matemática 1º nivel

Lección 1: Números naturales para contar. 149

Lección 2: Orden en los números naturales. 155

Lección 3: Sistema de numeración decimal. 161

Lección 4: Descomposición en potencias de diez.

Nombre de los números. 167

Lección 5: Sistema de numeración romano. 175

Lección 6: Una forma de representar el tiempo histórico. 179

Lección 7: Operaciones en los naturales

Suma en los naturales. 185

Lección 8: Resta en los naturales.

Propiedades de la suma. 191

Lección 9: Uso de la regla, escuadra,

compás y transportador. 197

Lección 10: Operaciones en los naturales.

Multiplicación. 205

Lección 11: Algoritmo usual de la multiplicación. 213

Lección 12: División. 219

Lección 13: Potenciación. 227

Trabajo Práctico Integrador. 239

Matemática

Problema 1: Para un espectáculo al aire libre, se acomoda cierto número

de sillas en filas. Hay 8 filas de 50 sillas, 12 de 30 sillas y finalmente 15 filas de 25

sillas cada una. ¿Cuántas sillas hay? ¿Cuántas entradas con asiento asegurado

se pueden vender?

Problema 2: Para un recital se vendieron entradas numeradas en un sec-

tor de la platea. Se trata de 6 filas con 9 butacas cada una. ¿Cuántas entradas

numeradas se pueden vender? ¿Cómo se puede identificar la posición de una de

esas butacas?

Problema 3: Se quiere transportar a los 325 obreros de una empresa en

ómnibus que pueden llevar a 45 personas sentadas. Por razones de seguridad, no

pueden viajar personas paradas. ¿Cuántos ómnibus se necesitan?

Problema 4: Martina va salir de viaje. En su valija pone un par de zapatillas

y un par de sandalias, su bermuda roja, su camisa blanca, una pollera, una reme-

ra y un pantalón. ¿De cuántas maneras distintas puede salir vestida con estas

prendas?

Problema 5: En el sorteo de la Quiniela Oficial aparece primero la ubica-

ción, y luego tres bolillas correspondientes a unidad, decena y centena. La ubica-

ción aparece en una sola bolilla, por ejemplo "11". El número se arma con tres boli-

llas:

LECCIÓN 1Números naturales para contar

una roja, una negra y una azul. A cada color se le asigna una posición, y eso es

una convención. Suponiendo que no haya todavía una asignación de color, y salen

las bolillas 6, 3 y 5. ¿Cuántos números diferentes se pueden armar? ¿Cuáles son

esos números entre los cuales estará el premiado en el décimo primer lugar?

Problema 6: Se quiere alambrar un terreno de forma triangular cuyos lados

miden 32 m, 20 m y 26 m. ¿Cuántos postes serán necesarios si deciden poner uno

cada 2 m?

Soluciones propuestas¿Qué se puede aprender con esos problemas?

Para resolver estos problemas estamos usando los números naturales,

que son los números que sirven para contar. Cuando decimos: tengo 1 hijo, somos

4 hermanos, tengo 30 $, faltan 6 libros, etc. usamos números naturales para con-

tar diferentes cosas: personas, dinero, libros, etc.

Los números naturales forman un conjunto infinito y los primeros números

son

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; ...

Veamos qué tratamos de que Ud. aprenda con los problemas dados. Tal vez

Ud. pudo resolverlos sin saber que estaba trabajando con números natura-

les. Para ayudarle a pensar en otras cosas, además de las que Ud. ya sabe, está

este libro y también sus compañeros y su tutor.

De los problemas 2 y 4, les daremos aquí una solución posible. En estos

problemas para dar una respuesta hay que organizar los datos, y puede hacerse

de diferentes maneras.

En el problema 2, la primera pregunta es parecida a la que se plantea en el

primer problema. Hay 54 localidades numeradas, y ese resultado se puede obte-

ner contando (por ejemplo a partir de un dibujo), o a través de alguna cuenta. Así,

se puede escribir:

9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 en el caso de que se cuenten las filas, o bien

6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 54 en el caso de que se cuenten las

columnas, o bien con una multiplicación

6 x 9 = 54

La segunda pregunta del problema es más difícil. ¿Qué se le ocurrió a Ud.?

Uno se puede imaginar el sector de plateas como si fuese una cuadrícula o

una tabla como la siguiente, donde cada casilla representa una butaca.

Supongamos que Ud. tiene la butaca 17, ¿adónde le tocaría sentarse?

Cuestión: ¿Puede distinguir cómo contamos para llegar a la butaca 17 en

cada caso?

Generalmente se designan las filas, y en cada una de ellas la butaca, empe-

zando la numeración en 1. Cada butaca se distingue por un par ordenado de

números, en este caso se empiezan a contar las filas desde arriba hacia abajo, y

las columnas de izquierda a derecha. Esa butaca, la (1, 1) indica el origen, y es

arbitrario. Señalamos la designación de algunas de las butacas:

El par (1, 5) denota la butaca ubicada en la fila 1, columna 5. El par (2, 3)

denota la butaca ubicada en la fila 2, columna 3. Los pares (4, 5) y (4, 7) están en

la misma fila (por eso empiezan ambos con el mismo número), y hay una butaca

libre entre ellos.

Complete con los pares ordenados que corresponden las casillas libres de

la tabla.

Atención: el par de números debe ser dado en orden. Aquí proponemos la

fila en primer lugar, y luego la columna. Así la casilla determinada por el par (4, 5)

no es la misma que la (5, 4). Al cambiar el orden, se obtiene una ubicación dife-

rente.

En el problema 4, Martina puede salir vestida de 12 maneras distintas.

Conviene organizar los datos en un diagrama de árbol.

Martina se puede calzar con zapatillas o sandalias, si se pone zapatillas

entonces puede usar pantalón, pollera o bermuda.

En cada uno de estos casos puede completar su vestimenta con una reme-

ra o una camisa.

Utilizando esas prendas Martina puede vestirse de 6 formas distintas. Si en

vez de zapatillas se pone las sandalias tendrá otras 6 posibilidades, la respuesta

es entonces doce.

Los problemas 1, 3, 5 y 6, se resuelven haciendo cálculos. Damos el resul-

tado en la clave de corrección, y más adelante trataremos los conocimientos que

están involucrados.

Actividades

1) Se tiran dos dados simultáneamente, ¿cuántos resultados distintos

pueden aparecer? Muéstrelos.

2) En un restaurante se puede comer carne, pollo o pescado, acompa-

ñado por ensalada, papas fritas o puré. El postre puede ser flan, ensalada de fru-

tas o helado. ¿Cuántos menús diferentes se pueden armar? Para controlar que

considera todas las posibilidades, ¿qué le conviene usar, un diagrama de árbol o

una tabla?

3) Invente y resuelva un problema de su vida diaria que pueda ser

resuelto con lo aprendido en esta lección. Discuta el enunciado del problema y la

solución con sus compañeros y con su tutor.

4) La siguiente es la lista de los presidentes argentinos durante parte

del siglo pasado. Entre paréntesis se indica el período en el que cumplieron su

mandato: Agustín P. Justo (1932-1938); Edelmiro Farrel (1944-1946); Hipólito

Yrigoyen (1928-1930); Juan Domingo Perón (1946-1955); Ramón S. Castillo

(1940-1943); Pedro Eugenio Aramburu (1955-1958); José Félix Uriburu (1930-

1932); Roberto M. Ortiz (1938-1940); Pedro Pablo Ramírez (1943-1944); Eduardo

Lonardi (1955).

Complete la siguiente tabla, ordenando los nombres cronológicamente.

Según esos datos, ¿cuántos y qué presidentes duraron menos de un año?

¿Quién fue presidente por mayor número de años?

Hipólito Yrigoyen 1928-1930 Mil novecientos veintiocho – mil novecientos treinta

Claves de corrección

Problema 1: La cantidad de sillas es de 1135. Se pueden vender 1135 o

menos con asiento asegurado.

Problema 3: 8 ómnibus.

Problema 5: seis números diferentes: 356, 365, 536, 563, 635 y 653.

Problema 6: Notar que será necesario colocar un poste en cada vértice

(para obtener la forma triangular).

Ayuda en este caso realizar un dibujo

aproximado que represente el terreno.

Una estrategia es contar cuántos postes

hay por cada lado, esto da: 17, 11 y 14 postes

para los lados de 32, 20 y 26 metros respectiva-

mente. Para no contar los postes de los vértices

dos veces, se le resta uno a cada lado, y se

obtiene 39 postes. ¿Es importante que las medidas sean números pares?

Actividades

1) Treinta y seis resultados posibles. Los resultados se pueden controlar y

escribir mediante una tabla como la siguiente

2) Mediante un diagrama en árbol se puede ver que hay veintisiete menús

diferentes.

4) Lonardi duró menos de un año. La actividad no contiene datos suficien-

tes para determinar si Ramírez duró menos de un año. Perón fue el presidente,

entre los de la lista dada, que ocupó el cargo por mayor número de años.

32m20m

26m

2m

Ordenar números es lo que pedía la actividad anterior, para dar cronológi-

camente los nombres de los presidentes. Se puede empezar por el más antiguo

de la lista (así lo indicaba la tabla) o por el último e ir hacia atrás.

Problema 7: Marcos, Pablo, Inés y Andrés son amigos. Marcos es mayor

que Pablo, Pablo es mayor que Inés y ésta es melliza con Andrés. ¿Cómo es

Andrés con respecto a Marcos?

Problema 8: La tabla muestra los precios en pesos del Servicio Postal

Nacional (vigentes a partir del 4 de febrero de 2002) de Carta Simple y Tarjeta

Postal:

Hasta 20 g 0,75

Hasta 100 g 1,25

Hasta 250 g 2,00

Hasta 500 g 2,25

a) ¿Cuánto costará enviar una carta que pesa 20 g? ¿Y otra que pesa

10 g? ¿Y por 21 g? ¿Y por 50 g?

b) José dice que por 300 g y por 400 g tiene que pagar lo mismo, ¿es

verdad?

c) Ana tiene que enviar a su tía dos folletos, uno pesa 80 g y el otro

110 g. ¿Es menor el gasto de franqueo si manda los dos folletos

juntos?

LECCIÓN 2Orden en los números naturales

Soluciones propuestas

Los números naturales pueden ordenarse de menor a mayor a partir de 0.

Por ejemplo, podemos ordenar los meses del año y decimos que abril es

el cuarto mes del año, que miércoles es el cuarto día de la semana, y que la bole-

ta de agua vence antes que la luz.

Cuando queremos referirnos a números naturales cualesquiera, utilizamos

letras minúsculas. Así por ejemplo decimos que el número total de delegados gre-

miales en una asamblea es a, hoy faltaron algunos delegados, los delegados pre-

sentes entonces es un número c, menor que a. En símbolos escribimos c < a, o lo

que es lo mismo a > c (que se lee "a mayor que c"). ¿Qué significa que a = c (se

lee "a igual a c")?

Esta forma de simbolizar puede ser útil para resolver el problema 7. Vamos

a denotar la edad de cada chico con una letra minúscula correspondiente al nom-

bre: la edad de Marcos será m, la de Pablo será p, i para la edad de Inés y a para

la de Andrés.

m > p,

p > i,

i = a

De aquí se sigue que m > a, es decir que Andrés es menor que Marcos.

Podemos representar a los números naturales sobre una recta.

Convencionalmente, se traza una recta horizontal y se asigna a uno de sus pun-

tos el número cero y a otro, que ubicamos a la derecha del anterior, el número 1.

Ese segmento 01 será la unidad, lo repetimos y determinamos puntos sobre

la recta que representarán a los números: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;... La recta con los

puntos seleccionados y numerados (ordenados) se llama recta numérica.

Es importante pensar que entre dos números consecutivos no hay otro

número natural. Entonces los puntos que están por ejemplo entre el 5 y el 6 no

representan a ningún número natural, volveremos sobre estas cuestiones cuando

estudiemos otros conjuntos de números.

Si queremos referirnos a los números naturales menores que siete, es

común utilizar la letra x como variable y denotar

x < 7

Los números que cumplen con esa condición son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Si denotamos x < 7 (que se lee "x menor o igual que 7") entonces los núme-

ros que verifican la condición son: {0, 1,2,3,4,5,6,7}

El problema 8 se resuelve leyendo la tabla de tarifas. Enviar una carta de

20 g cuesta $ 0,75, y la de 10 g cuesta lo mismo. Porque la tarifa dice "hasta 20

g", es decir que si el peso de una carta es menor o igual que 20 g, entonces hay

que pagar 0,75. En símbolos:

10 20, cuesta 0,75 el envío.

Por 21 g y por 50 g, hay que pagar 1,25, porque ambos valores son mayo-

res que 20 g y están comprendidos en la categoría "hasta 100g". En símbolos:

21 > 20, y 21 < 100, por eso hay que pagar 1,25

50 > 20, y 50 < 100, cuesta 1,25

José tiene razón, hay que pagar 2,25 para enviar un sobre que pesa 300 g

o uno que pesa 400 g. Ana economiza en franqueo si manda los dos folletos jun-

tos.

Actividades

5) Explique por escrito por qué, en el problema 8 decimos que José tiene

razón y que Ana ahorra si manda los folletos juntos.

6) Ubique en la siguiente recta numérica, los números naturales menores

que 6 (es decir x < 6)

7) Trace sobre una hoja un segmento. Elija una unidad conveniente para

representar allí los números naturales menores que 14 (x < 14).

8) En la recta dada se ubicaron los números 0 y 2. Ubique, sobre esa misma

recta, los números 1, 3 y 5. Sugerencia: recuerde que tiene que determinar la uni-

dad.

9) En el conjunto de los números naturales, cada número tiene un siguien-

te: así el siguiente de 5 es 6, el siguiente de 23 es 24, etc. Dado un número natu-

ral, el siguiente se obtiene sumándole 1. Veamos algunos ejemplos:

El siguiente de 2 es 3, porque 2 + 1 = 3

El siguiente de 1099 es 1100, porque 1099 + 1 = 1100

El siguiente de 19 999 es 20 000 porque 19 999 + 1 = 20 000

Si llamamos k a un número natural cualquiera, su siguiente se escribe

entonces k + 1. Un número y su siguiente se llaman números consecutivos.

a) Escriba el siguiente de: 2004; 10 199; 32 500; 101 000; 999 999.

b) Explique por qué es verdadera la afirmación: en el conjunto de los

números naturales, 0 no es el siguiente de un número natural.

c) ¿Qué representa k - 1? ¿Qué número representa k - 1 si k vale 7?

¿Y si k vale 32? ¿Y si vale 100?

10) Mario dice que en un juego ganó más de 3 bolitas pero menos que 8.

Es decir, que ganó 4, 5, 6, o 7 bolitas, es decir, una cantidad que es mayor que 3

y a la vez menor que 8. Esas condiciones se pueden escribir:

x > 3 y x < 8

en una expresión, es: 3 < x < 8, que se lee " x es mayor que 3 y menor que 8".

¿Puede explicar por qué esas formas de denotar designan el mismo conjunto?

Atención: cuando decimos x > 3 y x < 8, tenemos que pensar en

números que cumplen dos condiciones a la vez: son mayores que 3 y también

menores que 8.

11) Escriba los números naturales x que cumplen con la condición estable-

cida en cada caso:

a) x > 2 y x < 8 b) 46 < x < 52

12) Busque en su actividad cotidiana, qué tipo de situaciones pueden repre-

sentarse por este tipo de notación. Discuta ese ejemplo con sus compañeros y

tutor.

13) Complete las siguientes desigualdades utilizando múltiplos de 10, 100,

1.000, etc. Por ejemplo, dado el número 183 podemos escribir:

100 < 183 < 200 o 180 < 183 < 190 o ...

..........< 104 < ..........

..........< 999 < ..........

..........< 855 234 < ..........

..........< 4 600 087 < ..........

..........< 123 866 < ..........

14) Queremos representar las horas del día a partir de las 11 y hasta las 17,

¿cómo representa ese segmento horario?


Actividades

5) Una explicación posible es la siguiente: la tabla de precios dice que

hasta 250 g cuesta $ 2, y hasta 500 g cuesta $ 2,25. Ya vimos que José tiene

razón, por un envío de 300 g paga lo mismo que por uno de 400 g porque:

250 < 300 < 500, entonces por 300g, paga 2,25.

Además,

250 < 400 < 500, entonces por 400g, paga 2,25, es decir paga lo mismo.

En cuanto al envío de Ana, uno de los folletos pesa 80 g y el otro 110 g.20

< 80 < 100 entonces, por 80 g paga $ 1,25

100 < 110 < 250 entonces, por 110 g paga $ 2,00

Luego por separado pagará 3,25. Si junta ambos folletos el peso será 190

g y como 100 < 190 < 250 pagará entonces $ 2,00 ahorrando $ 1,25.

6) El segmento cuyos extremos son 3 y 4 sirve

como unidad (es "igual" a la unidad) y permite marcar los demás

números sobre la recta.

0 1 2 3 4 5

8) Se determina el segmento unidad, que es la mitad del segmento 02,

luego se ubican los demás puntos.

9) a) 2.005; 10.200; 32.501; 101.001; 1.000.00; respectivamente son

los siguientes de la lista dada.

b) Porque no hay un número natural que al sumarle 1 dé como

resultado 0.

c) k - 1 representa el número inmediatamente anterior a k, se lo llama

el precedente. Los precedentes de 7, 32 y 100 son respectivamente

6, 31, 99.

10) Al escribir x > 3 y x < 8, se hace explícita la conjunción y entre las dos

condiciones. La escritura 3 < x < 8 indica implícitamente esta conjunción.

11) a) Los números naturales que cumplen la condición "x = 2 y x = 8"

son: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

b) Los números naturales que cumplen la condición "46 < x < 52"

son: 47, 48, 49, 50, 51

13) Algunas soluciones posibles:

10 < 104 < 200

900 < 999 < 1.000

800.000 < 855.234 < 900.000

4.600.080 < 4.600.087 < 4.600.090

120.000 < 123.866 <130.000

14) Cuando interesa representar sólo un parte de la recta, se acostumbra,

colocar el origen, realizar un corte y comenzar la escritura de los números que inte-

resan.

11 12 13 14 15 16 170

En las dos lecciones anteriores empezamos a estudiar los números natura-

les. Una parte fundamental de ese estudio trata las formas de representar los

números.

La representación más primitiva de los números naturales fue hecha por

medio de marcas, agregando una marca para cada unidad extra. En Europa se

encontró un hueso que tiene aproximadamente 30.000 años sobre el que se ven

cincuenta y cinco rayas. Transcurrieron muchos siglos hasta llegar a una forma de

representación que constituyera un sistema de numeración.

Ahora nos parece completamente elemental escribir los números, al menos

los que usamos a menudo. Si contamos los huevos que hay en un una docena,

podemos escribir: 12. Y la mayoría de nosotros comprende qué significa 12. Un

antiguo egipcio podría haber escrito " II n " y ser comprendido por otros egipcios.

II n y 12 son dos formas de representar un número (una

cantidad determinada). La segunda forma expresada

en el sistema decimal, es la que estudiaremos.

Volvamos al problema 5 (de la Lección 1) de los

números de la Quiniela Oficial. La bolilla roja indica las uni-

dades, la azul las decenas y la negra las centenas. En cada bolilla hay una cifra

(de 0 a 9). Si sale el 6 en la roja, el 3 en la azul y el 5 en la negra, el número

premiado es el 536:

LECCIÓN 3Sistema de numeración decimal

Problema 9: Jorge emite un cheque por $ 567, por lo que debe escribir

dicha cantidad usando palabras. Escribirá entonces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Anteriormente le pagaron con un cheque donde en cifras se leía $ 3.009, y

en letras: trescientos nueve pesos. El cheque le fue rebotado. ¿Por qué?

Problema 10: Como tarea, le dieron a María la siguiente cuenta:

725 + 830 =

Ella escribió la cuenta "parada", hizo un rectángulo para señalar el resulta-

do pero no se acuerda cómo se resuelve. Su mamá le dice que lo que va en el rec-

tángulo debajo de la suma, es igual a

700 + 800 + 20 + 30 + 5

¿Es verdad lo que afirma la mamá? ¿Por qué ?

Problema 11: ¿Cuántos números capicúa de dos cifras se pueden formar?

¿Y de tres cifras?

Problema 12: Escriba los números naturales, empezando de cero, en una

tabla como la siguiente:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

a) Continúe esta tabla dos o tres líneas más.

b) Anticipe en qué columna estarán el 52, el 125 y el 346.

c) ¿Qué número estará exactamente arriba del 78 ? ¿Y exactamente

abajo ? ¿Y a la izquierda ? ¿Y a la derecha ?

d) ¿Qué número estará exactamente arriba del 1.224? ¿Y

exactamente abajo? ¿Y a la izquierda? ¿Y a la derecha?

e) Busque nuevas relaciones y proponga a sus compañeros ejercicios

del tipo anterior.

f) Formule preguntas de ese tipo en una tabla que empiece con el

número 500.

Problema 13: Represente el número que se obtiene juntando:

a) 5 decenas y 8 unidades

725

830

b) doscientos cuarenta decenas y tres unidades

c) quinientas cuarenta centenas

d) 3 decenas de mil, 23 centenas y 2 unidades

e) 2 unidades de millón y 5 centenas

f) 23 decenas, 3 centenas y 13 unidades.

Problema 14: Una partida de cuentakilómetros para autos tiene un desper-

fecto: intercambia el 3 por el 7 y viceversa. Así cuando marca "02347", debería

marcar "02743" produciendo un error de 396 Km menos. Teniendo en cuenta esto,

complete la siguiente tabla:

Problema 15: Dado el siguiente número: 640.689 ¿Cuántas unidades tiene

en total, y cuántas unidades sueltas? Las mismas preguntas con respecto a las

decenas, las centenas, las unidades de mil, las decenas de mil, las centenas de

mil.

Soluciones propuestasEn el problema 9, el cheque que emite Jorge, la cantidad 567 se escribe:

quinientos sesenta y siete. En el cheque que recibió no coincidían la cantidad

expresada en cifras y en letras. Si es correcto el monto en cifras (3.009) debía

decir: tres mil nueve. Si es correcto el monto en letras (trescientos nueve), enton-

ces en cifras debía decir: 309.

En el problema 10, para resolver 725 + 830, la mamá de María pensó los

números dados como suma de otros. Los descompuso así:

725 = 700 + 20 + 5 y 830 = 800 + 30

y luego dijo:

725 + 830 = 700 + 20 + 5 + 800 + 30 = 700 + 800 + 20 + 30 + 5

Marca Debería marcar Error ¿Marca de más o de menos?

02347 02743 396 - 01300

07035 01_0_ 404 +

0_5_9 3960 - 0_5_9 40 40 + 07517

¿Qué se puede aprender con estos problemas?

En el sistema de numeración decimal se utilizan diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4,

5, 6, 7, 8 y 9. Este último es el mayor. El que le sigue es el diez y se representa 10

y el siguiente es el 11 (once) y si seguimos aparecerá mas adelante el 121 y mucho

más adelante el 34.590.239…

Observemos que:

Primero: no se utilizan nuevos símbolos, sino que se combinan dos o más

de los diez símbolos iniciales, por ejemplo: el "1" y el "0" para el "10"; el "1" y el "2"

para el "121" etc.

Segundo: recordemos que en el "121" el uno de la derecha cuenta "una uni-

dad" y el de la izquierda cuenta "cien unidades" o "una centena". Es decir, la cifra

tiene un valor que depende de la posición que ocupa. Por esto se dice que este

sistema es posicional.

Tercero: recordemos las siguientes equivalencias:

10 unidades = 1 decena

10 decenas = 1 centena

10 centenas = 1 unidad de mil

10 unidades de mil = 1 decena de mil

………………………………

Vemos que 1 centena son 10 veces 10 unidades o sea 100 unidades; 1 uni-

dad de mil son 10 veces 100 unidades, o sea 1.000 unidades; 1 decena de mil son

10 veces 1.000 unidades, o sea 10.000 unidades; etc.

De aquí el nombre decimal. ¡Agrupamos de a diez!

Y nos queda una cuarta observación, con la cual iniciaremos la lección siguiente.

Actividades

15) ¿Cuál es el menor número de 5 cifras que se puede escribir con las

cifras 4, 0, 2, 6, 1

a) si las cifras no se repiten.

b) si se puede repetir las cifras.

16) Colocar en cada caso un signo <, > o = cuando haya seguridad, a pesar

de que falta una cifra sobre el guión.

a) 3.901…….3.9_6

b) 12_…….199

c) 529……53_

d) 10.8_4……10.891

17) ¿Cuántas unidades, decenas, centenas etc, se pueden quitar o agregar

al número de la izquierda para obtener el de la derecha?

a) 12.300 16.000

b) 503.000 499.000


Problema 11: Hay 9 números capicúa de 2 cifras: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77,

88 y 99. Hay 90 números capicúa de 3 cifras, y podemos pensarlo a través de un

diagrama árbol: en un número capicúa de 3 cifras, hay 10 cifras distintas para colo-

car en el medio (en el lugar de las decenas) y 9 en los extremos (en el lugar de las

centenas y de las unidades), luego hay 10 x 9 = 90 capicúas.

Problema 12: b) 52 estará en la misma columna que el 2; 125 estará en la

misma columna que el 5; 346 estará en la misma columna que el 6.

c) 68, 88, 77, 79

d) 1214, 1234, 1223, 1225

Problema 13: a) 58 b) 2403 c) 54000 d) 32302 e) 2000500 f) 543

Problema 14:

Marca Debería marcar

Error ¿Marca de más o de menos?

02347 02743 396 - 01300 01700 400 - 03075 07035 3960 - 01707 01303 404 + 03579 07539 3960 - 07579 03539 4040 + 03513 07517 4004 -

Problema 15: El número 640.689 tiene:

9 unidades sueltas y 640.689 unidades en total

8 decenas sueltas y 64.068 decenas en total

6 centenas sueltas y 6.406 centenas en total

0 unidades de mil sueltas y 640 unidades de mil en total

4 decenas de mil sueltas y 64 decenas de mil en total

6 centenas de mil

Actividades

15) a) 10.246 b) 10.000

16) a) 3.901 < 39_6 b) 12_ < 199 c) 529 < 53_ d) No se sabe.

17) a) agregar 37 centenas b) quitar 4 unidades de mil.

Como ya lo anunciamos, iniciamos esta lección con otra observación acer-

ca del sistema de numeración decimal.

Cuarto: las equivalencias de la tercera observación permiten escribir los

números como sumas, o como sumas y productos. Veamos algunos ejemplos:

. En el problema 10 mostramos una descomposición del número 725

como 725 = 700 + 20 + 5, y podríamos expresar ese número como:

725 = 7 x 100 + 2 x 10 + 5

Podemos decir que: 725 contiene, sueltas, 7 centenas, 2 decenas y 5 uni-

dades. O también que 725 contiene 72 decenas en total y 5 unidades sueltas. O

que: 725 contiene 725 unidades en total.

. En el problema 10 también mostramos la descomposición de 830:

830 = 800 + 30 y también 830 = 8 x 100 + 3 x 10

Podemos decir que: 830 contiene 8 centenas sueltas y 3 decenas sueltas, o

830 contiene 83 decenas en total, o

830 contiene 830 unidades en total y ninguna unidad suelta.

. ¿Qué significa que 237, contiene 3 decenas "sueltas".

Se puede pensar que del total de decenas, 23 para este número, 20 se

agrupan en centenas, y las 3 decenas restantes no se utilizan para formar otro

grupo mayor, pues no son suficientes.

Del mismo modo, el 237 contiene en total 237 unidades, y tiene 7 unidades

sueltas, las 230 unidades restantes se han agrupado para formar decenas.

LECCIÓN 4Contenido Descomposición en potencias

de diez. Nombre de los números

El siguiente dibujo puede aclarar lo anterior:

. Otro ejemplo. Decimos que el número 2.405, contiene:

2 unidades de mil sueltas,

4 centenas sueltas y en total 24 centenas,

Ninguna decena suelta y en total 240 decenas,

5 unidades sueltas y en total 2.405 unidades.

Actividades

18) Proponga tres descomposiciones de los números 830 y 725. ¿Por

qué al estudiar el sistema de numeración decimal conviene descomponer los

números como lo presentamos?

19) Diga cual de los siguientes items es verdadero.

a) 3465 tiene sueltas, 3 unidades de mil, 4 centenas, 6 decenas y 5

unidades

b) 3465 contiene 346 decenas en total y 5 unidades sueltas.

c) 3.465 = 3 x 1000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 5

d) 3.465 = 34 x 100 + 65

20) ¿Cuántas decenas tiene en total el mayor número de tres cifras? y

¿el menor de tres cifras?

21) Pedro afirma que el número representado por 25.100 no contiene

decenas, mientras Lara sostiene que tal número contiene 2.510. ¿Se pueden

poner de acuerdo? ¿Cómo?

Veremos a continuación la descomposición de los números en poten-

cias de diez.

2 3 7

En el sistema decimal, un número se expresa en términos de agrupamien-

tos sucesivos de a 10. Cada cifra utilizada en la representación de una cantidad

indica cuántos grupos hay del valor dado por la posición.

Por ejemplo, 3.709 = 3.000 + 700 + 9

3.709 = 3 x 1.000 + 7 x 100 + 9

Cada cifra utilizada en la representación de la cantidad (el 3, el 7, el 0 y el 9) indi-

ca por su posición, las unidades de mil sueltas, las centenas sueltas, las decenas

sueltas y las unidades sueltas, respectivamente.

Otra forma de escribir la descomposición de los números utiliza las poten-

cias de 10.

100 = 10 x 10, se conviene que100 = 102

1.000 =10 x 10 x 10, se conviene que 1.000 = 103

10.000 = 10 x 10 x 10 x 10, se conviene que 10.000 = 104

100.000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10, se conviene que 100.000 = 105

Cuestión: ¿cuáles son las próximas 4 líneas que siguen a esta lista?

Con las potencias de diez, la descomposición de los números se expresa así:

3.709 = 3 x 1.000 + 7 x 100 + 9

3.709 = 3 x 103 + 7 x 102 + 9

Otro ejemplo:

2 unidades de millón y 5 centenas, es igual a 2.000.500 = 2 x 106 + 5 x 102

Y un tercer ejemplo:

45.024 = 40.000 + 5.000 + 20 + 4

= 4 x 104 + 5 x 103 + 2 x10 + 4

Repasemos como escribir los números con palabras. Aunque las primeras

líneas son conocidas, las vamos a incluir para hacer más clara la regla que orga-

niza estos nombres:

1 1 unidad 10 1 decena

100 1 centena 1.000 1 unidad de mil

10.000 1 decena de mil 100.000 1 centena de mil

1.000.000 1 unidad de millón 10.000.000 1 decena de millón

100.000.000 1 centena de millón 1.000.000.000 1 unidad de mil de millón

10.000.000.000 1 decena de mil de millón 100.000.000.000 1 centena de mil de millón

1.000.000.000.000 1 unidad de billón 10.000.000.000.000 1 decena de billón

Cuestión: ¿Cuáles son las cuatro líneas que siguen a esta lista de núme-

ros? ¿Cuántas líneas más se podrían agregar?

Actividades

22) Explique por escrito cómo se usa la tabla anterior con el nombre de los

números para afirmar que el número 111.111 se lee: ciento once mil ciento once, y

que el número 1.123.456 se lee: un millón ciento veintitrés mil cuatrocientos cin-

cuenta y seis.

23) Represente los números que se pueden descomponer de las siguientes

maneras:

a) 6 + 10 + 3x100 + 5 x 10.000 =

b) 5 x 102 + 3 x 104 =

c) 2 x 10 x 10 + 2 x 1.000 + 9 x 104 =

24) Un contador, similar a un cuentakilómetros, registra las unidades pro-

ducidas por una máquina. Consta de cinco anillos, cada uno con los símbolos 0, 1

,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en ese orden. Cada vez que un anillo muestra el paso del "9"

al "0" el anillo de la izquierda incrementa en uno su valor.

a) ¿Este contador trabaja con el siste-

ma de numeración decimal? ¿Por qué?

b) Si aparece el siguiente registro:

I) ¿Cuántas vueltas ha dado el anillo de la derecha?

II) ¿Cuántas vueltas ha dado el anillo que muestra el "5"?

III) ¿Cuántas vueltas ha dado el anillo que muestra el "9"?

IV) ¿Cuántos cambios de símbolo ha habido en la casilla de la

derecha? ¿Y en la que aparece el "0" del medio?

25) Escribir los siguientes números utilizando potencias de 10.

a) 527 = c) 2.548 =

b) 1.048 = d) 32.707 =

5 390 0

26) ¿Qué número representa cada una de estas expresiones?

a) 8 + 6 x 10 + 7 x 102 + 3 x 103 =

b) 5 + 2 x 102 =

c) 8 + 3 x 102 + 5 x 104 =

d) 8 x 102 + 3 x 103 + 7 x 104 =

27) ¿Qué indica la cifra 0 en cada uno de los siguientes números?

a) 105 b) 1.040 c) 20.100

28) El número 643 se multiplica por 10. ¿Qué modificación sufre el valor

relativo de cada cifra? ¿Y si lo multiplicamos por 100?

29) El número 6 000 se divide por 10. ¿Cómo se modifica el valor relativo

de cada cifra?

Cuestión: explique la regla siguiente: "para multiplicar un número natural por

diez se agrega un cero".

30) Vamos a trabajar con otras escrituras de un número.

a) Ordene los números del más chico al más grande sin resolver la mul-

tiplicación. Explique cómo lo hizo: 3x3x3x3 ; 3x3 ; 3x3x3x3x3

b) Use solamente los símbolos "5" y "x" para escribir:

25x 5 = ........ ; 5 x125 = .......

c) ¿Qué número es el 4x4x4, o 43?

d) Sabiendo que 10x10x10x10 = 10 000, calcule 10x10x10x10x10. En

potencias de 10, esto se escribe: sabiendo que 104 = 10.000, calcule 105.

31) Ingrese números de tres cifras en la calculadora de acuerdo con las

reglas que siguen:

� para las centenas sólo puede elegir 3, 5, 1;

� para las decenas sólo puede elegir 2, 7, 0;

� para las unidades sólo puede elegir 4, 6, 8.

Anote todos los números de tres cifras que pueden formarse según esa

regla. ¿Cuántos obtuvo? ¿Cómo sabe si están todos? (Sugerencia: puede ayudar

a controlar si están todos, un diagrama de árbol como el de la lección 1).


Actividades

18) Algunas descomposiciones posibles son:

830 = 2 x 5 + 2 x 400 + 20, 725 = 3 x 200 + 2 x 50 + 5 x 5

830 = 700 + 65 x 2 725 = 800 - 75

830= 900 - 70 725 = 500 + 230 - 5

Las escrituras presentadas en la lección muestran descomposiciones de los

números en potencias de 10, lo cual facilita el estudio de las operaciones.

19) Todos son verdaderos.

20) El mayor número de tres cifras es el 999 y contiene 99 decenas en total.

El menor número de tres cifras es el 100 y contiene 10 decenas en total.

21) Se pondrán de acuerdo, si Pedro aclara que se refiere a decenas suel-

tas, y Lara que cuenta las decenas en total.

23) a) 50.316 b) 30.500 c) 92.200

24) a) El contador trabaja con el sistema de numeración decimal porque

usa los diez símbolos (del 0 al 9), y porque cuando un anillo da una vuelta com-

pleta (indicado por el paso de 0 a 9) incrementa en 1 el valor del anillo de la izquier-

da.

b) Si aparece 09.053, el anillo de la derecha dio 905 vueltas y un

poquito más (para pasar del 0 al 3), el que muestra "5" dio 90 vueltas y un poco

más (para pasar del 0 al 5), el que muestra "9" dio casi una vuelta. En la casilla de

la derecha hubo 9.053 cambios, y en la que aparece el "0" hubo 90 cambios.

25) a) 527 = 5 x 102 + 2 x 10 + 7

b) 1.048 = 103 + 4 x 10 + 8

c) 2.548 = 2 x 103 + 5 x 102 + 4 x 10 + 8

d) 32.707 = 3 x 104 + 2 x 103 + 7 x 102 + 7

26) a) 3.768 b) 205 c) 50.308 d) 73.800

27) a) No tiene decenas sueltas; b) No tiene unidades ni centenas sueltas;

c) No tiene unidades de mil, decenas ni unidades sueltas.

28) Su valor es multiplicado por 10, cada cifra toma el valor de la posición

que está inmediatamente a la izquierda. Así 3 unidades se convierten en 3 dece-

nas, etc. Si su valor es multiplicado por 100, cada cifra toma el valor de la posición

que está dos lugares a la izquierda. Así 3 unidades se convierten en 3 centenas,

etc.

29) Su valor se divide por 10, así el 6 que está en la posición de las uni-

dades de mil se convierte en centenas, etc.

Una posible explicación de la regla es: al multiplicar por diez, la cifra de las

unidades se convierte en decenas, y no quedan unidades sueltas. Por ello la regla

dice "se agrega un cero".

30) a) 3x3 < 3x3x3 < 3x3x3x3 Una explicación posible: se multiplica por un

mismo número que es mayor que 1, en este caso el 3. Cuanto menos veces apa-

rezca, más chico será el resultado.

b) 25x5 = 5x5x5, 5x125 = 5x5x5x5

c) 4x4x4 = 43 = 64

d) 100.000 = 105

31) 27 números (se puede verificar esto utilizando un diagrama de árbol).

En las dos lecciones anteriores tratamos un modo de representar los núme-

ros naturales: el sistema de numeración decimal. Este sistema, con las cifras que

tiene hoy, se utilizaba en la mayor parte de Europa recién alrededor del año 1300.

¿Y antes, no se podían representar las cantidades?

Diferentes sociedades, preocupadas por registrar los números y resolver las

cuentas básicas que permitían la administración, crearon sus propios sistemas.

Entre ellos el que aún se usa para algunas funciones bien específicas es el

sistema de numeración romano.

Los números romanos todavía se usan para designar los capítulos de libros,

en los cuadrantes de algunos relojes, pero sobre todo aparecen para denotar los

siglos en que se miden los tiempos históricos.

Empezamos por

recordar los símbolos

que se ven en ciertos

relojes:

El reloj nos muestra los primeros símbolos del sistema:

LECCIÓN 5Sistema de numeración romano

I V X uno cinco diez

Los símbolos que siguen, son:

La lista que sigue muestra la representación en el sistema romano de algu-

nos números naturales que resultan clave para leer y escribir otros números. La

idea es que Ud. los mire y trate de buscar regularidades, cómo se escriben, cómo

se repiten algunos símbolos. Esta actividad es muy importante para su actividad

matemática. Aventure, trate de anticipar respuestas y luego confronte con lo que

está escrito o discuta esas posibles respuestas con sus compañeros o su tutor.

L C D M cincuenta cien quinientos mil

I uno

IV cuatro

V cinco

VI seis

IX nueve

X diez

XI once

XIV catorce

XV quince

XVI dieciséis

XIX diecinueve

XX veinte

XXI veintiuno

XXIV veinticuatro

XXV veinticinco

XXVI veintiséis

XXIX veintinueve

XXX treinta

XXXI treinta y uno

XXXIX

treinta y nueve XL

cuarenta XLI

cuarenta y uno

XLIX cuarenta y

nueve

L cincuenta

LI cincuenta y uno

LXXIX

setenta y nueve LXXX ochenta

LXXXI ochenta y uno

XCIX

noventa y nueve

C cien

CI ciento uno

CCCXCIX trescientos noventa y

nueve

CD cuatrocientos

CDI cuatrocientos

uno

DCIV seiscientos

cuatro

DCV seiscientos

cinco

DCVI seiscientos seis

CMXCIX novecientos noventa y

nueve

M mil

MI mil uno

Cuestión: agregue veinte números naturales escritos en numeración roma-

na.

Nota: Ud. habrá observado que los símbolos romanos se agregan según el

nombre de las cifras de acuerdo a su posición. Analice los siguientes ejemplos:

¿Cómo ve en estos ejemplos la escritura en el sistema romano menciona-

da anteriormente?

Actividades

32) Escriba en números romanos, a) siete, treinta y seis, seiscientos, sete-

cientos cuarenta; b) los números que le dicta alguien o que Ud. decida

33) Escriba el nombre de los siguientes números: XXXVII; LX; LXXVI; CCC;

MC; MMXL; MMM

34) ¿Cuál es el mayor número natural que se puede representar en nume-

ración romana, con los símbolos estudiados en esta lección? Escríbalo.

35) Se sugirió buscar regularidades (actividad importante en el hacer mate-

mático) en la tabla con números romanos. Algunas de esas regularidades permi-

ten contestar las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es el número máximo de símbo-

los iguales, que pueden estar juntos en el sistema de numeración romano? b)

¿Cuáles son los símbolos que se pueden repetir, y cuales no?


Actividades

32) a) VII, XXXVI, DC, DCXL

33) XXXVII: treinta y siete; LX: sesenta; LXXVI: setenta y seis CCC: tres-

cientos; MC: mil cien; MMXL: dos mil cuarenta; MMM: tres mil

34) MMMCMXCIX (3999)

6 0 4 2 9 9 9

seiscientos cuatro dos mil novecientos noventa y

DC IV MM CM XC IX

35) a) Se pueden repetir y juntar como máximo tres símbolos iguales.

b) Los símbolos que se pueden repetir son: I, X, C y M. No se

pueden repetir: V, L y D.

Ud. encontrará tratado este tema en el módulo uno de Ciencias Sociales,

aquí veremos qué puede aportar la matemática a la construcción de la idea de

tiempo histórico. Los hechos y procesos históricos se miden en siglos, es decir en

períodos de tiempo que duran 100 años.

Problema 16: Cuando se dice que un proceso histórico se inició en el Siglo

XVI, ¿Ud. en qué años piensa, en alrededor de 1500 o de 1600?

Problema 17: A fines de 1999 Ud. habrá escuchado o leído acerca de la

discusión que existe en el mundo occidental sobre la fecha de inicio del Siglo XXI.

Algunos opinan que comienza ese siglo con el Año Nuevo del 2000, y otros con el

Año Nuevo del 2001. ¿Por qué se planteó ese conflicto?

Problema 18: Un griego nació en el séptimo día del año XL antes de Cristo

y murió el séptimo día del año XX después de Cristo. La cantidad de años repre-

sentados por "XX después de Cristo", dependerá si se toma el nacimiento de

Cristo como cero, o como uno. ¿Cuántos años vivió el griego si considera que el

nacimiento de Cristo como cero y cuantos si considera como uno?

LECCIÓN 6Una forma de representar el tiempo

histórico


Vamos a tratar de colaborar desde la matemática, en la construcción de la

línea del tiempo. En nuestra sociedad occidental se utiliza el calendario cristiano:

se toma como "cero" el nacimiento de Jesucristo. No todas las sociedades utilizan

el mismo calendario, al inicio del mes de febrero se celebra el Año Nuevo en

China, y cuando nuestro calendario señala año 2002, el calendario chino no indi-

ca ese año.

Cuando un hecho, por ejemplo la aparición de la escritura, se ubica 3000 o

4000 años "antes de Cristo", se denota - 3000 (o - 4000) o como aparece en los

libros de historia "3000 o 4000 años a. C.". Cuando los hechos ocurrieron después

del nacimiento de Cristo, a veces se agrega d.C., en el caso en que puedan surgir

dudas. Si no, no se da ninguna referencia. Por ejemplo la llegada de Colón a

América se denota simplemente 1492.

Para ubicar hechos y procesos históricos muchas veces se usa una recta

numérica (similar a la que vimos en la Lección 2), a la que se llama "línea del tiem-

po". El cero de esa recta indica el nacimiento de Cristo, y cada segmento unidad

representa habitualmente un siglo.

El segmento 0 100 representa los primeros cien años después del naci-

miento de Cristo, es el Siglo I. Un hecho que ocurrió por ejemplo en el año 33 (año

en que la tradición cristiana adjudica la crucifixión de Cristo), se ubica en el S I.

El punto 100 representa el inicio del segundo siglo, el punto 200 el inicio del

tercer siglo, el 300 el inicio del cuarto siglo, y así sucesivamente. Con esta afirma-

ción argumentamos, en el problema 17, que en el año 2000 se inicia el vigésimo

primer siglo o S XXI.

Observación: lo que acabamos de decir parece un poco raro, ¿por qué en

el punto 100 se inicia el segundo siglo? Algo similar pasa cuando contamos el tiem-

po de vida de una persona: al nacer tiene 0 año, al cumplir 1 año, inicia el segun-

do año de su vida, y así sucesivamente

Entonces si queremos ubicar los progresos de un bebé en sus primeros

años de vida, por ejemplo: dio sus primeros pasos a los 9 meses (antes de 1 año);

empezó a hablar a los 14 meses (a 1 año y 2 meses, o sea cuando transcurre el

segundo año de su vida); no necesitó más pañales durante la noche a los 28

meses (cuando transcurre el tercer año de su vida).

Volvamos al tiempo histórico y la ubicación de hechos y procesos en siglos.

Por lo que vimos, se dice que la Revolución de Mayo, ocurrida en 1.810,

tuvo lugar a comienzos del S XIX, igual que la Declaración de la Independencia

(en 1816). Colón llegó a América a fines del S XV (1492).

Si un hecho tuvo lugar en el S XVI no es en el "mil seiscientos y algo" sino en el

"mil quinientos y algo", y ésa es la respuesta al problema 16.

Volviendo al problema 17, ¿por qué hay quienes sostienen que el S XXI

comienza en el 2001? Porque durante siglos, el cero no existía como número, y

entonces el conteo del tiempo cristiano se iniciaba al cabo del primer año de la vida

de Jesucristo. Así, para contar un siglo (es decir 100 años) hay que incluir el año

100 en el primer siglo. Y es a partir del año 101 que se inicia el segundo siglo, y

así sucesivamente.

Hasta aquí tratamos de representar el tiempo histórico después de Cristo,

ahora vamos a extender la línea del tiempo para representar hechos sucedidos

antes del nacimiento de Cristo. Hay huellas arqueológicas que muestran esbozos

de sociedades organizadas varios siglos antes del nacimiento de Cristo, y es de

uso común en la actualidad denotar esos tiempos con números negativos: la apa-

rición de la escritura se ubica en el - 4000 o - 3000. Los hechos más recientes

están más cerca de cero. Esto parece extraño, pero no tenemos que olvidar que

el inicio es el nacimiento de Cristo, no el origen del universo. Sucede entonces que

un hecho que ocurrió en el S - I (se lee "siglo menos uno") es más reciente que lo

ocurrido en el S - IV. Nuevamente la recta numérica puede ayudarnos a pensar en

estas cosas.

Si ubicamos la época en la que vivió Aristóteles (filósofo griego) unos 380

años a. C., diremos que vivió en el S IV a. C.; Euclides (matemático griego) que

vivió unos 100 años después, vivió en el S -III. Platón, filósofo griego, vivió del -

428 al - 348, vivió desde fines del S -V hasta mediados del S -IV.

Respecto al problema 18, otra vez la recta numérica nos ayuda a pensar.

Vamos a formular un problema similar, más simple. Este procedimiento (estrategia

de simplificar) es muy común y útil, para resolver problemas matemáticos. Por

ejemplo: Pepe nació en el año IV a. C. (07/01/-4) y murió en el año II d. C. (07/01/2)

Si se considera 0 como el nacimiento de Cristo, con el calendario actual, se puede

dibujar lo siguiente:

Contando, resulta que esa persona vivió 6 años, y es igual a la suma del

año de nacimiento más el año de su muerte. De manera similar el griego del pro-

blema 18 habrá vivido 60 años.

Si se considera 1 como el nacimiento de Cristo, se elimina el segmento de

extremos 0 y 1 de la figura anterior y se coloca 1 en lugar de 0; 2 en lugar del 1;

etc. Así, al morir el griego en el año XX d.C., significa que vivió 19 años en la era

cristiana, luego vivió en total 59 años (es conveniente hacer un dibujo de la línea

del tiempo representando lo anterior para convencerse).

Actividades

36) Ubique, en el siglo que corresponda, al menos cinco hechos que Ud.

considere importantes en el desarrollo de las sociedades.

37) El siguiente texto fue armado a partir de los módulos de Ciencias

Sociales.

a) Ordene de lo más reciente a lo más antiguo cada hecho remarcado

en negrita.

b) Represente en una línea del tiempo los hechos que se ubican entre

el S -II y el S XVI.

"Hace unos 10000 años, en la denominada "Media Luna de las Tierras

Fértiles" (actualmente Cercano y Medio Oriente) los grupos humanos descubrie-

ron un modo de obtener alimentos: el cultivo de ciertos vegetales y la domesti-

cación de animales salvajes. El mismo proceso de invención de la agricultura se

produce en el Norte de China (8000 a.C.), México y Perú (7000 a.C.)

En el - 509, en Roma se estableció la República como forma de gobierno.

En el - 776 se realizaron los primeros Juegos Olímpicos entre los griegos.

En el 392, el emperador Teodosio impuso el cristianismo como religión oficial

del Imperio Romano y prohibió otros cultos.

En 1947, en nuestro país, las mujeres tuvieron acceso al voto.

A principios del S XX, comienza la hegemonía de Estados Unidos de

Norteamérica.

La invención de la rueda se ubica hacia el - 4000. La utilización del hierro

hacia el - 1400."

38) ¿Es verdad que el siglo n dC, incluye todos los años con n - 1

centenas? Escriba algunos años que sirvan de ejemplo.

39) En nuestra sociedad occidental, la manera clásica de periodizar los

procesos históricos es dividir en "edades": antigua, media, moderna

y contemporánea.

a) La edad antigua inicia en la aparición de la escritura, alrededor del

año - 4000, y terminó en el año 476 con la caída del Imperio Romano

de Occidente, ¿cuántos siglos duró?

b) La edad media desde el 476 hasta la llegada de Colón a América, a

fines del siglo XV. ¿Cuánto duró?

c) La edad moderna desde el 1492 hasta la Revolución Francesa, en

1789. ¿Cuántos siglos duró?

d) La edad contemporánea desde fines del S XVIII hasta nuestros días,

¿cuántos años son?


Actividades

37) a) 1° Las mujeres tuvieron acceso al voto (1947); 2° Comienzo de la

hegemonía de USA (principios del S XX ); 3° Se impuso el cristianismo como reli-

gión oficial del Imperio Romano (392); 4° En Roma se estableció la República (-

509); 5° Primeros juegos olímpicos de Grecia (-766); 6° La utilización del hierro

(-1400); 7° La invención de la rueda (-4000); 8° Cultivo de ciertos vegetales y la

domesticación de animales salvajes (-10000)

b)

38) Es verdad. Un ejemplo: el siglo XX contiene los años con 19

centenas, es decir todos los mil novecientos y algo.

39) a) Unos 44 siglos; b) 9 siglos y un poquito más; c) casi 3 siglos; d) 2

siglos y un poquito.

Quizás se sorprenda de encontrar este tema tratado en una lección porque

ya estuvo haciendo sumas y restas en las lecciones anteriores y seguramente tam-

bién las hace en su vida cotidiana. Estudiamos este tema porque pretendemos

profundizar los saberes sobre la suma... ¡Para eso estamos! Vamos a ver cuándo

la suma es una herramienta útil para resolver un problema, cómo sumar dos o más

números naturales y por qué se hace así, cómo agilizar los cálculos mentales, qué

propiedades tiene la suma y cómo se define la resta.

Problema 19: En la granja de Mario hay 56 aves y 37 cuadrúpedos,

a) ¿Cuántos animales hay?

b) De las 56 aves, 12 son patos. ¿Cuántas aves no son patos?

c) Hay más aves que cuadrúpedos, ¿cuántas aves más?

d) ¿Cuántas patas hay en total?

e) Hoy nacieron otros 9 patos, ¿cuántos hay ahora?

Problema 20: Un cajero automático solo contiene billetes de 10 y 100

pesos, y cuando se le extrae dinero, está programado para dar billetes del mayor

valor posible. a) ¿Cuántos billetes de cada denominación (tipo) usará para pagar

$340 y $870 por separado? b) ¿Cuántos billetes de cada tipo entregaría, si paga

la suma de ambas cantidades?

Problema 21: Resuelva: 456 + 789

LECCIÓN 7Operaciones en los naturales

Suma en los naturales

Problema 22: La boleta de un servicio es $ 25,80 y se puede pagar la mitad

en bonos. La del impuesto municipal es de 18,30 y se puede pagar toda en bonos.

Con dos bonos de $ 20, y un billete de $ 10, ¿alcanza para pagar el servicio y el

impuesto? ¿Cuánto darían de vuelto?

Problema 23: Complete con números naturales los casi-

lleros vacíos de la tabla, de modo que las sumas horizontales,

verticales y diagonales den el mismo resultado.

Problema 24: Dadas las siguientes sumas, sin realizar los cálculos, ¿puede

asegurar cómo serán los resultados de las mismas? Justifique.

Problema 25: Resuelva mentalmente las siguientes operaciones, hay algu-

nas más fáciles que otras. Después de hacerlas le proponemos que juegue con

alguien proponiendo otras cuentas.

a) 10 + 3 = g) 30 - ? = 24 m) 25 + 16 =

b) 10 - 4 = h) 250 - ? = 170 n) 33 + ? = 52

c) 70 + 5 = i) ? + 35 = 80 ñ) ? + 107 = 185

d) 110 - 4 = j) ? + 60 = 216 o) 145 + 275 =

e) 128 + 10 = k) 913 + 100 = p) 35 + 100 + 27 =

f) 207 - 10 = l) 200 + 1800 = q) 9 + ? + 35 = 99


El problema 19 intenta mostrar situaciones que se resuelven usando la

suma. Todas esas preguntas se podrían responder contando, pero la idea es usar

las operaciones (en este caso suma y también resta) para avanzar en la construc-

ción de los saberes matemáticos. a) Para saber cuántos animales hay, "se juntan"

aves y cuadrúpedos y la suma da 93. b) De 56 aves, 12 son patos, ¿cuántas aves

no son patos? Uno podría restar 56 - 12 = 44. O también pensar cuánto le agre-

gamos a 12 para llegar a 56. En símbolos, puede expresarse: 12 + ? = 56 c) Hay

56 aves y 37 cuadrúpedos, ¿cuántas aves más que cuadrúpedos? La respuesta

16 3 2

10 11

129

5

13

386975

986375

376985

385976+ + + +

es 19 y la podemos obtener pensando en una resta: 56 - 37 o en una suma:

37 + ? = 56. d) ¿Cuántas patas hay en total? Para responder a esta cuestión, lo

más fácil (si uno lo sabe) es recurrir a la multiplicación y después hacer la suma.

e) Hoy nacieron otros 9 patos, ¿cuántos hay ahora? La respuesta es 21.

El problema 21 plantea resolver una cuenta: 456 + 789

La suma da 1245, y vamos a revisar cómo hacemos habitualmente ese cál-

culo.

Se anota un número debajo de otro, y empieza a calcular de derecha a

izquierda: suma primero el 6 con el 9, dice "quince", anota 5 y dice "me llevo uno";

luego suma el 1 que se llevó con el 5 y con el 8 y dice "catorce",

anota 4 y se lleva 1; ese 1 con el 4 y el 7 da doce, y anota 12. Esa

serie de pasos le permite sumar números naturales. ¿Cómo se

sabe que efectivamente el resultado es la suma de los números

dados?

En la lección 1, se dijo que los números naturales sirven para contar, enton-

ces 456 representa la cantidad de objetos de un primer grupo, por ejemplo, cara-

melos. El 789 representa la cantidad de caramelos de un segundo grupo, y dese-

amos contar la cantidad total de caramelos, al juntar los dos grupos. Una forma de

hacerlo es reunir los caramelos en un solo grupo y proceder a contarlos, el resul-

tado será 1245, pero esto es poco práctico. La suma ahorra el trabajo de contar-

los a todos. Ya vimos un ejemplo de esto en el problema de la granja, y segura-

mente Ud. puede imaginar otros ejemplos.

Todavía nos falta explicar por qué se anotan los números en columna y se

empieza por la derecha.

En la lección 3 estudió cómo se representan los números naturales en el

sistema decimal. Así:

456 contiene 4 centenas, 5 decenas y 6 unidades

789 contiene 7 centenas, 8 decenas y 9 unidades

En nuestro ejemplo, las unidades son caramelos. Si queremos contar el

total de caramelos, debemos juntar por separado las unidades, las decenas y las

centenas. Vemos que hay 11 centenas, 13 decenas y 15 unidades, que al reagru-

parlas da 1 unidad de mil, 2 centenas, 4 decenas y 5 unidades. Lo que es igual

1245 unidades.

456789+

1245

La cuenta se empieza por la derecha porque a medida que vamos reagru-

pando, avanzamos en resolver la cuenta. Pero también podría empezar a hacer la

cuenta por la izquierda aunque se complica la manera de anotar y reagrupar.

Actividades

40) Explique por escrito cuáles son los tipos de cuentas del problema 25

que le resultaron fáciles, y cuáles son las más difíciles. Intercambie esas explica-

ciones con sus compañeros y tutor.

41) Encuentre las cifras que faltan en cada una de las siguientes sumas:

42) ¿Habrá algún número natural tal que sumado a cualquier otro natural b,

dé el mismo número b?

43) ¿Qué significa "me llevo 1" cuando resuelve sumas? ¿Siempre "se

lleva" 1?

44) En un paseo a una granja cada visitante averiguó información. Cuando

volvían comentaron lo que cada uno sabía:

Hay dos tipos de aves: patos y gallinas.

Hay tres tipos de cuadrúpedos: vacas, cerdos y conejos.

La cantidad de crestas es 72.

La cantidad de alas es 228.

La cantidad de cuernos es 18.

La cantidad de vacas sin cuernos: 9.

Cantidad de orejas de conejos: 82

Cantidad de patas de animales: 564

Anotaron esta información y empezaron a hacerse preguntas.

a) ¿Cuántas gallinas había? ¿Cuántas vacas? ¿Cuántos conejos?

b) ¿Cuántas aves había? ¿Cuántos animales de cuatro patas?

2 3 • 9 2 9 4 • 8 • • 7 • 7

• 9 5 7 • • • 9 • 9 4 • 6 4

102 6 7 0 1.2 8 4 1.5 7 4 1.3 7 1


Problema 20: a) Para pagar $ 340, dará 3 billetes de $ 100 y 4 billetes de

$ 10. Para pagar $ 870, dará 8 billetes de $ 100 y 7 billetes de $ 10.

b) Si paga las dos cantidades juntas, $ 1.210, dará 12 billetes de $ 100 y 1 billete

de $ 10.

Problema 22: Con $ 10 no alcanza para pagar la mitad de la boleta de ser-

vicio. Por eso, solamente podrá pagar con bonos la boleta del impuesto municipal,

y recibirá el vuelto en bonos por un monto de 21,7.

Problema 23:

16 3 2 13

4 10 11 9

9 5 8 12

5 16 13 0

Problema 24: todas las sumas darán el mismo resultado. Un modo de ver

eso es comparar las cifras de las unidades, de las decenas y de las centenas.

Actividades

41) Las sumas completas son:

42) Sí, el cero: b + 0 = 0 + b = b

43) Significa que tiene diez o más ejemplares de un cierto orden y puede

hacer un agrupamiento de orden superior. No siempre "se lleva", solamente cuan-

do reúne diez o más.

44) a) 72 gallinas, 18 vacas, 41 conejos. b) 114 aves, 84 cuadrúpedos.

2 3 0 9 2 9 4 5 8 8 0 7 0 7

7 9 5 7 8 3 3 9 6 9 4 6 6 4

102 6 7 0 1.2 8 4 1.5 7 4 1.3 7 1

+++++

La idea de resta está asociada a quitar, hallar una diferencia. En la solución

propuesta al problema 19, para averiguar cuántas aves no son patos, proponíamos

hacer 56 - 12 = o también 12 + ? = 56

La respuesta es 44, ya que:

56 - 12 = 44, y también se verifica que 12 + 44 = 56

El ejemplo nos ayuda a presentar la definición de resta:

En nuestro ejemplo, m es 56 y s es 12. Se los llama minuendo y sustraen-

do, respectivamente.

Problema 26: ¿Por qué en la resta en naturales tiene que ser el minuendo

mayor o igual al sustraendo?

Problema 27: Invente un problema que se resuelva con la siguiente cuen-

ta: 235 - 160

Problema 28: Resuelva 2.087 - 239

LECCIÓN 8Resta en los naturales.

Propiedades de la suma

Problema 29: (mejor si usa calculadora): En el espacio entre un número y

otro, anote qué hay que hacer con la calculadora para que aparezca el siguiente.

Le damos un ejemplo en el primer cuadro:

Problema 30: Explique por escrito cómo hace mentalmente las siguientes

operaciones:

a) 10.000 - 1.999 = b) 5.200 - 2.199 = c) 1.043 + 138 =

Soluciones propuestas¿Cómo resolvemos habitualmente la cuenta del problema 28?

La resta da 1848, y se obtiene de quitar 239 (sustraendo) a 2087 (minuen-

do).

Generalmente se anota un número debajo de otro y se

empieza a calcular de derecha a izquierda. 7 menos 9, no se

puede, "pido uno al 8", es decir se cambia una decena por 10 uni-

dades, se obtiene entonces 17 unidades a las cuales se le quita

9 y obtiene 8.

Las decenas, en el minuendo, son ahora 7. Se quita 3 y se obtiene 4.

Las centenas del minuendo son 20, se quitan 2 y se obtiene 18.

Cuestión: ¿por qué no se puede invertir el orden, es decir si a 7 no se le

puede quitar 9 (las unidades) se hace al revés y se quita 7 a 9?

En el problema 30 parte a) se podría realizar lo siguiente: en lugar de qui-

tar 1999 unidades al 10.000, le quita 2.000 y al resultado le suma 1 (por haber qui-

tado uno de más).

En símbolos: 10.000 - 1.999 = (10.000 - 2.000) + 1

= 8.001

Ejercicios similares al anterior siguen una forma de razonamiento análogo:

se suma (o se resta), de más o de menos según convenga a la facilidad de la ope-

ración, y luego se quita o agrega para compensar.

En el inciso b), 5.200 - 2.199 = se podría pensar que 2.199 = 2.200 - 1, y

entonces haríamos 5.200 - 2.200 + 1.

2 .0 8 7

2 3 9

1. 8 4 8

-

En el inciso c) 1.043 + 138 = podría ser que tomemos 138 = 140 - 2, y harí-

amos 1.043 + 140 - 2.

Estudiaremos a continuación las propiedades de la suma de números

naturales. ¿Por qué vamos a incluir este tema de estudio? Por al menos dos razo-

nes: porque las propiedades se usan muchas veces sin saberlo y justifican modos

de calcular, y porque permitirán comparar diferentes conjuntos de objetos mate-

máticos y sus operaciones, por ejemplo otros conjuntos numéricos, vectores, etc.

¿A qué propiedad de la suma de los números naturales se debe, que el

monto de una compra de dos productos en el supermercado, no varíe según el

orden en que la cajera los registra?

Observa lo siguiente: 3 + 4 = 7 y también, 4 + 3 = 7

entonces se escribe 3 + 4 = 4 + 3 (tres más cuatro es igual a cuatro más tres)

Del mismo modo: 2 + 8 = 8 + 2 y 35 + 40 = 40 + 35 y lo mismo ocurre

con la suma de dos números naturales cualesquiera, es decir: "el orden en quesuma dos números naturales no cambia el resultado."

Esta es la propiedad conmutativa de la suma de números naturales y se

expresa en símbolos como sigue:

Atención: cuando se escribe: "Si a y b son números naturales" se hace refe-

rencia a que para todos los números naturales, el resultado de la suma no varía

según el orden en que se sumen dos de ellos.

Si tenemos que sumar tres o más números, vamos sumando de a dos. Para

indicar cómo se resuelve, se usa el paréntesis, así dado 4 + 6 + 7 =

�� (4+6)+7 significa que al resultado de "4+6" le suma "7". El resultado

es "17".

�� 4+(6+7) significa que suma "4" al resultado de "6+7". El resultado es

nuevamente "17".

El que los resultados sean iguales, pone de manifiesto la propiedad asocia-

tiva para la suma de los números naturales y se expresa en símbolos como sigue:

Como la ubicación de los paréntesis no cambia el resultado, estos no son

necesarios y pueden suprimirse.

Actividades

45) La propiedad conmutativa no vale para la resta de números naturales.

Busque un ejemplo.

46) La propiedad asociativa no vale para la resta de números naturales.

Compruebe con 10 - 4 - 3.

47) El problema 1, de la lección 1, dice: "Para un espectáculo al aire libre,

se acomoda cierto número de sillas en filas. Hay 8 filas de 50 sillas, 12 de 30 sillas

y finalmente 15 filas de 25 sillas cada una. ¿Cuántas sillas hay? ¿Cuántas entra-

das con asiento asegurado se pueden vender?"

Escriba horizontalmente la suma que corresponde a los datos dados.

48) En el problema 10, de la lección 3, para resolver 725 + 830, la mamá de

María pensó los números dados como suma de otros. Los descompuso así:

725 = 700 + 20 + 5 y 830 = 800 + 30

y luego dijo:

725 + 830 = 700 + 20 + 5 + 800 + 30 = 700 + 800 + 20 + 30 + 5

¿Qué propiedades de la suma de números naturales le permiten escribir

esas igualdades?

49) Un padre tenía 30 años al nacer su hijo. ¿Cuál será la edad del hijo

cuando el padre tenga 53 años? ¿Cuántos años demás tendrá el padre con res-

pecto al hijo?

50) ¿Cuál es el número que supera en 728 unidades al 2.343?

51) Se retiraron del depósito de mercadería 5.840 cajas en 29 días.

¿Cuántas cajas tenía inicialmente si aun quedan 645 cajas?

52) a, b y c son números naturales, ¿cuáles son las propiedades que per-

miten escribir cada uno de los símbolos "="?

a + b + c = a + ( b + c ) = ( b+ c ) + a = ( c + b ) + a = c + b + a

1 2 3 4

53) Calcule la diferencia entre 384 decenas y 16 centenas.

54) Salomón empezó a construir el templo de Jerusalén 754 años a.C., tem-

plo que fue destruido en el año 74 d.C. ¿Cuánto tiempo transcurrió?

55) Analice las siguientes cuentas, haga mentalmente las que pueda, y si

no escriba la cuenta en columna y obtenga el resultado. Compare sus respuestas

con las de sus compañeros (tal vez alguno tenga una manera de hacer cálculos

mentales que a Ud. no se le ocurrió).

500 + 950 = 320 + 320 = 410 + 305 =

600 - 200 = 749 - 154 = 234 - 42 =

4.256 - 1.199= 299 +1.305= 3.640 - 2.639 =

56) En la India, en el S XII, para sumar:

347 + 18 + 5 =370 66+7+1.273+80+131=1.557

escribían escribían

a) Interprete y justifique ese método.

b) Invente otra suma y calcule el resultado aplicando ese método.

Claves de correcciónProblema 26: si fuera m < s no es posible encontrar un número natural d

tal que s + d = m

Problema 27:

Actividades

45) Por ejemplo: 5 - 2 no es igual a 2 - 5

46) (10 - 4) - 3 no es igual a 10 - (4 - 3). Ya que:

(10 - 4) - 3 = 3

10 - (4 - 3) = 9

47) La suma que corresponde al problema 1 es: 400 + 360 + 375 = 1135

48) La mamá de María expresó 725 y 830 con escrituras equivalentes:

725 = 700 + 20 + 5 y 830 = 800 + 30

y luego sumó y aplicó la propiedad conmutativa de la suma:

725 + 830 = 700 + 20 + 5 + 800 + 30 = 700 + 800 + 20 + 30 + 5

49) Cuando el padre tenga 53 años el hijo tendrá 23. El padre tendrá siem-

pre 30 años más que su hijo.

50) 3.071

51) 6.485 cajas.

52) Entre la primera y la segunda expresión, se aplica la propiedad asocia-

tiva; entre la segunda y la tercera, la propiedad conmutativa; entre la tercera y la

cuarta otra vez la propiedad conmutativa; y finalmente en la última igualdad la pro-

piedad asociativa.

53) 2.240

54) 828 años

56) Las cuentas escritas en columna indican la suma de las cifras según su

posición. Así para resolver 347 + 18 + 5 = 370, la suma de las unidades es 20, de

las decenas es 5 y de las centenas es 3.

Problema 31: Eduardo escogió estos dibujos para ponerlos en la portada

de sus cuadernos, el único problema es reproducirlos

¿Cómo podrá reproducirlos sin calcarlos? ¿Por dónde empezaría? ¿Qué

instrumentos utilizaría para reproducirlos? Inténtelo.

Problema 32 : Seguramente Ud. habrá leído, visto u oído algunas curiosi-

dades matemáticas, como adivinar números, encontrar números perdidos, resol-

ver problemas, etcétera. Bueno, ahora intente descubrir cuáles de las siguientes

rectas marcadas con una letra son paralelas o perpendiculares.

LECCIÓN: 9Dibujos y trazos geométricos

Uso de la regla, escuadra, compás y transportador.

¿Cuántas paralelas encontró? ¿Cuántas perpendiculares? ¿Qué método

aplicó para decidir su respuesta?

Problema 33: René y Patí discuten sobre algunas características de estas

estrellas.

Ambos están de acuerdo en que la estrella grande tiene los lados al doble

de los de la estrella chica; sin embargo René dice que los ángulos de ambas estre-

llas son iguales, sin importar su tamaño. Mientras que Patí opina que la estrella

grande tiene los ángulos mayores por ser más grande.

Al parecer la respuesta es sencilla, pero... ¿quién tiene razón?

¿Cómo verificar si los ángulos son iguales o no?


En el problema 31, no existe una

fórmula que te indique cómo empezar; lo

principal es la estrategia de observar la

figura, discriminar las partes que la inte-

gran y la posición en que están coloca-

das, para poder elegir un punto de parti-

da, ya que existen diferentes caminos

para reproducir una figura.

En el caso de la primera figura

empezaremos, por ejemplo, con el cua-

drado.

Para trazar el círculo es necesario conocer la ubicación de su centro.

¿Cómo lo encontraremos? ¿Con qué medida debemos abrir el compás para tra-

zarlo? Termine de trazar la figura hasta donde pueda.

En el caso de la estrella, observe que se forma con dos triángulos.

Mida los lados de cada triángulo, ¿cuánto miden?

Habrá notado que cada triangúlo tiene dos lados de la misma longitud. y

ademas que los lados de ambos triángulos se cortan en tercios. intente reproducir

la figura.

Con los diferentes instrumentos de geometría puede trazar muchas figuras;

es importante que Ud. los conozca y practique para lograr suficiente habilidad en

su manejo y trazar lo que quiera.

La regla graduada: Le sirve para trazar líneas rectas y para medir longitu-

des.

El compás: Le sirve para trazar arcos, círculos, semicírculos, transportar

segmentos, etc.

El transportador: Se utiliza para medir ángulos. Así dada la medida de un

ángulo en grados, puede trazarlo.

La escuadra: Le sirve para trazar rectas perpendiculares y paralelas, y

algunos ángulos. Por ej: las escuadras que tienen dos lados de igual longitud les

permiten trazar ángulos de 45º.

En el problema 32, para comprobar si las rectas son paralelas o perpendi-

culares podemos aplicar diferentes métodos, utilizaremos la regla y la escuadra

así:

Como hay coincidencia de los lados de la escuadra con las rectas, conclui-

mos que son A y B perpendiculares.

Como hay coincidencia al deslizar la escuadra, concluimos que las líneas D

y C son paralelas.

Una estrategia fácil de manejar para el problema 33 podría ser tomar la

estrella pequeña y colocarla sobre la grande, tratando de hacer coincidir las pun-

tas.

Si las puntas coinciden, los ángulos en esa punta son iguales; de la contra-

rio no lo son.

Otra estrategia consiste en utilizar el transportador y medir los ángulos,

como a continuación se explica.

Mucha gente cree que un ángulo, cuanto más grande tenga los lados, es

mayor; sin embargo no es así, cosa que comprobaremos más adelante. La prime-

ra estrategia que empleamos para probar en las estrellas que los ángulos eran

iguales fue buena, pero no siempre es posible llevarla a cabo; por eso mejor apren-

damos cómo se usa el transportador.

Generalmente el transportador presenta dos numeraciones, lo cual nos per-

mite medir con facilidad ángulos abiertos hacia un lado o hacia el otro.

Podemos trazarlos en forma semejante.

Por ejemplo, si queremos trazar un ángulo de 75" procederemos así:

1. Dibuje una línea y marque un punto, llamado por ejemplo A.

2. Coloque el transportador sobre la línea, como se muestra en la figu-

ra, y decida hacia dónde quiere que se abra el ángulo (recuerde que hay dos posi-

bilidades).

3. Marque con el lápiz la medida deseada y una con el extremo que

decidió.

4. Finalmente complete el nombre con B, y C.

Actividades

57) a- trace con una escuadra apropiada los siguientes ángulos:

90° 45° 135°

b- trace con transportador los siguientes ángulos:

75º 15º 30º 120º

c- resuelva los dos incisos anteriores pero ahora considere ya traza-

dos uno de los lados del águlo:

A

B

C

58) Imagine que realizará un recorrido con su lápiz y el instrumental de geo-

metría (Utilice regla, transportador, regla)

a) camina 5 cm

b) gira 45°

c) repite 7 veces los pasos anteriores girando en mismo sentido

¿Qué figura quedó? Descríbala por escrito.

59) Reproduzca el cubo dos veces, una vez a la mitad y otra al doble de la

medida de sus lados. (Esta actividad la puede hacer conjuntamente con su tutor)

60) Siga las instrucciones y forme una figura:

a) Trace un segmento de 4 cm y llamarlo AB

b) En B trace un ángulo de 108° , de tal manera que el nuevo

segmento mida también 4 cm

c) Repita consecutivamente tres veces más los pasos 1 y 2, girando

siempre en el mismo sentido.

d) Una los extremos.

e) ¿Qué figura resultó? Descríbala por escrito.

Retomamos el estudio de las operaciones en los naturales, iniciado en la

lección 7 de este módulo. Desde la primera lección Ud. está trabajando con la mul-

tiplicación en los números naturales. En la lección 1, se hablaba de un sector de

la platea que tenía 6 filas con 9 butacas cada una, y se preguntaba cuántas buta-

cas había. En las soluciones propuestas se muestran tres formas de contar dichas

butacas:

� 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 sumando la cantidad de butacas por fila.

� 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6= 54 sumando la cantidad de buta-

cas por columna

Y, como otra forma de contar,

� 9 x 6 = 54 o también 6 x 9 = 54

En esta lección se revisará el significado de la multiplicación y sus propie-

dades más importantes, utilizándolas junto a las del sistema de numeración deci-

mal para comprender cómo se calcula cuando hay que resolver una multiplicación.

Problema 34: ¿Tiene el mismo número de letras, una página de 48 líneas

de 50 letras cada una, que una página de 50 líneas de 48 letras cada una? ¿Puede

responder sin calcular?

LECCIÓN 10Operaciones en los naturales

Multiplicación

Problema 35: La figura muestra, esquemáticamente,

una disposición común de cajas, de la sección depósito de una

fábrica. ¿Cuántas cajas contiene esta agrupación?

Problema 36: Suponiendo que no recuerda la tabla de

multiplicar, y debe calcular 8 x 7, ¿cómo realizaría la cuenta?

(Sin calculadora, por supuesto).

Problema 37: En un cine hay 15 butacas por fila, la primera butaca se iden-

tifica con el par (1,1) y la última con (30,15). Se decidió restaurar todos los asien-

tos, si ya se repararon 20 filas ¿cuántos asientos habrá que restaurar?

Problema 38: Sabiendo que el día tiene 86.400 segundos, responder sin

calcular, ¿cuánto costarán 60 cajones de cerveza, cada uno de los cuales contie-

ne dos docenas de botellas, si cada botella cuesta 60 centavos?


La multiplicación en los números naturales simplifica el cálculo con sumas,

en el caso de que se sume siempre el mismo número. La solución que se presen-

ta al iniciar esta lección permite recordar el significado de la multiplicación de

números naturales.

Si a y b son dos números naturales:

Los números a y b se denominan factores, y al

resultado obtenido se lo llama producto.

Se ve que 6 x 9 = 9 x 6 y si se recuerda la cua-

drícula con que se representaron las butacas, se puede

justificar la anterior igualdad, pues no puede depender

el resultado (la cantidad de butacas), de la forma en que contamos. (Sea por fila,

o por columna).

a x b significa que se suma la cantidad b tantas veces como indica la

cantidad a.

La generalización de lo anterior es la propiedad conmutativa de la multi-

plicación de números naturales que se expresa en símbolos como sigue:

Podemos responder ahora al problema 34; el número de letras en ambos

casos es el mismo debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación.

Nota: si a es un número natural, a x 0 significa que sumo a veces el cero,

por lo tanto a x 0 = 0 y por la propiedad conmutativa vale que 0 x a = 0.

En el problema 35 podemos proceder de varias maneras: una de ella es

contando cuantas cajas hay en el frente, esto da 3 x 6 cajas y esta disposición se

repite 4 veces, en total hay 4 x (3 x 6), lo que da 72 cajas. Pero también se puede

contar primero la cantidad de cajas en la pila superior, 4 x 3 cajas, y como hay 6

pilas, da un total de (4 x 3) x 6, nuevamente el resultado es 72 cajas.

Esto pone de manifiesto la propiedad asociativa de la multiplicación de los

números naturales que se expresa en símbolos como sigue:

Como la ubicación de los paréntesis no cambia el resultado, estos no son

necesarios y puede escribirse a x b x c en lugar de (a x b) x c o a x (b x c).

El problema 36 se puede resolver descomponiendo uno de los factores de

la multiplicación en dos números que se sepan multiplicar. Por ejemplo uno no se

acuerda cuánto es 8 x 7 pero sí recuerda que 8 x 5 es 40 y 8 x 2 es 16. El dibujo

y la escritura en símbolos muestran esa solución:

8 x 7 = ?

8 x (5 + 2) = 8 x 5 + 8 x 2

= 40 + 16

= 56

Si a y b son números naturales entonces a x b = b x a

Si a, b y c son números naturales entonces (a x b) x c = a x (b x c)

En el problema 37 podemos proceder de dos formas:

15 x (30 - 20) = 15 x 10 = 150

O bien,

15 x 30 - 15 x 20 = 450 - 300 = 150

La generalización de los resultados de los problemas 36 y 37 se conoce

como la propiedad distributiva de la multiplicación, respecto a la suma y a la

resta de números naturales. En símbolos:

Actividades

61) Complete la siguiente tabla de multiplicar. (En caso de que no recuerde

alguno de los productos revise el problema 36.)

a) ¿Qué filas y qué columnas muestran resultados que sorprenden?

b) Al hacer la tabla, habrá notado que hay productos que ya los tiene

calculados. Identifique cuáles son esos productos y explique por qué aparecen

repetidos.

Total butacas Butacas reparadas

Filas sin reparar Vemos que:

15 x (30 - 20) = 15 x 30 – 15 x 20

Si a, b y c son números naturales entonces

a x ( b + c ) = a x b + a x c

a x ( b - c ) = a x b - a x c

62) Las dos estanterías de una biblioteca, contienen

tres estantes cada una. En una de ellas hay tres libros por

estante, y en la otra hay 4 libros por estante. ¿Cuántos libros

hay en total?

Pedro dice que para responder hay que hacer: 3 x 3 + 4 x 3

Lara dice: ¡No! Hay que hacer: (3 + 4) x 3 ¿Quién tiene razón y por qué?

63) a) Escriba cada una de las siguientes multiplicaciones como produc-

to de cuatro factores. ¿Qué propiedades debe aplicar?

3 x 4 x 5 x 6 x 7 2 x 1 x 5 x 3 x 2 x 6 4 x 8 x 3 x 2 x 5

b) Exprese cada uno de los siguientes productos como producto de 5

factores.

3 x 2 x 60 4 x 8 x 30 45 x 2

64) Resuelva mentalmente las siguientes multiplicaciones, hay algunas más

fáciles que otras. Después de hacerlas le proponemos que juegue con alguien pro-

poniendo otras cuentas.

a) 10 x 3 = g) 3 x 8 = m) 7 x ? = 49

b) 10 x 4 = h) 5 x ? = 40 n) ? x 9 = 36

c) 70 x 10 = i) ? x 8 = 72 ñ) ? x 6 = 54

d) 110 x 100 = j) ? x 6 = 120 o) 5 x 7 =

e) 11 x 4 = k) 9 x ? = 9 p) 0 x ? = 0

f) 20 x 5 = l) ? x 8 = 64 q) 9 x ? = 27

65) ¿Si dos productos son iguales, sus factores son iguales? Dé algunos

ejemplos.

66) Dados tres números naturales a, b y c, ¿se verifica

a x b x c = b x c x a?

67) Calcule usando la propiedad distributiva y compare luego con los

resultados obtenidos resolviendo primero los números entre paréntesis.

a) (60 + 5) x (20 + 3) = c) (5 + 10) x (30 + 1) =

b) (45 - 2) x 4 = d) (1 + 20 + 300) x (30 + 4) =

68) Algunas de las cuentas siguientes se pueden resolver mentalmente con

rapidez. Para otras conviene usar lápiz y papel, o la calculadora. Distinga las que

Ud. puede resolver mentalmente, y compare su elección con la de sus compañe-

ros.

a) 800 x 4 = b) 530 x 3 = c) 9 x 476 =

d) 1.000 x 14 = e) 110 x 5 = f) 8 x 9 =

g) 400 x 70 = h) 2.867 x 4 = I) 207 x 0 =

69) Explique de acuerdo a lo que se mues-

tra en la figura, por qué 19 x 19 se puede hacer

como:

19 x 19 = 8 x 12 + 8 x 7 + 11 x 12 + 11 x 7


Problema 38: El día tiene 86.400 segundos, porque: en un minuto hay 60

segundos, y como en una hora hay 60 minutos, luego, en una hora habrá 3.600

segundos. En 24 horas (un día) habrá 24 x 3600 segundos, es decir 86 400.

Simbólicamente: 60 x 60 x 24 = 86 400 segundos en un día.

En el caso de las cervezas se trabaja con los mismos factores, sólo que

ahora se calcula el total de centavos: 60 x 2 x 12 x 60.

Actividades

61) Esta tabla convie-

ne que la tenga a mano para

resolver las multiplicaciones

que se piden. Si no recuerda

los valores de memoria, es

necesario que los estudie de

a poco, hasta dominarlos sin

esfuerzo.

Los resultados que sorprenden: dan 0 los productos donde uno de los fac-

tores es 0; da el mismo factor cuando se multiplica por 1, y los productos que apa-

recen repetidos son consecuencia de la propiedad conmutativa de la multiplica-

ción.

62) Pedro cuenta primero los libros en cada estantería y luego, suma los

libros de cada estantería: 3 x 3 + 4 x 3. Lara cuenta primero los libros por estante,

sin distinguir estanterías, 3 + 4 y luego multiplica por el número de estantes. Ambos

métodos son correctos, el resultado es el mismo por propiedad conmutativa.

63) a) Hay varias formas posible de hacerlo, seguramente deberá aplicar la

propiedad asociativa. b) Deberá dar una escritura equivalente de uno o más fac-

tores. Por ejemplo: 4 x 8 x 30 = 4 x 8 x 3 x 2 x 5

65) La afirmación es falsa. Para mostrarlo basta encontrar un ejemplo en

que no se cumpla lo afirmado (se lo llama un contraejemplo). Así, 3x8 = 4 x 6, pero

los factores no son iguales.

66) Se verifica a x b x c = b x c x a, y se puede mostrar esa igualdad apli-

cando la propiedad asociativa y luego la conmutativa. Así:

a x b x c = a x (b x c) = (b x c) x a = b x c x a

67)

(60 + 5) x (20 + 3) = 65 x 23 = 1.495

(60 + 5) x (20 + 3) = 60 x 20 + 60 x 3 + 5 x 20 + 5 x 3 =

= 1.200 + 180 + 100 + 15 = 1495

(45 - 2) x 4 = 43 x 4 = 172

(45 - 2) x 4 = 45 x 4 - 2 x 4 = 180 - 8 = 172

(5 + 10) x (30 + 1) = 15 x 31 = 465

(5 + 10) x (30 + 1) = 5 x 30 + 5 x 1 + 10 x 30 + 10 x 1 =

= 150 + 5 + 300 + 10 = 465

(1 + 20 + 300) x (30 + 4) = 321 x 34 = 10914

(1 + 20 + 300) x (30 + 4)= 1 x 30 + 1 x 4 + 20 x 30 + 20 x 4 + 300 x 30 + 300 x 4

= 30 + 4 + 600 + 80 + 9.000 + 1.200 = 10.914

68) Se expresa un factor como 8 + 11 y el otro como 12 + 7, y luego se apli-

ca la propiedad distributiva:

19 x 19 = (8 + 11) + (12 + 7)

= 8 x 12 + 11 x 12 + 8 x 7+ 11 x 7

¿Cómo multiplicamos?

La palabra "algoritmo" designa una regla o un procedimiento sistemático

para hacer algo en un número finito de pasos. Así, el procedimiento para hacer una

cuenta, por ejemplo una suma, se denomina algoritmo de la suma. La palabra

algoritmo proviene del nombre de un matemático árabe del S IX, Al Khawarizmi,

quien escribió sobre reglas de cálculo y sistemas de numeración.

En lecciones anteriores, Ud. ya revisó los algoritmos para calcular sumas y

restas. Ahora, a través de algunos ejemplos, puede rever el algoritmo usual de la

multiplicación.

Ejemplo 1)

23 x 12 = 23 x ( 10 + 2 )

= 23 x 10 + 23 x 2

= (20 + 3) x 10 + (20 + 3) x 2

= 20x10 + 3x10 + 20x2 + 3x2

= 200 + 30 + 40 + 6 = 276

Ejemplo 2)

251 x 12 = (200 + 50 + 1) x (10 + 2) = 2 + 100 + 400 + 10 + 500 + 2.000 = 3.012

La misma cuenta, escrita verticalmente es:

LECCIÓN 11Algoritmo usual de la multiplicación.

2 5 1 x 1 2 2 2 x 1 1 0 0 2 x 50 4 0 0 2 x 200 1 0 10 x 1 5 0 0 10 x 50 2 0 0 0 10 x 200

3 0 1 2

251 x12 502

2.510 3.012

Actividades

70) En el Ejemplo 2 que acaba de ver, hay dos cuentas verticales que

resuelven la operación 251 x 12. Identifique en la cuenta que está a la izquierda

los productos que muestra la cuenta de la derecha.

71) Resuelva con el algoritmo usual de la multiplicación:

a) 304 x 26 = b) 1.038 x 907 = c) 790 x 1.649 =

72) En una empresa a cada empleado le pagan en forma diferente.

a) La secretaria cobra por horas. Trabaja de 8:00 a 12:30 y de 13:30 a

17:00, de lunes a viernes. Al final de la semana le pagan $ 200. ¿Cuánto le pagan

la hora de trabajo? ¿Cuánto cobró este mes?

b) Los vendedores trabajan a comisión, es decir, cobran según lo que

venden. Por cada venta cobran un décimo del precio de venta. Así si un vendedor

vendió por $ 1.300, cobra $ 130. Juan es vendedor y cobró $ 450, ¿cuánto costa-

ba el producto que vendió?

c) Luis, el cadete, trabaja de lunes a viernes y además del sueldo fijo le

pagan un adicional de $ 4 por cada tarea extra que le piden que realice. Esta

semana, el lunes no tuvo ninguna extra, el martes le dieron un adicional, el miér-

coles el doble de adicionales que el martes y cada día que pasaba el doble de adi-

cionales que el día anterior. Al final de la semana cobró $ 130. ¿Cuántos adicio-

nales cobró esta semana? ¿Cuál es el sueldo fijo que cobra Luis sin adicionales?

73) En el siglo XV estaba muy difundido un astuto algoritmo para calcular

multiplicaciones que hoy se conoce como el cálculo per gelosía. A continuación se

muestran dos cálculos 251 x 12, y luego 816 x 264.

Cada cifra del resultado final, es la suma de los números que se encuentran en la diagonal correspondiente

a) ¿Puede describir el método de cálculo? Para ello analice dónde se

anotan los factores, qué resultados se colocan dentro de cada cuadrito, qué tienen

en común las cifras que se colocan en una misma diagonal.

b) ¿Puede explicar la validez de este algoritmo?

74) José afirma: "El doble de tres más cuatro, es 10". Pepe en cambio dice:

"El doble, de tres más cuatro, es catorce" Y Julia finalmente sostiene: "El doble de

tres, más cuatro, es diez". ¿Es posible que todos tengan razón? ¿Por qué?

75) La flecha que está a la izquierda mide 5 unidades.

Dibuje una flecha que sea el triple de la anterior.

76) ¿Habrá algún número natural, tal que multiplicado por cualquier otro

natural, dé este mismo?

77) ¿Habrá algún número natural, que multiplicado por cualquier otro, dé

aquel?

78) Si a, b, c y d son números naturales, decir cuáles son las propiedades

de la multiplicación que justifican cada una de las igualdades siguientes:

(a+b)x(c+d) = (a+b)xc + (a+b)xd = cx(a+b) + dx(a+b) = cxa + cxb + dxa + dxb

79) Dada una expresión como 2 x 6 + 2 x 5 podemos escribir, en virtud de

la propiedad distributiva: 2 x 6 + 2 x 5 = 2 x (6 + 5)

En general, a x b + a x c = a x (b + c)

Se está aplicando el camino inverso del que indica la propiedad distributiva.

Al número a se le llama factor común de los números a x b y a x c.

Extraiga el factor común en cada una de las siguientes expresiones:

a) 2 x 4 + 2 x 20 c) 4 x 5 + 5 x 5 + 10 x 5

b) 6 x 3 + 6 x 7 + 6 x 14 d) 3 x a + 3 x b

80) Escriba cada una de las siguientes expresiones de manera que pueda

calcular el producto rápidamente.

1 2 3

a) 7 x 4 x 3 x 25 d) 4 x 12 x 25 x 3

b) 8 x 35 e) 72 x 11

c) 7 x 2 x 75 x 4 f) 360 x 111


Actividades

71)

72) A la secretaria le pagan $ 5 la hora. El cobro por mes depende del núme-

ro de días hábiles. El producto que vendió Juan costaba $ 4.500. Luis cobró 15 adi-

cionales; su sueldo fijo es $ 70 por semana.

74) José sostiene que 2 x 3 + 4 = 10, según la convención de hacer prime-

ro la multiplicación y luego la suma o la resta. En las expresiones de Pepe y Julia,

la puntuación da el orden en que se calcula, y se simboliza con ayuda de los

paréntesis. Pepe afirma que: 2 x (3 + 4) = 14. Julia sostiene: (2 x 3) + 4 = 10. Las

tres afirmaciones son verdaderas.

75)

76) El número uno es el número natural, que multiplicado por cualquier otro

natural, da éste.

En símbolos: para cualquier natural a vale que 1 x a = a x 1 = a

77) El número cero es el número natural, que multiplicado por cualquier otro

natural da cero

3 x 5 = 15

En símbolos: para cualquier natural a vale que 0 x a = a x 0 = 0

78) 1. Distributiva: distribuye (a+b) entre c y d

2. Conmutativa: conmuta (a+b) con c y (a+b) con d

3. Distributiva: distribuye c entre a y b, y además distribuye d entre a y b

79) 2 x (4 + 20) 5 x (4 + 5 + 10)

6 x (3 + 7 + 14) 3 x (a + b)

80) Una posible respuesta es:

a) 7 x 4 x 3 x 25 = 7 x 3 x 4 x 25 = 21 x 100

b) 8 x 35 = 8 x 5 x 7 = 40 x 7

c) 7 x 2 x 75 x 4 = 7 x 2 x 300 = 7 x 600

d) 4 x 12 x 25 x 3 = 12 x 3 x 4 x 25 = 12 x 3 x 100 = 36 x 100

e) 72 x 11 = 72 x 10 + 72 x 1 = 720 + 72

f) 360 x 111 = 360 x 100 + 360 x 10 + 360 x 1

En esta lección se busca abordar el concepto de división de números natu-

rales y sus aplicaciones en la resolución de problemas, y además ver el algoritmo

usual para calcularla. Ese algoritmo, si uno no entiende cómo funciona, es com-

plicado. Pero el estudio del sistema decimal de numeración y de las operaciones

ya realizado en las lecciones anteriores, le facilitará el acceso a la cuenta de divi-

dir por números de varias cifras. Si Ud. dispone de una calculadora y sabe utili-

zarla, podría pensar que tiene algunas complicaciones menos. De todos modos es

necesario poder pensar en las operaciones y en el modo de resolverlas manual-

mente, aún cuando también sea útil aprender a usar las calculadoras.

Uno de los problemas de la primera lección planteaba cuántos ómnibus de

45 asientos se necesitan para transportar 325 obreros. La respuesta es 8 ómnibus.

¿Recuerda Ud. como lo resolvió? Posiblemente Ud:

a) Pensó en ir llenando ómnibus y sumando varias veces 45 hasta ubicar a

todos los obreros.

45 + 45 = 90, en dos unidades van 90 obreros,

90 + 45 = 135,

135 + 45 = 180,

180 + 45 = 225, y ya se completaron 5 ómnibus

225 + 45 = 270,

270 + 45 = 315, se completaron 7 unidades y nos quedan 10 obreros, así

que serán necesarios 8 ómnibus.

b) Partiendo del número de obreros, va llenando colectivos y resta de

manera reiterada 45:

325 - 45 = 280, se llenó un ómnibus y quedan aún por ubicar 280 personas

280 - 45 = 235,

LECCIÓN 12División

280 - 45 = 235,

235 - 45 = 190

190 - 45 = 145, y se llenaron ya 4 ómnibus,

145 - 45 = 100,

100 - 45 = 55

55 - 45 = 10, se completaron 7 ómnibus y quedaron 10 personas, hace falta

un ómnibus más.

c) Combina sumas y multiplicaciones para aproximarse desde 45 a 325 más

rápidamente.

d) Calcula con una división cuántas veces entra 45 en 325.

325 = 7 x 45 + 10 lo cual se puede interpretar como: se com-

pletan 7 ómnibus y hay 10 personas que "sobran", es decir que se

necesitan 8 colectivos.

Problema 39: Seis cuidadores tienen que alimentar 763 animales, ¿pueden

repartirse equitativamente la tarea?

Problema 40: ¿Dónde se debe

cortar si se desea obtener una red con

13 cuadrados de ancho y que la pieza se aproxime, lo más posible, a los 460 cua-

drados en total?

Problema 41: Tres obreros A, B y C descargan un camión que contiene

6545 ladrillos. Si la tarea se realiza cíclicamente, comenzando por A en el orden A,

B, C y si A descarga 6, B descarga 5 y C descarga 4 ladrillos por vez. ¿Quién des-

carga los últimos ladrillos?

Problema 42: ¿Qué tienen en común los siguientes problemas?

Resuélvalos.

a) En una caja entran 68 latas. ¿Cuántas cajas necesito para 1670

latas?

b) Se reparte 1670 caramelos entre 68 chicos, se les da a cada chico,

el máximo posible y reciben todos la misma cantidad. ¿Cuántos caramelos no se

pueden repartir?

c) Si multiplicamos un número por 68 y al resultado le sumamos 38,

obtenemos 1670. ¿Cuál es el número que se multiplicó por 68?

d) Una cuerda mide 1670 cm (centímetros) de longitud. ¿Cuál es el

número máximo de trozos de 68 cm que pueden cortarse? ¿Sobra cuerda?

Problema 43: Una casa de electrodomésticos muestra los siguientes pre-

cios:

Miguel tomó nota de los precios. Cuando hizo las cuentas en su casa, vio

que uno de los precios estaba mal, que había algo que no cerraba. Sin hacer las

cuentas, ¿cuál es el precio que parece equivocado? Haga el cálculo y verifique si

su estimación fue correcta.

Problema 44: Julián tiene 24 revistas y quiere apilarlas de modo tal que

todas las pilas tengan la misma cantidad de revistas y no quede ninguna suelta.

Muestre todas las maneras posibles de hacerlo.


La división en los números naturales simplifica el cálculo con restas, en el

caso de que se quite siempre el mismo número. Las soluciones que se presentan

al problema del ómnibus nos permite recordar el significado de la división en el

conjunto de los números naturales.

Calefón Heladera Lavarropas Centro Musical

Contado $ 120 $ 390 $ 320 $ 620

En cuotas 12 de $12 15 de $ 31 12 de $ 29 18 de $ 32

Dados dos números naturales a y b, b ≠≠ 0, es siempre posible encontrar un único

número c y un único número r tales que

a = c x b + r siendo 0 ≤≤ r < b a b

r c

c se llama cociente entero de la división de a por b y r el resto de dicha

división. En el problema del ómnibus es: 325 = 7 x 45 + 10. El cociente entero de

la división es 7, sin embargo la respuesta al problema es 8. Si Ud. hace la

división con la calculadora el visor le mostrará 7,2222222222 ¿cómo se interpre-

ta ese resultado?

Cuando en una división el resto es 0, se dice que es una división exacta

y es: D = d x c.

Por ejemplo, para transportar 180 personas en unidades de 45 asientos, se

necesitan 4 ómnibus. 180 : 45 = 4, y 180 = 45 x 4

En el problema 39 si se piensa que un reparto equitativo significa que

cada uno de los cuidadores atiende la misma cantidad de ani-

males, habría que distribuir 763 en 6, la división 763 : 6 da ele-

mentos para responder al problema, ¿pero cómo se hacía esa

división? Vamos a mostrarle un modo de aproximarnos al

cociente:

El cociente es 127 y el resto 1, quiere decir que no se puede distribuir el

mismo número de animales a cada una de los responsables.

En el problema 40 la red tiene 13 cuadrados de ancho, hay que ver dónde

cortar a lo largo para llegar lo más próximo a 460 cuadrados en total. Si Ud. recuer-

da el algoritmo de la división, puede resolver el problema, si no, le proponemos

otra vez aproximaciones sucesivas a 460.

Digamos que proponemos cortar a lo largo en 30,

30 x 13 = 390, nos falta aún 70 cuadraditos. Con 5 tiras de 13,

5 x 13 = 65

El resto es 5, y el cociente 35.

Con 35 tiras, nos faltan 5 cuadrados para obtener 460. Si se corta una tira

más, obtendríamos 468 cuadrados, y nos pasamos por 8 cuadrados. La respues-

ta es entonces 35 tiras.

763 6 600 100 163 20 120 7 43 42 1

460 13 390 30

70 5 65 5

En el problema 41 se puede proceder contando cuántos ladrillos se des-

cargan en cada ciclo: 6 + 5 + 3 = 15 ladrillos descargados por ciclo; luego se ve

cuántos ciclos "entran" en 6545 ladrillos. La división 6545 : 15, da cociente 436 y

sobran 5 ladrillos. Hay 436 ciclos, y quedan todavía 5 ladrillos por descargar, como

el ciclo siguiente lo inicia A (quien descarga 6) es él quien descarga el último ladri-

llo.

Actividades

81) Dada la siguiente tabla:

a) Completarla.

b) En una de las dos primeras filas hay un error. ¿Cuál es?

82) a) Ya se vio que la multiplicación satisface la propiedad conmutativa,

¿vale esta propiedad para la división? Muestre un ejemplo.

b) ¿Es verdadera la igualdad siguiente? (60 : 6) : 2 = 60 : ( 6 : 2)

¿Qué muestra?

83) Calcule manualmente (puede usar el algoritmo por aproximaciones de

los problemas 39 y 40) a) 23.005 : 104 = b) 106.936 : 93 =

84) a) Plantee una división cuyo resto sea 2.

b) Busque números naturales m tales que en la división de m por 25

el resto sea 10.

c) Calcule el cociente y el resto en cada una de las siguientes

divisiones

0 : 34 0 : 5 24 : 0

85) Hay 132 soldados para formación, ¿cuántos filas de 12 soldados se for-

marán?

86) "Si se divide un número natural por 10, el resto de la división es igual a

la última cifra". ¿Es verdadera esa afirmación? Justifique su respuesta.

87) ¿De qué manera, puede verificar si la

siguiente división es correcta, sin volver a dividir?

88) Ciento cincuenta dividido veinticinco es igual a seis. Esto en símbolos

se representa así: 150 : 25 = 6 ¿Cuál de las siguientes interpretaciones es la

correcta?

a) Seis grupos de veinticinco unidades cada uno, suman 150.

b) Veinticinco grupos de seis unidades cada uno, suman 150.

89) Un alambre de 534 cm se corta desde uno de sus extremos en trozos

de 26 cm (extremo A) y desde el otro extremo, en trozos de 32 cm (extremo B). Si

los obreros que realizan estos cortes proceden alternadamente comenzando el

obrero del extremo A. ¿Qué obrero efectuará el último corte? ¿Y si el alambre

midiera 550cm?

90) Sin realizar la cuenta, ¿puede decir aproximadamente cuántas cifras

habrá en el cociente al hacer 34.728 : 327?

91) Calcule el cociente y el resto de 34.728 : 327 con una calculadora, sin

usar la tecla

92) Se pidió a Juana que explicara el algoritmo para resolver 47981: 205.

Ella mostró un esquema como el que sigue. ¿Puede Ud. interpretarlo? Ayuda: La

primera línea muestra una descomposición del dividendo adecuada al divisor. La

segunda y tercera línea muestran en primer lugar, como se distribuyen en partes

iguales las 479 centenas entre 205; le corresponden 2 centenas a cada uno y

sobran 69 centenas. A continuación, de la misma manera, está indicado el reparto

para las decenas y las unidades

:

47981 205

2c 3d 4u 698

831

11

- 410

- 615

-820

479 c 69 c 69 8 d 83 d 83 1u 11 u

2c 3d 4u 2c 3d 4u 2c 3d 4u

205

234 234 234

-410c

Sobran Sobran Sobran

-615d -820u

4 7 9 8 1


Problema 43: Todos los problemas se pueden resolver con una división

entre 1.670 y 68. Se obtiene que 1.670 = 24 x 68 + 38. Aparece la división con dife-

rentes sentidos: cuántas veces entra en cantidades discretas (latas y cajas) y en

cantidades continuas (trozos de una cuerda), repartir (caramelos y chicos) y apli-

car la definición.

a) 25 Cajas b) 38 caramelos c) 24 d) 24 y sobran 38 cm de cuerda

Problema 44: El precio que "no cierra" es el del centro musical, ya que en

cuotas sale más barato que si se paga al contado.

Actividades

81) a) La tercera línea puede tener dos respuestas:

8 = 4 x 2 + 0 o bien 8 = 3 x 2 + 2

La cuarta línea es: 45.673 = 67 x 681 + 46

b) Hay un error en la segunda línea, porque el resto si bien es positivo no

cumple la condición de ser menor que el divisor.

82) a) La división no satisface la propiedad conmutativa.

Por ejemplo 20:4 = 4:20

b) La igualdad no es verdadera, ya que (60 : 6) : 2 = 10 : 2 = 5, y

60 : (6 : 2) = 60 : 3 = 20 Esto muestra que la división no satisface la propiedad aso-

ciativa.

83) a) 23005 = 104 x 221 + 21 b) 106 936 = 93 x 1149 + 79

84) a) Por ej: 14 = 3 x 4 + 2

b) Damos dos ejemplos: 110 = 25 x 4 + 10 260 = 25 x 10 + 10

c) 0 : 34 da cociente 0 y resto 0, ya que 0 = 34 x 0 + 0

0 : 5 da cociente 0 y resto 0, ya que 0 = 5 x 0 + 0

24 : 0 no tiene solución porque la división por 0 no ha sido definida.

85) 11 filas.

86) Al dividir un número natural por 10, el cociente tiene las mismas cifras

que el dividendo pero su valor posicional está corrido un lugar a la izquierda. La

cifra de las unidades es el resto porque no alcanza a formar ningún grupo de diez.

87) La división no es correcta. Puede usar la calculadora, o manualmente,

y aplicar la definición: 658 x 107 + 170 = 70576

88) Las dos interpretaciones son correctas porque responden a la propie-

dad conmutativa de la multiplicación.

89) Este problema es similar al problema 41 ya resuelto. Si el alambre mide

534 cm, el último corte lo efectuará el obrero que empieza por el extremo B. Si el

alambre mide 550 cm, el último corte corresponde a quien empieza por A.

90) El cociente tendrá tres cifras. Un modo de estimar es pensar cuántas

veces entra el 320 (número aproximado al divisor 327) en el 34000 (aproximado al

dividendo).

Otra forma de estimar, es ver que:

327x1000 = 327000 > 34728 > 327x100 = 32700 por lo que el cociente

deberá ser menor que 1000 y mayor que 100. Entonces tendrá 3 cifras.

91) Puede usar el método de aproximaciones sucesivas. Podría hacer:

327 x 100 = 32700, 34728 - 32700 = 2028

327 x 9 = 2943, se pasa,

327 x 6 = 1962 El resto es 66, y el cociente es 106.

Cuando estudiamos el sistema de numeración decimal, vimos que la des-

composición de los números podía escribirse utilizando las potencias de 10.

Habíamos visto que:

100 = 10 x 10, se puede denotar 100 = 102

1.000 =10 x 10 x 10, se puede denotar 1.000 = 103

10.000 = 10 x 10 x 10 x 10, se puede denotar 10.000 = 104

100.000 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10, se puede denotar 100.000 = 105

Y mostramos que, por ejemplo,

3.709 = 3 x 1.000 + 7 x 100 + 9, se podía expresar como

3.709 = 3 x (10 x 10 x 10) + 7 x (10 x 10) + 9

3.709 = 3 x 103 + 7 x 102 + 9

Las potencias de 10 es un caso particular de la potenciación de números

naturales. Esta operación expresa de una manera abreviada las multiplicaciones

de números naturales donde todos los factores son iguales. Por ejemplo, cuando

los factores son iguales a 3 y hay cuatro factores, tendremos: 3 x 3 x 3 x 3 = 34 que

se lee "tres a la cuarta".

La potenciación funciona -en el sentido de sintetizar una operación- como

la multiplicación, ya que el producto sintetiza el cálculo de una suma cuyos suman-

dos son todos iguales (3 x 4 = 3 + 3 + 3 + 3).

Si b y n son dos números naturales,

LECCIÓN 13Potenciación

Al número que denotamos con b se lo llama base, y al número n se lo llama

exponente. La expresión bn designa una potencia enésima.

En particular, si el exponente n es igual a 1, entonces b1 = b. Si el exponente

n es igual a 0, se define b0 = 1

Volviendo al ejemplo de potencias de base diez, 10 x 10 = 102 y se lee "diez

al cuadrado". Si los factores iguales a 10 son tres, entonces 10 x 10 x 10 = 103 y

se lee "diez al cubo". En general: si el exponente es igual a 2, se dice que se cal-

cula el cuadrado de la base; si el exponente es igual a 3, se dice que se calcula el

cubo de la base. ¿Por qué esos nombres? ¿Qué evoca "cuadrado" y "cubo" para

relacionarlo con 2 y 3 respectivamente?

Vamos a calcular las potencias de exponente dos de los primeros núme-

ros naturales:

12 = 1 x 1 = 1 22 = 2 x 2 = 4 32 = 3 x 3 = 9

42 = 4 x 4 = 16 52 = 5 x 5 = 25 62 = 6 x 6 = 36

Al representar gráficamente esos números (conocidos como los primeros

números cuadrados) tomando como unidad un cuadrado de lado 1, podemos ver

que es posible armar cada vez, un cuadrado. De allí la expresión "calcular el cua-

drado".

Calculemos ahora, para los primeros números naturales, las potencias de

exponente 3:

13 = 1 x 1 x 1 = 1 23 = 2 x 2 x 2 = 8 33 = 3 x 3 x 3 = 27

43 = 4 x 4 x 4 = 64 53 = 5 x 5 x 5 = 125 63 = 6 x 6 x 6 = 216

Al representar gráficamente estos números (los primeros números cubos)

tomando como unidad un cubito de arista 1, se obtiene un cubo que es cada vez

más grande. De allí la expresión "calcular el cubo".

1 4 9 16

Vamos a introducir aquí dos nociones que no corresponden exactamente al

tema tratado. El área de una región cuadrada cuyo lado mide a, es a x a = a2. El

área de una región rectangular cuyos lados miden b y c es el producto b x c.

Problema 45: Calcule el cuadrado de 5 x 3.

Problema 46: Calcule 23 x 24. Exprese el resultado como una potencia de 2.

Problema 47: Calcule la cuarta potencia de 32. Exprese el resultado como

una potencia de 3.

Problema 48: Para hacer la bandera

del equipo de fútbol, Daniel y Julio tenían un

cuadrado de tela de 3 m de lado.

Decidieron agrandarla y le agregaron

2 m a cada lado. A la hora de repartir los

gastos, Daniel calculó que usaron (3 + 2)2

metros cuadrados de tela. Julio dice que

usaron 32 + 22 metros cuadrados de tela.

¿Quién tiene razón? ¿Por qué? (El

esquema de la izquierda muestra cómo

quedó la bandera de los chicos.)

1 8 27 64

a

a

b

c

a

ab

c

3

3

3 2

2 2

2


La aplicación de la definición de potenciación y de las propiedades de la

multiplicación, le permitirá construir nuevas nociones sobre la potenciación de

números naturales.

El problema 45 da 225. Una manera de obtener ese resultado es calculan-

do el producto primero y luego la potencia. Así: (5 x 3)2 = 152 = 15 x 15 = 225

Pero se podría seguir otro razonamiento:

(5 x 3)2 = (5 x 3) x (5 x 3) = 5 x 3 x 5 x 3 = 5 x 5 x 3 x 3 = 52 x 32 = 25 x 9 = 225

Cuestión: ¿Cómo justifica cada una de las igualdades anteriores?

En definitiva el ejemplo muestra que: (5 x 3)2 = 52 x 32

Esa igualdad se verifica para cualquier producto a x b de naturales y cual-

quier exponente n también natural. Se puede decir entonces que: (a x b)n = an x bn

Con ese ejemplo mostramos la propiedad distributiva de la potenciación

con respecto al producto, que puede enunciarse:

El problema 46 plantea el cálculo de lo que se denomina técnicamente,

producto de potencias de igual base. De eso se trata, hay una multiplicación

donde uno de los factores es 23 y el otro es 24, y a su vez cada uno de ellos es una

potencia de base 2.

Podemos calcular así: 23 x 24 = 8 x 16 = 128 Para dar respuesta al proble-

ma, habría que calcular ahora a qué exponente hay que elevar el 2 para que dé

128. Ese exponente es 7, es decir que 27 = 128

O también, aplicar la definición de potenciación y la propiedad asociativa del pro-

ducto:

23 x 24 = (2x2x2) x (2x2x2x2) = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 27 = 128

Dados tres números naturales, a, b y n, se verifica que la potencia enésima del

producto a x b es igual al producto de las potencias enésimas de los factores. En

símbolos: (a x b)n = an x bn

Por los resultados obtenidos, podemos escribir: 23 x 24 = 23+4

Esa igualdad se verifica para cualquier número natural a, m y n. Y esto es

así porque:

an x am = a x a x....x a x a x a x a x...x a x a = a x a x a x… x a x a x a = an+m

n factores m factores n+m factores

Esa demostración nos permite enunciar la siguiente propiedad:

El problema 47 plantea lo que técnicamente se conoce como potencia de

otra potencia. La cuarta potencia de 32 da 6.561. En símbolos:

(32)4

= 32 x 32 x 32 x 32 = 38 = 6.561

Dejamos a Ud. la tarea de demostrar, con lo que ya aprendió sobre poten-

cia que para tres números naturales a, p y q se verifica que: (ap)

q= a

pxq

En el problema 48 se plantea el cálculo de una suma elevada al cuadrado.

Y el esquema ayuda a pensar que es Daniel quien tiene razón.

Daniel hace: (3 + 2)2 = 52 = 25

Julio, al hacer 32 + 22 = 9 + 4 = 13, solamente tiene en cuenta las áreas de

los cuadrados, y no tuvo en cuenta los dos rectángulos que hacen falta para com-

pletar el cuadrado grande. En este problema, los rectángulos tienen un área de 6

metros cuadrados cada uno.

En general, ¿cómo se calcula el cuadrado de (a + b)? Se aplica la definición

de potenciación y la propiedad distributiva del producto con respecto a la suma:

(a + b)2 = (a + b) x (a + b) = a x (a + b) + b x (a + b) = a2 + axb + bxa + b2

Y finalmente, aplicando la propiedad conmutativa del producto, podemos

escribir:

(a + b)2 = a2 + axb + axb + b2

El producto de dos potencias de igual base es otra potencia de la misma base

cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las mismas

Actividades

93) Escriba la lista de todos los números cuadrados que sean menores que

1000.

94) De la lista de números anterior, a) ¿Qué cifras figuran en el lugar de las

unidades? ¿Qué regularidad observa? b) ¿Si un número tiene 4 en las unidades,

¿qué dígito es el de las unidades de su cuadrado? c) ¿Qué números tienen en las

unidades la misma cifra que sus cuadrados?

95) Escriba la lista de todos los números cubos menores que 10 000.

Conteste a las preguntas formuladas en la actividad 40.

96) Resuelva: a) 52 x 5 b) 62 x 6 x 6 c) 22 x 2 x 23

97) En la solución propuesta al problema 45, se mostró con un ejemplo la

propiedad distributiva de la potenciación con respecto al producto y luego se dio la

expresión general: (a x b)n = an x bn

A continuación Ud. encontrará una sencilla demostración que da validez a

esa generalización audaz que planteamos anteriormente.

(a x b)n = (axb) x...x (axb) = axbxaxbx…xaxb = axaxa…xaxbxbxbx…xb = anxbn

n factores iguales a axb

Explique por qué es válido escribir cada una de las igualdades anteriores.

98) Se tienen 70 baldosas cuadradas iguales. Sin partir ninguna baldosa, se

quiere obtener una superficie cuadrada lo más grande posible. a) ¿Cuál es el

número de baldosas que hay que colocar en cada hilera? b) Se quiere agrandar el

cuadrado, ¿cuál es la mínima cantidad de baldosas que habría que comprar para

que la superficie siga siendo cuadrada?

99) ¿Cuál deberá ser el valor del número natural a, para que (a + 3)2 = 100?

100) Existen sucesos en nuestro mundo en los que aparecen cantidades

enormes, por ejemplo, cuando se dan en kilómetros las distancias aproximadas de

los diferentes planetas al Sol.

Una forma más abreviada de escribir esos números es usando las poten-

cias de 10. Consideremos la distancia de Mercurio al Sol: 58.000.000 kilómetros,

es decir, 58 millones de kilómetros. Podemos escribir este número de la siguiente

manera: 58 x 1.000.000 . Hemos escrito 58 por un millón pero 1.000.000 es, a su

vez igual a 10 6 . Por lo tanto: 58.000.000 = 58 x 1.000.000 = 58 x 10 6

La distancia de la Tierra al Sol es 150.000.000 = 150 x 106

o 15 x 107

.

Decida si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos. Justifique.

a) La distancia de Urano al Sol es 287 x 107.

b) La distancia de Plutón al Sol es 59 x 106

c) La distancia de Plutón al Sol es 5.900 x 106

d) Venus está a 50 x 106 km más lejos del Sol que Mercurio.

e) La distancia de Urano a la Tierra es 262 x 107.

101) Las diferentes vías de transmisión del virus VIH1 tienen que ver con

modos de relación entre la gente, y por eso es muy complejo aprender a prevenir.

Un modo de transmisión es a través de las relaciones sexuales. Cuando

empezó a difundirse información sobre la enfermedad en el mundo occidental (a

principios de los años 80) se la llamaba "la peste rosa" porque la mayor parte de

los infectados eran personas (hombres) con prácticas homosexuales. Pero con el

transcurso del tiempo los individuos infectados ya no pertenecen a determinados

grupos minoritarios, sino que pertenecen a amplios sectores de la población hete-

rosexual. Está mostrado científicamente que el uso sistemático de preservativos

de látex es altamente eficiente para reducir los riesgos de contagio.1Datos suministrados por el Dr. Hugo Roland, infectólogo.

Una persona que entró en contacto con el VIH, puede convertirse en porta-

dor del virus y transmitirlo a otros sin que sienta manifestaciones de la enferme-

dad. Pueden pasar varios años entre el momento de la infección y el momento en

que aparecen los síntomas de SIDA, inclusive puede permanecer infectado de por

vida sin evolucionar hacia SIDA, pero contagiando a las personas que, sin tomar

precauciones, se relacionan con él.

Veamos cómo se arma una historia, que puede ser muy común, y que

empieza con un encuentro sexual entre dos personas, Sara y Miguel.

Estudios estadísticos realizados con jóvenes de nuestra sociedad, dieron a

conocer modos de relación que se muestran en las fotos que siguen. El año ante-

rior Sara y Miguel tuvieron relaciones sexuales con otras tres personas. En la foto

se ve que, con respecto a un año atrás, "entran" en la relación de Sara y Miguel 6

personas más.

Reiterando ese comportamiento, cada una de esas personas tuvo relacio-

nes sexuales con otras 3 personas. Entonces con respecto a dos años atrás, en el

encuentro, además de Sara y Miguel, y los 6 del año anterior, aparecen involucra-

dos directa o indirectamente otras 18 personas. Con respecto a tres años atrás,

el esquema de relaciones que muestra la foto, estarían implicadas en la relación

de Sara y Miguel otras 54 personas .

Si seguimos retrocediendo en la historia de la relación de Sara y Miguel, el

número de personas relacionadas directa o indirectamente, no entraría en la foto.

Según este comportamiento se puede calcular que para 10 años atrás, el

número de personas involucradas sería 177.146.

Suponiendo que el comportamiento de Sara es estadísticamente el des-

cripto, realice un diagrama de árbol para mostrar la cantidad de personas con las

cuales se relacionó directa o indirectamente en el transcurso de los últimos tres

años, previos al encuentro con Miguel. ¿Cuántas personas son, en total? ¿Cómo

puede calcular ese número para los 5 años previos al encuentro? ¿Cuál sería el

efecto si Sara y Miguel usaran preservativos?


Problema 48: (ap)q = apxq Esta igualdad es verdadera porque aplicamos la

definición de potenciación, y luego el producto de potencias de igual base. Así:

(ap)q = ap x ap x ... x ap = a p+ p+...+ p = apxq

q factores

Actividades

93) 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289,

324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961.

94) a) las cifras 0, 1, 4, 5, 6 y 9 figuran en las unidades. Se observa que se

repite el ciclo 0, 1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0; y que al interior del ciclo hay una espe-

cie de simetría: el 0 está en los extremos, el 1 está en segundo y penúltimo lugar,

el 4 en tercero y antepenúltimo lugar, y así sucesivamente. Podríamos decir que

encontramos la misma cifra en lugares que son equidistantes de los extremos.

b) Si un número tiene 4 en las unidades, el cuadrado tiene un 6.

c) 0, 1, 5, 6.

95) 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1.000, 1331, 1.728, 2.197,

2.744, 3.375, 4.096, 4.913, 5.832, 6.859, 8.000, 9.261. Las cifras de las unidades

son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Se repiten las cifras en el orden: 0, 1, 8, 7, 4, 5, 6,

3, 2, 9. Si un número tiene 4 en las unidades, su cubo tiene también 4. Los núme-

ros que tienen en las unidades la misma cifra que sus cubos son 0, 1, 4, 5, 6, 9.

96) a) 53 = 125 b)64 = 1296 c) 26 = 64

97)

(a x b)n = (axb) x (axb) x...x(axb) = axbx…xaxb = axaxa…xbxbx…xb = anxbn

Las expresiones son equivalentes porque, en 1, se aplica la definición de

potenciación (la base es a x b y el exponente es n); en 2 se aplica la propiedad

asociativa del producto; en 3 se aplica la propiedad conmutativa del producto; y n

factores iguales a a es an.

98) a) 8 baldosas b) 11 baldosas

99) a = 7, ya que se verifica (7 + 3)2 = 102 = 100

100) a) Verdadero. Porque 287 x 107 = 287 x 10.000.000 = 2.870.000.000

b) Falso. Porque 59 x 106 = 59 x 1.000.000 = 59 000 000 = 5.900.000.000

(OJO: el símbolo = se lee "no es igual" o "no es equivalente").

c) Verdadero. Porque 5.900 x 106 = 5.900 x 1.000.000 = 5.900.000.000

d) Verdadero. Porque 108.000.000 - 58.000.000 = 50.000.000 = 5 x 106

e) Falso, es 272 x 107.

101) Sara se encuentra con Miguel, supongamos en el año 2002. Ese sería

el año 0. La información dice que cada persona tiene relaciones con tres personas

diferentes por año. Una representación posible es:

1 = 30 3 = 31 9 = 32 27 = 33

El total de personas involucradas, directa o indirectamente con Sara, en el

transcurso de los últimos tres años previo al encuentro con Miguel es entonces:

1 + 3 + 9 + 27 = 40

1 2 3 4

Sara 2001

2000

1999 Etc.

3 = 31

9 = 32

27 = 33

1 = 30 2002

Para los últimos cinco años, habría que ampliar el árbol dos años más, lo

que significa numéricamente sumar 34 y 35. Sería entonces:

1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364

Si Sara y Miguel usaran preservativos, se “cortaria” la cadena de personas

involucradas en esa relación.

Apellido y nombre: Sede:

DNI: Fecha:

Resuelva justificando todas sus respuestas y escriba todos los planteos uoperaciones que realice.

Para contar

1) Un supermer-

cado tiene 5 puertas.

Tres son de entrada y

salida y las demás sola-

mente de salida. ¿De

cuántas maneras se

puede entrar y salir de

ese supermercado?

2) En el siguiente diagrama de árbol está organizado un "árbol genealógi-

co" partiendo de una abeja macho o zángano, y considerando las sucesivas gene-

raciones, ordenadamente hacia atrás (1a, 2a y 3a)

TRABAJO PRÁCTICO N° 1MATEMÁTICA

Supermercado

�� Complete el árbol hasta llegar a la 6a generación hacia atrás.

�� Usen el diagrama para completar la tabla con la cantidad de abejas

hembra y de abejas macho que hay en las generaciones anteriores de una abeja

macho.

�� ¿Cuántas hembras hay en total?

Orden

a) 3 __ 7 b) 11 __ 2 + 10 c) 0 __ 0 d) 15 __ 51 - 29

4) Escriba todos los números naturales (x) que cumplen con:

a)

Recta numérica5) Ubique en el dibujo los números: 0, 3 y 6

Sistema Decimal

6) El número representado a continuación es 195.

a) Ese número tiene . . . . . . . . .cent.+ . . . . . . . . dec.+ . . . . .unid.

b) Ese número tiene . . . . . . . . . .dec. + . . . . . . . . unid.

c) Ese número tiene . . . . . . . . . . unid. en total.

d) Agréguele al número anterior, 1 decena, ¿qué número obtuvo?

Generación anterior 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª

Cantidad de abejas hembra

Cantidad de abejas macho

1 4

701 < x ? 707 b) x ≥ 1.002 y x < 1.007

7) ¿Cuántas centenas sueltas y cuántas unidades de mil en total tiene el

número 23.457?

8) El número 386 está expresado de distintas maneras. Subraye las correc-

tas.

a) 3C + 8D + 6U b) 3C + 7D + 26U c) 2D + 18D 6U d) 1C + 1D + 76U

e) 2C + 17D + 16U f) 3C + 7D + 16U

La línea del tiempo y números romanos

9) Considere la línea del tiempo dada. En ella se marcó el comienzo del

siglo XVI. Responda las siguientes preguntas.

a) ¿En qué siglo ocurre el suceso B?

b) ¿En que año estima que ocurre el suceso B? y el A?

c) ¿Cuántos siglos trascurren entre los suceso B y C?

10) Un hecho ocurre en el año 648 y otro en la mitad del siglo XII.

a) Represente en una línea del tiempo ambos hechos.

b) ¿Cuántos siglos transcurrieron entre los hechos aproximadamente?

Trazos geométricos

11) Observe la siguiente figura, en la que se ha desplazado una escuadra

usando como guía una regla.

¿Cómo es la recta a respecto la c?

¿Cómo es la recta b respecto la c?

¿Cómo es la recta a respecto la b?

XVI

B A C

a

b

c

Potencia

12) Resuelva

a) 23 x 22 = c) 2 x 33 x 25 =

b) (23)2 = d) (23)2 + 5 x 42 =

13) Alguien afirma lo siguiente: (a + b)3 = a3 + b3 para cualesquiera números

naturales a y b. Pruebe que esa afirmación es falsa. (Use un contraejemplo).

Propiedades de las operaciones

14) Una con flechas según corresponda. (a, b y c son números naturales):

Problemas

15) ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar que cumplen con las

siguientes condiciones? (Como ayuda puede utilizar un diagrama de árbol).

a) La cifra de la centena es: 1 o 9.

La cifra de la decena es: 2, 8 o 5.

La cifra de la unidad es: 0, 7 o 8.

b) Escriba el menor y el mayor de todos esos números.

16) Se retiraron del Banco $ 7.750,00 de la caja de ahorro. ¿Cuánto era el

saldo antes del retiro si el saldo actual es de $ 680,00.

17) La dirección de Juan es tal que el número de su calle supera en 529 al

número de Marta. La dirección de esta última es Montes al 1.047. ¿A qué altura

vive Juan?

Propiedad En símbolos

Asociativa de la multiplicación am x an = am + n

Conmutativa de la multiplicación (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+c

Distributiva de la multiplicación respecto la suma (am)n = am x n

Conmutativa de la suma a x (b + c) = a x b + a x c

Asociativa de la suma (a x b) x c = a x (b x c) = a x b x c

Potencia de otra potencia a x b = b x a

Producto de potencias de igual base c + b = b + c

18) La tabla muestra los precios de las localidades para una función de

ballet.

Juan fue al teatro y compró entradas en la primera fila; pagó $ 260 más que

si las hubiera comprado en pullman. ¿Cuántas entradas compró?

19) Escriba una situación de la vida cotidiana que pueda representarse con

una expresión como la siguiente: a) 2 x 4 + 5 = 13

20) En la figura se representa

cuatro apilamientos de cajas. Cada

caja contiene 24 latas de aceite.

¿cuántas latas hay en total?

21) a) Encuentre el cociente y el resto de la siguiente división: 136 15

b) Siendo que: 764 = 6 x 127 + 2, sin realizar la división diga, ¿cuál es

el cociente y el resto de la división 764 6?

22) En el dibujo a) se han trazado tres figuras sobre un cuadriculado

siguiendo una determinada ley de formación. Comenzando por la más pequeña

hasta la mayor. La consigna es agregar tres más de modo que las nuevas sigan

esa ley. Habrá que observar regularidades en las figuras, ver qué se conserva o

cómo cambian.

Hacer lo mismo para los dibujos b) y c)

Platea, filas 1 a 16 Platea, filas 17 a 35 Pullman

$ 50 $ 42 $ 30

a) b) c)

Matemática

Lección 2: ¿Cómo indicar lugares? ..........................................................................163

Lección 3: ¿Cómo indicar lugares? Uso de planos ..................................................169

Lección 4: Divisores y múltiplos ...............................................................................175

Lección 5: Los números negativos ............................................................................187

Lección 6: Suma y resta con números enteros .........................................................197

Lección 7: Multiplicación y división de enteros ......................................................209

Por una cuestión de autonomía conviene saberhacer las operaciones a mano, pero ya que las calcu-ladoras se usan en muchas actividades cotidianas ypueden ser muy eficaces si uno las usa correctamen-te, también conviene aprender a utilizarlas. Ya en lec-ciones anteriores hemos sugerido hacer algunascuentas con la calculadora, ahora vamos a trabajar unpoco más sistemáticamente con ella.

Hay muchos tipos de calculadoras, cada una tiene sus características pro-pias, así que le proponemos algunas actividades para ayudarle a conocer la queUd. usa, al menos para hacer las cuatro operaciones fundamentales.

La primera cosa a tener en cuenta, como en cualquier aparato, es ver cómose enciende y qué indican los signos dibujados sobre las teclas. Por ejemplo ladivisión aparece a veces como y otras como . La multiplicación está indicadacon o también con .

Pero hay otros aspectos más sutiles y de gran importancia para hacer loscálculos. Todos los problemas y actividades que siguen, salvo que se indique locontrario, son para resolver usando calculadora.

Problema 1: Calcule 4 + 6 x 5Problema 2: ¿Qué peso lleva un camión que transporta 75 bolsas de trigo de

70 kg cada una y 75 bolsas de cebada de 55 kg cada una?Problema 3: Resuelva:

a) 25 x 37895 = b) 37895 : 5 = c) 458907 + 37895 =

d) 100000 - 37895 =

LECCIÓN 1Contenido: uso de la calculadora

/:*x

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 4: En general las calculadoras tienen una capacidad de ocho dígi-tos. Así, la suma 99 999 999 + 1 no es resuelta por la calculadora y el visor mues-tra error. Otras calculadoras muestran como resultado de esa suma 1. 08 ¿Cómointerpreta ese resultado?

Problema 5: Supongamos que una calculadora tiene capacidad de ochocifras. Resuelva:

a) 79 034 451 483 + 43 290 586 541b) 74 039 152 387 - 35 487 594 218c) 38 500 x 7520 d) 4441 380 x 96e) 49 673 x 6473

Problema 6: Sobre las casillas de un tablero de ajedrez se pone: un grano detrigo en la primera casilla, dos sobre la segunda, cuatro sobre la tercera, etc. dupli-cando en cada casilla el número de granos de trigo. ¿Cuántos granos de trigohabrá en la octava casilla? ¿Y en la decimoquinta?

Soluciones propuestas¿Qué se puede aprender con esos problemas?Fundamentalmente puede aprender a conocer su calculadora y aplicar

algunas de las nociones ya estudiadas relativas al sistema de numeración y ope-raciones.

Al efectuar con la calculadora la cuenta propuesta en el problema 1

En unas calculadoras se obtiene 50

4 + 6 x 5 =otras dan como resultado 34

A) Si el resultado es 50 significa que la calculadora operó en el orden dado:(4 + 6) x 5 = 10 x 5

B) Si el resultado es 34, significa que la calculadora ha multiplicado primeroy sumado después, 4 + (6 x 5). Esta calculadora jerarquizó las operaciones.

La calculadora de tipo B resolvió la cuenta "como si supiera" matemática yaque separó en términos. Cuando se da una combinación de operaciones, los sig-

nos más y menos separan en términos; se resuelve cada término y finalmente secalculan las sumas y las restas indicadas.

Si se quiere obtener una solución como la que hizo la calculadora de tipo A,entonces es necesario indicar con paréntesis el orden en que se hacen las opera-ciones. Habría que denotar (4 + 6) x 5.

¿Y cómo se resuelve la cuenta 4 + 6 x 5 con una calculadora de tipo A? Elusuario tiene que aprender a usar la memoria, ese es un lugar donde se puedeguardar un número. Para hacerlo hay que tener el número en la pantalla y apretarla tecla Min, o en otras calculadoras Ms. Para recuperar lo que hay en la memoria,se aprieta la tecla MR. Para borrar lo que hay en la memoria a veces está la teclaMc. Si no encuentra cómo borrar, al apagar la calculadora, se borra la memoria.

Entonces, en nuestro cálculo, con una calculadora de tipo A, habría queguardar en la memoria el 4, con AC o C se puede iniciar un cálculo, resuelve el pro-ducto y luego suma con M+ o MR lo que tenía en la memoria.

Como Ud. ve es difícil dar indicaciones generales, porque hay una grandiversidad de calculadoras. La idea es que Ud. intente conocerla con cálculos sen-cillos, que Ud. pueda verificar manualmente. Y seguramente se preguntará, ¿sitengo que hacer los cálculos a mano, para qué voy a aprender a usar la calcula-dora? Y es muy válida la cuestión, solamente podemos decir que si logra encon-trar un modo de conocer una calculadora para estas cuentas básicas, podrá"domar" cualquier calculadora que se le presente.

Un libro de texto1 indica lo siguiente:"Para resolver: 2 x 3 - 5 x 8 + 4 x 7 en una calculadora del tipo A, se haría

así:

Min2 x 3 = o 5 x 8 = M- 4 x 7 = M+ MR

M+

Si la calculadora tiene la tecla M+ pero no M-, entonces se cambia el signodel sumando y se pulsa la tecla M+."

¿Y qué es el cambio de signo? El mismo texto dice:

1 Matemáticas, Bachillerato 1. M. de Guzmán, J. Colera, A. Salvador, Grupo Anaya 1987, pp.14-15

Las teclas CS o +/- cambian el signo de lo que hay en la pantalla. La operación ante-rior, sin tecla M- se haría así:

Min 2 x 3 = o 5 x 8 = +/- M+ 4 x 7 = M+ MR

M+¡A Ud. le toca distinguir cómo funciona la calculadora que tiene a mano!!

Actividades

1) Se compraron 8 pelotas de fútbol a $ 60 cada una, y 13 pares de zapati-llas a $ 75 cada par. ¿Cuánto se pagó?

2) La suma de tres números es 12725; los dos primeros suman 7560 y elsegundo es 2349. Calcule los tres números.

3) a) 8 x 7 - 5 x 4 b) 17 - 2 x 3 + 7 ÷ 2 = c) 67 x 23 ÷ 5 =d) 7 x 50 ÷ 16 = e) 300 : (4 x 5) f)300 : (4 +5)

4) ¿A qué expresiones corresponde cada una de las secuencias siguientes?

5) Resuelva la siguientes expresión:A = (56 - 34) (21 + 78)

6) Usando la calculadora, encuentre el resto de la división entera y elcociente de: 35 472 ÷ 645

7) La siguiente actividad es para hacer en grupos de a 2. Uno de los parti-cipantes tiene en sus manos una calculadora, y es quien elige los números y eje-cuta las operaciones que indican los diferentes pasos. El otro es el que dicta el"enunciado".

La cifra de la centena es el número elegido en el paso 1 y las cifras de lasdecenas y las unidades es el número que sumó en el paso 8. Juegue varias veces,e intente explicar por qué es posible "adivinar" los números elegidos en los pasos1 y 8.

Sugerencia: Utilice las propiedades de la multiplicación y la descomposiciónde los números en potencia de 10.

Cuestión: Cuando resta 132 y obtiene sólo dos dígitos ¿Cuál es el númerode una cifra elegido?

8) Esta actividad también es para hacer con un compañero, uno con unacalculadora y el otro dando la secuencia de pasos. En este caso, cualquiera sea elnúmero que haya elegido su compañero, el resultado final será siempre 5.

1- Escriba en la calculadora un número de una cifra

1. Escriba en la calculadora cualquier número que tenga menos de ocho dígitos y que sea fácil de recordar. No lo muestre.

365

2. Multiplique ese número por 3. 3. Sume 15 a ese resultado. 4. Multiplique la repuesta por 2. 5. Divida ese resultado por 6. 6. Reste del total el número original.

365 x 3 = 1095 1095 +15 = 11101110 x 2 = 2220 2220 / 6 = 370 370 – 365 = 5

Pueden constatar este hecho haciendo varios ejemplos, y luego intentenjuntos explicar por que sucede eso.

Variaciones: cuando repita este juego cambie el paso 3 y el resultado finalserá un número diferente.

La tabla que sigue muestra algunos ejemplos: si en el paso 3 suma 3, elnúmero final será 1; si suma 6 el número final será 2. Busque la explicación.

Si el resultado final es 9, ¿qué número se sumó en el paso 3? ¿Y si es 10?¿Y si es 15?

Claves de corrección de las actividades previas

Problema 2: 75 x 70 + 75 x 55 = 75 x (70 + 55) = 9375Esta operación, utilizando una calculadora tipo A podría realizarse presio-

nando la sucesión de teclas:

Para una tipo B podría ser:

Problema 3: a) 947375 b) 7579 c) 496 802 d) 62 105

Problema 4: 1 . 08 se interpreta como 1 x 108 , la calculadora expresa losresultados (o bien aproximaciones) en potencias de 10 cuando el número quemuestra excede la capacidad de la máquina.

Suma 3 6 9 12 15 18 21 24

Total final

1 2 3 4 5 6 7 8

Así, 99 999 999 + 1 = 100 000 000 = 1 x 108.

Problema 5: Como el número de cifras excede la capacidad de la calculado-ra, hay que "cortar" el número y recomponer después el resultado.

a) La suma a resolver es: 79 034 451 48343 290 586 541

Por ejemplo "cortamos" cada número en las centenas de mil, es decir inclui-mos hasta la posición 105 en una suma, y desde 106 en otra suma. (Por un ladose suma la cantidad de millones, y por el otro la cantidad de unidades.)

79 034 451 483+ 43 290 586 541

122 324 1038 024 El dígito 1, en este número, ocupa el lugarde los millones (106), entonces hay que sumarlo al dígito 4, de la otra parte delnúmero que también está en el lugar de los millones.

El resultado final es: 122 325 038 024.

b) La resta planteada es:74 039 152 38735 487 594 218

En este caso no conviene "cortar" en las centenas de mil porque de hacer-lo resultaría el minuendo menor que el sustraendo. Entonces conviene elegir elcorte entre la unidad de millón 106 y la decena de millón 107. Así:

7403 9 152 387- 3548 7 594 218

3855 1 558 169 El resultado es: 38 551 558 169

c) Conviene, en este caso en que los números "terminan" en cero, expre-sarlos como un producto donde uno de los factores es una potencia de 10. Así:38 500 x 7520 = 385 x 102 x 752 x 10 = 385 x 752 x 102 x 10 =

+

+

-

-

El producto de los dos primeros factores se puede hacer con la calculado-ra, y luego multiplicar ese resultado por 103:289 520 x 103 = 289 520 000

Se puede presionar en la calculadora la secuencia 3 8 5 x 7 5 2 = y agregar al resultado de la calculadora tres ceros a la derecha. (289520000)

d) La multiplicación a resolver es: 4 441 380 x 96Hay varias posibilidades, nosotros proponemos expresar el segundo factor

como diferencia, aplicar la propiedad distributiva, resolver los productos y final-mente restar los resultados obtenidos.

4 441 380 x 96 = 4 441 380 x (100 - 4) = 4 441 380 x 100 - 4 441 380 x 4 =444 138 000 - 17 765 520 Llegamos a uno de los problemas anteriores, el

de resolver una resta que excede la capacidad de la máquina.El resultado de esa cuenta es: 426 372 480

e) Se trata de resolver 49 673 x 6473. Aquí también hay varias posibilidadespara expresar esos factores y "cortarlos", proponemos llevar este caso a algunasde las soluciones anteriores. Así:

49 673 x 6473 = 49 673 x (6 x 103 + 473) = 49 673 x 6 x 103 + 49 673 x 473= 298 038 x 103 + 23 495 329 = 298 038 000 + 23 495 329 Y se vuelve al pro-blema de resolver una suma, el resultado es: 321 533 329

Problema 6:En la primera casilla coloca

un grano de trigo, y en cada casillase duplica, se puede expresar esalista de números como potenciasde 2. Así,la primera casilla, sedenota: 20 = 1,

La segunda casilla: 21 = 2La tercera casilla: 22 = 4Se observa que al empezar

con exponente cero en la primeracasilla, el valor del exponente esuna unidad menor al número deorden de la casilla.

La octava casilla: 27 = 128La decimoquinta: 214 = 27 x 27 = 128 x 128 = 16 384


1) 8 x 60 + 13 x 75 = 1455 $ es el costo, y se supone que es lo que se pagó.2) "el primero" + 2349 = 7 560 entonces "el primero" es 5211

7560 + "el tercero" = 12 725 entonces "el tercero" es 5165

Otro modo de resolver es la siguiente:

a + b + c = 12 725 Pero se sabe que el segundo que denotamos b, esb = 2349. Entonces: a + 2349 = 7560, de donde a = 5211. Calculamos c,

haciendo: c = 12 725 - (5211 + 2349) = 5165

3) a) 36 b) 14,5 c) 308.2 d) 21.875 e)15 f) 33.3333333

4) Inciso Calculadora tipo A Calculadora tipo B

a) (3 + 4) : 5 = 1.4 3 + (4 : 5) = 3.8b) (3 : 4) + 5 = 5.75 (3 : 4) + 5 = 5.75c) (3 x 4) : 5 = 2.4 (3 x 4) : 5 = 2.4 d) (3 : 4) x 5 = 3.75 (3 : 4) x 5 = 3.75e) (3 : 4) : 5 = 0.15 (3 : 4) : 5 = 0.15 f) (3 : 4) - 5 = -4.25 (3 : 4) - 5 = -4.25

5) A = 2178

6) Al hacer 35 472 : 645 la calculadora muestra: 54.995348Pero el ejercicio pide el cociente y el resto de la división entera, entonces

hay que recurrir a la definición: 35 472 = 645 x 54 + r, con 0 < r < 64535 472 = 34 830 + r, de donde r = 642. El cociente entero es 54 y el resto 642.

7) Se puede simbolizar los nueve pasos, para una cifra cualquiera.Ordenamos los pasos en la siguiente tabla:

Paso Expresado en símbolos1 a Representa el número elegido de una cifra2 5 x a3 5 x a + 54 (5 x a + 5) x 10 = 50 x a + 50

5 50 x a + 50 + 20 = 50 x a + 706 (50 x a + 70) x 2 = 100 x a + 1407 100 x a + 140 -8 = 100 x a +1328 100 x a +132 + bc9 100 x a +132 + bc - 132 = 100 x a + bc = abc

En el paso 8 se suma un número cualquiera de dos cifras, el cual se repre-senta por bc

En el último paso se ve que 132 se elimina con -132. Y por estar a multipli-cado por 100 se convierte en la cantidad de centenas.

En el ejemplo a = 6, b = 8 y c = 2 con lo cual abc = 682Si a = 0, el número final será bc es decir tendrá 2 cifras.

8) Lo que se hace es simbolizar lo que expresa el enunciado. Al iniciar, seelige un número que se preserva a lo largo de toda la actividad. Se indican opera-ciones siempre sobre ese número; escriba las diferentes cuentas y verá que alaplicar las propiedades de las operaciones de números naturales, llega al últimopaso y ese número que eligió se anula, y queda el 5. Se pueden ordenar esospasos en una tabla:

Paso Expresado en símbolos

1 365 (Número elegido)2 365 x 33 365 x 3 + 154 (365 x 3 + 15) x 2 = 365 x 6 + 305 (365 x 6 + 30) : 6 = 365 + 5 6 365 + 5 - 365 = 5

Para analizar las variaciones, el paso 3 se recuadró el número que se suma,y luego se observa que ese número se multiplica primero por 2 y luego el se divi-de divido por 6; en símbolos:

… x 2 : 6 = __ entonces si se suma 15, el resultado es 15 x 2 : 6 = 5Si el resultado es 9, en símbolos: … x 2 : 6 = 9; en el recuadro debe ir 27 Si el resultado es 10, en el recuadro debe ir 30 porque: 30 x 2 : 6 = 10Si el resultado es 15, en el recuadro debe ir 45 porque: 45 x 2 : 6 = 15

Se inicia el tema de los modos de ubicación y orientación en el espaciourbano y rural. La idea es plantear algunos problemas donde Ud. tenga que pro-ducir información verbal o escrita, para comunicar a alguien que va a pie, con unmedio de movilidad propio, o en un medio de transporte, un lugar determinado. Suinterlocutor puede o no disponer de un croquis, o de un plano, mapa, o fotografíaaérea, y cualquiera de esas situaciones puede darse en el espacio urbano o en elrural1 .

Problema 7: Un modo de orientarse es a través de los puntos cardinales.¿Cómo determina uno de ellos? Y dado uno, ¿cómo puede determinar los otros?

Problema 8: Dibuje un croquis de la sala donde tiene lugar la tutoría.Compare su dibujo con el de un compañero.

Problema 9: Dibuje un croquis para determinar la ubicación de la sala en eledificio. Compare su dibujo con el de un compañero.

Problema 10: Describa por escrito las instrucciones que le daría a alguienpara indicar el trayecto desde la puerta de entrada al edificio hasta esa sala.

LECCIÓN 2Orientación en el espacio urbano yrural¿cómo indicar lugares?



El problema 7 tal vez le aporta poco conocimientonuevo. Una brújula permite ubicar el Norte magnético.También el sol y las constelaciones son de gran ayuda,guiaron a los primeros viajeros. De frente al Norte, el Surestá a su espalda, el Este está a la derecha y el Oeste ala izquierda. Los ingenieros agrimensores, o los cartó-grafos, ubican en sus representaciones el Norte con unaflecha hacia arriba, y luego orientan el dibujo.

Usualmente, cuando uno transita por lugares poco conocidos, se ayuda conel sol. Debido al movimiento de la tierra se ve que el sol "sale" por el Este.

Cuestión: ¿Adónde están los otros puntos cardinales si el sol le queda aespaldas?

Muchas veces, sobre todo la gente de la ciudad, no utiliza los puntos cardi-nales para ubicar los lugares y recurre a otras formas escritas como croquis, pla-nos, mapas, y también orales como instrucciones, itinerarios, etc. Varía mucho eltipo de texto si la persona que se desplaza va a pie, tiene movilidad propia o tomaun transporte urbano.

Los problemas que siguen tienen como finalidad ponerlo a Ud. en la situa-ción de comunicar información. Sería muy importante hacer efectiva la comunica-ción, para corroborar si las instrucciones o el dibujo realmente cumplen con la fun-ción de comunicar una localización. Si el receptor no logra llegar a destino, habráque buscar un acuerdo sobre los puntos que presentan ambigüedad.

La comparación entre las producciones es muy importante porque pondráde manifiesto cuáles son las referencias tomadas, cuales son los datos que cadauno considera importante comunicar, cuáles son las dificultades para realizar latarea, cómo se organiza la información en el caso de recurrir al dibujo o cómo sedan las instrucciones, en el caso de que la descripción sea oral o escrita.

Conviene, a través del diálogo con sus compañeros, que trate de perfec-cionar la forma de comunicación elegida, y luego que busquen otras posibilidadesde comunicación.

Actividades

9) Ud. está en un espacio urbano, con sus compañeros en el estableci-miento donde tiene lugar la tutoría y tiene que dar indicaciones verbalmente a uncolega, Pablo, para que vaya hasta un destino dado. Sugerencia: para que estaactividad sea realmente un problema, trate de NO elegir un destino que sea obvio.Intercambie ese mensaje con sus compañeros y evalúe si efectivamente Pablopodrá llegar al lugar que busca. Escriba las instrucciones en cada caso:

a) Pablo va caminando, y el destino A es próximo,b) Pablo va en un medio de movilidad propio, y el destino B no

es próximo,c) Pablo va al mismo destino B, pero esta vez en un medio de

transporte urbano.d) Pablo va a ambos destinos, saliendo cada vez desde el

espacio de la tutoría, pero Ud. tiene un plano para indicarle el recorrido.

10) Juan tiene que visitar a un nuevo cliente que vive en una localidad delas sierras. Ese Sr. le dio el nombre del pueblo, y le envió a Juan, por fax, un cro-quis indicándole la ubicación de su casa.

Después, mirando el croquis, Juan le explicó por teléfono a un amigo ellugar donde vivía ese nuevo cliente. ¿Qué imagina Ud. que dijo Juan? ¿Cómo serí-an las instrucciones que daría Juan si su amigo entrara al pueblo por el caminoseñalado con A?

11) ¿Cuál o cuales de las siguientes referencias cardinales, es correcta?Explique el o los criterios que utiliza para discriminarlas.

12) Ahora Ud. está en un espacio rural, y una persona que tiene un mediode movilidad propio le pide indicaciones para llegar hasta la casa de la Sra.Mónica. No dispone de planos o mapas impresos, puede hacer un croquis o un iti-nerario. ¿Cuáles son las referencias que toma?

13) Es una situación común, que al ingresar por primera vez a un domicilouno pierda la orientación. Por ejemplo, en el interior, uno no sabe señalar la ubi-cación de la calle por la que ingresó. Considere que se encuentra en el departa-mento de un amigo, el cual se halla en la manzana delimitada por las calles SantaRosa, La Rioja, Rivera Indarte y General Paz. Para llegar al departamento debeingresar por Santa Rosa, subir a cualquiera de los ascensores (de sólo una puer-ta) que se ubican a su izquierda al ingresar, marcar el 7°, bajar del ascensor, porel pasillo, dirigirse hacia la izquierda, y caminar unos metros y luego tomar el pasi-llo hacia la derecha. Al fondo, encuentra la puerta del domicilio de su amigo. Alingresar al departamento por esta puerta, a su izquierda se ubica el living y másallá en dicha dirección el balcón que da a la calle. ¿Qué calle es esa?


Problemas 8 y 9: se intenta privilegiar la comunicación a través de una repre-sentación gráfica. Es muy importante comparar las producciones para distinguircuáles son las dificultades que cada uno encontró, qué vocabulario geométrico se

usa (en línea recta, paralelo, perpendicular, giro, etc.), qué relaciones espacialesaparecen (arriba, abajo, atrás, entre, a la izquierda, a la derecha, etc.), cuáles sonlos objetos que sirven de referencia (fijos o móviles, reales o virtuales, etc.). Le recordamos que convencionalmente, el Norte está arriba, y lo que se orienta esel dibujo.

En el problema 10 se pide dar instrucciones por escrito, pero sin croquis.Aunque el destino es el mismo que el del problema 9, la forma de comunicaciónexige un uso más preciso del repertorio verbal.


9) Se trata de pensar, en cada caso, cómo se organiza la información y cuá-les son las referencias tomadas. Por ejemplo en el caso de ir a un destino que noes próximo y con un medio de transporte urbano, el "pasajero" puede no tener ideaclara del recorrido y sí tener un mayor conocimiento de la zona de partiday de la zona de destino. En cambio, si es él quien tiene que tomar decisiones, lasreferencias intermedias entre la partida y la llegada, son muy importantes.

10) El itinerario que podría dar Juan es: "se entra por la ruta, desde CarlosPaz, y cuando aparece el cartel "Zona Urbana" que corresponde al pueblo, dismi-nuye la velocidad. Entra por el puente I, pasa delante del hotel "Rey" y toma elcamino que sale a la derecha. Sigue por ese camino, encuentra una calle que salea la derecha, pero continúa por la que venía. A la derecha va a ver una escuela, laN° 26. Cruza el vado, y toma el camino a la derecha. La tercera casa a la izquier-da es la de mi cliente."

En el caso de que el camino de acceso sea el señalado con A: "Se cruza elvado desde el cual ya se ve que hay próxima una zona urbana, al final de esecamino, se toma a la derecha. Pasa delante de la Escuela N° 26, cruza el vado yluego toma a la derecha. La tercera casa a la izquierda es la de mi cliente."

11) Si se utiliza el criterio de: "al mirar hacia el Norte, el Este queda a la dere-cha", se ve que son correctos los diagramas a) y b). Pero técnicamente, sólo escorrecto b) ya que es el que responde a la convención de indicar el Norte haciaarriba.

12) En un espacio rural las referencias más usuales son: caminos públicos(rutas nacionales o provinciales), caminos internos (calles, huellas), un "sitio" rela-

tivamente estable (los paraísos, el molino, la tranquera, el vado, la pirca, etc.) oestacional (el sorgo, el trigo, la soja, etc.). Si la persona se desplaza en auto, elcuentakilómetros y el odómetro son de gran ayuda. Y también las indicaciones enmetros, aproximadamente.

13) Ya vimos que para orientarse, es útil hacer un croquis. En la figura seve el itinerario realizado, teniendo como referencia el desplazamiento anterior.Resulta entonces que el balcón da a la calle Rioja.

Hasta ahora propusimos indicar lugares a tra-vés de croquis, es decir dibujos hechos a mano.Algunos problemas planteaban elaborar un itinerario,es decir cómo dar instrucciones para hacer un caminodeterminado. Los croquis a veces se acompañan de indi-caciones escritas u orales, y generalmente no se hacenteniendo en cuenta las medidas. Si bien se representan lasdistancias "a ojo", conviene tener en cuenta cierta proporción aún cuando no seusen escalas como en los planos y mapas.

En esta lección vamos a trabajar con planos, los cuales representan sobreun plano (de allí el nombre) espacios como casas, edificios, terrenos, ciudades,etc. Es muy útil para su confección la fotografía aérea, o "mirar desde arriba" lo quese quiere representar. Se trata de representar "en pequeño", es decir en una hojade papel, lo que en tamaño real tiene dimensiones que exceden el tamaño delpapel.

En los planos se puede dibujar solamente aquello que se quiera resaltar.Hay planos de ciudades que muestran en detalle las calles, sin indicar el sentidode circulación de los vehículos; otros planos dan los recorridos de las líneas detransporte urbano y entonces sólo marcan las grandes avenidas, plazas, edificiospúblicos y el sentido de circulación; un plano de las líneas de subterráneo distin-gue las estaciones y generalmente las avenidas principales que están próximas;etc.

Problema 11: En la página siguiente Ud. encontrará un plano del centro de laciudad de Córdoba. Responda a las preguntas planteadas según la informaciónque brinda ese plano.

LECCIÓN 3Uso de planos¿Como indicar lugares?

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Problema 12: Un peatón se encuentra en el Correo y pregunta cómo llegar alPalacio Municipal. ¿Cómo le indicaría?

Problema 13: Elija dos lugares bastante distantes de la ciudad donde vive.Suponga que un auto con turistas, plano en mano, le pregunta cómo llegar de unode esos lugares elegido como partida, al otro elegido como destino. Escriba lasindicaciones que le daría, y analice ese texto con el producido por sus compañe-ros.

Problema 14: Las siguientes representaciones pertenecen a una misma casa,la de un párroco en un pueblo medieval1 . Interprete ambos dibujos, trate de darcuenta de las correspondencias. Ubique objetos que están en uno de los dibujosy no están en el otro.

Actividades

14) ¿Existen en la ciudad en que Ud. vive, o en su barrio, esquinas en lasque concurren varias calles o rotondas? ¿Cómo indica, en esos casos, un trayec-to?


Problema 11: a) Verdadero. b) Verdadero. c) La terminal de Ómnibus estárelativamente cerca de la Plaza Vélez Sársfield, pero no podemos decir si la afir-mación es verdadera o falsa. "Cerca", "lejos" tiene que ver con el medio que unousa para desplazarse, las condiciones del camino, el tiempo del que se dispone,etc. Debería agregarse información, por ejemplo distancias estimadas en cuadrasen el espacio urbano, o en kilómetros en el rural. d) Verdadero.

LECCIÓN 4Divisibilidad en los números naturalesDivisores y múltiplos

Hasta ahora hemos estudiado operaciones y relaciones en el conjunto delos números naturales. Las operaciones tratadas son: la suma, la resta, la multipli-cación, la división y la potenciación. Y las relaciones son: "igual", "menor" y lainversa "mayor", "menor o igual", "mayor o igual", etc. En esta lección vamos aexplorar otra relación: la divisibilidad en los números naturales.

Seguramente Ud. podrá encontrar alguna solución a los problemas quesiguen, aún si no conoce el tema que anunciamos en esta lección. Ese trabajosuyo es muy importante para Ud., para avanzar en sus reflexiones, para ampliarsus conocimientos matemáticos.

Problema 15: Un grupo de seis personas fue seleccionado para participar,como un equipo, en un certamen de preguntas y respuestas. Para entrenarse,piensan organizar subgrupos, de tal modo que todos tengan el mismo número deintegrantes, o trabajar individualmente o bien los seis juntos. ¿Cuáles son todaslas formas en que pueden organizarse?

Problema 16: En una florería se recibieron 40 rosas rojas y 36 amarillas. Laflorista desea juntar las rosas en ramos, de modo que todos contengan igual can-tidad de flores y la mayor posible, y que cada ramo sea de un solo color. ¿Cuántosramos podrá armar? ¿Cuántas rosas tendrá cada ramo?

Problema 17: Las líneas de colectivo C2 y C3 parten a las 8 hs. simultánea-mente. Si el C2 sale cada 10 minutos y el C3 cada 12 minutos, ¿a qué hora se darála próxima salida simultánea? ¿Cuántos colectivos han partido de cada línea, enese tiempo?

Ñ Intente resolver es tos problemas con lo que Ud. Sabe

Problema 18: Juana tiene tres nietos, Paula, Gustavo y Luis. Según sus hora-rios y los de los padres, los chicos están organizados para estar un rato en lo desu abuela del siguiente modo: Paula se queda cada 3 días, Gustavo cada 4 díasy Luis cada 5. Los tres se encontraron en lo de Juana el día 31 de mayo. ¿En cuán-tos días más volverán a estar juntas en lo de Juana?


Las personas que participan del equipo, en el problema 15, se pueden orga-nizar de cuatro maneras diferentes:

1 equipo de 6 personas,2 equipos de 3 personas cada uno,3 equipos de 2 personas cada uno,6 equipos de 1 persona cada uno.

¿Por qué no un subgrupo de 4 y otro de 2? ¿O un subgrupo de 5 perso-nas, y otro de 1? ¿O un subgrupo de 2, otro de 3 y 1 persona sola? En cualquie-ra de estos últimos ejemplos, la suma de personas involucradas es seis. Peroéstas no son solución al problema, aún cuando la gente se podría organizar de esamanera, porque el problema dice que todos los equipos deben tener el mismo númerode integrantes. Esto crea un vínculo muy fuerte con la multiplicación, y con la divi-sión.

Los números que son solución del problema son: 1, 2, 3, 6. Esos númerosdividen a 6, son divisores de 6. Decimos que 2 divide a 6 porque existe un núme-ro natural c que multiplicado por 2 da 6. En este caso, c vale 3.

Cuestión: ¿cuál es el valor de c para cada uno de los divisores de 6?

Definición

Dados dos números naturales a y b, donde a = 0, decimos que a divide ab, (o a es divisor de b) si existe un número natural c tal que a x c = b

De esa definición surge otro significado de divisor: "a es divisor de b", sig-nifica que la división entre b y a tiene resto cero.

Nota: ¿Cuál era el significado que tenía la palabra "divisor" en las leccionesanteriores?

Analicemos la definición de la página anterior con la respuesta al problema15.

1 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 6, tal que 1 x 6 = 62 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 3, tal que 2 x 3 = 63 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 2, tal que 3 x 2 = 66 es divisor de 6, porque existe un número natural, el 1, tal que 6 x 1 = 6

El número 6 tiene, en los números naturales, cuatro divisores. El número 25tiene tres divisores:1, 5, 25. El número 1 es divisor de cualquier número.

Hay números que tienen exactamente dos divisores, y a esos números selos llama primos. Por ejemplo el 11 es un número primo, porque sus únicos divi-sores son 1 y 11. El 2 también es primo, al 1 no se lo considera primo porque tienesolamente un divisor, el 1. Otros números primos son el 5, el 7, el 13, ..., el 257,..., el 65 537, ... ¿Cómo se encuentran los primos? Cuando los números son "chi-cos" se buscan los divisores a mano, actualmente con las computadoras se pue-den descubrir números primos más grandes. Euclides, aproximadamente en el año- 350 demostró que hay infinitos números primos.

Un número que no es primo se llama compuesto, ya que puede descom-ponerse en un producto de factores primos. Por ejemplo 6 es un número compuesto,y su descomposición en factores primos es: 6 = 2 x 3. Otro ejemplo: 12 expresa-do como producto de sus factores primos es: 12 = 2 x 2 x 3

Estas nociones serán útiles para resolver los problemas que siguen.

En el problema 16 hay rosas de dos colores: 40 y 36. Se pide hacer ramosde un solo color, de modo que todos tengan igual cantidad de flores, y la mayorcantidad posible. Necesitamos calcular el mayor divisor común de 40 y 36; tal vezmentalmente Ud. ya lo hizo: 4.

¿Cómo se calcula ese número? Necesitamos encontrar los divisores decada número. Empecemos por 40.

Ya vimos que 1 es un divisor de cualquier número natural, 2 es divisor de40. ¿Y 3? No, 3 no es divisor de 40, ya que según la definición, no hay un núme-ro c tal que 3 x c = 40.

4 sí es divisor. ¿Y hasta cuándo vamos a seguir así, probando? Hasta ter-minar, es decir recorriendo los números hasta el 40.

Se obtiene que la lista de divisores de 40 es: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.Y los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Estas listas de números nos dicen -es bueno recordarlo- cuántas flores decada color habría en cada ramo, según las condiciones del problema. La floristabusca armar con las flores de cada color, ramos que tengan la misma cantidad yla mayor posible de flores en cada uno.

Vemos que los números 1, 2 y 4 se repiten en ambas listas. La mayor can-tidad posible en cada ramo es 4, y arma entonces 10 con flores rojas y 9 con ama-rillas. Podrá armar 19 ramos con 4 rosas cada uno, y esa es la respuesta al pro-blema 16.

Ese procedimiento es correcto, pero es difícil determinar cuándo se termi-na, y si se encontraron todos los divisores de un número. Aún cuando este problemaesté resuelto, vamos a seguir trabajando con los mismos números, 40 y 36, y des-pués vamos a generalizar.

Empezamos por armar una especie de árbol con productos, he aquí dosmodos distintos de descomponer el número 40:

No importa cómo armemos el árbol, al escribir el número 40 como produc-to de factores primos, bamos a llegar a la expresión: 40 = 23 x 5

Con la misma estrategia mostramos dos formas de descomponer el 36:

36 = 6 x 6 = 2 x 3 x 2 x 3 = 22 x 32

40 = 20 x 2 = 2 x 10 x 2 = 2 x 2 x 5 x 2 = 23 x 5

40

4 x 10

2 2 x 2 x 5

40

20 x 2

2 x 10

2 5 x

Si un número fue expresado como producto de números primos, podemosanotar dichos factores en un orden cualquiera. La experiencia muestra que, salvoel orden, la descomposición de un número N en factores primos es única: Todo natural N,mayor que 1, puede escribirse como un producto de números primos, y solamen-te de una forma, salvo el orden de los factores. Esta proposición parece a simplevista tan evidente que uno podría inclinarse a admitirla sin prueba. Sin embargo lademostración no es trivial, y aún la clásica dada por Euclides requiere algunosrazonamientos sutiles. El lector interesado podrá encontrarla en textos de aritmé-tica.

Vamos a tratar de reunir toda la información acerca de los divisores primoso no de un número a partir de algunas observaciones para la descomposición delnúmero 40. Le dejamos a Ud. la tarea de hacer el mismo análisis para el 36.Recordemos que 40 es: 23 x 5

Primero: Hay más de un camino para descomponer el 40, pero el resultado,contiene los mismos factores primos.

Segundo: Los factores primos de 40 son: 2 y 5, y éstos son divisores de 40Tercero: Todos los productos que se pueden armar con los factores primos,

o sus potencias, son también divisores de 40. Así, 22, 23, 2x5, 22x5, 23x5. (Estosproductos dan: 4, 8, 10, 20 y 40 respectivamente).

Cuarto: El 1, y los números de las últimas dos observaciones son todos losdivisores de 40. Dados en orden son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40, y se observa que elproducto entre los números que están equidistantes de los extremos da 40. Asívemos que: 1 x 40 = 2 x 20 = 4 x 10 = 5 x 8, con lo cual, si se tiene la mitad delos divisores, se puede obtener la otra mitad.

Quinto: Ya obtuvimos todos los divisores de un número dado, el 40. Y de allísacamos un modo de calcular todos los divisores de cualquier número natural.Ahora nos planteamos, ¿cuántos divisores tiene un número? ¿Cómo hacemospara controlar que hicimos todos los productos posibles que señala la terceraobservación? Sigamos analizando el ejemplo con 40: sus factores primos son 2 y5. Al colocar en filas el 1 con los factores primos y sus potencias (hasta el mayorexponente), podemos obtener todos los productos posibles entre ellos. Así:

1, 2, 22, 23 4 x 2 = 8, y ésa es la cantidad de divisores de 401, 5

Ya volveremos sobre los divisores de un número, y también sobre el mayordivisor común a varios números dados. Veamos ahora la respuesta al problema17: la próxima salida simultánea se hará 60 minutos después de las 8 horas, esdecir a las 9. Y partieron 6 unidades de C2 y 5 de C3.

¿De dónde obtuvimos esos números? Para cada línea, y a partir de las 8,calculamos las próximas salidas:

C2: 8:00, 8:10; 8:20; 8:30; 8:40; 8:50; 9:00; 9:10; 9:20; 9:30; 9:40; 9:50; 10:00; 10:10; 10:20; 10:30; 10:40; 10:50; 11:00; 11:10; 11:20...C3: 8:00, 8:12; 8:24; 8:36; 8:48; 9:00; 9:12; 9:24; 9:36; 9:48; 10:00; 10:12; 10:24; 10:36; 10:48; 11:00; 11:12; 11:24...En estas listas vemos que la primera coincidencia se da a las 9:00, y luego

a las 10:00, a las 11:00... ¿Podemos prever que volverán a salir juntos a las 14:00?¿Y a las 21:00? Sí, siempre que no cambie la frecuencia de salida.

Del mismo tipo es el problema 18. Paula, a partir del 31 de mayo, cada 3días, es decir a los 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, ...Gustavo la verá cada cuatro días, a partir del 31/05, a los 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,32, 36, 40, 44, ...

Luis cada seis días, del 31/05, a los 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, ... Volverán a encontrarse entonces, a los 12 días, a los 24 días, 36 días, ... El

primer encuentro de los tres nietos, después del 31/05, será el 12 de junio.

¿Y qué se aprende con los problemas 17 y 18? No importa cómo lo resol-vió Ud., pero al pensar en listas de números de ese tipo, aparece la idea de múlti-plo de un número natural, y esta noción está estrechamente ligada a la dedivisor, ya que decir que a es divisor de b, es lo mismo que decir que b es múltiplo

de a.

En esos últimos problemas calculamos los primeros múltiplos de 3, 4, 6, 10y 12, y también tratamos de encontrar los múltiplos comunes a dos o más núme-ros. En el problema 17, el menor múltiplo común (m.m.c.) a 10 y 12 (dio 60), y enel problema 18 el menor múltiplo común a 3, 4 y 6 (es 12).

Estudiar los divisores de un número es una labor más ardua que estudiarlos múltiplos, éstos aparecen más fácilmente. ¿Cómo se hace para obtener los pri-meros múltiplos de un número dado, digamos 7? Ellos son: 7, 14, 21, 28, 35, 42,49, 56,..., 70, 77, ...,140, ... Se obtienen al multiplicar 7 por un número natural cual-quiera, así a los múltiplos de 7 se los denota 7 x n, con n natural.

¿Y los primeros múltiplos de 9? Son: 9, 18, 27, 36, 45, 54,..., 99, ..., 189,...,900, ... Se los denota 9 x n, con n natural.

En general los múltiplos de un número r se obtienen multiplicando a rpor 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…

Vale la pena señalar que cuando decíamos, por ejemplo "8 es divisor de 40"es verdadera la afirmación "40 es múltiplo de 8". Así, retomando la lista de diviso-res de 40, podemos afirmar que 40 es múltiplo de 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

La relación entre múltiplos y divisores de un número es muy estrecha (sonrelaciones recíprocas) y vamos a compilar lo que hicimos hasta ahora con respec-to al cálculo del mayor divisor común (m.c.d.) en la resolución de un problema.

Veamos una variante del problema 16: En una florería se recibieron 150rosas rojas, 90 blancas y 60 amarillas. La florista desea juntar las rosas en ramos,de modo que todos contengan igual cantidad de flores y la mayor posible, y quecada ramo sea de un solo color. ¿Cuántos ramos podrá armar? ¿Cuántas rosastendrá cada ramo?

Tal vez mentalmente Ud. pueda calcular que el número de flores de cadaramo es 30, y que se arman 10 ramos en total. La respuesta se obtiene calculan-do el m.d.c., y para ello se hace en primer lugar la descomposición prima de lostres números (con la estrategia del árbol de productos, por ejemplo). Se obtiene:150 = 2 x 3 x 52, 90 = 2 x 32 x 5 y 60 = 22 x 3 x 5. Puede ahora hacer la listade todos los divisores de cada número y allí buscar el m.d.c.

Hay un algoritmo que permite calcular el m.d.c. y el m.m.c., pero aquí no lodaremos porque pensamos que hasta aquí Ud. ha aprendido muchas cosas sobreel tema. De todos modos, si le interesa, encontrará ese algoritmo en cualquier librode matemática que desarrolle este contenido. Ese algoritmo puede ser muy útilpara calcular el m.d.c. y el m.m.c. de números "grandes" o con muchos divisores,por ejemplo 686, 2156 y 1666. Verifique Ud. que el m.d.c. de estos tres númeroses 2 x 72 = 98 y el m.m.c. es 22 x 73 x 11 x 17 = 256564.

Actividades

15) Escriba los siete primeros múltiplos para cada uno de los númerossiguientes:

a) 5 b) 10 c) 8

16) Escribir cada número como producto de sus factores primos

a) 900 b) 528 c) 504

17) Un coordinador cuenta con 32 hombres y 24 mujeres para formar equi-pos de trabajo. Estos deben estar compuestos por personas del mismo sexo,todos deben tener igual cantidad de personas, y esa cantidad debe ser máxima.¿Con cuántas personas deberá formar los equipos? ¿Cuántos equipos en total, sepueden organizar?

18) Un número natural se llama par si es múltiplo de 2, si no, se dice impar.Decir si es falso o verdadero

a) Todos los números pares pueden escribirse como 2 x n con n natural.

b) Todos los números impares pueden escribirse como 2xn+1con n natural.c) Si un número es par, el siguiente es impar.d) El siguiente de un número impar será par.e) Todos los números pares terminan en 0, 2, 4, 6, o 8.f) Todos los números impares son primos.g) La suma de dos números impares es impar.h) El producto de un par y un impar es par.

19) Se cuenta con cerámicos rectangulares de 15por 25 cm. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado máspequeño que se puede cubrir con tales cerámicos?

20) ¿Cuántos divisores tiene cada uno de los números siguientes?Escribirlos

a) 36 b) 200 c) 42

¿?

21) Decir si es falso o verdadero (justificar)

a) Los números que son múltiplos de 4, también son múltiplos de 2.b) Los divisores de a, también son divisores de los múltiplos de a.c) Todos los números naturales (menos el 0) son divisores de 0d) La cantidad de múltiplos de un número, es siempre menor que la

cantidad de divisores del mismo.

22 ) En cada ítem hallar m.d.c y el m.m.c.

a) 38 y 48 b) 24 y 56 c) 72, 80 y 48

23) Se desea dividir un terreno rectangular de 300 por 180 metros en par-celas cuadradas, lo más grandes posibles. ¿Cuánto debe medir el lado de las par-celas?

24) Dos ruedas dentadas A y B que tienen 84 y 30 dientes respectivamen-te, funcionan acopladas (ver esquema de las mis-mas) ¿Cuántas vueltas completas debe dar B paraque A realice un número completo de vueltas?

25) Se dispone de un bloque de made-ra de 75 por 60 por 30 cm. ¿Cuál el menornúmero de cubos iguales que pueden cortar-se, sin desperdiciar material?

A B

60cm

75cm

30cm


15) a) 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 b) 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70

c) 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56

16) a) 22 x 32 x 52 b) 24 x 3 x 11 c) 23 x 32 x 7

17) El coordinador debe armar grupos de 8, es el m.d.c. de 32 y 24.Habrá 32 : 8 = 4 equipos de varones y 24 : 8 = 3 equipos de mujeres, en total 7.

18) a) Verdadero, pues el número 2 x n es múltiplo de 2.b) Verdadero, pues el número 2 x n + 1 tiene resto 1 al ser divido por2, por lo tanto, no es par, es decir es impar.c) Verdadero, si un número es par, el siguiente es impar, pues el primero será 2 x n para algún n y el siguiente 2 x n + 1.d) Verdadero, el siguiente de un número impar será par. El impar será2 x n + 1 y el que le sigue 2 x (n +1) que es múltiplo de 2 puesto que

el siguiente de un impar es (2 x n + 1) + 1, y haciendo las cuentas es:(2 x n + 1) + 1 = 2 x n + 1 + 1 = 2 x n + 2 = 2 x (n + 1), que es un múltiplo de 2.

e) Verdadero, porque el siguiente de un par, es impar y el siguiente de éste es nuevamente par, entonces sumando 2 a cada número parse obtiene otro par, y así se obtienen números que terminan en 0, 2,4, 6 y 8. f) Falso, como contraejemplo: el 9 es impar y no es primo.g) Falso, como contra ejemplo: 3 y 5 son impares y 3 + 5 = 8 es par.h) Verdadero, pues 2 x n es cualquier par, si m es impar, el producto de estos es 2 x n x m el cual es múltiplo de 2, y por lo tantopar.

19) Lo que mida el lado del cuadrado, deberá contener una cantidad enterade veces a 15 y 25, por lo cual será un múltiplo de ambos y el menor. Se trataentonces de encontrar m.m.c. de 15 y 25, es 75, y es la cantidad de cm que debemedir el lado del cuadrado.

20)a) 36 = 22 x 32 tiene 3 x 3 = 9 divisores. Y son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36

b) 200 = 23 x 52 tiene 4 x 3 = 12 divisores: 1,2,4,5,8,10,20,25,40,50,100,200c) 42 = 2 x 3 x 7 tiene 2 x 2 x 2 = 8 divisores: 1, 2, 3, 6, 7,14, 21,42

21) a) Verdadero, pues si un número a es múltiplo de 4, se puede escri-bir como a = 4 x n, para algún natural n, pero en lugar de 4 es igual escribir 2 x 2,así a = (2 x 2) x n = 2 x (2 x n) con lo cual se expresa con claridad que a es múlti-plo de 2.

b) Verdadero, pues si un número b es divisor de a, luego a = b x ndonde n es natural y si c es un múltiplo de a entonces c = a x m con m natural y porlo tanto c = (b x n) x m = b x (n x m) es decir c es múltiplo de b o lo que es lo mismo bes divisor de c.

c) Verdadero, pues 0 : n = 0 para todo número n natural con lo cual ladivisión es exacta y por lo tanto n es divisor de 0 cualquiera sea n.

d) Falso, como contra ejemplo: el 9 tiene como divisores 1, 3 y 9 perohay infinitos múltiplos de 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 90, …, 900000

22)a) 38 = 2 x 19 y 48 = 24 x 3; 2 es el m.d.c. de 38 y 48.23 x 3 x 19 = 912 es el m.m.c. de 38 y 48. b) 24 = 23 x 3 y 56 = 23 x 7 entonces 23 = 8 es el m.d.c. y 23 x 3 x 7 = 168 es el m.m.c. c) 72 = 23 x 32, 80 = 24 x 5 y 48 = 24 x3.23 = 8 es el m.d.c. y 24 x 32 x 5 = 720 es el m.m.c.

23) Se necesita calcular el m.d.c. de 300y 180. 300 = 22 x 3 x 52 y 180 = 22 x 32 x 5.El m.d.c. es 22 x 3 x 5 = 60 metros es lo quedebe medir el lado de cada parcela

24) El m.m.c. de 84 y 30, es 420. Este número es la cantidad de dientes quepasarán por el punto de contacto entre ambas ruedas. Como 420:84 = 5 y 420:30 =14. Entonces B debe dar 14 vueltas completas para que A, de 5 vueltascompletas.

180m

300m

60m

60m

25) Se busca el m.d.c. de 75, 60 y 30. Este es 15 y es lo que debe medir ellado de los cubos. 75:15 = 5 es el número de cubos a lo largo de los 75cm; 60:15= 4 es el número de cubos a lo largo de los 60cm; 30:15 = 2 es el número de cubosa lo largo de los 30cm. En total se podrán cortar 2x4x5 = 40 cubos.

Ya resolvieron algunos problemas utilizando los números naturales. Esosnúmeros, como ya vieron, sirven para contar. Siempre es posible sumar y multipli-car dos números naturales, pero a veces restar dos números naturales puede seralgo más complicado.

Cuestión: ¿En qué caso la resta entre dos números naturales puede traerproblemas?

Cuando el minuendo es menor que el sustraendo, por ejemplo 2 - 5, no exis-te un número natural que sumado a 5 dé 2. ¿Qué conviene hacer? No podemosquedarnos con la respuesta "NADA".

Los hindúes, alrededor del 700 después de Cristo, descubrieron que con losnúmeros negativos se podía resolver ese problema y mostraron que así como losnúmeros naturales podían ser usados para representar bienes, esos nuevosnúmeros eran útiles para representar deudas. Actualmente, los números negativosse representan colocando previamente un signo menos delante. Por ejemplo, unapersona que tiene 5 pesos puede representar ese capital por el número 5, mien-tras que si una persona debe cinco pesos, se puede decir que tiene - 5 pesos.

Ya usamos los números negativos cuando tratamos una representación deltiempo histórico, en la lección 6 del módulo 1. Allí mostramos cómo se denotan loshechos antes del nacimiento de Cristo: la aparición de la escritura se ubica en el - 4000 o - 3000; Aristóteles vivió alrededor del - 380, es decir en el Siglo IV a.C.;etc.

LECCIÓN 5Números enteroslos números negativos


Problema 19: En un día de invierno, a las 12 horas se registrabauna temperatura de 0º. A la medianoche, el servicio meteorológicoanunciaba que la temperatura había descendido 6º con respecto a ladel mediodía. ¿Puede indicar cuál era la temperatura a la mediano-che?

Problema 20: Diego va al banco a pagar impuestos cuyos montos son $ 20 y$ 32 con un billete de $ 50. ¿Cómo representaría su situación?

Problema 21: Un ómnibus de media distancia parte de Rosario con 38 pasa-jeros a bordo. En la primera parada se bajan 7 y suben 5, en la segunda paradabajan 11 personas. En la tercera suben 3 y no baja nadie. ¿Cuántas personas que-dan en el ómnibus después de la tercera parada?

Problema 22: Un submarino navega a 200 metros de profundidad bajo el niveldel mar. Dispara dos cohetes, el primero asciende 150 metros y el segundo ascien-de 300 metros. ¿Ascendieron los dos cohetes por encima del nivel del mar? ¿Quénúmero asignaría a las posiciones alcanzadas por cada uno de ellos?

Soluciones propuestasEn los termómetros que utiliza el servicio meteorológico se registran tem-

peraturas sobre cero y bajo cero. En el problema 19, a la medianoche la tempera-tura registrada era de 6º bajo cero, cantidad que puede expresarse con el númeronatural 6 precedido por el signo menos, es decir -6º, y se lee "menos 6 grados".

En el problema 20, Diego tiene que pagar impuestos por un total de $52.Como sólo tiene $50 en su cartera, para pagar toda la deuda le faltan $2. Esta can-tidad puede expresarse entonces como -2 $.

En el problema 21, vamos a expresar la cantidad de personas que bajancon números negativos, y los pasajeros que suben con números positivos.Entonces a los 38 que partieron, en la primera parada tenemos -7 y +5, quedan36. En la segunda parada bajan 11, lo expresamos -11; quedan 25. Finalmentesuben 3, es decir +3, y tenemos entonces 28 personas.En símbolos: 38 - 7 + 5 - 11 + 3 = 28

En el problema 22, si al nivel del mar leasignamos el número 0, podemos pensar ennúmeros naturales, llamados enteros positivospara indicar posiciones sobre ese nivel y núme-ros enteros negativos para expresar profundida-des por debajo del nivel del mar. El submarinonavega a una profundidad de 200 metros, pode-mos entonces escribir -200 m. El primer cohetesube solamente 150 metros, por lo tanto, noalcanza el nivel del mar. A esa posición pode-mos asignarle el -50, que indica que el cohetequedó 50 m por debajo del nivel del mar. Elsegundo cohete asciende 300 metros y, por lotanto, sale a la superficie y alcanza una altura de100 metros. Expresamos esta posición escri-biendo +100. En símbolos, cada posición puede expresarse:

- 200 + 150 = - 50 - 200 + 300 = + 100

¿Qué se puede aprender con esos problemas?

El conjunto de los números enteros

Para resolver los problemas anteriores se utilizaron los números: -6, -2, -50, 0, +100, + 28 que son, entre otros, números enteros.

Los números precedidos por un signo "menos", por ejemplo:-20, -3, -500 son enteros negativos.

Los números precedidos por un signo "más", tales como: + 8,+120, + 1000 son enteros positivos.

200m

100m

0 m

Aunque el cero no tiene signo, también es un número entero.Generalmente, cuando queremos escribir un número entero positivo no

escribimos el signo, sobreentendiéndose que ese número es positivo; por ejemploescribimos 28 en lugar de +28.

A este conjunto lo designamos con la letra Z.

Z = ...;-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5;...

Cuestión: ¿Qué significan los puntos suspensivos?

Los enteros en la recta numéricaLos números enteros se representan, como los números naturales, en una

recta numérica. En la línea del tiempo estudiada en la lección 6 del módulo 1, yamostramos algunos hechos que sucedieron antes del nacimiento de Cristo. Con elgráfico siguiente, recordamos la representación de algunos números enteros:

Módulo de un número enteroDado un número entero cualquiera, podemos pensarlo sobre una recta, y

como si se tratara de una regla, determinar la distancia de ese número al cero.

De acuerdo a esta definición, el módulo de 3 es 3 y el módulo de - 3 tam-bién es 3, porque ambos números enteros están a una distancia igual a tres uni-

El conjunto de los números enteros está formado por los números ente-ros negativos y los números naturales, a los que llamaremos también númerosenteros positivos.

Llamamos módulo o valor absoluto de un número entero a la distan-cia de ese número al cero.

dades del cero. El módulo de un número se indica escribiendo al número entrebarras, así:

| 3 | = 3 se lee "módulo de 3 es 3"| - 3 | = 3 se lee "módulo de menos 3 es 3"

Según la definición, el valor absoluto de 0 es 0; es decir: | 0 | = 0Ejemplos: |10| = 10 | -15| = 15 |-200| = 200

Por ejemplo: los números 200 y -200 son opuestos, los números 32 y -32también son opuestos. En símbolos, a y - a son opuestos, y diremos que - a es elopuesto de a, y a es el opuesto de - a.

Actividades

26) Un edificio tiene pisos por encima y por debajo del nivel de la calle. Enel ascensor se observa una botonera como la de la figura.

Complete la tabla:

Del piso El ascensor recorre

Llega al piso

-1 3 pisos hacia arriba 3 5 pisos hacia abajo 4 -1 4 pisos hacia abajo -2

-1 6 -2 2

Dos números enteros que tienen igual valor absoluto y distintosigno se llaman opuestos.

27) Si nos encontramos sobre la recta numérica en el punto que represen-ta a 0 y nos desplazamos primero 3 unidades hacia la izquierda y luego 5 unida-des hacia la derecha, ¿en qué punto sobre la recta nos encontramos?

28) Decir verdadero o falso en cada caso y justificar:

a) - 9 y 9 son opuestos b) - 3 y -3 son opuestosc) 10 y -10 son opuestos d) 5 y - 6 son opuestos

29) ¿El número cero, a qué distancia está de cero? ¿El opuesto de 0 es 0?

30) Si le dicen que:a) "a es un número negativo" ¿qué pueden decir del opuesto de a?b) "s es un número positivo" ¿qué pueden decir del opuesto de s?c) Si la distancia de un número a 0 es 7, ¿cuántos y cuáles son los núme-

ros que cumplen esa condición?

31) Represente con una recta para cada caso, los números que están a:

a) Una distancia igual a 3 del número 0b) Una distancia igual a 4 del número 2c) Una distancia igual a 1 del número - 4

32) Se han representado sobre la recta numérica los siguientes númerosenteros:

Ubica sobre la misma recta el 0 y el opuesto de - 4.

33) En la siguiente recta numérica se representaron los números enteros n,a, 0, k y m. Distinguir las afirmaciones que son verdaderas y justificar:

a) a es el opuesto de kb) k es el opuesto de mc) m es el opuesto de n

n 0 m k a

Orden en el conjunto de los números enteros

5 mayor que 2, en símbolos: 5 > 2 ¿Pero es - 5 > - 2? ¿Es - 5 > 2? ¿Es 5 > - 2? ¿Cómo "se ve" en la recta numérica que 5 > 2? Porque 5 está a la derecha de

2. En general se sigue el criterio:Todo número entero que está a la derecha de otro en la recta numérica es

mayor que él.Así por ejemplo:El 2 se encuentra a la derecha de - 5, entonces 2 > - 5, o bien - 5 < 2.El - 2 está a la derecha de - 5, entonces - 2 > - 5, o bien - 5 < - 2El 5 se encuentra a la derecha de - 2; entonces 5 > - 2 o -2 < 5Si queremos indicar una colección de números que cumplen con una con-

dición, tal como lo estudiamos para números naturales, utilizamos una letra comovariable. Por ejemplo para los números enteros que son mayores o iguales que -3, escribimos: x > - 3 siendo x un número entero. Y los números que cumplen conesa condición son: - 3, -2, -1, 0, 1, 2, ...

Actividades

34) a) Ordene de mayor a menor los siguientes números:-13, 8, -15, -45, -100, 340, -16, -1, 5, 0.

b) Conteste las siguientes preguntas: ¿Es 7 < 8? ¿Es -7 > -5? ¿Es -5 < 5? ¿Es-7 < 0? ¿Es -9 > 1? ¿Es 0 > -2? ¿Es 5 > 5? ¿Es -2 < -2?c) ¿Cuándo hace más frío? Cuando hace 1 grado bajo cero o -8 grados.

35) a) ¿Es cero mayor que cualquier entero negativo? b) ¿Es cero menorque cualquier entero positivo? c) ¿Cómo es un entero positivo con respecto a cual-quier entero negativo? Justifique utilizando el criterio dado con la recta numérica.

36) Complete la siguientetabla:

a b - a - (- a) - b - (- b) 2 5 3 7

5 6 -3 4 0 -10

37) Determine el conjunto de números que hacen verdadera esta expresión:x < 8, sabiendo que: a) x representa un número natural, b) x representa un núme-ro entero.

38) Represente en una recta para cada caso, los números enteros queestán,

a) a una distancia menor o igual a 3 del número 0b) a una distancia menor a 2 del número -2c) a una distancia menor o igual a 4 del número 1d) a una distancia mayor a 3 del número -1e) a una distancia mayor o igual a 4 del número 3

39) Escriba los números enteros x que cumplen con la condición estableci-da. Recuerde que "y" significa "a la vez".

a) x > -3 y x > 1 b) x < 9 y x > -2 c) x = 2 y x = 8 d) x > -3 y x = 2e) x = -20 y x < -10


26)Del piso El ascensor recorre Llega al

piso -1 3 pisos hacia arriba 2 3 5 pisos hacia abajo -2 4 5 pisos hacia abajo -1 2 4 pisos hacia abajo -2 -1 7 pisos hacia arriba 6 -2 4 pisos hacia arriba 2

27) En el punto que representa al número 2.

28) a) verdadero b) falso c) verdadero d) falso

29) La distancia del 0 al 0 es 0. El 0 no tiene signo, y su módulo es 0; porconvención 0 es el opuesto de 0.

30) a) El opuesto de a será positivo y tendrá el mismo módulo que a.b) El opuesto de s será negativo y tendrá el mismo módulo que s.c) Hay dos números, 7 o - 7, porque ambos tienen módulo 7.

31) a)

b)

c)

32) El cero está en el punto medio entre -2 y 2. Ubicado el 0, se puede ubi-car a la derecha del cero el 4, de modo que la distancia de 4 a 0 sea la misma quehay entre -4 y 0.

33) a) Falso, pues los opuestos se representan a igual distancia del cerob) Falso, pues k y m tienen igual signo.c) Verdadero, pues están a igual distancia del 0 y tienen signos opuestos.

34) a) 340, 8, 5, 0, -1, -13, -15, -16, -45, -100b) Si es 7 < 8, No es -7 > -5, Si es -5 < 5, Si es -7 < 0, No es

-9 > 1, Si es 0 > -2, No es 5 > 5, No es -2 < -2c) Cuando hace - 8 grados, porque - 8 está a la izquierda de - 1.

35) a) Si, por que cero está a la derecha de cualquier negativo.b) No, el cero es menor o igual que cualquier entero positivo.c) Un entero positivo está a la derecha de todos los negativos, por eso un entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.

-3 3

-2 6

-5 -3

0

2

-4

36)

37) a) x puede ser: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7b) x puede ser: ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7. Es decir los

enteros positivos menores que 8, y todos los enteros negativos.

38)a)

b)

c)

d)

e)

39) a) los números enteros mayores a 1, es decir: 2, 3, 4, 5, ... b) los números -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 c) no existe un entero que sea igual a 2 y a 8 d) el número 2 e) el número -20

a b - a - (- a) - b - (- b) 2 5 -2 2 -5 5 -7 3 7 -7 -3 3 5 -6 -5 5 6 -6 -3 4 3 -3 -4 4 10 0 -10 10 0 0

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

... - 6 - 5 3 4 5 6 ...

... -2 -1 7 8 9 ...

-3 -2 -1

-1

3

Para resolver las siguientes situaciones recuerde que a los capitales losidentificamos con enteros positivos y a las deudas con enteros negativos. Los pro-blemas que siguen son muy sencillos, la idea es que Ud. aprenda a usar una nota-ción adecuada para representar los diferentes enunciados.

Problema 23: Martín tiene dos trabajos. Por uno de ellos cobra $ 700 pormes y por el otro le pagan $ 800 mensuales. ¿Cuánto gana por mes?

Problema 24: Ana pide fiado en el quiosco. Primero debe $ 5 y luego $ 3.¿Cuánto debe Ana en el quiosco?

Problema 25: Una persona extrae del banco $ 1000. Con ese dinero pagauna deuda de $ 400. ¿Cuánto dinero le queda luego de pagar la deuda?

Problema 26: Juan recibe un premio de $ 500 y tiene una deuda con lainmobiliaria de $ 700. Si entrega el premio completo ¿cuál será la deuda que lequeda?

Problema 27: Un empleado cobró su sueldo de mayo de $ 420. Con elsuplemento por presentismo pensaba pagar $ 87 de impuestos atrasados, peroese mes no llegó el monto por presentismo. ¿Cómo escribe en símbolos el sueldomás el monto del presentismo correspondiente a mayo? ¿Cómo escribe en sím-bolos la deuda por impuestos y el monto por presentismo?

Soluciones propuestasLas sumas de dinero que cobra Martín, en el problema 23, se pueden repre-

sentar con números enteros positivos:(+700) + (+800) = +1500 o bien 700 + 800 = 1 500

En el problema 24, las deudas de Ana en el quiosco suman $ 8, y esas can-tidades pueden representarse con números enteros negativos: (- 5) + (- 3) = - 8

LECCIÓN 6Contenido: Suma y resta con númerosenteros


La persona del problema 25, después de pagar su deuda tiene $ 600. Unarepresentación de esas cantidades es: 1 000 + (- 400) = 600

Juan, en el problema 26, tiene $ 500 pero debe $ 700, entonces no puedecancelar su deuda y queda debiendo $ 200. Esta situación puede expresarsecomo:500 + (- 700) = - 200

En el problema 27, el empleado dispone de su sueldo de $ 420. La deudaen impuestos se representa con - 87. El monto por presentismo se expresa concero. El sueldo con el presentismo se puede expresar: 420 + 0 = 420

Y la deuda, con el presentismo, tampoco varía: (- 87) + 0 = - 87

¿Cuántas sumas diferentes con dos sumandos se pueden encontrar?

El primer sumando puede ser positivo, negativo o cero; y el segundosumando puede ser también positivo, negativo o cero. Habría entonces nuevesumas posibles, que se pueden clasificar en tres casos: los sumandos tienen igual

signo (ambos positivos o bien ambos negativos); los sumandos tienen distinto

signo y finalmente uno de los sumandos es un entero cualquiera y el otro es cero.Los dos primeros problemas de esta lección responden a suma de núme-

ros enteros del mismo signo. Esos resultados cumplen la siguiente regla general:

Ejemplos: 50 + 20 = 70 (- 15) + (- 20) = - 35

Los problemas 25 y 26 se resuelven a través de la suma de números ente-ros de distinto signo. Y tales resultados cumplen la siguiente regla general:

Ejemplos: 200 + (- 300) = - 100 (- 80) + 100 = 20

La suma de números enteros del mismo signo es otro número entero, cuyo signo

es igual al de los números dados y cuyo valor absoluto es igual a la suma de los

valores absolutos de los mismos.

La suma de dos números enteros de distinto signo es otro número entero cuyo

signo es igual al signo del número que tiene mayor valor absoluto y cuyo valor

absoluto es igual a la diferencia (posible) de los valores absolutos de los números

dados.

El problema 27 presenta el caso de un número entero más cero. Y estocumple con la regla general siguiente:

La suma entre un número entero a y 0, es igual al entero a.

Ejemplos: 0 + (- 200) = - 200, 304 + 0 = 304 0 + 0 = 0

Propiedades de la suma de números enteros

Las propiedades de la suma de números naturales estudiadas en el módu-lo 1, siguen siendo válidas cuando se trabaja con números enteros:

Propiedad conmutativa

a + b = b + a para todo par de números enteros a y b

Ejemplos: (-2) + 5 = 5 + (-2) 0 + (-3) = (-3) + 0

Propiedad asociativa

(a + b) + c = a + (b + c) para todo a, b y c enteros

Ejemplo: (2 + (-5)) + 7 = 2 + ((-5) + 7)

Elemento neutro de la suma

a + 0 = a para todo número entero a

Por ejemplo: 3 + 0 = 3 y - 5 + 0 = - 5

En la suma de los números enteros hay otra propiedad, que no la tienen losnaturales, y es la siguiente: La suma entre un número entero y su opuesto es

el elemento neutro. En símbolos:

a + (- a) = 0 para todo número entero a

Por ejemplo: 3 + (- 3) = 0, (- 8) + 8 = 0

Cuestión: ¿Por qué esa propiedad no la tiene la suma de naturales?En la tabla de la actividad 36 de la lección anterior, se pedía el opuesto de

un número a (designado por -a) y también el opuesto de ese opuesto, expresadocomo - (- a). La solución mostraba que si a = 5, - a = - 5 y - (- a) = 5.

Ahora, con esta propiedad de la suma de opuestos, podemos validar esasrespuestas dadas intuitivamente en la lección anterior. ¿Por qué -(-5) = 5? Si -(-5)es el opuesto de -5, se debe verificar que: -(-5) + (-5) = 0 y de allí -(-5) = 5

En general: para todo entero a vale que a = - (- a)

Actividades

40) Resuelva las siguientes sumas:

a) (- 30) + (- 25) = c) 8 + (- 8) = e) 15 + (-20) + (-5) =b) (- 3) + (- 2) + (- 9) = d) 50 + (- 30) + (-10)= f) (-100) + 0 + 60 =

41) Escriba sobre cada __ un número entero que haga verdadera cada unade las siguientes igualdades:

a) __ + (- 2) = - 6 c) __ + (- 15) = - 15 e) 40 + __ = - 20b) __ + (- 3) = - 10 d) - 8 + __ = 0 f) - 47 + __ = 50

42) ¿Qué propiedades de la suma de enteros hacen verdaderas las siguien-tes igualdades?:

a) 2 + (- 8) + (- 3) = (- 8) + (- 3) + 2 c) p + 0 = pb) (- 2) + (- 18) + 5 = - 20 + 5 d) (-2) + (- (-2)) = 0

Resta de números enterosYa dimos una definición de resta con números naturales, aquí vamos a reto-

marla y así podremos resolver esa operación con los enteros. Simbólicamente:

Si a y b son dos números enteros: a - b = d significa que d + b = a

Como en los números naturales, a es el minuendo, b es el sustraendo, y des la diferencia entre a y b.

Ejemplo I:

Calcular: 8 - (-2) = ?

Se pide hallar la diferencia d entre 8 y -2, y según la definición, d + (-2) = 8¿Cómo calcular d? Puede intentar resolverlo mentalmente, buscando con

distintos números, y verificando luego si se cumple la igualdad con la suma.Supóngase que d vale 6, si es correcto, debería suceder que 6 + (-2) dé 8.

Pero 6 + (-2) = 4, o sea que d no vale 6. Hay que buscar otro número, ¿tieneque ser mayor o menor que 6?

Supongamos que d = 10 resulta: 10 + (- 2) = 8, se verifica la igualdad bus-cada, luego d = 10

La resta resuelta que originó estos cálculos es: 8 - ( -2 ) = 10

Ejemplo II:

¿Cuánto vale d si: - 6 - ( -7 ) = d o lo que es igual, si: d + (- 7 ) = - 6?El valor de d es 1, porque 1 + (- 7) = - 6. Con lo cual: - 6 - ( -7 ) = 1

Ejemplo III:

¿Cuánto vale d si: 4 - (+ 10) = d o lo que es igual, si: d + 10 = 4?El valor de d es -6 porque -6 + 10 = 4 y se escribe: 4 - (+ 10) = - 6

De los ejemplos anteriores, se ve que cada resta puede reemplazarse poruna suma, entre el minuendo y el opuesto del sustraendo. Así:

Ejemplo I: 8 - (- 2 ) = 10 pero también 8 + (+ 2 ) = 10Ejemplo II: - 6 - (- 7 ) = 1 pero también - 6 + (+ 7 ) = 1Ejemplo III: 4 - (+ 10) = -6 pero también 4 + (- 10 ) = - 6

Se puede calcular la resta, transformándola en una suma de enteros:

En general: a - b = a + (- b) para todo a, b entero

La suma en enteros es siempre posible, esto asegura que también la resta

entre números enteros, siempre tiene solución.

Actividades

43) Resuelva las siguientes restas:

a) 3 - (- 6 ) = d) - 200 - 0 = g) 10 - (- 3 ) =b) 0 - (- 50) = e) (- 75 ) - 0 = h) - 100 - (- 28 ) =c) 30 - (- 30) = f) 36 - 27= i) 80 - 123 =

44) Escriba en cada el número entero que haga verdadera cada una delas siguientes igualdades:

a) - (- 1) =7 c) - 20 = - 20 e) - 8 + = 0b) - 10 - 8 = d) - (- 6) = 0 f) 15 - = 17

45) ¿Valen las propiedades conmutativa y asociativa, para la resta de núme-ros enteros? Justifique

Suma algebraicaSe llama suma algebraica a toda combinación de sumas y restas entre

números enteros. Ejemplos:

a) 2 + (- 5) + (- 6) - (- 3) b) (- 7) + (- 2) - (- 8) + 1 c) (- 20) - (- 7) + 15

Cada uno de los números que sumamos o restamos en una suma alge-braica se denomina término. Esta palabra ya la usamos, cuando tratamos el usode calculadoras.

¿Cómo se puede resolver una suma algebraica? Hay muchas maneras dehacerlo debido a las propiedades asociativa y conmutativa de la suma; y la pro-piedad que permite transformar restas en sumas. Veamos dos maneras de hacer-lo, analizando los pasos en el siguiente ejemplo: 2 + (- 5) + (- 6) - (- 3):

Una manera es resolver de izquierda a derecha, asociando los términos dea dos:

2 + (- 5) + (- 6) - (- 3) = (- 3) + (- 6) - (- 3) = (- 9) - (- 3) = - 6

Así, la suma de los dos primeros términos da (-3), luego la suma de esteresultado con (-6) da - 9, y a ese resultado se le resta (- 3) o bien se le suma 3, yda - 6.

Otra manera es:Transformar primero todas las restas en sumas, sumar luego los positivos

por un lado y los negativos por otro y resolver luego esa suma.

Para el ejemplo: 2 + (- 5) + (- 6) - (- 3) = 2 + (- 5) + (- 6) + 3

= (2 + 3) + ((- 5) + (- 6))= 5 + (-11) = - 6

Veamos un segundo ejemplo, resuelto por asociación sucesiva:(- 7) + (- 2) - (- 8) + 1 = (- 9) - (- 8) + 1 = -1 + 1 = 0

Y un tercer ejemplo, transformando las restas en sumas:(- 20) - (- 7) + 15 = (- 20) + (+ 7) + 15 = - 20 + ( 7 + 15) = - 20 + 22 = 2

Ud. verá de qué modo le resulta más fácil, y siempre que conserve la equi-valencia de las expresiones, puede inclusive inventar una nueva manera de cal-cular y/o simbolizar sumas algebraicas.

Cuando las sumas algebraicas involucran varios términos, suelen aparecercon llaves, corchetes y paréntesis para indicar la jerarquía de las operaciones. Yahablamos de esto con el uso de las calculadoras. Allí mostramos que había un tipode calculadoras que resolvía combinaciones de sumas y multiplicaciones "como sisupiera" matemática.

Por ejemplo en: 25 - [ 4 + (- 9) - 6] =

El corchete indica que la operación "principal", que involucra de algunamanera a todos los términos, es una resta donde el minuendo es 25 y el sus-traendo es todo el corchete. Podemos entonces calcular primero el valor del cor-chete y después resolver la resta:

25 - [ 4 + (- 9) - 6] = 25 - [ 4 - 9 - 6] = 25 - (- 11) = 25 + 11 = 36

Veamos otro ejemplo, con más términos: {2 - [- 5 - (- 3 + 2) ] + 1} + 4 =

En este caso, la operación "principal" es una suma, donde el primer suman-do es el valor de la llave, y el otro sumando es 4. Podemos, según el modo ante-rior, resolver el cálculo parcial de los términos encerrados en el ( ), luego los tér-minos del [ ], luego la expresión contenida en la { }, y finalmente sumarle 4.

{2 - [- 5 - (- 3 + 2) ] + 1} + 4 = {2 - [- 5 - (- 1) ] + 1} + 4 = {2 - [- 4 ] + 1} + 4 == { 7 } + 4 = 11

Actividades

46) Calcule las siguientes sumas algebraicas:

a) (- 2) + 5 + (- 10) + 2 + 10 = d) 3 - (- 2) + 20 - (-6) +(-10) =b) { [- 2 + (- 4)] + 5 - [(- 9) + 4)] } - 11 = e) [(- 4) + 5] - {[3 - (-2)] + 15} =c) - 2 + (- 4) + 5 - (- 9) - 4 - 11 = f) [(- 4) + 5] - [3 - (-2)] - 15 =

Compare los resultados b) con c) y e) con f)

47) La siguiente tabla organiza las entradas y salidas de dinero durante unasemana en una institución. Complete las casillas vacías según corresponda ydetermine si el saldo de la semana es positivo. Considere que el saldo acumuladoal domingo de la semana anterior es $ -100.

48) Complete la siguiente tabla en la que se relacionan el año en que nació,el año en que murió y los años que vivió cada una de las personas que se men-cionan.

Día Entradas Salidas Saldo del día Saldo acumulado

Lunes 340 -1080 - 740 - 840 Martes 256 -270 -14 - 854 Miércoles 524 0 Jueves 328 -96 Viernes 134 -140 Sábado 395 -85 Domingo 520 0

Total

Personas Nació Murió Vivió A -100 56 años B 20 80 años C -30 46

49) Si tenemos $ 20 y gastamos $ 37, debemos $ 17. Si luego pagamos $ 12, debemos $ 5. Simbolice estas situaciones utilizando números enteros.

50) Sin hacer el cálculo, indique cuáles de las siguientes expresiones sonequivalentes. Verifique su respuesta con la dada por otros compañeros.

a) - 524 + 730 - 2002 b) - 2002 - 730 - 524c) + 730 - 524 + 2002 d) + 730 - 524 - 2002


40) a) -55 b) -14 c) 0 d) 10 e) -10 f) -40

41) a) - 4 b) - 7 c) 0 d) 8 e) - 60f) 97

42) a) Se aplica la propiedad conmutativa.b) Se aplica la propiedad asociativa, resolviendo (- 2) + (- 18).c) Propiedad del elemento neutro de la suma.d) Propiedad de la suma de números opuestos.

43) a) 9 b) 50 c) 60 d) - 200

e) -75 f) 9 g) 13 h) -72 i) - 43

44) a) 6 b) -18 c) 0 d) - 6 e) 8

f) - 2

45) La resta no es conmutativa. Esto se puede validar con un contrae-jemplo:

- 8 - (-5) = - 3 y - 5 - (- 8) = 3. La resta no es asociativa, y bastapara justificar esa afirmación con mostrar un contraejemplo:

(- 2) - [ (+ 3) - (+ 6) ] = (- 2) - (- 3) = 1, y si asociamos de otra manera:[ (- 2) - (+ 3) ] - (+ 6) = (-5) - (+ 6) = -11

46) a) 5 Observe que si suprime los números opuestos, queda sólo elnúmero 5.

b) - 7 c) - 7 d) 21 e) - 19 f) - 19

Los resultado de b) y c) son iguales. Lo mismo sucede con e) y f).

47) En la fila correspondiente al día Lunes, el saldo del día se obtuvosumando las cantidades 340 y (-1080). Para calcular el saldo acumulado de esedía, hay que agregar el saldo de -100 correspondiente a la semana anterior. Deigual modo se completa el resto de la tabla.

$ 826 es el saldo de la semana y se obtiene sumando todos los saldos de la sema-na, y por ser este positivo, la institución ha tenido una ganancia de $ 826 durantela semana. El saldo acumulado al final de la semana es $ 726.

48) Para responder a este problema puede dibujar una recta del tiempo(recordar lección 6 del modulo 1) indicando con N el año de nacimiento, con M elaño de su muerte y con V los años que vivió

Así, si alguien murió en el año 3 y nació en el -4, contando, da que vivió 7años

Utilizando la resta de enteros: 3 - (- 4) = 7 (los años que vivió)En general vale que M - N = V (cuando se considera el cero)Persona A: M - (-100) = 56 entonces M = - 44

Día Entradas Salidas Saldo del día Saldo acumulado Lunes 340 -1080 - 740 - 840 Martes 256 -270 -14 - 854 Miércoles 524 0 524 - 330 Jueves 328 - 96 232 - 98 Viernes 134 -140 - 6 - 104 Sábado 395 - 85 310 206 Domingo 520 0 520 726

Total 826 726

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

N M V

Persona B: 20 - N = 80 entonces N = - 60

Persona C: 46 - (-30) = V entonces V = 76

49) Se puede interpretar y escribir estas operaciones de las siguientesmaneras:

Observe que siempre interpretamos "quitar" como una resta, "agregar"como una suma, y "una deuda" como un número negativo.

50) a) y d) son equivalentes, y es suficiente comparar los números involu-crados teniendo en cuenta su valor absoluto y su signo.

Se quitan 37: 20 – 37 = -17

o bien, se agrega una deuda de 37: 20 + (-37) = -17.

Se agregan 12: -17 + 12 = -5

o bien, se quita una deuda de 12: -17 – (-12) = -5.

Como en la lección anterior, la idea es que Ud. represente las diferentessituaciones con los números enteros.

Problema 28: Juan gasta en transporte $ 2 por cada día laboral. ¿Cómoexpresa el gasto de Juan de la última semana si trabajó de lunes a viernes?

Problema 29: Un grupo de 6 amigos debe pagar una deuda de $ 420. Sidesean repartirse la misma, abonando cada uno igual cantidad de dinero, ¿Cómoexpresa lo que debe cada uno?

Soluciones propuestasPodemos simbolizar la situación del problema 28 a través de una suma,

donde cada sumando expresa el gasto diario con un número entero negativo, el - 2. Así: (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) + (- 2) = -10 Pero como los sumandos son igua-

les, esa suma (como con los números naturales), se puede expresar con una mul-tiplicación: 5 x (- 2) = - 10

En el problema 29, la deuda se puede representar con el número - 420, y sila van a pagar en partes iguales, cada uno deberá pagar $ 70, representados por- 70. La situación puede simbolizarse por: - 420 : 6 = - 70

Multiplicación de números enterosPara resolver multiplicaciones en los naturales se necesitaba conocer las

tablas de multiplicar, con los signos no había problemas. Ahora, al trabajar con losnúmeros enteros se deben considerar productos como los siguientes:

LECCIÓN 7 Contenido: Multiplicación y división de enteros


(- 2 ) . 3 3 . (- 4) (- 4) . (- 8) 0 . (- 25)

En estos ejemplos, los puntos "." reemplazan al "x" utilizado en la multipli-cación de naturales, y tienen el mismo significado. Así por ejemplo, (- 2) . 3 es lomismo que (- 2) x 3, etc.

Debido a la utilidad que tienen las propiedades de la multiplicación en losnaturales -y también por necesidades de cohesión interna de la matemática- sequiere definir la multiplicación de números enteros de modo tal que se conservenlas mismas propiedades. Por eso, se postula que en la multiplicación de enterosse verifica:

Propiedad conmutativa:

a . b = b . a para todo a y b enteros

Ejemplos: (- 2) . 3 = 3 . (- 2) 0 . (- 2) = (- 2) . 0

Propiedad asociativa:

( a . b ) . c = a . ( b . c ) para todo a, b, y c enteros

Por ejemplo: (5 . (- 3)) . 4 = 5 . ((- 3) . 4)

Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma:

a . ( b + c ) = a . b + a . c para todo a, b, y c enteros

Por ejemplo: (- 3) . (5 + (- 8)) = (- 3) . 5 + (- 3) . (- 8)

Producto por cero:

a . 0 = 0, para todo a entero

Por ejemplo: (- 2) . 0 = 0

Hasta aquí dimos las propiedades del producto de números enteros, pero¿cómo se determina el signo y el valor absoluto del resultado? Esas propiedadesnos permitirán dar la respuesta. Como en la suma, el producto de dos enteros pre-

senta diferentes casos según el signo de cada uno de los factores. Los casos sonlos siguientes:

I) los dos factores son enteros positivos

Este es el caso ya conocido, la multiplicación de enteros positivos es comola de los naturales.

El producto de dos enteros positivos es un entero positivo cuyo valor absoluto es el producto de los valores

absolutos de los factores.

La regla para determinar el signo se puede decir "MÁS por MÁS es MÁS"o (+) . (+) = (+)

Ejemplos: (+7) . (+10) = 70 6 . 45 = 270

II) uno de los factores es positivo y el otro es negativo, o el producto dedos enteros de distinto signo

Por ejemplo, ¿cuánto vale 4 . (- 8)? Con la idea de conservar la multiplica-ción vista en los naturales,

4 . (- 8) = (- 8) + (- 8) + (- 8) + (- 8) = - 32 luego, 4 . (- 8) = - 32

¿Y (- 8) . 4? Como debe conservarse la propiedad conmutativa, también vale(- 8) . 4 = - 32

Estos resultados se generalizan en la siguiente regla:

El producto de dos enteros de distinto signo es un entero negativo cuyo valor absoluto es el resultado de multiplicar los valores

absolutos de los factores.

La regla para determinar el signo se puede decir: "MENOS por MÁS esMENOS" o (-) . (+) = (-) y también "MÁS por MENOS es MENOS" o (+) . (-) = (-)

Ejemplos:

(- 7) . (+ 10) = - 70 6 . (- 45) = -270 (- 3) . 20 = - 60

III) los dos factores son enteros negativos

Por ejemplo, ¿cuánto vale (- 2) . (- 8)? Como deben conservarse las pro-piedades, entre ellas la distributiva y del producto por cero, partimos de una expre-sión que no es equivalente al cálculo inicial, pero que permitirá resolverlo. Partimosde: (- 2) . [ 8 + (- 8) ], y aplicamos la propiedad distributiva, así: (- 2) . [ 8 + (- 8) ],= (- 2) . 8 + (- 2) . (- 8) Pero el corchete que está a la izquierda del signo igual da0 (ya que se multiplica un número por la suma de dos número opuestos).

Así 0 = - 16 + (- 2) . (- 8)

0 = - 16 + (- 2) . (- 8)

Como la suma = es 0, el resultado de (- 2) . (- 8) debe ser el opuesto de

-16 entonces (- 2) . (- 8) = + 16 Generalizando:

El producto de dos enteros negativos es un entero positivo, cuyo valor absoluto es el resultado de multiplicar

los valores absolutos de los factores.

La regla para determinar el signo se puede decir:

"MENOS por MENOS es MÁS" o (-) . (-) = (+)

Ejemplos: (-5) . (-2) = 10 - 3 . (-15) = 45

Las reglas para los casos I, II y III pueden reunirse en la siguiente definición:

Aplicando estas reglas a los ejemplos iniciales se tiene: (- 2) . 3 = - 63 . (- 4) = - 12 (- 4) . (- 8) = 32 0 . (- 25) = 0

Dados dos números enteros a y b, ambos distintos de cero, sellama producto de a y b al número entero r cuyo valor absoluto es igual alproducto de los valores absolutos de los números dados, y cuyo signo espositivo si ambos factores son de igual signo, o negativo si a y b tienendiferente signo. Si a o b es igual a 0, el producto a . b = 0.

Actividades

51) Resuelva las siguientes multiplicaciones:

a) ( - 2 ) . 8 = d) 0 . ( -3 ) = g) ( - 2 ) . 3 . ( -1 ) . 5 =b) ( - 3 ) . ( -10 ) = e) ( - 5 ) . ( - 6 ) . 10 = h) ( -8 ) . ( -5 ) . 0 . ( -3 ) =c) 4 . ( - 50 ) = f) ( -2 ) . ( -3 ) . ( -1 ) = i) ( -3 ) . ( -2 ) . ( -10 ) . (-1 ) =

52) Escriba sobre cada " __ " el número entero que haga verdaderas cadauna de las siguientes igualdades:

a) __ . (- 4) = - 8 d) (- 3) . __ = - 9 g) (- 2) . 3 . __ = 12 b) (- 8) . __ = 8 e) (- 2) . __ = 10 h) (- 8) . __ . 2 = 32 c) (- 4) . __ = 0 f) __ . 5 = - 10 i) (- 5) . __ . 2 = 0

53) En cada caso, indique qué propiedades de la multiplicación se aplica-ron:

a) (- 2) . (- 3) . 6 = (- 2) . 6 . (- 3) b) 3 . (- 5) . 10 = - 15 . 10c) (- 1) . 4 . (- 2) . 5 = 5 . (- 2) . (- 4)d) (- 2) . (7 - 3) = - 14 + 6

54) El cero es el elemento neutro de la suma de números enteros. ¿Cuáles el elemento neutro de la multiplicación de enteros? Justifique y dé algunosejemplos.

55) Complete la siguiente tabla:

División de números enteros

Se estudió para los números naturales que una división es exacta cuandoel resto es 0, y entonces el dividendo es igual al divisor por el cociente. Así,120 : 6 = 20, pues 120 = 6 . 20

Se define la división exacta en enteros:

Como en la definición de múltiplos que ya vimos para los números natura-les también con los números enteros se dice "a es múltiplo de b", o "a es divisiblepor b", o "b es divisor de a".

Cuestión: Dado que 6 : (- 3) = - 2, pues 6 = (- 2) . (- 3) analice con ese ejem-plo la definición de múltiplos en los números enteros.

Sugerencia: revise la lección donde se tratan las divisiones y múltiplos ennúmeros naturales.

¿Cómo se determina el resultado de la división exacta de enteros?Por ejemplo, (-24) : 3 = c ¿cuánto vale c? Según la definición tiene que suceder que (- 24) = 3 . c, así c = - 8

Entonces se escribe: (- 24) : 3 = - 8

En la división exacta de enteros, como en la multiplicación, los números queintervienen pueden tener igual o distinto signo, y se puede ver analizando caso porcaso que el valor absoluto y el signo del resultado cumplen con la siguiente regla:

Actividades

56) Calcule las siguientes divisiones a) 28 : 4 = d) (-3) : (-3) = g) 0 : (-6) = b) -21 : (-3) = e) 30 : (-6) = h) 125 : (-25) = c) (+35) : (-7) = f) 0 : 8 = i) (- 8) : 0 =

Sean a y b enteros b ¹ 0. La división exacta a : b es igual al entero c si se cumple que a = b . c

Dados dos números enteros a y b, b ¹ 0, el signo del cociente entre a y b es

positivo si a y b son de igual signo, y es negativo si a y b tienen diferente signo. El

valor absoluto del cociente se obtiene dividiendo como en los naturales.

,

,

57) Ilustre con un ejemplo cada una de las siguientes reglas de los signos,y luego utilice la definición de división exacta para probarlas ("probar" en el senti-do de justificar):

a) "más dividido más es más" b) "menos dividido más es menos"c) "más dividido menos es menos" d) "menos dividido menos es más"

58) Justifique por qué es verdadera la siguiente expresión: a . (b - c) = a . b - a . c (Sugerencia: recuerde que: b - c = b + (- c))

59) Sabiendo que en cada una de las siguientes divisiones el dividendo esmúltiplo del divisor, colocar el número que corresponde sobre cada "__"

a) (- 36) : 2 = __ d) __ : 15 = - 4 g) 100 = __ : (- 2) b) (- 20) : __ = 5 e) (- 25) = __ : 3 h) 0 : __ = 0 c) __ : (- 8) = 0 f) 300 : __ = - 60

60) Ya se estudió que los divisores naturales de 4 son: 1, 2 y 4. ¿Los opues-tos de 1, 2 y 4 serán también divisores enteros de 4?

61) ¿Si b es divisor de a entonces (- b) también lo es? Justifique.

62) ¿A qué es igual (- 17) : 7?

Esta división no es exacta, ya que el dividendo no es múltiplo del divisor.Como en cualquier operación el resultado de una división tiene que ser único, lasiguiente definición da las condiciones para encontrar el cociente y el resto:

c se llama cociente entero de la división de a por b y r el resto de dichadivisión.

Puede intentar resolver la división mentalmente buscando con distintosnúmeros y verificando luego si se cumple la definición. c será negativo por la reglade los signos de la división.

Dados dos números enteros a y b con b > 0 se cumple que:

a b a = c . b + r siendo 0 £ r < b

r c

Supóngase que c = - 2, entonces - 17 = -2 . 7 + r para que se verifique laigualdad, debe ser r = -5. Pero esto no responde a la definición porque el restodebe ser mayor o igual que 0 y menor que el divisor.

Vamos a considerar c= -3, entonces -17 = -3 . 7 + r, y el resto será r= 4.El resultado de - 17 : 7 es c = - 3 y r = 4.Esto parece un poco extraño, ¿no? Tal vez una representación gráfica le

ayude a interpretar estos cálculos.Tratemos de ubicar sobre una recta numérica al dividendo, - 17, entre dos

múltiplos consecutivos del divisor 7.

Encontramos: - 21 < - 17 < - 14o lo que es lo mismo, (- 3) . 7 < - 17 < (- 2) . 7

-17 7-21 -3 se cumple que - 17 = (- 3) . 7 + 4

4

a) Proponga una división no exacta con dividendo negativo y divisor positi-vo, y encuentre el cociente y el resto.

b) Represente sobre la recta numérica el dividendo entre los múltiplos con-secutivos del divisor.


51) a) -16 b) 30 c) - 200 d) 0 e) 300

f) - 6 g) 30 h) 0 i) 60

52) a) 2 b) - 1 c) 0 d) 3 e) - 5

f) - 2 g) - 2 h) -2 i) 0

53) a) Propiedad conmutativa. b) Propiedad asociativa, multiplicando 3 . (- 5). c) Propiedad asociativa, multiplicando (-1) . 4 y luego se aplicó la conmutativa dos veces. d) Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma.

54) El 0 sumado a cualquier entero n da ese mismo entero n. Por ello sedice que cero es elemento neutro para la suma. El 1 multiplicado a cualquier ente-ro m da ese mismo entero m, por eso el 1 es el elemento neutro del producto deenteros.

Algunos ejemplos: 1 . (- 2) = (- 2); 1 . 132 = 132; 0 . 1 = 0

55)

56) a) 7 b) 7 c) -5 d) 1 e) -5 f) 0 g) 0 h) - 5i) La división por cero no está definida

57) En todos los casos, como la división es exacta, a : b = c , y es a = b. c

a) "más dividido más es más", a > 0, y b > 0, entonces c > 0 por la regla delos signos de la multiplicación.

b) "menos dividido más es menos", a < 0, y b > 0, entonces c < 0 por la reglade los signos de la multiplicación.

c) y d) son similares.

58) a . (b - c) = a . (b + (-c)) = a . b + a . (-c) = a . b + (-(a . c))= a . b - a . cLa primera igualdad se debe a que las restas de enteros se pueden trans-

formar en una suma. La segunda, a la propiedad distributiva. En la tercera, a laregla que afirma que el producto de enteros con distinto signo es negativo. Por últi-mo se vuelve aplicar la transformación de suma en resta.

59) a) -18 b) -4 c) 0 d) -60 e) -75f) -5 g) -200 h) cualquier entero distinto de 0

60) 1, 2 y 4 son divisores naturales de 4, por lo tanto son divisores enteros(positivos) de 4. Los opuestos son -1, -2 y -4 además son divisores de 4 por que4 : (-1) = - 4 ; 4 : (-2) = - 2 y 4 : (-4) = - 1

61) Si b es divisor de a, significa que hay un entero c tal que a = b . c, peropor la regla de los signos, a = (- b) . (- c), es decir que - b es divisor de a.

Matemática

Apellido y nombre: Sede:

DNI: Fecha:


Uso de calculadora

1) Verifique con calculadora si las expresiones de abajo son correctas:

123 + 25 · (1034 - 989) - 16725 25 = 579(123 + 25) · 1034 - 989 - 16725 25 = 151374

2) Escriba en la calculadora, con dos dígitos, el mes en que sucedió algoimportante de su vida. (Por ejemplo al mes de febrero le corresponde los dígitos02). Multiplique ese número por 5. Sume 6 a ese resultado. Multiplique esa res-puesta por 4. Sume 9 a ese total. Multiplique el resultado por 5. Sume el númerodel día (también emplee dos dígitos). Sume 700 a ese total. Reste 865 a ese total.

a) Repita esta secuencia de pasos para distintas fechas. ¿Qué relaciónexiste entre la fecha ingresada y el resultado final?

b) Escriba las operaciones realizadas para una de esas fechasc) Explique lo observado en el inciso a).

Orientación

3) Dibuje un croquis que represente la ubicación en el edificio, del aula enla que se dictan la clases de matemática, de modo que una persona pueda llegarhasta Ud.

4) En la página siguiente Ud. encontrará un plano de la red de subte de laciudad de México. Cada línea se identifica por un color (que en su hoja no se dis-

TRABAJO PRÁCTICOINTEGRADOR

tingue), un número y también por las estaciones que están en los extremos. Así, lalínea 3 se identifica por "Universidad - Indios Verdes", y pasa -entre otras- por lasestaciones Centro Médico, Balderas, Hidalgo y La Raza.

a) ¿Cuál es la estación que, por la línea 3, está antes de la estación"Universidad"?

b) Si Ud. está en la estación "Balderas", y toma la dirección "Indios Verdes",¿cuál es la primera estación que se encuentra?

c) ¿Cuál es en el plano, la estación que está más al sur? ¿Y más al oeste?d) La estación "Pantitlán", hacia el este de la ciudad, es punto de cruce de

varias líneas. Distinga cuáles son esas líneas.e) La estación "Zócalo" está en el centro histórico de la ciudad. ¿Cómo

haría para llegar si se encuentra en "Tacubaya"? Elija el camino que le parezcamás fácil, y explique por qué lo elige.

f) La estación "Terminal aérea", de la línea 5, corresponde al aeropuerto dela ciudad. Ubíquese en alguna otra estación, y escriba las indicaciones para queotra persona pueda ir desde donde Ud. se encuentra hacia el aeropuerto.

Divisores y múltiplos

5) a) Escriba todos los divisores de los siguientes números: 15 y 45.b) ¿Cuál es el mayor divisor, común a esos dos números?c) ¿Cuál es el menor divisor, común a esos dos números?

6) a) Escriba los primeros diez múltiplos de 2.b) Escriba los primeros diez múltiplos de 3.c) Encuentre dos múltiplos comunes a 2 y 3.d) ¿Cuál es el menor de los múltiplos comunes (mcm) de 2 y 3?.

7) a) Descomponga en sus factores primos el número 50 (recurriendoal esquema de árbol de la lección 4).

b) Escriba todos los divisores de 50.c) Escriba 50 como producto de sus factores primos.

Números enteros

8) Ubique en la recta numérica de abajo los números enteros: 0 , -1 -5 y 4

9) Encuentre el módulo y el opuesto para cada uno de los siguientes núme-ros:

a) -12 b) 4 c) 0

-3 2

10) Ordene los siguientes números de menor a mayor.-5, 4, -12, 0, -1

11) Coloque el signo: <, >,<,> o =, en el interior del ; según corresponda:

a) 0 -3 b) - 11 10 c) 5 - (-3) -10 + 18

d) -3 + 1 1 - 3

12) Escriba todos los números naturales (x) que cumplen con: a) -7 < x < 3 b) x > -102 y x < -90

Suma y resta de números enteros

13) Resuelva: a) - 2 + 17 = b) 13 + (-3) = c) 4 + (-4) = d) -7 + (-123) = e) __ + (-4) = 8 f) 5 + __ = -2 g) __ + (- 5) = 10

14) Resuelva:a) - 2 - 17 = b) 13 - (-3) = c) -7 - (-123) = d) __ - (-4) = 8 e) 5 - __ = -2 f) __ - (- 5) = 10

Multiplicación y división de números enteros

15) Resuelva:a) - 2 · 17 = b) 13 · (-3) = c) -7 · (-3) = d) -3 . (-2) . 4 =e) __ · (-4) = 8 f) 5 · __ = -10 g) __ · (- 5) = -15

16) Resuelva: a) - 2 : (-1) = b) 3 : (-3) = c) -9 : (-3) =e) __ : (-4) = 8 f) 5 : __ = -1 g) __ : (- 5) = -3

Operaciones combinadas con enteros

17) Calcule:a) (- 2) + 5 + (- 10) + 2 + 10 - 0 = e) (3 - (- 2)) · (20 - (-6) + (-10)) =b) { [- 2 + (- 4)] + 5 - [(- 9) + 4)] } - 11 = f) (-2)3 =c) [(- 4) + 5] - {[3 - (-2)] + 15} = g) - 23 =d) (2 - (-3) + 4) · (-4) - (-2) h) (- 25 + 16) 2 -(-3) - (-4) =

18) Complete la tabla

Problemas

19) a) A las 6 de las mañana el termómetro marcaba -6 grados y almediodía 7 grados. ¿de cuánto fue la variación en la temperatura? Represente loanterior en una recta numérica.

b) La temperatura a las 9 hs. es 4 grados más baja que la de las 16hs. A las 9 hs. el termómetro marcaba -11 grados, ¿Cuánto marcó a las 16 hs?

20) Considere los siguientes datos tomados de una enciclopedia. Platón, filósofo griego, nació en el año - 428 y murió en el año - 347. Aristóteles, filósofo griego, nació en el año - 384 y vivió cerca de 62 años. Fuealumno de Platón y permaneció junto a éste 20 años hasta la muerte del maestro. Se considera a Plotino (204; 270) como el pensador helenístico que dio expresióndefinitiva al Neoplatonismo tomando ideas de Platón y Aristóteles dándoles uncarácter de religiosidad.

Responda las preguntas y Escriba las operaciones que realiza:

a) ¿Cuántos años vivió aproximadamente Platón?b) ¿En qué año ingresó Aristóteles a la Academia de Platón.?

¿Cuántos años tenía al ingresar?c) ¿Qué edad tenía Aristóteles cuando murió Platón?d) ¿En qué año murió Aristóteles?e) ¿Cuántos años transcurrieron entre el nacimiento de Platón y el de

Plotino?

a b - a - b - (- a) - (- b) a + b -a – (-b) a . b

1 4

-2 5

-3 5

-2 6

0 11

21) Un grupo de soldados no mayor que 100 y mayor que 50 desfilaba enhileras de a cuatro, salvo uno que quedaba solo cerrando la marcha. El capitánmandó formar grupos de a tres. Pero este pobre soldado seguía quedando solito,cerrando la marcha. El capitán entonces mandó formar grupos de dos en dos. Peroel soldado seguía solo en el fondo.

El comandante principal, que observaba el desfile, dio la orden de formar dea cinco. ¡Ahora sí! todas las filas quedaron completas y el soldado se unió a suscompañeros ¿Cuántos soldados desfilaban?

Matemática

Lección 1: FRACCIONES: REPRESENTACIÓN, EQUIVALENCIA YCOMPARACIÓN. ........................................................................................129

Lección 2: NÚMEROS RACIONALES, REPRESENTACIÓN FRACCIONARIA Y DECIMAL, ORDEN......................................................143

Lección 3: OPERACIONES ENTRE RACIONALES..................................................157

Lección 4: POTENCIACIÓN Y EJERCICIOS COMBINADOS................................173

Lección 5: DIFERENTES MAGNITUDES....................................................................183

Lección 6: UNIDADES DE LONGITUD, PESO Y CAPACIDAD..............................193

Lección 7: SUPERFICIE Y VOLUMEN. UNIDADES.................................................205

Lección 8: RADICACIÓN. TEOREMA DE PITÁGORAS.........................................221

Lección 9: CONSTRUCCIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES. EL NÚMERO . PERÍMETRO Y ÁREA DE UN CÍRCULO. RAÍCES IRRACIONALES. REPRESENTACIÓN EN LA RECTA.......233

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR.............................................................................245

π

Para contar los elementos de un conjunto finito, usamos los números natu-rales.

Para medir, se utiliza una unidad de referencia, por ejemplo, al medir tiem-po, se suele usar como unidad la hora, y se determina luego cuántas veces dichaunidad está contenida en el periodo de tiempo a medir. Suele decirse: “el viaje duródos horas”, “son las cinco y cuarto”, “faltan dos horas y media”. En los dos últimosejemplos, a la cantidad entera de horas se han agregado fracciones, partes dehora, no ha sido posible utilizar solo naturales para medir esos periodos de tiem-po.

Nos ocuparemos en esta lección de representar partes de algo con núme-ros y estudiar algunas de sus propiedades.

Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 1: Se reparte 3 alfajores entre 5 niños. ¿Qué cantidad de alfajo-res recibirá cada uno, de modo que todos puedan comer la misma cantidad?

Problema 2: Se desea medir la longitud de las varillas a, b, c, d y e con lavarilla u tomada como unidad, es decir u mide 1. Entonces, ¿cuánto veces “entra”u en cada una de estas varillas?

Problema 3: El caminante A recorrió tres cuartos del camino, mientras queel caminante B ha recorrido cinco octavos del camino, ¿quién caminó más?

Números racionalesLección: 1 Contenido: Fracciones: representación, equivalencia y comparación.

b

u c d e

a


Problema 1: Hay varias maneras de repartir cinco alfajores entre tres, pro-ponemos como solución dos de esas formas.

a) Se divide cada alfajor en tres partes iguales y cada chico recibe un terciode cada alfajor, recibiendo en total cinco tercios.

b) Se reparte un alfajor a cada uno, luego se dividen en mitades los dos res-tantes, de estas cuatro mitades se da una a cada niño y a la mitad que sobra se ladivide en tres partes iguales, sextos de alfajor, y se reparten.

Problema 2: Si se yuxtapone u tres veces como en la figura, se observa quela longitud total coincide con la de b, esto se puede escribir: 1 b = 3 u y se diceque: “b mide 3 u”.

La varilla e es más larga que 1 u y menos larga que 2 u, y se observa queyuxtaponiendo dos varillas e y 3 varillas u, las longitudes coinciden. En símbolosqueda: 2 e = 3 u, entonces, e será la mitad de 2 e y también de 3 u, esto seescribe: e = u.

u u u

b

ee

u u u

23

La varilla a es más corta que la varilla unidad, entonces medirá menos que 1u, y según el dibujo, 2 a = 1 u y según lo anterior a = u

Para la varilla c se observa que:

5 c = 4 u y como c es la quinta parte de 5 c, también será la quinta partede 4u y se escribe c = u.

Para la varilla d se tiene que 3 d = 2 u entonces: d = u

Problema 3: Podemos representar el camino con una franja y subdividirlaen cuatro y ocho partes iguales respectivamente y sombrear las partes que cami-nó cada uno. El dibujo nos permite decir que A caminó más.

Caminante A (tres cuartos de camino)Caminante B (cinco octavos de camino)

¿Qué se puede aprender con esos problemas?

El término “fracción” se usa cotidianamente para referirse a una parte dealgo, “una fracción de tiempo”, “una fracción del camino”, “una fracción del capital”,etc. y esa parte es menor que ese algo a que se refiere. En matemática la idea defracción es más general, ya que una fracción puede ser mayor que la unidad.Comenzaremos definiendo lo que es una fracción:

a a

u

c c c c c

u u u u

21

54

d d d

u u

32

b

a Todas las expresiones de la forma donde a y b son enteros y b distintode 0, se llaman fracciones.

Suele usarse la expresión a/b en lugar de con el mismo significado

El número b (el de abajo) se llama denominador y el número a (el de arri-ba), numerador. La fracción puede leerse: a sobre b. Por ejemplo, 3/5 se lee “tressobre cinco” y también “tres quintos”.

¿Qué se puede representar con números fraccionarios?

Comenzaremos viendo cómo la fracción se usa para describir “partes” defiguras, pues esto ayuda a la comprensión de su idea. Observe los ejemplos.

Se subdividió a cuatro figuras, en tres partes iguales y se marcaron dossubdivisiones en cada una. Puededescribirse la parte pintada de cadafigura con la fracción: 2/3 y se lee“dos tercios” o “dos sobre tres”

En la figura siguiente se subdividió en cuatro partes iguales a cada cua-drado. Si cada cuadrado grande es la unidad, 7/4 es lafracción que describe la parte pintada y se lee “sietecuartos ” o “siete sobre cuatro”

El anterior es un ejemplo donde la fracción es mayor que la unidad.En la siguiente figura se considera como unidad a cada uno de los cua-

drados, estos se han subdivididos en partes iguales: medios, tercios, cuartos, etc.Las partes pintadas permiten afirmar que:la unidad equivale a “uno sobre uno”la unidad equivale a “dos sobre dos” o “ dos medios”la unidad equivale a “cuatro sobre cuatro” o “ cuatro cuartos”, etc.

En general una fracción puede interpretarse según lo siguiente: Para toda fracción a/b el numerador indica cuantas partes iguales de la uni-

dad se consideran y el denominador indica en cuantas partes iguales está subdi-vidida cada unidad.

b

a

Actividad 1Trate de observar lo anterior en todos los ejemplos vistos hasta ahora.

Actividad 2¿A cuál de las figuras le asignaría la fracción 1/3?

Actividad 3La figura de la izquierda representa 2/4, ¿cuáles de las otras representa la

unidad?

Actividad 4Suponiendo que cada conjunto de circulitos representa la unidad, colocar

debajo de cada uno, la fracción que representa a los pintados y la fracción querepresenta a los sin pintar.

Actividad 5Una con una flecha, cada

fracción o suma de estas, con lafigura a) o b) según corresponda.¿Cuál es la unidad adecuada encada figura, para que toda fraccióndescriba a una de esas figuras?

a) b) c) d)

2/4

a) ……… b)……… c)…….… d)…….… e)………

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

32 1 ,

57 ,

52 1 ,

32

33 ,

52

55 ,

35

figura a) figura b)

Fracciones equivalentes

Observando las figuras se nota quelas fracciones 2/3 y 4/6 de un seg-mento coinciden. Lo mismo pasapara esas mismas fracciones de unrectángulo.

También se ve que las cuatro fracciones siguientes representan la mismacantidad de superficie sombreada en el rectángulo. Existen entonces fracciones deuna determinada unidad, queaunque tienen numerador ydenominador distintos, pue-den representar “algo equiva-lente” (la cantidad de superfi-cie en este caso). Estas fracciones, observe, cumplen lo siguiente: por ejemplo, en1/3 y 2/6 el producto del denominador de una por el numerador de la otra es cons-tante. Es decir 3 x 2 = 1 x 6

Para 2/6 y 4/12, también es 6 x 4 = 2 x 12. Generalizando, definimos:

Dos fracciones y son equivalentes, si vale que a x d = b x c

Note que dos fracciones equivalentes representarán igual cantidad, sólocuando indican partes de la misma unidad.Por ejemplo, 2/3 y 4/6 aunque equivalentes, pueden representar distinta cantidadcuando se toman distintas unidades, talcomo lo muestra la figura.

¿Cómo encontrar fracciones equivalentes?

Miremos las fracciones, 1/3 y 2/6, sabemos que son equivalentes, y ade-más vemos que multiplicando, numerador y denominador de la primera por 2,obtenemos numerador y denominador respectivamente de la segunda.

32

6 4 4/6

2/3

ba

dc

1 x 2 2 3 x 2 6=

Análogamente si se divide numerador y denominador de una fracción porun divisor común de ellos, 2 en el ejemplo, la fracción obtenida resulta equivalen-te.

Este último proceso se llama simplificar.

Actividad 6Complete de manera que las fracciones sean equivalentes

Actividad 7En cada inciso, encontrar una fracción equivalente para cada una de las

fracciones dadas, cuyo denominador sea un múltiplo común de los denominado-res dados.

a) 2/3 y 4/12 b) 7/10 y 7/5 c) 4/6 y 3/9 d) 45/4 y 12/7

Actividad 8Simplificar las siguientes fracciones hasta obtener una fracción que no se

pueda seguir simplificando, es decir, encontrar la fracción “Irreducible” equiva-lente de cada una.

a) 45/100 b) 64/32 c) 81/144 d) 120/360

Comparamos fracciones

Para comparar dos fracciones, se supondrá que son fracciones de la mismaunidad. Efectuada esta suposición e interpretando gráficamente lo que indican

9 27

8 …

… 25 16 48 7 …

2 10 … 36 3 15 a) = b) = c) = d) =

2 2 1 6 2 3=

::

numerador y denominador, puede comprenderse lo que sigue:• Dos fracciones equivalentes serán iguales, por ejemplo, 2/6 = 1/3

• Si se comparan fracciones de igual denominador, por ejemplo: 8/5 y12/5. resulta que 8/5 < 12/5, pues la segunda cuenta más quintos.

• Si los denominadores son distintos, por ejemplo 5/13 y 7/4 sirve aveces comparar ambas con la unidad: 5/13 < 1 y 1 < 7/4 entonces 5/13 < 7/4

• Si ninguno de los casos anteriores funciona, por ejemplo para 4/7 y5/6, una estrategia, es buscar dos fraccionesequivalentes a las anteriores con el mismodenominador, en el ejemplo, 42. Entoncesmultiplicando numerador y denominador de4/7 por 6 obtenemos la equivalente 24/42 ymultiplicando numerador y denominador de5/6 por 7 obtenemos la equivalente 35/42luego4/7 = 24/42 y 5/6 = 35/42 y como24/42 < 35/42 resulta que 4/7 < 5/6.

Nota: El dibujo nos permite comparar algunas fracciones, pero no siemprese dispondrá del tiempo para realizarlo, o será viable hacerlo para ciertas fraccio-nes; buscar fracciones equivalentes es un método rápido y general para compararcualquier par de fracciones. Veremos más adelante que también será útil parasumar fracciones.

Actividad 9Compare las fracciones y coloque el signo que corresponda (<, =, > )

101

10010 d)

127

116 c)

99

96 b)

54

38 a)

Actividad 10La siguiente es una lista de fracciones ordenadas de menor a mayor:

¿Entre que fracciones intercalaría las fracciones demodo que se conserve el orden?

Actividad 11Una propiedad importante de las fracciones, es que si

a) ¿Qué fracción ubicaría rápidamente entre ? ¿Y entre ?

b) Verifique las desigualdades siguientes, comparando las fracciones,donde se aplicó la propiedad anterior repetidas veces:

Actividad 12Se extrajo 7/11 del contenido de un depósito de agua que estaba lleno.

a) Represente gráficamente el depósito y la parte de agua que se extrajo.

b) Exprese con una fracción la parte del contenido que quedó en el depósito.

c) ¿La cantidad de agua que quedó en el depósito ocupa más o menosde la mitad de su capacidad?

1010

109

108

107

106

105

104

103

102

101

100 <<<<<<<<<<

1000719 Y

10035

dc

d b c a

ba entonces

dc

ba

<+

+<<

83 y

114

114 y

145

21

52

31 << ;

52

83

31

<< ; 83

114

31 << ;

114

145

31 <<

Actividad 13En carteles publicitarios o etiquetas, suelen aparecer ciertas leyendas, por

ejemplo: 2 1/4 litros. Vemos que la expresión numérica está compuesta por unentero, el 2, y una fracción, 1/4 y se interpreta como 2 litros más un cuarto de litro.

El dibujo lo representa.

Este tipo de expresiones que combinanun entero con una fracción para representarfracciones mayores que la unidad se llamanfracciones mixtas. Observe las siguientes figuras y reemplace cada una de lasfracciones por la fracción mixta equivalente o la fracción que equivale a la fracciónmixta.

a) 5/3 = … b) 5/2 = …… c) 3 3/4 =……

d) 10 4/17 = ……e) 14/5 = ……..

Expresiones tales como “veinte por ciento de aumento” o “cinco por cientode interés” o similares son corrientes en la vida cotidiana. Alguna idea tenemos delo que ellas significan, pero ¿cómo se relacionan con las fracciones?

Para contestar la pregunta tenemos que considerar lo que estos porcenta-jes significan, por ejemplo; veinte por ciento, en símbolos 20%, significa 20 decada 100 o también 20 de 100. En el contexto de fracciones, 20% equivale a20/100

Actividad 14I ) Teniendo en cuenta lo anterior, exprese como fracción los siguientes

porcentajes: a) 5 % b) 200%

II ) Exprese como porcentaje las siguientes fracciones. Ayuda: si la fracciónno tiene denominador 100 busque una equivalente que lo tenga.

III ) Considere la figura y escriba que porcentaje le correspondería a la partesombreada de la misma. ¿Y a la sin sombrear?

Actividad 15Se llama fracción decimal a las que tienen en el denominador una poten-

cia de diez (10, 100, 1000, 10 000, etc.). Por ejemplo, las fracciones:

. son decimales,

y se leen: 2 décimos, 67 centésimos, 197 milésimos, 1 diezmilésimo y 78 cienmi-lésimos respectivamente. Le proponemos que encuentre para las siguientes frac-ciones una fracción decimal equivalente y escriba como la leería.

Actividad 16En la actividad anterior se pidió encontrar fracciones decimales equivalen-

tes a las dadas, intente encontrar fracciones decimales equivalentes a las siguien-tes:

a) 10050 b)

21

1c)

43 d) 1

etc 100000

78 10000

1 1000197

10067

102

a) 21 b)

41 c)

251 d)

43

a) 31 b)

75


2) La fracción 1/3 solo representa la parte pintada de la figura b) En las otrasse ha sombreado una parte de tres, pero las partes no son iguales.

3) Observando la primera figura se deduce que ¼ representa un triángulo

como el siguiente . Luego la unidad, que es igual a 4/4 representa todas

las figuras que consten de 4 de dichos triángulos que son las siguientes:

4)

5) La figura a) es representada por la fracción

La figura b) es representada por la fracción y por:

6)

Estos ejercicios se pueden resolver mirando por cuanto ha sido dividido omultiplicado el denominador o numerador de una de las fracciones, para obtenerel correspondiente de la otra.

7) La respuesta no es única, aquí se proponen las siguientes:a) Para 2/3 y 4/12 un múltiplo común es el 24, luego se busca una

fracción equivalente con ese número como denominador para cada una.

INCISO a) b) c) d) e)

Pintados 5/9 3/9 4/9 9/9 1/9

Sin pintar 4/9 6/9 5/9 0/9 8/9

57 y por: ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

52 1 ;

52

55

35 y por: ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ +

32 1 ;

32

33

5 25 16 48 7 35 9 27

= = = = a) b) c) d)

Esto da: 2/3 = 16/24 y 4/12 = 8/24 Otras fracciones equivalentes serían8/12 y 4/12 (Observación: 4/12 es equivalente a 4/12 )

b) 7/10 y 14/10 respectivamente.

c) 24/36 y 12/36 respectivamente.

d) 315/28 y 48/28 respectivamente.

8) a) 9/20 b) 2/1 c) 9/16 d) 1/3

9) a) 8/3 > 4/5 b) 6/9 < 9/9 c) 6/11 < 7/12 d) 10/100 = 1/10

10) Para la primera fracción buscamos fracciones equivalentes con deno-

minador 100, así resulta que:

Para la segunda fracción buscamos fracciones equivalentes con denomina-dor 1000, así resulta que:

11) a) Aplicando la propiedad da: y

b) pues

Las demás se verifican de forma similar.

12) c) Como 4/11 es la canti-dad que quedó en el depósito y la mitaddel depósito se representa por la frac-ción 1/2 podemos comparar ambasfracciones.

Como 4/11 < 1/2 resulta que lacantidad de agua que quedó en el depó-sito ocupa menos de la mitad de su capacidad. Otra forma consiste en mirar direc-tamente el dibujo, en él se distingue claramente que quedó menos de la mitad.

10040

104 y

10030

103 pues

104

10035

103 ==<<

83

197

114

<<

114

259

145

<<

21

52

31 <<

21

105

104

52 y

52

156

155

31 =<==<=

4/11 representa el agua que quedó en el depósito.

Agua Extraída. = 7/11

1000 10007000 8000

107

10 108 8

1000719

117 ==<< pues y

13) Observando los dibujos se comprende las respuestas siguientes:

a) 5/3 = 1 2/3 b) 5/2 = 2 1/2 c) 3 3/4 = 15/4

Para la opciones d) y e), se pueden observar los incisos resueltos y ver quecumplen con lo siguiente:

Se trata de la división entera entre numerador y denominador

d) 10 4/17 = 174/17 pues 174 = 17 x 10 + 4 e) 14/5 = 2 4/5 donde se ha realizado la división entera:

14) I) a) 5/100 b) 200/100

II) a) 50 % b) 50 % c) 75 % d) 100%III) Consideramos el rectángulo como la unidad, luego la fracción que

representa la parte sombreada es 9/10 que es equivalente a 90/100 y por lo tantola parte sombreada es del 90%. El total es el 100%, luego la parte sin sombreares del 10%.

15)

a) “cinco décimos” b) “veinticinco centésimos”

c) ” cuatro centésimos” d) “setecientos cincuenta milésimos”

16) No tienen fracciones decimales equivalentes porque no hay núme-ros enteros que multiplicados por 3 o por 7 den 10, 100, 1000, 10000, etc. Dichode otra manera, 10, 100, 1000, etc. no son múltiplos de 3 ni de 7. Estudiaremosesto con más detalle en la lección siguiente.

r e x d n con dr e

dn que ocurre d n con

dn fracción toda Para +==>

14 5 4 2

105

21=

1000750

43=

100

4 251=

10025

41=

Los números naturales y enteros representados por símbolos como: 2, -5,10, etc. junto a las fracciones con expresiones como: 1/2, 3/4, 1/10, etc. estudia-das en la lección anterior permiten ampliar el conjunto de los números. A éste con-junto lo llamaremos el de los números racionales y lo estudiaremos en ésta y enlas siguientes dos lecciones. Además repasaremos los números decimales comootra forma de representar algunos 1 racionales.

Problema 4: Se van a cobrar 37,29 $ en un banco, y se le pide al cajero queabone esa cantidad con monedas de 1$, de 10 centavos y de 1 centavo. Detallelas cantidades de cada moneda recibida, si el cajero da la menor cantidad posiblede ellas. ¿Cuántas monedas de 1 centavo son necesarias para cubrir los 37,29$?¿Cuál es la cantidad mínima de monedas que se recibirán si se cobra en mone-das de 10 centavos y de 1 centavo?

Problema 5: Al pedir ¼ de Kilogramo de un producto, en algunas balanzasnos pesarán 250 gramos y por otro lado sabemos que ½ Kilogramo equivalen a500 gramos. Explique estas equivalencias.

Soluciones propuestasProblema 4: Si desea pagar con la menor cantidad de monedas, deberá

completar la cifra con las de mayor denominación; el detalle es el siguiente: 37monedas de 1$, 2 monedas de 10 centavos y 9 de 1 centavo. Si paga todo conmonedas de 1 centavo, necesitará en total 3729 monedas. En el último caso debe-rá abonar 37,29 $ con 372 monedas de 10 centavos más 9 de 1 centavo.

Lección: 2 Contenido: Números racionales, representación fraccionaria y decimal, orden.

Ñ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe

1 Decimos “algunos” números racionales, pues las expresiones decimales no pueden representar ciertos números racionales. Veremos esto en detalle más adelante.

Problema 5: ¼ de Kilogramo representa la cuarta parte de un Kilogramo,además un kilogramo equivale a 1000 gramos, entonces se busca la cuarta partede 1000 gramos, dividiendo esta cantidad por cuatro, resultando 250 gramos. Elrazonamiento es análogo para ½ Kilogramo.

¿Qué se puede aprender con estos problemas?

Comenzamos con la siguiente e importante definición

Diremos que toda fracción a/b representa un número racionaly convendremos que dos fracciones equivalentes

definen el mismo número racional.

Por ejemplo, las fracciones: 2/3 y 4/6 son números racionales, y son equi-valentes pues 2x6 = 3 x4, luego representan el mismo número racional.

Se convendrá que donde, a es un número entero. Entonces cual-

quier entero se puede expresar como una fracción, por ejemplo:

10 = 10/1, –5 = –5/1, 0 = 0/1 , de este modo: “todo número entero es tambiénun número racional”.

Además convendremos que:Un número racional a/b es positivo, si a y b tienen igual signo; en caso con-

trario es negativo. En símbolos a/b > 0 o a/b < 0 respectivamente.

Notación: Los números racionales negativos suelen representarse con un

signo menos delante de la fracción, son lo mismo que – .

1a a =

-2 10 -15 0 pues -2 y 4 tienen distintos signos, asimismo 0 y 0 4 -5 7

< <

2 10 -5 0 pues 2 y 4 tienen igual signo, asimismo 0 y 0 4 5 -7

> > >

4-2 o

42-

42

Representación en la recta

Hemos representado los números enteros positivos y negativos, sobre larecta numérica. En la misma recta podemos representar los números racionales.Una vez determinados el 0 y el 1, queda determinada la unidad, y con ella cual-quier fracción o número racional, tiene su lugar en la recta.

Actividad 17Estudie cómo se representaron las fracciones y coloque alguna fracción,

que corresponda a la posición de cada ovalo punteado.

En la lección anterior comparamos fracciones positivas, vemos ahora, en larepresentación en la recta numérica de racionales, que si un racional positivo esmenor que otro, por ejemplo, 3/6 < 9/6, el menor se encuentra a la izquierda. Estotambién vale para los racionales negativos, por ejemplo: -1/2 está a la izquierdade -1/3, luego -1/2 < -1/3. De la comparación de fracciones más complicadasnos ocuparemos en la siguiente lección.

Actividad 18Representar sobre la recta, los números racionales 1/2 y 1, teniendo en

cuenta la representación de 0 y 3/4.

-2 -1 0 1 2

21-

31-

63

43

23

3 4 -

4 -7

6 -12

38

25

69

66

¾ 0

Actividad 19Coloque uno de los símbolos, “<” “=” o “>” sobre los puntos, al comparar los

números racionales:

a) - 2/7 …….2/-7 b) -3/5 …… -7/5 c) 6/9 …… -8/9 d) 0/7 …… -2/3

Una propiedad de los números racionales

Actividad 20

Cuando preguntamos ¿cuál es el entero que sigue a 2? La respuesta es

inmediata, el 3. Y así con todos los enteros. Pero si preguntamos ¿Qué racional

sigue al ? ¿Será el ?

Los números decimales

En lo cotidiano nos manejamos con precios, pesos, distancias, etc. Son fre-cuentes expresiones similares a 1,25 o 34,169 ¿Qué significan?

Observemos los tres cuadrados donde la unidad es uno de los grandes ynos preguntamos

¿cuánto será laparte sombreada total?Vemos que lo sombreadoocupa 2 unidades, 4 déci-mos ( 4/10, las cuatro filassuperiores del cuadradode la derecha) y 3 centésimos ( 3/100, los tres cuadraditos sobrantes) Entoncesescribiremos en símbolos: 2,43 Indicando de esta forma la cantidad de esos gru-pos.

La coma separa la parte de la izquierda, que cuenta múltiplos de la unidad(unidades, decenas, centenas, etc.), de la parte derecha que cuenta submúltiplosde la unidad ( décimos, centésimo, milésimos, etc)

Las reglas con que se ha escrito el número 2,43 siguen las del sistema de

33

32

numeración decimal2. Recordando sus reglas y extendiéndolas a los submúlti-plos de la unidad, podemos interpretar que la expresión: 49,802 expresa que unacierta colección, contiene:

De este modo, puede descomponerse el número 49,802 como lo indica elgráfico de la derecha.

Observe que no estamos aplicandouna regla para la suma de fracciones,todavía no sabemos hacerlo, simplemen-te interpretamos los significados.

Hemos analizado la escritura de los decimales como el resultado de contarla cantidad de múltiplos y submúltiplos de la unidad. Entonces vale que:34,002 > 33,999 pues cuenta (representa) más unidades, o también podemos pen-sar que el primero cuenta 34002 milésimos mientras que el segundo cuenta 33999milésimos.

Análogamente 12,69 < 12,7 puesto que el primero cuenta 1269 centésimoscontra 1270 centésimos, es decir uno más.

Actividad 21Teniendo en cuenta lo anterior, coloque sobre la línea punteada el signo <, = o > según corresponda.

a) 0,60 ………0,6 b) 0,18 ……… 0,2 c) 12,567 ……… 11,568d) 2,99 ……… 2,999 e) 3,567 ……… 3,56698

2Recuerde que en el sistema de numeración decimal agrupamos de a diez; que es posicional, porque cada cifra tiene un valor quedepende de la posición que ocupa y que utiliza los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

4 decenas en total 9 unidades sueltas o 49 en total

8 décimos sueltos ( 8/10 ) o 498 décimos en total ( 498/10 )

ningún centésimo suelto ( 0/100 ) o 4980 en total ( 4980/100)

2 milésimos sueltos ( 2/1000 ) o 49802 en total ( 49802/1000 )

49,802

49,802 = 49 + 8/10 + 0/100 + 2/1000

Actividad 22Reordenando las cuatro cartas, ¿cuál es el mayor número que se puede for-

mar con las mismas? ¿Y el menor?

Actividad 23Estudie la siguiente tabla, donde se establecen las equivalencias entre la

unidad y algunos submúltiplos de ella y complete:

¿Dónde se ubican en la recta los números decimales?

Actividad 24a) Investigue el siguiente gráfico donde se han ubicado diferentes números

decimales, y escriba los faltantes sobre los puntos suspensivos.b) Dentro de cada rectángulo punteado, escriba la fracción decimal que

corresponde a la ubicación indicada por la flecha en la recta .

4 , 0 7

Unidad Décimo Centésimo Milésimo Diezmilésimo

1 unidad 1 10 … … … 1 Décimo 0,1 1 10 … 1000

1 Centésimo … … … 10 … 1 Milésimo … 0,01 … 1 10

1diezmilésimo 0,0001 … … 0,1 …

0

1,6 –0,6

2,50

2,35 0,10 0,20

0,10 0,20

0,17 0,16

0,165

…..

….. …..

…..

–1 1 2 3 …..

–1,4

…..

Actividad 25Escriba 15 números decimales que se ubiquen entre los extremos del

siguiente segmento perteneciente a la recta numérica.

Actividad 26Escribir el número racional decimal con una sola cifra a la derecha de la

coma, que esté más cerca de cada uno de los siguientes (esto se conoce comoredondear a una cifra decimal):

a) 6,28 b) 0,395 c) 0,08 d) –4,99 e) –25,03 f) 18,25

Actividad 27“Tres formas de expresar un número”. Complete la tabla:

Actividad 28Descomponga cada una de las expresiones decimales como suma de frac-

ciones decimales y como una fracción decimal

a) 24,57 = 24 + b) 0,3457 =

c) 30,50802 =

26,658 26,659

Forma Fraccionaria

Forma Decimal ¿Cómo podría leerse la expresión decimal?

49802/1000 49,802 “cuarenta y nueve unidades con ochocientos dos milésimos”

21,43 “veintiuna unidades, con cuarenta y tres centésimos” 196/1000

45/100

1,04

10000

... ........

5 100...

....3

+++

100...

....5+

Actividad 29Estudie las siguientes igualdades, donde se han aplicado las propiedades

de potencias, de fracciones equivalentes y de escritura de los números decimales:

Resuelva las siguientes; a) b) (Ayuda: Primero, busque la frac-ción decimal equivalente y luego escriba ésta en el sistema forma decimal).

Para tener en cuentaEn la figura, el cuadrado grande es la unidad y la

parte pintada es ¼ de la misma. Pero si se consideranlos cuadrados pequeños, 1/100, vemos que esa mismaparte puede representarse por la fracción decimal25/100 y por la actividad 14 también se describe la partepintada con 25%. Otra forma de describir la parte pinta-da es usando la notación decimal: 0,25. Y por último podemos pensar que la partesombreada es el resultado o lo que queda de dividir la unidad en cuatro partesiguales es decir

Concluimos que las cinco expresiones siguientes significan lo mismo.

Actividad 30Busque cuatro expresiones equivalentes para cada una:

a) 1/2 b) 0,375 c) 2 5

( ) 0,04 centésimos 4

1004

104

5x24

2x52 x 1

5 1

251

2222

2

2 =======

( ) 0,125 ésimosmli 125

1000125

10125

2x5125

5x25 x 1

2 1

81

3333

3

3 =======

203

508

1 ÷4

¼ = 0,25 = 25/100 = 1 ÷ 4 = 25% de la unidad

÷

Actividad 31Recuerde la división entre naturales: Interprete la siguiente:

Compare el resultado (0,125) con lo obtenido para 1/8 en actividad 29.

Racionales que no son decimales

Por la definición, TODO número racional se expresa con una fracción a/b,pero HAY números racionales, que no pueden expresarse con el sistema decimaly en este caso decimos que el número racional no es decimal.

Vimos que los decimales equivalen a una fracción decimal, las cuales tie-nen denominadores que son potencias de diez (10, 100, 1000, 10000, etc).Además que cualquier potencia de 10 tiene como únicos divisores primos el 2 yel 5.

Lo anterior es ejemplo de una propiedad que nos permitirá decidir rápida-mente si una fracción (un racional) es decimal:

Un número racional a/b es decimal cuando el denominador de la fracciónequivalente irreducible tiene como únicos divisores primos el 2 o el 5 (oambos).

Por ejemplo, el racional 2/12 no se puede expresar como un decimal, puestiene como fracción equivalente irreducible (que no se puede simplificar)a 1/6,cuyo denominador tiene como divisor primo al 3

El racional 4/3 no es decimal por que: es irreducible y el denominador tienecomo divisor primo a 3. ¿Qué pasa al dividir 4 por 3?…

Unidades 1 8

Décimos 10 1 Décimo Centésimos 20 2 Centésimos Milésimos 40 + 5 Milésimos

0 Unidades

0 0,125 Unidades

Explique y siga el procedimiento para realizar la división 1 ̧25

milésimo 1 1,333… Unidades

Unidades 4 3

Décimos 10 3 Décimos y sobra 1 décimo Centésimos 10 3 Centésimos y sobra 1 centésimo

1 1 Unidad y sobra 1 unidad

Milésimos 10 + 3 Milésimos y sobra 1 milésimo

¡El resto NUNCA es 0!

El resultado de la división se escribe 1,3 indicando con el arco sobre el 3que este se repite infinitas veces a derecha de la coma. No se pueden escribirtodos y en consecuencia 4/3 no tiene expresión decimal. Se dice que no es deci-mal.

Actividad 32Vimos que la fracción 2/12 no es decimal, realice la división de 2 por 12

¿cómo escribiría el resultado?

Actividad 33En la actividad 29 los denominadores de las fracciones tienen como únicos

divisores primos 2 o 5 o ambos y se pudieron escribir como decimales. ¿Se podráponer como decimales las siguientes fracciones? (Justifique).


17)

) 6

15 c) , 7516 b) ,

94 a

-2 -1 0 1 2

21-

31-

63

43

23

3 4 -

4 -7

6 -12

38

25

69

66

2 3-

41

411

45

35 - 6

1

37

18) Una forma de encontrar la posi-ción de 1/2 y 1 en la recta, es encontrar pri-mero la posición de 1/4 dividiendo el seg-mento de extremos 0 y 3/4 en tres partesiguales, esto se puede hacer aproximada-mente “a ojo”. Luego como 1/2 = 2/4 y 4/4 = 1 por ser equivalentes, son el mismonúmero racional y por lo tanto se representan en la misma posición.

19) a) – 2/7 = 2/–7 b) –3/5 > –7/5 c) 6/9 > –8/9 d) 0/7 > –2/3

20) La respuesta es no. Recordando la propiedad vista en la actividad 11 de

la lección anterior sabemos que , está entre ellos, es decir ¿será

entonces el siguiente? De nuevo decimos, no, porque el está entre ellos.

Y podemos seguir preguntando y seguiremos respondiendo ¡No! Por esta propiedad, el conjunto de los racionales se dice que es “denso”.

Entonces por más cerca que se encuentren dos racionales en la recta numérica,siempre habrá uno entre ellos. Y por esto: “no hay un número racional que siga aotro”.

21) a) 0,60 = 0,6 b) 0,18 < 0,2 c) 12,567 > 11,568d) 2,99 < 2,999 e) 3,567 > 3,56698

22)

23)

24) La unidad se halla dividida en 10 partes iguales, por lo tanto cada sub-división es un décimo. Así, – 0,8 se ubicó contando ocho décimos a la izquierdadel cero, los demás se obtienen por un procedimiento análogo.

Para hallar la fracción que indica la flecha, primero podemos contar cuán-

¾ 0 1/4 2/4 4/4

1/2 1

65 3

2 <65 <

33

97

65

El mayor: .7 .4 .0 ., El menor: .0 .,. .4 .7

Unidad Décimo Centésimo Milésimo Diezmilésimo

1 unidad 1 10 100 1000 10000 1 Décimo 0,1 1 10 100 1000

1 Centésimo 0,01 0,1 1 10 100 1 Milésimo 0,001 0,01 0,1 1 10

1diezmilésimo 0,0001 0,001 0,01 0,1 1

tos décimos hay desde el cero hasta la posición de la flecha luego transformar laexpresión decimal a su forma fraccionaria, por ejemplo, la ubicación de 2,2 corres-ponde a 22 décimos y de allí la fracción 22/10 etc.

Observación: Lo que aparece en el óvalo punteado se interpreta como unaampliación del óvalo que se halla al comienzo de la flecha entre los valores 0,10 y0,20.

25) Existen infinitos números entre 26,658 y 26,659. Algunos de ellos son:26,6581 26,65812 26,6582 26,65825 26,6583 26,65835 26,6584 26,65841

26,65843 26,65844 26,65845 26,65850 26,65855 26,658555 26,65856

26) a) 6,3 b) 0,4 c) 0,1d) –5,0 e) –25,0 f) 18,2 o 18,3

27)

“ ”

0

1,6 –0,6

2,50

2,35 0,10 0,20

0,10 0,20

0,17 0,16

0,165

0,11

0,8 1,7.

3,3

–1 1 2 3 –0,8

–1,4

–1,7

101 -

100125 -

1000125

1022

1026

Forma Fraccionaria

Forma Decimal ¿Cómo podría leerse la expresión decimal?

49802/1000 49,802 “cuarenta y nueve unidades con ochocientos dos milésimos”

2143/100 21,43 “veintiún unidades, con cuarenta y tres centésimos” 196/1000 0,196 “ciento noventa y seis milésimos”

45/100 0,45 “cuarenta y cinco centésimos” 104/100 1,04 Ciento cuatro centésimos” o “uno con cuatro centésimos

28) a) 24,57 = 24 +

b) 0,3457 =

c) 30,50802 =

29) a)

b)

30)

31)

32)

El resultado puede escribirse como 0,16

5 8 2 305080230 + =

10 1000 100000 100000+ +

0,15 centésimos 15

100 15

203

===

0,16 centésimos 16

100 16

508

===

3 4 5 7 3457 + =

10 100 1000 10000 10000+ +

5 7 2457=

10 100 100+

a) 1/2 = 50/100 = 0,5 = 1 ¸ 2 = 50% de launidad.

b) 0,375 = 375/1000 = 3/8 = 3 ¸ 8 = 37,5% de la unidad.

c) 2 ¸5 = 2/5 = 40/100 = 0,4 = 40% de la unidad.

Unidades 1 25

Décimos 10 0 Décimo Centésimos 100 4 Centésimos

0 Unidades

0 0,04 Unidades

diezmilésimos 80 + 6 diezmilésimos y sobran 8 diezmilésimos

Unidades 2 12

Décimos 20 1 Décimo y sobran 8 décimos Centésimos 80 6 Centésimos y sobran 8 centésimos

0 Unidad

Milésimos 80 6 Milésimos y sobra n 8 milésimos

diezmilésimos 8 0,1666… Unidades

33) Las fracciones a) y b) no son decimales, pues los denominadores delas correspondientes irreducibles equivalentes tienen como factor primo al 3, c) esdecimal.

En esta lección estudiaremos las operaciones básicas entre números racio-nales, en las representaciones decimal y fraccionaria. Ambas son de utilidad tantoen la vida cotidiana como en el estudio de temas que se verán en lecciones pos-teriores.

Problema 6: Lola fue al mercado y anotó en una lista las cantidades de loque compró y lo que gastó en cada compra:¾ kilo de zanahoria $ 3,75; ½ kilo de calabacín $ 1,30; 2 kilos de lentejas $ 5,80; 2 ¼ kilos de arroz $ 4,75; 1 kilo de salchichón $ 7,25

a) ¿Cuánto gastó Lola en el mercado?b) Lola salió de su casa, para ir al mercado, con un billete de $100. ¿Con

cuánto dinero regresó si sólo fue al mercado?c) ¿Cuánto peso cargó Lola al regresar a su casa?d) Lo que cargó Lola ¿fueron más o menos que 7 kilos? ¿Cuánto más o

cuánto menos?

Problema 7: Marta separa de su salario 3/5 para comida, 1/10 para trans-porte y 1/6 para pago de servicios; lo que le queda es para ropa, diversiones y gas-tos que puedan surgir.

a) ¿Qué parte de su salario separa Marta?b) ¿Qué parte del salario de Marta es para ropa, diversiones y gastos que

puedan surgir?

Lección: 3Contenido: Operaciones entreracionales.

∇∇ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

Problema 8: En una factura de gas aparece una sección similar a la quesimulamos abajo. En ésta se muestran los conceptos facturados por la empresa.Estudie la sección o si usted es cliente de la empresa estudie su propia factura yresponda las siguientes cuestiones.

1) ¿Cómo se calcula el importe parcial correspondiente CARGO M3?2) Verifique importe parcial correspondiente IVAALÍCUOTA GENERAL 21%

sabiendo que el mismo se calcula sobre la suma de los primeros cinco importesparciales.

3) Verifique el valor correspondiente a PERCEPCIÓN IMP. MUNICIPAL10 %, sabiendo que el mismo se calcula sobre el total de los primeros cinco impor-tes parciales.


Problema 6: a) Para obtener el total gastado se deben sumar las cantida-des. Una manera común de sumar dos o más números decimaleses encolumnar las cifras de igual valor posicional y proceder comoen la suma de enteros.Así lo que gastó Lola en el mercado es $ 22,85

b) Para determinar lo que le sobró a Lola, hay que restar alos $100 que llevó, lo gastado en el mercado.

CONCEPTOS FACTURADOS Conceptos m3 9300 cal. Tarifa Imp. Parc.

CARGO FIJO 8,35 CARGO M3 90 0,139807 12,58 IMPUESTO LEY 25413 0,29 IMPUESTO SOBRE LOS I.I.B.B. (TRANSPORTE) 0,12 IMPUESTO SOBRE LOS I.I.B.B. (DISTRIBUCIÓN) 1,12 IVA ALÍCUOTA GENERAL 21% 4,72 PERCEPCIÓN IMP. MUNICIPAL 10 % 2,25 FONDO CONTRIB. DEC 1136/96 0,16 FONDO FIDUCIARIO SUBSIDIO CONS. “R” Art. 75 Ley 25565

0,36

VENCIMIENTO: 08/11/2002 TOTAL A PAGAR: $ 29,95

3,75 1,30 5,80 4,75 + 7,25

22,85

Recordemos que: Para restar dos números decimales, como en la suma, seencolumnan cifras de igual valor posicional y se resta como con enteros. En elcaso de que el minuendo tenga menor cantidad de cifras decimales que el sus-traendo, se agregan ceros al minuendo en las posiciones decimales, hasta igualarla cantidad de decimales del sustraendo. Con el circulito se des-tacan los ceros agregados en este caso.

Lo que le sobró a Lola es $ 77,15

c) El peso que cargó Lola al regresar a su casa se obtiene sumando lospesos de cada producto: ¾ + ½ + 2 + 2 ¼ + 1

Una manera de sumar estas fracciones es expresarlas como fraccionesequivalentes, eligiendo un denominador común a todas (más adelante veremosesto con más detalle).

Se puede elegir fracciones con denominador 4 (el m.c.m.), así:

½ = 2/4, 2 = 8/4, 2 ¼ = 9/4 y 1 = 4/4

La suma de las fracciones equivalentes da:

3/4 + 2/4 + 8/4 + 9/4 + 4/4 = 26/4 = 13/2 = 6 1/2

Podemos afirmar que el peso de la compra es de 6 Kilos y mediod) Lo que cargó Lola es menos que 7 Kilos ( 1/2 Kilo menos)

Problema 7: a) La parte de su salario que separa Marta es 3/5 + 1/10 + 1/6Procediendo como en el problema 6 buscamos fracciones equivalentes con igualdenominador. Buscamos un denominador que sea el m.c.m de 5, 10 y 6 que es 30.

Las fracciones equivalentes son 3/5 = 18/30 1/10 = 3/30 1/6 = 5/30

Entonces 3/5 + 1/10 + 1/6 = 18/30 + 3/30 + 5/30 = 26/30 = 13/15

Es la parte separado por Marta.b) Si ha separado 13/15 de su salario, del total 15/15 quedan 2/15 que es

para ropa, diversiones y gastos que puedan surgir. La operación realizada es laresta entre dos fracciones, en símbolos:

15/15 - 13/15 = 2/15

100, 00 22, 85

77,15

Más adelante veremos con más detalle la resta entre fracciones

Problema 8: 1) El concepto “CARGO M3” se refiere al consumo en metroscúbicos correspondientes a 9300 calorías. La factura muestra un consumo de 90M3, y como la tarifa de cada M3 es de $ 0,139807 se necesita multiplicar los 90M3 por el costo de cada M3, en símbolos: 90 x 0,139807

Recuerde que para multiplicar dos números decimales cualesquiera, semultiplican como si fueran enteros y, después se coloca la coma decimal de modoque haya tantas cifras a su derecha como cifras decimales tienen entre los dos fac-tores.

0,139807 tiene 6 cifras decimales

x 90 tiene 0 cifras decimales

12,582630 se pone la coma de modo que tenga 6 + 0 = 6 cifras decimales

Nota: La expresión “cifras decimales” hace referencia a las cifras que seencuentran a la derecha de la coma.

Como en el problema se trata de dinero se dejan solo dos cifras decimalespara representar los centavos. El decimal más cercano a 12,582630 con dos cifrasdecimales es 12,58 que es el importe que aparece en la factura.

2) El total de los primeros cinco importes parciales se obtiene sumándolos:8,35 + 12,58 + 0,29 + 0,12 + 1,12 = 22,46 y sobre éste se calcula el 21%.

Como vimos en la actividad 14 de este módulo, el 21% de una cantidadcorresponde a la fracción 21/100 de esa cantidad, y que se calcula multiplicandoel número decimal que representa la fracción por el total.

En símbolos 0,21 x 22,46 = 4,7166Y con dos cifras decimales se elige 4,72 que coincide

con el importe parcial correspondiente de la factura.

3) Como en el caso anterior, el 10 % de 22,46 se obtienemultiplicando: 0,10 x 22,46 = 2,246

Con dos cifras se elige 2,25 Importe que aparece en la factura

2 2,4 6 x 0,2 1 2 2 4 6 4 4 9 2 4, 7 1 6 6

¿Qué se puede aprender con esos problemas?En los problemas se ha sumado, restado y multiplicado racionales.

Profundizaremos nuestro estudio sobre algunos de los procedimientos usados,para realizar esas operaciones.

Suma y resta de fraccionesEn el dibujo se representa la suma de 1/3 más 3/6 Y se observa que el resultado es 5/6. En símbolos:

1/3 + 3/6 = 2/6 + 3/6 = 5/6

En general cuando los denominadores de las fracciones que se suman sondistintos, será necesario transformarlas en fracciones equivalentes con igual deno-minador y luego sumarlas. Como ejemplos vea la solución dada al problema 7, ylas siguientes sumas.

Actividad 34Calcule y simplifique hasta obtener la fracción irreducible.

Actividad 35Juan afirma: “para sumar fracciones con igual denominador, se suman los

numeradores y se mantiene el denominador”. ¿Le parece correcto? Proponga usted un ejemplo que lo verifique. Exprese con símbolos lo que afirmaJuan.

56

3529

3515

3514

73

52 iii)

51

54 ii)

94

95-

97

92 i =+=+=+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=++

53)

31 0 g)

103 3

42 1

53 2 f)

272

32

67-

98 e)

61

125 -

83 d)

43 6 c)

71 -

71 b)

61

185

92 a

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++

+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛++⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+++)

Actividad 36Se estudió en una lección anterior que el opuesto de un número entero a

se escribe como -a y vale que a + (-a) = 0

Para los números racionales vale la misma propiedad. Encuentre los opues-tos de los siguientes números racionales:

a) b) c) d) 0,0123 e) -12,34

Actividad 37La suma de los números racionales cumple las mismas propiedades que la

suma de enteros, a saber: propiedad asociativa, conmutativa, hay un elementoneutro y un opuesto de cada uno.

En la siguiente lista de igualdades, se justifica cada igualdad por la aplica-ción de una de ellas. Identifique en cada caso de que propiedad se trata.

RestaPara restar dos números racionales, se suma al minuendo el opuesto del

sustraendo. En símbolos:

Ejemplos

72

100

83−

35

35 0

35

92 -

92

35

92 -

92

92 -

35

92

=+=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛++

..................... .....................

..................... .....................

dc-

ba

dc -

ba

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛+=

1523

56

155

56 -

155 b)

33 -

35

32

35 -

32 a) =+=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −+=


En la lección 1 se dio un criterio para comparar racionales. El siguiente esun criterio más general:

Cuando la resta da menor que 0 el sustraendo es el mayor.Cuando la resta da igual a 0 las fracciones son iguales y equivalentes.

Ejemplos:

Actividad 39Compare las siguientes fracciones aplicando la regla anterior colocando el

signo “<”, “>” o “=” según corresponda.

a) 8/11 ....… 6/12 b) -7/5 …… -14/10 c) - 4/15 …….2/–17 d) -13/5 ……-14/6

Actividad 40Ordene de mayor a menor las siguientes fracciones:

7/12 ; 4/6 ; 5/9 ; 3/4 ; 13/18

Multiplicación entre fracciones:

37 - -

37 f)

1243 - 0 e) (-4) -

58 d)

73 - 6- c)

102- -

54 b)

34 - - a) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

72

0

dc

ba que vale si

dc

ba que Diremos >−>

0

87- -

69- porque

8 7-

69- b) 0

41

21

43 porque

21

43 a) <⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛<>=−>

El producto o multiplicación de dos o más fracciones es la fraccióncuyo denominador es el producto de los denominadores y el numeradorel producto de los numeradores.

En símbolos:

Ejemplos:


En la actividad anterior los incisos c) y d) dan como resultado 1. Estos soncasos particulares de una propiedad de la multiplicación de números racionales,llamada existencia del inverso multiplicativo. Y es la siguiente:

Para cualquier numero racional a/b distinto de cero, hay otro que multipli-cado por él da 1

Actividad 42¿El inverso multiplicativo de a/b será siempre b/a?

Actividad 43Encuentre los inversos de los siguientes números racionales.

Actividad 44La multiplicación de racionales cumple las propiedades asociativa, conmu-

tativa, existencia de neutro e inverso multiplicativo y distributiva respecto de lasuma. ¿Qué propiedad es la que justifica cada una de las siguientes igualdades?Verifíquelas haciendo el cálculo.

52- 0 e)

47

7 4- d)

32

23 c)

512

2 3 b)

65

51 a) ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅⋅⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅⋅

64

1 4 -2 0a) b) c) -2 d) 1 e) f) 5 6 15 b

−

... f d b... e c a ...

fe

dc

ba

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅

58

5 1 2 4

52 4 III)

62-

3 2 (-2) 1

32-

21 II)

31

3612

6 6 4 3

64

63 I) =

⋅⋅=⋅=

⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⋅==

⋅⋅=⋅

Aplicaciones de la multiplicación de racionales ¿Cuánto es la mitad de un cuarto? ¿Cuánto es un cuarto de 60 minutos?

¿Cuánto es el 43% de 200? .... Un camino para resolver estas cuestiones lo apor-ta la multiplicación entre fracciones.

I) Considere la figura

II) La mayoría sabe que un cuarto de hora (o de 60minutos) son 15 minutos. En esta caso esto se puede veri-ficar multiplicando: ¼ • 60 que da 60/4 y simplificado 15/1o bien 15

III) Según la actividad 14, 43% equivale a la fracción 43/100. Entonces el43 % de 200 es lo mismo que 43/100 de 200 y como antes, se puede calcular mul-tiplicando 43/100 • 200 que resulta igual a 86.

Además sabemos que 43/100 es lo mismo que 0,43. Entonces deberá darlo mismo 43/100 • 200 que 0,43 • 200. Efectivamente ambos resultan igual a86.

En general para calcular una fracción de un número se multiplica la fracciónpor dicho número.

Actividad 45Calcule el producto 23,34 x 1000 a) ¿Cómo lo hizo? b) Calcule ese produc-

to aplicando la siguiente regla: Al multiplicar un decimal por una potencia de 10,(10, 100, 1000, 10000, etc.), el resultado se obtiene corriendo la coma hacia laderecha en el decimal, tantos lugares como ceros tiene la potencia de 10, y seagregan ceros si ya no hay más cifras decimales.

51

23

51

23

51 e)

23 d)

23 1

23 c)

7 4-

47

47

7 4- b)

23

51

23

51 a)

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅+⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−+⋅=⋅=⋅

⋅⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅⋅

64

641

32

64

64

La mitad de ¼ es 1/8 según el dibujo. La mitad de algo se expresa con ½ Si multiplicamos: ½ · ¼ se obtiene 1/8

30

60

15

45

c) Verifique ese cálculo transformando los factores en fracciones decimales.

Actividad 46Verifique los cálculos de suma y resta de números decimales realizados en

los incisos a) y b) del problema 6 cambiando las expresiones decimales a fraccio-nes decimales.

Actividad 47Calcule: a) 25% de 400 b) un quinto de 50 c) 4/6 de 240

e) 1/4 de 1/4

Actividad 48Explique como leer la siguiente figura

que representa el producto: ½ • ¾ = 3/8

División entre fracciones:

En símbolos:

Ejemplos


cd

ba

dc

ba ⋅=÷

1 29

92

92

92 c)

3035-

105 b)

46

12

43

21

43 a) =⋅=÷=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−÷=⋅=÷

73

21 2 d)

92 -

92 - c)

1312 b)

86

43 a) ÷⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛÷⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−÷÷

2426

Para dividir dos números racionales, se multiplica al dividendo porel inverso multiplicativo del divisor.

Actividad 50En la lección 2 con el subtítulo: “Para tener en cuenta” concluimos

que: 1 4 = ¼ Ahora con la definición de division de fracciones se puede ver ésto de otra

manera, a saber:

Teniendo en cuenta eso pruebe que:

División entre decimalesObservemos que en una división cuando se multiplica al dividendo y al divi-

sor por un mismo número el resultado o cociente no cambia. Esto se observa enel siguiente desarrollo

Note que este proceso es similar al de simplificar.Eso permite que al dividir decimales podamos multiplicar dividendo y divisor

por una potencia de 10, la necesaria para que el divisor quede entero sin que cam-bie por ello el resultado. Trabajar con divisor entero nos permite comprender mejorel proceso de dividir.

Por ejemplo para hacer 4,67 2,5 realizamos 46,7 25 con igual resulta-do.

O para hacer 0,145 0,05 realizamos 14,5 5, etc.Luego se realiza la división como en la lección 2 con el mismo significado.A continuación mostramos como ejemplo, el cálculo de 0,03729 0,15 Para obtener un divisor entero multiplico dividendo y divisor por 100 y cal-

culamos 3,729 15 sin que cambie el resultado.En el ejemplo el resto es 0 después de obte-

ner 4 cifras decimales. Pero se presentan casos enque el cociente tiene muchas más cifras decimales.En ese caso se divide hasta obtener la cantidaddeseada de éstas.

41

41

11

14

11 4 1 =⋅=÷=÷

ba b a =÷

÷÷

÷÷

÷÷

÷÷

÷÷

÷÷ ÷÷

3,7 2 9 15 3 0,2486 Unidades

Décimos Centésimos Milésimos Diezmilésimos

8,3 5 12 8 0,695 Unidades

Décimos Centésimos Milésimos

Para determinar el resto de la división origi-nal (0,835 1,2), se divideel resto obtenido (0,01)por la potencia de 10 que se usó para llevar el divi-sor a entero (10). entonces el resto es 0,01 0,001de ese modo 0,835=1,2 x 0,695 + 0,001

÷÷

÷÷

Actividad 51Calcule en cada ítem el cociente con cuatro cifras decimales y diga cuánto

vale el resto.


34)

35) Lo que afirma Juan se puede expresar en símbolos como sigue:

36) a) -2/7 b) 3/8 c) 0 d) - 0,0123 e) 12,34

37) La primera igualdad se debe a la propiedad conmutativa, la siguiente ala asociativa, opuesto y finalmente neutro para la suma

a) 2/9 + 5/18 + 1/6 = 4/18 + 5/18 + 3/18 = 12/18 = 2/3 b) 0

c) 6 + 3/4 = 24/4 + 3/4 = 27/4

d) 3/8 + (-5/12) + 1/6 = 9/24 + (-10/24) + 4/24 = 3/24 = 1/8

e) 8/9 + -7/6 + (-2/3) + 2/27 = 48/54 + -63/54 + (-36/54) + 4/54 = -47/54

f) 2 3/5 + 1 + (-2/4) + 3 3/10 = 13/5 + 1 + (-2/4) + 33/10

= 52/20 +20/20 + (-10/20) + 66/20 = 128/20 = 32/5

g) 1/3

b... d c a ...

bd

bc

ba +++=+++

a) 1,2673 ÷ 0,37 b) 0,0145 ÷ 3,2 c) 6,5 ÷ 0,003

38)

a) -2/7 - 4/3 = - 6/21 + (-28/21) = -34/21 b) 4/5 - (- 2/10) = 4/5 + 2/10 = 10/10 = 1

c) -6 - 3/7 = -6 + (-3/7) = -45/7 d) 8/5 - (-4) = 8/5 + 4 = 28/5

e) 0 - 3/124 = 0 + (-3/124) = -3/124 f) 7/3 - (-7/3) = 7/3 + 7/3 = 14/3

39)

40) En este caso es más fácil buscar fracciones equivalentes con igualdenominador que aplicar la regla de la resta.

41) a) 1/6 b) –12/5 c) 1 d) 1 e) 0

42) El inverso multiplicativo de a/b es b/a siempre que a y b sean distin-tos de cero porque:

43) a) 5/1 b) -6/4 c) -1/2 d) 1 e) -15/2 f) no tiene

44) a) asociativa b) conmutativa c) 1 es el neutro de la multiplicaciónd) inverso multiplicativo e) distributiva respecto la suma

a) 8/11 - 6/12 = 30/132 > 0 aplicando la regla da que 8/11 > 6/12

b) -7/5 - (-14/10 ) = 0 entonces -7/5 = -14/10

c) - 4/15 - ( 2/-17) = - 4/15 + 2/17 = - 68/255 + 30/255 = -38/255 < 0, luego - 4/15 < 2/-17

d) -13/5 < -14/6

7/12 4/6 5/9 3/4 13/18

3/4 > 13/18 > 4/6 > 7/12 > 5/9 21/36 24/36 20/36 27/36 26/36

a/b ⋅ b/a = a⋅b/b⋅a = a⋅b/a⋅b = 1

45) Aplicando la regla para calcular 23,34 x 1000 se corre la coma tres luga-res a la derecha y como solo hay dos cifras decimales se agrega un cero. Esto da23340c) Transformado los factores en fracciones decimales el cálculo resulta:

23,34 x 1000 =

46) a) 3,75 + 1,30 + 5,80 + 4,75 + 7,25 = 22,85

b) 100,00 - 22,85 = 77,15

47) a) 25% de 400 es lo mismo que 25/100 de 400 o 1/4 de 400, o sea100, o también 0,25 x 400 = 100

b) 1/5 de 50 es 1/5 x 50 = 50/5 = 10 c) 160 d) 1/16

48)

Otra forma de leer la figura es considerar la parte sombreada como la mitadde ¾ del rectángulo grande.

49)

22,85 100

100725

100

100580

100130

100375 ==++++ 2285475

77,15 1007715

1002285 -

10010000 ==

d) c)

169144

338288 -

1312

1312 b) 1

2424

68

43

86

43 a) 41

2624

2426 −==⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−÷==⋅=÷

23340 100

2334000 1

1000 1002334 ==⋅

50)

51) a) 1,2673 0,37

Resto = 0,0013 100 = 0,000013o 13 millonésimas

b) 0,0145 3,2

Resto = 0,001 10 = 0,0001o 1 diezmilésimos

c) 6,5 0,003

Resto 0,0002 1000 = 0,0000002

ba

b1

1a

1b

1a b a =×=÷=÷

1 2 6, 7 3 37 1 2 6 3,4251 1 5 7 9 3 1 9 0 5 0 1 3

Unidades Decimos Centésimos Milésimos Diezmilésimos

0,1 4 5 32 0 0,0045 1 1 4 1 4 5 1 7 0 1 0

Unidades Decimos Centésimos Milésimos Diezmilésimos

6 5 0 0 3 6 2166,6666 5 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2

Unidades de mil Centenas Decenas unidades décimos Centésimos Milésimos Diezmilésimos

÷÷

÷÷

÷÷

÷÷

÷÷

÷÷

Tal como lo hicimos para los números naturales, definimos

siendo n un natural, al producto del número n veces consigo mismo.

En símbolos:

La expresión se lee “potencia enésima de ”. La fracción

se llama base de la potencia y n exponente de la potencia.

Si n vale 0 se conviene que el resultado es 1, en símbolos:

Actividad 52: I) Calcule las siguientes potencias

II) Si el denominador de una fracción es 1, el número racional es tam-bién entero. Con esto vemos que; la definición de potencia dada para racionales,vale para enteros.

Lección: 4Contenido: Potenciación y ejercicios combinados

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ba n

ba

ba ...

ba

ba

ba

n ×××=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

n veces

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

ba n

ba

ba

1

0

ba =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

345123 0

e) 12 -

5 d)

45 -

2 c)

60 3

b) 32 4

a) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

Calcule las siguientes potencias:

a) 20 b) (-2)3 c) (-8)2 d) (-3)1 e) (-1)6

III) Observe los signos de las potencias según los exponentes sean pares oimpares y según el signo de la base. Intente generalizar lo que observa enuncian-do una regla sobre el signo de las potencias.

Actividad 53a) Verifique que valen las siguientes igualdades:

b) Esos dos resultados, sugieren la siguiente generalización:

Demuestre lo anterior partiendo desde el primer miembro hasta llegar alsegundo.

Veremos en la actividad 57 otra forma de esta propiedad.Hasta ahora hemos estudiado potencias con exponente natural o entero

positivo.Las potencias con exponente negativo se definen como sigue:

Actividad 54Calcule las siguientes potencias:

( ) 3

3 1 3

31

3 = ( )

5 2

4 2

54

2 =

( ) b

na n

ba

n =

Diremos que la potencia es distributiva respecto la división. O que la potencia es distributiva respecto al numerador y al denominador.

( ) ( ) ab

n

ba

n- =

( ) 2 - 5- e)

12 -

2 - d)

45 -

2 - c)

101 1-

b) 32 4 -

a) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

Ejercicios combinadosEstos ejercicios combinan las diferentes operaciones vistas hasta ahora.

Suma, resta, multiplicación, división y potenciación entre racionales aparecen jun-tas en un mismo cálculo. Para resolverlos, se sigue un orden, tal como ya se vio(en la lección 1 sobre el uso de la calculadora en el módulo 2). Este orden, o jerar-quía en las operaciones se basa en las definiciones y propiedades vistas hasta elmomento y en convenciones. Las siguientes son algunas de esas convenciones:

• Las operaciones entre paréntesis son las que se resuelven primero.• Si no hay paréntesis se resuelven primero las potencias, luego los

productos o divisiones y por último las sumas o restas.• Si las operaciones que aparecen son solo productos y divisiones y

sin paréntesis se realizan las operaciones de izquierda a derecha.• Cuando hay pares de paréntesis uno dentro de otro, se comienza

resolviendo el que está más al interior, y se continua de esa manerahasta llegar al exterior. (Iniciamos el tratamiento de paréntesis sucesivos en el estudio de enteros).

Examine los siguientes ejemplos y verifique los cálculos:

Estos ejemplos, por claridad, se realizaron para números racionales ente-ros. Las mismas convenciones valen también para racionales no enteros.

Actividad 55Realice las siguientes operaciones combinadas

I) -24 ÷ 4 ⋅ 2 = -12 II) -24 ÷ (4 ⋅ 2) = -3

III) 5 ⋅ (-4) - 2 = -22 IV) 5 ⋅ ((-4) - 2) = -30

V) 2 ⋅ 4 + 6 ÷2 = 11 VI) 2 ⋅ (4 + 6) ÷2 = 10

VII) 3 ⋅ 22 = 12 VIII) (3 ⋅ 2)2 = 36

IX) (16 - 25) 2 ÷ (-3) - (-4) = -23 X) (16 - 25) 2 ÷(-3 - (-4)) = 9

XI) (2 + (-5)) 2 ⋅ 4 = 36 XII) 2 + (-5) 2 ⋅ 4 = 102

XIII) 72 ÷2 ÷ (6 ⋅ 3 ⋅ 2) = 1 XIV) 72 ÷2 ÷ 6 ⋅ 3 ⋅ 2 = 36

XV) (12 ⋅ 2) ÷ (((6 - 3) ⋅ 2) - 3) = 24 ÷ (( 3 ⋅ 2) - 3) = 24 ÷ (6 - 3) = 24 ÷ 3 = 8

a) (-3 - (-5)) ÷ (-1 - (-3)) b) -3 - (-5) ÷ (-1) - (-3) c) (4 - 2) 2 + 5 ⋅ (-3) 2

d) e) f)

( )

85

23 2

73

1-÷−÷ ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛

53( )

85

23 2

73 ÷−÷

53

85

23

102 ÷⋅÷

53

Actividad 56Teniendo en cuenta las reglas para calcular ejercicios combinados, diga cuáles son

las expresiones equivalentes en cada renglón. Después, verifique su respuesta con uncálculo:

Actividad 57a) Proponga valores enteros para a, b, c, d, m, y n; y verifique las siguientes igual-

dades:

i) a) 36 ÷ (3 ⋅ 3 ⋅ 3) b) 36 ÷ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 c) 36 ÷ 3 ÷ 3 ÷3 d) 36 ÷ 33

ii) a) 24 ÷ 3 ÷ 4 ÷2 b) 24 ÷(3 ÷(4 ÷2)) c) 24 ÷(3 ⋅ 4 ⋅2) d) ((24 ÷ 3) ÷ 4) ÷2

m n

n m

2)

m n

m

n

) 1 ba

ba

ba

ba

ba

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

⋅+

× ==

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dc n

ba n

dc

ba n

4)y dc n

ba n

dc

ba n

÷=÷⋅=⋅)3

Producto de potencias de igual base

Potencia de potencia

La potenciación es distributiva con

respecto al producto de racionales

La potenciación es dis-tributiva con respecto ala división de racionales

( ) ( ) ( ) dc n

ba n

dc

dc

ba

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba

dc

ba n

⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅=⋅ .........)3

n veces n veces

n veces

1 2

3

b) Las siguientes son las

pruebas de las propieda-

des anteriores, similares

a las dadas al estudiar

potencia de números

naturales. Justifique cada

una de las igualdades

que aparecen en las

siguientes pruebas:

Actividad 58a) Dé valores a: a, b, n y m, y verifique la propiedad siguiente:

b) La siguiente es una prueba de la propiedad anterior. Diga cuál propiedado definición justifica cada una de las 6 igualdades que aparecen en la prueba.

Actividad 59Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y dé un

ejemplo para cada caso.

I) Dividir un número por 2 es lo mismo que multiplicarlo por ½.II) Dividir un número por ½ es lo mismo que multiplicarlo por 2.III) Dividir un racional distinto de cero por si mismo, es lo mismo que multiplicarlo por su inverso.

Actividad 60A veces se tiende a generalizar reglas sin mirar con qué números se traba-

ja, y entonces se obtienen expresiones que no siempre son verdaderas. Analicecuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas, en caso de ser falsas,muestre un contraejemplo.

I) El cociente de dos números siempre es menor que el dividendo.II) El producto de dos números siempre es mayor que cada uno de los factores.III) Cuando se multiplica un número por 10, se agrega un cero.

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ =÷

ba

ba

ba m - n

m

n

División de potencias de igual base

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+

⋅⋅⋅÷÷

ba

ba

ba

ba

ab

ba

ab

ba

ba

ba

ba

ba

m - n

m) (- n

m -

n

m

n

m

m

n

m

m

n

m

n

1 2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

+

⋅⋅⋅÷÷

ba

ba

ba

ba

ab

ba

ab

ba

ba

ba

ba

ba

m - n

m) (- n

m -

n

m

n

m

m

n

m

m

n

m

n

3 4

5

6

Actividad 61¿Qué número debe ir en la casilla para hacer verdadera la igualdad?

+ 4 = 8 La respuesta es simple, va 4. Que se puede obtenerhaciendo 8 - 4.

2 . = 12 Va 6. Que se puede obtener haciendo 12 2.

Teniendo en cuenta lo anterior, encuentre los racionales que van en lascasillas para que las igualdades sean verdaderas y verifique que el resultado escorrecto.

Actividad 62Complete con los valores que correspondan, según el dibujo

Actividad 63a) ¿Qué parte de la superficie de un terreno de 600 metros cuadrados que-

dará sin construir cuando lo construido ocupa 2/3 del frente y la mitad del fondo?b) ¿Cuántos metros cuadrados tiene la parte cubierta?

Actividad 64Complete el siguiente crucigrama colo-

cando en cada cuadro una fracción.

÷

21 b)

65 a) =×=+

52

21

1 1 ......

...

.........

...

.........

...

... =+=+=+

+

+ = 8/4

– ÷÷

x = 2/12

= =

2/4


Actividades

52 I)

II) a) 1 b) -8 c) 64 d) -3 e) 1III) La regla puede escribirse como sigue: “Cuando el exponente de una

potencia es par, la potencia es positiva y si el exponente es impar, la potencia tieneel mismo signo que la base”.

53) a)

b) Prueba de que

54)

1 e) 1

32 - d) 1625

45 -

45 -

45 -

2 c)

0 60 3

b) 8116

32

32

32

32

32 4

a)

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛⋅⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛=⋅⋅⋅=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

( ) 3

3 1 3

271

31

3 == ( )

5 2

4 2

2516

54

2 ==

....

........

25

16 5

4 - 2

4

5 - 2 -

c) 10 b) 16

81 2

3 4

3

2 4 -

a) = ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ = ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ = ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛ = ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎝

⎛

55) Realice las siguientes operaciones combinadas

a) (-3 - (-5)) (-1 - (-3)) = 2 2 = 1b) -3 - (-5) (-1) - (-3) = -3 - 5 - (-3) = - 5c) (4 - 2)2 + 5 (-3)2 = 22 + 5 9 = 4 + 45 = 49

d)

e)

f)

56)

I) a) 4/3 b) 108 c) 4/3 d) 4/3 II) a) 1 b) 16 c) 1 d) 1

57) b) En la propiedad 1), las igualdades 1 y 2 valen por la definición depotencias.

En la propiedad 2), 1, 2 y 3 valen por la definición de potencias.En la propiedad 3) 1 vale por la definición de potencias, 2 vale porque la

multiplicación es asociativa y conmutativa, 3 vale por la definición de potencias. En la propiedad 4) 1 vale por la definición de división, 2 vale por la defini-

ción de potencias, 3 vale porque la multiplicación es asociativa y conmutativa, 4vale por la definición de potencias, 5 vale porque que la potencia es distributivarespecto el numerador y el denominador, 6 vale por la definición de división, 7 valeporque que la potencia es distributiva respecto el numerador y el denominador.

( ) 32

1 - 2

1 - 5

2 - 5 - e) 4

1 d) = ⎟ ⎠⎞ ⎜

⎝⎛ =

÷

÷ ÷ ÷

÷

() 511 -

518

57

85

49

57

85

23 2

73 =−=÷−=÷−÷

53

() ( ) ( ) 1732 -

85

1720

85

2017

1-

85

49

1-

85

23 2

73

1-=÷−=÷−=÷−=÷−÷ ⎟⎠

⎞⎜⎝⎛

57

53

1072

85

29

85

23

13

85

23

102 =÷=÷⋅=÷⋅÷

53

58) b)

1 vale porque la potencia es distributiva entre numerador y denominador.2 vale por la definición de la división entre racionales.3 vale por la misma propiedad que en 1. 4 vale por la definición de potencias negativas.5 vale la propiedad del producto de potencias de igual base. 6 vale por la definición de resta de números enteros.

59) I) verdadera pues

II) verdadera pues

III) verdadera pues, si a es un número racional distinto de cero.

60)I) ES FALSA. Lo que se afirma solo vale cuando los números son naturales

mayores que 1 (8 : 2 = 4, por ejemplo). Pero para los números racionales no valeque el cociente es menor que el dividendo. Como ejemplo proponemos 4 ½ =8. El cociente “8” es mayor que el dividendo “4”

II) ES FALSA, como antes el error de afirmarlo proviene de generalizar loque sí pasa con los números naturales mayores que el 1. (Por ejemplo 2 x 3 = 6,el producto da 6 que es mayor que los factores 2 y 3). Como contraejemplo pro-ponemos: ½ x ½ = ¼ . El producto “¼” es menor que los factores “½”

II) ES FALSA, y es una generalización incorrecta de la afirmación: “Cuandose multiplica un número entero distinto de 0 por 10, se agrega un cero” Como con-traejemplo de la afirmación proponemos:

21 a 2 a decir es

21 a

12 a 2 a ⋅=÷⋅=÷=÷

2 a 21 a decir es 2 a

12 a

21 a ⋅=÷⋅=⋅=÷

a1 a a a decir es

a1 a

1a a a a ⋅=÷⋅=÷=÷

÷

12,45 x 10 = 124,5 . Aquí no se agrega un cero, se corre la coma.La actividad anterior, tiene el objeto de remarcar los “peligros” de generali-

zar resultados sin prestar la debida atención a todos los términos (palabras) queinvolucra la propiedad o definición que se generaliza.

61)

62)

63) a)

1/2 x 2/3 = 2/6 = 1/31/3 es la parte construida1 – 1/3 = 2/3 es la parte sin construir

b) 1/3 de 600 es 1/3 x 600 = 200 metros cuadradosNote que cada rectángulo tiene 100 metros cuadrados.

64) Proponemos la siguiente solución. Existen otras.

-

65

62 pues

65

62 a)

21

21 ==+

21

45 pues

21

45 b)

52

52 ÷==×

1 1 151

151

1510

156

32

52 =+=+=+

2/3 del frente

1/2 del fondo Parte construida

6/4 + 2/4 = 8/4

– ÷÷

1 x 1/6 = 2/12

= =

2/4 3

+

El tema que nos ocupa está íntimamente relacionado con la actividad per-sonal, laboral y comunitaria del hombre. La administración del dinero, la distribu-ción de los tiempos, la delimitación de los espacios (viviendas, tierras), la prepara-ción de comidas, la administración de medicamentos, la confección de prendas devestir, etc. son ejemplos de actividades donde se necesita medir cosas. Así, ellargo de una tela, la profundidad a la que hay que cavar un pozo, el espesor de unvidrio, la distancia de un lugar a otro, la altura de un techo, el ancho de una pared...Todas estas son características de los objetos que corresponden a una mismamagnitud: la longitud. Otras magnitudes son: el peso, la capacidad, la superficie,el volumen, etc.

Problema 9: Tablones, postes, tirantes, maderas para encofrado, etc. estándispuestos en diferentes sectores de un depósito. Se necesitan 6 parantes delmismo largo para sostener el techo de un garage. ¿Cómo saber si están allí dis-ponibles?

Problema 10: Se comparan dos cantidades de harina,

M N

A simple vista no se puede decidir dónde hay más. Se miden entonces contazas al ras y cucharas soperas colmadas, y se obtiene:

Cantidad M = 4 tazas + 6 cucharas Cantidad N = 3 tazas + 13 cucharas

Magnitudes. MediciónLección : 5Contenido: Diferentes magnitudes

∇∇ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe

Con esa información, ¿se puede decidir adónde hay más?La receta de un alfajor se hace con 5 tazas, ¿si toma la cantidad M, alcan-

za? ¿y si toma la cantidad N?

Problema 11: Juan va al mercado con $ 30. En la verdulería gastó $ 12,50.¿Qué representa la expresión 30 – 12,50? En la carnicería compró 1 kilo de carnepor $ 3,70. ¿Qué representa la expresión 30 – 12,50 – 3,70? Compra 2 kilos desoja a $ 2,30 el kilo y las lentejas valen $ 0,72 los 100 gramos. ¿Cuántos gramosde lentejas puede comprar?

Problema 12: Se pesan tres objetos, y la balanza muestra que: el máspesado de los tres objetos es..... ¿Por qué?

Problema 13: Varios envases, que se distinguen por una letra (A, B, C, D y F), contienen

cierta cantidad de líquido.a) Luisa midió con una jarra el contenido de cada recipiente; encon-

tró que en B había 6 jarras de líquido, y en A había más de 5 pero menos de 6. C,D y G contenían más de 4 pero no alcanzaban a 5. Midió todos los envases y anotólos valores así:

¿Es posible ordenarlos del que más contiene al que está más vacío? ¿Losenvases denotados C, D y G, contienen la misma cantidad de líquido? ¿Y A y F?

b) Clara decide medir la cantidad de líquido que contiene cada uno de esosenvases con otra unidad, y obtiene:

B C

A B

A B C, D y G E F 5-6 6 4-5 4 5-6

A B C D E F G 11 12 9-10 9 8 11 8-9

¿Por qué los valores de las tablas son diferentes? ¿Qué relación hay entrela unidad que usó Luisa y la que usó Clara? ¿Se pueden ordenar todos los enva-ses con los resultados de esta última medición?

Problema 14: Las dos figuras corresponden a dos paredes de un mismobaño, cubiertas con el mismo tipo de cerámica rectangular.

¿Cuál de ellas lleva más cerámicas? Si en todo el contorno se quiere colo-car un borde, ¿en cuál de las dos se necesitan más metros de borde? Estime surespuesta, y luego verifique lo estimado con un cálculo.

Problema 15: Para prevenir el cólera, se recomienda poner dos gotas delavandina por cada litro de agua, y dejarla en reposo media hora antes de consu-mirla. Se decide preparar agua en una olla, y para eso se toma una botella vacíade soda de 1 1/2 litro, se llena de agua y se vuelca en la olla, se repite esta acción4 veces en total. ¿Cuánta agua hay en la olla? ¿Cuántas gotas de lavandina sedeben colocar?

Problema 16: El Señor Bustos tenía 57 años, en el 2003 ¿en qué añonació? Su esposa es 3 años mayor, ¿en qué año nació?

Soluciones propuestasEn el problema 9 se trata de mostrar que hay situaciones en las cuales

hacer una comparación directa -poniendo un objeto al lado de otro, haciendo coin-cidir un extremo y ver cuál es más largo- puede resultar complicado o imposible.En tal caso, se busca algo liviano (una varilla, una caña, etc.) que va a funcionarcomo objeto intermediario y a través del cual se podrá comparar indirectamente:se elige un parante adecuado, se hace una marca sobre el objeto a desplazar y sebusca otro del mismo largo.

O también se puede medir con pasos, pies, cuartas, etc. y así descubrirparantes que tengan el mismo largo. El paso, el pie, la cuarta, etc. están usadoscomo unidad. Y por supuesto, si dispone de un metro, puede usarlo y dar enton-ces la medida de los parantes en una unidad del sistema métrico.

El problema 10 plantea la comparación de dos cantidades de harina. Lacantidad de harina puede darse en kilogramos o gramos, es decir a través de lasunidades de peso del sistema métrico, o como lo hacemos cotidianamente en lacocina, tomando como unidad el contenido de algún utensilio adecuado.

Para decidir si 4 tazas + 6 cucharas es igual, mayor o menor que 3 tazas +13 cucharas habría que saber cuál es la equivalencia entre las unidades usadas,es decir tendríamos que poder responder a: ¿Cuántas cucharas se necesitan para“hacer” una taza? Sin esa equivalencia, tampoco podemos decidir cómo obtener 5tazas.

El problema 11 trata de distribuir el dinero en una compra de alimentos, esdecir plantea el valor de cambio de ciertos productos alimenticios. 30 – 12,5 indi-ca el dinero disponible después de haber pasado por la verdulería, y 30 – 12,5 –3,70 es el dinero disponible después de haber comprado la verdura y la carne. Ensoja gasta $ 4,60, el dinero destinado a las lentejas es $ 9,20 con lo cual puedecomprar 1,200 kg o más precisamente 1,277 kg.

El problema 12 muestra esquemas de dos balanzas de platillos, las cualesen este caso no informan sobre cuánto pesa cada objeto sino que permite com-parar el peso de los objetos A, B y C. El esquema de la izquierda indica que B esmás pesado que A, y el de la derecha, dice que C es más pesado que B. Entoncesel más pesado es C.

En símbolos podemos escribir: a es el peso de A, b es el peso de B, c esel peso de C. En la realidad, a, b y c son números racionales, y entonces sabe-mos ordenarlos. Según lo que indica cada balanza, podemos escribir:b > a y c > b, o lo que es lo mismo y facilita el razonamiento: c > b y b > a, enton-ces, en este orden, aplicando la propiedad transitiva, se puede concluir que c > a.

Entonces, C es el objeto más pesado.

En el problema 13 se plantea la relación entre mediciones hechas con dife-rentes unidades. a) Se miden los recipientes con una jarra, y según la tabla sepuede determinar que E es el que menos contiene, y B el que más contiene. Perono se puede hacer un orden con todos los recipientes ya que no se sabe si C, D y

G contienen la misma cantidad (porque los tres están entre 4 y 5 jarras) y tampo-co qué sucede con A y F, que están entre 5 y 6.b) La unidad que elige Clara es más chica, y además es la mitad de la usada porLuisa. ¿Por qué podemos afirmar esto? Comparen los valores obtenidos en ambasmediciones para los envases B y E. Ahora sí es posible ordenar las cantidades delíquido, de la menor a la mayor es: E, G, D, C, A que es igual a F, B.

Las cerámicas rectangulares están usadas en este problema 14 como uni-dades de superficie, y los lados de esas cerámicas como unidades de longitud. Elesquema de la izquierda indica que hay 46 cerámicos, y en el de la derecha 48.

El borde se coloca sobre todo el contorno, hay que tener en cuenta enton-ces la longitud de ese contorno. Si, tal como muestra el dibujo, el ancho de cadacerámico es la mitad del largo, entonces en las dos paredes se necesita la mismacantidad de borde.

El problema 15 trata con unidades de capacidad. Cuatro veces 1 ½ litros,es 6 litros, con lo cual necesita poner 12 gotas de lavandina. Como Ud. podránotar, en lo cotidiano se usan medidas convencionales, como el litro, y tambiénotras como el contenido de una olla, o la cantidad de líquido de una gota.

El problema 16 plantea medidas de tiempo. Ya vimos que el tiempo históri-co se mide en milenios, siglos o décadas, pero la vida de una persona se expresageneralmente en meses o años. 2003 – 57 da el año de nacimiento del Sr. Bustos,1946. Si su esposa es 3 años mayor, nació 3 años antes, o sea en 1943.

¿Qué se puede aprender con estos problemas?La idea es reflexionar sobre algunas acciones comunes, sabidas por todos,

y que involucran mediciones con unidades no convencionales como la cuarta, elpaso, la cucharada, la jarra, etc. o con unidades del sistema métrico como el litro,el metro, el gramo, etc.

En la historia de nuestra civilización, el establecer unidades y las equiva-lencias entre ellas, es decir elaborar un sistema que sea fácil de manejar por todoslos usuarios, no fue tarea sencilla. En la sección que sigue, mostraremos algunosaspectos sociales de la construcción de sistemas de medidas y en particular delsistema métrico decimal 1 .

Un poco de historia“El hombre es la medida de todas las cosas” afirmó Protágoras (S V a.C.).

Esta frase sobrevivió al paso del tiempo porque opone una multiplicidad de puntos1 Este sistema está vigente en todo el mundo, pero no es el único que se usa. Rige también el sistema inglés,

cuyas unidades (para diferentes magnitudes) son la pulgada, la milla, el pie, la libra, el nudo, etc.

de vista a la idea de una verdad absoluta. Además, la expresión advierte sobreciertos hechos: el hombre medía todos los objetos consigo mismo, con las partesde su cuerpo: el pie, el brazo, la pulgada, la mano, los brazos abiertos, los pasos,etc. Estas unidades de medida se denominan antropométricas.

Pero el hombre es demasiado pequeño en relación con el mundo que lorodea, por lo cual resulta difícil medirlo con los múltiplos de sus miembros.Surgieron entonces unidades tales como el alcance de la voz humana, el trayectorecorrido por la flecha, el alcance del tiro de arcabuz, etc.

Y también rodean al hombre objetos demasiado pequeños para ser medi-dos con partes de su cuerpo. Frecuentemente se utilizaban como unidad de medi-da el grano del cereal cultivado: su largo, su ancho, su peso.

Las unidades antropométricas eran muy cómodas. Todo el mundo las com-prendía y todos las llevaban siempre “encima”. Las desventajas presentadas poresta colección de unidades son de diversa índole: la ausencia de unidad única(debida a las diferencias individuales) y de múltiplos y submúltiplos simples, y elhecho de que la mayor parte de ellas servía para medir longitudes.

En una simplificación excesiva de la historia de las medidas, se puede decirque después de ese período de unidades antropométricas son las condiciones devida y trabajo de los seres humanos quienes influyen en la determinación de lasunidades.

Las condiciones de vida hicieron que, por ejemplo, las sociedades quevivían en un territorio relativamente amplio, tuvieran un sistema de medidas desuperficie poco desarrollado. O, una sociedad africana donde era muy importantela explotación de oro en polvo, tuviera un sistema de pesas notablemente desarrollado. Aún hoy, es usual medir la superficie de un campo por el tiemponecesario para ararla o medirla por la cantidad de semillas de cierta clase nece-saria para sembrarla o por la producción obtenida.

Hay una estrecha relación entre las unidades y las técnicas de produc-ción, y esto aparece muy acentuado en la industria textil. El ancho de una piezade género estaba condicionado por el ancho del telar. Su largo, en parte, por la téc-nica utilizada y por las circunstancias relacionadas con la organización social de laproducción.

Los medios de transporte también determinaron las dimensiones de lasunidades, sobre todo en sociedades con economía mercantil. Cuando los artículosse producían en zonas muy amplias y el comercio se hacía al por mayor, lasdimensiones de las unidades eran mayores. Hoy es común, tanto en zonas urba-nas como rurales, expresar distancias a través del tiempo que se necesita en reco-rrerlas.

En todas las sociedades de organización desarrollada, fijar las unidadesde medida es atributo del poder, y es quien detenta el poder el que establece laobligatoriedad de las unidades y guarda los patrones, y tiende a unificar las uni-dades vigentes en los territorios que están bajo su hegemonía y castiga a quienesno obedecen.

En el establecimiento y administración de las unidades se manifiesta la riva-lidad entre poderes, por ejemplo durante el feudalismo, sobre los mismos objetos(tierras, casas, personas, producción) el municipio poseía ciertos derechos, otrosel señor feudal, otros la iglesia, y otros el rey. Cada uno de ellos en su esfera par-ticular era prácticamente soberano, y como tal establecía unidades. Se creabansituaciones en las cuales en una misma aldea se aplicaba una unidad para efec-tuar las transacciones en el mercado, otra para pagar el diezmo a la iglesia y unatercera para medir el tributo debido al señor. Algunos señores aumentaban eltamaño de las unidades, para obtener mayores tributos de sus vasallos, y otros lodisminuían para atraer nuevos colonos a sus tierras.

¿Cómo se “inventó” y cómo se aplicó el sistema métrico, es decir el siste-ma que toma como unidad de longitud el metro? La patria del sistema métrico esFrancia, y en el año 1789 el reclamo popular de una única unidad “justa” se hizoescuchar en todo el territorio francés. Ya algunos años antes (en 1745, 1775) hom-bres de ciencia (La Condamine, Turgot, Condorcet) estaban interesados en encon-trar una medida “universal e inmutable” y “tomada de la naturaleza”. En 1790, laAsamblea Nacional encargó a la Academia de Ciencias la elaboración de un sis-tema, y ordenó que en la Academia se reunieran todas las unidades utilizadas enlas provincias. Aparentemente se creyó que era una tarea fácil y se previó que alos seis meses del envío de los nuevos patrones a los diferentes municipios, seprocedería a la abolición de las unidades viejas y a la sustitución por las nuevas.Trabajaron en estas tareas, entre otros, Condorcet, Laplace, Lagrange, Coulomb yLavoisier. En ese mismo año, 1790, la Academia comunicó que se había elegidola escala decimal para pesos, longitudes y monedas. Al año siguiente, informó queproponía tomar como unidad de longitud una fracción del arco de meridiano terres-tre entre Dunkerke y Barcelona. Y para la unidad de peso, un volumen determina-do de agua destilada pesada en el vacío y a la temperatura en que pasa del esta-do sólido al líquido. Se necesitaron casi diez años para determinar el metro patrón,y más de cuarenta años para que el sistema decimal sea el único legal en Francia.

A pesar de que se veía en el sistema métrico decimal un símbolo de la vic-toria sobre los anacronismos feudales, y un símbolo de la modernización del país,dicho sistema fue lentamente aceptado por la sociedad.

Actividades

65) Con respecto al problema 14, a) relate por escrito cómo hizo para esti-mar su respuesta y confronte su texto con el de otros compañeros; b) ¿qué signi-fica “las cerámicas rectangulares están usadas como unidades de superficie?

66) Las siguientes son diferentes unidades, vigentes o no. ¿Qué se puedemedir con cada una de ellas? Sugerencia: en caso de duda, consulte un dicciona-rio.

a) grado centígrado b) quintales c) librasd) nudos e) galones f) onzasg) pie cúbico h) quilates i) año j) año luz

67) Explique por escrito las siguientes afirmaciones presentadas entrecomillas. Todas ellas están extraídos del texto histórico sobre las unidades demedida:

- Al relatar las diferentes unidades vigentes en una misma época y región,se afirma: “Algunos señores aumentaban el tamaño de las unidades, para obtenermayores tributos de sus vasallos, y otros lo disminuían para atraer nuevos colonosa sus tierras.”

- “A pesar de que se veía en el sistema métrico decimal un símbolo de lavictoria sobre los anacronismos feudales, y un símbolo de la modernización delpaís, dicho sistema fue lentamente aceptado por la sociedad. ”

68) Muchas veces, cuando no se dispone de un instrumento para medir, ono se necesita demasiada exactitud, uno recurre a las unidades antropométricas.

a) Compare entre diferentes personas,- una cuarta (distancia de la punta del pulgar a la punta del meñique,con la mano extendida),- una vara (distancia del hombro a la punta de la otra mano, con el brazo extendido),- una pulgada (largo de la última falange del pulgar),- un paso,- un pie.

b) Indique en centímetros la medida aproximada de cada una de esas uni-dades antropométricas.


65) a) “Estimar” significa dar un valor aproximado teniendo en cuenta algu-na característica del objeto, sin hacer mediciones ni cálculos demasiado elabora-dos. En el problema 14, se puede apreciar que en la figura de la izquierda hay arri-ba cuatro piezas que no aparecen en figura de la derecha, en la que a simple vistase ve que hay al menos una columna más. Y como cada columna tiene más de 4piezas, entonces se estima que en esa figura hay más cerámicas, y entonces lasuperficie es mayor.

Un razonamiento similar permite estimar que la cantidad de borde es igual.Una estimación puede ser correcta o no, y no siempre resuelve un proble-

ma. Por ejemplo, uno puede estimar el tamaño del vidrio de una ventana para cal-cular aproximadamente su precio, pero se necesita hacer una medición cuidadosacuando se trata de ir a comprar ese vidrio.

b) Las cerámicas rectangulares se usan como unidad de superficie porquese trata de contar cuántas de esas piezas se necesitan para cubrir dos superficiesbien determinadas. La unidad de superficie del sistema métrico decimal es elmetro cuadrado, y se denota m2.

66) a) temperatura; b), c), f) y h) peso d) velocidade) capacidad g) volumen i) tiempo j) longitud

Ya vimos en la lección anterior algunos hitos en la historia del estableci-miento del sistema métrico decimal. Su adopción en Francia, y la influencia de lasideas de la Revolución Francesa en el mundo occidental, llevó a su aceptación enla mayoría de las sociedades.

La medida es un número. La acción de medir involucra una unidad y se tratade ver cuántas veces entra esa unidad en lo que se quiere medir. Rara vez suce-de que la unidad elegida entra un número entero de veces, por ejemplo en el pro-blema 13 donde se trata de ordenar los recipientes, hay tres que contienen entre4 y 5 jarras, y en ese mismo problema, cuando se elige una unidad más chica seobtiene mayor precisión. Disponer de diferentes unidades para una misma magni-tud y establecer las equivalencias entre esas diferentes unidades, constituye unsistema de medición.

El sistema métrico es decimal, como nuestro sistema de numeración. A par-tir de las unidades principales de longitud, peso y capacidad se generan nuevasunidades que son múltiplos de 10 o submúltiplos de 10. Por ejemplo de la unidadde peso, el gramo, se genera el kilogramo que es un múltiplo (equivale a 1000 gra-mos) y el decigramo, que es un submúltiplo (equivale a 1/10 gramo).

El tiempo por ejemplo, no tiene las mismas reglas de conversión. Hay uni-dades que se agrupan de a diez (décimas de segundo, décadas, siglos, mile-nios...), otros de a sesenta (horas, minutos, segundos...) y también siete díashacen una semana, doce meses un año, cinco años un lustro, etc. Los meses tie-nen 28 días (el mes de febrero, cada cuatro años tiene un día más y el año sellama entonces bisiesto), 30 o 31 días. Para el cálculo comercial está establecidoque el mes tiene 30 días, pero en realidad hay que tener una ayuda memoria parasaber cuántos días tiene cada mes, y una de esas ayuda es una poesía infantil quedice: "30 días trae noviembre con abril, junio y setiembre; de 28 sólo hay uno, y losdemás de 31."

Lección: 6Contenido: Unidades de longitud,peso y capacidad

Problema 17: Una nadadora sigue un programa de entrenamiento. Sabeque puede nadar sin descanso 100 piletas estilo libre. La nadadora desea saber siestá en condiciones (tiene posibilidades) de cruzar a nado un lago siguiendo untrayecto como el de la figura. ¿Podríalograrlo si la piscina en la que seentrena mide 25 m de largo?

Problema 18: ¿Es posible medir exactamente 2 l de agua usando sola-mente un recipiente de 8 l y otro de 3 l? Los recipientes no tienen ninguna marca.

Explique cómo lo haría.

Problema 19: Los tablones necesarios para una obra tienen que tener almenos 3 metros de largo. Un obrero sabe que su cuarta mide aproximadamente25 cm, ¿cómo selecciona los tablones que deberá usar?

Problema 20: Un cartel de advertencia indica que un puente peatonal resis-te 150 kg. Dos personas adultas pretenden cruzar llevando con una "mulita" unoscajones de gaseosas que pesan alrededor de 60 kg ¿Pueden cruzar juntas o pon-drían en riesgo sus vidas?

Problema 21: Para hacer dos postres necesitamos 800 g de harina y 300 gde azúcar. Si hay un poco más de 3 kg de harina y 1 kg de azúcar, ¿cuántos pos-tres podremos hacer?

Problema 22: Los jarabes o medicamentos líquidos vienen, habitualmente,con un dosificador que permite mayor exactitud en la administración que lascucharas domésticas. Entre éstas se considera que las de café contienen 2 a 4 ml,las de postre de 4 a 6 ml y las soperas de 8 a 12 ml.

∇∇ Intente resolver estos proble mas con lo que Ud. sabe.

2,2 Km

Un jarabe antitusivo y expectorante indica:

El médico le dijo a la mamá de Luis que le dé aproximadamente cada 12horas una dosis de 5 ml, ¿cuántos años podemos suponer que tiene Luis?Juan, de 3 años, tomó una dosis a las 5 de la tarde. Laura, de 10 años, tomó unadosis a las 7 de la tarde. La próxima dosis, ¿cuánto le corresponde a cada uno yaproximadamente a qué hora?

Problema 23: El declive para un desagüe pluvial es de 1 cm por metro,¿qué significa eso?

¿Qué se puede aprender con estos problemas?Como el nombre de la lección lo indica, aquí planteamos problemas que tra-

tan con longitud, peso y capacidad. En las claves de corrección de la lecciónencontrará las respuestas respectivas. A continuación presentaremos las unidadesprincipales para longitud, peso y capacidad y sus múltiplos más usuales.

La unidad principal de longitud es el metro, que se denota universalmentem. Sus múltiplos más usuales son el decámetro, el hectómetro y el kilómetro.Como el sistema métrico es decimal, los múltiplos se obtienen multiplicando a launidad principal por potencias de 10.

Así el decámetro, que se denota dam, es 10 veces el metro: 1 dam = 10 mEl hectómetro, que se denota hm, es 10 veces el decámetro, y entonces

100 veces el metro: 1 hm = 10 dam = 100 m.El kilómetro, denotado km, es 10 veces el hectómetro, y entonces 100

veces el decámetro y 1000 veces el metro: 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m

La unidad principal de peso es el gramo, que se denota universalmente g.Sus múltiplos más usuales son el decagramo, el hectogramo y el kilogramo, losque resultan de multiplicar al gramo, por 10, 100 y 1000 respectivamente.

Edad Dosis N° de tomas

2 a 5 años 5 ml 2 veces por día

6 a 12 años 5 ml 3 veces por día

Más de 12 años o adultos 10 ml 3 veces por día

La unidad principal de capacidad es el litro, que se denota universalmentel. Sus múltiplos más usuales son el decalitro, el hectolitro y el kilolitro, los queresultan de multiplicar al litro, por 10, 102 y 103 respectivamente.

Como Ud. habrá notado, los prefijos (que se colocan delante del nombre dela unidad) son deca, hecto y kilo para cualquiera de las magnitudes.

Lo dicho hasta ahora para las unidades del sistema métrico puede sinteti-zarse en la siguiente tabla de equivalencias:

A veces se necesita medir cosas que son bastante más pequeñas que lasunidades principales, y por ello los sistemas cuentan con submúltiplos de la uni-dad. Como el sistema métrico es decimal, los submúltiplos también se obtienenfraccionando las unidades principales en diez partes iguales.

Los submúltiplos más usuales del metro, el gramo y el litro se presentan enla siguiente tabla de equivalencias:

Para los submúltiplos, los prefijos que preceden a cada una de las unidadesprincipales son: deci, centi y mili.

x 10 x 10x 10

kilo

hecto deca

Longitud

kilómetro km

hectómetro hm

decámetro dam

metro m

Peso

kilogramo kg

hectogramo hg

decagramo dag

gramo g

Capacidad

kilolitro kl

hectolitro hl

decalitro dal

litro l

: 10 : 10 : 10

deci centi mili

Longitud

metro m

decímetro dm

centímetro cm

Milímetro mm

Peso

gramo g

decigramo dg

centigramo cg

miligramo mg

Capacidad litro

l decilitro

dl centilitro

cl mililitro

ml

Actividades

69) Indique qué unidades sería conveniente utilizar para describir:a) la distancia entre México D.F. y Madridb) el peso de una semillac) la estatura de una personad) la distancia entre Comodoro Rivadavia y Neuquéne) la capacidad de un baldef) la cantidad de agua que contiene una piscina olímpicag) la superficie de una cancha de fútbolh) el peso de cobre en 10 m de cable telefónicoi) la capacidad de un estadio de fútbol

70) Mencione algunas situaciones cotidianas en las que se habla de“metros cuadrados”. ¿A qué se refiere exactamente?

71) Un circuito mide 2800 m. Los corredores parten de P, pasarán por Q y luego por R. De P a Q recorren 1350 m, de Q a R, 250 m. Calcule la distancia de P a R.

72) Para medir la capacidad total de una botella graduada, se colocaron 700ml de un líquido, luego se tapó y después se dio vuelta como en la figura, midien-do la cantidad de aire (800 ml). ¿Con estas dos medidas, puede determinar lacapacidad total de la botella? Explique.

P Q

R

800 ml

73) ¿Cuál es el peso en gramos de cada objeto?Las galletitas equilibran con 205 gLa mochila equilibra con 2 libros y dos pesas de 520 g cada unaDos libros y una pesa de 100 g equilibra con 700 gUna caja pesa más de 100 gCinco cajas equilibra con 2 kg. Calcule el peso de la mochila, y los dos

libros.

74) Tenemos una pintura que mide 22 cm por 55 cm. Se quiere comprarvarillas de madera para hacer el marco. ¿Cuántos metros de varilla se necesita sientre la pintura y el marco queremos dejar una espacio blanco para el paspartú de5 cm de ancho?

75) En las siguientes expresiones ponga los símbolos “<”, “=” ó “>”, segúncorresponda. (Sugerencia: consulte la tabla de equivalencias).

1 m ..... 100 dm 1000 g ....1 kg 300 cm ... 3000 mm¾ m ..... 60 cm 2,5 l .... 3000 ml 1 ½ kg ..... 1200 g0,5 kg .... 600 g 750 g .... 3/4 kg 2,125 mg .... 0,0002125 g

76) Suponga que hoy es jueves 8 de agosto, a) ¿cuáles son las fechas delos otros jueves de agosto? b) ¿Qué día será en 72 horas? c) ¿Qué día de lasemana será el 27 de agosto? d) ¿Qué día de la semana y qué fecha será en 72días?

77) a) ¿Cuántos mm hay en 3,5 cm? b) ¿Cuántos kg son 7500 g?c) ¿Cuántos cm son 5 1/2 m? d) ¿Cuántos km son 12 500 m?e) ¿Cuántos l son 500 ml?f) Una tonelada (t) equivale a 1000 kg. ¿Cuántas t es 8500 kg?

78) Una máquina consume 0,3 l de combustible por hora. Después de estar10 horas funcionando, el motor se recalienta y gasta ½ l de combustible por hora.

a) Si esta máquina estuvo encendida 13 horas y media, ¿cuánto combustible consumió? b) Si en un día consumió 4 ¼ l, ¿durante cuanto tiempo estuvo funcionando?

79) Complete la siguiente tabla. ¿Qué regularidades observa?

80) Las Letras Lecop Córdoba, conocidas como Lecor, en algunos negocioslas aceptan con el valor del peso, y en otros no. Por ello aparecieron pequeñasfinancieras que anuncian: 113 Lecor = 100 $ ¿Qué significa? ¿Por qué necesitaríaalguien que tiene $ cambiarlos por Letras y al revés? Una empresa exportadorapaga los sueldos de sus empleados en Lecor, ¿adónde está el “negocio” de losempresarios si la mayor parte de sus ingresos los recibe en dólares?

81) Una revista que informa precios sobre la construcción (Fuente: ElConstructor, Anuario 2000, Año XLI, n° 41) dice con respecto a diferentes rubros:

• “Hormigón 1 - 2 - 4 armado con acero redondo común”, • “Hormigón 1 - 1 ½ - 2 ½ (para pilotes)”• Para mamposterías de ladrillo común “ejecución con mezcla 1 - 2 - 3” y

de ladrillos cerámicos huecos “mezcla ½ - 1 - 3”.

Para los dos primeros, los números dan respectivamente la cantidad decemento, árido de grano fino y árido de grano grueso. Para el tercer item, losnúmeros indican la cantidad de cemento, cal y arena respectivamente. ¿Con quéunidad se dan esas mezclas? ¿Cómo elegirlas? ¿Por qué son diferentes paracada tipo de material?

82) Gabriel tiene que colocar en su casa un caño de desagüe pluvial, y cal-cula que desde la pared hasta el desagote hay unos 3 m. La pendiente sugeridaes de 1cm por metro, ¿cuántos cm de desnivel tiene que lograr? ¿Cómo hace paramedir ese desnivel? (Revisar problema 23).


Problema 17: Nos informan que la nadadora puede hacer en la pileta 2500m, y el cruce del lago tiene una longitud de 2200 m. Si tenemos en cuenta sola-mente las longitudes, podríamos afirmar que la nadadora puede cruzar el lago. Sinembargo hay otros elementos a tener en cuenta que pueden dificultar o aún impe-dir el cruce: la temperatura y movimiento del agua, conservar una dirección, laresistencia física (en la pileta, cada 25 m hay fracciones de segundo de descan-so), el impulso también cada 25 m, etc.

Problema 18: Por las capacidades de los recipientes, conviene expresar alnúmero 8 como la suma de 3 y 2. Así, 3 + 3 + 2 = 8. Supongamos que los reci-pientes están vacíos, puede llenar el de 8, y con ese contenido llenar una vez elde 3, derramar esa cantidad de agua y volver a llenar el recipiente de 3. En el reci-piente de 8, quedan 2 l.

Problema 19: La cuarta mide aproximadamente 25 cm, con cuatro hace 1m, y con 12 tiene aproximadamente 3 m. Como los tablones deben tener al menos3 m, es decir 3 m o más, con 13 cuartas puede seleccionar los tablones que usará.

Problema 20: La estimación del peso de cada una de las personas adultases aquí de gran importancia. Si los cajones pesan alrededor de 60 kg, hay que con-siderar que el peso de los dos no debería superar los 90 kg. Se sugiere que cru-cen por separado, y también que el más liviano transporte los cajones de gaseo-sas.

Problema 21: Según la receta, y con las cantidades disponibles de harinay azúcar, se podrán hacer 6 postres. Conviene tomar el peso de los ingredientesen la misma unidad, sea en gramos o en kilogramos. Elegimos como unidad el kg,y vemos que 0,8 kg entra tres veces en 3 kg y 0,3 kg también entra tres veces en1 kg. ¿Alcanzará para hacer un postre más? No, nos faltaría 0,05 kg de azúcar.

Problema 22: Si el médico indicó las dosis según el prospecto, Luis tieneentre 2 y 5 años. A Juan le corresponde una dosis de 5 ml, a eso de las 5 de lamañana, y a Laura, con la misma dosis, alrededor de las 3 mañana.

Problema 23: Para que los líquidos fluyan, se necesita cierta inclinación. Enla construcción, para los desagües pluviales, se usa un desnivel de 1 cm por cada

metro. Ese desnivel se puede representar gráficamente y sin escalas como lomuestra la siguiente figura.

Actividades

69) No hay un único criterio para distinguir qué unidades son convenientes,aquí elegimos las más usuales.a) km; b) g o mg; c) m; d) km; e) l; f) l; g) metros cuadrados; h) g) i) aunquese hable de capacidad, el estadio de fútbol no se mide en litros sino en especta-dores.

70) “Metro cuadrado” es una unidad de superficie, y ya vimos que se utilizapor ejemplo para expresar la superficie de una cancha de fútbol, o la superficie deuna casa, de un terreno a partir del cual se cobran impuestos y servicios, etc.

71) La distancia de P a R es 1200 m. Una forma de expresar los cálculos es:

2800 – (1350 + 250) = 2800 – 1600 = 1200

72) La graduación de la botella empieza desde el fondo y llega hasta ciertaaltura, pero no hasta la tapa, por eso es necesario invertirla para determinar lacapacidad de la botella. En la primera posición, la cantidad de líquido que marcaes 700 ml, y al invertirla, la cantidad de aire es 800 ml. La capacidad total de labotella es la suma de ambas cantidades, es decir 1500 ml = 1,5 l

1 cm 1 m

1 m2 El “metro cuadrado” es una unidad principal de superficie en el sistema métrico decimal, y es la superficie que cubre un cuadrado de un metro de lado.

1 m

1 m

73) a) Dos libros pesan 600 g, porque dos libros y una pesa de 100 g seequilibra con 700g. La mochila pesa 1640 g (1,640 kg), ya que se equilibra con doslibros (600 g) y dos pesas de 520 g cada una (1040 g).

74) Hay que comprar por lo menos 1,94 m de varilla. Generalmente, enestos problemas, hacer un dibujo puede ayudar y el que se nos ocurre a nosotros,sin usar escalas, es así. La figura sombreada representa la lámina, el espacioblanco que la rodea es el paspartú, y el rectángulo exterior es el marco.

La varilla necesaria para el lado más largo delmarco mide 65 cm (10 cm más que la lámina), y parael lado más corto es 32 cm, también 10 cm más quela lámina. Para el marco se necesita entonces: 65 + 65+ 32 + 32 = 194, es decir por lo menos 194 cm, sin

contar los centímetros necesarios para hacer los rincones.

75) 1 m < 100 dm 1000 g = 1 kg 300 cm = 3000 mm¾ m > 60 cm 2,5 l < 3000 ml 1 ½ kg > 1200 g0,5 kg < 600 g 750 g = 3/4 kg 2,125 mg > 0,0002125 g

76) a) Si el jueves es día 8, el próximo jueves será en siete días, es decirel 15. Y el siguiente, siete días después, o sea el 22. El último juevesdel mes es el 29 de agosto.b) En 72 horas será domingo 11, es decir, tres días después. c) Dado que el 29 es jueves, el 28 es miércoles y entonces el 27 deagosto es martes.d) Agosto tiene 31 días, desde el 8 al 31 hay 23 días. De los 72 díasque tenemos que “cubrir”, a partir del 1 de setiembre, nos quedan 49días (resultado de 72 – 23)

El 1 de setiembre es domingo (porque jueves 29, viernes 30, sábado 31).Setiembre tiene 30 días, o sea que nos quedan 19 días de octubre. Ya sabemosentonces que el día 72 después del 8 de agosto es el 19 de octubre, ¿pero quédía de la semana es? Los domingos de setiembre son el 1, 8, 15, 22 y 29, o seaque el 1 de octubre es martes. Y entonces en octubre, es día martes el 8, 15, 22...Martes 15, miércoles 16, jueves 17, viernes 18, sábado 19.

Setenta y dos días después del jueves 8 de agosto, es el sábado 19 deoctubre. Después de hacer el cálculo, puede verificar con un calendario.

77) a) 35 mm b) 7,5 kg c) 550 cm d) 12 1/2 km e) 1/2 l f) 8, 5 t

78) a) 4,75 l b) 12 ½ horas

79)

Al completar la tabla, poco a poco, se descubren regularidades que facilitanla tarea de escribir los números que faltan. En el orden en que aparecen la unidadprincipal, los múltiplos y los submúltiplos, se divide por 10 o se multiplica por 10para pasar de un cuadrito al inmediato anterior o siguiente (siguiendo las filas o lascolumnas).

80) 113 Lecor = 100 $ expresa la equivalencia entre dos tipos de valores, eindica que por 113 Lecor se dan 100 $, o por 100 $ se dan 113 Lecor. Esa equi-valencia no es estable, depende de la economía nacional e internacional.Si una persona dispone de pesos, al cambiarlos por Lecor gana 13 pesos en bonospor cada 100 $. Si los precios de bienes de consumo (almacén, verdulería, indu-mentaria, etc.), servicios (gas, energía eléctrica, etc.) e impuestos (rentas, munici-palidad, etc.) se pagan indiferentemente en bonos o en pesos, se incrementa eldinero disponible en un 13 %.

El cambio al revés, es decir llevar 113 pesos en bonos para recibir 100 $significa una pérdida, pero mucha gente necesitó hacer ese cambio porque algu-nas cosas, como créditos hipotecarios, no se podían pagar en bonos.

En nuestro país, aunque la moneda legal es el peso, muchas operacionesse hacen en dólares. Quien posee dólares intenta conservarlos para su propiobeneficio, y así quien especula con el trabajo de sus empleados les paga en bonospara ahorrar dólares.

81) La unidad puede ser cualquiera, siempre que se utilice la misma paracada mezcla. Por ejemplo, si tomamos como unidad un balde, para el primer hor-

migón 1 - 2 - 4, significa que se necesita un balde de cemento, dos de árido degrano fino y 4 de árido de grano grueso. La unidad se elige según la cantidad quese necesita preparar.

82) La línea remarcada representa el caño de desagüe, como la pendientedebe ser por lo menos de 1 cm por metro, se necesita descender al menos 3 cmcon respecto al nivel inicial. Para medirla, con un nivel (o una manguera con aguaen su interior) se garantiza la horizontal, que en este problema mide 3 m, y luegocon una regla se marcan los 3 cm.

3 m

3 cm

Las magnitudes que tratamos hasta ahora son longitud, peso, capacidad, yplanteamos algunos problemas donde aparece tiempo, dinero, etc. Ahora estudia-remos superficie y volumen. ¿Qué problemas se pueden tratar con esas magnitu-des?. Supongamos que un terreno se va a destinar a la plantación de frutales, paracalcular cuántos árboles se necesitará plantar, hay que considerar la superficie delterreno. También es importante calcular la superficie en el caso de calcular elnúmero de cerámicos necesarios para cubrir un piso o una pared, o la cantidad depintura para pintar una pared, la tela necesaria para hacer una prenda, etc.

El volumen de una habitación, de una piscina, de una botella, de un dosifi-cador, etc. permite decidir, por ejemplo, cuál es el calefactor adecuado para unasala (según las calorías), la cantidad de productos químicos necesaria para man-tener el agua de una pileta, la capacidad de un recipiente, etc.

Trataremos en esta lección cómo se determina la superficie y el volumen dealgunos objetos, y las unidades que corresponden a cada una de esas magnitu-des.

Problema 35: Construya, sobre papel cuadriculado, todos los rectángulosposibles que ocupen 24 cuadrados y cuyos lados sean un número entero.

Escriba para cada figura cuántos cuadrados ocupa, y cuánto mide el con-torno tomando como unidad la longitud del lado del cuadrado.

Problema 36: Algunas de las medidas reglamentarias de una cancha de fút-bol están dadas exactamente, y otras en términos de intervalos. El reglamentodice: "El arco medirá 7,32 m de poste a poste y la altura será de 2,44 m." Y parael terreno de juego establece: "Largo máximo de 120 m, mínimo de 90 m. Anchomáximo 90 m, mínimo 45 m."

Lección: 7Contenido: Superficie y volumen. Unidades

∇∇ Intente resolver estos problemas con lo que Ud. sabe.

a) ¿Qué significan esas longitudes dadas en términos de "máximo ymínimo"?

b) La cancha del Chateau medía 68 m de ancho. En una oportunidad elD.T. de Talleres pidió una reducción del terreno de juego de modo de quitar 1,5 mde cada lado, a lo largo, ¿cómo se reduce el terreno de juego?

Problema 37: Con una colección de cajas del mismo tamaño o con paque-tes de galletitas (preferentemente cuadradas o rectangulares) de un mismo tipo, esposible armar sólidos diferentes, según cómo se los disponga.

El dibujo que sigue muestra sólidos armados con cubitosunidad como el que mostramos a la derecha.

Indique en cada caso, cuántos de esos cubos unidad se necesitan paraarmar cada uno de ellos.

Sólido M

Sólido I Sólido N Sólido S Sólido P

Problema 38: En la figura que sigue: a) Compare la superficie de la “pirámide” sombreada con la del rectángulo

abcd; b) Compare la longitud del contorno de la “pirámide” con la del rectángulo

abcd. ¿Hay algo que le sorprende?

Problema 39: La arena, el ripio y otros materiales usados en la construc-ción se venden por “metro cúbico”. ¿Qué significa?

Problema 40: Se quiere hacer una colcha de 1,80 m por 1,20 m de anchocosiendo trozos rectangulares de tejido al crochet de 40 cm por 20 cm igualmentedispuestos. ¿Cuántos trozos se necesitan? El resultado, ¿es independiente de laforma en que se peguen los trozos? Con esos mismos trozos, ¿se podrá hacer unacolcha de 2 m por 1,20 m?

Soluciones propuestasPara resolver el problema 35, sobre papel cuadriculado, se cuentan 24 cua-

drados de modo que se obtengan rectángulos y tales que los lados sean un núme-ro entero. Todos esos rectángulos tienen la misma superficie, 24, tomando comounidad el cuadradito del papel cuadriculado. Pero el contorno no se mantiene,la longitud del contorno, es decir el perímetro de esos rectángulos varía segúncómo se acomodaron los cuadraditos.

Figura A Figura B Figura C

Figura D

Las figuras A, B, C y D tienen todas la misma superficie, pero los períme-tros medidos tomando como unidad el lado del cuadradito dan 20, 22, 28, y 50 res-pectivamente. Observe: En estos rectángulos de igual superficie, el perímetrocrece a medida que la forma del rectángulo se aleja del cuadrado

El problema 36 plantea las posibles dimensiones de una cancha de fútbolreglamentaria. Así, el largo “máximo de 120 m” significa que el lado más largo dela cancha no puede ser mayor que 120 m, “mínimo de 90 m” está indicando queese lado no puede ser menor de 90 m. Con respecto al ancho, es decir el lado máscorto, no puede superar los 90 m y no se admite menor a 45 m.

En símbolos, podríamos decir que:90 m lado más largo 120 m, y además 45 m lado más corto 90 mEl D.T. de Talleres pidió que el ancho del terreno de juego que era de 68 m se redu-jera 3 m (1,5 m de cada lado), es decir que el lado más corto de la cancha mida65 m. Se quita entonces dos franjas que tienen 1,5 m por el largo de la cancha de

fútbol (que no sabemos exactamente cuánto es), se “achica” entonces el espaciode juego.

El problema 37 propone determinar el volumen de diferentes sólidos que searman juntando cubos unidad. El volumen de cada uno se da contando cuántos deesos cubos entran:

La “pirámide” y el rectángulo abcd del problema 38 tienen igual perímetro ydiferente superficie, y eso es lo sorprendente ya que una reflexión apresurada lle-varía a pensar que cuanto más grande es una superficie, mayor es su contorno.Pero ya ve Ud., no siempre es así.

El problema 39 habla de “metro cúbico”, una uni-dad principal de volumen en el sistema métrico, yes el volumen de un cubo que tiene un metro dearista. Como lo dice el problema, se miden enmetros cúbicos cantidades de arena y piedra, ytambién cantidades de agua (volumen de una pile-ta, o un tanque) y de gas (volumen de aire de unahabitación, de gas para consumo domiciliario,

etc.). Por ejemplo, 3m3 de arena equivalen a llenar con arena tres cajones seme-jantes al esquema.

La solución al problema 40 está en la clave de corrección.

Concepto de área. Unidades en el sistema métricoHasta ahora hemos hablado de superficie y perímetro de figuras planas, y

también de volumen de sólidos. Bajo el nombre de “superficie” hasta ahora cubri-mos dos aspectos que en matemática se distinguen: superficie y área. Se entien-de por área de una figura a la medida que de alguna manera da idea del tamañode la región encerrada por la figura.

Cuando en el problema 38 decimos que la “pirámide” y el rectángulo tienendiferente superficie, comparamos la región que encierra cada uno de ellos pero nodamos idea de cuánto cubre cada una de esas figuras. Si agregamos que, toman-

Sólido I N S M P

Volumen 2 7 3 6 4

1 m

1 m 1 m

do como unidad un cuadradito, el área de la pirámide es 16 y el área del rectán-gulo es 28, ya damos idea de cuan grande o pequeña es la región considerada.

Para hablar de áreas, necesitamos unidades. Como lo vimos en diferentesproblemas, las unidades para determinar el área pueden ser cuadrados (problema38), rectángulos (los cerámicos del problema 14, los trozos tejidos al crochet delproblema 40), etc.

El sistema métrico decimal adopta como unidad de área la de un cuadradode lado unidad. La unidad principal es el metro cuadrado, que se denota m2 y,como ya lo dijimos es el área encerrada por un cuadrado de 1 m de lado. Un sub-

múltiplo del m2 es el centímetro cuadrado, que se denotacm2 y es el área encerrada por un cuadrado de 1 cm de lado.La figura de la izquierda lo muestra en tamaño real. Otros múl-tiplos o submúltiplos del metro cuadrado, son por ejemplo elkilómetro cuadrado y el decímetro cuadrado.

¿Cuántos decímetros cuadrados entran en un metro cuadrado? El decímetro cua-drado, dm2 corresponde al área encerrada por un cuadrado de 1 dm de lado. 1 m2

= 100 dm2 porque: 1 m2 = 1 m . 1 m = 10 dm . 10 dm = 100 dm2

Por eso, tal vez Ud. recuerde, que una regla muy difundida en la escuelapara convertir unidades de superficie “hay que ir de a dos”.

Como ya lo dijimos, la unidad principal de área en el sistema métrico es elmetro cuadrado, los múltiplos y submúltiplos responden al sistema decimal, peropor las razones que vimos, el factor de multiplicación es 100.

Así 100 metros cuadrados hacen un decámetro cuadrado, 100 decámetroscuadrados hacen un hectómetro cuadrado, 100 hectómetros cuadrados hacen unkilómetro cuadrado. De esas unidades, las más utilizadas son el kilómetro cuadra-do (para medir superficies de países, regiones, etc.) y el hectómetro cuadrado, queequivale a una hectárea, unidad de medida utilizada en el agro.

La tabla que sigue muestra las equivalencias entre los múltiplos del metrocuadrado, y el modo en que se denotan universalmente:

1 cm

1 cm

x 100 x 100x 100

kilómetro cuadrado

km2

hectómetro cuadrado

hm2

decámetro cuadrado

dam2

metro cuadrado

m2

De la tabla se deduce que 10 000 metros cuadrados hacen un hectómetrocuadrado, y 1 000 000 metros cuadrados un kilómetro cuadrado, etc. En símbolos,algunas de esas equivalencias se pueden escribir:

1 dam2 = 100 m2 ; 1 km2 = 100 hm2

Como Ud. habrá notado, los prefijos (que se colocan delante del nombre dela unidad) son otra vez -como en las unidades de longitud, peso y capacidad-deca, hecto y kilo.

Los submúltiplos de la unidad principal también responden al sistema deci-mal, y la relación entre dos unidades consecutivas es, obviamente, por 100. Losprefijos son deci, centi y mili:

Área de un rectánguloUn rectángulo cuyos lados midan un número entero contiene tantos cua-

drados unidad como lo indica el producto de sus lados. Porejemplo, los lados del rectángulo que sigue miden 2 cm y 3cm. El área de ese rectángulo es, como se ve en el dibujo,6 cm2 , número que se obtiene de hacer 2 cm . 3 cmSi las medidas de los lados son números fraccionarios, tal

como lo vimos en las lecciones del producto de fracciones, el área también se cal-cula multiplicando las medidas de sus lados. No estudiamos aún los números irra-cionales, pero por ahora aceptamos que también sucede, y entonces generaliza-mos en la regla:

El área de un rectángulo se obtiene multiplicando las dos medidas de sus lados.

Del área del rectángulo, sacamos que:Área del cuadrado = l2 , porque los lados son iguales.

metro cuadrado

m2

decímetro cuadrado

dm2

centímetro cuadrado

cm2

milímetro cuadrado

mm2

: 100 : 100 : 100

Actividades

119) Compare superficie y perímetro de las siguientes regiones (la I es rec-tangular, y la II cuadrada, y las dimensiones están indicadas en el esquema).Exprese por escrito lo que observa.

Región I Región II

120) ¿Cuántas baldosas de 20 cm de lado se necesitan para cubrir un metrocuadrado? ¿Y si miden 30 cm de lado? ¿Y si miden 15?

121) Según los datos del problema 36, a) ¿Cuál es el área máxima quepuede tener una cancha de fútbol, y cuál es la mínima? b) Después de los cam-bios propuestos por el DT de Talleres, ¿en cuánto se reduce el terreno de juego?

122) Las resmas de papel indican el tamaño de cada hoja y el espesor. SiUd. lee la etiqueta encontrará, por ejemplo: "A4 210 x 297 mm, 70 gramos por m2".a) ¿Qué dimensiones tiene la hoja A4 expresadas en cm? b) Otro tipo de papel, detamaño A4, indica "80 gramos por m2". ¿Cuál es la diferencia entre las hojas decada tipo?

123) En relación con el problema 35 del inicio de esta lección, ¿cómo veri-fica que están todos los rectángulos posibles?

Unidades de volumenEn el problema 37 proponíamos armar sólidos con cubitos unidad, o con

paquetes de galletitas, etc. y en la solución mostramos que se podía expresar elvolumen de un sólido contando el número de cubos unidad que lo constituyen.

Después presentamos el metro cúbico, que se denota m3, la unidad prin-cipal de volumen en el sistema métrico. Con la misma idea de apilar cubitos, sepuede pensar en calcular el volumen de una habitación apilando cubos de unmetro cúbico. Así, supongamos que se necesita comprar un calefactor para un

pasillo que mide 10 m, 2 m y 3 m. Si el esquema representa el pasillo y un metrocúbico en el rincón, se puede calcular que en ese “sólido” que es el pasillo van aentrar 60 de esos cubos, y ese número se obtiene -por analogía con la superficiedel rectángulo- multiplicando: 10 m . 2 m . 3 m = 60 m3

Los submúltiplos más usuales del metro cúbico son el decímetro cúbico, elcentímetro cúbico y el milímetro cúbico. ¿Cómo se da la equivalencia entre dosunidades consecutivas de volumen en el sistema métrico? Los chicos dicen, amenudo, en volumen “van de a tres”, o dicho más formalmente, el factor de multi-plicación es 1000. Tomemos por ejemplo la equivalencia entre el metro cúbico y eldecímetro cúbico, así:

1 m3 = 1 m . 1 m . 1 m = 10 dm . 10 dm . 10 dm = 1000 dm3

La tabla muestra las equivalencias entre los múltiplos del metro cúbico, yel modo en que se denotan universalmente.

Algunas de las equivalencias que expresa esa tabla son, en símbolos:1 dam3 = 1000 m3; 1 hm3 = 1 000 000 m3; 1 km3 = 1 000 000 000 m3

0,001 dam3 = 1 m3; etc.Los submúltiplos de la unidad principal también responden al sistema deci-

mal, y los prefijos son deci, centi y mili y la relación es, obviamente, por 1000:

3 m

10 m 2 m

x 1000 x 1000x 1000

kilómetro cúbico

km3

hectómetro cúbico

hm3

decámetro cúbico dam3

metro cúbico

m3

Actividades

124) a) ¿Es posible encontrar dos cuerpos que tengan el mismo volumenpero pesos diferentes? b) ¿Es posible encontrar un cuerpo A de mayor volumenque otro cuerpo B, pero que A pese menos que B?

125) a) Una hectárea (ha) equivale a 1 hm2, ¿cuántos m2 hay en 1 1/2 ha?b) ¿Cuántos km2 hay en 1 ha?c) ¿Cuántos cm3 entran en 1 m3?d) ¿Cuántos m2 de tela hay en un corte de 2,10 m si el ancho es

de 1,40 m? e) Por un retazo de 1,20 m de tela, pagué $ 9,60. ¿Cuánto cuesta el m

de esa tela?

126) La velocidad de un ciclista en un tramo del recorrido es de 35 km/h (selee “35 kilómetros por hora”)

a) ¿Qué significa ese valor?Otro ciclista, con otro entrenamiento, desarrolla en un tramo una velocidad de 52 km/h (52 kilómetros por hora).

b) ¿Cuál es más rápido? c) ¿Cuánto más recorre en una hora el que es más veloz?

127) Para mantener el agua de una pileta, además de la limpieza, se debecontrolar el grado de acidez del agua (el ph) y además se debe echar cloro diaria-mente.

a) Los valores de ph están comprendidos entre 0 y 14, el grado neutrocorresponde al valor 7. Se debe controlar que ese valor se mantenga entre 7,2 y7,6. Si es superior produce enturbiamiento en el agua, y si es inferior, puede ser

: 1000 : 1000 : 1000

metro cúbico

m3

decímetro cúbico

dm3

centímetro cúbico

cm3

milímetro cúbico mm3

corrosivo. ¿Para cuáles de los siguientes valores se necesita agregar algún pro-ducto químico?: 8; 7,3; 6,9; 7,5; 7,8; 7

b) El cloro líquido se echa 1 l cada 20 000 l de agua. Si es cloro sólido,se aplican 40 g por cada 20 000 l de agua. ¿Cuánto cloro de cada tipo se echapara 15000 l de agua? ¿Qué volumen de agua tiene una pileta a la que se echa 2¼ l de cloro líquido? ¿Cuántos g de cloro sólido hay que aplicar en lugar de 7/2 l

de cloro líquido?

128) Se desea pintar las paredes de un cuarto, pero no las aberturas (ni lapuerta, ni las ventanas cuadradas que tienen 90 cm de lado, ni las redondas quetienen 30 cm de radio). Si un litro de pintura alcanza para pintar 8 m2,¿cuántoslitros de pintura se deben comprar? (Área del círculo = , donde r es el radio y

vale aproximadamente 3,14).

129) Una leche en polvo maternizada tiene una cuchara cuyo contenido esla dosis de leche (5 gramos) por cada 30 cm3 de agua.

Otra leche en polvo indica: una cucharada al ras (6 gramos aproximada-mente) por cada 50 cm3, y una cucharita al ras (unos 4 gramos) de azúcar.

Para cada tipo de leche, calcule cuántos gramos de leche y cuántos de azú-car para una mamadera de 60 cm3. ¿Y si la mamadera es de 100 cm3?

130) Se desea hacer una cortina para una ventana de 1,80 m de alto por 2m de ancho. En la tienda, el género elegido viene en piezas de 1,40 m de ancho.

π r2 π

Para que la cortina tenga un pliegue adecuado, se estima que el ancho delgénero debe ser un 80 % más que el ancho de la ventana. De acuerdo con esosdatos, ¿cuántos metros de tela debería comprar?

131) Si las aristas de un dado miden 1 cm, a) ¿cuántos dados se pueden apilar en 1 m3? b) Si dispone de 27000 de esos dados, ¿cuánto medirán las

aristas de una caja cúbica que se llena con ellos? c) Si se tarda unos 4 segundos para colocar cada cubito dentro

de la caja, ¿le alcanza con un día completo para llenar la caja?

132) ¿Qué área tienen los pisos con las siguientes formas y dimensiones, ycuántos azulejos cuadrados de 20cm de lado se necesitan para cubrirlos?(Suponga que los azulejos van pegados unos con otros, sin “junta”, y un azulejoque debe ser partido se cuenta como uno entero).

a) un cuadrado de 2 m de lado b) un cuadrado de 4 m de ladoc) un rectángulo de 8 m x 2 m d) un rectángulo de 16 m x 7.5 me) un rectángulo de 8.3 m x 5.1 m

133) Como Ud. seguramente sabe, los bonos Lecop Córdoba con quepagaba un porcentaje del sueldo la administración pública provincial, fueron impre-sos en Chile. La noticia decía que el volumen de bonos traídos en una oportuni-dad era 1,8 m3. En una polémica acerca de si ese monto de bonos podía ser des-pachado como un equipaje personal, algunos miembros del gobierno, y tambiénperiodistas afirmaron: “1,8 m3 es un cubo de 1,8 m por 1,8 m por 1,8 m”. ¿Es ver-dad esa afirmación? Justifique.

134) En una lata de pintura de 250 cm3 se lee:“Rendimiento: 12 a 15 m2 por litro y por mano” ¿Le alcanzaesa lata para pintar una puerta como la del esquema, sidesea darle dos manos de pintura?

Claves de correcciónProblema 40: La manera en que se pueden disponer los trozos depende de

sus dimensiones y las de la colcha. Conviene pensar las medidas de la colcha encm, la misma unidad con que se miden los lados de los trozos, esto es, 180 cm y

2 m

4,5 c m

83c m

120 cm. Ahora bien, en 120 cm entratres veces 40 cm, y en 180 cm entranueve veces 20 cm. Se concluye que deesa manera, como lo ilustra el dibujo,entran tres filas de nueve trozos cadauna. En total: 3 x 9 = 27

Como 40 cm no entra un númeroentero de veces en 180 cm, los trozos nose pueden disponer de la otra manera.

Las dimensiones de una nueva colcha son 200 cm y 120 cm, y dado que:200 = 40 . 5 y 120 = 20 . 6, o 200 = 20 . 10 y 120 = 40 . 3

con treinta trozos dispuestos todos de una u otra forma, se arma la colcha.

Actividades

119) Se muestran dos regiones de perímetros similares (aproximadamente2000 m) pero el área del cuadrado (Región II) es 250 000 m2 mientras que el áreadel rectángulo sólo es de 100 m2. Además la Región I no es apta para la cons-trucción ni para la siembra ¡quizá solo sirva para una hilera de lechugas!

120) Como en el problema 40, la superficie a cubrir tiene 1m2, y si no se danotras dimensiones vamos a suponer que la superficie es un cuadrado de 1 m delado. El lado mide 100 cm, y se trata de ver si entre los divisores de 100 están 20,30 y 15. Como 100 = 22.52 = 20 . 5

Baldosas de 20 cm, entran 5 en cada lado, así que se necesitan 25 baldo-sas enteras. Con las de 30, habrá que partirlas, necesitará 9 enteras, 6 pedazosde 30 por 10, y un cuadradito de 10 por 10... Depende de la habilidad para cortar-las y de la suerte de que no se rompan, determi-nar cuántas necesitará.

Con las de 15 cm, necesitará 36 baldosasenteras, y 12 pedazos de 15 por 10, más un cua-drado de 10 por 10.

121) El área máxima de un terreno de fútbol es: 120 m . 90 m = 10800 m2.El área mínima: 90 m . 45 m = 4050 m2. Suponiendo que la cancha del

120 cm

180 cm

20 cm

40 cm

10cm

30cm

15cm

Chateau tiene 120 m en su lado más largo, la reducción de 1.5 m de cada lado esen total: 120 m . 1.5 m . 2 = 360 m2

122) a) 21 cm x 29,7 cm; b) la hoja que pesa 80 g es más gruesa, ya queun m2 de ese papel pesa 10 g más que el anterior.

123) En el problema 35 se pedía hacer sobre papel cuadriculado todos losrectángulos cuyos lados midan un número entero de cuadrados y cuya área sea24 de esos cuadrados. Otra vez, es útil hacer la descomposición en factores pri-mos de 24, y en este caso, calcular todos sus divisores (Confrontar lección 8,módulo 2). Así: 24 = 1 . 23 . 3

Sus divisores son: 1, 2, 22, 23, 3, y sus combinaciones que dan otros valo-res, a saber: 2 . 3; 22 . 3; 23 . 3. Ordenando los resultados: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Multiplicando los extremos de esa lista, se obtiene:

1 . 24 = 2 . 12 = 3 . 8 = 4 . 6 = 24

que dan las cuatro dimensiones posibles para los rectángulos de 24 cuadraditosde superficie.

Por la propiedad conmutativa del producto se podrían obtener otros rectán-gulos, por ejemplo 24 . 1, 12 . 2, 8 . 3, etc. Habría que ver en el problema si seconsideran “diferentes” los rectángulos 1. 24 y 24 . 1. Generalmente es el contex-to del problema quien ayuda a determinar si son o no diferentes, por ejemplo si setrata de figuras rectangulares que se pueden recortar, tal vez da lo mismo la orien-tación, no así si se refiere a un terreno. (Suponga que el problema trata de un jar-dín de 4 . 6, y donde se necesita poner reja al frente, el costo no es lo mismo si elfrente mide 4 m o 6 m).

124) a) Sí, pensemos en un cubo de un decímetro cúbico de volumen, unode ellos de madera y otro de piedra, b) Seguro que sí, designamos A a una cajade zapatos (para un adulto) cerrada y vacía, y B designa una guía telefónica deCórdoba, podemos afirmar que A tiene mayor volumen que B, y también que Apesa menos que B.

125) a) 1 ha = 1 hm2 = 10000 m2; 1 ½ ha = 15000 m2; b) 0,01 km2 = 1 ha;c) 1000000 cm3 = 1 m3

d) 2,94 m2 e) $ 8 el m

126) a) 35 km/h indica que en caso de mantener esa velocidad durante una hora, recorrerá 35 km.

b) Es más rápido quien recorre 52 km en una hora. c) El más veloz recorre 17 km más en cada hora.

127) a) Los valores deseables están entre 7,2 y 7,6. Ordenando los números dados: 6,9 < 7 < 7,2 < 7,3 < 7,5 < 7,6 < 7,8 < 8se observa que para 6,9; 7; 7,8 y 8 se necesita la intervencióndel responsable de mantener el agua.

b) A 15000 l de agua, le corresponde 0,750 l de cloro líquido y 30 g de sólido. Si se echa 2 ¼ l de cloro líquido, el volumen deagua es 45000 l. Corresponde 140 g de cloro sólido, en lugarde echar 7/2 l de cloro líquido.

128) La superficie de las aberturas es 4,3678 m2 (discriminado en: 1,9 m2

la puerta; 1,62 m2 las ventanas cuadradas; 0,8478 m2 las ventanas circulares).Redondeando las aberturas miden 3,47 m2 . La superficie de las paredes, inclu-yendo las aberturas es 34,96 m2 = (3,6 m + 3,6 m + 4m + 4 m) . 2,3 m

La superficie a pintar es 34,96 m2 - 4,37 m2 = 30,59 m2, por lo cual, teóri-camente alcanzaría con 4 l de pintura.

129)

130) El 80 % más de ancho hace 3,60 m porque: 80 % de 2 m = 1,6 mComo la tela tiene 1,40 m de ancho, se van a necesitar por lo menos tres largos,es decir 1,80 m . 3 = 5,40 m. Habría que pensar además en dobladillos, y en cómoacomodar la tela en caso de que tenga algún estampado para combinar.

131) a) El volumen de un dado es 1 cm3, en 1 m3 entran 1000000 de dados.

b) Las aristas de la caja cúbica medirán 30 cm, ya que 30 cm . 30 cm . 30 cm = 27000 cm3 que es la cantidad de dados disponible.

60 cm3 100 cm3

Leche maternizada 10 g 50/3 g = 16,6 g

Leche en polvo 7,2 g 12 g

Azúcar 24/5 g = 4,8 g 8 g

c) Una hora tiene 3600 segundos, entonces un día: 24 . 3600 =86400 segundos. El tiempo necesario para acomodar los cubitos en la caja es: 27000 . 4 = 108000 segundos, es decirque no alcanza con un día.

132) a) 200 cm : 20 cm = 10, es decir que 20 cm entra 10 veces en 2 m.Para cubrir un cuadrado de 2 m de lado se necesitan 100 azulejos.

b) 400 cm : 20 cm = 20, es decir que 20 cm entra 20 veces en 4 m.Para cubrir un cuadrado de 4 m de lado se necesitan 400 azulejos. Observe

que en este inciso, el lado del cuadrado es el doble del anterior, pero la superficiees el cuádruplo.

c) 800 cm : 20 cm = 40, y 200 cm : 20 cm = 10, entran 400 azulejos.d) El rectángulo de 16 m x 7,5 m, 1600 cm : 20 cm = 80, 750 cm : 20

cm = 37 y hay resto en la división, así que habrá que considerar una fila más. Lacantidad de azulejos es 80 . 38 = 3040

e) El rectángulo de 8,3 m x 5,1 m, 830 cm : 20 cm = 41 y hay restoen la división, habrá que considerar una fila más. Y 510 cm : 20 cm = 25 y tambiénhay resto en la división, así que habrá que considerar una fila más. La cantidad deazulejos es 42 . 26 = 1092 azulejos.

133) La afirmación: “1,8 m3 es un cubo de 1,8 m por 1,8 m por 1,8 m” esfalsa. Porque 1,8 m . 1,8 m . 1,8 m = 5,832 m3 . Para ver que es falsa, no haríafalta hacer la cuenta. Se puede pensar que hay diferentes maneras de obtener 1,8m3 como producto de tres números (dichos números serían las dimensiones del“paquete” de bonos), entre ellos: 1,8 m . 1 m . 1 m , y se ve rápidamente que esevalor es menor que (1,8 m)3 .

134) Como lo muestra el esquema las dimen-siones de la puerta son 2,00 m por 83 cm = 0,83 m yde espesor = 4,5 cm = 0,045 m (son medidas están-dar).

Como el espesor requiere poca pintura, prime-ro se puede calcular de forma aproximada el áreatotal, considerando solamente las dos superficiesmayores (cara exterior e interior): Esto da: 0,83 m x2,00 m x 2 = 3,32 m2

El rendimiento “12 a 15 m2 por litro y por mano”, significa que con un litrode pintura y dando una mano se pueden cubrir entre 12 y 15 m2 Como la lata tiene

2 m

4,5 c m

83c m

250 cm3, es decir la cuarta parte de un litro, se puede cubrir la cuarta parte de 12a 15, es decir, entre 3 y 3,75 m2. Alcanzará la lata para dar una mano, pero no dosmanos de pintura. Si se quiere dar dos manos de pintura será necesario comomínimo una lata de medio litro.

La radicación es una operación, aunque tal vez menos usual que otras. Yahemos visto que hay ciertas relaciones entre las operaciones. Así, si a un número,digamos 6 se le suma por ejemplo 4 y luego se resta 4, se obtiene 6.

Esquemáticamente:

Se puede considerar que la resta “deshace” lo que hace la suma, cuando elnúmero que se suma y el que se resta es el mismo, el “4” en el dibujo. De un modosimilar podemos pensar la multiplicación y la división, siempre que el número (dis-tiinto de cero) por el que se multiplica sea igual al número por el que se divide. Laradicación “deshace”, en ese sentido, lo que hace la potenciación. Ya veremoscómo actúa sobre los números.

Problema 41: Se tienen 70 baldosas iguales. Sin partir ninguna baldosa sequiere obtener una superficie cuadrada lo más grande posible.

a) ¿Cuál es el número de baldosas que hay que colocar en cadahilera?

b) Se quiere agrandar el cuadrado, ¿cuál es la mínima cantidadde baldosas que tendría que comprar para que la superficie siga siendo cuadrada?

Radicación. Teorema de Pitágoras. Números irracionales.Lección: 8Contenido: Radicación. Teorema de Pitágoras.

6 10

+ 4

- 4

∇∇ Intente resolver los problemas que siguen con lo que Ud. sabe

Problema 42:Sabiendo que un terreno se ha subdivido en lotes cuadrados, como en la

figura y que cada lote tiene un área de 64 m2 ¿Cuántos metros de alambre sonnecesarios para cercar terreno?

Problema 43: Encuentre un número que reemplazando a la letra a cumplacon lo siguiente:

a) a2 dé como resultado 25.b) a3 dé como resultado 27.c) a3 dé como resultado – 8

Problema 44: Busque en la calculadora la tecla raíz cuadrada (en algunasse distingue por “ ” o por “sqrt”) y presiónela luego de introducir cada uno de lossiguientes números 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Anote en cada caso los resultadosobtenidos, y deduzca qué operación hace esa tecla.

Problema 45: Construya un triángulo cuyos lados midan 5 cm, 4 cm y 3 cm.¿Será un triángulo rectángulo?

b) Construya un triángulo cuyos lados midan respectivamente 6 cm, 8 cm y 10 cm. ¿Será un triángulo rectángulo?

c) Construya un triángulo rectángulo isósceles, cuyos lados iguales midan uno, ¿cuánto mide el tercer lado?


El problema 41 plantea una situación similar a las que aparecieron en elmódulo 2 al estudiar divisibilidad. Si se quiere obtener una superficie cuadrada,suponiendo que las 70 baldosas disponibles son también cuadradas, en cada hile-ra hay que colocar 8, ya que en 8 hileras de 8 baldosas (8 . 8) se usarían 64 bal-dosas.

Si se quiere agrandar el cuadrado, como la condición es no partir baldosasy comprar la mínima cantidad, habría que considerar un cuadrado de 9 . 9, yhabría que comprar 11 baldosas. En símbolos: 9 . 9 – 70 = 11.

En el problema 42, para calcular el perímetro del terreno, hace falta sabercuanto mide el lado de cada lote. Sabiendo que el área de cada lote es 64 m2, ellado (l) será tal que l x l = l2 = 64 m2 entonces l = 8 m. Así los lados del terrenomiden 56 m porque hay 7 columnas de 8 m y 40 m porque hay 5 filas de 8 m.Elperímetro total es 2 . 56 m + 2 . 40 m = 192 m.

El problema 43 plantea cálculos para resolver mentalmente:a) a = 5, ya que 52= 25 o también a = - 5, ya que (-5)2= 25b) a = 3, ya que 33 = 27c) a = - 2, ya que (-2)3 = - 8

En el problema 44, proponemos usar la calculadora.

La tecla sqrt o la tecla , según la calculadora, muestra cuál es el núme-ro que, elevado al cuadrado da como resultado la cantidad que se ingresa.

Para resolver el problema 45 necesita saber que cualquier triángulo rectán-gulo tiene un ángulo que es recto (de 90º), que los lados que forman el ángulorecto se llaman catetos y el otro lado, el mayor, se llama hipotenusa.

Un modo de verificar si los triángulosconstruidos son rectángulos es utilizando unaescuadra, o una hoja rectangular (del módulo, ode su cuaderno), y verificar como se muestra enla figura que dicho ángulo es recto.

Otra manera de distinguir si un triánguloes rectángulo es aplicando el teorema dePitágoras, que dice: “En un triángulo rectángulo,

Ingresa Presiona Muestra

16 sqrt 4 25 sqrt 5 36 sqrt 6 49 sqrt 7 64 sqrt 8 81 sqrt 9

100 sqrt 10

3 5

4 Ángulo recto

Catetos

Hipotenusa

la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa”.Para el caso del problema, la suma de los cuadrados de los catetos es

32 + 42 = 52; y el cuadrado de la hipotenusa es 52 = 25Entonces es cierto que: 32 + 42 = 52 y entonces se puede afirmar que el

triángulo es rectángulo.En el ítem b) como 62 + 82 = 102, el triángulo construido también es rec-

tángulo.En el item c) se da la medida de los catetos y se pide la longitud de la

hipotenusa. Puede hacer el dibujo y medir, o calcular la hipotenusa aplicando elteorema de Pitágoras: 12 + 12 = R2 y como 12 = 1

1 + 1 = R2

2 = R2

Esta última igualdad nos dice que R es un númerocuyo cuadrado vale 2. Según lo visto en el problema ante-rior, ingresa 2 en la calculadora, presiona la tecla sqrt o la tecla y la calculado-ra le muestra para R un valor próximo a 1,4142 .

¿Qué se puede aprender con estos problemas?Los cálculos que realizaron para resolver los problemas involucran una

nueva operación: la radicación y, como ya lo dijimos, es la operación “inversa” ala potenciación. Estudie los siguientes ejemplos:

Raíz cuadrada de 4 es 2, en símbolos 4 = 2 porque 22 = 4 Raíz cuadrada de 100 es 10, en símbolos 100 = 10 porque 102 = 100 Raíz quinta de - 32 es - 2, en símbolos = - 2 porque (- 2)5 = - 32 Raíz cúbica de 8 es 2, en símbolos = 2 porque 23 = 8

Esquematizamos con flechas el último ejemplo, con la intención de ayudara comprender la relación entre estas dos operaciones, radicación y potenciación,y por qué se dice que son operaciones inversas.

En general:

1

1

R

5 32− 3 8

2 8

32

3 8

Raíz enésima de a es b, en símbolos n a = b porque bn = a

Con las siguientes condiciones:

• n un número natural mayor que uno.• si n es par, a será un numero racional positivo y n a un

número positivo.El número n se llama índice de la raíz, el número a radicando.

Actividad 135: Calcule las siguientes raíces:a) 3 -1000 b) 4 16 c) 7 1d) 3 2,5 (con la calculadora y redondee el resultado a dos cifras decimales)

Actividad 136: Encuentre un número racional p tal que:a) p2 dé como resultado 25/64, b) p3 dé como resultado - 27/8

Actividad 137: Ordene de mayor a menor los números a, a2, 1/a, a para a = 3 ; a = - 4 ; a = 1/9 y para a = 0,9

Otra forma de entender por qué la potenciación y la radicación son opera-ciones inversas es calculando expresiones como las siguientes: (32) y ( 3)2.

Para resolver (32), hay que calcular primero 32 y después a ese resulta-do, calcularle la raíz cuadrada: (32) = 9 = 3

Para calcular ( 3)2 se procede en el orden inverso, primero la raíz de 3 yluego el cuadrado del resultado: ( 3)2 = (1.73205081)2 = 3

En ambos casos se realizan dos operaciones -la potenciación y la radica-ción aunque en diferente orden- sobre el número “3” y el resultado final es “3”. Engeneral, se dice que el índice de la raiz y el exponente de la potencia se simplifi-can. En símbolos: n an = a

Actividad 138: Verifique que: (4 8)4 = 4 (4 84) = 8 y que (3 3)6 = 32

Actividad 139: Reemplace n, m, a, b por números (siempre que estén defi-nidas cada una de las raíces1) y constate que se cumplen las siguientes propie-dades de la radicación.

1Confrontar la clave de corrección correspondiente a la actividad 137. Allí hay un ejemplo donde la base es negati-va y el índice par, en esa condición la radicación no está definida en el conjunto de números reales.

Y a la derecha del signo igual: 2 4 . 2 9 = 2 . 3 = 6 Entonces: 2 4 . 2 9

2) La radicación es distributiva respecto la divisiónn a:n b = n a:b

3) Raíz de raíz: la raíz de índice n de la raíz de índice m de un número a,es igual a la raíz de índice n por m del número a

n (m a) = n.m a

Estas tres propiedades están relacionadas con las propiedades de la poten-ciación y es a partir de ellas que se prueba cada una. En esta actividad le propo-nemos verificar con un cálculo esas propiedades, para ilustrar cómo funcionan. Elejemplo que mostramos en 1) no da validez general a la propiedad, la intención esponerla en evidencia.

Teorema de PitágorasPitágoras (570 – 480 a.C.) fue un filósofo y matemático griego que descu-

brió una relación interesante entre las longitudes de los lados de un triángulo rec-tángulo. Experimentando con conjuntos de tres números, que eran las medidas delos lados de triángulos rectángulos, por ejemplo: 3, 4 y 5 o 6, 8 y 10 o 9, 12 y 15etc. descubrió que para esos números vale:

32 + 42 = 52 62 + 82 = 102 92 + 122 = 152 etc.

La generalización de lo anterior que se conoce como Teorema de Pitágoras:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa

En símbolos:

Por ejemplo, si se reemplaza a n por 2; a por 4 y b por 9 se obtiene a la

izquierda del signo igual: 22 36 9 4 =⋅ = 6

9 42 ⋅

b c

a a2 + b2 = c2

nnn b a b a ⋅=⋅

1) La radicación es distributiva respecto la multiplicación

El teorema de Pitágoras es utilizado frecuentemente para calcular distan-cias (en ciertas condiciones) y determinar ángulos rectos.

Si se trata de calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, conociendolos catetos, se aplica directamente, tal como lo calculamos en el inciso c) del pro-blema 45.

Supongamos que se desconoce cuánto mide un catetode un triángulo rectángulo, pero se tienen los otros lados. En lafigura denotamos con una “X” el cateto desconocido.

Aplicando el teorema, vale que: 22 = X2 + 12 como 22 = 4 y 12 = 1 resulta4 = X2 + 1 entonces X2 es un número que sumado 1 da 4, luegoX2 = 3 y X es un número que elevado al cuadrado da 3, entonces, X = que es el resultado exacto, o usando la calculadora, X = 1,73 que

es un resultado aproximado con dos cifras decimales “despúes de la coma”.

Actividad 140: Calcule la longitud del lado que falta en cada uno de lostriángulos rectángulos siguientes:

a) b) c)

Actividad 141: Es común que para determinar un ángulo recto, los albañi-les usen una cuerda cerrada con 12 marcas igualmente separadas, dispuestasobre el suelo formando un triángulo de medidas 3, 4 y 5. ¿Cómo justificaría Ud.ese modo de proceder?

Actividad 142: Dadas las medidas de los siguientes triángulos, ¿cuál deellos es rectángulo?

2 X

1

3

2,7

1,4 3

4 3

5

2

2

8 3 4,1

4

5

3,5

34

Actividad 143: La siguiente es una demostración geométrica del teoremade Pitágoras debida al matemático hindú Bhaskara (1114-1178 dC).Distinguiremos cada afirmación por un ítem.

I) Los cuadrados “grandes”, tanto el de la derecha como la de la izquierda,tienen la misma área, el lado mide (a + b),

II) El cuadrado “grande” de la derecha se obtiene moviendo conveniente-mente (indicado por las flechas) los triángulos del cuadrado de la izquierda, y losdos cuadrados grandes se construyen con triángulos (oscuros) y cuadrados (blan-cos).

III) El cuadrado de la derecha se compone de los dos cuadrados blancos deáreas a2 y b2 respectivamente, más el área de los cuatro triángulos, mientras queel de la izquierda, de los cuatro triángulos más el cuadrado2 blanco de área c2.

IV) Entonces como las áreas de los dos cuadrados grandes son iguales, elárea c2 debe ser igual al área a2 + b2

V) Y como c es la hipotenusa y a y b los catetos de un triángulo rectánguloqueda demostrado el teorema, es decir c2 = a2 + b2

¿Entendió la demostración dada? Explique por escrito las dos últimas líneas de la demostración dada (correspondientes a los items IV y V).

Actividad 144: Se necesita cambiar el cierre de laentrada a una carpa. En el folleto informativo de lacarpa aparece una figura como la siguiente.¿Cuál es el largo del cierre que se necesi-ta?

Area =a2

a

b Area = b2

b

a a

b

b

a

a

a

a

b

b

b

b

c

c c

c

Area = c2

a b

b

a

a

1 1

160

m m

2Le pedimos que acepte que esa figura es realmente un cuadrado, eso se puede demostrar utilizando propiedades delos triángulos.

cm

Actividad 145: ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo cuyos ladosmiden 4 cm y 6 cm?

Actividad 146: Calcule el perímetro y la superficie de un rectángulo,sabiendo que un lado mide 8 cm, y la diagonal 10 cm.

Actividad 147: Dos de los lados de un triángulo miden 27 cm y 18,5 cm.¿Cuánto mide el tercer lado?

Actividad 148: Las caras de un dado miden 2 cm de lado. Calcule la dis-tancia entre los vértices a y b.

Actividad 149: Un pizarrón tiene 1,50 m de alto por 3,70 m ancho. Sedesea saber si el pizarrón entra por una ventana que tiene 1,20 m de ancho por1,30 de alto

Actividad 150: En la figura aparece un poste que se ha quebrado. Calculecuál era su altura.

¿ ?

4cm

6 cm

a

b

2 cm

3m

1,5


135) a) –10 b) 2 c) 1 d) 1.36

136) Hay dos valores diferentes que puede tomar la letra p, y son:a) p1 = 5/8 y p2 = - 5/8 , ya que (5/8)2 = (- 5/8)2 = 25/64b) p = - 3/2 3 ya que (- 3/2)3 = -27/8

137)

140) En todos los casos se aplica el teorema de Pitágoras: a) 32 + X2 = 52 entonces 9 + X2 = 25, entonces X2 = 16; entonces X = 4b) 32 + X2 = 42 entonces 9 + X2 = 16, entonces X2 = 7; entonces X = 7 = 2,64c) (2,7)2 +(1,4)2 = X2 entonces 9,25 = X2, entonces X = 9,25 = 3,04

141) Un triángulo cuyos lados midan 3, 4 y 5, verifica el teorema dePitágoras porque 32 + 42 = 52, entonces el triángulo es rectángulo. No es necesa-rio que las medidas estén dadas en metros, puede ser cualquier unidad, por ejem-plo un trozo de madera.

142) El triángulo de la izquierda. Es el único que cumple con el teorema dePitágoras. 22 + 22 = 8

144) Conviene hacer un esquema del cierre de la carpa, y ver que:

12 = (0,8)2 + x2

1 = 0,64 + x2

1 - 0,64 = x2

0,36 = x2 entonces x = (0,36) = 0,6 m

a a2 1/a a ordenados

3 9 0,33 1,73 a2; a; a; 1/a

-4 16 -0,25 No definida a2; 1/a; a 1/9 1/81 9 1/3 1/a; a; a; a2

0,9 0,81 1,11 0,95 1/a; a; a; a2

x

0,8m

1 m

145) La diagonal del rectángulo coincide con la hipotenusa del triángulo rec-tángulo de catetos de 4 y 6 cm. Entonces se puede aplicar el teorema dePitágoras.

X2 = 42 + 62

X2 =52X= 52 = 7,2 cm

146) Se necesita calcular un lado del rectángulo. Por Pitágoras 102 = x2 + 82, entonces, x = 6El perímetro es: 2 • 6 + 2 • 8 = 28 cmEl área es: 6 • 8 = 48 cm2

147) No se puede saber con esos datos. El teorema de Pitágoras sólo seaplica a triángulos rectángulos.

148) La diagonal de la base del cubo mide 8.Esa diagonal y el lado vertical son catetos del triángulorectángulo cuya hipotenusa es la distancia entre los vér-tices que se quiere calcular (d). d2 = ( 8)2 + 22

Entonces d2 = 12 luego d = 12 = 3,46 cm

149) Basta ver que el alto del pizarrón (1,50 m) sea menor que la diagonalde la ventana. La diagonal de la ventana mide 1,77 m. Luego entra.

150) La altura del poste era 4,85 m, que es el total de sumar 1,5 m de lo queha quedado en pie más 3,35 m que es la parte restante, calculada usandoPitágoras. Suponemos que el poste formaba ángulo recto con la superficie delsuelo.

8

2

2

2

a

b

1,5m

1,3m

1,2m

Ya vimos que los números negativos, o más ampliamente los números ente-ros, resolvieron el problema de restar dos números naturales cualesquiera. Y tam-bién, vimos que las fracciones resuelven el problema de dividir a y b, siendo b dis-tinto de cero, para cualquier par de números enteros.

Los números enteros, y las fracciones positivas y negativas, están incluidosen los números racionales. Y esos números bastan para todos los fines prácticos.

Pero, por ejemplo, no hay un número racional a que cumpla con a2 = 2. El número a y otras cantidades que no son racionales, se denominan

números irracionales y son tema de estudio en esta lección.

Problema 46: a) Calcule “a mano” el cociente para cada una de las divisio-nes. Realice cada división hasta deducir cómo es el cociente con todas las cifrasdecimales. (Puede utilizar la calculadora solo para verificar el resultado)

b) En cada división observe los restos parciales, ¿nota que algo se repite?¿Qué? Observe en cada división las cifras del cociente que fue obteniendo en loscálculos, ¿nota alguna regularidad? ¿Cuál?

Problema 47: El número 0,731234123412341234... tiene infinitas cifrasdecimales y es periódico. Las cifras 1234 se repiten indefinidamente. Por ello,recuerde, suele escribirse indicando con el arco superior el perío-do, es decir, las cifras que se repiten indefinidamente.

Lección 9: Construcción de números irracionales. El número . Perímetro y área de un círculo. Raíces irracionales. Representación en la recta.

∇∇ Intente resolver los problemas que siguen con lo que Ud. sabe

13 ÷ 6 =

10 ÷ 7 =

1 ÷ 8 =

0,731234

Ahora bien, los números: 0,123456789101112... y0,01011011101111011111... tienen infinitas cifras decimales y por la forma en quefueron construidos, no tienen un período.

a) Analice estos dos números y agregue por lo menos las diez cifras que seguirían en cada uno.

b) Imagine y escriba un número que tenga infinitas cifras decimales y que no sea periódico.

Problema 48: Una de las formas de medir una cir-cunferencia, aunque no es muy exacta, es la siguiente: setoma un pedazo de hilo y se coloca sobre la circunferenciaa medir. Luego con una regla o cinta métrica se mide ellargo del hilo.

Ahora le proponemos un ejercicio que ayudará aentender de dónde se obtiene la fórmula para calcular lalongitud de la circunferencia. Para ello tome un hilo, unaregla, y distintos objetos circulares (pueden ser un vaso,una rueda, una olla, etc.)

Ordene los resultados que encontró en una tabla,similar a la siguiente:

Agregue tres o cuatro mediciones más. ¿Qué observa? ¿ve alguna regula-ridad?¿Cuál?

Longitud de la circunfe-rencia ( P ) (cm)

Diámetro1 de la circunfe-rencia ( D ) (cm)

Cálculo de P ÷÷ D

Olla 73,4 22,5 3,3

Vaso 22,9 7,1 3,2

..... ..... ..... .....

1 El diámetro en cm lo obtiene midiendo un segmento que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferen-cia.


Los números irracionales y sus expresiones decimalesPara el problema 46 es importante recordar de las lecciones sobre números

racionales que la expresión decimal de un racional a/b, con a y b enteros y ,puede obtenerse haciendo .

Entonces, los cocientes que se obtienen en las divisiones son las expresiones decimales de los números racionales 13/6; 10/7 y 1/8 res-pectivamente

Si se observa la división , se nota que los restos parciales son “1” y“4” y este último se repite invariablemente, por lo que se obtiene siempre la mismacifra, “6”, en el cociente. Dicho cociente tiene infinitas cifras decimales y despuésde la cifra “1” es periódico y su período es “6”. Y se escribe 13/6 = . Con elarco sobre 6 se indica que esa cifra es el periodo que se repite indefinidamente.

En la división los restos parciales quese obtienen son “3”, “2”, “6”, “4”, “5” y “1” en ese orden,y luego se repiten. Por lo tanto las correspondientescifras del cociente “4”, “2”, “8”, “5”, “7” y “1” se repeti-rán. El resultado tiene infinitas cifras decimales y superiodo es “428571”.10/7 = 1,4285714285714285714... =

Los restos parciales de la división son“2”, “4” y “0”.

A partir del resto 0, “se corta” la división y la expre-sión decimal de 1/8 tiene un numero finito de cifras deci-males1/8 = 0,125

En general para cualquier división de númerosenteros “D d”, cada resto parcial es menor que el divi-sor y al dividir, se pueden obtener los restos: 0, 1, 2, ... y d -1. En total se puedenobtener “d” restos distintos. De esto y lo visto en los ejemplos, surgen dos situa-ciones:

b ≠ 0 a ÷ b

13÷6, 10÷7 y 1÷ 8;

13 6 10 2,166... 40 40 4 etc

61,2)

13 ÷ 6

10 ÷ 7 10 7 30 1,42857142.. 20 60 40

50 10 30 2 etc

1,428571 1 ÷ 8

1 8 10 0,125 20 40 0

÷

1) Al dividir, en algún momento un resto distinto de cero vuelve a apa-recer, y se repetirá la sucesión de restos anteriores. En consecuencia se repitenlas cifras en el cociente, y se obtiene un cociente con infinitas cifras decimales,periódico.

2) Al dividir, en algún momento se obtiene un resto igual a cero. En estecaso la división “se corta” y el cociente tiene un número finito de cifras decimales.

En resumen: “La expresión decimal de un número racional puede tener unnúmero infinito de cifras decimales y ser periódico, o tener un número finito decifras decimales”.

¿Es posible que existan números que no estén descriptos por ese resu-men?

Por ejemplo, los números del Problema 47: 0,123456789101112... y0,01011011101111011111... son dos números irracionales.

Para ver cuáles son las cifras decimales que se piden agregar en cada casoes necesario encontrar la regla que sigue su construcción.0,123456789101112... esta formado con la lista de los números naturales hasta el12. Las cifras que seguirían son: 1314151617 etc.

Las cifras que siguen al segundo número son: 01111110111111 etc. Hay diferentes formas de construir irracionales. Una es inventarse una

regla, como en el problema 47. Otra, es sumar o multiplicar un irracional “conoci-do” por un número entero o racional. Por ejemplo, si a los irracionales “conocidos”del problema 2, le sumamos 5 o lo multiplicamos por –2, respectivamente se obtie-ne: 5,123456789101112... y - 0,02022022202222022222...

Actividad 151: Estudie la expresión decimal del número racional 1/17: 1/17 = 0.05882352941176470588235294117647... y responda:

a) ¿Cuál es su período?b) ¿Cuál es la cifra decimal que ocupa la posición 40? ¿Y la cifra

que está en la posición 446?¿Y cifra en la posición 1008?

Definición: Se llama número irracional a los números que tienen una expresión

decimal con infinitas cifras decimales y que no es periódico.

Actividad 152: Escriba cuatro números irracionales.

Un famoso número irracional: “PI”En el problema 48, como quizás ha notado, el resultado de dividir la longi-

tud de la circunferencia por el diámetro es tres o un número próximo a tres, sinimportar que tan grande o pequeña sea la circunferencia que haya medido. Estoquiere decir que el diámetro cabe “cerca” de tres veces en la longitud de la cir-cunferencia, la diferencia en los números hallados en ese cociente se debe a loserrores en la medición.

Desde hace mucho tiempo el hombre ha intentado encontrar el númeroexacto que representa esa relación entre la longitud de la circunferencia y el diá-metro, denotada con la letra griega (cuyo nombre es “pi”).

Ya en la Biblia se habla de ese número, y se le atribuía el valor 3.Geómetras egipcios le atribuían el valor 16/9, que es 3.1605 y su error no llega a2 centésimos. Arquímedes en el siglo III aC probó que el famoso número debíaestar comprendido entre las fracciones 3 1/7 y 3 10/17. Bhaskara, geómetra hindú,admitía para el número el valor 3 17/120 que expresado con el sistema decimales:

Actualmente gracias a las computadoras, el valor de es conocido con másde diez mil cifras decimales. Se sabe que es un número irracional y para cálculosde la vida cotidiana se utiliza su valor aproximado: 3,14.

Perímetro de una circunferenciaLa razón (cociente) entre la longitud (L) de una circunferencia y el diámetro

(D) se expresa:

Entonces para calcular la longitud L de una circunferencia, se multiplica PIpor el diámetro. En símbolos:

Esta última igualdad se conoce como la fórmulapara calcular la longitud de una circunferencia. Otra formaes donde (r) es el radio de la circunferencia, o seala mitad del diámetro.

π

π

3,14... =

DL

L = π. D

D

r L = 2π.r

Actividad 153: El esquema de la derecha representa una cancha de bás-quet con las dimensiones reglamentarias. a) Calcule la longitud de la circunferen-cia central, b) Calcule la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es 1,8 m c)¿Es correcto decir que cada una de las lineas (son semicircunferencias) de lostiros de tres puntos miden 39,25 m?

Actividad 154: Las bicicletas suelen clasificarse en: “rodado 20”, “rodado24”, “26”, “28”, etc., indicando con ello el diámetro de las ruedas en pulgadas. Siuna bicicleta avanza 207,4 cm por cada vuelta de rueda, ¿qué tipo de rodado es?

Área del círculoDel cálculo de PI sacamos la fórmula para calcular la

longitud de una circunferencia. Se puede deducir, pero no loharemos aquí, la fórmula para calcular el área (A) de un círcu-lo. Dado el radio (r) del círculo, se obtiene su área multipli-cando PI por el radio al cuadrado. En símbolos:

Por ejemplo, si se quiere pintar el círculo central de la cancha de básquet,habría que calcular su área para saber cuánta pintura se necesita. A = 3,14 • 1,82 = 10,1736 m2

Actividad 155: a) Calcule el área de un círculo de 1 m de radio, b) Si elradio de ese círculo se multiplica por 2, ¿también se duplica el área? Verifique estocon el cálculo correspondiente.

Actividad 156: ¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular el área (A)del círculo a partir del diámetro (D)?

6.253.6 m 1.8 m

28 m

15m

8m

r

A = π. r2

a) A = π. D2 b) A = 4 π. D2 c) A = π. D2/2 d) A = π. D2/4

Actividad 157: Calcule el área sombreada:

a) b)

¿Es un número racional?

La expresión puede ser vista como una operación a hacer (calcular laraíz cuadrada al número 2), y también como un número2 tal que elevado al cua-drado da 2. Cabe preguntarse si es un número racional o irracional. Trataremosde calcularlo por aproximaciones sucesivas, tratando de “pescarlo” en la rectanumérica con espacios (intervalos) cada vez más chicos.

158) La calculadora muestra 1,4142135623730950488016887242097. Larespuesta a la actividad es 1,414.

Demostración de la irracionalidad de Suponga que es un número racional, se puede escribir = m/n, sien-

do m/n una fracción irreducible, es decir una fracción donde se simplificaron todoslos factores comunes del numerador y el denominador. En particular, m y n no pue-den ser ambos pares porque tendrían un factor 2 en común.

Elevando al cuadrado se obtiene 2 = m2/n2 es decir: 2. n2 = m2

Pero esta igualdad no puede ser verdadera, porque implica que m2 es múltiplode 2, o sea es par. Pero si m2 es par, m también es par (porque si es impar tam-bién lo es m2, en la nota al pie encontrará una justificación de esta afirmación3 ).Pero entonces m2 es múltiplo de 4 y por lo tanto 2 n2 también es múltiplo de 4, esdecir que n2 es par, y también lo es n. Pero entonces m/n se puede simplificar, yesto contradice el supuesto inicial que m/n era una fracción irreducible.

2 m

2 m

1 m

√√2

√2

Como 12 = 1 y 22 = 4 el número 2 debe estar entre 1 y 2.

Como 1,52 = 2,25 (“1,5 se pasa”) entonces 2 debe estar entre 1 y 1,5.

Como 1,42 = 1,96 (“1,4 se queda corto”) entonces 2 debe estar entre 1,4 y 1,5.

Como 1,452 = 2,1025 (“1,45 se pasa”) entonces 2 debe estar entre 1,4 y 1,45.

√√2 2 2

√2

2Lo mismo sucedía con, por ejemplo, ¾: puede ser visto como una división entre 3 y 4, o como el número fraccionario tres cuartos.

3Si m fuese impar se podría escribir como 2k + 1 y su cuadrado (2k +1)2 seria igual a 4k2 + 4k +1 que es la suma de un número par

(4k2 + 4k) más 1 es decir impar. Puede ver en con algunos ejemplos que el cuadrado de un número impar es también un número impar.

Este absurdo se produce al pensar que es un número racional, por lotanto no existe un número racional tal que elevado al cuadrado dé 2.

Actividad 159: Con una calculadora y por aproximaciones sucesivas deter-mine las expresiones decimales de los números irracionales yescríbalas redondeadas a dos cifras decimales.

Actividad 160: ¿Cuál es el número decimal de cuatro cifras decimales queestá más próximo a ? ¿Es lo mismo que redondear a cuatro cifras deci-males?

Representación en la recta numéricaLos números irracionales tienen un lugar bien definido en la

recta numérica, y se los puede ubicar aplicando el teorema de Pitágoras. es la diagonal del cuadrado de lado 1. Luego con un compás con la punta en

0 y con una abertura igual a la diagonal, se transporta sobre la recta numérica. Elpunto marcado dista del cero una distancia igual .

Actividad 161: a) Explique por escrito cómo se marca en la recta numé-rica anterior. Compare con el texto producido por otros compañeros.

b) Determine usando este método las posiciones en la recta numérica delos números irracionales

Actividad 162: La figura del margen se llama espiral de las raíces cuadra-das. Estudie la misma y diga cuánto miden a, b, c, d, e, y f.

√3, √5, √6

√2 √2

√2

√2

√2, √3, √5, √6

2

√2

√3 √2 1 0

1 √3

-1 3

-√2 y √5.

1

1 1 1

1

1 1 f

e d

c b a

3

2

El número de oro¿Cuál de los marcos para cuadros del margen le

parece más armonioso?Mucha gente coincide con los antiguos griegos y

renacentistas en escoger el cuadro número 2, ¿está deacuerdo con ellos?

Los griegos descubrieron que los rectángulos másarmoniosos eran aquellos en los que el cociente entre lasuma de los lados (a + b) y el mayor (b) es igual al cociente entre el lado mayor(b) y el menor (a) .

En símbolos:

El número que se obtiene en ese cociente se llama “número de oro”, y sedice que los lados están en razón áurea o en divina proporción.

Esa relación se usó sistemáticamente en arquitectura, por ejemplo en lasdimensiones de la fachada del Partenón, y también en pintura para determinar lasdimensiones de las telas o de las figuras en la pintura.

A partir de la ecuación anterior se calcula el número de oro, y su valor es:

Actividad 163: a) Con una calculadora determine con 2 cifras decimalesb) Mida los lados del frente de una etiqueta de 20 cigarrillos, y verifique si están enproporción divina. ¿Algún comentario? c) Calcule cuánto debe medir un lado de uncuadro si uno de los lados mide 1,5 m para que esté divinamente proporcionado.

Actividad 164: Mida los lados de los 5 marcos dibujados arriba y en cadacaso determine si sus lados están en divina proporción.

1 2

3

5 4

b

a a + b b b a

= = Ö

251+=Φ

Actividad 165: En la expresión parece que el número de oro esracional. Sin embargo el valor del número de oro es

¿Es racional o irracional?


151) a) El período es: 0588235294117647b) El período tiene 16 cifras, entonces hay que ver cuantas veces entra 16

en 40, esto se resuelve con la división 40 16, que tiene cociente 2 y resto 8. 40 = 2x16 + 8

Luego hay que ver cual es la octava cifra del período, en 0588235 2 94117647 es la cifra 2, y es ésa entonces la cifra decimal 40.

Con el mismo razonamiento, vemos que: 446 = 27 x 16 + 14, es decir elperíodo entra veintisiete veces, y resta 14. La cifra que corresponde a la posicióndecimocuarta del período es 6.1008 = 63 x 16 + 0, en este caso el período entra un número entero de veces en1008, luego corresponde a la última cifra del mismo que es un 7. Para ver mejoresto piense en la cifra que ocupa la posición decimal 16 o la posición decimal 32.

152) Estos son algunos ejemplos, recuerde que puede inventar una reglade construcción o bien crearlos a partir de uno “conocido”

1,10100100010000100000...0,12310100100010000100000...2, 10100100010000100000...0, 52522522252222522222... etc

153) a) 11,3 m b) 5,65 m c) Sí, porque cada línea forma una semicir-cunferencia de 6,25 m de radio.

154) 207,4 cm es el perímetro de la circunferencia. El diámetro es igual alperímetro dividido PI. Esto dá 66,05 cm que son 26 pulgadas. La bici es un roda-do 26.

155) a) y para este círculo es 3,14. 12 = 3,14 m2 b) No porqueel radio está al cuadrado, luego el área se cuadruplica. A = 3,14. 22 = 3,14 . 4

El área 12,54 m2.

Φ=

ab

251+=Φ

÷

A = π. r2

156) La d) porque y r = D/2 entonces r2 = D2/4

157) a) En esta figura el área sombreada es la diferencia entre el área delcuadrado de lado 2 m menos la del circulo de radio 1 m. El cálculo es:

(mitad de la superficie delcirculo de radio 1m más la superficie del rectángulo de lados 1 m y 2 m )

158) La calculadora muestra 1,4142135623730950488016887242097 y larespuesta a la actividad es 1,414.

159)

160) 1,4142, Sí, es lo mismo tomar sólo cuatro cifras que redonder a cua-tro cifras.

161) b) está a la misma dis-tancia de 0, a la izquierda de cero.

es la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 2 y 1.

162)

163) a) = 1,62 b) En efecto, los lados del frente de la etiqueta usual de20 cigarrillos están divinamente proporcionados. Un supuesto publicitario es que labelleza vende más. c) Este problema tiene dos respuestas. Si 1,5 es el lado máslargo o si es el lado más corto, respectivamente, los cálculos son:

1,5/l = 1,62 luego l = 1,5/1,62 = 0,925 mL/1,5 = 1,62 luego L = 1,5 x 1,62 = 2,43 m

A = π. r2

a) = 2 . 2 – π 12 = 4 – 3,14 = 0,86 m2

b) A = (π 12) : 2 + 2 x 1 = 3,57 m2

√3 = 1,73; √5 = 2,24; √6 = 2,45

-√2 es el número opuesto a √2, es decir que -√2

√5

2

√2

√2 10

1√5

-1 3 -√2 √5

a =√2, b = √3, c = 2, d = √5, e = √6, f = √7

164) El marco número 2 tiene sus lados en divina proporción.

165) Recuerde que la expresión b/a es racional cuando b y a son enteros ya 0. El número de oro, que denotamos por es un número irracional, ya quesu valor resulta de combinar operaciones con números racionales –sumar 1 y divi-dir por 2- con un irracional “conocido” .

Recuerde que el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diáme-tro da pi, que es también irracional.

Para facilitar la comunicación entre quienes escribimos los módulos dematemática y quienes los usan, sean tutores o estudiantes, proponemos un espa-cio donde Ud. puede opinar acerca de este módulo en particular. La idea es reti-rar esta hoja del módulo y hablar de las respuestas obtenidas en los encuentrosentre tutores docentes y contenidistas.

¿Opina desde el lugar de tutor o de estudiante?¿De qué módulo se trata?¿De qué programa?Fecha:

Temas o lecciones que resultan difíciles. Trate de indicar en qué sentido esdifícil: en la lectura, en la organización, etc.

Sugerencias de modificación en la presentación de temas y/o lecciones.

Otra sugerencia que necesite aportar.

√5

Apellido y nombre: Sede:DNI: Fecha:


Representación de fracciones1) Subdivida convenientemente –según los números fraccionarios que

están debajo- las siguientes figuras y represente esos números.

2) Coloque la fracción que representa la parte pintada de cada figura

Recta numérica3) Ubique en la recta numérica los siguientes números:

0, 1 , -2, -5/4, 3,25, -2/3, 5/2, - 0,7

TRABAJO PRÁCTICO INTEGRADOR

a) 63 b)

52

c) 83

d) 102

4) Escriba 3 números decimales que se ubiquen entre los extremos delsiguiente segmento de la recta numérica.

Expresiones decimales de racionales5) Redondee los siguientes números a 3 cifras decimales:

a) 124,234129 b) – 45,99457 c) – 0,1765

6) ¿Cuál es el número de 4 cifras decimales más próximo a -2/3?

7) Exprese las siguientes fracciones en forma decimal y en forma porcen-tual:

a) 3/8 b) 2/5

8) Calcule: a) 1,7 % de 2,35 b) un cuarto del 4 % de 127

Operaciones con fracciones9) Realice las siguientes operaciones

Unidades10) a) ¿A cuántos m equivalen 2 pies?

b) ¿A cuántos m3 equivalen 23 cm3?c) ¿A cuántos cm equivalen 2,54 pulgadas?

Radicación y Pitágoras11) Calcule las siguientes raíces: a) 3 -27 b) 4 16 c) 5 0d) 3 1,5 (con la calculadora y redondee el resultado a dos cifras decimales)

11,658 11,659

a) = 1512 -

310 b) =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛

1512 - -

310 c) =⋅−

1512

310 d) =⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−÷⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛−

1512

310

e) =−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ÷⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ⋅ 1 -

2

1512

36 -

310

54

12) Encuentre un número racional p tal que:

a) p2 dé como resultado 36/64, b) -p3 dé como resultado - 27/8

13) Aplique la propiedad: La radicación es distributiva respecto la multipli-cación para calcular:

14) Calcule la longitud del lado x en los dos triángulos rectángulos siguientes:

a) b)

15) Ubique en una misma recta numérica los números:

16) Piense en un número irracional y escriba sus primeras 20 cifras decimales.

Problemas17) a) Calcule el perímetro y la superficie del rectángulo de la derecha, cuyos lados miden 20 m y 12 m.b) Calcule la superficie del triángulo pintado de negro. (Sin usar la fórmulapara el área de un triángulo, piense en representación de fracciones).c) ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para pintar el rectángulo, cuandose usa una pintura que rinde aproximadamente 20 m2 por litro?e) ¿Cuántos cuadraditos de un cm2

de superficie caben en cada uno de los rectángulos?

81 162 ⋅

3.5

12

6

10

-√5 y 2√6.

12m

20m

18) a) Calcule el área oscura de la figura.b) Calcule el perímetro del circulo oscuro (es decir, la longitud de

la circunferencia que rodea al círculo oscuro).c) Calcule la longitud de la circunferencia de la mitad del círculo

blanco de la figura. ¿Será la mitad de lo obtenido en la parteb)? Justifique.

19) Determine si el rectángulo del problema 17 está en proporción divina.

20) Se quiere lotear un terreno de 6400m2. Para ello se propone dividir elterreno en cuatro partes iguales, y en una primera discusión surgen dos posibili-dades:

Posibilidad A Posibilidad B

a)¿Cuál es la superficie de cada lote en A y en B?b)El costo para subdividir físicamente esos los lotes, ¿será el mismo en ambas distribuciones?c) Proponga otras formas de lotear, de modo de obtener cuatro sectores deigual superficie. Analice qué sucede, en cada caso, con el costo de cierre de los lotes.

21) El Sistema Métrico Decimal fue adoptado por la gran mayoría de los paí-ses del mundo occidental, sin embargo, en algunas actividades es común utilizartodavía el sistema inglés. Por ejemplo, en la venta y el uso de la madera, o enalgunos sectores de la industria se dan las dimensiones de tornillos, hojas depapel, tablones de madera, etc. en pulgadas, o pies cúbicos, o pies, o ...

2 m

La siguiente tabla muestra algunas unidades de longitud, las más usuales,sus equivalencias internas y las que tienen con el Sistema Métrico Decimal.

a) ¿Cuál es la unidad más larga? ¿Y la más corta? ¿Cuál es mayor, el pieo la pulgada? Del mismo modo que planteamos equivalencias en las tablas parael sistema métrico decimal, formúlese preguntas que se puedan responder conesta tabla.

b) Usted viaja por una ruta extranjera y halla una señal de tránsito indican-do que la velocidad máxima de circulación es 50 millas por hora. Su velocímetromide la velocidad en kilómetros por hora. ¿Cuál es la velocidad que no le está per-mitido exceder?

c) ¿De cuántas pulgadas es su televisor?¿17”, 20”, 34” …? Para averiguarlo mida la diago-nal de la pantalla de su televisor y exprese estamedida en pulgadas.

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matemática 1º nivel

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