PROBLEMAS DE GEOMETRÍA

1)-Dados los puntos A(3,1) y B(1,2).Hallad la ecuación vectorial de la recta que pasa por esos dos puntos. Hallad también las ecuaciones paramétricas, continua y general.

2)-Decid si son paralelas o no los siguientes pares de rectas:

a)⎩⎨⎧

−=+=

≡t1yt23x

r 12y

24xs

−+

=−

≡

b)⎩⎨⎧

−=+=

≡t1yt23x

r 03y2xs =−+≡

c) 01y3xr =−+≡ 05y6x2s =++≡

3)-Hallad la intersección de los siguientes pares de rectas:

a) 05y4x3r =−−≡ 018y3x5s =−+≡ b) 01y6x3r =+−≡ 01y4x2s =+−≡

4)-Hallad la ecuación de la recta paralela a 05y3x2 =−− que pasa por el punto )2,1(P −

5)-Sean A(1,0),B(4,-3) y C(5,2) los tres vértices de un triángulo. Hallad:

a) La ecuación de la recta que pasando por A es paralela a la que pasa por B y C. b) La ecuación de la mediana que pasa por C.

6) Hallad la ecuación general de una recta que pasa por el punto A(-5,2) y cuya

pendiente es 34m −=

7)- Dada la recta de ecuación 05y2x3 =+− , hallad un vector director, su pendiente, puntos de corte con los ejes y área del triángulo que forma con los ejes.

8)Dadas las rectas a

3y2

1xr +=

−≡ y 0my3x2s =+−≡

a) Hallad a para que sean paralelas. b) Hallad m para que s pase por el punto A(2,1) c) Hallad a para que r sea paralela al eje OX.

9) Hallad la ecuación de la recta que pasa por el punto medio de A(2,3) y B(1,-2) y es paralela a la de ecuación 03yx2 =+− .

10) Hallad la ecuación de la recta que pasa por el origen y por el punto de intersección de las rectas 03y2x =+− y 09y2x =−+

11) Hallad la ecuación de la recta que es paralela a 0y3x2 =− y cuya ordenada en el origen es -2.

12) Hallad la ecuación de una recta paralela al eje OY y que pasa por el punto P(2,6).

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA SOLUCIONES

1. ( )1,2AB −= )1,3(A )1,2(t)1,3()y,x( −+= Ecuación vectorial

⎭⎬⎫

+=−=

t1yt23x

Ecuaciones paramétricas

1

1y23x −=

−− Ecuación continua

05y2x =−+ Ecuación general.

2. a) ⎩⎨⎧

−=+=

≡t1yt23x

r )1,2(v −=ρ

12y

24xs

−+

=−

≡ )1,2(w −=ρ Los dos

vectores directores son el mismo. Luego las rectas son Paralelas o Coincidentes. Si tomamos el punto )1,3(P de la primera, no cumple la ecuación de la segunda, luego no son la misma, son Paralelas.

b) ⎩⎨⎧

−=+=

≡t1yt23x

r )1,2(v −=ρ

03y2xs =−+≡ )1,2(w −=ρ

Los dos

vectores tienen la misma dirección, las rectas son Paralelas (se comprueba que no son la misma de la como en el apartado anterior). c) 01y3xr =−+≡ 05y6x2s =++≡

51

63

21 −

≠= Las rectas son Paralelas.

3. a) Las rectas se cortan en el punto )1,3(P . Dicho punto se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones formado con las ecuaciones de las dos rectas.

b) Las rectas 01y6x3r =+−≡ y 01y4x2s =+−≡ son paralelas, luego no se cortan en ningún punto.

4. Si es paralela a 05y3x2 =−− podemos tomar como vector director el mismo, es decir, )2,3(v =

ρ . Como además sabemos que pasa por el punto )2,1(P − , su

ecuación será: 2

2y3

1x +=

− , o bien 08y3x2 =−− si la escribimos en forma

general.

5. Recta r: Pasa por )0,1(A y podemos usar como vector director el

)5,1(CB −−= , luego su ecuación

será: 5

y11x

−=

−− o 05yx5 =−− en

forma general. Recta s: Pasa por )2,5(C y por el punto medio del lado opuesto que es

)2/3,2/5(M −= , como vector direc-

tor podemos usar el ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

27,

25MC o

cualquiera que sea paralelo como por ejemplo el )7,5(vρ de modo que la ecuación de la recta será:

72y

55x −=

− o bien 025y5x7 =−− en forma general.

6. La ecuación será: )5x(342y +−=− o bien 014y3x4 =++ en forma general.

7. Dada la recta 05y2x3 =+− un vector director será )3,2(vρ , su pendiente 23m = ,

los puntos de corte con los ejes ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

25,0P y ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= 0,

35Q

El área del triángulo que forma con los ejes será: 2u1225

2625

235

25

A ==⋅

=

8. a) Para que sean paralelas las rectas a

3y2

1xr +=

−≡ y 0my3x2s =+−≡ , sus

vectores directores tienen que ser de la misma dirección. Sus vectores directores son, respectivamente, )a,2(vρ y )2,3(wρ . Para que sean de la misma dirección, debe

cumplirse a2

23= , es decir,

34a =

b) Para que la recta s pase por el punto A(2,1), al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, la igualdad debe ser cierta. Es decir 0m1322 =+⋅−⋅ de donde se desprende que 1m −= c) Para que r sea paralela al eje OX, la segunda componente de su vector director debe ser 0, 0a = .

9. La recta que buscamos pasa por el punto medio de A(2,3) y B(1,-2) que es

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21,

23M y es paralela a 03yx2 =+− , luego podemos tomar el )2,1(v =

ρ como

vector director. Su ecuación será 2

21y

123x −=

− que en forma general queda

05y2x4 =−−

10. El punto de intersección de 03y2x =+− y 09y2x =−+ es )3,3(P (se obtiene resolviendo el sistema que se forma con las dos ecuaciones). Como la recta también pasa por el origen )0,0(O podemos tomar como vector director el )3,3(OP = , la

ecuación será 3y

3x= , o bien 0y3x3 =− que simplificada queda 0yx =−

11. Si es paralela a 0y3x2 =− , tendrá la misma pendiente que es 32m = , como

sabemos además que su ordenada en el origen es 2− , la ecuación explícita de la

recta será 2x32y −= que, escrita en forma general, queda 06y3x2 =−−

12. Si es paralela al eje OY su ecuación será ax = , como pasa por el punto P(2,6), entonces, la ecuación será 2x = .