiamente dicha como a la frecuencia angular (). Obviamente, el contexto y lasunidades en que se expresan siempre permiten resolver la ambigedad.

366 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

donde A y son las mismas constantes definidas anteriormente. La constante de fase debercalcularse ahora de modo que las expresiones [13.1] y [13.9] sean idnticas. Recordemos que para unngulo cualquiera es vlida la relacin

[13.10]cos sen ( 2

)

de modo que la identidad

[13.11]A sen ( t ) A cos ( t )

exige que [13.12]sen ( t ) sen ( t 2

)

Los senos de dos ngulos son iguales si estos son iguales o difieren en un mltiplo entero de 2.Tomando la posibilidad ms sencilla, tenemos

[13.13] 2

2

La equivalencia entre las expresiones [13.1] y [13.9] nos permiten describir un m.a.s. bien en funcindel seno o del coseno. Nosotros hemos adoptado la primera posibilidad, aunque en alguna ocasintambin haremos uso de la segunda.

En las grficas de la Figura 13.2a hemos representado la funcin Asen(t+) parados valores distintos de la constante de fase . Obsrvese que una constante de fasepositiva indica un adelanto de la forma sinusoidal y que una constante de fasenegativa representa un retraso.

La velocidad de la partcula que realiza un m.a.s. es

[13.14]v dxdt

A cos ( t ) A sen ( t 2

)

de modo que la velocidad vara tambin segn una ley sinusoidal, pero estadelantada /2 respecto a la elongacin. En la Figura 13.2b hemos representadogrficamente la funcin v(t). Obsrvese que la velocidad de la partcula se anulacuando su elongacin es mxima y que tiene su valor mximo (vmx= A) cuando lapartcula pasa por la posicin de equilibrio (x=0).

Para un valor cualquiera de la constante de fase , la velocidad de la partculaen el instante inicial (t=0) es

[13.15]v0 A cos

Las relaciones [13.8] y [13.15] nos permiten expresar A y en funcin de lascondiciones iniciales del movimiento; es decir, en funcin de la elongacin (x0) y dela velocidad (v0) de la partcula en el instante inicial (t=0). Tenemos

[13.16]A x 20v 20 2

arctg x0v0

donde es un parmetro cuyo valor es independiente de las condiciones iniciales,que se determinar, como veremos ms adelante, por otro procedimiento.

13.2.- Cinemtica del movimiento armnico simple. 367

Podemos calcular ahora la aceleracin de la partcula; tenemos

Figura 13.2

[13.17]a dvdt

2A sen ( t )

de modo que la aceleracin tambin vara en el transcurso del tiempo segn una leysinusoidal, pero presenta una diferencia de fase de rad respecto a la elongacin;i.e., la elongacin y la aceleracin de la partcula estn en oposicin de fase(contrafase). En la Figura 13.2c se representa grficamente la funcin a(t). Laaceleracin de la partcula se anula cuando sta pasa por el origen (x=0) y es mxima( amx =2A) cuando tambin es mxima a la elongacin.

La expresin [13.17] de la aceleracin puede escribirse tambin en la forma

[13.18]a 2 x

de modo que

en un movimiento armnico simple, la aceleracin es proporcional en todoinstante a la elongacin y de sentido contrario a sta.

368 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

Este resultado es importante dado que al ser la aceleracin de una partcula elcociente entre la fuerza resultante que acta sobre ella y la masa de la partcula(a=F/m), la fuerza que deber actuar sobre una partcula para originar un m.a.s.deber ser tambin proporcional a la elongacin de la partcula y de signo contrarioa sta; esto es,

[13.19]F ma m 2x kx

con k=m2. Volveremos a tratar este asunto ms adelante.

13.3. Representacin de Fresnel del m.a.s.- Las ecuaciones que describenel m.a.s. son susceptibles de una interpretacin geomtrica sencilla, por la cul sepuede considerar un m.a.s. sobre una recta como la proyeccin sobre la misma de unmovimiento circular uniforme. Esta representacin resulta til para describir muchascaractersticas del m.a.s. y, en particular, para dar un significado geomtrico sencilloa la frecuencia angular y a la constante de fase . Haremos uso intensivo de estarepresentacin4 en la ltima leccin de este captulo, en la que analizaremos elresultado de superponer dos o ms m.a.s..

Podemos imaginar un m.a.s. como la proyeccin geomtrica de un movimientocircular uniforme sobre uno de los dimetros de la circunferencia. Consideremos laFigura 13.3, en la que el punto Q se mueve sobre una trayectoria circular, de radio A,con una velocidad angular constante. El punto P es la proyeccin ortogonal delpunto Q sobre el dimetro vertical de la circunferencia. Llamaremos punto dereferencia a Q y circunferencia de referencia o matriz a aquella sobre la que semueve el punto Q. La posicin del punto Q vendr determinada en cada instante porel extremo del segmento rectilneo OQ, de longitud A. Conforme el punto Q semueve sobre la circunferencia, con velocidad angular constante, dicho segmentogira con esa misma velocidad angular. El segmento rectilneo OQ que gira recibe losnombres de vector rotatorio, rotor o fasor, aunque en todo rigor no es una magnitudvectorial, sino ms bien una magnitud compleja5. Esto es, aunque se le hayaasignado un sentido en la Figura 13.3, no se ha especificado su direccin en elespacio6.

Cuando el fasor OQ gira en el sentido indicado en las Figura 13.3, el punto dereferencia Q se mueve sobre la circunferencia de radio A y el punto P lo hace sobreel dimetro vertical (x) con un movimiento de vaivn cuya amplitud es A (i.e., -A x A). El movimiento del punto P es peridico. El tiempo que emplea el punto Qpara completar una vuelta es el mismo que emplea el punto P en completar unaoscilacin; i.e., el periodo T de las oscilaciones es igual a 2/. La frecuencia de las

4 En general, esta representacin ser vlida e interesante para cualquier magnitud fsica cuyovalor vare en el transcurso del tiempo conforme a una funcin sinusoidal "simple". Este es el caso,por ejemplo, de la representacin fasorial de la corriente alterna.

5 Admite un tratamiento mediante el lgebra de los Nmeros Complejos.6 El trmino que se utiliza en alemn es Zeiger, lo que significa ndice, en el sentido de

manecilla de un reloj.

13.3.- Representacin de Fresnel del m.a.s. 369

oscilaciones del punto P coincide con el nmero de vueltas que completa el punto

Figura 13.3

Q en la unidad de tiempo; esto es, =/2=1/T. Por ltimo, la frecuencia angularde las oscilaciones de P coincide con la velocidad angular del punto Q de referencia.

Hagamos que en el instante inicial (t=0) el fasor OQ forme un ngulo con eldimetro horizontal de la circunferencia de referencia. Al cabo de un tiempo t dichongulo valdr t+ y la elongacin del punto P ser, en ese instante

[13.20]x A sen ( t )de modo que el movimiento

Figura 13.4

del punto P es un movimientoarmnico simple. En estarepresentacin, la fase t+ esel ngulo que forma el fasorOQ con el dimetro de refe-rencia (horizontal) en un ins-tante dado.

El alumno demostrarfcilmente que la velocidad yla aceleracin del punto Ppueden obtenerse tambincomo las proyecciones respectivas de la velocidad y de la aceleracin del punto Qde referencia sobre el dimetro vertical de la circunferencia matriz, como se indicaen la Figura 13.4.

En definitiva, la elongacin de una partcula

Figura 13.5

que realiza un m.a.s. puede considerarse comola componente sobre el eje x (vertical) de unvector rotante o fasor x, cuyo mdulo es iguala la amplitud A del m.a.s. y que gira en elsentido antihorario con una velocidad angularconstante que se corresponde con la frecuen-cia angular del m.a.s, de modo que forma encada instante un ngulo t+ con el eje hori-zontal de referencia, representando dicho ngulo

370 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

la fase del m.a.s.. La velocidad y la aceleracin de la partcula pueden representarsetambin por sendos vectores rotantes o fasores, v y a, cuyos mdulos son A y 2A,respectivamente, de modo que sus componentes sobre el eje x (vertical) dan la veloci-dad y la aceleracin de la partcula que ejecuta el m.a.s.. En la Figura 13.5 se ilustranlos fasores x, v y a en un instante dado; en ella puede apreciarse que v y a presentanun adelanto de fase de /2 y rad, respectivamente, en relacin al fasor x.

13.4. Dinmica del movimiento armnico simple.- La expr. [13.18] de laaceleracin de una partcula que ejecuta un movimiento armnico simple nospermiti calcular la fuerza que debe actuar sobre dicha partcula, de masa m, para quetenga lugar ese movimiento. Ya hemos visto que dicha fuerza debe ser directamenteproporcional a la elongacin y de sentido contrario a ella; esto es,

[13.21]F ma m 2 x kx

donde hemos definido una nueva constante, k, esencialmente positiva, llamadaconstante de fuerza, mediante la expresin

[13.22]k m 2 o bien km

En consecuencia, la fuerza F est dirigida en todo instante hacia el origen, quecorresponde al punto O (de abscisa x=0), siendo nula cuando la partcula pasa pordicho punto; el punto O es la posicin de equilibrio. La fuerza F es una fuerzaatractiva, siendo O el centro de atraccin.

La fuerza expresada por [13.21] es el tipo de fuerza que aparece cuando sedeforma un cuerpo elstico, tal como un muelle, y la ley de fuerza que la expresarecibe el nombre de ley de Hooke, en honor de Robert HOOKE (1635-1703) queenunci las leyes de las deformaciones elsticas de los cuerpos. Por esa razn laconstante k suele recibir el nombre de constante elstica. Dicha constante representala fuerza que debemos aplicar para mantener desplazada la partcula una unidad dedistancia a partir de su posicin de equilibrio; sus unidades son newton por metro(N/m) en el sistema internacional (S.I.).

Debemos sealar que en la ec. [13.22] la constante (frecuencia angular delm.a.s.) queda determinada en funcin de los valores que posean la masa (m) de lapartcula y la constante de fuerza (k) del sistema oscilante (un muelle, por ejemplo).Esas son las dos caractersticas esenciales que intervienen en el establecimiento deun movimiento oscilatorio:

1. Una componente inercial, con la que estar asociada la energa cinticadel sistema oscilante.

2. Una componente elstica, capaz de almacenar energa potencial (elstica).Recurdese que las otras dos constantes que aparecen en la ec. [13.1] que describe

el m.a.s., esto es la amplitud (A) y la constante de fase (), deben determinarse apartir de las condiciones iniciales del sistema (x0,v0) y que, por tanto, no dependende las caractersticas intrnsecas o esenciales del mismo.

13.4.- Dinmica del movimiento armnico simple. 371

La relacin [13.22] nos permite expresar el periodo (T) y la frecuencia () de unmovimiento armnico simple en funcin de la masa de la partcula y de la constanteelstica de la fuerza que acta sobre ella; tenemos

[13.23]T 2 mk

1

2km

Hemos comenzado esta leccin definiendo el movimiento armnico simplemediante sus propiedades cinemticas expresadas por la ex. [13.1] y sus derivadasrespecto al tiempo. A partir de esas propiedades cinemticas hemos sido capaces deencontrar el tipo de fuerza que debe aplicarse a la partcula para que su movimientosea armnico simple [13.21]. Sin embargo, es interesante que abordemos tambin elproblema inverso; esto es, dada una fuerza del tipo F=-kx, encontrar la clase demovimiento que esa fuerza origina.

Supongamos que sobre una partcula de masa m acta una fuerza dada por F=-kx.La segunda ley del movimiento nos permite escribir

[13.24]F kx mx

ec. dif. de segundo orden que podemos escribir en la forma

[13.25]mx kx 0 x 2x 0

con 2=k/m. La ec. dif. [13.25] requiere que x(t) sea alguna funcin cuya segundaderivada sea el valor negativo de la funcin misma, salvo en un factor constante 2.Sabemos que las funciones armnicas (seno y coseno) tiene esa propiedad. Por lotanto, la solucin de la ec. dif. [13.25] debe ser de la forma

[13.26]x A sen( t )solucin que podemos verificar sustituyndola directamente en la ec. dif. de partida.Las dos constantes A y son las correspondientes a las dos etapas de integracin dela ec. diferencial. En definitiva, la funcin [13.26] es la solucin general de la ec. dif.del movimiento [13.25], de modo que podemos asegurar que una fuerza de atraccinproporcional a la elongacin origina siempre un movimiento armnico simple.

13.5. Energa en el m.a.s..- Resulta interesante e instructivo analizar el m.a.s.bajo el punto de vista energtico. Teniendo en cuenta que la aceleracin de lapartcula puede expresarse en la forma

[13.27]x a v dvdx

la ecuacin diferencial [13.25a] del movimiento producido por una fuerza del tipo F=-kx puede reescribirse como

[13.28]mv dv kx dx 0

que es una ec. dif. de primer orden. Esta ec. dif. nos conduce, por integracin, a

372 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

[13.29]12mv 2 1

2kx 2 cte. E

El primer trmino de esta expresin es la energa cintica de la partcula; elsegundo trmino corresponde a la energa potencial. En consecuencia, la constantedel segundo miembro es la energa total E; esto es,

[13.30]E Ek Ep

Por lo tanto, la energa total de la partcula es una constante del movimiento, comocaba esperar para un sistema conservativo.

El significado de la relacin anterior se pone de manifiesto mediante la grficade la Figura 13.6, en la que se ha representado la energa (potencial) en ordenadas yla elongacin en abscisas. Comenzamos por dibujar la curva de la energa potencialEp=kx2/2, que es una parbola de eje vertical y con su vrtice en el origen. Acontinuacin trazamos una recta horizontal, que corresponde al valor constante de laenerga total E. Entonces se comprueba que el movimiento de la partcula quedarestringido al intervalo -AxA, ya que los puntos x=-A y x=+A son puntos deretroceso. Fuera del intervalo anteriormente citado la energa potencial superara ala energa total, de modo que la energa cintica sera negativa, cosa imposible puesimplicara una velocidad imaginaria. As pues, el movimiento tiene lugar en un pozode potencial, cuyo fondo corresponde a la posicin de equilibrio estable.

Si trazamos una recta vertical para cualquier x, tal que (-AxA), la longitud del

Figura 13.6

segmento de dicha recta comprendido entre el eje de abscisas y la parbola representala energa potencial correspondiente a ese valor de la elongacin; y la longitud delsegmento comprendido entre la parbola y la recta horizontal E=cte corresponde a

la energa cintica. Conforme la partculase mueve entre los lmites -A y +A, hayuna conversin continua de energacintica a potencial y viceversa. Cuandola partcula se aleja de la posicin deequilibrio (x=0) aumenta la energapotencial a expensas de la energacintica; ocurre lo contrario cuando lapartcula se aproxima a la posicin deequilibrio. En los puntos de retrocesotoda la energa es potencial; en laposicin de equilibrio toda la energa escintica. La velocidad de la partculacuando pasa por la posicin de equilibriotoma su valor mximo; esto es,

[13.31]E 12mv 2mx vmx

2Em

En los extremos de la trayectoria, la elongacin presenta su valor mximo xmx =Ay es

13.5.- Energa en el m.a.s.. 373

[13.32]E 12kA 2 A 2E

k

La velocidad de la partcula cuando pasa por un punto de elongacin genricax se puede obtener a partir de [13.29]. Se tiene

[13.33]v 2E kx2

mkA 2 kx 2

mkm

A 2 x 2 A 2 x 2

con 2=k/m, como anteriormente. Ahora podemos obtener la elongacin en funcindel tiempo, x(t), sustituyendo v por dx/dt en la ecuacin anterior e integrando

[13.34]x

x0

dx

A 2 x 2

t

0dt

que nos conduce a [13.35]arcsen xA

arcsenx0A

t

de modo que, haciendo

[13.36] arcsenx0A

sen x0A

se tiene finalmente [13.37]x A sen ( t )que es, como ya sabemos, la ecuacin cinemtica que describe un movimientoarmnico simple.

13.6. Energas cintica y potencial medias.- Las energas cintica ypotencial del oscilador armnico simple son funciones del tiempo y vienen dadas por

[13.38]

Ek12mx 2 1

2m 2A 2 cos2( t )

Ep12kx 2 1

2kA 2 sen2( t )

donde hemos empleado las expresiones [13.1] y [13.14] que nos dan la elongacin y lavelocidad de la partcula en funcin del tiempo. En la Figura 13.9 hemos representadogrficamente las energas cintica y potencial del oscilador armnico simple enfuncin del tiempo (con =0). Obsrvese que ambas funciones son peridicas, deperiodo T/2, y que su suma, esto es, la energa total E, permanece constante en eltranscurso del tiempo, siendo su valor

[13.39]E Ek Ep12m 2A 2 1

2kA 2

374 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

VALOR MEDIO DE UNA FUNCIN RESPECTO AL TIEMPO

Sea F(t) una funcin del tiempo. Se llama valor medio de la funcin F(t) en el intervalo detiempo t=t2-t1 al valor

Figura 13.7

F(t) 1t2 t1

t2t1

F(t) dt

Geomtricamente, puesto que la integral representa elrea limitada por la curva F(t), el eje de tiempos(abscisas) y las ordenadas extremas t=t1 y t=t2, elvalor medio F(t) puede interpretarse como laaltura de un rectngulo cuya base es t=t2-t1 y cuyarea es igual a la anteriormente citada.

Cuando la funcin F(t) sea peridica, de periodoT, estaremos interesados normalmente en el valor medio de la funcin en un intervalo de tiempoque corresponda a un periodo. Entonces podemos escribir

F(t) 1TT

0F(t) dt

Calcularemos ahora el valor medio de la funcin sen2t:

sen2 t 1TT

0sen2 t dt 1

TT

0

1 cos 2 t2

dt 1T

t2

sen 2 t4

2

0

12

y anlogamente se encuentra que

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4F1.pdf 04/11/2006 02:35:13

Figura 13.8

cos2 t 12

Llegaremos al mismo resultado de una formams sencilla, sin necesidad de resolver integralalguna, si partimos de la identidad trigonomtrica:

sen2 t cos2 t 1

Entonces, al tomar valores medios en un intervalode tiempo T=2/, tenemos

sen2 t cos2 t 1y puesto que la nica diferencia que existe entre las funciones seno y coseno es la referente a unaconstante de fase de /2 rad, deber ser

sen2 t cos2 t 12

Dejamos el cuidado del alumno demostrar las relaciones siguientes, con mn:

sen m t 0 cos m t 0

13.6.- Energas cintica y potencial medias. 375

sen m t sen n t 0 sen m t cos n t 0 cos m t cos n t 0

sen2n t 12

cos2n t 12

de modo que:

la energa total de un oscilador armnico simple es proporcional al cuadradode la amplitud de las oscilaciones.

Calcularemos ahora los valores medios temporales de las energas cintica ypotencial del oscilador armnico simple:

[13.40]

Ek 12 m2A 2 cos2( t ) 1

4m 2A 2

Ep 12 kA2 sen2( t ) 1

4kA 2

Vemos claramente7 que los valores medios

Figura 13.9

de las energas cintica y potencial del osciladorarmnico simple son iguales:

[13.41]Ek Ep 12 E

Obsrvese que =E, ya que la energa totales una constante del movimiento8. La igualdadentre los valores medios de las energascinticas y potencial es una propiedad especialdel oscilador armnico simple, propiedad que no se mantiene, en general, para lososciladores anarmnicos.

13.7. Oscilaciones en las proximidades del equilibrio.- Hemos visto queel movimiento armnico simple es generado por una fuerza del tipo F=-kx, asociadaa una energa potencial Ep=kx2/2, midindose x a partir de la posicin de equilibrio,que hemos supuesto en x=0. Supongamos ahora que la posicin de equilibrio seencuentra en un punto de abscisas x0, en lugar de en el origen; ser:

[13.42]Ep12k (x x0)2

7 Recordemos que k = m2 (expr. [13.22]).

8 El lector llegar fcilmente al mismo resultado [13.41] por aplicacin directa del teorema delvirial para una partcula en un campo conservativo, como se explic en 10.9.

376 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

La representacin grfica de esta energa potencial, en funcin de x, es una

Figura 13.10

parbola de eje vertical con su vrtice en el punto x0. Si la energa total del osciladores E>0, como se indica en la Figura 13.10, la recta E=cte interseca a la curva deenerga potencial Ep(x) en dos puntos, P1 y P2, cuyas abscisas x1 y x2, colocadas sim-tricamente respecto a x0, constituyen los lmites de oscilacin (puntos de retroceso).La fuerza que acta sobre la partcula es

[13.43]FdEpdx

k (x x0)

siendo nula en el punto x0, que corres-ponde a la posicin de equilibrio esta-ble, ya que en el presenta su valormnimo la energa potencial. Calcule-mos la segunda deriva de Ep(x) conrespecto a x:

[13.44]d2Ep

dx 2k >0

lo que nos permite escribir para lafrecuencia angular de las oscilacionesarmnicas simples

[13.45]

km

1m

d2Epdx 2

Consideremos ahora un movimiento unidimensional de una partcula, de masa

Figura 13.11

m, bajo la accin de una fuerza conservativa arbitraria. Limitndonos, de momento,a movimientos a lo largo del eje x, dicha fuerza ser funcin de la abscisa x de lapartcula, esto es, F=F(x), y estar dirigida a lo largo de dicho eje. En estascondiciones, la energa potencial de la partcula ser una funcin de la coordenadax (i.e., Ep(x)) y podr representarse grficamente como en la Figura 13.11, por ejemplo.Supongamos que sea E la energa total de la partcula, como se muestra en laFigura 13.11. Ya sabemos (10.3) que, entonces, el movimiento de la partcula estar

limitado a la regin x1 x x2; i.e., lapartcula se mueve (movimientoperidico) en un pozo de potencial cuyofondo se encuentra en la posicin deequilibrio estable.

Puesto que el sistema es conservati-vo, podemos escribir

[13.46]12mx 2 Ep(x) E

13.7.- Oscilaciones en las proximidades del equilibrio. 377

y la velocidad de la partcula puede expresarse en funcin de la abscisa x en la forma

[13.47]x dxdt

2m

[E Ep(x)]

El periodo del movimiento en un pozo de potencial puede obtenerse porintegracin de la ecuacin anterior:

[13.48]T T

0dt m

2dx

E Ep(x)donde la integracin se extender a un ciclo completo del movimiento. Puesto queel movimiento es simtrico (se emplea el mismo tiempo en recorrer la anchura delpozo de izquierda a derecha que de derecha a izquierda), el periodo T ser igual aldoble del tiempo de trnsito entre los puntos x=x1 y x=x2; esto es9,

[13.49]T 2m x2

x1

dx

E Ep(x)donde los puntos de retorno, x1 y x2, se obtendrn resolviendo la ecuacin Ep(x)=E.

Dejamos al cuidado del alumno demostrar que, para el caso de una energa potencial de laforma Ep=k(x-x0)2/2, el periodo del movimiento, calculado a partir de [13.49] es

[13.50]T 2 mk

es decir, el mismo que corresponde a un m.a.s. y que resulta ser independiente del valor de laenerga total E, lo que equivale a decir que es independiente de la amplitud de las oscilaciones(isocronismo).

En el caso general, en el que la energa potencial sea una funcin arbitraria dela posicin x de la partcula, el movimiento en el interior del pozo de potencial serperidico, pero no ser armnico simple, y el periodo T ser una funcin de laenerga total E de la partcula y, por ende, de la "amplitud" de las oscilaciones, nosiendo simtrico el movimiento con respecto a la posicin de equilibrio. Esta es unasituacin que encontraremos frecuentemente en los sistemas fsicos reales y da comoresultado un movimiento oscilatorio anarmnico. En todo caso, la frecuencia, o elperiodo, de las oscilaciones podr calcularse, al menos en principio, a partir de laexpresin [13.49].

Si la energa total de la partcula es tan slo ligeramente superior que la energapotencial correspondiente a la posicin de equilibrio, las oscilaciones alrededor dedicha posicin de equilibrio pueden considerarse como armnicas simples. Veamosque, en efecto, es as.

9 Obsrvese que en [13.49] tenemos una integral impropia (el integrando se hace infinito enlos lmites de integracin, x1 y x2); sin embargo, en el terreno fsico la integral debe existir para unapartcula que se mueva enteramente dentro de un pozo de potencial.

378 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

Recordemos que dada una funcin arbitraria f(x), el teorema de Taylor nospermite desarrollarla como una serie de potencias:

[13.51]f(x) f(x0)

dfdx 0

(x x0)12!

d2fdx 2 0

(x x0)213!

d3fdx 3 0

(x x0)3 ...

donde el subndice "0" (cero) significa que las derivadas se avalan en el punto x0.Aplicando el teorema de Taylor a la funcin energa potencial Ep(x), y teniendo encuenta que (dEp/dx)0=0, por corresponder el punto x=x0 a un mnimo de la energapotencial, tenemos

Ep(x) Ep(x0)12

d2Epdx 2 0

(x x0)216

d3Epdx 3 0

(x x0)3 ...

[13.52]Ep(x0)12k (x x0)2

16k3 (x x0)3 ...

donde hemos puesto, para abreviar,

[13.53]k

d2Epdx 2 0

k3

d3Epdx 3 0

...

El primer trmino, Ep(x0), en el desarrollo en serie de potencias de la energapotencial Ep(x), es constante y representa simplemente una eleccin arbitraria en elcero de energa potencial; podemos prescindir de este trmino sin que ello afecte alos resultados fsicos. El segundo trmino es justamente el trmino cuadrtico quecorresponde a un oscilador armnico simple, con k definido como en [13.53]. Lostrminos restantes son los responsables de la anarmonicidad, y reciben el nombre detrminos anarmnicos.

Si la energa total E de la partcula es tan slo ligeramente superior a Ep(x0), laamplitud de las oscilaciones ser pequea. As, si nos limitamos a considerarpequeos desplazamientos respecto a la posicin de equilibrio estable x=x0, podremosdespreciar los trminos de [13.52], que contienen (x-x0)3, (x-x0)4, ... y potenciassuperiores de (x-x0). Retendremos, entonces, solamente los dos primeros trminos de[13.52], en el supuesto de que sea k0, y escribiremos

[13.54]Ep(x) Ep(x0)12k (x x0)2

En consecuencia, para pequeas oscilaciones en torno a cualquier mnimo de energapotencial Figura 13.12, salvo para el caso excepcional k=0, el movimiento es el de unoscilador armnico simple, cuya frecuencia angular es

[13.55]

km

1m

d2Epdx 2 0

13.7.- Oscilaciones en las proximidades del equilibrio. 379

La aproximacin anterior es acep-

Figura 13.12

table en muchas situaciones reales, y enella radica la gran importancia deloscilador armnico simple. La mayorade los problemas en los que intervienensistemas oscilantes se reducen al deloscilador armnico simple cuando sonsuficientemente pequeas las amplitu-des de oscilacin. Para amplitudesmayores, la aproximacin no es acepta-ble, y el valor de la frecuencia angularcalculado mediante [13.55] discreparnotablemente, en general, del valor real; en este caso, la aproximacin armnicasimple al problema no es adecuada, y deber tomarse en cuenta el efecto de lostrminos anarmnicos.

Consideremos ahora la fuerza correspondiente a la energa potencial Ep(x) dadapor [13.52]; tenemos

[13.56]F(x) dEpdx

k (x x0)12k2 (x x0)2 ...

Si nos limitamos a considerar pequeos desplazamientos de la partcula respecto ala posicin de equilibrio x=x0, podemos escribir la relacin aproximada

[13.57]F k (x x0)conocida como ley de Hooke, que no es sino un caso especial de una relacin msgeneral [13.56] en el fenmeno de la deformacin de los cuerpos elsticos.

La ley de Hooke implica una relacin lineal entre la deformacin y la fuerza recuperadora (o

Figura 13.13

deformadora). Los muelles y otros sistemas elsticos, as como los slidos en general, obedecen esta "ley"con tal que las deformaciones no sean demasiado grandes. Si se deforma un slido ms all de un ciertogrado, llamado lmite elstico, no recuperar su forma y tamao originales cuando deje de actuar la fuerzaaplicada. Cuando se sobrepasa el lmite elstico y comienza el flujo plstico, la fuerza depende de un modocomplicado de factores muy diversos, incluyendo la velocidad de deformacin y la historia previa delsistema deformable (histresis), y no puede especificarse mediante una energa potencial. Estudiaremos conms profundidad estas cuestiones en una leccin posterior.

Resumiendo, podemosafirmar que siempre que unapartcula, o un sistema defor-mable, en general, se separa desu posicin o configuracin deequilibrio estable, se originarnoscilaciones armnicas simplessi los desplazamientos sonsuficientemente pequeos, puesentonces puede considerarselineal la relacin existenteentre la elongacin y la fuerzarecuperadora. En la Figura 13.13

380 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

hemos representado grficamente la fuerza correspondiente a la funcin de energapotencial representada en la Figura 13.12. Los puntos de abscisa x0 y x1 correspondena las posiciones de equilibrio estable e inestable, respectivamente; en ambas posi-ciones es nula la fuerza. Hemos ampliado el entorno del punto x0 para poder apreciarque existe una relacin lineal aproximada entre F y (x-x0), tal como se expresa en laley de Hooke, si el entorno de x0 es suficientemente pequeo.

13.8. Sistema masa-muelle.- El sistema masa-muelle constituye el paradigma

Figura 13.14

de las oscilaciones de los sistemas mecnicos. Consideremos el sistema constituidopor un muelle con uno de sus extremos fijo y con el otro unido a un cuerpo, de masam, que puede resbalar sobre una superficie horizontal lisa (Figura 13.14). La posicinde equilibrio de la masa es O, y corresponde a la ausencia de tensin (tensora ocompresora) en el muelle; tomaremos dicha posicin como origen de abscisas.

Supongamos que desplazamos lamasa de su posicin de equilibrio yque despus la abandonamos; elsistema comenzar a oscilar. En elinstante en que la masa tenga unaelongacin x, la fuerza que actasobre ella es

[13.58]F kx

ya que la fuerza es proporcional a laelongacin (=deformacin delmuelle) y est dirigida hacia laposicin de equilibrio (fuerza

recuperadora). La constante k es la llamada constante elstica o recuperadora, y semide en newtons por metro (N/m) en el S.I.. El valor recproco de la constanteelstica, 1/k, recibe el nombre de sensibilidad del muelle, y se mide en metros pornewton (m/N). Podemos clasificar los muelles en blandos (muy sensibles) y duros(poco sensibles).

La segunda ley de Newton, aplicada a la masa m, nos permite escribir

[13.59]F kx mx

o sea [13.60]mx kx 0

que es la ec. dif. del m.a.s., con una pulsacin o frecuencia angular dada por

[13.61]

km

El movimiento del sistema es armnico simple. Debemos destacar que la frecuenciade las oscilaciones del sistema masa-muelle queda definida en todos los casos por losvalores de m (caracterstica inercial) y k (caracterstica elstica). Sin embargo, lasotras dos constantes (A,) que intervienen en la ecuacin del m.a.s. x=A sen(t+)debern calcularse, en cada caso, a partir de las condiciones iniciales (x0,v0).

13.8.- Sistema masa-muelle. 381

Ejemplo I.- Muelle suspendido verticalmente.- Analizar las oscilaciones de un sistema masa-muellesuspendido verticalmente de un punto fijo.

Consideremos un muelle de masa despreciable suspendido verticalmente de un punto fijo. SeaL su longitud natural y tomemos como origen del eje de abscisas (vertical y hacia abajo) el puntoO. Cuando colgamos un cuerpo de masa m del extremo libre del muelle, ste se alarga una ciertadistancia x0. Cuando se restablece el equilibrio tenemos

Figura 13.15

[13.62]mg kx0 0

de modo que

[13.63]x0mgk

que corresponde a la posicin deequilibrio del sistema masa-muelle.

Supongamos que desplazamosel cuerpo verticalmente de su posi-cin de equilibrio y que, despus, loabandonamos; el sistema comienzaa oscilar. La ec. del movimiento delcuerpo es

[13.64]mg kx mx mx kx mg

que difiere de la ec. [13.25] en que contiene el trmino de fuerza constante mg; pero, teniendo encuenta [13.62], o sea que mg=kx0, se escribir como

[13.65]mx kx kx0 mx k(x x0) 0

que ya no contiene dicho trmino constante. Para proceder a la integracin de esta ec. dif. convienehacer el siguiente cambio de variable:

[13.66]x x x0 x x x x

lo que equivale a trasladar el origen de abscisas a la posicin x0 de equilibrio del sistemamasa-muelle. Entonces, la ec. dif. [13.65] se convierte en

[13.67]mx kx 0

cuya solucin general es [13.68]x A sen ( t )

o sea [13.69]x mgk

A sen ( t )

con 2=k/m. As pues, el cuerpo oscila con m.a.s. alrededor de la posicin de equilibriocorrespondiente al sistema masa-muelle. Obsrvese que la frecuencia de las oscilaciones es lamisma que corresponde al caso del sistema masa-muelle horizontal; el nico cambio ha sido undesplazamiento de centro del m.a.s.. En vista de estos resultados, en el anlisis del problema puedeignorarse el campo gravitatorio uniforme, al menos cuando tan slo estemos interesados en lafrecuencia de las oscilaciones.

382 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

Ejemplo II.- Sistema con dos muelles.- En el sistema que se representa en la Figura 13.16, los

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4F2.pdf 04/11/2006 02:37:36

Figura 13.16

muelles tienen constantes elsticas y longitudes naturales (k1,l1) y (k2,l2) y estn conectados, cadauno por un lado, a un bloque de masa m, de tal modo que ambos estn tensados (i.e., L1+L2 >l1+l2).Determinar la constante elstica equivalente del sistema y la frecuencia angular de sus oscilaciones.Mtodo de Newton:

Comenzaremos estableciendo la condicin de equilibrio(figura superior); i.e., la igualdad de las tensiones en los dosmuelles:

[13.70]k1(L1 l1) k2(L2 l2) 0

Imaginamos el sistema en oscilacin y escribimos la ec.del movimiento para el bloque cuando presenta unaelongacin x (figura inferior):

[13.71]k1(L1 x l1) k2(L2 x l2) mx

que una vez ordenada y teniendo en cuenta la condicin[13.70] queda en la forma

[13.72]mx (k1 k2) x 0

de modo que [13.73]keq k1 k2

keq

mk1 k2m

Mtodo de la energa:Mtodo de la energa potencial.- Si solamente estamos interesados en determinar el valor de

la constante elstica del sistema, expresamos la energa potencial del sistema en funcin de laelongacin x; i.e.,

[13.74]Ep12k1(L1 x l1)2

12k2(L2 x l2)2

En la posicin de equilibrio (x=0), la energa potencial presentar un mnimo; i.e.,

[13.75]

dEpdx x 0

k1 (L1 x l1) k2 (L2 x l2) x 0 k1 (L1 l1) k2 (L2 l2) 0

que es la misma relacin [13.70]. La expr. [13.44] nos permite calcular la constante elstica delsistema a partir de la expr. [13.75] ; i.e.,

[13.76]d2Ep

dx 2k1 k2 keq

Mtodo de la energa total.- Para determinar la ec. dif. del movimiento, expresaremos laenerga total del sistema en un instante genrico, cuando es x la elongacin; i.e.,

[13.77]E 12mx 2 1

2k1(L1 x l1)2

12k2(L2 x l2)2 cte.

que permanece constante (sistema conservativo). Derivando esta expresin respecto al tiempo,

13.8.- Sistema masa-muelle. 383

[13.78]dEdt

mx x k1(L1 x l1) x k2(L2 x l2) x 0

ordenando y teniendo en cuenta la condicin [13.75] tenemos

[13.79]x [ mx (k1 k2) x ] 0

y, puesto que x no es siempre nulo, deber ser

[13.80]mx (k1 k2) x 0

que es la misma ec. dif. del movimiento [13.72] obtenida por el mtodo anterior, que nos conduceal mismo resultado [13.73] que antes.

Obsrvese que la frecuencia de las oscilaciones del sistema no depende ni de las longitudesnaturales de los muelles (l1, l2), ni de sus tensiones en el equilibrio (definidas por L1 y L2), por loque pudiramos haber ignorado dichos parmetros (considerarlos nulos), al menos si tratamos conmuelles extensores-compresores.

Ejemplo III.- Pequeas oscilaciones.- Calcular la frecuencia de las pequeas oscilaciones

Figura 13.17

transversales del sistema representado en la Figura 13.17. Los dos muelles son idnticos, deconstante elstica k y longitud natural l0 cada uno de ellos y estn sometidosa una tensin F0 en la posicin de equilibrio.

Resultar conveniente expresar la longitud L en funcin de la tensinde equilibrio; esto es

k (L l0) F0 L l0F0k

Escribiremos la expresin de la energa potencial (elstica) correspondientea una elongacin transversal x; i.e.,

Ep k L2 x 2 l0

2

y la derivaremos dos veces sucesivas respecto de la elongacin ...

dEpdx

2k L 2 x 2 l0x

L 2 x 22kx

2kl0 x

L 2 x 2

d2Epdx 2

2k 2k l0

L 2 x 2 x2

L 2 x 2

L 2 x 22k 2k l0

L 2

( L 2 x 2 )3/22k

1

l0 L2

(L 2 x 2 )3/2

de modo que, de acuerdo con la expr. [13.53a], ser

keq

d2Epdx 2 0

2k

1l0L

2kL l0L

384 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

o bien, en funcin de la tensin F0, keq2 F0L

de modo que la frecuencia de las oscilaciones transversales de la masa m ser

k

eq

m2 F0mL

En los anlisis anteriores del sistema masa-muelle hemos considerado los muellescomo si no presentasen inercia (masa) y actuasen solamente como un "almacn" deenerga potencial. Las caractersticas inerciales y elsticas, esenciales para que seproduzcan las oscilaciones, estaban asociadas a elementos bien diferenciados. Estopuede se una buena aproximacin en muchos casos, pero en otros la masa del muellepuede jugar un papel importante.

Ejemplo IV.- Muelle que tiene masa no despreciable.- Consideremos un cuerpo de masa m unidoa un muelle de masa M, como en la Figura 13.18. Sea k la constante elstica del muelle. En qudiferir el periodo de las oscilaciones de este sistema del que se tendra si el muelle no tuviesemasa?

Intuitivamente podemos predecir que el periodo de las oscilaciones ser tanto mayor cuantomayor sea la masa del muelle. Pudiramos estar tentados a sustituir en [13.61] m por m+M, alefecto de calcular la frecuencia angular del sistema. Pero el problema no es tan simple, dado queno todas las secciones del muelle oscilan con la misma amplitud. La amplitud del extremos fijo esnula, en tanto que la del extremo unido a la masa m es igual a la de sta.

Podemos abordar el problema de un modo sencillo y razonable suponiendo que las diferentessecciones del muelle experimentan desplazamientos proporcionales a su distancia al extremo fijo,como se indica en la Figura 13.18. De este modo podremos calcular la energa cintica total delmuelle cuando su extremo mvil presente una elongacin x.

Sea L la longitud natural del muelle

Figura 13.18

y consideremos un elemento infinitesimaldel mismo, de longitud dl, situado a unadistancia l del extremo fijo (O l L).La masa de ese elemento infinitesimal es

[13.81]dM ML

dl

y su elongacin , cuando es x la elonga-cin del extremo mvil, es la fraccin l/L

de x, i.e., . xLl l

Lx

La velocidad del elemento infinitesimal dM, en cada instante, puede expresarse en funcin desu distancia l al extremo fijo y de la velocidad v y que tenga en ese instante el extremo mvil delmuelle:

[13.82]vlddt

ddt

lLx l

Ldxdt

lLv

13.8.- Sistema masa-muelle. 385

de modo que la energa cintica de ese elemento infinitesimal es

[13.83]dEk12

dM v 2l12Mv 2

L 3l 2dl

y la energa cintica total del muelle, en el instante en que es v la velocidad de su extremo mvil,viene dada por la expresin

[13.84]Ek,M12Mv 2

L 3 L

0l 2dl 1

2

M3

v 2

energa que equivale a la de un cuerpo cuya masa fuese la tercera parte de la del muelle y que semoviese con la velocidad del cuerpo que est unido a su extremo mvil. El teorema deconservacin de la energa para el sistema completo (cuerpo-muelle) nos permite poner

[13.85]E 12mv 2 1

2M3

v 2 12kx 2

o sea [13.86]E 12

mM3

v 2 12kx 2 1

2m

eq v2 1

2kx 2

con [13.87]meq m

M3

de modo que, derivando con respecto al tiempo e igualando a cero (sistema conservativo),obtenemos la ec. dif. del movimiento:

[13.88]dEdt

meqva kxv 0 v (meqa kx) 0 a

km

eq

x 0

resultando que [13.89] km

eq

km M/3

lo que equivale a considerar un muelle ideal (sin masa) y sumar M/3 a la masa que lleva sujeta ensu extremo.

13.9. Pndulo simple.- El pndulo simple o matemtico es un sistema ideali-zado constituido por una partcula de masa m que est suspendida de un punto fijoO mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realizacinprctica de un pndulo simple, pero si es accesible a la teora. El sistema que acaba-mos de describir se llama pndulo simple o matemtico en contraposicin a lospndulos reales, compuestos o fsicos, nicos que pueden construirse y cuyosmovimientos podemos observar.

Consideremos un pndulo simple, como el representado en la Figura 13.19. Si lapartcula se desplaza desde la posicin de equilibrio (C) hasta la posicin A, de modoque el hilo forma un ngulo con la vertical, y luego se abandona, el pndulooscilar en un plano vertical bajo la accin de la gravedad. Las oscilaciones tendrnlugar entre las posiciones extremas A y A, simtricas respecto a la vertical, a lo

386 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

largo de un arco de circunferencia de radio

Figura 13.19

l=OC. El movimiento es peridico, pero nopodemos asegurar que sea armnico.

Para determinar la naturaleza de lasoscilaciones deberemos escribir la ecuacindel movimiento de la partcula. Lapartcula se mueve sobre un arco de cir-cunferencia bajo la accin de dos fuerzas:su propio peso (mg) y la tensin de lacuerda (T). Tan slo el peso de la partculaproporciona una componente tangencial ala trayectoria, cuyo valor es

[13.90]Ft mg sen

donde hemos incluido el signo negativo para manifestar que la fuerza Ft tienesiempre sentido opuesto al desplazamiento (fuerza recuperadora). La componentetangencial de la ecuacin del movimiento, la nica componente que nos interesa, esFt=mat, siendo at, la aceleracin tangencial. Pero como el movimiento de la partculaes circular, podemos poner at=l y, por consiguiente, tenemos

[13.91]mg sen ml gl

sen 0

Esta ec. dif. no es del mismo tipo que la correspondiente a un m.a.s., debido a

Tabla 13.1.- Comparacin entre el valor de un ngulo (rad) y el de su seno.

(rad) sen dif.(%) (rad) sen dif.(%)0 0.00000 0.00000 0.00 15 0.26180 0.25882 1.15

2 0.03491 0.03490 0.02 20 0.34907 0.34202 2.06

5 0.08727 0.08716 0.13 25 0.43633 0.42262 3.25

10 0.17453 0.17365 0.51 30 0.52360 0.50000 4.72

la presencia de la funcin seno, de modo que podemos asegurar que el movimientodel pndulo simple no es armnico simple, en general. Sin embargo, si consideramostan slo oscilaciones de pequea amplitud, de modo que el ngulo sea siempresuficientemente pequeo, entonces el valor del sen ser muy prximo al valor de expresado en radianes (sen, para suficientemente pequeo), como podemosapreciar en la Tabla 13.1, y la ec. dif. del movimiento se reduce a

[13.92] gl 0

que es idntica a la ec. dif. correspondiente al m.a.s., refirindose ahora al movimien-to angular en lugar de al movimiento rectilneo, cuya solucin es:

13.9.- Pndulo simple. 387

[13.93] sen ( t )

con[13.94]

gl

T 2 lg

donde y son dos constantes "arbitrarias" correspondientes a la amplitud angular

Figura 13.20Christian HUYGENS (1629-1695)

y a la fase inicial del movimiento. Obsrvese que el periodo del pndulo simple esindependiente de la masa de la partcula suspendida y, tambin, de la amplitud de lasoscilaciones, siempre que stas sean suficientemente pequeas como para que laaproximacin sen sea aceptable. Esta ltima propiedad, conocida comoisocronismo de las pequeas oscilaciones, fue descubierta por GALILEO (1564-1642),hacia el ao 1581, en la catedral de Pisa:

"Un da en que asista, algo distrado sin duda, a una ceremonia religiosa, fij su mirada en unalmpara de bronce, obra maestra de Benvenuto Cellini, que, suspendida de una larga cuerda,oscilaba con lentitud ante el altar. Quizs, con los ojos fijos en aquel metrnomo improvisado,uni su voz a la de los celebrantes; la lmpara se detuvo poco a poco y, atento Galileo a susltimos movimientos, observ que marcaba siempre el mismo comps".

(J. BERTRAND: Galileo y sus trabajos.)Esta ltima circunstancia fue la que ms

atrajo la atencin de Galileo; a pesar de que laamplitud de las oscilaciones se iba reduciendo,permaneca sensiblemente constante la duracinde las mismas. Galileo repiti muchas veces elexperimento y acab por descubrir la relacinexistente entre dicha duracin y la longitud dela cuerda que soportaba al peso oscilante. Msadelante, hacia el ao 1673, Christian HUY-GENS10 encontr la expresin del periodo co-rrespondiente a las oscilaciones de pequeaamplitud, basando su demostracin en las leyesde cada de los graves, segn las haba enuncia-do Galileo. Puesto que las pequeas oscilacionesdel pndulo son iscronas, este dispositivo estil para la medida del tiempo11.

10 Christian HUYGENS (1629-1695), astrnomo, matemtico y fsico holands, nacido en LaHaya. Sus numerosos y originales descubrimientos cientficos le valieron un amplio reconocimientoentre los cientficos del siglo XVII.

11 Fue Huygens quin en 1657 present a los Estados de Holanda un reloj regulado porpndulo; al ao siguiente public una obra sobre tan importante aplicacin. En el ao 1673 apareciel admirable tratado De horlogio oscillatorio ex Christiano Huygenio, en el que se demuestran laspropiedades del isocronismo de las pequeas oscilaciones del pndulo, y de las del pndulocicloidal, asunto que trataremos ms adelante.

388 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

El pndulo simple se utiliz en las primeras determinaciones precisas de laaceleracin producida por la gravedad, debido a que tanto el periodo de lasoscilaciones como la longitud de la cuerda pueden determinarse con facilidad. Apartir de [13.94] podemos expresar g en funcin de T y de l; i.e.,

[13.95]g 4 2 lT2

13.10. Solucin exacta del problema del pndulo.- Los primeros estudiosacerca de las oscilaciones pendulares finitas fueron realizadas por el matemtico suizo LeonhardEULER (1707-1783) hacia el ao 1736. Para obtener la expresin general del periodo de lasoscilaciones pendulares deberemos proceder a integrar la ec. dif. del movimiento [13.91] de la masapendular. Sin embargo, puesto que el sistema es conservativo, el problema puede resolverse msfcilmente por medio de la integral de la energa.

La energa potencial gravitatoria de la masa pendular m, referida al plano horizontal que pasapor el punto ms bajo de su trayectoria (C), viene dada por

[13.96]Ep mgh mgl (1 cos) 2mgl sen22

y la energa total E es

Figura 13.21

[13.97]12ml 22 2mgl sen2

2E

En la Figura 13.22 hemos representado grfi-camente la energa potencial Ep en funcin delngulo . Podemos observar, en dicha grfica, quepara 0

13.10.- Solucin exacta del problema del pndulo. 389

extendindose la integracin a un ciclo completo del movimiento.

Figura 13.22

Cuando el movimiento es oscilatorio (0

390 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

Transformaremos sta integral en una forma tpica introduciendo una variable auxiliar ,definida por

[13.103]sensen

2

sen2

1K

sen2

con K sen 2

que toma los valores =0 y =/2 en los lmites de integracin en [13.102]. Con estas sustituciones,y tras hacer algunas operaciones, el lector comprobar que la expresin [13.102] adopta la forma

[13.104]T 4 lg

2

0

d1 K 2sen2

que corresponde a la forma tpica de una integral elptica completa de primera clase; la solucinde esta integral puede encontrarse en obras especializadas y puede escribirse en la forma

[13.105]

2

0

d1 K 2sen2

2

1

12

2K 2

1 32 4

2K 4

1 3 52 4 6

2K 6 ...

por lo que la expresin general del periodo T de las oscilaciones finitas del pndulo simple es

[13.106]T 2 lg

1

12

2sen2

2

1 32 4

2sen4

2

1 3 52 4 6

2sen6

2

...

As pues, el periodo es funcin de la amplitud de las oscilaciones. En la Figura 13.23 hemos repre-

Figura 13.23

sentado grficamente la variacin de T (en unidades de ) en funcin de , tomandoT0 2 l/gun nmero creciente de trminos en la expresin[13.106]. Se observar que el periodo T difieresignificativamente del correspondiente a las oscila-ciones de pequea amplitud (T0) cuando >20.Para valores de suficientemente pequeos, la serie[13.106] converge muy rpidamente; en esascondiciones ser suficiente tomar tan slo el primertrmino correctivo e, incluso, sustituir sen/2 por/2, de modo que tendremos

[13.107]T 2 lg

1

216

donde se expresar en radianes. Esta aproxima-cin resulta apropiada en gran parte de las situa-ciones que encontramos en la prctica; de hecho, lacorreccin que introduce el trmino 2/16 represen-

ta menos de 0.2% para amplitudes inferiores a 10. En la Tabla 13.2 se tabulan los valores delcociente T/T0 en funcin de la amplitud de las oscilaciones, tomando como base la expresin[13.106].

13.11.- Pndulo cicloidal. 391

13.11. Pndulo cicloidal.- Las oscilaciones del pndulo simple slo soniscronas para pequeas amplitudes. Sin embargo, existe un diseo especial en el queel periodo es independiente de la amplitud; se trata del pndulo cicloidal, llamado asporque est basado en una propiedad de la curva geomtrica llamada cicloide. Fuea Huygens a quien correspondi las primicias de este descubrimiento:

"El pndulo simple no puede ser considerado como una medida del tiempo segura y uniforme, porquelas oscilaciones amplias tardan ms tiempo que las de menor amplitud; con ayuda de la geometra heencontrado un mtodo, hasta ahora desconocido, de suspender el pndulo; pues he investigado lacurvatura de una determinada curva que se presta admirablemente para lograr la deseada uniformidad.Una vez que hube aplicado esta forma de suspensin a los relojes, su marcha se hizo tan pareja ysegura, que despus de numerosas experiencias sobre la tierra y sobre el agua, es indudable que estosrelojes ofrecen la mayor seguridad a la astronoma y a la navegacin. La lnea mencionada es lamisma que describe en el aire un clavo sujeto a una rueda cuando sta avanza girando; losmatemticos la denominan cicloide, y ha sido cuidadosamente estudiada porque posee muchas otraspropiedades; pero yo la he estudiado por su aplicacin a la medida del tiempo ya mencionada, quedescubr mientras la estudiaba con inters puramente cientfico, sin sospechar el resultado."

Christian HUYGENS: Horologium oscillatorium (1673).La cicloide es la curva generada

Figura 13.24

por un punto de una circunferencia querueda sobre una lnea recta. Si en unplano vertical construimos una trayecto-ria cicloidal, de base horizontal y conla concavidad dirigida hacia arriba,como se muestra en la Figura 13.24, taltrayectoria es tautcrona para el puntoC; i.e., el tiempo que emplear unapartcula P en resbalar (bajo la accinde la gravedad) hasta llegar a la posicin de equilibrio estable C es independiente dela posicin inicial de la partcula sobre la trayectoria cicloidal. Las oscilacionesalrededor de la posicin de equilibrio son rigurosamente iscronas en una trayectoriacicloidal como la anteriormente descrita, y el periodo de las oscilaciones, que esindependiente de la amplitud de las mismas, viene dado por

[13.108]T 2 4ag

donde a es el radio de la circunferencia que genera la cicloide. Por consiguiente, el

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4F3.pdf 04/11/2006 02:39:57

Figura 13.25

pndulo rigurosamente iscrono deberser tal que la masa pendular describauna trayectoria cicloidal (vide Proble-ma 13.36).

El pndulo cicloidal puede construirse (ala manera de Huygens) suspendiendo el hiloentre dos contornos slidos que tienen laforma de arcos de cicloide tangentes en supunto de unin Figura 13.25). Al oscilar elpndulo, el hilo se cie a uno u otro de esosdos contornos cicloidales, y la longitud

392 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

efectiva del pndulo queda as disminuida en una proporcin que depende de la amplitud de lasoscilaciones. Huygens demostr (vide Problema 13.37) que si la circunferencia que genera los doscontornos cicloidales tiene precisamente un radio que es la cuarta parte de la longitud del hilo desuspensin del pndulo (l=4a) entonces la masa pendular describe un arco de cicloide cuyacircunferencia generatriz tiene el mismo radio a. Un pndulo construido de acuerdo con estosprincipios es rigurosamente iscrono, y el periodo de sus oscilaciones es

[13.109]T 2 lg

Problemas13.1.- Una pelota rebota elsticamente una yotra vez sobre un suelo horizontal, alcanzandouna altura mxima h por encima del mismo.a) Es peridico el movimiento de la pelota?En caso afirmativo, cules son su periodo ysu frecuencia? b) Es armnico simple elmovimiento de la pelota? Explquese.

13.2.- Demostrar que el movimiento armnicosimple de una partcula puede describirse enfuncin de las condiciones iniciales (x0,v0) porla ecuacin

x(t) A sen( t ) v0

sen t x0 cos t

13.3.- El movimiento de un oscilador armnicosimple est descrito por la ecuacin

x=5 sen (0.2t + 0.5236)

donde todas las cantidades estn expresadas enel sistema c.g.s.. Determinar: a) la amplitud, elperiodo, la frecuencia y la fase inicial delmovimiento, b) la velocidad y la aceleracin yc) las condiciones iniciales.

13.4.- Una partcula ejecuta un m.a.s. con unperiodo de 2 s. En el instante inicial (t=0) seencuentra a 3 cm del origen y se mueve conuna velocidad de 5 cm/s acercndose hacia elorigen. a) Escribir la ecuacin del m.a.s. en lasformas Asen(t+) y Acos(t+). b) De-terminar el valor mximo de la velocidad y dela aceleracin de la partcula. c) Determinar laposicin, velocidad y aceleracin de la part-

cula en los instantes t=0.5, 1.0, 1.5, 2.0 y3.0 segundos.

13.5.- Una partcula est realizando un movi-miento armnico simple rectilneo; su veloci-dad mxima es de 80 cm/s y su aceleracinmxima es de 90 cm/s2. Encontrar la frecuen-cia y la amplitud de las oscilaciones.

13.6.- Las posiciones sucesivas de una partcu-la que ejecuta un m.a.s. son x=a, b y c;correspondientes a los instantes t=t0, 2t0, 3t0,respectivamente. Calcular el periodo delmovimiento.

13.7.- Dos partculas realizan sendos movi-mientos armnicos simples de la misma ampli-tud, frecuencia y origen a lo largo de unamisma lnea recta. Cada vez que se cruzan,movindose en sentidos opuestos, sus elonga-ciones son la mitad de la amplitud. Calcular ladiferencia de fase entre ambos m.a.s.

13.8.- El movimiento en el plano xy de unapartcula de masa m viene descrito por lasecuaciones para mtricas x=v0t, y=y0 cos t,donde t es el tiempo. a) Representar x e y enfuncin del tiempo t. b) Representar grfica-mente la trayectoria de la partcula. c) Qutipo de movimiento realiza la partcula? d) Ex-presar la velocidad y la aceleracin de lapartcula en funcin del tiempo. e) Qu fuerzaacta sobre la partcula?

13.9.- Una moneda permanece en reposo sobreuna plataforma horizontal que realiza unmovimiento armnico simple de amplitud A yfrecuencia v. a) Si la plataforma oscila verti-calmente, cul ser el valor mximo de A que

Problemas 393

permita a la moneda permanecer en contactopermanente con la plataforma? b) Supongamosahora que la plataforma oscila horizontalmentey que sea el coeficiente de rozamientoesttico entre la moneda y la plataforma. Culser, entonces, el valor mximo de A quepermita a la moneda permanecer en reposorespecto a la plataforma, sin deslizar?

13.10.- Una plataforma horizontal ejecuta unmovimiento armnico simple en direccinvertical, con una frecuencia de 8/ Hz y unaamplitud de 10 cm. Cuando la plataforma seencuentra en el punto ms bajo de su trayecto-ria, se coloca un pequeo cuerpo sobre ella.a) En qu posicin de la plataforma dejar elcuerpo de estar en contacto con ella? b) Has-ta que altura ascender el cuerpo por encimade la posicin ms alta alcanzada por la plata-forma?

13.11.- Un bloque cbico de madera, de aristaa y masa m, est flotando en un estanque. Loempujamos hacia abajo y despus lo abando-namos; cul ser la frecuencia de sus oscila-ciones?

13.12.- Hacer una estimacin del periodo delas oscilaciones verticales de un buque enfuncin de su calado. Hacer las simplificacio-nes que se consideren oportunas.

13.13.- Calcular el

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

Acr4F4.pdf 04/11/2006 02:43:05

Prob. 13.13

periodo de las oscila-ciones de la columnalquida contenida en untubo en U de seccintransversal constante,colocado verticalmente,como se muestra en lafigura.

13.14.- Calcular losvalores medios tempo-rales de la elongacin,velocidad y aceleracin del oscilador armnicosimple. Interprtense los resultados.

13.15.- a) Calcular el valor medio de la ener-ga potencial del oscilador armnico simplerespecto a la elongacin. b) dem para laenerga cintica. c) Interpretar los resultadosanteriores.

13.16.- Del extremo libre de un muelle de15 g de peso, suspendido verticalmente, secuelga una pesa de 50 g; se mide un alarga-miento de 5 cm. A continuacin, se aade otrapesa de 25 g y se deja que el sistema oscileverticalmente. Cul ser la frecuencia de lasoscilaciones?

13.17.- La escala de un dinammetro demuelle, que alcanza de 0 a 500 g, mide 8 cmde longitud. Del dinammetro se suspende unpequeo paquete, se le da un tirn hacia abajoy se observa que sus oscilaciones verticalespresentan una frecuencia de 3 Hz. Cuntopesa el paquete?

13.18.- Un bloque de masa m est unido a un

Prob. 13.18

muelle de constante elstica k de longitud l0.El conjunto est dispuesto sobre un planoinclinado liso, como se muestra en la figura.Determinar la posicin de equilibrio del bloquey la frecuencia de sus oscilaciones.

13.19.- De-

Prob. 13.19

terminar lasfrecuenciasde oscilacinc o r r e s p o n -d i e n t e s acada uno delos sistemasrepresentadosen la figura.

13.20.- Te-nemos unmuelle ho-mogneo del o n g i t u dnatural L yc o n s t a n t eelstica k.a) Lo corta-mos por la mitad, obteniendo as dos muellesidnticos. Cul es el valor de la constanteelstica de cada uno de ellos. b) dem si locortamos en tres partes iguales? c) dem si locortamos en dos piezas, cuyas longitudesnaturales sean L1 y L2, tales que L1 = nL2,siendo n un nmero natural?

13.21.- Disponemos de tres muelles idnticos.Los unimos en serie, uno a continuacin deotro, y fijamos uno de los extremos libres altecho, en tanto que del otro extremo suspende-mos un bloque de masa m. Cuando duplicamosla masa suspendida, el extremo inferior delconjunto serie desciende una distancia adicio-

394 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

nal h. a) Cunto vale la constante elstica decada muelle? b) Con los tres muelles dispone-mos ahora un montaje paralelo (cada muelletiene un extremo unido al techo) y suspende-mos una masa 3 m. Cul ser la frecuencia delas oscilaciones de este sistema?

13.22.- Consideremos un pequeo objeto, de

Prob. 13.22

masa m, que tan slo puede moverse a lo largode una recta, unido a un extremo de un muellede constante elstica k y de longitud natural l0.El otro extremo del muelle est unido a unpunto fijo A situado a una distancia h > l0 dela recta sobre la que se mueve el pequeoobjeto, como se muestra en la figura. Calcularla frecuencia de las pequeas oscilaciones delsistema.

13.23.- a) Una cuerda vertical, de masa des-preciable y longitud l=60 cm, est tensada poruna fuerza de 5 kg. En el centro de la cuerdase fija una masa m=10 g. Calcular lafrecuencia de las oscilaciones del sistemacuando se separa transversalmente la masa unapequea distancia (l) de su posicin de equili-brio y despus se abandona. b) dem cuando lamasa est situada a 20 cm de uno de losextremos de la cuerda tensa.

13.24.- Un reloj de pndulo que ha sidocuidadosamente ajustado para marcar el tiempocorrecto en un lugar donde g = 9.823 m/s2retrasa 40 s por da cuando se lleva a otrolugar geogrfico. Cunto vale g en ese lugar?

13.25.- Del techo de un vagn de ferrocarril secuelga un pndulo simple que bate segundoscuando el vagn est parado o se mueve conuna velocidad constante. Supongamos que elvagn se acelera horizontalmente cona0=3 m/s2; calcular el periodo de las pequeasoscilaciones del pndulo alrededor de sungulo de equilibrio.

13.26.- Un reloj de pndulo est proyectado demodo que su funcionamiento correctocorresponda a unas oscilaciones de 10 deamplitud. Supongamos que la amplitud dedichas oscilaciones disminuya muy por debajode los 10. Qu error acumulado a lo largo deun da corresponde a esta situacin?

13.27.- Un reloj de pndulo adelanta 6 minutospor da cuando la amplitud angular de susoscilaciones se hace muy pequea. Calcular elvalor apropiado de la amplitud de las oscila-ciones del pndulo para que el reloj marchecorrectamente.

13.28.- Un bloque de madera de 500 g de pesoest suspendido de un punto fijo mediante unhilo ligero de 1.5 m de longitud. Se disparahorizontalmente un proyectil, de 40 g de peso,que se incrusta en el bloque de madera. Comoconsecuencia del impacto, el bloque de maderacomienza a oscilar, con una amplitud sensible-mente superior a 30, midindose con granprecisin el periodo de esas oscilaciones,resultando T=2.614 s. Cul era la velocidaddel proyectil?

13.29.- Una partcula de masa m desliza, sinrozamiento, por el interior de un casquetehemiesfrico de radio R. a) Demostrar que elmovimiento de la partcula es el mismo que si

estuviese sujeta a un hilo de longitud R. b) Se

Prob. 13.29

abandonan, partiendo del reposo, dos partculasdesde las posiciones indicadas en la figura, cons2=2s1 mucho menores que R. En qu puntochocarn las dos partculas?

13.30.- La energa potencial de una partculade masa m que se mueve a lo largo del eje xest dada en funcin de su posicin sobredicho eje en la forma siguiente:

x < 0 ; Ep 3Ep,00

Problemas 395

13.31.- Una partcula de masa m y energa

Prob. 13.31

total E se mueve en el interior de un pozo depotencial cuadrado, de altura Ep,0 y anchuraa, como se muestra en la figura. Cambiamosligeramente la energa potencial mediante laintroduccin de una minscula irregularidadcuadrada, de altura UE y anchura x en elfondo del pozo de potencial. Demostrar que elperiodo de las oscilaciones experimenta uncambio que vale aproximadamente

T (x u) m2E 2

(Obsrvese que el efecto producido por lairregularidad depende simplemente del produc-to x u, y no de los valores individuales dedichas magnitudes).13.32.- Calcular la frecuencia de las pequeasoscilaciones alrededor de las posiciones deequilibrio de una partcula de masa m=1 g quese mueve a lo largo del eje x, estando definidasu energa potencial Ep (en ergios) por cadauna de las expresiones siguientes

a) Ep 24 x2 e 2x

b) Epax

b2x 2

donde a y b son constantes positivas.

13.33.- Calcular la frecuencia de las pequeasoscilaciones correspondientes al potencialLENNARD-JONES (vide Prob. 10.23)

Ep Ep,0

r0r

12

2

r0r

6

13.34.- Una partcula de masa m puede desli-zar (sin rozamiento) a lo largo de un carril quetiene forma parablica, de eje vertical y con laconcavidad dirigida hacia arriba. Se abandona

la partcula en un punto del carril, situado auna altura H sobre el fondo del mismo.a) Demostrar que el periodo de lasoscilaciones de la partcula es

T 2 b 2Hg

1

12

2K 2

1 32 4

2 K 4

3

1 3 52 4 6

2 K 6

5

1 3 5 72 4 6 8

2 K 8

7...

con K 2H2H b

y siendo b el radio de curvatura de la parbolaen su vrtice. b) Obtener la expresin delperiodo correspondiente a las oscilaciones depequea amplitud e interpretar el resultado.

13.35.- Ecuaciones paramtricas de la cicloi-de. De acuerdo con la definicin dada en eltexto, deducir las ecuaciones paramtricas dela cicloide.

13.36.- Una bolita de masa m est ensartada en

Prob. 13.36

un alambre liso, curvado en forma de cicloide,cuyas ecuaciones paramtricas son

x a ( sen ) y a (cos 1)

contenido en un plano vertical, de modo que labolita puede deslizar, sin rozamiento, bajo laaccin de su propio peso. a) Abandonamos labolita en el punto O. Demostrar que la bolitarealizar oscilaciones cuyo periodocorresponde al de las pequeas oscilaciones deun pndulo simple de longitud 4a. b) Demos-trar que el periodo de las oscilaciones de labolita es independiente del punto desde el quese abandone (isocronismo perfecto).13.37.- Pndulo cicloidal de Huygens. De-mostrar que si la circunferencia que genera losdos contornos cicloidales tiene precisamente un

396 Lec. 13.- Movimiento armnico simple.

radio que es la cuarta parte de la longitud delhilo de suspensin del pndulo (l=4a) entoncesla masa pendular describe un arco de cicloidecuya circunferencia generatriz tiene el mismoradio a.

14.- Oscilacionesamortiguadas y forzadas.

14.1. Rozamiento (398); 14.2. Oscilador armnico amortiguado (399);14.3. Amortiguamiento dbil (400); 14.4. Disipacin de energa (402); 14.5. Factor decalidad (404); 14.6. Amortiguamiento crtico (405); 14.7. Sobreamortiguamiento (406);14.8. Oscilaciones forzadas (407); 14.9. Absorcin de potencia. Resonancia (412);14.10. Impedancia de un oscilador (420); Problemas (424)

Hemos estudiado en la leccin anterior las oscilaciones libres del osciladorarmnico simple. Esto es, cuando el movimiento del oscilador es tal que susoscilaciones, una vez iniciadas, continan indefinidamente con la misma amplitud.En las oscilaciones libres, la energa total permanece constante. Por supuesto que lasoscilaciones libres no constituyen, por lo general, una situacin fsica real, ya quenormalmente existir una disipacin de energa (debido a la presencia de fuerzas derozamiento, por ejemplo), de modo que la energa del oscilador, y por ende laamplitud de sus oscilaciones, ir disminuyendo continuamente hasta que, finalmente,cesa el movimiento. Hablamos entonces de oscilaciones amortiguadas, en contraposi-cin a las oscilaciones libres.

Podemos evitar el amortiguamiento de las oscilaciones si disponemos de algnmecanismo capaz de suministrar energa al oscilador al mismo ritmo que ste la vacediendo al medio resistivo donde tiene lugar el movimiento. Hablamos entonces deoscilaciones forzadas. Un oscilador forzado es aqul que est accionado por unafuerza externa que realiza un trabajo sobre l. Por ejemplo, un columpio que recibaun impulso en cada oscilacin constituy