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Matemáticas IV 2007 Centro de Desarrollo Educativo [CDE] [Acuerdo No. MSB120051404 de Fecha 15 de Marzo 2005] [C.T. 14PBJ0076Z]

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO

COORDINACIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR, SUPERIOR Y TECNOLÓGICA

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA

SEMIESCOLARIZADA

DOCUMENTO BASE

Guadalajara, Jalisco

Febrero de 2008

MATEMÁTICAS IV

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SECRETARÍA DE EDUCACIÓN JALISCO

MATEMÁTICAS IV

DRECTORIO

SECRETARIO DE EDUCACIÓN JALISCO LIC. MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ ESPINOSA

COORDINADOR DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR,

SUPERIOR Y TECNOLÓGICA LIC. EDUARDO DÍAZ BECERRA

DIRECCIÓN GENERAL DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR

MTRO. JOSE MANUEL BARCELÓ MORENO

DIRECCIÓN DEL BACHILLERATO EN LA MODALIDAD INTENSIVA SEMIESCOLARIZADA

MTRA. DIMNA SILVIA GONZÁLEZ HERNÁNDEZ

Academia:

Aguilar Martínez Jacobo

Pérez Cisneros Porfirio

García Cortés Martín Gamaliel

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UNIDAD 1

1.1 Relaciones y funciones

Noción de relación y noción de función.

Para poder tener una noción de lo que son las relaciones y funciones, en conveniente que nos apoyemos un poco en la teoría de conjuntos. Considera los siguientes conjuntos:

A = {1, 4, 9, 16, 25, 36} B = {1, 3, 5, 7, 9, 11} La cardinalidad de los dos conjuntos es 6; es decir, tienen 6 elementos cada uno. Si vinculamos cada elemento del conjunto A con cada uno del conjunto B, tenemos el producto cartesiano AXB:

1 3 5 7 9 11

1 (1,1) (1,3) (1,5) (1,7) (1,9) (1,11)

4 (4,1) (4,3) (4,5) (4,7) (4,9) (4,11)

9 (9,1) (9,3) (9,5) (9,7) (9,9) (9,11)

16 (16,1) (16,3) (16,5) (16,7) (16,9) (16,11)

25 (25,1) (25,3) (25,5) (25,7) (25,9) (25,11)

36 (36,1) (36,3) (36,5) (36,7) (36,9) (36,11)

Ahora tenemos un nuevo conjunto AXB que consiste en 36 pares ordenados:

AXB = {(1,1), (1,3), (1,5), (1,7), (1,9), (1,11)

(4,1), (4,3), (4,5), (4,7), (4,9), (4,11) (9,1), (9,3), (9,5), (9,7), (9,9), (9,11) (16,1), (16,3), (16,5), (16,7), (16,9), (16,11) (25,1), (25,3), (25,5), (25,7), (25,9), (25,11)

(36,1), (36,3), (36,5), (36,7), (36,9), (36,11)}

Del anterior conjunto sólo consideremos al subconjunto S formado por los pares ordenados cuyo primer elemento sea múltiplo del segundo:

S = {(1,1), (4,1), (9,1), (9,3), (9,9), (16,1), (25,1), (25,5), (36,1), (36,3), (36,9)} Hemos formado así una relación: el subconjunto S. Relación: Es la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que asocia a cada elemento del primer conjunto con un elemento cualquiera del segundo conjunto, en la cuál el conjunto de los elementos que están en primer lugar se le conoce como dominio de la relación y el conjunto de los elementos que están en segundo lugar se le conoce como rango de la relación. Notación descriptiva. No siempre es posible enumerar elementos de una relación. Por ejemplo; el conjunto de parejas ordenadas de R x R {( )......} en tales casos lo que se hace es describir la relación enunciada, una condición que han de satisfacer sus elementos. Para el caso anterior la relación se podría enunciar: “es múltiplo de” Función: Es un conjunto de pares ordenados en el cuál cada elemento del domino está relacionado con uno y solo un elemento del rango.

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En otros términos, una función es un conjunto de pares ordenados, dentro de los cuáles no se repite en ningún caso el primer elemento. Es claro entonces que el subconjunto S no es una función pues se repiten algunos de los primeros elementos. Por otro lado, una función es un caso particular de una relación: cualquier función es una relación pero no toda relación es función.

Dominio, codominio y rango

El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René

Descartes para designar una potencia de la variable x. En 1694 el matemático alemán

Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva,

como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en

1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una

variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ellos. Dos

variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por

alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es

una función (unívoca) de X. La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama

variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se

llama variable dependiente. Los valores permitidos de X constituyen el dominio de la función

y los valores que toma Y constituye su recorrido".

Es necesario aclarar que al recorrido también se le conoce como rango. A cada elemento del dominio se le llama origen o argumento y al elemento del recorrido con que se relaciona se le llama imagen. Toda función asocia a cada elemento x de su dominio un único elemento del codominio. Si f es el nombre de la función, podemos denotar el elemento asociado a x con f(x) este símbolo se lee: efe de equis; el objeto representado por f(x) se dice que es el valor de la función en (x) o la imagen de x bajo f.

Toda función f es un subconjunto de un producto cartesiano A x B, donde respecto a B, no hay ningún tipo reexigencia, salvo que contenga a la imagen de f. En este sentido, B puede variar sin que se altere la función.

En relación a f, al conjunto B se le da un nombre: se le llama codominio de la función. La relación entre el rango y el codominio de la función es simple: el rango esta formado por aquellos elementos del codominio que son imagen de algún elemento del dominio.

Diversas formas de representación de una función

Hay diferentes maneras de representar a una función:

Como una expresión matemática: ecuaciones de la forma )(xfy , que nos

permiten sintetizar la función de acuerdo a su regla de correspondencia.

Ejemplo: 23 cos7)( xxxf

donde x está dada en grados, para el intervalo -2 ≤ x ≤ 2

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Como tabulación: la tabulación es un arreglo a manera de tabla que muestra valores enteros pequeños de la variable independiente y sus correspondientes valores de la función mismos que se calculan por sustitución en la expresión matemática, para el ejemplo anterior:

X -2 -1 0 1 2

y -57.00 -8.00 -1.00 6.00 55.00

Como pares ordenados: Son la relación uno a uno que se establece entre los

elementos del dominio y los elementos del codominio, para el mismo caso algunos pares ordenados son: F = {(-2,-57.00), (-1,-8.00), (0,-1.00), (1, 6.00), (2,55.00)}

Como una proposición: Enuncia de manera clara y precisa la regla de correspondencia de la función empleando conceptos matemáticos. Ejemplo:

“El valor de la función es igual al séptuplo del cubo de la X, menos la raíz cuadrada del coseno del ángulo X elevado al cuadrado”

Como una gráfica: Curva que se forma por la reunión de puntos que corresponden a posiciones en el plano cartesiano de los pares ordenados de la función. Gráfica para el mismo caso considerado anteriormente:

Para funciones lineales el dominio y el rango son el conjunto de los números reales. Cuando una función tiene a la variable independiente en alguno de los siguientes casos, se encuentra el dominio y el rango como se explica: 1 Si la variable independiente está en un denominador: Se calcula aparte el o los valores

para los que el denominador es igual a cero, el dominio es el conjunto de los números reales excepto ese o esos valores. El rango se encuentra buscando el valor de la función que corresponde a una X muy próxima (en el límite) a la o las que hacen cero el denominador, y se establece como el conjunto de los números reales excepción hecha de los valores de la función citados.

2 Si se encuentra en un radicando de índice par: Se copia aparte el radicando y

mediante una inecuación se determinan los valores de la X que hacen al radicando mayor o igual a cero, ese conjunto será el dominio. En caso de que haya exponentes

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pares en la X, la desigualdad se debe resolver usando valores absolutos. El rango es, si no hay otro término, el conjunto de los números positivos.

3 Que esté en una función logarítmica: Se encuentran los valores que hacen mayor que

cero a la expresión a la que se le calcula el logaritmo, ese conjunto será el dominio. El rango es el conjunto de los números reales.

4 Que se trate de una función escalonada: La forma más sencilla es graficar la función

de acuerdo a los criterios y después identificar en la gráfica los valores del dominio y rango.

5 Que se trate de una función trigonométrica inversa: Se procede de manera semejante

al caso 2, pero las desigualdades tendrán doble símbolo de acuerdo al intervalo de variación de la función, por ejemplo -1 ≤ sen u ≤ 1

6 Cuando hay valor absoluto: si la función es igual al valor absoluto de alguna expresión

que contenga a X, se calcula el dominio considerando que cada X positiva está asociada con la misma Y que la correspondiente X negativa, si el dominio son todos los números reales entonces el rango será sólo el conjunto de los números positivos.

7 Si es una función exponencial: la X aparece como exponente y dicho exponente no

está organizado según algún caso anterior, el dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el de los números positivos si la base es positiva y no hay otro término o factor.

8 Hay más de un caso de los anteriores: Se aplican los procedimientos correspondientes

de acuerdo a la jerarquía de las operaciones involucradas. 9 Si no aparece X: Se trata de una función constante, el dominio es el conjunto de los

números reales y el rango dicho valor constante.

1.2 Clasificación y transformación de funciones.

1.2.1 Tipos de funciones.

Existen diferentes criterios para la clasificación de las funciones: 1) Según cómo se expresen o definan: Se llaman funciones explícitas si en la regla de

correspondencia la X aparece despejada. Pero serán implícitas si no se verifica lo anterior.

2) Según el tipo de expresión que aparezca en la regla de correspondencia a) Algebraicas: Son aquellas en las que la dependencia puede expresarse con las

operaciones algebraicas: suma y resta con un número limitado de términos, multiplicación con un número limitado de factores, división y potencias con exponente constante, ya sea entero o fraccionario, positivo o negativo. i) Función lineal: su gráfica es una línea recta con inclinación dada por la

pendiente m, pasa por el eje Y en el punto b, su forma es bmxxf )( , por

ejemplo la gráfica de abajo corresponde a la función donde m = -2 y b = 4

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ii) Función cuadrática: su gráfica es una parábola, tiene la forma general

0 )( 2 acbxaxxf , si se utilizan los valores de a = 1, b = -2, c = -1. La

gráfica de la función queda:

iii) Función cúbica: forma 0 )( 23 adcxbxaxxf Su forma varía según

el valor de los parámetros a, b, c, y d. En el ejemplo la función tiene los parámetros a = -1, b = 0, c = 0, d = 8

iv) Función polinominal: formada por una serie de términos con exponente

decreciente para la x; de grado n tiene la forma

0 ...)( 0

2

2

1

10 aaxaxaxaxf n

nnn Puede tener la gráfica la forma de

una curva que asciende y desciende. La siguiente gráfica corresponde a la

función f (x) = x 4 - 2x

2

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v) Función racional: se presenta en la forma del cociente de dos funciones

polinominales. El dominio de la función es todo número real excepto las raíces del denominador, es decir aquellos valores en donde éste se anula. Tiene forma

0, ...

...)(

2

2

1

10

2

2

1

10

nmaxaxaxa

axaxaxaxf

m

mmm

n

nnn

El ejemplo siguiente es la función

vi) Función irracional: si la regla de correspondencia posee expresiones algebraicas no racionales, sobre todo expresiones que tienen radicales. Por

ejemplo, la gráfica de la función 43)( 2 xxxf es

b) Trascendentes: aquellas en las que no puede ligarse a la variable independiente por

medio de una de las cuatro operaciones algebraicas, efectuadas en un número limitado de veces. i) Función logarítmica: afectada por un logaritmo. Esta función es la inversa de la

función exponencial. Sólo está definida para los valores positivos de la x. Por

ejemplo xxf 10log)(

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ii) Función exponencial: aquella en la cual variable independiente interviene como

exponente. Por ejemplo f(x) = x 2 e

-x

iii) Funciones trigonométricas: son directas si el valor de la función depende de un

ángulo y son seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente. Son inversas si el ángulo depende del valor de una función trigonométrica directa, son arcsen, arccos, arctg, etc.

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c) Según la continuidad de la función: 1) Continuas: Intuitivamente, una función f es continua si su gráfica no contiene

interrupciones, ni saltos ni oscilaciones indefinidas. La idea general de función continua viene a ser la de que su gráfica sea continua; esto es, que la curva pueda dibujarse sin separar el lápiz del papel. A continuación algunos teoremas importantes:

i. Si f y g son dos funciones que son continuas en el número a, entonces la función suma, resta, cociente y producto de ellas es también continua en a.

ii. Una función polinomial es continua en todo número iii. Una función racional es continua en todo número de su dominio iv. Una función es continua en el intervalo [a,b] si es continua en cada

punto del intervalo. v. Si dos funciones son continuas en el número a, entonces la función

compuesta de ellas es también continua en el número a.

La gráfica anterior corresponde a una función continua, su regla de

correspondencia es 1

)13()(

4

32

x

xxxf

2) Discontinuas: Son aquellas en donde se tiene alguna interrupción en el trazo de la gráfica. Ejemplo:

La anterior es la gráfica de la función 6

1243)(

2

23

xx

xxxxf como se

puede apreciar en la gráfica la función es discontinua para los números -2 y 3 que son las raíces del denominador.

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d) Según el avance de las ordenadas con respecto de las abscisas:

1) Crecientes: Una función es estrictamente creciente en un intervalo

, si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba.

2) Decrecientes: Una función es estrictamente decreciente en un

intervalo , si para dos valores cualesquiera del intervalo, y , se

cumple que:

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo.

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e) Según la manera como concuerden el codominio y el rango: 1) Función inyectiva: a cada imagen del codominio le corresponde una y sólo

una x en el dominio; es decir, el rango es menor que el codomino. Tiene la propiedad geométrica de que toda recta horizontal corta a la curva a lo más en un punto de ella. Las funciones inyectivas son llamadas también funciones uno a uno.

2) Función sobreyectiva: si cada elemento del codominio de la función es

imagen de al menos algún elemento del dominio. En otras palabras el rango es igual al codominio. También se les llama epiyectiva, suprayectiva, suryectiva o exhaustiva

Por ejemplo la función f(x) = x 3 - 3x 2 – 2 es sobreyectiva, pues como se aprecia en el gráfico de la misma, el rango está formado por el conjunto de los números reales.

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3) Función biyectiva: aquella que es inyectiva y sobreyectiva. Tiene la propiedad de que su inversa es también biyectiva.

Por ejemplo la función lineal es una función biyectiva.

1.2.2 Funciones inversas

Noción: las funciones inversas son dos funciones tales que a todo punto de la gráfica de la primera función corresponde un punto a la gráfica de la segunda, de tal manera que la abscisa de cada punto de la primera es igual a la ordenada del punto correspondiente de la otra y viceversa. Cálculo de una función inversa:

1. Dada una función, se sustituye el símbolo f(x) por y 2. Se despeja la variable x en función de la variable y 3. Se intercambian las variables 4. La nueva función es la inversa de la primera.

Las funciones inversas son simétricas con respecto de la gráfica de la función identidad que es la que divide en dos partes iguales los cuadrantes primero y tercero:

En las gráficas anteriores se muestran a las funciones f(x) = x + 4 y su inversa que es la función f(x) = x – 4. También se muestra cómo las funciones logarítmica y exponencial son inversas f(x) = ex y la función f(x) = Ln x.

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Al expresar la función como una tabulación, se puede rápidamente encontrar la tabulación de la función inversa únicamente se intercambian los valores de x e y. El dominio de una función será el rango de la otra y el rango de la primera el dominio de la segunda.

1.2.3 Funciones especiales

a) Función constante: su grafica es una recta horizontal, tiene la forma

constante es )( kkxf Pasa por el eje Y en el punto señalado en la regla de

correspondencia. b) Función identidad: su gráfica es una recta que divide en dos partes iguales al

primer y tercer cuadrante. Su regla de correspondencia es xxf )( , y la gráfica

es como se aprecia a continuación:

c) Función Valor absoluto: Esta gráfica tiene forma de V, es simétrica respecto de una línea vertical. A continuación se muestran dos casos de la gráfica de la función de valor absoluto.

d) Funciones escalonadas: si una función cuyo dominio es el intervalo cerrado [a,b]

se dice que es una función escalonada, si existe una partición P={x0,x1,…,xn} de [a,b] tal que la función es constante en cada subintervalo abierto de P. También se llaman funciones constantes a trozos. Ejemplo:

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e) Funciones compuestas: Dadas dos funciones f(x) y g(x), se llama función

compuesta de f con g, y escribimos g o f, a aquella función en la que la imagen de un número real x es el resultado de actuar sucesivamente sobre las citadas funciones f(x) y g(x)

Las funciones compuestas de funciones inversas tienen la propiedad de ser siempre igual a la función identidad. Ejemplo de función compuesta: Sean las funciones f(x)=2x2-5 y g(x)=3x+4. La

función compuesta será g[f(x)]=3(2x2 - 5) + 4

Su gráfica:

1.2.4 Transformación de gráficas de funciones

La gráfica de una función se puede trasladar a otra posición. El procedimiento consiste simplemente en modificar la manera de calcular el valor de la función. Es necesario aclarar que los argumentos del dominio no se alteran, sólo el valor de la función f(x); es decir, se conservan los valores de la X, pero los valores de la Y se cambian de acuerdo a dónde se quiera trasladar la gráfica. TRASLACIONES HORIZONTALES:

a) Para trasladar la gráfica a la derecha: cambie f(x) por f(x-k) donde k es una constante de magnitud igual a la longitud del traslado.

b) Para trasladar la gráfica a la izquierda: cambie f(x) por f(x+k)

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TRASLACIONES VERTICALES:

c) Para que la gráfica de traslade hacia arriba: cambie f(x) por f(x)+k d) Para que la gráfica se traslade hacia abajo: cambie f(x) por f(x)-k

Se pueden transformar las gráficas trasladándolas a una posición simétrica con respecto de los ejes coordenados. A continuación se describe cómo. REFLEXIONES EN LOS EJES

a) Cambiando f(x) por –f(x): se traslada la gráfica de la función apareciendo como reflexión de la gráfica original, con el eje de las abscisas (x) como eje de simetría.

b) Cambiando f(x) por f(-x): se traslada la gráfica de la función apareciendo como

reflexión de la gráfica original, con el eje de las ordenadas (y) como eje de simetría.

También es posible trasladar una gráfica para que quede como una reflexión de la original de modo que el eje de simetría sea la función identidad. REFLEXIÓN RESPECTO A LA RECTA DE 45º O FUNCIÓN IDENTIDAD

Encontrando la función inversa: al cambiar los argumentos por las imágenes y las imágenes por sus correspondientes argumentos se transforma la gráfica en su inversa, siendo ésta simétrica con respecto de la función identidad como ya se mencionó antes.

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UNIDAD II

2.1. La función polinomial Una función es el conjunto de pares ordenados de número reales (x, y) en los cuales dos pares ordenados distintos no tienen el mismo primer número. El conjunto de todos los valores permisibles de x es llamado dominio de la función (Df ), y el conjunto de todos los valores resultantes de y se conoce como rango o recorrido (Rf )de la función. 2.1.1. Concepto de función polinomial

Si una función f está definida por 01

2

2

1

1 ...)( axaxaxaxaxf n

n

n

n

n

n

donde

naaa ,...,, 10 son números reales ( 0na ) y n es un entero no negativo, entonces, f se llama

una función polinomial de grado n. Por lo tanto, 173)( 25 xxxxf , es una función

polinomial de grado 5. Una función lineal es una función polinomial de grado 1, si el grado de una función polinomial es 2, se llama función cuadrática, y si el grado es 3 se llama función cúbica. Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones

polinomiales )(

)()(

xg

xfxQ se llama función racional.

El grado de un polinomio o de una función polinomial es la potencia del término que posee el exponente mayor. Si los grados de los términos de un polinomio disminuyen de izquierda a derecha, el polinomio se encuentra en la forma general. Los polinomios siguientes están en la forma general: 1er grado, 3x + 7

2do grado, xx 22

3er grado, xxx 23 4

4to grado, 115 4 x

Un polinomio con un solo término, como 5x4, se llama un monomio. Un polinomio con dos términos, como 3x + 7, se llama un binomio. Un polinomio con tres términos, como x2 + 2x + 1.8, se llama un trinomio. Los polinomios con más de tres términos, como 9x3 +4x2 + x +11, por lo general se llaman simplemente polinomios. Una función es una regla que produce una correspondencia entre dos conjuntos de elementos, tales que cada elemento del conjunto le corresponde uno y solo un elemento del segundo conjunto. Dominio y rango. El primer conjunto se llama dominio, y el conjunto de todos los elementos que corresponden al segundo conjunto se le conoce como rango. Las tablas 1 y 2 especifican funciones, ya que a cada valor del dominio le corresponde exactamente un valor de rango (por ejemplo, el cubo de -2 es -8 y no otro número). Por otra parte, la tabla 3 no específica una función, ya que al menos a un valor del dominio le corresponde mas del valor del rango (por ejemplo, al valor del dominio 9 le corresponde -3 y -3, ambas raíces son cuadradas de 9.

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Puesto que una función es una regla que relaciona cada elemento en el dominio con el dominio le corresponde un rango, esta correspondencia se puede ilustrar usando pares ordenados de elementos, donde la primera componente representa un elemento del dominio y la segunda componente representa el correspondiente elemento del rango. Así, como las funciones definidas en las tablas 1 y 2 se pueden escribir como:

Función 1={(-2,-8), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,8))} Función 1={(-2,4), (-1,1), (0,0), (1,1), (2,4))} En ambos casos, observe que no hay pares ordenados cuya componente sea la misma y las segundas sean diferentes. Por otra parte si se enumera el conjunto de pares ordenados A en la tabla 3, se tiene A={((0,0), (1,1), (1,-1), (4,2), (4,-2), (9,3), (9,3)}

En este caso se sugiere que hay pares ordenados con la misma componente y con diferentes segundas componentes; por ejemplo, (1,1) y (1,-1) pertenecen al conjunto A. Otra vez se observa que la tabla 3 no es una función.

2.1.2 La función constante como caso particular de la función polinomial

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma:

donde a es constante.

Como se puede ver es una recta horizontal en el plano xy, en la gráfica la hemos representado en el plano, pero, como se puede ver la función no depende de x, si hacemos:

Tabla 1

Dominio (número)

Rango (cubo)

-2 -8 -1 -1 0 0 1 1 2 8

Tabla 2

Dominio (número)

Rango (cuadrado)

-2 -1 4 0 1 1 4 2 0

Tabla 3

Dominio (número)

Rango (cubo)

0 0 1 1 -1 2 4 -2 3 9 -3

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tenemos:

donde a tiene un valor constante, en la gráfica tenemos representadas:

2.1.3. La función lineal como caso particular de la función polinomial La función lineal f es una función lineal si

bmxxf )( 0m

Donde m y b son números reales. Pendiente y razón de cambio En un gráfico lineal es equivalente a graficar la ecuación

bmxxf )(

Que se reconoce como la ecuación de una recta con pendiente m y b como intersección en

el eje y. Como la expresión bmx representa un número real para todos los números de x;

el dominio de una función lineal es el conjunto de todos los números reales. La restricción

0m en la definición de función lineal implica que la gráfica no es una recta horizontal. Por

consiguiente; el rango de una función lineal es también el conjunto de los números reales.

- 22 -

Gráfica de , bmxxf )( , 0m

Por lo tanto, el dominio y rango todos los números reales

Modelos Lineales

Se dice que una función es lineal cuando su gráfica es una línea recta; y por consecuencia

tiene la forma:

y = f(x) = mx + b

Donde m representa la pendiente de la recta y b la ordenada al origen (el punto en el que la

recta interfecta al eje de las "y"). Es importante mencionar que este tipo de funciones crecen

a tasa constante; y su dominio e imagen son todos los números reales. En este caso los

datos se ajustan perfectamente al modelo.

f(x) f(x)

x x

b

b

m>0

Pendiente positiva

Creciente en (-,)

M<0

Pendiente positiva

Decreciente en (-,)

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2.1.4. La función cuadrática como caso particular de la función polinomial. Forma estándar de una función cuadrática. Una función f se llama cuadrática si puede ser escrita de la forma

cbxaxxf 2)(

a ,b y c números reales con a ≠ 0 El dominio de esta función son todos los reales y su representación gráfica es una parábola. Son innumerables la cantidad de ejemplos prácticos donde está involucrada la función cuadrática, es por ello que merece especial atención. Para representarla basta con halla los puntos de corte a los ejes y el vértice que es siempre un máximo o un mínimo. Si el coeficiente de x2 es positivo la parábola es abierta hacia arriba y si es negativo abierta hacia abajo Cuando no existen puntos de corte con el eje de abscisas podemos ayudarnos con una sencilla tabla de valores. Gráficas de funciones cuadráticas

Gráfica de 342 xxy

Puntos de corte a los ejes:

Para x = 0, y = 3 La función corta al eje de ordenadas en el punto (0, 3)

Para y = 0, 0342 xx

1

3

2

24

2

12164x

Los puntos de corte al eje de abscisas son (3, 0) y (1, 0)

Vértice: 342 xxy ; 42 xy ; 2y

042 x 2x . El eje de simetría de la parábola es la recta x = 2.

Para x = 2, 132.42)2( 2 y

)1,2( V . El vértice es un mínimo ya que la segunda derivada es positiva.

- 24 -

La función es decreciente en el intervalo (-, 2) y creciente en (2, +)

Gráfica 232 xxy

Se trata de una función valor absoluto que se expresa de la forma siguiente:

023 23

023 2323

22

22

2

xxsixx

xxsixxxxy

Para representarla se dibujan las gráficas de

232 xxy ; 232 xxy Después nos quedamos con la parte de dibujo situado por encima del eje de abscisas.

Estudio de la primera función: 232 xxy Para x = 0, y = 2. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 2)

Para y = 0, 0232 xx

1

2

2

13

2

893x

Corta al eje de abscisas en los puntos (2, 0) y (1, 0) Vértice:

232 xxy

32 xy ; 032 x 23x

Para 23x

, 4

12

2

3.3

2

3)

23(

2

y

El vértice es el punto

41,

23 V

Estudio de la segunda función: 232 xxy Para x = 0, y = -2 Corta al eje de ordenadas en el punto (0, -2)

Para y = 0, 0232 xx x = 2; x = 1 Los puntos de corte con el eje de abscisas son los mismos que antes (2, 0) y (1, 0)

Vértice: 232 xxy ; 32 xy ; 032 x 23x

Para 23x

, 4

12

2

3.3

2

3)

23(

2

y

El vértice es el punto

41,

23V

- 25 -

La función es decreciente en los intervalos (-, 1) y (3/2, 2)

Es creciente en (1, 3/2) y (2, +). Máximos y Mínimos

Si f' ( a ) > 0 , la función f ( x ) es creciente en el punto x = a y si f' ( a ) < 0 , es decreciente en dicho punto. Cuando f' ( a ) = 0 , diremos que la función es estacionaria en el punto x = a .

Una función y = f ( x ) tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto x = a , cuando f ( a ) es mayor (menor) que los valores de la función para los puntos inmediatamente anteriores y posteriores al considerado. Modelos cuadráticos En ciencias aplicadas un "Modelo matemático" es uno de los tipos de modelos científicos, y se basa en expresar utilizando los instrumentos de la teoría matemática, declaraciones, relaciones, proposiciones sustantivas de hechos o de contenidos simbólicos: están implicadas variables, parámetros, entidades y relaciones entre variables y/o entidades u operaciones, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones difíciles de observar en la realidad Un arquitecto debe construir un puente colgante y, para ello requiere que todo el peso del puente esté bien distribuido a lo largo de los cables de los cuales debe colgar el puente. Las observaciones que ha hecho son las siguientes

Distancia del puente al cable

100 metros 82.9 metros 10 metros 24.4 metros 100 metros

Largo del puente

1 metro 2 metros 4.85 metros 6.75 metros 9 metros

La forma geométrica que mejor aproxima los datos es una parábola. Para determinar la ecuación de dicha curva, se hace el siguiente análisis.

- 26 -

Se representa por medio de Y la altura a la cual se debe colocar el cable en la distancia X del puente.

Se escogen tres datos de la lista, por ejemplo (10), (25, 7) y (50, 5)

Se sustituye cada una de estas parejas en la ecuación cbxaxy 2 y resolveremos el

sistema de ecuaciones, encontrando los valores constantes a, b y c. El modelo esta representado, analíticamente, por medio de la parábola

cbxaxy 2

La solución gráfica es la que a continuación muestra el dibujo.

2.1.5. Funciones polinomiales de grado tres y cuatro.

Una ecuación de tercer grado con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la

forma:

,

donde a, b, c y d (a ≠ 0) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a R o a C

Gráfico de una función cúbica. Las raíces son los lugares donde la curva cruza el eje x (y = 0).

Una ecuación de cuarto con una incógnita es una ecuación que se puede poner bajo la forma:

- 27 -

donde a, b, c, d y e (siendo ) son números que pertenecen a un cuerpo, usualmente a los reales o los complejos .

Ceros y raíces reales

Sea una función polinomial con coeficientes racionales. Observaremos la ecuación

Si expresamos cada coeficiente racional como fracción irreducible y luego multiplicamos por el mínimo común múltiplo de los denominadores, queda una ecuación polinomial con coeficientes enteros. Además, podemos dividir por el máximo común divisor de los coeficientes, para asegurarnos que ningún número entero (aparte de 1 y -1) divida a todos los coeficientes. Por ejemplo:

En estas condiciones podemos establecer el siguiente:

Teorema: Sea una ecuación polinomial con

coeficientes enteros. Suponga que . Si un número racional es raíz de esta ecuación (o sea si al hacer se cumple la igualdad), con primos entre sí, entonces divide a y divide a . La demostración queda como ejercicio propuesto, en realidad no es tan complicado. Como

hint, les digo que el dato no es necesario, y lo incluí apenas para reducir al máximo el número de candidatos a raíces racionales, cuando ustedes quieran aplicar este método. Así, por ejemplo:

- 28 -

son dos ecuaciones polinomiales equivalentes (de hecho, una se obtiene de la otra al multiplicar por 360), pero si en la primera aplicamos el teorema "al pie de la letra", olvidando el dato del MCD, en principio debemos chequear muchas fracciones que podrían ser raíces,

como , mientras que en la segunda los candidatos se reducen apenas a -2, -1, 1, 2. Por ejemplo, dada la función:

Planteando y resolviendo la ecuación:

Podemos afirmar que 2 y 4 son raíces ya que f(2) = 0 y f(4) = 0. Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función. El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable y de grado n tiene n raíces (contando sus multiplicidades). Aún así, muchas funciones reales no poseen n raíces en el conjunto de los números reales (hay veces en las que no poseen ninguna inclusive). Es entonces cuando se recurre al conjunto de números complejos. Ceros y raíces complejas Los polinomios pueden tener también raíces complejas, y sus respectivas conjugadas. El caso más simple es el del un polinomio x2+1 que tiene una raíz compleja y su

correspondiente conjugada. Sea el polinomio que tiene las siguientes raíces exactas: 3, 2-3i, 2+3i.

Ejemplo 1: Hallar el polinomio “P(x)” cuyos ceros (raíces) son 1, 1, y –4 + i

contestación: Multiplica los factores: P(x) = (x-1) (x-1) (x- [-4-i] ) (x- [-4+i] ) Ejemplo 2: Halla todas las raíces (ceros) de P(x) = x4 – 8x3 + 64x – 105, dado que 2 + i es un cero (raíz) Entonces hay dos ceros complejos 2 + i, 2 – i (x – [2+i]) (x – [2 – i ]) = x2 – 4x + 5 dividen a P(x) Usando división larga hallo el otro factor ( o sea, reduzco el polinomio) P(x) ÷ (x2 – 4x + 5) = x2 – 4x – 21 Pero x2 – 4x – 21 = 0 tiene a su vez dos raíces (o ceros). Hay dos métodos para resolver x2 – 4x – 21 = 0

- 29 -

Se puede factorizar como (x – 7) (x + 3) = 0 Se puede usar Fórmula Cuadrática: a=1, b= -4, c = -21

Finalmente se factoriza el polinomio: P(x) = x4 – 8x3 + 64x – 105 o sea las raíces o ceros son: r = 2+i, 2 – i , 7 , 3 Ceros, factores y soluciones En el eje de abscisa o eje de coordenadas X, se representan los originales que tienen imagen, es decir, que pertenecen al dominio de F(x). Cuando para un x determinado (x = a) se cumple que F(a) = 0, o lo que es lo mismo, los originales que tienen por imagen al número cero, se dicen que son puntos de corte con el eje abscisa o x. Recuerde que este eje es una recta de ecuación y = 0 (F(x) = 0).

Se dice que x es punto de corte con el eje X si:

F(x) = 0.

Polinomios.

Se debe, si se puede, factorizar para encontrar los valores que hacen y = P(x) = 0. Raíces. P(x) = x3 - 6·x2 + 9·x = x · (x - 3)2 = 0 que se anula para x=0 y x=3 >> P(0)=0 y P(3)=0. Luego hay dos puntos en esta función que están sobre el eje x: (0, 0) y el (3 , 0). Ver grafico.

P(x) = (x2 – 4x + 5) (x – 7 ) (x + 3) y entonces las raíces (o ceros) son: (x2 – 4x + 5) = 0 (x – 7 ) = 0 (x + 3) =0 x = 2 + i, 2 – i x = 7 x = 3

- 30 -

Resolución de ecuaciones polinomiales factorizables El número de factores en que se puede descomponer un polinomio es igual al grado del polinomio. Para que podamos factorizar un polinomio es necesario encontrar sus raíces. Cuando ya las tengamos, los factores correspondientes a cada raíz son de la forma ( x - r ) donde r es una de las raíces. Esto es, si r1, r2, ... , rn son raíces del polinomio f(x) entonces la factorización de f(x) es: f(x) = (x - r1) (x - r2) ... (x - rn)

Por ejemplo, si

1.- f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6

como sus raíces son x = - 1, x = 2 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

f(x) = (x - (-1)) (x - 2) (x - 3) = (x + 1) (x - 2) (x - 3)

2.- f(x)= x2 + x - 12

como sus raíces son x = - 4 y x = 3 entonces f(x) se ha factorizado como

f(x) = (x - (-4)) (x - 3) = (x + 4) (x - 3)

- 31 -

UNIDAD III

3.1. La función racional 3.1.1. Concepto de función racional Las funciones racionales son funciones obtenidas al dividir un polinomio por otro polinomio no idénticamente nulo. Para una única variable x una función racional se puede escribir como:

P(x)/Q(x)

donde P y Q son polinomios y x es una variable indeterminada siendo Q un polinomio no nulo. Existe la posibilidad de encontrar valores de x tales que Q(x) sea nulo. Por este motivo las funciones racionales están definidas en todos los números que no anulan el polinomio denominador, es decir, en el cuerpo de coeficientes menos una cantidad finita, que será igual al número de raíces reales del polinomio denominador. Una función racional está definida en todo el cuerpo de coeficientes si el polinomio denominador no tiene raíces reales.

Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas.

- Notación y caracterización

P(x)/Q(x) - Dominio y rango; intervalos. 3.1.2. Gráficas de funciones racionales

Función racional de grado 2: y = (x²-3x-2)/(x²-4)

- 32 -

Función racional de grado 3 : y = (x^3-2x)/(2(x^2-5))

En la gráfica podemos observar: - El comportamiento local y en infinito. - Las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas. 3.1.3. Variación inversa - La variación inversa como caso particular de la función racional. -Definición y constante de variación.

CUARTA UNIDAD 4.1. Función exponencial 4.1.1. Concepto de función exponencial.

Se llama exponencial la función definida sobre los reales por

La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.

La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, mediante la relación:

. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.

- Notación

En términos generales, una función es exponencial si se expresa de la forma

siendo a y k reales.

- 33 -

La expresión función exponencial se reserva para la inversa de la función logaritmo natural o, dicho en otros términos, para el caso en que a = e. Con esa definición, su dominio es R, pero se puede ampliar al cuerpo de los complejos.

Esta función se nota exp: R → R+*

donde e es la base de los logaritmos naturales.

y = exp x <=> x = ln y (con y >0)

La tangente en x = 1, T1, pasa por el origen. La tangente en x = 0, T0, pasa por el punto (-1, 0).

Tanto en la tabla como en la gráfica podemos observar: - Dominio y rango - Crecimiento y decaimiento exponencial

4.1.2. Variación exponencial

El término crecimiento exponencial se aplica generalmente a una magnitud M que crece con el tiempo de acuerdo con la ecuación:

Donde:

- 34 -

Mt es valor de la magnitud en el instante t > 0; M0 es el valor inicial de la variable, valor en t = 0, cuando empezamos a medirla; r es la llamada tasa de crecimiento instantánea, tasa media de crecimiento durante el lapso transcurrido entre t = 0 y t > 0; e = 2,718281828459...

El nombre naturalmente se refiere al crecimiento de una función exponencial de la forma y = ax con r = ln(a). Se puede ilustrar el crecimiento exponencial tomando en la última ecuación a = 2 y x un valor entero. Por ejemplo si x = 4, y es y = 2x2x2x2 = 16. Si x = 10 entonces y = 1024. Y así sucesivamente.

Fenómenos con crecimiento exponencial

1. El número de células de un feto mientras se desarrolla en el útero materno. 2. En una economía sin trastornos, los precios crecen exponencialmente, donde la tasa

coincide con el índice de inflación. 3. El número de contraseñas posibles con n dígitos crece exponencialmente con n. 4. El número de operaciones cálculos necesarios para resolver un problema NP-

completo crece exponencialmente con el tamaño de la entrada, representable o codificable mediante un número entero.

4.1.3. El número e

El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del cálculo. Como e es un número trascendental, y por lo tanto es irracional, su valor no puede ser dado exactamente como un número finito o con decimales periódicos.

Su valor aproximado por truncamiento es

Representaciones de e

El número e puede ser representado como un número real en varias formas: como una serie infinita, un producto infinito, una fracción continua o como el límite de una secuencia. La principal de estas representaciones, particularmente en los cursos básicos de cálculo es el límite:

como también la serie:

dado para evaluar la serie de potencias superior para ex en x=1.

- 35 -

Desarrollando la potencia del binomio indicado en la propiedad anterior usando el teorema del binomio de Newton:

Cuando n tiende a infinito, los productos que están en los numeradores tienden a 1, por lo

que cada término de esta expresión tiende a , como se quería demostrar.

La serie infinita anterior no es única, e también puede ser representado como:

Otras representaciones menos comunes también están disponibles. Por ejemplo, e puede ser representado como una fracción simple contínua infinita:

- 36 -

4.2. Función logarítmica 4.2.1. Concepto de función logarítmica La función logarítmica como inversa de la función exponencial

Gráfica de la función logarítmica

4.2.2. Logaritmos comunes y naturales

En matemática, el logaritmo es el exponente (o potencia) a la que un número fijo, llamado base, se ha de elevar para obtener un número dado.

Es la función inversa de la exponencial x = bn, que permite obtener n.

Esta función se escribe como: n = logb x.

Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Por ejemplo: 34 = 81

El logaritmo es una de tres funciones relacionadas entre sí: en bn = x, puede encontrarse b con radicales, n con logaritmos y x con exponenciación.

Se denomina logaritmo neperiano o logaritmo natural (ln) al logaritmo en base e de un número.

Los logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

- 37 -

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

Logaritmo en base b (cambio de base)

Son comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario), o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos no es crucial, debido a que se pueden hacer conversiones de una base a otra de forma sencilla. Para ello, es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en base b (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala de Richter), etc. En informática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces. Las propiedades de los logaritmos son una base que facilita aún más su resolución.

Logaritmo en base imaginaria

Un logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo de logaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0.

- 38 -

Logaritmo natural

En análisis matemático se llama logaritmo natural o logaritmo neperiano a la primitiva de la función:

que toma el valor 1 cuando la variable x es igual a 1,

También se llama así al logaritmo obtenido tomando como base el valor del número trascendental "e" (aproximadamente igual a 2,718 281 828...).

La función logaritmo natural es la inversa de la función exponencial: .

Números reales

El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar el logaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos.

Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativo no es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números reales negativos.

Números complejos

El logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación:

(*)

Sin embargo trabajando con números complejos aparece una dificultad que no aparecía con los números reales positivos, y es que la solución anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número de infinito de soluciones, aunque todas ellas son fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar un solución posible de la ecuación (*) es b0:

Puede comprobarse que esta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el número complejo bk, definido a continuación, también es solución:

4.3. Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Las ecuaciones logarítmicas se pueden aplicar a una infinidad de problemas, existen problemas de este tipo que son muy complicados de resolver, las propiedades de los logaritmos nos ayuda a resolver o facilitar su resolución. A continuación se ilustran una serie de problemas resueltos.

- 39 -

Desarrolla las siguientes ecuaciones logarítmicas y exponenciales;

1.- 32log vua

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

32 loglog vu aa ,

Posteriormente, el logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia, por lo tanto se puede aplicar a los dos términos por separado. Lo que resulta:

vu aa log3log2

2.-

2

3

2log

x

xx

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador;

])3log[(2log 2 xxx

Aplicando el logaritmo de un producto, al primer término;

])3log[(2loglog 2 xxx

Finalmente, se aplica el logaritmo de una potencia

3log22loglog xxx

3.- 1ln1

ln1

ln 2

x

x

x

x

x

Aplicando el logaritmo de un cociente a los dos primeros términos, resulta;

1lnln1ln1lnln 2 xxxxx

Eliminando el ln(x), y cambiando el orden de los términos;

1ln1ln1ln 2 xxx

Factorizando el último término;

11ln1ln1ln xxxx

Aplicando el logaritmo de un producto;

1ln1ln1ln1ln xxxx

Realizando la multiplicación de los signos, no resulta;

1ln1ln1ln1ln xxxx

Finalmente, eliminando el ln(x+1), y agrupando ln(x-1), nos da;

1ln2 x