Régimen de Capitalización Compuesta

En el régimen de capitalización compuesta el interés producido al final de cada

período financiero es adicionado al capital inicial que le dio origen y los dos, tanto el

capital como el interés producido pasan a producir intereses en el siguiente período y así

sucesivamente para las finalizaciones del segundo, tercero, etc. períodos financieros.

Supongamos que disponemos de un capital de Bs. C que va a ser colocado

bajo el sistema de interés compuesto a la tasa i de interés. Entonces al finalizar el primer

período, el interés y monto son respectivamente

I1 = Ci

M1 = C + I1 = C + Ci = C (1 + i)

Al finalizar el segundo período

I2 = M1i = C (1 + i) i

M2 = M1 + I2 = C (1 + i) + C (1 + i) i = C (1 + i)2

M2 = C (1 + i)2

Al finalizar el tercer período:

I3 = M2 i = C (1 + i)2 i

M3 = M2 + I3 = C (1 + i)2 + C (1 + i)

2 i = C (1 + i)

2 (1 + i) = C (1 + i)

3

M3 = C (1 + i)3

Continuando de esta manera al finalizar el período n tenemos:

In = Mn-1 i = C (1 + i)n-1

i

2

Mn = Mn-1 + In = C(1 + i)n-1

+ C (1 + i)n-1

i = C (1 + i)n

Obtenemos entonces las fórmulas para n períodos:

In = C (1 + i)n-1

i

Mn = C (1 + i)n

La fórmula para el monto correspondiente a n períodos es una función de las

variables i y n de tipo exponencial. Las tablas financieras contienen los valores de la

expresión (1 + i)n para los valores frecuentes de i y n. Pero, en la actualidad éstas están

obsoletas debido a la existencia de las calculadoras.

Ejemplo 8

¿Cuál es el monto que se obtiene, al colocar un capital de Bs. 200000 al 5½ %

anual de interés compuesto durante ocho años?

C = 200000

i = 5½ % anual = 2

11 % anual

n = 8 años

M = 200000

8

200

111

= 200000 (1.055)

8

M = 200000 (1.535) = 307000

Ejemplo 9

Un capital de Bs. 150000 al cabo de 6 años de colocación en un banco a

interés compuesto se convierte en Bs. 400000. ¿Cuál es la tasa de interés?

3

C = 150000 i = ? M = 400000 n = 6

400000 = 150000 (1+ i)6

(1 + i)6 =

400000

150000 =

3

8

15

40 = 2.667

(1 + i)6 = 2.667

Para despejar i se puede usar la raíz n = 6, o el logaritmo. Veamos:

1 + i = 6 667.2 i = 1667.26 = 1.178-1 = 0.178=17.8%

17.8i %

Usando el logaritmo

6

1 2.667 6ln 1 ln 2.667i i

1 0.981

1 2.667 0.1646 6

Ln i Ln

0.1641 1.178 1.178 1 0.178 17.8i e i %

17.8i %

Ejemplo 10

Un capital de Bs. 250000 se coloca durante 10 años a capitalización

compuesta. Si durante los primeros 6 años la tasa es de 1

62

% y el resto del período es

del 1

72

%.

a) ¿Cuál es el monto al término de los 10 años?

b) ¿Cuánto tiempo tiene que transcurrir después del sexto año, para que a la

tasa del 1

62

% se obtenga el mismo monto que en a)?

250000 6M 10M

׀-----------------------------׀--------------------------------------׀

4

→ 1

62

% = 13

2% ← →

17

2 %. =

15

2% ←

6

6

4

10 6

13) 250000 1

200

151

2

a M

M M

6 4

10

66

44

10

10

13 15250000 1 1

200 200

131 1.065 1.459

200

151 1.075 1.335

200

250000 1.459 1.335 250000 1.948 487000

487000

M

M

M

250000 487000

׀-----------------------------------------׀--------------------------------------׀

6 → n ←

5

66

6

13) 487000 250000 1 250000 1.065

200

4870001.065 1.948

250000

6 ln 1.065 ln 1.948

ln 1.065 ln 1.948 6ln 1.065

ln 1.948 6ln 1.065

ln 1.065

0.667 0.378 0.2894.6

0.063 0.063

nn

n

b

n

n

n

n

n=4.6 años

Ejemplo 11

¿A qué tasa de interés compuesto se debe colocar un capital C para que:

a) Se duplique en 20 años?

b) Se triplique en 30 años?

20 20

0.035

) 1 2 1 2 20ln 1 ln 2

ln 2 0.693ln 1 0.035

20 20

1 1.036 1.036 1 0.036

3.6%

a C i C i i

i

i e i

i

6

30 30

0.037

) 1 3 1 3 30ln 1 ln 3

ln 3 1.099ln 1 0.037

30 30

1 1.038 1.038 1 0.038

3.8 %

b C i C i i

i

i e i

i

Valor Actual

Se define como valor actual o presente de un monto M a la tasa i con

vencimiento en n períodos, a la cantidad A que hay que colocar hoy a n períodos a la

tasa i para obtener el monto M.

O sea, el valor actual es el capital A que verifica:

A (1 + i)n = M luego

A = M (1 + i)-n

La expresión (1 + i)-n

= 1

1

n

i

se le suele llamar factor de actualización.

Ejemplo 12

Calcular el valor actual de Bs. 100000 pagaderos en 4 años y colocados a la

tasa del 6 % anual capitalizable trimestralmente.

A 100000

׀---------------------------------------------------------׀

16 trimestres

i = 6 % anual = 4

6 % trimestral =

2

3 % trimestral

n = 4 años = 16 trimestres

A = 100000

16

200

31

= 100000 (1.015)

-16 = 100000 (0.788)

A = 78800

7

Ejemplo 13

Calcular el valor al 15 de octubre 1999 pagaderos el 15 de enero de 2005 de Bs.

300000, colocados al 4.4 % anual capitalizables trimestralmente.

A 4t 4t 4t 4t 4t 1t 300000

׀-------------׀-------------׀-------------׀-------------׀-------------׀--------------׀

99 2000 2001 2002 2003 2004 2005

Oct. Oct. Oct. Oct. Oct. Oct. Ene

21n trimestres i = 4.4 % anual = 4

4.4% trimestral =1.1% trimestral

A = 300000

21

100

1.11

= 300000 (1.011)

-21 = 300000 (0.795)

A = 238500

Tasas Proporcionales, Efectiva, Nominal y Equivalentes

Consideremos un capital de Bs. 1000 colocado al 10% anual durante un año,

entonces el monto obtenido al finalizar el período será

M=1000 10

1 1000 1.1 1100100

Si ese mismo capital al 10% anual se capitaliza semestralmente, entonces en un año

producirá un monto de

2

' 51000 1 1000 1.05 1000 1.1025 1102.50

100M

Acá se aplica la tasa proporcional semestral porque la capitalización y la tasa deben

estar referidas a un mismo período de tiempo.

Observamos entonces que 'M M lo que significa que en el régimen de

capitalización compuesta las tasas proporcionales no son equivalentes. Recordemos que

dos tasas son equivalentes si producen el mismo monto en igual período de tiempo.

8

Para que los montos M y 'M sean iguales se requiere, por ejemplo

conservando el capital y durante el mismo período de tiempo, se aumentara la tasa del

10% anual. Si hacemos esto, la tasa aumentada obtenida se denomina Tasa efectiva.

En definitiva, la tasa anual equivalente a la del 5% semestral no es la del 10%

anual sino un poco mayor al 10%. Esta tasa del 10% anual se le llama Tasa nominal,

que en el ejemplo se capitaliza dos veces al año.

Se plantea el problema:

¿Cuál es el valor de una tasa que es equivalente a otra y referida a dos períodos

financieros distintos en el régimen de capitalización compuesta?

Tasa Efectiva

Sea i la tasa nominal que se capitaliza p veces al año, entonces la tasa efectiva, e,

será la tasa anual equivalente a la tasa i

p, relativa al período

1

p del año, si todo capital

C colocado a interés compuesto a la tasa i

p capitalizados al final de cada período

1

p

de un año, produce en un año (p-períodos iguales a 1

p) el mismo monto que produciría

si se coloca a interés compuesto a la tasa e, capitalizados anualmente, también al

finalizar un año. Es decir:

1

1 1

p

iC C e

p

Luego,

1 1 1 1

p p

i ie e

p p

O sea,

1 1

p

ie

p

Dada la tasa e, se puede calcular la tasa i

p:

9

1

1 1 1 1

p

pi i

e ep p

O sea,

1

1 1pi

ep

La tasa nominal i se puede calcular con la fórmula:

1

1 1pi p e

Volviendo al ejemplo, calculemos cuál es la tasa efectiva anual equivalente al 5%

semestral.

2 2

10% 5% 0.05, 2

2

1 0.05 1 1.05 1 1.1025 1

0.1025 10.25%

ip

p

e e e

e

Ejemplo 14

Calcular la tasa efectiva equivalente a una tasa nominal del 4% capitalizable

mensualmente.

En este caso 4

12

i

p % y debemos calcular la tasa e tal que

e1

100.12

41

12

12

1 0.003 1 1.0403 1

0.0403 4.03%

e e

e

10

Ejemplo 15

Calcular la tasa anual equivalente a la semestral del 6 %.

Aquí 6%2

i i

p , y e la tasa anual, entonces

2

261 1 1.06 1 1.1236 1

100

0.1236 12.36%

e e e

e

Ejemplo 16

Calcular la tasa semestral equivalente a la anual del 10%.

2

i es la tasa semestral y la tasa 10%e debe verificarse

1.12

1100

101

21

22

ii

11.12

i

= 1.0488 – 1 = 0.0488 = 4.88 %

Ejemplo 17

Calcular la tasa nominal capitalizable trimestralmente equivalente a una tasa

efectiva del 5 %.

Sea i la tasa nominal. Se debe cumplir

05.1

41

100

51

41

44ii

4 41.05 1 4 1.05 1 4 1.0123 1 4 0.01234

0.0492 4.92%

ii

i

11

Ejemplo 18

¿Cuál es la tasa efectiva anual equivalente al 5 % capitalizable trimestralmente?

Sea e la tasa anual. 5

%4 4

i la tasa trimestral

4

451 1 1.0125 1.0509 1

4.100

0.0509 5.09%

e e

e

Ejemplo 19

Calcular la tasa nominal capitalizable mensualmente tal que el capital Bs. 32500,

se convierte en Bs. 40000 en 8 años.

Sea i la tasa nominal, entonces

8 12 96n meses meses

4000012

132500

96

i

2308.132500

40000

121

96

i

96 1.2308 1 1.0022 1 0.002212

12 0.0022 0.0264 2.64%

i

i

Cálculo del monto para un número no entero de períodos

Sea C un capital colocado a interés compuesto a una tasa de interés i durante un

período m + p

n donde m, n y p son números enteros y n y p son primos entre sí.

12

Entonces el capital C producirá interés compuesto a la tasa i durante los primeros m

períodos, produciendo el monto:

Mm = C (1 + i)m

y este monto Mm producirá interés compuesto a la tasa ip durante n períodos iguales a

p

1, donde ip es la tasa relativa al período

p

1 que es equivalente a i. Por lo tanto, el

monto total al final del plazo p

nm es

M = Mm (1 + ip)n

La tasa ip equivalente a i verifica

(1 + ip)p = 1 + i

de donde resulta

111

pp ii

por lo tanto, sustituyendo este valor de ip en la fórmula del monto obtenemos

1

1 1 1 1

nn

p pm mM M i M i

de donde resulta

1 1 1n n

m mp pM C i i C i

O sea,

1n

mpM C i

13

Ejemplo 20

Calcular el monto que producen Bs. 200000 colocados a la tasa del 8 % anual

durante 5 años y tres meses.

Acá 5m años y tres meses es 1

4

n

p año entonces

1 215

4 4

nm

p

21

4200000 1.08 200000 1.4979

299580

M

M

Ejemplo 21

Calcular el valor actual de Bs. 200000 pagaderos en 6 años 8 meses, suponiendo

una tasa de interés del 6 % capitalizable trimestralmente.

Tenemos 6m años 24 trimestres y 8 meses es 8

3

n

p trimestres

entonces 8 80

243 3

la tasa 6 3

% % 0.0154 2

i

80

3200000 1 0.015 200000 0.6723

134460

A

A

Descuento compuesto

En general, el descuento de un documento es la diferencia entre el valor final o

de vencimiento y el valor actual que tenga el documento.

En el régimen de capitalización compuesta, el descuento compuesto Dc está

dado por la diferencia del valor final (monto) y el valor actual u original, es decir

Dc = M – M (1 + i)-n

o sea

Dc = M (1 – (1 + i)-n

) Si v = i1

1 entonces

Dc = M (1 – vn)

14

Ejemplo 22

Calcular el descuento bancario, compuesto y racional que un capital de Bs.

100000 experimenta si es descontado 4 bimestres antes de su vencimiento a la tasa del

6% de interés bimestral.

a) Descuento Bancario DB = Mr.t

6100000 4 24000

100BD

b) Descuento Compuesto Dc = M – A = M ni

11

4

100000 1 1.06 100000 1 0.7921 100000 0.2079

20790

c

c

D

D

c) Descuento Racional DR = Art

A (1 + rt) = M o sea DR = rt

rtM

1

DR = 100000 0.06 4 24000

19354.841 0.06 4 1.24

Ejemplo 23

Un pagaré de valor final Bs. 600000 se somete a una operación de descuento

compuesto durante cierto tiempo al 2 % de interés compuesto trimestral, si el descuento

es de Bs. 97946.80. Calcular el tiempo que fue descontado.

niMDc

11

Dc = 97946.80 M=600000 i=2%=0.02

15

600000 1 1.02 97946.80n

97946.80

1 1.02600000

n

97946.801.02 1 1 0.1632 0.8368

600000

1.02 0.8368

n

n

ln 0.8368 0.1782 0.1782ln 1.02 ln 0.8368

ln 1.02 0.0198 0.0198n n n n

9n trimestres.

Tasa anual de descuento

Para el valor nominal de Bs. 1 y el período financiero n = 1 se define la tasa

anual efectiva, d, de descuento mediante la relación

11

1 1

1

id

i i

id

i

donde i es la tasa nominal de interés compuesto. Se tiene entonces, despejando i

d

idi 1

111

1

1

16

11

1 1

1

di

d d

di

d

El descuento compuesto y el valor actual se pueden calcular si conocemos la

tasa d, usando la fórmula

n

n

dMDci

MDc

11

1

11

n

iMA

1

1 ndMA 1

Ejemplo 24

Calcular la tasa anual de descuento d correspondiente al 6 %; 7 %; 10%

a) %6.505660.006.1

06.0d

b) 0.07

0.0654 6.54%1.07

d

c) %09.90909.01.1

1.0d

Ejemplo 25

Calcular el valor actual y el descuento de una deuda de Bs. 50000

descontada 10 años antes de su vencimiento sujeta a la tasa de descuento d = 4 % anual

1 1n

cD M d

ndMA 1

17

d = 4 % M=50000 n=10

1004.01150000 cD 10

04.0150000 A

6648.096.004.011010

50000 1 0.6648 50000 0.3352 16760cD

332406648.050000 A

Equivalencia de capitales

La equivalencia de capitales consiste en establecer una ecuación, llamada

ecuación de valor, en una determinada fecha de comparación o fecha focal y mediante

la cual podemos determinar si una forma de pago equivale a otra. En el sistema de

capitalización compuesta, la fecha de comparación puede ser cualquiera.

Ejemplo 26

Se deben Bs. 40000 pagaderos en un año y Bs. 120000 pagaderos en 4 años

y se acuerda pagar Bs. 80000 de inmediato y el resto en 2 años. ¿Cuánto debe pagarse al

final del segundo año, suponiendo que se pagan intereses compuestos al 5%

capitalizable semestralmente?

Para establecer la ecuación de valor realizamos un esquema con los pagos.

Fijamos como fecha focal el segundo año. Los pagos anteriores a la fecha

focal se llevan a ésta capitalizando y los pagos posteriores se actualizan hasta llevarlos a

la fecha focal.

80000 40000 X 120000

׀----------------------------------׀------------------------׀------------------------׀

0 1 2 4

FF

El pago de 80000 llevado a FF es

18

45

80000 12.100

El pago de 40000 llevado a FF es

25

40000 12.100

El pago de 120000 llevado a FF es

45

120000 12.100

El pago de x está en FF este es:

x

La ecuación de valor es:

4 2 45 5 5

80000 1 40000 1 120000 12.100 2.100 2.100

x

El lado izquierdo de la ecuación corresponde a la nueva forma de pago

llevada a la fecha focal, y el lado derecho a la forma original de pago.

Debemos determinar el valor de x

2 4 4

40000 1.025 120000 1.025 80000 1.025x

40000 1.0506 120000 0.9060 80000 1.1038x

42024 108720 88304x

62440x

19

Ejemplo 27

Se adquiere un préstamo de Bs. 300000 con intereses al 5 % capitalizables

semestralmente y se acepta pagar Bs. 60000 dentro de un año, Bs. 120000 en dos años y

el saldo en tres años. Calcular el pago final.

Fijamos como fecha focal el tercer año.

300000 60000 120000 X

׀----------------------------׀------------------------------׀---------------------------------׀

0 1 2 3

FF

En este caso todos los pagos se capitalizan porque son anteriores a la fecha focal, así

los pagos llevados a la fecha focal son:

6 4 25 5 5

300000 1 ; 60000 1 ; 120000 1200 200 200

y x

La ecuación de valor es:

x

246

100.2

51000.120

100.2

51000.60

100.2

51000.300

En el lado derecho de la ecuación está la nueva forma de pago y debemos determinar el

valor de x

6 4 2

300000 1.025 60000 1.025 120000 1.025x

300000 1.1597 60000 1.1038 120000 1.0506x

347910 66228 126072x

155610x