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MOacuteDULO TRES

AacuteMBITO CIENTIacuteFICO-TECNOLOacuteGICO MOacuteDULO TRES

BLOQUE 7 TEMA 1 CLASES DE NUacuteMEROS Y SUS APLICACIONES 1 LOS DISTINTOS TIPOS DE NUacuteMEROS

11 LOS NUacuteMEROS NATURALES 12 LOS NUacuteMEROS ENTEROS 13 LOS NUacuteMEROS RACIONALES 14 LOS NUacuteMEROS IRRACIONALES 15 LOS NUacuteMEROS REALES INTERVALOS NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA

2 INTRODUCCIOacuteN A LA HOJA DE CAacuteLCULO 21 HOJAS CELDAS Y RANGOS 22 OPERACIONES FOacuteRMULAS Y FUNCIONES

3 CAacuteLCULO DE PORCENTAJES LOS PORCENTAJES EN ECONOMIacuteA 31 CAacuteLCULO DE PORCENTAJES LOS PORCENTAJES Y LA HOJA DE CAacuteLCULO 32 AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES 33 LOS PORCENTAJES EN LA ECONOMIacuteA

4 ALGUNAS FACTURAS DE ANDAR POR CASA 41 EL RECIBO DE LA LUZ LA FACTURA DE LA LUZ 42 LA HIPOTECA

BLOQUE 8 TEMA 3 ECUACIONES Y SISTEMAS 1 INTRODUCCIOacuteN EL AacuteLGEBRA

11 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 12 VALOR NUMEacuteRICO DE UNA EXPRESIOacuteN ALGEBRAICA 13 MONOMIOS 14 POLINOMIOS

2 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 21 DEFINICIONES 22 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 23 RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 24 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 25 SISTEMAS DE ECUACIONES

3 PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS

BLOQUE 9 TEMA 5 GEOMETRIacuteA 1 REPASO DE GEOMETRIacuteA PLANA

11 UN POCO DE HISTORIA 12 PRIMEROS PROBLEMAS GEOMEacuteTRICOS 13 REPASO A LAS FIGURAS PLANAS ELEMENTALES

131 TRIAacuteNGULOS 132 CUADRILAacuteTEROS

2 POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIOacuteN 21 POLIEDROS

212 POLIEDROS REGULARES 213 PRISMAS 214 PIRAacuteMIDES

22 CUERPOS DE REVOLUCIOacuteN 221 CILINDRO 222 CONO 223 ESFERA

23 AacuteREAS Y VOLUacuteMENES

OPERACIONES MATEMAacuteTICAS REPASO DEL MOacuteDULO TRES

AacuteMBITO CIENTIacuteFICO-TECNOLOacuteGICO Repaso-1

I1 CONJUNTOS NUMEacuteRICOS Seguacuten las necesidades que se han ido produciendo para contar diferentes realidades los humanos hemos ideado diferentes tipos de nuacutemeros que dan respuesta a eacutestas

a) Nuacutemeros Naturales (su conjunto se representa con N) permiten contar animales cosas etc N = 0 1 2 3 4 5

b) Nuacutemeros Enteros (Z) permiten contar ldquolas deudasrdquo es decir incluyen nuacutemeros ne-gativos Z= -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

c) Nuacutemeros Racionales (Q) permiten representar porciones de un todo

Q= 512minus

21minus

86minus

10

94

27

315

d) Nuacutemeros Irracionales (I) como 2

e) Nuacutemeros Reales (R) incluyen todos los anteriores I2 OPERACIONES CON NUacuteMEROS Y PROPIEDADES En general con todos los tipos de nuacutemeros anteriores es posible realizar operaciones baacute-sicas como la suma resta multiplicacioacuten y divisioacuten que ya conoceraacutes Conviene tener en cuenta en todas ellas unas propiedades que pueden serte de mucha utilidad - Lo primero que debes saber es que todas estas operaciones se definen para dos nuacuteme-ros (podriacuteamos decir que son operaciones lsquobinariasrsquo) Por eso por ejemplo cuando que-remos hacer 2+2+3 decimos ldquodos y dos cuatro y tres sieterdquo por supuesto todos lo sa-bemos hacer pero fiacutejate en que has hecho dos sumas y en cada una de ellas soacutelo juntas dos nuacutemeros iexclno tres Las siguientes propiedades te ayudaraacuten a solucionar muchos ca-sos (el nombre es lo de menos fiacutejate en los ejemplos)

SUMA MULTIPLICACIOacuteN

Propiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo

CONMUTATIVA a+b=b+a 3+2=2+3

5=5 amiddotb=bmiddota

3middot2=2middot3 6=6

ASOCIATIVA a+(b+c)=(a+b)+c 5+(1+6)=(5+1)+6

5+7=6+6 12=12

amiddot(bmiddotc)=(amiddotb)middotc 2middot(3middot7)=(2middot3)middot7


ELEMENTO NEUTRO

a+0=a 7+0=7 amiddot1 = a 7middot1=7

ELEMENTO OPUESTO

a+(-a)=0 3+(-3)=0

3-3=0 -------------------- ---------------------

ELEMENTO INVERSO

------------------------ ----------------------- amiddota1 =1 (si a0) 5middot

51 = 1

55

51middot5 ==

DISTRIBUTIVA amiddot(b+c)=amiddotb+amiddotc 3middot(2+7) = 3middot2 + 3middot7

3middot9 = 6 + 21 27 = 27

- Una de las consecuencias de lo anterior es que con la existencia del opuesto la resta se equipara a una suma (del minuendo con el opuesto del sustraendo) - De igual modo con la existencia del inverso la divisioacuten se equipara a la multiplicacioacuten (del dividendo por el inverso del divisor) - Otra consecuencia es una regla baacutesica cuando aparecen operaciones combinadas ldquocuando hay varios nuacutemeros entre los que aparecen sumas restas multiplicaciones y divisiones la PRIORIDAD la tienen la multiplicacioacuten o divisioacuten (ambas con igual prioridad) y luego las sumas o restas salvo que haya pareacutentesis o corchetes que modifican esta prioridadrdquo

REPASO DEL MOacuteDULO TRES OPERACIONES MATEMAacuteTICAS

Repaso-2 AacuteMBITO CIENTIacuteFICO-TECNOLOacuteGICO

Ejemplos a) 3middot4+2 = 12+2 =14 b) 3middot(4+2) = 3middot6 =18 Fiacutejate coacutemo con los mismos nuacutemeros y operaciones el resulta-

do es distinto con el pareacutentesis - Regla de los signos en la multiplicacioacuten (o divisioacuten) - Suma de fracciones si tienen el mismo denominador se suman los numeradores y se

deja el mismo denominador 84

81

83 =+

Cuando los denominadores no son iguales (que es lo normal) es necesario obtener frac-ciones equivalentes a las dadas que siacute tengan los denominadores iguales (para ello basta

multiplicar su numerador y denominador por el mismo nuacutemero Ejemplo 1015

5middot25middot3

23 == es

decir 23 y

1015 son equivalentes y representan la misma cantidad)

Hay dos formas de obtener este comuacuten denominador

a) Multiplicando todos los denominadores entre siacute db

bcda

db

bc

db

da

d

c

b

a

middot

middotmiddot

middot

middot

middot

middot +=+=+

Ejemplo 12

52

12

1042

6middot2

2middot56middot7

6

5

2

7=

+=

+=+

b) Obteniendo el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo (mcm) de los denominadores y usando eacuteste co-mo comuacuten denominador para lo cual habraacute que multiplicar cada numerador por el nuacutemero que multiplicado por el denominador original da el mcm Recuerda que el mcm de varios nuacutemeros se obtiene multiplicando entre siacute los factores primos comunes y no comunes con mayor exponente de los nuacutemeros de los que se quiere calcular En el ejemplo anterior mcm(2 y 6) = 6 luego

6

26

6

521

6

5

6

21

6

5

3middot2

3middot7

6

5

2

7=

+=+=+=+

El resultado como puedes imaginar es equivalente al anterior 12

52

2middot6

2middot26

6

26==

La ventaja de usar el mcm es que en general conduce a nuacutemeros maacutes pequentildeos evi-tando posibles errores Su inconveniente es que hay que entretenerse en factorizar y ob-tener el mcm - Producto de fracciones se multiplican numeradores entre siacute y denominadores entre siacute

(en lsquohorizontalrsquo) db

ca

d

c

b

a

middot

middotmiddot = Ejemplo

20

21

5middot4

7middot3

5

7middot

4

3==

- Divisioacuten de fracciones se multiplican numeradores y denominadores lsquoen cruzrsquo

cb

da

d

c

b

a

middot

middot = Ejemplo

28

15

7middot4

5middot3

5

7

4

3==

- Fracciones equivalentes representan al mismo nuacutemero aunque tengan aspecto dife-rente (numerador y denominador) luego al dividirlas entre siacute daraacuten por resultado 1 o lo

que es lo mismo cbdad

c

b

amiddotmiddot ==

(+)middot(+) = (+)

(+)middot(-) = (-)

(-)middot(+) = (-)

(-)middot(-) = (+)



- Siacutembolos matemaacuteticos en el anterior cuadro aparece el siacutembolo que se lee ldquoimpli-

cardquo y equivale a decir ldquo y en consecuencia rdquo Ademaacutes de eacuteste en matemaacuteticas se usan muchos otros entre los cuales puedes encontrarte estos

Identidad Tal que lt Menor que

Pertenece a Conjunto gt Mayor que No pertenece a Implica (directa)

Existe Implica (inversa)

Para todo Doble implicacioacuten

- Potencias definicioacuten de potencia natural vecesn

n aaaaa middotmiddot= Ejemplo 34 = 3middot3middot3middot3 = 81

Propiedades Ejemplos qpqp aa middot)( = 642)2( 623 ==

qpqp aaa +=middot 3222middot2 523 == ppp baba middot)middot( = 369middot43middot2)3middot2( 222 ===

p

pp

b

a

b

a=

243

32

3

2

3

25

55

==

qp

q

p

aa

a minus= 4222

2 235

3

5

=== minus

p

p

aa

1=minus

8

1

2

12

3

3 ==minus

aaaa pp pp == )(11

2222)2(22 13middot33 3

3

3

1

3

1

3

1

=====

010 = aa 120 =



EJERCICIOS DE OPERACIONES CON NUacuteMEROS 1ordm) Realiza las siguientes operaciones con nuacutemeros enteros

a) (-2)middot(-5)+6middot(7-1) = b) 5middot(3+4) ndash2middot(9+21) = c) 3middot(2middot8)+12-405 = d) (9-5)middot(6+4)+(3middot4)2 = e) 2middot(-3)+(5-7)middot9-82+1 = f) [2-3middot(6+4)5]middot9+(2-1)middot6 = g) -5middot(-4)+8(3+5) = h) 3-5middot[3-2middot(-1)middot(4+2middot(3-6)3)] =

2ordm) Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado cuando sea posible

a) =minus2

5

7

12

c) =21

5

10

14

b) =4

9

5

3

d) =minus+9

2

6

1

3

4

e) =

minus+

minusminus

4

3

2

1

5

3

5

42

7

29

g) =

++

+

minus

20

7

5

4

3

1

6

1

4

1

3

2

f) =+

+

10

7middot

7

8

6

1

4

9

5

3middot

2

5

h) =

minus

15

2

9

2

6

1middot

3

4

3ordm) Escribe el opuesto y el inverso de los siguientes nuacutemeros

Nuacutemero Opuesto Inverso

12

-5

2

1

3

2minus

4ordm) Calcula el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo (mcm) de los siguientes nuacutemeros a) 36 y 54 b) 12 20 y 36

5ordm) Realiza las siguientes operaciones con potencias simplificando al maacuteximo cuando sea posible

a) =2)2middot3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5middot5

d) =2

42

15

5middot3

TEMA 1 CLASES DE NUacuteMEROS Y SUS APLICACIONES MOacuteDULO TRES

BLOQUE 7 DEL AacuteMBITO CIENTIacuteFICO-TECNOLOacuteGICO lt1gt

1 LOS DISTINTOS TIPOS DE NUacuteMEROS 11 LOS NUacuteMEROS NATURALES 12 LOS NUacuteMEROS ENTEROS 13 LOS NUacuteMEROS RACIONALES 14 LOS NUacuteMEROS IRRACIONALES 15 LOS NUacuteMEROS REALES INTERVALOS LA NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA

2 INTRODUCCIOacuteN A LA HOJA DE CAacuteLCULO 21 HOJAS CELDAS Y RANGOS SELECCIONAR CORTAR COPIAR PEGAR Y DESHACER TIPOS DE DATOS 22 OPERACIONES FOacuteRMULAS Y FUNCIONES


-EL IMPUESTO SOBRE EL VALOR ANtildeADIDO (IVA) -EL INTEREacuteS SIMPLE -EL IacuteNDICE DE PRECIOS AL CONSUMO (IPC)


-EL TIPO DE INTEREacuteS -TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE) -EL RECIBO DE LA HIPOTECA

1 LOS DISTINTOS TIPOS DE NUacuteMEROS Antes de llegar a las cuentas que realizamos en nuestras casas en la vida diaria vamos a hacer un repaso por los diferentes tipos de nuacutemeros que nos podemos encontrar y coacutemo los representamos 11 LOS NUacuteMEROS NATURALES El primer tipo de nuacutemeros del que tenemos que hablar son aquellos que nos permiten contar Por ejemplo son los que nos permiten decir dos manzanas cinco libros siete cartashellip Los nuacutemeros naturales son aquellos que pensamos y nos vienen a la cabeza sin maacutes son positivos sin decimales sin fraccioneshellip es decir naturales Los nuacutemeros naturales fue-ron los primeros que manejoacute el ser humano Eacutestos se representan con el siguiente siacutembo-lo N y son

N = 0 123456715166667681234512346 En los nuacutemeros naturales siempre que se tenga un nuacutemero existe su siguiente que se obtiene del anterior sumaacutendole uno A la hora de ordenar los nuacutemeros naturales estos siguen el orden loacutegico el 0 es menor que 1 el 1 es menor que 2 el 3 es menor que 4hellip el 66 es menor que 67hellip Para decir que un nuacutemero es menor que otro en matemaacuteticas usamos el siacutembolo lt y pa-ra decir que un nuacutemero es mayor que otro escribimos gt De esta forma la frase anterior quedariacutea de la siguiente forma 0 lt 1 lt 2 lt 3 lt 4 lt lt 66 lt 67 lt Si lo escribimos de mayor a menor gt 67 gt 66 gt gt 4 gt 3 gt 2 gt 1 gt 0

iexcliexclOJO Para no confundirte con los signos ldquoltrdquo y ldquogtrdquo recuerda lo siguiente La parte abierta del aacutengulo debe ldquomirarrdquo al nuacutemero mayor y el veacutertice al nuacutemero menor nordm menor lt nordm mayor nordm mayor gt nordm menor

MOacuteDULO TRES TEMA 1 CLASES DE NUacuteMEROS Y SUS APLICACIONES

lt2gt BLOQUE 7 DEL AacuteMBITO CIENTIacuteFICO-TECNOLOacuteGICO

La representacioacuten graacutefica de los nuacutemeros naturales se hace sobre una semirrecta horizon-tal donde el extremo izquierdo es el 0 Desde aquiacute se divide la semirrecta en partes igua-les y en cada marca vamos situando los nuacutemeros ordenados de menor a mayor

Antes de seguir adelante deberiacuteas repasar coacutemo se opera con los nuacutemeros naturales 12 LOS NUacuteMEROS ENTEROS iquestCuaacutel es el resultado de la operacioacuten 5 ndash 8 iquestEs un nuacutemero natural Como ya habreacuteis contestado la respuesta es -3 pero iquestes este nuacutemero un nuacutemero natu-ral Efectivamente NO Los nuacutemeros naturales son del 0 1hellip y todos positivos los nega-tivos no son nuacutemeros naturales La necesidad de tener nuacutemeros negativos es lo que nos lleva a definir los Nuacutemeros Ente-ros que no son ni maacutes ni menos que los nuacutemeros naturales y estos mismos con signo negativo es decir

Z = -1234-1233-78-77-3-2-10+1+2+3+77+78+1233+1234 A los nuacutemeros enteros se les identifica con el siacutembolo Z La primera consecuencia de lo que hemos escrito anteriormente es que todos los nuacuteme-ros naturales son nuacutemeros enteros pero no todos los nuacutemeros enteros son nuacutemeros natu-rales La gran diferencia entre los nuacutemeros naturales y los nuacutemeros enteros es que los nuacutemeros enteros tienen opuesto mientras que los nuacutemeros naturales no Todo nuacutemero entero tiene anterior y siguiente esto es dado un nuacutemero entero siempre puedo escribir un nuacutemero mayor y un nuacutemero menor que eacutel simplemente con sumarle o restarle uno El opuesto de un nuacutemero entero es el mismo nuacutemero pero cambiado de signo

EJEMPLOS

1 El opuesto de -5 es +5 2 El opuesto de +8 es -8 3 El opuesto de -17 es 17 4 El opuesto de 4 es -4 5 El opuesto de 0 es 0



REPRESENTACIOacuteN DE LOS NUacuteMEROS ENTEROS Para representar los nuacutemeros enteros seguimos los siguientes pasos

1 Trazamos una recta horizontal y situamos en ella el 0 que divide la recta en dos semirrectas

2 Dividimos cada una de las dos semirrectas en partes iguales

3 Situamos los nuacutemeros enteros sobre las semirrectas Los enteros positivos a la de-

recha del cero y los enteros negativos a la izquierda del cero

Es decir quedariacutea de la siguiente forma

positivosenterosnegativosenteros

⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ rarr⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯ +++++++minusminusminusminusminusminusminus 76543211234567 0

Veamos ahora lo que se llama valor absoluto de un nuacutemero que se representa escri-

biendo el nuacutemero entre dos barras verticales ( 7minus valor absoluto de -7)

El valor absoluto de un nuacutemero entero es el nuacutemero natural que se obtiene al qui-

tarle el signo al nuacutemero inicial luego 77 =minus

EJEMPLOS

a) 55 =+ b) 1212 =minus c) 1414 = d) 88 =minus

A la hora de ordenar los nuacutemeros enteros se cumplen las siguientes reglas 1 Cualquier nuacutemero entero positivo es mayor que cualquier nuacutemero entero ne-

gativo Ejemplo 83minus

2 El cero es mayor que cualquier nuacutemero entero negativo y menor que cual-quier nuacutemero entero positivo Ejemplo 906 minus

3 Dados dos nuacutemeros enteros positivos es mayor el que tiene mayor valor ab-

soluto Ejemplo 196191966196 =+=+++ yy

4 Dados dos nuacutemeros enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto Ejemplo

715157151577157 minusminus=minus=minusminusminus quecumplesecomoyy

Si te cuesta trabajo recordar estas reglas no olvides que otra forma de saber cuaacutendo un nuacutemero entero es mayor o menor que otro es situar ambos nuacutemeros en la recta numeacuteri-ca el menor de ellos es el que queda maacutes a la izquierda Para continuar repasa las operaciones con nuacutemeros enteros Puedes practicar con nuacutemeros enteros en esta direccioacuten de internet httpdescartescnicemecesmateriales_didacticosenterosdespintroduccionenteroshtm



13 LOS NUacuteMEROS RACIONALES A pesar de que los nuacutemeros enteros mejoran y complementan a los nuacutemeros naturales

iquestel nuacutemero 4

3es natural enterohellip Lo cierto es que ni es natural ni es entero es un nuacute-

mero racional Los nuacutemeros racionales nacen de la necesidad de dividir

Algunos ejemplos de nuacutemeros racionales son 3

8

5

3

2

7

4

5

minusminus

minus

Los nuacutemeros racionales son aquellos que podemos expresar mediante una fraccioacuten con algunas condiciones especiales

Una fraccioacuten es de la forma b

a donde a recibe el nombre de numerador y b denomina-

dor De esta forma un nuacutemero racional es una fraccioacuten donde

1 a y b son nuacutemeros enteros 2 b no puede ser 0

A todos los nuacutemeros racionales se les designa con el siacutembolo Q Todo esto puede escribirse un poco maacutes formalmente asiacute

= 0 bZbZab

aQ

Y lo leeriacuteamos asiacute ldquoEl conjunto de los nuacutemeros racionales Q estaacute formado por los nuacuteme-

ros b

a tales que a y b pertenecen al conjunto de los nuacutemeros enteros Z no pudiendo ser

b el nuacutemero cerordquo iquestComprendes ahora por queacute los matemaacuteticos en lugar de esta frase tan larga prefieren utilizar unos siacutembolos que te pareceraacuten muy extrantildeos Es el lenguaje formal de los ma-temaacuteticos en el que el siacutembolo significa ldquotal querdquo (es un enlace a la hora de escribir en matemaacuteticas) el siacutembolo significa ldquopertenece ardquo luego Za significa que a pertenece

a los nuacutemeros enteros Algunas consecuencias inmediatas de la definicioacuten de nuacutemero racional son las siguientes

1 Todo nuacutemero natural es racional Ejemplo 2

42 =

2 Todo nuacutemero entero es racional Ejemplo 2

63

minus=minus

3 Todos los nuacutemeros racionales salvo el cero tienen inverso Esta es la ca-racteriacutestica maacutes importante que diferencia a los racionales de los enteros ya que en los nuacutemeros enteros solamente el 1 tiene inverso que es el mismo

Dado un nuacutemero racional b

a su inverso es

a

b

EJEMPLOS

1ordm) El inverso de 6

7es

7

6 2ordm) El inverso de

5

3minuses

3

5

minus



REPRESENTACIOacuteN DE NUacuteMEROS RACIONALES Veamos con un ejemplo los pasos a seguir para representar los nuacutemeros racionales Su-

pongamos que queremos representar el nuacutemero racional 2

3

1 Dibujamos la recta numeacuterica

2 Dividimos cada segmento unidad en b partes iguales en nuestro caso

2=b (Un segmento unidad es el trozo de recta que hay comprendido entre

dos nuacutemeros consecutivos de la recta numeacuterica)

3 Contamos a partes de en las que hemos dividido ahora la recta desde el 0

y en el sentido de su signo en nuestro caso 3=a y como es positivo con-

tamos desde el 0 hacia la derecha Luego

Ejemplo Representamos el nuacutemero 3

4minus

Para completar el estudio de la representacioacuten tanto de nuacutemeros racionales como de nuacutemeros enteros en la siguiente paacutegina web hay ejercicios que puedes realizar en tu cuaderno y corregirlos en la aplicacioacuten que hay en la misma paacutegina en la esquina superior derecha donde dice ldquoSoftware para practicarrdquo httpwwwcidseitcraccrrevistamateAportesPeTeoriaRacionalesMod2node1html

A la hora de saber cuaacutendo un nuacutemero racional es mayor o menor que otro la forma maacutes faacutecil de hacerlo es representando ambos nuacutemeros en la recta numeacuterica y el que esteacute maacutes a la izquierda es el menor

De esta forma con los dos ejemplos que hemos usado anteriormente 2

3

3

4

minus

Este es el momento de repasar las operaciones con nuacutemeros racionales He aquiacute algunos enlaces interesantes

httpdescartescnicemecesmateriales_didacticosfraccionesindexhtm httpdescartescnicemecesmateriales_didacticosFracciones_decimales_porcentajesindexhtm



14 LOS NUacuteMEROS IRRACIONALES Ya hemos visto los nuacutemeros naturales enteros y racionales pero auacuten queda un tipo de nuacutemeros estos son los nuacutemeros irracionales Estos nuacutemeros son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no perioacutedicas Algunos

de estos nuacutemeros son 32

Para saber si un nuacutemero irracional es mayor o menor que otro se hace de forma aproxi-mada Puede calcularse el nuacutemero en la calculadora se representa aproximadamente en la recta numeacuterica y el que se quede maacutes a la izquierda es el menor 15 LOS NUacuteMEROS REALES

A lo largo de este tema hemos estudiado los

nuacutemeros naturales enteros racionales e irracio-

nales a todos estos nuacutemeros juntos se les llama

nuacutemeros reales

Los nuacutemeros reales se representan sobre la recta numeacuterica que toma el nombre de los nuacutemeros que contiene y se denomina recta real

INTERVALOS Una vez vista la recta real donde estaacuten representados todos los tipos de nuacutemeros que hemos estudiado se llama intervalo determinado por dos nuacutemeros reales a todos los nuacute-meros que se pueden representar en la recta real entre ambos es decir a todos los nuacute-meros que puedo colocar en el segmento de recta real determinado por dos nuacutemeros reales EJEMPLO El intervalo entre -1 y 2 es graacuteficamente la zona coloreada de rojo en la recta real

A los nuacutemeros que determinan el intervalo se les denomina extremos Dependiendo de si los extremos se incluyen en el intervalo o no la forma de escribirlo matemaacuteticamente variacutea Cuando los extremos pertenecen al intervalo se usan los siacutembo-

los oacute Sin embargo cuando los extremos no estaacuten dentro del intervalo se usan los

siacutembolos ( )oacute Los extremos a la hora de escribir se ponen con el nuacutemero menor a la

izquierda y el mayor a la derecha Una propiedad importante de los intervalos es que estaacuten formados por infinitos nuacutemeros reales Veamos algunos ejemplos para ilustrar lo anterior

1 Intervalo 21minus es el que tenemos representado en el dibujo anterior En este caso

hemos considerado que tanto el -1 como el 2 estaacuten dentro del intervalo

2 Intervalo )21minus parece igual que antes pero en este caso el 2 no estaacute en el inter-

valo es decir son todos los nuacutemeros comprendidos entre el -1 (inclusive) hasta el 2 (sin incluir)

O



3 Intervalo ( 21minus se diferencia del anterior en que ahora el 2 siacute estaacute en el intervalo

pero no el ndash1

4 Intervalo ( )21minus en este caso ninguno de los dos extremos estaacuten incluidos en el in-

tervalo es decir son todos los nuacutemeros desde el -1 al 2 pero sin incluir ninguno de estos dos

LA NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA Cuando hay que expresar el nuacutemero de ceacutelulas que hay en el cuerpo humano nos en-contramos con que son aproximadamente 50000000000000 es decir cincuenta billo-nes Sin embargo cuando hablamos del tamantildeo de los aacutetomos nos encontramos con que es de unos 00000000001 metros es decir una diezmilmilloneacutesima de metro Es evidente que para expresar cantidades como eacutestas (muy grandes o muy pequentildeas) puede ser conveniente hacerlo con ayuda de las potencias de base10 (ya que nuestro sistema de numeracioacuten estaacute basado en diez diacutegitos) Para ello empezaremos recordando las principales caracteriacutesticas de estas potencias de base de diez que no suponen maacutes que un caso especial dentro del conjunto de las po-tencias Fiacutejate queacute faacutecil es su caacutelculo Potencias de base 10 y exponente positivo 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 106 = 1 000 000 109 = 1 000 000 000 1012 = 1 000 000 000 000 1015 = 1 000 000 000 000 000 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000

Cualquier potencia de base 10 y exponente positivo es igual a 1 seguido de tan-tos ceros como indique el exponente

Potencias de base 10 y exponente positivo aplicando las reglas de las potencias de ex-ponente negativo pueden escribirse nuacutemeros decimales muy pequentildeos

00101000

110

010100

110

1010

110

3

2

1

==

==

==

minus

minus

minus

El valor absoluto del exponente indica el lugar que ocupa la cifra 1 a la dere-cha de la coma



10-1 = 01 10-2 = 001 10-3 = 0001 10-6 = 0000001 10-9 = 0000000001 10-12 = 0000000000001 10-15 = 0000000000000001 10-18 = 0000000000000000001 10-21 = 0000000000000000000001 Aprovechemos las anteriores propiedades para escribir los nuacutemeros de los dos ejemplos anteriores

1350000000000000 5 10000000000000 5middot10= = 135middot10 es la notacioacuten cientiacutefica de 50000000000000

10 10

10

1 100000000001 1 10 10

10000000000 10

minus minus= = = =

1010minus es la notacioacuten cientiacutefica de 00000000001

Para escribir un nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica basta con expresarlo como el producto de un nuacutemero (entero o decimal) comprendido entre 1 y 10 (llamado mantisa) y una poten-cia de base 10

Veamos algunos ejemplos maacutes

a) 529000000 = 529middot108 b) 590000000000 = 59middot1011 c) 0000987 = 987middot10-4 d) 0000000045 = 45middot10-8

Volviendo a las ceacutelulas sabemos que su tamantildeo es muy pequentildeo Por poner un ejemplo el diaacutemetro de una ceacutelula de la hoja del peral es de 00000074 m que escrito en notacioacuten cientiacutefica seriacutea 74middot10-6 m Seguro que recuerdas que en el nuacutecleo de las ceacutelulas se encuentran los cromosomas y que estos estaacuten formados por ADN que como tambieacuten recordaraacutes forma unas cadenas bastante largas enrolladas en lo que se llama ldquodoble heacutelicerdquo Pues bien el diaacutemetro de cada espira de la heacutelice es de 2middot10-9 m iquestY te gustariacutea saber el volumen que ocupa una de esas espiras Pues ldquonada menosrdquo que 107middot10-20 cm3 iquestTe atreveriacuteas a escribir este nuacutemero en forma decimal y sin equivocarte Para los cientiacuteficos que se ocupan de estudiar fenoacutemenos y objetos de dimensiones muy grandes como los que se estudian en astronomiacutea por ejemplo la notacioacuten cientiacutefica es muy uacutetil porque les permite trabajar con nuacutemeros muy grandes con cierta facilidad La distancia que nos separa de la nebulosa de Androacutemeda por ejemplo es aproximada-mente igual a 95000000000000000000 km Para expresar este nuacutemero en notacioacuten cientiacutefica basta con

1 Escribir las cifras significativas (95) colocando una coma a la derecha de la prime-ra cifra (95)

2 Contar las cifras que hay a la derecha del 9 (19 en total) lo que nos daraacute el expo-nente al que hay que elevar el 10

Por lo tanto en este ejemplo 1995000000000000000000 95 10km km=

Para escribir en notacioacuten cientiacutefica nuacutemeros muy pequentildeos actuamos de forma parecida soacutelo que en este caso el exponente del 10 seraacute negativo



Como ejemplo tomemos el nuacutemero 0000987 Para escribirlo en notacioacuten cientiacutefica hare-mos lo siguiente

1 Escribir las cifras significativas (987) colocando una coma a la derecha de la pri-mera (987)

2 Contar el lugar que ocupa la primera cifra significativa a partir de la coma Esto nos daraacute el valor absoluto del exponente (negativo)

Por lo tanto tendremos 4108790009870 minus=

Aproximacioacuten de nuacutemeros muy grandes cuyas cifras no son ceros

Con nuacutemeros muy grandes o muy pequentildeos es frecuente hacer aproximaciones des-preciando cifras que no son significativas y sustituyeacutendolas por ceros Por ejemplo la dis-tancia entre el Sol y la Tierra es 149597870691 metros o 149597870691 kiloacutemetros Trataacutendose de millones de kiloacutemetros cien mil kiloacutemetros maacutes o menos son insignificantes por lo que podemos redondear o aproximar este nuacutemero y sustituir algunas cifras por ceros Podriacuteamos decir que la distancia maacutexima del Sol a la Tierra es aproximadamente 149600000 kiloacutemetros (o 149600000000 metros) y si lo queremos expresar con nota-cioacuten cientiacutefica pondremos 1496middot108 km (1496middot1011 m) Aunque no hay un liacutemite establecido para el nuacutemero de decimales de la mantisa se acos-tumbra a no poner maacutes de tres Ejemplos 1- Expresa con notacioacuten cientiacutefica los siguientes nuacutemeros

237000 = 237middot105 128500000000000 = 1285middot1014 860000000000000000 = 86middot1017

2- Expresa con notacioacuten decimal los siguientes nuacutemeros 324middot105 = 324middot100000 = 3240000 47middot108 = 47middot100000000 = 470000000 5859middot106 = 5859middot1000000 =5859000

3- Expresa con notacioacuten cientiacutefica el nuacutemero de habitantes que habiacutea en el mundo en el antildeo 2005 en el que se contabilizaron 6525170264 habitantes que aproximadamente

es 6525000000 es decir 6525middot109 habitantes En este caso se comprende mejor si lo

expresamos diciendo que habiacutea unos seis mil quinientos millones de habitantes Operaciones con nuacutemeros expresados en notacioacuten cientiacutefica La notacioacuten cientiacutefica tambieacuten es uacutetil para realizar operaciones con nuacutemeros muy grandes o muy pequentildeos de forma faacutecil y coacutemoda Llamamos orden de magnitud de un nuacutemero al exponente al que estaacute elevado el 10 cuando el nuacutemero estaacute escrito en notacioacuten cientiacutefica Sumas y restas Se pueden considerar dos casos

a) Las potencias de 10 son iguales se suman o restan los nuacutemeros que preceden a las potencias de 10 dejando el 10 elevado al mismo exponente Ejemplos

2middot10-3 + 49middot10-3 = (2 + 49)middot10-3 = 69middot10-3

-5middot106 + 7middot106 = (-5 + 7)middot106 = 2middot106 b) Las potencias de 10 son distintas en general no se podraacuten sumar ni restar direc-tamente pero con algunas transformaciones se pueden igualar exponentes Ejemplos

42middot104 - 31middot103 = 42middot103 - 31middot103 = (42 - 31)middot103 = 389middot103 = 389 middot 104 -61middot10-3 - 7middot10-2 = -61middot10-3 - 70middot10-3 = (-61-70)middot10-3 = -761middot10-3 = -761middot10-2



Multiplicaciones Para multiplicar dos nuacutemeros en notacioacuten cientiacutefica se multiplican los nuacutemeros que pre-ceden a las potencias de 10 y se multiplican tambieacuten dichas potencias (sumando los ex-ponentes Ejemplos

(4middot105)middot(2middot107) = (4middot2)middot(105middot107) = 8middot1012 (-2middot10-4)middot(7middot10-11) = (-2middot7)middot(10-4middot10-11) = -14middot10-15 = -14middot10 middot 10-15 = -14middot10-14

Divisiones Para dividir dos nuacutemeros en notacioacuten cientiacutefica se dividen los nuacutemeros que preceden a las potencias de 10 y tambieacuten dichas potencias (restando los exponentes) Ejemplos

(47middot102) (94middot106) = (47 94)middot(102 106) = 05middot10-4 = 5middot10-5 (-18middot10-11) (-3middot10-16) = (18 3)middot(10-11 10-16) = 06middot105 = 6middot104

Uso de la notacioacuten cientiacutefica en la calculadora La calculadora tambieacuten nos permite operar con nuacutemeros en notacioacuten cientiacutefica aunque no todas las calculadoras son iguales

bull Unas admiten maacutes cifras o diacutegitos mientras que otras admiten menos bull Puede variar de unas calculadoras a otras los siacutembolos de las teclas que permiten

escribir nuacutemeros en notacioacuten cientiacutefica A continuacioacuten vamos a utilizar una calculadora cientiacutefica para multiplicar dos nuacutemeros muy grandes Veremos queacute ocurre Si no tienes una calculadora a mano puedes realizar los caacutelculos con la que encontraraacutes en esta direccioacuten de internet httpwwwayudadigitalcomDocumentos-formularioscalculadora_cientificahtm Vamos a multiplicar en la calculadora 2720000000 x 55000000 Escribe en la calculadora la operacioacuten

2720000000 x 55000000

y al pulsar la tecla con el siacutembolo ldquo=rdquo aparece la expresioacuten (o similar seguacuten modelos)

1496 e+17

Observa que nos aparece un nuacutemero con una cifra en la parte entera y el resto son deci-males (nos suena iquestverdad) Despueacutes dependiendo de la calculadora apareceraacute a la derecha un nuacutemero pequentildeito o bien una e (minuacutescula o mayuacutescula) seguida de un signo + y un nuacutemero iquestQueacute crees que indica dicho nuacutemero Seguro que lo has adivinado el nuacutemero es el exponente al que estaacute elevado el 10 En nuestro ejemplo la ldquoerdquo significariacutea ldquo10 elevado ardquo Es decir al realizar operaciones cuyo resultado no puede ser presentado en el visor de manera significativa apareceraacuten en no-tacioacuten cientiacutefica donde la e estaraacute mostrando el exponente de base 10 Efectivamente el resultado de la multiplicacioacuten anterior es un nuacutemero cuya expresioacuten en notacioacuten cientiacutefica es 1496 middot 1017 Pero iquestcoacutemo podemos usar la calculadora para escribir y operar con cantidades en no-tacioacuten cientiacutefica Casi todas las calculadoras cientiacuteficas tienen una tecla marcada con ldquoEXPrdquo ldquoEErdquo o ldquoErdquo que es la que se usa para introducir las potencias de 10 (no se debe escribir el 10) Por ejemplo para escribir el nuacutemero 35 middot 1014 la secuencia de teclas seraacute 35 EXP 14



Si lo que queremos es multiplicar el nuacutemero anterior por 52 middot 104 haremos lo siguiente 35 EXP 14 x 52 EXP 4 = Y la pantalla debe mostrar lo siguiente (o algo similar)

182 e+19

Si necesitas escribir un exponente o nuacutemero negativo usa la tecla +- (cambio de signo) Ejemplos

a) Para introducir en la calculadora ndash21527 tecleamos 21527+- b) Para introducir en la calculadora 5821middot10-4 teclearemos 5821EXP4+- Si a continuacioacuten pulsamos la tecla = en la pantalla deberiacutea aparecer

00005821

c) Para introducir en la calculadora ndash624middot10-11 teclearemos primero su valor abso-luto (el positivo) y una vez en pantalla pulsamos la tecla de cambio de signo Tecleamos 624EXP11+- y al pulsar la tecla = en la pantalla apareceraacute

624 e-11

Ahora pulsamos la tecla de cambio de signo +- y tendremos en la pantalla

-624 e-11

En todo caso para saber los aspectos especiacuteficos de tu calculadora respecto a la nota-cioacuten cientiacutefica y uso de funciones concretas debes consultar el manual de usuario ya que la gran cantidad de modelos existentes en el mercado no permite hacer una explica-cioacuten que sea vaacutelida para todas



2 INTRODUCCIOacuteN A LA HOJA DE CAacuteLCULO Una hoja de caacutelculo es una herramienta informaacutetica que permite realizar infinidad de caacutelculos de forma coacutemoda y sencilla Ejemplos de estos programas son OpenOffice Calc y Microsoft Excel La primera herra-mienta es de uso e instalacioacuten gratuita mientras que la segunda es software propietario del que debemos tener licencia para utilizarlo Si no tienes ninguacuten programa de hoja de caacutelculo puedes descargarte gratuitamente el ldquopaqueterdquo OpenOffice desde httpesopenofficeorg Incluso si no quieres instalar nada hay aplicaciones en Internet con las que puedes hacer praacutecticamente lo mismo de forma gratuita soacutelo necesitas darte de alta La maacutes conocida ndashaunque hay otras- puedes encontrarla en httpwwwgooglecomgoogle-d-shpphpp_eshtml Ambos programas se utilizan de forma semejante y la pantalla que se nos muestra cuan-do se ejecutan es muy similar la parte superior muestra como vemos en casi todos los programas la barra de menuacutes y una serie de barras de herramientas con sus iacuteconos para acceder directamente a las que maacutes se utilizan debajo de eacutestas aparece una barra llama-da ldquode foacutermulasrdquo que se usa para introducir las expresiones que nos serviraacuten para obte-ner resultados y finalmente en el ldquocuerpordquo de la hoja una gran cuadricula vaciacutea

21 HOJAS CELDAS Y RANGOS Un documento puede estar constituido por varias hojas a la vez Observa en la parte infe-rior del aacuterea de trabajo las etiquetas de las tres hojas que hay por defecto Hoja1 Hoja2 Hoja3 Cada hoja admite datos textos e imaacutegenes y puede tratarse como una tabla independien-te La hoja puede reconocerse por la pestantildea en el margen inferior Para ver otra hoja basta con hacer clic en la pestantildea correspondiente



A cada uno de los pequentildeos espacios que componen la cuadriacutecula se le denomina celda Para diferenciar unas cel-das de otras cada columna comienza con una letra y cada fila con un nuacutemero De esta forma una celda es la interseccioacuten entre una fila y una columna de las que forman la hoja de caacutelculo y se designa por la letra de la columna a la que pertenece seguida por el nuacutemero de la fila La imagen de la dere-cha muestra por ejemplo la celda D12 Seleccionar una celda es tan simple como hacer clic sobre ella Cuando una cel-da se encuentra seleccionada se dice que la celda estaacute activa La celda activa apareceraacute como un borde maacutes grueso y su referencia apareceraacute en el aacuterea de hoja de la barra de foacutermulas Tambieacuten podemos realizar la seleccioacuten haciendo uso de las teclas de direc-cioacuten (las ldquoflechasrdquo del teclado) con ellas nos podremos ir desplazando por las celdas de la hoja Un rango es simplemente un grupo de celdas La for-ma de designar un rango es utilizando el nombre de la primera celda (en caso de un rango rectangular la celda de la esquina superior izquierda) seguida por dos puntos y el nombre de la uacuteltima celda (esquina infe-rior derecha) Por ejemplo en la imagen de la derecha se muestra el rango B3D9 La forma maacutes sencilla de seleccionar un rango es arrastrando el ratoacuten Para ello en primer lugar activamos la primera celda del rango (mediante un clic de ratoacuten sobre dicha celda) y sin soltar el botoacuten del ratoacuten arrastramos hasta la uacuteltima celda y una vez que el rango deseado aparezca marcado soltamos el ratoacuten Para seleccionar una fila o columna entera haremos un clic con el ratoacuten sobre la letra o nuacutemero de la columna o fila De este modo quedaraacute seleccionada en su totalidad Seleccioacuten muacuteltiple Si deseamos seleccionar varias filas o columnas contiguas haremos lo siguiente cuando seleccionemos la primera de ellas sin soltar el botoacuten del ratoacuten arrastramos hasta que abarcar las que nos interesen momento en el que soltaremos el ratoacuten



Cortar copiar pegar y deshacer Como en cualquier otro programa en la hoja de caacutelculo podemos copiar cortar y pegar ya sea utilizando mediante el ratoacuten las distintas opciones del menuacute Editar o bien las com-binaciones de teclas CTRL+C (copiar) CTRL+X (cortar) y CTRL+V (pegar) El botoacuten ldquomaacutegicordquo deshacer Deshacer y Restaurar (aunque sobretodo deshacer) son dos de los maacutes grandes inven-tos como comandos para el usuario Hoy en diacutea no existe apenas ninguacuten programa serio que no incluya estos dos comandos Veamos coacutemo pueden ayudarnos El comando deshacer deshace la uacuteltima o las uacuteltimas acciones que hayamos realizado Por ejemplo si modificamos una celda y acto seguido nos damos cuenta de que no de-biacuteamos haberlo hecho ejecutando una vez el comando deshacer la casilla volveraacute a que-dar como estaba como si no la hubieacuteramos tocado Los comandos Deshacer y Restaurar estaacuten ubicados en el menuacute Editar de la Barra de Menuacutes Tambieacuten los podemos encontrar en la barra de herramienta estaacutendar el botoacuten

deshacer tiene este aspecto El comando Restaurar es la accioacuten inversa del comando Deshacer En otros programas como Excel se la denomina Rehacer Asiacute pues lo que hace Restaurar es volver a realizar la accioacuten que un comando Deshacer haya deshecho previamente Tipos de datos Cuando escribimos los datos con los que vamos a trabajar en la hoja de caacutelculo podemos especificar de queacute tipo son el programa permite bastantes tipos distintos Al introducir un dato en una celda el pro-grama de hoja de caacutelculo que utilicemos va a intentar en primer lugar interpretarlo co-mo un nuacutemero y por defecto alinearaacute los nuacutemeros a la derecha y el texto a la iz-quierda Intentaraacute asimismo aplicarle un formato Por ejemplo si escribimos en una celda 24-9-08 y pulsamos la tecla ltIntrogt para fijar ese valor Calc (o Excel) interpreta ese dato como una fecha y lo transforma en 240908 En la imagen se aprecian distin-tos formatos del mismo nuacutemero Si el nuacutemero es muy grande y no cabe en la dimensioacuten de la celda el programa apli-caraacute el formato cientiacutefico cuya apariencia es 573478E+9 La interpretacioacuten de esta expresioacuten es faacutecil el E+9 equivale a 109 o lo que es igual a multiplicar por un 1 seguido de 9 ceros Si auacuten de este modo el nuacutemero no cupiese en la celda eacutesta apareceraacute rellena de los siacutembolos de almohadillas El procedimiento normal seraacute introducir todos los datos y posteriormente aplicar los forma-tos Para esto en primer lugar seleccionamos la celda o celdas en cuestioacuten accederemos al menuacute Formato y ejecutaremos el comando Celdas Con esto Calc nos mostraraacute el cua-dro Formato de celdas En este cuadro disponemos de una gran cantidad de posibilidades para establecer la con-figuracioacuten de la apariencia de los datos Los formatos maacutes utilizados son Nuacutemero Para la presentacioacuten de nuacutemeros en general



Porcentaje Se multiplica por 100 el valor de la celda y se muestra el resultado con un siacutembolo porcentual Moneda Se indica el siacutembolo de la unidad monetaria usada (por ejemplo 29 euro) Fecha Diversos formatos que representan fechas Hora Se representan fechas y horas con varios formatos Ciencia El nuacutemero 100000 por ejemplo seraacute representado como 1E+05 Texto Es tratada como texto aunque en ella haya un nuacutemero En la mayoriacutea de los casos podremos determinar tambieacuten algunas variantes dentro de la categoriacutea en concreto como por ejemplo el nuacutemero de decimales Algunas de las opciones disponibles en el comando Celdas del menuacute Formato las pode-mos encontrar disponibles en los botones de la barra de herramientas Formato

Es importante definir el formato del nuacutemero con objeto de que la informacioacuten recogida sea correcta En general el trabajo con la hoja de caacutelculo consiste en introducir los datos de intereacutes darles el formato deseado y una vez colocados y organizados los datos con los que va-mos a trabajar se puede empezar a antildeadir las foacutermulas que nos permitiraacuten sacar conclu-siones 22 OPERACIONES FOacuteRMULAS Y FUNCIONES Vamos a empezar utilizando una operacioacuten sencilla la suma Utilizaremos Calc para rea-lizar la siguiente suma de nuacutemeros enteros 11+18+(-24)

bull Nos situamos en la celda B1 e introducimos el texto Practicando la suma bull Pulsamos ltIntrogt y tecleamos 11

Observa coacutemo en la barra de foacutermulas se visua-liza tambieacuten lo que estamos escribiendo

bull Pulsamos Intro e introducimos en B3 el valor 18 y luego en B4 el nuacutemero -24 (ojo con el signo)

bull Nos colocamos en B5 y tecleamos =B2+B3+B4 NO olvides el signo igual (=) debes comenzar escribieacutendolo siem-pre que quieras realizar una operacioacuten

bull Pulsa ltIntrogt y comprobaraacutes que se ha realizado la suma

Si has seguido los pasos con Calc (o Excel) habraacutes obtenido el mismo resultado de la imagen Puedes probar a modificar alguno de los nuacutemeros (excepto el total) y veraacutes coacutemo despueacutes de pulsar ltIntrogt el resultado se actualiza correctamente Para modificar el contenido de una celda sin tener que volver a escribirlo se puede selec-cionar la celda y despueacutes pinchar sobre la barra de foacutermulas cambiando ahiacute el contenido Tambieacuten te puede resultar mucho maacutes sencillo seleccionar la celda que quieres modificar y presionar la tecla F2 Las funciones son unas foacutermulas que la hoja de caacutelculo tiene memorizadas para poder realizar operaciones algebraicas loacutegicas estadiacutesticas etc Para que el programa identifique a las funciones y operaciones como tales y no como texto deben empezar con el siacutembolo igual ldquo=rdquo Cada vez que introducimos una foacutermula debemos pulsar ltIntrogt visualizaacutendose el resul-tado de la operacioacuten en la celda Si nos colocamos en la celda en la que se ha introducido previamente una foacutermula podremos ver en la barra de foacutermulas la foacutermula introducida



Foacutermula es un conjunto de operaciones y funciones matemaacuteticas que se utilizan para rea-lizar ciertos caacutelculos En las hojas de caacutelculo las foacutermulas se pueden aplicar a nuacutemeros o a los valores contenidos en una o varias celdas Si introducimos mal una foacutermula nos apa-receraacute el aviso de error Ya hemos visto maacutes arriba coacutemo utilizar la suma con el siacutembolo + para realizar las opera-ciones aritmeacuteticas maacutes usuales tendremos que utilizar

Operacioacuten Siacutembolo

Resta -

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Potencia ^

Estos siacutembolos ndashexceptuando el de la potencia- los podemos localizar en el bloque numeacute-rico (a la derecha) del teclado o en la zona principal del mismo A la hora de trabajar con foacutermulas hay que tener en cuenta la prioridad de los operadores matemaacuteticos (jerarquiacutea de las operaciones)

bull Primero se realizan las operaciones entre pareacutentesis bull A continuacioacuten las potencias bull Despueacutes multiplicaciones y divisiones bull Por uacuteltimo las sumas y restas

Para conseguir hacer foacutermulas un poco complejas necesitaremos utilizar los pareacutentesis Cuando utilicemos pareacutentesis en una foacutermula le estaremos indicando a Calc el orden en que se deben procesar las operaciones El siguiente ejemplo nos muestra coacutemo hacerlo

Foacutermula Resultado En la primera foacutermula del ejemplo no he-mos usado pareacutentesis por lo que la priori-dad asignada a cada operacioacuten seraacute la prio-ridad por defecto (es decir las multiplica-ciones y divisiones van antes que las su-mas y restas) primero se opera 43 luego 82 y finalmente se realiza la suma

=43+82 16

=4(3+8)2 22

=4(3+82) 28

=(43+8)2 10

Otra opcioacuten de sumar el contenido de celdillas consecutivas es utilizar la funcioacuten SUMA de la hoja de caacutelculo para lo cual hay que introducir los nuacutemeros a sumar en ciertas celdi-llas consecutivas (en el ejemplo de arriba estaban en las celdillas B2 B3 y B4 es decir en el rango de celdillas B2B4) una vez hecho esto en la celdilla en la que deseamos que aparezca la suma escribimos =SUMA(B2B4) Cuando pulsemos ltIntrogt apareceraacute el resultado de la suma Como la suma es una operacioacuten muy utilizada hay una funcioacuten especiacutefica para realizarla coacutemoda y raacutepidamente Ten en cuenta que en el ejemplo anterior tendriacuteamos que haber escrito =B2+B3+B4 Existen gran nuacutemero de foacutermulas que el programa tiene memorizadas y ademaacutes nosotros podemos crear las que deseemos Para ello soacutelo tenemos que seguir las reglas matemaacute-ticas con los signos apropiados Ademaacutes los programas muestran ayudas en los pasos de introduccioacuten de las distintas foacutermulas



Vamos a ver algunos ejemplos de funciones sencillas =B12+C45 calcula el producto de 5 por el contenido de C4 y lo suma al contenido del la celda B12 el resultado lo coloca en la celda donde se introduce esta foacutermula (seguacuten la jerarquiacutea de las operaciones si no hay pareacutente-sis los productos se realizan an-tes que las sumas y restas) =SUMA(A8C12) halla la suma del contenido de todas las celdas que hay en el rango entre A8 y C12 no importa introducir la letra de la celda en minuacutescula =ABS(B4) devuelve el valor ab-soluto de la celda D2 Maacutes adelante veremos algunas aplicaciones y usos uacutetiles de la hoja de caacutelculo Para saber maacutes Si no has usado antes una hoja de caacutelculo te resultaraacuten uacutetiles estos recursos Te recomendamos el siguiente curso (breve pero bastante completo) sobre el uso de OpenOffice Calc httpwwwacademiaelearningcomcourseviewphpid=16 (puedes acceder como invitado) Aquiacute tienes un manual del programa Calc httpestldporgManuales-LuCASdoc-manual-OOCalcCalcpdf



3 CAacuteLCULO DE PORCENTAJES LOS PORCENTAJES EN LA ECONOMIacuteA Los porcentajes son una manera de expresar una proporcionalidad entre una cantidad y el total sobre el que se considera dicha cantidad Por tanto se pueden resolver como una operacioacuten entre fracciones teniendo en cuenta que el porcentaje es una cantidad referida a un total de 100 Asiacute si queremos calcular el 20 de 300 euro lo hariacuteamos asiacute

60100

6000

100

30020300

100

20300

100

2030020 ==

=== dede

Es decir el 20 de 300 euro son 60 euro Para cualquier otro caso aplicando esta misma idea podriacuteamos escribir la siguiente ex-presioacuten para el caacutelculo de la cantidad que representa un porcentaje

100

TotalCantidad

=

Por otro lado si queremos saber queacute porcentaje representa una cantidad sobre un total lo hariacuteamos asiacute

100=Total

Cantidad

31 CAacuteLCULO DE PORCENTAJES En cualquiera de los casos anteriores si plantemos el problema como una proporcionali-dad directa entre magnitudes nos queda

de donde se deduce que

Ejemplo en el uacuteltimo mes de julio unos almacenes hicieron una rebaja del 15 sobre los precios de junio en los artiacuteculos de ropa para joacutevenes Un pantaloacuten costaba en junio 1440 euro iquestQueacute descuento hay que aplicarle iquestCuaacutel es su precio de venta en julio El porcentaje es un caso particular de las proporciones Un 15 de descuento significa que de cada 100 euro del precio de un artiacuteculo el comercio descuenta 15 euro El importe del descuento es una magnitud proporcional al precio original Por tanto para resolver el pro-blema hay que aplicar la siguiente regla de tres directa

xrarr

rarr

15

414100

Haciendo los caacutelculos

162100

41415=

=x

Con lo que la tienda ha realizado un descuento de 216 euro Como consecuencia nosotros tendremos que pagar 24121624014 =minus euros

El caacutelculo de porcentajes es quizaacutes el ejemplo de funcioacuten de proporcionalidad directa que con maacutes frecuencia usamos en la vida cotidiana La razoacuten de proporcionalidad en los problemas de porcentaje es un cociente cuyo de-

nominador vale siempre 100 Asiacute en nuestro ejemplo la razoacuten es de 150100

15= El pro-

blema se puede resolver multiplicando el precio original por la razoacuten de la proporcioacuten es decir el descuento seraacute de 1621504014 =

Total

Cantidad

100

= 100=

Total

Cantidad



LOS PORCENTAJES Y LA HOJA DE CAacuteLCULO Supongamos que en otros almacenes quieren calcular el descuento y el precio final de todos los artiacuteculos rebajados Si se hiciera artiacuteculo por artiacuteculo seriacutea un proceso largo y tedioso iquestCoacutemo nos puede ayudar la hoja de caacutelculo con esta tarea Lo veremos en el siguiente ejemplo Lo hemos elaborado con unos cuantos artiacuteculos pero imagiacutenate que ese establecimiento tiene 200 ohellip iexcl500 productos distintos Tal como se observa en la imagen de una hoja de caacutelculo que se muestra maacutes abajo se podriacutea hacer lo siguiente

1ordm) Introducir en C2 el porcentaje de descuento 2ordm) Introducir en D2 la foacutermula para el caacutelculo del descuento (=B2C2100) 3ordm) Introducir en E2 la foacutermula para calcular el precio rebajado (=B2-D2) 4ordm) Rellenar lsquohacia abajorsquo las foacutermulas escritas en C2 D2 y E2 para lo cual basta seleccionar con el ratoacuten el rango C2E15 y pulsar ltCTRL+Jgt (la tecla de control y la tecla J a la vez) Las foacutermulas de la fila C2E2 quedaraacuten copiadas en todo el ran-go seleccionado pero adaptadas a cada fila

Hay otras formas alternativas de llenado de celdillas de la hoja de caacutelculo (con foacutermulas o datos) todas ellas bastante intuitivas desde el menuacute principal en edicioacuten con opciones de llenado hacia abajo hacia la derecha etc

Ya tenemos todos los precios actualizados aunque el formato no parece el maacutes adecua-do Estariacutea mejor si los importes que hemos calculado estuviesen todos expresados con dos cifras decimales (porque los precios soacutelo pueden tener ceacutentimos de euro) de forma que ademaacutes de ser maacutes homogeacuteneos sea faacutecil identificar los ceacutentimos Para lograrlo seleccionamos las celdillas en las que aparecen valores en euros elegimos en la barra de menuacute ldquoFormatordquo luego ldquoCeldasrdquo y despueacutes ldquoNuacutemerordquo aquiacute seleccionamos el nuacutemero de posiciones decimales que deben tener las celdillas seleccionadas 8dos en nuestro caso)



32 AUMENTOS Y DISMINUCIONES PORCENTUALES Los porcentajes se usan muy a menudo para referirnos a un aumento sobre un valor ini-cial lo que significa que el valor final seraacute mayor del 100 (cien maacutes el porcentaje de aumento) Es lo que ocurre cuando al hacer una compra nos cargan cierto porcentaje de impuestos (como el IVA) recargos por instalacioacuten del producto o por pago aplazado Ejemplo de aumento porcentual Un libro costaba hace dos meses 18 euro Si su precio ha aumentado un 12 iquestcuaacutento cuesta ahora Si usamos una regla de tres para calcular en primer lugar el aumento en el precio

162100

1812

12

18100=

=

rarr

rarrx

x

En consecuencia el precio del libro ha aumentado en 216 euro luego ahora cuesta 162016218 =+ euro

Tambieacuten podiacuteamos haberlo calculado directamente haciendo las siguientes operaciones 162012118)1201(18 ==+

En esta operacioacuten lo que se hace es que el 1 representa el 100 por 100 del libro y el 012 el aumento en el precio Por tanto para calcular el precio que tengo que pagar por el libro lo uacutenico que tengo que hacer es multiplicar el precio del libro por la suma de 1 y el aumen-to en el precio en nuestro ejemplo 112 Sin embargo en otras ocasiones los porcentajes se aplican para disminuir un valor inicial En este caso el valor final seraacute inferior al 100 (cien menos el porcentaje de disminu-cioacuten) Esto es lo que ocurre cuando al comprar un producto nos aplican una rebaja o cuando se consume en cierto porcentaje cualquier producto Ejemplo de disminucioacuten porcentual Un traje costaba 252 euro y se rebaja un 25 iquestcuaacutento vale ahora Como en el ejercicio anterior podriacuteamos calcular la cantidad que se descuenta (25) y luego restarla del precio inicial

63100

25252

252

25100=

=

rarr

rarrx

x

Por tanto el precio despueacutes de la rebaja seriacutea 18963252 =minus euro

Tambieacuten ahora podriacuteamos haber hecho el caacutelculo directamente mediante estas sencillas operaciones

189)2501(252 =minus

Es el mismo proceso que el usado en los aumentos porcentuales salvo que ahora hay que restar porque lo que tenemos es una rebaja (disminucioacuten) Por lo que hemos visto en los ejemplos anteriores cuando nos hacen rebajas sobre pre-cios rebajados tendremos que tener cuidado con lo que pensamos que nos estaacuten co-brando ya que a veces los porcentajes encadenados pueden hacer pensar que nos descontaraacuten cantidades superiores a las que realmente corresponde En la mayoriacutea de los casos son estrategias comerciales perfectamente estudiadas



Ejemplo de rebajas encadenadas En una tienda encontramos el siguiente roacutetulo

Remate final

20 de descuento

sobre lo ya rebajado

Queremos comprarnos unos pantalones que costaban 58 euro y teniacutean una primera rebaja del 15

a) iquestCuaacutento costaraacuten despueacutes de la segunda rebaja

b) iquestCuaacutel seraacute el porcentaje real de la rebaja que se aplica a los pantalones

Solucioacuten para saber cuaacutel es el precio final se pueden hacer dos reglas de tres consecuti-vas (o multiplicar directamente por los dos ldquotantos por unordquo de lo que se pagaraacute tras cada una de las rebajas) Para el caacutelculo del porcentaje real de descuento basta dividir la can-tidad total rebajada (diferencia entre el precio inicial y final) entre el precio inicial y multipli-car por 100 El precio tras la primera rebaja seriacutea euro34985058)1501(58 ==minus

El precio tras la segunda rebaja seriacutea euro4439800349)2001(349 ==minus

Tambieacuten se podriacutea calcular directamente el precio final asiacute

58 (1 015) (1 020) 58 068 3944 euro minus minus = =

En cualquiera de los casos vemos coacutemo el precio final es 39rsquo44 euro En este caso la estrategia comercial aparenta hacer una rebaja total del 35 (15+20) Sin embargo el porcentaje real de descuento resulta ser el siguiente

3210058

5618100

58

)443958( ==

minus=dto

Por tanto realmente el porcentaje de descuento total aplicado es un 3 menos de lo que ldquonos creemosrdquo (35-32)

33 LOS PORCENTAJES EN LA ECONOMIacuteA EL IMPUESTO SOBRE EL VALOR ANtildeADIDO (IVA) Al realizar cualquier compra el proveedor antildeade al precio del objeto que compras un im-puesto llamado impuesto del valor antildeadido (o simplemente IVA) que posteriormente en-trega a Hacienda El valor de ese impuesto es un porcentaje del importe de la compra Dependiendo de lo que adquieras el porcentaje a aplicar es distinto Por ejemplo si com-pras un televisor o un juego para el ordenador debes aplicar un 21 del importe de la compra si compras un libro el tipo que se aplica es del 8 Veamos un caso concreto si compras un ordenador cuyo precio de cataacutelogo es de 720 euro para calcular el importe del IVA debes aplicar un tipo del 21 Por tanto el importe del

impuesto seraacute 20151100

21720 = que sumaacutendolo al precio de cataacutelogo resulta un precio

final de 87120 euro La cantidad resultante del impuesto se antildeade a su precio y se obtiene asiacute el precio de compra



EL INTEREacuteS SIMPLE Las entidades financieras (bancos cajas de ahorro) dan a sus clientes una cantidad de dinero anual que es proporcional al dinero que tienen guardado o depositado en ellas Esta cantidad de dinero se llama intereacutes y se mide en tanto por ciento Veamos un ejemplo Isabel tiene ahorrados 300000 euro en la caja de ahorros del barrio que le da un 25 anual por este dinero iquestQueacute intereacutes le produce su capital al final de antildeo iquestY en 3 antildeos Que el tipo de intereacutes sea del 25 significa que de cada 100 euro que Isabel tiene en la caja de ahorros eacutesta le da 250 euro al antildeo Por los 3000 euro le daraacute el 25 esto es

= 0075100

523000 Le da 7500 euro en un antildeo

En tres antildeos le produciraacute 3 veces esa cantidad es decir

= 002253100

523000 En tres antildeos gana 22500 euro

En general si c es el capital depositado r el tipo de intereacutes anual (llamado tambieacuten reacutedi-to) y t el nuacutemero de antildeos el importe del intereacutes i que produce viene dado por la foacutermula

100

trci

=

Cuando el tiempo transcurrido no estaacute en antildeos puede usarse la foacutermula anterior un poco modificada

Si el tiempo estuviera en meses en lugar de dividir por 100 habriacutea que hacerlo por 1200 (porque el antildeo tiene 12 meses) Si el tiempo estuviera en diacuteas en lugar de dividir por 100 habriacutea que hacerlo por 36000 (el antildeo comercial se considera que tiene 360 diacuteas)

EL IacuteNDICE DE PRECIOS AL CONSUMO (IPC) El IPC es un iacutendice que refleja cada mes la variacioacuten (aumento o a veces disminucioacuten) que sufren los precios de los productos que consumimos en Espantildea Este iacutendice se mide en tanto por ciento Asiacute cuando en torno al diacutea 10 de este mes los perioacutedicos publicaron que el IPC habiacutea subido dos deacutecimas (02) significa que el nivel de precios ha aumenta-do ese porcentaje respecto del mes anterior Esto no quiere decir que cualquier producto de consumo (alimentos gasolina electricidad vivienda) haya subido ese porcentaje El IPC se obtiene como una media de la variacioacuten de los precios en el mes anterior El IPC es un iacutendice muy importante pues suele utilizarse como base para los incrementos de los sueldos de los trabajadores cada antildeo



4 ALGUNAS FACTURAS DE ANDAR POR CASA 41 EL RECIBO DE LA LUZ Como sabes la electricidad es la forma de energiacutea maacutes presente en nuestras vidas Por ejemplo a ver si eres capaz de hacer una lista de diez cosas que podamos hacer en casa cuando se va la luz iexclpero de las que haces a diario y suponiendo que es de noche claro Realmente la electricidad nos ha cambiado la vida aunque sin lugar a dudas la consumimos en unas cantidades mucho mayores de lo necesario y de las que nos podemos permitir en la situa-cioacuten actual de nuestro planeta Desgraciadamente muchos de nosotros soacutelo nos acordamos cuando nos llega la factura que cada vez va subiendo maacutes Pero iquestsabemos lo que estamos pagando y por queacute Para contestar a esta pregunta es necesario comprender los datos que vienen en la factura que vamos a explicarte en este apartado LA FACTURA DE LA LUZ Trabajaremos con una factura de Iberdrola que es una de las empresas liacutederes en la pro-duccioacuten y distribucioacuten energiacutea eleacutectrica en Espantildea La factura de otras empresas es simi-lar y en el fondo tendraacute que contener los mismos conceptos A continuacioacuten se muestra una tiacutepica factura de la luz formada por dos paacuteginas en la pri-mera de las cuales se incluye un resumen de los datos de facturacioacuten y un graacutefico del his-torial de consumo de energiacutea en la segunda se especifican los conceptos facturados

Veamos las partes de las que se compone



a) En primer lugar aparecen los datos de la empresa que emite la factura (IBERDROLA CLIENTES SAU) con su correspondiente CIF (coacutedigo de identificacioacuten fiscal)

En los laterales izquierdos de cada paacutegina tambieacuten vienen detallados otros datos de esta empresa como direccioacuten y domicilio fiscal

b) Luego se indican los datos esenciales de la factura periacuteodo de facturacioacuten nuacutemero de factura (es importante porque nos lo pediraacuten si queremos hacer alguna pregunta o recla-macioacuten) fecha de emisioacuten fecha de cobro tipo de lectura (real o estimada) y los datos del titular del contrato (nombre NIF y referencia del contrato de suministro que se han ocul-tado en la imagen que se muestra) asiacute como el importe de la factura

c) A continuacioacuten aparece el resumen de conceptos facturados (energiacutea servicios e im-puestos) y un graacutefico con la evolucioacuten de consumo durante los uacuteltimos meses con indica-cioacuten del consumo medio por diacutea y una pequentildea explicacioacuten de la unidad comercial de energiacutea eleacutectrica (el kilovatio-hora kwh como la energiacutea consumida por una bombilla de 100 vatios funcionando durante 10 horas)

El siguiente bloque muestra informacioacuten sobre los conceptos facturados



A pie de la primera paacutegina vienen datos de teleacutefonos y direcciones de internet para aten-cioacuten al cliente

d) En la segunda paacutegina de la factura se detallan los datos de facturacioacuten

bull Nordm de Contador (es el nuacutemero con el que se identifica el contador de la propiedad)

referencia de contrato forma de pago y datos del suministro (potencia contratada y pago de peajes de acceso es decir de distribucioacuten de electricidad establecidos en el BOE 27122017 en esta factura) La potencia es la velocidad a la que se consume la energiacutea Cuanta maacutes potencia tengamos contratada maacutes aparatos eleacutectricos podremos tener enchufados a la vez sin que ldquosalte el diferencialrdquo lla-mado ICP o interruptor de control de potencia (situado en el cuadro eleacutectrico que tienes en la entrada de tu vivienda) La unidad de medida de la potencia es el vatio (W) aunque con fre-cuencia son maacutes utilizados muacuteltiplos como el kilovatio (mil W) o el megavatio (un milloacuten de W) Por ejemplo sabraacutes que hay electrodomeacutesticos diferentes potencias una bombilla de 100 W da maacutes luz que una de 60 W es decir en el mismo tiempo la de 100 W consume maacutes energiacutea (actualmente las bombillas de tecnologiacutea LED estaacuten sustituyendo a las antiguas bombillas de incan-descencia o haloacutegenas ya que son maacutes eficientes porque no necesitan alcanzar temperaturas tan elevadas para producir luz Asiacute una bombilla LED de 10 W luce tanto como una incandescente de 100 W)

bull Maacutes abajo aparece el detalle de las lecturas del contador durante el periacuteodo de fac-turacioacuten



Lectura Anterior (lo que habiacuteamos gastado hasta el momento de empezar el perio-do de facturacioacuten actual) Lectura Actual (lo que marca el contador que hemos gastado hasta ese momento inclusive lo de otros meses) Consumo (es lo que realmente hemos gastado en el periacuteodo de facturacioacuten se cal-cula restaacutendole al consumo actual el consumo anterior) Esta es la lectura real de nuestro contador (es posible que la lectura la realice un trabajador de Iberdrola aunque los actuales contadores inteligentes permiten hacer la medida automaacutetica al momento) El consumo de energiacutea eleacutectrica se mide en kWh (kilovatioshora) y se calcula como el producto de la potencia (en kW) por el tiempo (en horas)

E P t=

En realidad es incorrecto hablar de energiacutea consumida porque la energiacutea no desa-parece sino que se transforma en otros tipos de energiacutea como calor (en una estu-fa) luz (en una bombilla) o movimiento (en un motor) EJEMPLO El consumo de una plancha de 1600 W (16 kW) en una hora seriacutea 16 kWx1h=16kWh en cuatro horas consumiriacutea 16 kW x 4 h = 64 kWh

f) Facturacioacuten

En este apartado estaacuten los datos que maacutes nos interesan porque es donde nos indican de doacutende procede el importe total de la factura Tambieacuten se incluye al lado un desglose de los porcentajes de la factura destinados a los diferentes aspectos con un interesante dia-grama de sectores sobre los mismos Fiacutejate que una buena parte de la factura (el 49) va destinada a impuestos Veamos maacutes detalladamente cada uno de los conceptos facturados Facturacioacuten por energiacutea Incluye tres conceptos potencia energiacutea consumida e impues-to sobre electricidad

Potencia facturada cada kW que contratemos tiene un coste de 0137326 euro por diacutea Por lo tanto aunque no consumamos energiacutea en este periacuteodo por la potencia contratada pagaremos 55 kW x 32 diacuteas x 0137326 euro = 2417 euro



Energiacutea facturada como el kWh estaacute a 0144437 euro por los kWh realmente gasta-dos pagaremos 223 kWh x 0144437 euro = 3221 euro Impuesto especial sobre la electricidad supone el 511269632 del total de po-tencia y energiacutea facturadas y sirve para subvencionar la mineriacutea del carboacuten y la mo-ratoria nuclear

Alquiler de equipos de medida el contador de electricidad mide los kWh consumidos y es propiedad de IBERDROLA que lo alquila por 002663 euro cada diacutea lo que supone 32 diacuteas x 002663 euro = 085 euro IVA (Impuesto sobre el Valor Antildeadido) La electricidad tambieacuten lleva el 21 de IVA que va a parar al Estado Aunque parezca un poco lioso lo que aparece en la factura lo uacutenico que se hace es apli-carle el 21 de IVA tanto al gasto por potencia consumo impuesto sobre la electricidad y alquiler es decir (2417 3221 288 085) 021 6011 021 1262+ + + = =

El total a pagar seraacute la suma de todas las cantidades anteriores 6011 1262 7273+ = g) Informacioacuten de utilidad (atencioacuten al cliente) en la parte inferior de la segunda paacutegina vienen teleacutefonos correo electroacutenico y direccioacuten de internet para posibles consultas o re-clamaciones relacionadas con el contrato de suministro eleacutectrico

Para terminar te ofrecemos unos datos que seguro te resultan muy interesantes Los electrodomeacutesticos grandes responsables del gasto de energiacutea

bull Calefaccioacuten agua caliente y cocina representan el 24 del gasto La tempera-tura en casa no debe superar los 22 grados Tampoco conviene prolongar las du-chas ni utilizar agua a temperatura en exceso elevada

bull El frigoriacutefico un 21 del gasto eleacutectrico Dejar la puerta abierta o abrirla innece-sariamente aumenta el consumo Y el gasto subiraacute un 5 por cada grado de maacutes que el frigoriacutefico enfriacutee

bull El TV es el tercer aparato que maacutes gasta el 12 Conviene mantenerlo apagado cuando no se le presta atencioacuten

bull La lavadora el 5 del gasto energeacutetico maacutes que el lavavajillas que representa soacutelo el 1 En ambos casos evitar ponerlos en marcha si no es a carga completa

bull Otros electrodomeacutesticos como videos aspiradores suponen el 13 del gasto de luz

bull Algunos aparatos consumen poco pero al estar enchufados permanentemente su gasto acaba siendo elevado Por eso apaguemos los que disponen de modo de espera (stand by) cuando no los usamos

bull Aislar la casa ayuda a ahorrar hasta un 40 del gasto energeacutetico En esta direccioacuten de internet puedes encontrar simuladores que te ayudaraacuten a encon-trar formas para ahorrar energiacutea eleacutectrica en casa

httpswwwiberdrolaesahorrar-energiaconsejos



42 LA HIPOTECA

Otro de los recibos tiacutepicos en nuestras casas es el de la hipoteca A la hora de comprarse o hacerse una casa normalmente hay que pedir un preacutestamo hipotecario al banco y como solemos hacer todos se empieza mirando las condiciones que nos ofrecen los dis-tintos bancos Aunque con la gran cantidad de palabras que hay corremos el riesgo de no entender las ofertas que nos presentan Naturalmente todos los bancos nos diraacuten que la suya es la mejor por lo que la decisioacuten final puede resultarnos maacutes difiacutecil

A continuacioacuten analizaremos algunos de los teacuterminos maacutes importantes que nos podemos encontrar EL TIPO DE INTEREacuteS

Es el porcentaje anual que nos cobraraacute el banco por prestarnos dinero es decir lo que va a ganar el banco cada antildeo por cada 100 euro que nos deje para realizar la compra En el contrato que se firma al respecto nos comprometemos a devolverle la cantidad prestada (el capital) maacutes los intereses que eacutesta genera Sin embargo hay que tener en cuenta que en los preacutestamos hipotecarios se utiliza el denominado tipo de intereacutes compuesto en el que los intereses producidos por la cantidad prestada tambieacuten producen intereses Asiacute si le pedimos a un banco un preacutestamo de 100 euro al 2 anual al cabo de un antildeo debe-riacuteamos al banco 102 euro pero dentro de dos antildeos no seriacutean 104 sino 10404 euro (porque los 2 euro de intereacutes del primer antildeo tambieacuten producen intereacutes al 2 durante el segundo antildeo) La cuota es cantidad (mensual trimestral semestral o anual) que hay que pagar al ban-co Su caacutelculo se hace de modo que las cantidades pagadas a lo largo de la vida del preacutes-tamo maacutes los intereses que eacutestas producen (al mismo tipo de intereacutes que el preacutestamo) tienen que igualar a la cantidad prestada maacutes los intereses que eacutesta ha producido Como podraacutes comprender las foacutermulas matemaacuteticas que resultan son bastante complejas pero normalmente cuando nos queremos informar sobre las condiciones de un preacutestamo nos mostraraacuten una tabla con las cantidades a pagar en funcioacuten de la modalidad que finalmen-te elijamos y el tiempo para su devolucioacuten Fiacutejate en el siguiente ejemplo coacutemo puede va-riar la cuota y las cantidades pagadas finalmente al banco

Periodicidad intereacutes anual

antildeos hipoteca cuota Total

de pagos Intereses pagados

Mensual 2 20 12000000 60706 14569440 2569440

Trimestral 2 20 12000000 182364 14589120 2589120

Semestral 2 20 12000000 365467 14618680 2618680

Anual 2 20 12000000 733881 14677620 2677620



Aunque los bancos y cajas de ahorros tienen depoacutesitos de dinero de las cuentas de sus clientes cuando conceden un preacutestamo suelen pedir dinero prestado a otros bancos por lo que cuando ofrecen productos crediticios suelen establecer como referencia el llama-do Euribor que es el tipo de intereacutes promedio con el que los bancos europeos se prestan dinero entre siacute Este iacutendice de referencia no siempre es el mismo y depende de muchos factores macroeconoacutemicos poliacuteticos etc tal como se observa en la siguiente graacutefica de su evolucioacuten durante los antildeos posteriores a la crisis econoacutemica mundial de 2008

Como muestra la graacutefica el Euribor anterior a la crisis (2008) rondaba el 45 primero subioacute casi al 55 pero despueacutes disminuyoacute hasta valores incluso negativos (esto significa que el banco te puede llegar a pagar intereses por pedirle un preacutestamo seguacuten las condi-ciones contratadas) La causa de esta disminucioacuten es que cuando hay incertidumbre eco-noacutemica nadie pide preacutestamos por lo que los bancos tienen que disminuir el tipo de intereacutes si quieren concederlos cuando el tipo de intereacutes aumenta puede ser porque hay mucha demanda de creacuteditos (por la bonanza econoacutemica) o porque los bancos no se fiacutean de que sus clientes devuelvan el dinero prestado Estas variaciones del tipo de intereacutes de referencia dan pie a dos modalidades de preacutesta-mos hipotecarios seguacuten que se contrate un preacutestamo con el tipo de intereacutes fijo o varia-ble seguacuten se mantenga el mismo tipo de intereacutes a lo largo de toda la vida del preacutestamo o se revise para un periacuteodo (anual o semestralmente) tomando como referencia el iacutendice previamente pactado (que suele ser el Euribor) Por tanto en el preacutestamo a intereacutes fijo se pagaraacute siempre la misma cuota mientras que en el variable eacutesta puede aumentar o dis-minuir Ejemplo supongamos que en febrero de 2012 hubieacuteramos contratado un preacutestamo hipo-tecario de 120000 euro a pagar en 20 antildeos con un tipo de intereacutes variable del Euribor maacutes un 025 revisable anualmente

En febrero de 2012 el Euribor estaba al 175 por lo que el tipo de intereacutes en la hipoteca seriacutea 175 + 025 = 2 que para las condiciones del preacutestamo supon-driacutea una cuota mensual de 60706 euro

Un antildeo despueacutes en febrero de 2013 el Euribor bajoacute al 065 por lo que el tipo de intereacutes aplicable en la revisioacuten pasariacutea a ser 065 + 025 = 090 que con las condiciones del preacutestamo supondriacutea una cuota mensual de 54926 euro

En este caso la revisioacuten supondriacutea una bajada pero si el Euribor hubiera subido a niveles previos a la crisis (5) cosa de la que nunca se puede tener la certeza de que no ocurra la revisioacuten de febrero de 2013 habriacutea supuesto un tipo de intereacutes del 5 + 025 = 525 con una cuota mensual de 79860 euro

Como podraacutes comprender es muy conveniente estar informados de estas posibles oscila-ciones ya que pueden alterar muy seriamente las expectativas que nos podamos haber hecho



LA TASA ANUAL EQUIVALENTE (TAE) Es un indicador que en forma de tanto por ciento anual expresa el coste efectivo de un preacutestamo incluyendo no soacutelo los intereses que cobra el banco por la concesioacuten del preacutes-tamo sino tambieacuten otra serie de gastos derivados de la contratacioacuten del mismo como son

bull Las comisiones (por estudio o apertura) bull Seguros de vida que nos obligan a hacernos para concedernos el preacutestamo bull La periodicidad con la que se pague el preacutestamo (mensual trimestral semestral o

anual) que afecta a la cantidad final que se paga al banco tal como muestra la ta-bla vista en el ejemplo anterior Como norma general cuanto maacutes pequentildeo sea el periacuteodo de pago menos intereses pagaremos al banco porque habremos adelan-tado cantidades de dinero que producen intereses a nuestro favor a igual tipo de intereacutes la TAE por pago mensual siempre seraacute menor que si el pago se hace anualmente

La TAE es muy praacutectica porque permite comparar distintas ofertas con muy diferentes condiciones particulares es decir con tipos de intereacutes comisiones bancarias o periodici-dad de pago de la cuota diferentes cuanto menor sea la TAE menor coste del preacutes-tamo EL RECIBO DE LA HIPOTECA Veamos un recibo del pago de la hipoteca para analizar la informacioacuten que nos podemos encontrar en eacutel

El importe total de la cuota mensual (lo que se paga cada mes) es 60706 euro Este importe es igual todos los meses (hasta que toque la revisioacuten anual claro) pero se divide en dos cantidades

bull Amortizacioacuten del capital (18761 euro) es lo que ese mes se devuelve del capital bull Intereses (41945 euro) es lo que ese mes se paga de intereses

La cuota nuacutemero (19) indica cuaacutentas mensualidades se llevan pagadas (19 en este ejem-plo que corresponde a un antildeo y 7 meses) Como se trata de un preacutestamo a 20 antildeos (240 cuotas) se encuentra en la fase inicial de su pago por lo que del total pagado en la cuota la mayor parte va destinada a cubrir los intereses producidos por el capital prestado sien-do una pequentildea cantidad la que lo rebaja Al final del tiempo de devolucioacuten del preacutestamo la situacioacuten se invertiraacute debido a que ya se habraacute aportado una gran cantidad de dinero cuyos intereses compensaraacuten los producidos por el capital pendiente de pago

TEMA 3 ECUACIONES Y SISTEMAS MOacuteDULO TRES


1 INTRODUCCIOacuteN EL AacuteLGEBRA 11 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 12 VALOR NUMEacuteRICO DE UNA EXPRESIOacuteN ALGEBRAICA 13 MONOMIOS

131 MONOMIOS SEMEJANTES 132 SUMA Y RESTA DE MONOMIOS 133 PRODUCTO DE MONOMIOS 134 DIVISIOacuteN DE MONOMIOS

14 POLINOMIOS 141 DEFINICIOacuteN Y EJEMPLOS DE POLINOMIOS 142 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS 143 PRODUCTO DE POLINOMIOS 144 DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS

2 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 21 DEFINICIONES

211 ELEMENTOS DE UNA ECUACIOacuteN 212 PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIOacuteN DE PRIMER GRADO

22 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 23 RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 24 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

241 DEFINICIOacuteN 242 RESOLUCIOacuteN DE LAS ECUACIONES INCOMPLETAS 243 RESOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN COMPLETA

25 SISTEMAS DE ECUACIONES 251 SUSTITUCIOacuteN 252 IGUALACIOacuteN 253 REDUCCIOacuteN


1 INTRODUCCIOacuteN EL AacuteLGEBRA 11 EXPRESIONES ALGEBRAICAS

xyayax 423 minus+

Una expresioacuten algebraica como la anterior es aqueacutella en la que se utilizan letras nuacuteme-ros y signos de operaciones para reflejar de forma generalizada la relacioacuten que existe en-tre varias magnitudes y poder realizar un caacutelculo de esa relacioacuten en funcioacuten de los valores que tomen las diferentes magnitudes Ejemplo expresar el valor del periacutemetro y del aacuterea de un terreno rectangular Si suponemos que mide x metros de largo e y metros de

ancho obtendremos Periacutemetro yx 22 + Aacuterea yx

Ambas son expresiones algebraicas (recueacuterdese que el signo de la multiplicacioacuten se acos-tumbra a no ponerlo) Otras expresiones algebraicas podriacutean ser

Suma de cuadrados 22 ba +

Triple de un nuacutemero menos doble de otro yx 23 minus

Suma de varias potencias de un nuacutemero aaaa +++ 234

12 VALOR NUMEacuteRICO DE UNA EXPRESIOacuteN ALGEBRAICA Si en una expresioacuten algebraica se sustituyen las letras por nuacutemeros y se realizan las ope-raciones indicadas se obtiene un nuacutemero que recibe el nombre de valor numeacuterico de la expresioacuten algebraica para los valores de las letras dados En el ejemplo anterior si el largo del terreno fueran 50 m ( 50=x ) y el ancho 30 m

( 30=y ) el valor numeacuterico seriacutea

Periacutemetro = 2 middot 50 + 2 middot 30 = 100 + 60 = 160 m Aacuterea = 50 middot 30 = 1500 m2

El valor numeacuterico de una expresioacuten algebraica no es uacutenico sino que depende del va-lor que demos a las letras que intervienen en ella

MOacuteDULO TRES TEMA 3 ECUACIONES Y SISTEMAS


13 MONOMIOS Si se observan las siguientes expresiones algebraicas se veraacute que en ellas aparecen dis-

tintas operaciones 1) ax3 2) 22ayminus 3) xab38 4) yax 23 minus 5) 422 minus+ xx

En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre teacuterminos mientras que en la 4) y la 5) siacute En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que en los otros dos no Podemos decir por tanto que

Un monomio es una expresioacuten algebraica en la que las uacutenicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia de exponente natural

Se llama coeficiente de un monomio al nuacutemero que aparece multiplicando a las letras Normalmente se coloca al principio Si es un 1 no se escribe y nunca es 0 ya que la ex-presioacuten completa seriacutea 0 En los tres ejemplos de monomios anteriores los coeficientes son 3 -2 y 8 respectivamente Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras De este modo los tres monomios anteriores seraacuten el 1) de grado 2 el 2) de grado 3 el 3) de gra-do 5 (como es sabido cuando el exponente es 1 no se escribe)

En la mayor parte de los casos se utilizaraacuten los monomios maacutes simples formados por una letra normalmente la x el exponente correspondiente (que seraacute el grado

del monomio) y un coeficiente

Ejemplos 22xminus x3 35xminus 5x son monomios de grados 2 1 3 y 5 respectivamente

Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros (por ejemplo 06 2

1

6

5minus

etc) aunque normalmente seraacuten enteros y asiacute lo vamos a suponer en este tema

131 MONOMIOS SEMEJANTES Son monomios semejantes entre siacute aquellos en los que aparecen las mismas letras con los mismos exponentes

Ejemplos monomios semejantes entre siacute 342 yax 343 yax 34 yax 345 yax

Monomios no semejantes a los anteriores 3axy 3423 yxa 42bx

Por tanto

Dos monomios semejantes soacutelo se pueden diferenciar en el coeficiente y siempre tendraacuten el mismo grado



132 SUMA Y RESTA DE MONOMIOS

Observa estas operaciones 1) 343434 325 yaxyaxyax =minus 2) yxyax 2344 +

En el primer caso se restan monomios semejantes y el resultado es otro monomio seme-jante a los que se restan Sin embargo en el segundo caso se quieren sumar monomios que no son semejantes y hay que dejar la suma indicada Por tanto para sumar monomios

Cuando los monomios son semejantes el resultado es otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia seguacuten el caso de los coeficientes Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el resultado es un polinomio como veremos en este tema

Ejemplo observa las siguientes operaciones con monomios

a) 444444 437532 axaxaxaxaxax =minus=+minus

b) xxxxxxx +=+++minus 3333 6232

Como puedes observar se suman o restan los coeficientes de los monomios que son se-mejantes Si no lo son no pueden sumarse se deja la operacioacuten indicada 133 PRODUCTO DE MONOMIOS Para multiplicar monomios se debe recordar el producto de potencias que como sabemos se puede realizar si tienen la misma base

Ejemplo 642 153middot5 xxx = ya que

Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se suman los exponentes

Pues bien

Para multiplicar monomios se multiplican los coeficientes de cada uno entre si y las po-tencias que tengan la mima base de cada uno dejando las de distinta base como esteacuten

Ejemplo calcular el producto de los siguientes monomios )3)middot()middot(4( 32234 yabyxyax

Se procede de la siguiente forma

a) Se multiplican los coeficientes 4 1 y 3 respectivamente Resultado 12 b) Se multiplican todas las potencias de base a (sumando los exponentes) dando

como resultado 2a

c) Se multiplican todas las potencias de base b Resultado 2b

d) Se multiplican todas las potencias de base x Resultado 6x

e) Se multiplican todas las potencias de base y Resultado 7y

Resultado final 762232234 12)3)middot()middot(4( yxbayabyxyax =



134 DIVISIOacuteN DE MONOMIOS

Dos monomios no siempre se pueden dividir ya que cuando el grado de laguna de las variables es menor en el dividendo que en el divisor el resultado no es un mono-mio sino una fraccioacuten algebraica

Observa los siguientes ejemplos

a) )2()4( 234 yxyax

En este caso se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del dividendo entre las del divisor aunque en el divisor no esteacute la a Se obtendriacutea como resulta-

do 222 yax

b) )()6( 34 axyx

En este caso como no existe la a en el dividendo no es posible hacer la divisioacuten

Quizaacute se entienda mejor todo esto si expresamos la divisioacuten como una fraccioacuten y la sim-plificamos restando los exponentes de las potencias de la misma base

22

2

34

22

4yax

yx

yax=

Obviamente en el caso b) no podemos hacer lo mismo al no poder simplificar la a del

denominador

Tampoco pueden dividirse los monomios cuando en el divisor aparece una letra con una potencia mayor que en el dividendo El resultado no seriacutea un monomio pues que-dariacutea al restar los exponentes un exponente negativo (recueacuterdese que los exponen-tes de las letras deben ser positivos)

Ejemplo Si planteamos la divisioacuten )3()2( 32 xaax minus el resultado seriacutea xa 2

3

2 minus Aunque so-

lemos usar coeficientes enteros el coeficiente 3

2minus es perfectamente vaacutelido pero no asiacute

2minusa ya que el exponente no es positivo

14 POLINOMIOS 141 DEFINICIOacuteN Y EJEMPLOS DE POLINOMIOS

Un polinomio es una expresioacuten algebraica que se obtiene al expresar cualquier suma de monomios no semejantes

Si recordamos la suma de monomios cuando eacutestos no eran semejantes ldquono se podiacutean sumarrdquo En realidad lo que se obtiene en este caso es un polinomio Ejemplo son polinomios las expresiones siguientes

a) 32234 34 yabyxyax ++

b) 52324 234 +minus+minus xxxx

En el primer caso el polinomio consta de la suma de tres monomios cada uno de ellos es un teacutermino del polinomio Por tanto tiene tres teacuterminos cada uno con varias letras En el segundo caso el polinomio tiene 5 teacuterminos Si un teacutermino soacutelo consta de un nuacuteme-ro se le llama teacutermino independiente (5 en el segundo caso y no existe en el primero)



Cuando un polinomio consta de dos monomios se denomina binomio

Ejemplos 322 3 yabyx + 32 +x

Cuando un polinomio tiene tres monomios se denomina trinomio

Ejemplos 532 23 ++minus xx oacute el caso a) anterior

Con maacutes de tres teacuterminos (monomios) ya se denomina en general polinomio El grado de un polinomio es el mayor de los grados de los monomios que lo forman Asiacute en el caso a) los grados de los monomios (suma de los exponentes de las letras) son 8 3 y 6 luego el grado del polinomio es 8 En el caso b) el grado es 4 Los nuacutemeros que acompantildean como factores a las letras (coeficientes de los monomios) se llaman tambieacuten coeficientes del polinomio 4 -2 3 -2 y 5 respectivamente en el caso b) A las letras de los polinomios se las llama variables aunque los maacutes normales son los polinomios con una sola variable que suele ser la x

142 SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS La suma de polinomios se basa en la de monomios ya vista en este tema Se podraacuten su-mar los teacuterminos (monomios) que sean semejantes de los polinomios objeto de la suma (A partir de este momento trabajaremos ya soacutelo con polinomios con una sola letra x por

considerar que son los maacutes utilizados en la praacutectica) Ejemplo para calcular la suma de los polinomios

)25()52324( 23234 xxxxxxx +minus++minus+minus

Basta sumar los teacuterminos de grados 3 2 y 1 de ambos polinomios y dejar el resto de los teacuterminos del primero como estaacute

5234)25()52324( 23423234 +++=+minus++minus+minus xxxxxxxxxx

Aunque suele resultar maacutes faacutecil indicar la suma de la siguiente forma para verla mejor

5234

25

52324

234

23

234

+++

+minus+

+minus+minus

xxx

xxx

xxxx

Por tanto

Para sumar dos o maacutes polinomios se suman los teacuterminos semejantes de cada uno de ellos Si en lugar de sumar dos polinomios se tratara de restarlos bastariacutea cambiar el signo a todos los teacuterminos del segundo y sumar los resultados

Ejemplo para calcular la diferencia o resta de los dos polinomios anteriores

)25()52324( 23234 xxxxxxx +minusminus+minus+minus

Se calcula la suma del primero con polinomio que resulta de cambiar de signo a todos los coeficientes del segundo

54474)25()52324( 23423234 +minus+minus=minus+minus++minus+minus xxxxxxxxxxx

(Observa que hemos cambiado el signo a todos los teacuterminos del polinomio sustraendo)



143 PRODUCTO DE POLINOMIOS

Para multiplicar dos polinomios se multiplicar todos los monomios de uno de ellos por todos los del otro y luego se suman los resultados de estos productos En el caso en que ambos polinomios consten de varios teacuterminos se puede indicar la multiplicacioacuten de forma semejante a como se hace con la multiplicacioacuten de nuacuteme-ros de varias cifras situando debajo de cada monomio resultante de las multiplica-ciones los que sean semejantes En todo caso hay que poner una atencioacuten especial a los productos de potencias de la misma base que aparecen al multiplicar polinomios

Ejemplo

En la praacutectica no suele indicarse la multiplicacioacuten como en el esquema anterior sino que suelen colocarse todos los teacuterminos seguidos y sumar despueacutes los que sean semejantes Ejemplo

53252325232)1)(5232( 2342323423 ++++minus=+minus+minus+minus+minus=++minus+minus xxxxxxxxxxxxxxx

IGUALDADES NOTABLES Se denominan asiacute a algunas operaciones sencillas entre polinomios que aparecen muy frecuentemente en los caacutelculos Las igualdades notables maacutes usuales son

Cuadrado de un binomio suma 2)( ba + o diferencia 2)( ba minus

Naturalmente realizar un cuadrado es multiplicar el binomio por siacute mismo luego

22222 2))middot(()( bababbaababababa ++=+++=++=+

El cuadrado de una suma es igual al cuadrado del primero maacutes dos veces el primero

por el segundo maacutes el cuadrado del segundo 222 b2abab)(a ++=+

El cuadrado de una diferencia es muy parecido pero cambiando el signo central El cuadrado de una diferencia es igual al cuadrado del primero menos dos veces el

primero por el segundo maacutes el cuadrado del segundo 222 b2abab)(a +minus=minus

En ambos casos se debe tener en cuenta que el primer teacutermino a tambieacuten puede ser ne-

gativo y por tanto cambiar el signo central En la praacutectica se suele considerar siempre como una suma y lo que se hace es tener en cuenta el signo que precede a cada uno de los teacuterminos Ejemplos

a) 22222 9124)3(3middot2middot2)2()32( yxyxyyxxyx ++=++=+

b) 9633)middotmiddot(2)()3( 2222 +minus=+minus+minus=+minus xxxxx



Suma por diferencia se refiere al producto de la suma de dos monomios por la diferen-cia de ellos mismos

2222))middot(( babbaabababa minus=minus+minus=minus+

Es decir

Suma por diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados 22 bab)b)middot(a(a minus=minus+

Otras igualdades (importantes pero menos utilizadas)

Cubo de una suma 32233 b3abb3aab)(a +++=+

Cuadrado de un trinomio 2bc2ac2abcbac)b(a 2222 +++++=++

Si no eres capaz de recordar las foacutermulas anteriores recuerda que una potencia la pue-des reducir a una multiplicacioacuten por ejemplo

144 DIVISIOacuteN DE POLINOMIOS La divisioacuten de polinomios en general se realiza de forma semejante a la de nuacutemeros de varias cifras aunque las operaciones que realizamos raacutepidamente con los nuacutemeros con los polinomios las vamos indicando El proceso es el siguiente

1ordm) Se ordenan los polinomios dividendo y divisor de mayor a menor grado 2ordm) Se divide el primer teacutermino del dividendo entre el primer teacutermino del divisor dando lugar al primer teacutermino del cociente 3ordm) Se multiplica dicho teacutermino del cociente por el divisor y se coloca debajo del di-videndo con el signo cambiado cuidando que debajo de cada teacutermino se coloque otro semejante 4ordm) Se suman los polinomios colocados al efecto obtenieacutendose un polinomio de grado menor al inicial que seraacute el primer resto parcial de la divisioacuten 5ordm) El proceso se repite hasta que el resto obtenido sea de menor grado que el di-visor

Lo normal es que se dividan polinomios con una sola variable x tanto en el dividendo

como en el divisor Ejemplo

Como se ve se ha obtenido de cociente 14 +x y de resto 23 +minus x



2-ECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO SISTEMAS LINEALES DE ECUACIONES

21 DEFINICIONES Al comparar dos expresiones algebraicas mediante el signo matemaacutetico ldquoigualrdquo (=) crea-mos una igualdad Esta igualdad puede observar dos tipos de soluciones

1ordf- Que tenga infinitas soluciones y se denomina identidad

Ejemplo 3b = b + b + b Podemos dar cualquier valor a ldquobrdquo y siempre se cumpliraacute la igualdad

2ordf- Que tenga una o varias soluciones y se denomina ecuacioacuten

Ejemplo x = 3 + 1 Solamente dando el valor 4 a ldquoxrdquo se cumpliraacute la igualdad (Puede haber casos en los que la ecuacioacuten no tenga solucioacuten y daraacute igualdades del tipo 3 = 7 o 1 = 2) Resolver una ecuacioacuten es encontrar las soluciones de la misma Comprobar una ecuacioacuten es el procedimiento que utilizamos al sustituir las letras por las soluciones obtenidas y ver si la igualdad que resulta es cierta Es conveniente que com-pruebes todas las ecuaciones que resuelvas Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones Las siguientes reglas permiten pasar de una ecuacioacuten a otra equivalente Si a los dos miembros de una ecuacioacuten se les suma o resta un mismo nuacutemero o expre-sioacuten algebraica la ecuacioacuten que resulta es equivalente a la dada Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuacioacuten por un mismo nuacutemero distinto de cero la ecuacioacuten resultante es equivalente a la dada 211 ELEMENTOS DE UNA ECUACIOacuteN En toda ecuacioacuten se identifican unos elementos que la conforman Teacuterminos Son cada uno de los monomios que forman la ecuacioacuten Miembros Son los polinomios que se encuentran a ambos lados del signo igual El pri-mer miembro a la izquierda del signo y el segundo a la derecha Incoacutegnita Es la parte literal (habitualmente x) que es objeto del caacutelculo

Primer miembro Segundo miembro 3 + )5(4 x+ = x3 - 1

Teacutermino Teacutermino Teacutermino Teacutermino Las ecuaciones se clasifican seguacuten el grado del polinomio que las componen De este modo podemos tener Ecuaciones de primer grado 2x -1 = x + 2 Ecuaciones de segundo grado 2x + 3 = x2 ndash 5 212 PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIOacuteN DE PRIMER GRADO

1 Quitar pareacutentesis si los hay 2 Quitar denominadores si los hay (Hacer mcm) 3 Pasar los teacuterminos en x a un miembro y los nuacutemeros al otro miembro 4 Simplificar cada miembro 5 Despejar la x Se obtiene asiacute la solucioacuten 6 Comprobacioacuten Sustituir la solucioacuten en cada miembro de la ecuacioacuten inicial para comprobar que coinciden los resultados



Eliminacioacuten de pareacutentesis (si los hay se eliminan antes que los denominadores) Si existen pareacutentesis se operan para eliminarlos teniendo buen cuidado de ir multiplican-do los signos correspondientes Para ello hay que tener en cuenta las reglas de los sig-nos

Ejemplo

11

38

32263

3)1(2)2(3

=

=minus

=minusminusminus

=+minusminus

x

x

xx

xx

Eliminacioacuten de denominadores Si existen denominadores se eliminaraacuten aplicando el procedimiento del miacutenimo comuacuten muacuteltiplo (mcm) (recuerda que el mcm se obtiene factorizando cada denominador en pro-ducto de factores primos y luego multiplicando los factores no comunes y los comunes con mayor exponente) Es decir se halla el miacutenimo comuacuten muacuteltiplo de todos los denomi-nadores y eacuteste se divide entre cada denominador antiguo multiplicando el resultado por su respectivo numerador Ejemplo

El mcm de los denominadores 2 y 3 es 6 Ponemos el mismo denominador en los dos miembros Lo dividimos por cada denominador antiguo y el resultado lo multiplicamos por su respectivo numerador

A continuacioacuten eliminamos los denominares multiplicando los dos miembros por el mcm En nuestro caso multiplicamos los dos miembros por 6 y nos queda

Transposicioacuten de teacuterminos Se adopta el criterio de dejar en un miembro los teacuterminos que posean la incoacutegnita y se pasan al otro miembro los demaacutes La transposicioacuten de teacuterminos se rige por las reglas

Cualquier teacutermino que esteacute en un miembro sumando pasa al otro restando y viceversa Cualquier teacutermino que esteacute en un miembro multiplicando pasa al otro dividiendo y vice-versa

Reduccioacuten de teacuterminos semejantes Se suman los teacuterminos de uno y otro miembro Despeje de la incoacutegnita Se deja la incoacutegnita totalmente aislada y con signo positivo Ejemplo

31539865 minusminus=+minus xxx

Agrupo los teacuterminos con x en el primer miembro y los otros en el segundo 83391565 minusminus=+minus xxx



Reduzco teacuterminos semejantes

2814 =x

Como el 14 estaacute multiplicando a x pasa al otro miembro dividiendo

214

28==x

Ejemplo

63

2

2

1=

++

minus xx

Reducimos a comuacuten denominador 6

36

6

42

6

33=

++

minus xx

Eliminamos denominadores (multiplicando por 6) 364233 =++minus xx

75

35

355

433623

==

=

minus+=+

x

x

xx

Atencioacuten al quitar los denominadores cuando hay un menos delante iexclCambiamos a todos los teacuterminos del numerador de signo Ejemplo

2

11

5

3 +minus=minus

xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10

6=+minus=+minusminusminus=minus

+minus=minus xxxxxxx

xxx

22 EL LENGUAJE ALGEBRAICO La parte realmente praacutectica de todos los contenidos estudiados hasta ahora consiste en traducir problemas de la vida cotidiana a un lenguaje algebraico para poder resolverlos En general como ya sabemos llamamos incoacutegnita a la cantidad que es objeto de caacutelculo y la identificamos habitualmente con la letra x (aunque puede utilizarse cualquier letra)

A esta incoacutegnita le aplicamos las operaciones que deducimos del enunciado literal de los problemas Ejemplo El doble de un nuacutemero x2

La mitad de un nuacutemero2

x

De esta forma traducimos los planteamientos literales en algebraicos 23 RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES Para resolver problemas mediante ecuaciones debemos seguir el siguiente proceso

Identificar la incoacutegnita Plantear la ecuacioacuten Resolver la ecuacioacuten Comprobar la solucioacuten Expresar con palabras la solucioacuten

Ejemplo Si restamos 12 a un nuacutemero lo reducimos a su tercera parte Identificar la incoacutegnita x (el nuacutemero que nos piden)

Plantear la ecuacioacuten 3

12x

x =minus



Resolver la ecuacioacuten 182

36362363363 ====minus=minus xxxxxxx

Comprobar la solucioacuten 18 ndash 12 = 6 6 = 6 Expresar con palabras la solucioacuten El nuacutemero pedido es el 18 En la resolucioacuten de todo problema conviene tener en cuenta las etapas Familiarizacioacuten con el problema Antes de hacer trata de entender Toacutemate el tiempo necesario Actuacutea sin prisa y con tranquilidad Juega con los elementos del problema Pon en claro la situacioacuten de partida la de llegada y lo que debes lograr Encara la situacioacuten con gusto e intereacutes Buacutesqueda de estrategias El camino a recorrer seraacute menos dificultoso si realizamos una buena eleccioacuten de incoacutegnitas Es conveniente elegir las menos posibles ya que muchas veces estaacuten relacionadas de forma sencilla unas con otras Anota las ideas que se te ocurran Estas estrategias te pueden ayudar

Empieza por lo faacutecil Experimenta y busca regularidades Utiliza esquemas figuras diagramas Escoge una notacioacuten apropiada Busca semejanzas con otros problemas que ya hayas resuelto Explora la simetriacutea de la situacioacuten Supoacuten el problema resuelto Suponer que no iquestdoacutende nos lleva

Llevar adelante la estrategia Despueacutes de la eleccioacuten de las incoacutegnitas escribimos las ecuaciones que son las relaciones que ligan los datos y las incoacutegnitas Resolvemos la ecuacioacuten o sistema de ecuaciones con las teacutecnicas y procedimientos que aquiacute se descri-ben

Trabaja con las ideas de la etapa anterior Procura no mezclarlas de una en una Trabaja con tenacidad y decisioacuten

Revisar el proceso y sacar consecuencias de eacutel Comprobamos las soluciones y ob-servamos si eacutestas tienen sentido en la solucioacuten descrita por el problema Examina con detenimiento y profundidad el camino que has seguido Trata de entender por queacute las cosas han marchado

PARA SABER MAacuteS Si quieres ampliar conocimientos puedes acceder a los siguientes recursos httpwwwestudiantesinfomatematicasproblemas3-esoEl-lenguaje-algebraicohtm httpwwwthatquizorgespreviewtestREUC5183 httpfdsoupcomwwwoupcomwordes12030230doc httpdescartescnicemecesmateriales_didacticosecuaciones_primer_gradoindicehtm httpwwwpntecfnavarraesiesmarcidepartamentosmatematicasejercicios1pdf



24 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 241 DEFINICIOacuteN

Una ecuacioacuten de segundo grado con una incoacutegnita es aquella equivalente a otra de la forma

ax2+ bx + c = con a

En estas ecuaciones es necesario que el coeficiente de x2 a sea distinto de cero ya que en caso contrario la ecuacioacuten seriacutea de primer grado Los restantes coeficientes b y c pueden tomar valores cualesquiera En el caso en que b y c son distintos de cero la ecuacioacuten se llama completa y si b o c son cero la ecuacioacuten se llama incompleta 242 RESOLUCIOacuteN DE LAS ECUACIONES INCOMPLETAS

Si b = y c = 0 la ecuacioacuten es ax2 =

Dividiendo por a obtenemos x2 = y la uacutenica solucioacuten es x = Ejemplo 002 2 == xx

Si b = la ecuacioacuten es ax2+ c = 0 Realizamos los pasos convenientes para despejar x

obteniendo

ax2 + c = 0 ax2 = minus c a

cx

a

cx minus=minus= 2

Encontraremos dos soluciones distintas si minusa

c es positivo en el caso de ser negativo

la ecuacioacuten no tiene soluciones reales

Ejemplo 552525253

757530753 2222 minus======rarr=rarr=minus xyxxxxxx

Si c = 0 la ecuacioacuten es ax2 + bx =

Sacamos factor comuacuten x obteniendo x(ax + b) = Para que el producto anterior sea

igual a alguno de los factores debe ser Esto nos conduce a las soluciones de la

ecuacioacuten que son x = y x = minusa

b

Ejemplo

=rarr=rarr=minus

=rarr=

=minus=minus

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xx

xxxx

243 RESOLUCIOacuteN DE LA ECUACIOacuteN COMPLETA Foacutermula para las soluciones de la ecuacioacuten

a

acbbx

2

42 minusminus=

Ejemplo a=1 b=4 c=-21

=minus

=+minus

==minus+2

104

2

8416402142 xxx

minus=minusminus

=+minus

72

104

32

104



Clasificacioacuten de las soluciones

La expresioacuten b2 minus 4ac se llama discriminante de la ecuacioacuten de segundo grado y de su signo depende el nuacutemero de soluciones de la misma

Si b2 minus 4ac es positivo la ecuacioacuten tiene por soluciones dos nuacutemeros reales distin-

tos

Si b2 minus 4ac es cero la ecuacioacuten tiene por solucioacuten un uacutenico nuacutemero real En este caso se dice que las raiacuteces son iguales o que la ecuacioacuten tiene raiacutez doble

Si b2 minus 4ac es negativo la ecuacioacuten no tiene soluciones en R (pero siacute en un con-junto mayor el conjunto C de los nuacutemeros complejos)

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIOacuteN DE SEGUNDO GRADO 1 Si la ecuacioacuten de segundo grado es completa aplicar la foacutermula 2 Si la ecuacioacuten de segundo grado es incompleta resolverla sin la foacutermula sacando fac-tor comuacuten o despejando 3 Si tiene una fisonomiacutea complicada arreacuteglala suprime pareacutentesis quita denominado-res agrupa teacuterminos y paacutesalos todos al primer miembroSoacutelo cuando esteacute simplificada aplica uno de los meacutetodos anteriores 4 Comprueba las soluciones Y si la ecuacioacuten proviene de un problema con enunciado haz la comprobacioacuten sobre el enunciado pues es posible que alguna de las soluciones carezca de sentido real



25 SISTEMAS DE ECUACIONES Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que deben verificarse para los mismos valores de las incoacutegnitas llamados soluciones del sistema Un sistema de ecuaciones lineales es aqueacutel en el que el grado de las incoacutegnitas es uno Teniendo en cuenta que los coeficientes de las incoacutegnitas y los teacuterminos independientes son nuacutemeros reales un sistema de ecuaciones lineales (con dos o tres ecuaciones y el mismo nuacutemero de incoacutegnitas) se puede escribir asiacute

=+

=+

cybxa

cbyax

=++

=++

=++

acuteacutedzacuteacutecyacuteacutebxacuteacutea

acutedzcbyacutexa

dczbyax

Resolver un sistema es encontrar los valores que sustituidos en las incoacutegnitas cumplan todas las ecuaciones a la vez Estos valores se llaman soluciones del sistema Los sistemas de ecuaciones lineales atendiendo al tipo de solucioacuten se clasifican en Compatibles son los que tienen al menos una solucioacuten Determinado si posee una uacutenica solucioacuten Indeterminado si posee maacutes de una solucioacuten (poseen infinitas) Incompatibles son los que no poseen solucioacuten Dos sistemas del mismo nuacutemero de incoacutegnitas son equivalentes si toda solucioacuten del primero verifica el segundo y viceversa Dos sistemas equivalentes deben tener el mismo nuacutemero de incoacutegnitas aunque no es necesario que tengan el mismo nuacutemero de ecuaciones Los meacutetodos de resolucioacuten de ecuaciones lineales son los de sustitucioacuten igualacioacuten y reduccioacuten Veamos en queacute consiste cada meacutetodo para un sistema lineal de dos ecuacio-nes con dos incoacutegnitas 251 SUSTITUCIOacuteN Consiste en despejar una de las incoacutegnitas en una de las ecuaciones del sistema y susti-tuir su expresioacuten en la otra ecuacioacuten

Ejemplo 2 3 1

5 2 12

x y

x y

minus =

+ =

Despejamos x en la primera ecuacioacuten 2

31 yx

+=

Al sustituir en la segunda ecuacioacuten resulta 1222

315 =+

+ y

y que es una ecuacioacuten con

una sola incoacutegnita Resolviendo la ecuacioacuten obtenemos

11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==minus=+

=++=++

=++

yyyy

yyyy

yy

Sustituyendo este valor de y en la expresioacuten 2

31 yx

+= resulta

2

131 +=x = 2

Solucioacuten x = 2 y = 1



252 IGUALACIOacuteN Consiste en despejar la misma incoacutegnita en las dos ecuaciones del sistema e igualar las expresiones que resultan

Ejemplo

=+

=minus

1225

132

yx

yx

Despejamos x en ambas ecuaciones e igualamos

minus=rarr=+

+=rarr=minus

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy minus=

+

Resolviendo la uacuteltima ecuacioacuten resulta

( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==rarr=rarrminus=+

rarrminus

=+

rarrminus

=+

yyyy

yyyy

Sustituyendo este valor de y resulta x = 2 Solucioacuten x = 2 y = 1 253 REDUCCIOacuteN Este meacutetodo consiste en multiplicar una de las dos ecuaciones o las dos por nuacutemeros convenientes para que los coeficientes de una de las incoacutegnitas sean iguales y opuestos Ejemplo 1

=minus

minus=+

1153

46

yx

yx

=minus

minus=+

1153

12183

yx

yx

Sumando ambas ecuaciones obtenemos 123

232323 minus=

minus==minus yy Sustituyendo el valor

de y en una de las dos ecuaciones del principio obtenemos x 26446 =+minus=minus=minus xx

Ejemplo 2

=+

=minus

1225

132

yx

yx

=+

=minus

36615

264

yx

yx

2

19

383819 ==rarr= xx

Sustituyendo el valor de x en una de las ecuaciones obtenemos el de

y 13

3413134 =

minus

minus=minus=minus=minus yyy

=minus

=minusminus

1153

12183

yx

yx



3 PROBLEMAS DE ECUACIONES Y SISTEMAS Todo lo que acabamos de ver a lo largo del tema tiene aplicacioacuten directa en muchas si-tuaciones cotidianas que pueden resolverse traducieacutendolas correctamente al lenguaje al-gebraico de modo que pueden responder a una ecuacioacuten de primer grado de segundo grado o a sistemas de ecuaciones Veaacutemoslo con algunos ejemplos Ejemplo 1 Queremos vallar un campo rectangular de 620 metros de periacutemetro que es 50 metros mayor de largo que de ancho En los lados maacutes largos vamos a poner tela metaacuteli-ca y en los maacutes cortos cantildeizo iquestCuaacutenta tela metaacutelica y cuaacutento cantildeizo necesitaremos Solucioacuten en este caso como se trata de un problema de geometriacutea conviene hacer un esquema para recopilar adecuadamente la informacioacuten del problema donde si supone-

mos que el lado corto del rectaacutengulo mide x metros el lado largo mediraacute x+10 metros

Como el periacutemetro es la suma de los lados (dos largos y dos cortos)

Por tanto seraacuten necesarios 2middot130 = 260 metros de cantildeizo y 2middot(130+50) = 360 me-tros de tela metaacutelica

Ejemplo 2 Dos kilos de manzanas y uno de naranjas nos cuestan 470 euro Tres kilos de manzanas y dos de naranjas cuestan 765 euro iquestCuaacutento cuesta cada kilo de naranjas iquestY cada kilo de manzanas Solucioacuten en este caso lo maacutes faacutecil es plantear un sistema de dos ecuaciones con dos in-

coacutegnitas que seraacuten precisamente los precios por kilo de manzanas (x) y de naranjas (y)

Como lo que se pague por cada tipo de fruta se obtiene multiplicando los kilos de esa fru-ta por su precio resultaraacute

Resolviendo la uacuteltima ecuacioacuten

Por tanto el kilo de manzanas cuesta 175 euro y el de naranjas 120 euro Ejemplo 3 La suma de los cuadrados de dos nuacutemeros enteros consecutivos es 365 iquestDe queacute nuacutemeros se trata Solucioacuten como son dos nuacutemeros enteros consecutivos si al primero le llamar x el si-guiente seraacute x+1 por lo que la uacutenica particularidad ahora es que se llega a una ecuacioacuten de segundo grado porque hay que sumar sus cuadrados

Resolviendo la uacuteltima ecuacioacuten salen para x dos resultados (-14 y 13) que corresponden

a los nuacutemeros -14 y-13 o bien 13 y 14

TEMA 5 GEOMETRIacuteA MOacuteDULO TRES


1 REPASO DE GEOMETRIacuteA PLANA 11 UN POCO DE HISTORIA 12 PRIMEROS PROBLEMAS GEOMEacuteTRICOS 13 REPASO A LAS FIGURAS PLANAS ELEMENTALES






1 REPASO DE GEOMETRIacuteA PLANA La Geometriacutea (del griego geo tierra metrein medir) es una rama de las matemaacuteticas que se ocupa de las propiedades del espacio En su forma maacutes elemental la geometriacutea se preocupa de problemas meacutetricos como el caacutelculo del aacuterea y diaacutemetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos soacutelidos 11 UN POCO DE HISTORIA El origen del teacutermino geometriacutea es una descripcioacuten precisa del trabajo de los pri-meros geoacutemetras que se interesaban en problemas como la medida del tamantildeo de los campos o el trazado de aacutengulos rectos para las esquinas de los edificios Este tipo de geometriacutea empiacuterica (resultados geomeacutetricos que vienen de la experiencia) que florecioacute en el Antiguo Egipto Sumeria y Babilonia fue refinado y sistematizado por los griegos En el siglo VI aC el matemaacutetico Pitaacutegoras colocoacute la piedra angular de la geometriacutea cientiacutefica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometriacutea em-piacuterica se pueden deducir como conclusiones loacutegicas de un nuacutemero limitado de axio-mas o postulados Estos postulados fueron considerados por Pitaacutegoras y sus disciacutepulos como verdades evidentes sin embargo en el pensamiento matemaacutetico moderno se con-sideran como un conjunto de supuestos uacutetiles pero arbitrarios

Un ejemplo tiacutepico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemaacuteticos griegos es la siguiente afirmacioacuten una liacutenea recta es la distancia maacutes corta entre dos puntos Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos liacuteneas aacutengulos y planos se puede deducir loacutegicamente a partir de estos axiomas Entre estos teoremas se encuentran la suma de los aacutengulos de cualquier triaacutengulo es igual a la suma de dos aacutengulos rectos y el cuadrado de la hipotenusa de un triaacutengu-lo rectaacutengulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (conocido como teorema de Pitaacutegoras) La geometriacutea demostrativa de los griegos que se ocupaba de poliacutegonos y ciacuterculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales fue expuesta rigurosamente por el mate-maacutetico griego Euclides en su libro Los elementos El texto de Euclides a pesar de sus imperfecciones ha servido como libro de texto baacutesico de geometriacutea hasta casi nuestros diacuteas

MOacuteDULO TRES TEMA 5 GEOMETRIacuteA


12 PRIMEROS PROBLEMAS GEOMEacuteTRICOS Los griegos introdujeron los problemas de construccioacuten en los que cierta liacutenea o figu-

ra debe ser construida utilizando soacutelo una regla de borde recto y un compaacutes

Ejemplos sencillos son la construccioacuten de una liacutenea recta dos veces maacutes larga que una recta dada o de una recta que divide un aacutengulo dado en dos aacutengulos iguales Los griegos y en particular Apolonio de Perga estudiaron la familia de curvas co-nocidas como coacutenicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales Las coacutenicas son importantes en muchos campos de las ciencias fiacutesicas por ejemplo las oacuterbi-tas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente coacutenicas Arquiacutemedes uno de los grandes cientiacuteficos griegos hizo un considerable nuacutemero de aportaciones a la geometriacutea Inventoacute formas de medir el aacuterea de ciertas figuras cur-vas asiacute como la superficie y el volumen de soacutelidos limitados por superficies curvas como paraboloides y cilindros Tambieacuten elaboroacute un meacutetodo para calcular una aproxima-cioacuten del valor de π la proporcioacuten entre el diaacutemetro y la circunferencia de un ciacuterculo

13 REPASO A LAS FIGURAS PLANAS ELEMENTALES Antes de meternos en el estudio de los cuerpos geomeacutetricos elementales recordemos algunas de las figuras planas que vamos a necesitar asiacute como sus ele-mentos periacutemetro y aacuterea Recordemos que el periacutemetro es la suma de la longitud de los bordes de una figura geomeacutetrica y el aacuterea es el trozo de plano que queda encerrado por el borde de una figu-ra geomeacutetrica

FIGURA GEOMEacuteTRICA DEFINICIOacuteN CAacuteLCULOS VIDA COTIDIANA

TRIAacuteNGULO

Figura geomeacutetrica que se obtiene al cortarse tres rectas mutuamen-te resultando tres aacuten-gulos

2

alturabaseAacuterea

=

Triaacutengulo de emergencia




CUADRADO Figura plana cerrada for-mada por cuatro seg-mentos que se cortan formando aacutengulos rec-tos

2lladoladoAacuterea ==

Tablero de ajedrez

RECTAacuteNGULO Paralelogramo con los cuatro aacutengulos inte-riores rectos y los lados con-tiguos de-siguales

alturabaseAacuterea =

Baldosas rectangulares

POLIacuteGONO REGULAR Poliacutegono con todos los la-dos de la misma longi-tud y todos los aacutengulos inte-riores iguales

2

apotemaperiacutemetroAacuterea

=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA

Curva plana cerrada cu-yos puntos equidistan a otro llamado centro

rradioLongitud == 22

Rosetoacuten del monasterio de Armenteira Ponteve-dra

CIacuteRCULO

Aacuterea o super-ficie plana contenida dentro de la circunferencia

22 rradioAacuterea ==

Ruedas

131 TRIAacuteNGULOS A la hora de clasificar los triaacutengulos lo podemos hacer de distintas maneras 1 Por sus lados

Equilaacutetero tiene la longitud de los tres lados igual Isoacutesceles tiene la longitud de dos lados iguales y una desigual Escaleno tiene los tres lados de distinta longitud



2 Por sus aacutengulos

Rectaacutengulo Tiene un aacutengulo recto Acutaacutengulo Todos sus aacutengulos miden menos de noventa grados Obtusaacutengulo Tiene un aacutengulo de maacutes de noventa grados

Otras propiedades interesantes de los triaacutengulos son

o La suma de las medidas de los aacutengulos de un triaacutengulo es siempre 180ordm o Teorema de Pitaacutegoras En todo triaacutengulo rectaacutengulo se cumple que el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

222 21 catetocatetohipotenusa +=

222 cba +=

EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN 1 En una piraacutemide cuadrangular la arista de la base mide 6 cm y la altura 8 cm Calcula cuaacutento mide la apotema de dicha piraacutemide

cmh

h

54873

7338 222

==

=+=



2 En las fiestas de un pueblo cuelgan una estrella de 1 m de diaacutemetro en medio de una cuerda de 34 m que estaacute atada a los extremos de dos postes de 12 m separados 30 m entre siacute iquestA queacute altura del suelo queda la estrella

81517 22 =minus

x = 12 ndash 8 ndash 1 = 3 La estrella estaacute a 3 m del suelo 132 CUADRILAacuteTEROS Los poliacutegonos que tienen cuatro lados se llaman cuadrilaacuteteros y se clasifican en

1 Paralelogramos 2 Trapecios 3 Trapezoides

CLASIFICACIOacuteN DE LOS

PARALELOGRAMOS TIPOS FIGURA

Dos pares de lados paralelos (a y c) (b y d)

Cuadrado a=b=c=d

Rectaacutengulo a=c b=d

Rombo a=b=c=d

Romboide a=c b=d




TRAPECIOS TIPOS FIGURA

Un par de lados paralelos (a y d)

Trapecio escaleno Distintos medidas en los la-dos no paralelos (b c)

Trapecio isoacutesceles Igual medida en los lados no paralelos (b = c)

Trapecio rectangular Un lado no paralelo perpendicu-lar a la base

Recordemos el periacutemetro y el aacuterea de las figuras anteriores

rombo

P = 4 middot a 2

dDA

=

D=diagonal mayor d= diagonal menor

romboide

P = 2 middot (a + b) A = a middot h

trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

+

=

a= base mayor c= base menor h= altura



2 POLIEDROS Y CUERPOS DE REVOLUCIOacuteN 21 POLIEDROS Cuando estamos andando por la calle continuamente estamos viendo figuras geomeacutetricas

Torres Petronas

Kuala Lampur Malasia Torres Kio Madrid Poliedro de la Armoniacutea

Leonardo Unas de las figuras que normalmente nos encontramos son los poliedros que son cuerpos geomeacutetricos que se forman a partir de poliacutegonos (triaacutengulos cuadrados rectaacutengulos pentaacute-gonoshellip) Todos los poliedros tienen los elementos que aparecen en el siguiente dibujo A parte de los elementos que aparecen en el dibujo estaacuten los veacutertices que son los puntos donde se cortan las aristas Otros elementos son las diagonales que son los segmen-tos que unen dos veacutertices no consecutivos Los elementos de un poliedro convexo cumplen una pro-piedad curiosa que relaciona el nuacutemero de caras el de veacutertices y el de aristas Es conocido como la foacutermula de Euler seguacuten la cual ldquoel nuacutemero de caras maacutes el nuacutemero de veacutertices es igual al nuacutemero de aristas maacutes dosrdquo es decir

C+V =A+2 212 POLIEDROS REGULARES Dentro de todos los poliedros que existen hay unos pocos (concretamente cinco) a los que se les conoce como poliedros regulares o soacutelidos platoacutenicos Estos poliedros tienen una propiedad especial todas sus caras estaacuten formadas por poliacutegonos regulares iguales Debido a esta propiedad soacutelo cinco son los cuerpos geomeacute-tricos que la cumplen el tetraedro el cubo o hexaedro el octaedro el dodecaedro y el icosaedro

Tetraedro Cubo -hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro



213 PRISMAS Otro tipo de poliedros son los prismas que tienen la peculiaridad de que sus bases son poliacutegonos regulares iguales y las caras laterales son rectaacutengulos El nombre de los pris-mas depende del poliacutegono regular de la base

Prisma triangular Prisma hexagonal

214 PIRAacuteMIDES Siguiendo el anaacutelisis de los distintos poliedros llegamos al uacuteltimo que vamos a estu-diar a fondo las piraacutemides

Esfinge y piraacutemide de Keops Giza Egipto

Como se ve este poliedro es conocido desde hace mucho tiempo Las piraacutemides estaacuten formadas por un cara (la base) que es un poliacutegono regular y caras laterales que son triaacutengulos que se unen en un veacutertice Estos son sus elementos

Las piraacutemides se nombran a partir del poliacutegono regu-lar que tienen por base si es un pentaacutegono se lla-maraacute piraacutemide pentagonal si es un octoacutegono piraacute-mide octogonal

Piraacutemide pentagonal Piraacutemide octogonal



22 CUERPOS DE REVOLUCIOacuteN Son cuerpos geomeacutetricos cuya denominacioacuten se debe a que se obtienen al girar una figura geomeacutetrica plana A continuacioacuten veremos los aspectos maacutes destacables de tres de ellos el cilindro el cono y la esfera

Cilindro se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo sobre uno de sus lados Cono se obtiene al hacer girar un triaacutengulo rectaacutengulo sobre uno de sus catetos Esfera se obtiene al hacer girar una media circunferencia sobre el diaacutemetro

221 CILINDRO

CILINDROS EN EL ARTE

Es un cuerpo de revolucioacuten que se obtiene al hacer girar un rectaacutengulo sobre uno de sus lados Los elementos de un cilindro son La altura (h) distancia entre las dos bases La generatriz (g) segmento que une las dos bases por la superficie lateral El radio de la base (r)

222 CONO Espacio y esteacutetica

Plaza de Europa de la Expo 92 Silos de Santa Moacutenica hacienda de San Juan

de Trancoso Meacutexico

Es un cuerpo de revolucioacuten obtenido al hacer girar un triaacutengulo rectaacuten-gulo sobre uno de sus catetos Los elementos de un cono son h altura g generatriz r radio de la base



223 ESFERA

Centro cultural Tijuana Meacutejico Embarcadero Toronto Canadaacute Vista de la Tierra y la Luna desde el espacio

La esfera es una de las formas que maacutes se repite en la naturaleza (los planetas muchas frutas y semillas hellip) y es ampliamente utilizada como modelo por el hombre en muchas de sus creaciones (arquitectura moda deportes baloneshellip ) Es un cuerpo de revolu-cioacuten que se obtiene al girar una semicircunferencia Sus elementos se representan en la siguiente imagen

23 AacuteREAS Y VOLUacuteMENES Hay veces que necesitamos saber la superficie de alguno de los cuerpos que hemos es-tudiado asiacute como la capacidad interior que tiene Supongamos que queremos poner un deposito de agua co n forma ciliacutendrica pero de la mayor capacidad posible y a precio asequible Para ello necesitamos calcular el aacuterea y e l volumen de un cilindro Para calcular el aacuterea de los cuerpos geomeacutetricos lo primero que tenemos que vi-sualizar es el desarrollo de cada uno Veamos un ejemplo El cubo es un soacutelido limitado por seis cuadrados iguales tambieacuten se le conoce con el nombre de hexaedro El ortoedro es como el cubo pero sus lados no tie-nen la misma medida El dibujo de la de-recha representa un ortoedro en el cubo tendriacuteamos que los tres lados (tambieacuten llamados aristas) tienen la misma longi-tud Para calcular el volumen de un ortoedro se emplea la siguiente foacutermula

321 LadoLadoLadoVolumen =



Esta foacutermula sirve para obtener el volumen de cualquier caja cuyas caras estaacuten formadas por rectaacutengulos El aacuterea total del cubo seraacute seis veces el aacuterea del cuadrado que forma sus caras En el caso de un ortoedro hay que sumar el aacuterea de cada uno de los seis rectaacutengulos que lo forman El aacuterea lateral se obtiene sumando el aacuterea de to-das las caras menos la superior y la inferior (las marcadas con equis en el dibujo) PRISMAS Un prisma regular es un cuerpo geomeacutetrico limitado por dos poliacutegonos paralelos e igua-les llamados bases y por tantos rectaacutengulos como lados tenga cada base Para calcular su volumen se emplea la siguiente foacutermula

alturabaseladeaacutereaVolumen =

A continuacioacuten estaacuten dibujados los prismas triangular y cuadrangular

Si nos fijamos en el desarrollo de las figuras veremos coacutemo puede calcularse el aacuterea to-tal Para obtener el aacuterea lateral se calcula soacutelo el aacuterea de los rectaacutengulos que componen el prisma (no se suman las aacutereas dibujadas en gris)



CILINDRO El cilindro se obtiene haciendo girar un rectaacutengulo respecto a uno de sus lados

El volumen del cilindro se calcula igual que el de los prismas


Para obtener el aacuterea total y lateral tenemos que calcular la longitud de la circunferencia puesto que esta es la longitud de uno de los lados del rectaacutengulo que se obtiene al cortar la figura

Recordando que la longitud de la circunferencia es radioL nciacircunfere = 141632

El aacuterea lateral seraacute

alturaLAacuterea nciacircunferelateral =

El aacuterea total se obtiene sumando al aacuterea lateral dos veces el aacuterea del ciacuterculo PIRAacuteMIDE Es un poliedro limitado por una base que puede ser un poliacutegono cualquiera y varias ca-ras laterales que son triaacutengulos con un veacutertice comuacuten llamado veacutertice de la piraacutemide La altura de la piraacutemide es la distancia del veacutertice a la base Una piraacutemide se llama trian-gular cuadrangular pentagonalhellip seguacuten que su base sea un triaacutengulo un cuadrilaacutetero un pentaacutegonohellip



Una piraacutemide es regular si su base es un poliacutegono regular y el veacutertice se proyecta (cae perpendicularmente) sobre el centro de la base En una piraacutemide regular las caras latera-les son triaacutengulos isoacutesceles cuyas alturas se llaman apotemas de la piraacutemide El aacuterea lateral de una piraacutemide regular es la su-ma de las aacutereas de las caras laterales es decir la suma de las aacutereas de los triaacutengulos que la for-man cuya altura se llama apotema Por tanto

El aacuterea total es la suma del aacuterea anterior maacutes la de la base El volumen de una piraacutemide es la tercera parte del producto del aacuterea de la base por la altura

CONO Es el soacutelido engendrado por un triaacutengulo rectaacutengulo al girar en torno a uno de sus catetos

Su volumen se obtiene igual que en las piraacutemides por la foacutermula



Para calcular el aacuterea lateral y total nos fijamos en el corte del cono siguiente

FIGURA DESARROLLO AacuteREAS Y VOLUMEN


BLOQUE 7 TEMA 2 ECOLOGIacuteA Y MEDIOAMBIENTE

1 DEFINICIOacuteN DE ECOSISTEMA 2 FACTORES ABIOacuteTICOS 3 FACTORES BIOacuteTICOS 4 ECOSISTEMAS TERRESTRES 5 ECOSISTEMAS MARIacuteTIMOS 6 NIVELES TROacuteFICOS 7 REPRESENTACIOacuteN DE LOS NIVELES TROacuteFICOS 8 FLUJO DE MATERIA Y ENERGIacuteA 9 CAMBIOS EN LAS POBLACIONES 10 SUCESIOacuteN ECOLOacuteGICA 11 ACCIOacuteN HUMANA EN LOS ECOSISTEMAS

BLOQUE 8 TEMA 4 LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES

1 LAS FUERZAS 2 PRESIOacuteN 3 ESTRUCTURAS 4 MAacuteQUINAS

BLOQUE 9 TEMA 6 TEORIacuteA ATOacuteMICA DE LA MATERIA

1 INTRODUCCIOacuteN 2 TEORIacuteA ATOacuteMICA DE DALTON 3 MODELOS ATOacuteMICOS 4 PARTIacuteCULAS SUBATOacuteMICAS 5 PROPIEDADES Y CLASIFICACIOacuteN DE LOS ELEMENTOS QUIacuteMICOS 6 ENLACE QUIacuteMICO 7 ELEMENTOS Y COMPUESTOS DE INTEREacuteS

TEMA 2 ECOLOGIacuteA Y MEDIOAMBIENTE MOacuteDULO TRES


1 DEFINICIOacuteN DE ECOSISTEMA 2 FACTORES ABIOacuteTICOS

21 FACTORES CLIMAacuteTICOS 22 FACTORES HIDROLOacuteGICOS 23 FACTORES EDAacuteFICOS

3 FACTORES BIOacuteTICOS 31 RELACIONES INTRAESPECIacuteFICAS 32 RELACIONES INTERESPECIacuteFICAS

4 ECOSISTEMAS TERRESTRES 41 BIOMAS DE ZONAS FRIacuteAS 42 BIOMAS DE ZONAS TEMPLADAS 43 BIOMAS DE ZONAS CALIENTES

5 ECOSISTEMAS MARIacuteTIMOS 6 NIVELES TROacuteFICOS

61 PRODUCTORES 62 CONSUMIDORES 63 DESCOMPONEDORES

7 REPRESENTACIOacuteN DE LOS NIVELES TROacuteFICOS 71 CADENA TROacuteFICA 72 RED TROacuteFICA 73 PIRAacuteMIDES TROacuteFICAS

8 FLUJO DE MATERIA Y ENERGIacuteA 9 CAMBIOS EN LAS POBLACIONES 10 SUCESIOacuteN ECOLOacuteGICA

101 SUCESIOacuteN PRIMARIA 102 SUCESIOacuteN SECUNDARIA

11 ACCIOacuteN HUMANA EN LOS ECOSISTEMAS 111 LA CONTAMINACIOacuteN 112 LOS PROBLEMAS MEDIOAMBIENTALES 113 IMPACTO AMBIENTAL EN CASTILLA-LAMANCHA 114 ESPECIES ENDEacuteMICAS Y EN PELIGRO DE EXTINCIOacuteN 115 ESPACIOS NATURALES PROTEGIDOS EN CASTILLA-LA MANCHA

__________________________________________________________________________________

MOacuteDULO TRES TEMA 2 ECOLOGIacuteA Y MEDIOAMBIENTE


1 DEFINICIOacuteN DE ECOSISTEMA Para sobrevivir todos los organismos necesitan relacionarse con el medio que les rodea e inevitablemente la vida de cada organismo afecta a la vida de los demaacutes El anaacutelisis de las interacciones que se producen entre todos los seres vivos y los medios que habitan es muy complejo por lo que se recurre al estudio de unidades ambientales llamadas ecosis-temas

ECOSISTEMA = BIOCENOSIS + BIOTOPO

bull El ECOSISTEMA es el conjunto de seres vivos que ocupan un espacio natural y las relaciones que se establecen entre ellos y el medio en el que viven

bull BIOCENOSIS O COMUNIDAD es el conjunto de poblaciones que viven en un aacuterea determinada Los individuos de la comunidad que pertenecen a una misma especie constituyen una poblacioacuten

bull El BIOTOPO es el lugar o medio fiacutesico ocupado por una comunidad que se ca-racteriza por unas condiciones ambientales bien definidas

Los bioacutelogos suelen utilizar el concepto de haacutebitat en el sentido del espacio ocupado por los seres vivos pero incluyendo en este espacio a las plantas Por tanto el haacutebitat es algo maacutes complejo que el biotopo De igual modo tambieacuten se utiliza el concepto de nicho eco-loacutegico de un ser vivo como el conjunto de seres vivos que realizan una misma funcioacuten casi siempre asociada al reacutegimen de alimentacioacuten Asiacute un zorro y un buitre pueden consi-derarse pertenecientes al mismo nicho ecoloacutegico porque ambos son carrontildeeros (lo cual no es incompatible con pertenecer a otros nichos ecoloacutegicos no iguales) La ECOLOGIacuteA es la ciencia que estudia las relaciones entre unos seres vivos y otros asiacute como entre ellos y el medio fiacutesico que les rodea Su unidad de estudio es el ecosistema formado por el biotopo y su biocenosis

2 FACTORES ABIOacuteTICOS El medio ambiente (entorno de cada ser vivo) de un organismo estaacute constituido por todos los factores o condiciones que existen en el lugar en el que habita y que influyen sobre eacutel en alguacuten momento de su vida Los factores abioacuteticos son las caracteriacutesticas fisico-quiacutemicas que posee un medio No dependen directamente de los seres vivos aunque su actividad puede modificarlos Los principales factores abioacuteticos que influyen en los seres vivos pueden clasificarse en tres categoriacuteas ambientales factores climaacuteticos edaacuteficos (del terreno o suelo) e hidroloacutegicos Factores climaacuteticos

Temperatura

Afecta a la velocidad de los procesos fiacutesi-cos quiacutemicos y bioloacutegicos Las temperatu-ras altas en general son maacutes nocivas que las bajas

Luz Es imprescindible para los organismos foto-sinteacuteticos y necesaria para la mayoriacutea de los seres vivos

Humedad

Es la proporcioacuten de vapor de agua que con-tiene un volumen de aire y estaacute relacionada con la pluviosidad y la temperatura



Factores edaacuteficos

Estructura fiacutesica

Depende de la - Textura Condicionada por el tamantildeo de las partiacuteculas soacutelidas - Porosidad Cantidad de espacios huecos que permiten la circulacioacuten de agua y aire - Profundidad Afecta a los seres vivos que utilizan el suelo como refugio

Composicioacuten quiacutemica

Estaacute determinada por la cantidad de agua que circula a traveacutes del suelo y por las sus-tancias minerales disueltas que necesitan las plantas

Factores hidroloacutegicos

Temperatura Disminuye con la profundidad Las grandes masas marinas se ven muy poco afectadas por las variaciones climaacuteticas

Luz En el medio acuaacutetico se distinguen dos zo-nas la foacutetica o iluminada y la afoacutetica que carece de luz

Gases disueltos

El oxiacutegeno disminuye a medida que au-menta la temperatura del agua El dioacutexido de carbono es utilizado para la siacutentesis de materia orgaacutenica

Salinidad La cantidad de sales disueltas es variable Existen aguas dulces salobres y saladas

Los factores ambientales abioacuteticos actuacutean sobre los organismos de la comunidad 3 FACTORES BIOacuteTICOS Los factores bioacuteticos son los que surgen como consecuencia de la presencia de otros seres vivos como la lucha por el alimento o el espacio o la ayuda mutua En una comunidad coexisten organismos de diferentes especies entre los que se estable-cen muacuteltiples relaciones Estas relaciones pueden ser intraespeciacuteficas e interespeciacutefi-cas 31 RELACIONES INTRAESPECIacuteFICAS Se producen entre individuos de la misma especie Hay dos tipos de competencia y de cooperacioacuten a Relaciones Intraespeciacuteficas de Competencia

bull Los individuos tienen necesidades similares y compiten por los mismos recursos como el alimento y el espacio

bull Esta relacioacuten contribuye a regular el tamantildeo de las poblaciones



b Relaciones Intraespeciacuteficas de Cooperacioacuten

bull Proporciona ventajas a los individuos implicados

bull Se pone de manifiesto fundamentalmente en la criacutea de los joacutevenes la defensa contra los depredadores o la obtencioacuten de alimento

32 RELACIONES INTERESPECIacuteFICAS Se producen entre individuos de especies diferentes Entre ellas se encuentran depreda-cioacuten mutualismo comensalismo e inquilinismo a Depredacioacuten

bull Un organismo el depredador se alimenta de otro or-ganismo vivo la presa

bull Hay varios tipos de depredadores Depredadores verdaderos que matan y con-

sumen parcial o totalmente muchas presas Ramoneadores que consumen partes de la

presa sin llegar a matarlas Paraacutesitos que viven sobre su presa el hos-

pedador causaacutendole dantildeo b Mutualismo comensalismo e inquilinismo

bull Relaciones en la que ninguna de las especies que intervie-ne sale perjudicada

bull Los diferentes tipos son Mutualismo que reporta beneficio a los dos orga-

nismos asociados Cuando ambos organismos no pueden vivir por separado se llama simbiosis

Comensalismo donde una especie se beneficia de la comida sobrante de otra que le resulta indiferente

Inquilinismo donde una especie se aprovecha del albergue que le ofrece la otra sin causarle ninguacuten perjuicio

La actividad de los organismos modifica los factores abioacuteticos



4 ECOSISTEMAS TERRESTRES En amplias zonas de la Tierra se repiten las mismas condiciones climaacuteticas originando comunidades de seres vivos de amplia distribucioacuten denominadas biomas Un bioma es un conjunto de ecosistemas terrestres gobernados por condiciones climaacuteticas similares que comparten una vegetacioacuten caracteriacutestica que los define Los biomas son grandes ecosistemas formados por comunidades de seres vivos que ocupan un espacio fiacutesico con condiciones ambientales especiacuteficas



41 BIOMAS DE ZONAS FRIacuteAS

Desierto friacuteo Lluvias muy escasas Nieve permanente

Tundra

Lluvias escasas La temperatura su-

pera los 0ordmC durante menos de 3 meses

Taiga

Lluvias escasas Durante el verano

unos 4 meses las tem-peraturas sobrepasan los 0ordmC

Alta montantildea

Heladas nieve y fuertes vientos durante casi todo el antildeo

Temperatura siem-pre friacutea que variacutea seguacuten la latitud

42 BIOMAS DE ZONA TEMPLADA

Bosque caducifolio Lluvias regulares Ambiente huacutemedo

Estepas y praderas

Lluvias irregulares Veranos caacutelidos y

lluviosos e inviernos friacuteos y secos

Bosque mediterraacute-neo


secos e inviernos sua-ves y lluviosos



43 BIOMAS DE ZONA CALIENTE

Desierto caacutelido

Lluvias muy esca-sas

Diacuteas calurosos y noches friacuteas

Sabana Lluvias irregulares Corta estacioacuten llu-

viosa

Bosque tropical Lluvias irregulares Larga estacioacuten llu-

viosa

Bosque ecuatorial

Lluvias muy abun-dantes y regulares

Ambiente muy huacute-medo

5 ECOSISTEMAS MARINOS La distribucioacuten geograacutefica de los organismos en los oceacuteanos es mucho maacutes uniforme que en los continentes y estaacute escasamente influida por el clima Aun asiacute tambieacuten en los oceacutea-nos se pueden diferenciar varias zonas que se establecen en funcioacuten de la presencia de luz la naturaleza del fondo las olas y mareas o las corrientes marinas Seguacuten su distancia a la costa se distin-guen la zona neriacutetica y la oceaacutenica

- Zona neriacutetica se encuentra sobre la plataforma continental

- Zona oceaacutenica estaacute situada maacutes allaacute de la plataforma continental

Seguacuten su profundidad se distinguen las zonas pelaacutegica batial y abisal

- Zona pelaacutegica es la maacutes ilumina-da pues se encuentra entre los 0 y 200 metros de profundidad

- Zona batial estaacute situada entre los 200 y 2000 metros de profundidad

- Zona abisal es la maacutes profunda del oceacuteano praacutecticamente en completa oscuridad



6 NIVELES TROacuteFICOS Una gran parte de las relaciones que los seres vivos establecen con su medio ambiente tiene como finalidad obtener la materia y energiacutea que necesitan para su nutricioacuten Estas relaciones se denominan alimentarias o troacuteficas Los distintos organismos de un ecosistema obtienen la materia y energiacutea del medio de manera muy variada Aquellos que lo hacen de una misma forma se agrupan en un con-junto o nivel troacutefico Se pueden distinguir los siguientes niveles 61 PRODUCTORES Son organismos autoacutetrofos que fabrican su propia materia orgaacutenica a partir de materia inorgaacutenica Son las plantas las algas y las bacterias fotosintetizadoras Fotosiacutentesis y respiracioacuten La fotosiacutentesis es el proceso por el que se capta la energiacutea luminosa que procede del sol y se convierte en energiacutea quiacutemica Con esta energiacutea el CO2 el agua y los nitratos que las plantas absorben reaccionan sintetizando las moleacutecu-las de carbohidratos (glucosa almidoacuten celulosa etc) liacutepidos (aceites vitaminas etc) proteiacutenas y aacutecidos nucleicos (ADN y ARN) que forman las estructuras vivas de la planta Las plantas crecen y se desarrollan gracias a la fotosiacutentesis pero respiran en los perio-dos en los que no pueden obtener energiacutea por fotosiacutentesis porque no hay luz o porque tienen que mantener los estomas cerrados En la respiracioacuten se oxidan las moleacuteculas or-gaacutenicas con oxiacutegeno del aire para obtener la energiacutea necesaria para los procesos vitales En este proceso se consume O2 y se desprende CO2 y agua por lo que en cierta forma es lo contrario de la fotosiacutentesis que toma CO2 y agua desprendiendo O2

Fotosiacutentesis y respiracioacuten La fotosiacutentesis se produce en los cloroplastos y su reaccioacuten global es

6 CO2 + 6 H2O + Energiacutea luminosa rarr C6H12O6 + 6 O2 La energiacutea luminosa es captada por la clorofila de las ceacutelulas verdes de las plantas y utili-zada para regenerar moleacuteculas de ATP y NADPH (Fase luminosa) En una segunda fase la energiacutea quiacutemica contenida en el ATP y el NADPH es utilizada para reducir moleacuteculas de CO2 hasta gliceraldehido a partir del cual se sintetizan las distintas moleacuteculas orgaacuteni-cas principalmente glucosa Con la glucosa se forma almidoacuten celulosa y otros carbohi-dratos esenciales en la constitucioacuten de las plantas La respiracioacuten se realiza en las mitocondrias con una reaccioacuten global

C6H12O6 + 6 O2 rarr6 CO2 + 6 H2O + Energiacutea

La energiacutea desprendida en esta reaccioacuten queda almacenada en ATP y NADH que la ceacute-lula puede utilizar para cualquier proceso en el que necesite energiacutea

62 CONSUMIDORES Son organismos heteroacutetrofos que se alimentan de materia orgaacutenica viva Existen diversos tipos

a) Primarios son los animales que se alimentan de plantas llamados tambieacuten herbiacute-voros

b) Secundarios se alimentan de los consumidores primarios Son animales carniacutevo-ros En algunos ecosistemas puede haber consumidores terciarios y cuaterna-rios

Los animales obtienen la energiacutea para su metabolismo de la oxidacioacuten de los alimentos (respiracioacuten) pero no todo lo que comen acaba siendo oxidado Parte se desecha en las heces o en la orina y otra parte se difunde en forma de calor etc



La mayor parte de la energiacutea absorbida se utiliza en el mantenimiento o se pierde a traveacutes de las heces Soacutelo una pequentildea parte se convierte en produccioacuten secundaria (aumento de

peso del animal o nuevas criacuteas) Soacutelo una fraccioacuten insignificante de la energiacutea puesta en juego en la bios-fera circula por las estructuras maacutes complejas de la vida las de los ani-males superiores Por este motivo las biomasas de los niveles troacuteficos decrecen raacutepi-damente a medida que aumenta el nivel Asiacute por ejemplo con 8 tone-ladas de hierba se alimenta una to-nelada de vacas y con una tonelada de vaca se alimenta una persona de unos 48 kg

63 DESCOMPONEDORES Son organismos heteroacutetrofos que se alimentan de restos de seres vivos o sus excremen-tos y los transforman en compuestos inorgaacutenicos Son los hongos y muchas bacterias Los organismos del ecosistema se clasifican seguacuten la forma en que obtienen la materia y energiacutea para sobrevivir en productores consumidores y descomponedores 7 REPRESENTACIOacuteN DE LOS NIVELES TROacuteFICOS Los seres vivos dependen unos de otros para su alimentacioacuten En cierta forma los orga-nismos de un ecosistema estaacuten encadenados por la funcioacuten de ldquocomer y ser comidordquo La estructura troacutefica de un ecosistema se puede representar de varias formas 71 CADENA TROacuteFICA Una cadena troacutefica estaacute formada por una serie de organismos ordenados linealmente donde cada uno se alimenta del anterior y sirve a su vez de alimento al siguiente



72 RED TROacuteFICA Es un conjunto de cadenas troacuteficas interconectadas que pueden establecerse en un eco-sistema

73 PIRAacuteMIDES TROacuteFICAS O ECOLOacuteGICAS Son formas de representacioacuten que se utilizan para mostrar coacutemo variacutean algunas caracte-riacutesticas de los niveles troacuteficos al pasar de unos a otros Cada nivel se representa por un rectaacutengulo cuya base es proporcional al valor de la caracteriacutestica que se mida Pueden ser de nuacutemeros de biomasa y de energiacutea a Piraacutemides de nuacutemeros Representan el nuacutemero de individuos que forman ca-da nivel Para algunos ecosistemas la piraacutemide puede aparecer invertida al estar formada su base por un escaso nuacutemero de individuos b Piraacutemides de biomasa representan la biomasa de todos los organismos que forman parte de un ni-vel La biomasa es la cantidad de ldquomateria orgaacutenicardquo que hay en un ecosistema por unidad de superficie o de volumen Suelen ser invertidas en los ecosiste-mas acuaacuteticos



c Piraacutemides de energiacutea indican la cantidad de energiacutea existente en un nivel troacutefico No pueden ser invertidas ya que la energiacutea que posee un nivel troacutefico tiene que ser siempre mayor que la existente en el nivel superior Las cadenas redes y piraacutemides troacuteficas son formas de representar las relaciones ali-mentarias entre los seres vivos de un ecosistema 8 FLUJO DE MATERIA Y ENERGIacuteA Todo ecosistema necesita materia y energiacutea La energiacutea lumiacutenica procedente del Sol es transformada en energiacutea quiacutemica de los productores Almacenada en forma de materia orgaacutenica sirve de alimento a los consumidores primarios y estos a su vez son comidos por los consumidores secundarios finalmente todos ellos son descompuestos y transfor-mados En este proceso existe un flujo de energiacutea mientras que la materia describe un ciclo a traveacutes de toda la cadena troacutefica 81 FLUJO DE MATERIA La materia orgaacutenica de los productores sirve de alimento a los consumidores primarios y estos a su vez son comidos por los consumidores secundarios Todos estos organismos al morir generan restos orgaacutenicos Los organismos descomponedores transforman la ma-teria muerta (restos orgaacutenicos) en compuestos inorgaacutenicos que pueden ser reutilizados de nuevo por los productores



82 FLUJO DE ENERGIacuteA Los productores transfor-man la energiacutea solar en energiacutea quiacutemica Al pasar por cada nivel troacutefico parte de la energiacutea se libera en la respiracioacuten y se cede al medio en forma de calor Otra parte de energiacutea pasa a los restos orgaacutenicos del individuo cuando muere Los descomponedores consumen los restos orgaacute-nicos y liberan energiacutea en forma de calor al medio El flujo de energiacutea que entra en un ecosistema es unidireccional esta no puede ser reutilizada por los seres vivos El flujo de energiacutea que entra en los eco-sistemas es unidireccional mientras que la materia sigue un ciclo de forma que no se pierde 83 CICLOS DE LOS ELEMENTOS Los seres vivos estaacuten formados por elementos quiacutemicos fundamentalmente por oxiacutegeno hidroacutegeno carbono y nitroacutegeno que en conjunto suponen maacutes del 95 de peso de los seres vivos El resto es foacutesforo azufre calcio potasio y un largo etceacutetera de elementos presentes en cantidades muy pequentildeas aunque algunos de ellos muy importantes para el metabolismo Estos elementos tambieacuten se encuentran en la naturaleza no viva acumula-dos en depoacutesitos Asiacute en la atmoacutesfera hay O2 N2 y CO2 En el suelo H2O nitratos fosfa-tos y otras sales En las rocas fosfatos carbonatos etc Transferencia ciacuteclica de los elementos Algunos seres vivos son capaces de captarlos de los depoacutesitos inertes en los que se acumulan Despueacutes van transfirieacutendose en las cadenas troacuteficas de unos seres vivos a otros siendo sometidos a procesos quiacutemicos que los van situando en distintas moleacuteculas Los ciclos de los elementos mantienen una estre-cha relacioacuten con el flujo de energiacutea en el ecosistema ya que la energiacutea utilizable por los organismos es la que se encuentra en enlaces quiacutemicos uniendo los elementos para for-mar las moleacuteculas 831 CICLO DEL CARBONO El carbono es elemento baacutesico en la formacioacuten de las moleacuteculas de carbohidratos liacutepidos proteiacutenas y aacutecidos nucleicos pues todas las moleacuteculas orgaacutenicas estaacuten formadas por ca-denas de carbonos enlazados entre siacute La principal reserva de carbono asimilable por los seres vivos es el dioacutexido de carbono (CO2) un gas que estaacute presente en la atmoacutesfera (supone un 003 del aire atmosfeacuterico) y la hidrosfera Se estima que cada antildeo se consume en los procesos de fotosiacutentesis un 5 de estas reservas aproximadamente lo que supone que la atmoacutesfera renueve todo el CO2 cada 20 antildeos La vuelta de CO2 a la atmoacutesfera se hace cuando en la respiracioacuten los seres vivos oxidan los alimentos produciendo CO2 En el conjunto de la biosfera la mayor parte de la respira-cioacuten la hacen las raiacuteces de las plantas y los organismos del suelo y no como podriacutea pare-cer los animales maacutes visibles



Los seres vivos acuaacuteticos toman el CO2 del agua La solubilidad de este gas en el agua es muy superior a la de otros gases como el O2 o el N2 porque reacciona con el agua formando aacutecido carboacutenico En los ecosistemas marinos algu-nos organismos convierten par-te del CO2 que toman en

3CaCO que necesitan para for-

mar sus conchas caparazones o masas rocosas en el caso de los arrecifes Cuando estos or-ganismos mueren sus capara-zones se depositan en el fondo formando rocas sedimentarias calizas en las que el C queda retirado del ciclo durante miles o millones de antildeos Este C vol-veraacute lentamente al ciclo cuando se van disolviendo las rocas El petroacuteleo carboacuten y la materia orgaacutenica acumulados en el sue-lo son resultado de eacutepocas en las que se ha devuelto menos CO2 a la atmoacutesfera del que se tomaba Asiacute aparecioacute el O2 en la atmoacutesfera Si hoy consumieacute-ramos todos los combustibles foacutesiles almacenados el O2 desapareceriacutea de la atmoacutesfera Como veremos el ritmo cre-ciente al que estamos devolviendo CO2 a la atmoacutesfera por la actividad humana es motivo de preocupacioacuten respecto al nivel de efecto invernadero que podriacutea estar provocando con el cambio climaacutetico consiguiente 832 CICLO DEL NITROacuteGENO Los organismos emplean el nitroacutegeno en la siacutentesis de pro-teiacutenas aacutecidos nucleicos (ADN y ARN) y otras moleacuteculas fun-damentales del metabolismo Su principal reserva es la at-moacutesfera en donde se encuen-tra en forma de N2 pero esta moleacutecula no puede ser utiliza-da directamente por la mayo-riacutea de los seres vivos (excep-tuando algunas bacterias) Esas bacterias y algas cianofiacute-ceas que pueden usar el N2 del aire juegan un papel muy importante en el ciclo de este elemento al hacer la fijacioacuten del nitroacutegeno De esta forma



convierten el N2 en otras formas quiacutemicas (nitratos y amonio) asimilables por las plantas El amonio (NH4

+) y el nitrato (NO3-) lo pueden tomar las plantas por las raiacuteces y usarlo en

su metabolismo Usan esos aacutetomos de N para la siacutentesis de las proteiacutenas y aacutecidos nuclei-cos Los animales obtienen su nitroacutegeno al comer a las plantas o a otros animales En el metabolismo de los compuestos nitrogenados en los animales acaba formaacutendose ioacuten amonio que es muy toacutexico y debe ser eliminado Esta eliminacioacuten se hace en forma de amoniaco (algunos peces y organismos acuaacuteticos) o en forma de urea (el hombre y otros mamiacuteferos) o en forma de aacutecido uacuterico (aves y otros animales de zonas secas) Estos compuestos van a la tierra o al agua de donde pueden tomarlos de nuevo las plantas o ser usados por algunas bacterias Algunas bacterias convierten amoniaco en nitrito y otras transforman eacuteste en nitrato Una de estas bacterias (Rhizobium) se aloja en noacutedulos de las raiacuteces de las leguminosas (al-falfa alubia etc) y por eso esta clase de plantas son tan interesantes para hacer un abo-nado natural de los suelos Donde existe un exceso de materia orgaacutenica en el mantillo en condiciones anaerobias hay otras bacterias que producen desnitrificacioacuten convirtiendo los compuestos de N en N2 lo que hace que se pierda de nuevo nitroacutegeno del ecosistema a la atmoacutesfera A pesar de este ciclo el N suele ser uno de los elementos que escasean y que es factor limitante de la productividad de muchos ecosistemas 833 CICLO DEL FOacuteSFORO El foacutesforo es un componente esencial de los organismos Forma parte de los aacutecidos nu-cleicos (ADN y ARN) del ATP y de otras moleacuteculas que tienen PO4

3- y que almacenan la energiacutea quiacutemica de los fosfoliacutepidos que forman las membranas celulares y de los hue-sos y dientes de los animales Estaacute en pequentildeas cantidades en las plantas en propor-ciones de un 02 aproximadamente En los animales hasta el 1 de su masa puede ser foacutesforo El foacutesforo es el principal factor limitante del creci-miento para los ecosiste-mas ya que su ciclo estaacute principalmente relacionado con el movimiento del foacutesfo-ro entre los continentes y los oceacuteanos condicionado por el hecho de que es un elemento que no se presen-

ta en forma gaseosa En la naturaleza se acumula en yacimientos de fosfa-tos (en la corteza terres-tre o en los fondos ma-rinos) normalmente procedentes de la pre-cipitacioacuten a partir de aguas ricas en este tipo de sales Estos yaci-mientos pueden ser movilizados por las aguas de lluvia riacuteos o corrientes marinas permitiendo asiacute que los fosfatos sean asimila-dos por las plantas en medios terrestres o por algas en medios acuaacuteticos al ser consumi-das por animales herbiacutevoros o filtradores de plancton (como ciertas variedades de peces)



respectivamente el foacutesforo pasa a eacutestos que lo retornan al medio en que se desarrollan a traveacutes de sus excrementos o de sus restos cuando mueren Otra parte de los fosfatos movilizados en el medio acuaacutetico llega a tierra firme mediante las heces de aves marinas (guano) ya que eacutestas se alimentan de peces y retornan frecuentemente a sus nidos en tierra En ecosistemas acuaacuteticos cuando las corrientes marinas suben del fondo y arrastran foacutes-foro del que se ha ido sedimentando a lo largo de millones de antildeos el plancton prolifera en la superficie y permite asiacute que se multipliquen los bancos de peces como ocurre en las grandes pesqueriacuteas del Gran Sol o las costas occidentales de Aacutefrica y Ameacuterica del Sur entre otras 9 CAMBIOS EN LAS POBLACIONES El crecimiento de una poblacioacuten es el aumento del nuacutemero de individuos que la forman a lo largo de un periodo de tiempo depende de la natalidad la mortalidad la emigracioacuten y la inmigracioacuten Este crecimiento estaacute condicionado por las caracteriacutesticas del ecosistema El conjunto de factores bioacuteticos y abioacuteticos que limitan el aumento de las poblaciones se denomi-na resistencia ambiental Una poblacioacuten con recursos ilimitados y espacio suficiente tendriacutea un crecimiento exponencial Cuando esto ocurre se dice que hay una explosioacuten poblacional Al principio este crecimiento es lento para luego aumentar progresivamente pudieacuten-dose representar graacuteficamente mediante una curva de crecimiento en forma de J Es un crecimiento propio de especies que colonizan por vez primera un ecosistema o bien de aquellas que se mantienen en un laboratorio con recursos alimenticios ilimitados Sin embargo lo normal es que en la naturaleza existan limitaciones al crecimiento de una poblacioacuten desarrollaacutendose este de la siguiente manera al principio el nuacutemero de in-dividuos aumenta lenta y progresivamente confor-me crecen se establece entre ellos una compe-tencia intraespeciacutefica por los recursos disponi-bles que iraacuten disminu-yendo es entonces cuan-do el crecimiento de la poblacioacuten se estabiliza y decimos que estaacute en equi-librio La graacutefica que representa este tipo de crecimiento es una curva en forma de S Cuando una poblacioacuten estaacute en equilibrio el nuacutemero de individuos suele fluctuar alrededor del valor maacuteximo conocido como la capacidad de carga del ecosistema Estas fluctua-ciones pueden ser irregulares o presentar ciclos perioacutedicos En todo caso las interaccio-nes entre diferentes especies influyen sobre el tamantildeo de sus poblaciones



10 SUCESIOacuteN ECOLOacuteGICA Los ecosistemas cambian a lo largo del tiempo El proceso de transicioacuten ordenada de una comunidad a otra en un ecosistema se denomina sucesioacuten ecoloacutegica Hay dos tipos de sucesiones primarias y secundarias Los cambios que se producen en un ecosistema a lo largo del tiempo se denominan su-cesioacuten ecoloacutegica Es un proceso continuo en el tiempo en el que se va pasando de una comunidad a otra con diferentes especies cada una de ellas hasta que se llega a una formacioacuten que se haya en equilibrio con el medio fiacutesico y que se denomina comunidad cliacutemax 101 SUCESIOacuteN PRIMARIA Una sucesioacuten se denomina primaria si se inicia en una zona que nunca ha estado coloni-zada Por ejemplo una zona de dunas recieacuten formada Primero colonizan el lugar las bacterias hongos musgos y liacutequenes que fijan las dunas Son especies de gran facilidad de dispersioacuten y raacutepida multiplicacioacuten que van formando el suelo Posteriormente van apareciendo hier-bas primero anuales y despueacutes perennes de crecimiento maacutes lento pero maacutes resistentes Van enriqueciendo el suelo en el que existe cada vez maacutes capa de materia orgaacutenica Aparecen los primeros arbustos que contribuyen a la estabilizacioacuten de las dunas Con el paso de los antildeos la di-versidad va en aumento Se inicia una colonizacioacuten de especies arboacutereas y abundante fauna 102 SUCESIOacuteN SECUNDARIA Una sucesioacuten se denomina secundaria si se establece en una zona en la que previamente existiacutea una comunidad que ha sido parcial o totalmente eliminada Por ejemplo un bosque que ha sufrido un in-cendio En un incendio soacutelo algunos elementos sub-terraacuteneos y algunas semillas logran sobrevi-vir Si el suelo no ha sido totalmente destrui-do se inicia un proceso de regeneracioacuten Durante los primeros antildeos se origina un pastizal formado por plantas herbaacuteceas En los siguientes 10 o 15 antildeos predominan los arbustos bajos Los troncos quemados se descomponen y enriquecen el suelo en nutrientes Las poblaciones anima-



les van en aumento Posteriormente van apareciendo los grandes arbustos en unos 30 o 35 antildeos maacutes La instalacioacuten de un bosque con aacuterboles y grandes arbustos tardaraacute 50 oacute 60 antildeos maacutes La mayor proteccioacuten permite la presencia de mamiacuteferos grandes pero auacuten deberaacute pasar otro medio siglo para que habite el bosque una comunidad con importantes ejemplares Una sucesioacuten no es solo un incremento en el nuacutemero de especies sino la sustitucioacuten de una comunidad por otra cada vez maacutes compleja hasta llegar a la comunidad cliacutemax 11 ACCIOacuteN HUMANA EN LOS ECOSISTEMAS

No debemos olvidar que el equilibrio de la Tierra es fruto del equilibrio y evolucioacuten de los diferentes ecosistemas a lo largo de millones de antildeos El ser humano tambieacuten modifica el entorno y su accioacuten ha sido mucho maacutes devastadora provocando alteraciones y deterio-rando el planeta significativamente El perjuicio del ser humano sobre el planeta se en-cuentra en tres cuestiones baacutesicas

1ordf) El constante crecimiento de la poblacioacuten mundial La especie hu-mana no cuenta con un depredador que la mantenga equilibrada Ademaacutes los avances teacutecnicos y meacutedicos han favorecido el aumento constante de la poblacioacuten conocido como explosioacuten demograacutefica

2ordf) El agotamiento de los recursos como consecuencia del aumento de poblacioacuten y de la calidad de vida El ser humano ha ido abusando de los recursos (naturales y energeacuteticos) sin tener en cuenta su agota-miento lo que ha provocado el empobreci-miento del suelo la desaparicioacuten de bos-ques y especies y la reduccioacuten de sus re-servas hidrograacuteficas Los recursos naturales pueden ser

- renovables se generan conti-nuadamente y en consecuencia no son limitados Por ejemplo son recur-sos renovables energiacutea solar la energiacutea eoacutelica los que se obtienen de ani-males (lana cuerohellip) y de plantas industriales (algodoacuten linohellip) y todos aquellos que pueden estar siempre disponibles porque proceden de una fuente de abastecimiento inagotable Pueden ser explotados de manera in-definida siempre que la demanda no sea superior a la capacidad de regene-racioacuten del producto)

- no renovables son aquellos de origen geoloacutegico que tardan en regenerarse miles o millones de antildeos y por lo tanto son limitados Son el suelo los combustibles foacutesiles o los minerales cuya explotacioacuten incontrolada puede llevar a su agotamiento



Los recursos energeacuteticos la mayor parte de la energiacutea utilizada por los seres vi-vos procede del Sol Los recursos energeacuteticos tambieacuten se dividen en dos grandes grupos no renovables y renovables

- renovables son aquellas existentes en el medio natural que fluyen de forma perioacutedica o continua y que el ser humano puede utilizar transformaacutendolas en energiacuteas uacutetiles Se caracterizan por ser inagotables siempre que el consumo no exceda la capacidad de generarse y por ser energiacuteas no perjudiciales pa-ra el medio ambiente En este grupo se encuentran la energiacutea eoacutelica hidraacuteu-lica fotovoltaica geoteacutermica maremotriz y la que procede de la biomasa

- no renovables son las que proceden de materiales formados en lentos pro-cesos geoloacutegicos durante millones de antildeos por lo que su consumo a largo plazo agotaraacute las reservas existentes Son energiacuteas muy contaminantes para el medio ya que su combustioacuten produce residuos perjudiciales Entre los re-cursos energeacuteticos no renovables maacutes importantes estaacuten el petroacuteleo el car-boacuten el gas natural y el uranio

3ordf) La contaminacioacuten es el mayor impacto del ser humano sobre el planeta Al aumentar su produccioacuten tambieacuten produce maacutes desechos que envenenan el aire el suelo el agua y a la vez perjudican nuestra salud Por todo ello la accioacuten humana ha provocado la ruptura del equilibrio natural y con ello la destruccioacuten de muchos haacutebitats naturales y consecuentemen-te la degradacioacuten de nuestro planeta

111 LA CONTAMINACIOacuteN La civilizacioacuten humana actual estaacute basada en la produc-cioacuten y la actividad industrial Como consecuencia de este desarrollo se acumulan grandes cantidades de desechos y sustancias quiacutemicas que son vertidas a la biosfera ya sean al aire al agua o al suelo constituyendo la contami-nacioacuten del planeta una de las asignaturas pendientes con las que tiene que enfrentarse la humanidad

Aire Las sustancias que contaminan nuestro aire son los humos ciertos gases y los metales pesa-dos La mayoriacutea de los humos contaminantes pro-vienen de la combustioacuten del carboacuten el petroacuteleo o el gas natural utilizados en las industrias Entre los gases de estas combustiones se libera

o Dioacutexido de carbono (CO2) en cantidades excesivas provocando el efecto invernadero que impide que los rayos infrarrojos sean reflejados hacia el es-pacio por lo que calienta la atmoacutesfera y con ella la Tierra Este calenta-miento de la atmoacutesfera puede tener efectos desastrosos Dejando aparte las consecuencias climaacuteticas que pueda llegar a originar con la consiguiente transformacioacuten en los ecosistemas y las cosechas un aumento de unos po-cos grados en la temperatura de la Tierra podriacutea ocasionar la fusioacuten de los hielos de los casquetes polares lo que hariacutea que el nivel del mar ascendiera varios metros inundando las ciudades costeras donde vive la mayor parte de la poblacioacuten mundial



o Oacutexidos de azufre y de nitroacutegeno que al reaccionar con el vapor de agua atmosfeacuterico caen en forma de lluvia aacutecida provocando la contaminacioacuten de bosques y riacuteos

o Tambieacuten hay que citar la destruccioacuten de la capa de ozono debida a la

presencia en la estratosfera (25 km de altura) de clorofluorcarbonos (CFC) que son compuestos que se han utilizado en frigoriacuteficos aparatos de aire acondicionado y botes de aerosoles

Agua La contaminacioacuten del agua tiene lugar con el vertido de sustancias como son los productos quiacutemicos industriales los fertilizantes y los plagui-cidas Otro gran foco de la contaminacioacuten del agua lo forman las aguas residuales urbanas una gran parte de las cuales son vertidas a riacuteos o litorales sin haber sido depuradas previamente

Suelo La contaminacioacuten del suelo se produce por el uso de fertilizantes inorgaacuteni-cos y de productos fitosanitarios Eacutestos uacuteltimos son sustancias quiacutemicas llamadas tambieacuten plaguicidas que se usan para combatir hongos (fungicidas) insectos (in-secticidas) o malas hierbas (herbicidas) que inva-den los cultivos El DDT insecticida ampliamente utilizado desde su introduccioacuten por su eficacia contra los mosquitos transmisores del paludismo o la fiebre amarilla es-taacute actualmente prohibido debido a su acumulacioacuten en la cadena troacutefica con efectos nocivos en anima-les superiores



Ruido La vida actual de los paiacuteses industrializados estaacute invadida por el ruido cuyos efec-tos se manifiestan afectando al propio oiacutedo y sobre el sistema nervioso Algunos efectos

sobre la audicioacuten son la fatiga auditiva o desplazamiento temporal del umbral de audicioacuten y las peacuterdidas de audicioacuten muacuteltiples Entre los efectos sobre el sistema nervioso destacan la irritabilidad cansancio o pesadillas la alteracioacuten del sistema vegetativo (aumento respiratorio cardiacuteaco) y el bajo rendimiento por falta de concentracioacuten

112 LOS PROBLEMAS MEDIOAMBIENTALES El desarrollo cientiacutefico y tecnoloacutegico se asocia muy habitualmente con el deterioro del me-dioambiente Sin embargo no debe olvidarse que precisamente la propia ciencia y la tec-nologiacutea ponen a nuestra disposicioacuten meacutetodos quiacutemico-fiacutesicos que permiten reciclar y re-cuperar recursos como las aguas residuales o los residuos soacutelidos urbanos Veamos no obstante algunos de los aspectos negativos del desarrollo tecnoloacutegico de la sociedad la contaminacioacuten quiacutemica en sus distintos aspectos La explotacioacuten de los recursos naturales la obtencioacuten de energiacutea la transformacioacuten de las materias primas en productos elaborados su distribucioacuten y comercializacioacuten conllevan un proceso de vertido de productos quiacutemicos al medioambiente Y esos productos producen contaminacioacuten No todos los vertidos contaminantes han de ser peligrosos para el ecosis-tema Asiacute las escombreras no son toacutexicas ni dantildeinas aunque siacute tienen un fuerte impacto visual Desgraciadamente la mayoriacutea de los vertidos realizados por la industria o en los hogares contienen sustancias que no son inertes sino muy activas y en muchos casos venenosas Metales pesados plaacutesticos detergentes blanqueantes y un sin fin de sus-tancias son vertidas sin control al aire que respiramos a los riacuteos de los que tomamos el agua para beber o a las playas en las que nos bantildeamos Y no soacutelo los afean muchos su-ponen un grave riesgo para la flora y la fauna y directamente o a traveacutes de la cadena ali-menticia para los seres humanos Las aguas son contaminadas por vertidos industriales aguas residuales de las poblacio-nes petroacuteleo procedente de los vertidos accidentales y pesticidas y fertilizantes agriacutecolas Tambieacuten el agua caliente procedente de las industrias eleacutectricas debe ser considerada contaminante ya que eleva la temperatura del agua natural Junto a los problemas oca-sionados en la flora y la fauna la contaminacioacuten del agua puede ocasionar graves trastor-nos para la salud Asiacute los nitratos procedentes de los fertilizantes de uso agriacutecola pue-den provocar enfermedades mortales en nintildeos y muchos metales pesados ocasionan en-venenamiento croacutenico ya que se acumulan en el organismo Mientras que el agua es con-taminada por cualquier producto quiacutemico el aire se ve afectado por los gases y humos de las industrias hogares y medios de transporte En muchas ciudades la contaminacioacuten del aire por los automoacuteviles que circulan que liberan dioacutexido de carbono y monoacutexido de car-bono puede ocasionar incluso la muerte de ancianos y nintildeos Ademaacutes accidentalmente las industrias vierten al aire productos altamente peligrosos y nocivos El empleo de combustibles foacutesiles tanto derivados del carboacuten como del petroacuteleo vierte a la atmoacutesfera grandes cantidades de dioacutexido de azufre y de diversos oacutexidos de nitroacutegeno que pueden producir el problema de la lluvia aacutecida ya que por accioacuten de la luz solar estos oacutexidos se transforman en trioacutexido de azufre y pentoacutexido de dinitroacutegeno que con el agua presente en la atmoacutesfera se transforman en aacutecido sulfuacuterico y en aacutecido niacutetrico Cuando arrastrados por el agua de lluvia caen al suelo estos aacutecidos atacan las estructu-ras metaacutelicas y de cemento humanas produciendo tambieacuten dantildeos a veces irreversibles sobre las hojas y raiacuteces de las plantas sobre las que cae la lluvia



Junto a las anteriores acciones directas la lluvia aacutecida produce la acidificacioacuten el suelo y las aguas impidiendo el desarrollo de las plantas y matando a los animales No todos los ecosistemas son igual de sensibles frente a la lluvia aacutecida Bosques y lagos son los maacutes afectados por la lluvia aacutecida sobre todo en zonas que carecen de carbonatos Pero en cualquier ecosistema el efecto de la lluvia aacutecida puede llegar a ser impredecible El efecto invernadero es otro problema causado por la emisioacuten de contaminantes a la atmoacutesfera Desde la revolucioacuten industrial la quema de combustibles foacutesiles ha aumentado el vertido de dioacutexido de carbono a la atmoacutesfera De forma natural mediante la fotosiacutente-sis las plantas y aacuterboles toman el dioacutexido de carbono del aire y lo transforman en hidratos de carbono liberando oxiacutegeno en el proceso Pero junto con el incremento de las emisio-nes de dioacutexido de carbono se ha producido una disminucioacuten en las masas forestales del planeta de forma que las plantas no pueden tomar el dioacutexido de carbono del aire y eacuteste aumenta su concentracioacuten

El dioacutexido de carbono es causante del llamado efecto invernadero La Tierra recibe su calor del Sol y parte de eacutel lo emite al espacio exterior en forma de radiacioacuten infrarroja El dioacutexido de car-bono impide que esa radiacioacuten infrarroja escape al espacio por lo que calienta la atmoacutesfera y con ella la Tierra Este calentamiento de la atmoacutesfe-ra puede tener efectos desastrosos Dejando aparte las consecuencias climaacuteticas que pueda llegar a originar con la consiguiente trans-formacioacuten en los ecosistemas y las cosechas un aumento de unos pocos grados en la temperatu-ra de la Tierra podriacutea ocasionar la fusioacuten de los hielos de los casquetes polares lo que hariacutea que

el nivel del mar ascendiera varios metros inundando las ciudades costeras donde vive la mayor parte de la poblacioacuten mundial La capa de ozono es una regioacuten de la atmoacutesfera situada entre los 19 y los 48 km por encima de la superficie de la Tierra que contiene una proporcioacuten de 10 partes por milloacuten (10ppm es decir en mil litros hay un mililitro) de ozono A nivel del suelo esta concen-tracioacuten de ozono es peligrosa para la salud pero a la altura a la que se encuentra es in-

dispensable para la vida en la Tierra El Sol produce luz y radiacioacuten ultravioleta que es la responsable del bronceado y de las quemaduras cuando en ve-rano nos exponemos al Sol El ozono de la atmoacutes-fera se encarga de absorber la radiacioacuten ultravioleta maacutes peligrosa Sin la capa de ozono las peligrosas radiaciones ultravioletas llegariacutean en su totalidad al nivel del suelo aumentando las enfermedades cu-taacuteneas y los caacutenceres A finales de los antildeos 70 se descubrioacute que la capa de ozono estaba desapare-ciendo sobre la Antaacutertida lo que se conoce como agujero de ozono Se cree que entre otros motivos es debido a la presencia de compuestos clorofluor-

carbonados sustancias que se emplean como refrigerantes en neveras y aparatos de aire acondicionado y como propelentes en sprays Liberados a la atmoacutesfera destruyen el ozono convirtieacutendolo en oxiacutegeno normal que no detiene los rayos ultravioletas



Nuevas investigaciones han detectado el lsquoagujero en la capa de ozonorsquo tambieacuten sobre el aacutertico los paiacuteses escandinavos y Norteameacuterica Su evolucioacuten es incierta ya que podriacutea responder a variaciones ciacuteclicas en las que podriacutean estar implicados muchos otros facto-res El petroacuteleo carboacuten y la materia orgaacutenica acumulados en el suelo son resultado de eacutepocas en las que se ha devuelto menos CO2 a la atmoacutesfera del que se tomaba Asiacute aparecioacute el O2 en la atmoacutesfera Si hoy consumieacuteramos todos los combustibles foacutesiles almacenados el O2 desapareceriacutea de la atmoacutesfera El ritmo creciente al que estamos devolviendo CO2 a la atmoacutesfera por la actividad humana es motivo de preocupacioacuten para el medioambiente y el cambio climaacutetico El Carbono es un elemento fundamental en la constitucioacuten de la materia orgaacutenica y estaacute sometido a un reciclado constante cuyo punto central es el dioacutexido de carbono (CO2) El aire atmosfeacuterico contiene sobre un 0032 de CO2 en el mar hay una cantidad unas 50 veces mayor generalmente en forma de bicarbonato siendo el intercambio con la atmoacutes-fera escaso Todos los seres vivos participan de una forma u otra en el ciclo del carbono Los vegeta-les capacitados para la fotosiacutentesis y para la quimiosiacutentesis pueden sintetizar la materia orgaacutenica reduciendo el CO2 (eliminando su oxigeno) Sin embargo los animales las pro-pias plantas y en general los seres vivos heteroacutetrofos degradan esta materia orgaacutenica por oxidacioacuten y producen CO2 Su presencia es pues indispensable para la vida tanto en ecosistemas terrestres como en los acuaacuteticos y estaacute garantizada por la constancia del ciclo del Carbono La proporcioacuten de microorganismos que intervienen en el ciclo del Carbono es mayor en agua que en tierra alliacute la produccioacuten de materia orgaacutenica corre a cuenta de las algas y

cianofiacuteceas unicelulares del fitoplancton y su degradacioacuten es llevada a cabo por eu-bacterias El ciclo del Carbono consta de dos fases asimilacioacuten (siacutentesis de la materia orgaacute-nica y formacioacuten de compuestos carbo-nados) y desasimilacioacuten (degradacioacuten de estas sustancias en la respiracioacuten de animales y plantas heteroacutetrofos) El oxiacutegeno disuelto en el agua tiene gran importancia en el ciclo del Carbono Su presencia en forma molecular permite que

eacuteste se desarrolle a la mayor velocidad posible Su ausencia determina la utilizacioacuten de respiracioacuten anaerobia y por lo tanto la necesidad de oxiacutegeno combinado en forma de nitra-tos nitritos o sulfatos Este sistema es mucho menos eficaz ya que se acumulan muchos productos intermedios y soacutelo una parte de la sustancia orgaacutenica presente se degrada has-ta CO2 A este respecto hay que tener en cuenta que algunas sustancias orgaacutenicas naturales son inalterables en condiciones anaerobias ya que los microorganismos no pueden recurrir a la respiracioacuten intramolecular Seriacutea el caso de algunos hidrocarburos (que no contienen ninguna moleacutecula de oxiacutegeno) o de aacutecidos grasos superiores carotenoides porfirinas etc El ciclo del Carbono en las aguas depende tambieacuten de otros factores como por ejemplo la presencia de compuestos de nitroacutegeno y foacutesforo



113 IMPACTO AMBIENTAL EN CASTILLA LA MANCHA Pese al buen estado general del medio ambiente en Castilla La Mancha la actividad hu-mana de manera directa o indirecta genera afecciones con distinto grado de incidencia y alcance sobre el medio natural por lo que es necesario alcanzar un grado de desarrollo econoacutemico que no comprometa la conservacioacuten de los valores ambientales ni la renova-cioacuten de los recursos naturales lo que se define conceptualmente como desarrollo soste-nible Nuestra regioacuten ajena a los grandes procesos industrializadores de los antildeos 60 ha escapado a los problemas ambientales generados por ese desarrollismo si bien cabe mencionar el impacto generado por otras actividades como

La inadecuada gestioacuten de la biodiversidad y los siste-mas naturales destacando la introduccioacuten de especies aloacutectonas siendo el caso maacutes conocido el del camalote o jacinto de agua una planta invasora originaria de Suda-meacuterica muy expansiva frente a la vegetacioacuten autoacutectona y que altera la dinaacutemica bioloacutegica del medio fluvial

La desaparicioacuten del bosque mediterraacuteneo con la trans-formacioacuten de terrenos para la agricultura la tala y espe-cialmente los incendios facilitando la erosioacuten del suelo y con ello la desertizacioacuten comprometiendo la riqueza eco-noacutemica y ambiental del territorio

La expansioacuten y crecimiento de algunas ciudades y de las urbanizaciones que modifican las caracteriacutesticas natu-rales del paisaje ademaacutes de crear problemas de acumula-cioacuten y eliminacioacuten de residuos

Los usos que conllevan un consumo de agua excesivo frente a la gestioacuten ra-cional y de mayor eficiencia dado el contexto de deacuteficit hiacutedrico y sequiacuteas en que nuestro clima se inscribe debiendo priorizarse el ahorro la depuracioacuten y reutiliza-cioacuten del agua sin olvidar la mejora de las redes de distribucioacuten tanto para abaste-cimiento humano como para regadiacuteos

Estas actuaciones despreocupadas por nuestro entorno han conseguido poner en peligro nuestra riqueza natural amenazando a la extremadamente diversa flora y fauna 114 ESPECIES ENDEacuteMICAS Y EN PELIGRO DE EXTINCIOacuteN La riqueza de especies que existe en un ecosistema se denomina biodiversidad inclu-yendo la variedad geneacutetica de los individuos de la propia especie En nuestra regioacuten se encuentran un alto nuacutemero de especies amenazadas y en protegidas

La abundancia de especies autoacutectonas va mermando su espacio natural por la accioacuten humana el empobrecimiento del terreno o los cambios climaacuteticos que se estaacuten dan-do en el planeta En Castilla La Mancha auacuten podemos



encontrar especies cuya conservacioacuten estaacute muy amenazada a nivel mundial En cuanto a las especies en peligro de extincioacuten su supervivencia depende soacutelo de las medidas que adoptemos y del esfuerzo humano por conservarlas Algunas de estas es-pecies todaviacutea perviven por los campos y bosques de Castilla La Mancha como son el aacuteguila imperial ibeacuterica la ciguumlentildea negra o el lince ibeacuterico

115 ESPACIOS NATURALES PROTEGIDOS EN CASTILLA LA MANCHA

Castilla-La Mancha es una regioacuten diversa y rica en espacios naturales Podemos encon-trar bosques dehesas cantildeones humedales hoces Es una de las zonas de Europa con mayor nuacutemero de Espacios Protegidos actualmente cuenta con una superficie superior a 320000 hectaacutereas La diferencia entre los distintos tipos de espacios naturales puede ser la gestioacuten que se realiza de ellos esto es se clasifican en funcioacuten de la administracioacuten que los gestiona o por el grado de proteccioacuten que tienen Las diferencias son fundamentalmente administrativas aunque con alguacuten matiz

bull Parque Natural su gestioacuten depende de cada comunidad autoacutenoma (Consejeriacutea de Medio Ambiente correspondiente)

bull Parque Nacional baacutesicamente es igual que el anterior tipo de especio natural aun-que en principio los parques nacionales estaacuten menos transformados auacuten por la mano del hombre y su singularidad debe ser de intereacutes general para la Nacioacuten por ser re-presentativo de los principales sistemas naturales espantildeoles En la actualidad hay en Espantildea 13 parques nacionales a Parques Nacionales en Castilla La Mancha

- Cabantildeeros situado en los Montes de Toledo al noroeste de la provincia de Ciudad Real ocupando una zona del suroeste de la provincia de Toledo

- Tablas de Daimiel situada geograacuteficamente en el centro mismo de la Mancha en la provincia de Ciudad Real

b Parques Naturales en Castilla La Mancha - Alto Tajo en el Sistema Ibeacuterico entre la parte sur oriental de la provincia de

Guadalajara y la nororiental de la provincia de Cuenca - Hayedo de Tejera Negra se encuentra en el rincoacuten noroccidental de la provin-

cia de Guadalajara en el extremo oriental del Sistema Central - Los Calares del Riacuteo Mundo y de la Sima en Sierra de Alcaraz al suroeste de

la provincia de Albacete - Barranco del Riacuteo Dulce en la zona norte de la provincia de Guadalajara for-

mando parte de las estribaciones maacutes occidentales del Sistema Ibeacuterico - Lagunas de Ruidera las lagunas se localizan en las provincias de Ciudad Real

y Albacete en el Campo de Montiel sobre el curso alto del Guadiana - Serraniacutea de Cuenca al noroeste de la provincia de Cuenca limitando al norte

con Guadalajara y al este con Valencia Consta de Serraniacutea Alta Serraniacutea Baja y Campichuelo con similares caracteriacutesticas

TEMA 4 LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES MOacuteDULO TRES


1 LAS FUERZAS 11 CARACTERIacuteSTICAS DE LAS FUERZAS 12 COMPOSICIOacuteN DE FUERZAS 13 LEYES DE LA DINAacuteMICA 14 EQUILIBRIO DE FUERZAS

2 PRESIOacuteN 21 PRINCIPIO DE PASCAL 22 PRESIOacuteN ATMOSFEacuteRICA

3 ESTRUCTURAS 31 TIPOS DE ESTRUCTURAS 32 ESFUERZOS QUE SOPORTAN LAS ESTRUCTURAS 33 PRINCIPALES ELEMENTOS DE LAS ESTRUCTURAS 34 ESTRUCTURAS TRIANGULARES

4 MAacuteQUINAS 41 LA RUEDA 42 LA BIELA

43 LAS PALANCAS

1 LAS FUERZAS Normalmente solemos asociar el concepto de fuerza a los movimientos y a lo que es pre-ciso aportar para sujetar deformar romper o transportar objetos de un sitio a otro Aun-que estas nociones suelen ser correctas conviene precisar lo que son las fuerzas queacute efectos producen y coacutemo se representan si bien en este tema nos centraremos en el es-tudio de las aplicaciones teacutecnicas del uso de las fuerzas presioacuten ejercida por fuerzas es-tructuras y maacutequinas La presioacuten se aprovecha en dispositivos hidraacuteulicos como elevadores o prensas cuando maacutes que la fuerza lo importante es coacutemo se distribuye a lo largo de una superficie Las estructuras aprovechan la consecucioacuten del equilibrio entre fuerzas para asiacute poder cons-truir edificios puentes y muchos uacutetiles de aplicacioacuten diaria Las maacutequinas aprovechan las leyes de la dinaacutemica para conseguir una mejor eficacia en el uso de las fuerzas 11 CARACTERIacuteSTICAS DE LAS FUERZAS Intuitivamente aceptamos que una fuerza es una propiedad o magnitud dirigida ya que la experiencia nos demuestra por ejemplo que para arrastrar un mueble entre dos perso-nas es preferible que empujen hacia el mismo lado que hacia lados diferentes tienen que ldquounir sus fuerzasrdquo Precisamente por esto se dice que las fuerzas y otras magnitudes que necesitan una orientacioacuten ademaacutes de una intensidad son magnitudes vectoriales Las fuerzas se designan mediante una letra con una flechita encima (por ejemplo la fuer-

za F

) y se representan mediante segmentos en forma de flecha llamados vectores cu-yos elementos son los siguientes

a) Origen o punto de aplicacioacuten b) Direccioacuten es la recta sobre la que se encuen-tra el vector Suele darse mediante un aacutengulo c) Sentido lo marca la flecha del vector en una misma direccioacuten puede haber dos sentidos (opuestos) d) Moacutedulo o intensidad Siempre es un nuacutemero positivo que equivale a la longitud del vector Para

una fuerza F

su moacutedulo se representa como F

aunque por comodidad suele representarse sen-

MOacuteDULO TRES TEMA 4 LAS FUERZAS Y SUS APLICACIONES


cillamente como F (el nombre de la fuerza sin flechita encima) Cuando sujetamos un libro empujamos una puerta andamos estiramos un muelle o pe-daleamos en la bicicleta estamos realizando fuerzas Como vemos las fuerzas estaacuten presentes en nuestras vidas de forma habitual Algunas como las anteriores son de con-tacto y otras son a distancia (como el peso de los cuerpos o las atracciones eleacutectricas) Por tanto pueden manifestarse de distintas formas y tener oriacutegenes diferentes pero to-das ellas admiten esta definicioacuten

ldquoFuerza es toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento rectiliacuteneo y uniforme de un cuerpo o de causar a eacuteste una deformacioacutenrdquo

Al analizar la anterior definicioacuten vemos que las fuerzas son la consecuencia de que dos cuerpos interactuacuteen entre siacute de modo que los efectos de la interaccioacuten pueden ser los siguientes

a) Que se doble deforme o rompa un cuerpo Es lo que ocurre al estirar un muelle o cuando una viga de hierro se arquea por el peso que soporta

b) Que el cuerpo pase de estar en reposo a moverse o viceversa c) Que el cuerpo no se mueva en liacutenea recta ni a ritmo constante Aunque parezca ex-

trantildeo esto significa que puede haber movimiento sin necesidad de tener que apli-car ninguna fuerza

Independientemente de lo anterior dado el caraacutecter vectorial de las fuerzas a veces ocu-rre que aunque esteacuten actuando varias se anulan entre siacute y no apreciamos ninguno de los efectos anteriores Estas situaciones se denominan de estaacutetica y su estudio es muy im-portante ya que permite disentildear edificios puentes o barcos de modo que esteacuten equili-brados y sean estables De igual modo que otras magnitudes fiacutesicas las fuerzas pueden medirse comparaacutendolas con una fuerza de referencia (llamada lsquounidad de fuerzarsquo) Asiacute si nuestra unidad de fuerza (que podriacutea ser por ejemplo el peso de una manzana) alarga a un muelle 5 centiacutemetros y observamos que otra fuerza lo alarga 15 centiacutemetros entonces podriacuteamos afirmar que

esta fuerza es 3 veces mayor que nuestra fuerza de referencia ( 3515 = ) si a la intensidad de nuestra unidad de fuerza la llama-

mos u la nueva fuerza tendriacutea una intensidad 3 u Pero si cada uno de nosotros eligieacuteramos la unidad de fuerza que se nos antoje seriacutea muy difiacutecil entendernos Para ello los cientiacuteficos se han puesto de acuerdo y han elegido el newton (N) como unidad de fuerza del llamado Sistema Internacional de Unidades (SI) Esta unidad cuyo nombre hace honor al cientiacutefico ingleacutes Isaac Newton se define como la fuerza que es necesario realizar sobre un cuerpo de 1 kilogramo de masa para producirle una aceleracioacuten de 1 ms2 Otras unidades de fuerza muy habituales son la dina (1 N = 100000 din) y el kilogramo-fuerza (o kilopondio1 kp =1 kgf = 98 N) Para medir fuerzas suelen utilizarse aparatos llamados dinamoacuteme-tros basados precisamente en el alargamiento de un muelle cuan-do sobre eacutel actuacutea una fuerza

12 COMPOSICIOacuteN DE FUERZAS Cuando dos o maacutes fuerzas actuacutean sobre un mismo cuerpo el resultado es el mismo que si se aplicara una fuerza llamada fuerza resultante que puede considerarse como la suma de todas ellas A diferencia de la suma de los nuacutemeros al sumar fuerzas no basta



con conocer su intensidad ya que la experiencia nos demuestra que seguacuten sea su direc-cioacuten y su sentido el resultado de la suma de dos fuerzas seraacute diferente Podemos ver en primer lugar la composicioacuten o suma de dos fuerzas cuando haya maacutes de dos se va obteniendo una resultante de cada dos fuerzas que a su vez se compone con otra de las que queden hasta obtener la resultante de todas ellas Al sumar dos fuerzas pueden darse tres casos

a) Fuerzas de la misma direccioacuten y el mismo sentido El resultado es otra fuerza con la misma direccioacuten y senti-

do cuyo moacutedulo es la suma de los moacutedulos 21 FFFR +=

b) Fuerzas de la misma direccioacuten pero sentidos contrarios El resultado es una fuerza de la misma direccioacuten cuyo sentido es el de la fuerza de mayor moacutedulo siendo su

moacutedulo la diferencia entre los moacutedulos de ambas fuerzas 21 FFFR minus=

c) Fuerzas de direcciones diferentes En este caso la resultante corresponde a la diagonal del pa-ralelogramo que puede obtenerse al trazar desde el extremo de cada fuerza una recta paralela a la otra fuerza El moacutedulo de la resultante puede obtenerse midiendo la longitud de la diagonal de dicho paralelogramo Si ambas fuerzas son per-pendiculares el moacutedulo de la resultante puede calcularse

mediante el teorema de Pitaacutegoras 2

2

2

1 FFFR +=

Ejemplo obtener la resultante de las fuerzas 1F

y 2F

cuyos moacutedulos son NF 41 = y

NF 32 = en los siguientes casos

a) Si ambas tienen la misma direccioacuten y sentido

La resultante tiene la misma direccioacuten y sentido que 1F

y 2F

y su moacutedulo es

NNFFFR 73421 =+=+=

b) Si ambas tienen la misma direccioacuten y sentidos opuestos la resultante tiene la mis-

ma direccioacuten el sentido es el de 1F

y su moacutedulo es NNFFFR 13421 =minus=minus=

c) Si son perpendiculares la resultante es la diagonal del rectaacutengulo que forman 1F

y

2F

y su moacutedulo es NNNFFFR 52534 222

2

2

1 ==+=+=



13 LEYES DE LA DINAacuteMICA Constituyen la base para el estudio de las fuerzas Fueron enunciadas por primera vez en 1687 por el cientiacutefico y matemaacutetico ingleacutes Isaac Newton en su obra ldquoPrincipios matemaacuteticos de filosofiacutea naturalrdquo en la que partiendo de los conocimientos y hallazgos de la eacutepoca referidos al movimiento de los cuerpos expuso sus descubrimientos de mecaacuteni-ca y caacutelculo matemaacutetico Las leyes o principios de la dinaacutemica son tres y pueden resumirse asiacute

Primera ley (principio de inercia) todo cuerpo permanece en estado reposo o con movimiento rectiliacuteneo y uniforme si sobre eacutel no actuacutea ninguna fuerza

Segunda ley (ecuacioacuten fundamental de la dinaacutemica) la relacioacuten entre la fuerza que se aplica a un cuerpo y la aceleracioacuten que experimenta es una constante lla-mada masa inercial de modo que a maacutes fuerza maacutes aceleracioacuten

ma

F

a

F

a

F

n

n ==== 2

2

1

1 es decir amF = donde

F fuerza que se aplica al cuerpo a aceleracioacuten que indica el ritmo o tasa con la que aumenta o disminuye la

velocidad de un moacutevil en funcioacuten del tiempo m masa del cuerpo que recibe la accioacuten de la fuerza que es una medida de la

inercia o tendencia a no cambiar el estado de reposo o movimiento del cuerpo A partir de la ecuacioacuten anterior puede definirse ya la unidad de fuerza que en el Sistema Internacional se llama newton (N) y corresponde a la fuerza que causa una aceleracioacuten de 1 ms2 al actuar sobre un cuerpo de 1 kg de masa por lo que 1 N = 1 kgmiddotms2

Tercera ley (principio de accioacuten y reaccioacuten) si un cuerpo A ejerce una fuerza sobre otro B eacuteste ejerce sobre el primero otra fuerza de la misma direccioacuten y moacutedulo pero de sentido contrario

14 EQUILIBRIO DE FUERZAS

Se dice que un cuerpo estaacute en equilibrio cuando no tiene ninguacuten tipo de aceleracioacuten pudiendo estar por tanto en reposo o con movimiento rectiliacuteneo y uniforme Para que esto ocurra la suma de todas las fuerzas que actuacutean sobre el cuerpo en equilibrio tiene que

ser nula es decir 054321

=++++ FFFFF



2 PRESIOacuteN Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo deformable los efectos que provoca de-penden no soacutelo de su intensidad sino tambieacuten de coacutemo estaacute repartida sobre la superficie del cuerpo Asiacute un golpe de martillo sobre un clavo bien afilado hace que penetre maacutes en la pared de lo que lo hariacutea otro clavo sin punta que recibiera el mismo impacto Un indivi-duo situado de puntillas sobre una capa de nieve blanda se hunde en tanto que otro de igual peso que calce raquetas al repartir la fuerza sobre una mayor superficie puede caminar sin dificultad La presioacuten representa la intensidad de la fuerza que se ejerce sobre cada unidad de aacuterea de la superficie considerada Cuanto mayor sea la fuerza que actuacutea sobre una superficie dada mayor seraacute la presioacuten y cuanto menor sea la superficie para una fuerza dada ma-yor seraacute entonces la presioacuten resultante

La presioacuten ejercida por una fuerza sobre la superficie de un cuerpo es el cociente entre la intensidad de la fuerza aplicada perpendicularmente en dicha superficie dada y el aacuterea de la misma

S

FP =

La unidad de presioacuten en el Sistema Internacional es el pascal 1 pascal (Pa) = 1 Nm2

Ejemplo iquestQueacute presioacuten ejerceraacute una fuerza de 400 N sobre una superficie cuadrada de 50

cm de lado

mcm 5050 = 22 2505050 mmS == PamNP 1600250

400 2 ==

21 PRINCIPIO DE PASCAL El fiacutesico y matemaacutetico franceacutes Blaise Pascal (1623-1662) demostroacute a partir de observa-ciones y experimentos que la presioacuten ejercida en un punto de un liacutequido contenido en un recipiente se transmite con el mismo valor a cada una de las partes del mismo Esta propiedad se considera el principio funda-mental de la estaacutetica de fluidos y significa que si se aumenta la presioacuten en la superficie libre de un recipiente que contiene agua la presioacuten en el fon-do ha de aumentar en la misma medida La prensa hidraacuteulica constituye una da las princi-pales aplicaciones del principio de Pascal y ade-maacutes permite entender mejor su significado Con-siste en esencia en dos cilindros de diferente seccioacuten comunicados entre siacute y cuyo interior estaacute completamente lleno de un liacutequido que puede ser agua o aceite Dos eacutembolos de secciones diferen-tes se ajustan respectivamente en cada uno de los dos cilindros de modo que esteacuten en contacto



con el liacutequido Cuando sobre el eacutembolo de menor seccioacuten S1 se ejerce una fuerza F1 la presioacuten P1 que se origina en el liacutequido en contacto con eacutel se transmite iacutentegramente y de forma instantaacutenea a todo el resto del liacutequido Por tanto seraacute igual a la presioacuten P2 que ejer-ce el liacutequido sobre el eacutembolo de mayor seccioacuten S2 es decir

2

2

1

121

S

F

S

FPP ==

Por tanto 1

2

1

2

F

F

S

S= lo que significa que si por ejemplo la seccioacuten

2S es veinte veces ma-

yor que la 1S la fuerza

1F aplicada sobre el eacutembolo pequentildeo se ve multiplicada por veinte

en el eacutembolo grande La prensa hidraacuteulica es una maacutequina simple semejante a la palanca de Arquiacutemedes que permite amplificar la intensidad de las fuerzas y constituye el fundamento de elevadores prensas frenos y muchos otros dispositivos hidraacuteulicos de maquinaria industrial Ejemplo en una prensa hidraacuteulica ejercemos una fuerza de 15 N sobre una superficie de

20 dm2 Si la superficie del segundo eacutembolo es de 80 dm2 iquestQueacute fuerza se transmitiraacute al

segundo eacutembolo 20 dm2 = 0rsquo2 m2 80 dm2 = 0rsquo8 m2 NNF

F60

20

8015

8020

152

2 =

==

Efectivamente a una superficie cuatro veces mayor 420

80

1

2 ==S

S corresponde una fuerza

transmitida en esta misma proporcioacuten 415

60

1

2 ==F

F

Una aplicacioacuten muy comuacuten de este principio son los elevadores hidraacuteulicos de los garajes 22 PRESIOacuteN ATMOSFEacuteRICA La atmoacutesfera que es la capa de aire que rodea a la Tierra ejerce como cualquier otro fluido una presioacuten sobre los cuerpos que estaacuten en su interior Esta presioacuten llamada pre-sioacuten atmosfeacuterica es debida al movimiento de las moleacuteculas del aire y a las fuerzas de atraccioacuten entre la Tierra y la masa de aire Equivale al peso de la columna de aire que se encuentra sobre noso-tros siendo su valor de 1033 kg por cada centiacutemetro cuadrado que expresado en unidades del Sistema Inter-nacional es 101300 pascales Otras unidades de presioacuten muy utilizadas son la atmoacutesfe-ra (atm) y el miliacutemetro de mercurio (mmHg) 1 atm = 760 mmHg = 101300 Pa Evangelista Torricelli (1608-1647) midioacute por primera vez (1643) la presioacuten atmosfeacuterica Para ello empleoacute un tubo de un metro de longitud abierto por un extremo y lo llenoacute de mercurio Dispuso una cubeta tambieacuten con mercurio y volcoacute cuidadosamente el tubo introduciendo el extremo abierto en el liacutequido hasta colocarlo verticalmente Com-proboacute entonces que el mercurio bajoacute hasta una altura de 760 mm sobre el liacutequido de la cubeta Puesto que el ex-perimento se hizo al nivel del mar decimos que la pre-



sioacuten atmosfeacuterica normal es de 760 mm de Hg Esta unidad se llama atmoacutesfera y esta es la razoacuten de las equivalencias anteriores Hay que tener en cuenta que la presioacuten atmosfeacuterica no es constante ni a lo largo del tiem-po (puede variar al cambiar la temperatura o la humedad del aire) ni en el espacio (es mayor a nivel del mar que en una montantildea por ejemplo) La presioacuten atmosfeacuterica se mide con instrumen-tos denominados baroacutemetros El maacutes sencillo es el baroacutemetro de cubeta basado en el expe-rimento de Torricelli que acabamos de estudiar Otro baroacutemetro es el aneroide consistente en una caacutepsula hueca que tiene una de sus pare-des formadas por una membrana elaacutestica y en cuyo interior se ha hecho parcialmente el vaciacuteo Cuando la presioacuten atmosfeacuterica variacutea la mem-brana se dilata o contrae En esta membrana se fija una aguja que marca los ascensos y des-censos de la membrana en una escala gradua-da

3 ESTRUCTURAS Se da este nombre a toda construccioacuten destinada a soportar su propio peso y la presencia de acciones exteriores (fuerzas) sin perder las condiciones de funcionalidad para las que fue concebida eacutesta Cada estructura tiene una finalidad determinada para la que ha sido pensada disentildeada y finalmente construida siendo estas sus principales aplicaciones

a) Soportar peso se engloban en este apartado aquellas estructuras cuyo fin princi-pal es el de sostener cualquier otro elemento Son los pilares las vigas estante-riacuteas torres patas de una mesa etc

b) Salvar distancias su principal funcioacuten es la de esquivar un objeto permitir el paso por una zona peligrosa o difiacutecil son los puentes las gruacuteas telefeacutericos etc

c) Proteger objetos cuando son almacenados o transportados como las cajas de embalajes los cartones de huevos cascos etc

d) Para dar rigidez a un elemento se usan cuando se pretende proteger es el propio objeto y no otro al que envuelve por ejemplo en las puertas no macizas el enreja-do interior los cartones los cristales reforzados con estructuras metaacutelicas etc



31 TIPOS DE ESTRUCTURAS Las estructuras pueden clasificarse de diferentes formas atendiendo a distintos criterios

a) Por su origen las estructuras pueden ser naturales y artificiales bull Naturales como el esqueleto el tronco de un aacuterbol los corales marinos las estalagmitas y estalactitas etc bull Artificiales es decir todas aquellas que ha construido el hombre

b) Por su movilidad las estructuras pueden ser moacuteviles o fijas bull Moacuteviles es decir las que se pueden desplazar que son articuladas como puede ser el esqueleto un puente levadizo una bisagra una biela una rue-da la estructura que sustenta un coche de caballos o un motor de combus-tioacuten bull Fijas que son las que no pueden sufrir desplazamientos o estos son miacute-nimos Son por ejemplo los pilares torretas vigas puentes

32 ESFUERZOS QUE SOPORTAN LAS ESTRUCTURAS Al construir una estructura se necesita tanto un disentildeo adecuado como unos elementos que sean capaces de soportar las fuerzas cargas y acciones a las que va a estar someti-da Los tipos de esfuerzos que deben soportar los diferentes elementos de las estructuras pueden ser de traccioacuten compresioacuten cizalla flexioacuten o torsioacuten

Traccioacuten hace que se separen entre siacute las distintas partiacuteculas que componen una

pieza tendiendo a alargarla Por ejemplo cuando se cuelga de una cadena una laacutem-para la cadena queda sometida a un esfuerzo de traccioacuten tendiendo a aumentar su longitud

Compresioacuten hace que se aproximen las diferentes partiacuteculas de un material tendien-do a producir acortamientos o aplastamientos Cuando nos sentamos en una silla so-metemos a las patas a un esfuerzo de compresioacuten con lo que tiende a disminuir su al-tura

Cizalla o cortadura se produce cuando se aplican fuerzas perpendiculares a la pieza haciendo que las partiacuteculas del material tiendan a resbalar o desplazarse las unas so-bre las otras Al cortar con unas tijeras un papel estamos provocando que unas partiacute-



culas tiendan a deslizarse sobre otras Los puntos sobre los que apoyan las vigas es-taacuten sometidos a esfuerzo de cizalla

Flexioacuten es una combinacioacuten de compresioacuten y de traccioacuten Mientras que las fibras su-periores de la pieza sometida a un esfuerzo de flexioacuten se alargan las inferiores se acortan o viceversa Al saltar en la tabla del trampoliacuten de una piscina la tabla se fle-xiona Tambieacuten se flexiona un panel de una estanteriacutea cuando se carga de libros o la barra donde se cuelgan las perchas en los armarios

Torsioacuten las fuerzas de torsioacuten son las que hacen que una pieza tienda a retorcerse sobre su eje central Estaacuten sometidos a esfuerzos de torsioacuten los ejes las manivelas y los ciguumlentildeales

33 PRINCIPALES ELEMENTOS DE LAS ESTRUCTURAS

Pilares postes y columnas son barras apoyadas verticalmente que sirven para so-

portar cargas o el peso de otras partes de la estructura Los principales esfuerzos a los que estaacuten sometidas son los de compresioacuten y pandeo Pueden estar construidos con materiales muy variados como madera hormigoacuten armado acero ladrillos maacutermol etc Tienen formas geomeacutetricas regulares (seccioacuten cuadrada o rectangular) aunque las columnas suelen ser de seccioacuten circular

Vigas y viguetas son piezas o barras horizontales con una determinada forma en funcioacuten del esfuerzo que soporten Forman parte de los forjados de las construcciones Estaacuten sometidas a esfuerzos de flexioacuten

Forjado es la estructura horizontal (o con una pequentildea inclinacioacuten) formada por el conjunto vigas viguetas bovedillas hormigoacuten y soleriacutea que nos sirve de techo (si hay una planta superior) y de suelo

Cimientos es el elemento encargado de soportar y repartir en la tierra todo el peso de la estructura impidiendo que eacutesta sufra movimientos importantes Normalmente sopor-ta esfuerzos de compresioacuten Los materiales de los que se compone son hormigoacuten armado hierro acero etc Las cimentaciones pueden ser de muchos tipos (planas profundas con pilotes) y tienen partes diferenciadas (zapatas pozos pilotes banca-das) que no veremos aquiacute

Tirantes son elementos constructivos sometidos principalmente a esfuerzos de trac-cioacuten Seguacuten las aplicaciones reciben tambieacuten nombres como riostra cable tornapun-ta o tensor Pueden estar hechos con materiales diversos como cuerdas cables de acero cadenas listones de madera

Arcos son elementos muy empleados en las estructuras para dar solidez (y salvar distancias)



34 ESTRUCTURAS TRIANGULARES Existen muchas estructuras que estaacuten formadas a base de triaacutengulos unidos entre siacute Este tipo de estructuras que adquieren una gran rigidez tienen infinidad de aplicaciones El triaacutengulo es el uacutenico poliacutegono que no se deforma cuando actuacutea sobre eacutel una fuerza Al aplicar una fuerza de compresioacuten sobre uno cualquiera de los veacutertices de un triaacutengulo formado por tres vigas automaacuteticamente las dos vigas que parten de dicho veacutertice que-

dan sometidas a dicha fuerza de compresioacuten mientras que la tercera quedaraacute sometida a un esfuerzo de traccioacuten Cual-quier otra forma geomeacutetrica que adopten los elementos de una estructura no seraacute riacutegida o estable hasta que no se trian-gule

En este sentido podemos observar coacute-mo las estanteriacuteas metaacutelicas desmonta-bles llevan para su ensamblado unas escuadras o triaacutengulos que serviraacute como elemento estabilizador al atornillarse en los veacutertices correspondientes Anaacutelogamente en los andamios de la construccioacuten se utilizan tirantes en forma de aspa que triangulan la estructura global y le confieren rigidez A continuacioacuten puedes observar coacutemo se pueden convertir en estructuras riacutegidas un cua-drado y un pentaacutegono

A base de triangulacioacuten se han conseguido vigas de una gran longitud y resistencia que se llaman vigas reticuladas o arrios-tradas se emplean profusamente en la construccioacuten de grandes edificaciones que necesitan am-plias zonas voladas y sin pilares asiacute como en la de puentes de una gran luz Estos triaacutengulos se denominan cerchas



Sin duda la estructura reticulada maacutes famosa del mundo es la torre Eiffel proyectada por el ingeniero civil franceacutes Alexandre Gustave Eiffel para la Exposicioacuten Universal de Pariacutes de 1889 El edificio sin su moderna antena de tele-comunicaciones mide unos 300 m de altura La base con-siste en cuatro enormes arcos que descansan sobre cua-tro pilares situados en los veacutertices de un rectaacutengulo A medida que la torre se eleva los pilares se giran hacia el interior hasta unirse en un solo elemento articulado Cuenta con escaleras y ascensores (elevadores) y en su recorrido se alzan tres plataformas a distintos niveles ca-da una con un mirador y la primera ademaacutes con un res-taurante Para su construccioacuten se emplearon unas 6300 toneladas de hierro Cerca del extremo de la torre se si-tuacutean una estacioacuten meteoroloacutegica una estacioacuten de radio una antena de transmisioacuten para la televisioacuten y unas habi-taciones en las que vivioacute el propio Eiffel 4 MAacuteQUINAS Las maacutequinas son dispositivos que aprovechan las fuerzas para conseguir cambiar su direccioacuten intensidad o el efecto que produce con el objeto de realizar un trabajo mecaacuteni-co teniendo en cuenta que ha de cumplirse en ellas el principio de conservacioacuten de la energiacutea ldquola energiacutea ni se crea ni se destruye soacutelo se transformardquo En muchas ocasiones es preciso transmitir el movimiento de unos elementos a otros para poder conseguir una finalidad Esto se observa sobre todo en maacutequinas en las que se emplea una fuerza inicial para transformarla en movimiento y transmitir ese movimiento a otros elementos consiguiendo el efecto deseado Ejemplos muy habituales de este tipo de maacutequinas son la bicicleta el automoacutevil o los ascensores Las principales maacutequinas simples son la palanca la polea y el plano inclinado aun-que tambieacuten pueden considerarse maacutequinas simples algunos elementos de transmisioacuten o transformacioacuten de movimientos como la rueda y la biela Los operadores mecaacutenicos son los elementos de transmisioacuten y transformacioacuten del mo-vimiento Los principales son la rueda la biela y las palancas 41 LA RUEDA La rueda es un disco con un orificio central por el que penetra un eje que le guiacutea en el movimiento y le sirve de sustento La parte operativa de la rueda es la periferia del disco que se recubre con materiales o terminaciones de diversos tipos con el fin de adaptarla a la utilidad correspondiente Algunas de las ruedas maacutes empleadas son Rueda dentada empleada principalmente para la transmisioacuten del movimiento giratorio

entre ejes Rueda de transporte empleada para reducir el rozamiento con el suelo De ellas las

de caacutemara de aire son de las maacutes utilizadas Polea muy empleada tanto para la transmisioacuten de movimientos como para la reduc-

cioacuten del esfuerzo al elevar o mover pesos Turbinas (rueda de palas) empleadas para la obtencioacuten de un movimiento giratorio a

partir del movimiento de un fluido (agua aire aceite)



De las ruedas anteriores las maacutes empleadas para transmitir movimiento son las ruedas dentadas y las poleas En ambas se establece la denominada relacioacuten de transmisioacuten (i) del sistema que es una proporcioacuten entre el nuacutemero de dientes (ruedas dentadas) o el diaacutemetro (poleas) que nos facilita el caacutelculo del nuacutemero de vueltas que daraacute el elemento arrastrado en funcioacuten de las que deacute el elemento motor

Ruedas dentadas Poleas

2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =

N1 nuacutemero de dientes de la rueda motor N2 nuacutemero de dientes de la rueda arrastrada

D1 diaacutemetro de la polea motor D2 diaacutemetro de la polea arrastrada

Para que el recorrido en los elementos de transmisioacuten sea el mismo la relacioacuten entre las

velocidades de giro es la inversa que la relacioacuten de transmisioacuten i=1

2

Ejemplo 1 Tenemos un conjunto de dos poleas teniendo la polea motor 25 cm de diaacuteme-

tro y la arrastrada 12rsquo5 cm Si la motor da 140 rpm (vueltas o revoluciones por minuto)

iquestCuaacutentas daraacute la arrastrada

2512

25

2

1 ===D

Di rpmrpmii 280140212

1

2 ====

Ejemplo 2 Una rueda dentada de 120 dientes que lleva una velocidad de 200 rpm arras-tra a otra de modo que entre ellas la relacioacuten de transmisioacuten es 075

a) iquestCuaacutentos dientes tendraacute la rueda arrastrada

b) iquestCuaacutentas rpm daraacute la arrastrada

El nuacutemero de dientes de la rueda arrastrada se obtiene a partir de la relacioacuten de transmi-

sioacuten dientesNN

160750

120120750 2

2

===

La velocidad de la rueda arrastrada puede obtenerse sabiendo que la relacioacuten de veloci-dades estaacute en relacioacuten inversa a la de transmisioacuten

rpmrpmii 15020075012

1

2 ====



42 LA BIELA Consiste en una barra riacutegida disentildeada para establecer uniones articuladas en sus extre-mos Permite la unioacuten de dos operadores transformando el movimiento rotativo de uno (manivela exceacutentrica ciguumlentildeal ) en el lineal alternativo del otro (eacutembolo ) o viceversa Desde el punto de vista teacutecnico se distinguen tres partes baacutesicas cabeza pie y cuerpo bull La cabeza de biela es el extremo que realiza el movimiento rotativo Estaacute unida mediante una articulacioacuten a un operador exceacutentrico (exceacutentrica manivela ciguumlentildeal ) dotado de movimiento giratorio bull El pie de biela es el extremo que realiza el movimiento alternativo El hecho de que sue-la estar unida a otros elementos (normalmente un eacutembolo ) hace que tambieacuten necesite de un sistema de unioacuten articulado bull El cuerpo de biela es la parte que une la cabeza con el pie Estaacute sometida a esfuerzos de traccioacuten y compresioacuten y su forma depende de las caracteriacutesticas de la maacutequina a la que pertenezca

Un ejemplo muy sencillo de una biela es el movimiento que reali-zan las piernas de un ciclista El movimiento lineal de las piernas al subir y bajar se transforma en giratorio en la manivela que for-ma el pedal de la bicicleta 43 LAS PALANCAS Desde el punto de vista teacutecnico la palanca es una barra riacutegida que oscila sobre un punto de apoyo (fulcro) debido a la accioacuten de dos fuerzas contrapuestas (potencia y resistencia) Al emplear la palanca para vencer fuerzas podemos considerar en ella cuatro elementos importantes

a) Potencia (P) es la fuerza que tenemos que apli-car b) Resistencia (R) es la fuerza que tenemos que vencer es la que debe vencer la palanca como consecuencia de haber aplicado la potencia c) Brazo de potencia (BP) es la distancia entre el punto en el que aplicamos la potencia y el punto de apoyo (fulcro) d) Brazo de resistencia (BR) es la distancia entre el punto en el que aplicamos la resistencia y el punto de apoyo (fulcro) La ecuacioacuten que nos permite calcular la fuerza que necesitaremos para mover una resistencia en concreto se basa en que el producto de la potencia y la resistencia por sus brazos correspondientes deben ser iguales

BRRBPP =



Ejemplo iquestQueacute fuerza deberemos realizar para vencer una resistencia de 200 N situada a 20 cm del punto de apoyo si usamos una palanca de 70 cm de longitud P= R=200 N BR = 20 cm = 02 m BP = 70 ndash 20 cm = 50 cm = 05 m

NNBM

BRRPBRRBPP 80

50

20200=

=

==

Seguacuten la combinacioacuten de los puntos de aplicacioacuten de potencia y resistencia y la posicioacuten del fulcro se pueden obtener tres tipos de palancas

a) Palanca de primer geacutenero se obtiene cuando colocamos el fulcro entre la po-tencia y la resistencia Como ejemplos claacutesicos podemos citar la pata de cabra de motos o bici-cletas el balanciacuten los alicates o la balanza ro-mana b) Palanca de segundo geacutenero se obtiene cuando colocamos la resistencia entre la poten-cia y el fulcro Seguacuten esto el brazo de resistencia siempre seraacute menor que el de potencia por lo que el esfuerzo (potencia) seraacute menor que la carga (resistencia) Como ejemplos se pueden citar el cascanueces la carretilla o el taladro de hojas de papel c) Palanca de tercer geacutenero se obtiene cuando ejercemos la potencia entre el fulcro y la resis-tencia Esto trae consigo que el brazo de resis-tencia siempre sea mayor que el de potencia por lo que el esfuerzo siempre seraacute mayor que la carga (caso contrario al caso de la palanca de segundo grado) Ejemplos tiacutepicos de este tipo de palanca son las pinzas de depilar las paletas y la cantildea de pescar A este tipo tambieacuten pertenece el sistema motriz del esqueleto de los mamiacuteferos

TEMA 6 TEORIacuteA ATOacuteMICA DE LA MATERIA MOacuteDULO TRES



MOacuteDULO TRES TEMA 6 TEORIacuteA ATOacuteMICA DE LA MATERIA


1 INTRODUCCIOacuteN Comprender coacutemo es la materia y el porqueacute de su comportamiento ha sido siempre un tema de intereacutes para la especie humana ya que tiene una faceta praacutectica que consiste en poder manejar y modificar las sustancias para poder fabricar diferentes materiales Ejem-plos de ello son el desarrollo de las teacutecnicas de conservacioacuten de alimentos la metalurgia la obtencioacuten de esencias y perfumes o incluso los meacutetodos de embalsamamiento y momi-ficacioacuten Por tanto no debe extrantildearnos que desde la antiguumledad se haya tratado de proponer dife-rentes explicaciones de coacutemo es la materia Asiacute en la Grecia del siglo VI aC los grandes filoacutesofos de la eacutepoca explicaron la naturale-za de la materia aceptando la existencia de un principio permanente origen de todo Ta-les de Mileto (624-565 aC) propuso que era el agua Anaxiacutemenes (585-524 aC) propu-so el aire y Heraacuteclito de Eacutefeso (540-475 aC) creyoacute que seriacutea el fuego Finalmente Empeacutedocles de Agriento (500-430 aC) reunioacute las ideas de sus antecesores y desarrolloacute una nueva teoriacutea antildeadiendo la Tierra co-mo un nuevo principio Es la llamada Teoriacutea de los cuatro elementos que ya no sugiere la existencia de un principio uacutenico sino que plantea la posibilidad de que los cuatro elementos (agua aire fuego y tierra) mediante dos cualidades (calor y sequedad) y sus contrapuestas (friacuteo y humedad) dariacutean lugar a todas las formas de materia que nos rodea En realidad los cuatro elementos no eran maacutes que la generaliza-cioacuten y representacioacuten de la observacioacuten cotidiana pues un cuerpo es soacutelido (ldquotierrardquo) liacutequido (ldquoaguardquo) o gaseoso (ldquoairerdquo) o bien se encuentra en estado de incandescencia (ldquofuegordquo) La teoriacutea de los cuatro elementos fue aceptada por Aristoacuteteles de Estaacutegira (384-322 aC) el maacutes grande pensador griego e infatigable escritor aunque defendioacute la existencia de un quinto elemento el eacuteter asociado a la invariabilidad por ello las estrellas los pla-netas y los dioses (por ser considerados todos ellos inmutables e inmortales) estariacutean formados por eacuteter Dada la autoridad intelectual de Aristoacuteteles no es de extrantildear que la teoriacutea de los cuatro elementos perdurase casi dos mil antildeos Precisamente la atractiva posibilidad de poder extraer y purificar el quinto elemento a par-tir de materiales terrestres condujo a una rama hermeacutetica del conocimiento llamada Al-

quimia (teacutermino que significa ldquotratado de los metalesrdquo) precursora de la actual Quiacutemica Aunque originalmente la Alquimia recogioacute el conocimiento praacutectico para la obtencioacuten de todo tipo de sustancias posteriormente derivoacute hacia la magia y la supercheriacutea alejaacutendose defi-nitivamente del planteamiento cientiacutefico que siempre debe estar sometido a continua revisioacuten a traveacutes de la experimentacioacuten y el razonamiento

Sin embargo debe tenerse en cuenta que cientiacuteficos tan afamados como Newton Dalton o Lavoisier posiblemente partieron de concepciones alquimistas ya que en su eacutepoca el conocimiento de la Naturaleza estaba ligado a esta disciplina La Alquimia sobrevivioacute praacutecticamente durante 2000 antildeos hasta que fue remplazada por la Ciencia moderna en el siglo XIX Por la misma eacutepoca en la que triunfaba en Grecia la teoriacutea de los cuatro elementos Leu-cipo y su disciacutepulo Demoacutecrito de Abdera (460-370 a JC) propusieron la discontinuidad



de la materia formada por aacutetomos (partiacuteculas indivisibles y eternas) que se mueven gra-cias a la existencia del vaciacuteo entre unos y otros Estos aacutetomos seriacutean todos de la misma naturaleza pero difeririacutean en la forma la magnitud y el orden en que estaacuten colocados en el cuerpo El atomismo de Demoacutecrito expuesto en forma brillante en el poema ldquoDe Rerum Naturardquo del romano Lucrecio estaacute construido totalmente por conceptos filosoacuteficos Pese a que sus ideas eran equiparables a las de las teoriacuteas modernas sus seguidores no consiguieron convencer a sus contemporaacuteneos especialmente porque el conocimiento en la Grecia Claacutesica despreciaba la experimentacioacuten como viacutea de demostracioacuten de las hipoacutetesis Por todo ello el atomismo no se vuelve a plantear hasta que lo recupera Boyle en 1677 y lo desarrolla Dalton en 1803 como resultado de observaciones cientiacuteficas Para comprender mejor la transicioacuten al moderno atomismo hay que tener en cuenta que tradicionalmente la Quiacutemica se habiacutea limitado a describir las reacciones quiacutemicas que se produciacutean entre las distintas sustancias En la segunda mitad del siglo XVIII el quiacutemico franceacutes Antoine de Lavoisier comenzoacute a emplear la balanza para determinar la masa de las sustancias que interveniacutean en las reacciones quiacutemicas De este modo surgioacute la quiacutemi-ca moderna que permitioacute establecer las llamadas leyes ponderales de la reaccioacuten quiacutemi-ca referidas a las cantidades de los reactivos y productos que intervienen en las reaccio-nes quiacutemicas y descubiertas por la repeticioacuten de muchas experiencias de laboratorio Las leyes ponderales son las siguientes 1ordf) Conservacioacuten de la masa (Ley de Lavoisier) en todo proceso quiacute-mico la suma de la masa de todas las sustancias que intervienen per-manece constante en el transcurso de la misma Ejemplo Si quemamos 1 kg de lentildea parece que esta ley no se cumple sin embargo si sumaacute-ramos al kg de lentildea la cantidad de oxiacutegeno que se gasta al quemarla coincidiriacutea con la suma de la masa de las cenizas y la del humo produci-do (iexclOjo que tiene masa) 2ordf) Proporciones definidas (Ley de Proust) Cuando dos o maacutes sustan-cias reaccionan quiacutemicamente para dar un determinado producto siem-pre lo hacen en una relacioacuten en masa constante Ejemplo Cuando el oxiacutegeno y el hidroacutegeno reaccionan para dar agua siempre lo hacen en una proporcioacuten en masa de 8 gramos de oxiacutegeno por cada gramo de hidroacutegeno 3ordf) Proporciones muacuteltiples (Ley de Dalton) Si dos o maacutes sustancias pueden producir maacutes de un producto de reaccioacuten las proporciones en masa con las que reaccionan guardan relaciones numeacutericas sencillas (12 23 ) Ejemplo siguiendo con el ejemplo del oxiacutegeno y el hidroacute-geno resulta que en ciertas condiciones pueden formar agua oxigenada en cuyo caso la proporcioacuten en masa con la que reaccionan es de 16 gramos de oxiacutegeno por cada gramo de hidroacutegeno es decir iexcljusto el do-ble que cuando se forma agua (proporcioacuten 21) 4ordf) Voluacutemenes de combinacioacuten (Ley de Gay-Lussac) Cuando en una reaccioacuten quiacutemica intervienen sustancias en estado gaseoso los voluacutemenes que reaccionan de eacutestas guar-dan una relacioacuten numeacuterica sencilla cuando se miden en las mismas condiciones de pre-sioacuten y temperatura Ejemplo En la reaccioacuten del oxiacutegeno con el hidroacutegeno para dar agua se observa experimentalmente que por cada litro de oxiacutegeno reaccionan dos de hidroacutegeno (medidos a igual presioacuten y temperatura)



2 TEORIacuteA ATOacuteMICA DE DALTON Aunque la teoriacutea atoacutemica moderna se propuso con posterioridad al descubrimiento de las leyes ponderales eacutestas confirman la teoriacutea atoacutemica y pueden ser perfectamente justifica-das mediante ella Las leyes de Proust y Lavoisier asiacute como sus propios estudios sobre los gases llevaron a Dalton a enunciar su teoriacutea atoacutemica que se basa en cuatro postulados

1 Los elementos quiacutemicos estaacuten formados por partiacuteculas indivisibles llamadas aacutetomos 2 Todos los aacutetomos de un elemento son iguales entre siacute tienen la misma forma tamantildeo masa y cualquier otra propiedad 3 Los aacutetomos de elementos diferentes son distintos y tienen distintas propiedades 4 En una reaccioacuten quiacutemica los aacutetomos mantienen su identidad no pueden ser des-truidos ni rotos

Con esta teoriacutea Dalton pudo explicar las leyes ponderales enunciadas anteriormente

Ley de conservacioacuten de la masa

Puesto que los aacutetomos son indestructibles en una reaccioacuten quiacutemica el nuacutemero y la clase de los aacutetomos seraacute la misma tanto antes como despueacutes de la reaccioacuten por lo que la ma-sa no se modificaraacute

Ley de las proporciones definidas

Si una sustancia se forma por la unioacuten de dos aacutetomos A y uno B la proporcioacuten entre los elementos A y B seraacute la exis-tente entre dos aacutetomos A y uno B

Si aparecen 10 aacutetomos de A habraacute 5 de B y la proporcioacuten seraacute la misma

Ley de las proporciones muacuteltiples

Supongamos que los elementos A y B forman dos com-puestos uno formado por una aacutetomo de cada clase y otro por dos aacutetomos del elemento A y tres del elemento B

Con seis aacutetomos de B que consideraremos una cantidad fija se combinan en el pri-mer compuesto seis aacutetomos de A en el segundo compuesto los seis aacutetomos de B se combinan con cuatro de A La proporcioacuten seraacute 64 o 32 una relacioacuten de nuacutemeros na-turales sencillos Ley de voluacutemenes de combinacioacuten para justificarla hay que admitir la hipoacutetesis de

Avogadro ldquovoluacutemenes iguales de cualquier gas en las mismas condiciones de presioacuten y temperatura contienen el mismo nuacutemero de moleacuteculasrdquo Esto es faacutecil-mente comprensible si se tiene en cuenta que dado el extremadamente pequentildeo tamantildeo de las moleacuteculas el espacio que ocupan en forma gaseosa es praacutectica-mente despreciable frente al volumen del gas Por tanto para cierto volumen de gas no importa queacute moleacuteculas lo estaacuten ocupando De todo ello se deduce que cuando intervienen gases en una reaccioacuten quiacutemica como tienen que hacerlo en una proporcioacuten de aacutetomos fija la relacioacuten en voluacutemenes tambieacuten lo seraacute

La teoriacutea atoacutemica de Dalton se fue confirmando a lo largo del siglo XIX y permitioacute identifi-car y caracterizar muchas sustancias desconocidas hasta entonces de modo que pareciacutea



que se habiacutea conseguido dar una explicacioacuten correcta de coacutemo es la materia Sin embar-go el descubrimiento del electroacuten a finales del siglo XIX iba en contra de la teoriacutea atoacutemi-ca ya que demostraba que los aacutetomos no eran indivisibles Aunque se les siguioacute llamando asiacute era preciso conocer algo maacutes sobre ellos y se elaboraron nuevas teoriacuteas que permi-tieran explicar los hechos observados en el comportamiento de la materia 3 MODELOS ATOacuteMICOS El descubridor de los electrones JJ Thomson propuso un primer modelo de aacutetomo con partiacuteculas en su interior suponiendo una estructura atoacutemica similar a la de un pastel con pasas el aacutetomo seriacutea como una esfera espon-josa con carga positiva en la que se incrustariacutean los electrones tantos como fueran necesarios para compensar su carga y que el aacutetomo resultara eleacutectri-camente neutro Ernest Rutherford puso a prueba este modelo realizando una serie de experiencias en las que bombardeaba una laacutemina muy delgada de oro con partiacuteculas (ldquoalfardquo) que tienen

carga positiva y son radiactivas (hoy sabemos que son nuacutecleos de helio) Si el modelo atoacutemico de Thomson se correspondiacutea con la realidad las partiacuteculas atravesariacutean los

aacutetomos sin alterar su trayectoria Rutherford observoacute que aunque la mayo-riacutea de las partiacuteculas atravesaban la

laacutemina como predeciacutea la teoriacutea unas po-cas rebotaban y saliacutean hacia atraacutes (una de cada diez mil) Seguacuten las palabras del propio Rutherford ldquoEs tan sorprendente como si al disparar balas de 15 pulgadas contra una hoja de papel algunas rebota-senrdquo

Para explicar esta experiencia Rutherford propuso un modelo atoacutemico nuclear seguacuten el cual casi toda la masa y la carga eleacutectrica positiva del aacutetomo esta-riacutea concentrada en su centro (nuacutecleo del aacutetomo) en un espacio muy pequentildeo respecto al tamantildeo total del aacutetomo los electrones girariacutean alrededor del nuacutecleo a una gran distancia de eacuteste y en nuacutemero suficiente como para compensar la carga eleacutectrica positi-va constituyendo la corteza del aacutetomo Entre medias no habriacutea nada iexclla materia estariacutea praacutecticamente vaciacutea Por tanto el modelo nuclear de Rutherford considera al aacutetomo como un sistema planetario en miniatura en el que la posicioacuten del nuacutecleo es equivalente a la del sol y la de los electrones a la de los planetas Seguacuten los caacutelcu-los que se deducen del experimento que condujo a este modelo el aacutetomo tendriacutea un tamantildeo de unos 10-10 metros y el nuacutecleo de 10-14 metros (10000 veces menor) Esto significa que si un aacutetomo fuera del tamantildeo de una plaza de toros sus electrones girariacutean por su periferia y toda su masa se concentrariacutea en una canica situada en el centro de la plaza Pese a que el modelo atoacutemico de Rutherford suponiacutea un gran avance en el conocimiento de la constitucioacuten de la materia era incapaz de explicar porqueacute los aacutetomos se unen entre siacute y el comportamiento quiacutemico que muestran ademaacutes los aacutetomos deberiacutean ser inesta-bles ya que los electrones del modelo atoacutemico de Rutherford deberiacutean ir emitiendo ener-



giacutea y por tanto acabariacutean cayendo sobre el nuacutecleo cosa que la experiencia demuestra que no ocurre pues la materia se manifiesta estable Tampoco podiacutea explicar los espec-

tros atoacutemicos que estaacuten relacionados con el color de la luz que emite un elemento quiacutemico al ser

calentado A diferencia de lo que ocurre con la luz blanca procedente del sol que al ha-cerla pasar a traveacutes de un prisma de vidrio se descompone en bandas continuas de colo-res (el arco iris) cuando se descompone la luz que desprende un elemento previamente calentado queda descompuesta en unas pocas liacuteneas de colores que son caracteriacutesticos (espectro atoacutemico que es como la ldquohuella dactilarrdquo del elemento) Para solucionar los problemas que presentaba el modelo atoacutemico de Rutherford el fiacutesico daneacutes Niels Bohr propuso un nuevo modelo atoacutemico basado en estos cuatro postulados

1 El aacutetomo estaacute formado por un nuacutecleo con carga positiva y que contiene la mayor parte de la masa del aacutetomo y una corteza en la que se mueven los electrones La mayor parte del aacutetomo estaacute formado por espacio vaciacuteo El tamantildeo del nuacutecleo que contiene casi toda su masa y toda su carga positiva es miles de veces menor que el aacutetomo 2 Los electrones se mueven en oacuterbitas circulares alrededor del nuacutecleo atoacutemico de forma que la fuerza con la que lo atrae el nuacutecleo atoacutemico por atraccioacuten electrostaacuteti-ca es igual a la fuerza centriacutefuga debida al giro 3 Soacutelo son posibles aquellas oacuterbitas en las que el giro del electroacuten alrededor del nuacutecleo es estable de modo que en ellas el electroacuten no emite ni absorbe energiacutea de manera espontaacutenea 4 El paso de una oacuterbita a otra supone la absorcioacuten o emisioacuten de radiacioacuten El aacuteto-mo soacutelo absorberaacute o emitiraacute la radiacioacuten justa para pasar de una oacuterbita a otra

Las oacuterbitas de los electrones son estables y el electroacuten permanece en ellas sin emitir ni absorber energiacutea El paso de una oacuterbita a otra maacutes alejada del nuacutecleo soacutelo es posible cuando el electroacuten absorbe justamente la diferencia de energiacutea entre ambas oacuterbitas Por el contrario para pasar de una oacuterbita a otra maacutes cercana al nuacutecleo el electroacuten debe emitir la energiacutea correspondiente a la diferencia de energiacutea entre las oacuterbitas Esta es la razoacuten de que los espectros atoacutemicos esteacuten formados por liacuteneas discretas ya que corresponden a las diferencias de energiacutea entre las oacuterbitas de los electrones

El modelo atoacutemico de Bohr llega a la conclusioacuten de que para que se alcance la maacutexima estabilidad los electrones de los aacutetomos se colocan en diferentes oacuterbitas seguacuten una serie de normas

1ordf) Soacutelo son posibles determinadas oacuterbitas de modo que no puede haber electro-nes girando a cualquier distancia alrededor del nuacutecleo 2ordf) A medida que las oacuterbitas se alejan del nuacutecleo caben en ellas maacutes electrones de modo que el nuacutemero maacuteximo de electrones que caben en cada oacuterbita viene dado

por la expresioacuten 22n donde n es el nuacutemero de oacuterbita contada desde el nuacutecleo



Asiacute en la primera oacuterbita ( 2=n ) caben 212 2 = electrones en la segunda oacuterbita ca-

ben 84222 2 == electrones

3ordf) En la uacuteltima oacuterbita nunca puede haber maacutes de ocho electrones de modo que los aacutetomos que tienen ocho electrones en la uacuteltima oacuterbita utilizada presentan la maacute-xima estabilidad (como los gases nobles) 4ordf) La experiencia demuestra que los aacutetomos que no tienen ocho electrones en la uacuteltima oacuterbita utilizada tienden a conseguirlos ganando perdiendo o compartiendo electrones (ldquoregla del octetordquo)

Por tanto el modelo atoacutemico de Bohr siacute justifica las uniones entre aacutetomos explica los comportamientos quiacutemicos de los mismos y los espectros atoacutemicos Aunque posterior-mente fue mejorado por el fiacutesico alemaacuten Sommerfeld contemplando la posibilidad de oacuterbitas eliacutepticas seguiacutea siendo un modelo con muchas limitaciones ya que por las carac-teriacutesticas de los electrones no parece que tenga sentido hablar de oacuterbitas para los elec-trones en su movimiento alrededor del nuacutecleo ya que seguacuten el principio de incertidum-bre de Heisenberg es imposible conocer simultaacuteneamente y con precisioacuten la velocidad y la posicioacuten de una partiacutecula Por ello se desarrolloacute el llamado modelo atoacutemico cuaacutentico o modelo de orbitales en el que el electroacuten estaacute caracterizado por una ecuacioacuten llamada funcioacuten de ondas que describe la probabilidad de encontrarlo en un determinado lugar del espacio Los orbitales atoacutemicos son las representaciones graacuteficas de estas funcio-nes por lo que son zonas alrededor del nuacutecleo del aacutetomo donde la probabilidad de encon-trar al electroacuten es maacutexima Los orbitales se designan por letras que se refieren a su forma y en la praacutectica vienen a ampliar y justificar el modelo de Bohr pero permiten explicar maacutes propiedades de los aacutetomos y sus uniones justifica plenamente la distribucioacuten de los aacutetomos en el Sistema Perioacutedico la geometriacutea de moleacuteculas el enlace quiacutemico etc En este modelo los electrones se distribuyen en los diferentes orbitales atoacutemicos de mo-do que en cada orbital caben dos electrones con espiacuten opuesto (giro de rotacioacuten) En ca-da nivel energeacutetico (equivalente a las oacuterbitas de Bohr) puede haber diferentes tipos de orbitales con formas y tamantildeos tambieacuten diferentes En el nivel 1 soacutelo hay un orbital esfeacuteri-co (llamado 1s) En el nivel 2 hay un orbital esfeacuterico (llamado 2s) y tres orbitales bilobula-dos (llamados orbitales 2p) En el nivel 3 hay un orbital esfeacuterico (3s) tres bilobulados (3p) y cinco tetralobulados (llamados orbitales 3d) En el nivel 4 hay un orbital esfeacuterico (4s) tres bilobulados (4p) cinco tetralobulados (4d) y siete hexalobulados (4f) Estas son las representaciones habituales para los orbitales s (esfeacutericos) p (bilobulados) y d (tetralobulados)



La configuracioacuten electroacutenica de un elemento es la distribucioacuten de sus electrones en los distintos orbitales (o en las oacuterbitas de Bohr) y permiten deducir el comportamiento quiacutemico de un aacutetomo de modo que son los electrones de la uacuteltima oacuterbita o nivel energeacutetico ocupa-do los que determinan este comportamiento Por ello se llaman capa y electrones de valencia De esos electrones dependen las propiedades quiacutemicas de las sustancias Veamos algunos ejemplos con el modelo de Bohr (las oacuterbitas o capas se llaman K L M N respectivamente para la 1ordf 2ordf 3ordf 4ordf )

Elemento nordm de electrones configuracioacuten

K L M N

Carbono 6 2 4 -- --

Foacutesforo 15 2 8 5 --

Cloro 17 2 8 7 --

Argoacuten 18 2 8 8 --

Cinc 30 2 8 18 2

El modelo de orbitales permite comprender mejor la distribucioacuten de electrones en los dife-rentes niveles electroacutenicos Se basa en que en cada orbital pueden moverse dos electro-nes que giren sobre siacute mismos en sentidos contrarios La maacutexima estabilidad electroacutenica se conseguiraacute cuando se completen los orbitales s y p de la uacuteltima capa ocupada con dos electrones (2 del orbital s y 6 de los 3 orbitales p 8 en total como en el modelo de Bohr) La configuracioacuten electroacutenica de un aacutetomo se escribe poniendo para cada tipo de orbital un nuacutemero que indica la capa a la que pertenece seguido de la letra que corresponde al tipo de orbital (s p d f) y como superiacutendice de la letra el nuacutemero de electrones en este tipo de orbital (en los s caben hasta 2 en los p hasta 6 en los d hasta 10 y en los f hasta 14) El orden de llenado de orbitales viene dado por el llamado diagrama de Moeller en el que se escribe en horizontal el tipo de orbital que pue-de haber en cada nivel y en diagonal las fle-chas muestran el orden de llenado de eacutestos

5f6d7p4f5d6p7s4d5p6s3d4p5s3p4s-2p3s-2s1s minusminusminusminusminus

Por comodidad la configuracioacuten se suele es-cribir abreviadamente haciendo referencia a la configuracioacuten electroacutenica del gas noble inme-diatamente anterior al elemento considerado y escribiendo solamente lo que es distinto de la de eacuteste Ejemplos configuraciones electroacutenicas de los elementos anteriores (modelo de orbitales) La ventaja del modelo de orbitales es que permite situar perfectamente cada elemento quiacutemico en la tabla perioacutedica conociendo su configuracioacuten y viceversa cosa que en el modelo de Bohr a veces resulta difiacutecil (especialmente con aacutetomos pesados)

Elemento nordm de electrones Configuracioacuten

Carbono 6 2 2 2 2 21 2 2 [ ]2 2s s p He s p=

Foacutesforo 15 2 2 6 2 3 2 31 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=

Cloro 17 2 2 6 2 5 2 51 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=

Argoacuten 18 2 2 6 2 61 2 2 3 3s s p s p

Cinc 30 2 2 6 2 6 2 10 10 21 2 2 3 3 4 3 [ ]3 4s s p s p s d Ar d s=



4 PARTIacuteCULAS SUBATOacuteMICAS Acelerando protones y electrones a velocidades proacuteximas a las de la luz y hacieacutendoles colisionar los fiacutesicos han podido determinar maacutes de un centenar de partiacuteculas subatoacutemicas gluones quarks mesones π mesones μ partiacuteculas Σ son soacutelo una muestra Pero en Quiacutemica soacutelo son importantes los protones con carga eleacutec-trica positiva los electrones con carga eleacutectrica negativa y los neu-trones sin carga eleacutectrica Sus principales propiedades son estas

protoacuten (p+) neutroacuten (no) electroacuten (e-)

carga +1602middot10-19 C 0 C -1602middot10-19 C

+1 e 0 e -1 e

masa 16726middot10-27 kg 16750middot10-27 kg 91096middot10-31 kg

1007 uma 1009 uma 1836

1 uma

Para identificar los diferentes tipos de aacutetomos con las partiacuteculas que contienen se utiliza

la siguiente representacioacuten qA

ZX

donde

X es el siacutembolo del elemento quiacutemico (una o dos letras) q es la carga eleacutectrica de la especie quiacutemica positiva o negativa seguacuten falten o

sobren electrones teniendo asiacute cationes (+) o aniones (-) respectivamente Nuacutemero atoacutemico (Z) es el nuacutemero de protones que tiene el nuacutecleo En un aacutetomo neutro coincide con el nuacutemero de electrones En iones (aacutetomos a los que les sobra o falta electrones) el nuacutemero de electrones se calcula restando su carga eleacutectrica al nuacutemero atoacutemico nordm electrones = Z ndash q Cada elemento queda identificado por su nuacutemero atoacutemico Si dos aacutetomos tienen el mismo nuacutemero atoacutemico son aacutetomos del mismo elemento Si por el contrario los aacutetomos tienen distinto nuacutemero atoacutemico pertenecen a dos elementos distintos Nuacutemero maacutesico (A) es el nuacutemero de partiacuteculas que contiene el nuacutecleo del aacutetomo (protones maacutes neutrones) Como la masa de los electrones es muy pequentildea com-parada con la de los protones y los neutrones la masa de un aacutetomo coincide praacutec-ticamente con la de su nuacutecleo (la suma de las masas de protones y neutrones) Por esto el nuacutemero total de protones y neutrones de un aacutetomo (la suma) recibe el nom-bre de nuacutemero maacutesico Si conocemos el nuacutemero atoacutemico (Z) y el nuacutemero maacutesico (A) de cualquier aacutetomo podemos averiguar raacutepidamente el nuacutemero de protones neutrones y electrones de dicho aacutetomo ya que el nuacutemero de neutrones (N) seraacute la diferencia entre el nuacutemero maacutesico y el nuacutemero atoacutemico N = A ndash Z Ejemplos

Al27

13 es un aacutetomo del elemento aluminio (Al) cuyo nuacutemero atoacutemico (Z) es 13 y

cuyo nuacutemero maacutesico (A) es igual a 27 De aquiacute podemos deducir que en su nuacutecleo hay 13 protones y 14 neutrones (27-13) Ademaacutes si este aacutetomo es eleacutectricamente neutro tendraacute exactamente 13 electrones

-331

15 P es un anioacuten (con 3 cargas negativas) del elemento foacutesforo (P) cuyo nuacutemero

atoacutemico (Z) es 15 y cuyo nuacutemero maacutesico (A) es igual a 31 De aquiacute podemos dedu-cir que en su nuacutecleo hay 15 protones y 16 neutrones (31-15) Como esta especie tiene tres cargas negativas tendraacute en la corteza tres electrones de maacutes que proto-nes es decir 18 electrones



Los aacutetomos de elementos distintos se diferencian en que tienen distinto nuacutemero de proto-nes en el nuacutecleo (distinto Z) Pero aunque todos los aacutetomos de un mismo elemento tie-nen el mismo nuacutemero de protones en el nuacutecleo (igual Z) no tienen porqueacute ser exactamen-te iguales ya que pueden tener distinto nuacutemero de neutrones (distinto A) Se denomina isoacutetopos a los aacutetomos de un mismo elemento (igual Z) que tienen diferente nuacutemero de neutrones (distinto A) Ejemplo el nuacutemero atoacutemico del carbono es Z = 6 por lo que posee seis protones (y seis electrones claro) La mayor parte de los aacutetomos de carbono tienen normalmente 6 neu-trones pero se han encontrado aacutetomos de carbono con un nuacutemero de neutrones distinto

ISOacuteTOPO Z A p+ no e-

Carbono-12 6 12 6 6 6

Carbono-13 6 13 6 7 6

Carbono-14 6 14 6 8 6

El carbono-13 es muy importante en medicina ya que se emplea en algunas teacutecnicas de diagnoacutestico el carbono-14 se usa para conocer la antiguumledad de los objetos histoacutericos o prehistoacutericos Todos los isoacutetopos tienen las mismas propiedades quiacutemicas solamente se diferencian en que unos son un poco maacutes pesados que otros Muchos isoacutetopos pueden desintegrarse espontaacuteneamente emitiendo energiacutea Son los lla-mados isoacutetopos radioactivos La radiactividad es una propiedad de los isoacutetopos que son ldquoinestablesrdquo Los nuacutecleos de estos elementos emiten partiacuteculas y radiaciones hasta que se estabilizan De esta forma los nuacutecleos de estos aacutetomos pueden llegar a convertirse en nuacutecleos de otros elementos menos pesados Los tipos de radiacioacuten que pueden ser emitidos son

bull Radiacioacuten alfa α son partiacuteculas poco penetrantes formadas por dos neutrones y

dos protones (nuacutecleos de helio 24

2 He + )

bull Radiacioacuten beta β son electrones que se desplazan a gran velocidad y tienen mayor poder de penetracioacuten que las α pudiendo atravesar laacuteminas de aluminio de algunos miliacutemetros de espesor bull Rayos gamma γ son ondas electromagneacuteticas de gran energiacutea y un gran poder de penetracioacuten Para detenerlas se necesitan gruesas capas de plomo u hormigoacuten

Los isoacutetopos radiactivos tienen importantes aplicaciones como en medicina tanto en teacutec-nicas diagnoacutesticas ndashse suelen utilizar rayos gamma- como con fines terapeacuteuticos En ambos casos la cantidad de radiacioacuten utilizada debe ser controlada para evitar que dantildee ceacutelulas y tejidos sanos aunque cuando se utilizan en la terapia de alguna enferme-dad ndashpara destruir ceacutelulas dantildeadas- la cantidad es mayor que cuando se emplean para diagnoacutestico Algunos isoacutetopos radiactivos utilizados para el diagnoacutestico son el yodo-123 y el tecnecio-99 el cobalto-60 y el yodo-131 son algunos de los maacutes utilizados en la terapia del caacutencer Tambieacuten algunos isoacutetopos son uacutetiles en otro tipo de aplicaciones como el carbono-14 que permite averiguar la antiguumledad de restos histoacutericos y por tanto muy usado en ar-queologiacutea 5 PROPIEDADES Y CLASIFICACIOacuteN DE LOS ELEMENTOS QUIacuteMICOS

Para identificar los elementos y compuestos quiacutemicos los elementos se representan me-diante siacutembolos quiacutemicos en lugar de sus nombres completos La mayoriacutea de los siacutem-bolos quiacutemicos derivan de las letras del nombre en latiacuten del elemento La primera letra del siacutembolo se escribe con mayuacutescula y la segunda (si la hay) con minuacutescula Los siacutembolos



de algunos elementos conocidos desde la antiguumledad proceden normalmente de sus nombres en latiacuten Por ejemplo Cu de cuprum (cobre) Ag de argentum (plata) Au de au-rum (oro) y Fe de ferrum (hierro) Este conjunto de siacutembolos que denomina a los elemen-tos quiacutemicos es universal Algunos elementos frecuentes y sus siacutembolos son carbono (C) oxiacutegeno (O) nitroacutegeno (N) hidroacutegeno (H) cloro (Cl) azufre (S) magnesio (Mg) Aluminio (Al) Cobre (Cu) argoacuten (Ar) oro (Au) plata (Ag) hierro (Fe) La tabla perioacutedica o sistema perioacutedico de los elementos es un modo de clasificar todos los elementos quiacutemicos seguacuten sus propiedades y tambieacuten seguacuten su configuracioacuten electroacute-nica ya que ambas estaacuten muy relacionadas Estaacute organizada en 7 filas horizontales (lla-madas periacuteodos) y 18 columnas verticales (llamadas grupos) de modo que los elemen-tos con propiedades quiacutemicas semejantes se encuentren situados cerca uno de otro

El orden de los elementos en la tabla viene dado por su nuacutemero atoacutemico Z que es el nuacute-mero de protones del elemento (en un aacutetomo neutro coincide con el nuacutemero de electro-nes) En uacuteltima instancia por tanto la configuracioacuten electroacutenica de los elementos es la que ordena la tabla perioacutedica No todos los periacuteodos y grupos de la tabla perioacutedica contienen el mismo nuacutemero de ele-mentos Asiacute el primer periodo tiene soacutelo dos elementos el segundo y tercer periodos tie-nen ocho elementos el cuarto y quinto periodos tienen dieciocho el sexto periodo tiene treinta y dos elementos y el seacuteptimo no tiene los treinta y dos elementos porque estaacute incompleto Estos dos uacuteltimos periodos tienen catorce elementos separados para no alargar demasiado la tabla y facilitar su trabajo con ella El periodo que ocupa un elemento coincide con la uacuteltima capa electroacutenica que utiliza para colocar sus electrones Es decir un elemento con cinco capas electroacutenicas estaraacute en el quinto periodo Los grupos de la tabla perioacutedica estaacuten numerados desde el nuacutemero 1 al 18 aunque todaviacutea se utiliza la representacioacuten tradicional en la que se designan con nuacutemeros roma-nos (del I al VII con la serie A de elementos representativos y la B de elementos de tran-sicioacuten) Los elementos situados en las dos filas fuera de la tabla pertenecen al grupo 3 Todos los elementos de un mismo grupo tienen el mismo nuacutemero de electrones en su uacutel-tima o uacuteltimas capas por lo que sus propiedades quiacutemicas son similares



Seguacuten la regla del octeto los aacutetomos tienden a tener en su uacuteltima capa 8 electrones Pero soacutelo unos pocos tienen su configuracioacuten electroacutenica de esa forma los gases nobles o inertes llamados asiacute porque no reaccionan con ninguacuten otro elemento Metales y no metales Metales son elementos quiacutemicos que en su uacuteltima capa electroacutenica tienen pocos electro-nes (en general 1 o 2) por lo que tienen tendencia a perderlos De este modo quedan cargados positivamente y se convierten en iones positivos o cationes La mayoriacutea de los elementos quiacutemicos son metales Son elementos metaacutelicos el hierro (Fe) que tiene dos electrones en su uacuteltima capa (la cuarta) el sodio (Na) con un electroacuten en su uacuteltima capa (la tercera) el cobre (Cu) con dos electrones en la uacuteltima capa (la cuarta) o el oro (Au) con dos electrones en la uacuteltima capa (la sexta) Las principales propiedades de los metales son

bull Casi todos son soacutelidos a temperatura ambiente (excepto el mercurio Hg) bull Son buenos conductores del calor y de la electricidad

No metales son elementos quiacutemicos que en su uacuteltima capa casi tienen 8 electrones por lo que tienden a quitar electrones a otros aacutetomos consiguiendo asiacute 8 electrones en su uacuteltima capa electroacutenica De este modo quedan cargados negativamente y se convierten en iones negativos o aniones Son no metales el nitroacutegeno (N) con cinco electrones en su uacuteltima capa (la segunda) el oxiacutegeno (O) con seis electrones en su uacuteltima capa (la se-gunda) el fluacuteor (F) con siete electrones en su uacuteltima capa (la segunda) el cloro (Cl) con siete electrones en su uacuteltima capa (la tercera) o el foacutesforo (P) con cinco electrones en su uacuteltima capa (la tercera) Las principales propiedades de los no metales son

bull La mayoriacutea son liacutequidos o gases a temperatura ambiente bull Son malos conductores del calor y de la electricidad



Los metales estaacuten situados a la izquierda de la tabla perioacutedica mientras que los no meta-les estaacuten a la derecha de la misma Masas atoacutemicas Habraacutes observado que en la tabla perioacutedica ademaacutes de colocar los elementos quiacutemicos con su siacutembolo suelen aparecer una serie de datos de cada elemento como su nuacutemero atoacutemico puntos de fusioacuten y ebullicioacuten densidad masa atoacutemica etc Pues bien la masa atoacutemica es un dato muy importante ya que permite comparar la masa de unos aacutetomos respecto de otros y aplicando despueacutes las leyes de las reacciones quiacutemicas permiten hacer caacutelculos de suma utilidad cuando hay que fabricar una determinada sustancia Cuando los quiacutemicos aceptaron la teoriacutea atoacutemica en el siglo XIX todos los caacutelculos indi-caban que de los elementos conocidos en aqueacutella eacutepoca los aacutetomos maacutes ligeros eran los de hidroacutegeno de modo que calcularon que los de oxiacutegeno eran unas 16 veces maacutes pesados los de carbono unas 12 veces maacutes los de hierro unas 56 veces maacuteshellipAunque no sabiacutean exactamente queacute masa teniacutea un aacutetomo de hidroacutegeno se podiacutea establecer cuaacutentas veces maacutes pesado que eacuteste era cada uno de los aacutetomos del resto de los elemen-tos conocidos y de los que se iban descubriendo permitiendo asignarles una masa a cada uno de ellos por comparacioacuten con la masa del aacutetomo del hidroacutegeno Ahora bien como posteriormente se descubrioacute la existencia de isoacutetopos de los elementos (recuerda aacutetomos del mismo elemento pero de masas diferentes) la definicioacuten inicial se revisoacute y se tomoacute como referencia (por cuestiones praacutecticas) la masa del isoacutetopo carbono-12 al que se asignoacute una masa de 12 uma (unidades de masa atoacutemica) Como el isoacutetopo maacutes abundan-te del hidroacutegeno es el hidroacutegeno-1 y el del carbono el carbono-12 las masas de estos elementos son aproximadamente 1 y 12 respectivamente Cuando se pudo calcular a cuaacutento equivaliacutea la unidad de masa atoacutemica se encontroacute un

valor extraordinariamente pequentildeo g10166 uma1 -24= Evidentemente no existe ningu-

na balanza de precisioacuten que sea capaz de medir la masa de un aacutetomo aislado (claro que tampoco es normal encontrar un aacutetomo aislado) Para que te hagas una idea de esta can-tidad si la masa atoacutemica del hidroacutegeno es 1 uma significa que para conseguir 1 gramo

con aacutetomos de hidroacutegeno seriacutean necesarios 23-24 100226101661 = aacutetomos de hidroacute-

geno es decir iexcliexcl602200 trillones de aacutetomos de hidroacutegeno Esta cifra tan inmensa se

llama Nuacutemero de Avogadro 23

A 100226N = que permite establecer en quiacutemica el con-

cepto de mol como la cantidad de sustancia que contiene el Nuacutemero de Avogadro de aacutetomos (o de moleacuteculas) lo que significa que la cifra que corresponde a la masa de un aacutetomo expresada en uma es la misma que la de un mol de aacutetomos de esa sustancia ex-presada en gramos Por eso las masas que aparecen en la tabla perioacutedica no llevan uni-dades porque si se refieren a un aacutetomo seraacuten uma pero si se refieren a un mol de aacuteto-mos seraacuten gramos Por eso es maacutes correcto llamarlas masas atoacutemicas relativas Por tanto si la masa atoacutemica relativa del cloro es 355 significa que la masa de un aacutetomo de cloro seraacute 355 uma pero la de un mol de aacutetomos de cloro seraacute 355 gramos El concepto de mol de sustancia es muy praacutectico en quiacutemica ya que permite ldquocontarrdquo aacutetomos con la balanza sabiendo el peso de sustancia puede saberse cuaacutentos aacutetomos hay A partir de los datos de las masas atoacutemicas relativas se pueden calcular muy faacutecilmente las masas moleculares o masas molares M que corresponderaacute a la suma de las masas de todos los aacutetomos presentes en la foacutermula quiacutemica del compuesto Ejemplo 1 sabiendo que las masas atoacutemicas relativas del hidroacutegeno y del oxiacutegeno son

respectivamente 1 y 16 calcula la masa molar agua cuya foacutermula quiacutemica es OH2



Como en cada moleacutecula de agua hay dos aacutetomos de hidroacutegeno y uno de oxiacutegeno la masa molar del agua seraacute M = 181612 =+ es decir un mol de agua son 18

gramos de esta sustancia y contiene 23100226 moleacuteculas de agua

Ejemplo 2 sabiendo que las masas atoacutemicas relativas del nitroacutegeno del oxiacutegeno y del potasio son respectivamente 14 16 y 39 calcula la masa molar nitrato de potasio cuya

foacutermula quiacutemica es 3KNO

Como en cada moleacutecula de nitrato de potasio hay un aacutetomo de potasio otro de ni-

troacutegeno y tres de oxiacutegeno la masa molar del 3KNO seraacute M = 1011631439 =++ es

decir un mol nitrato de potasio son 101 gramos de esta sustancia y contiene 23100226 moleacuteculas de 3KNO

En la praacutectica el concepto de masa molar suele utilizarse para conocer cuaacutentos moles ( n )

de sustancia hay en cierta cantidad de sustancia ya que bastaraacute con dividir la masa de sustancia en gramos ( m ) entre la masa molar ( M )

molarMasa

gciasusdemasamolesdenuacutemero

)(tan= o maacutes abreviadamente

M

mn =

Ejemplo calcula cuaacutentos moles hay en 60 gramos de agua En el anterior ejemplo ya calculamos la masa molar del agua (M = 18) por lo que los moles de esta sustancia que hay en 60 gramos seraacute

molesmolesM

mn 333

18

60===

6 ENLACE QUIacuteMICO Salvo en el caso de los gases nobles cuyos aacutetomos permanecen normalmente aislados los aacutetomos de los elementos tienden a unirse unos a otros para formar moleacuteculas De esta manera se construyen todas las sustancias agua madera metales Los aacutetomos de los elementos tienden a rodearse de ocho electrones en su capa o nivel maacutes externo para adquirir la maacutexima estabilidad Este comportamiento se conoce como regla del octeto Los aacutetomos de los elementos tienden a ganar perder o compartir electrones para alcan-zar los ocho electrones en su uacuteltima capa (o soacutelo dos si su nivel maacutes externo es el pri-mero) Esto es lo que hace que los aacutetomos tiendan a unirse entre siacute producieacutendose el llamado enlace quiacutemico que puede producirse de diferentes formas seguacuten las caracte-riacutesticas de los aacutetomos que se unen siendo los enlaces maacutes caracteriacutesticos el ioacutenico el covalente y el metaacutelico Enlace ioacutenico se produce entre metales y no metales ya que los metales tienen tenden-cia a perder electrones (su uacuteltima capa tiene muy pocos electrones) mientras que los no metales tienen tendencia a capturarlos Cuando un aacutetomo de un metal y el de un no metal se acercan el aacutetomo del metal cederaacute uno o varios electrones al aacutetomo no metaacutelico for-maacutendose los correspondientes iones (catioacuten metaacutelico y anioacuten no metaacutelico) que por ser de cargas eleacutectricas de signos contrarios quedaraacuten unidos por una intensa fuerza electrostaacute-tica Por ejemplo si se enfrentan un aacutetomo de fluacuteor (Z= 9) que tiene 7 electrones en su uacuteltima capa (le falta soacutelo uno para ldquocompletarlardquo) y un aacutetomo de sodio (Z=11) que en su uacuteltima capa tiene soacutelo un electroacuten el sodio cede al cloro el electroacuten que tiene en su capa de va-lencia con lo que ambos quedan con 8 electrones en la uacuteltima capa



El fluacuteor queda cargado negativamente (F-) y el sodio positivamente (Na+) Como las car-gas de distinto signo se atraen los cationes y aniones formados se uniraacuten atraiacutedos por sus cargas se ha formado un enlace ioacutenico La caracteriacutestica fundamental de este enlace por tanto es que se produce un intercambio de electrones entre los aacutetomos (uno da un electroacuten y el otro lo coge) for-maacutendose iones de distinto signo que se atraen Como este hecho tiene lugar en otros muchos aacutetomos de cada elemento los iones formados se colocan ordenadamen-te constituyendo redes cristalinas Al ser muy intensa y de gran alcance la fuerza eleacutectrica las sustancias que se forman mediante enlace ioacutenico seraacuten soacutelidos duros de elevado punto de fusioacuten pero fraacutegiles porque si son golpeados los iones se moveraacuten un poco de su posicioacuten y quedaraacuten en-frentados iones de igual carga que por repelerse haraacuten que el cristal ioacutenico se rompa Como en estado soacutelido no tienen cargas eleacutectricas libres seraacuten aislantes de la electrici-dad aunque siacute conduciraacuten la electricidad cuando se funden o cuando se disuelven en agua ya que en ambas situaciones quedan sueltos los iones Enlace covalente se produce entre elementos no metaacutelicos ya que cuando estaacuten proacutexi-mos aacutetomos muy electronegativos (con tendencia a formar aniones) ninguno de ellos tiende a ceder electrones Una manera de adquirir la configuracioacuten de gas noble en su uacuteltima capa es permanecer juntos compartiendo electrones formaacutendose asiacute un enlace covalente en el que los aacutetomos se unen dos a dos compartiendo dos cuatro o seis elec-trones recibiendo el nombre de enlace simple enlace doble o enlace triple respectiva-mente Cuanto mayor sea el nuacutemero de electrones compartidos mayor seraacute la fortaleza del enlace Para representar el enlace covalente se suelen utilizar las llamadas estructuras de Le-wis que son representaciones en las que se escribe el siacutembolo del elemento y alrededor de eacutel sus electrones de valencia (uacuteltima capa)

En el ejemplo podemos ver coacutemo a cada uno de los aacutetomos de fluacuteor le falta un electroacuten para tener 8 en su capa de valencia (soacutelo se ha representado la uacuteltima capa) Para con-seguirlo comparten un par de electrones (procedentes uno de cada aacutetomo) con lo que consiguen la estructura de gas noble Los electrones compartidos son los que forman el enlace aunque para simplificar la escritura los electrones de enlace se representan por una raya entre ambos aacutetomos

Cuando los aacutetomos se unen mediante este tipo de enlace aparecen unas nuevas entida-des formadas por los aacutetomos unidos que se denominan moleacuteculas Las moleacuteculas (y las sustancias que estas forman) se representan habitualmente median-te foacutermulas quiacutemicas En una foacutermula quiacutemica se escriben los siacutembolos de los elemen-tos que forman la moleacutecula antildeadiendo nuacutemeros que indican el nuacutemero de aacutetomos de ca-



da elemento que intervienen Asiacute en los ejemplos que aparecen maacutes arriba las foacutermulas de cada sustancia seriacutean

Fluacuteor F2 Oxiacutegeno O2 Agua H2O

Dos aacutetomos de fluacuteor Dos aacutetomos de oxiacutegeno Dos aacutetomos de hidroacutegeno y uno de oxiacutegeno

En el enlace covalente aunque los aacutetomos se unen unos a otros muy intensamente no ocurre lo mismo con las moleacuteculas que apenas se unen entre siacute por lo que se pueden separar con facilidad Por tanto los compuestos formados por enlace covalente se carac-terizan por tener puntos de fusioacuten y ebullicioacuten bajos de modo que suelen ser gases o soacute-lidos blandos a temperatura ambiente

En el agua y en el etano los aacuteto-mos se unen mediante enlaces simples

En el etileno y el dioacutexido de car-bono se forman enlaces dobles (se comparten dos parejas de electro-nes)

En el cianuro de hidroacutegeno (HCN) y en el acetileno (C2H2) se for-man enlaces triples

Sin embargo hay una variedad de compuestos covalentes en los que cada aacutetomo se une a varios (iguales o diferentes) formando una especie de moleacutecula gigante similar a los cristales ioacutenicos pero con fuerzas entre aacutetomos mucho maacutes intensas y difiacuteciles de romper Se denominan cris-tales covalentes y se carac-terizan por ser soacutelidos de puntos de fusioacuten muy altos muy duros muy difiacuteciles de disolver y no conducen la corriente eleacutectrica de ningu-na manera A esta categoriacutea pertenece el diamante y el dioacutexido de silicio (SiO2) que cons-tituye la arena El diamante que es la sustancia maacutes dura que existe estaacute formada por aacutetomos de carbono de modo que cada uno de ellos estaacute unido a otros cuatro mediante enlaces sencillos Enlace metaacutelico como su nombre indica se produce en-tre aacutetomos de metales que al tener pocos electrones en su uacuteltima capa tienen tendencia a liberarlos no hay aacutetomos no metaacutelicos los metales liberan sus electrones y forman una estructura de cationes rodeados por una nube de electrones que mantienen unidos los cationes es decir los electrones son compartidos por todos los nuacutecleos Cuantos maacutes electrones haya en la nube (cuanto maacutes a la derecha de la tabla se encuentre el metal) maacutes fuerza ten-draacute el enlace metaacutelico



Los metales seraacuten duros tanto maacutes cuanto maacutes a la derecha se la tabla se situacutee el metal como no hay aniones no se romperaacuten con facilidad (son tenaces) La existencia de la nube de electrones hace que puedan conducir la electricidad que es la propiedad maacutes caracteriacutestica de los metales y de los compuestos con enlace metaacutelico son buenos con-ductores del calor y la electricidad 7 ELEMENTOS Y COMPUESTOS DE INTEREacuteS Algunos elementos quiacutemicos como el carbono (C) el hidroacutegeno (H) el oxiacutegeno (O) el nitroacutegeno (N) el foacutesforo (P) y el azufre (S) tienen gran importancia para los seres vivos y reciben el nombre de bioelementos muchos de ellos tambieacuten estaacuten presentes en el mun-do inorgaacutenico y son utilizados en diferentes aplicaciones Otros elementos menos abun-dantes pero tambieacuten importantes son el cloro (Cl) el yodo (I) el calcio (Ca) el sodio (Na) el potasio (K) el magnesio (Mg) el hierro (Fe) el aluminio (Al)

El carbono (C) forma parte de todas las ceacutelulas de los seres vivos

El hidroacutegeno (H) es el elemento quiacutemico maacutes sencillo y abundante que forma parte del agua (H2O) y de todos los compuestos orgaacutenicos

El oxigeno (O) interviene en la respiracioacuten de todos los seres vivos y hace po-

sible la vida en nuestro planeta

El calcio (Ca) es fundamental para el desarrollo de los huesos y les proporciona solidez y resistencia

El sodio (Na) el potasio (K) y el cloro (Cl) son indispensables para el funcio-

namiento de las ceacutelulas nerviosas

El yodo (I) regula importantes funciones en los seres vivos A pesar de que se necesita en cantidades muy pequentildeas su ausencia puede alterar el funciona-miento de todo el organismo

El hierro (Fe) metal de gran importancia industrial para la fabricacioacuten de dife-

rentes utensilios

El aluminio (Al) usado en la fabricacioacuten de utensilios de cocina asiacute como en arquitectura y aeronaacuteutica

Seguacuten su naturaleza los compuestos quiacutemicos se pueden clasificar en oacutexidos hidruros hidroacutexidos aacutecidos y sales ademaacutes de todo el conjunto de los compuestos orgaacutenicos ba-sados en el carbono Algunos de los de maacutes importancia para los seres vivos o por sus aplicaciones son Oacutexidos

Agua (H2O) es esencial para la vida

Dioacutexido de carbono (CO2) es un gas que se origina en todas las combustio-nes y en la respiracioacuten de los seres vivos Se encuentra en la atmoacutesfera y es captado por las plantas para la realizacioacuten de la fotosiacutentesis Disuelto en agua forma un hipoteacutetico aacutecido carboacutenico (H2CO3) presente en todas las bebidas carboacutenicas



Agua oxigenada o peroacutexido de hidroacutegeno (H2O2) desinfectante y blan-queante

Hidruros

Amoniaco (NH3) se emplea para fabricar abonos

Metano (CH4) es el principal componente del gas natural Hidroacutexidos

Hidroacutexido de sodio (NaOH) tambieacuten llamado sosa caacuteustica es un soacutelido muy corrosivo y peligroso que se disuelve muy bien en el agua pudiendo pro-ducir quemaduras en la piel

Hidroacutexido de potasio (KOH) es un soacutelido muy soluble en agua y tan peligroso como el anterior Tambieacuten se llama potasa

Aacutecidos

Aacutecido clorhiacutedrico (HCl) es un aacutecido fuerte muy utilizado en los laboratorios

Aacutecido sulfuacuterico (H2SO4) es un aacutecido fuerte muy importante en los laboratorios y en la industria que forma unas sales llamadas sulfatos

Sales

Cloruro de sodio (NaCl) de ella se obtiene el cloro y el sodio es la sal comuacuten Hipoclorito de sodio (NaClO) es el principal componente de la lejiacutea se em-

plea como desinfectante y blanqueante Los compuestos quiacutemicos presentes en los seres vivos se llaman principios inmediatos y constituyen las biomoleacuteculas los que contienen carbono e hidroacutegeno se llaman princi-pios inmediatos orgaacutenicos entre los que destacan los gluacutecidos (como la glucosa C6H12O6 que sintetizan los organismos autoacutetrofos en la fotosiacutentesis a partir de CO2 y H2O) los liacutepidos las proteiacutenas y los aacutecidos nucleicos (ADN y ARN)


BLOQUE 7 TEMA 1 CLASES DE NUacuteMEROS Y SUS APLICACIONES 1 LOS DISTINTOS TIPOS DE NUacuteMEROS

11 LOS NUacuteMEROS NATURALES 12 LOS NUacuteMEROS ENTEROS 13 LOS NUacuteMEROS RACIONALES 14 LOS NUacuteMEROS IRRACIONALES 15 LOS NUacuteMEROS REALES INTERVALOS NOTACIOacuteN CIENTIacuteFICA

2 INTRODUCCIOacuteN A LA HOJA DE CAacuteLCULO 21 HOJAS CELDAS Y RANGOS 22 OPERACIONES FOacuteRMULAS Y FUNCIONES



BLOQUE 8 TEMA 3 ECUACIONES Y SISTEMAS 1 INTRODUCCIOacuteN EL AacuteLGEBRA

11 EXPRESIONES ALGEBRAICAS 12 VALOR NUMEacuteRICO DE UNA EXPRESIOacuteN ALGEBRAICA 13 MONOMIOS 14 POLINOMIOS

2 ECUACIONES Y SISTEMAS DE ECUACIONES 21 DEFINICIONES 22 EL LENGUAJE ALGEBRAICO 23 RESOLUCIOacuteN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES 24 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 25 SISTEMAS DE ECUACIONES


BLOQUE 9 TEMA 5 GEOMETRIacuteA 1 REPASO DE GEOMETRIacuteA PLANA

11 UN POCO DE HISTORIA 12 PRIMEROS PROBLEMAS GEOMEacuteTRICOS 13 REPASO A LAS FIGURAS PLANAS ELEMENTALES












Q= 512minus

21minus

86minus

10

94

27

315









5+7=6+6 12=12



ELEMENTO NEUTRO


ELEMENTO OPUESTO

a+(-a)=0 3+(-3)=0

3-3=0 -------------------- ---------------------

ELEMENTO INVERSO


51 = 1

55

51middot5 ==


3middot9 = 6 + 21 27 = 27







81

83 =+



5middot25middot3

23 == es

decir 23 y




bcda

db

bc

db

da

d

c

b

a

middot

middotmiddot

middot

middot

middot

middot +=+=+

Ejemplo 12

52

12

1042

6middot2

2middot56middot7

6

5

2

7=

+=

+=+


6

26

6

521

6

5

6

21

6

5

3middot2

3middot7

6

5

2

7=

+=+=+=+


52

2middot6

2middot26

6

26==



ca

d

c

b

a

middot


20

21

5middot4

7middot3

5

7middot

4

3==


cb

da

d

c

b

a

middot

middot = Ejemplo

28

15

7middot4

5middot3

5

7

4

3==



c

b

amiddotmiddot ==

(+)middot(+) = (+)

(+)middot(-) = (-)

(-)middot(+) = (-)

(-)middot(-) = (+)













p

pp

b

a

b

a=

243

32

3

2

3

25

55

==

qp

q

p

aa

a minus= 4222

2 235

3

5

=== minus

p

p

aa

1=minus

8

1

2

12

3

3 ==minus

aaaa pp pp == )(11

2222)2(22 13middot33 3

3

3

1

3

1

3

1

=====

010 = aa 120 =






a) =minus2

5

7

12

c) =21

5

10

14

b) =4

9

5

3

d) =minus+9

2

6

1

3

4

e) =

minus+

minusminus

4

3

2

1

5

3

5

42

7

29

g) =

++

+

minus

20

7

5

4

3

1

6

1

4

1

3

2

f) =+

+

10

7middot

7

8

6

1

4

9

5

3middot

2

5

h) =

minus

15

2

9

2

6

1middot

3

4



12

-5

2

1

3

2minus



a) =2)2middot3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5middot5

d) =2

42

15

5middot3

















EJEMPLOS
















EJEMPLOS

a) 55 =+ b) 1212 =minus c) 1414 = d) 88 =minus
















8

5

3

2

7

4

5

minusminus

minus







= 0 bZbZab

aQ


ros b





42 =


63

minus=minus



a su inverso es

a

b

EJEMPLOS


7es

7


5

3minuses

3

5

minus





3









4minus




3

3

4

minus











nuacutemeros reales











O




pero no el ndash1






00101000

110

010100

110

1010

110

3

2

1

==

==

==

minus

minus

minus






10 10

10

1 100000000001 1 10 10

10000000000 10

minus minus= = = =




































2720000000 x 55000000


1496 e+17





182 e+19



00005821


624 e-11


-624 e-11



























Resta -

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Potencia ^





=43+82 16

=4(3+8)2 22

=4(3+82) 28

=(43+8)2 10








60100

6000

100

30020300

100

20300

100

2030020 ==

=== dede


100

TotalCantidad

=


100=Total

Cantidad




xrarr

rarr

15

414100


162100

41415=

=x




15= El pro-


Total

Cantidad

100

= 100=

Total

Cantidad










162100

1812

12

18100=

=

rarr

rarrx

x




63100

25252

252

25100=

=

rarr

rarrx

x



189)2501(252 =minus





Remate final

20 de descuento








58 (1 015) (1 020) 58 068 3944 euro minus minus = =


3210058

5618100

58

)443958( ==

minus=dto









= 0075100



= 002253100



100

trci

=

























E P t=


f) Facturacioacuten



















42 LA HIPOTECA







Mensual 2 20 12000000 60706 14569440 2569440

Trimestral 2 20 12000000 182364 14589120 2589120

Semestral 2 20 12000000 365467 14618680 2618680

Anual 2 20 12000000 733881 14677620 2677620






























xyayax 423 minus+






















1

6

5minus





Por tanto














Pues bien





como resultado 2a










a) )2()4( 234 yxyax


do 222 yax

b) )()6( 34 axyx



22

2

34

22

4yax

yx

yax=


denominador



3

2 minus Aunque so-







a) 32234 34 yabyxyax ++
















5234

25

52324

234

23

234

+++

+minus+

+minus+minus

xxx

xxx

xxxx

Por tanto











Ejemplo



















Es decir

























Ejemplo

11

38

32263

3)1(2)2(3

=

=minus

=minusminusminus

=+minusminus

x

x

xx

xx












2814 =x


214

28==x

Ejemplo

63

2

2

1=

++

minus xx


36

6

42

6

33=

++

minus xx


75

35

355

433623

==

=

minus+=+

x

x

xx


2

11

5

3 +minus=minus

xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10



xxx




x





12x

x =minus















ax2+ bx + c = con a





obteniendo


cx

a

cx minus=minus= 2




Ejemplo 552525253






b

Ejemplo

=rarr=rarr=minus

=rarr=

=minus=minus

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xx

xxxx


a

acbbx

2

42 minusminus=


=minus

=+minus

==minus+2

104

2

8416402142 xxx

minus=minusminus

=+minus

72

104

32

104






tos







=+

=+

cybxa

cbyax

=++

=++

=++


acutedzcbyacutexa

dczbyax


Ejemplo 2 3 1

5 2 12

x y

x y

minus =

+ =


31 yx

+=


315 =+

+ y



11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==minus=+

=++=++

=++

yyyy

yyyy

yy


31 yx

+= resulta

2

131 +=x = 2





Ejemplo

=+

=minus

1225

132

yx

yx


minus=rarr=+

+=rarr=minus

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy minus=

+


( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==rarr=rarrminus=+

rarrminus

=+

rarrminus

=+

yyyy

yyyy


=minus

minus=+

1153

46

yx

yx

=minus

minus=+

1153

12183

yx

yx


232323 minus=



Ejemplo 2

=+

=minus

1225

132

yx

yx

=+

=minus

36615

264

yx

yx

2

19

383819 ==rarr= xx


y 13

3413134 =

minus


=minus

=minusminus

1153

12183

yx

yx































TRIAacuteNGULO


2

alturabaseAacuterea

=







Tablero de ajedrez





2


=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA




CIacuteRCULO



Ruedas











222 cba +=


cmh

h

54873

7338 222

==

=+=




81517 22 =minus






Cuadrado a=b=c=d


Rombo a=b=c=d

Romboide a=c b=d










rombo

P = 4 middot a 2

dDA

=


romboide


trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

+

=





Torres Petronas


















221 CILINDRO









223 ESFERA


















































__________________________________________________________________________________










Temperatura



Humedad












Gases disueltos






























Tundra



Taiga



Alta montantildea





Estepas y praderas













viosa


viosa

Bosque ecuatorial






























































































































43 LAS PALANCAS


za F



una fuerza F
























2

2

1 FFFR +=


y 2F





y 2F

y su moacutedulo es

NNFFFR 73421 =+=+=





y

2F


2

2

1 ==+=+=






ma

F

a

F

a

F

n

n ==== 2

2

1









=++++ FFFFF





S

FP =



cm de lado

mcm 5050 = 22 2505050 mmS == PamNP 1600250

400 2 ==





2

2

1

121

S

F

S

FPP ==

Por tanto 1

2

1

2

F

F

S








F60

20

8015

8020

152

2 =

==


80

1

2 ==S



60

1

2 ==F

F


















































2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =





2




2512

25

2

1 ===D


1

2 ====





sioacuten dientesNN

160750

120120750 2

2

===



1

2 ====






BRRBPP =




NNBM

BRRPBRRBPP 80

50

20200=

=

==
























































K L M N

Carbono 6 2 4 -- --


Cloro 17 2 8 7 --


Cinc 30 2 8 18 2





Carbono 6 2 2 2 2 21 2 2 [ ]2 2s s p He s p=


Cloro 17 2 2 6 2 5 2 51 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=








+1 e 0 e -1 e


1007 uma 1009 uma 1836

1 uma



ZX

donde



Al27



-331







Carbono-12 6 12 6 6 6

Carbono-13 6 13 6 7 6

Carbono-14 6 14 6 8 6




2 He + )




































molarMasa



M

mn =


molesmolesM

mn 333

18

60===





























rentes utensilios








Hidruros





Aacutecidos



Sales









Q= 512minus

21minus

86minus

10

94

27

315









5+7=6+6 12=12



ELEMENTO NEUTRO


ELEMENTO OPUESTO

a+(-a)=0 3+(-3)=0

3-3=0 -------------------- ---------------------

ELEMENTO INVERSO


51 = 1

55

51middot5 ==


3middot9 = 6 + 21 27 = 27







81

83 =+



5middot25middot3

23 == es

decir 23 y




bcda

db

bc

db

da

d

c

b

a

middot

middotmiddot

middot

middot

middot

middot +=+=+

Ejemplo 12

52

12

1042

6middot2

2middot56middot7

6

5

2

7=

+=

+=+


6

26

6

521

6

5

6

21

6

5

3middot2

3middot7

6

5

2

7=

+=+=+=+


52

2middot6

2middot26

6

26==



ca

d

c

b

a

middot


20

21

5middot4

7middot3

5

7middot

4

3==


cb

da

d

c

b

a

middot

middot = Ejemplo

28

15

7middot4

5middot3

5

7

4

3==



c

b

amiddotmiddot ==

(+)middot(+) = (+)

(+)middot(-) = (-)

(-)middot(+) = (-)

(-)middot(-) = (+)













p

pp

b

a

b

a=

243

32

3

2

3

25

55

==

qp

q

p

aa

a minus= 4222

2 235

3

5

=== minus

p

p

aa

1=minus

8

1

2

12

3

3 ==minus

aaaa pp pp == )(11

2222)2(22 13middot33 3

3

3

1

3

1

3

1

=====

010 = aa 120 =






a) =minus2

5

7

12

c) =21

5

10

14

b) =4

9

5

3

d) =minus+9

2

6

1

3

4

e) =

minus+

minusminus

4

3

2

1

5

3

5

42

7

29

g) =

++

+

minus

20

7

5

4

3

1

6

1

4

1

3

2

f) =+

+

10

7middot

7

8

6

1

4

9

5

3middot

2

5

h) =

minus

15

2

9

2

6

1middot

3

4



12

-5

2

1

3

2minus



a) =2)2middot3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5middot5

d) =2

42

15

5middot3

















EJEMPLOS
















EJEMPLOS

a) 55 =+ b) 1212 =minus c) 1414 = d) 88 =minus
















8

5

3

2

7

4

5

minusminus

minus







= 0 bZbZab

aQ


ros b





42 =


63

minus=minus



a su inverso es

a

b

EJEMPLOS


7es

7


5

3minuses

3

5

minus





3









4minus




3

3

4

minus











nuacutemeros reales











O




pero no el ndash1






00101000

110

010100

110

1010

110

3

2

1

==

==

==

minus

minus

minus






10 10

10

1 100000000001 1 10 10

10000000000 10

minus minus= = = =




































2720000000 x 55000000


1496 e+17





182 e+19



00005821


624 e-11


-624 e-11



























Resta -

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Potencia ^





=43+82 16

=4(3+8)2 22

=4(3+82) 28

=(43+8)2 10








60100

6000

100

30020300

100

20300

100

2030020 ==

=== dede


100

TotalCantidad

=


100=Total

Cantidad




xrarr

rarr

15

414100


162100

41415=

=x




15= El pro-


Total

Cantidad

100

= 100=

Total

Cantidad










162100

1812

12

18100=

=

rarr

rarrx

x




63100

25252

252

25100=

=

rarr

rarrx

x



189)2501(252 =minus





Remate final

20 de descuento








58 (1 015) (1 020) 58 068 3944 euro minus minus = =


3210058

5618100

58

)443958( ==

minus=dto









= 0075100



= 002253100



100

trci

=

























E P t=


f) Facturacioacuten



















42 LA HIPOTECA







Mensual 2 20 12000000 60706 14569440 2569440

Trimestral 2 20 12000000 182364 14589120 2589120

Semestral 2 20 12000000 365467 14618680 2618680

Anual 2 20 12000000 733881 14677620 2677620






























xyayax 423 minus+






















1

6

5minus





Por tanto














Pues bien





como resultado 2a










a) )2()4( 234 yxyax


do 222 yax

b) )()6( 34 axyx



22

2

34

22

4yax

yx

yax=


denominador



3

2 minus Aunque so-







a) 32234 34 yabyxyax ++
















5234

25

52324

234

23

234

+++

+minus+

+minus+minus

xxx

xxx

xxxx

Por tanto











Ejemplo



















Es decir

























Ejemplo

11

38

32263

3)1(2)2(3

=

=minus

=minusminusminus

=+minusminus

x

x

xx

xx












2814 =x


214

28==x

Ejemplo

63

2

2

1=

++

minus xx


36

6

42

6

33=

++

minus xx


75

35

355

433623

==

=

minus+=+

x

x

xx


2

11

5

3 +minus=minus

xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10



xxx




x





12x

x =minus















ax2+ bx + c = con a





obteniendo


cx

a

cx minus=minus= 2




Ejemplo 552525253






b

Ejemplo

=rarr=rarr=minus

=rarr=

=minus=minus

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xx

xxxx


a

acbbx

2

42 minusminus=


=minus

=+minus

==minus+2

104

2

8416402142 xxx

minus=minusminus

=+minus

72

104

32

104






tos







=+

=+

cybxa

cbyax

=++

=++

=++


acutedzcbyacutexa

dczbyax


Ejemplo 2 3 1

5 2 12

x y

x y

minus =

+ =


31 yx

+=


315 =+

+ y



11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==minus=+

=++=++

=++

yyyy

yyyy

yy


31 yx

+= resulta

2

131 +=x = 2





Ejemplo

=+

=minus

1225

132

yx

yx


minus=rarr=+

+=rarr=minus

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy minus=

+


( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==rarr=rarrminus=+

rarrminus

=+

rarrminus

=+

yyyy

yyyy


=minus

minus=+

1153

46

yx

yx

=minus

minus=+

1153

12183

yx

yx


232323 minus=



Ejemplo 2

=+

=minus

1225

132

yx

yx

=+

=minus

36615

264

yx

yx

2

19

383819 ==rarr= xx


y 13

3413134 =

minus


=minus

=minusminus

1153

12183

yx

yx































TRIAacuteNGULO


2

alturabaseAacuterea

=







Tablero de ajedrez





2


=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA




CIacuteRCULO



Ruedas











222 cba +=


cmh

h

54873

7338 222

==

=+=




81517 22 =minus






Cuadrado a=b=c=d


Rombo a=b=c=d

Romboide a=c b=d










rombo

P = 4 middot a 2

dDA

=


romboide


trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

+

=





Torres Petronas


















221 CILINDRO









223 ESFERA


















































__________________________________________________________________________________










Temperatura



Humedad












Gases disueltos






























Tundra



Taiga



Alta montantildea





Estepas y praderas













viosa


viosa

Bosque ecuatorial






























































































































43 LAS PALANCAS


za F



una fuerza F
























2

2

1 FFFR +=


y 2F





y 2F

y su moacutedulo es

NNFFFR 73421 =+=+=





y

2F


2

2

1 ==+=+=






ma

F

a

F

a

F

n

n ==== 2

2

1









=++++ FFFFF





S

FP =



cm de lado

mcm 5050 = 22 2505050 mmS == PamNP 1600250

400 2 ==





2

2

1

121

S

F

S

FPP ==

Por tanto 1

2

1

2

F

F

S








F60

20

8015

8020

152

2 =

==


80

1

2 ==S



60

1

2 ==F

F


















































2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =





2




2512

25

2

1 ===D


1

2 ====





sioacuten dientesNN

160750

120120750 2

2

===



1

2 ====






BRRBPP =




NNBM

BRRPBRRBPP 80

50

20200=

=

==
























































K L M N

Carbono 6 2 4 -- --


Cloro 17 2 8 7 --


Cinc 30 2 8 18 2





Carbono 6 2 2 2 2 21 2 2 [ ]2 2s s p He s p=


Cloro 17 2 2 6 2 5 2 51 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=








+1 e 0 e -1 e


1007 uma 1009 uma 1836

1 uma



ZX

donde



Al27



-331







Carbono-12 6 12 6 6 6

Carbono-13 6 13 6 7 6

Carbono-14 6 14 6 8 6




2 He + )




































molarMasa



M

mn =


molesmolesM

mn 333

18

60===





























rentes utensilios








Hidruros





Aacutecidos



Sales








81

83 =+



5middot25middot3

23 == es

decir 23 y




bcda

db

bc

db

da

d

c

b

a

middot

middotmiddot

middot

middot

middot

middot +=+=+

Ejemplo 12

52

12

1042

6middot2

2middot56middot7

6

5

2

7=

+=

+=+


6

26

6

521

6

5

6

21

6

5

3middot2

3middot7

6

5

2

7=

+=+=+=+


52

2middot6

2middot26

6

26==



ca

d

c

b

a

middot


20

21

5middot4

7middot3

5

7middot

4

3==


cb

da

d

c

b

a

middot

middot = Ejemplo

28

15

7middot4

5middot3

5

7

4

3==



c

b

amiddotmiddot ==

(+)middot(+) = (+)

(+)middot(-) = (-)

(-)middot(+) = (-)

(-)middot(-) = (+)













p

pp

b

a

b

a=

243

32

3

2

3

25

55

==

qp

q

p

aa

a minus= 4222

2 235

3

5

=== minus

p

p

aa

1=minus

8

1

2

12

3

3 ==minus

aaaa pp pp == )(11

2222)2(22 13middot33 3

3

3

1

3

1

3

1

=====

010 = aa 120 =






a) =minus2

5

7

12

c) =21

5

10

14

b) =4

9

5

3

d) =minus+9

2

6

1

3

4

e) =

minus+

minusminus

4

3

2

1

5

3

5

42

7

29

g) =

++

+

minus

20

7

5

4

3

1

6

1

4

1

3

2

f) =+

+

10

7middot

7

8

6

1

4

9

5

3middot

2

5

h) =

minus

15

2

9

2

6

1middot

3

4



12

-5

2

1

3

2minus



a) =2)2middot3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5middot5

d) =2

42

15

5middot3

















EJEMPLOS
















EJEMPLOS

a) 55 =+ b) 1212 =minus c) 1414 = d) 88 =minus
















8

5

3

2

7

4

5

minusminus

minus







= 0 bZbZab

aQ


ros b





42 =


63

minus=minus



a su inverso es

a

b

EJEMPLOS


7es

7


5

3minuses

3

5

minus





3









4minus




3

3

4

minus











nuacutemeros reales











O




pero no el ndash1






00101000

110

010100

110

1010

110

3

2

1

==

==

==

minus

minus

minus






10 10

10

1 100000000001 1 10 10

10000000000 10

minus minus= = = =




































2720000000 x 55000000


1496 e+17





182 e+19



00005821


624 e-11


-624 e-11



























Resta -

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Potencia ^





=43+82 16

=4(3+8)2 22

=4(3+82) 28

=(43+8)2 10








60100

6000

100

30020300

100

20300

100

2030020 ==

=== dede


100

TotalCantidad

=


100=Total

Cantidad




xrarr

rarr

15

414100


162100

41415=

=x




15= El pro-


Total

Cantidad

100

= 100=

Total

Cantidad










162100

1812

12

18100=

=

rarr

rarrx

x




63100

25252

252

25100=

=

rarr

rarrx

x



189)2501(252 =minus





Remate final

20 de descuento








58 (1 015) (1 020) 58 068 3944 euro minus minus = =


3210058

5618100

58

)443958( ==

minus=dto









= 0075100



= 002253100



100

trci

=

























E P t=


f) Facturacioacuten



















42 LA HIPOTECA







Mensual 2 20 12000000 60706 14569440 2569440

Trimestral 2 20 12000000 182364 14589120 2589120

Semestral 2 20 12000000 365467 14618680 2618680

Anual 2 20 12000000 733881 14677620 2677620






























xyayax 423 minus+






















1

6

5minus





Por tanto














Pues bien





como resultado 2a










a) )2()4( 234 yxyax


do 222 yax

b) )()6( 34 axyx



22

2

34

22

4yax

yx

yax=


denominador



3

2 minus Aunque so-







a) 32234 34 yabyxyax ++
















5234

25

52324

234

23

234

+++

+minus+

+minus+minus

xxx

xxx

xxxx

Por tanto











Ejemplo



















Es decir

























Ejemplo

11

38

32263

3)1(2)2(3

=

=minus

=minusminusminus

=+minusminus

x

x

xx

xx












2814 =x


214

28==x

Ejemplo

63

2

2

1=

++

minus xx


36

6

42

6

33=

++

minus xx


75

35

355

433623

==

=

minus+=+

x

x

xx


2

11

5

3 +minus=minus

xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10



xxx




x





12x

x =minus















ax2+ bx + c = con a





obteniendo


cx

a

cx minus=minus= 2




Ejemplo 552525253






b

Ejemplo

=rarr=rarr=minus

=rarr=

=minus=minus

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xx

xxxx


a

acbbx

2

42 minusminus=


=minus

=+minus

==minus+2

104

2

8416402142 xxx

minus=minusminus

=+minus

72

104

32

104






tos







=+

=+

cybxa

cbyax

=++

=++

=++


acutedzcbyacutexa

dczbyax


Ejemplo 2 3 1

5 2 12

x y

x y

minus =

+ =


31 yx

+=


315 =+

+ y



11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==minus=+

=++=++

=++

yyyy

yyyy

yy


31 yx

+= resulta

2

131 +=x = 2





Ejemplo

=+

=minus

1225

132

yx

yx


minus=rarr=+

+=rarr=minus

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy minus=

+


( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==rarr=rarrminus=+

rarrminus

=+

rarrminus

=+

yyyy

yyyy


=minus

minus=+

1153

46

yx

yx

=minus

minus=+

1153

12183

yx

yx


232323 minus=



Ejemplo 2

=+

=minus

1225

132

yx

yx

=+

=minus

36615

264

yx

yx

2

19

383819 ==rarr= xx


y 13

3413134 =

minus


=minus

=minusminus

1153

12183

yx

yx































TRIAacuteNGULO


2

alturabaseAacuterea

=







Tablero de ajedrez





2


=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA




CIacuteRCULO



Ruedas











222 cba +=


cmh

h

54873

7338 222

==

=+=




81517 22 =minus






Cuadrado a=b=c=d


Rombo a=b=c=d

Romboide a=c b=d










rombo

P = 4 middot a 2

dDA

=


romboide


trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

+

=





Torres Petronas


















221 CILINDRO









223 ESFERA


















































__________________________________________________________________________________










Temperatura



Humedad












Gases disueltos






























Tundra



Taiga



Alta montantildea





Estepas y praderas













viosa


viosa

Bosque ecuatorial






























































































































43 LAS PALANCAS


za F



una fuerza F
























2

2

1 FFFR +=


y 2F





y 2F

y su moacutedulo es

NNFFFR 73421 =+=+=





y

2F


2

2

1 ==+=+=






ma

F

a

F

a

F

n

n ==== 2

2

1









=++++ FFFFF





S

FP =



cm de lado

mcm 5050 = 22 2505050 mmS == PamNP 1600250

400 2 ==





2

2

1

121

S

F

S

FPP ==

Por tanto 1

2

1

2

F

F

S








F60

20

8015

8020

152

2 =

==


80

1

2 ==S



60

1

2 ==F

F


















































2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =





2




2512

25

2

1 ===D


1

2 ====





sioacuten dientesNN

160750

120120750 2

2

===



1

2 ====






BRRBPP =




NNBM

BRRPBRRBPP 80

50

20200=

=

==
























































K L M N

Carbono 6 2 4 -- --


Cloro 17 2 8 7 --


Cinc 30 2 8 18 2





Carbono 6 2 2 2 2 21 2 2 [ ]2 2s s p He s p=


Cloro 17 2 2 6 2 5 2 51 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=








+1 e 0 e -1 e


1007 uma 1009 uma 1836

1 uma



ZX

donde



Al27



-331







Carbono-12 6 12 6 6 6

Carbono-13 6 13 6 7 6

Carbono-14 6 14 6 8 6




2 He + )




































molarMasa



M

mn =


molesmolesM

mn 333

18

60===





























rentes utensilios








Hidruros





Aacutecidos



Sales















p

pp

b

a

b

a=

243

32

3

2

3

25

55

==

qp

q

p

aa

a minus= 4222

2 235

3

5

=== minus

p

p

aa

1=minus

8

1

2

12

3

3 ==minus

aaaa pp pp == )(11

2222)2(22 13middot33 3

3

3

1

3

1

3

1

=====

010 = aa 120 =






a) =minus2

5

7

12

c) =21

5

10

14

b) =4

9

5

3

d) =minus+9

2

6

1

3

4

e) =

minus+

minusminus

4

3

2

1

5

3

5

42

7

29

g) =

++

+

minus

20

7

5

4

3

1

6

1

4

1

3

2

f) =+

+

10

7middot

7

8

6

1

4

9

5

3middot

2

5

h) =

minus

15

2

9

2

6

1middot

3

4



12

-5

2

1

3

2minus



a) =2)2middot3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5middot5

d) =2

42

15

5middot3

















EJEMPLOS
















EJEMPLOS

a) 55 =+ b) 1212 =minus c) 1414 = d) 88 =minus
















8

5

3

2

7

4

5

minusminus

minus







= 0 bZbZab

aQ


ros b





42 =


63

minus=minus



a su inverso es

a

b

EJEMPLOS


7es

7


5

3minuses

3

5

minus





3









4minus




3

3

4

minus











nuacutemeros reales











O




pero no el ndash1






00101000

110

010100

110

1010

110

3

2

1

==

==

==

minus

minus

minus






10 10

10

1 100000000001 1 10 10

10000000000 10

minus minus= = = =




































2720000000 x 55000000


1496 e+17





182 e+19



00005821


624 e-11


-624 e-11



























Resta -

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Potencia ^





=43+82 16

=4(3+8)2 22

=4(3+82) 28

=(43+8)2 10








60100

6000

100

30020300

100

20300

100

2030020 ==

=== dede


100

TotalCantidad

=


100=Total

Cantidad




xrarr

rarr

15

414100


162100

41415=

=x




15= El pro-


Total

Cantidad

100

= 100=

Total

Cantidad










162100

1812

12

18100=

=

rarr

rarrx

x




63100

25252

252

25100=

=

rarr

rarrx

x



189)2501(252 =minus





Remate final

20 de descuento








58 (1 015) (1 020) 58 068 3944 euro minus minus = =


3210058

5618100

58

)443958( ==

minus=dto









= 0075100



= 002253100



100

trci

=

























E P t=


f) Facturacioacuten



















42 LA HIPOTECA







Mensual 2 20 12000000 60706 14569440 2569440

Trimestral 2 20 12000000 182364 14589120 2589120

Semestral 2 20 12000000 365467 14618680 2618680

Anual 2 20 12000000 733881 14677620 2677620






























xyayax 423 minus+






















1

6

5minus





Por tanto














Pues bien





como resultado 2a










a) )2()4( 234 yxyax


do 222 yax

b) )()6( 34 axyx



22

2

34

22

4yax

yx

yax=


denominador



3

2 minus Aunque so-







a) 32234 34 yabyxyax ++
















5234

25

52324

234

23

234

+++

+minus+

+minus+minus

xxx

xxx

xxxx

Por tanto











Ejemplo



















Es decir

























Ejemplo

11

38

32263

3)1(2)2(3

=

=minus

=minusminusminus

=+minusminus

x

x

xx

xx












2814 =x


214

28==x

Ejemplo

63

2

2

1=

++

minus xx


36

6

42

6

33=

++

minus xx


75

35

355

433623

==

=

minus+=+

x

x

xx


2

11

5

3 +minus=minus

xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10



xxx




x





12x

x =minus















ax2+ bx + c = con a





obteniendo


cx

a

cx minus=minus= 2




Ejemplo 552525253






b

Ejemplo

=rarr=rarr=minus

=rarr=

=minus=minus

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xx

xxxx


a

acbbx

2

42 minusminus=


=minus

=+minus

==minus+2

104

2

8416402142 xxx

minus=minusminus

=+minus

72

104

32

104






tos







=+

=+

cybxa

cbyax

=++

=++

=++


acutedzcbyacutexa

dczbyax


Ejemplo 2 3 1

5 2 12

x y

x y

minus =

+ =


31 yx

+=


315 =+

+ y



11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==minus=+

=++=++

=++

yyyy

yyyy

yy


31 yx

+= resulta

2

131 +=x = 2





Ejemplo

=+

=minus

1225

132

yx

yx


minus=rarr=+

+=rarr=minus

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy minus=

+


( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==rarr=rarrminus=+

rarrminus

=+

rarrminus

=+

yyyy

yyyy


=minus

minus=+

1153

46

yx

yx

=minus

minus=+

1153

12183

yx

yx


232323 minus=



Ejemplo 2

=+

=minus

1225

132

yx

yx

=+

=minus

36615

264

yx

yx

2

19

383819 ==rarr= xx


y 13

3413134 =

minus


=minus

=minusminus

1153

12183

yx

yx































TRIAacuteNGULO


2

alturabaseAacuterea

=







Tablero de ajedrez





2


=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA




CIacuteRCULO



Ruedas











222 cba +=


cmh

h

54873

7338 222

==

=+=




81517 22 =minus






Cuadrado a=b=c=d


Rombo a=b=c=d

Romboide a=c b=d










rombo

P = 4 middot a 2

dDA

=


romboide


trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

+

=





Torres Petronas


















221 CILINDRO









223 ESFERA


















































__________________________________________________________________________________










Temperatura



Humedad












Gases disueltos






























Tundra



Taiga



Alta montantildea





Estepas y praderas













viosa


viosa

Bosque ecuatorial






























































































































43 LAS PALANCAS


za F



una fuerza F
























2

2

1 FFFR +=


y 2F





y 2F

y su moacutedulo es

NNFFFR 73421 =+=+=





y

2F


2

2

1 ==+=+=






ma

F

a

F

a

F

n

n ==== 2

2

1









=++++ FFFFF





S

FP =



cm de lado

mcm 5050 = 22 2505050 mmS == PamNP 1600250

400 2 ==





2

2

1

121

S

F

S

FPP ==

Por tanto 1

2

1

2

F

F

S








F60

20

8015

8020

152

2 =

==


80

1

2 ==S



60

1

2 ==F

F


















































2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =





2




2512

25

2

1 ===D


1

2 ====





sioacuten dientesNN

160750

120120750 2

2

===



1

2 ====






BRRBPP =




NNBM

BRRPBRRBPP 80

50

20200=

=

==
























































K L M N

Carbono 6 2 4 -- --


Cloro 17 2 8 7 --


Cinc 30 2 8 18 2





Carbono 6 2 2 2 2 21 2 2 [ ]2 2s s p He s p=


Cloro 17 2 2 6 2 5 2 51 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=








+1 e 0 e -1 e


1007 uma 1009 uma 1836

1 uma



ZX

donde



Al27



-331







Carbono-12 6 12 6 6 6

Carbono-13 6 13 6 7 6

Carbono-14 6 14 6 8 6




2 He + )




































molarMasa



M

mn =


molesmolesM

mn 333

18

60===





























rentes utensilios








Hidruros





Aacutecidos



Sales








a) =minus2

5

7

12

c) =21

5

10

14

b) =4

9

5

3

d) =minus+9

2

6

1

3

4

e) =

minus+

minusminus

4

3

2

1

5

3

5

42

7

29

g) =

++

+

minus

20

7

5

4

3

1

6

1

4

1

3

2

f) =+

+

10

7middot

7

8

6

1

4

9

5

3middot

2

5

h) =

minus

15

2

9

2

6

1middot

3

4



12

-5

2

1

3

2minus



a) =2)2middot3(

c) =5

6

7

7

b) =32 5middot5

d) =2

42

15

5middot3

















EJEMPLOS
















EJEMPLOS

a) 55 =+ b) 1212 =minus c) 1414 = d) 88 =minus
















8

5

3

2

7

4

5

minusminus

minus







= 0 bZbZab

aQ


ros b





42 =


63

minus=minus



a su inverso es

a

b

EJEMPLOS


7es

7


5

3minuses

3

5

minus





3









4minus




3

3

4

minus











nuacutemeros reales











O




pero no el ndash1






00101000

110

010100

110

1010

110

3

2

1

==

==

==

minus

minus

minus






10 10

10

1 100000000001 1 10 10

10000000000 10

minus minus= = = =




































2720000000 x 55000000


1496 e+17





182 e+19



00005821


624 e-11


-624 e-11



























Resta -

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Potencia ^





=43+82 16

=4(3+8)2 22

=4(3+82) 28

=(43+8)2 10








60100

6000

100

30020300

100

20300

100

2030020 ==

=== dede


100

TotalCantidad

=


100=Total

Cantidad




xrarr

rarr

15

414100


162100

41415=

=x




15= El pro-


Total

Cantidad

100

= 100=

Total

Cantidad










162100

1812

12

18100=

=

rarr

rarrx

x




63100

25252

252

25100=

=

rarr

rarrx

x



189)2501(252 =minus





Remate final

20 de descuento








58 (1 015) (1 020) 58 068 3944 euro minus minus = =


3210058

5618100

58

)443958( ==

minus=dto









= 0075100



= 002253100



100

trci

=

























E P t=


f) Facturacioacuten



















42 LA HIPOTECA







Mensual 2 20 12000000 60706 14569440 2569440

Trimestral 2 20 12000000 182364 14589120 2589120

Semestral 2 20 12000000 365467 14618680 2618680

Anual 2 20 12000000 733881 14677620 2677620






























xyayax 423 minus+






















1

6

5minus





Por tanto














Pues bien





como resultado 2a










a) )2()4( 234 yxyax


do 222 yax

b) )()6( 34 axyx



22

2

34

22

4yax

yx

yax=


denominador



3

2 minus Aunque so-







a) 32234 34 yabyxyax ++
















5234

25

52324

234

23

234

+++

+minus+

+minus+minus

xxx

xxx

xxxx

Por tanto











Ejemplo



















Es decir

























Ejemplo

11

38

32263

3)1(2)2(3

=

=minus

=minusminusminus

=+minusminus

x

x

xx

xx












2814 =x


214

28==x

Ejemplo

63

2

2

1=

++

minus xx


36

6

42

6

33=

++

minus xx


75

35

355

433623

==

=

minus+=+

x

x

xx


2

11

5

3 +minus=minus

xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10



xxx




x





12x

x =minus















ax2+ bx + c = con a





obteniendo


cx

a

cx minus=minus= 2




Ejemplo 552525253






b

Ejemplo

=rarr=rarr=minus

=rarr=

=minus=minus

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xx

xxxx


a

acbbx

2

42 minusminus=


=minus

=+minus

==minus+2

104

2

8416402142 xxx

minus=minusminus

=+minus

72

104

32

104






tos







=+

=+

cybxa

cbyax

=++

=++

=++


acutedzcbyacutexa

dczbyax


Ejemplo 2 3 1

5 2 12

x y

x y

minus =

+ =


31 yx

+=


315 =+

+ y



11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==minus=+

=++=++

=++

yyyy

yyyy

yy


31 yx

+= resulta

2

131 +=x = 2





Ejemplo

=+

=minus

1225

132

yx

yx


minus=rarr=+

+=rarr=minus

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy minus=

+


( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==rarr=rarrminus=+

rarrminus

=+

rarrminus

=+

yyyy

yyyy


=minus

minus=+

1153

46

yx

yx

=minus

minus=+

1153

12183

yx

yx


232323 minus=



Ejemplo 2

=+

=minus

1225

132

yx

yx

=+

=minus

36615

264

yx

yx

2

19

383819 ==rarr= xx


y 13

3413134 =

minus


=minus

=minusminus

1153

12183

yx

yx































TRIAacuteNGULO


2

alturabaseAacuterea

=







Tablero de ajedrez





2


=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA




CIacuteRCULO



Ruedas











222 cba +=


cmh

h

54873

7338 222

==

=+=




81517 22 =minus






Cuadrado a=b=c=d


Rombo a=b=c=d

Romboide a=c b=d










rombo

P = 4 middot a 2

dDA

=


romboide


trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

+

=





Torres Petronas


















221 CILINDRO









223 ESFERA


















































__________________________________________________________________________________










Temperatura



Humedad












Gases disueltos






























Tundra



Taiga



Alta montantildea





Estepas y praderas













viosa


viosa

Bosque ecuatorial






























































































































43 LAS PALANCAS


za F



una fuerza F
























2

2

1 FFFR +=


y 2F





y 2F

y su moacutedulo es

NNFFFR 73421 =+=+=





y

2F


2

2

1 ==+=+=






ma

F

a

F

a

F

n

n ==== 2

2

1









=++++ FFFFF





S

FP =



cm de lado

mcm 5050 = 22 2505050 mmS == PamNP 1600250

400 2 ==





2

2

1

121

S

F

S

FPP ==

Por tanto 1

2

1

2

F

F

S








F60

20

8015

8020

152

2 =

==


80

1

2 ==S



60

1

2 ==F

F


















































2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =





2




2512

25

2

1 ===D


1

2 ====





sioacuten dientesNN

160750

120120750 2

2

===



1

2 ====






BRRBPP =




NNBM

BRRPBRRBPP 80

50

20200=

=

==
























































K L M N

Carbono 6 2 4 -- --


Cloro 17 2 8 7 --


Cinc 30 2 8 18 2





Carbono 6 2 2 2 2 21 2 2 [ ]2 2s s p He s p=


Cloro 17 2 2 6 2 5 2 51 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=








+1 e 0 e -1 e


1007 uma 1009 uma 1836

1 uma



ZX

donde



Al27



-331







Carbono-12 6 12 6 6 6

Carbono-13 6 13 6 7 6

Carbono-14 6 14 6 8 6




2 He + )




































molarMasa



M

mn =


molesmolesM

mn 333

18

60===





























rentes utensilios








Hidruros





Aacutecidos



Sales



















EJEMPLOS
















EJEMPLOS

a) 55 =+ b) 1212 =minus c) 1414 = d) 88 =minus
















8

5

3

2

7

4

5

minusminus

minus







= 0 bZbZab

aQ


ros b





42 =


63

minus=minus



a su inverso es

a

b

EJEMPLOS


7es

7


5

3minuses

3

5

minus





3









4minus




3

3

4

minus











nuacutemeros reales











O




pero no el ndash1






00101000

110

010100

110

1010

110

3

2

1

==

==

==

minus

minus

minus






10 10

10

1 100000000001 1 10 10

10000000000 10

minus minus= = = =




































2720000000 x 55000000


1496 e+17





182 e+19



00005821


624 e-11


-624 e-11



























Resta -

Multiplicacioacuten

Divisioacuten

Potencia ^





=43+82 16

=4(3+8)2 22

=4(3+82) 28

=(43+8)2 10








60100

6000

100

30020300

100

20300

100

2030020 ==

=== dede


100

TotalCantidad

=


100=Total

Cantidad




xrarr

rarr

15

414100


162100

41415=

=x




15= El pro-


Total

Cantidad

100

= 100=

Total

Cantidad










162100

1812

12

18100=

=

rarr

rarrx

x




63100

25252

252

25100=

=

rarr

rarrx

x



189)2501(252 =minus





Remate final

20 de descuento








58 (1 015) (1 020) 58 068 3944 euro minus minus = =


3210058

5618100

58

)443958( ==

minus=dto









= 0075100



= 002253100



100

trci

=

























E P t=


f) Facturacioacuten



















42 LA HIPOTECA







Mensual 2 20 12000000 60706 14569440 2569440

Trimestral 2 20 12000000 182364 14589120 2589120

Semestral 2 20 12000000 365467 14618680 2618680

Anual 2 20 12000000 733881 14677620 2677620






























xyayax 423 minus+






















1

6

5minus





Por tanto














Pues bien





como resultado 2a










a) )2()4( 234 yxyax


do 222 yax

b) )()6( 34 axyx



22

2

34

22

4yax

yx

yax=


denominador



3

2 minus Aunque so-







a) 32234 34 yabyxyax ++
















5234

25

52324

234

23

234

+++

+minus+

+minus+minus

xxx

xxx

xxxx

Por tanto











Ejemplo



















Es decir

























Ejemplo

11

38

32263

3)1(2)2(3

=

=minus

=minusminusminus

=+minusminus

x

x

xx

xx












2814 =x


214

28==x

Ejemplo

63

2

2

1=

++

minus xx


36

6

42

6

33=

++

minus xx


75

35

355

433623

==

=

minus+=+

x

x

xx


2

11

5

3 +minus=minus

xx

x

51055106551010610

55

10

10

10

10

10



xxx




x





12x

x =minus















ax2+ bx + c = con a





obteniendo


cx

a

cx minus=minus= 2




Ejemplo 552525253






b

Ejemplo

=rarr=rarr=minus

=rarr=

=minus=minus

4

15154054

00

0)154(0154 2

xxx

xx

xxxx


a

acbbx

2

42 minusminus=


=minus

=+minus

==minus+2

104

2

8416402142 xxx

minus=minusminus

=+minus

72

104

32

104






tos







=+

=+

cybxa

cbyax

=++

=++

=++


acutedzcbyacutexa

dczbyax


Ejemplo 2 3 1

5 2 12

x y

x y

minus =

+ =


31 yx

+=


315 =+

+ y



11919524415

2441552

24

2

4

2

155122

2

155

==minus=+

=++=++

=++

yyyy

yyyy

yy


31 yx

+= resulta

2

131 +=x = 2





Ejemplo

=+

=minus

1225

132

yx

yx


minus=rarr=+

+=rarr=minus

5

2121225

2

31132

yxyx

yxyx

5

212

2

31 yy minus=

+


( ) ( )

119

191919524415

10

424

10

155

10

2122

10

315

==rarr=rarrminus=+

rarrminus

=+

rarrminus

=+

yyyy

yyyy


=minus

minus=+

1153

46

yx

yx

=minus

minus=+

1153

12183

yx

yx


232323 minus=



Ejemplo 2

=+

=minus

1225

132

yx

yx

=+

=minus

36615

264

yx

yx

2

19

383819 ==rarr= xx


y 13

3413134 =

minus


=minus

=minusminus

1153

12183

yx

yx































TRIAacuteNGULO


2

alturabaseAacuterea

=







Tablero de ajedrez





2


=

Tuerca

CIRCUNFERENCIA




CIacuteRCULO



Ruedas











222 cba +=


cmh

h

54873

7338 222

==

=+=




81517 22 =minus






Cuadrado a=b=c=d


Rombo a=b=c=d

Romboide a=c b=d










rombo

P = 4 middot a 2

dDA

=


romboide


trapecio

P = a + b + c + d 2

)(2

)(

camediana

hca

A

+=

+

=





Torres Petronas


















221 CILINDRO









223 ESFERA


















































__________________________________________________________________________________










Temperatura



Humedad












Gases disueltos






























Tundra



Taiga



Alta montantildea





Estepas y praderas













viosa


viosa

Bosque ecuatorial






























































































































43 LAS PALANCAS


za F



una fuerza F
























2

2

1 FFFR +=


y 2F





y 2F

y su moacutedulo es

NNFFFR 73421 =+=+=





y

2F


2

2

1 ==+=+=






ma

F

a

F

a

F

n

n ==== 2

2

1









=++++ FFFFF





S

FP =



cm de lado

mcm 5050 = 22 2505050 mmS == PamNP 1600250

400 2 ==





2

2

1

121

S

F

S

FPP ==

Por tanto 1

2

1

2

F

F

S








F60

20

8015

8020

152

2 =

==


80

1

2 ==S



60

1

2 ==F

F


















































2

1

N

Ni =

2

1

D

Di =





2




2512

25

2

1 ===D


1

2 ====





sioacuten dientesNN

160750

120120750 2

2

===



1

2 ====






BRRBPP =




NNBM

BRRPBRRBPP 80

50

20200=

=

==
























































K L M N

Carbono 6 2 4 -- --


Cloro 17 2 8 7 --


Cinc 30 2 8 18 2





Carbono 6 2 2 2 2 21 2 2 [ ]2 2s s p He s p=


Cloro 17 2 2 6 2 5 2 51 2 2 3 3 [ ]3 3s s p s p Ne s p=








+1 e 0 e -1 e


1007 uma 1009 uma 1836

1 uma



ZX

donde



Al27



-331







Carbono-12 6 12 6 6 6

Carbono-13 6 13 6 7 6

Carbono-14 6 14 6 8 6




2 He + )




































molarMasa



M

mn =


molesmolesM

mn 333

18

60===





























rentes utensilios








Hidruros





Aacutecidos



Sales



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