Autores Introducción: Néstor A. Navarro Desarrollo de temas: Fernando Maldonado

MÓDULO 1: SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES 1. INTRODUCCIÓN

1.1 Importancia del aprendizaje de la matemática

La matemática como ciencia formal permite al ser humano adquirir

habilidades de pensamiento relacionadas con la forma correcta de razonar

(relación causa - efecto), orden y jerarquización de tales raciocinios (lógica),

abstracción y generalización de ideas y conceptos, entre otras varias

habilidades; pero, sobre todo, nos proporciona la capacidad de romper con

el pensamiento “mágico” e indeterminado, según el cual no existen

relaciones de causalidad entre los diferentes eventos y circunstancias que

nos rodean, sino que el funcionamiento de la realidad está regido por

fuerzas aleatorias y vagas.

Se enfatiza esta idea puesto que en el momento actual se está presentando

la tendencia globalizante a retornar a un pensamiento, como se anotó

arriba, mágico, auspiciado por una cultura seudocientífica, y en el peor de

los casos por un movimiento de retorno a cosmovisiones primitivas,

ampliamente superadas a lo largo de la historia de la humanidad.

Se dice que la matemática es una ciencia formal en el sentido de que hace

abstracción de los objetos, sucesos y fenómenos del mundo real y sólo

trabaja con elementos del pensamiento. Es decir, hay una relación unívoca

entre los objetos reales y los objetos de la matemática. Como ejemplo

inmediato y sencillo, los números naturales no existen en la realidad

(realidad física, si se la puede llamar). Sin embargo podemos hablar de “un”

libro, “cinco” árboles, “cien mil” personas, etc, y el mismo número permite

referirnos a igual cantidad de otros objetos diferentes.

De igual modo, los procedimientos matemáticos de resolución de

problemas (sobre el papel), siguen el mismo esquema mental cuando se

resuelven problemas cotidianos.

Lo que se quiere decir con esto es que, con la misma mente con que se

vive diariamente, se hacen matemáticas. Las matemáticas no son una

forma diferente del pensamiento, como tal vez nuestra cultura

equivocadamente nos lo ha mostrado.

La matemática en sí misma no enseña a pensar, pero el abordaje de

conceptos matemáticos y las formas y protocolos propios del para la

expresión y comprensión de esos conceptos se constituyen en un

paradigma de pensamiento que se conoce como pensamiento lógico. El

pensamiento es una de las más altas cualidades del ser humano, cuya

adquisición debe entenderse dentro de un marco mucho más complejo,

relacionado con los procesos mentales. La matemática enseña a razonar de

acuerdo a unas reglas (lenguaje matemático). Prueba de ello es que no

todos los grandes artistas, músicos, pintores, arquitectos, cineastas,

políticos, líderes, etc, han sido matemáticos.

Infortunadamente nuestra idiosincrasia ha señalado como “pobre de

inteligencia” a aquel que no precisamente destaca por sus habilidades

matemáticas. Cosa de lamentar.

Llama también la atención el hecho de la dificultad que presentan las

matemáticas en su aprendizaje. Independientemente de adjudicarlo a

prejuicios culturales, tal dificultad radica en una sola cosa: “se está

trabajando con construcciones mentales”, (constructos), y la mente es

reticente a trabajar con objetos que no sean reales.

Todo el proceso escolar en el área de las matemáticas debe dirigirse a

pedagogías que ataquen justamente esta dificultad. Ello implica un trabajo,

primero de motivación y segundo de didáctica.

En últimas, el requisito primordial para el buen desempeño en matemáticas

es la disposición de ánimo de parte del Estudioso.

La matemática no solo se queda como una actividad del pensamiento sino

que trasciende a la realidad, dada esa correspondencia unívoca con esta

última. Es lo que se denomina la “aplicación” de las matemáticas. El éxito

de la ciencia y la tecnología como actividad humana reside en el poder que

reciben de las matemáticas para “modelar” la realidad. El “modelo

matemático” resulta ser la herramienta por excelencia en manos del

científico y el ingeniero. Describe adecuadamente el fenómeno y permite

mediante la cuantificación “predecir” resultados.

Dada la destreza que proporciona la matemática en el manejo de relaciones

mediadas por reglas, es de vital importancia para el profesional su

dominio, como quiera que las reglas forman parte del constructo de las

ciencias y disciplinas.

En el contexto de los programas académicos formales que ofrece la UMB,

las Matemáticas Básicas, como su nombre lo indica, fundamentan

prácticamente todas las asignaturas disciplinares, pues una herramienta

indispensable para el desarrollo científico y disciplinar está en la capacidad

de modelar matemáticamente los fenómenos observables, cuantificar

variables, establecer relaciones de causa y efecto desde el paradigma

lógico que aporta la abstracción matemática y como ya se ha mencionado,

el desarrollo del pensamiento lógico caracteriza un tipo de inteligencia que

se desarrolla y se fortalece a través del aprendizaje de las matemáticas,

pero que se convierte en una capacidad transversal de la estructura

cognitiva y por lo tanto potencializa otros tipos de inteligencias.

1.2 Estructura temática del módulo

Los contenidos alrededor de los cuales se desarrolla el módulo 1

son:

Sistemas numéricos y operaciones

Números Naturales (N) y Enteros (Z)

Números Racionales (Q)

Números Irracionales (I)

Números Reales ( R )

2. SISTEMAS NUMÉRICOS Y OPERACIONES

2.1 Definición de número

La necesidad de contar ha estado presente desde la misma historia del ser

humano, como un complemento a la adaptación del contexto que lo rodea (por

ejemplo: los ciclos de la naturaleza) y como un requisito para proteger sus

bienes. Los números aparecieron como una representación simbólica que facilitó el

conteo y que luego evolucionó desde los puntos y las agrupaciones decimales,

hasta los pictogramas, ideogramas y el alfabeto que hoy se conoce. Para el desarrollo de este módulo es adecuado partir de una revisión el concepto

y definición de número: • NÚMERO:

En términos generales, un número es un símbolo, una entidad abstracta que

permite expresar una magnitud determinada por cualquier tipo de medida

(cantidad, distancia, peso, etc.).

El número como concepto matemático expresa la cantidad de los elementos

de un conjunto, o el lugar que ocupa un elemento en una serie”1. 2. Tipos de números Los tipos de números más comunes, de acuerdo a su uso, son: Números Naturales (N): son los números utilizados para el conteo. En el sistema decimal son: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7… Números Enteros (Z): contienen a los naturales, más todos los enteros

negativos. En el sistema decimal so: …-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4… Números Racionales (Q): contienen todos los enteros los comúnmente

denominados números fraccionarios que se pueden expresar como cocientes de

dos enteros o como enteros con porciones decimales. En el sistema decimal son:

…-4, -3, -2.2, -2, -1, -3/4, 0, 1, 1.4, 2, 5/2, 3, 4, 25, 49, 2.17…

Números Irracionales (I): Corresponden aquellos números que no se pueden

expresar como cociente de dos enteros y su porción decimal está constituida por

infinitas cifras no periódicas. Algunos números irracionales muy utilizados en

matemáticas y otras ciencias se representan con símbolos especiales. También

corresponden a irracionales muchas expresiones que contienen radicales que

no poseen raíces exactas. Ejemplos: (−√2, 𝜋, e, √5).

Números Reales (R): compuestos por los racionales y los irracionales.

Ejemplos: (-4, -3, -2.2, -2, -1.543245, -1, -3/4, 0, 1, 1.4, 2, 2.5, 5/2, 3, 3.141592,

4, 25, 49). Números Complejos (C): constituidos por los reales y los imaginarios, o sea que a diferencia de los reales, también incluyen las raíces de los negativos. Ejemplos: (-4, -3, -2.2, -2, -1.543245, -1, -3/4, 0, 1, 1.4, 2, 5, 5/2, 3, 3.141592, 4,

√−2, 25, 49). Los números imaginarios. Se pueden definir como números expresados como el producto de la unidad imaginaria i por un número real, donde i denota la raíz cuadrada de -1. Ejemplo de número complejo:

4 + 2𝑖

1 CAYUELA Nuria, Larousse Diccionario Enciclopédico 2003, Colombia, Spes Editorial, S.L., Barcelona, p.726

2.2 Sistemas y conjuntos numéricos El término “sistema” hace referencia a la interrelación que existe entre las partes de un conjunto de elementos que funciona bajo un modelo determinable. Un conjunto numérico es una parte de un sistema numérico que obedece también a determinadas reglas y dentro del cual se pueden desarrollar ciertas operaciones que conducen a otros elementos del sistema o de otros sistemas. Los sistemas numéricos se conforman por conjuntos numéricos, y estos a su vez por los números con los que podemos “contar” y por lo tanto una primera propiedad de los sistemas numéricos es que sus elementos tienen jerarquías de posición (ordinalidad) unos con respecto a otros. Esta se conoce como propiedad de orden: Por ejemplo, el sistema numérico que corresponde a los conjuntos numéricos mas estudiados en matemáticas, utiliza como referente de ordinalidad el número 10. Esto significa que hay 10 elementos diferenciados por su notación y su orden:

0, 1, 2, 3, 4, 5. 6, 7,8, 9. Estos se conocen como los dígitos del sistema decimal, un sistema de origen hindú y luego adoptado e introducido al mundo occidental por los árabes, por lo que también se conocen como número arábigos. Los sistemas numéricos también se caracterizan por tener definidas operaciones que permiten realizar conteos abreviados como son la adición y la multiplicación, y estas operaciones están regidas por unas propiedades que se cumplen para los distintos conjuntos numéricos:

- propiedad conmutativa - propiedad asociativa - propiedad distributiva

Las operaciones entre números de un sistema se representan a través de signos denominados “operadores”:

Cuando se escriben los números entre paréntesis o un número precedido por un paréntesis, se entiende que la operación por defecto es multiplicación. Ejemplos:

Suma: + Resta: -

Multiplicación: punto ( . ) o signo “por” : “x”(equis) ó “∗” (asterísco).

División: ÷ , ó “:” , ó “/” (slash) , ó una línea horizontal (−).

(3)(4)

5(7-8+4)

La conmutatividad consiste en la propiedad que tienen la suma y la multiplicación de ser desarrollada con dos elementos de un conjunto numérico sin que importe el orden en el que se operan los dos números, para conducir al

mismo resultado. Si 𝑎 y 𝑏 son números Reales (Esto se escribe en lenguaje matemático: 𝑎 ∈ 𝑅 𝑦 𝑏 ∈ 𝑅).

𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

𝑎. 𝑏 = 𝑏. 𝑎 La asociatividad consiste en la propiedad de la suma y la multiplicación de conducir al mismo resultado independientemente de la forma como se asocien tres elementos, para operarse, teniendo presente que solo se pueden operar dos números a la vez.

𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 𝑎(𝑏. 𝑐) = (𝑎. 𝑏)𝑐

La propiedad (o ley) distributiva consiste en la posibilidad de multiplicar dos elementos asociados y operados mediante adición, en forma independiente con un número que opera al conjunto asociado, para conducir al mismo resultado que si se operan inicialmente los dos elementos sumados y luego se multiplica el resultado por el elemento no asociado.

𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 La mayoría de los sistemas numéricos, que en algebra abstracta se denominan algunos: “monóides”, otros: “de anillo” y otros: “de cuerpo”, tienen una propiedad conocida antiguamente como: clausurativa y actualmente como “propiedad interna” o “de cierre” y esta consiste en que, para determinadas operaciones entre dos números de un conjunto, se cumple que el resultado es otro elemento del mismo conjunto. Por ejemplo, para los Naturales, la propiedad de cierre se cumple para la adición y la multiplicación. Esto es, cualquier Natural, sumado con otro Natural da como resultado un Natural. De la misma forma: Un Natural, multiplicado por otro Natural, da como resultado un número Natural. En todos los conjuntos que se abordarán en este módulo existe un número neutro, este número es aquel con el cual se obtiene el mismo número al operarlo con otro del mismo conjunto. Existe un neutro para cada operación:

En los conjuntos de los números Naturales, Enteros, Racionales, Irracionales y Reales, el neutro para la adición es el cero (0) y el neutro para la multiplicación es el uno (1) porque, siendo “a” un número perteneciente a cualquiera de estos conjuntos, se cumple que:

𝑎 + 0 = 𝑎

𝑎. 1 = 𝑎 Algunos conjuntos numéricos como los Racionales (Q) y los Reales (R) tienen unos números asociados que se conocen como “inversos”: Hay “inverso aditivo” e “inverso multiplicativo”. La suma entre los inversos aditivos, da como resultado el neutro del sistema para la operación de adición El inverso aditivo de un número es también conocido como el “simétrico” del

número, Por ejemplo, si 𝑎 es un número entero, entonces −𝑎 es su simétrico o

su inverso aditivo, por lo tanto:

𝑎 + (−𝑎) = 0 La multiplicación entre los inversos multiplicativos, da como resultado el neutro

del sistema para la operación de multiplicación. Si 𝑎 es un número Racional o

Real, entonces, 1

𝑎 es su inverso multiplicativo, que también se puede representar

como : 𝑎−1, por lo tanto:

𝑎. (1

𝑎) = 1

𝑎. ( 𝑎−1) = 1 A partir de estas propiedades, en los sistemas numéricos que poseen una estructura algebraica de cuerpo, como son los conjuntos de los números Racionales (Q) y los Reales (R), aparecen definibles dentro de cada conjunto las operaciones de Resta (sustracción) y División (excepto la división por cero).

2.3 Números Naturales y Enteros (N y Z) 2.3.1 Los Naturales (N) El conjunto de los números Naturales está constituido por los denominados “Números de contar”: 1, 2, 3, 4…. y el cero (0) : 0, 1, 2, 3, 4, 5…

Propiedades aplicables a los números Naturales Conmutativa: El orden en que se sumen varios números Naturales no altera el resultado. Ejemplo:

5 +10 +27= 10+5+27 = 27+5+10 = 27+10+5 = 42 El orden en que se multipliquen varios números Naturales no altera el resultado. Ejemplo:

5 ∗ 8 ∗ 20 = 8 ∗ 20 ∗ 5 = 20 ∗ 5 ∗ 8 = 800 Asociativa: El orden en que se asocien varios números Naturales en una operación de adición, no altera el resultado. Ejemplo:

6+(8+15) = (6+8)+15 = (6+15)+8 = 29 El orden en que se asocien varios números Naturales en una operación de multiplicación, no altera el resultado. Ejemplo:

(7 ∗ 3) ∗ 10 = (7 ∗ 10) ∗ 3 = 210 Distributiva: Al multiplicar un número Natural por otros números que se adicionan en forma asociativa el resultado es igual a la suma de los productos del Número por cada uno de los sumandos en la expresión asociada. Ejemplo:

5(3 + 12 + 15) = 5 ∗ 3 + 5 ∗ 12 + 5 ∗ 15 = 150 Modulativa

Todo Número Natural sumado con cero (0) da como resultado el mismo número. Ejemplo:

4 + 0 = 4 Todo Número Natural multiplicado por uno (1) da como resultado el mismo número. Ejemplo:

9 ∗ 1 = 9 Las operaciones de sustracción y división de números Naturales no son clausurativas o cerradas, es decir que, no todas las operaciones de sustracción y división de números Naturales dan como resultado otros números Naturales. De estas operaciones pueden resultar números Enteros negativos o fraccionarios (Racionales).

2.3.2 Los Enteros (Z) Los Enteros son todos los naturales y los números simétricos de los naturales en la recta Real; es decir los Enteros están constituidos por los números Naturales y los enteros negativos.

Propiedades aplicables a los números Enteros Las propiedades conmutativa, asociativa, distributiva y modulativa, son aplicables también a los números enteros. Adicional a las propiedades mencionadas, es importante destacar que dentro de este conjunto, la sustracción es cerrada (clausurativa). Sin embargo la sustracción debe verse como la suma (adición) entre enteros positivos y enteros negativos:

𝑠𝑖 𝑎 𝑦 𝑏 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝐸𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛:

𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + (−𝑏) Para sumar dos números enteros que tienen signos diferentes, debe seguirse la siguiente norma:

El resultado de 𝑎 − 𝑏 es la diferencia entre 𝑎 𝑦 𝑏 y el signo del resultado es el

signo del número que tenga mayor valor absoluto entre 𝑎 𝑦 𝑏. Ejemplo:

5 − 9 = 5 + (−9)

- La diferencia entre 5 y 9 es: 4 - El número con mayor valor absoluto entre -9 y 5 es -9, y su valor absoluto

es 9. - Por lo tanto el signo del resultado es negativo - El resultado es -4

En conclusión:

5 + (−9) = −4 En este conjunto también es importante destacar que el número “simétrico” de un entero positivo es el entero negativo que tiene el mismo valor absoluto y viceversa. Por ejemplo, el simétrico de 4 es -4. Este también es denominado el

“inverso aditivo de 4”. La adición de un par simétrico de enteros es cero (0): si 𝑎

es un Entero, entonces:

𝑎 + (−𝑎) = 0

Jerarquías en operaciones con enteros y prioridad de operaciones Cuando se tienen secuencias de operaciones con números enteros en las que hay multiplicaciones y sumas (recuérdese que las restas deben verse como sumas entre números positivos y números negativos) implicadas y aun potencias, mediante el consenso de expertos en el tema, se ha establecido un orden de prioridades que permite hacer una sola interpretación de la expresión matemática. Las prioridades deben manejarse así: Mayor prioridad: Potencias, raíces y funciones Le siguen en orden de prioridad: Multiplicaciones y divisiones y expresiones entre paréntesis En último lugar de prioridad están: Sumas (que corresponden a sumas y restas) Una regla de frecuente uso en el proceso de manejo de jerarquías en procesos

de resolución de secuencias de operaciones con números de todos los conjuntos numéricos, es la ruptura de paréntesis precedido por signo menos: Al romper un paréntesis precedido por signo menos (-), se invierten los signos de los números que estaban dentro del paréntesis. Ejemplo 1: 3-(4+5)=3-4-5=-6 Ejemplo 2: Para solucionar el siguiente planteamiento: 3 + (5 − 4 + 8) − 4(3 + 15) + (7 + 4) − {2(5 −22)}

Siguiendo las reglas establecidas para decidir la prioridad, primero se solucionaría la potencia y luego las operaciones entre paréntesis: = 3 + (9) − 4(18) + (11) − {2(1)} La siguiente prioridad está en las multiplicaciones y otros paréntesis: = 3 + 9 − 72 + 11 − {2} = 3 + 9 − 72 + 11 − {2}

= 21 − 72 = 21 − 72 = −51

Otras operaciones cerradas con números enteros: Potenciación ¿Qué es una potencia? Una Potencia es una multiplicación de un número por sí mismo el número de veces que indica el exponente de la expresión.

𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 … . 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 Por ejemplo:

𝑎3 = 𝑎. 𝑎. 𝑎

𝑎𝑛 se lee: “𝑎 elevado a la n” o simplemente “𝑎 a la n”

𝑎3 se lee: “𝑎 a la tres” o "𝑎 al cubo”

𝑎2 se lee: “𝑎 a la dos” o "𝑎 al cuadrado”

Partes de una potencia:

Operaciones con Potencias en el conjunto de los enteros (Propiedades) Las potencias más simples y sus propiedades son aquellas que son cerradas en el conjunto de los números enteros. Estas son las potencias de base entera y exponente entero positivo. En este aparte se presentarán las propiedades de la suma y multiplicación de potencias de base entera y exponente entero positivo. Las potencias con exponentes negativos corresponden al campo de los números Racionales; las potencias con exponentes fraccionarios pertenecen a los campos de los números Racionales, Irracionales y Reales. Suma de potencias: Solo se pueden sumar potencias que tengan la misma base y el mismo exponente:

𝑎𝑛 + 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛

35+35= 2(35)=2(243)=486 Multiplicación de Potencias Cuando dos potencias tienen la misma base y diferentes exponentes la multiplicación de las dos potencias opera así: El resultado es la misma base elevada a la suma de los exponentes

𝑎𝑛. 𝑎𝑚 = 𝑎(𝑛+𝑚)

57. 510 = 517 Cuando dos potencias tienen diferente base y exponentes iguales la multiplicación de las dos potencias opera así: se multiplican las bases y se deja el mismo exponente:

𝑎𝑛. 𝑏𝑛 = (𝑎. 𝑏)𝑛

2.4 Los Racionales (Q) Los números racionales son todos los que resultan de la división de dos enteros. Pueden expresarse en forma de fraccionarios en forma de expresiones decimales. En esta última forma de expresión, los números racionales se caracterizan por tener una porción decimal finita o una porción decimal periódica. Ejemplos: 3

4;

125

7; 5; 0,25; 1,3333..

La expresión en forma de fraccionario tiene la siguiente composición y lectura:

Se lee: “tres cuartos”. Otro ejemplo:

Se lee: “dos diecisieteavos” ó “dos sobre diecisiete”.

Representación de números racionales en la recta real Para representar en la recta real un fraccionario o número racional se toma como

base el denominador Para dibujar las divisiones de la misma. Se4 debe recordar que al completar el número de divisiones igual al valor del denominador estamos completando la unidad. Por ejemplo, para representar 3/7 se trazan siete (7) divisiones que representan la unidad, y el segmento coloreado de rojo representaría la fracción.

Conversión de fracciones en expresiones decimales y viceversa - Conversión de fracción a decimal:

Esta conversión es sencilla: simplemente se debe realizar la operación de la división del numerador entre el denominador. Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción se denomina “impropia” y su expresión decimal es mayor que uno (1), mientras que, cuando el numerador es menor que el denominador la fracción se denomina “propia” y su expresión decimal es menor que uno (1). Por ejemplo:

Porque 3 dividido 4 es igual a 0,75

Porque 7 dividido 5 es igual a 1,4 Observe que al dividir 1 entre 3 para la fracción:

Es decir, que la porción decimal se repite indefinidamente. En estos casos

se dice que la porción decimal es periódica. Este tipo de números se puede representar, identificando la porción periódica y dibujando un pequeño arco sobre la porción de números decimales que conforman el periodo así:

Por ejemplo:

Lo que significa que la porción de los seis (6) dígitos que se representan bajo el arco o “sombrerito” es la porción que se repite indefinidamente. Para la práctica: Conviene advertir que para efectos prácticos, en una aplicación determinada en la que se utilicen números racionales en forma decimal, no es recomendable escribir todos los números decimales que muestra la calculadora o la hoja de Excel cuando se realiza la división. En muchos casos, basta con dejar uno o dos decimales después de la coma; para decidir cómo debe quedar la expresión final se aplican las reglas de redondeo. Para redondear una expresión que contienen varias cifras decimales se debe observar el número a la derecha de la última cifra que se va a dejar en la expresión; si este dígito es mayor o igual a 5 la cifra a la izquierda del mismo se aproxima a la siguiente unidad, mientras que si el dígito es menor que 5, la cifra a su izquierda se deja en el valor que tiene. Ejemplo: Para la última fracción representada, 1/7 corresponde en su versión decimal

a 0, 142857̂ . Si para un efecto práctico deseamos trabajar con un número aproximado a la fracción, redondeando la expresión en versión decimal a dos cifras decimales, esto se debe hacer así:

- Se observa la tercera cifra decimal: en este caso es “2”. - Si la cifra observada es mayor o igual a 5, la segunda cifra decimal se

aproxima a la siguiente. - Si la cifra observada es menor que 5, la segunda cifra se deja intacta.

- La expresión decimal, redondeada sería: 0,14.

Luego podemos afirmar que:

Esto se lee: “un séptimo es aproximadamente igual a 0,14.

Conversión de expresiones decimales a fracciones Primero, vamos a aprender a convertir decimales no periódicos a fracciones.

El procedimiento, en términos generales consiste en partir de escribir el decimal como un fraccionario cuyo denominador es uno (1) y luego se amplifica el fraccionario hasta eliminar la coma de la expresión decimal. Finalmente se simplifica la fracción resultante por un divisor diferente al factor usado para la amplificación, si es necesario. Para esto es importante adelantarnos a la explicación de una de las propiedades de las fracciones: Amplificación de fracciones: Si una fracción está expresada de la forma:

𝐹 =𝑎

𝑏

Entonces, el valor de F no se altera si se multiplica por una misma cantidad el numerador y el denominador en forma simultánea. A este proceso se le denomina “amplificación, si el factor por el que se multiplican el numerador y denominador de la fracción, es mayor que uno (1). Para que la fracción resultante pertenezca a los racionales, se requiere adicionalmente que este factor sea un número entero:

𝑠𝑖 𝑐 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝐹 =𝑎. 𝑐

𝑏. 𝑐, 𝑦 𝐹 𝑠𝑒𝑟á 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙

Simplificación de fracciones: una fracción se puede simplificar si el numerador y el denominador de la misma son números divisibles por un divisor común. En tal caso la fracción mantiene intacto su valor si el cociente final se expresa mediante los factores no comunes así:

𝑆𝑖 𝐹 =𝑎

𝑏

𝑦, 𝑎 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑒, 𝑦 𝑏 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑒, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:

𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑐 𝑦 𝑑 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑐 ∗ 𝑒 = 𝑎, 𝑦 𝑑 ∗ 𝑒 = 𝑏, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑜:

𝐹 =𝑐 ∗ 𝑒

𝑑 ∗ 𝑒=

𝑐

𝑑

Aplicando estos principios, observemos un ejemplo que nos permita ilustrar el procedimiento para convertir decimales no periódicos en fracciones: Deseamos saber ¿cómo se expresa en forma de fracción el decimal: 0,25?:

1. Se escribe el decimal en forma de fracción con denominador 1:

0,25

1

2. Se amplifica el fraccionario resultante por un múltiplo de 10 que tenga el

mismo número de ceros que el número de cifras decimales del numerador:

0,25 ∗ 100

1 ∗ 100=

25

100

3. Se Simplifica la fracción resultante, en este caso dividiendo por 25 tanto

el numerador como el denominador:

Para convertir números racionales con porción decimal periódica a su versión fraccionaria, vamos a ocuparnos en este texto solo de la explicación pertinente cuando el decimal periódico corresponde a un tipo denominado “periódico puro”. Queda por cuenta del lector la tarea de investigar el procedimiento para decimales periódicos mixtos.

Deseamos saber ¿cómo se expresa en forma de fracción el decimal: 0, 3̂?

1. Escribimos el número como su fuese una ecuación, representándolo con una variable:

𝐹 = 0, 3̂

2. Multiplicamos a ambos lados de la ecuación por un múltiplo de 10 hasta

desaparecer la coma:

10𝐹 = 3, 3̂

3. Restamos el número original a ambos lados de la ecuación. En el lado izquierdo representamos el número con la variable, mientras que en el derecho lo escribimos directamente:

10𝐹 − 𝐹 = 3, 3̂ − 0, 3̂

4. Realizamos la operación: observe que al hacer la resta se desaparece la porción periódica:

9𝐹 = 3 5. Despejamos la variable que representa al número y simplificamos:

𝐹 =3

9=

1

3

Propiedades y operaciones con fracciones Suma de fracciones homogéneas Se dice que dos fracciones son “homogéneas” si tienen el mismo denominador. Para sumar dos o más fracciones homogéneas, se debe tener en cuenta que el resultado es otro número racional cuyo numerador es la suma aritmética de los numeradores de las fracciones que se suman y el denominador de la fracción resultante es el mismo de las fracciones que se suman. Ejemplo:

2

5+

3

5−

1

5=

2 + 3 − 1

5=

4

5

Suma de fracciones heterogéneas Se dice que dos fracciones son “heterogéneas” si tienen diferente denominador. Para sumar dos o más fracciones heterogéneas, se deben amplificar o simplificar (si es posible) hasta convertirlas en fracciones homogéneas. En este proceso se debe buscar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de los denominadores, que se denomina entonces “el mínimo común denominador”. Ejemplo: Para sumar:

2

3+

7

9−

3

4

1. Debemos buscar que las tres fraccione sean homogéneas es decir que tengan el mismo denominador. Por esta razón debemos examinar inicialmente los denominadores:

3, 9 y 4 El múltiplo común de los tres números se determina descomponiendo cada uno en sus factores primos:

Esta página tiene un aplicativo que halla los factores primos en los cuales se puede descomponer un número: http://nosolomates.es/?page_id=635 (úsela para economizar tiempo, pero asegúrese bien de que, antes ha aprendido los conceptos implicados, pues la página no puede sustituir las competencias que debe adquirir). A partir de esta descomposición podemos concluir que cada número se puede expresar así:

3 = 3 9 = 3 ∗ 3 4 = 2 ∗ 2

Por lo tanto, el m.c.m de estos es 32 ∗ 22 = 9 ∗ 4 = 36 .

2. Una vez se halla el m.c.m entre los denominadores, se amplifica cada fracción de tal forma que quede con el mismo denominador calculado como m.c.m.

¿Cómo logramos que la fracción 1

3 se amplifique hasta que su

denominador sea 36? Hay dos formas posibles: - Por ensayo y error - Dividiendo 36 entre 3

En esta ocasión resulta más fácil usar la segunda alternativa: 36 dividido 3 da como resultado: 12; esto quiere decir que al amplificar por 12 la fracción 1/3, tenemos:

1

3=

12 ∗ 1

12 ∗ 3=

12

36

Amplificando las otras dos fracciones, usando el mismo procedimiento, tenemos:

7

9=

4 ∗ 7

4 ∗ 9=

28

36

3

4=

9 ∗ 3

9 ∗ 4=

27

36

3. Amplificadas todas las fracciones que se desean sumar, y habiéndolas convertido en fracciones homogéneas, procedemos a sumarlas mediante el procedimiento indicado:

2

3+

7

9−

3

4=

12

36+

28

36−

27

36=

12 + 28 − 27

36=

13

36

Multiplicación de fracciones La multiplicación de dos fracciones se realiza multiplicando “numerador con numerador y denominador con denominador”. Si la operación se propone entre más de dos fracciones, el resultado es el producto de los numeradores sobre el producto de los denominadores. Si hubiere lugar a una simplificación del resultado final, es recomendable que se efectúe. Ejemplos:

5

8∗

12

7=

60

56=

15

14

3

5∗

6

5∗

2

3=

3 ∗ 6 ∗ 2

5 ∗ 5 ∗ 3=

12

25

División de fracciones El procedimiento de división de fracciones requiere que se aborde un concepto que corresponde a una propiedad de los números racionales: El inverso de una fracción Si una fracción F, se expresa como:

𝐹 =𝑎

𝑏

Entonces el inverso de F, que se puede expresar como 1

𝐹 , o como 𝐹−1, es

1

𝐹=

𝑏

𝑎

El producto de una fracción por su inverso es igual a 1:

𝑎

𝑏∗

𝑏

𝑎= 1

Para dividir una fracción entre otra fracción haya dos procedimientos muy utilizados:

1. Se invierte el divisor y se cambia la operación de división por multiplicación. Ejemplo:

3

4÷

2

5=

3

4∗

5

2=

15

8

Recuerde que las denominaciones de los términos que operan en una división son estas:

2. Se representa la división de los dos fraccionarios, como en una macro fracción, así:

La fracción resultante tiene como numerador, el producto de los números que quedan en los extremos, y como denominador, el producto de los números que quedan en el medio:

3 ∗ 5

4 ∗ 2=

15

8

Propiedades de las operaciones con fracciones

- La suma de fracciones es conmutativa. Es decir, teniendo claro que el

signo de un fraccionario no indica operación, el orden en el que se sume un grupo de fracciones, no altera el resultado.

- La multiplicación de fracciones es conmutativa. - La división de fracciones no es conmutativa. - Las leyes ya explicadas, de prioridades en jerarquías y rupturas de

paréntesis se aplican también para los números racionales.

Manejo de potencias en expresiones racionales Para manejar las operaciones de potenciación en expresiones de tipo racional se requiere introducir una nueva propiedad de las potencias que no se explicó en el conjunto de los enteros porque no era aplicable para tal conjunto: División de potencias Cuando se tienen potencias en expresiones tipo fracción, las expresiones exponenciales pueden intercambiarse entre numerador y denominador invirtiendo el signo del exponente dentro de estas:

𝑎𝑛

𝑏𝑚=

𝑏−𝑚

𝑎−𝑛=

𝑎𝑛. 𝑏−𝑚

1=

1

𝑏𝑚. 𝑎−𝑛

Ejemplo:

32

24=

2−4

3−2=

32. 2−4

1=

1

3−2. 24

División de potencias de la misma base Aplicando el principio expuesto, una división de potencias de la misma base se puede expresar como el producto de las potencias, donde el divisor se convierte en un factor, en el que el exponente cambia de signo; por lo tanto se aplica para esta última operación la propiedad de multiplicación de potencias que indica que el resultado es la misma base elevada a la suma de los exponentes, en este caso la suma será entre exponentes positivos y exponentes negativos. Ejemplos:

35

32=

35 ∗ 3−2

1= 35−2 = 33 = 27

55

58=

1

58 ∗ 5−5=

1

58−5=

1

53=

1

125

Potencias de números fraccionarios Al elevar un número fraccionario a un determinado exponente, el exponente afecta tanto al numerador como al denominador de la fracción, por consiguiente:

Ejemplo:

2.5 Los Irracionales (I) En la antigüedad, Algunas de las escuelas de pensamiento griegas (siglo VII A.C), tenían cierta obsesión por la perfección y en esta filosofía encajaba bien la matemática y con esta la mayoría de propiedades de los números y de las figuras geométricas y sus parámetros; sin embargo encontraron con cierta decepción, los primeros números irracionales en segmentos geométricos y para no alterar la teoría matemática de la época no los incorporaron a los conjuntos numéricos vigentes. Solo hasta los siglos V a XV, fueron los indios, los que inventaron el sistema de numeración actual, introdujeron los números negativos y comenzaron a operar con los números irracionales de forma similar que con los racionales sin representarlos geométricamente. Utilizaron símbolos especiales para las operaciones algebraicas, como la radicación, encontraron métodos para resolver ecuaciones, y descubrieron el principio de la estructura del binomio de Newton (aunque solo lo expresaron en forma verbal). Los números irracionales se caracterizan por poseer infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón repetitivo. Debido a ello, los más célebres de éstos

son identificados mediante símbolos, dos de ellos son: 𝜋 y 𝑒.

Los miembros de la escuela pitagórica también descubrieron números

irracionales en las diagonales de triángulos. Actualmente sabemos que esas diagonales están estrechamente relacionadas con las expresiones que actualmente representamos como radicales:

√2 ,√5, √63

,√325

Todos los vacíos que dejan los números racionales en la recta Real, son llenados por los Irracionales. Aunque los irracionales también abarcan números que no se expresan como radicales, en este aparte vamos a centrarnos principalmente en las expresiones radicales, por lo que conviene identificar su notación y sus partes:

La expresión de un radical indica, no solo la representación más exacta del número, sino una operación que es inversa a la potenciación.

Ejemplo:

Si √16 = 4, entonces 42 = 16 Operaciones con números Irracionales La suma de números irracionales solo es posible con expresiones radicales

o números que se representen con símbolos especiales (como 𝜋 y 𝑒) que sean

idénticas, teniendo presente que estas pueden ir acompañadas de diferentes coeficientes, caso en el cual, la suma opera como la de las expresiones algebraicas; por ejemplo:

√2 + 5√2 = 6√2

2√5 - 7√5 = -5√5

De tal forma que:

√𝑎𝑛

+ √𝑏𝑛

no es √𝑎 + 𝑏𝑛

En otras palabras, la suma de dos radicales con el mismo índice n, no es la raíz enésima de la suma de los radicandos. Esta pedagogía extraña y un tanto “negativa” en este aparte, es necesaria porque esta incorrecta aplicación de una supuesta propiedad de las raíces, es uno de los errores más frecuentes que cometen los estudiantes en la resolución de ejercicios con radicales. Expresión en forma de potencia, de radicales Uno de los recursos más útiles para trabajar con radicales es expresarlos en forma de potencia: Toda raíz enésima de un número se puede expresar como una potencia con exponente fraccionario así:

√𝑎𝑚𝑛= 𝑎

𝑚𝑛

Esto se lee: “la raíz 𝑛 de 𝑎 a la 𝑚 es 𝑎 , elevado a la, 𝑚 sobre 𝑛”. Observe que en la interconversión de la expresión, el índice del radical se convierte en el denominador del exponente de la potencia y el exponente del radicando se convierte en el numerador del exponente de la potencia. Ejemplos:

√523= 5

23

√3 = 31

2⁄ Multiplicación de radicales Para multiplicar dos radicales, en la mayoría de los casos conviene representarlos en forma de potencias y someter la operación a las propiedades de las potencias: Multiplicación de radicales con el mismo índice

La multiplicación de dos radicales que tienen el mismo índice se puede realizar dejando el resultado bajo el mismo índice y multiplicando los radicandos.

√𝑎𝑛

. √𝑏𝑛

= √𝑎. 𝑏𝑛

La misma operación con los radicales expresados en forma de potencias, es.

𝑎1

𝑛⁄ . 𝑏1

𝑛⁄ = (𝑎. 𝑏)1

𝑛⁄

En este procedimiento se aplica la propiedad de las potencias que establece que un número elevado a un exponente, se puede expresar como la multiplicación de sus factores, elevados cada uno al mismo exponente. Ejemplos:

√53

.√123

=√5 ∗ 123

= √603

√6 ∗ √3 = √18 Multiplicación de radicales con índices diferentes En este caso resulta bastante útil usar las expresiones de los radicales en forma de potencia. Es posible reducir una expresión que contenga radicales con diferentes índices si estos se logran expresar como potencias que tengan el mismo exponente, utilizando la propiedad de amplificación de fraccionarios con los exponentes. Ejemplo:

Simplificar: √33

. √2

Solución:

1. Escribimos los radicales como potencias:

√33

. √2 = 313. 2

12

2. Buscamos el común denominador de los exponentes fraccionarios:

Entre 1/3 y ½, el denominador común es 6.

3. Escribimos cada potencia con el exponente fraccionario amplificado:

313. 2

12 = 3

26. 2

36

Observe que: 1

3=

2

6 y

1

2=

3

6

4. Dejamos el numerador del fraccionario como exponente “interno” de la base para lograr que las dos bases queden con el mismo exponente, en este caso: 1/6:

5. Englobamos las dos potencias bajo el mismo exponente fraccionario,

resolvemos las potencias y regresamos la expresión a su forma radical:

División de radicales y simplificación de expresiones con radicales A partir de los principios ya expuestos y teniendo en cuenta que los radicales, escritos en su versión en forma de potencias, pueden manejarse aplicando todas las propiedades de las potencias, es posible realizar operaciones de división y simplificación de expresiones racionales con radicales. Ejemplo: Simplificar:

√√23

√23

Solución:

1. Esta expresión en la versión en forma de potencias queda así:

2. Al operar la expresión del numerador, donde se aplica la propiedad que

dice: “Una potencia elevada a otro exponente es igual a la base elevada al producto de los dos exponentes”. Como en este caso ambos exponentes son fraccionarios se aplica la regla de multiplicación de fraccionarios:

3. Siguiendo propiedades de las potencias en el campo de los números

racionales, se puede “pasar” la potencia del denominador al numerador, invirtiendo el signo del exponente, así:

4. Como, en este caso, las dos bases son iguales, podemos dejar la misma

base y sumar los exponentes; adicionalmente, un fraccionario cuyo denominador es uno (1) se puede escribir como un entero; entonces resulta:

5. Simplificando el exponente fraccionario tenemos:

6. Esta expresión no suele ser la más ortodoxa para presentar la respuesta

final, por lo que generalmente se busca expresar el resultado nuevamente en su forma de radical.

Finalmente, los matemáticos suelen recomendar que las expresiones que tienen radicales en el denominador se transformen para expresarlas con radicales en el numerador, mediante un proceso denominado “racionalización”. En este caso la forma de lograr eliminar la raíz del denominador es multiplicar “arriba” (el

numerador) y “abajo” (el denominador) por √223.

Por lo tanto, racionalizando:

2.6 Los Reales (R) El conjunto de los números Reales es el conjunto compuesto por los números Racionales y los números Irracionales. Los conjuntos numéricos estudiados hasta ahora: Los Naturales, Los Enteros, Los Racionales y los Irracionales están contenidos en los Reales.

Existe aún un debate entre los matemáticos sobre si el cero (0) forma parte de los Naturales o no. En el desarrollo y presentación de este conjunto numérico, como pudo observar en los apartes correspondientes, decidimos incluirlo dentro de los Naturales; sin embargo, en algunas propuestas análogas a este diagrama usted encontrará que los Enteros se describen como constituidos por los

Naturales, el cero (0) y los Enteros negativos; por supuesto en este tipo de propuestas, los autores consideran que los Naturales no incluyen el cero (0). El conjunto de los números Racionales y por consiguiente el de los números Reales se consideran “densos”: esto significa en conceptos matemáticos que entre un par de números Reales siempre existe otro número Real. La recta Real La consecuencia de lo afirmado en el párrafo anterior es que a cada número Real corresponde un punto sobre la recta y cada punto de la recta numérica representa un número Real.

En esta recta podemos clasificar todos los Reales en: Reales positivos (hacia la derecha del cero), los Reales negativos (hacia la izquierda del cero) y el cero (0), que no tiene signo.

En la recta Real, si 𝑎 es un número que pertenece al conjunto de los Reales esta

situación se representa así en lenguaje de la matemática:

𝑎 ∈ R

Se lee: “ 𝑎 pertenece al conjunto de los números Reales”

Si desea jugar un rato para reforzar este concepto, vaya a los siguientes sitios:

1. Representación de números racionales en la recta Real

2. Representación de números irracionales en la recta Real

3. Representación de decimales (es decir: racionales) en la recta Real

Leyes de orden (tricotomía) Si 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ R, entonces se cumple una y solo una de las siguientes relaciones:

𝑎 = 𝑏 𝑎 es igual a 𝑏

𝑎 > 𝑏 𝑎 es mayor que 𝑏

𝑎 < 𝑏 𝑎 es menor que 𝑏

Ley de cierre (clausurativa) para la suma y el producto

Para todo 𝑎 y 𝑏 que pertenecen a los número Reales, se cumple que la suma

de 𝑎 mas 𝑏 es también un número Real.

Si 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ R ⇒ (𝑎 + 𝑏) ∈ R

Esta ley se cumple también para la multiplicación de números Reales. Intente leerla a partir de su expresión en lenguaje matemático:

Si 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ R ⇒ (𝑎. 𝑏) ∈ R

Ejemplos:

(12.5 + √2) es un número Real:

𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒: 13,9

(12.5)(√2) =25√2

2

25√2

2 es un número Real

Ley conmutativa para la suma y la multiplicación

Dados dos números reales 𝑎 y 𝑏:

𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂

𝒂. 𝒃 = 𝒃. 𝒂 Ley asociativa para la suma y la multiplicación Dados tres números Reales: a, b y c:

𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 + (𝒃 + 𝒄)

𝒂(𝒃. 𝒄) = (𝒂. 𝒃)𝒄

Ley distributiva Dados a, b y c que pertenecen a los Reales, entonces:

𝒂(𝒃 + 𝒄) = 𝒂𝒃 + 𝒂𝒄

(𝒂 + 𝒃)𝒄 = 𝒂𝒄 + 𝒃𝒄 Neutro de la suma:

Existe un valor único que pertenece a los Reales que sumado con un real 𝑎 da

como resultado el mismo 𝑎. Este número único es el cero (0).

𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 Cero es el neutro para la suma de números reales.

Neutro de la multiplicación:

Existe un valor único que pertenece a los Reales que multiplicado con un real 𝑎 da como resultado el mismo 𝑎. Este número único es el uno (1).

𝑎(1) = 1(𝑎) = 𝑎 Uno (1) es el neutro para la multiplicación de números reales.

Inverso aditivo:

Dado un número 𝑎 que pertenece a los Reales, existe un número Real,

simétrico de 𝑎, denotado como – 𝑎 que sumado con 𝑎, da como resultado el

neutro de la suma para los números Reales: Se dice entonces que el inverso

aditivo “anula” al número dado (𝑎) cuando se suma con éste.

Si 𝑎 ∈ R, ⇒ −𝑎 es el inverso aditivo de 𝑎, y:

𝑎 + (−𝑎) = 0

Inverso multiplicativo:

Dado un número 𝑎 que pertenece a los Reales, diferente de cero (𝑎 ≠ 0), existe

un número Real, denotado como 𝑎−1 que multiplicado con 𝑎, da como resultado

el neutro de la multiplicación para los números Reales: Se dice entonces que el

inverso multiplicativo “cancela” al número dado (𝑎) cuando se multiplica con éste.

Si 𝑎 ∈ R, ⇒ 𝑎−1 es el inverso multiplicativo de 𝑎, y:

𝑎. 𝑎−1 = 1

𝑎−1 =1

𝑎

Logaritmos Es posible armar parejas de operaciones inversas en matemáticas. Se dice que una operación es inversa a otra si esta revierte los efectos causados por la primera. Por ejemplo:

- Suma y resta - Multiplicación y división - Potenciación y radicación -

Pero en el caso de la potenciación el tema se diversifica un poco, porque en una potencia hay dos cifras protagonistas: la base y el exponente. Representemos nuevamente la forma general de una potencia, pero esta vez también representando el resultado con una variable:

En esta representación se denota el resultado de la potencia como 𝑏, la base es

𝑎 y el exponente es 𝑛.

Repasemos el concepto de potencia con base en esta representación:

La expresión 𝑎𝑛 significa que 𝑎 se multiplica por sí misma 𝑛 veces, es decir:

𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑛 𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 Por ejemplo:

54 = 5 ∗ 5 ∗ 5 ∗ 5 = 625 De tal forma que podemos escribir que:

625 = 54 A partir de esta última expresión, repasemos también el concepto de raíz enésima:

Como: 𝑏 = 𝑎𝑛, entonces √𝑏𝑛

= 𝑎, y de ahí surge el concepto de raíz enésima:

La radicación es la operación inversa de la potenciación que conduce a la base original. En otras palabras la radicación responde la pregunta: ¿cuál era la base de un determinado resultado (es decir un número real) si conocemos el exponente al cual se elevó? Analicémoslo con el ejemplo: Suponga que usted no sabe ¿cuál número se elevó a la cuarta potencia (4) para

dar como resultado 625? Ese número es “𝑎”. En otras palabras, para este ejemplo, existe un 𝑎 ∈ R tal que:

𝑎4 = 625

Ese número 𝑎 se representa en matemáticas como: √6254

Y al final, podemos concluir, incluso si usamos un procedimiento de ensayo y

error para determinar 𝑎, que:

√6254

= 5 Pero, ¿qué ocurre si, teniendo el resultado, es decir 𝑏, y la base, es decir 𝑎, quisiéramos saber a cuál exponente se elevó la base para llegar a ese resultado?

En otras palabras, suponga que Tiene 𝑎 y 𝑏 de una previa operación de

potenciación y desea conocer el valor de 𝑛.

Es decir: si 𝑏 = 𝑎𝑛, entonces ¿Cuál es el valor de 𝑛 si conocemos 𝑏 y 𝑎?

Detengámonos un momento en la forma de la expresión:

𝑛 es el exponente al cual se debe elevar la base 𝑎 para obtener el resultado 𝑏. Y estamos justo ante la definición de una nueva operación inversa del

potenciación, pero que esta vez no nos conduce a la base sino al exponente.

Decimos entonces que el exponente 𝑛 ∈ R, al cual se debe elevar la base 𝑎 para

obtener el resultado 𝑏, es el logaritmo en base 𝑎 de 𝑏 y se representa así:

Observe que dos de los nombres usados en la potenciación han cambiado para

esta operación: el resultado de la potencia, 𝑏, se denomina ahora argumento

puesto que es el número sobre el que opera la función; La base, 𝑎 , sigue

identificándose con su nombre y el exponente, 𝑛, ahora se llama “logaritmo”.

Para ilustrar toda la argumentación que venimos presentando con el ejemplo que también venimos manejando:

Si 625 = 54, entonces 4 es el exponente al cual se debe elevar la base 5 para obtener como resultado 625. Es decir que, si no conociéramos dicho exponente, y conociéramos la base 5 y el resultado 625 (ahora llamado argumento), la pregunta que puede surgir es: ¿A cuál exponente debemos elevar la base 5 para obtener 625? Es decir:

Existe un exponente 𝑛 ∈ R, tal que:

5𝑛 = 625

Dicho exponente 𝑛 es: “El logaritmo en base 5 de 625”, y se representa:

𝑙𝑜𝑔5625 = 𝑛 Ya sabemos, porque conocemos la potencia inicial, que dicho exponente es 4, por lo tanto:

𝑙𝑜𝑔5625 = 4 Aunque esta ilustración se ha realizado con una potencia básica, y en este caso el exponente del ejemplo es entero, dado que la logaritmación es una operación

aplicada sobre el conjunto de los números Reales, la mayoría de las veces que

debemos calcular un logaritmo nos encontraremos con que el exponente 𝑛 no es un número entero sino cualquier número Real.

Es importante hacer esta aclaración ya que aunque hemos utilizado 𝑛 para

representar el logaritmo con el fin de hacer una comparación entendible con las

potencias, y 𝑛 suele utilizarse en matemáticas para denotar números enteros,

en este caso, 𝑛 representa cualquier número Real. De aquí en adelante el

logaritmo, es decir el exponente que se desea hallar con una determinada base

y un argumento se representará con la letra 𝑥.

Logaritmos decimales y logaritmos naturales Un logaritmo se caracteriza principalmente por la base: Existen dos clases de expresiones logarítmicas que se constituyen en las más usadas en matemáticas cuando se opera con logaritmos: Logaritmos decimales Un logaritmo decimal es una expresión logarítmica cuya base es 10 Se denota:

𝑥 = 𝑙𝑜𝑔10𝑏 Dado que se ha extendido ampliamente su utilización en diversos campos, al igual que para las raíces cuadradas no se explicita que el índice es el número 2, en su notación, en la notación delos logaritmos decimales suele omitirse la escritura de la base. Este acuerdo nos lleva a interpretar siempre como logaritmo en base 10 una expresión e la que no se escriba la base. Por ejemplo: Si escribimos que:

2 = 𝑙𝑜𝑔100

Se debe sobreentender que la base de referencia sobre la que estamos calculando el logaritmo es 10. En este caso, la interpretación el logaritmo se debe hacer así: “2 es el exponente al que se debe elevar 10 (la base) para obtener como resultado 100” Usos de los logaritmos decimales

Una aplicación de este tipo de logaritmos está en la escala de pH utilizada para determinar el carácter ácido o alcalino de una sustancia. El pH se define como 𝑝𝐻 = −𝑙𝑜𝑔(𝑐𝐻+), donde 𝑐𝐻+ es un parámetro químico (cuantificable) que no vamos a explicar en detalle en esta ejemplificación, pero que indica precisamente el grado de acidez de una sustancia disuelta o mezclada con alguna porción de agua. El pH oscila en una escala de 0 a 14. Desde 0 hasta 7 (sin incluirlo) se dice que la sustancia es ácida y de 7 a 14 es alcalina. Justo en un pH de 7 la sustancia no es ni ácida ni alcalina. Estos números de la escala de pH (que según lo que venimos explicando son exponentes ya que son logaritmos) resultan mas fáciles

de manejar que los valores del parámetro químico: 𝑐𝐻+, dado que en el nivel de medición de estos valores, se trata de cantidades muy pequeñas y con variaciones relativamente enormes para ser representadas en una escala lineal. A través de este ejemplo podemos concluir que los logaritmos, entre otros usos, sirven para transportar escalas de difícil manejo cuando hay grandes variaciones en los valores de las variables que se desean representar por su comportamiento o naturaleza. Logaritmos naturales “El descubrimiento de los logaritmos no se produjo aisladamente, por un único proceso. Dos caminos condujeron a su hallazgo: los cálculos trigonométricos para las investigaciones astronómicas aplicables a la navegación, y el cálculo de las riquezas acumuladas en lo que se refiere a las reglas de interés compuesto. Ambos caminos inspiraron respectivamente a John Napier y a Jobst Bürgi en el descubrimiento de los logaritmos”2. Los logaritmos naturales tienen una historia un tanto compleja y no son tan naturales como nuestra intuición nos permite asociar al término. Se caracterizan

porque su base es el número irracional 𝑒 (llamado también número de Euler).

La notación usual para este logaritmo es 𝑙𝑛(𝑥) , y aunque la historia de la matemática los ha asociado incorrectamente con los denominados logaritmos neperianos (en honor a Napier), parece que el primero en darle el nombre de logaritmos naturales fue Nikolaus Mercator en 1668. Su protagonismo se fue haciendo más evidente al resultar asociados con diversas herramientas matemáticas, como la derivada, la integral, o las series de Taylor. 3 , lo que causa una enorme curiosidad pues así como son de misteriosos los número

2 Tapia M. Javier. Historia de los logaritmos. Apuntes de Historia de las Matemáticas, Vol 2, No. 2, Mayo 2003. Disponible en internet el 16-10-2014 en : http://www.mat.uson.mx/depto/publicaciones/apuntes/pdf/2-2-1-logaritmos.pdf. 3 Orden David. Yo también viví engañado: El logaritmo Neperiano no usaba la base e. Cifras y teclas. Disponible en internet el 14-10-2014 en: < http://cifrasyteclas.com/2013/11/25/yo-tambien-vivi-enganado-el-logaritmo-neperiano-no-usaba-la-base-e/>.

irracionales, la base e resulta involucrada en una enorme variedad de aplicaciones relevantes para la matemática. Un logaritmo natural, representado en forma explícita sería:

ln(𝑎) = 𝑙𝑜𝑔𝑒𝑎

Se lee: El logaritmo natural de 𝑎 es el logaritmo en base 𝑒 de 𝑎” Y volviendo a nuestra interpretación del logaritmo a la luz del concepto de potencia, correspondiente podemos decir que si:

𝑥 = ln (𝑎) Entonces 𝑥 es el exponente al cual se debe elevar la base 𝑒 para obtener el

número 𝑎.

Lo anterior significa que para que se cumpla que 𝑥 = ln (𝑎), se debe cumplir

también que 𝑒𝑥 = 𝑎.

Propiedades de los logaritmos 1. El logaritmo de la base es 1:

𝑙𝑜𝑔𝑎𝑎 = 1 Porque:

𝑎1 = 𝑎 2. El logaritmo de 1 es cero:

𝑙𝑜𝑔𝑎1 = 0

Porque:

𝑎0 = 1

Es decir, el único exponente, para cualquier base, que conduce a un resultado igual a 1 es cero (0).

3. El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores que componen el argumento:

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏. 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) + 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑐) Esto, porque:

𝑎(𝑚+𝑛) = 𝑎𝑚. 𝑎𝑛, siendo 𝑏 = 𝑎𝑚 𝑦 𝑐 = 𝑎𝑛

Ejemplo:

𝑙𝑜𝑔2(4 ∗ 8) = 𝑙𝑜𝑔2(4) + 𝑙𝑜𝑔2(8)

Como 𝑙𝑜𝑔2(4) = 2 y 𝑙𝑜𝑔2(8) = 3 , entonces, aplicando la propiedad tenemos:

𝑙𝑜𝑔2(4 ∗ 8) = 3 + 2 = 5

Ahora hagámoslo directamente para comprobar:

𝑙𝑜𝑔2(4 ∗ 8) = 𝑙𝑜𝑔2(32) = 5

4. El logaritmo de un numero racional en forma de fraccionario, es igual a la diferencia de los logaritmos del numerador y el denominador:

𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏

𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) − 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑐)

Ejemplo:

𝑙𝑜𝑔5 (25

625) = 𝑙𝑜𝑔5(25) − 𝑙𝑜𝑔5(625)

Como 𝑙𝑜𝑔5(25) = 2 y 𝑙𝑜𝑔5(625) = 4 , entonces, aplicando la propiedad tenemos:

𝑙𝑜𝑔5 (25

625) = 2 − 4 = −2

Por l otro lado, si realizamos la división de 25 sobre 625 tenemos:

25

625= 0,04

Utilizando la calculadora, se observa que el:

𝑙𝑜𝑔5(0,04) =log(0.04)

log(5)= −2

Para esta prueba utilizamos otra propiedad que se explicará mas adelante que permite calcular un logaritmo en una base a partir de logaritmos en otra base.

5. El logaritmo de un potencia es igual al exponente multiplicado por el

logaritmo de la base:

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏𝑚) = 𝑚. 𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏)

Ejemplo:

𝑙𝑜𝑔2(42) = 2𝑙𝑜𝑔2(4) = 2 ∗ 2 = 4

Por el otro lado, si calculamos la potencia tenemos que 42 = 16 y:

𝑙𝑜𝑔2(16) = 4

6. El logaritmo de la base elevada a un exponente es igual dicho exponente

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎𝑚) = 𝑚

Esto es prácticamente un axioma, porque, si 𝑏 = 𝑎𝑚 , entonces por definición:

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) = 𝑚 si se cumple que 𝑏 = 𝑎𝑚

Ejemplo:

𝑙𝑜𝑔10(102) = 2

Porque: el exponente al que se debe elevar 10 para que nos dé como

resultado 102 es 2.

7. Cambio de bases para el cálculo de un logaritmo: El logaritmo de un

número en una base determinada puede calcularse como el cociente de los logaritmos, en una nueva base, del argumento y la base anterior:

𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑏) =𝑙𝑜𝑔𝑐(𝑏)

𝑙𝑜𝑔𝑐(𝑎)

Observe que la nueva base es 𝑐

Ejemplo: Esta propiedad ya se había ejemplificado para calcular el logaritmo en base 5 de 0,04:

𝑙𝑜𝑔5(0,04) =log(0.04)

log(5)= −2

8. Un número elevado al logaritmo con base en el mismo número, es igual

al argumento del logaritmo.

𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏

Si (1) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑎

(𝑏) entonces, (2) 𝑎𝑥 = 𝑏

Reemplazando (1) en (2), demostramos que:

𝑎𝑥 = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑏 Ejemplo:

𝑒𝑙𝑛5 = 5 Porque, si 𝑥 = 𝑙𝑛5 entonces por definición, 𝑒𝑥 = 5 Por lo tanto

𝑒𝑙𝑛5 = 5