matfin6

ANUALIDADES

PRESENTACIONLa anualidades o rentas son utilizadas con mucha frecuencia en

operaciones financieras de endeudamiento y de formación de capitales, mediante cuotas periódicas o se series de pago o deposito; es decir, sirven para formar capitales o para reducir deudas mediante cuotas periódicas.

Son muy útiles para la elaboración de tablas de amortización gradual, tablas de valor futuro, para el caculo de cuotas periódicas, ya sea para cancelar una deuda o para formar un capital.

Se emplean en los cálculos de pólizas de seguros, cuotas de pago. Cuotas de deposito, calculo actuarial, compras a plazo, prestamos a largo plazo, prestamos hipotecarios y otros.

Para estudiarlas y manejarlas adecuadamente, es imprescindible dominar el interés simple y el interés compuesto.

CONTENIDOSClasificación de las anualidadesAnualidades ciertasAnualidades eventuales o contingentesValor de las anualidadesValor futuro y valor presente de las anualidades simples

ciertas ordinarias inmediatas.Renta de un anualidad simple cierta ordinaria.Plazo de una anualidadTasa de interés de una anualidad simple cierta ordinaria.Gradientes.

OBJETIVOS

Conocer y manejar los mecanismos de calculo que faciliten la forma de acumular capitales o de amortizar endeudamientos mediante cuotas periódicas.

Conocer el concepto, la nomenclatura y clasificación de las anualidades o rentas.

Calcular el monto y el valor actual de una anualidadCalcular la renta en función del monto o del valor actual.Conocer las formas de calculo de las variables: rentas,

periodos y tasas.Conocer la aplicación de las anualidades o rentas en la

realidad financiera con casos prácticos.Conocer las gradientes y su aplicación.

ANUALIDADES O RENTASUn anualidad es una serie de pagos periódicos iguales o una sucesión

de pagos periódicos iguales.Sistema de pagos de sumas fijas a intervalos de tiempo igualesEl valor de cada pago periódico recibe el nombre de renta o

simplemente anualidad.No significa pagos anuales, sino pagos a intervalos iguales.Aparece asociada con los pagos o depósitos periódicos de sumas de

dinero como: dividendos de acciones, cupones de bonos, cuotas, pensiones, cuotas de amortización, cuotas de depreciación, pagos a plazos, pago periódicos de compañías de seguros, sueldos, en general todo tipo de rentas.

Anualidad = renta = series uniformes = pagos periódicos = amortizaciones, etc.

Si los pagos son diferentes o alguno de ellos es diferente de los demás decimos que la anualidad es variable o impropia.

CONCEPTOSPeriodo de pago o periodo de la anualidad: tiempo fijado entre

dos pagos sucesivos.Tiempo o plazo de la anualidad: intervalo de tiempo que

transcurre entre el comienzo del primer periodo de pago y el final del último.

Tasa de una anualidad: tipo de interés que se fija para el pago de la anualidad, puede ser nominal o efectiva.

Renta: valor del pago o depósito periódico.Renta anual: Suma de los pagos o depósitos efectuados en un año.Rentas perpetuas: serie de pagos que han de efectuarse

indefinidamente.

Ciertas

Eventuales o contingentes

Ordinarias o vencidas

Anticipadas

Ordinarias o vencidas

Anticipadas

InmediatasDiferidasPerpetuas inmediatasPerpetuas diferidas




Simples o

Generales

CLASIFICACION

CLASIFICACION

Según el tipo de AnualidadAnualidades simples , son las mas comunes o aquellas cuyo periodo de

pago coincide con el periodo de capitalización,Anualidades generales: Aquellas cuyo periodo de pago o de deposito y de

capitalización no coincide. Según el tiempoanualidades Ciertas: aquellas cuya fecha inicial y terminal se conocen por

estar estipuladas en forma concreta.Anualidades eventuales o contingentes: aquellas en las que el primer

pago o el ultimo, es decir la fecha inicial y/o la fecha final dependen de algún suceso previsible, pero cuya fecha de realización no puede fijarse. El comienzo y el fin de la serie de pagos son imprevistos o dependen de algún acontecimiento externo.

CLASIFICACIONSegún la forma de pago: Anualidades ordinarias o vencidas: aquellas en las que el deposito,

el pago y la liquidación de intereses se realizan al final del periodo de pago.

Anualidades anticipadas: Aquellas en las que el deposito, el pago y la liquidación de intereses se hace al principio de cada periodo.

Todas las anualidades pueden ser:Anualidades Inmediatas: Aquellas cuyo primer pago se efectúa al iniciar

o terminar el primer periodoAnualidades diferidas: aquellas cuyo plazo comienza después de

transcurrido determinado intervalo de tiempo establecido o cierto número de periodos.

Anualidades perpetuas: son una variación de las anualidades ciertas, aquellas en las que la duración del pago es, en teoría, ilimitado.

VALOR DE LAS ANUALIDADESLas mas comunes: Anualidad simple cierta ordinaria vencidaAquellas que vencen al final de cada periodo y cuyo periodo de pago

coincide con el de capitalización.El valor de la anualidad calculado a su terminación es su valor futuro.El valor de la anualidad calculado a su comienzo es su valor presente.Estos valores pueden calcularse también en fechas intermedias, en tal

caso se refiere al valor futuro de la parte vencida o al valor presente de la anualidad por vencer.

A A A A A

0 1 2 3 4 5

Parte vencida Intermedia Parte por vencer

VALOR FUTURO Y VALOR PRESENTE DE LAS ANUALIDADES SIMPLES, CIERTAS, ORDINARIAS, INMEDIATASEs el tipo de anualidad mas frecuente.La tasa de interés es por lo general nominal anual.Si la tasa de interés es nominal sin especificación de periodo de

capitalización, la tasa efectiva en el periodo de pago es el cociente entre La tasa nominal y el numero anual de pagos.

SIMBOLOS UTILIZADOS:R = A = Pago periódico de una anualidadi = tasa de interés efectiva por periodo de capitalización.J = Tasa de interés nominal anual.m = numero de capitalizaciones al año.j/m = tasa de interés por periodo de capitalización.n = numero de periodos de pago.F = S = VF = M = monto de una anualidad.P = VP = C = Valor presente de una anualidad.

MONTO DE UNA ANUALIDADPara calcular el monto se toma como fecha focal el final del valor de la

anualidad.Cada renta o anualidad A ganará intereses compuestos durante los

correspondientes periodos de cada una de las rentas hasta la fecha final.Estableciendo la ecuación de equivalencia para la fecha final como fecha focal

se tiene:

A A A A A

0 1 2 n-2 n-1 n P

FCada pago efectuado al final del periodo capitaliza los intereses en cada uno de

los siguientes periodos. El primer pago acumula (n-1) periodos, el segundo (n-2) periodos y así sucesivamente hasta el último pago que no obtiene intereses, ya que coincide con la fecha de termino.

Monto de una anualidadLos valores futuros respectivos de los pagos A comenzando por el ultimo

serán:A, A(1+i), A(1+i)2, …… , A(1+i)n-2, A(1+i)n-1

El valor futuro total F de una anualidad es igual a la suma de los valores futuros producidos por las distintas rentas A,

F = A + A(1+i) + A(1+i)2 + …. + A(1+i)n-2 + A(1+i)n-1

Como se puede apreciar los términos del segundo miembro, forman una progresión geométrica de n términos cuya razón es (1+i) y el primer termino es A,

entonces el

1)1(

11

iiA

Fn

i

iAF

n 11

1

r

aars

n

r

aras

n

1

para r < 1 Prog. Geom. decreciente

para r > 1 Prog. Geom. Creciente

Valor presente de una anualidad

Es aquella cantidad P de dinero con sus intereses compuestos que, en el tiempo de la anualidad, proporcionara un valor futuro equivalente al de la anualidad.

Al formar la ecuación de equivalencia y utilizar como fecha focal la fecha final, se tiene:

, remplazando el valor de F, tiene:

despejando P:

niPF 1

nn

iPii

A

1

11

nn

iii

AP

111

ii

APn11

Valor futuro y valor presente de una anualidadAplicacionesHallar el monto y el valor presente de una anualidad de $ 150

mensuales durante 3 años y 6 meses, al 6 % convertible mensualmente.

Valor futuro y valor presente de una anualidadSolución:

F = ? , P = ?, A = 150, J =0.06, n = 3 años 6 meses, m = 12, j/m = 0,005, nm = 42

mjmj

AF

nm

11

005,0

1005,01150

42

F

606539742.46150F

9809613,6990F

98,6690$F

mjmj

AP

nm

11

005,0005,011

15042

P

7982999076,37150P

74498614.669,5P

74.669,5 $P

Valor futuro y valor presente de una anualidadAplicaciones

Hallar el monto y el valor presente de una anualidad de $ 2275, cada seis meses durante 8 años y 6 meses al 5,4 % convertible semestralmente.

Valor futuro y valor presente de una anualidadSolución:F = ? , P = ?, A = 2275, J =0.054, n = 8 años 6 meses, m = 2, j/m = 0,027, nm = 17

mjmj

AF

nm

11

mjmj

AP

nm

11

027,0

1027,012275

17

F

2180394748.212275F

805248,271.039F

48,271,04 $F

027,0027,011

227517

P

4898683675,132275P

4505361.689,30P

45,689 30 $P


Una persona que viaja fuera de su localidad deja una propiedad en alquiler por 5 años, con la condición de que paguen $ 9000 por trimestre vencido. Esta cantidad se consignara en una cuenta de ahorros que paga el 8 % nominal anual. Hallar el valor futuro en los 5 años y el valor presente de contrato de alquiler.

Valor futuro y valor presente de una anualidadSolución:F = ? , P = ?, A = 9000, j =0.08, n = 5 años, m = 4, j/m = 0.02, nm = 20

mjmj

AF

nm

11

mjmj

AP

nm

11

02,0

102,019000

20

F

297369799.249000F

328191.676,218F

676,33 218 $F

02,002,011

900020

P

3514333446.169000P

900101.162,147P

162,90 147 $P


Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 5000, pagadera semestralmente durante 7 años 6 meses al 8,6 %, capitalizable semestralmente.

Valor futuro y valor presente de una anualidad

mjmj

AF

nm

11

mjmj

AP

nm

11

F = ?, P = ?, A = 5000, J = 0,086, n = 7 años 6 meses, m = 2 j/m = 0,043, nm = 15

043,0

1043,015000

15

F

4758669788.205000F

334894.379,102F

379,33 102 $F

043,0043,011

500015

P

8887411333.105000P

70566665.443,54P

443,71 54 $P


Hallar el valor futuro y el valor presente de una anualidad de $ 100 mensuales pagaderos durante 15 años, al 9 % nominal convertible mensualmente.

Valor futuro y valor presente de una anualidadSolución:F = ? , P = ?, A = 100, J =0.09, n = 15 años, m = 12, j/m = 0,0075, nm = 180

mjmj

AF

nm

11

mjmj

AP

nm

11

0075,0

10075,01625

180

F

405768997.378100F

840,58 37 $F

5768997.840,37F

0075,00075,011

100180

P

5934088351.98100P

34088351.859,9P

859,34 9 $P


Durante un año y medio, se hacen depósitos por mes vencido de $ 1 200 cada uno, en una institución de ahorros que paga un interés del 3 % mensual. Calcular la suma total acumulada en la cuenta de ahorros al final de ese tiempo.

Valor futuro y valor presente de una anualidadSolución:F = ? , A = 1200, J =0.03, n = 1.5 años, m = 12, j/m = 0,03, nm = 18

mjmj

AF

nm

11

03,0

103,011200

18

F

4144353747.231200F

3224496.097,28F

097,32 28 $F


Hallar el valor de contado de un artículo que al crédito se adquiere con 18 cuotas de $ 2 000 cada una por mes vencido, sabiendo que se cobra un interés del 2,5 % mensual.


P = ?, A = 2000, j = 0,025, n = 1.5 años, m = 12, j/m = 0,025, nm = 18

mjmj

AP

nm

11

025,0025,011

200018

P

3533636264.142000P

72722528.706,28P

706,73 28 $P


La beneficiaría de un seguro de vida recibiría $3,100 mensuales durante 10 años, aunque prefiere que le den el equivalente total al inicio del plazo. ¿Cuánto le darán si el dinero reditúa en promedio el 19.35% anual compuesto por meses? (JLV)

P = ?, A = 3100, j = 0,1935, n = 10 años, m = 12, j/m = 0,016125, nm = 120


P = ?, A = 3100, j = 0,1935, n = 10 años, m = 12, j/m = 0,016125, nm = 120

mjmj

AP

nm

11

016125,0016125,011

625120

P

9196413182.523100P

888086.050,164P

050,89 164 $P


¿Cuánto se acumula en una cuenta de ahorros con 32 pagos quincenales de $625 cada uno, si la tasa de interés nominal quincenal en los primeros 5 meses es del 22.32%, y después aumenta 2.4 puntos porcentuales por año cada cuatrimestre? ¿Cuánto se genera por concepto de intereses? (JLV)

Valor futuro y valor presente de una anualidadSolución:El ejercicio se resuelve considerando cuatro anualidades de 10, 8, 8 y 6 rentas quincenales cada una.

Ml = 625(10.4290496151) o M1 = $6,518.16

que se traslada hasta el final de la segunda anualidad empleando la fórmula del interés compuesto, con la nueva tasa que es 2.4 puntos mayor que la primera.j = 0.2232 + 0.024 = 0.2472 o J/24 = 0.2472/24 = 0.0103, quincenal compuesto por quincenas; entonces:

F’1= 6,518.16(1.0103)8

F’1 = 6,518.16(1.08543250709)

F’1 = $7, 075.01841893

Este monto deberá sumarse con el monto acumulado F2 de la segunda anualidad:

j/m = 0.0103F2 = 625(8.29441816408)

F2 = $5,184.01135255

El acumulado de las primeras 18 rentas es, entonces:F’1 + F2 = 7,075,01841893 + 5,184.01135255 = 12,259,0297715

que también se traslada con la nueva tasa, la del tercer grupo de rentas, hasta el final de la tercera anualidad, ocho quincenas después.

242232,0

1242232,01

625

10

1F

Valor futuro y valor presente de una anualidadF’2 = 12,259,0297715 (1 +0.2712/24 )8 F’2 = 12,259,0297715 (1.09405727394) o F’2 = 13,412,080693 monto que debe sumarse al monto F3 del tercer grupo de rentas

F3 = 625(8.32365256106) o F3 = 5,202.28285066

entonces,F’2 + F3 = 13412,080693 + 5,202.28285066 = 18,614.3635437

que es el acumulado de los 26 depósitos al término de la tercera anualidad. Este monto se lleva hasta la fecha terminal del plazo y, finalmente, se suma con el monto F4 de la última que comprende seis quincenas. La tasa de interés anual es ahora j = 0.2232 + 3(0.024) o j = 0.2952F’3 = 18,614,3635437 ( 1 + 0,2952/24)6 = 18,803.55(1.0123)6 o F’3 = 20,031.0452786 y

F4 = 625(6.18755385041) o F4 = 3,867.22115651

Consecuentemente el monto acumulado de los 32 depósitos quincenales en la cuenta de ahorros al final del plazo es:F’3 + F4 = 20,031.0452786 + 3,867.22115651 o Ft = $23 898,27

b) Los intereses son la diferencia entre este monto y el total invertido en los 32 pagos quincenales.I = 23 898,27 - 32(625.00) I = $ 3,898.27

24/2712,0

124/2712,01625

8

3F

24/2952,0

124/2952,01625

6

4F

Calculo de la renta de una anualidad simple cierta ordinariaEs frecuente conocer el importe de los pagos periódicos, para lograr

determinado resultado.Cuál es el pago mensual que debe hacerse para cancelar el valor de una

propiedad , en cierto numero de años?Qué cantidad de dinero, habrá que colocar paródicamente, en un fondo de

amortización, para cancelar una obligación a largo plazo?Pueden plantearse dos problemas, según se conozca el valor futuro o el

valor presente.Cuando se conoce el valor futuro

Cuando se conoce el valor presente:

11 ni

iFA

ni

iPA

11

Calculo de la renta de una anualidad simple cierta ordinaria

Aplicaciones

Calcular los depósitos semestrales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el 8 % con capitalización semestral, para obtener en 5 años un capital de $ 20000.


Solución:F = 20000, A = ? , j = 0,08, n = 5 años, m = 2, j/m = 0,04, nm 10

A = 20000 (0,0832909443298)A = 1665,8188866A = $ 1 665,82

104,01

04,020000 10A

11

nm

mjmj

FA


Aplicaciones

¿Cuánto podrá retirar cada viernes durante 8 meses el ingeniero Serrano, si al comienzo del plazo deposita $30,000 devengando intereses del 26% compuesto por semanas? (JLV)

Calculo de la renta de una anualidad simple cierta ordinariaSolución:P = 30000, A = ?, j = 0.26, n = 8 meses, m = 52, j/m = 0,005, nm =(8/12)52 = 35

A = 30000 (0,0312154958342)A = 936,464875026A = $ 936,46

nm

mjmj

PA11

35005,011

005,030000A


AplicacionesCual tiene que ser el importe de cada uno de los depósitos

semestrales que debería hacerse en una cuenta de ahorros que paga el 3,5 % convertible semestralmente, durante 10 años para que el monto sea $ 25000, precisamente después del último deposito?

Calculo de la renta de una anualidad simple cierta ordinariaSolución:F = 25000, A = ? , j = 0,035, n = 10 años, m = 2, j/m = 0,0175, nm = 20

A = 25000 (0,0421912245602)A = 1054,780614A = $ 1 054,78

11

nm

mjmj

FA

10175,01

0175,025000 20A

Calculo de la renta de una anualidad simple cierta ordinariaTres meses antes de ingresar al colegio un estudiante recibe $

10000, los cuales son invertidos al 4 %, convertible trimestralmente. Cuál es el importe de cada uno de los retiros que podrá hacer durante 4 años, iniciando el primero transcurridos 3 meses ?.


Solución:P = 10000, A = ?, j = 0.04, n = 4 años, m = 4, j/m = 0,01, nm = 16

A = 10000 (0,0679445968207)A = 679,445968207A = $ 679,45

nm

mjmj

PA11

1601,011

01,010000A

Calculo del tiempo o plazo de una anualidadConociendo el valor futuro F o el valor presente P, la tasa y la

anualidad A, puede calcularse el valor de n, o sea, el numero de pagos, lo cual puede hacerse utilizando logaritmos o interpolando.

Calculo del tiempo o plazo de una anualidadAplicacionesM obtiene un préstamo de $ 3750, acordando pagar capital e

intereses al 6 % convertible semestralmente mediante pagos semestrales de $ 225 cada uno haciendo el primero en 6 meses. Cuántos pagos deberá hacer?.

Calculo del tiempo o plazo de una anualidadSolución:

P = 3750, A = 225, j = 0.06, n = ? m = 2, j/m = 0,03, nm = 2n

2n = 23,4497722505 23 pagos de $ 225 y un pago adicional de:

X = $ 102, 02

mjmj

AP

nm

11

n203,01103.0225

3750

n203,15.0

1,03 log2n 0,5 log

1,03 log0,5 log

2 n

2423

03,0103,0

03,0112253750

X

03,0

03,0112253750

2n

Calculo del tiempo o plazo de una anualidad

Aplicaciones

Se va a constituir un fondo de $ 5000 , mediante depósitos de $ 250 cada 3 meses si el fondo gana 4 % convertible trimestralmente, hallar el numero de depósitos de $ 250 que tendrá que hacerse y el importe del depósito que será necesario hacer 3 meses más tarde.

Calculo del tiempo o plazo de una anualidad F = 5000, A = 250, j = 0.04, n = ?, m = 4, j/m = 0.01, nm = 4n

Primera solución

18 depósitos de $ 250 y pago adicional de:

mjmj

AF

nm

11

n401,01101,0250

5000

n401,12,1

1,01 log4n 1,2 log

1,01 log1,2 log

4n

78118,3231652 4n

X

01,0101,0

101,012505000

18

01,0

101,012505000

4n

47,28 X

Calculo del tiempo o plazo de una anualidadSegunda solución:

Por tanto:

1

01,0101,01

250500019

X

28,47X

Calculo de la tasaLa tasa puede ser una incógnita cuando se conocen los demás

elementos o variables de una anualidad,Por lo general los valores de i, correctos desde un punto de vista

analítico o matemático resultan ficticios en la practica.Se acostumbra calcular la tasa aproximada de interés mediante

interpolación, con esto se obtienen valores suficientemente aproximados para cualquier propósito

Calculo de la tasaAplicacionesUn TV puede ser comprado con $ 449,50 al contado o $ 49,50

de cuota inicial y $ 27,50 mensuales durante 18 meses , a) Qué tasa nominal de interés se está cargando?, b) Qué tasa efectiva de interés se está cargando?

P = 449,50 – 49,50 = 400, A = 27,50, j = ? , n = 1,5 años, m = 12, j/m = j/12, nm = 18

Calculo de la tasaSolución: P = 449,50 – 49,50 = 400, A = 27,50, j = ? , n = 1,5 años, m = 12, j/m = j/12, nm = 18

Para j = 0,29 14,4570335505 j 14,5454545455 Para j = 0,28 14,5617947612 0,28 14,5617947612 0,01 -0,1047612107 j -0,28 -0,0163402157

nm

mj

mj

AP11

18

12

1211

50,27400

j

j

18

12

12115454545455,14

j

j

0163402157,028,0

1047612107,001,0

j 962815597581,0j

12

12962815597581,011

i

13208921401,0i Aprox. % 09,32i

18

12

121150,27400

j

j

Calculo de la tasaAplicaciones

Una Cía. de seguros ofrece , por un pago inmediato de $ 90 000 por una renta anual de $ 5 000 pagadera durante 30 años, al comprador o a sus herederos. ¿Qué tasa de interés abona esta Cía.

Calculo de la tasaSolución:P = 90 000, A = 5 000, i = ?, n = 30

a 0,04 corresponde 17,2920333007 a i corresponde 18,0000000000a 0,03 corresponde 19,6004413495 a 0,03 corresponde 19,6004413495 0,01 es a -2,3084080488 como i – 0,03 es a -1,6004413495

i = 0,0369330955172i = 3,69 % Aprox.

ii

APn11

ii 3011

500090000

ii 3011

500090000

ii 3011

18

6004413495,103,0

3084080488,201,0

i

Calculo de la tasaAplicaciones

Una persona deposita al final de cada mes $ 1 000 en una cuenta de ahorros; al cabo de 5 años , tiene en su cuenta la suma de $ 70 542. ¿Qué tasa nominal promedio ha ganado?

Calculo de la tasaSolución:

matfin6

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