Marcos de concreto reforzadosometidos a cargas sísmicas*

las estructuras deconcreto reforzado enzonas sr’smicas deben

ser proporcionadaspara satisfacer estados

Kmite de resistencia,de estabilidad y

de servicio

** Javier F. tiorvilleur, P. E.Muhammad A. Cheema, P. E.

SUBESTRUCTURA nP0

MARCO DE CONCRErO TIPO MARCO DE CONCRETOCOMO GRUPO DE SUBESTRUCTURAS

Figura 1. Concepto de subestructura

Para pod er evaluar correctamente losestados límites de estabilidad y servicio,la rigidez lateral de la estructura debe serdeterminada. Este estudio presenta re-comendaciones específicas en lo querespecta a hipótesis que deben usarsepara determinar la rigidez lateral de mar-cos de concreto.

El análisis lateral debe incluir todas lasdiferentes componentesde deformaciónincluyendo aquellas que son debidas aacciones que ocurren en la unión viga-columna.

Se examina la importancia relativa delas diferentes componentes de defor-mación así como el efecto que tiene enla r igidez el agrietamiento de losmiembros.

Finalmente se discuten los efectos desegundo orden y se presenta un métodopara incluir automáticamente la ampli-

2 2

ficación inelástica de las deformacioneslaterales en la evaluación de los mismos.

INTRODUCCION

Los marcos de concreto reforzado enzonas sísmicas deben ser proporciona-das para satisfacer estados límite de re-sistencia, de estabilidad lateral y de ser-vicio.

El análisis de estabilidad lateral requie-re que las propiedades de los miembrosdel marco (vigas y columnas) usadas enel análisis sean representativas de la ri-gidez de los miembros a niveles de cargacorrespondiente al estado último. Esto

*Conferencia presentada en el Seminario InternacionalIMCYC. Dlseño de Estructuras de Concreto oara Edh-CIOS Altos en Zona Sísmra. Noviembre de ¡994. Mi-XICO. D.F.“ W a l t e r P . M o o r e a n d Assoclates. Inc. Structural.CMI and Traffic Engmeers. 3 13 I Eaststde. Second Floor.Houston, Tiids 77098

ConstruccYn y Tmol~gla

adicioanl-mente requiere que la amplificación ine-Iástica de los desplazamientos lateralessea específicamente considerada en elanálisis de segundo orden. La falta deconsideración de esta amplificación delos desplazamientos puede resultar enmenosprecio de acciones laterales queresultará siempre en una reducción de laresistencia lateral efectiva del marco yen un correspondiente incremento en lademanda de ductilidad. .

Las estructuras también deben serproporcionadas para satisfacer un esta-do límite de servicio. En general, las nor-mas de diseño sísmico especifican des-

IaZona I de Ciu-dad México.

Para poder evaluar los estados límitesde estabilidad y servicio, es muy impor-tante que la rigidez lateral sea correcta-mente estimada. Desafortunadamente,la lietratura técnica ofrece muy poca guíaa los ingenieros estructurales en lo que serefiere a hipótesis específicas que debenutilizarse en el análisis para obtener esti-mados realísticos de la rigidez lateral.

Como consecuencia de esta falta deguía, es común encontrar que diferentesingenieros adoptan hipótesis totalmen-te distintas en el análisis lateral de losmarcos .

Cmtmcd6nylecnologla

Tabla 1. Resumen de ecuaciones de deformación de la subeestructura

Componente

I. Flexión en la altura libre de la columna.

ECUWidfl

VaahAcl=-

12Llc

2. Flexión en el claro libre de la viga.Ab,=*

3. Flexión de la columna en la unión.Acf,=

va’( I-<,)h’12EI,

4. Flexión de la viga en la unión.AbI,=

V~I’( I-j3)h’L12Elb

5. Cortante en la altura libre de la columna. Va hACS=GA,~

6. Cortante en el claro libre de la viga. VJgAbr=GAybL

7. Cortante en la unión viga-columna. 0.83~ h(a+l?.- I )2dc“‘=G.L. Avc( I-a)( 1-b)

Este hecho resulta que actualmente, apesar de todos los avances en los pro-gramas de computadora que. permitenconducir análisis tridimensionales, desegundo orden y dinámicos, de una mis-ma estructura puede ser analizada pordos ingenieros y los resultados puedenser drásticamente distintos. No es raroencontrar en la práctica casos en losquedependiendo de las hipótesis usadas enel análisis, la rigidez lateral de los mar-cos varíe hasta en un 200 a 300%.

Obviamente, una sobre estimación de ri-gidez lateral del 200 al 300 96 puede tenerserias implicaciones en el comportamientode la estructura durante el sismo de diseño.

El propósito principal de este artículoes el de proporcionar recomendacionesespecíficas en lo que se refiere a las hi-pótesis que deben considerarse para rea-lizar un análisis sísmico apropiado. Setrata únicamente el análisis de marcosde concreto no contraventeados. El aná-lisis de edificios de concreto con muros

23

I quiere decir que el efecto del agrieta-miento y del deterioro de rigidez debenser tomados en cuenta en el análisis la-teral. El análisis de estabilidad lateral demarcos dúctiles especiales,

1plazamientos admisibles máximos queno deben ser excedidos durante el sismode diseño. El propósito de estos límitesde desplazamiento es el de proteger alos elementos no estructurales como losvidrios, ventanas y muros interiores, dedaños excesivos durante el sismo. Loslímites de desplazamiento también in-directamente controlan la magnitud delos efectos de segundo orden. Cabe no-tar que el hecho de simplemente satisfa-cer los límites de desplazamiento no ase-gura de ninguna manera que los efectosde segundo orden sean de poca importan-cia y que puedan ser despreciados.

Lo anterior es especialmente cierto enedificios altos, de media a alta densidad

. y localizados en zonas sísmicas mode-radas como por ejemplo

a = (h-db)/h

fl = (L-dc)/L

db = (l-a) h

dc = (1-p) L

Figura 2. Subestructura interior tipo

de cortante o con combinación de mu-ros de cortante y marcos está fuera delalcance de este artículo.

Se examina en detalle la importanciarelativa de las diferentes componentesde deformación con especial enfasis enlas deformaciones causadas por cortan-te en las vigas y columnas y las defor-maciones adicionales debidas a la dis-torsión de la unión viga-columna.

Se presentan recomendaciones parareducir las propiedades netas de los

miembros del marco para así considerarlos efectos de agrietamiento. Tambiénse discuten los efectos de segundo or-den y se presenta un método para incluirautomáticamente estos efectos en elanálisis lateral.

Finalmente, se presentan los resulta-dos del análisis de un edificio específico.Este caso hace mención de la torre Na-tionsBank localizada en la zona sísmicade Charlotte, Carolina del Norte. Conuna altura de 267 metros, la torre de 60

F L E X I O N F L E X I O N FlEXIOti C O L U M N A F L E X I O N V I G A C O R T A N T E C O R T A N T E C O R T A N T EE N C O L U M N A EN VIGA E N UNION EN UNION E N C O L U M N A EN VIGA EN UNION

,A++A+Ap/$+&+*~+A

:

M, =Vah/Z Mb=Vflh/Z LI, =Va h/2 Mb=V@h/2 v, =v V tdh/L v,sc=vyyp

DIAGRAMA DE MOMENTO DIAGRAMA DE CORTANTE

Figura 3. Componentes de deformación lateral

2 4

pisos diseñada por los autores, es el ter-cer edificio más alto de concreto refor-zado del mundo.

COMPONENTES DEDEFORMACION ENMARCOS DE CONCRETO

Los desplazamientos laterales de edi-ficios altos de concreto reforzado con-sisten de dos tipos de deformaciones, eltipo de “flexión global”, el cual resulta delacortamiento y la elongación de las co-lumnas y el tipo de “cortante global”, elcual es el resultado de las deformacionesde flexión y cortante en las vigas y lascolumnas y de la distorsión de la uniónviga-columna. Por el momento nos va-mos a concentrar en el tipo de deforma-ciones de “cortante global”.

Para proceder con la discusión, escon-veniente introducir el concepto de la su-bestructura. Todo marco de concretopuede ser considerado como un grupode muchas subestructuras en el quecada subestructura consiste de unaviga, una columna y una zona de uniónviga-columna. Este concepto es ilustra-do en la Figura 1. Se asume que los pun-tos de inflexión ocurren a la mitad delclaro de lasvigas y a la mitad de la altur:de las columnas. La Figura 2 rhuestra undetalle de una subestructura interiortipo en la cual se definen las diferentesvariables requeridas para establecer lageometría de la misma.

También se indica el tipo de carga usadapara simular el estado de carga lateral enel marco. Esta carga de un cortante V apli-cado a la mitad de la altura de las colum-nas superiores e inferiores y las corres-pondientes reacciones Vh/L en las vigas.

La deformación total de “cortante glo-bal” consiste de la suma de siete com-ponentes diferentes:

o Acf: Deflexión debida a flexión en laaltura libre de la columna.

a Abf: Deflexión debida a flexión en elclaro libre de la viga.

O Acjfz Deflexión debida a flexión de lacolumna en la unión viga-columna.

o Abjf: Deflexión debida a flexión de laviga en la unión viga-columna.

taBsmcc~Y1~

o Acs: Deflexión debida a cortante enla altura libre de la columna.

o Abs: Deflexión debida a cortante enel claro libre de la viga.

q Ajs: Deflexión debida a la distor-sión de cortante de la unión vigacolumna.

La Figura 3 indica los diagramas de mo-mento y cortante que producen cada unade las siete componentes de deformación.

También se ilustra la subestructuradeformada para cada caso. Cada defor-mación asume que el desplazamiento essolamente debido a la componente in-dicada. Usando el método de TrabajoVirtual puede ser obtenida la contribuciónde cada una de las siete componentes dedeformación. Estos componentes han sidoderivados por Hovilleur y Charney (1993)y están resumidas en la Tabla 1.

IMPORTANCIA REIATIVA DE LASDIFERENTES COMPONENTE!?DE DEFORMACION

La Figura 4 indica la importancia rela-tiva de las diferentes componentes dedeformación en tres subestructuras es-tudiadas. Cada componente de defor-mación fué calculada usando las ecua-ciones de la Tabla 1. Propiedades netasasumidas en el cálculo. En este estudiose ignoró el efecto del agrietamiento enlas rigidez de los miembros. Las dimen-siones de las vigas y columnas así comola altura y el claro en cada caso estánindicadas bajo cada figura. En la escalavertical se grafica el porcentaje de la de-formación total debida a cada una de lascomponentes indicadas. La suma de losdiferentes porcentajes es siempre igualal 100%. Por ejemplo, en el Caso Y. ladeformación debida a flexión de la co-lumna en la altura libre (Acf) es respon-sable del 30% de la deformación total dela suktructura. Las componentes Acf,Abf, Acs y Abs han sido previamentedefinidas. La componente Ajt es igual ala suma de las componentes Acjf, Abjf,Aje (Ajt =Acjf+Abjf+Ajs). Esto indicaque Ajt es igual a la suma de todas lascomponentes de deformacibn debidas aacciones que ocurren en la unión viga-

C~d~nYlOCllOkg

COMPONENTE

e

Dcf Dt4 Des Dbs Djt * Dcf Dbt DcsDbs DjtCOMPONENTE COMPONENTE

Figura 4. Componentes de deformación

Las siguientes observaciones se pue- pueden sobre estimar la rigidez late-den deducir de la Figura 4. ral del marco hasta en un 30%. Cabe

q Las componentes de deformacióndebidas a acciones de flexión y cor-tante que ocurren en la unión viga-columna son sumamente importan-tes y pueden contribuir hasta en un30% de la deformación total. En laFigura 4 la componente Ajt repre-xita el 29%. el 22% y el 27% de ladeformación total para los Casos Y,II y III respectivamente. Análisis la-terales que asumen que la uniónviga-columna es totalmente rigida

mencionar que un estudio de mu-chas subestructuras adicionalesconducido por los autores indicaque las deformaciones debidas a ac-ciones dentro de la unión viga-co-lumna son casi siempre del orden del20 al 30% de la deformación total.

q En estructuras tipo tubo en las quelas dimensiones de las vigas y co-lumnas son grandes con respecto alas alturas y claros libres, las defor-maciones de cortante son my im-

A. SIN DEFORMAR 8. DEFORMADA

Figura 5. Modelo SAP90

26

portantes. En el caso Y por ejemplo,el cual es representativo de la subes-tructura tipo del edificio Nations-Bank, las deformaciones de cortanteen las vigas y columnas, (Acs+Abs)sumati aproximadamente el 24% dela deformación total. Las deforma-ciones de cortante sumadas a las de-formaciones debidas a acciones enla unión (Acs+Abs+Ajt) suman el54% de la deformacibn tota l . Unanálisis lateral que ignore deforma-ciones de cortante y considere unio-nes rígidas resultaría en una defle-xión lateral de sólo el 46% de la de-flexión real. Un análisis que resulteen solamente el 46% de la deflexiónlateral es totalmente inaceptable.

q En estructuras con claros relativa-mente grandes como las del Caso II,las deformaciones de flexión predo-minan, siendo las deformaciones decortante en las vigas y columnas demenor importancia. Cabe hacer no-tar la importancia de las deformacio-nes debidas a acciones en la unión.En este caso, estas son del orden del22% del total.

o En el Caso III, el cual es repre-sentativo de estructuras de clarosmedianos, las deformaciones de cor-tante en vigas y columnas son unpoco más importantes. En este caso,un análisis lateral que ignore defor-maciones de cortante y considereuniones rígidas resultaría en una de-flexión lateral de sólo el 6 I % de ladeflexión real.

En conclusión, los resultados de la Fi-gura 4 indican que el análisis lateraldebe considerar todas las diferentescomponentes de deformación. Estascomponentes de deformación deben in-cluir las que ocurren en la longitud librede las vigas y columnas así como las queocurren en la unión.

VERIFICACION DE LASESTRUCTURAS DE IA TABLA I

Con el objeto de verificar la validez delas ecuaciones de la Tabla 1, se corrieronuna serie de análisis de elementos fin¡-tos usando el programa SAP90. Las vi-gas y columnas se modelaron usando

ASOLID. Se aplicaron cargas latera-les unitarias como se indica en la Figura2 y para cada caso se obtuvo la defor-mación lateral. La Figura 5 muestra elmodelo de la subestructura correspon-diente al Caso I La figura de la izquierda

SAP90. ladeformación de cada subestructura fuécalculada usando tres hipótesis en loque se refiere a la rigidez de la unión. Elvalor de Z de la Figura 6 se tomó igual aZ = O,Z=O.50 y Z= I .O. Un valor deZ=O implica que la zona de la uniónviga-columna es 100% rigida y que las

I .O larigidez de la unión se ignora y las vigasy columnas se consideran flexibles en sulongitud total. Este tipo de análisis ge-neralmente se denomina análisis decentro a centro. Un valor de Z de 0.50

asume que el SO% de la dimensión de launión es rígida y el 50% flexible.

En resumen, la deflexión de cada unade las subestructuras de la Figura 4 fuecalculada cinco veces usando cinco di-ferentes hipótesis. Estas deflexionesfueron comparadas a la deflexión obte-nida por los análisis de elementos finitosdel SAP90 los cuales se considerancomo los resultados más exactos. La Fi-gura 7 compara los tres casos anterio-

res, la deflexión calculada por los cincodiferentes métodos. El valor de la defle-xión ha sido normalizada de manera quela deflexión que corresponde al modelode $AP90 es siempre igual a I .O. Cadagráfica contiene cinco barras con el si-guiente significado:

q Barra UR : Deflexión calculada asu-miendo uniones rígidas.

o Barra SO% : Deflexión calculada asumien-do que las uniones son 50% r ígidas.

o Barra SAP : Deflexión calculada conel modelo de elementos finitos delSAP90.

q Barra WPM : Deflexión calculadacon las ecuaciones de la Tabla 1.

q Barra UF : Deflexión calculada asu-miendo uniones totalmente flexibles.

Las siguientes observaciones se pue-den hacer después de estudiar los resul-tados presentados en la Figura 7.

o Las deflexiones calculadas con lasecuaciones de la Tabla I (BarraWPM) se comparan my favorable-mente con las obtenidas con el mo-de’lo de elementos finitos del SAP90.En este artículo solamente se pre-sentan los resultados de tres subes-tructuras. el Caso 1, Caso ll y CasoIII. Los autores han estudiado másde quince subestructuras adiciona-les y el resultado es siempre el mis-mo. La deflexión calculada con lasecuaciones de la Tabla I son practi-camente iguales a las obtenidas porSAP90. La diferencia promedio entrelas deflexiones del SAP90 y las cal-

ZEg -;4 - UNIONRIGIDA

A *

k-4

Figura 6. Factores de reducción dela zona rígida

culadas con las ecuaciones de la Ta-bla I es de aproximadamente el 2%lo cual se considera excelente.

q Las deflexiones calculadas cuandose asumen uniones rígidas (BarraUR) son solamente una fracción dela deflexión real. La hipótesis deuniones rígidas ignora las deforma-ciones que ocurren en la unión. Enel Caso Y el modelo con uniones rí-gidas predice solamente el 67% dela deflexión total. El Caso ll prediceel 76% y el Caso III el 70%. Esta ob-servación indica que las deformacio-nes causadas por acciones en la uniónviga-columna son my importantes yno pueden ser ignoradas.

o Las deflexiones calculadas usandouniones totalmente flexibles (BarraUF) sobre estiman la deflexión real.En algunos casos esta sobre estima-ción puede ser my importante. Porejemplo, en el Caso I el modelo conunión flexible predice I .58 veces la

U R 5 0 % S A P W P M U F

MOOELOU R 5 0 % S A P W P M U F

MOClEsO5 0 % S A P W P M U F

M-0

Caso 1 Caso II caso III

Figura 7. Verificación de modelos de cálculo de rígidez

x elementos finitos bidimensionales deltipo

3 muestra el modelo sin deformar. La figu-ra de la derecha muestra la posición de-formada. La distorsión de cortante de lazona de la unión es evidente.

Además de los modelos del

1 vigas y columnas son elementos flexi-bles solamente en sus longitudes libres.Si el valor de Z se toma igual a

ZONA DESCENDENTE4

Fcr

Tg: Periodo alculado con propiedades netas

Tcr: Periodo ahlado con propiedades agrietadas

fg: Rcspuesb correspondiente a Tg

Fcr: Rcspucsb correspondiente a Tcr

nl Tcr

Eqxctro de diseik tipo

Figura 8. Determinacih de respuesta inicial

deflexión real. En el caso II las sobreestimación es del 15% y en el CasoIII del 32%. En general se puede decirque el modelo de uniones totalmen-te flexibles siempre resultará en de-flexiones conservadoras.

q Las deflexiones calculadas cuandose asume que la unión es 50% rígida(Barra 50%) se comparan muy favo-rablemente con las calculadas porSAP90 y las escuaciones de la Tabla1. Esta correlación se ha notadoconsistentemente en mis de quincesubestructuras estudiadas por losautores. La diferencia promedio en-tre las deflexiones del SAP90 y lasdeflexiones calculadas con el mode-lo de unión 50% rígida es de aproxi-

madamente el 4%. lo cual se consi-dera perfectamente aceptable.

Basado en los resultados de este estu-dio, se recomienda que en el análisis la-teral de marcos de concreto, las unionesse consideran 50% rígidas, es decir queel factor de reducción Z de la Figura 6 setome como 0.50. Programas comercia-les de análisis como ETABS. SAP90 ySTRUDL ofrecen la capacidad de mode-lar la rigidez de las uniones. El analistatiene la opción de analizar el marco conuniones rígidas, parcialmente rígidas oflexibles. Las uniones nunca deberánconsiderarse 100% rígidas ya que comose ha visto anteriormente, esta prácticapuede resultar en menospreciar impor-tantemente las deflexiones laterales.

T;rbh2.PropiedadesdelaamiembroraunarendatUi

-cgorfa Tipo de uhlbis

Anasis para deteynliluf la

~YEy

hMsis de resbmcia, estabiliiad yserv ic io

n &xci6n Agrietada)

1. Momento de inercia de Momento neto de incrcn -columna Momento de inercia agrietado-columnacolumnas. Iu 0.80 Icl.

2. Momento de inercia de Momento neto de inercia -vigaI

Momento de inercia agrietado-vigavicas. Ik 0.40 lk

3. Arca de cortante decolumnas.

4. Arca de cortante devlgas.

r

Arca neta de cortante -columnaAvcg =0.63 bdr

Arca neta de cortante -vigaArbl =0.83brdb

Ama de cortante afr$;da;columna

AYCCR =c

vu-vc bs- A;+4n

VU

Am de cortant,;

AVBCR =f b

r$ap-viga

v u - v c bv.3- A;+4nMJ

5. Arca axial de Arca neta axial -columnacolumnas AIC =bd,

6. Rigidez de la un& Unión 10096 rígida

Arci axial agrietada-columna

AACR=AAC $f +ACR

Unión 5096 rígida

2 8

REDUCCION DE RIGIDEZ POREFECTOS DE AGRIl3AMIENTO

El agrietamiento que sufren los miem-bros de concreto reforzado durante unsismo resulta en una reducción de rigi-dez. Esta reducción de rigidez debe serconsiderada en el análisis pero con pre-caución. El análisis sismico de marcosde concreto requiere que la rigidez late-ral del edificio sea determinada por va-rias razones.

Antes que nada, la respuesta del edi-ficio es función del período de vibracióndel mismo. El período de vibración esproporcional al inverso de la raiz cuadra-da de la rigidez. En general, los edificiosaltos y de mediana altura de concreto seubican en la parte descendente de losespesores normales de diseño. La partedescendente se define como la zona enla que un aumento en el período de vi-bración resulta en una reducción en larespuesta del edificio.

Con el objeto de estimar conservado-ramente la respuesta, es convenientecalcular el período de vibración inicialusando las propiedades netas de losmiembros del marco. El análisis con esaspropiedades resultará en una rigidez la-teral mayor, lo cual resultará en un pe-ríodo de vibración menor y en un au-mento en la respuesta del edificio. Esteconcepto es ilustrado en la Figura 8. Eneste caso no conviene menospreciar larigidez lateral.

Como se puede deducir de la Figura 8,el uso del períodoTcr resulta en una res-puesta Fcr la cual es menor que la res-puesta Fg obtenida cuando se usa el pe-ríodo Tg. Si el efecto de reducción enrigidez por agrietamiento se sobre esti-ma y se considera en la determinaciónde la respuesta inicial, las cargas latera-les de diseño, Fcr en este ejemplo, seránmenores que las reales.

Esto puede resultar en demandas adi-cionales de ductilidad y posiblementedaños considerables. Es por esta razónque los autores recomiendan adoptar unprocedimiento conservador en el cual sedetermina la respuesta inicial usandopropiedades netas. Cabe hacer notarque en edificios de concreto normales elperíodo agrietado Tcr es generalmente

Cansmcción y lmglagh

I .30 y I .60 veces el período totalTg. Dependiendo de la forma de los es-pectros, una variación de período deeste orden puede resultar un que Fcr seadel orden de hasta un 70% de Fg.

Una vez determinadas las cargas late-rales de diseño siguiendo el procedi-miento previamente indicado, la estruc-tura debe ser analizada y proporcionadapara satisfacer los estados límites de re-sistencia, de estabilidad lateral y de ser-vicio. El efecto del agrietamiento en lareducción de rigidez debe ser considera-do en estos análisis. LaTabla ll presentaun resumen de las propiedades que de-den usarse en el análisis para efectos dedeterminar la respuesta inicial del edifi-cio y para analizar los estados límites deresistencia, de estabilidad y de servicio.

0 En el cálculo del momento de inerciade las vigas es necesario tomar encuenta el efecto de viga T. Paulay yPriestley (1992) sugieren que para

calcular el momento de inercia de laviga el ancho efectivo de losa setome igual al SO% del ancho efectivorecomendado por el ACI para análi-sis de resistencia. Esta recomenda-ción parece lógica ya que durante elsismo, fa losa está en compresión yes por lo tanto efectiva en solamentela mitad del claro.

o Los factores de reducción de 0.80para columnas y 0.40 para vigas sonr e c o m e n d a d o s p o r McCregor(1993). A menos que se hagan es-tudios específicos mas detallados sesugiere que estosvalores sean adop-tados para uso general. En el caso delas vigas, el valor de reducción de0.40 aplica al momento de inercianeto de la viga T.

o El área neta de cortante generalmen-te se toma igual a 5/6 del área totalde la viga. En el caso de vigas T sedebe ignorar el área de la losa y con-siderar solamente el área de la viga.En las ecuaciones de Avbg y Avbg,b y bw son el ancho de las columna

y viga respectivamente siendo dc ydb el peralte de las mismas.

o Ensayos conducidos por Dilger yAbele (1975) indican que el agrieta-miento diagonal de las caras de losmiembros resulta en una reducciónmy importante de la rigidez de cor-tante. Estas grietas diagonales seforman cuando el cortante en elmiembro es mayor que el cortanteque puede ser soportado por el con-creto Vc. Cuando el cortante VII esmenor que Vc no ocurre el agrieta-miento diagonal y se puede usar elárea neta de cortante.

Usando la analogia de la armadura,Dilger y Abele (I 975) han derivadoecuaciones para calcular el irea decortante agrietada. Las deformacio-nes calculados con las ecuacionespropuestas se comparan my favo-rablemente con las deformacionesmedidas en los ensayos de laborato-rio. En el caso de vigas, el 6rea decortante agrietada Avbcr es funciónde las dimensiones de la viga bw y

m entre

m Es conveniente hacer los siguientescomentarios en lo que se refiere a lasrecomendaciones de la Tabla II:

ELEVACION

Análisis I

Análisis II

Análisis 111

Figura 9. Edificio NationsBank

db. del cociente modular n el cual es igual a Es/Ec. del área de los estribos Av y su espaciamiento s. de Vc que en este caso se toma igual a l . I ve- ces el valor de Vc del ACI y de V, que es el cortante último que ocurre en la viga durante el sismo. En la deter- minación de Vu debe recordarse que Vt no es el cortante que resulta del análisis lateral sino que el cortante que resulta del desarrollo de mo- mentos plásticos en ambos extre- mos de la viga. En el caso de las co- lumnas, la ecuxi6n para Avccr es la misma. En la determinación de Vc para las columnas se debe tomar en cuenta el beneficio de la carga axial en la capacidad de cortante. Usando una expresión similar se puede tam- bién estimar el área de cortante efec- tiva de la unión.

o En el cálculo del área neta axial de las columnas generalmente se igno- ra la contribución del acero longitu- dinal. S i este se quiere tornar en cuenta se debe calcular el área axial t ra nsfo r m ada .

o En casos en los que el momento de volteo en el edificio causa tensión neta en algunas columnas, el efecto del agrietamiento debe ser conside- rado en la determinación de la rigi- dez axial. La ecuación para el área

Hipótesis en el Modelo Laterd

.Propiedades de las secciones netas,

.Uniones 100% Rigdas

. Propiedades de las secciones netas

. Uniones 50% Rígidas

.Propiedades de las secciones agrietadas

.Uniones 50% Rígidas

axial agrietada Aacr fué obtenida de acuerdo con las recomendaciones del Comité 224 del ACI ( 1 992) en el cual se definen todas las variables en la ecuacion. Nótese la similaridad de la ecuación de Aacr con la ecuación del ACI normalmente usada para calcular el momento de inercia efec- tivo de vigas.

o Con el objeto de sobre estimar la ri- gidez se sugiere que en el análisis para determinar la respuesta inicial del edificio, la unión se considere 100% rígida. Esta recmendación es del lado de la seguridad.

o En el caso de análisis de resistencia, estabilidad y servicio se recomienda que la unión se considere SO% rígi- da. Esta recomendación es más co- rrecta y aproxima con bastante éxito a la realidad.

La experiencia demuestra que en gene- ral, la rigidez lateral calculada usando propiedades agrietadas es entre el 40 y el 60% de la rigidez calculada usando propiedades netas. Para evaluar los efec- tos de segundo orden (análisis de esta- bilidad) y para calcular los desplaza- mientos del edificio durante el sismo, se deben usar las propiedades agrietadas. Esta recomendación es debida al hecho que se espera que las vigas y columnas sufran agrietamiento considerable du- rante el sismo de diseño. Se debe tener en cuenta que el hecho de que la estruc- tura sufra agrietamiento no implica ne- cesariamente una reducción en su capa- cidad de carga última.

La determinación de las propiedades agrietadas Avccr. Avbcr y AacR requiere un proceso iterativo. Primero se debe rea- lizar un análisis preliminar para calcular el valor de las acciones Vu en las vigas y columnas y la tensión neta Pu en las columnas. Con estas acciones y con un

prediseño de los elementos se pueden calcular los valores de las áreas de cor- tante y axiales agrietadas. Ceneralmen- te una ó a lo sumo dos iteraciones son necesarias en este proceso.

EFECTOS DE SEGUNDO ORDEN (P-A)

Durante el sismo de diseño, los edifi- cios son sometidos a desplazamientos laterales considerables. Estos desplaza- mientos son generalmente del orden de cuatro a cinco veces mayores que los desplazamientos normalmente acepta- dos cuando se diseña para vientos. Es por esta razón que los efectos de segun- do orden son a veces muy importantes y deben ser siempre tomados en cuenta en diseño sísmico. El análisis de segun- do orden debe al menos tener en cuenta los siguientes factores:

o Las propiedades de los miembros usadas en el análisis deben ser con- sistentes con el grado de agrieta- miento y degradación de rígidez es- perada durante el sismo. Esto indica que se deben usar las propiedades agrietadas.

o El peso del edificio considerado en el análisis debe ser el peso factorizado el cual es igual a la suma de la carga muertay la carga viva de diseño mul- tiplicados por sus respectivos facto- res de ponderación. En el Código Mexicano por ejemplo, este factor de ponderación se toma igual a I . 1 O.

o El cálculo de la rigidez lateral debe incluir un factor 4 de reducción. McCregor ( 1 993) recomienda que este factor se tome igual a 0.875. Esto es equivalente a amplificar los desplazamientos laterales por un factor de 1 . i 4.

I Tabla iii

5.31 segs

6.1 I segs I .a I

8.69 segs I .o0

- o Finalmente, es esencial que los des- plazamientos A usados en la evalua- ción del efecto P:A sean los despla- zamientos amplificados por el factor

código Mexicano este factor se co- noce come el factor Q. En el diseño sísmico de marcos dúctiles, la reS- puesta elástica del edificio se divide por un factor de ductilidad (Factor Q en México) para determinar las ac- ciones laterales de diseño. Estas car- gas reducidas son usadas en el aná- lisis lateral con el resultado de que los desplazamientos laterales obte- nidos son solamente una fracción de los desplazamientos reales. Estos desplazamientos deben ser amplifica- dos por el factor de ductilidad para obtener los desplazamientos reales.

m Son estos desplazamientos amplifica- dos los que deben usarse en la deter- minación del efecto P-A.

La mejor medida de la importancia de los efectos de segundo orden es el índice de estabilidad, el cual debe ser calculado para cada uno de los entrepisos del edi- ficio con la siguiente ecuación:

b de comportamiento sísmico. En el

>

(1 ) LPA( P D F )

Vh l e =

En la ecuación ( 1 ) . ZP es igual a la suma de la carga de diseño de todas las columnas en el entrepiso considerado, A es la deflexión lateral del entrepiso de- bida al cortante V y h es la altura de entrepiso. Cabe mencionar que el co- ciente de V/A es igual a la rigidez lateral del entrepiso. El factor PDF es igual al producto del factor de ponderación de cargas gravitacionales, del inverso del factor $ recomendado por la McCregor ( i 993) y del factor de ductilidad de com- portamiento sísmico. Por ejemplo, el factor PDF para un marco dúctil en la Ciudad México con un factor de com- portamiento sísmico de Q=4.0 y un factor de ponderación de cargas gravita- cionales de I 10 es igual a 5 . 0 3 . (PDF= l . I O x i .I4 x 4.0). Algunos pro- gramas de análisis lateral como ETABS tienen capacidad de ejecutar análisis de segundo orden y de magnificar los des- plazamientos laterales por el factor PDF. Los autores recomiendan que el índice

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de estabilidad I e no sea mayor que 0.50. Un valor de I e de 0.50 implica que el factor de amplificación de desplaza- miento y acciones sísmicas laterales será igual a 2.0. La relación entre el fac- tor de amplificación AF y el índice I e esta dada por AF= I .O( i .O-Ie). Un valor de AF de 2.0 indica que los desplazamien- tos y acciones sísmicas de segundo or- den son el doble de los de primer orden.

Es interesante notar que los efectos de segundo orden son más críticos en es- tructuras localizadas en zonas sísmicas moderadas que en estructuras localiza- das en zonas sísmicas severas. Esto se debe a que la rígidez lateral de edificios en zonas sísmicas severas es mayor que la rigidez de los edificios en zonas sís- micas moderadas.

La ecuación (1) indica que el índice de estabilidad I e es proporcional al inverso de la rigidez. En el caso de Ciudad Mé- xico por ejemplo, si dos edificios iguales, uno localizado en la Zona I y el otro en la Zona III se diseñan para el mismo des- plazamiento de primer orden (0.006h Ó 0.0 I 2h), la rigidez del edificio en la Zona III será considerablemente mayor que la rígi- dez del edificio de la Zona Y con el resultado que los efectos de segundo orden en el edi- ficio de la Zona l serán mucho más impor- tantes.

También se debe notar que los efectos de segundo orden son mayores en edi- ficios con mayores factores de compor- tamiento sísmico. Los efectos de segun- do orden más críticos se encuentran en edificios localizados en zonas sísmicas moderadas y con altos factores de com- portamiento sísmico. Por ejemplo en la Ciudad México Zona I con Q=4.0.

EDIFICIO NATIONSBANK

Con el objeto de ilustrar la aplicación de algunos de los conceptos anteriores se presentan a continuación algunos re- sultados del análisis del edificio Na- tionsBank. Este edificio, localizado en la zona sísmica moderada de Carolina del Norte, es de 60 pisos de altura y es el tercer edificio de concreto reforzado más alto del mundo. La altura total de la estructura es de 267 metros.

31

E

i 20%

40%

Y

%

0% Dcf Dbf D c s Dbs D j i A X I A L

C O M P O N E N T E

Figura 1 O. Componentes de deformación NationsBank

La Figura 9 muestra el modelo tridi- mensional de ETABS que se usó para el análisis lateral. El marco estructural consiste de un tubo perimetral con co- lumnas espaciadas a 3.05 m. El Caso l de la Figura 4 indica las proporciones de las vigas y columnas tipo del marco ex- terior. El edificio fué analizado tres veces usando en cada caso diferentes propie- dades e hipótesis en el modelo de la unión. El período de vibración y la rigi- dez lateral relativa obtenida en cada análisis se presentan en la Tabla III.

Los resultados de IaTabla 111 indican la importancia que las hipótesis de cálculo tienen en los resultados del análisis. Por ejemplo, en el caso del NationsBank. si el analista usara propiedades netas y uniones i 00% rígidas en el análisis, los desplazamientos laterales calculados serían 2.42 veces menores que los des- plazamientos más realísticos calculados con propiedades agrietadas y uniones 50% rígidas. Este es un ejemplo muy claro de como dos ingenieros que usan el mismo programa de computadoras para analizar el edificio pueden obtener resultados totalmente distintos. Las propiedades agrietadas usadas en el análisis del NationsBank son las reco- mendados en la Tabla II.

Cabe mencionar que en este caso es- pecífico el área de cortante agrietada de las vigas Avbcr en el promedio fue de solamente el 15% del área de cortante neta. Esta drástica reducción en el área de cortante efectiva resultó en que en el

estado último. las deformaciones de La Figura I O indica la contribución de REFERENCIAS Y

cortante en las vigas fueran responsa- bles del i 6% de la deformación lateral total. En el caso de las columnas, el área

cada componente a la deflexión total. Cabe mencionar que debido a la altura yesbeltezdel edificio, lasdeformaciones

~ ~ ~ ~ l ~ ~ ~ d ( ~ ~~)~~~~~~~~~~~ Dllger,W.H.AMeC. ( l 975), Inltialandnme %ar m o n of Reinforcd Concrete T-&ams, ACI

de cortante fué en el mayor de los casos igual al área neta.

El área de cortante efectivo de la unión fué en promedio igual al 16% del área neta. Esto causó que las deformaciones debidas a acciones en la unión fueran res- ponsables del 19% de la deformación la- teral total. El área axial de las columnas se tomó igual al área neta axial ya que el momento de volteo no causó tensión

axiales en las columnas constituyen casí el 50% de la deformación total.

El análisisde segundo orden resultó en que los desplazamientos y las acciones laterales en los dieferentes entrepisos se incrementaran entre un 20% y hasta un 45% en los entrepisos inferiores. En este caso el valor del PDF fué de aproximada- mente 2.80 el cual es consistente con valores esperados para edificios de me-

Spcial Publication 43. DeflectionofConcreteStructures. HowilleurJ.F.. Charney F.A. ( 1 993) The Effect of Beam- Column Joint Deformation on the Lateral Load Respon- se of Steel Frame Building Structures. MemoríaTomo II. 111 Simposio Internacional y VI Simposio Nacional de Estructuras de Acero, Oaxaca. México. McCregor J.C. ( 1 993). Design of Slender Columns-Re- visited. ACI Structural Journal, V.90. No. 3. May-June 1993. Paulay T.. Priestley M.J.N. ( 1 992) Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings. John Wi- ley G Sons. Inc.0

neta en ninguna de las columnas. diana ductilidad.