matemáticas de las c.c. sociales m exámenes...

Matemáticas de las C.C.Sociales

Exámenes resueltos PAU UNED

M ª Carmen García LlamasJulián Rodríguez Ruiz

Fº Javier Palencia GonzálezFernando díez Rubio

M

primeras:Maquetación 1 20/12/13 15:09 Página 5

© M.ª Carmen García Llamas, Julián Rodríguez Ruiz,F.º Javier Palencia González, Fernando Díez Rubio

© Ediciones Académicas, S.A.Bascuñuelos, 13 - P 28021 Madrid

ISBN: 978-84-92477-98-2Depósito Legal: M-32990-2013

Impreso por: Lavel S.A.

Impreso en España /Printed in Spain

«Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública otransformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización desus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Cen-tro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanearalgún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47)».


A nuestros hijos:

Irene, Elena y Alejandro

Patricia y Laura

Diana y Raúl


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Índice general

I Álgebra 3

1. Matrices 51.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. operaciones con matrices y matriz inversa . . . . . 91.2.2. Problemas de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. Inecuaciones y sistemas deinecuaciones 472.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.2.1. Inecuaciones lineales y de segundo grado . . . . . . 492.2.2. Sistemas de inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Programación Lineal 713.1. Conceptos Teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713.2. Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.1. Programación lineal de dos variables . . . . . . . . 72

II CÁLCULO 87

4. Límites, continuidad,asíntotas 894.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.2.1. Límites de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.2. Continuidad de una función. Asíntotas . . . . . . . . 97

5. Derivada de una función.Aplicaciones 1055.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.2.1. Derivada de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . 1085.2.2. Crecimiento, decrecimiento y extremos relativos . 1215.2.3. Concavidad, convexidad y puntos de inflexión . . . 1375.2.4. Aplicaciones de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . 1435.2.5. Representación de Funciones . . . . . . . . . . . . . . 146

IX

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ÍNDICE GENERAL

6. La integral 1536.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.2.1. Función primitiva, Integral indefinida . . . . . . . . 1576.2.2. Integral definida y Cálculo de áreas . . . . . . . . 161

III ESTADÍSTICA 173

7. Probabilidad 1757.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1757.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

7.2.1. Probabilidad y combinatoria . . . . . . . . . . . . . . 1787.2.2. Probabilidad condicionada. Teorema de Bayes . . . 193

8. Inferencia estadística.Distribuciones muestrales 2038.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2038.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

8.2.1. Variables aleatorias discretas y continuas . . . . . 2058.2.2. Distribución de medias y proporciones muestrales 213

9. Intervalos de confianza ycontraste de hipótesis 2199.1. Conceptos teóricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2199.2. Ejercicios resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

9.2.1. Intervalos de confianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2219.2.2. Contraste de hipótesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2279.2.3. Comparación de dos medias y de dos proporciones . 231

IV Apéndices 235

A. Exámenes 2011 237A.1. Modelo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237A.2. Modelo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239A.3. Modelo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240A.4. Modelo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242A.5. Modelo E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243A.6. Modelo F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245A.7. Modelo G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246A.8. Modelo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248A.9. Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

X

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ÍNDICE GENERAL

B. Exámenes 2012 253B.1. Modelo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253B.2. Modelo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254B.3. Modelo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256B.4. Modelo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258B.5. Modelo E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260B.6. Modelo F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261B.7. Modelo G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263B.8. Modelo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264B.9. Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266B.10.Modelo J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268B.11.Modelo K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270B.12.Modelo L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271B.13.Modelo M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

C. Exámenes 2013 277C.1. Modelo A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277C.2. Modelo B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279C.3. Modelo C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280C.4. Modelo D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283C.5. Modelo E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284C.6. Modelo F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286C.7. Modelo G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288C.8. Modelo H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289C.9. Modelo I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291C.10.Modelo J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293C.11.Modelo K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295C.12.Modelo L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297C.13.Modelo M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298C.14.Modelo N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

D. Tablas estadísticas 303

XI

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Introducción

Este libro surge como respuesta a las inquietudes transmitidas por losestudiantes que acceden a la Universidad procedentes de los distintossistemas educativos extranjeros.

El Ministerio de Educación, Política Social y Deporte publicó el 18de junio de 2008 a través de orden ministerial el programa de laspruebas de acceso a enseñanzas superiores. A pesar de la regulaciónexistente, la procedencia de los estudiantes es muy variada, por lo cualsus conocimientos previos también. Frecuentemente los programas delos centros de procedencia difieren unos de otros, por lo que existecierta disparidad entre los conocimientos de muchos estudiantes al nohaber trabajado de forma homogénea todos los contenidos necesariosdurante su etapa de bachiller.

Cabe destacar que el programa propuesto por el ministerio en la citadaOrden no es exactamente el mismo que los programas implantadospor las distintas autonomías, los cuales si se desarrollan con bastanteexactitud en la mayoría de los textos publicados para la asignaturaMatemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II de 2º de Bachiller.

Para facilitar en la medida de lo posible la integración de los pro-gramas existentes y el estudio de la materia, hemos desarrollado elcontenido de este libro como una colección de exámenes propuestosen las distintas convocatorias de selectividad de los últimos años consus resoluciones detalladas. Debido a la gran variedad de modelos quese elaboran en cada convocatoria para poder atender las necesidadesde la Universidad, no es posible incluir todos los enunciados, pero sihemos recogido todos los tipos de ejercicios que han aparecido durantelos tres últimos años.

Conviene advertir también que éste no es un libro de teoría, sibien al comienzo de cada capítulo hemos resumido los conceptos másutilizados en el desarrollo de los problemas del mismo. Al objeto de fa-cilitar la ubicación de los diferentes conceptos tratados, los problemasse han ordenado según la distribución de temas del programa oficialclasificados en tres bloques: álgebra, cálculo y estadística.

1

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2

Adicionalmente, los enunciados de los exámenes aparecen como apén-dices al final del libro y en ellos se hace referencia al problema en elque se presenta la solución.

Es nuestro deseo que encuentre útil este texto y le facilite el éxito enel paso hacia la Universidad.

Los autores

Octubre 2013

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Parte I

Álgebra

3

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Capítulo 1

Matrices

1.1. Conceptos teóricos

Definición y notación de matricesUna matriz es un conjunto de m×n elementos dispuestos en m filas y n columnas.Se suelen encerrar entre paréntesis.Los elementos de una matriz se designan con la misma letra en minúscula y conun doble subíndice i, j, donde i indica la fila y j indica la columna.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

Tipos de matrices

Matriz 1× 1:A = a o bien A = (a)

Matriz fila:

A = A1n =(

a11, a12 , · · · , a1n

)=(

a1, a2, · · · , an

)Matriz columna:

A = Am1 =

a11

a21

...am1

=

a1

a2

...am

Matriz cero:

0 =

0 0 · · · 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 0

Matriz cuadrada:

A = Ann =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

an1 an2 ... ann

5

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ii

6 Matrices

Matriz diagonal:

A = Ann =

a11 0 · · · 00 a22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · ann

Operaciones con matrices

Dadas las matrices

A = Amn =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

, y B = Bpq =

b11 b12 ... b1q

b21 b22 ... b2q

......

. . ....

bp1 bp2 ... bpq

se define:

Igualdad de matrices

Dos matrices Amn y Bpq son iguales si cumplen que

Son equidimensionales, es decir

m = p y n = q

Son iguales elemento a elemento, es decir

aij = bij , ∀ i, j

Suma de matrices

Las matrices para que puedan ser sumadas deben ser equidimensionales, es decirm = p y n = q

A + B = Amn + Bmn =

=

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

+

b11 b12 ... b1n

b21 b22 ... b2n

......

. . ....

bm1 bm2 ... bmn

=

=

a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n

a21 + b21 a22 + b22 ... a2n + b2n

......

. . ....

am1 + bm1 am2 + bm2 ... amn + bmn

ii


ii

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Capítulo 1 7

Producto por un escalar

λA =

λa11 λa12 ... λa1n

λa21 λa22 ... λa2n

......

. . ....

λam1 λam2 ... λamn

Producto de matrices

La condición para poder efectuar el producto de matrices Amn×Bpq es que n = p,y entonces se cumple que

Amn ×Bnq = (A×B)mq = Cmq

La multiplicación será

C = (A×B) = (A ·B)

=

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

×

b11 b12 ... b1q

b21 b22 ... b2q

......

. . ....

bn1 bn2 ... bnq

=

=

a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1nbn1 · · · a11b1q + a12b2q + · · ·+ a1nbnq

.... . .

...am1b11 + am2b21 + · · ·+ amnbn1 · · · am1b1q + am2b2q + · · ·+ amnbnq

El producto de matrices no es conmutativo.

Matriz traspuesta de una matriz dada, AT

La matriz traspuesta AT se obtiene sustituyendo cada elemento aij de la matrizA por el elemento aji. Así dada la matriz

Am×n =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

am1 am2 ... amn

haciendo las sustituciones se obtiene:

ATn×m =

a11 a21 ... am1

a12 a22 ... am2

......

. . ....

a1n a2n ... amn

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ii

8 Matrices

Matriz inversa de una matriz dada. Método de Gauss-Jordan.Para calcular la inversa de una matriz cuadrada debemos dar los siguientes pasos:

1. Escribimos la matriz A seguida de la matriz identidad I

(A | I ) =

a11 a12 ... a1n

a21 a22 ... a2n

......

. . ....

an1 an2 ... ann

∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · 1

2. Efectuamos transformaciones elementales en las filas de (A | I ) hasta con-

seguir transformar A en I.

Transformaciones elementales

a) Intercambiar el orden de las filas.

b) Multiplicar o dividir una fila por un número distinto de 0.

c) Sumar a una fila otra multiplicada previamente por un número.

3. La matriz I se ha transformado en A−1.

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ii

ii

Capítulo 1 9

1.2. Ejercicios resueltos

1.2.1. operaciones con matrices y matriz inversaProblema 1. Dadas la matrices

A =(

2 3−1 0

)y B =

(3 2

−4 0

)determinar una matriz X que verifique:

A + X = 2B

Solución.Supongamos que la matriz X viene dada por

X =(

a bc d

)Debemos obtener sus elementos de manera que se cumpla

A + X = 2B(2 3

−1 0

)+(

a bc d

)= 2

(3 2

−4 0

)Es decir (

2 + a 3 + b−1 + c 0 + d

)=(

6 4−8 0

)Igualando los elementos de las dos matrices nos queda

2 + a = 63 + b = 4

−1 + c = −80 + d = 0

Despejando llegamos a a = 4, b = 1, c = −7 y d = 0.De modo que la matriz pedida viene dada por

X =(

4 1−7 0

)•

Problema 2. Dadas la matrices

A =

1 0 −1−1 1 2−2 0 1

y B =

3 2 01 0 −12 4 5

determinar una matriz X que verifique:

2A + X = B

ii


ii

ii

10 Matrices

Solución.Podemos proceder como en el ejercicio anterior, pero dadas las dimensiones delas matrices, usaremos las propiedades de la suma y producto por escalares yobtenemos, despejando de 2A + X = B que X = B − 2A.Y por tanto:

X =

3 2 01 0 −12 4 5

− 2

1 0 −1−1 1 2−2 0 1

X =

3 2 01 0 −12 4 5

−

2 0 −2−2 2 4−4 0 2

=

1 2 23 −2 −56 4 3

•

Problema 3. Dadas las matrices

A =

2 01 −1

−2 3

, B =(

3 5 64 1 7

), C =

1 −10 25 −6

Determínense todas las sumas que se pueden hacer con las matrices A, B y C y sustraspuestas sin repetir matrices. Indicar las dimensiones sin realizar los cálculos.

Solución.

Con dos sumandos tenemos las siguientes posibilidades

• Son matrices 3× 2A + BT

A + C

BT + C

• Son matrices 2× 3AT + B

AT + CT

B + CT

Con tres sumandos tenemos las siguientes posibilidades

• Son matrices 3× 2A + C + BT

• Son matrices 2× 3AT + B + CT

•

ii


ii

ii

Capítulo 1 11

Problema 4. Obtener las matrices resultantes del ejercicio anterior.

Solución.

Con dos sumandos:

A + BT =

2 01 −1

−2 3

+(

3 5 64 1 7

)T

=

=

2 01 −1

−2 3

+

3 45 16 7

=

5 46 04 10

A + C =

2 01 −1

−2 3

+

1 −10 25 −6

=

3 −11 13 −3

BT + C =

(3 5 64 1 7

)T

+

1 −10 25 −6

=

=

3 45 16 7

+

1 −10 25 −6

=

4 35 311 1

AT + B =

2 01 −1

−2 3

T

+(

3 5 64 1 7

)=

=(

2 1 −20 −1 3

)+(

3 5 64 1 7

)=(

5 6 44 0 10

)

AT + CT =

2 01 −1

−2 3

T

+

1 −10 25 −6

T

=

=(

2 1 −20 −1 3

)+(

1 0 5−1 2 −6

)=(

3 1 3−1 1 −3

)

B + CT =(

3 5 64 1 7

)+

1 −10 25 −6

T

=

=(

3 5 64 1 7

)+(

1 0 5−1 2 −6

)=(

4 5 113 3 1

)

ii


ii

ii

12 Matrices

Con tres sumandos:

A + C + BT =

2 01 −1

−2 3

+

1 −10 25 −6

+(

3 5 64 1 7

)T

=

=

3 −11 13 −3

+

3 45 16 7

=

6 36 29 4

AT + B + CT =

2 01 −1

−2 3

T

+(

3 5 64 1 7

)+

1 −10 25 −6

T

=

=(

2 1 −20 −1 3

)+(

3 5 64 1 7

)+(

1 0 5−1 2 −6

)=(

6 6 93 2 4

)

•


A =(

2 1−1 0

), B =

−3 01 −11 2

, C =(−1 1 0

1 0 −1

)

1. Determinar que productos se pueden realizar con dos factores y que dimen-siones tendrán las matrices resultantes.

2. Obtener los productos que sean posibles de los indicados en el apartadoanterior.

Solución.

1. (A2×2 × C2×3) Es una matriz 2× 3

(B3×2 ×A2×2) Es una matriz 3× 2

(C2×3 ×B3×2) Es una matriz 2× 2

(B3×2 × C2×3) Es una matriz 3× 3

2. (A2×2 × C2×3) =(

2 1−1 0

)×(−1 1 0

1 0 −1

)=

=(

2 · (−1) + 1 · 1 2 · 1 + 1 · 0 2 · 0 + 1 · (−1)(−1) · (−1) + 1 · 0 (−1) · 1 + 0 · 0 (−1) · 0 + 0 · (−1)

)

=(−1 2 −1

1 −1 0

)

ii


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Capítulo 1 13

(B3×2 ×A2×2) =

−3 01 −11 2

×(

2 1−1 0

)=

=

(−3)·2 + 0 · (−1) (−3)·1 + 0 · 01·2 + (−1) · (−1) 1·1 + (−1) · 0

1·2 + 2 · (−1) 1·1 + 2 · 0

=

−6 −33 10 1

(C2×3 ×B3×2) =(−1 1 0

1 0 −1

)×

−3 01 −11 2

=

=(

(−1)·(−3) + 1 · 1 + 0 · 1 (−1)·0 + 1 · (−1) + 0 · 21 · (−3) + 0 · 1 + (−1) · 1 1·0 + 0 · (−1) + (−1) · 2

)=(

4 −1−4 −2

)

(B3×2 × C2×3) =

−3 01 −11 2

×(−1 1 0

1 0 −1

)=

=

(−3)·(−1) + 0 · 1 (−3)·1 + 0·0 (−3)·0 + 0·(−1)1 · (−1) + (−1) · 1 1·1 + (−1)·0 1·0 + (−1)·(−1)

1 · (−1) + 2 · 1 1·1 + 2·0 1·0 + 2·(−1)

=

=

3 −3 0−2 1 1

1 1 −2

•

Problema 6. Dada la matriz

A =

1 2 00 1 −10 0 1

obtener A2.

Solución.

A2 =

1 2 00 1 −10 0 1

2

=

1 2 00 1 −10 0 1

×

1 2 00 1 −10 0 1

=

1·1 + 2 · 0 1·2 + 2 · 1 1·0 + 2 · (−1) + 0 · 10 1 −20 0 1

=

1 4 −20 1 −20 0 1

•

ii


ii

ii

14 Matrices


D =

2 0 00 3 00 0 −1

obtener D2, D3 y D25

Solución.

D2 =

2 0 00 3 00 0 −1

2

=

2 0 00 3 00 0 −1

×

2 0 00 3 00 0 −1

=

4 0 00 9 00 0 1

=

22 0 00 32 00 0 (−1)2

D3 =

2 0 00 3 00 0 −1

3

=

=

2 0 00 3 00 0 −1

×

2 0 00 3 00 0 −1

×

2 0 00 3 00 0 −1

=

=

4 0 00 9 00 0 1

×

2 0 00 3 00 0 −1

=

=

8 0 00 27 00 0 −1

=

23 0 00 33 00 0 (−1)3

D25 =

2 0 00 3 00 0 −1

25

=

225 0 00 325 00 0 (−1)25

•


A =

0 21 −13 0

, B =(

3 −4 21 0 −1

)y C =

(2 0 1

−3 −1 2

)

Comprobar si se cumple la propiedad A · (B + C) = A ·B + A · C.

ii


ii

ii

Capítulo 1 15

Solución.Por la izquierda tenemos:

B + C =(

3 −4 21 0 −1

)+(

2 0 1−3 −1 2

)=(

5 −4 3−2 −1 1

)

A · (B + C) =

0 21 −13 0

( 5 −4 3−2 −1 1

)=

−4 −2 27 −3 2

15 −12 9

Y por la derecha tenemos:

A ·B =

0 21 −13 0

( 3 −4 21 0 −1

)=

2 0 −22 −4 39 −12 6

A · C =

0 21 −13 0

( 2 0 1−3 −1 2

)=

−6 −2 45 1 −16 0 3

A ·B + A · C =

2 0 −22 −4 39 −12 6

+

−6 −2 45 1 −16 0 3

=

−4 −2 27 −3 2

15 −12 9

•


A =

1 23 0

−1 −3

y B =(

2 0 1−3 −4 2

)

Decir cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas justificando la respuesta:

1. A ·B = B ·A

2. (A ·B)T = AT ·BT

Solución.

1. Si observamos las dimensiones de las matrices A y B tenemos que A es unamatriz con tres filas y dos columnas, es decir A = A3×2 y B es una matriz condos filas y tres columnas, es decir B = B2×3. Si estudiamos las dimensionesque tendrían las matrices producto tenemos:

A·B =(A3×2)× (B2×3) = (A·B)3×3

B·A =(B2×3)× (A3×2) = (B·A)2×2

Por tanto vemos que las matrices A·B y B·A tienen distintas dimensiones yno pueden ser iguales. Lo podemos comprobar haciendo los productos.

ii


ii

ii

16 Matrices

A ·B =

1 23 0

−1 −3

( 2 0 1−3 −4 2

)=

−4 −8 56 0 37 12 −7

B·A =

(2 0 1

−3 −4 2

) 1 23 0

−1 −3

=(

1 1−17 −12

)Luego vemos que A ·B 6= B ·A

2. En este caso aplicando las propiedades de las matrices transpuestas tenemos:(A ·B)T = BT ·AT y como el producto de matrices no es conmutativo, sabe-mos que BT AT 6= AT BT , luego esta afirmación también es falsa y podemoscomprobarlo haciendo los productos.

(A ·B)T =

−4 −8 56 0 37 12 −7

T

=

−4 6 7−8 0 12

5 3 −7

AT ·BT =

(1 3 −12 0 −3

) 2 −30 −41 2

=(

1 −171 −12

)

como en el caso anterior estos productos son distintos.

•


A =(

1 ba b

)estudiar para que valores de a y b podemos obtener la matriz inversa y justificarla respuesta.

Solución.Calculamos la inversa de A mediante el método de Gauss

(A | I) =(

1 ba b

∣∣∣∣ 1 00 1

)F′

2 = F2 − aF1−−−−−−−−−−→

(1 b0 b− ab

∣∣∣∣ 1 0−a 1

)

F′

2 = F2/(b− ab)−−−−−−−−−−−−→

(1 b0 1

∣∣∣∣∣ 1 0−a

b− ab

1b− ab

)

F′

1 = F1 − bF2−−−−−−−−−−→

1 00 1

∣∣∣∣∣∣∣1 +

ab

b− ab

−b

b− ab−a

b− ab

1b− ab

=

ii


ii

ii

Capítulo 1 17

=

1 00 1

∣∣∣∣∣∣∣1

1− a

−11− a

−a

b(1− a)1

b(1− a)

Luego podemos deducir que se puede obtener inversa si

b(1− a) 6= 0

b 6= 0 y a 6= 1

•


A =(−1 30 4

), B =

1 02 −13 1

Hallar la matriz X que verifica la ecuación: XT ·A = B.

Solución.Aplicamos las propiedades de las matrices para despejar X en la ecuación

XT ·A = B

XT = B ·A−1

X =(B ·A−1

)TCalculamos en primer lugar la inversa de la matriz A

(A | I) =(−1 3

0 4

∣∣∣∣ 1 00 1

)F′

2 = F2/4−−−−−−−→

(−1 3

0 1

∣∣∣∣ 1 00 1/4

)

F′

1 = F1 − 3F2−−−−−−−−−−→

(−1 0

0 1

∣∣∣∣ 1 −3/40 1/4

)F′

1 = −F1−−−−−−→

(1 00 1

∣∣∣∣ −1 3/40 1/4

)⇒ A−1 =

(−1 0, 750 0, 25

)

XT = B ·A−1 =

1 02 −13 1

(−1 0, 750 0, 25

)=

−1 0, 75−2 1, 25−3 2, 5

X =

(−1 −2 −3

0, 75 1, 25 2, 5

)•

ii


ii

ii

18 Matrices

Problema 12. Hallar todas las matrices permutables con

A =(

1 00 2

)Solución.Buscamos matrices de la forma

B =(

a bc d

)y tales que se cumpla

A ·B = B ·AMultiplicando

A ·B =(

1 00 2

)(a bc d

)=(

a b2c 2d

)

B ·A =(

a bc d

)(1 00 2

)=(

a 2bc 2d

)e igualando ambas expresiones obtenemos las ecuaciones

a = ab = 2b2c = c

2d = 2d

⇒ b = 0c = 0

}

Luego la matriz B ha de ser de la forma

B =(

a 00 d

), a, d ∈ R

•

Problema 13. Dadas las matrices:

A =(

2 11 1

), B =

(1 xx 0

)y C =

(0 −1

−1 2

)1. Encuentre el valor de x, tal que

B2 = A

2. Encuentre el valor de x, tal que

B + C = A−1

3. Encuentre el valor de x, tal que

A + B + C = 3I2

siendo I2 la matriz identidad de orden 2.

ii


ii

ii

Capítulo 1 19

Solución.

1. Operando tenemos

A =(

2 11 1

)y B2 =

(1 xx 0

)(1 xx 0

)=(

1 + x2 xx x2

)Igualando las dos expresiones elemento a elemento tenemos:

1 + x2 = 2x = 1x = 1x2 = 1

⇒ x = 1x2 = 1 ⇒ x = ±1

}⇒ x = 1

ya que se han de cumplir todas las igualdades.

2. Calculamos la inversa de A mediante el método de Gauss

(A | I) =(

2 11 1

∣∣∣∣ 1 00 1

)F′

2 = F2 − F1/2−−−−−−−−−−−→

(2 10 1/2

∣∣∣∣ 1 0−1/2 1

)

F′

2 = 2F2−−−−−−→

(2 10 1

∣∣∣∣ 1 0−1 2

)F′

1 = F1 − F2−−−−−−−−−−→

(2 00 1

∣∣∣∣ 2 −2−1 2

)F′

1 = F1/2−−−−−−−→

(1 00 1

∣∣∣∣ 1 −1−1 2

)⇒ A−1 =

(1 −1

−1 2

)Por otro lado tenemos:

B + C =(

1 xx 0

)+(

0 −1−1 2

)=(

1 x− 1x− 1 2

)Igualando término a término tenemos:

x− 1 = −1 ⇒ x = 0

3. Calculamos

A + B + C =(

2 11 1

)+(

1 xx 0

)+(

0 −1−1 2

)=(

3 xx 3

)y como

3I2 =(

3 00 3

)igualando término a término se obtiene x = 0

•

ii


ii

ii

20 Matrices

Problema 14. Calcule la matriz X para que se verifique :

3X − 4[(

1 00 3

)− 3

(0 11 4

)]=(−1 0 1

2 1 0

) 0 −23 61 −2

Solución.Por un lado podemos calcular:

(−1 0 1

2 1 0

) 0 −23 61 −2

=(

1 03 2

)Por otro lado obtenemos:(

1 00 3

)− 3

(0 11 4

)=(

1 −3−3 −9

)Sustituyendo en la expresión inicial

3X − 4[(

1 −3−3 −9

)]=(

1 03 2

)3X = 4

(1 −3

−3 −9

)+(

1 03 2

)=(

5 −12−9 −34

)X =

(5/3 −4−3 −34/3

)•

Problema 15. Sean la matrices:

A =(

α 1−α 3

)y B =

(1 3 1

−1 4 2

)1. Calcule α para que

A−1 =112

A.

2. Para α = −3, determine la matriz X tal que AT X = B.

Solución.

1. Calculamos la inversa de A mediante el método de Gauss

(A | I) =(

α 1−α 3

∣∣∣∣ 1 00 1

)⇒(

α 10 4

∣∣∣∣ 1 01 1

)⇒

⇒(

α 10 1

∣∣∣∣ 1 01/4 1/4

)⇒(

α 00 1

∣∣∣∣ 3/4 −1/41/4 1/4

)

ii


ii

ii

Capítulo 1 21

⇒(

1 00 1

∣∣∣∣ 3/(4α) −1/(4α)1/4 1/4

)⇒ A−1 =

(3/(4α) −1/(4α)

1/4 1/4

)Despejando en A−1 =

112

A tenemos que 12A−1 = A

Y por tanto (9/α −3/α3 3

)=(

α 1−α 3

)Igualando término a término

9/α = α−3/α = 13 = −α3 = 3

⇒ α = −3

2. En primer lugar despejamos X en la ecuación dada y nos queda

AT X = B ⇒ X =(AT)−1

B

Seguidamente hallamos AT

AT =(−3 3

1 3

)y calculamos su inversa(

AT |I)

=(−3 3

1 3

∣∣∣∣ 1 00 1

)F′

1 = F1/(−3)−−−−−−−−−−→

(1 −11 3

∣∣∣∣ −1/3 00 1

)

F′

2 = F2 − F1−−−−−−−−−→

(1 −10 4

∣∣∣∣ −1/3 01/3 1

)F′

2 = F2/4−−−−−−−→

(1 −10 1

∣∣∣∣ −1/3 01/12 1/4

)F′

1 = F1 + F2−−−−−−−−−→

(1 00 1

∣∣∣∣ −1/4 1/41/12 1/4

)⇒(AT)−1

=(−1/4 1/41/12 1/4

)Finalmente operamos para obtener el valor de X

X = (AT )−1B =(−3 3

1 3

)−1( 1 3 1−1 4 2

)=

=(−1/4 1/41/12 1/4

)(1 3 1

−1 4 2

)=(−1/2 1/4 1/4−1/6 5/4 7/12

)•

ii


ii

ii

22 Matrices

Problema 16. Hallar una matriz X que verifique A2 + BX = C siendo

A =(

1 −10 2

), B =

(2 10 −1

)y C =

(−1 1

2 −1

)Solución.En primer lugar despejamos X en la ecuación dada como si se tratará de variablesy no de matrices y nos queda

BX = C −A2 ⇒ X = B−1(C −A2

)donde

A2 =(

1 −10 2

)·(

1 −10 2

)=(

1 −30 4

)y por tanto,

C −A2 =(−1 1

2 −1

)−(

1 −30 4

)=(−2 4

2 −5

)Calculamos la inversa de B

(B | I) =(

2 10 −1

∣∣∣∣ 1 00 1

)F′

1 = F1 + F2−−−−−−−−−→

(2 00 −1

∣∣∣∣ 1 10 1

)

F′

2 = −F2−−−−−−→

(2 00 1

∣∣∣∣ 1 10 −1

)F′

1 = F1/2−−−−−−−→

(1 00 1

∣∣∣∣ 1/2 1/20 −1

)

⇒ B−1 =(

1/2 1/20 −1

)Luego

X =(

1/2 1/20 −1

)(−2 4

2 −5

)=(

0 −1/2−2 5

)•

Problema 17. Resuelva la siguiente ecuación matricial

X

(1 1

−1 1

)=

4 −30 5

−1 7

Solución.

Despejamos X en la expresión inicial y tenemos

X =

4 −30 5

−1 7

( 1 1−1 1

)−1

ii


ii

ii

Capítulo 1 23

Calculamos la inversa por el método de Gauss(1 1

−1 1

∣∣∣∣ 1 00 1

)⇒(

1 10 2

∣∣∣∣ 1 01 1

)⇒

⇒(

1 10 1

∣∣∣∣ 1 01/2 1/2

)⇒(

1 00 1

∣∣∣∣ 1/2 −1/21/2 1/2

)

X =

4 −30 5

−1 7

( 1/2 −1/21/2 1/2

)=

1/2 −7/25/2 5/2

3 4

•

Problema 18. Utilizando las propiedades de las matrices obtenga las matrices Xe Y tales que

2X + 3Y = A−X − Y = B

}siendo

A =

1 32 41 2

y B =

−1 0−1 −31 −1

Solución.Vamos a resolver el sistema para obtener las expresiones de X e Y en función deA y B y luego sustituímos las matrices por sus expresiones.Multiplicando la segunda ecuación por 2 y sumando ambas ecuaciones se obtiene

2X + 3Y = A(×2) → −X − Y = B

}⇒ Y = A + 2B

Y =

1 32 41 2

+ 2

−1 0−1 −31 −1

=

−1 30 −23 0

Sustituyendo ahora en la segunda ecuación, X = −Y −BLuego tenemos

X = −Y −B = −

−1 30 −23 0

−

−1 0−1 −31 −1

=

2 −31 5−4 1

•

Problema 19. Calcule todos los productos posibles de dos factores con las ma-trices

A =(

1 −3 42 −1 5

), B =

−2 1

0 43 11 0

y C =

1 11 −10 −1

ii


ii

ii

24 Matrices

Solución.

A × B = (A2×3 ×B4×2) y como n = 3 6= 4 = p, no se puede hacer elproducto.

A× C = (A2×3 × C3×2) y como n = 3 = p, se obtiene una matriz 2× 2

A · C =(

1 −3 42 −1 5

)1 11 −10 −1

=(−2 0

1 −2

)

B ×A = (B4×2 ×A2×3) y como n = 2 = p, se obtiene una matriz 4× 3

B ·A =

−2 1

0 43 11 0

(1 −3 42 −1 5

)=

0 5 −38 −4 205 −10 171 −3 4

B×C = B4×2×C3×2 y como n = 2 6= 3 = p, no se puede hacer el producto.

C ×A = (C3×2 ×A2×3) y como n = 2 = p, se obtiene una matriz 3× 3

C ·A =

1 11 −10 −1

(1 −3 42 −1 5

)=

3 −4 9−1 −2 −1−2 1 −5

C×B = C3×2×B4×2 y como n = 2 6= 4 = p, no se puede hacer el producto.

•Problema 20. Dadas las matrices

A =(

1 20 1

), B =

(x 10 x

)y C =

(1 −30 2

)1. Determinar x para que A = B2.

2. Determinar x para que A + B + C = I2, siendo I2 la matriz identidad deorden 2.

Solución.

1. Por un lado tenemos que

B2 =(

x 10 x

)(x 10 x

)=(

x2 2x0 x2

)Que igualando con A nos queda

A =(

1 20 1

)=(

x2 2x0 x2

)x2 = 12x = 2

}⇒ x = ±1

x = 1

}⇒ x = 1

ii


ii

ii

Capítulo 1 25

2. Calculamos en primer lugar la suma

A + B + C =(

1 20 1

)+(

x 10 x

)+(

1 −30 2

)=(

2 + x 00 3 + x

)Igualando a la identidad tenemos(

2 + x 00 3 + x

)=(

1 00 1

)= I2

No existe x ya que debería cumplir a la vez

2 + x = 13 + x = 1

}⇒ x = −1

x = −2

}•


B =(

2 1−1 0

)obtener su inversa aplicando la definición.

Solución.La definición de matriz inversa nos dice que B ×B−1 = IEs decir (

2 1−1 0

)×(

a bc d

)=(

1 00 1

)Operando tenemos (

2a + c 2b + d−a −b

)=(

1 00 1

)Que nos proporciona el sistema

2a + c = 12b + d = 0−a = 0−b = 1

Cuyas soluciones son a = 0, b = −1, c = 1 y d = 2De modo que la inversa viene dada por

B−1 =(

0 −11 2

)•

ii


ii

ii

26 Matrices


C =

2 −1 03 1 −4

−1 0 1

obtener su inversa por el método de Gauss.

Solución.En primer lugar construimos la matriz auxiliar

(C | I ) =

2 −1 03 1 −4

−1 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

Aplicando transformaciones elementales vamos a conseguir que la matriz C setransforme en la matriz identidad I.En primer lugar reordenamos las filas de modo que la tercera pase a ser la primeray nos queda −1 0 1

2 −1 03 1 −4

∣∣∣∣∣∣0 0 11 0 00 1 0

F′

1 = −F1−−−−−−→

1 0 −12 −1 03 1 −4

∣∣∣∣∣∣0 0 −11 0 00 1 0

F′

2 = F2 − 2F1; F′

3 = F3 − 3F1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 0 −10 −1 20 1 −1

∣∣∣∣∣∣0 0 −11 0 20 1 3

F′

3 = F3 + F2−−−−−−−−−→

1 0 −10 −1 20 0 1

∣∣∣∣∣∣0 0 −11 0 21 1 5

F′

1 = F1 + F3; F′

2 = −F2−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 0 00 1 −20 0 1

∣∣∣∣∣∣1 1 4

−1 0 −21 1 5

F′

2 = F2 + 2F3−−−−−−−−−−→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣1 1 41 2 81 1 5

Con lo cual hemos obtenido

C−1 =

1 1 41 2 81 1 5

•

ii


ii

ii

Capítulo 1 27

1.2.2. Problemas de aplicación

Problema 23. Una empresa constructora ha vendido en enero 4 pisos y dosnaves industriales. Y en febrero 2 pisos y 1 nave industrial. El precio de los pisosen enero era de 150.000€ y el de las naves industriales 200.000 mientras que enfebrero estos precios bajaron un 5 % en el caso de los pisos y un 10 % las navesindustriales. Escribir las matrices que representan las unidades vendidas en eneroy febrero (A) y los precios de venta de las mismas (B). Calcular los elementos dela diagonal de la matriz A por B y dar su significado.

Solución.La matriz de unidades vendidas es

A =Pisos Naves(

4 22 1

)Enero

Febrero

Y la matriz de precios de venta es

B =Enero Febrero(150.000 142.500200.000 180.000

)PisosNaves

Calculamos ahora el producto de A ·B, para obtener los valores de la diagonal

C = A ·B =(

4 22 1

)(150.000 142.500200.000 180.000

)=(

1.000.000 930.000500.000 465.000

)Los elementos de la diagonal nos dan los ingresos de enero (elemento c11) y defebrero (elemento c22) para el total de ventas de pisos y naves.

•

Problema 24. Una empresa de informática contrató en 2.010 para su nuevasede 4 analistas de sistemas y dos auxiliares administrativos. Los analistas teníanun sueldo de 2.000€ al mes y los administrativos de 900€. En 2.011, debido a lacrisis económica, la plantilla se redujo a 2 analistas y 1 administrativo. Además lossueldos de los analistas se redujeron en un 3 % y el del administrativo se incrementóen un 2 %. Expresar matricialmente los gastos mensuales de la empresa en losperiodos 2.010 y 2.011.¿Qué opción resulta más beneficiosa para la empresa si suponemos que la produc-ción fue la misma en los dos años?

Solución.La matriz de personal es

A =An. Adm.(

4 22 1

)2.0102.011

ii


ii

ii

28 Matrices

Y la matriz de sueldos es

B =2.010 2.011(2.000 1.940

900 918

)Analistas

Administrativos

Calculamos ahora el producto A · B, para obtener los valores de los gastos men-suales, los cuales están en la diagonal

C = A ·B =(

4 22 1

)(2.000 1.940

900 918

)=(

9.800 9.5964.900 4.798

)Luego los gastos mensuales de 2.010, elemento c11, ascienden a 9.800€ y los gastoscorrespondientes a 2.011, elemento c22, ascienden a 4.798€, por tanto la opciónmás beneficiosa, suponiendo la misma producción, es la correspondiente al año2.011.

•

Problema 25. Una empresa de alquiler de coches dispone de 270 vehículos de tresmodelos diferentes deportivos, familiares y todoterrenos. La flota de deportivosdispone de 30 vehículos menos que la de familiares y todoterrenos juntos. Losvehículos todoterreno son un 35 % de la suma de deportivos y familiares. ¿Cuántosvehículos de cada tipo constituyen la flota de la empresa?Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.Denominamos x a los vehículos deportivos, y a los familiares y z a los todo-terrenos y obtenemos el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitasque resolvemos por el método de Gauss.

x + y + z = 270x = y + z − 300, 35(x + y) = z

Que podemos reescribir como

x + y + z = 270x− y − z = −30

0, 35x + 0, 35y − z = 0

para facilitar los cálculos al resolverlo por el método de Gauss cambiamos de ordenlas variables y nos queda

z + x + y = 270−z + x− y = −30

−z + 0, 35x + 0, 35y = 0

1 1 1−1 1 −1−1 0, 35 0, 35

∣∣∣∣∣∣270−30

0

ii


ii

ii

Capítulo 1 29

sumamos la primera fila a la 2ª y la 3ª y nos queda 1 1 10 2 00 1, 35 1, 35

∣∣∣∣∣∣270240270

Cambiando de orden las filas dos y tres, que equivale a cambiar de orden lasecuaciones, tenemos 1 1 1

0 1, 35 1, 350 2 0

∣∣∣∣∣∣270270240

y reordenando las columnas, que equivale a conmutar los sumandos de las ecua-ciones, tenemos 1 1 1

0 1, 35 1, 350 0 2

∣∣∣∣∣∣270270240

Luego el sistema sería

z + y + x = 2701, 35y + 1, 35x = 270

2x = 240

Luego x = 120 que sustituyendo en la segunda ecuación nos queda

1, 35y + 1, 35 · 120 = 270

es decir,

y =270− 1, 35·120

1, 35=

270− 1621, 35

=1081, 35

= 80

sustituyendo en la primera ecuación nos queda

z + 80 + 120 = 270 ⇒ z = 270− 200 = 70

Luego la solución del problema es

x = 120 deportivos,

y = 80 familiares,

z = 70 todoterrenos.

•

Problema 26. Al comenzar los estudios de Bachillerato se les hace un test a losestudiantes con 30 cuestiones sobre Matemáticas. Por cada cuestión contestadacorrectamente se le dan 5 puntos y por cada cuestión incorrecta o no contestadase le quitan 2 puntos. Un alumno obtuvo en total 94 puntos. ¿Cuántas cuestionesrespondió correctamente?Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

ii


ii

ii

30 Matrices

Solución.Denominamos con la variable x a los aciertos y con la variable y a los errores,luego tenemos que

x + y = 30

Sabemos que los aciertos valen 5 puntos y los errores restan 2 puntos, y un alumnoobtuvo 94 puntos, luego se deduce que 5x − 2y = 94. Luego hemos de resolver elsistema

x + y = 305x− 2y = 94

}Y en forma matricial podemos escribir(

1 15 −2

)(xy

)=(

3094

)Resolviendo por Gauss(

1 15 −2

∣∣∣∣ 3094

)F′

2 = F2 − 5F1−−−−−−−−−−→

(1 10 −7

∣∣∣∣ 30−56

)

−7y = −56

y = 8

x + y = 30

x = 30− y = 30− 8 = 22

x = 22

X =(

xy

)=(

228

)

•

Problema 27. Una empresa constructora vendió en enero un piso y dos navesindustriales. Y en febrero dos pisos y una nave industrial. Escribir la matriz querepresenta las unidades vendidas en enero y febrero. Si los ingresos de la construc-tora vienen dados por la matriz

B =(

15 1013 6

)Obtener la matriz que representa los precios de venta de los pisos y de las navesindustriales en enero y en febrero respectivamente.

ii


ii

ii

Capítulo 1 31

Solución.La matriz de unidades vendidas es

A =Pisos Naves(

1 22 1

)Enero

Febrero

Y tenemos la matriz de ingresos B, que es la resultante de multiplicar la matrizde unidades vendidas por la matriz de precios B = A · C, luego

B =(

15 1013 6

)=(

1 22 1

)C = A · C

de donde obtenemos que

C =(

1 22 1

)−1( 15 1013 6

)=

=(−1/3 2/3

2/3 −1/3

)(15 1013 6

)=(

11/3 2/317/3 14/3

)Luego la matriz que representa los precios es

C =Enero Febrero(

11/3 2/317/3 14/3

)PisosNaves

•

Problema 28. En una colecta para la lucha contra el cáncer mi clase ha cola-borado con 38 euros, que hemos entregado en billetes de 5 y monedas de 1 euro.Si el número de billetes y monedas ha sido 14 ¿cuántos billetes y monedas hemosdado?Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.Denominamos con la variable x a los billetes y con la variable y a las monedas,luego tenemos que x + y = 14.Sabemos que los billetes son de 5€ y las monedas de 1€ y hemos reunido 38€,luego 5x + y = 38.Luego hemos de resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x + y = 145x + y = 38


1 15 1

)(xy

)=(

1438

)

ii


ii

ii

32 Matrices

Resolviendo por Gauss(1 15 1

∣∣∣∣ 1438

)F′

2 = F2 − 5F1−−−−−−−−−−→

(1 10 −4

∣∣∣∣ 14−32

)⇒ −4 = −32y ⇒ y = 8

x + y = 14

x = 14− y = 14− 8 = 6

Luego el número de billetes y monedas será

X =(

xy

)=(

68

)•

Problema 29. En mi clase somos 35 alumnos. Nos han regalado por nuestro buencomportamiento 2 bolígrafos a cada chica y un cuaderno a cada chico. Si en totalhan sido 75 regalos, ¿cuántos chicos y chicas hay en mi clase?Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.Denominamos con la variable x a los chicos y con la variable y a las chicas, luegotenemos que

x + y = 35

Sabemos que se ha regalado 1 cuaderno por cada chico y 2 bolígrafos por chica,siendo los regalos 75, por tanto

x + 2y = 75

Luego hemos de resolver el siguiente sistema de ecuaciones

x + y = 35x + 2y = 75


1 11 2

)(xy

)=(

3575


1 11 2

∣∣∣∣ 3575

)F′

2 = F2 − F1−−−−−−−−−→

(1 10 1

∣∣∣∣ 3540

)⇒ y = 40

x + y = 35

ii


ii

ii

Capítulo 1 33

⇒ x = 35− y = 35− 40 = −5

Luego la solución del sistema de ecuaciones viene dada por

X =(

xy

)=(−540

)Sin embargo el problema planteado NO tiene solución ya que no podemos tenerun número negativo de chicos.

•

Problema 30. Clara trabaja como telefonista en una empresa de lunes a viernesentre las nueve de la mañana y las dos de la tarde. Además, cuida de un bebé decuatro a siete de la tarde los lunes, miércoles y viernes y es mecanógrafa en unbufete de abogados los martes y jueves de cinco a nueve.

1. Escribir la matriz que expresa el número de horas que dedica a cada actividada lo largo de los días de la semana.

2. Si le pagan 9 euros por hora como telefonista, 7 euros por cada hora quecuida al bebé y 12 euros por hora por su trabajo como mecanógrafa, expresarmatricialmente los ingresos diarios de Clara.

Solución.

1. Según los datos Clara trabaja 5h de telefonista de lunes a viernes, 3h cuidan-do bebés lunes, miércoles y viernes y 4h de mecanógrafa los martes y jueves,luego la matriz de horas trabajadas es

A =

L M X J V 5 5 5 5 53 0 3 0 30 4 0 4 0

TelefonistaCuidadora

Mecanografa

2. La matriz de ingresos por horas es

B =T C M(9 7 12

)luego los ingresos diarios son

B ·A =(

9 7 12) 5 5 5 5 5

3 0 3 0 30 4 0 4 0

=(

66 93 66 93 66)

•

ii


ii

ii

34 Matrices

Problema 31. Ana y Eva van a las rebajas y compran Ana 1 pantalón y 2camisetas. Eva compra 2 pantalones y 3 camisetas.

1. Escriba la matriz 2 por 2 que expresa el número de pantalones y camisetascompradas por cada una.

2. Si han gastado 49 y 86 euros respectivamente calcular el precio de los pan-talones y camisetas.

Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.

1. La matriz será

Pantalones Camisetas(1 22 3

)AnaEva

2. Hemos de resolver un sistema cuya expresión matricial viene dada por

AX = B ⇒(

1 22 3

)(xy

)=(

4986

)Usando el método de la matriz inversa, la cual se calcula por el método deGauss, tenemos que

(A|I) =(

1 22 3

∣∣∣∣ 1 00 1

)F′

2 = F2 − 2F1−−−−−−−−−−→

(1 20 −1

∣∣∣∣ 1 0−2 1

)

F′

1 = F1 + 2F2−−−−−−−−−−→

(1 00 −1

∣∣∣∣ −3 2−2 1

)

F′

2 = −F2−−−−−−→

(1 00 1

∣∣∣∣ −3 22 −1

)

⇒ A−1 =(−3 2

2 −1

)podemos despejar X en la ecuación y nos queda

X = A−1 ·B ⇒ X =(

xy

)=(−3 2

2 −1

)(4986

)=(

2512

)Luego los pantalones cuestan 25€ y las camisetas 12€.

•

ii


ii

ii

Capítulo 1 35

Problema 32. Un comerciante compró 35 juegos de un tipo y 25 de otro pagandopor ellos 1.220€. Con la venta de los primeros ganó un 20 % y con los segundosun 4 %, de forma que obtuvo 170€ de ganancia sobre el precio de compra. Calculeel precio de compra de cada tipo de juego.Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.Denominamos con la variable x al precio del primer tipo de juego y con la variabley al del segundo tipo, luego tenemos que 35x + 25y = 1.220.Los beneficios son un 20% de las ventas de x y un 4% de las ventas de y, luegotenemos

35 · 0, 2 · x + 25 · 0, 04 · y = 170 ⇒ 7x + y = 170

Luego hemos de resolver el sistema de ecuaciones

35x + 25y = 1.2207x + y = 170

}Y en forma matricial, tras cambiar el orden de las ecuaciones, podemos escribir(

7 135 25

)(xy

)=(

1701.220


7 135 25

∣∣∣∣ 1701.220

)F′

2 = F2 − 5F1−−−−−−−−−−→

(7 10 20

∣∣∣∣ 35370

)20y = 370

y = 18, 5

7x + y = 170

x =170− y

7=

170− 18, 57

= 15

x = 21, 64

X =(

xy

)=(

21, 6418, 5

)Se puede resolver también mediante el cálculo de la matriz inversa. En este casolos cálculos serían

X =(

xy

)= A−1B =

(7 1

35 25

)−1( 1701.220

)=(

0, 179 −0, 0071−0, 25 0, 05

)(170

1.220

)=(

21, 6418, 5

)•

ii


ii

ii

36 Matrices

Problema 33. Una fábrica de electrodomésticos exporta lavadoras (L), frigoríficos(F) y lavavajillas (V) a dos países, P y Q. La siguiente matriz, A, expresa, en miles,las unidades de cada tipo de electrodomésticos exportados a cada país

A =L F V(

125 275 230250 104 375

)PQ

El precio de cada electrodoméstico, en euros, durante los últimos tres años vienedado por la matriz C

C =

2.009 2.010 2.011 360 400 390540 570 570420 430 435

LFV

1. Calcule la matriz que relaciona las ventas brutas totales del último trieniocon los países a los que se exporta.

2. ¿En qué país es mayor el valor de lo exportado?

Solución.

1. La matriz pedida se obtiene como producto de la matriz A, correspondientea las cantidades vendidas, por la matriz C de los precios de venta

A · C =(

125 275 230250 104 375

) 360 400 390540 570 570420 430 435

=

=(

290.100 305.650 305.550303.660 320.530 319.905

)PQ

2. Calculemos el valor exportado en cada país

P = 290.100 + 305.650 + 305.550 = 901.300

Q = 303.660 + 320.530 + 319.905 = 944.095

Luego el país en el que es mayor la cantidad exportada es Q.

•

Problema 34. Un agricultor comprueba que en el segundo de sus dos depósitosde agua para riego hay 10 litros más que en el primero. Traspasa 18 litros delsegundo al primero y así este se queda con el doble que el segundo. Calcule lacantidad de agua que tenía cada depósito.Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

ii


ii

ii

Capítulo 1 37

Solución.De la primera frase se deduce que

y = x + 10 ⇒ x− y = −10

De la segunda se deduce

2(y − 18) = x + 18 ⇒ x− 2y = −54


x− y = −10x− 2y = −54


1 −11 −2

)(xy

)=(−10−54


1 −11 −2

∣∣∣∣ −10−54

)F′

2 = F2 − F1−−−−−−−−−→

(1 −10 −1

∣∣∣∣ −10−44

)⇒ y = 44

x− y = −10 ⇒ x− 44 = −10

⇒ x = 34

Luego la cantidad de agua en los depósitos viene dada por

X =(

xy

)=(

3444

)•

Problema 35. Hemos mezclado aceite de oliva de 3, 5€/l con aceite de girasol de2€/l para obtener 50 litros de mezcla a 3, 08€/l. Calcule la cantidad de aceite deoliva y de aceite de girasol que hemos mezclado.Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.De la primera frase se deduce para las cantidades

x + y = 50

y para los precios3, 5x + 2y = 50 · 3, 08 = 154


ii


ii

ii

38 Matrices

x + y = 503, 5x + 2y = 154


1 13, 5 2

)(xy

)=(

50154


1 13, 5 2

∣∣∣∣ 50154

)F′

2 = F2 − 3, 5F1−−−−−−−−−−−−→

(1 10 −1, 5

∣∣∣∣ 50−21

)−1, 5y = −21

y = 14

x + y = 50 ⇒ x + 14 = 50

x = 36

Luego las cantidades de aceite que hay que comprar son

X =(

xy

)=(

3614

)•

Problema 36. Una tienda de informática vende libros electrónicos y tablets. Lascantidades vendidas durante los tres últimos años vienen dadas por la matriz

A =

L T 40 1035 2010 50

2.0092.0102.011

Los precios de venta vienen dados por la matriz

B =2.009 2.010 2.011(

300 200 100900 800 700

)LT

1. Obténgase la matriz B ·A.

2. ¿Cuáles fueron los ingresos por la venta de libros y tablets en esos tres años?

3. ¿Cuánto se ingresó por la venta de tablets en esos tres años?¿Qué elementode la matriz B ·A nos da esa información?

ii


ii

ii

Capítulo 1 39

Solución.

1. La matriz pedida es

B ·A =(

300 200 100900 800 700

) 40 1035 2010 50

=(

20.000 12.00071.000 60.000

)

2. Los ingresos por venta de libros son 20.000 y nos lo da el elemento (ba)11Los ingresos por venta de tablets son 60.000 y nos lo da el elemento (ba)22Los ingresos totales por ventas son la suma de los elementos de la diagonal,

(ba)11 + (ba)22 = 20.000 + 60.000 = 80.000

3. Como se ha visto en el apartado anterior la venta de tablets asciende a60.000, y el elemento que nos facilita la información es (ba)11

•

Problema 37. He pagado 83€ por una cazadora y unos deportivos. En la cazado-ra me han rebajado el 20 % y en los deportivos el 10 %, y así me he ahorrado 17€¿Cuáles eran los precios sin rebajar?Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.Lo que se ha pagado viene dado por la ecuación

0, 8x + 0, 9y = 83

y lo que se ha ahorrado nos proporciona la segunda ecuación

0, 2x + 0, 1y = 17


0, 8x + 0, 9y = 830, 2x + 0, 1y = 17


0, 8 0, 90, 2 0, 1

)(xy

)=(

8317


0, 8 0, 90, 2 0, 1

∣∣∣∣ 8317

)F′

2 = 4F2 − F1−−−−−−−−−−→

(0, 8 0, 9

0 −0, 5

∣∣∣∣ 83−15

)

ii


ii

ii

40 Matrices

−0, 5y = −15

y = 30

0, 8x + 0, 9y = 83

x =83− 0, 9y

0, 8=

83− 0, 9 · 300, 8

= 70

Luego los precios sin rebajar son

X =(

xy

)=(

7030

)•

Problema 38. A través de Internet se compra un pack de 10 entradas de ciney 10 entradas de teatro por 240€. Se sabe que al comprar el pack, se obtiene undescuento del 25 % en las entradas de cine y de un 40 % en la entradas de teatroy que el descuento obtenido ha sido de 140€. Calcular los precios originales de lasentradas y el precio pagado por cada una.Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.Llamemos x al precio de las entradas de cine e y al precio de las entradas deteatro. El precio de las mismas en la oferta de Internet será de 0, 75x y 0, 60yrespectivamente, por tanto de la primera frase se deduce que

10 · 0, 75x + 10 · 0, 6y = 240

Por otro lado los descuentos se deducen de la segunda frase,

0, 25 · 10x + 0, 4 · 10y = 140


0, 75 · 10x + 0, 6 · 10y = 2400, 25 · 10x + 0, 4 · 10y = 140

}⇐⇒ 0, 75x + 0, 6y = 24

0, 25x + 0, 4y = 14


0, 75 0, 60, 25 0, 4

)(xy

)=(

2414

)⇐⇒

(3/4 3/51/4 2/5

)(xy

)=(

2414

)resolviendo el sistema por la matriz inversa, tenemos

AX = B ⇒ X = A−1B

X =(

xy

)=(

3/4 3/51/4 2/5

)−1(2414

)=

ii


ii

ii

Capítulo 1 41

=(

8/3 −4−5/3 5

)(2414

)=(

830

)Luego el precio original y el precio pagado al aplicar los descuentos serán

Xoriginal =(

830

), Xpagado =

(6

18

)•

Problema 39. Un comerciante de pinturas necesita obtener 60 litros de pinturarosa a un precio de 3€ a partir de mezclar pintura blanca y roja. El precio dellitro de pintura blanca es 2€ y el de pintura roja 5€. Calcular el número litros decada tipo que tiene que utilizar.Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.De la primera frase se deduce que x+y = 60 y de la segunda se deduce 2x+5y = 180Luego hemos de resolver el sistema de ecuaciones

x + y = 602x + 5y = 180

}Y en forma matricial podemos escribir

AX = B ⇒(

1 12 5

)(xy

)=(

60180

)Despejando la X y calculando A−1 por el método de Gauss, nos queda

X =(

xy

)=(

1 12 5

)−1( 60180

)=(

5/3 −1/3−2/3 1/3

)(60

180

)

X =(

4020

)•

Problema 40. Un estudiante de matemáticas resuelve 10 ejercicios de álgebra y8 de cálculo en 9 horas. En 12 horas resuelve 9 ejercicios de álgebra y 15 de cálculo.Determinar el tiempo que tarda en resolver cada tipo de ejercicio.Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.Luego hemos de resolver el sistema de ecuaciones

10x + 8y = 99x + 15y = 12

}

ii


ii

ii

42 Matrices

AX = B ⇒(

10 89 15

)(xy

)=(

912

)X = A−1B

X =(

0, 19 −0, 1−0, 12 0, 13

)(912

)=(

1/21/2

)Por tanto tarda media hora en resolver cada tipo de ejercicios.

•

Problema 41. Dos amigos compran por Internet libros y vídeos. El primerocompra 3 libros y 2 vídeos, y el segundo compra 3 libros y 4 vídeos. Escriba lamatriz que expresa el número de libros y vídeos comprados por cada uno. Sabiendoque se han gastado 75€ y 105€ respectivamente calcular el precio de los libros yde los vídeos.Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

Solución.La matriz que expresa el número de libros y vídeos comprados es(

3 23 4

)1er.amigo2º amigo

Hemos de resolver el sistema de ecuaciones

3x + 2y = 753x + 4y = 105

}(

3 23 4

)(xy

)=(

75105

)(

xy

)=(

3 23 4

)−1( 75105

)(

xy

)=(

2/3 −1/3−1/2 1/2

)(75

105

)=(

1515

)

•

Problema 42. Un examen tipo test consta de 100 preguntas y hay que contestara todas. Por cada acierto se obtiene un punto y por cada fallo se resta 1/3. Si minota ha sido 60, ¿Cuántos aciertos y cuántos fallos he tenido?Nota: Resolver por el método de Gauss o por algún otro método matricial (Cramero matriz inversa).

ii


ii

ii

Capítulo 1 43

Solución.Luego hemos de resolver el sistema de ecuaciones

x + y = 100

x− 13y = 60

}(

1 11 −1/3

)(xy

)=(

10060

)(

xy

)=(

1/4 3/43/4 −3/4

)(10060

)=(

7030

)Luegos los aciertos y fallos son

X =(

7030

)

•

Problema 43. Resuélvase el siguiente sistema de ecuaciones lineales por el métodode Gauss y por la matriz inversa. 2x− y = 1

3x + y − 4z = 2−x + +z = 3

Solución.

En primer lugar escribimos el sistema en forma matricial y tenemos 2 −1 03 1 −4

−1 0 1

xyz

=

123

Para aplicar el método de Gauss escribimos una matriz formada por los coeficientesde las variables a la que añadimos, separados por una línea, el vector de términosindependientes. 2 −1 0

3 1 −4−1 0 1

∣∣∣∣∣∣123

Aplicando transformaciones elementales vamos a convertir en cero todos los ele-mentos por debajo de la diagonal principal. Para ello escribimos la fila tercera enprimer lugar y nos queda −1 0 1

2 −1 03 1 −4

∣∣∣∣∣∣312

ii


ii

ii

44 Matrices

F ′3 = F3 + 3F1; F ′

2 = F2 + 2F1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

−1 0 10 −1 20 1 −1

∣∣∣∣∣∣37

11

F´3 = F3 + F2−−−−−−−−−−→

−1 0 10 −1 20 0 1

∣∣∣∣∣∣37

18

Reescribimos el sistema de ecuaciones y nos queda −x + z = 3

−y + 2z = 7z = 18

Cuya última ecuación nos proporciona z = 18 y, sustituyendo en las anteriores −x + 18 = 3−y + 2 · 18 = 7

z = 18 x = 15y = 29z = 18

Si aplicamos el método de la matriz inversa tenemos 2 −1 03 1 −4

−1 0 1

∣∣∣∣∣∣1 0 00 1 00 0 1

En primer lugar reordenamos las filas de modo que la tercera pase a ser la primeray nos queda −1 0 1

2 −1 03 1 −4

∣∣∣∣∣∣0 0 11 0 00 1 0

F′

1 = −F1−−−−−−→

1 0 −12 −1 03 1 −4

∣∣∣∣∣∣0 0 −11 0 00 1 0

F′

2 = F2 − 2F1; F′

3 = F3 − 3F1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 0 −10 −1 20 1 −1

∣∣∣∣∣∣0 0 −11 0 20 1 3

F′

3 = F3 + F2−−−−−−−−−→

1 0 −10 −1 20 0 1

∣∣∣∣∣∣0 0 −11 0 21 1 5

F′

1 = F1 + F3; F′

2 = −F2−−−−−−−−−−−−−−−−−−→

1 0 00 1 −20 0 1

∣∣∣∣∣∣1 1 4

−1 0 −21 1 5

ii


ii

ii

Capítulo 1 45

F′

2 = F2 + 2F3−−−−−−−−−−→

1 0 00 1 00 0 1

∣∣∣∣∣∣1 1 41 2 81 1 5

Con lo cual hemos obtenido x

yz

=

1 1 41 2 81 1 5

123

=

152918

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