Evidencia de aprendizaje. Aplicaciones de la integral de lnea y superficie.

Instrucciones.

1. Cul es la distancia de un camino delimitado por la integral de lnea , si est sobre el segmento rectilneo que va del punto .

Datos:

Ecuacin de la grfica

Trayectoria:

Primero parametrizamos el segmento rectilneo que une los puntos, la frmula que se utiliza es: para , sustituyendo los puntos tenemos:

De donde:

Sustituimos estos valores en la integral , tenemos:

Resultado: la distancia es igual a 2. En un taller mecnico se tiene un resorte cuya forma es igual a una hlice, se necesita calcular su masa, para ponerlo en un arns. Si la frmula para obtenerlo es:

Cuya densidad es y la parametrizacin , cul es la masa del resorte?En este ejemplo, te proporcionan la curva parametrizada, por lo tanto no es necesario encontrar la parametrizacin. Escribimos los datos dentro de la definicin de integral de lnea y resolvemos. Partiendo de la derivada de r(t), buscamos el valor de :

Escribimos los datos dentro de la definicin de integral de lnea y resolvemos:

Sustituimos en la frmula

=

==

3. En un laboratorio se necesita determinar el flujo de un lquido, si ste se limita por el campo vectorial (x, y, 0) a travs del cilindro de radio 1, y el plano . Determina el flujo del lquido.Las superficies orientadas se utilizan en problemas de fsica, para calcular el flujo de un campo vectorial sobre alguna superficie. Para un campo vectorial continuo , que se define sobre una superficie orientada con un vector normal unitario , la integral de superficie se define de la siguiente forma:

El cilindro presenta tres superficies a integrar, S1, S2 y S3, como se observa en la figura.Frmula de un Cilindro con radio 1:

Como el campo vectorial no presenta componente , omitimos las integrales de S1 y S2 correspondientes a las tapas del cilindro, pues stas sern igual a cero, es decir, si consideramos slo S3 tendremos:Parametrizando, realizamos un cambio de variable y tenemos:

Entonces el vector sobre R3 queda definido as:

Nos piden que calculemos el rotacional de F, y para esto, utilizamos la siguiente expresin:

=

Por lo tanto:

Por lo tanto, como el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y entonces se dice que el fludo es irrotacional.

Fuentes consultadas:http://www.wikimatematica.org/index.php?title=RotacionalCurso Clculo de Variables II, Jannete Ambrosio A, Unadm, 2014.