matemáticas bachillerato logse herramientas de aritmética

Matemticas Bachillerato LOGSE/Herramientas dearitmtica

Nmeros RacionalesSe dan por conocidos los nmeros naturales . El conjunto de todos ellos serepresenta con la letra .Los enteros ( ) son los naturales y sus opuestos 1, -1, 2, -2, 3, -3,...

La definicin de nmeros racionales es: tales que

Es decir, se dice que un nmero es racional si se puede escribir como la fraccin de dos nmeros enteros.Los nmeros racionales tambin se pueden detectar por su forma decimal ya que todos tienen una expresinfinita o peridica.

son todos nmeros racionales.

Representacin de nmeros racionales sobre la recta

Aproximacin decimal de un nmero realPodemos encontrarnos con nmeros reales que tienen infinitas cifras decimales. Cmo trabajamos con estetipo de nmeros? Para esto hacemos una aproximacin al orden de unidad que ms nos interese. Existendistintos mtodos tales como redondeo o truncamiento.

Intervalos y semirectasSe intentar explicar aqu la nomenclatura que existe para designar algunos tramos de la recta real:

NOMBRE SIMBOLO SIGNIFICADO REPRESENTACINIntervalo abierto Nmeros comprendidos entre a y b.Intervalo cerrado Nmeros comprendidos entre a y b, ambos incluidos.Intervalosemiabierto Nmeros comprendidos entre a y b, b incluido.

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Nmeros comprendidos entre a y b, a incluido.

Semirecta

Nmeros menores que a.

Nmeros menores o iguales que a.

Nmeros mayores que a.

Nmeros mayores o iguales que a.

Expresin decimal aproximada. ErroresLa motivacin de este apartado no es otro que mostrar lo absurdo que puede ser tener muchas cifrassignificativas si podemos cometer errores de medida.Por ejemplo la altura de una montaa no tiene sentido decir que es 1245,782m (7 cifras significativas) si hay unescarabajo paseandose por ah o bien se produce erosin en la cima esa medida no sirve para nada, mejor seradecir que la montaa mide 1250m (3 cifras significativas) o 1245m (4 cifras significativas) si hay que serpreciso. Los dos ltimos seran medidas aproximadas.Cuando damos una medida aproximada el valor que damos no coincidir en general con el valor exacto (quedesconocemos y que normalmente ni siquiera es constante) esta diferencia entre lo real y el valor que damos esel error absoluto.El error absoluto es desconocido porque el valor real tambin lo es, pero podemos acotarlo, esto es asegurar quepor debajo de cierto valor seguro que no estar y que por encima de otro tampoco. Por ejemplo yo puedo decirque la montaa mide entre 1250 y 1240 metros esto quiere decir que el error que yo cometera sera inferior a 5metros.El problema del error absoluto es que engaa, no es lo mismo si digo que el error de medicin de un bonsai quemide 0,4m es de 0,2 metros que si digo que el error de medicin de una secuoya (de 20m) es de 0,2m. En elsegundo caso casi ni se nota en el primero si. Para eso se tiene el error relativo que es la relacin entre errorabsoluto y el valor real.

Notacin cientficaLa notacin cientfica es muy til para expresar nmeros muy grandes o muy pequeos.Tiene tres partes:

Una parte entera de una sola cifraLas otras cifras significativas como la parte decimalUna potencia de base diez que da el orden de magnitud de la cifra

Ejemplo:


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Operaciones con nmeros en notacin cientficaProductos

Vemos que tanto el primer caso como el segundo son inmediatos esto pasa siempre con los productos, sinembargo habra que prestar atencin al segundo ejemplo en el que hay que correr la coma hacia la izquierda yaumentar el exponencial para que la notacin siga siendo cientfica.Cocientes

Sumas y restas

Fijmonos en el mtodo seguido: primero hemos puesto todas los nmeros con un exponente comn, y luegocuando ya lo hemos calculado todo lo hemos dejado en notacin cientfica otra vez.

RadicalesNomenclatura: es el radical es el radicando y es el ndice de la raz.Ya se ha visto que

Si existe para cualquier y cualquier Si existe slo para valores impares de

Forma exponencial de los radicales ya que


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ya que

Propiedades de los radicales

ya que

AplicacionesSimplificar radicales Pasar radicales a ndice comn. Qu es ms grande, ?

, Por lo tanto

ya que

AplicacionesSacar fuera de la raz los factores que nos convengan.

Agrupar radicales

ya que

AplicacionesGracias a estas tres propiedades podemos juntar castillos de fracciones en un solo radical:

ya que

ya que


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No se pueden sumar radicales distintos, slo los semejantes (aquellos que tras simplificarlos tienen el mismoradicando y el mismo ndice)

Es decir, yo no puedo sumar ni tampoco En cambio s que puedo sumar Hay veces que no es evidente:

A veces (muchas) nos interesar 'quitar' las races del denominador. Esto se hace multiplicando numerador ydenominador por la expresin adecuada (este proceso se denomina racionalizar)

LogaritmosMotivacinEn el pasado los logaritmos eran muy tiles para calcular productos de nmeros muy grandes (recordemos queno habia calculadoras). Hoy en da se utilizan entre otras cosas para representar en un mismo grfico diferentesordenes de magnitud, los decibelios al fin y al cabo son logaritmos.Logaritmos decimales

Un logaritmo decimal de un nmero se designa como , y el resultado es el nmero al que hay queelevar el para obtener

La primera vez que se ven los logaritmos uno se siente tal vez algo extraado, por eso es bueno que se haganpruebas para familiarizarse con ellos, por ejemplo decir cual es el a base de tanteo

y luego comprobar que vale log 245 con la calculadora.

Logaritmos de base cualquiera


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Se define el logaritmo en base de , y se escribe como , el exponente al que hay que elevar para obtener

Logaritmo Neperiano

Tambin llamado logaritmo natural, es un logaritmo en base . Se representa como Se lee: "logaritmo en base e de x" es igual (es lo mismo que) "logaritmo natural de x"

Propiedades

El logaritmo de la base es uno El logaritmo de 1 es cero para cualquier base Logaritmo de un producto Logaritmo de un cociente Logaritmo de una potencia Logaritmo de una raz

Cambio de base Si nos fijamos esta propiedad nos permite calcular logaritmos debase cualquiera con una calculadora que solo disponga de logaritmo decimal.

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