me2 11 - calculo básico de la scf
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8/16/2019 ME2 11 - Calculo Básico de La SCF
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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
ME2 - Serie Compleja de Fourier
Cálculo básico de la Serie Compleja de Fourier
MsC. Armando Mateus
Universidad ECCI
Programa de Ingeniería Electrónica
Clase
Mar 2016
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8/16/2019 ME2 11 - Calculo Básico de La SCF
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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
1 Coeficientes complejos desde los trigonométricos
Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
2 Serie Compleja de Fourier
Serie compleja de Fourier
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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
1 Coeficientes complejos desde los trigonométricos
Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
2 Serie Compleja de Fourier
Serie compleja de Fourier
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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
Teorema de Euler sobre la Serie de Fourier
Fact
Paso 1:
f (t ) = a 02
+∞
∑ n=1
a n cos(nωt ) +∞
∑ n=1
b n sin(nωt ) =
a 0 +∞
∑ n=1
a ne
inωt +e −inωt
2 +
∞
∑ n=1
b ne
inωt −e −inωt
2i
cos (nωt )) = e inωt +e −inωt
2 , sin(nωt ) = e
inωt −e −inωt
2i
C fi i l j d d l i é i S i C l j d F i
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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
Teorema de Euler sobre la Serie de Fourier
Fact
Paso 2:
f (t ) = a 02
+∞
∑ n=1
a ne
inωt +e −inωt
2 + b n
e inωt −e −inωt
2i =
a 0
2 +
∞
∑ n=1
a ne
inωt
2 + a n
e −inωt
2 + b n
e inωt
2i − b n
e −inωt
2i
C fi i t l j d d l t i ét i S i C l j d F i
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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
Teorema de Euler sobre la Serie de Fourier
Fact
Paso 3:
f (t ) = a 02
+∞
∑ n=1
a ne
inωt
2 + a n
e −inωt
2 + b n
e inωt
2i − b n
e −inωt
2i =
a 0
2 +
∞
∑ n=1
(a n−ib n)2
e inωt +∞
∑ n=1
(a n+ib n)2
e −inωt
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Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
Teorema de Euler sobre la Serie de Fourier
Fact
Paso 4:
f (t ) = a 02
+ ∞∑ n=1
(a n−ib n)2
e inωt + ∞∑ n=1
(a n+ib n)2
e −inωt =
c 0
2 +
∞
∑ n=1
c ne inωt +
∞
∑ n=1
c −ne −inωt
Definition
c 0 = a 0, c n = (a n−ib n)
2 , c −n =
(a n+ib n)2
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Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
Teorema de Euler sobre la Serie de Fourier
Fact
Paso 5:
f (t ) = c 02
+∞
∑ n=1
c ne inωt +
∞
∑ n=1
c −ne −inωt =
c 0
2 +
∞
∑ n=1
c ne inωt +
−1
∑ n=−∞
c ne inωt
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Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
Teorema de Euler sobre la Serie de Fourier
Fact
Paso 6:
f (t ) = c 02
+∞
∑ n=1
c ne inωt +
−1
∑ n=−∞
c ne inωt =
∞
∑ n=−∞
c ne inωt
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Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
Serie compleja de Fourier
1 Coeficientes complejos desde los trigonométricos
Aplicación del Teoréma de Euler a la Serie de Fourier
2 Serie Compleja de Fourier
Serie compleja de Fourier
Coeficientes complejos desde los trigonométricos Serie Compleja de Fourier
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p j g p j
Serie compleja de Fourier
Serie Compleja de Fourier
Definition
Serie compleja de FourierSea f (t ) una señal periódica, entonces se cumple
f (t ) =∞
∑ n=−∞
c ne inωt
Dónde∞
∑ n=−∞
c ne inωt se denomina serie compleja de Fourier y c n
coeficiente complejo de Fourier.
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p j g p j
Serie compleja de Fourier
Cálculo c nde a n y b n
Fact
c 0 = a 0, c n = (a n−ib n)2 , c −n = (a n+ib n)
2
Fact
c n = |c n|∠θz =
a 2n + b 2n∠ arctan
−b n
a n
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Serie compleja de Fourier
Cálculo de c n
Example
Para f (t ) = 5 + cos t
3 + 2 sin t
4− 3 cos t
5, determinar elcoeficiente c n.Paso 1:
Determinar parametros basicos y coeficientes:
ω0 = 160
a 0 = 5a 12 = −3, b 12 = 0a 20 = 1, b 20 = 0b 15 = 2, a 15 = 0
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Serie compleja de Fourier
Cálculo de c n
Example
Para f (t ) = 5 + cost
3
+ 2 sin
t
4
− 3 cos
t
5
, determinar el
coeficiente c n.Paso 2:
Determinar c nω0 =
160
c 0 = a 0 = 5
c 12 = a 12−ib 122 = − 32 , c −12 = a 12+ib 12
2 = −32c 20 =
a 20−ib 202
= 12
, c −20 = a 20+ib 20
2 = 1
2
c 15 = a 15−ib 15
2 = −i, c −15 =
a 15−ib 152
= i
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Serie compleja de Fourier
Cálculo de c n
Example
Para f (t ) = 5 + cost
3
+ 2 sin
t
4
− 3 cos
t
5
, determinar el
coeficiente c n.
Paso 3:
Plantear la Serie Compleja de Fourier
f (t ) = 5 − 32 e
it /
5
− 32 e −
it /
5
− ie it
/4
+ ie −it
/4
+ 12 e
it /
3
+ 12 e −
it /
3
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Serie compleja de Fourier
Cálculo de c n
Fact
c n = c −n
Fact
a n = 2Re [c n]
Fact
b n = −2Im [c n]
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Serie compleja de Fourier
Referencias
H.P. Hsu.
Análisis de Fourier .
Addison-Wesley Panamericana, 1973.
E. Kreyszig.
Matemáticas Avanzadas para Ingeniería Vol 2.
Lymusa Wiley .
http://find/