mat 3 ecuaciones de ondas
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8/15/2019 Mat 3 Ecuaciones de Ondas
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ECUACIONES DE ONDAS
Las ecuaciones de ondas describen fenómenos ondulatorios: progagacióndel sonido, propagación de ondas electromagn ticas, !ibración de cuerdas,barras " membranas, !ibraciones producidas por terremotos, oscilaciones dep ndulos " muelles, mo!imiento de ondas en un estan#ue$$$
LA ECUACIÓN DE ONDAS EN DIMENSIÓN UNO
Uno de los sistemas m%s sencillos cu"a e!olución se puede describir medianteecuaciones de ondas es la cuerda !ibrante$ En ausencia de fuer&as e'ternas,la posición u(x,t) de la cuerda en el instante de tiempo t es solución de laecuación:
u tt - c 2 u xx = 0, x [0,L], t>0
El cambio de !ariable ( ')ct, ('*ct transforma la ecuación en u (+$Integrando " !ol!iendo a las !ariables iniciales obtenemos la solucióngeneral :
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)
ara determinar la e!olución de la posición de la cuerda con el tiempo-emos de conocer su posición inicial u(x,0) " su !elocidad inicial u t (x,0)(condiciones iniciales). Si la cuerda es infinita estos datos bastan paraobtener F " G $ Normalmente, la cuerda ser% finita " -abremos de saberadem%s #u ocurre en sus e'tremos, si est%n fi.os, libres o se mue!en dealguna forma predeterminada (condiciones frontera) $
LA CUE/DA IN0INI1A
El mo!imiento de la cuerda se calcula a partir de la fórmula de D2Alembert:
x+ct
u(x,t)= u(x-ct,0)+u(x+ct,0) + 1 ∫ u t (s,0) ds x !, t>02 2c x-ct
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El par%metro c(13r4+ es el cociente entre la tensión #ue e'perimenta lacuerda " su densidad, supuestas ambas constantes$ Estudiemos cómo semue!e la cuerda en función de c " de su estado inicial$
Supongamos primero #ue u(x,0)=ex"(-x 2 ) # u t (x,0)=0 . ara el !alor c(5 seobtiene la siguiente !isuali&ación:
Se obser!a la generación de dos ondas iguales #ue se propagan en sentidocontrario con !elocidad c.
Supongamos a-ora #ue u(x,0)=0 # u t (x,0) !ale -$ si x%-$, x si -$%x%$ " $ si x>$.
LA CUE/DA SE6IN0INI1A
Si la cuerda ocupa la región x > 0, necesitamos conocer la e!olución dele'tremo iuierdo, dada por u(0,t) (extre&o fi'o) ó u x (0,t) (extre&o li re). Conesta información, m%s los datos iniciales, podemos calcular F " G.
Supongamos #ue la cuerda est% inicialmente en reposo u t (x,0)=0 " #ue ele'tremo iuierdo est% fi.o u(0,t)=0. Supongamos #ue su posición inicial!iene dada por u(x,0)= 1 si %x%*, 0 si no . A continuación se muestra una!isuali&ación del mo!imiento de la cuerda para c(5:
LA CUE/DA 0INI1A
Si la cuerda ocupa la región x [0,L], necesitamos conocer la e!olución delos dos e'tremos$ Con esta información, m%s los datos iniciales, podemoscalcular F " G mediante el m todo de las caracter7sticas$
Supongamos #ue la cuerda est% inicialmente en reposo u t (x,0)=0 " #ue ambose'tremos est%n fi.os: u(0,t)=0 # u(L,t)=0. Supongamos #ue su posición inicial!iene dada por u(x,0)= ex"(-x 2 ). Al introducir un !alor para c, L " pulsar2e.ecutar2 se obtendr% la !isuali&ación del mo!imiento de la cuerda:
LA CUE/DA CON 0UE/8A E91E/NA
Cuando una fuer&a e'terna f(x,t) act a sobre la cuerda ;por e.emplo, alpulsar una cuerda de guitarra< la ecuación #ue rige su mo!imiento -a deincluir la fuer&a:
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u tt -c 2 u xx = f(x,t), x [0,L], t>0
La e!olución de la cuerda infinita !iene dada por la fórmula de D2Alembertpara x ! , t4+:
x+ct x+c(t-s) t
u(x,t)= u(x-ct,0)+u(x+ct,0) + 1 ∫ u t ( ,0) d + 1 ∫ ∫ f( ,s)d ds
2 2c x-ct 2c x-c(t-s) 0
Esta fórmula proporciona una información importante: el !alor de lasolución en un punto (x,t) depende sólo de los !alores de los datos en eltri%ngulo de ! rtices (x,t),(x-ct,0), (x+ct,0) (do&inio de de"endencia). /ec7procamente, el !alor de los datos en un punto (x,0), influ"e sobre la
solución en el 2cono2 de ! rtice (x,0) # 2generatrices2 de pendiente 53c(do&inio de influencia).
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ara cuerdas finitas la solución se calcula mediante series de 0ourier$ Estasseries son desarrollos en t rminos de autofunciones$ Cuando los e'tremosest%n fi.os, resultan series trigonom tricas, con funciones de base:
sin(n p x L) cos(n p ct L), sin(n p x L) sin(n p ct L), n=0,1,....
Estas funciones son los modos elementales de !ibración " est%n asociadas alos auto!alores, (n p L)2 , #ue nos dan las frecuencias elementales de !ibración de la cuerda$
LA ECUACIÓN DE ONDAS EN DIMENSIÓN DOS
Las !ibraciones de las membranas el%sticas se describen mediante laecuación de ondas en dos dimensiones$ La posición u(x,#,t) de la membranaen el instante de tiempo t es solución de la ecuación:
u tt - c 2 (u xx + u ## ) = 0, (x,#) , t>0
es la región ocupada por la membrana$ ara determinar la e!olución de laposición de la membrana con el tiempo -emos de conocer su posición inicial
u(x,#,0) " su !elocidad inicial u t (x,#,0) (condiciones iniciales). Adem%s, espreciso saber #u ocurre en el borde, si est% fi.o, libre o se mue!e de algunaforma predeterminada (condiciones frontera) $
Supongamos #ue el borde de la membrana est% fi.o u(x,#,0)=0 en ∂ . Losmodos elementales de !ibración son autofunciones asociadas al problema deauto!alores:
- c 2 (u xx + u ## ) = l u, si (x,#) u(x,#,0)=0 si (x,#) ∂ .
Si la membrana es circular, de radio a , pasamos a coordenadas polares "calculamos los auto!alores l " sus autofunciones asociadas por separaciónde !ariables:
& ( &n r a) sin(& /) sin(c &n t a ), & ( &n r a) sin(& /) cos(c &n t a ) & ( &n r a) cos(& /) sin(c &n t a ), & ( &n r a) cos(& /) cos(c &n t a )
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n=1,2, ..., &=0,1,2,...
& es la función de =essel de primer orden " &n son sus ceros, en ordencreciente$ Al introducir un !alor para c, a,n " pulsar 2e.ecutar2 se obtendr% la!isuali&ación de 0 ( 0n r a) sin(c 0n t a )
EL PROBLEMA DE LA CUERDA VIBRANTE
Si a una cuerda flexible fuertemente tensionada se le da alg n des!la"amiento inicial f#x$ % luego sesuelta& el !roblema de 'alor de frontera !ara el des!la"amiento (#x&t$ de la cuerda desde su !osici)nde e*uilibrio en el e+e x es:
∂2 Y ∂ t 2
= a 2 ∂2 Y
∂ x2 (1 )
Y (0, t )= 0 Y ( L ,t )= 0 Y ( x ,0 )= f ( x)Y t ( x ,0 )= 0 (2 )
Donde L es la longitud de la cuerda, Asumiendo una soluci)n de la forma = 3 donde - de!ende
solo de x % . de!ende solo de t& #/$ llega a ser:
X T ' ' = a 2 X ' ' T ó X ' '
X = T
''
a 2 T (3 )
lo cual muestra *ue sir'e el m0todo de se!araci)n de 'ariables, 1aciendo cada lado de la segundaecuaci)n en #2$ igual α =− λ
2
& tenemos:
X ' ' + λ2 X = 0 T '' + λ2 a 2 T = 0
ó X = C 1 cosλx +C 2 senλx;T = C 3 cosλat +C 4 senλat
Asi : Y ( x , t )= XT = (C 1 cosλx +C 2 senλx )(C 3 cosλat +C 4 senλat )(4 )
De la segunda condici)n de frontera tenemos:
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senλL = 0, estoes : λL= nπóλ = nπ L
paran = 0,1,2,3, ……..
de modo *ue: Y ( x , t )=(C 2 sen nπx L )(C 3 cos nπat L +C 4 sen nπat L )(5 )3uesto *ue la tercera condici)n de frontera en #4$ es algo com!licada& !asamos a la cuarta condici)nde frontera m5s sim!le, Esto da: C 4= 0 , As6 la soluci)n de #/$ la cual satisface la !rimera&segunda % cuarta condiciones en #4$ est5 dada !or:
Y ( x , t )= Bsen nπx L
cos nπat L
(6 )
Donde 4 = 5 2 .5 $3ara satisfacer la tercera condici)n en #4$& !rimero su!er!onemos soluciones dela forma #7$ !ara obtener la soluci)n:
Y ( x , t )=∑n= 1
∞
bn sen nπx
L cos nπat
L (7 )
Luego la tercera condici)n de frontera en #4$ re*uiere *ue:
f ( x)= ∑n= 1
∞
b n sen nπx
L (8 )
De esto tenemos usando el m0todo de las series de 8ourier:
bn=2 L∫0
L
f ( x)sen nπx L
dx(9)
% usando esto en #9$ obtenemos la soluci)n re*uerida:
Y ( x , t )= 2 L∑n=1
∞ [∫0
L
f ( x)sen nπx L
dx]sen nπx L cos nπat L (10 )La forma !recisa de la serie de!ende !or su!uesto del des!la"amiento inicial !articular f#x$ de lacuerda, Inde!endientemente de este des!la"amiento inicial& sin embargo& es !osible dar unainter!retaci)n interesante a los 'arios ti!os de t0rminos en serie #/ $,
Consideremos el !rimer termino en #/ $ corres!ondiente an = 1. A!arte de una constante& estet0rmino tiene la forma:
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sen πx L
cos πat L
Si su!onemos *ue f#x$ es tal *ue solo este t0rmino est0 !resente en la serie& esto es&
f ( x)= sen πx L & a!arte de alguna constante multi!licati'a& entonces inicialmente le cuerda tiene
la forma *ue se muestra en la figura (a) donde la escala 'ertical ;a sido aumentada, A medida *uet 'ar6a la cuerda tiende a 'ibrar como un todo alrededor de la !osici)n de e*uilibrio con una
frecuencia determinada a !artir decos πat
L % dada !or:
f 1 = a2 L
= 12 L √ ! (11 )
Donde es la tensi)n % ! es la masa !or unidad de longitud,Este ti!o de 'ibraci)n se le denomina el primer modo o modo fundamental de vibración, % lacorres!ondiente frecuencia #//$ se la frecuencia fundamenta o primera armónica.
Si f(x) es tal *ue solo el segundo terminon = 2 en (10) est5 !resente& esto es :f ( x)= sen2 πx L
a!arte de una constante multi!licati'a& la cuerda a!arecer5 inicialmente como la figura (b) , Amedida *uet 'aria la cuerda 'ibra de modo *ue la !arte !or encima del e+e x inicialmente se mue'e !or deba+o del e+e mientras *ue al mismo tiem!o la !arte !or deba+o del e+e x se mue'e !or encimade 0l& estando fi+o el !unto N en x = L/2, llamado unnodo o punto nodal. Este ti!o de 'ibraci)n sellama el segundo modo de vibración % la corres!ondiente frecuencia de 'ibraci)n est5 dada !or:
f 1 =a L
= 1 L √ ! (12 )
% se llama la segunda armónica o primer sobre tono. Note *ue la frecuencia es dos 'eces lafrecuencia fundamental #//$,
Similarmente& si f(x) es tal *ue solo el tercer t0rmino est5 !resente en #/ $& la forma inicial de lacuerda es como en la figura(c), % la cuerda 'ibra en tres secciones& los !untos 1 ó L/! " 2 ó 2L/!re!resentan losnodos o puntos nodales & los cuales son fi+os, Este ti!o de 'ibraci)n se llama eltercer modo de vibración & % la corres!ondiente frecuencia est5 dada !or:
f 3 =3 a2 L
= 32 L √ ! (13 )
llamada latercera armónica o segundo sobre tono , Note *ue esta frecuencia es tres 'eces lafrecuencia fundamental, 3rosiguiendo con esto& el n
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modo de vibración en el cual la cuerda 'ibra en n secciones con(n # 1) !untos fi+os o nodales, Lafrecuencia de esta 'ibraci)n se la n
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"n los dos casos, la cuerda es la misma coni#ual tension$ %or lo tanto, la velocidad deondas transversales es la misma
&rimer caso.
2 λ2
= L , λ= "f
3 λ ' 2
= L , λ' = 2 L3
= "f
'ividiendo una ecuaci n %or la otra tenemos$
f ' = 3 f 2
= 200 # 32
= 300 $%
Ejercicio 2
"n el ex%erimento del tubo de (undit, se nota que las acumulaciones de %olvodistan )* cm en el aire. Cuando se re%ite el ex%erimento dentro del #as
carb nico, con la misma recuencia de la uente sonora, se encuentra a )+ cm.
Cu-l es la velocidad de las ondas sonoras dentro del #as carb nico! la
velocidad de las ondas sonoras en el aires es / 0 m1s.
"ntre dos acumulaciones de %olvo tenemos3
SOLUCIÓN
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λ2 $ %or tanto3
λ2
= 17 c&; λ= 34 c&= "f
λ' 2
= 15 c&;λ ' = 30 c&= " f
'ividiendo3
λ λ'
;tene&os : λ λ'
=(( "f )" f ) λ λ'
= ""
despe(ando" ' tene&os
" = "λ ' λ
= 340 # 3034
= 300 &/ s
Ejercicio 3
Una l-mina met-lica de lon#itud 450.2 m tiene un extremo fjo y otro que vibra
transversalmente con una recuencia undamental de 200 Hz.
a .Cual es la lon#itud de onda dentro de la l-mina!
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SOLUCIÓN
"n el extremo fjo tenemos un nodo, mientras en el extremo libre existe un
vientre.
&or tanto, en el undamental, entre un nodo y un vientre, hay3
L= λ4
= 0.20 &; λ = 0.8 &
b .Cual es la velocidad de las ondas transversales en esta lamina!
SOLUCIÓN
) = λf = 0.8 x200 = 160 & /s
c .Cual es la lon#itud de onda de las ondas que %roduce esta lamina en el
aire!
SOLUCIÓN
"n el aire, las ondas tendr-n la misma recuencia, y la velocidad es
/ 0 m1s. "ntonces3
λ= "f = 340
200= 1.7 &
=I>?ACIONES DE UNA =I@A
6u%on#a que tenemos una vi#a del#ada localizada en el eje x con susextremos en x 5 0 y n3 5 4. 6i %onemos la vi#a a vibrar en la direcci ndel eje x al #ol%ear el extremo x 5 0 con un martillo, %or ejem%lo,
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decimos que la vi#a vibra lon#itudinalmente o su re vibracioneslon#itudinales. 6i denotamos el des%lazamiento lon#itudinal de cualquiersecci n transversal al tiem%o t desde su %osici n de equilibrio en x %or
7 x, t , no es di 8cil mostrar ver el "jercicio 6C que la ecuaci ndi erencial %ara el movimiento, asumiendo %eque9as vibraciones est-dada %or la misma ecuaci n di erencial como aquella %ara el resortevibrante, esto es,
∂2 *∂ t 2
= a 2 ∂2 *
∂ x2
"n este caso a es una constante dada %or a2= +
p
'onde " es el m dulo de 7oun# y % es la densidad o masa %or unidad devo:lumen. ;esolviendo 2< sujeta a varias condiciones de rontera,muchos %roblemas que involucran vibraciones lon#itudinales de unavi#a se %ueden trabajar, siendo id=ntico el %rocedimiento con aquel %arael resorte vibrante. >l#unos %roblemas de este ti%o se dan en losejercicios.
6i la vi#a se %one a vibrar en una direcci n %er%endicular al eje x, talcomo %or ejem%lo #ol%eando el lado con un martillo en vez de unextremo, decimos que la vi#a vibra transversalmente o su re
vibraciones transversales.