matriz inversa

Método Gauss Jordan

Introducción

Si es una matriz cuadrada, se llama matriz inversa de A y se denota A-1 a una matriz del mismo orden que A que verifica la siguiente igualdad:

(Siendo I la matriz identidad

de igual orden que A)

Si una matriz posee inversa se dice que es invertible en caso contrario se llama singular, debido a que no todas las matrices cuadradas pueden tener inversa.

Matriz inversa:

1 1. .A A A A I

Ejemplo:

1.A A IMultiplico los elementos de las filas de la primer matriz por los elementos de las columnas de la segunda y sumo los productos:

Para la fila 1, columna 1: 2.a+(-1).c=2.a-cPara la fila 1, columna 2:2.b+(-1).d=2.b-dPara la fila 2, columna 1:1.a+1.c=a+cPara la fila 2, columna 2:1.b+a.d=b+d

Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita hallar A-1

2 1 1 0.

1 1 0 1

a b

c d

Sea A= , hallar si es posible A-12 1

1 1

2 2 1 0

0 1

a c b d

a c b d


1 1

2 2 1 0

0 1

a c b d

a c b d

2 1

0

3 0 1

3 1

1/ 3

1/ 3

a c

a c

a c

a

a

c a

c

2 0

1

b d

b d

2 1

0

a c

a c

2 0

1

3 0 1

3 1

1/ 3

1

1 1/ 3

2 / 3

b d

b d

b d

b

b

d b

d

d

A partir de esta igualdad podemos deducir las siguientes ecuaciones:2.a-c=1 2b-d=0a+c=0 b+d=1

Armar estos sistemas de ecuaciones…

…Y resolverlos por alguno de los métodos vistos (suma, resta, igualación, sustitución, etc…)

En este caso fue resuelto por la suma de las ecuaciones del sistema y el posterior despeje de las incógnitas….

Ejemplo:

Ejemplo:

1.A A I


1 1

2 1.

1 1

a b

c d

Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y verifico que sea la matriz inversa de A

1 1

2 1 3 3.

1 1 1 2

3 3

Para la fila 1, columna 1: 2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1Para la fila 1, columna 2:2.(1/3)+(-1).(2/3)=0Para la fila 2, columna 1:1.a+1.c=a+cPara la fila 2, columna 2:1.b+a.d=b+d

1

1

0

0 El resultado coincide con los valores de la identidad…

Ejemplo: Sea A= , hallar si es posible A-12 1

1 1

… lo que significa que hemos encontrado la matriz inversa de A

1

1 1

3 3

1 2

3 3

A

El método recién explicado resulta sencillo con una matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo en matrices mas grandes se hace mas complicado el despeje de las incógnitas….

… es por ello que veremos el método Gauss Jordan.

Método Gauss Jordan. Preparación de la matriz: A=

Para facilitar el entendimiento del método utilizaremos una grilla…

1. En la parte izquierda de la grilla ingresamos los elementos de nuestra matriz en orden y respetando su ubicación original

1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la matriz identidad

Método Gauss Jordan. Mecánica del procedimiento:

1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo de la matriz dada, y se divide por él la fila correspondiente.

1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

En este caso elijo el 1 para ahorrar cuentas, ya que debo dividir cada elemento de la fila por el numero que elijo.

Por lo tanto, debido a que elegí el 1 se mantienen los valores de la fila 1 0 1 1 0 0


2. Los restantes elementos de la columna del pivote se transforman en cero.

1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0


3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo

1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

Que consiste en restarle a dicho

elemento el producto contra diagonal

dividido por el pivote

Seleccionamos el elemento a transformar

Entre el pivote y el elemento seleccionado

hay un rectángulo imaginario

Siendo la diagonal la línea que va del pivote

al 2 la contra diagonal seria la que

va del 0 al 1

Entonces, para determinar este elemento debemos

hacer la sig. cuenta… 2-(1.0)/1= 2

Y lo ubicamos en la tabla…

2



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

Ahora seleccionamos otro elemento a

transformar

Armamos el rectángulo imaginario

Y determinamos los elementos de la

contra diagonal para hacer la

transformación

2

-2 - [1.(-1)]/1 =-2 - (-1) =-2 + 1 = -1

-1Y así sucesivamente hasta completar la tabla…



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

0-( 1 . 1 )/1= -1

-1 -1



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

1-( 1 . 0 )/1= 1

-1 1-1



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

0-( 1 . 0 )/1=0

-1 0-1 1



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

-1-( 2 . 0 )/1=-1

-1 0-1 1-1



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

1-( 2 . -1 )/1=3

-1 0-1 1-1 3



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

0-( 2 . 1 )/1=-2

-1 0-1 1-1 3 -2



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

0-( 2 . 0 )/1=0

-1 0-1 1-1 3 -2 0



1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2

1-( 2 . 0 )/1=1

-1 0-1 1-1 3 -2 0 1

Método Gauss Jordan.

1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

Se elige otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del pivote anterior, y se divide por él la fila correspondiente.

-½10

Los restantes elementos de la

columna del pivote se transforman en cero.

0

0

-½ 0½


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo

Seleccionamos el elemento a transformar

Entre el pivote y el elemento seleccionado

hay un rectángulo imaginario

Siendo la diagonal la línea que va del pivote al 1 la contra diagonal

seria la que va del 0 al 0

Entonces, para determinar este elemento debemos

hacer la sig. cuenta… 1-(0.0)/1= 1

Y lo ubicamos en la tabla…

1


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

0-(0.-1)/2= 0

1

0

Y ahora se repiten los pasos hasta que se completa la tabla….


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

3-(-1.-1)/2= 5/2

1

0


5/2


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

-2-(-1.-1)/2= -5/2

1

0


-5/25/2


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

0-(-1.1)/2= 1/2

1

0


-5/25/2 ½


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1-(-1.0)/2= 1

1

0


-5/25/2 ½ 1


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

0-(0.0)/2= 0

1

0


-5/25/2 ½ 1

0


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

0-(1.0)/2= 0

1

0


-5/25/2 ½ 1

00


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1-(-1.0)/2= 1

1

0


-5/25/2 ½ 1

001


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

-1-(-1.0)/2= -1

1

0


-5/25/2 ½ 1

001-1


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 -2 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0

Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad en la columna A y la inversa de A en la columna I…Como puede verse aquí aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condición…

-5/25/2 ½ 1

001-1


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0

Una vez completa, repito los pasos hasta obtener una matriz identidad en la columna A y la inversa de A en la columna I…Como puede verse aquí aun hace falta otro cuadrante para cumplir con la condición…

-5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0

1-(-1.0)/5/2= 1

Elijo mi tercer pivote…

Divido los elementos de su fila por el pivote…

Reemplazo por 0 los elementos de la columna…

Y aplico la regla del cuadrado al resto de los elementos…

1


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0

0-(-1.0)/5/2= 0





1 0


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0

1-(-1/2.0)/5/2= 1





1 0

1


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0

1-(-1/2.0)/5/2= 1





1 0

10


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0





1 0

10

-1/2-(-1/2.-5/2)/5/2= -1

-1


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0





1 0

10

1/2-(-1/2.1/2)/5/2= 3/5

-1 3/5


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0





1 0

10

0-(-1/2.1)/5/2= 1/5

-1 3/5 1/5


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0





1 0

10

1-(-1.-5/2)/5/2= 0

-1 3/5 1/5

0


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0





1 0

10

0-(1/2.-1)/5/2= 1/5

-1 3/5 1/5

0 1/5


1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0





1 0

10

0-(-1.1)/5/2= 2/5

-1 3/5 1/5

0 1/5 2/5

Método Gauss Jordan.1 0 1

1 2 2

2 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 0 1 1 0 0

0

0

2 -1 0-1 1-1 3 0 1

-½10

0

0

-½ 0½

1

0 -5/25/2 ½ 1

001-1

100 -1 2/51/5

0

0

1 0

10 -1 3/5 1/5

0 1/5 2/5 Esta seria nuestra matriz inversa


0 1/ 5 2 / 5

1 3 / 5 1/ 5

1 1/ 5 2 / 5

Entonces, resulta que la inversa de A es:

matriz inversa

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