matematica 1 a

MATEMÁTICA I

Sesión 01: OPERACIONES COMBINADAS I

Profesor: Christiam Huertas

www.uchmate1.blogspot.com 1

Conjuntos numéricos

La noción de número es tan antigua como el hombre

mismo, ya que son necesarios para resolver situacio-

nes de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números

para contar una determinada cantidad de elementos

(existen siete notas musicales, 8 planetas, etc.), para

establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer mes

del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer medidas

(1,7 metros, 64 kg, C, etc.), etc.

Los conjuntos numéricos son conjuntos infinitos que

tienen características específicas. Los más importantes

son:

1 Conjunto de los números naturales

Surgieron de la necesidad del ser humano de contar

objetos. Se denota mediante el símbolo y está

formado por:

* +

Los tres puntos al final, llamados puntos suspensivos,

indican que el conjunto continúa de la misma manera.

Es claro que la suma y el producto de dos números

naturales es un número natural. En símbolos:

Si entonces y

Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números

naturales es un número natural. Por ejemplo:

y , pero

Para solucionar el problema de la resta, se crean los

números negativos , , , entre otros, como

opuestos de los números naturales. Además se

incorpora el cero para dar solución a la resta de un

número consigo mismo.

2 Conjunto de los números enteros

Se denota mediante el símbolo y está formado por:

* +

Este conjunto se subdivide a la vez:

2.1 Conjunto de números enteros positivos

Se denota por y está formado por los números

enteros positivos.

* +

2.2 Conjunto de números enteros negativos

Se denota por y está formado por los números

enteros negativos.

* +

Representación de los números enteros en la recta numérica

3 Conjunto de los números racionales

Está constituido por todas las fracciones de enteros,

con denominador distinto de 0. Se le representa

mediante el símbolo y se define como:

{

}

Todo número racional

se puede representar como un

número decimal finito o infinito periódico. Ello se

logra simplemente efectuando la división entre y .

Ejemplo 01 Ejemplos de números racionales

es racional, pues 7 y 5 son números enteros.

es racional, pues y son enteros.

es racional, pues

y y son enteros.

es la expresion decimal de un número

racional porque

y y son números

enteros.

es la expresión decimal de un

número racional, porque

y y son

números enteros.

3.1 Número mixto

Es un número que tiene una parte entera y una parte

fraccionaria. Se expresa como

y su fracción

equivalente es:


Ejemplo 02 Ejemplos de números mixtos

(

) (

)

4 Conjunto de los números irracionales

Está constituido por todos los números decimales

infinitos y no periódicos. Se le representa mediante el

símbolo y se define como

{

}

Ejemplo 03 Ejemplos de números irracionales

√

√

5 Conjunto de los números reales

Se le representa mediante el símbolo y está formado

por la unión de los números racionales y los números

irracionales. Por consiguiente, cualquier número real

debe ser un número racional o un número irracional.

Diagrama de Venn - Euler de los

conjuntos numéricos

Observación

Vemos que y .

Ejemplo 04

Coloque en los recuadros ( ) si el número pertenece a

los respectivos conjuntos.

√

√

Sumas notables

1. Suma de primeros naturales

( )

2. Suma de primeros pares

( )

3. Suma de primeros impares

( )

4. Suma de primeros cuadrados

( )( )

5. Suma de primeros cubos

( ( )

)

Ejemplo 05 Cálculo de sumas notables

Calcule el valor de las siguientes sumas.

a.

b.

c.

d.

Solución

( )

( )

⏟

( ) ( )

⏟

( )( )

( )( )

MATEMÁTICA I

Sesión 02: OPERACIONES COMBINADAS II



Operaciones básicas en los conjuntos

numéricos

1 Números naturales

* +

Es claro que la suma y el producto de dos números

naturales es un número natural. En símbolos:

Si entonces y

Ejemplo 01 Suma y producto de números naturales

a. ( )

b. ( )

c. ( )

d. ( )

e. ya que:

Ejemplo 02 Operaciones en los naturales

María se ha preparado durante toda su vida,

invirtiendo 2 años en el nivel preescolar, 6 en

primaria, 5 en secundaria, 1 en la pre, 5 más en la

universidad (estudiando Educación) y finalmente 2 en

un posgrado (Gestión de la Educación). ¿Durante

cuantos años ha estado estudiando María?

Solución

Para determinar cuántos años ha estado estudiando

María se realiza la suma de los años estudiados:

Por consiguiente, María ha estudiado 21 años.

Sin embargo, no siempre la diferencia de dos números

naturales es un número natural. Por ejemplo:

y , pero

2 Números enteros

* +

Regla de los signos para la suma

1. Signos iguales se suman y se conserva el signo.

2. Signos diferentes se restan y se conserva el signo

del número mayor.

Ejemplo 03 Suma de números enteros

a. (se conserva el signo)

b. (se conserva el signo)

c. (queda el signo del mayor número)

d. (queda el signo del mayor número)

e. (queda el signo del mayor número)

f. (queda el signo del mayor número)

Ejemplo 04 Resta de números enteros

Al comprar un televisor plasma de S/. 2809 a crédito, se da

un adelanto de S/. 748 y el resto se pagará a 6 meses,

¿cuánto es lo que falta para terminar de pagar la TV?

Solución

Se realiza una resta del costo del aparato y el adelanto

para saber cuánto falta por pagar:

Por lo tanto, falta pagar S/. 2061.

Regla de los signos para el producto

La regla de los signos para el producto se puede

resumir en el siguiente cuadro.

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

Ejemplo 05 Producto de números enteros

a. ( )( )

b. ( ) ( )( )

c. ( ) ( )( )

d. ( )( )

Ejemplo 06 Multiplicación de números enteros

El tren eléctrico de una cierta ciudad se conforma de 9

vagones, cada uno tiene 8 puertas y cada una de estas,

2 hojas corredizas. Si se desean cambiar las hojas de

los 120 trenes existentes en la ciudad, ¿cuántas hojas

se cambiaran?

Solución

Para obtener el número de hojas en total, se multiplica

el número de trenes, el número de vagones, el número

de puertas y el número de hojas:

( )( )( )( )

Entonces, el número de hojas a cambiar es 17280.


Regla de los signos para la división

La regla de los signos para la división se puede

resumir en el siguiente cuadro.

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

Ejemplo 07 División de números enteros

3 Números racionales

{

}

Operaciones con fracciones

Propiedad Descripción

Cuando se suman fracciones con el mismo

denominador se suman los numeradores.

Cuando se suman fracciones con denominado-

res diferentes, se busca un denominador co-

mún. Luego, se suman todos los denominadores

Cuando se multiplican fracciones, se multiplican

los numeradores y los denominadores.

Cuando se dividen fracciones, se invierte el

divisor y se multiplica.

Cuando se dividen fracciones, se multiplican los

extremos y este, se divide entre el producto de

los medios.

Multiplicación cruzada.

Ejemplo 08 Suma y resta de fracciones (homogéneas)

Ejemplo 09 Suma y resta de fracciones (heterogéneas)

Ejemplo 10 Multiplicación de fracciones

Ejemplo 11 División de fracciones

Ejemplo 12

Solución

Aplicamos la propiedad 6 (productos cruzados):

( ) ( ) Asegúrese de usar paréntesis

Propiedad distributiva

Sumar 6

Restar 5m

Dividir entre -2

4 Números irracionales

{√ √ √ √ }

5 Números reales

MATEMÁTICA I

Sesión 03: OPERACIONES COMBINADAS III



Operaciones básicas en los conjuntos

numéricos

Orden de las operaciones

Debes tener presente que existe una prioridad en el

desarrollo de las operaciones, es decir; hay operacio-

nes que deben realizarse antes que otras para obtener

el resultado correcto. Este orden es el siguiente:

Orden de las operaciones

1. Se realizan las potencias o raíces.

2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de

izquierda a derecha.

3. Se realizan las adiciones y sustracciones de

izquierda a derecha.

4. Si en la expresión aparecen signos de colección,

deberá operarse en la parte interna en primera

instancia, siguiendo las reglas anteriores.

Ejemplo 1 Orden de las operaciones

Simplifique

Solución

⏟ ⏟


Simplifique

Solución

⏟


Halle el valor de ( )

Solución

Primero debemos realizar el paréntesis (la potencia, luego la

multiplicación y después la resta). Luego la multiplicación por 4 y la

división 26 2. Posteriormente terminamos con las sumas y restas:

( )

( )

( )

( )


Solución

Por lo tanto, .


(

)

Solución

Primero operamos dentro del paréntesis

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Por lo tanto


Interpretación de las fracciones

Una fracción puede describir una parte de un conjunto

de cosas, por ejemplo:

3 de basquetbol 2 de futbol

En la figura anterior hay cinco balones.

Tres balones son de basquetbol, por lo que:

Así que

de los balones son de basquetbol.

También

de los balones son de futbol.

Sumando las partes se obtiene:

( )

Interpretación de textos

Al enfrentarse a problemas de tipo aritmético o

algebraico, es cuando cobra importancia el saber

interpretar y expresar tales problemas.

Ejemplo 6 Interpretación de las fracciones

Si se ha gastado la mitad de lo que se tiene, ¿cuánto

queda?

Solución

Si se gasta la mitad, lo que queda es la otra mitad.

Si lo que se tiene es , al gastar

, lo que queda es


Si se gana un tercio de lo que se tiene, ¿cuánto se

tiene ahora?

Solución

Si se gana

de lo que se tiene, lo que se tiene

ahora es

de lo que se tenía.

Si lo que se tiene es , al ganar

, lo que se tiene

ahora es


Si se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en

víveres y los

en pasajes, ¿cuánto queda?

Solución

Lo que se gasta en total es

de lo que se

tiene, por lo tanto, lo que queda es

de lo que se

tenía inicialmente.

Si lo que se tiene es , lo que se gasta en total es

de lo que se tiene, por lo tanto, lo que

queda es


Se tiene cierta cantidad, se gasta la tercera parte en

víveres y los

del resto en pasajes, ¿cuánto queda?

Solución

Lo que se gasta en víveres es

, lo que queda son

los

de lo que se tiene. Luego se gasta los

del

resto, entonces, lo que queda son los

(

)

de

lo que se tiene.

Si lo que se tiene es , lo que se gasta en víveres es

, entonces, lo que queda es

Se gasta luego

(

)

, entonces, lo que queda

es

Ejemplo 10

De un saco de azúcar de 50 kilogramos se venden 15

kilogramos. ¿Qué parte de la cantidad inicial falta

vender?

Solución

Falta vender:

En fracción sería:

Ejemplo 11

Miguel perdió

de su dinero y presto

¿Qué parte

de su dinero le queda?

Solución

Se suma la porción que perdió con la que presto y el

resultado se resta a la unidad que representa lo que

tenía.

( )

( )

Por lo tanto, a Miguel le sobran

de su dinero.

MATEMÁTICA I

Sesión 04: PLANTEO DE ECUACIONES I



Planteo de ecuaciones

En la descripción verbal de un problema, por lo

general, existen palabras y frases que son clave para

traducirlo a expresiones matemáticas que involucran

suma, resta, multiplicación y división.

1.1 Ecuación

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones

matemáticas donde hay al menos una variable

(incógnita).

Ejemplo 01 Ejemplos de ecuaciones

Los números que hacen de una ecuación una

proposición verdadera se llaman soluciones de la

ecuación. El conjunto solución de una ecuación es el

conjunto formado por todas las soluciones de la

ecuación.

Ejemplo 02 Solución y conjunto solución de una ecuación.

Ecuación Solución(es) Conjunto

solución

* +

* +

* +

* +

Dos o más ecuaciones con las mismas soluciones son

llamadas ecuaciones equivalentes. Por lo general las

ecuaciones se resuelven comenzando con la ecuación

dada y produciendo una serie de ecuaciones

equivalentes más simples.

Ejemplo 03 Ejemplo de ecuaciones equivalentes

Ecuaciones Conjunto solución

* +

* +

* +

1.2 Ecuaciones lineales

El tipo más sencillo de ecuación es la ecuación lineal,

o ecuación de primer grado.

Una ecuación lineal es una ecuación de la forma:

donde y son números reales ( ) y es la

variable.

Para hallar la solución de una ecuación lineal, solo se

despeja la variable.

Ejemplo 04

Resuelva la ecuación .

Solución

Resto 9

Multiplico por 1/2

Luego,

es la solución de la ecuación ; y

por tanto, su conjunto solución es {

}.

Ejemplo 05

Resuelva la ecuación ( ) .

Solución

Operamos en la ecuación

* +

Si en las ecuaciones aparecen fracciones o decimales

como coeficientes, se recomienda multiplicar ambos

lados por el mínimo común múltiplo de los

denominadores de todas las fracciones. Esto produce

una ecuación equivalente con coeficientes enteros.

Ejemplo 06

Solución

Multiplicamos en ambos lados por ( ) .

(

) ( )

Operamos en la ecuación

( )


* +

1.3 Planteo de ecuaciones

Sugerencias para plantear una ecuación

1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta

comprender de que se trata.

2. Ubicar los datos y la pregunta.

3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a

trabajar.

4. Relacionar los datos con las variables para

plantear una o más ecuaciones que al resolver nos

den la solución del problema.

Plantear una ecuación

Traduciendo a expresiones matemáticas

Operación Palabras claves

Adición

( )

Suma

Añadir

Aumentado por

Más que

Sustracción

( )

Resta

Diferencia

Menos

Menor que

Disminuido por

Quitado de

Multiplicación

( )

Multiplicar

Producto

Veces

De

División

( )

Dividir

Dividido por

Cociente

Razón

A continuación, resolvemos a modo de ejercicio la

traducción de ciertos enunciados dados en forma

verbal a su forma simbólica (matemática).

Traducción de palabras a expresiones

matemáticas

Expresión verbal Expresión

matemática

Suma

La suma de un número con 7

24 sumado a un número

Un número incrementado en 5

La suma de dos números

Resta

12 menos un número

Un número disminuido en 12

La diferencia de dos números

El exceso de un número sobre 3

Multiplicación

16 veces un número

Un número multiplicado por 5

de un número

El doble de un número

El producto de dos números

Observación

Para el planteo de una ecuación es importante tener en

cuenta “la coma: , ”.

Ejemplo 07

⏟ ⏟

⏟ ⏟

( )

División

El cociente de 8 y un número

Un número dividido entre 13

La razón de dos números

(o el cociente de dos números)

( )

( )

Lenguaje común

(enunciado)

Leer

Interpretar

Simbolizar

Lenguaje matemático (ecuación)

Resolución de la ecuación

MATEMÁTICA I

Sesión 05: PLANTEO DE ECUACIONES II



Planteo de ecuaciones

Sugerencias para plantear una ecuación

1. Leer cuidadosamente el texto del problema hasta

comprender de que se trata.

2. Ubicar los datos y la pregunta.

3. Elegir la(s) variable(s) con las cuales se va a

trabajar.

4. Relacionar los datos con las variables para

plantear una o más ecuaciones que al resolver nos

den la solución del problema.

Plantear una ecuación

Ejercicios de aplicación

Ejemplo 01

Halle un número tal que aumentado en 10 resulta 23.

Solución

Sea el número. Por dato:

Por lo tanto, el número es .

Ejemplo 02

El triple de un número disminuido en 12 da 15. ¿Cuál

es el número?

Solución

Sea el número. Por dato:

Por lo tanto, el número es 9.

Ejemplo 03

Halle un número, donde la suma de su mitad, cuarta y

octava parte, resulta dicho número disminuido en una

unidad.

Solución

Sea el número: . Entonces,

Su mitad:

Su cuarta:

Su octava:

Por dato:

Multiplicamos por 8 ( )

Por lo tanto, el número es 8.

Ejemplo 04

Iris tiene S/. 20 más que Ana, y entre ambas tienen S/.

40. ¿Cuánto dinero tiene Ana?

Solución

Supongamos que Ana tenga soles, entonces Iris

debe tener ( ) soles. Pero ambas tienen S/. 40.

es decir,

⏟ ⏟

( )

Por lo tanto, Ana tiene S/. 10

Ejemplo 05

En una reunión hay 40 personas, cuando se retiran 8

varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es

10. ¿Cuántos varones quedaron?

Solución

Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:

Varones Mujeres Dato

Inicio

Después

Además, por dato:

( )

También

Sumamos

(Inicio)

Quedaron: varones.

Lenguaje común

(enunciado)

Leer

Interpretar

Simbolizar

Lenguaje matemático (ecuación)

Resolución de la ecuación


Ejemplo 06

Encuentra dos números consecutivos cuya diferencia

de cuadrados sea igual a 9.

Solución

Sean y ( ) los números consecutivos. Por dato

se sabe que:

( )

Operamos para hallar el valor de :

Por lo tanto, los números son 4 y 5.

Ejemplo 07

La edad de Jorge es el triple de la edad de su hijo

Gerardo. La edad que tenía Jorge hace cinco años era

el doble de la edad de Gerardo dentro de 10 años.

¿Cuáles son las edades actuales de Jorge y Gerardo?

Solución

Supongamos que es la edad de Gerardo. La primera

condición indica que Jorge tiene una edad que es el

triple de Gerardo; es decir, la edad de Jorge es .

Luego, hace 5 años la edad de Jorge es ( ) y la

edad de Gerardo dentro de 10 años es ( ). La

segunda condición del problema se puede escribir

como:

( )

Por tanto, Gerardo tiene 25 años y Jorge 75.

Ejemplo 08

Gladis, José y Alex ganan entre los tres S/. 1200. José

ganó S/. 200 menos que Gladis y Alex ganó el doble

que José. Halle lo que ganó cada uno de ellos.

Solución

Sea S/. lo que gano Gladis, entonces por dato:

Lo que gana José es: S/. ( )

Lo que gana Alex es: S/. ( )

También, entre los tres ganan S/. 1200. Es decir:

( ) ( )

Por lo tanto, Gladis gana S/. 450, José gana S/. 250 y

Alex gana S/. 500.

Ejemplo 09

Para ganar S/. 180 en la rifa de un televisor, se

hicieron 120 boletos, vendiéndose únicamente 75

boletos y originándose así una pérdida de S/. 45.

¿Cuál es el valor del televisor?

Solución

Sea el precio de cada boleto: soles.

Sea el precio del televisor: soles.

Se sabe que:

Se hizo 120 boletos para ganar 180 soles, entonces:

( )

Pero solo se vendió 75 boletos y se perdió 45 soles,

entonces:

( )

Despejamos :

( )

Reemplazamos en (I)

Reemplazamos en (III)

( )

Por lo tanto, el costo de la TV es de S/. 420

Ejemplo 10

En una fiesta hay tantos caballeros bailando como

damas sin bailar y ningún caballero sin bailar; una vez

que se retiran 70 damas y 20 caballeros y todos salen

a bailar, nadie se quedaría sin bailar. ¿Cuántas

personas había inicialmente?

Solución

Nos ayudamos de una tabla para plantear el problema:

Varones Mujeres

Bailan

No bailan

Total

Luego, se retiran 20 varones y 70 mujeres, entonces

quedan

Varones Mujeres

Pero, por dato nadie se queda sin bailar, entonces

Por lo tanto, el número de personas que había

inicialmente es ( ) .

matematica 1 a

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