1

MATEMÁTICA II

Prof. NORMA ACOSTA TAFUR

Licenciada en Matemática PuraMagíster en Docencia Universitaria

Doctorado en Educación

normaflor23@ yahoo. com.br

EVALUACIÓN

3 Prácticas Calificadas (Lunes)

Examen Parcial y Final (Lunes)

Evaluación Continua (Mensual)

Puntualidad

Tareas

Talleres

Evaluación Individual

Participación en clase

4

MATRICES

MATEMÁTICA II

4

1

2

0

5

3

A

5

MATRIZ

Ejemplo:

Es una matriz de 3 filas y 2 columnas

Por definición es un arreglo de números ordenados en

filas y columnas.

COLUMNAS

FILAS

Orden de una matriz Esta dado por el número de

filas y columnas.

4

1

2

0

5

3

A

3x2

1 3/2 2

3/2 2 5/2B

2x3

En general:

nxmmnmm

n

n

a...aa

.

.

.

.

a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

A = [ aij ]m x n

672

014

523

C

3x3

2

jiSi,ji

jiSi,ji

aij

2

2

232221

131211

aaa

aaaA

7

Construcción de una Matriz

Construir la siguiente matriz:

A = [ aij ]2x3 tal que:

a11 = ,a12 =

a13 = ,a21 =

a22 = ,a23 =

Solución:

1 3/2

2 3/2

2 5/2

1 3/2 2

3/2 2 5/2A

1ero

2do

3ero

54

31

52

1

y

x23 yx

2340

31

52

x

A

32435

012

x

TA

8

IGUALDAD DE MATRICES

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Definición.- Si A es de orden m x n , entonces AT es de orden n x m

( la transpuesta cambia filas por columnas).

PROPIEDAD: (AT)T = A

Ejemplo:

Ejemplo:

Dos matrices son iguales si y solo si, tienen el mismo

orden y los mismos elementos.

131

0

2

x

C

9

Matriz fila

B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 5

Matriz columna

CLASES DE MATRICES Matrices Especiales

Matriz Nula Matriz Cuadrada

Matriz Diagonal Matriz identidadMatriz Escalar

430000

0000

0000

x

O

500

010

002

A

700

070

007

B

33100

010

001

x

I

33672

014

523

x

A

Diagonal principal

300

150

941

A

7863

0129

0057

0003

B

11

Matriz Triangular superior.-

Matriz Triangular inferior.-

TAA

bc

caA

cfe

fbd

eda

A

Matriz Simétrica

La Diagonal principal

toma cualquier valorExtremos iguales

3

TAA

0

0

c

cA

0

0

0

fe

fd

ed

A

Matriz Antisimétrica

La Diagonal principal

son cerosExtremos iguales con

signo diferente

OPERACIONES CON MATRICES

MATEMÁTICA II

Norma Flor Acosta Tafur

SUMA Y RESTA DE MATRICES

Definición.-

y

Ejemplos:

2x32x312

52

87

810

50

32

2x3712

02

55

mxnmxnmxnCBA

ijijijbac

3232041

423

431

012

xx 32472

411

x

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

• Ejm:

704

1532 )7)(2()0)(2()4)(2(

)1)(2()5)(2()3)(2(

mxnijkakA ][

1408

2106

PROPIEDADES IMPORTANTES

1. (A + B)T = AT + BT

2. (AT)T = A

3. (kA)T= kAT

Si A y B son matrices del mismo orden y k es un número

real, entonces:

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Ejemplo:

1274

9532

0123

035

412

4332.BA

xx

42 x

C

C14 =

C12 =

C13 =

C21 =2(3) + ( 1)( 2)+4( 4) =

C22 =

C23 =

C24 =

C11 =

2(2) + ( 1)(3) + 4(7) =

2(1) + ( 1)(5) + 4( 2) =

2(0) + ( 1)(9) + 4(1) =

5(3) + (3)( 2) + 0( 4) =

5(2) + (3)(3) + 0(7) =

5(1) + (3)(5) + 0( 2) =

5(0) + (3)(9) + 0(1) =

29

11

5

9

19

20

27

mxpnxpmxnCBA .

8

C11 C12 C13 C14

C21 C22 C23 C24

4

2 - 4 2

0 1 -3

M =

2 1

0 4

2 2

N =

2 3 4A =

7

5

11

Q =

Hallar el producto de matrices

El producto de dos matrices

no siempre es conmutativo

Hallar AB y BA , si :81

30

20

31B , A

162

273AB

AB BA

191

60BA

21

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1. (AB)T = BTAT

2. AI = IA = A

AA .A3.2