matemática universitaria conceptos y aplicaciones generales volumen 2

MATEMTICA UNIVERSITARIA: Conceptos y Aplicaciones Generales Volumen 2 (1 edicin revisada)

Ana Patricia Ramrez V. Juan Carlos Crdenas A.

(Mayo 2012)

Contenido temtico:

1. Matrices Definicin y operaciones bsicas Determinantes Sist. de ecuaciones: Mtodo de Cramer Sist. de ecuaciones: Mtodos de Gauss Matriz Inversa y Sist. de ecuaciones

2. Funcin Exponencial y Logartmica

Definiciones Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales Ecuaciones logartmicas Desigualdades no-lineales Inters compuesto: aplicacin

3. Funciones trigonomtricas

Conceptos bsicos Razones trigonomtricas Tringulos rectngulos Aplicacin de los tringulos rectngulos Identidades trigonomtricas Crculo trigonomtrico Ecuaciones trigonomtricas

4. Introduccin al Clculo

Interpretacin de lmites en grficas Interpretacin de lmites en forma analtica

Prefacio al estudiante He aqu algunas sugerencias para iniciar este curso y terminarlo con xito:

Lea el material antes de cada clase. Si usted conoce de la materia que se ver en clase y lo que contiene el libro, podr ocupar ms tiempo en escuchar y comprender la exposicin del profesor.

Despus de la clase reescriba sus notas mientras vuelve a leer el tema tratado, remarcando los conceptos adicionales que parezcan tiles. Resuelva los ejercicios asignados cada leccin.

Si algo le confunde es aconsejable que consulte a su profesor antes de atrasarse. En ese caso lleve sus tentativas de solucin a los ejercicios para que el profesor ubique con claridad sus puntos problemticos.

Trate de cumplir estas 5 Reglas de Oro: 1. NO SE ATRASE! El curso es muy rpido y recuperar el tiempo perdido resulta muy

difcil. 2. NO FALTE A CLASES! Para cumplir con el punto anterior no falte a la clase, la

mayora de los temas tienen relacin con el anterior. Al faltar, puede que usted se sienta perdido y desmotivado, y tal vez hasta necesite recurrir a un tutor externo.

3. RESUELVA MUCHOS PROBLEMAS! Todo necesita prctica y los problemas le ayudarn a descubrir los puntos que an no tiene claros. Para ayudarlo con este punto su profesor le asignar ejercicios semanales de tarea. Hgalos a conciencia y varias veces si es necesario.

4. EVALUACIN CONTNUA! No falte a los quices semanales, adems de ser parte de la calificacin del curso, le ayudarn a entrenarse para los exmenes (vencer los nervios). Los quices son una herramienta tanto para usted como para su profesor, para analizar en qu puntos no est clara la materia, y qu partes debe repasar.

5. CREA EN USTED! Todos podemos aprender y quitarnos esas fobias, no piense que la matemtica es difcil, si le cost durante su poca colegial, no necesariamente pasar igual en la Universidad. Hay que considerar que muchos temores no s los infunden en los aos que somos ms susceptibles, la niez o la adolescencia. Ahora usted es un estudiante universitario y su futuro est en sus manospiense que puede y podr!

INTRODUCCIN Qu son las matemticas? Durante siglos, matemticos y filsofos han tratado de dar una respuesta simple a esta pregunta aparentemente simple. Un filsofo podra decir que las matemticas son un lenguaje, mientras que los defensores de la lgica podran decir que las matemticas son una extensin de la lgica misma. La mayora de los conceptos matemticos bsicos tienen sus races en las situaciones fsicas que los hombres encaran en su vida diaria. Por ejemplo, uno de los conceptos ms primitivos y bsicos de todos es el de contar. Al mismo tiempo este concepto es la raz de otros conceptos tan abstractos como el nmero y la aritmtica. As por ejemplo, dos piedras y tres piedras son cinco piedras, lo que nos conduce a una proposicin ms general: dos cosas y tres cosas son cinco cosas, es decir:

2 + 3 = 5 La habilidad del hombre para formular conceptos relacionados con la experiencia fsica en proporciones abstractas, breves y concisas de este tipo, ha sido la base para el desarrollo de una civilizacin fundada en la comprensin de su medio ambiente. Los antiguos mercaderes rabes desarrollaron una notacin conveniente y sistemtica como una ayuda para conservar la cuenta de sus bienes. Los antiguos egipcios desarrollaron muchas de las ideas fundamentales de trigonometra para poder determinar los lmites de las propiedades despus de los desbordamientos del ro Nilo. Isaac Newton fue inducido a considerar los conceptos fundamentales del tema llamado ahora clculo para describir la conducta de los objetos en movimiento. Como vemos, estos conceptos han sido el resultado de la necesidad de determinar algo y como un suplemento a nuestro lenguaje ordinario.

PRODUCTOS ESPECIALES Y

FORMULAS DE FACTORIZACION

222 2 bababa

222 2 bababa

bababa 22

32233 33 babbaaba

32233 33 babbaaba

2233 babababa

2233 babababa

LEYES DE POTENCIAS

nmnm aaa nnn baab )(

mnnm aa )(

nmn

m

aaa

n

nn

ba

ba

PROPIEDADES DE LOS RADICALES

mnm nnnnnmn m aabaabaa /

INDICE

1. MATRICES 1 1.1 Algebra de Matrices 1 1.2 Determinantes 10 1.3 Sistemas de Ecuaciones: Regla de Cramer 19 1.4 Sistemas de Ecuaciones: Mtodos de Gauss 22 1.5 Matriz Inversa 28 1.6 Sistemas de Ecuaciones: Mtodo de Matriz Inversa 31 2. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARTMICA 34 2.1 Funciones y ecuaciones exponenciales 34 2.2 Funciones y ecuaciones logartmicas 39 3. INTERS COMPUESTO 55 3.1 Concepto bsico: Inters 55 3.2 Inters compuesto 55 3.3 Inters compuesto en forma continua 56 4. TRIGONOMETRA 63 4.1 Conceptos bsicos 63 4.2 Clculo de funciones trigonomtricas y valores de ngulos 67 4.3 Tringulos rectngulos 71 4.4 Problemas de aplicacin usando tringulos rectngulos 73 4.5 Identidades trigonomtricas 81 4.6 Crculo trigonomtrico 86 4.7 Ecuaciones trigonomtricas 89 5. INTRODUCCIN AL CLCULO 93 5.1 Interpretacin grfica de lmites 93 5.2 Interpretacin analtica de lmites 100

Matemtica Cap. 1: Universitaria Matrices

Derechos reservados. Prohibida reproduccin parcial o total Pg. 1

1. MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el ao 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teora se debe al matemtico W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notacin matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas. Las Matrices son arreglos de nmeros formados por filas y columnas. Sirven para resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales, tambin se emplean en la solucin de problemas de Transporte y problemas de comunicacin, en el clculo numrico, en la resolucin de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales. Adems de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica, etc. La utilizacin de matrices, conocidas tambin como arrays (arreglos), constituye actualmente una parte esencial en los lenguajes de programacin, ya que la mayora de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de clculo, bases de datos. Es muy comn en Ingeniera que se presenten problemas que involucren matrices en su resolucin, los mtodos matriciales para distintos tipos de problemas en ingeniera y ciencias han proliferado mucho, se explica cmo utilizar una herramienta como el Matlab en el clculo de operaciones con matrices.

1.1 lgebra de matrices. Definicin de matriz: Se le llama matriz a todo conjunto rectangular de elementos. El tamao u orden de la matriz se indica sealando el nmero de filas por el nmero de columnas que la conforman, es decir, mn. En otras palabras, los elementos aij que forman la matriz, estn dispuestos en m lneas horizontales (filas) y n verticales (columnas), tal que:

11 1

1

n

m mn

a aA

a a

1na1

1n 1n

mn mna

Una matriz es un arreglo de nmeros:

44434241

34333231

24232221

14131211

4212101513111

86423579

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

Orden o tamao de la matriz: mn, donde: m = # de filas

a24 = elemento ubicado en la (fila 2, columna 4) de la matriz A. n = # de columnas

Note el uso de la nomenclatura: ai j j indica el nmero de columna i indica el nmero de fila

En otras palabras

i ja

Del esquema anterior, entendemos que los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila i y el segundo la columna j. Por ejemplo el elemento a25 ser el elemento ubicado en la interseccin de la fila 2 y columna 5 (note que el conteo de las filas y columnas se inicia desde la esquina superior izquierda de la matriz, hacia abajo y hacia la derecha, respectivamente).

Este subndice indica la fila.

Este subndice indica la columna.


Pg. 2 Derechos reservados. Prohibida reproduccin parcial o total

TIPOS DE MATRICES A continuacin se indican los tipos de matrices ms comunes que nos podemos encontrar:

Matriz fila: tiene una sola fila, 1m

7531F Orden = 1x4

Matriz columna: tiene una sola columna, m1

642

C Orden = 3x1

Matriz cuadrada: aquella con igual nmero de filas y columnas, es decir m=n

231622353

M Orden = 3x3

Matriz nula: todos los elementos son 0

0 00 0

N

Orden = 2x2

Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos fuera de diagonal principal valen 0.

100070002

D Orden = 3x3

Matriz escalar: matriz diagonal con los elementos de la diagonal principal iguales.

300030003

E Orden 3x3

Matriz identidad: matriz escalar en donde los elementos de la diagonal principal valen 1.

100010001

I

Matriz transpuesta: aquella que resulta de cambiar las filas por las columnas, o viceversa. Toda matriz tiene su transpuesta y es nica.

263325123

231622353

TMM

Para que dos matrices sean iguales cada entrada de la primera matriz tiene que ser igual a su correspondiente en la segunda matriz.

TRANSPOSICIN DE MATRICES Dada una matriz de orden mn, A = (aij), se llama matriz transpuesta de A, y se representa por AT, a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. De la definicin se deduce que si A es de orden mn, entonces AT es de orden n m. Es decir:

11 1 11 1

1 1

n mT

m mn n mn

a a a aA A

a a a a

1 11111a a a1 111 1111

1 1n m1111 1 11111 TATA

AA

mn n mn1 n mn1a a a1n1

1 2

1 0 70 3

2 3 97 9

TB B

Propiedades de la transposicin de matrices Dada una matriz A, siempre existe su transpuesta y adems es nica.

TTA A



OPERACIONES CON MATRICES Se estudian tres tipos de operaciones con las matrices:

Suma de matrices: se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en cada matriz. Producto de un nmero real por una matriz: se obtiene multiplicando cada uno de los elementos por

ese nmero. Multiplicacin de matrices: se obtiene multiplicando cada una de las filas de la 1 matriz por cada

una de las columnas de la segunda. Suma y diferencia de matrices

La suma de dos matrices A y B, del mismo tamao, es otra matriz S de la misma dimensin que los sumandos. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener el mismo tamao.

En el siguiente caso, la suma de las matrices A y B se denota por A + B. En este caso ambas matrices son de 2x3, por lo tanto la matriz resultan S tendr tambin un tamao de 2x3:

1 5 7 2 5 22 3 9 7 0 2

A B

1 5 7 2 5 2 1 2 5 5 7 2 3 10 92 3 9 7 0 2 2 7 3 0 9 2 9 3 11

S A B

Propiedades de la suma de matrices A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) A + B = B + A (propiedad conmutativa) A + N = A (N es la matriz nula) La matriz A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de

matriz opuesta de A. La diferencia de matrices A y B se representa por AB, y se define como: AB = A + (B)

1 5 7 2 5 2 1 2 5 5 7 2 1 0 52 3 9 7 0 2 2 7 3 0 9 2 5 3 7

A B

Producto de una matriz por un nmero (escalar)

El producto de una matriz A por un nmero real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensin que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k, es decir,

bij = kaij.

Ejemplo: Se multiplica cada elemento de la matriz por el escalar.

1 0 7 4 1 4 0 4 7 4 0 284 4

2 3 9 4 2 4 3 4 9 8 12 36B A B



Propiedades del producto de una matriz por un escalar

Para las siguientes propiedades, considere los trminos k y h como valores que perteneces al conjunto de los nmeros reales, y los trminos A y B como matrices del mismo tamao. De esta forma se cumple que:

k(A + B) = kA + kB (propiedad distributiva 1) (k + h)A = kA + hA (propiedad distributiva 2) K[hA] = (kh)A (propiedad asociativa mixta) 1A = A (elemento unidad)

Operaciones combinadas

Se puede tener dentro de una operacin varios productos escalares, suma, resta y transpuesta. Sean:

Ejemplo 1.1: Calcule la matriz 2( 3 ) TE A B C , utilizando las siguientes matrices: 1 2

1 5 7 2 5 20 3

2 3 9 7 0 27 9

A B C

1 21 5 7 2 5 2

2 3 0 32 3 9 7 0 2

7 9

T

E

Se respeta la jerarqua operacional y se hace la transpuesta. A la izquierda se muestra el planteamiento con las matrices dadas.

1 21 5 7 2 5 2

2 3 0 32 3 9 7 0 2

7 9

T

E

Se respeta la jerarqua operacional y se hace la transpuesta. A la izquierda se muestra el planteamiento con las matrices dadas.

1 5 7 6 15 6 1 0 72

2 3 9 21 0 6 2 3 9E

Aqu la matriz B se ha multiplicado por -3, y se ha desarrollado la transpuesta de C.

5 10 1 1 0 72

19 3 15 2 3 9E

Se desarrolla la resta de las matrices del parntesis cuadrado.

10 20 2 1 0 738 6 30 2 3 9

E

Aqu se ha multiplicado por 2 el resultado de la resta.

9 20 940 9 39

E

Se hace la suma



Ejercicios de Prctica 1) Para las matrices mostradas A y B, calcule las operaciones indicadas:

1 5 72 3 9

A

2 5 27 0 2

B

a) A-2B R/ 3 5 3

212 3 13

A B

b) 4A-3B R/ 2 5 22

4 313 12 42

A B

2) Para las matrices indicadas A y B, calcule las expresiones indicadas: 1 2 1

3 5 01 7 2

A

1 0 30 2 13 2 0

B

a) A+2B R/ 1 2 5

2 3 1 27 11 2

A B

b)

2 4 TA B A

R/

9 1 252 4 4 21 15

23 2 2

TA B A

3) Calcule la operacin indicada sabiendo que las matrices A, B y C son: 2 0 12 1 31 2 4

A

0 2 33 1 11 3 2

B

2 1 03 5 31 1 0

C

a)

2 3A B C

R/

6 11 202 3 11 3 15

7 21 4A B C

4) Calcule las operaciones indicadas para las matrices A y B mostradas:

1 31 3 2

aA

21 23 1

aB

a) 2 TA B R/ 5 5 6

21 2 7 4

T aA Ba

b) 3( 2 )TA B R/ 15 3(1 2 )

3( 2 ) 15 213( 6) 12

T

aA B

a

5) Calcule la operacin indicada sabiendo que las matrices A, B y C son:

1 1 12 4 3

14

1 23 3

0 24

A

23

1 26 3

0 13 0 1

2B

1 13 213

14

02 31 0

C

a) 2( 2 )A B C R/

5 5116 12 3

33143 4

103

2( 2 ) 121 8

A B C



Producto de matrices Para que dos matrices puedan multiplicarse, el nmero de columnas de la primera matriz debe ser igual al nmero de filas de la segunda matriz. El resultado ser una tercera matriz, cuyo tamao corresponder al nmero de filas de la primera matriz por el nmero de columnas de la segunda matriz. Sean las dos matrices A y B indicadas, cuyos tamaos se indica debajo de ellas:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a b bA B a a a b b

a a a b b

(3 x 3) (3 x 2)

Para realizar la operacin de A B = R, verificamos primero el requisito y luego el tamao de la resultante:

Requisito: (nmero de columnas de A) = (nmero de filas de B), lo cual se cumple. Tamao de R =(nmero de filas de A) (nmero de columnas de B), es decir, 2 x 3.

232221

131211

rrrrrr

RBA donde

Note entonces que para obtener el resultado, los clculos seran:

11 11 12 21 13 31 11 12 12 22 13 32

21 11 22 21 23 31 21 12 22 22 23 32

31 11 32 21 33 31 31 12 32 22 33 32

a b a b a b a b a b a bR a b a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

Por ejemplo, sean las matrices

654321

A y

210721231

B , calcule el producto de estas.

1 1 2 1 3 0 1 3 2 2 3 1 1 2 2 7 3 24 1 5 1 6 0 4 3 5 2 6 1 4 2 5 7 6 2

1 2 101 8 31

A B

Debe hacerse hincapi, que a diferencia de la multiplicacin algebraica, la multiplicacin de matrices no es conmutativa, es decir, A x B B x A. Claro est, hay casos especiales que por el contenido de las matrices, si se puede dar esta igualdad, pero esto es la excepcin, no la regla. Veamos el siguiente caso, con las matrices C y D:

1 2 34 0 2

C

y 5 4 21 6 3

7 0 5D

a) 5 4 2

1 2 3 18 8 71 6 3

4 0 2 6 16 27 0 5

C D

b) 5 4 2

1 2 31 6 3

4 0 27 0 5

D C

REQUISITO

TAMAO DE AxB

rij = suma de los productos, trmino a trmino, de la fila i por la fila j



Al igual que en el caso de A x B anterior, para llegar a C x D se sigui el siguiente proceso:

Ejemplo 1.2: Calcule el producto de matrices indicado: 5 4 2

1 2 31 6 3

4 0 27 0 5

C D

Se multiplica el 1er elemento de la fila 1 de C, por cada uno de los elementos de la columna 1 de D.

1 5 2 1 3 7 1 4 2 6 3 0 1 2 2 3 3 5

4 5 0 1 2 7 4 4 0 6 2 0 4 2 0 3 2 5C D

Estos productos se suman, como se muestra a la izquierda. Ahora se multiplica el 2do elemento de la fila 1 de C por cada uno de los elementos de la columna 1 de D, y as sucesivamente, sin olvidar sumar estos productos. De esta forma se obtiene el valor de cada elemento del resultado.

18 8 76 16 2

C D

La matriz resultante es de tamao 2X3 (filas de C x columnas de D)

Propiedades del producto de matrices

1. A(BC) = (AB) C 2. El producto de matrices en general no es conmutativo. 3. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que AB = BA = Identidad. Si

existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A1 4. El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir:

A (B + C) = AB + AC

Consecuencias de las propiedades 1. Si AB= 0 no implica que A=0 B=0. 2. Si AB=AC no implica que B = C. 3. En general, AB BA

Ejemplo 1.3: Utilizando el concepto de multiplicacin de matrices, encuentre el valor de las variables a, b, c, x, y, z, segn la operacin mostrada:

7 1 66 4 0 1 12 1 12 0 4 3 3 2 5

9 1 0

a b cx y z

6 7 4 3 9 6 0 2 6 6 1 5 014 0 12 27 2 0 8 3 12 0 20 0

12 1 1

a b c a b c a b c

x y z

Se desarrolla la multiplicacin de matrices a la izquierda de la ecuacin. Lo que se pretende es comparar los trminos de la matriz resultante de la izquierda, con los de la matriz de la derecha. Para que se cumpla la igualdad, se deben igualar estos trminos.

42 4 3 9 6 0 2 36 5 12 1 129 9 8

a b c b c a bx y z

La matriz resultante a la izquierda tambin debe ser del mismo tamao de la de la derecha, es decir, de tamao 2x3

1

e5111

777



42 4 3 9 12

6 0 2 1

36 5 1

4 3 9 30

0 2 5

5 0 35

a b c

a b c

a b

a b c

a b c

a b c

Se igualan los trminos de acuerdo a la posicin, es decir, el elemento a11 se iguala con el b11, y as sucesivamente. Para la fila 1 en ambas matrices, se forma el sistema de ecuaciones 3x3 mostrado a la izquierda.

360 29

65 9

135 8

a x

b y

c z

Resolviendo el sistema de ecuaciones en forma simultnea obtenemos los primeros 3 resultados. El mismo proceso se sigue para x, y, z.

Ejercicios de Prctica Realice las operaciones indicadas con las matrices A, B, C y D:

1 2 1 1 0 21 0 1 3 1 0

1 2 5 3 2 02 3 2 1 2 1

0 1 2 1 1 1A B C D

6) B C R/ 4 8 21 3 13

B C

7) C D R/ 6 3 10 9 71 4 2

C D

8)

2 3 2A B C D R/

18 54 502 3 2

28 66 52A B C D

9)

3 2A B C D R/

30 51 273 2

3 51 165A B C D

Realice la multiplicacin A x B de las matrices indicadas. Los resultados quedan en funcin de las variables:

10) 1 3

3 1 0, 3

0 11 0 2

aA B a a

a

R/ 2 24 0 9

1 3 2a a

A Ba a a

11) 3 1 8 7 10 2 4 , 0 3

6 7 2A B

x a

R/ 21 8 22

4 27 7 4

aA B a

a x x

12)

1 73 5 2 1 0

,10 5 3

5 12

a aA B

a a

R/ 2

2

2 35 22 76 25 3 15 5

15 10 310 60 41 12

a aa a a

A Ba a a

a a

13) 2 1 3

2 1 0, 3

3 21 4 2

A B a aa

R/ 2 24 5 64 11 3 5

a aA B

a a a



Realice las operaciones indicadas con las matrices A, B, C y D:

Para: 3 4 5 4

0 1 2 3 2 32 1 2 7

1 0 2 4 1 33 3 1 2

A B C D

14)

2 3 2F D B A C R/ 28 14

24 50F

15)

2 2F B D C A R/ 152 152

160 152F

Para: 1 3 2 1 0 4

1 0 3 3 2 11 2 7 7 5 0

5 7 3 0 4 30 1 2 1 1 1

A B C D

16)

2 3E A B C D R/ 48 132 4440 24 226

E

Para:

1 1 41 3 5 1 3 2 1 3

1 4 3 2 2 1 4 2 11 2 3

a aA B C

a

17)

2F A B C R/ 5 4 11 2 13 39 6 2 36

a a aF

a

18) Hallar los valores de a, b, c, x, y, z si:

7 1 66 4 0 1 29 8 372 0 4 3 3 2 5

9 1 0

a b cx y z

R/

4 29

1 9

0 8

a x

b y

c z

19) Hallar los valores de a, b, c, x, y, z si: 1 2 1

1 2 1 2 0 0 12 4 1 0 1 1 0

1 0 3

a b cx y z

R/

1 9

1 9

0 10

a x

b y

c z

20) Hallar los valores de a, b, c, x, y, z si: 1 0 2 00 0 1 1 1 0 6 6

1 4 9 2 0 1 0 0 1 9 8 40 0 1 0

a b c d

R/ 1 60 2

a bc d



1.2 Determinante de una matriz cuadrada Definicin de determinante: Para cada matriz cuadrada hay asociado un valor llamado determinante de la matriz y se representa por |A| o det(A). Dentro de las principales aplicaciones de los determinantes estn el clculo de inversa, sistemas de ecuaciones, el clculo de reas y volmenes. Propiedades de los determinantes

1. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta: det( ) det( )TA A

2. Si en un matriz se cambian entre s dos lneas, su determinante cambia de signo.

3. Si una matriz que tiene dos lneas paralelas iguales, su determinante valdr 0

4. Si una matriz tiene todos los elementos de una lnea nulos, su determinante valdr 0

5. Si una lnea de A es multiplicada por un escalar c, creando B, entonces det( ) det( )B c A

6. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada una de

ellas: det( ) det( ) det( )A B A B

DETERMINANTE DE MATRICES DE 2DO ORDEN: Para una matriz de segundo orden, es decir, de tamao 2x2, el clculo del determinante se puede realizar de la siguiente forma:

11 12 11 1211 22 12 21

21 22 21 22

det( )a a a a

A A a a a aa a a a

Ejemplo

1 21 3

A

El determinante sera:

det( ) 1 3 1 2 3 2 1A

DETERMINANTE DE MATRICES DE 3ER ORDEN: Para una matriz de tercer orden, es decir, de tamao 3x3, el clculo del determinante se puede realizar usando la regla de Sarrus. Regla de Sarrus Siendo A una matriz cuadrada de 3er orden, su determinante ser la suma de los productos de los elementos que forman las diagonales que van de arriba hacia abajo ( ), y se le resta la suma de los productos de elementos que forman las diagonales que van de abajo hacia arriba ( ). El siguiente esquema pretende explicar ms claramente este planteamiento:

11 12 13 11 12 13 11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 23 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 33 31 32 33 31 32

Se copian las 2 primeras columnas al finalde la matriz, para facilitar los clcu

det( )a a a a a a a a a a a

A a a a A a a a a a a a aa a a a a a a a a a a

los.

11 22 33 12 23 31 13 21 32 13 22 31 12 21 33 11 23 32det( )A a a a a a a a a a a a a a a a a a a

31 32 33 31 32

Se copian las 2 primeras columnas al final

a a a a a31 32 33 3131 32 33 31

Como se puede ver en el esquema, para facilitar lo planteado por la Regla de Sarrus, antes de hacer los clculos se deben copiar las 2 primeras columnas al final de la matriz, lo cual facilita visualizar las diagonales mencionadas.



Ejemplo

3 5 3 3 5 3 3 52 4 2 det( ) 2 4 2 2 43 1 9 3 1 9 3 1

A A

Diagonales de arriba Diagonales de abajohacia abajo ( ) hacia arriba ( )

det( ) 3 4 9 5 2 3 3 2 1 3 4 3 1 2 3 9 2 5

det( ) 108 30 6 90 6 36det( ) 144 132 d

A

AA

de arriba Diagonales de abajo) hacia arriba ( )

Diagonales de arriba Diagonales de abajo

3 4 9 5 2 3 3 2 1 3 4 3 1 2 3 9 2 53 4 9 5 2 3 3 2 13 4 9 5 2 3 3 2 13 4 9 5 2 3 3 2 1

3 4 9 5 2 3 3 2 1 3 4 3 1 2 3 9 24 2 2 1 4 1 2 24 2 2 14 2 2 14 2 2 1

et( ) 12A

Ejercicios de Prctica Calcule el determinante de las matrices que se muestran a continuacin

21) 2 3 00 2 12 4 3

A

R/ det( ) 26A

22) 2 4 51 0 42 3 6

A

R/ det( ) 95A

23) 4 1 07 1 02 0 1

A

R/ det( ) 11A

24) 2 4 23 1 93 5 3

A

R/ det( ) 12A

25) 1 2 53 1 27 11 2

A

R/ det( ) 134A

26) 5 4 21 6 3

7 0 5A

R/ det( ) 38A

27) 1 0 30 2 13 2 0

A

R/ det( ) 20A

28) 1 0 47 5 01 1 1

A

R/ det( ) 13A



DETERMINANTE DE MATRICES DE 4 ORDEN Y MAYORES Para una matriz de cuarto orden, es decir, de tamao 4x4 y mayores, el clculo del determinante se realiza aplicando el Teorema de Expansin, pero para ello es indispensable introducir dos nuevos conceptos, llamados Menor y Cofactor. Ambos conceptos estn relacionados a una posicin especfica aij de la matriz, y no a la matriz misma. Note que aunque para la matriz de 3x3 hemos utilizado la Regla de Sarrus para calcular su determinante, tambin lo podemos calcular utilizando el Teorema de Expansin Definiciones Bsicas

Matriz menor

Sea A una matriz cuadrada y aij uno cualquiera de sus elementos. Si se suprime la fila i y la columna j de la matriz A se obtiene una submatriz Mij que recibe el nombre de matriz Menor del elemento aij. Esto quiere decir que dada la matriz A, suprimamos la fila 1 y columna 1 de dicha matriz:

11 12 1 122 2 2

21 22 2 2

2111 2

21 2

j nj n

j n

i ij ini i ij in

n nj nnn n nj nn

a a a aa a a

a a a a

a a aA Ma a a a

a a aa a a a

1 1n1a a11

1 j n1 1 n12 2n2a a2

2 j n2 2 n2

2 2j n2a a22a a

j

j

j

ia aijij

ij inijij inijij

ij ina aij

j

j

j

nj nna anjnj a a

nj nn nj nna anj

Lo que se ha obtenido es la matriz Menor del elemento a11. Como se aprecia, esta matriz resulta de suprimir en la matriz A la fila 1 y la columna 1. Es decir, si se requiere calcular, por ejemplo, el menor de la posicin a21, al cual se le denominara M21, este sera el determinante de la matriz que se forma cuando se elimina fila 2 y la columna 1.

Cofactor

Se llama cofactor de aij, y se calcula por la frmula cij = (1)i+j. Si usamos esta frmula y construimos una matriz reflejando los signos de los resultados obtenidos para cada una de las posiciones de la matriz, tendramos la matriz:

.........

................

con la cual podramos fcilmente identificar el signo de los cofactores. Empezando siempre con positivo en la esquina superior, se van intercambiando los signos + y hasta llegar a la posicin de aij, Otra forma es usar el signo + o - dependiendo si la suma de los subndices da un resultado par o impar:

Si i+j = par cij = 1 Si i+j = impar cij = -1

Teorema de Expansin Siendo A una matriz cuadrada de 3er orden o mayor, su determinante se calcula sumando los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus cofactores y menores respectivos. El clculo se simplifica si se escoge una fila o columna con mayor cantidad de entradas nulas. La formulacin matemtica sera:

1det( )

n

ij ij iji

A a c M

donde: aij = elemento en la posicin ij. cij = cofactor de la posicin ij. Mij = menor de la posicin ij.



Para el clculo respectivo se puede seguir entonces el siguiente procedimiento:

1. Elegir una de las filas o columnas para iniciar el desarrollo. 2. Calcular los cofactores cij y los menores Mij de las posiciones de los elementos aij que forman la fila

o columna seleccionada. 3. Se multiplican aijcijMij 4. Se suman todos los productos, lo cual da como resultado el determinante de la matriz.

Ejemplo 1.4: Calcule el determinante de la matriz 4x4 mostrada, 0 1 3 11 1 2 22 2 1 13 1 2 3

A

Se escoge la fila o columna con ms ceros. En este caso puede ser la fila 1 o la columna 1. Para el ejemplo se escoge la fila 1.

11 11 11 12 12 12 13 13 13 14 14 14det( )A a c M a c M a c M a c M Planteando el Teorema de Expansin con fila 1

11 12

13 14

det( )

1 2 2 1 2 20 1 2 1 1 1 1 2 1 1

1 2 3 3 2 3

1 1 2 1 1 23 1 2 2 1 1 1 2 2 1

3 1 3 3 1 2

M M

M M

A

1 2 3 3 2 3M M

3 1 3 3 1 2M M

3 1 3

Calculando por aparte el resultado de los menores: 1 2 2 1 1 2 1 1 22 1 1 13, 2 2 1 20, 2 2 1 123 2 3 3 1 3 3 1 2

Note que a11=0, lo que ahorra el clculo del M11. Los otros menores se calculan y se sustituyen en la ecuacin del det(A). Recuerde el clculo de los menores no es ni ms ni menos que el clculo de determinantes, en este caso de matrices de 3x3, por lo que se utiliza la Regla de Sarrus para calcularlos.

det( )

det( )

0 1 1 13 3 1 20 1 1 12

0 13 60 12

A

A

Se multiplican los determinantes por el signo y el elemento correspondiente

det( ) 59A Resultado final



DETERMINANTE DE UNA MATRIZ POR EL MTODO DE GAUSS Transformaciones elementales Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango vare. Es fcil comprobar que estas transformaciones no varan el rango usando las propiedades de los determinantes

Si se permutan o se intercambian 2 filas o 2 columnas el determinante varia de signo. Si se multiplica o divide una lnea por un nmero no nulo se hace la operacin contraria al

determinante final. Si a una lnea de una matriz se le suma o resta otra paralela multiplicada por un nmero no nulo

el determinante no vara. Mtodo de Gauss El mtodo de Gauss consiste en aplicar las transformaciones elementales anteriores a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que estn por debajo de la diagonal principal se anulen, es decir, se conviertan en 0. A esto se le llama triangularizar una matriz. Para conseguirlo, se debe dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Ejemplos de matrices triangulizadas:

1 2 2 7 1 90 1 1 , 0 1 20 0 3 0 0 5

A B

El clculo de determinantes por el mtodo de Gauss consiste en hallar un determinante equivalente (con el mismo valor) al que se pretende calcular, pero triangularizando la matriz. De esta forma el problema se reduce a calcular un determinante de una matriz triangular, cosa que es bastante fcil usando las propiedades de los determinantes. Para conseguir triangularizar el determinante se pueden aplicar las siguientes operaciones:

Permutar 2 filas 2 columnas. Multiplicar o dividir una lnea por un nmero no nulo. Sumarle o restarle a una lnea otra paralela multiplicada por un nmero no nulo

Ejemplo 1.5: Calcule el determinante de la matriz 3x3 utilizando el Mtodo de Gauss 1 0 32 1 41 0 1

A

Se inicia haciendo nulos los elementos de la primer columna, excepto el que est en la diagonal. Para ello, en operaciones independientes, se multiplicar la fila 1 por -2, y se le suma a la fila 2; luego se multiplica la fila 1 por -1 y se le suma a la fila 3:

1 0 3 1 0 32 1 2

2 1 4 0 1 21 1 3

1 0 1 0 0 4

F FA

F F

01 1 3111 1

1 1 3031 111 1

000

Debe notarse que en la nueva matriz transformada, el elemento a32 = 0, por lo cual la triangularizacin queda completa. Si a32 0, se hubiera requerido una nueva transformacin para completar la triangularizacin.

Finalmente, el determinante se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal de la matriz transformada, es decir, ya triangulizada:

1 0 3det 0 1 2 1 1 4 det( ) 4

0 0 4A



Ejemplo 1.6: Calcule el determinante de la matriz 4x4 utilizando el Mtodo de Gauss 1 0 0 20 1 1 10 1 2 16 1 1 0

A

Se anulan todos elementos de la primera columna, excepto el que est en la diagonal. Note que slo se requiere anular el elemento 6, para lo cual se multiplicar la fila 1 por -6, y se le suma a la fila 4:

1 0 0 2 1 0 0 20 1 1 1 0 1 1 1

6 1 4 0 1 2 1 0 1 2 16 1 1 0 0 1 1 12

A F F

046 11

06 16 1

06 1 4

046 16 16 100

Siguiendo el orden, se anulan los elementos de la segunda columna que estn debajo del elemento diagonal. Se multiplicar la fila 2 por 1, y se le suma a la fila 3, y se multiplica la fila 2 por -1 y se le suma a la fila 4:

1 0 0 2 1 0 0 20 1 1 1 1 2 3 0 1 1 1

0 1 2 1 1 2 4 0 0 1 00 1 1 12 0 0 0 11

F FF F

1 2 4 0221 2 4 01 22

01 2 4 01 2 4 0220

Finalmente, el determinante se obtiene multiplicando los elementos de la diagonal de la matriz transformada, es decir, ya triangulizada:

1 0 0 20 1 1 1

det 1 1 1 11 det( ) 110 0 1 00 0 0 11

A



Ejemplo 1.7 (tcnica alternativa): Calcule el determinante de la matriz 4x4 mostrada: 1 2 1 31 4 3 2

1 1 5 00 3 2 1

B

Se muestra otra metodologa, usando el principio de seleccionar la fila o columna con mayores entradas nulas, y combinndola con el clculo de determinantes por el Mtodo de Gauss.

Se transforma la matriz original, multiplicando la columna 1 por 2 y sumando a la columna 2; volvemos a multiplicar la columna 1 por -1 y sumando a la columna 3; finalmente se multiplica la columna 1 por -3 y sumamos a la columna 4:

1 2 1 3 1 0 0 01 4 3 2 1 2 4 5

1 1 5 0 1 3 4 30 3 2 1 0 3 2 1

B

Se inicia el clculo por la fila 1, que es la que tiene ms ceros. Se aplica el principio del Teorema de Expansin que dice aijcijMij:

11 11 11

1 0 0 02 4 5

1 2 4 5det 0 0 0 1 1 3 4 3

1 3 4 33 2 1

0 3 2 1

a c MB

En el caso del M11, se calcula utilizando el mtodo de Gauss, para lo cual requerimos triangularizar la matriz:

11

32 21 21

2 2313 2922 2

2 4 5 2 4 5 2 4 51 23 4 3 0 2 2 2 3 0 2

1 33 2 1 0 4 0 0M

F FF F

F F

2 3 02

2

3 3 0 2 1 3F1 32 2 F11

Una vez triangulizada la matriz, multiplicamos los elementos de su diagonal, y el resultado es el valor correspondiente a M11:

112922 2 58M

Finalmente se sustituye el valor de M11 encontrado, en la expresin original del determinante de B:

11 11 11

2 4 5det 1 1 3 4 3 1 1 58 det 58

3 2 1a c MB B



Ejercicios de Prctica Calcule el determinante de las matrices que se muestran a continuacin utilizando tanto el mtodo general como el mtodo de Gauss

29)

2 3 5 30 2 4 21 3 1 9

1 2 0 0

A

R/ det( ) 60A

30)

4 3 6 03 0 0 45 0 1 22 1 1 7

A

R/ det( ) 13A

31)

1 0 2 52 1 5 0

0 0 3 00 1 0 3

A

R/ det( ) 39A

32)

5 0 0 06 3 0 01 4 4 07 2 3 2

A

R/ det( ) 120A

33)

1 2 1 02 0 1 21 1 3 44 1 0 2

A

R/ det( ) 54A

34)

2 3 5 30 2 4 21 3 1 9

1 2 0 0

A

R/ det( ) 144A

35)

2 3 5 00 2 4 11 3 1 0

1 2 0 1

A

R/ det( ) 36A

36)

1 1 1 12 1 7 03 7 8 17 2 3 1

A

R/ det( ) 240A



37)

0 1 3 11 1 2 22 2 1 13 1 2 3

A

R/ det( ) 59A

38)

6 1 0 43 3 2 00 1 8 62 3 0 4

A

R/ det( ) 560A

39)

3 1 2 04 0 3 50 6 0 11 3 4 2

A

R/ det( ) 254A

40)

3 0 0 02 1 2 12 0 3 11 1 2 1

A

R/ det( ) 6A

41)

0 3 0 1 01 1 2 1 30 1 0 0 02 0 4 5 11 0 2 1 1

A

R/ det( ) 0A

42)

1 3 1 2 11 0 0 0 1

2 0 1 0 11 0 2 0 13 0 1 2 0

A

R/ det( ) 24A

43)

1 3 1 2 11 0 0 0 1

2 1 1 0 11 0 2 0 13 0 1 2 0

A

R/ det( ) 20A



1.3 Sistemas de Ecuaciones: Regla de Cramer

Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales que podemos escribir de forma tradicional as:

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

1 1 2 2 3 3

......

...

n n

n n

m m m mn n m

a x a x a x a x ba x a x a x a x b

a x a x a x a x b

Como se aprecia, tiene "m" ecuaciones y "n" incgnitas, donde: aij son nmeros reales, llamados coeficientes del sistema, bm son nmeros reales, llamados trminos independientes del sistema, xj son las variables del sistema,

La solucin del sistema es un conjunto ordenado de nmeros reales (s1, s2, ..., sn) tales que al sustituir las incgnitas x1, x2, ... , xn por los valores s1, s2, ..., sn se verifican a la vez las "m" ecuaciones del sistema. Este mismo sistema de ecuaciones lineales en notacin matricial tiene esta forma:

11 12 13 1 1 1

21 22 23 2 2 2

1 2 3

Matriz de Matriz deMatriz de coeficientesincgnitas trminos

independientes

n

n

m m m mn n n

a a a a x ba a a a x b

A X B

a a a a x b

1a1

11

2a2a

2

MatrMatriz de coeficientes

x m m m1 2 32a a a1 2 32m m m1 2 322 mnamn

Una aplicacin de los determinantes es calcular la solucin de un sistema de ecuaciones con n incgnitas. La solucin para cualquiera de las incgnitas viene dada por:

detdet

ii

Ax

A

donde Ai es la matriz que se obtiene a partir de A, sustituyendo los elementos de la columna i, por los elementos del vector de resultados Por ejemplo, un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas se escribira matricialmente de la siguiente forma:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3


independientes

a a a x ba a a x ba a a x b


31 32 33a31 32 3332 33a a a x31 32 33

Por lo tanto las soluciones, segn la Regla de Cramer, vendran dadas por:

1 12 13

2 22 23

3 32 33 11 det

x

b a ab a ab a a

xA

,

11 1 13

21 2 23

31 3 33 22 det

x

a b aa b aa b a

xA

,

11 12 1

21 22 2

31 32 3 33 det

x

a a ba a ba a b

xA

En todos los casos, note que el denominador consiste en el determinante de la matriz de coeficientes, es decir:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

det

a a a

A a a a

a a a



Ejemplo 1.8: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado. 2 3 4 0

3 43 2 0

x y zx y zx y z

Con el solucionador de ecuaciones de la calculadora, puede corroborar los resultados.


independientes

2 3 4 01 1 3 43 2 1 0

xA X B y

z


33 2 1

Se reescribe el sistema de ecuaciones en forma matricial, de forma que se logran identificar las respectivas matrices y variables.

2 3 4 2 3 4 2 3det 1 1 3 1 1 3 1 1

3 2 1 3 2 1 3 2det 2 27 8 12 12 3 30 30

A

A

Se calcule el det(A), que se requiere para el clculo de todas las soluciones.

0 3 4 0 3 4 0 3det 4 1 3 4 1 3 4 1

0 2 1 0 2 1 0 2det 0 0 32 0 0 12 20 20

Ax

Ax x

Ahora se cambia la 1ra columna de A por el vector B, formando la matriz Ax, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Ax), que se requiere para el clculo de la solucin x.

2 0 4 2 0 4 2 0det 1 4 3 1 4 3 1 4

3 0 1 3 0 1 3 0det 8 0 0 48 0 0 56 56

Ay

Ay y

Ahora se cambia la 2da columna de A por el vector B, formando la matriz Ay, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Ay), que se requiere para el clculo de la solucin y.

2 3 0 2 3 0 2 3det 1 1 4 1 1 4 1 1

3 2 0 3 2 0 3 2det 0 36 0 0 16 0 52 52

Az

Az z

Ahora se cambia la 3ra columna de A por el vector B, formando la matriz Az, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Az), que se requiere para el clculo de la solucin z.

20 56 5230 30 30

2 28 263 15 15

x y zx y z

x y z

Se calculan las variables



Ejemplo 1.9: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado. La variable x encuntrela aplicando el mtodo de Cramer. Para el resto de las variables use el solucionador de la calculadora.

42585532

3

wyxzyyx

zyxw

Matriz X Matriz BMatriz A

3 1 1 1 1 32 3 0 0 5 2 3 0 0 50 5 8 0 5 0 5 8 0 52 0 4 2 1 0 1 4

x y z w xx y z w yx y z w zx y z w w

MatrMatriz A

2 1 0 12 1 0 12 1 0 12 1 0 12 1 0 1

Lo primero que se debe hacer es reacomodar el sistema, ordenando las variables y dejando de un solo lado los trminos independientes. De esta forma podremos reescribir el sistema en forma matricial.

14 44

14 14 14 44 44 44

14 44

1 1 1 12 3 0 0

det 0 00 5 8 02 1 0 1

2 3 0 1 1 1det 1 1 0 5 8 0 0 1 1 2 3 0

2 1 0 0 5 8

donde: 32 y 18 (usando Regla de Sarrus)det 1 1 32 1 1 18 14 14

M M

a c M a c MA

A

M MA

2 1 0 0 5 8M M

Se calcula el det(A). En este caso se utiliza el Teorema de Expansin, partiendo de la columna 4. El clculo de los menores M14 y M44 se puede realizar por la Regla de Sarrus, aunque el ejemplo no lo muestra.

14 44

14 14 14 44 44 44

14 44

3 1 1 15 3 0 0

det 0 05 5 8 04 1 0 1

5 3 0 3 1 1det 1 1 5 5 8 0 0 1 1 5 3 0

4 1 0 5 5 8

donde: 56 y 42 (usando Regla de Sarrus)det 1 1 56 1 1 42 14 14

M M

a c M a c MAx

Ax

M MAx x

4 1 0 5 5 8M M

Ahora se cambia la 1ra columna de A por el vector B, formando la matriz Ax, a la cual se le debe calcular el determinante, es decir, el det(Ax), que se requiere para el clculo de la solucin x. Igual que el caso anterior, se utiliza el Teorema de Expansin partiendo tambin de la columna 4. En el caso de los menores, su clculo se realiza utilizando la Regla de Sarrus.

14 114

xx x

Se calcula la variable x.



1 3 3 1 22 3 0 0 5 3 0 0 5 2 3 0 0 30 5 8 0 5 5 8 0 5 5 8 0 52 0 4 0 4 2 0 2

y z w y z w y z wy z w y z w y z wy z w y z w y z w

y z w y z w y z w

Ahora se sustituye el valor de x en el sistema original de ecuaciones y se vuelve a reescribir.

2 13 0 0 3 05 8 0 5 1

y z w yy z w zy z w w

Se obtienen 4 ecuaciones con 3 incgnitas. Para utilizar el solucionador de la calculadora, se deben escoger 3 ecuaciones cualesquiera. Se calculan las variables

1.4 Sistemas de Ecuaciones: Mtodos de Gauss Utiliza lo que se llama matriz aumentada, que no es ms que la unin de A (matriz de coeficientes) y B (matriz de valores independientes). En otras palabras la matriz aumentada es:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

1 2 3

Matriz de coeficientes Aunida a la

Matriz de trminos indep. B

n

n

m m m mn n

a a a a ba a a a b

a a a a b

1a1112a2a

Matriz de coeficientes A

n m m m1 2 32 bna a a1 2 32m m m1 2 322 mnamn

Al solucionar sistemas de ecuaciones utilizando matrices aumentadas, lo que se busca es reducir estas matrices. Veremos 2 mtodos que hacen esta reduccin en forma muy similar:

Mtodo de Gauss (eliminacin gaussiana): consiste en hacer que la matriz de coeficientes quede como una matriz escalonada

Mtodo de Gauss-Jordan: busca reducir la matriz de coeficientes a una matriz escalonada reducida.

En otras palabras, para un sistema de 3 ecuaciones 3 incgnitas, por ejemplo:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3


independientes

a a a x ba a a x ba a a x b


31 32 33a31 32 33a a a x31 32 33

Entonces las matrices escalonadas, segn el mtodo que se escoja, tendrn la siguiente configuracin:

11 12 13 1 11 1

22 23 2 22 2

33 3 33 3

MATRIZ ESCALONADA: MATRIZ ESCALONADA REDUCIDA:bajo la diagonal TODOS los trminos son 0 sobre y bajo la diagonal TODOS los t

0 00 0 00 0 0 0

a a a b a ba a b a b

a b a b

MATRIZ ESCALONADA:

33 30 0 33 3 0 0 33 3

rminos son 0ATRIZ ESCALONADA REDUCIDA:

33 333 3 3a b33 3330 0



Para hacer estas reducciones, hay tres operaciones matemticas vlidas NICAMENTE PARA LAS FILAS de las matrices aumentadas. Estas operaciones son similares a las utilizadas en el Mtodo de Gauss para el clculo de determinantes:

1- Multiplicar o dividir una fila por un nmero escalar diferente de cero. 2- Sumar o restar a una fila un mltiplo de otra, 3- Intercambiar (permutar) filas en la matriz.

Se muestra a manera de ejemplo, lo que es una matriz escalonada y una matriz escalonada reducida. La matriz aumentada del sistema La matriz aumentada del sistema

2 5 2 1 5es

5 3 4 5 3 4x yx y

11 1 1 1 11

2 5 es 2 1 1 53 2 24 3 2 1 24

x y zx y zx y z

su matriz escalonada ser su matriz escalonada ser

1117

54

53

101

210010

81

733

71

31

32

y su matriz escalonada reducida ser y su matriz escalonada reducida ser

1117

1119

1001

210050104001

MTODO DE GAUSS (ELIMINACIN GAUSSIANA)

Ejemplo 1.10: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el mtodo de Gauss. 11

2 53 2 24

x y zx y zx y z


11 1 1 1 112 5 2 1 1 53 2 24 3 2 1 24

x y z xx y z yx y z z

MatriMatriz A

333 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 13 2 1


1 1 1 11 1 1 1 112 1 2

2 1 1 5 0 3 1 173 1 3

3 2 1 24 0 1 2 9

F FF F

03 1 3113 1

3 1 3033 13 1

00

Se construye la matriz aumentada. En este caso el mtodo indicado implica calcular la matriz escalonada. Los clculos se empiezan anulando los trminos de la columna 1.



1 1 1 11 1 1 1 110 3 1 17 ( 2, 3) 0 1 2 90 1 2 9 0 3 1 17

P F F

( 2 3) 0( 2( 2

( 2, 3) 0( 2,( 2, 3) 0( 2( 2 3) 0( 2( 20

0

Una vez anulados los trminos de la columna 1, se puede pasar a anular los de la columna 2. An as en este caso, por conveniencia, se permutan las filas 2 y 3.

MATRIZESCALONADA!

1 1 1 11 1 1 1 110 1 2 9 3 2 3 0 1 2 90 3 1 17 0 0 5 10

F F

3 2 3 0223 3 02

3 2 3 03 2 3 03 2223 2 3 022

Se contina con la eliminacin de trminos, en este caso de la columna 2. Al hacer esto se llega directamente a la matriz escalonada deseado

11 42 9 55 10 2

x y z xy z y

z z

Con la ayuda de la matriz escalonada, se construye el sistema de ecuaciones mostrado. Al resolver el sistema, se est resolviendo el sistema de ecuaciones original.

Ejemplo 1.11: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el mtodo de Gauss.

2 8 6 204 2 2 2

3 11

x y zx y z

x y z

11 2 1 312

2 8 6 20 2 8 6 20 1 4 3 10 1 4 3 102 3

4 2 2 2 0 14 14 42 0 14 14 42 0 14 14 423 1 1 11 3 1 1 11 3 1 1 11 0 13 18 19

F F F FF

! !

!

1 12 32 314 5

MATRIZESCALONADA

1 4 3 10 1 4 3 10 1 4 3 1013

0 1 1 3 0 1 1 3 0 1 1 30 13 8 19 0 0 5 20 0 0 1 4

F FF F

!

! !

De la matriz escalonada, se construye el sistema de ecuaciones y se resuelven las variables: 4 3 10 2

3 14 4

x y z xy z y

z z



MTODO DE GAUSS-JORDAN

Ejemplo 1.12: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el mtodo de Gauss.

32332

1123

yzxyxz

xy


2 3 0 11 2 3 0 112 1 1 1 2

3 2 3 3 3 2 3 3


MatrMatriz A

3 33 33 2 33 2 33 2 33 2 33 2 33 23 23 2


2 3 0 11 1 1 1 21 1 1 2 ( 1, 2) 2 3 0 113 2 3 3 3 2 3 3

P F F

( 1 2)( 1( 1

( 1, 2)( 1,( 1, 2)( 1( 1

Se pueden intercambiar filas. En este caso permutan fila 1 por fila 2, para ubicar favorablemente el neutro multiplicador.

1 1 1 2 1 1 1 22 3 0 11 2 1 2 0 5 2 153 2 3 3 3 2 3 3

F F

2 1 2111

2 1 22 1 211

Se multiplica fila 1 por 2 y se le suma a la fila 2, para anular los trminos de la columna 1.

1 1 1 2 1 1 1 20 5 2 15 3 1 3 0 5 2 153 2 3 3 0 1 6 3

F F

3 1 3113 1

3 1 33 1 33 13 13 1

Se multiplica fila 1 por -3 y se le suma a la fila 3, para anular el ltimo trmino de la columna 1.

1 1 1 2 1 1 1 20 5 2 15 ( 2, 3) 0 1 6 30 1 6 3 0 5 2 15

P F F

( 2 3)( 2( 2

( 2, 3)( 2,( 2, 3)( 2( 2

Se permutan fila 2 por fila 3, para ubicar de nuevo en posicin favorable al neutro multiplicador.

1 1 1 2 1 0 5 10 1 6 3 1 2 1 0 1 6 30 5 2 15 0 5 2 15

F F

1 2 1221 2 122

1 2 11 2 121 2 122


1 0 5 1 1 0 5 10 1 6 3 5 2 3 0 1 6 30 5 2 15 0 0 28 0

F F

5 2 3225 2 322

5 2 35 2 3225 2 322

Se multiplica fila 2 por 5 y se le suma a la fila 3, para anular el ltimo trmino de la columna 2.



128

1 0 5 1 1 0 5 10 1 6 3 3 0 1 6 30 0 28 0 0 0 1 0

F

3

1

28 3 128 3 1 3

Se multiplica por -1/28 la fila 3 para lograr el neutro multiplicativo y facilitar la anulacin de trminos en la columna 3.

1 0 5 1 1 0 5 10 1 6 3 6 3 2 0 1 0 30 0 1 0 0 0 1 0

F F

6 3 2336 3 233

6 3 26 3 23336 3 233


1 0 5 1 1 0 0 10 1 0 3 5 3 1 0 1 0 30 0 1 0 0 0 1 0

F F

5 3 1335 3 133

5 3 15 3 1335 3 133

Se multiplica fila 3 por 5 y se le suma a la fila 1, para anular el ltimo trmino de la columna 3.

1 0 0 1 1 0 0 11 1

0 1 0 3 0 1 0 31 2

0 0 1 0 0 0 1 0

FF

01 21

1 20211

00

1 0 0 1 10 1 0 3 30 0 1 0 0


Se multiplica por -1 las filas 1 y 2, de forma que se llegue a la matriz identidad, y as poder reconstruir las 3 ecuaciones que dan el resultado final.

Ejemplo 1.13: Resuelva el sistema de ecuaciones mostrado por el mtodo de Gauss-Jordan.

2 07 2 63 5 12

x y zx y z

x y

1 2 1 1 3

1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 01 1 3

1 7 2 6 0 9 3 6 0 9 3 6 3 5 0 12 3 5 0 12 3 5 0 12

F F F F F

! ! !

1 4

3 312 229 1 2 1 2

3 3 3 3

1 2 1 0 1 2 1 0 1 02 1 11 3

0 9 3 6 0 1 0 1 0 11 3 12 0 11 3 12 0 11 3 12

F F F FF

! !

!

1 4 1 4 1 4

3 3 3 3 3 33 1 13 2 3 13 3 321 2 1 2

3 3 3 3

2 143 3

1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 3 0 0 0 0 1 7 0 0 1 7

F F F FF

! !!

1 0 0 1 1 0 0 1 10 1 0 3 0 1 0 3 30 0 1 7 0 0 1 7 7




Ejercicios de Prctica Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones, utilizando tanto el Mtodo de Cramer como los Mtodos de Gauss y Gauss-Jordan.

44)

2 04 3 2 22 3 0

x y zx y zx y z

R/

12

8

21

xyz

45)

3 2 112

3 3 2 3

y xz x y

x z y

R/

28130

xyz

46)

2 132 8

3 13

a b ca ba b c

R/

9234

abc

47)

2 3 4 43 2 6 75 7 8 9

x y zx y zx y z

R/

1432

1

xyz

48)

2 02 12 3 2

x y zx zx y z

R/

115

3

xyz

49)

62 7 33 7 8 57 2 3 7

x y z wx y zx y z wx y z w

R/

1148

59120

1330

45780

240xyz

w

50)

2 22 1

2 2 3 11

x y z wx y z

x y wx y

R/

73

43

13

6

1

xy

zw

51)

2 3 4 12 2 1

03 2 3

x y zx z w

w y zx y z w

R/

935

23

xyz

w

52)

2 62

2 52 3

x y zx y z w

x y z wy z w

R/

212112

xy

zw

53)

4 3 4 08 3 10

22 2

x y z wx y

y zx w y

R/

12

12

243

xyz

w

54)

2 2 23 2 52 5 3 4

x y zx y zx y z

R/

55211

xy

z

55)

2 2 23 2 5

4 6 0

x y zx y z

x y z

R/

18211

xy

z

56)

2 5 3 32 4 23 9

2

x z yy w zy x z

x w y

R/

362324

xyzw

57)

3 7 9 44 4 7

2 3 02 4 6 6

w x y zw x y z

w y zw x y z

R/

16

1071

xyzw



1.5 Matriz inversa Una matriz cuadrada que posee inversa se dice que es invertible o regular; en caso contrario recibe el nombre de singular. Matriz inversa A-1: Se dice que una matriz B es inversa de otra matriz A si se cumple que AB=I, es decir, que el producto de las 2 matrices da como resultado la matriz identidad. La inversa de una matriz se simboliza por A-1. Se puede calcular de 3 formas: A partir de la definicin Por el mtodo de reduccin de Gauss Por determinantes

Clculo de la matriz inversa usando determinantes

11 11 12 12 13 131

21 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

1 donde:

det( )

TADJ ADJ

c M c M c MA M M c M c M c M

Ac M c M c M

Siguiendo el desarrollo que propone la ecuacin anterior, se deberan seguir los siguientes pasos:

1. Calcular el determinante de la matriz, det A . 2. Formar la matriz adjunta, MADJ, donde cada elemento es el producto del cofactor por el menor de la

posicin en estudio. Note que el tamao de MADJ es el mismo que el tamao de A. 3. Transponer la matriz MADJ, formando as la matriz (MADJ)T. 4. Multiplicar esta nueva matriz, la (MADJ)T, por el inverso del determinante, es decir 1/ det A .

Propiedades de la inversin de matrices Una matriz es invertible si y slo si el determinante de A es distinto de cero:

det 0A " La matriz inversa, si existe, es nica El producto de una matriz por su inversa, o viceversa, da como resultado la matriz identidad I:

1 1A A A A I La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas, pero cambiando el orden:

1 1 1A B B A Para una matriz dada, la inversa de su inversa da como resultado nuevamente la matriz original:

11A A

Un escalar por una matriz, cuyo resultado se eleva a la -1, equivale a multiplicar el recproco del escalar

por la inversa de la matriz original:

1 11k A Ak

Si la matriz es invertible, tambin lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa:

1 1 TTA A



INVERSA DE UNA MATRIZ DE 2DO ORDEN

Ejemplo 1.14: Calcule la inversa de la matriz de 2x2 1 24 3

A

Se calcula el determinante de la matriz, para verificar que sea distinto de cero. De ser as, este dato se requiere ms adelante en el clculo de la inversa.

1 2det 1 3 4 2 det 11

4 3A A

Se calcula la matriz de menores de A y se multiplica por los cofactores:

11 11 12 12

21 21 22 22

13 141 2 11

ADJ

ADJ

c M c MM

c M c M

M

Se transpone la matriz calculada anteriormente:

3 4 3 22 1 4 1

TADJ ADJM M

Finalmente, se efecta el clculo de la matriz inversa segn la frmula:

3 21 1 11 111

11 4 111 11

3 21 4 1det( )

TADJA M AA

INVERSA DE UNA MATRIZ DE 3ER ORDEN EN ADELANTE

Ejemplo 1.15: Calcular la inversa de la matriz B: 3 5 32 4 23 1 9

B

3 5 3 3 5 3 3 5det 2 4 2 2 4 2 2 4

3 1 9 3 1 9 3 1det 108 30 6 90 6 36 12det( ) 12

B

BB

Primer requisito para calcular la inversa de B, es que su determinante sea distinto de cero. Se calcula con la Regla de Sarrus.



11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31

4 2 2 4 2 4 (1) ( 1)

1 9 3 9 3 15 3 3 3 3 5

( 1) (1) ( 1)1 9 3 9 3 1

5 3 (1)

4 2

ADJ

ADJ

c M c M c MM c M c M c M

c M c M c M

c M c M c M

M c M c M c M

c M

32 32 33 33

3 3 3 5 ( 1) (1)

2 2 2 4

34 12 1042 18 122 0 2

ADJ

c M c M

M

Se construye la matriz adjunta de B. Cada elemento de la matriz adjunta es el producto del cofactor por el menor de la posicin del elemento. En la primera lnea se muestra el planteamiento de M, en la segunda lnea se muestra el planteamiento matemtico, y finalmente en la tercera lnea se muestran los resultados.

34 12 10 34 42 242 18 12 12 18 02 0 2 10 12 2

TADJ ADJM M

Una vez obtenida M, se calcula su transpuesta.

17 7 16 2 6

1 11 3212

5 16 6

34 42 21 12 18 0 1 0

det( )10 12 2 1

TADJB M BB

Aplicando el concepto de matriz inversa, se calcula la inversa de la matriz B.

Ejercicios de Prctica Calcule la matriz inversa de las siguientes matrices.

58) 2 11 1

A

R/ 11 11 2

A

59) 3 12 1

A

R/ 11 12 3

A

60) 2 1

Aa a

R/ 111

21aA

a

61) 32

bA

b

R/ 132

1 1b bA

62) 5 25 4

A

R/ 12 1

5 51 1

2 2A

63) 3 7

4 5A

R/ 15 7

43 4334

43 43A

64) 3 01

Aa

R/ 11 031 1

3A

a a



Ejercicios de Prctica Calcule la matriz inversa de las siguientes matrices.

65) 3 5 32 4 11 2 0

A

R/ 12 6 71 3 3

0 1 2A

66) 1 1 10 2 12 3 0

A

R/ 13 3 12 2 14 5 2

A

67) 2 3 43 2 65 7 8

A

R/

13 527 7 7

1 27 2 127 7 7

31 13114 14 14

A

68) 1 1 13 2 13 1 2

A

R/

5 317 7 7

1 9 1 47 7 7

3 2 17 7 7

A

69) 1 2 41 3 2

5 0 6A

R/

9 6 843 43 43

1 13 3243 43 43

15 5 186 43 86

A

1.6 Sistemas de Ecuaciones: Mtodo de Matriz Inversa El concepto de matriz inversa se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones. Aunque puede resultar laborioso hacer la inversa de una matriz, la utilidad del mtodo se aprecia cuando hay que resolver varios sistemas de ecuaciones con la misma matriz de coeficientes, ya que se usa una misma inversa. Ya se vio que un sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo de 3 ecuaciones y 3 incgnitas, se expresa en forma matricial como:

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3


independientes

a a a x bA X B a a a x b

a a a x b


31 32 33a31 32 3332 33a a a x31 32 3332 33

Por lo tanto, si se quiere despejar la matriz de incgnitas X, se tendra:

11

2

3Esta operacines el clculo dela inversa de A

1det( )

TADJ

bBX X A B M bA A

b

Esta operacin

2

det( )det(

) ADJdet(b

3b33b3

En otras palabras, la solucin del sistema de ecuaciones dado, se obtiene al multiplicar la inversa de la matriz de coeficientes, por la matriz de trminos independientes:

1X A B



Ejemplo 1.16: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 0

3 5 127 2 6

x y zx y

x y z

1


2 0 1 2 1 03 5 12 3 5 0 12 ,

7 2 6 1 7 2 6

x y z xx y y X A B

x y z z

MatrizMatriz A

771 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 21 7 2

Se reescribe el sistema en forma matricial, para identificar adecuadamente las matrices A, X y B

1 2 1 1 2 1 1 2det 3 5 0 3 5 0 3 5

1 7 2 1 7 2 1 7det( ) 10 0 21 5 0 12 6

A

A

Primer requisito para calcular la inversa de A, es que su determinante sea distinto de cero.

11 11 12 12 13 13

21 21 22 22 23 23

31 31 32 32 33 33

5 0 3 0 3 5 (1) ( 1)

7 2 1 2 1 72 1 3 3 1 1

( 1) (1) ( 1)7 2 1 0 2 72 5 1 1 1 2

(1) ( 1) (1)1 0 3 0 3 5

10 6 163 3 95 3 11

ADJ

ADJ AD

c M c M c M

M c M c M c M

c M c M c M

M M

10 3 56 3 3

16 9 11

TJ

Se construye la matriz adjunta de A. Cada elemento de la matriz adjunta es el producto del cofactor por el menor de la posicin del elemento. Una vez obtenida la matriz adjunta, se construye su transpuesta.

5 513 2 6

1 11 1 12 26

8 3 113 2 6

10 3 51 6 3 3 1

det( )16 9 11

TADJA M AA

Aplicando el concepto de matriz inversa, se calcula la inversa de la matriz A.

5 5 5 51 13 2 6 3 2 6

1 1 1 1 12 2 2 2

8 3 8 311 113 2 6 3 2 6

0 0 12 61 12 1 0 12 6

6 0 12 6

1 13 3

7 7

X A B

x xX y y

z z



Ejercicios de Prctica Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones utilizando el Mtodo de Matriz Inversa.

70)

02 5 65 3

x y zx yy z

R/

5 6 517 17 17

1 2 1 217 17 1710 5 717 17 17

921 1217 17 17, ,

A

x y z

71)

2 5

4 2 15

3 2 7

x y

x y z

x y z

R/

8 1 211 11 11

1 5 2 411 11 11

914 111 11 11

1, 3, 2

A

x y z

72)

2 3 4 4

3 2 6 7

5 7 8 9

x y z

x y z

x y z

R/

13 527 7 7

1 27 2 127 7 7

31 13114 14 14

3, 2, 1

A

x y z

73) 73103

2

3 2

3 2

x y z

x y z

x y z

R/

5 317 7 7

1 9 1 47 7 73 2 17 7 7

1 23 3, 1,

A

x y z

Matemtica Cap. 2: Funciones Universitaria Exponenciales y Logartmicas


2. FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARTMICA

En este captulo definiremos las funciones exponencial y logartmica. Para ellos se estudian sus propiedades y se plantea la forma de resolver ecuaciones que involucran estas funciones. El concepto de funcin fue introducido por Ren Descartes, como una regla de correspondencia entre dos conjuntos de nmeros. Es decir, establece una relacin de modo que a cada nmero x del primer conjunto, le corresponde un nmero y del segundo conjunto Las funciones lineales, cuadrticas y racionales se conocen como funciones algebraicas. Las funciones algebraicas son funciones que se pueden expresar en trminos de operaciones algebraicas. Si una funcin no es algebraica se llama una funcin trascendental. Las funciones exponenciales, logartmicas y trigonomtricas son funciones transcendentales:

Funciones algebraicas

Lineal

Funciones Trascendentales

Exponencial

Cuadrtica Logartmica

Racional Trigonomtrica Las funciones trascendentales tienen aplicaciones en casi cualquier campo de la investigacin humana. En qumica, fsica, biologa, ingeniera, ayudan a explicar la manera en que se dan ciertos fenmenos en la naturaleza, as como a explicar el comportamiento de materiales. El crecimiento bacteriano, la desintegracin radiactiva, la concentracin de medicamentos en el flujo sanguneo, la escala de Richter, leyes de Newton, el clculo de inters compuesto en matemtica financiera, todos estos temas requieren el uso de las funciones exponencial y logartmica.

2.1 Funciones y ecuaciones exponenciales.

FUNCIN EXPONENCIAL Una funcin exponencial tiene la forma:

( ) 01

donde: xb

f x b bb

#

$

"

Est compuesta de una base b y el exponente x. La funcin exponencial no est definida para bases negativas. Ejemplos:

( ) 2xf x

12( )

xf x Note, de la figura anterior, que la funcin exponencial puede ser creciente o decreciente, y esto depende de la base b, segn se indica a continuacin:

Cuando la base b > 1, entonces ( ) xf x b es una funcin creciente. Ejemplo: ( ) 2xf x

Cuando la base 0< b < 1, entonces ( ) xf x b es una funcin decreciente. Ejemplo:

12( )

xf x



La funcin exponencial de base e Al igual que %, otro nmero irracional muy utilizado es e 2.718281828. La notacin e para este nmero fue dada por Leonhard Euler (1727). El nmero e tiene gran importancia en las Matemticas, siendo que no es racional (no es cociente de dos nmeros enteros) y es el lmite de la sucesin:

1 11 , , lim 1es decirn n

ne

n n!&

Para un nmero real x, la ecuacin ( ) xf x e define a la funcin exponencial de base e, conocindose tambin como una funcin exponencial natural. La grfica de ( ) xf x e tendra la forma:

El dominio de ( ) xf x e es el conjunto de los nmeros reales y su rango es el conjunto de los nmeros reales positivos. Como 2 < e < 3, la grfica de ( ) xf x e est entre las de ( ) 2xf x y ( ) 3xf x , como se ilustra a continuacin:

ECUACIONES EXPONENCIALES DE IGUAL BASE Siempre que sea posible, para resolver ecuaciones exponenciales es conveniente expresar los miembros de la ecuacin como potencias de la misma base. Esto sugiere que el procedimiento de solucin sera el siguiente:

1. Determinar la base comn que tienen los trminos de la ecuacin. 2. Partiendo de las propiedades de las potencias, pasar las bases de los trminos de la ecuacin a la

base comn definida en el paso anterior. 3. Dentro de lo posible, reducir la ecuacin a nicamente 2 trminos, uno a cada lado del signo igual.

Esto permite tener claridad que si las bases son igual, para que se cumpla la igualdad, entonces los exponentes deben ser iguales tambin.

4. Del razonamiento anterior, una vez igualadas las bases, se puede construir una nueva ecuacin que nace de igualar los exponentes.

5. Se soluciona esta nueva ecuacin, con lo que se encuentra tambin la solucin de la ecuacin original.

0

5

10

15

20

25

-4 -2 0 2 4

( ) 3

( )( ) 2

x

x

x

f x

f x ef x



Debido a esta ventaja matemtica de trabajar con propiedades de las potencias, antes de resolver ecuaciones de tipo exponencial, es necesario recordar algunas de estas propiedades. Tambin se indican algunas propiedades de los radicales, en combinacin con los exponenciales:

Propiedad Ejemplo Propiedad Ejemplo

m n m na a a 5 2 5 2 73 3 3 3 n n

n

a ab b

3 3

3

2 2 85 1255

mm n

n

a aa

55 2 3

2

4 4 44

1n

na a

3

3

1 1282

( )n n na b a b 3 3 3(2 5) 2 5 n

nn

a ab b

33

3

8 8 227 327

( )m n m na a 2 5 2 5 10(4 ) 4 4 n n na b a b 33 32 7 2 7 mn n ma a

12 1 33 32 32 27 7 7 7 m n m na a 3 5 3 5 152 2 2

Otra propiedad muy til en la solucin de ecuaciones exponenciales es 0 1a

Ejemplo 2.1: Resuelva la ecuacin: 13 81x

Note la configuracin exponencial de la ecuacin.

1 43 3x La base comn de los trminos es 3. Usando propiedades exponenciales, se pasan todos los elementos a esa base.

1 4

4 1 3

x

x x

Para que se cumpla la igualdad, si las bases son iguales, los exponentes tambin. Por lo tanto igualamos exponentes. La nueva expresin es usualmente una ecuacin sencilla de resolver, en este caso una ecuacin lineal.

1

3 1

4

3 813 813 81 81 81

x

Se comprueba el resultado.

/ 3R x Respuesta final



Ejemplo 2.2: Resuelva la ecuacin:

2 2

3

1x xe ee


2

2

2 3

2 3

x x

x x

e e e

e e

La base comn de los trminos es e. Usando propiedades exponenciales, se simplifica la expresin hasta que quede nicamente un elemento a ambos lados del =. En este caso se inici quitando los elementos del denominador.

2

12

2

2 3

32 3 0

1

x x

xx x

x

Al haber igualado las bases, para que se cumpla la igualdad, podemos igualar los exponentes tambin. Se resuelve la nueva expresin.

2 2 23 3 1 13 3

9 6 1 23 3

9 9 1 1

3 : 1:1 1

1 1

Para Para x x

e e e ee e

e e e ee e

e e e e

Se comprueban ambos resultados.

3/

1

xR

x

Respuesta final

Ejemplo 2.3: Resuelva la ecuacin: 2

4 28 1

1 12 2 022

x xx


28 1 4 2 1

16 2 4 2 1

20 2 2 1

2 2 2 2

2 2 2 22 2

x x x

x x x

x x

La base comn de los trminos es 2. Usando propiedades exponenciales, se simplifica la expresin hasta que quede nicamente un elemento a ambos lados del =. En este caso se inici quitando los elementos del denominador.

118

20 2 2 1

20 2 1 2

18 1

x x

x x

x x

Al haber igualado las bases, para que se cumpla la igualdad, podemos igualar los exponentes tambin. Se resuelve la nueva expresin.

118/R x

Se comprueba el resultado y se obtiene la respuesta final (se omite el detalle de la comprobacin).



Ejercicios de Prctica Resuelva las siguientes ecuaciones exponenciales: 1) 3 27x R/ 3x 2) 2 52 128x R/ 6x

3) 2 23 81x x R/ ' (2,3x#

4) 2 2 152 1x x R/ ' (3,5x#

5) ( 2 1) 155

x x R/

' (

12 ,1x#

6)

2 22 6 2 8125 625 0x x x x R/ ' (

2.216, 7.216x#

7)

2 2 3(3 ) 3 3xx

R/ 1x

8)

32 112 8 2

x x R/ 12x

9)

23

3( 2) 2 1128 8 2

x x R/ 6x

10) 212 5 23 9 0

xx

R/ 27x

11)

1 21 2 7

x xx xe e e

R/ ' (

65 , 3x#



2.2 Funciones y ecuaciones logartmicas. Los logaritmos fueron desarrollados por el matemtico escocs John Neper y publicados en 1614. Neper buscaba una forma de realizar multiplicaciones y divisiones mediante sumas y restas, mucho ms fciles de realizar para la poca. As cre un grupo de nmeros artificiales que sustituan a cada nmero real. En otras palabras, a cada nmero real le corresponde un nmero artificial al que llam logaritmo. Los logaritmos creados por Neper se basan en el nmero irracional e 2.718281828. Poco despus, en 1617, el matemtico Henry Briggs adapt los logaritmos de Neper (conocidos tambin como neperianos) a base 10, que resultan ms convenientes. En base 10, el logaritmo de 1 es 0, el logaritmo de 10 es 1, el logaritmo de 100 es 2 y as sucesivamente. Pero lo ms importante es la propiedad que permite calcular productos simplemente mediante la suma de los logaritmos de los factores:

log log logb b ba c a c

FUNCIN LOGARTMICA La funcin logartmica se denota de la siguiente forma:

logbase

donde:argumento

b xbx

y se lee como logaritmo de x con base b. Los logaritmos comunes son los logaritmos de base 10:

10log( ) log ( )x x (es la tecla log en las calculadoras) Los logaritmos naturales son los logaritmos de base e:

ln( ) log ( )ex x (es la tecla ln en las calculadoras) Note que las funciones exponencial ( ) xf x b y logartmicas ( ) log( )f x x son inversas, para b >0 y b "1. Las funciones exponencial y logartmica son funciones inversas de manera que:

log ( ) yby x b x ) As por ejemplo:

-3

-2

-1

0

1

2

3

0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

-4 -2 0 2 4

2( ) log ( )f x x ( ) 2

xf x El dominio de ( ) 2xf x es el conjunto de los nmeros reales, mientras que el dominio de 2( ) log ( )f x x es el conjunto de los nmeros reales mayores que cero



Para resolver ecuaciones exponenciales de diferente base y ecuaciones logartmicas se deben manejar correctamente las propiedades de los logaritmos

Propiedad Propiedad log ( ) log ( ) log ( )b b bx y x y log 1 0 ln 1 0b

log log ( ) log ( )b b bx x yy

log 1 ln 1b b e

log log ( )nb bx n x log lnn n

b b n e n

logloglogb

xxb

logb xa x

Uso de la calculadora para el clculo de logaritmos y exponenciales. Con las calculadoras se pueden calcular directamente los logaritmos, usando las teclas indicadas en la siguiente figura:

Ejemplos:

0.30103 0.69315

0.30103 0.69315

log 2 0.30103 10 2 ln 2 0.69315 2log 0.5 0.30103 10 0.5 ln 0.5 0.69315 0.5

ee

) )

) )

Cuando se necesita calcular un logaritmo con base diferente a 10 o a e se requiere usar la propiedad de cambio de base:

logloglogb

xxb

Ejemplos:

7 3log 2 0.301030 log10 1log 2 0.35621 log 10 2.09590log7 0.845098 log3 0.477121

Ejercicios de Prctica 12) 5log 3y R/ 0.68261y 13) 1.8log 0.5y R/ 1.17925y

14) 1852

logy R/ 2.26941y

15) log 3y e%

R/ 1.83328y

16) 3ln 3 ln , 3 si

x

x

xy x

e

R/ 0.05470y

17)

/2 2ln , 2ln

si x

x

e xy xx e

R/ 0.46625y



CASO ESPECIAL: ECUACIN EXPONENCIAL CON DIFERENTE BASE En el caso de ecuaciones donde las bases de las expresiones son diferentes, se aplican logaritmos naturales a ambos lados de la ecuacin. Veamos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.4: Resuelva la ecuacin: 2 3 25 3x x

Note que las bases de las expresiones exponenciales no son iguales.

2 3 22 3 2ln5 ln3 ln 5 ln 3x xx x Aplicar funcin ln( ) a ambos lados de la ecuacin.

( 2) ln5 3 2 ln3ln5 2 ln5 3 ln3 2 ln3

x xx x

Se resuelve la ecuacin aplicando ahora propiedades logartmicas, con el objetivo de transformar la ecuacin en otra que facilite el despeje de x.

ln 5 3 ln 3 2 ln 3 2 ln 5ln 5 3 ln 3 2 ln 3 2 ln 52 ln 3 2 ln 5 2.197 3.219 3.212

ln 5 3 ln 3 1.609 3.296

x xx

x x

*

Se reacomoda la ecuacin para despejar x.

/ 3.212R x * Se comprueba el resultado y se obtiene la respuesta final (se omite el detalle de la comprobacin).

Ejemplo 2.5: Resuelva la ecuacin: 21 15

40x

Note que las bases de las expresiones exponenciales no son iguales.

22 11 1 1ln5 ln ln 5 ln40 40

xx

Aplicar funcin ln( ) a ambos lados de la ecuacin.

21

2

2

2 2

1ln 5 ln40

(1 ) ln 5 ln1 ln 40ln 5 ln 5 0 ln 40

ln 5 ln 40ln 5 ln 40 ln 5ln 5

x

xx

x x

Se resuelve la ecuacin aplicando ahora propiedades logartmicas, con el objetivo de transformar la ecuacin en otra que facilite el despeje de x.

ln5 ln 40 1.81440ln5

x x * + Se reacomoda la ecuacin para despejar x.

/ 1.81440R x * + Se comprueba el resultado y se obtiene la respuesta final (se omite el detalle de la comprobacin).



Ejemplo 2.6: Resuelva la ecuacin: 1 2 11 3 9 10

9x x

x

Caso especial de ecuaciones con ms de un trmino que se suma o resta.

2 1 2 2(1 )3 3 3 10x x x Las bases son mltiplo de 3, por lo tanto se reescribe la ecuacin.

2 1 2 2(1 )

2 1 2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 103 3 3 103 3 3 3 3 10

x x x

x x x

x x x

Por propiedades exponenciales se logra obtener una expresin exponencial comn en todos los sumandos de la ecuacin.

2 2

2

3 1 3 3 1010313

x

x

Se calcule el factor comn, para luego resolver la ecuacin. Esta ltima result ser una ecuacin exponencial de diferente base.

2 10ln 3 ln13

102 ln 3 ln13

0.2622 0.1191.099

x

x

x x

Se inicia aplicando la funcin de logaritmo natural, para luego aprovechando las propiedades logartmicas, calcule el valor de x.


Ejemplo 2.7: Resuelva la ecuacin: 8 5 212 0x x xe e e

Caso especial de ecuaciones con ms de un trmino que se suma o resta.

22 6 3

6 3

0( 12) 0

12 0a) b)

xx x x

x x

ee e e

e e

Se factoriza la ecuacin con el trmino adecuado. Note que queda una expresin tipo 0a b , de la cual se saca provecho matemtico.

2 0 No tiene solucin!xe Resolviendo el caso a), esta ecuacin no tiene solucin, ya que un trmino exponencial no puede dar 0.

6 3

3

312

32

12 0,

4 412 0

3 3

Si se forma una cuadrtica:

x x

x

x

x

e ee z

z ez z

z e

Resolviendo el caso b), por medio de una adecuada sustitucin la ecuacin se resuelve como una cuadrtica. De los dos resultados obtenidos, el 1 4z no tiene solucin, ya que al igualarlo con el trmino exponencial, sabemos que estos no pueden ser cero o negativos.



3

3

3ln( ) ln 3

3 ln( ) ln 3ln 33 ln 3 0.366

3

x

x

eex e

x x

Resolviendo para 2 3z , se trabaja como una ecuacin exponencial con bases distintas. Se inicia aplicando la funcin de logaritmo natural, para luego aprovechando las propiedades logartmicas, calcule el valor de x.


Ejercicios de Prctica

18) 3 21x R/ 2.77x

19) 2

3 5x x R/ ln 50,ln 3

x ,# -

.

20) 2

3 7x R/ ln 7ln 3

x +

21) 2 3 25 3 0x x R/ 3.21x

22) 2 1 25 6 0x x R/ 3.64x

23) 1 4 12 3 0x x R/ 0.484x

24) 5 3 2 12 3x x R/

38

329

lnln

x

25) 2 1 210 20x x R/ 5.15x

26) 4 163 2x x R/ 38.19x

27) 25 1 111 13x x R/ 0.398x

28) 1 3

21 19 2 2 03 4

x xx x

R/ 0.215x

29) 1 3

21 19 8 2 03 4

x xx x

R/ 1.181x

30) 1 2

6 332

7

xx

R/ 0.50x

31)

13

121 3

1

6 12 2 0

236

xx

R/ 0.140x

32)

4 3 22 2

7 5 2 32 4

1 2 7 116

2 7 492

x xx

x x xx

R/ 0.158x

33) 2 13 9 4x x R/ 0.417x



34) 1 2 14 2 4 12x xx R/ 0.389x

35) 1 4 2 1(1 2 )4 2 4 20x xx R/ 14x

36) 1 2 11 3 9 109

x xx

R/ 0.119x

37) 1 2 11

7 49 10 049

x xx

R/ 0.447x

38) 1 1 411 2 23 6630 65619 81 x x

xx

R/ 0x

39) 8 5 235 0x x xe e e R/ 0.563x

40) 8 43 10 0x xe e R/ 0.402x

41) 6 33 28 0x xe e R/ ln 73

x

42) 5 125 5 30x x R/ ' (

1, 2x#

43) 5 5 6x x R/ 1.130x

44) 22 18 (2 ) 32x x R/ ' (

1, 4x#

45) 23 (3 ) 28 (3 ) 9 0x x R/ ' (

1, 2x#

46) 22 2 1 1x x R/ 1x

47) 24 8 4 3 0x x R/ 1.532x

48) 4 3 4 8x x R/ 1.532x

49) 23 3 9 3 28 0x x R/ 1.447x

50) 2 6 2 6 0x x R/ 2.781x

51) 24 3 0x xe e R/ 0.288x

52) 2 ln 4 3x xe e R/ 0.288x

53) 2 ln5 6x xe e R/ 0.182x

54) 1 2

71 2 0x xx xe e e

R/ ' (

653,x#

55)

2 22 2 2 0x xx x e x e R/ ' (

1,0,1x#



DESARROLLO DE LOGARITMOS EN VARIOS MS SIMPLES Por conveniencia para desarrollar los clculos, muchas veces en conveniente transformar un logaritmo, cuya expresin luce complicada, en varios logaritmos mucho ms simples. Esto se logra aplicando propiedades logartmicas, tal como lo muestra el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2.8: Desarrolle el logaritmo mostrado en varios ms simples: 3

3 4log

3

x y

z

13

3

4log

3

x y

z

Las formas radicales se pasan a la forma exponencial

1 43 3

3

log3

x y

z

Se aplica la propiedad de una potencia elevada a un exponente.

1 43 33log log 3x y z Se aplica la propiedad de logaritmo de una divisin que equivale a una resta.

1 43 33log log log log3x y z

Se aplica la propiedad de logaritmo de una multiplicacin, que equivale a una suma.

1 43 3log log log log3 3x y z

matemática universitaria conceptos y aplicaciones generales volumen 2

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