matemÁtica 10°

1

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

DIRECCIÓN DE EDUCACIÓN DE SAN MIGUELITO

INSTITUTO RUBIANO

MATEMÁTICA 10°

TRIMESTRE: TERCERO

TRIGONOMETRÍA

NOMBRE DE LOS PROFESORES:

HERNÁN VERGARA ([email protected]) Horario de atención: Martes y jueves de 10:00 a 10:20 am

DARCY GRAJALES ([email protected]) Horario de atención: Martes de 10:00 a 10:20 am / jueves de 8:00 a 8:20 am

ERASMO FRANCO ([email protected]) Horario de atención: Martes de 10:00 a 10:20 / miércoles de 10:00 a 10:20 am

ELIDA ACOSTA ([email protected]) Horario de atención: Miércoles y jueves de 3:30 a 3:50 pm

HARMODIO ARCHIBOLD ([email protected]) Horario de atención: Miércoles de 3:50 a 4:30/ jueves de 3:50 a 4:30pm

ORIEL GONZÁLEZ ([email protected]) Horario de atención: Miércoles de 3:30 a 3:50 pm/ jueves de 2:30 a 2:50pm

FECHA DE ENTREGA DE LA GUÍA DEL ESTUDIANTE AL

PROFESOR:

Hasta el 2 de diciembre de 2021

mailto:[email protected]






2

ÍNDICE

❖ Presentación…………………………………………………………………..….………... 2

❖ Indicaciones, objetivos generales y específicos……………………………... 3

❖ Indicadores de logros……………………………………………….…………………. 4

❖ Tema 1: Introducción a la trigonometría…….…….…………………….….… 5

❖ Actividad 1…………………………….……………………………………………….…... 10

❖ Tema 2: Razones trigonométricas…………………………………………………. 11

❖ Actividad 2………………………………...………………………………………………….. 17

❖ Tema 3: Resolución de triángulos rectángulos………………………………. 19

❖ Actividad 3………………………………………...……………………............................... 21

❖ Tema 4: Ángulos de elevación y depresión………………….………………..… 22

❖ Actividad 4………………………………………………………………………………….… 25

❖ Evaluación y Bibliografía ………………………...……………………………….……. 26

PRESENTACIÓN

Querido estudiante:

Hemos trabajado con la ilusión de presentarte esta guía como una herramienta para desarrollar las destrezas que necesitas para la clase de Matemáticas 10 °. Encontrarás diversos tipos de ejercicios que debes realizar donde demostraras los conocimientos aprendidos una vez que hayas analizado el material que se te presentamos previo a la actividad. Nuestra labor será validar tu participación y tu esfuerzo al contestar los ejercicios en esta guía. Esperamos, que una vez finalices esta guía, obtengas la misma satisfacción que nosotros al crear estos ejercicios para ayudarte.

Recuerda que:

3

INDICACIONES GENERALES: Estimado estudiante, lea comprensivamente el contenido que se te presenta a continuación y analiza los ejemplos resueltos con el fin de que pueda comprenderlos; luego de esto realiza en su cuaderno de matemática las prácticas correspondientes a cada tema; finalmente resuelve la asignación de cada tema, estas últimas deben ser entregada de la manera que te indiquemos, para su evaluación.

OBJETIVOS GENERALES:

✓ Disfruten de las matemáticas, desarrollen su curiosidad por estas y comiencen a apreciar su elegancia y las posibilidades que ofrecen.

✓ Desarrollen una comprensión de los principios y la naturaleza de las matemáticas.

✓ Se comuniquen con claridad y confianza en diversos contextos. ✓ Desarrollen el pensamiento lógico, crítico y creativo. ✓ Adquieran confianza en sí mismos y sean perseverantes y autónomos al pensar y

resolver problemas en un contexto matemático. ✓ Desarrollen sus capacidades de generalización y abstracción. ✓ Apliquen y transfieran habilidades a una amplia variedad de situaciones de la

vida real, a otras áreas del conocimiento y a avances futuros. ✓ Aprecien cómo los avances tecnológicos (de manera virtual) han influido en el

aprendizaje de las matemáticas en estos tiempos específicamente.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: ➢ Define qué es la Trigonometría y su campo de estudio. ➢ Define el concepto de ángulo y razones trigonométricas. ➢ Aplica la trigonometría al resolver problemas de la vida cotidiana relacionada

con los triángulos rectángulos y oblicuángulos.

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INDICADORES DE LOGROS:

➢ Construye un ángulo en posición normal utilizando correctamente el transportador y expresa las funciones trigonométricas.

➢ Determina el valor de las razones trigonométricas conociendo dos lados del triángulo, con seguridad

➢ Resuelve triángulos rectángulos aplicando correctamente las razones trigonométricas.

➢ Demuestra identidades trigonométricas utilizando los valores de las funciones de los ángulos especiales.

➢ Emplea herramientas tecnológicas para analizar la aplicación de las razones trigonométricas.

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TEMA #1 INTRODUCCIÓN A

LA TRIGONOMETRÍA

Para iniciar el estudio de la trigonometría, haremos repaso de términos que deberías tener

como conocimientos previos.

ÁNGULO: región del plano comprendida entre dos semirrectas

con origen común.

A las semirrectas se las llama lados y al origen común, vértice.

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS SEGÚN SU MEDIDA:

Agudo

(mayor de 0°

y menor de

90°)

Recto

(Mide 90°)

Obtuso

(mayor de 90° y

menor de 180°)

Llano

(Mide 180°)

Giro

(Mide 360º)

TRIÁNGULO: Polígono de tres lados, que viene determinado por tres puntos no colineales

llamados vértices.

Los vértices se denotan por letras mayúsculas: A, B y C. Los lados son los segmentos que unen

dos vértices del triángulo y se denotan por la misma letra que el vértice opuesto, pero en

minúscula.

CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS:

❖ Según la medida de sus lados:

1. Equilátero: Sus tres lados son iguales.

2. Isósceles: Tiene dos lados iguales y otro desigual.

3. Escalenos: Tiene los tres lados distintos.

❖ Según la amplitud de sus ángulos:

1. Rectángulos: Si tiene un ángulo recto (mide 90°).

2. Obtusángulos: Si tiene un ángulo obtuso.

3. Acutángulos: Si los tres ángulos son agudos.

4. Equiángulo: Cuando sus tres ángulos son iguales.

El triángulo equilátero es a la vez equiángulo.

7

PROPIEDADES:

1. Un triángulo tiene tres ángulos. La suma de los tres

ángulos internos de un triángulo es 180°.

2. La suma de los ángulos externos de todo triángulo es

igual a 360°.

3. Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de

los ángulos internos no adyacentes.

4. Cada lado debe ser mayor que la diferencia de los otros

dos.

5. El triángulo equilátero, es también equiángulo (los tres

ángulos son iguales, y por tanto, de 60º cada uno).

6. En el triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo

recto se llama hipotenusa y los otros dos, catetos.

7. Un triángulo rectángulo isósceles tiene un ángulo recto

y sus catetos iguales, luego los ángulos agudos también

son iguales, e iguales a 45º.

TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

Si llamamos "c" a la hipotenusa de un

triángulo rectángulo y "a", "b" a los

catetos, se verifica:

c2 = a2 + b2

hip2 = cat12 + cat2

2

8

ÁNGULOS: RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES

• Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto, se denota 1º. Esto significa

que un ángulo recto tiene 90º y que el ángulo completo cuyo arco es toda la circunferencia

tiene 360º. Para medir ángulos que no corresponden a un número exacto de grados se utilizan

como submúltiplos la sesentava parte de un grado que se llama minuto (’) y la sesentava parte

de un minuto que se llama segundo (’’). Esto significa que 1º = 60’ y que 1’ = 60’’.

• Un radián es la medida de un ángulo cuyo arco mide lo mismo que el radio con el que se ha

trazado.

• Un ángulo formado por una revolución completa, de modo que el lado terminal coincide con

el lado inicial tiene una medida de 360° o de 2π radianes. De esto se deduce que: 180° ≈ π

radianes y además se tiene que 1° ≈ 𝝅

𝟏𝟖𝟎° radianes y 1 radián ≈

𝟏𝟖𝟎°

𝝅

Observaciones:

• El número 𝝅 es un número irracional, que utilizaremos en adelante como: 𝜋 = 3,1416 para

los cálculos.

• El símbolo ≈ indica que es un valor aproximado.

• Cuando se utiliza la medida angular en radianes, generalmente se omite la unidad (rad.), es

decir; 𝜃 = 5 en lugar de 𝜃 = 5 𝑟𝑎𝑑.

CONVERSIÓN PARA PASAR DE UNA MEDIDA ANGULAR A OTRA

Cuando se trabaja con trigonometría, en muchas ocasiones es necesario pasar de una unidad de

medida angular a otra, por lo que se hace necesario saber realizar la conversión correctamente,

sabiendo que: 𝟏𝟖𝟎° = 𝝅 𝒓𝒂𝒅𝒊𝒂𝒏𝒆𝒔

La siguiente tabla nos muestra la forma de pasar de una medida angular a otra:

Para cambiar Multiplicar por Ejemplo

Grados a radianes

𝜋

180° 100° = 100° (

𝜋

180°) =

𝟓𝝅

𝟗

Radianes a grados 180°

𝜋

3𝜋

5=

3𝜋

5(

180°

𝜋) = 𝟏𝟎𝟖°

9

A continuación, se presenta una tabla de conversión de ángulos especiales:

EJEMPLOS RESUELTOS DE CONVERSIÓN

1. Convertir 75° a radianes.

Solución: Para convertir de grados a radianes se debe multiplicar el ángulo dado por 𝜋

180° , y

simplificar, es decir:

𝟕𝟓° = 75° (𝜋

180°) =

𝟓𝝅

𝟏𝟐

multiplicar simplificar

2. Convertir 𝟐𝝅

𝟏𝟓 a grados, minutos y segundos.

Solución: Para pasar de radianes a grado se debe multiplicar el ángulo por 180°

𝜋 , cabe recordar

que estaremos utilizando como valor de 𝜋 (𝑝𝑖); 𝝅 = 𝟑, 𝟏𝟒𝟏𝟔.

Así tenemos:

𝟐𝝅

𝟏𝟓=

2𝜋

15(

180°

𝜋) = 2(12°) = 𝟐𝟒°

3. Obtener la medida aproximada del ángulo 𝜃 en grados, minutos y segundos, si 𝜃 = 3 𝑟𝑎𝑑.

Solución: Como pasamos de radianes a grados debemos multiplicar el ángulo por 180°

𝜋 y

trabajamos con cinco decimales, como el ángulo está en radianes se omite la unidad de medida,

es decir:

𝜃 = 𝟑𝒓𝒂𝒅 = 3 (180°

𝜋) = 3 (

180°

3,1416) ≈ 171,88694° ≈ 𝟏𝟕𝟏°𝟓𝟑´𝟏𝟑"

(Utilizando la calculadora científica)

4. Convertir 𝜽 =𝟕𝝅

𝟔 a grados, minutos y segundos.

Solución: Debemos multiplicar el ángulo por 180°

𝜋 , para luego realizar las conversiones a minutos

y segundos, si hay parte decimal, es decir:

𝜽 =𝟕𝝅

𝟔=

7𝜋

6(

180°

𝜋) = 7(30°) = 𝟐𝟏𝟎°

Medidas en grados 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°

Medidas en radianes 0 𝝅

𝟔

𝝅

𝟒

𝝅

𝟑

𝝅

𝟐

𝟐𝝅

𝟑

𝟑𝝅

𝟒

𝟓𝝅

𝟔 π

𝟑𝝅

𝟐 2π

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USO DE LA CALCULADORA CIENTÍFICA Es importante, verificar que la calculadora esté en el modo correcto (Modo DEG).

a) Para convertir expresiones decimales de grados a grados, minutos y

segundos.

Ejemplo: Convertir 𝜃 = 56,794° a grados, minutos y segundos.

Solución: Con la calculadora científica debemos pulsar las teclas en el siguiente orden, para

introducir la información:

5 6 . 7 9 4 °´“ = 56°47´38,4”

b) Para convertir de grados, minutos y segundos a grados.

Ejemplo: Convertir 𝜃 = 83°10´58" a grados.

Solución: Con la calculadora científica debemos pulsar las teclas en el siguiente orden, para

introducir la información:

8 3 °´” 1 0 °´” 5 8 °´” = °´” 83,18278° (Recuerde redondear)

c) Para convertir de grados a radianes

Ejemplo: Convertir 𝜃 = 83°10´58" a radianes.

Solución: Para introducir los datos pulsamos las teclas así:

8 3 °´” 1 0 °´” 5 8 °´” x 𝒔𝒉𝒊𝒇𝒕 𝝅 ÷ 180 °´” = 1,45181 (Recuerde redondear)

d) Para convertir de radianes a grados, minutos y segundos.

Ejemplo: Convertir 𝜃 = 7,596 a grados.

Solución: Para introducir los datos pulsamos las teclas así:

7 . 5 9 6 x 180 °´” ÷ 𝒔𝒉𝒊𝒇𝒕 𝝅 = 435°13´7,47”

Observación: En algunas calculadoras científicas el valor π se encuentra en la tecla (EXP) y

en otras en la tecla (X10X), luego de presionar la tecla (Shift)

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ACTIVIDAD Nº1

Ángulos: relación entre grados y radianes

I PARTE. Convierta a radianes los siguientes ángulos, puede dejar 𝝅 indicado en la respuesta

(Haga los cálculos manuales)

1) 420°

2) 45°

3) -180°

4) 135°

5) 330°

6) 900°

7) 350°

8) 342°

9) 512°

10) 390°

11) 475°

12) 36°

II PARTE. Transforme a grados, minutos y segundos (Haga los cálculos manuales)

1) 3𝜋

2) −2𝜋

3

3) 4,52 rad

4) 14 rad

5) 𝜋

4

6) 5𝜋

3

7) 4𝜋

3

8) −3𝜋

2

Utilice la calculadora para resolver:

9) 𝜃 = −6 𝑟𝑎𝑑.

10) 𝜃 = 1,3 𝑟𝑎𝑑.

11) 𝜃 = −2,5 𝑟𝑎𝑑.

12) 𝜃 = 5,4 𝑟𝑎𝑑.

13) 𝜃 = −3,867 𝑟𝑎𝑑.

14) 𝜃 = 7,908 𝑟𝑎𝑑.

III PARTE. Exprese en radianes. Use la calculadora.

1) 𝜃 = 75°30´

2) 𝜃 = 112°40´

3) 𝜃 = 12°12´20"

4) 𝜃 = 42°30´

5) 𝜃 = 13°25´ 14"

6) 𝜃 = 31°14´

7) 𝜃 = 159°52´

8) 𝜃 = 125°23´19"

9) 𝜃 = 142°43,2´

10) 𝜃 = 25°30´

11) 𝜃 = 42°24´35"

12) 𝜃 = 100°25´8"

IV PARTE. Convertir cada ángulo a radianes. Use la calculadora.

1) 𝜃 = 24°36´

2) 𝜃 = 35°25´

3) 𝜃 = 15°45´50"

4) 𝜃 = 4°15´40

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TEMA #2

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Las seis razones trigonométricas de la longitud de los lados de un triángulo rectángulo son las

funciones trigonométricas de un ángulo ∝. Se definen tomando como referencia el triángulo

rectángulo ∆𝐴𝐵𝐶. Las abreviaciones op, ady e hip, aluden a la longitud del lado o cateto opuesto

de α, al lado o cateto adyacente de α y a la hipotenusa de α, respectivamente.

Sea α (alfa) uno de los ángulos del triángulo rectángulo,

• El seno de un ángulo α se define como la razón

entre el cateto opuesto (a) y la hipotenusa (c).

𝑠𝑒𝑛 𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

𝑎

𝑐

• El coseno de α se define como la razón entre el

cateto adyacente (b) y la hipotenusa (c).

𝑐𝑜𝑠 𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

𝑏

𝑐

• La tangente de α se define como la razón entre

el cateto opuesto (a) y el cateto adyacente (b)

𝑡𝑎𝑛 𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

𝑎

𝑏

• La cosecante de α se define como la razón

entre la hipotenusa (c) y el cateto opuesto (a)

𝑐𝑠𝑐 𝛼 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜=

𝑐

𝑎

• La secante de α se define como la razón entre

la hipotenusa (c) y el cateto adyacente (b)

𝑠𝑒𝑐 𝛼 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

𝑐

𝑏

• La cotangente de α se define como la razón

entre el cateto adyacente (b) y el cateto opuesto

(a)

𝑐𝑜𝑡 𝛼 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜=

𝑏

𝑎

Observación: a los ángulos se les puede nombrar con cualquiera de las letras

del alfabeto griego, las más usados son: α, β, θ…

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Ejemplos resueltos:

1. Si 𝜽 es un ángulo agudo y 𝒔𝒆𝒏 𝜽 =𝟑

𝟓, calcular el valor de las demás funciones

trigonométricas.

Solución: Primero trazamos un esquema de un triángulo rectángulo, con un ángulo agudo 𝜽, lado

opuesto 𝒐𝒑 = 𝟑, hipotenusa 𝒉𝒊𝒑 = 𝟓, es decir:

Aplicando el teorema de Pitágoras podemos encontrar la longitud del lado adyacente, que es el

lado desconocido del triángulo, es decir: 𝒉𝒊𝒑𝟐 = 𝒂𝒅𝒚𝟐 + 𝒐𝒑𝟐, de donde;

(ℎ𝑖𝑝)2 = (𝑎𝑑𝑦)2 + (𝑜𝑝)2

(𝑎𝑑𝑦)2 = (ℎ𝑖𝑝)2 − (𝑜𝑝)2 despejando

𝑎𝑑𝑦 = √(ℎ𝑖𝑝)2 − (𝑜𝑝)2 extraemos raíz cuadrada a ambos miembros

𝑎𝑑𝑦. = √(5)2 − (3)2 reemplazamos los valores

𝑎𝑑𝑦 = √25 − 9

𝑎𝑑𝑦. = √16

𝒂𝒅𝒚 = 𝟒

Con este dato podemos determinar el valor de las demás funciones trigonométricas, si sabemos

cómo está definida cada función trigonométrica. Esto es:

𝒔𝒆𝒏 𝜽 =𝒐𝒑

𝒉𝒊𝒑=

𝟑

𝟓 𝐜𝐬𝐜 𝜽 =

𝒉𝒊𝒑

𝒐𝒑=

𝟓

𝟑

𝐜𝐨𝐬 𝜽 =𝒂𝒅𝒚

𝒉𝒊𝒑=

𝟒

𝟓 𝐬𝐞𝐜 𝜽 =

𝒉𝒊𝒑

𝒂𝒅𝒚=

𝟓

𝟒

𝐭𝐚𝐧 𝜽 =𝒐𝒑

𝒂𝒅𝒚=

𝟑

𝟒 𝐜𝐨𝐭 𝜽 =

𝒂𝒅𝒚

𝒐𝒑=

𝟒

𝟑

𝒐𝒑 = 𝟑

𝒉𝒊𝒑 = 𝟓

𝒂𝒅𝒚 = ?

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Para conocer el valor del ángulo 𝜽 calculamos la relación inversa de alguna de las funciones

trigonométricas, como se indica a continuación:

Como la expresión 𝒔𝒆𝒏 𝜽 =𝟑

𝟓, nos indica el valor de la función seno para el ángulo 𝜃, tenemos

que 𝜽 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 (𝟑

𝟓) nos indica el valor del ángulo 𝜽.

Este valor lo podemos obtener con la ayuda de una calculadora científica, de la siguiente manera:

𝑺𝑯𝑰𝑭𝑻 𝒔𝒆𝒏 (𝟑 ÷ 𝟓) = ° ´ "

Esto nos da un resultado de 𝜽 = 𝟑𝟔°𝟓𝟐´𝟏𝟐"

2. Hallar el valor las seis funciones trigonométricas para los ángulos especiales de

𝜽 = 𝟑𝟎° 𝑦 𝜽 = 𝟔𝟎°.

Solución: Estos ángulos reciben el nombre de especiales porque podemos determinar el valor de

las funciones trigonométricas, sin la ayuda de una tabla de funciones o una calculadora. Para ello

debemos solamente considerar un triángulo equilátero de lado 2 y trazar su altura como se indica

en la siguiente gráfica, para luego aplicar el teorema de Pitágoras y obtener los valores deseados;

es decir:

Obsérvese que como el triángulo es equilátero sus ángulos internos miden 𝟔𝟎° cada uno, además

la altura 𝒉 biseca o divide un ángulo a la mitad 𝟑𝟎° y a un lado por su mitad, se forman dos

triángulos rectángulos; por lo que podemos calcular la altura 𝒉 aplicando el teorema de Pitágoras.

𝒉𝒊𝒑𝟐 = 𝒂𝒅𝒚𝟐 + 𝒐𝒑𝟐

de donde se tiene que:

ℎ2 = (2)2 − (1)2

ℎ = √(2)2 − (1)2

ℎ = √4 − 1

ℎ = √3

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Con el proceso realizado obtenemos los datos de un triángulo rectángulo de ángulos agudos

30° 𝑦 60°, y lados 2, 1 𝑦 √3 , que nos van a permitir conocer el valor de las seis funciones

trigonométricas para estos ángulos, sólo debemos saber identificar correctamente quién es el lado

opuesto y quién es el lado adyacente correspondiente para cada ángulo.

Así tenemos para 𝜽 = 𝟑𝟎°:

𝑠𝑒𝑛 30° =𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝=

𝟏

𝟐 csc 30° =

ℎ𝑖𝑝

𝑜𝑝=

2

1= 𝟐

cos 30° =𝑎𝑑𝑦

ℎ𝑖𝑝=

√𝟑

𝟐 sec 30° =

ℎ𝑖𝑝

𝑎𝑑𝑦=

2

√3=

𝟐√𝟑

𝟑

tan 30° =𝑜𝑝

𝑎𝑑𝑦=

1

√3=

√𝟑

𝟑 cot 30° =

𝑎𝑑𝑦

𝑜𝑝=

√3

1= √𝟑

Para 𝜽 = 𝟔𝟎°


ℎ𝑖𝑝=

√𝟑

𝟐 csc 60° =

ℎ𝑖𝑝

𝑜𝑝=

2

√3=

𝟐√𝟑

𝟑

cos 60° =𝑎𝑑𝑦

ℎ𝑖𝑝=

𝟏

𝟐 sec 60° =

ℎ𝑖𝑝

𝑎𝑑𝑦=

2

1= 𝟐

tan 60° =𝑜𝑝

𝑎𝑑𝑦=

√3

1= √𝟑 cot 60° =

𝑎𝑑𝑦

𝑜𝑝=

1

√3=

√𝟑

𝟑

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Observación:

Cuando queda en una fracción un radical en el denominador, se debe realizar una racionalización

(proceso para eliminar el radical del denominador), esto consiste en multiplicar tanto el

numerador como el denominador por el mismo radical, cuando es una raíz cuadrada, que es el

caso que nos ocupa.

Por ejemplo, al calcular:

𝐬𝐞𝐜 𝟑𝟎° =𝒉𝒊𝒑

𝒂𝒅𝒚=

𝟐

√𝟑=

𝟐√𝟑

𝟑

lo que hicimos fue multiplicar tanto el numerador como el denominador por √3 , como se indica

en detalles a continuación:

𝐬𝐞𝐜 𝟑𝟎° =𝒉𝒊𝒑

𝒂𝒅𝒚=

𝟐

√𝟑=

𝟐√𝟑

√𝟑√𝟑=

𝟐√𝟑

√(𝟑)𝟐=

𝟐√𝟑

𝟑

Un procedimiento similar se realiza con los otros casos donde nos queda un radical en el

denominador de una fracción.

3. Hallar el valor las seis funciones trigonométricas para el ángulo especial de 𝜽 = 𝟒𝟓°.

Solución: Este ángulo también recibe el nombre de ángulo especial, ya que se puede determinar

el valor de las funciones trigonométricas de una manera práctica. Para ello consideramos un

cuadrado unitario (de lado 1) y lo partimos por una de sus diagonales, formando así dos triángulos

rectángulos de ángulos agudos iguales a 45°, como se muestra en la siguiente imagen.

Luego, para 𝜽 = 𝟒𝟓°:

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ℎ𝑖𝑝=

1

√2=

√𝟐

𝟐 csc 45° =

ℎ𝑖𝑝

𝑜𝑝=

√2

1= √𝟐

𝑐𝑜𝑠 45° =𝑜𝑝

ℎ𝑖𝑝=

1

√2=

√𝟐

𝟐 sec 45° =

ℎ𝑖𝑝

𝑜𝑝=

√2

1= √𝟐

tan 45° =𝑜𝑝

𝑎𝑑𝑦=

1

1= 𝟏 cot 45° =

𝑎𝑑𝑦

𝑜𝑝=

1

1= 𝟏

4. Encuentra el valor de x en la siguiente figura

5. Encuentra el valor de x en la siguiente figura

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ACTIVIDAD Nº2

Razones trigonométricas

I PARTE. Valor de las funciones trigonométricas para los ángulos especiales de 30°, 45° 𝑦 60°.

1. Si 𝜃 = 30° ,determina el valor de las funciones trigonométricas y racionalice si es necesario.

Datos conocidos:

Lado opuesto: ______

Lado adyacente: _____

Hipotenusa: _______

𝜃 = ________

Funciones trigonométricas:

𝑠𝑒𝑛___ = ________

𝑐𝑜𝑠___ = ________

𝑡𝑎𝑛___ = ________

𝑐𝑠𝑐___ = ________

𝑠𝑒𝑐___ = ________

𝑐𝑜𝑡___ = ________


Datos conocidos:

Lado opuesto: _______


Hipotenusa: _______

𝜃 = ________


𝑠𝑒𝑛___ = ________

𝑐𝑜𝑠___ = ________

𝑡𝑎𝑛___ = ________

𝑐𝑠𝑐___ = ________

𝑠𝑒𝑐___ = ________

𝑐𝑜𝑡___ = ________


Datos conocidos:



Hipotenusa: _______

𝜃 = ________


𝑠𝑒𝑛___ = ________

𝑐𝑜𝑠___ = ________

𝑡𝑎𝑛___ = ________

𝑐𝑠𝑐___ = ________

𝑠𝑒𝑐___ = ________

𝑐𝑜𝑡___ = ________

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II PARTE. Valor de las funciones trigonométricas para ángulos agudos.

1. Si 𝜃 es un ángulo agudo y 𝑐𝑜𝑠𝜃 =4

5 , calcular el valor de las funciones trigonométricas.

Datos conocidos:



Hipotenusa: _______

𝜃 = ________

Cálculo del dato desconocido:


𝑠𝑒𝑛___ = ________

𝑐𝑜𝑠___ = ________

𝑡𝑎𝑛___ = ________

𝑐𝑠𝑐___ = ________

𝑠𝑒𝑐___ = ________

𝑐𝑜𝑡___ = ________

2. Si 𝜃 es un ángulo agudo y 𝑡𝑎𝑛𝜃 =12


Datos conocidos:



Hipotenusa: _______

𝜃 = ________



𝑠𝑒𝑛___ = ________

𝑐𝑜𝑠___ = ________

𝑡𝑎𝑛___ = ________

𝑐𝑠𝑐___ = ________

𝑠𝑒𝑐___ = ________

𝑐𝑜𝑡___ = ________

3. Si 𝜃 es un ángulo agudo y 𝑐𝑠𝑐𝜃 =25


Datos conocidos:



Hipotenusa: _______

𝜃 = ________



𝑠𝑒𝑛___ = ________

𝑐𝑜𝑠___ = ________

𝑡𝑎𝑛___ = ________

𝑐𝑠𝑐___ = ________

𝑠𝑒𝑐___ = ________

𝑐𝑜𝑡___ = ________

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TEMA #3 RESOLUCIÓN DE

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Todo triángulo tiene seis elementos: tres lados y tres ángulos. En el triángulo rectángulo hay un

elemento que es fijo que es el ángulo recto y, en consecuencia, quedan cinco elementos que

pueden variar.

Resolver un triángulo rectángulo es precisamente, calcular el valor de todos los elementos

faltantes cuando se conoce la longitud de uno de los lados y uno cualquiera de los otros elementos.

En pocas palabras y con más elegancia, resolver un triángulo rectángulo es el cálculo de los

elementos desconocidos del triángulo. Y esta es una de las aplicaciones más comunes de la

trigonometría.

De lo anterior surgen dos casos:

1. Resolver un triángulo rectángulo a partir de la medida de dos de sus lados.

2. Resolver un triángulo rectángulo a partir de la medida de uno de sus lados y uno de sus ángulos

agudos.

En cualquiera de los dos casos el procedimiento a seguir es seleccionar la función trigonométrica

en la que entran los dos elementos conocidos y el tercero que se quiere calcular. El elemento

desconocido se puede, entonces, calcular de acuerdo con los procedimientos ordinarios de álgebra.

Ejemplos:

1. Resolver el triángulo rectángulo en el cual 𝑎 = 3 y 𝑏 = 5. (Caso1: se conocen dos lados)

Solución:

Se desea determinar c, A, B.

A

a = 3 c

B

C b = 5

21

Debido a que tenemos los catetos a y b, los cuales muy bien pueden representar los lados

opuesto y adyacente del A, por lo que la función tan A es la más adecuada para encontrar el

valor del A.

tan 𝐴 = 𝑎

𝑏

tan 𝐴 = 3

5

A = 𝑡𝑎𝑛−1 (3

5)

𝑨 = 𝟑𝟎, 𝟗𝟔°

Luego, teniendo en cuenta que A, B son complementarios (que suman 90°), tenemos que:

𝐵 = 90° − 𝐴

𝐵 = 90° − 30,96°

𝑩 = 𝟓𝟗. 𝟎𝟒°

Ahora, por Pitágoras conseguiremos el valor de c:

c = √𝑎2 + 𝑏2

c = √32 + 52

c = √9 + 25

c = √34

c = 5.8

De esta forma conocemos los valores de los elementos desconocidos:

𝑨 = 𝟑𝟎. 𝟗𝟔°

𝑩 = 𝟓𝟗. 𝟎𝟒°

𝒄 = 𝟓. 𝟖

2. Resolver el triángulo rectángulo en el cual b = 5,9 y A = 37°

(Caso2: se conocen un lado y uno de sus ángulos agudos)

Solución:

Debido a que tenemos el lado adyacente del ángulo de 37°

Usaremos tan 37°

tan 37° =𝑎

𝑏

(tan 37°)(𝑏) = 𝑎

(tan 37°)(5,9) = 𝑎 usando la calculadora científica

𝟒, 𝟒 = 𝒂

Ahora, por teorema de Pitágoras, tenemos:

𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2

A

a c

B

C b = 5,9

37°

22

𝑐 = √𝑎2 + 𝑏2

𝑐 = √(4,4)2 + (5,9)2

𝑐 = √19,36 + 34,81

𝑐 = √54,17

𝒄 = 𝟗, 𝟑𝟔

Luego, teniendo en cuenta que A, B son complementarios (que suman 90°), tenemos que:

𝐵 = 90° − 𝐴

𝐵 = 90° − 37°

𝑩 = 𝟓𝟑°

De esta forma encontramos los elementos desconocidos del triángulo rectángulo presentado.

ACTIVIDAD Nº3

Resolución de triángulos rectángulos

Resuelve cada uno de los siguientes triángulos rectángulos. Es importante que presentes el dibujo

del triángulo para que visualices con mayor claridad los elementos que conoces y los que tienes

que calcular.

1) 𝑏 = 12, 𝑐 = 13

2) 𝑎 = 1, 𝐵 = 78°

3) 𝑎 = 29, 𝑏 = 17.4

4) 𝑎 = √3, 𝑐 = 2

5) 𝑎 = 20, 𝐴 = 52°

6) 𝑐 = 3.5, 𝐴 = 17° 50′

7) 𝑎 = 38.64, 𝑏 = 48.74

8) 𝑏 = 6.3, 𝐵 = 62.5°

9) 𝑐 = 42.5, 𝐵 = 62° 30′

10) 𝑏 = 5.385, 𝐴 = 40° 24′

23

TEMA #4 ÁNGULOS DE

ELEVACIÓN Y DEPRESIÓN

Los triángulos rectángulos se utilizan con frecuencia para determinar distancias que pueden

medirse fácilmente en forma directa. En tales casos se utiliza el ángulo formado por la línea visual

de un observador y la horizontal de la posición de observación. Dicho ángulo de elevación o

ángulo de depresión; dependiendo de la posición del observador, si se encuentra en su punto más

bajo o alto, respectivamente, del punto que es observado.

Al observar objetos distantes, la línea de visión es la línea que hay desde el punto de observación

hasta el objeto.

Veamos:

Se llama ángulo de elevación al que forma la horizontal con la línea de visión, que se halla por

encima de la horizontal si el objeto está situado arriba del punto de observación.

Ahora, veamos la siguiente figura:

Se llama ángulo de depresión al que forma la horizontal con la línea de visión, el cual se halla

por debajo de la horizontal.

24

Ejemplos:

1. Desde un punto al nivel del suelo y a 140 pies de la base de una torre, el ángulo de elevación

a la parte más alta de la torre es 58°. Calcula la altura de la torre.

Solución:

a. Haga una figura que corresponda al enunciado del problema

b. Denota por la letra d a la altura de la torre

De acuerdo con la figura, se tiene:

𝐭𝐚𝐧 𝟓𝟖° =𝒐𝒑

𝒂𝒅𝒚

tan 58° =𝑑

140

𝑑 = 140(tan 58°)

𝒅 ≈ 𝟐𝟐𝟒, 𝟎𝟓 𝒑𝒊𝒆𝒔

Respuesta: La torre mide alrededor de 224,05 pies de altura

2. Determine el ángulo de elevación de una lámpara si un parquímetro de 1,735 m proyecta una

sombra de 1,4850 m

Solución:

Considere la figura:

𝜽 representa el ángulo de elevación.

De allí que,

tan 𝜃 =𝑜𝑝

𝑎𝑑𝑦

tan 𝜃 =1,735

1,4850

tan 𝜃 = 1,1683 Despejamos el ángulo 𝜽 y la función tan pasa como tangente inversa (𝒕𝒂𝒏−𝟏)

𝜃 = tan−1(1,1683) para calcular 𝒕𝒂𝒏−𝟏 hacemos uso de la calculadora científica y de las

𝜽 ≈ 𝟒𝟗, 𝟒𝟒° teclas y luego ingresamos el valor y ponemos

Respuesta: el ángulo de elevación es 𝜽 ≈ 𝟒𝟗, 𝟒𝟒°

25

3. La medida del ángulo de depresión de una boya y la plataforma de una torre de radar de 25

m de alto es de 18°. Calcular la distancia de la boya a la base de la torre si los datos son

exactos.

Solución:

La figura correspondiente es:

En el triángulo rectángulo ABC.

El ángulo BAC es: 90° − 18° = 𝟕𝟐°

𝑨𝑩 = 𝟐𝟓

Luego por:

𝐭𝐚𝐧 𝟕𝟐° =𝒐𝒑

𝒂𝒅𝒚

tan 72° =𝐵𝐶

𝐵𝐴

tan 72° =𝐵𝐶

25

(tan 72°)(25) = 𝐵𝐶

76,94 ≈ 𝐵𝐶

𝑩𝑪 ≈ 𝟕𝟔, 𝟗𝟒

Respuesta: la medida de la distancia de la boya a la base de la torre es de 76,94 m

¿Sabías que...?

Navegación es el arte de dirigir un móvil (barco) ya sea mediante instrumentos o con cálculos

matemáticos, manuales.

26

ACTIVIDAD Nº4

Triángulos rectángulos: Ángulos de elevación y depresión

Aplica el conocimiento adquirido en este tema y resuelve las siguientes situaciones reales.

a. Haga una figura que corresponda al enunciado del problema

b. Usa las razones trigonométricas y lo aprendido en la resolución de triángulos rectángulos

(presente todos los procedimientos necesarios)

c. Dé la respuesta en forma de oración.

1. Una persona de 1,75 m de estatura desea medir la altura de un árbol sabiendo que a una

distancia de 10 m el extremo superior se observa bajo un ángulo de 60° respecto a la horizontal.

2. Queremos apoyar un tablón contra una pared de manera que forme un ángulo de 30° con el

suelo y con el punto de apoyo situado a 4 m de la pared. ¿Cuál debe ser la longitud del tablón?

3. Un punto del suelo horizontal dista 200 m de la iglesia y desde él se observa el extremo del

campanario 12° por encima de la horizontal, ¿Cuál debe ser la altura del campanario?

4. Determine el ángulo de elevación del sol, si un árbol de 45 m de altura proyecta una sombra

de 25 m de longitud.

5. Un estadio de fútbol se planea con un ángulo ascendente en las gradas de 18°20' con la

horizontal; si cada 0.76 m horizontalmente puede haber una fila de asientos y se desean 24

filas ¿Qué altura deberá tener el estadio?

6. Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 10 m, cuando el ángulo de

elevación del sol es de 30°.

7. Un árbol proyecta una sombra de 17 m de longitud. Desde el punto del terreno donde termina

la sombra, el ángulo de elevación (formado por la horizontal y la visual dirigida a un objeto,

cuando éste está sobre la horizontal) del extremo superior del árbol de 52°. ¿Cuál es la altura

del árbol?

8. Encuentra la altura H de un árbol si se sabe que la longitud de su sombra es de 120 cm.

Además, el ángulo que forman los rayos del sol con la horizontal es de 45°.

9. Marcos mide 1,72 metros de estatura y su sombra 1,54 metros de longitud, ¿qué ángulo forman

en este instante los rayos del sol con la horizontal?

10. Observa la figura y determina la altura de la torre.

27

EVALUACIÓN

DIMENSIONES

RÚBRICA ANALÍTICA

PUNTOS

DE EVALUACIÓN

NIVELES DE LOGROS

SOBRESALIENTE

4

LOGRADO

3

ACEPTABLE

2

EN PROCESO

1

Conceptos

Matemáticos

La explicación

demuestra completo

entendimiento del

concepto matemático

usado para resolver

los problemas.

La explicación

demuestra

entendimiento

sustancial del


usado para resolver

los problemas.

La explicación

demuestra algún

entendimiento del


necesario para

resolver los

problemas.

La explicación

demuestra un

entendimiento muy

limitado de los

conceptos

subyacentes

necesarios para

resolver problemas o

no está escrita.

Terminología

Matemática y

Notación

La terminología y

notación correctas

fueron siempre usadas

haciendo fácil de

entender lo que fue

hecho.

La terminología y

notación correctas

fueron, por lo general,

usadas haciendo fácil

de entender lo que fue

hecho.

La terminología y

notación correctas

fueron usadas, pero

algunas veces no es

fácil entender lo que

fue hecho.

Hay poco uso o

mucho uso

inapropiado de la

terminología y la

notación.

Razonamiento

Matemático

Usa razonamiento

matemático complejo

y refinado.

Usa razonamiento

matemático efectivo.

Alguna evidencia de

razonamiento

matemático.

Poca evidencia de

razonamiento

matemático.

Orden y

Organización

El trabajo es

presentado de una

manera ordenada,

clara y organizada

que es fácil de leer.

El trabajo es

presentado de una

manera ordenada y

organizada que es, por

lo general, fácil de

leer.

El trabajo es

presentado en una

manera organizada,

pero puede ser difícil

de leer.

El trabajo se ve

descuidado y

desorganizado. Es

difícil saber qué

información está

relacionada.

Estrategia y

procedimientos

Por lo general, usa

una estrategia

eficiente y efectiva

para resolver

problemas.

Por lo general, usa

una estrategia efectiva

para resolver

problemas.

Algunas veces usa

una estrategia efectiva

para resolver

problemas, pero no lo

hace

consistentemente.

Raramente usa una

estrategia efectiva

para resolver

problemas.

TOTAL, DE

PUNTOS

BIBLIOGRAFÍA

✓ BALDOR, Aurelio. Álgebra. Primera edición, Publicaciones Cultural, S. A., México.

✓ BENDIBURG, Zoila y Sandoval, Ubaldino. Matemática Liceo. “Un Enfoque Diferente”.

Litografía Any, Los Santos, Panamá.

✓ DE LAJÓN, Diana y Lajón, Ricardo. Matemática 10° “Álgebra y Trigonometría con y

Geometría Analítica”. Editorial Sibauste, Panamá.

matemÁtica 10°

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