NDICE GENERALCaptulo 1 Geometra Plana.......................................................................................1 1.1 Conceptos elementales en Geometra...................................................1 1.2 ngulos.................................................................................................3 1.3 Tringulos.............................................................................................9 1.4 Cuadrilteros........................................................................................17 1.5 Circunferencia......................................................................................23 1.6 Permetros y reas................................................................................32 1.7 Proporcionalidad y Semejanza.............................................................39 1.8 Prueba 1................................................................................................46 Trigonometra ...........................................................................................49 2.1 Conceptos bsicos y medicin de ngulos..........................................49 2.2 Razones trigonomtricas.....................................................................51 2.3 Identidades trigonomtricas bsicas....................................................52 2.4 Razones trigonomtricas de ngulos especiales..................................53 2.5 Resolucin de tringulos.....................................................................57 2.6 Razones trigonomtricas de ngulos negativos...................................58 2.7 Razones trigonomtricas para suma y resta de ngulos......................59 2.8 Teorema del seno................................................................................61 2.9 Teorema del coseno............................................................................63 La Recta en el plano.................................................................................66 3.1 Sistema de coordenadas rectangulares................................................66 3.2 Distancia entre dos punto ...................................................................67 3.3 Punto medio de segmento...................................................................68 3.4 Pendiente por dos puntos....................................................................69 3.5 Ecuacin de la recta............................................................................74 3.6 Distintas formas de la ecuacin de la recta.........................................76 3.7 Posiciones de dos rectas en el plano...................................................83

Captulo 2

Captulo 3

Captulo 4

Desigualdades, inecuaciones y valor absoluto.......................................88 4.1 Desigualdades, definicin y propiedades............................................90 4.2 Inecuaciones de primer grado..............................................................91 4.3 Inecuaciones de segundo grado...........................................................93 4.4 Valor absoluto....................................................................................100 4.5 Ecuaciones con valor absoluto...........................................................101 4.6 Inecuaciones con valor absoluto........................................................103 4.7 Prueba 3.............................................................................................116 4.8 Prueba optativa..................................................................................118

Bibliografa........................................................................................................................120

CAPTULO 1En este captulo se estudia conceptos bsicos de la geometra plana, aplicaciones, justificaciones de teoremas y corolarios, desarrollo de problemas y ejercicios resueltos, y pruebas de aos anteriores. Se tratan temas que son el inicio para problemas que son tratados y resueltos en los cursos posteriores de clculo , fsica, como el problema de la tangente a una curva, clculo de reas o en este mismo curso en los captulos siguientes como ngulos entre rectas.

1.1 Conceptos elementales en GeometraSon conceptos elementales (fundamentales) punto, recta, plano.

PuntoEs el primer objeto geomtrico, y origen de todos los dems. No tiene dimensiones. El Punto se representa por un pequeo crculo. Se nombran por una letra mayscula. Recta Una recta no tiene ni origen ni fin. Su longitud es infinita. Carece de ancho. Una recta se nombra por una letra minscula, o por dos letras maysculas que representan dos puntos de ella. l A Recta por AB Postulado 1. Dos puntos determinan una y solo una lnea recta B

Plano Un plano es una superficie uniforme distribuida con rectas que se cruzan sobre ella. Un plano se nombra con letras maysculas griegas.

Axiomas y postulados Actualmente son considerados sinnimos, corresponde a proposiciones aceptadas de comn acuerdo y que son el fundamento de todos los sigue en estudio, en este caso la Geometra , llamada geometra euclidiana en honor a Euclides, matemtico griego del ao 300 A.C. que desarroll la geometra, que estudiaremos, en el texto llamado Los Elementos Postulados relativos a la geometra: 1. Dos puntos determinan una y solo una recta. 2. Todo segmento puede prolongarse indefinidamente, estando sobre la misma recta. 3. Un crculo puede trazarse con cualquier centro y radio dados. 4. Todos los ngulos rectos son iguales. 5. Dados una recta k y un punto P fuera de ella, existe una y slo una recta m que pasa por P y es paralela a k. Axiomas, verdades generales, vlidos no slo en la geometra 1. Todos los objetos iguales a un mismo objeto iguales entre s. 2. Si objetos iguales se aaden a otros iguales, sumas son de iguales. 3. Si objetos iguales se restan a otros iguales, diferencias son de iguales. 4. Todas las figuras que pueden hacerse coincidir iguales. 5. El todo es mayor que cada una de sus partes. Teoremas Los teoremas son proposiciones verdaderas que pueden ser demostradas. Todo teorema consta de dos partes: hiptesis y tesis. La hiptesis consiste en el conjunto de los datos o supuesto del teorema y la tesis consiste en la proposicin que se pretende demostrar y es la consecuencia de hiptesis. La demostracin de un teorema consiste en una cadena de razonamientos lgicos que permite poner en evidencia la verdad de la proposicin. Definiciones Las definiciones son proposiciones que permite describir el significado de nuevos conceptos, utilizando trminos primitivos que se dejan sin definir. Ejemplos 1. Semi-recta o rayo. Es un subconjunto de la recta que tiene un origen, pero es infinito en el otro sentido. A Semi recta AB

son las las son

Semi recta BA recta A 2. Segmento. Es un subconjunto de la recta limitado en ambos extremos. A todo segmento se le asocia una medida numrica, llamada longitud una vez que se ha elegido la unidad de medida. A B Se nombra el segmento de recta AB, smbolo AB 3. Longitud del segmento es la distancia entre sus extremos A y B Resumen Nombre Recta AB o recta BA Semi-recta AB Semi-recta BA Segmento AB o BA A Figura A A B A B B B Smbolo l o ABABBA

o BA

AB o BA

1.2 ngulosEs la unin de dos semi-recta que tienen un punto extremo en comn. Las semirrectas se llaman lados y el punto comn, vrtice.

A

O

B

Los ngulos se denominan: 1) AOB , BOC o simplemente 2) Letras griegas minsculas O

Sistema de medicin de ngulos La medida de un ngulo est relacionada con la abertura que tienen los lados del ngulos. Para esto se considera la medida del ngulo en relacin al giro de un rayo en torno a un

punto, que es el vrtice del ngulo. Este giro se mide desde la posicin del rayo, cuando los dos lados coinciden, hasta la posicin final, cuando ambos lados vuelven a coincidir. El sistema de medicin para medir ngulos es el sistema sexagesimal grado ( ) . El ngulo de posicin inicial mide 0. Un giro completo mide 360 (ngulo completo) . Grado sexagesimal es la medida de un ngulo que equivale a la 360ava parte de un giro completo. Los submltiplos del grado son el minuto (') y el segundo (") 1 = 60' 1' = 60" la unidad es el

Clasificacin de los ngulos Segn su medida, un ngulo puede ser. a) ngulo agudo Su medida es menor que 90 A AOB < 90 , O B b) ngulo recto su medida es 90, es decir es la cuarta parte del ngulo completo. Se dice que sus lados son perpendiculares ( ). < 90

B

BOC = 90OB OC

O

C

c) ngulo obtuso su medida es mayor que 90 y menor que 180.

B O A

90 < BOA < 180

d) ngulo extendido su medida es 180

B

O

C BOC = 180

ngulos coplanares Dos o ms ngulos se llaman coplanares, si estn contenidos en el mismo plano. a) ngulos adyacentes: Dos ngulos son adyacentes si y slo si tienen en comn el vrtice y un lado. (Sus interiores no se intersectan).

B C A D BAC y CAD son adyacentes

b) ngulos complementarios: medidas es 90.

Dos ngulos son complementarios si la suma de sus

= 90y son ngulos complementarios

c) ngulos suplementarios: Dos ngulos son suplementarios si la suma de sus medidas es 180.

= 180-

y

son ngulos suplementarios

Bisectriz Bisectriz de un ngulo es el rayo que pasa por el vrtice y divide al ngulo, en dos ngulos de igual medida.

A

D

B El rayo BD es bisectriz del ABC

C

ngulos opuestos por el vrtice Definicin Dos ngulos son opuestos por el vrtices, si los lados de uno estn formados por la prolongacin de los lados del otro.

y y

son ngulos opuestos por el vrtice son ngulos opuestos por el vrtice

Teorema Los ngulos opuestos por el vrtice son iguales. O tambin Si

y

,

y

son ngulos opuestos por el vrtice, entonces

=

y

=

Justifique usted este teorema

Aplicaciones 1. Sea Calcule el complemento de los ngulos de 30, 45, 60 y 75.

el complemento del ngulo que mide 30, entonces 30 + = 90 = 90 - 30 = 60 El complemento de del ngulo que mide 30 es un ngulo que mide 60. 2. Calcule el suplemento de los ngulos de 120, 135, 150 y 165. Sea el suplemento del ngulo que mide 120, entonces 120 + = 180 - 120 = 60 = 180

El suplemento de del ngulo que mide 120 es un ngulo que mide 60.

Rectas paralelas Definicin Dos rectas l1 y l2 son paralelas si y solo si estn en un mismo plano y su interseccin es el conjunto vaco. l1 y l2 son paralelas, se simboliza por: l1 // l2 l1 l2

Postulado fundamental de la geometra euclidiana (Quinto postulado de Euclides) Por un punto exterior a una recta hay una y solo una paralela a la recta dada.

ngulos formados por una transversal a dos rectas dadas

1 3

2 4

6 5 7 8

Los ngulos que forman se llaman: a) ngulos correspondientes: 1 y 5, 3 y 7, 2 y 6, 4 y 8 b) ngulos alternos internos: 3 y 6, 4 y 5 c) ngulos alternos externos: 1y 8, 2 y 7.

El caso importante es el aquel en que las rectas son paralelas, cortadas por una transversal.

Teorema 1) Los ngulos correspondientes entre paralelas son de igual medida. 2) Los ngulos alternos internos entre paralelas son de igual medida. 3) Los ngulos alternos externos entre paralelas son de igual medida.

Ejercicios 1. m

n

recta paralelas cortadas por la transversal l, m y n son bisectrices. Calcular la medida del ngulo formado por m y n.

1.3 Tringulos Curvas y polgonosUna curva simple es la que puede dibujarse sin levantar el lpiz del papel y sin pasar dos veces por el mismo punto.

Curva simple

no es curva simple

Curva cerrada es aquella que tiene sus punto inicial y final localizado en el mismo lugar y tambin se dibuja sin levantar el lpiz del papel.

Curva cerrada

curva abierta

La curva cerrada divide al plano en dos regiones: regin interior limitada por la curva y la regin exterior ilimitada.

Exterior

interior

Una figura se dice convexa si para cualquier par de puntos A y B del interior el segmento AB est contenido en el interior de la figura.

Convexa

no convexa.

PolgonosUn polgono es una curva cerrada simple constituida por segmentos. Los segmentos se llaman lados , y los puntos en los que se encuentran los extremos de los segmentos son los vrtices . Los polgonos se clasifican segn el nmero de lados.

Nmero de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 Tringulos

Nombre Tringulo Cuadriltero Pentgono Hexgono Heptgono Octgono Enegono Decgono

Un tringulo es un polgono de tres lados.

C a

A

c

B

Vrtices: A, B, C Lados: ABc , BC a, , AC b

ngulos interiores: ngulos exteriores:

CAB= , , ,

ABC= ,

BCA=

Propiedades fundamentales de los tringulos TeoremaEn todo tringulo, la suma de los ngulos interiores es 180 + + = 180

Postulado 5 de Euclides. Dados una recta k y un punto P fuera de ella, existe una y slo una recta m que pasa por P y es paralela a k.

Error!

P

m

k

TeoremaEn todo tringulo, un ngulo exterior es igual a la suma de los ngulos interiores no adyacentes. Represente grficamente el teorema.

CorolarioLa suma de los ngulos exteriores de un tringulo, es 360. Escriba el enunciado en forma matemtica.

TeoremaEn todo tringulo, la suma de dos lados es mayor que el tercer lado. Intente justificar este teorema.

Clasificacin de los tringulos(Realice todos los grficos) Segn sus ngulos 1. Acutngulo. 3 ngulos agudos. 2. Rectngulo. 1 ngulo recto. El lado mayor se llama hipotenusa, y los otros catetos.

3. Obtusngulo. 1 ngulo Obtuso.

Segn sus lados 1. Equiltero. Tres lados iguales. ngulos de 60

2. Issceles. 2 lados y dos ngulos iguales. El lado desigual se llama base.

3. Escaleno tres lados distintos

Elementos secundarios del tringulo. 1. Rectas y segmentos:

Alturas, Bisectrices, transversales de gravedad, simetrales (mediatrices), medianas. 2. Puntos: Ortocentro, incentro, centro de gravedad (baricentro), circuncentro. Altura: Es la recta que pasa por el vrtice y es perpendicular al lado opuesto. Las tres alturas de un tringulo se denota ha, hb, y hc. Propiedad Las tres alturas se interceptan en un nico punto, llamado Ortocentro.

Bisectriz: Es la recta que pasa por un vrtice y divide al ngulo interior, en dos ngulos congruentes. Las tres bisectrices interiores de un tringulo se denotan b , b y b

Propiedad Las tres Bisectrices se interceptan en un mismo punto llamado incentro , que equidista de los tres lados del tringulo.

Transversal de gravedad: Es el segmento cuyos extremos son el vrtice y el punto medio del lado opuesto a dicho vrtice. Las transversales de gravedad de un tringulo se denotan ta, tb y tc subndice indica el lado al que llegan.

Propiedad

Las transversales de gravedad se interceptan en un mismo punto llamado centro de gravedad o baricentro. Simetrales (mediatrices): Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del tringulo. Las simetrales se designan por Sa, Sb y Sc el subndice indica a que lado son perpendicular. Propiedad 1. Las tres simetrales se interceptan en un mismo punto llamado circuncentro que equidista de los tres vrtices del tringulo.

Mediana: es el segmento que une los puntos medios de dos lados de un tringulo. Las medianas de un tringulo se denotan por ma, mb y mc el subndice corresponde al vrtice opuesto.

Propiedades 1. Todo tringulo tiene tres medianas. 2. Cada mediana es paralela al tercer lado. 3. Cada mediana mide la mitad de la longitud del lado al cual es paralela..

Problemas 1. Puede existir un tringulo equiltero rectngulo? Y un tringulo rectngulo que sea issceles? Existir un tringulo obtusngulo issceles? Podr existir un tringulo acutngulo que sea tambin equiltero? 2. En un jardn tenemos tres rboles frutales, y queremos plantar otro que est a la misma distancia de los otros tres. Haga un dibujo que represente esta situacin, y encuentra con regla y comps, el punto donde plantar el cuarto rbol. Cmo se llama este punto?

3. Dos de los lados de un tringulo miden 5 cm cada uno, y forman un ngulo de 90. Cunto miden los otros dos ngulos?

Ejercicios resueltos # 1 1. Un ngulo de x grado tiene la propiedad de que su complemento es igual a suplemento. Cunto mide x? Solucin Si el ngulo es x Su complemento es 90-x Su suplemento es 180-x1 de l suplemento: 6 1 de su 6

Propiedad, complemento es igual a 90-x =

1 180 x , se simplifican las unidades 6 6(90-x) = 180-x

540-6x = 180-x 540-180 = 6x-x 5x=360x 360 5

x = 72 El ngulo pedido mide 72. 2. En la figura siguiente, OC es la bisectriz del ngulo BOD, y se sabe que el ngulo AOB mide 60 y que el ngulo DOE mide 80. Cul es la medida del a) ngulo BOD? b) ngulo BOC? c) ngulo COE? d) ngulo DOA? C DE O

BA

Solucin DOC = a) BOC , porque OC bisectriz de DOB EOD + 2 DOC + BOA = 180 , porque E, A, O son colineales

80 + 2 DOC + 60 =180 2 DOC = 180-140

pero b) c) d)

2 DOC =

BOD = 40

BOC = 20, consecuencia de parte a) COE = DOA = EOD + BOD + DOC = 80 + 20=100 BOA = 40 + 60 = 100MP . Si MT T

4. En el tringulo MPT, TS

TP . Determine la medida del ngulo x.

x 3 M SolucinTS MP ., entonces

S

P

MST =

TSP = 3 = 90,

entonces y luego

= 30 TMS = TPS , porque MTTP

TMS = 90- = 60 =30

finalmente x =

5. En la figura MN // RQ , NO // PR , MO // PQ , encuentre la medida de x O R M SolucinNO // PR , transversal MO , entonces x = ROQ ngulos correspondientes. MO // PQ , transversal ON , entonces x = ROQ = PQN ngulos correspondientes. MN // RQ , transversal PQ , entonces RQP = QPN =60 son ngulos alternos internos. Dado que QPN + 40 + PQN = 180Q40

x

60

P

N

60 + 40 + Entonces

PQN = 180 PQN = 80

Por lo tanto ngulo x mide 80

1.4 CuadrilterosDefinicin Un cuadriltero es un polgono de cuatro lados. Por lo tanto tiene cuatro ngulos interiores.

C D

A

B

Notacin Vrtices: A, B, C y D Lados: AB , BD , DC y CA Diagonales: AD y BC ngulos interiores: ngulos exteriores: CAB, , , ABD, y . BDC y DCA

Propiedades de los cuadrilterosTeorema En todo cuadriltero la suma de los ngulos interiores es 360. Represente grficamente el teorema y justifquelo.

Teorema En todo cuadriltero la suma de los ngulos exteriores es 360.

Tarea

Clasificacin de los cuadrilterosSegn el paralelismo existente entre sus lados opuestos, se clasifican en: a) Paralelogramos, b) trapecios y c) trapezoides. a) Paralelogramos Son cuadrilteros que tienen dos pares de lados opuestos paralelos. Cuadrado, rectngulo, rombo y romboide. Cuadrado Paralelogramo de ngulos interiores de 90 y cuatro lados congruentes.

Rectngulo Paralelogramo de ngulos interiores de 90 y sus lados adyacentes distintos.

Rombo Paralelogramo de cuatro lados congruentes.

Romboide Paralelogramo de lados adyacentes distintos.

b) TrapeciosCuadrilteros de solo dos lados paralelos, llamados bases.

Trapecio escalenoSus lados no paralelos son distintos.

Trapecio isscelesSus lados no paralelos son con congruentes.

Trapecio rectnguloUn lado no paralelo es perpendicular a las bases.

c) Trapezoide Cuadrilteros que no tienen lados paralelos. Trapezoide asimtrico

Trapezoide simtrico o deltoide.

Propiedades generales de los paralelogramosEn todos los paralelogramos 1. 2. 3. 4. Los ngulos opuestos tienen igual medida. Los ngulos consecutivos son suplementarios. Los lados opuestos son de igual medida. Las diagonales, se dimidian mutuamente.

En todos los cuadrados y rombos 1. Las diagonales son bisectrices de los ngulos interiores. 2. Las diagonales son perpendiculares. En todos los cuadrados y rectngulos 1. Las diagonales son de igual medida.

Propiedades de trapecios especiales

Trapecio issceles 1. Un trapecio es issceles si y solo si sus ngulos basales son iguales.

2. Las diagonales son de igual medida. Definicin La mediana de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos. La longitud de la mediana es igual a la semi suma de las longitudes de las bases.

Ejercicios resueltos # 2 3. En la figura, ABC equiltero y BDEC un paralelogramo de lados iguales, determine el valor de: x + y C E y

x+40 A Solucin ABC equiltero, entonces ABC=60 Luego 60 + x + 40 = 180 , entonces x =80 BDC = BCD , porque BDC issceles y BD DBC = 80 + 40 = 120, luegoBC

B

D

BDC = BCD = 30

BCD = y = 30 , porque CD es bisectriz de BCE Por lo tanto x + y = 30 + 80 = 110 El valor de x + y es 110 4. En la figura siguiente, ABCD es un rombo, BAD = 40, encuentre la medida de x D x 90 E 90 A Solucin Si Y B C

BAD = 40, entonces DAC = 20, porque AC es bisectriz de BAD

ACD = DAC = 20 en DEC, ECD mide 40, por ser ngulo opuesto a BAD en un

Sea DE BC paralelogramo.

EDC = 180- ECD - DEC = 180- 40- 90 = 50 Ahora x = 180- ACD- EDC = 180-20-50 = 110 El ngulo x =110

5. Cunto mide el ngulo x?

x

90 90 90 150 Solucin Se definen los puntos A, B, C, D, E F, G, segn el grfico A x B

90 F D 90 90 G 150 C E

B, F, D puntos colineales y D, G, C puntos colineales DCB = 30 , por ser el suplemento de ECB = 150 BDC = 90 Dado que x es ngulo exterior de BDC, entonces X = 90 + 30 = 120 El ngulo x mide 120 4. En la figura ABCD es un trapezoide, determine la medida del ngulo x. D30

C

110

B Solucin La suma de los ngulos exteriores de un paralelogramo es 360 El ngulo exterior a ABC =50, mide 130, por lo tanto 30 + 110 + 130 + x = 360 270 + x = 360 x = 90 , el ngulo x mide 90

x A

50

1.5 CircunferenciaDefinicin Dado un punto O y una distancia r, la circunferencia de centro O y radio r, es el conjunto de puntos del plano y solo ellos, que estn a la distancia r del punto O. La circunferencia de centro O y radio r se designa por C(O, r).

O

r

Elementos de la circunferenciaAdems del centro y el radio, distinguen: 1. Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. EF 2. Dimetro (d) : es la cuerda que pasa por el centro. Mide dos radios. AB 3. Arco: es una porcin de circunferencia comprendida entre dos puntos. Arco EF se designa EF 4. Secante: es la recta que intercepta ala circunferencia en dos puntos. L1 5. Tangente: es la recta que intercepta a la circunferencia en un solo punto. Este punto se llama punto de tangencia. L2 L2 T

A

B F

E L1

ngulos en la circunferencia1. ngulo del centro (central) Es el ngulo cuyo vrtice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios A O B

AOB , ngulo del centro 2. ngulo inscrito Es el ngulo cuyo vrtice est en la circunferencia y sus lados son cuerdas (secantes) A ABC , ngulo inscrito B C

1. ngulo interior Es el ngulo formado por dos cuerdas

2. ngulo exterior Es el ngulo formado por dos secantes, o por dos tangentes, o por una secante y una tangente.

3. ngulo seminscrito Es el ngulo formado por una tangente y una cuerda.

Propiedades Angulares Medida angular del arco Definicin La medida de un arco (de circunferencia) es la medida, expresada en grados sexagesimales, del ngulo del centro que subtiende dicho arco. A

O

B

Medida angular de AB = m AOB

Medida del ngulo del centroEl ngulo del centro de una circunferencia tiene igual medida, en grados sexagesimales, que el arco correspondiente y recprocamente.

Medida del ngulo inscrito

C O A

B

BCA inscrito y subscribe el mismo arco que BOA del centro, se observa que los ngulos no son de igual medida, qu relacin existe entre estos ngulos? Se traza el dimetro que pasa por los puntos O y C, se determina el punto D

C O 2

B

2

D

A ngulo del centro AOB = BOD + DOA ngulo inscrito Por otra parte, Entonces ACB = ACO + BCO AOC y BOC son issceles, OA yOC OB

( son radios)

CAO = ACO = OCB = OBC =

BOD es ngulo exterior del por lo cual BOD =2

BOC

DOA es ngulo exterior de AOC por lo cual finalmente AOB = BOD + DOA =2 + 2 =2 ( + ) =2 ( ACO + OBC)= 2 ACB AOB =2 ACB o tambin ACB= lo cual permite enunciar el siguiente1 2

DOA =2

AOB

TeoremaEl ngulo inscrito en una circunferencia tiene por medida la mitad del ngulo del centro que subtiende el mismo arco. Corolarios En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes: 1. A ngulos del centro de igual medida corresponden arcos de igual medida y recprocamente. A C D AOB, DOC ngulos del centro, AOB = DOC , opuestos por el vrtice, por lo tanto AB = CD O B

2. A ngulos inscritos de igual medida corresponden arcos de igual y recprocamente. 3. Todos los ngulos inscritos en un mismo arco, son de igual medida 4. Todo ngulo inscrito en una semi circunferencia es recto. D C E

A

O

B

ABO ngulo extendido que determina AB y los ngulos ACB, ADB, AEB subtienden el mismo arco, por lo tanto miden 90. 5. Los ngulos opuesto de un cuadriltero inscritos en una circunferencia son suplementarios. D C A + = + =180 Medida del ngulo interior A P O D B B

C

CPD

COD 2

AOB

CAD = CD/2 , ACB = AB/2 , CPD exterior CPD = (CD + AB)/2

ACP por lo tanto

TeoremaLa medida de un ngulo interior de una circunferencia es igual a la semi suma de los arcos que intersecta en la circunferencia dicho ngulo.

Medida del ngulo exteriorLa medida de un ngulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los ngulos centrales comprendidos entre sus lados.

ACBEscriba el ngulo exterior usando arcos.

AOB 2

EOD

Medida del ngulo seminscritoLa medida del ngulo seminscrito es igual a la mitad del arco comprendido entre los lados del ngulo.

Escriba la expresin matemtica de este enunciado.

Propiedades de los elementos de la circunferencia TeoremaTodo dimetro perpendicular a una cuerda divide el ngulo y el arco en dos partes congruentes. Todo dimetro perpendicular a una cuerda es simetral a esta y bisectriz del ngulo del centro comprendido entre los extremos de la cuerda.

TeoremaLa tangente a una circunferencia es perpendicular al radio en el punto de contacto.

TeoremaDos rectas paralelas intersectan en una circunferencia arcos congruentes. B D A

CAB // CD

AC

BD

TeoremaEn una circunferencia, cuerdas congruentes equidistan del Centro.

TeoremaDos cuerdas congruentes, equidistan del centro.

TeoremaLa simetral de toda cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Ejercicios resueltos # 3 1. Determine los valores de x e y segn el siguiente diagrama, sabiendo que BC es bisectriz de DBO y que DBO = OAD D C

y B

O112

x A

Solucin BDA y Por lo tanto BCA subtienden el mismo arco que el ngulo central BOA, BDA = BCA =56

ngulo y = CBO , BC bisectriz de DBO OAD = x =2y Consideremos los tringulos BOD , respectivamente, entonces DBO = ODB = 2y y pero OAD = ADO = x = 2y, AOD los dos son issceles de bases BD , AD

ODB + ADO = BDA = 56 = 2y + 2y y = 14

4y =56

por lo tanto y = 14 , x = 28. 2. En la figura PT es recta tangente calcule el valor de x + y z

z 35 Q y x O T

P

Solucin OQP = 35 por ser opuesto por el vrtice QPO issceles base PQ , entonces PT recta tangente, OP dimetro, luego OQP = 35 = QPO

OPT = 90

Entonces y = 90 + 35 = 125 ngulo x es ngulo exterior de QOP, entonces x= 70 E l ngulo z es ngulo inscrito que subtiende el mismo arco que QOP = 110 Por lo cual z = 55 Entonces x + y z = 70 + 125 - 55 = 140 3. En la figura, ABC es equiltero, rectas DA y DC son tangentes, determine el valor de x CD

xO

A Solucin

B

ABC equiltero, cada lado determine un ngulo del centro de 120 , el arco AC mide 120, los ngulos semi inscritos DCA y por lo tanto ADC es equiltero y ngulo x mide 60. 4. En la figura las Rectas PB y PD son secantes a la circunferencia de centreo O. Si se trazan las cuerdas BC y AD , con los datos indicados Cunto mide BCP? D 25 O B Solucin ABC subtiende el mismo arco que ADC , por lo tanto ABC =25, entonces BCP = 180 - 25 - 40 = 115. A C 40 P DAC miden cada uno 60,

La medida de es BCP = 115

1.6 Permetros y reasPermetro: es la medida del contorno de una figura. Superficie (plana): es el conjunto de puntos del plano encerrados por una figura geomtrica plana. rea: es la medida de una superficie. Represente los elementos de las figuras en los dibujos respectivos Figura y sus elementos Cuadrado Lado: a Representacin Permetro 4a rea a2

Tringulo Lados: a, b, c Altura: ha, hb, hc

a+b+c

aha 2

c Rectngulo Lados: a, b 2a + 2b ab

Paralelogramo Lados: a, b Altura: h

2a + 2b

ah

Rombo Lado: a Diagonales: e, f

4a

ef 2

Trapecio Bases: a, c Lados: b, d Altura: h Crculo Radio: r

a+b+c+d

a ch 2

2r

r2

Tarea: Averiguar las frmulas para un polgono regular de n lados. Teorema de Pitgoras Un tringulo es rectngulo si y solo si el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

ABC rectngulo en C si y solo si c2 = a2 + b2 Problema Con el cuadrado cuyos lado mide a + b, demuestre el Teorema de Pitgoras a b

b

c

c

a

a b

c

c a

b

4

ab ( a b) 2 2

c2

2ab + a2 - 2ab + b2 = c2 c2 = a2 + b2

Corolarios1. La diagonal de un cuadrado de lado a, es a 2 . aa 2

a

2 La altura de un tringulo equiltero de lado a es h

a 3 2

h

a 3 2

a

Ejercicios1. Calcular el rea de un rectngulo 12 cm de largo y diagonal de 13 c. 2. Si el lado de un cuadrado aumenta al doble, qu pasa con su rea? 3. Se aumenta la base de un tringulo al doble y al altura permanece constante, qu sucede con el rea? 4. Si el permetro de un cuadrado se duplica, entonces su rea: 5. Si el radio de una circunferencia se duplica, qu pasa con su permetro? 6. A la circunferencia de la figura se le inscribi y circunscribi un cuadrado. Si se sabe que el rea del cuadrado inscrito es 4 cm2, qu rea tiene el cuadrado mayor. 7. Una escalera de 6 pies de longitud se coloca contra una pared con la base a 2 pies de la pared A qu altura del suelo est la parte ms alta de la escalera?

Ejercicios resueltos # 4 1. Sobre los lados del cuadrado ABCD de lado 4 cm de la fig, se han construido cuatro semicircunferencias. Cul es el rea sombreada?

Solucin Cada semicircunferencia tiene dimetro 4, es decir radio 2 y por lo tanto tiene rea 2 2 2 cm2 2 El rea de las cuatro semicircunferencias es 8 cm2

A este valor hay que restar: el rea comprendida entre la circunferencia de dimetro AC y el cuadrado ABCD de lado 4 rea del cuadrado ABCD: 16 cm2 La circunferencia tiene dimetro AC , que es hipotenusa de ABC, issceles, rectngulo en B,AB BC 4,2

segn Teorema de Pitgoras AC

42

42

32 cm2

AC

4 2 cm

luego el radio de la circunferencia es 2 2 cm El rea de la circunferencia es 2 22

8 cm 2

El rea comprendida entre la circunferencia de dimetro AC y el cuadrado ABCD de lado 4 es:8 cm 2 16 cm 2

El rea pedida es 8 cm2 ( 8 cm 2 16 cm 2 ) = 16 cm2 2. En la figura. ABCD: cuadrado. AE 2 EB ; BM MC . Si el rea del 5 cm2 . Cul es el rea de la zona NO sombreada del cuadrado? EBM es

Solucin Dado que BM MC , sea N el punto media de AD , forma dos rectngulos congruentes, ABMN y NMCD. Se determina el punto F en MN de modo que EF // BM , D C F N M

A

E

B

El rectngulo EBMF tiene el doble de rea que EBM = 5 cm2 rea de rectngulo EBMF es 10 cm2

El rectngulo AEFN tiene lados EF rea de rectngulo AEFN es 20 cm2

BM , AE

2 EB

El rea del rectngulo NMCD es 30 cm2 El rea del rectngulo ABCD es 60 cm2 El rea de la regin No achurada es 60 cm2-5cm2 =55 cm2

3. Calcule el rea de las figuras achuradas a) 21m 29 m 20 cm 41 m a) Solucin 21 m h 41 m La altura del trapecio es h, aplicando Teorema de Pitgoras, 29 m 20 m 8 cm 8 cm b)

h

292

202

841 400

441 21

El rea del trapecio es la semi suma de las base por la altura:(41 21)21 2 62 * 21 2 31* 21 651cm 2

( Tambin puede ser el rea del cuadrado ms el rea del tringulo) b) Solucin La regin pedida es simtrica respecto de la diagonal del cuadrado ABCD , D C

20 cm F

A

E

12 cm B

Sean E y F puntos tales que AE EBC rectngulo en B de rea es

8 cm y AF

8 cm

20 *12 2

120 cm2

FCD rectngulo en D de rea 120 cm2 rea del cuadrado ABCD es 20*20 = 400 cm2 rea pedida es 400 cm2 240 cm2 = 160 cm2

4. Un poste vertical de 6 metros de alto, proyecta una sombra de 4 metros. Cul es la altura de un rbol que a la misma hora, proyecta una sombra de 1,8 metros ?

Solucin SOL

C

F poste 6m 90 A sombra 4 m ABC ~ DEF, porque CAB = DFE = 90,CA FD AB DE

rbol xm B 90 D sombra 1,8 m E

ACD = DFE, entonces

reemplazando los valoresx 6 *1,8 4 x 2,7

6 4

x 1,8

por lo tanto la altura del rbol es 2,7 m

5. ABCD rectngulo BAC = 30. Si AC es una semicircunferencia de radio 3cm, Calcule el rea de la superficie achurada.

D

C

30 A B

AC

6cm , sea M = AC

BD

DAM = 60 es el complemento de BAC = 30 AMD es equiltero de lado 3 cm Luego rea del AMD es3 3 2

rea de la semicircunferencia es:

9 2

rea del sector circular, de arco AD es Rectngulo de lados 3 y rea ACD es:9 3 236 9

1 9 3 23 3

3 2

27

1.7 Proporcionalidad y semejanzaDefinicin Se llama razn entre dos segmentos AB y CD a la razn (cuociente) entre las medidas de dichos segmentos expresadas en las mismas unidades de longitud. a) Si la razn entre los segmentos es un nmero racional, los segmentos se dicen conmensurables. b) Si la razn entre los segmentos es un nmero irracional, los segmentos se dicen inconmensurables. Ejemplos a) La razn entre el lado de un cuadrado y su permetro.a 1 4a 4 b) La razn entre el permetro de una circunferencia y su dimetro. Consideremos una circunferencia de radio r, su permetro (longitud) es 2 r, la razn es 2 r . 2r c) La razn entre la altura de un tringulo equiltero y su lado. 3 a 3 3 2 Consideremos un tringulo equiltero de lado a, su altura es a , la razn es 2 a 2

Consideremos un cuadrado de lado a, su permetro es 4a, la razn es

Proporciones Definicin Se llama proporcin a la igualdad de dos razones. Si las razonesa a c y son iguales, b b d a, b, c y d son proporcionales. c es una proporcin, y se dice que las cantidades d

a c , tambin se escribe a : b c : d . En ambos casos se lee: a es a b b d como c es a d. Las cantidades a y d, se llaman extremos y las cantidades b y c son los medios.La proporcin

Teorema En toda proporcin, el producto de los medios es igual al producto de los extremos.

a b

c d

bc

ad , con b

0 y d

0

Semejanza Definicin Dos polgono de igual nmero de lados son semejantes si y solo si sus ngulos correspondientes son de igual medida y sus lados correspondientes son proporcionales. Ejemplos: 1. Todos los cuadrados son semejantes (ngulos iguales y lados proporcionales). 2. Todas las circunferencias son semejantes. Definicin de escala: el concepto de escala es equivalente al de razn de semejanza, es la razn mtrica entre un plano o maqueta y aquello a lo que representa. La notacin usual en los mapas es la siguiente 1:1000 que significa que 1cm en el mapa es en realidad 1000cm = 10m. Es equivalente a una razn de semejanza k = 1000.

Semejanza de tringulos Definicin Dos tringulos son semejantes si y solo si existe una correspondencia biunvoca entre sus vrtices, de modo que: a) sus ngulos correspondientes, son de igual medida. b) La razn entre las longitudes de los pares de lados correspondientes es constante. A D

B

C E F

ABC ~ DEF

= ,

= , =

y

AB DE

BC EF

CA FD

Criterios de semejanza de tringulosTeorema (AA) Si dos tringulos tienen un par de ngulos iguales, entonces son semejantes. D C A B E ABC, EDF = , = ABC ~ EDF F

Teorema (LAL) Si dos tringulos tienen dos lados respectivamente proporcionales y los ngulos comprendidos entre estos, son de igual medida C D

A

B

E ABC, EDF,AC ED AB y EF

F ABC ~ EDF

CAB = DEF

Teorema (LLL) Si dos tringulos tienen sus lados respectivamente proporcionales, entonces son semejantes. AC AB BC ABC, EDF, ABC ~ EDF ED EF FE Si dos tringulos son semejantes, entonces sus permetros y las medidas de sus elementos secundarios son proporcionales. Ejercicio. La razn entre sus reas es el cuadrado de la razn de semejanza.

Teorema de ThalesSi dos rectas se cortan por tres o ms rectas paralelas, los segmentos determinados en una rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra recta. C B A l

r D E F

Dos rectas l y r cortadas por las rectas paralelas AD, BE, CF , entonces Demostracin D E B A B

AB DE

BC EF

F

C

C

Por D se traza una paralela a la recta r , determinndose los puntos B, C , entoncesDB' AB , B' C 'BC ,

EBD = EBA,

FCB = FCB

En FCD y EBD , se tiene DEB = DFC y EBD = FCD por ser correspondiente entre paralelas EBDAC AB DF DE AC AB

y Teorema AA FCD ~ por lo tanto 1)DF DE DC ' DB '

DE AB EF BC Teorema particular de Thales Toda paralela a un lado de un tringulo y que intercepte a los otros dos, determina en ellos segmentos proporcionales.

2)

C

M

N

A En ABC, MN // AB , entonces 1)CA CM CA MA CM MA CB CN CB NB CN NB AB MN

B

2) 3)

D A

C

E BAB // DE , BAC = DEC, ABC = EDC son alternos internos entre paralelas ACB = ECD son opuestos por el vrtice, por lo tanto ABC ~ EDC, entoncesAB ED BC DC CA CE

Proporciones en el tringulo rectngulo Teorema En todo tringulo rectngulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al tringulo en otros dos tringulos que son semejantes entre s y tambin semejantes al tringulo original. C

b A q

hc D c

a B p

ABC rectngulo en C , se tiene que CD

AB = hc , AD

q y DB

p , entonces

ABC ~ ACD ~ CBD

Teorema de Euclides En todo tringulo rectngulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional geomtrica entre las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. hc q hc2 pq p hc Proporciones en la circunferencia Teorema de las cuerdas Si dos cuerdas se cortan en el interior de la circunferencia, el producto de los segmentos determinados en cada una de ellas, por el punto de interseccin, es constante. B D P

A CAP PB CP PD

Teorema de las secantes Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos secantes a ella, el producto de cada secante entera, por su segmento exterior es constante. D C P A BPA PB PC PD

Teorema de la tangente y de la secante Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan una tangente y una secante, la tangente es media proporcional geomtrica entre la secante entera y su segmento exterior. T

P

A BPT2

PA PB

Ejercicios 1. ABCD es un paralelogramo. Encuentre las siguientes razones E 3 D 4 C B F A

a) rea( DEF) : rea( CEB) ; b) rea ( ABF) : rea( DEF) 2. En el mismo instante en que una persona de 1,8 m proyecta una sombra de 2,4 m de largo, en una plataforma de lanzamiento cercana, un cohete proyecta una sombra de 48 m de largo. Determine la altura del cohete,

3. Una persona camina 7 Km hacia al norte, despus 3 Km hacia al este y, luego, 3 Km hacia al sur. A qu distancia est del punto de partida? 4. La longitud de la hipotenusa de un tringulo rectngulo es 51 y la longitud de un cateto es 24. Calcule el rea del tringulo. 5. ABC rectngulo en C , b=12 cm, a=5 cm, c=13 cm, calcule hc. 6. Segn la figura, determine el valor de x A 15 x D 90 16 C B

7. En la figura adjunta, AE y BD son cuerdas que se cortan en P tales que AP 3 cm, PE 4 cm y DP : PB 3 : 1 , calcule DB . D

A

P

E

B

1.8 Universidad de TarapacIngeniera Introduccin al Clculo Resolucin de Prueba # 1 29 de Abril de 2009

1.

Cul es la longitud de BC en la figura

Solucin ABC, DBC rectngulos en B, a ambos se aplica teorema de Pitgoras, respectivamente.

AC

2

AB

2

BC

2

BC

2

AC2

2

AB

2

reemplazando los valores, BCDC2

3022

(9x) 22

900 81x 2

DB

2

BC

2

BC

2

CD2

DB

reemplazando los valores, BC igualando los valores para BC 900 - 81x2 = 676 25x2BC2

262

(5x) 2

676 25x 2

2

56x2 = 224576

x2 = 4

x=2

676

25 x 2

676 100

BC

576

24

luego BC

24

2.

De acuerdo a la figura adjunta, determine la longitud de DB C

15 cm B D 9 cm A

Solucin Se calcula la longitud de CD en el Pitgoras

DAC rectngulo en D, por teorema de

CD

AC

2

AD

2

225 81

144 12

CD es la altura correspondiente a la hipotenusa en el BAC rectngulo en C, por

teorema de EuclidesCD2

BD * DA 16 cm

144

BD * 9

BD

16

luego DB

3. Una torre de dos piso proyecta una sombra de 20 metros; si el primer piso tiene una altura de 15 m y el segundo piso una altura de 10 m. Cunto mide la sombra proyectada por el segundo piso?

Solucin Haciendo un diagrama del problema E 10 m D 15 m C10 m el segundo

A Sean AC la sombra, AC

B

20 m 20 m , CD 15 m el primer piso, DE

piso, AB x sombra del segundo piso. AE // BD son las lneas que producen las sombras, y se cumple el Teorema de ThalesAC AB CE 20 reemplazando x DE

25 10

x

20 *10 25

8

por lo tanto la sombra proyectada por el segundo piso es 8 m.

4. Calcule el rea del tringulo curvilneo comprendido entre tres circunferencias tangentes y cuyo radio mide 5 cm.

Solucin Sea A, B, y C los centros de las circunferencias, entonces ABC es equiltero de lado 10 cm y su altura es rea de ABC es10 3 =5 3 2

10 * 5 3 25 3 cm 2 2 a este nmero hay que restar, el triple del rea del sector circular de radio 5 y ngulo central

de 60. El rea de una de estas circunferencias es 25 cm2 . El ngulo central del sector circular es 60, es decir25 3 3 25 6

60 360

1 25 , entonces el rea del sector circular es 6 625 2 25 3 2 cm 2 = 4,05 cm2.

cm2 El rea pedida es:

25 3

CAPITULO 2 TRIGONOMETRAEs el estudio de las relaciones entre los lados y los ngulos de un tringulo. Esto se realiza a travs de las llamadas razones trigonomtricas para los ngulos. Trigonometra es una palabra de origen griego, trgono que significa tringulo y metron, medida, es decir, la trigonometra corresponde a "medida de tringulos". 2.1 Medicin de ngulos a) Sistema sexagesimal, ya conocido. b) El radin

El radinSe define radin, como el arco de circunferencia que mide lo mismo que el radio. A B O

El ngulo es un radin, porque la longitud del AB OA Si un ngulo central subtiende un arco de circunferencia que es la mitad de la longitud del 1 radio de la respectiva circunferencia, entonces el ngulo mide 0,5 (radianes) o , o medio 2 radin. El radin es un nmero real. Debido a la proporcionalidad de la circunferencia y el radio, el ngulo medido en radianes es independiente de la circunferencia elegida, es decir, el radin est bien definido.

Equivalencia entre las medidas sexagesimales y radianes 360 corresponde a 2 radianes, o bien: 180 corresponde a radianes360 2 medida en grados medida en radianes medida en grados medida en radianes

o bien180

esta proporcin permite relacionar grados con radianes Ejercicios 1. Exprese en radianes los ngulos: a) 45, b) 30, c) 105, d) 22 30', e) 18

2. Exprese en grados sexagesimales la medida de los siguientes ngulos (en radianes) a) 3 /4, b) 7 /45, c) 5 /27, d) 5 /24, e) 0,3927, f) 1

3. En una circunferencia de 16 m de radio, un arco mide 2 m. Hallar su ngulo central correspondiente en grados sexagesimales y en radianes. 4. Cuntos radianes mide el ngulo central de un decgono regular? Y de un pentgono? 5. Exprese en radianes los siguientes ngulos: a) 30, b) 72, c) 90, d) 127, e) 200, f ) 300 Exprese el resultado en funcin de y luego en forma decimal. 6. Pase a grados los siguientes ngulos:

5 rad, e) 3,5 rad, f ) rad 6 5 7. Complete la siguiente tabla de cada uno de los ngulos.a) 2 rad, b) 0,83 rad, c) rad, d)Grados 0 Radianes 30 60 90 135 150 210 225 270

4

2 3

4 3

Grados Radianes

3305 3 7 4

360

2.2 Razones trigonomtricas en el tringulo rectngulo Consideremos el tringulo ABC, rectngulo en C, de la figura y trabajemos con los ngulos y de l.

seno de coseno de

sen =

cateto opuesto hipotenusa

a c b ca b

cos =

cateto adyacente hipotenusacateto opuesto cateto adyacente

tangente de

tan =

cotangente de

cot = sec =

cateto adyacente cateto opuestoc b c a

b a

secante de

hipotenusa cateto adyacente hipotenusa cateto opuesto

cosecante de

csc =

Del mismo modo, para el ngulo seno de sen =b c

coseno dea b

cos =

a c

tangente dec a

tan =

b a c b

cotangente de

cot =

secante de

sec =

cosecante de

csc =

Dependen los valores de las razones trigonomtricas definidas de las medidas del tringulo? E B

A C Observando las definiciones se puede destacar que: 1. a) tansen cos

D

, b) sec

1 cos

, c) csc

1 sen

, e) cotan

1 tan

2. a) sen d) cot

cos = tg

b) cos e) sec

= sen = cosec

c) tan f) cosec

= cot = sec

3. Y dado que Entonces a) sen d) cot = 90 -

= 90 , ABC rectngulo en C, , que al reemplazarlo en las igualdades anteriores se obtiene: b) cos e) sec = sen (90 = cosec (90 c) tg f) cosec = cot (90 = sec (90 -

cos (90 = tg (90 -

4. Las razones trigonomtricas seno y coseno son nmeros menores que 1 y mayores que cero, porque en un tringulo rectngulo los catetos son menores que la hipotenusa. (Hasta el momento) Si es un ngulo agudo, entonces 0 < sen