mates i pac2 villarreal quintana jaume

Estudis d'Informàtica, Multimèdia i Telecomunicació Grau en Multimèdia

Matemàtiques per a Multimèdia I - PAC 2

EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 2

1) Donada la següent imatge:

Troba el grup de simetria de la figura. Per fer-ho crea la taula de composició d'isometries i digues quines

isometries del pla deixen la figura invariant. (2 punts)

º

!

id

!

rs

!

ss

!

ts

!

O

120º

G

!

O

240º

G

!

id

!

id

!

rs

!

ss

!

ts

!

O

120º

G

!

O

240º

G

!

rs

!

rs

!

id

!

O

240º

G

!

O

120º

G

!

ts

!

ss

!

ss

!

ss

!

O

120º

G

!

id

!

O

240º

G

!

rs

!

ts

!

ts

!

ts

!

O

240º

G

!

O

120º

G

!

id

!

ss

!

rs

!

O

120º

G

!

O

120º

G

!

ss

!

ts

!

rs

!

O

240º

G

!

id

!

O

240º

G

!

O

240º

G

!

ts

!

rs

!

ss

!

id

!

O

120º

G

Tal i com es pot observar en la taula, les isometries que deixen la figura invariant són les simetries

!

rs ,

!

ss ,

!

ts i els girs

!

O

120º

G i

!

O

240º

G , aixi com la pròpia identitat.



2) Amb el programa Flash construeix la vista frontal d’un quadre pictòric:

a) El quadre pictòric ha de tenir forma de rectangle auri. Troba’n l’àrea. (0,5 punts)

b) El quadre ha d'estar contingut en un marc d'àrea compresa entre el 20% i el 50% de l'àrea del quadre.

Calcula l’àrea d’aquest marc. El disseny interior del marc és lliure. (0,5 punts)

c) La paret on està penjat el marc conté dues sanefes horitzontals equidistants de l’eix central del quadre. El

patró d’ambdues sanefes és idèntic, no té cap tipus de simetria i està format per un triangle isòsceles i un

triangle equilàter.

i) La sanefa superior al quadre ha d’estar formada a partir d’un patró que compleixi translació i simetria

respecte l’eix central de la sanefa superior. (1 punt)

ii) La sanefa inferior al quadre ha d’estar formada a partir d’un patró que compleixi translació i gir

respecte l’eix central de la sanefa inferior. (1 punt)

Busca per al quadre una imatge que formi un mosaic tipus Escher o tipus Penrose. Indica la referència d’on has

obtingut la imatge.



EXERCICIS CORRESPONENTS AL MÒDUL 5

3) Donat el conjunt de vectors: )1,1,2(−=u , )1,3,1(=v , )3,1,1(=w :

a) Troba el vector unitari de )1,1,2(−=u . (0,5 punts)

Un vector unitari és un vector de norma 1 (longitud o mòdul) que ens pot resultar interessant perquè ens

indicarà la direcció que presenta el vector amb què treballem. Per trobar el vector unitari hem de realitzar el

següent procediment:

1. trobem la norma del vector )1,1,2(−=u

2. dividim el vector )1,1,2(−=u entre la seva norma

!

|| u ||.

|| !u ||= !2( )2 +12 +12 = 6 = 2'44

!u1 =1|| !u ||!u" !u1 =

12'44

!2,1,1( ) = !22'44

, 12'44

, 12'44

#

$%

&

'(= !0'82, 0 '41, 0 '41( )

Així doncs, el vector

!

! u 1

= "0'82,0'41,0'41( ) és el vector unitari del vector )1,1,2(−=u .

b) Calcula la següent operació: wvu +− . (0,5 punts)

!

! u = "2,1,1( ),

! v = 1,3,1( ),

! w = 1,1,3( )

! a =

"2

1

1

#

$

% % %

&

'

( ( ( "

1

3

1

#

$

% % %

&

'

( ( (

+

1

1

3

#

$

% % %

&

'

( ( (

=

"3

"2

0

#

$

% % %

&

'

( ( (

+

1

1

3

#

$

% % %

&

'

( ( (

=

"2

"1

3

#

$

% % %

&

'

( ( (

El vector resultant d'aquesta operació serà el vector

!

! a = "2,"1,3( )

c) Troba l’angle que formen )1,1,2(−=u i )1,3,1(=v . (0,5 punts)

Per trobar l'angle que formen dos vectors cal aplicar una norma trigonomètrica. El cosinus de l'angle és igual al

quocient resultant de dividir el producte escalar dels dos vectors entre el producte de les seves normes:

!

cos" =

! u #! v

||! u || # ||

! v ||

.

Per tant caldrà que aïllem

!

" passant el cosinus de manera inversa a l'altre costat de la igualtat. D'aquesta

manera, podem afirmar que

!

" = arcos

! u #! v

||! u || # ||

! v ||



!

||! u ||= "2( )

2+12 +12 = 6t

||! v ||= 1

2 + 32 +12 = 11! u #! v = "2,1,1( ) # 1,3,1,( ) = "2 + 3+1= 2

cos$ =

! u #! v

||! u || # ||

! v ||

=2

6 # 11=

2

66

$ = arcos2

66= 75'7% 75'7º

&

180º=1'32rad

Així doncs, l'angle format pels vectors )1,1,2(−=u i )1,3,1(=v és de

!

75'7º=1'32rad

d) Calcula el producte vectorial wv × i demostra que el vector resultant és perpendicular al pla que

formen v i w . (0,5 punts)

!

! v = 1,3,1( ),

! w = 1,1,3( )

! v ̂! w =

i j k

1 3 1

1 1 3

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=3 1

1 3i (1 1

1 3j +1 3

1 1k = 3 ) 3(1)1( )i ( 1) 3(1)1( ) j + 1)1( 3 )1( )k = 8,(2,(2( )

El producte vectorial de

!

! v ̂! w és igual a

!

8,"2,"2( ).

Podem demostrar que

!

! v ̂! w és perpendicular (ortogonal) als dos vectors donats caldrà aplicar el

producte escalar i comprovar que aquest és nul.

!

! v ̂! w ( ) "! v = 8,#2,#2( ) " 1,3,1( ) = 8 + #6( ) + #2( ) = 0

! v ̂! w ( ) "! w = 8,#2,#2( ) " 1,1,3( ) = 8 + #2( ) + #6( ) = 0



4) Realitza un programa Flash que en introduir dos vectors bidimensionals el programa calculi el vector suma,

el mòdul del vector suma, l'angle que forma amb l'eix OX en sentit antihorari i mostri un diagrama amb el vector

de posició amb origen al (0,0). (1 punt).



5) Considerant els vectors anteriors )1,1,2(−=u , )0,3,1(v = i )3,1,1(=w i el punt )2,0,2(A = , troba i

explica el que fas amb ajuts de diagrames:

a) La norma de cada vector (0,5 punt).

!

||! u ||= "2( )

2

+12 +12 = 6

||! v ||= 1

2 + 32 + 02 = 10

||! w ||= 1

2 +12 + 32 = 11

vector w=(1,1,3)



b) Un vector t

de mateixa direcció que el vector vu + però amb el mateix mòdul que w (0,5 punts).

!

! u +! v = ("2,1,1) + (1,3,0) = ("1,4,1)

||! t ||= k # ("1,4,1) = 11

||! t ||= ("k,4k,k) = 11

"k2 + 4k( )

2+ k

2 = 11

k2 +16k

2 + k2 =11

18k2 =11

k = ±11

18$ ±0'78

! t = 0'78 # ("1,4,1) = "0'78,3'13,0'78( )

||! t ||= "0'78

2 + 3'132 + 0'782 = 11



c) El punt B transformat de A per la rotació en sentit antihorari de 30º respecte l’eix Oy (0,5 punt).

!

Oy Ry

b( ) =

cosb 0 sinb

0 1 0

"sinb 0 cosb

#

$

% % %

&

'

( ( (

x

y

z

#

$

% % %

&

'

( ( (

=

x ) cosb + 0 + z ) sinb

0 + y + 0

"x ) sinb + 0 + z ) cosb

#

$

% % %

&

'

( ( (

Oy Ry

b( ) =

cos30 0 sin30

0 1 0

"sin30 0 cos30

#

$

% % %

&

'

( ( (

2

0

2

#

$

% % %

&

'

( ( (

=

2 )3

2+ 0 + 2 )

1

2

0

"2 )1

2+ 0 + 2 )

3

2

#

$

% % % % %

&

'

( ( ( ( (

=

3 +1

0

"1+ 3

#

$

% % %

&

'

( ( (

El punt B obtingut d'aplicar al punt A una rotació antihorària de 30º és

!

B = 3 +1,0, 3 "1( )



d) El punt C obtingut d’aplicar al punt A una translació de vector v (0,5 punts).

!

Tv A = A +! v = x + a,y + b,z + c( )

Tv A =

2

0

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

+

1

3

0

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

=

3

3

2

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

El punt C obtingut d'aplicar al punt A una translacio de vector v és

!

C = 3,3,2( )

mates i pac2 villarreal quintana jaume

Documents