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Aplicaciones de las Matrices a las
Transformaciones del Plano
Introducción
Una transformación en un plano, es una aplicación que hace
corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro
punto P’ de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En consecuencia,
cualquier conjunto de puntos F se puede transformar en otro
conjunto de puntos F’.
A continuación veremos algunas de las transformaciones con
las siguientes características:
Mantienen la forma y el Tamaño de la figura (son isometrías o
movimientos rígidos).:
Desarrollo
Traslación:
La traslación es una de las Unicas Transformaciónes1 que NO es
Lineal. Esto se debe a que no incluye en si porpiedades como la Aditividad
y el producto por Número que hacen que una transformación sea Lineal.
En algebra lineal se al define como una isometría en el espacio
euclídeo caracterizada por un vector , tal que, a cada punto P de un
objeto o figura se le hace corresponder otro punto P' , tal que:
1 Se define a una Transformación como Lineal si verifica la Aditividad y el producto por numero. Es decir que la tranformada de una suma es la suma de los transformado y lo mismo con el producto
pueden entenderse como movimientos directos sin cambios
de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las
figuras u objetos trasladados.
La imagen anterior muestra como todo lo trabajado en la asignatura
con Matrices permite la traslación de diferentes figuras. Por ejemplo si
tenemos un cuadrilatero y lo queremos trasladar respecto de un Vector ( 2
8)T , se procede en colocar cada vertice del mismo de forma matricial y
sumarle la coordenada del vector con el cual queremos trasladar y asi
obtendremos las nuevas coordenadas tal como muestra la última columna
del cuadro anterior.
Rotación:
Geométricamente una rotación en el plano representa una
Transformación ahora si Lineal que representa un giro de una
figura en torno a un punto fijo, llamado centro de rotación, que
puede estar o no dentro de la figura.
En álgebra lineal, una matriz de rotación es la matriz que
representa una rotación en el espacio euclídeo. Por ejemplo, la matriz
Que representa la rotación de θ grados del plano en sentido
antihorario.
Con esta Matriz se puede rotar cualquier punto del plano
colocandolo en forma matricial de la siguiente manera:
al multiplicar la matriz por el vector, obtendremos un nuevo
vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido antihorario:
Donde al multiplicar la matriz por el vector. Se obtiene un
nuevo vector A' que ha sido rotado en un ángulo θ en sentido
antihorario:
Aunque en la mayoría de las aplicaciones se consideran
rotaciones en dos o tres dimensiones, las matrices de rotación
pueden definirse en espacios de cualquier dimensión.
Algebraicamente, una matriz de rotación es una matriz ortogonal de
determinante uno:
Las matrices de rotación son cuadradas y con valores reales.
Sin embargo, se pueden definir sobre otros cuerpos.
Por ejemplo si queremos Rotar un cuadrilatero de
coordenadas ( 6 5)T
( 10 5)T ( 7 12)T ( 4 8)T con respecto de un angulo de 60°. Se debe
calcular la matriz de rotación para dicho angulos y luego multiplicarla por
cada matriz de vértices y asi se obtienen las nuevas coordenadas de la
rotación tal como muestra el grafico siguiente:
Simetría:
La simetria o reflexión es otra transformación lineal ocurrida en el
plano que permite mediante la utilización vectorial y matricial reflejar
diferentes objetos o curvas.
Ele cho de poder reflejarlos a traavez de un punto o una recta implica
la existencia de un subconjunto dentro de estar transformación:
Simetría respecto a una recta
Geométricamente la reflexión de una figura en el plano
respecto de una recta dada e, representa su imagen simétrica
respecto a ella. La recta e se denomina eje de simetría.
Si un vector ( x y ) = ( rcos 0 rsen0 ) tiene longitud r y
angulo genérico 0, el simetrico o reflejado respecto de una recta
esta dado por la matriz de transformación:
Donde si se quiere calcular el reflejado de un vector por
ejemplo ( 1 8)T con respecto de un angulo de 45 °. Se reemplaza
este valor en la matriz y luego se lo multiplica por el vector.
Esta transformación tiene mucha aplicación por ejemplo en
quimica ya que
El centro activo de la hemoglobina es un anillo de porfirina con
un átomo de hierro (en rojo) en el centro. El "esqueleto" de este
macrociclo de porfirina (marcado con líneas negras) está
compuesto por átomos de carbono (morados) y nitrógeno (azules).
Las esferas blancas representan átomos de hidrógeno, mientras
que las marcadas de amarillo pueden ser diversos grupos
orgánicos. Las líneas anaranjadas representan planos de simetría
perpendiculares a la figura, mientras que el cuadrado amarillo del
centro indica un eje de simetría cuaternario que coincide con la
recta de intersección de los planos de simetría. Además de los
elementos de simetría indicados, esta molécula (que es plana y
cuyo anverso y reverso son equivalentes) posee ejes binarios, un
plano de simetría que coincide con el plano del papel, y un centro
de simetría que coincide con el punto donde se intersecan todos los
otros elementos de simetría.
Simetría Axial
Es la simetría alrededor de un eje, de modo que un sistema
tiene simetría axial o axisimetría cuando todos los semiplanos
tomados a partir de cierto eje y conteniéndolo presentan idénticas
características.
Este tipo de Simetria posee una Matriz fija asignada a la
transformación que no depende del angulo. Tal como indica la
siguiente tabla :
Homotecia- Trasquilado
Geométricamente la homotecia es una transformación lineal que
cambia el tamaño de un objeto sin variar su forma.
Sea E un espacio vectorial sobre una figura . Sea X un
elemento (visto como un punto) de E. La homotecia de centro C y
de razón k,envía un punto M del espacio vectorial sobre el punto M'
tal que:
La ecuación anterior puede escribirse también como
una transformación Lineal de la forma:
La anterior relación puede escribirse Matricialmente en el
plano como:
Donde: , y .
En tres o más dimensiones la fórmula anterior se generaliza
trivialmente.
En muchos casos, suele denotarse como Tp X =p X donde:
si p >1 es una dilatación y amplifica la Figura.
Si 0 > p < 1 es una contracción y reduce la figura
si p= 1 es una reflexión respecto al origen
La transformación T = =
Se llama Trasquilado. Los vectores del eje X quedan Fijos y los
otros sufren una transformación proporcional su alejamiento en X.
Una transformación en un plano, es una aplicación que hace
corresponder a cada punto P de coordenadas (x,y) del plano, otro punto P’
de coordenadas (x’, y’) del mismo plano. En c o n s e c u e n c i a , c u a l
q u i e r c o n j u n t o d e p u n t o s F s e p u e d e transformar en
otro conjunto de puntos F mediante la utilización de matrices. Colocando
cada uno de los puntos como elementos de la misma. Para ejemplificar esto
se propone el siguiente ejemplo:
Donde se muestra una homotecia de razón -3 aplicada al triángulo
ABC que lo transforma A1, B1, C1 mediante la utilización de matrices.
x =
Aplicaciones de las Matrices de la Homotecia:
Al fotocopiar un documento con la finalidad de ampliarlo o
reducirlo, la máquina realiza el proceso de transformación del documento
original mediante una homotecia de la razón necesaria por medio de
matrices para obtener un“zoom”, que varía en diferentes porcentajes.
ConclusiónA partir del analisis del informe podemos concluir reafirmando la
gran utilidad que poseen las matrices en las transformaciones en el plano.
Muchas de ellas suelen ser transformaciones Lineales que cuentan
con una gran aplicación en el campo del Algebra lineal como asi en los
sistemas de control. Sin embargo, toda tranformación viene respaldada por
una matriz que permite la operación de manera simple y sin la necesidad de
recurrir a la Geometria descriptiva.
Esto no solo nos permitió una gran ventaja para la matematica sino
tmabien para las diferentes aplciaciones y situaciones cotidianas, donde una
matri zesta presente. Por ejemplo en el diseo de ropa, en el armado de una
habitación o el arte.
Bibliografía: Algebra Lineal. A. Poole
Apuntes de cátedra de Algebra Lineal. Dr. Nicolás Coleff
Matemática Maravillosa: Matrices y Transformaciones. Tomo
Fundación Polar