matemáticas financieras capítulo 1
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8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
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Matemticas Aplicadas Matemticas financieras
1
MATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADAS
CAPTULO ICAPTULO ICAPTULO ICAPTULO I
Matemticas financierasMatemticas financierasMatemticas financierasMatemticas financieras
Inters simpleInters simpleInters simpleInters simple
Inters compuestoInters compuestoInters compuestoInters compuesto
Inters continoInters continoInters continoInters contino
Procesos de CrecimientoProcesos de CrecimientoProcesos de CrecimientoProcesos de Crecimiento
y decrecimiento exponencialy decrecimiento exponencialy decrecimiento exponencialy decrecimiento exponencial
Elasticidad de la demandaElasticidad de la demandaElasticidad de la demandaElasticidad de la demanda
a.a.a.a.Niveles de ElasticidadNiveles de ElasticidadNiveles de ElasticidadNiveles de Elasticidadb.b.b.b.Elasticidad e Ingreso totalElasticidad e Ingreso totalElasticidad e Ingreso totalElasticidad e Ingreso total
OpOpOpOptimizacin de una funcin de unatimizacin de una funcin de unatimizacin de una funcin de unatimizacin de una funcin de una
variablevariablevariablevariable
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Captulo IMatemticas Financieras
El presente captulo versa sobre las tasas de inters y sus efectos en el valor del dinero. El pblico
gana dinero con sus inversiones en cuenta de ahorros, certificados de depsito y los fondoscolocados en el mercado de dinero. Pero tambin pagan por utilizar el dinero que ha pedido
prestado para los gastos de colegiatura, el pago de hipotecas y las compras efectuadas con tarjeta
de crdito. El concepto de inters tambin tiene aplicaciones que son ajenas al dinero. As, el
crecimiento de la poblacin puede caracterizarse por una tasa de inters o de crecimiento.
I.1 Inters Simple
El inters es una cantidad que se paga por emplear el dinero ajeno. Los intereses suelenpagarse en proporcin al capital y al periodo durante el cual se usa el dinero. La tasa de inters
especifica a que porcentaje se acumula el inters. Y suele expresarse como un porcentaje del capital
por periodo.
El inters que se paga exclusivamente sobre la cantidad de capital se llama inters simple. El
inters ganado al finalizar un periodo se retira y se deja solo el capital para el siguiente periodo
El inters simple se calcula como I C i n=
Donde:
I es el inters
C es el capital
i la tasa de inters por periodo
n el nmero de periodos del prstamo.
Es indispensable que los periodos de i y de n sean compatibles entre si. En otras palabras si i se
expresa como porcentaje mensual, n habr de expresarse en nmero de meses.
Ejemplo:
Una organizacin crediticia ha concedido un prstamo a tres aos por $5000. Se cobra un inters
simple a una tasa del 10% por ao. El capital y el inters habrn de liquidarse al final del tercer ao.
Calcule el inters durante el periodo de tres aos. Qu cantidad pagar al final del tercer ao?
Solucin
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Datos Frmula
C = $5000 I = C i n A los tres aos se recibieron
i = 10% anual I = 5000(0.10)3 C + I = 5000 + 1500n = 3 aos I = $1500 C + I = $6500
Ejemplo: Un individuo presta $10,000 a una corporacin al comprar un bono emitido por ella. El
inters simple se calcula trimestralmente a una tasa de 3% por trimestre, envindose por correo un
cheque trimestral por concepto de intereses a todos los tenedores de bonos. Estos ltimos vencen al
cabo de cinco aos, y el ltimo cheque incluye el capital inicial junto con los intereses acumulados
en el ltimo trimestre. Calcula el inters ganado cada trimestre y el inters total que se ganardurante la vida de 5 aos de los bonos.
Solucin
Datos Frmula Inters total en los 5 aos
C = $10,000 I = C i n ( o sea en n = 20 trimestres) es
i = 3% trimestral I = 10,000(0.03)1 n x I = 20 x $300 = $60,000
n = 1 trimestre I = $300 por trimestre
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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I.2 Inters Compuesto
Un procedimiento comn con el cual se calcula el inters es la capitalizacin de los intereses. En
este procedimiento se reinvierte el inters que se genera en cada periodo sumndose al capital conel propsito de calcular el del siguiente periodo. La cantidad de intereses obtenida con este
procedimiento recibe el nombre de inters compuesto.
Periodo Capital Intereses Monto compuesto
1 C iC C + iC = C(1 + i )
2 C(1 + i) iC(1 + i) C(1 + i) + iC(1+ i) = C(1 + i)2
3 C(1 + i)2 iC(1 + i)2 C(1 + i)2 + iC(1 + i )2= C(1 + i)34 C(1 + i)3 iC(1 + i)3 C(1 + i)3 + iC(1 + i)3 = C(1 +i)4
n C(1 + i)n-1 iC(i + i)n-1 C(1 + i)n-1+ iC(1 +i)n-1= C(1 + i)n
De donde resulta que el monto compuesto es ( )1 n
C i= +
Donde:
M es el monto (siempre mayor al capital)C es el capital
I el inters anual capitalizable por periodo
m es el nmero de periodosen un ao
Ii
m= es el inters por periodo
t es el tiempo
n mt= es el nmero total de periodos en el tiempo t
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Ejemplo:
Se invierten $5000 a un inters del 10% anual capitalizable anualmente. Se requiere calcular cuanto
dinero se tendr depositado al final de tres aos, si no se retiran los intereses. Cul ser el intersganado al final de los tres aos?
Solucin
Datos
M = ? ( )1 n
M C i= +
C = 5000 M = 5000(1 +0.10)3
I = 10% anual M = $6655.00
Capitalizable anualmente Inters ganado al final de los tres aos es
0.100.10
1
Ii
m= = = M C = 6655-5000 = $1655.00
t = 3 aos
1(3) 3n mt= = =
Nota compare el resultado del inters ganado $6,655 con el del ejemplo de Inters simple $6,550.
Ejemplo:Una inversin a largo plazo por 250,000 pesos ha sido efectuada por una compaa de tamao
mediano. La tasa de inters es de 12% anual. Cada periodo el inters se reinvierte ntegramente a la
misma tasa
a) Si los intereses se capitalizan semestralmente., cul ser el valor de la inversin
transcurridos veinte aos?
Solucin
Datos Frmula
M = ? ( )1 n
M C i= +
C = $250,000.00 M = 250,000(1 + 0.06)40
I = 12% anual M = $2,571,429.48
Capitalizable semestralmente Inters ganado en los 20 aos
m = 2 semestres en el ao M C = 2,571,429.48 250,000= 2,321,429.48
0.120.06
2
Ii
m= = =
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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t = 20 aos
2(20) 40n mt= = =
b) Si la inversin es capitalizable trimestralmente cul ser el monto de la inversin y el
inters ganado en los veinte aos?
Datos
M = ? ( )1 n
M C i= +
C = $250,000.00 M = 250,000(1 + 0.03)80
I = 12% anual M = $2,660,222.64
Capitalizable trimestralmente Inters ganado en los 20 aos
m = 4 trimestres en el ao M C = 2,660,222.64 250,000 = 2,410,222.64
0.120.03
2
Ii
m= = =
t = 20 aos
4(20) 80n mt= = =
c) Si la inversin es capitalizable mensualmenteCul ser el monto de la inversin y el inters
ganado en los veinte aos?Datos
M = ? ( )1 n
M C i= +
C = $250,000.00 M = 250,000(1 + 0.01)240
I = 12% anual M = $2,723,138.41
Capitalizable mensualmente Inters ganado en los 20 aos
m = 12 meses en el ao M C = 2,723,138.41 250,000 = 2,473,138.41
0.12 0.0112
Iim
= = =
t = 20 aos
12(20) 240n mt= = =
De los tres incisos anteriores se observa que en 20 aos no aumenta mucho el monto conforme se
aumenta el nmero de periodos de capitalizacin en el ao.
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Ejemplo:
Se invierte una fuerte suma de dinero a una tasa de inters del 10% anual capitalizable
trimestralmente, cunto tardar en duplicarse? y en triplicarse? en aumentar en 50%?Solucin
Datos:
C = C
I = 10% anual
Capitalizable trimestralmente
m = 4 trimestres en el ao
0.10 0.0254
Iim
= = =
t = ?
4n mt t = =
Ejemplo:
Un joven recibi hace poco una herencia de doscientos mil pesos. Quiere invertir una parte de ella
para su vejez. Su meta es acumular trescientos mil pesos en quince aos. Qu parte de la herencia
deber invertir si el dinero producir 12% anual capitalizable semestralmente? Cunto recibir por
concepto de intereses en quince aos?
(en duplicarse el capital)
M = 2C
4
4
4
4
(1 )
2 (1 0.025)
2(1.025)
2 (1.025)
2 (1.025)
3 4 1.025
2
4 1.025
7
n
t
t
t
t
M C i
C C
C
C
Ln Ln
Ln tLn
Lnt
Ln
aos t
= +
= +
=
=
=
=
=
=
(en triplicarse el capital)
M = 3C
4
4
4
4
(1 )
3 (1 0.025)
3(1.025)
3 (1.025)
3 (1.025)
3 4 1.025
3
4 1.025
11
n
t
t
t
t
M C i
C C
C
C
Ln Ln
Ln tLn
Lnt
Ln
aos t
= +
= +
=
=
=
=
=
=
(en incrementarse 50%)
M = 1.5C
4
4
4
4
(1 )
1.5 (1 0.025)
1.5(1.025)
1.5 (1.025)
1.5 (1.025)
1.5 4 1.025
1.5
4 1.025
4
n
t
t
t
t
M C i
C C
C
C
Ln Ln
Ln tLn
Lnt
Ln
aos t
= +
= +
=
=
=
=
=
=
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Solucin
Datos:
M = 300,000.00t = 15 aos
C = ?
I = 12% anual
Capitalizable semestralmente
m = 2 semestres
0.120.06
2
Ii
m= = =
2(15) 30n mt= = =
Ejemplo:
Una persona desea invertir $10,000 y que su inversin llegue a $20,000 durante los prximos 10
aos. A qu tasa de inters anual debera invertir para lograr el crecimiento deseado, suponiendo
una capitalizacin semestral?
Solucin
Datos:
C = 10,000 M = 20,000
t = 10 aos I = ?
Capitalizable semestralmente
m = 2 semestres en el ao
2= =
I Ii
m
2(10) 20n mt= = =
Ejemplo
La junta de gobierno de una universidad
esta planeando las futuras necesidades de del nivel universitario del estado. Sus miembros han
observado que el nmero de estudiantes que asisten a las universidades pblicas ha ido elevndose
a una tasa del 7% anual. En el momento actual hay 80,000alumnos inscritos en varias escuelas.
30
30
(1 )
300,0000 (1 0.06)
300,000
(1.06)
52,233.04
nM C i
C
C
C
= +
= +
=
=
20
20
20
(1 )
20,000 10,000 12
20,0001
10,000 2
2 12
= +
= +
= +
= +
nM C i
I
I
I
( )
20
20
20
2 12
2 12
2 2 1
0.07
7%
= +
=
=
=
=
I
I
I
I
I
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Suponiendo que se mantenga constante esa tasa de crecimiento, cunto tardaran las inscripciones
en llegar a la cifra de 200,000 estudiantes?
SolucinDatos:
La poblacin aumenta anualmentea una
tasa del I = 7% anual
m = 1 ao en 1 ao
C = 80,000 alumnos
t= ?
M = 200,000 alumnos
I.3 Inters capitalizable continuamente
Los bancos se valen a menudo de modelos de capitalizacin continuaen las cuentas de ahorro a fin
de promover su negocio. La capitalizacin continua significa que la capitalizacin se realiza de modo
constante. Otra manera de concebirlo es recordar que hay un nmero infinito de periodos de
capitalizacin cada ao.
1
= +
mtI
M Cm
1
1 = +
mt
M Cm
I
En el monto compuesto el nmero de periodos m se considera infinito
lim 1
mt
m
IM C
mI
= +
1
lim 1
= +
I tm
I
mM C
mI
De clculo diferencial se sabe que1
lim 1 2.7182
n
ne
n
+ = =
Por lo tanto = I tCe .
( )
( )
1
200,000 80,000 1 0.07
200,000(1.07)
80,000
2.5 (1.07)2.5 (1.07)
2.5 1.07
2.5
1.07
13.5
n
t
t
t
t
M C i
Ln Ln
Ln tLn
Lnt
Ln
aos t
= +
= +
=
=
=
=
=
=
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Ejemplo
Una inversin a largo plazo por $250,000 pesos ha sido efectuada por una compaa de tamao
mediano. La tasa de inters es de 12% anual y los intereses se capitalizan continuamente. Culser el valor de la inversin transcurridos veinte aos?
Solucin
Datos:
C = 250,000
I = 12% anual
Capitalizable continuamente
t = 20 aos Inters ganado:M C = 2,755,794.10 250,000.00 = 2,505,794.10
Comparando el monto $2,755,794.10 con un inters capitalizable continuamente contra el monto al
mismo inters capitalizable mensualmente que fue de $2,723,138.41, se observa que la diferencia
entre ambos montos es de $32,655.70. Tomando en cuenta que la inversin fue a 20 aos la
diferencia no es muy grande.
Ejercicios
1. Se invierte en una cuenta de ahorros $500 dlares, al a que se paga un inters a una
tasa anual del 5%, capitalizable anualmente. Si la cantidad se mantiene en deposito
durante 8 aos, a qu ser igual el monto compuesto? Qu inters ganar durante
ese tiempo?
2. Si se pretende que una suma de $300,000 se convierta en $750,000 al cabo de un
periodo de 10 aos, a que tasa anual de inters deber invertirse en caso de que los
intereses se capitalicen cada semestre?
3. Se invierte una fuerte suma de dinero a una tasa de inters del 6% anual capitalizable
bimestralmente, cunto tardar en duplicarse? en aumentar en 200%?
4. Una suma de $10,000 da intereses a una tasa del 12% anual capitalizable
trimestralmente, cunto tardar la inversin en llegar a $75,000?
0.12(20)250,000
2,755,794.10
=
=
=
I tM Ce
M e
M
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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5 Qu suma habr de depositarse hoy al 8% anual capitalizable mensualmente si la meta es
tener en un periodo de 4 aos un monto compuesto de $200,000? Cunto se obtendr por
concepto de intereses en ese lapso?
6 Si los precios al consumidor estn creciendo a una tasa del 8% anual capitalizables
semestralmente, Cunto costar al cabo de 10 aos un artculo cuyo precio actual es de
$250?
7 Se invierten $1000 en un banco que da intereses a una tasa del 9% anual capitalizable
continuamente cul ser el saldo de la cuenta al cabo de 10 aos?
I.4 Proceso de crecimiento exponencial
Se caracteriza por un incremento porcentual constante del valor en el tiempo. Tales procesos se
describen mediante la expresin general0( )
ktV t V e=
donde:
0V es el valor inicial del proceso cuando t = 0
( )V t es el valor de la funcin al tiempo t.
kdenota la tasa porcentual de crecimiento (constante).
Ejemplo
La poblacin de un pas fue de 100,000 habitantes en 1970, la que ha estado desde ese ao
creciendo en forma exponencial a una tasa constante de 4% por ao.
a) Obtener la expresin para la poblacin a cualquier tiempo t
b) cul ser la poblacin proyectada para 1995?.
c) En que ao se triplicar la poblacin?
Datos: Solucin:
a) Es un proceso exponencial creciente P(t) = P0ekt
La poblacin inicial es
P0= 100,000 habitantes P(25) = 100,000e0.04(25)
t = 0 (equivalente a 1970) P(25) = 271,828
K = 4% = 0.04 anual En 1995 habr 271,828 habitantes
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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t = 1995-1970 = 25 aos
b) t = ? Para que P(t) = 3P0
P(t) = 3(100,000) = 300,000
Se triplicar en el ao 1970 + 28 = 1998
Proceso de decrecimiento exponencial
Se caracteriza por un decremento porcentual constante del valor en el tiempo. Tales procesos se
describen mediante la expresin general 0( ) ktV t V e=
Ejemplo
El valor de reventa V (expresado en dlares) de cierto equipo industrial se comporta conforme a la
funcin V(t) = 100,000e-0.1t, donde t son los aos transcurridos desde la compra original:
a) Use la funcin para encontrar Cul es el valor original del equipo?
b) Cul es el valor esperado de reventa al cabo de 5 aos? al cabo de 10 aos?
Solucin
a) El valor original del equipo V(0) = 100,000e-0.1(0)
se obtiene cuando t = 0 V(0) = $100,000
b) El valor de reventa en t = 5 aos V(5) = 100,000e-0.1(5)
V(5) = $60,653.07
El valor de reventa en t = 10 aos V(10) = 100,000e-0.1(10)
V(10) = $36,787.95
0.04
0.04
0.04
0.04
0.04
( ) 100,000
300,000 100,000
300,000
100,000
3
3
3 0.04
3
0.04
28
=
=
=
=
=
=
=
=
t
t
t
t
t
p t e
e
e
e
Ln Lne
Ln t
Ln
t
aos t
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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Ejercicios
1, La poblacin de un pas sudamericano ha estado creciendo exponencialmente a una tasa
constante de 2.8% anual. El 1 de enero de 1975 la poblacin era de 50,000,000 dehabitantes.
a) Describa la funcin general de crecimiento exponencial de la poblacin de pas
b) Si la tasa de crecimiento contina como actualmente. Qu poblacin se espera
habr en el ao de 1990? y en el ao 2000?
c) Determine en que ao la poblacin habr aumentado en 50%? en que ao la
poblacin se habr duplicado?
2. En el ao 1980 el valor de compra de un equipo industrial fue de 750,000 dlares. El valor
de reventa ha estado decreciendo de forma exponencial a una tasa constante del 5% anual.
a) Obtener la expresin general para el valor de la reventa.
b) Cul ser el valor de reventa del equipo industrial en el ao 1987? y en el ao
2005?
c) En que ao el valor de reventa habr disminuido al 50% del valor original?
3 Desperdicio de slidos. En la ciudad de Mxico, las toneladas anuales de desperdicios
slidos (basura) han ido aumentando en una tasa exponencial de 7% por ao. Suponga que
las toneladas diarias actuales son 4000 y que no han cambiado la tasa ni el patrn de
crecimiento.
a) Qu tonelaje diario se espera que se produzca al cabo de 10 aos?
b) La actual capacidad de eliminacin de los desperdicios slidos es de 6000
toneladas por da. cundo ser insuficiente
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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I.5 Elasticidad de la demanda
La demanda de consumo de un producto esta relacionada con su precio. En la mayor parte
de los casos la demanda disminuye a medida que el precio se incrementa. La sensibilidad de la
demanda ante los cambios en el preciovara de un producto a otro.
Una manera conveniente de medir la sensibilidad de la demanda ante los cambios en el precio es el
cambio en porcentaje de la demanda que se genera por un incremento de 1% en el precio.
Si q denota la demanda de un artculo y p su precio, la elasticidad de la demanda denotada ( ) es
definida como:
dq
dLnq p dqq
dpdLnp q dp
p
= = =
Y tiene la siguiente interpretacin: La elasticidad de la demanda ( ) es el cambio porcentual en la
demanda (q) debido a un incremento del 1% en el precio (p).
Ejemplo:
Suponga que la demanda q y el precio p de cierto artculo se relacionan con la ecuacin:
240 2 , 120= < q p para o p
a) Exprese explcitamente la elasticidad de la demanda como funcin del precio p
b) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es p = 50. Interprete el resultado.c) En que precio p la elasticidad de la demanda es -1?Cul es la interpretacin
econmica de este resultado?
d) Calcule la elasticidad de la demanda cuando el precio es P = 100. Interprete el
resultado.
Solucin
a) La elasticidad de la demanda esp dq
q dp=
La demanda es 240 2q p=
Su derivada respecto de p es 2dq
dp=
Sustituyendo ( 2)240 2
p
p=
Simplificando2
240 2
p
p
=
-
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
15
b) Para p = 502(50)
0.71240 2(50)
= =
Interpretacin La demanda q disminuye un 0.71% cuando el preciop = 50 aumenta un 1%. Lo que indica que hay una leve
disminucin en la demanda.
c) P = ? Si 1=
21
240 2
p
p =
( )1 240 2 2p p =
240 2 2p p + = 2 2 240
4 240
240
4
60
p p
p
p
p
+ =
=
=
=
P = 60 1=
Interpretacin La demanda disminuye un 1% cuando el precio p = 60
Se incrementa 1%. Lo que aumenta el precio p
disminuye la demanda q.
d). Para p =1002(100)
5240 2(100)
= =
Interpretacin La demanda q disminuye un 5% cuando el precio
p=100 aumenta en 1%. Lo que indica que hay una
fuerte disminucin en la demanda.
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
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I.5 a.- Niveles de elasticidad de la demanda
Cuando 1 = , los cambios porcentuales en el precio y la demanda son iguales. Los economistas
dicen que la elasticidad de la demanda es unitaria.
En precios para los cuales 1 < , la demanda es relativamente insensible a los cambios en el
precio y los economistas dicen que la demanda es inelsticarespecto al precio.
En precios para los cuales 1 > , la demanda es relativamente sensiblea los cambios en el precio
y los economistas dicen que la demanda es elsticarespecto al precio.
Nota:Elstica Sensible
1 < 1 = 1 >
Inelstica Unitaria Elstica
Ejemplo:
La demanda q y el precio p de cierto artculo estn relacionados por la ecuacin:
2
300 , 0 300q p p= <
.a) Exprese explictamele la elasticidad de la demanda en trminos de p.
b) Determine los intervalos donde la demanda es: unitaria, elstica e inelstica con
respecto al precio. (haga la comprobacin e interprete el resultado).
Solucin
a) La elasticidad de la demanda esp dq
q dp=
La demanda es 2300q p=
Su derivada respecto a p es 2dq
pdp
=
Sustituyendo2
2
2
( 2 )300
2
300
pp
p
P
P
=
=
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
17/39
MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
17
b)
La demanda es inelstica si
1 0 300y p < < <
La demanda es unitaria si
1 0 300y p = <
La demanda es elstica si
1 0 300y p > < <
2
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
21
300
21
300
2 300
2 300
3 300300
3
100
100
0 10
p
p
p
p
p p
p p
p
p
p
p
p
<
( )
1 1 1
1
0 1
1 0
Si la demandaes inelastica
dRq
dq
El ingreso R es
creciente
< < > <
< <
+
Inelstica Unitaria Elstica
p R(p) R(p)0 20p< < 19 +
20 0 (20) 1600R = Valor Mximo
20 1200p< < 30
( )2
19
120 0.3 19 11.7 0p
dRdp
=
= = >
2
30
120 0.3(30) 150 0p
dR
dp=
= = <
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
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MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
21
Ejercicios:
La demanda q y el precio p de cierto artculo estn relacionados por la ecuacin:
1. 60 0.1 , 0 600q p p= < .
2. 2600 2 , 0 300q p p= <
3. 2240 0.2 , 0 1200q p p= <
4. 500 2 , 0 250q p p= <
Para cada una de las cuatro relaciones haga lo siguiente:
a) Exprese explictamele la elasticidad de la demanda en trminos de p.
b) Determine los intervalos donde la demanda es: unitaria, inelstica y elstica con
respecto al precio. (haga la comprobacin e interprete el resultado)
c) Halle la funcin de ingreso total R en forma explicita en trminos de p. Use el criterio de
la primera derivada para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento del
ingreso, as como el precio p al cual es mximo el ingreso total. Hacer un bosquejo de la
grfica.
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
22/39
MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
22
BIBLIOGRAFA
Weber, Jean E. Matemticas aplicadas para Administracin y Economa 4ta Editorial
Harla,, Pags. 873
Budnik, Frank S. Matemticas aplicadas para Administracin y Economa y Ciencias
sociales 3 Edicin McGraw Hill, pags. 947
Leithold, Clculo diferencial e Integral, 6 Edicin Editorial Harla, pags. 653
Zill, Dennos G. Ecuaciones diferenciales, 6ta. Edicin Internacional Thomson Editores,
pags. 500
Ross, S. L. Integracin a ecuaciones diferenciales 3 Edicin Interamericana, pags.
502
Taj , Investigacin de operaciones, Editorial McGraw Hill, pags. 56
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
23/39
MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
23
MATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADAS
Apndice AApndice AApndice AApndice A
DerivacinDerivacinDerivacinDerivacin,,,, por frmula,por frmula,por frmula,por frmula, dededede
funciones de una variablefunciones de una variablefunciones de una variablefunciones de una variable
-
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24/39
MATEMATICAS APLICADAS Derivacin por frmula
124
Derivacin por frmulas de funciones de una variableSe ha observado que para el curso de matemticas aplicadas los alumnos llegan condeficiencias en la derivacin por frmulas y en el concepto de valores mximos y mnimos deuna funcin y su grfica. Quiz esto se deba a que en el primer semestre vio los temas en sucurso de clculo diferencial y al cursar la materia de Matemticas Aplicadas, en el cuarto
semestre, los haya olvidado. Por ello es que considero necesario darles un rapazo de laderivacin por frmulas y de los conceptos de valores mximos y mnimos as como puntos deinflexin y grficas de funciones. Para despus hacer aplicaciones de esos temas.
Es comn usar las siguientes notaciones para la derivada de y = f(x) con respecto a x:
, , ', '( ),x
dy df y f x D y
dx dx
La derivada de una funcin constante
( ) , 0 '( ) 0dc
Si f x c donde c es u n nmero entonces o f x dx
= = =
Ejemplo7
( ) 7, 0 '( ) 0
( 3)0
3 0s
dsi f x entonces o f x
dx
d
dt
D
= = =
=
=
Ejercicio7
( ) 7,
1
2
( 3)
u
dsi g t entonces
dt
D
d
dx
= =
=
=
La derivada de una variable respecto de ella misma
( ) , '( ) 1 1dx
Si f x x entonces f x o dx= = =
Ejemplo
( ) , 1 '( ) 1
( )1
1s
dtsi f t t entonces o f t
dt
d v
dv
D S
= = =
=
=
Ejercicio
( )
( ) , '
( )
r
si h u u entonces h
D r
d w
dw
= =
=
=
La derivada de una constante por una funcin
( ) ( ), tan , ( ) ( )d dSif x cw x con c u na cons te entonces cw x c w x dx dx
= =
Ejemplo
( )
3( ) 3 , 3 3(1) 3
8 8 8(1) 8
44 4(1) 4
s s
df d x dx Si f x x entonces
dx dx dx
D s D s
d v dv
dv dv
= = = = =
= = =
= = =
Ejercicio
( )
( ) 2 ,
30
15u
dhSi h x x entonces
dx
d t
dt
D u
= =
=
=
-
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-
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26/39
MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
126
La regla de la potencia1
( ) , ( ),
n n nd dw
Si f w w con w x entonces w nw dw dx
= =
Ejemplo
( )( ) ( ) ( )
3 3 1 2 2
11 11 1 10 10
5 5 1 4 4
20
20 1 19 19
3 3 (1) 3
( ) , '( ) 11 11 (1) 11
(10 7) 5(10 7) (10 1) 5(5 7) (10) 50(5 7)
83 4620 83 46 (83 46 ) 20 83 46 ( 46) 92 83 46
t
d dhh h h h
dh dh
dxF x x entonces F x x x x
dx
D t t D t t t
d y dy y y y
dy dy
= = =
= = = =
= = =
= = =
Ejercicio16
7
21
5
( ) , '( )
(9 12 )
(89 57)
x
h
G y y entonces G y
D x
du
du
D h
= =
=
=
+ =
La derivada de la suma y/o resta de funciones
( )d du dv dw
u v wdx dx dx dx
+ = +
Ejemplo
( )
( )
4 24 2 3 3
3 8 2 1 8 1 7
91 41 91 41 91 1 41 1 90 40
3( 3 ) 4 2 3 4 2 3
93( ) 93 , '( ) 3 8 0 3 8
54 54 91 41 0 91 41h h h h h h
d dx dx d x dx dx x x x x x x x
dx dx dx dx dx dx
d dt dt Si f t t t entonces f t t t t t
dt dt dt
D h h D h D h D h D h h D h h h
+ = + = + = +
= = =
+ = + = + = +
Ejercicio
( )
32 19
23 45
17 22
( ) 67 , '( )
34
( 3 )
z
Si h t t t t entonces h t
D z z
dw w w
dw
= + =
+ =
+ =
La regla del monomio1n nd dwcw cnw
dx dx
=
Ejemplo
-
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27/39
MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
127
3 2 3
3 2 3 2 3 2
3 2 2
( ) 15( 8) ,
'( ) 3(15)( 8) ( 8)
45( 8)(3 2 1)
Si F x x x x entonces
dF x x x x x x x
dx
x x x x x
= +
= + +
= + +
2 5 2 5 1 2
2 4
34( 3 ) 5(34)( 3 ) ( 3 )
170( 3 ) (2 3)
u
dD u u u u u u
du
u u u
=
=
9 9 1 8 88(6 7 ) 9(8)(6 7 ) (6 7 ) 72(6 7 ) ( 7) 504(6 7 )
d dt t t t t
dt dt
= = =
Ejercicios
( )
6 9
4
21
22( 3 )
5(2 9)
( ) 60 , '( )
hD h h
dx
dx
Si h v v v entonces h v
=
+ =
= =
La regla de la raz1
2
d dww
dx dx w=
Ejemplo5 5
6 6
6 6 6
1 30 15( ) 5 , '( ) 5
2 5 2 5 5
d u uSi f u u entonces f u u
duu u u= = = =
( )2 22 2 21 10 55 45 5 452 5 45 2 5 45 5 45
d d x x x xdx dx x x x
+ = + = =+ + +
( ) ( )2 2
2 2 2
8 10 4 1518 5 (8 5 )
2 8 5 2 8 5 8 5v v
v vD v v D v v
v v v v v v
= = =
Ejercicios3 2
8 5hD h h+ =
295 4
dt t
dt
+ =
9( ) 6 , '( )Si G v v entonces G v = =
La regla del recproco
2
d c c dw
dx w dx w=
Ejemplo
-
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28/39
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
29/39
MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
129
2
du dv v u
d u dx dx dx v v
=
Ejemplo
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2
2
3 9
3 5 4
( ) 3 9 ( ) 3 5 4 ,
(3 9) 3 93 0 3
5 813 5 4 3 5 4
2 3 5 4 2 3 5 4
5 83 5 4 (3) 3 9
( ) 2 3 5 4
( )3 5
d x
dx x x
Sea U x x y V x x x derivando por separado
du d x d x d
dx dx dx dx
xdv d d x x x x
dx dx dx x x x x
xx x x
d U x x x
dx V x x
=
= =
= = = =
= = =
=
( )( )( )
22
2
2
2
4
3 9 5 83 3 5 4
2 3 5 4
3 5 4
x
x xx x
x x
x x
=
Ejercicios2
2
2
( )( ) 3 2 5 ( ) 4 6 ,
( )
( )( ) 9 2 15 ( ) 14 26,
( )
( )( ) 41 83 ( ) 51 20 14 ,
( )
t
d f xSi f x x x y g x x entonces
dx g x u t
Si u t t t y v t t entoncesD v t
d G zSi G z z y H z z z entonces
dz H z
= + = + =
= = + =
= + = + =
Derivada de funciones trigonomtricas( ) ( ) ( )
2cos tan
cos ; ; secd senw d w d gw dw dw dw
w senw w dx dx dx dx dx dx
= = =
Ejemplo
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( )
3 2 3 2 3 2 3 2 2
4 2 4 4
2 4 4
4
(4 2 8) (4 2 8) (4 2 8) (4 2 8) 12 4
(9 2 ) 9 2 9 2 9 2 2 2 9 2
( 5 12) sec 5 12 5 12
1sec 5 12 5 12 sec
2 5 12
w
v
w
w
d dSen t t Cos t t t t Cos t t t t
dx dx
dD Cos v Sen v v Sen v Sen v
dx
d dTan p p p
dp dp
dp p
dpp
+ = + + = + +
= = =
= =
= =
1442443
123
14243
( ) 3
2 4
4
205 12
2 5 12
pp
p
-
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30/39
MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
130
Ejercicios
( )
6 3
3 2
48
8 4
5 9 45
t
dSen
dp p
D Cos t t
dTan h h
dh
=
+ =
+ + =
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
31/39
MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
131
MATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADASMATEMTICAS APLICADAS
Apndice B
Derivacin parcial, por frmula,
de funciones de dos variables
-
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MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
132
Derivadas parciales por frmulas
Sea f(x, y) una funcin que depende de las dos variables independientes x &y.
Derivar simultneamente a f(x, y) respecto a x & y no se puede hacer. Por lo que solo se habla delas derivadas parciales con respecto a una de las variables independientes x o y.
La derivada de f con respecto a x se denotax
fo f
x
y se considera a y constante
La derivada de f con respecto a y se denotay
fo f
y
y se considera a x constante
Por fortuna, las derivadas parciales se obtienen muy fcilmente empleando las mismas reglas dederivacin utilizadas para funciones de una sola variable x. La nica excepcin es que, cuando seencuentra una derivada parcial respecto a una variable independiente, se supone que se mantieneconstante la otra. Por ejemplo, al calcular la derivada parcial respecto a x, se supone que y esconstante. Y un punto muy importante es que la variable que se supone constante debe tratarsecomo tal al aplicar las reglas de derivacin
Ejemplo
Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin
g(x, y) = -10xy3
SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y
( )
( )
3
3
3
3
10
y se mantiene constante
10
10 1
10
gxy
x x
y xx
y
y
=
=
=
=
( )
( )
3
3
3 1
2
10
x se mantiene constante
10
10 3
30
gxy
y y
x yy
x y
xy
=
=
=
=
Ejemplo
Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin
f(x, y) = 5x2+ 6y2
SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y
-
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MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
133
( )
( )
2 2
2 2
2 1
5 6
5 6
y se mantiene constante
2 5 0
10
fx y
x x
x yx x
x
x
= +
= +
= +
=
( )
( )
2 2
2 2
2 1
5 6
5 6
x se mantiene constante
0 2 6
12
fx y
y y
x yy y
y
y
= +
= +
= +
=
Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin
h(x, y) = (3x-2y2)5
SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
52
5 12 2
42 2
42
42
3 2
5 3 2 3 2
5 3 2 3 2
y se mantiene constante
5 3 2 3 0
15 3 2
hx y
x x
x y x yx
y x yx x
x y
x y
=
=
=
=
=
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
52
5 12 2
42 2
42
42
3 2
5 3 2 3 2
5 3 2 3 2
x se mantiene constante
5 3 2 0 4
20 3 2
hx y
y y
x y x yy
y x yy y
x y y
y x y
=
=
=
=
=
Encuentre las primeras derivadas parciales con respecto a x & y para la funcin2 43 2( , ) x yE x y e =
SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y
-
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MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
134
.
( )
( )
( )
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
3 2
3 2 2 4
3 2 2 4
3 2
3 2
3 2
3 2
y se mantiene constante
6 0
6
x y
x y
x y
x y
x y
Ee
x x
e x yx
e x yx x
e x
xe
=
=
=
=
=
( )
( )
2 4
2 4
2 4
2 4
2 4
3 2
3 2 2 4
3 2 2 4
3 2 3
3 3 2
3 2
3 2
x se mantiene constante
0 8
8
x y
x y
x y
x y
x y
Ee
y y
e x yy
e x yy y
e y
y e
=
=
=
=
=
.
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
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MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
135
Si 2 2( , ) ( ) cos( )z x y x sen y x y y x= + demostrar que 2x yz yz z+ =
Solucin
Primera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
( ) cos( )
y se mantiene constante
( ) cos( )
( ) ( )
( )
cos( ) 2 ( )
( )
1cos( )
xz x sen y x y y xx
x sen y x y y xx x
x sen y x sen y x xx x
y
y sen y x x x
yx y x xsen y x
x x
yy sen y x
x x
x y x yx x
= +
= +
= +
+
= +
=
( )
( )
2
2
2
2
2
3 2
3 2
32
2 ( )
1( )
1cos( ) 2 ( )
1( )
cos( ) 2 ( )
( )
2 ( ) cos( )
2 ( ) cos( )x
xsen y x
y sen y x y
x x
x y x y xsen y xx
y sen y x yx
y y x xsen y x
y x sen y x
y x sen y x y y x
yxz x sen y x xy y xx
+
= +
= +
+
= +
= +
( )
( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2
2
2
( ) cos( )
x se mantiene constante
( ) cos( )
( )
cos( ) cos( )
1( )
cos( )2
1( )
yz x sen y x y y xy
x sen y x y y xy y
yx cos y x
y x
y y x y x yy y
yx cos y x
x y
yy sen y x
y x
y x y
xcos y x y sen y xx
= +
= +
=
+ +
=
+
+
=
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 3
2 cos( )
( )
2 cos( )
2 cos( )
2 cos( )y
y
y
y y x
xcos y x y x sen y x
y y x
x y y x y x sen y x
yz xy y y x y x sen y x
+
=
+
= +
= +
_________________________________________________________________________
-
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36/39
MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
136
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
2 3 2 3
32
2 3
2 2 2 2
2 ( ) cos( ) 2 cos( )
2 ( ) ( ) cos( )
cos( ) 2 cos( )
2 ( ) 2 cos( ) 2 ( ) cos( ) 2
+ = + + +
= +
+ +
= + = + =
x yxz yz x y x sen y x xy y x xy y y x y x sen y x
y
x sen y x sen y x xy y xx
xy y x y y x y x sen y x
x sen y x y y x x sen y x y y x z
Derivadas parciales de segundo ordenIgual que en el caso de las funciones de una sola variable, podemos determinar derivadas de
segundo orden para las funciones bivariadas. Estas sern de mucha importancia en la siguiente
seccin cuando tratemos de optimizar el valor de una funcin.
La segunda derivada de f con respecto a x se denota2
2 xx
f fo f
x x x
=
La segunda derivada de f con respecto a y se denota2
2 yy
f fo f
y y y
=
La segunda derivada mixta de f con respecto a x & y se denota2
xy
f fo f
y x y x
=
La segunda derivada mixta de f con respecto a y & x se denota
2
x
f f
o fx y x y
=
Una proposicin conocida con el nombre de Teorema de Young establece que las derivadasparciales mixtas son iguales
xy yxf f= a condicin de que ambas sean continuas.
Ejemplo:Encuentre las primeras y segundas derivadas parciales para la funcin
2
( , ) x
f x y e Lny=
SolucinPrimera derivada parcial respecto a x Primera derivada parcial respecto a y
-
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37/39
MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
137
.
( )
( )
2
2
2
2
2
2
ln
y se mantiene constante
ln
ln
ln 2
2 ln
x
x
x
x
x
fe y
x x
y ex
xy e
x
y e x
xe y
=
=
=
=
=
( )2
2
2
2
ln
x se mantiene constante
ln
1
x
x
x
x
fe y
y y
e yx
ye
y y
e
y
=
=
=
=
-
8/13/2019 matemticas financieras captulo 1
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MATEMTICAS APLICADAS Derivadas parciales
138
Segunda derivada parcial respecto a x Segunda derivada parcial respecto a y
.
( )
( )
( )
( )( )
2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2 ln
y se mantiene constante
2ln
2ln
2ln 1
2ln 2
2 ln 2 1
x
x
x x
x x
x x
x
fxe y
x x
y xex
xy x e e
x x
xy xe e
x
y xe x e
e y x
=
=
= +
= +
= +
= +
2
2
2
2
2
2
2
2
x se mantiene constante
1
1
x
x
x
x
f e
y y y
ey y
ey
e
y
=
=
=
=
Segunda derivada parcial mixta Segunda derivada parcial mixta
.
( )
2
2
2
2
2
y se mantiene constante
1
12
2
x
x
x
x
f f
x y x y
e
x y
ey x
xey
xe
y
=
=
=
=
=
( )
( )
2
2
2
2
2
2 ln
x se mantiene constante
2 ln
12
2
x
x
x
x
f f
y x y x
xe yy
xe yy
xey
xe
y
=
=
=
=
=
Lo que confirma el teorema de Young2
2 22 xf xe f
x y x y
= =
Ejercicios.
Si2
u x y= demostrar que x yx y xxu u u u= En los siguientes ejercicios determine:
3 2
2 3
5 3
2 2
5 2
( , ) 8 16
( , )
( , )
( , )
( , ) ln
x y
x y
y
f y f
f x y x y
f x y x y
f x y x y
f x y e
f x y e x
=
=
= +
=
=
2 2
3
2 2
, , ,
( , ) 2 3 6
( , ) ln
( , ) ( )
( , ) ln( )
( , ) cos
xx yy xy yxf f f f
f x y x xy y
f x y xy x
f x y y x
f x y x y
f x y x y y senx
= +
= +
=
= +
= +
-
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