GUIA DE APRENDIZAJE AUTONO DE PRIMER AÑO DEL BACHILLERATO

AREA MATEMATICAS

INTEGRANTES: MARCELO PACA

JOSE AYME

ALBERTO INCA

LUIS CAIZAGUANO

JOSÈ ANILEMA

AÑO 2008- 2009

PRESENTACION - KALLARI YUYAY

La presente Guía de Aprendizaje Autónomo, está elaborada en base a la Metodología del Sistema de Conocimiento, que el Modelo de Educación Intercultural Bilingüe (MOSEIB) propone, a fin de desarrollar una capacidad creativa, reflexiva y crítica en los/as estudiantes, en el área de matemática de primer año bachillerato para alcanzar un mejor nivel educativo, tecnológico y de vida.

Queridos alumnos, maestros y padres de familia de la educación intercultural bilingüe del pueblo kichwa de la región Andina ponemos a disposición de ustedes la presente guía de aprendizaje autónomo de matemática, el mismo está diseñado para promover aprendizajes de calidad en el aula intercultural bilingüe mediante actividades basadas en la realidad sociocultural y política de nuestra comunidad, con el propósito fundamental de contribuir en el fortalecimiento de la identidad cultural, la actitud intercultural y desarrollo de competencias para el mejoramiento de la calidad de vida que son fines de la educación intercultural bilingüe.

La presente guía de aprendizaje autónomo contiene saberes y contenidos de matemática de manera integrada en concordancia a la forma integral de aprender de los pueblos kichwas del Ecuador.

LOS AUTORES

UNIDAD

CASOS DE LA FACTORIZACIÒN

GUIA DE APRENDIZAJE AUTÒNOMO DE

1º

PROPÓSITO:

Aplicar los conocimientos de la factorización conociendo su aplicación en la solución de problemas de la vida real de nuestras comunidades.

MAPA CURRICULAR

POLINOMIOS TRINOMIOS

1.-TRINOMIO

CUADRADO

PERFECTO 2.-TRINOMIO DE FORMA

SIMPLE 3.-TRINOMIO DE FORMA COMPUESTA

1.- FACTOR COMUN POR

AGRUPACION DE

TERMINOS 2.-COMBINACION DE

T.C.P. Y DIFERENCIA

DE CUADRADOS

1.- FACTOR COMUN 2.- DIFERENCIA DE

CUADRADOS 3.- SUMA Y DIFERENCIA

DE POTENCIAS

IMPAR 4. SUMA Y

BINOMIOS

CASOS DE LA FACTORIZACION

DESTREZAS

♦ Identifica los casos de factorización y enuncia las reglas correspondientes.

♦ Reconoce y resuelve los diferentes casos de factores.

COMPETENCIAS.

♦ Interpreta y aplica las ecuaciones de factorización y demuestra en forma grafica y analítica en la vida real.

Hola compañeros somos estudiantes del primer año de bachillerato del pueblo kichwa de chimborazo, queremos compartir nuestros conocimientos de los

I APRENDEMOS ALGO NUEVO

1

Salimos al patio del colegio, recolectamos materiales del lugar y agrupamos de acuerdo a sus semejanzas en grupos de dos, tres, y más de tres objetos.

Observamos y analizamos las siguientes figuras geométricas y sus medidas

Pongamos en juego nuestros

¿Qué área ocupa cada una de las figuras utilizadas?

2 Contestamos las siguientes

¿Cuánto mide cada uno de los rectángulos?

¿Cuáles son los factores del área del cuadrado?

La asociación de los gráficos, flores, hojas y árboles ¿tendrán relación con los binomios, trinomios y polinomios?

¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?

¿Qué representa un trinomio cuadrado perfecto?

¿Cuántas clases de trinomios factorables puede enunciar?

¿En qué caso de la vida real puede aplicar la factorización de trinomios?

3 Aprendemos el siguiente contenido científico.

FACTOR COMUN Es una expresión algebraica de más de dos términos donde se repiten un factor común o termino igual. Ejemplo:

ma+mb+mc

Donde m es el factor que se repite en la ecuación algebraica

RESOLUCION

El factor común se factora de la siguiente forma: primeramente se extrae el termino que se repite luego dividimos para cada termino de la ecuación y de esta forma se obtiene la respuesta.

Ejemplo

ma+mb+mc = m(a+b+c)

FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINOS.

Es la ecuación algebraica donde se repiten factores o términos iguales con la particularidad que se pueden agrupar entre dos o tres términos del mismo polinomio y al factorizar hay términos que se retin en cada grupo.

ax+bx+cx-ay-by-cy

RESOLUCION Para factorar agrupamos de acuerdo a los factores comunes.

(ax+bx+cx) – ( ay+by+cy)

Sacamos el factor común y dividimos para la ecuación.

x(a+b+c) – y(a+b+c)

(x-y)(a+b+c) respuesta.

TRINOMIO.-

Es una expresión algebraica compuesta de tres términos. Ejemplo.

X+Y+Z

CLASES DE TRINOMIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO

TRINOMIO DE LA FORMA SIMPLE

TRINOMIO DE LA FORMA INCOMPLETA

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

Es una expresión algebraica compuesta de tres términos equivalente al área total de un terreno de forma cuadrada. a + b

X2 + 2XY+ Y2

REGLA PARA CONOCER UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO. Una cantidad es trinomio cuadrado perfecto cuando el primer término y el tercero son cuadrados perfectos, mientras que el segundo término es el doble producto de la raíz del primero y el tercer término.

RESOLUCION.-

Ejemplo.

Hallamos las raíces cuadradas del primero y tercer término con el signo del segundo término Ejemplo.

X2 + 2XY+ Y2

X + y

Obtenido las raíces colocamos en paréntesis y elevamos al cuadrado.

(x+y)2

TRINOMIO DE LA FORMA SIMPLE X2 + bx+ c.

FORMA DE RECONOCER.

El coeficiente de x2 es 1, el segundo termino tiene la raíz cuadrada de x con coeficiente b, que es un valor numérico positivo o negativo, mientas que el tercer numero es independiente.

Ejemplo

X2+ 7x+12

RESOLUCION A) Abro dos paréntesis y escribo el termino común como el

primer termino de cada paréntesis (x ) (x )

En el primer paréntesis escribo el signo del segundo término y en el segundo aplico la ley de los signo entre el segundo y tercer término,. (x + ) (x + ) Descompongo el tercer termino en sus factores primos. 12= 223 Busco dos números sumados algebraicamente del segundo término del trinomio y multiplicados de el tercer término. Y la cantidad mayor es el segundo término del primer binomio; y la cantidad menor es el segundo término del segundo binomio. (x + 4 ) (x +3 ) TRINOMIO DE LA FORMA COMPUESTA. aX2 + bx+ c. MODO DE RECONOCER. El coeficiente de x2 es diferente de 1 ; el segundo térmico tiene la raíz cuadrado de x con un coeficiente b, que es un valor numérico positivo o negativo y el tercer numero es independiente. Ejemplo 24x2 – 14x+2.

RESOLUCION.

1.- Multiplico el coeficiente de x2 por cada uno de los términos del trinomio inicial.

24(24x2) – 24(14x)+2(24)

2.- Expresamos en el trinomio de la forma X2 + bx+ c.

(24x)2) – 14 (24x)+48

3.- Descompongo el tercer término en sus factores primos

48= 6x8

4.- Sigo el proceso de factorizaciones del trinomio de la forma X2 + bx+ c.

(24x-8)(24-6)

5.- El coeficiente del primer término del trinomio inicial descompongo en dos números que divida en forma exacta a los dos factores.

(24x-8)(24-6)

8 6

Simplificando se tiene.

(3x-1) (4x-1).

4

Qué área ocupa cada una de las figuras utilizadas?

Contestamos correctamente las siguientes preguntas.

………………………………………………………………………………………………………………………………

Cuánto mide cada uno de los rectángulos? ………………………………………………………………………………………………………………………………

Cuáles son los factores del área del cuadrado?

La asociación de los gráficos, flores, hojas y árboles ¿tendrán relación con los binomios, trinomios y polinomios?

En los gráficos anteriores se observa la composición de ¿BINOMIOS, TRINOMIOS Y POLINOMIOS?.

¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto?

¿Qué representa un trinomio cuadrado perfecto?

¿Cuántas clases de trinomios factorables puede enunciar?

¿En qué caso de la vida real puede aplicar la factorización de trinomios?

Desarrollamos las siguientes actividades 5

Dibujamos el siguiente gráfico y completamos un cuadrado.

¿Qué es un trinomio cuadrado perfecto incompleto?

A2

B2

¿Cuál es el proceso para que un trinomio incompleto sea factorable?

¿En qué momento de la vida real podemos encontrar la aplicación de este caso?.

6

Estudiamos el siguiente contenido científico.

TRINOMIOS CUADRADO IMCOMPLETOS. MANERA DE RECONOCER.

El primero y el tercer término son cuadrados perfectos y el segundo término no cumple con la condición de un trinomio cuadrado perfecto

EJEMPLO:

a2- 11ª2 + 1

PROCESO.

Sumando 9ª2 al segundo término completo el trinomio cuadrado perfecto

a2 -11a2+ 1+ 9a2

a2 -2ª2+1

b.- para que no se altere el trinomio resto la misma cantidad que sume.

a2 -2a2+1- 9a2

c.- Agrupamos y factoramos el trinomio cuadrado perfecto luego convertimos en una diferencia de cuadrados

(a4- 2a2 + 1) - 9a2

(a2- 1)2- 9a2

(a2- 1- 3a) (a2- 1+ 3a)

SUMA DE CUADRADOS PERFECTOS MANERA DE RECONOCER

Se necesita el segundo para completar el trinomio cuadrado perfecto.

El segundo término buscado debe ser también cuadrado perfecto. Ejemplo.

A4+…..+ 64

PROCESO DE FACTORACION

Encuentro la raíz del primero y tercer término y busco el segundo término que sea el doble producto de las dos raíces.

2(a2)(8)= 16a2

2.- Sumo el segundo termino encontrado y formo el trinomio cuadrado perfecto y para que no altere, resto la misma cantidad al trinomio formado.

a2 +16a2 + 64 - 16a2

3.- Agrupamos y factoramos el trinomio cuadrado perfecto. Luego convertimos en una diferencia de cuadrados y finalmente factoramos esta diferencia.

(a4 +16a2 + 64) - 16a2

(a2+ 8)2 - 16 a2

(a2+ 8+4a) (a2+ 8-4a)

Cubo perfecto de binomios

Manera de reconocer

- Tener cuatro términos - El primero y el cuarto termino son cubos perfectos - El segundo término sea más o menos el triplo de la raíz

cubica del primer término multiplicado por la raíz cubica del cuarto termino

- El tercer término sea más el triplo de la raíz cubica del primer término multiplicado por el cuadrado de la raíz cubica del cuarto termino .

Ejemplo

a3+3a3b+3a2b2+b3

27a3+54ª2+36a+8 27a3-54a2+36a+8

Proceso de factoreos

a. Factores (a+b)3 b. Compruebo los siguientes

a. La raíz cubica de 27 a3=+3ª b. La raíz cubica de 8=+2 c. II termino igual + 3(3a)2(2)=54a2 d. III termino =+(3a)(2)2=36a

Entonces los factores son : (3a+2)3= (a+b) (a+b) (a+b) R.

También los factores podemos representar así: (3a+2)3= (a+b)2 (a+b)R.

c. Compruebo lo siguiente a. La raíz cubica de 27 a3=+3a b. La raíz cubica de 8=+2 c. II termino = -3(3a)2(2)=-54a2 d. III termino =+3(3a)(2)2=36a

d. Entonces los factores son : (3a-2)3= (a-b) (a-b) (a-b) R. e. También los factores podemos representar así: (3a-2)3= (a-b)2

(a-b)R.

Desarrollamos correctamente las actividades planteadas en el numeral 5

II. APLICAMOS LO APRENDIDO

7

8 Planteo dos ejemplos de cada caso estudiado y escribo los factores según el cuadro

Planteo dos ejemplos de cada caso estudiado y escribo los factores según el cuadro

Casos Ejemplos Factores Trinomio cuadrado por suma y resta

a)

b)

Suma de cuadrados perfectos

a)

b)

Cubo perfectos de binomios

a)

b)

9 Desarrollamos los siguientes ejercicios

Mi papá tenía dos terrenos de forma cuadrada de las medidas .de dos lados que se indica en los gráficos, pero ha vendido las partes que están vacías cuántos metros cuadrados en cada terreno.

Escribo los resultados en los cuadros 8 4 6 3

Encierro en un cuadro la expresión algebraica que corresponde al área total del grafico

x y

c) (x+y)2 b) X+y+2xy a) .(x-y)2 X2

xy

x y

Un terreno cuadrado de (a+b) de lado, tiene su parte amarillo sembrado de habas ¿Cuál es la expresión algebraica para calcular el área total del sembrío?

Las aulas del colegio tiene las siguientes dimensiones Represento algebraicamente las ecuaciones que represente las aéreas parciales y la área del área total

1. a2- 10ª+25 = a4+a2+1 x2+5x=36

Ab a2

Ab b2

a +

a

+

b

x +

x

+

c

Factoreo los siguientes ejercicios y los que el maestro proponga

10

En un pedazo de cartulina dibujo un grafico con las dimensiones que yo elija , recorto y armo mi rompecabezas luego realizo juegos de completamientos, composición y descomposición de figuras geométricas y demuestro algunos casos de factorización.

En este grafico encuentro las aéreas correspondientes a cada color suponiendo que cada cuadrado es un decímetro cuadrado y comparo el valor del área total.

a2 ab

ab b2

11 Realizo las siguientes actividades y los que mi maestro(a) proponga.

III DESARROLLAMOS NUESTRA LA CREATIVIDAD

Con un pedazo de cartón construyo un cubo de artista (a+b) donde a= 3cm y b=2cm , calculo el valor del volumen y enuncio el caso de factorización al que corresponde

IV. COMPARTAMOS LO APRENDIDO

Organizamos una casa abierta en la institución y exponemos los trabajos realizados durante el desarrollo de ésta guía a los actores sociales de mi comunidad.

1

V. OPINO SOBRE LO APRENDIDO

Subrayo los casos de factorización que no he podido comprender 13

2 2 Trinomio cuadrado perfecto: x +2xy+y

Trinomio de la forma: x2+bx+c Trinomio de la forma: ax2+bx+c,

Trinomios cuadrado perfecto por suma y resta: a4+ab+b4

Suma de dos cuadrados perfectos a4+………………..+b4

Cubo perfecto de binomios : a3 3a3b+3 a2b2+b3

BIBLIOGRAFIA

• AURELIO A. BALDOR; Algebra A. Baldor- Ediciones distribuidora de libros” Triangulo”-Decima Cuarta reimpresión, Medellín 1996.

• DINEIB-MEC. Indicadores de los logros de aprendizaje deseables para la educación básica.

MATRÍZ DE APROBACIÓN DE ACTIVIDADES

N° DE ACTIVIDADES Nombre y Apellido 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Aprob. Fecha