Universidad Antonio Narino

Matematicas Especiales

Guıa N◦ 1: Numeros Complejos

Grupo de Matematicas Especiales

Resumen

Se presenta el conjunto de los numeros complejos junto con susoperaciones y estructuras relacionadas. Se estudia la representaciongeometrica de los complejos, su forma polar, sus raıces y potencias.

1. Generalidades

Los numeros complejos surgieron a partir de la necesidad de encontrar solu-cion a ecuaciones del tipo ax2 + bx+ c = 0 donde el discriminante b2 − 4aces negativo. El ejemplo mas claro se presenta al intentar resolver la ecuacionx2 +1 = 0, pues se necesita un numero tal que su cuadrado sea igual a −1 yen el conjunto de los numeros reales no existe un numero que satisfaga estacondicion.

Definicion 1. El conjunto de los numeros complejos, denotado por C,esta formado por todas las parejas ordenadas (a, b) de numeros reales talesque:

1. (a, b) = (c, d) si y solo si a = c y b = d (Igualdad).

2. (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) (Suma)

3. (a, b) · (c, d) = (ac− bd, ad+ bc) (Producto)

El conjunto de los numeros complejos C es un campo con las operacionesdefinidas anteriormente, es decir, las propiedades conmutativa, asociativa ydistributiva son satisfechas. Ademas existen elementos neutros e inversos:

1

(0, 0) es el elemento neutro para la suma y (1, 0) lo es para la multi-plicacion.

(−a,−b) es el inverso aditivo de (a, b), mientras que el inverso multi-

plicativo de (a, b) es

(

a

a2 + b2,− b

a2 + b2

)

siempre que a y b no sean

ambos cero.

El sımbolo i representa la unidad imaginaria y en este contexto correspondea la pareja (0, 1).

Notacion. En lo que sigue, la pareja (a, b) sera identificada con z = a+ bi.a es la parte real de z, notada como Re(z), y b la parte imaginaria de z,notada como Im(z).

De esta manera (1, 0) es 1 y (0, 1) es i. Si la parte real de un numero complejoes cero, el numero es un imaginario puro, mientras que si la parte imaginariaes cero, el numero es un real.

Volviendo a la ecuacion x2 + 1 = 0 y con base en la definicion de multipli-cacion dada, es sencillo mostrar que i2 = −1:

i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1

Con base en la nueva notacion, es posible redefinir la suma y el producto enC. Ası, si z1 = a+ bi y z2 = c+ di entonces:

z1 + z2 = (a+ bi) + (c+ di) = (a+ c) + (b+ d)i

z1 · z2 = (a+ bi) · (c+ di) = (ac− bd) + (bc+ ad)i

Para definir el cocientez1

z2, se debe suponer que z2 6= 0 y se procede como

sigue:

z1

z2=a+ bi

c+ di=

(a+ bi)(c− di)

(c+ di)(c− di)=ac− adi+ bci− i2bd

c2 − cdi+ cdi− i2d2

=(ac+ bd) + (bc− ad)i

c2 + d2=ac+ bd

c2 + d2+bc− ad

c2 + d2i

Ejemplo 2. Sean z1 = −2 + 3i, z2 = 7− 4i, z3 = 2− 5i.

2

z1 + z3 = (−2 + 3i) + (2− 5i) = (−2 + 2) + (3− 5)i = 0− 2i = −2i

z1 · z2 = (−2 + 3i) · (7− 4i) = −14 + 8i+ 21i− 12i2 = −2 + 29i

z1 · z2z3

=(−2 + 3i) · (7− 4i)

2− 5i=−2 + 29i

2− 5i=

(−2 + 29i)(2 + 5i)

(2− 5i)(2 + 5i)

=−4− 10i+ 58i+ 145i2

4 + 10i− 10i− 25i2=−149 + 48i

29= −149

29+

48

29i

♦

Las potencias de numeros complejos con exponentes enteros se definen de lamisma forma que en el caso de los numeros reales. Ademas, para z, z1, z2 ∈ C

y n,m ∈ Z se satisfacen las siguientes propiedades:

1. z0 = 1, siempre que z 6= 0.

2. zn zm = zn+m.

3. (zn)m = znm.

4. (z1 z2)n = zn1 zn2 .

5. z−n =1

zn, siempre que z 6= 0.

Ejemplo 3 (Potencias de la unidad imaginaria).

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1i3 = i2i = (−1)i = −ii4 = i3i = (−i)i = 1

Notese que para las potencias de i solo hay cuatro valores distintos: 1, i,−1,−i.En general para n ∈ Z se tiene que

i4n = 1

i4n+1 = i (1)

i4n+2 = −1i4n+3 = −i

3

♦

Ejemplo 4. Muestre que (1 + i)250 = 2125i.

En efecto,

(1 + i)250 =[

(1 + i)2]125

= (1 + 2i+ i2)125 = (2i)125 = 2125i125 = 2125i,

ya que 125 = 4(31) + 1. ♦

Definicion 5. Sea z = x + yi ∈ C. El conjugado complejo de z, notadocomo z se define como

z = x− iy.

Si z, z1, z2 ∈ C entonces las siguientes propiedades son sencillas de verificar:

1. z = z.

2. z1 + z2 = z1 + z2.

3. z1 − z2 = (z1)− z2.

4. z1 z2 = z1 z2.Como consecuencia, z2 = z2 y en general zn = zn para n ∈ N.

5.

(

z1

z2

)

=z1

z2, siempre que z2 6= 0.

6. Re(z) =z + z

2.

7. Im(z) =z − z

2i

Ejemplo 6 (Raıces conjugadas de polinomios). Muestre que si z0 esuna raız del polinomio

P (z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0

donde todos los coeficientes a0, a1, . . . , an son numeros reales, entonces z0

tambien es una raız del polinomio P (z).

4

Como z0 es una raız de P (z) entonces P (z0) = 0. El objetivo es mostrar queP (z0) = 0.

P (z0) = anz0n + an−1z0

n−1 + · · ·+ a1z0 + a0

= anzn

0+ an−1z

n−10

+ · · ·+ a1z0 + a0

= anzn

0+ an−1z

n−10

+ · · ·+ a1z0 + a0

= anzn

0+ an−1z

n−10

+ · · ·+ a1z0 + a0

= P (z0) = 0 = 0.

♦

Definicion 7. Sea z = x+ yi. El modulo, norma o magnitud de z se definecomo

|z| =√

x2 + y2.

Para z, z1, z2 ∈ C, se tienen las siguientes propiedades:

1. |z| ≥ 0. Ademas, |z| = 0 si y solo si z = 0.

2. |z|2 = x2 + y2 = z z.

3. |z| = |z|.

4. |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2| (Desigualdad triangular).La igualdad se tiene si z1 = αz2, con α ∈ R.

5. |z1 z2| = |z1| |z2|.

6.

∣

∣

∣

∣

z1

z2

∣

∣

∣

∣

=|z1||z2|

, siempre que z2 6= 0.

7. Re(z) ≤ |z| y Im(z) ≤ |z|.

2. Representacion geometrica

A partir de la definicion inicial dada del campo de los numeros complejos C,este puede ser visto como el producto cartesiano R×R. De esta manera, elplano complejo se representa graficamente por el plano cartesiano R

2, dondeel eje X es asociado al eje real y el eje Y corresponde al eje imaginario.

5

El numero complejo z = x+ yi es representado en el plano complejo por elvector con punto inicial en el origen y punto final en (x, y) (Ver Figura 1). Siz = x + yi entonces |z| =

√

x2 + y2 es precisamente la longitud del vector.En general, la distancia entre dos numeros complejos z1 y z2 esta dada por|z1 − z2| = |z2 − z1|.

z = x + yi

x

y

Eje real

Eje imaginario

|z|

0

Figura 1: Representacion geometrica de z = x+ yi

Dado que se puede pensar en un numero complejo como un vector en R2,

entonces la suma de dos complejos z1 + z2 puede hallarse geometricamentecomo la diagonal del paralelogramo formado por ellos dos (Ver Figura 2).

z1

z2

z1 + z2

0

Figura 2: Suma grafica de numeros complejos

Algunas regiones especiales del plano complejo pueden ser escritas en termi-nos del modulo. Por ejemplo:

6

z0

r

z0

r

z0

r

1. 2. 3.

Figura 3: Regiones especiales en el plano complejo

1. El conjunto {z ∈ C : |z − z0| = r} representa una circunferencia concentro en z0 y radio r.

2. El conjunto {z ∈ C : |z − z0| < r} representa un disco abierto centra-do en z0 y con radio r.

3. El conjunto {z ∈ C : |z − z0| ≤ r} representa un disco cerrado concentro en z0 y radio r.

A continuacion se presentan algunos ejemplo de otras regiones en el planocomplejo.

Ejemplo 8.

1. Considerese la ecuacion general |z − w1| = |z − w2| donde w1, w2 ∈ C

son fijos. Graficamente esta ecuacion representa el conjunto de puntosz que estan a la misma distancia de w1 y de w2, es decir, los puntosque estan en la bisectriz perpendicular al segmento que une a w1 conw2.

Por ejemplo, si |z + 6i| = |z − 1 + 3i| entonces la ecuacion de la rectasobre la cual estan los puntos z deseados se obtiene como sigue:

|z + 6i|2 = |z − 1 + 3i|2

(z + 6i)(z − 6i) = (z − 1 + 3i)(z − 1− 3i)

−6i(z − z) + 36 = −(z + z)− 3i(z − z) + 10

tomando z = x+ iy se tiene que z + z = 2x y z − z = 2iy, entonces

−6i(2iy) + 36 = −2x− 3i(2iy) + 10

y = −1

3(x+ 13)

7

1− 3i

−6i

y = −1

3(x + 3)

2. Considerense ahora las desigualdades |z+6i| < |z−1+3i| y |z+6i| ≤|z−1+3i|. La primera representa aquellos puntos que estan mas cerca(a menor distancia) de −6i que de 1− 3i sin incluir la recta, mientrasque la segunda sı incluye los puntos que estan sobre la recta.

1− 3i

−6i

1− 3i

−6i

Figura 4: Regiones |z + 6i| < |z − 1 + 3i| y |z + 6i| ≤ |z − 1 + 3i|

♦

3. Forma polar de un numero complejo

Sea z = x+ yi un numero complejo. Al ubicar el vector correspondiente a zen el plano complejo y denotar por r a la magnitud de z y por θ al anguloque se forma con el eje real:

entoncesx = r cos θ y y = r sen θ

8

z = x + yi

x = r cos θ

y = r sen θr=|z|

0

θ

y de esta manera la forma polar de z es

z = r (cos θ + i sen θ) (2)

Si z 6= 0, entonces se tienen las relaciones

cos θ =x

|z| , sen θ =y

|z| y tan θ =y

x(3)

El angulo θ se denomina argumento de z y se denota como arg(z). Como lasfunciones seno y coseno son periodicas, el argumento resulta ser una funcionmultivaluada, esto es, puede tomar muchos valores. En este caso toma todoslos angulos equivalentes a θ:

arg(z) = {θ + 2nπ : n ∈ Z}

Cuando se escoge θ de tal manera que −π < arg(z) ≤ π, entonces esteangulo se conoce como argumento principal de z y se denota por Arg(z).

Ejemplo 9. Encuentre la forma polar de cada uno de los siguientes numeroscomplejos:

1. z =√3 + i. Inicialmente se calcula el modulo de z:

r = |z| = |√3 + i| =

√

(√3)2 + 12 =

√4 = 2.

Como sen θ = 1

2y cos θ =

√3

2entonces θ esta en el primer cuadrante y

θ = arctan

(

1√3

)

= 30◦ =π

6,

luego arg(z) = {π6+ 2nπ, n ∈ Z} y ası la forma polar de

√3 + i es

z = 2(

cos(π

6

)

+ i sen(π

6

))

.

9

2. z = −2 + 2i. El modulo de z esta dado por

r = |z| = | − 2 + 2i| =√

(−2)2 + 22 = 2√2.

Dado que sen θ = − 2

2√

2= − 1√

2y cos θ = 2

2√

2= 1√

2entonces θ esta en

el segundo cuadrante y

θ = 180◦− arctan

(

2

2

)

= 180◦− arctan(1) = 180◦− 45◦ = 135◦ =3π

4,

luego arg(z) ={

3π

4+ 2nπ; n ∈ Z

}

y de esta manera la forma polarde z = −2 + 2i es

z = 2√2

(

cos

(

3π

4

)

+ i sen

(

3π

4

))

.

3. z = 1−√3 i. Se calcula primero el modulo de z:

r = |z| = |1−√3 i| =

√

(1)2 + (−√3)2 =

√4 = 2

Ahora bien, sen θ = −√

3

2y cos θ = 1

2, entonces θ esta en el cuarto

cuadrante y

θ = 360◦ − arctan

(√3

1

)

= 360◦ − 60◦ = 300◦ =5π

3,

de donde arg(z) ={

5π

3+ 2nπ, n ∈ Z

}

. Si elegimos θ = −π

3entonces

la forma polar de z = 1−√3 i es

z = 2(

cos(π

3

)

− i sen(π

3

))

.♦

De esta manera, dependiendo del cuadrante en el que se encuentre el anguloθ (hecho que se puede identificar a partir de los signos de sen θ y cos θ) sepuede recurrir a las siguientes formulas para determinarlo, tomando siemprex, y > 0,

Primer cuadrante θ = arctan(y

x

)

Segundo cuadrante θ = 180◦ − arctan(y

x

)

Tercer cuadrante θ = 180◦ + arctan(y

x

)

Cuarto cuadrante θ = 360◦ − arctan(y

x

)

10

3.1. Producto y cociente de numeros complejos en forma

polar

El producto y el cociente de numeros complejos puede efectuarse de ma-nera mas sencilla a partir de la forma polar de los numeros. Sean z1 =r1 (cos θ1 + i sen θ1) y z2 = r2 (cos θ2 + i sen θ2), donde r1 = |z1|, r2 = |z2|,θ1 = arg(z1) y θ2 = arg(z2). A partir de las formulas para el seno y el cosenode una suma y una diferencia de angulos, se pueden verificar las relaciones:

z1 z2 = r1 r2 [cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)] , (4)z1

z2=r1

r2[cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2)] , z2 6= 0,

de donde

arg(z1 z2) = arg(z1) + arg(z2) + 2nπ, n ∈ Z

arg

(

z1

z2

)

= arg(z1)− arg(z2) + 2nπ, n ∈ Z

y

|z1 z2| = r1 r2 = |z1| |z2|∣

∣

∣

∣

z1

z2

∣

∣

∣

∣

=r1

r2=|z1||z2|

De la formula (4) y usando un argumento de induccion se puede demostrarel siguiente resultado notable:

Teorema 10 (Teorema de Moivre). Para cada n ∈ Z,

(cos θ + i sen θ)n = cos(nθ) + i sen(nθ). (5)

Ejemplo 11. Calcule(√

3 + i)5. Del ejemplo anterior se tiene que la forma

polar de√3 + i es

z = 2[

cos(π

6

)

+ i sen(π

6

)]

,

entonces usando el teorema de Moivre con n = 5 se tiene que

(√3 + i

)5

={

2[

cos(π

6

)

+ i sen(π

6

)]}5

= 25

[

cos

(

5π

6

)

+ i sen

(

5π

6

)]

♦

11

4. Raıces de numeros complejos

Sea w un numero complejo fijo y sea n un entero positivo. Las raıces n-esimas

de w son, por definicion

w1

n := {z ∈ C : zn = w} ,

es decir, si z es una raız n-esima de w entonces zn = w.

Si w = |w| (cos θ + i sen θ) y z = |z| (cosφ+ i senφ), entonces a partir delteorema de Moivre y de la relacion zn = w se sigue que

|z|n [cos(nφ) + i sen(nφ)] = |w| (cos θ + i sen θ)

de dondecos(nφ) = cos θ

nφ = θ + 2kπ

φ =θ + 2kπ

n

y|z|n = |w||z| = n

√

|w|

para algun k ∈ Z. Por lo tanto las raıces n-esimas de w son

w1

n =

{

n

√

|w|[

cos

(

θ + 2kπ

n

)

+ i sen

(

θ + 2kπ

n

)]

; k = 0, 1, . . . , n− 1

}

(6)

Nota 1. La igualdad (wm)1

n =(

w1

n

)

m

es valida si y solo si n y m son

primos relativos.

Ejemplo 12 (Raıces n-esimas de la unidad). Encuentre las raıcesn-esimas de la unidad y demuestre que su suma es cero.

En primer lugar, 1 = 1 (cos 0 + i sen 0), entonces de (6) se sigue que

11

n =

{

cos

(

0 + 2kπ

n

)

+ i sen

(

0 + 2kπ

n

)

; k = 0, 1, . . . , n− 1

}

=

{

cos

(

2kπ

n

)

+ i sen

(

2kπ

n

)

; k = 0, 1, . . . , n− 1

}

Sea ω = cos(

2π

n

)

+i sen(

2π

n

)

, entonces por el teorema de Moivre, las n raıcesn- esimas de la unidad son 1, ω, ω2, . . . , ωn−1. Ademas,

1 + ω + ω2 + · · ·+ ωn−1 =ωn − 1

ω − 1= 0

12

ya que ωn = 1 y ω 6= 1.

Las n raıces n-esimas de la unidad son los vertices de un polıgono regularde n lados inscrito en la circunferencia unitaria {z ∈ C : |z| = 1}.

Por ejemplo, para n = 6 las raıces sextas de 1 son

1 = cos 0 + i sen 0

ω = cos(π

3

)

+ i sen(π

3

)

ω2 = cos

(

2π

3

)

+ i sen

(

2π

3

)

ω3 = cos (π) + i sen (π)

ω4 = cos

(

4π

3

)

+ i sen

(

4π

3

)

ω5 = cos

(

5π

3

)

+ i sen

(

5π

3

)

y graficamente corresponden a los vertices del hexagono regular

�

��

�

� �

1

ωω2

ω3

ω5ω4 ♦

Ejemplo 13. Encuentre las raıces cuartas de i.

En primer lugar, i = 1[

cos(

π

2

)

+ i sen(

π

2

)]

. Entonces de (6) se sigue que

i1

4 =

{

cos

(

π

2+ 2kπ

4

)

+ i sen

(

π

2+ 2kπ

4

)

; k = 0, 1, 2, 3

}

=

{

cos(π

8

)

+ i sen(π

8

)

, cos

(

5π

8

)

+ i sen

(

5π

8

)

,

cos

(

9π

8

)

+ i sen

(

9π

8

)

, cos

(

13π

8

)

+ i sen

(

13π

8

)}

♦

Ejemplo 14. Resuelva la ecuacion z10 + 4 = 0.

Resolver esta ecuacion equivale a encontrar z tal que z10 = −4, esto es,

13

encontrar las raıces decimas de −4 = 4 (cosπ + i senπ). De (6) se sigue que

(−4) 1

10 =

{

10√4

[

cos

(

π + 2kπ

10

)

+ i sen

(

π + 2kπ

10

)]

; k = 0, 1, 2, . . . , 9

}

=

{

10√4[

cos( π

10

)

+ i sen( π

10

)]

,10√4

[

cos

(

3π

10

)

+ i sen

(

3π

10

)]

,

10√4

[

cos

(

5π

10

)

+ i sen

(

5π

10

)]

,10√4

[

cos

(

7π

10

)

+ i sen

(

7π

10

)]

10√4

[

cos

(

9π

10

)

+ i sen

(

9π

10

)]

,10√4

[

cos

(

11π

10

)

+ i sen

(

11π

10

)]

,

10√4

[

cos

(

13π

10

)

+ i sen

(

13π

10

)]

,10√4

[

cos

(

15π

10

)

+ i sen

(

15π

10

)]

,

10√4

[

cos

(

17π

10

)

+ i sen

(

17π

10

)]

,10√4

[

cos

(

19π

10

)

+ i sen

(

19π

10

)]}

.

Ademas, estas raıces corresponden graficamente a los vertices de un decagonoregular inscrito en la circunferencia {z ∈ C; |z| = 10

√4}. ♦

Bibliografıa

[1] R.V. Churchill, Variable compleja con aplicaciones, McGraw-Hill, NewYork. 1990.

[2] Peter V. O’Neil, Matematicas avanzadas para ingenierıa, InternationalThomson Editores, S.A. Quinta Edicion. 2004.

[3] W. Allen Smith, Elementary Complex Variables, Charles E. MerrillPublishing Company, 1974.

14