matemática 3er año santillana

SERGIO MUÑOZ VENEGAS

LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,DOCTOR EN CIENCIAS EXACTAS, MENCIÓN MATEMÁTICA

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

FLORENCIA DARRIGRANDI NAVARRO

LICENCIADA EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN ESTADÍSTICA,MAGISTER EN ESTADÍSTICA,

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.

MatemáticaTEXTO DEL ESTUDIANTE

3ºEducación Media

INICIALES 3º MEDIO-C:Maquetación 1 4/11/10 17:09 Página 1

El Texto del Estudiante Matemática 3, para Tercer Año de Educación Media,es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de InvestigacionesEducativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:

MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA

COORDINACIÓN DE PROYECTO:Eugenia Águila Garay

COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:Viviana López Fuster

EDICIÓN:Isabel Montes Alcalde

AUTORES:Sergio Muñoz VenegasFlorencia Darrigrandi Navarro

CORRECCIÓN DE ESPECIALISTA:Rodrigo Abarzúa Ortiz

CORRECCIÓN DE ESTILO:Isabel Spoerer VarelaGabriela Precht Rojas

DOCUMENTACIÓN:Paulina Novoa Venturino

La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección de:VERÓNICA ROJAS LUNA

COORDINACIÓN GRÁFICA:Carlota Godoy Bustos

COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:Xenia Venegas Zevallos

JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:Mariela Pineda Gálvez

DIAGRAMACIÓN:Mariela Pineda Gálvez

ILUSTRACIONES:Antonio Ahumada Mora

FOTOGRAFÍAS:Archivo Santillana

CUBIERTA: La Práctica S.P.A.

PRODUCCIÓN:Germán Urrutia Garín

Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o

par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella

me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.

© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)

PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por WorldColor Chile S.A.

ISBN: 978-956-15-1758-5Inscripción N°: 198.041

Se terminó de imprimir esta 1a edición de229.200 ejemplares, en el mes de diciembre del año 2010.

www.santillana.cl

Referencias de los Textos Educación Matemática 2 y 3, Educación Media y del Texto Matemática 2, Educación Media, Mineduc,de los autores: Ángela Baeza Peña, María José García Zattera, Marcia Villena Ramírez, Marcela Guerra Noguera,

Patricia Urzúa Figueroa, Rodrigo Hernández Reyes, Mario Zañartu Navarro, Florencia Darrigrandi Navarro, Mauricio Ramos Rivera. Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005 y 2010.


El Texto Matemática 3, para Tercer Año Medio, ha sido creado y diseñadopensando en tus intereses y en que sea un apoyo efectivo en tu procesode aprendizaje.

Este año, en Álgebra, trabajarás con raíces cuadradas y cúbicas, las com-pararás mediante diversos procedimientos y aprenderás a resolver problemasque involucran operatoria con estas raíces. También podrás establecer rela-ciones entre el área y la medida del lado de un cuadrado y entre el volumeny la medida de la arista de un cubo; construirás geométricamente la lon-gitud de las raíces cuadradas de algunos números utilizando el teorema dePitágoras; trabajarás en la representación y el análisis de los procesos deresolución de inecuaciones lineales y de sistemas de inecuaciones linealescon una incógnita, y podrás analizar sobre la existencia y pertinencia desus soluciones.

Trabajarás con las funciones cuadrática y raíz cuadrada; podrás analizar lafunción cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, respecto de la orientación y aper-tura de las ramas de la parábola, eje de simetría, vértice, intersección de laparábola con ambos ejes del sistema de coordenadas. También resolve-rás ecuaciones de segundo grado con una incógnita por completaciónde cuadrados, por factorización o por inspección, analizando laexistencia y pertinencia de las soluciones obtenidas, y analiza-rás situaciones o fenómenos que pueden ser modelados me-diante funciones cuadráticas.

En Geometría, conocerás los Teoremas de Euclides, compararáslas diversas maneras de demostrar el Teorema de Pitágorasy aplicarás estos teoremas en construcciones geométricas;trabajarás con razones trigonométricas y con funciones seno,coseno y tangente en el círculo unitario.

En Probabilidad, trabajarás con la variable aleatoria en formateórica y experimental; podrás relacionar la noción de probabi-lidades con la frecuencia relativa y discriminarás entre sucesosdependientes e independientes y resolverás problemas que in-volucran probabilidad condicionada en situaciones sencillas.

Todo esto a través de interesantes actividades que te permitiránrazonar, reflexionar, analizar y compartir tus conocimientos contus compañeros y compañeras.

Presentación | 3

Presentación


Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con

este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera en el mundo que te rodea, y

te invita a comprender que la Matemática es parte de él.

A través de sus cinco Unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, cons-

truir y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontra-

rás las siguientes páginas y secciones:

Páginas de inicio

4 | Matemática 3º Medio

Estructura del Texto

• Mediante un esquema,conocerás los contenidosy su vinculación con losprincipales aprendizajesque se espera que logrescon el desarrollo de la Unidad.

¿Cuánto sabes?En esta sección te invitamos a resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a evaluartus conocimientos y a recordar lo que aprendisteen años anteriores, siendo la base para el desarrollo de la Unidad.

¿Qué debes recordar?Podrás activar tus conocimientos previos a través de un resumen queincluye los principales conceptos trabajados enaños anteriores y que te servirá como apoyo para losaprendizajes que se esperaque logres en la Unidad.

Conversemos de...A través de una introduc-ción al tema de la Unidad, conectamos elementos eimágenes de la vida diariacon el contenido que trabajarás. Además, encontrarás preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de laUnidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias.


Páginas de desarrollo

Estructura del Texto | 5


ActividadesResolverás variadas actividadespara ir construyendo los conceptos y reforzando así tu aprendizaje.

Analicemos...Por medio de preguntas, trabajarás el razonamiento,explorarás el contenido matemático que aprenderás,pondrás en práctica lo queya sabes, compartirás tusideas y extraerás conclusiones.

En resumenEncontrarás explicaciones, formalizaciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.Recuerda que...

Te recordará un contenido oprocedimiento ya aprendido ynecesario para lograr tusnuevos aprendizajes.



Organizando loaprendidoPodrás organizar y sintetizarlo aprendido utilizando unmapa conceptual. Además,aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre ellos y sus relaciones.

Mi progresoResolverás actividades que te permitirán evaluar tu progreso en el logro de los aprendizajes.

Herramientas tecnológicasAprenderás a utilizar planillasde cálculo o programas computacionales.

GlosarioTe presentará nuevos términosmatemáticos relacionadoscon el contenido que se está desarrollando.


Estructura del Texto | 7


Páginas de cierre

En terrenoA partir de una situación desarrollada en un contexto real o laboral, desarrollarás (primero individualmente yluego en equipo) actividadesque te permitirán aplicar lo que aprendiste en la Unidad.

Cómo resolverloEn estas dos páginas observarásun problema resuelto paso a pasoa través de una determinada estrategia y, luego, podrás practicar la estrategia utilizadao aplicar otras que te permitanencontrar la solución. Eso sí, enMatemática siempre hay más de un camino para resolver unproblema.



SÍntesis de la UnidadEste es un espacio para que construyastu mapa conceptual de todo lo trabajado en la Unidad a partir de algunos conceptos fundamentales.También responderás preguntas conceptuales para evaluar lo que has aprendido en la Unidad.

EvaluaciónEn estas tres páginas podrás autoevaluar los aprendizajes que lograste en la Unidad. Incluye preguntasde verdadero o falso y actividades dedesarrollo. Tomando en cuenta que unade las alternativas al egresar de la Educación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo de esta prueba.


Índice | 9

¿Cuánto sabes? 14

Raíces cuadradas 16

Irracionalidad de algunas raíces

cuadradas 18

Ubicación de raíces cuadradas

en la recta numérica 20

Raíces cúbicas 22

Estimación y comparación de raíces 24

Producto y cociente de raíces 26

Organizando lo aprendido 28

Mi progreso 29

Ampliando el concepto de raíz 30

Cálculo y propiedades de raíces enésimas 32

Relación entre raíces y potencias 36

Expresiones con raíces en el denominador 38

Ecuaciones con radicales 42


Mi progreso 45

Cómo resolverlo 46

En terreno 48

Síntesis de la Unidad 50

Evaluación 51

¿Cuánto sabes? 56Función cuadrática 58

Características de la gráfica de f (x) = x 2 60

Forma canónica de funciones cuadráticas 62

Dilatación y contracción de la parábola 64

Desplazamientos de la parábola 66

Simetría y vértice de la parábola 70

La parábola como lugar geométrico 72


Mi progreso 75

Ecuación de segundo grado 76

Análisis de las raíces de una ecuación

cuadrática 80

Ecuaciones reductibles a ecuaciones

de segundo grado 82

Análisis general de una función

cuadrática 84

Máximos y mínimos 88

Función raíz cuadrada 90


Mi progreso 97

Cómo resolverlo 98

En terreno 100


Evaluación 103

Índice

Raíces 121

2 Función cuadrática y función raíz cuadrada 54



¿Cuánto sabes? 108Teorema de Euclides 110

Demostraciones del teorema de Pitágoras 114

Tríos pitagóricos 118

Situaciones que involucran triángulos

rectángulos 121


Mi progreso 125Razones trigonométricas en el triángulo

rectángulo 126

Razones trigonométricas de ángulos

especiales 130

Aplicaciones de la trigonometría 132

Propiedades de las razones trigonométricas 134

Identidades trigonométricas 136

Teorema del seno y del coseno 138

Sistemas de medición de ángulos 142

Funciones trigonométricas 144

Reducción al primer cuadrante 148

Funciones trigonométricas inversas 150

Ecuaciones trigonométricas 152


Mi progreso 155Cómo resolverlo 156

En terreno 158


Evaluación 161

¿Cuánto sabes? 166Desigualdades 168

Intervalos de números reales 170

Propiedades de las desigualdades 174

Conjeturas y demostraciones 176


Mi progreso 179Inecuaciones con una incógnita 180

Sistemas de inecuaciones

con una incógnita 182

Inecuaciones lineales con dos incógnitas 184

Inecuaciones que involucran valor absoluto 188



En terreno 194


Evaluación 197

El triángulo rectángulo y la trigonometría 1063

Inecuaciones lineales 1644


Índice | 11

Índice

¿Cuánto sabes? 202Espacio y tamaño muestral 204

Sucesos o eventos 206

Principio multiplicativo 210

Permutaciones 212

Combinaciones 214


Mi progreso 217Cálculo de probabilidades 218

Sucesos equiprobables 220

Probabilidad del suceso A�B 222

Frecuencia relativa o probabilidad empírica 224

Ley de los grandes números 226

Probabilidad condicional 228

Probabilidad del suceso A�B 230

Sucesos independientes 232

Variable aleatoria 234



En terreno 242


Evaluación 245

5 Probabilidades 200

Solucionario 256

Taller de evaluación 248

Índice temático 284

Bibliografía 287


AAPRENDERÁSPRENDERÁS AA::

Comprender y aplicar la relaciónentre potencias y raíces.

Conocer y utilizar procedimientospara el cálculo de raíces.

Estimar y comparar raíces.

Resolver problemas que involucran raíces.

Racionalizar expresiones fraccionarias.

Conocer y aplicar algunaspropiedades de las raíces.

Raíces1TTRABAJANDORABAJANDO CONCON::

Ecuaciones con radicales

Raíz enésima

Potencias

Raíz cúbica

Raíz cuadrada

12 | Unidad 1

TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:

UNIDAD 1 (12-53)C :Maquetación 1 4/11/10 17:10 Página 12

Raíces | 13

Conversemos de...

El columpio es un juego que tiene un movimiento similar al de un péndulo. La principal caracterís-tica del péndulo es que el lapso que le toma completar una ida y una vuelta (su período), si no esun movimiento muy amplio, es proporcional a la raíz cuadrada del radio de giro del columpio.Aproximadamente:

, donde L es el radio de giro del columpio y g es la aceleración de gravedad. Las raíces

cuadradas y otras raíces son parte de las herramientas matemáticas que nos ayudan a compren-der el mundo que nos rodea.

• ¿Qué ocurrirá con el período del péndulo si se alargan las cuerdas o cadenas del columpio?,¿por qué?

• Y si varía la masa o persona sobre el columpio, ¿qué pasa con el período? Averigua.

2 ⋅ ⋅π Lg

Latin

stoc

k


14 | Unidad 1

¿Cuánto sabes?

1. Descompón los siguientes números como producto de factores primos:

a. 300 c. 1300 e. 6750b. 1275 d. 3168 f. 7128

2. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas. Explica tudecisión.

a. 62 + 82 = 102 c. 4–2 · 24 = 20 e. 53 : 3–3 = 1b. (33)2 = 35 d. 33 · 52 = 155 f. 34 : 92 = 1

3. Resuelve cada una de las expresiones siguientes aplicando lo que sabessobre potencias.

a. h. c4a – 2 · c–2a + 5 · c5a + 4

d. 3–3 · 2–2 · 35 · 24 k.

f. (3)–2 : 92 m.

4. Resuelve los siguientes problemas. Explica, paso a paso, el procedimientoque utilizaste.

a. Si multiplicamos por 3 el lado de un cuadrado, ¿en cuánto au-menta el área del mismo?

b. Si disminuimos la arista de un cubo a la mitad, ¿en cuánto varía elvolumen de este?

b

b

x y

y x

3 4

3 4

2−

−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4

5

2 3 3x bc

1

45

22⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+

Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.

b. i. (x–3 : x5) · x83

4

5

2

1 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

c. (–2)3 + (–2)2 +(–2)0 +(–2)1 j. x x4 3 2 3

2⋅ −( )⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

e. 52 : 5–2 l.1 1 12 4 3

a a a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

− −:

g. xa + 1 · x –a + 2 · x3a + 4 n.a b

c

c a

b

2 3

4

2 3

2

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−

−


5. Desarrolla los siguientes productos:

a. (x – 3y)2 c. (a – 3b)(a2 + 3ab + 9b2)

b. (x + 3)(x – 2) d.

6. Factoriza las siguientes expresiones aplicando productos notables.

a. c. 27x3 + 8

b. x6 – 4x3 + 4 d. 8x3 – 36x2y + 54xy2 – 27y3

Verifica en el solucionario si tus respuestas son correctas. ¿Tuvistealgún error? Si los tuviste, corrígelos antes de continuar con la Unidad.

4 92 2a b

−

1

3

5

2

5

2

1

3x y y x−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Raíces | 15

Un

idad

1

¿Qué debes recordar?

• Algunas propiedades de las potencias son:

Multiplicación de potencias División de potenciasan · am = an + m an : am = an – m

an · bn = (a · b)n an : bn = (a : b)n

• Algunas factorizaciones y productos notables son:

(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 (cuadrado de binomio).(a + b)(a – b) = a2 – b2 (suma por diferencia).(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) · x + ab (producto de dos binomios con un término común).(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab2 ± b3 (cubo de binomio).

(suma y diferencia de cubos).

• Si a y b son números reales positivos, y a < b, se cumple que an < bn para todo n � �.

• Para todo x � IR, x2 � 0, es decir, el cuadrado de un número real es siempre positivo o cero.

• El valor absoluto de todo número real distinto de cero es siempre positivo, es decir, si xpertenece al conjunto de los números reales y x � 0, entonces |x | > 0.

• El valor absoluto de cero es cero, o sea |0 | = 0.

a b a b a ab b3 3 2 2± = ±( ) ⋅ +( ) ∓


16 | Unidad 1

Raíces cuadradas

Analicemos...

Para evaluar el total de baldosas del pasillo de la casa de su abuelo,Ernesto calculó que como tenían 10 cm de lado, en un metro delargo del pasillo tendría 10 baldosas; por lo tanto, en total había50 · 32 baldosas, es decir, 1600. Para que Ernesto notara que la can-tidad de baldosas de su abuelo era exactamente las que nece-sitaba para la pieza grande, que era cuadrada, debió darsecuenta al medir la longitud de su pieza y obtener 4 metros delargo por 4 metros de ancho, por lo que cabían exactamente 40 · 40baldosas; o sea, las 1600 del pasillo de la casa de su abuelo.

En la situación anterior necesitábamos encontrar un número queal multiplicarlo por sí mismo nos diera 1600, ya que sabíamos quela pieza era cuadrada. Con lo que se obtiene 40.

Lo que acabamos de hacer es encontrar la raíz cuadrada de 1600.

• ¿Cuál es la cantidad de baldosas que tenía el pasillo del abuelo?,¿cómo lo resolviste?

• ¿Cuánto medía la pieza grande de la casa de Ernesto?, ¿cómolo supiste?

• ¿Era verdad que no faltaría ni sobraría ninguna baldosa para lapieza?, ¿por qué?

El pasillo de la casa de los abuelos de Ernesto está embaldosado.Sin embargo, Ernesto lo cambiará y pondrá piso de madera porqueaísla mejor el frío. En agradecimiento de su trabajo, su abuelo leregalará las baldosas, que son cuadradas de 10 cm por lado, paraque las ponga en la pieza grande de su casa, pero le dijo que antesde trasladarlas debe estar seguro de que le alcancen, o ver si le so-bran, para que solo se lleve las necesarias.

Ernesto mide la pieza grande, que es perfectamente cuadrada, y seda cuenta de que las baldosas son justamente las que necesita parala pieza.

¿Cuántas baldosastiene tu piso? No lo sé, pero el pasillo

tiene 5 m de largo y 3,2 m de ancho.


Raíces | 17

Un

idad

1

En resumen

• Si a es un número positivo o cero (a ≥ 0), la expresión denota al único número (mayor oigual a cero) cuyo cuadrado es a.

se lee “raíz cuadrada de a”.

• Si a ≥ 0: x = , si a = x2

a a2

=

a

a

a

1. Encuentra la longitud del lado de un cuadrado, si sabemos que su área es:

a. 36 cm2 d. 625 m2 g. 1225 cm2

b. 81 cm2 e. 900 m2 h. 1681 cm2

c. 400 m2 f. 1024 cm2 i. 3600 cm2

2. Calcula el valor de las siguientes expresiones. Explica cómo lo hiciste.

a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdadera o falsas. Justifica en cada caso tu decisión.

a. Si x > 0, entonces . d. Si x < 0, entonces � IR.

b. Si x > 0, entonces . e. Si a > 0 y b > 0, entonces � IR.

c. Si x < 0, entonces . f. Si a > 0 y b < 0, entonces � IR.

4. Piensa, comenta y responde. Justifica tus respuestas.

a. ¿Qué ocurre si queremos calcular , si a < 0?

b. ¿Se cumple que , para todo a, b � IR?

ab

ab

–x

1000 000 10 000−( )3 2

3 52 2 · 14432

4 9·4 16+0

a b a b+ = +

a

– –x x2 =

x x2 =

x x2 =

Actividades

Observa que la ecuación x2 = a tiene dos soluciones: y , ya que y ,

pero para las raíces solo consideramos el valor positivo, , no –a.a a2 =

−( ) =a a2

a a2

=− aa


18 | Unidad 1

Irracionalidad de algunas raíces cuadradas

Observa cómo se determina geométricamente la longitud de ladiagonal de un cuadrado.

Para encontrar la medida de la diagonal D debemos usar el teorema

de Pitágoras; de esta forma, se tiene que D 2 = 12 + 12 = 1 + 1 = 2.

Entonces, D es lo que ahora conocemos como .

Los números, como , fueron descubiertos por los antiguos grie-gos. Una vez que se había demostrado el teorema de Pitágoras, sedieron cuenta de que ese valor, que existía en muchos cuadrados,no era un número racional.

Al utilizar una calculadora, es resultado será algo como:

= 1,4142135. Esto no significa que: .

Al observar el resultado en la calculadora se podría pensar que es un decimal finito pero con muchos decimales; o bien infinito, cuyoperíodo es más largo que la precisión de la calculadora; o infinito,pero no tiene período. Como ya aprendiste en cursos anteriores, estosnúmeros forman un conjunto que se llama números irracionales.

El número irracional más conocido es π = 3,1415…. Muchas hansido las aproximaciones de π en el transcurso de los años; por ejem-plo, en 1987 se calculó con una precisión de más de cien millonesde cifras decimales, sin encontrarse período alguno.

La suma de un número racional con un irracional es también unnúmero irracional, por ejemplo, al sumar –5 y (5 + ) obtenemos–5 + 5 + = ; que es un número irracional.

Notemos que la suma y el producto de dos números irracionales no

siempre es un irracional; por ejemplo, (5 + ) + (3 – ) = 8, cuyo

También son irracionales todas las raíces cuadradas de númerosnaturales que no son exactas, es decir, que su resultado no es unnúmero natural.

2

2

22

222

2

214 142 13510 000 000

=

2

Analicemos...

• Según los datos de la figura, ¿cuánto mide la diagonal delcuadrado D?, ¿cómo lo supiste?

• ¿D es un número racional?, ¿se puede representar como fracción?

Teorema de Pitágoras:Si a y b son los catetos y c lahipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces:

a2 + b2 = c 2

Recuerda que...

a

c

b

0 D

D

1 2

1

Glosarionúmero irracional: es cualquiernúmero real que no es racional, es decir, no puede ser expresadocomo una fracción o razón de dos números enteros.

resultado es un número racional, al igual que el producto · = 2.22


Raíces | 19

Un

idad

1

En resumen

• Un número irracional es el que no puede representarse como fracción. Es un número decimalinfinito que no tiene período.

Para demostrar que era un número irracional, los griegos razo-naron dando una demostración por reducción al absurdo. Observa.

Si existiera un racional igual a , se escribiría como una fracción ,con x e y números enteros positivos.

Supongamos que simplificamos todos los factores comunes entre

x e y, de modo que obtenemos la fracción , que es irreducible.

vando al cuadrado, que 2b2 = a2. Entonces, 2 divide al número en-

tero a2, y como 2 es número primo, 2 divide a a, por lo que a2 es

múltiplo de 4, es decir, a2 = 4k, con k algún número entero.

Luego, para b se cumple 2b2 = 4k, de donde b2 = 2k, o sea, b2 es

múltiplo de 2, el que es primo, por lo que 2 divide a b, pero en-

tonces 2 divide a a y a b, aun si no tenían factores comunes, lo cual

es una contradicción. Entonces, la suposición de que es un

número racional es incorrecta.

Por lo tanto, es un número irracional.2

2

2

2

ab

xy

1. Clasifica las siguientes raíces en irracionales o racionales:

a. e. i.

b. f. j.

c. g. k.

d. h. l.

2. De manera similar a la demostración anterior, demuestra que y son números irracionales.

2 5 +400169

8 7 10 – 36072

3 530036

1 3 +20016

53

Actividades

Pero de = se obtiene · b = a, de donde se deduce, ele-2ab

2

Glosarioreducción al absurdo: argumento dedemostración, que consiste en supo-ner que la propiedad que se quieredemostrar no es cierta y deducir apartir de esto una contradicción. En-tonces, como tal contradicción sedebe a que la suposición era inco-rrecta, la propiedad debe ser cierta.


20 | Unidad 1

Ubicación de raíces cuadradas en la recta numérica

Recuerda que los números racionales son un conjunto que no com-pleta la recta real, ya que quedan “huecos” en la recta que no sonocupados por números racionales, por ejemplo, está en la rectanumérica, sin embargo, no es un número racional.

2

Para ubicar en la recta numérica las raíces no exactas como , sepuede, utilizando regla y compás, dibujar sobre una recta un trián-gulo rectángulo isósceles cuyos catetos miden 1 unidad, ya que porel teorema de Pitágoras, al trazar un arco de circunferencia conabertura igual a la hipotenusa del triángulo y centrada en el punto0 de la recta numérica, se obtiene la ubicación de .

En general, para localizar de manera geométrica , siendo ncualquier número natural, se puede aplicar el teorema de Pitágo-ras a un triángulo rectángulo de catetos 1 y la raíz cuadrada delnúmero natural anterior, es decir, .

Por ejemplo, con el segmento de longitud y un segmento de

longitud 1 se construye un nuevo triángulo rectángulo. Se traza

un arco de circunferencia centrada en el punto 0, de radio igual a

la hipotenusa de este nuevo triángulo. La intersección de este arco

con la recta numérica es el punto .

Al observar en la recta numérica la ubicación de y , se puede

ver que < , ya que las raíces cuadradas mantienen el orden,

Demostración por reducción al absurdo:Dados a y b números reales positivos con a < b, supongamos queno es cierto que .

Luego, debe ser cierto que ,entonces será unnúmero positivo o cero, y como el valor de una raíz cuadrada essiempre un número positivo o cero, también lo será.

32

a b +

a b−a b≥

a b <

2

2

2 3

3

2

n − 1

n

Analicemos...

• ¿Es posible representar todos los números correspondientes araíces cuadradas no exactas, como ?, ¿cómo?2

0

0 1 2

1

1

2

2 3

es decir que, si a y b son positivos o cero, y a < b, entonces .a b <


Un

idad

1

En resumen

• Algunos números irracionales pueden representarse en la recta numérica; por ejemplo, lasraíces cuadradas inexactas de un número natural y expresiones que las contengan.

• Si a y b son positivos o cero, y si a < b, se cumple que .a b<

1. Ubica en una recta numérica las raíces , , y . Explica cómo lo hiciste.

2. Ordena de menor a mayor los siguientes números.

a. ; 2; ; 5 b. ; 12; ; ; 15812100710

181285

Actividades

Raíces | 21

Recordando que el producto de dos números positivos es siempre

positivo, tendremos que será positivo o cero,

por diferencia obtenemos , o sea, , de

donde se obtiene que b � a. Lo cual es una contradicción.

Por lo tanto, la suposición era incorrecta, es decir, .a b <

0 –≤ a b02 2

– ≤ ( ) ( )a b

– +( ) ( )a b a b

Herramientas tecnológicas

En esta actividad aprenderás a ubicar números en la recta numérica usando el programa Regla yCompás, que se encuentra disponible en el sitio web: www.educacionmedia.cl/links/10M2029.html

• Una vez instalado el programa, selecciona Mostrar rejilla en el menú Mostrar.• En el menú Aspecto de puntos marca el botón Mostrar valores de objetos, para que indique

la posición exacta de cada punto.• Con el botón Círculo marca en el plano cartesiano, primero, el punto (0, 0) y, luego, el

punto (1, 1). De esta manera se dibujará el círculo de centro (0, 0) y radio .• Ahora, con el botón Punto marca el punto de intersección entre la circunferencia dibujada y

el eje horizontal de la rejilla. Para que efectivamente sea el punto de intersección, ambos debenvolverse amarillos.

1. Observa las coordenadas de ese punto, ¿corresponden a ?, ¿cómo lo supiste?2. Siguiendo el mismo procedimiento, ubica en la recta otras raíces no exactas.

2

2

es decir, , recordando la identidad de suma 0 – ≤ +( ) ( )a b a b


Raíces cúbicas

Paula dispone de un pliego de papel de regalo para envolver unjoyero para su mamá, que está de cumpleaños; el joyero tiene formade cubo y su volumen es de 3375 cm3.

En la situación anterior queremos calcular la medida de la alturadel joyero; para esto debemos determinar qué número al cubo esigual a 3375, que es igual a 15, ya que 153 = 15 · 15 · 15 = 3375.Entonces, si Paula dispone de un pliego de 7000 cm2, el papel deregalo le alcanza para cubrir el joyero, ya que la superficie total deeste es de 1350 cm2 (15 · 15 · 6 = 1350).

El cálculo realizado para encontrar la medida de la arista del cubo

corresponde a calcular la raíz cúbica de 3375, y en este caso se es-

cribe con el símbolo .

Todo número real tiene raíz cúbica, sin la restricción de los signosque tenía la raíz cuadrada, ya que al elevar un número al cubo,este mantiene el signo del número.

Por ejemplo:

, ya que (–2)3 = –8− = −8 23

33753

22 | Unidad 1

En resumen

• Si a es un número real cualquiera, la expresión denota aquel único número cuyo cubo esa, su signo es el mismo que el de a, y se llamará raíz cúbica de a.

x = si a3 = x

Por lo tanto, .

• En general, .

a a a a y3 3 3 3 3 0 0,( ) = −( ) = − =

a b a b3 3 3+ ≠ +

a3

a3

Analicemos...

• ¿Cuánto mide la altura del joyero que quiere envolver Paula?,¿cómo lo supiste?

• ¿Es suficiente el papel que tiene para envolver el regalo de sumamá?, ¿por qué?

70 cm 100 cm


Raíces | 23

Un

idad

1

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

2. Determina cuál es la medida de la arista de un cubo, cuyo volumen es de:

a. 8 m3 c. m3 e. 1,331 m3

b. 64 m3 d. 0,125 m3 f. 0,729 m3

3. Resuelve y explica, paso a paso, el procedimiento que utilizaste.

a. Determina el área de una cara de un cubo si su volumen es de 64 cm3.

b. El volumen de un cubo es 125 m3. Se quiere obtener el área de una

de sus caras, por lo que se plantea que este cálculo es equivalente a

calcular . ¿Es correcta la afirmación anterior?, ¿por qué?

c. Si la medida de la arista de un cubo se expresa por , ¿cómo se expresa el área de una de

sus caras?

4. Dadas las siguientes expresiones, decide si son verdaderas o falsas. Justifica tu decisión en cada caso.

a. d.

b. e.

c. f. 512 8 512 83 3 3 – –+ =125

15

3 =

27 64 27 643 3 3+ = +− = −18

18

3 3

–

–

1

343

1

34333=4 423 3

2= ( )

127

12527

10003 3 – 1331 13313 3 –+0 1253 ,

64125

13 3−27 273 3− −13313

− +18

14

31 1 13 3− − +−273

V3

1253 2( )

Actividades


24 | Unidad 1

Estimación y comparación de raíces

Una embotelladora de bebidas lanzará al mercado un nuevo pro-ducto, un envase cilíndrico con una capacidad de 1000 cm3, para elcual hay dos propuestas.

Un envase, como el de la figura, y el segundo con una altura igualal doble de su radio.

Si llamamos r1 al radio del primer envase, entonces tendremos que:π · r 1

2 · 10 = 1000

, consideremos π � 3,14

r 12 � 31,85.

Solo falta saber el valor de r1, un número que al cuadrado sea 31,85.Este número será la raíz cuadrada de 31,85.

Recordando que el orden de dos o más raíces cuadradas mantiene

el de los números, podemos concluir que , porque

, remplazando y , obtenemos

.

Esto origina un método para aproximar raíces. Acercándose más:(5,1)2 = 26,01 y (5,9)2 = 34,81.

Por lo tanto, .

Tratemos de encontrar un intervalo aún mejor,(5,6)2 = 31,36 y (5,7)2 = 32,49.

Luego, .

Observa cómo aproximar el valor de a dos decimales.

(5,64)2 = 31,8096 y (5,65)2 = 31,9225.

Luego, .

De continuar así, llegaríamos a tantos decimales correctos para

aproximar como necesitemos.31 85,

5 64 31 85 5 65, , ,< <

31 85,

5 6 31 85 5 7, , ,< <

5 1 31 85 5 9, , ,< <

25 31 85 36< <,

5 31 85 6< <,

Analicemos...

• ¿Cómo se expresa el volumen de un cilindro?• ¿Cómo puedo obtener una aproximación de las dimensiones de

los envases?, ¿cuál de los envases tiene menor radio?

r 12 1000

10100=

⋅=

π π

25 5= 36 6=5 31 85 6< <,

El volumen de un cilindro está dadopor: V = πr 2h, donde h es la alturay r el radio.

Recuerda que...

10 cm


Raíces | 25

Un

idad

1

1. Aproxima con dos decimales el valor de las siguientes raíces:

a. c. e.

b. d. f.

2. Ordena de menor a mayor las siguientes raíces:

a. b.

350

1000

1003

0 2433 ,

1000 1000 8003 ; ;5 21 40 403 3; ; ;

110

17

Actividades

Entonces, una aproximación de será 5,64, ya que

es un valor más cercano a la raíz buscada.

Si llamamos r2 al radio del segundo envase, tendremos que h = 2r2,luego, su volumen estará dado por: π · r2

2 · 2r2 = 1000.

r23 � 159,24, luego r2 �

De forma similar a las raíces cuadradas, se puede justificar si a y b son

números reales y a < b, se cumple que .

Usemos este hecho para aproximar . Observa.(5,5)3 = 166,375 y (5,4)3 = 157,464

Podemos notar que r2 se encuentra entre 5,4 y 5,5; sin embargo,r2 es más cercano a 5,4 que a 5,5. Probemos con 5,42.

(5,42)3 = 159,220088. Esta estimación es más cercana aún. Entonces,la longitud del radio del cilindro es aproximadamente 5,42 cm,mientras que la altura será aproximadamente 10,84 cm.

La aproximación encontrada nos permite comparar raíces cuadradas

con raíces cúbicas, en este caso > , ya que 5,64 > 5,42.

Por lo tanto, el segundo envase tiene menor radio.

159 243 ,

159 243 ,31 85,

31 8096,31 85,

159 243 ,

a b3 3<

2 1000 318 4723r ,= ≈

π

En resumen

• Este método nos permite aproximar el valor de una raíz y comparar dos o más de ellas apesar de tener diferentes índices.


26 | Unidad 1

Producto y cociente de raíces

Cristián y Macarena quieren calcular, aproximadamente, cuánto es

y , respectivamente.

Observa cómo lo resuelve cada uno.

Cristián: ,

entonces, .

Macarena: ,

o sea, .

96

6

3

312

Para verificar si el procedimiento de Cristián es correcto podemos

recordar que “el cuadrado del producto de dos números es igual

al producto de los cuadrados de dichos números”. Descomponiendo

12 en dos factores: , y aplicando esto podemos afirmar

que , es decir, obtenemos

, ya que ambas raíces son positivas.

Luego, , ya que .

Por lo tanto, .

De modo similar, y recordando que “el cociente del cubo de dosnúmeros es igual al cubo del cociente de dichos números”,podemos verificar el procedimiento de Macarena.

En general, para números no negativos, la raíz de un producto esel producto de las raíces y la raíz de un cociente es el cociente delas raíces.

12 3 46 ,≈

3 173 ,≈4 3 2 3 2 173 3 46 · · , ,= ≈ =

4 3 4 3 · · =

12 4 3 · =

4 3 4 3 4 32 2 2

· · · ( ) = ( ) ( ) =

Analicemos...

• ¿Son correctos los procedimientos de Cristián y Macarena?,¿por qué?

• ¿Qué propiedad de las raíces se utiliza en el desarrollo del ejercicio?

12 4 3 4 3 2 3= ⋅ = ⋅ =

12 3 46≈ ,

96

6

966

16 8 2 8 2 2 23

33 3 3 3 3 3= = = ⋅ = ⋅ =

96

62 52

3

3≈ ,

(a · b)n = an · bn

Recuerda que...

y 2 1 263 ≈ ,3 1 73≈ ,

ab

a

b

n n

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=


Un

idad

1

Raíces | 27

1. Reduce las siguientes raíces (con a, b, x e y números positivos):

a. c. e. g.

b. d. f. h.

2. Considera las aproximaciones , , y calcula:

a. b. c. d.

3. Simplifica las siguientes expresiones (con a, b, c y x números positivos) explicando, paso a paso,cómo lo hiciste.

a. b. c.

4. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. b. Si x > 0, entonces x x x6 2 23 · =1331

121

123

123

3 3

3

–=

300 6000 0 5,

64

4

125

2549 2a b

4 12 3b b⋅2 8 18⋅ ⋅8 6

4 4

a

a b

x y

x y

2

·

a c b c

a b c ab c

2 2 4 33

3 5 3 2

− −−

⋅( )·

240

6 4

5 2

3 7

a a

a a

⋅

⋅

−128

32

3x

x

20

5 2 24≈ ,3 1 73≈ ,2 1 41≈ ,

108

Actividades

En resumen

• Si a y b son números reales positivos o cero (a ≥ 0, b ≥ 0), se cumplen las siguientes propiedades:

• La raíz cuadrada de un producto es igual al producto de lasraíces cuadradas de sus factores.

• La raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de las raícescuadradas de sus términos.

• Si a y b son números reales cualesquiera, se cumplen las siguientespropiedades:

• La raíz cúbica de un producto es igual al producto de las raícescúbicas de sus factores.

• La raíz cúbica de un cociente es igual al cociente de las raícescúbicas de sus términos.

ab

a

b3

3

3=

ab

a

b= , con b � 0

, con b � 0

a b a b⋅ = ⋅3 3 3

a b a b⋅ = ⋅


28 | Unidad 1

• En el siguiente mapa conceptual, se muestran algunos de los conceptos presentados hastaahora en la Unidad.

• Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior,responde en tu cuaderno.

1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿A qué tipo de números no se les puede calcular su raíz cuadrada?

3. ¿La raíz cuadrada de 4 es ± 2?, ¿por qué?

4. ¿La raíz cúbica de un producto es el producto de las raíces de sus factores?, ¿por qué?

5. ¿La raíz cuadrada de una suma es la suma de las raíces de sus sumandos?, ¿por qué?

6. ¿La raíz cúbica de una suma es la suma de las raíces de sus sumandos?, ¿por qué?

7. ¿Toda raíz cuadrada de un número entero positivo es un número entero?

8. ¿La raíz cúbica de 250 es un número entre 5 y 6?, ¿por qué?

9. ¿Qué relación hay entre y x 2 – a = 0? Explica.

10. ¿Qué relación hay entre lado y área de un cuadrado de lado a?

11. ¿Qué relación hay entre lado y volumen de un cubo de arista a?

12. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,

¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

a

se aplican amantienen mantienen

RAÍCES CUADRADAS

NÚMEROS REALES

POSITIVOS O CERO

RAÍCES CÚBICAS

Organizando lo aprendido

se distinguen

RAÍCES

ORDEN

se aplican a

TODOS LOS NÚMEROS

REALES


Raíces | 29

Un

idad

1

1. Determina cuáles de las siguientes desigualdades son verdaderas y cuáles son falsas. Explica en cadacaso tu decisión.

a. b. c. d.

2. Simplifica las siguientes expresiones:

a. c. e.

3. ¿Cuál es el valor de ?

4. Resuelve los siguientes problemas explicando, paso a paso, tu desarrollo.

a. Dos triángulos rectángulos comparten la misma hipotenusa. Si las medidas de los catetos de unode los triángulos son iguales a 11 cm y 3 cm, y la medida de uno de los catetos del segundotriángulo es de 7 cm, halla la medida del cateto restante.

b. Encuentra el volumen de un cubo, si el área de una de sus caras es 27 cm2.

5. Calcula el área pintada de cada figura, sabiendo que cada una no pintada es un cuadrado.

a. b. c.

27

3

15

5>144 5 103 <

28 21

7

5

8

3⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟5

2( )

3 3 3 33

+ + +

125

81

3<2 30 4 23 >

• Verifica en el solucionario si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas, marca enla tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el error y corrígelas.

¿Cómo voy?

Mi progreso

A. B. C. D. 2 E. 443

3343

b. d. f.4 3

24

3

35 7 15 7⋅55( )

CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Calcular, estimar y comparar raíces. 1 16 a 25

Simplificar expresiones que involucran raíces. 2 y 3 26 y 27

Resolver problemas que involucran raíces. 4 y 5 16 y 17; 22 y 23

3 m2

3 m27 m2

x m2

x m2y m2

4 2–

4 2–4 2+

m2

m2m2


30 | Unidad 1

Ampliando el concepto de raíz

En cursos anteriores aprendiste a calcular el promedio o media arit-mética; ahora veremos cómo se puede obtener la media geométrica.

Para obtener la media geométrica entre 2 y 18, se calcula:

.

Geométricamente, este resultado se puede interpretar como lamedida del lado del cuadrado que tiene igual área que un rectán-gulo de lados 2 y 18 cm.

Para obtener la media geométrica de 6, 16 y 18, se calcula:

, es decir, 123 es igual al producto de

6, 16 y 18.

Geométricamente, este resultado se puede interpretar como lamedida de la arista de un cubo como el de la figura que tiene igualvolumen que un prisma de dimensiones 6, 16 y 18 cm.

6 16 18 1728 123 3⋅ ⋅ = =

2 18 36 6⋅ = =

La media geométrica depende de la cantidad de números involu-crados. Luego, no siempre se usa la raíz cuadrada o cúbica.

La media geométrica de 2, 4, 9 y 18 corresponde a la solución posi-

tiva de x 4 = 2 · 4 · 9 · 18 = 1296, que corresponde a , lo

que se lee como “raíz cuarta de 1296”.

De la misma forma, la solución de x 5 = a corresponde a yse lee “raíz quinta de a”, y así sucesivamente.

En general, la raíz enésima de un número a, que denotamos por, es el número que resuelve la ecuación xn = a. Es decir, se busca

el número cuya potencia enésima sea a. Al número n se le llamaíndice y al número a se le denomina cantidad subradical.

an

x a= 5

x = 12964

Analicemos...

• Si se necesita obtener la media geométrica de 2, 4, 9 y 18, ¿cómose puede calcular?, ¿corresponde a ?, ¿por qué?

• ¿Cómo se relaciona el producto de los cuatro números con sumedia geométrica?

• En el caso de calcular la media geométrica de cinco números,¿cómo se podría expresar ese número?

2 4 9 18⋅ ⋅ ⋅

18 cm

2 cm 6 cm

12 cm

16 cm

18 cm

6 cm

Glosariomedia geométrica: de n términosx1, x2 ... xn es la raíz enésima delproducto de los n términos.

G x x xnn · · ... ·= 1 2


Raíces | 31

Un

idad

1Por ejemplo, para calcular se puede hacer por tanteo:

primero, 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81; luego, revisar 44 = 4 · 4 · 4 · 4 = 256,

y también, 54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625. Entonces, por lo anterior, .

Al igual que en el caso de las raíces cuadradas y cúbicas, no todaslas raíces enésimas son exactas, ni todas son números reales. Porejemplo, la raíz cuarta de un número negativo no es un númeroreal, porque ningún número real elevado a su cuarta potencia esun número negativo.

625 54 =

6254

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a. c. e.

b. d. f.

2. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. para cualquier valor de n. d. El número � IR.

b. , n impar. e. El número � IR.

c. f.

3. Determina la media geométrica de los siguientes conjuntos de números:

a. {4, 6, 9} b. {2, 6, 9, 12} c. {1, 2, 4, 8, 16} d. {2, 4, 6, 9, 18}

− = −128 1287 7

−57

−176

64 8 26 3= =

−( ) = − ↔ − = −b a a bn n

0 0n =

64 816 4+

81 814 +

625 324 5+

−2435

17

−17

Actividades

En resumen

• Si a es un número real y n un número natural mayor que uno, entonces la expresióndenota al número cuya potencia enésima es a.

• Si a � 0 y n un número natural par, existe y es siempre un número positivo.

• Si a < 0 y n un número natural par, no es un número real.

• Cuando n es un número impar, siempre existe y conserva el signo de a.

• Al número n se le llama índice, y al número a se le denomina cantidad subradical.

an

an

an

an

a b b an n= ↔ =

Dadas dos afirmaciones A y B, A B se usa para indicar que sonequivalentes, es decir, son ambasverdaderas o ambas falsas.A B se lee: A si y solo si B.↔

↔

Pon atención


32 | Unidad 1

Cálculo y propiedades de raíces enésimas

Felipe está buscando una estrategia para calcular raíces usando lasque ya conoce. Observa.

Para comprobar si los cálculos de Felipe están correctos, debemoscalcular las potencias que corresponden. En ambos casos vemos que:

.

54 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625.

Luego, ambos resultados son correctos.

Pese a lo expuesto, los cálculos anteriores no justifican la estrategiausada por Felipe de separar las raíces de índice mayor, de modo quepara comprobar usaremos algunas propiedades de las potencias.

Observando los resultados obtenidos, vemos que podemos escribir-los como:

.

.

Por lo tanto, al igual que con raíces cuadradas y cúbicas, las pro-piedades de potencias justifican propiedades de raíces enésimas.

Analicemos...

• ¿Están correctos los cálculos de Felipe? Comprueba calculandola potencia correspondiente del resultado, en cada caso.

• ¿Esta estrategia se puede usar siempre?, ¿sirve para calcular unaraíz quinta?, ¿y una raíz octava?, ¿por qué?

• Las propiedades de las operaciones de producto y cociente deraíces cuadradas y cúbicas, ¿se extienden a las raíces enésimas?,¿qué puedes concluir?

164

164

18

12

6 3 3= = =

625 625 25 54 = = =

12

12

12

18

6 3 2 3 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟ =⎛⎝

⋅

⎜⎜⎞⎠⎟ =

21

64

5 5 5 25 6254 2 2 2 2 2= = ( ) = =⋅

12

6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

En general:

Recuerda que...

a b a bn n n+ ≠ +

a b a bn n n− ≠ −

12

12

12

12

12

12

164

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =


Raíces | 33

Un

idad

1Ejemplo 1Calcular el valor de .Sabemos que para calcular 65, podemos descomponerlo de la siguiente forma:

65 = (2 · 3)5 = 25 · 35 = 32 · 243 = 7776.

Asimismo, podemos calcular la raíz quinta de 7776 a partir del producto anterior, obteniendo:

= 2 · 3 = 6.

Ejemplo 2Calcular el valor de la expresiones y .

= .

Tal como en el producto del ejemplo anterior, podemos descom-poner el cociente de la siguiente forma:

=

= 0,3.

En el caso de la expresión no conocemos el valor exacto de

presión. Observa.

= 2.

Veamos ahora, utilizando lo aprendido, cómo podemos compararlos términos de la siguiente secuencia:

.

El segundo término de la secuencia es 25, ya que 252 = 625; el tercer

término, como vimos anteriormente en el desarrollo del ejercicio

de Felipe, es 5, y el cuarto término es .

16

2

3

3

625 25 5= =

16316

2

3

3

0 00814 ,

77765

7776 32 2435 5= ⋅

= ⋅32 2435 5

0 00814 ,81

100004

8110000

4 81

10000

4

4

= 310

y de ; sin embargo, podemos calcular el valor exacto de la ex-23

16

2

162

3

33=

= 83

625 625 625 625; ; ;


34 | Unidad 1

1. Calcula el valor de las siguientes raíces sin utilizar calculadora:

a. c. e. −0 03125

0 010245

,

,64

72961

325

Actividades

En resumen

Si a y b son números reales, n y m números naturales, se cumplen las siguientes propiedades:

• Adición y sustracción de raíces: para que dos o más raíces se puedan sumar o restar es nece-sario que sean semejantes; es decir, deben tener el mismo índice e igual cantidad subradical.

• Multiplicación de raíces de igual índice (si n es par, a, b � 0).

• División de raíces de igual índice , con b � 0.

• Raíz de una raíz .a a a amn n m m n nm= = =⋅ ⋅

a b a bn n n⋅ = ⋅

b a c a b c an n n± = ±( )

a

b

ab

n

nn=

Podemos encontrar una aproximación para este valor, y tendremos

que .Remplazando los valores encontrados, la secuencia es:625; 25; 5; 2,24.

• ¿Cuál sería el siguiente término en la secuencia?• ¿Qué se puede concluir a partir de los resultados?

El término siguiente en la secuencia será , que es equiva-

lente a ; a partir de los resultados de la secuencia se

puede concluir que cada vez el resultado del término es un número

más pequeño; por lo tanto, sin necesidad de estimar , su valor

será menor a .5

5 54=

54

625

5 2 24≈ ,

b. d. f. −0 00032

16 8075 ,

−16 384

12870 002435 ,


Raíces | 35

Un

idad

12. Resuelve.

a. d.

c. f.

3. Expresa los siguientes productos y cocientes de raíces de la forma más simple posible (consideraque x es un número positivo).

a. c. e.

4. Simplifica las siguientes expresiones aplicando las propiedades de las raíces. Indica en cada casolas propiedades utilizadas.

a. d.

c. f.

5. Para cada una de las secuencias siguientes, calcula los valores numéricos o una aproximación paracada término, y determina cuál es el término que sigue si se mantiene la misma relación.

a. d.

b. e.

c. f.

6. Calcula el valor de cada término en las siguientes secuencias y, luego, compara los resultados. ¿Qué diferencia existe entre los términos de ambas secuencias?, ¿por qué ocurre esta diferencia?

a. b.

10 000 10 000 10 000 10 000 ; ; ;

− − − −512 512 512 5123 33 333; ; ;

256 256 256 256; ; ;

1243

1243

1243

1243

; ; ;

5 9 12 6 3 484−4 9 7293

2 2 22 2

2

2

24⋅ ⋅3 544 4⋅

x y xy x y xy25 25 25 255 2 11+ − +

25 2 25 5 25 7 253 4 3 4+ + −

9 3 9 4 18 15 186 6 6 6− − +

x x67 7⋅64 25 5:3 4 75 5 5⋅ ⋅

7 5 7 2 7 11 75 5 5 5+ − +

243 243 243 243; ; ;

64 64 64 64; ; ;

1 1 1 1; ; ;

0 0 0 0; ; ;

b. d. f.x

x

1011

311

256

4

6

63 274 4⋅

b. e. 2 51

25

3

454 4 4− +12 6 12 4 12 3 124 4 4 4+ − +

b. e.36

7

7

3 2

9

49

4

3

4

3⋅ ⋅3 3437


36 | Unidad 1

Relación entre raíces y potencias

Jaime debe encontrar el volumen de un cubo cuya arista mide

cm, y el área de un cuadrado cuyo lado mide cm.

Observa.

Cubo:

Arista = cm

Volumen = cm3

Cuadrado:

Lado = cm

Área = cm2

Al ver los resultados obtenidos y observar que y

y recordando la siguiente propiedad de las potencias (an)m = an · m,

Jaime propone las siguientes identidades:

Si a � 0, entonces

Si b � IR, entonces

A A( ) =2

A A( ) =2

V V3 3( ) =

V V3 3( ) =

AV3

A

Analicemos...

• ¿Cuál es la relación entre una potencia y raíz, según Jaime?• ¿Te parece correcta la proposición de Jaime?, ¿por qué?

En resumen

En general, si n y m son números naturales mayores que 1 y a � 0, se cumple que:

• • a amn mn=a an n

1

=

a a a a a( ) ( ) ⋅2 2 212

212= = = =

b b b b b3 3 33 313

313( ) ( ) ⋅

= = = =

V3 V cm2

A cm2

Si denotamos (a � 0), tendremos que , como

por lo tanto n = .

En conclusión, la relación propuesta por Jaime es correcta. De la

misma forma podemos probar que .

a a n( ) =2 2

a a31

3=

12

a an=

sabemos que , obtendremos que a = a2n, es decir, 2n = 1, a a( )2=


Raíces | 37

Un

idad

1Como vimos en el desarrollo anterior, representar las raíces comopotencias con exponente fraccionario permite simplificar expre-siones con raíces, usando las propiedades de las potencias.

Ejemplo 1

; con a � 0, ya que

Ejemplo 2

, ya que

2 5 2 5 2 5 2 5312

13

12

33

13

22

36

26

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ ⋅== ⋅ = ⋅ =2 5 2 5 20036 26 3 26 6

2 5 2 5 2003 3 26 6 ⋅ = ⋅ =

a a a a a a3 312

13

12 1

312

16 6= ( ) =

⎛⎝

⎞⎠ = = =

⋅ a a3 6=

1. Expresa las siguientes potencias en forma de raíz:

a. b. c. d.

2. Escribe las siguientes raíces en forma de potencia y, luego, calcúlalas:

a. b. c. d.

3. Utilizando las propiedades anteriores:

a. ¿Cómo expresarías como una raíz ? b. ¿Cómo expresarías como una raíz ?

4. Piensa y responde las siguientes preguntas. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

a. ¿Es verdadera la igualdad ?

b. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado de área m2?

c. ¿Cuál es la medida de la arista de un cubo que tiene por volumen cm3?

5. Observa el ejemplo y, luego, resuelve.

a. b. c. x x x⋅ ⋅43 1245 2 33 6⋅ ⋅2 25 ⋅

53

25

a a81223=

3 2

13

12⋅ x

23

15⎛

⎝⎞⎠

51292435 −0 000015 ,−3433

0 0003215,( )7

10

23⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

−27

5345

13

Actividades

a a a a a a⋅ = = =+

23

12

23

76 6

Amplificamos ambas fracciones para igualar denominadores


38 | Unidad 1

Expresiones con raíces en el denominador

Marcela debe calcular el lado de un triángulo equilátero. Sabe quesu altura mide 6 cm y recuerda que la altura de un triángulo equi-látero la puede calcular utilizando:

, donde h es la altura y a el lado del triángulo equilátero.

Observa el procedimiento que utiliza para obtener la medida dellado del triángulo.

Marcela dice que el lado del triángulo mide cm.12

3

ha

=3

2

Como observas, la expresión tiene una raíz en el denomi-

nador, por lo que es más difícil encontrar un valor aproximado que

para ; sin embargo, ambas expresiones son equivalentes,

ya que llegamos al mismo resultado.

Observa el siguiente procedimiento:

Para facilitar cálculos, encontraremos un procedimiento que nospermitirá hallar una expresión equivalente que no posea raíces enel denominador, lo que equivale a racionalizar la expresión.

4 3 6 93≈ ,

12

36 93≈ ,

a

2

a

2En un triángulo equilátero,

ya que, aplicando el teorema dePitágoras, tenemos:

Recuerda que...

Analicemos...

• ¿Sabes a qué número se aproxima el valor que obtuvo Marcela?Escríbelo con dos cifras decimales y explica cómo lo calculaste.

• ¿Cuánto es el valor de si aproximas a dos decimales?,¿cómo lo hiciste? Compara con el resultado anterior.

• ¿Qué aproximación te resultó más fácil de calcular?, ¿por qué?

4 3

Glosarioracionalizar: operar para eliminarlos radicales del denominador de unafracción, sin cambiar su valor.

h

A B

C

a a

63

2=

a

12 3= a

a =12

3

12

3

12

3

3

3

12 3

3 3= ⋅ =

⋅⋅

=( )

= =12 3

3

12 33

4 32

h a=2

3

h a a22

2

2+ ⎛

⎝⎞⎠ =

h a a2 22

2= − ⎛

⎝⎞⎠

h a223

4=

h a= 32

Multiplicamos por

Multiplicamos por 2

Dividimos por


Raíces | 39

Un

idad

1Por lo tanto, la racionalización de es la expresión , que, tal

como probamos con los resultados de la aproximación, son expre-siones equivalentes.

Ahora observa la figura, ¿cuán mayor es el segmento y que la me-dida del segmento AD?Para encontrar la medida pedida utilizaremos el teorema de Thales,planteando la siguiente proporción:

Hemos encontrado la medida del segmento y. La presencia de raícesen el denominador nos dificulta los cálculos para responder a lapregunta inicial. Por ello, racionalizaremos la expresión.

Observa el siguiente procedimiento:

Si observamos, el procedimiento anterior es bastante extenso; noobstante, la expresión encontrada facilita enormemente los cálculos.

Luego al racionalizar se obtiene . Como ,

entonces, . Por lo tanto, la medida del seg-

mento y es aproximadamente mayor que AD en 0,23 cm.

4 2

2 2+4 2 1−( ) 2 1 41≈ ,

12

34 3

B

ED // BC

E

A

D

C4

2

y

AC

CB

AD

DE=

2 24

2+=

y

y ⋅ +( ) = ⋅2 2 4 2

y =+

4 2

2 2

4 2

2 2

4 2

2 2

2 2

2 2+=

+( ) ⋅−( )−( )

=( ) − ⋅

( ) −

4 2 4 2 2

2 2

2

2 2

=⋅ −

−=

−−

4 2 8 22 4

8 8 22

=−( )−

= − −( ) = −( )8 1 22

4 1 2 4 2 1

4 2 1 4 0 41 1 64−( ) ≈ ⋅ ≈, ,

Remplazamos las medidas dadas

Multiplicamos por 4y

Dividimos por ( + 2)

Multiplicamos por

Suma por diferencia desarrollada

Factorizamos y simplificamos

2


40 | Unidad 1

Si ahora queremos racionalizar la expresión con raíces cúbicas

en el denominador, lo que debemos hacer es amplificar por una ex-presión que nos permita eliminar la raíz cúbica en el denominador; esdecir, debemos amplificar por una expresión que le permita obtener

en el denominador , ya que, recordando las propiedades de la

raíces cúbicas, .

Observa.

Si queremos ahora racionalizar una expresión como , que

tiene un binomio en el denominador, tenemos que amplificar poruna expresión que elimine ambas raíces del denominador.Observa el procedimiento que se utilizará, basado en la identidad:

Primero, trabajaremos con el denominador de la expresión, para

así facilitar cálculos posteriores. En este procedimiento buscare-

mos obtener la suma de los cubos de y , es decir,

Por lo tanto,

En general, para racionalizar una expresión como debemosamplificar de la siguiente forma:

1

4 2

1

4 2

2 2 2 4

2 2 2 4

2 2 2 463 3 3 3

3 3

3 3

3 3

+=

+⋅

− +

− +=

− +

2343

1

4 23 3+

433

7

43

4 4 433 3 3= ( ) =

7

4

4

4

7 4

4 4

7 4

4 4

7 4

4

7 43

23

23

23

3 23

23

23

23

33

2⋅ =

⋅=

⋅= =

33

4

a b a b a ab b3 3 2 2± = ±( ) +( )∓

4 2 4 2 63 3 3 3+ = + =

4 2 4 2 4 4 2 23 3 3 3 3 3 3 2 3 3 3 2( ) + ( ) = +( ) ( ) − ⋅ + ( )( )4 2 4 2 16 8 43 3 3 3 3+ = +( ) − +( )

6 4 2 8 2 2 43 3 3 3= +( ) ⋅ − +( )6 4 2 2 2 2 43 3 3 3= +( ) − +( )

a

bmn

a

b

b

b

a bbmn

n mn

n mn

n mn

⋅ =−

−

−


Raíces | 41

Un

idad

1

1. Racionaliza las siguientes expresiones:

a. d. g. j.

b. e. h. k.

c. f. i. l.

2. Determina, racionalizando, si las siguientes expresiones son verdaderas. Justifica tu decisión.

a. b. c. d.

3. Determina, racionalizando, el orden de las siguientes expresiones:

a. c. e. g.4

5 3

6

3 5− −y

3

5

4

13y

5

2 3

2

2 1+ –y

1

7

3

2y

3

33=

864

323

3

3=1

a b

a ba b−

=+−

1

3 21

−<

10

2542

8

Actividades

En resumen

• Racionalizar una fracción es transformarla, sin cambiar su valor, en una expresión que noposea raíces en el denominador.

• Al racionalizar expresiones que contienen raíces en el denominador se pueden aproximar y comparar de manera más sencilla.

• Para racionalizar una fracción debemos amplificarla por una expresión que nos permita eliminar la raíz o las raíces presentes en el denominador.

Así, por ejemplo, observa el procedimiento para racionalizar . 1

25

1

2

2

2

2

2

225

45

45

45

55

45

⋅ = =

5

74

6 2−

3

2 2 3+5

4 5 2 7+a a b

a a b

− ++ +

6

4 23 3−1

13 x −

123

5 23−3

23 x6 2

18 123 3−

b. d. f. h.2

5 1

1

5 23 3− +y

1

2 1

2

1 2− +y

3

5

4

33 3y5

12

1

2y


42 | Unidad 1

Ecuaciones con radicales

Mediante la experimentación y la aplicación de modelos mate-máticos, se ha logrado determinar que la distancia d (medida enmetros) a la que cae un objeto, partiendo del reposo en t segun-dos, es aproximada por la fórmula:

.

Un grupo de estudiantes, un tanto desconfiados, decidió verificaresta fórmula dejando caer una piedra desde un puente (como semuestra en la figura), y tomando el tiempo que la piedra tardaen llegar al río.

Para solucionar este problema es necesario resolver una ecuacióncuya incógnita forma parte de una cantidad subradical.

Para despejar la incógnita (d en este caso) debemos elevar alcuadrado, ya que, recordando la propiedad de la raíces cuadradas

; al hacer esto logramos eliminar la raíz.

d = 20 m

EjemploResuelve la ecuación .

Se consideran primero las restricciones de los valores que puedetomar x.Como la cantidad subradical de una raíz cuadrada debe ser positivao cero, se tiene que x + 5 � 0 y x + 2 � 0; por lo tanto, las solucionesno pueden ser menores que – 2, es decir, la solución debe perteneceral intervalo x � – 2.

x x+ + + =5 2 6

x x( ) =2

td

=5

Analicemos...

• ¿Cuál es la altura del puente, según la fórmula, si la piedra cayóen dos segundos? Explica, paso a paso, cómo lo resolviste.

td

=5

25

=d

25

22

( ) ⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟=

d

45

=d

La expresión , n indica el índicede la raíz y a señala la cantidadsubradical.

an

Recuerda que...

Remplazamos t por 2

Multiplicamos por 5

Observa la ecuación : la solución no pertenece a los núme-ros reales, pues la expresión debe ser positiva o cero, según ladefinición de raíz cuadrada.

x +1

x + = −1 3

Pon atención


Siempre debemos comprobar la solución. Observa.

Como satisface la igualdad original, la solución encontrada es válida.

12 2 33x + =

x x x+ = − + + +5 36 12 2 2

x x+ = − +5 6 2

Un

idad

1

Raíces | 43

En resumen

• En una ecuación en la que intervienen raíces cuya incógnita forma parte de una o más cantidadessubradicales, las soluciones encontradas algebraicamente deben ser siempre comprobadas,de modo que la ecuación original esté definida para valores reales.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones con radicales. Luego, comprueba la solución.

a. c. e. g.

b. d. f. h.

2. ¿Por qué al resolver una ecuación con radicales existen soluciones que no satisfacen la ecuación?Menciona un ejemplo para responder la pregunta.

3. ¿Existe un número natural, tal que su raíz cuadrada tenga tres unidades más que la raíz cuadradade su antecesor?, ¿por qué?

Actividades

x x+ + + =5 2 6

x x+( ) = − +( )5 6 22 2

x +( ) = ⎛⎝

⎞⎠2 33

122 2

x + =2 1089144

x = − = =1089144

2 801144

8916

8916

5 8916

2 89 8016

89 3216

+ + + = + + +

= + = + = =16916

12116

134

114

244

6

x − =5 5

2

31 7x − =

2 5 1 7x − =

2 3 4x =

2 2 3 6x =

9 1 1 3x x+ − =

x x+ + =2 2

x x+ + = +5 3 8

Elevamos al cuadrado

Reducimos términos semejantes

Elevamos al cuadrado nuevamente


44 | Unidad 1

• En el siguiente mapa conceptual se muestran algunos de los conceptos presentados hastaahora en la Unidad.

• Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior,responde en tu cuaderno.


2. ¿Qué relación hay entre potencias y raíces? Da al menos dos respuestas distintas.

3. ¿De qué modo se comparan expresiones con radicales? Da al menos dos

respuestas distintas.

4. ¿Qué significa racionalizar y qué utilidad tiene?

5. ¿Los exponentes fraccionarios se pueden usar en potencias cuya base sea un

número negativo?

6. ¿En qué se distinguen las ecuaciones con radicales de otras ecuaciones que conoces?

7. ¿Por qué se deben comprobar las soluciones en las ecuaciones con radicales? Explica.

8. ¿Tienes alguna duda sobre conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?

Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

se aplican a se aplican ase pueden simplificar

mediante

son parte de

mantienen

ÍNDICE PAR ÍNDICE IMPAR

NÚMEROS POSITIVOS

O CERO

TODO NÚMERO

REAL

ORDEN ENTRE

NÚMEROS


tienen RAÍCES

ECUACIONES

IRRACIONALES

MULTIPLICACIÓN

Y DIVISIÓN

si aparecen en el denominador

debemosRACIONALIZAR


Raíces | 45

Un

idad

1

1. Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica tus decisiones.

a. c. e.

b. d. f.


a. c. e. g.

b. d. f. h.

3. Realiza las siguientes operaciones y simplifica todo lo posible los resultados.

a. c. e. g.

b. d. f. h.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones encontradas.

a. b. c.

5. El valor de es:

A. B. C. D. 2 E. Ninguna de las

anteriores.

27 26 2

2 64 184 −

x x+ − − =8 1 12 1 21x − =4 3 12 2x =

3 5 86 3 9+ =

a a23 1015=

3 5 756 3 6⋅ =

4 3 5 603 3 3⋅ =

75 253 =

2 4 323 3=

Mi progreso


¿Cómo voy?

34

1212

23

5

2 33 +8 2

4 19−

3

6

5

3+

2

64 3+

10

25

a

a7

3 4 5 2 167 7 7 ⋅ ⋅

14 1296

7 6

3

3

7 3 3 243 34 4 4− +

14 256

2 4

6

6

7 7 75

6

1

3

1

2⋅ ⋅

3 3 27

a a23

13

3

4

1

2⎛⎝

⎞⎠ ⋅

⎛⎝

⎞⎠

2 2 2 243


Analizar igualdades que involucran raíces. 1 30 a 35

Racionalizar expresiones con raíces en el denominador. 2 38 a 41

Calcular y simplificar expresiones que involucran raíces. 3 y 5 32 a 37

Resolver ecuaciones irracionales. 4 42 y 43


Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delos siguientes problemas.

Ejercicio 1A un rectángulo cuya altura es a = 1 cm y cuya base mide cm

se le quita un cuadrado de lado 1 cm, de modo que resulta otro rec-

tángulo. Halla las longitudes de sus lados y prueba que el cociente entre

la longitud del lado mayor y el lado menor es el número .

Solución

Las dimensiones del nuevo rectángulo serán: 1 y (b – 1).

Calculemos el cociente entre las longitudes del lado mayor (a’) y dellado menor (b’) del nuevo rectángulo.

Racionalizamos

Simplificamos

Hemos demostrado que el cociente entre las longitudes de los lados

del rectángulo es .

Ejercicio 2Considera que la figura representa un cubo de lado a:

a. Determina la medida de BG.b. Calcula la altura del triángulo BDG.

1 52

+

1 52

+

b =+1 52

Cómo resolverlo

46 | Unidad 1

Base del rectángulo

resultante (b – 1)

Rectángulo original 1 cm

b =+1 52

1 52

11 5 2

25 12

1+

− =+ −

=−

= =b a'; '

ab

''

=−

=−

=+( )

−( ) +( ) =+( )

−=

1

5 12

2

5 1

2 5 1

5 1 5 1

2 5 15 1

22 5 14

1 52

+( )=

+

A D

H

GF

B

E

Ca

a

a


Solucióna. BG es la diagonal de una cara del cubo, es decir, de un cuadrado

de lado a.

BG2 = a2 + a2

BG2 = 2a2

BG =

BG =

Luego, la medida de BG es a .

b. El triángulo BDG es equilátero, porque sus lados son las diagonalesde las caras del cubo (cuadrados de lado a).

Por lo tanto, BD = DG = BG = a

Considerando que la altura de un triángulo equilátero de lado l es

y que en este caso l = a , se remplaza y se obtiene:

Luego, la altura del triángulo BDG mide .

hl

=2

3

ha

=6

2

2

2

2

Raíces | 47

Un

idad

1

Actividades

1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:

a. Considera un cuadrado de lado a, el cual en su parte superior tiene un triángulo isóscelesrectángulo de base igual al lado del cuadrado. Calcula el perímetro de la figura formada entérminos del lado del cuadrado.

b. Considera un paralelepípedo de largo 3a, de ancho 2a y de alto igual al ancho. Determina lasmedidas de las diagonales de cada una de las caras del paralelepípedo.

2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoprevio, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?

3. Resuelve el siguiente problema empleando el método aprendido u otro. Compara el procedimientoque utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

Encuentra el área y perímetro de un rectángulo cuyo largo mide lo mismo que la altura de untriángulo equilátero de lado 2a y cuyo ancho es .a

2 2a

a 2

ha a

= ⋅ =2

23

62

Utilizando el valorobtenido en la parte a

Se aplica la propiedad

Se aplica el teorema de Pitágoras

Se reducen términos semejantes

Se aplica la propiedad


48 | Unidad 1

En terrenoEn terreno

El período del péndulo

El péndulo ha servido por siglos como medidor del paso del tiempo. Una de sus

características es que, si está adecuadamente construido, el tiempo que le toma

cada ir y venir (su período) es casi constante. Eventualmente, el péndulo irá frenando

hasta detenerse, pero mientras mejor construido esté, más demorará en frenar.

El tiempo que le toma a cada ciclo de ir y venir se puede aproximar por , donde

L es el radio de giro y g es la aceleración de gravedad de la Tierra. De este modo,

el período del péndulo es proporcional a . Todo esto es válido si su peso en el

extremo es realmente mayor que el de la cuerda que lo sostiene y gira con él.

Uno de los usos del péndulo y la regularidad de su período es orientar y mantener

el ritmo de una composición musical, lo cual es muy útil para cuando los músicos en-

sayan. Si hay una batería entre los instrumentos musicales, algunos de sus sonidos

reproducen el ritmo que tenía el metrónomo al ensayar.

L

2πLg


Actividades

1. Obtén una aproximación del valor con dos cifras decimales, considerando g = 10 y π � 3,14.

2. Calcula el período de un péndulo para los siguientes radios de giro:

a. L = 1 m b. L = 4 m c. L = 0,4 m d. L = 0,5 m e. L = 0,2 m

3. Determina la longitud L de una cuerda si esperamos un período de:

a. 2 segundos. b. 4 segundos. c. 5 segundos. d. 0,5 segundos.

Investiguemos...

Ahora, trabajen en grupos de tres personas.

1. Comparen las respuestas obtenidas por cada uno y discutan sobre cuáles de las respuestas son correctas si hay diferencias.

2. ¿Qué ocurre si las medidas están en centímetros en vez de en metros?, ¿sigue siendo válida la fórmula?3. Usando un metro de hilo de coser (o de lana), una goma de borrar y una silla o mesa, pongan nudos

al hilo cada 10 cm y construyan un péndulo amarrando la goma al hilo y el hilo al borde de la silla omesa, de modo que en alguna dirección pueda oscilar sin chocar; no se necesita que el giro sea am-plio, pero sí que sea visible. La idea es que los nudos indiquen la medida L del radio de giro.

a. Para las siguientes medidas de L registren el tiempo en segundos que demora el péndulo encompletar diez períodos completos.

i. L = 0,2 m ii. L = 0,4 m iii. L = 0,5 m iv. L = 0,7 m v. L = 0,9 m

b. Para cada tiempo obtenido, dividan por 10 (para obtener el promedio) con el fin de lograr unaaproximación del período P asociado a cada valor de L, y registren en una tabla los pares (L, P).

c. Para cada una de las medidas de L dadas, calculen el período que debiera dar y comparen conlos valores de la tabla. ¿Qué pueden concluir?

Evaluemos nuestro trabajo

• Comparen los resultados obtenidos. ¿Son similares? Si no es así, ¿qué diferencias hubo?, ¿son erroreso pueden explicarse por las diferencias en las circunstancias al medir?

• Indaguen respecto de los metrónomos mecánicos (ahora hay electrónicos) que usaban los músicosy su relación con el péndulo, y de qué manera regulaban el ritmo de oscilaciones para distintosritmos musicales.

ms2

2πg

Raíces | 49

Un

idad

1


50 | Unidad 1

Síntesis de la Unidad

A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones entre los conceptos.

A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:


2. ¿Pertenecen todas las expresiones con raíces al conjunto de los números reales?, ¿por qué?

3. ¿Qué estrategia se puede usar para estimar el valor de una raíz? Explica paso a paso.

4. ¿Es siempre el producto de dos raíces igual a la raíz del producto? Explica.

5. ¿Cuándo es necesario racionalizar una expresión? Da al menos dos ejemplos, explicando,

paso a paso, el procedimiento.

6. ¿Cuál es la relación entre potencias y raíces?

7. ¿Cuáles son las ecuaciones irracionales?, ¿cómo se resuelven?

8. ¿Qué relación hay entre área y volumen con las raíces?

9. Al racionalizar una expresión, ¿cambia el valor de esta?, ¿por qué?

10. ¿Qué importancia tienen las propiedades de la potencias para el estudio de las raíces?

11. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?


RAÍCES CUADRADAS RAÍCES CÚBICAS

EXPONENTE FRACCIONARIO

ECUACIONES CON RADICALES

RAÍCES ENÉSIMAS

POTENCIASRACIONALIZACIÓN


Raíces | 51

Evaluación

I. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

1. Las raíces cúbicas solo se aplican a números positivos.

2. Solo se puede racionalizar si el denominador de una fracción tiene una raíz cuadrada.

3. Ningún número es igual a su propia raíz cúbica.

4. Si x < 0, entonces .

5. Todas las raíces cuadradas de un número natural pertenecen al conjunto de los números reales.

6. Para todo n, a y b � � .

II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades:

1. Ordena de mayor a menor las siguientes expresiones:

a. b.

2. Simplifica las siguientes expresiones:

a. c. e.

b. d. f.


a. b. c. d.

4. Resuelve los siguientes problemas:

a. La diagonal de un cuadrado es cm. Calcula la mitad de su área.

b. Determina el radio de una esfera de 4520 m3 de volumen.

5. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones:

a. c.

b. d. x x− = + +5 3 1 13 138xxx =

x x− = +2 25 520x =

5 2

a

a

−−5

5

11

3 23 −3

5 2−3

53

3 3 3 35433 7

3 7

5 ⋅⋅

2543

2 2 2 22 3 11 2 3 113 3+ ⋅ −a23

− − − −5 9 33 2563 3 5 7, , ,4 16 18 203 3 4 3, , ,

a b a bn n n+ = +

x x2 = −

Un

idad

1


52 | Unidad 1

III. Marca la opción correcta en cada caso.

1. La expresión es igual a:

A. –6B. 0C. 3D. 6E. Ninguna de las anteriores.

2. (DEMRE, 2004). Si la base de un triángulo

mide t y su altura mide , ¿cuánto mide

el lado de un cuadrado que tiene igual

área que el triángulo?

A.

B. t

C.

D.

E.

3. (DEMRE, 2003). =

A.

B.

C.

D.

E. 1

26

86

23

43

t2

t2

4

t4

t2

27 2433 5−( )

t2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅

2

23

4. Para racionalizar hay que amplificar por:

A. 2

B.

C.

D.

E. Ninguna de las anteriores.

5. La racionalización de es:

A.

B.

C.

D.


6. (DEMRE, 2004). Si ,¿cuál o cuáles de las siguientes expresiones son equivalentes a ?

I. 2bc

II.

III.

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIE. I y III

a bc2

a b c2 2 2

60

2 3 5= = =a b y c,

a b a b4 4 2 23 2+ +

a b4 43 +

a b−3

a b+3

a b

a b ab

+

+ +2 23 2

a45

a35

a5

15 a


Raíces | 53

7. La diagonal de un cuadrado de lado es:

A.

B. 2d

C.

D.

E. 2d2

8. El producto de es:

A.

B.

C. (xy)xy

D. xy


9. La racionalización de las expresión es:

A. 3

B.C. 9

D.E. 27

10. El número por el cual debe multiplicarsepara obtener 4 es:

A.

B.

C. 2

D. 2


11. La expresión es equivalente a:

A. –6B. –2C. 2D. 10E. 10 + 2

12. ¿Cuál es el área total de un cubo cuya aristamide cm?

A. 378 cm2

B. 441 cm2

C. 27 cm2

D. 189 cm2

E. 343 cm2

13. Para el número – 10,05, ¿cuál de lassiguientes afirmaciones es correcta?

A. Es menor que –0,0002.B. Es igual a cero.C. Es positivo y menor que 0,0001.D. Es negativo y mayor que –0,0002.E. Es mayor que 0,0001.

14. El perímetro de un triángulo rectángulo decatetos y es:

A.

B. 24

C.

D.

E. No se puede calcular.

4

2 82

−( )

d2

2 2d

d 2

d 2

24 5

70 14 5+

8 5

8 56 5

101

7

7

63

2

4

2

2

9 95

3 95

27

275

x yx x y y( ) ⋅ ( )

Un

idad

1

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

xyxy x y( ) −

xyxy x y( ) +


Plantear y resolver problemas.Analizar existencia y pertinencia

de soluciones.

Conocer la parábola como unlugar geométrico.

Reconocer la gráfica de unaparábola e identificar sus elementos y propiedades.

Analizar y conocer el tipo de crecimiento de la función y susaplicaciones en la modelación

de algunos fenómenos.

Resolver problemas de máximos y mínimos utilizando parábolas.

Describir y analizar una función cuadrática.

Función cuadrática y función raízcuadrada2

Función raíz cuadrada

Máximos y mínimos

Ecuación de segundo grado

Parábola

Función cuadrática

54 | Unidad 2


UNIDAD 2 (54-105)C:Maquetación 1 4/11/10 17:12 Página 54

Función cuadrática y función raíz cuadrada | 55

Conversemos de...

Aunque las leyes que describen el movimiento se estudian con detalle en Física, en esta Unidadanalizaremos las expresiones matemáticas que lo representan. Por ejemplo, el salto de las gace-las se podría expresar usando las mismas fórmulas que modelan el lanzamiento de proyectilesy que involucran potencias de segundo grado. La fórmula que describe la altura del salto es:

donde g representa la aceleración de gravedad, t el tiempo transcurrido, v0 la velocidad inicial yk una constante que está relacionada con el ángulo del salto.

• ¿Conoces el valor de g, o una aproximación para este?, ¿en qué unidades está?• ¿Podrías calcular s, dados los valores de k y t correspondientes?, ¿por qué?• En el caso del salto de la gacela, ¿puede ser v0 = 0?, ¿por qué?• Busca un ejemplo diferente de una ecuación que involucre potencias de segundo grado

y que modele algún fenómeno.

s v tk gt0 –=12

2

Latin

stoc

k


56 | Unidad 2

¿Cuánto sabes?

1. Factoriza las siguientes expresiones:

a. x3 – x2 + x – 1 c. 3x2 + 4x + 1 e. x2 – 5x – 6b. 3x2 – 7x d. a2 – 4 f. y2 + (a + b)y + ab

2. Calcula las siguientes expresiones, considerando que ;

y .

a. c. e.

b. d. f.

3. Encuentra el valor de x en las siguientes igualdades:

a. x2 = 144 c.

b. d. x(a2 + ab + b2) = a3 – b3

4. Determina cuál o cuáles de las siguientes gráficas corresponden a unafunción. Explica tu decisión.

a. c.

b. d.

x3 125=

4 9+ =x

2

22 8−

20 40 60+ +

8 9 125− +

6 18 24+ +

5 2 23≈ ,3 1 73≈ ,

2 1 41≈ ,


4

27

2

31− +

1

2

1

3

1

5+ +


5. Determina cuál o cuáles de los siguientes pares ordenados corresponde a la función f (x) = 3x – 4. Fundamenta tu respuesta.

a. (12, 32) c. (–3, 13)b. (0, 4) d. (–2, –10)

6. Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones son positivaspara todo x positivo. Explica cómo lo supiste.

a. 4 + x c. x2 e. 1 – 3x2

b. 13 – 2x d. 4x2 + 1 f. –8x2

Verifica en el solucionario si tus respuestas son correctas. ¿Tuvistealgún error? Si lo tuviste, corrígelo antes de continuar con la Unidad.


Un

idad

2


• Algunas factorizaciones:

• ab + ac = a(b + c) Factor común.• a 2 – b2 = (a + b)(a – b) Diferencia de cuadrados.• a 2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 Cuadrado de binomio.• x 2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) Trinomio que es el producto de dos binomios

con un término común.

• Las raíces enésimas se pueden escribir como una potencia con exponente racional, por ejemplo:

• El producto de dos términos es cero si y solo si al menos uno de ellos es cero, es decir:a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 (el signo ∨ significa “o”).

• La raíz de un producto es equivalente al producto de las raíces, es decir: .• El cuadrado de un número real es siempre positivo o cero, es decir, x 2 � 0.

• Si dos números son positivos, el orden entre ellos es el mismo orden que entre sus raíces y

sus potencias, es decir, si 0 < a < b y n es un natural, entonces .

• Una función y = f (x) es creciente en un intervalo [p, q] cuando para todo par de números

a y b del intervalo que cumplan a < b, se cumplirá f (a) < f (b).

• Una función y = f (x) es decreciente en un intervalo [p, q] cuando para todo par de números

a y b del intervalo que cumplan a < b, se cumplirá f (b) < f (a).• Una función es una regla que asocia a cada número x de un conjunto A, llamado dominio,

un único valor f (x) de un conjunto B, llamado recorrido. Ejemplo: f (x) = x 2, x � IR.

a b y a bn n n n< <

ab a b= ⋅

k k kmn n mmn= ( ) =


58 | Unidad 2

Función cuadrática

Analicemos...

Un zoólogo experto en anfibios modeló el salto de una rana me-diante una expresión matemática y obtuvo la siguiente función:h (t) = 2t – t2, donde t es el tiempo medido en segundos y h la alturaen metros.

La siguiente tabla muestra la altura de la rana en cinco instantes distintos.

• ¿Cuánto demora la rana en volver al suelo?, ¿de qué modopodrías determinarlo?

• ¿Cómo determinarías la mayor altura que alcanza la rana?

Según la tabla, la rana está en el piso tanto cuando t = 0 y t = 2, yaque la altura a la que está la rana es 0 en ambos instantes (h (t) = 0).El instante t = 0 corresponde al momento de iniciar el salto, y el ins-tante t = 2, a los dos segundos de haber saltado, corresponderá alinstante en que, luego del salto, la rana vuelve al piso.

Para determinar la mayor altura que alcanza la rana necesitamosconocer bien el comportamiento de la función que nos muestra elsalto de la rana. Si vemos los valores de la tabla, la mayor alturamostrada es de un metro cuando ha pasado un segundo.

Muchas situaciones son modeladas mediante una función que in-volucra el cuadrado de una variable, como el caso del salto de larana. Este tipo de funciones son de la forma f (x) = ax2 + bx + c, cona distinto de cero; se denominan funciones cuadráticas y su gráficacorrespondiente es una curva llamada parábola, como la de lafigura. Observa.

t 0 0,5 1 1,5 2

h (t) 0 0,75 1 0,75 0Rana de coro del Pacífico saltando en

una laguna.



Un

idad

2

En resumen

• Una función cuadrática o de segundo grado tiene la forma:f (x) = ax 2 + bx + c, con a, b y c � IR y a � 0.

• Su dominio es el conjunto de los números reales.

• Su gráfico corresponde a una curva llamada parábola.

1. Sea f (x) = x 2 – x – 2, calcula los siguientes valores de la función:

a. f (0) d. 3 · f (5) – 5 · f (3) g. f (a) – f (b)b. f (1) e. f (a – b) h. 2 · f (c) + 3 · f (c – 1)c. f (–1) + f (5) f. f (a + b) i. f (c – 1) – f (1 – c)

2. Escribe como función la relación que existe entre:

a. el lado a de un cuadrado y su área A.b. el radio r de un círculo y su área A.c. la diagonal d de un cuadrado y su área A.

3. Escribe el área de un triángulo equilátero en función de su lado x. ¿Puede ser esta función negativapara algún valor de x? Explica.

4. Una función como f (x) = (x – 3)2, ¿puede ser negativa para algún valor de x?, ¿por qué?

5. Una función como f (x) = –3x 2, ¿puede ser negativa para algún valor de x?, ¿por qué?

Actividades

Veremos en esta Unidad que para toda función cuadrática podemosgraficar la parábola correspondiente y determinar su comporta-miento a partir del análisis de los coeficientes de la funciónf (x) = ax 2 + bx + c.

El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los númerosreales, ya que para todo x � IR, f (x) = ax 2 + bx + c � IR, en cambio,el recorrido no es el mismo en todas las funciones cuadráticas. Paradeterminar este es necesario tener un mayor conocimiento de lasfunciones cuadráticas y su respectiva gráfica.


60 | Unidad 2

Características de la gráfica de f (x) = x2

En cursos anteriores, conocimos la función afín cuya forma es f (x) = mx + n, y la función lineal, ambas gráficas son una línearecta. Ahora, conocemos una nueva: la función cuadrática dadapor f (x) = ax 2 + bx + c, cuya gráfica es una parábola.

Observa la tabla de valores de la función lineal g(x) = x y la funcióncuadrática f (x) = x 2 y sus gráficas respectivas.

Podemos darnos cuenta que las gráficas construidas no correspon-den ambas a una recta. Es posible ver que la gráfica de la funciónf (x) = x 2 no es lineal, sino curva.

Analicemos...

• Si consideramos la función lineal g (x) = x, sabemos que es unarecta que pasa por el origen. Si evaluamos x en valores consecu-tivos, los valores de y varían de modo constante. Pero, ¿qué pasacon los valores de y en el caso de f (x) = x2 si x > 1?, ¿y si x < 1?

• ¿Cuánto valen las funciones en x = 1 y x = 0 respectivamente?,¿por qué?

• ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función f (x) = x2?

x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

g(x) = x –3 –2 –1,5 –1 –0,5 0 0,5 1 1,5 2 3

f (x) = x 2 9 4 2,25 1 0,25 0 0,25 1 2,25 4 9

• Función afín:f (x) = mx + n

• Función lineal:f (x) = mx

Donde m es la pendiente de larecta y n el coeficiente de posición.

Recuerda que...

f (x) = x 2

g (x) = x



Un

idad

2

En resumen

La función cuadrática f (x) = x2 presenta las siguientes características:

• Su gráfica es una parábola con vértice en el origen.

• El dominio de la función es R, y el recorrido es R0+.

A medida que aumentamos el valor de x (x > 1), los valores de yen la función f (x) = x 2 crecen cada vez más rápido en comparacióna g (x) = x, lo que podemos apreciar tanto en la tabla de valoresde ambas funciones como en la gráfica correspondiente a cadauna. Notemos que para un mismo valor de x, el valor de y en lafunción cuadrática es mayor que el de la función lineal; esto sedebe a que para x > 1, x 2 > x.

Por otro lado, para los valores de x en 0 < x < 1 se tiene que x2 < x,lo que podemos observar claramente, ya que la gráfica de laparábola está bajo la recta; es decir, en este intervalo el valor de lafunción f (x) = x2 es menor que la función g (x) = x.

En x = 1 podemos ver en la tabla que ambas funciones tienen elmismo valor, al igual que en el gráfico; por lo tanto, el punto (1, 1)es un punto de intersección de estas, al igual que el origen (0, 0).

El punto (0,0) de la parábola f (x) = x2 corresponde al vértice de laparábola, y en este caso es el punto más bajo de la gráfica, o sea,el menor valor posible. Además, divide la gráfica de la parábolaen dos ramas simétricas.

Como vimos anteriormente, el dominio de toda función cuadráticaes el conjunto de los números reales, y como para todo númeroreal x se tiene x2 ≥ 0, entonces el recorrido de f (x) = x2 es el con-junto de los números reales positivos y el cero, es decir R

0+.

1. Haz una tabla de valores para f (x) = 2x 2 con x entre –4 y 4, como en el texto, y compárala con f (x) = x y f (x) = 2x . ¿Qué cambios ocurren? Traza, mediante los puntos de tu tabla, una gráfica de esta función.

2. Determina si es verdadero o falso y justifica.

a. La gráfica de la función cuadrática f (x) = x2 es igual a la de una recta que crece hacia la derecha.b. Las gráficas de la función valor absoluto y de la función cuadrática f (x) = x2 no tienen

características comunes.

Actividades


62 | Unidad 2

Forma canónica de funciones cuadráticas

Anteriormente vimos que la función f (x) = x 2 corresponde a unaparábola con vértice en el origen; en este caso tenemos que ambosgráficos corresponden a parábolas, pero trasladadas con respectoa f(x) = x2. Las representaciones gráficas son idénticas, esto se debea que corresponden a la misma función cuadrática, solo que estáescrita de formas diferentes. Observa.

g (x) = (x + 2)2 – 1 = x 2 + 4x + 4 –1= x 2 + 4x + 3 = f (x)

Con lo que probamos que ambas funciones cuadráticas son la misma.

Si observamos la función f (x) = x 2 + 4x + 3, corresponde a unaparábola en su forma general, es decir, de la forma f (x) = ax 2 + bx + c, donde a = 1; b = 4 y c = 3.

Para poder estudiar mejor el comportamiento de la parábola,aprenderemos a escribir una función cuadrática de la forma enque está g (x) = (x + 2)2 – 1, llamada forma canónica.

Observa las siguientes funciones y sus respectivos gráficos:

Analicemos...

• ¿Son ambas parábolas?, ¿por qué?• ¿Qué diferencias hay en la representación gráfica de las dos

funciones cuadráticas?, ¿por qué?

f (x) = x 2 + 4x + 3 g (x) = (x + 2)2 – 1

Cuadrado de binomio:(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2

Recuerda que...Desarrollando el cuadrado de binomio



Un

idad

2

En resumen

• Toda función cuadrática de la forma f (x) = ax 2 + bx + c se puede escribir en su formacanónica, es decir, de la forma f (x) = a(x – h)2 + k.

1. Dadas las siguientes funciones cuadráticas:

f (x) = x 2 + 2x – 4 g (x) = 3x 2 + 24x + 1 h (x) = (x + 1)2 – 4 n (x) = 3(x + 4)2 – 47

Determina si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas. Justifica.

a. f (x) = h(x) b. g (x) = h(x) c. g (x) = n (x)

2. Escribe las siguientes funciones cuadráticas en su forma f (x) = a(x – h)2 + k, indicando en cada casoel valor de a, h y k.

a. x2 – 6x + 19 c. 2x2 – 4x + 7 e. 3x2 – 24x + 28b. x2 + 5x – 7 d. –2x2 + 12x – 3 f. –5x2 – 20x – 14

Actividades

Toda función cuadrática de la forma f (x) = ax 2 + bx + c puede serescrita en su forma canónica f (x) = a(x – h)2 + k por medio delmétodo de completación de cuadrados. Observa.

f (x) = ax 2 + bx + c

Si llamamos y , tendremos que para todos a,

b y c con a distinto de cero, existen h y k tales que

f (x) = ax 2 + bx + c = a(x – h)2 + k

EjemploSi queremos escribir la función f (x) = 3x 2 + 30x + 71 en su formacanónica, tendremos:f (x) = 3x 2 + 30x + 71 = 3(x 2 + 10x) + 71

= 3[(x + 5)2 – 25] + 71 = 3(x + 5)2 – 75 + 71= 3(x + 5)2 – 4

Luego, la función escrita en forma canónica será f (x) = 3(x + 5)2 – 4.

kb ac

a–

–=

44

2h

ba

–

=2

= a xba

x c2 +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ = a xba

b

ac+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

+2 4

2 2

2

= a xba

ba

c a xba

b+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− + = +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 4 2

2 2 2 2

–– 44

aca


Dilatación y contracción de la parábola

Observa el gráfico de las funciones cuadráticas f (x) = ax 2 para losdistintos valores de a.

Ambos gráficos corresponden a parábolas con vértice en el origen,es decir, en el punto (0, 0).

En el caso del gráfico 1, tenemos que si a > 0 y (x, x 2) es un puntode la gráfica de f (x) = x 2, entonces (x, ax 2) es un punto de la grá-fica de f (x) = ax2, luego ambas coordenadas, x2 y ax2, son positivaso cero, por lo que las dos parábolas se abren hacia arriba.

En cambio, si a < 0 las coordenadas x 2 y ax 2 tienen distinto signo,obtenemos que la gráfica de f (x) = ax 2 es una parábola que seabre hacia abajo.

Podemos darnos cuenta también, a partir de ambos gráficos, quea medida que el valor de a se acerca a 0, la parábola es cada vezmás abierta, o sea, se dilata, y mientras a se aleja de 0, la parábolaes más cerrada, es decir, se contrae.

64 | Unidad 2

Analicemos...

• ¿Cuál es la principal diferencia entre las parábolas de los gráfi-cos 1 y 2? Explica.

• En el gráfico 1, ¿qué comparación surge entre la gráfica deg

1(x) = x 2 y la de las funciones restantes?

• En el gráfico 2, ¿qué comparación surge entre la gráfica deg

2(x) = –x 2 y la de las funciones restantes?

• ¿Por qué ocurre que para dos valores distintos de x, el valor dela función f (x) = ax2 es el mismo? Explica.

f1(x) = 2x 2

g1(x)= x 2

h1(x) = 0,6x 2

t1(x) = 0,5x 2

f2(x) = –2x 2

g2(x)= –x 2

h2(x) = –0,6x 2

t2(x) = –0,5x

Gráfico 1 Gráfico 2


Observamos que si a > 0, la parábola que representaf (x) = –ax 2 es una reflexión en torno al eje X de laparábola de f (x) = ax2, también vemos que los valoresde la función se repiten a cada lado del eje Y; estoocurre porque para cualquier a, x número real secumple a(–x)2 = ax 2.


Un

idad

2

En resumen

En una función de la forma f (x) = ax 2:

• Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba, mientras que si a < 0, se abre hacia abajo.

• Si |a| < 1, la gráfica de la función f (x) se abre con respecto a la de la función f (x) = x 2

(hay dilatación con respecto a f (x) = x 2).

• Si |a| > 1, la gráfica de la función se cierra con respecto a la de la función f (x) = x 2

(hay contracción con respecto a f (x) = x 2).

• Si a > 0, la gráfica de la función f (x) = –ax 2 es una reflexión de la función f (x) = ax 2

en torno al eje X.

1. Construye un gráfico aproximado para las siguientes funciones cuadráticas, indicando si hay dilatacióno contracción con respecto a f (x) = x 2.

a. f (x) = 2x2 b. f (x) = –0,1x2 c. f (x) = –2x2 d. f (x) = 0,5x2

2. Una empresa multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en dólares están dados porla función f (x) = 28x 2 + 36 000x, mientras que sus gastos (también en la misma moneda) puedencalcularse mediante la función g (x) = 44x 2 + 12 000x + 700 000, donde x representa la cantidadde unidades vendidas.

a. Determina la función utilidad de la empresa. Explica cómo lo hiciste.b. ¿Cuánto es la utilidad si ha vendido mil unidades? Explica. c. ¿Cuál de estas funciones es una contracción con respecto a f (x) = x2?

Actividades


66 | Unidad 2

Desplazamientos de la parábola

Vimos qué ocurre al variar el valor de a en la función f (x) = ax 2 + bx + c, cómo varía el gráfico de la parábola asociadaa la función. Observa ahora las gráficas para las funciones de laforma f (x) = x 2 + c, es decir, cuando a = 1 y b = 0.

La diferencia en la representaciones gráficas es que la parábolaf (x) = x 2 + 3 está desplazada tres unidades verticalmente haciaarriba con respecto a g(x) = x 2, y el gráfico de h(x) = x 2 – 4 estádesplazado cuatro unidades hacia abajo con respecto a g(x) = x 2;por lo tanto, el gráfico de f (x) = x2 + 10 corresponderá a la parábolag(x) = x 2 desplazada en diez unidades verticalmente hacia arriba.

La representación gráfica de una función de la forma f (x) = x2 + ccorresponde a un desplazamiento de g(x) = x 2 verticalmente en|c | unidades, hacia arriba en el caso que c > 0, y hacia abajo en elcaso que c < 0.

Analicemos...

• ¿En qué se parecen los gráficos de g (x ) = x 2 y las funcionesrestantes?, ¿en qué se diferencian?

• ¿Hacia dónde se movería la función f (x) = x 2 + 10?, ¿y f (x) = x 2 + c?

El módulo de x se define como:I x I = x para x � 0oI x I = –x para x < 0

Recuerda que...

f (x) = x 2 + 3

g(x) = x 2

h(x) = x 2 – 4



Un

idad

2Esto se debe a que los puntos del gráfico de la función cuadráticaf (x) = x2 + c son de la forma (x, x 2 + c); es decir, solo se modifica laordenada de los puntos (x, x2) de la gráfica de la función f (x) = x2.

Observa ahora el gráfico de las funciones f (x) = x2; g (x) = (x – 3)2

y h(x) = (x + 2)2.

¿Cuál crees que es la parábola correspondiente a g (x) = (x – 3)2?,¿y a h(x) = (x + 2)2?, ¿por qué?

La representación gráfica de f (x) = x 2 la conocemos y tiene vér-tice (0, 0).Podemos observar que la única diferencia entre las parábolas en elgráfico es que g (x) = (x – 3)2 y h(x) = (x + 2)2 corresponden a un des-plazamiento horizontal de la función f(x) = x2; la primera en tresunidades a la derecha, y la segunda en dos a la izquierda.

Observa que si (p, p 2) es un punto de la gráfica de f(x) = x2, en-tonces (p + 3, p 2) es uno de la gráfica de g (x) = (x – 3)2 , ya que([p + 3] – 3)2 = p 2. Entonces, la gráfica de g (x) = (x – 3)2 está des-plazada respecto de la gráfica de x 2. El punto (p + 3, p 2) está tresunidades a la derecha de (p, p 2), así la gráfica de g (x) = (x – 3)2, esun desplazamiento de la gráfica de f (x) = x 2 en tres unidades ala derecha.


68 | Unidad 2

Teniendo en cuenta ahora tanto los desplazamientos verticalescomo horizontales de la representación gráfica de una funcióncuadrática, realizaremos un gráfico estimado de la función f (x) = (x – 3)2 – 5.

Este será una parábola que se abre hacia arriba, obtenida a partirde la gráfica de f (x) = x2, desplazándola tres unidades a la derechay cinco hacia abajo.Observa.

En resumen

• Para cualquier valor de c, positivo o negativo, la función cuadrática f(x) = x2 + c tiene porgráfica una parábola que corresponde a desplazar verticalmente la parábola f (x) = x2 en I c Iunidades, hacia arriba si c > 0, y hacia abajo si c < 0.

• Para desplazar una función f(x) horizontalmente en h unidades, debemos considerar la función f (x + h); el sentido del desplazamiento dependerá del signo de h.

• Si h > 0, f(x) se desplazará h unidades hacia la izquierda.• Si h < 0, f(x) se desplazará h unidades hacia la derecha.

f (x) = (x – 3)2 – 5


Un

idad

2


Si ahora tenemos la función cuadrática f (x) = –2(x – 4)2 + 1, podemosconstruir un gráfico estimado a partir de f (x) = –2x 2, desplazandola parábola correspondiente cuatro unidades a la derecha y unahacia arriba. Observa.

1. A partir del gráfico de f (x) = x 2, realiza la representación gráfica aproximada de las siguientesfunciones cuadráticas. Indica, paso a paso, cómo lo hiciste en cada caso.

a. f (x) = – x2 e. f (x) = x2 – i. f (x) = (x – 1)2 + 3

b. f (x) = –x2 + 12 f. f (x) = –x2 – 10 j. f (x) = –x2 + 12x – 2

c. f (x) = –5 + x2 g. f (x) = x2 – 3 k. f (x) = 2 – 3x – x2

d. f (x) = x2 – 8 h. f (x) = –(x – 2)2 l. f (x) = x2 + x + 1

2. Construye funciones cuadráticas que correspondan al desplazamiento en tres unidades a la derechade las siguientes funciones:

a. g (x) = x2 – 4x + 4 c. g (x) = x2 + 6x + 6b. g (x) = –x2 + 3x – 5 d. g (x) = 2 – 5x – x2

23

2

Actividades

f(x) = –2(x – 4)2 + 1

f (x) = –2x 2


Simetría y vértice de la parábola

70 | Unidad 2

Felipe está realizando un experimento que consiste en lanzar unapiedra. Él observa que esta describe una trayectoria parabólica,como se observa en la figura. La altura que alcanza la piedra enun determinado momento está dada por la función cuadráticah(t) = –t 2 + 10t, donde h(t) es la altura en metros alcanzada porla piedra, y t el tiempo en segundos desde que se lanza la piedra.

Al observar el gráfico, podemos darnos cuenta de que existe unpunto en el cual la piedra llega a su máxima altura y luego comienzaa descender; este punto es el vértice de la parábola.

La función correspondiente al lanzamiento de la piedra es h(t) = –t 2 + 10t, la cual escrita en su forma canónica es h(t) = –(t – 5)2 + 25, que como vimos anteriormente corresponde ala representación gráfica de una función de la forma f (x) = –x2,desplazada verticalmente veinticinco unidades hacia arriba y hori-zontalmente cinco hacia la derecha. Esto produce un desplaza-miento de cada punto de la función; por lo tanto, el vértice de laparábola estará veinticinco unidades hacia arriba del origen y cincoa la derecha, es decir, es el punto (5, 25).

El vértice de una parábola se puede inferir fácilmente a partir dela función cuadrática en su forma canónica.

Observa que en el caso de h(t) = –(t – 5)2 + 25, el vértice es el punto(5, 25).

En general, dada una función cuadrática f (x)= a(x – h)2 + k, esdecir, escrita en su forma canónica, el vértice de la parábola co-rresponde al punto (h, k), lo que equivale a que en la función f (x) = ax 2 + bx + c, el vértice de la parábola sea

el punto .

Si observamos el gráfico, podemos ver que la piedra está en el airedurante diez segundos, durante cinco segundos sube y luego caedurante los cinco siguientes. En el gráfico se puede apreciar el sen-tido del desplazamiento en las ramas de la parábola.

− −−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ba

b aca24

4

2,

Analicemos...

• ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la piedra?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Durante cuántos segundos la piedra estuvo en el aire?, ¿durantecuántos subiendo?, ¿y descendiendo?



Un

idad

2Esto se debe a que:• a la izquierda del vértice: si a < b, entonces –a2 + 10a < –b2 + 10b.

Luego, se cumple que f (a) < f (b).• a la derecha del vértice: si a < b, entonces –a2 + 10a > –b2 + 10b.

Luego, se cumple que f (a) > f (b).

Es decir, la rama creciente está a la izquierda del vértice y la ramadecreciente está a su derecha.

Gráficamente observamos una simetría con respecto a la recta quepasa por el vértice de la parábola. En el caso del lanzamiento de lapiedra será la recta t = 5, la cual recibe el nombre de eje de simetría.Observa.

1. Encuentra el eje de simetría y el vértice de las siguientes parábolas:

a. f (x) = 2x2 – 3x – 14 b. f (x) = x2 – 7x – 10 c. f (x) = x2 + 5x + 6

2. Encuentra el valor de a tal que la gráfica de la función f (x) = ax2 – 2x + 1 tenga como eje desimetría la recta x = 1.

3. ¿Cuántas parábolas tienen como vértice el punto (0, 0)? ¿Qué particularidad puedes observar eneste tipo de funciones cuadráticas con respecto al eje de simetría?

4. ¿Puede una función cuadrática tener como gráfica una parábola que tenga por vértice el punto(1, 2) y pasar por el punto (1, –1)? Explícalo geométricamente. ¿Puedes explicarlo algebraica-mente?, ¿cómo?

Actividades

En resumen

• En toda función cuadrática f (x) = ax2 + bx + c, el eje de simetría está dado por la recta ,

la cual divide la parábola en dos partes iguales y el vértice es el punto ,

siendo este la intersección entre la parábola y el eje de simetría. Puedes observar que el vértice es el punto más alto, si la parábola está orientada hacia abajo; y el más bajo, si loestá hacia arriba.

− −−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

ba

b aca24

4

2,

xba

= −2

t = 5


72 | Unidad 2

La parábola como lugar geométrico

Hemos estudiado la función cuadrática desde varios puntos yhemos llamado parábola al tipo de curva que se obtiene. Sin em-bargo, esta misma curva se puede obtener a partir del siguienteproblema geométrico.

Dibujar todos los puntos que se encuentren a igual distancia deun punto fijo F llamado foco y una recta L llamada directriz.

Al resolver este problema, aparece una parábola como dibujo.

Si ahora utilizamos un sistema de ejes coordenados XY y definimoslas coordenadas del vértice V(h, k) y una distancia p desde el vérticeal foco F, y desde este a la directriz L, obtenemos la siguiente figura:

Así, podemos plantear y desarrollar lo siguiente:

(x – h)2 + (y – (k + p))2 = (y – (k – p))2

(x – h)2 = 4yp – 4kp

(x – h)2 = 4p(y – k)

La parábola no solo es un lugar geométrico, sino que además tienegran importancia en la tecnología. Por ejemplo, algunos radares yantenas de telecomunicaciones son muestras del aprovechamientode las características geométricas de las parábolas.

Las antenas parabólicas, como la que se muestra en la foto, sonutilizadas para recibir señales, por ejemplo, de televisión o de tele-fonía; concentran las señales en un lugar que coincide con el focode la parábola, el cual se llama “receptor”.

x h y k p y k p−( ) + − +( )( ) − −( )2 2=

Elevamos al cuadrado

Ya que la distancia entreun punto (x, y) y F es iguala la distancia entre la rectaL y (x, y)

Desarrollamos

Factorizamos

PF

M M´

P´

L

Y

X

L

h

(x, y)

p

p

F

k

k + p

k – p

V

La distancia entre dos puntos delsistema de coordenadas: A(x1, y1)y B(x2, y2) se denota por d(A, B) yse calcula de la siguiente forma:

Si uno de los puntos corresponde alorigen del sistema, denotaremos ladistancia de un punto A a este pord(A, O), y su ecuación es

.d A O x y,( ) = +1 122

Recuerda que...

d A B x x y y,( ) = −( ) + −( )1 22

1 22



Un

idad

2

En resumen

• La ecuación (x – h)2 = 4p(y – k) representa la parábola con vértice (h, k) y directriz L: y = k – p yfoco F (h, k + p), donde p es la distancia entre el vértice y el foco, y entre el vértice y la directriz.


Construcción de la parábola con regla y compás

Usando el programa computacional Regla y compás, que puedes descargar de la página web www.educacionmedia.cl/mat3/car.exe, construye unaparábola siguiendo los pasos que a continuación se indican.

1º Traza una recta L cualquiera y dibuja un punto cualquiera Fque no pertenezca a L. Luego, ubica un punto P sobre L.Usa las siguientes herramientas:

2º Traza por P una recta de color rojo que sea perpendicular a L. Usa la herramienta:

3º Une P con F mediante un segmento y ubica el punto medio entre estos puntos. Utiliza las herramientas:

4º Traza, por este punto medio, una perpendicular (de color verde) al segmento PF. Usa la herramienta:

5º Ubica el punto X como intersección de estas dos perpendiculares.

6º Mueve el punto P y observa cómo se mueve el punto X. ¿Funciona? Para comprobar tu cons-trucción, selecciona la herramienta Traza de un punto. Luego, selecciona primero el punto X,después el punto P y, finalmente, mueve el punto P.

7º Varía tu comprobación usando la herramienta Traza automática.

Para colocar el nombre a los puntos o cambiar las propiedades de algún objeto usa el botónderecho del mouse.


74 | Unidad 2


• Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, y apoyándote en el esquema anterior,responde en tu cuaderno.


2. ¿En qué debes fijarte para determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo

en la función f (x) = ax 2 + bx + c?

3. ¿En qué debes fijarte para identificar el vértice de una parábola en f (x) = ax 2 + bx + c?

4. ¿Qué relación hay entre los coeficientes que aparecen al escribir una función cuadrática

en su forma canónica y el vértice?

5. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,

¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.

en su forma canónica se escriben

su dominio es

f (x) = ax 2 + bx + c

f (x) = a(x– h)2 + k

IR

PARÁBOLA


si

cada una es

se unen en

son de la forma su gráfica es unaFUNCIÓN CUADRÁTICA

a > 0

ARRIBA

a < 0

está formada por dos

RAMAS

se abre hacia

CRECIENTE DECRECIENTE

VÉRTICE

tiene coordenadas

ABAJO

se abre hacia

− −−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

ba

b aca2

4

4

2,



1. A partir de la representación gráfica de f (x) = x2, indica si hay dilatación o contracción con respecto af (x) = x2 y, luego, grafica las funciones reconociendo los desplazamientos de la función inicial.

a. f (x) = x2 + 3x – 5 b. g (x) = x2 – 12x + 3 c. h (x) = (x + 3)2 d. p (x) = 4 – 3x – 2x2

2. Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones:

a. f (x) = x2 + x + 1 b. g (x) = –3x2 + 2 c. h (x) = x – x2 d. p (x) = –4x2 + x + 1

3. Determina el vértice y el eje de simetría de las siguientes funciones cuadráticas:

a. f (x) = (x + 2)2 – 3 b. g (x) = 2 – x2 c. h (x) = 2x2 – 3x + 2 d. p (x) = 5 – x – x2

4. Grafica en tu cuaderno las siguientes funciones:

a. f (x) = x2 – 8 b. g (x) = x2 + 3x + 1 c. h (x) = 3 – x2 + 2x d. p (x) = (x + 4)2 – 9

5. La función que está representada por la curva dada es:

A. y = x2 + 3B. y = x2 – 3C. x = x2 + 3D. x = x2 – 3E. y = –x2 – 3


¿Cómo voy?

Mi progreso

Un

idad

2CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Reconocer la dilatación, contracción y desplazamientos de la parábola.

1 y 5 64 a 69

Determinar intervalos de crecimiento y decrecimiento.

2 60 y 61, 70 y 71

Determinar vértice y el eje de simetría. 3 70 y 71

Graficar funciones cuadráticas. 4 60 y 61


76 | Unidad 2

Ecuación de segundo grado

En cinemática, la posición de un objeto lanzado verticalmente hacia

arriba está dada por la fórmula y = y0 + v0t − gt 2, donde v0 es la

velocidad inicial con que se lanza el objeto, t el tiempo transcurrido,

g la aceleración de gravedad que la aproximamos por 10 e y0

la altura inicial del objeto.

Supongamos que se lanza una pelota verticalmente hacia arriba

desde la azotea de un edificio de 55 m de altura, con una veloci-

dad inicial de 50 , la que luego cae al suelo.ms

ms2

12

Observa que y0 = 55 y v0 = 50, de modo que la altura de la pelotaestará dada por y = 55 + 50t – 5t 2. Cuando la pelota se encuen-tre en el piso su altura será 0, es decir,tenemos que resolver55 + 50t – 5t 2 = 0 .

Recordando la identidad (x + a)(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab, tenemos(sin olvidar que la variable es t):

0 = 5(11 + 10t – t 2)

0 = 11 + 10t – t 2

0 = t 2 – 10t – 11

0 = (t + 1)(t – 11)

Luego,(t + 1) = 0 o (t – 11) = 0

t = –1 t = 11

Como la pelota no puede llegar al suelo un segundo antes de serlanzada desde el edificio, la solución encontrada t = –1 la eliminamos;por lo tanto, la pelota demora once segundos en llegar al suelo.

Si ahora nos interesa calcular en qué segundo la pelota se encuen-tra a diez metros de altura, debemos entonces resolver la ecuaciónde segundo grado 10 = 55 + 50t – 5t 2, lo que equivale a resolver laecuación:

0 = 45 + 50t – 5t 2

Analicemos...

• ¿Cuál es la ecuación que representa la altura en función del tiempo?• ¿Qué forma tiene el recorrido de la pelota hasta llegar al suelo?• ¿Cuánto tiempo demorará la pelota en llegar al suelo?, ¿por qué?

El producto de dos términos escero si y solo si al menos uno deellos es cero.

a · b = 0 a = 0 ∨ b = 0↔

Recuerda que...

Glosariocinemática: parte de la Física queestudia el movimiento prescindiendode las fuerzas que lo producen.

Factorizamos por 5

Dividimos por 5

Multiplicamos por –1

Factorizamos



Un

idad

2Encontrar las soluciones por simple inspección o factorizando direc-tamente se dificulta en este caso, por lo que la resolveremos pormedio del método de completación de cuadrados. Observa.

0 = 45 + 50t – 5t 2

0 = 5t 2 – 50t – 450 = 5(t 2 – 10t) – 45

0 = 5(t – 5)2 – 125 – 45

= (t – 5)2

Luego, las soluciones de la ecuación serán:

y

¿Son ambas soluciones válidas en el contexto del problema?

En general, para una ecuación de segundo grado o cuadrática cual-quiera, podemos encontrar las soluciones mediante completaciónde cuadrados.

Sean a, b y c números reales con a � 0, entonces: ax 2 + bx + c = 0.

Si llamamos x1 y x2 a las soluciones de la ecuación, estas serán:

t = −51705

t = +51705

0 5 5 25 452

= −( ) −⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

−t

1705

t −( ) = ±51705

a x +ba

x + c2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= 0

a xba

ba

c+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− + =2 4

2 20

a xba

b aca

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−−

=2 4

2 2 40

xba

b a

a+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

24 c

4

2 2

2

xba

b a

a+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ±−

24 c

4

2

2

xba

b aa

=−

±−

24 c2

2

xba

b aca1 2

=−

+−

242

xba

b aca2 2

=−

−−

242

Factorizamos por 5

Factorizamos por a

Calculamos la raízcuadrada

Despejamos para encontrar el valor de t

Para encontrar las soluciones de laecuación de segundo grado ax 2 + bx + c = 0, utilizamos elmétodo de completación de cuadra-dos, de la misma forma que para es-cribir una función cuadrática en suforma canónica.

Pon atención


78 | Unidad 2

Observa que las soluciones se diferencian entre sí por el término

, ya que ambas contienen el término ; sin embargo,

restamos.

Luego, si , ambas soluciones serán iguales, pues

tendremos que y .

Observa que si , significa que b 2 – 4ac = 0, ya que el

denominador de una fracción no puede ser 0, y .

Por otro lado, si b 2 – 4ac � 0, las soluciones serán distintas; sin em-bargo, como el segundo término de las soluciones es una raízcuadrada, para que las soluciones o raíces de la ecuación seannúmeros reales es necesario que b 2 – 4ac sea un número positivo,de lo contrario tendríamos la raíz cuadrada de un número nega-tivo que no existe en el conjunto de los números reales.

Como hemos visto, para saber si la ecuación cuadrática tiene o nosolución (y si las tiene, saber si son iguales o distintas), basta consaber el valor de b 2 – 4ac. Esta expresión es llamada discriminantede la ecuación de segundo grado y se denota por el símbolo Δ.

b aca

2 4−=

20

b aca

2 4−=

20

−ba2

b aca

2 4−2

En resumen

• Las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0 son llamadas también raíces de la ecuación, y en general siempre las podemos determinar por medio de:

• Podemos saber la naturaleza de las soluciones por medio del discriminante de la ecuación,que se denota por Δ = b 2 – 4ac :

• Si Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.• Si Δ = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales e iguales.• Si Δ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales.

xba

ba1 0=

−+ =

−2 2

xba

ba2 0=

−− =

−2 2

0 0=

xba

b aca1 2

=−

+−

242

xba

b aca2 2

=−

−−

242

a una se le suma el segundo término y a la otra se lo b aca

2 4−2



Un

idad

2

1. Resuelve las siguientes ecuaciones indicando el discriminante y la o las soluciones, si existen.

a. x2 – 10x + 20 = 0 c. x2 – 4x + 4 = 0 e. 5x2 + 125 = 0b. 4x2 – 8x + 29 = 3 d. x2 – 6x + 12 = 0 f. 3x2 – 7x = 0

2. Encuentra dos números consecutivos tales que su producto sea 132. Plantea una ecuación quepermita resolver este problema.

3. Una embotelladora de bebidas desea crear un envase cilíndrico de 18 centímetros de largo y unasuperficie de 144 cm2. ¿Cuál debe ser el radio de dicho cilindro?, ¿cómo lo calculaste?

4. Encuentra todos los valores de k tales que las soluciones de la ecuación cuadrática g (x) = 2x2 + k:

a. sean reales distintas. b. sean reales e iguales. c. no sean reales.

5. Encuentra todos los valores de k tales que las soluciones de la ecuación h(x) = 2x 2 + 3x – k:

a. sean reales distintas. b. sean reales e iguales. c. no sean reales.

6. Si las medidas de un rectángulo de 6 por 8 se aumentan en la misma cantidad cada una, el áreadel nuevo rectángulo será dos veces el área original. ¿Cuáles serán las dimensiones del nuevorectángulo?

7. La diagonal de un rectángulo mide 10 cm y su área 48 cm2. ¿Cuáles son las medidas de los ladosdel rectángulo?

8. Un deportista caminó 30 km en determinado número de horas. Si hubiese caminado un kilómetromás por hora, habría tardado una hora menos en recorrer la misma distancia. Suponiendo quellevaba la misma rapidez, ¿a cuántos kilómetros por hora recorrió esa distancia?

9. ¿Qué valores puede tomar k en la ecuación 8x 2 – (k + 1)x + (k – 7) = 0, para que tenga raícesreales iguales?

10. Expresa el número 192 en dos factores, de modo que estén en la razón 3 : 4.

11. En un círculo, la distancia entre dos cuerdas paralelas congruentes es de 12 cm. Si cada cuerda mide6 cm más que el radio, calcula la medida del perímetro del círculo.

12. ¿Es posible encontrar dos números consecutivos tales que su producto sea 17? Explica.

Actividades


80 | Unidad 2

Análisis de las raíces de una ecuación cuadrática

Observa la siguiente tabla, donde x1 y x2 son raíces de las siguientesecuaciones cuadráticas:

Toda ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 (a � 0) es equivalente a

la ecuación , luego, se puede factorizar de la

forma (x – x1)(x – x2) = 0, donde x1 y x2 son las soluciones de la

ecuación (x – x1)(x – x2) = x2 – (x1 + x2)x + x1 · x2.

Entonces, y , lo que nos permite relacionar

raíces de la ecuación de segundo grado con sus coeficientes.

Para encontrar una ecuación de segundo grado cuyas solucionessean x1 = 0 y x2 = –4, usamos la relación encontrada entre las raícesy los coeficientes de la ecuación.

Entonces, y , luego,

una ecuación de segundo grado con las soluciones dadas será:

x 2 – (–4)x + 0 = 0

x 2 + 4x = 0

ca

= x x = =1 2 0 4 0⋅ ⋅ −( )−− −

ba

= x + x = =1 2 0 4 4

x x =ca2 2⋅x + x =

ba1 2

−

xba

xca

2 0+ + =

Ecuaciones x1 x2 x1 + x2 x1 · x2 –

x2 – 5x + 6 = 0 2 3 5 6 5 6

x2 + 4x = 0 0 –4 –4 0 –4 0

x2 – 4x + 4 = 0 2 2 4 4 4 4

ba

ca

Analicemos...

• ¿Existe alguna relación entre la suma de las raíces y los coefi-cientes de las ecuaciones? Explica.

• ¿Existe alguna relación entre la multiplicación de las raíces y loscoeficientes de las ecuaciones?, ¿cuál?

• ¿Podrías obtener una ecuación que tenga como soluciones 0 y–4? Escríbela. ¿Cuántas ecuaciones de segundo grado con estassoluciones se pueden encontrar?, ¿por qué?



Un

idad

2

1. Calcula la suma y el producto de las raíces de las siguientes ecuaciones:

a. 5x2 + 3x – 10 = 0 b. c. x2 + x + 2 = 0

2. Encuentra una ecuación cuadrática cuyas raíces sean:

a. 0 y 3 b. –1 y 1 c. –2 y 2 d. m y m + 1

3. Si en la ecuación cuadrática x 2 – 6ax + 11 = 0, una de sus raíces es –1, ¿cuál es el valor de la otraraíz? (si es que la hay).

4. ¿Cuál es el valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación cuadrática –3x 2 + kx – 10 = 0sea 13?

5. La suma de las raíces de una ecuación cuadrática es –9 y su producto es 20. Encuentra la ecuaciónde segundo grado ax 2 + bx + c = 0 correspondiente, sabiendo que a = 5.

6. Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación 2x2 – 3x – 5 = 0, encuentra el valor de la expresión .1 1

1 2x x+

x x2+1

412 = 0−

Actividades

En resumen

• Sean x1 y x2 las raíces de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0.

Entonces: y .x x =ca1 2⋅x + x =

ba1 2

−

Podemos encontrar infinitas ecuaciones que tengan como soluciones0 y –4; observa los siguientes ejemplos:

2x 2 + 8x = 0–x 2 – 4x = 03x 2 + 12x = 0

A pesar de que estas tres ecuaciones son distintas a x 2 + 4x = 0, susraíces son 0 y –4; esto se debe a que estas ecuaciones se obtienenamplificando x 2 + 4x = 0 por algún número. Si tenemos dos o másecuaciones diferentes, pero que sus soluciones son iguales, se de-nominan ecuaciones equivalentes.


82 | Unidad 2

Ecuaciones reductibles a ecuaciones de segundo grado

Algunas ecuaciones pueden ser reducidas a ecuaciones de segundogrado haciendo algún cambio de variables.

Si observas detenidamente la primera ecuación, te podrás dar cuentade que si remplazamos x 2 por y, la ecuación se puede reescribircomo y 2 – 3y – 4 = 0, transformándose así en una ecuación de se-gundo grado cuyas soluciones son y 1 = 4 e y 2 = –1.

Pero y = x 2, de donde podemos deducir que y ≥ 0, descartando asíla solución y = –1. Entonces, la solución será y = 4, es decir, x 2 = 4,luego, las soluciones de x 4 – 3x 2 – 4 = 0 son 2 y –2.

En la segunda ecuación utilizaremos la variable auxiliar ,

tomando en cuenta que .

Remplazamos: 7y 2 – 9y + 2 = 0

, de donde obtenemos

e .

Luego, remplazamos para encontrar el valor de x:

• Para y1 = 1, , y por lo tanto, x1 = 1.

y2

9 5

14

4

14

2

7=

−= =y1

9 514

1414

1=+

= =

x = x = x = x342

2

33

4

3

2( ) ⎛⎝

⎞⎠

x =34 1

y =9 9 4 7 2

2 7=

9 2514

=9 514

2± −( ) − ⋅ ⋅( )⋅

± ±

y = x34

Analicemos...

• ¿Puedes resolver la ecuación x4 – 3x2 – 4 = 0?, ¿cuántas solu-ciones tendrá?, ¿cómo podemos resolverla utilizando lo aprendidode ecuaciones de segundo grado?

• ¿Y la ecuación ?7 9 2 03 34x x− + =

De este modo, las soluciones de son 1 y .27

34⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

7 9 2 03 34x x− + =

Recuerda que...

• Para , ,y por lo tanto, .x =2

427

3 ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

x =34 27

y =227

x xnmnm=



Un

idad

2

En resumen

• Muchas ecuaciones pueden reducirse a una ecuación cuadrática mediante una variable auxiliary = g (x), de modo que la ecuación que resulta en la nueva variable sea una ecuación cuadrática.Luego, al encontrar los valores solución en la variable y, debemos resolver la ecuación y = g (x)para encontrar los valores de x que resuelven la ecuación original.

• Una ecuación de tipo ax 4 + bx 2 + c = 0 es un caso particular de ecuaciones reductibles aecuaciones de segundo grado, llamada ecuación bicuadrática, la cual podemos resolver mediante el uso de la variable auxiliar y = x 2.

1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a. x4 + 4x2 + 2 = 0 c. x4 + 4x2 – 2 = 0 e. x4 – 5x2 + 6 = 0 g.

b. x4 – 16 = 0 d. 3x4 + 9x2 + 12 = 0 f. 3x4 + 7 = 0 h. 9x4 – 24x2 + 16 = 0

2. Resuelve las siguientes ecuaciones utilizando variables auxiliares:

a. x4 – 2x2 – 3 = 0 g. m. 32x + 3 = 3x + 1

c. (5 + x2)(8 – x2) = 0 i. o.

d. j. p.

f. 9x4 – 10x2 + 1 = 0 l. r.

3. Calcula la medida de los lados de un rectángulo sabiendo que su área es 12 cm2 y su diagonal mide5 cm. La siguiente figura que representa el problema te puede ayudar.

a. ¿Qué tipo de ecuación resulta? b. Resuelve un problema similar al anterior, pero en

el que el área aumenta a 60 cm2 y la diagonal a 13 cm.

21

26 04x x− − =

x x− =2 52

x x2 2 9 21+ + =

6 6 10 35x x+ + =

4 12 725 5x x+ =

5 2 33x x+ =

xx

22

5

2

10− + =

xx

x

x

2

21

10

++

+=

2

33

1

304 2x x− + =

Actividades

b. h. x4 – 4mx2 – (m2 – n2) = 0 n.x

xx

x

2

26 5

60

−+

−=2 5 2503 34x x− =

e. x4 – 5x2 + 4 = 0 k. q. x x43 233 2 0− + =5 2 5 2 20x x+ + + =

12x cm

5 cm

x cm


84 | Unidad 2

Análisis general de una función cuadrática

Don José, agricultor de Llanquihue, vende sus gallinas en una feriacampesina de la zona. Después de calcular el costo de mantenciónde cada una y venderlas a un precio p (en miles de pesos), obtienela utilidad por unidad vendida, que se puede modelar según lasiguiente expresión:

U(p) = –0,2 (p 2 – 20p + 75)

El precio de cada gallina está en miles de pesos, por lo tanto paradeterminar la utilidad correspondiente debemos evaluar la funciónpara p = 7; es decir, si el precio de venta de una gallina es $ 7000,don José obtiene una utilidad de:

U(7) = – 0,2 (72 – 20 · 7 + 75) = 3,2

Y como está en miles de pesos son $ 3200.

Recordemos que gráficamente una función cua-drática, como es el caso de la función de utilidaddada, es una parábola. Observa.

En el gráfico se puede apreciar que la parábolainterseca en dos puntos al eje de las abscisas, queen este caso corresponde al precio. Es decir, exis-ten dos valores para los cuales la utilidad es cero.

Llamaremos ceros de la función cuadráticaf (x) = ax 2 + bx + c a los valores de x tales que f (x) = 0, es decir, a los puntos de intersección conel eje X. Una parábola puede cortar en dos pun-tos al eje X, en uno (cuando es tangente) oninguno, dependiendo de las soluciones que tengadicha ecuación.

Analicemos...

• ¿Cuánto será la utilidad si vende una gallina a $ 7000?, ¿cómolo supiste?

• ¿Existe algún precio para el cual la utilidad es cero? Si lo hay, ¿dequé modo podrías determinarlo?

• ¿A qué valor debe vender cada gallina para que la utilidad seapositiva?, ¿y negativa?

Don José, alimentando a sus gallinas.



Sea f (x) = ax 2 + bx + c una función cuadrática cuyo discriminantees Δ = b 2 – 4ac, entonces:• Si Δ > 0, la gráfica de la función f(x) corta en dos puntos al eje X.• Si Δ = 0, la gráfica de la función f (x) corta en un solo punto al

eje X, siendo tangente a este.• Si Δ < 0, la gráfica de la función f (x) no corta al eje X.

En el caso de U(p) = – 0,2 (p 2 – 20 · p + 75), el discriminante es: Δ = (–0,2)2 · (20)2 – 4 · (–0,2)(–0,2)(75) = 4 > 0, por lo que la parábolaque describe la función de utilidad U(p) corta al eje de las abscisasen dos puntos, tal como lo pudimos apreciar en el gráfico.

Para determinar cuáles son los precios de venta para que la utili-dad sea igual a cero, debemos encontrar los valores de p tal queU(p) = 0. Observa.

–0,2 (p 2 – 20p + 75) = 0–0,2 (p – 5)(p –15) = 0

De donde concluimos que p = 5 o p = 15, que son los ceros o raícesde la función cuadrática. En otras palabras, si vende cada gallinaen $ 5000 o $ 15 000 no hay utilidades.

Al estudiar esta función de segundo grado se infiere que habrávalores para los cuales la utilidad es positiva y otros para los cualesno hay utilidad.

Al observar el gráfico de esta función, se deduce también que si elprecio p varía entre 0 y 5, o bien, es mayor que 15, hay utilidadesnegativas o pierde dinero al vender. Si, por el contrario, el valor de pvaría entre 5 y 15, entonces, hay utilidades que alcanzan su máximoen p = 10, y son de $ 5000 por cada gallina.

En muchos problemas será necesario resumir la información paratener claro lo que sucede para distintos valores de las variables. En este caso tenemos:

Estos gráficos permiten responder más fácilmente preguntas como:¿en cuánto debe vender cada gallina para no tener pérdidas?, o¿qué sucede si vende cada gallina a $ 20 000?

Un

idad

2

5 150

U(p) < 0

Hay pérdida Hay ganancia Hay pérdida

U(p) > 0 U(p) < 0

– + –


86 | Unidad 2

En resumen

• Dependiendo de los valores de a, b y c en la expresión: f (x) = ax 2 + bx + ces posible analizar el signo de la función: f (x) > 0 o f (x) < 0.

• Sea f (x) = ax 2 + bx + c una función cualquiera de segundo grado y x1 y x2 sus raíces, entonces, se pueden tener las siguientes situaciones:

Caso 1: a > 0

Caso 2: a < 0

a. Si Δ > 0, entonces:

• f (x) < 0 para x1 < x < x2• f (x) > 0 para x < x1 y

x > x2

b. Si Δ = 0 hay solo una raízx1 de f (x), entonces f (x) > 0 para todo x � x1

c. Si Δ < 0, entonces f (x) > 0para todo x > 0 paratodo x.

a. Si Δ > 0, entonces:

• f (x) > 0 para x1 < x < x2• f (x) < 0 para x < x1

y x > x2

b. Si Δ = 0 hay solo una raízx1 de f (x), entonces f (x) < 0 para todo x � x1

c. Si Δ < 0, entonces f (x) < 0para todo x

x1

x1

x1

x1

x2

x2



Un

idad

2

1. Grafica las siguientes funciones cuadráticas, calcula cuál es su discriminante e indica claramentedónde corta al eje X, si es que lo corta, según sea el caso.

a. f (x) = 2x2 + 3x + 5 c. f (x) = 4x2 – 4x + 1 e. j (x) = 2x2 + 31xb. h (x) = –x2 + 4x – 3 d. g(x) = 2x2 + 5 f. t(x) = x2 + 4x + 4

2. Encuentra todos los valores de k tales que la gráfica de la función f (x) = kx2 + 3x – 4 corte al ejede las abscisas en:

a. dos puntos. b. un solo punto. c. no lo corte.

3. Encuentra la ecuación de una parábola cuyas raíces sean (3 + ) y (3 – ). ¿Cuántas parábolashay con esas condiciones?

4. Encuentra y explica la relación entre las soluciones de una ecuación de segundo grado y el vérticede la parábola asociada.

5. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica en cada caso tu decisión.

Si el vértice de la parábola que grafica a una función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c es (p, q) ylas raíces de la ecuación de segundo grado asociada son x

1y x

2, entonces:

– si p > 0 y b > 0, la parábola se abre hacia arriba.– si b < 0 y x

1+ x

2< 0, la parábola se abre hacia abajo.

6. Determina los valores de k para los cuales la función cuadrática f (x) = kx2 + kx – 4 es siemprepositiva.

7. Determina los intervalos en los cuales las siguientes funciones cuadráticas son positivas y aquellosen los cuales es negativa.

a. f (x) = 2x2 + 3x – 4 c. f (x) = x2 + 5x + 7 e. f (x) = –6x2 – 4x + 13b. h (x) = x2 + x – 2 d. h(x) = x2 – 8 f. g (x) = x2 + 3

8. Sea f (x) = 3x2 – x + k, con Δ = 25.

a. Determina el valor de k. b. Determina los valores de x para los cuales f (x) < 0. c. Determina los valores de x para los cuales f (x) > 0.

22

Actividades


88 | Unidad 2

Máximos y mínimos

Un grupo de entomólogos estudia los factores que inciden en elcrecimiento poblacional de una clase de escarabajos. Inicialmente,tenían una población de 1000 escarabajos. Luego, alteraron los fac-tores de su hábitat y pudieron modelar el crecimiento de estapoblación mediante la siguiente expresión:

P (t) = –t 2 + 30t + 1000, en la cual t indica la cantidad de días y P (t)la población existente en ese día.

Es claro que al inicio del experimento, t = 0 y P (0) = 1000.

Si estudiamos la función cuadrática, podemos deducir que:

• Hay dos puntos t1 y t2 para los cuales P (t1) = 0 y P(t2) = 0. • Tiene un vértice en el punto:

¿Qué información referente al problema nos aporta esto?La función P (t) tiene un valor máximo en 1225 y se alcanza cuandot = 15 días, ya que a < 0 (se abre hacia abajo). Esta función tienesu vértice en este punto, luego del cual toma valores menores.

La segunda pregunta se reduce a determinar el valor de t tal queP (t) = 0, o sea, debemos resolver la ecuación cuadrática:

–t 2 + 30t + 1000 = 0–(t – 50)(t + 20) = 0t = 50 o t = –20

Como t es el tiempo desde el inicio del experimento t � 0; por lotanto, concluimos que el tiempo buscado es t = 50 días, es decir,cuando deja de existir el último escarabajo.Veamos esta situación en un gráfico.

Analicemos...

• ¿Al cabo de cuántos días se alcanza la máxima población?,¿cómo lo supiste?

• ¿Cuándo deja de existir el último escarabajo?, ¿por qué?

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=−

−−

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝

ba

Pba

P2 2

302

302

, ,⎜⎜⎞⎠⎟

= ( )( ) = ( )15 15 15 1225, ,P

punto máximo

Escarabajos colorados de la papa.



Un

idad

2

1. Grafica las siguientes funciones indicando los puntos de intersección con los ejes (si los hay) y elvértice. Indica si la función tiene un máximo o un mínimo.

a. f (x) = 2x2 – 1 d. t(x) = x2 – x g. q(x) = – x2 + 5x – 1b. g(x) = x2 – x + 1 e. s(x) = x2 + 2x – 3 h. r(x) = x2 + 0,5xc. h(x) = x2 + 1 f. p(x) = x2 – 2x – 3 i. s(x) = x2 – 2x

2. Construye una función cuadrática tal que su máximo sea el punto (1, 0). Luego, otra función cuyomínimo sea (1, 0). Compara tus respuestas con tus compañeros y compañeras.

3. Calcula el valor de a tal que la gráfica de la función f (x) = ax 2 + 2x + 4 tenga su vértice en (1, 5).¿Existe una función cuadrática de este tipo tal que su vértice sea el (0, 0)?

4. Un malabarista lanza una pelota imprimiéndole una velocidad de 4 . Después de haber sido lanzada,

la función que describe su altura (medida en metros) según el tiempo es: h(t) = 1,2 + 4t – 2t 2.

a. Calcula la altura máxima que alcanzó la pelota. b. Calcula el tiempo en que se alcanzó la máxima altura. c. ¿Cuánto tiempo permaneció en el aire? Explica.

5. Encuentra la distancia mínima entre la parábola y – 2 = (x – 1)2 y el punto (1, 1).

6. La altura a la que llegan dos proyectiles al ser disparados verticalmente hacia arriba está dada

por las funciones f (t) = –0,01t2 + t + 10 y g(t) = + t + 10, respectivamente, donde t es el

tiempo medido en segundos. Determina qué proyectil llega más alto y cuánto tiempo demora

en hacerlo.

43

–t 2

81

ms

Actividades

En resumen

Sea la función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c, entonces:

• si a < 0, entonces f tiene un valor máximo para x = . Para calcular este valor máximo hay

que obtener .fba

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

−ba2

• si a > 0, entonces f tiene un valor mínimo para x = . Para calcular este valor mínimo hay

que obtener .fba

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

−ba2


90 | Unidad 2

Función raíz cuadrada

Para medir la velocidad de un fluido incompresible (como el agua)

en un tubo, se utiliza el medidor Venturi que aprovecha el fenó-

meno de un fluido que circula por un tubo; cuando este se estrecha

en una zona, se ve obligado a incrementar su velocidad en la zona es-

trecha. Por razones físicas, eso produce una disminución de la presión

del fluido en esta zona. La velocidad que traía el fluido antes de la

estrechez se mide por , donde k es una constante

que depende del tubo y el tipo de fluido, P1 es la presión del fluido

en la zona normal del tubo y p es la presión medida en la estrecha.

De este modo, en un tubo de ancho constante se intercala una sec-

ción estrecha provista de un medidor de presión, que entrega el

valor p, a la vez que se mide la presión normal P1 en la zona normal

del tubo, de modo que la velocidad se puede calcular como se indica.

v = k P p⋅ −1

Con los datos dados, obtenemos .

Al completar la tabla, notamos que la velocidad disminuye al au-mentar el valor de la presión en la zona estrecha.

v = p5 8⋅ −

Analicemos...

• Asumiendo k = 5 y P1

= , haz una tabla con los valores de

v para los siguientes valores de p: 0,3; 0,5; 1; 3; 4,5; 6; 7.¿Qué ocurre con la velocidad al aumentar la presión en al zonaestrecha?, ¿por qué?

• ¿Cuánto es lo máximo a lo que puede aumentar p?, ¿cómo lo supiste?

82

N

cm

p 0,3 0,5 1 3 4,5 6 7

13,87 13,69 13,23 11,18 9,35 7,07 5v = p5 8⋅ −

Glosariofluido incompresible: es cualquierfluido cuya densidad permanece cons-tante en el tiempo.

Un newton (N) es la unidad defuerza en el Sistema Internacionalde Unidades. Es la fuerza necesaria para proporcionar una aceleración

de 1 a un objeto de 1 kg de masa.ms2

Recuerda que...

vP1

p



Por otra parte, sabemos que no podemos calcular la raíz cuadradade un número negativo, por lo que obligatoriamente 8 – p � 0. Esosignifica que 8 � p, así que la máxima presión que se puede mediren la zona estrecha es 8. Esto tiene sentido físico, ya que la presiónen la zona estrecha no puede ser mayor que la presión en el restodel tubo, que era 8.

En ocasiones como la planteada, hay que considerar colectivamentea raíces cuadradas de varios números. Así como, al tratar colectiva-mente los cuadrados de varios números, se definió la funcióncuadrática, en este caso, definimos la función raíz cuadrada porf (x) = , con la restricción de x � 0, es decir, con dominio R

0+. Ob-

serva su gráfico.

A partir del gráfico podemos ver que la función solo existe para losvalores positivos de x, esto se debe a que, como concluimos ante-riormente, su dominio es el conjunto de los números reales posi-tivos y el cero. También se puede apreciar en el gráfico que surecorrido es R

0+, ya que los resultados de las raíces cuadradas nunca

son valores negativos.

Además, es una función creciente en todo su dominio, ya que si

0 < a < b, entonces .

Sabemos que la raíz cuadrada está relacionada con las potencias deexponente 2; del mismo modo, la función cuadrática está es-trechamente relacionada con la función raíz cuadrada.

Anteriormente realizamos un análisis gráfico de la función lineal y lacuadrática; comparemos ahora estas importantes funciones con lafunción raíz cuadrada. Vimos que a medida que aumentamos elvalor de x, los valores de y en g(x) = x 2 crecen o decrecen cadavez más rápido en comparación a h(x) = x , ¿pero qué ocurre enel caso de f (x) = ? x

a b<

x

Un

idad

2

+


92 | Unidad 2

Podemos ver en el gráfico que la función

f (x) = es creciente, ya que si a < b, entonces

acelerado que la función h(x) = x y que g(x) = x2,

los valores de crecen de manera más lenta,

ya que < x < x 2.

Para los valores de 0 < x < 1 se tiene que > x > x 2, o sea, paratodo x en este intervalo el valor de la función raíz cuadrada esmayor al de la función lineal y cuadrática. En x = 1, las tres fun-ciones valen lo mismo, por lo que el punto (1, 1) es donde se inter-secan las funciones dadas.

Si observamos el gráfico, veremos que la función f (x) = la obte-

nemos dibujando la gráfica simétrica a la rama de la función

cuadrática para x � 0 respecto a la recta h(x) = x. A cada punto

(x, y) de la gráfica de g(x) = x 2 le corresponde en f (x) = el

punto que resulta de intercambiar sus coordenadas, es decir, (y, x).

De modo similar al visto para analizar los desplazamientos de una

función cuadrática, podemos analizar los correspondientes a una

función raíz cuadrada. La función que corresponde a desplazar la

función f(x) = en �a �unidades horizontalmente (hacia la derecha

si a > 0 y hacia la izquierda si a < 0) y �b � unidades verticalmente

(hacia arriba si b > 0 y hacia abajo si b < 0) es f (x) = .x a b– +

x

x

x

x

x

x

xg(x)

En resumen

• La función raíz cuadrada se define por f (x) = , con dominio y recorrido IR+0.

• Es una función creciente en todo su dominio.

• Cada par ordenado (a, b) de la gráfica de cumple que a � 0 y b � 0, y el par ordenado

(b, a) pertenece a la gráfica de la función f (x) = x 2.

x

x

, pero para x > 1 el crecimiento es menos a b<



Un

idad

2

1. Dada la función f (x) = , ¿entre qué valores varía f (x), si x toma valores:

a. entre 0 y 0,2? d. entre 12 y 14?b. entre 0,5 y 0,7? e. entre 50 y 60?c. entre 1 y 3? f. entre 100 y 400?

2. En la expresión matemática T = se relacionan dos magnitudes, donde I es la longitud delpéndulo (m) y T es el período (s). Construye una tabla de valores y grafica la función. Luego, analizala relación que se da entre I y T.

a. Si la longitud del péndulo es de 1 m, el tiempo de oscilación es aproximadamente 2 s. Si se duplica la longitud, ¿en cuánto aumentará el período?

b. Si la longitud del péndulo es de m, ¿cuánto es T?, ¿y si la longitud es de m?

c. Si el tiempo empleado por el péndulo es de s, ¿cuál es la longitud del mismo?

d. ¿Qué sucede si alargas la longitud del péndulo?

3. ¿Cuál es la expresión que determina el lado de un cuadrado que tiene por área m2?,

¿y m2?

4. Determina el dominio, recorrido y gráfica de las siguientes funciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

a. f (x) = 3 + e. f (x) = 4 i.

b. f. f (x) = 1 – j. f (x) = 3 –

c. g. f (x) = 4 – k. f (x) = 2 + 2

d. h. f (x) = – 4 l. f (x) = 2 +

5. Para cada función determina si es creciente o decreciente. Explica cómo lo supiste.

a. f (x) = c. f (x) = –2 e. f (x) =

b. f (x) = 3 + d. f (x) = f. f (x) = 4 + 3 2 1x +x − 5x

5 − xxx + 2

xxf x =( ) 2 x

xxf x = x +( ) 4

5 − xxf x = x( ) − 2

f x = + + x( ) 2 2xx

2 2

2 2

12

3 32

2 I

x

Actividades


94 | Unidad 2


GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte,es un sistema de geometría interactiva en el que se pueden construir puntos, vectores, segmentos,rectas, secciones cónicas y funciones, y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se puedeningresar las ecuaciones y coordenadas directamente y, después, obtener las gráficas correspondientes.Esto permite construir y analizar gráficos de diversas funciones. Para utilizar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, y luegohaz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tener lanecesidad de instalarlo en tu computador.

Para abrir el programa, haz doble clic en el icono GeoGebra_3_2_0_0.exe.

• Para graficar una función, se debe escribir la que se necesita graficar en la celda Entrada, ubicada en la parte inferior de la ventana. Si quieres que tenga un nombre especial, comov (x) para velocidad, pones v (x) = y a continuación la expresión de la función.

• Si la función tiene potencias, los exponentes se escriben usando el símbolo ^. Por ejemplo,para graficar 3x2 + 4 se escribe 3x^2+4 y se presiona Enter.

• Para graficar varias funciones simultáneamente, solo agrégalas una después de la otra.

Ahora vamos a usar GeoGebra para graficar parábolas, tanto de funciones cuadráticas como de raíces.



Un

idad

2

1. Grafica juntas las funciones cuadráticas f (x) = x2 – 3 y g (x) = x2 + 2x – 3 y responde:

a. Escribe las funciones cuadráticas del modo adecuado para GeoGebra e ingrésalas en el programa.

b. ¿En qué punto se intersecan?, ¿por qué?c. Según la gráfica, ¿cuál es el recorrido de cada función?d. Comprueba tus respuestas mediante las técnicas aprendidas en las secciones anteriores.

2. Grafica juntas las tres funciones cuadráticas f (x) = x2, g (x) = 2x2 y h (x) = 0,5x2. En GeoGebra losdecimales se ingresan con punto en vez de coma, es decir, 0,5x2 se ingresa como 0.5x^2.

a. ¿Qué observas?, ¿puedes explicarlo usando la materia anterior?b. ¿Cuáles son dilataciones y cuáles contracciones de la gráfica de x2?c. ¿Dónde está el vértice de cada función?d. Todas crecen a la derecha de su vértice, pero ¿crece h (x) más rápido que f (x)?

3. Grafica en GeoGebra juntas las funciones f (x) = 1 + y g (x) = 1 – . Considera, sin

ya que se usa la abreviatura de square root, sqrt, por “raíz cuadrada” en inglés.

a. ¿Qué observas al graficar juntas f (x) y g (x)? Explica.b. Toma la inversa de f (x) y la inversa de g (x), y compáralas con h (x). ¿Qué observas?c. En la misma gráfica donde graficaste f (x) y g (x), haz ahora la gráfica de h (x). ¿Es lo que

esperabas?, ¿por qué?

xx

graficar, la función cuadrática h (x) = (x – 1)2. Para graficar 1 + debes ingresar 1+sqrt(x), x


96 | Unidad 2


• Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, y apoyándote en el esquema anterior,responde en tu cuaderno:


2. ¿Qué relación hay entre ecuaciones de segundo grado y funciones cuadráticas?

3. ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación de segundo grado?

4. ¿En qué debes fijarte para saber cuántas soluciones tiene una ecuación de segundo grado?

5. ¿Qué relación hay entre completación de cuadrados y las soluciones de una ecuación de

segundo grado de discriminante positivo?

6. ¿Qué relación hay entre el vértice de la gráfica de una función cuadrática y las soluciones

que pueda tener?

7. ¿Qué relación hay entre los coeficientes a, b y c en ax 2 + bx + c = 0 y sus soluciones?

8. ¿Tienes alguna duda sobre conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?


es de la forma

mediante

permite decidir

se relaciona conECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO

ax 2 + bx + c = 0

DISCRIMINANTE

Δ = b2 – 4ac

CANTIDAD Y

NATURALEZA DE LAS

SOLUCIONES

FUNCIÓN RAÍZ

CUADRADA


su dominio es su recorrido es

FUNCIÓN CUADRÁTICA

IR0

IR0

es la forma de

f (x) = x

+ +



Un

idad

2

1. Determina la cantidad de soluciones de las siguientes ecuaciones mediante el discriminante:

a. x2 – 8x + 5 = 0 c. 2x2 + 4x + 3 = 0

b. 3x2 + 6x + 3 = 0 d.

2. Resuelve las siguientes ecuaciones, si tienen solución:

a. x2 – 8x + 15 = 0 c. 14x – x2 – 49 = 0 e. x2 – 6x + 14 = 0

b. 2x2 – 6x + 4 = 0 d. 2x2 + 4 x – 18 = 0 f. –3x2 + 6x – 2 = 0

3. Determina en cada caso la función cuadrática f (x) = ax 2 + bx + c con los datos dados:

a. Sus raíces son 3 y 7 y su vértice es (5, 8).b. Sus raíces son –1 y 4 y la ordenada de su vértice es –6.c. Sus raíces son 0 y 12 y el punto (3, 3) pertenece a su gráfica.d. Una de sus raíces es 9 y el vértice es (2, –4).

4. Resuelve cada ecuación y explica el procedimiento utilizado.

a. x4 – 20x2 + 64 = 0 b. 2x4 + 2x2 – 4 = 0 c.

5. ¿Cuál debe ser el valor de k para que la función cuadrática f (x) = 2x 2 + kx – 4 tenga como eje desimetría la recta x = –1?

A. 2 B. –2 C. –1 D. –4 E. 4

3

xx

xx

−+

−=

1

1

73

24

1

43 2 02x x =− +

Mi progreso


¿Cómo voy?


Determinar la cantidad de soluciones de unaecuación de segundo grado a partir de su discriminante.

1 76 a 79

Resolver ecuaciones de segundo grado. 2 y 4 76 a 79

Formular una función cuadrática a partir de susraíces y un punto de ella.

3 80 a 87

Completar una función cuadrática a partir de sueje de simetría.

5 84 a 87



Ejercicio Determina cuál es la mayor superficie rectangular que se puede cercarcon 100 metros de alambre de púas. ¿Cómo relacionarías este proble-ma con el de encontrar máximos y mínimos?

SoluciónLa superficie rectangular deberá tener 100 m de perímetro, si nom-bramos por x e y los lados del rectángulo tendremos que:

2x + 2y = 100x + y = 50

La superficie del rectángulo estará dada por la expresión x · y ; sinembargo, para poder resolver el problema debemos dejar la super-ficie en función de una sola variable.Observa la figura.

x + y = 50y = 50 – x

Luego, la superficie del rectángulo en función de su largo x está dadapor la expresión:

s(x) = x(50 – x)s(x) = 50x – x 2

s(x) = – x 2 + 50x

Observa que la función que representa la superficie del rectángulo

es una función cuadrática, por lo tanto su gráfica es una parábola.

Como en la función cuadrática s(x) = – x 2 + 50x, a < 0, la parábola se

abrirá hacia abajo, por lo que la superficie del rectángulo alcanzará

un valor máximo en , luego, para calcular este máximo

debemos obtener .

xba

= −2

Cómo resolverlo

98 | Unidad 2

x

y

x

50 – x

sba

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

simplificamos

despejamosel valor de y


Entonces, el largo del rectángulo para que su superficie sea máxima

será: , remplazando el valor de x obtenemos el

largo

y = 50 – xy = 50 – 25y = 25

Para responder a la pregunta inicial y encontrar la mayor superficie

rectangular que se puede cercar con 100 metros de alambre de púas,

calculamos .

Por lo tanto, la mayor superficie que se puede cercar es un cuadradode 25 m de lado, y la superficie total será 625 m2.

sba

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2

xba

= − = −−

=2

502

25


Un

idad

2

Actividades


a. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de mayor área que se puede inscribir en una circunferencia de radio r?, ¿cómo lo supiste?

b. Para la fabricación de canaletas para aguas lluvia se dispone de láminas de 40 cm de ancho.¿De qué medida se deben hacer los dobleces de modo que se obtenga una canaleta demáxima capacidad?

2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores y compáralo con el que tepresentamos. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?


• Un granjero dispone de 210 m de malla para delimitar dos corrales adyacentes rectangularesidénticos. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para obtener el área máxima?

sba

s−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ( ) = − + ⋅ = − + =

225 25 50 25 625 1250 6252


100 | Unidad 2

En terreno

El agua en movimiento

En la naturaleza se pueden observar parábolas al lanzar objetos al aire. Sin em-

bargo, donde mejor se distinguen, sin necesitar equipos sofisticados o filmar esce-

nas, es en el agua lanzada hacia arriba, pero no totalmente vertical. El efecto tiene

que ver con que la velocidad de salida tiene un componente vertical, el que

veríamos al mirar en la misma dirección en que sale el chorro de agua, y un com-

ponente horizontal, el que vería alguien desde arriba hacia abajo. El movimiento

vertical hacia arriba se modela por y (t) = vat – t2 , donde t son los segundos trans-

curridos desde que comenzó a subir, y (t) la altura a los t segundos, vala compo-

nente vertical de la velocidad, y g es la aceleración de gravedad, que aproximamos

ahora por 10 . Por otro lado, el movimiento horizontal viene dado por x (t) = vht,

donde vhes la velocidad horizontal. De este modo, verticalmente el objeto sube,

llega a un máximo, y luego baja, a la vez que se mueve horizontalmente con veloci-

dad constante. Eso produce el efecto de una parábola.

ms2

g2


Actividades

1. Supón que va = 30 y vh = 40 . Despeja t en x = vht y remplaza ese valor de t en y = vat – t2.

Verifica que el resultado es una función cuadrática y analiza su gráfica usando lo aprendido en la Unidad.

2. ¿Qué pasa con la gráfica si vh = –40 ?, ¿qué significado físico tiene?

Investiguemos...


1. Busquen dónde usar una manguera de riego sin estropear nada ni mojarse.2. Manteniendo un chorro de agua razonable, ni muy débil ni muy fuerte, apunten primero en dirección

horizontal y luego vayan apuntando cada vez más hacia la vertical, poco a poco.3. Registren varias posiciones del vértice que observen, con coordenada x en cm horizontales desde la

salida del chorro de agua, y con coordenada y en cm verticales.4. Registren la tabla de valores. Los pares de valores, ¿pertenecen la gráfica de una parábola?, ¿qué carac-

terística notan?5. ¿Con qué inclinación, aproximadamente, se obtiene el vértice más alto?6. ¿Con qué inclinación aproximadamente se obtiene el arco más largo (que el agua llegue más lejos).7. Como la rapidez del agua al salir de la manguera es siempre la misma, ¿cómo explican que la altura

haya cambiado?, ¿qué parte de la fórmula de y (t) cambió al ir aumentando la inclinación con que salía?8. ¿Hay alguna posibilidad de que la parábola resultante tenga por gráfica a una parábola abierta hacia

arriba?, ¿qué tendría que cambiar en las fórmulas dadas para x (t) e y (t) para tener vértice como mínimo?,¿es posible?

9. El vértice ocurre exactamente a la mitad del tiempo que demora el agua en volver a la misma alturadesde la que salió. Justifícalo, basándote en el análisis de la gráfica de la parábola obtenida con variablesx e y, al eliminar la variable t.


• Comparen los resultados obtenidos con los de sus compañeros y compañeras. ¿Son similares? Si noes así, ¿qué diferencias hubo?, ¿son errores o pueden explicarse por las diferencias en las circunstan-cias al medir?

• Indaguen sobre el lanzamiento de proyectiles, y verifiquen las conclusiones que obtuvieron antes.

cms

cms

cms


Un

idad

2

3. Intercambiando las velocidades, supón que va = 40 y vh= 30 . ¿Qué pasa con la gráfica?,¿dónde tiene el máximo?

cms

cms


102 | Unidad 2


A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.


1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Las parábolas son funciones crecientes? Explica.3. ¿Qué estrategia se puede utilizar para resolver una ecuación de segundo grado? Explica paso

a paso.4. ¿Qué relación hay entre las soluciones de una ecuación cuadrática y el gráfico de una parábola?5. ¿Cuál es el dominio y recorrido de una función cuadrática? Explica.6. ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función raíz cuadrada?7. ¿Qué relación hay entre el discriminante de una ecuación de segundo grado y las soluciones

de esta?8. ¿Qué relación hay entre los ceros de una función cuadrática y el vértice de la parábola

asociada a esta?9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?


PARÁBOLA

VÉRTICE

DISCRIMINANTE

INTERSECCIÓN

CON EJE X

FUNCIÓN RAÍZ

CUADRADA

ECUACIÓN DE

SEGUNDO GRADO

RAÍCES O CEROS

DE LA FUNCIÓNMÁXIMOS

Y MÍNIMOS

FUNCIONES CUADRÁTICAS



Evaluación

I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

1. El vértice de toda parábola es el mínimo de esta.

2. Toda ecuación cuadrática con discriminante positivo es un múltiplo del producto entre la variable

restada con cada raíz.

3. El discriminante es el valor de la primera coordenada del vértice.

4. La cantidad de raíces de una ecuación de segundo grado depende del signo del discriminante.

5. La función raíz tiene por gráfica a una rama de parábola, en sentido horizontal.

6. La abscisa del vértice es igual a la semisuma de las raíces de la ecuación cuadrática.

7. La ecuación de segundo grado tiene por soluciones al máximo y el mínimo de la parábola.

8. Las raíces de la función cuadrática son las raíces cuadradas de los coeficientes a, b y c.

II. Aplica lo aprendido en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades:

1. Grafica la parábola correspondiente a cada una de las siguientes funciones:

a. f (x) = x2 – 8x + 12 f. f (x) = 2x2 – x – 1b. f (x) = –x2 + 4x + 5 g. f (x) = 2(x – 1)2 + 3c. f (x) = 2x2 h. f (x) = 2 – 3x – x2

d. f (x) = x2 – 1 i. f (x) = (x – 2)(x – 4) + 1e. f (x) = x2 + 25 j. f (x) = (x + 1)(x – 3) + 5

2. Determina la función que le corresponde a la parábola de la función f (x) = x2 – 2x – 3, despuésde trasladar el vértice al punto (2, 3) y orientar su concavidad hacia abajo.

3. Halla los posibles valores que puede tener k para que:

a. La ecuación –x2 + x = k tenga sus raíces iguales.b. La ecuación 3x2 + k = 0 no tenga solución en los números reales.c. La ecuación x2 + x = 5k tenga dos raíces reales distintas.d. La ecuación 2x2 – 3x + k = 0 tenga la misma cantidad de raíces reales que la ecuación

2(x2 + 1) – 3x = 4x.

4. Se lanza un proyectil hacia arriba con una velocidad inicial de 40 , desde 20 m de altura sobre

el suelo. Cuando han transcurrido t segundos desde el lanzamiento, su altura está dada por la

función f (t) = –t2 + 40t + 20.

a. Determina la altura máxima que alcanza.b. Determina el tiempo que demora en alcanzar la altura máxima.

ms

Un

idad

2


104 | Unidad 2

1. (DEMRE, 2004) Si , entonces

el valor de y cuando x = –3 es:

A. –8B. 8C. 2D. 1E. –2

2. (DEMRE, 2003) El largo de una piscina rec-tangular es el doble de su ancho. Se cons-truyó una cerca, rodeándola, separada unmetro de sus bordes. Si el área cercada esde 40 m2, ¿cuál es el largo de la piscina dela figura?

A. 3 mB. 6 mC. 12 m

D. m

E. m

3. Los números –3 y 2 son raíces de:

A. x2 – 5x + 6 = 0B. x2 + x + 6 = 0C. x2 – x + 6 = 0D. x2 + 2x + 6 = 0E. x2 + x – 6 = 0

4. (DEMRE, 2003) El área de un rectángulo es 2x 2 + 2x – 24. Si uno de los lados mide (x – 3),el otro mide:

A. (x + 8)B. 2(x + 8)C. 2(x – 4)D. 2(x – 3)E. 2(x + 4)

5. Si r1 y r2 son las raíces de la ecuación

x 2 – 5x – 6 = 0, es igual a:

A.

B.

C.

D.

E.

6. La suma de las raíces de la ecuación 2x 2 – 21x + 12 = 0 es:

A.

B.

C.

D. 21

E. 41

1 1

1 2r r+

80

− +3 165

2

yx x

x=

− ++

1 21

2

III. Marca la opción correcta en cada caso.

1 m

1 m

1 m1 m

−5

6

−4

35

64

35

3

−21

212

221

2



7. La función asociada al gráfico es:

A. f (x) = –4x2 + 4x – 3 B. f (x) = 4x2 + 4x – 3 C. f (x) = 4x2 – 4x + 3 D. f (x) = –4x2 – 4x + 3 E. f (x) = 4x2 + 4x + 3

8. La ecuación x 2 – 17x + 50 = 0 tiene:

I. dos raíces reales e iguales.II. dos raíces reales y distintas.III. no tiene raíces reales.

De estas afirmaciones es o son verdaderas:

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIE. Ninguna de las anteriores.

9. El lado de un triángulo isósceles mide tresmetros más que su base. Su altura mide 12 m.El área es:

A. 23 m2

B. 60 m2

C. 65 m2

D. 120m2

E. 130 m2

10. El discriminante de la ecuación cuadrática 3x2 – x + k = 0 es 25, entonces el valor de k es:

A. –2

B.

C.

D. 2

E. 4

11. El vértice de la parábola representada por lafunción f (x) = 2x 2 – 1 es:

A. (0, 0)B. (0, 2)C. (0, –1)D. (0, –2)E. (0, 1)

12. Si un sitio rectangular tiene un área de 448 m2

y el largo mide 4 m más que el doble de suancho, su perímetro es:

A. 14 mB. 32 mC. 46 mD. 92 mE. Faltan datos.

13. Al resolver la ecuación se obtiene:

A. 30B. 40C. 5D. 25E. 2

x – 5 5=U

nid

ad 2


−1

51

4


El triángulo rectángulo y latrigonometría3

106 |Unidad 3

Teorema de Euclides

Demostraciones de teorema de Pitágoras

Tríos pitagóricos

Razones trigonométricas

Funciones trigonométricas

Sistemas de medición de ángulos

Ecuaciones trigonométricas

Resolver problemas que involucren propiedades de los

triángulos rectángulos.

Reconocer la necesidad de lademostración en Matemática.

Conocer la historia del teorema de Fermat-Wiles

y los tríos pitagóricos.

Conjeturar y demostrarpropiedades geométricas en

triángulos rectángulos semejantes.

Reconocer las razonestrigonométricas en familias de

triángulos rectángulos semejantes.

Resolver ecuaciones que involucran razones

trigonométricas.



El triángulo rectángulo y la trigonometría| 107

Conversemos de...

El sextante es un instrumento que permite determinar el ángulo entre dos objetos. Este instru-mento ha sido, durante varios siglos, de gran importancia en la navegación marítima, ya queconociendo el ángulo de elevación al Sol y la hora del día es posible determinar, mediante cálculossencillos, la posición exacta en la que se encuentra un navegante en el océano.

El nombre sextante proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados,o sea, un sexto de un círculo completo.

• Si utilizamos un sextante y medimos el ángulo al Sol a dos horas del día distintas, ¿obtendremosel mismo resultado en ambos casos?, ¿por qué?

• ¿Qué instrumentos de medición de ángulos conoces?, ¿cómo se utilizan?• ¿Qué herramientas matemáticas conoces que relacionen el ángulo de elevación al Sol, con la

distancia entre este y un punto de la Tierra?

Latin

stoc

k


108 | Unidad 3

¿Cuánto sabes?

1. Determina, a partir del triángulo rectángulo de la figura, si las siguientesrelaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu decisión.

a. a2 + b2 = c2

b. b2 = c2 + a2

c. a2 = c2 – b2

d. b2 = a2 – c2

2. Encuentra la medida del tercer lado en los siguientes triángulos. Explicacómo lo calculaste.

a. b. c. d.

3. Dadas las figuras, calcula las medidas de los lados desconocidos.

a. b. c.

4. Fernanda mide 1,5 m; a las 4 de la tarde de un día, su sombra mide4,05 m; en ese mismo instante, la sombra de un árbol mide 15,12 m.

a. Explica cómo se puede calcular la altura del árbol usando semejanza de triángulos.

b. Calcula la altura del árbol.

5. En la figura, AC // BD, OA = 8 cm; OC = 6 cm; AB = 12 cm, ¿cuántomide CD?, ¿cómo lo calculaste?


b c

a

x

x

x x

B

O A

C

D

B

A

CED

y s t4 cm

17 m

3 cm 13 cm 34 cm30 cm

40 cm

12 cm 30 cm

10 m

18 m 15 cm 15 cm 5

3 m

12 cm

12 cm

12 cm 8 m

ABCD paralelogramo


6. Encuentra la mayor cantidad posible de parejas de triángulos semejantes e indica, en cada caso, el criterio que fundamenta lasemejanza.

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

El triángulo rectángulo y la trigonometría | 109

Un

idad

3


• En un triángulo, la suma de sus ángulos interiores es igual a 180°.• Un triángulo rectángulo es aquel que tiene un ángulo recto.

El lado opuesto al ángulo de 90º se llama hipotenusa, y los ladosque forman el ángulo recto se llaman catetos.

• Teorema de Pitágoras. En todo triángulo ABC, rectángulo en C,se cumple que: c2 = a2 + b2.

• Dos triángulos ABC y A´BĆ´ son semejantes si �A = �A’, �B = �B’,

�C = �C´, y, además, = = .

• Criterios de semejanza: ΔABC ~ ΔA´BĆ´ si:

• tienen sus lados proporcionales = = = (LLL).

• tienen dos pares de ángulos iguales (AA).

• tienen dos pares de lados proporcionales y el ángulocomprendido por ellos igual (LAL).

CACÁ

BCBĆ´

ABA B

CACÁ

BCBĆ´

ABA B

Cateto

Hipotenusa

Cate

to

B

C

C

A B B

C´

A

A

c

b

a

88º

59º

65º 65º

88º

33º

30º30º

12 cm

50º

10 cm

8 cm

6 cm

7 cm

10 cm

8 cm8 cm

A B

M

O

N

J

G H

WX

V

T

U S

C F

E

J K

P

R Q

L

D


110 | Unidad 3

Teorema de Euclides

Analicemos...

El canopy es uno de los deportes de aventura más difundidos en elúltimo tiempo en el sur de nuestro país. Este consiste, básicamente,en lanzarse por un cable, atado, a grandes distancias y diferentesalturas, mediante una polea y un arnés sostenido a ella.

Supongamos que tenemos una instalación de este deporte y que sepuede representar en la siguiente figura:

En la situación anterior, tenemos que para que CD sea lo menorposible, debe ser perpendicular a AB; por lo tanto, la distancia quedebe desplazarse la polea corresponderá a la longitud del seg-mento BD.

Observa que el triángulo ABC es rectángulo en C, y el triánguloCBD es rectángulo en D; luego, ambos triángulos tienen en comúnel ángulo correspondiente al vértice B y al ángulo recto, es decir,tienen dos pares de ángulos iguales.

Recordando los criterios de semejanza de triángulos tendremosque, por el criterio AA, ΔABC ~ ΔCBD.

En consecuencia, sus lados son proporcionales, o sea, el cocienteentre los lados correspondientes es constante:

= como BC = 9 m y AB = 15 m obtenemos = , de

donde podemos determinar la medida del lado del triángulo buscada:

BD = = 5,4 m.

Por lo tanto, la polea debe desplazarse 5,4 metros para que la dis-tancia a CD sea la menor posible.

8115

915

BD9

BCAB

BDBC

• ¿Qué relación existe entre los triángulos BAC y CBD?, ¿por qué?• ¿Cuánto debe desplazarse la polea, suponiendo que esta se en-

cuentra en el vértice B del triángulo, para que la distancia entreD y C sea la menor posible?, ¿cómo lo supiste?

Si dos triángulos ABC y A`B`C `tienen dos pares de ángulosiguales (AA), entonces se tendráque ΔABC ~ ΔA`B`C `, es decir, lostriángulos son semejantes.

Recuerda que...

B

C

D

A

9 m

15 mPadre e hijo practicando canopy.



Un

idad

3Este resultado se puede generalizar para todo triángulo rectángulo.Observa. Al trazar la altura h sobre la hipotenusa c de un triángulorectángulo y considerar los segmentos p y q que la altura deter-mina sobre la hipotenusa, correspondientes a las proyecciones delos catetos a y b respectivamente, se obtiene:

ΔABC ~ ΔCBD, pues�ACB = �CDB = 90º �CBA = �DBC.Por criterio AA, los triángulos son semejantes.

ΔABC ~ ΔACD, pues�ACB = �ADC = 90º�CAB = �DAC.Por criterio AA, los triángulos son semejantes.

Por lo tanto, los tres triángulos son semejantes.

Luego,

ΔABC ~ ΔCBD ⇒ = ⇒ = ⇒ a2 = p · c

ΔCBD ~ ΔACD ⇒ = ⇒ = ⇒ h2 = p · q

Hemos obtenido tres relaciones importantes relativas a los triángu-los rectángulos. Estas relaciones son conocidas como el teoremade Euclides.

ph

hq

DBDC

CDAD

ca

ap

ABCB

BCBD

En resumen

En todo triángulo rectángulo se cumple que:• el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de las proyecciones de los

catetos sobre la hipotenusa.

• el cuadrado de un cateto es igual al producto de la hipotenusa por la proyección del catetoso bre la hipotenusa.Es decir,

La primera relación en el teorema de Euclides es conocida como el teorema de la altura, y la segunda, como el teorema del cateto.

Glosarioproyección: dado un segmento AB y una recta L que contiene al puntoA, la proyección de AB sobre L es elsegmento AC tal que BC es perpen-dicular a L.

C

A D B

B

C

AL

h

pq

ba

c

c

ΔABC ~ ΔACD ⇒ = ⇒ = ⇒ b2 = q · ccb

bq

ABAC

ACAD

h2 = p · qa2 = p · cb2 = q · c

C

A pq D B

hba


112 | Unidad 3

1. Dados unos triángulos rectángulos de catetos a y b, donde h es la altura y p y q las proyecciones delos catetos sobre la hipotenusa c, calcula los datos correspondientes para completar la tabla.

2. Los lados de un triángulo rectángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm. Calcula la altura relativa a lahipotenusa y las dos proyecciones de los catetos.

3. En un rectángulo ABCD se traza desde A la perpendicular a la diagonal BD. Sabiendo que la diagonal queda dividida en dos segmentos que miden 4 y 9 cm, determina la medida de los ladosdel rectángulo.

4. La diagonal de un rectángulo mide 20 cm y la base es de 16 cm. Calcula la altura y el área del rectángulo.

5. En un triángulo rectángulo de área 30,4 cm2, el producto de las proyecciones de los catetos sobrela hipotenusa es 9; calcula la altura de la hipotenusa. Haz un boceto del problema.

6. ¿Qué distancia hay entre el origen y la recta que pasa por (0, 5) y (3, 0)? Utiliza la figura para responder.

7. De acuerdo a la figura:

a. ¿Hay triángulos semejantes?, ¿cuáles?b. Si AB = 17 cm, BC = 8 cm, AC = 15 cm, ¿cuáles son

las longitudes de los segmentos AD, DB y CD?c. Si AB = 14 cm y AC = 7 cm, ¿cuál es la longitud del

segmento AD?d. Si AD = 9 cm y DB = 3 cm, ¿cuál es la longitud del segmento CB?e. Si CD = 6 cm y DB = 12 cm, ¿cuál es la longitud del segmento AD?

Actividades

a b c p q h8 cm 10 cm 6,4 cm

7,2 cm 2,3 cm

12,2 cm 5,73 cm

5

3

C

D BA



Un

idad

3

8. El dueño de un terreno rectangular de 100 m de ancho por 250 m de largo desea construir sucasa en uno de los vértices del terreno y, además, un puente sobre el río que cruza diagonal-mente el terreno. ¿A qué distancia de su casa estará el puente si desea ubicarlo lo más cercanoposible a esta?

9. ¿Cuánto deben medir las vigas de un techo si ambas deben ser iguales y formar un ángulo de 90º y,además, si el ancho del techo es de 4 m?, ¿qué altura tiene el techo?

10. Completa, en tu cuaderno, la siguiente demostración alternativa del teorema de Euclides.

En ΔCDA se tiene que b2 = q2 + h2 (1).

En ΔCDB se tiene que ______________________ (2).

En triángulo ABC se tiene que c2 = a2 + b2 (3).

Además, sabemos que p + q = c (4).

Sumamos las relaciones (1) y (2) y obtenemos (5).

Remplazamos la relación (3) en la (5) y obtenemos (6).

Utilizando la relación (4) en la relación (6), ¿qué deduces?

Casa

Río

4 m

C

A pq D B

hba

c


114 | Unidad 3

Demostraciones del teorema de Pitágoras

Analicemos...

Observa la siguiente figura, correspondiente a un triángulo rec-tángulo de catetos a y b, donde h es la altura y p y q, las proyeccionesde los catetos sobre la hipotenusa c.

Para encontrar las medidas de los catetos del triángulo de la figura,debemos encontrar una relación entre estos y sus proyeccionessobre la hipotenusa, ya que solo conocemos los valores de estas.Recordando el teorema de Euclides, podemos determinar la me-dida de los catetos del triángulo. Observa.a2 = p · cb2 = q · c

Luego, sumando ambas ecuaciones obtenemos:

a2 + b2 = p · c + q · c= (p + q) · c= c · c= c2

Es decir, a2 + b2 = c2

Como conocemos el valor de p y q, podemos determinar el de c, yde este modo calcular a2 + b2.

Observa que, utilizando el teorema de Euclides, obtuvimos la relacióna2 + b2 = c2, es decir, el teorema de Pitágoras. O sea, demostramosel teorema de Pitágoras utilizando el teorema de Euclides.

• ¿Cómo podemos determinar la medida de los catetos del triángulo de la figura, conociendo solo los valores de p y q?

• Si utilizamos las relaciones encontradas para determinar la medida de los catetos, ¿cuál es el valor de a2 + b2?

C

A B

h

pq

ba

c

Factorizando por c

Porque p + q = c

B

C Ab

ca



Un

idad

3El teorema de Pitágoras es de los que cuentan con un mayor númerode demostraciones distintas, utilizando diversos métodos, ya queen Matemática, en general, hay más de una forma correcta de lograrun resultado o una demostración.

A continuación, veremos una demostración del teorema de Pitá-goras por medio de una demostración geométrica.

Consideremos un cuadrado de lado a + b y un triángulo rectángulocuyos catetos son a y b y la hipotenusa es c.

Copiamos dos veces el cuadrado de lado a + b y, a continuación,copiamos el triángulo rectángulo haciendo coincidir sus lados,como se observa en las siguientes figuras. Luego, calculamos elárea de los cuadrados a partir del área de las figuras que formanestos. Observa.

(a + b)2 = c2 + 4 (a + b)2 = a2 + b2 + 4

Notemos que la figura 1 está formada por cuatro triángulos rectán-

gulos congruentes de área a · b cada uno, y un cuadrado que

tiene como lado la hipotenusa del triángulo; entonces, su área es c2.

La figura 2, en cambio, está formada por cuatro triángulos rec-

tángulos congruentes de área a · b y dos cuadrados de lados iguales

a los catetos del triángulo rectángulo; por lo tanto, el área de un

cuadrado será a2 y el del otro será b2.

12

a b·⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

a b·⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

12

En Matemática y otras ciencias, unademostración es un proceso por elcual, mediante una serie de razona-mientos lógicos, se llega a estable-cer la verdad de una proposición oteorema a partir de cierta hipótesis.

Generalmente, cuando se hacenafirmaciones que representan mu-chos casos, como el teorema dePitágoras, es imposible verificarcaso a caso, por lo que la argu-mentación lógica es la única formade justificar la proposición o teo-rema para todos los casos de unasola vez.

Pon atención

a + b

b c

c2b2

a2c

b

a

a

b

a

Figura 1 Figura 2


¿Qué tienen en común el cuadrado de lado c, de la figura 1, conlos cuadrados de lados a y b, de la figura 2?

El área del cuadrado de la figura 1 es equivalente a la suma de lasáreas de los cuadrados de la figura 2, es decir, c2 = a2 + b2, ya queambas corresponden al área del cuadrado mayor menos cuatroveces el área del triángulo rectángulo.

Esta es solo una de las demostraciones del teorema de Pitágoras,ya que, a través de los años, se han publicado muchas otras.

Otra célebre demostración del teorema de Pitágoras es la que con-sidera los cuadrados construidos sobre cada lado de un triángulorectángulo isósceles. Observa.

La suma de las áreas de los cuadra-dos construidos sobre los catetos esa2 + b2. Si cortamos dichos cuadra-dos por las líneas punteadas,podemos comprobar que estoscoinciden, respectivamente, con elárea total del cuadrado construidosobre la hipotenusa: c2.

La explicación o demostración formal se basa en que los triángu-los que se forman son todos congruentes. Observa las siguientesigualdades:

AD = DB = DC

ΔADC � ΔDAM

A partir de estas propiedades, se generaliza a los demás triángulos.Por lo tanto, c2 = a2 + b2.

También es posible demostrar el recíproco del teorema de Pitágoras,es decir:

“Sea un triángulo ABC de lados a, b, y c, tales que c2 = a2 + b2, en-tonces el triángulo ABC es rectángulo y su hipotenusa mide c”.

Su demostración es de mayor complejidad que la correspondienteal teorema de Pitágoras, para la cual es necesario, por ejemplo,saber trigonometría.

116 | Unidad 3

Por teorema de Euclides

Por criterio LAL

b2

c2

a2

abc

D

C

M

A B

Aplicando el teorema de Euclides aun triángulo isósceles rectángulo, lamedida de la altura sobre la hipo-tenusa es la mitad de la medida dela hipotenusa.

Pon atención



Un

idad

3

1. Considerando el cuadrado ABCD:

a. ¿Cuál es la medida de su superficie?b. ¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos

rectángulos?c. ¿Cuál es la longitud de cada lado del polígono

blanco?, ¿qué tipo de polígono es?, ¿cuál es su área?d. Prueba el teorema de Pitágoras comparando los resultados obtenidos en a, b y c.

2. Copia en una hoja cuadriculada la siguiente figura. Si es necesario, amplíala.

Luego, recorta por las líneas punteadas y completa elcuadrado construido sobre la hipotenusa con los polígonos A, B, C, D y E obtenidos, para verificar si se cumple el teorema de Pitágoras.

3. Si construyes una semicircunferencia sobre los lados de un triángulo rectángulo, tal como muestra la figura, ¿se verifica el teorema de Pitágoras? Explica.

4. Generalmente, se asocia el teorema de Pitágoras a la relación que hay entre los cuadrados construidossobre los lados de un triángulo rectángulo. ¿Sucederá lo mismo si sobre los lados de un triángulorectángulo construyes triángulos equiláteros?

5. Verifica el teorema de Pitágoras construyendo otro tipo de polígono sobre los lados de un trián-gulo rectángulo. ¿Qué condición deben cumplir estos polígonos? Comenta tus respuestas con tuscompañeros y compañeras.

Actividades

D C

A

A

B

BC D

E

b

c

c

c

c

b

ca


118 | Unidad 3

Tríos pitagóricos

En el antiguo Egipto, los constructores hacían nudos igualmenteespaciados en una cuerda, de tal forma que esta les sirviera paramedir. Se cree que ellos fueron los primeros en darse cuenta de que,uniendo los extremos de la cuerda para formar un triángulo, comose observa en la figura, con las medidas 3, 4 y 5 en sus lados, seformaba un ángulo recto. De esta forma, conseguían poner enforma perpendicular los mástiles en la cubierta de las embarcacionesy también podían restablecer las lindes de las parcelas rectangularesdespués de las crecidas del río Nilo.

Los tríos de números como 3, 4 y 5, que cumplen 52 = 32 + 42, esdecir, el teorema de Pitágoras, forman los lados de un triángulorectángulo y son llamados tríos pitagóricos.

Este hecho corresponde al recíproco del teorema de Pitágoras.

No es sencillo encontrar tríos pitagóricos que sean números enteros,aunque existe un método para encontrar estos a partir de tríospitagóricos conocidos; por ejemplo, si multiplicamos 3, 4 y 5 por unnúmero entero cualquiera, obtendremos un nuevo trío pitagórico.

Observa.

Sean a, b y c números enteros, tal que a2 + b2 = c2, y sea k unnúmero entero cualquiera, distinto de cero.

Como a, b y c corresponden a un trío pitagórico, tendremos que:

a2 + b2 = c2

a2k2 + b2k2 = c2k2

(ak)2 + (bk)2 = (ck)2

Luego, ak, bk y ck corresponden también a un trío pitagórico.

Analicemos...

• ¿Cómo puedes demostrar que un triángulo de lados 3, 4 y 5 esun triángulo rectángulo?

• ¿Puedes dar otro ejemplo de medidas que correspondan a loslados de un triángulo rectángulo?, ¿cómo lo supiste?

Multiplicamos por k2



Un

idad

3

Glosarioconjetura: juicio o afirmación que sesupone cierta, pero no ha sidodemostrada.

Desde la Antigüedad, algunos personajes han dedicado su tiempoa encontrar regularidades respecto de los números que satisfacenel teorema de Pitágoras. Por ejemplo, además de Pitágoras, Aquitasformuló una expresión para calcular tríos pitagóricos. Observa estasnuevas expresiones.

Según la regla que usemos, obtenemos respuestas distintas.

Sin embargo, Pierre de Fermat, un abogado francés que creabamatemáticas por afición, conjeturó en 1637 que no hay enteros quecumplan el equivalente a los tríos pitagóricos para potencias mayo-res que 2; es decir, que para todo número entero n mayor que 2 nohay enteros x, y, z, distintos de cero los tres, que cumplan xn + yn = zn.Como era habitual en esa época entre algunos matemáticos por afi-ción, se enviaban afirmaciones como esa entre sí, sin demostrarlas,como un desafío.

Fermat escribió, en el margen de una página de un libro, sobre estaconjetura: “He encontrado una demostración realmente maravillosa,pero el margen de esta página es muy estrecho para escribirla aquí”.

Nunca se encontró esta demostración, pero su frase obsesionó amuchos matemáticos, tanto profesionales como aficionados.

La conjetura de Fermat, cuyo enunciado destaca por su simpleza,llegó, entonces, a convertirse en uno de los problemas “intratables”del siglo XX, y en que generaciones de matemáticos intentaron envano obtener una demostración general. Pero esta historia todavíano llegaba a su fin.

El 25 de junio de 1993, los diarios más importantes del mundo publi-caban un inusual artículo que señalaba la demostración del teo-rema de Fermat.

Regla de Pitágoras:

a; ;

son tríos pitagóricos.

Regla de Aquitas:

a; –1; +1

son tríos pitagóricos.

a2

4a2

4a2 + 1

2a2 – 1

2


120 | Unidad 3

Luego de corregir la demostración publicada, en 1995, la conjeturade Fermat pasó a ser un teorema, ya que finalmente se habíademostrado; el final feliz estuvo a cargo de Andrew Wiles, unmatemático británico al que le tomó siete años de duro trabajodemostrar este teorema, conocido como el último teorema deFermat. Finalmente, a sus cuarenta años pudo escribir al final dedoscientas hojas de trabajo: QED (“qued erat demostrandum”).

Lo destacable de la demostración de Wiles es el uso que él hace deuna variedad de herramientas matemáticas, hasta ese entoncesaparentemente desconectadas. Se necesitó de todo el poder de lasmatemáticas modernas para llegar a la solución.

El teorema de Fermat nos demuestra que la Matemática es unaciencia viva y su demostración es el inicio de nuevas posibilidadespara esta.

En resumen

• Un trío pitagórico es una terna de números a, b y c que satisfacen la igualdad a2 + b2 = c2,donde geométricamente a y b son los catetos de un triángulo rectángulo y c es su hipotenusa.

1. Verifica si las siguientes medidas corresponden a los lados de un triángulo rectángulo:

a. 5 cm; 4 cm; 6 cm e. a cm; (a + 1) cm; (a + 2) cm

b. 12 cm; 15 cm; 9 cm f. 1 cm; cm; 2 cm

d. 30 cm; 40 cm; 50 cm h. cm; cm; cm

2. Si los catetos de un triángulo rectángulo son 18 cm y 24 cm, ¿cuánto mide la hipotenusa?

3. Si uno de los catetos de un triángulo rectángulo mide 7 cm más que el otro cateto y 1 cm menosque la hipotenusa, ¿cuánto mide el perímetro y el área del triángulo?, ¿cómo lo calculaste?

4. Demuestra que los términos de la regla de Pitágoras y Aquitas forman tríos pitagóricos.

a b +3

b3

a3

87

Actividades

c. 32 cm; 25 cm; 16 cm g. cm; cm; cm15

14

13



Un

idad

3

Situaciones que involucran triángulos rectángulos

Julia quiere medir la altura de cierto árbol que se encuentra en elpatio de su casa; para llevar a cabo esto sitúa un espejo en el piso, a30 metros del árbol, y luego se aleja 3 m, distancia a la cual Julia vereflejado en el espejo el punto más alto del árbol.

De acuerdo a la figura, ΔABC y ΔDBE son rectángulos, el primeroen A y el segundo en D. Además, como el rayo de luz que rebotaen el espejo se refleja con el mismo ángulo con que llega al es-pejo, tenemos que �ABC y �DBE tienen igual medida.

Recordando los criterios de semejanza de triángulos, tenemos que,por el criterio AA, ambos triángulos son semejantes. Luego, suslados son proporcionales; es decir, la razón entre lados correspon-dientes en cada triángulo es la misma para los dos:

=

h = 1,8 · = 18

La altura del árbol es 18 metros.

Ejemplo Determina las medidas de los lados de un triángulo ABC rectán-gulo en C, en que uno de sus catetos tiene una longitud de 2 cmy es semejante a un triángulo rectángulo de medidas 3, 4 y 5 cm,siendo el lado de medida igual a 2 cm, correspondiente al lado de4 cm del otro triángulo.

303

ACAB

DEDB

Analicemos...

• ¿Puedes describir dos triángulos rectángulos en la situación?,¿cuáles son?

• ¿Hay ángulos iguales en ambos triángulos?, ¿por qué?• ¿Qué altura tiene el árbol?, ¿cómo lo supiste?

�CAB = �EDB = 90º�CBA = �EBD

1, 8 m

3 m 30 m D

h

E

C

BA

Remplazando las medidas dadas=1,83

h30

A

CC B2 cm

3 cm5 cm

4 cm


122 | Unidad 3

Debemos determinar la medida de la hipotenusa AB y el cateto AC.Como los triángulos son semejantes, sus lados son proporcionales;en consecuencia, obtenemos:

=

Luego, podemos obtener la medida de la hipotenusa AB utilizandoel teorema de Pitágoras o utilizando, nuevamente, semejanza detriángulos; por este último método, tendremos que:

=

34

AC2

AB2

54

1. Calcula la altura del edificio según los datos de la figura.

2. Los lados de un triángulo son 8, 10 y 16 cm. Calcula los lados de otro triángulo semejante al anterior,de perímetro 68 cm.

3. ¿Cuánto mide la altura de un árbol que proyecta una sombra de 2,1 cm, si junto a él está Fernando,que mide 1,70 m y proyecta una sombra de 0,8 m a la misma hora?

Multiplicamos por 2AB = 2 · = cm52

54

Multiplicamos por 2AC = 2 · = cm32

34

En resumen

• La semejanza de triángulos, y más específicamente la semejanza entre triángulos rectángulos,nos entrega un método para calcular distancias o longitudes inaccesibles.

Actividades

4 m

5 m

100 m

1,70 m

0,8 m



Un

idad

34. Calcula la profundidad del pozo de la figura.

5. Thales fue un filósofo y matemático griego que vivió en el siglo VI a. C. El historiador griego Plutarco(siglo I) dijo acerca de él: “Yo te admiro porque, poniendo tu bastón en la extremidad de la sombrade una pirámide, formaste con los rayos del Sol dos triángulos y demostraste que la altura de lapirámide era a la longitud del bastón como la sombra de la pirámide era a la sombra del bastón”.Resuelve, aplicando el método de Thales. Muestra, paso a paso, cómo lo hiciste.

a. Un bastón de 50 cm proyecta una sombra de 20 cm. ¿Cuál es la altura de un poste que, a lamisma hora, proyecta una sombra de 1,40 m?

b. Si un bastón mide 40 cm y su sombra 30 cm, ¿cuánto mide, a la misma hora, la sombra deuna persona de 1,70 m de altura?

6. Según la figura, si BE representa la altura de una persona que mide 1,8 m. ¿Cuál es la altura de un edificio.

AB = 2,4 m y BC = 12,6 m.

2 m

1,62 m

1 m

D

CB

E

A


124 | Unidad 3

• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.

• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí, y apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.


2. ¿Qué significa que dos triángulos rectángulos sean semejantes?

3. ¿Qué relación existe entre la altura de un triángulo rectángulo y las proyecciones de

los catetos sobre la hipotenusa de este?

4. ¿Qué debe cumplir un trío de números para que este sea un trío pitagórico?

5. ¿Puede haber triángulos no rectángulos cuyas medidas formen un trío pitagórico?

6. ¿Puede usarse el teorema de Pitágoras para demostrar el teorema de Euclides?

7. ¿Puede calcularse el área de un triángulo rectángulo conociendo su hipotenusa y la

distancia a la hipotenusa desde el vértice opuesto a ella?

8. ¿Son semejantes dos triángulos que tienen un lado y dos ángulos en común?

9. ¿Son semejantes dos triángulos rectángulos que tienen uno de sus ángulos

agudos congruentes?




se aplican

TRIÁNGULO RECTÁNGULO

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

SEMEJANTES

RELACIONES MÉTRICAS

algunas son

se aplican en lademostración

posee

TEOREMA DE PITÁGORAS

TRÍOS PITAGÓRICOS

TEOREMA DE EUCLIDES

genera


Mi progreso

Un

idad

3

1. Determina la medida de los catetos de un triángulo rectángulo, sabiendo que las proyecciones de estossobre la hipotenusa miden respectivamente:

a. 9 cm y 16 cm b. 4 cm y 8 cm c. 3 cm y 9 cm d. 3,6 cm y 6,4 cm

2. En el triángulo ABC rectángulo en C, la altura correspondiente a la hipotenusa mide la mitad de esta.Determina cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas y cuáles son falsas. Explica en cada casotu decisión.

a. (p + q)2 = 4pq

b. q =

c. p = q

d. p + q = pq

3. ¿Qué conjunto de números podrían ser las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo?

I. 9, 40, 41

II. 2, ,

III. a – b, a + b, 2

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I y III E. I, II y III

4. Resuelve los siguientes problemas explicando, paso a paso, tu desarrollo.

a. En un día soleado, un árbol de 7 m de alto proyecta una sombra de 10 m, mientras un hombrede 1,70 m de altura está parado junto al árbol. ¿Cuánto mide la sombra que proyecta el hombre?,¿qué altura tiene un hombre que en el mismo instante proyecta una sombra de 2 m?

b. A cierta hora del día, un árbol que mide 5 m proyecta una sombra de 7 m. A esa misma hora,otro árbol proyecta una sombra que mide 16 m. ¿Cuánto mide su altura?

117

p2

• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.

¿Cómo voy?



Aplicar el teorema de Euclides. 1 y 2 110 a 117

Identificar tríos pitagóricos. 3 118 a 120

Resolver problemas que involucran triángulos rectángulos semejantes.

4 121 a 123

B

C

A

p

q

ab


126 | Unidad 3

Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

El ascensor de un conocido cerro de Valparaíso funciona sobre un rielrecto, inclinado en un ángulo α con respecto al plano horizontal.Cuando el ascensor recorre 50 m, llega a una altura de 30 m.

Observa la figura que representa esta situación.

Analicemos...

• ¿Conoces la medida de alguno de los ángulos agudos del trián-gulo rectángulo formado?

• ¿A qué altura se encuentra el ascensor cuando ha recorrido 75 m?,¿y si este ha recorrido 100 m?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Qué tienen en común los tres triángulos formados?

En la figura anterior, podemos observar que los triángulos ABG,ACF y ADE son semejantes, ya que todos ellos tiene un ángulo rectoy comparten el ángulo α. Luego, sus lados son respectivamente pro-porcionales; por lo tanto, tendremos que:

= = .

Es decir, la razón entre la medida del cateto opuesto al ángulo y la medida de la hipotenusa es la misma:

= = 0,6.

Entonces, la altura a la que se encuentra el ascensor cuando harecorrido 75 m la podemos encontrar remplazando y despejandoCF en la ecuación:

= 0,6

CF = 0,6 · 75 = 45.

Mientras que cuando este ha recorrido 100 m, la altura a la que seencuentra la podemos encontrar remplazando y despejando DEen la ecuación:

= 0,6

DE = 0,6 · 100 = 60.

DE100

CF75

3050

cateto opuesto a αhipotenusa

DEEA

CFFA

BGGA

Luego, = = = 0,6.DEEA

CFFA

BGGA

Multiplicamos por 75


100 m

75 m

50 m30 m

αA

G

F

E

DCB

Dado un ángulo agudo α en untriángulo rectángulo ABC, podemosnombrar los catetos de acuerdo a suubicación respecto de dicho ángulo.

Recuerda que...

α

Cate

to o

pues

to a

α

Cateto adyacente a α

Hipotenusa



Como puedes notar, al variar las medidas de los lados en el trián-gulo rectángulo formado por el ascensor obtuvimos que el valor dela razón entre la medida del cateto opuesto al ángulo α y la me-dida de la hipotenusa es la misma. Esto se debe a que el cociente0,6 se relaciona con el ángulo α y no con las medidas de los ladosdel triángulo. Si el ángulo de inclinación fuese otro, al recorrer,por ejemplo, 50 metros, el ascensor no estaría a 30 m de altura.

A esta razón constante la llamaremos seno de α y la denotaremospor sen(α).

Como los triángulos son semejantes, tendremos que la razón entrela medida del cateto adyacente al ángulo α y la medida de lahipotenusa también es constante.

= = = = 0,8

A esta razón la llamaremos coseno de α y la denotaremos porcos(α).

Por último, también será constante la razón entre la medida delcateto opuesto al ángulo α y la medida del cateto adyacente a este.

= = = = 0,75

A esta razón la llamaremos tangente de α y la denotaremos portan(α).

Las razones seno, coseno y tangente son las razones trigonométricasfundamentales; sin embargo, también se definen los valores recípro-cos de ellas como las razones trigonométricas recíprocas. Estas son:

Cosecante de α: cosec(α) = =

Cotangente de α: cotan(α) = =

cateto opuesto a αcateto adyacente a α

cateto adyacente a αhipotenusa

cateto adyacente a αcateto opuesto a α

1tan(α)

hipotenusacateto opuesto a α

1sen(α)

DEAD

CFAC

BGAB

ADEA

ACFA

ABGA

Un

idad

3

Secante de α: sec(α) = = hipotenusa

cateto adyacente a α1

cos(α)


128 | Unidad 3

En resumen

Los cocientes entre los lados de un triángulo rectángulo dependen del valor de su ángulo agudo α.Dichos cocientes reciben el nombre de razones trigonométricas del ángulo α y son los siguientes:

• Razones trigonométricas fundamentales

Seno de α: sen(α) = cateto opuesto a α

hipotenusa

Coseno de α: cos(α) = cateto adyacente a α

hipotenusa

Tangente de α: tan(α) = cateto opuesto a α

cateto adyacente a α


Uso de la calculadora en trigonometría

Las teclas , y , en una calculadora científica, nos permiten hallar el valor aproximado

de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los ángulos.

Es muy importante que, antes de calcular dichos valores, tu calculadora esté en el modo DEG, yaque esto nos indica que la calculadora considera los ángulos medidos en grados sexagesimales.

El uso de la calculadora depende de la operación que desees realizar.

• Si conoces el ángulo y deseas hallar la razón trigonométrica: debes usar la tecla de la razóntrigonométrica deseada y luego ingresar el ángulo. Por ejemplo, para aproximar sen 20º:

• En otras calculadoras, el orden apropiado es:

• Si conoces la razón trigonométrica, ¿cuál es el ángulo asociado? Puedes usar la tecla SHIFT,luego la tecla de la razón trigonométrica involucrada y después la razón conocida. Por ejemplo,aproximemos el valor de α si sabemos que sen(α) = 0,34.

• En otras calculadoras, el orden apropiado es:

sin tancos

0,3420201433sin 2 0

0 · 3 4

=

0,3420201433sin2 0 =

19,87687407

19,87687407

SHIFT sin =

0 · 3 4 SHIFT sin =

• Razones trigonométricas recíprocas

Cosecante de α: cosec(α) = hipotenusa

cateto opuesto a α

Secante de α: sec(α) = hipotenusa

cateto adyacente a α

Cotangente de α: cotan(α) = cateto adyacente a αcateto opuesto a α



Un

idad

3

Utiliza lo aprendido para desarrollar las siguientes actividades:

1. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los dos ángulos agudos delos triángulos rectángulos siguientes:

a. b.

2. A partir del valor de la razón trigonométrica dada, completa las restantes en la siguiente tabla:

3. Utiliza tu calculadora para encontrar los valores aproximados de las razones trigonométricasde los siguientes ángulos:

a. 19º c. 45º e. 85ºb. 25º d. 70º f. 12,5º

4. Determina en cada caso el valor de x. Aproxima el resultado.

a. b.

ββ

α

α

1 cm10 cm6 cm

7 cm

sen(α) cos(α) tan(α) sec(α) cosec(α) cotan(α)

0,6

815

0,9

1,45

3512

810

61º56,6º

4 cm

7 cm

x

x


130 | Unidad 3

Razones trigonométricas de ángulos especiales

Isabel debe encontrar la medida de la hipotenusa c de un trián-gulo rectángulo; sin embargo, para esto solo cuenta con la medidade uno de los catetos y el ángulo opuesto a este. Observa.

En la situación anterior debemos encontrar alguna relación entreun cateto del triángulo, el ángulo opuesto a este y la hipotenusa.Recordando las razones trigonométricas, sabemos que el seno deun ángulo es una razón que relaciona estas medidas.

Luego, sen(α) = .

c =

Utilizamos una calculadora para obtener un valor aproximado dec, luego, tenemos que c � 11,5 cm

Sin embargo, algunos valores de las razones trigonométricas puedenser calculados directamente, sin usar calculadora. Observa.

Ángulos de 30º y 60ºConsideremos un triángulo equilátero cuyos lados miden 2 m.

Al trazar la altura CD, cuya longitud es m, el triángulo equi-látero queda dividido en dos triángulos rectángulos congruentes.

Luego, AD = 1 m, �ACD = 30º y �DAC = 60º y

sen(30º) = 12

3

10sen(60º)

cateto opuesto a αhipotenusa

Analicemos...

• ¿Cómo se puede determinar la medida de la hipotenusa con losdatos dados?

• ¿Existe una forma distinta de calcular la distancia pedida?

En este caso, sen(60º) = 10c

sen(60º) = 2

C

BAα

c

10 cm

60º

C

D BA 1 m

2 m

60º

30º

3cos(60º) =

12

tan(60º) = 3

cos(30º) = 23

tan(30º) = = 1

33

3

Despejamos c

3 m



Un

idad

3Ángulo de 45ºConsideremos un triángulo rectángulo isósceles de cateto 1 m.

Por ser rectángulo e isósceles, cada ángulo agudo mide 45º y por

el teorema de Pitágoras la hipotenusa mide .

Luego, en el triángulo ABC tenemos que:

sen(45º) = =

tan(45º) = 1

2

21

cos(45º) = = 2

1

En resumen

• Algunos valores de las razones trigonométricas pueden ser calculados directamente, sin usarcalculadora. En particular, para los ángulos de 30º y 60º estos valores se pueden obteneranalizando el triángulo equilátero y para el ángulo de 45º, analizando el triángulo isósceles rectángulo.

1. Completa la tabla con el valor de las razones trigonométricas para los ángulos que aparecen en ella.

2. Sin utilizar calculadora, encuentra el valor de las siguientes expresiones:

a. 2 · sen(30º) + 4 · cos(60º) d. sen(60º) + cos2(45º) – tan(30º) · tan(60º)b. · tan (60º) – 3 · tan(45º) e. (1 – sen2(45º))2 + 2 · cos(45º)c. sen2(30º) + cos2(30º) f. sen(45º) · cos(45º) · tan(30º)

Verifica con la calculadora los resultados obtenidos.

3. La longitud del hilo que sujeta un volantín es de 15 m y el ángulo de elevación es de 30º. ¿A quéaltura está el volantín?, ¿cómo lo calculaste?

3

Actividades

C

A B

1 m

1 m

45º2

2

2

2

α 30º 45º 60º

sen(α)

cos(α)

tan(α)


132 | Unidad 3

Aplicaciones de la trigonometría

Desde la parte superior de una torre vigía de 80 m de altura, unguardabosques localiza una fogata ilegal. El ángulo de depresiónque forman la línea de visión hacia el campamento y la horizontales 10,1º. Observa.

En la situación anterior, la distancia a la que se encuentra la fogatacorresponderá a la medida del segmento AC.

El ángulo de depresión es �ABX = 10,1º, el cual es igual a �CAB(ángulos alternos internos entre paralelas); luego, en el triángulorectángulo �ABC se tiene que:

tan(10,1º) =

Por lo tanto, la fogata se encuentra aproximadamente a 449,1 mde la base de la torre.

80AC

Analicemos...

• ¿A qué distancia de la base de la torre se encuentra la fogata?,¿cómo lo resolviste?

• ¿Podemos encontrar una aproximación para la distancia bus-cada, sin utilizar una calculadora?

Glosarioángulo de elevación: es aquel for-mado por la visual a un punto y lahorizontal cuando el punto se en-cuentra sobre el observador.

ángulo de depresión: es aquel for-mado por la visual a un punto y lahorizontal cuando el punto se en-cuentra bajo el observador.

B

C A

X10,1º

10,1º

80 m

AC = = 449,1 80

tan(10,1º)

En resumen

• Las razones trigonométricas proporcionan herramientas matemáticas muy útiles que nos permiten determinar longitudes y ángulos en figuras formadas por triángulos rectángulos, a partir de las medidas de algunos de estos elementos del triángulo rectángulo.

• La elección de la razón trigonométrica a usar en la resolución de un problema depende delos datos involucrados; una adecuada elección facilitará esta.

Objeto

Objeto

Observador

Observador

α

β



Un

idad

3

1. Determina la altura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8 m cuando el ángulo de elevaciónal Sol es de 53º.

2. Un avión se encuentra a 2300 m de altura cuando comienza su descenso para aterrizar. ¿Quédistancia debe recorrer el avión antes de tocar la pista, si baja con un ángulo de depresión de 25º?

3. Un edificio tiene una altura de 75 m. ¿Qué medida tiene la sombra que proyecta cuando el Sol tieneun ángulo de elevación de 43º? Haz un dibujo del problema.

4. Manuel, un astrónomo principiante, midió el ángulo que se muestra en la figura para calcular la distancia que hay entre los centros de la Luna y la Tierra. Considerando que el radio de la Tierra es 6380 km, ¿qué resultado obtuvo Manuel?

5. Sobre una montaña está instalada una torre de 25 m, desde donde se observan dos águilas alineadascon la base de la torre. Una es observada con un ángulo de 35º y la otra con un ángulo de 40º. ¿A quédistancia se encuentra un águila de la otra?

6. Los lados de un triángulo isósceles miden 20 cm y cada uno de sus ángulos basales es de 25º. Calcula el valor de la base y el área de este triángulo.

Actividades

1º

53º8 m

25º


134 | Unidad 3

Propiedades de las razones trigonométricas

Felipe y Cristina deben encontrar la medida de uno de los ángulosde un triángulo rectángulo, de tal modo que uno de los catetosde este mida dm y el otro 1 dm. Ambos realizan los cálculosnecesarios, pero sus resultados son diferentes. Felipe obtiene quela medida de uno de los ángulos debe ser 30º; en cambio, el resul-tado de Cristina es 60º.

3

En el problema que deben resolver Felipe y Cristina tenemos que,si uno de los catetos mide dm y el otro mide 1 dm, podemosencontrar la medida de la hipotenusa c por medio del teoremade Pitágoras.

2 + 12 = c2

3 + 1 = c2

4 = c2

2 = c

Por lo tanto, la hipotenusa de dicho triángulo mide 2 dm.

En páginas anteriores, calculamos el valor de las razones trigono-métricas de los ángulos 30º y 60º; obtuvimos que:

cos(30º) = sen(60º) =

Es decir, ambos resultados son correctos, ya que estos correspondena las razones trigonométricas de un triángulo con las medidas dadas.

Estas igualdades se producen debido a que los ángulos 30º y 60ºson ángulos complementarios.En efecto, si consideramos un triángulo ABC, cuyo ángulo BAC es α,entonces, el otro ángulo agudo del triángulo es su complemento, esdecir, 90º – α.

Luego, cos(α) = y sen(90º – α) = ,

de donde se concluye que cos(α) = sen(90º – α).

Del mismo modo, puedes verificar que sen(α) = cos(90º – α).

3

3

ACAB

ACAB

23

Analicemos...

• ¿Son ambos resultados correctos?, ¿cómo lo supiste?• ¿Qué procedimiento debemos utilizar para llegar a los resultados?• ¿En qué se relacionan los ángulos obtenidos por Felipe y Cristina?,

¿por qué?

cos(60º) = sen(30º) = 12

B

C A

α

90º– α

Dos ángulos agudos α y β se dicencomplementarios si α + β = 90º

Recuerda que...



Un

idad

3

1. Utiliza el ΔABC para probar las siguientes igualdades:

a. tan(α) =

c. cosec(α) =

2. ¿Cuál es el valor de la expresión cos(α) · sen(90º – α) + sen(α) · cos(90º – α)?

3. Si sen(20º) = x y cos(20º) = y, calcula en función de x e y:

a. cos(70º) c. tan(20º) e. cosec(20º)b. sen(70º) d. sec(20º) f. tan(70º)

4. Calcula el valor de:

a. cos(25º) – sen(65º) c.

5. Construye un triángulo en que tan(α) = . A partir de él, calcula el valor de:

a. sen(α) c. sec(α) e. cos(90º – α)b. cos(α) d. sen(90º – α) f. sec(90º – α)

2 sen(17º) + 3 cos(73º)sen(17º)

1sen(α)

sen(α)cos(α)

72

Actividades

En resumen

Las razones trigonométricas seno y coseno satisfacen lo siguiente:

• cos (α) = sen(90º – α)• sen (α) = cos(90º – α)

b. sec(α) = 1

cos(α)

B

C A

α

b. cos(243º) · sen(31º) – sen(47º) · cos(59º) d.3 cos(35º) · 2 sen(55º)

cos2(35º)


136 | Unidad 3

Identidades trigonométricas

Antonia debe calcular el valor de la expresión sen2(30º) + cos2(30º),y Diego el valor de sen2(45º) + cos2(45º). Observa sus resultados.

AntoniaRecordando que sen(30º) = y cos(30º) =

DiegoRecordando que sen(45º) = y cos(45º) = 2

22

2

32

12

Para verificar los resultados de Diego y Antonia, consideremos untriángulo rectángulo ABC, siendo α uno de los ángulos agudos deeste. Luego, tenemos que:

cos(α)= ⇒ AC = AB · cos(α)

Por el teorema de Pitágoras:AB2 = AC2 + BC2

AB2 = AB2 · cos2(α) + AB2 · sen2(α) AB2 = AB2 (cos2(α) + sen2(α))

Al dividir esta última igualdad por AB 2, obtenemos que:cos2 (α) + sen2 (α) = 1.

Por lo tanto, los resultados de Antonia y Diego son correctos, ya quepara todo ángulo agudo α tendremos que cos2 (α) + sen2 (α) = 1.

ACAB

Analicemos...

• ¿Son correctos los resultados de Diego y Antonia?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Por qué ambos resultados son iguales?, ¿cuándo ocurre esto?• Si α es un ángulo agudo cualquiera, ¿podemos determinar el

valor de cos2(α) + sen2(α)?

sen2(30º) + cos2(30º) = + = + = = 1.44

34

14

32

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen2(45º) + cos2(45º) = + = + = = 1.44

24

24

22

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen(α) = ⇒ BC = AB · sen(α)BCAB

B

α

C A

• (sen(α))n = senn(α)

• (cos(α))n = cosn(α)

Pon atención



Un

idad

3Las identidades trigonométricas más conocidas son:cos2(α) + sen2(α) = 11 + tan2(α) = sec2(α)1 + cotan2(α) = cosec2(α)

Veamos a continuación las demostraciones de la segunda y terceraidentidad a partir de la primera. Observa.

• sen2(α) + cos2(α) = 1

+ =

obtenemos la identidad tan2(α) + 1 = sec2(α).

• sen2(α) + cos2(α) = 1

Luego, recordando que = cotan(α) y = cosec(α),

obtenemos la identidad 1 + cotan2(α) = cosec2(α).

1sen(α)

cos(α)sen(α)

1cos2(α)

cos2(α)cos2(α)

sen2(α)cos2(α)

En resumen

Para todo ángulo α, se cumplen las siguientes identidades trigonométricas:

• cos2(α) + sen2(α) = 1 • 1 + tan2(α) = sec2(α) • 1 + cotan2(α) = cosec2(α)

+ = 1

sen2(α)cos2(α)sen2(α)

sen2(α)sen2(α)

Glosarioidentidad trigonométrica: es una re-lación de igualdad entre expresionestrigonométricas. Estas son útiles parareducir, simplificar o transformar otrasexpresiones más complejas.

Dividimos por cos2(α)

Dividimos por sen2(α)

Luego, recordando que = tan(α) y = sec(α), 1

cos(α)sen(α)cos(α)

1. Simplifica las siguientes expresiones, utilizando las identidades trigonométricas más adecuadas.

a. c. : 1

cosec(α) – 1sen(α) + 1

sen(α)(1 + cos(α)) (1 – cos(α))

sen(α)

Actividades

b. d. cos2(α) – sen2(α)cos4(α) – sen4(α)

cos(α) – cos3(α)sen(α) – sen3(α)


138 | Unidad 3

Teorema del seno y del coseno

Pedro camina 600 metros para llegar desde el colegio a su casa yFernanda, 800 metros, formando un ángulo de 60º entre amboscaminos, como se muestra en la siguiente figura:

En el triángulo ABC, que representa la situación de Pedro y Fer-nanda, solo tenemos la medida del ángulo CAB; por lo tanto, nopodemos asegurar que el triángulo ABC es rectángulo. Para calcu-lar las medidas buscadas, podemos utilizar un triángulo rectángulode la siguiente forma:

Si consideramos la altura CD, desde el vértice en que se encuentrala casa de Pedro hacia el lado del triángulo correspondiente alcamino desde el colegio a la casa de Fernanda, tendremos que BCserá la hipotenusa del triángulo rectángulo CDB. Observa.

Para determinar la medida de CB en el triángulo rectángulo CDB,es necesario saber la medida de los catetos de este.

La medida del cateto DC la podemos determinar a partir del trián-gulo rectángulo ADC, ya que tenemos la medida de uno de los án-gulos y la medida de la hipotenusa de este. Luego, tendremos que:

= sen(60º)

DC = 600 sen(60º)

DC = 600 · = 300 33

2

DC600

Analicemos...

• ¿Es el triángulo ABC un triángulo rectángulo?, ¿por qué?• ¿Qué triángulo rectángulo podemos utilizar para calcular las

razones trigonométricas del ángulo CAB?• ¿Cuánto mide la distancia entre las casas de Pedro y Fernanda?,

¿cómo lo supiste?

PedroC

Fernanda

Colegio

600 m

60º

800 m BA

PedroC

Fernanda

Colegio

600 m

60º

800 m BA D


Multiplicamos sen(60º) =



Luego, para determinar la medida del cateto DB, debemos primerocalcular la medida de AD. Observa.

= cos(60º)

AD = 600 cos(60º)

AD = 600 · = 300

Luego, la medida del cateto faltante, DB, en el triángulo CDB es:DB = AB – ADDB = 800 m – 300 mDB = 500 m.

Conociendo el valor de los catetos CD y DB, podemos determinarmediante el teorema de Pitágoras, la medida de la hipotenusa CB,correspondiente a la distancia entre la casa de Pedro y Fernanda.

CB2 = 5002 +

CB2 = 250 000 + 270 000 = 520 000

CB = � = � 200

Pero como CB es una longitud, esta no puede ser negativa; es decir,descartamos la solución negativa de la ecuación CB 2 = 520 000.

Por lo tanto, la distancia entre la casa de Pedro y Fernanda es 200metros, que aproximadamente corresponde a 721,11 metros.

Este proceso se puede realizar de manera general y corresponde ala generalización del teorema de Pitágoras y es conocido como elteorema del coseno. Observa.

En el triángulo de la figura, trazamos la altura h sobre el lado c. Sillamamos p a la proyección del lado b sobre la hipotenusa, delmismo modo que en el problema anterior, tendremos que:

sen(α) = ⇒ h = b sen(α)

AD600

13

13520 000

300 32( )

hb

12

Un

idad

3

C

b a

α β

γ

A B


cos(α) = ⇒ p = b cos(α)pb

cp

h


140 | Unidad 3

Luego, por el teorema de Pitágoras también tenemos que a2 = h2 + (c – p)2, donde podemos remplazar los valores encontradospara h y p. Observa.

a2 = h2 + (c – p)2

= (b sen(α))2 + (c – b cos(α))2

= b2 sen2(α) + c2 – 2bc cos(α) + b2 cos2(α)= b2 (sen2(α) + cos2(α)) + c2 – 2bc cos(α)Luego,a2 = b2 + c2 – 2bc cos(α)

Este resultado se conoce como teorema del coseno.

Tal como el teorema del coseno relaciona la medida de los lados conun ángulo del triángulo correspondiente, existe también el teoremadel seno, el cual relaciona la medida de los lados con el seno de losángulos de un triángulo. Observa.

sen(α) = ⇒ h = b sen(α)

Luego, b sen(α) = a sen(β), de donde obtenemos que = .

Ejemplo 1Encuentra la distancia entre las casas de Pedro y Fernanda utilizandoel teorema del coseno.

Utilizando el teorema del coseno tendremos que:CB2 = 6002 + 8002 – 2 · 600 · 800 · cos(60º)

= 360 000 + 640 000 – 960 000 ·

= 360 000 + 640 000 – 480 000= 520 000

Luego, CB = .

bsen(β)

520 000 200 13 721 11,m m m= ≈

12

asen(α)

hb

sen(β) = ⇒ h = a sen(β)pb

PedroC

DFernandaColegio

600 m

60º

800 m BA

Remplazamos recordandola identidad: cos2(α) +sen2(α) =1



Un

idad

3

En resumen

Teorema del senoEn todo triángulo ABC, se tiene que:

= =

Teorema del cosenoEn todo triángulo ABC, se tiene que:

a2 = b2 + c 2 – 2bc cos(α)

b2 = a2 + c 2 – 2ac cos(β)

c 2 = a2 + b2 – 2ab cos(γ)

csen(γ)

bsen(β)

asen(α)

1. Encuentra la medida de los ángulos interiores y loslados faltantes del triángulo de la figura. Utilizauna calculadora para aproximar los resultados.

2. Considera el triángulo ABC de la figura. Determina lamedida del lado faltante en cada uno de los casos.Utiliza una calculadora para aproximar los resultados.

a. a = 4 m, b = 2 m y γ = 25º

b. b = 6 cm, c = 15 cm y α = 25º

3. Tres pueblos A, B y C están unidos por carreteras rectas y planas. La distancia entre A y B es de 6 km,y entre B y C, 9 km. Si el ángulo formado por ambas carreteras es de 60º, ¿cuál es la distancia entreA y C?

4. Determina si es posible construir un triángulo que posea las siguientes características:

a. Dos de sus ángulos miden 60º y 15º, y el lado comprendido entre ellos mide 30 cm.b. Dos de sus ángulos miden 75º y 45º, y el lado comprendido entre ellos mide 8 cm.c. Uno de sus lados mide 9 cm, otro 4 cm, y el ángulo opuesto a este 40º.

Actividades

C

b

γ

α βA B

a

c

80º

ab

cA

B

C

γ

α

β

50 cm

20ºBA

C


142 | Unidad 3

Sistemas de medición de ángulos

Para medir ángulos, hasta el momento has usado el conocido sistemasexagesimal, cuya unidad de medida es el grado.

Un grado se puede subdividir usando minutos y segundos, de lamisma manera que una hora se divide en minutos y segundos, dondeun grado equivale a 60 minutos y un minuto a 60 segundos. Simbóli-camente, los minutos se representan por ’ y los segundos por ”.

Para poder responder, debemos relacionar los minutos y segundospor separado a su equivalencia en grados. 12’ equivalen a 12 de los60 minutos, que completarían 1º. 10’’ equivalen a 10 de los 3600 se-gundos que completan 1º. Lo anterior se debe a que 3600 segun-dos equivalen a 60 minutos. Luego, tendremos que:

2º 12’ 10’’ = .

En cambio, si queremos expresar 13,5º en grados, minutos y se-gundos, tendremos que 13,5º = 13º + 0,5º. Como sabes que 60’equivalen a un grado, entonces 0,5º serán 30’; por lo tanto, ten-dremos que:

13,5º = 13º 30’ 0’’.

Ahora te presentaremos otro sistema para medir ángulos, peroantes te sugerimos que realices la siguiente actividad:

1. Dibuja con un compás una circunferencia y, luego, marca sobre

un hilo de lana el radio de ella. Ver y 2. Coloca el hilo de lana sobre la circunferencia dibujada en el

papel y marca sobre ella el radio de la circunferencia. Ver 3. Ahora tienes marcados dos puntos sobre tu circunferencia:

únelos con el centro de ella y obtendrás así un ángulo. Ver 4. Con un transportador comprueba que el ángulo obtenido mide

aproximadamente 57º. Este ángulo es lo que llamaremos unradián y será una nueva unidad de medida de ángulos.

2

4

3

1

21260

103600

2 2, ºº+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≈

Analicemos...

• ¿Cómo podemos expresar 2º 12’ 10’’ en grados, pero con deci-males?, ¿cómo lo supiste?

• Si α = 13,5º, ¿cómo podemos expresar el ángulo α en grados,minutos y segundos?, ¿cómo lo averiguaste?

1

2

3

4



Como la longitud de una circunferencia es 2πr, donde r es su radio,entonces el número de radianes de un ángulo completo es 2π. Sila medida de un ángulo completo es 360º, podemos decir que 360ºequivalen a 2π rad (radianes).

EjemploExpresa en radianes el ángulo 135º.Sean x radianes equivalentes a 135º, como 360º equivalen a 2π rad,formamos la proporción:

= ⇒ x = π = 3 π4

135180

3602π

135x

Un

idad

3

En resumen

• Un radián es la medida de un ángulo con vértice en el centro de uncírculo de radio r, cuyos lados determinan sobre la circunferencia unarco de longitud igual al radio.

• La relación de equivalencia entre grados y radianes es: 360º equivalena 2π rad. Es decir, si α mide x grados e y radianes, se cumple que

= .y

2πx

360

Luego, 135º equivalen a radianes.3 π4

P

Ar

rα

α = x rad si = xAPr

�

1. Completa la siguiente tabla:

2. Expresa los siguientes ángulos en grados sexagesimales:

a. rad c. rad e. rad g. rad4π9

2π5

3π4

π15

Actividades

Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º

Radianes

b. rad d. rad f. rad h. rad7π10

11π4

2π3

π12


144 | Unidad 3

Funciones trigonométricas

Consideremos la circunferencia unitaria, de radio 1 con centro en elpunto (0, 0), es decir, en el origen de un sistema de coordenadascartesianas. Observa.

Notemos que en la circunferencia unitaria, dado uno de sus ángulosagudos, podemos formar un triángulo rectángulo con hipotenusacorrespondiente al radio del círculo. Llamemos P(x, y) al punto quedetermina el ángulo α sobre la circunferencia, y AOP al triángulorectángulo formado.

La distancia entre el punto M y el centro de la

circunferencia, en este caso el punto (0, 0), será:

cos ,π π3 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen

Por lo tanto, el punto M pertenece a la circunferencia unitaria. Luego, la distancia entre el punto N(cos(α), sen(α)) y el centro dela circunferencia será:

Analicemos...

• ¿Pertenece el punto M a la circunferencia

unitaria?, ¿cómo lo supiste?• Si α es un ángulo agudo cualquiera, ¿pertenecen los puntos de

la forma N(cos(α), sen(α)) a la circunferencia unitaria?, ¿por qué?• En el triángulo rectángulo de la figura, ¿cuál es el valor de

sen(α)?, ¿y cos(α)?

cos ,π π3 3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen

Si α es un ángulo con vértice en elorigen del sistema de coordenadasy con lado adyacente coincidentecon el eje X positivo, entonces α seconsidera positivo si se mide en elsentido contrario al avance del mi-nutero de un reloj, y se consideranegativo si es en el mismo sentido.

Pon atención

La distancia entre dos puntos delsistema de coordenadas A(x1, y1) yB(x2, y2) se denota por d(A, B) yse calcula de la siguiente forma:

.

Si uno de los puntos corresponde alorigen del sistema, denotaremos ladistancia de un punto A a este pord(A, O).

Recuerda que...

d A B x x y y,( ) = −( ) + −( )1 22

1 22

O

Y

Xx

P

Aα

y

1

1–1

–1

α

α > 0 β < 0

β

Remplazamos recordando la identidad: cos2(α) + sen2(α) = 1

Remplazamos recordando la identidad:

cos2(α) + sen2(α) = 1

d M O, cos( ) =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

⎛⎝

π π3

03

02

sen⎜⎜⎞⎠⎟

2

d M O, cos( ) =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

3 3π π

sen2

d M O,( ) = =1 1

d N O, cos( ) = ( ) −( ) + ( ) −( )α α0 02 2

sen

d N O, cos( ) = ( ) + ( )2 α αsen2

d N O,( ) = =1 1



Un

idad

3Es decir, todos los puntos de la forma (cos(α), sen(α)) pertenecen ala circunferencia unitaria.

Luego, en el triángulo AOP de la figura se tiene que:

sen(α) = = y y cos(α) = = x.

Podemos relacionar, para el punto P, la coordenada x con el cosenoy la coordenada y con el seno. Por lo tanto, podemos escribir elpunto P(x, y) como (cos(α), sen(α)), es decir, de manera tal que de-pende solo del ángulo α.

Para calcular las razones trigonométricas de distintos ángulossiempre hemos considerado ángulos agudos, ya que realizamoslos cálculos a partir de un triángulo rectángulo; sin embargo, lacircunferencia unitaria nos permite definir las funciones seno ycoseno para cualquier valor de α � IR.

En adelante se hablará de funciones trigonométricas, ya que a par-tir de la medida de un ángulo puedes obtener el valor de la razónen forma independiente del triángulo rectángulo que utilices.

Luego, para cada α � IR definimos el valor de las funciones trigo-nométricas coseno y seno como la primera y segunda coordenadade los puntos en la circunferencia unitaria, respectivamente.

Podemos calcular algunos valores las funciones f (x) = sen(x) yg(x) = cos(x) para los principales ángulos utilizando la circunferen-cia unitaria. Observa la siguiente tabla:

x1

y1

0π2

π3π2

2π

g(x) = cos(x) 1 0 –1 0 1

f (x) = sen(x) 0 1 0 –1 0

P (1, 0) (0, 1) (–1, 0) (0, –1) (1, 0)

El ángulo del centro es un ánguloformado por dos radios del círculoy su medida es igual a la del arcode circunferencia que subtiende elángulo.

Recuerda que...

1

–1 –1 –1 –1

–1 –1 –1 –1

1Y

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

X1

–1

–1

1


146 | Unidad 3

Notemos que la medida del arco que va del punto (1, 0) al punto(cos(α), sen(α)) será α unidades (si α está en radianes), donde elperímetro de la circunferencia unitaria es 2π, por lo que, cadavez que avanzamos o retrocedemos esa longitud, volvemos almismo punto. Observa en la tabla que f (0) = f (2π) y g (0) = g (2π).En general, para todo x � IR tendremos que:

sen(x) = sen(x ± 2π) cos(x) = cos(x ± 2π)

Más aún, para todo x � IR y k � �:

sen(x) = sen(x ± 2kπ) cos(x) = cos(x ± 2kπ)

Por esta razón es que las funciones seno y coseno se dicen periódi-cas, donde el período de ambas es 2π. En el gráfico de ambas fun-ciones podemos apreciar el período de estas claramente. Observa.

Podemos observar que los gráficos de las funciones f(x) = sen(x) yg(x) = cos(x) tienen ciertas características en común: tienen unaforma similar y ambas funciones tienen igual período; sin embargo,es importante aclarar que no todas las funciones trigonométricastienen las mismas características.

f(x) = sen(x) g(x) = cos(x)

En resumen

• Para obtener el valor función f (α) = sen(α) con α � IR, utilizamos una circunferencia unitaria,donde sen(α) es igual a la ordenada del punto P(x, y), es decir, es el segmento que determinael punto P sobre el eje Y.

• Para obtener el valor función f (α) = cos(α) con α � IR, utilizamos una circunferencia unitaria,donde cos(α) es igual a la abscisa del punto P(x, y), es decir, es el segmento que determina elpunto P sobre el eje X.



Un

idad

3


Utilizando el programa GeoGebra, que puedes recordar cómo utilizarlo en la página 94 del Texto,construiremos el gráfico de distintas funciones trigonométricas.

• Para cambiar las unidades del eje X a radianes, debes seguir las siguientes indicaciones:1º En el menú Opciones, selecciona .2º En la opción Unidad, selecciona π.

A continuación, grafica las siguientes funciones trigonométricas:

1. Para cada una de las siguientes funciones trigonométricas, indica el dominio, recorrido yperíodo de la función.

a. f (x) = tan(x).b. g(x) = cotan(x), para esto debes introducirla en GeoGebra como y = 1/(tan(x)).c. h(x) = sec(x), debes introducirla en GeoGebra como y = 1/(cos(x)).d. m(x) = cosec(x), debes introducirla en GeoGebra como y = 1/(sin(x)).

2. A partir de las gráficas obtenidas, responde.

a. ¿Qué similitudes y diferencias puedes observar entre f (x) = tan(x) y g(x) = cotan(x)?b. ¿Qué similitudes y diferencias puedes observar entre h(x) = sec(x) y m(x) = cosec(x)?

1. Prueba que las funciones trigonométricas del ángulo α no dependen delradio de la circunferencia utilizada para definirlas. Para esto, consideralas circunferencias de radio r y r’ y calcula el valor de sen(α) y cos(α) enlos triángulos OAP y OBP’.

2. ¿Cómo se definiría la tangente de un ángulo en la circunferencia unitaria?

3. ¿Para qué valores la función tangente es positiva y para cuáles negativa?, ¿por qué?

4. Sin calculadora, determina el signo de las siguientes funciones trigonométricas. Justifica tus respuestas.

a. sen(113º) c. cos(–5º) e. cos(99º)

b. cos d. cos f. sen(250º)7

3π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

9

5π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

Actividades

P

ABO

P

α


Miguel debe calcular el valor de sen(α), donde α = ; sin embargo,

Para resolverlo, utiliza la circunferencia unitaria. Observa.

56

π

148 | Unidad 3

Reducción al primer cuadrante

En el problema que debe resolver Miguel, debe calcular sen(α),donde α es un ángulo del segundo cuadrante; por lo tanto, su su-plemento, π – α, será un ángulo del primer cuadrante.

Los triángulos de la figura son congruentes, ya que sus tres ladostienen igual medida; los catetos de ambos triángulos miden x ey, y la hipotenusa de estos mide 1, ya que corresponden a radiosde la circunferencia; luego, por el criterio LLL, ambos triángulosson congruentes.

Recordando que en la circunferencia unitaria tenemos que sen(α) = y y cos(α) = x, es decir, relacionamos el seno de α con laordenada del punto y el coseno con la abscisa. Luego, si observa-mos los puntos de la figura podemos observar que el valor de laordenada es el mismo; en consecuencia, sen(α) = sen(π – α).

En el problema de Miguel tendremos entonces que:

sen = sen = sen = .

Luego, si α es un ángulo del primer cuadrante, entonces su su-plemento, π – α, es un ángulo del segundo cuadrante. Podemosdeducir que:

sen(π – α) = y = sen(α)cos(π – α) = –x = –cos(α).

Nota que para el caso del seno hay dos ángulos: uno en el primercuadrante y otro en el segundo cuadrante, que tienen igual valor.

12

π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟π π−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

56

56

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Analicemos...

• ¿Qué ángulo α tiene igual ordenada que la del punto P?, ¿por qué?

• ¿Podemos utilizar el mismo procedimiento para calcular sen(α),siendo α un ángulo del segundo cuadrante?, ¿por qué?

• ¿Cuánto es el valor de sen ?, ¿cómo lo supiste?5

6π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

π6

12

Y

X

Y

X

P(–x, y) P`(x, y)yy

x–xα

–

-

α

solo conoce las razones trigonométricas para ángulos entre 0 y .π6

En un sistema de coordenadas, loscuadrantes se numeran desde el ejeX positivo.

Recuerda que...

IIIII

IIV



Ángulos del tercer cuadranteSi α es un ángulo del primer cuadrante, entonces (π + α) es un án-gulo del tercer cuadrante. Según la figura, podemos deducir que:

sen(π + α) = –y = –sen(α)cos(π + α) = –x = –cos(α)

Ángulos del cuarto cuadranteSea α un ángulo del primer cuadrante, entonces (2π – α) es un ángulodel cuarto cuadrante. Según la figura, podemos deducir que:

sen(2π – α) = –y = –sen(α)cos(2π – α) = x = cos(α)

Observa que en el primer y cuarto cuadrante hay dos ángulos quetienen igual coseno.

Notemos que para todo valor de α, se cumple que:

cos(–α) = cos(α)sen(–α) = –sen(α)

Un

idad

3

P(–x, –y)

P(x, –y)

–x

–y

P`(x, y)

P`(x, y)

En resumen

• Si α es un ángulo agudo, entonces:sen(π – α) = sen(α)cos(π – α) = –cos(α)

• Si α es un ángulo agudo, entonces:sen(π + α) = –sen(α)cos(π + α) = –cos(α)

• Si α es un ángulo agudo, entonces:sen(2π – α) = –sen(α)cos(2π – α) = cos(α)

• Para todo ángulo α, se cumple que:cos(– α) = cos(α)sen(– α) = –sen(α)

π + α

2π – α

α

α– α

1. Calcula el valor exacto de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente de los siguientes ángulos:

a. rad b. rad c. rad d. rad e. rad f. rad

2. Sin utilizar calculadora, encuentra los ángulos que satisfacen las condiciones siguientes. Recuerda que en algunos casos hay más de una solución, ya que α varía entre 0 y 2π.

a. cos(α) = b. sen(α) = c. cos(α) = d. cos(α) = 1

5π3

11π6

7π4

5π4

4π3

7π6

2

2

3

2

3

2

Actividades


150 | Unidad 3

Funciones trigonométricas inversas

Natalia debe decorar el salón comunitario de su junta de vecinos.Para esto dispone de 21 planchas triangulares de madera.

Ella quiere formar árboles con todas las planchas sobre una paredblanca sin que queden unas sobre otras, como los de la figura, perosolo tiene las medidas de los lados de cada plancha.

En la situación anterior, para que las planchas triangulares no que-den unas sobre otras, debemos fijarnos en las medidas de los án-gulos cuyo vértice es común, ya que la suma de estos no debeexceder los 360º.

Natalia solo dispone de las medidas de los lados de los triángulos,pero necesita saber los ángulos de cada figura para hacer el diseño.

Recordando el teorema del coseno, si conocemos las medidas de loslados a, b y c de un triángulo, podemos obtener los ángulos despe-jando el valor de cos(α) en este:

a2 = b2 + c2 – 2cb cos(α)

Luego, 2cb cos(α) = b2 + c2 – a2

cos(α) =

Ejemplo 1Si a = 2, b = 3 y c = 4, obtenemos que cos(α) = 0,875; para poder en-contrar el valor de α, debemos hallar el valor del ángulo quecumpla que el coseno de este es igual a 0,875.

Recordando las funciones trigonométricas, tenemos que la funciónf (x) = cos(x) nos entrega el coseno del ángulo, donde su dominioes el conjunto de los números reales; en este caso queremos calcu-lar el valor de un ángulo para distintos valores del coseno de este.

b2 + c2 – a2

2cb

Analicemos...

• ¿De qué medida depende la cantidad de planchas que debemosutilizar para formar cada árbol?, ¿por qué?

• ¿Puede la suma de los ángulos que tocan el centro de cada árbolser mayor que 360º?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cómo podemos obtener la medida de los ángulos de las plan-chas triangulares?

Dividimos por 2cb



La razones trigonométricas inversas son las que nos entregan unvalor para cada ángulo, a partir de una ecuación de la forma cos(α) = k, si k � IR.

Luego, la función y = arccos(x), llamada función arcocoseno, condominio en el intervalo [–1, 1], es la función inversa de y = cos(x), restringida a [0, π].

Por lo tanto, tendremos que para α � [0, π], y k � [–1, 1], se tieneque arccos(x) = α cos(α) = x.

De modo similar, podemos definir las funciones trigonométricasinversas para las funciones seno y tangente.

La función y = arcsen(x), llamada función arcoseno, con dominioen el intervalo [–1, 1], es la función inversa de y = sen(x),

restringida a [– , ].La función y = arctan(x), llamada función arcotangente, con dominioen los números reales, es la función inversa de y = tan(x),

restringida a ] – , [.π2

π2

π2

π2

↔

Un

idad

3

En las calculadoras, la función

arcoseno, por ejemplo, se obtiene

con las teclas , o

,o bien,

si existe.

arccosINV cos

cosSHIFT

En resumen

• La función trigonométrica inversa de y = cos(x) es y = arccos(x). Su dominio es [–1, 1] y su recorrido [0, π].

• La función trigonométrica inversa de y = sen(x) es y = arcsen(x). Su dominio es [–1, 1]

y su recorrido [– , ]. • La función trigonométrica inversa de y = tan(x) es y = arctan(x). Su dominio el conjunto

de los números reales y su recorrido ] – , [.π2

π2

π2

π2

1. Determina el valor de x, en el intervalo [0, π], sabiendo que cos(x) = .

2. Demuestra la igualdad arcsen – arcsen = .

3. Utiliza una calculadora para determinar el valor de y. Expresa los resultados en radianes y en grados.

a. y = arccos(0,23) b. y = arcsen(0,9) c. y = arctan(–1) d. y = arctan(1)

π12

1

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

2

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

3

2

Actividades

Pon atención


152 | Unidad 3

Ecuaciones trigonométricas

Victoria y Mario están buscando un ángulo que cumpla con la

ecuación 2 cos(α) = 1. Victoria obtiene que α = , mientras que

Mario obtiene que α = .5π3

π3

En la situación presentada, para determinar si alguno o ambos resul-tados son correctos, basta con remplazar los valores obtenidos porVictoria y Mario y verificar si cumplen la ecuación dada. Observa.

Victoria: 2 = 2 = 2 · = 1

Luego, ambos resultados son correctos. Esto se debe a que si α esun ángulo en el primer cuadrante, el valor de cos(α) se repite paraun ángulo en el cuarto cuadrante (gráfico 1); si α es un ángulo enel segundo cuadrante, el valor de cos(α) se repite para un ánguloen el tercer cuadrante (gráfico 2). La abscisa de los puntos P y Q

tiene el mismo valor, luego = .

Recordando que cos(–α) = cos(α), también serán soluciones de la

ecuación – y – , y que cos(α + 2kπ) = cos(α), las soluciones

Ejemplo

sen(α) = –

Recordando las razones trigonométricas de ángulos especiales,

tenemos que sen = , luego, como sen(–α) = –sen(α),

ecuación sen(α) = – será α = – . π4

22

22

π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

cos53π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟cos

π3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5π3

π3

12

cosπ3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟cos

π3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Analicemos...

• ¿Son ambos o alguno de los resultados correctos?• ¿Cuántas soluciones puede tener la ecuación dada? Explica.

Mario: 2 = 2 = 2 = 2 · = 1cosπ3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟cos 2

3π π

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟cos

53π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

Y

Y

X

X

P(x, y)

P(–x, y)

Q(x, –y)

Q(–x, –y)

–1

–1

–1

–1

1

1

1

1

de la ecuación serán α = ± + 2kπ, ya que = – + 2π.π3

5π3

π3

tendremos que sen = – , por lo tanto, una solución de 22

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π4

Gráfico 1

Gráfico 2



Luego, si α es un ángulo en el primer cuadrante, el valor de sen(α)se repite para un ángulo en el segundo cuadrante (gráfico 3); si αes un ángulo en el tercer cuadrante, el valor de sen(α) se repitepara un ángulo en el cuarto cuadrante (gráfico 4).

Recordando que sen(π – α) = sen(α), encontramos la otra solución:

sen = sen . Por lo tanto, las soluciones de la ecuación

Por consiguiente, toda ecuación trigonométrica se puede reducira algunos de los siguientes casos:

– sen(α) = x, en este caso sus soluciones están dadas por los va-lores de la forma α1 = 2kπ + arcsen(x) y α2 = 2kπ + π – arcsen(x),k � �,

– cos(β) = y, en este caso sus soluciones están dadas por los valoresde la forma β = 2kπ � arccos(y), k � �,

– tan(γ) = z, en este caso sus soluciones están dadas por los valoresde la forma γ = kπ + arctan(z), k � �.

54π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟π π

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

Un

idad

3

serán α1 = – + 2kπ y α2 = + 2kπ,k � �.5π4

π4

En resumen

• Una ecuación trigonométrica es una relación de igualdad entre expresiones trigonométricasque se verifican para algunos valores angulares.

1. Obtener todos los valores de x, expresados en radianes, que satisfacen cada una de las ecuaciones trigonométricas.

a. 2 cos2(x) + sen2(x) = 3 d. sen(x)(2 – sen(x)) = cos(2x)

b. tan(x) – cotan(x) = cosec(x) e. 2(sen(2x)) = 1

c. 2 cos(x) + 2 = 3 sec(x) f. (tan(x) – 1) (tan(x) + 3) = 2 tan(x)

2. ¿Para qué valores de a, una ecuación de la forma sen(α) = a no tiene solución?, ¿y cos(α) = a? Justifica tu respuesta.

2

Actividades

Y

X

Q(–x, y) P(x, y)

–1

–1

1

1

Y

X

Q(–x, y) P(x, y)

–1

–1

1

1

Gráfico 3

Gráfico 4


154 | Unidad 3




2. ¿Se pueden calcular las razones trigonométricas a partir de un triángulo cualquiera?

3. ¿Qué equivalencia hay entre grados y radianes?

4. ¿Qué diferencia hay entre una razón trigonométrica y una función trigonométrica?

5. ¿Cuál es el dominio de la función f (x) = sen(x)?, ¿y de g(x) = cos(x)?, ¿y de h(x) = tan(x)?

6. En un triángulo rectángulo, ¿a qué teorema se reduce el teorema del coseno?

7. ¿Qué es una circunferencia unitaria?, ¿qué utilidad tiene en trigonometría?

8. ¿En qué cuadrantes es positiva la función f (x) = tan(x)?

9. ¿Qué relación hay entre funciones trigonométricas inversas y ecuaciones trigonométricas?




TRIGONOMETRÍA

SISTEMA DE MEDICIÓN

DE ÁNGULOSTRIÁNGULO

RECTÁNGULO

relaciona

a partir de él se calculan

se extienden a

se resuelven

existen

SEXAGESIMAL

su unidad essu unidad es

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

ECUACIONES

TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS

RADIAL

GRADO RADIÁN

RAZONES

TRIGONOMÉTRICAS

tienen



Un

idad

3

Mi progreso

1. Determina los valores de las siguientes expresiones:

a. cos2 c. tan + sen

2. Determina cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Explica, en cada caso,tu decisión.

a. sen2(α) + cos2(α) = tan2(α) d. sen(α) + cos(α) = 1b. sen2(α) = 1 – cos2(α) e. (sen(α) + cos(α))2 = 1 + tan2(α)c. 1 + tan2(α) = cosec2(α) f. cos(α) · tan(α) = sen(α)

3. Las soluciones de la ecuación 2cos(x) = –1 son:

A. + 2kπ, k � � D. ± + 2kπ, k � �

C. ± + 2kπ, k � �

4. Resuelve el siguiente problema explicando, paso a paso, tu desarrollo.

a. En un triángulo rectángulo de lados 6, 8, 10, con ángulo α opuesto al cateto menor, escribe lasrazones trigonométricas seno, coseno y tangente de α.

2

3

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


¿Cómo voy?

CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA

Calcular expresiones que involucran razones trigonométricas.

1 126 a 131

Identificar expresiones correspondientes a identidades trigonométricas.

2 134 a 137

Resolver ecuaciones trigonométricas. 3 142 a 153

Resolver problemas que involucran razones trigonométricas.

4 126 a 133

Un

idad

3

b. sen – sec d. sen + cosπ4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

B. + 2kπ, k � � E. ± + kπ, k � �5

6

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5

6

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Cómo resolverlo

156 | Unidad 3


Ejercicio 1

Determina la pendiente de la recta que pasa por el punto C(1, 2) y formacon el eje X un ángulo de 45º. ¿Cómo se relaciona la trigonometríacon la ecuación de una recta dada?

Solución

La recta cuya pendiente debemos determinar, gráficamente será:

Si consideramos el triánguloABC formado por el punto C,un punto cualquiera pertene-ciente a la recta A, que corres-ponde a la intersección de larecta con el eje de las abscisas yel punto B, que es la proyeccióndel punto C sobre el eje X.Luego, el triángulo ABC es rec-tángulo en B; por lo tanto, podemos calcular las razones trigono-métricas a partir de este, donde tendremos que:

tan(45º) = = .

Donde tendremos que si las coordenadas de A son (x1, y1) y C son (x2, y2), podemos terminar la medida de los segmentos BC y ABde la siguiente forma:

tan(45º) = = .

Luego, recordando que la pendiente de una recta que pasa por lospuntos (x1, y1) y (x2, y2) está dada por:

m = ,

tendremos que la pendiente de la recta equivale a la tangente delángulo que forma esta con la horizontal.

Luego, como tan(45º) = 1, tendremos que m = 1; es decir, la pendientede la recta es 1.

BCAB

y2 – y1x2 – x1

y2 – y1x2 – x1

BCAB

cateto opuestocateto adyacente

C

BA 45º



Un

idad

3Ejercicio 2

Determina el ángulo formado por la intersección de las rectas

L1: y L2:

Solución

Llamemos α al ángulo formado por la intersección de ambas rec-tas, β y γ a los otros ángulos interiores del triángulo formadopor L1, L2 y el eje X, y θ al ángulo adyacente a γ. Observa.

tan(β) = pendiente de L1

tan(β) =

Por lo tanto, β = 30º

Luego, tan(θ) = pendiente de L2 = – .

Entonces, θ = 120º

Por lo tanto, γ = 60º

Ahora podemos determinamos el valor de α:α + β + γ = 180º α = 180º – β – γ = 180º – 30º – 60º = 90º

Finalmente, el ángulo de intersección entre L1 y L2 mide 90º.

1

3

3

y x= −8 3yx

= −3

1

Actividades


a. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (–2, 1) y cuyo ángulo de inclinación es 30º.b. Determina la medida del ángulo formado por la intersección de las rectas L

1: y

L2: y = x – 3.

2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoprevio, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?


La recta R es paralela a la recta x – 2y – 2 = 0. Determina el ángulo de inclinación de la recta.

y x= −3 1

A

L2

L1

CB

Ya que α ABC corresponde al ángulo formado entre L1 y el eje X

Ya que tan(30º) =

Recordando que en una ecuación de la forma y = mx + n, mcorresponde al valor de la pendiente

Ya que tan(120º) = –

Ya que γ y θ son ángulos suplementarios

Ya que α, β y γ son los ángulos interiores de un triángulo

αγ θβ


158 | Unidad 3


Mediciones en nuestro entorno

La Trigonometría, rama de la Matemática que estudia las relaciones métricas entre

las medidas de los ángulos y los lados de un triángulo, ha servido al ser humano

como instrumento para resolver problemas tales como determinar distancias inal-

canzables, es decir, que no pueden ser medidas por instrumentos como una regla

o huincha. Estas las podemos calcular conociendo algunas medidas y el ángulo de

elevación o depresión a cierto objeto.

Para calcular un ángulo de depresión o elevación a cierto objeto, existen instrumen-

tos como el astrolabio, sextante o transportador; luego, utilizando las herramientas

que nos entrega la Trigonometría, podemos determinar la altura a la que se en-

cuentra el objeto.

Si un observador de altura x se encuentra frente a un objeto de altura h y a una

distancia d desde la base del objeto, y α es el ángulo de elevación a este desde el

observador, podemos determinar la altura del objeto, mediante la expresión:

h = d · tan(α) + x

De esta forma, es posible medir la altura de árboles, edificaciones, cerros y, en general,

objetos de grandes alturas.


Actividades

1. Si un observador de 1,62 m de altura se encuentra a 5 m de la base de un edificio y observa el puntomás alto de este con un ángulo de elevación de 30º, ¿cuál es la altura aproximada del edificio?

2. Si en la pregunta anterior el observador se aleja 2 metros de la base del edificio, ¿en cuánto varía elángulo de elevación?

3. Si el ángulo de elevación con que se observa un objeto es de 45º, ¿cuál será la expresión que determinala altura de este?

Investiguemos...


1. Comparen las respuestas obtenidas por cada uno y discutan cuáles de las respuestas son correctas, si esque existen diferencias.

2. Utilizando un compás, dibuja sobre un pedazo de cartón un cuarto de circunferencia de mínimo 10 cmde radio.

3. Mediante el transportador y la regla, traza líneas como si fueran radios de la circunferencia, de modoque formen ángulo de 5º, 10º, 15º, …, 90º, indicando en la circunferencia los valores de los ángulos.

4. Dobla el hilo por la mitad, y en el extremo que tiene las puntas del hilo amarra una tuerca, o un ob-jeto similar, de manera de formar un péndulo.

5. Usando una tachuela o corchete, une el péndulo formado al centro del cuarto de circunferencia.Luego, pega con una cinta adhesiva una bombilla o el tubo de un lápiz al borde superior de cartón.

Hemos construido un astrolabio, el cual utilizaremos para calcular distancias inaccesibles.

6. Desde el patio de tu colegio, mide con tu astrolabio el ángulo de elevación al extremo más alto delborde del techo. Luego, utilizando una huincha, determina la altura a la que estaba el astrolabio y ladistancia en el piso desde el lugar de medición hasta el borde del colegio.Utilizando una calculadora, encuentra una aproximación para la altura del colegio. Compara tu resul-tado con el de tus compañeros y compañeras.

7. Utiliza el mismo procedimiento anterior para medir la altura de distintos objetos, como, por ejemplo, lapuerta de tu sala, un árbol del patio de tu colegio o la altura de tu sala de clases, y anota tus resultados.


• Comparen los resultados obtenidos. ¿Son similares? Si no es así, ¿qué diferencia hubo?, ¿a quécrees que se debe?

• Averigua o mide las medidas exactas de los objetos con los cuales trabajaste y, luego, compara losvalores con tus resultados obtenidos. ¿Son similares?


Un

idad

3


160 | Unidad 3


A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones entre los conceptos.


1. ¿Cuáles son los elementos de un triángulo rectángulo?2. ¿Qué relaciones hay entre las funciones seno, coseno y tangente para un mismo ángulo?3. ¿Qué relación hay entre seno de un ángulo y coseno del ángulo complementario?4. ¿Qué es un radián?5. ¿Qué es una identidad trigonométrica?6. ¿Qué relación tienen las funciones f (x) = arccos(x) y g(x) = cos(x)?, ¿por qué?7. ¿Qué significa resolver una ecuación trigonométrica?8. ¿Qué relación hay entre una ecuación trigonométrica y las funciones trigonométricas inversas?9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?


TRIGONOMETRÍA

TRIÁNGULO RECTÁNGULO SENO

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

FUNCIONES

TRIGONOMÉTRICAS

INVERSAS

ECUACIONES

TRIGONOMÉTRICASTEOREMA DEL SENO

Y DEL COSENO

COSENO

TANGENTE



Evaluación


1. En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo es la medida del cateto adyacente a este.2. En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo es el cociente entre la medida del cateto

opuesto al ángulo y la hipotenusa.3. En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo es el cociente entre el coseno y el seno

de este.4. Para todo número real x, se cumple sen(arcsen(x)) = x.5. Para todo número real x, se cumple arcsen(sen(x)) = x.


1. En un triángulo ABC, rectángulo en A, sen(α) = , calcular:

a. cos(α)b. tan(α)c. sec(α)d. cotan(β)e. cosec(α)f. sec(β)

2. Resuelve los siguientes problemas:

a. Si tan(α) = , y α es un ángulo agudo, calcula el resto de las razones trigonométricas para el

ángulo α.

b. Si tan(α) = , calcula el valor de .

c. Si α es un ángulo agudo y sec(α) = , calcula el valor de .

3. Resuelve las siguientes ecuaciones trigonométricas:

a. 3 cos(x) = 1

b. sen(x) = 1

c. 4 cos(x) + 2 = 0

d. 3 tan(x) = 5

3

2

2 sen(α) – 3 cos(α)4 cosec(α) + 9 cotan(α)

135

a sen(α) – b cos(α)a sen(α) + b cos(α)

ab

54

23

Un

idad

3

A B

β

α

C


162 | Unidad 3

1. En el triángulo ABC rectángulo en C, se afirma que:

I. a2 + q2 = b2 + p2

II. h2 = p · b

III. h2 =

De estas afirmaciones, es o son verdaderas:


2. (DEMRE 2004) ¿Cuál de las siguientes expresiones representa a la tangente de α?

A.

C.


3. Si sen(α) = y α es un ángulo agudo,

entonces, de las siguientes afirmaciones

son verdaderas:

I. cos(α) =

III. cosec(α) =

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIIE. I, II y III

4. El valor de la expresión sen2(45º) + cos2(30º) es:

A.

C.


5. ¿Para cuál de los siguientes ángulos se tiene quela tangente de este es un número negativo?

A. 181ºB. 335ºC. 85ºD. 0,52ºE. 258º

6. ¿Qué altura tiene un árbol si proyecta una sombrade 20 m, cuando el ángulo de elevación del Soles de 50º?

A. 23,8 mB. 15,3 mC. 12,8 mD. 16,8 mE. 1,53 m

a2b2

c2

1sen(α)

sen(α)cos(α)

5

4

2 32

+( )

2 3

7

75

57

III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.

B

C

A

p

q

ha

b

II. sec(α) = 3

6

B.2 3

4

2+( )

D. 54

B. cos(α)sen(α)

D. 1cos(α)



7. En la figura, BD = 100 dm. Entonces, AC mide:

A. dm

B. dm

C. dm

D. dm

E. dm

8. La figura representa los planos de las cerchasdel techo de una casa. ¿Cuánto mide la alturadel techo?

A. 12,25 mB. 5,22 mC. 1,78 mD. 1,53 mE. 1,22 m

9. En la figura, el valor de x es:

A. 3 cos(20º)

B. 3 tan(20º)

C.

E. 3 sen(20º)

10. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacioneses o son verdaderas?

I. sen2 + cos2 = 1

III. sen = sen

A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIE. II y III

11. ¿Cuál de las siguientes alternativas es falsa?

A. sen2(α) = 1 – cos2(α)

B. cos(15º) = cos(345º)

C. –1 � tan(α) � 1, para a entre 0 y 2π

D. sen(40º) = –sen(220º)

E. tan(α) =

12. (DEMRE, 2004) ¿Cuál o cuáles de las siguientesexpresiones representan el largo de la escalerade la figura?

I. metros

III. 1,2 · cos(70º) metros


1,2

sen(20º)

sen(α)cos(α)

15 3

3

sen(20º)

π9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7

18

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8

9

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

25 3

50 3

100 3

150 3

Un

idad

3


II. sen = cos 7

18

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

π9

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

C

ADB30º 60º

20º 30º

8

D.3

cos(20º)

II. metros1,2

cos(20º) 20º

70º

1,2 m

20º3

x


Inecuaciones lineales4

164 |Unidad 4

Desigualdades

Intervalos

Operaciones entre intervalos

Inecuaciones

Valor absoluto

Gráficos

Expresar información diversa através de desigualdades.

Utilizar desigualdades para representar conjuntos numéricos.

Conocer y aplicar procedimientospara resolver inecuaciones y

sistemas de inecuaciones linealescon una incógnita.

Determinar la existencia y pertinencia de las soluciones de

una inecuación.

Plantear y resolver problemas que involucren inecuaciones y sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

Resolver ecuaciones e inecuaciones que involucren

valor absoluto.

Graficar la solución de una inecuación o de un sistema de

inecuaciones lineales con dos incógnitas.



Inecuaciones lineales | 165

Conversemos de...

La Dirección Meteorológica de Chile entregainformación y pronóstico de la radiación UV-B,que es la radiación UV más peligrosa que llegaa la superficie de la Tierra. El gráfico muestra lavariación del índice UV para UV-B en Santiagodurante algunos días de diciembre de 2009.

La recomendación de la Dirección Metereoló-gica de Chile, cuando el índice alcanza valoresiguales o mayores que 11, es: “Evite salir du-rante las horas centrales del día. Busque lasombra. Son imprescindibles camisa, cremade protección solar y sombrero. Use lentes desol con filtro UV-B y UV-A”.

• Investiga sobre los peligros a la piel que trae el exponerse frecuentemente al sol cuando el índicees alto, muy alto o extremadamente alto.

• Averigua el rango promedio para el índice UV-B en tu comuna. ¿Necesitas tomar precauciones?

0

12-1

2

13-1

2

2

4

6

8

10

12

14

Índi

ce

14-1

2

15-1

2

16-1

2

17-1

2

18-1

2

19-1

2

20-1

2

21-1

2

11 11 11 1112

1312

10

1211

Fuente: Dirección Metereológica de Chile, en www.meteochile.cl, consultado en diciembre de 2009.

Días

Latin

stoc

k


166 | Unidad 4

¿Cuánto sabes?

1. Expresa la relación de orden contenida en las siguientes afirmaciones,usando los símbolos <, >, � o �. Guíate por el ejemplo.

El número de estudiantes n es superior a 15 n > 15.

a. El precio de la entrada p no supera los $ 3000.b. El promedio de edades x es por lo menos 30 años.c. La ganancia que obtuvo g no fue menor de $ 12 000.d. La nota n de Pedro no alcanzó el 6,0.

2. Responde los números obtenidos en cada caso.

a. ¿Qué números naturales cumplen con la condición de ser mayores que 3 y menores o iguales que 10?

b. ¿Qué números naturales cumplen con la condición de que sudoble no sobrepase a 10?

c. ¿Qué números naturales cumplen con al menos una de lascondiciones dadas en a y en b?

d. ¿Qué números naturales cumplen simultáneamente con lascondiciones dadas en a y en b?

3. Describe con tus palabras el tipo de número que pertenecen a lossiguientes conjuntos numéricos: �, �, �, �, IR.

4. Completa siguiente la tabla, indicando el o los conjuntos a los quepertenece cada número.


� � � � IR

2

–2,43

34

π

3 2 +


5. Determina cuál o cuáles de las siguientes expresiones correspondena la ecuación de una línea recta; luego, grafícalas.

a. y = 3x + 1 c. 2x2 + 5y = 0 e. x – 6 = 4b. 2y = 6 d. x + y + 3 = 0 f. y = x – 1 + 3x

6. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lohiciste.

a. 3x – + 8 = 2x b. = c. 2x – 1 = 2x +

7. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones. Explica, paso apaso, el procedimiento utilizado.

a. x + 2y = 1 b. 6x – 2y = –4 c. 2x + 3y = 123x – 2y = 12 3x – y = 1 6x + 9y = 36


32

x2

x + 33x – 2

5x5


Un

idad

4


• Una ecuación es una igualdad que contiene al menos un valor desconocido llamado incógnita. Ejemplo: 2x – 5 = 3.

• Resolver una ecuación es encontrar el o los valores de la incógnita que satisfacen la igualdad.Ejemplo: x = 4 es solución de la ecuación 2x – 5 = 3.

• Toda expresión que se pueda escribir de la forma ax + by + c = 0 con a, b y c números reales,representa una recta en el plano. Además, si a = 0, la expresión anterior representa unarecta horizontal; si b = 0, se trata de una recta vertical.

• Un sistema de ecuaciones consiste en varias ecuaciones con varias incógnitas. Ejemplo: x + y = 1

5x – 2y = 11

• Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar todos los grupos de valores de las incógnitas,de modo que cada grupo satisface todas las ecuaciones del sistema. Ejemplo: {x = 2, y = 1} es el único grupo que resuelve el sistema x + y = 3

x – y = 1


168 | Unidad 4

Desigualdades

Analicemos...

El índice UV solar mundial (IUV) es un indicador de la intensidad dela radiación ultravioleta (UV) solar en la superficie terrestre. La Or-ganización Mundial de la Salud (OMS) ha presentado el IUV paraestandarizar la medición de la radiación ultravioleta en el mundo,a fin de establecer una medida común frente al daño a la piel pro-ducido por la exposición directa a dicha radiación. El IUV se re-dondea a números enteros que miden la intensidad promedio delmáximo de radiación recibida en la superficie terrestre, en cuatrohoras alrededor del mediodía. La OMS da valores promedio de IUVpara distintas zonas del planeta, y se informa, por los medios de co-municación, el rango de valores esperados según su peligrosidadpara la piel. Observa.

En la situación anterior, el riesgo Moderado corresponde al rangopara el IUV entre 3 y 5, ambos incluidos, es decir, cumple dos condi-ciones; que 3 � IUV y que IUV � 5. Cuando ocurre esto, se puedeabreviar de la siguiente manera: 3 � IUV � 5. Por otra parte, tene-mos que el riesgo es Alto cuando 6 � IUV � 7. Como los valores delIUV se redondean a números enteros, el rango de valores parariesgo Moderado y Alto es 3 � IUV � 7.

La categoría de exposición es Baja cuando el IUV � 2, es decir, paravalores menores o iguales a 2. Es considerada Muy Alta para va-lores del IUV de 8 a 10, es decir, para el 8 � IUV � 10, y Extremada-mente Alta si IUV � 11.

Lo que hemos realizado es representar el rango de valores para elIUV por medio de desigualdades. Una desigualdad es una expre-sión matemática que sirve para representar que cierta cantidad esmayor o menor que otra. La desigualdad siempre contiene algunode los signos: <, >, �, �.

• ¿Qué rango del índice corresponde a las categorías de riesgoModerado y Alto?

• ¿Cómo podemos representar el rango de valores del IUV pormedio de desigualdades?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Es correcto decir que si el IUV � 6 y IUV � 7, la categoría deexposición es Alta?, ¿podrías expresar lo mismo con la desigual-dad 6 � IUV � 7?, ¿por qué?

Categoría de exposición

Rango de valores del IUV

Baja hasta 2

Moderada de 3 a 5

Alta de 6 a 7

Muy alta de 8 a 10

Extremadamentealta

desde 11

Fuente: Organización Mundial de laSalud, en www.who.int/es/, consultadoen diciembre de 2009.



Un

idad

4

Ejemplo 1(3 - 1)2 < 32 – 12, es una desigualdad numérica que puedes verificarfácilmente calculando el valor de cada lado de la desigualdad, esdecir: (3 – 1)2 < 32 – 12

4 < 8

Ejemplo 2En ciertos tramos de las carreteras, la velocidad máxima permitidaes de 120 kilómetros por hora. Luego, si representamos por v lavelocidad medida en km/h, se tiene: v � 120.

En resumen

• Se denomina desigualdad a toda relación que se establece entre números reales mediante lacomparación “menor que” (<), “menor o igual que” (�),”mayor que” (>), o “mayor o igualque” (�).

• Una desigualdad se cumple si la relación establecida es verdadera.

1. Determina si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas. Justifica.

a. � 7 b. < 1 c. < <

2. Expresa la siguiente información utilizando desigualdades.

a. Para un índice de radiación ultravioleta igual a 10, las personas de piel más sensible (aquellasque se queman con facilidad y nunca se broncean) no deben exponerse al sol sin protecciónmás de 18 minutos.

b. Una recomendación general es que se utilice un protector solar con factor de protección15 o mayor.

c. Se considera que la calidad del aire es “regular” si el ICAP es superior a 100 y menor o iguala 200.

d. En un examen que mide la cantidad de glucosa en la sangre de una persona adulta, seconsideran normales los valores que van de 64 a 110 mg/dL (miligramos por decilitro).

3. Se sabe que la medida de cada lado de un triángulo es menor que la suma de las medidas de losotros dos y mayor que su diferencia. En cierto triángulo, dos de los lados miden 6 cm y 19 cm. Expresa con una desigualdad el rango de posibles valores para la medida del tercer lado.

3 5 · 3 + 5

22 · 3 · 53 + 5

1,08 – 0,030,001

(7 + 2)2

22

Actividades


170 | Unidad 4

Intervalos de números reales

Analicemos...

El índice de masa corporal (IMC) es una medida de asociación entreel peso y la talla de un individuo, y corresponde a la razón entre lamasa corporal y el cuadrado de la estatura de una persona. Diversosestudios realizados han concluido que el grupo de mejor salud

corresponde a un IMC comprendido entre 20 y 25 .kgm2

Para determinar el IMC de una persona, podemos utilizar lasiguiente fórmula:

IMC = .

En la situación anterior, si remplazamos en la fórmula para el cálculo del IMC las medidas de Pedro, obtenemos:

� 23,03.

Luego, el IMC de Pedro es aproximadamente 23,03, el cual cumpleque 20 � IMC � 25; por lo tanto, se puede considerar como unapersona saludable.

Sabemos que si el IMC de María es tal que 20 � IMC � 25, se con-sideraría saludable. Como conocemos su estatura, podemos rem-plazarla en la fórmula y, considerando la desigualdad anterior,tendremos que:

20 � � 25

20 � � 25

51,2 � masa � 64

masa 2,56

masa (estatura)2

65(1,68)2

masa kgestatura2 m2

• Si Pedro mide 1,68 m y su masa es 65 kg, ¿cuánto es su IMC?,¿se puede considerar como una persona saludable?

• María mide 1,6 m. Para ser considerada saludable, ¿cuáles sonlos posibles valores para su masa?, ¿por qué?

Remplazamos la estatura de María

Multiplicamos por 2,56

20 � � 25masa 1,62

Médico registrando la masa de un

paciente.



Un

idad

4Lo anterior significa que María debe tener una masa entre 51,2y 64 kilogramos, incluidos ambos valores, para ser considerada enla categoría saludable.

Si quisiéramos hacer una lista de los posibles valores de la masa deMaría para ser considerada como saludable, no podríamos escribir-los en una secuencia ordenada sin omitir muchos de ellos, ya queestos valores forman un conjunto que tiene infinitos elementos.En casos como estos, podemos representar el conjunto de los posi-bles valores como un intervalo de números reales, utilizando la no-tación [51,2, 64]. Observa que los paréntesis son cerrados en ambosextremos, esto es porque se consideran dentro del intervalo los valo-res 51,2 y 64. En caso de que no los incluyera, se escribiría ]51,2, 64[.

Otra forma de representar este intervalo es gráficamente, de lasiguiente manera:

Observa que en los valores 51,2 y 64 hay un círculo pintado, estoes porque incluye ambos valores. En caso de que no los incluyera,se dibujaría un círculo blanco en cada valor.

Ejemplo 1Considera los intervalos A = ]–1, 10[ y B = [5, +�[. Determina A � By A � B.

A � B corresponde al conjunto que contiene todos los númerosque están entre –1 y 10 o aquellos que son mayores o iguales que 5.Es probable que no te sea difícil observar que A � B = ]–1, +�[.

Representaremos de manera gráfica lo anterior.

En la figura que sigue, se ha coloreado con verde la porción de rectaque corresponde al conjunto A, y con rojo la que representa a B.Entonces, A � B corresponde a todo lo que ha quedado coloreado,ya sea con verde por pertenecer a A, o con rojo por pertenecer a B.

51,2 64

]–1, 10[ representa a todos losnúmeros n que cumplen: –1 < n < 10.[5, +�[ representa a todos losnúmeros n que cumplen: 5 � n.+� y –� no son números, estos símbolos se utilizan para representar el concepto de infinito.� significa unión.� significa intersección.

Recuerda que...

5 10–1


De la misma figura podemos deducir que A � B corresponde a todoslos números que están entre –1 y 10, y que además son mayores oiguales que 5. En el gráfico, esto es lo que ha quedado coloreadocon verde y rojo simultáneamente, es decir, A � B = [5, 10[.

Ejemplo 2Sea C = [1, 5] y D = ]7, +�[. Determina C � D y C � D.

Se tiene que C � D = �, puesto que dichos conjuntos no tienen ele-mentos en común; luego, la unión de ellos solo se puede expresarcomo C � D = [1, 5] � ]7, +�[. Observa.

172 | Unidad 4

En resumen

• Dados dos números reales a y b, con a < b, se definen los intervalos que aparecen en lasiguiente tabla.

Conjunto Notación Representación gráfica Tipo de intervalo

{x � IR / a � x � b} [a, b] Intervalo cerrado

{x � IR / a < x < b} ]a, b[ Intervalo abierto

{x � IR / a � x < b} [a, b[

Intervalo semiabierto

{x � IR / a < x � b} ]a, b]

{x � IR / x � a} [a, +�[

Intervalos no acotados o infinitos

{x � IR / x > a} ]a, +�[

{x � IR / x � b} ]–�, b]

{x � IR / x < b} ]–�, b[

ba

ba

ba

ba

a

a

b

b

71 5

� representa al conjunto sin ele-mentos, llamado conjunto vacío.

Recuerda que...



Un

idad

4

1. Considera los siguientes números: 0, π, , y .

a. Encuentra un intervalo que contenga a todos estos números.b. Encuentra un intervalo que no contenga a ninguno de ellos.c. Para cada número, encuentra un intervalo que lo contenga, y cuyos extremos sean números

enteros consecutivos.d. Explica cómo lo hiciste en cada caso.

2. Expresa como intervalo y representa gráficamente los siguientes conjuntos:

a. {x � IR / – < x} d. {x � IR / x � –3}

c. {x � IR / 0 < x � 0,5} f. {x � IR / x > }

3. Expresa como intervalo las siguientes representaciones gráficas:

a. d.

b. e.

c. f.

4. Determina las siguientes uniones e intersecciones de intervalos. Expresa tu resultado comointervalo y represéntalo gráficamente.

a. [2, 5[ � ]3, 18[ d. � ]0, +�[

b. ]–5, 1] � ]1, 7[ e. [0, 1[ � (]–3, 1[) � [0, 5])

c. � ]0, +�[ f. (]–�, 2[ � [12, +�[) � [0, 20]

– , 7

4

5

3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

– , 7

4

5

3⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

4 5

3

1823 4

Actividades

b. {x � IR / < x � 1,33} e. {x � IR / –12 � x � 5,8}1 5

–52

3

–5,2100

0

32

193

0 8


174 | Unidad 4

Propiedades de las desigualdades

En algunos países como Chile, la temperatura se mide en gradosCelsius, y en otros como Estados Unidos, se mide en grados Fahren-heit. La expresión F = 1,8 · C + 32 muestra la relación entre gradosCelsius (C) y grados Fahrenheit (F).

Considera la siguiente información:“Cierto día, la temperatura en Punta Arenas varió entre –1 ºC y10 ºC”.

A partir de la información anterior, podemos expresar la variaciónde la temperatura en Punta Arenas el día indicado, a través de ladesigualdad: –1 � C � 10. La que, expresada como un intervalo,corresponde a [1, 10].

Para saber cuánto variaron estas temperaturas en grados Fahrenheit,podemos utilizar la expresión F = 1,8 · C + 32, donde C representa lamedida en grados Celsius y F en grados Fahrenheit. Observa.

–1 � C � 10

–1,8 � 1,8C � 18

30,2 � 1,8C + 32 � 50

30,2 � F � 50

Lo anterior significa que la temperatura en Punta Arenas ese díavarió entre 30,2 ºF y 50 ºF.

Observa que al sumar cualquier número real a los términos de unadesigualdad, o al multiplicarlos por un número real positivo, ladesigualdad se mantiene.

Ejemplo 1

–3 � –10]

–3 · –2 � –10 · –2

6 � 20

Observa que si multiplicamos o dividimos una desigualdad por unnúmero real negativo, la desigualdad se invierte.

Analicemos...

• ¿Cómo podrías representar esta variación de temperaturas comoun intervalo?

• ¿Cuál es esta variación de la temperaturas medida en gradosFahrenheit?, ¿cómo lo supiste?

Multiplicamos por 1,8

Sumamos 32

Remplazamos en la expresiónF = 1,8 · C + 32

Multiplicamos por –2, por lotanto la desigualdad se invierte

Termómetro que muestra la

temperatura en grados Celsius

y grados Fahrenheit.



Un

idad

4

En resumen

• El sentido de una desigualdad no cambia si se suma o resta un mismo número real en amboslados de la desigualdad. Es decir, si a > b; entonces, a + c > b + c y a – c > b – c.

• El sentido de una desigualdad no cambia si se multiplica o divide por un mismo número real

positivo a ambos miembros de la desigualdad. Es decir, si a > b y c > 0; entonces, ac > bc y > .ac

bc

• El sentido de una desigualdad se invierte si se multiplica o divide por un mismo número real

negativo a ambos miembros de la desigualdad. Es decir, si a > b y c < 0; entonces, ac < bc y < .bc

ac

1. Para los valores de a y b dados en la siguiente tabla, se cumple que 0 < a < b.

a. Completa la tabla.

b. Compara los valores de y . ¿Qué relación de

orden se da entre ellos?

c. Completa, en tu cuaderno, la siguiente afirmación:

Si 0 < a < b, entonces,__________________________________.

d. Verifica, para otras parejas de valores de a y b, la validez de la propiedad encontrada.

2. Para todos los valores de x en la siguiente tabla, se tiene que 0 < x < 1.

a. Completa, en tu cuaderno, la tabla.b. Compara los valores de x y x2. ¿Qué relación de orden se da entre ellos?, ¿ocurre lo mismo

si x � –1 o x � 1?c. Completa, en tu cuaderno, la siguiente afirmación: si 0 < x < 1, entonces,

__________________________________.

d. Verifica, para otros valores x, la validez de la propiedad encontrada.

1b

1a

Actividades

a b1a

1b

1 2

5 10

1000 10 000

0,1 0,2

0,001 0,01

x 0,95 0,80 0,65 0,20 0,10 0,01

x 2


176 | Unidad 4

Conjeturas y demostraciones

Sea a un número positivo cualquiera. En la siguiente tabla se hanasignado distintos valores para a, y se ha calculado la suma de estenúmero con su recíproco.

En la situación anterior, si probamos con otros valores positivos de

a obtenemos en todos los casos que a + � 2. No existe ningún

valor de a, tal que a + < 2.

Por lo tanto, podemos enunciar la siguiente conjetura:

Para todo a � IR+, se cumple que a + � 2.

Sin embargo, como existen infinitos números reales, no podemosverificar esta desigualdad para cada uno de los posibles valores dea. En este caso, es necesario demostrar la conjetura, para lo cual serequiere de un argumento que sea válido para todos los valorespositivos de a, y que compruebe lo afirmado.

Para hacer tal demostración, partiremos de nuestra conjetura y usa-remos las propiedades de las desigualdades con el fin de transfor-marla en otras expresiones.

1a

1a

1a

Analicemos...

• Todos los resultados obtenidos son mayores o iguales a 2. ¿Quécrees que ocurre si calculamos la misma expresión para otros va-lores positivos de a?, ¿por qué?

• ¿Existe algún valor positivo de a, tal que a + < 2?

• Si a es cualquier número positivo, ¿necesariamente se cumple

que a + � 2? Justifica.1a

1a

Multiplicamos por elnúmero positivo a

Dividimos por elnúmero positivo a

a1a

a + 1a

5 0,2 5,2

2,5 0,4 2,9

2 0,5 2,5

1,5 0,6 2,16

1 1 2

0,8 1,25 2,05

0,5 2 2,5

IR+ representa el conjunto detodos los números reales positivos.

Recuerda que...

a + � 2 1a

Restamos 2 aSumamos 2 a

a2 + 1 � 2a

Factorizamos Desarrollamos elcuadrado de binomio

a2 – 2a + 1 � 0

(a – 1)2 � 0



Un

idad

4En el lado derecho, se han indicado las operaciones que permitentransformar la desigualdad inicial. En el lado izquierdo, se mues-tra la operación que permite revertir cada paso.

De esta manera, nuestra conjetura ha resultado verdadera encualquier caso, ya que el cuadrado de todo número es mayor o

igual que cero y, por lo tanto, a + � 2, para todo a positivo.1a

En resumen

• Conjetura: suposición probable que se forma a partir de las señales observadas.

• Demostración: conjunto ordenado de argumentos que permiten obtener una verdad comoconsecuencia lógica de otra.

1. Lee con atención la demostración de la propiedad a + � 2 para todo a positivo. ¿En qué parte

del razonamiento fue importante el hecho de que a fuese un número positivo?

2. Si n representa un número natural cualquiera, ¿a qué intervalo pertenecen los posibles valores de

la expresión ? Demuestra tu conjetura, utilizando propiedades de las desigualdades.

3. Repite el ejercicio 2 para las expresiones:

a. b.

4. Demuestra que (a2 + b2) � ab para todos los valores reales de a y b.

6. Demuestra que � si x � 0 e y � 0.xyx + y2

12

2n2 – 3n2

n + 12n

n + 1n

1a

Actividades

5. Demuestra que a + b > si a > 0 y b > 0.a2 + b2

a + b

7. Demuestra que + ≥ 1 si a < 0 y b < 0.

a. ¿En qué casos se verifica la igualdad?b. ¿Qué sucede con la desigualdad para a > 0 y b > 0?

5b4a

a5b


178 | Unidad 4


• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.


2. Si a, b � IR, y a � b, ¿es cierto que a < b?, ¿por qué?

3. Si a, b � IR, a � b y a � b, ¿se puede afirmar que a = b?, ¿por qué?

4. ¿Existe algún par de números reales a, b tal que a < b y a > b? Justifica.

5. ¿En qué caso el sentido de una desigualdad cambia?, ¿por qué ocurre esto?

6. Si a, b y c � IR, y b > c > a, entonces, ¿b – c > a – c?

7. Si a, b � IR, y b > a, entonces, ¿b3 > ab2?

8. Si a, b y c � IR, y b > c > a, entonces, ¿(a – c) · b > (a – c) · c?

9. Si 0 < x < 1, entonces, ¿1 + x2 < (1 + x)2?




DESIGUALDADES

INTERVALOS DE NÚMEROS REALES

de tipo

permiten expresar

SEMIABIERTOS INFINITOSABIERTOS

se aplican

respecto de

CONJETURAS Y

DEMOSTRACIONES

PROPIEDADES DE

LAS DESIGUALDADES


Mi progreso

Un

idad

4

1. Determina si las siguientes desigualdades son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.

a. 33 < 4 · 12 d. � g. 3 – � 3 –

c. 3 – � 3 � 3 + f. � i. �

2. Determina la unión o intersección de los siguientes intervalos.

a. [1, 3[ � ]2, 7[ c. ]2, 8] � [–3, 2] e. [ , ] � [2, 5[

b. [1, +�[ � ]–�, 40[ d. ]–1, +� [ � ]–�, 1[ f. [ , [ � [ , [3. Asumiendo que a y b son números reales, y que a < b, justifica las siguientes desigualdades mediante la

aplicación de las propiedades de las desigualdades, y lo aprendido sobre conjeturas y demostraciones.

a. a + 4 < b + 4 c. 2 – b < 2 – a e. 0 < b – ab. 3a < 3b d. 3 + 4a < 3 + 4b f. 8 + a – b < 8

4. La desigualdad + � , se cumple si a y b pertenecen a:

A. IR B. � C. � D. IR+ E. IR

–

1a + b

1b

1a

45

87

78

54

72

14

2822

3328

52

25

1 + 2211

3 + 1111

56

45

14

14



¿Cómo voy?


Representar situaciones mediante desigualdades y justificar si son verdaderas o falsas.

1 y 3 168 y 169; 176 y 177

Comprender y utilizar correctamente la notación y operatoria de intervalos.

2 170 a 173

Demostrar desigualdades mediante propiedades. 4 174 a 177

b. (2 + 3)(4 – 2) > (2 + 2)(4 – 3) e. (–4)2 � (–4)3 h. � 1 + 47

1 + 47


180 | Unidad 4

Inecuaciones con una incógnita

Un banco ofrece no cobrar gastos de mantención a aquellos clientesque mantengan un saldo superior a $ 100 000 en sus cuentas. Lucastiene un saldo de $ 100 000; Gabriela tiene un saldo de $ 122 000y acaba de girar $ 50 000.

Analicemos...

• Si denotamos por x al saldo total de una persona en su cuentabancaria, ¿qué desigualdad representa la condición para accedera la oferta del banco?

• ¿Puede Lucas acceder a la oferta del banco?, ¿por qué?• ¿Cuánto dinero debe depositar Gabriela para que el banco no

le cobre mantención?, ¿cómo lo supiste?

En la situación anterior, la condición necesaria para acceder a laoferta del banco es que el saldo x que tiene una persona en sucuenta debe ser superior a 100 000; es decir, x > 100 000.

Por otro lado, cuando x = 100 000, como es el caso de Lucas, no secumple la condición, ya que debe ser superior a este valor.

Gabriela, en cambio, tiene $ 122 000 en su cuenta y acaba de girar$ 50 000; por lo tanto, le quedan $ 72 000 en su cuenta bancaria.Como 72 000 < 100 000, no puede acceder al beneficio ofrecidopor el banco. Sin embargo, si denotamos por z el monto que debe de-positar Gabriela para acceder a este, entonces la condición que z de-biera cumplir se puede obtener mediante la siguiente desigualdad:

72 000 + z > 100 000

z > 100 000 – 72 000

z > 28 000

Por consiguiente, el monto que debe depositar Gabriela para accedera la oferta del banco, y de esta forma no pagar el costo de man-tención, deber ser superior a $ 28 000.

Aplicando propiedades de las desigualdades, hemos logrado des-cubrir todos los posibles valores de la variable desconocida. A estetipo de desigualdades las llamaremos inecuaciones, las cuales son de-sigualdades con una o más incógnitas. Para resolver una inecuación,debemos encontrar el conjunto de todos los posibles valores parala incógnita o incógnitas que hacen verdadera la desigualdad.

Restamos 72 000



Ejemplo 1Resuelve la inecuación: 4x – 7 � 2x – 3

Solución

2x – 7 � –3

2x � 4

x � 2

Luego, todos los valores que satisfacen la inecuación pertenecen alintervalo ]–�, 2], el que se puede representar también gráficamente.

Algunas inecuaciones se deben resolver considerando el conjuntoal cual pertenece la incógnita, analizando las soluciones de estas.

Cuando dos inecuaciones tienen el mismo conjunto solución, sedice que estas son equivalentes.

En el ejemplo 1, la inecuación 4x – 7 � 2x – 3 es equivalente a lainecuación x � 2. Luego, si x es un número natural, su solución seríael conjunto {1, 2}.

Un

idad

4

Restamos 2x

Sumamos 7

Dividimos por 2

2

En resumen

• Una inecuación es una desigualdad que tiene una o más incógnitas. Para resolverla, debemosencontrar todos los valores de las incógnitas que hacen verdadera la desigualdad.

• El conjunto solución de la inecuación se puede expresar mediante un intervalo, o bien, representado en la recta real.

1. Determina el conjunto solución de las siguientes inecuaciones y represéntalas gráficamente.

a. x – 2(x – 3) > 0 c. – 3 < + 1 e. 2(x + 3) + 3(x – 1) > 2(x + 2)

2. Resuelve las siguientes inecuaciones, considerando la condición dada para x.

a. 3x – 2(4x – 7) ≥ 9, x entero positivo.b. 2x + 3 > x – 1, x entero negativo.

2x5

3x2

Actividades

b. (x + 1)2 – 5 ≥ x (x – 2) d. 2x + 3 � 4x – (x – 10) f. 3 – x – � – 52x5

13


182 | Unidad 4

Sistemas de inecuaciones con una incógnita

La acidez del agua en una piscina es considerada normal si el promedio de tres lecturas de pH está entre 7,2 y 7,8, ambos valores incluidos.

En la situación anterior, si x, y, z corresponden a las lecturas del pH

de una piscina, el valor de corresponderá al promedio

entre las tres. Por lo tanto, para que la acidez del agua sea conside-

rada normal, se debe cumplir que:

� 7,2 y � 7,8.

Si las lecturas del pH de una piscina son 7,1, 7,9 y 7,4, el promedio

de ellas es = = 7,5. Luego, la acidez del agua

de la piscina es normal, ya que 7,5 � 7,2 y 7,5 � 7,8; es decir, cumple

con la condición requerida.

Si, en cambio, solo tenemos dos lecturas del pH de una piscina,podemos determinar entre qué valores debe estar la tercera lec-tura para que la acidez del agua de la piscina sea considerada nor-mal. Llamemos x al valor de la tercera lectura.

El promedio de las tres lecturas de pH es: = ,

luego, para determinar entre qué valores debe estar x debemos

plantear y resolver las siguientes inecuaciones:

� 7,2 y � 7,8

15,3 + x � 21,6 y 15,3 + x � 23,4x � 6,3 y x � 8,1

15,3 + x3

15,3 + x3

15,3 + x3

7,4 + 7,9 + x 3

22,53

7,2 + 7,9 + 7,43

x + y + z3

x + y + z3

x + y + z3

Analicemos...

• Si x, y, z son los valores de tres lecturas del pH en una piscina,¿cómo representarías la situación anterior, utilizando desigual-dades?, ¿cómo lo supiste?

• Si las lecturas de una piscina son 7,2, 7,9 y 7,4, ¿se puede con-siderar normal la acidez del agua?

• Si las primeras dos lecturas fueron 7,4 y 7,9, ¿qué valores posiblesde la tercera lectura indicarían que el agua tiene acidez normal?,¿por qué?

Multiplicamos por 3

Restamos 15,38,16,3



Un

idad

4Por lo tanto, el valor de la tercera lectura debe estar entre 6,3 y 8,1,ambos valores incluidos, es decir, en el intervalo [6,3, 8,1].

Observa que en la situación anterior, la respuesta se obtiene al in-tersecar el conjunto solución de ambas inecuaciones.

Lo que hemos hecho es resolver cada inecuación para encontrarsu conjunto solución, y luego intersecarlas para obtener los valo-res que hacen verdaderas ambas desigualdades a la vez.

Dado que la solución final obtenida es un conjunto que está con-tenido en las soluciones de cada inecuación, hemos resuelto un sis-tema de dos inecuaciones con una incógnita.

En resumen

• Un sistema de inecuaciones con una incógnita es un conjunto de dos o más inecuaciones deuna incógnita que deben verificarse a la vez. La solución del sistema está dada por la inter-sección del conjunto solución de cada inecuación.

1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones y representa gráficamente su solución.

a. 3x + 2 � x – 4 c. x + 2 > 1 e. x – 2 � 2x g. 2x – 3 � x + 15 – x � – 2 x – 1 > –1 x + 3 > –8 5 – x � 3

b. 2x – 2 � x + 5 d. x – 2 > 2x + 1 f. x + 1 � x – 1 h. x + 1 > 2x + 1– x + 6 � 3 x + 3 > –2 3x + 1 > 0 x – 3 � 4x + 5

2. En un triángulo, las medidas de dos de sus lados son 3 cm y 7 cm. Si la suma de las medidas de doslados de un triángulo debe ser mayor que el tercer lado y menor que la diferencia entre las me-didas de los lados conocidos, ¿cuáles son las posibles medidas que puede tener el tercer lado,sabiendo que el valor de este es un número entero?

3. Un músico profesional puede gastar entre $ 190 000 y $ 210 000 en un equipo de música y algunosCD. Si el equipo de música cuesta $ 170 000 y los CD $ 8000 cada uno, encuentra la cantidad mínimay máxima de CD que puede comprar.

Actividades


184 | Unidad 4

Inecuaciones lineales con dos incógnitas

Para cercar una zona rectangular de una plaza en remodelación, sedispone de 50 metros de malla de alambre. Sin embargo, las dimen-siones de la zona por cercar no están definidas. Si representamospor x e y las dimensiones de la zona a cercar, tendremos la siguientesituación. Observa.

En la situación anterior, la zona rectangular que se quiere cercarutilizando una malla, corresponderá al perímetro del rectángulo.Por lo tanto, el que expresado en términos de x e y corresponderáa 2x + 2y. Luego, como la cantidad de malla disponible para cer-car es de 50 metros, el perímetro de la zona rectangular deberáser igual o inferior a 50 metros.

Es decir,2x + 2y � 50

x + y � 25

Para representar las dimensiones posibles de la zona a cercar,podemos considerar cada par de dimensiones posibles para x e y,es decir, el ancho y el largo de la zona rectangular respectiva-mente, como un par ordenado (x, y), tal que cumpla la inecuaciónx + y � 25. De este modo, podemos graficar los puntos del planoque satisfagan tal condición, lo cual nos permite representar todaslas dimensiones posibles.

Analicemos...

• ¿Qué relación hay entre el perímetro de la zona por cercar y lacantidad de malla a usar?, ¿por qué?

• ¿Cómo podemos expresar la condición que deben cumplirambas medidas para que alcancen los 50 metros de malla paracercar la zona rectangular?, ¿cómo lo supiste?

• ¿De qué forma podemos representar todas las dimensiones posi-bles de la zona cercada?, ¿por qué?

x

y

Dividimos por 2



Un

idad

4Para ello, debemos realizar el siguiente procedimiento:

Graficamos la recta x + y = 25. Observa.

Consideramos solo los valores en el primer cuadrante, ya que x ey son longitudes, por lo tanto, solo pueden ser valores positivos.La recta la graficamos con una línea continua, pues el signo � enla inecuación x + y � 25 nos indica que los valores pertenecientesa la recta están incluidos.

Nota que la recta x + y = 25 divide al plano en dos regiones. Enuna de ellas se cumple que x + y < 25, y en la otra se cumple quex + y > 25.

Para saber cuál es la región que a nosotros nos interesa, elegimoscualquier punto del plano que no pertenezca a la recta, y anali-zamos si es o no solución de la inecuación.

Escojamos el punto (0, 0) y remplacemos en la inecuación x + y � 25:0 + 0 � 25, lo cual es verdadero. Luego, la región que nos interesaes aquella que contiene al punto (0, 0) (región pintada).

La región pintada nos muestra todas las posibles soluciones delproblema.

Por ejemplo, si la longitud x del terreno es 15 m, entonces la lon-gitud y del terreno no puede ser más de 10 m.

El procedimiento utilizado para resolver el problema anterior nospermite representar también las soluciones de sistemas de inecua-ciones. Como se trata de intersecar las soluciones de cada inecuación,en el plano basta con intersecar las regiones que grafican las solu-ciones de cada inecuación.

Si en la inecuación aparecen los sig-nos “<” o “>”, entonces graficare-mos la recta asociada con una líneapunteada. Esto nos indicará que lospuntos de la recta no están inclui-dos como posibles soluciones.

Si un punto no es solución de la in-ecuación, entonces, la región de-seada será aquella donde no estádicho punto.

Pon atención

0 25 X

Y

25

0 252015105 X

Y

252015105


186 | Unidad 4

Ejemplo 1Determina gráficamente la solución del sistema

Grafiquemos con líneas punteadas las rectas x = 3 e y = x + 1.

Para la inecuación x < 3, probamos con el punto (0, 0): 0 < 3 es ver-dadero. Luego, pintamos la región que contiene al punto (0, 0).

Para la inecuación y > x + 1, probamos con el punto (0, 0): 0 > 0 + 1es falso. Luego, pintamos la región que no contiene al punto (0, 0).

La solución del sistema está dada por todos los puntos que perte-necen a la región pintada.

Ejemplo 2¿Qué sistema de inecuacioneslineales con dos incógnitaspermite describir la regiónsombreada en el gráfico?

SoluciónObserva que la región sombreada está limitada por las rectas x = 2,y = 0 (el eje X). Además, x + y = 10. A partir de cada una de ellasobtendremos una inecuación.

La inecuación que describe la región situada a la derecha de larecta x = 2, es:

x � 2

La inecuación que describe la región situada sobre la recta y = 0, es:

y � 0

Para obtener la tercera inecuación, escogemos el punto (3, 1), quesabemos que pertenece a la región sombreada. Luego, rem-plazamos los valores x = 3 e y = 1 en la expresión x + y.

x = 3

X

x < 3y > x + 1

Y

0

y = x+ 1

y = x+ 1

x = 3

0

Y

X

(solución)x = 22 10

10

x + y = 10

X

Y

La línea continua indica que se incluyen los puntosdonde x = 2.

La línea continua indica que se incluyen los puntos

donde y = 0.



Un

idad

4

1. Grafica las siguientes inecuaciones de dos incógnitas:

a. y > x + 2 c. y � 6x e. x + y � 0b. y � 3x – 1 d. y > –2 f. 2x – y > 1

2. En el ejemplo de la región rectangular por cercar, ¿puedes cercar el terreno de 12 m por 15 m? Justifica usando la inecuación y el gráfico.

3. Determina una inecuación que represente cada una de las gráficas que se muestran.

a. b.

4. Las entradas para asistir a una función del circo cuestan $ 8000 por asiento reservado, y $ 2500 porentrada general. Si el total recaudado debe ser como mínimo $ 150 000 para solventar los gastos,encuentra la inecuación que indique los modos posibles en los que se pueden vender los asientosreservados x y las entradas generales y.

Actividades

En resumen

• Una inecuación lineal de dos incógnitas es una inecuación de la forma Ax + By + C < 0 (el signo puede ser <, >, � o �), la cual describe una región del plano limitada por la rectaAx + By + C = 0. Cada punto de la región es una solución de la inecuación.

Obtenemos 3 + 1 = 4, que es un valor menor que 10.

Por tanto, los puntos de la región satisfacen:

x + y < 10

Luego, el sistema requerido es: x � 2y � 0x + y < 10

La línea discontinua indica que no se incluyen los puntos donde x + y = 10.

0 2

Y

X–1

0 2

2

Y

X


188 | Unidad 4

Inecuaciones que involucran valor absoluto

Juan y sus amigos se encuentran jugando a la rayuela. Este juego,típico de las zonas campesinas de Chile, consiste en lanzar un tejometálico sobre un cordel tenso que se encuentra a 5 metros enlínea recta del lugar de lanzamiento. Este cordel está justo en lamitad de un cajón de 80 cm de largo, relleno con barro y leve-mente inclinado, como se muestra en la figura. Observa.

En la situación anterior, para que el tejo caiga dentro del cajón, eljugador debe lanzarlo a una distancia menor de 40 cm del cordel.Este cordel se encuentra a 5 m del jugador, justo en la mitad dellargo del cajón. Observa la imagen que lo representa.

Por lo tanto, la distancia a la que debe caer el tejo tendría queestar dentro del intervalo ]4,6, 5,4[.

Como x representa la distancia a la cual el jugador lanza el tejo, ladistancia a la cual debe lanzarse este para que caiga dentro delcajón tendrá que cumplir que:

x – 5 < 0,4, si x � 55 – x < 0,4, si x < 5

Recordando la definición de valor absoluto, podemos representarla situación anterior de la siguiente forma: � x – 5 � < 0,4.

Notemos que los valores de x que satisfacen la inecuación son x � ] 4,6, 5,4 [, que corresponden al intervalo representado en lafigura anterior.

Analicemos...

• Si llamamos x a la distancia a la que el jugador lanza el tejo,¿dentro de qué intervalo debe estar x para que el tejo caiga den-tro del cajón?, ¿por qué?

• ¿Cómo podemos representar la distancia a la que se encuentrael tejo del cordel en términos de x?, ¿qué debe cumplir esta paraque el tejo se encuentre dentro del cajón?, ¿cómo lo supiste?

14,45,454,6

40 cm 40 cm

El valor absoluto de x se define por:

� x � = { x si x � 0

Recuerda que...

–x si x < 0

cajón



Un

idad

4EjemploResuelve la inecuación � 2x + 1� < 3.

SoluciónLa inecuación es equivalente a:

–3 < 2x + 1 < 3

–4 < 2x < 2

–2 < x < 1

Luego, la solución de esta inecuación es el intervalo ]–2, 1[.

1. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:

a. ¿Cómo se interpreta geométricamente � x – y �?b. ¿Qué significa � x – y � < d y � x – y � > d?

2. Responde las siguientes preguntas.

a. ¿A qué intervalo pertenecen todos los números reales que están a menos de tres unidadesdel origen?

b. ¿A qué intervalo pertenecen todos los números reales que están a más de cinco unidadesdel origen?

c. ¿Cómo se expresa mediante una inecuación el enunciado: “Todos los números reales queestán a más de dos unidades de 6”?

Actividades

–2

En resumen

• Si d es un número real positivo, y:

• � x � = d, entonces x = d o x = –d

• � x � < d, entonces –d < x < d

• � x � > d, entonces x < –d o x > d

Restamos 1

Dividimos por 2

–d d

–d d

1

x yDistancia entre

x e y � x – y �

2 5

–5 –3

–4 2

–d d


190 | Unidad 4


• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.

1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cual? Agrégalo.

2. ¿Cuál es la relación entre desigualdad e inecuación?, ¿por qué?

3. ¿Toda inecuación tiene solución?, ¿por qué?

4. ¿Todo sistema de inecuaciones tiene solución? Justifica.

5. ¿Cómo se representan las soluciones de inecuaciones o sistemas de inecuaciones con

una sola incógnita?

6. ¿Cómo se representan las soluciones de inecuaciones o sistemas de inecuaciones con

dos incógnitas?

7. ¿Cuándo una inecuación con valor absoluto no tiene solución?, ¿cuándo tiene infinitas

soluciones? Explica.




INECUACIONES

INECUACIONES LINEALES

CON UNA INCÓGNITA

SISTEMAS DE

INECUACIONES

INECUACIONES QUE

INVOLUCRAN VALOR

ABSOLUTO

pueden ser

dos o más forman

INECUACIONES LINEALES

CON DOS INCÓGNITAS



Un

idad

4

Mi progreso

1. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a. 3x > 2 c. 5x + 2 � 10 e. 2x – 1 > 3x + 2b. 7x < 3 d. 3 – 2x � 21 f. x + 1 < x – 1

2. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:

a. x + 1 < 2 b. x + 3 > 2 c. 2x + 3 < 1 d. x + 1 � 0x – 2 < 4 x + 7 � –1 3 – x > 4 x + 2 < 0

x + 3 � 0

3. Grafica el conjunto solución para cada una de las siguientes inecuaciones lineales con dos incógnitas,o sistemas de ellas:

a. 2x – y � 3 b. 2x – 3y < 2x + 4y < 1

4. Resuelve las siguientes ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto:

a. � x – 2 � = 1 b. � x – 4 � � 7 c. � x � < x – 1 d. 0 < � x – 4 � � 3

5. ¿Cuál de los siguientes números no es solución de la inecuación 5x – 4 < 12?

A. –2 B. 3 C. 0 D. 1,8 E. 4


¿Cómo voy?


Resolver inecuaciones lineales con una incógnita. 1 y 5 180 y 181

Resolver sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.

2 182 y 183

Representar gráficamente en el plano cartesiano el conjunto solución de una inecuación con dosincógnitas, o de un sistema de inecuaciones condos incógnitas.

3 184 a 187

Resolver ecuaciones e inecuaciones que involucran valor absoluto.

4 188 y 189

Un

idad

4


Cómo resolverlo

192 | Unidad 4


Ejercicio 1

En el patio de su casa, la señora Elena tiene un gallinero rectangularde 4 m por 1 m. Ella desea ampliarlo, alargando el largo y el anchode él en una misma cantidad x. Si la señora Elena no quiere que elárea del gallinero exceda los 18 m2, ¿qué rango de valores puedetomar x?

Solución

Las dimensiones del gallinero ampliado son: (x + 4) m y (x + 1) m.Entonces, se tiene que:

(x + 4)( x + 1) � 18

x 2 + 5x + 4 � 18

x 2 + 5x – 14 � 0

(x + 7)(x – 2) � 0

La solución de la inecuación (x + 4)(x + 1) � 18 es S1�S2 = [–7, 2],pero como x representa una longitud x > 0, el rango posible de valo-res para x es el intervalo ]0, 2]. Es decir, el gallinero se puede ampliarsin exceder 18 m2, siempre y cuando 0 < x � 2.

–7 2

1 m

4 m x m

x m

Área del gallinero ampliado: (x + 4)(x + 1) El área del gallinero debe ser menor o iguala 18 m2

Restamos 18

Factorizamos el trinomio

El producto de dos númeroses negativo, si uno es

positivo y el otro negativo.

x + 7 � 0 y x – 2 � 0x � –7 y x � 2

Gráfico 1

S1 = ∅

x + 7 � 0 y x – 2 � 0x � –7 y x � 2

Gráfico 2

S2 = [–7, 2]

–7 2



Un

idad

4

Ejercicio 2

Resuelve la siguiente inecuación: � 0

x – 3 � 0 y x + 5 > 0 x � 3 y x > –5

Gráfico 1

S1 = [3, +�[

x – 3 � 0 y x + 5 < 0 x � 3 y x < –5

Gráfico 2

S2 = ]–�, –5[

Luego, la solución de la inecuación � 0 es

S1�S2 = ]–�, –5[ � [3, +�[

x – 3x + 5

x – 3x + 5

Actividades

1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver la siguiente situación:

a. En el salón comunitario de la municipalidad se debe cubrir un ventanal de 2 m de alto por 4 mde ancho con una cortina que lo cubra totalmente, pero que sea un poco más larga y anchaque el ventanal. Asumiendo que el excedente de cortina respecto del ventanal es el mismo alo ancho que a lo alto, y que se dispone de solo 24 m2 de tela para la cortina, determina lasposibles dimensiones para esta.

2. Busca un procedimiento distinto para resolver el problema anterior. Respecto del procedimientoprevio, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?

3. Resuelve las siguientes inecuaciones empleando el método aprendido, u otro. Compara el proce-dimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?

a. � 1 b. < 3x – 5x + 7

2x – 3x – 2

El cociente entre dos números es positivo, si ambos lo son, y es cero si el numerador lo es

El cociente entre dos números es positivo,si ambos son negativos y es cero si el numerador lo es

–5 3

–5 3


194 | Unidad 4


La tecnología, una herramienta necesaria

En la actualidad, los computadores son una de las principales herramientas de tra-

bajo y estudio. Tener conocimientos en computación es prácticamente impres-

cindible a la hora de buscar trabajo.

Esta importante herramienta trabaja haciendo funcionar conjuntamente el teclado,

mouse y pantalla, de modo que el usuario pueda interactuar con los programas. Por

ejemplo, en una página web podemos utilizar el mouse para conectarnos sobre

palabras enlazadas a otras páginas web, para lo cual lo movemos para que el pun-

tero en la pantalla se sitúe sobre el enlace, presionamos uno de los botones del

mouse, y el navegador abre la nueva página web.

La acción que el computador realiza al presionar uno de los botones del mouse,

dependerá de la ubicación en la que se encuentre el puntero de este sobre la

pantalla. Para saber qué acción se debe realizar, el computador asume un sistema

de coordenadas, de modo que en cada instante el computador dispone de las coor-

denadas del mouse respecto de la pantalla, digamos (x, y).

Luego, el computador recibe la instrucción, de forma que, según el intervalo donde

se encuentra ubicado, el puntero realiza la acción requerida.


Actividades

Considera una pantalla rectangular de computador. Asumiremos que esta mide 100 unidades de anchoy 60 de alto. Consideramos un eje de coordenadas, de modo que el origen de este se encuentra en laesquina inferior izquierda, como se muestra en la figura.

1. Asume que la región E tiene vértices de coordenadas (30,30), (50,10), (70,30) y (50,50). Supón quepara cada una de las áreas mostradas en la figura se quiere crear una instrucción distinta, de maneraque esta se ejecute al presionar el mouse con el puntero ubicado sobre cada una de ellas.

2. Obtén las ecuaciones de cada una de las rectas que separan las diferentes áreas.

Investiguemos...


1. Para cada recta, determina una inecuación lineal tal que la región E esté contenida en el conjuntosolución.

2. Determina un sistema de inecuaciones lineales cuya solución sea exactamente la región D.3. Determina un sistema de inecuaciones lineales cuya solución sea exactamente la región B.4. Determina un sistema de inecuaciones lineales cuya solución sea exactamente la región E.


• Comparen los resultados obtenidos. ¿Son similares? Si no es así, ¿qué diferencias hubo?, ¿por qué?


Un

idad

4

10

10

20

30

40

50

60

20 30 40 50 60 70 80 90 100

D

A

E

C

B


196 | Unidad 4





2. ¿Toda inecuación lineal con una incógnita tiene por solución un intervalo de números reales?

3. ¿Se puede representar la solución de una ecuación lineal con dos incógnitas por medio de un

intervalo de números reales?, ¿por qué?

4. ¿Puede existir una inecuación que tenga una única solución? Justifica.

5. Si d es un número real positivo, ¿cuál es la solución de una inecuación de la forma � x � > d?

6. Si a es un número real negativo, ¿cuál es la solución de una inecuación de la forma � x � < a?

7. ¿Existen inecuaciones con valor absoluto que tienen una única solución? Explica.



INECUACIONES

DESIGUALDADES

INECUACIONES

LINEALES

INECUACIONES CON

VALOR ABSOLUTO

SISTEMAS DE

INECUACIONES

INECUACIONES CON

UNA INCÓGNITA

INECUACIONES CON

DOS INCÓGNITASECUACIONES CON

VALOR ABSOLUTO



Evaluación

I. Determina si las expresiones siguientes son Verdaderas o Falsas. Justifica tu respuesta.

1. El sentido de una desigualdad se invierte si se suma o resta un mismo número real en amboslados de la desigualdad.

2. El sentido de una desigualdad se invierte si se multiplica o divide por un mismo número real nega-tivo a ambos miembros de la desigualdad.

3. Intersecar las soluciones de dos inecuaciones equivale a resolver el sistema de inecuaciones queellas forman.

4. El conjunto solución de la inecuación se puede expresar mediante un intervalo, o bien, represen-tado en la recta real.


1. Expresa los siguientes conjuntos como intervalos, o como unión o intersección de estos:

a. Los números reales mayores que 3 y menores que 12.b. Los números reales menores que 31.c. Los números reales no menores que 8.d. Los números reales no mayores que 4 pero menores que 7.e. Los números reales negativos mayores que –7.f. Los números reales que están entre 1 y 2, o entre 7 y 9.

2. Resuelve las siguientes inecuaciones:

a. 5x > 3 c. 13x � 4 e. (x – 1)(x – 2) > 2 g. x + 10 � x + 7

b. 10x � 1 d. (x – 1) > 2 f. > 2 h. � 2

3. Grafica la región del plano determinada por la solución de las siguientes inecuaciones y sistemasde inecuaciones con dos incógnitas:

a. x + y + 2 > 0 c. x – y > 2 e. 2x – y < 1 g. x < 1x + y < 3 y � 0

y – x � 2

b. x – y < 2 d. x + y > 2 f. x � 0 h. x + y > 2y � 0 x – y � 4x + y > 0 2x + y > 1

4. Resuelve las siguientes inecuaciones con valor absoluto:

a. � x � < 12 c. � x + 3 � < 12 e. � x – 5 � > 0

b. � x – 2 � < 12 d. � x + 3 � � 12 f. � x + 6 � < 0

x + 3x

x – 1x – 2

Un

idad

4


198 | Unidad 4

1. Para el conjunto de números reales

A = {x � IR / � x < }, es verdadero que:

I. 4 � AII. 1,5 � AIII. � A

A. Solo IB. Solo IIC. I y IID. I y IIIE. I, II y III

2. ¿Qué condición deben cumplir los númerosa y b para que ]–�, a] � [b, +�[ = ∅?

A. a = bB. a < bC. a > bD. a + b < 0E. a + b > 0

3. Si p es un número real tal que 0 < p < 1,siempre se cumple que:

A. p2 = 2pB. p2 < p3

C. p2 > p3

D. p2 < 0E. p2 < p4

4. Si n es un número natural, ¿a qué intervalo pertenecen todos los posibles valores de

la expresión ?

B. [0, 1[

C. ]0, +�[

D. ]–�, 0]E. Ninguna de las anteriores.

5. Si � a – 5 � = 12, entonces a es igual a:

A. 17B. 12 y –12C. 17 y –7D. 17 y –17E. –7

6. La inecuación que representa al siguiente gráfico es:

A. � x � � 3 B. � x � � 3 C. � x � < 3D. � x � > 3E. � x � = 3

7. ¿Cuál o cuáles de los siguientes puntos sonsoluciones de la inecuación 4y – 3x � 8?

I. (0, 2)

II.

III. (5, –17,6)

IV.

A. Solo IB. Solo IVC. I y IID. II y IVE. I y III

– , 42

5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

– , 31

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

18

3 2

n – 1n

π2


A. [ 0, – [12

–3 3



8. ¿Qué expresión describe al gráfico?

A. x > x + 1B. y < x + 1C. y � x + 1D. y � x + 1E. y = x + 1

9. El gráfico del conjunto solución de la inecuaciónx2 + 4x – 21 � 0 es:

A.

B.

C.

D.


10. ¿De qué inecuación no es solución el siguiente gráfico?

A. –2x > 4 B. –4 > 2xC. –x < 2D. 8 < –4xE. –2 > x

11. ¿Qué inecuación describe al enunciado: “Todoslos números reales que están al menos a tresunidades de –1”?

A. � x – 1 � � 3

B. � x – 3 � � –1

C. � x + 1 � � 3

D. � x + 1 � � 3

E. � x + 1 � > 3

12. La solución de la inecuación � 2x – 3 � � 6 es:

A. {x � IR /– < x � }

C. {x � IR / x � }


13. En IR la solución de la inecuación (p2 – 2)2 + 3 � p4 – 4p2 + p es:

A. [7, +�[B. [7, +�]C. [–�, 7[D. ]–�, 7]E. ]–�, 7[

14. El conjunto solución de la inecuación < 0

es igual al conjunto solución de la inecuación:

A. x + 3 � 0 B. x + 3 > 0

C. � 0

D. x + 3 < 0E. x + 3 � 0

2x + 65

2x + 3

92

92

32

Un

idad

4


B. {x � IR / x � }92

D. {x � IR /– � x � }92

32

X

Y

–7 3

–7 3

–7 3

–7 3

–2


Probabilidades5

200 |Unidad 5

Experimentos aleatorios

Espacio muestral

Sucesos y eventos

Probabilidad

Ley de los grandes números

Variable aleatoria

Contar los resultados de un experimento utilizando

elementos de combinatoria.

Resolver problemas que involucran el cálculo de

probabilidad condicionada.

Conocer empíricamente la Ley de los grandes números y

relacionar la frecuencia relativacon la probabilidad de un suceso.

Resolver problemas que involucran suma o producto

de probabilidades.

Distinguir entre sucesosequiprobables y no

equiprobables.

Reconocer e interpretar variablesaleatorias de acuerdo a los

contextos en que se presentan.

Calcular e interpretar el valor esperado de una variable

aleatoria.



Probabilidades | 201

Conversemos de...

Ocasionalmente y cada cierta cantidad de años, que puede ser variable, se conjugan diversos fac-tores que tienen como consecuencia mayores precipitaciones que las habituales, transformandoun paisaje árido y desolado, de arenas y piedras, en un verde tapiz. Nacen nuevas hojas de arbus-tos secos, brotan semillas, bulbos y rizomas por años guardados bajo tierra, esperando su cuotade humedad necesaria para volver a la vida.

Este fenómeno, de interés tanto para turistas como para científicos, ocurre en el norte de nues-tro país y es conocido como el Desierto Florido; sin embargo, no podemos saber con certezacuándo sucederá.

La floración comienza a fines de julio o en agosto, según cuando hayan sido las precipitaciones,y puede continuar hasta noviembre.

• ¿Qué factores crees que influyen en la aparición del Desierto Florido?• Investiga sobre este fenómeno y las características que se deben dar para que este aparezca.

Latin

stoc

k


202 | Unidad 5

¿Cuánto sabes?

1. Clasifica los siguientes experimentos en deterministas o aleatorios.Justifica tus respuestas.

a. Lanzar una moneda cuatro veces y contar en cuántos lanzamientossalió cara.

b. Poner un globo sobre la superficie del agua y ver si se va al fondo.c. Elegir una ampolleta corriente al azar, conectarla a una lámpara y

medir el tiempo que tarda en quemarse.d. Elegir a un estudiante cualquiera de tu colegio y preguntarle el

nombre de su profesor favorito.e. Observar un semáforo y registrar qué color se prende después

del rojo.

2. En un restaurante ofrecen como menú del día las siguientes opciones:una ensalada, que puede ser lechuga con palta o tomate con cebolla;un plato de fondo, que puede ser cazuela de vacuno o puré conpescado, y papayas al jugo, helado o torta de chocolate de postre.Haz un diagrama de árbol donde se representen todos los posibles almuerzos que puede pedir una persona.

3. Cierto instituto de idiomas tiene inscritos, para el primer semestre deeste año, 120 estudiantes distribuidos entre cursos de inglés y defrancés. Si algunos de estos estudiantes toman los dos cursos, y hay68 estudiantes inscritos en inglés y 74 francés:

a. ¿cuántos estudiantes están inscritos en cursos de inglés y de francés?,

b. ¿cuántos solo están inscritos en cursos de inglés?

4. Al extraer un naipe de una baraja inglesa, determina:

a. la probabilidad de que sea una figura (rey, reina, paje),b. la probabilidad de que sea un número par.

5. Se saca, al azar, una carta de un grupo de cartas de una baraja inglesa.Indica la probabilidad de extraer el as de corazón, cuando el grupo decartas está compuesto por:

a. la baraja completa (52 cartas), c. los corazones de la baraja,b. las cartas rojas de la baraja, d. los ases de la baraja.



6. Supongamos que debes apostar a una de las siguientes situaciones.

A: obtener cara al lanzar una moneda.B: obtener un 5 al lanzar un dado.C: obtener el rey de trébol al sacar una carta de una baraja inglesa.

¿Por cuál de las tres situaciones apostarías?, ¿por qué?

7. Se lanza un dado y sale 1. A continuación se lanza otro dado. Indicacuál es la probabilidad de que:

a. en el segundo dado salga 5,b. en el segundo dado salga un número primo,c. la suma de los números obtenidos sea mayor que 7,d. la suma de los números obtenidos sea menor que 4.

8. Los siguientes datos corresponden a los resultados de una encuestaaplicada a una muestra de 15 personas sobre el número de inte-grantes que componen el grupo familiar.

2-2-3-3-3-4-4-4-4-4-5-5-5-5-5

Completa la siguientetabla de frecuencias.



Un

idad

5


• En un experimento, la probabilidad de ocurrencia de un suceso es la razón entre el númerode casos favorables al suceso y el número de casos posibles del experimento.

• La probabilidad de un suceso puede tomar valores entre 0 y 1, o, expresada en porcentaje,entre 0% y 100%.

• La frecuencia absoluta de un suceso es el número de veces que dicho suceso ocurre, cuandose repite un experimento una cierta cantidad de veces.

• La frecuencia relativa es la razón entre el número de ocurrencias de un suceso, con respectoal total de repeticiones del experimento.

• Los diagramas de árbol son una herramienta útil para analizar los resultados de experimentos sucesivos.

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

2345


204 | Unidad 5

Espacio y tamaño muestral

Analicemos...

Considera los siguientes experimentos:• Lanzar una pelota en un tanque de agua y ver si flota o

se hunde.• Lanzar una moneda dos veces y contar cuántas

caras aparecieron.• Lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos.

En los experimentos planteados no podemos saber con exactitudcuál será el resultado del experimento; sin embargo, en todosconocemos el conjunto de posibles resultados. En cursos anterioresvimos que este tipo de experimentos se denominan experimentosaleatorios. En cambio, si conocemos de antemano el resultado delexperimento, este es un experimento determinista.

A pesar de que no podemos saber el resultado exacto de cada ex-perimento, sí podemos determinar el conjunto de todos sus posiblesresultados, el cual corresponde al espacio muestral del experimentoaleatorio, y lo denotaremos �.

La cantidad de elementos que este tiene, es decir, el tamaño del es-pacio muestral, lo denotaremos #�.

Ejemplo 1Describe el espacio muestral de los experimentos iniciales, y deter-mina el tamaño de estos.

• Lanzar una pelota en un tanque de agua y ver si flota o se hunde.� = {flota, se hunde}#� = 2

• Lanzar una moneda dos veces y contar cuántas caras aparecieron.� = {0, 1, 2}#� = 3

• Lanzar dos dados y sumar los puntos obtenidos.� = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}#� = 11

• ¿Puedes determinar con exactitud el resultado de cada experi-mento antes de realizarlo?, ¿por qué?

• ¿Qué tienen en común estos experimentos?• ¿Hay alguna diferencia relevante entre estas situaciones?

Un experimento será aleatorio cuan-do el mismo cumpla las siguientescondiciones:

• Se puede repetir indefinidamente,pudiéndose obtener resultadosdistintos en cada repetición.

• En cada repetición se obtiene unresultado que pertenece al con-junto de todos los resultados posi-bles del experimento.

• Antes de realizar una nuevarepetición del experimento, no sepuede predecir el resultado quese obtendrá.

Recuerda que...

La suma de los puntos obtenidos

es siete.



Un

idad

5Ejemplo 2Considera el experimento de lanzar una moneda hasta que salga laprimera cara. Interesa saber el número de lanzamientos necesariospara que esto ocurra. Describe el espacio muestral y determina eltamaño de este.

� = {0, 1, 2, 3, …}

En este caso no podemos determinar el tamaño del espacio mues-tral, ya que no hay un número de lanzamientos que nos asegureobtener una cara.

En resumen

• El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento corresponde al espacio muestral de este, el cual denotamos �.

• El tamaño del espacio muestral es la cantidad de elementos contenidos en él, denotado #�.

1. Describe los espacios muestrales de cada uno de estos experimentos, e indica si son finitos o infinitos.Determina, si es posible, el tamaño de este.

a. Lanzar un dado diez veces. Interesa saber cuántos 5 salieron.b. Lanzar un dado hasta que salga por primera vez un 6. Interesa saber cuántos lanzamientos

fueron necesarios.c. Extraer aleatoriamente una carta de una baraja de naipe inglés. Interesa registrar su pinta.d. Lanzar una moneda tres veces. Interesa la sucesión de sellos y caras que aparece.e. Tomar al azar una manzana de un árbol. Interesa conocer su peso en gramos.f. Extraer aleatoriamente de una baraja inglesa una carta tras otra, sin reponer la carta extraída

del mazo, hasta que salga una carta roja. Interesa saber cuántas cartas fue necesario sacar.

2. Una caja contiene tres bolitas, una roja, una verde y una azul. Considera el experimento que consisteen sacar dos bolitas de la caja, con reposición.

a. Describe el espacio muestral del experimento y el tamaño de este.b. Describe el espacio muestral del experimento y el tamaño de este, si la segunda bolita es

sacada sin reposición.

3. Considera el experimento aleatorio que consiste en escoger, al azar, a uno de tus compañeros ocompañeras y registrar alguna característica (estatura, número de hermanos, notas, etc.). Indica lascaracterísticas que podría interesar observar y describe el espacio muestral adecuado en cada caso.

Actividades


206 | Unidad 5

Sucesos o eventos

Analicemos...

Manuel y Josefina están realizando un experimento que consiste enlanzar dos dados, como se muestra en la figura. Luego, observan lospuntos que aparece en las caras superiores de ambos dados.

Supongamos que solo nos interesan las parejas de valores en que:• aparece el mismo número en ambos dados.• los puntos que aparecen suman 12.• sale un 6 en el dado rojo.• el producto de los dados es 55.

Una manera sencilla de visualizar el espacio muestral del experi-mento, que realizan Manuel y Josefina, es construir la siguiente tabla:

Para saber la cantidad de elementos del espacio muestral podemoscalcular: #� = 6 · 6 = 36. Lo que significa que el número de ele-mentos del espacio muestral es 36, los cuales están representadospor los pares ordenados de la tabla.

De esta manera se pueden identificar fácilmente los elementos quecumplen con las condiciones dadas.

• ¿Cuál es el espacio muestral asociado a este experimento?,¿cómo lo supiste?

• ¿Cuál es su tamaño?, ¿por qué?• Para cada una de las situaciones, ¿cuáles son los elementos que

cumplen las distintas condiciones?

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)



Un

idad

5Si llamamos A: aparece el mismo número en ambos dados, entonces:A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}#A = 6.

Si llamamos B: los números que aparecen suman 12, entonces:B = {(6, 6)}#B = 1.

Si llamamos C: sale un 6 en el dado rojo, entonces:C = {(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6), (6, 6)}#C = 6.

Si llamamos D: el producto de los dados es 55, entonces:D = �#D = 0.

Cada uno de los conjuntos anteriores corresponde a un suceso oevento asociado al experimento de lanzar un dado verde y undado rojo.

Llamaremos suceso o evento a cualquier subconjunto del espaciomuestral. Por lo general, se denotan con mayúsculas. Como, porejemplo, los sucesos A, B, C y D, de la situación anterior.

Diremos que el suceso A ha ocurrido si al realizar una repeticióndel experimento se observa un elemento que pertenece a este. Sise observa un elemento que no pertenece al suceso A, diremos queeste no ha ocurrido; es decir, diremos que el suceso A ha ocurridosi al realizar el experimento observamos en las caras de ambosdados el mismo número.

El complemento de un suceso está formado por los resultados deespacio muestral no considerados en él. Por ejemplo, el comple-mento del suceso A estará formado por todas las combinaciones enque los resultados de ambos dados sean diferentes, y lo denotare-mos por Ac.

Si un suceso está formado por un solo resultado se llama sucesoelemental, como, por ejemplo, el suceso B. Si el suceso es igual alespacio muestral se llama suceso seguro, ya que como el eventoestá formado por todos los posibles valores, este se observará detodas formas. En cambio, si no hay resultados posibles para ciertosuceso, se dice que este es un suceso imposible.


Ejemplo 1Considera el experimento y los sucesos B y C de la situación inicial.Si se lanza el dado verde y a continuación el dado rojo, obteniendoel siguiente resultado: (6, 6); ¿qué puedes decir del suceso B�C?

En este caso, como (6, 6) cumple tanto la condición del evento Bcomo la de C, diremos que ha ocurrido B�C.

Ahora, si al lanzar los dados se observa (5, 6), diremos que ha ocu-rrido el suceso B�C, ya que a pesar de que no ocurre el suceso B,sí ocurre C.

Ejemplo 2Manteniendo el experimento de la situación inicial, considera ahorael evento:F: sale un 5 en el dado rojo.F = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}¿Pueden ocurrir C�F?

Los sucesos C y F no pueden ocurrir simultáneamente, ya que siobtenemos un 5 en el dado rojo, no podemos obtener también un 6.Si dos o más sucesos no tienen posibilidad de ocurrir simultánea-mente, se dice que los sucesos son mutuamente excluyentes.

Los siguientes esquemas permiten representar las nociones vistas:

208 | Unidad 5

A

Suceso A�B Suceso A�B Sucesos mutuamente excluyentes

B A B A B

Dados dos conjuntos A y B, existenconjuntos llamados unión e inter-sección de A y B, denotados por A�B y A�B, respectivamente.

Recuerda que...



Un

idad

5

1. Considera el experimento de lanzar cuatro monedas simultáneamente.

a. Describe el espacio muestral del experimento.b. Describe el evento “obtener, al menos, dos caras”.c. Describe el evento “no obtener ninguna cara”.d. Describe el evento “obtener, a lo más, dos sellos”.

2. Anita, Bernardo y Cecilia van a la misma escuela; cada día registran el orden en que llegan. Si llegaprimero Bernardo, luego Anita y finalmente Cecilia, anotan BAC. Determina:

a. el espacio muestral de las posibles llegadas, b. el suceso de que Bernardo llegue primero, c. el complemento del suceso descrito en b, d. el suceso de que Anita no llegue en segundo lugar.

3. Todos los días, Sergio controla cuánto tiempo espera el transporte que utiliza para ir al colegio.Para este experimento aleatorio, definimos los siguientes sucesos:

A: “El transporte llega junto con Sergio al paradero”.B: “El transporte demora menos de 5 minutos”.C:“El transporte demora más de 10 minutos”.

a. Describe el complemento del suceso B. b. Describe el complemento del suceso C. c. A partir de los datos dados anteriormente, describe un suceso seguro y uno imposible.

Actividades

En resumen

• Un suceso A es cualquier subconjunto del espacio muestral.

• Si un suceso está formado por un solo resultado, se llama suceso elemental.• Si el suceso es igual al espacio muestral del experimento, se llama suceso seguro. • Si no hay resultados posibles para cierto suceso, se dice que este es un suceso imposible.

• El complemento de un suceso A está formado por los resultados del espacio muestral no considerados en A, y se denota por AC.

• Si dos o más sucesos no pueden ocurrir simultáneamente, diremos que son sucesos mutuamente excluyentes.


210 | Unidad 5

Principio multiplicativo

Ignacio debe ir de su casa al colegio, pero antes debe pasar por lacasa de un amigo. Para ir de su casa a la de su amigo, le sirven tresbuses, y para ir de la casa de su amigo al colegio le sirven solo dos.

La situación antes descrita se podría representar utilizando un dia-grama de árbol, como se muestra a continuación. Observa.

Podemos ver en el diagrama que Ignacio tiene exactamente seisformas de combinar los buses.

Notemos que para ir a la casa de su amigo le sirven tres buses, ypara ir desde ahí al colegio le sirven dos.

En general, se puede decir que si cierto evento A se puede hacerde m maneras y un evento B se puede hacer de n maneras, en-tonces existen m · n formas de realizar A y a continuación realizarB. Esto se conoce como el principio multiplicativo y se puede gene-ralizar a más de dos procedimientos.

Por lo tanto, podemos ver también que las posibles combinacionesde buses que tiene Ignacio son 2 · 3 = 6.

Analicemos...

• ¿Cómo puedes representar gráficamente esta situación?• ¿Cuántas posibles combinaciones de buses tiene Ignacio?,

¿cómo lo supiste?• ¿Qué otra estrategia podrías usar para calcularlo?



Un

idad

51. En una cafetería universitaria se ofrece un desayuno por $ 2000 que consiste en elegir una bebida

(café, té o leche), un sándwich (jamón o queso) y un pastelillo (manjar, chocolate o frambuesa).¿Cuántos desayunos diferentes se pueden pedir en esta cafetería?, ¿cómo lo calculaste?

2. Si se lanza cuatro veces una moneda y se observa la sucesión de caras y sellos que aparece, ¿cuántosresultados posibles hay? ¿Cuántos resultados hay si la moneda se lanza cinco veces? Explica, pasoa paso, cómo lo resolviste.

3. Si se lanza un dado y una moneda, ¿cuántos resultados diferentes se pueden obtener? Representalos resultados utilizando un diagrama de árbol.

Actividades

Ejemplo Se dispone de los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 y 6. ¿Cuántos números de trescifras, menores que 400, se pueden formar con ellos, si está permi-tido repetir los dígitos?

Imagina que para el número que se quiere formar tienes una cajacon tres compartimentos. Como este debe ser menor que 400, eldígito que va en el primer compartimento solo puede ser 1, 2 ó 3. Por consiguiente, hay tres maneras de realizar el procedimientode tomar un número y ponerlo en ese lugar.

Escoger un dígito para el segundo compartimento es un proce-dimiento que se puede realizar de seis maneras, ya que en estecaso se pueden repetir los dígitos. Por lo tanto, puede ser 1, 2, 3,4, 5 ó 6. Para el tercer compartimento hay seis maneras de es-cogerlo, ya que, al igual que para el segundo compartimento, sepueden repetir los dígitos.

En este caso, el principio multiplicativo indica que hay 3 · 6 · 6 = 108números con las condiciones requeridas.

En resumen

• Si un evento A puede ocurrir de m maneras distintas, y un evento B puede ocurrir de n manerasdistintas, entonces existen m · n maneras de que ocurra A, y a continuación B.


212 | Unidad 5

Permutaciones

Gabriela debe ordenar los materiales de la sala de clases antes deirse a su casa. Para terminar, solo le falta ordenar los libros que semuestran en la imagen y ponerlos sobre la repisa. Observa.

En la situación presentada, cuando Gabriela escoge un libro paraponer en primer lugar, tiene cuatro elecciones posibles. Para el se-gundo lugar van quedando solo tres libros. En el tercer lugar, sepuede poner cualquiera de los dos libros restantes y, finalmente,el único libro que falta.

Por el principio multiplicativo vemos que es posible ordenar los li-bros en la repisa de 4 · 3 · 2 ·1 = 24 maneras.

En general, n objetos diferentes se pueden ordenar de:

n · (n – 1) · (n – 2) · … · 1 maneras

Cada uno de estos órdenes es llamado una permutación de los nobjetos.

El producto n · (n – 1) · (n – 2) · … · 1 se usa con frecuencia y se llamael factorial de n o n-factorial y se denota por n!, donde se define0! = 1.

Si ahora Gabriela tuviese siete libros que ordenar, pero solo tienelugar para cuatro libros, podemos calcular las formas que tiene deseleccionar cuatro libros y ordenarlos en la repisa con un razona-miento similar al del ejemplo anterior. Hay siete opciones para elprimer lugar, seis para el segundo, cinco para el tercero, y cuatropara el cuarto. Observa.

Usando el principio multiplicativo, tendremos que hay 7 · 6 · 5 · 4 = 840. Por lo tanto, hay 840 formas de seleccionar cuatrode los siete libros y ordenarlos en la repisa.

Analicemos...

• ¿De cuántas formas puede Gabriela ordenar estos libros en larepisa?, ¿cómo lo calculaste?

• Si Gabriela tuviera siete libros, ¿de cuántas formas podría orde-narlos si solo hay espacio para cuatro?, ¿por qué?

7 6 5 4



Un

idad

5Este procedimiento se denomina una r-permutación de n objetosdiferentes. Es un ordenamiento de r de los n objetos que se tienen,en este caso n = 7 y r = 4.

El número de estas permutaciones se denota por nPr y se calcula:

nPr = n · (n – 1) · (n – 2) · … · (n – r + 1).

Dicho de otro modo, una r-permutación consiste en seleccionar robjetos de un total de n y, a continuación, darle al conjunto de robjetos seleccionados un orden específico. Cada r-permutaciónserá diferente de otra, ya sea por los elementos que la componeno por su orden de colocación.

En resumen

• Hay n! = n · (n – 1) · (n – 2) · … · 1 maneras diferentes de ordenar n elementos.

• Hay nPr = n · (n – 1) · (n – 2) · … · (n – r + 1) maneras de ordenar r elementos, sin repetirlos,seleccionados de un conjunto de n elementos.

• Si se pueden repetir los elementos, hay nr maneras de ordenar r elementos seleccionadosdesde n elementos.

1. La cerradura de una caja fuerte está compuesta de 3 anillos, cada uno marcado con 8 letras diferentes.

a. ¿Cuántas posibles combinaciones se pueden hacer? b. Si el dueño de la caja fuerte solo recuerda la letra del anillo del centro, ¿cuántas posibles

combinaciones podría intentar?, ¿por qué?

2. La final de 100 metros planos interescolar será disputada por 6 corredores. Si suponemos que nohay empates, ¿cuántos órdenes diferentes hay para que los competidores lleguen a la meta?, ¿cómolo calculaste?

3. En una fila de 7 asientos se ubicarán 5 personas. ¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar?

4. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas, que comiencen con 1 y que sean pares, se pueden formarcon los 10 dígitos?, ¿cómo lo supiste?

5. En el alfabeto Morse se utilizan solo dos símbolos: el punto y la raya. Si cada combinación de ellosda origen a una letra, ¿cuántos posibles caracteres distintos se pueden formar si tomas 1, 2, 3 ó 4de estos símbolos?

Actividades


214 | Unidad 5

Combinaciones

La administración de un condominio está compuesta por siete per-sonas, de las cuales se seleccionarán cuatro para formar una comisiónque evaluará un proyecto sobre seguridad comunitaria.

En la situación anterior, debemos elegir los integrantes para lacomisión de un condominio. Para determinar el número de formasque se puede escoger esta no podemos utilizar exactamente elmismo procedimiento que en el ejemplo de los libros visto ante-riormente, ya que, como sabemos, si seleccionamos cuatro de lossiete libros podemos al hacer el cálculo 7P4, se obtienen todaslas maneras de elegir cuatro objetos de un total de siete y permu-tar los cuatro elegidos, recordemos que esto último se puedehacer de 4! maneras.

En cambio, al elegir cuatro personas, y ordenar estas de diferentesformas, el grupo de seleccionadas no cambiará; es decir, sin impor-tar el orden en que estén, serán las mismas personas.

Por tanto, si lo que se desea es escoger cuatro objetos, sin considerarsus distintos órdenes o permutaciones, habrá que dividir 7P4 entre 4!

Así, hay = = 35 maneras de escoger la comisión.

Una combinación de n objetos tomados de r en r es una selecciónde r objetos de un total de n. El número de estas combinaciones sedenota por nCr, y se puede calcular del siguiente modo:

nCr = = .

Ejemplo 1Juan Carlos está preparando su maleta para ir por el fin de semanaa la playa. Quiere llevar tres de las diez camisas que tiene, dos de susseis pantalones y cuatro de sus ocho pares de calcetines. ¿De cuán-tas maneras distintas puede hacer la selección de estos objetos?

n!r!(n – r)!

nPrr!

7 · 6 · 5 · 44 · 3 · 2 · 1

7P44!

Analicemos...

• ¿Podemos utilizar el mismo procedimiento que en el problemade ordenar los siete libros en una repisa si solo hay espacio paracuatro, que vimos anteriormente?, ¿por qué?

• ¿De cuántas maneras se puede escoger la comisión?, ¿cómo lo supiste?



Un

idad

5La selección de tres camisas se puede hacer de 10C3 maneras. Lospantalones y calcetines se pueden seleccionar de 6C2 y 8C4 for-mas, respectivamente.

Por el principio multiplicativo, la selección de camisas, pantalonesy pares de calcetines para llevar a la playa se puede hacer de 10C3 · 6C2 · 8C4 = 120 · 15 · 70 = 126 000 formas en total.

En resumen

• El número de combinaciones posibles de r elementos seleccionados de n elementos distintos

está dado por: nCr = .n!

r!(n – r)!

1. Un experimento aleatorio consiste en extraer tres cartas de un mazo de 52, una a continuación dela otra y sin reposición (una vez que se saca la carta, no se regresa al mazo). ¿Cuántos elementostiene el espacio muestral?

a. Si no importa el orden de extracción.b. Sí importa el orden de extracción.

2. Un grupo de cinco amigos se encuentra después de mucho tiempo. Si cada uno se saluda con losdemás con un abrazo, ¿cuántos abrazos se dan en total?, ¿cómo lo calculaste?

3. En un grupo de personas hay seis hombres y cuatro mujeres. Se necesita seleccionar de entre ellos acinco personas. ¿De cuántas maneras se puede hacer la selección?

a. Si se deben seleccionar dos hombres y tres mujeres. b. Si debe haber, por lo menos, dos hombres entre los cinco seleccionados.

4. Seis personas van de paseo en dos vehículos que tienen capacidad para dos y cuatro personas,respectivamente. ¿De cuántas maneras se pueden repartir en los vehículos?

5. El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono convexo de n lados es , quecoincide con nC2 – n. ¿Por qué? Explica.

6. Un experimento aleatorio consiste en extraer cuatro piezas de un juego de dominó (28 piezasdistintas). ¿Cuál es el tamaño del espacio muestral?, ¿cómo lo calculaste?

n(n – 3)2

Actividades


216 | Unidad 5


• Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad, y apoyándote en el esquema anterior,responde en tu cuaderno.


2. Si un evento A puede ocurrir de m maneras distintas, y un evento B puede ocurrir de

n maneras distintas, ¿cuántas maneras hay de que ocurra A y a continuación B?

3. ¿Qué es una permutación?, ¿cómo se calcula el valor de esta?

4. ¿Qué diferencia existe entre una combinación y una permutación? Justifica tu respuesta.

5. ¿De cuántas maneras se pueden elegir p elementos de un total de q elementos?, ¿por qué?

6. ¿Cuándo dos o más sucesos son mutuamente excluyentes?

7. Si la cardinalidad del espacio muestral de cierto experimento es #� = r, y la de un suceso

A asociado al experimento anterior es #A = s, ¿cuánto es #Ac?




EXPERIMENTOS

DETERMINÍSTICOS ALEATORIOS

conjunto de posibles resultados es

se clasifican en

TAMAÑO MUESTRAL

TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO MULTIPLICATIVO PERMUTACIONES COMBINACIONES

ESPACIO MUESTRAL

EVENTOS O SUCESOS

a partir de este se definen

determinamos cantidadde elementos mediante

su cardinalidad es

para determinarlo utilizamos

algunas son


Mi progreso

Un

idad

5

1. Describe un espacio muestral para los siguientes experimentos. Luego, determina, si es posible, eltamaño de cada uno de estos.

a. Extraer de una baraja inglesa una carta tras otra, sin reposición, hasta que salga un as. Interesasaber cuántas extracciones fueron necesarias.

b. Un dado de seis caras tiene en ellas marcados los números 0, 1, 1, 2, 3 y 3. Tres de estos dadosse lanzan sobre una mesa. Interesa la suma de los puntos.

c. Se lanzan dos monedas. Interesa saber la distancia a la que quedaron.

2. Para el lanzamiento de dos dados, describe:

a. un suceso elemental, c. un suceso seguro,b. dos sucesos mutuamente excluyentes, d. un suceso imposible.

3. Supón que � = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} es el espacio muestral para un experimento aleatorio. En este es-pacio muestral definimos los sucesos M = {1, 3, 5}, N = {3, 5, 7, 9} y P = {2, 4, 6, 8}. Determina los sucesos:

a. M�N b. M�N c. (M�P)c d. (M�P)�Nc

4. Considerando solo los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9:

a. ¿cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar?, b. ¿cuántos números distintos de cinco cifras se pueden formar?, c. ¿cuántos de los números de cinco cifras no tienen ninguna cifra repetida?, d. ¿cuántos de los números de cinco cifras, sin cifras repetidas, son menores que 75 000?

5. Si consideramos el experimento de lanzar una moneda y dos dados, ¿cuántos elementos tiene el espaciomuestral de este?

A. 14 B. 36 C. 24 D. 72 E. 144


¿Cómo voy?



Describir y determinar el tamaño del espacio muestral de un experimento.

1 y 5 204 y 205

Describir y reconocer tipos de sucesos y relacionesentre estos.

2 y 3 206 a 209

Cálculo de tamaños muestrales utilizando distintastécnicas de conteo.

4 210 a 215


218 | Unidad 5

Cálculo de probabilidades

Cristóbal, Andrés, Patricia, Carolina y Javiera se han postulado a ladirectiva de su curso. Los cargos son presidente, secretario y tesorero,por lo que solo se necesitan tres personas, las cuales elegirá al azarel profesor, y ellos deberán organizarse en los diferentes cargos.

Analicemos...

• ¿Cuántas posibilidades diferentes hay para formar la directivadel curso?, ¿cómo lo supiste?

• ¿Cuál es la probabilidad de que la directiva esté formada porAndrés, Patricia y Javiera?

En la situación anterior, para seleccionar las tres personas para la di-rectiva, debemos considerar todos los posibles grupos que podemosformar de tres personas. Al ordenar de diferentes formas los inte-grantes del grupo seleccionado, este no cambia; es decir, no importael orden en que estén, ya que las personas serán las mismas.

Recordando los contenidos anteriores, debemos calcular 5C3 paraencontrar las combinaciones posibles de tres personas de un totalde cinco. Observa.

5C3 = = = = = = 10

A menudo, en nuestra vida diaria tenemos la necesidad de tomardecisiones. La mayoría de las veces lo hacemos en condiciones deincertidumbre. Las probabilidades cuantifican el nivel de certezacon el fin de ayudar a la toma de decisiones.

En cursos anteriores aprendiste a calcular probabilidades de suce-sos o eventos de experimentos aleatorios sencillos.

Si definimos el suceso A como:A: la directiva del curso está formada por Andrés, Patricia y Javiera;luego, como los casos favorables para el suceso A serán solo en elgrupo formado por Andrés, Patricia y Javiera, tendremos entonces

que la probabilidad buscada será: P(A) = = 0,1.

En general, una probabilidad se expresa como fracción o como deci-mal. También se puede expresar como porcentajes. En la situaciónanterior la probabilidad buscada corresponde a un 10%.

110

202

5 · 42!

5 · 4 · 3!3! · 2!

5!3! · 2!

5!3! · (5 – 3)!

De acuerdo a la regla de Laplace,la probabilidad de ocurrencia deun evento A está dada por:

P(A) = .

Recuerda que...

nº de resultados favorables nº total de resultados



Un

idad

5Consideremos ahora el experimento de lanzar un dado y observarel número que se obtiene y los sucesos:A: el número obtenido es par.B: el número obtenido es impar.

Observa que en el experimento, los elementos pertenecientes alsuceso A son A = {2, 4, 6} y a B son B = {1, 3, 5}, por lo que entreambos completan todo el espacio muestral; por lo tanto, B = Ac.

Luego, para todo evento A, A y Ac son eventos mutuamente excluyentes, donde: P(�) = P(A�Ac) = P(A) + P(Ac), entonces:P(A) + P(Ac) = 1, y de aquí obtenemos que P(Ac) = 1 – P(A).

En resumen

• La probabilidad de un evento A es tal que 0 � P(A) � 1.

• La probabilidad de un evento imposible es 0, y la de un evento seguro es 1.

• Para todo evento A, P(A) + P(Ac) = 1, luego P(Ac) = 1 – P(A).

1. Si en el lanzamiento de un dado definimos los siguientes sucesos:

C: el número obtenido es mayor a 6.D: el número obtenido es menor a 7.¿Cuánto es P(C)?, ¿y P(D)? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

2. Supón que tienes tres urnas con fichas rojas (R) y verdes (V), como se muestra en la figura. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a. Es más probable obtener R al extraer una ficha de la urnaI que de la II.

b. Es más probable obtener R al extraer una ficha de la urnaI que de la III.

c. Es más probable obtener R al extraer una ficha de la urnaII que de la III.

3. Se tiene una bolsa que contiene tarjetas con las letras: A, B, E, I, R, P, S, O. Si se extraen al azarcuatro tarjetas simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que con estas letras se forme lapalabra AIRE?, ¿y RISA?

Actividades

I II III


220 | Unidad 5

Sucesos equiprobables

Imagina que en cada clase de Historia, el profesor interroga a unalumno o alumna de tu curso acerca de los contenidos vistos en laclase anterior. El procedimiento que utiliza es escribir el número delista de cada estudiante en una ficha. Todas las fichas son igualesen tamaño, forma y textura. A continuación, introduce las fichasen una caja, mueve esta para revolver las fichas, y luego saca, sinmirar, una de ellas.

Analicemos...

• ¿Es este un experimento aleatorio?, ¿por qué?• ¿Cuál es el espacio muestral de este experimento?, ¿cómo

lo supiste?• ¿Tienen todos los alumnos y alumnas la misma probabilidad

de ser seleccionados?

En la situación anterior no podemos saber con exactitud cuál seráel resultado del experimento, ya que no sabemos cuál será elnúmero que extraerá el profesor, o sea, qué estudiante será selec-cionado. Si conocemos el conjunto de posibles resultados, significaque es un experimento aleatorio. El espacio muestral de este co-rresponde a los números de lista de cada estudiante.

El procedimiento utilizado por el profesor de Historia está basadoen dos supuestos: nadie sabe quién va a ser interrogado y cual-quiera podría ser el elegido; todos tienen igual oportunidad de serinterrogados; por lo que es un espacio muestral equiprobable.

Diremos que un espacio muestral es equiprobable si todos los ele-mentos que lo conforman tienen igual oportunidad de ser elegidos,y, en consecuencia, tienen la misma probabilidad de ocurrencia.

Consideremos ahora el experimento de extraer una bolita al azarde una urna como la que se muestra en la figura. Observa.

El espacio muestral de este experimentoes � = {rojo, azul}.Si consideramos los eventos:A: extraer una bolita de color azul.B: extraer una bolita de color rojo.



Un

idad

5Luego, tendremos que las probabilidades asociadas a cada eventoserán:

P(A) = = .

Notemos que en este experimento tenemos un espacio muestralno equiprobable, ya que no todos los elementos que lo conformantienen igual oportunidad de ser elegidos. Podemos ver que laprobabilidad de ocurrencia no es la misma para todos los elemen-tos del espacio muestral.

35

número de resultados favorables al eventonúmero total de resultados

P(B) = = .25

número de resultados favorables al eventonúmero total de resultados

En resumen

• Si en un espacio muestral todos los elementos que lo conforman tienen la misma probabilidad,entonces diremos que el espacio muestral es equiprobable.

1. La mamá de Miguel y Carolina los manda a comprar y a lavar los platos. Ocurre que ambos prefierenir a comprar y detestan el lavado de platos. Para no discutir, deciden repartirse las tareas asignadaslanzando una moneda, donde la obtención de cara podría significar, por ejemplo, que Miguel se en-cargará de las compras y Carolina de los platos. La situación inversa se daría si en el lanzamientode la moneda sale sello. ¿Es el espacio muestral asociado a este experimento equiprobable?, ¿por qué?

2. Considera el experimento que consiste en esperar que suene el teléfono de tu casa y registrar lahora de la llamada. ¿Es igualmente probable recibir una llamada entre las 2 am y 4 am, que recibirlaentre las 6 pm y 8 pm?, ¿por qué?

3. Para sacar un estudiante a la pizarra, un profesor escoge al azar una letra del alfabeto y elige alprimer estudiante de la lista, cuyo apellido comienza con esa letra. ¿Tienen todos los estudiantesigual probabilidad de ser elegidos?

4. ¿En cuál de las siguientes ruletas es más probable obtener un número 1? Explica tu decisión.

Actividades


222 | Unidad 5

Probabilidad del suceso A�B

Sergio y María deben calcular la probabilidad de que al extraer alazar una carta de una baraja inglesa obtengan una figura (rey,reina, paje), o un carta cuyo palo o pinta sea trébol. Observa lasolución que propone Sergio.

La baraja tiene 52 cartas, valor correspondiente al tamaño del espa-

cio muestral, en la cual hay 13 tréboles y 12 figuras. Por lo tanto, los

casos favorables son 13 + 12 = 25; y la probabilidad buscada es .

Sin embargo, María asegura que el resultado correcto es .2252

2552

En la situación que deben resolver María y Sergio, el total denaipes de una baraja inglesa es 52 cartas; por lo tanto, al extraeruna carta tendrá 52 resultados posibles. Luego, el tamaño del es-pacio muestral propuesto por Sergio es correcto.

Los resultados favorables serán los naipes que sean una figura ocuya pinta sea trébol, que, tal como afirma Sergio, en una barajahay 12 figuras y 13 naipes cuya pinta es trébol.

El error de Sergio es en el cálculo del total de casos favorables:13 + 12. Al realizar esta suma está contando las figuras de tréboldentro de las 13 cartas de trébol y nuevamente dentro de las 12 figuras.

Si restamos del número inicial dado por Sergio aquellas cartas que,por cumplir con ambas condiciones, fueron contadas dos veces,obtenemos la respuesta correcta. Observa.

Definamos los eventos:A: la pinta del naipe es trébol.B: es una figura.

Analicemos...

• ¿Es correcto el tamaño muestral del experimento que proponeSergio?, ¿por qué?

• ¿Cuál es el número de resultados favorables en la situación deSergio y María?, ¿es correcto el resultado de Sergio?

• ¿Qué procedimiento crees que utilizó María para llegar al resul-tado propuesto por ella?, ¿por qué?



Un

idad

5Tendremos así que las probabilidades de cada evento serán:

P(A) = , P(B) = , P(A�B) = ,

entonces,

P(A�B) = P(A) + P(B) – P(A�B) = + – = .

Es decir, la probabilidad de extraer una carta de una baraja inglesa

y que esta sea trébol o figura es de ; por lo tanto, María estaba

en lo correcto, ya que el resultado obtenido por Sergio no lo era.

Luego, se tiene que: P(A�B) = P(A) + P(B) – P(A�B).

Notemos que si dos sucesos son mutuamente excluyentes, entonces:P(A�B) = P(A) + P(B), ya que P(A�B) = 0.

352

1252

2252

2252

352

1252

1352

1352

En resumen

• Si A y B son sucesos no excluyentes, entonces: P(A�B) = P(A) + P(B) – P(A�B).

• Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, entonces: P(A�B) = P(A) + P(B).

1. Una tómbola contiene 90 bolitas numeradas del 1 al 90. Se extrae una bolita al azar. ¿Cuál es laprobabilidad de que el número que contiene la bolita sea divisible por 6 o por 10? Explica, paso apaso, cómo lo calculaste.

2. Si se lanzan dos dados, calcula las siguientes probabilidades:

a. P(la suma es 4 o la suma es 5). b. P(los números son iguales o la suma es 4).

3. Si P(A) = , P(A�B) = y P(A�B) = , ¿cuánto es P(B)? Escribe, paso a paso, el procedi-

miento utilizado.

4. Si P(A�B) = 0,5, P(A) = 0,43 y P(B) = 0,08, ¿son A y B mutuamente excluyentes?, ¿cómo lo supiste?

19

1220

15

Actividades


224 | Unidad 5

Frecuencia relativa o probabilidad empírica

Los hermanos Camila y Joaquín se detienen a descansar en unaplaza que se encuentra en el camino entre el colegio y su casa.Luego de un rato, deciden jugar a contar el color de los autos.

El juego consiste en elegir un color y anotar durante quince minutosel de los autos que pasen. Si el color elegido es el que transita conmayor frecuencia, el jugador gana. El perdedor deberá cargar lamochila del ganador el resto del camino de vuelta a su casa.

Camila elige el color blanco y Joaquín el gris. Observa en la tablalos resultados obtenidos.

A partir de la tabla en que se registraron los autos según su color,podemos observar en los resultados que Joaquín es quien pierde.

La razón de autos verdes que pasaron por la plaza es , que

aproximadamente es 0,13. Este resultado corresponde a la frecuencia

relativa de los autos de color verde.

La probabilidad de un suceso la podemos estimar a través de datosobtenidos en observaciones empíricas o experimentales utilizandola frecuencia relativa.

Luego, en la situación de Camila y Joaquín, la probabilidad de quepase un auto verde en los próximos quince minutos es 0,13.

Ejemplo 1Una encuesta realizada a 140 jóvenes residentes de una ciudad, enrelación con el tipo de película que prefieren, arrojó los resulta-dos que se muestran en la tabla de la izquierda.

Supongamos que la muestra es representativa de la población(consistente en todos los jóvenes de la ciudad) y que se seleccionaal azar un joven. Se piden las probabilidades siguientes:

430

Analicemos...

• ¿Quién gana el juego?, ¿Camila o Joaquín?• ¿Qué razón representa el número de autos de color verde,

respecto del total de autos, que pasaron durante el juego?• Con los datos obtenidos por Camila y Joaquín, ¿cómo podemos

determinar la probabilidad de que durante los próximos quinceminutos pase un auto verde?, ¿por qué?

Color Frecuencia

Rojo 3

Azul 7

Verde 4

Blanco 9

Gris 7

Total 30

Mujer Hombre Total

Acción 18 32 50

Comedia 16 9 25

Drama 16 8 24

Ciencia ficción 8 15 23

Otros 10 8 18

Total 68 72 140

La frecuencia relativa se denota porfi y corresponde a la razón entre elnúmero de veces (ni) que se observaun evento i y el número total (n) derepecticiones del experimento.

fi = nin

Recuerda que...



Un

idad

5a. P(es mujer)

De los 140 jóvenes encuestados, 68 son mujeres.

Luego, P(es mujer) = .

b. P(prefiere películas de acción)

De los 140 entrevistados, 50 prefieren las películas de acción,

luego, P(prefiere películas de acción) = .

c. P(prefiere las comedias y es hombre)

9 hombres prefieren las comedias, por tanto,

P(prefiere las comedias y es hombre) = .9

140

50140

68140

1. En los 200 últimos días laborales, Claudia ha estado enferma 120 días. ¿Cuál es la probabilidad deque esté enferma hoy?

2. Una editorial tiene 75 títulos diferentes de libros, clasificados por materia y costo:

Calcula la probabilidad de que un libro elegido al azar:

a. sea de ficción y su valor sea $ 10 000,

b. tenga un valor de $ 15 000,c. sea de historia.

3. Realiza el siguiente experimento:Lanza un dado 36 veces y cuenta cuántas veces obtuviste 5. Calcula la frecuencia relativa de obtener5. Compara tus resultados con los obtenidos por tus compañeros y compañeras. ¿Qué observas?

4. ¿Qué piensas que puede pasar con la tabla de frecuencias de Camila, si ella observa nuevamentepor media hora los autos que pasan?

Actividades

En resumen

• La probabilidad de un suceso se puede estimar a través de la frecuencia relativa, calculada enbase a datos muestrales u obtenida de un número grande de repeticiones de un experimento.

Costo

Materia $ 10 000 $ 15 000 $ 20 000 Total

Ficción 10 8 3 21

Biografía 12 10 9 31

Historia 4 17 2 23

Total 26 35 14 75


226 | Unidad 5

Ley de los grandes números

Rafael y Francisca deben realizar el experimento de lanzar unamoneda una determinada cantidad de veces, y observar el númerode caras resultantes.

Observa en la tabla los resultados obtenidos.

Puedes verificar que cada vez que repites el ejercicio anterior, latabla será diferente. También variará si se cambia el número delanzamientos, pero lo importante es destacar la tendencia de lasituación estudiada. Podemos observar que, a medida que elnúmero de repeticiones del experimento es mayor, la frecuenciarelativa tiende a estabilizarse en torno a 0,5, valor que correspondea la probabilidad de ocurrencia del suceso.

Esta situación la podemos representar también por medio de ungráfico. Observa.

Este comportamiento corresponde a la ley de los grandes números,la cual postula que a medida que aumenta el número de repeti-ciones de un experimento aleatorio, la frecuencia relativa de unevento se aproxima cada vez más a su probabilidad clásica.

Analicemos...

• Si repetimos el experimento de Rafael y Francisca, ¿crees queobtendremos siempre los mismos resultados?, ¿por qué?

• ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda?,¿cómo es esta probabilidad con respecto a los resultadosobtenidos por Rafael y Francisca?, ¿por qué?

N° de lanzamientos

N° decaras

Frecuenciarelativa

5 1 0,20

10 3 0,30

20 12 0,60

30 13 0,43

40 21 0,53

50 27 0,54

00 10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Frec

uenc

ia

Nº de repeticiones

20 30 40 50 60



Un

idad

5

1. Lanza un dado 20 veces, registra la frecuencia con que aparece un 6. Repite el experimento realizando50 lanzamientos. Luego, calcula la frecuencia relativa para el suceso en cada caso.

a. Compara los valores obtenidos. ¿Son estos similares?, ¿por qué?b. Calcula la probabilidad del suceso. ¿Son similares las frecuencias relativas a esta probabilidad?

¿en cuál de los dos casos se acerca más a esta?, ¿por qué?c. ¿Qué crees que ocurrirá si repites el experimento 1000 veces?, ¿por qué?

Actividades

En resumen

• La ley de los grandes números dice que al repetir un experimento aleatorio muchas veces, la frecuencia relativa de cada uno de los sucesos tiende a estabilizarse, aproximándose a un número fijo, que es la probabilidad de que el suceso ocurra.


Utilizaremos una planilla de cálculo, como por ejemplo Excel, para simular el experimento realizadoen la actividad anterior. Para esto sigue las siguientes instrucciones:

• Ubícate en la celda A1 y escribe: =aleatorio.entre(1,6). La función =aleatorio.entre(1,6) devuelve un número entero aleatorio entre mayor o igual a 1 y menor o igual a 6.

• Presiona F9 para cambiar el número aleatorio entregado. Supongamos que cada vez que pre-sionas F9 estás lanzando un dado. De este modo puedes lanzar el dado cuantas veces quieras.

• Copia la instrucción dada en 20 casillas, entonces estarás lanzando tu dado 20 veces. Parahacer esto basta con que te ubiques en el vértice inferior derecho de la celda A1 y arrastrescon el mouse la cruz que aparece en ese lugar hasta A20.

• Copia la instrucción desde A1 hasta C20, puedes interpretarlo como lanzar tu dado 60 veces.

• Para hacer un recuento del total de veces en que aparece 6 en la cara superior del dado en lasimulación, ingresa en la celda B22 la función =contar.si(A1:C20;”6”). Esta función contará encuántas celdas aparece un 6 el total de repeticiones del experimento.

• En la celda B23 ingresa la fórmula =B22/60, el resultado corresponderá a la frecuencia rela-tiva con que aparece un 6 en la simulación del experimento.

• Utilizando el procedimiento aprendido, repite el experimento, simulando 120 lanzamientos.


228 | Unidad 5

Probabilidad condicional

Claudio está jugando a lanzar un dado. Luego, el espacio mues-tral del experimento es � = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Por otra parte, él sabeque este espacio muestral es equiprobable.

Si define el suceso:A: el número obtenido es impar.Donde A = {1, 3, 5}, entonces, se tiene que P(A) = = .

Camila se integra al juego y lanza el dado sin que Claudio puedaver el número obtenido, pero le da una pista: “El número es menorque 4”.

12

36

Si, en el juego de Claudio y Camila, definimos el evento B: sale unnúmero menor que 4, este corresponderá a B = {1, 2, 3}.

De este nuevo conjunto de casos posibles, los favorables para elsuceso de interés son solamente 1 y 3, ya que sabemos que elnúmero es menor que 4. Este conjunto corresponde a los elemen-tos del suceso A�B.

Así pues, tenemos dos casos favorables correspondientes a #A�B,y tres casos posibles que corresponden a #B.

Luego, la probabilidad de obtener un número impar sabiendo que

el número que se obtuvo es menor que 4 es .

Tal como en la situación anterior, hay casos en que la probabilidadde un suceso A se ve afectada por la ocurrencia de otro suceso B.Este tipo de probabilidad se llama probabilidad condicional y sedenota por P(A/B) y se lee como “la probabilidad de que ocurra Adado que ha ocurrido B” o “la probabilidad de A dado B”.

23

Analicemos...

• ¿Piensas que la probabilidad de que salga un número imparcambia en este nuevo escenario?, ¿por qué?

• Intuitivamente, ¿crees que la probabilidad ahora, de que salgaun número impar es mayor o menor que antes?

• ¿Cuál es la probabilidad de que el número que salió sea impar?,¿cómo lo supiste?



Ejemplo Una urna contiene dos bolitas negras (N1 y N2) y una bolita blanca(B). Se extraen de la urna dos bolitas al azar, sin reposición. ¿Cuáles la probabilidad de que la segunda bolita sea negra, dado quela primera bolita que se sacó es negra?

Definimos A como el suceso: “sale bolita negra en la segunda ex-tracción”, y C: ”sale bolita negra en la primera extracción”.

Se nos pide calcular P(A/C).

Entonces:

C = {N1B, N2B, N1N2, N2N1}, donde el orden de las letras indica elorden en que se sacaron las bolitas. Por tanto, #C = 4.

A�C es el suceso en que la primera bolita es negra y la segundatambién, es decir: A�C = {N1N2, N2N1} y #(A�C) = 2.

Por lo tanto, tenemos que:

P(A/C) = = = 12

24

#A�C#C

Un

idad

5

En resumen

• Si A y B son sucesos de un espacio muestral equiprobable y #B � 0, entonces la probabilidadde A dado B está dada por:

P(A/B) = .#A�B

#B

1. Para el lanzamiento de un dado, calcula:

a. P(número par/es menor que 4). d. P(aparece 1/es primo).b. P(número primo/es par). e. P(es menor que 4/número par).c. P(número impar/es primo). f. P(es primo/número impar).

2. Se lanzan dos dados. Halla la probabilidad de:

a. la suma de los números es 10,b. la suma de los números es 10, si se sabe que en uno de ellos salió 6, c. la suma de los números es mayor que 7, si se sabe que “la suma de los números es un

número impar”.

Actividades


230 | Unidad 5

Probabilidad del suceso A�B

Cada estudiante de un curso, compuesto por trece hombres y quincemujeres, compró un número de una rifa en la cual se sortearándos premios.

Para sortear la rifa se depositarán los números en una bolsa, y seextraerá al azar uno de ellos para rifar el primer premio; luego,se dejará este número y se sorteará de la misma manera el se-gundo premio.

Para representar y comprender situaciones como la anterior, resultamuy útil utilizar un diagrama de árbol.

Observa que dos caminos diferentes, como los que están destacados,corresponden siempre a sucesos mutuamente excluyentes (susprobabilidades se suman).

Para responder la primera pregunta, definimos los sucesos:H1 = el primer premio lo recibe un hombre.H2 = el segundo premio lo recibe un hombre.

Debemos calcular P(H1�H2), entonces:

P(H1�H2) = P(el primer premio lo reciba un hombre) · P(el segundopremio lo reciba un hombre, dado que el primer premio tambiénlo recibió un hombre). Es decir:

P(H1�H2) = P(H1) · P(H2/H1) = · = .1363

1227

1328

Analicemos...

• ¿Cuál es la probabilidad de que sean hombres los que ganenambos premios?

• ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre gane el segundo premio?

Primer premio Segundo premio

1427

1528

1328

Mujer

1327

Hombre

1527

Mujer

1227

HombreHombre

Mujer



Un

idad

5Veamos ahora cuál es la probabilidad de que un hombre gane elsegundo premio. Sea M1: “el primer premio lo recibe una mujer”.Que un hombre gane el segundo premio depende de que ocurraalguno de los sucesos: M1 y H2, o bien H1 y H2. Como estos sonmutuamente excluyentes, la probabilidad pedida se puede calcu-lar de la siguiente manera:

En resumen

• La probabilidad de que ocurran dos sucesos simultáneamente es igual al producto entre laprobabilidad de que suceda uno de ellos y la del otro, dado que ocurrió el primero. Es decir: P(A�B) = P(B) · P(A/B).

1. De un curso de primer año de una carrera universitaria, el 40% de los estudiantes reprobó Geometríay el 10% reprobó tanto Geometría como Álgebra. Si se escoge al azar un estudiante de este cursoy resulta ser que ha reprobado Geometría, ¿cuál es la probabilidad de que también haya reprobadoÁlgebra?, ¿cómo lo calculaste?

2. Dos cartas se extraen sin remplazo de una baraja inglesa. Encuentra la probabilidad de:

a. que ambas cartas no sean figuras,b. que la segunda carta sea una figura.

Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

3. Tres cartas se extraen sin remplazo de una baraja inglesa. Encuentra la probabilidad de:

a. que las tres sean cartas negras,b. que al menos una de ellas sea roja,c. que exactamente una de ellas sea roja.

Explica, paso a paso, el procedimiento utilizado.

Actividades

P(hombre gane el segundo sorteo) = P(M1�H2) + P(H1�H2) = P(M1) · P(H2/M1) + P(H1) · P(H2/H1)

= · + · 1227

1328

1327

1528

= � 0,46351756


232 | Unidad 5

Sucesos independientes

Daniel está realizando un experimento que consiste en extraer doscartas de una baraja sin remplazo, y luego calcular ciertas proba-bilidades, para lo cual define los siguientes eventos:

A: la primera carta es una reina.B: la segunda carta es una reina.

Analicemos...

• ¿Cuál es el valor de P(A), P(B/A) y P(A�B)?, ¿cómo lo supiste?• Si Daniel repite el experimento, pero con remplazo, ¿cuál será el

valor de las probabilidades anteriores?• ¿Existen diferencias en ambos resultados?, ¿por qué?

En el experimento anterior, Daniel extrae las cartas en primer lugar,

sin remplazo. Luego, sabemos que para extraer la primera carta te-

nemos un espacio muestral con #� = 52 y que además es equipro-

bable. Por otra parte, solo hay cuatro reinas en un mazo, luego

P(A) = .

Si ya hemos extraído una reina, el tamaño del espacio muestral se

redujo de 52 a 51 y para B solo quedan tres opciones, por lo tanto,

P(B/A) = .

Luego, como P(A�B) = P(B) · P(A/B), tendremos que

P(A�B) = · = .

Para el caso de la extracción con remplazo, P(A), al igual que en el

caso anterior, es , pero ahora para B hay cuatro opciones y #�

Si la primera carta extraída se remplaza cuando extraemos la se-

gunda, es como empezar todo de nuevo, es decir: P(B) = P(A) = .

Observemos que P(B/A) = P(B) = .

Intuitivamente, lo que ocurre es que, cuando la extracción es conremplazo, la ocurrencia de A no afecta la de B, es decir, A y B sonsucesos independientes.

Entonces: P(A�B) = P(A) · P(B/A) = P(A) · P(B) = · = .16

2704452

452

452

452

452

122652

351

452

351

452

se mantiene en 52, luego P(B/A) = .452



Un

idad

5

En resumen

• Si dos sucesos A y B son independientes, entonces:

• P(A/B) = P(A).• P(A�B) = P(A) · P(B).

1. Determina si los siguientes pares de sucesos son dependientes o independientes. Justifica.

a. De una baraja de naipe inglés, extraer un as y “sacar una carta roja”. b. De una baraja de naipe inglés, extraer “corazón” y “sacar una carta roja”. c. En el lanzamiento de dos dados, “obtener siete puntos” y “obtener dos números iguales”.d. En el lanzamiento de un dado, sacar “número primo” y “sacar número menor que 3”.

2. Inventa dos sucesos que sean independientes, explica por qué lo son y compártelos con tus compañeros y compañeras.

3. Para el lanzamiento de un dado con su espacio muestral equiprobable � = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sedefinen los sucesos A = {1, 2} (sale un número menor que 3), B = {1, 3, 5} (sale un número impar).¿Los sucesos A y B son independientes?, ¿por qué?

4. Un barco de guerra, al lanzar misiles, acierta su objetivo en doce de cada quince lanzamientos.Si el barco lanza dos misiles, ¿cuál es la probabilidad de que falle en ambos lanzamientos? Explica,paso a paso, cómo lo resolviste.

5. Se lanza una moneda y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener “sello” y “tres”?, ¿cómo lo calculaste?

6. En un hospital se cuenta con un registro de los pacientes que tienen diabetes, organizado por sexoy tipo de diabetes. Hay 50 varones registrados, de los cuales 35 tienen diabetes tipo I, y 15 diabetestipo II. Hay también 25 mujeres con diabetes tipo I, y 20 mujeres con diabetes tipo II.Si se selecciona una de las fichas de este registro al azar, encuentra la probabilidad de sacar:

a. una correspondiente a una mujer, b. una correspondiente a diabetes tipo II, c. una correspondiente a hombre con diabetes tipo I.

¿Son independientes los sucesos “es hombre” y “tiene diabetes tipo I”?

Actividades


234 | Unidad 5

Variable aleatoria

Claudia se encuentra realizando el experimento de lanzar dosdados y luego anotar la suma de los valores obtenidos en estos.

Quiere saber qué valor es más probable observar, para lo cual cons-truye una tabla que muestra los posibles valores y combinacionespara ambos dados. Observa.

Podemos observar en los datos de la tabla que los posibles valoresque puede obtener Claudia al realizar el experimento son:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Para que la suma de los dados sea 2 solo puede ocurrir que al lanzardos dados se observe el par (1, 1), luego:

P(2) = P((1, 1)) = .

De la misma forma, para que la suma de los dados sea 3, se tienenque dar los sucesos (1, 2) y (2, 1), que son excluyentes, luego:

P(3) = P((1, 2)) + P((2, 1)) = + = .

De igual forma podemos obtener las probabilidades asociadas acada valor posible, que podemos resumir en la siguiente tabla:

236

136

136

136

Analicemos...

• ¿Cuáles son los posibles resultados que puede obtener Claudia?• ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los valores obtenidos

en los dados sea 2?, ¿y 3?, ¿cómo lo supiste?• ¿Cuánto es la suma de las probabilidades de todos los posibles

valores en el experimento de Claudia?, ¿por qué?

1 2 3 4 5 6

1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)

2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)

3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)

4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)

5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)

6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(X = x)136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

Generalmente, se utilizan letras ma-yúsculas como X, Y,... para designarvariables aleatorias, y las respectivasminúsculas x, y,... para designarvalores particulares de las mismas.

Pon atención



Lo que acabamos de construir es una variable aleatoria. Obtenemosuna variable aleatoria si a cada suceso elemental de un experi-mento aleatorio le asociamos un único valor numérico.

Escribiremos P(X = x) para representar la probabilidad de que lavariable aleatoria X tome el valor x.

En el experimento de Claudia podemos definir la variable aleatoria:

X = suma de las caras en el lanzamiento de dos dados.

Luego: P(X = 2) = .

Si calculamos las probabilidades para cada uno de los valores posi-bles de la variable aleatoria, obtendremos que el resultado es 1,puesto que es la suma de las probabilidades de sucesos mutua-mente excluyentes que, en conjunto, forman todo el espaciomuestral. Observa:

P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) + P(X = 7)

+ P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) = +

+ + + + + + + + + = = 1

En general, si una variable aleatoria puede tomar n valores llama-dos x1, x2, x3, …, xn, se tiene que:

P(X = x1) + P(X = x2) + P(X = x3) +… + P(X = xn) = 1

Una variable aleatoria que puede asumir una cantidad finita devalores, o una sucesión infinita de valores como 0, 1, 2, …, se llamavariable aleatoria discreta. Si, en cambio, el conjunto de posiblesvalores de una variable aleatoria corresponde a un intervalo denúmeros reales, decimos que es una variable aleatoria continua.

Ejemplo 1Sea Z la variable aleatoria que cuenta el número de lanzamientosde un dado hasta que salga el primer 6. ¿A que tipo de variablealeatoria corresponde Z?

Los valores posibles de Z son 1, 2, 3, 4,… Luego, esta correspondea una variable aleatoria discreta.

3636

136

236

336

436

536

636

536

436

336

236

136

136

Un

idad

5

Glosariosucesión: conjunto ordenado de ele-mentos que responden a una reglade formación.


236 | Unidad 5

Ejemplo 2Si se escoge al azar una manzana de un árbol y se mide su peso engramos, los valores posibles de esta variable aleatoria están en elrango ]0, + �[. Aunque en la práctica tal vez nos interesen los pesosde las manzanas aproximados a números enteros, sabemos que enun rango de 100 a 101 gramos es posible, al menos en teoría, en-contrar infinitos pesos distintos.

Muchas veces será de utilidad visualizar la correspondencia de unvalor de la variable aleatoria con su probabilidad a través de un grá-fico. Generalmente, usaremos un diagrama de barras, colocando enel eje horizontal los posibles valores de la variable aleatoria, y en eleje vertical las probabilidades de que estos ocurran.

Ejemplo 3Un jugador, que suele encestar el 70% de sus tiros, tiene que realizarun lanzamiento. Si el jugador acierta el primer tiro, puede repetir ellanzamiento. Por lo tanto, es posible que consiga 0 puntos (fallandoel primer lanzamiento), 1 punto (acertando el primero y fallando elsegundo) o 2 puntos (acertando ambos lanzamientos). Sea X lavariable aleatoria que representa el puntaje obtenido:

a. Calcula P(X = 0), P(X = 1), P(X = 2).b. Dibuja un gráfico de barras para la distribución de probabili-

dades de la variable X.

Solucióna. Usaremos una A para “acierto” y una F para “fallo” y supon-

dremos que lo que ocurra en el primer lanzamiento no tieneningún efecto sobre el segundo lanzamiento. Entonces:

P(A�A)=0,7 · 0,7 = 0,49

P(A�F) =0,7 · 0,3 = 0,21

P(F) = 0,3 = 0,30

Por lo tanto: P(X = 0) = 0,30 ; P(X = 1) = 0,21 ; P(X = 2) = 0,49.

Probabilidad de acertar amboslanzamientos

Probabilidad de acertar un lanzamiento y fallar otro

Jugadores de básquetbol.



Un

idad

5b.

En resumen

• Obtenemos una variable aleatoria si a cada suceso elemental de un experimento aleatorio leasociamos un único valor numérico.

• Si una variable aleatoria puede tomar n valores llamados x1, x2, x3, …, xn, se tiene que: P(X = x1) + P(X = x2) + P(X = x3) +… + P(X = xn) = 1.

• Existen variables aleatorias discretas o continuas, según como sea su conjunto de posibles valores.

1. Clasifica las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas.

a. El número de hijos que tiene una persona.b. El volumen de jugo que puede extraerse de un limón sacado al azar de un árbol. c. La estatura de una persona escogida aleatoriamente dentro de un grupo. d. El número de televisores que hay dentro de un hogar chileno escogido al azar.

2. Sea la variable aleatoria Z el producto de los números obtenidos en el lanzamiento de dos dados.

a. ¿Es Z discreta o continua?b. Indica los posibles valores de Z. c. Calcula P(Z = z) para todos los valores posibles de z. d. Verifica que se cumple la propiedad P(Z = z

1) + … + P(Z = zn) = 1.

e. Calcula P(Z < 5), P(Z > 8) y P(5 � Z � 10).

3. Una profesora tiene una caja con ocho calculadoras, tres de las cuales ya no funcionan. Un alumnoescoge aleatoriamente dos de estas calculadoras. Sea Y la variable aleatoria cuyos valores son lasposibles calculadoras defectuosas escogidas por el alumno. Determina los posibles valores de Y y calcula sus probabilidades.

Actividades

0,1

00 1 2

Puntos

Prob

abili

dad

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6


238 | Unidad 5

• En el siguiente mapa se muestran algunos conceptos presentados hasta ahora en la Unidad.


1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Cuándo es 0 la probabilidad de ocurrencia de un suceso?3. ¿Qué quiere decir que la probabilidad sea igual a 1?4. ¿Qué significa que un espacio muestral sea equiprobable?5. ¿Cómo es la probabilidad de A�B si A y B son sucesos no excluyentes?, ¿y si A y B son

sucesos excluyentes.6. Si P(A) = 0,7, ¿cuál es el valor de P(Ac)?7. Explica con tus propias palabras la ley de los grandes números.8. ¿Cómo se calcula P(A/B)? ¿Qué pasa si A y B son eventos independientes?,

¿cómo se interpreta?9. ¿Cómo se calcula P(A�B)?, ¿qué pasa si A y B son independientes?10. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?



PROBABILIDADES

se calculan a partir de

PROBABILIDAD

CONDICIONAL

EXPERMIENTO ALEATORIO

ESPACIO MUESTRAL

VARIABLE ALEATORIA

UNIÓN DE SUCESOS COMPLEMENTO DE UN SUCESOINTERSECCIÓN DE SUCESOS

SUCESOS

en algunos casos

de

del cual se definen

los posibles resultados forman

se asocian a

PROBABILIDADES



Un

idad

5

Mi progreso

1. Se realizan 2000 lanzamientos de tres monedas. ¿Cuántas veces, aproximadamente, se esperaría queocurra el suceso A: sale exactamente una cara?

A. 100 B. 500 C. 1000 D. 1500 E. 2000

2. Se preguntó a 50 jóvenes si estaban de acuerdo conremplazar el servicio militar obligatorio por un sistemavoluntario. Las respuestas fueron las siguientes:

Si se escoge al azar uno de estos jóvenes,

a. ¿cuál es la probabilidad de que esté de acuerdo con el cambio?,b. ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer que no está de acuerdo?,c. ¿cuál es la probabilidad de que el encuestado sea un hombre?

3. Ana y Juan están tratando de resolver un problema. La probabilidad de que Ana resuelva el problemaes de un 75% y la probabilidad de que lo resuelva Juan es de un 65%. Determina:

a. la probabilidad de que ambos resuelvan el problema,b. la probabilidad de que ninguno de ellos resuelva el problema,c. la probabilidad de que al menos uno de ellos resuelva el problema,d. la probabilidad de que Juan haya resuelto el problema, dado que el problema fue resuelto por Ana.

4. Una variable aleatoria X toma valores 2, 4, 5, 7, 8 y 9, con probabilidades 0,15; 0,12; 0,21; 0,25; 0,16 y0,11, respectivamente.

a. Verifica que se cumple la propiedad P(X = x1) + … + P(X = xn) = 1.

b. Calcula P(X > 5).c. Calcula P(X = 6) y P(X = 9).


¿Cómo voy?


Comprender y utilizar la ley de los grandes números. 1 226 y 227

Relacionar la frecuencia relativa con la probabilidadde ocurrencia de un suceso.

2 224 y 225

Calcular probabilidades de diferentes sucesos y reconocer variables aleatorias.

3 y 4 218 a 223 y 228 a 237

Un

idad

5

De acuerdo En desacuerdo

Hombres 18 12

Mujeres 16 4


Cómo resolverlo

240 | Unidad 5


Ejercicio 1

Silvia está realizando el siguiente experimento: lanza una monedados veces y luego cuenta el número de caras que obtiene.La tabla muestra los resultados obtenidos por Silvia luego de diezrepeticiones del experimento. Observa.

a. ¿Cuál es el número promedio de caras que obtuvo Silvia?b. Imaginemos ahora que se realiza un número muy grande de lan-

zamientos. Sabemos que, en tal caso, las frecuencias relativas conque aparecen los distintos sucesos tienden a estabilizarse en tornoa un valor, que es, precisamente, la probabilidad del suceso. ¿Cuálserá el promedio que espera observar Silvia?

Solución

a. Hubo tres lanzamientos en los que Silvia obtuvo 0 caras, seis lanza-mientos en que obtuvo una cara y un lanzamiento en el que obtuvodos caras. Luego, tendremos que el promedio obtenido por Silvia es:

= 0,8.

Por lo tanto, en estos diez lanzamientos, Silvia obtuvo en promedio0,8 caras por lanzamiento. Reescribiendo la expresión anteriorobtenemos:

0 · + 1 · + 2 · = 0,8.

La expresión anterior nos muestra que el promedio se puede calcu-lar utilizando la frecuencia relativa o probabilidad de casa suceso.

b. Si imaginamos ahora que Silvia realiza un número muy grande delanzamientos, tendremos que, en tal caso, las frecuencias relativascon que aparecen los distintos sucesos tienden a estabilizarse entorno a un valor, que es, precisamente, la probabilidad del suceso.

Luego, podemos calcular el promedio que espera ver Silvia, utili-zando las probabilidades de ocurrencia de cada posible suceso.

El espacio muestral correspondiente al experimento de Silvia es:E = {cc, cs, sc, ss}.

110

610

310

0 · 3 + 1 · 6 + 2 · 110

X Frecuencia

0 3

1 6

2 1



Un

idad

5

Definamos la variable aleatoria:X = número de caras en ambos lanzamientos.

Por lo tanto:

P(X = 0) = , P(X = 1) = , P(X = 2) = ,

luego: 0 · P(X = 0) + 1 · (X = 1) + 2 · P(X = 2) = 0 · + 1 · + 2 · = 1

Es decir, si realizamos un gran número de repeticiones del experimento,obtendremos, en promedio, 1 cara. Este valor es conocido como elvalor esperado o esperanza matemática, y se denota por E(X).

Por lo tanto: E(X) = 1.

14

12

14

12

14

14

Actividades

1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver la siguiente situación:

Jaime está participando en un juego en el que se lanzan dos monedas; se ganan 50 puntos cadavez que salen dos caras y se pierden 30 puntos en cualquier otra situación. Sea X la variablealeatoria cuyos posibles valores son los puntos que gana o pierde Jaime en un lanzamiento:

a. calcula P(X = 50) y P(X = –30). b. calcula E(X). ¿Qué interpretación se puede dar al valor E(X)? c. en doscientas repeticiones, ¿cuántos puntos, en promedio, se esperaría ganar o perder?

2. Busca un procedimiento distinto para resolver el problema anterior. Respecto del procedimientoprevio, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?


X representa los puntos obtenidos al tirar un dado cargado, además:

• P(X = 1) = – 2k • P(X = 3) = P(X = 4) = • P(X = 6) = + 2k

Determina el valor de k, de modo que el valor esperado sea igual a 4.

16

16

• P(X = 2) = – k • P(X = 5) = + k16

16

16


242 | Unidad 5


Siniestros de tránsito y consecuencias

Una de las principales causas de muerte en Chile son los accidentes de tránsito,

alcanzando cifras alarmantes. La causa de mayor frecuencia de estos accidentes

es la generada por imprudencias del conductor, donde en su mayoría se deben a

conducir sin mantener una distancia razonable ni prudente.

Otra importante causa de accidentes de tránsito son los producidos por la ingesta

de alcohol. Durante el año 2008 hubo 4946 siniestros asociados a la presencia de

alcohol, en los cuales murieron 378 personas y hubo 3897 lesionados. El total de

accidentes causados por presencia de alcohol corresponde a un 8,66% del total gene-

ral; sin embargo, el total de fallecidos por esta causa fue de un 21,21% del total.

Está demostrado que el alcohol deteriora marcadamente la función psicomotora y la

capacidad para conducir con seguridad. Quizás uno de los efectos más importantes

es que el alcohol dilata el tiempo de reacción; es decir, aumenta el tiempo que

tarda la persona, después de percibir plenamente las sensaciones y/o recibir infor-

mación, en decidir qué debe hacer y cuándo actuar.

La siguiente tabla muestra las causas de siniestros de tránsito y consecuencias du-

rante el año 2008.

Causas de siniestros de tránsito y consecuencias (año 2008)

Causa de siniestroSiniestros Fallecidos Lesionados

Imprudencia del peatón3896 398

3897

Presencia de alcohol4946 378

6145

Imprudencia del conductor 25 116 362 19 297

Pérdida de control4706 287

6311

Velocidad imprudente1703 116

2063

Desobediencia a señalización7110

928417

Otras causas2904

622482

Drogas y/o fatiga del conductor 48857

818

Causas no determinadas934

101384

Fallas mecánicas4407

83645

Imprudencia del pasajero420

7384

Deficiencias viales457

5443

Fuente: www.carabinerosdechile.cl

www.conaset.cl


Actividades

Considera los datos de la tabla anterior y responde.

1. ¿Cuál es la probabilidad de que un siniestro producido durante el año 2008 haya sido causado por la presencia de alcohol?

2. Si seleccionamos al azar un accidentado durante el año 2008:

a. ¿cuál es la probabilidad de que este haya fallecido, dado que sufrió un accidente causado por lapresencia de alcohol?,

b. ¿cuál es la probabilidad de que este haya sufrido un accidente causado por la presencia de alcohol,dado que este falleció?

Investiguemos...


1. Comparen las respuestas obtenidas por cada uno y discutan sobre cuáles de las respuestas son correc-tas si hay diferencias.

2. Busca información en el sitio web www.carabinerosdechile.cl sobre el número de accidentes produci-dos en tu comuna o ciudad durante el año anterior, el total de tu región y el total a nivel nacional deltotal de fallecidos y lesionados.

3. Calcula, utilizando la información encontrada, las siguientes probabilidades:

a. P(accidentado en tu región haya sufrido lesiones).b. P(accidentado en tu ciudad o comuna haya fallecido).c. P(accidente de tu región haya pertenecido a tu comuna).


• Comparen los resultados obtenidos. ¿Son similares? Si no es así, ¿qué diferencia hubo?, ¿a quécrees que se debe?

• Indaguen respecto a las causas de accidentes de tránsito en Chile, y qué podemos hacer para prevenir estos.


Un

idad

5


244 | Unidad 5



A partir de lo trabajado en la Unidad, responde.

1. ¿Qué es un experimento aleatorio?

2. ¿Qué es el espacio muestral de un experimento aleatorio?

3. ¿Cuál es la diferencia entre una permutación y una combinación?

4. ¿Entre qué rangos de valores puede estar una probabilidad?, ¿por qué? Ejemplifica utilizando

la regla de Laplace.

5. ¿Cuándo el espacio muestral de un experimento es equiprobable?, ¿por qué? Nombra un ejem-

plo de un espacio muestral equiprobable y un ejemplo de un espacio muestral no equiprobable.

6. Si P(A/B) = P(A), ¿qué relación hay entre los sucesos A y B?, ¿por qué?

7. ¿Cómo se relaciona la P(A) y la de P(Ac) para un evento A cualquiera?

8. ¿Qué relación existe entre la frecuencia relativa de una variable aleatoria con su probabilidad

de ocurrencia?

9. Si P(A�B) = P(A) · P(B), ¿qué relación hay entre los sucesos A y B?, ¿por qué?



PROBABILIDADES

SUCESOS EQUIPROBABLES PROBABILIDAD

CONDICIONAL

SUCESOS INDEPENDIENTES

ESPACIO MUESTRAL

VARIABLE ALEATORIA



Evaluación


1. En todo experimento aleatorio el espacio muestral es un conjunto finito de elementos.2. Si P(A y B) = P(A) · P(B), entonces A y B son eventos independientes.3. P(A) + P(Ac) = 1.4. Si A y B son eventos excluyentes, entonces P(A�B) = 0.5. Si A y B no son eventos excluyentes, entonces P(A�B) = P(A) + P(B) – P(A�B).


1. Responde las siguientes preguntas. Indica, paso a paso, el procedimiento utilizado.

a. ¿De cuántas maneras pueden distribuirse diez personas en diez asientos dispuestos en fila si cuatro de ellas deben estar siempre juntas?

b. ¿De cuántas formas pueden sentarse en una fila cuatro niñas y cinco niños, si deben colocarse alternadamente?

2. Para formar una comisión se debe escoger uno de los tres ingenieros civiles A, B y C, uno delos dos economistas M y N, y uno de los dos abogados S y T. La elección será hecha al azar yse anotará el resultado con siglas del tipo ANT, BMS, etc. Determina:

a. el espacio muestral de este experimento aleatorio,b. la probabilidad del suceso de que sea elegido el abogado S, c. el complemento del suceso descrito en b, d. dos sucesos del experimento, distintos de los anteriores, que sean mutuamente excluyentes.

3. Un inspector medioambiental visitará tres fábricas de plásticos para vigilar el nivel de emisionescontaminantes en el proceso de producción. Si el nivel es aceptable, anotará en su planilla A; sino lo es, anotará I. La sucesión AAI indica, por ejemplo, que las dos primeras fábricas tenían unnivel aceptable y la última no.

a. Dibuja un diagrama de árbol que muestre los resultados posibles y describe el espacio muestral.b. Determina la probabilidad del suceso A: hay exactamente dos fábricas con nivel aceptable.c. Determina la probabilidad del suceso B: hay al menos una fábrica con nivel aceptable.

4. De una bolsa que hay 7 pelotas blancas, 5 azules y 6 verdes se sacan 4 pelotas.

a. Considera la variable Z como la cantidad de pelotas blancas y calcula P(Z = z) para todos losposibles valores de z.

b. Considera la variable Y como la cantidad de pelotas verdes y calcula P(Y = y) para todos losposibles valores de y.

c. Considera la variable X como la cantidad de pelotas azules y calcula P(X = x) para todos losposibles valores de x.

Un

idad

5


246 | Unidad 5

1. ¿De cuántas formas se puede dividir ungrupo de nueve personas en dos grupos decinco y cuatro personas?

A. 45B. 126C. 252D. 5760E. 15 876

2. Cierto dado de seis caras tiene marcados enellas los números 0, 1, 1, 2, 2, 2. Dos de estosdados se lanzan simultáneamente sobre unamesa. ¿Cuál es la probabilidad de que la sumade los puntos sea 3?

A.

C.

E.

3. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo menosun 5 al tirar simultáneamente dos dados?

A.

C.

E.

4. Una prueba tiene 10 preguntas de verdadero yfalso. Si Felipe contesta todas las preguntas alazar, ¿cuál es la probabilidad de que respondatodas correctamente?

A. 0,5B. 0,1C. 0,05D. 0,0019531 E. 0,0009765

5. De una baraja inglesa se extraen dos cartas,una a continuación de la otra y sin reposición.Sea M el suceso “ambas cartas son figuras” y Nel suceso “la primera carta es corazón y la se-gunda carta es trébol”, ¿cuántos elementostiene el suceso M�N?

A. 226B. 235C. 292D. 301E. 808

6. Considera todos los números de cuatro cifrasformados solamente con los dígitos 1 y 2. Si seescoge al azar uno de estos números, ¿cuál esla probabilidad de que sea un múltiplo de 6?

A.

C.

E. 78

38

116

12

16

1136

12

16

13


B. 14

D. 118

B. 536

D. 15

B. 316

D. 12



7. Loreto arrojó un dado no cargado cuatro vecesy en todos los tiros obtuvo 6. ¿Cuál es la proba-bilidad de que en el próximo tiro obtenga un 6?

A.

C.

E.

8. Si se escoge al azar una carta de una barajainglesa, ¿cuál es la probabilidad de que seamenor que 3 y roja?

A.

C.

E.

9. Se extrae aleatoriamente una carta de unabaraja inglesa. Los sucesos “sacar carta menorque 3” y “sacar carta roja” son:

A. equiprobables.B. independientes.C. dependientes.D. mutuamente excluyentes.E. elementales.

10. De una baraja de naipe inglés se sacan sucesi-vamente dos cartas sin reposición. ¿Cuál es laprobabilidad de que ambas sean reinas?

A.

C.

E.

11. Las cifras que forman un número son 1, 2, 3, 4 y5. ¿Cuántos números de cinco cifras, menoresque 54 000, pueden formarse, sin que se repitanlas cifras?

A. 18 B. 96 C. 114D. 120E. Otro valor.

12. Si se extraen dos cartas de una baraja inglesasin reposición, ¿cuál es la probabilidad de quela segunda carta sea una figura, dado que laprimera carta extraída fue un as?

A.

C.

E. 1252

1151

451

752

1221

3676

452

2652

3452

78

16

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

Un

idad

5


B. 3052

D. 852

B. 30221

D. 1169

B. 452

D. 1251

B.16

5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

D. 16


Taller de evaluación


A. 10B. 14C. 12D. 28E. Ninguna de las anteriores.

2. El resultado de es:

A.

B.

C.

D. 78


3. La expresión es equivalente a:

A.

B.

C.

D.


4. La medida de la diagonal de un cuadrado es .¿Cuál es el área?

A.

B.

C. 5D. 10E. Ninguna de las anteriores.

5. El valor de es:

A.

B.

C. 18mq

D.

E.

6. Al racionalizar la fracción se obtiene:

A.

B.

C.

D.


7. La suma de es:

B. 2

C.

E.32

52

0 125 4 0 253 , ,+

7 5−

5 7−

5 7+

12

1

7 5+

18 2m q

2 2m q

18 2mq

18 22m q

2 72 5 18 3 982 2m q m q m q− +

2 5

5

10

297

812

212

84

2 2 23

26 3

15 3

10 3

2 75 4 48+

121 64 813 4+ −

Marca la opción correcta en cada caso.



Raíces1

A.12

D.–32

PAGS 248-255:Maquetación 1 4/11/10 17:35 Página 248

8. La(s) solución(es) de la ecuación

es(son):

A. 1B. 4C. 5D. 12E. No tiene solución real.

9. La expresiónes equivalente a:

A. m + nB. n – mC. m – nD. m – n2

E. (n – m)2


A. 13

B.

C. 40

D. 100


1. La(s) solución(es) de la ecuación (x + 4)2 + (x – 3)2 = (x – 5)2 es(son):

A. 0 y 8B. 12C. 0 y –12D. 0 y –8E. 0 y 12

13 4 10+

5 82

+( )

4 2 92 2 2( ) ( )m n mn m n+ − − −

3 15+ = +x x

Taller de evaluación | 249

Función cuadrática y función raíz cuadrada

2

2. Al resolver la ecuación = el valor dex es:

I.

III.


3. Si las raíces de la ecuación x2 + ax + b = 0 son–2 y 4, entonces el valor de b es:

A. –8 B. –2 C. 2D. 6E. 8

4. Para que el producto de las raíces de la ecuación4x2 + 3m – 5x = –6 sea 48, el valor de m debeser:

A. 3B. 16C. 62D. 64E. 128

47

32

296

x2 + 5x

II.103




5. En la funcion f (x) = 4x2 – 4x – 3, las coordenadasde su vértice son:

A.

B. (2, –4)

C.

D. (2, 4)

E.

6. Una de las ecuaciones cuyas raíces son (2 + )y (2 – ) es:

A. x2 – 4x + 6 = 0B. x2 – 6x + 4 = 0C. x2 + 4x + 2 = 0D. x2 – 4x + 2 = 0E. Ninguna de las anteriores.

7. Si x1 y x2 son raíces de la ecuación x2 – 5x – 2 = 0,entonces, el valor de (x1 + 1)(x2 + 1) es:

A. –7 B. –6C. 4D. 5E. 8

8. El área de un terreno de forma rectangular es133 m2. Calcula su perímetro si el largo es eldoble del ancho, aumentado en 5 m.

A. 26 mB. 52 mC. 64 mD. 66,5 mE. Falta información.

9. Dadas las funciones f (x) = x2 – 5x + 3, g(x) = x2 + 5x + 3, r(x) = x2 + 3, se afirma que:

A. Todas tienen su vértice en el origen (0,0).B. Todas abren hacia arriba y la ecuación del eje

de simetría es x = 0.C. Todas tienen igual eje de simetría.D. Todas abren hacia arriba e intersecan al eje Y

en el mismo punto.E. Todas las afirmaciones anteriores son falsas.

10. El punto mínimo de la función f (x) = 3x2 – 7x + 1 es:

A. (–37, 7)

B.

C. (7, –37)

D.

E. (6, 12)

1. Si sen(α) = , entonces, el valor de tan(α) es:

B.

D.


2 10

3

2 10

7

37

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

7

6

37

12,

7

6

37

12,

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

24,

1

24,−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

24,

El triángulo rectángulo y la trigonometría

3

A.37

C.3 10

20



2. Sabiendo que sen(α) = , entonces, el valor de

cos(α) + tan(α) – sen(α) es:

A. 0,95B. 1,45C. 1,55D. 1,95E. Ninguna de las anteriores.

3. El valor de la expresión cos(270º) · (sen(90º) + cos(180º)) – sen(270º) es:

A. –1B. 0C. 1D. 2E. Ninguna de las anteriores.

4. ¿A qué cuadrantes pertenecen los ángulos cuyacotangente es positiva?

A. I y IVB. I y IIC. I y IIID. II y IIIE. Ninguna de las anteriores.

5. En el triángulo ABC de la figura DE//AB y

= , se puede afirmar que:

I. CD = CE

II. = 13

CEEB

13

CDDA

35 De estas afirmaciones, es o son verdaderas:


6. Si un edificio proyecta una sombra de 25 m ytiene una altura de 70 m, ¿cuánto mide el ángulode elevación al Sol?

A. 19,6ºB. 20,9ºC. 69ºD. 70,3ºE. Ninguna de las anteriores.

7. Cuando el ángulo de elvación al Sol es de 60ºsobre el horizonte, un árbol de 15 m de altoproyecta una sombra que mide:

A. 9 m

B. m

C. m

D. m

8. En el triangulo ABC, rectángulo en C, el valor dep2 + q2 + 2pq es:

A. 100B. 196C. 100 + 2pqD. 196 + 2pqE. Ninguna de las anteriores.

15 3

2

5 3

15 3

III. = 14

DEAB

C

D

A B A

C

Bpq

6 8

E

E. m152




9. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden5 cm y 12 cm, entonces, la altura correspondientea la hipotenusa mide:

A. cm

C. cm

D. 30 cm


10. En la cima de un cerro se ha levantado una an-tena de telefonía celular. Desde un punto ubicadoen el valle se miden los ángulos de elevación delextremo superior y la base de la antena. ¿Cuáles la altura del cerro si estos ángulos son 57º y42º, respectivamente, y además la antena mide80 m de alto?

A. 100 mB. 112,6 mC. 154 mD. 168,3 mE. Ninguna de las anteriores.

1. El conjunto A = {x � IR/ –2 � x < 6} es equiva-lente al intervalo:

A. [–2, 6]B. ]–2, 6[C. [–2, 6[D. ]–2, 6]E. Ninguna de las anteriores.

2. Si a � b + c, entonces, se cumple que:

A. a – c � bB. a – b � cC. a + c � bD. b – a � –cE. a + b < c

3. La inecuación 2x + 3y � 12 se cumple para elpar ordenado:

A. (6, 1)B. (–1, 6)C. (2, 2)D. (0, 9)

E.

4. El par (–1, 7) satisface la desigualdad:

A. 3x – 7y > 8B. 2x + y � 9

C. + < – 3

D. x + y � xE. –x + y ≥ y

5. El siguiente gráfico es la solución de la inecuación:

A. �x – 3 � � 10B. �3x � � 10C. �x – 3� � 10D. �x + 10� � 3E. Ninguna de las anteriores.

1y

1x

7

2

7

3,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6013

1713

B. cm75


–7 13



6. El conjunto solución de la inecuación x2 – 3x � 18 es:

A. {x � IR / x � –3 y x � 6}B. {x � IR / x < 6}C. {x � IR / x � –3}D. {x � IR / –3 < x < 6}E. {x � IR / –3 � x � 6}

7. El siguiente gráfico es solución de:

A. 2x > 4B. 3x + 2 � – 4C. 5 – x � 3D. 7 + 2x > 3E. Ninguna de las anteriores.

8. La solución de la inecuación 3 – 4x � 2x – 15 es:

A. x � 3B. x � 3C. [–�, 9]D. 3E. Ninguna de las anteriores.

9. La solución del sistema de inecuaciones4x + 5 � x – 1 , es:6 – x > – 3

A. [–2, 9[B. ]9, +�[C. ]–�, –2]�]9, +�[D. [–2, 3[E. Ninguna de las anteriores.

10. En el gráfico, se representa el intervalo:

A. ]–�, 4[B. ]–�, 4]C. [4, +�[D. ]4, +�[E. Ninguna de las anteriores.

1. En el experimento de lanzar dos monedas al airey ver la cantidad de caras (C) y sellos (S) queaparecen en el espacio muestral es:

A. {C, S}B. {(C, C), (C, S), (S, S)}C. {(C, C), (C, S), (S, C), (S, S)}D. {1, 2, 3}E. Ninguna de las anteriores.

2. El resultado de 8C5 + 3C2 es equivalente o igual a:

A. 11C7B. 13C5C. 24C10D. 59E. 342

–2

4

Probabilidades5




3. ¿De cuántas maneras se pueden combinar 2 pares de zapatos, 4 de pantalones y 5 camisas?

A. 8B. 11C. 20D. 40E. Ninguna de las anteriores.

4. De 18 vestidos que hay en una tienda se eligen6. El número de maneras distintas de elegirlo es:

A. 18 564B. 9282C. 4541D. 5184E. 72

5. Calcula la probabilidad de que al extraer unatarjeta al azar de una bolsa que tiene 9 tarjetasnumeradas de 1 a 9, esta sea par.

A.

C.


6. Una compañía telefónica establece para sus lla-madas de larga distancia un código de 3 dígitos.Si el primer dígito no puede ser 0 ó 1 y el segundodígito debe ser 0 ó 1, los códigos que podríanformarse son:

A. 160B. 320C. 500D. 720E. 1000

7. La expresión equivale a:

A. x2 + 10x + 25B. x2 + 12x + 36C. x + 5D. x + 6E. x2 + 11x + 30

8. Si P(A�B) = ;P(A) = ; P(A�B) = .

¿Cuánto es la P(B)?

A.

C.

E.87

37

17

17

27

57

(x + 6)!(x + 4)!

12

29

B.39 B.

27

D.47

D.49



9. Un examen tiene 10 preguntas que deben responderse con Verdadero o Falso. Si Felipe responde todas las preguntas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que responda todas correctamente?

A.

B. 0,5

C. 0,0019531

D. 0,05

E. 0,0009765

10. El 15% de los habitantes de una ciudad pre-fiere las bebidas bajas en calorías. Si se eligenal azar dos personas de esa ciudad, ¿cuál es laprobabilidad que ambos prefieran las bebidasbajas en calorías?

A.

C.

E. No se puede determinar.

11. Según el censo 2002, la siguiente es una dis-tribución de jefes de hogar según grupo étnicoen Chile.

Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (www.ine.cl)

Si se escoge una de estas personas al azar yresulta ser de la etnia quechua, ¿cuál es la pro-babilidad de que sea una mujer jefe de hogar?

A.

C.


57054 395

570186 867

15100

7330

110

B.9

400 B.1760

186 867

D.570

1760D.1499

Hombre Mujer Total

Mapuche 117 650 46 895 164 545

Aymara 9137 4686 13 823

Atacameño 4495 2244 6739

Quechua 1190 570 1760

Total 132 472 54 395 186 867


Páginas 14 y 15

1. a. 22

· 3 · 52

d. 25

· 32

· 11b. 3 · 5

2· 17 e. 2 · 3

3· 5

3

c. 22

· 52

· 13 f. 23

· 34

·11

2. a. Verdadero d. Falso b. Falso e. Falso c. Verdadero f. Verdadero

3. a. f. k.

b. g. x3a + 7l. a9

c. –5 h. c7a + 7m. b14x – 14y

d. 36 i. 1 n.

e. 625 j. 64x30

4. a. Aumenta a 9 veces el área del cuadrado original.

b. Disminuye a la octava parte del volumen del cubo original.

5. a. x2– 6xy + 9y2

c. a3– 27b3

b. x2+ x – 6 d. – y2

6. a. c. (3x + 2)(9x2– 6x + 4)

b. (x3– 2)

2d. (2x – 3y)

3

Página 17

1. a. 6 cm d. 25 m g. 35 cmb. 9 cm e. 30 m h. 41 cmc. 20 m f. 32 cm i. 60 cm

2. a. 0 d. 6 g. 6b. 3 e. 12 h. 15c. 3 f. 100 i. 1000

3. a. Verdadero d. Verdaderob. Verdadero e. Verdaderoc. Falso f. Falso

4. a. Si a < 0, la expresión no está definida en elconjunto de los números reales, por lo que nopodremos calcular su valor.

b. No se cumple para todo a, b � IR.

Página 19

1. a. Racional g. Irracionalb. Racional h. Racionalc. Irracional i. Irracionald. Racional j. Irracionale. Irracional k. Irracionalf. Irracional l. Irracional

2. Indicación: Si existiera un número racional igual a

, se escribiría como una fracción , con xe y números enteros positivos.Luego, suponga que se simplifican todos los factores de modo de obtener una fracción irreducible. Entonces, demuestre por reducción alabsurdo que esto no puede ocurrir, por lo tanto,

es un número irracional.

Para demostrar que es un número irracionalsiga las mismas indicaciones.

Página 21

1.

2. a.

b.

Página 23

1. a. –3 d. 3 g. 0

b. 11 e. 6 h. –

c. 0,5 f. 0 i. 4,7

1 5

8 12 100 12 15; ; ; ;

2 7 10 5; ; ;

5

3

xy

3


Solucionario

Raíces1

91––12

1 729

–64x6b9

125c3

b5

ac2

x2

925 4

401 16

2 3 45 8 12 18

( 2––a – 3––b )( 2––a + 3––b )

a

SOLUCIONARIO 3º (256-283):Maquetación 1 4/11/10 17:25 Página 256

2. a. 2 m c. m e. 1,1 m

b. 4 m d. 0,5 m f. 0,9 m

3. a. 16 cm2

b. Sí

c.

4. a. Verdadero d. Verdaderob. Verdadero e. Falsoc. Falso f. Falso

Página 25

1. a. 4,12 d. 31,62b. 10,49 e. 4,64c. 18,71 f. 0,62

2. a.

b.

Página 27

1. a. e.

b. f.

c. g.

d. 4 h.

2. a. 4,48b. 17,3c. 77,504d. 0,709 aproximadamente.

3. a. 2x

b.

c.

4. a. Falso b. Falso

Página 29

1. a. Verdadero c. Verdaderob. Falso d. Verdadero

2. a. 5 d.

b. e.

c. 5––16

f. 2

3. E

4. a. 9 cm b. cm3

5. a. m2

b. m2

c. m2

Página 31

1. a. –1 c. –3 e. 6b. 1 d. 7 f. 5

2. a. Verdadero d. Falsob. Verdadero e. Verdaderoc. Verdadero f. Verdadero

3. a. 6 b. 6 c. 4 d. 6

Páginas 34 y 35

1. a. c. e. –

b. d. –2 f. –

2. a. d.

b. e.

c. f.

3. a. d. 2b. 3 e. x

c. 2 f.

Sol

uci

onar

io

Solucionario | 257

Sol

uci

onar

io

1 3

1 2

3 10

2 3

5 4

1 35

V V3 2 23( ) =

5 21 40 403 3; ; ;

1000 800 10003 ; ;

6 3

12 2

5

103a a

c

a b

cb

5

5 9

7a b

4 32b

a

2 22

a

b

25 5

2 21 3−

15 75

6 124

11 18 2 36 3−

845

x711

6 25 5 53 −94

54

16 25 25xy x y−

2 xy x−

2 14 2 4+ −

5 21

2 3

81 3

cb5–2



Solucionario

4. a. d.

b. e. 1

c. 6 f.

5. a. 0; 0; 0; 0. El término que sigue es:

b. 1; 1; 1; 1. El término que sigue es: c. 64; 8; 2,83; 1,68. El término que sigue es:

d. 256; 16; 4; 2. El término que sigue es:

e. –512; –8; –2; –1.26. El término que sigue es:

f. 10 000; 100; 10; 3,16. El término que sigue es:

6. a. 243; 15,59; 3,95; 1,99 b. 0,0041; 0,064; 0,252; 0,501Existen diferencias entre las secuencias, ya que los términos de la segunda secuencia son los inversos multiplicativos de los términos de la primera secuencia.

Página 37

1. a. c.

b. d.

2. a. (–343) = –7 c.

b. 243 = 3 d. 512 = 2

3. a. b.

4. a. Sí b. m c. cm

5. a.

b.

c.

Página 41

1. a. g.

b. h.

c. i.

d. j.

e. k.

f. l.

2. a. Falso c. Verdaderob. Verdadero d. Verdadero

3. a. e.

b. f.

c. g.

d. h.

Página 43

1. a. x = 30 d. x = g. x = 0

b. x = e. x = h. x = –5

c. x = f. x = 0

2. Porque surgen de elevar al cuadrado.

Ejemplo: tiene una solución

que no satisface la ecuación: x = 9.

3. No

Página 45

1. a. Verdadero d. Verdaderob. Falso e. Verdaderoc. Falso f. Falso

x x– 2 2= +

729 16

1

7

3

2<

5

12

12

>

3

5

4

13>

3

5

4

33 3<

5

2 3

2

2 1–+<

1

2 1

2

1 2–>

+4

5 3

6

3 5– –>

2

5 1

1

5 23 3–>

+

15

1628

453

− 2753

x215

22

357

2 6 2+( )

3 34

−

5 2 5 726

−( )

2 2a a b a bb

+( ) − −

2 5

3 3 xx

x xx

23 3 11

+ +−

25 5 2 43 3+ +

3 2 2 2 43 3+ +( )

2 3 12 6 2 183 3+ +( )

726

210 59

49100

3

0 000325 ,

2 88

15 864 6 38 4−

33

0

1

64

256

−5123333

10 000

445 4

53 20

16 3

1–3

1–9

1–5(– 1 ) = – 1––

1010000

2710

6006

x x54 6


Solucionario | 259

2. a. e.

c. g.

3. a. 30 e.

b. 12 f.

c. g.

d. 14 h.

4. a. 36 b. c. 17

5. C

Página 47

1. a. b.

3. Área:

Perímetro:

Página 49

1. 1,99

2. a. 1,99 s d. 1,41 sb. 3,98 s e. 0,89 sc. 1,26 s

3. a. 1,01 m c. 6,31 mb. 4,04 m d. 0,06 m

Página 51

I. 1. Falso 4. Falso2. Falso 5. Verdadero3. Falso 6. Falso

II. 1. a.

b.

2. a. c. 1 e.

b. d. 9 f.

b. d.

4. a. 12,5 cm2

b. m

5. a. x = 10b. x = 2c. No tiene solución en los números reales.d. No tiene solución en los números reales.

Página 52

III. 1. B 6. A 11. C2. E 7. B 12. A3. B 8. D 13. D4. D 9. D 14. D5. A 10. D

Páginas 56 y 57

1. a. (x2+ 1)(x – 1) d. (a + 2)(a – 2)

b. x (3x – 7) e. (x – 6)(x + 1)

c. (3x + 1)(x + 1) f. (y + a)(y + b)

2. a. 11,5479 d. –4,23b. 10,97 e. 0,2311c. 18,4644 f. 1,723

3. a. x = ±12 c. x = 1 953 125b. x = 49 d. x = a – b

4. b, c y d

5. a y d

6. a, c y d

2 2 13 13a a a; y

33903π

a – 53 5 2+( )

34360

21516

260

a3

20 16 18 43 3 4 3; ; ;

− − − −5 33 9 2563 5 3 7; ; ;

2 3 2a a+

a a3

a 3 2+( )

445 4

2 21724

a23

3 38

7 493

− 34

5 1655 4 3 2 929

3 3− +( )

3 3 2 10

6

+( )17 33

Sol

uci

onar

io

sm

3. a. c.− + +( )11 9 2 3 4

5

3 33 255

3

d. h. a67− +( )8 2 4 19

3

b. f.6 12 3

3+

6 43

Función cuadrática y función raíz cuadrada

2



Solucionario

Página 59

1. a. –2b. –2c. 18d. 34e. a2

– 2ab + b2– a + b – 2

f. a2+ 2ab + b2

– a – b – 2g. a2

– a – b2+ b

h. 5c2– 11c – 4

i. 2 – 2c

2. a. A(a) = a2b. A(r) = π · r2

c. A(d) = · d2

3. A(x) = . No.

4. No

5. Sí

Página 61

1.

2. a. Falso b. Falso

Página 63

1. a. Falso b. Falso c. Verdadero2. a. (x – 3)

2+ 10; a = 1, h = 3, k = 10

b. ; a = 1, h = – , k = –

c. 2(x – 1)2

+ 5; a = 2, h = 1, k = 5d. –2(x – 3)

2+ 15; a = –2, h = 3, k = 15

e. 3(x – 4)2

– 20; a = 3, h = 4, k = – 20f. –5(x + 2)

2+ 6; a = –5, h = –2, k = 6

Página 65

1. a.

contracción

b.

dilatación

c.

contracción

d.

dilatación

12

x +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

52

253 4

5 2

x2 34

X –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f (x) = 2x2 32 18 8 2 0 2 8 18 32

f (x) = x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f (x) = 2x –8 –6 –4 –2 0 2 4 6 8


Solucionario | 261

2. a. h(x) = –16x2+ 24 000x – 700 000

b. 7 300 000c. Ambas.

Página 69

4. a. g.

b. h.

c. i.

d. j.

e. k.

f. l.

2. a. g (x) = x2– 10x + 25

b. g (x) = – x2+ 9x – 23

c. g (x) = x2– 3

d. g (x) = – x2+ x + 8

Página 71

1. a.

c.

2. a = 1

3. Infinitas. Todas tienen como eje de simetría la rectax = 0.

4. No

Página 75

1. a.

No hay dilatación ni contracción con respecto af (x) = x2

.

b.


.

x V= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–;

–,

–52

52

14

x V= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟; ,

–34

34

1218

Sol

uci

onar

io

b. x V= ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟; ,

–72

72

94



Solucionario

c.


.

d.

Hay contracción con respecto a f (x) = x2.

2.

3. a. V(–2, –3); x = –2 c. V ; x =

4. a.

b.

c.

d.

5. B

Página 79

1. a. Δ = 20

x1

=

x2

=

b. Δ = –352No tiene solución real.

c. Δ = 0x

1= x

2= 2

d. Δ = –12No tiene solución real.

e. Δ = –2500No tiene solución real.

f. Δ = 49

x1

= 0

x2

= 7 3

5 5−

5 5+34

34

78

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Decrecimiento Crecimiento

a. ]–�, –0,5[ ]–0,5, +�[

b. ]0, +�[ ]–�, 0[

c. ]0,5, +�[ ]–�, 0,5[

d. ]0,125, +�[ ]–�, 0,125[

b. V(0, 2); x = 0 d. V ; x = – ,12

214

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

–12


Solucionario | 263

2. a. x(x + 1) = 132b. x

1= 11 y x

2= 12 o x

1= –11 y x

2= –12

3. r = 1,19 cm

4. a. k < 0b. k = 0c. k > 0

5. a. k > –

c. k < –

6. y

7. 8 cm y 6 cm

8. 5

9. k = 15

10. 12 y 16

11. 20π cm

12. No

Página 81

1. a. x1

+ x2

= –

x1

· x2

= –2

b. x1

+ x2

= –

x1

· x2

= –12

c. x1

+ x2

= – 1x

1· x

2= 2

2. a. x2– 3x = 0

b. x2– 1 = 0

c. x2– 4 = 0

d. x2– 2xm – x + m + m2

= 0

3. x = –11

4. k = 39

5. 5x2+ 45x + 100 = 0

6. –

Página 83

1. a. No tiene raíces reales.b. x

1= 2

x2

= –2c. x

1=

x2

=

d. No tiene raíces reales.

e. x1

=

x2

= –

x3

=

x4

= –

f. No tiene raíces reales.

g. x1

=

x3

=

h. x1

=

2. a. x1

=

x2

= – 3

3

2 33

9 732

−

9 732

+

2

2

3

3

− − +2 6

− +2 6

3 5

1 4

3 5

km h

97 1−( )97 1+( )

9 8

9 8

Sol

uci

onar

io

b. k = – 9 8

x2

= − +9 732

x4

= − −9 732

x2

= –2 3

3



Solucionario

b. x =

c. x1

=

x2

= –

d. No tiene soluciones reales.e. x

1= 2

x2

= –2x

3= 1

x4

= –1f. x

1= –1

x2

= 1

x3

=

g. x1

=

x2

= –

x4

= –

x2

=

x4

=

j. x1

=

k. x =

m. x = –1,413

n. No tiene soluciones reales.

o. x1

= 4 x2

= –4

p. No tiene soluciones reales.

q. x1

= –

x2=

x3= –1

x4

= 1

r. x =

3. a. Una ecuación bicuadrática. Los lados del rectángulo son 3 y 4 cm.

b. Los lados del rectángulo son 12 y 5 cm.

Página 87

1. a.

Δ = –31No corta el eje X.

b.

Δ = 4Corta al eje X en (3, 0) y (1, 0)

1 1938

4+⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

2 2

2 2

14 5

1 32

− +2 5 2 2m m n–

– –2 5 2 2m m n−

22

2

2

1 3

2 2

2 2

252

252

3

x4

= – 1 3

x3

= 2

2

h. x1

= 2 5 2 2m m n– –

x3

= 2 5 2 2m m n+ –

i.167 2 166

25−

x2

= – 16 807 32

l.71 181

12−


Solucionario | 265

c.

Δ = 0Corta al eje X en (0,5 , 0)

d.

Δ = –40No corta el eje X

e.

Δ = 961Corta al eje X en (0, 0) y

f.

Δ = 0Corta al eje X en (–2, 0)

b. k = –

3. Infinitas. f (x) = k(x2– 6x + 7), k � IR – {0}

4. Vértice:

5. – Falso– Verdadero

6. No existe

7.

8. a. k = –2

b. – < x < 12 3

x xf

x x1 2 1 2

2 2,

+ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

9 16

– ,312

0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Sol

uci

onar

io

2. a. k > – 9 16

c. k = < – 9 16

Positiva Negativa

a. −∞ − −⎤

⎦⎥⎥

⎤

⎦⎥⎥

∪ − + ∞⎡

⎣⎢⎢

⎡

⎣⎢⎢

, ,3 41

43 41

4

− − − +⎤

⎦⎥

⎡

⎣⎢

3 414

3 414

,

b. ]– �, –2]�[1, +�[ ]–2, 1[

c. x � IR –

d. −∞ −⎤⎦

⎤⎦

⎡⎣

⎡⎣, ,2 2 2 2 + −⎤

⎦⎡⎣2 2 2 2,

e.− − − +⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2 826

2 826

, −∞ − −⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

∪ − + ∞⎤

⎦⎥⎥

⎡

⎣⎢⎢

, ,2 82

62 82

6+

f. x � IR –

c. x < – y x > 12 3



Solucionario

Página 89

1. a.

Vértice: (0, –1): es un mínimo.

Intersección eje X: y .

b.

Vértice = : es un mínimo.

No interseca al eje X.

c.

Vértice: (0, 1) : es un mínimo.No interseca al eje X.

d.

Vértice = : es un mínimo.

Intersección eje X: (0, 0) y (1, 0).

e.

Vértice = (–1, –4): es un mínimo.Intersección eje X: (–3, 0) y (1, 0).

f.

Vértice = (1, –4): es un mínimo.Intersección eje X: (3, 0) y (–1, 0).

g.

Vértice = : es un máximo.

h.

Vértice = : es un mínimo.– , –14

116

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

52

214

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

14

,– ⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

34

,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

22

0,⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟−

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

22

0,

Intersección eje X: y 5 21

20

−⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟,

5 212

0+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟,

Intersección eje X: (0, 0) y .– ,12

0⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


Solucionario | 267

i.

Vértice = (1, –1): es un mínimo.Intersección eje X: (0, 0) y (2, 0).

2. Todas las funciones de la forma: f (x) = k(x – 1)2

son correctas, k � IR – {0}.Si k > 0, entonces (1,0) es mínimo.Si k < 0, entonces (1,0) es máximo.

3. a = –1. No

4. a. 3,2 metros.b. 1 segundo.c. 2 segundos.

5. 1 unidad.

6. El proyectil que llega más alto es el que su alturaestá dada por la función g (t), y demora 54 segundosen alcanzar esta altura.

Página 93

1. a. Entre 0 y 0,45.b. Entre 0,71 y 0,84.c. Entre 1 y 1,73.d. Entre 3,46 y 3,74.e. Entre 7,07 y 7,75.f. Entre 10 y 20.

2. a. s

b. T = s; T = s

c. I = 3 m

d. El periodo será mayor.

3. m; m

4. a.

Dom: [0, +�[Rec: [3, +�[

b.

Dom: [2, +�[Rec: [0, +�[

c.

Dom: [–4, +�[Rec: [0, +�[

d.

Dom: [0, +�[Rec: [0, +�[

8884

2 2742 24

2 2 1 0 83−( ) ≈ ,

Sol

uci

onar

io



Solucionario

e.

Dom: [0, +�[Rec: [0, +�[

f.

Dom: [0, +�[Rec: ]–�, 1]

g.

Dom: [0, +�[Rec: ]–�, 4]

h.

Dom: [0, +�[Rec: [–4,+�[

i.

Dom: [–2, +�[Rec: [2, +�[

j.

Dom: ]–�, 5]Rec: ]–�, 3]

k.

Dom: [0, +�[Rec: [2, +�[

l.

Dom: [0, +�[Rec: [2, +�[


Solucionario | 269

Sol

uci

onar

io

5. a. Creciente d. Crecienteb. Creciente e. Decrecientec. Decreciente f. Creciente

Página 95

1. b. (0, –3)c. Rec f (x) = [–3, +�[ Rec g(x) = [–4, +�[

2. b. g(x) es una contracción de f (x), y h(x) es una dilatación de f (x).

c. (0, 0)d. No, f (x) crece más rápido que h(x).

3. a. Forman una parábola.b. La unión de la inversa de f (x) y de g(x) es

igual a h(x).c. Sí.

Página 97

1. a. Dos soluciones.b. Una solución.c. No tiene solución en los reales.d. Dos soluciones.

2. a. x1

= 3 x2

= 5

b. x1

= 2 x2

= 1

c. x1

= x2

= 7

d. x1

= x2

=

e. No tiene solución en los reales.

f. x1

=

3. a. f (x) = –2x2+ 20x – 42

b. f (x) = 24x2– 72x – 96

c. f (x) = – x2+ x

d. f (x)= 4x2– 16x– 180

4. a. x1

= 4x

2= –4

x3

= 2x

4= –2

5. E

Página 103

I. 1. Falso 5. Verdadero2. Verdadero 6. Verdadero3. Falso 7. Falso4. Verdadero 8. Falso

II. 1.a. f.

b. g.

c. h.

d. i.

e. j.

−3 3

4 3

1 9

3 33

−

3

b. x1

= 1x

2= –1

c. x1

= –0,6x

2= 1,6

x2

= 3 33

+



Solucionario

2. –x2+ 4x – 1

3. a. k =

b. k > 0

c. k > –

4. a. 420 metrosb. 20 segundos

Pagina 104

1. A 8. B2. B 9. B3. E 10. A4. E 11. C5. A 12. D6. C 13. A7. D

Páginas 108 y 109

1. a. Verdadero c. Verdaderob. Falso d. Falso

2. a. 5 cm c. 16 cmb. 5 cm d. 50 cm

3. a. x = 15 mb. x = 9 cmc. x = 4 m

4. a.

b. 5,6 m

5. CD–––

= 9 cm

6. ΔABC; ΔKJL (criterio AA).ΔDEF; ΔUST (criterio AA).

Páginas 112 y 113

2. p = 3,2 cm q = 1,8 cm h = 2,4 cm

3. y cm

4. Altura = 12 cmÁrea = 192 cm

2

5. 3 cm

6. 2,57 cm

7. a. Si, el ΔABC, ΔCBD y ΔACDb. AD = 13,24 cm

DB = 3,76 cmCD = 7,06 cm

c. AD = 3,5 cmd. CB = 6 cme. AD = 3 cm

8. Estará a 92,8 m de la casa.

9. Vigas = mAltura techo = 2 m

Página 117

1. a. c2

b.

c. Es un cuadrado de lado b; su área es b2.

c2–

2 2

52117

1 20

1 4

d. k < 9 8

El triángulo rectángulo y la trigonometría

3

1,5 m

x

4,05 m15,12 m

a b c p q h

8 cm 6 cm 10 cm 6,4 cm 3,6 cm 4,8 cm

4,7 cm 8,3 cm 9,5 cm 7,2 cm 2,3 cm 4,1 cm

8,36 cm 8,88 cm 12,2 cm 6,47 cm 5,73 cm 6,1 cm


Solucionario | 271

Sol

uci

onar

io

d. El área del cuadrado ABCD es igual a la sumade las áreas de los 4 triángulos y del cuadradoblanco. Al igualar ambas áreas se obtiene elteorema de Pitágoras.

3. Sí.

4. Sí.

5. Deben ser polígonos semejantes.

Página 120

1. a. No e. Nob. Sí f. Noc. No g. Nod. Sí h. Sí

2. 30 cm

3. P = 30 cm A = 30 cm2

4.

Regla de Pitágoras

Regla de Aquitas

Páginas 122 y 123

1. 130 m

2. 16,20 y 32 cm

3. 4,46 m

4. 3,24 m

5. a. 3,5 mb. 1,275 m

6. 11,25 m

Página 125

1. a. 15 y 20 cm c. 6 y 6 cm

b. y cm d. 6 y 8 cm

2. a. Verdaderob. Falsoc. Verdaderod. Falso

3. E

4. a. 2,4 m; 1,4 m b. 11,4 m

Página 129

1. a. sen(α) = 0,8cos(α) = 0,6tan(α) = 1,3

sen(β) = 0,6cos(β) = 0,8tan(β) = 0,75

b. sen(α) = 0,14cos(α) = 0,99tan(α) = 0,14

sen(β) = 0,99cos(β) = 0,14tan(β) = 7

3

4 64 3

aa

a2 22

2 21

21

2+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = + +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= + +–a

a a24 22 1

4

= + +a a4 22 14

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a2 21

2

aa

a2 22

2 2

41

41–+

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = +

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= + +–aa a2

4 2

4 21

= + +a a4 2

4 21

= +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

a2

41

–



Solucionario

2.

3. a. sen(19º) = 0,33 d. sen(70º) = 0,94cos(19º) = 0,95 cos(70º) = 0,34tan(19º) = 0,34 tan(70º) = 2,75

b. sen(25º) = 0,42 e. sen(85º) = 0,99cos(25º) = 0,91 cos(85º) = 0,09tan(25º) = 0,47 tan(85º) = 11,43

c. sen(45º) = 0,71 f. sen(12,5º) = 0,22cos(45º) = 0,71 cos(12,5º) = 0,98tan(45º) = 1 tan(12,5º) = 0,22

4. a. x = 3,5 cm b. x = 5,84 cm

Página 131

1.

2. a. 3 d.

b. 0 e.

c. 1 f.

3. 7,5 m

Página 133

1. x = 10,62 m2. 5442 m aproximadamente3. 80,43 m4. 365 510 km5. 5,91 m6. base = 36,25 cm

área = 153,1 cm2

Página 135

2. cos2α + sen

2α

3. a. x d.

c. f.

4. a. 0 c. 5b. –0,61 d. 6

5. a. d.

c. f.

Página 137

1. a. sen(α) c. cotan2(α)

b. tan(α) d. 1

537

2 5353

532

7 5353

xy

yx

1y

36

1 4 24

+

3 12

−

b. y e. 1x

b. e.7 53

532 53

53

sen(α) cos(α) tan(α) sec(α) cosec(α) cotan(α)

0,6 0,8 0,75 1,25 1,6 1,3

817

1517

815

1715

178

158

0,44 0,9 0,48 1,1 2,29 2,06

0,72 0,69 1,05 1,45 1,38 0,95

1237

3537

1235

3735

3712

3512

810

610

86

106

108

68

α 30º 45º 60º

sen(α)12

22

32

cos(α) 32

22

12

tan(α) 33

1 3


Solucionario | 273

Página 141

1. AC = 17,36 cmAB = 50 cm�ACB = 80º

2. a. c = 2,35 mb. a = 9,89 cm

3. km

4. a. Sí b. Sí c. No

Página 143

1.

2. a. 12º e. 72ºb. 15º f. 495ºc. 135º g. 80ºd. 120º h. 126º

Página 147

1. ΔOAP � ΔOBP´, por criterio AA de semejanza detriángulos, ya que comparten el ángulo α y tienenun ángulo recto. Por lo tanto, sus lados son

proporcionales = = = k.

se tiene = , donde cada razón representa el

seno de α.

2. tan(α) = =

3. Positiva en el I y III; negativa en el II y IV, dado que seno y coseno tienen igual signo en el I y III cuadrante y distinto en el II y IV cuadrante.

4. a. Positivo d. Positivob. Positivo e. Negativoc. Positivo f. Negativo

Página 149

1. a. sen = –

tan =

b. sen = –

tan =

c. sen = –

tan = 1

d. sen = –

tan = –1

e. sen = –

tan = –

cos =

yx

sen(α)cos(α)

OB

P O

OA

P O

PO

P O

PA

PB

OA

OB

74π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

74π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

116

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

116

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

53π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

12

33

12

22

54π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

22

54π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

343

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

43

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

33

76

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

76

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3 7

Sol

uci

onar

io

Considerando la igualdad = PO

P O

OA

OB

Grados 0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º

Radianes 0π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

cos = – 22

54π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

cos =

74π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ 2

2

cos =

116

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ 3

2

f. sen = – 32

53π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

cos = – 32

76

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

cos = –12

43

π⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

tan = – 353π⎛

⎝⎜⎞⎠⎟



Solucionario

Página 151

1. rad

2. Basta notar que arcsen , arcsen y luego restamos.

3. a. 76,7º; 0,43π rad c. –45º; –0,25π radb. 64,16º; 0,36π rad d. 45º: 0,25π rad

Página 153

1. a. x1

= rad; x2

= rad

b. x1

= rad; x2

= rad

d. x1

= rad

f. x1

= rad; x2

= rad

2. Para a mayor que 1 o menor que –1.

Página 155

1. a. 0,5 b. c. d.

2. a. Falso b. Verdadero c. Falso d. Falso e. Falso f. Verdadero

3. D

4. a. sen(α) = cos (α) = tan (α) =

Página 157

1. a.

b.

3. 26,6º

Páginas 161 a 163

I. 1. Falso 4. Verdadero2. Verdadero 5. Verdadero3. Falso

II. 1. a. b. c.

d. e. f.

2. a. sen(α) = cos(α) =

cotan(α) = sec(α) =

cosec(α) =

b. c.

3. a. 70,53º b. 45º c. 150º d. 59,04º

III. 1. E 4. D 7. C 10. E2. A 5. B 8. C 11. C3. C 6. A 9. E 12. A

Página 166

1. a. p � 3000 b. x ≥ 30c. g � 12 000 d. n < 6,0

2. a. 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10b. 1, 2, 3, 4, 5c. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10d. 4, 5

3 2 33

−

53

25 3

6

53π π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟k

π π3

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

22

π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

53

2π π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟k

32

π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

34

2π π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟k

π6

b. α1

= y α2

= d. α1

= 0 y α2

= 2π2π3

π3

22 4

⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟= π 1

2 6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = π

y x= + +33

23

3 1

π12

2. a. α1

= y α2

= c. α1

= y α2

= 7π4

π4

11π6

π6

x3

= rad; x4

= rad74

2π π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟k

54

2π π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟k

c. x1

= rad; x2

= rad74

2π π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟k

42

π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k

e. x1

= rad; x2

= rad512

2π π+⎛

⎝⎜⎞⎠⎟k

π π12

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k


35

45

34

2 55

3 55

2 55

32

32

5 4141

45

415

4 4141

414

a2– b2 108

1261

42

π π+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k


Solucionario | 275

Sol

uci

onar

io

1818

2

4.

5. a. b.

c. La ecuación no d.corresponde a una recta.

e. f.

6. a. x = – 10 c. No tiene solución

b. x = 2, x = 3––2

7. a. x = 13––4 ; y = – 9––8b. No tiene soluciónc. Tiene infinitas soluciones

Página 169

1. a. Verdadero b. Falso c. Verdadero2. a. Si IUV = 10, entonces, t � 18, donde t es el

tiempo de exposición al sol.b. FP ≥ 15c. Si 100 < ICAP � 200, entonces, la calidad del

aire es regular.

d. 64 �G �110

3. 13 < a < 25

Página 173

1. a. [0, ]b. ]–�, 0[ � ] , +�[c. 0: [–1, 1], π: [3,4], : [1,2]

: [0,1]

: [4,5]

2. a.

b.

c. ]0, 0,5]

d. ]–�, –3]

e. [–12, 5,8]

f.

3. a. [3, +�[ b. c. ]–�, 100[

d. e. [0, 8[ f. ]–5,2, +�[

4. a. [2, 18[

b. ø

c.

d.

e. [0, 1[

f. [0, 20]

18

34

− +∞⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

74

,

45

, +∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

15

133, ,⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

− +∞⎤⎦

⎡⎣3,

� � � � IR

2 ✘ ✘ ✘ ✘

–2,43 ✘ ✘

3––4 ✘ ✘

π ✘ ✘

✘ ✘3 2+

− 3

–7––4

1––5

4––5

1,33

0 0,5

–12 5,8

–3

2 18

0 5––3

053

,⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

−⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

52

0,

32

193

,⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

0 1

0 20


Solucionario


Página 175

1. a.

b. 1––a

> 1––b

c. 1––a

> 1––b

> 0

2. a.

b. x2< x . Si x � –1 o x ≥ 1, entonces x � x2

.c. x2

< x

Página 177

1. a. Al multiplicar por a.

2. ]1, 2]

3. a. b. [–1, 2[

4. Como (a – b)2 ≥ 0,

a2– 2ab + b2 ≥ 0

a2+ b2 ≥ 2ab / � 2

1––2

(a2+ b2

) ≥ ab

5. Si a > 0 y b > 0entonces, ab > 0 / · 2

2ab > 0 / + (a2+ b2

)a2

+ 2ab + b2> a2

+ b2

(a + b)2

> a2+ b2

(a + b)(a + b) > a2+ b2

/ : (a + b)

a + b > a2+ b2

a + b

6. Como

x + y ≥

x + y≥2

7. (2a – 5b)2 ≥ 0

4a2– 20ab + 25b2 ≥ 0 / + 20ab

4a2 + 25b2 ≥ 20ab / : 20ab

25b2 + 4a2

≥ 120ab

a+

5b≥ 1

5b 4a

b. La desigualdad será también verdadera.

Página 179

1. a. Verdadero d. Falso g. Verdaderob. Verdadero e. Falso h. Verdaderoc. Verdadero f. Verdadero i. Verdadero

2. a. [1, 7[ b. [1, 40[ c. ø

d. IR e. f.

3. a. a < b / + 4a + 4 < b + 4,

b. a < b / · 3, como 3 > 03a < 3b

c. a < b / · (– 1)–a > –b / + 22 – a > 2 – b

d. a < b / · 44a < 4b / + 33 + 4a < 3 + 4b

e. a < b / – a0 < b – a

f. a < b / – ba – b < 0 / + 88 + a – b < 8

14

5,⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

( )x y− ≥2 0

12

1,⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

a b 1––a1––b

1 2 1 0,5

5 10 0,2 0,1

1000 10 000 0,001 0,0001

0,1 0,2 10 5

0,001 0,01 1000 100

x 0,95 0,80 0,65 0,20 0,10 0,01

x2 0,9025 0,64 0,4225 0,04 0,01 0,0001

2 xy

xy

78

87

,⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

x – + y ≥ 02 xy


Solucionario | 277

Sol

uci

onar

io

4. Como a > 0 y b > 0a2

+ ab + b2� 0 / + ab

a2+ 2ab + b2

� ab(a + b)

2 ≥ ab / : (a + b)(ab)a + b

≥1

ab a + b1

+1

≥1

a b a + bLuego, la alternativa correcta es D.

Página 181

1. a. ]–�, 6[

b. [1, 3]

c.

d. [–7, +�[

e.

f.

2. a. x = 1 b. {x � �–/ x > –4}

Página 183

1. a. [–3, 7]

b. ø

c. ]0, +�[

d. ]–5, –3[

e. ]–11, –1]

f.

g. ø

h.

2. Puede medir 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm o 9 cm.

3. La cantidad mínima de CD que puede comprar es 3, y la máxima es 5.

Página 187

1. a. b.

c. d.

e. f.

2. No

3. a. x + y ≥ 2 b. 2y – x ≥ – 2

4. 16x + 5y ≥ 300

6

1 3

– 40––11

1––3

–7

115––––21

− +∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

4011

,

13

, +∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

11521

, +∞⎡⎣⎢

⎡⎣⎢

− +∞⎤⎦⎥

⎡⎣⎢

13

,

−∞ −⎤⎦⎥

⎤⎦⎥

,83

–3 7

–5 –3

–11 –1

0

–13

–83



Solucionario

Página 189

1.

a. La distancia entre x e y.

b. La primera desigualdad significa que la distanciaentre x e y es menor que d, la segunda significaque esta distancia es mayor que d.

2. a. ]–3, 3[

b. ]–�, –5[�]5, +�[

c. |x – 6| > 2

Página 191

1. a. x > 2––3

b. x < 3––7

c. x � 8––5

d. x � –9

e. x < –3

f. No tiene solución.

2. a. ]–�, 1[b. ]–1, +�[c. ]–�, –1[d. ]–�, –3]

3. a. b.

4. a. x1

= 3; x2

= 1b. [–3, 11]c. No tiene solución.d. [–7, –4 [�] 4, 7]

5. E

Página 193

1. a. La cortina puede ser de: • 4 m de alto por 6 m de ancho.• 3 m de alto por 5 m de ancho.

3. a. ]–�, 1]�[2, +�[b. ]–�, –13[�]–7, +�[

Página 197

I. 1. Falso 3. Verdadero2. Verdadero 4. Verdadero

II. 1. a. ]3, 12[ b. ]–�, 31[c. [8, +�[ d. ]–�, 4[e. ]–7, 0[ f. ]1, 2[�]7, 9[

2. a. x > 3––5

b. x �

c. x � d. x > 3

e. 0 > x y x > 3 f. ]2, 3[

g. IR h. 0 < x � 3

3. a. b.

c. d.

e. f.

x y Distancia entre x e y | x – y |

2 5 3 3

–5 –3 2 2

–4 2 6 6

110

413


Solucionario | 279

Sol

uci

onar

io

g. h.

4. a. ]–12, 12[ b. ]–10, 14[c. ]–15, 9[ d. ]–�, –15]�[9, +�[e. IR – {5} f. ø

Páginas 198 y 199

III. 1. A 5. C 9. D 12. D2. B 6. D 10. C 13. A3. C 7. E 11. C 14. D4. B 8. B

Páginas 202 y 203

1. a. Aleatorio b. Deterministac. Aleatorio d. Aleatorioe. Determinista

2.

3. a. 22 estudiantes b. 46 estudiantes

4. a. 12–––52

b. 20–––52

5. a. 1––52

b. 1––26

c. 1––13

d. 1––4

6. A

7. a. 1––6

b. 1––2

c. 0 d. 1––3

8.

Página 205

1. a. Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ,10}Finito#Ω = 11

b. Ω = {1, 2, 3, 4, ….}Infinito

c. Ω = {♠, ♣, ♦, ♥}Finito#Ω = 4

Probabilidades5

Cazuela de vacuno

Papayas al jugo

Torta de chocolate

Helado

Papayas al jugo

Torta de chocolate

Helado

Puré conpescado

Tomatecebolla

Cazuela de vacuno

Papayas al jugo

Torta de chocolate

Helado

Papayas al jugo

Torta de chocolate

Helado

Puré conpescado

Frecuencia absoluta Frecuencia relativa

2 2 2––15

3 3 3––15

4 5 515

5 5 5––15

Lechugapalta



Solucionario

d. Ω = {ccc, ccs, csc, scc, scs, ssc, css, sss}Finito#Ω = 8

e. Ω = {x � IR x > 0}Infinito

f. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, …, 27}Finito#Ω = 27

2. a. Ω = {RR, RV, RA, VV, VA, VR, AA, AR, AV}#Ω = 9

b. Ω = {RV, RA, VA, VR, AR, AV}#Ω = 6

Página 209

1. a. Ω = {cccc, cccs, ccss, csss, ssss, cssc, cscs, sssc, scss, sscs, ccsc, cscc, sccc, sscc, sccs, scsc}

b. A = {cccc, cccs, ccss, cssc, cscs, ccsc, cscc, sccc,sscc, sccs, scsc}

c. B = {ssss}d. C = {cccc, cccs, ccss, cssc, cscs, ccsc, cscc, sccc,

sscc, sccs, scsc}

2. a. Ω = {ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA}b. A = {BAC, BCA}c. Ac = {ABC, ACB, CAB, CBA}d. B = {ABC, ACB, BCA, CBA}

3. a. “El transporte demora 5 minutos o más en pasar.”

b. “El transporte demora 10 minutos o menos en pasar. Llega junto con Sergio.”

c. Suceso seguro: la micro demora más de 10 minutos o menos de 10 minutos.Suceso imposible: la micro no pasa.

Página 211

1. 18

2. 16 y 32, respectivamente.

3. 12

Página 213

1. a. 512 b. 64

2. 720

3. 2520

4. 280

5. 30

Página 215

1. a. 22 100 b. 132 600

2. 10

3. a. 60 b. 246

4. 15

5. El número de diagonales en un polígono convexoserán todas las uniones entre los n vértices de este,o sea, nC2, menos las que correspondan a la uniónde dos vértices consecutivos, es decir, los n ladosde esta.

6. #Ω = 20 475

Página 217

1. a. Ω = {1, 2, 3, …49}#Ω = 49

b. Ω = {0, 1, 2, …9}#Ω = 10

c. Ω = infinito

Cara

1 2 3 4 5 6

Sello

1 2 3 4 5 6


Solucionario | 281

Sol

uci

onar

io

13

211

2. a. A = Se obtiene un 2.b. B = Se obtiene un número par.

C = Se obtiene un número impar.c. D = Se obtiene un número menor que 10.d. E = Se obtiene un múltiplo de 10.

3. a. M ∪N = {1, 3, 5, 7, 9}b. M ∩N = {3, 5}c. (M ∩P)C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}d. (M ∪P)∩NC = {1, 2, 4, 6, 8}

4. a. 125 b. 3125 c. 120 d. 84

5. D

Página 219

1. P (C ) = 0 P (D) = 1

2. a. Falso b. Falso c. Verdadero

3. P(AIRE) = 1––70

P(RISA) = 1––70

Página 221

1. Sí 3. No

2. No 4. En la primera ruleta.

Página 223

1. 7––30

2. a. 7––36

b.

3. P(B) = 23––45

4. No

Página 225

1. 3––5

2. a. 10––75

b. 35––75

c. 23––75

4. Las frecuencias relativas debieran ser similares.

Página 227

1. a. Sí, son similares.b. Son similares. En el caso de los 50 lanzamientos, la

frecuencia relativa se acerca más a la probabilidad.

c. La frecuencia relativa se acercará más a la probabilidad.

Página 229

1. a. 1––3

b. 1––3

c. 2––3

d. 0 e. 1––3

f. 1

2. a. 1––12

b. c.

Página 231

1. 1––4

2. a. 10––17

b.

3. a. 2––17

b. 15––17

c. 13–––102

Página 233

1. a. Independiente b. Dependientec. Dependiente d. Independiente

3. Sí

4. 1––25

5. 1––12

6. a. 45––95

b. 35––95

c. 35––95

No son independientes los sucesos “es hombre” y “tiene diabetes tipo I”.

Página 237

1. a. Discreta b. Continuac. Continua d. Discreta

2. a. Discreta

b. {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20,24, 25, 30, 36}

29

313



Solucionario

c. P (Z = 1) = 1––36

; P (Z = 2) = 2––36

; P (Z = 3) = 2––36

;

P (Z = 4) = 3––36

; P (Z = 5) = 2––36

; P (Z = 6) = 4––36

;

P (Z = 8) = 2––36

; P (Z = 9) = 1––36

; P (Z = 10) = 2––36

;

P (Z = 12) = 4––36

; P (Z = 15) = 2––36

;

P (Z = 16) = 1––36

; P (Z = 18) = 2––36

;

P (Z = 20) = 2––36

; P (Z = 24) = 2––36

;

P (Z = 25) = 1––36

; P (Z = 30) = 2––36

;

P (Z = 36) = 1––36

e. P (Z < 5) = 8––36

; P (Z > 8) = 20––36

;

P (5 � Z � 10) = 11––36

3. Y = 0, 1, 2La dos funcionan: P (Y = 0) = 5––

14Una funciona: P (Y = 1) = 15––

28La dos no funcionan: P (Y = 2) = 3––

28

Página 239

1. B

2. a. 34––50

b. 4––50

c. 30––50

3. a. 39––80

b. 7––80

c. 73––80

d. 13––20

4. b. P (X > 5) = 0,52c. P (X = 6) = 0 P (X = 9) = 0,11

Página 241

1. a. P(x = 50) = 0,25; P(x = –30) = 0,75b. E(x) = –10c. –2000

3. k =

Página 243

1. 0,087

2. a. 0,076 b. 0,212

Página 245

I. 1. Falso 2. Verdadero3. Verdadero 4. Verdadero5. Verdadero

II. 1. a. 120 960 b. 28802. a. Ω = {AMS, AMT, ANS, ANT, BMS, BMT, BNS,

BNT, CMS, CMT, CNS, CNT}

b. 1––2

c. 1––2

d. A = El economista elegido es M.

B = El economista elegido es N.

3. a. A I

AA AI IA II

AAA AAI AIA AII IAA IAI IIA III

Ω = {AAA, AAI, AIA, AII, IAA, IAI, IIA, III}

b. 3––8

c. 7––8

4. a. P (Z = 0) = 330––––3060

; P (Z = 1) = 1155––––3060

;

P (Z = 2) = 1155––––3060

; P (Z = 3) = 385––––3060

;

P (Z = 4) = 35––––3060

b. P (Y = 0) = 495––––3060

; P (Y = 1) = 1320––––3060

;

P (Y = 2) = 990––––3060

; P (Y = 3) = 240––––3060

;

P (Y = 4) = 15––––3060

c. P (X = 0) = 715––––3060

; P (X = 1) = 1430––––3060

;

P (X = 2) = 780––––3060

; P (X = 3) = 130––––3060

;

P (X = 4) = 5 ––––3060

Páginas 247 y 248

1. E 4. E 7. D 10. C2. A 5. C 8. E 11. C3. A 6. B 9. B 12. D

126


Solucionario | 283

Sol

uci

onar

io

Páginas 248 a 255


1. C2. C3. A4. C5. E6. E7. C8. A9. B

10. B

1. C2. D3. A4. C5. C6. D7. C8. B9. D

10. B

1. C2. A3. C4. C

5. B6. D7. C8. A9. C

10. B

1. C2. A3. C4. E5. C6. E7. B8. B9. A

10. D

1. C2. D3. D4. A5. D6. A7. E8. D9. E

10. B11. D

Raíces1


Función cuadrática y función raízcuadrada

2

El triángulo rectángulo ytrigonometría

3

Probabilidades5


AAfín, función, 60Ángulo- de elevación, 132- de depresión, 132- del centro, 145- negativo, 144- positivo, 144- sistemas de medición de, 142, 143

BBicuadráticas, ecuaciones, Binomio, - cuadrado de, 15, 62- cubo de, 15

CCantidad subradical, 31Combinaciones, 214, 215Conjetura, 119, 176, 177Contracción de la parábola, 64Coseno, 127- función coseno, 145, 146

DDemostración, 115, 176, 177- del teorema de Pitágoras, 114, 115, 116- por reducción al absurdo, 19, 20Desigualdades, 168- propiedades de las, 174, 175Dilatación de la parábola, 64Directriz, 72Discriminante de una ecuación cuadrática,Distancia- entre dos puntos, 72, 144Dominio, - de la función raíz cuadrada, 91, 92- de la función cuadrática, 61

EEcuación, 167- bicuadrática, 83- con radicales, 42

- de segundo grado, 76, 77, 78- lineal, 167- reductibles a ecuaciones de segundo grado, 82, 83- sistemas de, 167- trigonométrica, 152, 153Ecuación de segundo grado, 76, 77, 78- análisis de las raíces de una, 80, 81- discriminante de una, 78- ecuaciones reductibles a, 82, 83- soluciones o raíces de una, 77, 78, 81Espacio muestral, 204, 205Euclides, teorema de, 110, 111 Eventos, 206- complemento de un, 207, 209- elemental, 207, 209- equiprobables, 220, 221- imposible, 207, 209- independientes, 232, 233- mutuamente excluyentes, 208, 209- seguro, 207, 209Experimento,- aleatorio, 204- determinista, 204

FFactorizaciones, 15, 57- cuadrado de binomio, 15- cubo de binomio,15- factor común, 57- producto de binomios con término común, 15- suma por diferencia, 15- suma y diferencia de cubos, 15Foco, 72, 73Frecuencia- absoluta, 203- relativa, 203, 224, 225Función, 57- afín, 60- creciente, 57- decreciente, 57- dominio de una, 57- lineal, 60


Índice temático

I?NDICE TEM (284-287):Maquetación 1 4/11/10 17:26 Página 284

- raíz cuadrada, 90, 91, 92- recorrido de una, 57- trigonométrica, 144, 145, 146, 147- trigonométrica inversa, 150, 151Función cuadrática, 58, 59, 60, 61- análisis general de una, 84, 85, 86- dominio de, 58, 59- forma canónica de, 62, 63- gráfico de una, 58- máximo de una, 88, 89- mínimo de una, 88, 89Función trigonométrica, 144, 145, 146, 147- dominio de, 145, 146- gráfico de, 146- período de, 146- recorrido de, 145, 146

GGráfica- de la función coseno, 146- de la función raíz cuadrada, 91, 92- de la función seno, 146- de una función cuadrática, 58, 60, 61- de una función lineal, 60, 61

IIdentidades trigonométricas, 136, 137Inecuaciones linealescon dos incógnitas, 184, 185, 186, 187- con una incógnita, 180, 181- con valor absoluto, 188, 189- sistemas de, 182, 183Inecuaciones no lineales, 192, 193Intervalos de números reales, 170, 171, 172- abierto, 172- cerrado, 172- intersección de, 171, 172- no acotados o infinitos, 172- semiabierto, 172- unión de, 171, 172Irracional,- número, 18- raíz, 18

LLey de los grandes números, 226, 227

MMedia geométrica, 30Medición de ángulos,- sistemas de, 142, 143Módulo, 66

NNúmero irracional, 18, 19, 21Números reales, 27- intervalos de, 170, 171, 172

PParábola - como lugar geométrico, 72, 73- contracción de la, 64, 65- desplazamientos de la, 66, 67, 68, 69- dilatación de la, 64, 65- simetría de la, 70, 71- vértice de la, 70, 71Permutaciones, 212, 213Potencias, 15- división de, 15- multiplicación de, 15- relación con raíces, 36, 37- propiedades, 57Principio multiplicativo, 210, 211Probabilidad, 203, 218, 219, 222, 223, 230, 231- condicional, 228, 229- empírica, 224, 225

RRadián, 142, 143Razones trigonométricas, 126- de ángulos especiales, 130, 131- propiedades de, 134, 135Raíces- aproximación de, 24, 25- cantidad subradical, 42- comparación de, 24, 25

Índ

ice

te

má

tico

Índice temático | 285

Índ

ice

te

má

tico



Índice temático

- cuadradas, 16, 17- cúbicas, 22, 23- ecuaciones con, 42, 43- enésimas, 30, 31, 57- índice de, 42- producto y cociente de, 26, 27, 57- propiedades de, 32, 33, 34- racionalización, 38, 39, 40, 41- relación con potencias, 36, 37Raíces cuadradas,- cociente de, 26, 27- irracionalidad de algunas, 18- no exactas, 20- producto de, 26, 27- ubicación en la recta numérica, 20Raíces cúbicas, 22, 23- cociente de, 26, 27- producto de, 26, 27Raíces enésimas, 30, 31- cálculo de, 32, 33, 34- propiedades de, 32, 33, 34Recta, 167, 185, 186- horizontal, 167- vertical, 167Regla- de Aquitas, 119- de Laplace, 218- de Pitágoras, 119

SSemejanza,- criterios de, 109, 110- en el triángulo rectángulo, 111Sistema,- de ecuaciones, 167- de inecuaciones, 182, 183Sucesos, 206- complemento de un, 207, 209- elemental, 207, 209- equiprobables, 220, 221- imposible, 207, 209- independientes, 232, 233- mutuamente excluyentes, 208, 209

- seguro, 207, 209Sucesión, 235

TTamaño muestral, 204, 205Teorema- del coseno, 138, 139, 140, 141- del seno, 138, 139, 140, 141- de Euclides, 110, 111, 114Teorema de Pitágoras, 18, 109- demostraciones del, 114, 115, 116- recíproco del, 116- tríos pitagóricos, 118, 119, 120Triángulos, 109- semejanza de, 109, 110Triángulos rectángulos, 109- semejanza de, 121, 122Trigonometría - aplicaciones de la, 132- ecuaciones trigonométricas, 152, 153- identidades trigonométricas, 136, 137- propiedades de las razones, 134, 135, 148, 149- razones trigonométricas, 126, 127, 128, 129, 130, 131

VValor absoluto, 15- inecuaciones que involucran valor absoluto, 188, 189Variable aleatoria, 234, 235, 236, 237- valor esperado de una, 240, 241Volumen cilindro, 24


Bibliografía | 287

Documentos oficiales• Mineduc. Objetivos Fundamentales y Contenidos

Mínimos Obligatorios de la Educación Media. Ministerio de Educación de Chile, 2001.

• Ministerio de Educación. Matemática. Programa de Estudio. Tercer Año Medio. Formación GeneralEducación Media. Ministerio de Educación de Chile,Unidad de Currículum y Evaluación.

Libros• Centeno, Julia. Números decimales. Síntesis,

Madrid,1995.• Corbalán, Fernando. La matemática aplicada a la

vida cotidiana. Graó, Barcelona, 1995.• Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los

números. Ediciones Siruela, España, 1998.• Ernst, Bruno. El espejo mágico de M.C.Escher.

Taschen, 1994.• Gardner, Martin. ¡Ajá! Paradojas. Paradojas que

hacen pensar. Labor S.A., Barcelona, 1989.• Gardner, Martin. Carnaval matemático. Alianza

Editorial, Madrid, 1980.• Guedj, Denis. El imperio de las cifras y los números.

Ediciones B, S.A., Barcelona,1998.• Guedj, Denis. El teorema del loro. Anagrama, 2000.• Jouette, André. El secreto de los números. Ediciones

Robinbook, S.L., Barcelona, 2000.• Julius, Edward. Matemáticas rápidas. Norma,

Bogotá, 2002.• Perelman, Yakov. Matemáticas recreativas. Ediciones

Martínez Roca S.A., Barcelona, 1987.• Perero, Mariano. Historia e historias de matemáticas.

Grupo Editorial Iberoamericano, México,1994.• Stewart, Ian. Ingeniosos encuentros entre juegos y

matemáticas. Gedisa, Barcelona, 1990.• Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Publitecsa,

Barcelona, 1985.

Recursos tecnológicos• Software geométrico GeoGebra. En este sitio

encontrará un programa geométrico libre, paradescargar, que le permitirá enseñar y trabajar consus alumnos y alumnas.http://www.geogebra.org

Buscador recomendado• Sitio educativo con diversos recursos, planificaciones

e información de todas las áreas. Incluye buscador.http://www.educarchile.cl/home/escritorio_docente

Sitios webs• Ministerio de Educación de Chile

http://www.mineduc.cl • Centro Comenius. Software educativos, en especial

de matemáticas, recursos y muchas cosas más. Patrocinado por la USACH.http://www.comenius.usach.cl

• REDUC. Red Latinoamericana de información y documentación en educación. Contiene base dedatos sobre investigaciones, textos completos,recortes de prensa.http://www.reduc.cl

• Sociedad de Matemática de Chilehttp://www.sochiem.cl

• Recursos matemáticos Redemathttp://www.recursosmatematicos.com/redemat.html

• Instituto Nacional de Estadísticas.http://www.ine.cl

• Ministerio de salud.http://www.redsalud.gov.cl

• Dirección metereológica de Chilehttp://www.meteochile.cl

• El paraíso de las Matemáticashttp://www.matematicas.net

• Sector Matemáticahttp://www.sectormatematica.cl

• Demostraciones del teorema de Pitágoras (en inglés):http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pythagoras.html

Bibliografía


matemática 3er año santillana

Documents