INTRODUCCIONA LA

TEORIA DE LAESTADISTICA

ALEXANDER M. MOODy

FRANKLIN A. GRA YBILL

INTRODUCCIONA LA

TEORIA DE LA

ESTADISTICAAdaptacin a la :z.& edicin norteamericana por

RAFAEL PRO BERMEJOProfesor de la Escuela de Estadistica dc la Universidad de Madrid

coleccin ciencia y tcnicaseccin matemticas y estadsticaobra incorporada con el asesoramientode luis bravo gala

la cuarta edicin espaola se ha preparadosobre la traduccin de la primera edicin originalrealizada por francisco azorn poch

edicin espaola aguilar s a de ediciones 1955 1969 juan bravo 38 madriddeposito legal m 2053/1978cuarta edicin-cuarta reimpresin-1978ISBN 84-03-20102-8printed in spain impreso en espaa por grficas emamiguel yuste 31 madrid

edicin original rncgraw-hill book company 1952 1963introduction to the theory of statistics (second edition)mcgraw-hill book company inc new york

PROLOGOS

PROLOGO DEL TRADUCTORA LA PRIMERA EDICION ESPAOLA

Aunque todava no es muy grande el nmero de obras de Estads-tica, originales o traducidas al espaol, parece oportuno subrayarlos relevantes mritos de este libro, que hicieron preferir su tra-duccin a la de tantos textos publicados hasta la fecha en Inglaterray en los Estados Unidos. Creemos que esta obra es, entre las denivel medio, la que mejor tiene en cuenta las necesidades prcti-cas del estadstico de hoy, lo que ya se pone de manifiesto en ladefinicin que de la Estadstica da el autor al comienzo delcaptulo primero, como CI tecnologa de la experimentacin cien-tficaD

En cuanto al ingrato problema de la traduccin de trminos yconceptos, que la ausencia de un medio universal de. expresin im-pone al cientfico moderno, hemos procurado seguir en lo posiblela nomenclatura utilizada en obras anteriormente publicadas poresta Editorial, en particular las ms recientes de Introduccin a laEstadstica matemtica, traducida por J. Ros Jimeno, y Mtodosmatemticos de Estadstica, cuyo traductor es E. Cansado. Quiz lams discutida haya sido la de traducir las palabras inglesas test ytesting por las espaolas de dcima .y docimasia. En la Nota deltraductor de la ltima obra citada se justifica extensamente suempleo, as como el inconveniente de otras traducciones propuestas.En muchos casos, se ha traducido test y to test por contraste ycontrastar, lo que en general no ofrece inconvenientes, pero en lateora del diseo de experimentos se usa en ingls el tm;zino con-trast para indicar una combinacin de efectos, que permite el con-traste (en el sentido de oposicin, contraposicin o diferencia entreSerf!S o COSasD) entre los resultados de diferentes tratamientos ovariedades, por lo que aqu parece ms conveniente reservar lapalabra espaola contraste para la traduccin del trmino inglscontrasto

Confiamos en que esta obra podr desempear un papel tilentre los textos estadsticos directamente accesibles a los lectoresde habla espaola, y recordamos que gran parte de estos textos

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x PROLOGOS

han sido publicados por Aguilar, S. A. de Ediciones, que por ellomerece nuestro reconocimiento. Deseamos que esta traduccin ocupeun puesto honroso entre Introduccin a la Estadstica matemtica,de Yule-Kendall, y Mtodos matemticos de Estadstica, de H. Cra-mr, contribuyendo as a la ya iniciada formacin de tcnicos esta-dsticos en Espaa y en Hispanoamrica.

FRANCISCO AZORN.

PREFACIO DEL AUTORA LA PRIMERA EDICION

Este libro se ha desarrollado a partir de un conjunto de notaspreparadas por m en 1945. En aquella fecha no exista texto mo-derno especialmente dirigido a quienes empezaran a estudiar esta-dstica matemtica. Desde entonces la situacin ha mejorado consi-derablemente, y si yo hubiera sabido por anticipado los libros quehaba en preparacin, es probable que no me hubiera decidido a es-cribir esta obra. No obstante, como el libro parece ser suficientementedistinto a los dem,s en el modo de presentar las cosas, espero puedaproporcionar a profesores y estudiantes una til posibilidad de eleccin.

Las notas antes mencionadas se emplearon durante tres aoscomo texto en un curso para estudiantes ya graduados, de dos nive-les diferentes, en el Iowa State College. Solo se exiga para estecurso un ao de clculo, requerimiento que prejuzga el nivel dellibro (la clase de clculo en Iowa constaba de cuatro horas sema-nales e inclua un estudio detallado de desarrollos de Taylor, deri-vadas parciales e integrain mltiple). No se suponan conocimien-tos previos de estadstica.

Es este un libro de estadstica, no de matemticas, como cual-quier matemtico podr ver fcilmente; no hay gran rigor mate-mtico en sus desarrollos, por la sencilla razn de que resultarapesado y supondra una prdida de tiempo injustificada en estenivel de enseanza; claro es que el rigor en los razonamientosresulta totalmente es~ncial en buena estadstica y he procuradoponerlo as de manifiesto, haciendo que el lector se d cuenta desu necesidad y subrayando varios fallos 'en argumentos rigurosos.

Aunque este texto se refiere primordialmente a la teora de laestadstica, se ha tenido plenamente en cuenta a aquellos estudian-

t~ que temen perder un solo momento en frivolidades matemticas.Toda cuestin nueva viene acompaada de un pequeo cortejo decuestiones prcticas y, lo que es ms importante, se ha llevado aefecto un serio esfuerzo para ilustrar por medio de problemas lasdiversas formas en que puede aplicarse la teora.

Los problemas constituyen parte esencial del libro: se extiendendesde simples ejemplos numricos a teoremas que se necesitan en

XI

XII PROLOGOS

captulos posteriores, e incluyen materias tal vez ms importantesque algunas de las estudiadas en el texto; el que una materia sehaya tratado o no en los problemas se ha basado ms en la con-veniencia de hacerlo as que en su importancia; por ejemplo, casitodas las cuestiones de correlacin se tratan en los problemas. Mepareci poco eficaz ocuparme dos veces de las cuestiones multiva-riantes: una desde el punto de v.ista de la regresin, y otra desdeel de la correlacin. En el texto se ha expuesto con mayor insisten-cia la regresin por su carcter ms general.

El autor de un libro de texto ha de sentirse en deuda, prctica-mente, con todos los que han tratado la materia correspondiente,y desde aqu me reconozco obligado a todos los estadsticos. Noobstante, al reconocer explcitamente su contribucin hl de fijarun lmite, y yo he simplificado la situacin trazando este muy alto;solo mencionar, pues, a los ms destacados.

Mi mayor deuda personal es con S. S. Wilks, quien despert miinters por la estadstica y fue mi mentor durante mi poca deestudiante. Cualquier mrito que pueda tener este libro deberatribuirse en gran parte a sus meditadas explicaciones y a la com-prensiva direccin de mis estudios.

Todos mis colegas en el Iowa State College han contribuido a micomprensin y visin general de la estadstica. Reconozco en par-ticular lo mucho que debo a G. W. Brown, W. G. Cochran yG. W. Snedecor.

Entre los numerosos estudiantes que revisaron por completo lasnotas originales debo mencionar, por sus excelentes comentarios ysugerencias, a H. D. Block, quien, al final del manuscrito, hizo deeste una cuidadosa y competente revisin. Margaret Kirwin y RuthBurns tradujeron con esmero mis garabatos en una perfecta copiamecanogrfica. Bernice Brown y miss Burns leyeron cuidadosamentetodas las peuebas de imprenta.

Estoy en deuda tambin con Catherine Thompson y MaximeMerrington, y con E. S. Pearson, director de Biometrika, por habermepermitido incluir las tablas 111 y V, que son versiones abreviadasde tablas publicadas en Biometrika. Lo mismo digo respecto a losprofesores R. A. Fisher. y Frank Yates, y a la firma Oliver andBoyd, Ltd., de Edimburgo, por su 'autorizacin para reproducir latabla IV de su libro Tablas estadsticas para investigadores cient-ficos 1.

1 Hay edicin espafiola de Aguilar, S. A. de Ediciones, 1954.

PREFACIO DEL AUTOR A LA PRIMERA EDICION XIII

En el ltimo captulo hay algunas dcimas a libre distribucin,que fueron desarrolladas conjuntamente por G. W. Brown y por men el Iowa State College, en \In proyecto del Office of NavalResearch. El profesor Brown me ha permitido generosa y amable-mente incluir este material, que debiera haber aparecido impresopor primera vez con su nombre y el mo. Estas dcimas aparecenen las secciones 16-5 a 16-9.

ALEXANDER McFARLANE MOOD.

PREFACIO DE LOS AUTORESA LA SEGUNDA EDICION

Dado que la primera edicin de esta obra se public en 1950,muchas nuevas tcnicas estadsticas se han creado desde entonces,y muchas otras, que eran solo del dominio de los estadsticos ma-temticos, se conocen y utilizan ahora por los estadsticos aplicados.Para incluir parte de este material hemos tenido que eliminar otro,con el fin de no aumentar excesivamente el volumen del libro. Elpropsito general de exponer la teora en conexin con problemasprcticos concretos contribuy, aparentemente en gran medida, alxito de la primera edicin, y hemos procurado mantenerlo en lapresente.

Para estudiar este libro no es preciso haber seguido un cursoprevio de estadstica. La preparacin matemtica necesaria es lausual en un primer curso de clculo. Aunque no esencial, es deseableposeer algn conocimiento de la aritmtica de matrices; por otraparte, en el captulo 9 se hace una breve introduccin de las opera-ciones necesarias. Se han sealado con asterisco algunas de las seccio-nes que utilizan recursos de lgebra matricial y que pueden omitirsesin interrumpir la continuidad del libro.

Los autores se sienten en deuda con el profesor Herman Chernoff,que dedic mucho tiempo a revisar a fondo gran parte del manuscrito,incluso redactando de nuevo varias secciones.

Tambin expresamos nuestra gratitud al Dr. David Weeks, queley la totalidad del manuscrito; a Terrence Connell~ William Oweny Scott Urquhart, que nos ayudaron en la correccin de pruebas;as como a los doctores James Pachares y Leon Harter y a losdirectores de Biometrika por su amable autorizacin para reproducirdeterminado material en las tablas VI, VII y VIII.

ALEXANDER M. MOOD.FRANKLIN A. GRAYBILL.

INDICE GENERAL

IN DICE GENERAL

PRLOGO DEL TRADUCTOR A LA PRIMERA EDICIN ESPAOLA .. .. Pg. IX

P!mFACIO DEL AUTOR A LA PRIMERA EDICIN .. .. XI

P!mFACIO DE LOS AUTORES A LA SEGUNDA EDICIN XIV

CAP. l.-INTRODUCCIN ........ , ... ... ... ... 31-1. Estadstica, pg. 3.-1-2. Objeto y amplitud de este libro, 6.-1-3. Sis-tema de referencia, 7.-Bibliografa, 7.

CAP. 2.-PROBABILIDAD ... .. . .. .. . .. . ... ... ... ... ... ." ... ... .., 92-1. Introduccin, pg. 9.-2-2. Probabilidad clsica o a priori, 9.-2-3. Probabilidad a posteriori o frecuencial, 12.-2-4. Modelos de proba-bilidad, 15.-2-5. Conjuntos de puntos, t~.-2-6. Desarrollo axiomtico dela probabilidad, 21.-2-7. Espacio muestral discreto con un nmero finitode puntos, 22.-2-8. Permutaciones y combinaciones, 23.-2-9. Frmula deStirling, 29.-2-10. Notaciones de sumas y productos. 30.-2-11. Losteoremas binomial y polinomial, 30.-2-12. Funciones generatrices combi-natorias, 33.-2-13. Probabilidad marginal, 37.-2-14. Probabilidad con-dicional. 40.-2-15. Dos leyes bsicas de la probabilidad, 42.-2-16.. Su-cesos i:ompuestos, 45.-2-17. Independencia, 51.-2-18. Variables aleato-rias, 52.-Prbblemas, 54.-Bibliografa, 60.

CAP. 3.-VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS ...... '" ... ... ... ...... 613-1. Introduccin, pg. 61.-3-2. Funciones de cuanta, 65.-3-3. Distri-buciones multivariantes, 66.-3-4. Distribucin binomial, 75.-3-5. Distri-bucin polinomial, 80.-3-6. Distribucin de Poisson, 81.-3-7. Otrasdistribuciones discretas, 83.-Problemas, 84.-Bibliografa, 87.

CAP. 4.-VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS ...... '" ... ... ... ...... 884-1. Introduccin, pg. 88.---4-2. Variables aleatorias continuas, 88.---4-3. Dis-tribuciones multivariantes, 96.--4-4. Distribuciones acumulativas, 99.-4-5. Distribuciones marginales, 104.--4-6. Distribuciones condicionales, 106.4-7. Independencia, 107.--4-8. Muestra aleatoria, 108.---4-9. Distribucionesdeducidas de otras, 1I0.-Problemas, 113.-,-Bibliografa, 117.

CAP. 5.-VALORES ESPERADOS y MOMENTOS ... ... ... ... ... ... ...... 1185-1. Valores esperados, pg. 118.-5-2. Momentos, 122.-5-3. Funcionesgeneratrices de momentos, 130.-5-4. Momentos para distribuciones mul-tivariantes, 133.-5-5. El. problema de los momentos, 134.-5-6. Esperan-zas condicionales, 134.-Problemas, 136.-Bibliografa, 139.

CAP. 6.-DISTRIBUCIONES CONTINUAS ESPECIALES ... ... ...... 1406-1. Distribucin uniforme, pg. 140.-6-2. La distribucin normal, 141.-6-3. La distribucin gamma, 145.--6-4. La distribucin beta, 148.-6-5. Otrasdistribuciones, 151.--6-6. Funciones de densidad completas, 151.-Proble-mas, 155.-Bibliografia, 159.

CAP. 7.-MUESTREO ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 1607-1. Inferencia inductiva, pg. 160.-7-2. Poblaciones y muestras, 162.-7-3. Distribuciones muestrales, 164.-7-4. Momentos muestrales, 166.-'7-5. Ley de los grandes nmeros, 169.-7-6. El teorema central del lmi-te, 172.-7-7. A9I:oximacin DQ1'D1al a la distribucin binomial, 176.-7-8. Papel de la distrIbucin normal en estadstica, 119.-Problemas, 180.Bibliografa, 183.

XVII

XVIII INDlCE GENERAL

CAP. 8.-EsTIMACIN PUNTUAL ...................... , ... '" .... ,. 1858-1. Teora de la decisin, pg. 185.-8-2. Estimacin puntual, 190.-8-3. Estadsticos suficientes; caso de un solo parmetro, 193.-8-4. Estads-ticOfl suficientes; ms de un parmetro, 196.-8-5. Estimador insesga-do, 198.-8-6. Estimador consistente, 199.-8-7. Estimadores asinttica-mente eficientes, 200.-8-8. Estimadores insesgados de varianza mnima, 202.8-9. Principio de mxima verosimilitud, 206.-8-10. Algunos estimadoresmximo-verosmiles, 210.-8-11. Propiedades de los estimadores mximo-verosmiles, 213.-8-12. Estimacin por el mtodo de los momentos, 214.-8-13. Estimadores de Bayes, 215.-Problemas, 221.-Bibliografa, 226.

CAP. 9.-DISTRIBUCIN NORMAL MULTIVARIANTE '" .... ,. .. ... ...... 2289-1. La distribucin normal bivariante, pg. 228.-9-2. Matrices y deter-minantes, 234.-9-3. Distribucin normal multivariante, 238.-Problemas, 248.Bibliografa, 252.

CAP. lO.-DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO ,. 25310-1. Distribuciones de funciones de variables aleatorias, pg. 253.-10-2. Distribucin de la media muestral para densidades normales, 259.-10-3. Distribucin ji cuadrado, 259.-10-4. Independencia de la mediay varianza muestrales en densidades normales, 261.-10-5. La distribucineF, 265.-10-6. Distribucin eh de Student, 267.-10-7. Distribucin delas medias muestrales en densidades binomiales y de Poisson, 268.-10-8. Distribucin, en muestras grandes, de estimadores mximo-veros-miles, 270.-10-9. Distribucin de estadsticos ordinales, 276.-10-10. Reco-rrido cstudentizado, 279.-Problemas, 280.-Bibliografa, 284.

CAP. H.-ESTIMACIN POR INTERVALOS ...... '" ..... , ... .. ... .. ~8511-1. Intervalos confidenciales, pg. 285.-11-2. Intervalos confidencialespara la media de una distribucin normal, 289.-11-3. Intervalos confiden-ciales para la varianza de una dilltribucin normal, 291.-11-4. Regin con-fidencial para la media y la varIanza de una distribucin normal, 293.-l1-S. Mtodo general para la obtencin de intervalos confidenciales, 295.-11-6. Intervalos confidenciales para el parmetro de una distribucin bino-mial, 299.-11-7. Intervalos confidenciales para muestras grandes, 301.-11-8. Regiones confidenciales para muestras grandes, 303.-11~9. Intervalosconfidenciales mltiples, 307.-Problemas, 312.-Bibliografa, 315.

CAP. l2.-DoCIMASIA DE HIPTESIS .. , ... ... .. ... ... ... ... 31712-1. Introduccin, pg. 317.-12-2. Dcima de una hiptesis simplecontra una alternativa simple, 324.-12-3. Hiptesis compuestas, 335.-12-4. Docimasia de (J ~ (J, contra 8> 8, para densidades con un parmetronico 8, 339.-12-5. Docima&ia de la hiptesis H.: (J, ~ (J ~ 8. contra la hip-tesis alternativa H.: 8> 8., (J i= (J" 341.-12-6. Dcima de la razn de vero-similitud generalizada, 343.-12-7. Dcimas relativas a la media de unapoblacin normal, 347.-12-8. Diferencias entre las medias de dos poblacio-ciones normales, 350.-12-9. Dcimas de la varianza de una distribucinnormal, 354.-12-10.-Dcima de la bondad del ajuste, 356.-12-11. Dc-mas de independencia en tablas de contingencia, 359.-Problemas, 368.Bibliografa, 376.

CAP. l3.-REGRESIN E HIPTESIS LINEALES , 37813-1. Introduccin, pg. 378.-13-2. Modelos lineales simples 379.-13-3. Prediccin, 386.-13-4. Discriminacin, 389.-13-5. Estimacin pun-tual. Caso B, 391.-13-6. El modelo lineal general, 394.-Problemas, 410.Bibliografa, 413.

CAP. l4.-MoDELOS DE DISEO EXPERIMENTAL ... ... ... ... ... ...... 41514-1. Introduccin, pg. 415.-14-2. Modelo de disefto experimental, 417.14-3. Modelo de clasificacin simple, 431.-14-4. Modelo de clasificacindoble, 433.-14-5. Otros modelos, 438.-Problemas, 438.-Bibliografa, 442.

CAP. 15.-DCIMAS SUCESIONALES DE HIPTESIS ... ... ... ... ...... 44415-1. Anlisis sucesionales, pg. 444.-15-2. Construccin de dcimas su-cesionales, 445.-15-3. Funciones de potencia, 449.-15-4. Tamafto mues-tra! medio, 453.-15-5. Inspeccin por muestreo, 456.-15-6. Inspeccinpor muestreo sucesional, 459.-15-7; Dcima sucesional para la media deuna poblacin normal, 461.-Problemas, 463.-Bibliografa, 466.

INDICE GENERAL XIX

CAP. 16.-MTODOS NO PARAMTRICOS .. , ..... oo oo.... 46716-1. Introduccin, ppg. 467.-16-2. Una distribucin bsica, 468.-16-3. Po-sicin y dispersin, 470.-16-4. Comparacin de dos poblaciones, 474.-16-S. Lmites de tolerancia, 482.-16-6. Dcima de rangos para dos mues-tras, 483.-16-7. Eficiencias asintticas y dcima de aleatorizacin, 486.Problemas, 489.-Bibliografa, 492.

TABLAS .. , oo. oo. oo oo oo '" oo , oo. 493Descripcin de las tablas, pg. 49S.-Tabla 1: Ordenadas de la funcinde densidad normal, 498.-Tabla II: Distribucin normal acumulati-va, 499.-Tabla III: Distribucin ji cuadrado acumulativa, SOO.-Tabla IV:Distribucin a~umulativa de cStudent, 50l.-Tabla V: Distribucin Facumulativa, S02.-Tabla VI: Puntos porcentuales superiores del 1% delrecorrido studentizado, 504.-Tabla VII: Puntos porcentuales superiores delS% del recorrido studentizado, SOS.-Tabla VIII: Puntos porcentuales su-periores del 10 % del recorrido studentizado, 506.

SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS AL FINAL DE LOS CAPTULOS. 509

INDICE ALFABTICO ... oo. oo oo .oo oo. oo , oo. oo oo oo oo oo. oo. oo' 531

INTRODUCCIONA LA

TEORIA DE LA ESTADISTICA

CAPITULO 1INTRODUCCION

}-1. Estadstica.-Para situar este libro en la perspectiva ade-cuada es necesario que empecemos por considerar qu es la esta-dstica. La concepcin profana de estadstica suele incluir la reco-gida de grandes masas de datos y la presentacin de estos en tablaso grficos; puede incluir tambin el clculo de totales, promedios,porcentajes, etc. En todo caso, estas operaciones, ms o menos ru-tinarias, son una parte, pero solo una parte incidental de la esta-dstica. Estadstica es tambin el diseo de experimentos, el diseode sobrevisiones muestrales, la reduccin y el proceso de datos,y otras muchas cuestiones.

Describiremos la estadstica como la tecnologa del mtodo cien-tfico. La estadstica proporciona instrumentos para la toma dedecisiones cuando prevalecen condiciones de incertidumbre. Estosinstrumentos pueden. ser de aplicacin y utilidad completamentegeneral en cualquier campo de la ciencia: fsico, biolgico, social,etctera. Son aplicables no solo en el mundo cientfico, sino tam-bin en el de la ~mpresa y en el de los asuntos cotidianos. Por otraparte, ciertos instrumentos pueden estar especialmente diseadospara campos especiales de la investigacin.

La estadstica puede dividirse en dos amplias ramas: 1) estads-tica descriptiva, que est relacionada con el resumen de datos y la~escripci6Q de -estos; 2) estadstica inferencial, relacionada con elproceso de utilizar datos para tomar decisiones en el caso ms ge-neral del que forman parte estos datos. El proceso de tomar deci-siones en situaciones generales, sobre la base de una informacinincompleta contenida en datos muestrales, es arriesgado y no puederea.lizarse con certeza; la probabilidad es una medida de esta in-certidumbre. Hay dos tipos de incertidumbre con los que tenemosque enfrentarnos: 1) la incertidumbre debida a la aleatoriedad,y 2) la incertidumbre debida a nuestra ignorancia del ve~daderoestado del sistema. Lo aclararemos con un ejemplo.

La compaa A cultiva cierta clase de plantas, recolecciona lassemillas y las envasa en paquetes de 25 semillas cada uno. Un al-macn de venta al por menor adquiere algunos de los paquetesy garantiza a sus compradores que 22 al menos de las 25 semillasde cada paquete crecern; _en caso contrario, les dar otrC? paquetelibre de todo gasto. El almacenista tiene dos tipos de incertidumbre

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4 INTRODUCCION [CAP. 1

con que luchar: 1) no est seguro de qu proporcin PA de lospa-quetes que la compaa tiene en venta ser aceptable (contienen almenos 22 semillas que crecern), y 2) puesto que la compaa tienedel orden de un milln de paquetes de semillas en venta y el al-macenista adquiere solo unos 200 paquetes, se enfrenta con otraincertidumbre; es decir, aun conociendo que la proporcin PA delmilln de paquetes es aceptable, cmo puede estar seguro o ra-zonablemente seguro de que la proporcin PA de los 200 paquetesque l adquiere sea aceptable? Aunque PA sea 0,99, es decir, aunque990000 paquetes del milln que la compaa tiene en venta seanaceptables, los 200 paquetes del almacenista podran haberse selec-cionado accidentalmente) entre los 10000 inaceptables y perderamucho dinero.

El primer tipo de incertidumbre, no conocer PA, proporcin depaquetes aceptables que la compaa produce, tiene su origen enla ignorancia del estado del sistema (llamado, a veces, verdaderoestado de la naturaleza). El segundo se debe a lo que se designafrecuentemente como aleatoriedad).

Al almacenista se le ofrece la posibilidad de mejorar su situa-cin por experimentacin (o exigir a la compaa que realice prue-bas de germinacin), por la que puede tomar decisiones) basadasen lo que l cree que es el estado de la naturaleza (dado por PA)' Aunas, nunca ser capaz de determinar PA exactamente y con certeza.Si conoce la prdida en que incurrir si determina que la propor-cin de paquetes aceptables es P'A cuando realmente es PA' necesi-tar experimentar y tomar decisiones de tal forma que de algunamanera haga mnima su prdida.

Para complicar ms las cosas, otra compaa (la compaa B)vende tambin la misma clase de semillas a idntico precio porpaquete, por lo que el almacenista debe decidir qu compaa sersu proveedora. Si PA es mayor que PB, comprar a la compaa A;en caso contrario, adquirir las semillas de la compaa B.

El almacenista puede realizar un experimento (o exigir a cadacompaa que efecte pruebas de germinacin) y elegir una de dosacciones: (al) comprar a la compaa A; o (a2) comprar a la com-paa B, segn los resultados del experimento y su evaluacin de laprdida que puede sufrir si toma una decisin errnea.

El diseo del experimento, determinar el nmero y clase deobservaciones a realizar, y decidir cmo deben utilizarse los resul-tados para tomar buenas decisiones, son problemas estadsticos.

Otra divisin del campo de la estadstica que merece una breveconsideracin es la que existe entre teora y metodologa. La teoraestadstica es una rama de la matemtica aplicada; tiene sus racesen la rama de la matemtica pura conocida con el nombre deteora de la probabilidad, Y en realidad la estructura completa

SECo 1-1] ESTADISTICA 5

de la teora estadstica en sentido amplio puede considerarse queincluye la teora de la probabilidad. Incluye tambin otras cues-tiones que no forman parte de la teora de la probabilidad propia-mente dicha, como las consecuencias del principio de aleatorizacin,diversos principios de estimacin y otros relativos a la docimasiade hiptesis, y, en general, un principio de toma de decisiones. Cabeconsiderar estos principios como axiomas que se integran en laaxiomtica de la teora de la probabilidad.

El estadstico se ocupa, por supuesto, de la produccin de ins-trumentos para uso de los investigadores. Al encontrarse con unproblema experimental determinado, construye un modelo matem-tico que se. ajuste, lo mejor posible, a la situacin experimental;analiza el modelo por mtodos matemticos, y, finalmente, esta-blece procedimientos para el estudio del problema. En sus trabajosse gua por los principios de la teora estadstica.

El estadstico se ocupa as mismo del desarrollo y extensinde la teora estadstica. Existen muchos problemas importantes deldiseo experimental y de la inferencia estadstica que permanecentodava sin tocar, porque la teora estadstica no ha sido an capazde resolverlos. El gran avance de la aplicacin de los mtodos esta-dsticos durante las tres dcadas pasadas fue posible gracias a losdesarrollos tericos de largo alcance que haban tenido lugar en lapoca que precedi inmediatamente a la citada.

Pueden ser de inters unas observaciones sobre los orgenes dela teora estadstica. Ciertas zonas de la experimentacin biolgicaalcanzaron un punto en que, para su progreso, se haca imperativoel uso de los' ahora denominados mtodos estadsticos. Fueron en-tonces los mismos bilogos los que desarrollaron lo esencial de estateora. Aunque este desarrollo ha sido paralelo al de casi todas lasramas del conocimiento abstracto, resulta curioso, sin embargo, enel caso de la estadstica; la teora estadstica parece una evolucinmuy natural de la teora de la probabilidad, que cuenta varios cen-tenares de aos de antigedad; pero la verdad es que los investiga-dores probabilistas prescinden totalmente de la estadstica. Convieneadvertir, de paso, que la situacin que dio lugar al nacimiento de lateora estadstica contina existiendo; hay muchas zonas de la

experimen~acin cientfica en espera de mtodos an no creados.Adems de la teora, hay que considerar la prctica de la esta-

dstica. Hay un gran bagaje de instrumentos y tcnicas para inves-tigadores que crece apreciablemente en el transcurso de cada ao.Hasta hace poco tiempo el estadstico tena poco que ver con estosinstr:umentos, y se contentaba con ponerlos a disposicin de quienquisiera hacer uso de los mismos. Pero al aumentar la complejidadde los experimentos por el progreso de la investigacin cientfica, el

6 INTRODUCCION [CAP. 1

instrumental estadstico alcanz anloga complejidad y especializa-cin. Actualmente, al investigador en determinadas zonas le es im-posible familiarizarse con todas las tcnicas que pueden serIe tiles.Adems, a mayor especializacin de un instrumento, menor flexi-bilidad de este; muchas veces hay que modificarlo para adaptarloa un experimento determinado, y esto requiere conocimientos muyprofundos de la teora estadstica.

El empleo del instrumental estadstico no es una simple cues-tin de escoger la llave que -mjor se adapte a un perno; ms biense trata de elegir entre varias, todas las cuales parecen adaptarseigual de bien, sin que ninguna de ellas se ajuste exactamente almismo. Hay mucha diferencia entre una frmula algebraica y, diga-mos, un experimento de nutricin con cerdos. No hay en la frmulanada de tipo mgico; se trata simplemente de un instrumento, obte-nido adems a partir de un simple modelo matemtico que, pro-bablemente, no representar con gran precisin la situacin verda-dera. Para emplear dicho instrumento hay que hacer toda una seriede juicios relativos a la naturaleza y magnitud de los diversos erro-res engendrados por discrepancia entre el modelo y el experimentoefectivo. Estos' juicios no pueden hacerse por el estadstico o el ex-perimentador, pues dependen a la vez de la naturaleza de la teoraestadstica y de la del material experimentado.

Para resolvt;r esta dificultad sale a escena el estadstico aplicado.Tiene su campo de accin en diversos centros de investigacin aca-dmica e industrial, y su funcin es, desde luego, colaborar con losinvestigadores en sus 'experimentaciones y estudios. Debe estar muyfamiliarizado, tanto con la teora como con la metodologa de laestadstica, aunque su trabajo no pertenezca al campo de esta cien-cia, sino al de la aplicacin de que se trate. Lo que nos interesasubrayar es que la estadstica aplicada se ha desarrollado hasta talpunto que puede considerarse que constituye ya un campo de inte-rs especial.

}2. Objeto y amplitud de este lihro.-Se ocupa este librode la teora, ms que de las aplicaciones de la estadstica. En sudesarrollo se deducirn y analizarn diversos instrumentos. Un se-gundo propsito de esta obra es poner en claro las condiciones enque deben emplearse determinadas tcnicas estadsticas importan-tes; pero nuestro propsito principal es la exposicin de la teoraestadstica.

El libro es una introduccin en el sentido de que no suponeconocimientos previos de estadstica en el lector. Y es elementalpor no presuponer ms conocimientos matemticos que los del clcu-lo elemental. Sin embargo, es deseable, aunque no esencial, algunafamiliaridad con la aritmtica de matrices.

BIBLIOGRAFIA...__.._._--------------------------

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Tal restriccin del nivel matemtico es necesariamente costosa.Habremos de omitir, p. ej., muchas cuestiones interesantes, perode carcter ms tcnico; habr que reducir la generalidad de losteoremas; ser necesario de cuando en cuando prescindir de demos-traciones; a veces se sacrifica~ el rigor matemtico, y tendremosque usar en ocasiones razonamientos tediosos, prescindiendo de otrosms directos, pero que requieren un nivel matemtico ms elevado.Sin embargo, estos sacrificios afectarn a nuestra obra menos de loque pudiera -suponerse. Los aspectos esenciales de la teora son deltodo comprensibles sin necesidad de matemticas superiores.

Puesto que la teora estadstica se funda en la teora de la pro-babilidad, empezaremos este estudio dando algunos conceptos y teo-remas del clculo de probabilidades que necesitaremos ms adelante.A continuacin, consideraremos algunos modelos matemticos cuyaaproximacin a muchas situaciones experimentales corrientes hasido puesta de manifiesto por la experiencia. Despus ser posibleel estudio matemtico de problemas de inferencia estadstica, y dediseo y anlisis de experimentos e investigaciones.

}3. Sistema de referencia.~Los captulos van divididos ensecciones numeradas; la numeracin empieza de nuevo en cada ca-ptulo. Los teoremas, definiciones, ejemplos, etc., se numeran tam-bin por captulos. As, Seco 5-3 indica la seccin 3 del captulo 5;teorema 5-1 indica el teorema 1 del captulo 5, etc.

Las ecuaciones se numeran de nuevo en cada seccin y los n-meros de las ecuaciones se encierran siempre entre parntesis. Alreferirse a una ecuacin de la misma seccin se da solo el nmerode la ecuacin; en caso contrario, se expresan primero los nmerosdel captulo y seccin. As, ecuacin (6) indica la sexta ecuacinde la misma seccin, y ecuacin (9-1-12) la duodcima ecuacin dela primera seccin del captulo 9.

Los nmeros entre corchetes indican las referencias numeradasen la bibliografa dada al final de cada captulo.

BIBLIOGRAFIA

1. ARRow, Kenneth J.: Alternative approaches to the theory o choice inrisktaking situations, Econometrica, vol. 19 (1951), pgs. 404-437.-

2. CHURCHMAN, C. West.: Theory of Experimental lnference, The Mac-millan Company, Nueva York, 1948.

3. FISHER, R. A.: Statistical Methods and Scientific Inference, HafnerPublishing Company, Nueva York, 1956.

4. GOOD, l. J.: Probability and the Weighing of Evidence, Charles Grif-firi & CO., Ud., Londres, y Hafner Publishing Company, Nueva York, 1950.

8 INTRODUCCION [CAP. 1

5. JEFFREYS, Harold: Scienti(ic In(erence, Cambridge University Press.Londres, 1957.

6. KOLMOGOROFF, A. N.: Foundations o( the Theory o( Probability, Chel-sea Publishing Company, Nueva York. 1950.

7. LINDLEY, D. V.: .Statistical inferenee), Joumal o( the Royal StatisticalSociety, Serie B, vol. 15 (1953), pgs. 30-76.

8. NEYMAN, Jerzy: .Outline of a theory of statistical estimation based onthe classical theory of probability, Philosophical Transactions o( theRoyal Society o( London, Serie A, vol. 236 (1937), pgs. 333-380.

9. SAVAGE, Leonard J.: The Foundations o( Statistics, John Wiley & SonsoIne., Nueva York, 1954.

CAPITULO 2PROBABILIDAD

2-1. Introduccin.-Uno de los instrumentos fundamentales dela estadstica es la probabilidad, que tuvo sus orgenes en los juegosde azar, en el siglo XVII.

Los juegos de azar, como implica su nombre, incluyen accionestales como girar la rueda de una ruleta, lanzardados, tirar al aireuna moneda, extraer una carta, etc., en las cuales el resultado deuna prueba es incierto. Sin embargo, es sabido que, aun cuando elresultado de una prueba en particular sea incierto, existe un resultadoque se puede predecir a largo plazo. Se sabe, p. ej., que en muchastiradas de una moneda ideal (equilibrada, simtrica),. aproximadamen-te en la mitad de las pruebas se obtiene cara. Es una regularidadque puede predecirse a largo plazo y que permite hacer negocioa las casas de juego.

En la ciencia experimental se presenta tambin un tipo similarde incertidumbre y regularidad a largo plazo. As, p. ej., en gen-tica es incierto saber si un descendiente ser macho o hembra, peroen un plazo largo se conoce aproximadamente el porcentaje de des-cendientes que sern machos y el de aquellos que sern hembras.Una compaa de seguros de vida no puede predecir qu personasde un pas morirn a la edad de cincuenta aos, pero s puede pre-decir bastante satisfactoriamente cuntas personas de ese pas mo-rirn a esta edad.

Examinaremos en primer lugar la teora clsica de la probabi-lidad, o sea de la probabilidad a priori; luego se expondr la teorafrecuencial y, finalmente, desarrollaremos un modelo axiomtico;este es el orden del desarrollo histrico de la teora.

2-2. Probabilidad clsica o a priori.-Como se ha dicho enla seccin anterior, en sus principios la teora de la probabilidadestuvo ntimamente relacionada con .los juegos de azar. Esta re-lacin sugiri la definicin clsica. As, p. ej., supongamos quequeremos hallar la probabilidad del suceso obtener cara al lanzaruna moneda ideal. Razonamos de esta forma: Puesto que soloexisten dos resultados, cara o cruz, y dado que la moneda est bienequilibrada, cabe esperar obtener cara y cruz con la misma fre-cuencia, aproximadamente; por tanto, en un gran nmero de prue-bas, es de esperar que se obtendr cara alrededor de la mitad de

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10 PROBABILIDAD [CAP. 2

las veces, y as, la probabilidad del suceso obtener cara estar dadapor el valor 1/2. Esta clase de razonamiento origin la siguiente de-finicin clsica de probabilidad:

Definicin 2-1.-Definicin clsica de probabilidad. Si un su-ceso puede ocurrir de n maneras mutuamente excluyentes e igual-mente verosmiles y si nA de estas poseen un atributo A, la proba-bilidad de A es la fraccin nA/no

Aplicaremos esta definicin a algunos ejemplos sencillos, comoilustracin de su significado.

Si se lanza un dado ordinario, hay seis resultados posibles: pue-de caer hacia arriba cualquiera de las seis caras numeradas. Estosseis resultados son mutuamente excluyentes, ya que no pueden apa-recer dos o ms caras simultneamente. Si adems suponemos queel dado est bien construido, los seis resultados son igualmente ve-rosmiles; no hay por qu eSPerar una cara con preferencia a cual-quier otra. Supongamos ahora que deseamos conocer la probabilidadde que el resultado de una tirada sea un nmero par. Tres de losseis resultados posibles tienen tal atributo. La probabilidad de queaparezca un nmero par al lanzar el dado es, por tanto, 3/6 1/2Anlogamente, la probabilidad de que el resultado sea mayor que2 es 2/3.

Para dar otro ejemplo, supongamos que se saca una carta al azarde una baraja ordinaria 1. Se ve en seguida que la probabilidad desacar espadas es 13/52 1/4 La probabilidad de sacar un nmeroentre 5 y 10, ambos inclusive, es 24/52 6/13

La aplicacin de la anterior definicin no siempre resulta taninmediata como en estos casos sencillos. Examinemos cuidadosa-mente el sentido de mutuamente excluyentes y de igualmente ve-rosmiles. Supongamos que alguien deseara calcular la probabilidadde obtener dos caras lanzando una moneda dos veces. Podra razo-narse que los resultados posibles en las

SECo 2-2] PROBABILIDAD CLASICA O A PRIORI 11

neamente. Supongamos ahora que alguien quisiera calcular la pro-babilidad de que una carta extrada de una baraja ordinaria sea unas o una espada. Al enumerar los resultados favorables podracontar 4 ases y 13 espadas, y razonar que hay 17 resultados posiblescon el atributo deseado. Claro que esto es incorrecto, porque los

suce~os no son mutuamente excluyentes; el hecho de que una cartasea un as no impide que sea tambin una espada.

Observemos que la probabilidad es siempre un nmero com-prendido entre O y 1. La razn nA/n debe ser una fraccin propia,ya que el total de resultados posihles no puede ser menor que elnmero de resultados con un determinado atributo. Si un sucesoha de ocurrir ron seguridad, su probabilidad es 1. Si es seguro que

JlO- ha de ocurrir, su probabilidad es O. As, la probabilidad de ob-tener 8 al lanzar un dado es O. La probabilidad de que el resultadosea menor que lOes 1.

Las probabilidades determinadas mediante la definicin clsicase denominan probabilidades a priori. Cuando se dice que la proba-bilidad de obtener una cara lanzando una moneda es 1/21 se llega aeste resultado por puro razonamiento deductivo. El resultado norequiere el lanzamiento de moneda alguna, ni siquiera disponer deella. Decimos que si la moneda est bien construida, la probabilidadde obtener cara es 1/2; pero esto es poco ms que decjr una mismacosa de dos maneras distintas. Nada se dice de cmo puede deter-minarse si una moneda en particular est bien construida.

No debe preocuparnos el hecho de que al desarrollar la teorade la probabilidad hayamos de tratar de objetos ideales, porque estacondicin es comn a todos los sistemas matemticos. La geome-tra, p. ej., trata c'onceptualmente de crculos perfectos, lneas deanchura cero, etc., y es, sin embargo, una rama til del conocimien-to que puede aplicarse a diversos problemas prcticos.

Existen varios inconvenientes en esta manera clsica, a priori,de abordar el problema. Es obvio que la definicin de probabilidaddeber modificarse de algn modo cuando el total de resultados po-sibles sea infinito.

Podra buscarse, p. ej., la probabilidad de que un nmero na-tural extrado al azar sea par. La respuesta intuitiva a esta cuestines 1/2, Si hubiera de justificarse este resultado basndose en la defi-nicin, podra rzonarse del siguiente m()do: supongamos que solose consideran los 20 primeros nmeros naturales; como 10 de estosson pares, la razn de sucesos favorables al total de posibles es 1/20 1/2, Si consideramos los 200 primeros, 100 de estos son pares y larazn es tambin IIz. En general, los 2N primeros nmeros natura-les contienen N nmeros pares; si formamos la razn N/2N y hace-mos tender N a infinito, de modo que comprenda todo el conjuntode los nmeros naturales, la razn sigue siendo 1/2,

12 PROBABILIDAD [CAP. 2

El argumento anterior es plausible y tambin la respuesta, perosu justificacin rigurosa no es cosa sencilla. Observemos que elrazonamiento depende de la ordenacin natural de los nmerosenteros y positivos, y una ordenacin distinta podra dar lugar aun resultado diferente; p. ej., podran ordenarse los nmeros na-turales de este modo: 1, 3, 2; 5, 7, 4; 9, 11, 6; ... , tomando laprimera pareja de nmeros impares, seguida del primer nmero par;la segunda pareja de nmeros impares, seguida del segundo nmeropar, y as sucesivamente. Con esta ordenacin podra decirse quela probabilidad de obtener un nmero par es 1/3, Tambin puedenordenarse los nmeros naturales de modo que la razn n/N aumen-te y disminuya, oscilando sin tender a valor alguno, cuando Ncrezca.

La definicin clsica de probabilidad suscita otra dificultad msgrave an que la que se presenta en el caso de un nmero infinitode resultados posibles. Supongamos una moneda de la que sabe-mos que tiene un sesgo a favor de las caras (esto es, una distri-bucin tal de masa que hace ms probable que aparezca cara quecruz). Los dos resultados posibles al lanzar la moneda no son igual-mente probables: Cul es la probabilidad de obtener cara? Ladefinicin clsica nos deja sin posible respuesta.

Nos encontramos an con otra dificultad de la definicin cl-sica cuando queremos responder a preguntas tales como la siguien-te: cul es la probabilidad de que un nino nacido en Chicagosea varn?, o cul es la probabilidad de que un varn mueraantes de los cincuenta aos?, o cul es la probabilidad de queuna torta para t comprada en cierta pastelera contenga al me-nos tres cacahuetes?,o cul es la probabilidad de que una lm-para luzca al menos durante cien horas? Deseamos que todos es-tos problemas tengan respuesta dentro del marco de la teora dela probabilidad. Sin embargo, las cuestiones de simetra)), igual-mente verosmilesB, etc., no pueden considerarse como lo seranen un juego de azar. Por tanto, tendremos que alterar o extendernuestra definicin para incluir problemas anlogos a los anterio-res en la estructura de la teora. Esta probabilidad, aplicable msextensamente, se llama probabilidad a posteriori o probabilidad fre-cuencial y ser analizada en la seccin siguiente.

23. Probabilidad a posteriori o frecuencial.--Una moneda,que suponemos bien equilibrada y simtrica, fue lanzada 100 ve-ces; los resultados se recogen en la tabla 2-1. Un hecho impor.tante que debe observarse es que la frecuencia relativa de carastiende a estabilizarse en tomo al valor 1/2, Esto no es sorprendente,ya que la moneda es simtrica y de antemano sabamos que, enuna larga serie de tiradas, se obtendran aproximadamente tantas

SECo 2-3] PROBABILIDAD v..A. POSTERIORI:D O FRECUENCIAL 13

caras como cruces. En oh o ejemplo, un nico dado fue lanzado300 veces, recogindose los resultados en la tabla 2-2. Obsrvesecmo la frecuencia relativa de obtener un uno se aproxima a 1/6;anlogamente para un dos, un tres, un cuatro, un cinco y un seis.Estos resultados no son inesperados puesto que el dado que seemple era suficientemente simtrico y equilibrado; se esperabaque, en una larga serie de pruebas, cada cara del dado aparecieracon, aproximadamente, la misma frecuencia. Esto sugiere que lafrecuencia relativa de la tabla 2-1 podra utilizarse como una apro-ximacin de la probabilidad de obtener cara, con la moneda em-pleada, o cabra utilizar las frecuencias relativas de la tabla 2-2como aproximaciones de las probabilidades de que aparezcan losdiferentes nmeros con ese dado.

En el experimento de la moneda es razonable suponer que existeun nmero, que designaremos con p, que es la probabilidad deobtener c.ara. Si la moneda parece verdaderamente bien equilibra-da y simtrica, podemos emplear la definicin 2-1 y establecer quep es aproximadamente igual 'a l/Z' Decir que p es igual a l/z es solouna aproximacin, puesto que para esta moneda particular no po-demos estar seguros de que los dos resultados, cara y cruz, seancon exactitud igualmente verosmiles. Pero comprobados el equi-librio y la simetra de la moneda, parece bastante razonable supo-ner que lo son. Alterriativamente, podra lanzarse la moneda ungran nmero de veces, anotando los resultados como en la ta-bla 2-1 y utilizar la frecuencia relativa de una cara como una apro-

TABLA 2-1.-RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE UNA MONEDA100 VECES

Frecuencia Frecuencia relativa es-Resultado Frecuencia relativa perada en una larga se-

observada rie de pruebas con unamoneda equilibrada

e 56 0,56 0,50X 44 0,44 0,50

Total 100 1,00 1,00

ximci6n de p. En el experimento del dado, podra aproximarse laprobabilidad pz de obtener un dos utilizando la definici6n 2-1 o lafrecuencia relativa de la tabla 2-2. Lo importante es que postula-mos la existencia de un nmero p que se define como la probabi-lidad de obtener cara con la moneda, o un nmero P2 que es laprobabilidad de obtener un dos al lanzar el dado. En los ejemplos

14 PROBABILIDAD

TABLA 2-2.-RESULTADOS DEL LANZAMIENTO DE UN DADO300 VECES

[CAP. 2

Frecuencia relativa esResultado Frecuencia Frecuencia perada en una larga

relativa serie de pruebas conun dado equilibrado

1 51 0,170 0,16672 54 0,180 0,16613 48 0,160 0,16674 51 0,170 0,16675 49 0,163 0,16616 47 0,157 0,1661

Total 300 1,000 1,0000

citados parece poco importante el que utilicemos la definicin 2-1o la frecuencia relativa para hallar la probabilidad p.

Supongamos, como se dijo anteriormente, que la moneda estdesequilibrada, de tal forma que despus de un examen estamoscompletamente seguros de que los dos sucesos, cara y cruz, no sonigualmente verosmiles. Aun en estos casos puede postularse laexistencia de un nmero p como probabilidad de obtener cara,pero para hallar el valor de p no podremos aplicar la definicinclsica. Tendremos que utilizar la teora frecuencial.

En muchas investigaciones cientficas se realizan observacio-nes que tienen un elemento de incertidumbre o que no puedenpredecirse. Como ejemplo muy simple, supongamos que se deseapredecir si el prximo nio que nazca en cierta localidad ser va-rn o hembra. Este suceso individual es incierto, pero los resul-tados de grupos de nacimientos pueden ser tratados satisfactoria-mente. Observamos que existe cierta regularidad en una gran seriede observaciones, semejante a la regularidad de la razn frecuen-cial de una cara cuando lanzbamos una moneda. Si, p. ej., al exa-minar los registros observamos que un 51 por 100 de los nacidosson varones, es razonable postular que la probabilidad de que naz-ca un varn en esa localidad es igual a un nmero p, y tomar,como aproximacin de l, 0,51. Este mtodo de definicin se de-nomina a veces probabilidad estadstica.

Para hacer ms concreta esta idea, supongamos que puedenhacerse observaciones (o experimentos) bajo condiciones comple-tamente uniformes. Es decir, hecha la observacin, se repite elsuceso en condiciones anlogas y se hace otra observacin; estose repite muchas veces y, aunque las condiciones sean siempre si

SECo 2-4] MODELOS DE PROBABILIDAD 15

milares, existe una variacin incontrolable que es casual o alea-toria, de tal forma que no es posible predecir el resultado de lasobservaciones individualmente. En muchos de estos casos, las ob-servaciones caen dentro de ciertas clases, en las que las frecuen-cias relativas son bastante estables. Esto sugiere que postulemosun nmero p, llamado probabilidad del suceso, y aproximar p porla frecuencia relativa con que aparece dicho suceso en las repe-tidas observaciones. As, p. ej., supongamos que el experimentoconsiste en muestrear la poblacin de una gran ciudad para vercuntos votantes se pronunciarn a favor de cierto candidato. Losresultados son a favor o uno a favor y no es predecible la res-puesta de cada votante, pero es razonable postular un nmero pcomo probabilidad de que una respuesta dada sea a favon. Lafrecuencia relativa de respuestas a favor puede utilizarse comovalor aproximado de p.

Como otro ejemplo, imaginemos que el experimento u obser-vacin consiste en el muestreo de transistores en una gran colec-cin de estos. Postularemos que la probabilidad de que un tran-sistor dado sea defectuoso es p. Podemos aproximar p seleccionan-do al azar varios transistores del conjunto dado y calculando lafrecuencia relativa del nmero de defectuosos.

Lo importante es la posibilidad de imaginar una serie de ob-servaciones o experimentos realizados en condiciones bastante uni-formes. Puede postularse entonces un nmero p como probabili-dad de que ocurra el suceso A, y P puede ser aproximado por lafrecuencia relativa del suceso A en una serie de experimentos.

2-4. Modelos de prohabilidad.-Uno de los objetivos de laciencia consiste en predecir y describir sucesos del mundo en quevivimos. Una manera de hacerlo es construir modelos matemti-cos que describan adecuadamente el mundo real. As, p. ej., laecuacin s= 1/22,t2 expresa cierta relacin entre los smbolos s, gy t. Con el fin de utilizar la ecuacin s=l/~t2 en una experiencia delmundo real para predecir s, distancia recorrida por un cuerpo quecae, como funcin del tiempo t,. tiene que conocerse la constantegravitatoria g. Esta es una constante fsica que debe ser medidapor experimentacin si se desea que la ecuacin S=I/22,t2 sea til.La razn de haber mencionado esta ecuacin es que en la teorade la probabilidad hacemos algo muy parecido: construimos unmodelo probabilstico que pueda utilizarse para describir sucesosdel mundo real. As, p. ej., puede desearse hallar una ecuacina

16 PROBABILIDAD [CAP. 2

perfectamente para ocuparse de grupos de sucesos. Cabe postularla existencia de un nmero p que represente la probabilidad deque un nacido sea varn. A partir de esta probabilidad fundamen-tal, podemos responder a preguntas tales como: Cul es la pro-babilidad de que de diez nacidos, al menos tres sean varones?, ocul es la probabilidad de que haya tres varones consecutivos enlos prximos cinco nacimientos? Para contestar a preguntas talescomo estas y a muchas otras anlogas, desarrollaremos un modeloidealizado de probabilidad.

Consideraremos una teora de la probabilidad adecuada solopara aquellas situaciones que pueden ser descritas por los resultadosde experimentos conceptuales. Es decir, consideraremos nicamen-te aquellos sucesos cuya repeticin sea concebible bajo condicionessemejantes. As pueden tratarse los nacimientos de varones, el lan-zamiento de una moneda, el nmero de automviles, etc.; pero nose incluyen problemas tales como cul es la probabilidad de quemi esposa me ame?, o cul es la probabilidad de que no hubieraocurrido la segunda guerra mundial?

Tambin necesitamos que pueda enumerarse cada posible re-sultado de 'un experimento. As, p. ej., al lanzar una moneda exis-ten dos resultados posibles: cara y cruz. Asociaremos probabili-dades solamente con estos resultados. Aadiremos, sin embargo,que aun cuando un resultado sea imposible puede ser incluido (suprobabilidad es O). Lo fundamental es recordar que ha de incluirsecada resultado que puede ocurrir.

Cada resultado imaginable de un experimento conceptual, quepuede repetirse bajo condiciones similares, ser denominado unpunto muestral, y la totalidad de los resultados imaginables (o pun-'tos muestrales) se llamar el espacio muestral.

Antes de proceder al desarrollo de la teorta, daremos algunosejemplos.

Ejemplo 2-1.-Si un experimento aleatorio consiste en lanzaruna moneda dos veces, existen cuatro resultados imaginables:(C, C), (e, X), (X, C), (X, X). Por tanto, hay cuatro puntos mues-trales que forman el espacio muestra!.

Ejemplo 2-2.-Si un experimento aleatorio consiste en observarel sexo de los nacidos en cierta poblacin, existen dos resultadosimaginables: varn y hembra; por tanto, hay dos puntos muestra-les en el espacio muestral.

Ejemplo 2-3.-Supongamos que se selecciona una muestra de 50semillas de un saco, para ver cuntas germinan. El experimentoaleatorio consiste en extraer 50 semillas del saco. Los resultadosposibles son las cantidades que germinan de las 50. Puede haberO, 1, 2, ... , 50 que germinen, por lo que existen 51 puntos mues-trales que forman el espacio muestra!.

SECo 2-5) CONJUNTOS DE PUNTOS 17

Ejemplo 2-4.-Imaginemos que en una gran ciudad se seleccio-nan 500 personas al azar para ver cuntas consumen cierta marcade leche. El nmero imaginable de las que consumen tal marca deleche entre las 500 personas es 0, 1, 2, ... , 500. Cada uno de estos501 nmeros es un punto muestral del espacio muestra!.

Ejemplo 2-5.-Supongamos que un experimento aleatorio con-siste en preguntar a los espectadores de la televisin de cierta Ciu-dad si presencian regularmente tres programas especificados. Hayocho resultados imaginables: (S, S, S), (S, S, N), (S, N, S), (N, S, S).(S, .N, N), (N, S, N), (N, N, S), (N, N, N), donde (S, N, S) significas presencia el primer programa, nOD el segundo programa y sel tercer programa, etc. El espacio muestral est formado por ochopuntos.

Ejemplo 2-6.-En los ejemplos anteriores el espacio muestralest formado por un nmero finito de puntos. Daremos ahora unejemplo de espacio muestral que contiene un nmero infinito depuntos. Supongamos que se desea determinar el nmero de tiradasde una moneda que deber hacerse hasta que aparezca la pri-mera cara. Esta puede aparecer en la tirada l.a., 2.a, , n-sima, ...Aqu el espacio muestral est formado por una infinidad numerablede puntos (tantos como nmeros enteros positivos).

Ejemplo 2-7.-En este ejemplo, el espacio muestral estar for-mado por tantos puntos (llamado un continuo de puntos) como n-meros reales positivos. Sea el experimento aleatorio consistente enseleccionar una muestra aleatoria de estudiantes de sexto curso endeterminada ciudad y registrar su peso. El resultado puede sercualquier nmero positivo. Cabe objetar que no habr estudiantesque pesen menos de un kilogramo o ms de 1000. Es cierto, perono es objecin si se incluyen los resultados imposibles al enumerarcada resultado imaginable. Por tanto, este espacio muestral estarformado por todos los nmeros positivos.

2-5. Conjuntos de puntos.-Definiremos ciertas operacionessobre el conjunto de puntos que forman el espacio muestral y queson necesarias para posteriores desarrollos de la teora. Un conjuntode puntos, llamado a veces simplemente un conjunto, es una colec-cin de elementos que tienen ciertas propiedades. especficas. Unconjunto podra ser el de los 10 primeros nmeros naturales o unacoleccin de automviles o de cualesquiera otros objetos. Si s esun punto o un elemento que pertenece al conjunto S, escribire-mos sE S.

Definicin 2.2.-Dos conjuntos SI y S2 se dice que son igualessi cada elemento o punto de SI es tambin un punto de S2I y cadapunto de S2 es as mismo un punto de SI; es decir. si SI y S2 con-

18 PROBABILIDAD [CAP. 2

tienen exactamente los mismos puntos. Indicaremos la igualdadescribiendo SI = S2.

Definicin 2..3.-Si cada elemento (o punto) de un conjunto SIes tambin un elemento de S, llamaremos a SI un subconjunto de Sy escribiremos SI e S.

Ejemplo 2-8.-Sea S el conjunto de los enteros x tales quex=l, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Escribiremos S={x:x=l, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.Sea SI={y:y=l, 2, 3}. Entonces SI es un subconjunto de S. SiS2={z:z=l, 3, 5, 7}, S2 no es un subconjunto de S, pero s un sub-conjunto de S.

Definicin 24.-En cada aplicacin de la teora, existir un con-junto universal, el espacio muestral S, tal que todos los otros con-juntos que intervengan en el anlisis son subconjuntos de S.

Algunas veces puede que no se indique explcitamente el espa-cio muestral, pero generalmente estar implcito en el contexto dela discusin.

Definicin 2-5.-EI complemento de un conjunto S1I respecto alespacio muestral S, ser el conjunto de puntos que estn en Spero no en SI' Se indicar por S- ~1 o a veces por SI.

En el ejemplo 2-8, el conjunto SI est dado porSI={x:x=4, 5, 6, 7} Y Sz={z:z=2,4, 6}.

Definicin 2-6.-Si un conjunto SI no contiene puntos, se deno-mina el conjunto nulo, y ser indicado por 0.

Adoptaremos' los convenios de que el conjunto nulo es un sub-conjunto de todo conjunto, y de que cada conjunto es un subconjuntode s mismo.

Despus de haber enumerado los resultados de un experimentoaleatorio y definido un espacio muestral S, necesitaremos conside-rar ciertos subconjuntos del espacio muestral. As, p. ej., en el ejem..plo 2-3, cabe preguntarse, cul es la probabilidad de que germinenms de 30 semillas? Estamos haciendo una pregunta relacionadacon un subconjunto de S; el subconjunto contiene los elementos31, 32, ... , 50. Con nuestra terminologa diremos, cul es la pro-babilidad '~e que ocurra el suceso A, donde A es el subconjunto31, 32, ... , 50? Esto nos lleva a la siguiente definicin:

Definicin 2-7.-Un suceso A est definido en el espacio mues-tral S como un subconjunto A de puntos de S, y cuando decimosprobabilidad de que ocurra el suceso A queremos decir proba-bilidad de que aparezca cualquier punto de A.

As, p. ej., cuando preguntamos cul es la probabilidad deque germinen ms de 30 semillas? estamos preguntando, en esencia,cul es la probabilidad de que se presente cualquier punto del su-

SECo 2-5] CONJUNTOS DE PUNTOS 19

ceso A, donde A={x:x=31, 32, ... , 50}; si ocurre cualquierpunto de A, diremos que se ha producido el suceso A (germinarms de 30 semillas).

Si el espacio muestral contiene un continuo de puntos, comoen el ejem~lo 2-7, no definiremos todo subconjunto como un suce-so, sino solo subconjuntos medibles. El trmino medible est to-mado de las matemticas superiores y el lector no necesita preocu-parse de l en este libro, ya que los subconjuntos que consideremossern medibles y, por tanto, sern llamados sucesos.

En el ejemplo 2-7 podemos preguntar cul es la probabilidadde que el estudiante pese entre 75 Kg y 85 Kg? Con nuestra termi-nologa preguntaramos cul es la probabilidad del suceso A, don-de A={x: 75 < x < 85}?

En relacin con el espacio muestral S, supongamos que SI y S2 sondos sucesos, es decir, dos subconjuntos de S. Pueden definirse otrosdos sucesos: 1) el conjunto de puntos que estn en ambos, SI y S2'Y 2) el conjunto de puntos que estn en SI o en S2 o en ambos, SI yS2. Estos conjuntos se precisan en las dos definiciones siguientes.

Definicin 2-8.-Sean SI y S2 dos sucesos cualesquiera del espa-cio muestral S; el suceso formado por todos los puntos que estnen SI o en So o en ambos, se llama unin de SI y S2 y se denotapor SI US2. .

Ejemplo 2-9.-Consideremos de nuevo el ejemplo 2-5. Sea SIel suceso definido por la condicin de que la respuesta para el pri-mer programa sea s; es decir, SI contiene los cuatro puntos(S, S, S), (S, S, N), (S, N, S), (S, N, N). Sea S2 el suceso definidopor la condicin de que la respuesta para el tercer programa seanOD; esto es, S2 contiene los cuatro puntos (S, S,N), (S, N, N),(N, S, N)~ (N, N, N). Entonces, el conjunto SI U S2 contiene los seispuntos (S, S, S), (S, S, N), (S, N, S), (S, N, N), (N, S, N), (N, N, N).

Definicin 2-9.-Sean SI y S2 dos sucesos cualesquiera del espa-cio muestral S; el suceso formado por todos los puntos que estnen ambos, SI y So se llama interseccin de SI y S2 y se denota porSI n So o a veces por SIS2.

Ejemplo 2-10.-Si se definen SI y S2 como en el ejemplo 2-9,el suceso SI n S2 contiene los dos puntos (S, S, N), (S, N, N).

De las definiciones anteriores se desprenden los resultados si-guientes, donde S es el espacio muestral, y SI Y S2' sucesos de S.

1. 5=0.2. Si SI y S2 no tienen puntos comunes (conjuntos mutua-

mente excluyentes), SI n S2 = 0.3. SI n S=SI.4. SI US=S.

20 PROBABILIDAD

5. S n SI =S - SI =SI.6. SI U SI =SI.7. SI n SI =51

[CAP. 2

Existe la posibilidad de establecer otras muchas relaciones en-tre sucesos, _pero estas bastarn para nuestros propsitos inme-diatos.

Clasificaremos el espacio muestral en dos tipos, discreto y con-tinuo. Lo hacemos con el propsito de aligerar las explicaciones deposteriores desarrollos de la teora. En realidad, con instrumentosde las matemticas superiores que estn fuera de los objetivos deeste libro, pueden tratarse ambos tipos en una teora unificada.

Definicin 2-10.-Vn espacio muestral S se dice" que es discretosi contiene: 1) un nmero finito de puntos, o 2) un nmero infinitode puntos (infinito numerable) que pueden ponerse en correspon-dencia uno a uno con los nmeros naturales.

En los ejemplos 2-1 a 2-5, el espacio muestral contiene un n-mero finito de puntos y, por tanto, es discreto. En el ejemplo 2-6hay un nm.ero infinito de puntos, pero pueden ordenarse en unasucesin (en correspondencia uno a uno con los nmeros natura-les); por tanto, ese espacio muestral es tambin discreto. Sin em-bargo, en el ejemplo 2-7 el espacio muestral est formado por to-dos los nmeros reales x, donde x> O, y no es posible poner estosnmeros en correspondencia uno a uno con los naturales. Por tan-to, existen espacios muestrales que no son discretos, sino que con-tienen lo que se llama un continuo de puntos.

Definicin 2-11.-Un espacio muestral S se llama espacio mues-tral continuo, si contiene un continuo de puntos.

Concluiremos esta seccin con algunos ejemplos adicionales, ydaremos luego un desarrollo axiomtico de la probabilidad.

Ejemplo 2-11.-Consideremos un experimento aleatorio con-sistente en observar la duraci6n de la vida de tubos electrnicos.El resultado puede ser cualquier nmero positivo y, por tanto, elespacio muestral es continuo.

Ejemplo 2-12.-Sea un experimento aleatorio que consiste enseleccionar al azar tres personas de entre los empleados de ciertacompaa y registrar la renta anual de cada persna. El espaciomuestral est formado por las ternas (Xli x2, X3), donde X, X2 Y X3son las rentas respectivas de las tres personas, y cada una de ellaspuede tomar cualquier valor mayor que cero. Definamos el sucesoA por la condicin de que la renta anual total de las tres personasque se muestrean exceda de 15000 dlares. Esto puede escribirsede la forma siguiente:

A={(X.,X2,X3):Xl>0, X2>0, X3>0; Xl+X2+X3>15000}

SECo 2-6] DESARROLLO AXIOMATICO DE LA PROBABILIDAD II

Ejemplo 2-13.-Un experimento aleatorio consiste en lanzar dosdados y observar los nmeros que salen. El espacio muestral constade 36 puntos, que son (1, 1), (1,2), ... , (6, 6), donde los pares ordena-dos de nmeros representan los resultados respectivos del primeroy del segundo dado. Definimos el suceso A por la condicin de quela suma de las dos puntuaciones sea igual a siete; tal suceso estformado por seis puntos, que son (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2),(6, 1).

Ejemplo 2-14.-En un experimento agrcola, se examina el ren-dimiento de cinco variedades de trigo. Las cinco variedades se des-arrollan bajo condiciones uniformes. El resultado es una coleccinde cinco nmeros (Yb Y2' Y3' Y4, Ys), donde Yi representa el rendimien-to de la i-sima variedad, en quintales por hectrea. El espaciomuestral es continuo, ya que cada Yi puede ser cualquier nmeroreal mayor o igual que O. Definamos el suceso A en este ejemplopor las condiciones de que Y2' Y3' Y4 e Ys sean cada una 10 o msquintales por hectrea mayores que Yb variedad estndar.

Con nuestra notacin, escribiremos

A ={(Yb Y2' Y3' Y4' Ys): Y'~Yl + 10; j =2,3,4,5; O~Ytl26. Desarrollo axiomtico de la probabilidad.-En las sec-

ciones anteriores hemos dado los conceptos de probabilidad clsicay frecuencial que pueden ayudarnos a resolver importantes proble-mas de la ciencia experimental. Para coadyuvar a la solucin de es-tos problemas, desarrollaremos una teora matemtica de la proba-bilidad y mostraremos luego cmo puede utilizarse este modelo idea-lizado en los problemas del mundo real.

En primer lugar enunciaremos los axiomas que se emplearn paradesarrollar la teora.

Sea S un espacio muestral, y A, cualquier suceso de S; es decir,A es cualquier subconjunto de S. Diremos que P es una funcin deprobabilidad en el espacio muestral S si se satisfacen los tres axio-mas siguientes.

Axioma l. P(A) es un nmero real tal que P(A)~O para todosuceso A de S.

Axioma 2. P(S) = 1.Axioma 3. Si Sil Sb ... es U1la sucesin de sucesos mutuamen-

te excluyentes de S, es decir, si Si n Sj=0 para i:l= j = 1, 2, ... ,P(Sl U S2 U ".)=P(Sl)+P(SJ+ ...

Estos axiomas, que se utilizarn para desarrollar un modeloidealizado, estn motivados por las definiciones de probabilidad clsica y frecuencial. Demostraremos ahora algunos teoremas que sonresultados directos de los axiomas.

22-------

PROBABILIDAD [CAP. 2

Teorema 2-1o-Sea S un espacio muestral y P una funcinde probabilidad en S; la probabilidad de que no ocurra el suceso Aes 1- peA). Con la no!...acin de los conjuntos' de puntos, esto seescribe en la forma P(A)=l-P(A).

Demostracin.-En virtud de la definicin 2-6, A n A=0; tam-bin A UA=S, y, por el axioma 2, se tiene l=P(S)=P(A U A). Porel axioma 3, 1=P(S)=P(A U A) =P(A) +P(A), con 10 que queda de-mostrado.

Teorema 2-2o-Sea S un espacio muestral con funcin de pro-babilidad P; en tal caso, O~P(A) ~ 1 para cualquier suceso A de S.

Demostracin.-Por el axioma 1, peA)~ O, con lo que solo sernecesario demostrar que P(A)~ 1. Por el teorema 2-1, peA) + peA) = 1;pero peA)~O por el axioma 1, luego peA) = 1 - peA) ~ 1.

Teorema 2-3o-Sea S un espacio muestral con una funcinde probabilidad P. Si So es el conjunto nulo, peSo) = o.

Demostracin.-De los resultados de la seccin 2-5, se deduce queS=So = 0. Por el axioma 3, peS U S) =peS) + p{S)=peS) + peSo). PeroS U S=S y P(S)= 1, luego P(So) =0.

Si estos axiomas y los teoremas de ellos resultantes han de ayu-damos a desarrollar un modelo til, debemos tener una regla o fun-ci6n que nos permita calcular la probabilidad de cada suceso A(subconjunto) del espacio muestral S. Explicaremos cmo se cons-truye tal funci6n en las prximas secciones. Lo haremos para tresespacios muestrales diferentes: 1) un espacio muestral discreto conun nmero finito de puntos, donde cada uno de ellos tiene la mismaprobabilidad; 2) un espacio muestral discreto general, que ser es-tudiado en el captulo 3; 3) un espacio muestral continuo, que ex-pondremos en el captulo 4.

270 Espacio muestral discrcto con un nmero finito depuntoso-En ciertos tipos de problemas, entre los cuales los juegosde azar constituyen ejemplos notables, el espacio muestral contieneun nmero finito n de puntos, y la probabilidad asignada a cadapunto es lln.

En otras palabras, en ciertos problemas existe un nmero finitode ordenaciones (n) y es totalmente realista suponer que la proba-bilidad de cada ordenacin es lln. En general, es suficiente paraestos problemas la definicin clsica, y pueden emplearse los m-todos combinatorios para la enumeracin de las ordenaciones. Ve-remos cmo este espacio muestral especial (nmero finito de puntoscon igual probabilidad para cada uno de ellos) encaja en la teorageneral y a continuacin indicaremos varios mtodos que puedenutilizarse para resolver estos problemas.

SECo 2-8] PERMUTAC~ONES y COMBINACIONES 23

Definicin 212.-Sean Sll So ... , Sn los n punt0s muestralesde un espacio muestral discreto S,' se dice que la funcin P es unafuncin de probabilidad de sucesos igualmente verosmiles si satis-face las condiciones siguientes:

a) P(SI) =P(S2) = ... = P(Sn) = lInob) Si es A un suceso que contiene nA cualesquiera de los puntos

muestrales Si' entonces P(A) = nA/noLa condicin a) afirma que cada uno de los n puntos es igual-

mente verosmil y, por tanto, que su probabilidad es l/n. La condi-cin b) establece que la probabilidad de un suceso que contenga nAde los n puntos muestrales es nAfn. Es fcil comprobar que estafuncin satisface los axiomas 1, 2 y 3 y es, por tanto, una funcinde probabilidad. La funcin de probabilidad de sucesos igualmenteverosmiles es exactamente lo mismo que el concepto dado en ladefinicin 2-1.

Ejemplo 2-15.-Supongamos que un experimento aleatorio con-siste en lanzar una moneda simtrica equilibrada dos veces. El es-pacio muestral S (resultados) est formado por cuatro puntos:(C, C)=s., (C, X)=S2' (X, C)=S3, (X, X)=S4, donde (C, X) significacara en la primera tirada y cruz en la segunda, etc. Parece totalmen-te razonable asignar a cada punto muestral la probabilidad 1/4, Ima-ginemos que A es el suceso (cel resultado de la primera tirada escaraD; entonces A =Sl U S2' Este suceso (subconjunto) contiene dospuntos, de donde P(A)=2/4=1/2,o Definamos el suceso B por la con-dicin de que aparezca al menos una cara; entonces B=Sl U 52 U 53'B contiene tres puntos, luego P(B) =3/4, Supongamos ahora que sedesea hallar la probabilidad de que no ocurra B, es decir, P(B).Por la definicin 2-5, s4=B, Y por el teorema 2-1, 1-P(B)=P(B)==P(S4)=1/4 ; luego P(B) = 1/4,

28. Permutaciones y combinaciones.-Para calcular la pro-babilidad de un suceso A cuando es aplicable la definicin 2-1 o suequivalente 2-12 (supondremos aplicables estas definiciones en lasSecs. 2-8 a 2-13), necesitamos calcular el nmero total n de orde:naciones mutuamente excluyentes e igualmente verosmiles, y el n-mero nA con el atributo A. Esta ~numeracin se facilita a menudomediante ciertas frmulas combinatorias que desarrollaremos a con-tinuacin y que se basan en los dos principios fundamentales si-guientes:

_0. a) Si un suceso A puede ocurrir de m maneras, y un suceso di-ferente 13 puede ocurrir de n maneras, el suceso A o B puede ocu-rrir de m + n maneras, siempre que A y B no puedan ocurrir simul-tneamente.

24 PROBABILIDAD [CAP. 2

b) Si un suceso A puede ocurrir de m maneras, y un sucesodiferente B puede ocurrir de n maneras, el suceso A y B puedeocurrir de mn maneras.

Estas dos ideas pueden ilustrarse haciendo corresponder A a laextraccin de una espada de una baraja y B a la extraccin de uncorazn. Cada uno de estos sucesos puede realizarse de 13" maneras.El nmero de maneras en que puede sacarse un corazn o una es-pada es, evidentemente,

13+ 13=26

Para aclarar el segundo principio supongamos dos cartas extradasde la baraja, de modo que una sea una espada y la otra un corazn.Hay 13 x 13 =169 maneras de hacer esto, ya que con el as de espa-das podemos poner cualquiera de los 13 corazones; con el rey deespadas, tambin cualquiera de los 13 corazones, y as sucesiva-mente para las dems espadas, hasta 13.

Estos dos principios pueden, evidentemente, generalizarse te-niendo en cuenta ms de dos sucesos. As, si tres sucesos A, B Y C,mutuamente excluyentes, pueden ocurrir de m, n y p maneras, res-pectivamente, el suceso A o B o C puede ocurrir de m + n + p ma-neras, y el suceso A y B Y C puede ocurrir de mnp maneras.

Usaremos ahora el segundo de estos principios para contar elnmero de disposiciones de un conjunto de objetos. Consideremosel nmero de disposiciones posibles con las letras a, b y c. Podemostomar cualquiera de las tres y colocarla la primera; cualquiera delas otras dos podr colocarse la segunda, y la tercera posicin laocupar la letra restante. La ocupacin de la primera posicin es unsuceso que puede ocurrir de tres maneras; la de la segunda, de dos,y la de la tercera, de una. Luego los tres sucesos juntos puedenpresentarse de 3 x 2 x 1= 6 maneras. Las seis disposiciones, denomi-nadas permutaciones, son

abc, acb, bac, bca, cab, cba

En este ejemplo apenas mereca emplear el mtodo del recuento, yaque es suficientemente sencillo escribir las seis permutaciones. Perosi quisiramos buscar el nmero de permutaciones de seis letras,habramos tenido que escribir .

6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 720permutaciones.

Es evidente que, en general, el nmero de permutaciones de nobjetos diferentes es

n(n -1) (n - 2.)(~ - 3) ... (2) (1)

SECo 2-81 PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 25

Este producto de un nmero natural por todos los nmeros na-turales menores que l, se denota corrientemente con el smbolo n!(lase .factorial de n). As, 2! =2, 3! =6,41 =24,51 =120, etc. Pues-to que

n!(n-l)! =-n

es corriente definir O! como 1, de modo que la relacin sigue apli-cndose cuando n =1.

Vamos a contar ahora el nJ..I1ero de permutaciones que puedenhacerse con n objetos cuando solo se emplean r objetos en una per-mutacin dada. Por el razonamiento anterior, la primera posicinpuede ocuparse de n maneras; la segunda, d.e n - 1 maneras, y assucesivamente; al llegar a la r-sima posicin, habremos usado r - 1de los objetos, de modo que nos quedarn n - (r -1), entre los cua-les podremos elegir. El nmero de permutaciones de n objetos to-mando r cada vez es, por tanto, n(n -1) (n - 2) ... (n - r + 1). Estenmero se designa con el smbolo Pn r :

Pn.r=n(n -1) (n - 2) ... (n -r+ 1) n!(n - r)! (1)

As, el nmero de permutaciones de las letras a, b, c, d, tomandodos cada vez, es P4,2=4 x 3= 12. Haciendo r=n en la ecuacin O),obtenemos el resultado enunciado anteriormente: el nmero de per-mutaciones de n objetos tomados de n en n es n!.

Con ayuda de la ecuacin (1) podemos resolver ahora el siguien-te problema: De cuntas maneras distintas pueden elegirse r ob-jetos de entre n objetos? Pn r representa el nmero de selecciones po-sibles, as como todas las disposiciones de cada seleccin o combi-nacin. Dos combinaciones son distintas si no estn formadas porel mismo conjunto' de objetos. As, abc y abd son combinaciones di-ferentes de tres letras, mientras que abc y bca son permutacionesdiferentes de la misma combinacin. Representemos por el smbolo

(~) el nmero de combinaciones diferentes. Es evidente que Pn.,es igual a (~) veces r1, ya que cada combinacin de r objetos tie-ne r 1 disposiciones. Por tanto,

(n) = Pnrr rl

n(n -1) (n - 2) ... (n - r + 1)r!

n!r!(n-r)! (2)

Otro smbolo corriente para este nmero es en", pero no 10 usa-remos en este texto. El nmero de combinaciones de cinco objetos

26 PROBABILIDAD [CAP. 2

tomados tres a tres es

(~) 5x4x331 606 10Puede darse a (:) una interpretacin diferente. Es el nmero

de maneras en que pueden dividirse n objetos en dos grupos, unode ellos de r objetos, y el otro grupo, de n - r objetos. Supongamosahora que queremos dividir n objetos en tres grupos que conten-gan n, n2, n3 objetos, respectivamente, siendo

Empezaremos por dividirlos en dos grupos que contengan nI Yn2 + n3 objetos. Esto puede hacerse de (:1) maneras. Entonces po-demos dividir el segundo grupo en otros dos grupos que contengannz y n3 objetos, lo que puede hacerse de (n2~n3) maneras. Median-te el segundo principio de enumeracin, el nmero total de manerasde hacer a la vez ambas divisiones es

ni

Este tipo de razonamiento puede extenderse para hallar el n-mero de maneras de dividir n objetos en k grupos que contengann, n2, ... , nk objetos, siendo nI + nz+ '" + nk=n. Se halla en seguidaque este nmero es

(3)nInll nz! ". nk I

Por tanto, el nmero de maneras de dividir cuatro objetos entres grupos que contengan 1, 1 Y 2 objetos es

4!111 !2!

12

La expresin (3) tiene una segunda interpretacin. Es el nmerode permutaciones diferentes de n objetos cuando ni de los objetosson iguales entre s y de una clase, n2 iguales y de otra clase, y assucesivamente. Si nos referimos al ejemplo numrico anterior,hay12 permutaciones de las letras a, b, c, c. Para ver que la expre-

SECo 2-8] PERMUTACIONES Y COMBINACIONES 27

sin (3) da el nmero correcto, consideremos n objetos diferentes(p. ej., las letras a, b, e, ... , p) dispuestos en un orden dado. Consi-deremos ahora una divisin de este conjunto de objetos en k gru-pos, de los cuales el primero contiene nI objetos; el segundo, n2'y as sucesivamente. Sustituyamos ahora en la disposicin originalde los objetos todos los elegidos para el primer grupo por unos,todos los elegidos para el segundo grupo por doses, y as sucesiva-mente. El resultado ser una permutacin de nI unos, n2 doses, oo.,nk smbolos k. Reflexionando un poco, nos convenceremos de quecada divisin de las letras en los k grupos corresponde a una per-mutacin diferente de los nmeros considerados y que este es elconjunto total de permutaciones, pues si hubiera otro habra otradivisin de las letras en k grupos.

Hemos obtenido tres frmulas en esta seccin, no solo porsu utilidad, sino porque su obtencin sirve para ilustrar la aplica-cin de los dos principios de recuento que dimos al principio de laseccin. Lo ms importante es considerar los mtodos; las frmu-las servirn para resolver muchos problemas, pero resultan intilesen muchos otros, y entonces hay que recurrir a los principios ele-mentales.

Ejemplo 2-16.-Si se extraen dos cartas de una baraja ordinaria,cul es la probabilidad de que una sea espada y otri corazn?

Puesto que nada se dice sobre el orden de presentacin de laespada y el corazn, se trata de un problema de combinaciones. Paracalcular la probabilidad, hemos de hallar el total de resultados po-sibles en una extraccin de dos cartas, y despus, el nmero de es-tos resultados que tienen el atributo en cuestin. El total de com-binaciones de dos cartas que pueden hacerse con 52 cartas es(522) =1326=n. Ya hemos visto antes que hay "13 x13=169=nAcombinaciones distintas con el atributo requerido. Por tanto,

P(A)=~= 169 =~n 1326 102

Este problema puede resolverse tambin considerando el n-mero de permutaciones posibles; el denominador de la fraccin se-ra entonces PS2,2=2652. Para obtener el numerador basta considerarque cada una de las 169 combinaciones de dos cartas tiene dos per-mutaciones, lo que da 2 x 169 = 338 para el nmero de permuta-ciones que tienen el atrib.uto requerido. O tambin podemos em-pezar del siguiente modo: El nmero de' permutaciones dondeaparece primero una espada y despus un corazn es 13 x 13 =169,segn el principio bY, y el nmero de aquellas en las que se presentael corazn primero y la espada despus es el mismo. Cualquiera

28 PROBABILIDAD [CAP. 2

de estos grupos de permutaciones satisface nuestro requerimiento,y segn el principio a), el nmero requerido ser 169 + 169 = 338;por tanto, volvemos a obtener para la probabilidad el valor 13/102.

Ejemplo 2-17.-Cul es la probabilidad de obtener 3 o msespadas en una extraccin de 4 cartas de una baraja ordinaria?

Se trata tambin, en este caso, de combinaciones. El total decombinaciones posibles con cuatro cartas es (5:) =270725. Enconsecuencia, el espacio muestral S est formado por 270 725 = npuntos, y la probabilidad asignada a cada punto es l/n = 1/270725.Para hallar el numerador nA! consideremos lo siguiente: La condi-cin, al menos tres espadas, significa tres o cuatro espadas. Elnmero de grupos de 4 cartas que contienen exactamente 3 espa-das es (1:) x 39 = 11154; el primer factor es el nmero de com-binaciones de las 13 espadas de 3 en 3, y el segundo, el nmelro demaneras en que puede elegirse una carta de los otros tres palos;se toma el producto, de acuerdo con el principio b). El nmero decombinaciones que pueden obtenerse con las 13 espadas de 4 en 4es (~) =-715. Por el principio a), el nmero de grupos que poseenel atributo en cuestin es 11154+715=11869=nA. La probabili-dad pedida es

P(A) = nA/n = 11 869/270725,Tambin cabe hallar el numerador por el siguiente mtodo: El

nmero de combinaciones con las 13 espadas de 3 en 3 es ( 1: ) = 286.La cuarta carta puede ocurrir que sea o no espada, y si las 3 prime-ras son espadas, habr que elegir esa cuarta carta a partir del grupode las 49 restantes. Por consiguiente, el nmero de grupos requeridoser 49 x 286= 14014. Este razonamiento no es vlido, porque cuentams de una vez los grupos de 4 espadas. Una combinacin espec-fica de espadas es as-rey-reina, y extrayendo la sota de espadas deentre las restantes 49, tenemos la combinacin as-rey-reina-sota. Perocontamos a la vez la combinacin que considera as-reina-sota, extra-yendo el rey de las 49 cartas restantes. Es evidente que se han con-tado 4 veces los grupos de 4 espadas. Puede obtenerse el resultadocOrrecto restando 3 veces el nmero de grupos con 4 espadas. Elresultado es

14 014 - 3 ( ~ ) = 11 869igual que anteriormente.

SECo 2_-..-:9)=-----__ FORMULA DE STIRLING 29

Ejemplo 2-18.-Se echan 7 bolas en 4 cajas numeradas, de modoque cada bola tenga que caer en una caja y todas tengan igual pro-babilidad de caer en cualquiera de las 4 cajas. Cul es la probabili-dad de que en la primera caja caigan precisamente 2 bolas?

Puesto que la primera bola puede caer en cualquiera de las 4 ca-jas, la segunda lo mismo, etc., el total de resultados posibles es, porel principio b), 47 Para enumerar cuntos resultados habr con elatributo deseado, empezamos por dividir las 7 bolas en dos grupos,uno de los cuales contenga 2 bolas, y el otro, 5 bolas. Esto puedehacerse de (~) maneras. Ahora pondremos el .grupo de dos en laprimera caja y distribuiremos las otras cinco entre las 3 cajas res-tantes. Esto puede hacerse, por el mismo razonamiento anterior, de35 maneras. El nmero de resultados favorables es, por tanto, (~) 35,Y la probabilidad deseada es

(7) 35P(A)=~=_2_=~==O 3115n 47 47 '

(El smbolo == se emplea para denotar igualdad aproximada.)2-9. Frmula de Stirling.-Al hallar valores numricos de las

probabilidades nos encontramos con la necesidad de evaluar largasexpresiones factoriales que son de clculo laborioso por multiplica-cin directa. Si se dispone de una mquina de sumar y no hay ungran nmero de factores en la expresin, suele resultar convenienteemplear logaritmos. No obstante, si los factores son numerosos, hastaeste mtodo resulta pesado, y puede ahorrarse mucho trabajo utili-zando la frmula de Stirling, que da un valor aproximado de n!.Este es

(1)

en donde e es la base de los logaritmos neperianos 2,71828 ... Unaaproximacin mucho ~ejor puede obtenerse sustituyendo el factore-n por e-en-u/Un)], pero este refinamiento se emplea solo en rarasocasiones. Para indicar la aproximacin obtenida por medio de estafrmula, podemos calcular lO!, cuyo valor exacto es 3 628 800. Lafrmula (1), utilizando logaritmos con cinco cifras decimales, da

lO! == 3 599000

mientras que la frmula ms refinada dalO! == 3 629 ()()()

30 PROBABILIDAD [CAP. 2

El error en (1) para n = 10 es algo menor del 1 %; el porcentajede error disminuye al aumentar n.

2-10. Notaciones de sumas y productos.-Una suma de tr-minos tales como n3 + n4 + ns + n6 + n7 suele designarse con el smbolo

7

: ni' es la letra griega mayscula sigma, que en estas ocasionesi=3suele denominarse signo sumatorio, y la letra i recibe el nombre dendice sumatorio. El trmino que sigue al smbolo se denominasumando. La i = 3 debajo de la indica que el primer trmino de lasuma se obtiene haciendo i = 3 en el sumando. El 7 encima de in-dica que el trmino final de la suma se obtiene haciendo i = 7. Losotros trminos de la suma se obtienen dando a i los valores enteroscomprendidos entre los lmites 3 y 7. As tenemos

5(- l)i-2jx2j = 2x4 - 3x6 +4x8 - 5x10j=2

Anloga notacin se obtiene para un producto utilizando la letragriega mayscula n. En este caso los trminos que resultan desustituir valores enteros en lugar del ndice se multiplican en vezde sumarse. As tenemos

TI lc+( ~l)'~] = (c-~)( c+2 )(c-~)( c+~)( c-~)a=1. b b b b b b

Utilizando esta notacin, la expresin (2-8-3) antes deducida pue-de escribirse

2-11. Los teoremas binomial y polinomial l.-El desarrollode la expresin binomial (x+ y)n puede verse en los libros de lgebraelemental, y suele obtenerse por induccin la demostracin de sudesarrollo. Utilizaremos aqu para obtener el desarrollo binomial unmtodo combinatorio que se generaliza fcilmente al caso polinomial.Si escribimos la expresin binomial en la forma (x +y){x + y)...(x + y),con n factores, el problema de hallar el coeficiente de uno de lostrminos, p. ej., xn-aya, se reduce al de hallar el nmero de mane-ras de dividir n factores en dos grupos. El primer trmino del des-

1 Est muy generalizado el uso improcedente de la palabra multinomialpor polinomial. (N. del T.)

SECo 2-11] LOS TEOREMAS BINOMIAL Y POLINOMIAL 31

arrollo es X"l, que se obtiene eligiendo la x en cada uno de los fac-tores. El trmino siguiente es un cierto coeficiente multiplicadopor ;xn-Iy. Este trmino se obtiene eligiendo la x en n - 1 de losfactores y la y en el restante. El factor del cual se toma y puedeelegirse entre n, y, por tanto, el coeficiente de xn-Iy es n. En ge-neral, para obtener el coeficiente de xn-aya tenemos que contar elnmero de maneras de dividir los n factores en dos grupos, demodo que uno de ellos contenga a factores y el otro n-a; y seelige de cada uno de los factores del primer grupo y x de cadauno de los factore~ del segundo grupo. El nmero de manerasde dividir los n factores en dichos dos grupos es (:), que es elcoeficiente deseado. El desarrollo binomial es, por tanto,

(x+y)n=xn+nxll - 1y+ (~)xn-2y2+... +y"(1)

El teorema polinomial se deduce inmediatamente; desarrollan-do la expresin

se obtienen trminos de la forma

en donde e representa un cierto coeficiente y los exponentes sa-tisfacen la relacin

Se trata ahora de determinar e: los trminos de la formadada se presentan cuando se elige Xl en nI de los n factores, X2en n2 de los restantes factores, y as sucesivamente. El nmerode maneras de obtener dicho trmino es- igual al de formas de di-vidir los n factores en k grupos que contengan nh n2, ... , nk facto-res. Esta es la expresin (2-8-3). Por tanto, el trmino general deldesarrollo polinomial es

ni----- X~l X~2 ... ~l: onI! n2! ... nk!

32

y podemos escribir

l' ltOBABlLIDAD [CAP. 2

(2)

Hemos indicado solamente que la suma se extiende a los ndi-ces nh nz, ... , nk. Cada ndice toma valores desde O hasta n, perono pueden ser sumados independientemente con estos valores, por-

k

que debe verificarse ~ ni=n. La suma se extiende a todos los;=1

conjuntos de valores de nh nz, ... , nk tales que su suma sea n y ta-les que ni sea un entero que puede tomar cualquier valor desde Ohasta n, ambos inclusive. La suma es de desarrollo muy laboriosocuando n es grande. Como aclaracin, consideraremos un casosencillo:

(XI +Xz+ XJ)4= ;'1' n2 , n3

El conjunto de valores (nh n2J nJ) que satisfacen a nI +nz + n3 ==4 es

(4, 0, O), (3, 1, O), (3, 0, 1), (2, 2, O), (2, 1, 1), (2, O, 2), el, 3, O), (1, 2, 1),(1, 1, 2), (1, O, 3), (O, 4, O), (O, 3, 1), (O, 2, 2), (O, 1, 3), (O, O, 4);

por tanto, la suma tiene 15 trminos, los primeros de los cuales son

4' 4' 4' 4' 4'(XI + Xz + XJ4 =-'- x4 +-'- x3xz +-'-' X3X3+--'- X21X2+ ... +-'- x44! I 3! l 3! 1 2!2! 2 41 3

=X1+4x~X2+4~X3+ 6xfxi+ ...+~Un conjunto de nmeros como (3, 1, O) se denomina particin de

4 en 3 partes; (2, 6) es una particin de 8 en 2 partes. Los 15 trosde nmeros antes enunciados forman el conjunto completo de parti-ciones ordenadas de cuatro en tres partes. Estas particiones se lla-man ordenadas porque se consideran distintas dos particiones queconsten de las mismas partes si difieren en el orden.

Si no se especifica que las particiones deben ordenarse, se suponeque son sin ordenar; as, las particiones de cuatro en tres partesson simplemente (4, O, O) (3, 1, O), (2, 2, O), (2, 1, 1). La suma poli-nomial (2) puede describirse del siguiente modo en funcin de parti-ciones: se extiende la suma a todas las particiones ordenadas de nen k partes, siendo las partes (n), n2' ... , nk)'

SECo 2-12] FUNCIONES GENERATRICES COMBINATORIAS 33

2-12. Funciones generatrices combinatorias.-Las enumera-ciones de resultados posibles y de resultados que presentan un cier-to atributo pueden llegar a constituir un problema de gran compli-cacin. En realidad, es sencillo enunciar problemas en los cuales laenumeracin resulta prcticamente imposible. Un recurso muy efi-caz en la resolucin de problemas de enumeracin consiste en eluso de las llamadas funciones generatrices. Las funciones generatri-ces combinatorias constituyen en s mismas una seccin especial delas matemticas, y nos limitaremos a considerar un pequeo nmerode casos sencillos. Se trata simplemente de indicar la naturaleza deeste mtodo de anlisis.

Estudiemos de nuevo el ejemplo 2-18, en el que se echaban 7 bolasen 4 cajas, y consideremos la funcin

El coeficiente de un trmino como el xix1x3 en el desarrollo deeste polinomio viene dado por 7! /2! 4! 1!O! [frmula (2-8-3)}, quees precisamente el nmero de maneras de dividir 7 objetos en 4 gru-pos, de modo que el primero contenga 2 objetos; el segundo, 4, yas sucesivamente. De este modo, cualquier trmino del desarrollopolinomial describe un posible resultado; un factor tal como el Xi5indica que 5 bolas han cado en la caja i-sima, y su coeficientenumrico da el nmero de maneras como puede ocurrir tal resul-tado. Si ahora sustituimos las x por unos, el trmino queda redu-cido a

y para obtener todo el conjunto de resultados posibles tenemos quesumar esta expresin para todos los conjuntos de las ni cuya sumaes 7. Esta suma es precisamente por el teorema polinomial

Si queremos hallar la probabilidad de que la primera caja con-tenga 2 bolas, tendremos que sumar 7! /Ilni! para todos los con-juntos de ni que tienen ni = 2. Escribamos de nuevo el trmino enla forma

7! 5!----.---- ------

2 ! 5 ! nz ! n3 ! n4 !

Se trata ahora de sumar estos trminos para todos los valorestales que nz + n3 + n4 = 5. Si multiplicamos 5! /nz! n3! n4! por l n21n31n4,

34 PROBABILIDAD

tenemos el trmino general de (1 + 1+ 1)5; por tanto, la suma de-seada es 7I/2! 51 multiplicado por 35

El polinomio (xI+XZ+X3+X4)7 es un tipo sencillo de funcin ge-neratriz; se trata de una expresin algebraica a la que puede darseuna interpretacin respecto al problema fsico de que se trate. Pue-de utilizarse como respuesta a cualquiera de las cuestiones relati-vas al problema fsico con el que se re