mathbridge - uc3m

CURSO CERO EN MATEMATICAS

Curso 2015/16

MATHBRIDGE

Pedro Jose Hernando Oter

Instituto Universitario “Gregorio Millan Barbany”Grupo de Modelizacion, Simulacion Numerica y Matematica Industrial

Departamento de Ciencia e Ingenierıa de Materiales e Ingenierıa Quımica

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID

TEMARIO

• Primer Dıa

0. Repaso

0.1. Numeros, Potencias y Fracciones

0.2. Polinomios

0.3. Logaritmos y Trigonometrıa

1. Ecuaciones

1.1. Definiciones

1.2. Tipos de Ecuaciones

1.3. Sistemas de Ecuaciones Lineales

• Segundo Dıa

2. Introduccion a las Funciones

2.1. Funciones de Variable Real

2.2. Representacion Grafica

2.3. Funciones Elementales

2.4. Funcion Valor Absoluto

3. Lımites de Funciones

3.1. Concepto de Lımite

3.2. Infinito

3.3. Lımite de Funciones

3.4. Teoremas

3.5. Propiedades de los lımites

3.6. Operaciones con Infinito

3.7. Indeterminaciones

3.8. El numero e

3.9. Calculo de lımites

• Tercer Dıa

4. Continuidad

4.1. Intervalos y Entornos

4.2. Definicion de Continuidad

4.3. Propiedades de las Funciones Continuas

4.4. Continuidad de Funciones Elementales

5. Derivadas

5.1. Concepto de Derivada

5.2. Derivada de una funcion

5.3. Interpretacion Geometrica de la Derivada

5.4. Derivadas de Orden Superior

5.5. Calculo de Derivadas

5.6. Aplicaciones de la Derivada

• Cuarto y Quinto Dıa

6. Integrales

6.1. Introduccion

6.2. Integral Definida

6.3. Funcion Primitiva

6.4. Regla de Barrow

6.5. Integral Indefinida

6.6. Teorema Fundamental del Calculo

6.7. Propiedades de las integrales

6.8. Integrales Inmediatas

6.9. Metodos de Integracion

6.10. Aplicaciones

Sesión 0: Repaso

1 Números, Potencias y FraccionesTipos de NúmerosPotenciasFraccionesFactorial y Números Combinatorios

2 PolinomiosDefinicionesOperaciones con PolinomiosDivisibilidad de Polinomios

3 Logaritmos y TrigonometríaLogaritmosPropiedades de los LogaritmosTrigonometría

Pedro José Hernando Oter Curso Cero 2015/16 - Matemáticas MathBridge 1/57

1.1. Tipos de Números

Naturales : N = {1, 2, 3, . . .}Enteros : Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .}Racionales : Q =

{ab: a ∈ Z, b ∈ N

}

Número finito de decimales.Infinitos decimales pero periódicos.

Irracionales : I = {Infinitos decimales no periodicos}Reales : R = Q ∪ IComplejos : C = {a + bi : a, b ∈ R , i =

√−1}


1.2. Potencias

an = a · a · . . . · an baseexponente

a−n =1an =

1a · a · . . . · a

n

ab/c =c√ab

a−b/c =1

ab/c =1

c√ab

a0 = 1


1.1. Propiedades de las Potencias

axay = ax+y

ax

ay = ax−y

(ax)y = axy

(axbx) = (ab)x


1.2. Fracciones

Fracción: Cociente de dos enterosab

; b 6= 0

Fracciones Equivalentesab

es equivalente acd

si a · d = b · c


1.2. Operaciones con Fracciones

Suma y Resta :ab± c

d=

ad ± cbbd

[Mejor con el m.c.m]

Producto :ab· cd

=acbd

Cociente :ab÷ c

d=

abcd=

adbc

Potencias :(a

b

)n=

an

bn

Raíces : n

√ab=

n√

an√

b


1.2. Racionalización de Fracciones

a√b

=a√

bb

x√

a +√

b=

x(√

a −√

b )

a − b (x + y)(x − y) = x2− y2

x√

a −√

b=

x(√

a +√

b )

a − b


1.3. Factorial y Números Combinatorios

Factorialn! = 1 · 2 · 3 . . . · n 0! = 1

Números Combinatorios

(ba

)=

b!a! (b − a)!

b ≥ a


2.1. Polinomios. Definiciones

Definición

P(x) = anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 ; ai ∈ R

n : Grado del polinomio (si an 6= 0)a0 : Término independientean : Coeficiente principal o directorMonomio : cada uno de los términos


2.2. Operaciones con Polinomios

Suma:

P(x)+Q(x) = (an+bn)xn+(an−1+bn−1)xn−1+. . .+(a0+b0)

Producto:

P(x) · Q(x) = (anxn + . . .+ a0) · (bnxn + . . .+ b0)

Potencia:

[P(x)]n = P(x) · P(x) · . . . · P(x)

n


2.2. Productos Notables

(a + b)(a − b) = a2 − b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a − b)2 = a2 − 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Binomio de Newton

(a + b)n =n∑

i=0

(ni

)an−i bi =

(n0

)an +

(n1

)an−1b + . . .+

(n

n − 1

)abn−1 +

(nn

)bn


2.3. Divisibilidad de Polinomios

DefiniciónSe dice que un polinomio P(x) es divisible por otro polinomio Q(x)si existe un determinado polinomio C (x) tal que:

P(x) = Q(x) · C (x) grado P(x) ≥ grado Q(x)

Generalización

P(x) = Q(x) · C (x) + R(x) Grado R(x) < grado Q(x)

P(x)

C(x)R(x)

Q(x)

Cociente

Dividendo Divisor

Resto


Ejemplo

6x4

+ 4x2 + x - 5 2x2

- 1

-6x4

+ 3x2

0 7x2

+ x - 5

-7x2

+ 7/2

0 x - 3/2

3x2

+ 7/2


2.3. Ruffini

Caso: Q(x) = x ± a

3x3 - 5x2 + 2x - 7 x - 2

3 -5 2 -7

6 2 8

3 1 4 1

2

Q(x) = 3x2 + x + 4

R(x) = 1


2.3. Valor Numérico y Raíces de un Polinomio

Valor Numérico de un PolinomioSea un polinomio P(x) y α ∈ R.Se llama valor o valor numérico de P(x) en el punto x = α alnúmero real que se obtiene al substituir x por α en P(x).

P(α) = anαn + an−1α

n−1 + . . .+ a0 ∈ R

Raíz de un PolinomioSe dice que r ∈ R es una raíz del polinomio P(x) si:

P(r) = 0


2.3. Teoremas

Teorema del RestoEl resto de la división del polinomio P(x) por x − α coincide conP(α).Esto es claro, pues al efectuar la división tenemos:

P(x) = (x − α)C (x) + R(x)

Si x = α =⇒ P(α) = R .

TeoremaEl polinomio P(x) es divisible por x − α si y sólo si P(α) = 0.


2.3. Cálculo Práctico de las Raíces de un Polinomio

Polinomio de Coeficientes EnterosSea un polinomio P(x) con todos sus coeficientes ai enteros.Entonces:

1 Si tiene una raíz entera r , ésta debe ser un divisor de a0.2 Si tiene una raíz racional r = p

q (irreducible), entonces elnumerador p debe ser un divisor de a0 y el denominador qdebe ser un divisor del coeficiente principal an.


2.3. Descomposición de un Polinomio en Factores

Descomposición en Factores

Si un polinomio P(x) de grado n tiene las raíces r1, . . . rm, entoncesse puede descomponer de la forma:

P(x) = (x − r1)(x − r2) · · · (x − rm)Cm(x)

donde Cm(x) es un polinomio de grado n −m.

En particular si P(x) tiene tantas raíces reales como su grado, esdecir r = m, entonces:

P(x) = an(x − r1)(x − r2) · · · (x − rm)

siendo an el coeficiente principal.


2.3. Polinomios Irreducibles

Polinomios IrreduciblesUn polinomio se dice irreducible si no pude descomponerse enproducto de dos o más polinomios de grado mayor o igual que uno.

Todos los polinomios de grado cero (las constantes) y degrado uno son irreducibles.No existen polinomios irreducibles de grado mayor o igual quetres.Los polinomios de grado dos irreducibles son los que no tienenraíces reales (por ejemplo P(x) = x2 + 1).


2.3. m.c.d. y m.c.m. de Polinomios

Se llama máximo común divisor (m.c.d.) de los polinomiosP1(x), . . . ,Pn(x) a un polinomio de grado máximo que seadivisor de todos ellos.El mínimo común múltiplo (m.c.m) es un polinomio de gradomínimo del cual todos ellos son divisores.

Método de Cálculo1 Se descomponen los polinomios en factores irreducibles.2 El m.c.d. es el producto de los factores irreducibles comunes (a

todos los polinomios) elevados al menor de los exponentes queaparezcan en dichos polinomios.

3 El m.c.m. es el producto de los factores irreducibles (comunesy no comunes a todos los polinomios) elevados al mayor de losexponentes con que aparezcan en los polinomios.


2.3. Fracciones Algebraicas

Fracciones Algebraicas

Se denomina fracción algebraica (o función racional) a la divisiónno exacta de dos polinomios P(x)

Q(x) (con Q(x) 6= 0).

Fracciones Algebraicas Iguales

Se dice que dos fracciones algebraicas son iguales (o equivalentes)si:

P(x)Q(x)

=R(x)S(x)

⇐⇒ P(x)S(x) = R(x)Q(x)

SimplificaciónSe denomina simplificar una fracción algebraica a la sustitución deuna fracción por otra equivalente, lo más sencilla que exista.


3.1. Logaritmo

DefiniciónEl logaritmo en base b, (con b > 0 y b 6= 1), de un número "x" esel número "y" que hace que: b y = x .

log b x = y ⇐⇒ b y = x

Tipos Básicos de LogaritmosLogaritmo decimal: log10 x = log xLogaritmo neperiano o natural: loge x = ln x = log x(número e = 2.718281828...)

CuidadoPor defecto, algunos textos utilizan log como logaritmo decimal yotros como logaritmo neperiano.


3.2. Propiedades de los Logaritmos (I)

No existen el logaritmo con base negativa: @ log−b x

No existen el logaritmo de números negativos: @ logb(−x)

No existen el logaritmo de cero: @ logb 0

El logaritmo de 1 es cero: logb 1 = 0

El logaritmo en base b de una potencia de b es igual alexponente:

logb bn = n


3.2. Propiedades de los Logaritmos (II)

log(xy) = log x + log y

log(

xy

)= log x − log y

log xn = n log x

log n√

x =1nlog x

Cambio de Base:

logb x = (logb a) loga x


3.3 Trigonometría: Radianes

2π Radianes = 360◦ =⇒ rad =(grados)× 2π

360

0 = 2π

/6π

/4π/3π

/2π

3 /2π

ππ

Radianes 0 π/6 π/4 π/3 π/2Grados 0 30 45 60 90

sen 0 1/2√2/2

√3/2 1

cos 1√3/2

√2/2 1/2 0

tan 0√3/3 1

√3 ±∞


3.3 Funciones Trigonométricas

Inversas de las funciones trigonométricas:

cosec (x) =1

sen(x); sec (x) =

1cos(x)

; cotg (x) =1

tan(x)

Funciones trigonométricas inversas:

arcsen (x) = sen−1 (x) ; arccos (x) = cos−1 (x)

arctan (x) = tan−1 (x)


3.2. Relaciones Trigonométricas

sen2 x + cos2 x = 1

sen(x + y) = sen x cos y + cos x sen y

sen(2x) = 2 sen x cos x

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y

cos(2x) = cos2 x − sen2 x

tan(x + y) =tan x + tan y1− tan x tan y

tan(2x) =2 tan x

1− tan2 x


Sesión 1: Ecuaciones

1 EcuacionesDefinicionesTipos de EcuacionesEcuaciones PolinómicosEcuaciones Racionales FraccionariasEcuaciones IrracionalesEcuaciones ExponencialesEcuaciones LogarítmicasEcuaciones TrigonométricasSistemas de Ecuaciones Lineales


1.1. Ecuaciones. Definiciones

EcuaciónSe denomina ecuación (real de variable real) a toda expresión de laforma:

f (x) = c

donde f (x) es una función (real de variable real) y c ∈ R.

SoluciónSe denomina solución de una ecuación al conjunto de valores realesde la variable (también llamada incógnita) que verifican la ecuación.

ResolverResolver una ecuación es hallar (en caso de que existan) sussoluciones.


1.2. Ecuaciones Equivalentes

Ecuaciones EquivalentesDos ecuaciones se llaman equivalentes si tienen las mismassoluciones.

Propiedades1 Si se multiplican los dos miembros de una ecuación por un

número real distinto de cero, de obtiene una ecuaciónequivalente a la primera. (“quitar denominadores”)

2 Si se suma una misma expresión a los dos miembros de unaecuación, se obtiene otra ecuación que es equivalente a laprimera.


Diferencia entre ecuación e identidadUna identidad es una expresión del tipo:

f (x) = g(x)

que es válida para todos los valores de x .

Ejemplo

3x + 5 = x − 1 Ecuación (Solución: x = −3)5x = 3x + 2x Identidad2x+2 = 4 · 2x Identidad


2. Tipos de Ecuaciones

Clasificación de las EcuacionesLas ecuaciones de una incógnita se pueden clasificar en función dela naturaleza de las expresiones que aparecen en sus miembros.

Algebraicas : si f (x) es una función polinómica.Trascendentes : si f (x) contiene al menos una funcióntrascendente : ax , log x , cos x , etc.

Dentro de las Algebraicas:Racionales : la incógnita no aparece bajo el signo radical

√.

Irracionales : en caso contrario.

Dentro de las Racionales:Enteras o Polinómicas : la incógnita no aparece en ningúndenominador.Fraccionarias : la incógnita aparece en algún denominador.


2.1. Clasificación de las Ecuaciones

ECUACIONES

Algebraicas

Racionales

Enteras oPolinómicas

Fraccionarias

Irracionales

Trascendentes


3. Ecuaciones Polinómicas

GradoSe denomina grado de una ecuación polinómica al grado delpolinomio del que procede.

anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0

Ecuación Lineal o de Primer Grado

ax + b = 0 ; (a 6= 0)

Solución

ax + b = 0 ⇐⇒ ax = −b ⇐⇒ x = −ba


3.1. Ecuaciones de Segundo Grado

ax2 + bx + c = 0

x =−b ±

√b2 − 4ac2a

x =−b +

√b2 − 4ac2a

x =−b −

√b2 − 4ac2a

Discriminante: ∆ = b2 − 4ac∆ > 0 =⇒ Dos soluciones reales distintas∆ = 0 =⇒ Dos soluciones reales iguales (Sol. Doble)∆ < 0 =⇒ Dos soluciones complejas


3.2. Ecuaciones de Segundo Grado

Incompletas: ax2 + bx + c = 0

(a = 0) : bx + c = 0 =⇒ x = −cb

(b = 0) : ax2 + c = 0 =⇒ x = ±√−ca

(c = 0) : ax2 + bx = 0 =⇒ x(ax + b) = 0

x = 0

x = −ba


3.3. Ecuaciones Polinómicas de Grado Superior

anxn + an−1xn−1 + . . .+ a1x + a0 = 0

Si todos los coeficientes son enteros:Sus raíces enteras (si tiene) son divisores de a0.

Sus raíces fraccionariaspq

(si tiene)

p es divisor de a0.

q es divisor de an.



Caso a0 = 0

ax3+bx2+cx = 0 ⇐⇒ x(ax2+bx+c) = 0

x = 0

ax2 + bx + c = 0

Bicuadrada: ax4 + bx2 + c = 0

Cambio de variable: y = x2 =⇒ ay2 + by + c = 0

x = ±√y

Generalización: ax2n + bxn + c = 0

Cambio de variable: y = xn =⇒ ay2 + by + c = 0

x = n√

y



Ejemplo

x6 + 7x3 − 8 = 0

C.V. : y = x3 =⇒ y2 + 7y +−8 = 0

y =−7±

√49 + 322

=7± 92

=

y1 = 8

y2 = −1

x =

x1 = 3√8 = 2

x2 = 3√−1 = −1

El resto de raíces (otras 4 más) son complejas


4. Ecuaciones Racionales Fraccionarias

Ecuaciones RacionalesSon aquellas en las que aparecen fracciones algebraicas.

P(x)

Q(x)+ R(x) =

M(x)

N(x)

4.1. ResoluciónSe multiplican los dos miembros de la ecuación por el polinomiomínimo común múltiplo de todos los denominadores de lasfracciones algebraicas.

Se obtiene de esta forma una ecuación polinómica.


4.2. Ecuaciones Racionales Fraccionarias

Soluciones ExtrañasAl multiplicar los dos miembros de una ecuación por un polinomio,se obtiene otra ecuación que tiene todas las soluciones de laecuación original, pero además puede tener otras adicionalesdenominadas soluciones extrañas.


4.3. Ecuaciones Racionales Fraccionarias

Ejemplo

xx − 1

= x + 1 +1

x − 1Múltiplicando los dos miembros por x − 1 :

x = x2 − 1 + 1 ; x = x2 ; x(x − 1) = 0{

x1 = 0x2 = 1

x = 0 Si es solución ya que :0−1 = 0 + 1 +

1−1

x = 1 No es solución, al aparecer una división por cero.

x = 1 es una solución extraña añadida al problema en el proceso deresolución (multiplicar por el polinomio m.c.m.)


5. Ecuaciones Irracionales

Ecuaciones IrracionalesSon aquellas en las que la incógnita aparece bajo algún radical (raízn-ésima).

n√

P(x)

Q(x)+ m√

R(x) =M(x)

N(x)

Resolución1 Se separa en uno de los miembros un único radical.2 Se eleva a la potencia adecuada.3 Se repiten el proceso hasta que no yo aparezcan radicales =⇒

Ecuación Racional

Este proceso puede añadir algunas soluciones extrañas.


5.1. Ecuaciones Irracionales

Ejemplo

3√

x − 1 +√

x + 1− 4 = 0

3√

x − 1 = 4−√

x + 1 ;(

3√

x − 1)3

=(4−√

x + 1)3

x − 1 = 43 − 342√x + 1 + 3 · 4(x + 1)−√

(x + 1)3

(√(x + 1)3

)2

=(43 − 342√x + 1 + 3 · 4(x + 1)− (x − 1)

)2

...


6. Ecuaciones Exponenciales

Ecuaciones ExponencialesSon aquellas en las que la incógnita aparece en los exponentes.

aP(x) + bQ(x) = R(x)

ResoluciónSiempre las bases de las potencias sean positivas:

ax = ay ⇐⇒ x = y

En algunos casos será necesario además la aplicación de logaritmos(com se verá en el siguiente apartado).

Este proceso puede añadir algunas soluciones extrañas.


6.1. Ecuaciones Exponenciales

Ejemplo

31−x2=

127

Como127

=133 = 3−3 =⇒ 31−x2

= 3−3 =⇒ 1− x2 = −3

x2 = 4{

x1 = 2x2 = −2

Fácilmente se comprueba que ambas son soluciones de la ecuaciónoriginal.


7. Ecuaciones Logarítmicas

Ecuaciones LogarítmicasSon aquellas en las que la incógnita aparece bajo la operación delogarítmos (posiblemente en diversas bases).

loga P(x) + logb Q(x) = R(x)

Resolución

loga x = loga y ⇐⇒ x = y

Normalmente útil definición y prop. de los logaritmos.

logb x = y ⇐⇒ x = by

Cambio de Base : loga x =logb xlogb a


7.1. Ecuaciones Logarítmicas

Ejemplo

5 log10 x − log10 32 = log10

(x2

)

log10

(x5

32

)= log10

(x2

)

x5

32=

x2

; x5 = 16x ; x(x4−16) = 0

x1 = 0

x4 = 16{

x2 = +2x2 = −2

Soluciones ExtrañasComo el logaritmo sólo está definido para números positivos, laúnica solución es x = 2,siendo x = 0 y x = −2 soluciones extrañas.


8. Ecuaciones Trigonométricas

Ecuaciones TrigonométricasSon aquellas en las que la incógnita aparece dentro de funcionestrigonométricas: sen , cos , tan , . . .

sen P(x) + cos2 Q(x) = R(x)

ResoluciónHay que utilizar transformaciones trigonométricas hasta que lasolución es alguna de las formas:


8.1. Ecuaciones Trigonométricas

Forma 1: sen x = a con a ∈ [−1, 1]

Si x = α es una solución de esta ecuación con −π2 ≤ α ≤ π

2 ,entonces todas las posibles soluciones serán:

p - a

aaa

x = α + 2kπ

x = (π − α) + 2kπk ∈ Z



Forma 2: cos x = a con a ∈ [−1, 1]

Si x = α es una solución de esta ecuación con 0 ≤ α ≤ π,entonces todas las posibles soluciones serán:

a

a

-a

x = α + 2kπ

x = −α + 2kπk ∈ Z



Forma 3: tan x = a con a ∈ RSi x = α es una solución de esta ecuación con −π

2 ≤ α ≤ π2 ,

entonces todas las posibles soluciones serán:

a+pa

aa

x = α + kπ ; k ∈ Z



Ejemplo

sen2 x − cos2 x = −12

cos(2x) =12

; 2x =π

3(60o)

2x = 2kπ ± π

3; x = kπ ± π

6con k ∈ Z


9. Sistemas de Ecuaciones Lineales

Definiciones{

a11 x1 + a12 x2 = b1a21 x1 + a22 x2 = b2

Incógnitas : xi

Coeficientes : aij ∈ RTérminos Independientes : bi ∈ R

Clasificación de los Sistemas LinealesCompatible : El sistema tiene solución.

Determinado : La solución es única.Indeterminado : Existen infinitas soluciones.

Incompatible: El sistema no tiene solución.


9.1. Sistemas Equivalentes

DefiniciónDos sistemas lineales con un mismo números de incógnitas se dicenque son equivalentes si tienen las mismas soluciones

Operaciones con sistemas EquivalentesCambiar el orden de las ecuaciones del sistema:

{x + y = 2x − y = 6

⇐⇒{

x − y = 6x + y = 2


9.1. Sistemas Equivalentes

Operaciones con sistemas EquivalentesSustituir una ecuación por una combinación lineal de lasecuaciones:

{x + y = 2x − y = 6

⇐⇒{

2x = 8x − y = 6

Reducción de ecuaciones: Si una de las ecuaciones escombinación lineal de otras ecuaciones de dicho sistema, sepuede suprimir.

9x + 2y = 204x + y = 65x + y = 14

⇐⇒{

9x + 2y = 204x + y = 6


9.3. Métodos Básicos de Resolución

Método de Sustitución : Consiste en despejar una incognita deuna ecuación y sustituirla en el resto.Método de Igualación : Consiste en despejar la mismaincognita en todas las ecuaciones e igualar las expresiones.Método de Reducción o de Gauss : Consiste en ir obteniendosistemas equivalentes de forma escalonada (con una incógnitamenos en cada ecuación).


DIA II

Sesión 2: Funciones y Límites de Funciones

1 Introducción a las FuncionesFunciones Reales de Variable RealRepresentación GráficaFunciones ElementalesFunción Valor Absoluto


1. Función o Aplicación

DefiniciónUna función o aplicación f entre elementos de dos conjuntos X e Yes una relación que hace corresponder a cada elemento x ∈ X(conjunto dominio) uno y sólo un elemento y ∈ Y (conjuntoimagen).

Normalmente se denota por f : X → Y o de forma abreviada:

y = f (x)

Función real de variable realSi X ,Y ⊆ R se dice que es una función real de variable real.

f : R −→ R


1.2. Representación Gráfica

Existen dos formas muy utilizadas de representar gráficamente unafunción real de variable real f : X → Y .

A través de diagramas de Venn.En un eje de coordenadas cartesianas.

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

f(x)

X

Dominio

Y

Imagenx : Variable independiente

y : Variable dependiente

f(x)

x

Dominio

y

Imagen

(orecorrido)

Grafica: Conj. de puntos (x, y)


1.3. Funciones Elementales

Funciones PolinómicasFunciones ExponencialesFunciones LogarítmicasFunciones Trigonométricas y sus Funciones InversasFunción Valor Absoluto


Func. Polinómicas: f (x) = a0 + a1x + a2x2 + · · ·

1 2 3−1−2−3

2

4

6

8

10

x2

x4x6

1 2−1−2

2

4

6

8

−2

−4

−6

−8

x3

x5x7


Func. Exponenciales: f (x) = αx ; α > 0

1 2 3−1−2−3

4

8

12

16

20

ex

2x

5x

(1e

)x= e−x


NotaLa función f (x) = αx carece de interés práctico si α ≤ 0.

Si α = 0 la función es constante e igual a cerof (x) = 0x = 0.Si α < 0 la función está llena de puntos de discontinuidad.


Func. Logarítmicas: f (x) = log(x)

10 20 30 40 50

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

log x

log 1x= − log x


Func. Trigonométricas

0.5

1.0

−0.5

−1.0

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π

sen xcos x

2

4

6

8

−2

−4

−6

−8

−10

π2

π 3π2

2π−π2

−π−3π2

−2π x

y

tanx


Func. Trigonométricas Inversas

arcsen (x) = sen−1(x) ; arcos (x) = cos−1(x) ; arctg (x) = tan−1(x)

0.5 1.0−0.5−1.0

π2

π

−π2

−π

x

y

arccosx

arcsen x

2 4−2−4

π2

−π2

x

yarctan : R→ [−π

2, π2]


1.4. Función Valor absoluto

DefiniciónDado un número x ∈ R, se llama valor absoluto (o módulo) de x , yse representa por |x |, al número real:

|x | =√

x2 =

{x si x ≥ 0−x si x ≤ 0

f(x)=|x|

Hay dos definicionesequivalentes y cada unade ellas se utilizarásegún convenga.


Sesión 2: Límites de Funciones

1 Límites de FuncionesConcepto de LímiteInfinitoLímite de FuncionesTeoremasPropiedades de los LímitesOperaciones con InfinitoIndeterminacionesEl Número eCálculo de Límites


2.1. Introducción a los Límites

Concepto de LímiteEn el lenguaje ordinario la palabra límite tiene un carácter estáticoy significa término, extremo o frontera.

En Cálculo, el concepto de límite es un concepto dinámico y tieneque ver con la idea de acercarse lo más posible a un valor (finito oinfinito).


Introducción a los Límites

Nomenclatura

limx→x0

f (x)

Se lee: "El Límite de f (x) cuando x tiende a x0".

ResultadoHay tres posibilidades del resultado: lim

x→x0f (x) = `

Un número real: ` ∈ R.Un valor infinito: ` = ±∞El límite no existe: @`


2.2. Infinito

Infinito, ∞El símbolo ∞ no es un número, sino que representa a una cantidadinconmensurable (que no se puede medir o cuantificar).

+∞ : Cantidad inconmensurablemente grande.−∞ : Cantidad inconmensurablemente pequeña.

NotaA pesar de no ser un número, se puede operar con él siguiendounas determinadas reglas aritméticas.


Ejemplos

limx→1

x + 1 = 2 limx→0

1x2 = +∞ 6 ∃ lim

x→2

1x − 2

limx→1−

x + 1 = 2

limx→1+

x + 1 = 2

limx→0−

1

x22= +∞

limx→0+

1

x2= +∞

limx→2−

1

x − 2= −∞

limx→2+

1

x − 2= +∞


2.3. Definición Matemática de Límite

Definición ε− δSe dice que lim

x→x0f (x) = ` si:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ , |f (x)− `| < ε

x0

l

x0 + δx0 - δ

l + ε

l − ε

f(x)

x

y


Límites Laterales

Límite por la Derecha

Se dice que limx→x+

0

f (x) = ` si:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) , |f (x)− `| < ε

Límite por la Izquierda

Se dice que limx→x−0

f (x) = ` si:

∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ , x0) , |f (x)− `| < ε


Cálculo de Límites Laterales

Cálculo de Límites Laterales

limx→x+

0

f (x) = limh→0+

f (x0 + h)

limx→x−0

f (x) = limh→0+

f (x0 − h)

Ejemplo

limx→3+

x + 5x + 1

= limh→0+

3+ h + 53+ h + 1

= 2


Límite Infinito

DefiniciónSe dice que lim

x→x0f (x) =∞ si:

∀M ∈ R ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ , f (x) > M

x0

x0 + δx

0 - δ

f(x)

x

y

M


Límite Infinito


x→x0f (x) = −∞ si:

∀M ∈ R ∃δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ , f (x) < M

x0

x0 + δx

0 - δ xy

Mf(x)


Límite en el Infinito


x→∞f (x) = ` si:

∀ε > 0 ∃M ∈ R : x > M , |f (x)− `| < ε

M

l

l + ε

l − ε

f(x)

x

y


Límite en el Infinito


x→−∞f (x) = ` si:

∀ε > 0 ∃M ∈ R : x < M , |f (x)− `| < ε

M

l

l + ε

l − ε

y

f(x)

x


2.4. Teoremas

ExistenciaSe tiene que lim

x→x0f (x) = ` si y sólo si:

limx→x+

0

f (x) = limx→x−0

f (x) = `

UnicidadSi existe el límite de una función en un punto, éste es único.


2.5 Propiedades de los Límites

Si existen limx→x0

f (x) y limx→x0

g(x) entonces:

limx→x0

(f (x) + g(x)) = limx→x0

f (x) + limx→x0

g(x)

limx→x0

(f (x) · g(x)) = [ limx→x0

f (x)] · [ limx→x0

g(x)]

limx→x0

f (x)g(x)

=lim

x→x0f (x)

limx→x0

g(x); (si lim

x→x0g(x) 6= 0)

limx→x0

f (x)g(x) = [ limx→x0

f (x)]lim

x→x0g(x)

(si el resultado es 6= 00)

limx→x0

loga f (x) = loga limx→x0

f (x) ; (si a > 0 , limx→x0

f (x) > 0)


2.6. Operaciones con Infinito

Suma y RestaSea a ∈ R:

a +∞ =∞ ; a −∞ = −∞

∞+∞ =∞ ; −∞−∞ = −∞

∞−∞ = Indeterminación

IndeterminaciónUna indeterminación es una operación matemática con resultado noconocido y cuya solución (finita o infinita) puede existir o no.


Operaciones con Infinito

Producto y Cociente

a · ∞ =

{+∞ si a > 0−∞ si a < 0

;

(+∞) · (+∞) = (+∞)(+∞) · (−∞) = (−∞)(−∞) · (−∞) = (+∞)

∞ · 0 = Indeterminación

a∞ = 0 ;

∞a

=

{+∞ si a > 0−∞ si a < 0

00(= 0 · ∞) ,

∞∞ (=∞ · 0) = Indeterminación


Operaciones con Infinito

Potencia

∞a =

{+∞ si a > 0 ó a = +∞0 si a < 0 ó a = −∞

∞∞ =∞ ; ∞−∞ =1∞∞ = 0

∞0 = Indeterminación

a∞ =

+∞ si a > 10 si −1 < a < 16 ∃ si a ≤ −1 ( 6= Indeterminación)

00 , 1∞ = Indeterminación


2.7. Indeterminaciones

Indeterminaciones (7)

00

∞∞ 0 · ∞ ∞−∞ 1∞ 00 ∞0

No son Indeterminaciones

0+∞ = 00−∞ = +∞∞+∞ = +∞∞−∞ = 0

Se demuestra a partir de ab = eb log a


2.8. El número e

El número e

e = limn→∞

(1 +

1n

)n

e = limn→∞

(1 + εn)1/εn donde lim

n→∞εn = 0 (infinitésimo).

e = limn→∞

(1 +

1xn

)xn

donde limn→∞

xn = ±∞ (infinito).

e = limn→∞

(1 +

11!

+12!

+ · · ·+ 1n!

)

e = 2′718281828459045...


Indeterminaciones con e

Ejemplo

limx→∞

(1x

)x0∞?= lim

x→∞ex log( 1

x ) = limx→∞

ex log(x−1) = limx→∞

e−x log(x)

= e−∞·∞ = e−∞ =1

e∞=

1∞ = 0


2.9. Cálculo de Límite

Si el límite no produce ninguna indeterminación,

limx→x0

f (x) = f (x0)

Si aparece alguna indeterminación, hay que emplear unatécnica apropiada para resolverla.

Técnicas de Resolución de IndeterminacionesElementales.Regla de L’Hôpital.Infinitos e Infinitésimos equivalentes.Desarrollo de Taylor.


Técnicas Elementales de Resolución de Indeterminaciones

Indeterminación:00

Para calcular el límite de una función racional (cociente de dospolinomios), que tiene una indeterminación del tipo 0

0 , se factorizanumerador y denominador, y se simplifica eliminado la raícescomunes (x − x0):

limx→x0

αkxk + αk−1xk−1 + · · ·+ α0

βjx j + βj−1x j−1 + · · ·+ β0= lim

x→x0

(x − x0)(x − r1) · · ·(x − x0)(x − r2) · · ·

Ejemplo

limx→2

x2 − 4x − 2

0/0?= lim

x→2

(x − 2)(x + 2)x − 2

= limx→2

(x + 2) = 4



Nota

limx→x0

1(x − x0)k

=

+∞ si k es par.

@ si k es impar.

Resumen: Funciones Racionales, 00

limx→x0

P(x)Q(x)

=

P(x0)Q(x0)

∈ R

00 =⇒ P(x)

Q(x) =(x−x0)(x−r1)···(x−x0)(x−q1)···

a0 =⇒ P(x)

Q(x) =1

(x−x0)kM(x)N(x)

±∞ si k es par[signo de M(x0)

N(x0)

]

@ si k es impar.



Funciones Racionales con Indeterminación∞∞

Se divide numerador y denominador por el monomio xn de mayorpotencia.

limx→∞

αkxk + αk−1xk−1 + · · ·+ α0

βjx j + βj−1x j−1 + · · ·+ β0

Resultado

Si k > j limx→∞

f (x) = ±∞ (según el signo deαk

βj)

Si k = j limx→∞

f (x) =αk

βj

Si k < j limx→∞

f (x) = 0



EjemplosCalcular los siguientes límites de funciones racionales:

limx→∞

3x4 − 2x2 + 1x5 − 3x3

∞/∞?= lim

x→∞3/x − 2/x3 + 1/x5

1− 3/x2 =

limn→∞

01= 0

limx→∞

1− 4x7

x7 + 12x−∞/∞?

= limx→∞

1/x7 − 41+ 12/x6 = −4



Indeterminación: 0 · ∞En este tipo de indeterminación, se puede tomar la inversa de unade las funciones, obteniéndose indeterminaciones del tipo 0/0 ò∞/∞, vistas anteriormente.



Indeterminación: ∞−∞En algunos casos sencillos basta con simplificar la función,desapareciendo así la indeterminación.

Si la indeterminación se debe a diferencia de raíces, se procedea su racionalización, multiplicando y dividiendo por elconjugado de la raíz de la siguiente forma:

√A−√

B =

(√A−√

B)(√

A +√

B)

(√A +√

B) =

A− B√A +√

B



Ejemplo

limx→∞

√x3 − 3x −

√x3 ∞−∞

=

limx→∞

(√x3 − 3x −

√x3) √x3 − 3x +

√x3

√x3 − 3x +

√x3

=

= limx→∞

x3 − 3x − x3

x3/2√

1− 3x2 + x3/2

= limx→∞

−3x2x3/2 =

32√

x= 0



Indeterminación: 00 , ∞0

Se resuelve expresando las potencias de la forma:

limn→∞

abnn = lim

n→∞e log

(abnn

)= lim

n→∞ebn log (an)

con lo que la indeterminación se convierte en una del tipo 0 · ∞,que se resuelve con las técnicas descritas anteriormente.



Indeterminación: 1∞ , 1−∞

Método de Resolución:

limx→x0

f (x) = 1

limx→x0

g(x) = ±∞

limx→x0

f (x)g(x) = limx→x0

(1 + f (x)− 1)g(x)[f (x)−1]

f (x)−1

Llamando εn = f (x)− 1, =⇒ limx→x0

εn = 0, se tiene:

limx→x0

(1 + f (x)− 1)g(x)[f (x)−1]

f (x)−1 = limx→x0

(1 + εn)g(x)[f (x)−1]

εn(∗)=

(∗)= lim

x→x0eg(x)[f (x)−1]

El paso (∗) se hace con la definición del número e.



Indeterminación: 1∞ , 1−∞

De esta manera, se obtiene una indeterminación en el exponentedel tipo 0 · ∞, cuya resolución se realiza utilizando las técnicasdescritas anteriormente.

Ejemplo

limn→∞

(n + 2n + 1

)n

= 1∞ = exp[lim

n→∞n ·(

n + 2n + 1

− 1)]

=

= exp[lim

n→∞

(n

n + 1

)]= e


DIA III

Sesión 3: Continuidad y Derivabilidad

1 ContinuidadIntervalos y EntornosDefinición de Continuidad y DiscontinuidadPropiedades de las Funciones ContinuasContinuidad de Funciones Elementales


1.1. Intervalos y Entornos

IntervalosUn intervalo es un conjunto de números reales que corresponde aun segmento de la recta real.

Intervalo Cerrado: [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}Intervalo Abierto: (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}


Intervalos y Entornos

Intervalos Semi-abiertos y Semi-cerrados

[a, b) = {x : a ≤ x < b}(a, b] = {x : a < x ≤ b}[a,∞) = {x : a ≥ x}(a,∞) = {x : a > x}(−∞, b] = {x : x ≤ b}(−∞, b) = {x : x < b}(−∞,∞) ≡ R

NotaPor convenio, siempre que aparezca ±∞ se pone intervalo abierto.



EntornosSe denomina entorno de un número c , al intervalo abierto que tienea c como su punto medio.

Entorno del punto c de radio δ : (c − δ, c + δ)

NotaUn punto x pertenece a un entorno de c de radio δ si:

|x − c | < δ

Conjunto Abierto

Se denomina conjunto abierto a la unión (finita o infinita) deintervalos abiertos.



Entorno ReducidoSe denomina entorno reducido de un número c , al entorno de cexceptuando el propio punto c .

Entorno reducido del punto c de radio δ : (c − δ, c) ∪ (c , c + δ)

NotaUn punto x pertenece a un entorno reducido de c de radio δ si:

0 < |x − c | < δ


1.2. Definición de Continuidad

DefiniciónDecimos que una función f (x) es continua en el punto x0 si:

limx→x0

f (x) = f (x0)

Función DiscontinuaSe dice que una función f (x) es discontinua en el punto x0 si no escontinua en dicho punto.


Continuidad de una Función

Intuitivamente, si f (x) es continua en x0 si no existe un salto en x0

Discontinuidad en un punto

Una función f (x) puede ser discontinua en un punto x0 por tresmotivos:

f (x) no está definida en x0 : @ f (x0)

No existe limx→x0

f (x).

Existen f (x0) y limx→x0

f (x) pero no coinciden.


Ejemplos de Discontinuidad

x0 x

y

f(x) = 1|x-x0|

x0 x

y

f(x) = e1/x

1

x0 x

y

f(x) = x2 si x = 1 si x = 12


Continuidad de una Función

Discontinuidad EvitableSi existe el límite lim

x→x0f (x), pero f (x) no es continua en x0, se dice

que f (x) tiene una discontinuidad evitable en x0.

Si f (x) tiene una discontinuidad evitable en un punto x0, la funcióng(x) definida como:

g(x) =

f (x) si x 6= x0

limx→x0

f (x) si x = x0

es continua en x0.


1.3. Propiedades de las Funciones Continuas

Si f (x) y g(x) son funciones continuas en x0, entonces:

f (x) + g(x) es continua en x0.f (x)g(x) es continua en x0.f (x)/g(x) es continua en x0.f (x)g(x) es continua en x0,[siempre que f (x)g(x) esté definida en un entorno del punto x0]

Composición de funciones

Si f (x) es continua en x0 y g(x) es continua en f (x0), entonces lacomposición (g ◦ f )(x) = g [f (x)] es continua en x0


1.4. Continuidad de Funciones Elementales

Sean a > 0 y b ∈ R.Las funciones polinómicas son continuas en R.Las funciones racionales (cociente de polinomios) soncontinuas, excepto en los puntos que anulan el denominador.Las funciones abx son continuas en R.Las funciones trigonométricas sen x , cos x , arctan x , |x | soncontinuas en R.Las funciones xb, logb x , tan x , sec x , cosec x , arcsen x ,arccos x son continuas en su dominio de definición.


Sesión 3: Derivadas

1 DerivadasConcepto de DerivadaDerivada de una FunciónInterpretación Geométrica de la DerivadaDerivadas de Orden SuperiorCálculo de DerivadasAplicaciones de la Derivada


2. Derivada

Pendiente de una Carretera

pendiente =Altura alcanzada

distancia horizontal recorrida=

∆hd× 100

A mayor pendiente, mayor inclinación vertical.


Derivadas

Pendiente Puntual

∆x

∆h

x0

pendiente en x0 = lim∆x→0

∆h∆x


Derivadas

Velocidad Media y Velocidad Puntual

Vm =∆e∆t

Vp = lim∆t→0

∆e∆t


Derivada de una Función

DefiniciónSea f (x) continua en [a, b] y x0 ∈ (a, b). Se dice que f (x) esderivable en x = x0 si existe y es finito el siguiente límite:

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

A este valor se le denomina derivada de f (x) en el punto x = x0.

Definición alternativa

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0


Interpretación Geométrica de la Derivada

x0

x0 + h

f(x)

x

y

f(x0)

f(x0+h)

h

f(x0+h) - f(x0)

f ′(x0) = limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h


Significado de f ′(x)

f´(x0) es el valor de la

pendiente de la recta tangente a la función en x=x0

x0

f(x)

x

y

f(x0)

α

f´(x0) = tg α

Recta Tangente

Ecuación de la Recta Tangente

y = f (x0) + f ′(x0)(x − x0)

La recta tangente a una función en un punto x = x0, es la rectaque mejor aproxima a la función en un entorno del punto x = x0.


Derivadas de orden Superior

Definición

Derivada Segunda f ′′(x0) = limh→0

f ′(x0 + h)− f ′(x0)

h

Derivada Tercera f ′′′(x0) = limh→0

f ′′(x0 + h)− f ′′(x0)

h

......

Nomenclatura de las Derivadas

1a¯ derivada 2a¯ derivada 3a¯ derivada 4a¯ derivada · · · n-ésima d.f ′ f ′′ f ′′′ f iv · · · · · ·

f (1) f (2) f (3) f (4) · · · f (n)


Diferenciales

Diferencial ddx

Forma alternativa de definir la derivada a través del concepto dediferencial de una variable:

y ′(x0) = limx→x0

y(x)− y(x0)

x − x0= lim

∆x→0

∆y∆x

=dydx

Nomenclatura de las Diferenciales

1a¯ derivada 2a

¯ derivada 3a¯ derivada · · · derivada n-ésima

dydx

d2ydx2

d3ydx3 · · · dny

dxn


Derivadas de las Funciones Elementales


Fórmulas de Derivación

Sean u = f (x) y v = g(x) funciones de la variable independiente x , y c unaconstante (no depende de x). Denotando (k)′ = dk

dx se tiene:

(c)′ = 0 ; c = constante

(x)′ = 1

(u + v + · · · )′ = u′ + v ′ + · · ·

(cu)′ = c(u)′

(uv)′ = u(v)′ + v(u)′

(un)′ = nun−1(u)′ ; si n < 0 , u 6= 0

( u

v

)′=

u(v)′ − v(u)′

v2; v 6= 0

(uv )′ = uv[

(v)′ ln (u) + v(u)′

u

]

[u(v)]′ = u′(v)v ′ ; Regla de la Cadena


Aplicaciones de la Derivada

Máximos, Mínimos y Puntos de Inflexión

Si una función f (x) derivable en un intervalo [a, b] tiene un extremorelativo (máximo o mínimo) en un punto x0 ∈ (a, b), se tiene que:

f ′(x0) = 0

f ′′(x0) < 0 Máximo Localf ′′(x0) > 0 Mínimo Localf ′′(x0) = 0 Máx, Min ó Pto Inflexión

f '' > 0 f '' > 0

x0

Mínimo

f '' < 0 f '' < 0

x0

Máximo

x0

f '' > 0

f '' < 0

Pto Inflexión

x0

f '' > 0

f '' < 0

Pto Inflexión


Aplicaciones de la Derivada

Cálculo de Límites: Regla de L’Hôpital

limf (x)

g(x)=

[00,∞∞

]= lim

f ′(x)

g ′(x)

Condicionesf (x) y g(x) deben ser derivables en el intervalo de interés.

Sólo es válido si el lim f ′(x)g ′(x) existe.

Sólo es válido para las indeterminaciones 00 ó ∞

∞ .Se puede aplicar de forma reiterada, pero sólo tiene sentido siel correspondiente lim f ′(x)

g ′(x) es más sencillo que el original

lim f (x)g(x) .


DIAS IV Y V

Sesión 4-5: Integrales

1 IntegralesIntroducciónIntegral DefinidaFunción PrimitivaRegla de BarrowIntegral IndefinidaTeorema Fundamental del CálculoPropiedades de las IntegralesIntegrales InmediatasMétodos de IntegraciónAplicaciones


1.1. Introducción

Cálculo General del Área

f(x)


Área debajo de una curva

x

y f(x)

ba x

y f(x)

ba

Área Aproximación del área


Cálculo Exacto del Área

División en n particiones

Área = limn→∞

n∑

i=1

mi∆xi = limn→∞

n∑

i=1

Mi∆xi = limn→∞

n∑

i=1

f (xi )∆xi

f(x)

x

y

a b

Área

Mi

mi

∆x


1.2. Integral Definida

Integral Indefinida: Sumas de Riemann

Sea una función f (x) definida ∀x ∈ [a, b].Se denomina integral definida de f (x) en el intervalo [a, b] al valor:

∫ b

af (x) dx = lim

n→∞

n∑

i=1

f (xi )∆xi

NotaSi la función es negativa (por debajo del eje x) en el intervalo [a, b],el valor de la integral definida será negativo.


Integral Definida y Área

x

y f(x)

ba

x

y

f(x)

ba

área =

∫ b

af (x) dx área = −

∫ b

af (x) dx

x

yf(x)

ba c d

área =

∫ c

af (x) dx −

∫ d

cf (x) dx +

∫ b

df (x) dx


1.3. Función Primitiva

DefiniciónSea f : [a, b] −→ R, derivable ∀x ∈ [a, b].Se dice que F (x) es una función primitiva de f (x) en [a, b] si:

F ′(x) = f (x)

Ejemplo

F (x) = x3 es una función primitiva de f (x) = 3x2 ya que:

F ′(x) = (x3)′ = 3x2 = f (x)

La función f (x) tiene infinitas funciones primitivas que son de laforma:

F (x) = x3 + c ; c = constante


1.4. Regla de Barrow

Teorema: Regla de Barrow

Si f (x) es continua en [a, b] y F (x) es una primitiva cualquiera def (x) en (a, b), entonces:

∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a) = F (x) |ba

Ejemplo∫ 2

−13x2 dx = x3 ∣∣2

−1 = (2)3 − (−1)3 = 8− (−1) = 9


1.5. Integral Indefinida

DefiniciónSe denomina integral indefinida de f (x) al conjunto de todas lasprimitivas de f (x).

∫f (x)dx = F (x) + c ; c ∈ R

NotaEl valor de una integral indefinida, en caso de que exista, es unafunción, que también puede expresarse a través de una integraldefinida de la forma:

∫ x

af (t) dt = F (t) |xa = F (x)− F (a) = F (x) + c


1.6. Teorema Fundamental del Cálculo

Teorema Fundamental del CálculoSea f : [a, b] −→ R integrable en [a, b], es decir existe la funciónintegral o integral indefinida:

F (x) =

∫ x

af (t) dt

Entonces, si f (x) es continua en [a, b] =⇒ F (x) es derivable en[a, b], siendo su derivada:

dF (x)

dx= F ′(x) = f (x)


Teorema Fundamental del Cálculo

f(x) F(x)

F(x) = ∫ f(x) dx

ddx f(x) = F(x)

Fórmula General del TFC

Sea: F (x) =

∫ h(x)

g(x)f (t)dt con

{f (x) continuag(x), h(x) derivables

Entonces:

dF (x)

dx= F ′(x) = f [h(x)] · h′(x)− f [g(x)] · g ′(x)


1.7. Propiedades de las Integrales

∫ b

af (x) dx = −

∫ a

bf (x) dx

∫ a

af (x) dx = 0

m(b − a) ≤∫ b

af (x) dx ≤ M(b − a)

∫ b

af (x) dx =

∫ c

af (x) dx +

∫ b

cf (x) dx ; ∀a, b, c ∈ R

∫ b

a[f (x) + g(x)] dx =

∫ b

af (x) dx +

∫ b

ag(x) dx

∫ b

acf (x) dx = c

∫ b

af (x) dx

f (x) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b] =⇒∫ b

af (x) dx ≥ 0

f (x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a, b] =⇒∫ b

af (x) dx ≥

∫ b

ag(x) dx


1.8. Tabla de Integrales Inmediatas

∫dx = x + c

∫sen x dx = − cos x + c

∫ 1x dx = ln |x| + c

∫cos x dx = sen x + c

∫ 1x2 dx = − 1

x + c∫

tg (x) dx = − ln | cos (x)| + c

∫ 1√x dx = 2

√x + c

∫sec2 (x) dx = tg (x) + c

∫xndx = xn+1

n+1 + c∫

cosec2 (x) dx = − cotg (x) + c

∫exdx = ex + c

∫senh (x) dx = cosh (x) + c

∫axdx = ax

ln (a) + c∫

cosh (x) dx = senh (x) + c

∫ 11+x2 dx = arctg (x) + c

∫ 1cosh2 (x)

dx = tanh (x) + c

∫ 1a2+x2 dx = 1

a arctg xa + c

∫ 1senh2 (x)

dx = coth (x) + c

∫ 1x2−1

dx = 12 ln

∣∣∣ x−1x+1

∣∣∣ + c∫

cotg (x)dx = ln | sen (x)| + c

∫ 1√1−x2 dx = arcsen (x) + c

∫ 1√a2−x2 dx = arcsen x

a + c

∫ 1√1+x2 dx = ln (x +

√x2 + 1) + c

∫ 1√x2−1

dx = ln (x +√

x2 − 1) + c


1.9. Métodos de Integración

Calcular la integral indefinida de una función cualquiera suele seruna tarea difícil e incluso imposible en determinados casos. Existendiferentes métodos de integración dependiendo del tipo de funcióna integrar. Los métodos más sencillos y útiles son los siguientes:

1 Descomposición.2 Cambio de variable.3 Integración por partes.4 Integración de Funciones Racionales.5 Integración de Funciones Trigonométricas.


Métodos de Integración: 1. Descomposición

Descomposición

∫(x2+1)2 dx =

∫(x4+2x2+1) dx =

∫x4 dx+2

∫x2 dx+

∫dx

=15x5 +

23x3 + x + C


Métodos de Integración: 2. Cambio de variable

Cambio de variable

∫f (x) dx =

t = g(x) −→ x = g−1(t) = h(t)

dt = g ′(x)dx −→ dx =dt

g ′(x)= r(t) dt

=

=

∫f [h(t)] r(t) dt =

∫R(t) dt = F (t) + C C.V.

=⇒ F (x) + C


Métodos de Integración: 3. Integración por partes

Integración por partes∫

u dv = uv −∫

v du

Ejemplo

∫xex dx =

{u = x ; du = dxdv = ex dx ; v = ex

}=

∫x d(ex) =

= xex −∫

exdx = xex − ex + c = ex(x − 1) + c


Métodos de Integración: 4. Funciones Racionales

Integración de funciones racionales

∫P(x)

Q(x)dx =

∫C (x) +

R(x)

Q(x)dx =

∫C (x) dx +

∫R(x)

Q(x)dx

∫R(x)

Q(x)dx =

Sol. de Q(x) = 0reales simples : r1reales múltiples : r2 (n veces)complejas simples : α± βicomplejas múltiples : δ ± γi (m veces)

=

∫R(x)

(x − r1) (x − r2)n [(x − α)2 + β2] [(x − δ)2 + γ2]m · · · dx



Integración de funciones racionales (cont.)

La integral original:

I =

∫P(x)

Q(x)dx

se puede descomponer en una suma de integrales más sencillas.



Integración de funciones racionales (cont.)

I =

∫A

x − r1

+

∫B1

x − r2+

B2

(x − r2)2 + · · ·+ Bn

(x − r2)n

+

∫Cx + D

(x − α)2 + β2

+

∫M1x + N1

(x − δ)2 + γ2 +M2x + N2

[(x − δ)2 + γ2]2+ · · ·+ Mmx + Nm

[(x − δ)2 + γ2]m

Es necesario calcular los coeficientes:A, B1, · · · , Bn, C , D, M1, N1, · · · , Mm, Nm.



Integración de funciones racionales (cont.)Conocidos los coeficientes, estas integrales tienen fácil solución de laforma:

∫A

x − a= A log (x − a) + C

∫A

(x − a)n =A

n + 1(x − a)n+1 + C

∫Mx + N

(x − α)2 + β2 =

=M2

log [(x − α)2 + β2] +Mα + Nβ2 arctan

x − αβ

+ C



Integración de funciones racionales (cont.)∫

Mx + N[(x − α)2 + β2]n

=

=−M

2(n − 1)[(x − α)2 + β2]n−1 +

+Mα + Nβ2

[x − α

2(n − 1)[(x − α)2 + β2]n−1 +

+2n − 32(n − 1)

∫dx

[(x − α)2 + β2]n−1

]+ C


Métodos de Integración: 5. Funciones Trigonométricas

Integración de funciones trigonométricas∫

f (sen x , cos x) dx C.V=

t = tanx2−→ x

2= arctan t , dx =

2dt1 + t2

sen x =2t

1 + t2 , cos x =1− t2

1 + t2 , tan x =2t

1− t2

=⇒∫

f (sen x , cos x) dx =

∫g(t) dt


1.10. Aplicaciones de la Integral

AplicacionesLa integración es una técnica de cálculo ampliamente utilizada entodas las áreas, tanto teóricas como aplicadas, de ... Entre lasaplicaciones más sencillas y comunes se encuentran:

1 Cálculo de Áreas planas.2 Cálculo de Volúmenes de revolución.3 Cálculo de Superficies de revolución.4 Cálculo de Longitudes.


CALCULO DE PRIMITIVAS

• u y v son funciones de x

• a es una constante

• F (x) =

∫f(x) dx ⇔ F ′(x) = f(x) [ F (x) Primitiva o Integral Indefinida ]

•∫

[f(x) + g(x)] dx =

∫f(x) dx +

∫g(x) dx

•∫

af(x) dx = a

∫f(x) dx

•∫

u dv = u v −∫

v du [ Integración por partes ]

•∫

u′ un dx =un+1

n+ 1+ C si n 6= −1

•∫

u′ u−1 dx =

∫u′

udx = ln |u| + C

•∫

u′ eu dx = eu + C

•∫

u′ au dx =au

ln a+ C

•∫

u′ sin (u) dx = − cos (u) + C

•∫

u′ cos (u) dx = sin (u) + C

•∫

u′ tan (u) dx = − ln | cos (u)| + C

•∫

u′ cot (u) dx = ln | sin (u)| + C

•∫

u′ sec (u) dx =

∫u′

cos (u)dx = ln | sec (u) + tan (u)| + C

•∫

u′ csc (u) dx =

∫u′

sin (u)dx = − ln | csc (u) + cot (u)| + C

•∫

u′ sin2 (u) dx =u

2− sin (2u)

4+ C =

1

2[u − sin (u) cos (u)] + C

•∫

u′ cos2 (u) dx =u

2+

sin (2u)

4+ C =

1

2[u + sin (u) cos (u)] + C

•∫

u′ tan2 (u) dx = tan (u) − u + C

•∫

u′ cot2 (u) dx = − cot (u) − u + C

•∫

u′ sec2 (u) dx =

∫u′

cos2 (u)dx = tan (u) + C

•∫

u′ csc2 (u) dx =

∫u′

sin2 (u)dx = − cot (u) + C

•∫

u′ sec (u) tan (u) dx =

∫u′ sin (u)cos2 (u)

dx = sec (u) + C

•∫

u′ csc (u) cot (u) dx =

∫u′ cos (u)sin2 (u)

dx = − csc (u) + C

•∫

u′

a2 + u2dx =

1

aarctan

(u

a

)+ C

•∫

u′√a2 − u2

dx = arcsin

(u

a

)+ C = − arccos

(u

a

)+ C

•∫

u′√a2 + u2

dx = ln∣∣∣u +

√a2 + u2

∣∣∣ + C

•∫

u′

a2 − u2dx =

1

2 aln

(u − a

u + a

)+ C, (u2 > a2)

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