materiais e recursos para xeometría en secundaria
DESCRIPTION
Traballo Fin de Mestrado, do Mestrado Universitario en Profesorado de Educación Secundaria Obrigatoria e Bacharelato, Formación Profesional e Ensino de Idiomas da UDC. Na especialidade de Matemáticas dentro do Itinerario de TecnoloxíaTRANSCRIPT
Materiais e recursos para a ensinanza de xeometría en secundaria
Materiales y recursos para la enseñanza de geometría en secundaria
Materials and resources for teaching geometry at secondary school
Mestrado en Profesorado de Educación Secundaria Obrigatoria e Bacharelato, Formación Profesional e Ensino de Idiomas
Autor: Fortes Novoa, Alberto 44450013Y
Itinerario: Itinerario Tecnoloxía, Especialidade Matemáticas
Titora do TFM: Naya Riveiro, Mª Cristina
Centro das prácticas: IES Agra do Orzán (Dep. Matemáticas)
Data de peche: 10 de xuño de 2014
Este Traballo Fin de Mestrado está publicado baixo a licenza de Creative Commons
Recoñecemento-NonComercial-CompartirIgual 3.0 Unported License.
Agradecementos:
a Cristina Naya, por dirixirme e apoiarme durante todo o proxecto
D�-HV~V�'RQDV�� � � SRU�DFHUFDUPH�iV�DXODV�H�FRQ¿DU�HQ�PLQ
a miña familia, por estar sempre apoiándome e axudándome
Merce, Xesús, Martiño e Brais
a Manchea, por permitirme “cacharrear” coas tipografías
Tono e Laura
aos compañeiros do mestrado, por estar sempre ao lado durante este ano
a todos os amigos e compañeiros polos ánimos e interese mostrado
i
INTRODUCIÓN
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DO PROXECTO
Fundamentación psicolóxica
Fundamentación sociolóxica
Fundamentación pedagóxica
Fundamentación metodolóxica
Fundamentación curricular
DESENVOLVEMENTO DA PROPOSTA
Descrición
;XVWL¿FDFLyQ�H�FRQWH[WXDOL]DFLyQ
Deseño dos obxectivos
Metodoloxía de traballo proposta
Avaliación para a súa aplicación en centros
Valoración da aplicación dos materiais, recursos ou ferramentas
VALORACIÓN PERSOAL E CONCLUSIÓNS
Coñecementos conseguidos nas materias e nas prácticas do Mestrado
Nivel de desenvolvemento persoal das competencias adquiridas
5HÀH[LyQ�¿QDO
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS E RECURSOS DIDÁCTICOS
ANEXOS
3
5
5
6
8
9
11
13
13
15
22
25
34
35
37
37
40
42
43
47
Materiais e recursos para a ensinanza de xeometría en secundaria
1
Índice
A proposta de Traballo Fin de Mestrado a desenvolver é a “Innovación educativa coa elaboración
GH�PDWHULDLV� GLGiFWLFRV´�� TXH� FRQVLVWH� QD� LQFOXVLyQ� GH�PDWHULDLV� GLGiFWLFRV� HVSHFt¿FRV� QD�
metodoloxía da ensinanza de xeometría plana e espacial.
$�XWLOL]DFLyQ�GH�PDWHULDLV�H�UHFXUVRV�GLGiFWLFRV�QRQ�p�VX¿FLHQWH�SDUD�SURGXFLU�XQKD�YHUGDGHLUD�
innovación. Por eso é necesario utilizar unha metodoloxía diferente na que incorporar os
materiais e recursos, sendo o alumnado o creador do seu propio coñecemento. Esto permitirá
que o alumnado teña maior interese pola materia e polos conceptos a desenvolver, sendo os
contidos traballados desde unha perspectiva cercana a realidade e a través dun proceso no
que eles poden manipular e percibir as pezas xeométricas.
O Traballo de Fin de Mestrado organízase en tres partes: fundamentación teórica da proposta,
desenvolvemento da proposta e a valoración persoal.
No primeiro apartado recóllense os aspectos psicolóxicos, sociolóxicos, pedagóxicos,
metodolóxicos e curriculares que corresponderían ao alumnado adolescente co que
traballaremos e a súa relación coa metodoloxía para impartir a xeometría.
O segundo desenvolve a proposta na que se traballará desde un novo plantexamento
metodolóxico, no que o alumnado sexa o que realmente dirixa o seu propio coñecemento a
través das diferentes actividades que se farán na aula. As actividades incorporan os diferentes
materiais e recursos, buscando que o alumnado unicamente se limite a copiar e memorizar,
senón que sexa a través dunha interacción maior cos materiais, para favorecer a comprensión
GRV�FRQFHSWRV�H�SRGHU�DOFDQ]DU�XQKD�DSUHQGL]D[H�VLJQL¿FDWLYD�
Finalmente faise unha valoración persoal sobre as competencias e os coñecementos
DGTXLULGRV�DR� ORQJR�GR�PHVWUDGR�[XQWR�FRDV�FRQFOXVLyQV�¿QDLV�REWLGDV� ORJR�GH�WHU� WRPDGR�
contacto coa docencia durante o último ano.
Dada a experiencia das prácticas, e máis concretamente o traballo desenvolvido no IES
Agra so Orzán co alumnado de 3º da ESO, puidemos comprobar o interese que demostraba
INTRODUCIÓN
3
Introdución
o alumnado cara os novos materiais ou recursos didácticos que se utilizaban na aula. A
SRVLELOLGDGH�GH�LQWURGXFLU�D�XQLGDGH�GH�FRUSRV�[HRPpWULFRV�OHYDQGR�i�DXOD�GLIHUHQWHV�¿JXUDV��
SHUPLWtXQRV�DFDGDU�XQ�PDLRU�LQWHUHVH�FDUD�DV�¿JXUDV�TXH�VHUYtDQ�GH�H[HPSOR��
'HVSRLV�GH�UHDOL]DU�DV�SUiFWLFDV��DV�LQTXHGDQ]DV�H�R�LQWHUHVH�PRVWUDGR�SROR�HVWXGDQWDGR�¿[R�
que utilizaramos unha nova metodoloxía de traballo na aula na que os obxectivos se puideran
acadar a través da manipulación dos recursos polo alumnado.
Nunha materia como a de Matemáticas na que a maioría dos conceptos cos que se traballan
son moi abstractos para o alumnado de secundaria, a xeometría é unha das ramas da
matemática que máis relación ten coa realidade na que viven os rapaces.
Baseándose na metodoloxía construtivista, na que o alumnado é o creador do seu propio
coñecemento, incorpóranse ao apartado de xeometría materiais e recursos que permite que o
alumnado poida manipulalos e traballar con eles buscando unha maior relación coa realidade,
axudando e favorecendo a comprensión dos conceptos que se traballan cremos que se pode
DOFDQ]DU�PHOORU�XQKD�DSUHQGL]D[H�VLJQL¿FDWLYD�
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
4
O traballo busca a adaptación e implantación de materiais e recursos didácticos na aula
de matemáticas da educación secundaria para traballar a xeometría, a plana e a espacial,
EXVFDQGR� XQKD� DSUHQGL]D[H� VLJQL¿FDWLYD� H� FRRSHUDWLYD�� SDUWLQGR� GXQ� DQiOLVH� H� HVWXGR� GR�
contexto seguindo o enfoque psicolóxico, sociolóxico, pedagóxico, metodolóxico e curricular
do alumnado que cursa secundaria.
Fundamentación psicolóxica
A proposta educativa está desenvolvida para o alumnado da ESO, con idades comprendidas
entre os 12 e os 16 anos.
A educación secundaria obrigatoria, segundo o Decreto 133/2007 polo que se regulan as
ensinanzas da educación secundaria obrigatoria na Comunidade Autónoma de Galicia, é
“unha etapa importante e complexa no referente a cambios, adaptacións e transformacións,
WDQWR�QRV�DVSHFWRV�¿VLROy[LFRV�FRPD�QRV�SVLFROy[LFRV�H�HPRFLRQDLV�TXH�FRQ¿JXUDQ�R�SURFHVR�
de maduración das persoas”. (p. 55)
7DO�FRPR�D¿UPD�3DODFLRV���������D�SHVDUHV�GH�TXH�R�GHVHQYROYHPHQWR�GR�DOXPQDGR�QRQ�p�
igual en todas as nenas e nenos, estes irán sendo capaces de formular preguntas e hipóteses,
GH�GHVHQYROYHU� DFFLyQV�H� DQDOL]DU� RV� UHVXOWDGRV�REWLGRV�� SRGHQGR� WUDEDOODU� FRQ�GLIHUHQWHV�
retos que eles poidan enfrontar e resolver. O alumnado poderá desenvolver un razoamento
lóxico e conceptual a través da percepción e da manipulación.
A adolescencia é a etapa de transición entre o feito de ser neno a ser adulto, e desenvólvese
desde os 12 ata os 19 anos. Neste período prodúcense múltiples cambios físicos, debido á
SXEHUGDGH�H�DV�FRQVHFXHQFLDV�TXH�VH�GHULYDQ�QD�SVLFROR[tD�GR�DGROHVFHQWH��PDQLIHVWiQGRVH�
importantes diferenzas no desenvolvemento.
Ademais segundo a interpretación de Carretero e León (1990) o desenvolvemento cognitivo
e aprendizaxe na adolescencia da teoría de Inhelder e Piaget (1955), caracterízase pola
posibilidade de adquisición dun novo estadio das operacións formais, que será un elemento
FHQWUDO�SDUD�D�LQWHOL[HQFLD�DGXOWD��(VWH�HVWDGLR�p�R�¿QDO�GR�GHVHQYROYHPHQWR�FRJQLWLYR��SDUD�D�
FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA DO PROXECTO
5
Fundamentación teórica do proxecto
teoría piagetiana, e marca a consecución da maduración cognitiva.
O estadio das operacións formais presentan unhas características estruturais e funcionais.
As estruturais fan referencia á consolidación de estruturas lóxicas máis elaboradas que
as das operacións concretas. E as funcionais son tres: a realidade pasa a ser concibida
como un subconxunto do posible, o carácter hipotético-dedutivo, e o carácter proposicional.
Estas características permiten novas posibilidades de intervención didáctica na secundaria,
propoñéndolle retos e problemas que intenten resolver tendo como referencia a realidade,
pero a vez podéndose abstraer dela desenvolvendo hipóteses e analizando os resultados. Un
dos feitos é que neste estadio, o individuo utiliza as proposicións verbais para desenvolver os
seus razoamentos e explicar o que está a desenvolver.
Os mesmos autores manifestan que non todo o alumnado nos centros mostra o mesmo nivel
de desenvolvemento cognitivo, co que podemos atopármonos na aula con alumnado que
DtQGD�QRQ�DFDGRX�D�HVWUXWXUD�FRJQLWLYD�GDV�RSHUDFLyQV�IRUPDLV��QRQ�VHQGR�SRU�WDQWR�TXHQ�GH�
manexar conceptos abstractos e resolver problemas complexos, contradicindo a concepción
previa dos fenómenos analizados. Estamos ante o estadio no que posteriormente, no mellor
dos casos, se encontrará a poboación adulta, polo que temos que, coa introdución de casos
concretos, permitir ao alumnado abstraer os conceptos e poder desenvolver unha nova
aprendizaxe.
Para poder traballar neste período, no proxecto proponse a utilización de materiais e recursos
que lle posibiliten ao alumnado elaborar hipóteses e intentar investigar se os resultados
referendan ou refutan as hipóteses formuladas.
Fundamentación sociolóxica
Durante a adolescencia prodúcese unha evolución das relacións sociais existentes ata este
momento. Segundo Fierro (1990), nun primeiro momento o grupo referente do neno é a familia,
a continuación coa entrada na escola incorpórase a un segundo grupo de interacción, e coa
chegada da adolescencia os espazos de relación expándense, debilitándose a referencia da
familia. E neste momento no que o individuo adquire e desenvolve a personalidade e busca
unha certa autonomía persoal.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
6
A relación e os lazos que se establecen co grupo de iguais xera unha conciencia de grupo e
RUJDQL]DFLyQ�LQWHUQD��GH¿QLQGR�UROHV�H�GHVHQYROYHQGR�D�SHUVRQDOLGDGH�SURSLD�H�RV�YDORUHV�FRV�
que contará a persoa.
Seguindo a Delval (2002), outro dos aspectos a ter en conta é a introdución da escola na
sociedade, xerando unha escola máis democrática na que os vínculos entre o que ocorre
dentro e fóra da escola sexa máis forte. Para que isto ocorra deberiamos introducir nas escolas
os problemas cotiáns que se dan no día a día, como material sobre o que traballar no centro e
a partir do cal poder aprender, converténdose nunha entidade activa na sociedade de barrio,
sendo á vez un centro social para a toda comunidade. Isto permitirá que estas relacións e
DVLPLODFLyQ�GH�FRQFHSWRV�SRLGDQ�D�D[XGDU�D�FRQVWUXtU�XQKD�FLGDGDQtD�FUtWLFD�H�TXH�UHÀH[LRQD�
sobre as accións que estea a desenvolver.
1HVWD�OLxD��D�/HL�2UJiQLFD���������GH���GH�PDLR��GH�(GXFDFLyQ��QR�VHX�SUHiPEXOR�GL��
“As sociedades actuais conceden gran importancia á educación que reciben os seus mozos,
na convicción de que dela dependen tanto o benestar individual como o colectivo. [...] Para a
sociedade, a educación é o medio de transmitir e, ao mesmo tempo, de renovar a cultura e o
acervo de coñecementos e valores que a sustentan, de extraer as máximas posibilidades das
súas fontes de riqueza, de fomentar a convivencia democrática e o respecto ás diferenzas
individuais, de promover a solidariedade e evitar a discriminación, co obxectivo fundamental
de lograr a necesaria cohesión social. Ademais, a educación é o medio máis adecuado
para garantir o exercicio da cidadanía democrática, responsable, libre e crítica, que resulta
indispensable para a constitución de sociedades avanzadas, dinámicas e xustas. Por ese
motivo, unha boa educación é a maior riqueza e o principal recurso dun país e dos seus
cidadáns.” (p. 17158)
O que demostra que a ensinanza está encamiñada á busca dunha sociedade que dea resposta
tanto ao benestar colectivo coma ao individual, e a obter unha cidadanía que estea implicada
nos problemas globais e poida participar aportando solucións.
Asemade, no currículo de Matemáticas da ESO, recollido no Decreto 133/2007 polo que se
regulan as ensinanzas da educación secundaria obrigatoria na Comunidade Autónoma de
*DOLFLD��DSDUHFH�UHÀHFWLGD�D�UHODFLyQ�TXH�GHEHUtD�KDEHU�HQWUH�D�HVFROD�H�D�VRFLHGDGH��
7
Fundamentación teórica do proxecto
“A selección de materiais, os espazos, os medios, os agrupamentos, etc. son os recursos
que utiliza o profesorado para lograr un contorno de aprendizaxe que se adapte ao colectivo
de estudantes ao que desexa ensinar, sen perder de vista os obxectivos e as competencias
básicas que se deben acadar na etapa.” (p. 292)
Isto danos pé a introducir algún dos termos matemáticos relacionados coa xeometría, podendo
DQDOL]DU�D�IRUPD�GD�FLGDGH��GRV�HGL¿FLRV�RX�GDV�HVFXOWXUDV�TXH�HVWiQ�QD�FRQWRUQD�GR�FHQWUR�
No caso do noso proxecto pretendemos que moitas das accións desenvolvidas na aula poidan
ORJR� VHUYLU� i� FRPXQLGDGH�SUy[LPD�DR� FHQWUR��PRVWUDQGR�DV�GLIHUHQWHV� ¿JXUDV� [HRPpWULFDV�
desenvolvidas e tamén poder facer un recorrido polos diferentes espazos do barrio para
DQDOL]DU�TXH�¿JXUDV�SODQDV�H�FRUSRV�[HRPpWULFRV�GHVFREUHQ�D�WUDYpV�GH�LPD[HV�RX�YtGHRV��
feitos a través de cámaras ou móbiles. Esta relación permitirá que o traballo non se quede
unicamente na aula, podendo xerar debate nas casas do alumnado e no barrio, sendo o
propio alumnado o protagonista.
Fundamentación pedagóxica
A proposta didáctica está enfocada desde unha concepción construtivista da aprendizaxe, tal
e como recollen Martínez e Rivaya (1989) na que mediante o seu traballo o alumnado debe
VHU�R�FUHDGRU�GD�SURSLD�DSUHQGL]D[H��VHQGR�R�SURIHVRU�R�JXtD�RX�RULHQWDGRU�TXH�HQFDPLxD�R�
transcurso da clase. A aprendizaxe prodúcese cando o alumnado chega ao descubrimento a
través de múltiples experimentacións, co apoio de bibliografía e materiais adecuados. Para
que o coñecemento sexa permanente deben ser os nenos os que o constrúan dun xeito
DFWLYR��;RUGH�DVt�XQ�PRGHOR�SHGDJy[LFR�GLIHUHQWH�DR�WUDGLFLRQDO�RQGH�R�SURIHVRU�HUD�D�¿JXUD�
que transmitía os coñecementos, provocando ás veces falta de motivación no seu alummado.
6HJXQGR�UHFROOH�$]FiUDWH���������D�DSUHQGL]D[H�VLJQL¿FDWLYD�GHEH�SRVXtU�XQ�FRQWLGR�TXH�VH[D�
SRWHQFLDOPHQWH� VLJQL¿FDWLYR�H� WHU�HQ�FRQWD�D�DVLPLODFLyQ�GHVGH�DV�HVWUXWXUDV�GR� LQGLYLGXR��
podendo relacionarse cos coñecementos adquiridos anteriormente. E ademais a aprendizaxe
debe ter un carácter funcional, podendo ser utilizado polo alumno nunha contorna próxima e
que poida estar relacionada cos problemas reais podendo a partires destes xeneralizar.
'HVpxDQVH�FRQWRUQDV�VRFLDLV�GH�DSUHQGL]D[H�H�DOIDEHWL]DFLyQ�PDWHPiWLFD��FUHDQGR�XQ�HVSD]R�
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
8
estimulador, emocionante e complexo. Para o seu desenvolvemento será o docente o que
introduza situacións que creen problemas, organice o grupo, documenta o que se está a
facer na aula e institucionaliza o saber. Neste momento a introdución de recursos e materiais
educativos servirá para que o alumnado poida construír o seu propio coñecemento.
Seguindo a Fathman e Kessler (1993), ademais introduciremos o aprendizaxe cooperativo
como o traballo en grupo que se estrutura para que todo o alumnado interactúe, intercambie
información e poida ser avaliado polo seu traballo. Esta aprendizaxe entronca coa aprendizaxe
construtivista, tal como escriben Ariza e Trujillo (2006), caracterizándose polo tamaño, a
composición dos grupos, os seus obxectivos, funcionamento e normas.
Asemade utilizaremos o Modelo de van Hiele, explicado por Guillén, et al. (1992), é unha
teoría de ensinanza e modelo de aprendizaxe da xeometría, deseñado polo matrimonio Hiele,
que foron profesores de xeometría en Holanda. O modelo trata de describir as formas de
razoamento dos estudantes de xeometría, estruturándoas en cinco niveis de razoamento
�UHFRxHFHPHQWR��DQiOLVH��FODVL¿FDFLyQ��GHGXFLyQ�H�ULJRU��H[LVWLQGR�FLQFR�IDVHV�TXH�RUJDQL]DQ�
a ensinanza para pasar dun nivel a outro (información, orientación dirixida, explicitación,
orientación libre e integración). As principais características dos niveis de razoamento son: a
UHFXUVLYLGDGH��RV�UD]RDPHQWR�LPSOtFLWRV�QXQ�QLYHO�DQWHULRU�IDQVH�H[SOtFLWRV�QR�QLYHO�VHJXLQWH��D�
VHFXHQFLDOLGDGH��QRQ�p�SRVLEOH�DOWHUQDU�D�RUGH�GH�DGTXLVLFLyQ�GRV�QLYHLV��D�HVSHFL¿FLGDGH�GD�
OLQJXD[H��FDGD�QLYHO�FRQWD�FXQKD�OLQJXD[H�GHWHUPLQDGD��H�D�FRQWLQXLGDGH��TXH�HVSHFL¿FD�TXH�
o paso de nivel realízase de forma pausada.
Para o desenvolvemento da proposta, intentaremos traballar os niveis 2 (análise) e 3
�FODVL¿FDFLyQ��GH�9DQ�+LHOH��TXH�VRQ�RV�GH�DQiOLVH�H�FODVL¿FDFLyQ��LQFRUSRUDQGR�i�DSUHQGL]D[H�
cooperativa na que se resaltará o traballo en grupo para a obtención dunha aprendizaxe
VLJQL¿FDWLYD�
Fundamentación metodolóxica
Segundo Guillén et al. (1992), o modelo de Van Hiele utiliza nos seus tres primeiros niveis,
unha ensinanza activa partindo da manipulación polo alumnado de recursos e material
GLGiFWLFR��D�FRQVWUXFLyQ�H�R�GHEX[R�GDV�¿JXUDV�[HRPpWULFDV������XWLOL]DQGR�XQ�PpWRGR�QR�TXH�
9
Fundamentación teórica do proxecto
o alumnado chega ao coñecemento a través do descubrimento e análise das situacións coas
que se encontra.
Ademáis a psicomotricidade é un ferramenta que se debería seguir utilizando na secundaria
FRPR�D¿UPDQ�0DUWtQH]�H�5LYD\D��������
“Neste ciclo a psicomotricidade xa non xoga un papel tan determinante como nos anteriores.
Os nosos alumnos xa están nun estadio cognitivo no que a percepción vivida do espazo abrea
a posibilidade de contextualizalo, de recoñecer a súa organización, de establecer relacións
entre as súas partes e analizalas, etc.
Pese ao anterior non renunciamos á actividade psicomotriz neste ciclo polas razóns que
expoñemos a continuación:
- A experiencia espacial vivida polos alumnos adoita ser moi pobre, e carécese de
consciencia acerca dela.
- A posibilidade que da unha sesión de psicomotricidade para rachar con timideces,
establecer vínculos afectivos e novos modos de comunicación, resultan inestimables á
KRUD�GH�FRQ¿JXUDU�XQ�DPELHQWH�UHOD[DGR�H�FUHDWLYR�´�S�����
Segundo Freudenthal (1973):
“A xeometría só pode ser sentida se explota a súa relación co espazo vivenciado. Se o
educador elude este deber, desperdicia unha ocasión irrecuperable. A xeometría é unha das
mellores oportunidades que existen para aprender a matematizar a realidade. É unha ocasión
única para facer descubrimentos. Os descubrimentos realizados por un mesmo, coas propias
mans e cos propios ollos, son máis convincentes e sorprendentes. Ata que dalgunha forma se
SRLGD�SUHVFLQGLU�GHODV��DV�¿JXUDV�HVSDFLDLV�VRQ�XQKD�JXtD�LQGLVSHQVDEOH�FDUD�i�LQYHVWLJDFLyQ�
e o descubrimento.” (p. 406)
Ante a posibilidade de que con pequenas accións realizadas na aula o alumnado poida realizar
R�PDWHULDO�GLGiFWLFR��SHUPLWH�D�DGTXLVLFLyQ�GH�QRYRV�FRxHFHPHQWRV�TXH�D[XGHQ�D�D¿DQ]DU�D�
construcción mental dos coceptos.
Villarroya (1994) dinos que os materiais deben ser transportables, que poidan ser fáciles
de levar, os materiais deberían ser limpos e dun custo reducido, a non ser que poidan ser
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
10
usados moitas veces. É importante que estes materiais permitan crear na clase diferentes
VLWXDFLyQV�QDV�TXH�R�DOXPQDGR�GHEHUi�LQWHUDFFLRQDU��DGHPiLV�FRPR�D¿UPDQ�$OVLQD��%XUJXpV�
e Fortuny, (1998): “O material didáctico, xoga un papel fundamental na ensinanza-aprendizaxe
da Xeometría. A súa correcta utilización constitúe unha importante baza na adquisición de
conceptos, relacións e métodos xeométricos xa que posibilita unha ensinanza activa de
acordo coa evolución intelectual do alumno.” (p. 16)
Utilizando todas estas referencias o proxecto traballa cos recursos e materiais educativos
na aula, na busca dunha maior interacción co alumnado, dun interese pola metodoloxía
empregada e polos conceptos que irán descubrindo na interacción cos materiais.
Fundamentación curricular
A ensinanza das matemáticas esta rexida por distintas normativas desde a UE, o estado e as
comunidades autónomas.
Dentro da Recomendación do Parlamento Europeo e do Consello do 18 de decembro de 2006
sobre as competencias clave para a aprendizaxe permanente aparece recollida a competencia
PDWHPiWLFD� H� FRPSHWHQFLDV� EiVLFDV� HQ� FLHQFLD� H� WHFQROR[tD�� GHItQHVH� HVSHFL¿FDPHQWH� D�
competencia matemática como:
³$�KDELOLGDGH�SDUD�GHVHQYROYHU�H�DSOLFDU�R�UD]RDPHQWR�PDWHPiWLFR�FR�¿Q�GH�UHVROYHU�GLYHUVRV�
problemas en situacións cotiás. Baseándose nun bo dominio do cálculo, o énfase sitúase no
proceso e a actividade, aínda que tamén nos coñecementos. A competencia matemática entraña,
en distintos graos, a capacidade e a vontade de utilizar modos matemáticos de pensamento
�SHQVDPHQWR�Oy[LFR�H�HVSDFLDO��H�UHSUHVHQWDFLyQ��IyUPXODV��PRGHORV��FRQVWUXFLyQV��JUi¿FRV�H�
diagramas).” (p. 15)
Sendo un paso clave para o desenvolvemento det al. competencias, e traballada desde
diferentes materias e non unicamente desde a materia de matemáticas.
A normativa estatal e autonómica réxense polo mesmo criterio, sendo en moitos aspectos
idénticas, pero separando a Educación Secundaria Obrigatoria e o Bacharelato. Dentro da
(62��DSDUHFHQ��QR�$QH[R�,�GR�'HFUHWR�����������DV�RLWR�FRPSHWHQFLD�EiVLFDV�TXH�VH�GH¿QHQ�
como: “a capacidade de pór en práctica de forma integrada, en contextos e situacións diversos,
11
Fundamentación teórica do proxecto
os coñecementos, as habilidades e as actitudes persoais adquiridas.” (p.39). Dentro desas
competencias básicas encóntrase a competencia matemática que:
“Consiste na habilidade para utilizar e relacionar os números, as súas operacións básicas, os
símbolos e as formas de expresión e razoamento matemático, tanto para producir e interpretar
distintos tipos de información como para ampliar o coñecemento sobre aspectos cuantitativos
e espaciais da realidade, e para resolver problemas relacionados coa vida cotiá e co mundo
laboral.” (p. 43)
Sendo considerado tamén o manexo e coñecementos dos elementos xeométricos, para
a resolución de problemas ou interpretación de enunciados. O traballo na obtención das
competencias básicas será fundamental para poder ter as capacidades para o desenvolvemento
dunha aprendizaxe permanente ao longo da vida.
Ademais as diferentes materias son un medio para poder chegar a conseguir todas as
competencias básicas, así por exemplo a materia de matemáticas debería traballar máis
competencias ademais da competencia matemática e reforzar o traballo que se desenvolve
QRXWUDV�PDWHULDV�� GR�PHVPR�PRGR� TXH� D� FRPSHWHQFLD� PDWHPiWLFD� QRQ� VHUi� XQLFDPHQWH�
traballada na materia de matemáticas.
Traballando a xeometría a través de materiais e recursos didácticos, pódense enlazar e
FRQHFWDU�FRQFHSWRV�PDWHPiWLFRV�FRQ�RXWUDV�UDPDV��SRGHQGR�WUDEDOODU�D�WUDYpV�GHOHV�RXWUDV�
competencias.
2�¿Q�GD�(62�VHJXQGR�R�'HFUHWR����������p�³ORJUDU�TXH�R�DOXPQDGR�DGTXLUD�RV�HOHPHQWRV�
EiVLFRV�GD�FXOWXUD��HVSHFLDOPHQWH�HQ�DVSHFWRV�KXPDQtVWLFR��DUWtVWLFR��FLHQWt¿FR�H�WHFQROy[LFR´�
(p.17), feito que co desenvolvemento da proposta didáctica se traballarán todos eses ámbitos.
Por último, a proposta didáctica segue os elementos curriculares marcados no Decreto
133/2007, como son: as competencias básicas, os obxectivos (xerais e de área), os contidos
e os criterios de avaliación.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
12
Descrición
A proposta de Traballo Fin de Mestrado é a innovación educativa na elaboración de materiais
GLGiFWLFRV�HVSHFt¿FRV�SDUD�D�V~D�XWLOL]DFLyQ��QDV�DXODV�GH�PDWHPiWLFDV�GH�VHFXQGDULD��QD�
ensinanza de xeometría plana e espacial, durante o curso 2014-2015 no centro IES Agra do
Orzán.
O traballo pretende utilizar materiais e recursos que na actualidade parece que non se
usan tanto na aula como se debería, e que permitindo que o alumnado poida manipular e
LQWHUDFFLRQDU�FRQ�HOHV��EXVFDQGR�GH¿QLU�H�FRPSUHQGHU�UHJUDV�H�WHRUHPDV�TXH�VH�FXPSUDQ�QDV�
diferentes situacións que se están a traballar.
Entre os materiais e recursos didácticos que utilizaremos para traballar a xeometría está: o
WDQJUDP��RV�PRVDLFRV��R�[HRSODQR��[HRPHWUtD�SODQD���D�SDSLURÀH[LD��RV�SROLHGURV�H�RV�VyOLGRV��
o omnipoliedro, a tensegridade e un software de xeometría dinámica como podería ser o
GeoGebra. A continuación faremos unha breve explicación de todos estes materiais que se
utilizarán no desenvolvemento do proxecto, utilizando como base o artigo de Ruiz (2010).
DESENVOLVEMENTO DA PROPOSTA
Tangram
O tangram é un xogo chino que conta con 7 pezas xeométricas (5
triángulos de 3 tamaños diferentes, un cadrado e un romboide),
que se obteñen de dividir un cadrado. O xogo serve para construír
GLIHUHQWHV�¿JXUDV�FRPD�VH�IRUD�XQ�SX]]OH�
A construción do noso tangram é moi sinxelo, utilizando o modelo
H�XQ�PDWHULDO�IiFLO�GH�UHFRUWDU�H�R�VX¿FLHQWHPHQWH�GXUDGHLUR�
Mosaicos
Os mosaicos son os recubrimentos do plano mediante as
teselas, que son pezas que se superpoñen e non deixan espazos
baleiros. Os mosaicos poden ser regulares, semirregulares, non
uniformes e semirregulares.
Fonte: Fco. Docampo
Fonte: liquidslave
13
Desenvolvemento da proposta
Para a súa utilización na aula podemos utilizar o deseño dos
azulexos que existen nas vivendas modernistas ou os mosaicos
de Escher.
Xeoplano
É un cadrado onde se dispón dunha serie de puntos repartidos
de maneira regular. Os xeoplanos poden ser cuadrangulares
triangulares e circulares, en función da colocación dos puntos.
A construción do xeoplano é sinxelo, neceitando unicamenre
unha táboa de cortiza ou madeira e unha trama onde colocar
puntas ou chinchetas nos que colocar as gomas.
3DSLURÀH[LD�RX�RULJDPL
$�SDSLURÀH[LD�RX�GREUDGR�GH�SDSHO�p�XQ�UHFXUVR�EDUDWR�TXH�SHUPLWH�
comprender conceptos xeométricos básicos e desenvolver
¿JXUDV�[HRPpWULFDV�PiLV�FRPSOH[DV�H�SRGHU�YLVXDOL]DU�FRUSRV�
tridimensionais.
3DUD�D�HODERUDFLyQ�GDV�¿JXUDV�GH�SDSLURÀH[LD�p�QHFHVDULR�XQ�
análise previo e imaxinación, e se potencia o desenvolvemento
de estratexias de resolución de problemas.
Poliedros e sólidos
Na actualidade existen unha gran variedade de materiais de
construción que se poden utilizar para o estudio da xeometría
tridimensional, como pode ser o Geomag ou o Polidrón.
A través da súa contrución pódese analizar a forma e o volume
podendo encher os sólidos con area ou auga.
Omnipoliedro
O omnipoliedro é o composición dos armazóns dos cinco sólidos
platónicos de forma que cada un está inscrito no seguinte.
Fonte: annielogue
Fonte: etringita
Fonte: aldoaldoz
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
14
2� FRQVWUXtU� D� ¿JXUD� UHVDOWDPRV� DV� UHODFLyQV� QXPpULFDV� H�
xeométricas que se establecen entre os cinco poliedros. A súa
construción non é complexa e permitirá que se dea un traballo
colaborativo.
Tensegridade
A través da tensegridade que é un principio estrutural no que
se separan os elementos comprimidos (barras) dos elementos
WUDFFLRQDGRV��FDEOHV���SyGHQVH�[HUDU��¿JXUDV�WULGLPHQVLRQDLV�H�
analizar as súas propiedades.
Para a súa construción so é necesario usar como barras,
elementos de madeiras, e como elemento traccionado, gomas
elásticas, cos que crearemos a nosa estrutura autoportante.
6RIWZDUH�GH�[HRPHWUtD�GLQiPLFD
Na era das novas tecnoloxías existen múltiples programas que
permiten introducir a xeometría nas aulas de matemáticas a
través dos ordenadores e a interacción do alumnado con eles,
cambiando as formas e as propiedades.
Algún deses programas son o GeoGebra ou o CaRMetal, nos
que podemos interaccionar e poder desenvolver e solucionar
algúns dos problemas.
;XVWL¿FDFLyQ�H�FRQWH[WXDOL]DFLyQ
Introdución
Dentro das diferentes programación da materia de matemáticas nos diferentes cursos da ESO,
H[LVWH�XQ�EORTXH�HVSHFt¿FR�GHGLFDGR�D�[HRPHWUtD��VHQGR�QR�SULPHLUR�FXUVR�XQ�UHSDVR�VREUH�
os contidos traballados durante a primaria ata o traballo con triángulos que se desenvolve no
último curso da secundaria.
A xeometría, como din Alsina, Fortuny e Pérez (1997), inclúe diferentes aspectos: a ciencia do
Fonte: elsordotic
Fonte: creación propia
Fonte: Fergus Jones
15
Desenvolvemento da proposta
espazo, o método para ver conceptos e procesos matemáticos, e ademais e a unión da teoría
e o modelo. E será necesario que no proceso de ensinanza se faga incidencia en todas elas,
agora que a xeometría recuperou o interese dentro da materia de Matemáticas.
A ensinanza de matemáticas debe incluír de maneira imprescindible unha cultura xeométrica,
que permita adquirir unhas habilidades, un vocabulario adecuada, unha visión global das
aplicacións xeométricas e un razoamento no que se recolla a utilidade e a beleza da xeometría.
Enfoque didáctico da proposta
&RPR� VH� D¿UPRX� DQWHULRUPHQWH� H� FRPR� UHFROOHQ�$OVLQD� HW� DO�� ������� VREUH� R� PRGHOR� GH�
aprendizaxe Van Hiele, consideramos que o alumnado de secundaria estaría entre o nivel 2 (o
DOXPQDGR�p�FDSD]�GH�DQDOL]DU�DV�SDUWHV�H�DV�SURSLHGDGHV�GDV�¿JXUDV��H�R�QLYHO����R�DOXPQDGR�
GHWHUPLQD�DV�¿JXUDV�SRODV�V~DV�SURSLHGDGHV��QD�EXVFD�GH�DOFDQ]DU�R�VHJXLQWH�QLYHO��QD�TXH�
os alumnado é capaz de desenvolver secuencias de proposicións para deducir propiedades.
O noso obxectivo e ir avanzando polas diferentes fases de aprendizaxe xeométrico, que son:
1. Información, na que se busca relacionar os novos coñecementos cos coñecementos
adquiridos polo alumnado.
2. 2ULHQWDFLyQ�GLUL[LGD, na que o profesor propón unha serie de exercicios para explorar
os novos coñecementos.
3.�([SOLFLWDFLyQ, presentación dos resultados obtidos polo alumnado nas súas
investigacións.
4. Orientación libre, cos coñecementos adquiridos os estudantes aplícanos a outras
situacións distintas, pero con estrutura semellante.
5. Integración��RV�RE[HFWRV�H�DV�UHODFLyQV�XQL¿FDGDV�H�LQWHULRUL]DGDV�QR�FRxHFHPHQWR�
No seguinte cadro basado nun proposto por Alsina, Burgués e Fortuny (1988) exemplifícase
a relación entre os distintos niveis e as fases, coas transformacións que se producen no
aprendizaxe da Xeometría.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
16
Outros dos procedementos importantes a desenvolver son actividades que promovan unha
visión espacial, sendo moi importate a utilización de material manipulativo que permita poder
ver todas as caras e poder mellorar a visión espacial e describir os diferentes tipos de vistas
dos obxectos xeométricos.
;XVWL¿FDFLyQ�QD�SURJUDPDFLyQ�GH�0DWHPiWLFDV
Dentro das programacións do centro das materias de matemáticas en secundaria, o bloque
de Xeometría é un bloque que se sitúa entre os bloques de Álxebra e o de Representación
GH�IXQFLyQV��6H�GHVHQYROYHUi�D�¿QDLV�GR�VHJXQGR�WULPHVWUH�WHQGR�DGTXLULGRV�RV�FRxHFHPHQWR�
necesarios de álxebra para o cálculo de áreas e volumes, resolución de triángulos, ...
Fases
Niveis
0.
Recoñecemento
1. Análise ���&ODVL¿FDFLyQ 3. Dedución 4. Rigor
1. Información Comparar as
accións de
deslizar, xirar
e saltar cos
movementos de
translación, de
rotación e de
UHÀH[LyQ�
Comparar por
exemplo: a idea
de mediatriz
coa de eixo de
simetría.
Relacionar as
accións de xirar
e trasladar coas
de doblar.
Relacionar
o cambio de
posición dunha
¿JXUD�FRD�V~D�superposición
mediante
dobleces
sucesivas.
Relacionar a
regularidade coa
importancia
2. Orientación
dirixida
Trasladar, xirar e
simetrizar unha
¿JXUD�
Encontrar as
propiedades
comúns dos
puntos que se
obteñen ao
transformar un
punto dado.
Efectuar
diferentes
composicións de
UHÀH[LyQV�
Efectúa
composicións de
��UHÀH[LyQV
,GHQWL¿FDU�todas as
transformacións
que deixan
invariantes a
XQKD�¿JXUD�
3. Explicitación Explicitar todas
as posibilidades
de trasladar,
xirar ou
simetrizar unha
¿JXUD�
Encontrar todos
os elementos de
simetría dunha
¿JXUD�
Explicitar todas
as posibilidades
de compoñer 2
UHÀH[LyQV�
Explicitar todas
as posibilidades
de compoñeer 3
UHÀH[LyQV�
Explicitar
a estrutura
de grupo de
simetría.
4. Orientación
libre
Resolver un
problema polo
método das
transformacións
xeométricas.
Descubrir os
elementos
contituíntes
GXQKD�¿JXUD�que se conserve
ao efectuar
transformacións
xeométricas
Dado un xiro ou
unha translación
encontrar
os eixos de
UHÀH[LyQ�TXH�RV�descompoñen.
Dadas 2
posicións dunha
¿JXUD��HQFRQWUDU�a composición
GH�UHÀH[LyQV�que transforma
unha posición
ou outra.
Encontrar a
¿JXUD�GDGR�R�seu grupo de
simetría.
5. Integración 'H¿QLFLyQV�dos elementos
básicos das
transformacións
xeométricas.
Enunciar a
noción xeneral
de propiedades
invariantes.
Estudio da
composición
xeral de 2
UHÀH[LyQV�
Estudio da
xeración de
calquera
isometría como
produto de
UHÀH[LyQV�
&ODVL¿FDFLyQ�e teoría de
grupos.
17
Desenvolvemento da proposta
É necesario adquirir os coñecementos de xeometría dun curso para poder entender e
aproveitar o seguinte curso, tendo como coñecementos previos os contidos do curso anterior.
Moitos dos conceptos traballados no bloque de xeometría utilizaranse en outras materias
FRPR�SRGH�VHU�(GXFDFLyQ�3OiVWLFD�H�9LVXDO��&LHQFLDV�GD�QDWXUH]D�RX�7HFQROR[tDV��SROR�TXH�p�
importante empezar a falar de xeometría desde o primeiro curso de secundaria.
Contextualización no centro IES Agra do Orzán
O traballo de innovación en materiais e recursos educativos está elaborado para os grupos de
Secundaria do centro IES Agra do Orzán.
O centro encóntranse na rúa Alcalde Liñares Flores s/n da cidade da Coruña, xunto ao
complexo municipal do centro cívico do Ágora e a piscina municipal do Agra do Orzán. O
LQVWLWXWR�IXQFLRQD�GHVGH�R�DQR������DtQGD�TXH�DQWHV�[D�R�¿[HUD�FRPR�VHFFLyQ�GHOHJDGR�GR�
IES Salvador de Madariaga.
O centro está adscrito a dous colexios do barrio que son o CEIP Raquel Camacho e o CEIP
María Barbeito, a través dos cales acceden o alumnado a primeiro da ESO, tras completar a
primaria.
Preto da Ronda de Outeiro e dentro do barrio da Agra do Orzán, un dos barrios máis poboados
e con maior diversidade cultural da cidade da Coruña, encontrase o instituto onde desenvolvín
as prácticas. Os rapaces do centro son orixinarios de moitos países, en primeiro lugar de
SDtVHV�KLVSDQRIDODQWHV��SHUR�WDPpQ�GH�%UDVLO��5RPDQtD��6HQHJDO��&RVWD�GH�0DU¿O�H�PHVPR�GD�
India e dos países do Este (Serbia, Rusia…). O nivel socioeconómico do barrio é de carácter
medio ou medio/baixo.
Os grupos da ESO son bastantes numerosos estando a maioría deles preto dos 30 alumnos,
ademáis a maioría das aulas eran pequenas, provocando que algúns alumnos se distraeran
e non prestaran atención.
Tras a realizacións das prácticas nos cursos de 3º de ESO e 4º da ESO, puidemos comprobar
que existía un maior interese e traballo por parte do alumnado ao incorporar novos materiais e
recursos, non utilizando en todas as clases o libro de texto. A posibilidade de incorporar unha
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
18
metodoloxía diferente a que utilizaban normalmente na aula, na que eles foran os responsables
GR�VHX�DSUHQGL]D[H��¿[R�TXH�PRVWUDUDQ�PDLRU�LQWHUHVH�H�PDLRU�LQWHUDFFLyQ�
“Non é a incorporación de tres ou catro ferramentas espectaculares o que caracterizará
a nova organización das clases, senón o uso habitual e cotián dunha gama amplísima de
materiais, que fagan do aula de matemáticas, tanto na escola primaria como na secundaria,
un verdadeiro laboratorio-taller.” (Alonso et al., 1987, p. 41)
'HVSRLV� GH� LQWURGXFLU� R� WHPD� GH� SROLHGURV�� D� WUDYpV� GH� LQFRUSRUDU� ¿JXUDV� [HRPpWULFDV� GH�
PDGHLUD�TXH�R�DOXPQDGR�SXLGR�LQWHUDFWXDU�FRQ�HODV�H�LU�GH¿QLQGR�DV�GLVWLQWDV�¿JXUDV�HQ�IXQFLyQ�
do número de caras.
A posibilidade de realizar un traballo colaborativo, no que o alumnado se agrupe en grupos,
H�QR�TXH�SRLGD� WUDEDOODU� FRQ�PDWHULDO� HODERUDQGR� ¿JXUDV�RX� FRUSRV� [HRPpWULFRV�� SHUPLWLUi�
acercarse ao coñecemento de outra maneira, adquirindo eles o protagonismo da ensinanza.
Contextualización no curriculum dende a perspectiva dos contidos
Os contidos traballados no proxecto de innovación na metodoloxía para ensinar xeometría
en secundaria, se recollen dentro do Decreto 133/2007, do 5 de xullo, polo que se regulan as
ensinanzas de educación secundaria obrigatoria na comunidade autónoma de Galicia.
Todos os contidos traballados no proxecto pertencen aos bloques de contidos comúns e
xeometría, que corresponden co bloque 1 e o 4, e repítense nos catro cursos da ESO.
No bloque de contidos comúns traballaranse ao longo dos catro cursos os seguintes:
estratexias e técnicas para a resolución de problemas, interpretacións de mensaxes con
LQIRUPDFLyQ� VREUH� UHODFLyQV�HVSDFLDLV�� SODQL¿FDFLyQ�H� UHDOL]DFLyQ�GH� WUDEDOORV�PDWHPiWLFRV�
tanto individualmente como en equipo, descrición verbal de relacións espaciais.
(�GHQWUR�GR�EORTXH�GH�[HRPHWUtD�DSDUHFHQ�RV�VHJXLQWHV�FRQWLGRV��DV�¿JXUDV�[HRPpWULFDV�QR�
SODQR��FODVL¿FDFLyQ�GH�WULiQJXORV�H�FDGUDGRV��SROtJRQRV�UHJXODUHV��D�FLUFXQIHUHQFLD�H�R�FtUFXOR�
(1º curso), a semellanza, teorema de Tales e Pitágoras, poliedros e corpos de revolución,
volumes de corpos xeométricos (2º curso), translacións, simetrías e xiros no plano, poliedros
e poliedros regulares (3º curso), aplicación da semellanza de triángulos e do teorema de
Pitágoras (4º curso).
19
Desenvolvemento da proposta
A proposta engloba os dous bloques de contidos e a proposta metodolóxica traballa con
ambos bloque á vez, nas diferentes actividades.
Contribución ao logro das competencias básicas
A proposta pretende contribuír ao alcance das competencias básicas, contempladas no
Decreto 133/2007, do 5 de xullo, nos seguintes aspectos:
1. Competencia en comunicación lingüística.
A utilización e introdución de novos conceptos xeométricos, creará no alumnado novo
YRFDEXODULR�TXH�SRGHUi�XWLOL]DU�GXQKD�PDQHLUD�FRQFUHWD��UHGDFWDQGR�GH�PDQHLUD�FRUUHFWD�RV�
SURFHVRV�H�¿JXUDV�PDWHPiWLFDV�H�D�VROXFLyQ�GRV�SUREOHPDV�
Co traballo en xeometría traballaremos a lectura e comprensión da documentación buscada
polo alumnado para traballar co material.
2. Competencia matemática.
A competencia matemática traballarase a través do razoamento matemático, na elaboración
H�UHVROXFLyQV�GH�SUREOHPDV��DGHPDLV�GH�HQJDGLU�XQKD�YLVLyQ�HVSDFLDO�R�WUDEDOODU�FRDV�¿JXUDV�
xeométricas.
Traballaremos no desenvolvemento dun razoamento matemático, que permita poder
enfrontarse a situacións espaciais complexas a través dos coñecementos adquiridos
previamente.
Utilizaremos a aplicación de procesos matemáticos a situacións cotiás, podendo explicalas e
comprendelas a través destes procesos.
A competencia matemática será a competencia fundamental que traballaremos debido aos
contidos da materia.
3. Competencia no coñecemento e na interacción co mundo físico.
Utilizaremos a aplicación de procesos matemáticos a situacións cotiás, podendo explicalas
e comprendelas a través destes procesos. O traballar co medio próximo permitirá que o
DOXPQDGR�VH�DSUR[LPH�H�FRPSUHQGD�IHQyPHQRV�TXH�DWD�HVH�PRPHQWR��SRGHQGR�PRGL¿FDU�H�
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
20
interactuar co espazo.
$�[HRPHWUtD�SHUPLWH�TXH�SRGDPRV�FRxHFHU�R�PXQGR�ItVLFR��UHODFLRQDQGR�R�WHyULFR�FR�PRGHOR��
xunto co manexo de solucións técnicas para crear corpos xeométricos.
4. Tratamento da información e competencia dixital.
O alumnado terá que acostumarse a buscar información e seleccionala para poder afrontar os
distintos problemas expostos na clase. Esta información buscarase en distintos medios (libros,
revistas, internet, blogues, vídeos, ...) e serán eles os que sexan capaces de diferenciar o
máis importante e o máis útil para o traballo que realizarán na aula.
5. Competencia social e cidadá.
A través do traballo cooperativo entre o alumnado traballaremos dentro da competencia social
e cidadá. O traballo colaborativo permitirá que o alumnado poida participar, escoitar outras
opinións, tomar decisións, xestionar o grupo, ... O incorporar visións diferentes dentro do grupo
VHUi�QHFHVDULRV�VROXFLRQDU�RV�FRQÀLWRV�TXH�VH�SRLGDQ�GDU��FKHJDQGR�D�XQKD�FRPSUHQVLyQ�GDV�
propostas dos demais.
6. Competencia cultural e artística.
A relación dos corpos xeométricos coa arquitectura ou a escultura, permitirá que se traballe
no acercamento ao arte e a cultura existente, que terá moita relación coa xeometría que
traballaremos na aula de matemáticas.
A elaboración dalgún dos materiais permitirá traballar a compoñente artística e buscar as
UHODFLyQV�FXOWXUDLV�FRQ�DOJXQKDV�¿JXUDV�RX�FRUSRV�[HRPpWULFRV�FRV�TXH�VH�WUDEDOOHQ�
7. Competencia para aprender a aprender.
A través da metodoloxía contrutivista, será o alumnado o responsable do seu coñecemento
polo que serán eles os que enuncien os problemas e as posibles solucións, seguindo unha
metodoloxía que permita afondar no traballo de investigación.
Algúns das capacidades que intentaremos conseguir no alumnado será a motivación, o
interese, a proposición de problemas e solucións, as relacións entre conceptos aprendidos
H�D�SRVLELOLGDGH�GH�FKHJDU�D�XQ�FRxHFHPHQWR�VLJQL¿FDWLYR�UHDOL]DGR�GH�PDQHLUD�DXWyQRPD�
21
Desenvolvemento da proposta
sendo o profesor un guía ou colaborador.
8. Autonomía e iniciativa persoal.
No transcurso das clases será necesario a incorporación da iniciativa persoal para transformar
os pensamentos en accións que propoñan posibles solucións. Co traballo feito na aula, é
importante que o alumnado adquira un coñecemento de se mesmo e unha serie de valores
(autocrítica, creatividade, perseveridade, ...) que lle permitan traballar tanto de maneira
individual coma colectiva.
Deseño dos obxectivos
Obxectivos xerais
Segundo a lexislación vixente de secundaria, Decreto 133/2007, na proposta se traballarán
os seguintes obxectivos:
�� $VXPLU� UHVSRQVDEOHPHQWH� RV� VHX� GHEHUHV�� FRxHFHU� H� H[HUFHU� RV� VHXV� GHUHLWRV� QR�
respecto ás outras persoas, practicar a tolerancia, a cooperación e a solidariedade entre
as persoas e grupos.
�� 'HVHQYROYHU�H�FRQVROLGDU�KiELWRV�GH�GLVFLSOLQD��HVWXGR�H�WUDEDOOR�LQGLYLGXDO�H�HQ�HTXLSR�
FRPR�FRQGLFLyQ�QHFHVDULD�SDUD�XQKD� UHDOL]DFLyQ�H¿FD]�GDV� WDUHIDV�GD�DSUHQGL]D[H�H�
como medio de desenvolvemento persoal.
�� 'HVHQYROYHU� GHVWUH]DV� EiVLFDV� QD� XWLOL]DFLyQ� GDV� IRQWHV� GD� LQIRUPDFLyQ� SDUD�� FRQ�
sentido crítico, adquirir novos coñecementos.
�� $SUHFLDU� D� FUHDFLyQ� DUWtVWLFD� H� FRPSUHQGHU� D� OLQJXD[H� GDV� GLVWLQWDV�PDQLIHVWDFLyQV�
artísticas, utilizando diversos medios de expresión e representación.
�� &RQFLELU�R�FRxHFHPHQWR�FLHQWt¿FR�FRPR�XQ�VDEHU�LQWHJUDGR�TXH�VH�HVWUXWXUD�HQ�GLVWLQWDV�
GLVFLSOLQDV��DVt�FRPR�FRxHFHU�H�DSOLFDU�RV�PpWRGRV�SDUD� LGHQWL¿FDU�RV�SUREOHPDV�QRV�
diversos campos do coñecemento e da experiencia.
�� 'HVHQYROYHU�R�HVStULWR�HPSUHQGHGRU�H�D�FRQ¿DQ]D�HQ�VL�PHVPR��D�SDUWLFLSDFLyQ��R�
VHQWLGR�FUtWLFR��D�LQLFLDWLYD�SHUVRDO�H�D�FDSDFLGDGH�SDUD�DSUHQGHU�D�DSUHQGHU��SODQL¿FDU��
tomar decisións e asumir responsabilidades.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
22
�� &RPSUHQGHU�H�H[SUHVDU�FRQ�FRUUHFFLyQ��RUDOPHQWH�H�SRU�HVFULWR��QD�OLQJXD�JDOHJD�H�QD�
lingua castelá, textos e mensaxes complexos.
�� &RxHFHU��YDORUDU�H�UHVSHFWDU�R�SDWULPRQLR�DUWtVWLFR�H�FXOWXUDO��FRxHFHU�PXOOHUHV�H�KRPHV�
que realizaron achegas importantes á cultura e sociedade galega ou a outras culturas do
mundo.
�� &RxHFHU�H�YDORUDU�D�LPSRUWDQFLD�GR�XVR�GR�QRVR�LGLRPD�FRPR�HOHPHQWR�IXQGDPHQWDO�
para o mantemento da nosa identidade.
Obxectivos de área
Segundo a lexislación vixente de secundaria, Decreto 133/2007, na proposta se traballarán
os seguintes obxectivos:
�� ,QFRUSRUDU�i�OLQJXD[H�KDELWXDO�RV�PRGRV�GH�DUJXPHQWDFLyQ�H�DV�IRUPDV�GH�H[SUHVLyQ�
matemática, tanto nas situacións que se suscitan na vida cotiá como nas procedentes
GRV�iPELWRV�PDWHPiWLFR�RX�FLHQWt¿FR�
�� &XDQWL¿FDU� DTXHOHV� DVSHFWRV� GD� UHDOLGDGH� TXH� SHUPLWDQ� LQWHUSUHWDOD�PHOORU�� XWLOL]DU�
procedementos de medida, técnicas de recollida e análise de datos.
�� ,GHQWL¿FDU�RV�HOHPHQWRV�PDWHPiWLFRV�SUHVHQWHV�QRV�PHGLRV�GH�FRPXQLFDFLyQ��LQWHUQHW��
publicidade ou outras fontes de información.
�� ,GHQWL¿FDU��GHVFULELU��UHSUHVHQWDU�H�FXDQWL¿FDU�DV�IRUPDV�H�UHODFLyQV�HVSDFLDLV�TXH�VH�
SUHVHQWDQ�QD�YLGD�FRWLi��HQ�FRQWH[WRV�FLHQWt¿FRV�H�DUWtVWLFRV��DQDOL]DU�DV�SURSLHGDGHV�
e relacións xeométricas implicadas, valorar a súa compoñente estética e estimular a
creatividade e a imaxinación.
�� 8WLOL]DU�GH�IRUPD�DGHFXDGD�RV�GLVWLQWRV�PHGLRV�WHFQROy[LFRV��FDOFXODGRUDV��RUGHQDGRUHV��
etc.) para comprobar propiedades xeométricas.
�� )RUWDOHFHU�D�FDSDFLGDGH�GH�UD]RDPHQWR��DFWXDQGR�DQWH�RV�SUREOHPDV�TXH�VH�VXVFLWDQ�
na vida cotiá de acordo con modos propios da actividade matemática, tales como a
exploración sistemática de alternativas, o preguntas ante as apreciacións intuitivas,
D�ÀH[LELOLGDGH�SDUD�PRGL¿FDU�R�SXQWR�GH�YLVWD��D�SUHFLVLyQ�QD� OLQJXD[H��D�[XVWL¿FDFLyQ�
dos razoamentos, a perseveranza na procura de solucións ou a necesidade da súa
23
Desenvolvemento da proposta
YHUL¿FDFLyQ�
�� )RUPXODU� H� UHVROYHU� SUREOHPDV� PDWHPiWLFRV� RX� SURFHGHQWHV� GRXWURV� iPELWRV��
individualmente ou en grupo, empregando distintos recursos e instrumentos, valorando
a conveniencia das estratexias utilizadas en función da análise dos resultados obtidos e
PRVWUDQGR�XQKD�DFWLWXGH�SRVLWLYD�H�FRQ¿DQ]D�QD�SURSLD�FDSDFLGDGH�
Obxectivos do bloque de Xeometría
Dentro do bloque de Xeometría que se traballa na proposta, os obxectivos a alcanzar son:
�� 'HVFULELU� VLWXDFLyQV� UHDLV�� IHQyPHQRV� H� H[SHULHQFLDV� FRQ� GLIHUHQWHV� OLQJXD[HV�
[HRPpWULFRV��SDODEUDV��VtPERORV��H[SUHVLyQV��¿JXUDV�RX�JUi¿FRV��
�� 5HFRxHFHU� PDJQLWXGHV� H� FRxHFHU� XQLGDGHV� GH� PHGLGD� QRV� FDVRV� GH� ORQ[LWXGHV��
VXSHU¿FLHV�H�YROXPHV��H�XWLOL]DU�PpWRGRV�GLUHFWRV�H�LQGLUHFWRV�SDUD�PHGLU�
�� 'LVWLQJXLU�¿JXUDV�OLQHDLV��SODQDV�H�HVSDFLDLV��GHVFULELQGR�RV�VHXV�HOHPHQWRV�H�EXVFDQGR�
relacións de igualdade, incidencia, perpendicularidade, simetría, etc., entre os elementos
utilizando a linguaxe adecuado
�� 5HFRxHFHU� ¿JXUDV� FRQJUXHQWHV�� VHPHOODQWHV�RX�HTXLYDOHQWHV�H� [XVWL¿FDU�D� UHODFLyQ�
mediante algún criterio baseado en transformacións xeométricas.
�� 'H¿QLU�FRQFHSWRV�H�HQXQFLDU�SURSLHGDGHV�[HRPpWULFDV��WDQWR�HQ�¿JXUDV�SODQDV�FRPR�
espaciais, sabendo deducir e inducir algunhas relacións ou propiedades fundamentais.
�� (QXQFLDU�H�H[SOLFDU�DV�UHODFLyQV�PpWULFDV�GR�WULiQJXOR�H�DV�SURSLHGDGHV�VREUH�DV�TXH�
estas se basean (Teorema de Tales e Teorema de Pitágoras).
�� 8VDU�RV�PpWRGRV�LQGXWLYRV�H�GHGXWLYRV�QR�HVWXGLR�GRV�FRUSRV�H�¿JXUDV�[HRPpWULFDV�
�� &ODVL¿FDU�H�RUGHQDU�¿JXUDV�SODQDV�H�HVSDFLDLV�
�� &RQVWUXtU�PRGHORV�GH�¿JXUDV�OLQHDLV��SODQDV�H�HVSDFLDLV�
�� (VWXGDU� ¿JXUDV� [HRPpWULFDV�� JUi¿FD� H� DQDOLWLFDPHQWH� FRQ� HVSHFLDO� pQIDVH� QRV�
triángulos.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
24
�� $ERUGDU�DV�VLWXDFLyQV�SUREOHPiWLFDV�IDFHQGR�XVR�GH�WRGDV�DV�WpFQLFDV�DR�VHX�DOFDQFH��
medir, construír, debuxar, ...
Metodoloxía de traballo proposta
7DO�H�FRPR�D¿UPDQ�$OVLQD�HW�DO����������RV�FRQWLGRV�[HRPpWULFRV��QRQ�WHxHQ�XQKD�HVWUXWXUD�
RUJDQL]DGD�H�[HUiUTXLFD�WDQ�FODUD�FRPR�R�iO[HEUD��VHQGR�PiLV�JOREDLV�H�SRVXtQGR�P~OWLSOHV�
conexións cos procesos cognitivos. Ademais os coñecementos xeométrico e espacial necesitan
dunha interacción entre a visualización e a conceptualización. Polo tanto é necesario inculcar
ao alumnado o hábito da experimentación a través das súas propias accións, e a colaboración
cos compañeiros e co profesorado.
A ensinanza de Xeometría debe seguir un traballo de investigación e as actividades propostas
deben seguir as seguintes características: a relación de referentes non simbólicos cos
conceptos, recorrido desde a intuición ata o coñecemento matemáticos, a comunicación
necesaria para construir os conceptos, traballo grupal cooperativo, integración da realidade
cotiá e o fomento do traballo con tendencia interdisciplinar. O tipo de actividades propostas
serán: propostas de traballo personal, traballo de investigación en grupo, resolución de
problemas, traballo de modelización e construción, traballo de linguaxe-comunicación e os
elementos de síntese colectiva.
Para levar a cabo estas actividades o material é un elemento imprescindible. Os materiais
levados a cabo na proposta son aqueles que podemos considerar que son modelos, sendo
LQWHUHVDQWH�GHVGH�D�FRQVWUXFLyQ�GHVWHV��VHUYLQGR�SDUD�FRQFUHWDU�FRQFHSWRV�H�SURSLHGDGHV��RV�
que serven para o descubrimento de conceptos, como podería ser o xeoplano ou o cubo de
5XELN��RV�TXH�VLUYHQ�SDUD�PRVWUDU�DSOLFDFLyQV�FRQVROLGDQGR�RV�FRQFHSWRV�SUHYLRV�H�DV�V~DV�
SRVLELOLGDGHV��H�RV�TXH�VHUYHQ�SDUD�UHVROYHU�SUREOHPDV�GRWiQGRQRV�GH�UHFXUVRV�TXH�SRGHPRV�
atopar na aula.
Actividades
A continuación explícanse as diferentes actividades que se desenvolverán na aula, e nos
anexos aparecen os materiais que se utilizarían para levalas a cabo.
25
Desenvolvemento da proposta
Actividade 1 - Recoñecemento de formas
Facer 5 fotografías da contorna e logo explicar as formas xeométricas básicas que aparecen.
Nesta actividade o alumnado terá que relacionar o seu contorno coa xeometría, descubrindo
as formas xeométricas que poden encontrar ao seu redor. Os recursos que necesitarán son
XQKD�FiPDUD�IRWRJUi¿FD�RX�XQ�PyELO��e�LPSRUWDQWH�HYLGHQFLDU�R�XVR�TXH�IDL�D�VRFLHGDGH�GD�
xeometría.
Con esta actividade podemos facer unha avaliación inicial do nivel do pensamento xeométrico
GR�DOXPQDGR��SRGHQGR�YHU�TXH�WLSR�GH�¿JXUDV�UHFRxHFH�FDGD�SHUVRD��(�SRGHQGR�HQIRFDU�R�
resto de actividades segundo os resultados obtidos
Actividade 2 - Construción de formas poligonais co Tangram
&RQVWUXFLyQ�GR�7DQJUDP�FKLQR��SDUWLQGR�GXQ�FDGUDGR�GH�ODGR����FP��H�DV�¿JXUDV�TXH�FXPSUDQ�
unha serie de requisitos:
- Dous triángulo rectángulos grandes, que cada un teña unha área igual a cuarta parte da
VXSHU¿FLH�GR�FDGUDGR�RUL[LQDO�
��&DGUDGR��FXQKD�VXSHU¿FLH�TXH�VH[D�LJXDO�D�PHWDGH�GD�GXQ�WULiQJXOR�
- Dous triángulo rectángulos pequenos, que cada un teña unha área igual a metade da
VXSHU¿FLH�GR�FDGUDGR�
��7ULiQJXOR�UHFWiQJXOR�PHGLDQR��FRQ�LJXDO�VXSHU¿FLH�TXH�R�FDGUDGR�
��3DUDOHORJUDPR��FRQ�LJXDO�VXSHU¿FLH�TXH�R�FDGUDGR�
A primeira parte da actividade consistiría en realizar as pezas do Tangram, e para iso partindo
dun cadrado en papel ou cartón empezaranse a pensar a localización das pezas e como
FRQ¿JXUDODV�SDUD�TXH�SRLGDQ�FDEHU�WRGDV�DV�¿JXUDV�
No debuxo analizaremos cales liñas son paralelas e cales son perpendiculares e cales son as
FDUDFWHUtVWLFDV�TXH�GH¿QHQ�TXH�G~DV�OLxDV�VH[DQ�SDUDOHODV�RX�SHUSHQGLFXODUHV�
As pezas as recortamos e podemos buscar novos polígonos a través da adición ou sustración
de pezas, analizando a área e o perímetro dos novos polígonos creados, medir as áreas dos
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
26
SROtJRQRV�HVFROOHQGR�D�¿JXUD�TXH�WHQ�iUHD�PHQRU�
Outra das actividades complementarias para que o alumnado a realice na súa casa será
DSRUWDUOOH�D�VLOXHWD�GXQKD�VHULH�GH�¿JXUDV�TXH�GHEH�HODERUDU�FRDV�VHWHV�SH]DV��HVWD�DFWLYLGDGH�
SHUPLWLUi�TXH�R�DOXPQDGR�WUDEDOOH�FRV�SROtJRQRV�HODERUDQGR�RXWUDV�¿JXUDV�SROLJRQDLV�H�SRLGD�
relacionalas.
Nos cursos máis avanzados podemos volver utilizar o Tangram para comprobar o teorema de
Pitágoras, para que será necesario usar dous trangrams chinos, a través dos cales faríamos
a demostración a través da suma das áreas dos cadrados con lonxitude igual aos catetos é
igual a área do cadrado de lado a hipotenusa.
O Tangram serve para construír formas poligonais distintas con certas propiedades invariantes.
Aproveitamos o tangram para analizar o principio de mantemento da cantidade pero non da
IRUPD��SRGHQGR�G~DV�¿JXUDV�WHU�D�PHVPD�iUHD�H�SHUtPHWUR�SHUR�QRQ�D�PHVPD�IRUPD�
Actividade 3 - O recubrimento do espazo plano a través de “teselas”
,GHQWL¿FDU� DV� GLVWLQWDV� ¿JXUDV� [HRPpWULFDV� TXH� DSDUHFHQ� QXQ� PRVDLFR�� H� SRVWHULRUPHQWH�
analizar se existen simetrías ou rotacións marcando os eixos de simetría e os centros de
rotación.
Establecer na clase diferentes grupos, que traballarán partindo do análise dun mosaico
H[LVWHQWH��DQDOL]DQGR�DV�SURSLHGDGHV�TXH�SRVHHQ�RV�PRVDLFRV��8QKD�YH]� LGHQWL¿FDGDV�DV�
propiedades dos mosaicos, recortando as pezas do mosaico aportado elaborar outro mosaico
diferente a través das mesmas pezas.
A continuación aportaremos os mosaicos de Escher, facendo que analicen as distintas
pezas xeométricas que os compoñen e como sofren simetrías, rotacións e translacións para
compoñer un mosaico, podendo abstraer as imaxes do mosaico a elementos xeométricos,
PDUFDQGR�RV�EDULFHQWURV�GDV�¿JXUDV�[HRPpWULFDV�
Analizar con que polígonos non poderíamos realizar un mosaico e estudar a causa de que
algúns polígonos non permitan xerar mosaicos.
&RPR�DFWLYLGDGH�FRPSOHPHQWDULD��VH�VROLFLWDUi�TXH�HODERUHQ�¿JXUDV�[HRPpWULFDV�H�FRQ�HODV�
27
Desenvolvemento da proposta
HODERUDU�XQ�PRVDLFR��SRGHQGR�HODERUDUVH�GHEX[DGR�HQ�SDSHO�RX�UHFRUWDQGR�SH]DV�[HRPpWULFDV�
e compoñendo o propio mosaico.
O traballo cos mosaicos permitirá introducir as isometrías e seguir traballando co análise das
GLIHUHQWHV�¿JXUDV�SODQDV�H[LVWHQWHV�QD�UHDOLGDGH�
$FWLYLGDGH�����$V�¿JXUDV�SODQDV�QR�[HRSODQR�FXDGUDQJXODU��WULDQJXODU�H�FLUFXODU
$QDOL]DU�R�[HRSODQR�FXDGUDQJXODU�GH���SXQWDV�H�LGHQWL¿FDU�FDQWRV�FDGUDGRV�SRGHUtDPRV�IDFHU��
e tamén a dimensión do cadrado máis pequeno e do cadrado de maior tamaño.
Neste proceso é importante visualizar que hai máis cadrados que os que están en posición
horizontal e vertical, existindo uns que forma 45º cos outros. Ao traballar co xeoplano
LQYHVWLJDUHPRV� TXH� ¿JXUDV� [HRPpWULFDV� QRQ� VRQ� FDSDFHV� GH� UHDOL]DUVH� FR� [HRSODQR��
determinando as cousas. Tamén se analizarán os ángulos e pendentes respecto a horizontal
que son capaces de representarse no xeoplano.
Co xeoplano podemos completar a actividade previa dos mosaicos elaborando novos
mosaicos no xeoplano.
Utilizando o xeoplano circular, estudaremos as propiedades do círculo e a esfera, podendo
desenvolver os diferentes polígonos regulares inscritos na circunferencia, e desenvolver
polígonos estrelados, analizando que número de puntas debe ter un polígono estrelado.
Actividade 5 - O papel como ferramenta para construir xeometría plana
Facer diferentes polígonos regulares partindo dunha folla de papel, doblandoa e utilizando un
compás, a escuadra, o cartabón e un lapis como recurso de apoio para a elaboración.
O primeiro elemento que elaboremos é un cadrado partindo dun rectángulo, recortando o
lado longo do rectángulo facendo que teña a mesma medida que o lado curto (este proceso
será fundamental para próxima actividade de elaboración de corpos xeométricos a través da
xeometría). A partir dese cadrado podemos facer dous triángulos rectángulos isósceles.
Utilizando o compás e o lapis poderemos debuxar todos os polígonos regulares inscritos
QXQKD�FLUFXQIHUHQFLD��GH¿QLQGR�RV�GLIHUHQWHV�QRPHV�GRV�SROtJRQRV�HQ�IXQFLyQ�GR�Q~PHUR�GH�
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
28
lados, e a metodoloxía de contruír polígonos a partir de outros polígonos, como pode ser o
caso do octógono a través do cadrado, ou o hexágono a través do triángulo equilátero.
Actividade 6 - A utilización do ordenador para manipular a xeometría
7UDEDOODU�FR�RUGHQDGRU��H�FRQ�VRIWZDUH�HVSHFt¿FR�GH�[HRPHWUtD�FRPR�SRGH�VHU�R�*HR*HEUD�
para poder traballar coas formas xeométricas dende o ordenador
A través dunha aplicación como é o GeoGebra, permítenos ter un espazo en branco onde poder
GHEX[DU�¿JXUDV�[HRPpWULFDV�SODQDV��TXH�SRGHUtDPRV�WUDQVIRUPDU��RX�SURGXFLU�WUDQVODFLyQ�RX�
rotacións. A utilización desta ferramenta servirá de complemento nas actividades de xeometría
plana, podendo pasar dunha actividade manipulativa e logo trasladar os coñecementos
DSUHQGLGRV�DR�RUGHQDGRU�H�SRGHU�FRPSUREDU�FRQ�RXWUDV�¿JXUDV�[HRPpWULFDV�
Moitos dos conceptos traballados nas actividades anteriores poderán traballarse dunha
maneira dinámica e moi intuitiva facendo que cada alumno sexa autónomo e busque solucións
H�GH¿QD�FDUDFWHUtVWLFDV�GRV�SURFHGHPHQWRV�TXH�GHVHQYROYD�
$FWLYLGDGH�����$�SDSLURÀH[LD�RX�RULJDPL�SDUD�D�HODERUDFLyQ�GH�SROLHGURV�H�FRUSRV�HVWUHODGRV
3DUWLQGR� GH� FDGUDGRV� GH� SDSHO� GR� PHVPR� WDPDxR�� D� WUDYpV� GD� SDSLURÀH[LD� HODERUDU� RV�
poliedros platónicos, e outros corpos xeométricos espaciais.
Na actividade existirán un primeiro proceso de experimentación co papel para desenvolver
os poliedros, e posteriormente se facilitarían unhas instrucións a través das cales poder
GHVHQYROYHU�RV�GLIHUHQWHV�SROLHGURV��3DUD�R� WUDEDOOR�GH�SDSLURÀH[LD�H� LQWHUHVDQWH�R� WUDEDOOR�
en grupo xa que pode chegar a ser moi repetitivo a realización da mesma peza varias veces,
posibilitando a interacción entre o alumnado.
1R�SURFHVR�GH�HODERUDFLyQ�VH�D¿DQ]DUiQ�FRQFHSWRV�GD�[HRPHWUtD�SODQD��FRPR�SRGH�VHU��D�
mediatriz, a bisectriz, os polígonos regulares, o paralelismo ou perpendicularidade.
A elaboración dos poliedros permite que o alumnado poida percibir a súa forma e as
características fundamentais.
29
Desenvolvemento da proposta
Actividade 8 - Montaxe de poliedros e sólidos con materiais de construción
Contruír corpos xeométricas a través de materiais de construción a través da composición a
través de aristas ou a través das propias caras.
Utilización de materiais de construción xeométrico como pode ser GeoMag ou Creator, que
a través dunha serie de barras e imáns poder realizar corpos xeométricos, relacionándoos
cos enlaces iónicos que se estudan en ciencias da natureza ou con estruturas que se poden
traballar en tecnoloxía.
A posibilidade de elaboración os poliedros permite que o alumnado estude as características
das diferentes caras, aristas, o número de caras que teñen para formar un poliedro platónico.
O traballo co material de construción facilitará que o alumnado aumente a súa creatividade a
través da manipulación dos obxectos.
Actividade 9 - Construción dun omnipoliedro
&RQWUXtU� XQ� RPQLSROLHGUR� RQGH� FRQÀ~DQ� RV� �� SROLHGURV� SODWyQLFRV� LQVFULWRV� XQV� GHQWUR� GH�
outros.
Esta actividade está pensada para desenvolver coa colaboración da materia de tecnoloxía,
[D�TXH�p�QHFHVDULR�D�XWLOL]DFLyQ�GR�WDOOHU�SDUD�FUHDU�R�RPQLSROLHGUR�TXH�SRGH�VHU�XQKD�¿JXUD�
escultórica que colocar nun espacio común do instituto.
Para a súa realización é importante facer o estudo da dimensión das diferentes barras que
conforman cada poliedro, e pintalas cada unha delas dun color diferente para que unha vez
montado podamos visualizar correctamente os diferentes poliedros. Para a elaboración as
barras poden ser de madeira ou de PVC, colocando nos bordes unhas charnelas que permitirá
unir as diferentes barras a través de bridas de plástico.
A súa montaxe permitirá que todo o alumnado colabore no proceso, levando a cabo unha
¿JXUD�TXH�SHUPDQHFHUi�QR�FHQWUR�SRVWHULRUPHQWH�FDQGR�HOHV�PDUFKHQ�
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
30
Actividade 10 - A tensegridade é os corpos xeométricos que se crean
$�WUDYpV�GR�HVWXGR�GD�WHQVHJULGDGH�SRGHU�GH¿QLU�RV�FRUSRV�[HRPpWULFRV�TXH�VH�FUHDQ�D�WUDYpV�
dos cables.
([HPSOL¿FDU�FRQ�DOJXQKD�GDV�HVFXOWXUDV�HODERUDGDV�SRU�)XOOHU��RV�GLVWLQWRV�FRUSRV�[HRPpWULFRV�
creados nesas estruturas e poder analizar as diferencias entre os cables e as barras, e o
porqué da súa disposición.
$�HODERUDFLyQ�GXQKD�¿JXUD�HVSDFLDO�D�WUDYpV�GD�WHQVHJULGDGH�p�VLQ[HOD��H�SRGHUtDQ�YHU�RXWUDV�
formas complementarias as dúas actividades anteriores de elaborar corpos xeométricos no
HVSD]R��SHUPLWLQGR�TXH�HOHV�SXLGHUDQ�SHQVDU�RXWUDV�IRUPDV�GH�HODERUDU�RV�GLIHUHQWHV�FRUSRV�
xeométricos.
Secuenciación
As actividades propostas levaránse a cabo no bloque de xeometría ao longo de toda a
secundaria. As actividades correspondentes coa xeometría plana, das actividades da 1
D� ��� WUDEDOODUiQVH� QRV� GRXV� SULPHLURV� FXUVRV� GD� VHFXQGDULD� SRGHQGR� D¿DQ]DU�PRLWRV� GRV�
coñecementoa adquiridos previamente na primaria. No 3º curso da ESO traballarase sobre
WRGR�FRD�[HRPHWUtD�HVSDFLDO��GHVHQYROYHQGR�DV�DFWLYLGDGHV�GD���D�����QD�TXH�R�DOXPQDGR�
traballará con poliedros e diferentes corpos. No último curso se secundaria que está máis
relacionado coa resolución de triángulos utilizaráse outra vez o software permitindo que
o alumnado desenvolva os exercicios á vez no papel e no ordenador e comprobe que os
resultados obtidos correspóndense co esperado.
Sistema de avaliación
Seguindo a Alsina et al. (1997), a avaliación debe ser un instrumento que mellore o aprendizaxe,
SRGHQGR�PRGL¿FDU�DV�DFFLyQV�IRUPDWLYDV�H�D�SODQL¿FDFLyQ�VH�GHWHFWDPRV�TXH�R�DOXPQDGR�QRQ�
está aprendendo os conceptos que esperábamos. Dentro do proceso de avaliación teremos
que distinguir tres momentos: unha avaliación inicial, unha avaliación de desenvolvemento e
outra avaliación de resultados.
A avaliación inicial é útil para coñecer a situación de partida do alumnado a través dun
31
Desenvolvemento da proposta
diagnóstico dos coñecementos previos que os rapaces teñen adquirido. Na avaliación de
desenvolvemento se avalía a implantación das diferentes actividades e cal é a reacción do
alumnado frente a estas actividades, existindo unha avaliación de seguemento. E no estado
¿QDO�� IDUHPRV� XQKD� DYDOLDFLyQ� GRV� QLYHLV� DGTXLULGRV� QR� DSUHQGL]D[H�� H� D� H¿FDFLR� GHVWH�
aprendizaxe mediante a realización de memorias do proxecto ou actividade desenvolvida.
Como actividad de avaliación inicial se enunciará un pequeno exercicio práctico no que eles
GHEHQ�LGHQWL¿FDU�H�[XVWL¿FDU�D�V~D�UHVSRVWD��(Q�IXQFLyQ�GD�UHSRVWD�H�[XVWL¿FDFLyQ�SRGHUHPRV�
valorar cales son os coñecementos do alumnado, e a base que ten nos cursos anteriores para
afrontar os novos contidos.
A avaliación do proceso realizarase en cada unha das actividades realizadas, unha parte
primordial é a observación do comportamento e do traballo que se desenvolve na aula. Para
facer a valoración utilizarase unha grella onde se recollen os diferentes criterios de avaliación.
Ademáis se fará un cuestionario de autoevaluación de cada alumno que vai ser anónimo para
coñecer o sentimento xeral da clase na realización das actividades.
1D�DYDOLDFLyQ�¿QDO�XWLOL]DVH�XQKD�PHPRULD�H[SOLFDWLYD�TXH�UHDOL]DUiQ�WRGRV�RV�DOXPQRV�FRDV�
LPSUHVLyQV�TXH�WHxHQ�HQ�FDGD�FODVH��[XQWR�FXQKD�SUiFWLFD�¿QDO�TXH�HQJOREH�WRGRV�RV�FRQFHSWRV�
WUDEDOODGRV�QRV�H[HUFLFLRV�DQWHULRUHV��FR�VHJXHPHQWR�GHVHQYROYLGR�SRGHUtDPRV�WHU�XQKD�LGHD�
xeral de cal é o coñecemento e asimilación dos conceptos traballados.
A avaliación apórtanos bastante información sobre cómo se desenvolveu o aprendizaxe,
SHUPLWLQGR�UHSODQL¿FDU�HQ�E~VTXHGD�GH�PHOORUHV�UHVXOWDGRV�H�XQ�PHOORU�DSURYHLWDPHQWR�
A avaliación seguirá os criterios de avaliación do curriculum, que aparecen na lexislación
vixente de secundaria, no Decreto 133/2007:
�� 5HFRxHFHU�� GHVFULELU� H� DQDOL]DU� ¿JXUDV�� SUHVHQWHV� WDQWR� QD� QDWXUH�� ]D� FRPR� QDV�
DFWLYLGDGHV�VRFLDLV�H�DUWtVWLFDV��XWLOL]DU�DV�V~DV�SURSLHGDGHV�SDUD�FODVL¿FDODV�H�DSOLFDU�
o coñecemento xeométrico adquirido para inter- pretar e describir o mundo físico e as
manifestacións culturais facendo uso da terminoloxía e das formas de representación
axeitadas.
�� (VWLPDU� H� FDOFXODU� SHUtPHWURV�� iUHDV� H� iQJXORV� GH� ¿JXUDV� SODQDV� XWLOL]DQGR� RV�
instrumentos e a unidade de medida adecuada.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
32
�� 5HFRxHFHU�DV� WUDQVIRUPDFLyQV�TXH� OHYDQ�GXQKD�¿JXUD�[HRPpWULFD�D�RXWUD�PHGLDQWH�
os movementos no plano e utilizar estes movementos para crear as súas propias
composicións e analizar, desde un punto de vista xeométrico, deseños cotiás, obras de
DUWH�H�FRQ¿JXUDFLyQV�SUHVHQWHV�QD�QDWXUH]D�
�� ,QWHUSUHWDU�SODQRV�H�PDSDV�H�PDQH[DU�R�VLVWHPD�GH�FRRUGHQDGDV�[HRJUi¿FDV��$SOLFDU�
os teoremas de Pitágoras e Tales para resolver situacións problemáticas da vida cotiá e
do mundo físico.
Atención á diversidade
A diversidade de grupos a analizar, desde 1º ata 4º da ESO, e ao estar unicamente cos niveis
VXSHULRUHV�GH�VHFXQGDULD�GXUDQWH�R�SHUtRGR�GH�SUiFWLFDV��SDUWLPRV�TXH�HQ�WRGR�JUXSR�H[LVWHQ�
diversidade no alumnado, tanto en motivacións, capacidades e intereses. Tomando como
referencia o centro onde a multiculturalidade existente é unha realidade, podendo chegar
alumnado do estranxeiro a metade do curso, con escaso coñecemento do idioma e con
carencias nos coñecementos previos.
A través do traballo cooperativo que se desenvolve na aula, faremos que os grupos estéan
formados por alumnos heteroxéneos, creando estruturas de vinculación e colaboración entre
os compañeiros.
A utilización de materiais e recursos permitirá que o alumno que se incorpore poida empezar
a comprender os exercicios que se están a traballar a través dos materiais, aínda que non
teñan a competencia lingüística adquiridas. A pesares de traballar co material, a metodoloxía
será diferente podendo asentar conceptos que non teñen adquiridos para comprender no que
traballan os seus compañeiros. A integración dentro da aula permitirá que todo o alumnado o
integre e que pouco a pouco se vaia adaptando ao centro e as formas de traballo na aula de
matemáticas.
A posibilidade de ter durante os primeiros meses de adaptación un profesor de apoio na aula
fará que a súa integración sexa máis rápida, e ademais o profesor de apoio pode axudar ao
resto de alumnado se teñen problemas con algunha das actividades que están a desenvolver.
33
Desenvolvemento da proposta
Avaliación para a súa aplicación en centros
Para levar a cabo a súa aplicación en centros é necesario a creación dun Laboratorio de
Matemáticas onde se recollan os múltiples materiais, que poidan servir para incorporar a
metodoloxía empregada polo profesorado. Os materiais ou recursos non teñen que ter un
elevado custo, existindo moitos deles de custo nulo. Ademais sería necesario a creación de
cursos de capacitación do profesorado para a utilización dese material dentro da aula e que
lle puidera sacar o máximo partido, xa que senón eses materiais quedarán eternamente no
departamento sen aproveitalos na labor didáctica.
A posibilidade de contar con materiais e recursos permitirá que o alumnado poida manipular
RE[HFWRV��YLVXDOL]DU�LPD[HV��FRQVWUXtU�IRUPDV�������TXH�RV�D[XGDUiQ�D�KRUD�GH�DVLPLODU�SUREOHPDV�
H�QD�EXVFD�GH�VROXFLyQV��3RVWHULRUPHQWH�D�PDQLSXODFLyQ�p�QHFHVDULR�D�UHÀH[LyQ�H�SRGHU�GH¿QLU�
conceptos, deducir teoremas, resolver problemas e aplicar solucións á vida real.
Na actualidade moitos dos centros de secundaria contan con algún material suministrado pola
Consellería de Educación, pero normalmente o profesorado non conta coa formación necesaria
para engadir as súa metodoloxía os materias e recursos que se lle facilitan quedando estos
QR�GHSDUWDPHQWR�GH�PDWHPiWLFDV��8QKD�PRGL¿FDFLyQ�GD�PHWRGROR[tD�SRGHUtD�FKHJDU�D�WUDYpV�
da entrada de novo profesorado, con novos modelos de aprendizaxe, ou coa capacitación de
outras metodoloxías que faga que non exista unha separación entre alumando e profesorado,
como pasa co manexo das tecnoloxías e ordenadores.
A realidade é que na actualidade o alumnado ten múltiples vías para chegar a información, non
sendo a única vía a ensinanza, polo que temos que ser modestos e deixar que o alumnado
QRV�VRUSUHQGD�H�VH[DPRV�QyV�RV�JXtDV�RX�DFRPSDxDQWHV�TXH�OOHV�D[XGH�D�D¿DQ]DU�DOJ~QV�
dos conceptos cos que están a traballar.
Valoración da aplicación dos materiais, recursos ou ferramentas
Durante o período de prácticas non foi posible levar a cabo esta proposta xa que aínda estaban
HQ� WHPDV�GH�iO[HEUD��SHUR�¿[HPRV�XQKD�SHTXHQD� LQWURGXFLyQ�i�[HRPHWUtD�FRV�SROLHGURV�H�
RXWURV�FRUSRV�[HRPpWULFRV�IHLWRV�HQ�PDGHLUD��(VWR�¿[R�TXH�YLUDPRV�D�SRVLELOLGDGH�GH�DIURQWDU�
o Traballo Fin de Mestado desde esta perspectiva, levando a cabo unha innovación nas
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
34
aulas de secundaria. Os cambios teñen que producirse pouco a pouco, e compartindo as
experiencias desenvolvidas para que outros docentes poidan implicarse no proceso e aportar
melloras e cambios que mostren outro modelo de dar clase e chegar a un coñecemento que
poida ser útil os estudantes no futuro para desenvolverse como persoa.
Conseguir que o estudantado poida interesarse polo saber, e que posteriormente siga
GRFXPHQWiQGRVH�QD�FDVD�SDUD�FRPSOHWDU�R�TXH�YLX�QD�FODVH��p�R�RE[HFWLYR�GH�WRGR�SURIHVRU��
e para conseguilo é necesario aproximar o coñecemento aos estudantes facendo que se fale
do que realmente lles interesa e desde ese punto desenvolver outros conceptos máis xerais.
5HÀH[LyQ�¿QDO
A ensinanza da xeometría non é semellante a outros conceptos que se poden traballar en
matemáticas xa que forman parte da realidade, como sinalan Nehring, Knorst e Cezar (2006):
“[...]em uma outra perspectiva para o ensino da Geometria, que considera o mundo físico como
referência em seu estudo, em que a exploração do espaço tridimensional será o ponto de
partida para o ensino dos conteúdos, necessitando uma abordagem que permita a abstração
sobre o espaço e as formas.
A abordagem da Geometria iniciada pelo bidimensional limita a compreensão conceitual,
pois exige uma ampla capacidade de abstração pelo aluno, que ainda não possui no ensino
fundamental e muitas vezes nem no ensino médio.” (p. 71)
A posibilidade de ver outras realidades e outras metodoloxías de ensinar permitiume poder
ver outro camiño dende onde poder enfocar a docencia, non só na xeometría senón en moitos
outros ámbitos docentes. A realidade está en continuo cambio e nós como docentes debemos
DGDSWDUQRV�D�HVH�FDPELR�H�SRGHU�HQJDGLU�PRGL¿FDFLyQV�H�PHOORUDV�QR�PRGHOR�GH�HQVLQDQ]D�
2�SURFHVR�GH�FDPELR�VHUi�OHQWR�SHUR�SRXFR�D�SRXFR�FRQVHJXLUHPRV�LU�PRGL¿FDQGR�R�PRGHOR�
de ensinanza a través da actitude dos docentes, e non a través dos continuos cambios de
lexislación educativa.
35
Desenvolvemento da proposta
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
36
Coñecementos conseguidos nas materias e nas prácticas do Mestrado
Para realizar a valoración persoal de todo o aprendido durante as prácticas e nos módulos,
WDQWR�[HQpULFR�FRPR�HVSHFt¿FR��LPSDUWLGRV�QD�)DFXOWDGH�GH�&LHQFLDV�GD�(GXFDFLyQ��p�SUHFLVR�
recordar cales eran os meus coñecementos e inquedanzas sobre a temática docente antes
de empezar o Mestrado.
Xa na miña etapa de estudante de primaria e de secundaria, tiña un certo interese polo labor
GRFHQWH�� VHJXUDPHQWH� LQÀXHQFLDGR� SROD� UHODFLyQ� FRD� SURIHVLyQ� GR� PHX� SDL�� ,VWR� ¿[R� TXH�
durante os anos de carreira, dera algunha clase de reforzo en materias como matemáticas ou
física, e que organizaramos grupos de estudo universitarios nos que dunha forma colaborativa
e cooperativa puidésemos sacar adiante algunhas materias.
Con todas esas motivacións incorpórome ao Mestrado na busca das ferramentas e estratexias
necesaria para poder nun futuro impartir clase nun instituto, e poder implementalas durante o
período de prácticas desenvolvidas no IES Agra do Orzán da Coruña.
Nese primeiro módulo xenérico do mestrado, adquirimos o coñecemento da evolución do
sistema educativo, e as diferentes reformas e contrarreformas que sufriu o mesmo nos últimos
DQRV��DFKHJiQGRQRV�i�LQPLQHQWH�DSOLFDFLyQ�GD�/HL�GD�0HOORUD�GD�&DOLGDGH�(GXFDWLYD��/20&(��
nos centros. A LOMCE xerounos moitas dúbidas tanto na universidade como logo no centro,
xa que aínda existen moitas incógnitas que non se sabe como se resolverán, feito que provoca
moita inseguridade no profesorado que teme sentirse continuamente avaliado, buscando a
consecución dos mellores resultados do alumnado nunha proba sen a preocupación de que
aprendan. Aínda así no instituto observamos unha actitude na que o prioritario é que o alumno
poida aprender os contidos e adquirir as diferentes competencias básicas. A asistencia ás
Xornadas sobre a LOMCE, organizadas na facultade, permitiunos analizar en profundidade as
SULQFLSDLV�UHIRUPDV�H�D�SUREDEOH�WHPSRUDOL]DFLyQ�GHVWDV��DtQGD�TXH�SRGHQ�VXIULU�PRGL¿FDFLyQV�
debido á demora na aprobación dos decretos que recollen os curriculums das materias.
Coñecer a realidade da situación da lingua no sistema educativo permitiunos poder poñer
máis atención na aula no período de prácticas, sobre cales eran as políticas lingüísticas que
VALORACIÓN PERSOAL E CONCLUSIÓNS
37
Valoración persoal e conclusións
se están a utilizar nos diferentes centros da nosa comunidade. A pesares de existir unha
lexislación que pretende promocionar o galego, algunhas veces nos centros este quédase
relegado unicamente á materia de lingua galega, incumprindo a normativa vixente.
Dentro do barrio do Agra do Orzán a labor do profesorado non é unicamente docente, senón
que teñen ademais un enfoque social, no que é moi importante a relación coas familias e
poder coñecer os motivos dos problemas dos estudantes, tanto no comportamento coma
no docente. Para poder realizar este labor é necesario que exista unha relación entre
o profesorado das distintas materias co profesorado titor do grupo, e que este poida falar
coa familia e indagar nos motivos. O traballo de titorización dun grupo é un traballo moi
JUDWL¿FDQWH�[D�TXH�HVWDEOHFHVH�XQKD�PDLRU�UHODFLyQ�FRQ�WRGR�R�DOXPQDGR��LVWR�SHUPLWH�TXH�D�
SHUVRD�TXH�DVXPH�D�WLWRUtD�SRLGD�VROXFLRQDU�GLIHUHQWHV�FRQÀLWRV�TXH�VH�SRGHQ�GHVHQYROYHU�QD�
aula ou orientar nas posibles saídas profesionais apoiada pola orientadora do centro. Tanto no
alumnado coma nas familias obsérvase un certo descoñecemento sobre o sistema educativo,
debido á continua reforma do mesmo, feito que xera dúbidas sobre as distintas materias
optativas, ou a organización escolar e o curriculum.
O acercamento á organización escolar, permitiunos que, unha vez dentro do centro,
puideramos coñecer e entender a estrutura e os diferentes documentos que regulan o
funcionamento do mesmo. A coordinación é imprescindible para que algo complexo como é un
centro de secundaria funcione correctamente. A asistencia a reunións de coordinación ou de
avaliación permitiunos ver como é a organización docente e o traballo que debería facer cada
profesor. Asemade puidemos comprobar como é a programación e as unidades didácticas que
utiliza o profesorado, moitas veces seguindo o propio libro de texto como principal elemento
para a elaboración da programación. Esta programación é adaptada en función do grupo, e
das características do alumnado non tendo que ser igual en cada grupo do mesmo nivel.
Algo interesante foi aprender a relación entre o desenvolvemento psicolóxico e o proceso
de aprendizaxe do alumnado dentro da aula e do sistema educativo.
A posibilidade de impartir docencia na área de matemáticas permitiunos introducir moitos
conceptos e algoritmos imprescindibles para outras materias, sendo necesario adquirir unha
competencia matemática para poder á vez adquirir outras competencias básicas.
Durante as prácticas salientáronse as principais diferenzas existentes entre a educación
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
38
secundaria obrigatoria e o bacharelato, tanto na docencia como na actitude do alumnado.
As diferenzas respecto á forma de abarcar a materia puidemos observalo na parte teórica das
materias de tecnoloxía para ESO e para Bacharelato, sendo a primeira unha docencia máis
experimental e potenciadora do descubrimento, fronte os contidos do Bacharelato que se
centra en aprender conceptos e desenvolver a súa aplicación a diferentes teorías, tendo como
PHWD�¿QDO�XQKD�SURED�DYDOLDGRUD�FRPR�VRQ�DV�3UREDV�GH�$FFHVR�i�8QLYHUVLGDGH��$GHPDLV�
a actitude do alumnado é diferente, mostrando maior interese e motivación no bacharelato
que na educación secundaria obrigatoria. Para intentar que o estudantado da ESO adquira
maior motivación é necesario que os contidos sexan o máis atractivos posible facendo que se
interesen pola materia e que eles sexan os que realmente fabrican o seu propio coñecemento.
(Q�FDPELR�QR�%DFKDUHODWR�R�DOXPQDGR�HVWi�FRPSOHWDPHQWH�FHQWUDGR�QXQKD�DYDOLDFLyQ�¿QDO��
polo que a dedicación e o traballo é moito maior, buscando uns obxectivos.
A realidade atopada nas prácticas foi que as aulas de secundaria eran numerosas, ao redor
dos 30 alumnos, o que provocaba que algúns deles se distraeran e non prestaran atención
unha vez non entendían algún concepto. A posibilidade de ser dous docentes na aula permitiu
poder atender a un maior número de alumnado, dándolle resposta a todos eles, facendo
posible un achegamento máis individualizado. Isto fainos pensar nas bondades da posibilidade
de que existira un profesor de apoio, que reduciría o ratio de alumnos por profesor e melloraría
a atención do alumnado nas diferentes clases, e podería ser un proceso a través do cal poder
incorporar ao novo profesorado a colaborar nun centro e ir adquirindo experiencia.
Os contidos desenvolvidos en didáctica da matemática, permitíronnos coñecer cales son
RV�SULQFLSDLV�SUREOHPDV��HUURV�RX�GL¿FXOWDGHV�TXH�SRGHQ�WHU�R�DOXPQDGR�DR�HVWDU�WUDEDOODQGR�
FRV� WHUPRV� PDWHPiWLFRV�� 0RLWRV� GHVWHV� SUREOHPDV�� HUURV� RX� GL¿FXOWDGHV�� HQFRQWUiPRORV�
posteriormente nas prácticas, nas que o alumnado podía posuír carencias a hora de traballar
con determinadas operacións ou conceptos. A posibilidade de analizar e poder descubrir a súa
orixe permite enfrontalos mediante a explicación dos conceptos. O coñecemento de diferente
material e recursos TICs permitiunos ter unha maior experiencia sobre eles e despois levar
DOJ~QV�GHVWDV� IHUUDPHQWDV�D�DXOD�PRGL¿FDQGR�D�PHWRGROR[tD� WUDGLFLRQDO� GH� LPSDUWLU� FODVH��
$� XWLOL]DFLyQ� GH� ¿JXUDV� WULGLPHQVLRQDLV� RX�D� SRVLELOLGDGH�GH�HODERUDU� RV� VyOLGRV� SODWyQLFRV�
D� WUDYpV�GD�SDSLURÀH[LD��SHUPLWH�DR�DOXPQDGR�DGTXLULU�XQKD�KDELOLGDGH�HVSDFLDO�i�YH]�TXH�
interactúa cos obxectos. Cada vez existen máis aplicacións ou ferramentas informáticas,
39
Valoración persoal e conclusións
como pode ser o GeoGebra, que permiten visualizar moitos dos conceptos abstractos das
matemáticas, permitindo que esta sexa máis sinxela e accesible para que o alumnado a poida
entender.
Os coñecementos de innovación educativa permitíronnos poder aplicalos posteriormente
no período de prácticas, e engadir novas actividades para tentar chegar de outra maneira ao
alumnado. Estas actividades serviron para engadir a utilización de novos recursos didácticos
que permiten dar unha nova forma de utilización didáctica nas aulas.
A posibilidade de levar adiante o deseño dunha unidade didáctica e impartila na aula,
permitiunos poder adquirir a parte complementaria que tiñamos adquirido nos módulos
HVSHFt¿FRV��QRV�TXH� WUDEDOODPRV�QD�HODERUDFLyQ�GDV�XQLGDGHV��2�SURFHVR�QRQ�p�SHFKDGR�
VHQyQ�TXH�p�QHFHVDULD�XQKD�FRQWLQXD�DYDOLDFLyQ�GD�XQLGDGH��H�D�V~D�PRGL¿FDFLyQ�HQ�IXQFLyQ�
da asimilación dos diferentes conceptos polo estudantado. É preciso día a día analizar o
WHPSR� GH� DSUHQGL]D[H� GHGLFDGR�� D�PRWLYDFLyQ�PRVWUDGD� QD� FODVH�� DV� GL¿FXOWDGHV�� ���� SDUD�
LQWHQWDU��FRDV�PRGL¿FDFLyQV�LQWURGXFLGDV��LU�PHOORUDQGR�R�SURFHVR�
'XUDQWH�WRGR�R�SURFHVR�E~VFDVH�XQKD�DSUHQGL]D[H�VLJQL¿FDWLYD�H�TXH�VH[D�R�SURSLR�DOXPQDGR�
o que co seu traballo e a experimentación constrúa o seu propio coñecemento, é dicir sexa
o protagonista do seu proceso de aprendizaxe. Ademais o docente de hoxe en día ten
que aprender continuamente do seu alumnado e a través deste proceso retroalimentar a
ensinanza coas achegas do alumnado, creando un espazo de aprendizaxe mutuo igualitario
e respectuoso.
Nivel de desenvolvemento persoal das competencias adquiridas
A valoración do desenvolvemento persoal das competencias adquiridas para ensinar dentro
da especialidade docente fíxose tendo en conta as referencias que aparecen no documento
marco do mestrado.
Considero que o desenvolvemento foi axeitado nas seguintes competencias asociadas ao
módulo xenérico:
�� (ODERUDU�SURSRVWDV�EDVHDGDV�QD�DGTXLVLFLyQ�GH�FRxHFHPHQWRV��GHVWUH]DV�H�DSWLWXGHV�
intelectuais e emocionais.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
40
�� &RxHFHU�D�HYROXFLyQ�KLVWyULFD�GR�VLVWHPD�HGXFDWLYR�QR�QRVR�SDtV�
�� 5HODFLRQDU�D�HGXFDFLyQ�FR�PHGLR�H�FRPSUHQGHU�D�IXQFLyQ�HGXFDGRUD�GD�IDPLOLD�H�D�
comunidade, tanto na adquisición de competencias e aprendizaxe como na educación
no respecto dos dereitos e liberdades, na igualdade de dereitos e oportunidades
entre homes e mulleres e na igualdade de trato e non-discriminación das persoas con
discapacidade.
�� &RPSUHQGHU�DV� LPSOLFDFLyQV�HGXFDWLYDV�GD�VLWXDFLyQ� � OLQJ�tVWLFD�JDOHJD�H�DGTXLULU�H�
DSOLFDU�FULWHULRV��HVWUDWH[LDV�H�UHFXUVRV�SHGDJy[LFRV�SDUD�SDUWLFLSDU�QD�SODQL¿FDFLyQ�H�QR�
desenvolvemento do plan lingüístico do centro.
�&RPSHWHQFLDV�DVRFLDGDV�DR�PyGXOR�HVSHFt¿FR�
�� &RxHFHU�R�YDORU�IRUPDWLYR�H�FXOWXUDO�GDV�PDWHULDV�FRUUHVSRQGHQWHV�i�HVSHFLDOL]DFLyQ�
�� &RxHFHU�RV�FRQWLGRV�TXH�VH�FXUVDQ�QDV�UHVSHFWLYDV�HQVLQDQ]DV�
�� &RxHFHU� FRQWH[WRV� H� VLWXDFLyQV� HQ� TXH� VH� XVDQ� RX� DSOLFDQ� RV� GLYHUVRV� FRQWLGRV�
curriculares.
�� )RPHQWDU�XQ�FOLPD�TXH� IDFLOLWH�D�DSUHQGL]D[H�H�SRxD�HQ�YDORU�DV�DFKHJDV�GRV�GDV�
estudantes.
�� &RxHFHU� H� DSOLFDU� SURSRVWDV� GRFHQWHV� LQQRYDGRUDV� QR� iPELWR� GD� HVSHFLDOL]DFLyQ�
cursada.
�� $QDOL]DU�FULWLFDPHQWH�R�GHVHPSHxR�GD�GRFHQFLD��GDV�ERDV�SUiFWLFDV�H�GD�RULHQWDFLyQ�
empregando indicadores de calidade.
Competencias asociadas ao Practicum
�� $GTXLULU� H[SHULHQFLD� QD� SODQL¿FDFLyQ�� QD� GRFHQFLD� H� QD� DYDOLDFLyQ� GDV� PDWHULDV�
correspondentes á especialización.
�� 'RPLQDU�DV�GHVWUH]DV�H�DV�KDELOLGDGHV�VRFLDLV�QHFHVDULDV�SDUD�IRPHQWDU�XQ�FOLPD�TXH�
facilite a aprendizaxe e a convivencia.
�� 3DUWLFLSDU� QDV� SURSRVWDV� GH�PHOORUD� QRV� GLVWLQWRV� iPELWRV� GH� DFWXDFLyQ� D� SDUWLU� GD�
UHÀH[LyQ�VREUH�D�SUiFWLFD�
41
Valoración persoal e conclusións
3HUR�WDPpQ�GXUDQWH�WRGR�R�PHVWUDGR�HQFRQWUDPRV�PRLWDV�GH¿FLHQFLDV�HQ�FRPSHWHQFLDV�TXH�
GHEHUtDPRV�DGTXLULU�GXUDQWH�R�PHVPR�H�TXH�¿QDOPHQWH�QRQ�DGTXLULPRV��FRPR�SRU�H[HPSOR�
a atención á diversidade nos centros ou adquirir unhas habilidades para traballar con
adolescentes. Algúns dos problemas para a adquisición das competencias foi a entrada en
FRQÀLWR�HQWUH�GLVWLQWDV�PDWHULDV�VREUH�R�PHVPR�FRQFHSWR��IHLWR�TXH�SURYRFRXQRV�LQVHJXULGDGH�
á hora de desenvolver as prácticas.
+RXER�PRLWRV�FRQFHSWRV�TXH�IRURQ�H[SOLFDGR�SRU�HQULED�H�QRQ�WUDEDOODGRV�R�VX¿FLHQWH�IDFHQGR�
que non foran asimilados por nós para levalos a aula.
A parte que máis nos aportou foi poder estar durante un mes e medio nun centro educativo
establecendo relacións co estudantado e vivindo en primeira persoa moitas das experiencias
das que goza un docente no día a día nas aulas e poder traballar co alumnado.
5HÀH[LyQ�¿QDO
Cando empecei o mestrado esperábame poder aprender moito máis do que agora, que
estou a rematar, vexo que adquirín neste último ano. As expectativas eran altas, buscando
unha formación que dera resposta a moitas das dúbidas que tiña sobre a docencia, pero
estas non foron resoltas ata que chegou o período de prácticas no que empezamos da man,
imprescindible, do titor a poder percibir cal é a verdadeira realidade docente. As prácticas
permitiron momentos de conversa co titor, para poder saber como é a verdadeira realidade
dos institutos e tamén cal é a organización, cales son os medos cando empezas a dar clase
cando aprobas as oposicións, como participas na organización do centro, ...
A posibilidade de desenvolver como Traballo Fin de Mestrado, unha investigación sobre
UHFXUVRV�HGXFDWLYRV�VXSyQ�XQ�SDVR�PiLV��QD�DSUR[LPDFLyQ�DR�PXQGR�GRFHQWH��HQOD]DQGR�RV�
coñecementos e a práctica previa co traballo que poderán realizar o alumnado de secundaria.
Algunha das dúbidas iniciais e algunhas máis seguen aí, pero coa experiencia e pouco a
pouco poderemos ir aprendendo cada vez mais sobre a docencia e a forma de organización
dos centros, onde posiblemente nun futuro poderemos estar dando clase.
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
42
�� $ORQVR��)��\�RWURV� ��������$SRUWDFLRQHV�DO�GHEDWH�VREUH� ODV�PDWHPiWLFDV�HQ� ORV�����
Simposio de Valencia. Valencia: Mestral.
�� $OVLQD��&���)RUWXQ\��-�0���3pUH]��5����������¢3RU�TXp�JHRPHWUtD"�3URSXHVWDV�GLGiFWLFDV�
para la ESO. Madrid: Síntesis.
�� $OVLQD��&���%XUJXpV��&���)RUWXQ\��-�0����������0DWHULDOHV�SDUD�FRQVWUXtU�OD�JHRPHWUtD��
Madrid: Síntesis.
�� $UL]D�� 0�� $��� 7UXMLOOR�� )�� �HGV��� �������� ([SHULHQFLDV� HGXFDWLYDV� HQ� DSUHQGL]DMH�
cooperativo. Granada: Grupo Editorial universitario. Recuperado o 7 de xuño, de: http://
fernandotrujillo.es/wp-content/uploads/2010/05/AC_libro.pdf
�� $]FiUDWH��3����������3UR\HFWR�GRFHQWH��'LGiFWLFD�GH�OD�PDWHPiWLFD��&iGL]��8QLYHUVLGDG�
de Cádiz.
�� &DUUHWHUR��$���/HyQ��-��$����������'HVDUUROOR�FRJQLWLYR�\�DSUHQGL]DMH�HQ�OD�DGROHVFHQFLD��
En J. Palacios, A. Marchesi, C. Coll (comps.) Desarrollo psicológio y educación, I.
Psicología Evolutiva (pp. 311-326).Madrid: Alianza Editorial
�� &KDPRVR�� -��� 5DZVRQ�� :�� �������� &RQWDQGR� OD� JHRPHWUtD�� 0DGULG�� 1LYROD� OLEURV�
ediciones.
�� 'HFUHWR� ��������� SROR� TXH� VH� UHJXODQ� DV� HQVLQDQ]DV� GD� HGXFDFLyQ� VHFXQGDULD�
REULJDWRULD�QD�&RPXQLGDGH�$XWyQRPD�GH�*DOLFLD�����������GH�[XOOR���'RFXPHQWR�2¿FLDO�
de Galicia, 136, 2007, 13 de xullo. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.edu.xunta.es/
ftpserver/portal/DXC/lexislacion/Lexislacion_secundaria_web.pdf
�� 'HOYDO�� -�� �������� /D� HVFXHOD� SRVLEOH�� &yPR� KDFHU� XQD� UHIRUPD� GH� OD� HGXFDFLyQ��
Barcelona: Ariel.
�� (VWUDGD��6���HG������������*HRPHWU\�PDNHV�PH�KDSS\��%DUFHORQD��,QGH[�%RRN�
�� )DWKPDQ�� $�� .��� \� .HVVOHU�� &�� �������� &RRSHUDWLYH� /DQJXDJH� /HDUQLQJ� LQ� 6FKRRO�
Contexts. Annual Review of Applied Linguistics, 13.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
43
5HIHUHQFLDV�ELEOLRJUi¿FDV
�� )HUQiQGH]��7���5RGUtJXH]��-����������&XHQWRV�JHRPpWULFRV��*UDQDGD��3UR\HFWR�6XU�GH�
Ediciones.
�� )LHUUR��$����������'HVDUUROOR�GH�OD�SHUVRQDOLGDG�HQ�OD�DGROHVFHQFLD��(Q�-��3DODFLRV��$��
Marchesi, C. Coll (comps.) Desarrollo psicológio y educación, I. Psicología Evolutiva (pp.
327-338).Madrid: Alianza Editorial
�� )UHLUH��3����������&DUWDV�D�TXLHQ�SUHWHQGH�HQVHxDU��0DGULG��%LEOLRWHFD�1XHYD�
�� )UHXGHQWKDO�� +�� �������� 0DWKHPDWLFV� DV� DQ� (GXFDWLRQDO� 7DVN�� 'RUGUHFKW�+ROODQG��
Reidel
�� *DOOHJR��'��-���3HxD��$����������/DV�7,&�HQ�*HRPHWUtD��6HYLOOD��(GLWRULDO�0$'�
�� *MHUGH��(����������2ULJDPL�7HVVHOODWLRQV��$ZH�,QVSLULQJ�*HRPHWULF�'HVLJQ��:HOOHVOOH\��
A K Peters.
�� *RQ]iOH]��$���7RUUHV��6����������/D�&LWD�\�5HIHUHQFLD�%LEOLRJUi¿FD��*XtD�EDVDGD�HQ�ODV�
normas APA. Buenos Aires: Biblioteca UCES. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.
XFHV�HGX�DU�ELEOLRWHFD�FLWDV�ELEOLRJUD¿FDV�$3$������SGI
�� *XLOOpQ��*����������(O�PXQGR�GH�ORV�SROLHGURV��0DGULG��6tQWHVLV�
�� *XLOOpQ�� *�� �GLU���� *XWLpUUH]�� $��� -DLPH�� $��� &iFHUHV�� 0�� �������� 0HPRULD� ¿QDO� GHO�
proyecto de investigación. La enseñanza de la geometría de sólidos en la E.G.B. Valencia.
Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.uv.es/gutierre/archivos1/textospdf/GutOtr92.pdf
�� ,QKHOGHU��%���3LDJHW��-����������'H�OD�ORJLTXH�GHO�O¶HQIDQW�j�OD�ORJLTXH�GH�O¶DGROHVFHQW��
París: P.U.F.
�� .DZDPXUD��0����������3RO\KHGURQ�RULJDPL�IRU�EHJLQQHUV��7RN\R��-DSDQ�3XEOLFDWLRQV�
�� /HL�2UJiQLFD��������GH�(GXFDFLyQ�����������GH�PDLR���%ROHWtQ�2¿FLDO�GR�(VWDGR��Q��
106, 2006, 4 de maio.
�� 0DUWtQH]��$���5LYD\D��)��-���FRRUG�����������8QD�PHWRGRORJtD�DFWLYD�\�O~GLFD�GH�HQVHxDU�
la geometría elemental. Madrid: Síntesis.
�� 0RUD��-��$����������*HRPHWUtD�GH�D\HU�\�GH�KR\��6XPD��Q������SS��������
Traballo Fin de Mestrado: Materiais e recursos para a ensinanza da xeometría en secundaria
44
�� 1HKULQJ��&��0���.QRUVW�'D�6LOYD��'���&H]DU�3R]]RERQ��0�&���������*HRPHWULD���8PD�
possibilidade de ensino de tridimensional para o bidimensional. Educação Matemática
em Revista-RS, nº 7, p. 69-78.
�� 3DODFLRV��-�� ��������¢4Xp�HV� OD�DGROHVFHQFLD"��(Q�-��3DODFLRV��$��0DUFKHVL��&��&ROO�
(comps.) Desarrollo psicológio y educación, I. Psicología Evolutiva (pp. 299-310).Madrid:
Alianza Editorial
�� 5HFRPHQGDFLyQ�GR�3DUODPHQWR�(XURSHR�H�GR�&RQVHOOR�����������GH�GHFHPEUR��'LDULR�
2¿FLDO�GD�8QLyQ�(XURSHD��Q����������������GH�GHFHPEUR�
�� 5XL]��1����������0HGLRV�\�UHFXUVRV�SDUD�OD�HQVHxDQ]D�GH�OD�JHRPHWUtD�HQ�OD�HGXFDFLyQ�
REOLJDWRULD��5HYLVWD�(OHFWUyQLFD�GH�'LGiFWLFDV�(VSHFt¿FDV��Q�����5HFXSHUDGR�R���GH�[XxR��
GH��KWWS���ZZZ�GLGDFWLFDVHVSHFL¿FDV�FRP�¿OHV�GRZQORDG���DUWLFXORV����SGI
�� GH�OD�7RUUH��(���0DWR��0��'����������$V�KDELOLGDGHV�FRJQLWLYR�OLQJ�tVWLFDV�QD�[HRPHWUtD�GD�
HGXFDFLyQ�VHFXQGDULD��,PSRUWDQFLD�H�GL¿FXOWDGH�GHQGH�R�SXQWR�GH�YLVWD�GR�SURIHVRUDGR��
Boletín das ciencias, nº 73, pág. 101. Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.enciga.
RUJ�¿OHV�EROHWLQV����0$B'HBODB7RUUHB)HUQDQGH]B&&B+DELOLGDGHVBFRJQLWLYDV�SGI
�� 9LOODUURHO��6���6JUHFFLD��1�� ��������0DWHULDOHV�GLGiFWLFRV�FRQFUHWRV�HQ�*HRPHWUtD�HQ�
primer año de Secundaria. Números. Revista Didáctica de Matemáticas, 78, pp. 73-94.
Recuperado o 7 de xuño, de: http://www.sinewton.org/numeros/numeros/78/Articulos_04.
�� 9LOODUR\D��)�� ��������(O�HPSOHR�GH� ORV�PDWHULDOHV�HQ� OD�HQVHxDQ]D�GH� OD�JHRPHWUtD��
Revista Interuniversitaria de Formación del Profesorado, n° 21, pp. 95-104. Recuperado
R���GH�[XxR��GH��KWWS���ZZZ�DXIRS�FRP�DXIRS�XSORDGHGB¿OHV�DUWLFXORV������������SGI
45
5HIHUHQFLDV�ELEOLRJUi¿FDV
VISTO E PRACE DO PROFESORADO TITOR DA UDC SOBRE O TFM
D.ª Mª Cristina Naya Riveiro, profesora titora do alumno Alberto Fortes Novoa, que
realizou o seu TFM do Mestrado Universitario en Profesorado de Educación Secundaria
Obrigatoria e Bacharelato, Formación Profesional e Ensino de Idiomas pola Universidade
da Coruña coa especialidade de Matemáticas (Itinerario de Tecnoloxía).
Considero que o seu traballo foi axeitado ás esixencias que se requirían, e dou o meu visto
e prace�SDUD�TXH�HVWH�VH[D�YDORUDGR�H�VRPHWLGR�D�FXDOL¿FDFLyQ��3DUD�TXH�DVt�FRQVWH�D�WRGRV�
os efectos, asino este documento no lugar e na data que se indican a seguir.
A Coruña, 10 de Xuño de 2014
Asdo. Mª Cristina Naya Riveiro
(Este documento debe acompañar a TFM que presentar o alumnado.)
1 Os criterios para outorgar este visto e prace serán exclusivamente os seguintes:
í� &RKHUHQFLD�HQWUH�D�SURSRVWD�H�R�VHX�GHVHQYROYHPHQWR��
í� ([LVWHQFLD�GRV�DSDUWDGRV�TXH�DSDUHFHQ�QD�SDUWH���GR�'RFXPHQWR�PDUFR�SDUD�D�HODERUDFLyQ�GR�7)0��RQGH�
se establece cal debe ser a estrutura deste.
í� ([LVWHQFLD�GH�FRQWDFWR�VX¿FLHQWH�HQWUH�R�D� WLWRU�D�H�R�D�DOXPQR�D�SDUD�HVWH�D�VHU�DVHVRUDGR�D�VREUH�R�
TFM, con dúas reunións como mínimo.
1. Exemplo de imaxenes a través das cales recoñecer formas (actividade 1)
���,QVWUXFLyQV�PRQWD[H�WDQJUDP��H�¿JXUDV�SDUD�UHDOL]DU��DFWLYLGDGH���
3. Exemplo de mosaicos e exemplos para traballar con eles (actividade 3)
4. Utilización do xeoplano para dibuxar formas xeométricas (actividade 4)
5. Trazado dos polígonos regulares inscritos nunha circunferencia (actividade 5)
���,QVWUXFLyQV�FRQVWUXFLyQ�GRV�SROLHGURV�D�WUDYpV�GD�SDSLURÀH[LD��DFWLYLGDGH���
7. Construción do omnipoliedro (actividade 9)
* Xunto os anexos hai varios papeis cadrados que servirán para facer os corpos
[HRPpWULFRV�D�WUDYpV�GD�SDSLURÀH[LD�
ANEXOS
47
Anexos
Formas
Cadrado Triángulos, trapecios e rectángulo. Pentágonos irregulares e rectángulos
Esfera Prismas Hexágonos
ANEXO 1
Exemplo de imaxenes a través das cales recoñecer formas (actividade 1)
Fotografías
ANEXO 1
Exemplo de imaxenes a través das cales recoñecer formas (actividade 1)
Modelo recortable do Tangram Figuras xeométricas para realizar coas pezas
ANEXO 2
Instrucións montaxe tangram, e figuras para realizar (actividade 2)
Mosaico nazarí Mosaico xeométrico Mosaico de Escher
Partimos analizando os movementos (translacións, rotacións e simetrías) que aparecen nos exemplos expostos, buscando as baldosas o módulo que se reptite e a partir dese módulo poder definir o elemento repetitivo.
AsAs instruccións son que a través do mosaico que teñen diante poidan investigar cal é a “figura xeradora” e a partir dela encontrar a “baldosa xeradora“, que é o paralelogramo decorado de área mínima, que a través de isometrías creará a “figura xeradora”.
ANEXO 3
Exemplo de mosaicos e exemplos para traballar con eles (actividade 3)
Xeoplano cuadrangular Xeoplano triangular Xeoplano circular
ANEXO 4
Utilización do xeoplano para dibuxar formas xeométricas (actividade 4)
Comezaremos trazando dous diámetros perpendiculares entre sí, que determinarán sobre a circunferencia dada os puntos A- B e 1-4
respectivamente. Co mesmo radio da circunferencia dada trazaremos un arco de centro en A, que nos determinará os puntos D e E
sobre a circunferencia, unindo devanditos puntos obteremos o punto F, punto medio do radio A-O.
Con centro en F trazaremos un arco de radio F-1, que determinará o punto G sobre a diagonal A-B. A distancia 1-G é o lado do
pentágono inscrito, mentres que a distancia O-G é o lado do decágono inscrito.
Para a construción do pentágono e o decágono, só resta levar devanditos lados, 5 e 10 veces respectivamente, ao longo da
circunferencia.
PENTÁGONO E DECÁGONO
Comezaremos trazando dous diámetros perpendiculares entre sí, que determinarán, sobre a circunferencia dada, os puntos 1-5 e
3-7 respectivamente.
A continuación trazaremos as bisectrices dos catro ángulos de 90º, formados pola diagonais trazadas, ditas bisectrices determinarán
sobre a circunferencia os puntos 2, 4, 6 e 8.
Unindo os puntos 1, 3, 5 e 7, obteremos o cadrado inscrito. E unindo os puntos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 8, obteremos o octógono inscrito.
CADRADO E OCTÓGONO
Comezaremos trazando dous diámetros perpendiculares entre si, que determinarán, sobre a circunferencia dada, os puntos A-B e 1-4
respectivamente.
A continuación, con centro en 1 e 4 trazaremos dous arcos, de radio igual ao da circunferencia dada, que nos determinarán, sobre ela,
os puntos 2, 6, 3 e 5. Por último con centro en B trazaremos un arco do mesmo radio, que nos determinará o punto C sobre a
circunferencia dada.
UnindoUnindo os puntos 2, 4 e 6, obteremos o triángulo inscrito. Unindo os punto 1, 2, 3, 4, 5 e 6, obteremos o hexágono inscrito. E unindo os
puntos 3 e C, obteremos o lado do dodecágono inscrito; para a súa total construción só teríamos que levar este lado, 12 veces sobre a
circunferencia.
TRIÁNGULO, HEXÁGONO E DODECAEDRO
ANEXO 5
Trazado dos polígonos regulares inscritos nunha circunferencia (actividade 5)
Insertar a aleta na ranura.
Insertar.
Dobrar polas 3 líneas de pliegue e facer unha forma montañosa.
Dobra sobre a línea marcada.(cada peza diferente)
Dobra sobre a línea marcada.
Dobra e desdobra. Dobra e desdobra.Estos son os módulos do tetraedro.
Une os dous puntos marcados e dobra. Dobra pola arista.
Dobra pola arista.
Necesitas dúas pezas iguais.Desdobra ambas e volve ao cadrado.
Dobra a metade e desdobla.
Coloca a esquina inferior esquerda na línea e dobra. Asegurate que
Necesitas 2 cadrados de papel do mesmo tamaño
TETRAEDRO
ANEXO 6
Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7)
Encaixa as dúas aletas do úlitmo módulo.
Levantar dobrando polas aristas marcadas.
Levantar dobrando polas aristas marcadas, inserta as aletas e fai unha forma de caixa.
Inserta.
Inserta.
Dobra pola cuarta parte.
Desdobra.
Este é o módulo do cubo. Necesitamos 6 módulos.
Aleta
Aleta
Bolsillo
Dobra a metade e desdobla.
Xunta a arista inferiorcoa arista da outra esquina e dobra.
Necesitas 6 cadrados de papel do mesmo tamaño
CUBO
ANEXO 6
Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7)
Insertar as aletas nos bolsillos
e facer unha forma de taza.Insertar a aletas no bolsillo
seguinte e facer o mesmo cos
outras tres.
Bolsillo
Aleta
Insertar.
Insertar os outros dous
módulos.O módulo do octaedro,
necesitamos 4 módulos.
Dobra sobre a línea
marcada.
Dobra sobre a línea
marcada.
Dobra e desdobra.
Dobra e desdobra.
Xunta a arista
esquerda coa liña
existente e dobra.
Xunta a arista esquerda
da capa superior coa
inferior e dobra.
Une os
dous puntos
marcados e
dobra.
Dobra pola arista.
Dobra pola arista.
Desdobra e volve ao cadrado.
Dobra a metade
e desdobla.
Coloca a esquina inferior
esquerda na línea e
dobra. Asegurate que
dobre pola esquina
inferior dereita.
Necesitas 4 cadrados de papel do mesmo tamaño
OCTAEDRO
ANEXO 6
Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7)
Insertar dous módulos como o diagrama.
Colocar dous módulos
enfentados.
BolsilloBolsillo
Aleta Aleta
Insertar todos os
módulos da mesma
maneira..
Insertar os outros
dous módulos.
O módulo do dodecaedro,
necesitamos 12 módulos.
O proceso
(vista superior)
Desdobra ata o cadrado.
Xunta a esquina
inferior coa liña
central e dobra.
Dobra a metade e
xunta as aletas.
Dobra polas dúas liñas marcadas.
Dobrar polas dúas
liñas marcadas.
Facer catro dobreces
polas liñas marcadas.
Dobra a esquina
superior xunto a inferior.
Dobra a capa superior
cara adiante. Fai o
mesmo co reverso.Abre o modelo. As
esquinas inferiores van
detrás das outras.
Xuntar os dous
puntos e dobrar.
Xuntar os dous
puntos e dobrar.
Dobra a metade e
desdobla. Fai o mesmo
na outra dirección.
Dobra e desdobraa arista
inferior ata a liña do
medio. Fai o mesmo coa
superior.
Dobra a arista inferior
ata a liña do medio. Fai
o mesmo coa superior.
Necesitas 12 cadrados de papel
do mesmo tamaño
DODECAEDRO
ANEXO 6
Instrucións construción dos poliedros a través da papiroflexia (actividade 7)
Para a construción do omnipoliedro, é necesario saber o tamaño do lado dalgunha das figuras para a partir desa saber as dimensións das outras. Tamén é importante pintar cada barra dunha cor para que unha vez montado poder distinguir os poliedros.
A súa construción é sinxela e permite que todo o alumnado se implique dunha maneira colaborativa.
ANEXO 7
Construción do omnipoliedro (actividade 9)