diseño a cargas sísmicas de una edificación

DAYERSON DAHIANY LPEZ RESTREPO. Anlisis dinmico espectral para una estructura de hormign reforzado

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA-SEDE MEDELLIN FACULTAD DE MINAS

1

Dayerson Dahiany Lpez Restrepo

Cc: 1.036.936.542

Presentado a: Joseff Farviarz.

Anlisis dinmico espectral para una estructura de hormign reforzado.

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLN

FACULTAD DE MINAS ESCUELA DE INGENIERA CIVIL.

Enero del 2012.



2

TABLA DE CONTENIDO.

Introduccin.

Objetivos.

1 Configuracin de la estructura.

1.1 Pre-dimensionamiento.

1.1.1 Pre-dimensionamiento de la losa de entrepiso.

1.1.2 Pre-dimensionamiento de las columnas.

1.1.3 Pre-dimensionamiento de vigas.

1.1.4 Peso total de la estructura.

1.2 Obtencin del nivel de amenaza ssmica.

1.3 Tipo de perfil de suelo.

1.4 Coeficiente de importancia de la estructura.

1.5 Movimiento ssmico de diseo.

1.6 Sistemas estructurales.

1.6.1 Grado de irregularidad de la estructura.

2. Mtodos para el anlisis de la estructura.

2.1 Mtodo de anlisis dinmico elstico.

2.1.1 Consideraciones inciales del mtodo.

2.1.2 Matriz de rigidez para cada elemento de la estructura.

2.1.2.1 Matriz de rigidez de las columnas.

2.1.2.2 Matriz de rigidez de las vigas de 8 metros.


2.1.3 Ensamble de la matriz de rigidez para cada prtico.

2.1.3.1: Matriz de rigidez para el prtico tipo I.

2.1.3.1: Matriz de rigidez para el prtico tipo 2.



3


2.1.4: Igualacin de grados de libertad horizontales.

2.1.4.1 Igualaciones de los grados de libertad para el prtico tipo 1.



2.1.5 Condensacin de los grados de libertad verticales de los prticos.

2.1.5.1 Prtico tipo I.

2.1.5.2 Prtico tipo II.

2.1.5.3 Prtico tipo III.

2.1.6 Condensacin de los grados de libertad rotacionales.

2.1.6.1 Condensacin de los grados de libertar rotacionales para el prtico tipo 1.



2.1.7 Transformacin de los grados de libertad de cada prtico por piso.

2.1.7.1 Matriz de transformacin para cada eje.

2.1.7.2 Matrices de rigidez de los prticos al ser expresadas en

funcin de los grados de libertad de la estructuras.

2.1.7.2.1 Matriz de rigidez asociada con el eje 1.




2.1.7.2.5 Matriz de rigidez asociada con el eje A.

2.1.7.2.6 Matriz de rigidez asociada con el eje B.

2.1.7.2.7 Matriz de rigidez asociada con el eje C.

2.1.7.2.8 Matriz de rigidez asociada con el eje D.

2.1.8 Matriz de rigidez de toda la estructura.



4

2.1.9 Matriz de masa de la estructura completa.

2.1.10 Modos de vibracin de la estructura .

2.1.10.1 Modo de vibracin 1 .






2.1.11 Desplazamientos mximos por piso.

2.1.12 Fuerzas inerciales modales.

2.1.13 Fuerzas debidas a los efectos torsionales.

2.1.14 Fuerzas totales.

2.1.15 Desplazamientos totales.

2.1.16 Desplazamientos y fuerzas por piso.

2.1.16 Desplazamientos y fuerzas por piso.

2.1.16.1 Desplazamientos y fuerzas por piso relacionados con el eje 1.




2.1.16.5 Desplazamientos y fuerzas por piso relacionados con el eje A.

2.1.16.6 Desplazamientos y fuerzas por piso relacionados con el eje B

2.1.16.7 Desplazamientos y fuerzas por piso relacionados con el eje C.

2.1.16.8 Desplazamientos y fuerzas por piso relacionados con el eje D.

2.1.17 Desplazamientos y fuerzas relacionados con cada nodo.

2.1.17.1 Desplazamientos y fuerzas relacionados con el eje 1.




5



2.1.17.5 Desplazamientos y fuerzas relacionados con el eje A.

2.1.17.6 Desplazamientos y fuerzas relacionados con el eje B.

2.1.17.7 Desplazamientos y fuerzas relacionados con el eje C.

2.1.17.8 Desplazamientos y fuerzas relacionados con el eje D.

2.1.18 Anlisis esttico.

2.1.19 Anlisis y clculo de las derivas.

2.1.20 evaluaciones del efecto P-Delta.

3. Conclusiones y notas finales.

3.1 Conclusiones

3.2 Notas finales.

4: Bibliografa



6

LISTA DE FIGURAS Y TABLAS.

FIGURAS:

Figura 1: Configuracin estructural tridimensional de la estructura.

Figura 2: Configuracin en planta de la estructura.

Figura 3.1 Prtico tipo 1 .

Figura 3.2 Prtico tipo 2 , .

Figura 3.3 Prtico tipo 3 , , , ,

.

Figura 4: Seccin tpica de losa.

Figura 5: Representacin en planta de las reas aferentes de todas las columnas.

Figura 6: reas aferentes para el pre-dimensionamiento de las vigas de la estructura.

Figura 7: Secciones tpicas de las columnas y las vidas de la estructura.

Figura 8: Valores de Aa y Av y zona de amenaza ssmica.

Figura 9: Coeficientes Fa y Fv para zonas de periodos intermedios del espectro.

Figura 10: Coeficiente de importancia de la estructura.

Figura 11: Espectro elstico de aceleraciones de diseo.

Figura 12: Coeficiente de capacidad de disipacin de energa y de sobre resistencia.

Figura 13: Irregularidades en planta de la estructura.

Figura 14: Matriz de rigidez para un elemento en coordenadas globales.

Figura 15: Prtico tipo 1 y sus diferentes nodos.



Figura 18: Matriz de transformacin de cada eje.

Figuras 19-24: Modos de vibracin de la estructura.

Figura 25: Espectro de diseo.



7

TABLAS:

Tabla 1: Peso propio de la losa aligerada.

Tabla 2: Carga viva encima de la losa.

Tabla 3: Solicitacin axial ltima que deben soportar cada una de las columnas.

Tabla 4: rea transversal y dimensiones de las columnas.

Tabla 5: Valores para calcular la matriz de rigidez de las comunas.

Tabla 6: Valores para calcular la matriz de rigidez de las vigas de 8 metros.

Tabla 7: Valores para calcular la matriz de rigidez de las vigas de 10 metros.

Tabla 8: Ejes de los prticos de la estructura.

Tabla 9: Relaciones entre los grados de libertad horizontales del prtico tipo 1.



Tabla 12: Relacin H/B para los diferentes prticos de la estructura.

Tabla 13: Centro de masa de ambos pisos.

Tabla 14: Parmetros propios de cada eje.

Tablas 15-22: Matrices de transformacin de todos los ejes de la estructura.

Tabla: 23 Parmetros propios de los modos de vibracin.

Tabla 24: Masa activa en las diferentes direcciones: X , Y , Z.

Tabla 25: Parmetros para la obtencin del espectro de diseo.

Tabla 26: Parmetros relacionados con los periodos de los modos de vibracin.

Tabla 27-28: Parmetros geomtricos necesarios para el clculo de las fuerzas

torsionales.

Tabla 29: Valores de la carga viva y la carga muerta.

Tabla 30: Parmetros caractersticos de las vigas tpicas.

Tabla 31: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo I eje D.

Tabla 32: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo II eje 1.



8

Tabla 33: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo II eje 4.

Tabla 34: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo III eje A.

Tabla 35: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo III eje B.

Tabla 36: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo III eje C.

Tabla 37: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo III eje 2.

Tabla 38: Anlisis de deslazamientos del prtico tipo III eje 3.

Tabla 39: Derivas relacionadas con el eje A.

Tabla 40: Derivas relacionadas con el eje B.

Tabla 41: Derivas relacionadas con el eje C.

Tabla 42: Derivas relacionadas con el eje D.

Tabla 43: Masa de cada piso.

Tabla 44: Evaluacin del efecto P-delta.



9

INTRODUCCIN:

EL planeta tierra es un cuerpo dinmico que desde su nacimiento hace

aproximadamente 4600 millones de aos hasta la actualidad no ha dejado de cambiar,

dichos cambios son de diferente ndole, siendo los de mayor importancia y relevancia

desde el punto de vista de la ingeniera civil, para los seres humanos aquellos que

tienen que ver con el movimiento del suelo, pues es all donde el hombre habita y

construye sus edificaciones, los SISMOS tal como son llamados dichos movimientos de

la superficie terrestre, pueden llegar a representar una amenaza seria para las

estructuras que el ser humano desee construir en la superficie de la tierra y por ende

para la vida de este.

La ingeniera ssmica como rama de la ingeniera civil busca proporcionar mtodos

adecuados para reducir lo mximo posible la posibilidad de perdida de vidas y de

daos de las estructuras, ante la presencia de un evento ssmico.

El presente trabajo presenta un anlisis ssmico de una estructura en particular,

buscando con dicho caso particular, poner en practica los conocimientos adquiridos en

la materia vista por el autor de este trabajo bajo el

acompaamiento del docente Joseff Farviarz Farviarz, en el tercer periodo acadmico

del ao 2011.



10

OBJETIVOS:

EL objetivo principal de este trabajo es poner en practica los conocimientos

adquiridos a lo largo del desarrollo de la asignatura > , en el anlisis particular de una estructura de hormign reforzado,

siguiendo los lineamientos bsicos expuestos en el reglamento colombiano

para el diseo sismo resistente NSR-10.

Analizar e interpretar los resultados obtenidos al hacer el anlisis dinmico de

la estructura.

Adquirir experiencia en uno de los oficios para los cuales son instruidos los

estudiantes de pregrado de Ingeniera civil, el cual es el diseo ssmico de

estructuras.



11

1) CONFIGURACIN DE LA ESTRUCTURA.

En este primer paso anterior al pre-dimensionamiento de la estructura vamos a

enunciar algunos datos que son de suma importancia suministrar para poder llevar a

cabo el anlisis espectral que buscamos:

Estructura aporticada en hormign reforzado

Resistencia nominal del hormign:

Mdulo de elasticidad del hormign:

Densidad del hormign:

Resistencia del Acero:

Amortiguamiento:

Localizacin de la estructura: Medelln

Uso y ocupacin: Residencial

Nmero de pisos: 2

En la siguiente figura puede verse la configuracin estructural tridimensional de la

estructura.



12

Figura 1: configuracin estructural tridimensional de la estructura

En la siguiente figura se muestra la configuracin estructural en planta de la

estructura:

Figura 2: Configuracin en planta de la estructura

En las siguientes figuras se muestran los tres diferentes tipos de prticos de los cuales

se compone la estructura y que han de ser tenidos en cuenta en el anlisis espectral de

esta:



13

Figura 3.1 Prtico tipo 1

Figura 3.2 Prtico tipo 2 , .

Figura 3.3 Prtico tipo 3 , , , ,

.

Ahora que hemos mostrado bien la configuracin estructural de la estructura podemos

pasar al pre-dimensionamiento de esta, para acometer dicha tarea nos vamos a basar

en lo expuesto en la NSR-10:

1.1 Pre-dimensionamiento.

1.1.1 Pre-dimensionamiento de la losa de entrepiso.

a) Especficamente en el capitulo C.13.1.6:

Se considera que una losa trabaja en una direccin cuando el panel de esta tiene una

forma rectangular con apoyo vertical en sus cuatro lados, con una relacin de luz larga

a luz corta mayor a 2,0.



14

Por el resultado del clculo anterior podemos concluir que se debe trabajar con una

losa en dos direcciones.

b) ahora procedamos a fijar el espesor de la losa, para eso hagamos uso de lo expuesto

en la NSR-10 especficamente C.13.1.4:

El espesor mnimo de losa debe cumplir los requisitos de la Tabla C.9.5(c):

Basndonos en el resultado obtenido en el calculo anterior podemos concluir que el

espesor de losa ser de 0.3 m.

c) El paso siguiente es establecer el espesor de los nervios, esto lo haremos con base a

lo expuesto en la NSR-10 mas especficamente C.8.13.2

El ancho de las nervaduras no debe ser menor de en su parte superior y su

ancho promedio no puede ser menor de

Acatando lo expuesto en el prrafo anterior vamos asignarle al ancho de los nervios

una medida de 0.14 m

d) Ahora procedamos con el calculo de la separacin mxima entre nervios, para ello

hagamos uso de lo expuesto en la NSR-10 , especficamente en C.8.13.3:

La separacin mxima entre nervios debe ser menor que la siguiente expresin, sin

exceder 1,50 m.

Segn este resultado la separacin entre los ejes de los nervios va a ser de:

e) sigamos ahora con la escogencia del espesor mnimo de la loseta, para ello

basmonos en lo estipulado en la NSR-10 Capitulo C.18.13.6.1:

El espesor de la losa no debe ser menor que de la distancia libre entre las

nervaduras, ni menor de .; o se aplica la siguiente relacin:



15

Con base en el resultado obtenido en el calculo anterior podemos decir que el espesor

de la loseta va a ser de 0.06 metros.

Con las medidas obtenidas en cada uno de los pasos anteriores podemos proceder a

hacer un esquema de la seccin tpica de losa, dicha ilustracin puede verse en la

siguiente figura:

Figura 4: seccin tpica de losa.

f) Procedamos ahora con el clculo de la carga muerta que va a tener la losa:

f.1) peso propio: el calculo del pero propio de la losa puede verse en la siguiente tabla:

tem Peso (N/m2)

Loseta

Nervios

(

( )

)

Instalaciones elctricas

e hidrosanitarias

Pisos y acabados (Tabla B.3.4.3-1)

Total peso propio

Tabla 1: Peso propio de la losa aligerada.

Calculemos ahora el peso propio de las particiones:

f.2) Divisiones y particiones:

Segn lo expuesto en la tabla B.3.4.2-4 de la NSR-10:

Para mampostera de bloque de arcilla, paetado por ambas caras, con un espesor de

200 mm, se tiene un peso propio de 3100 N/m2



16

Segn esto la carga muerta de la losa ser:

Ya que tenemos la carga muerta de la losa podemos proceder a obtener la carga viva

de esta:

g) Obtencin de la carga viva de la losa:

Para esto hagamos uso de lo expuesto en la B.4.2.1-1 de la NSR-10 en cuanto a

edificaciones de uso residencial:

tem Peso (kN/m2)

Cuartos privados y corredores 1,8

Escaleras 3,0

Total CL

Tabla 2: Carga viva encima de la losa.

Ahora podemos efectuar el redimensionamiento de las columnas de la edificacin:

1.1.2 Pre-dimensionamiento de las columnas.

En la figura siguiente puede verse una representacin en planta de la estructura, y la

localizacin de todas las columnas:

Figura 5: Representacin en planta de las reas aferentes de todas las columnas.



17

Vamos a trabajar para el pre-dimensionamiento de las columnas con cargas mayoradas

, tal como se expone en el reglamento NSR-10:

En la ecuacin anterior:

D: Carga impuesta por la losa.

L = Carga viva impuesta por la losa.

Segn lo anterior:

Ahora que tenemos la carga que han de soportar las columnas podemos pasar al pre-

dimensionamiento de estas, para ello vamos a considerar en el anlisis solo las

columnas del primer piso, por ser estas las mas cargadas, y las medidas obtenidas se le

otorgaran tambin a las columnas del segundo piso. La fuerza axial ultima que van a

soportar las columnas segn la NSR-10 se calcula con la siguiente expresin:

en la expresin anterior:

En la siguiente tabla se resumen los resultados obtenidos al utilizar la expresin

anterior para todas las columnas de la edificacin:



18

Columna

Central B2,B3

Medianera C2,C3

Medianera A2, A3, B1, B4

Esquinera C1,C4,D2,D3

Esquinera A1,A4

Tabla 3: solicitacin axial ltima que deben soportar cada una de las columnas.

Con la informacin expuesta en la tabla anterior podemos proceder a calcular las

dimensiones de las columnas por medio de la siguiente expresin:

En la ecuacin anterior tenemos que:

La estructura debe poseer columnas cuadradas, por decisin del autor del trabajo, en

la siguiente tabla pueden verse los resultados de aplicar la ecuacin anterior:

Columna

Central B2,B3

Medianeras C2,C3

Medianera A2, A3, B1, B4

Esquinera C1,C4,D2,D3

Esquinera A1,A4 0.15

Tabla 4: rea transversal y dimensiones de las columnas

De acuerdo a los datos de la tabla anterior podemos concluir que las dimensiones de

las columnas deben ser de esto con el fin de ser conservadores y

trabajar por el lado de la seguridad.

Ahora calculemos la carga muerta debida al peso propio de las columnas:

( )



19

1.1.3 pre-dimensionamiento de vigas.

Ahora que tenemos pre-dimensionadas las losas y las columnas podemos proceder con

el pre-dimensionamiento de las vidas, para ello dividiremos la configuracin en planta

de la estructura en las reas aferentes que pueden observarse en la siguiente figura:

Figura 6: reas aferentes para el pre-dimensionamiento de las vigas de la estructura.

Para el diseo de las vigas debe trabajarse con la viga mas cargada, de la estructura,

como puede observarse en la figura anterior dicho tipo de viga corresponde a las vigas

A2-B2 , A3-B3 , B1-B2 , B3-B4

Para calcular la carga por unidad de longitud de cada una de las vigas utilizamos la

siguiente ecuacin:


Qu: carga mayoradas con la cual tambin se pre-dimensionaron las columnas.

L: longitud de la viga.



20

Por lo tanto:

El momento mximo de la viga y para el cual debe ser diseada es el siguiente:


Qu: carga mayoradas con la cual tambin se pre-dimensionaron las columnas.

L: longitud de la viga.

Por lo tanto:

EL caso mas critico para las vigas es el caso a flexin, por ende dimensionaremos las

columnas para resistir dicho caso de carga, asumiendo que las dimensiones obtenidas

cubrirn los efectos causados por las deflexiones a cortante, para esto vamos a hacer

uso de la siguiente expresin:

(

)


Por lo tanto:

Respetando una relacin de aspecto de la seccin transversal de la viga de menos de

0.15 , esto es :

, adems de esto si tomamos un recubrimiento del acero de

refuerzo de 5 cm tenemos que:

( )



21

Para ser conservadores y por seguridad tomemos medidas de ancho y alto de la

seccin transversal de la columna un poco mayores que las obtenidas en el anterior

calculo, as que tomemos un ancho y una altura .

En la siguiente figura se muestran las secciones trasversales tpicas de columna y de

viga obtenidas con los anteriores procedimientos:

Figura 7: Secciones tpicas de las columnas y las vidas de la estructura.

Ahora calculemos el peso propio por metro lineal de la columna tpica:

1.1.4 Peso total de la estructura.

Ahora que tenemos las cargas distribuidas de losa, columnas y vigas, por metro

cuadrado y metro lineal respectivamente podemos proceder a calcular el peso total de

la estructura:

( )

( )

( )



22

1.2 Obtencin del nivel de amenaza ssmica.

Para obtener el nivel de amenaza ssmica podemos empezar remitindonos a lo

expuesto en la NSR-10 en la tabla A.2.3.2, en la cual se establece que el grado de

amenaza ssmica para Medelln es Intermedio, y tambin se otorgan los valores de

:

Figura 8: valores de Aa y Av y zona de amenaza ssmica.

tal como puede verse en la figura anterior:

1.3 Tipo de perfil de suelo.

Basndonos en lo expuesto en la tabla A.2.4-1 de la NSR-10 podemos escoger un perfil

de suelo tipo D , pues el rango de golpes presentado para el ensayo de penetracin

estndar SPT es muy comn para la zona donde se piensa colocar la edificacin.



23

Haciendo uso de las tablas A.2.4-3 y A.2.4-4 del reglamento mas la informacin

obtenida en el literal anterior podemos obtener el coeficiente de amplificacin del

suelo para periodos cortos y para periodos largos del espectro Fa y Fv

respectivamente:

Figura 9: coeficientes Fa y Fv para zonas de periodos intermedios del espectro.

tal como puede verse en la figura anterior:

Procedamos ahora con la determinacin del coeficiente de importancia de la

estructura.

1.4 Coeficiente de importancia de la estructura.

La determinacin del coeficiente de importancia de la estructura se debe llevar a

acabo segn lo establecido en el reglamento , en la seccin A.2.5, segn esto debe

identificarse primero el tipo de uso de la misma , la cual es una estructura de

ocupacin normal, por ende hace parte del grupo I:

Con esta informacin y la tabla A.2.5-1 del reglamento:



24

Figura 10: Coeficiente de importancia de la estructura.

Se tiene que el coeficiente de importancia de la estructura es

1.5 Movimiento ssmico de diseo.

En el reglamento se presenta en la figura A2.6-1 una imagen que representa el

espectro elstico de aceleraciones, el cual esta expresado como una fraccin de la

aceleracin de la gravedad, y configurado para una tasa de amortiguamiento critico del

5% , , en la siguiente imagen pude observarse dicha figura:

Figura 11: espectro elstico de aceleraciones de diseo.

1.6 Sistemas estructurales:

Segn el reglamento colombiano para el diseo sismo resistente NSR-10 existen cuatro

(4) tipos de sistemas estructurales de resistencia ssmica, los cuales dependen de los

elementos verticales, y el grado de capacidad de disipacin de energa que posea la

estructura, en nuestro caso particular se tiene un sistema compuesto por prticos

resistentes a momentos, sin presencia de elementos diagonales, que tambin debe



25

resistir todas las cargas verticales y horizontales. El grado de capacidad de disipacin

de energa para la estructura se considerara como moderado DMO.

Ahora podemos proceder a obtener los valores del coeficiente de capacidad de

disipacin de energa bsico que e definido para cada sistema estructural y para cada

grado de capacidad de disipacin de energa del material estructural con el cual esta

construida la estructura, este coeficiente es llamado segn el reglamento. Tambin

enunciaremos el coeficiente de sobre resistencia , ambos los obtendremos de la

tabla A3-3 del reglamento:

Figura 12: coeficiente de capacidad de disipacin de energa y de sobre resistencia.

De la figura anterior tenemos que:

1.6.1 grado de irregularidad de la estructura.

EL coeficiente bsico de disipacin de energa debe ser afectado por factores como la

irregularidad de la estructura tanto en planta como en altura, as como la falta de

redundancia en la misma, los factores debidos a la irregularidad son y , estos

coeficientes pueden ser observados en las tablas A.3-1 y A.3-2:

La estructura considerada en este trabajo es una estructura Tipo 2P , la cual

corresponde a aquellas estructuras con retrocesos en las esquinas, en la siguiente

figura se esquematiza este tipo de estructura y se muestran algunos criterios para su

escogencia:



26

Figura 13: irregularidades en planta de la estructura.

De esta manera podemos escoger un .

La estructura en este trabajo analizada no presenta irregularidades en altura , ninguna

de las descritas en el reglamento, as no ha de ser castigado el coeficiente de

disipacin de energa bsico , por este tipo de irregularidades, lo que significa que

.

El factor debido a la falta de irregularidades en la estructura se toma del reglamento

especficamente de la seccin A.3.3.8.2 y para la estructura analizada en este trabajo

resulta ser de 0.75.

2. MTODOS PARA EL ANLISIS DE LA ESTRUCTURA.

Los objetivos de este trabajo son netamente acadmicos, por lo cual solo se trabajara

con un mtodo de anlisis, y ser el . En las

seccione precedentes de este presente trabajo se mostraran todos los pasos de este

mtodo y todos los resultados obtenidos al aplicarlos al anlisis de la estructura.

2.1 Mtodo de anlisis dinmico elstico.

2.1.1 Consideraciones inciales del mtodo.

Se consideran tres grados de libertad por piso, los cuales son dos grados de

libertad horizontales ortogonales y uno rotacin alrededor del eje vertical

Los prticos se consideran planos, es decir se trabajan en dos dimensiones

Las columnas pueden deformarse axialmente y por lo tanto los grados de

libertad verticales de los nudos deben condensarse



27

Las vigas se consideran infinitamente rgidas, al igual que las losas areas;

adems que la masa de cada losa se encuentra concentrada en su centro de

gravedad.

Ahora podemos empezar con la parte numrica fuerte del trabajo, la cual corresponde

al anlisis matricial de los elementos de la estructura y de esta misma:

Debido a lo extensas que pueden resultar las matrices que han de ser calculadas los

clculos y operaciones que deban hacerse con estas se harn con la ayuda del software

Microsoft Excel.

2.1.2 Matriz de rigidez para cada elemento de la estructura.

Para obtener a matriz de rigidez de cada elemento nos vamos a basar en el capitulo 8

del libro del profesor Luis Enrique Garca > en la seccin 8.5 se establece que la matriz de rigidez de un elemento en

coordenadas globales va a estar dada por:

Figura 14: Matriz de rigidez para un elemento en coordenadas globales.

En la figura anterior se tiene que:

( )



28

2.1.2.1: Matriz de rigidez de las columnas.

en la siguiente tabla se muestran los datos de las columnas necesarios para armar su

matriz de rigidez:

COLUMNAS

L (m) 2,80

b(m) 0,65

h(m) 0,65

A (m2) 0,42

I (m4) 1,49E-02

f'c (Mpa) 21,00

E (Gpa) 20,00

(kNm ) 13552,77

222,67

S 1,00

C 0,00

Tabla 5: Valores para calcular la matriz de rigidez de las comunas

162,63 0,00 227,69 -162,63 0,00 227,69

0,00 3017,86 0,00 0,00 -3017,86 0,00 K columnas = 227,69 0,00 425,01 -227,69 0,00 212,51 x 10^3 kN/m

-162,63 0,00 -227,69 162,63 0,00 -227,69

0,00 -3017,86 0,00 0,00 3017,86 0,00

227,69 0,00 212,51 -227,69 0,00 425,01

La expresin anterior representa la matriz de rigidez de la columna en el sistema global

que se expresa como:

2.1.2.2 Matrices de rigidez de las vigas de 8 metros.

en la siguiente tabla se muestran los datos de las vigas de 8 metros de longitud

necesarios para armar su matriz de rigidez:

K columnas = Kaa col Kabcol

Kbacol Kbbcol



29

VIGAS (L=8 m)

L (m) 8,00

b(m) 0,50

h(m) 0,70

A (m2) 0,35

I (m4) 1,43E-02

f'c (Mpa) 21,00

E (Gpa) 20,00

(kNm ) 558,27

1567,35

S 0,00

C 1,00

Tabla 6: Valores para calcular la matriz de rigidez de las vigas de 8 metros

875,00 0,00 0,00 -875,00 0,00 0,00

0,00 6,70 26,80 0,00 -6,70 26,80

K vigas = 0,00 26,80 142,92 0,00 -26,80 71,46 x 10^3 kN/m

-875,00 0,00 0,00 875,00 0,00 0,00

0,00 -6,70 -26,80 0,00 6,70 -26,80

0,00 26,80 71,46 0,00 -26,80 142,92

La expresin anterior representa la matriz de rigidez de la viga de 8 metros de longitud

en el sistema global que se expresa como:


En la siguiente tabla se muestran los datos de las vigas de 10 metros de longitud

necesarios para armar su matriz de rigidez:

K vigas = Kaa viga 6m Kabviga 6m

Kbaviga 6m Kbbviga 6m



30

VIGAS (L=10 m)

L (m) 10,00

b(m) 0,50

h(m) 0,70

A (m2) 0,35

I (m4) 1,43E-02

f'c (Mpa) 21,00

E (Gpa) 20,00

(kNm ) 285,83

2448,98

S 0,00

C 1,00

Tabla 7: Valores para calcular la matriz de rigidez de las vigas de 10 metros

700,00 0,00 0,00 -700,00 0,00 0,00

0,00 3,43 17,15 0,00 -3,43 17,15

K vigas = 0,00 17,15 114,33 0,00 -17,15 57,17 x 10^3 kN/m

-700,00 0,00 0,00 700,00 0,00 0,00

0,00 -3,43 -17,15 0,00 3,43 -17,15

0,00 17,15 57,17 0,00 -17,15 114,33

La expresin anterior representa la matriz de rigidez de la viga de 10 metros de

longitud en el sistema global que se expresa como:

K vigas = Kaa viga 8m Kabviga 8m

Kbaviga 8m Kbbviga 8m

2.1.3: Ensamble de la matriz de rigidez para cada prtico.

El objetivo de obtener la matriz de rigidez de toda la estructura es algo que se debe

hacer paulatinamente obteniendo la rigidez de los elementos ms pequeos hasta

llegar a la matriz de rigidez de la estructura completa, en ese orden de ideas vamos a

armar las matrices de rigidez de los diferentes prticos de los cuales se compone la

estructura, en la siguiente tabla pueden verse dichos tipos de prtico:

Tipos de Prticos

Tipo I Eje D

Tipo II Ejes 1 y 4

Tipo III Ejes 2,3, A,B y C

Tabla 8: ejes de los prticos de la estructura.



31

2.1.3.1: Matriz de rigidez para el prtico tipo I.

En la siguiente figura puede mostrara el prtico tipo 1 con sus diferentes nodos:

Figura 15: prtico tipo 1 y sus diferentes nodos.

Matriz de rigidez del prtico tipo 1:

U1 U2 U3 U4

U1 Kaa1+kaa

3+Kbb4 Kab

3 Kba4 0

Kp1= U2 Kba

3 Kaa2+Kbb

3+Kbb5 0 Kba

5

U3 Kab4 0 Kaa

4+Kaa6 Kab

6

U4 o Kab5 Kba

6 Kaa5+Kbb

6

Haciendo las operaciones de cada una de las posiciones de la matriz anterior se

obtiene:

Ver la pagina siguiente



32

U1 U2 U3 U4

U1

1200266,49 0,00 0,00 -875000,00 0,00 0,00 -162633,25 0,00 -227686,54 0,00 0,00 0,00

0,00 6042413,50 26796,88 0,00 -6699,22 26796,88 0,00 -3017857,14 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 26796,88 992946,43 0,00 -26796,88 71458,33 227686,54 0,00 212507,44 0,00 0,00 0,00

U2

-875000,00 0,00 0,00 1200266,49 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -162633,25 0,00 -227686,54

0,00 -6699,22 -26796,88 0,00 6042413,50 -26796,88 0,00 0,00 0,00 0,00 -3017857,14 0,00

Kp1= 0,00 26796,88 71458,33 0,00 -26796,88 992946,43 0,00 0,00 0,00 227686,54 0,00 212507,44

U3

-162633,25 0,00 227686,54 0,00 0,00 0,00 1037633,25 0,00 227686,54 -875000,00 0,00 0,00

0,00 -3017857,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3024556,36 26796,88 0,00 -6699,22 26796,88

-227686,54 0,00 212507,44 0,00 0,00 0,00 227686,54 26796,88 567931,55 0,00 -26796,88 71458,33

U4

0,00 0,00 0,00 -162633,25 0,00 227686,54 -875000,00 0,00 0,00 1037633,25 0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 -3017857,14 0,00 0,00 -6699,22 -26796,88 0,00 3024556,36 -26796,88

0,00 0,00 0,00 -227686,54 0,00 212507,44 0,00 26796,88 71458,33 227686,54 -26796,88 567931,55



33




Matriz de rigidez del prtico tipo 2:

U1 U2 U3 U4 U5 U6

U

1

Kaa1+kaa

4+kb

b6 Kab

4 0 Kba6 0 0

U

2 Kba4

Kaa2+Kaa

5+Kbb7+K

bb4 Kab

5 0 Kba7 0

Kp2

=

U

3 0 Kba5

Kaa3+Kbb

5+Kb

b8 0 0 Kba

8

U

4 Kab6 0 0

Kaa6+Ka

a9 Kab

9 0

U

5 0 Kab7 0 Kba

9

Kaa10+Kaa

7+Kb

b9 Kab

10

U

6 0 0 Kab8 0 Kba

10

Kaa8+Kbb

10


obtiene:

Ver las 2 pginas siguientes



34

U1 U2 U3 U4 U5 U6

U1

1200266,49

0,00 0,00 -

875000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 -

227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00

6042413,50

26796,88

0,00 -

6699,22 26796,8

8 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00

26796,88

992946,43

0,00 -

26796,88

71458,33

0,00 0,00 0,00 227686,

54 0,00

212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

U2

-875000,

00 0,00 0,00

1900266,49

0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 -

227686,54

0,00 0,00 0,00

0,00

-6699,22

-26796,

88 0,00

6045843,50

-9646,88

0,00 -

3430,00 17150,

00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00

26796,88

71458,33

0,00 -

9646,88 110727

9,76 0,00

-17150,0

0

57166,67

0,00 0,00 0,00 227686,

54 0,00

212507,44

0,00 0,00 0,00

U3

0,00 0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 102526

6,49 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-162633

,25 0,00

-227686

,54

0,00 0,00 0,00 0,00 -

3430,00

-17150,0

0 0,00

6039144,29

-17150,

00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00

Kp2=

0,00 0,00 0,00 0,00 17150,0

0 57166,6

7 0,00

-17150,0

0

964363,10

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 227686

,54 0,00

212507,44

U4

-162633,

25 0,00

227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 103763

3,25 0,00

227686,54

-875000,

00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3024556

,36 26796,

88 0,00

-6699,22

26796,88

0,00 0,00 0,00

- 0,00 21250 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 227686, 26796,8 567931 0,00 - 71458, 0,00 0,00 0,00



35

227686,54

7,44 54 8 ,55 26796,88

33

U5

0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 227686,

54 0,00 0,00 0,00

-875000,

00 0,00 0,00

1737633,25

0,00 227686

,54

-700000

,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6699,22

-26796,

88 0,00

3027986,36

-9646,8

8 0,00

-3430,00

17150,00

0,00 0,00 0,00 -

227686,54

0,00 212507,

44 0,00 0,00 0,00 0,00

26796,88

71458,33

227686,54

-9646,88

682264,88

0,00 -

17150,00

57166,67

U6

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 862633

,25 0,00

227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3430,00

-17150,

00 0,00

3021287,14

-17150,

00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 17150,0

0 57166,

67 227686

,54

-17150,0

0

539348,21



36




Matriz de rigidez del prtico tipo 3


obtiene:

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8

U

1

Kaa1+kaa

5+kbb8 Kab

5 0 0 Kba8 0 0 0

U

2 Kba5

Kaa2+Kaa

6+K

bb5+Kbb

9 Kab6 0 0 Kba

9 0 0

Kp

3=

U

3 0 Kba6

Kaa3+Kaa

7+K

bb6+Kbb

10 Kab7 0 0 Kba

10 0

U

4 0 0 Kba7

Kaa4+Kbb

7+Kbb11 0 0 0 Kba

11

U

5 Kab8 0 0 0

Kaa12

+Kaa8 Kab

12 0 0

U

6 0 Kab9 0 0 Kba

12

Kaa9+kaa

1

3+kbb12 Kab

13 0

U

7 0 0 Kab10 0 0 Kba

13

Kaa10+Kaa

1

4+Kbb13 Kab

14

U

8 0 0 0 Kab11 0 0 Kba

14

Kaa11+

Kbb14



37

U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8

U1

1025266,49

0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 -

227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 6039144,29

17150,00

0,00 -

3430,00

17150,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 17150

,00 964363,10

0,00 -

17150,00

57166,67

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

U2

-700000,00

0,00 0,00 1900266,49

0,00 0,00 -

875000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 -

3430,00

-17150,00

0,00 6045843,50

9646,88

0,00 -

6699,22

26796,88

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 17150

,00 57166,67

0,00 9646,

88 1107279,76

0,00 -

26796,88

71458,33

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

U3

0,00 0,00 0,00 -

875000,00

0,00 0,00 1900266,49

0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 -

227686,54

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 -

6699,22

-26796

,88 0,00

6045843,50

-9646,

88 0,00

-3430,

00

17150,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 26796

,88 71458

,33 0,00

-9646,

88

1107279,76

0,00 -

17150,00

57166,67

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00

U4

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 1025266,49

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 -

227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3430,00

-17150

,00 0,00

6039144,29

-17150,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00

Kp3=

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 17150

,00 57166

,67 0,00

-17150

,00

964363,10

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 227686,54

0,00 212507,44

U5

-162633,25

0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 862633,25

0,00 227686,54

-700000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 -

301780,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

3021287,14

17150,00

0,00 -

3430,17150,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00



38

57,14 00

-227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 227686,54

17150,00

539348,21

0,00 -

17150,00

57166,67

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

U6

0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 1737633,25

0,00 227686,54

-875000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3430,00

-17150,00

0,00 3027986,36

9646,88

0,00 -

6699,22

26796,88

0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 -

227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 17150

,00 57166,67

227686,54

9646,88

682264,88

0,00 -

26796,88

71458,33

0,00 0,00 0,00

U7

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

875000,00

0,00 0,00 1737633,25

0,00 227686,54

-700000,00

0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

6699,22

-26796,88

0,00 3027986,36

-9646,

88 0,00

-3430,

00

17150,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 26796

,88 71458,33

227686,54

-9646,

88

682264,88

0,00 -

17150,00

57166,67

U8

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

162633,25

0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

700000,00

0,00 0,00 862633,25

0,00 227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3430,00

-17150,00

0,00 3021287,14

-17150,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

227686,54

0,00 212507,44

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 17150

,00 57166,67

227686,54

-17150

,00

539348,21



39

Ahora que tenemos las matrices de rigidez de todos los prticos podemos pasar a la

igualacin de grados de libertad

2.1.4: Igualacin de grados de libertad horizontales.

La tarea de ensamblar la matriz de rigidez de toda la estructura es tediosa y extensa

pero puede ser simplificada si hacemos uno de el mtodo de disminucin de grados de

libertad que puede efectuarse en este tipo de estructuras, lo que vamos a hacer es

reducir todos los grados de libertad de la estructura en cada piso a uno solo, en la

teora del diseo sismo resistente esto se conoce con el nombre de Modelo de edificio

de cortante.

Para poder llevar a cabo resto se debe hacer la suposicin inicial de que el diafragma

es infinitamente rgido, significando esto que las vigas de la estructura no pueden

representar ninguna deformacin axial.

Los dems grados de libertad son relacionados con este nico grado de libertad que se

va a tener en cuenta, por medio de ciertas ecuaciones, y siguiendo la metodologa

expuesta por el profesor Luis Enrique Garca en su libro .


En la siguiente tabla se muestran los grados de libertad que han de ser igualados:

Prtico tipo I

Viga 3 U1x = U2x U1x - U2x =0

Viga 6 U3x = U4x U3x -U4x = 0

Tabla 9: relaciones entre los grados de libertad horizontales del prtico tipo 1.

La descripcin de cada uno de los pasos para obtener el resultado siguiente pueden

observarse en el libro del profesor Luis Enrique en el capitulo 9, as como cada una de

las matrices que se utilizan en dichos clculos, el resultado final de dichas operaciones

para el primero prtico resulta ser:

U1x U1y U1z U2y U2z U3x U3y U3z U4y U4z

650532,98

0,00 0,00 0,00 0,00 -

325266,49

0,00 -

227686,54

0,00 -

227686,54

U

1x

0,00 604241

3,50 26796,

88 -

6699,22 26796,

88 0,00

-301785

7,14 0,00 0,00 0,00 U

1y

0,00 26796,8

8 992946,43

-26796,8

8

71458,33

227686,54

0,00 212507

,44 0,00 0,00 U

1z

0,00 - - 604241 - 0,00 0,00 0,00 - 0,00 U



40

6699,22 26796,88

3,50 26796,88

3017857,14

2y

Ki =

RTxKpI

xR=

0,00 26796,8

8 71458,

33

-26796,8

8

992946,43

227686,54

0,00 0,00 0,00 212507

,44 U

2z

-325266

,49 0,00

227686,54

0,00 227686,54

325266,49

0,00 227686

,54 0,00

227686,54 U

3x

0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 0,00 0,00 302455

6,36 26796,

88 -

6699,22 26796,

88 U

3y

-227686

,54 0,00

212507,44

0,00 0,00 227686

,54 26796,8

8 567931

,55

-26796,8

8

71458,33

U

3z

0,00 0,00 0,00 -

3017857,14

0,00 0,00 -

6699,22

-26796,

88

3024556,36

-26796,

88 U

4y

-227686

,54 0,00 0,00 0,00

212507,44

227686,54

26796,88

71458,33

-26796,8

8

567931,55 U

4z



Prtico tipo II










Ver pgina siguiente



41

U1x U1y U1z U2y U2z U3y U3z U4x U4y U4z U5y U5z U6y U6z

975799,47 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

487899,74 0,00

-227686,54

0,00 -

227686,54 0,00

-227686,54

U1x

0,00 6042413,50 26796,88 -6699,22 26796,88 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 U1

y

0,00 26796,88 992946,4

3 -26796,88 71458,33 0,00 0,00 227686,54 0,00 212507,44 0,00 0,00 0,00 0,00

U1z

0,00 -6699,22 -26796,88 6045843,50 -9646,88 -3430,00 17150,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14 0,00 0,00 0,00

U2y

0,00 26796,88 71458,33 -9646,88 1107279,7

6 -17150,00 57166,67 227686,54 0,00 0,00 0,00 212507,44 0,00 0,00

U2z

0,00 0,00 0,00 -3430,00 -17150,00 6039144,29 -17150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14 0,00 U3

y

Ki =

RTxKpIxR

=

0,00 0,00 0,00 17150,00 57166,67 -17150,00 964363,1

0 227686,54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 212507,44

U3z

-487899,74

0,00 227686,5

4 0,00 227686,54 0,00

227686,54

487899,74 0,00 227686,54 0,00 227686,54 0,00 227686,54 U4

x

0,00 -

3017857,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3024556,36 26796,88 -6699,22 26796,88 0,00 0,00 U4

y

-227686,54

0,00 212507,4

4 0,00 0,00 0,00 0,00 227686,54 26796,88 567931,55 -26796,88 71458,33 0,00 0,00

U4z

0,00 0,00 0,00 -

3017857,14 0,00 0,00 0,00 0,00 -6699,22 -26796,88 3027986,36 -9646,88 -3430,00 17150,00 U5

y

-227686,54

0,00 0,00 0,00 212507,44 0,00 0,00 227686,54 26796,88 71458,33 -9646,88 682264,88 -17150,00 57166,67 U5z

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -

3017857,14 0,00 0,00 0,00 0,00 -3430,00 -17150,00 3021287,14 -17150,00 U6

y

-227686,54

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 212507,4

4 227686,54 0,00 0,00 17150,00 57166,67 -17150,00 539348,21

U6z



42



Prtico tipo III












Ver 2 pginas siguientes



43

U1x U1y U1z U2y U2z U3y U3z U4y U4z U5x U5y U5z U6y U6z U7y U7z U8y U8z

1301065,96 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-650532,

98 0,00

-227686,

54 0,00 227686

,54 0,00

-227686,

54 0,00

-227686,

54 U

1x

0,00

6039144,29

17150,00 -3430,00

17150,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 U

1y

0,00

17150,00

964363,10

-17150,0

0 57166,6

7 0,00 0,00 0,00 0,00 227686,

54 0,00 212507,

44 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 U

1z

0,00 -3430,00

-17150,

00 6045843

,50 9646,88 -6699,22 26796,8

8 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 U

2y

0,00

17150,00

57166,67 9646,88

1107279,76

-26796,8

8 71458,3

3 0,00 0,00

-227686,

54 0,00 0,00 0,00 212507

,44 0,00 0,00 0,00 0,00 U

2z

0,00 0,00 0,00 -6699,22

-26796,8

8 6045843

,50 -

9646,88 -3430,00 17150,

00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 U

3y

0,00 0,00 0,00

26796,88

71458,33 -9646,88

1107279,76

-17150,0

0 57166,

67 227686,

54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 212507,

44 0,00 0,00 U

3z

Ki =

RTxKpI

xR=

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -3430,00

-17150,0

0 6039144

,29

-17150,

00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 U

4y

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 17150,0

0 57166,6

7

-17150,0

0 964363

,10 227686,

54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 212507,

44 U

4z

-650532,

98 0,00 227686

,54 0,00 227686,

54 0,00 227686,

54 0,00 227686

,54 650532,

98 0,00 227686,

54 0,00 227686

,54 0,00 227686,

54 0,00 227686,

54 U5

x

0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 3021287

,14 17150,0

0 -3430,00 17150,

00 0,00 0,00 0,00 0,00 U

5y

-227686,

54 0,00 212507

,44 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 227686,

54 17150,0

0 539348,

21

-17150,0

0 57166,

67 0,00 0,00 0,00 0,00 U

5z

0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -3430,00

-17150,0

0 3027986

,36 9646,8

8 -6699,22 26796,8

8 0,00 0,00 U

6y

-227686, 0,00 0,00 0,00

212507,44 0,00 0,00 0,00 0,00

227686,54

17150,00

57166,67 9646,88

682264,88

-26796,8

71458,33 0,00 0,00

U

6z



44

54 8

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -6699,22

-26796,

88 3027986

,36 -

9646,88 -3430,00 17150,0

0 U

7y

-227686,

54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 212507,

44 0,00 0,00 227686,

54 0,00 0,00 26796,8

8 71458,

33 -9646,88 682264,

88

-17150,0

0 57166,6

7 U

7z

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

-3017857

,14 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -3430,00

-17150,0

0 3021287

,14

-17150,0

0 U

8y

-227686,

54 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 212507

,44 227686,

54 0,00 0,00 0,00 0,00 17150,0

0 57166,6

7

-17150,0

0 539348,

21 U

8z



45

2.1.5 Condensacin de los grados de libertad verticales de los prticos.

Debido a la esbeltez de los prticos de la estructura es posible llevar a cavo una

condensacin o eliminacin de los grados de libertad verticales, el procedimiento a

seguir se puede encontrar en el libro del profesor Luis Enrique Garca en el capitulo 11,

con base a lo all expuesto procedamos a calcular la relacin H/B para cada prtico,

siendo H la suma de las alturas de piso, y B la suma de las longitudes de las vigas, para

cada prtico:

Prtico tipo I Prtico tipo II Prtico tipo III

Tabla 12: relacin H/B para los diferentes prticos de la estructura.

En la seccin 11.3.1 c del libro del profesor Luis Enrique Garca se establece que

cuando la relacin H/B de la estructura es menor de 5 los grados de libertad verticales

de los prticos pueden eliminarse, de esta manera podemos proceder a eliminar las

filas y las columnas de las matrices de rigidez obtenidas en el literal anterior

correspondientes a los grados de libertad verticales de los prticos, al eliminar dichos

elementos las matrices quedan de la siguiente manera:

2.1.5.1 Prtico tipo I.

U1x U1z U2z U3x U3z U4z

650532,98 0,00 0,00 -325266,49 -227686,54 -227686,54 U1x

0,00 992946,43 71458,33 227686,54 212507,44 0,00 U1z

Ksv = 0,00 71458,33 992946,43 227686,54 0,00 212507,44 U2z

-325266,49 227686,54 227686,54 325266,49 227686,54 227686,54 U3x

-227686,54 212507,44 0,00 227686,54 567931,55 71458,33 U3z

-227686,54 0,00 212507,44 227686,54 71458,33 567931,55 U4z

2.1.5.2 Prtico tipo II.

U1x U1z U2z U3z U4x U4z U5z U6z

975799,47 0,00 0,00 0,00 -487899,74 -227686,54 -227686,54 -227686,54 U1x

0,00 992946,43 71458,33 0,00 227686,54 212507,44 0,00 0,00 U1z

0,00 71458,33 1107279,76 57166,67 227686,54 0,00 212507,44 0,00 U2z

Ksv = 0,00 0,00 57166,67 964363,10 227686,54 0,00 0,00 212507,44 U3z

-487899,74 227686,54 227686,54 227686,54 487899,74 227686,54 227686,54 227686,54 U4x

-227686,54 212507,44 0,00 0,00 227686,54 567931,55 71458,33 0,00 U4z

-227686,54 0,00 212507,44 0,00 227686,54 71458,33 682264,88 57166,67 U5z

-227686,54 0,00 0,00 212507,44 227686,54 0,00 57166,67 539348,21 U6z



46

2.1.5.3 Prtico tipo III

U1x U1z U2z U3z U4z U5x U5z U6z U7z U8z

1301065,96 0,00 0,00 0,00 0,00

-650532,9

8

-227686,5

4 227686,5

4

-227686,5

4

-227686,5

4 U1

x

0,00

964363,10 57166,67 0,00 0,00

227686,54

212507,44 0,00 0,00 0,00

U1z

0,00 57166,67

1107279,76 71458,33 0,00

-227686,5

4 0,00 212507,4

4 0,00 0,00 U2

z

0,00 0,00 71458,33

1107279,76 57166,67

227686,54 0,00 0,00

212507,44 0,00

U3z

Ksv =

0,00 0,00 0,00 57166,67 964363,1

0 227686,5

4 0,00 0,00 0,00 212507,4

4 U4

z -

650532,98

227686,54

227686,54

227686,54

227686,54

650532,98

227686,54

227686,54

227686,54

227686,54 U5x

-227686,5

4 212507,4

4 0,00 0,00 0,00 227686,5

4 539348,2

1 57166,67 0,00 0,00 U5

z

-227686,5

4 0,00 212507,4

4 0,00 0,00 227686,5

4 57166,67 682264,8

8 71458,33 0,00 U6

z

-227686,5

4 0,00 0,00 212507,4

4 0,00 227686,5

4 0,00 71458,33 682264,8

8 57166,67 U7

z

-227686,5

4 0,00 0,00 0,00 212507,4

4 227686,5

4 0,00 0,00 57166,67 539348,2

1 U8

z

2.1.6 Condensacin de los grados de libertad rotacionales.

Al igual que en el literal anterior nos enfocaremos en lo expuesto en el la seccin 11.3

del libro del profesor Luis Enrique, para llevar a cabo la condensacin de los grados de

libertad debidos a las rotaciones en torno al eje Z que puede verse en la primera figura

de este trabajo.

Esta condensacin puede llevarse a cabo por la consideracin de que el diafragma de

la estructura es rgido.

El procedimiento de condensacin consiste en reorganizar las matrices de rigidez

obtenidas en el literal anterior en la manera como se muestra en la matriz del lado

izquierdo que se presenta despus de este prrafo y del uso de la ecuacin que se

muestra en el lado derecho:

Ksv = Ksv0 Ksv

1

Ksv

2 Ksv3

Kc = [Ksv

0 ]-[ Ksv1][ Ksv

3]-1[

Ksv2]



47


U1x U3x U1z U2z U3z U4z

650532,98 0,00 0,00 -325266,49 -227686,54 -227686,54 U1x

0,00 992946,43 71458,33 227686,54 212507,44 0,00 U3x

Ksv = 0,00 71458,33 992946,43 227686,54 0,00 212507,44 U1z

-325266,49 227686,54 227686,54 325266,49 227686,54 227686,54 U2z

-227686,54 212507,44 0,00 227686,54 567931,55 71458,33 U3z

-227686,54 0,00 212507,44 227686,54 71458,33 567931,55 U4z

Kc1 = 257982,23 245431,44 245431,44 765799,97


U1x U4x U1z U2z U3z U4z U5z U6z

975799,47 0,00 0,00 0,00 -487899,74 -227686,54 -227686,54 -227686,54 U1x

0,00 992946,43 71458,33 0,00 227686,54 212507,44 0,00 0,00 U4x

0,00 71458,33 1107279,76 57166,67 227686,54 0,00 212507,44 0,00 U1z

Ksv = 0,00 0,00 57166,67 964363,10 227686,54 0,00 0,00 212507,44 U2z

-487899,74 227686,54 227686,54 227686,54 487899,74 227686,54 227686,54 227686,54 U3z

-227686,54 212507,44 0,00 0,00 227686,54 567931,55 71458,33 0,00 U4z

-227686,54 0,00 212507,44 0,00 227686,54 71458,33 682264,88 57166,67 U5z

-227686,54 0,00 0,00 212507,44 227686,54 0,00 57166,67 539348,21 U6z

Kc2 = 362044,6574 258325,9611 258325,9611 814812,7352


U1x U5x U1z U2z U3z U4z U5z U6z U7z U8z

1301065,96 0,00 0,00 0,00 0,00

-650532,9

8

-227686,5

4 227686,5

4

-227686,5

4

-227686,5

4 U1

x

0,00

964363,10 57166,67 0,00 0,00

227686,54

212507,44 0,00 0,00 0,00 U5x

0,00 57166,67

1107279,76 71458,33 0,00

-227686,5

4 0,00 212507,4

4 0,00 0,00 U1

z

Ksv =

0,00 0,00 71458,33 1107279,

76 57166,67 227686,5

4 0,00 0,00 212507,4

4 0,00 U2

z

0,00 0,00 0,00 57166,67 964363,1

0 227686,5

4 0,00 0,00 0,00 212507,4

4 U3

z

-650532,9

8 227686,5

4 227686,5

4 227686,5

4 227686,5

4 650532,9

8 227686,5

4 227686,5

4 227686,5

4 227686,5

4 U4

z

- 212507,4 0,00 0,00 0,00 227686,5 539348,2 57166,67 0,00 0,00 U5



48

227686,54

4 4 1 z

-227686,5

4 0,00 212507,4

4 0,00 0,00 227686,5

4 57166,67 682264,8

8 71458,33 0,00 U6

z

-227686,5

4 0,00 0,00 212507,4

4 0,00 227686,5

4 0,00 71458,33 682264,8

8 57166,67 U7

z

-227686,5

4 0,00 0,00 0,00 212507,4

4 227686,5

4 0,00 0,00 57166,67 539348,2

1 U8

z

Kc3 = 544679,5389 308004,8889 258369,5806 812432,2863

2.1.7 Transformacin de los grados de libertad de cada prtico por piso.

Se determinara la matriz de rigidez de cada prtico expresada en relacin de los grados

de libertad de toda la estructura, segn lo expuesto en el libro del profesor Luis

Enrique en la seccin 11.3. Segn lo all expuesto se deben definir los cancroides de

cada piso y el valor de para cada piso tambin, dichos valores se muestran a

continuacin:

CENTROS DE MASA PISO 1 y

2

Xm (m) Ym (m)

14 17.08

Tabla 13: Centro de masa de ambos pisos.

En la siguiente tabla se enuncian los parmetros de cada eje necesarios para la

transformacin de los grados de libertad de cada piso:

EJE TIPO PORTICO xa ya xb yb d [] cos sen ri

1 II 0,0 10,0 0,0 28,0 18,0 90 0 1 -14,00

2 III 10,0 0,0 10,0 28,0 28,0 90 0 1 -4,00

3 III 18,0 0,0 18,0 28,0 28,0 90 0 1 4,00

4 II 28,0 10,0 28,0 28,0 18,0 90 0 1 14,00

A III 0,0 28,0 28,0 28,0 28,0 0 1 0 -10,92

B III 0,0 18,0 28,0 18,0 28,0 0 1 0 -0,92

C III 0,0 10,0 28,0 10,0 28,0 0 1 0 7,08

D I 10,0 0,0 10,0 0,0 0,0 0 1 0 17,08

Tabla 14: parmetros propios de cada eje.

Para calcular los elementos de las columnas 7 y 11 de la tabla anterior se usaron als

siguientes expresiones:



49

( ) ( )

2abab yyxx

Ahora que tenemos los parmetros de cada eje, podemos proceder con la obtencin

de la matriz de rigidez por cada eje , usando las matrices de transformacin propias de

cada eje, las cuales se muestran en el siguiente literal.

2.1.7.1 Matriz de transformacin para cada eje.

Dicha matriz se obtendr de la manera como se muestra en la siguiente figura:

Figura 18: matriz de transformacin de cada eje.

Segn la imagen anterior tenemos entonces que:

Prtico eje 1 Piso

TP1

1

0 0

1 0

-14,00 0

2

0 0

0 1

0 -14,00



50

Prtico eje 2 Piso

TP2

1 0 0

1 0

-4,00 0

2

0 0

0 1

0 -4,00

Prtico eje 3 Piso

TP3

1 0 0

1 0

4,00 0

2

0 0

0 1

0 4,00

Prtico eje 4 Piso

TP4

1 0 0

1 0

14,00 0

2

0 0

0 1

0 14,00

Prtico eje A Piso

TPA

1 1 0

0 0

-10,92 0

2

0 1

0 0

0 -10,92



51

Prtico eje B Piso

TPB

1 1 0

0 0

-0,92 0

2

0 1

0 0

0 -0,92

Prtico eje C Piso

TPC

1 1 0

0 0

7,08 0

2

0 1

0 0

0 7,08

Prtico eje D Piso

TPD

1 1 0

0 0

17,08 0

2

0 1

0 0

0 17,08

Tablas 15-22: matrices de transformacin de todos los ejes de la estructura.

2.1.7.2 matrices de rigidez de los prticos al ser expresadas en funcin de los grados

de libertad de la estructuras.

Las matrices y operaciones que hacen parte de este paso se puede consultar en el libro

del profesor Luis Enrique, a continuacin se muestran los resultados de dichos

procedimientos:



52

2.1.7.2.1 matriz de rigidez asociada con el eje 1.

PISO 1 PISO 2

Ux1 Uy1 Uz1 Ux2 Uy2 Uz2

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux1

0,00 362044,66 -5068625,20 0,00 258325,96 -3616563,46 Uy1

Kp1 0,00 -5068625,20 70960752,85 0,00 -3616563,46 50631888,37 Uz1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux2

0,00 258325,96 -3616563,46 0,00 814812,74 -11407378,29 Uy2

0,00 -3616563,46 50631888,37 0,00 -11407378,29 159703296,11 Uz2

2.1.7.2.2 matriz de rigidez asociada con el eje 2.

PISO 1 PISO 2


0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux1

0,00 544679,54 -2178718,16 0,00 308004,89 -1232019,56 Uy1

Kp2 0,00 -2178718,16 8714872,62 0,00 -1232019,56 4928078,22 Uz1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux2

0,00 258369,58 -1033478,32 0,00 812432,29 -3249729,15 Uy2

0,00 -1033478,32 4133913,29 0,00 -3249729,15 12998916,58 Uz2

2.1.7.2.3 matriz de rigidez asociada con el eje 3

PISO 1 PISO 2


0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux1

0,00 544679,54 2178718,16 0,00 308004,89 1232019,56 Uy1

Kp3 0,00 2178718,16 8714872,62 0,00 1232019,56 4928078,22 Uz1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux2

0,00 258369,58 1033478,32 0,00 812432,29 3249729,15 Uy2

0,00 1033478,32 4133913,29 0,00 3249729,15 12998916,58 Uz2

.

2.1.7.2.4 matriz de rigidez asociada con el eje 4

PISO 1 PISO 2


0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux1

0,00 362044,66 5068625,20 0,00 258325,96 3616563,46 Uy1

Kp4 0,00 5068625,20 70960752,85 0,00 3616563,46 50631888,37 Uz1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux2

0,00 258325,96 3616563,46 0,00 814812,74 11407378,29 Uy2

0,00 3616563,46 50631888,37 0,00 11407378,29 159703296,11 Uz2



53

2.1.7.2.5 matriz de rigidez asociada con el eje A

PISO 1 PISO 2


544679,54 0,00 -5947900,56 308004,89 0,00 -3363413,39 Ux1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy1

KpA -5947900,56 0,00 64951074,17 -3363413,39 0,00 36728474,18 Uz1

258369,58 0,00 -2821395,82 812432,29 0,00 -8871760,57 Ux2

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy2

-2821395,82 0,00 30809642,36 -8871760,57 0,00 96879625,38 Uz2

2.1.7.2.6 matriz de rigidez asociada con el eje B

PISO 1 PISO 2


544679,54 0,00 -501105,18 308004,89 0,00 -283364,50 Ux1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy1

KpB -501105,18 0,00 461016,76 -283364,50 0,00 260695,34 Uz1

258369,58 0,00 -237700,01 812432,29 0,00 -747437,70 Ux2

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy2

-237700,01 0,00 218684,01 -747437,70 0,00 687642,69 Uz2

2.1.7.2.7 matriz de rigidez asociada con el eje C

PISO 1 PISO 2


544679,54 0,00 3856331,14 308004,89 0,00 2180674,61 Ux1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy1

KpC 3856331,14 0,00 27302824,44 2180674,61 0,00 15439176,26 Uz1

258369,58 0,00 1829256,63 812432,29 0,00 5752020,59 Ux2

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy2

1829256,63 0,00 12951136,95 5752020,59 0,00 40724305,75 Uz2

2.1.7.2.8 matriz de rigidez asociada con el eje D

PISO 1 PISO 2


257982,23 0,00 4406336,57 245431,44 0,00 4191969,00 Ux1

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy1

KpD 4406336,57 0,00 75260228,67 4191969,00 0,00 71598830,59 Uz1

245431,44 0,00 4191969,00 765799,97 0,00 13079863,43 Ux2

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy2

4191969,00 0,00 71598830,59 13079863,43 0,00 223404067,36 Uz2



54

2.1.8 Matriz de rigidez de toda la estructura.

Ahora que tenemos todas las matrices de rigidez relacionadas con caja eje de la

estructura, y que fueron obtenidas luego de un proceso de condensacin e igualacin

de grados de libertad. Podemos proceder con el armado definitivo de la matriz d

rigidez de toda la estructura, para esto debemos sumar todas las matrices Kp

obtenidas en los 8 literales anteriores, al hacer esto tenemos como resultado:


1,892E+09 0,000E+00 1,814E+09 1,169E+09 0,000E+00 2,726E+09 Ux1

0,000E+00 1,813E+09 0,000E+00 0,000E+00 1,133E+09 -4,657E-07 Uy1

KE [N/m]= 1,814E+09 0,000E+00 3,273E+11 2,726E+09 -4,657E-07 2,351E+11 Uz1

1,021E+09 0,000E+00 2,962E+09 3,203E+09 0,000E+00 9,213E+09 Ux2

0,000E+00 1,033E+09 -4,657E-07 0,000E+00 3,254E+09 0,000E+00 Uy2

2,962E+09 -4,657E-07 2,251E+11 9,213E+09 0,000E+00 7,071E+11 Uz2

2.1.9 Matriz de masa de la estructura completa.

En los captulos antecedentes centramos nuestra atencin en obtener la matriz de

rigidez de la estructura, el paso siguiente en el anlisis dinmico espectral que se busca

en este trabajo es armar la matriz de masa de toda la estructura, para este fin

debemos determinar los momentos de inercia de cada piso con relacin a la posicin

del centroide y de los ejes globales de la estructura X, Y, Z; para lo cual usaremos el

teorema de los ejes paralelos de Steiner.

La matriz de masa de toda la estructura tendr la forma siguiente:

[

]

En la cual:

mi: Masa total de cada piso (kgr)

J0: Momento polar de inercia (m4).

A: rea (m2).

Por lo tanto la matriz de mesa de toda la estructura queda as:



55


1199824,49 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux1

M = 0,00 1199824,49 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy1

0,00 0,00 125655707,32 0,00 0,00 0,00 Uz1

0,00 0,00 0,00 1199824,49 0,00 0,00 Ux2

0,00 0,00 0,00 0,00 1199824,49 0,00 Uy2

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 125655707,32 Uz2

2.1.10 Modos de vibracin de la estructura

Para hallar los modos de vibracin de la estructura se har uso del mtodo de

STODOLA el cual fue descrito en clase por el profesor Farbiarz. Este ducho mtodo es

de carcter iterativo y se basa en la suposicin inicial del primero modo de vibrar de la

estructura, pasando luego a la al perfeccin de este por medio de unas operaciones e

iteraciones sucesivas, con este valor perfeccionado del primer modo de vibracin se

procede al clculo del segundo y asi sucesivamente.

A continuacin se muestran las principales matrices con las que hemos de trabajar en

el mtodo de STODOLA, luego se muestran los resultados de aplicar dicho mtodo.

Matriz de masa:


1.199.824,49 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Ux1

0,00 1.199.824,49 0,00 0,00 0,00 0,00 Uy1

M [kg] = 0,00 0,00 125.655.707,32 0,00 0,00 0,00 Uz1

0,00 0,00 0,00 1.199.824,49 0,00 0,00 Ux2

0,00 0,00 0,00 0,00 1.199.824,49 0,00 Uy2

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 125.655.707,32 Uz2

Matriz de rigidez:


1,89E+09 0,00E+00 1,81E+09 1,17E+09 0,00E+00 2,73E+09 Ux1

0,00E+00 1,81E+09 0,00E+00 0,00E+00 1,13E+09 -4,66E-07 Uy1

KE [N/m]= 1,81E+09 0,00E+00 3,27E+11 2,73E+09 -4,66E-07 2,35E+11 Uz1

1,02E+09 0,00E+00 2,96E+09 3,20E+09 0,00E+00 9,21E+09 Ux2

0,00E+00 1,03E+09 -4,66E-07 0,00E+00 3,25E+09 0,00E+00 Uy2

2,96E+09 -4,66E-07 2,25E+11 9,21E+09 0,00E+00 7,07E+11 Uz2



56

Matriz inversa de rigidez:

6,60E-10 7,08E-28 -2,44E-12 -2,43E-10 -5,96E-28 1,43E-12

5,14E-28 6,88E-10 -8,47E-28 -1,64E-27 -2,39E-10 7,54E-28

KE -1

= -2,45E-12 -8,29E-28 3,97E-12 1,33E-12 8,57E-28 -1,33E-12

-2,10E-10 -1,57E-27 7,41E-13 4,02E-10 6,53E-28 -4,67E-12

-5,13E-28 -2,18E-10 8,37E-28 7,10E-28 3,83E-10 -4,29E-28

7,52E-13 7,34E-28 -1,26E-12 -4,64E-12 -4,36E-28 1,89E-12

Matriz dinmica de flexibilidad:

7,91E-04 8,49E-22 -3,07E-04 -2,91E-04 -7,15E-22 1,80E-04

6,16E-22 8,25E-04 -1,06E-19 -1,96E-21 -2,87E-04 9,48E-20

FD= KE -1

M= -2,93E-06 -9,95E-22 4,99E-04 1,60E-06 1,03E-21 -1,67E-04

-2,52E-04 -1,89E-21 9,31E-05 4,82E-04 7,83E-22 -5,87E-04

-6,16E-22 -2,62E-04 1,05E-19 8,52E-22 4,60E-04 -5,40E-20

9,03E-07 8,81E-22 -1,59E-04 -5,57E-06 -5,24E-22 2,38E-04

La ecuacin bsica del mtodo des STODOLA para hallar los modos de vibracin de la

estructura es la siguiente:

mxi

i

D

i

xF

)(

En la cual X representa el vector que se va perfeccionando pro medio de iteraciones.

La matriz de modos de vibracin de la estructura queda por lo tanto:

Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 Modo 5 Modo 6

0,000298112 0,00095664 0,00029783 0,00095664 -0,000812306 0,00043426

0,000972218 -0,00031164 0,000970637 -0,00031164 0,000458183 5,03021E-05

= -3,3575E-06 -1,0775E-05 -3,21211E-06 -1,0774E-05 1,19488E-06 -6,38881E-06

-0,00016242 -0,00052119 -0,000162173 -0,00052119 4,30441E-05 -2,30071E-06

-0,00049727 0,0001594 -0,000496465 0,0001594 0,000515372 0,000502929

2,37872E-06 7,6335E-06 2,3094E-06 7,633E-06 -7,86782E-06 4,20336E-05

Ahora que tenemos la matriz de modos de vibracin de la estructura, procedamos a

graficar cada modo, para esto mostremos la siguiente tabla en la cual se muestra el

cuadrado de la velocidad angular, la velocidad angular, la frecuencia y el periodo de

cada modo de vibracin:



57

Modo 2 [rad/s2] [rad/s] f [Hertz] T [s]

1 1028,58 32,07 5,10 0,20

2 1045,32 32,33 5,15 0,19

3 1030,25 32,10 5,11 0,20

4 1045,32 32,33 5,15 0,19

5 1940,35 44,05 7,01 0,14

6 1988,35 44,59 7,10 0,14

Tabla: 23 parmetros propios de los modos de vibracin.

Ahora si podemos proceder con la esquematizacin de los modos de vibracin:

2.1.10.1 modo de vibracin 1 .


0

1

2

-0,0002 0 0,0002 0,0004

Modo 1 (X)

0

1

2

-0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015

Modo 1 (Y)

0

1

2

-0,001 -0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015

Modo 2 (X)

0

1

2

-0,0004 -0,0002 0 0,0002

Modo 2 (Y)



58




0

1

2

-0,0002 0 0,0002 0,0004

Modo 3 (X)

0

1

2

-0,001-0,0005 0 0,0005 0,001 0,0015

Modo 3 (Y)

0

1

2

-0,0004 -0,0002 0 0,0002

Modo 4 (Y)

0

1

2

-1,00E-03-5,00E-040,00E+005,00E-041,00E-031,50E-03

Modo 4 (X)

0

1

2

-0,001-0,0008-0,0006-0,0004-0,0002 0 0,0002

Modo 5 (X)

0

1

2

0 0,0002 0,0004 0,0006

Modo 5 (Y)



59


Figuras 19-24: modos de vibracin de la estructura.

Ahora que hemos obtenido los modos de vibracin podemos proceder con el clculo

de la participacin modal de la estructura, para ello se har el procedimiento descrito

en la clase del profesor Farbiarz , a continuacin se muestran la matrices necesarias en

la obtencin de la participacin modal:

0,0003 0,0010 0,0000 -0,0002 -0,0005 0,0000

0,0010 -0,0003 0,0000 -0,0005 0,0002 0,0000

T = 0,0003 0,0010 0,0000 -0,0002 -0,0005 0,0000 0,0010 -0,0003 0,0000 -0,0005 0,0002 0,0000

-0,0008 0,0005 0,0000 0,0000 0,0005 0,0000

0,0004 0,0001 0,0000 0,0000 0,0005 0,0000

X Y Z

1 0 0

0 1 0

= 0 0 1 1 0 0

0 1 0

0 0 1

X Y Z

162,8119 569,8500 -122,9930 1

522,4625 -182,6651 -394,7160 2

Pm = 162,7647 568,9233 -113,4308 3

522,4633 -182,6621 -394,6437 4

0

1

2

-0,0002 0 0,0002 0,0004 0,0006

Modo 6 (Y)

0

1

2

0

1

2

-0,0001 0 0,00010,00020,00030,00040,0005

Modo 6 (X)



60

-922,9798 1168,0958 -838,4930 5

518,2759 663,7800 4478,9714

diseño a cargas sísmicas de una edificación

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