Aplicaciones de las Matrices a las

Transformaciones del Plano

Introducción

Una transformación en un plano, es una aplicación que hace

corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro

punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En consecuencia,

cualquier conjunto de puntos F se puede transformar en otro

conjunto de puntos F’.

A continuación veremos algunas de las transformaciones con

las siguientes características:

Mantienen la forma y el Tamaño de la figura (son isometrías o

movimientos rígidos).:

Desarrollo

Traslación:

La traslación es una de las Unicas Transformaciónes1 que NO es

Lineal. Esto se debe a que no incluye en si porpiedades como la Aditividad

y el producto por Número que hacen que una transformación sea Lineal.

En algebra lineal se al define como una  isometría en el espacio

euclídeo caracterizada por un vector  , tal que, a cada punto P de un

objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:

1 Se define a una Transformación como Lineal si verifica la Aditividad y el producto por numero. Es decir que la tranformada de una suma es la suma de los transformado y lo mismo con el producto

pueden entenderse como movimientos directos sin cambios

de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las

figuras u objetos trasladados.

La imagen anterior muestra como todo lo trabajado en la asignatura

con Matrices permite la traslación de diferentes figuras. Por ejemplo si

tenemos un cuadrilatero y lo queremos trasladar respecto de un Vector ( 2

8)T , se procede en colocar cada vertice del mismo de forma matricial y

sumarle la coordenada del vector con el cual queremos trasladar y asi

obtendremos las nuevas coordenadas tal como muestra la última columna

del cuadro anterior.

Rotación:

Geométricamente una rotación en el plano representa una

Transformación ahora si Lineal que representa un giro de una

figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, que

puede estar o no dentro de la figura.

En álgebra lineal, una matriz de rotación es la matriz que

representa una rotación en el espacio euclídeo. Por ejemplo, la matriz

Que representa la rotación de θ grados del plano en sentido

antihorario.

Con esta Matriz se puede rotar cualquier punto del plano

colocandolo en forma matricial de la siguiente manera:

al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo

vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario:

Donde al multiplicar la matriz por el vector. Se obtiene un

nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido

antihorario:

Aunque en la mayoría de las aplicaciones se consideran

rotaciones en dos o tres dimensiones, las matrices de rotación

pueden definirse en espacios de cualquier dimensión.

Algebraicamente, una matriz de rotación es una matriz ortogonal de

determinante uno:

Las matrices de rotación son cuadradas y con valores reales.

Sin embargo, se pueden definir sobre otros cuerpos.

Por ejemplo si queremos Rotar un cuadrilatero de

coordenadas ( 6 5)T

( 10 5)T ( 7 12)T ( 4 8)T con respecto de un angulo de 60°. Se debe

calcular la matriz de rotación para dicho angulos y luego multiplicarla por

cada matriz de vértices y asi se obtienen las nuevas coordenadas de la

rotación tal como muestra el grafico siguiente:

Simetría:

La simetria o reflexión es otra transformación lineal ocurrida en el

plano que permite mediante la utilización vectorial y matricial reflejar

diferentes objetos o curvas.

Ele cho de poder reflejarlos a traavez de un punto o una recta implica

la existencia de un subconjunto dentro de estar transformación:

Simetría respecto a una recta

Geométricamente la reflexión de una figura en el plano

respecto de una recta dada e, representa su imagen simétrica

respecto a ella. La recta e se denomina eje de simetría.

Si un vector ( x y ) = ( rcos 0 rsen0 ) tiene longitud r y

angulo genérico 0, el simetrico o reflejado respecto de una recta

esta dado por la matriz de transformación:

Donde si se quiere calcular el reflejado de un vector por

ejemplo ( 1 8)T con respecto de un angulo de 45 °. Se reemplaza

este valor en la matriz y luego se lo multiplica por el vector.

Esta transformación tiene mucha aplicación por ejemplo en

quimica ya que

El centro activo de la hemoglobina es un anillo de porfirina con

un átomo de hierro (en rojo) en el centro. El "esqueleto" de este

macrociclo de porfirina (marcado con líneas negras) está

compuesto por átomos de carbono (morados) y nitrógeno (azules).

Las esferas blancas representan átomos de hidrógeno, mientras

que las marcadas de amarillo pueden ser diversos grupos

orgánicos. Las líneas anaranjadas representan planos de simetría

perpendiculares a la figura, mientras que el cuadrado amarillo del

centro indica un eje de simetría cuaternario que coincide con la

recta de intersección de los planos de simetría. Además de los

elementos de simetría indicados, esta molécula (que es plana y

cuyo anverso y reverso son equivalentes) posee ejes binarios, un

plano de simetría que coincide con el plano del papel, y un centro

de simetría que coincide con el punto donde se intersecan todos los

otros elementos de simetría.

Simetría Axial

Es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema

tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos

tomados a partir de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas

características.

Este tipo de Simetria posee una Matriz fija asignada a la

transformación que no depende del angulo. Tal como indica la

siguiente tabla :

Homotecia- Trasquilado

Geométricamente la homotecia es una transformación lineal que

cambia el tamaño de un objeto sin variar su forma.

Sea E un espacio vectorial sobre una figura  . Sea X un

elemento (visto como un punto) de E. La homotecia de centro C y

de razón k,envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M'

tal que:

La ecuación anterior puede escribirse también como

una transformación Lineal de la forma:

La anterior relación puede escribirse Matricialmente en el

plano como:

Donde:  ,   y  .

En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza

trivialmente.

En muchos casos, suele denotarse como Tp X =p X donde:

si p >1 es una dilatación y amplifica la Figura.

Si 0 > p < 1 es una contracción y reduce la figura

si p= 1 es una reflexión respecto al origen

La transformación T = =

Se llama Trasquilado. Los vectores del eje X quedan Fijos y los

otros sufren una transformación proporcional su alejamiento en X.

Una transformación en un plano, es una aplicación que hace

corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro punto P’

de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En c o n s e c u e n c i a , c u a l

q u i e r c o n j u n t o d e p u n t o s F s e p u e d e transformar en

otro conjunto de puntos F mediante la utilización de matrices. Colocando

cada uno de los puntos como elementos de la misma. Para ejemplificar esto

se propone el siguiente ejemplo:

Donde se muestra una homotecia de razón -3 aplicada al triángulo

ABC que lo transforma A1, B1, C1 mediante la utilización de matrices.

x =

Aplicaciones de las Matrices de la Homotecia:

Al fotocopiar un documento con la finalidad de ampliarlo o

reducirlo, la máquina realiza el proceso de transformación del documento

original mediante una homotecia de la razón necesaria por medio de

matrices para obtener un“zoom”, que varía en diferentes porcentajes.

ConclusiónA partir del analisis del informe podemos concluir reafirmando la

gran utilidad que poseen las matrices en las transformaciones en el plano.

Muchas de ellas suelen ser transformaciones Lineales que cuentan

con una gran aplicación en el campo del Algebra lineal como asi en los

sistemas de control. Sin embargo, toda tranformación viene respaldada por

una matriz que permite la operación de manera simple y sin la necesidad de

recurrir a la Geometria descriptiva.

Esto no solo nos permitió una gran ventaja para la matematica sino

tmabien para las diferentes aplciaciones y situaciones cotidianas, donde una

matri zesta presente. Por ejemplo en el diseo de ropa, en el armado de una

habitación o el arte.

Bibliografía: Algebra Lineal. A. Poole

Apuntes de cátedra de Algebra Lineal. Dr. Nicolás Coleff

Matemática Maravillosa: Matrices y Transformaciones. Tomo

Fundación Polar