mcdi_u4_a2_ropg

7/23/2019 MCDI_U4_A2_ROPG

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ES1521200067Rosangela Parra Garcia

1 de diciembre de 2015

Calculo DiferencialUnidad 4

Actividad 2

Unidad 4 Calculo Diferencial Pgina 1


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Unidad 2

Ra!"n de cambio # $angen$e de una cur%a&

Instrucciones' Resuel%e los siguien$es (roblema sobre ra!"n de cambio # $angen$ede una cur%a&

1& Un reci(ien$e en forma de cono in%er$ido de 10m de al$ura # 2m de radioes$ lleno con un l)*uido+ es$e sufre una a%er)a # el l)*uido comien!a a ,uircon una %elocidad de 0&-m./s & Con *u %elocidad baa el l)*uido cuando

3a descendido 4m de al$ura

Para es$e eercicio debemos $rabaar con la formula de %olumen de uncono'

2

3

r hV

=

g g

+ (rocedemos a sus$i$uir con la informacion (ro(orcionanda'2(2) 10 40

3 3V

= =

g g

+ es$e es el %olume inicial del cono omemos como t el momen$o en el *ue e%aluaremos la %elocidad a 4m

de al$ura&40

( ) 0.8( )3V t t

= El li*uido res$an$e con relacion a las (aredes del cono forma un $riangulo

rec$angulo de angulos semean$es+ (or lo $an$o (odemos considerar lo

siguien$e' 2 10

r h=

# des(eando en func$ion del radio $enemos'

2

10 5

h hr= =

ol%emos a la formula original (ara (oner $odo en $erminos de 3'2 31

( )3 5 75

h hV h h

= =

g g

Para (oder llegar a la aceleracion $rabaamos con la deri%ada'

( ) ( )

2 33 2

2

3 75 0( )

75 (75) 25

h hh hV h

= = =

g

Resuel$o lo an$erior+ (odemos $rabaar con la regla de la cadena #

sus$i$uir'

2

( ) ( ) ( ) 0.8 ( )25

hV t V h h t h t

= =

g g

En es$e (un$o+ sabemos *ue lo *ue *ueremos ob$ener es 389$: # lo(odemos des(ear de la formula an$erior+ $omando en cuen$a *ue elli*uid 3a decendido 4 m$s+ (or lo $an$o la al$ura 3 es 6m$s&

2

0.8 (25)( 0.8) 20 20( ) 0,1768384121325298

36 36 113,0976(6)

25

h t

= = = = =



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Por lo $an$o la %elocidad con la *ue baa el li*uido es de 0+176- m/s

2& Se in,a un globo en forma esfrica de modo *ue su %olumen se incremen$acon una %elocidad de .m./min & ; *u ra!"n aumen$a el dime$ro cuandos$e es de 10m Considerar *ue se u$ili!ara la formula de %olumen de una esfera'

34

3

rV

=g

ambien debemos considerar *ue las ra!ones de cambio dadas #

solici$adas son', ,

dV dd dV

dt dt dd

En$onces (rimero $rabaamos con la funcion del %olumen en base al

$iem(o+ # deri%amos '( ) 3( ) 3

dVV t t

dt= =

;3ora (rocedemos a 3acer lo mismo (ero en funcion del diame$ro d'3

4( )

3 2

dV d

= g

Por la regla de la cadena (odemos (roceder a lo siguien$e'2 2

2

4 1 23

3 2 2 2

dV dV dd d dd d dd dd dV

dt dd dt dt dt dt dt d

= = =

g g g g g gen$onces

En es$e (un$o debemos considerar2

63dV dd dt dt d

= =en$onces

;3ora consideramos la deri%ada cuando el dime$ro ser 10m 10d=

2

6 30.01909

(10) 50

dd

dt = = =

En$onces la ra!"n a la *ue aumen$a el dime$ro es 0&01


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El recorrido del ni=o con el (a(alo$e lo (odemos eA(resar como

dx

dt ?0&75

;3ora (odemos sus$i$uir'2

2

2

0.750.75 62510.75

625

625

dx dx dh h dh dh h

hdt dh dt dt dt hh

h

= = = =

g

;*u) %amos a considerar los 60 m como 3 9al$ura @nal:'20.75 (60) 625

0.68179(60)

dh

dt

= =

Se a,oa a ra!"n de 0&6-17< m/s

4& Dada la funci"n2( ) 2f x x x= + 3allar la ecuaci"n de la rec$a $angen$e a dic3a

funci"n *ue es (aralela a la rec$a normal *ue (asa (or el (un$o .+.&

Comen!amos (or es$ablecer la (endien$e de la rec$a $angen$e+ la cual laencon$ramos en la deri%ada de la funcion+ # de la rec$a normal median$esu formula o ecuacion'

2( ) 2 ( ) 2 2 (3) 2(3) 2 4 4

1 1 1

2 2 4

t t

n n

t

m f x x x f x x f m

m p mm x

= = = = = =

= = =

Por lo an$erior (odemos encon$rar la ecuaci"n de la rec$a normal con laforma (un$o (endien$e'

1 11 1 3 12( ) ( ) ( 3) ( 3)4 4

1 15 04 44 4

y y m x x y x y x y x+ = = = + + =

Bnformacion a considerar' a (endien$e en el (un$o de $angencia es$ dada (or la

deri%ada de la funci"n+ e%aluada en $al (un$o de $angencia& Por la informacion an$erior+ (odemos en$enender *ue $endran la misma

(endien$e # la misma deri%ada&1

21 1 74( ) 2 24 4 2 8

tf x x x

+= = = =

Con es$a informaci"n $enemos el eede las A en la rec$a a3ora buscaremos # # con ello sacar la rec$a&

27 7 49 14 632

8 8 64 8 64ty

= = =

ue%amen$e u$ili!amos la ecuacion (un$o (endien$e'

1 1

63 1 7 1 7 63 1 14 63( ) ( ) ( ) ( )

64 4 8 4

1 490

4 6

32 63 6

4

4 3y y m x x y x y

y x

x x = = = + = +

+

+ =

Por lo $an$o el ecuacion de la rec$a $angen$e es

1 49

4 64y x+ +



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5& >allar la ecuaci"n de la rec$a $angen$e a la funci"n

2 34 2 0

xxy x y

y + + =

en el

(un$o 91+1: Para 3allar es$a ecuacion u$ili!aremos la formula (un$o (endien$e'

1 1( ) ( )y y m x x = >as$a es$e momen$o $enemos #a cier$a informacion' Conociendo el (un$o

91+1: $enemos (or ende 1 1y xy + a3ora solo nos fal$a conocer m # (ara ellou$ili!amos debemos conocer la deri%ada de la funcion (ues es$a es la(endien$e 9m:'

2 3 2 2 3

2

2 2 3 2 2 2 3 2

2 2

4 3 2 3 3 2 3

( ) ( )4 2 0 ( ) ( 2 )( ) ( 12 ) ( 4 ) 0

( ) ( ) ( ) ( )2 12 4 ( ) 2 12 4 (0)( )

2 12 4 0 2

x y xyxy x y y x y y x y x y

y y

y xy y xyy xyy x y x y y y xyy x y x y y

y y

y xy y x y x y y y xy xy y

+ + = + + + + =

+ + + + =

+ + = 3 2 4 2 3

4 2 33 3 2 4 2 3

3 3 2

4 12

12(2 4 ) 12

2 4

x y y xy y x y y

y x y yy xy x y x y x y y y

xy x y x

= +

+ = + =

;3ora sus$i$umos (ara conocer m'

4 2 3 4 2 3

3 3 2 3 3 2

12 (1) 12(1) (1) (1) 1 12 (1) 10

2 4 2(1)(1) 4(1) (1) (1) 2 4 (1) 3

y x y yy

xy x y x

+ + + = = =

En la forumla (un$o (endien$e sus$i$uimos'

1 1 10 10 10

1

( ) ( ) ( 1) ( 1) 13 3 3

10 1 0 10 3 10 130

3 3 3

01

33 3 3

y y m x x y x y x

y x yx xy

= = = +

= = + + + + =+

a ecuacion de la rec$a $angen$ es

10 130

3 3x y+ =

6& >allar la ecuaciones de las rec$as $angen$e # normal a la funci"n3

( ) 2f x x x= en el (un$o donde la rec$a $angen$e a dic3a funci"n en A ?1in$ersec$a a la gr@ca de misma funci"n& Primero %amos a ob$ener el (un$o de $angencia sus$i$u#endo A en la

funcion'3 3( ) 2 (1) (1) 2(1) 1f x x x f= = = en$onces el (un$o de $angencia es P91+

1:+ es$e es el (un$o donde la rec$a $angen$e 3ace con$ac$o con la funcion& ;3ora deri%amos la funcion (ara ob$ener la (endien$e de la $angen$e'

3 2 2( ) 2 ( ) 3 2 (1) 3(1) 2 1tf x x x m f x x f= = = = = en$onces 1tm =

Para ob$ener la ecuacion de la rec$a $angen$e usamos la formula de(un$o (endien$e+ usando la informacion ob$enida 3as$a es$e momen$o

1 11, 1, 1tx y m= = = '1 1( ) ( ) ( 1) 1( 1 1 1 2 2 0)y y m x x y x y x yx y x = + = + = = =

;3ora necesi$amos la (endien$e de la rec$a normal'



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2

2 2

1 1 1( ) 3 2 1

3 2 3(1) 2t n n

t

m f x x m p mm x

= = = = = =

Para ob$ener la ecuaci"n de la rec$a normal u$ili!amos nue%amen$e elmodelo (un$o (endien$e'

1 1( ) ( ) ( 1) 1( 1) 1 1 0y y m x x y x yy x y x x = + = + = + += = as ecuaciones son las siguien$es'

Rec$a $angen$e' 2 0x y =

Rec$a normal' 0x y+ =


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