matemÁtica financiera - … · promedios cantidades representativas de un conjunto de valores...
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RAZONES Y PROPORCIONES
RAZÓN Se llama razón a la comparación de dos
cantidades. Esta comparación se puede
hacer de dos maneras:
Razón Aritmética (r):
Es la comparación entre dos cantidades por
medio de una diferencia.
. a – b . a : Antecedente
b: Consecuente
Razón Geométrica (k):
Es la comparación entre dos cantidades por
medio de un cociente.
.b
a. a : Antecedente
b: Consecuente
PROPORCIÓN Dado cuatro números diferentes de cero, en
un cierto orden, formarán, una proporción, si
la razón de los primeros es igual a la razón
de los últimos. Esta proporción puede ser:
aritmética, geométrico armónico
Proporción Aritmética o Equidiferencia
Si a – b = r y c – d = r, entonces:
. a – b = c – d . . a + b = c + d .
CLASES
Discreta Cuando todos los términos son diferentes
entre sí donde:
. a – b = c – d . . d: 4ta diferencial .
Continua Cuando los términos medios son iguales:
. a – b = b – c . .2
cab
.
.encialera. difer3c:
ritmética o media aiferencialb: media d
Proporción Geométrica o Equicociente:
Si: b
a = k y
d
c = k entonces
NOTA: . a . d = b . c .
.d
c
b
a .
Extremos:d,a
Medios:c,b
CLASES Discreta Cuando los términos son diferentes sí donde:
.d
c
b
a . . d: 4ta proporcional .
Continua Cuando los términos medios son iguales
.c
b
b
a .
NOTA:
. a . c = b2. . c.ab .
rcionalera. propo3c:
geométrical o media roporcionab: media p
SESIÓN N° 07
SERIE DE RAZONES GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
Se denomina así al conjunto de más de dos
razones que tiene el mismo valor
. kb.....bbb
a.....aaa
n321
n321
.
.n
n321
n321 kb............bbb
a.............aaa
.
Ejemplo: 1 / 2 = 2 / 4 = 3/ 6 = 4 / 8 = 0,5
En general definimos la serie:
. kb
a...............
b
a
b
a
a
a
n
n
3
3
2
2
2
1 .
donde:
a1, a2, a3, ......... an : Antecedentes
b1, b2, b3, ......... bn: Consecuentes
k : Constantes de
1. Hallar la 3ra diferencial de 17 y 12
Rpta. 7
2. Hallar la 4ta diferencial de 10,7 y 5
Rpta. 2
3. Dos números están en relación de 3 a 7
(o forman una razón de 3/7) y su suma
es 400. Hallar el mayor de los números.
Rpta. 280
4. Halla “b” Si: 8c
5b
7a
Además: a + 2b + 3c = 205
Rpta. 35
5. La diferencia de 2 números es 244 y
están en relación de 7 a 3. ¿Cuál es el
mayor de los números?
Rpta. 427
6. Si Juan le da a Pedro 10m de ventaja
para una carrera de 100m; y Pedro le da
a Carlos una ventaja de 20m para una
carrera de 180m. ¿Cuántos metros de
ventaja debe de dar Juan a Carlos para
una carrera de 200m?
Rpta. 40 m
7. Lo que cobra y lo que gasta diariamente
un individuo suman S/. 60, lo que gasta
y lo que cobra está en relación de 2 a 3.
¿En cuánto tiene que disminuir el gasto
diario para que dicha relación sea de 3 a
5?
Rpta. S/. 2, 4
8. Un cilindro de 60lit. de capacidad, fue
llenado completamente por 4 recipientes
donde el volumen del primero es al
segundo como el tercero es al cuarto
como 2 es a 1. Hallar la suma de los
volúmenes del segundo y cuarto
recipiente.
Rpta. 20 lit.
9. La relación entre 2 números es de 11 a
14. Si a uno de ellos se le suma 33
unidades y al otro se le suma 60
entoncesambos resultados serían
iguales. Hallar dichos números
Rpta. 99 y 126
10. Dos números están entre sí como 7 es a
12. si al menor se le suma 70, para que el
valor de la razón no se altere, entonces el
valor del otro número debe triplicarse.
Hallar el mayor de los 2 números
Rpta. 60
11. Determine la tercia proporcional entre la
media proporcional de 9, 16 y la cuarta
proporcional de 10, 15 y 14
Rpta. 36, 75
12. En una asamblea estudiantil de 2970
estudiantes se presentó una moción. En
una primera votación por cada 4 votos a
favor habían 5 en contra Pedida la
reconsideración se vio que por cada 8
votos a favor habían 3 en contra.
¿Cuántas personas cambiaron de
opinión?. No hubo abstenciones. Rpta. 840
13. La suma de dos números es 640 y su
razón geométrica es 17/23. Calcula el
mayor de ellos.
Rpta. 368
14. En una proporción geométrica continua
el producto de los 4 términos es 1296 y
el producto de los antecedentes es 24.
hallar la tercia proporcional.
Rpta. 9
15. La suma, diferencia y el producto de 2
números están en la misma relación que
los números 5, 3 y 16. hallar estos
números.
Rpta. 4 y 16.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar la 3ra diferencial de 19 y 11
a) 1 b) 2
c) 3 d) 5
e) 7
2. Hallar la 4ta diferencial de 18, 15 y 12
a) 6 b) 8
c) 9 d) 12
e) 15
3. Si: 4
3
ba
. Hallar “b”;
Si: a + b = 140
a) 60 b) 80
c) 100 d) 120
e) 140
4. Si:
653
zyx
, x + y + z = 56
Hallar “z”
a) 12 b) 20
c) 24 d) 26
e) 30
5. Si: 243
zyx ; x . y . z = 192
Hallar “x + y + z”
a) 6 b) 8
c) 12 d) 18
e) 20
6. Si: cba152
; a + b + c = 96
Hallar “c”
a) 60 b) 12
c) 24 d) 14
e) 20
7. Si: 4
3
ba
. Si b – a = 15
Hallar “a + b”
a) 45 b) 60
c) 105 d) 120
e) 150
8. Si: 352
cba y a
2+ b
2+ c
2=152
Hallar “a + b + c”
a) 20 b) 21
c) 22 d) 23
e) 24
9. Si: 635
cba y a + c= 66.
hallar “b”
a) 30 b) 36
c) 18 d) 16
e) 18
10. Si: 3
2
2
1
ba,además,a + b + 3 = 20
Hallar “a”
a) 5 b) 7
c) 9 d) 10
e) 12
CLAVES
1. C
2. C
3. B
4. C
5. D
6. B
7. C
8. A
9. C
10. B
PROMEDIOS
Cantidades representativas de un conjunto
de valores (medidas de tendencia central)
dado:
a1 a2 a3 ……...... an
MENOR VALOR PROMEDIO
MAYOR VALOR
TIPOS DE PROMEDIO
Promedio Aritmético o Media Aritmética
(MA ) o simplemente promedio
.datosdeNúmero
datosdeSumaMA .
Dar la MA de: 7; 13 y 4
Resolución
3
4137 = 8
OJO:
SEA “n” NÚMEROS Y “s” SUMA DE LOS NÚMEROS
. S = n . MA (“n” números) .
Promedios Geométricos o Media
Geométrica (MG )
. n datoslosdeoductoPrMG .
n: número de datos
Dar la MG de: 5; 15 y 45
Resolución
1545.15.53
Promedio Armónico o Media Armónica
(MH )
.datoslosdeInversadeSuma
datosdeNúmeroMH .
Dar la MH de: 6; 2 y 3
Resolución
3
3
1
2
1
6
13
Consideraciones importantes
Para 2 cantidades “a” y “b”
. 2
baMA
. . abMG .
. ba
ab2
b
1
a
12
MH
.
Dado:
0 < a1 a2 a3 ……….…. an
Se verifica que:
.
PROMEDIOOPROMEDI
MENORMAYOR
0MHMGMAan
.
Si todos los valores son iguales
MHMGMA
Para cantidades “a” y “b”
. MH.MAMG2 .
. )MGMA(4
)ba(MGMA
2
.
LA ALTERACIÓN DE LA MEDIA ARITMÉTICA Sean los números: 3, 5 y 10
63
1053MA
Si aumentamos 7 unidades al 5 y
disminuimos 4 al 10:
omedioPr
Nuevo=
VARIACIÓN
INICIALPROMEDIO
3
47
3
1053
= 7
SESIÓN N° 08
IMPORTANTE
promedio
deliaciónvar
inical
promedio
promedio
nuevo
Donde:
promedio
deliaciónvar = datosdeNúmero
uyemindis
sequetotal
aumenta
sequetotal
Promedio ponderado ( PP ) (Promedio de
Promedios)
Al dar 3 exámenes, obtengo 11, 17 y 13;
siendo los pesos de cada examen 2, 1 y 3
¿Cuál será mi nota promedio?
Resolución:
NOTAS PESOS TOTAL
11 2 11 x 2
17 1 17 x 1
13 3 13 x 3
6 78
La nota promedio será:
136
78
312
3.131.172.11
En general:
. n321
nn332211
P..........PPP
Pa..........PaPaPaPP
.
Donde:
an : enésimo de las notas, precios, …
etc
Pn : enésimo de los promedios, peso
frecuencias, créditos, ...... etc
PROBLEMAS PARA RESOLVER 1. Si el promedio de los siguientes números es
20,5. Hallar el valor de “a”.
(2a +1); (2a +2); (2a+3); ....; (5a - 2)
Rpta. 6
2. El promedio geométrico de dos números es
12 y su promedio armónico es 4. hallar su
promedio aritmético.
Rpta. 36
3. Hallar el valor de “x”; si el promedio
geométrico de los números: 2x; 4
x y 8
x es 64.
Rpta. 3
4. De 500 alumnos de un colegio, cuya estatura
promedio es de 1,67m; 150 son mujeres. Si la
estatura promedio de las mujeres es 1,60m.
Calcular la estatura promedios de los varones.
Rpta. 1,70m
5. Si la media geométrica de dos números
es 4 y la media armónica es 32/17.
¿Cuál es el menor de dichos números?
Rpta. 1
6. El promedio de 40 números es “n” y el
promedio de otros 20 números es (n - 9).
Calcular el valor de “n”; si el promedio
aritmético de los 60 números es 12.
Rpta. 15
7. En un reunión asistieron 200 personas
asistieron 3 varones por cada mujer. Si
el promedio de las edades de todos los
presentes es 19 años y además el
promedio de las edades de los varones
es 20. hallar el promedio de las edades
de las mujeres.
Rpta. 3
8. Hallar dos números sabiendo que el
mayor y el menor de sus promedios son:
13,5 y 13 1/13 respectivamente. Indicar
su diferencia.
Rpta. 3
9. Hallar la medida geométrica de dos
números, sabiendo que la tercera parte
de su producto, por su MA: por su MG y
por su MH se obtiene 81.
Rpta. 3
10. Hallar el promedio de:
eces""""
....;..........;;;;........;;;;vmn
nnnnmmmm
Rpta. nm
mn
2
11. El mayor promedio de dos números es 8,
mientras que su menor promedio es. 6
hallar la diferencia de dichos números.
Rpt. 8
+ +
12. Hallar la MH de:
1; 1/2; 1/3; 1/4; ..........; 1/1981
Rpt. 1/991
13. La MG de tres números pares diferentes
es 6. entonces, la MA de ellos será:
Rpta. 26/3
14. La media armónica de 10 números es
3/2; el de otros 2 números es 9/5.
calcular la MH de los 30 números.
Rpta. 27/16
15. Si la media geométrica y la media
aritmética de dos números; a y b son
números enteros consecutivos. Hallar (
ba )
Rpta. 2
PROBLEMAS PROPUESTOS PARA RESOLVER
1. Hallar la media geométrica de los
números: 3; 4; y 18
a) 3,5 b) 4
c) 5 d) 6
e) 3 18
2. Hallar la media armónica de los
números: 1; 2; 3 y 6
a) 1,8 b) 2
c) 2,1 d) 3
e) 4
3. Hallar el promedio de los siguientes
números:
1; 2; 3; 4; ..........; 17; 18; 19; 20
a) 8 b) 10
c) 10,5 d) 7
e) 11
4. Hallar el promedio de:
2; 4; 6; 8; ......; 38; 40; 42
a) 21 b) 18
c) 26 d) 22
e) 27
5. El promedio de cinco números pares
consecutivos es 16. hallar el promedio
del mayor y el tercero.
a) 14 b) 16
c) 18 d) 20
e) 30
6. ¿Qué nota se obtuvo en un cuarto
examen, si en los tres anteriores se
obtuvo: 14; 10 y 18 respectivamente; y
su promedio final fue de 15?
a) 20 b) 19
c) 18 d) 16
e) 17
7. La media aritmética de tres números es
6. y de otros dos números es 16. hallar la
media aritmética de los cinco números.
a) 9 b) 10
c) 11 d) 12
e) 13
8. Si tenemos: A; 10; B; 35; C y 15. el
promedio de los dos primeros números
es 15; el promedio de los dos últimos 10
y el promedio de todos los números es
20. Hallar “A + B + C”
a) 50 b) 60
c) 40 d) 45
e) 55
9. Calcular la media armónica de dos
números. Si: MA = 45 y
MG = 15
a) 8 b) 10
c) 12 d) 5
e) 6
10. El promedio de las edades en un salón
de clases es de 18. Si el promedio de 20
de ellos es 15. Hallar el promedio de los
restantes sabiendo que hay 50 alumnos.
a) 25 b) 24
c) 32 d) 30
e) 20
CLAVES
1. D
2. B
3. C
4. D
5. C
6. C
7. B
8. B
9. D
10. E
MAGNITUDES PROPORCIONALES
MAGNITUD Es todo aquello susceptible a ser medido y que puede ser percibido por algún medio. Una característica de las magnitudes es el poder aumentar o disminuir. A un niño se le podría medir: su peso, estatura, presión arterial, .....etc.
CANTIDAD (Valor):
Resultado de medir el cambio o variación
que experimenta la magnitud.
MAGNITUD CANTIDAD
Longitud 2km
Tiempo 7 días
# de obreros 12 obreros
RELACIONES ENTRE 2 MAGNITUDES Dos magnitudes son proporcionales, cuando
al variar el valor de una de ellas, el valor
correspondiente de la otra magnitud cambia
en la misma proporción. Se pueden
relacionar de 2 maneras.
Magnitudes Directamente Proporcionales
(DP)
Ejemplo Ilustrativo:
Si compramos libros cada uno a S/. 2 (Precio constante); al analizar como varía el valor de costo total, cuando el número de libros varía, se tendrá:
(Costo total) DP (# de libros)
Se observo:
En General:
Decimos que las magnitudes “A” y “B” son
directamente proporcionales; si al aumentar
o disminuir los valores de la magnitud de “A”,
el valor de “B” también aumenta o disminuye
(en ese orden) en la misma proporción.
La condición necesaria y suficiente para que
dos magnitudes sean D.P. es que el cociente
de cada par de sus valores
correspondientes, sea una constante.
OJO:
DEBEMOS CONSIDERAR QUE AL RELACIONAR 2
MAGNITUDES, LAS DEMÁS NO DEBEN VARIAR. DEL
EJEMPLO ANTERIOR, EL PRECIO DE CADA LIBRO,
NO VARÍA (PERMANECE CONSTANTE)
SI:
. “A” DP “B”
tetanconskBdevalor
Adevalor .
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
IMPORTANTE:
LA GRÁFICA DE 2 MAGNITUDES D.P ES UNA RECTA
QUE PASA POR EL ORIGEN DE COORDENADAS
EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA (EXCEPTO
EL ORIGEN DE COORDENADAS) EL CONCIENTE DE
CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES
RESULTA UNA CONSTANTE.
SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
VALORES
CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an
MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn
SE VERIFICA:
kb
a
b
a
b
a
b
a
n
n ...3
3
2
2
1
1
SI TENEMOS QUE “A” DP “B”
. F(x) = mx .
m: pendiente (constante)
SESIÓN N° 09
MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (I.P)
Ejemplo ilustrativo:
Para pintar las 60 habitaciones idénticas de
un edificio se desea contratar obreros que
pinten una habitación. Al analizar cómo
varía el tiempo según el número de pintores
contratados, se tendrá:
X 2 X 3 X 5
N° DE PINTORES 1 2 6 30 12
N° DE DÍAS 60 30 10 2 5
2 3 5
Se Observa: (# de pintores) IP (# días)
Se Observa:
(# de pintores) (# días) = 1 . 60 = 2 . 30 = 6 .
10 = 30 . 2 = 60
Constante
En general:
Se dice que “A” y “B” son inversamente
proporcionales, si al aumentar o disminuir el
valor de A, el respectivo valor de “B”
disminuye o aumenta en la mismas
proporción respectivamente.
La condición necesaria y suficiente para que
dos magnitudes sean IP es que el producto
de cada par de sus valores correspondientes
sea una constante.
. A I.P.B (valor de A)(valor de B) = cte.
Interpretación Geométrica
IMPORTANTE:
LA GRÁFICA DE DOS MAGNITUDES IP ES UNA RAMA DE
HIPÉRBOLA EQUILÁTERA.
EN CUALQUIER PUNTO DE LA GRÁFICA EL PRODUCTO
DE CADA PAR DE VALORES CORRESPONDIENTES
RESULTA UNA CONSTANTE.
LA FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA SERÁ:
. x
mxF .
m: CONSTANTE
curvalabajo
gulotanrecdelárea
SI TENEMOS QUE “A” I.P “B”
VALORES
CORRESPONDIENTES
MAGNITUD A a1 a2 a3 ....... an
MAGNITUD B b1 b2 b3 …… bn
SE VERIFICA:
a1 . b1 = a2 . b2 = a3 . b3 = . . . = an .bn = k
PROPIEDADES DE LAS MAGNITUDES
Para 2 magnitudes A y B se cumple:
A.P.IBB.P.IA*
A.P.DBB.P.DA*
nn
nn
B.P.IAB.P.IA*
B.P.DAB.P.DA*
B
1.P.DAB.P.IA*
B
1.P.IA.B.P.DA*
Para 3 magnitudes A, B y C se cumple:
Si: A D. P. B (C es constante)
A D. P. C (B es constante)
A D. P. (B . C)
C.B
A = cte
Luego en los problemas. Sean las
magnitudes: A, B, C, D y E
CteE.D.B
C.A
OJO:
CUANDO RELACIONAMOS LOS VALORES DE 2
MAGNITUDES, ENTONCES LOS VALORES DE LAS
OTRAS MAGNITUDES PERMANECEN CONSTANTES.
Aplicaciones comunes: (N° de obreros) DP (obra) (N° de obreros) IP (eficiencia) (N° de obreros) IP (N° de días) (N° de obreros) IP (horas diarias) (Nº velocidades) IP (Tiempo) (N° de obreros) D P (Dificultad) (N° de dientes) I P (N° de vueltas)
Kdificultadobra
ientorendías
de
díapor
Horas
obreros
de
))((
)dim(##
PROBLEMAS PARA RESOLVER EN
CLASE
2. Las magnitudes de a y b son D. P.
Cuando a = 20, b = 5. Calcular b cuando
a = 12
Rpta. 3
3. Si a2 y b son D. P., cuando a vale 10, b
es 7. ¿Qué valor toma a cuando b vale
28?
Rpta. 20
4. Si a y b son I.P. Cuando a vale 8, b vale
6. ¿Qué valor tomará a cuando b es 4?
Rpta. 12
5. Si a y b son I. P,. Cuando
a = 100, b = 3. calcular b cuando a = 9
Rpta. 10
5. Si “a” es I.P. a “b2 - 1”, siendo “a” igual a
24 cuando “b” es igual a 10. hallar “a”
cuando “b” es igual a 5.
Rpta. 99
1. Si las magnitudes A y B son D. P.
Calcular: a + b + c
24181612
18
B
cbaA
Rpta. 87
2. Sean las magnitudes A y B. Donde A es
D.P a(B2 + 1). Si cuando A = 8, B = 3,
¿Qué valor tomara A cuando B = 7?
Rpta. 40
3. “a” es D.P a “ b ” e I.P a “c2”. Cuando a
= 10; b = 25; c = 4. hallar “a” cuando b =
64, c = 8
Rpta. 4
4. De la gráfica. Hallar “a + b”
Rpta. 15
5. De la gráfica. Hallar “a + b”
Rpta. 30
6. Si las magnitudes son D.P. Calcular “a +
b + c”
caB
bA
249
54010
Rpta. 24
7. Si: P.V = k. Hallar “P” cuando v = 6, si P
= 12 cuando v = 4
Rpta. 8
8. Si: ba
= k. Hallar “a” cuando b = 12; si
a = 18 cuando b = 9
Rpta. 24
9. Si: a es D.P. con b. Hallar “a” cuando
b = 4, si a = 4 cuando b = 2
Rpta. 16
PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Si “a” es D.Pa ”b”. Hallar “b” cuando “a”
es igual a 7, si a = 5 cuando b =15
a) 18 b) 20
c) 21 d) 22
e) 25
2. “a” es I.P. a “b”. Cuando a = 8, b = 3.
Hallar “b” cuando a = 2
a) 10 b) 12
c) 14 d) 18
e) 16
3. “a” es D. P. a “b” . cuando a = 6, b =
8. calcular “a” cuando: b = 12
a) 6 b) 7
c) 8 d) 9
e) 10
4. “a” es I.P a “b” cuando a = 4,
b = 3. Calcular el valor que toma “b”
cuando “a” toma el valor de 6.
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
5. “a” es D.P. a “b2”. Cuando “a” es igual a
20 “b” es igual a 6. ¿Qué valor tomará
“a” cuando “b” es igual a 3?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4
e) 5
6. Si: “a” es I.P a “ 3 b ”, además cuando “a”
es 35, “b” vale 27. ¿Cuánto vale “a”
cuando “b” valga 343?
a) 5 b) 10
c) 15 d) 20
e) 25
7. Si A y B son IP. Calcular m + n + a
11015
30 2
nB
amnA
a) 60 b) 64
c) 68 d) 70
e) 74
8. La gráfica nos muestra la
proporcionalidad entre las magnitudes A
y B. Hallar
a + b + c
a) 40 b) 44
c) 48 d) 50
e) 52
9. “a” es D.P a “b” e I.P a “c”. Hallar el
valor de “c” cuando “a” es 10 y “b” es 8,
si cuando “a” es 8, “b” es 6 y “c” es 30
a) 28 b) 29
c) 30 d) 31
e) 32
10. Si A y B son IP. Calcular m + n + a
a) 10 b) 15
c) 20 d) 25
e) 30
CLAVES
1. C
2. B
3. D
4. B
5. E
6. C
7. C
8. B
9. E
10. C
1. REPARTO PROPORCIONAL
CLASES:
a) REPARTO PROPORCIONAL SIMPLE
Cuando los valores que intervienen
corresponden a dos magnitudes
directamente proporcionales.
Se caracteriza por que “a mayor numero
proporcional le corresponde mayor
cantidad”.
A = xk
S B = yk
C = zk
A + B + C = S
(x + y + z) k = S
b) REPARTO PROPORCIONAL
INVERSO
Cuando los valores que intervienen
corresponden a dos magnitudes
inversamente proporcionales.
Se caracteriza por que “ a mayor número
proporcional le corresponde menor
cantidad”.
A =
x
k
S B = y
k
C = z
k
A + B + C = S
Sk
zyx
111
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Repartir 1250 en 3 partes directamente
proporcional a los números 2;3;5 .
Solución:
1250 se reparte en A;B;C partes, tales
que:
A = 2 k
B = 3 k
C = 5 k
10 k luego 10k = 1250
Por lo tanto:
A = 2 ( 125 ) = 250
B = 3 ( 125 ) = 375
C = 5 ( 125 ) = 625
2.- La herencia de tres hermanos asciende a
45 millones de soles, si dichas herencias
están en la relación con los números
4;12;14 ¿ Cuántos millones recibe el
mayor ?
Solución:
4k + 12k + 14k = 45
30k = 45
k = 1,5
por lo tanto el mayor recibe:
14 x 1,5 = 21 millones
3.- Dos personas invirtieron en un negocio
S/. 1000 y S/. 2000 respectivamente,
obteniendo una ganancia de S/.1500.
¿Cuánto le corresponde a cada una?
Solución:
Persona A = k
Persona B = 2k
3k
luego 3 k = 1500
k = 500
Cada persona recibirá:
Persona A = k= 500
Persona B = 2k = 1000
4.- Divide 261 en tres partes proporcionales
a los números 12;27; 48 respectivamente.
Solución:
12 k + 27 k + 48 k = 261
87 k = 261
k = 3
Por lo tanto:
Los números serán:
12 ( 3 ) = 36
27 ( 3 ) = 81
48 ( 3 ) = 144
5.- Repartir 42 entre A; B; y C de modo que
la parte de A sea el doble de la parte de B
y la de C la suma de las partes de A y B.
Luego calcula el producto de A.B.C
Solución:
De acuerdo al enunciado tenemos :
A = 2 k
B = k
C = A + B = 2k + k = 3k
Entonces:
A + B + C = 42
2k + k + 3 k = 42
k = 7
Luego : * A = 2(7) = 14
K = 125
* B = 7
* C = 3(7) = 21
Por último:
14 x 7 x 21 = 2058
6.- Repartir 36 en tres partes inversamente
proporcional a los números 6; 3; y 4 ( en
éste orden) obteniéndose a; b; y c. Halla
: a.b.c
Solución: a =
6
k a = 2k
b = 3
k b = 4k
c = 4
k c = 3k
9k = 36
k = 4
Por lo tanto:
a = 2(4) = 8
b = 4(4) = 16
c = 3(4) = 12
Finalmente: 8.16.12 = 1536
PROBLEMAS PROPUESTOS
1). Reparte 1250 en 3 partes directamente
proporcional a los números 2;3;5, e indica
la suma de las cifras del mayor número.
a) 10 b) 14 c) 9
d) 13
2). Reparte 56 en partes proporcionales a
los números 3; 5; 6. Indica la mayor parte.
a) 22 b) 18 c) 25
d) 16 e) 24
3). Reparte 3270 en partes DP a 7; 20; 82.
Da como respuesta la mayor parte.
a) 2460 b) 2420 c) 2640
d) 3240 e) 840
4). Reparte 400 DP a los números 10; 15;
25. Indica la parte menor.
a) 150 b) 80 c) 106
d) 140 e) 102
5). Se reparten S/. 7500 entre 3 personas en
forma D.P. a los números 15; 6; 4. ¿
Cuánto recibe el mayor?
a) 2400 b) 2500 c) 3200
d) 4500 e) 2300
6). Reparte 750 DP a 6; 7; 12. Da la parte
intermedia.
a) 210 b) 240 c) 36
d) 150 e) 120
7). Reparte 135 dólares entre 5 personas
proporcionalmente a los números 2; 3; 4; 8
y 13 respectivamente, indica ¿ cuánto le
toca al último?.
a) 58.5 b) 35 c) 80
d) 180 e) 81
8). Reparte 594 en I.P a 2; 3; 6 y 10. Indica
la mayor parte.
a) 270 b) 406 c) 180
d) 300 e) 240
9). Reparte 12240 en 3 partes
proporcionales a 2/3; 1/5 y 5/6. Indica la
menor parte.
a) 2900 b) 1440 c) 1800
d) 2160 e) 2880
10). Reparte 50 caramelos en forma
proporcional a 162; 243; 405. Halla la
parte que no es mayor ni menor.
a) 28 b) 20 c) 15
d) 10 e) 22
11). Descompón el número 162 en tres
partes que sean D.P a 13; 19 y 22. Halla la
parte menor.
a) 36 b) 26 c) 39
d) 38 e) 13
12). Reparte 882 I.P a 6; 12; 10.
a) 252;150;480 b) 210;420;172
c) 189;378;315 d) 140;142;600
e) 420;210;252
13). Reparte 309 I.P a 9; 15; 33. Indica la
mayor parte.
a) 165;132;30 b) 165;123;39
c) 123;145;55 d) 150;165;12
e) 165;99;45
14). Reparte 280 D.P a 1/5; 2/3; 3/10. Da
como respuesta la parte mayor.
a) 160 b) 100 c)
180
d) 140 e) N.A.
15). Juan tiene 8 panes y Pedro 4; deben
compartirlos equitativamente con dos
amigos. Para recompensarlos éstos
entregan 180 soles a Juan y Pedro.
¿Cuánto le tocará a Juan?
a) 120 b) 140 c) 75
d) 150 e) 90
16). Reparte 648 en forma D.P a 5 y 7
Indica la mayor parte.
a) 378 b) 102 c) 270
d) 300 e) 100
17). Reparte 648 en forma I.P a 5 y 7 Indica
la mayor parte.
a) 480 b) 270 c) 164
d) 378 e) 382
CLAVES DE RESPUESTAS
1) d 2) e 3) a
4) b 5) d 6) a
7) a 8) a 9) b
10)c 11)c 12)e
13)e 14)a 15)a
16)a 17)d
REGLA DE TRES
1. CONCEPTOS PREVIOS
a) Cantidades Directamente
Proporcionales
Dos cantidades son D.P si al aumentar o
disminuir una de ellas, la otra también
aumenta o disminuye en ese mismo orden.
kb
a
b
a
b
a
3
3
2
2
1
1 Constante de Proporcionalidad.
b) Cantidades Inversamente
Proporcionales (I.P)
Dos cantidades son IP si al aumentar o
disminuir una de ellas, la otra disminuye o
aumenta en ese mismo orden. Ejem :
k
q
1
P
q
1
P
q
1
P
3
3
2
2
1
1
2. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES
SIMPLE
Dadas tres cantidades y una incógnita
pertenecientes a dos magnitudes diferentes
determinar la incógnita.
a) Directa .- Si las cantidades son D.P.
(directamente proporcionales)
Ejemplo 1 :
- Si un móvil recorre 120 km en 8 horas.
Determina en cuantas horas recorrerá
30km.
Solución :
Distancia(km) Tiempo (H)
120 8
30 x
Son magnitudes D.P
Luego : x = 120
8x30 = 2 horas
b) Inversa.- Si las cantidades son I.P.
(inversamente proporcionales)
SESIÓN N° 10
Ejemplo 1 :
- Si 209 alumnos tardan 30 días en pintar
su salón de clase ¿Cuanto tiempo
tardarían 60 alumnos?
Solución :
Tiempo N° alumnos
30 20
x 60
Son magnitudes I.P.
Luego x = 60
20x30= 10 días
3. DEFINICIÓN DE REGLA DE TRES
COMPUESTA
Dadas varias cantidades y una incógnita
perteneciente a diversas magnitudes,
determinar la incógnita.
Consiste en resolver en forma simultánea
dos o más reglas de tres simple:
Método de los signos
DP DP IP D IP
A B C D E
- - + + +
a1 b1 c1 d1 e1
a2 b2 c2 x e2
+ + -
Luego : x = 2211
11122
ecba
decba
)(PRODUCTO
)(PRODUCTO
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres
días, doce patas, ¿En cuántos días
podrán poner doce huevos?
Solución :
+ - +
Patas Huevos Días
3 3 3
12 12 x
- + -
x = 3x12
3x3x12 = 3días
2).- En una competencia de glotones 40 de
ellos puede comer 300 panes en 2 días.
Si fueran 50 en 3 días. ¿Cuántos panes
podrán comer?
Solución :
+ - +
Panes Glotones Días
3000 40 2
x 50 3
+ +
Luego :
x =40x2
3x50x3000= 3625 panes
3).- Una cuadrilla de 12 hombres
encargados de la conservación de un
tramo de la línea férrea Arequipa –Cusco,
construyen 4/5 de una alcantarilla en 6
días. Si se quiere concluir la obra en 5
días, ¿cuántos hombres serán necesario
aumentar?
Solución :
Hombres Obra Tiempo
+ - +
12 4/5 6
5 5/5 5
+ -
x = 185x4
6x5x12
Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres
4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas
diarias construyen 320 metros de una
obra en 20 días. ¿ En cuántos días 50
obreros trabajando 6 horas diarias
construyen 300 metros de la misma obra?
Solución :
Obreros H/D Metros
Tiempo
+ + - +
60 8 320 20
50 6 300 x
- - +
X = 320x6x50
20x300x8x60 = 30 días
5).- 10 campesinos siembran un terreno de
50m2 en 15 días, en jornadas de 7 horas.
Si las jornadas fueran de 8 horas.
¿Cuántos días demorarán en sembrara
otro terreno de 80m2, 15 campesinos
doblemente hábiles?
Solución :
Camp. Días Horas Habilid.
Área
+ + + + -
10 15 7 1 50
15 x 8 2 80
X = 50x2x8x15
80x1x7x15x10 = 7 días
PROBLEMAS PROPUESTOS
1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h.
Un auto demora 8 horas. ¿A que velocidad
debe viajar si desea demorar 6 horas?
a)160 b) 140
c) 130 d) 150 e) 120
2).- Si una obra tiene una dificultad del 60%
y se puede realizar en 24 días. ¿En
cuántas días se podrá hacer la misma obra
si tiene una dificultad de 80%?
a) 16 b) 34
c) 33 d) 18 e) 32
3).- Con un rendimiento del 50% se puede
hacer una obra en 30 días. ¿Cuál es el
rendimiento si se demora 15 días?
a) 60% b) 80%
c) 90% d) 100%
e) 70%
4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas.
¿Cuántas mesas harán 4 carpinteros?
a) 20 b) 8
c) 13 d) 10 e) 12
5).- Con una habilidad del 70% se puede
hacer un trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto
demorará con una habilidad del 90%?
a) 18 b) 24
c) 12 d) 20 e) 21
6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días.
Si hay 6 conejos. ¿Cuánto duran los
alimentos?
a) 16 b) 24
c) 21 d) 20 e) 12
7).- En una semana, José gasta S/.48 en
comprar gasolina, en 42 días gastará:
a) 168 b) 48
c) 336 d) 288 e) 208
8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes,
en una semana, ¿Cuántos panes
comerán?
a) 160 b) 240
c) 320 d) 250 e) 280
9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días.
Si desisten trabajar 5 de ellos, ¿Para
cuántos días tendrá víveres el resto?
a) 20 b) 25
c) 15 d) 18 e) 23
10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15
días, 12 obreros harán la obra de igual
característica en:
a) 16 b) 7
c) 20 d) 15 e) 10
11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por
S/.2 dan 18 panes?
a) 242 b) 148 c) 230
d) 150 e) 342
12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas
diarias hacen una obra en 15 días; 10
obreros trabajando 6 horas diarias, ¿En
cuántos días harán otra obra de igual
característica?
a) 9 b) 6 c) 5
d) 8 e) 10
13).- Un hombre caminando 8 h/d ha
empleado 4 días para recorrer 160 km.
¿Cuántas horas diarias debe caminar otro
hombre para recorrer 300 km en 10 días?
a) 9 b) 6 c) 5
d) 8 e) 3
14).- Doce hombres trabajando 8 horas
diarias pueden hacer un muro en 15 días.
¿En cuántos días harán otro muro igual 15
hombres trabajando 6 horas diarias?
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar
una zanja de 2 m de profundidad.
¿Cuántos hombres serán necesarios para
cavar otra zanja de 3 m de profundidad en
20 días?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 9 e) 8
16).- Una familia de 5 personas tomó una
pensión durante 6 días y pagó S/. 60.
¿Cuánto pagó otra familia de 4 personas
que estuvo alojada en la misma pensión
durante dos semanas?
a) 112 b) 120
c)114
d)115 e) N.A.
17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre
ha empleado 4 días para ir de un pueblo a
otro distantes entre sí 96 km. Si
continuando su viaje debe ir a otro pueblo
distante 192 km de este último, ¿cuántos
días empleará caminando 8 horas diarias?
a) 6 b) 3 c) 5
d) 8 e) 7
18).- 120 soldados tienen provisiones para
20 días a razón de 3 raciones diarias.
¿Para cuántos días tendrán provisiones si
se aumentan 30 soldados y el número de
raciones diarias se reduce a 2 por día.
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) N.A
19).- Doce hombres trabajando 8 horas
diarias construyen 24 m de una pared en
10 días. ¿Cuántos hombres serán
necesarios para construir 20 m de pared
continuada en 5 días trabajando 10 horas
diarias?
a) 16 b) 15 c)14
d) 13 e) N.A
20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24
m de largo por 2 de ancho y 2m de
profundidad, en 12 días. ¿Cuántos
trabajadores con la misma habilidad serán
necesarios para cavar otra zanja de 18 m
de largo por 3 m de ancho y 4 m de
profundidad en 8 días?
a) 18 b) 12 c) 27
d) 30 e) N.A
CLAVES DE RESPUESTAS
1) e 2) d 3) d
4) d 5) b 6) b
7) d 8) e 9) a
10)e 11)e 12)e
13)b 14)c 15)d
16)a 17)a 18)d
19)a 20)c
REGLA DE COMPAÑÍA
Concepto.-
Es un caso particular del reparto
proporcional donde se reparten las
ganancias o pérdidas de las transacciones,
según el capital invertido por cada socio en
un periodo fijo de tiempo; dentro de una
sociedad mercantil.
En la Regla de Compañía se considera al capital
y al tiempo como directamente proporcionales a
la ganancia o a la pérdida de una transacción
comercial.
KTC
Clases.-
1) Regla de Compañía Simple, cuando existe un capital únicos para cada socio presentar 2 casos:
i. Capital Constante: La variación de la ganancia o pérdida es DP al tiempo.
ii. Tiempo constante: La variación de la ganancia o perdida es DP al capital a derecho (de cada socio)
T
C
Donde: () : Ganancia o pérdida
(C) : Capital de cada socio
(T) : Tiempo de inversión del
capital (meses)
2) Regla de Compañía Compuesta, cuando existen distintos capitales en distintos tiempos presenta 2 casos:
i. Capital Constante en tiempo variable: la ganancia o pérdida es DP al capital multiplicándose con el tiempo de cada socio.
ii. Capital Variable: Ganancia o pérdida es dp al producto del capital único por el tiempo total.
OBS:
1) Capital Único: es a suma de todos los capitales (expresados en una misma unidad de tiempo).
2) La Ganancia neta (Gn): es la ganancia, beneficio y/o utilidad Real, después de la inversión del capital, que indica la cantidad recuperada respecto al capital inicial.
Ganancia neta = Inical
Ganancia -
Invertido
Capital
PROBLEMAS PARA LA CLASE
01) Juan y Pedro ganaron en 1966 y 1967, 1200 soles cada año en un negocio que tienen. En 1966, Juan era dueño de los ¾ del negocio y su socio, del resto, y en 1967, Juan García fue dueño de los 2/5 del negocio y su socio del resto, por que el primero vendió al segundo una parte. Hallar la ganancia total de cada socio en los 2 años. Rpta.:
02) A; B; C emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750. al cabo de un año, A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto ha ganado B y C? Rpta.:
03) Tres socios que habían interesado S/. 25000 el primero; S/. 24000, el segundo y S/. 16000 el tercero, tienen que repartirse una perdida de S/. 19500. ¿Cuántos quedan a cada uno? Rpta.:
04) Cuatro socios han ganado en los 3 años que explotaron una industria, lo siguiente: el primero, S/. 5000; el segundo, los 2/5 de lo que gano el primero; el tercero, los ¾ de lo que gano el segundo, y el cuarto, los 5/8 de lo que gano el tercero. Si el capital social era de S/. 44000; ¿Con cuanto contribuyo cada uno? Rpta.:
05) Tres comerciantes reunieron S/. 90000 para la explotación de un negocio y ganaron: el 1° 1000; el 2° 600 y 800 el 3°. ¿Cuánto impuso cada uno? Rpta.:
06) En una industria que trabajo durante 4 años y medio, cuatro socios impusieron: el primero S/. 500 mas que el segundo, el segundo, S/. 600 menos que el tercero; el tercero, la mitad de lo que puso el cuarto y este impulso S/. 3000. si hay que afrontar una perdida de S/. 3400. ¿Cuánto perderá cada uno? Rpta.:
07) Tres amigos se asocian para emprender un negocio e imponen: S/. 2500; el segundo, la mitad de lo que puso el primero mas 600; el tercero, 400 menos que los anteriores juntos. Al cabo de 3 años se reparte un beneficio de 16600. ¿Cuánto toca a cada uno? Rpta.:
08) A emprende un negocio con S/. 3000 y a los 3 meses mas tarde entra de socio C con S/. 3000. si hay un beneficio de S/. 2700 al cabo del año de emprender A el negocio. ¿Cuánto recibe cada uno? Rpta.:
09) A emprende un negocio de S/. 2000. Al cabo de 6 meses entra como socio B con S/. 2000 y 11 meses mas tarde entra como socio C con S/. 2000. si a los 2 años de comenzar A su negocio hay un beneficio de S/. 630. ¿Cuánto recibe como ganancia cada uno? Rpta.:
10) A; B; C impusieron S/. 300 cada uno para la explotación de un negocio. A, permaneció en el mismo un año, B, cuatro meses menos que A y C; 4 meses menos que B. Si hay una pérdida que asciende al 20% del capital social. ¿Cuánto pierde cada socio? Rpta.:
11) Reuniendo un capital de 10 000 soles por partes iguales, tres socios emprenden un negocio por 2 años. El primero se retira a los 3 meses; el segundo, a los 8 meses y 20 días y el tercero estuvo todo el tiempo. Si hay una pérdida de 3210 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Rpta.:
12) Dos individuos reúnen 8500 soles para explotar un negocio. El primero impone S/. 6000 soles para 2 años y el segundo lo restante por 3 años. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno si hay una pérdida de S/. 1365? Rpta.:
13) En una sociedad formada por tres individuos se han hecho las siguientes imposiciones: el primero S/. 500 por 2 años; el segundo S/. 400 por 4 años y el tercero, S/. 300 por 5 años. ¿Cuántos corresponde a cada uno si hay una ganancia de S/. 1230? Rpta.:
14) Para explotar una industria 3 socios imponen el primero S/. 300; el segundo S/. 200 mas que el primero; y el tercero S/. 100 menos que los 2 anteriores juntos. El primero ha permanecido en el negocio por 3 años. El 2° por 4 y el 3° por 5 años. ¿Cuánto toca a cada uno de un beneficio de S/. 448? Rpta.:
15) Tres individuos reúnen 25 000 bolívares, de los cuales el primero ha impuesto 8000; el 2°; 3000 mas que el primero y el 3° lo restante. El primero ha permanecido en el negocio por 8 meses y el tercero por 5 meses. Si hay que afrontar una perdida de 1143. ¿Cuánto debe perder cada uno? Rpta.:
16) En una industria 3 socios han impuesto: el 1° con 6000 soles mas que el segundo; el segundo con 3000 mas que el tercero y este 8000. El primero permaneció en la industria por un año, el segundo por año y medio y el tercero por 2 ½ años. ¿Cuánto corresponde a cada uno de beneficio de 5585 soles?
Rpta.:
17) ¿Cuánto ganará cada uno de los 3 socios que, en la explotación de una industria, impusieron: el primero 300 más que el segundo, este, 850 y el tercero, 200 menos que el segundo; sabiendo que el primero; y el tercero, meses más que el primer; si el beneficio total es de 338? Rpta.:
18) Cuatro comerciantes asociados en una industria han impuesto: el primero 300 mas que el tercero; el segundo mas que el cuarto en 400; el tercero, 500 mas que el segundo; el cuarto S/. 2000. el primero permaneció en la industria durante año y medio; el segundo, por 1 ¾ años; el 3° por 2 ½ años y el 4° por 2 ¾ años. Si hay que repartir una ganancia de 4350. ¿Cuánto corresponde a cada uno? Rpta.:
19) Dos individuos emprenden un negocio por 1 año. El primero empieza con S/. 500 y 7 meses después añade S/. 200; el segundo empieza con S/. 600 y, 3 meses después añade S/. 300; ¿Cuánto corresponde a cada uno de un beneficio de S/. 338? Rpta.:
20) En un negocio, que ha durado 3 años, un socio impuso 4000 bolívares y; a los 8 meses, retiro la mitad; el segundo impuso 6000 y al año añadió 3000; y el tercero, que empezó con 6000; a los 2 años retiro 1500. ¿Cuándo corresponde a cada uno en beneficio de 5740?
Rpta.:
21) Dos hermanos forman un negocio, aportando cada uno un mismo capital, A un mes de iniciado el negocio, el primero aumenta en sus 2/3 de capital; 4 meses más tarde, el segundo reduce a sus 2/3 de su capital. Si el negocio duro 6 meses y al final se obtuvo una ganancia waaw; ¿Cuál es la diferencia de las ganancias, si estas son cantidades enteras?
a) 2661 b) 1331
c) 1221 d) 2112
e) 3113
22) En la imprenta Willy´s se observa el siguiente aviso:
# de tarjetas
impresas Medida Costo
500
1000
5 x 8 cm2
5 x 8 cm2
S/. 7,50
S/. 14,00
Si hay 20% de descuento en la producción de
tarjetas. ¿Cuánto se pagaría por 1000 tarjetas
de impresión de 8 x 18 cm2; si el material para
hacerlas viene en planchas de 1,5 x 2,4 m2?
a) 39,5 b) 40,8
c) 41 d) 41,3
e) 41,5
23) Andrade, Fujimori y Toledo forman una sociedad. El capital de Andrade es al capital de Fujimori como 1 es a 2 y el capital de Fujimori es al de Toledo como 3 es a 2. a los 5 meses de iniciado el negocio, Andrade tuvo que viajar y se retiro del negocio; 3 meses después Fujimori también se retiro del negocio 4 meses después, Toledo liquidaría su negocio repartiendo las utilidades. Si Andrade hubiese permanecido un mes en el negocio habría recibido S/. 64 más. ¿Cuál fue la utilidad total obtenida en el negocio?
a) 2536 b) 2812
c) 2182 d) 2218
e) 2128
24) Tres socios imponen S/. 60 000 por partes iguales en un negocio que dura 2 años. El primero, al terminar el primer año añadió unos S/. 1500 y 4 meses después, retiro S/. 5000; el segundo a los 8 meses añadió S/. 4000 y, 5 meses después otros S/. 2000; el tercero, a los 14 meses retiro 5600 soles. Si hay una perdida total de 7240 soles. ¿Cuánto pierde cada uno? Indicar la suma de las cifras de cada valor.
a) 11; 9; 7 b) 8; 5; 9
c) 13; 13; 5 d) 5; 5; 13
e) 4; 13; 11
25) Se ha realizado un beneficio de 5610 soles en un negocio en el que han intervenido dos individuos. El negocio ha durado unos 3 años. El primero empieza con 8000 soles, a los 7 meses retira la mitad de su capital y 2 meses mas tarde, agrega 2000. El segundo, que empezó con 6000, al año doblo su capital y 5 meses mas tarde retiro S/. 4000. ¿Cuánto ganara cada uno? Indicar la suma de cifras del mayor.
a) 20 b) 10
c) 18 d) 9
e) 6
26) Tres individuos se asocian en un negocio que dura 2 años. El primero impone S/. 2000 y al cabo de 8 meses, S/. 1500 más. El segundo impone al principio S/. 5000 y después de un año saca la mitad. El tercero, que había impuesto al principio S/. 2500, saca a los 5 meses S/. 1000 y 2 meses mas tarde agrega S/. 500. si hay una perdida de S/. 500. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno?
a) 170 11/12; 212 1/3; 117 3/38
b) 170 7/9; 212 ½; 117 15/17
c) 170 2/5; 212 34/35; 117 ¼
d) 170 1/6; 212 34/35; 117 2/3
e) 170 10/47; 212 36/47; 117 1/47
27) Cinco socios han impuesto: el primero S/. 2000 por 2 años, 4 meses; el segundo S/. 2500 por los 3/7 del tiempo anterior el tercero S/. 3000 por os 5/6 del tiempo del segundo; el cuarto S/.
4000 por un año y 8 meses y, el quinto, S/. 500 menos que el cuarto por ¾ de año. Habiendo S/. 9100 soles de utilidad. ¿Cuánto gana cada uno? Dar como respuesta la suma de la suma de las cifras de cada valor.
a) 25 b) 26
c) 27 d) 28
e) 29
28) De los tres individuos que contribuyeron una sociedad, el primero permaneció en la misma durante un año; el segundo, durante 7 meses más que el primero y el tercero durante 8 meses más que el segundo. El primero había impuesto S/. 800, el segundo, 400 menos que le segundo. Si hay una perdida de 224 soles. ¿Cuánto corresponde perder a cada uno, respectivamente?
a) 16; 30; 48 b) 12; 15; 23
c) 27; 39; 51 d) 48; 85; 81
e) 30; 87; 96
29) Tres individuos se asocian para iniciar una empresa. El primero impone S/. 2000 durante 3 años; el 2° S/. 1800 durante 4 años y el 3° S/. 3300 por 8 meses. ¿Cuánto corresponde a cada uno si hay un beneficio de 2500 soles? Dar la aproximación de la parte entera.
a) 799; 276; 402
b) 612; 400; 10
c) 900; 1200; 300
d) 986; 1184; 328
e) 578; 1207; 610
30) A emprende un negocio con capital de S/. 2000 a los 4 meses toma como socio a B, que aporta S/. 2000 y 3 meses mas tarde, admiten como socio a C, que aporta otros S/. 2000. Cuando se cumple un año a contar del día en que A emprendió el negocio hay una utilidad de S/. 1250. ¿Cuánto recibe cada socio? (respectivamente) a) 600; 400; 250
b) 300; 120
c) 460; 500; 300
d) 700; 600; 500
e) 250; 120; 212
31) Tres individuos emprenden un negocio imponiendo A = S/. 900; B = S/. 800 y C = S/. 750 al cabo de una año A recibe como ganancia S/. 180. ¿Cuánto han ganado B y C?
a) 120; 130 b) 130; 140
c) 140; 150 d) 170; 180
e) 160; 150
32) Se constituye entre 4 comerciantes una sociedad por 4 años, reuniendo 24 000 bolívares por partes iguales. El primero ha estado en el negocio 3 años; el segundo, 2 a los y 7 meses; el tercero 14 meses y el cuarto, año y medio. ¿Cuánto tocara a cada uno de una ganancia de 6930 bolívares, respectivamente?
f) 1999; 736; 456; 1879 g) 2750; 2000; 930; 712 h) 2520; 2170; 980; 1260 i) 2003; 1982; 727; 432 j) 602; 799; 1988; 1015
33) Luisa y Roxana inauguran un negocio, Luisa aporta S/. 5020 y permanece en el negocio durante 3 meses. Roxana aporto 700 soles y estuvo durante 5 meses. Si al finalizar el negocio hubo una ganancia de 5000; calcular la ganancia de Luisa y Roxana.
a) 100 b) 200
c) 300 d) 400
e) 500
34) Cinco colonos han emprendido un negocio imponiendo el primero S/. 500; el segundo; S/. 200 mas que el segundo y así sucesivamente los demás. Hay que hacer frente a una perdida de S/. 600. ¿Cuánto pierde cada uno? (respectivamente)
a) 70 1/2; 90 1/4; 200; 150; 188 1/9 b) 66 2/3; 93 1/3; 120; 146 2/3; 173 1/3 c) 70; 60; 50; 140; 208 d) 66 1/2; 92 1/5; 100; 107 2/3; 200 1/4 e) 70 1/5; 90 3/4; 208; 152; 188 7/9
35) Cuatro individuos explotan una industria por 4 años y reúnen 10 000 soles, de los cuales el primero pone 3500; el segundo 2500, el tercero, la mitad d lo que se puso el primero y, el cuarto, lo restante. Hay que repartir la ganancia de 5000. ¿Cuánto toca a cada uno? (respectivamente)
a) 1982; 2001; 1946; 875 b) 1750; 1250; 875; 1125 c) 1740; 1230; 825; 1105 d) 1800; 1180; 912; 1179 e) N.A.
TALLER DE REFORZAMIENTO:
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A vale
20 B es 18. ¿Qué valor toma A cuando B
vale 72?
Resolución:
* Como A2 DP. B
cte)B(Valor
)A(Valor2
* Luego:
40n4x20n18
72x20n
72
n
18
20 222
222
2).- Si A es DP. B2 además cuando A = 18;
B = 9. Calcula: B cuando A = 8.
Resolución:
* Si: A DP. tetanconsB
AB
2
2
* Luego:
6B36B189x8
BB
8
9
18 22
2
22
3).- Si la magnitud A es inversamente
proporcional a la magnitud B y cuando A =
15, B = 24, halla B cuando A es 120.
Resolución:
* Como “A” es IP a “B”, entonces:
AB = constante ó
.....BABxABxA 332211
Magnitud Valores
A 20
B 18
20
18
SESIÓN N° 11
* Luego reemplazamos los valores dados,
así: 3B120
24x15B24x15B120
PROBLEMAS PROPUESTOS
1).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 12;
B=16, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 18?
a) 28 b) 54 c) 36
d) 44 e) 64
2).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 16;
B = 2; calcula “A”, cuando B = 8.
a) 64 b) 256 c) 8 d) 32 e)512
3).- Se sabe que “A” es D. P. a B2 cuando
A = 2; B = 5. ¿Cuál será el valor de “A”
cuando B = 20?
a) 16 b) 32 c) 18
d) 75 e) 25
4).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 6; B =
2; calcula “A”, cuando B = 10.
a) 164 b) 150 c) 80
d) 200 e) 512
5).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 24; B =
8; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 16?
a) 14 b)12 c) 16 d)54 e)96
6).- Si “A” es DP. a B y cuando A = 6;
B = 4, ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 9?
a) 6 b) 9 c) 18
d) 18 e) 9/2
7).- Si 3 A es IP. a B2 y cuando A = 64;
B = 4; calcula el valor de “B”, cuando
A =64.
a) 2 b)8 c) 16
d)13 e)7
8).- Si “A” es DP. “B2” y cuando “A” es 24;
B = 4; calcula “A”, cuando B = 6.
a) 12 b) 28 c) 36
d) 54 e) 17
9).- Si “A” es IP. a “B” y cuando A = 48; B =
16; ¿cuánto valdrá “A”, cuando B = 32?
a) 22 b)24 c) 26
d)23 e)27
10).- A es D.P con B2 e I.P a C , cuando
A = 4; B = 8 y C = 16. Halla “A” cuando
B = 12 y C = 36.
a) 2 b) 6 c) 8 d) 4 e) 10
11).- Si 3 A es IP. a B y cuando A= 64; B = 4;
calcula el valor de “B”, cuando A= 8.
a) 2 b) 8 c) 16
d) 13 e) 7
12).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 48; B =
2; calcula “A”, cuando B = 3.
a) 27 b) 9 c) 81
d) 162 e) 243
13).- “P” varía inversamente proporcional a
“T”, cuando P = 125, entonces T = 48.
Determina “T”, cuando P = 300.
a) 12 b) 20 c) 16
d) 13 e) 17
14).- Si la magnitud A es inversamente
proporcional a la magnitud B y cuando
A = 30, B = 48, halla B cuando A es 240.
a) 1 b)2 c) 6 d)3 e)5
15).- Las magnitudes A2 DP.B; cuando A
vale 20 B es 18. ¿Qué valor toma A
cuando B vale 72?
a) 92 b)68 c) 80
d)86 e)88
16).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 6; B =
3; calcula “A”, cuando B = 6.
a) 78 b)98 c) 81 d)62 e)96
17).- Si “A” es DP. a B4 y cuando A = 18;
B = 4; calcula “A”, cuando B = 8.
a) 227 b) 229 c) 281
d) 262 e) 288
18).- Si la magnitud A es inversamente
proporcional a la magnitud B y cuando
A = 60, B = 96, halla B cuando A es 480.
a) 14 b) 22 c) 12
d) 13 e) 15
CLAVES DE RESPUESTAS
1) b 2) b 3) b
4) b 5) b 6) b
7) c 8) d 9) b
10)b 11)b 12)e
13)b 14)c 15)c
16)e 17)e 18)c
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. Repartir el número 1000 en 3 partes que sena
D. P. a los números 2, 3 y 5. Hallar el menor
número
Rpta. 200
2. Un enunciado reparte 840 soles en partes
proporcionales a las edades de sus tres hijos,
siendo éstas de 24, 20 y 40 años. ¿Cuándo le
corresponderá al mayor?
Rpta. 400
3. Dividir el número 688 en partes D.P. a 8,15 y
20. Hallar la mayor parte
Rpta. 320
4. Tres sastres compran un lote de piezas
iguales de tela que valen 57680. El primero se
queda con 2 piezas, el segundo con 7 y el
tercero en 5. ¿Cuánto paga el segundo?
Rpta. 28840
5. Repartir 858 en partes directamente
proporcionales a los números:
5
4
6
5,
4
3y . Hallar la menor parte
Rpta. 270
6. Repartir 360 en 3 partes que sea
inversamente proporcionales a los
números 3, 4y 6. Hallar la mayor parte.
Rpta. 160
7. Repartir 735 en partes inversamente
proporcionales a 1/5, 3/5 y 3. hallar la
suma de cifras de la mayor parte.
Rpta. 12
8. Tres personas compran todos los boletos de
una rifa en forma directamente proporcional a
2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma
inversamente proporcional al número de rifas
comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que
compró más boletos si en total se repartió
S/. 2542?
Rpta. 372
9. Divide 1600 en partes inversamente
proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma
de las partes mayor y menor
Rpta. 1240
10. Dividir en 170 en dos partes inversamente
proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar
el mayor
Rpta. 90
11. Repartir 1000 en partes directamente
proporcionales a 150y18,8 . Hallar el
menor
Rpta. 200
12. Tres personas compran todos los boletos de
una rifa en forma directamente proporcional a
2, 3 y 7. Si el premio se reparte en forma
inversamente proporcional al número de rifas
comprado. ¿Cuánto dinero recibió el que
compró más boletos si en total se repartió
S/. 2542?
Rpta. 372
13. Divide 1600 en partes inversamente
proporcionales a 2/3, 1/5 y 6. Calcular la suma
de las partes mayor y menor
Rpta. 1240
14. Dividir en 170 en dos partes inversamente
proporcionales a los números 3/2 y 4/3. Hallar
el mayor
Rpta. 90
15. Repartir 1000 en partes directamente
proporcionales a 150y18,8 . Hallar el
menor
Rpta. 200
PROBLEMAS PARA RESOLVER REPARTO PROPORCIONAL
1. Repartir S/. 5200 entre A, B y C partes
directamente proporcionales a 2; 3 y 1/5.
¿Cuánto recibe C?
a) 55 b) 176
c) 198 d) 200
e) 250
2. Un padre reparte 520 dólares
proporcionalmente al promedio que
obtienen sus hijos en Aritmética.
¿Cuánto reciben las notas obtenidas son
12; 13; 15?
Dar por respuesta lo que recibe el mayor
a) 156 b) 169
c) 195 d) 215
e) 179
3. Repartir 429 en partes proporcionales a
2/3; ¾ y 5/24. Dar por respuesta la
mayor parte.
a) 55 b) 176
c) 198 d) 200
e) 250
4. Repartir el número 1246 inversamente
proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma
de cifras del menor número.
a) 8 b) 9
c) 10 d) 12
e) 10
5. Repartir 1000 en forma inversamente
proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la
mayor parte.
a) 100 b) 200
c) 300 d) 400
e) 500
6. Se ha hecho un reparto en 3 partes
inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la
segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el
total repartido?
a) 1000 b) 3000
c) 4000 d) 6000
e) 8000
7. Repartir el número 1246 inversamente
proporcional a 5/2; 4 y 6/5. hallar la suma
de cifras del menor número.
a) 8 b) 9
c) 10 d) 11
e) 12
8. Repartir 1000 en forma inversamente
proporcional a 1/3, ½, 1/5. Hallar la
mayor parte.
a) 100 b) 200
c) 300 d) 400
e) 500
9. Se ha hecho un reparto en 3 partes
inversamente proporcional a 3; 13 1/6. la
segunda parte es 72 soles. ¿Cuál fue el
total repartido?
a) 1000 b) 3000
c) 4000 d) 6000
e) 8000
10. Repartir 348 en dos partes directamente
proporcionales a 3 y ¼, e inversamente
proporcionales a ½ y 1/5.
Hallar la suma de cifras de la mayor
parte.
a) 12 b) 14
c) 16 d) 18
e) 20
11. Se reparte 596000 en forma proporcional
a los números 2, 4, 6, 8 e inversamente
proporcional a los números 1, 3, 5, 7.
¿Cuánto le corresponde a la parte
menor?
a) 100000 b) 120000
c) 250000 d) 300000
e) 320000
CLAVES
1. D
2. C
3. C
4. E
5. E
6. D
7. D
8. A
9. D
10. B
TANTO POR CIENTO
REGLA DEL TANTO POR CIENTO:
Nos indica una relación entre una parte y la
unidad que ha sido dividida en 100 partes
iguales.
Es decir:
Unidad
100
1
100
1
100
1
100
1
100
1
100 partes iguales
Luego:
1 parte <>100
1 = 1% (uno por
ciento)
2 partes <>100
2 = 2% (dos por
ciento)
3 partes <>100
3= 3 % (tres por
ciento)
100 partes <>100
100= 100% (cien por ciento)
Observamos que:
1% = 100
1 a % =
100
a
. 100% = 100
100= 1 .
OBSERVACIÓN:
El 7 por 40 <>
40
7
El 35 por ciento <>100
35
El 20 por 45 <>45
20
El 90 por mil <>1000
90
El “a” por “b” <>ba
PORCENTAJE DE PORCENTAJE:
El 20% del 10% de 40% es:
100
10.
100
20 . 40% =
10
8% = 0,8%
El 50% del 30% de 60% es;:
100
30.
100
50x 60% = 9%
El a% del b% de c%
%10000
%.100
.100
abcc
ba
TANTO POR CIENTO DE UNA CANTIDAD:
El 20% de 30 = 100
20 . 30 = 6
El 60% del 10% de 500 es = 100
10.
100
60.
500 = 30
OPERACIONES CON PORCENTAJE
20%A + 30%A = 50% A
70%B – 30%B = 40%A
m + 10%m =
1
%100 m + 10% m =
110% m
N – 30%N = 70%N
2A + 10%A = 210%A
5% menos = 95%
RELACIÓN PARTE - TODO:
.TodoParte
. 100% .
Ejemplos:
¿Qué tanto por ciento es 12 de 40?
40
12 . 100% = 30%
SESIÓN N° 12
¿Qué porcentaje de 80 es 25?
80
25 . 100% = 31, 25%
¿Qué porcentaje de “A” es “B“?
A
B . 100%
En una reunión de 60 personas, el 20% son
hombres y el resto mujeres. ¿Qué
porcentaje de las mujeres son los hombres?
Resolución:
N° personas: 60 =
)(48
)(hom1260.100
20
mujeres
bres
Luego:
48
12 . 100% = 25%
OBSERVACIÓN:
PIERD
O
QUEDA PIERD
O
GANO
10% 90% 20% 120%
75% 25% 30% 130%
8% 92% 80% 180%
40% 60% 100% 200%
DESCUENTOS Y AUMENTOS
SUCESIVOS:
Ejemplo 1
¿A que descuento único equivale dos
descuentos sucesivos del 10% y 30% de una
cantidad?
Resolución:
Sea “N” la cantidad inicial:
N (90% N) 70%(90% N) = 63% (Queda)
- 10% -30%
Descuento = 100% - 63% 37%
Otra forma:
(–) (–)
10% y 30% de N
90% . 70%N = 63%N
Du = 100% - 63% = 37%
Ejemplo 2
¿A que aumento único equivalen tres
aumentos sucesivos del 10%; 20% y 50% de
una cantidad?
Resolución:
( + ) ( + ) ( + )
10%; 20% y 50%
100
120.
100
110.150% = 198%
Aumento único = 198% - 100% = 98%
VARIACIÓN PORCENTUAL
Ejemplo 1:
Si el lado de un cuadrado aumenta en 20%
¿En que porcentaje aumenta su área?
Resolución
El área:
A1 = a2 A
2 = (120% a)
2
A2 = 120%a . 120%a = 144% a
2
El área aumenta en 144% - 100% = 44%
Otra Forma:
Se asume al lado inicial diez
El área:
A1 = 102 A1 = 100
A2 = 122 A2 = 144
Aumento en 44%
Inicial
Final
120% a
a
a
A1
A2
+20%
Ejemplo 2:
Si el radio de circulo aumenta en 100%, ¿En
qué porcentaje aumentara su área?
El área:
A1 = (102) A2 = (20
2)
APLICACIÓN COMERCIAL
Ejemplo:
Aurelio compró una computadora en S/. 400
(precio de costo: PC) y decide ofrecerle en
$500(precio fijado: Pf) sin embargo, ala
momento de venderlo lo hace por S/.
420(precio de venta PV), se realiza un
descuento de (500 – 420 = 80 soles) y se
obtuvo una ganancia de 420 – 400 = 20
soles, (ganancia bruta: GB); pero esta
operación comercial genera gastos pos S/. 5
o sea se ganó realmente 20 - 5= 15 soles
(ganancia neta GN) veamos:
Luego del gráfico:
* . PV = PF – D . * . PV = PC + GB.GB
= GN + Gastos
Si hay pérdida:
. PV = PC – P .
Ejemplo:
Para fijar el precio de venta de una articulo se aumento su costo en un 80% pero al venderse se hizo una rebaja del 40%. ¿Qué tanto por ciento del costo se ha ganado?
Resolución:
Sea precio de costo S/. X
1° PF = x + 80%x PF = 180%x
2° D = 40% PF
3° PV = 60% (PF) = 60% (180%x) =
108%x
Luego:
PV = PC + G
108%x = x + G G = 8%x
ganancia es el 8% del costo
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1. El radio de una esfera disminuye en 40%
con ellos el volumen disminuye en:
Rpta. 78, 4%
2. El precio de una refrigeradora es de S/.
1200 en tiendas sagafalabella y tiene los
siguientes descuentos:
40%, sólo por hoy.
20% más si paga con tarjeta CMR.
¿Cuál es el monto a pagar?
Rpta. S/. 576
3. Si la base de un rectángulo se
incremente en 20%. ¿En cuánto
disminuye la altura si el área no varia?
Rpta. 16 2/3%
4. El x% de 2057 es 187. Hallar “x”
Rpta. 100/11
5. El 25% de que número es el 35% de 770
Rpta. 1078
6. ¿De que número es 216 el 8% más?
Rpta. 200
7. El a% de 300 es b y b% de 30 es 27.
Hallar a.
Rpta. 30
8. El 18% de 990 es el n% de 198. Hallar n.
Rpta. 90
9. El a% de b es c el c% de a es e. Hallar a.
Rpta. 100 c/b
10. Se observo que en una granja el número
de patos, conejos y pavos en la relación
de los números 4, 5 y 6. ¿Qué
porcentaje del total son pavos?
Rpta. 40%
11. En una reunión el 40% del total de
personas son hombres. Si se retira la
mitad de éstos. ¿Cuál es el nuevo
porcentaje de hombres?
Rpta. 25%
12. El 20% menos de A es igual a 2% más
de B si A + B = 546. Hallar A - B
Rpta. 66
13. Si el 65% de “N” es igual al 106% de (N -
123). ¿Qué porcentaje de N representa
53?
Rpta. 16.6%
14. En una reunión el 70% del número
de mujeres es igual al 50% del
número de hombres. ¿Qué
porcentaje del total son mujeres?
Rpta. 41,6%
15. En una granja: el 30% de los
animales son pollos, el 45% son
patos y el resto son gallinas. Si se
venden la mitad de los pollos; 4/9 de
los patos y 3/5 de las gallinas. ¿Qué
porcentaje del nuevo total son
patos?
Rpta. 50%
16. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de la
mitad del 60% de un número es el
30% del 20% de los 2/5 del número?
Rpta. 2%
PROBLEMAS PARA RESOLVER
1. La base de un triángulo aumenta en 50%
y su altura en 20%. ¿En qué porcentaje
varia en área?
a) 70% b) 80%
c) 60% d) 40%
e) 50%
2. Si al altura de un rectángulo disminuye
en 35% y la base aumenta en 10%. El
área
a) Aumenta en 28,5%
b) Aumenta en 25,8%
c) Disminuye en 28,5%
d) Disminución en 25,8
e) N.A.
3. De un depósito de agua se extrae
primero el 20% y luego el 25%. ¿Qué
porcentaje del total se extrajo?
a) 40% b) 44,%
c) 44% d) 45%
e) 39,7%
4. Si el lado de un cuadrado disminuye en
30%. ¿En qué porcentaje disminuye el
valor de su área?
a) 60% b) 30%
c) 39% d) 51%
e) 56%
5. Hallar el 36% de 2500
a) 693,3 b) 1000
c) 900 d) 368
e) N.A.
6. ¿De que número es 72 el 2.4%?
a) 3 b) 172,8
c) 300 d) 3000
e) N.A.
7. ¿Qué % de 38000 es 190?
a) 1/2 b) 50%
c) 1/200 d) 2%
e) N.A.
8. Hallar el 20% del 25% del 40% del 15
por 60 de 24000
a) 120 b) 100
c) 140 d) 125
e) 124
9. Hallar el 20% del 30% del 15% de
10000.
a) 50 b) 70
c) 90 d) 100
e) 110
10. ¿El 25% de 280 es el 40% más de que
número?
a) 40 b) 50
c) 35 d) 28
e) 48
CLAVES
1. B
2. C
3. A
4. D
5. C
6. D
7. A
8. A
9. C
10. B
REGLA DE INTERÉS
INTERÉS Es la ganancia o beneficio al prestar un
capital durante cierto tiempo y bajo una tasa
a considerarse. Si el interés es anual se le
llama renta.
Interés (I) : Crédito, renta (anual)
Capital (C) : Dinero, acciones,
propiedades, etc.
Tiempo (T) : Año, meses, días
OBSERVACIONES:
EL AÑO CONSIDERADO ES EL COMERCIAL, AQUEL
QUE TIENE 12 MESES DE 30 DÍAS CADA UNO
Tasa (r): Es el porcentaje anual, considerado
como tasa de interés.
OBSERVACIONES:
POR EJEMPLO, TENEMOS:
3 % MENSUAL 36% ANUAL
12% BIMENSUAL 72% ANUAL
10% QUINCENAL 240% ANUAL
Monto (M) : Viene a ser la suma del capital
con su interés Así:
. M = C + 1 .
Fórmulas para calcular el interés simple:
. 1 = 100
t.r.C, “t” en años .
. 1 = 1200
t.r.C, “t” meses .
. 1 = 1200
t.r.C , “t” en días. .
SESIÓN N° 13
Ejemplo:
Pedro deposita 4000 soles bajo una tasa de
12% semestral durante 15 meses. ¿Cuál es
el monto que obtiene?
Resolución:
C = S/. 4000
r = 12% semestral 24 % anual
t = 15 meses
I = 1200
t.r..C =
1200
15.24.4000 = 1200
Y como M = C + I
M = 4000 + 1200
M = 5200
PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. ¿Cuál es el capital que al 5% de interés
simple anual se convierte en 3 años en
S/. 3174 ?
Rpta. S/. 2760
M = C + I
3174= C +
C = 2760
2. Determinar el interés generado al
depositar S/. 1200 al 10% trimestral
durante 6 meses
Rpta. S/. 240
3. Un capital estuvo al impuesto al 9% de
interés anual y después de 4 años se
obtuvo un monto S/. 10200. ¿Cuál es el
valor del capital?
Rpta. S/. 7500
4. Calcular el interés producido por un
capital de S/. 60000 impuesto durante 30
meses al 10% trimestral.
Rpta. S/. 60000
5. los 2/5 de un capital han sido impuesto al
30%, 1/3 al 35% y el resto al 40%. El
interés total es de 41200 soles anuales.
Calcular el capital
Rpta. S/. 120000
6. Un capital de 2100 soles impuesto al 6%
anual ha dado un monto de S/. 2400.
Calcular el tiempo.
Rpta. 2 años 4 meses 20 días
7. Un capital es colocado durante 2 años y
medio; entre capital e interés resultan
2728 nuevos soles. Si el interés ha sido
1/10 del capital. Calcular la tasa.
Rpta. 4%
8. Hallar el monto que produce un capital
de 10800 soles al ser colocado 5%
durante 2 años, 3 meses, 20 días
Rpta. S/. 12045
9. Durante cuanto tiempo estuvo
depositado un capital al 12% anual si el
interés producido alcanza el 60% del
capital
Rpta. 5 años
10. Un comerciante dispone de S/. 12000 y
coloca una parte al 3% y la otra al 5% tal
es así que acumula una renta anual de
S/. 430. ¿Cuáles son esas dos partes?
Rpta. S/. 8500 y S/. 3500
11. ¿A que tasa de interés cuatrimestral se
presto un capital de S/. 400 de tal
manera que al cabo de 8 meses produce
un monto de S/. 432?
Rpta. 4%
12. Un capital colocado a interés simple
produjo en 8 meses un monto de S/.
19300. si el mismo capital se hubiera
impuesto a la misma tasa de interés por
años, el monto hubiera sido S/. 38600.
¿Cuál es la tasa anual?
Rpta. 150%
13. Una persona tiene S/. 16000 que lo
presta al 5% trimestral y otra tiene S/.
20000 que lo presta al 5% cuatrimestral.
¿Dentro de cuántos años los monto
serán iguales?
Rpta. 20
14. ¿Qué capital es aquel colocado al 5%
anual durante 10 meses, produce S/.
3300 menos que si se impusiera al 5%
mensual durante el mismo tiempo?
Rpta. 7200
15. ¿A qué tasa debe colocarse un capital
para que al cabo de 5 años se produzca
un interés igual al 20% del monto?
Rpta. 5%
PROBLEMAS PARA RESOLVER
1. Calcular el interés producido por S/.
2000 impuesto durante 3 años
a) S/. 500 b) S/. 1000
c) S/. 2000 d) S/. 1200
e) S/. 2500
2. ¿A que tasa de interés, la suma de S/.
20000 llegaría aun monto de S/. 21200
colocada a interés simple en 9 meses?
a) 5% b) 6%
c) 7% d) 8%
e) 9%
3. Calcular el interés producido por un
capital de S/. 40000 durante 4 años al
30% semestral
a) S/. 48000 b) S/. 72000
c) S/. 48000 d) S/. 72000
e) S/. 54000
4. Cuál es el capital que se coloca al 30%
durante 2 años para obtener un interés
de S/. 120.
a) S/. 180 b) S/. 200
c) S/. 220 d) S/. 240
e) S/. 250
5. Un capital “C” produce al cabo de dos
años un beneficio de 1440. Hallar “c”, si
la tasa de interés es del 10% bimestral.
a) 1320 b) 1440
d) 1200 d) 1220
e) 1260
6. ¿Cuál fue el capital que impuesto al 30%
anual, durante 4 años ha producido un
monto de S/. 220?
a) 200 b) 100
c) 300 d) 400
e) 180
7. Durante cuántos años se deposito un
capital de S/.2500 en un banco que paga
el 9% trimestral para que se haya
convertido en S/. 5200
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5
e) 6
8. ¿Cuánto tiempo debe ser prestado un
capital al 20% para que se triplique?
a) 8 años b) 9 años
c) 10 años d) 11 años
e) 12 años
9. ¿A que tasa fue impuesto un capital si
durante 4 años se obtuvo un interés igual
al 22% del capital?
a) 3% b) 3,5%
c) 5% d) 5,5%
6%
10. ¿Cuántos meses estuvo colocado un
capital al 3% cuatrimestral, si produjo un
interés igual al 6% del capital?
a) 4 meses
b) 6 meses
c) 8 meses d) 10 meses
e) 1 año
CLAVES
1. D
2. D
3. B
4. B
5. C
6. B
7. B
8. C
9. D
10. B
Se va a calcular el precio
de la mezcla conociendo las
cantidades y precios respectivos
de las sustancias que la
componen.
Se va a calcular las
cantidades o la proporción en los
que se deben mezclar varias
sustancias para que resulte un
precio dado de la mezcla.
Se van a observar
problemas sobre mezclas
homogéneas.
Es la unión de dos o más
sustancias. Llamadas
componentes o ingredientes,
donde al mezclarse cada uno de
ellos conservan su propia
naturaleza.
MEZCLA
Cuando en la mezcla se utiliza
agua su precio se considera S/. 0
(cero)
NOTA
REGLA DE MEZCLA
Ejemplo: Arroz tipo A con arroz tipo B al mezclarse se obtiene una mezcla tipo “C”; los granos de A y B no se alteran.
PRECIO: Es el costo por cada unidad de medida del componente.
VALOR: Es el costo total de cada componente, que resulta del producto del precio por el número de unidades.
PRECIO MEDIO (PM): Es el costo de una unidad de medida de la mezcla.
MEZCLA DIRECTA
Se dice que la mezcla es directa cuando el propósito es hallar el precio medio (valor medio de la mezcla).
n n1 1 2 2m
n1 2
P .C P .C .... P .CP
C C .... C
n
x 1
n
x 1
x x
m
x
P C
P
C
Ejemplo 1 Se mezclan 2 clases de cacao de 40 kg de S/. 4 el kg y 80 kg de S/. 8 el kg. Hallar el precio medio de la mezcla.
Resolución:
m
40 4 80 8P
40 80
m P S / . 6,6
Ejemplo 2 Se mezclan 3 tipos de vino: 30 litros de S/. 4 el litro, 60 litros de S/. 6 el litro y 20 litros de S/. 5 el litro. Hallar el precio medio de la mezcla.
Resolución:
m
30 4 60 6 20 5P
30 60 20
m580
P Pm= 110
S/. 5,27 Rpta.
MEZCLA INVERSÁ Una mezcla inversa se caracteriza por que se conocen el precio medio y los precios unitarios, pero no las cantidades.
Luego: m1 2
m12
C P P
C P P
Donde: 21 mP P P
SESIÓN N° 14
....
1C 2C 3C nC
1S / .P 2S / .P 3S / .P nS /.P
mCosto total
PCantidad total
2
1
m1 1
m2 2
P C P P
P C P P
mP
Ejemplos: Se han mezclado vinos de S/. 100 y
S/. 40 para vender la mezcla a S/. 75 el litro. En que relación debe hacerse la mezcla? Resolución:
Piden: 1
2
C 35
C 25
1
2
C 7
C 5 Rpta.
Se tiene café de S/. 13 y S/. 9 respectivamente. ¿Qué cantidad de cada uno de ellos se requiere para obtener una mezcla de 64 kg a S/. 12 el kilogramo?
Resolución Están en relación de: 3k y k
Dato: 3k k 64 4k 64 k= 16
1C 3(16) 48
2C 1(16) 16
MEZCLAS ALCOHÓLICAS Cuando se tiene como sustancias componentes al alcohol y agua generalmente.
Grado de pureza de Alcohol Porcentaje de alcohol puro en la mezcla
(volumen de alcohol puro).100%Grado
volumen total
Se expresa en porcentaje (%) o en grado ( º ).
Grado Medio (gm)
Es el grado de pureza de la mezcla.
volumen de alcohol puro gm .100%
volumen de la mezcla
2 n1 .. . n 1 2
n1 2 3
V g V g .... V g gm
V V V ..... V
Ejemplo 01 ¿Cuál deberá ser la pureza de alcohol que deberá añadirse a 80 litros de alcohol de 96% de pureza, para obtener un hectolitro de alcohol de 90% de pureza?
Resolución: Nota: 1 hectolitro=100 litros Para completar faltan 20 litros: luego: 80(96%) 20(x%)
90%80 20
7 680+ 20x= 9 000
De donde: x= 66% Rpta.
Ejemplo 02 Si 30 L de una solución contiene 12 L de alcohol. ¿Cuántos litros de agua debemos agregar para obtener una solución al 25%?
Resolución: Si agregamos “x” litros de agua, se tiene:
12gm 25%
30 x
12 1
30 x 4
Resolviendo
x 18 L Rpta.
ALEACIÓN
Aleación es la mezcla de dos o mas metales mediante el proceso de la fundición, conservando cada metal su propia naturaleza.
Metales finos o preciosos: oro, plata, platino
Metales ordinarios o de liga: cobre, fierro, zinc, etc.
LEY DE UNA ALEACIÓN: Se llama ley de una aleación de un metal fino con un metal ordinario (liga) a la relación que existe entre el peso de un metal fino, y el peso total de la aleación.
Peso del metal fino L
Peso total de la aleación
F
F O
W L
W W
1 1
22
100 C C = 75 40 35
40 C C 100 75 25
75
1 1
22
13 C C = 12 9 3
9 C C 13 12 1
12
Nota: Generalmente la ley de una aleación se representa en décimos o milésimos.
LIGA DE UNA ALEACIÓN:
Peso del metal ordinarioLiga
Peso total de la aleación
O
F O
W Liga
W W
Nota: L+Liga=1 Si un metal fino no contiene metal
ordinario o sea OW 0 L= 1
Si un metal ordinario no contiene metal fino o sea
FW 0 Liga= 1
LEY DE ORO: En el caso del oro su ley se puede expresar también en quilates. Al oro puro se le asigna una ley de 24 quilates, el número de quilates representa el número de décima cuarta parte de oro que contiene la aleación.
Ley de oro: k
L 24
k: # de quilates
Si el oro es de 24 quilates (oro puro) su ley es uno ( 1 ).
LEY MEDIA (lm)
1 1 2 2 3 3 n nm
1 2 3 n
W l W l W l ..... W l l
W W W .... W
Ejemplo 01: Se funden 280 g de oro puro con 200 g de cobre. Hallar el número de quilates de la aleación.
Resolución:
Del enunciado: 280 k
200 280 24
De donde: k= 14 Rpta.
Ejemplo 02: ¿Cuántos gramos de oro puro hay en un collar que pesa 15 g, cuya ley es 4 décimos fino? a) 6g b) 7g c) 8g d) 10g e) 12g
Resolución:
Se tiene que: FW0, 4
15
De donde: F W 6 g Rpta.
1 Sean mezcla do 200 litros de vino de a S/. 5.00 el litro con 30 litros de vino de mayor precio obteniendo una mezcla con un precio medio de 6.50 sólo por litro. ¿Cuál es el costo en soles por litro del mencionado vino de mayor precio? a) 16.5 b) 16.9 c) 16.8 d) 16.6 e) n.a.
Resolución: El total de litros vendidos es 200 30 230 , como su precio medio por litro es de 6.50 soles el valor total será. 230 6.50 1 495 soles Ahora bien sea el mayor precio por litro, luego el total será 200 5 30 p ó 1 000+ 30p
Como en ambos casos el valor total es el mismo tendremos. 1 000+ 30p= 1 495
1 495 1 000p 16,5
30
p 16,5 Rpta.
2 ¿Cuál será la ley media de la aleación resultante de fundir 3 bloques de aleación cuyos pesos son: 4; 5 y 6 kg, donde sus leyes respectivas son de 0,750 ; 0,850 y 0,900?
a) 0,483 b) 0,413 c) 0,843 d) 0,814 e) n.a.
1l 2l 3l nl
..........nW3W2W1W
Resolución: Ley de aleación:
4(0,750) 5(0,850) 6(0,900)Lm
4 5 6
12 650Lm
15 0,843 Rpta.
3 Un comerciante vende dos tipos de vinos de S/. 90 y S/. 75,60 soles el litro; los cuales los mezcla en la proporción de 5 partes del mas barato por 7 partes del más caro. Si quisiera ganar un 25% en la mezcla a como debe vender el litro. a) S/. 106 b) S/. 107 c) S/. 105 d) S/. 108 e) n.a.
Resolución: Supongamos que el total de la mezcla es 12 litros de vino. Del barato: 5 75,60 378 soles
Del caro: 7 90 630 soles
Total 1 008 soles S/.25% de 1 008 = 252
Luego el precio total de venta será: +S / . 1 008 S / . 252 = S / . 1 260
El precio por litro será: 1 260
12 S/. 105 Rpta.
4 Se tiene oro de 9 decimos fino (0,900) y oro de 18 quilates (0,750). ¿Cuántos gramos hay que tomar de cada clase para obtener 60 gr. de ley de 800 milésimos fino?
a) 20 y 10 b) 10 y 20 c) 20 y 40 d) 40 y 30 e) n.a.
Resolución: Dato:
1 2
3k
C C 60
3k 60 k= 20
Luego: 1 2C 20 y C 40
20 y 40 Rpta.
5 Un litro de leche pura pesa 1 030g. si se han comprado 161,4 litros de leche y estos pesan 165,420kg. ¿Cuántos litros de agua contiene esta leche? a) 26 litros b) 14 litros c) 28 litros
d) 19 litros e) n.a.
Resolución: Por cada litro de agua agregado se pierde: 1 030 1 000= 30g de peso 181,4 litros de leche pura pesarián 161,4 1 030= 166, 242kg
El peso de la leche comprada es 165, 920 g. y la diferencia de pesos da: 840g Luego de agua hay: 840
30 28 litros Rpta.
6 Si 80 litros de agua contiene 15% de sal. ¿Cuánto de agua se debe de evaporar para que la nueva solución contenga 20% de sal? a) 10 litros b) 5 litros c) 20 litros d) 19 litros e)n.a.
Resolución: 15
Sal (80) 12 litros100
Se evapora “x” litros de agua, la sal no se evapora.
Luego: 2012 (80 x)
100
60 80 x
x 20 litros Rpta.
7 Se ha mezclado de una sustancia con 70kg. De otra, las sustancias cuestan 3 soles y 5 soles el Kg. respectivamente. ¿Qué cantidad tendrá que entrar de una tercera sustancia de 4 soles el kg. Para que el precio medio de la mezcla resulte de 3,95 soles el Kg? a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
Resolución: Sea “x” la cantidad buscada.
80 3 70 5 x 4Pr omedio 3,95
80 70 x
(150 x)240 350 4x 3,95
0,05x 2,5 x= 50 Rpta.
8 Que cantidad de carbón con 4% de humedad se debe mezclar con un carbón de 8% de humedad para obtener 164 kg de carbón con 7% de humedad. a) 43 b) 42 c) 40 d) 41 e) 50
Resolución: Proporción de la mezcla:
Total = 4kg. * Por una mezcla de 4kg. Se toma 1 kg con
4% de humedad * Para una mezcla de 165 kg se tomarán
164 1x 41Kg.
4
x 41 kg Rpta.
9 Si 1 litro de mezcla formado del 75% de alcohol y 25% de agua pesa 850 gramos ¿Cuánto pesara 1 litro de mezcla formado de 25% de alcohol y 75% de agua? a) 890g b) 950g c) 900g d) 980g e) 925g
Resolución: NOTA: 1 litro de agua 2H O
Pesa 1 Kg. ó 1000 gramos. Primera mezcla: Se deduce 0,75L de alcohol. Pesa: 850-250=600gr. Segunda mezcla:
Aplicando regla de 3 simple:
75y 25 600 y 200gr.
Peso=700 200 950gr.
Peso= 950gr. Rpta.
10 Una cierta cantidad de azúcar de 120 soles el kilo se mezcla con 100 kilos de azúcar de 180 soles el kilo, si el precio resultante era 142,5 soles. Hallar dicha cantidad. a) 133 b) 160 c) 166
d) 130 e) 2
1663
Resolución:
xKg 100Kg x 100 Kg
1P 120 , 2P 180 , mP 142,5
Sabemos:
1 1 2 2m
1 2
C P C PP
C C
Luego:
142,5= 120x 180 100
x 100
Resolviendo: 500 2x 166
3 3
2166
3Rpta.
11 Si 20 litros de agua contiene 15% de sal ¿Cuánto de agua se debe evaporar, para que la nueva solución contenga 20% de sal? a) 5 b) 10 c) 15 d) 3 e) 8
Sal=15%20 Se evapora “x” litros Sal=3L de agua (la sal no se Evapora)
3 20% 20 x
Luego: 20
3 20 x100
x 5 Rpta
8 % 1% ó 1kg
0,800
4 % 3% ó 3kg
2H O
OH
25%1L pesa 250gr.
75%1L pesa x gr.
850 gr.
2H O
OH
25%1L pesa 250gr.
75%1L pesa y gr.
Peso ? 750 y
ra
da
Alcohol Peso
0,75 600 1 mezcla
0, 25 y 2 mezcla
SAL
20L
SAL
20 x L
xL
12 A una solución de 2 litros de alcohol (en volumen) se le agrega 1 litro de agua y ½ litro de alcohol ¿Cuál seria el nuevo % de alcohol en la mezcla? a) 27,5% b) 25,7% c) 25% d) 20% e) 16,6%
Resolución:
Se agrega 1L de agua y 1
L2
de alcohol.
Entonces:
Luego el nuevo porcentaje de alcohol en la nueva mezcla es:
alcohol
Total
V 0,9 9
V 3,5 35
0, 257 25,7% Rpta.
13 Calcular el peso de un litro de mezcla conteniendo 70% de agua y 30% de alcohol, sabiendo que un litro de agua pesa un kilogramo y un litro de mezcla de 75% de alcohol y 25% de agua pesa 960gr. a) 988gr b) 984gr c) 1007,5gr d) 940gr e) 1000gr
Resolución: Mezcla I:
Alcoho l75% 1 0,75L 710gr1litro
agua 25% 1 0, 25L 250gr
Mezcla II:
Alcohol 30% 1 0, 30L 284gr1litro
agua 70% 1 0,70L 700gr
984gr Rpta.
14 Una solución de 15 litros de alcohol y agua contiene 75% de alcohol ¿Cuál es el máximo de litros de una solución al 67% de
alcohol que puede agregarse a la solución original a fin de que la solución final contenga como mínimo 72% de alcohol? a) 14 b) 5 c) 17 d) 9 e) 10
Resolución: “x” litros de solución al 67% volumen alcohol echado. Volumen de alcohol: 75 45
15 L 11, 25L100 4
Obtenga solución al 72%.
Al final habrá 15 x L de solución al 72%
72
15 x 0,67x 11, 25100
Resolviendo: 10,8 0,72x 0,67x 11, 25 0,05x 0,45
x 9 litros Rpta.
15 Dos clases diferentes de vino se han mezclado en los depósitos Ay B, en el deposito A la mezcla esta en proporción de 2 a 3 respectivamente y en el deposito B, la proporción de la mezcla es 1 a 5 ¿Qué cantidad de vino debe extraerse en cada deposito para formar una mezcla que contenga 7 litros de vino de la primera clase y 21 litros de la otra clase? a) 12 y 16 b) 13 y 15 c) 10 y 18 d) 15 y 13 e) 18 y 10
Resolución:
x e y clase de vino
Dato de x 7L 2a b 7............ (1) y 21L 3a 5b 21............ (2)
Operando: 5(1)-(2)
OH
2H O
Alcohol 20% 2 0, 4L
agua 80% 2 1, 6L
2 litros
OH
2H O
0, 4 0, 5 0, 9L
1, 6 1 2, 6L
3,5 litros
960gr
984gr
Alcohol
Agua
Peso ? 750 y
15L
75%
67%x 0,67x
2a
3a
A
x
y
1b
5b
B
x
y
7a 14 a 2 En (1) b 3
*Se saca de “A” 5a 5 2 10L
*Se saca de “B” 6b 6 3 18L Rpta.
1 Cual es el grado de una mezcla que contiene alcohol y agua, sabiendo que tiene 40 litros de los cuales 16 litros sonde agua? a) 60º b) 50º c) 70º d) 75º e) 55º
2 Se mezclan 15 litros de alcohol de 40º, con 35 litros de 30º y 40 litros de 60º. ¿De que grado es la mezcla resultante? a) 40º b) 48º c) 50º d) 45º e) 52º 3 Se alean 350 g de palta con 150 g de cobre. ¿Cuál es la ley de aleación? a) 0,700 b) 0,750 c) 0,800 d) 0,850 e) 0,900 4 Se mezclan tres metales de pesos: 200 g, 300 g y 800 g; cuyas leyes son respectivamente: 320 milésimas, 500 milésimas y 925 milésimas. ¿Cuál es la ley media? a) 0,820 b) 0,733 c) 0,720 d) 0,715 e) 0,723 5 Se mezclan dos sustancias cuyas densidades son 2 y 3 g/ l, en las cantidades de 8 litros y 10 litros respectivamente. ¿Cuál es la densidad de la mezcla resultante?
a) 2,40 b) 2,18 c) 2,31 d) 2,41 e) 2,55
6 Se mezclan 2 clases de maní: 30 kg de S/.4 el kg y 70 kg de S/. el kg. Hallar el precio medio de la mezcla. a) 5,4 b) 5,8 c) 4,8 d) 4,6 e) 5,2
7 Se mezclan tres tipos de vino: 20 litros de S/. 3 el litro, 50 litros de S/. 5 el litro para que resulte de S/. 40 el litro. Indicar la cantidad de agua que se debe añadir. a) 55 b) 50 c) 40 d) 70 e) 65
8 Se han mezclado 40 litros de vino de S/, 60 el litro, con 140 litros de S/. 50 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/. 1,95 ganando un 30%? a) 110 b) 100 c) 120 d) 108 e) 105 9 Un comerciante pesa 1 030 g, un lechero entrega 55 litros de leche con un peso de 65,5 kg; le agregó en la leche, ¿En que volumen? a) 3 L b) 5 L c) 4 L d) 6 L e) 8 L 10 ¿A cuanto debe venderse el litro de vino que resulta de mezclar 20 litros de S/. 80 el litro con 50 y 30 litros de S/. 40 y S/. 69 el litro respectivamente, si no se debe ganar ni perder? a) 56,7 b) 58,4 c) 53,9 d) 55,9 e) 60 11 Se mezclan 30kg de café de S/. 39 el kilo con 48 kg y 52 kg de S/.26 y S/.13 respectivamente; se desea saber a como debe venderse cada kg de la mezcla si se debe ganar el 10%. a) 25,40 b) 25,70 c) 26,18 d) 28,4 e) 27
12 ¿A como se vendió cada kilogramo de la mezcla de 27,33 y 45 kg de arroz cuyos precios son respectivamente S/.10,6 ; S/.5,3 y S/.2,65 el kilogramo, si se perdió el 7%? a) 6,20 b) 4,9 c) 4,7 d) 5,8 e) 5,11
13 Se fundieron dos lingotes de plata de igual peso y cuyas leyes son de 0,920 y 0,950. ¿Cuál es la ley resultante? a) 0,924 b) 0,0905 c) 0,935 d) 0,912e) 0,918
14 Un vaso lleno de aceite pesa 1,69 kg y lleno de alcohol pesa 1,609kg sabiendo que a igualdad de volúmenes, el peso del aceite es los 9/10 del peso del agua y el alcohol los 21/25 del mismo. ¿Cuántos gramos pesa el vaso vacio? a) 425 b) 615 c) 608 d) 612 e) 475
15 Un adorno de oro de 16 quilates, contiene 60 g de oro puro. ¿Cuantos gramos de liga contiene el adorno? a) 18 b) 20 c) 30 d) 24 e) 26 16 Hallar la ley de una aleación de oro y cobre que tiene una densidad de 14, sabiendo que la densidad del oro es de 19 y la del cobre 9 ( aproximadamente) a) 0,678 b) 0,915 c) 0,583 d) 0,584 e) 0,832
17 Se mezclan 8 litros de aceite de S/.600 el litro y 12 litros de aceite de S/.800 el litro. ¿A cómo se debe vender cada litro de la mezcla resultante? a) S/.840 b) S/.710 c) S/.730 d) S/.805 e) S/.720 18 Un comerciante ha comprado 350 litros de aguardiente a S/.1.95 el litro. ¿Qué cantidad de agua habrá que añadir para vender el litro a S/.1,95 ganando un 30%? a) 104 b) 105 c) 102 d) 110 e) 108
19 En que proporción se deben mezclar dos tipos de vino, cuyo precios por litro son de S/.800 y S/.1 100 para obtener una mezcla cuyo precio medio sea de S/.920 a) 2/3 b) 3/4 c) 4/3 d) 4/5 e) 3/2 20 ¿Qué cantidades de vino de S/.35 ; S/.50 y S/.60 el litro han de mezclarse para conseguir a S/.43,5 cada litro, con la condición de que la segunda clase, entre el doble de cantidad de la tercera. Indicar la máxima diferencia de 2 de estas cantidades. a) 600 b) 800 c) 700 d) 900 e) 950
21 Un recipiente de 100 litros de capacidad esta lleno con alcohol de 80º. ¿Cuantos litros de dicho recipiente hay que sacar para que al ser reemplazado por agua se obtenga una mezcla de 60º? a) 40 L b) 60 L c) 50 L d) 75 L e) 65 L
22 Se mezclan alcohol puro, agua y vino cuyos volúmenes están e la misma relación que los números 3; 5 y 2. Hallar el porcentaje de alcohol en el vino, si al mezclar éste resulto de grado 37. a) 35º b) 30º c) 45º d) 37º e) 42º 23 Un anillo de 33 g de peso está hecho de oro de 17 quilates. ¿Cuántos gramos de oro puro se deberán agregar al fundirlo para obtener oro de 21 quilates? a) 40 g b) 42 g c) 44 g d) 45 g e) 43 g
24 ¿Qué cantidad de cobre habrá que mezclar a una barra de plata de 44 kg y de ley de 0,920 para que la ley disminuya en 0,04? a) 42 b) 46 c) 44 d) 45 e) 48
25 Al precio de S/. 2 200 el kilogramo se plata, se ha vendido en S/770 un vaso que pesaba 500 g. ¿Cuál es la ley de este vaso? a) 0,7 b) 0,6 c) 0,8 d) 0,9 e) 0,75
26 Se funden 50 g de oro puro con 450 g de una aleación, la ley de la aleación aumenta en 0,020. ¿Cuál es la ley de aleación de la primera? a) 0,6 b) 0,9 c) 0,36 d) 0,8 e) 0,39
27 Se tienen 60 litros de una mezcla de ácido sulfúrico al 40% de pureza. ¿Cuántos litros de agua se deben agregar para obtener una mezcla que sólo tenga el 10% de pureza? a) 160 b) 150 c) 180 d) 170 e) 190
Pv = Pc + g
Pv = Pc - p
28 Se tiene alcohol de 80% y 60% cuyo volumen del primero es el triple del segundo. ¿Cuántos litros de alcohol de 65% se debe agregar para obtener 96 litros de 69%? a) 56,3 b) 57,6 c) 58,1 d) 58,9 e) 60 29 Si se funden 50 g de oro con 450 g de una aleación, la ley de aleación aumenta 0,02. ¿Cuál es la ley de la aleación inicial? a) 0,70 b) 0,65 c) 0,91 d) 0,80 e) 0,85
1. 2. 3. 4 5. 6. 7. 8. 9.
a d a b e a d a c
10. 11. 12. 13 14. 15. 16. 17. 18.
a c e e c a b e b
19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27.
e b c a e b a d c
28. 29.
b d
Taller de Reforzamiento
ASUNTOS COMERCIALES:
PROBLEMAS PROPUESTOS FORMULAS: 1) Si Pv Pc
2) Si Pv Pc
Donde :
Pv = Precio de venta.
Pc = Precio de compra.
g = Ganancia.
p = Pérdida.
1.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $
35,si se quiere ganar el 20% del precio de costo?.
a) 56 b) 28 c) 36
d) 42 e) 35
2.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $
82,si se quiere ganar el 18% del precio de costo?.
a) 56 b) 28 c) 96.76
d) 94.78 e) 35.7
3.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $
3500,si se quiere ganar el 25% del precio de
costo?.
a) 4375 b) 2886 c) 4475
d) 4455 e) 3565
4.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $
1450,si se quiere ganar el 32% del precio de
costo?.
a) 1824 b) 1328 c) 1914
d) 1814 e) 1235
5.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que
costó S/ 500, si se perdió el 14% del precio de
costo?
A) 464 B) 463 C) 430
D) 191 E) 514
6.- ¿Cuál fue el precio de venta de un televisor que
costó S/ 480, si se perdió el 30% del precio de
costo?
A) 464 B) 163 C) 284
D) 336 E) 214
7.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que
costó S/ 150, si se perdió el 10% del precio de
costo?
A) 164 B) 163 C) 184
D) 114 E) 135
8.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que
costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de
costo?.
A) 164 B) 163 C) 162
D) 114 E) 149
9.- ¿ Cuál fue el precio de venta de un producto que
costó S/ 1500, si se perdió el 32% del precio de
costo?.
A) 1064 B) 1020 C) 1284
D) 1914 E) 1014
SESIÓN N° 15
10.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que
costó S/ 680, si se perdió el 25%?.
A) 464 B) 510 C) 584
D) 914 E) 414
11.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para
ganar el 20% del precio de costo tuvo que
venderse en S/.180 ?
A) 146 B) 151 C) 128
D) 150 E) 201
12.- ¿Cuál es el precio de costo de un producto, si para
ganar el 20% del precio de costo tuvo que
venderse en S/.480 ?
A) 400 B) 516 C) 284
D) 914 E) 260
13.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $
240 y se quiere ganar el 15% del precio de costo?.
A) 464 B) 163 C) 128
D) 276 E) 114
14.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $
1500 y se quiere ganar el 24% del precio de costo?.
A) 1864 B) 1630 C) 1284
D) 1860 E) 2014
15.- En cuánto se debe vender un artículo que costó $
750 y se quiere ganar el 22% del precio de costo?.
A) 146 B) 915 C) 1284
D) 191 E) 201
16.- En cuanto se vendió un artículo que costó S/. 120
y se perdió el 20% del precio de costo?
A) 87 B) 104 C) 96
D) 91 E) 86
17.-¿ Cuánto costó un producto si al venderlo en S/.
600, se gana el 20% del precio de costo?
A) 500 B) 516 C) 584
D) 914 E) 614
18.- Calcula el precio de costo de un producto si para
ganar el 10% del precio de costo se vendió en $
352.
A) 302 B) 306 C) 320
D) 191 E) N.A.
19.- A cómo debería venderse un automóvil que costó
$ 7500 , si se desea ganar el 24% del precio de
costo?
A) 9300 B) 5400 C) 8900
D) 1900 E) 9600
20.-El precio de costo de una refrigeradora es de $270.
¿ En cuánto deberá venderse si se desea ganar el
22% del precio de costo?
A) 464.5 B) 516.3 C) 329.5
D) 1914 E) 315.8
21.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 180 para
ganar el 30% del costo?
A) 234 B) 415 C) 248
D) 214 E) 258
22.- A cómo debo vender lo que me costó S/. 360 para
ganar el 10% del precio de venta?
A) 345 B) 516 C) 395
D) 914 E) 396
23.- A cómo debo vender lo que me costó $150 para
ganar el 30% del costo.
A) 345 B) 316 C) 195
D) 145 E) 396
24.-¿ En cuánto debe venderse un Televisor que costó
$ 1450,si se quiere ganar el 32% del precio de
costo?.
A) 1464 B) 5163 C) 1284
D) 1914 E) 2014
25.- ¿En cuánto debe venderse un refrigerador que
costó $ 385, si se quiere ganar el 20% del precio de
costo?.
A) 464 B) 163 C) 462
D) 914 E) 514
26.- ¿En cuánto debe venderse una enciclopedia que
costó $ 135, si se quiere ganar el 22% del precio de
costo?.
A) 164.7 B) 163 C) 184
D) 191.6 E) 514.9
27.- ¿ En cuánto debe venderse lo que costó $ 350, si
se hace una rebaja del 35% del precio de costo?.
A) 1464 B) 516.3 C) 227.5
D) 191.4 E) 201.4
28.- ¿ En cuánto debe venderse un reloj que costó $
350,si se quiere ganar el 35% del precio de costo?.
A) 464,5 B) 163 C) 472,5
D) 914,5 E) 514,5
29.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que
costó S/ 80, si se perdió el 30% del precio de
costo?
A) 56 B) 63 C) 84
D) 91 E) 51
30.- ¿Cuál fue el precio de venta de un producto que
costó S/ 180, si se perdió el 10% del precio de
costo?.
A) 146 B) 156 C) 162
D) 191 E) 201
CLAVES DE RESPUESTAS 1) D 2) C 3) A
4) C 5) C 6) D
7) E 8) C 9) B
10)B 11)D 12)A
13)D 14)D 15)B
16)C 17)A 18)C
19)A 20)C 21)A
22)E 23)C 24)D
25)C 26)A 27)C
28)C 29)A 30)C
REGLA DE INTERÉS
1. ELEMENTOS: a) Capital(c) : Dinero que se presta.
b) Tiempo(t) : Período por el cual se presta el
dinero.
c) Tasa o rédito (r): Porcentaje de ganancia o
interés.
d) Interés o renta (I): Ganancia que produce el
capital.
e) Monto (M) : Es la suma del capital mas los
intereses producidos.
2. FORMULAS IMPORTANTES:
Observación:
En cada fórmula la tasa debe ser anual
Para t = años
Para t = meses
Para t = días
Nota: Si r y t no están en las mismas unidades,
podemos reemplazarlas por sus equivalencias.
Si la tasa es mensual: x = 12r%.
Si la tasa es bimestral: x = 6r%.
Si la tasa es semestral: x= 2r%
16% Bimestral.
24% Trimestral.
8% mensual <> 48% Semestral.
96% Anual.
4% quincenal.
El mes comercial es 30 días.
El año comercial es 360 días.
PROBLEMAS RESUELTOS
1.- Calcula el interés, si:
C = S/. 2 000
r = 2% anual
t = 3 años.
Solución:
I = 2 000x2x3
100
I = 120
2.- Calcula el interés, si:
C = S/. 2 000
r = 6% mensual
t = 3 años.
I = c . r . t
100 100
I = c . r . t 1200
I = c . r . t 36000
100
Esta fórmula
se utiliza solo
cuando r y t
tengan las
mismas
unidades.
Solución:
r = 6% x 12= 72% anual
I = 2 000x72x3
100
I = 4320
3.- ¿Cuál es el interés que produce S/.1100, colocados
al 38% anual durante 5 años?
Solución
I = ?
C = 1100
r = 38%
T = 5 años.
I = 1100x38x5 I = 2090
100
4.- ¿Cuál es el interés que prestado al 2,8% mensual
durante un año tres meses y diez días ha producido
S/. 1500 de interés?
Solución
C = ?
r = 2.8%x12= 33.6%
T = 1 A+4 M+ 10 D= 490 días.
I = 1500.
1500 = Cx33.6x490
3600
C = 328
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Un interés producido por S/. 4 800 impuestos al
30% anual durante 3 años es:
a) S/. 4 230 b) S/.3420 c) S/. 4 320
d) S/. 2340 e) S/. 2 430.
2.- ¿Qué interés produce un capital de S/. 3200
prestados al 30% anual durante 2 años?
a) 320 b) 192 c)1920
d) 169 e) 1320
3.- ¿Cuál es el interés de S/.8000 al 15% anual en 9
meses?
a)1080 b)10800 c)900
d)1200 e) N.A.
4.- El interés que produce S/.516 000 al 2,5% anual
durante 72 días es:
a) S/.2866.70 b) S/.2686
c) S/.2668 d) S/.2866.5 e) 2580
5.- Si un capital prestado al 3% mensual durante 20
meses ha producido un interés de S/. 225,
entonces dicho capital es:
a) S/. 375 b)S/. 5000 c) S/. 550
d) S/.510 e) S/. 735.
6.- A qué tanto por ciento se impone S/. 700 tal que en
90 días ha producido S/. 63 de interés, es:
a)18% b)30% c)34%
d)36% e)32%.
7.- Si se desea obtener una renta mensual de S/ 2000.
¿A qué tanto por ciento anual se debe prestar
S/.50 000?
a)38% b) 40% c)48%
d)25% e)18%.
8.- ¿A qué tanto por ciento mensual se prestó S/.208
000 si produjo S/.700 en 60 días? (aproximación al
centésimo)
a) 2% b) 2,2% c) 1,2%
d) 2,02% e) 0.17%
9.- El tiempo que estuvo impuesto un capital de
S/.8600 al 36% para producir un interés de S/.1548
es:
a) 2a b) 6m c) 120d
d) 4m e) 3a.
10.- Miguel recibe un préstamo por el cual tiene que
pagar S/. 1680 de interés al 32% anual durante un
año y dos meses, Miguel recibió:
a) 1200 b)3400 c)4500 d) 1900
e)N.A.
11.- Si un capital prestado al 2,5% mensual durante
año y medio ha producido un interés de S/.3240,
dicho capital es:
a) 8000 b)1400 c) 2600
d) 7200 e) N.A.
12.- El tiempo que estuvieron prestados S/.12 000 que
al 40% anual ha producido S/.14 400 de interés es:
a) 3 a b) 5a c) 4a
d) 6 a e) N.A.
13.- Elsa recibe un préstamo de S/.900 al 2% mensual
durante 40 días, el interés que pagará es:
a) 12 b) 34 c) 45
d) 24 e) N.A.
14.- ¿ Cuánto tiempo tardó un capital de S/.3200 para
producir al 3,3% mensual un interés de S/.880?
a) 120d b) 240m c) 250d
d) 190a e) N.A.
15.- ¿Cuál es el interés que produce S/. 500 colocados
al 20% anual durante 7 años?
a) 800 b) 800 c) 600
d) 500 e) 700
16.- ¿Cuál es el interés que genera $ 2400 colocados al
18% anual durante 3 meses?
a) 108 b) 180 c) 600
d) 160 e) 140
17.- Halla el interés que genera $ 720 colocados al 40%
anual durante 35 días?
a) 14 b) 28 c) 26
d) 50 e) 27
18.- Calcula el interés que produce un capital de S/. 2
000 en 2 años al 0.5% mensual?
a) 240 b) 280 c) 600
d) 210 e) 170
19.- Calcula el monto que genera un capital de S/. 400
durante 10 meses al 12% anual.
a) 880 b) 800 c) 660
d) 590 e) 730
20.- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100 colocados
al 12% anual durante 5 días? (con aproximación al
décimo)
a) 1.8 b) 8 c) 1.6
d) 2.3 e) 1.9
21).- ¿Qué tiempo estuvieron prestados S/.800 que al
30% anual ha producido S/.4800 de interés?
a) 12 b) 34 c) 45
d) 20 e) N.A.
22).- Se pagó S/.51,75 de interés después de 45 días
por un préstamo de S/.2300, ¿ A qué tanto por
ciento se prestó?
a) 2% b) 22% c) 12%
d) 20% e) 18%
23).- ¿ Cuál es el interés que genera $ 600, colocados
al 8% anual durante 1 año 4 meses?
a) 54 b) 64 c) 66
d) 50 e) 47
24).- ¿ Cuál es el interés que produce S/.1100,
colocados al 38% anual durante 5 años?
a) 2000 b)1400 c) 2600
d) 2090 e) N.A.
25).- Calcula el interés, si:
C = S/. 4 000
r = 4% anual
t = 6 años.
a) 960 b) 980 c) 600
d) 810 e) 870
26).- Calcula el interés, si:
C = S/. 2 000
r = 8% anual
t = 8 años.
a) 1280 b) 1380 c) 1600
d) 1210 e) 1170
27).- Calcula el interés, si:
C = S/. 3 000
r = 6% mensual
t = 2 años.
a) 3240 b) 4320 c) 4600
d) 3210 e) 4170
28).- ¿Cuál es el interés de S/.12000 al 12% anual en 9
meses?
a)1080 b)10800 c)900
d)1200 e) N.A.
29).- ¿Qué interés produce un capital de S/. 6400
prestados al 15% anual durante 2 años?
a) 320 b)192 c)1920 d) 169
e)1320
30).- El interés que produce S/.258 000 al 5% anual
durante 72 días es:
a) S/.2866.70 b) S/.2686
c) S/.2668 d) S/.2866.5
e) 2580
CLAVES DE RESPUESTAS
1) c 2) c 3) c
4) e 5) a 6) d
7) c 8) e 9) b
10)c 11)d 12)a
13)d 14)c 15)e
16)a 17)b 18)a
19)a 20)a 21)d
22)e 23)b 24)d
25)a 26)a 27)b
28)a 29)c 30)e
REGLA DE TRES SIMPLE Y COMPUESTA
PROBLEMAS RESUELTOS
1).- Si tres patas ponen tres huevos en tres días,
doce patas, ¿En cuántos días podrán poner doce
huevos?
Solución :
+ - +
Patas Huevos Días
3 3 3
12 12 x
- + -
x = 3x12
3x3x12 = 3días
2).- En una competencia de glotones 40 de ellos
puede comer 300 panes en 2 días. Si fueran 50 en
3 días. ¿Cuántos panes podrán comer?
Solución :
+ - +
Panes Glotones Días
3000 40 2
x 50 3
+ +
Luego :
x =40x2
3x50x3000= 3625 panes
3).- Una cuadrilla de 12 hombres encargados de la
conservación de un tramo de la línea férrea
Arequipa –Cusco, construyen 4/5 de una
alcantarilla en 6 días. Si se quiere concluir la obra
en 5 días, ¿cuántos hombres serán necesario
aumentar?
Solución :
Hombres Obra Tiempo
+ - +
12 4/5 6
5 5/5 5
+ -
x = 185x4
6x5x12
Debe aumentarse 18 – 12 = 6 hombres
4).- Si 60 obreros trabajando 8 horas diarias
construyen 320 metros de una obra en 20 días. ¿
En cuántos días 50 obreros trabajando 6 horas
diarias construyen 300 metros de la misma obra?
Solución :
Obreros H/D Metros Tiempo
+ + - +
60 8 320 20
50 6 300 x
- - +
X = 320x6x50
20x300x8x60 = 30 días
5).- 10 campesinos siembran un terreno de 50m2 en
15 días, en jornadas de 7 horas. Si las jornadas
fueran de 8 horas. ¿Cuántos días demorarán en
sembrara otro terreno de 80m2, 15 campesinos
doblemente hábiles?
Solución :
Camp. Días Horas Habilid. Área
+ + + + -
10 15 7 1 50
15 x 8 2 80
X = 50x2x8x15
80x1x7x15x10 = 7 días
PROBLEMAS PROPUESTOS
1).- Viajando con una velocidad de 90 Km/h. Un auto
demora 8 horas. ¿A que velocidad debe viajar si
desea demorar 6 horas?
a)160 b) 140
c) 130 d) 150 e) 120
2).- Si una obra tiene una dificultad del 60% y se puede
realizar en 24 días. ¿En cuántas días se podrá hacer
la misma obra si tiene una dificultad de 80%?
a) 16 b) 34
c) 33 d) 18 e) 32
3).- Con un rendimiento del 50% se puede hacer una
obra en 30 días. ¿Cuál es el rendimiento si se
demora 15 días?
a) 60% b) 80%
c) 90% d) 100% e) 70%
4).- Si 10 carpinteros hacen 25 mesas. ¿Cuántas mesas
harán 4 carpinteros?
a) 20 b) 8
c) 13 d) 10 e) 12
5).- Con una habilidad del 70% se puede hacer un
trabajo en 27 minutos. ¿Cuánto demorará con una
habilidad del 90%?
a) 18 b) 24
c) 12 d) 20 e) 21
6).- 8 conejos tienen alimento para 18 días. Si hay 6
conejos. ¿Cuánto duran los alimentos?
a) 16 b) 24
c) 21 d) 20 e) 12
7).- En una semana, José gasta S/.48 en comprar
gasolina, en 42 días gastará:
a) 168 b) 48
c) 336 d) 288 e) 208
8).- Si en dos días 20 niños comen 80 panes, en una
semana, ¿Cuántos panes comerán?
a) 160 b) 240
c) 320 d) 250 e) 280
9).- 20 mineros tienen víveres para 15 días. Si desisten
trabajar 5 de ellos, ¿Para cuántos días tendrá víveres
el resto?
a) 20 b) 25
c) 15 d) 18 e) 23
10).- Si 8 obreros hacen una obra en 15 días, 12
obreros harán la obra de igual característica en:
a) 16 b) 7
c) 20 d) 15 e) 10
11).- ¿Cuántos panes darán por S/.38, si por S/.2 dan
18 panes?
a) 242 b) 148 c) 230
d) 150 e) 342
12).- Cinco Obreros trabajando 8 horas diarias hacen
una obra en 15 días; 10 obreros trabajando 6 horas
diarias, ¿En cuántos días harán otra obra de igual
característica?
a) 9 b) 6 c) 5
d) 8 e) 10
13).- Un hombre caminando 8 h/d ha empleado 4 días
para recorrer 160 km. ¿Cuántas horas diarias debe
caminar otro hombre para recorrer 300 km en 10
días?
a) 9 b) 6 c) 5
d) 8 e) 3
14).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias pueden
hacer un muro en 15 días. ¿En cuántos días harán
otro muro igual 15 hombres trabajando 6 horas
diarias?
a) 14 b) 15 c) 16
d) 17 e) 18
15).- Doce hombres tardan 10 días en cavar una zanja
de 2 m de profundidad. ¿Cuántos hombres serán
necesarios para cavar otra zanja de 3 m de
profundidad en 20 días?
a) 10 b) 11 c) 12
d) 9 e) 8
16).- Una familia de 5 personas tomó una pensión
durante 6 días y pagó S/. 60. ¿Cuánto pagó otra
familia de 4 personas que estuvo alojada en la
misma pensión durante dos semanas?
a) 112 b) 120 c)114
d)115 e) N.A.
17).- Caminando 6 horas diarias, un hombre ha
empleado 4 días para ir de un pueblo a otro
distantes entre sí 96 km. Si continuando su viaje
debe ir a otro pueblo distante 192 km de este
último, ¿cuántos días empleará caminando 8 horas
diarias?
a) 6 b) 3 c) 5
d) 8 e) 7
18).- 120 soldados tienen provisiones para 20 días a
razón de 3 raciones diarias. ¿Para cuántos días
tendrán provisiones si se aumentan 30 soldados y el
número de raciones diarias se reduce a 2 por día.
a) 18 b) 20 c) 22
d) 24 e) N.A
19).- Doce hombres trabajando 8 horas diarias
construyen 24 m de una pared en 10 días. ¿Cuántos
hombres serán necesarios para construir 20 m de
pared continuada en 5 días trabajando 10 horas
diarias?
a) 16 b) 15 c)14
d) 13 e) N.A
20).- Ocho hombres cavan una zanja de 24 m de largo
por 2 de ancho y 2m de profundidad, en 12 días.
¿Cuántos trabajadores con la misma habilidad serán
necesarios para cavar otra zanja de 18 m de largo
por 3 m de ancho y 4 m de profundidad en 8 días?
a) 18 b) 12 c) 27
d) 30 e) N.A
CLAVES DE RESPUESTAS 1) e 2) d 3) d
4) d 5) b 6) b
7) d 8) e 9) a
10)e 11)e 12)e
13)b 14)c 15)d
16)a 17)a 18)d
19)a 20)c
RECORDANDO PORCENTAJES
1. FORMULA : Halla el “n%” de “S”
100 n
S x
Ejem :
El 28% de 500
X = 140500x10028
NOTA: % se puede expresar como fracción donde el
denominador es 100
Así:
15% de A = xA100
15
36% de B = xB100
36
2. FORMULAS QUE SE UTILIZAN FRECUENTEMENTE EN LOS SIGUIENTES CASOS:
1).- Halla el n% de “N”
2) El n% de qué número es “N”
3) Qué porcentaje es “n” de “N”
4) ¿De qué número 4000 es el 8%?
5) El 48% de 550 es:
264550x100
48X
6) ¿Qué porcentaje de 500 es 140?
100.500
140
X
3. DESCUENTOS SUCESIVOS
S/.100
80
S/. 64
20
16
PRECIO
Nuevo precio
Segundo
Descuento
20% de 80
Primer
Descuento
20% de 100
X = 28%
500004000.8
100X
X = 100xN
n
X = Nxn
100
X = Nxn
100
X = Sx100
n
Descuento efectivo por cada 100 soles.
Descuento efectivo por cada 100 soles.
100 – 64 = 36 ó 36%
FORMULAS
Du= %
100
)D100)....(D100()D100(100
1n
n21
)D100.....(x100
D100x
100
D100100Du n
21
7).- Si de una botella de gaseosa me tomo
sucesivamente el 25%, 30%, 40% y 50%, siempre
de lo que me queda, ¿Cuál es el porcentaje que me
queda?
Du=
%
100
)50100)(40100)(30100)(25100(100
14
Du = 84,25%
Me queda 100 - 84,25 = 15,75
8).- A que descuento único equivale un descuento de
20, 30 , 40 y 15%
Du=
%
10
)15100)(40100)(30100)(20100(100
14
Du = 71,44%
4. AUMENTOS SUCESIVOS
Au= %100100
)A100).....(A100)(A100(
1nn21
ó
Au 100)A100.....(100
A100x
100
A100x
100
A100n
321
9).-A qué aumento único equivale un aumento
sucesivo de 20 y 30%
Au =
100
100
)30100)(20100(
12
Au = 56%
5. VARIACIONES PORCENTUALES
Nota:
Siempre al total se considera 100%.
Si una cantidad sufre un aumento del x% entonces
resultará al final
( 100 + x ) %.
Si una cantidad sufre un descuento del x%
entonces al final tendremos
( 100 - x ) %.
Ejm:
10).- Qué sucede si aumentamos 18% y 15%
Sol:
)%15100(x%18100
%7.135100
13570%115x
100
118
Luego
Aumenta: 135.7 – 100 = 35.7%
11).- Qué sucede si descontamos 40% y 20%
Sol:
%48%80x100
60
Descontamos 100 – 48 = 52%
12).- Qué sucede si aumentamos 20% y descontamos
15%.
Sol:
%102%85x100
120
102 – 100 = 2%
Aumenta en 2%
13).- Qué sucede si + 20% y – 25%
Sol:
%90%75x100
120
Descontamos 10%
PROBLEMAS PROPUESTOS
I.- Halla el n% de N
X = Nxn
100
1.- Halla el 30 % de 300.
A) 30 B) 60 C) 90 D) 70 E) 80
2.- Halla el 25 % de 400.
A) 100 B) 160 C) 120 D) 70 E) 80
3.- Calcula el 40% de 135.
A) 30 B) 54 C) 41 D) 57 E) 28
4,- Halla el 50% de 1600.
A) 530 B) 660 C) 190 D) 70 E) 800
5.- Calcula el 30% de 1300.
A) 330 B) 360 C) 390 D) 370 E) 380
6.- Halla el 20% de 370.
A) 36 B) 86 C) 79 D) 74 E) 60
7.- Halla el 65% de 420.
A) 273 B) 650 C) 490 D) 270 E) 380
8.-Calcula el 70% de 620
A) 430 B) 345 C) 434 D) 370 E) 568
9.- El 42 % de 550 es:
A) 231 B) 160 C) 182 D) 425 E) 180
10.- El 40 % de 200 es:
A) 231 B) 160 C) 80 D) 125 E) 90
11.- Calcula el 25% de 280.
A) 31 B) 60 C) 54 D) 125 E) 70
12.- Halla el 20% del 25% del 30% del 50% de 1600.
A) 31 B) 15 C) 12 D) 12 E) 17
II.- El n% de qué número es N
13.- El 15% de qué número es 36?
A) 310 B) 150 C) 120
D) 240 E) 170
14.-El 20% de qué número es 22?.
A) 207 B) 150 C) 120
D) 110 E) 170
15.- El 8% de qué número es 16?.
A) 310 B) 150 C) 200
D) 180 E) 210
16.- El 12% de que número es 60?.
A) 300 B) 500 C) 100
D) 120 E) 170
17.- El 8% de qué número es 24?.
A) 300 B) 150 C) 120
D) 250 E) 400
18.- El 10% de qué número es360?.
A) 360 B) 3600 C) 36
D) 420 E) 240
19.- El 75% de qué número es 3000?.
A) 4000 B) 1500 C) 2000
D) 600 E) 5000
20.- El 40% de qué número es 160?.
A) 300 B) 400 C) 500
D) 180 E) 340
III.- Que porcentaje de “N” es “n”
21.- ¿ Qué porcentaje de 240 es 12?
A) 3% B) 4% C) 5% D) 1% E) 34%
X = Nxn
100
X = 100xN
n
22.-¿ Qué porcentaje de 1200 es 12?
A) 3% B) 4% C) 1% D) 1% E) 34%
23.-¿ 396 qué % es de 1980?
A) 23% B) 24% C) 21%
D) 20% E) 34%
24.- Qué porcentaje de 160 es 40?
A) 23% B) 24% C) 21%
D) 20% E) 25%
25.- Que porcentaje de 80 es 20?
A) 23% B) 24% C) 21%
D) 20% E) 25%
26.- Si al venderte mi auto, te hago un descuento del
15% te lo vendería en $1700. ¿Cuánto me ha
costado?
A) 2000 B) 204 C) 2121
D) 200 E) 2650
27.- Hallar un descuento único que reemplace a dos
descuentos sucesivos de 20% y 10%?
A) 23% B) 24% C) 28%
D) 20% E) 25%
28.-Dos descuentos sucesivos del 20% y 30% equivalen
a un descuento único de:
A) 53% B) 44% C) 26%
D) 20% E) 45%
29.- Tres descuentos sucesivos del 20%,30% y 50%
equivalen a un descuento único de:
A) 53% B) 72% C) 62%
D) 45% E) 82%
30.- Se hace los descuentos sucesivos del
20%,60%,50% y 50%. Halla el descuento
equivalente?
A) 92% B) 24% C) 18%
D) 80% E) 75%
VARIACIONES PORCENTUALES
I.- Qué sucede si:
1.- Aumentamos el 40% y el 10%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos 24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
2.- Aumentamos el 40% y el 20%.
A) Aumentamos 68%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
3.- Aumentamos el 50% y el 10%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos 65%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
4.- Aumentamos el 40% y el 40%.
A) Aumentamos 74%
B) Aumentamos 24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 96%
E) Descontamos 75%
5.- Aumentamos el 10% y el 70%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos 78%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Aumentamos 87%
II.- Qué sucede si:
6.- Descontamos el 10% y el 20%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos 24%
C) Descontamos 28%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
7.- Descontamos el 50% y el 30%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos 24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 65%
8.- Descontamos el 20% y el 20%.
A) Aumentamos 48%
B) Aumentamos 32%
C) Descontamos 36%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
9.- Descontamos el 30% y el 60%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 48%
D)Descontamos 72%
E) Descontamos 75%
10.- Descontamos el 10% y el 50%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 55%
III.- Qué sucede si:
11.- Aumentamos el 40% y descontamos el 20%.
A) Aumentamos 12%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
12.- Aumentamos el 40% y descontamos el 40%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 16%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
13.- Aumentamos el 15% y descontamos el 20%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 8%
14.- Aumentamos el 30% y descontamos el 30%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 9%
D) Aumentamos 80%
E) Descontamos 75%
15.- Descontamos el 20% y aumentamos el 25%.
A) Aumentamos 54%
B) Aumentamos24%
C) Descontamos 48%
D) Aumentamos 80%
E) N.A.
Observaciones.
Si tenemos que:
Aumento ( + )
Descuento ( - )
16.-
+ 20% y + 60%
A) +92% B) –24% C) +18%
D) +80% E) –75%
17.-
+ 30% y - 10%
A) +92% B) –24% C) +18%
D) +17% E) –75%
18.-
- 40% y + 50%
A) +24% B) –24% C) –10%
D) +80% E) –75%
19.-
+ 10% y + 50%
A) +62% B) –24% C) +18%
D) +65% E) –72%
20.-
+ 10% y + 70%
A) +52% B) –24% C) +18%
D) +65% E) +87%
21.-
- 40% y + 80%
A) +15% B) –24% C) +8%
D) +65% E) –72%
CLAVES DE RESPUESTAS 1) c 2) a 3) b
4) e 5) c 6) d
7) a 8) c 9) a
10)c 11)e 12)d
13)d 14)d 15)c
16)b 17)a 18)b
19)a 20)b 21)c
22)c 23)d 24)e
25)e 26)a 27)c
28)b 29)b 30)a
VARIACIONES PORCENTUALES
1) a 2) a 3) b
4) d 5) e 6) c
7) e 8) c 9) d
10)e 11)a 12)c
13)e 14)c 15)e
16)a 17)d 18)c
19)d 20)e 21)c