DERIVADAS Y GRAFICAS

MATE 3013

Extremos relativos

La función f tiene un máximo relativo en el valor c si hay un

intervalo (r, s), que contiene a c, en el cual f(c) ≥ f(x) para toda

x entre r y s.

Si además, f(c) ≥ f(x) para toda x en en el domino de f,

entonces c es un máximo absoluto. El máximo absoluto

puede ocurrir en el interior del dominio o, si el dominio es

un intervalo cerrado, en las fronteras del intervalo.

Extremos relativos

f tiene un mínimo relativo en el valor c si hay un intervalo

(r, s) que contiene c, en el cual f(c) ≤ f(x) para toda x entre

r y s. El mínimo relativo ocurren en el interior del

dominio.

Un extremo relativo,

significa un máximo relativo

o un mínimo relativo. Los

extremos relativos ocurren

en el interior del dominio.

Si además, f(c) ≤ f(x) para toda x en en el domino de f,

entonces c es un mínimo absoluto. El mínimo

absoluto puede ocurrir en el interior del dominio o, si

el dominio es un intervalo cerrado, en las fronteras del

intervalo.

Ejemplo:

Para f(x)=3x4 - 4x3 con dominio (-1, ∞) y cuya

grafica se muestra, determine:

ninguno

ninguno

minimo relativo y absoluto

ninguno

El ejemplo no contiene

un máximo absoluto

Identificar puntos extremos relativos

Si f es continua en su dominio y diferenciable en cada

punto de su dominio, entonces sus extremos relativos

ocurren en los puntos críticos:

a) valores de x en el dominio con f'(x) = 0.

Para determinar puntos críticos, haga que f'(x) = 0 y

despeje para x.

b) valores de x en el dominio donde f'(x) no está

definida, pero f(x) sí está definida.

Los extremos absolutos pueden ocurrir en los puntos

críticos o , si el dominio es un intervalo cerrado, en las

fronteras del intervalo.

Ejemplo: Para con dominio (-1,∞), identifique los puntos

críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos, máximos

absolutos, mínimos absolutos, o ninguno.

Solución: Determinar la derivada, y resolver

f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.)

𝑑

𝑑𝑥2𝑥2 − 𝑥4 = 4x − 4𝑥3

4x − 4𝑥3 = 0

4x(1 − 𝑥2) = 0

4x = 0 1 − 𝑥2 = 0

x = 0 (1 + 𝑥)(1 − 𝑥) = 0

𝑥 = 1 𝑥 = −1

-1

1

0

Ejemplo: Para 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟓 con dominio (-1,∞), identifique los

puntos críticos. Luego, clasificarlos como máximos relativos, mínimos relativos,

máximos absolutos, mínimos absolutos, o ninguno.

Solución: Determinar la derivada, y resolver

f '(x) = 0 para x. (Ojo: Debe obtener tres soluciones.)

𝑑

𝑑𝑥𝑥4 − 4𝑥3 + 5 = 4𝑥3 − 12𝑥2

4𝑥3 − 12𝑥2 = 0

4𝑥2(x − 3) = 0

4𝑥2 = 0 𝑥 − 3 = 0

x = 0 𝑥 = 3

0

3

Funciones crecientes y decrecientes

Se dice que y = f(x) es una función creciente sobre un intervalo de x si f(x)

crece al incrementarse x. (La gráfica sube, se izquierda a derecha.)

Se dice que y = f(x) es una función decreciente sobre un intervalo de x si

f(x) decrece al incrementarse x. (La gráfica baja, se izquierda a derecha.)

Si f(x) es una función creciente que es diferenciable, entonces 𝑓′(𝑥) > 0.

Si 𝑓′(𝑥) > 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función

creciente sobre tal intervalo.

Si f(x) es una función decreciente que es diferenciable, entonces 𝑓′(𝑥) < 0.

Si 𝑓′ 𝑥 < 0 para toda x en algún intervalo, entonces f es una función

decreciente sobre tal intervalo.

Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o

decrece:

Funciones crecientes y decrecientes

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥

𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 3

Solución:

1) determinar la derivada de x

𝑓′(𝑥) = 3 𝑥2 − 1

2) determinar para cuales valores f ‘(x) es negativo o positivo

3 𝑥2 − 1 > 0

(𝑥2 − 1) > 0

(x − 1)(x + 1) > 0

Determine los valores de x para los cuales f(x) crece o

decrece: (continuación)

Funciones crecientes y decrecientes

𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥

Ejemplo 1: Dado la función de costo

y la relación de demanda determine los

intervalos en los cuales la función de ingreso es

creciente.

Aplicaciones C 𝑥 = 500 + 20𝑥

𝑅 𝑥 = 𝑥𝑝 = 𝑥 100 − 𝑥 = 100 𝑥 − 𝑥2

𝑝 = 100 − 𝑥

𝑅′ 𝑥 = 100 − 2𝑥

100 − 2𝑥 > 0

−2𝑥 > −100

𝑥 < 50

La función de ingreso es creciente cuando 𝑥 < 50.

Los extremos locales de una función ocurren

solamente en los puntos críticos (puntos donde la

derivada es cero o no existe.

Pero no todos los puntos críticos corresponden a

mínimos o máximos locales.

Extremos locales y la derivada

Condiciones para que existan extremos locales

Usar la primera derivada para demostrar que 𝑓 𝑥

tiene un mínimo o un máximo relativo en c.

1) 𝑓′(𝑥) cambia de signo alrededor de c. • Si 𝑓′(𝑥) cambia de negativo a positivo entonces c

corresponde a un mínimo local

• Si 𝑓′(𝑥) cambia de positivo a negativo entonces c corresponde a un máximo local

• Si 𝑓′(𝑥) NO cambia cambia de signo, c no corresponde a un extremo local

Ejemplo

Use la primera derivada para determinar si x = 1 es un

mínimo local de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2

punto crítico

3) Determinar si hay

cambio de signo en

𝑓′(𝑥) alrededor de x=1.

𝑓′ 0.5 = 4(0.5)3−4(0.5) = -1.5

𝑓′ 2 = 4(2)3−4(2) = 24 Como 𝑓′ 𝑥 , cambia de negativo

a positivo alrededor de x=1, es

un mínimo local

Solución:

1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥

2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0

4𝑥3 − 4𝑥 = 0

4𝑥 𝑥2 − 1 = 0

4𝑥 = 0 𝑥2 − 1 = 0

x = 0 x = 1, x = -1

Considerar la función

Su primera derivada, f , es

Como f es una función, también la podemos derivar.

La derivada de f representa la razón de cambio de las

pendientes de las rectas tangentes de f .

También podemos pensar que la derivada de f indica la

razón a la cual cambia f (x)

y f (x) x5 3x4 x.

y f (x) 5x4 12x3 1.

La Segunda Derivada

Usamos la notación f para la derivada de f .

O sea,

Llamamos f , la segunda derivada f.

Para

la segunda derivada es

f (x) d

dxf (x)

y f (x) x5 3x4 x,

y f (x) 20x3 36x2 .

La segunda derivada

Podríamos continuar de esta manera,

• la tercera derivada

• la cuarta derivada

• la quinta derivada

Cuando la notación prima se vuelve muy larga,

abreviamos 𝑓′′′(𝑥), usando un valor en paréntesis

como sigue

fn( ) x( )

Derivadas de orden mayor

Determinar la derivada indicada para

y f (x) x5 3x4 x,

Derivadas de orden mayor

Notación de Leibniz para la segunda derivada de la

función y = f(x) es

que se lee “la segunda derivada d y con respecto a x.”

Nota: no se deben confundir los 2 que aparecen en la

notación con exponentes.

Notación de Leibniz

Para 𝑓 𝑥 = 2𝑒𝑥 + 50𝑥4 −1

𝑥 determine

Notación de Leibniz – Ejercicio

2𝑒𝑥 + 200𝑥3 + 𝑥−2

2𝑒𝑥 + 600𝑥2 − 2𝑥−3

2𝑒𝑥 + 1200𝑥 + 6𝑥−4

2𝑒𝑥 + 1200 − 24𝑥−5

2𝑒𝑥 + 120𝑥−6

Ejemplo: Se muestra la gráfica de

𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)23 −3(1 − 𝑥) con dominio (0, ∞).

Determine los valores de x donde hay puntos

críticos

Solución:

a)Determinar la derivada, y resolver f '(x) =

0 para x. 𝑓 𝑥 = (𝑥 − 1)

23 −3(1 − 𝑥)

𝑓′ 𝑥 = 2

3𝑥 − 1 −1

3 − 3(−1)

2

3 𝑥 − 13 + 3 = 0

𝑓′(𝑥) =2

3 𝑥 − 13 + 3

2

3 𝑥 − 13 = −3

2 = −9 𝑥 − 13

−2

9= 𝑥 − 1

3

−8

729= 𝑥 − 1

−8

729+ 1 = 𝑥

𝑥 =721

729≈ 0.989

b)Determinar donde f '(x)

no existe, pero f(x) sí

está definida.

Note que para 𝑓′(𝑥) =

2

3 𝑥 − 13 + 3

f '(1) no existe pero

f(1)=0 (sí está definido).

Por lo tanto, x=1 es un

punto crítico también.

punto crítico

Ejemplo

Use la primera derivada para determinar si

𝑓 𝑥 = 𝑥𝑒2𝑥 tiene un valor extremo en [-1,0].

Si existe, determine el valor y

clasifícalo.

punto crítico

Solución:

1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 𝑥 ′𝑒2𝑥 + 𝑥(𝑒2𝑥)′(2𝑥)′

𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥

2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0

𝑒2𝑥 + 2𝑥𝑒2𝑥 = 0

𝑒2𝑥(1 + 2𝑥) = 0

𝑒2𝑥 = 0 1 + 2𝑥 = 0

x = NO existe 2x = -1

x = −1

2

3) Determinar si hay cambio de

signo en 𝑓′(𝑥) alrededor de

x = −1

2 .

𝑓′ −1 = 𝑒2(−1) + 2 −1 𝑒2 −1 = 𝑒−2 − 2𝑒−2 ≈ −0.135

𝑓′ 0 = 𝑒2(0) + 2 0 𝑒2 0

= 1

Como 𝑓′ 𝑥 , cambia de negativo a

positivo alrededor de x= −1

2, es un

mínimo, mínimo absoluto.

Condiciones para que existan extremos locales

Usar la segunda derivada para demostrar que 𝑓 𝑥

tiene un máximo o mínimo local

2) Si c es un punto crítico de 𝒇 𝒙 y 𝒇′′ 𝒄 > 0 ,

entonces 𝑓 𝑥 tiene un mínimo en c.

Si c es un punto crítico de 𝒇 𝒙 y 𝒇′′ 𝒄 < 𝟎 ,

entonces 𝑓 𝑥 tiene un máximo en c.

Nota: 𝒇′′ 𝒙 es la segunda derivada de 𝑓 𝑥 con

respecto a x; o sea la derivada de la derivada.

Ejemplo

Use la segunda derivada para determinar si x = -1 es un

mínimo local de 𝑓 𝑥 = 𝑥4 − 2𝑥2

punto crítico

3) Determinar 𝑓′′(𝑥) 𝑓′′ 𝑥 = 12𝑥2 − 4

𝑓′′ −1 = 12(−1)2−4

= 8 Como 𝑓′′ 𝑥 , es positiva, f(𝑥) tiene un mínimo.

Solución:

1) Determinar 𝑓′(𝑥) . 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥3 − 4𝑥

2) Resolver 𝑓′ 𝑥 = 0

4𝑥3 − 4𝑥 = 0

4𝑥 𝑥2 − 1 = 0

4𝑥 = 0 𝑥2 − 1 = 0

x = 0 x = 1, x = -1

Concavidad

𝒇′′ 𝒄 > 0

𝒇′′ 𝒄 < 𝟎

Concavidad

Punto de inflexión: punto donde la gráfica cambia de

concavidad.

Condiciones para que exista un punto de inflexión.

c es un punto de inflexión si se cumple que:

1. 𝑓′′ 𝑥 = 0

2. 𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de c.

Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función

que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es

cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo.

1.

Solución:

𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de 0.

Ejemplos. Halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se

indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia

arriba y dónde lo es hacia abajo.

1.

Solución:

𝑓′′(𝑥) cambia de signo alrededor de -2.