material de apoyo de matematicas 2

8/10/2019 Material de Apoyo de Matematicas 2

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UNIDAD I: CONCEPTOS GENERALES

I. Relaciona ambas columnas con la respuesta adecuada

1. ( ) Estableci las bases de la Geometra moderna a. Tales de Mileto2. ( ) Autor de la obra Los Elementos b. Arqumedes3. ( ) Determin la relacin entre los lados de

cualquier tringulo rectnguloc.Lobachevski,Bolyai, Riemann

4. ( ) Fundador de la escuela Jnica y sus estudioscondujeron a resolver el valor del nguloinscrito

d. Arquitas

5. ( ) Determin la frmula para calcular el volumende un cono y de la esfera, as como el valorpara !

e. Euclides

6. ( ) Se le atribuye la invencin de la rama de lasMatemticas llamada Trigonometra

f. Platn

7. ( ) Fue el primero en resolver el famoso problemallamado la duplicacin del cubo y en aplicarlos principios de la geometra a la mecnica

h. Desargues

8. ( ) Realizaron investigaciones acerca del rea delcrculo por medio de polgonos inscritos ycircunscritos por el mtodo del agotamiento

i. Pitgoras

9. ( ) Construyeron su geometra negando el quinto

postulado de Euclides

j. Hiparco de Nicea

10. ( ) Dividi la geometra en elemental y Superior k. Antfono y Brisn

II. Completa cada una de las siguientes expresiones

1. Consideraron que el ao tena aproximadamente 360 das y dividieron lacircunferencia en 360 partes iguales, con lo cual obtuvieron el gradosexagesimal_____________________________

2. Construyeron pirmides por sus extensos conocimientos de geometra yastronoma____________________.

3. Fue la primera civilizacin en incluir el CERO en sunumeracin___________________

4. Originaron nuevas ciencias: La trigonometra y laGeodesia_______________________

5. Asentaron las bases de lo que hoy se conoce como Geometra al hallarformas de cmo medir sus terrenos______________________


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lII.Relaciona correctamente las proposiciones de la izquierda, con lasdefiniciones de la derecha.

IV. Subraya la respuesta correcta.

1. Si a=b y se dice que a-c=b-c, se utiliz el axioma de:

a) Multiplicacinb) Adicinc) Sustitucind) Transitividad

2. Si a=b y b=c, entonces a=c, se utiliz el axioma de:a) Multiplicacinb) Adicinc) Sustitucind) Transitividad

3. De acuerdo a la figura, la afirmacin !" ! !" ! !" ! !" correspondeal axioma de:

a) Adicinb) Transitividadc) Particin o del todod) Sustitucin

1. Verdad no tan evidente pero que tambin

se acepta sin una previa demostracin.

2. Proposicin evidente que se acepta comoverdadera sin necesidad de unademostracin.

3. Enunciado del cual se puede decir si esverdadero o falso, pero no ambas cosas ala vez.

4. Es una proposicin cuya verdad tiene que

ser demostrada para ser aceptada.

5. Proposicin que es consecuencia de unteorema y para demostrarse requiere depoco o de ningn razonamiento nuevo.

( ) Corolario.

( ) Axiomas.

( ) Postulado.

( ) Proposicin.

( ) Teorema.

BA C D


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4. Si a=b y b=c, entonces a= a, se utiliz el axioma de:a) Identidadb) Adicinc) Sustitucind) Transitividad

5. Si a= b y d =c + b, entonces d =c + a, se utiliz el axioma de:a) Multiplicacinb) Adicinc) Sustitucind) Transitividad

6. Son considerados conceptos no definidos en geometraa) Punto, segmento y plano

b) Punto, recta y planoc) Punto, lnea y planod) Punto, lnea y espacio

7. Porcin de recta comprendida entre dos puntosa) Segmentob) Rectac) Rayod) Semirrecta

8. Punto que divide a un segmento de recta en dos partes igualesa) De interseccinb) Medioc) Colineald) Perpendicular

9. Porcin de una recta que tiene principio y se prolonga indefinidamentea) semirrectab) segmentoc) recta paralelad) recta perpendicular

10. Sucesin infinita de puntos que solo posee longituda) Puntos colinealesb) lneac) superficied) recta


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"#$%&' +

V. Identifica la hiptesis y la Tesis de las siguientes proposiciones.

1. Si dos ngulos son rectos entonces son iguales.Hiptesis:_____________________________________________Tesis:________________________________________________

2. Si un tringulo tiene dos lados iguales, entonces tiene dosngulos igualesHiptesis:_____________________________________________Tesis:________________________________________________

3. Un ngulo con sus lados perpendiculares mide 90oHiptesis:_____________________________________________Tesis:________________________________________________

4. Los ngulos opuestos por el vrtice son congruentesHiptesis:_____________________________________________Tesis:________________________________________________

5. Dos ngulos son complementarios si la suma de sus medidas es90oHiptesis:_____________________________________________Tesis:________________________________________________

UNIDAD II: ANGULOS

I. Escribe en la lnea la respuesta correcta tomada del siguienteconjunto de palabras.

Rectas perpendiculares opuestos por el vrtice Bisectriz llano o de

lados colineales Entrante Recto Complementarios Rectas

perpendiculares Obtuso Agudo Adyacentes Perigonal

Suplementarios Conjugados.

1. Abertura formada por dos semirrectas que parten de un mismo origen.___________________________

2. Es la semirrecta que divide al ngulo en dos partes iguales.

____________________________


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"#$%&' ,

3. Angulo que mide ms de 0 pero menos de 90_____________________________

4. Angulo que mide 90_____________________________

5. Angulo que mide ms de 90 pero menos 180_____________________________

6. Angulo que mide 180_____________________________

7. Mide ms de 180pero menos de 360.______________________________

8. Mide 360.______________________________

9. Dos ngulos que tienen en comn un lado y un vrtice._____________________________

10. Los lados de uno son prolongacin de los lados del otro._____________________________

11. Dos ngulos cuyas medidas suman 90._____________________________

12. Dos ngulos cuyas medidas suman 180.______________________________

13. Dos ngulos cuyas medidas suman 360____________________________

14. Rectas que al cortarse forman ngulos rectos.____________________________


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II. Encuentra la medida de los ngulos que se te pidan.

1. Alfa y Beta son suplementarios. Si Alfa es 6 veces Beta Cunto mideAlfa?

2. AB ! BC. Si el "ABD es la tercera parte Del "DBC. Cunto mide el

"ABD?

A D

3. A, B, C, colineales. BD bisectriz del ngulo ABC; BE bisectriz del

ngulo ABD. BF bisectriz del ngulo EBD Cunto mide "ABF?

4. Determinar el valor del ngulo cuyo complemento es igual a la mitad desu suplemento

5. Halla dos ngulos suplementarios tal que el mayor es el sxtuplo de lamitad del menor.

6. Calcula el complemento, suplemento y conjugado de cada uno de lossiguientes ngulos:

a) 25b) 37 58c) 47 39 43

B

DE

F

A B C


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"#$%&' .

7. Si !!=38 !!=25 40 y !!=37 26 13. Halla !! ! !! ! !!

8. De los datos anteriores, calcula el suplemento de !! ! !! ! !!

9. De acuerdo con los datos de la figura 1, calcula el valor de los ngulos !!,!!y !!:

10. De acuerdo a los datos de la figura 2, calcula el valor de la x.

11. De acuerdo a los datos de la figura 3, calcula el valor de los ngulos

!!"#y !!"#, sabiendo que A, B y C son colineales.


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"#$%&' /

12. De acuerdo con los datos de la figura 4, calcula el valor de los ngulos!!, !!, !! y !!:

13. Menciona la clase de ngulo que forma:

a) El horario del reloj al rotar 8 horasb) El minutero del reloj al rotar 30 minutosc) El menor de los ngulos cuando las manecillas del reloj indican las 12:45

horas.

14. Que rotacin realiza:a) La manecilla del minutero en 45 minutosb) Las manecillas del horario en 3:45 horasc) Las manecillas de las horas durante 80 minutosd) El menor de los ngulos formado por las manecillas a las 8:00 horase) El menor de los ngulos formado por las manecillas a las 2:30 horasf) El menor de los ngulos formado por las manecillas a las 7:30 horas

15. De acuerdo con lasfiguras 5 y 6, indica la relacin entre los ngulos quese presentan, de acuerdo a si son complementarios o congruentes:


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"#$%&' 0

16. Encuentra la medida del


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"#$%&'

17. Halla el valor de los ngulos para los siguientes problemas:a) Los ngulos son suplementarios. Uno de ellos tiene 25 menos que el

triple del otro.b) Los ngulos son adyacentes y juntos forman un ngulo de 120 y su

diferencia menos 10 es igual a 80.c) El triple de un ngulo menos la tercera parte del otro equivale a 10 y los

ngulos son complementarios.d) Los ngulos son conjugados y uno de ellos es el doble del otro

disminuido en 8.e) Los ngulos son adyacentes y juntos forman un ngulo de 135, la

diferencia es 70.f) El menor de los ngulos tiene 8 45 ms que la cuarta parte del mayor y

ambos son complementarios.g) Los ngulos son adyacentes y forman un ngulo de 108, uno es 48

mayor que el otro.h) Los ngulos son suplementarios, uno mide 50 ms que tres veces el

otro.i) Los ngulos son conjugados, y la medida del mayor es 78 ms que la

medida del menor.


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UNIDAD III: TRINGULOS Y CONGRUENCIA

I. Clasifica los tringulos, escribiendo en el cuadro el conceptocorrecto.

Figura plana limitada por 3segmentos de rectadeterminados por tres

"#$%& '('

)*+,'

/0%&% )1) '+%) 2-*() 0#1-2%).

/0%&% -2 $%&() *() 2-*()

/0%&% )1) '+%) 2-*()

*%)0 1-2%).

3%#4& )1)

5()

/0%&% 1& 5( +%,'(

/0%&% 1& 5( (6'1)(.

/0%&% '+%) 5& 12() - 1*().

7( %)

+%,'5(.


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II. Une con lneas las definiciones con el conceptocorrespondientes.

III. Encuentra lo que se te pide en los siguientes tringulos.

IV. Calcula el valor el valor de x, y en las figuras de la 8 a la 13.

Figura 8

DEFINICIONES

1.- parte en donde se intersecan las bisectrices delos ngulos de un tringulo. Equidistan de los ladosdel tringulo.

2.-segmento de recta que va de un vrtice deltringulo al punto medio del lado opuesto.

3.-punto en donde concurren las medianas de un

tringulo.

4.-Segmento perpendicular trazado desde un vrticereferido hasta el lado opuesto o su prolongacin.

5.-Punto en donde concurren las alturas de untringulo.

CONCEPTOS

Ortocentro.

Baricentro.

Mediana

Incentro.

Altura de un tringulo.


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Figura 10

Figura 9

Figura 11


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"#$%&'

Figura 12

Figura 13


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V. Realiza las siguientes demostraciones

1. De acuerdo a la figura 14, completa la siguiente demostracinescribiendo en la columna de las justificaciones el nmero que lecorresponda:

AFIRMACIN JUSTIFICACIN1. !"es bisectriz de "CBA 1. Axioma de identidad2. "CAD#"BAD 2. Dato3. !" ! !" 3. Criterio de congruencia LAL4. !" ! !" 4. Criterio de congruencia ALA5. !!"# ! !!"# 5. Definicin de bisectriz

2. De acuerdo a la figura 15, completa la siguiente demostracinescribiendo las justificaciones que correspondan:

AFIRMACIN JUSTIFICACIN1. D es punto medio de !" 1.2. !" ! !" 2.3. !" ! !" 3.4. "ADC y "ADB son rectos 4.5. "ADC#"ADB 5.6. !" ! !" 6.7. !!"# ! !!"# 7.

8

9: ;

:

8 9

;

CA

B ^E

A0#1+- QS

"ABE es equiltero

ABDC es un cuadrado inscrito en la circunferencia decentro O

FGIH es un cuadrado.CB=4FG=1


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II. En las siguientes figuras calcula el valor del rea que no seencuentra sombreada.

a)

b)

III. Calcula el volumen de las siguientes figuras.

A0#1+- RX

A0#1+- QT

A0#1+- R?


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"#$%&'

A0#1+- R@

A0#1+- RO


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"#$%&'

A0#1+- RH


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17c.- 21 y 159 17d.- 122.67 y 237.33 17e.- 22.5 y 102.5 17f.- 11 y 7917g.- 30 y 78 17h.- 32.5 y 147.5 17i.- 171 y 219

Unidad III Tringulos

Parte I

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Triangulo Segn sus lados: equiltero, issceles, escaleno.Segn sus ngulos: rectngulo, oblicungulo: obtusngulo,

acutngulo.Parte II

Pgina 12

1.-Incentro, 2.- Mediana, 3.- Baricentro, 4.- Altura de un tringulo, 5.-Ortocentro.

Parte III. Pgina 12 - 13 - 14Figura 8: x=2.25; y=4.25Figura 9: x=3; y=12Figura 10: x=4; y=6Figura 11: x=9; y=7Figura 12: x=-11; y=-7Figura 13: x=2.125; y=5Parte IV.

Pgina 15 Y 16

1) 2)

3) 4)

JUSTIFICACIN.

Axioma de identidadDato.Criterio de congruencia LALCriterio ALADefinicin de bisectriz.

JUSTIFICACIN.DatoDefinicin de punto medioDatoDefinicin de rectas perpendiculares.Axioma de identidad.Criterio LAL

AFIRMACIONES

JUSTIFICACIONES

2.- !1 ! !2 1.- dato

3.- AB ! CD 4.- definicin dengulosexternos.

6.- !! 1 !!E

5.- criterio LAL

AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES

4.- !" ! !FC 2.- En un tringuloa ladoscongruentes seoponen nguloscongruentes.

5.-!1 ! !2 3.- Dato.

7.- BD! !EC 6.- Criterio ALA


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Unidad IV ParalelasFigura 18

Pgina 17

a) !!!!!!!!!!!b) !!!!!!!!!!!c) !!!!!!!!!!!d) !!!!!!!!!!!e) !!!!!!!!!!!f) !!!!!!!!!!!g) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!h) !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Figura 19

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x=18Figura 20-27

Pgina 18

Figura 20 x=68, y=37Figura 21 x=26 y= no se puedeFigura 22 no se puedeFigura 23 x=4, y=113Figura 24 x=37, y=38Figura 25 x=100, y=85Figura 26 x=31

Figura 27 x=12, y=10Figura 28-31

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Figura 28 1. Dato2. Teorema de PAI3. ngulos correspondientes entre paralelas son congruentes4. Axioma de Transitividad

Figura 29 1. Dato2. ngulos correspondientes entre paralelas son congruentes3. Dato4. Axioma de Transitividad5. Teorema AIP

Figura 30 1. Dato2. Definicin de bisectrz3. Dato4. Axioma de Transitividad5. Si los ngulos correspondientes son congruentes entonces

las rectas son paralelas


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Parte II

Fig. 45 concntricas, Fig. 46 ajenas, fig. 47 tangentes internas. Fig. 48Secantes,Fig. 49 tangentes externas.Pgina 31

Parte III

1) a 2) b 3)d, 4) b, 5) b, 6) b, 7) bPgina 36

Parte IV1) x= 15, y= 30, 2) x= 100, y= 60 3) x= 20, y= 80 4) x= 40, y= 505) x= 70, y= 125 6) x= 24, y= 136, 7)x=30, y=120, 8) x=72, y=56.5=5630 9) x=37, y=137 10) x=51, y=54 11) x=54, y=62

Unidad VII: POLIGONOS.

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Parte I

a) Polgono, b) Polgono cncavo, c) Polgono convexo, d) Polgono regular, e)Diagonal de un polgono, f) Apotema, g) Radios

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Parte II

1.- a) 2340b) 90

2.- a) nona decgonosb) 18056

3.- a) 23400

b) 3600

4.- 545.- a) 9

b) 12600

c) 3600d) 1400e) 400f) nongonosg) 27

6.- a) 14b) 21600c) 3600d) 1540 17e) 250 42f) tetra decgonosg) 77

7.- a) 3b) 1800

c) 3600d) 600e) 1200f) tringulosg) 0

8.- a) 18b) 28800c) 3600d) 1600e) 200f) octadecagonosg) 144

9.- a) 11b) 16200

c) 3600d) 147016e) 32043f) endecgonosg) 12


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Unidad VIII: SEMEJANZAPgina 39

Parte I

Figuras semejante.-Son aquellas que tienen igual forma, pero distinto tamaoy guardan proporcionalidad entre si.Polgonos semejantes.-Son aquellos que tienen ngulos correspondientes uhomlogos congruentes y lados correspondientes u homlogos proporcionales.Tringulos semejantes.- Dos tringulos son semejantes, si los nguloshomlogos son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales.

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Parte II

x=3, y=6, z=27/4

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Parte III

x=12

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Parte IV

1)AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES

1. MKLM , KLON 1. Datos2. KML y KON son rectos 2. Definicin de rectas

perpendiculares3. KONKML 3. Todos los ngulos rectos son

congruentes4. KK 4. Axioma de identidad

5.$KML%$KON 5. Teorema de semejanza AA

6.MK

KO

LM

ON

6. En tringulos semejantes sus ladoshomlogos son proporcionales

2)AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES1. MKLM , OKON 1. Datos

2. KONyKML son rectos 2. Definicin de rectas perpendiculares

3. KONKML 3. Todos los ngulos rectos soncongruentes

4. OKNMKL 4. Los ngulos opuestos por el vrticeson congruentes

5. !!"# ! !!"# 5.Teorema de semejanza AA


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6.KM

OK

ML

ON

6. En tringulos semejantes sus ladoshomlogos son proporcionales

7. !" ! !" !!"! !" 7. El producto de los extremos es igualal producto de los medios

3)AFIRMACIONES JUSTIFICACIONES

1. ABCD es un trapecio 1. Dato

2. !" ! !" 2. Definicin de trapecio

3. "ABD#"BDF 3. Teorema PAI

4. "EGB#"FGD 4. ngulos opuestos por el vrtice soncongruentes

5. !!"# ! !!"# 5. Teorema de semejanza AA

6.!"

!"!

!"

!" 6. En tringulos semejantes sus lados

homlogos son proporcionales

Unidad IX: AREAS Y VOLUMENES

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Parte I

1. a) 2&-4 b) ! !! !!! !Pgina 44

Parte II

a) 49&-116.2 b) 26&Pgina 44

Parte III

Fig. 71) 360+45&; Fig. 72) 1619.25; Fig. 73) 127.26-15&; Fig. 74) 360+144&.

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