Ministerio de Educación División General de Currículo y Desarrollo Tecnológico

Serie Educativa: “Educación Gratuita y de Calidad,

Derecho Humano Fundamental de los y las Nicaragüenses”.

Managua, Nicaragua

2009

Matem

átic

as

MINISTERIO DE EDUCACIÓN

AUTORIDADES

Ministro Profesor Miguel De Castilla Urbina Vice Ministra Profesora Milena Núñez Téllez Secretaria General Profesora Marlene Valdivia Director General de Educación y Delegaciones Profesor Guillermo Martínez Directora General de Currículo y Desarrollo Tecnológico Profesora Eneyda Oviedo Plazaola

COORDINACIÓN GENERAL

Profesor Miguel De Castilla Urbina Profesora Eneyda Oviedo Plazaola

Profesor Guillermo Martínez Profesora María Elsa Guillén Lezama

COMITÉ EJECUTIVO

Mónica Genet Guerrero Jacqueline Sánchez Zamora

Violeta Barreto Arias

AUTOR

Profesor Humberto Antonio Jarquín López

DIAGRAMADO Y LEVANTADO DE TEXTO

Javier Antonio González Manzanarez (Coordinador) Suhey Carolina Suárez Chow (Apoyo)

IMPRESIÓN

Fondos Nacionales Proyecto PASEN

PRESENTACIÓN Estimado (a) Docente: El Ministerio de Educación del Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, presenta a la Comunidad Educativa el Currículo Nacional Básico, a través de los nuevos Documentos Curriculares de la Educación Básica y Media, los cuales han sido construidos con los aportes de toda la población y en especial el de los docentes, producto de la Gran Consulta Nacional del Currículo realizada entre marzo de 2007 y marzo del 2008. En los documentos se plasman las Políticas Educativas de nuestra Institución y las demandas más sentidas del pueblo nicaragüense, con el propósito de formar al futuro ciudadano con las capacidades, principios y valores que demanda nuestra Patria. El Currículo Nacional Básico, junto a los Talleres de Evaluación, Programación y Capacitación Educativa (TEPCEs), los Núcleos Educativos de cada Municipio del país, integrados por una Escuela Base y un conjunto de Escuelas Vecinas en su alrededor, y el accionar decidido, comprometido y patriótico de Maestros y Maestras como usted, juntos somos la Revolución Participativa de la Educación Nicaragüense. El propósito fundamental de este documento normativo es apoyar su labor pedagógica y facilitar su planificación didáctica, la cual elabora primeramente en los TEPCEs y la concreta en el aula de clases, de acuerdo con su experiencia docente, las características de los estudiantes y tomando en consideración los recursos con que cuenta. Se espera que usted estimado (a) docente, con su entusiasmo, creatividad, dedicación y amor a nuestros niños, niñas, jóvenes, adolescentes y adultos, hará realidad el sueño de construir una Nicaragua más próspera y digna, con ciudadanos mejor educados y formados en Conocimientos, Principios y Valores.

Ministerio de Educación • Despacho del Ministro Centro Cívico Camilo Ortega, Módulo “J”, Planta Alt a • Apdo Postal: 108 Tel: 2651030 – 2650297 • Fax: 2651595 • http://www. mined.gob.ni

ÍÍÍÍndicendicendicendice Pág.Pág.Pág.Pág. Introducción……………………………………………………………………………………………………………………………….…………………… Enfoque de la resolución de problemas……………………………………………….…………………………………………… Estrategias Metodológicas………………………………………………………… …………………………………………………………… Estadística………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………… Teoría de conjuntos ………………………………………………………………………………………… ……………………….…………… Polígonos regulares, círculos y sus elementos ………………………………………………………………….……… Productos notables……………………………………………………………………………………………………………………….…………… Factorización……………………………………………… ………………………………………………………………………………………..……… Funciones………………………………………………… …………………………………………………………………………………………….……… Ecuaciones ………… ……………………………………………………………………………………………………………………… …………… Proporciones ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… Glosario ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

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IntroducIntroducIntroducIntroducciónciónciónción

El Ministerio de Educación, a través de la División General del Currículo y Desarrollo Tecnológico, ha elaborado el presente documento, con la finalidad de brindar a las y los docentes un apoyo en el desarrollo de las competencias del área de Matemática Con el propósito de mejorar el aprendizaje – enseñanza de la Matemática, en Educación Secundaria, se elaboró la presente Antología como parte de las acciones por efectuarse en el enfoque de Competencias Educativas y así contribuir a elevar la calidad de enseñanza de las y los docentes y el aprendizaje de las y los estudiantes. La Matemática contribuye a desarrollar en las y los estudiantes, un pensamiento hipotético y deductivo. Es una de las áreas más eficientes y eficaces para aprender a pensar. Cada aprendizaje matemático es una cognición, y si reflexionamos sobre cómo se debería aprender matemática, se estaría llegando a aprendizajes mucho más complejos como las metacogniciones. Entonces, la matemática sirve también para aprender a aprender y a desaprender, porque se aprende equivocándose, por ejemplo, más de lo que se aprende acertando. Se aprende lo que da resultado y se desaprende lo que nos lleva al error. El propósito fundamental de esta Antología es proporcionar información relacionada con el tratamiento de contenidos científicos y algunos ejemplos con tratamiento metodológico, los que servirán de referencia para el proceso de adecuación curricular que realizará el docente.

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ENFOQUE DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASENFOQUE DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASENFOQUE DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMASENFOQUE DE LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

La Matemática contribuye a la formación plena e integral del ciudadano que aspira la sociedad nicaragüense. Es un medio para lograr que las y los estudiantes formen sus propias estructuras mentales, a través de la comprensión, aplicación y generalización de conceptos matemáticos y sus relaciones con conceptos de otras disciplinas. La Matemática surge como resultado del intento del hombre por comprender y explicarse el universo y las cosas que en éste ocurren. Por lo que su enseñanza, no debe limitarse a la pura transmisión de un conocimiento fijo y acabado, sino que debe favorecer en las y los estudiantes esa misma curiosidad y actitud que la hicieron posible y la mantienen viva. Para la enseñanza - aprendizaje de la matemática en primaria y secundaria hay que considerar cuatro tipos de aprendizaje: el aprendizaje de conceptos y su lenguaje, el aprendizaje de algoritmos, la memorización y retención y la resolución de problemas. Se considera que la resolución de problemas es la etapa más alta del quehacer matemático (Gagné, 1985), tanto en el aula como fuera de ella porque a través de éste se logra propiciar la interpretación, el análisis, la reflexión, el razonamiento lógico, el descubrimiento de modelos o patrones, la demostración de teoremas, etc. En síntesis, este aspecto contribuye a desarrollar en las y los estudiantes un pensamiento y razonamiento lógico, crítico, autocrítico, hipotético, deductivo, imaginativo y creativo. Por las razones expuestas en el párrafo anterior, el gran propósito a lograr durante el proceso enseñanza aprendizaje de la matemática es propiciar el desarrollo del pensamiento de las y los estudiantes; por ello se propone en esta área “El enfoque de la resolución de problemas”, considerando los otros tres tipos de aprendizaje mencionados anteriormente, para lograr un aprendizaje integral y equilibrado. La metodología que se desea aplicar en educación primaria y secundaria, se propone desarrollarla en tres etapas: 1. La elaboración de conceptos básicos, su lenguaje y procedimientos o algoritmos matemáticos a partir del planteo y resolución de problemas vinculados con el contexto real en el que se desenvuelven las y los estudiantes, para que comprendan y expliquen el significado del tema tratado y el sentido de utilidad del mismo en su práctica cotidiana y al mismo tiempo inicien su aprendizaje, por ejemplo: Investigar una situación o problema con el objeto de comprender conceptos como: la multiplicación de números naturales, decimales, racionales, etc. 2. La memorización y retención de distintas cualidades y características de los contenidos matemáticos estudiados, tales como: palabras (triángulos, catetos, ángulos, cónicas), símbolos

( +, -,x, ≤, ±, π , β ) tablas de sumar y multiplicar, reglas que se aplican, por ejemplo en la realización de operaciones combinadas, en la multiplicación y división de números decimales por 10, 100 y 1 000, Teorema de Pitágoras, productos notables, etc. se propone lograrlo en una segunda etapa mediante la realización de una variedad de ejercicios relacionados con éstos. La memorización no se debe entender como poderes que son mejorados con la simple ejercitación de hechos, conceptos o algún material de manera arbitraria y sin sentido. Ahora el valor del ejercicio estriba en la significatividad (Ausubel, citado por Ontoria y Cols, 2 000) y relevancia del material por memorizar.

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La retención y la memorización son más fáciles si lo que se ha aprendido es significativo en relación con la estructura de conocimientos ya existentes en la mente (Orton, 1996) del que aprende. 3. La resolución de problemas, considerando los tres tipos de aprendizaje mencionados anteriormente, donde aplican sus conocimientos previos, las técnicas y procedimientos aprendidos y su iniciativa creadora al presentar diferentes estrategias de solución del mismo a partir de las cuales se propicia la reflexión de éstas, en cuanto a desaciertos y aciertos hasta lograr consenso en relación con las respuestas verdaderas de los problemas planteados, por ejemplo:¿Cuál es el área de su salón de clase?, ¿Cómo varían el área y el volumen de un cuerpo al duplicar, triplicar y, en general, al modificar sus dimensiones? Puede afirmarse que el objetivo de la memorización, del aprendizaje de algoritmos y el aprendizaje de conceptos es permitir al estudiante operar con la matemática y por lo tanto resolver problemas (Orton, 1996). Los problemas no son rutinarios; cada uno conforma en mayor o menor grado algo novedoso para la/el estudiante. La solución eficaz depende de los conocimientos (memoria, algoritmos y conceptos) que posea un estudiante y de las redes que pueda establecer entre estos conocimientos, las destrezas de las que nos habla Polya y su utilización. Las y los estudiantes diariamente están inmersos en resolver problemas que se les presentan en su vida cotidiana los que tienen una estrecha relación con la Matemática, por lo que George Polya nos propone el modelo de encarar los problemas especialmente en el área de matemática, la que se denomina "la propuesta de Polya". En un plan de cuatro fases, el autor sintetiza su visión acerca de cómo actuar al resolver problemas.

1. Comprender el problema 2. Crear un plan 3. Ponerlo en práctica 4. Examinar lo hecho

Polya plantea: "Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, pero en la resolución de todo problema, hay cierto descubrimiento. El problema que se plantea puede ser modesto; pero, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios medios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden determinar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella imperecedera en la mente y en el carácter". Un estudiante cuyos estudios incluyan cierto grado de matemática tiene la oportunidad de aplicarlo. Dicha oportunidad se pierde, si ve a la matemática como la materia de la que tiene que presentar un examen final y de la cual no volverá a ocuparse una vez pasado éste. La oportunidad puede perderse incluso si el estudiante tiene un talento natural por las matemáticas, ya que él, como cualquier otro, debe descubrir sus capacidades y aficiones. Puede descubrir, que un problema de matemática puede ser tanto o más divertido que un crucigrama, o que un

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vigoroso trabajo intelectual puede ser un ejercicio tan agradable como un ágil juego de tenis. Habiendo gustado el placer de la matemática, ya no las olvidará fácilmente, presentándose entonces una buena oportunidad para que la matemática adquiera un sentido para él/ella, ya sea como pasatiempo, herramienta de su profesión, su profesión misma, o la ambición de su vida". El modelo propone un conjunto de fases y preguntas que orientan el itinerario de la búsqueda y exploración de las alternativas de respuesta que tiene una situación inicial y una situación final desconocida y una serie de condiciones y restricciones que definen la situación.

ESTRATEGIAS METODOLÓGICASESTRATEGIAS METODOLÓGICASESTRATEGIAS METODOLÓGICASESTRATEGIAS METODOLÓGICAS

En este punto se tratarán varios aspectos que de deben tomar en cuenta en la orientación de la Enseñanza de las Matemáticas a nuestros/as estudiantes con calidad y cientificidad. El aprendizaje activo por El aprendizaje activo por El aprendizaje activo por El aprendizaje activo por resresresresolución de problemasolución de problemasolución de problemasolución de problemas “Para que las y los estudiantes aprenda en forma eficaz debe descubrir, por sdebe descubrir, por sdebe descubrir, por sdebe descubrir, por síííí solo solo solo solo, cuanto sea posible la materia enseñada”. Dadas las circunstancias actuales, es preferible esta fórmula basada en el principio del aprendizaje participativo por ser, además, el más antiguo (puede ser encontrado en Sócrates) y el menos controvertido. La Matemática no puede ser apreciada y aprendida sin la participación activa, de modo que el principio de aprendizaje activo, es particularmente importante para las y los docentes de esta área en particular. En los últimos años en nuestro país se han hecho intentos por aplicar esta teoría a través del constructivismo y luego con el Enfoque de la Enseñanza para la Comprensión. Las y los estudiantes no debe aprender receptivamente sino por su propio esfuerzo, para ello, el docente de matemáticas debe hacer que el/la alumno/a se familiarice inicialmente con lo intuitivo, concreto (materiales educativos, objetos reales, el ambiente), posteriormente con lo gráfico representativo (etiquetas, esquemas, gráficos), para que lleguen finalmente a lo abstracto y a la generalización; es decir, lo conceptual y simbólico (leyes, principios teorías, conceptos, fórmulas). Este procedimiento debe orientar a la resolución de problemas, que es la actividad matemática más próxima al desarrollo del pensamiento lógico. La mayor parte de nuestra actividad pensante se ocupa de aquello que deseamos y de los medios para obtenerlos, es decir, de problemas. Muchas veces, los problemas cotidianos conducen a problemas matemáticos simples, pero; el/la profesor/a con un poco de habilidad puede hacer más fácil y natural al alumno, el paso de la abstracción teórica existente entre el problema cotidiano y el problema matemático. Ahora bien los problemas de todos los días son el centro de nuestro pensamiento cotidiano, podemos esperar que los problemas matemáticos estén en el centro del aprendizaje enseñanza de la matemática. En todos los tiempos, el planteo y la resolución de problemas, ha sido la espina dorsal de la Matemática. Esa costumbre se sabe que viene desde la época del Papiro Rhind. En ese

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sentido, la obra “Elementos” de Euclides puede ser considerada como una proeza pedagógica: dividir el gran tema de la Geometría en problemas manejables didácticamente. Con este antecedente, en la educación secundaria la resolución de problemas, también debe ser la espina dorsal del trabajo educativo, por obvias razones. Ciertamente, otras cosas deben ser presentadas también en el nivel secundario: demostraciones matemáticas, la idea de un sistema axiomático y, tal vez, una mirada a la filosofía de las demostraciones y las estructuras más distantes del pensamiento habitual, no podrán ser apreciados o igualmente comprendidos por los/as alumnos/as, de allí la necesidad de iniciarlos en ellos/as. Clasificación de los problemasClasificación de los problemasClasificación de los problemasClasificación de los problemas Hay problemas y toda una suerte de diferencias entre problemas. Sin embargo, la diferencia más importante para el/la profesor/a es la que existe entre los problemas de rutina y aquellos que no lo son. El problema que no se resuelve por rutina exige cierto grado de creación y originalidad por parte de las y los estudiantes, mientras que el problema de rutina no exige nada de eso. Es verificable que el problema resuelto sin rutina, tiene más posibilidades de contribuir al desarrollo intelectual del estudiante, mientras que los problemas rutinarios no tienen ninguna. La línea de demarcación entre esos dos tipos de problemas puede no ser precisa, sin embargo, los casos extremos son claramente reconocibles, el problema que exige tan solamente la aplicación de una regla bien conocida y el problema que no es sino una simple cuestión de vocabulario. En el primer caso, un problema puede ser resuelto aplicando directa y mecánicamente una regla, que las y los estudiantes no tendrá ninguna dificultad en verbalizar y ejecutar, la misma que será operada “debajo de la nariz del profesor” o “como una parte del manual”. No hay ninguna originalidad en ello, ni mucho menos aplicación de alguna forma de imaginación y creatividad, tampoco constituye ningún desafío a la inteligencia. En consecuencia, lo que se puede obtener de tal problema es, apenas cierta habilidad para manejar reglas, o sea, un pedacito aislado e insignificante del conocimiento mecánico. Se sabe que los libros y las clases de matemática están llenas de estas cosas, pero; si el profesor es inteligente, con una pregunta oportuna y bien formulada, podría verificar si el alumno está utilizando correctamente un término o un símbolo del vocabulario y la simbología matemática recién introducida, mientras realiza una práctica de esta naturaleza. Sin embargo, habría que tener cuidado de que el/la alumno/a no responda inmediatamente la pregunta, es decir, sin pensar o mecánicamente, ya que, de hacerlo así, no habría una centella de inteligencia o invención, quedándose solamente en una cuestión de manejo de vocabulario. Los manuales “tradicionales” de matemáticas son duramente criticados en nuestros días, pero; la mayoría parece no notar lo que constituye su mayor defecto: casi todos sus problemas son problemas rutinarios del primer tipo descrito. En cuanto a los manuales “modernos”, éstos contienen, por lo general, capítulos enteros repletos de términos y símbolos nuevos, sin ninguna relación con la experiencia y el conocimiento matemático de los/as alumnos/as y de los cuales, por consiguiente, él no puede hacer ningún uso serio; sobre eso, los problemas de fin de capítulo son problemas rutinarios, particularmente chatos, la mayor parte de ellos, reducidos a simples cuestiones de vocabulario. En esta perspectiva de las cosas, el “servicio” prestado a los/as alumnos/as es de la misma naturaleza, en los dos casos. No hay mucho que escoger

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entre “tradicional” y “moderno” si la elección está entre una rigidez estricta en uno de los casos y, un exceso de palabras sin ligazón con los hechos, en el otro. Por lo tanto, los problemas que se resuelven aplicando rutinas, no sirven para casi nadano sirven para casi nadano sirven para casi nadano sirven para casi nada, con excepción de lograr el control de automatismos por el lóbulo izquierdo del cerebro, es decir: reglas conocidas a la verbalización de los problemas pero no al desarrollo de la capacidad de pensar. La Selección de los problemasLa Selección de los problemasLa Selección de los problemasLa Selección de los problemas La resolución de un problema no rutinario puede exigir mucho esfuerzo por el/la estudiante; sin embargo, él/ella no hará tal esfuerzo si no tiene razones para eso y si no está motivado adecuadamente. Pero, la mejor motivación es el mismo problema, razón por la cual, se debe tener bastante cuidado en la selección de problemas interesantes y desplegar mucha inteligencia para tornarlos atrayentes. Para comenzar, el problema debe tener sentido y tener un propósitoproblema debe tener sentido y tener un propósitoproblema debe tener sentido y tener un propósitoproblema debe tener sentido y tener un propósito, además de estar relacionado de modo natural con cosas familiares y servir a un fin comprensible para las y los estudiantes. Si para ellos y ellas, el problema parece no tener relación con lo que le es habitual, la afirmación del profesor de que el problema será útil más tarde no es sino una pobre compensación. No solamente la elección sino también la presentación del problema merecen nuestra atención. Una buena presentación evidencia relaciones con cosas familiares. El principio de la enseñanza activa sugiere, en ese sentido, un pequeño truco muy útil: comenzar no por el enunciado completo del problema, sino por sugestiones apropiadas y dejar a los/as alumnos el cuidado de una formulación definitiva. OrientarOrientarOrientarOrientar al descubrimiento al descubrimiento al descubrimiento al descubrimiento La idea debe nacer en la mente del alumno y el profesor debe actuar como partero; la metáfora es antigua (ella se debe a Sócrates) pero no obsoleta. Si se encara el desarrollo de la inteligencia del alumno como el objetivo principal - o uno de los más importantes - de la enseñanza a nivel secundario y el trabajo del alumno como el más importante para conseguir este objetivo, entonces la principal - o más importante - preocupación del profesor debería ser la de orientar al alumno a descubrir la solución por sí mismo. Lo primero cuando se orienta al estudiante, es no ayudarlo de más: él debe hacer lo máximo posible por sí solo. El profesor debe evitar una interferencia excesiva en el nacimiento natural de una idea. Sin metáforas: al ayudar al alumno, el profesor debe dar solamente una ayuda interior, esto es: sugestiones que podrían haber nacido en la mente del propio alumno, y evitar una ayuda exterior, esto es: evitar dar porciones de solución que no tengan relación con lo que pasa en la mente del alumno. Es más importante dar una ayuda “interior”, pero eso no quiere decir que sea fácil hacerlo eficazmente, ya que ello exige de parte del profesor un buen conocimiento tanto del problema como del alumno. Y lo primero que se debe tener en cuenta es que, cuando se trata de ayudar al alumno, no hay que ayudarlo de más. ¿Có¿Có¿Có¿Cómomomomo ddddesarrollaresarrollaresarrollaresarrollar uuuunananana c c c comomomompetenciapetenciapetenciapetencia yyyy aaaalcanzarla?lcanzarla?lcanzarla?lcanzarla? Las y los docentes deben tomar en cuenta el entorno en que se desempeñan los estudiantes, iniciativa propia para el alcance de las Competencias Educativas, que por grado, en el área de Matemática, deben cumplirse.

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Además, se deben considerar las características individuales de los/as estudiantes, las condiciones pedagógicas con que se cuenta en el centro de estudios, la experiencia que cada docente posee y sobre todo el ánimo para contribuir al éxito de elevar la calidad educativa en nuestra Nicaragua. Así mismo las y los docentes están en la libertad de escoger métodos, estrategias y enfoques pedagógicos de enseñanza, que permitan la buena marcha de la enseñanza de la Matemáticas. El cómo desarrollar una competencia y lograr que nuestros/as estudiantes la alcancen está en nuestras manos. En esta antología encontrarán el desarrollo de una serie de competencias con sus indicadores de logro y se proporcionan estrategias de cómo alcanzarlas. Esto no es una camisa de fuerza, pues puede tomarlas en cuenta como sugerencias y adaptarla al tipo de estudiante que tiene y al entorno en que desarrolla sus clases. A continuación se le proporcionan ejemplos donde se considera el carácter científico y metodológico que puede analizar y adecuarlas de acuerdo al nivel de desarrollo de sus estudiantes y al contexto en que se desempeñan. Se seleccionaron competencias con sus indicadores de logro y se hizo una propuesta general de lo que debe hacerse para alcanzarlas.

ESTADÍSTICAESTADÍSTICAESTADÍSTICAESTADÍSTICA Para iniciar el estudio de Estadística, puede hacerlo con preguntas relacionadas al entorno de los estudiantes, tales como: a. ¿Cuántos estudiantes hay en el aula de clases? b. ¿Cuántos son mujeres? ¿Cuántos son varones? c. ¿Cuántos practican deportes? d. ¿A cuántos les gusta matemática? e. ¿Quién es el presidente o presidenta del grado? Con las respuestas enlazar el marco teórico de Estadística. La palabra "Estadística" suele utilizarse bajo dos significados distintos, a saber: 1.1.1.1. Como colección de datos numéricosComo colección de datos numéricosComo colección de datos numéricosComo colección de datos numéricos.... Esto es el significado más vulgar de la palabra estadística. Se entiende que dichos datos numéricos han de estar presentados de manera ordenada y sistemática. Una información numérica cualquiera puede no constituir una estadística, para merecer este apelativo, los datos han de constituir un conjunto coherente, establecido de forma sistemática y siguiendo un criterio de ordenación. Se tienen muchos ejemplos de este tipo de estadísticas. El Compendio Estadístico publicado por el Instituto Nacional de Estadística y Censos de Nicaragua.

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2.2.2.2. Como ciencia.Como ciencia.Como ciencia.Como ciencia. La Estadística como ciencia estudia el comportamiento de los fenómenos de masas, busca las características generales de un colectivo y prescinde de las particulares de cada elemento. Así por ejemplo al investigar el sexo de los niños nacidos en un período determinado, inicia el trabajo tomando un grupo numeroso de nacimientos y obtiene después la proporción de varones. Es muy frecuente enfrentarse con fenómenos en los que es muy difícil predecir el resultado; así, no se puede dar una lista, de las personas que van a morir con una cierta edad, o el sexo de un nuevo ser hasta que transcurra un determinado tiempo de embarazo,… Por tanto, el objetivo de la estadística es hallar las regularidades que se encuentran en los fenómenos de masa. Población, individuo y muestraPoblación, individuo y muestraPoblación, individuo y muestraPoblación, individuo y muestra Es obvio que todo estudio estadístico ha de estar referido a un conjunto o colección de personas o cosas. Este conjunto de personas o cosas es lo que se denomina población.población.población.población. Las personas o cosas que forman parte de la población se denominan individuo.individuo.individuo.individuo. En sentido estadístico un elemento puede ser algo con existencia real, como un automóvil o una casa, o algo más abstracto como la temperatura, un voto, o un intervalo de tiempo. Ejemplos de población:Ejemplos de población:Ejemplos de población:Ejemplos de población: El conjunto de estudiantes del Séptimo grado “D” El conjunto de pupitres del colegio “Benjamín Zeledón” A su vez, cada elemento de la población tiene una serie de características que pueden ser objeto del estudio estadístico. Así por ejemplo si se considera como elemento a un estudiante. Se puede distinguir en él las siguientes categorías:categorías:categorías:categorías: Sexo, edad, nivel de estudios, peso, altura, color de pelo, etc. Luego por tanto de cada elemento de la población se puede estudiar uno o más aspectos, cualidades o caracteres. La población puede ser según su tamaño, de dos tipos: Población finita: Población finita: Población finita: Población finita: cuando el número de elementos que la forman se puede contar, tiene un último elemento, por ejemplo el número de alumnos/as de un centro de enseñanza, o grupo clase. Población infinita: Población infinita: Población infinita: Población infinita: cuando el número de elementos que la forman no tiene un último elemento, por ejemplo, si se realiza un estudio sobre los productos que hay en el mercado. Hay tantos y de tantas calidades que esta población podría considerarse infinita dado que hay un nuevo elemento en gestación o en desarrollo.

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Ahora bien, normalmente en un estudio estadístico, no se puede trabajar con todos los elementos de la población sino que se realiza sobre un subconjunto de la misma. Este subconjunto puede ser una muestra, cuando se toma un determinado número de elementos de la población, sin que en principio tengan nada en común, por ejemplo: De los/as alumnos/as de todo el colegio, una muestra podría ser el conjunto formado por los 10 mejores alumnos/as por grado y sección de éste. VariablesVariablesVariablesVariables:::: Como hemos visto, los caracteres de un elemento pueden ser de muy diversos tipos y se puede clasificar en dos grandes clases: Variables CuantitativasCuantitativasCuantitativasCuantitativas. Variables CualitativasCualitativasCualitativasCualitativas. Las variables cuantitativas son las que se describen por medio de números, como por ejemplo el peso, altura, edad, número de suspensos… A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases:A su vez este tipo de variables se puede dividir en dos subclases: Cuantitativas DiscretasCuantitativas DiscretasCuantitativas DiscretasCuantitativas Discretas: Se llaman así, aquellas a las que se les puede asociar un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza no admiten un fraccionamiento de la unidad, por ejemplo número de personas, páginas de un libro, etc. Cuantitativas ContinuasCuantitativas ContinuasCuantitativas ContinuasCuantitativas Continuas:::: Se llaman así, aquellas que no se pueden expresar mediante un número entero, es decir, aquellas que por su naturaleza admiten que entre dos valores cualesquiera, la variable pueda tomar valores intermedios, por ejemplo peso, tiempo. etc. Sin embargo en muchos casos el tratamiento estadístico hace que a variables discretas se las trabaje como si fuesen continuas y viceversa. Las variables cualitativasLas variables cualitativasLas variables cualitativasLas variables cualitativas: Son aquellas que para su definición precisan de palabras, es decir, no se le puede asignar un número, por ejemplo: sexo, profesión, estado civil, etc. A su vez se pueden clasificar en ordenables y no ordenables: OrdenablesOrdenablesOrdenablesOrdenables: Son aquellas que sugieren una ordenación, por ejemplo la graduación militar, nivel de estudios, etc. No ordenablesNo ordenablesNo ordenablesNo ordenables: Son aquellas que sólo admiten una mera ordenación alfabética, pero no establece orden por su naturaleza, por ejemplo el color de pelo, sexo, estado civil, etc. Tablas EstadísticasTablas EstadísticasTablas EstadísticasTablas Estadísticas A partir de este momento nos vamos a ocupar de las estadísticas de una sola variable, "Estadísticas Unidimensionales". Las tablas estadísticas según el número de observaciones y según el recorrido de la variable estadística, se tienen los siguientes tipos de tablas estadísticas:

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Se orientan actividades con el uso de las tecnologías a las escuelas que disponen de los medios. Éstas se desarrollarán con el apoyo del docente TIC (Tecnología de la Información y Comunicación). Copia las tablas 1 -10 Grafica la tabla # 5 llamada frecuencia, selecciona tipo de grafico columna (histograma) Grafica la tabla # 9, selecciona tipo de grafico columna (histograma) Grafica la tabla #10, selecciona tipo de grafico columna (histograma) Grafica la tabla # 6 marca de clase, selecciona el tipo de grafico líneas (polígono de frecuencias) Grafica la tabla # 7, selecciona el tipo de grafico pastel Tablas tipo I: Tablas tipo I: Tablas tipo I: Tablas tipo I: Cuando el tamaño de la muestra y el recorrido de la variable son pequeños, por ejemplo si se tiene una muestra de las edades de 5 personas, no hay que hacer nada especial, simplemente anotarlas de manera ordenada en filas o columnas. Edad de los 5 miembros de una familia: 5, 8, 16, 38, 45 Tablas tipo II: Tablas tipo II: Tablas tipo II: Tablas tipo II: Cuando el tamaño de la muestra es grande y el recorrido de la variable es pequeño, hay valores de la variable que se repiten. Por ejemplo, si se pregunta por el número de personas activas que hay en 50 familias se obtiene la siguiente tabla: Personas Activas en 50 familias.

2 1 2 2 1 2 4 2 1 1 2 3 2 1 1 1 3 4 2 2 2 2 1 2 1 1 1 3 2 2 3 2 3 1 2 4 2 1 4 1 1 3 4 3 2 2 2 1 3 3

Se puede observar que la variable toma valores comprendidos entre 1 y 4, por lo que se precisa una tabla en la que se resumen estos datos quedando la siguiente tabla:

PersonasPersonasPersonasPersonas Activas Activas Activas Activas Número de FamiliasNúmero de FamiliasNúmero de FamiliasNúmero de Familias 1 16 2 20 3 9 4 5

TotalTotalTotalTotal 50505050

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25,94

37

intº==

ervalosdeN

Rango

Tablas tipo III: Tablas tipo III: Tablas tipo III: Tablas tipo III: Cuando el tamaño de la muestra exige organizar los datos en intervalos de frecuencias, entonces se hace una tabla llamada Tabla de Frecuencias. Tabla de FrTabla de FrTabla de FrTabla de Frecuenciasecuenciasecuenciasecuencias:::: Es una tabla que se construye con base en una serie de datos proporcionados ante una situación. Para su construcción se debe seguir procedimientos establecidos los que se pueden explicar con la realización de un ejercicio y este será el siguiente:

Un jugador de Básquetbol anota en 20 juegos la cantidad de puntos que se presentan.

Hacer una tabla de frecuencias con 4 intervalos. Los pasos sucesivos serán: Ordenar los daOrdenar los daOrdenar los daOrdenar los datos en forma ascendentetos en forma ascendentetos en forma ascendentetos en forma ascendente

13 23 31 43 15 24 32 43 19 25 33 45 23 26 34 46 23 28 35 50

Calcular el rango. Este se obtiene restando el dato mayor y el dato menorCalcular el rango. Este se obtiene restando el dato mayor y el dato menorCalcular el rango. Este se obtiene restando el dato mayor y el dato menorCalcular el rango. Este se obtiene restando el dato mayor y el dato menor.

R = 50 -13 = 37 Determinar el tamaño del intervaloDeterminar el tamaño del intervaloDeterminar el tamaño del intervaloDeterminar el tamaño del intervalo.

T = 9,25, lo redondeamos a 9. Entonces el tamaño del intervalo será de 9 unidades. ConstruirConstruirConstruirConstruir los intervalos los intervalos los intervalos los intervalos Iniciando con el dato menor 13 los números, 14, 15,16, 17, 18, 19, 20, 21, formarían parte del primer intervalo.

23 45 23 23 24 35 26 25 13 46 33 31 43 15 43 34 28 32 19 50

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Se observa que hay 9 números desde el primer dato ordenado, entonces el primer intervalo es 13–21. Los siguientes serán: 22 – 30 31 – 39 40 – 48 Estos serían los cuatro intervalos pedidos en el ejercicio. Sin embargo se ve al ordenar los datos está el número 50 que no encaja en ninguno de los intervalos, por lo que se requiere crear un intervalo adicional. 49 - 57

Construir la tabla de frecuenciasConstruir la tabla de frecuenciasConstruir la tabla de frecuenciasConstruir la tabla de frecuencias....

La frecuencia corresponde al número de repeticiones que se da en el intervalo. Por ejemplo en el intervalo 22 – 30 están los siguientes números: 23, 23, 23, 24, 25 ,26 y 28. Los intervalos de clase tienen un límite inferior y uno superior. Por ejemplo en el intervalo 31-39 teóricamente se incluyen las anotaciones desde 31 hasta 39. Estos números los cuales podemos escribir como 30,5 y 39,5 se llaman límites de clase.

EjerciciosEjerciciosEjerciciosEjercicios:::: Las notas de 20 alumnos/as en la asignatura de Física son las siguientes: 8800,,4400,,110000,,7755,,6622,,7700,,6655,,7788,,5544,,6600,,8833,,4400,,4466,,6677,,8877,,8899,,5566,,7788,,8877,,4499 Haga una tabla de frecuencia de 3 intervalos Representación grRepresentación grRepresentación grRepresentación grááááfica de una tabla de frecuenciasfica de una tabla de frecuenciasfica de una tabla de frecuenciasfica de una tabla de frecuencias Las tablas de frecuencia pueden representarse de muchas formas: Una de ellas es el histograma o diagrama de barras, el cual consiste de un conjunto de rectángulos que tienen sus bases en un eje horizontal (eje x), con sus centros en las marcas de clase y con longitudes iguales al tamaño del intervalo de clase.

IntervaloIntervaloIntervaloIntervalo FrecuenciaFrecuenciaFrecuenciaFrecuencia

13 - 21 3

22 - 30 7

31 - 39 5

40 - 48 4

49 - 57 1

TotalTotalTotalTotal 20202020

13

Frecuencia

0

24

6

8

13 – 21 22 - 30 31 - 39 40 – 48 49 - 57

Frecuencia

0

5

10

15

20

25

13 – 21 22 - 30 31 - 39 40 – 48 49 - 57 Total

Frecuencia

0

2

4

6

8

17 26 35 44 53

A continuación se presentan varias formas de histograma:

Primer tipoPrimer tipoPrimer tipoPrimer tipo

Segundo tipo: AmpliandSegundo tipo: AmpliandSegundo tipo: AmpliandSegundo tipo: Ampliando la escala en el eje de las “y”o la escala en el eje de las “y”o la escala en el eje de las “y”o la escala en el eje de las “y” Otra forma de representar una tabla de frecuencias es, a través de polígonos de frecuenciapolígonos de frecuenciapolígonos de frecuenciapolígonos de frecuencia, la que consiste en una línea que une la marca de clase de cada intervalo. Una marca de clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene al sumar los límites de la clase inferior y la superior divididos entre dos.

IntervaloIntervaloIntervaloIntervalo FrecuenciaFrecuenciaFrecuenciaFrecuencia Marca de ClaseMarca de ClaseMarca de ClaseMarca de Clase 13 – 21 3 17 22 – 30 7 26 31 – 39 5 35 40 – 48 4 44 49 – 57 1 53 TotalTotalTotalTotal 20202020 ****************************************************************************

14

Frecuencia

13 – 21

22 - 30

31 - 39

40 – 48

49 - 57

0

10

20

30

40

50

Trabajadores

900-999

1000-1099

1100-1199

1200-1299

1300-1399

1400-1499

1500-1599

1600-1699

Total

Otra forma de representar una tabla de frecuencias es a través del diagrama del pastel. Para su construcción debes tener en cuenta la utilización de un transportador para ubicar correctamente los ángulos que le corresponden a cada uno de los intervalos dentro de la circunferencia.

IntervaloIntervaloIntervaloIntervalo FrecuenciaFrecuenciaFrecuenciaFrecuencia PorcentajePorcentajePorcentajePorcentaje GradosGradosGradosGrados 13 – 21 3 15% 54o 22 - 30 7 35% 126 o 31 - 39 5 25% 90 o 40 – 48 4 20% 72 o 49 - 57 1 5% 18 o TotalTotalTotalTotal 20202020 100%100%100%100% 360360360360oooo

Este es el diagrama correspondiente Este es el diagrama correspondiente Este es el diagrama correspondiente Este es el diagrama correspondiente a un pastel a un pastel a un pastel a un pastel

Para lograr este indicador de logro se pueden hacer ejercicios como el siguiente: La tabla muestra una distribución de frecuencias de los salarios mensuales de 50 trabajadores de diferentes áreas de trabajo. El histograma correspondiente es:El histograma correspondiente es:El histograma correspondiente es:El histograma correspondiente es:

1. Tomando Tomando Tomando Tomando como como como como rrrreeeeffffeeeererererencia la ncia la ncia la ncia la

tablatablatablatabla, complete:, complete:, complete:, complete: a. El intervalo de mayor frecuencia es: __________ b. El intervalo de menor frecuencia es: __________ c. El tamaño de los intervalos es: __________

SalariosSalariosSalariosSalarios TrabajadoresTrabajadoresTrabajadoresTrabajadores 900 - 999 12

1000 - 1099 10

1100 - 1199 6

1200 - 1299 9 1300 - 1399 3

1400 - 1499 4

1500 - 1599 4 1600 - 1699 2

TotalTotalTotalTotal 50505050

15

02040

6080

100

Guatemala Elsalvador

Honduras Nicaragua CostaRica

Producción miles debarriles1995

Producción miles debarriles 1996

d. La marca de clase de cada intervalo es: __________ e. Porcentaje de frecuencia de cada intervalo: __________ f. Haga un polígono de frecuencia 2. La producción de aceite vegetal en CeLa producción de aceite vegetal en CeLa producción de aceite vegetal en CeLa producción de aceite vegetal en Centroamérica en los años 1995 y 1996 se muestran en ntroamérica en los años 1995 y 1996 se muestran en ntroamérica en los años 1995 y 1996 se muestran en ntroamérica en los años 1995 y 1996 se muestran en

el siguiente cuadroel siguiente cuadroel siguiente cuadroel siguiente cuadro.

PaísPaísPaísPaís Producción miles de Producción miles de Producción miles de Producción miles de barriles1995barriles1995barriles1995barriles1995

Producción miles de Producción miles de Producción miles de Producción miles de barriles 1996barriles 1996barriles 1996barriles 1996

Guatemala 45 92

El salvador 40 53

Honduras 43 65

Nicaragua 69 88

Costa Rica 90 80

Un diagrama de barrasUn diagrama de barrasUn diagrama de barrasUn diagrama de barras para la información dada es: para la información dada es: para la información dada es: para la información dada es:

Basado en la información, responda las siguientes preguntas:Basado en la información, responda las siguientes preguntas:Basado en la información, responda las siguientes preguntas:Basado en la información, responda las siguientes preguntas: 1. El país que tuvo la mayor producción de aceite vegetal en 1995 fue: ___________________. 2. El país que experimento un crecimiento mayor en su producción de aceite vegetal en 1996

fue: ______________________________________________________________________. 3. ¿Cuál de las aseveraciones siguientes es posible hacer con base en el gráfico?

a. La producción de aceite vegetal se incrementó en todos los países centroamericanos en

1996. b. El porcentaje de crecimiento en la producción de aceite vegetal fue el mismo en todos

los países centroamericanos.

c. Nicaragua ocupó el segundo lugar en porcentajes de crecimiento en la producción e aceite vegetal en Centroamérica.

d. El país que experimentó el menor porcentaje de crecimiento en la producción de aceite

vegetal fue El Salvador.

e. La producción de aceite vegetal en Guatemala en 1995 superó a la de Costa Rica ese mismo año.

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Como se dijo en el punto referido a los Ejes Transversales es de mucha importancia hacer interactuar a los estudiantes con el entorno y entre ellos mismos para interrelacionar los Ejes Transversales en el desarrollo de las competencias del área de matemática. Utiliza la hoja de cálculo para apoyar los conUtiliza la hoja de cálculo para apoyar los conUtiliza la hoja de cálculo para apoyar los conUtiliza la hoja de cálculo para apoyar los contenidos tenidos tenidos tenidos Copia la tabla 10 – 12 con sus orientaciones Grafica la tabla 10, tipos de gráficos pastel, columna Grafica la tabla 11, tipos de gráficos columna, línea, pastel. Grafica la tabla 12, tipos de gráficos columna, línea, pastel. Realiza los siguieRealiza los siguieRealiza los siguieRealiza los siguientes ejerciciosntes ejerciciosntes ejerciciosntes ejercicios para consolidar y evaluar la competencia para consolidar y evaluar la competencia para consolidar y evaluar la competencia para consolidar y evaluar la competencia 1. En un concurso de “Bebidas típicas nicaragüenses” en las que participan 40 personas se

encontraron los siguientes resultados de calidad:

a. Haga un pastel. b. Haga un histograma.

2. Dada las edades de 20 personas:

10 10 10 15 12 12 14 12 16 20 15 15 10 18 10 17 18 14 13 18 12 16 10 12 16 14 12 16 20 18

c. Haga una tabla de frecuencias con tres intervalos. d. Haga un histograma, polígono de frecuencias y un diagrama de pastel.

3. Las calificaciones de 30 estudiantes del 8º grado “A”, en el Componente: Literatura y

Lengua, fueron:

80 66 60 76 60 60 75 63 77 75 72 87 74 80 70 61 86 72 81 71 83 90 75 74 72 60 76 74 75 70

a. Haga una tabla de frecuencias con 4 intervalos. b. Haga un histograma, polígono de frecuencias y un diagrama de pastel.

CategoríaCategoríaCategoríaCategoría FrecuenciaFrecuenciaFrecuenciaFrecuencia

Excelente 12 Muy Bueno 7 Bueno 10 No calificado 11

TotalTotalTotalTotal 40404040

17

c. Calcular la media aritmética, mediana y moda.

4. Con relación al ejercicio anterior, considerando que las notas están en las categorías indicadas:

60 a 69 (Regular) 70 a 79 (Bueno) 80 a 89 (Muy Bueno) 90 a 99 (Excelente) a. Haga una tabla de categorías. b. Construya un diagrama de barras. c. Construya un pastel.

5. Analiza el siguiente gráfico y responde. El gráfico muestra las ventas de arroz y azúcar de un almacén, en cuatro días de la semana:

De acuerdo al gráfico, a medida que pasan los días: A. la venta de arroz y de azúcar aumenta. B. la venta de arroz y de azúcar disminuye. C. la venta de arroz aumenta y la de azúcar disminuye. D. la venta de arroz disminuye y la de azúcar aumenta. A continuación se le presenta un complemento informativo sobre las medidas de dispersión que se abordarán en décimo grado. MEDIDAS DE DISPERSIMEDIDAS DE DISPERSIMEDIDAS DE DISPERSIMEDIDAS DE DISPERSIÓÓÓÓN N N N Existe otro tipo de medidas que indican la tendencia de los datos a dispersarse respecto al valor central. Algunas de las medidas de dispersión más usuales son:Algunas de las medidas de dispersión más usuales son:Algunas de las medidas de dispersión más usuales son:Algunas de las medidas de dispersión más usuales son: a. Rango, amplitud o recorrido (R). b. Desviación estándar (S, muestral; s, poblacional). c. Varianza (S2, S2). d. Desviación media (DM). e. Coeficiente de Variación (C.V.).

18

5,98

756312151810 =++++++++=−x

2)(−

− xxf

04,26=−x )(var4,43

)(6,639

1693

ianzaS

estándardesviaciónS

=

==

RANGO. RANGO. RANGO. RANGO. Es la diferencia entre el dato mayor y el dato menor. R= X máx. R= X máx. R= X máx. R= X máx. ---- X mín. X mín. X mín. X mín. DESVIACION ESTANDARDESVIACION ESTANDARDESVIACION ESTANDARDESVIACION ESTANDAR La desviación estándar o desviación tipo se define como la raíz cuadrada de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable respecto a su media.

VARIANZAVARIANZAVARIANZAVARIANZA Es el cuadrado de la desviación estándar. En la hoja de cálculo, copia la tabla 13 y realiza los cálculos utilizando la formula de datos no agrupados, para la tabla 14 utiliza la formula de datos agrupados EEEEjemplojemplojemplojemplo:::: Hallar la desviación estándar y la varianza de la siguiente serie de datos 10, 18, 15, 12, 3, 6, 5,7 Solución:Solución:Solución:Solución:

(10 - 9,5) (18 – 9,5) (15 – 9,5) (12 – 9,5) (3 – 9,5) (6 – 9,5) (5 – 9,5) (7 – 9,5) (x - x )

= = = = = = = =

0,25 72,25 30,25 6,25

42,25 12,25 20,25 6,25 190

EEEEjemplojemplojemplojemplo:::: Hallar la desviación estándar y la varianza para la siguiente distribución de frecuencias.

ClasesClasesClasesClases ffff SoluciónSoluciónSoluciónSolución

10 – 15 2

2(12,5-26,04) = 366,7

)(var75,23

)(87,48

190

ianzaS

estándardesviaciónS

S

==

=

19

1693)( =−Σ XXf

||−

− xx

N

xxfMD

||.

−−Σ=

||−

− xx

28|| =−Σ−xx

||−

− xxf

||−

−Σ xxf

)100(.x

SVC =

16 – 21 8 8(18,5-26,04 = 454,8 22 – 27 13 13(24,5-26,04) = 46,9 28 – 33 10 10(30,5-26,04) = 168,1 34 - 39 6 6(36,5-26,04) = 656,5

39

Desviación mediaDesviación mediaDesviación mediaDesviación media Se conoce también como promedio de desviación. Para una serie de N valores se puede calcular a través de la siguiente expresión: Valor absoluto de las desviaciones de los x valores, respecto de la media. Y para datos agrupados se tiene: EEEEjemplojemplojemplojemplo: : : : Hallar la desviación media de: 4, 6, 12, 16,22. Solución:Solución:Solución:Solución:

4 – 12 6 – 12 12 – 12 16 – 12 22 – 12

= 8 = 6 = 0 = 4 = 10

D.M. = 28/5 = 5,6

EEEEjemplojemplojemplojemplo: : : : Hallar la desviación media en la siguiente distribución de frecuencias. SSSSoluciónoluciónoluciónolución::::

ClasesClasesClasesClases

ffff xxxx fxfxfxfx

8 – 10 3 9 27 3 (9 – 15,8) = 20,4 11 – 13 6 12 72 6 (12 – 15,8) = 22,8 14 – 16 9 15 135 9 (15 – 15,8) = 7,2 17 – 19 11 18 198 11 (18 - 15,8) = 24,2 20 – 22 5 21 105 5 (21 – 15,8) = 26

N = 34

____ xxxx = 537/ 34 = 537/ 34 = 537/ 34 = 537/ 34 = 15= 15= 15= 15,,,,8888

D.D.D.D. M = 100M = 100M = 100M = 100,,,,6 / 34 = 36 / 34 = 36 / 34 = 36 / 34 = 3

Coeficiente de Variación.Coeficiente de Variación.Coeficiente de Variación.Coeficiente de Variación. Es la relación que existe entre la S y la x, expresada en términos de porcentaje y se expresa:

20

a A b A

c A d A

e A f A

g A i A

h A k A

j A

∈ ∉∈ ∉∈ ∉∈ ∉∈ ∉∈ l A∈

%5,12)100(16

2. ==VC

EEEEjemplojemplojemplojemplo: : : : Hallar el coeficiente de variación de una serie de datos cuya S = 2 y x = 16.

TEORÍA DE CONJUNTOSTEORÍA DE CONJUNTOSTEORÍA DE CONJUNTOSTEORÍA DE CONJUNTOS Definición:Definición:Definición:Definición: Se define un conjunto como una colección de objetos denominados elemeelemeelemeelementos. ntos. ntos. ntos. De esa manera se puede por ejemplo considerar el conjunto formado por los meses del año, los días de la semana, etc. Un conjunto puede tener cualquier número de elementos, se puede citar como ejemplo el conjunto formado por las estrellas del universo que si bien es un conjunto demasiado grande, es factible contabilizar las mismas. Con base en lo expresado en el párrafo anterior se puede hacer una clasificación de los conjunto desde el punto de vista de la cantidad de sus elementos. Elemento pertenenElemento pertenenElemento pertenenElemento pertenenciaciaciacia Si Si Si Si se designaran se designaran se designaran se designaran los meses del año con los meses del año con los meses del año con los meses del año con los incisos a), b), c), selos incisos a), b), c), selos incisos a), b), c), selos incisos a), b), c), se tendrá tendrá tendrá tendrá:::: a) Enero b) Febrero c) Marzo d) Abril e) Mayo f) Junio g) Julio h) Agosto i) Septiembre j) Octubre k) Noviembre l) Diciembre Si se consideramos el conjunto: A = {x/x es un mes de treinta días}, entonces se tendrá:

Conjunto Finito: Conjunto Finito: Conjunto Finito: Conjunto Finito: Cuando se puede conocer el número de elementos que lo forman. EjemploEjemploEjemploEjemplo: Días de la semana, meses del año, signos zodiacales, profesores del colegio, etc. ConjuntoConjuntoConjuntoConjunto Infinito: Infinito: Infinito: Infinito: Cuando está formado por una cantidad de elementos que se dificulta su conteo. EjemploEjemploEjemploEjemplo: El conjunto formado por todos los números positivos. Otra forma de identificar a los conjuntos es tomar en cuenta la forma en que se define, clasificándose de la siguiente forma: Por Extensión: Por Extensión: Por Extensión: Por Extensión: Cuando se escriben uno a uno todos los elementos del conjunto.

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Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: a) {1,2, 3, 4, 5} b) {Enero; Marzo; Mayo; Junio; Julio; Agosto; Octubre; Noviembre; Diciembre} Por Comprensión: Por Comprensión: Por Comprensión: Por Comprensión: Cuando se da un criterio que permite decidir con certeza si un elemento pertenece o no al conjunto. Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Se puede mencionar los mismos conjuntos ya definidos por Extensión: a) Conjunto formado por los números naturales menores o iguales que 5. b) Conjunto de los meses del año que tienen treinta días. Para representar un conjunto se deberán seguir las siguientes reglas: Los conjuntos se designan con letras mayúsculas del alfabeto. Los elementos que forman un conjunto se deben encerrar entre llaves. Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Definido por Extensión:Extensión:Extensión:Extensión: A = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes, Sábado, Domingo} Definido por ComprensiónComprensiónComprensiónComprensión: A = {x / x es un día de la semana} Conjuntos especialesConjuntos especialesConjuntos especialesConjuntos especiales Conjunto Vacío: Conjunto Vacío: Conjunto Vacío: Conjunto Vacío: Son aquellos conjuntos que carecen de elementos. Al definirlos por comprensión se puede decir que equivale a enunciar una propiedad que no puede ser cumplida por ningún elemento. Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: A = {x / x es un mes de treinta y cinco días} se denota por Ø Conjunto Unitario: Conjunto Unitario: Conjunto Unitario: Conjunto Unitario: Son aquellos conjuntos que tienen un sólo elemento. Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: A = {x / x es el presidente de Nicaragua} Conjunto Universal: Conjunto Universal: Conjunto Universal: Conjunto Universal: Es aquel conjunto formado por todos los elementos del tema de referencia. Se designa con UUUU y en los Diagramas de Venn se representa por un rectángulo para diferenciarlo de los demás conjuntos. Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:

U = {a, c, e, i, l, t, o, u} U = {x / x es una letra de la palabra eucalipto}

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{ }A B x x A x B/∩ = ∈ ∨ ∈

Si además Si además Si además Si además se definese definese definese define::::

A = {x ∫ U/x es día de descanso para los estudiantes} Y A = {Sábado, Domingo} RRRRelaciones y operaciones entre conjuntoselaciones y operaciones entre conjuntoselaciones y operaciones entre conjuntoselaciones y operaciones entre conjuntos.... 1. Conjuntos Idénticos:Conjuntos Idénticos:Conjuntos Idénticos:Conjuntos Idénticos: Dos o más conjuntos son idénticos o iguales si poseen los mismos

elementos, por lo consiguiente si AAAA y BBBB son idénticos, escribimos A = BA = BA = BA = B Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:

A = {1; 3; 5; 7; 9} B = {9; 7; 5; 1; 3} Podemos ver que los conjuntos tienen los mismos elementos independientemente del ordenamiento que tengan los elementos que conforman cada conjunto. 2. Subconjunto:Subconjunto:Subconjunto:Subconjunto: Se dice que un conjunto BBBB es un SubconjuntoSubconjuntoSubconjuntoSubconjunto de otro conjunto AAAA, si y sólo si

todo elemento de BBBB es un elemento de AAAA. Podrá decirse en este caso que BBBB está incluido o contenido en A. Simbólicamente se expresa así: B ⊂ A Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:

A = {x / x es un número dígito impar de una sola cifra} = {1; 3; 5; 7; 9} B = {x / x es un número dígito impar menor que 7} = {1; 3; 5}

Se dice entonces que B ⊂ A ya que todo elemento de B pertenece a A. Mediante un Diagrama de Venn se tiene la siguiente representación: 3. Unión:Unión:Unión:Unión: Se define como unión de dos conjuntos A y B como el conjunto formado por los

elementos que pertenecen ya sea al conjunto A o al conjunto B o bien a ambos. Para esta operación se utiliza el símbolo U y se escribe: A U B, que se lee A unión B. Simbólicamente:Simbólicamente:Simbólicamente:Simbólicamente:

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{ } { }A m n r B h l p z A B; ; ; , ;= = ⇒ ∩ = ∅

{ } { } { }A 4 5 6 7 8 B 3 5 7 9 11 A B 5 7; ; ; ; ; ; ; ; ;= = ⇒ ∩ =

{ }A B x x A x B/∩ = ∈ ∧ ∈

EjemploEjemploEjemploEjemplo:::: Sean A = {a, b, c} B = {c, d, e, t} ⇒ AUB = {a, b, c, d, e, t}

Gráficamente:Gráficamente:Gráficamente:Gráficamente: 4.4.4.4. Intersección: Intersección: Intersección: Intersección: Se define la intersección de dos conjuntos AAAA y BBBB, al conjunto formado por los

elementos que pertenecen al conjunto AAAA y al conjunto B B B B simultáneamente. Para esta operación se utiliza la siguiente simbología: A∩B

Simbólicamente puede escribirse:

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Sean Gráficamente se puede representarlo mediante un diagrama de Venn: Puede darse el caso que los conjuntos considerados no tengan elementos en común en cuyo caso la intersección es vacía. Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Sean 5. Complemento:Complemento:Complemento:Complemento: Dado un conjunto Universal UUUU y un conjunto AAAA tal que A d U se define como

complemento de AAAA y se denota como A’A’A’A’, al conjunto formado por los elementos de UUUU que no pertenecen a AAAA.

SimbólicamenteSimbólicamenteSimbólicamenteSimbólicamente:::: AAAA = {x/x = {x/x = {x/x = {x/x∈∈∈∈UUUU∧∧∧∧xxxx∉∉∉∉A}A}A}A} Nótese que A’A’A’A’ es el conjunto de los xxxx que quedan fuera del conjunto A A A A hasta completar el conjunto Universal.

Gráficamente:Gráficamente:Gráficamente:Gráficamente:

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{ } { } { }U 1;2 ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 ;10 A 1 ;3 ;5 ;7 A 2 ;4 ;6 ;8 ;9 ;10'= = ⇒ =

{ } { } { } { }A 1;2;3;4;5 B 4;5;6;7 A B 1;2;3 B A 6;7= = ⇒ − = − =

{ }A B x x A x B/− = ∈ ∧ ∉

Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo:

6. DiferenciaDiferenciaDiferenciaDiferencia: Se define la diferencia entre un conjunto AAAA y otro conjunto BBBB como el conjunto

formado por todos los elementos de AAAA que no pertenecen a BBBB.

Simbólicamente: Simbólicamente: Simbólicamente: Simbólicamente: Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Sean Gráficamente:Gráficamente:Gráficamente:Gráficamente:

Las operaciones booleanas (unión e intersección) verifican las siguientes propiedades:

PROPIEDADESPROPIEDADESPROPIEDADESPROPIEDADES UNIONUNIONUNIONUNION INTERSECCIONINTERSECCIONINTERSECCIONINTERSECCION

Idempotencia A ∪ A = A A ∩ A = A

Conmutativa A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A

Asociativa A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C

Absorción A ∪ ( A ∩ B ) = A A ∩ ( A ∪ B ) = A

Distributiva A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )

Complementariedad A ∪ A' = U A ∩ A' = ∅

Estas propiedades hacen que partes de U con las operaciones unión e intersección tenga una estructura de álgebra de Boole. Además de éstas, se verifican también las siguientes propiedades: A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅ (Elemento nulo). A ∪ U = U, A ∩ U = A (Elemento universal). (A ∪ B)' = A' ∩ B’, (A ∩ B)' = A' ∪ B' (Leyes de Morgan).

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{ } { } { }

{ } { } { }

U x N / x 1 5 A x U / x 9 B x U / x 9

C x U / x e s p a r D x U / x e s im p a r E x U / x e s m ú lt ip lo d e 3

= ∈ ≤ = ∈ ≤ = ∈ >

= ∈ = ∈ = ∈

Resuelva los siguientes ejercicios aplicando las operaciones con conjuntos: Definir por extensión las siguientes operaciones: a) U; A; B; C; D ;E b) B∩E c) A – C d) (AUB) e) AU (B-E) f) (A´∩D) – B g) A – (BUD) h) C - (B∩E)

PPPPOLÍGONOS REGULARES, CÍRCULOS Y SUS ELEMENTOSOLÍGONOS REGULARES, CÍRCULOS Y SUS ELEMENTOSOLÍGONOS REGULARES, CÍRCULOS Y SUS ELEMENTOSOLÍGONOS REGULARES, CÍRCULOS Y SUS ELEMENTOS

Es importante iniciar con la exploración de lo que los estudiantes saben. También es importante hacer que todos los/as ellos/as utilicen los instrumentos geométricos. Durante la construcción deben reflexionar sobre lo principal de las figuras geométricas conocidas. TriánguloTriánguloTriánguloTriángulo El triángulo es un polígono formado por tres lados y tres ángulos. La suma de todos sus ángulos siempre es 180 grados. Para calcular el área se emplea la siguiente fórmula: (base • altura)

Área del triángulo= 2

Tipos de triángulosTipos de triángulosTipos de triángulosTipos de triángulos

El triángulo rectángulo es aquél que tiene un ángulo de 90 grados.

El triángulo isósceles es aquél que tiene dos lados iguales y uno desigual.

26

El triángulo equilátero es aquél que tiene los tres lados iguales y por lo tanto sus ángulos, también son iguales, siendo cada uno de 60 grados.

El triángulo escaleno es aquél que tiene los tres lados desiguales y por lo tanto sus ángulos, también son de diferente medida.

CuadradoCuadradoCuadradoCuadrado El cuadrado es un polígono de cuatro lados, con la característica de que todos ellos son iguales. Los cuatro ángulos miden 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del cuadrado = (lado)2

RectánguloRectánguloRectánguloRectángulo El rectángulo es un polígono de cuatro lados, iguales dos a dos. Los cuatro ángulos son de 90 grados cada uno. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del rectángulo = (base)(altura) RomboRomboRomboRombo El rombo es un polígono de cuatro lados iguales, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula: (Diagonal Mayor) (Diagonal menor) Área del rombo =

2

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ParalelogramoParalelogramoParalelogramoParalelogramo El paralelogramo es un polígono de cuatro lados paralelos dos a dos. El área de esta figura se calcula mediante la fórmula:

Área del paralelogramo = (base) (altura) TrapecioTrapecioTrapecioTrapecio El trapecio es un polígono de cuatro lados, pero sus cuatro ángulos son distintos de 90º.El área de esta figura se calcula mediante la fórmula.

[(Base Mayor + base menor) • altura] Área del trapecio =

2

Problemas y ejercicios de áreas de polígonosProblemas y ejercicios de áreas de polígonosProblemas y ejercicios de áreas de polígonosProblemas y ejercicios de áreas de polígonos

1. Un campo rectangular tiene 170 m de base y 28 m de altura. Calcular el precio del campo si el metro cuadrado cuesta 1 500 Córdobas. 1. Calcula el número de baldosas cuadradas, de 10 cm, de lado que se necesitan para

embaldosar una superficie rectangular de 4 m de base y 3 m de altura. 2. Hallar el área de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados miden 10 cm cada uno. 3. El perímetro de un triángulo equilátero mide 0,9 dm y la altura mide 25,95 cm. Calcula el

área del triángulo. 4. Calcula el número de árboles que pueden plantarse en un terreno rectangular de 32 m de

largo y 30 m de ancho si cada planta necesita para desarrollarse 4 m². 5. El área de un trapecio es 120 m², la altura 8 m, y la base menor mide 10 m. ¿Cuánto mide la

otra base? 6. Calcular el área de un paralelogramo cuya altura mide 2 cm y su base mide 3 veces más

que su altura. 7. Calcula el área de un rombo cuya diagonal mayor mide 10 cm y cuya diagonal menor es la

mitad de la mayor.

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8. En el centro de un jardín cuadrado de 150 m de lado hay una piscina también cuadrada, de 25 m de largo. Calcula el área del jardín.

9. Calcula el área del cuadrado que resulta de unir los puntos medios de los lados de un

rectángulo cuya base y altura miden 8 y 6 cm. 10. Una zona boscosa tiene forma de trapecio, cuyas bases miden 128 m y 92 m. La anchura

de la zona mide 40 m. Se construye un paseo de 4 m de ancho perpendicular a las dos bases. Calcula el área de la zona arbolada que queda.

11. Un jardín rectangular tiene por dimensiones 30 m y 20 m. El jardín está atravesado por dos

caminos perpendiculares que forman una cruz. Uno tiene un ancho de 8 dm y el otro 7 dm. Calcula el área del jardín.

12. Dado el cuadrado ABCD, de 4 m de lado, se une E, punto medio del segmento BC, con el

vértice D. Calcular el área del trapecio formado. 13. Calcula la cantidad de pintura necesaria para pintar la fachada de este edificio(Ver figura)

sabiendo que se gastan 0.5 kg de pintura por m2.

14. Hallar el perímetro y el área de la figura:

15. Cuánto vale el área de la parte subrayada de la figura, si el área del hexágono es de 96 cm².

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A continuación se explica cómo construir polígonos regulares. Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado.Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado.Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado.Método general para la construcción de polígonos conociendo el lado. Se dibuja un segmento AB de magnitud igual al lado del polígono que se quiere construir. Seguidamente, se hace centro en A y B, respectivamente, y se trazan dos arcos de circunferencia de radio igual a la magnitud del lado, obteniendo el punto de intersección O. Haciendo centro en el punto O se traza la circunferencia de radio OA, circunscrita de un hexágono de lado AB. Se traza el diámetro perpendicular al lado AB y se divide el radio OM en seis partes iguales. Cada división es el centro de la circunferencia circunscrita de un polígono de lado AB y n número de lados. En la Fig. 1 se ha representado el eneágono, trazando su circunferencia circunscrita de centro 9 y radio 9A. Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia Método general para la construcción de polígonos conociendo el radio de la circunferencia circunscrita.circunscrita.circunscrita.circunscrita. A partir de un diámetro AB, se dibuja una circunferencia. Se divide el diámetro en un número n de partes iguales, siendo n el número de lados que ha de tener el polígono. Haciendo centro en los extremos del diámetro, se trazan arcos de radio AB que se cortan en los puntos M y N. Uniendo los puntos M y N, se obtienen sobre la circunferencia los vértices del polígono. (Fig. 2) Métodos particularesMétodos particularesMétodos particularesMétodos particulares Triángulo, hexágono y dodecágono.Triángulo, hexágono y dodecágono.Triángulo, hexágono y dodecágono.Triángulo, hexágono y dodecágono. En el hexágono se cumple que el radio de la circunferencia circunscrita es igual al lado. Se puede dividir una circunferencia en seis partes iguales trazando dos arcos de circunferencia con centros en los extremos de un diámetro y con el mismo radio de la circunferencia. (Fig. 3). Si se repite esta operación en otro diámetro perpendicular al primero, la circunferencia queda dividida en 12 partes iguales. Tomando sólo tres vértices no consecutivos del hexágono, se obtiene el triángulo equilátero.

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Cuadrado y octógonoCuadrado y octógonoCuadrado y octógonoCuadrado y octógono Dos diámetros perpendiculares dividen a la circunferencia en cuatro partes iguales. Si se trazan las bisectrices de los cuadrantes se obtienen ocho partes iguales de la circunferencia. (Fig. 4) Pentágono y decágonoPentágono y decágonoPentágono y decágonoPentágono y decágono Se dibuja la circunferencia circunscrita y se traza la mediatriz de uno de sus radios, OP por ejemplo. Con centro en el punto medio del radio se traza un arco de radio ME, que corta en F al diámetro PQ. De esta manera se obtienen los segmentos EF y OF, iguales a los lados del pentágono y el decágono respectivamente. (Fig. 5) HeptágonoHeptágonoHeptágonoHeptágono La mediatriz del radio OP de la circunferencia circunscrita corta a la circunferencia en el punto N, siendo MN igual a la magnitud del lado del heptágono. (Fig. 6) Hexágono coHexágono coHexágono coHexágono conociendo el ladonociendo el ladonociendo el ladonociendo el lado Se construye el triángulo equilátero de lado igual a la magnitud del lado AB del hexágono. El vértice O hallado es el centro de la circunferencia circunscrita. (Fig. 7)

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Pentágono conociendo el ladoPentágono conociendo el ladoPentágono conociendo el ladoPentágono conociendo el lado Se sitúa el lado AB dado prolongando uno de sus extremos. (Fig. 8) Se levanta una perpendicular por el extremo B y se traslada sobre ella la magnitud del lado para obtener el punto M. Con centro en el punto medio del lado, se traslada el punto M sobre la prolongación de AB determinando el punto F. La distancia AF es igual a la magnitud de la diagonal del pentágono. Con las medidas del lado y la diagonal hallada se construye el pentágono por triangulación. La Circunferencia y el CírculoLa Circunferencia y el CírculoLa Circunferencia y el CírculoLa Circunferencia y el Círculo Una Circunferencia es una curva cerrada que equidista a un punto fijo llamado centro. Los principales elementos de una circunferencia son:Los principales elementos de una circunferencia son:Los principales elementos de una circunferencia son:Los principales elementos de una circunferencia son: • Radio:Radio:Radio:Radio: Segmento que une al centro y un punto de la circunferencia. • Cuerda:Cuerda:Cuerda:Cuerda: Segmento que une dos puntos cualquiera de una circunferencia. • Diámetro:Diámetro:Diámetro:Diámetro: Segmento que une dos puntos de una circunferencia y que pasa por su centro. Es

una cuerda que pasa por el centro. • Tangente: Recta que pasa por un único punto de la circunferencia. • Secante:Secante:Secante:Secante: Recta que pasa por el interior de la circunferencia que la intercepta en dos puntos.

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Dada la figura identifique: a) Cuerdas b) Diámetro c) 4 arcos d) Radios ÁÁÁÁngulo centralngulo centralngulo centralngulo central El ángulo central tiene por medida la medida de arco que subtienden sus lados. Su vértice está en el centro de la circunferencia. Arco mayor y Arco menorArco mayor y Arco menorArco mayor y Arco menorArco mayor y Arco menor Un arco menor es un arco que está en el interior de un ángulo central, de lo contrario se denomina arco mayor. La medida de un arco menor es la medida de su ángulo central asociado. La medida de un arco mayor es la diferencia entre 360º y el arco menor. AlgAlgAlgAlgunas propiedades que se cumplenunas propiedades que se cumplenunas propiedades que se cumplenunas propiedades que se cumplen Dos círculos son congruentes si tienen radios de igual longitud. En círculos congruentes las cuerdas congruentes tienen arcos menores congruentes. En círculos congruentes los arcos menores congruentes tienen cuerdas congruentes. EjerciciosEjerciciosEjerciciosEjercicios:::: De acuerdo a la figura:

BQ es arco menor El ángulo central es <<<<BKQ Señale el arco mayor

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PQ

4

3

HM

UV

=

=

PQencuentrePQCX ⊥

a. ¿En qué arco está el punto D? b. Cite: Arcos y ángulos centrales.

c. Calcule la medida de Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Dos cuerdas congruentes dentro de un círculo equidistan del centro TeoremaTeoremaTeoremaTeorema:::: La bisectriz perpendicular de una cuerda contiene al centro de un círculo. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema:::: Si una recta que pasa por el centro de un círculo es perpendicular a una cuerda que no es un diámetro, entonces biseca a la cuerda y a su arco menor. Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios: 1. Dada la figura: C es el centro, el radio es 4 cm, está a 1 cm de C. ¿Cuánto vale el radio? 2.

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AX

OXencontrar

AXyOA 2410 ==

3. ¿A qué distancia del centro esta B?

TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Si una recta es perpendicular a un radio en un punto del círculo, entonces la recta es tangente al círculo. ResuelvaResuelvaResuelvaResuelva::::

Es tangente al círculo en A. Si Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Los segmentos tangentes a un círculo desde un punto exterior son congruentes y forman ángulos congruentes con la recta que une al centro con el punto.

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PA PBDado que y son tangentes OA =10 y m <APB = 60º Halle OP Medida deMedida deMedida deMedida dellll ángulo Inscrito ángulo Inscrito ángulo Inscrito ángulo Inscrito Angulo InscritoAngulo InscritoAngulo InscritoAngulo Inscrito Un ángulo Inscrito determina un arco llamado arco interceptado. Dicho arco está en el interior del ángulo inscrito. Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: La medida de un ángulo Inscrito es la mitad de su arco interceptado. Medida de ángulo SemiMedida de ángulo SemiMedida de ángulo SemiMedida de ángulo Semi----InscritoInscritoInscritoInscrito El ángulo semi-inscrito tiene por medida la mitad de la medida del arco subtendido por su cuerda. Resuelva los ejercicios dados Dada la figura encuentre, las medidas de los ángulos del

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Dada la figura encuentre el valor de las incógnitas. Un ángulo inscrito en una circunferencia vale 46°. ¿Cuánto vale el ángulo central de la circunferencia? Haga un Dibujo. El ángulo central de una circunferencia mide 145°. ¿Cuánto vale un ángulo inscrito en ella? Haga un dibujo.

Ángulos formados por dos cuerdasÁngulos formados por dos cuerdasÁngulos formados por dos cuerdasÁngulos formados por dos cuerdas TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Un ángulo formado por dos cuerdas que se intersecan en el interior de un círculo tiene una medida igual a la semi-suma de los arcos interceptados. Calcule el valor de las incógnitas E) Los tres círculos de la figura son congruentes y

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Además <1 es un ángulo central y <3 es un ángulo inscrito. ¿Cuál de los tres ángulos es el mayor y cuál el menor? ¿Por qué? TeoremaTeoremaTeoremaTeorema La medida de un ángulo formado por dos tangentes a un círculo que se intersecan, es igual a la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados. ResResResResueueueuelvlvlvlvaaaa:::: ÁÁÁÁngulo Exterior ngulo Exterior ngulo Exterior ngulo Exterior Tiene como vértice un punto exterior del círculo y sus lados intersecan a ésta. La medida de un ángulo exterior al círculo es igual a la semidiferencia de los arcos interceptados.

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Determine el valor de los ángulos incógnitas. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Si se trazan un segmento tangente y un segmento secante desde un punto exterior a un círculo, entonces el cuadrado de la longitud del segmento tangente es igual al producto de las longitudes del segmento secante externo. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Si dos cuerdas se intersecan en un círculo, entonces el producto de las longitudes de los segmentos de una cuerda es igual al producto de las longitudes de la cuerda. TeoremaTeoremaTeoremaTeorema Si se trazan dos segmentos secantes a un círculo desde un punto exterior, entonces el producto de las longitudes de un segmento secante y su segmento secante externo es igual al producto de las longitudes de otro segmento secante y su segmento secante externo.

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Es importante que las y los estudiantes sean partícipes de su estudio en forma individual, equipo y grupal (plenario). Por ello, es importante propiciar interacciones de esta forma, para que ellos/as sean los actores directos en el proceso de construcción de su conocimiento y que el/la docente sea un mediador/a de su proceso de aprendizaje. Para lograr esto, el/la docente debe observar en su plan de clase un equilibrio en las participaciones individuales, equipo y grupales y presentar a los/as estudiantes actividades que les haga pensar por sí mismas, reflexionar, descubrir conceptos, relaciones matemáticas, reglas y resoluciones de problemas que las puedan intercambiar con sus compañeros/as de equipo y consensuar sobre los mismos, para luego socializarlos en plenario (forma grupal). En este trabajo cooperativo los/as estudiantes ponen en práctica los valores, tales como: la solidaridad, la tolerancia, el respeto a los ideas de los demás, etc.

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2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +

b

a

b

a

b

b

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a

a

a2

b2 ab

ab

PPPPRODUCTOS NOTABLESRODUCTOS NOTABLESRODUCTOS NOTABLESRODUCTOS NOTABLES

Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la suma de dos cantidades Cuadrado de la suma de dos cantidades y y y y (a + b)2 = a2 + 2ab +b2 Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades Cuadrado de la diferencia de dos cantidades (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Cubo de una sumaCubo de una sumaCubo de una sumaCubo de una suma (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Cubo deCubo deCubo deCubo de una diferencia una diferencia una diferencia una diferencia (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b) = a2 -b2 Producto de dos binomios de la formaProducto de dos binomios de la formaProducto de dos binomios de la formaProducto de dos binomios de la forma (x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x +ab

Representación GeométricaRepresentación GeométricaRepresentación GeométricaRepresentación Geométrica

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2 2 2( ) 2a b a ab b− = − +

a

a

b

b a - b

a - b(a – b)2

b2

(a - b)2 = a2 - [b2 + (ab – b2) + (ab – b2) ]

(a - b)2 = a2 – [2ab – b2]

(a – b2) = a2 – 2ab + b2

ab – b2

a

a - b

b

a + b

a - b

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

Diferencia de Cuadrados

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x

x

bb

x

a

a

xx2 ax

bx ab

(x + a) (x + b) = x2 + ax + bx + ab

(x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab

Multiplicación de binomios con un término común

(x + a) (x + b) = x 2 + (a + b)x + ab

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +

Cubo del Binomio

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b− = − + −

43

Cubo del Binomio (a + b) 3

a

b

Cubo del Binomio (a + b) 3

44

ab(a-b)

a

a

bb a - b

a - bb

ba - b

a

a2b

b(a –b)2

b(a2 -2ab + b2)

a2 b – 2ab2 + b3

a2b – ab2

(a – b)3 = a3 - 3a2 b + 3ab2 - b3

Cubo del Binomio (a - b) 3

Diferencia de Cubos

a3 – b3 = (a – b) (a2 – ab + b2)

45

a

a

a

a3

a - b b

a - b

a

a

a

b

a - b

b

b

46

(a – b ) a 2

a3b 3

(a – b ) ab

(a – b ) b 2

a3 - b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2)

Cuadrado de la suma de dos cantidadesCuadrado de la suma de dos cantidadesCuadrado de la suma de dos cantidadesCuadrado de la suma de dos cantidades (a + b)2 = a2 +2ab +b2 El cuadrado de la suma de dos términos es igual al cuadrado del primer término más el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. 1) (5x + 7)2 a) El cuadrado del primer término es (5x) (5x) = 25x2 b) El doble producto de ambos términos es 2(5x) (7) = (10x) (7) = 70x c) El cuadrado del segundo término es (7)(7) = 49 Entonces (5x + 7)2 =25x2 +70x + 49 2) 2) 2) 2) (0,5x(0,5x(0,5x(0,5x + + + + 9)9)9)9)2222 a) El cuadrado del primer término es (0,5x)(0,5x) = 0,25x2 b) El doble producto de ambos términos es 2(0,5x)(9)=(1x)(9) = 9x c) El cuadrado del segundo término es (9)(9)=81 Entonces (0,5x + 9)2 = 0,25x2 + 9x + 81 Cuadrado de la diferencia de dos cantidadesCuadrado de la diferencia de dos cantidadesCuadrado de la diferencia de dos cantidadesCuadrado de la diferencia de dos cantidades (a - b)2 = a2 - 2ab + b2

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El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer término menos el doble producto de ambos términos más el cuadrado del segundo término. 1) 1) 1) 1) (3x(3x(3x(3x ---- 8y8y8y8y2222))))2222 a) El cuadrado del primer término es (3x)2 = 9x2 b) El doble producto de ambos términos es 2(3x) (8y2) = (6x) (8y2) = 48xy2 c) El cuadrado del segundo término es (8y2)2 = 64y4 Entonces (3x - 8y2)2 = 9x2 - 48xy2 + 64y4 2) 2) 2) 2) (x(x(x(x2222 ---- 5y5y5y5y3333))))2 2 2 2 a) El cuadrado del primer término es (x2) (x2) = x4 b) El doble producto de ambos términos es 2(x2) (5y3) = (2x2) (5y3) = 10x2y3 c) El cuadrado del segundo término es (5y3)2 = 25y6 Entonces (x2 - 5y3)2 = x4 - 10x2y3 + 25y6 Producto de dos binomios que tienen un término comúnProducto de dos binomios que tienen un término comúnProducto de dos binomios que tienen un término comúnProducto de dos binomios que tienen un término común (x + a)(x + b) = x2 + (a+b) x + ab El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual al cuadrado del término común más la suma de los términos no comunes multiplicado por el término común más el producto de los términos no comunes. 1) (1) (1) (1) (xxxx+ 2+ 2+ 2+ 2) () () () (x + x + x + x + 7)7)7)7) = a) El cuadrado del término común es (x) (x) = x2 b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (2 + 7) x = 9x c) El producto de los términos no comunes es (2) (7) = 14 Entonces: (x + 2) (x + 7) = x2 + 9 x + 14 2) (y + 92) (y + 92) (y + 92) (y + 9) () () () (y y y y ---- 4)4)4)4) = a) El cuadrado del término común es (y) (y) = y2 b) La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es (9 - 4)y = 5y c) El producto de los términos no comunes es (9) (-4) = -36 Entonces: (y + 9) (y - 4) = y2 + 5 y - 36 Producto de la suma por la diferencia de dos cantidadesProducto de la suma por la diferencia de dos cantidadesProducto de la suma por la diferencia de dos cantidadesProducto de la suma por la diferencia de dos cantidades (a + b) (a - b) = a2 - b2 La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual al cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo término.

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1)1)1)1) (4x(4x(4x(4x + + + + 9y)9y)9y)9y) (4x(4x(4x(4x ---- 9y)9y)9y)9y) a) El cuadrado del primer término es (4x)(4x) = 16x2 b) El cuadrado del segundo término es (9y)(9y) = 81y2 Entonces (4x + 9y) (4x - 9y) = 16x2 - 81y2 2) 2) 2) 2) (10x(10x(10x(10x + + + + 12y12y12y12y3333)))) (10x(10x(10x(10x ---- 12y12y12y12y3333)))) a) El cuadrado del primer término es (10x)2 = 100x2 b) El cuadrado del segundo término es (12y3)2 = 144y6 Entonces (10x + 12y3) (10x - 12y3) = 100x2 - 144y6 Cubo de una sumaCubo de una sumaCubo de una sumaCubo de una suma (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 El cubo de la suma de dos términos es igual al cubo del primer término más el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término más el cubo del segundo término. 1) 1) 1) 1) (2x(2x(2x(2x + + + + 4y)4y)4y)4y)3333 = (2x)3 + 3(2x)2(4y) + 3(2x) (4y)2 + (4y)3 a) El cubo del primer término es (2x)3 = 8x3 b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término 3(2x)2(4y) = 3 (4x2) (4y)= (12x2) (4y)= 48x2y c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término 3(2x)(4y)2=(6x)(16y2) = =96xy2 d) El cubo del segundo término es (4y)3 = 64y3 Entonces (2x + 4y)3 = 8x3 + 48x2y + 96xy2 + 64y3 2) 2) 2) 2) (5x(5x(5x(5x + + + + 6y)6y)6y)6y)3333 = (5x)3 + 3(5x)2(6y) + 3(5x) (6y)2 + (6y)3 a) El cubo del primer término es (5x)3 = 125x3 b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término 3(5x)2(6y)= 3 (25x2) (6y)= (75x2) (6y)= 450x2y c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término 3(5x) (6y)2=15x (36y2)= 540xy2 d) El cubo del segundo término es (6y)3 =216y3 Entonces (5x + 6y)3 = 125x3 + 450x2y + 540xy2 + 216y3 Cubo de una diferenciaCubo de una diferenciaCubo de una diferenciaCubo de una diferencia (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

49

El cubo de la diferencia de dos términos es igual al cubo del primer término menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo término más el triple del primer término por el cuadrado del segundo término menos el cubo del segundo término. 1) 1) 1) 1) (6x(6x(6x(6x ---- 2y)2y)2y)2y)3333 = (6x)3 - 3(6x)2(2y) + 3(6x) (2y)2 - (2y)3 a) El cubo del 1er término es (6x)3 = 216x3 b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término 3(6x)2(2y)= (18x) (6x) (2y)= (108x2) (2y)= (216x2y) c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término 3(6x)(2y)(2y)2(18x)(2y)(2y)=(36xy)(2y)=(72xy2) d) El cubo del 2do término es (2y) (2y) (2y) = 8y3 Entonces (6x - 2y)3 = 216x3 - 216x2y + 72xy2 - 8y3 2) 2) 2) 2) (4x(4x(4x(4x6666 ---- 5y)5y)5y)5y)3333 = (4x6)3 - 3(4x6)2(5y) + 3(4x6) (5y)2 - (5y)3 a) El cubo del primer término es (4x6)3 = 64x18 b) El triple del cuadrado del primer término por el segundo término 3(4x6)2(5y)= 3(16x12) (5y)= (48x12) (5y)=240x12y c) El triple del primer término por el cuadrado del segundo término 3(4x6)(5y)2=(12x6)(5y)(5y)=(60x6y)(5y)=(300x6y2) d) El cubo del segundo término es (5y) (5y) (5y) = 125y3 Entonces (4x6 - 5y)3 = 64x18 - 240x12y + 300x6y2 - 125y3

FACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓNFACTORIZACIÓN

Factor comúnFactor comúnFactor comúnFactor común ab + ac + ad = a ( b + c + d ) Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un monomio. Procedimiento para factorizar: 1) Se extrae el factor común de cualquier clase, que viene a ser el primer factor. 2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el

segundo factor. 1) Factorizar x7 + x3 M.C.D. (1, 1) = 1 Variable común con su menor exponente: x3 Factor común monomio: x3

x7 + x3 Luego se divide entre x3

x7 + x3 = x3 (x4 + 1)

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2) Factorizar 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

M.C.D. (2; 4 ) = 2 Factor común monomio: x2 Luego se divide entre 2x2

2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)

Factor común por agrupación de términosFactor común por agrupación de términosFactor común por agrupación de términosFactor común por agrupación de términos ax + bx + ay + by = (a + b )( x + y ) Cuando el factor común a todos los términos del polinomio es un polinomio. Procedimiento para factorizar: 1) Se trata de agrupar con la finalidad de obtener en primer lugar un factor común monomio y

como consecuencia un factor común polinomio. 2) Se divide cada parte de la expresión entre el factor común y el conjunto viene a ser el

segundo factor. 1) Factorizar ax + bx + aw + bw Agrupamos (ax + bx) + (aw + bw) Factor común en cada binomio: x(a + b) + w(a + b) Factor común polinomio: (a + b) x(a + b) + w(a + b) Luego se divide la expresión anterior entre (a + b) Entonces: ax + bx + aw + bw = (a + b) (x + w) 2) Factorizar 2x2 - 4xy + 4x - 8y Agrupamos (2x2 - 4xy) + (4x - 8y) Factor común en cada binomio: 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) Factor común polinomio: (x - 2y) 2x(x - 2y) + 4(x - 2y) Luego se divide entre (x - 2y)

51

Entonces: 2x2 - 4xy + 4x - 8y = (x - 2y) (2x + 4) 3) Factorizar 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n Agrupamos (2m+n + 2m8m) + (8m+n + 2n8n) Factor común en cada binomio: 2m (2n + 8m) + 8n (8m + 2n) Factor común polinomio: (2n + 8m) Luego se divide entre (2n + 8m) Entonces 2m+n + 8m+n + 2m8m + 2n8n = (2n + 8m) (2m + 8n) Diferencia de cuadradosDiferencia de cuadradosDiferencia de cuadradosDiferencia de cuadrados En una diferencia de dos cuadrados perfectos. Procedimiento para factorizar: 1) Se extrae la raíz cuadrada de los cuadrados perfectos. 2) Se forma un producto de la suma de las raíces multiplicada por la diferencia de ellas. 1) Factorizar 25x2 - 1 La raíz cuadrada de: 25x2 es 5x La raíz cuadrada de: 1 es 1 Luego 25x2 - 1 = (5x + 1)(5x - 1) 2) Factorizar 16x2 - 36y4 La raíz cuadrada de : 16x2 es 4x La raíz cuadrada de : 36y4 es 6y2 Luego 16x2 - 36y4 = (4x + 6y2) (4x - 6y2) x2 − 4 = (x+ 2) � (x− 2) xxxx4444 − 16 = (x− 16 = (x− 16 = (x− 16 = (x2222 + 4) � (x + 4) � (x + 4) � (x + 4) � (x2222 − 4) = (x + 2) � (x − 4) = (x + 2) � (x − 4) = (x + 2) � (x − 4) = (x + 2) � (x ---- 2) � (x 2) � (x 2) � (x 2) � (x2222 + 4) + 4) + 4) + 4)

52

Trinomio cuadrado perfectoTrinomio cuadrado perfectoTrinomio cuadrado perfectoTrinomio cuadrado perfecto a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2 a b En un trinomio cuadrado perfecto. Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto. 1) Un trinomio ordenado con relación a una letra 2) Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados perfectos 3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas. Procedimiento para factorizar: 1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. 2) Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas raíces; entonces

(a + b)(a + b). 3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2. Si el ejercicio fuera así: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2 a b Procedimiento para factorizar: 1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b. 2) Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas raíces; entonces (a - b)(a - b). 3) Este producto es la expresión factorizada (a - b)2. Ejemplo 1: Factorizar x2 + 10x + 25 La raíz cuadrada de : x2 es x La raíz cuadrada de : 25 es 5 El doble producto de las raíces: 2(x)(5) es 10x Luego x2 + 10x + 25 = (x + 5)2 Ejemplo 2: Factorizar 49y2 + 14y + 1 La raíz cuadrada de : 49y2 es 7y La raíz cuadrada de : 1 es 1 El doble producto de las raíces: 2(7y)(1) es 14y

53

Luego 49y2 + 14y + 1 = (7y + 1)2 Ejemplo 3: Factorizar 81z2 - 180z + 100 La raíz cuadrada de: 81z2 es 9z La raíz cúbica de: 100 es 10 El doble producto de las raíces: 2(9z) (10) es 180z Luego 81z2 - 180z + 100 = (9z - 10)2 9 + 6x + x9 + 6x + x9 + 6x + x9 + 6x + x2222 = (3 + x) = (3 + x) = (3 + x) = (3 + x)2222

3 x Trinomio de la forma x2 + bx +c x2 + bx + c = (x + d)(x + e) Procedimiento para factorizar: 1) Se extrae la raíz cuadrada del 1er término: x. 2) Dos números d, e, tales que multiplicados resulte "c" y que sumados resulten "b" (d + e = b).

Regla para conocer si es un trinomio de la forma x2 + bx + c. 1) El coeficiente del primer término es 1. 2) El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado. 3) El segundo término tiene la misma letra que el primero con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

4) El tercer término es independiente de la letra que aparece en el 1° y 2° términos y es una cantidad cualquiera, positiva o negativa.

Ejemplo 1: Factorizar Luego x2 + 6x + 8 = (x + 4) (x + 2) Ejemplo 2: Factorizar y2 - 13y + 40 = (y - 8) (y - 5) Luego y2 - 13y + 40 = (y - 8)(y - 5) Ejemplo 3: Factorizar Luego x2 - 2x - 15 = (x - 5) (x + 3)

54

- + = - -

+ - = + -

- - = - +

+ - = + -

2

2

2

2

1) a 13a 40 (a 8)(a 5)

2) n 28n 29 (n 29)(n 1)

3) x 6x 40 (x 10)(x 4)

4) m 13m 30 (m 15)(m 2)

Ejemplo 4: Factorizar Luego x2 + 9x - 52 = (x + 13) (x - 4) Trinomios de la forma axTrinomios de la forma axTrinomios de la forma axTrinomios de la forma ax2222+bx+c +bx+c +bx+c +bx+c Como podrás observar, estos trinomios son muy parecidos al caso anterior (x2+bx+c); la única diferencia es que el coeficiente del término cuadrático ya puede ser diferente de uno. Para factorizar este tipo de trinomios realizaremos un arreglo aritmético para que adopte una forma similar a la de los trinomios x2+bx+c y entonces podamos factorizarla como tal. Aprendamos el procedimiento resolviendo algunos ejercicios Ejemplos: Factorizar completamente los siguientes trinomios, si es posible. a) 5x2-8x-4 El arreglo consiste en multiplicar al trinomio por el coeficiente del término cuadrático (a) En este caso: 5x2- 8x -4 = 5(5x2- 8x - 4) 5 = 5(5x2) - 5(8x) –5(4) 5 = (5x2) - 8 (5x) – 20 5 Este producto se realiza para que podamos arreglar el trinomio de la siguiente forma: Fíjate bien: 5(5x2) = (5x)2 5(8x) = 8(5x) 5(4) = 20 Este procedimiento lo repetiremos en todos los casos ax2+bx+c, así que resumámoslo. Multiplicamos al trinomio por el coeficiente del término cuadrático y luego lo dividimos entre ese mismo coeficiente. El primer término del trinomio resultante debe arreglarse de la forma a.ax2 = (ax)2

55

El producto indicado en el segundo término del trinomio resultante debe "conmutarse"; es decir: a (bx) = b (ax) El producto indicado en el tercer término del trinomio resultante debe realizarse. Analicemos lo que hicimos en el ejemplo anterior: 5x2 - 8x - 4 = (5x - 10)(5x + 2) 5 Ahora sólo nos falta reducir la división: 5 (5x + 2) = (x - 2)(5x + 2) b) 15xb) 15xb) 15xb) 15x2222 +11x+11x+11x+11x ----12 12 12 12 11115x5x5x5x2222 +11x +11x +11x +11x ----12 =12 =12 =12 = 15(15x15x15x15x2222 +11x +11x +11x +11x ----12121212) 15 = (15x2) - 11(15x) –15(12) 15 = (5x2) - 8 (5x) – 180 15 Entonces; Entonces; Entonces; Entonces; = = = = (15x(15x(15x(15x ++++ 20)(15x20)(15x20)(15x20)(15x ---- 9)9)9)9) 15 15 15 15 15x15x15x15x2222 +11+11+11+11x x x x ----12 = (3x + 4)(5x 12 = (3x + 4)(5x 12 = (3x + 4)(5x 12 = (3x + 4)(5x ---- 3) 3) 3) 3) Otra forma de resolver esta factorización es hacer arreglos de forma que se pueda aplicar factor común por agrupación.

4x2 + 8x + 3

= 4x2 + 6x + 2x + 3

= (4x2 + 6x) + (2x + 3)

= 2x(2x + 3) + (2x + 3)

= (2x + 1)(2x + 3)

2x2 + 5x + 3

= 2x2 + 3x + 2x + 3

= x(2x+3) + (2x + 3)

= (2x + 3) ( x + 1)

6x2 + 7x + 2

= 6x2 + 4x + 3x + 2

56

=2x(3x + 2)+(3x + 2)

=(2x + 1)(3x + 2)

6x2 + 5x - 4

= 6x2 + 8x - 3x - 4

= (6x2 + 8x) - (3x + 4)

= 2x(3x + 4) - (3x + 4)

= (2x - 1) (3x + 4)

6x2+17x+12

= 6x2 + 8x + 9x + 12

= (6x2 + 8x) + (9x + 12)

= 2x(3x + 4) + 3(3x + 4)

= (2x + 3)(3x + 4)

Diferencia de cubos perfectosDiferencia de cubos perfectosDiferencia de cubos perfectosDiferencia de cubos perfectos

a3 - b3 = (a - b) (a2 + ab + b2)

a b

En una diferencia de cubos perfecto: 1) Se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio. 2) Se forma un producto de dos factores. 3) Los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio. 4) Los factores trinomios se determinan así: El cuadrado de la primera raíz más el producto de

estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo 1: Factorizar y3 - 27

La raíz cúbica de: y3 es y

La raíz cúbica de: 27 es 3

Según procedimiento y3 - 27 = (y - 3) [(y)2 + (y) (3) + (3)2]

Luego y3 - 27 = (y - 3) (y2 + 3y + 9)

Ejemplo 2: Factorizar 125x3 - 1000

La raíz cúbica de: 125x3 es 5x

La raíz cúbica de: 1 000 es 10

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Según procedimiento 125x3 - 1000 = (5x - 10) [(5x)2 + (5x) (10) + (10)2] Luego 125x3 - 1000 = (5x - 10) (25x2 + 50x + 100)

Expresiones que conllevan al cubo perfecto de un binomio.Expresiones que conllevan al cubo perfecto de un binomio.Expresiones que conllevan al cubo perfecto de un binomio.Expresiones que conllevan al cubo perfecto de un binomio.

(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 = b3

x3 +6x2 + 12x + 8 = x3 +3(x2)(2)+ 3x(2)2 + (2)3 = (x+2)3 -27x3 + 54x2y - 36xy2 + 8y3 = (-3x)3 + 3(-3x)2(2y) + 3(-3x)(2y)2 + (2y)3 = (-3x + 2y)3 -125x3 – 300x2y – 240xy2 - 64y3 = (-5x)3 + 3(-5x)2(-4y) + 3(-5x)(4y)2 + (4y)3 = (-5x + 2y)3 8x3 – 36x2 – 54x - 27 = (-2x)3 + 3(-2x)2(-3) + 3(-2x)(-3)2 + (-3)3 = (-2x - 3)3 64a3 + 48a + 12a + 1

= (4a)3 + 3(4a)2(1) + 3(4a)(1)2 + (4a)3

= (4a + 1)3

Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación (Ruffini)Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación (Ruffini)Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación (Ruffini)Descomposición de un polinomio en factores por el método de evaluación (Ruffini) Al estudiar la divisibilidad por x - a demostramos que si un polinomio entero y racional en x se anula para x = a, el polinomio es divisible por x - a. Este mismo principio aplica a la descomposición de un polinomio en factores por el Método de Evaluación.

Ejemplos: 1) Descomponer por evaluación x 3 + 2x 2 - x - 2 Los valores que daremos a x son los factores del término independiente 2: + 1, - 1, + 2 y - 2. Veamos si el polinomio se anula para x = 1, x = - 1, x = 2, x = - 2, y si se anula para algunos de estos valores, el polinomio será divisible por x menos ese valor. Aplicando la división previamente explicada se verá si el polinomio se anula para estos valores de x y simultáneamente se encontrarán los coeficientes del cociente de la división. En este caso:

58

1 2 1 2

1 3 2

1 3 2 0

+ − −+ + +

+ +

1 3 4 +12

1 2 6

1 2 6 6

− −+ − −

− −

1 3 4 +12

1 +4 0

1 4 0 +12

− −−

−

1 3 4 +12

+ 2 2 12

1 1 6 0

− −− −

− −

+1+1+1+1

El residuo es 0, o sea que el polinomio dado se anula para x = 1, luego es divisible por (x - 1). Dividiendo x 3 + 2x 2 - x - 2 entre x - 1 el cociente será de segundo grado y sus coeficientes son +1, +3 y +2, luego el cociente es +1x 2 +3x +2 = x 2 +3x +2 y como el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente, se tiene: x 3 + 2x 2 - x - 2 = (x - 1)(x 2 + 3x + 2) (factorizando el trinomio) = (x - 1)(x + 1)(x + 2)

2) Descomponer por evaluación x 3 - 3x 2 - 4x + 12 Los factores de 12 son ± (1, 2, 3, 4, 6, 12) 1111

El residuo es 6, luego El residuo es 6, luego El residuo es 6, luego El residuo es 6, luego el polinomio no se anula para el polinomio no se anula para el polinomio no se anula para el polinomio no se anula para xxxx = 1, y no es divisible por ( = 1, y no es divisible por ( = 1, y no es divisible por ( = 1, y no es divisible por (xxxx ---- 1) 1) 1) 1)

----1111

El residuo es 12, luego el polinomio no se anula para x = - 1 y no es divisible por x - (- 1) = x + 1

+2

El residuo es 0, luego el polinomio se anula para x = 2 y es divisible por (x - 2) El cociente de dividir el polinomio dado x 3 - 3x 2 + 4x + 12 entre x - 2 será de segundo grado y sus coeficientes son +1, - 1 y - 6, luego el cociente será +1x 2 - 1x – 6 = x 2 - x – 6. Por tanto: x 3 - 3x 2 + 4x + 12 = (x - 2) (x 2 - x - 6) (factorizando el trinomio) = (x - 2) (x - 3) (x + 2)

Aplique regla de RuffiniAplique regla de RuffiniAplique regla de RuffiniAplique regla de Ruffini

1. x4 – 2x3 –24x2 + 15+ 50 / x+4 2. 2x4 – 17x2 – 4 / x+3 3. 4x3 – 10x2 + x – 1 / x - ½

Coeficientes del polinomio Coeficientes del cociente

Coeficientes del polinomio Coeficientes del cociente

Coeficientes del polinomio Coeficientes del cociente

Coeficientes del polinomio Coeficientes del cociente

59

FacFacFacFactorizar torizar torizar torizar los polinomios los polinomios los polinomios los polinomios x3 + x2 2x4 + 4x2 x2 − 4 x4 − 16 9 + 6x + x2

x4 − 10x2 + 9 x4 − 2x2 + 3 2x4 + x3 − 8x2 − x + 6 2x3 − 7x2 + 8x − 3 x3 − x2 − 4 x3 + 3x2 −4 x − 12 6x3 + 7x2 − 9x + 2 x4 − 4x2 x5 + 20x3 + 100x 3x5 − 18x3 + 27x 2x3 − 50x 2x5 − 32x 2x2 + x − 28 Descomponer en factores los polinomiosDescomponer en factores los polinomiosDescomponer en factores los polinomiosDescomponer en factores los polinomios xy − 2x − 3y +6 25x2 − 1 36x6 − 49 x2 − 2x +1 x2 − 6x +9 x2 − 20x +100 x2 + 10x +25 x2 + 14x +49 x3 − 4x2 + 4x 3x7 − 27x x2 − 11x + 30 3x2 + 10x +3 2x2 − x −1 12m2x4 – 16 mx3

4x2 – 2xy + y2

4

49x4y2 – 25z6

2x3yy+16x2y+32xy5

4m6n6 + 32m4n4 + 64 m2n2

c2 – 4c – 320

a2x2 – 3bx2 + a2y2 – 3by2

60

FUNCIONESFUNCIONESFUNCIONESFUNCIONES Es importante recordar los conceptos de relación y función. RelaciónRelaciónRelaciónRelación Sean A y B conjuntos no vacíos, R es una relación de A a B, si y sólo si es un subconjunto de A×B. Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: A = {a; e; i} B = {1; 7} A × B = {(a; 1), (a; 7), (e; 1), (e; 7), (i; 1), (i; 7)} R = {(e; 1), (e; 7), (i; 7)} Además su dominio es: Dom R = {e, i} Su recorrido o rango es: Rec R = {1; 7} Su relación inversa es: R– 1 = {(1; e), (7; e), (7; i)} TIPOS DE RELACIONTIPOS DE RELACIONTIPOS DE RELACIONTIPOS DE RELACION Relación reflexivaRelación reflexivaRelación reflexivaRelación reflexiva R es una relación refleja en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada elemento de él está relacionado consigo mismo: a ∈ A ⇒ a R a Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: A = {1; 2; 3} R = { ( 1 ; 1 ) , ( 1 ; 3 ) , ( 2 ; 2 ) , ( 3 ; 2 ) , ( 3 ; 3 ) } Relación SimétricaRelación SimétricaRelación SimétricaRelación Simétrica R es una relación simétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente: a R b ⇒ b R a Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: A = {1; 2; 3} R = { ( 1;3 ) , ( 2; 3 ) , ( 3 ;1 ) , ( 3 ;2 ) , ( 3 ;3 ) } Relación AntisimétricaRelación AntisimétricaRelación AntisimétricaRelación Antisimétrica R es una relación antisimétrica en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada par de elementos de él satisface lo siguiente:

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a R b ∧ b R a ⇒ a = b Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: A = {1; 2; 3} R = { ( 1 ;3 ) , ( 2 ; 1 ) , ( 2 ;2 ) , ( 3 ;2 ) } Relación TransitivaRelación TransitivaRelación TransitivaRelación Transitiva R es una relación transitiva en un conjunto A no vacío, si y sólo si cada trío de elementos de él satisface lo siguiente: a R b ∧ b R c ⇒ a R c Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: A = {1; 2; 3} R = { ( 1 ;1 ) , ( 1 ;3 ) , ( 2 ;1 ) , ( 2 ; 3 ) , ( 3 ;1 ) , ( 3 ;3 ) } Clasificación de RelacionesClasificación de RelacionesClasificación de RelacionesClasificación de Relaciones Relación de EquivalenciaRelación de EquivalenciaRelación de EquivalenciaRelación de Equivalencia R es una relación de equivalencia en un conjunto A no vacío, si y sólo si es releja, simétrica y transitiva en ese conjunto A. Ejemplo: La relación "igual que" (=) en el conjunto de los números enteros. Sean a, b y c números enteros cualesquiera, entonces: a = a (Reflexividad) a = b ⇒ b = a (Simetría) a = b ∧ b = c ⇒ a = c (Transitividad) Relación de orden R es una relación de orden en un conjunto A no vacío, si y sólo si es refleja, antisimétrica y transitiva en ese conjunto A. Ejemplo: La relación "menor o igual que" (≤) en el conjunto de los números enteros. Sean a, b y c números enteros cualesquiera, entonces: a ≤ a ( Reflexividad ) a ≤ b ∧ b ≤ a ⇒ a = b ( Antisimetría ) a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c ( Transitividad ) FunciónFunciónFunciónFunción DefiniciónDefiniciónDefiniciónDefinición Sean A y B conjuntos no vacíos y f una relación de A a B, entonces f es una función (o aplicación) de A en B, si y sólo si a cada elemento de A, le hace corresponder un y sólo un elemento de B.

62

Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1:Ejemplo 1: f = {(a; r), (b; m), (c; p), (d; r)} Dominio (Dom f) y Codominio (Codom f) Sea f función de A en B, entonces: Dom f = A y Codom f = B Notación Notación Notación Notación Sea f función de A en B, x∈A e y ∈ B, entonces: f (x) = y ⇔ (x; y) ∈ f Al elemento x se le denomina argumento y al elemento y se le llama imagen de x bajo f. Ejemplo 2:Ejemplo 2:Ejemplo 2:Ejemplo 2: En el ejemplo 1, f(a) = r ⇔ r es la imagen de a bajo f. Recorrido o rango (Rec f)Recorrido o rango (Rec f)Recorrido o rango (Rec f)Recorrido o rango (Rec f) Sea f función de A en B, entonces el recorrido de f (Rec f) es el conjunto formado únicamente por todos los elementos de B, que son imagen de al menos un elemento de A, bajo f. Además el recorrido de f es subconjunto de B: Rec f ⊂ B Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3Ejemplo 3: En el ejemplo 1, Rec f = {m; p; r} ⊂ B. ObservaObservaObservaObservación:ción:ción:ción: Rec f se conoce también como imagen de A por f y se simboliza: f(A). Función Epiyectiva Función Epiyectiva Función Epiyectiva Función Epiyectiva oooo Sobreyectiva Sobreyectiva Sobreyectiva Sobreyectiva Sea f función de A en B, entonces f es epiyectiva si y sólo si cada elemento de B es imagen, de al menos un elemento de A bajo f, es decir: f f f f es epiyectiva es epiyectiva es epiyectiva es epiyectiva ⇔⇔⇔⇔ Rec f = B Rec f = B Rec f = B Rec f = B Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4:Ejemplo 4:

Función inyectiva (uno a uno) Función inyectiva (uno a uno) Función inyectiva (uno a uno) Función inyectiva (uno a uno) Sea f función de A en B, entonces f es inyectiva si y sólo si a elementos distintos de A, les hace corresponder imágenes distintas en B. f es inyectiva f es inyectiva f es inyectiva f es inyectiva ⇔⇔⇔⇔ (f(x) = f(y) (f(x) = f(y) (f(x) = f(y) (f(x) = f(y) ⇒⇒⇒⇒ x = y) x = y) x = y) x = y)

63

Ejemplo 5:Ejemplo 5:Ejemplo 5:Ejemplo 5:

Función biyectivaFunción biyectivaFunción biyectivaFunción biyectiva Sea f función de A en B, entonces f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y epiyectiva a la vez, es decir, cada elemento de B es imagen de un y sólo un elemento de A, bajo f. f es biyectiva f es biyectiva f es biyectiva f es biyectiva ⇔⇔⇔⇔ f es epiyectiva f es epiyectiva f es epiyectiva f es epiyectiva ∧∧∧∧ f es inyectiva f es inyectiva f es inyectiva f es inyectiva Ejemplo 6:Ejemplo 6:Ejemplo 6:Ejemplo 6:

Inversa de una funciónInversa de una funciónInversa de una funciónInversa de una función Sea f una función de A en B, entonces su inversa ( f

− 1 ) es una relación de B a A, tal que:

f f f f −−−− 1 1 1 1

= {(y, x ) = {(y, x ) = {(y, x ) = {(y, x ) : (x, y) : (x, y) : (x, y) : (x, y) ∈∈∈∈ f } f } f } f };;;; Ejemplo 7:Ejemplo 7:Ejemplo 7:Ejemplo 7: En el ejemplo 1, f

− 1 = {(m, b) , (p, c ) , (r, a ) , (r, d)}

Teorema:Teorema:Teorema:Teorema: Sea f función de A en B, entonces f

– 1 es una función de B en A, si f es biyectiva. Además, bajo esta condición, f

– 1 es también una función biyectiva.

Funciones de R en R Funciones de R en R Funciones de R en R Funciones de R en R Función constanteFunción constanteFunción constanteFunción constante Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0. La función constante se define como: F(x)= k, donde k es una constante y k ∈ ℜ El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el contra dominio (Rango) es ℜ La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y =k.

64

x

y

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

-2

0

2

4

6

8

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ejemplo: Grafique la función constante y = 4 ó f(x) = 4 Dominio: ℜ y Rango: {4} Puedes comprobar lo anterior explicando que independientemente a los valores que se le asignen a “x”, los de “y” siempre serán iguales o constantes. Función Lineal Función Lineal Función Lineal Función Lineal La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y contradominio (Rango) es el conjunto de todos los números reales. La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta. La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen). Como por dos puntos diferentes, en el plano cartesiano, se puede trazar una sola línea recta, basta con calcular las coordenadas de dos de los puntos para trazar la gráfica de una función lineal; es conveniente que dichos puntos sean los intercepto con los ejes del plano. Como ya mencionamos antes, el intercepto con el eje y, es b; para hallar el intercepto con el eje x (o abscisa en el origen), se iguala la ecuación de la función a 0 y se despeja el valor respectivo para x. EjemploEjemploEjemploEjemplo: y = 2 x : y = 2 x : y = 2 x : y = 2 x –––– 8 8 8 8

Puedes utilizar el programa Graphmatica para graficar funciones constantes y lineales.

x -3 -2 -1 0 1 2

y 4 4 4 4 4 4

X 0 1 F(x)= 2x – 8 -8 -6

65

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-6

-4

-2

0

2

4

6

Función identidadFunción identidadFunción identidadFunción identidad La función identidad es una función lineal con a = 1 y b = 0. La función lineal se define por: F (x) = x. El dominio y el contra dominio de la función identidad es el conjunto de los números reales. La función identidad biseca los cuadrantes I y III. f (x) = x Se asigna valores a “x”, se obtiene que los de “y” siempre serán iguales a los de “x” Dominio: Dominio: Dominio: Dominio: ℜℜℜℜ y Rango: y Rango: y Rango: y Rango: ℜℜℜℜ Ahora se inicia con el tratamiento de las funciones cuadráticas. 1)1)1)1) Función cuadráticaFunción cuadráticaFunción cuadráticaFunción cuadrática f (x) = a x 2 + bx + c ; a ≠0

La forma general de una función cuadrática (función polinomial de segundo grado) es: f(x)=y = ax2 + bx +c

CaracterísticasCaracterísticasCaracterísticasCaracterísticas:::: El dominio es el conjunto de los números reales. El rango o contradominio se halla, calculando primero la ordenada del vértice. El vértice se calcula mediante la fórmula: La gráfica de una función cuadrática es una parábola y abre hacia arriba si a > 0; abre hacia abajo si a < 0. Para hallar los intercepto con el eje x se hace ax2 + bx + c = 0 y se resuelve la ecuación cuadrática.

x -3 -2 -1 0 1 2

y -3 -2 -1 0 1 2

66

x

y

-18 -16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

- 1 0

- 5

0

5

1 0

- 5 0 5

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: y = 0,5 x 2 + 3,5 x – 4 Tenemos que a = Tenemos que a = Tenemos que a = Tenemos que a = 0,5;;;; b = b = b = b = 3,5,,,, entonces el vértice será:

El dominio es R y el rango es y > -10,125

2)2)2)2) Función potencia.Función potencia.Función potencia.Función potencia. f(x) = a x

n ; n: natural y a≠0

Función CúbicaFunción CúbicaFunción CúbicaFunción Cúbica Si el grado de la función polinomial es tres, entonces se conoce con el nombre de función cúbica y es la forma: F(x) = ax3 + bx2 + cx + d De donde a, b, c y d son números reales y a ≠ 0. Ejemplo 1: Realiza la gráfica de la función y = x3

x y = x 3 -3 -27 -2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8 3 27

67

3

3

Domf = R

Rango= R

La grafica corta al eje y en 8

Al igualar a cero la expresión -x 8

-x 8 0

Tenemos que x 2

Por tanto la grafica es coratda en x = 2

+

+ =

=

Ejemplo 2:

Ejemplo 3: F(x)=x3 + 5x2 - 5x – 2

El dominio es el conjunto de los números reales. Rango o contradominio es el conjunto de los números reales. Utiliza el programa Derive para graficar los diferentes tipos de funciones estudiadas.

ECUACIONESECUACIONESECUACIONESECUACIONES

¿Qué es una ecuación?¿Qué es una ecuación?¿Qué es una ecuación?¿Qué es una ecuación? Es una expresión algebraica que consta de dos miembros separados por un signo de igualdad. Uno o ambos miembros de la ecuación debe tener al menos una variable o letra, llamada incógnita. Las ecuaciones se convierten en identidades sólo para determinados valores de la(s) incógnita(s). Estos valores particulares se llaman soluciones de la ecuación.

Tabla de valores

x -1 0 1 2

y 9 8 7 0

x -8 -1 0 1 2 5 F(x)=x3+ 5x2-5x-2 -154 7 -2 -1 16 223

68

- ± -=

2

1,2

b b 4acx

2a

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: La ecuación: 3x - 8 = 10 sólo se cumple para x = 6, ya que si sustituimos dicho valor en la ecuación quedará la identidad: 10 = 10. Por lo tanto decimos que x = 6 es la solución de la ecuación dada. De hecho, es la única solución. Si usáramos, por ejemplo, x = 2, resultaría -2 = 10 (un absurdo) Resolver una ecuación es hallar los valores de x que la satisfacen a través de técnicas matemáticas variadas. Si la ecuación es de primer grado, un despeje es el procedimiento general. Si el grado de la ecuación es superior a uno, deben utilizarse otros métodos. ¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Qué es una ecuación cuadrática?¿Qué es una ecuación cuadrática? Es un tipo de ecuación particular en la cual la variable o incógnita está elevada al cuadrado, es decir, es de segundo grado. Un ejemplo sería: 2x2 – 3x = 9. En este tipo de ecuación no es posible despejar fácilmente la x, por lo tanto se requiere un procedimiento general para hallar las soluciones. Soluciones de una ecuación cuadrática: FórSoluciones de una ecuación cuadrática: FórSoluciones de una ecuación cuadrática: FórSoluciones de una ecuación cuadrática: Fórmulamulamulamula General General General General El procedimiento consiste en realizar modificaciones algebraicas en la ecuación general de la ecuación de segundo grado: axaxaxax2222 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 + bx + c = 0 hasta que la X quede despejada. Dicho procedimiento no será cubierto en este documento. La solución de una ecuación de segundo grado es la llamada fórmula general: La fórmula genera dos respuestas: Una con el signo + y otra con el signo - antes de la raíz. Solucionar una ecuación de segundo grado se limita entonces, a identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula general. Es de hacer notar que, utilizar la fórmula general es un procedimiento que debe realizarse con cuidado y requiere extraer la raíz cuadrada de un número, bien sea con calculadora o cualquier proceso manual. Estas dificultades hacen que el estudiante se equivoque constantemente en la solución. Existen procedimientos particulares, sólo aplicables a ciertos casos, en los cuales se pueden hallar las raíces de forma más fácil y rápida. Tienen que ver con las técnicas de factorización. El método de completar el cuadrado puede utilizarse para resolver cualquier ecuación cuadrática. La utilizaremos para obtener la llamada Fórmula Cuadrática.

69

a

acbb

a

acb

a

bx

a

acb

a

acb

a

acb

a

bx

a

acb

a

bx

a

b

a

c

a

bx

a

bx

a

cx

a

bx

cbxax

acbxax

2

4

2

4

2

2

4

4

4

4

4

2

4

4

2

44

0,0

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

−±−=−±−=

−±=−±=−±=+

−=

+

+−=++

−=+

−=+

≠=++ Tipos de soluciones: Reales e imaginariasTipos de soluciones: Reales e imaginariasTipos de soluciones: Reales e imaginariasTipos de soluciones: Reales e imaginarias Una ecuación cuadrática puede generar tres tipos de soluciones, también llamadas raíces, a saber:

• Dos raíces reales distintas • Una raíz real (o dos raíces iguales) • Dos raíces imaginarias distintas

El criterio que establece la diferencia entre estos casos es el signo del discriminante. Se define al discriminante D como: D = D = D = D = bbbb 2222 –––– 4ac4ac4ac4ac Si el discriminante es positivo, entonces la raíz cuadrada es un número real y se generan dos raíces reales distintas. Si el discriminante es cero, la raíz es cero, y ambas raíces resultan el mismo número. Si el discriminante es negativo, la raíz cuadrada es imaginaria, produciéndose dos raíces imaginarias o complejas. Es importante la aplicación que con situaciones de la vida real se pueden asociar con las funciones cuadráticas.

70

Por ejemplo:Por ejemplo:Por ejemplo:Por ejemplo: a. a. a. a. La longitud de un terreno rectangular es el doble de su ancho.La longitud de un terreno rectangular es el doble de su ancho.La longitud de un terreno rectangular es el doble de su ancho.La longitud de un terreno rectangular es el doble de su ancho. Si se divide el terreno en dos Si se divide el terreno en dos Si se divide el terreno en dos Si se divide el terreno en dos partes al hacer un cerco paralelo a su ancho y situado a 20 m del lado que sirve ancho, la partes al hacer un cerco paralelo a su ancho y situado a 20 m del lado que sirve ancho, la partes al hacer un cerco paralelo a su ancho y situado a 20 m del lado que sirve ancho, la partes al hacer un cerco paralelo a su ancho y situado a 20 m del lado que sirve ancho, la región posterior al cerco queda con un áreregión posterior al cerco queda con un áreregión posterior al cerco queda con un áreregión posterior al cerco queda con un área de 4000 ma de 4000 ma de 4000 ma de 4000 m2222. Hallar las dimensiones del terreno.. Hallar las dimensiones del terreno.. Hallar las dimensiones del terreno.. Hallar las dimensiones del terreno. Solución:Solución:Solución:Solución: Llamemos xxxx al ancho y 2x2x2x2x a la longitud del terreno. Entonces 2x - 20 es el largo de la región posterior al cerco de tal forma que (2x - 20) x es el área de la región posterior al cerco.

Para el logro de este tema es necesario haber abordado los tipos de funciones algebraicas que existen y luego en clases prácticas grupales, hacer referencias a estas para así quedar claros en el tipo de función que se pide graficar o clasificar. bbbb. Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados . Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados . Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados . Calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, sabiendo que las medidas de sus lados son tres números consecutivosson tres números consecutivosson tres números consecutivosson tres números consecutivos

SoluciónSoluciónSoluciónSolución:

Se puede realizar el siguiente dibujo del problema, teniendo en cuenta que la hipotenusa el lado mayor y llamando "x" al menor de los catetos.

Teniendo en cuenta el teorema de Pitágoras, se cumple: (x+2)(x+2)(x+2)(x+2)2222 = (x+ = (x+ = (x+ = (x+1)1)1)1)2222 + x + x + x + x2222. Operando: xxxx2222 + 4x + 4 = x + 4x + 4 = x + 4x + 4 = x + 4x + 4 = x 2 2 2 2 + 2x + 1+ x+ 2x + 1+ x+ 2x + 1+ x+ 2x + 1+ x2222.

Entonces:Entonces:Entonces:Entonces: (2x - 20) x = 4000m2, de donde: 2x2 - 20x - 4000 = 0, dividiendo entre 2 tenemos: x2 - 10x - 2000 = 0, (x - 50)(x + 40 ) = 0, Entonces:Entonces:Entonces:Entonces: x = 50 , x = -40. Se descarta x = - 40, puesto que las dimensiones no pueden ser negativas, por lo tanto las dimensiones requeridas son: x = 50m y 2x =100m, luego el ancho es 50 metros y la longitud 100 metros.

71

Agrupando todos los términos en el segundo miembro y simplificando: xxxx2222 ---- 2x 2x 2x 2x ---- 3 = 0 3 = 0 3 = 0 3 = 0 y encontramos las soluciones: x = 3x = 3x = 3x = 3 y x = x = x = x = ----1111

c. La suma de dos números es 10 y la suma de sus c uadrados es 58. Halle ambos números.

Primero se asigna la variable x a una de las incógnitas del problema. Hay dos incógnitas que son ambos números, como el problema no hace distinción entre uno y otro, puede asignarse x a cualquiera de los dos, por ejemplo: x = Primer número 10 - x = Segundo número, pues la suma de ambos es 10. Merece la pena explicar mejor esto: Si entre su amigo y usted tienen 1 000 Córdobas, y su amigo tiene 400 Córdobas, ¿Cuánto tiene usted?, obviamente, restando el total menos 400, es decir 1000 - 400 = 600 Córdobas. Si su amigo tiene C$ x, la cuenta no cambia, sólo que no sabrá el valor sino en función de x, es decir, usted tiene 1 000 - x La condición final del problema establece que la suma de los cuadrados de ambos números resulta 58, entonces: x2 + (10 - x)2 = 58 y esta es la ecuación a resolver. Para resolverla, hay que aplicar algunas técnicas de álgebra elemental y luego reordenar para aplicar la formula general. La operación indicada entre paréntesis es el cuadrado de un binomio. Es un error muy común entre los estudiantes (muy difícil de erradicar, por cierto) que escriban: (a - b)2 = a2 - b2, lo cual es incorrecto. La expresión correcta es: (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 Desarrollando la ecuación se tiene: x2 + 102 - 2.10.x + x 2 = 58 => x2 + 100 - 20.x + x 2 = 58 Ordenando y agrupando: 2x2 - 20x+ 42 = 0; Dividiendo entre 2 toda la ecuación: xxxx2222 ---- 10x+ 21 = 0 10x+ 21 = 0 10x+ 21 = 0 10x+ 21 = 0 Aplicando la formula general resulta x1 = 3 y x2 = 7. El problema genera (aparentemente) dos soluciones, así que hay que probar con ambas posibilidades. Supóngase que se toma la primera (x = 3). Revisando el planteamiento inicial, se observa que: Primer número: x = 3; Segundo número = 10 - 3 = 7. Si se toma la segunda respuesta (x = 7) Resulta: Primer número: x = 7, Segundo número = 10 - 7 = 3. En ambos casos, ya que no hay diferenciación entre ambos números, la única respuesta es: Los números buscados son 3 y 7.... d.d.d.d. El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y El largo de una sala rectangular es 3 metros mayor que el ancho. Si el ancho aumenta 3 m y el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala.el largo aumenta 2 m, el área se duplica. Halle el área original de la sala. En este caso, si hay diferencia entre largo y ancho, así que hay que tener cuidado con la asignación y sobre todo, con la interpretación de la variable x. Este problema permite fácilmente que la x se coloque en cualquiera de las dos incógnitas, largo o ancho.

72

Supóngase que: x = ancho de la sala El largo es 3 metros mayor que el ancho, así que: x + 3 = largo de la sala. El área de un rectángulo es la multiplicación de ambos: x. (x + 3) = área de la sala. Téngase en cuenta que estos son los datos iniciales. Las condiciones del problema explican que el ancho aumenta en 3 metros y el largo aumenta en 2 metros, así que, luego del aumento quedan: x + 3 = nuevo ancho de la sala x + 5 = nuevo largo de la sala (x + 3 ).(x + 5) = nueva área de la sala La nueva área es el doble de la primera, así que planteamos la ecuación: ((((xxxx + + + + 3) (x + 5) = 3) (x + 5) = 3) (x + 5) = 3) (x + 5) = 2x2x2x2x(x + (x + (x + (x + 3)3)3)3) Se efectúan las multiplicaciones: x2 + 5x + 3x + 15 = 2x2 + 6x Se pasa todo al primer miembro: x2 + 5x + 3x + 15 - 2x2 - 6x = 0 Se simplifica: ---- x x x x2222 + 2x + 15 = 0 + 2x + 15 = 0 + 2x + 15 = 0 + 2x + 15 = 0 Esta es la ecuación a resolver. Se aplica la formula general y resulta: x1 = 5 y x2 = - 3. La solución x = -3 se desecha, ya que x es el ancho de la sala y no puede ser negativo. Se toma como única respuesta que el ancho original era 5 metros. Mirando las condiciones iniciales, se deduce que el largo es: x + 3 = 8 metros. Así que el área original era 8mel área original era 8mel área original era 8mel área original era 8m ((((5m5m5m5m)))) = 40 m = 40 m = 40 m = 40 m2222. e. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones e. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones e. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones e. Halle el área y perímetro del triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metrosestán en metrosestán en metrosestán en metros Si el triángulo es rectángulo, entonces se cumple el Teorema de Pitágoras: "El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos". La hipotenusa es el lado mayor (2x-5) y los otros dos son los catetos; se plantea entonces la ecuación: 2x - 5 x + 3 x – 4 (x + 3 )2 + (x - 4)2 = (2x - 5 )2 Desarrollando cada binomio al cuadrado, se tiene: x2 + 2(3)x + 32 + x2 – 2(4)x + 42 = (2x)2 - 2(2x).5 + 52 = x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 = 4x2 - 20x + 25 Reagrupando: x2 + 6x + 9 + x2 - 8x + 16 - 4x2 + 20x - 25 = 0 Finalmente: ----2222xxxx2222 + 18x = 0 + 18x = 0 + 18x = 0 + 18x = 0.... Esta es la ecuación a resolver. Las raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9. La solución x = 0 se desecha, ya que entonces un cateto sería -4 m, lo cual no es posible. La solución es entonces, x = 9. De esta manera, el

73

( )2

3−= nnD

( )2

1+= nnS

triángulo queda con catetos 12 metros y 5 metros y con hipotenusa 13 metros. El área de un triángulo es base por altura sobre 2; la base y la altura son los dos catetos que están a 90° , por lo tanto el área es A = 12 . 5 / 2 = 30 m30 m30 m30 m2222. El perímetro es la suma de los lados, es decir, P = 12 m + 5 m + 13 m = 30 m30 m30 m30 m. Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios:Ejercicios: 1) El número de diagonales de un polígono de n lados está dado por Encontrar el polígono que tiene 54 diagonales. 2) La suma de los primeros n números naturales es ¿Cuántos números naturales consecutivos comenzando con el 1 suman 1275? 3) Supóngase que C$ 500 se han invertido a una tasa x de interés compuesto anualmente durante 2 años. Si el valor acumulado en los dos años es $595,04, encuentre x. 4) La suma de los cuadrados de tres números enteros consecutivos es 77, ¿Cuáles son esos números enteros? 5) El producto de dos números enteros pares consecutivos es 288, ¿Cuáles son esos números enteros? Máximos y Mínimos relativos de la función:Máximos y Mínimos relativos de la función:Máximos y Mínimos relativos de la función:Máximos y Mínimos relativos de la función: Definición:Definición:Definición:Definición: Sea I un intervalo en el dominio de una función f. Entonces:Entonces:Entonces:Entonces: 1. f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I. 2. f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I. 3. f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I. EjemplosEjemplosEjemplosEjemplos:::: 1. La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales.

fig. No. 1fig. No. 1fig. No. 1fig. No. 1

74

2. La función g(x) = -x3 es una función decreciente decreciente decreciente decreciente en los números reales.

fig. No. 2fig. No. 2fig. No. 2fig. No. 2 3. Verifica que la función h (x) = 2 es una función constanteconstanteconstanteconstante en los números reales.

Los máximosmáximosmáximosmáximos son los puntos en que la función pasa de crecer a decrecer. Los mínimosmínimosmínimosmínimos son los puntos en que la función pasa de decrecer a crecer.

fig. No. 3fig. No. 3fig. No. 3fig. No. 3 fig. No. 4fig. No. 4fig. No. 4fig. No. 4

En las gráficas figuras 3 y 4 se observa que en ambos casos es común lo siguiente: la pendiente de la recta tangente es 0. Por esto, para calcular los máximos y mínimos de una función se deriva la función y se iguala a cero la función derivada. Para concretar si es máximo o mínimo se deriva otra vez y se sustituye en los puntos obtenidos antes. Si el valor es positivo es mínimo; si es negativo es máximo. Es importante saber que este tema tiene una ampliación en el estudio de las derivadas. Sin embargo lo que se quiere lograr es que el/la estudiante tenga idea de lo que es máximo y mínimo de una función. Se puede aprovechar el estudio de las funciones cuadráticas y cúbicas para afianzar este contenido. También se pueden proponer problemas como el siguiente: Un campesino dispone de 60 metros de alambre de púas para cercar un terreno de forma rectangular aprovechando que en uno de sus lados ya hay una cerca. Calcular las dimensiones del terreno para que su área sea la mayor posible. SoluciónSoluciónSoluciónSolución Lado Lado Lado Lado con cerca con cerca con cerca con cerca

75

1y

x=

602 =+ yx2

60 xy

−=

yxA ⋅=

xx

xA

xxxA

yxxA

302

)(

)2

60()(

)(

2

+−=

−=

⋅=

)2

(;2

(a

bf

a

bV −−

)450;30(Vmy 15

2

3060 =−=

Hacemos uso del perímetro de un rectángulo. , de donde Luego el área de un rectángulo es entonces:

Ahora bien el vértice de la parábola dada se calcula por la formula Entonces sustituyendo tenemos que: , entonces el valor de x coincide con el valor máximo de la función por tanto x = 30m y el valor para y es . En conclusión las dimensiones de los lados del rectángulo son x=30 metros y= 15 metros Función RacionalFunción RacionalFunción RacionalFunción Racional Las funciones racionalesfunciones racionalesfunciones racionalesfunciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio. Para una única variable x una función racional se puede escribir como: P (x) / Q (x), donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea nulo. Por ejemplo:Por ejemplo:Por ejemplo:Por ejemplo: Para realizar su grafico, es necesario determinar que existe en los números reales un numero que no es permitido y este es el cero, es decir que su dominio esta restringido para ℜ-{0 }.

x -3 -2 -1 0000 1 2 3 y -0,33 -0,5 -1 N.EN.EN.EN.E 1 0,5 0,33

N.E: N.E: N.E: N.E: No existe la división entre cero El dominio de esta función es: ℜℜℜℜ----{{{{0000 }}}}y el rango es similar:::: ℜℜℜℜ----{{{{0000 }}}}

76

y x=

0x ≥

x

y

-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 x ≥ 0 y ≥

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Función radicalFunción radicalFunción radicalFunción radical (Raíz cuadrada de x) Para realizar su grafico, es necesario determinar que la raíz cuadrada existe en los números reales positivos, es decir que su dominio esta restringido para .

x 0 1 4 9 y 0 1 2 3

El dominio de esta función es: y el rango Es importante enfocar en las y los estudiantes una formación con bases sólidas en el desarrollo de sus capacidades, habilidades, destrezas, actitudes y valores, a través del estudio de los contenidos para que actúen en forma independiente, piensen por sí mismos, obtengan sus propias conclusiones y toma de decisiones. Pero que luego, sean capaces de intercambiarlas con miembros de su familia, con compañeros/as en trabajo de equipo colaborativo y grupal, llegando a consensos y a la socialización de sus ideas y conocimientos. En todas estas interacciones se debe fomentar la formación de valores. De esta manera se contribuye a que los/as estudiantes poco a poco logren su autonomía intelectual, moral y social. ConcavidadConcavidadConcavidadConcavidad 1. a > 0 ⇒ concavidad positiva Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Ecuación de la parábola: y = 2x 2 – 3x – 1

77

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 120

2

4

6

8

10

12

14

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-4

-2

0

2

4

6

8

10

2. a < 0 ⇒ concavidad negativa Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Ecuación de la parábola: y = – 2x 2 + x + 3 Intersecciones con el eje x El número de intersecciones de la parábola con el eje x está determinado por el valor del discriminante: b2 − 4ac. 1. b2 − 4ac > 0 ⇒ 2 intersecciones Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Graficar y = 2x2 – 5x + 1 2. b2 − 4ac = 0 ⇒ 1 intersección Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: y = x2 + 6x + 9

78

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

622

1 2 −−= xxy

2;6

0)2)(6(

0124

0622

1

31

2

2

−===+−

=−−

=−−

xx

xx

xx

xx

Con el eje X 622

1 2 −−= xxy

3. b2 − 4ac < 0 ⇒ No hay intersección Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: y = – x2 + 2x – 3

Para determinar las coordenadas de cada punto de intersección, si ésta existe, de la parábola con el eje X, debe resolverse la siguiente ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0 EjemEjemEjemEjemplo:plo:plo:plo: Determine las coordenadas del punto (o los puntos) de intersección de la parábola de ecuación: Repuesta:Repuesta:Repuesta:Repuesta: ∴ Los puntos de intersección con el eje X son A (6, 0) y B (–2, 0)

Ecuación de la curvaEcuación de la curvaEcuación de la curvaEcuación de la curva::::

79

x

y

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-6

-4

-2

0

2

x

y

-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

a

bx

2−=

2)3(2

12 =−−=x

7123 2 +−= xxy

−−

−a

bac

a

bV

4

4,

2

2

Intersección con el eje Y La parábola tiene un y sólo un punto de intersección con el eje Y. Las coordenadas de ese punto son: (0, c). EjemploEjemploEjemploEjemplo:::: Determine las coordenadas del punto de intersección de la parábola de ecuación: y = 5x2 + 7x – 4 con el eje Y. RespuestaRespuestaRespuestaRespuesta:::: Las coordenadas del punto de intersección son: (0, – 4) Ecuación de la parábolaEcuación de la parábolaEcuación de la parábolaEcuación de la parábola:::: y = 5x2 + 7x – 4 Eje de simetríaEje de simetríaEje de simetríaEje de simetría:::: Cada parábola tiene un eje de simetría cuya ecuación es: Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Determine la ecuación del eje de simetría de la parábola de ecuación: La ecuación del eje de simetría es: Toda parábola tiene un y sólo un vértice (V) de coordenadas:

80

x

y

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

822 −+= xxy

)9,1()1(4

2)8)(1(4;

)1(2

2 2

−−=

−−− VV

Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Determine las coordenadas del vértice (V) de la parábola de ecuación: Respuesta:Respuesta:Respuesta:Respuesta: Las coordenadas del vértice son:

Dominio de la función Dominio de la función Dominio de la función Dominio de la función (Dom(Dom(Dom(Dom f)f)f)f) El dominio de la función cuadrática es El dominio de la función cuadrática es El dominio de la función cuadrática es El dominio de la función cuadrática es R.R.R.R. Dom f = RDom f = RDom f = RDom f = R

PROPORCIONESPROPORCIONESPROPORCIONESPROPORCIONES Una proporción es una igualdad entre dos razones, y aparece frecuentemente en notación fraccionaria. Por ejemplo: 2 = 6 5 15 Para resolver una proporción, debemos multiplicar cruzado para formar una ecuación. Por ejemplo: 2 = 6 = 5 15 2 � 15 = 6 � 5 30 = 30 Las proporciones expresan igualdades. Ejemplo: 2 = 8 x 16 Ahora, se multiplica cruzado. 2 � 16 = 8 � x 32 = 8x Se resuelve la ecuación.

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32 = 8x 8 8 4 = x El valor que hace cierta la proporción es 4 es decir: 2 = 8 4 16 AplicaciónAplicaciónAplicaciónAplicación Para hacer rellenos, mi vecina usa: 3 tazas de harina de maíz por 1 taza de líquido (que contiene agua, azúcar, sal y mantequilla). Si ella quiere hacer tamales rellenos y ocupa 13 tazas de harina, ¿Cuánto líquido debe agregarle? Hagamos una proporción: harina = harina líquido líquido 3 tazas harina = 13 tazas 1 taza líquido x tazas líquido x es el valor que busco; en este caso, es el líquido para las 13 tazas de harina. 3 = 13 1 x Ahora, se multiplica cruzado. 3 � x = 13 � 1 3x = 13 Se resuelve la ecuación para encontrar el valor de x. 3x = 13 3 3 x = 4,3 La x es igual a 4,3 Por lo tanto, para 13 tazas de harina, se necesitan 4,3 tazas de líquido para poder hacer los tamales rellenos Proporciones utilizando por ciento Proporciones utilizando por ciento Proporciones utilizando por ciento Proporciones utilizando por ciento % = porción de un número 100 total del número

¿Cuál es el 12% de 658? 12 = x 100 658 12 (658) = 100�x 7 896 = 100.x 7 896 = 100x 100 100 78,96 = x x= 78,96

Estamos buscando una porción de 658. En esta proporción, hay que ver que 12/100 está dado por 12%. Al otro lado de la proporción, va la proporción y porción/total. No sabemos la porción, así que la x va arriba. Abajo va el total, que es 658.

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¿Cual es el 30% de 84? 30 = x 100 84 30(84) = 100x 2 520 = 100x 2 520 = 100x 100 100 25,2 = x

Sabemos que el 30% se expresa 30/100. Como estamos buscando la porción de 84, la x va arriba como numerador; y el total, que es 84, va abajo como denominador.

¿El 3% de que número es 5,4? 3 = 5,4 100 x 3 � x = 5,4 (100) 3x = 540 3x = 540 3 3 x = 180

Tenemos el 3% dado por 3/100. Vemos que 5.4 es una porción de un número que no sabemos. Así que se está buscando el total. Por eso, la x va abajo, en el denominador.

¿85 es qué % de 180? x = 85 100 180 x.180 = 85.100 180x = 8 500 180x = 8 500 180 180 x = 47,2

No tenemos el por ciento; y la porción es 85 y el total es 180. Así que la x va en la parte izquierda de la proporción, arriba.

Problemas dProblemas dProblemas dProblemas de Aplicacióne Aplicacióne Aplicacióne Aplicación A) Durante 25 minutos de ver televisión, hay 7 minutos de anuncios comerciales. Si ves 70 minutos de televisión, ¿cuántos minutos de anuncios verás? 25 minutos TV = 70 minutos TV 7 minutos anuncios x minutos anuncios 25 = 70 7 x 25 � x = 70 � 7 25x = 490

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25x = 490 25 25 x = 19,6 Por lo tanto, en 70 minutos de ver televisión, hay 19,6 minutos de anuncios comerciales. B) Si una docena de huevos cuesta C$ 25, ¿Cuál será el costo de 100 huevos?

Docena huevos = 100 huevos 25 x

12 = 100 25 x 12 x = 100 �25 12x = 2 500 12x = 2 500 12 12 x = 208,33 Por lo tanto, si una docena de huevos cuesta CCCC$$$$ 25, 100 huevos cuestan CCCC$$$$ 208,33. Problemas sobre Regla de tres directa 1. Para obtener 63 litros de vino se necesitan 90 kilos de uva, ¿cuántos litros de vino tendremos con 10Kg? A) 8 litros B) 7 litros C) 12 litros D) 15 litros 2. Un ciclista tarda 5 horas en recorrer 125 Km, ¿cuánto tardará en recorrer 225 Km? A) 15 horas B) 12 horas C) 10 horas D) 9 horas 3. Luisa pagó 35,67 Córdobas por un kilogramo de manzanas, ¿Cuánto pagaría si comprara 16 kilos? A) 12 Córdobas B) 10 Córdobas C) 14 Córdobas D) 13, 92 Córdobas 4. Una persona que trabajó 13 horas cobró 390 Córdobas, ¿Cuánto cobrará cuando trabaje 76 horas? A) 2 450 Córdobas B) 3 000 Córdobas C) 2 890 Córdobas D) 2 280 Córdobas

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5. En 50 litros de agua de mar hay 1 300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5 200 gramos de sal? A) 200 l B) 210 l C) 220 l D) 150 l 6. Un coche gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿Cuántos kilómetros podrá recorrer el coche? A) 110 Km B) 100 Km C) 150 Km D) 120 Km 7. Si un autobús de la Ruta 118 tarda 2 horas en llegar de una terminal a otra que distan 30 kilómetros, ¿Cuánto recorrerá en 3 horas? A) 45 Km B) 60 Km C) 70 Km D) 65 Km 8. 5 chicles cuestan 7, 5 Córdobas. ¿Cuántos chicles te puedes comprar con 30 Córdobas? A) 30 chicles B) 25 chicles C) 20 chicles D) 34 chicles 9. Pedro compró 15 bolas de vidrio por 6 Córdobas, ¿Cuánto le costarán a Juana 25 bolas de vidrio? A) 10,2 Córdobas B) 12,5 Córdobas C) 11,5 Córdobas D) 10 Córdobas 10. Un automóvil recorre 100 km y consume 9 l de gasolina.¿Cuánto recorrerá con 50 l? A) 543 Km B) 550 Km C) 525 Km D) 555,5 Km 11. Una máquina ha producido 100 piezas en 4 horas, ¿Cuántas producirá en 6 horas? A) 140 B) 125 C) 180 D) 150 12. Un transportista cobra 3€ por cada 4 km ¿Cuánto cobrará por un recorrido de 120 km? A) 90 B) 100

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C) 60 D) 75 13. Ana recibe 21Cordobas por cuidar de un niño durante 3 horas. ¿Cuánto cobrará si lo cuida 2 horas? A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 14. Clara ha tardado 3 horas en mecanografiar 16 hojas de su trabajo de literatura ¿Cuántas podrá mecanografiar en una hora y media? A) 9 B) 10 C) 6 D) 8 15. Si un ciclista tarda 2,5 horas en llegar a una ciudad a una velocidad de 30 km/h. ¿Cuánto tardará en llegar a una velocidad de 25 km/h? A) 5 B) 4 C) 2 D) 3 16. Un chocolatero quiere repartir bombones en 15 cajas de 8 unidades cada una. ¿Cuántas cajas necesita si quiere colocarlos en cajas de 6 bombones cada una? A) 20 B) 15 C) 18 D) 24 17. Entre 6 compañeros realizan un trabajo en 12 horas. ¿Cuánto tardarían si lo hicieran con tres compañeros más? A) 8 B) 10 C) 18 D) 6 18. Con la paja que tengo puedo alimentar 15 vacas durante 6 días. ¿Cuántas vacas podré alimentar con la misma paja durante 9 días? A) 12 B) 10 C) 9 D) 11 19. 6 amigos se reparten una caja de galletas, tocándoles a cada uno 15 galletas ¿Cuántas galletas les corresponderían si fueran 9 amigos? A) 10 B) 12

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C) 8 D) 15 20. Un automóvil recorre 100 km y consume 9 l de gasolina. ¿Cuánto gastará si recorre 400 km a la misma velocidad? A) 2,25 l B) 36 l C) 40 l D) 30 l 21. Un automóvil recorre 100 km y consume 9 l de gasolina. ¿Cuánto recorrerá con 54 l? A) 17 km B) 600 km C) 650 km D) 550 km 22. ¿Una talabartero hace 21 fajas en 3 días? ¿Cuánto fajas realizará en 2 días? A) 14 B) 15 C) 16 D) 20 23. Si 6 obreros ponen baldosas en una plaza en 8 días, ¿Cuántos obreros serán necesarios para terminar en 3 días? A) 16 B) 3 C) 17 D) 20 24. Un grupo de 3 amigos recibe por un trabajo 720 Córdobas, ¿Cómo se lo repartirán si trabajan 5h, 6h y 7h respectivamente? A) 210,230 y 280 B) 200,240 y 280 C) 190,240 y 290 D) 100,340 y 280 25. Quiero comprar un balón que cuesta 200, ¿cuánto debo pagar si está rebajado un 30%? A) 140 B) 60 C) 220 D) 150 26. Un ganadero tiene pienso suficiente para alimentar a 220 cerdos durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 cerdos? A) 22 B) 44 C) 20 D) 90

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INTERÉS SIMPLEINTERÉS SIMPLEINTERÉS SIMPLEINTERÉS SIMPLE Comenzamos con la segunda parte de la matemática financiera, para ello tenemos que tener bien sabido el tema de porcentaje visto en el capítulo anterior. Se llama interés simple a la operación financiera donde interviene un capital, un tiempo predeterminado de pago y una tasa o razón, para obtener un cierto beneficio económico llamado interés. La fórmula mas conocida de interés simple es: Donde IIII es el interés o dinero a cobrar o pagar CCCC es el capital o dinero a considerar RRRR es la tasa o razón. T T T T es el tiempo pactado de la operación Ut Ut Ut Ut es la unidad del tiempo considerado. Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Ejemplo: Calcular el interés producido por un capital de C$ 5 000 colocado durante 3 años al 9 % anual. C C C C = 5000 $ TTTT = 3 años RRRR = 9 % UUUUtttt = 1 año I I I I = 5 000(9)(3) = C$ 1 350 100(1) Aclaración:Aclaración:Aclaración:Aclaración: La unidad de tiempo es el valor numérico de la frase que aparece en la razón, ejemplo: razón 4 % anual representa: 1 año = 12 meses = 2 semestres = 3 cuatrimestres = 4 trimestres = 6 bimestres = 360 días El tiempo dado T y la razón deben tener las mismas unidades antes de sacar cuentas Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo:Ejemplo: Un capital de C$ 4 000 es colocado al 5 % mensual durante 3 bimestres, calcular en interés ganado: CCCC = C$ 4 000 RRRR = 5 % mensual UUUUtttt = 1 mes TTTT = 3 bimestres = 9 meses IIII = 4 000(5) (9) = C$ 1 800 100(1) La matemática financiera comienza luego de este tema a utilizar una fórmula reducida de interés simple con el objeto de poder llegar a deducir otras más complejas, por lo tanto se realizan las siguientes modificaciones: Tasa iiii = R período nnnn = T

100 Ut

C.R.TI

100.Ut=

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Ahora se reemplazan la tasa (i) y el período (n) en la fórmula primitiva: La fórmula principal queda reducida a I = C. i. n I = C. i. n I = C. i. n I = C. i. n MONTO:MONTO:MONTO:MONTO: Es el capital colocado más es interés ganado M = C + IM = C + IM = C + IM = C + I M = C + C. i. nM = C + C. i. nM = C + C. i. nM = C + C. i. n Factoreando (factor común, inversa de la propiedad distributiva) M = C. M = C. M = C. M = C. (1 + i. n)(1 + i. n)(1 + i. n)(1 + i. n) Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos:Ejemplos: 1) Un capital de C$ 5 000 se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar 1) Un capital de C$ 5 000 se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar 1) Un capital de C$ 5 000 se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar 1) Un capital de C$ 5 000 se coloca en un banco al 4% mensual durante 8 bimestres. Indicar el valor del inel valor del inel valor del inel valor del interés y el monto. terés y el monto. terés y el monto. terés y el monto. Primero se debe “arreglar” los tiempos R = 4 % mensual T = 8 bimestres = 16 meses Luego si R = 4% entonces i = 0,04 Al estar los tiempos convertidos el tiempo es igual al período “n” n = 16 Entonces I = C. i. nI = C. i. nI = C. i. nI = C. i. n = 5 000(0,04)(16) = C$ 3 200 El monto será M = C + IM = C + IM = C + IM = C + I = 5 000 + 3 200 = C$ 8 200 En este caso se podría hallar también con la otra fórmula: M = C. (1 + i.n)M = C. (1 + i.n)M = C. (1 + i.n)M = C. (1 + i.n) = 5 000(1 + (0,04) (16)) = 5 000(1 + 0,64) = 5 000(1,64) M M M M = C$ 8 200 2) Un capital de 2) Un capital de 2) Un capital de 2) Un capital de C$ 800 se transformó en C$ 850 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual.C$ 800 se transformó en C$ 850 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual.C$ 800 se transformó en C$ 850 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual.C$ 800 se transformó en C$ 850 en 2 bimestres. Calcular la tasa mensual. El valor de C es C C C C = C$ 800 y MMMM = C$ 850, por tanto I I I I = C$ 50 T T T T = 2 bimestres = 4 meses I I I I = C. i. n 50 = (800).i.(4) 50 = 3 200. i 50 = i 3 200 0,015 = i Esto significa que la tasa mensual es 0,015 o la razón 1,5 % mensual

3)3)3)3) Un cierto capital se transformó en $25Un cierto capital se transformó en $25Un cierto capital se transformó en $25Un cierto capital se transformó en $25 000 en 000 en 000 en 000 en dos trimestres, si se aplicó un dos trimestres, si se aplicó un dos trimestres, si se aplicó un dos trimestres, si se aplicó un 3 % mensual. 3 % mensual. 3 % mensual. 3 % mensual. ¿Cuál fue el capital inicial?¿Cuál fue el capital inicial?¿Cuál fue el capital inicial?¿Cuál fue el capital inicial? CCCC = x (hay que averiguar) MMMM = C$ 25 000 TTTT = 2 trimestres = 6 meses RRRR = 3 % iiii = 3 /100 = 0, 03 Con estos datos la única fórmula capaz de resolver el problema es: M = C(1 + i. n)M = C(1 + i. n)M = C(1 + i. n)M = C(1 + i. n) 25 000 = x (1 + (0,03)(6) ) 25 000 = x (1 + 0,18) 25 000 = x (1,18) 25000 / 1,18 = x 21186,44 = x

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C = C$ 21 186,44

4)4)4)4) Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de Indicar el tiempo en que estuvo colocado un capital de CCCC$$$$ 3333 000 que al ser depositado con 000 que al ser depositado con 000 que al ser depositado con 000 que al ser depositado con una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de C$ 400.una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de C$ 400.una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de C$ 400.una tasa anual de 0,09 obtuvo una ganancia de C$ 400.

nnnn = x CCCC =C$ 3 000 iiii = 0,09 anual I I I I = C$ 400

Este problema puede resolverse con la fórmula: IIII = C. i .n 400 = 3 000(0,09)n 400 = 270n 400 / 270 = n 1,4814 = n Este número está expresado en años (ya que la tasa así lo indica), vamos a transformarlo en un tiempo más real, para ello se debe interpretar lo siguiente:

1, 4814 años = 1 año + 0,4814 año = 1 año + 0,4814(12 meses) = 1 año + 5,7768 meses = 1 año + 5 meses + 0,7768 meses = 1 año + 5 meses + 0,7768 (30 días) = 1 año + 5 meses + 23 días ResuelvaResuelvaResuelvaResuelva: 1) Un cierto capital se transformó en C$ 4 600 en 4 cuatrimestres, si se aplicó un 1% mensual. ¿Cuál fue el capital inicial y el interés ganado? 2) Hallar el porcentaje aplicado a un capital de C$ 800 para transformarse en C$ 700 3) Indicar el valor del capital que al ser colocado al 5 % bimestral durante 3 años produjeron un monto de C$ 6 900. 4) Un capital de C$ 640 sufre un aumento del 20 % y luego un descuento del mismo valor, hallar el monto final. 5) Un capital de C$ 900 se transforman en C$ 980 en un año. Calcular el interés, la razón y la tasa bimestral. 6) Un hombre coloca C$ 500 en un banco que le paga un 4 % bimestral en un año, luego retira la cuarta parte del monto y lo coloca en otro banco al 5 % bimestral durante medio año, con la plata que le sobraba gasta un 40 % en pasajes y un 30 % en indumentaria. ¿Cuánta plata le queda para emprender el viaje? 7) Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de C$ 500 si se obtuvo una ganancia de C$ 30 al ser colocado al 6% bimestral. 8) Indicar el porcentaje de aumento final que sufre un producto si valía C$ 400 y le fueron agregados tres aumentos consecutivos del 10 % cada uno.

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9) Se depositan C$ 4 000 el 1 de marzo y se retiran el 31 de julio. Si la razón era del 4 % bimestral. Calcular el interés y el monto. 10) Calcular el tiempo que estuvo depositado un capital de C$ 4 000 si se obtuvo una ganancia de C$ 500 al ser colocado al 6% anual.

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GlosarioGlosarioGlosarioGlosario

AlgoritmoAlgoritmoAlgoritmoAlgoritmo:::: Proceso de cálculo que permite llegar a un resultado final. Procedimiento mediante el cual se resuelve una situación siguiendo un número finito de pasos. Altura de un triánguloAltura de un triánguloAltura de un triánguloAltura de un triángulo:::: Segmento perpendicular desde cada uno de los vértices del triángulo al lado opuesto o a la recta que contiene el lado opuesto. (Como todo triángulo tiene tres vértices, desde cada uno de ellos se puede trazar un segmento perpendicular al lado opuesto o a la recta que lo contiene; entonces todo triángulo tiene tres alturas. El término altura de un triángulo se usa también para referirse a la longitud del segmento). ÁnguloÁnguloÁnguloÁngulo:::: Figura geométrica que se obtiene al girar una semirrecta sobre otra semirrecta con el mismo origen. Apotema de un polígono regularApotema de un polígono regularApotema de un polígono regularApotema de un polígono regular:::: Segmento que une el centro del polígono regular con el punto medio de cualquiera de sus lados. También se denomina así a la longitud del mencionado segmento. AproximaciónAproximaciónAproximaciónAproximación:::: Obtención un resultado, tan cercano al exacto como sea necesario, para un propósito determinado. ÁreaÁreaÁreaÁrea:::: Número expresado en unidades cuadradas, que indica el tamaño interior o superficie de una figura plana. CifraCifraCifraCifra:::: Cada uno de los caracteres que sirven pera representar los números. Ejemplo: En el sistema de numeración de base 10, las cifras son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. CCCCíííírculorculorculorculo:::: Región del plano formada por los puntos que están en una circunferencia y los puntos que están en el interior de la misma, es decir, es la región formada por todos los puntos del plano cuya distancia al centro de la circunferencia es menor o igual al radio. CircunferenciaCircunferenciaCircunferenciaCircunferencia:::: Figura geométrica formada por el conjunto de puntos del plano cuyas distancias a un punto fijo son constantes. (El punto fijo se denomina centro de la circunferencia. Cualquier segmento que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de ella se denomina radio. Este término se usa también para denominar la longitud del segmento, que es igual a la distancia de cualquier punto de la circunferencia al centro de la misma). CocienteCocienteCocienteCociente:::: Resultado de dividir un número entre otro. Mayor número de veces que el divisor está contenido en el dividendo. Ejemplo: Al dividir 8 entre 2 el cociente es 4. CuadriláteroCuadriláteroCuadriláteroCuadrilátero:::: Polígono de cuatro lados. (Un cuadrilátero tiene cuatro vértices, cuatro ángulos internos y dos diagonales. Los lados del cuadrilátero que no se cortan o intersecan se denominan lados opuestos. Los ángulos que no tienen lados comunes se denominan ángulos opuestos). CuerdaCuerdaCuerdaCuerda:::: Segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia.

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Cuerpos redondosCuerpos redondosCuerpos redondosCuerpos redondos:::: Cuerpos geométricos limitados sólo por superficies curvas. Ejemplos: el cilindro, el cono y la esfera. DatoDatoDatoDato:::: Fuente primaria de la información. Ejemplo: La temperatura en la capa externa del Sol es aproximadamente 6.800° C. Diagonal de un polígonoDiagonal de un polígonoDiagonal de un polígonoDiagonal de un polígono:::: Segmento cuyos extremos son dos vértices no consecutivos del polígono. DiámetroDiámetroDiámetroDiámetro:::: Toda cuerda de una circunferencia que pasa por el centro de la misma. El término diámetro se usa también para referirse a la longitud del segmento y es la cuerda de mayor longitud en la circunferencia. Eje de simetríaEje de simetríaEje de simetríaEje de simetría:::: Recta que divide a una figura en dos partes tales que, intuitivamente, al doblarse una sobre la otra coinciden en todos sus puntos. EncuestaEncuestaEncuestaEncuesta:::: Cuestionario que permite recoger información acerca de un grupo de personas, fenómenos, etc. EscalaEscalaEscalaEscala:::: Proporción entre la longitud determinada y la longitud correspondiente en una representación gráfica, cartográfica o fotográfica, o en una maqueta, un modelo reducido, etc. Razón o cociente entre las longitudes de un objeto y su reproducción. Ejemplo: en un plano cuya escala es 1/100 por cada 6 cm que se representen en el plano, la longitud real es 600 centímetros o 6 metros. EstimaciónEstimaciónEstimaciónEstimación:::: Número con un valor cercano al resultado de una operación o de una medida. Resultado obtenido por el método de cálcalo aproximado que se usa cuando no es necesario un resultado exacto. Los resultados estimados de una operación o medida pueden expresarse con las relaciones: "es mayor que", “es menor que" y "está comprendido entre”. Figura plana simétricaFigura plana simétricaFigura plana simétricaFigura plana simétrica:::: Figura que, intuitivamente, al doblarla por un eje queda dividida en dos partes que coinciden exactamente. Figuras congFiguras congFiguras congFiguras congruentesruentesruentesruentes:::: Figuras que tienen el mismo tamaño y la misma forma. Son figuras que al superponerse una sobre la otra coinciden en todos sus puntos. Ejemplo: Dos segmentos son congruentes si tienen igual medida, dos circunferencias son congruentes si tienen igual radio. Figuras semejantesFiguras semejantesFiguras semejantesFiguras semejantes:::: Figuras que tienen la misma forma, pero no necesariamente mismo tamaño. Puede considerarse que dos figuras son semejantes si una de ellas es un dibujo a escala de la otra. Gráfico de barrasGráfico de barrasGráfico de barrasGráfico de barras:::: Gráfico que se hace sobre dos rectas perpendiculares, usando rectángulos de alturas proporcionales a los valores observados. Los mismos se pueden dibujar en forma horizontal o vertical. Se trabaja sobre valores aislados (variable discreta). Ejemplo: Se entrevistaron 8 familias de las cuales se pudo recoger la siguiente información con respecto al número de hijos. InformaciónInformaciónInformaciónInformación:::: Todo aquello a lo cual una persona, grupo o sociedad le da significado.

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Interés simpleInterés simpleInterés simpleInterés simple:::: Interés percibido sobre el capital primitivo, sin agregarle ningún rédito vencido. Línea curvaLínea curvaLínea curvaLínea curva:::: Conjunto de puntos que se obtienen al trazar una línea sin ninguna parte recta. Línea poligonalLínea poligonalLínea poligonalLínea poligonal:::: Figura formada por segmentos consecutivos situados sobre rectas diferentes. (Puede ser cerrada o abierta. En una línea poligonal cerrada los segmentos no se entrecruzan, se empieza y termina en un mismo punto y al recorrer la línea poligonal se pasa por un punto una sola vez). Línea rectaLínea rectaLínea rectaLínea recta:::: Conjunto de puntos que se obtienen al trazar una línea sin cambiar la dirección. ParalelogramoParalelogramoParalelogramoParalelogramo:::: Cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos. PatronesPatronesPatronesPatrones:::: Regularidades que se presentan en los conjuntos numéricos, situaciones de medidas, figuras y cuerpos geométricos, que ayudan a la clasificación y ordenación de la información y ayudan a la formulación de propiedades. PictogramaPictogramaPictogramaPictograma:::: Gráfico en donde se hacen dibujos alegóricos al fenómeno que se quiere representar. PolígonoPolígonoPolígonoPolígono:::: Figura geométrica formada por el conjunto de puntos de una línea poligonal cerrada y sus puntos interiores. Polígono cóncavoPolígono cóncavoPolígono cóncavoPolígono cóncavo:::: Polígono en el cual existe una recta del plano que no contiene uno de sus lados y corta o interseca los mismos en más de dos puntos. Polígono convexoPolígono convexoPolígono convexoPolígono convexo:::: Polígono en el cual cualquier recta del plano que no contenga un lado del mismo corta o interseca los lados del polígono en, a lo sumo, dos puntos. Polígono irregularPolígono irregularPolígono irregularPolígono irregular:::: Polígono que no es regular, es decir, al menos dos de sus lados tienen diferente longitud y al menos dos de sus ángulos tienen diferente medida. Polígono regular circunscrito a una circunfePolígono regular circunscrito a una circunfePolígono regular circunscrito a una circunfePolígono regular circunscrito a una circunferenciarenciarenciarencia:::: Polígono regular donde los puntos medios de sus lados son puntos de la circunferencia. Se dice también que la circunferencia está inscrita en el polígono regular. Polígono regular inscrito en una circunferenciaPolígono regular inscrito en una circunferenciaPolígono regular inscrito en una circunferenciaPolígono regular inscrito en una circunferencia:::: Polígono regular cuyos vértices son puntos de la circunferencia. Se dice también que la circunferencia está circunscrita al polígono regular. Polígono regularPolígono regularPolígono regularPolígono regular:::: Polígono cuyos lados son todos de igual longitud (equilátero) y cuyos ángulos interiores tienen toda igual medida (equiángulo). PPPPunto medio de un segmentounto medio de un segmentounto medio de un segmentounto medio de un segmento:::: Punto del segmento que equidista (está a igual distancia) de los extremos del mismo, es decir, es el punto del segmento que lo divide en dos segmentos congruentes. RectaRectaRectaRecta:::: Idea que se representa por medio de una línea que se traza sin cambiar la dirección. (Se denota usando dos puntos de ella, o por una letra minúscula. Las rectas se extienden indefinidamente en ambos sentidos. Para indicar que una recta se prolonga en ambos sentidos, se dibujan unas puntas de flecha).

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Recta exteRecta exteRecta exteRecta exterior a una circunferenciarior a una circunferenciarior a una circunferenciarior a una circunferencia:::: Recta que no corta o interseca la circunferencia, es decir, la recta y la circunferencia no tienen puntos comunes. Recta secante a una circunferenciaRecta secante a una circunferenciaRecta secante a una circunferenciaRecta secante a una circunferencia:::: Recta que corta o interseca a la circunferencia en dos puntos, es decir, tiene dos puntos comunes con la circunferencia. Recta tangente a una circunferenciaRecta tangente a una circunferenciaRecta tangente a una circunferenciaRecta tangente a una circunferencia:::: Recta que corta o interseca la circunferencia en un solo punto, es decir, tiene un solo punto común con la circunferencia. (Este punto se denomina punto de tangencia). RectáRectáRectáRectángulongulongulongulo:::: Paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos de igual medida (todos los ángulos del rectángulo son rectos). Rectas paralelasRectas paralelasRectas paralelasRectas paralelas:::: Rectas distintas, situadas en un mismo plano, que no tienen puntos comunes, es decir, no se cortan o intersecan. Rectas peRectas peRectas peRectas perpendicularesrpendicularesrpendicularesrpendiculares:::: Rectas distintas, situadas en un mismo plano, que se cortan en un punto formando ángulos rectos. Rectas secantesRectas secantesRectas secantesRectas secantes:::: Rectas distintas, situadas en un mismo plano, que tienen un punto común, es decir, se cortan o intersecan en un punto. RedondRedondRedondRedondeoeoeoeo:::: Aproximación de un número a la decena, a la centena, a la unidad de mil, etc., más próxima Ejemplo: 583 redondeado a la decena más próxima es 580, redondeado a la centena más próxima es 600. Regla de tresRegla de tresRegla de tresRegla de tres:::: Procedimiento que permite calcular un cuarto término si se conocen tres términos de una proporción. Ejemplo: Si x/10 = ½ entonces X = 10x1/ 2 = 5. RomboRomboRomboRombo:::: Paralelogramo que tiene todos sus lados de igual longitud. Sector circularSector circularSector circularSector circular:::: Conjunto de puntos de un círculo limitados por los lados de un ángulo al centro y el arco que él determina. SegmentoSegmentoSegmentoSegmento:::: Porción de recta determinada por dos puntos y por el conjunto de puntos que están entre ellos dos. Se denota usando los puntos extremos con una barra encima. Para referirse a la longitud del segmento (distancia entre los extremos del segmento) se usan los puntos extremos sin la barra encima. Segmento circularSegmento circularSegmento circularSegmento circular:::: Conjunto de puntos de un círculo limitado por un arco y por la cuerda que une los extremos del arco. SemicírculoSemicírculoSemicírculoSemicírculo:::: Cada una de las dos mitades de un círculo separadas por uno de sus diámetros. SemicircunferenciaSemicircunferenciaSemicircunferenciaSemicircunferencia:::: Cada uno de los arcos determinado por los puntos extremos de un diámetro.

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SemirrectaSemirrectaSemirrectaSemirrecta:::: Cada una de las dos partes en que queda dividida una recta al tomar un punto cualquiera de ella. Si se denota por 0 el punto de la recta, cada una de las partes de la recta se denomina semirrecta de origen 0. SerieSerieSerieSerie:::: Conjunto de elementos relacionados entre sí y ordenados según un criterio determinado. (En matemática, el concepto de serie tiene una connotación diferente: se relaciona con la suma infinita de los términos de una sucesión de números reales o complejos). Sistema de numeraciónSistema de numeraciónSistema de numeraciónSistema de numeración:::: Conjunto de símbolos y reglas que permiten escribir y enunciar los números. Sistema de numeración decimalSistema de numeración decimalSistema de numeración decimalSistema de numeración decimal:::: Sistema de numeración posicional de base 10. Sistema de numeración no posicionalSistema de numeración no posicionalSistema de numeración no posicionalSistema de numeración no posicional:::: Sistema de numeración en el cual el significado de los símbolos no depende de la posición que ocupan en la escritura del número. Sistema de numeración posicionalSistema de numeración posicionalSistema de numeración posicionalSistema de numeración posicional:::: Sistema de numeración en el cual el significado de los símbolos es relativo y depende de la posición que ocupan en la escritura del número. Sistema métrico decimalSistema métrico decimalSistema métrico decimalSistema métrico decimal:::: Sistema métrico de pesas y medidas, cuyas unidades son múltiplos o divisores de 10 con respecto a la unidad principal. Sistema sexagesimalSistema sexagesimalSistema sexagesimalSistema sexagesimal:::: Se aplica al sistema de contar o de dividir de sesenta en sesenta. Es el sistema en el cual se miden ángulos donde sus unidades aumentan y disminuyen de 60 en 60. (Las horas, los minutos y los segundos forman un sistema sexagesimal, ya que una hora es 60 veces mayor que un minuto, y cada minuto es 60 veces mayor que un segundo. Cuando se miden períodos de tiempo menores que un segundo, se emplean décimas y centésimas de segundo, es decir, se pasa al sistema decimal). TrapecioTrapecioTrapecioTrapecio:::: Cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos. TrapezoideTrapezoideTrapezoideTrapezoide:::: Cuadrilátero que no tiene lados paralelos. VolumenVolumenVolumenVolumen:::: Medida del espacio que ocupa un cuerpo.

“La Educación es un Elemento Central de la Dignidad

y También del Desarrollo Humano” Programa del Gobierno de Reconciliación y Unidad Nacional, 2006

Managua, Nicaragua 2009.

MINISTERIO DE EDUCACIÓN