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PER Ministeriode Educacin

MDULO DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICAM A T E M T I C A F I N A N C I E R A

PROGRAMA DE ACTUALIZACIN EN DIDCTICA DE LA MATEMTICA

EDUCACIN SECUNDARIA

1MateMtica financiera al

alcance de todos

Profundizacin terica y Pedaggica

Matemtica financiera se refiere a las matemticas que se utilizan en el contexto de negocios, finanzas y economas. Un componente importante es el inters, que podra definirse como el costo del dinero, y otro es el capital, dinero que se pone en ahorros o que es solicitado como prstamo.

Si depositas dinero (capital) en una cuenta de ahorros, la entidad financiera (banco, caja, etc.) te pagar intereses por ese depsito.

Para tener xito con la matemtica financiera, es importante poseer una base bastante slida en la resolucin de porcentajes. Por lo tanto, es importante recordar que:

Usamos el smbolo % que se lee por ciento para representar un porcentaje.

1. Definicin

2. Porcentajes

Los estudiantes deben familiarizarse con el uso financiero de las matemticas. Ellos pronto tomaran decisiones basadas en ahorro, inversiones que pueden tener caractersticas de ser seguras o de riesgo; adems, en muchos casos, se encuentran en situaciones que involucra decisiones familiares.

Es necesario que los estudiantes conozcan el concepto de porcentajes para poder resolver frmulas de inters y de inflacin.

Por ejemplo, este dinero depositado (capital) ser trabajado por la mencionada entidad y parte del dinero generado con l ser pagado al dueo del depsito, en este caso, t. En cambio, si solicitas un prstamo bancario (capital) a cualquier entidad financiera, le tendrs que pagar intereses a ella.

Es importante que los docentes desarrollen aprendizajes de matemtica financiera, porque permite que los estudiantes vivencien la utilidad de los contenidos matemticos aplicados a necesidades de la vida diaria y, por otro lado, porque se hace necesario el desarrollo de una cultura financiera responsable.

Porcentaje es una manera de expresar un nmero como una fraccin del nmero 100.

Los porcentajes se pueden expresar como decimales.

Un porcentaje expresado como decimal se denomina tanto por uno:

2Si queremos emplear fracciones, tienen que estar en su mnima expresin. Por ejemplo, si hablamos de una mitad, se puede escribir:

1 % = 1/100 = 0,0110 % = 10/100 = 0,10 P % = p/100

Ejemplos:

Como una fraccin (se lee: un medio)

Como decimal 0,5 (se lee: cero coma cinco o cinco dcimos)

Como porcentaje 50 % (se lee: cincuenta por ciento)

Ejemplo 1En el pas existe el impuesto general a las ventas (IGV), que se aplica en las operaciones de venta e importacin de bienes, as como en la prestacin de distintos servicios comerciales, en los contratos de construccin o en la primera venta de inmuebles. El IGV es del 18 % del valor base o importe neto.El precio de un electrodomstico es S/.98,00 incluyendo el IGV. Calcular el valor de este sin IGV.Desarrollo: Hallar el valor base (B), en nuevos soles.

98 = valor base + 18 % del valor base 98 = B + 18 % B 98 = 118 % x B98 = 118/100 x BB = 98 x 100/118B = 9800/118B = 83,05

Luego, el valor del electrodomstico sin IGV es de S/.83,05.

Clculo del IGV.

Clculo del 30 % de renta de una empresa, luego de la utilidad (ingresos menos egresos).

Clculo del impuesto selectivo al consumo.

Ideas para desarrollar porcentajes con los estudiantes:

3Inters sImple

Es el inters calculado nicamente sobre el capital. Usualmente, es un porcentaje del capital. A este porcentaje se le conoce como tasa de inters.

Si depositamos un capital C en un banco durante un ao, a una tasa de inters simple de r % anual, el inters pagado por el banco se obtiene calculando el r % de C.

Si depositamos el capital durante t aos, el inters se calcular con la siguiente expresin matemtica (modelo matemtico financiero):

Inters compuesto

En el inters compuesto, cada cierto tiempo, llamado periodo de capitalizacin, los intereses generados por el capital inicial se aaden al capital y generan ms intereses.

Si depositamos un capital inicial (Ci) en un banco durante t aos, a una tasa de inters compuesto de r % anual, el capital final (Cf) al trmino de los t aos se calcular con la siguiente expresin matemtica (modelo matemtico financiero):

3. Inters simple y compuesto

I = (C r t)

100

I = (15 000 3,25 4)

100

I = 1950 nuevos soles

Ejemplo 2Calcular el inters que produce un capital de S/.15 000,00 durante cuatro aos, colocado a un inters simple del 3,25 % anual.Capital (C) = S/.15 000,00 Tasa de inters (r) = 3,25 % anualTiempo (t) = 4 aosInters (I)= valor a hallar

Entonces, S/.15 000,00 colocados a un inters simple del 3,25 % anual ganan S/.1950,00 en cuatro aos.

Cf = CI 1+

r 100

t

4comparacIn entre Inters sImple e Inters compuesto

Juan decide ahorrar en el banco S/.1000,00 por cinco aos. Le ofrecen 15 % en inters simple y el mismo porcentaje en inters compuesto. Cul le conviene?

Ejemplo 3Se deposita un capital de S/.16 000,00 a un inters compuesto del 3,25 % anual durante cua-tro aos. Calcular el capital final si el periodo de capitalizacin es anual.Capital (Ci) = S/.16 000,00Tasa de inters (r) = 3,25 % anualTiempo (t) = 4 aos

Entonces, S/.16 000,00 colocados a un inters compuesto del 3,25 % anual, capitaliza-dos anualmente, generan un capital final de S/.18 183,61 en cuatro aos. Esto es, ganan S/.2183,61 en dicho periodo.

Cf = CI 1+

r 100

Cf = 16000 1+

3,25 100

Cf = 18 183,61 nuevos soles

t

4

Comparacin entre distintas tasas simples y compuestas.

Comparacin entre intereses mensuales y anuales. Es lo mismo 12 % anual que 1 % mensual? Cundo una tasa se interpreta como simple y cundo como compuesta?

Comparar casos de ahorros y de prstamos, los intereses se calculan de la misma manera?

Ideas para desarrollar inters simple y compuesto con los estudiantes

Ao Capital inicial

IntersSIMPLE

Capital finalINT. SIMPLE

IntersCOMPUESTO

Capital finalINT.

COMPUESTO

12345

S/.1000,00S/.1000,00S/.1000,00S/.1000,00S/.1000,00

S/.150,00S/.150,00S/.150,00S/.150,00S/.150,00

S/.1150,00S/.1300,00S/.1450,00S/.1600,00S/.1750,00

S/.1000,00 15 %= S/.150,00S/.1150,00 15 % = S/.172,50S/.1322,50 15 % = S/.198,38S/.1520,88 15 % = S/.228,13S/.1749,01 15 % = S/.262,35

S/.1150,00S/.1322,50S/.1520,88S/.1749,01S/.2011,36

5En el caso del inters simple, al final de los cinco aos, Juan recibira en total S/.1500,00 incluido su capital. En el caso del inters compuesto, despus de cinco aos, Juan podra recoger del banco S/.1610,51. En conclusin, dada la misma tasa de inters, el inters compuesto resulta mayor.

El uso de grficos resulta una herramienta valiosa para establecer la comparacin entre las ganancias obtenidas o los intereses cobrados.

4. Uso de grficos

Ejemplo 4En el caso del ahorro de Juan, esta tabla corresponde al inters simple:

Ejemplo 5En el ejemplo del ahorro de Juan, este grfico corresponde al inters compuesto:

1 2 3 4 5 aos

nuevos soles 750

600450

300150

1000

1000

1000

1000

1000

2000

1500

1000

500

00 1 2 3 4 5

1150,00

1322,50

1520,88

1749,01

2011,36

1000,00

6Adicionalmente a los tipos de inters, existen comisiones bancarias, como las de mantenimiento, de administracin, por retiro de efectivo en oficina distinta del lugar donde est domiciliada la cuenta, por cancelacin anticipada del depsito a plazo, por gastos de correo, etc.

En nuestro pas, la tasa de costo efectiva anual (TCEA), definida como la tasa que te cuesta, te permite calcular el costo de los crditos (prstamos o tarjetas de crdito) e incluye los intereses y todos los costos regulares. Esta tasa se aplica a los crditos de consumo, crditos personales, crditos hipotecarios, entre otros productos crediticios.La TCEA, al igual que la Tasa de Rendimiento Efectiva Anual (TREA), est normada por Resolucin SBS N. 8181-2012.

5. Comisiones y tasas

En las grficas propuestas, el uso del color permite que el estudiante distinga el capital. En el caso del clculo con inters simple, el capital (en amarillo) es fijo; mientras que en el inters compuesto, se observa que el capital (blanco) va siendo mayor cada ao.

Debido a la naturaleza del contenido, un problema exige la comparacin entre diversas propuestas; por ello, el uso de grficos resulta muy esclarecedor.

Se recomienda realizar grficos donde los estudiantes puedan comparar los capita-les o las ganancias en casos de inters simple y compuesto.

Se pueden realizar grficos con lneas o curvas que sealen el crecimiento constan-te y permitan hallar las diversas pendientes de cada situacin.

Se puede graficar la inflacin en el Per en la dcada de 1980 y en la dcada actual.

Ideas para desarrollar grficos en matemtica financiera con los estudiantes:

Es importante que los estudiantes aprendan a buscar elementos tiles de comparacin, como, por ejemplo, aprender a buscar la TCEA, en lugar de comparar nicamente las TEA (tasas efectivas anuales).

Por otro lado, se usa la tasa de rendimiento efectivo anual (TREA), definida como la tasa que te rinde. Esta permite calcular cunto se ganar por el dinero depositado, ya que incluye los intereses que se recibirn y todos los costos regulares de la cuenta. Se aplica a cuentas de ahorro, depsitos a plazo, depsitos CTS, cuentas corrientes, cuentas sueldo y, en general, los productos de ahorro.

7La inflacin es el aumento sostenido y generalizado del nivel de precios de bienes y servicios, medido frente a un poder adquisitivo estable. Se define tambin como la cada en el valor de mercado o del poder adquisitivo de una moneda en una economa en particular.

Es un desequilibrio econmico caracterizado por la subida general de los precios y provocado por la excesiva emisin de billetes de banco, por un dficit presupuestario o por falta de adecuacin entre la oferta y la demanda.

6. Inflacin y deflacin

Los problemas con inflacin tambin se resuelven usando porcentajes.

El fenmeno inverso a la inflacin es la deflacin, que sucede cuando los precios de los bienes, servicios y factores productivos decrecen de forma continua y generalizada. En este caso, la falta de demanda (que puede ser causada por un exceso de oferta) hace que los comerciantes deban reducir sus precios, para poder poder cubrir as sus costos fijos.

Ejemplo 6En el ao 2013, Max ganaba S/.1200,00 al mes. La inflacin durante julio de 2013 a julio de 2014 fue de 3,33 %.

a. En cunto se devalu su poder adquisitivo?

b. Para tener el mismo poder adquisitivo, cul debe ser su sueldo en julio de 2014?

Datos:Sueldo en 2013 = S/.1200,00 Sueldo en 2014 = S/. ? Inflacin = 3,33 %

a. Hallamos el valor en que se redujo el poder adquisitivo del sueldo de Max: S/. 1200 x 3,33 % = S/.39,96

b. El sueldo de Max, para tener el mismo valor adquisitivo que en el 2013, debe aumentarse: S/.1200 + S/. 39,96 = S/.1239,96

Respuesta:Su sueldo en julio de 2014 debe ser S/.1239,96.

8 Realizar el clculo de la inflacin de los bienes o servi-cios que los estudiantes consumen. El dinero que recibo de mis padres o que gano semanalmente me sigue alcanzando para lo mismo? Cunto ms necesito recibir hoy para seguir compran-do lo mismo que compraba hace un ao?

Siempre hay inflacin? Todos los precios van subiendo a lo largo del tiempo?

Hay deflacin en ciertos productos? Qu ha sucedido en los ltimos aos con el precio de ciertos aparatos tecnolgicos: telfonos celulares, computadoras, tablets?

Ideas para desarrollar inflacin y deflacin con los estudiantes:

Inters simple y compuesto http://brd.unid.edu.mx/recursos/%C3%81lgebra/Bloque%206/lecturas%20PDF/2.%20Inter%C3%A9s%20simple%20y%20com-

puesto.pdf

Inters compuesto en Excel http://www.youtube.com/watch?v=Qt8LqLNJ1M4

http://www.youtube.com/watch?v=h6vkqE_0ex0 de Universidad Peruana de los Andes

Tutorial de cmo calcular el inters simple y compuesto en Excel http://exceltotal.com/como-calcular-el-interes-compuesto-en-excel/

http://www.youtube.com/watch?v=th6ygHCVAGQ

Videos de inters simple e inters compuesto http://www.youtube.com/watch?v=0gy4RJhDZl0

http://www.youtube.com/watch?v=u5p8r4g7J8g

http://www.youtube.com/watch?v=jvR8DhKw8FE

Calculadoras de inters simple e inters compuesto en lnea http://www.pine-grove.com/es/calculadoras-en-linea/interes-calculadora.htm

http://www.disfrutalasmatematicas.com/dinero/interes-compuesto-calculadora.html

http://www.economia.com.mx/calculadora_de_interes_compuesto.htm

Que los docentes propongan una secuencia didctica que permita a los estudiantes matematizar, representar, comunicar, usar diversidad de estrategias y razonar, as como argumentar sobre los procesos y las conclusiones a las que han llegado.

Importante

recursos en lnea