matematica financiera clases

8/10/2019 Matematica Financiera Clases

1/196

MATEMATICAS FINANCIERAS

INTERS SIMPLE

Prof. R. Gmez O.


2/196

DEF INI CIONES BASICAS:

Dinero: Es todo bien generalmente aceptado quepuede ser utilizado como medio de pago y como

unidad de medida.

Valor cronolgico del dinero.- El dinero creadinero. El dinero tiene un valor en el tiempo.

I nters.- Compensacin pagada o recibida por el

uso del dinero o cualquier otro activo. El interses cuantificable en unidades monetarias.

Prof. R. Gmez O.


3/196

Es la manifestacindel dinero en el tiempo.

o, es el dineropagado por el uso del dinero.Se expresa a travs del aumento entre una

suma original solicitada en prstamo o

invertida y la cantidad final acumulada o quese adeuda.

Inters: base fundamental de toda operacinfinanciera en la que intervienen valores y

tiempos.

Prof. R. Gmez O.


4/196

DEFINICIONES BASICAS

Matemtica Financiera.- Conjunto detcnicas aritmticas y algebraicas que

simplifican las comparaciones econmicas

para complementar la adecuada Toma deDecisiones, frente a dos o ms alternativas de

inversin.

I nters.-Es el alquiler que se paga por tomar

en prstamo una determinada suma de dinero.

Prof. R. Gmez O.


5/196

El FLUJO DE CAJA

Instrumento que muestra la secuencia deentradas y salidas de capital durante el

tiempo que dura la operacin financiera.

Toda operacin financiera se evala entrminos de Flujo de Caja.

0 1 2 . N-2 n-1 n

Prof. R. Gmez O.


6/196

OPERACIONES FINANCIERAS

Se clasifican en operaciones de inversiny operaciones de financiamiento.

Operaciones de I nversin.-TIRTREA

Dnde coloco mi dinero para obtener lamayor Rentabilidad?

Operaciones de F inanciamiento.-Dnde

consigo dinero? Costo: TCEA.

Prof. R. Gmez O.


7/196

3.Inters continuo.

Clases

1. Inters Simple.

2. Inters compuesto.

Prof. R. Gmez O.


8/196

Inters Simple

Prof. R. Gmez O.


9/196

Es aquel en el cual los intereses

devengados en un perodo NO gananintereses en el perodo siguiente.

Ejm. Suponga que Ud. decide tomaren prstamo S/10 000,00 por un lapso

de dos meses y por el cual pagar 2%

de inters mensual Cunto ser lacantidad total a pagar al cumplirseel plazo pactado?

Prof. R. Gmez O.


10/196

Datos:

P = S/10 000,00

Tiempo = 2 meses

Tasa de inters = 2% mensual.

Al cumplirse el plazo, el inters apagar en total es el siguiente:

Primer mes: I = 10 000 * 0,02 = 200

Segundo mes: I = 10 000 * 0,02 = 200

Prof. R. Gmez O.


11/196

Es decir , el monto acumulado (S) al

segundo mes ser:

P + I (primer mes) + I (segundo mes) = S

10 000 + 200 + 200 = 10 400,00

Inconveniente del inters simple: Norepresentativo del valor inicial (los

intereses no se capitalizan).

Prof. R. Gmez O.


12/196

En el Inters Simple (IS) se utilizan lassiguientes categoras:

I, es el Inters Simple (uds. monetarias).

P, es el capital, monto de dinero o

principal. i, tasa de inters (% que se cobra o paga

por el principal).

n, nmero de perodos que dura laoperacin financiera.

.

Prof. R. Gmez O.


13/196

t, tiempo por el cual se toma prestado el dinero.

S, monto acumulado al final del plazo pactado.

Luego, las relaciones matemticas son:S = P + I. (1)

S = P + Pin. (2)

S= P (1+ni) . (3)

Prof. R. Gmez O.


14/196

P = S / (1+ni) . (4)

S, tambin es el monto o stock final.

Es el Valor al vencimiento.

Ejm. 1:

Un pagar a 4 meses con valor de S/960

tiene una tasa de inters de 24% anual.Determinar el valor al vencimiento.

Prof. R. Gmez O.


15/196

Ej. 2: Determinar el valor al vencimiento delmismo pagar si el inters es: a) 12%semestral, b) 6% trimestral y c) 2%

mensual.

Ej. 3: Una deuda de S/480.00 se liquid conun cheque de S/498.00. Si la tasa de inters

anual pactada es 7.5%,cunto tiempo setuvo prestado el dinero?.

Prof. R. Gmez O.


16/196

En la actualidad se utiliza el inters simpleprincipalmente en deudas de corto plazo y se

calcula slo sobre el principal (Tasa Flat).

Se aplica tambin en el descuento racional y

bancario simples. Igualmente, en operacionesreferidos a ttulos de participacin emitidos por

algunos gobiernos (bonos que se venden a un

valor inicial determinado para luego serredimidos o liquidados por el valor estipulado

en el ttulo ms los intereses devengados).

Prof. R. Gmez O.


17/196

Ejemplo 1. Los ttulos de la deuda peruanase han vendido al 70% de su valor inicial,valorado en 100 millones de dlares. Estosttulos se redimirn al cumplirse un ao,por el 100% de su valor.

Cunto ser el valor descontado y la tasade inters?

Prof. R. Gmez O.


18/196

*Solucin:

Valor vendido: 0,7(100)= 70 millones $.

Descuento: D =10070 = 30 millones $.Tasa de inters i:S = P (1+in)

100 = 70 (1+ix1)i = 43%

Prof. R. Gmez O.


19/196

Ejemplo 2:Se vende un ttulo de participacin

de $25 000,00 al 91,4% de su valor inicial,redimible a 180 das por el 100% de su valor.

Determinar el descuento realizado y la tasa

de inters (tasa de descuento).

Ejemplo 3: Cunto ser la tasa de descuento

obtenido al hacer un solo pago hoy de 5000Nuevos Soles, de un ttulo valor cuyo valor

dentro de 90 das ser de S/5325?

Prof. R. Gmez O.


20/196

Ejercicios en inters simple:

a. Sobre homogenizacin del tiempo y latasa

Calcular el inters a 90 das de un depsitode ahorro de S/10 000, con una tasa deinters simple de 8% anual.

Calcular el inters a 120 das de un depsitode ahorro de S/18 000, utilizando una tasade inters simple del 15% trimestral.

Prof. R. Gmez O.


21/196

b. Clculo del tiempo comprendido entre dos

fechas.En el Per se usa el Mtodo de los das

terminales.

Cuntos das de inters se acumula entre el 10

de junio y el 3 de octubre del mismo ao,

fechas de depsito y cancelacin de un importeahorrado en el banco?

Ao bancario, segn el BCRP: 360 das.

Prof. R. Gmez O.


22/196

PERIODO N DAS n

Ao 360 1Semestre 180 2

Cuatrimestre 120 3

Trimestre 90 4

Bimestre 60 6

Mes 30 12

Quincena 15 24

Da 1 360

Prof. R. Gmez O.


23/196

El inters simple no refleja el verdadero

valor del dinero, ya que los interesesdevengados hoy no se capitalizan en elsiguiente perodo, por lo que cay endesuso.

Es el Inters Compuesto el que se usacomnmente en casi todos los conveniosfinancieros. En este caso, a diferencia del

IS, los intereses devengados se aaden alimporte original en perodos establecidos,permitiendo por tanto los pagos sobre elprincipal original y los intereses aadidos.

Prof. R. Gmez O.


24/196

Inters compuesto.

Prof. R. Gmez O.


25/196

CONCEPTO:

Es el proceso mediante el cual secapitalizan los intereses devengados enel perodo inmediatamente anterior.

El ICes una sucesin de operaciones ainters simple, en la que al finalizar elprimer perodo, su monto constituye el

capital inicial para el siguiente perodo.El inters generado por el IC crece auna sucesin geomtrica.

Prof. R. Gmez O.


26/196

EL MONTO ( S ):S1 = P + P i = P ( 1 + i )

S2 =S1 + S1i = S1 (1+i) = P(1 + i)(1 + i) = P (1 + i)2

S3 = S2 + S2i = S2(1+ i) = P (1+i)2(1+ i) = P(1+ i)3

. . .

Sn= Sn-1+ Sn-1* i = Sn-1(1+i)n-1(1+i) = P(1+i)n

Es decir: S = P (1 + i)n

Prof. R. Gmez O.


27/196

Donde:

(1 +i)n = FCS es el Factor Simple de

capitalizacin compuesto.

i, es la tasa de inters.

n, El nmero de perodos.

Prof. R. Gmez O.


28/196

Tasa de inters compuesto:Al final de cadaperodo se aplica tanto al capital anterior como

a los intereses devengados en ese perodo.

Los intereses ganan intereses, es decir, hay un

Sistemade capitalizacin, lo cual significaque los intereses devengados en un perodo

forman parte del capital para el siguienteperodo.

Prof. R. Gmez O.

DEFINICIONES IMPORTANTES:


29/196

Tasa de inters nominal (TIN): Se expresaanualmente y capitaliza varias veces al ao. Norefleja el inters real devengado anualmente y

es referencial, puesto que es susceptible de

multiplicarse o dividirse para ser expresado en

otra unidad de tiempo. Para denotar una tasa

nominal anual, cuyo pago de intereses se

realiza cada trimestre, se utiliza las siguientesexpresiones:

Prof. R. Gmez O.



30/196

- 36% nominal anual, capitalizable

trimestralmente.

- 36% nominal, capitalizable trimestralmente.

- 36% nominal trimestral.

- 36% capitalizable trimestralmente.

- 36% anual trimestre vencido.- 36% trimestre vencido.

Prof. R. Gmez O.

La TIN se puede denotar de las siguientes formas:


31/196

Tasa de inters Efectiva (TIE):A diferenciade la anterior, es la tasa que realmente se aplicaen el perodo de capitalizacin sobre el capital

para calcular el inters al final del perodo

pactado. Ejm. 5% trimestral o 2% mensual,

etc.

TET = 5%

TEM = 2%

TEA = 12%

Prof. R. Gmez O.



32/196

Ejemplo:

Una empresa realiza una inversin

de US$ 1 milln ganando una TETde 5%. Cunto ser el stock final

al cumplirse un ao de realizada la

inversin?

Prof. R. Gmez O.


33/196

Solucin:

S = P (1 + i)n

S = 1 000 000 (1.05)4

S = 1 215 506,25

Comparacin: al usar el IS -cuya tasa

anualizada es 20% -, con el IC elrendimiento resulta mayor (21,55%).

Prof. R. Gmez O.


34/196

S = P (1 + i)H/f

H, tiempo de duracin de la operacin

financiera cuando el perodo es no entero

(fraccionario). Ejm. 45 das (1.5 meses)..f, perodo para el cual se pacta la tasa de

inters.

Cuando el nmero de perodos no es un

entero:

Prof. R. Gmez O.


35/196

Ejemplo:

Qu monto deber pagarse por un

sobregiro bancario de S/12 000 nuevos

soles, del 12 al 27 de Marzo, si la tasaefectiva cobrada por el banco es 8%

mensual?

Prof. R. Gmez O.


36/196

De la tasa de inters nominal a tasa de

inters efectiva:

La tasa de inters efectiva, es la que se

aplica efectivamente al final de cada

perodo sobre el capital para calcular elinters devengado. La TIEse identificaporque aparece la parte numrica

seguida del perodo de liquidacin deintereses.

Prof. R. Gmez O.


37/196

Ejm.

Cul ser el monto acumulado en un ao, si seinvierte $100 en un banco que paga 36%

trimestre vencido?

Solucin:Un ao = 4 trimestres

la tasa trimestral para determinar los

intereses ser:i = j/m

i = 0.36/4 = 0.09

Prof. R. Gmez O.


38/196

As:

S = 100 ( 1+0.09)4= 141.16

Nuevamente, la Tasa de inters efectiva,es la que se aplica efectivamente al final

de cada perodo sobre el capital para

calcular los intereses

Prof. R. Gmez O.


39/196

OJO: La TEM de 3%, o TET de 9% , oTES de 18% o TEA de 36%, no sonequivalentes entre s.

En el ejm. anterior, el 36% anual no esequivalente a 9% trimestral: el capital

invertido gan 41.16 (que sera el 41.16% y

no 36%).

Prof. R. Gmez O.


40/196

El monto S compuesto aplicable a la

tasa de inters nominal j, capitalizablem veces en un plazo determinadodurante n perodos, se calcula como

sigue:S = P (1 + j/m) n

La tabla de capitalizacin cuando la

tasa nominaljes:

Prof. R. Gmez O.


41/196

Capitalizacin Anual m Mes m

Anual 360/360=1 30/360=0.08Semestral 360/180=2 30/180=0.17

cuatrimestre 360/120=3 30/120=0.25

trimestral 360/90=4 30/90=0.33Bimestral 360/60=6 30/60=0.5

Cada 45 das 360/45=8 30/45=0.67

Mensual 360/30=12 30/30=1Quincenal 360/15=24 30/15=2

Diario 360/1=360 30/1=30.00

Prof. R. Gmez O.


42/196

Ejm. 1:

Se deposita un monto de 20 mil nuevos

soles a una TNA de 36%, capitalizablemensualmente. Calcular el monto al cabode 6 meses.

Solucin:

S = ? S = P (1 + j/m)n

n = 6 meses S = 20000 (1 + 0.36/12)6P = 20000 S = 23881.04

Prof. R. Gmez O.


43/196

Ejm. 2

Cunto ser el monto generado por un

ttulo valor comprado en $2500, el cual

vence en un ao, si la TNA es 36%,capitalizable trimestralmente, y si el ttulo

se redimi al 6to mes?

Prof. R. Gmez O.


44/196

Solucin:

S = ? S = P (1 + j/m)H/f

j = 0.36 S = 2500 (1 + 0.36/4)180/90P = 2500 S =

H = 180 das

f = 90 das

Prof. R. Gmez O.


45/196

ElFSCcon variaciones en la tasa deinters:

Si la tasa de inters no cambia es: (1+i)nPero, cuando esta tasa comienza a cambiar,

las capitalizaciones durante el plazo

pactado H, se efectan cambiando la tasatantas veces como sea necesario para cada

perodo de tiempo vigente, de la siguiente

manera:

(1+i1)n1(1+i2)

n2(1+i3)n3(1+i4)

n4.

Prof. R. Gmez O.


46/196

Donde: i1, i2, i3,, im, son las tasas de

inters efectivas durante n1, n2, n3,..., nmperodos respectivamente.

Pero, se ha definido n = H/f, por lo que el

FSCsera:

(1+i1

)H1/f(1+i2

)H2/f(1+i3

)H3/f(1+i4

)H4/f.

y, donde: H1+H2+H3+= HProf. R. Gmez O.


47/196

Ejm.

Su empresa compr el 6 del mes dejunio, un certificado de depsito de 25

mil nuevos soles a 60 das de plazo,

con una tasa nominal anual de 24%con capitalizacin diaria. Si el primer

da del siguiente mes la tasa cae 18%

(con igual plazo y capitalizacin),calcule el monto al final del plazopactado.

Prof. R. Gmez O.


48/196

Capitalizacin calendaria:

Este tipo de capitalizacin da lugar aperodos capitalizables en fechas fijas e

incluyen perodos de capitalizacin en

tiempos variables, dependiendo del nmero

de das incluidos en cada me del ao.

Prof. R. Gmez O.


49/196

Capitalizacintrimestral Capitalizacincalendaria

FECHA N DE DAS FECHA N DE DAS

02-jun 02-jun

31-ago 90 02-set 92

29-nov 90 02-dic 91

27-feb 90 02-mar 90

TOTAL 270 TOTAL 273

Prof. R. Gmez O.

El i l i i i l i i


50/196

El capital inicial en una operacin a inters

compuesto:

De:S = P (1 + i)n..despejamos P:

P = S (1 + i)-n

As, (1 + i)-n es el factor simple deactualizacin compuesta, FSA, que a una

tasa i, en n perodos, transforma unacantidad futura S en un valor presente

(capital inicial) P.Prof. R. Gmez O.


51/196

Ejemplo:

Aplicando una tasa efectiva de 1.5%

mensual, calcular el valor presente de

un capital inicial de $2000, que generauna tasa de inters nominal de 12%

capitalizable mensualmente, durante un

trimestre.

Prof. R. Gmez O.


52/196

Clculo de la tasa de inters:

i = (S/P)

1/n

1en el que tanto ncomo icorrespondenal mismo perodo de capitalizacin.

Ejm. 1:A qu tasa efectiva de mensual un

capital de S/.1000 se convierte en un

monto de S/1100, si dicho capitaloriginal fue colocado a 3 meses?

Prof. R. Gmez O.


53/196

Ejm. 2.

Calcule la tasa de rentabilidad efectiva

mensual de un bono comprado enS/2000 y vendido al cabo de 90 das en

S/2315.25.

Prof. R. Gmez O.


54/196

Clculo del nmero de perodos de

capitalizacin:

Se calcula con: n = Log (S/P)

Log (1+i)

Donde ne iestn en la misma unidad: sii es mensual , n tambin lo es.

Prof. R. Gmez O.


55/196

Ejm.

En cunto tiempo, contado desde el perodo

cero, un monto de 8000 soles, sustituir tres

deudas de 2500, 1500 y 4000 soles c/u con

vencimiento dentro de 30, 60 y 90 das

respectivamente, a una tasa efectiva mensualdel 3%?

Prof. R. Gmez O.


56/196


57/196

Ejm. 1Calcule el inters compuesto ganado en un

trimestre por una inversin de 6000 nuevos soles,colocado a una tasa de inters nominal de 18%

anual, capitalizable bimestralmente.

Ejm. 2Calcule el inters que ha producido un capital de

8 mil soles a una tasa efectiva mensual del 1%

por el perodo comprendido entre el 3 de abril y

el 6 de junio del mismo ao.Prof. R. Gmez O.

El VE i


58/196

El VE a inters compuesto

Dos capitales ubicados en diferentes

momentos de un horizonte temporal

son equivalentes si a una fecha

determinada sus respectivos valores(descontados, capitalizados; o uno

descontado y el otro capitalizado)

aplicando en todos los casos la mismatasa de inters, son iguales.

Prof. R. Gmez O.

Ej


59/196

Ejm.Una empresa exportadora de tejidos de

alpaca ha conseguido la refinanciacin de

sus deudas vencidas y por vencer (segn el

diagrama), pagando una tasa efectiva del

5% mensual. Calcule el importe a cancelar

en el tercer mes que sustituya el total de

sus obligaciones.

200 800 400 x 200 250 200-3 -2 -1 0 1 2 3

Prof. R. Gmez O.


60/196

Ejm.Calcule el importe de cada cuota creciente

a pagar por un prstamo bancario de 10 mil

nuevos soles amortizable en 4 cuotasmensuales vencidas, las cuales se

incrementarn 5% cada mes en relacin a

la cuota anterior. La tasa efectiva mensuales de 3%.

Prof. R. Gmez O.


61/196

CAP II.

DESCUENTO

Prof. R. Gmez O.


62/196

Una operacin de Descuento es unaforma de crdito que consiste en obtener el

pago anticipado de ttulos valores (i.e.

letras de cambio, pagars u otros

documentos), mediante la cesin del

mencionado ttulo a otra persona,

generalmente una institucin de crdito,

Prof. R. Gmez O.


63/196

la cual adelanta el importe del valor

nominal del ttulo deduciendo los interesesanticipadamente, por el tiempo que falta para

el vencimiento de esta obligacin.

Clculo del descuento y el producto.- Lafrmula del descuento es similar al del

inters. Pero en este caso, el Principalesel valor alvencimiento de la deuda.

Prof. R. Gmez O.


64/196

Clases de descuento:

Racional

bancario

comercial.

En los dos pr imeros casos puede ser

simple o compuesto. En el comercial ser

unitario o sucesivo

Prof. R. Gmez O.


65/196

Definiciones importantes:

Letra de cambio: Es un ttulo valor

esencialmente de crdito, en el que se

determina una orden de pago de una

cantidad de dinero en una fecha establecida.

Es un documento que puede ser endosado

varias veces (continuada) por lo que se le

considera un documento circulante.

Prof. R. Gmez O.


66/196

Pagar: Es un documento de crdito

mediante el cual una persona se obliga a s

misma a pagar una suma determinada de

dinero bajo una promesa escrita.

El uso de este documento facilita las

transacciones financieras, permitiendo una

mayor seguridad al vendedor o prestamista

por recuperar su crdito. Es una obligacin

de corto plazo.

Prof. R. Gmez O.


67/196

Valor nominal de un pagar

Es el que est inscrito en la

obligacin (para el comercio se

trata del capital). Si el pagar nogana intereses, el valor nominal

indica la cantidad que debe pagarse

en la fecha de vencimiento

sealada.Prof. R. Gmez O.

D t C i t ibi


68/196

Descontar un pagar:Consiste en recibir

o pagar hoy un dinero a cambio de una

suma mayor comprometida para fechafutura, bajo las condiciones convenidas en

el pagar. Este documento puede ser

vendido, es decir descontado, una o ms

veces antes de la fecha de vencimiento y

cada comprador descuenta el pagar por el

tiempo que falta para su vencimiento.

Cuando la operacin se realiza entrebancos la operacin se llama redescuento.

Prof. R. Gmez O.


69/196

Descuento: Es la diferencia entre el valor

nominal y el valor que se recibe al

momento de descontar el pagar.

Prof. R. Gmez O.


70/196

Valor efectivo o lquido de un pagar:Es

el valor nominal menos el descuento; o seael valor actual o presente con descuento

bancario.

Tipo o tasa de descuento:Es el porcentajedel valor nominal que deduce el prestamista

al descontar el pagar.

Plazo:

o perodo de duracin del prstamo.

Prof. R. Gmez O.


71/196

1. Descuento Racional:

El descuento racional aplicado a un ttulo de

crdito que vence en el futuro es el inters

deducido anticipadamente calculado con la tasa i

sobre el importe que verdaderamente recibe el

descontante; este importe es el respectivo Valor

presente del valor nominal del ttulo

As, tanto el inters como el descuento racional

calculados para el mismo plazo y aplicando la

misma tasa producen iguales resultados.Prof. R. Gmez O.


72/196

Simple:

D = SP (= I simple) . (1)

Reemplazando el valor de:

P = {S/(1+in)} en (1) y factorizandotenemos:

D = S {11/(1+in)} ....... (2)D = Sin/(1+in) ....... (2)

Prof. R. Gmez O.


73/196

En (2), el descuento es el inters aplicado

a un valor futuro (Sin) trado al valorpresente al dividir entre 1 + in.

Ejm.1. Calcule el descuento racional deun pagar al 26 de abril, cuya fecha de

vencimiento es el 30 de mayo, su valor

nominal es 10,000 N.S. y la tasa de interssimple es 30%.

Prof. R. Gmez O.


74/196

Ejm. 2.Una letra de S/20,000 con vencimiento dentro

de 60 das se descuenta hoy a una tasa

nominal anual de 24%. Calcule a) eldescuento racional simple, b) su valor

presente; c) el inters que se cobrar sobre el

importe realmente desembolsado.

Prof. R. Gmez O.


75/196

Compuesto:

D = SP y P = S (1 + i)n

Reemplazando P en D tenemos:

D = S{1- (1+ i)-n}

Igual que en el caso anterior, el descuento

racional compuesto es equivalente al inters

compuesto: D = I

Prof. R. Gmez O.


76/196

Ejm.Calcule el importe total del descuento

racional a practicarse hoy a dos pagars con

vencimiento a 30 y 60 das con valoresnominales de 4 mil y 5 mil nuevos soles

respectivamente. La tasa nominal anual

cobrada es del 12% capitalizabletrimestralmente.

Prof. R. Gmez O.

2 D t B i


77/196

2. Descuento Bancar io:

Es utilizado comnmente en todas lasoperaciones comerciales, salvo que se haga

alusin expresa al descuento racional. El DB

constituye el inters calculado sobre el valornominal o el valor futuro (S) de un ttulo

valor, importe a deducir del monto del

documento para encontrar su valor lquido,el cual va ha representar el verdadero importe

financiado.

Prof. R. Gmez O.


78/196

La tasa de inters aplicada, conocida

como la tasa adelantada o tasa de

descuento d, se diferencia del anterior(D. R.) en que sta se aplica al valorpresente P, lo que origina un importe

lquido menor al valor presente del

documento.

Prof. R. Gmez O.


79/196

Simple:

Se calcula utilizando D=Sdn

P + D = S

Prof. R. Gmez O.


80/196

De la frmula anterior obtenemos, en cada

caso:

S = D/dn

d = D/Sn

n = D/Sd

Prof. R. Gmez O.


81/196

Ejm 1. Una letra de 5 mil n.s., a una tasade descuento del 12% anual, es descontado

faltando 18 das para su vencimiento.

Halle el descuento bancario simple.

Prof. R. Gmez O.


82/196

El Valor lquido de un ttulo valor

descontado bancariamente, es el importeque recibe el descontante por el

documento. En una operacin de

descuento bancario el valor lquido esmenor a su respectivo valor presente,

porque se ha obtenido aplicando una tasa

anticipada sobre el monto o valor nominal

del documento, el cual necesariamente es

mayor al importe realmente recibido por el

descontante .Prof. R. Gmez O.


83/196

De: P = S - D, obtenemos:

P= S (1d) y D = Snd

Ejm.Un pagar por un valor de 68 mil n.s. vence

el 18 de setiembre, se descuenta el 20

de junio al 10%. Calcular el valordescontado y el valor lquido.

Prof. R. Gmez O.


84/196

El Valor nominal se calcula as:

S = P[1/(1dn)]

Ejm.

Por qu monto deber girarse una letra que

vencer el 27 de febrero para obtener un

importe lquido de 5 mil soles el 19 de enero,descontndola bancariamente a una tasa de

descuento simple anual de 18%?Prof. R. Gmez O.


85/196

Compuesto:

Consiste en una serie de clculos dedescuento simple, encontrando su valor

lquido al final de cada perodo y

descontando en cada perodosucesivamente, durante el horizonte

temporal comprendido entre la fecha que

se hace efectivo el abono del importe

lquido del documento y la fecha

de vencimiento de la deuda.

Prof. R. Gmez O.


86/196

El Valor lquido

Ejm.Una empresa tenedora de una cuentacorriente del banco xx, el 7 de marzo

acept un pagar de S/9,000.= convencimiento a 90 das. Cul fue el valor

lquido que la empresa recibi en esa

fecha, si la tasa nominal anual de

descuento fue 48%, con perodo de

descuento bancario cada 30 das?

Prof. R. Gmez O.

El Valor nominal:


87/196

El Valor nominal:

Ejm.En el financiamiento de un auto, cuyo precio al

contado es 10 mil dlares, la institucin

financiera exige una cuota inicial de 4 mil

dlares, un pago adelantado de mil y una letra a90 das por 5,312.41, en la cual le han cargado

una tasa de descuento bancario compuesto

mensual del 2%. Si el cliente solicita que elimporte de los mil dlares se incluya en la letra

a 90 das, cul ser el nuevo valor nominal de

la letra?Prof. R. Gmez O.

El V l d l d t b i


88/196

El Valor del descuento bancario

compuesto:

Ejm.Un pagar con valor nominal de 5 mil soles

se somete a descuento bancario compuesto a

una tasa del 24% anual, con perodo dedescuento mensual, 3 meses antes de su

vencimiento. Calcule los descuentos de cada

mes. Prepare un cuadro de descuentosperidicos.

Prof. R. Gmez O.


89/196

La tasa i y la tasa d:

Comparando: la tasa i se plica a un valorpresente P, mientras que la tasa d se aplica a

un valor futuro S.

P d S

i n=1

Prof. R. Gmez O.


90/196

Descuento Racional: D = Pi

Descuento bancario: D = Sd

En tiempos iguales y a una misma tasa, el

valor presentecon descuento racional essiempre mayor que el valor lquido condescuento bancario. Cuando las tasas son

bajas, la diferencia ente i y d no esimportante, pero cuando las tasas sonlatas la diferencia son considerables.

Prof. R. Gmez O.


91/196

Ejm.Calcular los valores lquidos con

descuento racional y con descuento

bancario de un pagar por 14 mil nuevos

soles, descontando 180 das antes de su

vencimiento, a una tasa del 8%. Realiceel mismo ejercicio considerando que la

tasa de inters 60%.

Prof. R. Gmez O.


92/196

1. Descuento comercial:

Es la rebaja concedida sobre el precio de

lista de un artculo. Esto puede serdescuento unitario (se lleva a cabo por

nica vez) o descuento sucesivo (ms de

una vez).

Prof. R. Gmez O.

Descuento Comercial Unitario:


93/196

Resulta de aplicar una sola vez una

determinada tasa sobre el precio de ventade un artculo.

Se calcula con: Dc = Pv(d)

Y el precio rebajado: PR = Pv (1 - d)

Donde:

Pv, es el precio de venta del artculo.PR, es el precio rebajado.

Dc, es el descuento comercial.Prof. R. Gmez O.


94/196

Ejm. Si el precio de venta de un artculo es1000 soles y se le aplica una rebaja del 5%,calcule el descuento comercial aplicado.

Prof. R. Gmez O.


95/196


96/196

Y el ltimo precio rebajado (PRn), despus dehaber otorgado un conjunto de descuentos

sucesivos ser:

PRn = Pv [(1 - d1) (1d2) (1dn) ]

Prof. R. Gmez O.


97/196

Ejm.En su aniversario, una compaa concede los

siguientes descuentos: 20% + 15% + 5%

sobre los Pv de sus productos. Si usted

compra por un total de 320 soles, a) cuntoser el descuento total?, b) cunto ser la

tasa de descuento acumulada?, c) y el ltimo

precio rebajado?.

Prof. R. Gmez O.


98/196

CAPITULO III:SERIES

UNIFORMES O

ANUALIDADES.Prof. R. Gmez O.

1. Introduccin:


99/196

Hasta la clase anterior, el flujo de caja constaba deun nico pago, o varios pagos diferentes, en tiempos

diferentes. En este conjunto de operaciones se hall

tanto el valor presente, el valor futuro o la tasa de

inters. Sin embargo, en la prctica, tambin se

presentan flujos de caja que estn formados por

pagos que tienen la caracterstica de ser todos

iguales y tener lugar en intervalos iguales de tiempo.Tales pagos se conocen como series uniformes,

anualidades o rentas uniformes.Prof. R. Gmez O.

1. Definiciones bsicas.


100/196

Series uniformes o anualidades.- Definicin:conjunto de pagos iguales y peridicos.

Pago: Hace referencia tanto al ingreso como al

egreso.Anualidad: Indica que los pagos son

peridicos y no necesariamente cada ao. El

conjunto de estos pagos (rentas) se llama

anualidad

Renta: Es el importe de cada flujo (ingreso o

egreso). Prof. R. Gmez O.

Perodos de renta: Intervalo de tiempo fijo.


101/196

p j

Ejm. diario, semanal, quincenal, trimestral,

bimestral, anual.

2. Simbologa.

P Valor presente de una anualidad.

S Monto de una anualidad o Valor

futuro.

Prof. R. Gmez O.


102/196

RRenta.

H Nmero de das del plazo de laanualidad a IC.

f Nmero de das del perodo de

capitalizacin.

n Nmero de perodos de capitalizacin

en el horizonte temporal (n = H/f).

Prof. R. Gmez O.


103/196

i Valor constante que asume la tasa

de inters del perodo capitalizable.m Nmero de perodos de

capitalizacin en un ao de la TNA.

Las principales clases deanualidades son: Vencidas,

anticipadas, diferidas y perpetuas(se puede hacer una combinacinde ellos).

Prof. R. Gmez O.


104/196

a.Vencida:

R R R R R R

0 1 2 3 4 n-1 n

b. Anticipada:

R R R R R R

0 1 2 3 4 n-1 n

Prof. R. Gmez O.


105/196

c.Vencida Diferida:

R R R R

0 1 2 3 4 n-1 n

d. Anticipada Diferida:

R R R R

0 1 2 3 4 n-1 n

Prof. R. Gmez O.


106/196

4. Anualidades Vencidas.

Es aquella en la que el pago se hace alfinal de cada perodo.

Ejm.salarios, dividendos, depreciaciones,

amortizaciones, jubilacin, cuotasperidicas en la adquisicin de vehculos o

electrodomsticos, etc.

Prof. R. Gmez O.


107/196

11. Clculo del Monto o valorfuturo de una anualidad simple.-

Se trata de hallar una expresin que mida

el valor futuro de una serie uniforme.

Prof. R. Gmez O.


108/196

S =?

R(1+i)n-1R(1+i)n-2

R(1+i)n-3

R(1+i)2R(1+i)

R R R R R R

Prof. R. Gmez O.


109/196

El monto total es igual a la suma de los montos

parciales de cada R llevado al final del horizonte

temporal:

S = R + R(1+i) + R(1+I)2+ + R(1+I)n-2+ R(1+I)n-1

Prof. R. Gmez O.


110/196

O, lo que es lo mismo:

S = R [(1+i)n- 1]/I

Donde, [(1+i)n- 1]/Ies el Factor deCapitalizacin de la Serie(FCS) a una

tasa i por perodo y n perodos decapitalizacin.

Prof. R. Gmez O.


111/196


112/196

Ejm.Al final de cada mes y durante ao y medio,se hacen depsitos de 12 mil soles c/u., en

una institucin financiera que paga 3%mensual. Calcular la suma total acumulada

en la cuenta el cuenta de ahorros al final del

perodo.

Prof. R. Gmez O.


113/196

Solucin:

El flujo de caja ser:

S=?

12 12 ......... 12 12 120 1 2 ........ 16 17 18

Prof. R. Gmez O.


114/196

n = 18 meses

i = 0.03S = ?

R = 12000

S = 12000 [(1+0.03)18- 1]/0.03

S = 280973

Prof. R. Gmez O.

4 2 Clculo del Valor Presente de una


115/196

4.2 Clculo del Valor Presente de unaanualidad simple.-

Se trata de tomar el valor futuro (por ejm.

calculado en el ejercicio anterior) y traerlo avalor presente (punto 0), las rentas que

componen la anualidad, descontndolas

durante los perodos del horizonte temporal.

Prof. R. Gmez O.

Se calcula con:

P = R [(1+i)n - 1]/i(1+i)n


116/196

P R [(1+i) 1]/i(1+i)

Frmula que se obtiene reemplazando

S = P(1+i)n.

Lo anterior, se puede expresar tambin

como:

P = R. FASi;n

Que se lee como el FAS a una tasa i por

perodo y n perodos capitalizables,transforma una serie uniforme de rentas

( R ) en un valor presente (P).Prof. R. Gmez O.

Ej


117/196

Ejm.

Hallar el valor de contado de un automvilque al crdito se adquiere con 18 cuotas de

20 mil soles c/mes vencido sabiendo que se

cobra un inters del 2.5%mensualSolucin: El flujo de caja ser:

1 2 3 ......... 16 17 18 meses

0 20 20 20........20 20 20P=?

Prof. R. Gmez O.


118/196

R = 20000n = 18 meses

i = 0.025

P = ?

P=20000[(1+0.025)18- 1]/0.025(1+0.025)18

P = 287067

Prof. R. Gmez O.


119/196

Es importante tener en cuenta que, al hallar el valor

futuro de una anualidad vencida, el FCSi;n altiempo que acumula los pagos realizados, tambin

acumula los intereses compuestos producidos tantopor el capital como por los intereses ya

devengados.

Prof. R. Gmez O.


120/196

De manera similar, el FASi;n al aplicar auna serie de pagos iguales, les descuenta losintereses compuestos. Por eso, estos

factores son de gran aplicacin, pues en los

casos prcticos los intereses deben cargarse

sobre el saldo existente en un momento

determinado, y otro tanto sucede si se

descuentan intereses.

Prof. R. Gmez O.


121/196

4.3 Clculo de la Renta en una

anualidad simple.

Si se conocen i,n, y S o P, es posible calcular

R en funcin de S o de P, despejando las

siguientes frmulas:

S = R. FCSi;n ; P = R. FASi;n

Prof. R. Gmez O.

a) Si se conoce S:

Despejando R de S R FCS obtenemos:


122/196

Despejando R de S = R. FCSi;nobtenemos:

R = S [i / {(1+i)n

1}]Donde, el trmino [i / {(1+i)n1}] es el Factor deDepsito al Fondo de Amortizacin (FDFAi;n)

R = S.FDFAi;nY se lee, elFDFAi;na una tasa i por perodo y n

perodos capitalizables, transforma el valor futuro

(S), en un conjunto de rentas (R) equivalentes,distribuidas uniformemente a travs del horizonte

temporal.Prof. R. Gmez O.


123/196

Ejm. La empresa HT decidi comprarun vehculo dentro de 5 meses a un precioestimado de $20 mil. Qu importe

mensual constante debe ahorrar en eseperodo, en un banco que paga 2.5%mensual, a fin de disponer de ese montoal final del plazo?

Prof. R. Gmez O.

Solucin: El flujo de caja ser:


124/196

Solucin: El flujo de caja ser:

0 1 2 3 4 5meses

R R R R R=?

R=?n=5meses

i = 0.025

S = 20000R = 20000(0.025)/{(1+0.025)51}

Prof. R. Gmez O.

b) Si se conoce P:Despejando R de P = R. FASi obtenemos:


125/196

Despejando R de P R. FASi;nobtenemos:

R = P [i(1+i)n/{(1+i)n1}]

Donde, el trmino [i(1+i)n/{(1+i)n1}] es el Factor

de Recuperacin de Capital (FRCi;n

):

R = P.FRCi;n

Y se lee, elFRCi;na una tasa i por perodo y n

perodos capitalizables, transforma el valor presente(P), en un conjunto de rentas (R ) equivalentes,

distribuidas uniformemente a travs del horizonte

temporal. Prof. R. Gmez O.


126/196

Ejm. Cul ser el importe constantemensual que la empresa HT debe pagar

dentro de 5 meses por un prstamo de $10mil. El banco cobra una TNA del 36%,

capitalizable mensualmente.

Prof. R. Gmez O.

Solucin:


127/196

El flujo de caja ser:

0 1 2 3 4 5meses

R R R R R=?

R = ?

n = 5 meses

P=10000

i = 0.36/12 = 0.03

R = 10000 [0.03(1+0.03)5/{(1+0.03)51}]Prof. R. Gmez O.

4 4 Clculo de n en una anualidad


128/196

4.4 Clculo de n en una anualidad

simple.-

A partir de:

S = R.FCSi;n R = S.FDFAi;nP = R.FASi;n R = P.FRCi;n

Calculamos el valor de n, despejndolasdirectamente de las frmulas

mencionadas.Prof. R. Gmez O.

a. Clculo de n, si se conoce S:


129/196

Tanto de FCS o de FDFA (estas relacionesson recprocas) se puede obtener n. De:

R = S [i / {(1+i)n1}]

R (1+i)nR = S i

LogR + n log(1+i) = Log(Si + R)

n = Log(Si/R + 1)

log(1+i)

Prof. R. Gmez O.

Ejm.


130/196

Cuntos depsitos de fin de mes de 500 soles

sern necesarios ahorrar para acumular unmonto de 6000, en una institucin

financiera que paga una TNA de 18%,

capitalizable mensualmente?Solucin:

n = ? R = 500

i = 0.18/12 = 0.015 S = 6000n = Log(6000x0.015/500 + 1) =

log(1+0.015)Prof. R. Gmez O.

b) Clculo de n, si se conoce P:


131/196

) ,

Como FRC y FAS son recprocos,

tambin se puede obtener n. De:

R = P [i(1+i)n/{(1+i)n1}]

R = P [i / {1 - (1+i)-n}]

R{1 - (1+i)-n} = Pi , - (1+i)-n = Pi / R -1

n = - Log (1 - Pi/R )log(1+i)

Prof. R. Gmez O.

Ejm.


132/196

Cuntas cuotas constantes mensuales

vencidas de 500 soles sern necesariosamortizar por prstamo de 6000, cuya TEM

pagada es de 3.6% ?

Solucin:

n = ? R = 500

i = 0.036 P = 6000

n = - Log (16000x0.036/500 ) =

log(1+0.036)Prof. R. Gmez O.

4 5Clculo de la tasa de inters implci ta


133/196

4.5Clculo de la tasa de inters implci ta

en una anualidad simple.-

Cuando no se conoce la i (efectiva

peridica), es posible hallar su valor

planteando su respectiva ecuacin de

equivalencia y buscando el valor de la tasa

aplicando la interpolacin lineal.

Prof. R. Gmez O.


134/196

Ejm.

Un activo que de contado tiene un valorde $32000, puede adquirirse financiando

a 20 cuotas mensuales de $2100 c/u.

Cul es la tasa de inters mensual

cobrada?.

Prof. R. Gmez O.


135/196

4.6 Factores f inancieros.

Los factores financieros son muy

importantes en la aplicacin a los

problemas financieros reales. Aqu un

resumen de los factores financieros:

Prof. R. Gmez O.

FSC (1 i) F i l d i li i


136/196

FSC = (1+i)nFactor simple de capitalizacin

FSA = (1+i)-n

Factor simple de actualizacinFCS = {[(1+i)n 1] /i}, Factor decapitalizacin de la serie.

FDFA = {i / [(1+i)n1]}, Factor de Depsitoal Fondo de Amortizacin.FRC = {i(1+i)n/[(1+i)n 1]}, Factor deRecuperacin de capital.

FAC = [(1+i)n-1/[i(1+i)n]], Factor deActualizacin de la Serie.

Prof. R. Gmez O.


137/196

Conociendo i y n, se puede calcular

cualquiera de ellas, y aplicndolas

adecuadamente, se puede determinar losvalores de S,P o R.

Prof. R. Gmez O.

Factores Financieros aplicados a S,P y R:


138/196

S=P.FSCi,n

S=R.FCSi,n

Valor futuro en funcin valor

presente

Valor futuro en funcin de la Rta cte.

P=S.FSAi,n

P=R.FASi,n

Valor Presente en funcin valor

Futuro.Valor Presente en funcin Rta cte.

R=S.FDFAi,n

R=P.FRCi,n

Rta cte en funcin del Valor Futuro.

Rta cte en funcin del Valor Presente.

Prof. R. Gmez O.

Relaciones entre los factores


139/196

financieros:a) FAS = FCS.FSAb) FCS = FAS.FSCc) FRC = FDFA + i

d) FDFA = FRC - ie) FDFA/FRC = FSAf) FDFA = FSA.FRCg) FRC = FDFA/FSA

h) FSC=FRC.FCSi) FCSn+1=FCS+FSCn

Prof. R. Gmez O.


140/196

5. Anualidades anticipadas.

Es una sucesin de rentas que empiezan en el

momento 0, a inicios del perodo de renta, como

sucede en el pago de alquileres, en compras a

plazos cuando debe darse una cuota inicial , en

las plizas de seguros, en pensiones de

enseanza, etc.

Prof. R. Gmez O.

La diferencia entre una anualidad simple

id lid d i l ti i d


141/196

vencida y una anualidad simple anticipada,

dado un nmero igual de rentas, radica en quela anualidad vencida la ltima renta no

percibe inters porque coincide con el

trmino del plazo de la anualidad, anticipada

la ltima renta no coincide con el final del

plazo de la anualidad, ubicndose al inicio del

ltimo perodo de renta y percibiendo el

inters o beneficio hasta el final del perodo,fecha en que concluye el plazo de la

anualidad.Prof. R. Gmez O.

Grficamente:


142/196

-A. vencida:

R R R R R R

0 1 2 3 4 n-1 n

-A. anticipada:

Ra Ra Ra Ra Ra Ra0 1 2 3 n-1 n

Prof. R. Gmez O.

Relacin entre las anualidades


143/196

vencidas y anticipadas:

Conociendo la renta vencida R, la renta

anticipada Ra se calcula descontando a R unperodo de renta a la tasa efectiva de ese

perodo con la siguiente relacin:

Ra = R / (1+i)

Prof. R. Gmez O.

Grficamente:


144/196

Ra

Igualmente: R = Ra (1+i), es decir,

Ra puede ser convertida en R,

aplicando (1+i) en cada perodo.Convertida la anualidad anticipada en

vencida, se le puede aplicar los facto

res financieros de las anualidadesvencidas.

Ra(1+i) Ra(1+i) Ra(1+i) Ra(1+i)Prof. R. Gmez O.

5.1 Monto de una anualidad simpleanticipada


145/196

anticipada

Estableciendo una ecuacin deequivalencia financiera tomando

como fecha focal del horizontetemporal el monto S de una

anualidad anticipada puede

obtenerse del modo siguiente:

Prof. R. Gmez O.

Monto de la anualidad anticipada


146/196

p

S =?

Ra(1+i)n

Ra(1+i)n-1

Ra(1+i)n-2Ra(1+i)n-3

Ra(1+i)

Ra Ra Ra Ra ... Ra Ra0 1 2 3 ... n-2 n-1 n

Prof. R. Gmez O.

Cada Ra se somete a inters compuesto


147/196

Cada Ra se somete a inters compuesto

por n diferentes perodos:

el primero ubicado en el momento 0,

durante n perodos; el segundo durante

n-1 perodos; el penltimo durante dos

perodos y el ltimo durante un perodo

(hasta el final del del horizonte

temporal).

Prof. R. Gmez O.


148/196

El monto total de la anualidad es la sumade los montos parciales de cada Ra

llevado al final del horizonte temporal.

S=Ra(1+i)+Ra(1+i)2+...+Ra(1+i)n2+Ra

(1+i)n-1+Ra(1+i)n

Prof. R. Gmez O.

S se calcula aplicando la frmula:


149/196

S = Ra (1 + i) [{(1+i)n1}/ i]

O lo que es lo mismo:

S = Ra (1 + i) FCS i; n

Prof. R. Gmez O.

Ejm


150/196

Ejm.5.2. Valor presente de una anualidadsimple anticipada

Para calcular P se toma las siguientesfrmulas:

S = Ra (1 + i) FCS i; n y

S = P FSC i; n

Prof. R. Gmez O.


151/196

Y se llega a:

P = Ra (1 + i) [{(1+i)n1}/i(1+i)n]

o lo que es lo mismo:

P = Ra (1 + i) FAS i; n

Prof. R. Gmez O.


152/196

a Renta conociendo el alor presente:


153/196

a. Renta conociendo el valor presente:

De: P = Ra (1 + i) FAS i; n, despejamos Ra:

Ra = P/(1 + i).[i(1+i)n/{(1+i)n1}]

O lo que es lo mismo:

Ra = P (1 + i)-1FRCi; n

Prof. R. Gmez O.


154/196

Ejm.5.3. Clculo de n en una anualidad

simple anticipada

Despejando directamente n de las

frmulas aprendidas o por interpolacin,

se puede calcular el valor de n.

Prof. R. Gmez O.

f i d l l f t S


155/196

a. n en funcin del valor futuro S:

A partir de una de estas frmulas:

S = Ra(1 + i) FCSi; n

Ra = S(1 + i)-1FDFAi; n

Obtenemos:n = Log {Si/[Ra(1 + i)] + 1}

Log (1+i)Prof. R. Gmez O.

Ejm.A f i d l l t P


156/196

A. n en funcin del valor presente P:

Igualmente, a partir de:

P = Ra(1 + i) FASi; nRa = P (1 + i)-1FRCi; n

despejamos n:

n = - Log {1 - Pi/[Ra(1 + i)]}

Log (1+i)

Prof. R. Gmez O.

Ejm.


157/196

5.3 Clculo de i de una anualidad

simple anticipada

Igual que en el caso de las A. vencidas,

cuando no se conoce la i (efectiva

peridica), es posible hallar su valor

planteando su respectiva ecuacin de

equivalencia peridica y buscando el valor

de la tasa aplicando el mtodo deinterpolacin lineal.

Prof. R. Gmez O.

Ejm.1 A lid d Dif id V id


158/196

1.Anualidades Diferidas Vencidas.

En este caso el pago de rentas empiezadespus del vencimiento de uno o ms

perodos de renta, contados a partir del inicio

del plazo pactado.R ........ R 0 1

2 .... K K+1 ....... K+n

P Plazo diferido Plazo de la anualidad

Plazo o duracin del contratoProf. R. Gmez O.

El clculo de una anualidad diferida


159/196

vencida es una clase particular de una

anualidad simple vencida, por lo quese usan las frmulas ya aprendidas.

a. Clculo del Monto:

S = R [(1+i)n- 1]/i

S = R. FCSi;n

Prof. R. Gmez O.

Ejm.


160/196

b. Clculo del valor presente:

b.1. Fecha focal al f inal del perodo

difer ido k:

La ecuacin de equivalencia se obtiene

igualando el principal capitalizado con el

conjunto de rentas futuras descontadas:

Prof. R. Gmez O.


161/196

FASR R ...... R R

0 1 2 K 1 2 ..... n-1 n

P FSC FF K+nperiodos

P(1 + i)k= R[{(1+i)n1}/i(1+i)n]

Prof. R. Gmez O.

b 2 Fecha focal el perodo 0:


162/196

b.2. Fecha focal el perodo 0:

La ecuacin de equivalencia se obtienedescontando transitoriamente las rentas

al final del plazo diferido k, aplicando

un FAS y de all, ese importe o stockfuturo debe ser trado al presente con un

FSA:

Prof. R. Gmez O.

FAS

FSA R R R R


163/196

FSA R R ..... R R

0 1 2 .....K 1 2 ..... n-1 nP K+n

periodos

P = R[{(1+i)n1}/i(1+i)n](1 + i)-k

P = R.FASi;nFSAi;k

Prof. R. Gmez O.

Ejm.


164/196

c. Clculo de R:c.1. R en funcin de S:

R = S.[i/{(1+i)n1}]

R = S.FDFAi;n

Prof. R. Gmez O.

c.2. R en funcin de P:


165/196

R = P(1+i)k.[i(1+i)n/{(1+i)n1}]

R = P.FSCi;kFRCi;n

Prof. R. Gmez O.

d. Clculo de i y n:


166/196

Se calcula igual que en las anualidades

simples.

1.AnualidadesDiferidasAnticipadas

En este caso, tambin esta es el caso

de una clase particular de una

anualidad simple anticipada.

Prof. R. Gmez O.

El pago de rentas empieza al iniciar el


167/196

El pago de rentas empieza al iniciar el

vencimiento de uno o ms perodos de renta,contados a partir del inicio del plazo pactado.

R R ...... R

0 1 2 K K+1 K+n-1 K+nP Plazo diferido plazo de la anualidadPlazo o duracin del contrato

Prof. R. Gmez O.

a. Clculo del Monto:


168/196

S = Ra(1+i).[{(1+i)n1}/i] S=Ra(1+i).FCSi;n

b. Clculo del valor presente:

P=Ra(1+i)1-k

[{(1+i)n

1}/i(1+i)n

] P = Ra(1+i)1-k.FASi;n

Prof. R. Gmez O.

Ejm.a. Clculo de Ra:


169/196

c.1. Ra en funcin de S:

Ra = S(1+i)-1.[i/{(1+i)n1}]

, Ra= S(1+i)-1

.FDFAi;n

c.2. Ra en funcin de P:

Ra = P(1+i)k-1.[i(1+i)n/{(1+i)n1}]

, Ra = P(1+i)k-1. FRCi;nProf. R. Gmez O.

Ejm.a. Clculo de i y n:


170/196

y

Se calcula igual que en las anualidades simples.

1. Rentas Perpetuas.

Perpetuidad: anualidad que no tiene un lmitedeterminado. Ejm. aportes del gobierno a

entidades de beneficencia, dividendos de las S.A.,

etc.Clasificacin: vencidas, anticipadas y diferidas

(vencidas y anticipadas).Prof. R. Gmez O.

Grficamente:


171/196

Renta Perpetua anticipada:R R R R R R ......

0 1 2 3 4 5 ......

Monto de una perpetuidad: No

existe valor futuro, puesto queno se conoce con exactitud n(FCS tiende al infinito).

Prof. R. Gmez O.

a. Las rentas de una perpetuidad:


172/196

El nmero de Rentas tiende al infinito.

Conociendo el capital inicial y la tasa

de inters, podemos conocer el valorde cada R. Ejm. Si Ud. se gan el

pozo ms lato de la Tinca, un milln

de dlares; lo deposita en un banco

A que le paga 6% TNA, cunto

retirar cada mes?.

Prof. R. Gmez O.

R = 0.06/12(1000000) = 5000.


173/196

En este ejemplo, se supone que los

intereses se retiran mensualmente.

B.1. Renta perpetua vencida:R = Pi

Se puede expresar tambin como:R = P.FRCi; +

Prof. R. Gmez O.


174/196

B.2. Renta perpetua anticipada:

Ra(1+i) = Pi

Pero d = i/(1+i),

as:

Ra = Pd

Prof. R. Gmez O.

A. Valor presente de unat id d id ti i d


175/196

perpetuidad vencida y anticipada:

C.1. Vencida:

Despejando P de R = Pi, tenemos:

P = R[1/i]

P = R.FASi; +

Prof. R. Gmez O.

C.2. Anticipada:

De Ra = Pd tenemos:


176/196

De Ra Pd, tenemos:

P = Ra(1+i)i

es igual a la renta ms el valor presente

de una perpetuidad vencida.

C.3. P. Anticipada si la renta inicial es

diferente a las dems:

P=Ra+R/iProf. R. Gmez O.

A.Valor presente de una perpetuidaddifer ida vencida y anticipada


177/196

difer ida vencida y anticipada.

D.1. Vencida:

P = R[1/(1+i)k] [1/i]

que se obtiene combinando las frmulas

del valor presente de una anualidad

diferida vencida y el del valor presente de

una perpetuidad vencida.Prof. R. Gmez O.

D.1. Anticipada:


178/196

P = Ra(1+i)1-k

[1/i]

Capitalizacin: es sinnimo de

Valor Presente de una rentaperpetua.

Prof. R. Gmez O.

A.Valor presente de una perpetuidada pagar al final de cada cierto

nmero de perodos de capital izacin.


179/196

nmero de perodos de capital izacin.

Ejm. mantenimiento de puentes, carreteras,etc.

w w w

R R R R R R R R R0 1 2 k k K

Prof. R. Gmez O.

k es el nmero de aos que median

entre dos pagos sucesivos de una renta


180/196

p g

perpetua.w es el monto de los k pagos del

importe R, efectuados al final de cada

perodo de capitalizacin.La frmula con la que se calcula es:

P = w/i{i/[(1+i)k1]}

P = (w/i).FDFAi; k

Prof. R. Gmez O.

a. Costo capital izado.El costo capitalizado de un activo es el

costo inicial ms el valor presente de las


181/196

p

infinitas renovaciones para poseerlopermanentemente.

Ejm.

caminos, puentes, pavimentos, etc. Adiferencia de la capitalizacin, el costo

capitalizado es que ste incluye el costo

inicial del activo.Frmula:

C = F + w/i FDFAi;kProf. R. Gmez O.


182/196

b. Costos equivalentes.

Algunas veces queremos saber si vale la

pena desembolsar una cantidaddeterminada de dinero con la finalidad

de prolongar la vida til de un activo.

Prof. R. Gmez O.


183/196

Ejm T d d t


184/196

Ejm. Tres perodos de tasa por unperodo de renta:

R R

0 1 2

0 1 2 3 4 5 6

i

Prof. R. Gmez O.

a. En un perodo de capitalizacin de

tasas de inters hay varios perodos de


185/196

tasas de inters hay varios perodos de

renta.

Ejm. Tres perodos de renta porperodo de tasa:

R R R R R R

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2

i i

Prof. R. Gmez O.

Anualidades impropias o variables:


186/196

Anualidades impropias o variables:

R R R1 R2 R3 R4 R5

0 1 2 3 4 5 n-1 n

Prof. R. Gmez O.

En este caso, las rentas pueden darse en

progresin aritmtica progresin


187/196

progresin aritmtica, progresin

geomtrica, de acuerdo a un patrnestablecido o aleatoriamente, a lo largo

del horizonte temporal.

Las anualidades generales seresuelven:

a. Transformando la renta dada en una

renta equivalente que coincida con elperodo de capitalizacin de i.

Prof. R. Gmez O.

Vencida: R


188/196

X X X X0 1 2 3 4

X=R.FDFAi,n

Anticipada:

R

X X X X

0 1 2 3 4

X=R.FRCi,nProf. R. Gmez O.

b. Transformando la tasa de inters dada

en una tasa equivalente que coincida con


189/196

en una tasa equivalente que coincida con

el perodo de renta.

CALCULO DEL MONTO EN UNA

ANUALIDAD GENERALUna vez agrupadas o distribuidas las

rentas de las anualidades generales, se

pueden resolver utilizando las frmulasaprendidas de anualidades simples:

vencidas, anticipadas o diferidas.Prof. R. Gmez O.


190/196

CALCULO DEL VALORPRESENTE EN UNA ANUALIDADGENERAL


191/196

GENERAL

Igualmente, siempre que las rentas de

las anualidades generales se hayan

transformado de manera que coincidancon el perodo de capitalizacin, se

pueden hallar el VP utilizando las

mismas frmulas aprendidas deanualidades simples: vencidas,

anticipadas o diferidas.Prof. R. Gmez O.


192/196

Ejm. En el mismo ejercicio de laseccin anterior, calcular su VP.

Considere Pagos vencidos y pagosanticipados.

Prof. R. Gmez O.

CALCULO DE LAS RENTAS ENUNA ANUALIDAD GENERAL


193/196

Las rentas de las anualidades generales se

resuelven aplicando ecuaciones de valor

equivalente, factores combinados otransformando la tasa para que coincida

con el perodo de renta.

Prof. R. Gmez O.

Ejm Un apartamento cost


194/196

Ejm. Un apartamento cost$80,000.00 con una cuota inicial de

$30,000.00 y el saldo cancelable en

pagos mensuales iguales, en un plazo de

dos aos, pagando una TEA del 18%.Cunto ser el valor de cada cuota?

Considere Pagos vencidos y pagos

anticipados.

Prof. R. Gmez O.

10. Gradientes


195/196

Llamada tambin series variables, es la

diferencia entre cualquier renta a partir de

la segunda y la anterior.

Prof. R. Gmez O.

10.1 Gradientes aritmticas: Se

ll l i d


196/196

llaman as a la serie de pagos

peridicos, en la que cada pago es

igual al del perodo inmediatamente

anterior, siendo la diferencia entre una

renta y la anterior siempre la misma.

R = Cuota base.

matematica financiera clases

Documents