matefinancie_f02

1

Semestre 3

Fascculo

2

Matemticas

Financieras

Matemticas

financieras Semestre 3

Matemticas financieras


Semestre 3

Tabla de contenido Pgina

Introduccin 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual fascculo 2 1

Logros 2

Inters Simple e Inters Compuesto 2

Inters simple 7

Monto 7

Capital 9

Tasa de inters 10

Tiempo 11

Inters compuesto 12

Valor futuro 13

Valor presente 15

Tasa de inters (Inters compuesto) 16

Tiempo 18

Actividad de trabajo colaborativo 19

Resumen 20

Bibliografa recomendada 20

Nexo 21

Seguimiento al autoaprendizaje 23

Crditos: 3

Tipo de asignatura: Terico Prctica

Matemticas

financieras Semestre 3


Copyright2008 FUNDACIN UNIVERSITARIA SAN MARTN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

Educacin a Travs de Escenarios Mltiples

Bogot, D.C.

Prohibida la reproduccin total o parcial sin autorizacin

por escrito del Presidente de la Fundacin.

La redaccin de este fascculo estuvo a cargo de

CARLOS FERNANDO COMETA HORTA

Tutor Programa Administracin de Empresas

Sede Bogot, D.C.

Revisin de estilo y forma;

ELIZABETH RUIZ HERRERA

Directora Nacional de Material Educativo.

DIEGO ORTZ MONCADA

Tutor Facultad de Universidad Abierta y a Distancia

Diseo grfico y diagramacin a cargo de

SANTIAGO BECERRA SENZ

ORLANDO DAZ CRDENAS

Impreso en: GRFICAS SAN MARTN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogot, D.C., octubre de 2009.

Conformato:Espaol(alfab.internacional)



1

Fascculo No. 2

Semestre 3


Matemticas

financieras

Inters

Simple

Generalidades

Inters

Compuesto

Operaciones financieras complejas

Con base en

y operaciones dey operaciones de

Que apoyan el Es posible resolver

Introduccin

La conceptualizacin y desarrollo de los problemas contenidos en este

fascculo, le brindan al estudiante unos escenarios claros de aplicacin de

variables financieras en las organizaciones y le proporcionan una visin

cercana de su quehacer profesional en el rea financiera.

El uso correcto de los esquemas de trabajo propuestos, le permitir al

estudiante desempearse con acierto en el estudio de presupuestos y

fomentar el desarrollo de una estructura mental adecuada para el

abordaje de sencillas situaciones de inversin, financiacin y operacin.

De igual manera, se analizar el manejo de crditos particulares y banca-

rios, as como la prctica de inversiones privadas y sus implicaciones, ya

que son temas apasionantes que se abordarn con profundidad, a partir

de una clara didctica .

Conceptos previos

Para una mejor comprensin de las transacciones propuestas en el

fascculo, el estudiante debe consultar las tasas de captacin y de

colocacin del mercado financiero.

Mapa conceptual fascculo 2

2


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Al finalizar el estudio del presente fascculo, el estudiante estar en capa-

cidad de:

Interpretar y proponer soluciones especficas a problemas organizacio-

nales referentes a operaciones financieras de Inters Simple y Comp-

uesto.

Explicar y construir ecuaciones, tablas y diagramas para la argumen-

tacin de situaciones financieras y expresar con suficiencia sus alcances.

Proponer la solucin de problemas reales por medio de la incorporacin

de problemas financieros concretos con cifras y tasas del mercado.

Inters Simple e Inters Compuesto Generalidades

En el fascculo 1 se hizo referencia a la Capitalizacin de Intereses, como

la diferencia entre el Inters Simple y el Inters Compuesto y se definieron

los smbolos a utilizar para estas dos clases de inters.

Antes de analizar cada una de las variables que intervienen en estas

operaciones, realizaremos algunas observaciones importantes para un

adecuado estudio del tema y un paralelo por medio de ejemplos, con el fin

de demostrar los efectos de la capitalizacin de intereses y evidenciar sus

alcances e implicaciones.

Ejemplo 1

Se realiza una inversin de $1.000.000 a una tasa de inters del 3%

mensual, durante 4 meses. Se requiere calcular los intereses generados y

la suma final acumulada (Monto o Valor Futuro), tanto a Inters Simple

como a Inters Compuesto.

Para la mejor comprensin de este ejemplo, se construir progresivamente

una tabla donde se realizarn las observaciones del caso:

LogrosLogrosLogros

3


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

CitI

PinI

De acuerdo con la simbologa indicada al final del fascculo 1.

C i t I P i n I

1 1.000.000 0,03 1 30.000 1 1.000.000 0,03 1 30.000

Inters Simple Inters Compuesto

MesCapital

Tasa de

intersTiempo Inters

Mes

Valor

presente

Tasa de

intersTiempo Inters

C i t I P i n I

1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000

2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900 0,031.000.000 0,03


MesCapital

Tasa de

intersTiempo Inters

Mes

Valor

presente

Tasa de

intersTiempo Inters

Tabla 2.1 Primer perodo de intereses.

La operacin consignada en la Tabla 2.1 fue realizada con base en la

frmula 1.2 (fascculo 1).

Para Inters Simple:

Para Inters Compuesto:

En esta tabla (2.1) se observa que al calcular los intereses del primer

perodo no se presenta ninguna diferencia. Esto es as, por cuanto no se

ha iniciado la capitalizacin de ese inters, hallado en el inters com-

puesto.

Ahora se calcular el inters (I) para el segundo perodo:

Tabla 2.2 Segundo perodo de intereses.

En la Tabla 2.2 se observa:

4


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

C i t I P i n I

1 1 30.000 1 1.000.000 1 30.000

2 1 30.000 2 1.030.000 1 30.900

3 1 30.000 3 1.060.900 1 31.827

4 1 30.000 4 1.092.727 1 32.781,81

1.000.000 0,03 0,03

Valor

presente

Tasa de

intersTiempo Inters


MesCapital Tiempo Inters

Tasa de

inters Mes

Respecto del Capital:

En el Inters simple, el capital (C) permanece constante en $1.000.000,

es decir, no se modifica;

En el Inters Compuesto, el capital o Valor Presente (P) se ha incremen-

tado al capitalizarse los primeros $30.000 de intereses generados el

primer perodo y su valor es $1.030.000.

Respecto de los intereses:

En el Inters Simple, el inters (I) del segundo perodo permanece cons-

tante en $30.000;

En el Inters Compuesto, el Inters (I) del segundo perodo se ha incre-

mentado debido al mayor valor del capital y para el segundo perodo es

de $30.900.

Al continuar con este procedimiento durante los meses restantes, se

obtiene el comportamiento reflejado en la siguiente tabla (2.3):

Tabla 2.3 Clculo paralelo de intereses.

Ahora se calcula la Suma Final Acumulada (Monto o Valor Futuro). Para

ello, se toma el capital inicial y se adicionan los intereses:

Inters Simple: M = $1.000.000 + 120.000 = $1.120.000

Inters Compuesto: F = $1.000.000 + 125.508,81 = $1. 125.508,81

5


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

ICM IPF

En este punto se puede confirmar que el Monto (M) o Valor Futuro (F) se

expresa, de acuerdo con la frmula 1.3 (fascculo 1), as:


Respuesta: En el inters Simple el total de intereses (I) fue de $120.000 y

el Monto (M) fue de $1.120.000. En el Inters Compuesto el total de

intereses (I) fue de $125.508,81 y el Valor Futuro (F) fue de $1.125.508,81

Albert Einstein en una de sus frases, afirm: El Inters Compues-

to es la fuerza ms poderosa de la galaxia. Esta afirmacin se

sustenta en la capacidad que tiene el dinero para reproducirse en

forma geomtrica, al aumentarse peridicamente el capital inicial,

por efectos de la capitalizacin de intereses. Con este fenmeno

se pretende que el dinero conserve su poder adquisitivo. Por esto,

el Inters Simple se utiliza slo excepcionalmente, ya que, al no

capitalizar los intereses, estos pierden poder adquisitivo con el

tiempo.

Ejemplo 2

Calcular los intereses y la Suma Final Acumulada de un capital de

$100.000 invertidos a una tasa de inters del 5% mensual durante 24

meses. Representar esta transaccin por medio de una grfica y

considerar el caso de Inters Simple e Inters Compuesto.

Para establecer el comportamiento de los intereses en cada una de las dos

alternativas, se realizar un paralelo que visualmente permita verificar las

diferencias. Se aproximan las cifras a la unidad:

6


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

0

50.000

100.000

150.000

200.000

250.000

300.000

350.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Mon

to (P

esos

)

Tiempo (Meses)

Mes Capital

Inters

por

perodo

Acumulado

por perodoMes Capital

Inters

por

perodo

Acumulado

por perodo

1 100.000 5.000 105.000 1 100.000 5.000 105.000

2 100.000 5.000 110.000 2 105.000 5.250 110.250

3 100.000 5.000 115.000 3 110.250 5.513 115.763

4 100.000 5.000 120.000 4 115.763 5.788 121.551

5 100.000 5.000 125.000 5 121.551 6.078 127.628

6 100.000 5.000 130.000 6 127.628 6.381 134.010

7 100.000 5.000 135.000 7 134.010 6.700 140.710

8 100.000 5.000 140.000 8 140.710 7.036 147.746

9 100.000 5.000 145.000 9 147.746 7.387 155.133

10 100.000 5.000 150.000 10 155.133 7.757 162.889

11 100.000 5.000 155.000 11 162.889 8.144 171.034

12 100.000 5.000 160.000 12 171.034 8.552 179.586

13 100.000 5.000 165.000 13 179.586 8.979 188.565

14 100.000 5.000 170.000 14 188.565 9.428 197.993

15 100.000 5.000 175.000 15 197.993 9.900 207.893

16 100.000 5.000 180.000 16 207.893 10.395 218.287

17 100.000 5.000 185.000 17 218.287 10.914 229.202

18 100.000 5.000 190.000 18 229.202 11.460 240.662

19 100.000 5.000 195.000 19 240.662 12.033 252.695

20 100.000 5.000 200.000 20 252.695 12.635 265.330

21 100.000 5.000 205.000 21 265.330 13.266 278.596

22 100.000 5.000 210.000 22 278.596 13.930 292.526

23 100.000 5.000 215.000 23 292.526 14.626 307.152

24 100.000 5.000 220.000 24 307.152 15.358 322.510


Tabla 2.4 Clculo paralelo de Intereses y Suma Final Acumulada.

En la Tabla 2.4 se observa cmo la operacin bajo el esquema de Inters

Simple presenta un comportamiento lineal, mientras que el crecimiento

bajo el esquema de Inters Compuesto se comporta de manera geo-

mtrica. Esto se confirma con la siguiente grfica (figura 2.1) que ilustra el

fenmeno:

Figura 2.1 Tendencias de Inters Simple y Compuesto.

7


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

)1( itCM (Frmula 2.1)

Ahora se establece el Inters (I) a partir de los resultados de la Tabla 2.4,

restando el capital inicial de la Suma Final Acumulada (Monto o Valor

Futuro), despejando I en la frmula 2.1 (pgina 10), as:

Inters Simple: I = $220.000 - 100.000 = $120.000

Inters Compuesto: I = $322.510 - 100.000 = $222.510

Respuesta: A Inters Simple los intereses (I) fueron de $120.000 y el

Monto (M) fue de $220.000 y a Inters Compuesto los intereses (I) fueron

de $222.510 y el Valor Futuro (F) fue de $322.510.

2.1

Proponga 2 casos de transacciones comerciales donde sea posible

aplicar el esquema de Inters Simple y de Inters Compuesto. Realice

las tablas y grficas de comparacin entre las dos alternativas y

socialcelas con el tutor.

Inters Simple

Como se plante anteriormente, el inters simple parte de la condicin de

que los intereses generados por un capital no producen nuevos intereses.

El Capital (C) permanece invariable con el tiempo, por lo tanto los intereses

(I) se calculan siempre de la misma forma y teniendo como base los

mismos valores.

Monto

Ahora se va a establecer la frmula abreviada de Monto (M), de acuerdo

con la combinacin de las frmulas 1.2 y 1.3 (fascculo 1), de esta manera:

Se plantea que el Monto es: M = C + I

y que el inters, es: I = Cit

Esto quiere decir que el Monto, es: M = C + Cit

y factorizando esta expresin se obtiene la frmula de Monto a Inters

Simple:

8


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Como puede observarse, es posible determinar el Monto (M) de varias

formas: una de estas es hallar los intereses (I) en cada perodo para

sumarlos al Capital (C); otra forma es utilizar la frmula abreviada para

establecer el Monto (M) partiendo de un Capital (C), una tasa de inters (i)

y un tiempo (t).

Para ilustrar el manejo de esta frmula se resolvern los ejemplos 1 y 2 de

este fascculo de manera abreviada:

Recuerde el ejemplo 1. Se realiza una inversin de $1.000.000 a una tasa

de inters del 3% mensual, durante 4 meses. Se debe calcular el Monto

(M) a Inters Simple, as:

M = C (1+it)

M = 1.000.000 (1 + 0,03 * 4)

M = 1.000.000 (1,12)

M = 1.120.000

Respuesta: El Monto (M) a Inters Simple es de $1.120.000

* * *

Ahora, se resuelve el ejemplo 2. Calcular los intereses y la Suma Final

Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de inters del

5% mensual durante 24 meses. Para este efecto, slo se calcular el

Monto (M) a Inters Simple, as:

M = C (1+it)

M = 100.000 (1 + 0,05 * 24)

M = 1.000.000 (2,2)

M = 220.000

Respuesta: el Monto (M) a Inters Simple es de $220.000

9


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Ejemplo 3

Se ha firmado un pagar por $12.000.000, para ser cancelado dentro de 9

meses y se ha pactado una tasa de inters del 6,5% trimestral simple.

Determinar cul es su valor al vencimiento.

En primer lugar, se ha de precisar que: como la tasa de inters (i) est

expresada en forma trimestral, entonces el tiempo habr de manejarse

como 3 trimestres, con la frmula, as:

M = C (1+it)

M = 12.000.000 (1 + 0,065 * 3)

M = 12.000.000 (1,195)

M = 14.340.000

Respuesta: el Monto (M) a Inters Simple es de $14.340.000 Capital (C)

Es frecuente que en las transacciones financieras se desee conocer el

valor del capital que requiera ser invertido, para obtener al cabo de un

tiempo cierto Monto, con el que se ha de cancelar una deuda o realizar

una inversin en el futuro.

En estos casos, se despejar el Capital (C) de la frmula de Monto a

Inters Simple, as:

)1( it

MC

tambin se puede expresar:

1)1( itMC

Es importante aclarar, que estas NO son nuevas frmulas. Simplemente

constituyen el despeje de la variable C, en la frmula 2.1.

10


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Las tasas de inters se consideran anuales, a

menos que expresa-mente

se indique otra unidad de

tiempo.

Ejemplo 4

Debo cancelar el saldo de un crdito bancario por valor de $8.000.000

dentro de seis meses. Tengo la oportunidad de invertir en un fondo de

inversin a una tasa de inters del 5,5% bimensual simple, (superior a la

que cobra el banco). Qu cantidad se debe invertir para obtener los

$8.000.000?

Se utiliza la frmula de Capital

)1( it

MC

y se reemplaza:

)3*055,01(

000.000.8

C =

165,1

000.000.8 = 6.866.952

79

Obsrvese que el tiempo fue expresado en bimestres (3 bimestres que

equivalen a 6 meses), debido a que la tasa de inters es bimensual.

Respuesta: se debe realizar una inversin de $6.866.95279 para obtener

$8.000.000, dentro de 6 meses a una tasa del 5,5% bimensual simple.

Tasa de Inters (i)

Entendida como el porcentaje del capital que se paga por su uso, la tasa

de inters de una transaccin debe expresarse en una unidad de tiempo,

por ejemplo, 2,2% mensual, 26% anual 7,5% trimestral, entre otras.

Adems, al momento de efectuar las operaciones correspondientes, la tasa

de inters y el tiempo deben estar en la misma unidad. Esto es: si la tasa

de inters es anual, el tiempo debe estar expresado en aos; si la tasa de

inters es semestral, el tiempo debe estar expresado en semestres, etc.

En algunas ocasiones, se invierte un capital (C) y se pacta un Monto (M) a

cancelar durante un determinado tiempo (t), por lo que es necesario

establecer qu tasa de inters (i) se aplic en esa operacin. Tambin es

posible que deba calcular a qu tasa de inters (i) se debe invertir un

capital (C) para obtener un Monto (M) en cierto tiempo (t).

11


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

En este caso, se despejar la variable Tasa de Inters (i) en la frmula 2.1

de Monto a Inters Simple, as:

t

CMi

1

Ejemplo 5

Qu tasa de inters mensual simple le cobraron, si por tomar $4.800.000

en prstamo, tuvo que cancelar un total de $6.000.000 en 4 meses?

Se utiliza la frmula de Tasa de inters

t

CMi

1 y se reemplaza:

t

CMi

1 =

4

1)000.800.4/000.000.6( = 0625,0

Respuesta: La tasa de inters que recaud en la transaccin fue del 6,25%

mensual simple (la tasa de inters (i) es mensual, porque el tiempo (t) ha

sido operado en meses).

Tiempo (t)

Es el lapso que transcurre entre el principio y el fin de una transaccin. Si

se requiere conocer el tiempo en el que un Capital (C) debe estar invertido

para obtener determinado Monto (M), entonces se debe despejar el

Tiempo (t) de la frmula 2.1, as:

i

CMt

1

Ejemplo 6

Se depositan $20.000.000 en un fondo que reconoce una tasa de inters

del 2,5% trimestral simple, Cunto tiempo tiene que transcurrir para poder

retirar un total de $21.500.000?

Se utiliza la frmula de Tiempo

i

CMt

1 y se reemplaza:

12


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

i

CMt

1 =

025,0

1)000.000.20/000.000.21( = 3

Respuesta: es necesario invertir el dinero durante 3 trimestres, es decir,

durante 9 meses.

Ntese que la respuesta inicialmente se redact en la misma unidad en

que se oper la tasa de inters, es decir, trimestralmente.

Lo usual es presentar los resultados del tiempo en trminos de aos,

meses y das, en lo posible, ya que es ms natural su expresin. Para ello

se deben realizar las conversiones pertinentes entre las diferentes

unidades de tiempo.

Resumen de frmulas derivadas de la frmula 2.1

)1( itCM (Frmula 2.1)

Despeje de Capital: )1( it

MC

Despeje de Tasa de inters:

t

CMi

1

Despeje de Tiempo:

i

CMt

1

2.2

Consulte y explique al menos dos usos diferentes de las frmulas de:

Capital (C), Tasa de Inters (i) y Tiempo (t) a Inters Simple.

Inters Compuesto

La mayora de las operaciones econmicas, comerciales y financieras se

desarrollan bajo esquemas matemticos de Inters Compuesto. Ejemplos

13


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

En matemticas financieras,

gradientes son anualidades o series de pagos peridicos,

en los cuales cada pago es

igual al anterior ms una can-

tidad; esta cantidad puede

ser constante o proporcional

al pago inmediatamente ante-

rior. El monto en que vara

cada pago determina la clase

de gradiente. (Tomado de

http://www.eumed.net/libros/

2006b/cag3/2e.htm).

VPN: Valor Presente Neto.

TIR: Tasa Interna de Retorno. Ambos son indicadores de

evaluacin financiera de pro-

yectos.

de esto son: el caso de los salarios, las cuotas de vivienda, los precios de

bienes y servicios, arrendamientos, gastos de educacin, y cuentas de

ahorros, entre otros, que cada ao se incrementan con base en su valor

acumulado.

En adelante, en esta asignatura se utilizar el Inters Compuesto como

base para el abordaje de todos los problemas que se irn planteando y

resolviendo. La aceptacin universal de estos esquemas, ha hecho que los

programas por computador e incluso las hojas de clculo que ejecutan

funciones financieras, lo hagan bajo conceptos de acumulacin de

intereses.

Las operaciones tradicionales de anualidades, gradientes, amortizaciones

y pagos parciales; as como las operaciones complejas de evaluacin

financiera de proyectos de inversin, como VPN y TIR, responden a los

principios del Inters Compuesto.

Es por esta razn que se ha decidido independizar los smbolos con el

Inters Simple, para marcar una diferencia entre los dos esquemas de

trabajo y, adecuar el estudio del Inters Compuesto a las tendencias de

nomenclatura para el desarrollo de software con aplicacin y aceptacin

internacional.

Valor Futuro (F)

Tambin conocido como Monto a Inters Compuesto, consiste en la

acumulacin sistemtica del Inters Simple durante n perodos.

La frmula de Monto a Inters Simple es la base para la construccin de la

frmula de Valor Futuro, que permite ahorrar tiempo y recursos en el

fatigoso clculo de sumas parciales por cada perodo.

La construccin del modelo de Inters Compuesto, tal como se desarroll

en las Tablas 2.3 y 2.4, indica que en cada perodo el clculo del Monto

http://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/2e.htmhttp://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/2e.htm

14


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Compuesto parte del inmediatamente anterior. Los clculos se realizan de

la siguiente forma:

Para el primer perodo: M = C(1+i)

Para el segundo perodo: M = C(1+i) (1+i) = C(1+i)2

Para el tercer perodo: M = C(1+i) (1+i)(1+i) = C(1+i)3

De esta manera, al generalizar a n perodos de tiempo, se encuentra la

frmula de Valor Futuro a Inters Compuesto:

niPF )1( (Frmula 2.2)

Para ilustrar el manejo de esta frmula se resolvern los ejemplos 1 y 2 de

este fascculo, a Inters Compuesto, de manera abreviada:

El ejemplo 1 planteaba: Se realiza una inversin de $1.000.000 a una tasa

de inters del 3% mensual, durante 4 meses. Se debe calcular el Valor

Futuro (F) a Inters Compuesto, as:

F = P (1+i)n

F = 1.000.000 (1+0,03)4

F = 1.000.000 (1,12550881)

F = 1.125.50881

Respuesta: el Valor Futuro (F) a Inters Compuesto es de $1.125.50881

* * *

En el ejemplo 2, se peda Calcular los intereses y la Suma Final

Acumulada de un capital de $100.000 invertidos a una tasa de inters del

5% mensual durante 24 meses. Para este efecto, slo se calcular el Valor

Futuro (F) a Inters Compuesto, as:

F = P (1+i)n

F = 100.000 (1+0,05)24

15


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

F = 100.000 (3,22510)

F = 322.510

Respuesta: el Valor Futuro (F) a Inters Compuesto, es de $322.510. Ejemplo 7

Hoy consigno, $3.000.000 en una cuenta bancaria que paga intereses a la

tasa del 1,2% trimestral vencido. Cunto dinero tendr acumulado en la

cuenta dentro de quince meses?

La tasa de inters tiene capitalizacin trimestral, por esta razn el tiempo

se expresar en trimestres.

Los datos en este problema son:

P = $3.000.000; i = 0,012 trimestral; n = 5 trimestres

Aplicando la frmula de Valor Futuro, se tiene:

F = P (1+i)n

F = 3.000.000 (1+0,012)5

F = 3.000.000 (1,061457384)

F = 3.184.37215

Respuesta: el Valor Futuro (F) a Inters Compuesto es de $3.184.37215 Valor Presente (P)

Tambin conocido como Valor Actual, es aquella cantidad que a Inters

Compuesto tendr un valor equivalente con una o varias sumas de dinero

ubicadas en el futuro, dada una tasa de inters y un tiempo pactado. Es el

equivalente a un valor futuro, en una fecha anterior.

Para determinar la cuanta de un Valor Presente (P), conociendo el Valor

Futuro (F), la tasa de inters (i) y el Tiempo (t), se despeja la frmula 2.2,

as:

16


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

ni

FP

)1(

tambin se puede expresar:

niFP )1(

Ejemplo 8

Se firm un Pagar con un banco por valor de $18.000.000 que vence

dentro de seis meses. Si se quiere saldar la deuda el da de hoy, qu valor

se debe cancelar, teniendo en cuenta que la tasa de inters pactada fue

del 2,3% mensual.


F = $18.000.000; i = 0,023 mensual; n = 6 meses

Aplicando la frmula de Valor Presente, se tiene:

P = F (1+i)-n

P = 18.000.000 (1+0,023)-6

P = 18.000.000 (0,872461352)

P = 15.704.30433

Respuesta: el Valor Presente (P) a Inters Compuesto es de $15.704.30433 Tasa de Inters (i) (Inters compuesto)

Para el Inters Compuesto, la variable Tasa de Inters cobra una impor-

tancia y una complejidad significativa, teniendo en cuenta que las conver-

siones de tasas en sus diferentes perodos no se realizan directamente (2%

mensual no es equivalente a 24% anual o a 12% semestral), sino que

requieren de frmulas matemticas para operarlas.

Esta situacin ha provocado en el mercado financiero, la distincin de

tasas denominadas: efectivas, nominales y peridicas; a pesar de que la

regla es utilizar tasas vencidas, tambin se encuentran escenarios donde

se requiere la aplicacin de tasas anticipadas en sus diferentes deno-

minaciones.

17


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Estas y otras tasas y sus equivalencias, sern tratadas con detalle en el

fascculo 3, en el apartado Tasas de Inters donde se explicarn y apli-

carn a problemas cotidianos con el fin de analizar las tareas financieras

en las organizaciones.

En este fascculo, se analizarn los alcances de las tasas de inters en

operaciones financieras en las que entran en juego un Valor Presente (P) y

un Valor Futuro (F) , por lo que entre ellos dos, media un tiempo (n).

Al despejar esta variable en la frmula 2.2, la Tasa de Inters se explica as:

1 n PFi .

No obstante, en pro de facilitar este tipo de clculo se sugiere el manejo de

la siguiente frmula:

1

/1

n

P

Fi

Ejemplo 9

Hace 12 meses se depositaron $10.000.000 en una cuenta de ahorros. El

da de hoy, se han acumulado $11.268.25030

en la cuenta Qu tasa de

inters se aplic durante el tiempo transcurrido?


P = $10.000.000; F = $11.268.25030; n = 12 meses

Aplicando la frmula de Tasa de Inters, se tiene:

1

/1

n

P

Fi 1

000.000.10

30,250.268.1112/1

01,0

Respuesta: la tasa de Inters que se aplic fue del 1% mensual.

18


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Obsrvese que el resultado de la tasa de inters se ha expresado

mensual. Esto se debe a que el tiempo de transaccin es dado en forma

mensual dentro de la ecuacin. Si se expresara el tiempo en aos, la

respuesta sera en otro sentido, veamos:

Los datos en este problema se plantean as:

P = $10.000.000; F = $11.268.25030; n = 1 ao.

Aplicando la frmula de Tasa de Inters, se tiene:

1

/1

n

P

Fi 1

000.000.10

30,250.268.111/1

1268253,0

Respuesta: la Tasa de Inters que se aplic fue del 12,68253% anual.

Ahora bien, la respuesta se expresa en forma anual, ya que el tiempo

oper en aos en la ecuacin.

De estos resultados se puede concluir que una tasa del 1% mensual, es

equivalente a una tasa del 12.68253% anual (y no del 12% anual como

podra pensarse). Esta situacin ser objeto de anlisis profundo en el

fascculo 3.

Tiempo (n)

Si se conoce el Valor Futuro (F), el Valor Presente (P) y la Tasa de Inters

(i), es posible hallar el Tiempo (t) de la transaccin, al despejar la variable

en la frmula 2.2, aplicando logaritmos de la siguiente manera:

iLog

PFLogn

1

Ejemplo 10

En qu tiempo una inversin de $20.000.000 se convierte en

$24.686.04622

, considerando una tasa de inters del 4,3% bimensual?


P = $20.000.000; F = $24.686.04622; i = 4,3% bimensual

19


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Aplicando la frmula de Tiempo, se tiene:

iLog

PFLogn

1

043,01

000.000.2022,046.686.24

Log

Log

5n Respuesta: El tiempo que se requiere es de 5 bimestres, es decir, 10

meses.

Ntese que la tasa de inters estaba expresada en bimestres, por lo que la

respuesta fue presentada inicialmente en la misma unidad.

Resumen de frmulas derivadas de la frmula 2.2

niPF )1( (Frmula 2.2)

Despeje del Valor Presente:

niFP )1(

Despeje de Tasa de inters: 1

/1

n

P

Fi

Despeje de Tiempo:

iLog

PFLogn

1

En grupos de tres estudiantes, realicen una investigacin de campo y determinen:

qu tasas de inters de captacin (en cuentas de ahorro, corrientes y CDTs) y de

colocacin se manejan actualmente en al menos 5 entidades financieras (su valor

y presentacin en unidades de tiempo). Socialicen los resultados con el tutor para

su retroalimentacin.

20


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

La correcta combinacin de las variables de una transaccin financiera

donde aparecen: un Capital (C) o Valor Presente (P), una Tasa de Inters

(i) y un Tiempo (t) (n), arrojan como resultado el Inters (I). Este inters

puede ser considerado desde dos alternativas: Simple o Compuesto.

En el Inters Simple, el capital permanece constante durante el tiempo de

la transaccin y los Intereses se liquidan por la misma cantidad. En el

Inters Compuesto, los intereses generados en cada perodo se convierten

en capital y producen nuevos intereses.

Al finalizar, el cmputo total de los intereses se suma al capital y confor-

man una nueva variable: el Monto (M) o Valor Futuro (F). Las transacciones

financieras, por regla general, se calculan bajo esquemas de Inters

Compuesto, cuya frmula es: niPF )1(

AYRES, Frank. Matemticas financieras. Primera edicin. Mxico D.F.: Mc

Graw Hill, 2001.

BACA CURREA, Guillermo. Matemtica financiera. Tercera edicin. Bogot

D.C.: Fondo Educativo Panamericano, 2007. (Texto gua).

CANOVAS, Roberto. Matemticas financieras: fundamentos y aplicaciones.

Primera edicin. Mxico: Trillas, 2004

CISSELL, Robert. Matemticas financieras. Segunda edicin. Mxico D.F.:

CECSA, 1999. (Texto gua).

DIAZ, Alfredo. Matemticas financieras. Segunda edicin. Mxico D.F.: Mc

Graw Hill, 1997.

GARCA, Jaime. Matemticas Financieras con ecuaciones de diferencia

21


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

finita. Cuarta Edicin. Bogot D.C.: Pearson Educacin de Colombia Ltda,

2000. (Texto gua).

PORTUS, Lincoyn. Matemticas Financieras. Cuarta edicin. Bogot D.C.:

Mc Graw Hill, 1997.

SANCHEZ, Jorge E. Manual de matemticas financieras. Segunda edicin.

Bogot D.C.: Ecoe Ediciones, 1999.

En el Fascculo 3, se analizarn con profundidad los alcances de las tasas

de inters y sus equivalencias, para lograr una percepcin correcta de los

efectos del costo del dinero en el tiempo. Adems, se introducen en este

estudio, operaciones ms complejas de valores equivalentes en el tiempo.

22


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

23


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Matemticas Financieras - Fascculo No. 2

Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad___________________________________Semestre: _______________

Resuelva las siguientes preguntas de seleccin mltiple con nica respuesta, con

el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje:

1. El clculo del salario mnimo en cada ao responde al esquema planteado en

operaciones de:

A. Inters simple: porque la base de clculo de cada ao es la misma.

B. Inters simple: porque el incremento en pesos es constante para cada

uno de los aos siguientes.

C. Inters compuesto: porque el clculo se realiza sobre el ltimo valor

acumulado.

D. Inters compuesto: porque la tasa de inters de incremento es anual.

2. Al invertir una suma de $100.000.000, a una tasa de inters del 2% mensual,

durante un ao, se obtienen los siguientes resultados, a Inters Simple e

Inters Compuesto, respectivamente:

A. Simple = $124.000.000 Compuesto =

$122.640.00024

B. Simple = $126.400.020 Compuesto =

$124.640.00024

C. Simple = $126.400.020 Compuesto =

$126.824.17946

D. Simple = $124.000.000 Compuesto =

$126.824.17946

Resuelva las preguntas 3 y 4, con base en el siguiente planteamiento:

En el ao 2000 un total de 1.500 estudiantes en la ciudad posean un

computador en su casa. En el ao 2006 este nmero aumenta a 2.800. Se

requiere calcular cuntos estudiantes tendrn computador en el ao 2010 si se

mantiene la tasa de crecimiento.

3. Las frmulas que se utilizan para resolver el problema planteado son:

A. niPF )1( y

ni

FP

)1(

24


Matemticas

financieras

Fascculo No. 2

Semestre 3

B. 1

/1

n

P

Fi y niPF )1(

C. niPF )1( y

iLog

PFLogn

1

D. 1

/1

n

P

Fi y

niFP )1(

4. La respuesta al problema es:

a. 6.422 estudiantes

b. 2.850 estudiantes

c. 4.245 estudiantes

d. 28.000 estudiantes

5. De las siguientes tasas de inters, Cul es la que mayor rentabilidad

reporta al cabo de un ao?

a. 3% mensual

b. 6% bimensual

c. 9% trimestral

d. 18% semestral

matefinancie_f02

Documents