Serie: Teora y Prctica Curricular de la Educacin Bsica

ISBN: 978-607-467-053-0

Matemticas escolares

Aprendizaje enseanzay de las

Casos y perspectivas

Serie: Teora y Prctica Curricular de la Educacin Bsica

Secretara de Educacin Pblica

Alonso Lujambio Irazbal

Subsecretara de Educacin Bsica

Jos Fernando Gonzlez Snchez

Direccin General de Desarrollo Curricular

Leopoldo F. Rodrguez Gutirrez

Direccin General de Desarrollo de la Gestin e Innovacin Educativa

Juan Martn Martnez Becerra

Direccin General de Materiales Educativos

Mara Edith Bernldez Reyes

Direccin General de Educacin Indgena

Rosalinda Morales Garza

Direccin General de Formacin Continua de Maestros en Servicio

Leticia Gutirrez Corona

Matemticas escolares

Aprendizaje enseanzay de las

Casos y perspectivas

Aprendizaje y enseanza de las Matemticas escolares. Casos y perspectivas fue ela-borado por la Direccin General de Desarrollo Curricular, que pertenece a la Subsecre-tara de Educacin Bsica, de la Secretara de Educacin Pblica, con la colabo racin del Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del Instituto Politcnico Nacional.

Coordinacin generalLeopoldo F. Rodrguez GutirrezNoem Garca Garca

Coordinacin acadmica por la Secretara de Educacin PblicaErnesto Lpez Orendain Hugo Balbuena Corro

Coordinacin acadmica por el Centro de Investigacin y de Estudios Avanzados del Instituto Politcnico NacionalErnesto Snchez Snchez

AutoresCarmen Batanero Bernabeu, Universidad de Granada, espaangel Gutirrez Rodrguez, Universidad de valencia, espaaVernica Hoyos Aguilar, Universidad pedaGGica nacional, MxicoGonzalo Lpez Rueda, escUela norMal sUperior, MxicoSalvador Llinares Ciscar, Universidad de alicante, espaaMariana Siz Roldan, Universidad pedaGGica nacional, MxicoErnesto Snchez Snchez, cinvestav-ipn, Mxico

Coordinacin editorialGisela L. Galicia

Diseo de portada e interioresLourdes Salas Alexander

Correccin de estilo y formacinLeticia Dvila Acosta

Primera edicin, 2011

D.R. Secretara de Educacin Pblica, 2011 Argentina 28, Centro, CP 06020 Cuauhtmoc, Mxico, DF

ISBN: 978-607-467-053-0

Hecho en MxicoMATERIAL GRATuITO/PROHIBIDA Su VENTA

ndice

Presentacin 9

Introduccin 11

1. Didctica de las matemticas y el profesor

de los niveles bsicos 15

Introduccin 15

un da en la clase de matemticas de la maestra Carmen 17

Las tareas en la clase de matemticas 22

El aprendizaje: la relacin entre lo matemtico y lo cognitivo 25

La cultura en el saln de clases 31

Conclusin: el papel del profesor en el desarrollo

de competencias 35

2. Sentido numrico y pensamiento algebraico 37

Sentido numrico 37

Pensamiento algebraico 48

3. Forma, espacio y medida 59

Aprendizaje de la geometra durante la educacin bsica 60

Aprendizaje de la medida de magnitudes

durante la educacin bsica 71

4. Manejo de la informacin 79

Datos, grficas y medidas de tendencia central 79

Azar y probabilidad 92

Relaciones de proporcionalidad 101

5. La tecnologa para el aprendizaje de las matemticas 109

Sentido numrico 110

Pensamiento algebraico 114

Forma, espacio y medida 117

Azar y probabilidad 123

Relaciones de proporcionalidad 126

6. Pautas para la formacin continua de los profesores

de matemticas 129

Tareas profesionales del docente 130

Competencias docentes 132

Oportunidades de aprendizaje profesional para el docente 135

Tres pautas para la formacin continua de los profesores

de matemticas 147

Bibliografa 149

9Presentacin

La Secretara de Educacin Pblica (SEP) edita la serie Teora y prctica curricular de la educacin bsica, para continuar apoyando la consolidacin de la Reforma Integral de la Educacin Bsica (RIEB). Su propsito es im-pulsar la comprensin de los enfoques, campos formativos, asignaturas y contenidos del currculo nacional, apoyar la enseanza en los distintos campos formativos y asignaturas en los tres niveles de la educacin bsica (preescolar, primaria y secundaria) y, al mismo tiempo, convertirse en una herramienta til para fortalecer la actualizacin y formacin continua de los y las docentes en los distintos espacios disciplinares de la educacin bsica.

Con esta serie, la SEP pretende establecer un dilogo entre la produc-cin vanguardista del conocimiento y su aplicacin sistemtica en las es-cuelas de educacin bsica, como una va ms para promover aprendiza-jes pertinentes que contribuyan al logro del perfil de egreso y al desarrollo de competencias para la vida al final de este trayecto formativo.

Los ttulos que conforman la serie han sido cuidadosamente elabo-rados por especialistas a nivel nacional e internacional en los diferentes campos que integran el currculo de educacin bsica, a fin de apoyar la

10

comprensin de los procesos de transformacin curricular que en el marco de la RIEB experimentan docentes, directivos, personal tcnico y de apoyo, as como alumnos en los jardines de nios y en los planteles de educacin primaria y secundaria.

Asimismo, se abordan temas relativos a los campos formativos del currculo nacional de la educacin bsica de las siguientes asignaturas se-gn su distribucin en los planes y programas correspondientes: Mate-mticas, Ciencias, Formacin Cvica y tica, Historia, Geografa, Artes, y Educacin Fsica. En cada volumen se presenta un panorama actualizado del desarrollo de las didcticas de las asignaturas, as como sus enfoques pedaggicos y las sugerencias para su tratamiento en cada nivel educativo.

La serie Teora y prctica curricular de la educacin bsica se suma a otras acciones de produccin de materiales y desarrollo de actividades de actuali-zacin con el compromiso de fortalecer la formacin continua de los docen-tes de educacin bsica, mediante la promocin del anlisis y discusin de temas de apoyo didctico relacionados con el tratamiento de los contenidos de aprendizaje y sus enfoques, con el fin de contribuir a mejorar la calidad de la educacin bsica en Mxico.

Secretara de Educacin Pblica

11

Introduccin

Estimado profesor, estimada profesora, ste es un material de apoyo para su activi-

dad docente, que le ofrece informacin sobre investigaciones recientes acerca del

aprendizaje y de la enseanza de las matemticas; los temas de investigacin que

lo integran forman parte de algunos programas de estudio de los niveles bsicos:

preescolar, primaria y secundaria. La enorme cantidad de informes publicados en

el campo de la didctica de las matemticas imposible de incluir en este volu-

men obligaron a los autores a exponer pocos casos, pero han tratado de dar una

perspectiva general de cada eje curricular.

En la medida de lo posible, la eleccin de los temas y las investigaciones resu-

midas cumplen tres requisitos: 1) claridad de los problemas propuestos y resultados

obtenidos en la investigacin; 2) aplicabilidad en las sesiones de algn grado de

la educacin bsica; y 3) relevancia didctica, en el sentido de aportar resultados

valiosos, reconocidos por la comunidad, para la comprensin de los problemas que

enfrenta la enseanza y el aprendizaje de las matemticas en las aulas.

En el captulo 1 se identifican los tipos de conocimiento que debe desarrollar

un profesor de niveles bsicos para tener un desempeo competente en sus tareas

docentes. El autor se apoya en un fragmento de un registro de observacin que le

permite ilustrar cmo se traducen los conocimientos del profesor sobre contenido

12

matemtico, aprendizaje de los alumnos y gestin de la clase en la promocin de

una cultura matemtica dentro del aula.

El captulo 2 se divide en dos partes: en la primera, se define el sentido num-

rico y se ejemplifica cmo desarrollarlo, y se exponen los distintos significados que

toman las fracciones; en la segunda, se ofrece una breve caracterizacin del pen-

samiento algebraico y se aborda el tema clsico de ecuaciones de primer grado.

Para finalizar, se presenta un estudio sobre la generalizacin en lgebra.

El captulo 3 tambin se divide en dos partes: la primera trata acerca del apren-

dizaje de la geometra; se expone el modelo de Van Hiele sobre desarrollo del razo-

namiento geomtrico; y se aborda el tema de la enseanza y del aprendizaje de

la demostracin y la visualizacin en la educacin bsica. La segunda parte, sobre

el aprendizaje de la medicin, resume estudios del aprendizaje de la medicin de

longitudes, reas y volmenes. Al final se tratan los errores en el clculo de reas, y

volmenes donde se aplica inadecuadamente la proporcionalidad.

El captulo 4 incluye tres apartados: a) Datos, grficas y medidas de tendencia

central, donde se resumen estudios sobre recopilacin y organizacin de datos;

b) Azar y probabilidad presenta temas (la percepcin de la aleatoriedad, por ejem-

plo), adquisicin de nociones (espacio muestral y eventos), as como el aprendizaje

y las dificultades de las definiciones de probabilidad; y c) Relaciones de proporcio-

nalidad desarrolla un esquema para organizar situaciones de proporcionalidad.

En el captulo 5 se revisan brevemente diferentes estudios relacionados con el uso

de la tecnologa para desarrollar en los estudiantes el sentido numrico con ayuda de

calculadoras; el pensamiento algebraico con hojas de clculo; el razonamiento

geomtrico con Logo y software de geometra dinmica; el razonamiento probabi-

lstico con Probability Explorer y TinkerPlots; y para finalizar el razonamiento proporcio-

nal, tambin apoyndose en Logo.

En el captulo 6 se enuncian y analizan las tareas profesionales del docente, lo

que permite definir las competencias que debe adquirir durante su formacin y de-

sarrollo profesional. Se describen las caractersticas que es necesario considerar para

13

crear oportunidades de aprendizaje profesional y, por ltimo, se formulan tres pautas

que deben seguirse para formarse y superarse de forma continua como profesores

de matemticas.

Los autores esperamos que este material proporcione ideas y conocimientos

para planear y llevar a la prctica los proyectos de clase, pero tambin que ofrezca

la posibilidad de formarse una perspectiva general de la investigacin en educacin

matemtica. Esto permitir al docente de la asignatura aprovechar las nuevas apor-

taciones de la investigacin y convertirlas en casos prcticos en su aula.

15

Ernesto Snchez Snchez, Cinvestav, ipn, Mxico

Salvador Llinares Ciscar, universidad de Alicante, Espaa

IntroduccinLa didctica de las matemticas abarca mltiples mbitos de reflexin e indagacin,

tales como el desarrollo de teoras educativas, el currculo, la poltica educativa,

la formacin de profesores, el aprendizaje y la enseanza de las matemticas y el

aula de matemticas. Sin embargo, en este captulo vamos a identificar las tareas

profesionales que definen la enseanza de las matemticas y nos centraremos en

los conocimientos de didctica de las matemticas que pueden ser pertinentes

para el docente de los niveles bsicos en la realizacin de esas tareas; es decir, ex-

pondremos los conocimientos que ayuden al profesor a comprender las situaciones

de enseanza y de aprendizaje de las matemticas en las aulas de educacin pri-

maria y secundaria, y que puedan utilizar para la toma de decisiones docentes.

En el proceso de enseanza y de aprendizaje que ocurre en una clase de ma-

temticas identificamos tres elementos y sus relaciones, generadas en un contexto

sociopoltico determinado: el estudiante, el contenido matemtico y el profesor

(llamado tringulo didctico, vase figura 1.1). De manera especfica, en una si-

tuacin de enseanza de las matemticas, un profesor debe gestionar una parte

1. Didctica de las matemticas y el profesor de los

niveles bsicos

16

del contenido matemtico con el objetivo de que sus estudiantes desarrollen dife-

rentes dimensiones de lo que podemos considerar competencia matemtica. En

estos casos, la didctica de las matemticas modela y estudia las interacciones

entre estos tres elementos y sus relaciones, y proporciona el conocimiento para

interpretar, comprender y tomar decisiones en dicha situacin (Gutirrez y Boero,

2006; Lester, 2007).

Docente

Contexto

Estudiantes Contenidotemtico

Figura 1.1. Elementos del proceso de enseanza y de aprendizaje.

El profesor, por medio de los problemas y las actividades que plantea a sus estu-

diantes, implementar un currculo que refleje lo que la sociedad demanda a la for-

macin matemtica de los estudiantes. El programa de matemticas (sep, 2006:11)

se refiere a la competencia matemtica en los siguientes trminos:

una competencia implica un saber hacer (habilidades) con saber (conocimiento), as

como la valoracin de las consecuencias del impacto de ese hacer (valores y acti-

tudes). En otras palabras, la manifestacin de una competencia revela la puesta en

juego de conocimientos, habilidades, actitudes y valores para el logro de propsitos

en un contexto dado.

Las competencias movilizan y dirigen todos estos componentes hacia la consecu-

cin de objetivos concretos; son ms que el saber, el saber hacer o el saber ser [....]. La

17

movilizacin de saberes (saber hacer con saber y con conciencia respecto del impacto

de ese hacer) se manifiesta tanto en situaciones comunes de la vida diaria como en

situaciones complejas, y ayuda a visualizar un problema, a determinar los conocimien-

tos pertinentes para resolverlo, a reorganizarlos en funcin de la situacin, as como a

extrapolar o prever lo que falta.

El objetivo de este libro es proporcionar sugerencias para pensar en clases que

favorezcan el desarrollo de estudiantes matemticamente competentes. Por lo cual,

la informacin de ste y los siguientes captulos se pens para que los docentes im-

plementen diferentes decisiones con fundamento para lograr el mismo objetivo: que

los alumnos aprendan matemticas a partir de comprenderlas para llegar a ser ciu-

dadanos competentes; es decir, que aprendan cmo funcionan las matemticas

para que las produzcan por ellos mismos y sepan utilizarlas en asuntos de su vida

profesional y personal, adems de apreciar su rigor y belleza. Para organizar y desa-

rrollar el contenido de este captulo, nos apoyaremos en un fragmento de registro de

observacin procedente de una clase de 5 de primaria (alumnos de 10 a 11 aos

de edad).

Este registro de la clase de la maestra Carmen es una ventana mediante la

cual podemos identificar aspectos de la enseanza de las matemticas que consi-

deramos relevantes para entender lo que sucede en una clase de esta asignatura,

e identificar el conocimiento de didctica que puede ser pertinente para poten-

ciar la competencia matemtica de los estudiantes.

Un da en la clase de matemticas de la maestra CarmenLa maestra Carmen atiende un grupo de 5 de educacin primaria. En el segundo bloque

del programa de Matemticas de este grado, en el tema Significado y uso de las opera-

ciones, y el subtema Multiplicacin y divisin, se proponen los conocimientos y las habi-

lidades siguientes: 2.4 Encontrar las relaciones D = c d + r (r < d) y utilizarlas para resolver

18

problemas. Los alumnos ya resuelven de manera eficaz divisiones entre nmeros de varias

cifras. Por ejemplo, en el tema de la divisin entera (la divisin inexacta) los estudiantes sue-

len realizar, de manera correcta, los clculos en ejercicios como los siguientes:

Realiza estas divisiones y haz la prueba:

a) 23451 : 4 d) 58788 : 69

b) 48623 : 58 e) 17346 : 23

c) 14030 : 46 f) 5572 : 37

En este tipo de ejercicios, los alumnos de la maestra Carmen suelen utilizar con precisin

el algoritmo de la divisin y son capaces de realizar la prueba de la divisin. Sin embargo,

se ha dado cuenta de que, al parecer, algunos alumnos tienen dificultades para responder

algunas cuestiones. Por ejemplo, anticipar qu tan grande va a ser el cociente de la divisin;

es decir, determinar de cuntas cifras va a estar compuesto el cociente, antes de hacer

ningn clculo y saber justificarlo: cuntas cifras va a tener el cociente del ejercicio a anterior?, cuntas tendr el cociente del ejercicio f?

Cuando realizan el algoritmo de la divisin, a algunos alumnos se les dificulta identificar las

unidades con las que estn trabajando en cada momento. As, al realizar la divisin del inciso

c, cuando escriben lo que aparece en la figura 1.2, tienen dificultades para responder la pre-

gunta: qu tipo de unidad es el 23?, as como para justificar y argumentar su respuesta.

Figura 1.2. Divisin parcial.

Por todo esto, la maestra Carmen decidi centrarse en los significados de la relacin

aritmtica vinculada a la divisin entera (D = dxc + r). Para el inicio de la clase de hoy, plan-

tea a sus alumnos los siguientes problemas:

19

Indica los nmeros que faltan en las expresiones:

661 = 9 [_]+4

837 = [_] 64 + 52

302 = 7 42 + [_]

La maestra Carmen escribe en el pizarrn las expresiones anteriores y pide a sus alum-

nos que le digan qu nmero falta en la primera. Algunos alumnos levantan la mano y

empiezan a decir nmeros para la primera expresin (27, 43). La profesora les pide que

justifiquen por qu creen que esos nmeros son los adecuados, y solicita que lo comprue-

ben. Cuando los alumnos realizan las operaciones con el fin de verificar que se cumple la

primera igualdad para el nmero 27, se dan cuenta de que lo que obtienen de multiplicar

9 por 27 y luego sumarle 4 est muy lejos de 661. La maestra Carmen pide a sus alumnos

que trabajen en equipos de dos o tres integrantes y busquen nmeros que cumplan las igual-

dades. Insiste en que luego explicarn al resto de sus compaeros lo que han pensado

hasta obtener los nmeros: lo que obtienen y el procedimiento que siguieron.

Luego de trabajar durante unos minutos, la maestra Carmen propone una discusin

grupal para compartir los diferentes procedimientos usados para averiguar los nmeros que

faltan. La profesora pide al equipo de Ins que diga cmo lo hicieron.

Ins y Manuel van al pizarrn y explican:

Ins: Hemos probado diferentes nmeros en la tabla del 9 y a lo que sala le sumamos

4. Pero no daba igual (se refiere a que la suma no da 661). Hemos probado con

ms nmeros, pero todava no lo hemos encontrado.

Maestra: Alguien puede plantear una forma ms rpida de averiguar el nmero que

falta en la primera igualdad? Adems, tiene que explicar por qu el procedimien-

to pensado ayudara a resolver el problema.

Luca (levanta la mano): Cuesta mucho la manera en que el equipo de Ins y Manuel

est probando, y puede ser que nunca acierten; como 661 son 6 centenas, si mul-

20

tiplicamos 9 por 100, que es una centena, se pasa; se puede probar con 80 (Luca

va al pizarrn y hace las operaciones [9 80 + 4]). Al obtener 724 se puede probar

con 70 (hace las operaciones [9 70 + 4]) y el resultado es 634, el que (seala el

nmero 70) est ms cerca.

Paco (levanta la mano): Se podra probar con 60 (varios compaeros empiezan a

protestar).

Eduardo: 634 es ms pequeo que 661, pero poco. Tenemos que multiplicar por

un nmero un poco mayor que 70 para no pasarnos (muestra una lista de n-

meros que estuvieron probando en su equipo y los resultados que obtuvieron).

Nosotros nos dimos cuenta, al mirar todos los nmeros, que habamos probado y

lo que nos sali.

Maestra (pregunta a Paco): Comprendes lo que est diciendo Eduardo? Los de-

ms estn de acuerdo?

Paco: Es verdad, para que salga un nmero un poco mayor que 634 debemos mul-

tiplicar por un nmero un poco mayor que 70.

Ins: Yo prob con el 73 y me sali (seala en el pizarrn las operaciones que hizo;

vase figura 1.3).

Figura 1.3. Comprobacin de la solucin a la ecuacin 661 = 9 [_] + 4.

Maestra: Cmo lo obtuviste?

Ins: Cada vez que multiplicamos 9 por 70, y luego por 71 el resultado aumenta en 9,

como de 630 a 661 van un poco ms de 30, decid multiplicar por 3 ms (se refiere

a multiplicar por 73) que aumentaba en 27. Lo prob y sali.

21

La maestra Carmen resume lo que han hecho durante los ltimos minutos. Su objetivo es

que se dieran cuenta que ordenar y organizar los diferentes nmeros que probaron y los resulta-

dos que obtuvieron, les permiti realizar una bsqueda especfica del nmero que faltaba, y evi-

tar as probar nmeros sin un objetivo claro. Adems, resalta el ltimo razonamiento de Ins, quien

se apoy en el clculo mental y us la relacin entre los nmeros para justificar una decisin.

La profesora intenta que sus alumnos trasladen su atencin del resultado al procedi-

miento usado. Para reforzar esto, a continuacin pregunta si algn otro equipo haba utiliza-

do otro procedimiento. Susana pide la palabra:

Susana: Nosotros pensamos que tenamos que buscar un nmero que al multiplicarlo

por 9 le faltaran slo 4 para llegar a 661. As que nosotros buscamos un nmero que

multiplicado por 9 diera 657.

Maestra (se dirige a Susana): Ve al pizarrn y explica cmo lo hicieron (Susana realiza

la divisin que aparece en la figura 1.4).

Figura 1.4. Divisin.

Susana: 73 es el nmero que falta, ya que al multiplicar 73 9 sale 657.

Maestra (se dirige a todo el grupo): Se entiende el procedimiento realizado

por el equipo de Susana? (los alumnos asienten; ella enfatiza). Lo relevante en cmo

el equipo de Susana resolvi la tarea es el hecho de ver la expresin aritmtica

(661 = 9 x [_] + 4) como un todo, y ver que el signo de igual indica la equivalencia

entre las dos partes de la igualdad. Ahora busquen el nmero que falta en la si-

guiente igualdad: (837= [_] x 64 + 52). usen cualquiera de los dos procedimientos

que revisaron hasta el momento.

22

Del fragmento del registro de observacin de la clase de la maestra Carmen

podemos identificar cuatro dimensiones que la articulan (Fennema y Romberg,

1999), las que nos permitirn generar una reflexin sobre el conocimiento de didc-

tica de las matemticas pertinente para que el docente promueva el desarrollo de

la competencia matemtica de los estudiantes en el aula:

Las caractersticas de las tareas matemticas (problemas, ejercicios, actividades).

El aprendizaje: la relacin entre lo matemtico y lo cognitivo en un contexto social.

El desarrollo de una cultura matemtica en la clase: las normas y reglas que rigen

el discurso y la comunicacin matemtica en el aula.

El papel del profesor en el desarrollo de clases de matemticas que potencien la

generacin de la competencia matemtica.

Las tareas en la clase de matemticasLas tareas constituyen las referencias sobre las que se articula la enseanza y, por

tanto, son un factor fundamental que determinan el aprendizaje. Se entiende

por tareas matemticas los ejercicios, los problemas o las actividades de con-

tenido matemtico que se realizan en la clase (no a lo que tradicionalmente se

llama la tarea, que consiste en ejercicios o problemas para resolver en casa). En

seguida se resaltarn caractersticas de las tareas en su relacin con tres aspectos

fundamentales que intervienen en la actividad escolar: el contenido, el aprendi-

zaje y la gestin de la clase.

a) Contenido. Las tareas se elaboran o eligen para ofrecer a los estudiantes opor-

tunidades de aprendizaje de los diversos contenidos del Programa de estudio de

Matemticas del grado correspondiente; al hacerlo as, se asume que los temas

y conceptos que el programa prescribe son ideas matemticas centrales que

los estudiantes requieren aprender.

23

La tarea que la maestra Carmen sugiri a sus estudiantes cubre parte de

los conocimientos y las habilidades prescritos en el segundo bloque del 5 gra-

do del Programa de estudios (sep, 2009) que indica: 2.4 Encontrar las relaciones

D= c d + r (r < d) y utilizarlas para resolver problemas. Como se ver ms ade-

lante, este tema es fundamental para la comprensin de la divisin aritmtica.

b) Aprendizaje. En la elaboracin o eleccin de las tareas es importante conside-

rar los conocimientos que ya poseen los estudiantes y prever posibles dificulta-

des, errores y falsas concepciones que surjan cuando las tareas se realicen en

el saln de clases. Adems, es necesario considerar la trayectoria hipottica del

aprendizaje que estos pueden desarrollar al resolver las tareas. En relacin con

esta cuestin, los resultados de las investigaciones sobre didctica de las mate-

mticas proporcionan conocimiento acerca de las caractersticas del aprendi-

zaje matemtico de los estudiantes, se identifican y caracterizan dificultades,

errores comunes y concepciones de stos en cuanto a diversos temas de las

matemticas escolares (vase la siguiente seccin y los dems captulos de este

libro), incluso proporcionan informacin sobre cmo los estudiantes aprenden

las matemticas.

una caracterstica de la tarea que eligi la maestra Carmen era que repre-

sentaba un desafo para los alumnos, aunque poda resolverse a partir de sus

conocimientos previos, pues slo requera las operaciones de suma, resta y mul-

tiplicacin; es decir, temas que ya se vieron en grados anteriores. Sin embargo,

la manera en que se present permiti desarrollar en los estudiantes procesos

matemticos que potenciaron su comprensin de la divisin y de la perspectiva

estructural de las expresiones aritmticas.

As, la forma (c = a + b) en que la maestra Carmen present las igualdades aritmticas en las tareas dadas a sus estudiantes, colocando las operaciones a la

derecha del signo igual, tena como objetivo intentar superar el significado que

muchos alumnos de primaria dan al signo igual: como anunciando el resultado

de una operacin aritmtica que debe realizarse de izquierda a derecha (por

24

ejemplo, la expresin 24 + 73 = dificulta que la vean indicando una equivalen-cia entre las dos partes, porque lleva a interpretar el signo = como el resultado de alguna operacin). La presentacin de las actividades en la forma en que la

profesora lo hizo intenta crear contextos para que los alumnos empiecen a de-

sarrollar una interpretacin del signo igual para una equivalencia matemtica y

no slo se vea como una visin operativa (tener que hacer cuentas para buscar

un resultado). El contexto fue el de las relaciones aritmticas en la divisin entera

(D = dxc + r) mediante un problema que result asequible y estimulante para

sus alumnos. En otras palabras, la actividad propuesta por la maestra Carmen

le permiti enfatizar el significado de las expresiones aritmticas (por ejemplo:

837 = 64 + 52) como objetos (estructuras) ms que como procedimientos de clculo que deben realizarse. En este sentido, una visin estructural de la igual-

dad aritmtica es lo que permiti al equipo de Susana generar su procedimiento

de solucin.

c) Gestin de la clase. La elaboracin y eleccin de las tareas tambin depende

de la concepcin que el profesor tenga sobre cmo se crean condiciones en

el aula para que los estudiantes aprendan y, por tanto, de la flexibilidad y las

posibilidades que ofrecen para ser manejadas en clase.

La tarea elegida por la maestra Carmen debe verse, asimismo, desde la

perspectiva en que la present a sus estudiantes y la manera en que gestion las

respuestas de sus estudiantes. En este sentido, su eleccin estuvo guiada por la

conviccin de que los alumnos aprenden resolviendo problemas y creando un

ambiente de discusin en clase. En consecuencia, esperaba que los estudiantes

se comprometieran con la tarea y se presentaran diferentes procedimientos de

solucin e, incluso, resultados distintos. Esto permitira generar la discusin. Con

estas ideas, la profesora fue capaz de tomar decisiones con base en las diferen-

tes reacciones de sus estudiantes frente al problema. Si pensara que los alumnos

aprenden mediante explicaciones y despus ejercicios y prctica, quiz hubie-

ra elegido otro tipo de tareas, y planteado su gestin en el aula de manera

25

diferente; por ejemplo, una batera de ejercicios para resolver despus de dar

una explicacin de cmo hacer un caso general.

El aprendizaje: la relacin entre lo matemtico y lo cognitivo

una amplia clase de investigaciones en didctica de las matemticas ofrece co-

nocimientos sobre los procesos de aprendizaje de contenidos matemticos espe-

cficos, muchos referidos a tareas muy precisas. La pregunta fundamental "Cmo

aprenden los nios contenidos matemticos?" se multiplica en muchas preguntas

en las que se debe precisar el contenido matemtico. Los estudios de didctica, en

relacin con el aprendizaje en general, prevn dificultades y falsas concepciones

en los estudiantes respecto a contenidos especficos y, a veces, tambin indican

cmo utilizar esos conocimientos en la clase y su potencial para la evaluacin.

La situacin de la clase de la maestra Carmen nos sirve de ejemplo y nos permite

subrayar aspectos que requieren considerarse al analizar el aprendizaje. Estos aspec-

tos son: a) El contenido matemtico y las dificultades de comprensin del signo de

igualdad; b) Las caractersticas de la implementacin de las tareas; y c) La evalua-

cin de la actividad matemtica de los alumnos.

a) Contenido matemtico y la comprensin de signo de igualdad. En la escuela

suele aprenderse el aspecto operacional de la divisin; esto quiere decir apren-

der los pasos que deben seguirse para obtener el cociente y el resto de un

nmero que se divide entre otro. En Mxico, este procedimiento suele llamarse

el mtodo de la casita, cuya representacin queda como se muestra:

26

Por ejemplo, si se divide 428 entre 12, se obtiene como cociente 35 y como

resto 8; el procedimiento mediante el cual los estudiantes obtienen esos nmeros

queda representado de la siguiente manera:

3512 428 68 8................(1)

En cambio, la formulacin estructural del algoritmo de la divisin pre-

senta un aspecto diferente; dicha formulacin se conoce desde la poca de

Euclides (300 a. C.) y es la siguiente (en lenguaje moderno):

Dados dos nmeros enteros positivos B y A, con A > 0,

existen dos enteros q > 0 y r, con 0r

27

estudiantes, en este caso, pidindoles encontrar el valor faltante en expresiones

similares a la siguiente:

428 = 12 + 8

un aspecto que se resolver en la proposicin del algoritmo de la divisin

de Euclides es que la divisin se formula slo en trminos de las nociones de mul-

tiplicacin, suma e igualdad. Sin embargo, esta nocin de igualdad conlleva

dificultades para los estudiantes. Como ya se mencion, en relacin con la ta-

rea que la profesora Carmen sugiri a sus alumnos, hay dos formas de entender

el signo = : una, como un operador, y, dos, como una relacin de equivalencia. El signo de igualdad se interpreta a manera de operador cuando se mira la

parte izquierda de la igualdad como las operaciones que hay que realizar para

obtener el valor de la parte derecha; en cambio, se interpreta como una re-

lacin de equivalencia cuando se entiende a manera de proposicin que es

verdadera si las expresiones de ambos lados representan una misma cantidad,

y falsa cuando representan cantidades distintas.

En los problemas que administr la maestra Carmen es necesario ver al sig-

no de igualdad como una relacin de equivalencia, porque hay que encontrar

un nmero que haga verdadera la igualdad. A muchos nios el problema les

puede resultar extrao, incluso sin sentido, ya que pueden estar acostumbrados

a encontrar el signo de igualdad como un operador y no haber tenido nunca

la oportunidad de enfrentarse a problemas en los que se requiere entenderlo

como una relacin de equivalencia.

Las dificultades con el significado relacional del signo de igualdad se pre-

sentan en estudiantes de diferentes niveles, desde primaria hasta bachillerato,

como lo muestran varios informes de estudios de didctica, como los de Kieran

(1981, 2006), y Baroody y Ginsburg (1983). Recientemente, Seo y Ginsburg (2003)

llevaron a cabo una investigacin con estudiantes de Taiwn de 2 de primaria.

28

Estos autores analizaron cmo se presenta el signo de igualdad en los proble-

mas y ejercicios en los textos; cmo ensea y utiliza el signo de igualdad una pro-

fesora en sus clases de matemticas; y las concepciones del signo de igualdad

de los nios. En seguida resumiremos esta ltima parte de la investigacin, que

parte de tres entrevistas.

En la primera entrevista, a los nios se les present slo el signo = y se les pi-di que dijeran qu era; 14 de 16 nios respondieron que era el signo de igual.

Cuando se les pidi explicar qu quera decir dicho signo, slo dos sugirieron

un significado relacional (es decir, respondieron que es igual a); los otros 14 lo

interpretaron como un smbolo operador; por ejemplo, tres respuestas de tipo

operacional fueron: el resultado es, la suma da, el total es.

En la segunda entrevista, el signo = se present en enunciados numricos cannicos de suma o resta de la forma:

a + b = c o a b = c

(por ejemplo: 2 + 3 = 5). Los participantes en este caso dieron las mismas respues-

tas que en la primera entrevista. Los dos nios que interpretaron el signo igual

como un smbolo relacional en la primera entrevista volvieron a responder que

significaba lo mismo que y los 14 nios que lo interpretaron como un operador,

lo interpretaron de la misma manera.

En la tercera entrevista, a los alumnos se les presentaron enunciados de la

forma:

c = a + b o c = a b

(por ejemplo: 5 = 2 + 3) y se les pidi que explicaran qu quera decir la expresin

y el signo de igualdad. 13 de los 16 nios respondieron que la expresin no deca

nada; algunos dijeron que estaba invertida (La escribi volteada, maestra,

Debera ponerla al revs, no?, etc.). Slo tres nios, que interpretaron el

29

signo de igual como un operador en las primeras entrevistas, aceptaron que

la expresin c = a + b tena sentido y argumentaron que ya la haban visto en

otro lado. Los dos nios que en la primera y segunda entrevistas vieron el signo

de igualdad en su aspecto relacional estuvieron dentro de los 13 que no le en-

contraron significado a la expresin. Los autores deducen que no es suficiente

tener una idea relacional del signo igual, sino que es necesario familiarizarse con

problemas y situaciones en que el signo se utilice en su forma relacional.

El conocimiento matemtico del algoritmo de la divisin y del signo de

igualdad, muestran la profundidad de la, aparentemente, simple tarea que

puso la maestra Carmen a sus estudiantes.

b) Caractersticas de la implementacin. No slo los conocimientos mencionados

fueron puestos en juego por la profesora Carmen en su leccin; tambin la rela-

cin entre lo matemtico y lo cognitivo, como un aspecto del aprendizaje, que-

da reflejada por una concepcin de cmo adquieren los nios los conocimien-

tos y una posicin sobre cmo deben ensearse los contenidos matemticos.

No basta con saber los contenidos y las dificultades del tema, ya que la

profesora pudo haber dictado en su clase la relacin entre el procedimiento de

la divisin y la estructura del algoritmo de la divisin e insistir con los nios para

que lo aprendieran; haber explicado los significados del signo de igualdad e ilus-

trar con ejemplos cmo a veces el significado del signo no es llevar a cabo una

operacin; preparar una batera de ejercicios con todas las variantes posibles

y organizarlos del ms simple (operacional) al ms complejo (relacional); poco

a poco ensearles los procedimientos para resolverlos y despus dejar a los ni-

os resolver, individualmente, todos los ejercicios, procurando ayudarles cuando

tuvieran dificultades. Sin embargo, de seguro ella sabe que los conocimientos

adquiridos de esta manera no son tan eficaces para desarrollar un pensamiento

matemtico, como lo es que los estudiantes resolvieran los problemas con sus

propios recursos, conocieran procedimientos de otros y discutieran la validez y

calidad de los resultados y procedimientos que permitieron alcanzarlos.

30

c) Evaluacin de la actividad matemtica de los alumnos. Determinar en qu me-

dida los estudiantes aprendieron el contenido de la enseanza para asignarles

una calificacin ha sido, durante mucho tiempo, el objetivo de la evaluacin.

Pero, las nuevas tendencias de la evaluacin sugieren que su propsito principal

es ser un medio para obtener informacin y llegar a conocer las dificultades y

concepciones de los estudiantes, y hacer un seguimiento de su aprendizaje

(Llinares y Snchez, 1998; Gimnez, 1992). Este conocimiento permitira al docen-

te ajustar su proyecto de enseanza para optimizar los resultados. Se mencion

que el propsito de la evaluacin es conocer los aprendizajes alcanzados por

los estudiantes, pero tambin las dificultades para aprender los contenidos es-

pecficos, as como las concepciones que tienen acerca de ellos, esto facilita la

toma de decisiones del profesor, sus estrategias para mejorar la clase y la asig-

nacin de calificaciones.

La tarea que la maestra Carmen eligi para trabajar con sus alumnos le

permiti darse cuenta de que los alumnos no asocian la expresin c = a + b con la divisin con resto de c entre a, a pesar de que poseen los anteceden-

tes para hacerlo. Tambin le ayud a observar que los estudiantes descubren

estrategias propias y las pueden comparar con otras de sus compaeros y eva-

luarlas. Por otra parte, la puesta en comn de los diferentes procedimientos de

resolucin encontrados por los equipos en clase crea la oportunidad para que

los alumnos justifiquen sus propuestas; adems, con la peticin de la maestra

Carmen a sus estudiantes de que argumenten lo que se hace, le permite ob-

tener informacin sobre la comprensin de sus alumnos de las diferentes ideas

matemticas. Este aspecto es relevante porque, para evaluar la resolucin de

problemas, la profesora debe ir ms all de recopilar las respuestas escritas de

sus alumnos y apoyarse en las explicaciones que los diferentes alumnos realizan

en clase.

31

La cultura en el saln de clasesSe vieron dos aspectos importantes de la didctica de las matemticas para la ac-

tividad docente del profesor: la naturaleza de las tareas y los elementos para su

aprendizaje. Ahora se adoptar un punto de vista ms global al centrar la atencin

en la nocin de cultura matemtica en la clase de matemticas; sta incluye un

conjunto de significados compartidos acerca de las interacciones entre los profeso-

res, los alumnos y el contenido matemtico dentro del saln de clases; tales signifi-

cados determinan los comportamientos que ah se producen y su efectividad.

La cultura matemtica en la clase est determinada por los siguientes aspectos:

Dirigir la actividad hacia ideas matemticas centrales.

Favorecer unas determinadas caractersticas de la interaccin:

a) La interaccin de los estudiantes con relacin a las matemticas.

b) El tipo de actividad cognitiva que desarrollan en relacin con el conte-

nido matemtico.

Establecimiento de normas sociomatemticas.

Actividad con la que el profesor ayuda a crear normas sociomatemticas (por

ejemplo, cmo se determina la verdad matemtica en el aula).

Actividad dirigida hacia ideas matemticas centrales. En las diferentes reas

de las matemticas hay ideas que son la base para comprender otras muchas

nociones matemticas y que es deseable que todos los estudiantes adquieran y

manejen a un nivel ms o menos profundo. La mayora de estas ideas se sugieren

en los programas de estudio, aparecen por primera vez en el grado escolar en

que se considera que los estudiantes son maduros para comprenderlas, y luego se

incluyen reiteradamente en grados subsecuentes, pero de manera ms comple-

ja o elaborada. Por ejemplo, las nociones de nmero (entero, racional), de figura

geomtrica, de variable, de probabilidad y de datos, a partir de su aparicin en

algn grado escolar se vuelven a revisar a lo largo de varios grados. Hay otras ideas,

32

llamadas transversales que estn, o deberan estar, presentes en cualquier grado,

que aun cuando no se refieren a contenidos especficos forman parte integral de

la actividad matemtica; tales ideas se identifican con las expresiones: resolucin

de problemas, representacin, comunicacin, manejo de tcnicas, justificacin y

argumentacin. En ocasiones, hay otras ideas que pueden no estar explcitamente

en los programas, sin embargo, en la investigacin didctica se revela su importan-

cia. Este es el caso de las nociones de igualdad en aritmtica y lgebra, visualiza-

cin en geometra, aleatoriedad en probabilidad y variacin en estadstica, entre

otros. La identificacin y seleccin de las ideas centrales y su posterior tratamiento

ayudan a construir la cultura del saln de clases al poner el foco de atencin en lo

que es relevante para el desarrollo de la competencia matemtica.

La maestra Carmen dirige la atencin de sus alumnos hacia las ideas matem-

ticas que considera relevantes en esta situacin (organizar informacin, explicar

y evaluar resultados; el significado del signo = como una equivalencia). Consigue esto cuando ella solicita a sus alumnos, de manera sistemtica, que justifiquen o

argumenten sus decisiones (Qu ests pensando para hacer esto? Por qu crees

que esto funcionar?). La peticin que hace al grupo, a partir de la primera inter-

vencin de Ins y la respuesta dada por el equipo de Luca, es una manifestacin

de este hecho. Luca propone una explicacin matemtica que justifica la de-

cisin que toma cuando se busca el nmero adecuado que cumpla la primera

igualdad. En esta primera parte de la leccin, Luca sabe que debe justificar las de-

cisiones tomadas y se apoya en su conocimiento del valor de posicin en el sistema

de numeracin decimal. Aunque la estrategia propuesta no es totalmente eficaz,

pone de manifiesto que el equipo de Luca y el de Ins pueden empezar a manejar

las ideas matemticas relevantes de esta situacin.

Favorecer determinadas caractersticas de la interaccin. una parte impor-

tante de la cultura del saln de clases est determinada por la manera en que la

profesora es capaz de favorecer una interaccin especfica entre los estudiantes,

y entre ellos y el contenido matemtico, mediante la colaboracin y la discusin.

33

De esta manera, las caractersticas de la interaccin se determinan por la gestin

que el docente hace de la leccin diseada, sus decisiones ante eventos impre-

vistos ocurridos en clase y la actividad que desarrollan los estudiantes. Es decir, la

cultura del saln de clases queda determinada por la manera en que se gestiona

y realiza la situacin de enseanza y de aprendizaje. En particular, algunas carac-

tersticas son las siguientes:

El profesor debe proporcionar determinado tipo de apoyo para el desarrollo de las

tareas que los estudiantes deben realizar.

Establece tiempo suficiente para que los alumnos mejoren sus propios procedi-

mientos.

Es conveniente mantener permanentemente la exigencia de que los alumnos pro-

porcionen explicaciones, argumenten, justifiquen y expliquen de manera adecua-

da los procedimientos seguidos.

En el fragmento de registro de clase ya descrito, la manera en la que la maes-

tra Carmen gestion la situacin de enseanza como de resolucin de problemas,

permiti resaltar aspectos de la relacin entre los estudiantes, el contenido ma-

temtico y ella misma, que ayudan a desarrollar una determinada cultura mate-

mtica en el aula. Por ejemplo, dio oportunidades a sus alumnos para hablar de

matemticas y que organizaran datos de una determinada manera para que les

ayudara a obtener informacin relevante y resolver la tarea. Adems, les permiti y

dio tiempo al plantearles la resolucin de la segunda igualdad para que com-

pararan la eficacia de los procedimientos que utilizaron en la resolucin de la pri-

mera igualdad. La posibilidad de poner en funcionamiento los dos procedimientos en

la resolucin de la segunda igualdad crea el contexto para hablar de las ventajas y

limitaciones de los procedimientos, introducir la idea de expresiones equivalentes y

subrayar el potencial de generar y organizar informacin. As, la profesora estable-

ce relaciones de apoyo y confianza con los estudiantes.

34

Establecer normas sociomatemticas. un aspecto intrnseco a la manera en

que se genera la interaccin y ayuda a configurar una determinada cultura en el

aula de matemticas son las normas sociomatemticas, reglas algunas veces

implcitas que rigen la comunicacin en el aula y determinan lo que los estudian-

tes pueden llegar a concebir como una actividad matemtica verdadera y lo que

es o no lcito hacer en una clase de matemticas en relacin con las matemticas

que deben aprenderse. Por ejemplo:

El convencimiento de que el grupo entero debe valorar las ideas expuestas y los

mtodos usados.

Los alumnos eligen y comparten diferentes mtodos de resolucin.

Los errores al realizar las tareas y de comprensin forman parte del proceso de

aprendizaje.

La argumentacin y la explicacin matemtica es la que fundamenta la correccin

del error.

En la clase, la maestra Carmen establece normas de respeto y valoracin de

las ideas de los dems. De las ideas que cada equipo propone se considera lo que

importa y se subraya lo que puede ser genuino de cada aproximacin. Por ejem-

plo, con la propuesta del equipo de Eduardo en la que se resalta el papel que puede

tener el organizar la informacin de manera adecuada para obtener informacin

relevante y resolver la tarea; o en la ltima respuesta de Ins, donde se resaltan las

relaciones numricas en que se apoyaba su propuesta, as como la estimacin y el

clculo mental. Esta forma de actuar de manera sistemtica a lo largo del curso

permite a los alumnos desarrollar confianza en s mismos como solucionadores de

problemas, lo que se traduce en confianza al formular preguntas y hacer propues-

tas para la resolucin de los problemas.

35

Conclusin: el papel del profesor en el desarrollo de competencias

Las tareas, el aprendizaje, la gestin y la evaluacin constituyen componentes prin-

cipales de la didctica de las matemticas que conciernen directamente a la ac-

tividad del profesor y que debe considerar a la hora de hacer su proyecto docente.

Tales componentes se traducen en los siguientes deberes del maestro:

Crear ambientes de aprendizaje en el aula de matemticas.

Lograr que los estudiantes reflexionen sobre las matemticas que estn haciendo.

Propiciar la comunicacin de las ideas matemticas que se producen en el aula.

Evaluar el nivel de comprensin de los conceptos matemticos que alcanzan sus

estudiantes.

Para desempear este papel es fundamental que el docente conozca el con-

tenido matemtico que debe ser aprendido por los estudiantes y sepa qu conoci-

miento didctico posee en relacin con dicho contenido, pues estos le permitirn

seleccionar tareas para generar actividades matemticas, gestionar la comunica-

cin y el discurso matemtico en el aula, evaluar el desempeo de sus estudiantes

y encontrar formas de mejorar las tareas y su propia gestin de la clase.

En los siguientes captulos se describir un conjunto importante de resultados de

la investigacin en didctica de las matemticas que forman parte del conocimiento

didctico que es fundamental que el docente adquiera, con el fin de que est mejor

preparado para cumplir con las responsabilidades que se enumeraron antes.

En la exposicin de tales resultados se encontrarn elementos de diversos tipos

que podrn utilizase como base para disear actividades de clase, pero cabe des-

tacar que an requieren de cierta elaboracin para ser adaptados y aplicados al

entorno especfico en que el profesor desarrolla su actividad. Esta tarea de adap-

tacin debe ser realizada por el profesor. El contenido visto en este captulo puede

ser una gua para llevar a cabo dicha tarea.

37

Ernesto Snchez Snchez, Cinvestav, IPN

Vernica Hoyos Aguilar, universidad Pedaggica Nacional, Mxico

Gonzalo Lpez Rueda, Escuela Normal Superior de Mxico

Sentido numricoLa aritmtica tiene un lugar privilegiado en las matemticas de los niveles bsicos;

los docentes, los elaboradores del currculo, los investigadores y todos los que opi-

nan e influyen en la educacin reconocen su importancia fundamental para la

vida diaria, la formacin y el desempeo profesional, y el cultivo del pensamiento

cientfico.

El aprendizaje y la enseanza de la aritmtica es el rea de la didctica de

las matemticas que ms se ha estudiado; las operaciones con un solo dgito, las

operaciones con nmeros de dos y ms dgitos, la estimacin, el sentido numrico,

la resolucin de problemas, son temas de esta extensa rea de la didctica. Este

apartado se dedicar especficamente al sentido numrico.

El sentido numrico consiste en los conocimientos, las habilidades y las intuicio-

nes que una persona desarrolla acerca de los nmeros y sus operaciones. Implica

la habilidad e inclinacin hacia el empleo del conocimiento numrico, de manera

flexible, para formular proposiciones matemticas, desarrollar estrategias tiles para

manipular nmeros, realizar operaciones y resolver problemas. Alguien con sentido

numrico utiliza los nmeros y mtodos cuantitativos como un medio de comuni-

2. Sentido numrico y pensamiento

algebraico

38

cacin, procesamiento e interpretacin de informacin; adems, est convencido

de que las matemticas son tiles y aprecia su belleza.

McIntosh, Reys y Reys (1992) proponen un modelo en que se distinguen tres

componentes fundamentales del sentido numrico:

a) El concepto de nmero. Consiste en el conocimiento de, y la facilidad con los

nmeros. En este componente se incluyen habilidades para identificar, saber

y manejar el orden de los nmeros, las diversas representaciones de un mismo

nmero, las magnitudes relativas y absolutas, y un sistema de estrategias para

acotar nmeros.

b) Las operaciones con nmeros. Es el conocimiento y la facilidad para las opera-

ciones. Incluye la comprensin del efecto de las operaciones en los resultados, el

conocimiento de las propiedades de la operaciones (conmutatividad, asociati-

vidad y distribucin), su aplicacin en la creacin de procedimientos de estima-

cin y clculo mental, y entender las relaciones que hay entre las operaciones.

c) Las aplicaciones de los nmeros y sus operaciones en la solucin de problemas. Es

la aplicacin de los conocimientos sobre los nmeros y sus operaciones en situacio-

nes que requieren un manejo cuantitativo. Involucra habilidades como determinar

la operacin necesaria en relacin con el contexto de un problema; ser conscien-

te de que existe ms de un camino correcto para encontrar una solucin; ser pro-

clive a utilizar mtodos o representaciones cada vez ms eficientes; y, finalmente,

la inclinacin para revisar los datos y resultados en funcin del contexto original.

Aunque el sentido numrico implica habilidades complejas, su desarrollo co-

mienza desde antes de ingresar a la escuela y contina a lo largo de toda la prima-

ria. Existen descripciones detalladas de cmo los nios progresan en la habilidad de

operar con dgitos. Thompson (1999) describe el proceso por el que se pasa para

dominar la suma: en el nivel ms bsico utilizan material concreto, en un segundo

nivel, cuentan sin material recitando la serie numrica utilizando estrategias cada

39

vez ms simplificadas hasta llegar a la automatizacin. Durante el aprendizaje de

este proceso los nios aplican y desarrollan conocimientos aritmticos informales

que el profesor debe saber observar y potenciar.

un ejemplo lo muestran Baroody y Tiilikainen (2003), quienes mencionan el caso

de Alexi (7 aos), quien no haba comenzado an su enseanza formal de las opera-

ciones. Se le pidi que dijera qu nmero va en la tarjeta blanca de la figura 2.1.

6 + 3 =

Figura 2.1.

El nio dijo que en la tarjeta deba ir el 8. Se le pidi que realizara la suma;

entonces cont los 5 dedos de su mano izquierda y agreg otro dedo de la mano

derecha, despus agreg otros 3 dedos de la mano derecha y cont; al terminar

dijo dudoso Nueve? Nueve? Yo pienso que 5 + 4 son 9.

En este sencillo episodio, los autores ven un ejemplo del tipo de oportunidades

que el profesor puede utilizar para ayudar al nio a enriquecer sus conocimientos

aritmticos y sentido numrico; explican que la respuesta 8 pudo haber sido una

conjetura del nio basada en su conocimiento de que el resultado de una suma

es ms grande que cualquiera de los sumandos; con base en este supuesto, los

autores comentan que Alexi iba en la direccin correcta. Despus, el nio realiz

el procedimiento de sumar con los dedos, probablemente adquirido antes o in-

ventado en ese momento con base en conocimientos informales previos. Los au-

tores destacan que algo sorprendente es que Alexi, como resultado de ejecutar

su procedimiento, se dio cuenta de que la combinacin 5 + 4 tambin produce

9, y entonces asoci las combinaciones 6 + 3 y 5 + 4; esta relacin se incorpor a

sus conocimientos acerca de la suma; pero este conocimiento tambin lleva a la

idea ms general de que sumas con diferentes combinaciones de nmeros pue-

den llevar al mismo resultado. Este es un ejemplo del sinnmero de procesos que

40

ocurren en las actividades aritmticas de los nios, mismos que si son detectados

y bien encaminados por el profesor, llevan al desarrollo del sentido numrico de

los estudiantes.

En cualquier tema de aritmtica pueden encontrarse tareas, y formas de ges-

tionarlas en clase, para desarrollar el sentido numrico. En particular, el estudio de

los nmeros decimales es de gran importancia, por su riqueza, sus aplicaciones y su

posicin estratgica en el desarrollo de las matemticas. Para mostrar de manera

ms concreta en qu consiste y cmo se observan algunos aspectos del sentido

numrico de los estudiantes con los nmeros decimales, en seguida presentamos

parte de una investigacin de Reys y Yang (1998), quienes llevaron a cabo un es-

tudio con alumnos de sexto grado de primaria y segundo grado de secundaria

en Taiwn. En este pas el sistema de educacin bsica es similar al de Mxico. El

problema que se formularon los investigadores consisti en encontrar las relaciones

entre el desempeo de los estudiantes en la realizacin de operaciones por escrito

y la posesin o no de un sentido numrico, pues observaron que los maestros privi-

legian el aprendizaje de algoritmos y relegan el desarrollo del sentido numrico de

sus estudiantes.

El estudio consisti en aplicar dos pruebas a 115 alumnos de sexto grado y 119

de segundo grado de secundaria, una para evaluar el desempeo con los algorit-

mos escritos, la otra para evaluar el sentido numrico. Encontraron un desempeo

significativamente superior en la prueba de algoritmos respecto a la que evala el

sentido numrico. Con base en los resultados de estas pruebas se clasific a los es-

tudiantes en una de tres categoras de acuerdo con su desempeo en las pruebas:

niveles bajo, medio y alto. Despus se eligieron nueve alumnos de nivel alto y ocho

de nivel medio para entrevistarlos y observar cmo aplicaban su sentido numrico

en la solucin de algunos problemas.

A continuacin veremos ejemplos de los problemas que utilizaron ya que mues-

tran cmo se evala el sentido numrico y cmo piensan los estudiantes de los

diferentes niveles.

41

La siguiente pregunta la incluyen para explorar la componente El concepto

de nmero: Cuntos nmeros decimales hay entre 1.42 y 1.43? Los alumnos de

alto nivel de los dos grados no tuvieron problema en responder que hay un nmero

infinito de decimales, por ejemplo, un estudiante argument as:

Los decimales pueden ser infinitamente extendidos 1.421, 1.4211, 1.42111 Se puede

aadir cualquier nmero despus del 2 de 1.42. Esos decimales pueden extenderse a

muchos otros decimales diferentes entre 1.42 y 1.43. Por ejemplo 1.421, 1.422, 1.4211

todos estn entre 1.42 y 1.43.

Seis estudiantes de segundo de secundaria, crean que slo hay nueve n-

meros decimales entre 1.42 y 1.43; sostenan que los nicos decimales entre 1.42 y

1.43 son 1.421, 1.422, 1.423 1.429. Cuando se les sugiri que buscaran otros fueron

incapaces de hacerlo. Dos estudiantes de secundaria de nivel medio dijeron que

no haba ningn nmero entre 1.42 y 1.43, uno de ellos dijo:

No! el sucesor de 1.42 es 1.43, por lo tanto no hay decimales entre ellos.

un problema del mismo tipo pero referido a fracciones fue el siguiente: Cun-

tas fracciones hay entre 2/5 y 3/5? En esta pregunta nuevamente los estudiantes del

nivel alto dijeron que haba un nmero infinito de fracciones entre las fracciones

dadas. una respuesta fue:

2.1/5 = 21/50, 2.2/5 = 22/50 2.9/5 = 29/50 son fracciones entre 2/5 y 3/5. Se pueden cam-

biar los denominadores de las fracciones, por ejemplo: 2/5 = 400/1000 y 3/5 = 600/1000,

entonces 401/1000, 402/1000, 403/1000 estn entre 2/5 y 3/5. Por lo tanto, hay un infinito de

fracciones entre 2/5 y 3/5.

42

En cambio, ningn estudiante de nivel medio fue capaz de responder correc-

tamente esa pregunta; la mayora crea que 3/5 es la fraccin que sigue a 2/5, por

ejemplo:

La diferencia entre 2 y 3 es 1. Entonces la fraccin que sigue a 2/5 es 3/5. Por lo tanto, no

hay fracciones entre 2/5 y 3/5.

En relacin con la habilidad de contar con un sistema para acotar nmeros, de

la tercera componente del modelo visto arriba, se incluyeron preguntas como:

- Sin calcular la respuesta exacta, piensas que el producto 72 0.46 es ms que 36

o es menos que 36?

- Sin calcular la respuesta exacta, piensas que 62/5 15/16 es mayor que 62/5 o es

menor que 62/5?

- Sin calcular la respuesta exacta, crees que la suma 5/11 + 3/7 es mayor que 1/2 o

menor que 1/2 ?

Seis de nueve estudiantes de alto nivel utilizaron adecuadamente procedi-

mientos para responder, mientras que slo uno de nivel medio tena un sistema para

hacerlo. Los autores concluyeron que aunque muchos estudiantes se desempean

ms o menos bien en algoritmos escritos, no han desarrollado su sentido numrico.

Se puede concluir este apartado con la recomendacin de que el profesor incluya

en su proyecto de enseanza actividades especficas para ofrecer la oportunidad a sus

estudiantes de desarrollar un sentido numrico; para este fin, los problemas mostrados

en la investigacin referida pueden dar una idea de cmo elaborar esas actividades.

Significados de las fracciones. El rea de las matemticas elementales de mayor

riqueza y complejidad es el de las fracciones, razones y proporciones. Esta compleji-

dad se refleja en el hecho de que las fracciones se pueden ver con varios significados.

Con ayuda de un anlisis matemtico y didctico emergen cinco formas en las que

43

se pueden pensar las fracciones: relacin parte-todo, cociente, medida, operador y

razn. Cabe mencionar que estas categoras son tiles para comprender la comple-

jidad de las fracciones, pero no se deben pensar como categoras excluyentes, pues

en un solo problema una fraccin podra presentarse con dos o ms de los anterio-

res significados. En este apartado aclararemos en qu consisten dichos significados.

Las fracciones describen una relacin parte-todo cuando una unidad o tota-

lidad se descompone en partes iguales y la fraccin indica una o varias de estas

partes. Este es el significado ms elemental de una fraccin; los nios aprenden a

identificar en una figura crculo, rectngulo y otras una parte sombreada co-

rrespondiente a una fraccin unitaria (un medio, un tercio, un cuarto, etc.), despus

a reconocer y tomar varias de estas partes. Tal acercamiento, aunque importan-

te, en ocasiones origina algunas ideas errneas; por ejemplo, en el manejo de la

unidad. Mack (1990) informa de un estudio cuyo propsito fue ensear a sumar y

restar fracciones con base en el conocimiento informal de seis estudiantes de 6

grado. Se encontr que aunque los escolares conocan representaciones, proce-

dimientos y smbolos sobre las fracciones, no relacionaban adecuadamente esos

conocimientos. Una observacin importante fue la dificultad que tenan para

identificar la unidad en situaciones representadas de manera concreta y de forma

simblica. Aaron piensa que como las fracciones son una parte del todo, siempre

son menores [que el todo]. Una idea parecida pudo haber influido en que la pri-

mera respuesta de Julia al problema de la figura 2.2. fuera 5/8.

Figura 2.2. Problema: Qu parte est sombreada?

44

El entrevistador le dice que, en realidad, cada crculo es una pizza, entonces Julia

responde que hay 11/4 de pizza. Ella asumi en principio e inconscientemente que

la unidad estaba formada por los dos crculos, pero en el contexto familiar de las

pizzas, le result natural identificar un crculo como unidad.

El significado de las fracciones como cociente ocurre cuando se identifican las

relaciones entre una situacin de divisin y una fraccin como representacin de

su cociente; de manera simblica:

El cociente de la divisin a : b es igual a la fraccin a/b

para toda a, b en los enteros y b = 0

Este significado de las fracciones se asocia a las situaciones de reparto equitativo

(por ejemplo, interpretar a/b como repartir a [galletas] entre b [nios]), pero estas situa-

ciones no son suficientes para construir ese significado. En efecto, el significado abarca

otras situaciones y otros esquemas, en especial, el de fraccin como cociente se aso-

cia a las situaciones de divisin entre enteros y despus a la divisin entre racionales.

Toluk y Middleton (2001) hicieron un estudio sobre la construccin del signifi-

cado de las fracciones como cociente por parte de nios de 5 Con base en sus

observaciones proponen un esquema (figura 2.3.), donde se representan una pro-

gresin y conexiones entre significados y esquemas de las fracciones y divisiones

que culmina en la construccin del significado de una fraccin como cociente.

La interpretacin de una fraccin como relacin parte-todo se vio en el apar-

tado anterior. El esquema de cociente como nmero entero ocurre cuando los

nios piensan que el resultado de una divisin es un entero (posiblemente con resto)

y pueden obtenerlo, as como que una divisin tiene sentido cuando el dividendo

es ms grande que el divisor. El esquema de fraccin como un reparto equitativo se

da al dividir unidades en partes alcuotas; aunque los nios son capaces de encon-

trar soluciones a estas situaciones, cuando se pide que las escriban no las simboli-

zan en forma de fraccin. Al principio, las situaciones que tienen sentido para los

45

nios son aquellas cuyo resultado es menor que la unidad, porque no conciben las

situaciones de reparto equitativo como un caso de divisin, aun cuando sean ca-

paces de encontrar el cociente en trminos de fracciones dividiendo una unidad.

El esquema de cociente fraccional ocurre cuando los nios escriben en forma

de fraccin la solucin de problemas de divisin en contextos de reparto.

El esquema de divisin como fraccin se presenta cuando se anticipa el co-

ciente de una situacin de divisin sin utilizar ningn procedimiento algortmico; los

nios llegan a hacerlo despus de que son capaces de simbolizar la solucin de

situaciones de reparto con una fraccin menor que uno. El esquema se resume en

un razonamiento como el siguiente: si cualquier cantidad a se divide en b grupos

iguales entonces el cociente es a/b.

Figura 2.3. Progresin de la construccin del significado de fraccin

como cociente (Toluk y Middleton, 2001).

Divisin como nmeroa : b = a/b para todo a, b

Fraccin como reparto equitativo

Fraccin como relacin parte-todo

Fraccin como divisin a/b = a : b, para toda a/b

Cociente fraccional

Cociente como nmero entero

Divisin como fraccina : b = a/b si a/b < 1

?

46

Finalmente, el esquema de divisin como nmero ocurre al concebir una divi-

sin como fraccin y viceversa; esto implica reconocer las divisiones con dividendo

mayor que divisor como fracciones (impropias), y fracciones propias a manera de

divisiones con dividendo menor que el divisor.

Las fracciones como medida se dan cuando se representa el nmero de uni-

dades y partes de la unidad de una clase (longitud, rea, volumen, tiempo, etc.)

que cubren o aproximan una cantidad de la misma clase. La coordinacin de ac-

tividades de medida con el uso de fracciones promueve las conexiones entre dos

importantes reas de las matemticas. En un estudio cuyo objetivo era promover

la comprensin de la nocin de medida con nios de 5 grado, Lehrer, Jaslow y

Curtis (2003) describen una secuencia prototpica para desarrollar la nocin de

medida de longitud. En un primer paso, se trat de medir algo caminando; es

decir, determinar una longitud a partir de cuntos pies del nio caban; luego se

sustituy el pie por una tira de papel y se midi; en un tercer paso, se hicieron sub-

divisiones para lograr una mejor aproximacin de la medida del objeto; en este

paso entr la fraccin como una nocin necesaria para continuar el proceso. La

actividad sigui de manera que se presentaron operaciones con fracciones; por

ejemplo, el producto de fracciones sencillas se present cuando se habl de: la

mitad de la mitad de la unidad es un cuarto de la unidad. El contexto de activi-

dades de medida es ideal para la profundizacin de la nocin de fraccin.

Las fracciones son vistas como operador cuando actan para modificar un es-

tado o situacin. Behr y otros (1993) indican que los problemas que usan las fraccio-

nes como operador suelen requerir soluciones de varios pasos; para lo cual ofrecen

el siguiente ejemplo:

Muchas marcas de chicles venden su producto en paquetes de 5 piezas

por paquete. Juana tiene 8 paquetes. Mara tiene 3/4 partes de lo que tie-

ne Juana. Cuntos paquetes tiene Mara? Cuntas piezas tiene Mara?

47

Lo que tiene Mara se puede ver como una transformacin de lo que tiene

Juana, indicada por el nmero 3/4 ; ste opera sobre los ocho paquetes.

Las fracciones juegan el papel de razn cuando funcionan para poner en re-

lacin dos cantidades. La comparacin de cantidades relativas son caractersticas

de las fracciones como razn; por ejemplo, Lamon (1993) investig las estrategias

que los nios desarrollan para resolver el siguiente problema, aun antes de estudiar

el tema de fracciones.

Las nias se reparten tres pizzas y los nios una, quin come ms pizza, una

nia o un nio?

Figura 2.4.

Comenta el caso de Kuri, quien resolvi el problema diciendo que a las nias

les toca ms, porque los nios reparten una pizza entre tres; si las nias hicieran lo

mismo, si ellas repartieran esta pizza entre tres (marca una pizza y cubre a tres nias)

y esta otra entre tres (marca otra pizza y cubre otras tres nias) entonces la ltima

nia podra comerse una pizza entera; as que a ellas les toca ms (p. 141).

Lamon comenta que el procedimiento espontneo que Kuri utiliza consiste en

tomar una de las razones como unidad y sta le sirve para reinterpretar la otra

fraccin; de hecho Kuri responde la pregunta: cuntas unidades de 3:1 caben

en 7:3? Muchos ejemplos interesantes de las fracciones como operador y razn se

presentan en situaciones de razonamiento proporcional, pero este tema se ver en

otro captulo.

48

Pensamiento algebraicoEl lgebra es la rama de las matemticas que trata con la simbolizacin de las

relaciones numricas generales, las estructuras matemticas y la forma de operar

con stas. De acuerdo con Christmas y Fey (1999), los conceptos, principios y mto-

dos del lgebra constituyen poderosas herramientas intelectuales para representar

informacin cuantitativa y razonar acerca de esa informacin. En trabajos de in-

vestigacin recientes se ha sugerido que desde la enseanza primaria se pueden,

y deben, desarrollar rasgos del pensamiento algebraico (Butto y Rojano, 2009). Es

lcito decir que la gnesis del pensamiento algebraico en la primaria comienza con

el desarrollo del sentido numrico, que vimos en la primera parte de este captu-

lo. Sin embargo, tradicionalmente se considera que en la escuela secundaria es

cuando comienza formalmente el aprendizaje del lgebra. Los tres temas que aqu

se abordarn, a saber, pensamiento algebraico, ecuaciones y generalizacin, se

ubican en este nivel acadmico.

Qu es el pensamiento algebraico? Varios expertos en didctica del lgebra ofrecen caractersticas del pensamiento

algebraico que nos dan una idea de la complejidad de este tipo de pensamien-

to. Por ejemplo, Greenes y Findell (1998) sostienen que las grandes ideas del pen-

samiento algebraico involucran la representacin, el razonamiento proporcional,

el significado de variable, patrones y funciones, razonamiento inductivo y razona-

miento deductivo. Por su parte, Kaput (1998) seala que incluye la construccin y

representacin de patrones y regularidades, generalizaciones deliberadas y, ms

importante, la exploracin activa en la resolucin de problemas y la formulacin

de conjeturas. Asimismo, Kieran y Chalough (1993) resaltan la construccin de sig-

nificados para los smbolos y operaciones del lgebra en trminos de la aritmtica.

Kriegler (2000) recoge las expresiones anteriores sobre el pensamiento algebraico,

ms otras de diferentes autores, y propone un marco para organizarlas, que en segui-

da se expondr de forma resumida. Est formado por dos componentes, el primero se

49

refiere a las Herramientas del pensamiento matemtico, que incluye las habilidades

de resolucin de problemas, representacin y razonamiento; el segundo trata de las

Ideas algebraicas fundamentales, que consiste en ver el lgebra como aritmtica ge-

neralizada, un lenguaje y herramienta para la modelacin y el estudio de funciones.

Herramientas del pensamiento matemticoTener habilidades de resolucin de problemas es saber qu hacer ante un proble-

ma cuando no se sabe qu hacer; es decir, significa poseer estrategias para seguir

al no tener un mtodo preestablecido para hallar la solucin. Por ejemplo, acer-

carse a la solucin por ensayo y error; hacer una lista; suponer que ya se tiene la

solucin e invertir los pasos; elaborar un modelo de la situacin; formular y resolver

un problema similar, pero ms simple, son estrategias de resolucin de problemas.

Poseer habilidades de representacin significa saber describir las relaciones

matemticas y la informacin cuantitativa presente en un problema mediante el

lenguaje de un sistema (verbal, grfico o simblico) y llevar a cabo transformacio-

nes dentro de ste (como, despejar una ecuacin) y entre sistemas diferentes (por

ejemplo, traducir una relacin dada verbalmente a una expresin algebraica o a

una grfica).

Contar con habilidades de razonamiento matemtico significa saber cmo se

conserva la verdad de las proposiciones a travs de sus transformaciones, la ex-

presin tpica de un razonamiento es si esto es cierto, tambin esto es cierto; por

ejemplo, en un proceso de despeje de la incgnita, cuando se elimina el trmino

independiente de la primera parte de la igualdad 3 x 2 = 5 obtenindose 3 x = 7

se realiza un razonamiento de la forma:

Si 3 x 2 = 5 (es verdadera) entonces 3 x = 7 (es verdadera).

Conviene distinguir los razonamientos de tipo inductivo a los de tipo deductivo, en

los primeros se generalizan relaciones presentes en casos particulares, de manera

50

que la verdad de las proposiciones as obtenidas es slo probable. Por ejemplo, a la

pregunta: cul es el trmino siguiente de la secuencia 3, 5, 7?, podra respon-

derse con 9, asumiendo que la secuencia es la de los nmeros impares, pero tambin

se podra proponer que el siguiente es 11, pues puede pensarse que la secuencia

es la de los nmeros primos mayores que dos. En cambio, en los razonamientos de-

ductivos, la verdad de una proposicin se obtiene de otra, u otras, basada en pro-

piedades generales, as su verdad se hereda de la verdad de las premisas. El ejem-

plo del despeje de una ecuacin como la que vimos antes es de este tipo, porque

se basa en las propiedades generales de los nmeros y del signo de igualdad.

Las ideas algebraicas fundamentalesAritmtica generalizada (o abstracta). La idea del lgebra como aritmtica generaliza-

da surge al centrar la atencin en las expresiones algebraicas como generalizaciones

de pautas o patrones aritmticos y, en las identidades como propiedades generales de

las operaciones aritmticas. Por ejemplo, las relaciones y propiedades expresadas en las

siguientes identidades aritmticas:

1 2 = 1 + 1; 2 3 = 4 + 2; 3 x 4 = 9 + 3; 4 5 = 16 + 4

se generalizan mediante la expresin:

n(n+1) = n2 + n

Esta identidad expresa la propiedad que exhiben las expresiones aritmticas

anteriores y, a su vez, representa una aplicacin de la propiedad distributiva de

los nmeros. En esta concepcin del lgebra, el concepto de variable es funda-

mental, pues precisamente esta nocin es la que permite expresar las propiedades

aritmticas de manera sinttica. La n en la expresin anterior es una variable que

vara sobre todos los nmeros naturales.

51

Lenguaje. El lgebra se considera el lenguaje de las matemticas. En el estudio

del lenguaje natural se elaboraron nociones como semntica y sintaxis; el estudio de

los aspectos anlogos de semntica y sintaxis del lgebra ha ayudado a entender

el funcionamiento del lgebra como lenguaje. Expresado de manera breve, la se-

mntica se refiere a los mecanismos de produccin y comunicacin de los signifi-

cados matemticos, mientras que la sintaxis se refiere a las reglas de formacin y

transformacin de enunciados y expresiones algebraicas. Por ejemplo, la compren-

sin y el uso del concepto de variable y de expresiones algebraicas en diferentes

contextos, forma parte de la semntica, mientras que las reglas de combinacin y

manipulacin de las variables e incgnitas lo son de la sintaxis.

Herramienta. El lgebra tambin es una (caja de) herramienta(s) para la modelacin

matemtica y el estudio de las funciones. La bsqueda y generalizacin de patro-

nes y reglas de situaciones en contextos matemticos y del mundo real, as como sus

representaciones en frmulas, ecuaciones, tablas y grficas, son poderosas herra-

mientas para comprender el mundo y resolver problemas.

El uso del lgebra en las ciencias en general muestra su potencia en la mo-

delacin; un ejemplo sencillo, extrado de la fsica, es la ley de la cada libre de los

cuerpos debida a Galileo. Est dada por la funcin:

d = 1/2 g t 2

donde g = 9.8 m/seg2, es la aceleracin y se conoce como la constante de gra-

vitacin; d = distancia; t = tiempo.

Esta forma tan sintetizada de expresar una ley natural compleja, muestra la

potencia del lgebra en la modelacin de situaciones de la realidad.

52

La resolucin de ecuaciones de primer gradoLas ecuaciones lineales son un tema importante de los cursos de matemticas de la

secundaria; al desarrollarlo comienza a experimentarse la potencia del uso de lite-

rales en lugar de nmeros; sin embargo, se encontr que los estudiantes pasan por

grandes dificultades antes de dominarlo. La importancia del tema y las dificultades

de su aprendizaje han dado lugar a la realizacin de una gran cantidad de estudios

didcticos que buscan entender y mejorar su aprendizaje.

Las investigaciones sobre la resolucin de ecuaciones algebraicas publicadas

por Filloy y Rojano (1989), Filloy (1999), Filloy, Puig y Rojano (2008) constituyen apor-

taciones significativas de autores mexicanos en esta rea de la investigacin. En

particular, en el trabajo de Filloy y otros (2008) se exponen las construcciones teri-

cas para explicar procesos generales de aprendizaje pertenecientes a la didcti-

ca del lgebra. A continuacin, se expondr una de las estrategias de enseanza

mencionadas por estos autores (Filloy y otros, 2008: 169-175), en la cual se utilizan

representaciones geomtricas de las ecuaciones para darle significado a las trans-

formaciones algebraicas (semntica) que llevan a la solucin, y propone que una

vez entendidas se formulen y aprendan las reglas sintcticas (sintaxis) mediante

ejercicio y prctica.

De acuerdo con los autores, el primer tipo de ecuaciones algebraicas a las

que se enfrentar al estudiante son las del tipo Ax + B = Cx, donde A, B, C son

enteros positivos dados y C>A. Ntese que la incgnita aparece en los dos lados

de la igualdad, cuestin que diferencia las ecuaciones algebraicas de las aritm-

ticas. Las ecuaciones del tipo Ax = B, a pesar de contener la incgnita x, se consi-

deran aritmticas, porque cualquier estudiante sin preparacin en lgebra podra

resolverlas slo echando mano de sus conocimientos aritmticos. En cambio, en

las ecuaciones algebraicas es necesario manipular y operar la incgnita, lo cual es

netamente algebraico.

A continuacin se describir un mtodo de resolucin de la ecuacin Ax + B = Cx,

que se basa en una representacin geomtrica de la ecuacin.

53

Paso A. Traduccin de la ecuacin Ax + B = Cx al modelo geomtrico:

Figura 2.5. Situacin de comparacin entre Ax + B y Cx en el Modelo Geomtrico.

Paso B. Comparacin de reas:

Figura 2.6. Como C>A, se puede ver que el rea Ax

podra estar contenida en el rea Cx.

Paso C. Realizacin de acciones concretas; lo que en el caso del modelo geom-

trico equivale a suprimir las reas que son equivalentes, como se ve en seguida:

Figura 2.7. Al suprimir las reas que son equivalentes (vase las reas sombreadas)

se obtiene que el rea B es equivalente al rea (C-A)x.

x

B

A

x

C

B

x

C-A

x

B

A

x

C

54

Paso D. Traduccin del modelo geomtrico a una nueva ecuacin: (C-A)x = B

Obsrvese que esta ltima ecuacin ya es una ecuacin aritmtica que tiene menor

nivel de dificultad. Finalmente, es posible que surja una situacin problemtica

intermedia, que consiste en que ahora el estudiante quiera interpretar la ecuacin

aritmtica en el contexto geomtrico que ha estado operando. Esto se traduce,

por ejemplo, en el caso de la ecuacin 3x = 3, a la siguiente situacin:

Figura 2.8. Situacin intermedia, de traduccin de una ecuacin aritmtica

ahora al modelo geomtrico; por ejemplo, la ecuacin 3x = 3.

En seguida aparece la estrategia de enseanza (y/o de aprendizaje) de la re-

peticin y la prctica, con ms casos a resolver, pero con nmeros cada vez ms y

ms grandes en la ecuacin Ax + B = Cx , C>A.

Hasta aqu se ha creado un artefacto didctico para resolver slo las ecuacio-

nes del tipo Ax + B = Cx , C>A.

Paso E. Puede surgir la pregunta, qu ocurrir si al alumno se le presenta una ecua-

cin de primer grado de tipo diferente?, por ejemplo, 8x + 5 = 3x + 15?

Entonces ser necesario realizar un nuevo proceso de aprendizaje, por descu-

brimiento, con la misma estrategia de enseanza que se muestra en los pasos A al D.

Finalmente, se hace notar que se podr observar que ocurre con los estudian-

tes, al echar a andar el proceso de resolucin que aqu se describe que aparece

una serie de tendencias cognitivas, como la de abreviacin. sta consiste en

que los pasos A al D, ahora (despus de utilizar el artefacto didctico y la estrategia

3

x

3

55

de repeticin y prctica) se realizan en menos tiempo, pues es seguro que los estu-

diantes habrn encontrado formas personalizadas y niveles sintcticos de proceder.

Los autores sealan que las reglas sintcticas que los alumnos produzcan a

lo largo de la secuencia de enseanza luego se aplicarn a la resolucin de las

nuevas situaciones. Por ejemplo, la ecuacin 8x 3 = 5x + 6, har que el profesor

regrese nuevamente al punto E, donde se enfrentaron nuevas situaciones proble-

mticas, para volver a desencadenar los pasos A al D, tratando de obtener una

ecuacin reducida de tipo aritmtico. Por ltimo, desde el punto de vista de los

autores, con la estrategia de la repeticin y la prctica, se lograr rebasar la utiliza-

cin de un modelo concreto de resolucin para llegar a utilizar un nuevo lenguaje

ms abstracto, cada vez ms sintctico y ms cercano a los procedimientos co-

nocidos de resolucin algebraica.

Sobre la generalizacin en lgebraun tema actual y novedoso del lgebra es el de la generalizacin. Radford (2006)

aborda el tema de su aprendizaje mediante el descubrimiento de patrones por

parte de los estudiantes de 13 y 14 aos de edad. Algunas preguntas a las que trata

de responder esta investigacin son:

Cmo comprenden los estudiantes lo que es comn a un patrn?

Cules son los mecanismos (lingsticos o de otro tipo) por medio de los cuales los

estudiantes generalizan lo que observaron que es comn a todos los trminos de

una secuencia?

Cmo expresan los estudiantes la generalidad?

Para responder se considera la siguiente situacin. Teniendo en cuenta las im-

genes que aparecen en la figura 2.9, se pide a los estudiantes (que estn agru-

pados en equipos de 2 a 4 miembros) que encuentren el nmero de crculos que

deben aparecer en las figura 10 y 100 de la secuencia:

56

Figura 2.9.

El autor reporta que las estrategias de los estudiantes para resolver la tarea

planteada se pueden clasificar en dos categoras: en la primera, la heurstica de

descubrimiento del estudiante se basa en el ensayo y error. Esto es, el estudiante

propone reglas simples, como 2 veces ms 1, 2 veces ms 2, o 2 veces ms

3, y verifica su validez para algunos (pocos) casos; por otro lado, el autor hace

notar que la simbolizacin de la regla puede variar y presenta una de las provistas

por uno de los equipos en la clase: n2(+3). Cuando se solicit a los estudiantes

de este equipo explicar cmo haban encontrado esta regla, respondieron: La

encontramos por accidente.

Las estrategias que entran en la segunda categora son aquellas en que los

estudiantes buscan algo en comn en las figuras dadas; por ejemplo, un estudian-

te, Mel, escribi: La hilera de arriba siempre tiene un crculo ms que el nmero

de la figura, y la hilera de abajo siempre tiene dos crculos ms que el nmero de

la figura, su frmula fue: (n+1) + (n+2)=.

En su anlisis, Radford indica que aunque las estrategias de ambas categoras

conducen al uso de simbolismo, las heursticas son inconmensurablemente diferen-

tes. La ltima descansa en notar ciertos elementos comunes en las figuras dadas y

en generalizarlos a las figuras que siguen en la secuencia. En contraste, la primera

descansa sobre una regla formada adivinando. Las reglas formadas de esta mane-

ra, de hecho son hiptesis. Tal forma de razonamiento funciona sobre la base de un

razonamiento probable, cuya conclusin va ms all de lo que est contenido en

sus premisas. En trminos ms precisos, es un tipo de induccin simple (pues se pue-

de distinguir de otros tipos ms sofisticados). La comparacin de las dos estrategias

mencionadas resalta una importante distincin entre induccin y generalizacin, y

57

sugiere uno de los rasgos que pueden constituir el ncleo de la generalizacin de

un patrn: la capacidad de notar algo general en lo particular.

Finalmente, Radford seala que este rasgo por s solo no es suficiente para carac-

terizar la generalizacin algebraica de patrones y argumenta que, adicionalmente a

ver lo general en lo particular, uno debe ser capaz de expresarlo algebraicamente.

Hasta aqu la primera parte del anlisis de Radford (2006) acerca de los procesos

de generalizacin de los estudiantes. Sin embargo, para terminar la resea de este

trabajo, es necesario expresar, al menos, de manera sinttica, que el autor extiende

su anlisis de las producciones de los estudiantes para incluir las palabras que emiten,

sus gestos y el ritmo en que expresan ambos componentes. En este sentido, aade

que la generalidad algebraica est hecha de diferentes estratos, algunos ms pro-

f