manzanero-sistema de ecuaciones

CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN

Unidad Distrito Federal

Departamento de Matemática Educativa

Sistemas de Ecuaciones Lineales: Una perspectiva desde la Teoría APOE

Tesis que presenta

Ligia Verónica Manzanero Vázquez

Para obtener el grado de

Maestra en Ciencias

En la Especialidad de

Matemática Educativa

Directoras de Tesis:

Dra. Asuman Oktac Dra. María Trigueros

México, Distrito Federal Junio del 2007

Agradezco al Consejo Nacional de Ciencia y

Tecnología por el apoyo brindado para la

realización de mis estudios de maestría.

Becario No. 192410

Agradezco al Centro de Investigación y de Estudios

Avanzados del Instituto Politécnico Nacional y, en

especial, al Departamento de Matemática Educativa por

las facilidades otorgadas en estos dos años y en particular

por haberme permitido el uso de sus instalaciones para la

elaboración de mi tesis de maestría.

Dedicatoria

Dedico este trabajo, de manera muy especial, a

Lidia Vázquez Carrillo

Por ser siempre mi inspiración para seguir adelante, por apoyarme en todas mis

decisiones, y por ser mi padre y madre al mismo tiempo, porque sin usted mi vida

no sería la misma. Gracias madre por estar siempre a mi lado. Te quiero mucho.

También dedico este trabajo a mis hermanos, Juan y Felipe, por apoyarme

incondicionalmente en todo momento; por ustedes y para ustedes. Los quiero.

Y en especial a mis sobrinas, Alejandra, Paola y Karol, para que alcancen todas sus

metas en la vida, porque nada es imposible cuando se quiere.

Agradecimientos

De manera muy especial a mis asesoras:

Dra. Asuman Oktaç y Dra. María Trigueros

Por sus conocimientos y valioso tiempo para la realización de este trabajo, por su

sabia dirección, por su paciencia y comprensión y por todo el apoyo moral que me

brindaron.

A mis profesores:

Dr. Ricardo Cantoral, Dr. Francisco Cordero, Dra. Asuman Oktaç y Dra. Rosa Ma.

Farfán por compartir con sus alumnos sus valiosos conocimientos y por ser un

ejemplo a seguir.

A mis sinodales:

Dr. Francois Pluvinage y Dra. Ana Isabel Sacristán por sus aportaciones y

sugerencias para la mejora de este trabajo.

Al personal administrativo del departamento de Matemática Educativa:

Adriana Parra, Leticia Sánchez, Martha Maldonado, Sara Daza, Doña Angelina y

Arturo, por brindarnos un trato amable a cada momento.

Agradecimientos

A Dios por ser mi amigo, mi luz y mi guía en el camino.

A mis padres, Lidia y Juan, por darme la dicha de la vida y apoyarme en todo

momento para ser cada día una mejor persona.

A mis hermanos y cuñadas, Juan, Felipe, Gaby y Faby, porque gracias a ustedes mi

vida ha sido maravillosa.

A mis pulguitas, Alejandra, Paola y Karol, por alegrarme cada día con sus risas y

sus juegos, jamás cambiaría esos momentos.

A mis tíos y primos, en especial a mi tía Ofelia que ha sido mi segunda madre, por

alentarme siempre a seguir adelante.

A mis papaitos, Iván y Caro, por todo el apoyo que me han brindado desde mi

estancia en el D.F.

A mis hermanitas y primas, Gaby, Tere, Darly, Gemma, Mary, Nancy y Lety por

todos los momentos que pasamos juntas que me hicieron crecer como persona.

A mis amigos y amigas, Rafita, Cesarín, Lety H., Yasmín, Ángel, Fidel, Lalo, José,

Blanquis, Mario, Maribel y Xaab, por su apoyo incondicional y por todos los

momentos tan bellos que he pasado a su lado.

Índice

Pág.

Resumen i

Introducción iii

Capítulo I. Antecedentes

I.1. Problemática 1

I.2. Investigaciones relacionadas con el concepto de sistemas de ecuaciones lineales 2

I.3. Investigaciones relacionadas con Álgebra Lineal usando el marco de la teoría APOE 9

Capítulo II. Marco Teórico y objetivo de la investigación

II.1 La teoría APOE 12

II.2 Las componentes del marco de investigación 14

II.2.1. Análisis teórico 14

II.2.2. Tratamiento instruccional 18

II.2.3. Recolección y análisis de datos 19

II.3 Objetivos de la investigación 20

Capítulo III. Aspectos Metodológicos

III.1. La descomposición genética de sistemas de ecuaciones 22

III.2. Un curso de Álgebra Lineal 26

III.2.1. Observación del curso usando el ciclo ACE 26

III.2.2. La dinámica del curso 27

III.2.3. El contenido del curso 27

III.3. Diseño de la entrevista 29

III.4. Aplicación de la entrevista 30

III.4.1. Grupo de estudio 30

III.5. Análisis a priori de la entrevista 31

Capítulo IV. Análisis a posteriori

IV.1. Análisis por estudiante 60

IV.1.1 Análisis Wadi (A1) 60

IV.1.2 Análisis Mariana (A2) 96

IV.1.3 Análisis Jorge (M1) 133

IV.1.4 Análisis Sofía (M2) 171

IV.1.5 Análisis Lorena (B1) 213

IV.1.6 Análisis Manuel (B2) 255

Capítulo V. Conclusiones y reflexiones finales

V.1. Conclusiones teóricas 304

V.2. Sugerencias para futuras investigaciones 309

Bibliografía 311

Anexos

Anexo I. Cuestionario 1 315

CD Anexo II. Transcripciones de la entrevista 319

Resumen*

El Álgebra Lineal es un dominio matemático cuyo estudio requiere enfrentarse a

conceptos tanto abstractos como concretos. Muchos investigadores se han dado a

la tarea de identificar las dificultades que surgen durante su enseñanza-

aprendizaje, y las razones que pueden explicar el bajo rendimiento que muestran

los estudiantes.

En este trabajo de investigación nos enfocamos al concepto de conjunto solución de

sistemas de ecuaciones lineales, para el cual pretendemos identificar las

dificultades que presentan los estudiantes al estudiarlo, así como las

construcciones mentales que puedan presentar, de acuerdo a la predicción que

hacemos mediante una descomposición genética, sustentada por la teoría APOE

(Acción, Proceso, Objeto y Esquema) (Asiala et al., 1996).

Para observar dichas construcciones mentales realizamos una entrevista con 6

estudiantes de nivel superior, donde a la luz de nuestros resultados pudimos

observar ciertas dificultades para el concepto de conjunto solución de un sistema

de ecuaciones, por ejemplo dificultades con la parametrización. Asimismo

observamos que ningún estudiante mostró tener una concepción objeto para el

concepto de conjunto solución y que pocos de ellos mostraron haber construido un

proceso de solución, en particular en el caso de los sistemas con tres variables.

De acuerdo con nuestros resultados sugerimos hacer una modificación en la

descomposición genética para explicar mejor cómo los estudiantes puedan

construir el concepto de estudio.

∗Este trabajo forma parte del proyecto CONACYT 2002-C01-41726S

i

También nos permitimos hacer algunas sugerencias para la enseñanza-aprendizaje

del conjunto solución de los sistemas de ecuaciones lineales, así como algunas

sugerencias para futuras investigaciones en la misma dirección.

ii

Introducción

A menudo los estudiantes presentan dificultades en el aprendizaje de los

conceptos del Álgebra Lineal. Estas dificultades pueden tener diferentes causas,

como por ejemplo no haber construido los conceptos previos a saber, o utilizar

estrategias didácticas no adecuadas.

En esta investigación nos enfocamos al estudio del aprendizaje del concepto de

conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales, donde observaremos las

dificultades y estrategias que puedan presentar los estudiantes al momento de

trabajar con él. Nuestro principal interés es observar las construcciones

mentales que muestran los estudiantes para construir este concepto y cómo van

relacionando y coordinando los diferentes conceptos que se consideran un

prerrequisito para lograr la construcción del concepto de nuestro interés.

Estas relaciones y coordinaciones se predicen en nuestra descomposición

genética, que es un instrumento de análisis basado en la teoría APOE (Acción,

Proceso, Objeto y Esquema). Estas siglas designan etapas por las que se teoriza

que pasa el conocimiento matemático de un estudiante conforme va

aprendiendo los distintos conceptos de las matemáticas, en nuestro caso, el

concepto de sistemas de ecuaciones y su conjunto solución.

A continuación presentamos una breve descripción del desarrollo de nuestra

investigación a través de los cinco capítulos contenidos en este documento:

En el capítulo I, “Antecedentes”, presentamos la problemática acerca del

concepto de sistemas de ecuaciones y su conjunto solución al momento de

estudiar este concepto en las diversas etapas de enseñanza-aprendizaje.

También presentamos una breve descripción de algunas de las más recientes

investigaciones acerca del concepto de sistemas de ecuaciones y su conjunto

solución y de algunas investigaciones relacionadas con el Álgebra Lineal

iii

usando el marco de la teoría APOE. Cabe mencionar que tomamos ideas para el

diseño de nuestra entrevista de algunas investigaciones previas sobre los

sistemas de ecuaciones.

En el capítulo II, “Marco teórico y objetivo de la investigación”, presentamos a

la teoría APOE la cual sustenta nuestro trabajo de investigación. Posteriormente

mostramos las componentes del marco de investigación, el cual está asociado a

la teoría APOE y por último los objetivos de nuestra investigación.

En el capítulo III, “Aspectos metodológicos”, presentamos la metodología

utilizada para la realización de nuestra investigación. Primero se muestra la

descomposición genética del concepto del conjunto solución de un sistema de

ecuaciones lineales, la cual es parte fundamental de nuestro marco teórico.

Posteriormente se comenta acerca de las observaciones de un curso de Álgebra

Lineal impartido usando el ciclo ACE (Actividades con el uso de la

computadora, discusiones de Clase y Ejercicios), el diseño y aplicación de

nuestra entrevista y el grupo de estudio. También se presentan los análisis a

priori de la entrevista, donde se incluyen los propósitos de cada pregunta y la

descripción de las posibles estrategias que podían seguir los estudiantes para su

solución.

En el capítulo IV, “Análisis a posteriori”, presentamos el análisis a posteriori de

la entrevista por estudiante, donde incluimos algunas transcripciones de cada

pregunta, comentando respecto a las construcciones mentales que observamos

y al final de la entrevista de cada estudiante un análisis general. Dicho análisis

está basado en la descomposición genética del concepto de sistemas de

ecuaciones lineales mencionado en el capítulo III.

En el capítulo V, “Conclusiones y reflexiones finales”, presentamos las

conclusiones teóricas de nuestro trabajo de investigación, así como algunas

iv

reflexiones y sugerencias para futuras investigaciones de acuerdo a los

resultados obtenidos.

Por último presentamos los anexos; donde incluimos el formato de la entrevista

como anexo I y las trascripciones completas de la entrevista de cada estudiante

en un CD como anexo II.

v

Antecedentes

Capítulo I Antecedentes

I.1. La problemática

Los sistemas de ecuaciones lineales y su conjunto solución son un tema que se

introduce por primera vez en la escuela secundaria. Esta introducción suele ser

algorítmica y tratar sólo con el caso de dos ecuaciones con dos incógnitas,

debido a lo cual muchos estudiantes se acostumbran a recurrir a episodios

memorizados cuando se enfrentan con problemas a resolver, relacionados con

este tema. Más tarde, en el nivel bachillerato, los estudiantes se enfrentan a

nuevas formas de sistemas de ecuaciones que pueden ser más complejas para

ellos y muestran muchas dificultades cognitivas, sobre todo si no han

construidos los significados asociados a este concepto de manera significativa.

Estos problemas en el aprendizaje previo de los sistemas de ecuaciones y de las

ecuaciones lineales mismas influye negativamente en el aprendizaje de nuevas

estructuras introducidas más tarde, como por ejemplo las que tienen que ver con

temas como sistemas no lineales, transformaciones lineales, combinaciones

lineales, programación lineal, entre otros.

1

Sistemas de Ecuaciones Lineales: una perspectiva desde la Teoría APOE

En varios trabajos de investigación se han podido observar diversas dificultades

de los estudiantes en relación a los sistemas lineales de ecuaciones. Tales

dificultades se presentan al intentar encontrar la solución o conjunto solución

para los sistemas de ecuaciones, ya que los estudiantes lo hacen de forma

mecanizada y no presentan un aprendizaje significativo.

Puede ser que factores como los libros de texto afecten este entendimiento

respecto a los sistemas, ya que presentan ejercicios típicos y fáciles de resolver

mediante algoritmos y no exigen más allá que un razonamiento limitado por

parte de los estudiantes. Por otro lado en la mayoría de los casos los sistemas de

ecuaciones son presentados en forma algebraica, algunas veces en forma

geométrica, pero pocas veces se presenta la conexión entre estos dos modos de

representación, lo cual puede conducir a diversas dificultades en la

comprensión de los sistemas de ecuaciones.

I.2. Investigaciones relacionadas con el concepto de sistemas de ecuaciones

lineales

A continuación presento un breve análisis de algunas de las más recientes

investigaciones acerca del concepto de sistemas de ecuaciones y su conjunto

solución.

El trabajo de Arellano (2006) tenía como objetivo identificar las dificultades que

puedan presentar los estudiantes al poner en correspondencia las variables

visuales de la gráfica y las unidades significativas de la escritura algebraica (en

el sentido de Duval, (1988)). En particular el autor se interesaba en diferenciar

las dificultades relacionadas con una ecuación y aquéllas que se relacionaban

con el concepto de sistemas. Esta investigación está sustentada por el la teoría

2


correspondiente a la articulación de dos registros desarrollado por Duval (1988;

1998).

Para alcanzar tal objetivo el autor aplicó una serie de actividades a estudiantes

de nivel medio superior. Durante la entrevista se observaron algunas

dificultades en los estudiantes acerca de la representación gráfica de una

ecuación y la representación algebraica de una recta en el plano. Por lo que el

autor concluyó que dichas dificultades se deben al desconocimiento de las reglas

de correspondencia entre el registro de las representaciones gráficas y el de la

escritura algebraica.

Como conclusión de esta investigación se mencionan a una serie de dificultades

presentadas por los estudiantes acerca del significado de la ecuación ,

dificultades sobre la definición de ecuación lineal y su representación gráfica,

dificultades para construir un sistema de tres ecuaciones lineales, y la dificultad

de graficar una ecuación en un sistema sin ejes coordenados, entre otras.

y mx b= +

El trabajo de Cutz (2005) se enfoca en observar las estrategias y dificultades de

los estudiantes al introducirlos al modo geométrico para la solución de un

sistema de ecuaciones lineales con dos y tres variables, así como el paso del

modo geométrico al modo analítico para los mismos. Este trabajo está apoyado

en el marco teórico de los modos de pensamiento de Sierpinska (2000).

Para lograr los objetivos de investigación la autora diseñó varias actividades

donde se presentan figuras geométricas de los sistemas del tipo mencionado

anteriormente, así como actividades donde se le pide al estudiante que

proporcione el sistema de ecuaciones que represente al sistema de las figuras

dadas. Dichas actividades fueron diseñadas para que los estudiantes

3


reflexionaran utilizando un modo de pensamiento geométrico, para

posteriormente pasar a un modo de pensamiento estructural, y no sólo pasar del

modo geométrico al modo algebraico de pensamiento.

La autora realizó entrevistas a 5 estudiantes que terminaron un curso de

Álgebra Lineal, donde se observaron algunas dificultades como la asociación de

la solución de un sistema de tres ecuaciones con dos variables, con el punto de

intersección de al menos dos de las rectas que representan al sistema, de manera

que si se tienen tres rectas intersecadas de dos en dos se tendrán tres soluciones;

o cuando tres planos se intersectan en una recta, afirmar que el sistema tiene una

solución, ya que los estudiantes ven a la recta como un objeto y no como una

infinidad de puntos.

También se observaron dificultades en los estudiantes acerca de la magnitud de

una recta, ya que muchos la consideraron como finita. Para el caso de objetos

encimados, ya sean rectas o planos, es interesante resaltar que los estudiantes los

consideran como un sistema que no tiene solución, ya que esperan observar a la

solución como el punto o recta de intersección de los objetos que forman el

sistema.

La autora concluye que la mayoría de los estudiantes entrevistados presentó

dificultad para lograr un tratamiento de los sistemas de ecuaciones lineales y

más específicamente del concepto solución, en el modo geométrico, así como al

momento de pasar del modo sintético-geométrico al analítico-aritmético o

analítico-estructural. Esto muestra que la mayoría de los estudiantes aún no

tienen claro el concepto de sistema y su solución para poder realizar el paso del

modo geométrico al analítico.

4


Otro trabajo relacionado con el concepto de sistemas de ecuaciones es el de

Ramírez (2005) donde la autora pretendió observar y analizar las dificultades de

los estudiantes para el concepto de sistema de dos ecuaciones lineales con dos

variables, en el modo geométrico y analítico. Este trabajo, al igual que el

anterior, se sustenta en el marco teórico de los modos de pensamiento de

Sierpinska (2000).

Para llevar a cabo esta investigación la autora realizó un cuestionario

diagnóstico, para luego aplicar una entrevista a 5 estudiantes de ingeniería.

Dicha entrevista constó de 9 actividades en cuya solución se observaron varias

dificultades con respecto al concepto de solución de los sistemas de ecuaciones

en cuestión. Algunas de estas dificultades reportadas en esta investigación se

presentan en los modos de pensamiento sintético-geométrico, ya que al pedirle a

los estudiantes graficar las posiciones de dos rectas en el plano, sólo representan

a dos rectas intersectadas en un punto o rectas paralelas y no conciben a las

rectas encimadas. También se observan dificultades en el tránsito del modo

sintético-geométrico al modo analítico-aritmético; por ejemplo una estudiante

representa una ecuación de la forma mxy += , donde m es la pendiente según

ella y no el término independiente.

Por otro lado se observan también dificultades en la resolución de sistemas de

ecuaciones equivalentes, ya que los estudiantes llegan a resultados como 0=0 y

concluyen que el sistema no tiene solución, y no reconocen que se trata de un

sistema con infinidad de soluciones, y geométricamente, de dos rectas

encimadas.

El trabajo de Segura (2004) consistió en diseñar y probar una secuencia de

enseñanza que vuelva asequible el aprendizaje y solución de los sistemas de

ecuaciones lineales, con miras a propiciar comportamientos matemáticos y

5


cognitivos en el quehacer de los estudiantes, haciendo que el tratamiento y

pasaje de registros de representación sea el eje alrededor del cual gire la

construcción de las actividades. Esta investigación toma como marco de

referencia a los distintos registros de representación de Duval (1999), para este

trabajo se consideran: el lenguaje natural, el lenguaje gráfico y el lenguaje

algebraico.

Al término de la aplicación de la secuencia, la autora afirmó que se pudo

observar un logro en las intenciones didácticas propuestas con respecto al objeto

matemático involucrado, resultado de la confrontación del análisis a priori y a

posteriori. También se afirma que el manejo de los tres registros de

representación, facilitan al estudiante la identificación del objeto matemático

logrando que él se apropie del concepto.

Otro trabajo acerca de sistemas es el que presentaron De Vries y Arnon (2004).

Esta investigación se basó en una entrevista con 12 estudiantes acerca del

concepto de solución de un sistema de ecuaciones. Dicha entrevista fue

analizada usando como marco teórico a la teoría APOE, en particular fueron

usadas las construcciones mentales de acción, proceso, objeto y esquema y la

noción de descomposición genética.

Después de efectuadas las entrevistas, los investigadores se dieron cuenta de

que el cuestionario no era adecuado, por lo que no pudieron obtener mucha

información acerca del concepto de solución de una ecuación, lo cual no les

permitió hacer una distinción entre la “falta de entendimiento” y el

“entendimiento parcial”. Sin embargo las entrevistas les permitieron dar una

versión inicial de la descomposición genética de la solución.

6


Las dificultades reportadas en el análisis del cuestionario son: pensar a la

solución como un número, citar reglas memorizadas pero sin entenderlas, no

llegar a desarrollar el concepto de solución a nivel de objeto, confundir la

solución de una ecuación (o sistema) con la constante que queda por lo general,

a la derecha de la ecuación (o sistema). Los estudiantes también confunden el

concepto de “solución” con el procedimiento de “resolver”.

El trabajo de Filloy et al. (2003) se basó en el análisis del significado del signo

igual a través de métodos de comparación y sustitución para resolver problemas

y sistemas de ecuaciones con dos variables. En este trabajo se destaca el hecho

de que muchas veces la enseñanza del lenguaje o sintaxis algebraica se vuelve

importante, centrando así la atención en las reglas que deben ser aplicadas para

el cálculo del objeto o en las operaciones realizadas para calcular, por ejemplo,

alguna de las variables y no en el análisis de los resultados que se obtienen de

tales cálculos.

El trabajo de Mora (2001) presentó como objetivo lograr una conexión en los

modos de pensamiento analítico y sintético-geométrico a través de una

secuencia de problemas, que permitan ver en juego estos dos modos de

pensamiento, sobre la construcción de la noción “solución” de un sistema de

ecuaciones lineales.

En el desarrollo de la investigación se presentaron sistemas de ecuaciones

lineales que comúnmente no son estudiados en la enseñanza tradicional, como

los sistemas con una infinidad de soluciones y sistemas de ecuaciones sin

solución que conllevan a las soluciones de la forma 0 0= y 0 ,r r= ∈ℜ .

7


En el análisis de este trabajo, se observó claramente la tendencia de parte del

estudiante por relacionar a la solución del sistema con la intersección de dos

rectas. También se pudo observar la falta de conexión entre los modos de

pensamiento geométrico y analítico. Los estudiantes no podían resolver un

sistema de tres ecuaciones con dos variables, argumentando que se tienen más

ecuaciones que incógnitas. El autor afirma que cuando los estudiantes logran

relacionar la resolución del sistema con su representación gráfica pueden dar un

significado al concepto de solución.

En la tesina de Eslava y Villegas (1998) se planteó el objetivo de observar y

analizar los diferentes modos de pensamiento de los estudiantes al interpretar la

posición que guardan entre sí tres rectas en el plano, tomando en cuenta que son

siete categorías, así como también las dificultades que tienen al pasar de un

modo de pensamiento a otro. Para ello los autores realizaron una entrevista

clínica a un grupo de estudiantes que cursaban la educación media superior.

Las actividades de la entrevista se enfocaron desde los modos de pensamiento

geométrico y analítico.

Los resultados obtenidos en esta investigación muestran algunas dificultades en

los estudiantes al momento de enfrentarse a situaciones que relacionan las

diferentes categorías que se presentan al colocar tres rectas en el plano

cartesiano. También se presentan dificultades en el tránsito de un modo de

pensamiento a otro, pues las respuestas gráficas de los estudiantes no

coincidían, en algunas situaciones, con sus respuestas analíticas. Asimismo

algunos estudiantes mostraron no tener claro el concepto solución de un sistema

lineal, pues en algunos casos se decidió que la solución era la intersección con

los ejes coordenados.

8


I.3. Investigaciones relacionadas con Álgebra Lineal usando el marco de la

teoría APOE

Recientemente en nuestro grupo de investigación se inició un proyecto con el fin

de mirar el aprendizaje de los conceptos del Álgebra Lineal desde el punto de

vista de la teoría APOE (Acción – Proceso – Objeto – Esquema). A continuación

presentamos los trabajos realizados hasta el momento.

El trabajo de Kú (2007) trata acerca del aprendizaje del concepto de base de un

espacio vectorial. Debido a que su marco de referencia es la teoría APOE,

presenta como objetivos: proponer una descomposición genética, en donde se

presenten las construcciones mentales que los estudiantes puedan desarrollar

para la comprensión de dicho concepto, diseñar y aplicar una entrevista basada

en la descomposición genética para observar dichas construcciones e identificar

las dificultades que surgen con relación al aprendizaje del concepto de Base.

La entrevista fue aplicada a 6 estudiantes de nivel superior y constó de 11

preguntas acerca del concepto en cuestión. Algunos de los resultados obtenidos

en esta investigación son que los estudiantes muestran dificultades ante

situaciones que involucran variables, ya que les resulta imposible pensar en

averiguar la Independencia – Dependencia Lineal de un conjunto de vectores, si

las coordenadas contienen letras en lugar de números. Algunos estudiantes

intentan resolver el problema sustituyendo valores específicos, y otros

manifiestan que no se puede sin conocer los valores de la variable. De acuerdo a

la teoría APOE, la distinción está entre la concepción acción y la concepción

proceso del concepto de Independencia – Dependencia Lineal.

9


En esta investigación la autora concluye que la concepción objeto del concepto

de base resulta muy difícil de adquirir, si no se han construido los procesos de

Independencia Lineal y Conjunto Generador - Espacio Generado. Por lo que

sugiere que las actividades anteriores al concepto de Base involucren

actividades que puedan facilitar tal construcción. También que una vez que

empiece el estudio de la Base no se abandone el estudio de estos procesos

asociados, sino que se debe continuar incluyendo nuevos espacios vectoriales y

nuevos ejemplos en relación con espacios vectoriales familiares para el

estudiante.

Otra investigación cuyo marco de referencia utiliza la teoría APOE es la de

Vargas (2007), en la que se pretenden explicar las construcciones mentales de los

estudiantes, así como las dificultades que presentan, para el concepto de

espacios vectoriales. Para ello el autor tomó la descomposición genética de los

espacios vectoriales reportada en Trigueros y Oktaç (2005), para diseñar con

base en ella una entrevista. Dicha entrevista fue aplicada a 6 estudiantes de nivel

superior.

Uno de los resultados obtenidos en esta investigación consiste en que los

estudiantes confunden las propiedades de las operaciones binarias definidas

sobre un conjunto, lo que indica que no han logrado coordinar estas operaciones

con los elementos de un conjunto. También se observa que los estudiantes

confunden los elementos del conjunto del espacio vectorial V con los elementos

del campo, pues mencionan que las operaciones que se deben realizar están

dentro del campo y no dentro del espacio vectorial. Asimismo se observó que

los estudiantes tuvieron particular dificultad al aplicar la definición de espacio

vectorial cuando el campo es un subconjunto del conjunto candidato a ser

espacio vectorial. Por lo que el autor concluye que a partir de los análisis

10


realizados por pregunta se puede notar la dificultad en la construcción del

esquema de espacio vectorial. Algunos resultados relacionados con esta

investigación se reportan en Oktaç, et al. (2006)

En el trabajo de Trigueros y Oktaç (2005) se habla sobre la teoría APOE y la

enseñanza del Algebra Lineal. En esta investigación se realizó una descripción

acerca del proyecto de enseñanza e investigación del álgebra lineal propuesto

por el Grupo RUMEC donde se tomó como elemento esencial el material

“Learning Linear Algebra_with ISETL” (Weller et al., 2002).

En este trabajo se presenta la descomposición genética del concepto de espacio

vectorial, el cual se considera uno de los conceptos fundamentales del algebra

lineal. También se comenta acerca del diseño de materiales de álgebra lineal, el

cual se basa en la teoría APOE y en el Ciclo ACE (Actividades-discusiones en

Clase-Ejercicios).

Las autoras comentan que la teoría APOE no se utiliza solamente como un

marco teórico para hacer investigación, sino también se utiliza para la

preparación de materiales de la enseñanza a nivel universitario. Un ejemplo es

el manual “Learning Algebra_with ISETL” (Weller et al., 2002) que ha sido

utilizado por estudiantes de diferentes países (Estados Unidos, México, Israel y

Puerto Rico), siguiendo la metodología de enseñanza propuesta por la teoría

APOE.

En este momento se están desarrollando varias investigaciones en nuestro grupo

de trabajo de las que se han obtenido resultados importantes acerca del

aprendizaje de diferentes conceptos en Algebra Lineal desde la mirada de la

teoría APOE (Kú, 2007, Oktaç, et al., 2006; Trigueros, et al., 2007; Vargas, 2007).

Esta tesis también forma parte de esta línea de investigación.

11

Marco Teórico Y

Objetivo de la investigación

Capítulo II Marco Teórico

En este capítulo presentaré el marco teórico que sustenta a nuestra

investigación y al final el objetivo de nuestra investigación.

II.1. La teoría APOE

En este trabajo de investigación usamos el marco teórico de la Teoría

APOE, la cual es una teoría constructivista arraigada en el trabajo de Piaget

sobre el concepto de la abstracción reflexiva. La teoría APOE se ha

desarrollado como un mecanismo con el cual los investigadores pueden

examinar y describir el pensamiento matemático avanzado del estudiante

(DeVries, 2001).

Esta teoría fue elaborada por el doctor Ed Dubinsky de manera inicial,

pero fue creciendo gracias a la colaboración de varios investigadores que

conforman el grupo RUMEC (Research in Undergraduate Mathematics

Education Community), quienes la han usado y probado para analizar la

forma en que los estudiantes aprenden diversos conceptos en varios

campos de las matemáticas, como son: Cálculo, Algebra Abstracta,

12


Ecuaciones Diferenciales entre otros (ver por ejemplo Trigueros, 2005;

Asiala et al., 1997; Clark, et al., 1997). Cabe mencionar que en Álgebra

Lineal el uso de esta teoría es recién y hay una escasez de trabajos de

investigación con la excepción de aquellos realizados en nuestro grupo;

comentamos acerca de estos proyectos de investigación en el capítulo

correspondiente a los Antecedentes.

Las siglas del nombre de la teoría APOE significan la acción, el proceso, el

objeto y el esquema. Estos nombres designan etapas por las que pasa el

conocimiento matemático de un estudiante conforme aprende los distintos

conceptos de las matemáticas. Cuando se utiliza la teoría APOE en la

investigación es necesario hacer una hipótesis de cuáles serán las

construcciones mentales necesarias para aprenderlo y, posteriormente

observar a los estudiantes y entrevistarlos para verificar cuáles de las

construcciones mentales han construido y cuáles les representan

dificultades. Este análisis permite además incidir en la enseñanza de los

conceptos a través del diseño de instrucción basado en los resultados de la

investigación.

Las etapas en la teoría APOE no son necesariamente secuenciales, ya que

un estudiante puede permanecer mucho tiempo en etapas intermedias o

incluso estar en una etapa de construcción para cierta parte de un

concepto, y en otra para otros. Lo que es realmente lineal es que la forma

de trabajo que un individuo pone de manifiesto en frente de distintas

situaciones problemáticas es diferente cuando responde de una manera

que puede caracterizarse en la teoría como un proceso, un objeto o bien

una acción (Trigueros y Oktaç, 2005). Más adelante presentaré con detalle

las etapas antes mencionadas.

13


II.2. Las componentes del Marco de investigación

El marco de desarrollo de investigación y currículum asociado a la teoría

APOE consta de tres componentes, las cuales son: Análisis teórico,

Tratamiento instruccional y Recolección y análisis de datos.

II.2.1. Análisis teórico

En la primera componente, el propósito es proponer un modelo de

cognición para un concepto, es decir, una descripción de las construcciones

mentales específicas que un estudiante puede hacer para desarrollar su

entendimiento del concepto. A este análisis se le conoce como

descomposición genética del concepto. La descomposición genética de un

concepto es un conjunto estructurado de construcciones mentales, el cual

describe cómo el concepto puede desarrollarse en la mente del estudiante

(Asiala et al, 1996).

Dentro de nuestro marco, sabemos que es imposible hablar de la

descomposición genética de un concepto, ya que pueden existir varias

descomposiciones para un mismo concepto, dependiendo de la experiencia

de cada investigador, pero en cualquier caso, estas descomposiciones

deben someterse a verificación experimental para sustentarlas o refinarlas

según se ajusten o no a los datos.

Al trabajar con este marco teórico se utiliza una perspectiva teórica

específica sobre aprendizaje la cual fue desarrollada para entender las

ideas de Piaget acerca de la abstracción reflexiva y reconstruir estas ideas

en el contexto de las matemáticas del nivel universitario.

14


Esta perspectiva teórica comienza con una afirmación de lo que significa

aprender y saber algo en Matemáticas:

“El conocimiento matemático de un individuo es su tendencia a responder

a las situaciones matemáticas problemáticas reflexionando sobre ellas en

un contexto social y construyendo o reconstruyendo acciones, procesos y

objetos matemáticos y organizándolos en esquemas con el fin de manejar

las situaciones.” (Dubinsky, 1996)

En esta afirmación la componente más importante de la teoría, y la que la

hace específica al aprendizaje de las matemáticas son las construcciones

previstas por la descomposición genética que se pueden discernir a partir

de los datos de las entrevistas con los alumnos. A partir de ellos el

investigador puede determinar si las respuestas de un individuo en

particular se pueden caracterizar mediante las estructuras acción, proceso,

objeto y esquema.

A continuación presento el esquema general de estas construcciones y

luego presentaré una detallada descripción de cada una de ellas:

15


PROCESOS OBJETOS

Interiorización

Encapsulación Desencapsulación

Acción de objetos

Una acción es una transformación de objetos que el individuo percibe

como algo que es hasta cierto punto externo. Es decir, un individuo cuyo

entendimiento de una trasformación está limitado a una concepción de

acción, puede realizar la transformación únicamente reaccionando a

indicaciones externas que le proporcionan detalles precisos sobre qué

pasos dar. (Asiala et al, 1996)

Cuando una acción se repite y el individuo reflexiona sobre ella, puede

interiorizarse en un proceso. Es decir, se hace una construcción interna que

realiza la misma acción, pero ahora no necesariamente dirigida por un

estímulo externo. Un individuo que tiene una concepción de proceso de

una trasformación puede reflexionar sobre ella, describirla, o incluso

invertir los pasos de la transformación sin realizar en realidad dichos

pasos. En contraste con una acción, el estudiante percibe el proceso como

algo interno y bajo su control, en lugar de algo que se hace como respuesta

a señales externas. (Asiala et al, 1996)

Cuando un individuo reflexiona sobre acciones aplicadas a un proceso

concreto, llega a ser consciente del proceso como un todo, realiza aquellas

16


transformaciones (ya sea acciones o procesos) que pueden actuar sobre él,

y es capaz realmente de construir esas transformaciones, entonces

pensándole proceso se ha convertido en un objeto. En este caso decimos

que el proceso ha sido encapsulado en un objeto. En el curso de la

realización de una acción o un proceso sobre un objeto, suele ser necesario

desencapsular y regresar el objeto al proceso del cual proviene, con el fin

de usar sus propiedades al manipularlo. (Asiala et al, 1996)

Un esquema, para una determinada parte de matemáticas, es una colección

de acciones, procesos, objetos y otros esquemas que están relacionados

consciente o inconscientemente en una estructura coherente en la mente

del estudiante. Esta estructura puede ser evocada para tratar una situación

problemática, que involucra esa área de la matemática. Una importante

función y definitiva característica de la coherencia, es su uso para

determinar qué está en el ámbito del esquema y qué no (para más detalles

ver Asiala et al, 1996).

Es interesante comentar que la descomposición genética de un concepto

puede evolucionar, de modo que pueda arrojar mejor información acerca

de lo que queremos observar en una investigación, en relación a lo que el

estudiante puede hacer para comprender un concepto. Esta evolución

puede hacerse luego de llevar a cabo los análisis de datos recogidos en la

investigación y llega a ser una puerta abierta hacia una nueva

investigación.

17


II.2.2. Tratamiento instruccional

La segunda componente de nuestro marco de investigación, el tratamiento

instruccional, tiene que ver con el diseño e implementación de la

instrucción basada en el análisis teórico.

La perspectiva teórica sobre aprendizaje que describimos en la

componente anterior, influye en el diseño de la instrucción de una manera

global.

En la instrucción se pone en práctica el uso de grupos de aprendizaje

cooperativo, el cual se refiere al contexto social en la perspectiva teórica, ya

que proporciona un ambiente de interacción social que puede mejorar la

posibilidad de que los estudiantes construyan su conocimiento. Estos

grupos que constan de tres a cinco estudiantes, se forman para trabajar

durante todo el curso de manera cooperativa en diversas actividades.

Dichas actividades son parte de una aproximación pedagógica particular

llamada el ciclo de enseñanza ACE, el cual no es una consecuencia

necesaria de la perspectiva teórica sino un posible diseño que apoya el

análisis teórico (Asiala et al 1996).

Este ciclo de enseñanza consta de tres componentes que son: Actividades

con la computadora en un laboratorio, discusión en Clase sobre problemas

relacionados con las actividades con la computadora y Ejercicios.

Las actividades de computadora consisten en la implementación de varios

conceptos matemáticos en la computadora y de su uso en la solución de

problemas. Estas actividades se presentan a los estudiantes en forma de

tareas que conducen a la desequilibración y les dan una oportunidad de

18


construir una base de experiencias para reflexionar acerca de los conceptos

matemáticos y para descubrir ideas matemáticas específicas. También

están diseñadas de tal manera que, al realizarlas o al menos intentarlas, el

estudiante haga abstracciones reflexivas mediante las cuales se efectúan las

construcciones mentales determinadas en la descomposición genética que

a su vez guía su diseño. (Dubinsky, 1996).

Las discusiones en clase permiten a los estudiantes reflexionar sobre las

actividades hechas con la ayuda de la computadora y las del salón de

clases de manera de ayudarles a tomar consciencia de las estructuras que

están construyendo. El papel del profesor es ser guía de la discusión,

además de proporcionar en determinado momento definiciones,

explicaciones y descripciones atando a la vez lo que los estudiantes han

estado reflexionando y trabajando.

El propósito de los ejercicios es que los estudiantes refuercen las ideas que

han construido, para utilizar las matemáticas que han aprendido y, ayudar

a que, en determinado momento, comiencen a pensar acerca de las

situaciones que serán estudiadas más adelante (Asiala et al, 1996).

II.2.3. Recolección y análisis de datos

En nuestra tercera componente lo más importante, por supuesto, son los

datos que permiten que se analice la relación de los estudiantes al

instrumento particular.

Para la recolección de datos se usan tres clases de instrumentos: preguntas

y respuestas escritas bajo la forma de exámenes en el curso, o conjuntos de

19


preguntas especialmente diseñadas; entrevistas a profundidad sobre las

cuestiones matemáticas que se desean estudiar y una combinación de

instrumentos escritos y de entrevistas.

Para el propósito del análisis de datos se deben de incluir todos los datos

proporcionados por los estudiantes que participaron en el estudio. Aunque

esto lleva a una de las dificultades más serias al hacer investigación

cualitativa, la cual es la cantidad muy grande de datos que se genera y que

deben ser analizados.

El análisis de los datos se centra en determinar si las construcciones

específicas propuestas por el análisis teórico (que son el determinante

principal del diseño de la instrucción) han sido en efecto hechas por los

estudiantes que tienen éxito en aprender el concepto y en determinar si la

predicción hecha por la descomposición genética es adecuada o dicha

descomposición requiere refinamiento. Por lo que la meta de los análisis de

datos es establecer una gama paralela de construcciones mentales, yendo

de los estudiantes que parecen haber construido muy poco, a los que han

construido una parte del conocimiento, hasta los que pudieron haber

hecho todas las construcciones propuestas por el análisis teórico (Asiala et

al, 1996).

II.3 Objetivos de la investigación

Para nuestro trabajo de investigación nos planteamos los siguientes

objetivos:

• Realizar investigación empírica a través de la aplicación de una

entrevista, con el fin de observar las construcciones mentales que

20


hacen los estudiantes para el concepto de conjunto solución de

sistemas de ecuaciones lineales, de acuerdo a nuestra

descomposición genética.

• Detectar las dificultades de los estudiantes en relación al concepto

de conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales así como las

estrategias que utilizan para resolver problemas que se relacionan

con este concepto.

• Revisar y modificar nuestra descomposición genética en caso

necesario, luego de realizar nuestra investigación empírica.

• Ofrecer sugerencias didácticas con respecto a la enseñanza del

concepto de sistemas de ecuaciones lineales.

De acuerdo a nuestros objetivos surgen las siguientes preguntas de

investigación:

• ¿La descomposición genética inicial es viable para explicar la

construcción del concepto de conjunto solución de sistemas de

ecuaciones lineales?

• ¿Cuáles son las dificultades de los estudiantes en relación a este

concepto?

Dichas preguntas las pretendemos responder al término de nuestro trabajo.

21

Aspectos Metodológicos

Capítulo III Aspectos Metodológicos

En este capítulo presentaré la metodología utilizada para la realización de la

parte empírica de nuestra investigación. Primero presentaré la descomposición

genética del concepto del conjunto solución de un sistema de ecuaciones

lineales, la cual es parte fundamental de nuestro marco teórico. Posteriormente

comentaré acerca de las observaciones de un curso de Algebra Lineal y el grupo

de estudio. También explicaré los elementos del diseño de nuestra entrevista así

como su análisis a priori.

III.1. La descomposición genética del conjunto solución de un sistema de

ecuaciones lineales

En este trabajo de investigación utilizamos la descomposición genética del

grupo RUMEC (Research in Undergraduate Mathematics Education

Community) para el concepto de conjunto solución de sistemas de ecuaciones

lineales, en la cual realizamos algunas aportaciones. Dicha descomposición es

presentada a continuación en forma de un diagrama, seguida por nuestra

versión escrita que explicita los detalles:

22


Set Function Equation Equality

Is solution?

Solution set of an equation

Solution set of several equations

System of Equations

Augmented matriz of system

Vector space

Types of Systems

Geometric Interpretation of

an equation

Solution set of a system

Equivalent systems

Geometric Interpretation of a system

Equivalent equations

Parametric form of solution set

Geometric interpretation of solution set of a system

Figura 1. Descomposición genética tomada del grupo RUMEC

Los conceptos que un individuo debe conocer para iniciar el estudio de

sistemas de ecuaciones son: conjunto, función, ecuación, igualdad, y

espacio vectorial en una estructura de proceso.

Los procesos de función y de ecuación son coordinados en un nuevo

proceso de solución, que verifique si un vector dado es solución a una

ecuación dada o no. Esto significa que si tomamos el lado izquierdo de una

función y sustituimos vectores en ella, nos darán valores que sean o no,

23


iguales a los del lado derecho. Dicho proceso puede invertirse, de modo

que se encuentren ahora los vectores que cumplan con la ecuación dada.

Esto quiere decir que tomamos una ecuación y la resolvemos con respecto

a una de sus variables, para luego dar valores a la(s) variable(s)

independiente(s) y luego encontrar el valor de la dependiente, y así hallar

los vectores que sean solución de la ecuación. Este proceso es encapsulado

de tal forma que sea posible considerar el conjunto de todas las posibles

soluciones para una ecuación dada. Al relacionar el objeto de conjunto

solución de una ecuación con un objeto geométrico que la represente en un

sistema coordenado, podemos decir que se ha construido un esquema de

ecuación.

Los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de una ecuación

son coordinados para construir el proceso de solución de un sistema de

ecuaciones, en este proceso se generaliza la acción de tomar la intersección

del conjunto solución de varias ecuaciones. Este proceso es encapsulado de

tal manera que sea posible considerar al sistema de ecuaciones como un

conjunto de ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución, además que

sus propiedades, por ejemplo si es homogéneo o no, puedan ser

estudiadas. Al relacionar el objeto de conjunto solución de un sistema de

ecuaciones con un objeto geométrico que lo represente en un sistema

coordenado, podemos decir que el estudiante está construyendo una

estructura coherente para el concepto de sistemas de ecuaciones.

El objeto sistemas de ecuaciones y la representación geométrica de un

sistema se coordinan en un nuevo proceso de solución, mediante el cual se

generalizan las acciones de intersecar las representaciones geométricas

correspondientes a cada una de las ecuaciones del sistema y así encontrar

24


un objeto geométrico que represente dicha intersección. Dicho proceso de

intersección puede ser encapsulado en el objeto geométrico que lo

representa, como el conjunto solución del sistema, y pueden estudiarse sus

propiedades, como por ejemplo si pasa o no por el origen, su posición en el

espacio o si representa o no un espacio vectorial.

Los procesos de igualdad y de ecuación son coordinados para construir un

proceso que transforme una ecuación, por el uso de las propiedades de la

igualdad, a una equivalente. Este proceso es coordinado con el de sistemas

de ecuaciones para construir un nuevo proceso que encuentre sistemas

equivalentes en forma reducida, particularmente en forma escalonada. El

proceso de construcción de una matriz aumentada para un sistema de

ecuaciones dado es encapsulado cuando es posible realizar operaciones de

fila para reducir la matriz a la forma escalonada reducida que represente

un sistema equivalente reducido, y se pueda encontrar el conjunto solución

del sistema representado, al igual que se pueda comparar si la matriz

aumentada en forma escalonada tiene el mismo conjunto solución que el

sistema dado o no.

Los procesos anteriores para el conjunto solución de un sistema utilizando

diferentes representaciones son encapsulados de modo que sea posible

estudiar las propiedades del conjunto solución, por ejemplo si puede

representarse en forma paramétrica o cuál es su interpretación geométrica

y si es o no un espacio vectorial. La interpretación geométrica del conjunto

solución de un sistema, al igual que su representación en forma

paramétrica, son encapsulados para determinar si el conjunto solución es

un espacio vectorial o no, por medio de la verificación de las propiedades

que un espacio vectorial debe satisfacer.

25


Si todas estas acciones, procesos, objetos y esquemas involucrados se

pueden relacionar de forma consciente o inconscientemente y observar

como una totalidad, entonces podemos decir que se tiene una estructura

coherente del esquema de sistemas de ecuaciones.

Estas son las posibles construcciones mentales que el estudiante puede seguir

para la construcción del concepto de conjunto solución de sistemas de

ecuaciones lineales.

III.2. Un curso de Álgebra Lineal

III.2.1. Observación del curso usando el ciclo ACE

Se realizaron observaciones a un curso de Algebra para ingeniería III en el

Instituto Tecnológico Autónomo de México. Este curso fue impartido a 24

estudiantes y fue aplicado tomando en cuenta el ciclo ACE (Actividades con el

uso de la computadora, discusiones de Clase y Ejercicios), la cual es la

componente pedagógica de nuestro marco de investigación asociada a la teoría

APOE. Las observaciones se llevaban a cabo dos días a la semana, con una

duración de 2 horas por cada sesión.

Uno de los libros utilizados para este curso fue el material “Learning Linear

Algebra With ISETL” (Weller et all, 2002) propuesto por el Grupo RUMEC. Este

libro fue diseñado con base en el marco teórico APOE, utilizando el ciclo ACE.

26


III.2.2. La dinámica del curso

El curso se llevó a cabo de la siguiente manera:

En la primera sesión de la semana, se realizaban las actividades con el uso de la

computadora, donde los alumnos trabajaban en grupos de cuatro personas

durante todo el curso, por lo que en total había seis grupos que fueron formados

por la profesora que dirigía el curso. En la segunda sesión semanal se realizaban

las discusiones de clase, en donde se les pedía a los estudiantes que expusieran

las conclusiones que habían obtenido de las actividades en la computadora, y

luego se les dejaban ejercicios tradicionales para reforzar el tema visto. Durante

dicho curso se aplicaron 4 exámenes- 3 parciales y un examen final, los cuales

fueron en forma tradicional y fueron respondidos de forma individual por los

estudiantes.

III.2.3. El contenido del curso

Este curso llamado “Algebra para ingeniería III” contaba con temas propios de

Álgebra Lineal tales como espacios vectoriales, subespacios, bases,

transformaciones lineales, pero no contenía el tema de sistemas de ecuaciones

lineales, debido a que los estudiantes habían visto este tema en un curso

anterior. Sin embargo la profesora realizó un repaso de algunos temas, dos

semanas después de iniciar el curso (13 de agosto de 2005). Dicho repaso abordó

el siguiente contenido:

1. Fundamentos.

Introducción al método axiomático. Axiomas y teoremas. Deducciones y

demostraciones.

27


2. Conjuntos y funciones.

Terminología y notación de conjuntos. Propiedades de las operaciones entre

conjuntos. Productos cartesianos. Funciones y relaciones. Dominio y

contradominio. Clasificación de funciones. Composición de funciones.

Funciones inversas.

3. Sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

Eliminación gaussiana. Eliminación de Gauss-Jordan. Sistemas homogéneos.

Aplicaciones. Matrices y operaciones con matrices. Propiedades de las

operaciones. Inversas de matrices cuadradas. Matrices elementales y sus

inversas. Determinantes. Propiedades de los determinantes. Regla de Cramer.

4. Rn como espacio vectorial.

El espacio Rn. Subespacios. Subespacio generado por un conjunto de vectores.

Dependencia e independencia lineal. Bases y dimensión. Espacio nulo de una

matriz. Espacio renglón y espacio columna de una matriz. Rango de una matriz.

Teorema de la dimensión.

5. Valores y vectores propios de una matriz.

Vectores y valores propios. Matrices semejantes. Diagonalización de matrices.

Cabe mencionar que el contenido del tema de sistemas de ecuaciones visto en el

repaso es el mismo que llevaron los estudiantes en el semestre anterior.

También es importante mencionar que cuatro semanas después de realizarse el

repaso se aplicó en el laboratorio de computación una actividad llamada

“geometría de las ecuaciones lineales” (29 de septiembre de 2005), la cual tenía

como objetivo interpretar geométricamente a los sistemas de ecuaciones lineales

de dos y tres incógnitas.

28


Entre las actividades incluidas podemos mencionar la siguiente:

En el plano con dos variables:

a) Dada la ecuación 3x - 5y = 4

i) Escriban en forma de conjunto, la solución. ¿Cuántos elementos tiene este

conjunto?

ii) Tracen la gráfica en R2 ¿qué tipo de gráfica es?

iii) El punto (1, 3/5) ¿está en el conjunto solución? Y ¿sobre la gráfica?

iv) Repitan i, ii y iii para la ecuación 3x - 5y = 0. Comparen ¿cuáles son las

semejanzas y cuáles las diferencias?

b) Consideren el sistema de ecuaciones

X + 2y = 0

X + 2y = -3

i) Grafiquen ambas rectas en el mismo plano. ¿Existe un punto en común?

¿Porqué? Expliquen.

ii) resuelvan con determinantes el sistema ¿es posible? ¿porqué?

También comentamos que en el segundo examen parcial se incluyó el tema de

sistemas de ecuaciones pero desde el punto de vista geométrico. Dicho examen

se realizó el día 11 de octubre de 2005.

III.3. Diseño de la entrevista

El diseño de nuestra entrevista se realizó con el objetivo de observar las

estructuras cognitivas que presentaban los estudiantes acerca del concepto del

conjunto solución de sistemas de ecuaciones lineales, basándonos en nuestra

descomposición genética para este concepto.

29


III.4. Aplicación de la entrevista

La entrevista realizada se llevó acabo en el departamento de Matemáticas, de las

instalaciones del Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM), en la

Ciudad de México, Distrito Federal. Se utilizó un salón amplio que contaba con

una mesa y sillas. Las entrevistas fueron grabadas con una cámara de video y

con audio digital, esto con el fin de tener información precisa de lo que

contestaron los estudiantes al realizar las entrevistas. La mayoría de las

entrevistas se realizaron en una sesión, las cuales tuvieron una duración

promedio de dos horas. Dichas entrevistas tuvieron inicio el 20 de octubre y

finalizaron el 3 de noviembre de 2005.

III.4.1. Grupo de estudio

Para la realización de nuestra entrevista se escogieron a 6 estudiantes del curso

mencionado anteriormente. Esta selección fue con base en las calificaciones que

obtuvieron en su primer examen parcial realizado el día 13 de septiembre de

2005, las cuales se clasificaron de la siguiente manera: estudiantes con

calificaciones altas (100-90), estudiantes con calificaciones medias (80-70) y

estudiantes con calificaciones bajas (menores o iguales a 60), por lo que de cada

clasificación se escogieron a 2 estudiantes de manera aleatoria. Los

sobrenombres de los estudiantes entrevistados son Wadi, Mariana, Jorge, Sofía,

Lorena y Manuel, los cuales se encuentran en el orden de mayor a menor, según

las clasificaciones mencionadas anteriormente.

30


III.5. Análisis a priori de la entrevista

Este análisis se basa en la presentación de las posibles respuestas de los

estudiantes al contestar las preguntas de nuestra entrevista, donde

comentaremos acerca de las construcciones mentales que los estudiantes pueden

tener según nuestra descomposición genética. También presentaremos los

propósitos para cada una de las preguntas, desde el punto de vista de nuestro

marco teórico.

La entrevista consta de 13 preguntas, de las cuales una de ellas trata de analizar

de manera verbal, el significado del conjunto solución de un sistema de

ecuaciones y su relación con los conjuntos solución de cada una de las

ecuaciones que lo conforman, y las demás preguntas tratan de observar los

niveles de construcción que tiene el estudiante acerca del concepto de conjunto

solución de sistemas de ecuaciones lineales y de las conexiones de los objetos

involucrados a este concepto.

Pregunta 1.-

En esta pregunta se le presenta al estudiante una ecuación lineal con dos

incógnitas y se le pide que verifique si los pares ordenados proporcionados son

solución a ella. Luego se le pide que encuentre el conjunto solución de la

ecuación y que diga cuál es el número de soluciones. Por último se le pregunta

cuál sería la representación geométrica de dicho conjunto solución.

Con esta pregunta queremos observar cuáles son las estrategias que utiliza el

estudiante para resolver el problema y cuáles son las dificultades que presenta

en cuanto al concepto de conjunto solución de una ecuación lineal con dos

31


variables y su representación geométrica. También queremos observar el nivel

de construcción que presenta el estudiante al trabajar con esta ecuación.

Dada la ecuación 62 =+ yx

a) ¿Son los pares ordenados (1,4), (3,1) y (2,2) soluciones de la

ecuación?

b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación.

c) ¿Cuántas soluciones tiene?

d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería

la representación geométrica?

Para resolver esta pregunta el alumno puede recurrir a lo siguiente:

En el primer inciso, el estudiante puede sustituir los pares dados en la

ecuación para ver si cumplen con la igualdad, o puede resolver primero

la ecuación dejando una variable en términos de la otra para luego

sustituir los puntos dados y comprobar si son solución a la ecuación o no.

Para el segundo inciso, el estudiante puede despejar alguna variable y

sustituir la otra por un parámetro cualquiera, de manera que el conjunto

solución quede en términos de un solo parámetro, o simplemente dar el

conjunto solución en términos de las variables x e y usando la notación de

conjunto. También puede dar algún argumento geométrico para

representar al conjunto solución.

Para el tercer inciso, el estudiante puede observar cuántas soluciones

componen el conjunto solución, dependiendo del resultado a que llegó en

32


el inciso anterior o puede proporcionarlo con sólo observar el problema

propuesto.

Para el cuarto inciso, el estudiante puede observar que los pares

ordenados que forman parte del conjunto solución, forman una recta de

dimensión infinita. Y más aún, que la recta obtenida es la representación

geométrica de la ecuación dada.

Consideramos que si el estudiante sustituye los pares dados en la ecuación para

comprobar si cumplen con la igualdad, entonces decimos que es capaz de

realizar acciones sobre la ecuación dada. Si el estudiante se restringe a sólo

sustituir los pares ordenados en la ecuación sin poder reflexionar sobre los otros

incisos, entonces esto puede indicar una concepción acción para el concepto de

solución de una ecuación lineal.

Si el estudiante encuentra el conjunto solución de la ecuación y afirma que son

infinitos los pares ordenados que la satisfacen, entonces significa que ha

coordinado los procesos de función y ecuación en un proceso de solución.

Si el estudiante encuentra el conjunto solución de la ecuación dada y puede

proporcionar el conjunto solución usando la notación de conjuntos, entonces

decimos que ha encapsulado el proceso de solución de una ecuación, ya que

considera el conjunto de todas las posibles soluciones para la ecuación dada, por

lo que decimos que el estudiante se encuentra en una concepción objeto para

este concepto.

Si el estudiante logra coordinar los puntos del conjunto solución con la gráfica

de la ecuación o viceversa, entonces significa que ha hecho una conexión entre el

33


objeto de conjunto solución de una ecuación y el objeto que lo representa en el

sistema coordenado.

Pregunta 2.-

Esta pregunta es similar a la anterior, sólo que aquí se le presenta una ecuación

lineal con tres incógnitas.

En esta pregunta queremos observar las estrategias y dificultades que presenta

el estudiante al momento de trabajar con ecuaciones lineales de tres incógnitas y

con el concepto de conjunto solución de la misma, así como también las

dificultades que presenta en la parte geométrica del conjunto solución. También

queremos observar las diferencias que presenta el estudiante al trabajar con las

ecuaciones lineales de dos y tres incógnitas. Nuestro objetivo principal es

observar las construcciones mentales que presenta el estudiante en el contexto

de esta pregunta.

Dada la ecuación 3 42 + =− zyx

a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5), (3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la

ecuación?



d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería


Para resolver el problema el estudiante puede recurrir a lo siguiente:

34


Para el primer inciso, el estudiante puede sustituir los triples dados en la

ecuación para ver si cumplen con la igualdad, o puede resolver primero

la ecuación dejando una variable en términos de las otras dos, para luego

sustituir los puntos dados y comprobar si son solución a la ecuación o no.

Para el segundo inciso, el estudiante puede despejar alguna variable y

sustituir las otras por dos parámetros cualesquiera, de manera que el

conjunto solución quede en términos de dos parámetros, o bien, puede

proporcionar el conjunto solución usando la notación de conjuntos.

También puede dar algún argumento geométrico para representar al

conjunto solución.

Para el tercer inciso, el estudiante puede observar cuántas soluciones

componen el conjunto solución, dependiendo del resultado a que llegó en

el inciso anterior o puede proporcionar el número de soluciones con sólo

observar la ecuación dada.

Para el cuarto inciso, el estudiante puede observar que los puntos que

pertenecen al conjunto solución forman gráficamente un plano. O

simplemente al observar la ecuación afirmar que su representación

geométrica es un plano.

Consideramos que si el estudiante sustituye los triples dados en la ecuación

para comprobar si cumplen con la igualdad, entonces decimos que es capaz de

realizar acciones sobre la ecuación dada. Si el estudiante se restringe a sólo

sustituir los triples ordenados en la ecuación sin poder reflexionar sobre los

otros incisos, entonces esto puede indicar una concepción acción para el

concepto de solución de una ecuación lineal.

35


Si el estudiante encuentra el conjunto solución de la ecuación y afirma que son

infinitos los pares ordenados que la satisfacen, entonces significa que ha

coordinado los procesos de función y ecuación en un proceso de solución.

Si el estudiante encuentra el conjunto solución de la ecuación dada y puede

proporcionar el conjunto solución usando la notación de conjuntos, entonces

decimos que ha encapsulado el proceso de solución de una ecuación, ya que

considera el conjunto de todas las posibles soluciones para la ecuación dada, por

lo que decimos que el estudiante se encuentra en una concepción objeto para

este concepto.

Si el estudiante, al observar la ecuación dada, afirma que se trata de un plano sin

realizar algún procedimiento sobre ella, entonces decimos que coordina la

representación algebraica de la ecuación con la representación geométrica

dependiendo de los argumentos que presente, ya que puede recurrir a ideas

memorizadas y no tener interiorizadas sus acciones.

Si el estudiante logra coordinar todas las acciones, procesos y objetos anteriores

y puede relacionarlos con los de la pregunta anterior, entonces podemos decir

que el estudiante ha construido el concepto de ecuación como un esquema que

deberá incluir el objeto ecuación, su representación geométrica y la

representación analítica del conjunto solución.

Pregunta 3.-

Esta pregunta no es muy común para una investigación, pero la incluimos

porque queremos observar la concepción que el estudiante tiene acerca del

conjunto solución de un sistema de ecuaciones lineales.

36


Esta pregunta tiene como objetivo observar las dificultades que pueda presentar

el estudiante al momento de explicar el significado del concepto de conjunto

solución de un sistema, así como al momento de explicitar la relación entre el

conjunto solución de un sistema y los conjuntos solución de cada una de las

ecuaciones que lo conforman. También queremos observar de qué manera los

argumentos que presenta el estudiante para esta pregunta se relacionan con su

desempeño en las otras preguntas de la entrevista.

¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones?

¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto

solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas.

Por ser una pregunta abierta, se pueden considerar las siguientes afirmaciones

entre otras, por parte del estudiante:

Para la primera pregunta, el estudiante puede argumentar que el

conjunto solución de un sistema son todas las soluciones comunes a las

ecuaciones que conforman el sistema, o que son todas las soluciones que

satisfacen a todas las ecuaciones al mismo tiempo.

Para la segunda respuesta, el estudiante puede argumentar que el

conjunto solución de un sistema es la intersección de los conjuntos

solución de cada una de las ecuaciones que conforman dicho sistema, o

bien puede explicarlo de manera gráfica.

Consideramos que si el estudiante argumenta que el conjunto solución de un

sistema de ecuaciones representa la intersección de los conjuntos solución que lo

forman, esto puede ser una indicación de que coordina los procesos de ecuación,

37


conjunto y conjunto solución, para construir el proceso de solución de un

sistema de ecuaciones. Sin embargo como no se trata de una situación

matemática en la cual el estudiante debe utilizar sus construcciones mentales,

nuestra interpretación no puede ser conclusiva.

Pregunta 4.

En esta pregunta se le presenta al estudiante un sistema de dos ecuaciones con

dos incógnitas, las cuales representan gráficamente dos rectas paralelas.

Aquí se le pide al estudiante que verifique si los pares dados son solución al

sistema y que proporcione el número de soluciones al mismo. También se le

pide que grafique el sistema y que diga lo que observa. Por último se le pide que

comente acerca del conjunto solución del sistema.

Con esta pregunta queremos observar las estrategias y dificultades que presenta

el estudiante al momento de trabajar con un sistema de dos ecuaciones con dos

variables y el concepto de solución del mismo, así como las dificultades que

puedan surgir con la interpretación gráfica del sistema y su relación con la

interpretación algebraica del conjunto solución del mismo. Nuestro objetivo

principal es observar los niveles de construcción que presenta el estudiante al

resolver este sistema.

Consideremos el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−=−

0454

yxyx

a) ¿Son los pares ordenados (0,-5), (1,4) y (0,0) soluciones del sistema?

b) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas

soluciones tiene?

38


c) Grafica el sistema de ecuaciones ¿Qué observas?

d) Comenta acerca del conjunto solución.

Las posibles estrategias que el estudiante puede plantear son las siguientes:

Para el primer inciso, el estudiante puede sustituir los pares ordenados

en cada una de las ecuaciones que conforman el sistema, para observar si

cumplen con la igualdad. O bien puede afirmar que ningún par ordenado

es solución ya que se tratan de rectas paralelas.

Para el segundo inciso, el estudiante puede encontrar el conjunto

solución de cada ecuación para luego encontrar el conjunto solución

común a las dos ecuaciones, ó puede tratar de resolver el sistema por

medio de algún método algebraico. También puede utilizar algún

argumento geométrico para encontrarlo. O puede afirmar que no existe

solución al sistema con sólo observar la relación entre los coeficientes de

las ecuaciones.

Para el tercer inciso, después de graficar las ecuaciones del sistema dado,

el estudiante puede observar cómo son las gráficas entre sí (paralelas,

intersecadas en un punto, ó en una infinidad de puntos, es decir, si están

encimadas). Esperamos que el estudiante identifique que el sistema dado

representa gráficamente un par de rectas paralelas. Este argumento

también puede darlo con sólo observar el sistema dado.

Para el cuarto inciso, el estudiante puede comentar que el conjunto

solución del sistema es vacío, ya que al ser rectas paralelas no existe un

punto en común entre ellas, es decir, no se intersectan. Este argumento

39


puede darlo con sólo observar el sistema dado, o bien luego de graficar el

sistema. También esperamos que si el estudiante realizó algún

procedimiento algebraico para resolver el sistema pueda relacionar el

resultado con el conjunto solución del mismo.

Consideramos que si el estudiante sustituye los pares dados en cada ecuación

del sistema, para comprobar si cumplen con la igualdad en cada una, para luego

deducir correctamente que ningún par ordenado dado es solución del sistema

sin hacer alguna reflexión sobre ellas, puede significar que se encuentra en una

concepción acción para el concepto de solución de un sistema de dos ecuaciones

con dos variables. Sin embargo debemos observar sus respuestas a los otros

incisos para afirmar la concepción que tiene. Si presenta dificultades para

encontrar el conjunto solución, esto confirmaría su concepción acción.

Si el estudiante considera al conjunto solución del sistema como la intersección

de los conjuntos solución de las dos ecuaciones, ya sea en la representación

geométrica o en la algebraica, entonces decimos que el estudiante puede

coordinar los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de una

ecuación, para construir un nuevo proceso de solución para un sistema de

ecuaciones, ya que ha interiorizado sus acciones previas.

Si el estudiante al observar el problema afirma que el sistema no tiene solución

sin resolver el sistema explícitamente, ya que se tratan de dos rectas paralelas

que nunca se intersectan, esto confirmaría la concepción proceso, e indicaría que

coordina el objeto de sistemas de ecuaciones con el objeto geométrico que lo

representa en un sistema coordenado.

40


Pregunta 5.

Esta pregunta es similar a la anterior, sólo que en este caso se le presenta al

estudiante un sistema que contiene una ecuación que no es muy común en la

enseñanza.

En esta pregunta queremos observar las estrategias y dificultades que presenta

el estudiante al momento de trabajar con este sistema en particular, ya que al no

ser muy común, puede haber conflictos en cuanto al concepto de solución del

mismo, ya sea en la representación geométrica o en la algebraica. También

queremos observar las dificultades que puedan surgir con la interpretación

gráfica del sistema y su relación con la interpretación algebraica del conjunto

solución del mismo. Además queremos mirar los niveles de construcción que

presentan los estudiantes al trabajar con este sistema.


=+=+

000523

yxyx

a) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas

soluciones tiene?

b) Grafica el sistema de ecuaciones ¿Qué observas?

c) Comenta acerca del conjunto solución.

Para la solución de este problema el estudiante puede realizar lo siguiente:

Para el primer inciso, el estudiante puede encontrar el conjunto solución

de cada ecuación para luego encontrar el conjunto solución común a las

dos ecuaciones, ó puede tratar de resolver el sistema por medio de algún

41


método algebraico. Asimismo puede utilizar algún argumento

geométrico para encontrarlo.

Para el segundo inciso, después de graficar las ecuaciones del sistema

dado, el estudiante puede observar cómo son las gráficas entre sí,

siempre y cuando reconozca que la segunda ecuación es todo el plano

XY. Por lo que una de las dificultades que pueden presentarse en este

sistema, es que el estudiante puede pensar que la segunda ecuación se

trata de un punto y no de todo el plano, por lo que no habría intersección

entre las dos ecuaciones del sistema. Su respuesta geométrica puede estar

en contradicción con su respuesta algebraica.

Para el tercer inciso, el estudiante puede afirmar que el conjunto solución

del sistema es la primera recta, ya que es la intersección de la recta con el

plano. O bien, puede ser que el estudiante comente que no hay solución

al sistema, ya que la segunda ecuación no representa algo

geométricamente al contener ceros.

Consideramos que si el estudiante utiliza cualquier método algebraico o

geométrico para encontrar el conjunto solución pero no reflexiona sobre ello,

entonces podemos decir que muestra una concepción acción para el concepto de

solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Si el estudiante considera al conjunto solución del sistema como la intersección

de los conjuntos solución de las dos ecuaciones, ya sea en la representación

geométrica o en la algebraica, entonces decimos que el estudiante puede

coordinar los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de una

42


ecuación, para construir un nuevo proceso de solución para un sistema de

ecuaciones.

Si el estudiante al observar el problema afirma que el sistema tiene infinitas

soluciones, ya que el conjunto solución es la intersección de la recta con el plano,

la cual es la misma recta, entonces decimos que el estudiante coordina el objeto

de sistemas de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un

sistema coordenado.

Pregunta 6.

En esta pregunta se le presenta al estudiante un sistema de tres ecuaciones con

dos incógnitas. Una de las ecuaciones contiene la misma pendiente que la

primera ecuación y su término independiente es un parámetro. Entonces se le

pide al estudiante que responda si el sistema dado puede tener solución única,

infinitas soluciones y ninguna solución, de manera que si es posible encuentre la

solución al sistema y lo grafique, y si no es posible que justifique su respuesta.

Con esta pregunta queremos observar qué estrategias utiliza el estudiante para

resolver el sistema, así como las dificultades que pueda presentar durante la

resolución del mismo. También pretendemos observar las construcciones

mentales que presentan los estudiantes al trabajar con este sistema de

ecuaciones. Queremos enfatizar que con una concepción acción es imposible dar

una respuesta adecuada a esta pregunta.

Consideremos el sistema de ecuaciones ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123

43


a) ¿Es posible que este sistema tenga solución única?

Si la respuesta es “sí”:

i) ¿Cuál es la solución?

ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente.

Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta.

b) ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones?


i) ¿Cuál es el conjunto solución?

ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente.


c) ¿Es posible que este sistema no tenga solución? Justifica tu respuesta.

Las estrategias que el estudiante puede presentar son las siguientes:

Para responder al primer inciso, el estudiante puede afirmar que el

sistema sí tiene solución única siempre que k sea igual a -4, ya que la

primera y tercera ecuación serían equivalentes. También puede resolver

el sistema utilizando cualquier método algebraico para hallar la solución

del sistema, guardando el parámetro para luego interpretar el resultado.

El estudiante puede responder que el sistema no tiene solución única, ya

que la primera y tercera ecuación pueden ser paralelas, ya que tienen la

misma pendiente, sin tomar en cuenta todos los valores puede tomar k.

44


Para el segundo inciso, el estudiante puede afirmar que el sistema no

puede tener infinitas soluciones, ya que las tres ecuaciones no pueden ser

equivalentes, sólo la primera y tercera ecuación.

De igual manera para el tercer inciso, el estudiante puede afirmar que el

sistema no tiene solución dependiendo del valor de k, ya que si k es

diferente de -4 la primera y tercera ecuación son rectas paralelas.

Consideramos que si el estudiante utiliza algún método algebraico para resolver

el sistema de ecuaciones y encontrar la solución, entonces podemos decir que

coordina los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de una

ecuación en un nuevo proceso de solución para dicho sistema, ya que puede

tomar a la solución del sistema como la intersección de los conjunto solución de

cada una de las ecuaciones de lo forman. La presencia de un parámetro y el

hecho de pedir condiciones que el sistema tiene que satisfacer para tener ciertos

tipos de conjunto solución requiere una concepción proceso para responder esta

pregunta.

Si el estudiante logra interpretar que la primera y tercera ecuación del sistema

pueden ser equivalentes o paralelas dependiendo del valor de k, entonces

podemos decir que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución de una

ecuación con el objeto geométrico que lo representa en el sistema coordenado.

Pregunta 7.

En esta pregunta se le presenta al estudiante la representación geométrica de un

sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas sin ejes de referencia, de manera

que se le pide encontrar el número de soluciones al sistema. La ausencia de los

ejes coordenados se debe a que queremos observar el comportamiento del

45


estudiante en un contexto puramente geométrico. También se le pide

proporcionar un sistema algebraicamente que represente a la figura dada, para

luego encontrar el conjunto solución de dicho sistema y plantear sus

observaciones.

En esta pregunta queremos observar qué dificultades presenta el estudiante con

respecto al concepto de conjunto solución de un sistema de tres ecuaciones con

dos incógnitas, cuáles son las dificultades que surgen al momento de

proporcionar y resolver el sistema algebraicamente y las dificultades que

pueden surgir al relacionar el conjunto solución de la representación algebraica

con el de la representación geométrica del sistema. También queremos observar

las etapas de construcción que presenta el estudiante al trabajar con esta

representación geométrica.

Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con

dos incógnitas

a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

b) Da un sistema de ecuaciones, algebraicamente, que pueda

representar a la figura anterior.

c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto?¿Qué

observas?

46


En esta pregunta el estudiante puede contestar como siguiente:

Para el primer inciso, el estudiante puede afirmar que el sistema no tiene

solución, ya que las tres rectas no se intersectan en el mismo punto. Sin

embargo puede que el estudiante afirme que el sistema tiene tres

soluciones, ya que existen tres puntos de intersección por cada dos rectas.

Para el segundo inciso, el estudiante puede proporcionar las ecuaciones

de tres rectas, con distintos pendientes, de tal manera que formen la

figura dada. También puede tomar a los tres puntos de intersección de la

figura y darles valores para luego hallar las ecuaciones de las tres rectas.

Para el tercer inciso, el estudiante puede resolver el sistema propuesto

utilizando cualquier método algebraico o matricial, para encontrar el

conjunto solución, y encontrar una relación entre el conjunto solución del

sistema propuesto y de la representación geométrica del sistema dado.

Consideramos que si el estudiante, al observar la gráfica del sistema afirma que

hay tres soluciones que son las intersecciones de cada dos rectas, entonces

decimos que el estudiante no muestra una concepción proceso del concepto de

solución de un sistema de ecuaciones en contexto geométrico, ya que no

coordina el objeto de conjunto solución de un sistema con el objeto geométrico

que lo representa, y no puede determinar el conjunto solución geométricamente.

Si el estudiante es capaz de proporcionar un sistema algebraicamente que

represente la figura dada y encontrar una relación entre la representación

algebraica del conjunto solución y la gráfica del sistema, entonces podemos

47


decir que existe una conexión entre el modo geométrico y el modo algebraico

para los sistemas de tres ecuaciones con dos incógnitas.

Pregunta 8.

En esta pregunta se le presenta al estudiante un sistema de dos ecuaciones con

tres incógnitas y se le pide encontrar el conjunto solución del mismo, para así

determinar el número de soluciones. También se le pide que afirme cuál sería la

representación geométrica del conjunto solución.

Con esta pregunta queremos observar qué estrategias y dificultades presenta el

estudiante para resolver un sistema de dos ecuaciones con tres variables, así

como las dificultades que pueda presentar al relacionar la representación

algebraica y geométrica del conjunto solución. Nuestro objetivo principal es

mirar las etapas de construcción que presentan los estudiantes en el contexto de

este sistema.

Considerar el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−−=++

142332

zyxzyx

a) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas

soluciones tiene?

b) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería


Las estrategias que el estudiante puede presentar pueden ser las siguientes:

48


Para el primer inciso, el estudiante puede utilizar cualquier método

algebraico para resolver el sistema y encontrar el conjunto solución.

También puede usar algún método para trabajar con la matriz

aumentada del sistema y encontrar el conjunto solución de un sistema

equivalente al original. Asimismo el estudiante puede observar el sistema

y afirmar que el sistema tiene infinitas soluciones, ya que se trata de dos

planos que se intersectan en una recta.

Para el segundo inciso, el estudiante puede graficar los puntos del

conjunto solución y determinar que se trata de una recta, o bien el

estudiante con sólo observar el sistema de ecuaciones puede argumentar

que el conjunto solución es una recta, ya que es la intersección de los dos

planos.

Pensamos que aunque el estudiante puede resolver el sistema de ecuaciones

utilizando cualquier método algebraico para encontrar el conjunto solución sin

mostrar mucha reflexión y así presentando una concepción de acción, el hecho

de que la solución requiere el uso de parámetros y su interpretación en el

contexto del conjunto solución, consideramos que la solución exitosa de este

sistema y su interpretación adecuada requieren una concepción de proceso.

Por otro lado si el estudiante construye la matriz del sistema y la resuelve por

cualquier método para encontrar el conjunto solución, entonces nos indica que

el estudiante puede encontrar sistemas equivalentes, ya que coordina el proceso

de hallar ecuaciones equivalentes con el proceso de sistemas de ecuaciones.

49


Pregunta 9.

En esta pregunta se le presenta al estudiante la representación geométrica de un

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, donde se le pide determinar el

número de soluciones al sistema y proporcionar la representación geométrica

del conjunto solución del mismo.

Con esta pregunta queremos observar las dificultades que puede presentar el

estudiante al trabajar con la representación geométrica de un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas, así como las dificultades acerca del conjunto

solución del mismo y su representación gráfica.

Dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas


b) ¿Cuál es la representación geométrica del conjunto solución?

Para este problema el estudiante puede presentar los siguientes argumentos:

50


Para el primer inciso, el estudiante puede argumentar que el sistema no

tiene solución, ya que los tres planos no se intersectan entre sí. También

puede afirmar que el sistema tiene tres soluciones, ya que los planos se

intersectan en tres rectas pero de dos en dos. Asimismo el estudiante

puede afirmar que el sistema tiene infinitas soluciones, ya que como se

intersectan en tres rectas, cada recta tiene una infinidad de puntos.

Para el segundo inciso, el estudiante puede proporcionar argumentos

acerca de la gráfica del conjunto solución según lo encontrado en el inciso

anterior.

Pensamos que si el estudiante logra interpretar que el sistema no tiene solución,

ya que los planos no se intersectan en la misma recta, entonces podemos decir

que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución de un sistema de

ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un sistema

coordenado, para construir el proceso de solución del sistema dado. En caso de

que el estudiante afirme que el sistema tiene tres soluciones o infinitas

soluciones, decimos que no ha interiorizado sus acciones para encontrar el

proceso de solución de dicho sistema.

Pregunta 10.

En esta pregunta se le presenta al estudiante una matriz aumentada de un

sistema de tres ecuaciones con tres variables, la cual contiene cuatro parámetros.

Entonces se le pide al estudiante determinar las condiciones que deben cumplir

estos parámetros para que el sistema tenga solución única, infinitas soluciones y

ninguna solución. Luego se le pide dibujar la correspondiente gráfica para cada

caso propuesto.

51


En esta pregunta queremos observar las dificultades que presenta el estudiante

al momento de trabajar con la generalización de la matriz aumentada de un

sistema de tres ecuaciones con tres variables y las dificultades que puede

presentar al averiguar la relación del conjunto solución obtenido al resolver la

matriz y la gráfica del sistema. Además queremos mirar las etapas de

construcción que presentan los estudiantes al trabajar con la matriz aumentada.

Cabe aclarar que se requiere de una concepción proceso para dar una respuesta

adecuada a esta pregunta debido a la presencia de un parámetro y al hecho de

pedir condiciones que el sistema tiene que satisfacer para tener ciertos tipos de

conjunto solución.

Dada la matriz aumentada de un sistema ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112

a) Qué condiciones deben cumplir a, b, c y d para que el sistema tenga:

i. Solución única?

ii. Infinitas soluciones?

iii. Ninguna solución?

b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del

inciso anterior.

Para resolver este problema el estudiante puede recurrir a las siguientes

estrategias:

Para resolver el primer inciso, el estudiante puede resolver la matriz

aumentada utilizando cualquier método de reducción, para luego

52


encontrar las condiciones de los parámetros involucrados para el sistema

dado. Para que el sistema tenga solución única, el estudiante puede

afirmar que a debe ser diferente de cero y que los demás parámetros

pueden tomar cualquier valor. Para infinitas soluciones, el estudiante

puede afirmar que a debe ser iguala a cero y la expresión –b – c + d debe

ser igual a cero, para que el último renglón de la matriz en forma

reducida se haga cero. Para ninguna solución el estudiante puede afirmar

que a debe ser igual a cero y la expresión –b – c + d debe ser diferente de

cero, ya que habría una incongruencia en el último renglón de la matriz

en forma reducida.

Para el segundo inciso, el estudiante puede dibujar cada uno de los casos

de conjunto solución propuestos, o bien puede dar todas las posibles

representaciones geométricas de los conjuntos solución pedidos.

Pensamos que si el estudiante realiza operaciones de fila para reducir la matriz a

la forma escalonada, la cual representa un sistema equivalente en forma

reducida, podemos decir que el estudiante realiza acciones sobre la matriz. Si

puede interpretar la matriz resultante como la representación de un sistema

equivalente al original, y además logra proporcionar las condiciones de los

parámetros para los diferentes casos de conjunto solución, esto indica que

coordina el proceso de ecuación equivalente con el proceso de sistemas de

ecuaciones, para encontrar un nuevo proceso que encuentre sistemas

equivalentes en forma reducida.

Si el estudiante puede construir las representaciones geométricas para cada caso

de conjunto solución y relacionarlas con la representación algebraica, entonces

puede significar que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución de un

53


sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en el sistema

coordenado.

Pregunta 11.

En esta pregunta se le presenta al estudiante un sistema de coordenadas y se le

pide graficar un par de rectas que tengan más de un punto en común.

Por lo que queremos observar las posibles dificultades que pueda presentar el

estudiante al momento de graficarlas y la relación con el conjunto solución

pedido.

Representa gráficamente un par de rectas que tengan más de un punto en

común.

X

Y

Para esta pregunta tenemos unas posibles estrategias del estudiante:

El estudiante puede trazar dos rectas encimadas, las cuales tienen más de

un punto en común.

54


El estudiante puede confundirse con el significado de “más de un punto”

y no logra identificarlo con un número infinito de puntos.

Pensamos que si el estudiante logra graficar las rectas que cumplan con las

condiciones mencionadas, podemos decir que coordina el objeto de conjunto

solución de un sistema con el objeto geométrico que lo representa en el sistema

coordenado en ℜ2, ya que de no hacerlo mostrará que no ha interiorizado el

proceso de conjunto solución de un sistema de ecuaciones.

Pregunta 12.

En esta pregunta se le presenta al estudiante la solución de un sistema en forma

parametrizada. Aquí se le pide al estudiante construir la forma escalonada

reducida del sistema partiendo de la solución dada, para invertir el proceso de

reducción y encontrar un sistema inicial.

En esta pregunta queremos observar las estrategias y dificultades que pueda

presentar el estudiante para construir la forma escalonada, así como las

dificultades que pueda presentar para encontrar el sistema inicial. También

queremos mirar las construcciones mentales que el estudiante pueda presentar

para la resolución de este problema acerca de los sistemas equivalentes y su

conjunto solución.

La solución de un sistema de ecuaciones está dada por: donde t

es un parámetro.

1332

+−=+−=

tytx

a) ¿Cuál es la forma escalonada reducida del sistema?

55


b) ¿Puedes encontrar el sistema original? ¿De qué manera?

c) ¿Cuál es tu sistema original?

Podemos determinar algunas respuestas de los estudiantes acerca de este

problema:

En el primer inciso, el estudiante puede representar la forma escalonada

reducida del sistema, como un sistema de dos ecuaciones con tres

incógnitas algebraicamente, tomando a t como una de las incógnitas

También la puede representar con la matriz aumentada en forma

reducida para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

Asimismo puede representar la forma escalonada como una matriz

aumentada para un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, sin

considerar el parámetro.

Otra posibilidad es que el estudiante dé valores específicos al parámetro t

para determinar la relación directa entre la x y la y.

Para el segundo inciso, partiendo del paso anterior, el estudiante puede

aplicarle operaciones fila al sistema de ecuaciones o a la matriz

aumentada en forma escalonada, de modo que pueda invertir los pasos

para encontrar un sistema inicial. En este inciso el estudiante puede

argumentar que puede haber varios sistemas que nos lleven a la solución

dada, ya que se pueden aplicar diferentes operaciones fila para

encontrarlo.

Pensamos que si el estudiante puede representar la forma escalonada de algún

sistema correspondiente, con la matriz aumentada en forma reducida,

56


basándose en la solución dada, podemos decir que el estudiante coordina el

proceso de ecuación equivalente con el proceso de sistemas de ecuaciones para

construir un sistema equivalente en forma reducida.

Si el estudiante puede aplicar operaciones fila a la matriz aumentada para

invertir los pasos de la reducción y así encontrar el sistema equivalente inicial,

esto sería otra evidencia de una concepción proceso, ya que puede invertir los

pasos para encontrar el conjunto solución.

Pregunta 13.

En esta pregunta se le pide al estudiante que determine un sistema de dos

ecuaciones con tres incógnitas de manera algebraica, de modo que el sistema

tenga solución única, ninguna solución e infinitas soluciones.

Aquí queremos observar las dificultades que puedan surgir al momento de

plantear el sistema pedido y su relación con el conjunto solución. Además

deseamos mirar las etapas de construcción que presenta el estudiante para este

tipo de sistemas.

Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de

dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:

a) Solución única

b) Ninguna solución

c) Más de una solución

Algunas de las respuestas que puede proporcionar el estudiante son las

siguientes:

57


Para el caso de solución única, el estudiante puede afirmar que un

sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas no puede tener solución

única, ya que geométricamente se trata de dos planos y sólo pueden

intersecarse al menos en una recta. También puede ocurrir que el

estudiante proporcione un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas

y no lo relacione con su representación geométrica.

Para ninguna solución, el estudiante puede proporcionar un sistema de

ecuaciones cuya representación geométrica sean dos planos paralelos, es

decir, los coeficientes de x, y, z sean iguales pero los términos

independientes no.

También puede proporcionar un sistema de ecuaciones que no cumplan

las condiciones para ser planos paralelos.

Para más de una solución, el estudiante puede proporcionar un sistema

de ecuaciones cualquiera, ya que su representación geométrica son dos

planos que se intersectan en una recta y por lo tanto tendrán infinitas

soluciones. O bien puede proporcionar un sistema de ecuaciones cuyas

ecuaciones sean equivalentes, es decir, que su representación geométrica

sean dos planos encimados.

Puede ocurrir que el estudiante no pueda proporcionar los sistemas de

ecuaciones pedidos, ya que no puede describir la relación que hay entre

las ecuaciones para los conjuntos solución dados, pero sí pueda

representarlos geométricamente.

58


Pensamos que si el estudiante proporciona los sistemas de ecuaciones y

encuentra la relación entre las ecuaciones que lo forman para determinar el

conjunto solución pedido, entonces decimos que el estudiante coordina los

procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de una ecuación, en un

nuevo proceso de solución para un sistema de ecuaciones, ya que puede tomar a

la intersección del conjunto solución de cada una de las ecuaciones, como la

solución al sistema. Cabe mencionar que hay una diferencia conceptualmente

entre resolver un sistema de ecuaciones dado, y encontrar un sistema que

satisfaga ciertas condiciones. Esto último requeriría una concepción proceso.

Si el estudiante puede proporcionar además de los sistemas de ecuaciones, la

representación geométrica de cada uno de ellos, entonces decimos que el

estudiante coordina la representación algebraica con la representación

geométrica para los sistemas de dos ecuaciones con tres variables y su conjunto

solución.

59

Análisis a posteriori

Capítulo IV Análisis a posteriori

En este capítulo presentamos el análisis a posteriori de la entrevista realizada a

los 6 estudiantes. Dicho análisis está basado en la descomposición genética del

concepto de sistemas de ecuaciones lineales mencionado en el capítulo anterior.

Presentaremos los análisis por estudiante, donde incluiremos algunas

transcripciones de cada pregunta, algunos comentarios y al final de la entrevista

de cada estudiante un análisis general.

IV.1. Análisis por estudiante

IV.1.1. Análisis Wadi (A1)

Pregunta 1:


a) ¿Son los pares ordenados (1,4), (3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación?



60


d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la

representación geométrica?

En esta pregunta el estudiante marca los pares ordenados de la siguiente

manera:

Cuando se le pregunta porqué señala esos pares, responde:

3. W: porque satisfacen la ecuación

5. W: por que 2 por x + y = 6, o sea 2(1) + 4 = 6

Luego el estudiante escribe:

9. W: (Escribe: b) y xy 26 −= ℜ∈x )

Más adelante se le pregunta nuevamente sobre el conjunto solución y responde:

15. W: Todas las… las y tal que… yx =− 26 , o sea los pares de x y y tal que y es

igual a esto (señala la ecuación xy 26 −= )

Entonces se le pide que escriba el conjunto solución de manera formal y escribe:

20. W: (Escribe: ( ){ }ℜ∈∧−= xxyyx 26, )

61


Para el inciso c, el estudiante escribe:

10. W: (Escribe: c) Infinidad de soluciones)

Luego escribe:

11. W: (Escribe: d) una recta en R2)

El estudiante observa los pares ordenados y marca los pares que sí son solución

y los que no. Luego afirma que sí son solución porque satisfacen la ecuación y

da la razón de que “2(1) + 4 = 6”. Observamos que el estudiante puede sustituir

los pares dados en la ecuación para decidir si son solución o no, lo que indica

que ha coordinado los procesos de función y ecuación en un nuevo proceso de

solución, que verifica si un par ordenado es solución a una ecuación dada o no.

Además muestra que ha interiorizado estas acciones sobre los pares dados, ya

que no efectúa algún procedimiento para encontrar los pares que son solución,

es decir, los verifica mentalmente.

También observamos que el estudiante proporciona el conjunto solución en

notación de conjuntos, sin realizar algún procedimiento algebraico, lo cual

significa que el estudiante ha encapsulado el proceso de solución, de tal manera

que considera el conjunto de todas las posibles soluciones para la ecuación dada.

Luego el estudiante expresa que la representación geométrica del conjunto

solución es una recta en R2, lo cual indica que la ecuación tiene una infinidad de

soluciones. Con este argumento observamos que el estudiante coordina el objeto

de conjunto solución de una ecuación con el objeto geométrico que lo representa

62


en un sistema coordenado, ya que puede describir el conjunto solución sin

necesidad de graficarlo.

Pregunta 2:

Dada la ecuación 423 =+− zyx


ecuación?





Para resolver el inciso a, el estudiante escribe lo siguiente:

23. W: (Escribe y luego:

4810643290583

423

=+−=−−=+−

=+− zyx

)

Luego para el inciso b:

24. W: (Escribe: b) ( ){ }ℜ∈∧∧∧=+− zyxzyxzyx 423,, )

Por lo que afirma:

63


25. W: (Escribe: c) infinitas soluciones)

Y para el inciso d, escribe:

26. W: (Escribe: d) Un plano en R3)

En esta pregunta observamos que el estudiante evalúa los puntos en la ecuación

dada para comprobar cuáles son solución a dicha ecuación, verificando que

cumplan con la igualdad. Esto significa que el estudiante puede sustituir los

pares dados en la ecuación para decidir si son solución o no, lo que indica que

ha coordinado los procesos de función y ecuación en un nuevo proceso de

solución, que verifica si una tercera ordenada es solución a una ecuación dada o

no. Luego proporciona el conjunto solución, de manera formal, para la ecuación

y afirma que hay infinitas soluciones. Con esto observamos que el estudiante ha

encapsulado el proceso de solución, ya que es capaz de considerar todas las

posibles soluciones para la ecuación dada y de usar la notación de conjuntos

para representarla.

También describe que la representación geométrica del conjunto solución se

trata de un plano en R3, lo cual indica que el estudiante coordina el objeto

solución de una ecuación con el objeto geométrico que la representa en un

sistema coordenado. Con la coordinación de todas estas acciones, procesos y

objetos y tomando en cuenta su respuesta a la pregunta anterior podemos decir

que el estudiante ha construido un esquema del concepto de ecuación que

incluye el objeto ecuación, su representación geométrica y la representación

analítica del conjunto solución.

64


Pregunta 3:




Para el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones, el

estudiante contesta:

39. W: (Escribe: Conjunto es aquel que satisface el sist. de ecuaciones. Puede ser

único, infinito o no existir)

41. W: (Escribe: Este conjunto es… contiene soluciones para cada ecuación,

para todas. Pero no necesariamente todas las soluciones de cada ecuación)

Al preguntarle sobre lo que escribió, nos dice:

43. W: ah, que… el conjunto solución de un sistema de ecuaciones…

45. W: O sea, es aquel que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo.

48. W: Y la diferencia de este conjunto con el conjunto que resuelve cada

ecuación es que… puede ser igual pero puede… cuando no es igual es

porque… hay… para una ecuación existe un conjunto que… un conjunto

solución y para otra… para otra ecuación existe otra, entonces el conjunto

que satisface el sistema es la intersección de todos esos… conjuntos…

solución

En esta pregunta el estudiante afirma que el conjunto solución de un sistema de

ecuaciones es aquel que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo y este

65


conjunto es la intersección de todos los conjuntos solución de cada ecuación del

sistema.

Con esto observamos que el estudiante coordina los procesos de ecuación,

conjunto y conjunto solución, puesto que ha construido el proceso de solución

de un sistema de ecuaciones, ya que afirma que el conjunto solución de un

sistema de ecuaciones representa la intersección de los conjuntos solución que lo

forman. Además observamos que dicho proceso de solución ha sido

encapsulado, ya que el estudiante considera al sistema como el conjunto de

todas las ecuaciones que la conforman y al conjunto solución como la

intersección de los conjuntos solución de cada una de ellas.

Pregunta 4


=−=−

0454

yxyx


b) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas soluciones

tiene?



El estudiante luego de observar el sistema dado, responde:

52. W: No pos no, no tiene solución

Al preguntarle porqué no tendría solución el sistema, él afirma:

66


54. W: Porque son… son rectas paralelas éstas (señala el sistema dado) y nunca

se intersectan, nunca tienen solución…

Entonces le cuestionamos porqué dice que son paralelas y contesta:

58. W: Son paralelas porque aquí existen los mismos coeficientes para x y para y

(se refiere a los coeficientes de las ecuaciones del sistema)

Luego grafica el sistema:

Entonces al preguntarle sobre el conjunto solución, responde:

78. W: Vacío (Escribe: φ )

En esta pregunta el estudiante interpreta que se trata de un sistema que no tiene

solución y más aún, que geométricamente se trata de dos rectas paralelas las

cuales nunca se intersectan, es decir, el sistema formado por las ecuaciones no

67


tiene solución. Por lo tanto el estudiante concluye que el conjunto solución para

tal sistema es vacío.

Con esto observamos que el estudiante ha coordinado los procesos de ecuación,

conjunto y conjunto solución de una ecuación, para construir un nuevo proceso

de solución para un sistema de ecuaciones, de tal forma que considera al

conjunto solución del sistema como la intersección de los conjuntos solución de

las dos ecuaciones. Al parecer este proceso de solución está encapsulado, ya que

se observa que el estudiante considera al sistema dado como el conjunto de las

dos ecuaciones y que la solución del sistema es, en este caso, el conjunto vacío.

También notamos que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución de

un sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un

sistema coordenado, ya que lo interpreta como dos rectas paralelas las cuales

nunca se intersectan.

Pregunta 5


=+=+

000523

yxyx

a) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas soluciones

tiene?



El estudiante observa el sistema y responde:

80. W: Mmm, pos este… la solución, también es… ésta ¿no? es una recta (señala

68


la primera ecuación)

82. W: Porque aquí es como el vector cero, lo cual hace que la solución, si haces

el sistema de esto (señala el sistema dado), la solución va a ser esto ¿no?

Al preguntarle sobre la gráfica del sistema, responde:

88. W: Según yo es nada más esta recta (se refiere a la primera ecuación)

89. W: Porque pos esto se satisface para cualquiera ¿no? en el plano (se refiere a

la segunda ecuación)

Luego responde:

91. W: O sea, sería el plano… esto es el plano (se refiere a la ecuación

), la solución que satisface el sistema es la recta, esta recta ¿no? (se

refiere a la primera ecuación)

000 =+ yx

Entonces al pedirle el conjunto solución, afirma:

93. W: El conjunto solución… según yo… (Escribe: ( ){ ℜ∈∧−= xxyyx23

25, )

Luego realiza la siguiente gráfica:

98. W: (Grafica la ecuación 523 =+ yx )

69


Entonces le pregunto acerca de la segunda ecuación del sistema, a lo que

responde:

100. W: Es que la segunda es todo el plano, todo R…

101. W: Entonces para que se… para que se resuelva el sistema se tiene que

cumplir ésta (señala la segunda ecuación) y ésta (señala la primera

ecuación) ¿no? Por lo tanto la intersección de esas dos es la recta

Entonces le pido que especifique qué representa la segunda ecuación, y escribe:

109.W: (Escribe: La segunda ecuación representa todo el plano XY. La solución

por lo tanto es la intersección de los 2 conjuntos solución. ∴una recta)

Para esta pregunta el estudiante observa el sistema y afirma que su solución es

una recta, la recta 523 =+ yx . Él afirma que al resolver el sistema, como la

ecuación representa al plano XY, la solución es la intersección de los

dos conjuntos solución, de la recta y el plano dados, la cual es la recta

.

000 =+ yx

523 =+ yx

70


Con estos argumentos observamos que el estudiante ha coordinado los procesos

de ecuación, conjunto y conjunto solución de una ecuación en un proceso de

solución para un sistema de ecuaciones, de modo que toma a la solución como

la intersección del conjunto solución de cada una de las dos ecuaciones dadas.

Este proceso de solución parece estar encapsulado, ya que el estudiante

considera al sistema de ecuaciones como el conjunto de ecuaciones que deben

compartir un conjunto solución. También observamos que el estudiante

coordina el objeto de conjunto solución de una ecuación con el objeto

geométrico que lo representa en un sistema coordenado, así como también el de

conjunto solución para un sistema de ecuaciones.

Pregunta 6


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123



i) ¿Cuál es la solución?

ii) Grafica este sistema y muestra la solución geométricamente.






71




Al observar el inciso a, el estudiante responde:

111. W: La respuesta va a ser…

112. W: Escribe:

43

4114

2331

=

−=

−==++

+=

x

y

yyx

yx

113. W: Es… mm… sí (circula donde dice: si la respuesta es sí)

Luego al preguntarle porqué la respuesta sería sí, él observa que le falta

encontrar el valor de k en la tercera ecuación y contesta:

123. W: Exacto, para que tenga solución única k tendría que ser…

124. W: Escribe: k=−=−=+− 44

1642

418

125.W: Exacto de esa manera habría solución única, si la k es diferente de -4 no

habría solución

Al preguntarle porque no habría solución, responde:

127. W: Porque otra vez… encontramos… aquí éste serían dos rectas paralelas

72


nuevamente (señala la ecuación 1 y 3 del sistema) y se intersectarían con

éstas (suponemos que se refiere a la segunda ecuación) pero no serían

solución única, o sea, perdón, no sería solución del sistema

Entonces al preguntarle sobre la solución del sistema, responde:

135. W: (Circula 43,

41

=−= xy y 4−=k )

Luego grafica el sistema dado tomando en cuenta los resultados anteriores:

Para el inciso b, el estudiante responde:

146. W: Infinidad de soluciones, no

Al preguntarle porque no puede haber infinidad de soluciones, él responde:

148. W: Porque ya encontramos, bueno… o sea sólo se cumpliría el sistema si k

es -4, de otra forma no se cumpliría el sistema

149. W: Entonces sólo hay una única, por lo tanto no puede haber una infinidad

73


o ¿sí?

Entonces para el inciso c, el estudiante escribe:

154. W: (Escribe: Si el sistema no tiene solución) 4−≠k

Observamos que para el inciso a, el estudiante resuelve las dos primeras

ecuaciones del sistema dado y encuentra una solución, pero luego se percata

que le falta la tercera ecuación para resolver el sistema, así que halla el valor de k

sustituyendo la solución encontrada en la tercera ecuación. De esta forma el

estudiante afirma que k debe tomar el valor de -4, ya que de lo contrario el

sistema no tendría solución, puesto que geométricamente se trataría de dos

rectas paralelas cortadas por la otra recta en forma transversal.

Para el caso de infinitas soluciones, el estudiante afirma que no puede existir, ya

que sólo hay dos posibilidades: si k es -4, el sistema tiene solución única y si k es

diferente de -4, el sistema no tiene solución.

Con esto observamos que el estudiante coordina los procesos de ecuación,

conjunto y conjunto solución de una ecuación en un nuevo proceso de solución

para un sistema de ecuaciones, ya que toma a la solución del sistema como la

intersección de los conjunto solución de cada una de las ecuaciones del mismo.


una ecuación con el objeto geométrico que lo representa en el sistema

coordenado, al igual que para el caso de un sistema de ecuaciones.

Por otro lado, cuando se le pide escribir el conjunto solución para el inciso (a),

incluye el valor de k, ya que muy probablemente la concibe como una de las

incógnitas del sistema de ecuaciones.

74


Pregunta 7


dos incógnitas


b) Da un sistema de ecuaciones, algebraicamente, que pueda representar

a la figura anterior.

c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué

observas?

El estudiante observa la figura y responde al inciso a:

158. W: (Escribe: Ninguna)

Como en el inciso b le piden un sistema que represente la figura, lo relaciona

con el ejercicio 6 y escribe:

162. W: (Escribe: ) 026

1523

=−−=+=+

yxyx

yx

Al preguntarle sobre si esas rectas representan esa figura, él se retracta y piensa

75


en otro sistema y escribe:

175. W: (Escribe: ) 2232

1

=−=+=+

yxyx

yx

Para comprobar si efectivamente le da esa figura, el estudiante resuelve de dos

en dos las ecuaciones para encontrar los puntos de intersección, luego

responde:

183. W: Tiene tres intersecciones diferentes

Entonces le pido que grafique los puntos de intersección para ver si se forma el

triángulo y responde:

196. W: Entonces claramente vemos un triángulo… si prolongamos las rectas

vamos a ver un sistema, ¿ya?

Para el inciso c responde:

198. W: Conjuntos solución no hay

76


El estudiante al observar la figura de esta pregunta, afirma que no existe

solución alguna para el sistema. Al pedirle un sistema algebraicamente que

represente dicha figura proporciona el sistema del ejercicio 6, que es un caso

para un sistema que no tiene solución cuando k es diferente de -4, pero al

preguntarle si forma la misma figura, entonces da otro sistema, quizá porque

recuerda que el sistema del ejercicio 6 se trata de dos rectas paralelas cortadas

por la otra en forma transversal, lo cual no representa el sistema pedido. Luego

resuelve de dos en dos las ecuaciones para encontrar los puntos de intersección

y así comprobar geométricamente que las tres rectas forman un triángulo como

en la figura dada.

Esto nos indica que el estudiante coordina el objeto de sistemas de ecuaciones

con el objeto geométrico que lo representa en un sistema coordenado, para

construir un proceso de solución, de manera que puede encontrar el conjunto

solución del sistema dado en forma geométrica al observar las intersecciones de

las representaciones geométricas de cada una de las ecuaciones que forman el

sistema. También el estudiante es capaz de pasar del modo geométrico al modo

algebraico para los sistemas de tres ecuaciones con dos variables.

Pregunta 8:


=−−=++

142332

zyxzyx


tiene?

b) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la


77


Para encontrar el conjunto solución del sistema dado, el estudiante escribe:

201. W: (Escribe:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

13

210321

53

1050321

13

412321

)

Luego para el número de soluciones afirma:

203. W: Ahora tenemos… que la solución… tiene una infinidad de soluciones

Después intenta encontrar el conjunto solución algebraicamente y escribe:

205. W: (Escribe: )

zxzzx

zyxzy

+==+−+

=++−=

133)42(

33221

209. W: (Escribe: 03

332221=

=+++−z

zzz) (Aquí observamos que cometió un

error)

Luego afirma que el conjunto solución es:

212. W: (Escribe: ) 32 =+ yx

Por lo que concluye para el inciso b:

213. W: (Escribe: recta)

78


Al preguntarle cómo encontró el conjunto solución, se da cuenta que algo

estuvo mal en su procedimiento y afirma:

231. W: Ok, lo que sé, es que esto tiene que ser una recta, le puedo dar cualquier

valor a z de hecho… ¿no?

234. W: eh… sea z = t, ¿no?

Al cuestionarle porqué tendría que ser una recta, él responde:

236. W: Ah, porque son…tengo tres variables y dos ecuaciones

238. W: Entonces lo más que me puede dar es una recta, ¿sí? Si son

independientes… y sí lo son

Entonces le pido el conjunto solución algebraicamente y escribe:

245. W: (Escribe: ) 12

332=+

=++=

tytyx

tz

249. W: (Escribe: )

txtx

ttxty

+==−

=+−+−=

11

334221

Luego afirma que:

253. W: Conjunto solución… tal que… (Escribe:

( ){ }ℜ∈∀−=+= tttxyx 21y ,1, )

79


Aquí el estudiante empieza a resolver el sistema por medio del método de

Gauss utilizando la matriz aumentada del sistema y afirma que el sistema tiene

infinitas soluciones. Luego saca de la matriz reducida las ecuaciones para x e y

en términos de z, pero después afirma que tiene que darle un valor de z, por lo

que vuelve a sustituir los valores de x e y en la primera ecuación del sistema,

donde obtiene la ecuación 32 =+ yx , la cual sería el conjunto solución según él,

por lo que hay una infinidad de soluciones ya que se trata de una recta. Aunque

esta ecuación representa una recta en ℜ2, esta interpretación no es cierta en ℜ3.

El alumno sabe que le debe dar una recta pero no interpreta correctamente las

ecuaciones que obtiene del procedimiento para hallar la solución del problema,

por lo que presenta una dificultad respecto a la noción de solución.

Luego de encontrar algunas dificultades en su procedimiento de resolución, el

estudiante afirma que el conjunto solución tiene que ser una recta porque tiene

tres variables y dos ecuaciones, siempre y cuando sean independientes, lo cual

es cierto. Luego da el valor de t a z y encuentra la ecuación para x e y en

términos de t, pero al concluir sobre el conjunto solución escribe que es

( ){ }ℜ∈∀−=+= tttxyx 21y ,1, , como un conjunto en ℜ2.

Observamos que el estudiante puede aplicar acciones para transformar el

sistema, aunque interrumpe el proceso de transformación y predice la solución

del sistema dado. Esto nos indica que al mirar la matriz del sistema en forma

escalonada sabe que existe una infinidad de soluciones, por lo que decimos que

el estudiante coordina el proceso de hallar ecuaciones equivalentes con el

proceso de sistemas de ecuaciones para encontrar sistemas equivalentes en

forma reducida.

80


Sin embargo la solución que proporciona no es completa y refleja parcialmente

la solución parametrizada de un sistema, lo cual nos indica que el estudiante no

ha encapsulado el proceso de solución para un sistema de dos ecuaciones con

tres incógnitas, ya que geométricamente reconoce que el conjunto solución se

trata de una recta, pero algebraicamente no puede encontrarlo de manera

correcta, ya que lo expresa como una recta en R2 y muestra dificultades para

interpretar el resultado que obtiene al transformar el sistema. Podemos afirmar

que particularmente la parametrización causa un problema en este caso.

Pregunta 9:

Dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas



El estudiante observa la figura y responde:

262. W: Ok, no hay solución

Al preguntarle porqué no habría solución, él contesta:

81


265. W: Porque para que hubiera solución, tendría que haber una intersección

de los tres planos en un punto o en una recta… y no, los tres planos no se

interceptan al mismo tiempo

Para el inciso b, el estudiante responde:

270. W: El dibujo

Entonces le pregunto si ese sería la representación del conjunto solución, por lo

que responde:

272. W: Ahhh del conjunto solución, pues no lo hay, no hay representación

geométrica

273. W: (Escribe: no hay conjunto solución)

Al observar la representación geométrica dada el estudiante reconoce que el

sistema no tiene solución, ya que afirma que para que exista solución, los tres

planos deben estar intersectados en un mismo punto o en una misma recta.

Luego el estudiante confunde la representación geométrica del sistema con el

del conjunto solución, por eso expresa “el dibujo”, pero después afirma que no

hay conjunto solución y por eso no existe representación geométrica.

Con esto observamos que el estudiante coordina el objeto de sistemas de

ecuaciones con el objeto geométrico de un sistema, para construir un proceso de

solución, de manera que puede encontrar el conjunto solución del sistema dado

en forma geométrica mirando las intersecciones de las representaciones

geométricas de cada una de las ecuaciones que forman el sistema.

82


Pregunta 10


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112


i) Solución única?

ii) Infinitas soluciones?

iii) Ninguna solución?


inciso anterior.

Para poder resolver el inciso a, el estudiante reduce la matriz aumentada a la

forma escalonada y escribe:

308. W: (Escribe:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−

−−

−

−

dbc

bcc

a 55

2

5600

5310121

) Ok (su respuesta es equivocada ya

que al reducir la matriz comete un error de signo)

Entonces para el inciso i, responde:

310. W: Ok, para que sea solución única… a es igual a -6 (Escribe: ) 6−=a

311. W: No, ese no es solución única, a es diferente de -6 (Corrige y escribe:

) 6−≠a

83


Luego le pregunto qué pasaría si a fuera -6 y contesta:

314. W: Si fuera -6, esto sería cero (señala la expresión 5

6 a−− )

316. W: Entonces… igual otra vez habría tres incógnitas y dos ecuaciones,

entonces no habría solución única… podría ser una recta… ¿no?

Pero no se da cuenta que en realidad puede no haber solución dependiendo de

cuánto valga 5c-b-d, ya que el último renglón de la matriz quedaría 0 = 5c – b –

d. Es claro que el alumno no tiene un buen manejo de los parámetros.

Luego para el inciso ii, responde:

318. W: Ahora…para que hubiera infinitas soluciones… tendría que ser 6−=a

Esto es por lo dicho en el renglón 316, sin embargo no basta con a = -6; la

respuesta también depende de los valores de b, c y d.

Al pasar al inciso iii, el estudiante responde:

321. W: No hay ninguna solución, según yo… según yo hay una única o una

infinita, pero ¿que no haya ninguna?

326. W: O sea mínimo hay una infinidad de soluciones

Otra vez el alumno sólo se fija en a y no pone atención a la relación con b, c y d.

Al preguntarle sobre la representación de la matriz dada, él responde:

84


329. W: Esta matriz vendría siendo una… un sistema de tres ecuaciones con

tres variables

331. W: Si no hubiera… ninguna solución… tendría que ser como… todos los

vectores paralelos o el mismo vector, ¿no?

335. W: O sea aparentemente no puede haber… no puede suceder que no haya

ninguno

Entonces le pregunto si a es -6, ¿qué pasaría con la expresión 5

6 a−− ? Y

responde:

348. W: Se hace cero, entonces hay una infinidad…

351. W: Y de otra forma…no hay… no hay otra opción para a, bueno…

Luego le pregunto sobre los valores de b, c y d, a lo que contesta:

359. W: Sí, o sea con que… pertenezcan a los reales, no le veo ningún

inconveniente… ¿no?

Ahora pasamos al inciso b y al preguntarle sobre la representación geométrica

para solución única, el estudiante contesta:

368. W: Bueno… mejor te lo digo porque no lo voy a poder dibujar, son tres

planos que se intersectan en un solo punto

Luego hace un intento y dibuja:

85


Después le pido la representación geométrica para infinitas soluciones y

responde:

383. W: Se intersectan en una recta

Luego dibuja:

387. W: Suponemos que… supongo que un plano es igualito al otro, para

ahorrarme…

Al pedirle que sean tres planos, dibuja:

86


Al preguntarle si es posible que geométricamente no haya solución, el

estudiante responde:

411. W: Sí

414. W: Cuando son paralelos todos los planos

Según él es la única opción para que el sistema no tenga solución.

Luego al hacerle ver que llegó a una contradicción entre la parte algebraica y la

parte geométrica, el estudiante intenta revisar de nuevo su procedimiento y

trabaja con la matriz aumentada y llega a lo siguiente:

489. W: Si esto es cero (se refiere a la expresión 5

6 a−− )… y esto es diferente de

cero (se refiere a la expresión dbc −−5 )… no hay solución

491. W: Porque se está presentando una incongruencia, ¿no?

Entonces le pregunto qué pasaría con los valores de b, c y d para los incisos i y

ii, por lo que contesta:

501. W: Para estos casos… puede ser lo que sea

87


Entonces no se fija que para el caso de infinitas soluciones, la expresión de

debe ser igual a cero. dbc −−5

En esta pregunta el estudiante manipula la matriz dada aplicando operaciones

de fila para transformarla a otra en forma escalonada, aunque no llega a la

respuesta correcta ya que comete un error de signo durante la reducción, pero

esto no influye sobre su razonamiento para resolver el problema.

Para el caso de solución única, el estudiante afirma que a tiene que ser diferente

de -6, ya que si se haría cero la expresión 6−=a5

6 a−− , lo cual lo llevaría a

infinitas soluciones, según él, pero no observa que para infinitas soluciones la

expresión debe ser igual a cero. Para el caso de ninguna solución, el

estudiante afirma que no puede suceder esto, es decir, no existe el caso de no

solución en la matriz. Esta respuesta tal vez se deba a que ya tomó las dos

opciones para a, es decir,

dbc −−5

6−=a y 6−≠a , por lo que no concibe otra manera de

hallar la no solución del sistema. Luego le pido la representación geométrica

para este caso y afirma que no habría solución cuando los planos sean paralelos

que es una posibilidad, pero hay más cuando los planos forman un triángulo

como en una pregunta anterior. Entonces al ver que llegó a una contradicción

entre la parte algebraica y la parte geométrica, el estudiante razona el problema

y afirma que no hay solución cuando 5

6 a−− sea igual a cero y sea

diferente de cero.

dbc −−5

Con esto observamos que el estudiante, al tener la matriz aumentada, realiza

operaciones de fila para reducirla a la forma escalonada la cual representa un

88


sistema equivalente en forma reducida. Durante la reducción de la matriz el

estudiante comete un error de signo y llega a otro resultado, sin embargo no

influye en su respuesta. Al principio el estudiante no toma en cuenta los valores

de todos los parámetros para dar respuesta a los tipos de conjunto solución,

cuando se le hacen preguntas se da cuenta de las contradicciones y empieza a

reflexionar; por lo que decimos que el estudiante ha interiorizado la acción de

encontrar la solución de un sistema mediante el método de Gauss en un

proceso.

También observamos que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución

de un sistema con el objeto geométrico que lo representa en el sistema

coordenado, aunque esta coordinación se ve limitada ya que sólo piensa en la

posibilidad de planos paralelos y no piensa en otras posibilidades como la que

se le preguntó en una pregunta anterior en la que no hay solución y los planos

no son paralelos. Cabe mencionar que el estudiante no logra encapsular el

proceso de solución para este sistema equivalente, ya que no proporciona

argumentos suficientes para el caso de infinitas soluciones.

Pregunta 11

X

Y Representa gráficamente un par de rectas que tengan más de un punto

en común.

89


El estudiante dibuja:

Al preguntarle sobre el significado de su dibujo, él responde:

510. W: Que es la misma recta… que se intersec… o sea, una infinidad de

soluciones

Aquí el estudiante dibuja un par de rectas encimadas, lo cual para él representa

la misma recta y por lo tanto el sistema representado por ellas tiene una

infinidad de soluciones.

En este caso notamos que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución

de un sistema con el objeto geométrico que lo representa en el sistema

coordenado en ℜ2, aunque muestra algunas dificultades.

Pregunta 12

La solución de un sistema de ecuaciones está dada por: donde

t es un parámetro.

1332

+−=+−=

tytx


90




Al preguntarle sobre la forma escalonada reducida del sistema en el inciso a, el

estudiante escribe:

515. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

000310201

)

Luego para el inciso b, responde:

518. W: Pos no… la verdad podría haber diferentes sistemas que lleguen a lo

mismo, ¿no?

531. W: Es más yo puedo decir que éste es el sistema original (señala la matriz

anterior)

Entonces le pedimos que encuentre un sistema donde sus coeficientes sean

diferentes de cero, por lo que aplica operaciones fila a la matriz y llega a:

571. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

747

712511712

)

Entonces al preguntarle si esa matriz nos llevaría a la forma escalonada inicial,

responde:

573. W: ¡Oh! pos yendo pa tras

91


Es decir, invirtiendo las operaciones que realizó para llegar al sistema.

Al observar el problema el estudiante escribe una matriz aumentada tomando

como base a la solución dada, pero tomando a t como una de las incógnitas, es

decir implícitamente agrega otra variable z = t, ya que construye un sistema de

tres ecuaciones con tres incógnitas en forma reducida, para luego encontrar el

sistema equivalente inicial pedido.

Para encontrar el sistema inicial el estudiante aplica operaciones fila a la matriz

propuesta por él, para invertir el proceso de reducción.

Aquí observamos que el estudiante al plantearle el problema piensa en un

sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas porque identifica que t es la

variable z, por lo que piensa en la ecuación paramétrica de la recta dada, como

una recta en R3. Este mismo razonamiento se presenta en la pregunta 8, donde el

estudiante al proporcionar el conjunto solución para el sistema dado menciona

que z = t pero al describir el conjunto sólo considera las incógnitas x e y en

términos del parámetro t, pero sabe que es una recta ya que son dos planos que

se intersectan, aunque lo representa como una recta en R2. Por lo que el

estudiante presenta problemas con la parametrización al presentarle la solución

de un sistema dado, ya que no reconoce que dicha solución representa una recta

en R2 y no construye la matriz correspondiente. Entonces decimos que el

estudiante no puede coordinar el modo algebraico con el modo geométrico de la

ecuación de la recta dada, ya que confunde las dimensiones de la misma. Por lo

que tiene dificultades con la inversión del proceso de parametrización.

92


Pregunta 13

Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema

de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:

a) Solución única



El estudiante después de leer el ejercicio, escribe:

Luego para el inciso b, responde:

627. W: Ninguna solución… 1, 2, 1… (Escribe: ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

121121

)b

Para el inciso c:

628. W: Y… más de una solución… (Escribe: ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

242121

)c

Entonces le pregunto porque tachó el inciso a y responde:

632. W: Porque son… dos ecuaciones con tres variables y necesito tres

ecuaciones con tres variables mínimo para que el sistema tenga solución única

Luego le pregunto si con dos planos puede haber solución única, y responde:

93


635. W: No, lo máximo es que se intersecten en una recta

Aquí observamos que el estudiante reconoce que para un sistema de dos

ecuaciones con tres variables, solo puede haber infinitas soluciones o ninguna

solución, ya que tacha el caso para solución única y lo justifica diciendo que

necesitaría tres ecuaciones con tres variables para que exista solución única.

Para el caso de ninguna solución proporciona una matriz aumentada que

representa geométricamente a dos planos paralelos y para el caso de infinitas

soluciones proporciona otra matriz aumentada, la cual representa a dos planos

encimados.

Con esto notamos que el estudiante coordina el proceso de encontrar ecuaciones

equivalentes con el proceso de solución de sistemas de ecuaciones para construir

un proceso que halle sistemas equivalentes, por medio de la construcción de una

matriz aumentada.

Análisis General de Wadi

Después de analizar cada una de las preguntas contestadas por este estudiante,

consideramos que su desempeño fue bueno, aunque mostró algunas

dificultades en problemas que no le son familiares.

Wadi no presenta dificultades para realizar acciones para sustituir puntos dados

para averiguar si éstos satisfacen alguna ecuación dada o algún sistema de

ecuaciones dado. Observamos que el estudiante puede coordinar los procesos

de función y ecuación en un nuevo proceso de solución para una ecuación dada

94


o un sistema dado. También observamos que muestra evidencia de haber

interiorizado las acciones en dicho proceso de solución, al menos en el caso de

los sistemas de dos ecuaciones, ya que considera el conjunto de todas las

posibles soluciones para una ecuación lineal, y para un sistema considera al

conjunto solución como las intersecciones de los conjuntos solución de cada de

las ecuaciones que lo forman. En la pregunta 4 no presenta necesidad de

sustituir los puntos proporcionados en las ecuaciones para afirmar que el

sistema no tiene soluciones, ya que de primera vista identifica a las rectas como

paralelas. Esto muestra que ha interiorizado la acción de encontrar el conjunto

solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Otra evidencia de

su concepción proceso es su respuesta a la pregunta 6, donde maneja bien los

diferentes tipos de conjunto solución en términos del parámetro k. Además

puede proporcionar el conjunto solución en notación de conjuntos. Sin embargo

no muestra tal interiorización cuando se trata de sistemas que contienen tres

incógnitas (ver por ejemplo la pregunta 8), por lo que podemos concluir que en

este caso, la construcción que ha hecho Wadi es aún de tipo acción.

Para la parte geométrica observamos que el estudiante coordina el objeto de

conjunto solución de una ecuación o de un sistema, con el objeto geométrico que

lo representa en un sistema coordenado. Además puede construir el proceso de

conjunto solución de modo geométrico, como en las preguntas 7 y 9. Cabe

mencionar que el estudiante puede coordinar las representaciones geométrica y

algebraica para los sistemas de ecuaciones.

Cuando el estudiante trabaja con matrices, observamos que puede coordinar el

proceso de ecuaciones equivalentes con el proceso de sistemas de ecuaciones,

para encontrar sistemas equivalentes en forma reducida y hallar la solución del

sistema. Pero al introducir parámetros en la matriz, como en la pregunta 10, el

95


estudiante presenta algunas dificultades para determinar el conjunto solución

del sistema equivalente, por ejemplo no puede dar las condiciones que deben

cumplir los parámetros para que el sistema tenga infinitas soluciones.

Asimismo, como comentamos anteriormente, en la pregunta 8 el estudiante

presenta dificultades para interpretar el conjunto solución del sistema, ya que

refleja parcialmente la solución parametrizada de un sistema, pero en R2. Cabe

mencionar que la parametrización es una fuente de dificultad para los

estudiantes (Alves Días, 1998).

Con todas estas observaciones decimos que el estudiante presenta una

concepción proceso para el concepto de conjunto solución de un sistema de

ecuaciones con dos incógnitas, con elementos de estar en camino hacia la

encapsulación de dicho proceso. Respecto a sistemas de ecuaciones con tres

incógnitas se encuentra en camino hacia la interiorización de la acción de

encontrar el conjunto solución de tales sistemas.

IV.1.2. Análisis Mariana (A2)

Pregunta 1:







96


La estudiante observa el problema y escribe:

1. Ma: (Escribe: a) ) no 2) (2, no 1) (3,

es sí 4) (1,

Más adelante le pregunto cómo sabe que el punto (1, 4) es solución, por lo que

responde:

7. Ma: Pues si pongo x y y, me da seis

Para el conjunto solución escribe:

2. Ma: (Escribe: b) { }ℜ∈=+ℜ∈ yxyxyx ,,62),( 2 )

Luego escribe:

3. Ma: (Escribe: c) Infinidad ya que es una recta)

Al preguntarle porqué piensa eso, responde:

14. Ma: Pues porque es una recta, entonces o sea, dependiendo del valor de x y

y que puede ser… o sea x puede ser todos los reales entonces me va a dar y

y ya con eso me da todo

Para la representación geométrica del conjunto solución escribe:

4. Ma: (Escribe: d) una recta)

Por lo que le pregunto qué recta sería y responde:

17. Ma: Una cosa así… (Escribe: 62 +−= xy ) que pase por seis y… (refiriéndose

97


al corte con el eje y)

Aquí la estudiante escribe cuáles pares ordenados son solución y cuáles no lo

son, sin realizar algún procedimiento algebraico, pero señala que el par

ordenado (2,2) no lo es, lo cual es incorrecto. De igual manera escribe el conjunto

solución usando la notación de conjunto y luego afirma que hay infinidad de

soluciones ya que se trata de una recta, la recta 62 +−= xy .

Entonces observamos que la estudiante efectúa acciones mentalmente sobre la

ecuación para decidir cuáles pares son solución y cuáles no, lo cual significa que

coordina los procesos de función y ecuación en un nuevo proceso de solución

para la ecuación dada. Además vemos que este proceso de solución es

encapsulado, ya que proporciona el conjunto solución de manera formal, es

decir, que considera el conjunto de todas las posibles soluciones para la ecuación

dada.

Para la representación geométrica del conjunto solución, la estudiante afirma

que se trata de una recta, por lo que decimos que coordina el objeto de conjunto

solución con el objeto geométrico que lo representa en un sistema coordenado.

Pregunta 2:



ecuación?



98




Para contestar el inciso a, la estudiante escribe:

21. Ma: (Escribe: )

4810-6es sí (2,5,8)es sí (3,1,-3)es no )5,4,1(4583

=+

≠+−

Al preguntarle cómo llegó a ese resultado, nos dice:

29. Ma: Igual los evalué

Luego nos dice que el conjunto solución es:

22. Ma: (Escribe: { 4),( == zyxs )

23. Ma: No, esto no es (tacha la expresión anterior)

24. Ma: (Escribe: { }ℜ∈=+−= zyxzyxzyxs ,,,423),,( )

Más adelante le pregunto si puede escribir el conjunto solución como un punto

pero de manera general y nos responde:

51. Ma: O sea, poniendo no sé… z igual a… (Escribe: yxz 234 −−= )

54. Ma: O sea como x, y… (Escribe: ( )yxyx 234,, −− ) ¿o no?

Para el número de soluciones escribe:

25. Ma: (Escribe: Infinidad)

99


Entonces la estudiante nos dice que la representación geométrica del conjunto

solución sería:

26. Ma: (Escribe: un plano)

Aquí observamos que la estudiante evalúa los puntos en la ecuación para luego

señalar cuáles son solución y cuáles no. Luego da el conjunto solución de forma

general, aunque antes se confunde con la dimensión del conjunto. Al

preguntarle sobre otra forma de representar al conjunto solución y guiarla hacia

la forma de un punto de manera general, la estudiante escribe que se puede ver

como . También indica que hay infinidad de soluciones y por

último describe que la representación geométrica del conjunto solución es un

plano.

( yxyx 234,, −− )

Con esto observamos que la estudiante realiza algunas acciones sobre la

ecuación dada, las cuales son interiorizadas en un nuevo proceso de solución, ya

que la estudiante determina qué puntos son solución a la ecuación y cuáles no.

También notamos que este proceso de solución es encapsulado, ya que

proporciona el conjunto solución de forma general y también lo representa

como una sucesión de puntos, por lo que describe que hay una infinidad de

soluciones.

Para la representación geométrica del conjunto solución, la estudiante afirma

que se trata de un plano, lo cual nos indica que coordina el objeto de conjunto

solución de una ecuación con el objeto geométrico que lo representa en un

sistema coordenado.

Al observar todos estos elementos y tomando en cuenta su respuesta a la

pregunta anterior, decimos que el estudiante ha construido el concepto de

100


ecuación como un esquema que incluye el objeto ecuación, su representación

geométrica y la representación analítica del conjunto solución.

Pregunta 3:




En esta pregunta la estudiante responde:

73. Ma: (Escribe: Conjunto solución- el conjunto de soluciones donde se

cumplen las condiciones establecidas por las ecuaciones dadas)

74. Ma: (Escribe: El conjunto solución del sistema son aquellos valores donde se

cumplen en ambas, o sea su intersección. Y la solución de cada ecuación es

el conjunto de soluciones que hacen que le cumpla cada una. Esto es, que

no necesariamente una solución de una es solución de la otra y en el caso de

que lo sean, será una solución del sistema y coinciden en ese punto, es por

eso que se intersectan)

Al preguntarle sobre el significado del conjunto solución, responde:

76. M: Conjunto solución es donde… es como que si todas… todos los puntos

que van a… que va a hacer que una ecuación se cumpla, ¿no?

Entonces le pregunto sobre el conjunto solución de un sistema y nos dice:

101


80. M: ¡Ah! pues entonces es cuando se cumple… o sea, si ese punto va a ser

solución de los dos…

82. M: … de las dos ecuaciones o tres o cuatro las que existan y entonces quiere

decir que coinciden en ese punto y se intersectan

La estudiante describe que el conjunto solución son todos los puntos que hacen

que una ecuación se cumpla y para un sistema, son los valores donde se

cumplen todas, o sea su intersección.

Con esto observamos que ella muestra una coordinación con los procesos de

ecuación, conjunto y conjunto solución, ya que ha construido el proceso de

solución para un sistema de ecuaciones, ya que lo considera como la

intersección de las ecuaciones. También observamos que este proceso de

solución ha sido encapsulado, ya que la estudiante considera al sistema como el

conjunto de las “dos, tres, cuatro o las ecuaciones que existan” que tienen el

mismo conjunto solución.

Pregunta 4


=−=−

0454

yxyx



tiene?



102


La estudiante observa el problema y escribe:

85. Ma: (Escribe: a) ) νν 0) (0,es no 4) (1,es no (0,-5)

Más adelante le pregunto cómo sabe que los puntos son o no son solución, por

lo que responde:

90. Ma: Porque o sea, si los evalúo aquí (señala el sistema dado) o sea tiene…

cada punto tiene que satisfacer ésta y ésta (señala cada una de las ecuaciones

del sistema dado)

92. Ma: Y no lo hace… nunca

Para encontrar el conjunto solución la estudiante escribe:

86. Ma: (Escribe: b) no hay solución) 4 5 4

4 4 5 0y x y xx x= − == − = −5

Luego grafica el sistema de ecuaciones:

103


Y después escribe:

87. Ma: (Escribe: son paralelas)

Luego comenta acerca del conjunto solución lo siguiente:

88. Ma: (Escribe: d) no hay solución del sistema, aunque cada ecuación tenga

una ∞ de soluciones, ya que al ser paralelas no hay un punto que esté en las

dos ecuaciones ya que de lo contrario se intersectarían y entonces no serían

paralelas)

En esta pregunta la estudiante evalúa mentalmente los puntos dados en cada

una de las ecuaciones del sistema para determinar cuáles puntos son o no son

solución a él, por lo que afirma que ningún punto es solución para el sistema, ya

que ninguno satisface a las dos ecuaciones. Luego resuelve el sistema para

encontrar el conjunto solución y afirma que no hay solución para el sistema

dado, ya que llega a la expresión 0 = -5. Con esto observamos que la estudiante

aplica acciones mentalmente sobre los puntos para determinar cuáles son

solución al sistema, lo cual indica que coordina los procesos de ecuación,

conjunto y conjunto solución para construir el proceso de solución para un

sistema de ecuaciones, el cual representa a los puntos que están en ambas

ecuaciones.

Al graficar el sistema observa que se trata de dos rectas paralelas, por lo que

concluye que aunque cada una de las ecuaciones tienen infinitas soluciones,

como son rectas paralelas no hay punto de intersección, por lo que no hay

solución para el sistema. Aquí observamos que la estudiante coordina el objeto

104



sistema coordenado, para determinar el conjunto solución del sistema, el cual es

vacío en este caso.

Pregunta 5


=+=+

000523

yxyx


tiene?



Para el número de soluciones del sistema, la estudiante responde:

103. Ma: (Escribe: a) una, luego lo tacha y escribe: ninguna)

Más adelante corrige su respuesta anterior y escribe:

107. Ma: (Escribe en el inciso a: { }( , ) 3 2 5, ,x y x y x y+ = ∈ℜ )

Al pedirle la gráfica del sistema dado, la estudiante escribe:

104. Ma: (Escribe para el inciso b: 5 32 2

xy = − − y dibuja la recta anterior)

Luego se muestra confundida acerca del número de soluciones pero después

responde:

117. Ma: ¡Ah! pero cero es cero… sí son todas, todas las que satisface a ésto

105


(señala su conjunto solución), o sea los puntos (se refiere a los puntos de

intersección de la recta 5 32 2

xy = − − con los ejes coordenados) también satisface

a éste y éste también (señala la primera y segunda ecuación del sistema dado)

Entonces al preguntarle qué representa geométricamente la segunda ecuación,

responde:

121. Ma: Un punto…aquí (dibuja un punto en el origen), o sea una ordenada

124. Ma: No, no es cierto es todo, son todos

128. Ma: O sea son todos, todos los puntos satisfacen ésto (señala la ecuación

) 0 0x y+ = 0

132. Ma: Pues el plano XY

Entonces al preguntarle cuál sería el conjunto solución, responde:

136. Ma: Entonces… (Tacha el conjunto solución escrito en el inciso a)

140. Ma: Es… (Escribe: a) ) 2{ }s = ℜ

Luego le pregunto acerca del número de soluciones y escribe:

152. Ma: (Escribe debajo del inciso a: infinidad de soluciones)

Después al querer comentar acerca del conjunto solución se da cuenta que su

respuesta para el inciso a no es correcta y responde:

153. Ma: (Escribe: c) el conjunto solución son todas las…)

106


156. Ma: No, lógicamente no, porque no todas, o sea, ésto está mal (tacha la

expresión ) 2{ }s = ℜ

159. Ma: Que no todas éstas (señala la expresión 2{ }s = ℜ ) van a… van a

solucionar ésta (señala el sistema dado), entonces era ésta (señala el conjunto

solución { }( , ) 3 2 5, ,x y x y x y+ = ∈ℜ que tachó anteriormente)

Al preguntarle porqué afirma eso, nos responde:

161. Ma: Porque, o sea, todas las que están aquí (señala la recta 5 32 2

xy = − − )

van a estar acá (señala todo el plano), o sea, van a estar en esta segunda (señala

la ecuación ) 0 0x y+ = 0

163. Ma: Entonces la intersección de… de lo todo con un poquito, es lo poquito

Entonces corrige y escribe:

172. Ma: A ver acá (Escribe: a) ( ){ }ℜ∈=+= yxyxyxs ,,523, , infinidad de

soluciones)

173. Ma: (Continua escribiendo el inciso c: … parejas (x,y) que satisfacen

ya que al ser la otra ecuación todos los puntos (x,y), las soluciones

de también son solución)

523 =+ yx

523 =+ yx

Al pedirle el conjunto solución en forma geométrica, responde:

176. Ma: Es éste (grafica el conjunto solución sobre la grafica de la recta

) 523 =+ yx

107


En esta pregunta observamos que la estudiante presenta varias dificultades al

momento de resolver este sistema, ya que primero afirma que el sistema tiene

una solución y luego dice que ninguna. Más adelante afirma que hay infinitas

soluciones porque proporciona el conjunto solución

( ){ ℜ∈=+= yxyxyxs ,,523, }

0

, pero luego presenta que el conjunto es ya

que muestra confusión acerca de la representación geométrica de la ecuación

, puesto que nos dice que se trata de un punto, el origen. Luego

rectifica su respuesta y afirma que la ecuación anterior se trata de todo el plano

XY, entonces dice que el conjunto solución es “la intersección de lo todo con lo

poquito, lo cual es lo poquito” Así emplea la noción de subconjunto para

determinar la intersección de los conjuntos dados por las dos ecuaciones.

2{ }s = ℜ

0 0x y+ =

Posteriormente la estudiante logra encontrar el conjunto solución al sistema, lo

cual indica que ha reflexionado sobre las acciones realizadas, para interiorizarlas

en un nuevo proceso de solución, el cual considera todos los puntos de

intersección de las dos ecuaciones del sistema.

108


Para la parte geométrica del sistema, también se observan algunas dificultades

en cuanto a la interpretación de la ecuación 0 0x y 0+ = , lo cual nos indica que el

objeto de conjunto solución de una ecuación y el objeto geométrico que lo

representa no se han encapsulados, y lo mismo puede decirse para el sistema de

ecuaciones.

Pregunta 6


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123



i. ¿Cuál es la solución?

ii. Grafica este sistema y muestra la solución geométricamente.




i. ¿Cuál es el conjunto solución?


c) Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta.

En esta pregunta la estudiante efectúa las siguientes operaciones:

109


190. Ma: (Escribe:

xky

xky

xy

32

2632

−−=

−+

=

−=

)

192. Ma: (Escribe: y luego dibuja tres rectas, dos paralelas y una

transversal a ellas)

xyk

−=−=1

4

Entonces responde al inciso (a) lo siguiente:

193. Ma: (Escribe: a) No puede tener solución única porque sin importar el

valor de la k la primera y la tercera ecuación tienen la misma pendiente y por

lo tanto son paralelas y no tienen una solución en común)

Al preguntarle porqué no puede tener solución única el sistema, responde:

197. Ma: A ver, según yo si nada más tuvieras estas dos… (Señala la primera y

segunda ecuación)

199. Ma: Pues sí tiene una solución, un punto

201. Ma: Pero estas dos (señala la primera y tercera ecuación) nunca van a tener

una solución… única porque… es la misma pendiente, ésta y ésta (circula el -

3x de las ecuaciones que escribió anteriormente)

203. Ma: Son paralelas

Al preguntarle si necesariamente tienen que ser paralelas, responde:

205. Ma: Pues al menos que sean lo mismo, la misma recta, ¿no?

110


208. Ma: O sea… ¡ah! cierto… dependiendo de la k ¿verdad?

Entonces corrige lo siguiente:

209. Ma: No, ésta es la b (cambia el inciso a por el inciso b y modifica lo que

escribió y queda: b) No puede tener ∞ soluciones porque sin importar el valor

de la k la primera y la tercera ecuación tienen la misma pendiente y por lo

tanto son paralelas y no tienen una solución en común)

Luego escribe nuevamente su respuesta para el inciso a:

211. Ma: (Escribe: a) sí hay una solución única en el caso de que k = -4 ya que

así las ecuaciones 1 y 3 serían la misma recta y se intersectan con la segunda

en…)

Resuelve las primeras dos ecuaciones del sistema para encontrar el punto de

intersección, el cual es:

214. Ma: (Termina de escribir en el inciso a: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

41,

43 )

Entonces dibuja la gráfica del sistema:

111


Ahora retomando lo que puso en el inciso b, la estudiante responde:

224. Ma: Ajá pero no sé qué tanto le puse… es que le cambié…

Por lo que escribe lo siguiente:

230. Ma: (Escribe: b) No puede tener infinidad de soluciones ya que las tres

rectas nunca podrían ser la misma sólo dos de ellas (1 y 3) por lo tanto, en el

caso de que k = -4 y fueran iguales solo habría una solución)

Entonces le pregunto qué pasaría si k tomara otro valor diferente de -4, por lo

que la estudiante responde:

239. Ma: No me acuerdo… o ¿sí?... porque aquí… ésta… a ver…

241. Ma: Se supone que… o sea k no tiene nada que ver con esto (señala el -3x

de la ecuación xky 32−−= )

244. Ma: Entonces la pendiente nunca cambiaría, nunca podría ser igual a 1 (se

refiere a la pendiente de la recta 1−= xy )

251. Ma: No, tendrían que ser la misma recta, para que sea la misma recta

tendrían que tener la misma pendiente

Al preguntarle qué pasaría si no fueran la misma recta, responde:

256. Ma: No tendría solución

257. Ma: O sea porque está aquí así y por acá está la otra y ésta no se intersecta

con ésta (señala con sus dedos, dos rectas paralelas y una transversal a ellas)

112


En esta pregunta observamos que la estudiante al principio afirma que el

sistema no puede tener solución única, ya que las ecuaciones 1 y 3 son paralelas

sin importar el valor que tome k, dado que tienen la misma pendiente. Luego al

intervenir en su respuesta, la estudiante se da cuenta que las ecuaciones 1 y 3

pueden ser equivalentes dependiendo del valor de k, por lo que ahora afirma

que el sistema sí puede tener solución única, la cual es el punto ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

41,

43 cuando

k = -4.

Para el inciso b, la estudiante corrige su respuesta y afirma que el sistema no

puede tener infinitas soluciones, ya que las tres ecuaciones no pueden ser

equivalentes; únicamente dos, cuando k es igual a -4. Entonces al preguntarle

qué pasaría si k fuera diferente de -4, la estudiante afirma que el sistema no

tendría solución, ya que se trataría de dos rectas paralelas cortadas por la tercera

en forma transversal.

Observamos que la estudiante presenta dificultades acerca del conjunto solución

del sistema dado, pero luego reflexiona acerca de las acciones realizadas para

encontrar la solución del sistema, mostrando que las ha interiorizado en un

proceso de solución, el cual determina al conjunto solución del sistema como el

punto o los puntos de intersección de todas las ecuaciones que lo forman.

También el hecho de poder trabajar con un parámetro en el sistema indica una

concepción proceso, ya que esto requiere cierto control sobre la situación

matemática.

También observamos que no coordina el objeto de sistemas de ecuaciones y el

objeto geométrico que lo representa, para determinar el conjunto solución.

113


Pregunta 7


dos incógnitas





observas?

Para el número de soluciones, la estudiante responde:

259. Ma: (Escribe: a) ninguna)

Más adelante le pregunto por qué no hay solución al sistema y responde:

267. Ma: Pues porque nunca se va a poder… las tres nunca pasan por el mismo

punto o sea, las tres al mismo tiempo, porque aquí pasan estas dos, estas dos y

estas dos (señala a las rectas de la figura dada)…

269. Ma: … pero nunca pasan las tres

Entonces proporciona el siguiente sistema:

114


261. Ma: (Escribe: b) ) 22

00

+−===

xyyx

Luego al pedirle otro sistema, donde no involucre a los ejes coordenados, la

estudiante presenta algunas dificultades con su procedimiento y nos da la

siguiente respuesta:

297. Ma: (Las enumera: 1 al 22 +−= xy , 2 al 3−= xy y 3 al 24 +−= xy )

Por lo que describe el siguiente conjunto solución:

262. Ma: (Escribe: S = { Ø })

Más adelante afirma:

306. Ma: Y sí es vacío, ¿no? (señala lo que puso en el inciso c) o sea no es nada,

no hay solución

Aquí la estudiante afirma que el sistema dado en forma geométrica no tiene

solución, ya que las tres rectas no pasan por el mismo punto al mismo tiempo,

sino de dos en dos. Al proporcionar un sistema algebraicamente para la figura

dada, la estudiante no presenta problema alguno al incluir a los ejes

coordenados como ecuaciones del sistema, pero al pedirle otro sistema que no

los involucre, presenta algunas dificultades en su procedimiento, pero consigue

proporcionar el sistema. Para el conjunto solución del sistema, la estudiante

afirma que es vacío, es decir, que no tiene solución.

Esto nos indica que la estudiante coordina el objeto de sistemas de ecuaciones


115


encontrar el conjunto solución en forma geométrica, el cual representa las

intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de las

ecuaciones que forman el sistema.

También observamos que la estudiante, a pesar de presentar dificultades en su

procedimiento, puede pasar del modo geométrico al modo algebraico para los

sistemas de tres ecuaciones con dos variables.

Pregunta 8:


=−−=++

142332

zyxzyx


tiene?



Para encontrar el conjunto solución del sistema, la estudiante efectúa las

siguientes operaciones:

312. Ma: (Escribe: 5/15

3103

52

01

13

43

12

21

2 21 −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+− RR

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−≈+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡11

21

10

01

213

23

12

01

12 RR )

313. Ma: (Escribe: tytxzx

tzzy

2111

21

−=+−=+−=

=−=) (Observamos que cometió un error de

signo)

116


314. Ma: (Escribe: { }ℜ∈=−=+−=ℜ∈= ttztytxzyxS ,,21,1),,( 3 )

Para el número de soluciones, responde:

317. Ma: (Escribe: infinidad de soluciones)

Acerca de la representación geométrica del conjunto solución, responde:

318. Ma: (Escribe: b) una recta)

Al preguntarle sobre la representación geométrica del sistema, nos dice:

325. Ma: Un plano y otro plano intersectados en una recta

Entonces al preguntarle porqué una infinidad de soluciones, responde:

328. Ma: Ajá, o sea, porque dependiendo de… de la t

330. Ma: O sea, t son todos los reales

332. Ma: Me va a dar todos los puntos que forman esa recta

Observamos que la estudiante aplica acciones sobre el sistema dado y logra

transformarlo para encontrar su conjunto solución, el cual lo da en forma

parametrizada. Luego afirma que el sistema tiene infinitas soluciones, ya que la

representación geométrica del conjunto solución es una recta. Además que la

infinidad de soluciones se debe a los valores que toma t, ya que éste dará todos

los puntos que forman la recta, dado que t pertenece a los números reales.

Con esto observamos que la estudiante realiza el proceso de construcción de la

matriz aumentada para el sistema dado, el cual es encapsulado, ya que realiza

operaciones de fila para dejar la matriz en forma escalonada reducida, la cual

117


representa un sistema equivalente reducido y con ello encuentra el conjunto

solución del sistema dado y lo representa usando la notación de conjunto.

También observamos que coordina el objeto de sistemas de ecuaciones con el

objeto geométrico que lo representa, para determinar el conjunto solución de

forma geométrica, como los puntos de intersección entre los dos planos, el cual

representa una recta.

Pregunta 9:


incógnitas



Para el número de soluciones, la estudiante responde:

334. Ma:(Escribe: ninguna)

Al preguntarle porqué ninguna, nos dice:

339. Ma: Nunca se intersectan en un mismo punto, o sea, o en los mismos

puntos, digo porque aquí estos dos, aquí estos dos y aquí estos dos (señala las

intersecciones de los planos de dos en dos) pero… o sea no los tres

118


Entonces le pregunto qué pasaría con esos planos para que haya solución y nos

responde:

344. Ma: Tendrían que ser… que sean… o sea que se intersecten en un punto

348. Ma: Que esté así, para que se intersecten en una recta así, así y así, o sea

que uno este aquí y otro acá (señala las intersecciones de tres planos con sus

manos)

350. Ma: Eh… que sean iguales

352. Ma: Que sean dos iguales y uno no

Aquí la estudiante explica que el sistema no tiene solución, ya que los tres

planos no se intersectan al mismo tiempo, en un mismo punto o puntos, sino

que van intersecados de dos en dos. Al preguntarle sobre las posibles soluciones

de tres planos cualesquiera, afirma que pueden intersecarse en un punto, en una

recta o que los tres planos pueden ser iguales, o dos iguales y uno no, para que

el sistema tenga solución.

Con esto observamos que la estudiante coordina el objeto de sistema de


coordenado, para encontrar el conjunto solución en forma geométrica, el cual

representa las intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de

las ecuaciones que forman el sistema.

119


Pregunta 10


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112

a. ¿Qué condiciones deben cumplir a, b, c y d para que el sistema tenga:




b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del inciso

anterior.

Para resolver este problema, la estudiante piensa en algunos métodos de

resolución y luego opta por el método de Gauss, por lo que llega al siguiente

resultado:

393. Ma: (Escribe: 0a

5

2

005310121

≠⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−+−

−

−

dbc

bcc

a

)

Entonces afirma lo siguiente:

394. Ma: Si es diferente de cero, ya me da solución única, ¿no?

Entonces le pregunto cuáles son las condiciones para que el sistema tenga

solución única y responde:

120


399. Ma: Aquí que a sea igual… que sea diferente de cero

400. Ma: O sea porque para que haga… o sea si quiero sacar aquí este valor de

z tengo… (Escribe: dbcaz ++−= ) entonces z lo tengo que dividir entre a,

entonces a debe ser diferente de cero

403. Ma: (Escribe: i) a ≠ 0)

Luego le pregunto qué pasa con los valores de b, c y d y responde:

409. Ma: Pueden ser… aquí lo que sea

416. Ma: (Continúa escribiendo en el inciso i: b, c, d ℜ∈ para que z tenga un

valor a ≠ 0. Así, x, y tendrán valores que dependerán de z, pero b, c, d pueden

ser cualquier valor en los reales)

Para el caso de infinitas soluciones, la estudiante escribe:

417. Ma: (Escribe: ii) a = 0)

418. Ma: Aquí si a es igual a cero…

420. Ma: Entonces esto se me queda así (tapa el tercer renglón)… y entonces

este valor, este… ¿cómo se dice?, o sea, x y y van a… van a estar en términos de

z, entonces z va a ser así como… es como la t que puede tomar cualquier valor,

entonces tengo infinitas soluciones, ¿no?

Entonces le pregunto qué pasaría con b, c y d y responde:

121


423. Ma: mm… también tiene que ser cero ¿no? (escribe:

) porque si aquí tengo cero (señala la matriz)… si no tendría

como una cosa rara, ¿no?

dbc ++−

0=++− dbc

426. Ma: O sea si yo tengo cero igual a algo más, es que algo está mal

428. Ma: Digo porque es una incongruencia, ¿no?

436. Ma: (Escribe en el inciso ii): ya que de esa manera z no tiene un valor

determinado y x, y están en términos de z, así que dependiendo del valor de z,

x, y variarían)

Para el caso de ninguna solución, responde:

448. Ma: Para ninguna solución pueden pasar muchas cosas, para que no

tengan solución pueden ser así (forma un triángulo con sus manos)

450. Ma: Pueden ser… así (forma planos paralelos con sus manos)

Más adelante retomamos el caso para ninguna solución y la estudiante

responde:

549. Ma: A ver… ninguna solución tienen que ser… paralelos… tiene que

tener… la misma normal

561. Ma: Pero no tengo idea qué condiciones…

Al preguntarle sobre los valores de a, b, c y d, responde:

568. Ma: Que sean cero, ¿no verdad?

122


570. Ma: Es que estos… b, c y d no importan tanto ¿o sí?

579. Ma: Sí pero tendría que ser… que uno sea igual a cero que uno… ¿no? o

sea una cosa así, una incongruencia

584. Ma: O sea si aquí me da un cero (señala a)… y esto es distinto (señala la

expresión )… dbc +−−

586. Ma: … es una incongruencia

587. Ma: O sea si esto es cero, este también debe de ser cero (se refiere a las

misma expresiones), ¿no verdad?

594. Ma: Este… el rango… si los rangos son distintos es que no hay solución ¿o

si? o que hay una infinidad, ok aquí…

598. Ma: Aquí ¿qué pasa si me da cero igual a algo más?, allá es una

incongruencia, ya no tiene solución, allá z quien sabe qué es

Luego pasamos al inciso b, donde representa geométricamente cada caso del

inciso anterior.

Para solución única dibuja:

Para ninguna solución dibuja:

123


Para infinitas soluciones dibuja:

En esta pregunta observamos que la estudiante realiza acciones a la matriz

aumentada para transformarla en una matriz escalonada, la cual representa un

sistema equivalente reducido, para luego encontrar las condiciones necesarias

para que el sistema tenga solución única e infinitas soluciones. Para el caso de

ninguna solución observamos que la estudiante presenta dificultades para dar

las condiciones, aunque presenta algunas ideas que la llevarían a la respuesta

pero no concluye nada al respecto. En particular no da importancia a los valores

de los parámetros b, c y d, ya que no se da cuenta del papel que éstos juegan en

la solución del sistema y, aunque en el caso de solución única o infinitas

soluciones logra hacer sentido del papel de los parámetros, en el caso en que el

sistema no tiene solución vuelve a olvidarse de los parámetros para dar

explicaciones geométricas.

124


Con respecto a la parte geométrica observamos que ofrece una interpretación

del sistema de ecuaciones para los tres casos dados, sin embargo no hace una

coordinación entre la parte algebraica y la parte geométrica. Para el caso de

ninguna solución solamente proporciona las posiciones que pueden guardar

entre sí los tres planos, sin relacionarlas con el contexto de este problema. Para

el caso de infinitas soluciones, no piensa en el caso de intersección en una recta.

Entonces decimos que la estudiante, al contar con la matriz aumentada de un

sistema, es capaz de reducirla a una matriz escalonada al aplicar operaciones de

fila, lo que indica que puede realizar la acción de transformación de la matriz,

para encontrar el conjunto solución del sistema equivalente. Sin embargo al no

tomar en cuenta los parámetros, muestra que todavía no ha interiorizado esta

acción en un proceso.

Observamos también que la estudiante no puede coordinar el objeto de sistemas

de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un sistema

coordenado, ya que en el caso de no solución, no reflexiona acerca de cuáles

posiciones pueden ser posibles para el sistema dado.

Pregunta 11

X

Y


común.

125


La estudiante dibuja:

Al preguntarle el porqué de su dibujo, responde:

613. Ma: Digo, porque son rectas o sea, si no es así… no pueden ser que se

doblen y que luego vuelvan a cruzarse

Aquí observamos que la estudiante dibuja dos rectas encimadas, lo cual

representa que tengan más de un punto en común. Ella reconoce que las rectas

no pueden doblarse para cortarse en otro punto.

Esto nos indica que la estudiante coordina el objeto de sistemas de ecuaciones


encontrar el conjunto solución en forma geométrica, el cual representa a los

puntos de intersección de las representaciones geométricas de cada una de las

ecuaciones que forman el sistema, que en este caso son infinitos.

126


Pregunta 12

La solución de un sistema de ecuaciones está dada por: 1332

+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.

a. ¿Cuál es la forma escalonada reducida del sistema?

b. ¿Puedes encontrar el sistema original? ¿De qué manera?

c. ¿Cuál es tu sistema original?

La estudiante responde al inciso (a) lo siguiente:

615. Ma: (Escribe: ) ),,( zyx

616. Ma: (Luego escribe: a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

013

000310201

)

Al preguntarle cómo podría encontrar el sistema original para la solución

dada, responde:

620. Ma: ¿O sea las tres ecuaciones originales?

623. Ma: Este… o sea prácticamente… pero es que no, es que ya le hice… no

solamente dividí esto, sino que le sumé más cosas (señala la matriz) para

dejarla así, ¿no?

642. Ma: Pues inventar el sistema, manipularlo para que me diera esto (se

refiere a la matriz que dió)

127


Luego partiendo de la matriz en forma escalonada reducida, la estudiante

realiza operaciones de fila pero utilizando variables y llega a lo siguiente:

704. Ma: (Escribe: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++

+

++++++

+

yuuxywwzsy

uyuxxyuuwywzzwyw

syyss

33

)3(

233233

)23()

705. Ma: Y ya, le doy cualquier valores

La estudiante al observar el problema escribe un triple ordenado (x, y, z) y luego

propone una matriz aumentada que representa a un sistema de tres ecuaciones

con tres incógnitas. Para encontrar el sistema inicial la estudiante piensa en las

operaciones fila de manera general, ya que maneja las operaciones con variables

ya que afirma que no puede saber qué operaciones se le aplicaron a la matriz

para dejarla reducida.

Nuevamente encontramos una dificultad con el parámetro t, ya que la

estudiante lo interpreta como la variable z para poder construir un sistema de

tres ecuaciones con tres incógnitas y presenta problemas con la dimensión de la

solución dada ya que la interpreta como una recta en R3.

Entonces decimos que la estudiante no puede coordinar el modo algebraico con

el modo geométrico de la ecuación de la recta dada, ya que confunde las

dimensiones de la misma. Por lo que no presenta una interiorización en sus

acciones aplicadas para construir la matriz de un sistema equivalente a la

solución dada.

128


Pregunta 13



a) Solución única



Para el caso de solución única la estudiante responde:

724. Ma: (Escribe: a) 02

0=++=++zyx

zyx)

725. Ma: ¡Ay! no… dos ecuaciones con tres incógnitas…

727. Ma: No pos digo, si tienen tres variables pues son dos planos…

Al preguntarle porqué no puede haber solución única, responde:

733. Ma: Si se intersectan… tiene que ser a fuerzas en una recta, si tengo nada

más dos… aunque sean… es que éstos si se intersectan en (0, 0, 0) (señala el

sistema anterior)

739. Ma: Según yo no puede haber solución única

743. Ma: (Escribe: a) No puede haber, en todo caso se intersectan en una recta)

Para el caso de más de una solución, toma al sistema antes propuesto:

129


744. Ma: ( c) ) 02

0=++=++zyx

zyx

Para ninguna solución escribe:

745. Ma: (Escribe: b) 1

20=++

=++=++zyx

zyxzyx)

Al preguntarle porqué no tendrían solución, responde:

751. Ma: Porque son… son los mismos, nada más que están desplazados, o sea

son paralelos

Al inicio de esta pregunta, la estudiante propone un sistema para el caso de

solución única, pero luego se da cuenta que se trata de dos ecuaciones con tres

variables, es decir dos planos, por lo que afirma que si se intersectan tiene que

ser en una recta. Luego proporciona sistemas para los casos de ninguna solución

y afirma que se trata de planos paralelos y para el caso de infinitas soluciones

toma el sistema que propuso al inicio, el cual se tiene que intersecar en una

recta.

Con esto observamos que la estudiante coordina los procesos de ecuación,

conjunto y conjunto solución de una ecuación, en un nuevo proceso de solución

para un sistema de ecuaciones, de tal manera que se tome la intersección del

conjunto solución de cada una de las ecuaciones.

130


También observamos que existe una coordinación entre la parte algebraica y la

parte geométrica para los sistemas de dos ecuaciones con tres variables y su

conjunto solución.

Análisis General de Mariana:

Después de analizar cada una de las respuestas de esta estudiante, observamos

que presenta algunas dificultades al momento de resolver los problemas que no

le son familiares. Cabe mencionar que en algunos casos pudo superar dichas

dificultades durante la entrevista.

Mariana no presenta dificultades para realizar acciones para sustituir puntos

dados para averiguar si éstos satisfacen alguna ecuación dada o algún sistema

de ecuaciones dado. Observamos que la estudiante puede coordinar los

procesos de función y ecuación a un nuevo proceso de solución para una

ecuación dada o un sistema dado. También observamos que muestra evidencia

de haber encapsulado dicho proceso de solución, ya que considera el conjunto

de todas las posibles soluciones para una ecuación lineal. Por otra parte la

estudiante muestra una coordinación de los procesos de ecuación, conjunto y

conjunto solución, para construir el proceso de solución para un sistema de

ecuaciones.

La estudiante presenta algunas dificultades para interpretar geométricamente la

ecuación 0x + 0y = 0 pues afirma que representa el origen, aunque añ reflexionar

sobre su respuesta es capaz de superar esta dificultad. También observamos que

la estudiante presenta dificultades con la parametrización para encontrar el

conjunto solución de un sistema, como el que se presenta en la pregunta 6, ya

que no toma en cuenta el valor de k para que el sistema tenga solución única,

131


aunque luego reflexiona sobre sus acciones y supera el problema. Esto muestra

que la estudiante presenta una interiorización de sus acciones en un proceso.

Debido a estas dificultades se puede concluir que la estudiante no muestra una

buena coordinación entre el objeto de conjunto solución de una ecuación o de un

sistema, con el objeto geométrico que lo representa en un sistema coordenado.

Sin embargo puede construir el proceso de conjunto solución de modo

geométrico, como en las preguntas 7 y 9. Además la estudiante puede coordinar

la representación geométrica con la algebraica para los sistemas de ecuaciones.

La estudiante puede realizar el proceso de construcción de la matriz aumentada

para un sistema de ecuaciones, y puede aplicarle acciones para transformarla en

forma escalonada reducida, para luego encontrar el conjunto solución. Sin

embargo en la pregunta 10, muestra no haber interiorizado este proceso, pues al

no considerar los parámetros, que juegan un papel importante, no puede

encontrar el conjunto solución del sistema equivalente. Además se observa un

divorcio entre el contexto algebraico de este problema y la parte geométrica.

Esta dificultad se debe a la aparición de la parametrización en estos problemas.

Con todas estas observaciones decimos que la estudiante presenta una

concepción objeto para el concepto de conjunto solución de una ecuación,

aunque para el concepto de conjunto solución de un sistema de ecuaciones,

podemos afirmar que presenta una concepción proceso, aunque parece estar en

vía de construir una concepción objeto, al igual que para el caso de sistemas

equivalentes.

132


IV.1.3. Análisis Jorge (M1)

Pregunta 1







Para el inciso (a) el estudiante responde:

1. J: 6… (Escribe: (1,4) y (2,2) sí resuelven la ecuación 62 =+ yx )

Al preguntarle porqué esos dos, nos dice:

7. J: Porque son los únicos que sustituidos en la coordenada x y y me dan el

valor seis

Entonces le pregunto cuántas soluciones tiene la ecuación dada y responde:

10. J: Una Infinidad de soluciones

Luego le pido que encuentre el conjunto solución y responde:

13. J: Sí, nada más despejas por ejemplo y… (Escribe: ) y x lo

propones como un parámetro… (Escribe: t = x)

xy 26 −=

15. J: Y ya te queda… para cualquier t, te va a dar una y (Escribe: ) ty 26 −=

133


Acerca del número de soluciones nos afirma:

18. J: Una infinidad, todas las que… o sea, todas las que tu quieras… sustituir

aquí como t, te va a dar la y correspondiente para que se resuelva esta ecuación

(señala la ecuación ) 62 =+ yx

25. J: (Escribe: tiene una infinidad de soluciones, si sustituyo una t me dará el

corresp. valor de y, así para toda t encontraré una y)

Luego le pregunto acerca de la representación geométrica del conjunto

solución, a lo que responde:

29. J: Una recta

35. J: La que está… 6 – 2x entonces… (Escribe: xy 26 −= )

El estudiante describe cuáles pares ordenados son solución de la ecuación dada

sin realizar algún procedimiento algebraico y afirma que son los únicos que

cumplen con la igualdad. Luego afirma que la ecuación dada tiene infinitas

soluciones, para después encontrar el conjunto solución de la misma en forma

paramétrica. Esto nos indica que el estudiante muestra una reflexión sobre las

acciones aplicadas a los puntos dados para averiguar si son solución o no, ya

que realiza un procedimiento mental sobre ellas para poder dar su respuesta.

La parametrización que realiza muestra que ha interiorizado estas acciones en

un proceso de solución para la ecuación dada. Dicho proceso muestra la

coordinación de los procesos de función y ecuación, para verificar si un punto

134


dado es solución a la ecuación dada o no. Además este proceso de solución ha

sido encapsulado, ya que el estudiante considera el conjunto de todas las

posibles soluciones para la ecuación dada, el cual es infinito.

El estudiante interpreta que la representación geométrica del conjunto solución

es una recta, la cual se da por la relación xy 26 −= . Esto nos muestra que el

estudiante coordina el objeto de conjunto solución de una ecuación con el objeto

geométrico que lo representa en un sistema coordenado.

También podemos observar que coordina la parte algebraica de la ecuación con

la parte geométrica, ya que interpreta al conjunto solución como la misma recta

de la ecuación dada.

Pregunta 2:



ecuación?





Para responder al inciso (a), el estudiante escribe:

42. J: (Escribe: (3, 1, -3) (2, 5, 8) son soluciones de la ecuación ) 3 2x y z− + = 4

Al preguntarle cómo sabe que esos dos puntos son soluciones, responde:

46. J: Sustituí los valores igual que en la otra (se refiere a la pregunta anterior)

135


Cuando le preguntamos sobre el número de soluciones, nos dice:

49. J: Ah pos también tiene infinidad de soluciones, pero éste ya es un plano y

tiene dos parámetros, como sólo es una ecuación…

51. J: … tiene dos grados de libertad, entonces como tiene dos grados de

libertad, los grados de libertad me indican la ecuación general de un plano

Luego proporciona el siguiente conjunto solución:

58. J: (Escribe: 4 2 3

x ty rz r

=== + − t

)

1. J: mm… es que si tú propones un valor para… para t…

66. J: … y uno para r… esta ecuación te va a dar el valor correspondiente en z,

¿no?, te va a dar el valor que te va a ubicar el punto que tu elegiste dentro del

plano

68. J: Entonces… sí, proponiendo cualquier valor r y t pues obtienes el… la

tercera coordenada

Luego trata de encontrar otra forma de expresar el conjunto solución y nos

dice:

141. J: Es que estoy… o sea, estoy pensando cómo ponerlo de otra forma que se

ya vea como más claro… para mí también

161. J: Por ejemplo, el conjunto solución es el x, y, z tal que…

162. J: mm… pues que satisfagan esta ecuación (se refiere a la ecuación dada)

136


163. J: (Escribe: { }, , 3 2 4S x y z x y z= − + = ) con x, y, z que pertenezcan a R3, ¿no?

170. J: El conjunto de los… de x, y, z tal que x, y, z sustituidos en esta ecuación

te dé cuatro

Para la representación geométrica del conjunto solución, responde:

181. J: Un plano

Observamos que el estudiante proporciona los triples ordenados que son

solución a la ecuación dada sin ningún problema. Él afirma que estos puntos son

solución, ya que sustituyó mentalmente los puntos en la ecuación dada. Luego

afirma que existe una infinidad de soluciones para esta ecuación, ya que se trata

de un plano cuya ecuación tiene dos parámetros. Esto lo justifica diciendo:

“como sólo es una ecuación tiene dos grados de libertad, entonces los grados de

libertad me indican la ecuación general de un plano”.

Después proporciona el conjunto solución de la ecuación parametrizando a x y a

y por t y r, dejando a z en términos de estos dos parámetros, es decir,

. Buscando otra manera de expresar el conjunto

solución, llega a

trzrytx 324,, −+===

{ }, , 3 2 4S x y z x y z= − + = ) con x, y, z que pertenezcan a R3.

Aquí observamos que el estudiante aplica ciertas acciones mentalmente sobre la

ecuación dada para encontrar los puntos que sí son solución a ella, lo cual

significa que coordina los procesos de función y ecuación a un nuevo proceso de

solución, de tal manera que verifique si un punto es solución a la ecuación dada

o no. Este proceso de solución es encapsulado, ya que expresa el conjunto

solución de la ecuación en forma paramétrica y en notación de conjuntos, por lo

que afirma que hay una infinidad de soluciones para la ecuación dada. También

137


notamos que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución de la

ecuación con el objeto geométrico que lo representa en un sistema coordenado,

ya que reconoce que la representación geométrica de la ecuación dada se trata

de un plano.

Con la coordinación de todas estas acciones, procesos y objetos y tomando en

cuenta su respuesta a la pregunta anterior podemos decir que el estudiante ha

construido un esquema del concepto de ecuación que incluye el objeto ecuación,

su representación geométrica y la representación analítica del conjunto solución.

Pregunta 3:




Para el significado del conjunto solución de un sistema, el estudiante escribe:

187. J: (Escribe: Todos los puntos que sustituidos en cada ecuación del sistema

hagan válida ésta, así como las otras ecuaciones pertenecientes al sistema)

189. J: Conjunto solución de un sistema de ecuaciones son todos los puntos que

sustituidos en cada una de las ecuaciones del sistema…

191. J: … hagan válida tanto esa ecuación como las otras ecuaciones del sistema

Al preguntarle sobre la relación entre el conjunto solución del sistema y el de

cada una de las ecuaciones, responde:

138


194. J: Es que puede ser que sean la misma solución para todas las ecuaciones,

puede ser que… que no tengan… puede ser que sea la misma solución el

sistema y la… conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una

de la ecuaciones del sistema…

197. J: O puede ser… puede ser incluso que no haya solución

199. J: O que tengan una solución única

Estas respuestas que proporcionó el estudiante serían las posibles soluciones

para un sistema de ecuaciones.

Al preguntarle nuevamente sobre la relación, nos dice:

216. J: Ninguna

224. J: Porque todas las ecuaciones del si… porque las ecuaciones… todas las

ecuaciones del sistema como que me restringen el… el conjunto solución,

bueno no me restringen, sino que me cambian el conjunto solución de alguna

manera

226. J: Entonces… no importa qué solución tengan cada una de ellas, el

conjunto solución va a ser diferente

Entonces le presento un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y le

pregunto los casos para que tenga solución y responde:

238. J: Para que haya solución que se intersecten en algún lugar o que sean la

139


misma

Entonces le pregunto cuál sería el conjunto solución de cada una de las

ecuaciones, a lo que responde:

241. J: Todos los puntos que sustituidos en la ecuación me den cero, bueno me

den… si todos los puntos que sustituidos en la ecuación homogénea sean cero

Entonces al preguntarle sobre el conjunto solución del sistema, nos dice:

248. J: El punto en donde se intersectan

250. J: O… o una infinidad

253. J: Porque pueden tener un punto en común…

255. J: O una infinidad de puntos en común

Entonces el estudiante nos dice:

257. J: O sea que… la solución de… de una ecuación… bueno la solución de

una ecuación y la del conjunto solución están contenidos en los dos, en los dos

conjuntos, ¿no?

260. J: (Escribe: La solución de una ecuación del sistema y la del conjunto

solución están contenidas en ambos conjuntos)

Observamos que el estudiante afirma que el conjunto solución de un sistema

son todos los puntos que sustituidos en cada ecuación del sistema la hagan

válida, así como a las otras ecuaciones del sistema. Al preguntarle sobre la

140


relación que existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución

de cada una de las ecuaciones que forman el mismo, proporciona las posibles

soluciones para un sistema de ecuaciones. Al preguntarle nuevamente sobre la

relación de los conjuntos solución, el estudiante afirma que no existe alguna

relación, ya que todas las ecuaciones del sistema cambian el conjunto solución,

es decir, “no importa qué solución tengan cada una de las ecuaciones, el

conjunto solución va a ser diferente”. Pero al plantearle un caso en particular de

un sistema, el estudiante afirma que el conjunto solución de una ecuación son

todos los puntos que sustituidos en la ecuación homogénea sean cero y para un

sistema, es el “punto en donde se intersectan”.

Con esto observamos que el estudiante presenta algunas dificultades acerca de

la relación entre el conjunto solución de cada una de las ecuaciones de un

sistema y el conjunto solución del mismo, ya que afirma que no existe alguna

relación entre ellos, lo cual indica que no existe coordinación entre los procesos

de ecuación, conjunto y conjunto solución de una ecuación, para poder construir

el proceso de solución de un sistema de ecuaciones, el cual toma la intersección

del conjunto solución de cada una de las ecuaciones. Además el estudiante no

puede expresar dicha relación para un sistema de ecuaciones en general, lo cual

indica que el estudiante no ha encapsulado el proceso de solución para un

sistema de ecuaciones.

Pregunta 4


=−=−

0454

yxyx


141



tiene?



El estudiante observa el inciso (a) y responde:

263. J: No, esos no son solución (se refiere a los pares ordenados dados)

Al preguntarle porqué no son solución, nos dice:

269. J: Porque ningún de los puntos sustituidos en… las dos ecuaciones hace

verdadera las dos

273. J: Ajá, para que sean solución el punto sustituido en ambas ecuaciones me

tiene que cumplir la igualdad

Entonces le pregunto si existe alguna solución para el sistema y responde:

276. J: No, no porque son rectas paralelas

Al preguntarle cómo sabe que son paralelas, nos dice:

278. J: Porque tienen la misma pendiente pero una está movida del origen

Luego grafica el sistema de ecuaciones dado:

142


Después concluye acerca del conjunto solución lo siguiente:

286. J: Que no existe

287. J: Porque no hay un punto… un punto que… para empezar un punto que

haga verdadera las dos ecuaciones…

298. J: (Escribe: No existe conjunto solución ya que no existe un punto común

en las rectas)

En esta pregunta el estudiante afirma que los puntos dados no son solución para

el sistema, ya que al sustituirlos en las ecuaciones no hacen verdaderas a las dos,

es decir, no cumplen “la igualdad” Entonces el estudiante afirma que el sistema

no tiene solución, ya que se trata de dos rectas paralelas. Luego grafica el

sistema de ecuaciones dado y concluye que no existe conjunto solución para el

mismo, ya que no hay un punto en común en las rectas, es decir, no se

intersectan.

Con esto observamos que el estudiante construye un proceso de solución para

este sistema, al coordinar los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución

de una ecuación, ya que considera al conjunto solución del sistema como la

143


intersección de los conjuntos solución de las dos ecuaciones. Este proceso de

solución está encapsulado, ya que se observa que el estudiante considera al

sistema dado como el conjunto de las dos ecuaciones y que la solución del

sistema es, en este caso, el conjunto vacío. Observamos que a pesar de que el

estudiante no pudo articular una respuesta coherente a la pregunta anterior

donde se pedía la relación general entre los conjuntos solución de un sistema y

las ecuaciones que lo componen, la interpretación que maneja en el contexto de

este problema es correcta y adecuada.



sistema coordenado, ya que interpreta al sistema como dos rectas paralelas las

cuales no se intersectan, es decir, no tienen solución.

Pregunta 5


=+=+

000523

yxyx


tiene?



El estudiante observa el inciso (a) y responde:

302. J: ¿Cuántas soluciones tiene? también una infinidad, ¿no?

Al preguntarle porqué una infinidad, responde:

144


304. J: Porque es una recta y esto… en realidad no afecta qué número le pongas

aquí, esta cosa siempre va a ser cierta (se refiere a la ecuación ) 000 =+ yx

Luego afirma que el conjunto solución es:

309. J: (Escribe: ty23

25−= , x = t)

Al preguntarle porqué ese es, nos dice:

313. J: Porque… cualquier t que yo proponga me va a dar… cualquier t que yo

proponga me va a dar su correspondiente en y…

315. J: Y eso me va a ser cierta esta ecuación de aquí arriba y cualquiera y y t,

bueno y y x en este caso sustituida en la ecuación de abajo me va a dar, me va a

cumplir la ecuación

Entonces le pregunto acerca del número de soluciones y responde:

331. J: (Escribe: infinidad de soluciones, las mismas que la de la 1ra ecuación)

Al pedirle que grafique el sistema, dibuja:

Por lo que le pregunto si es todo el sistema y responde:

145


336. J: Sí… el otro no es nada

Entonces le pregunto cómo puede haber infinitas soluciones para el sistema, a

lo que responde:

339. J: Porque pues es una recta, o sea, el sistema sólo… sólo está siendo

afectado por la ecuación de la recta

Por lo que al indagar sobre la representación geométrica de la segunda

ecuación del sistema, el estudiante nos dice:

343. J: Pues el origen (dibuja el punto (0,0) en la misma gráfica)

347. J: Puede ser todo el plano también, todas las x y las y… en R2…

349. J: Sí, puede ser todo el plano, cualquier x y cualquier y en R2 que

multiplicada por cero me da cero, ¿no? de hecho no es este punto (se refiere al

(0,0)), son todos los puntos

353. J: Sí porque, si yo sustituyo cualquier punto en R2…

355. J: … en la segunda ecuación siempre va a ser cierta, pero no cualquier

punto de R2 va a hacer cierta la primera

357. J: Entonces como que hay una intersección del… del plano cartesiano con

la recta, donde sólo la recta es solución de ambas ecuaciones porque la recta

también está en R2

Por lo que el estudiante concluye acerca del conjunto solución lo siguiente:

146


365.J: (Escribe: El conjunto solución del sistema es la intersección de el plano

con la recta)

Aquí observamos que el estudiante afirma que el sistema tiene infinidad de

soluciones, ya que el conjunto solución está representado por la recta de la

primera ecuación, es decir ty23

25−= , x = t y cualquier punto que tome de este

conjunto va a satisfacer a la segunda ecuación. Luego al pedirle que grafique el

sistema, el estudiante traza únicamente la primera ecuación del sistema, ya que

afirma que la segunda ecuación no representa nada. Después dice que esta

ecuación es el punto (0, 0) y más adelante se da cuenta que se trata de todo el

plano, entonces afirma que existe una intersección entre el plano y la recta,

donde la recta es la solución de ambas ecuaciones, es decir, el conjunto solución

del sistema.

Esto nos indica que el estudiante coordina los procesos de ecuación, conjunto y

conjunto solución de una ecuación, ya que identifica al proceso de solución del

sistema como la intersección de los conjuntos solución de las dos ecuaciones.

Aunque el estudiante al principio presenta ciertas dificultades acerca de la

representación geométrica de la ecuación 000 =+ yx , después logra coordinar el

objeto de sistemas de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa,

para interpretar geométricamente el conjunto solución del sistema como las

intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de las dos

ecuaciones del sistema. Con esto podemos afirmar que tiene interiorizado su

proceso de solución, pero no podemos afirmar que esté encapsulado.

147


Pregunta 6


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123



iii) ¿Cuál es la solución?

iv) Grafica este sistema y muestra la solución geométricamente.


d) ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones?


iii) ¿Cuál es el conjunto solución?

iv) Grafica este sistema y muestra la solución geométricamente.


e) ¿Es posible que este sistema no tenga solución? Justifica tu respuesta.

Para el caso de solución única, el estudiante responde:

372. J: No, creo que no hay

Luego escribe lo siguiente:

148


377. J: (Escribe: y luego grafica: xy

xy321

−=−=

)

378. J: Sí es solución única aunque no tienen la misma pendiente… entonces

son rectas que se intersectan en algún punto… ésta es la misma que ésta

(señala la tercera y la primera ecuación)

Entonces le pregunto porqué sería la misma y responde:

380. J: Sí, solo que multiplicada por… un número, bueno con k igual a… me

imagino que k puede ser lo que tú quieras, ¿qué es k?

383. J: ¡Ah! no, no, para cualquier valor de k no

385. J: Para… en esta ecuación sería para k igual a -4

Entonces nos dice que la solución única para el sistema es:

412. J: (Escribe: para k = -4, 41

43

−== yx )

Para el inciso (b), el estudiante responde:

414. J: No es posible que tenga infinitas soluciones porque ya vimos que son

dos rectas diferentes

149


Entonces le pregunto qué pasaría si le doy otro valor a k, a lo que responde:

417. J: ¡Ah! sí, con otro valor de k sí puede ser

421. J: No, de todas maneras no porque si tienes una k distinta pues ya tendrías

tres rectas diferentes… y tres rectas… para empezar con que estas dos no sean

iguales (señala la primera y segunda ecuación)…

423. J: … pues entonces ya no pueden tener una infinidad de soluciones

431. J: (Escribe: para cualquier 4−≠k tendría 3 rectas distintas, o 2 en caso de

que la 3ra ecuación tomara un valor en k que la hiciera igual a la segunda; de

cualquier manera no podría tener infinidad de soluciones ya que nunca serían

la misma recta las 3 al mismo tiempo)

Luego le pregunto si este sistema puede no tener solución y nos dice:

438. J: Sí, con k distinta de 4, ¿no?

440. J: Porque al ser… tres rectas… diferentes…

442. J: Este… no se van a intersectar en el mismo punto

446. J: (Escribe: porque 3 rectas diferentes no se van a intersectar en el mismo

punto las 3 al mismo tiempo)

En esta pregunta observamos que el estudiante al principio afirma que el

sistema no puede tener solución única, pero luego de graficar las dos primeras

ecuaciones del sistema dado se da cuenta que sí puede existir solución, ya que

150


afirma que la primera y tercera ecuación son la misma cuando k toma el valor

de -4.

Para el inciso b, el estudiante afirma que no puede haber infinitas soluciones

para el sistema, ya que se trata de dos rectas diferentes y si tomara una k

diferente de -4 pues serían tres rectas diferentes, por lo que no podría haber

infinitas soluciones, ya que nunca serían la misma recta. Sin embargo en el

renglón 431 indica que algún valor de k puede hacer las ecuaciones 2 y 3

equivalentes. Esto muestra que no tiene clara la relación que debe existir entre

los coeficientes de las dos ecuaciones, para que esto sea cierto. Parece que la

existencia de un parámetro obstaculiza la toma en consideración de los otros

coeficientes.

Para el caso de no solución, el estudiante dice que sí es posible cuando k sea

distinta de -4 (aunque dice 4 en la entrevista creemos que éste sólo es un error

de descuido), ya que representa tres rectas diferentes que no se intersecarán en

el mismo punto.

Observamos que el estudiante presenta algunas dificultades para el caso de

solución única, ya que al escribir el conjunto solución incluye el valor de k,

quizá porque probablemente la concibe como una de las incógnitas del sistema

de ecuaciones. Sin embargo después logra coordinar los procesos de ecuación,

conjunto y conjunto solución de una ecuación en un nuevo proceso de solución

para el sistema de ecuaciones, ya que toma al conjunto solución del sistema

como la intersección de los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones

que lo forman. Dicho proceso de solución no está encapsulado, ya que el

estudiante presenta algunas dificultades en relación con la identificación de

ecuaciones equivalentes, cuando una de las ecuaciones contiene un parámetro,

aunque reconoce al sistema como el conjunto de ecuaciones que deben

compartir el conjunto solución.

151


También vemos que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución de un

sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un sistema

coordenado. Sobre todo en el caso de solución única, la representación

geométrica le ayuda a interpretar la situación.

Pregunta 7


dos incógnitas

d) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema?

e) Da un sistema de ecuaciones, algebraicamente, que pueda representar


f) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué

observas?

Para el número de soluciones del sistema, el estudiante responde:

448. J: (Escribe: Ninguna, no hay un punto en común por el que pasen las 3)

Para el inciso b, escribe lo siguiente:

152


456. J: (Escribe: ) 0

00

==−=+

yyxyx

Luego le pido otra ecuación para el sistema, diferente de la ecuación 0=y y

escribe:

462. J: (Luego escribe: 15

−=+− yx y tacha la ecuación 0=y )

Al preguntarle cómo sabe que su sistema forma la figura dada, nos responde:

465. J: Por las pendientes, ésta siempre va a ser la pendiente positiva (a un lado

de la primera ecuación dibuja ⁄)…

467. J: … ésta la pendiente negativa (a un lado de la segunda ecuación dibuja \)

y ésta una pendiente positiva pero este… o sea que se acerca a cero (a un lado

de la tercera ecuación dibuja ⁄ pero más inclinada)

El estudiante afirma que el sistema representado en la figura no tiene solución,

ya que no existe un punto en común para las tres rectas. Luego proporciona un

sistema algebraicamente para la figura y lo justifica por la inclinación de sus

pendientes.

Con esto observamos que el estudiante coordina el objeto de sistemas de


coordenado, para construir un proceso de solución de manera que puede

encontrar el conjunto solución del sistema dado en forma geométrica, al

observar las intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de

las ecuaciones que forman el sistema. También notamos que el estudiante puede

153


pasar del modo geométrico al modo algebraico para los sistemas de tres

ecuaciones con dos variables.

Pregunta 8:


=−−=++

142332

zyxzyx


tiene?



El estudiante observa el sistema y responde:

471. J: ¿Cuántas soluciones tiene? Una infinidad ¿no?, son dos ecuaciones, tres

incógnitas, un grado en libertad, entonces se intersectan en una recta

473. J: Entonces tiene una infinidad de soluciones

Luego resuelve el sistema para encontrar el conjunto solución, donde obtiene:

476. J: (5105 ,con ,

510z-5y tytz −

=== )

479. J: (Escribe: ttx 3510523 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= )

481. J: Bueno sí, expresado sería… (Escribe: ( ){ }tz y ,, ===xzyx ) tal que x

sería igual a esto, y y sea igual a ésta… y tz = (señala con una flecha los

valores de x y de y que encontró antes)

154


Entonces acerca de la representación geométrica del conjunto solución, nos

responde:

486. J: Una recta

Aquí el estudiante observa el sistema y afirma que hay una infinidad de

soluciones, puesto que se trata de dos ecuaciones con tres incógnitas, que se

intersectan en una recta. Luego resuelve el sistema algebraicamente y encuentra

el conjunto solución del mismo en forma paramétrica y lo expresa usando la

notación de conjuntos.

Con esto observamos que el estudiante aplica las acciones necesarias para

resolver el sistema dado y así encontrar el conjunto solución, lo cual nos indica

que el estudiante coordina el proceso de ecuación, conjunto y conjunto solución

de una ecuación para construir un nuevo proceso de solución para el sistema de

ecuaciones, ya que toma al conjunto solución del sistema como la intersección

de los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones del sistema, que en este

caso es una recta. También vemos que el estudiante coordina el objeto de

conjunto solución de un sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo

representa en un sistema coordenado.

155


Pregunta 9:


incógnitas



El estudiante observa la figura y responde:

491. J: Esto no tiene solución

Al preguntarle porqué no hay solución, nos dice:

493. J: Porque no se intersectan a lo largo, bueno no se intersectan en ninguna

recta en común… los tres planos al mismo tiempo

Entonces escribe:

498. J: (Escribe: ninguna, ya que no hay una recta en común donde se inters. los

3)

156


Aquí el estudiante afirma que la representación geométrica del sistema no

puede tener solución, ya que los tres planos no se intersectan en una misma

recta.

Esto indica que el estudiante coordina el objeto de sistemas de ecuaciones con el

objeto geométrico que lo representa en un sistema coordenado, para construir

un proceso de solución de modo que puede encontrar el conjunto solución del

sistema dado en forma geométrica, mirando las intersecciones de las

representaciones geométricas de cada una de las ecuaciones que forman el

sistema.

Pregunta 10


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112

c) ¿Qué condiciones deben cumplir a, b, c y d para que el sistema tenga:

iv) Solución única?

v) Infinitas soluciones?

vi) Ninguna solución?

d) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del

inciso anterior.

Para resolver el inciso (a), el estudiante reduce la matriz y llega a lo siguiente:

157


501. J: (Luego escribe:⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−−+−−

−

bdc

bcc

a5

2

005

310121

, bdca −+−= )

Entonces para el caso de solución única, responde:

508. J: mm… para que haya solución única…

510. J: … el determinante debe ser distinto de cero

Por lo que calcula el determinante y escribe:

516. J: (Luego escribe: Sol. única Det ≠ 0 a ≠ 0 )

Al preguntarle qué pasa con b, c y d, responde:

523. J: Pues que… b, c y d en realidad no influyen en el determinante

525. J: Y el determinante es el que estoy tomando en cuenta para decir que… la

solución que debe tener, o sea, b, c y d pueden ser cualquier valor

Luego escribe:

518. J: (Escribe: Infinitas soluciones a = 0)

Al preguntarle porqué a es igual a cero, responde:

530. J: Porque de esto mismo (señala el resultado del determinante, el cual es

5a), la única forma en que el determinante se hace cero es cuando a vale cero

532. J: Y b, c y d también pueden tomar cualquier valor

158


Para el caso de no solución, nos dice:

538. J: Para que no haya solución no tendría que cumplir esta ecuación, ¿no?

(señala la ecuación bdca −+−= )

Entonces le pregunto cuáles son las condiciones que deben de cumplir los

valores y responde:

542. J: Ésta (señala la misma ecuación)… o sea, que fueran solución de esta

ecuación

547. J: ¿Cómo hacer para que no tenga solución?

550. J: Sí puede existir el que no haya solución, pero… deberían ser planos

paralelos

Por lo que le pregunto qué casos hay geométricamente para no solución y nos

dice:

556. J: Que sean paralelos o que sean como… que no se intersecten en la misma

recta… mm… ¿qué más?… ya nada más creo

Entonces le pido que dibuje los casos del inciso (a):

559. J: En infinidad de soluciones es cuando es el mismo plano, ¿no?

561. J: (Dibuja:

159


)

562. J: Solución única… cuando solo se intersecta en un punto, pero… (Dibuja:

)

… es que está medio extraño, pero… son dos planos que se intersectan en una

recta…

564. J: … y luego un plano perpendicular a esa recta donde se intersectan y sólo

se intersectan en un punto

567. J: Para no solución ¿qué puede ser?

568. J: Algo así como el de hace rato (dibuja:

)

570. J: O que sean paralelas (dibuja:

160


)

573. J: También puede ser así como… como estos dos que se intersectan aquí y

éste que sea paralelos a éste o… u otro paralelo a éste (dibuja dos planos

intersecados y otro paralelo a cualquiera de ellos dos)

Después le pregunto qué condiciones debe de cumplir a, b, c y d para que no

haya solución desde la matriz y responde:

587. J: No sé… no

En esta pregunta el estudiante manipula la matriz dada aplicando operaciones

de fila para transformarla a otra en forma escalonada. Para el caso de solución

única, el estudiante encuentra el determinante del sistema y afirma que sí existe

solución cuando a es diferente de cero y los valores de b, c y d pueden ser

cualquiera, ya que no influyen en el determinante como a. Para infinitas

161


soluciones, el estudiante afirma que a debe ser igual a cero, ya que es el valor

que debe tomar a para que el determinante sea cero y los valores de b, c y d

pueden ser cualquiera, pero no observa que la expresión también

debe ser igual a cero.

dbc +−−

Al pasar al caso de no solución, el estudiante no puede expresar las condiciones

para los valores de a, b, c y d, pero afirma que sí puede existir este caso, por lo

que recurre a la parte geométrica para el sistema de ecuaciones dado y afirma

que los planos deben ser paralelos o que no se intersecten en la misma recta,

pero al dibujarlos también presenta el caso de tres planos formando un

triángulo como en la pregunta anterior. Luego se le pide la representación

geométrica para cada caso del inciso (a), donde observamos que no reflexiona

acerca de los casos posibles para este sistema, sino da una respuesta general.

Finalmente al preguntarle nuevamente sobre las condiciones que deben de

cumplir a, b, c y d para que el sistema no tenga solución, el estudiante no puede

expresarlo.

Con esto observamos que el estudiante, al contar con la matriz aumentada,

puede realizar operaciones de fila para reducirla a la forma escalonada, la cual

representa un sistema equivalente en forma reducida, lo cual indica que el

estudiante coordina el proceso de ecuación equivalente con el proceso de

sistemas de ecuaciones, para construir el proceso de sistemas equivalentes en

forma reducida y en particular en forma escalonada. Aunque da una respuesta

adecuada al inciso (a), para los otros dos casos notamos que no toma en cuenta

los valores de todos los parámetros para dar respuesta a los tipos de conjunto

solución. En particular no proporciona argumentos para el caso de no solución.

Por lo que decimos que el estudiante no ha interiorizado la acción de encontrar

la solución de un sistema en un proceso, utilizando el método de Gauss y

162


determinantes. No puede interpretar el significado de “cero determinante”, y

esto causa confusión en su respuesta a los incisos (ii) y (iii).

Luego observamos que el estudiante tiene dificultades para coordinar el objeto

de sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en el

sistema coordenado, ya que su respuesta es muy general, sin tomar en cuenta

las propiedades del sistema en cuestión.

Pregunta 11

X

Y


común.

Para este problema el estudiante dibuja:

163


Entonces le propongo el mismo problema para tres rectas, a lo que responde:

600. J: Puede ser… podrían ser distintas pero que… ¡Ah! no, más de un punto

en común tendrían que ser la misma otra vez

El estudiante dibuja dos rectas encimadas, cumpliendo con lo que se pide en la

pregunta. Al proponerle tres rectas con la misma condición, afirma que tienen

que ser la misma.

Esto nos indica que el estudiante coordina el objeto de conjunto solución de un

sistema con el objeto geométrico que lo representa en el sistema coordenado en

ℜ2.

Pregunta 12


+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.




Al observar este problema el estudiante escribe:

615. J: (Escribe: 1332

−−

13

332=+

−=⇒=+ty

xttx)

Luego dice:

164


618. J: O sea, ¿la forma escalonada de este sistema (señala la ecuación dada), así

tal cual como está?

620. J: No, es que… no es un sistema es una ecuación

Al pedirle la forma escalonada reducida, escribe:

626. J: (Escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13

3021

)

Luego se da cuenta que algo está mal y escribe:

631. J: (Escribe: ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13

32

tyx

632. J: (Luego escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 13

31021

t)

De nuevo cambia su respuesta y escribe:

640. J: (Escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

13

310201

)

Luego dice:

643. J: Porque como tengo dos sistemas de ecuaciones y tres incógnitas…

645. J: … puedo tener un parámetro, entonces pongamos que éste sea mi

parámetro, z, que esté aquí la coordenada z…

647. J: … mi parámetro, aquí pondría t y al despejar x sería 3 - 2t y al despejar y

165


sería 1 - 3t

Luego le pido el sistema original y nos dice:

653. J: Tendría que… como mis x y mis y están… determinadas por un

parámetro… a ver… es que el sistema original no sé, pero un sistema

equivalente…

655. J: … podría ser, ¿no?

656. J: Tendría que escoger el parámetro… y… obtener las x y las y… mm…

657. J: Sí se puede, pero no me acuerdo cómo

672. J: Sí se puede haciendo el proceso al revés…

674. J: … ¿no?, pero pues no sabes cómo fuiste reduciendo la matriz

684. J: Sí se puede hacer al revés pero… pero no sabes cómo lo fuiste

reduciendo, en qué orden

686. J: No sabes qué fuiste sumando a qué o…

687. J: Si yo tengo la reducción y a partir de allí quiero volver… quiero

regresarlo pues sí se puede, porque entonces ves qué es lo que hiciste

exactamente

689. J: Pero si solamente me dan esto no (señala la matriz escalonada que dio)

En esta pregunta observamos que el estudiante al inicio intenta despejar el

parámetro t de la ecuación dada, pero al observar que tiene que construir la

forma escalonada del sistema presenta una matriz aumentada que representa un

166


sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Luego escribe la forma vectorial

de la recta dada y propone otra matriz pero ahora incluye el parámetro en el

último renglón de la aumentada. Después da otra matriz pero que representa un

sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas y afirma que como tiene dos

ecuaciones y tres incógnitas puede tener un parámetro, entonces afirma que si

su coordenada z la sustituye por t entonces llega a la solución dada.

Luego al pedirle que encuentre el sistema inicial, afirma que puede dar uno

equivalente haciendo el procedimiento al revés siempre y cuando tenga la

reducción, ya que de no tenerla no puede saber qué operaciones de fila aplicó,

por lo que no pudo encontrar el sistema.

Aquí observamos que el estudiante aparenta reconocer que la solución dada

representa una recta en R2, ya que construye la ecuación vectorial de la misma.

Pero luego plantea una matriz para un sistema de tres ecuaciones con tres

incógnitas, ya que afirma que al tener dos ecuaciones y tres incógnitas puede

tener un parámetro, el cual obtiene sustituyendo la z por t. Esto nos indica que

el estudiante ve a la ecuación paramétrica de la recta dada, como una recta en

R3. Por lo que el estudiante presenta problemas con la parametrización al

presentarle la solución de un sistema dado, ya que no reconoce que dicha

solución representa una recta en R2 y no construye la matriz correspondiente.

Entonces decimos que el estudiante no puede coordinar el modo algebraico con

el modo geométrico de la ecuación de la recta dada, ya que confunde las

dimensiones de la misma. Por lo que tiene dificultades con la inversión del

proceso de parametrización.

167


Pregunta 13



a) Solución única



El estudiante observa el problema y responde:

734. J: Dos ecuaciones con tres variables que tengan solución única no se puede

736. J: Porque se tienen que intersectar forzosamente en una recta

Para el inciso (b) escribe:

742. J: (Escribe: b) ) 2222

1=++

=++zyx

zyx

Y para el inciso c, escribe:

743. J: (Escribe: c) ) 3243

1=+−

=++zyx

zyx

Luego modifica el sistema del inciso b y escribe:

749. J: (escribe: ) 3222

1=++

=++zyx

zyx

168


Al preguntarle porqué cambió el término independiente de la segunda

ecuación, nos dice:

752. J: Porque si no sólo iba a ser múltiplo de éste ¿no? (se refiere a la primera

ecuación del sistema) como que tenía la misma normal, no, sí, sí y como tenía

la misma normal pues iba a ser el mismo plano en realidad

En esta pregunta el estudiante reconoce que para un sistema de dos ecuaciones

con tres incógnitas no puede haber solución única, ya que se tienen que

intersectar mínimo en una recta. Luego proporciona un sistema para el caso de

ninguna solución, pero con las ecuaciones de planos encimados y al darse

cuenta de su error lo cambia a ecuaciones que corresponden a planos paralelos.

Esto nos indica que el estudiante coordina los procesos de ecuación, conjunto y

conjunto solución de una ecuación, ya que identifica al proceso de solución del

sistema de ecuaciones como la intersección de los conjuntos solución de las dos

ecuaciones.

Análisis General de Jorge

Después de analizar cada una de las respuestas de este estudiante, tenemos las

siguientes observaciones.

Jorge no presenta dificultades para realizar acciones para sustituir puntos dados

para averiguar si éstos satisfacen alguna ecuación dada o algún sistema de

ecuaciones dado. Podemos decir que el estudiante puede coordinar los procesos

de función y ecuación a un nuevo proceso de solución para una ecuación dada o

169


para un sistema dado. También observamos que el estudiante puede expresar el

conjunto solución de una ecuación en forma paramétrica usando la notación de

conjuntos y puede coordinarlo con la parte geométrica.

Para el caso de sistemas de ecuaciones, el estudiante presenta algunas

dificultades acerca de la relación entre el conjunto solución de cada una de las

ecuaciones de un sistema y el conjunto solución del mismo, ya que afirma que

no existe alguna relación entre ellos. Esto podría indicar que no existe

coordinación entre los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de

una ecuación para construir el proceso de solución de un sistema, el cual toma la

intersección del conjunto solución de cada una de las ecuaciones. El hecho de

que el estudiante no pueda expresar dicha relación para un sistema de

ecuaciones en general, también podría indicar que el estudiante no ha

encapsulado el proceso de solución para un sistema de ecuaciones. Sin embargo

en el contexto de algunas preguntas de la entrevista, observamos que el

estudiante maneja una interpretación adecuada, a pesar de que no pudo

expresarla en la pregunta 3.

Para la parte geométrica observamos que el estudiante no coordina el objeto de

conjunto solución de una ecuación o de un sistema, con el objeto geométrico que

lo representa en un sistema coordenado, ya que en la pregunta 5 inicialmente

presenta dificultades para interpretar la ecuación 0x+0y=0, aunque luego logra

superar la misma. También observamos que el estudiante puede construir el

proceso de conjunto solución de modo geométrico, en las preguntas 7 y 9. Cabe

mencionar que el estudiante puede pasar del modo geométrico al modo

algebraico para los sistemas de ecuaciones.

170


Cuando el estudiante trabaja con matrices, observamos que no puede coordinar

el proceso de ecuaciones equivalentes con el proceso de sistemas de ecuaciones,

para encontrar sistemas equivalentes en forma reducida, ya que en la pregunta

10, el estudiante presenta algunas dificultades para determinar el conjunto

solución del sistema equivalente, pues no puede dar las condiciones que deben

cumplir los parámetros para que el sistema no tenga solución.

Con todas estas observaciones decimos que el estudiante presenta una

concepción proceso para el concepto de conjunto solución de un sistema de

ecuaciones con dos incógnitas. Respecto a sistemas de ecuaciones con tres

incógnitas se encuentra en camino hacia la interiorización de la acción de

encontrar el conjunto solución de tales sistemas. En particular, notamos su

dificultad con los parámetros para determinar las condiciones que de deben de

cumplir éstas para ciertos tipos de conjunto solución.

IV.1.3. Análisis Sofía (M2)

Pregunta 1:







171


Para el inciso (a) la estudiante escribe:

1. S: (Escribe: (1, 4)

2(1) + 4 = 6 √

(3, 1)

2(3) + 1 = 6 √ (aquí comete un error en la suma)

(2, 2)

2(2) + 2 = 6 √

Sí son soluciones)

Al preguntarle porqué afirma que son solución a la ecuación, nos dice:

a. S: Porque si cumplen o sea x y y, o sea… tiene que satisfacer la ecuación

para que te dé seis y evaluando los puntos en… esta ecuación (señala la

ecuación dada) sí da seis, todos

Para el número de soluciones de la ecuación, responde:

8. S: Pues muchísimas

10. S: Pues porque… es que puedes poner cualquier valor de x y y, bueno con

tal que satisfagan ésta (señala la ecuación 62 =+ yx ) sí hay varias, éstos son

unos ejemplos (se refiere a los pares ordenados proporcionados) pero hay

más… que satisfacen eso

Acerca del conjunto solución, responde:

14. S: El conjunto solución es… este…

172


15. S: ¡Ah! o sea encontrar ¿qué x’s y qué y’s van a ser las soluciones?

17. S: Pues… pues es que despejas por ejemplo y y te va a dar 6 - 2x, entonces

cualquier y que cumpla con eso va a ser igual a x, despejando x, o ¿cómo?

Luego le pido que exprese el conjunto solución y responde:

32. S: (Escribe: 2

66226

yx

yxxy−

=

−=−=)

Al preguntarle sobre la representación geométrica del conjunto solución, nos

dice:

62. S: Pos una… recta

Entonces le pregunto qué recta daría, a lo que responde:

66. S: Pues es que habría que evaluar… así varios puntos

67. S: O sea una línea recta pero…

80. S: (Escribe: luego ubica los puntos en el plano cartesiano) 224160

======

yxyxyx

81. S: Más o menos así (Dibuja:

173


)

La estudiante afirma que los tres puntos son solución para la ecuación dada, ya

que al evaluarlos en ella cumplen la igualdad, aunque comete un error en la

suma para el punto (3,1). Luego afirma que existen varias soluciones a la

ecuación dada, ya que se puede dar cualquier valor a x y a y con tal que

satisfaga dicha ecuación pero no afirma que se trata de un número infinito de

soluciones (ella utiliza la palabra “muchísimas”).

Después la estudiante dice que para encontrar el conjunto solución tendría que

despejar x y despejar y y cualquier número que satisfaga esto será solución,

donde describe que dicho conjunto solución es 2

6,26 yxxy −=−= .

Geométricamente reconoce que la ecuación representa una recta.

Con esto observamos que la estudiante aplica acciones a la ecuación dada para

determinar si los pares dados son solución a la ecuación o no, aunque comete un

error en sus operaciones y da un par que no es solución. La estudiante no ha

interiorizado las acciones aplicadas a la ecuación, ya que no tiene una idea clara

acerca del número de soluciones, además que para expresar el conjunto solución

de la ecuación necesita obtener una expresión algebraica para cada variable, por

lo que despeja una variable en términos de la otra y viceversa, es decir, despeja

en forma circular. Con esto decimos que la estudiante no ha construido el

proceso de solución para dicha ecuación.

174


Por último observamos que la estudiante, para la parte geométrica, necesita

aplicar ciertas acciones para poder graficar el conjunto solución. Aunque puede

interpretar que se trata de una recta, no puede afirmar que se trata de la misma

recta de la ecuación dada, por lo que no parece poder relacionar la

representación algebraica y la geométrica para el conjunto solución.

Pregunta 2:



ecuación?





Para esta pregunta la estudiante escribe:

95. S: (Escribe: )

48481068)5(2)2(3)8,5,2(

4373293)1(2)3(3)3,1,3(

0555835)4(2)1(3)5,4,1(

+=+−=+−=+−∨

=−=−−=−−∨−

=+−=+−=+−×

Entonces le pregunto qué hizo y responde:

97. S: Igual este… evaluar estos puntos en x, y, z (señala los puntos dados) para

175


ver si satisfacen y éste no, no satisface (señala el último punto dado)… ¡ah, no!,

éste sí es +4

Acerca del número de soluciones de la ecuación, nos dice:

104. S: Ajá, como una infinidad

113. S: (Escribe: la ecuación tiene una infinidad de soluciones, las que

satisfagan a x, y y z)

Luego nos dice que el conjunto solución es:

108. S: (Escribe: 3

24243

zyx

zyx−+

=

−+=

234

342

−−−

=

−−=−xzy

xzy xyz 324 −+= )

Por último dice que la representación del conjunto solución es:

117. S: Un plano, es un plano

En esta pregunta observamos que la estudiante evalúa los triples ordenados en

la ecuación dada para encontrar los que son solución a ella. Luego afirma que la

ecuación tiene una infinidad de soluciones y, al tratar de encontrar el conjunto

solución, despeja las incógnitas x, y y z de la ecuación pero siempre en forma

circular. Después afirma que si graficamos todos los puntos del conjunto

solución su representación geométrica sería un plano.

176


Con esto observamos que la estudiante aplica varias acciones a la ecuación para

encontrar los puntos que son solución, pero al parecer no ha interiorizado

dichas acciones en un proceso de solución, ya que no logra expresar el conjunto

solución correctamente. Además se observa que tiene problemas con la

parametrización. También observamos que no existe una coordinación entre la

parte geométrica y la algebraica para el conjunto solución.

Pregunta 3:

¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de

ecuaciones?



Para el significado del conjunto solución de un sistema, la estudiante escribe:

120. S: (Escribe: 1. El conjunto solución de un sistema de ecuaciones, son las

soluciones que cumplen o satisfacen la ecuación. Al sustituirlas en la

ecuación, la satisface, la cumple.)

Acerca de la relación entre el conjunto solución del sistema y el conjunto

solución de cada una de las ecuaciones, nos dice:

121. S: (Escribe: 2. Que tiene que ser solución de la ecuación para ser solución

del sistema.)

Más adelante responde acerca del conjunto solución del sistema:

177


133. S: Forzosamente tiene que satisfacer la ecuación para satisfacer todo el

sistema, porque si no es co-solución de una ecuación, pues ya no es solución

del sistema, como que la ecuación está en el sistema y si no cumple con la

ecuación pues ya no cumple con el sistema

Luego sobre la relación de los conjuntos solución, dice:

140. S: Que… ajá, como en un sistema de varias ecuaciones

144. S: Entonces tiene que satisfacer… las ecuaciones, o sea el conjunto solución

tiene que sat… cada unas de las ecuaciones…

146. S: … para satisfacer la del sistema, porque si no cumple, con al menos una

ecuación que no la cumpla… ya no es conj… bueno solución del sistema

148. S: Entonces la relación tiene que coincidir

Aquí la estudiante afirma que el conjunto solución de un sistema son las

soluciones que cumplen o satisfacen la ecuación, es decir, al sustituirlas en la

ecuación cumplen la igualdad. Luego describe que tiene que ser solución de la

ecuación para ser solución del sistema, porque si no es co-solución de una

ecuación pues ya no es solución del sistema. Posteriormente afirma que en un

sistema de varias ecuaciones, el conjunto solución tiene que satisfacer cada una

de las ecuaciones para satisfacer la del sistema.

Con esto observamos que al inicio, la estudiante presenta ciertas dificultades

acerca del conjunto solución de un sistema, pero luego expresa de forma

acertada el concepto de conjunto solución. Esto puede indicar que la estudiante

haya construido el proceso de solución para un sistema de ecuaciones,

interiorizando la acción de tomar la intersección del conjunto solución de varias

178


ecuaciones. Sin embargo esta pregunta requiere una interpretación cautela, ya

que falta observar cómo actúa la estudiante ante una situación matemática. Es

importante mencionar que en esta pregunta la estudiante logra definir al

conjunto solución de un sistema, lo cual implica la coordinación de los procesos

de ecuación, conjunto y conjunto solución de una ecuación, quizá porque

recurre a respuestas memorizadas, ya que en las preguntas anteriores ella no ha

mostrado la coordinación de estos procesos.

Pregunta 4


=−=−

0454

yxyx



tiene?



Para resolver este problema, la estudiante escribe:

23. S: (Escribe: ) ×≠=

∨+= 0 5(-5) - 4(0)

5 0 (-5) - 4(0)(0,-5)

24. S: (Escribe: ) ∨==×≠=

0 04 - 4(1) 5 0 4 - 4(1)

(1,4)

179


25. S: (Escribe: ) ∨=

×≠= 0 0 - 0

5 0 0 - 0(0,0)

26. S: Entonces… pos no

27. S: Porque satisfacen a una u otra, entonces no son soluciones del sistema

Entonces le pregunto qué se necesita para que sea solución del sistema, a lo

que responde:

181. S: Satisfacer a las dos, porque aquí por ejemplo ésta solo satisface a una

(señala la sustitución del primer punto)…

183. S: …y a la otra no, igual acá (señala la sustitución del segundo punto)

Acerca del número de soluciones del sistema, nos responde:

188. S: Pues también… muchas

Al preguntarle porqué piensa que son muchas las soluciones, nos dice:

202. S: Sí, digo sí es la solución pero… digo va a ser más difícil que en la otra

porque tiene muchas soluciones

204. S: Esa sí va a ser más difícil porque como son dos tiene que coincidir con

los dos

206. S: Entonces como que va a ser más difícil que… que sean solución de las

dos ecuaciones

Luego nos dice:

180


209. S: No más bien no, según yo no, no tiene solución

214. S: Sí, porque como vimos aquí (se refiere a las sustituciones que hizo), va a

ser… puede que satisfaga a una pero a la otra como que no

217. S: Ajá por eso, porque esto es lo mismo (señala los coeficientes de x y de y

del sistema), pero esto es diferente (señala los términos independientes), o sea

como que nunca…

Entonces la estudiante comenta sobre el conjunto solución lo siguiente:

225. S: Pues que no… tiene solución

226. S: Sí, porque… es esto que (señala el sistema)… es lo mismo lo de acá y el

resultado es diferente, entonces no

227. S: O sea, está igualado a diferentes… términos

231. S: (Escribe: El sist. no tiene solución)

Luego al pedirle que grafique el sistema, escribe:

241. S: (Escribe:44

50454

yxyx

yxyx

=+

=

+=+=, luego tabula tres puntos por cada

ecuación y dibuja:

181


)

Enseguida le pregunto qué observa de la gráfica y nos dice:

245. S: … que son… ¿qué? paralelas

248. S: O sea, por eso no tiene solución, porque nunca se cruzan ni nada

Por lo que concluye:

251. S: Que son dos líneas que nunca se cruzan por eso tienen a este igual (se

refiere a los coeficientes de x y y del sistema), pero están igualadas a un

diferente coeficiente y entonces nunca se cruzan, por eso no hay solución

En esta pregunta la estudiante evalúa los pares dados en cada una de las

ecuaciones para comprobar si son solución a ellas o no. Al observar que cada

punto no cumple para ambas ecuaciones del sistema, afirma que no son solución

al sistema. Después dice que puede haber muchas soluciones para el sistema,

pero luego reflexiona sobre su respuesta y afirma que no puede tener solución el

sistema, ya que tiene que satisfacer a las dos ecuaciones. Luego observa que los

coeficientes de x y y en las ecuaciones son iguales y los términos independientes

diferentes, por lo que afirma que el sistema no tiene solución. Más adelante, al

182


graficar el sistema, la estudiante afirma que se tratan de rectas paralelas, lo cual

indica que no tienen solución ya que nunca se intersectan y que además por eso

tienen esos coeficientes. Observamos que para graficar requiere hacerlo punto a

punto.

Con esto notamos que la estudiante aplica acciones a los pares dados para

determinar cuáles son solución al sistema y cuáles no. Aunque la estudiante

considera la intersección de los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones

que forman el sistema, da la impresión de que actúa siempre con base en reglas

memorizadas y no da muestra de haber interiorizado las acciones en un proceso.

Cabe mencionar que la estudiante al principio presenta dificultades acerca del

número de soluciones para el sistema, quizá porque considera las soluciones de

cada una de las ecuaciones por separado. También observamos que ha

coordinado el proceso de conjunto solución de un sistema con el objeto

geométrico que lo representa en el sistema coordenado, ya que interpreta al

sistema como rectas paralelas, las cuales no tienen solución ya que nunca se

intersectan. Aunque esta coordinación también es incipiente, pues la estudiante

necesita graficar punto a punto las ecuaciones de las rectas que son muy

sencillas, y mucho de lo que responde se basa en hechos memorizados.

Pregunta 5


=+=+

000523

yxyx


tiene?



183


Para encontrar el conjunto solución, la estudiante escribe:

253. S: (Escribe: ) 0(1) 00(1)

5 2(1) 3(1)(1,1)

=+=+

255. S: Aquí, éste es el punto que tienen en común (señala el punto (1,1)),

porque satisfacen a las dos ecuaciones

Acerca del número de soluciones del sistema, responde:

260. S: Pueden haber varios porque ésta (señala la ecuación ) no

importa porque de todos modos es cero, entonces no le afecta, con que satisfaga

ésta (señala la ecuación

000 =+ yx

523 =+ yx ), pues ya… entonces para ésta hay varias

que satisfacen… esta ecuación

Entonces le pregunto cuál sería el conjunto solución del sistema y responde:

264. S: Pos muchos, muchos, muchos

265. S: Porque por ejemplo aquí (señala la ecuación 523 =+ yx ) puedo poner…

puede ser un 3 y un -2, entonces 9 – 4 = 5 entonces hay varios… muchos

272. S: Entonces con que satisfaga éste (se refiere a la ecuación ) y le

pongo los valores de aquí a acá (se refiere a la ecuación

523 =+ yx

000 =+ yx ) me va a dar

cero de todos modos

280. S: (Escribe: 235

325 xyyx −

=−

= )

184


286. S: (Escribe: Este sistema tiene una infinidad de soluciones ya que con que

satisfaga la primer ecuación, la segunda con cualquier “x” y “y” la va a cumplir

porque está multiplicada por φ y lo va a cumplir) (aquí utiliza el signo φ como

cero)

289. S: (tabula y dibuja:

)

Luego le pregunto sobre la segunda ecuación del sistema y responde:

293. S: Es un punto, es el origen

301. S: Sí, porque valga x lo que sea, valga y lo que sea, siempre va a ser cero

Entonces le pregunto sobre el conjunto solución geométricamente y nos dice:

307. S: Es que no sé, porque éste no tiene nada que ver con esto (señala la

grafica y el origen)

311. S: Es que no sé, está raro

312. S: La recta pero…

Al ver que no puede llegar a algo concreto para la parte geométrica, la

185


estudiante concluye:

353. S: Pues es que sí tiene solución

355. S: Pero no aquí… (señala la gráfica)

Por último le pregunto en qué parte estaría el error y nos dice:

359. S: Geométrica

360. S: Sí, porque algebraicamente sí da, o sea, cualquier valor que le des a x o a

y te va a dar esto (señala el sistema), entonces… y… ya con que satisfaga a ésta

(señala la expresión 5)1(2)1(3 =+ ) lo va a satisfacer a ésta (señala la expresión

) 0)1(0)1(0 =+

365. S: A menos que haya graficado mal esto (señala la gráfica) pero no, no lo

pude graficar mal porque de todos modos esto valdría cinco (señala la gráfica)

366. S: Sí, según yo sí es eso

373. S: (risa) algo está mal pero no sé qué es

Al principio la estudiante proporciona un par ordenado y lo evalúa en las dos

ecuaciones del sistema para verificar si es solución o no. Acerca del número de

soluciones la estudiante afirma que hay varias, ya que sólo importa la primera

ecuación porque la segunda ecuación no afecta al estar multiplicada por ceros

las variables. Luego afirma que el conjunto solución son muchos puntos, los que

satisfacen la primera ecuación y más adelante proporciona el conjunto solución

186


despejando cada una de las variables de la primera ecuación, es decir, despeja

en forma circular.

Al pedirle que grafique el sistema dado la estudiante dibuja sólo la primera

ecuación, ya que la segunda ecuación la interpreta como el punto (0,0). Entonces

al observar su sistema geométricamente, la estudiante no logra identificar el

conjunto solución, ya que afirma que las dos representaciones que trazó no

tienen algo en común, es decir, no se intersectan, a pesar que afirma que su

gráfica es correcta.

Por último la estudiante concluye que el sistema sí tiene solución ya que con que

satisfaga a la primera ecuación, la segunda se cumple, aunque en la gráfica no se

observe el conjunto solución.

Con esto observamos que la estudiante presenta varias dificultades acerca del

conjunto solución del sistema dado, ya que en la representación geométrica no

logra representar la segunda ecuación de manera correcta. Aunque da la

apariencia de haber interiorizado la acción de tomar la intersección de los

conjuntos solución de las dos ecuaciones, llega a un conflicto debido a la

interpretación geométrica que hace de la segunda ecuación. Como su estructura

mental no le permite salir de este conflicto, concluimos que la estudiante aún no

muestra una concepción de proceso ya que no puede dar significado a las

acciones que realiza. También al dar el conjunto solución presenta dificultades

con la parametrización, ya que despeja las variables en forma circular. La

estudiante no coordina la parte algebraica con la parte geométrica para el

conjunto solución del sistema de ecuaciones dado. Y tampoco coordina el objeto


sistema coordenado.

187


Pregunta 6


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123












Para resolver el inciso (a) la estudiante escribe:

188


379. S: (Escribe:

42 16122

16663 )62(2)6(1)2(3

2611

26

111

211

326

111213

−−−+−

−+++−−−++++−

−−−

+−

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

kk

kkkk

kkk

) (comete un error

de signo)

380. S: Sí, sí tiene solución única, ¿no?

384. S: Es que es ésta (señala la expresión -2k - 4)… ¡ah! no, es que el

determinante es… diferente de cero

Le pregunto cómo sabe que tiene solución única y responde:

392. S: Porque no… porque el determinante nunca te va a dar cero, por más que

k valga cero…

396. S: ¡Ah! no, espera creo que sí… si es -2, si pones -2 acá (en vez de la k) sí te

da cero

397. S: ¡Ay! no, creo que sí se puede, igual y no… puede dar infinidad de

soluciones

Entonces para el caso de solución única, nos dice:

402. S: Que el determinante sea diferente de cero

408. S: Entonces k debe ser diferente de -2

189


Entonces le pregunto cuál sería la solución para el sistema y escribe:

428. S: (Escribe:

4/114

243233

2)1(3411 1

−=−=

=+=++=++

−=+=

yyy

yyyy

xyx

)

429. S: (Luego escribe:

k=−=−=−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

5420

42

418

42

436

412

41

446

) (comete un error de signo)

Al preguntarle qué hizo, responde:

432. S: Este… despejé x de acá (señala la segunda ecuación del sistema) y me

queda esto (señala la ecuación x = 1 + y)… sustituí acá para sacar y (señala la

primera ecuación del sistema)…

434. S: Entonces aquí (se refiere a la ecuación x = 1 + y) sustituí lo que me había

dado la y… entonces me dió la x…

436. S: … y como ésta ya satisface a las dos… pues nada más evalué x y y y me

salió -5 entonces… ya… ya satisface a las tres

Al mostrarle su error de signo, escribe:

190


440. S: (Corrige y escribe:

k=−=−=+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

44

1642

418

42

436

412

41

446

)

Entonces dice que el conjunto solución es:

445. S: (Escribe:

41

43

−=

=

y

x)

448. S: k valga -4

Luego le pido que grafique el sistema:

468. S: (Grafica la recta 1=− yx en el mismo plano cartesiano y la recta

la traza como ajena a la 426 −=−− yx 23 =+ yx , ya que comete un error en su

tabulación)

470. S: No sé, no estoy graficando bien

473. S: … dos son la misma y una se intersecta, por eso podría tener solución

191


única, pero no sé porque no me da

Tabula de nuevo y luego dibuja:

Al pasar al inciso (b), responde:

490. S: Entonces tiene que ser diferente de -4

492. S: Tiene… infinidad de soluciones (Escribe: con k ≠ -4 hay una infinidad de

soluciones)

Entonces le pido el conjunto solución y responde:

495. S: ¿Con… la infinidad?

499. S: Pues es que no sé cuál sería la solución

Luego le pregunto si es posible que tenga infinitas soluciones y responde:

531. S: No

533. S: (Escribe: No tiene infinidad de soluciones porque la última ecuación no

se satisface con cualquier “k”…)

534. S: Porque aparte se supone que éstas dos (se refiere a las ecuaciones (1) y

192


(3)) son la misma, ¿no? entonces no podría tomar cualquier valor

536. S: Ajá (Continúa escribiendo: … solo hay un valor que la satisface y es el

-4)

Pasando al inciso (c), responde:

542. S: Pues sí, si la k no vale -4…

544. S: … pues no va a tener solución

Luego le pregunto cómo sería el sistema para que no tenga solución y

responde:

551. S: De hecho éstas pueden intersectarse en un mismo punto (señala la

ecuación (1) y (2)), ya las vimos que se intersectan

553. S: Pero ésta (se refiere a la ecuación (3))… pero como vimos que para que el

sistema tenga solución tiene que cumplir con las tres… entonces puede que

cumpla con las dos pero con ésta ya no

556. S: (Escribe: Sí es posible ya que si la k es diferente de -4 no va a haber

valores de “x” y “y” que satisfagan a las tres ecuaciones, puede que las 2

primeras se intersecten y la otra no tenga nada que ver con las otras 2)

Para el inciso (a) la estudiante halla el determinante del sistema dado, pero

comete un error de signo. Luego afirma que el sistema tiene solución única, ya

que el determinante nunca es cero; pero luego observa que para k igual a -2 sí lo

es, por lo que nos dice que sí hay solución única cuando el determinante sea

diferente de cero, es decir, cuando k sea diferente de -2. Al pedirle el conjunto

193


solución, la estudiante resuelve el sistema, utilizando el método de sustitución

en las tres ecuaciones, aunque nuevamente comete un error de signo y llega a

que k es igual a -5, al hacerle notar su error corrige y llega a que k debe valer -4.

Entonces su conjunto solución es 41

43

−== yx . Cabe mencionar que no

hicimos notar la diferencia de resultados del determinante y de la solución del

sistema para el valor de k.

Luego grafica el sistema, tomando a la tercera ecuación con k igual a -4, pero

comete un error en su tabulación y dibuja tres rectas. Al observar que no es

correcto, ya que identifica que se trata de dos rectas iguales y que para que haya

solución única la segunda ecuación se intersecta, tabula nuevamente y traza el

sistema de forma correcta.

Para el caso de infinitas soluciones la estudiante afirma que sí es posible cuando

k sea diferente de -4, pero no puede dar el conjunto solución, por lo que al

preguntarle nuevamente sobre este caso afirma que no puede haber infinitas

soluciones, ya que la tercera ecuación no se satisface para cualquier k, pues

como las ecuaciones 1 y 3 son iguales la k es igual a -4.

Luego para el caso de no solución afirma que k debe ser diferente de -4. Al

preguntarle sobre la representación geométrica de este caso, la estudiante afirma

que si la k es diferente de -4 no existen valores de “x” y “y” que satisfagan a las

tres ecuaciones, ya que puede que las 2 primeras ecuaciones se intersecten y la

otra no tenga nada que ver con ellas.

Con estas respuestas observamos que la estudiante utiliza dos métodos para

determinar si el sistema tiene solución única, aunque no llega al mismo

resultado para el valor de k pues comete varios errores de signo, pero

finalmente encuentra el conjunto solución al sistema. Sin embargo el hecho de

que realiza todas las operaciones paso a paso, y que también se confunde con el

194


parámetro, indican que la estudiante no muestra evidencia de interiorización de

esas acciones. También observamos que aunque existe cierta coordinación entre

el objeto de sistemas de ecuaciones y el objeto geométrico que lo representa para

el caso de solución única, ya que reconoce que se trata de dos rectas iguales y la

otra intersectada con ellas para que exista solución única, presenta problemas

para graficar rectas.

Para los otros casos de solución del sistema, la estudiante no puede dar la

solución, ya que presenta dificultades con la parametrización. Tampoco

notamos una conexión entre el objeto de sistemas de ecuaciones y el objeto

geométrico que lo representa para los casos de infinitas soluciones y de no

solución.

Pregunta 7


dos incógnitas





observas?

195


Acerca del número de soluciones, la estudiante responde:

560. S: Que pues tiene aquí… se intersectan las tres rectas en tres puntos

562. S: Entonces sí tiene solución, pues las tres… los tres puntos que

satisfacen… a las tres rectas, bueno no los tres puntos satisfacen a las tres

mismas rectas pero…

Entonces le pregunto cuántas soluciones tiene el sistema y responde:

566. S: Pues tres ¿no?

569. S: Pues sí, son tres soluciones, ¿no?

Para el inciso (b), escribe:

579. S: (Escribe:

Aquí la estudiante afirma que el sistema representado en la figura tiene tres

soluciones, las cuales son los puntos de intersección de las rectas. Al pedirle un

sistema que represente la figura, proporciona uno tomando en cuenta tres

puntos de intersección.

196


Con esto observamos que la estudiante no coordina el objeto de sistemas de


coordenado, para construir un proceso de solución de manera que pueda

encontrar el conjunto solución del sistema dado en forma geométrica, ya que no

toma las intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de las

ecuaciones que forman el sistema, sino que las toma de dos en dos. También

notamos que la estudiante puede pasar del modo geométrico al modo algebraico

para los sistemas de tres ecuaciones con dos variables.

Pregunta 8:


=−−=++

142332

zyxzyx


tiene?



Acerca del conjunto solución, la estudiante escribe:

588. S: Escribe:

5105

14)323(2323

−+−

=

=−−−−−−=

zy

zyzyzyx

M

197


5255

35105

3510523

−+−

=

−−+−

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

−=

zx

zzx

zzx

(comete un error en las operaciones)

591. S: Pues es que ya despejé x, y…

595. S: Pues sí, ¿no?, y, x… es que las zetas tendría que despejar de aquí (se

refiere a la última ecuación)

Entonces le pido el conjunto solución y escribe:

597. S: Escribe:

zxzx

zy

zyx

=+−

+−=−−+−

=

−−=

2555

25555105

323

Entonces le pregunto cuántas soluciones tiene el sistema y responde:

610. S: Pues… muchas, sí

612. S: Ajá, una infinidad

Entonces le pregunto cuál sería la representación geométrica del conjunto

solución y responde:

198


615. S: Una recta

617. S: Porque puede que… son dos planos que se intersecten, entonces el

conjunto solución va a ser una recta

Observamos que la estudiante para encontrar el conjunto solución del sistema

dado lo resuelve usando el método de sustitución y deja a x y a y en términos de

z, pero al faltarle z igualada a algo, la despeja de la primera ecuación por lo que

nuevamente proporciona el conjunto solución en forma circular. Acerca del

número de soluciones para el sistema la estudiante afirma que existe una

infinidad, ya que reconoce que la representación geométrica del conjunto

solución es una recta pues son dos planos que se intersectan.

Con esto observamos que la estudiante aplica acciones para resolver el sistema

dado y encontrar el conjunto solución pero estas acciones no se han

interiorizado en el proceso de solución para el sistema de ecuaciones, ya que

presenta dificultades con la parametrización al dar el conjunto solución aunque

reconoce que existen infinitas soluciones. Para la parte geométrica vemos que

hay cierta relación entre el objeto de conjunto solución del sistema de ecuaciones

con el objeto geométrico que lo representa en un sistema coordenado ya que la

estudiante afirma que se trata de dos planos que se intersectan en una recta, sin

embargo se percibe que esta respuesta se da como acción,.

199


Pregunta 9:


incógnitas



Acerca de las soluciones del sistema, la estudiante responde:

642. S: Es que aquí igual son tres rectas

643. S: Hay una infinidad de soluciones, ¿no?

645. S: Bueno… tres infinidades (risa)

646. S: Sí, son tres que se intersectan, entonces…

647. S; Sí, las soluciones son las rectas que son infinitas

652. S: Infinidad de soluciones… (Escribe: hay una infinidad de soluciones ya

que los planos se intersectan en una recta)

661. S: Ajá (marca las intersecciones de los planos)

200


Acerca de la representación geométrica del conjunto solución, nos dice:

665. S: Tres rectas

669. S: (Escribe: 3 rectas ya que cada 2 planos se intersectan)

Aquí la estudiante al observar la figura, afirma que hay una infinidad de

soluciones, y luego habla de tres infinidades, ya que la solución del sistema son

tres rectas ya que cada dos planos se intersectan en una. Pensamos que la

estudiante tiene como modelo, posiblemente memorizado, a un sistema de dos

ecuaciones con tres incógnitas, ya que reconoce que su intersección es una recta,

pero no puede interpretar geométricamente la solución de un sistema de tres

ecuaciones con tres incógnitas.



coordenado, para construir un proceso de solución de manera que pueda

encontrar el conjunto solución del sistema dado en forma geométrica, ya que no

toma las intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de las

ecuaciones que forman el sistema, sino que las toma de dos en dos. También se

observa en este y en el problema anterior, que a pesar de que la estudiante

201


afirmó en las preguntas iniciales que la solución a un sistema tiene que satisfacer

a todas las ecuaciones simultáneamente, no aplica esta definición cuando se le

presentan las rectas o los planos en forma geométrica.

Pregunta 10


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112

a) ¿Qué condiciones deben cumplir a, b, c y d para que el sistema tenga:




b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del inciso

anterior.

Para resolver este problema, la estudiante responde:

672. S: ¿Para que tenga solución única?

675. S: O sea tengo que ver cuánto vale a, b, c y d, ¿no?

677. S: Pero a la hora de hacer el determinante… quiero que me dé i…

685. S: Pues tiene que ser… diferentes de cero para que haya solución única

687. S: Igual a cero para que haya infinitas soluciones, sí porque por la ley de

Cramer… sí, ¿pongo eso?

202


689. S: (Escribe: i) a, b, c y d tienen que ser diferentes de 0 para que haya

solución única, a, b, c y d = 0 para que haya infinitas soluciones)

690. S: Y para que haya ninguna solución… pues es igual ¿no? que sea igual a

cero

691. S: (Escribe: iii) a, b, c y d = 0 para que no haya solución)

Al pedirle que trabaje con la matriz, responde:

704. S: Pues que al hacer la… eliminación Gausseana… espera… es que también

depende… ajá, al hacer la eliminación si el rango también me da… tiene que

ver el rango

706. S: Entonces si no hay solución, el rango de la matriz… el rango también

tiene que ser cero… sí

710. S: (Escribe: )

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

05/3100121

05/302

05/31001210112

035001210112

035001210112

001301210112

13121112

dacb

Entonces le pregunto porqué tomó a los parámetros como cero y nos dice:

719. S: Es lo que me estás tratando, ¿no? el diferencial… que si a, b, c y d son

203


iguales a cero, tú me quieres decir, o sea me preguntas que ¿cuál es la diferencia

entre infinitas soluciones y no hay solución?

721. S: No sólo para este caso ya sería

723. S: Entonces por eso lo sustituí con cero

724. S: Pero no sé, no me sale la matriz…

Para el inciso (b) responde:

731. S: La solución única sería que… coincidan en solo un punto

738. S: Pues no sé, que tenga que ver sólo en un punto los tres planos

739. S: (Dibuja:

744. S: Para infinitas soluciones que sean el mismo plano, o sea que las tres…

sean el mismo plano (Dibuja un plano)

746. S: O que se unan en una recta… los tres planos o sea los…

748. S: Pues así… (Dibuja:

204


Para no solución nos dice:

751. S: Pues que no tengan… que no tengan nada que ver… (Dibuja:

Al preguntarle si es el único caso, nos dice:

755. S: Sí, ajá

La estudiante trata de resolver el problema usando determinantes para

determinar las condiciones de los parámetros, afirmando que para el caso de

solución única todos los parámetros tienen que ser diferentes de cero y para el

caso de infinitas soluciones todos tienen que ser igual a cero. Pero al pedirle que

trabaje con la matriz dada recuerda al hacer la eliminación Gaussana que tiene

que ver en algo el rango de la matriz, pero no logra afirmar nada. Luego intenta

reducir la matriz pero no lo consigue, además que sustituye los parámetros por

ceros.

Para la representación geométrica de los conjuntos solución pedidos, la

estudiante afirma que para solución única los tres planos coincidan en un solo

punto. Para infinitas soluciones que sean el mismo plano o que se intersecten en

una recta y para no solución, que los planos no se intersecten. En este caso sólo

toma esta posibilidad y dibuja planos finitos, es decir, no tiene una idea

geométrica clara de lo que es un plano. Por lo que observamos que no reflexiona

205


acerca de los casos posibles para este sistema, sino da una respuesta general, que

podría estar memorizada.

Con esto observamos que la estudiante, al contar con la matriz aumentada,

realiza operaciones de fila pero no logra reducirla a la forma escalonada, a pesar

que toma valores específicos para los parámetros. Esto indica que la estudiante

no construye el proceso de sistemas equivalentes en forma reducida y en

particular en forma escalonada. También observamos que la estudiante no ha

interiorizado la acción de encontrar la solución de un sistema en un proceso,

utilizando el método de Gauss y determinantes. Luego observamos que la

estudiante presenta dificultades para coordinar el objeto de sistema de

ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en el sistema coordenado,

ya que su respuesta es muy general, sin tomar en cuenta las propiedades del

sistema en cuestión. Además no interioriza las acciones de intersecar las

representaciones geométricas correspondientes para cada una de las ecuaciones

que forman el sistema en un proceso de solución.

Pregunta 11

X

Y


común.

206


En esta pregunta, la estudiante responde:

758. S: Pues pueden ser el mismo, la misma recta, ¿no?

760. S: Porque dice que tengan más de un punto en común

Luego dibuja:

Entonces le pregunto qué pasaría si tuviera tres rectas y responde:

773. S: Pues también… o sea, tienen que ser la misma

Aquí la estudiante dibuja dos rectas encimadas, cumpliendo con lo que se pide

en la pregunta. Al proponerle tres rectas con la misma condición, afirma que

tienen que ser la misma.

Esto nos indica que la estudiante coordina el objeto de conjunto solución de un

sistema con el objeto geométrico que lo representa en el sistema coordenado en

ℜ2.

Pregunta 12


+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.

207





Para encontrar la forma escalonada reducida, la estudiante escribe:

778. S: (Escribe: )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−÷−÷

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1001

630042

6342

6306342

2696

9x7x

2696

1332

x2x3

779. S: Ahí está

782. S: La forma escalonada reducida

Entonces le pregunto cuál sería el sistema y responde:

785. S: Pues todo esto (señala la expresión 1332

+−=+−=

tytx

), las dos juntas y de ahí

hice una matriz

Al preguntarle porqué toma la expresión como el sistema, responde:

789. S: Pues porque aquí dice la solución de un sistema… entonces ésta es igual

la x y ésta la y (señala los 1 de la matriz)

208


En esta pregunta observamos que la estudiante no ha realizado las acciones

convenientes para poder interiorizar la construcción de la matriz aumentada

para la solución de un sistema de ecuaciones, ya que no reconoce la ecuación de

la recta dada y tampoco puede realizar operaciones fila para invertir el proceso

de transformación de la matriz en la forma escalonada reducida a una matriz

inicial. También se observa que la alumna tiene problemas con la equivalencia

de sistemas de ecuaciones.

Pregunta 13



a) Solución única



En esta pregunta la estudiante escribe:

794. S: (Escribe: ) 0)2(

0)1(=++=++

zyxcba

796. S: (Escribe: ) →⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡zyxcba

798. S: mm… no sé para qué… lo estaba poniendo nada más

801. S: Es que no sé como hacerle para que tenga solución única, ni ninguna

209


solución, ni más de una solución

Entonces le pregunto si puede decirme algo acerca del sistema

geométricamente y responde:

810. S: O sea igual, son tres variables que tiene que ser un plano

812. S: Y si son dos ecuaciones, pues son dos planos

814. S: Si tiene solución única es que… igual en un punto, coinciden en un

mismo punto

Luego le pido que lo grafique y dibuja:

817. S: (Dibuja:

)

818. S: Si no hay solución es igual… no tiene nada que ver (Dibuja:

)

820. S: Si tiene más de una solución es que es el mismo plano… (Dibuja:

210


)

821. S: … o es la misma recta y ésta tiene una infinidad de soluciones

En esta pregunta la estudiante presenta un sistema homogéneo de dos

ecuaciones y luego su matriz, pero no sabe cómo representar a los sistemas

pedidos. Entonces le pido que los represente geométricamente, por lo que la

estudiante dibuja los casos posibles hasta para el caso de solución única, lo cual

es incorrecto. También indica cómo debe de ser el determinante para cada caso

solicitado. Nuevamente las respuestas de la estudiante se basan en hechos

memorizados y observamos que considera los planos como finitos.

Con esto observamos que la estudiante no ha interiorizado las acciones

aplicadas a un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas para poder

construir el proceso de solución del mismo. También presenta dificultades para

coordinar el objeto de sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo

representa en el sistema coordenado, ya que considera la posibilidad de que un

sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas tenga solución única.

Análisis General de Sofía

211


Al observar las respuestas de la estudiante vemos que presenta varias

dificultades con el concepto de solución y también presenta dificultades con la

parametrización.

Al inicio de la entrevista observamos que la estudiante puede aplicar acciones a

una ecuación dada o a un sistema dado para determinar si los puntos dados son

solución o no. Sin embargo no se han interiorizado dichas acciones en un

proceso de solución, ya que presenta dificultades para expresar el conjunto

solución, pues siempre necesita obtener una expresión algebraica para cada

variable, por lo que despeja en forma circular. Esto muestra una dificultad con la

comprensión del papel que juegan las variables en las ecuaciones y con la

parametrización.

Para la parte geométrica, la estudiante parece no coordinar el objeto de conjunto

solución de un sistema con el objeto geométrico que lo representa, ya que

presenta dificultades para graficar e interpretar las ecuaciones. Esto es otra

indicación de que la estudiante no ha interiorizado el proceso de solución para

el sistema. También observamos que la estudiante no puede construir el proceso

de conjunto solución de un sistema en forma geométrica, ya que no toma las

intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de las

ecuaciones que forman el sistema, sino que las toma de dos en dos. Asimismo

los datos indican que la estudiante no presenta una idea clara de lo que es un

plano, ya que dibuja planos finitos y los considera como tales.

Cabe mencionar que la estudiante no presenta una coordinación entre la

representación algebraica y la representación geométrica del conjunto solución

de un sistema. En ocasiones la estudiante responde con base en ideas

memorizadas sin que muestre evidencia de comprensión.

212


Cuando la estudiante trabaja con matrices realiza operaciones de fila pero no

logra reducirla a la forma escalonada. Esto indica que la estudiante no ha

interiorizado la acción de encontrar la solución de un sistema equivalente en un

proceso, utilizando el método de Gauss o de determinantes.

Con todas estas observaciones concluimos que la estudiante presenta una

concepción acción para el concepto de conjunto solución de una ecuación o de

un sistema de ecuaciones; en particular presenta dificultades para la

construcción del proceso de solución debido a sus dificultades con la

interpretación de las variables y con la parametrización.

IV.1.4. Análisis Lorena (B1)

Pregunta 1:







Para resolver esta pregunta la estudiante escribe:

213


1. L: (Escribe: , coloca una paloma en la primera y tercera expresión y

una tacha a la segunda expresión)

6 = 2 + 47 = 1 + 66 = 4 + 2

2. L: Aquí nada más el primero y el tercero son… soluciones a la ecuación

Al preguntarle por qué esos son soluciones, responde:

6. L: Bueno sustituí los valores

8. L: Luego…dos por una, dos más cuatro, igual a seis

9. L: Pero esta vez, dos por tres, seis más una, siete, entonces este

par…ordenado no da

11. L: El siguiente, dos por dos, cuatro más dos, seis, sí me dio

Luego le pido el conjunto solución de la ecuación y dice:

14. L: ¿Cómo que el conjunto solución?

18. L: O sea, ¿de cuál a cuál… pueden ser soluciones?

22. L: Supongo que sí, despejando, ¿no?

25. L: (Escribe: xyxy

=−

=−

26

26)

31. L: Haz de cuenta si… x, y… para todo… este…x igual a 2

6−y perteneciente

a los reales… (Escribe: ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ℜ∈

−=

26, yxyx )

Acerca del número de soluciones para la ecuación nos dice:

214


42. L: Muchas (risa)

49. L: Porque al menos aquí me salieron más de dos soluciones

54. L: Podría ser (3, 0), (0, 6)… (Escribe: (-6, 12), (3, 0), (0, 6))

Entonces al preguntarle nuevamente el número de soluciones responde:

58. L. ¿n soluciones?, ¿una infinidad de soluciones?

64. L: mm… hay tantas soluciones como… tantos pares puedan satisfacer la

ecuación

67. L: Hay más de una solución porque… y depende de x… de x… y puede

tomar cualquier valor… que satisfaga la fun la ecuación… la ecuación (Escribe:

más de 1 solución xq “y” depende de “x” y puede tomar cualquier valor que

satisfaga la ecu.)

Al preguntarle sobre la representación geométrica del conjunto solución, nos

dice:

77. L: ¿Probablemente un recta?

81. L: Sí, una recta, donde está (2,2)… bueno… (Dibuja:

)

215


Aquí la estudiante evalúa los pares ordenados en la ecuación dada para

comprobar cuáles son solución a dicha ecuación, verificando si cumplen con la

igualdad. Luego observamos que la estudiante no tiene clara la idea de conjunto

solución, aunque después describe dicho conjunto en notación de conjunto pero

se observa que no tiene muy claro su significado, quizá porque recurre a hechos

memorizados. Después afirma que la ecuación tiene muchas soluciones, ya que

enuncia que “y depende de x y puede tomar cualquier valor que satisfaga la

ecuación dada”, pero no esta segura si son una infinidad. Además proporciona

algunos pares ordenados que al sustituir en la ecuación cumplen la igualdad.

Para la representación geométrica del conjunto solución la estudiante dice que

es una recta, ya que al graficarla confirma que los puntos (2,2) y (3,0) que son

soluciones a la ecuación están sobre la misma.

Con esto observamos que la estudiante aplica acciones sobre los pares

ordenados, para verificar si son solución a la ecuación o no, pero al parecer no

ha interiorizado dichas acciones en el proceso de solución para la ecuación dada,

ya que no tiene claro el número de soluciones para dicha ecuación pues se limita

a la idea de sustitución de puntos específicos, aunque sean muchos. Tampoco ha

interiorizado las acciones necesarias para definir el concepto de conjunto

solución, a pesar de que la estudiante da el conjunto solución para la ecuación

usando la notación de conjunto. Esto quizá se deba a que recurre a ideas

memorizadas para este concepto. También observamos que la estudiante

coordina el objeto de conjunto solución de una ecuación con el objeto

geométrico que lo representa en un sistema coordenado.

216


Pregunta 2:



ecuación?






102. L: Bueno éste es un plano…

103. L: (Escribe: ) (comete un error en la suma para el tercer

punto)

No 4 8 10 - 6Si 4 3 - 2 - 9No 4 5 8 - 3

=+==+

104. L: Sólo la segunda fue solución de la ecuación

Al preguntarle sobre el número de soluciones para la ecuación responde:

109. L: ¿La que abarquen el plano?

111. L: Bueno… que satisfaga… también la ecuación o sea…

117. L: Por ejemplo (1, 4, 9) podría ser

119. L: Como… z depende de 3… de 3x - 2y para que sea igual a 4… cualquier

solución en la que podamos sustituir los valores… no sé, le puedes dar casi

cualquier valor a 3x y a 2y y como z depende de ellos…

217


121. L: … puedes adecuar z para que tu solución dé el plano igual a cuatro

Entonces le pido el conjunto solución para la ecuación y escribe:

130. L: (Escribe: ( ){ }ℜ∈=+− 423,, zyxzyx )

Para la representación geométrica del conjunto solución nos dice:

165. L: Según yo un plano pero… a ver… (Dibuja:

168. L: ¿No te da un plano?

169. L: O sea a fuerzas te tiene que dar un plano, ¿no?

Al preguntarle porqué, nos dice:

174. L: Porque estamos graficando en R3…

176. L: … y tenemos zyx +− 23 (Escribe: R3 zyx +− 23 )

183. L: Nos da… no sé que nos da, la verdad

Aquí la estudiante al observar el problema afirma que la ecuación es un plano,

luego evalúa los triples ordenados en la ecuación para describir cuáles son

solución, pero comete un error en sus operaciones. Luego afirma que existen

218


varias soluciones que satisfacen la ecuación, ya que expresa que “como z

depende de 3x - 2y, le puedes dar cualquier valor a 3x y a 2y y luego adecuar z

para que tu solución dé el plano igual a cuatro”. Después escribe el conjunto

solución en la forma ( ){ ℜ∈=+− 423,, zyxzyx } y afirma que se trata de un

plano, pero al intentar dibujarlo observa que no tiene forma de plano, ya que

traza sólo dos puntos que sí son solución, por lo que duda que se trate de un

plano, aunque reafirma que a fuerzas tiene que ser un plano ya que está

graficando en R3 y se tiene la expresión zyx +− 23 pero no consigue sostener su

argumento, probablemente se trata de un hecho memorizado.

Con esto observamos que la estudiante efectúa algunas acciones sobre la

ecuación para hallar sus soluciones, pero al parecer no las ha interiorizado en el

proceso de solución para la ecuación, ya que recurre a la evaluación de puntos

para encontrar el número de soluciones a la ecuación dada (nunca afirma que

son infinitas). Observamos que representa el conjunto solución usando la

notación de conjunto, pero quizá sea una respuesta memorizada. También

observamos que no existe una coordinación entre la representación geométrica y

la algebraica para el conjunto solución, ya que la estudiante presenta algunas

dificultades con respecto a la interpretación geométrica del conjunto solución y

no es capaz de representar al plano aunque afirma que lo es.

Pregunta 3:




Acerca del significado del conjunto solución del sistema, la estudiante

219


responde:

193. L: Es… conjunto de valores que satisfacen correctamente la ecuación

(Escribe: Es el conjunto de valores que satisfacen correctamente la ecuación)

195. L: Correctamente la… ¡no!, el sistema de ecuaciones (tacha lo que escribió:

la ecuación y escribe: el sist. de ecua.)

Para la relación de los conjuntos solución del sistema y de las ecuaciones del

mismo, nos dice:

198. L: El sistema puede ser como más universal… que cada una de las

ecuaciones…

199. L: Es que no entiendo bien la pregunta

Entonces le doy un ejemplo de un sistema de dos ecuaciones con dos

incógnitas y le pregunto cuál sería su solución y responde:

205. L: El sistema tiene que satisfacer a las dos ecuaciones

210. L: Y de ca… y… y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones

puede ser que satisfaga a cada ecuación por separado… pero no al sistema

Entonces le pregunto sobre la misma relación para este caso y nos dice:

219. L: Sí, que… que el conjunto solución de cada una de las ecuaciones si se

cumple… si se satisfacen las dos… va a ser un conjunto solución del sistema

221. L: Pero si una se satisface y la otra no, entonces no va a ser conjunto del

220


sistema

224. L: (Escribe: si se satisfacen por igual el conjunto solución de c/u de las

ecuaciones sí se satisface el sistema sino se satisfacen las ecuaciones c/mismos

valores no corresponden estos al sistema)

La estudiante reconoce que el conjunto solución de un sistema es el conjunto de

valores que satisfacen correctamente el sistema de ecuaciones, aunque al

principio escribe que satisface a una ecuación pero se da cuenta de su error y

corrige su respuesta. Luego como la estudiante dice que no entiende bien la

pregunta respecto a cuál sería la relación entre el conjunto solución de las

ecuaciones y el conjunto solución del sistema, se le proporciona un ejemplo de

un sistema específico y entonces afirma que sí existe relación y describe que si se

satisfacen por igual el conjunto solución de cada una de las ecuaciones, sí se

satisface el sistema, si no se satisface con los mismos valores, no corresponden

estos al sistema.

Por lo que observamos que la estudiante tiene una cierta idea del concepto de

conjunto solución y presenta dificultades para describir la relación entre el

conjunto solución del sistema y el de cada una de las ecuaciones que lo forman

de manera general, lo cual indica que no ha establecido una coordinación entre

los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de una ecuación, para

poder construir el proceso de solución de un sistema de ecuaciones, el cual toma

la intersección del conjunto solución de cada una de las ecuaciones. Por lo que

decimos que la estudiante no ha interiorizado el concepto de conjunto solución a

un proceso.

221


Pregunta 4


=−=−

0454

yxyx



tiene?



Para resolver esta pregunta la estudiante escribe:

240. L: (Escribe: ) ⎩⎨⎧

=−=−

0454

yxyx

244. L: (Escribe: ×∨=

0 5 (-5) - 0

∨=×=

0 4 - 4 0 4 - 4

∨=×=

0 0 - 0 0 0 - 0

)

245. L: No, aquí… los pares ordenados de las soluciones… o sea, no son pares

ordenados de la solución del sistema

Al preguntarle porqué no lo son, responde:

247. L: Porque ninguna… de los puntos satisface las dos ecuaciones de mi

sistema

Entonces le pregunto si el sistema tiene solución y responde:

222


255. L: No

257. L: Porque es dependiente y aquí estamos poniendo (señala el sistema)… o

sea es la misma ecuación pero con resultados diferentes, entonces no se puede

259. L: Porque cualquier valor que le demos…

261. L: … o sea, o me va a dar cinco o me va a dar cero

262. L: No sé, digo no no puede… no puede ser que me dé los dos valores

265. L: No, bueno que no existe una solución al sistema de ecuaciones

Luego le pido que grafique el sistema y responde:

270. L: mmm… tendría que hacer… dos gráficas, ¿no?

272. L: No, es que mi segunda no se puede

274. L: Porque no tiene solución mi sistema

277. L: ¡Ah! sí, sí sí sí

281. L: (Dibuja lo siguiente:

)

285. L: Entonces según yo, igual y sí hay solución porque tiene que haber un

punto en donde se intersecten, ¿no?

223


288. L: Que sí, como hay un punto donde se intersectan hay una solución única

Entonces le pido la solución al sistema y responde:

294. L: No, es que nada más no encuentro solución, no se intersectan

298. L: Es que me parece ilógico porque para que ésta (señala el sistema)… 4x -

y sea igual a cero (Escribe: 04 =− yx )… o sea x tiene que ser y/4 (Escribe:

4yx = )

301. L: Entonces para que… ¡ah! (Escribe: 54

4 =− yy )

302. L: No, es que la de arriba nunca me va a dar (se refiere a la primera

ecuación del sistema)

303. L: O sea, para que la de abajo me dé, a fuerzas mi x va a tener que ser igual

a y/4… a fuerzas

Entonces concluye:

307. L: Que no hay solución al sistema

Por lo que le pregunto cuál sería la gráfica del sistema y responde:

319. L: A ver, voy a volver a graficar

327. L: Ok, este es de la segunda (grafica la segunda ecuación)… por eso cero

cinco y…

332. L: Ok, (0, -5)

333. L: Otro punto para la primera podría ser (2, 3)

224


337. L: (Dibuja:

)

Entonces al observar su gráfica, responde:

339. L: Son paralelas

344. L: Pues mi sistema de ecuación no tiene solución… ¡eh!

Acerca del conjunto solución concluye:

357. L: Rel… que pueden tener solución, o sea cada ecuación puede tener

solución pero el sistema de ecuaciones no puede tener solución

359. L: O sea… (Escribe: cada ecuación puede tener varias soluciones pero el

sist. de ecuaciones no tiene solución)

En esta pregunta la estudiante evalúa los pares dados en las dos ecuaciones para

verificar si son solución al sistema o no, donde afirma que ninguno es solución

al sistema ya que no satisfacen a las dos ecuaciones y utiliza un argumento que

parece tener memorizado. Luego afirma que el sistema no tiene solución ya que

ningún valor satisfacerá a las dos ecuaciones. Al pedirle la grafica del sistema, la

estudiante comenta que no puede hacerlo porque el sistema no tiene solución,

225


pero luego cambia de idea y grafica el sistema pero de forma equivocada, ya que

dibuja a las rectas intersecándose en un punto, lo cual le causa conflicto con su

respuesta anterior acerca del conjunto solución. Luego reflexiona sobre este

resultado y afirma que el sistema no puede tener solución ya que al resolver el

sistema nota que no hay punto de intersección entre las dos ecuaciones. Más

adelante grafica nuevamente el sistema y observa que son rectas paralelas, por

lo que concluye que el sistema no tiene solución.

Entonces observamos que la estudiante aplica acciones sobre el sistema dado,

para verificar si los pares ordenados son solución al sistema o no.

Posteriormente afirma que el sistema no tiene solución, ya que la misma

expresión está igualada a dos números distintos, pero parece ser un argumento

memorizado pues presenta mucha inseguridad en su respuesta. Esto indica que

la estudiante no ha interiorizado sus acciones aplicadas para construir el

proceso de solución del sistema dado. También observamos que presenta

dificultades en la coordinación del objeto de conjunto solución de un sistema de


coordenado, ya que al hacer un error en la gráfica se confunde respecto al

conjunto solución, pero posteriormente puede interpretar al sistema como dos

rectas paralelas las cuales no tienen solución. Cabe mencionar que la estudiante

sigue utilizando la evaluación de puntos para trazar sus gráficas.

Pregunta 5


=+=+

000523

yxyx


tiene?

226




Para esta pregunta la estudiante responde:

363. L: Estas también van a ser paralelas (se refiere a las ecuaciones dadas)

366. L: Porque me está pasando lo mismo que en la pasada (se refiere a la

pregunta anterior)

367. L: Porque x… ok, sí es solución y… yx 00 + yx 23 + también es solución

371. L: No, sí cierto, éstas sí tienen solución

372. L: Supongamos que tengo (1,1)…

374. L: (Escribe: ) 0 0 0

5 2 3(1,1)

=+=+

376. L: Sí, sí tiene muchas soluciones

Entonces le pido el conjunto solución del sistema y responde:

380. L: ¿Todos los reales... que satisfagan las ecuaciones?

386. L: (Escribe: ) 5(-1,4)54)- (9,

(3,-2)

==

389. L: (Dibuja:

227


)

392. L: Todos los valores que satisfagan la primera ecuación… va a satisfacer…

van a satisfacer mi sistema de ecuaciones

Al preguntarle porqué sólo esos valores, nos dice:

396. L: Porque mi segunda ecuación está condicionada porque se está

multiplicando por cero, entonces cualquier valor que se multiplique por cero

me va a dar cero

Entonces le pregunto qué representa la segunda ecuación geométricamente y

responde:

400. L: Nada

404. L: ¿Una línea recta también?

406. L: Mi línea recta va a pasar por aquí también (señala la recta que trazó)

408. L: Ve… supongo… sí serían la misma, la misma línea recta

Entonces le pido el conjunto solución del sistema y responde:

411. L: Conjunto solución es la línea recta que satisface que sea igual a yx 23 +

228


cinco (escribe: ) 523 =+ yx

Acerca del número de soluciones para el sistema, nos dice:

419. L: Una infinidad de soluciones (Escribe: ∞)

423. L: (Escribe: { ℜ∈=+= 523),( yxyxA }) pertenecientes a los reales, ¿así?

Luego le pregunto sobre la representación de las ecuaciones del sistema y nos

dice:

432. L: Bueno de hecho… o sea, sí representa la misma recta pero la de abajo…

te da todos los números… o sea puedes tener -1, -2,… o sea, abarca a todos,

todos los números y la de arriba sí está condicionada, tiene que satisfacer a

fuerzas

434. L: No, o sea la solución de mi sistema de ecuaciones sí es esta línea (señala

su gráfica)

438. L: Y esa ecuación serían todos los reales (se refiere a la segunda ecuación),

es más ni siquiera todos lo reales, todos los números

440. L: Todos los naturales

Entonces al preguntarle sobre su representación geométrica, nos dice:

442. L: También una línea

229


Aquí observamos que la estudiante al principio afirma que el sistema está

formado por rectas paralelas, pero al evaluar un punto específico dice que el

sistema tiene solución. Al pedirle el conjunto solución del sistema, la estudiante

intenta graficarlo pero únicamente traza la primera ecuación y afirma que todos

los valores que satisfagan la primera ecuación satisfacen al sistema, ya que la

segunda ecuación al estar multiplicada por ceros, siempre dará cero es decir, se

cumplirá la igualdad. Entonces le preguntamos acerca de la representación

geométrica de la ecuación 000 =+ yx , y la estudiante afirma que no es nada y

luego cambia su respuesta para afirmar que es una línea, pero la misma línea

recta trazada. Más adelante concluye que el conjunto solución del sistema es la

línea recta , donde hay infinidad de soluciones. También proporciona

el conjunto solución usando la notación de conjunto.

523 =+ yx

Con esto observamos que la estudiante intuitivamente concluye que la segunda

ecuación se cumple con cualquier par ordenado y esto hace que el conjunto

solución del sistema sea la recta que representa la primera ecuación. Sin

embargo no está explícita la idea del conjunto solución como la intersección de

los conjuntos solución de las dos ecuaciones. Esto nos indica que la coordinación

con los procesos de ecuación, conjunto y conjunto solución de una ecuación es

débil, aunque representa al conjunto solución usando la notación de conjunto.

También vemos que la estudiante presenta ciertas dificultades acerca de la

representación geométrica de la ecuación 000 =+ yx , por lo que no coordina el

objeto de sistemas de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa,

para interpretar geométricamente el conjunto solución del sistema como las

intersecciones de las representaciones geométricas de cada una de las dos

ecuaciones del sistema. Con esto decimos que la estudiante no ha interiorizado

las acciones de resolver un sistema de ecuaciones a un proceso de solución.

230


Pregunta 6


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123






b. ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones?





c. ¿Es posible que este sistema no tenga solución? Justifica tu respuesta.

Para el inciso (a) la estudiante responde:

453. L: No, no tiene solución única

455. L: Porque es dependiente

456. L: Porque … es dependiente de kyx =− 26 23 =+ yx

231


Entonces le pregunto qué significa y responde:

458. L: Que… para que el sistema tenga una solución única tiene que ser

linealmen… tienen que ser linealmente independiente entre ellos, entonces no

va a haber una solución única

Luego le pregunto qué pasaría si k toma un valor y nos dice:

465. L: Sí, pero le puedo… por ejemplo tengo… (Escribe: 23 =+ yx )

469. L: No sé… y aquí ¿estamos de acuerdo en esto? Es igual a… o sea si

factorizo… 3… no… (Escribe: kyx =−− )3(2 )

473. L: Si aquí yo decido que mi k es igual a -2, tengo la misma ecuación

Por lo que responde:

475. L: Que no habría nada más una solución al sistema

477. L: Porque una depende de la otra

Entonces le pregunto qué pasaría si k toma otro valor distinto al que dio y nos

dice:

480. L: Sí habría una solución única

482. L: Para el sistema

232


Entonces para el caso de solución única concluye:

484. L: No porque a k le puedo dar cualquier valor

487. L: (Escribe: la tercera ecuación depende de la 1ª considerando que a k le

puedo dar cualquier valor x ello no hay solución única)

Para el inciso (b) responde:

512. L: Sí, siempre y cuando la tercera ecuación sea dependiente con la primera,

¿no?

522. L: Es que… en este sistema de ecuaciones sí encuentro la solución que

satisfaga a la primera y a la tercera, pero no una que a su vez satisfaga la

segunda ecuación

525. L: Entonces tampoco tiene solución

531. L: (Escribe: No hay solución porque no se satisface en el mismo punto la

2ª)

534. L: Es que no encuentro una solución que satisfaga a las tres

Luego le pido que grafique el sistema y responde:

557. L: (Escribe: )8,3()4,2(

)1,1(23

−−

−=+ yx y dibuja la recta)

558. L: Es paralela (dibuja:

233


)

Entonces le pregunto si la segunda ecuación es la paralela y responde:

560. L: Ajá


562. L: Que por ser paralelas no hay solución, ¿no?

En esta pregunta la estudiante afirma que no existe solución única ya que las

ecuaciones 1 y 3 son dependientes, puesto que deben ser independientes para

que exista solución única. Nuevamente la estudiante muestra utilizar respuestas

memorizadas, en este caso el concepto de independencia lineal que claramente

no entiende.

Al considerar un valor para k, la estudiante factoriza el lado izquierdo de la

ecuación y afirma que si k vale -2 las ecuaciones 1 y 3 son la misma,

por lo que no habría una sola solución.

kyx =−− 26

Observamos que la estudiante no considera a la ecuación 2 del sistema para

determinar el número de soluciones. Entonces concluye que el sistema no tiene

solución única ya que k puede tomar cualquier valor.

En el inciso b, la estudiante primero afirma que sí puede existir infinidad de

soluciones ya que la ecuación 1 y 3 son dependientes, pero luego considera a la

ecuación 2 y afirma que no hay solución para el sistema, ya que no existe algún

234


punto que satisfaga a las tres ecuaciones. Luego grafica las primeras dos

ecuaciones como paralelas y concluye que no hay solución al sistema.

Observamos que la estudiante presenta varias dificultades acerca del conjunto

solución de este sistema y en particular con la ecuación que contiene el

parámetro. Notamos que la estudiante no ha interiorizado las acciones aplicadas

al sistema en el proceso de solución para el mismo, ya que no considera al

conjunto solución del sistema como la intersección de los conjuntos solución de

cada una de las ecuaciones que lo forman, además que no presenta argumentos

concretos para cada caso de solución del sistema dado.

También vemos que la estudiante no coordina el objeto de conjunto solución de


sistema coordenado.

Pregunta 7


dos incógnitas




235



observas?

Acerca del número de soluciones para el sistema, la estudiante responde:

582. L: mm… tiene una infinidad de soluciones

584. L: Porque es un triángulo o sea, todos los puntos se juntan, se conectan

586. L: No, no es cierto

587. L: Según yo tiene… tiene nada más una solución

592. L: (Dibuja:

)

593. L: Tiene una solución (Escribe: 1 solución)

597. L: O sea, son tres ecuaciones con dos incógnitas ¿no?

599. L: (Escribe: ϕβα

=+=+=+

yxyxyx

)

602. L: Son mis tres ecuaciones con dos incógnitas…

604. L: … tal que estos tres forman un triángulo (señala las ecuaciones que dio)

236


Entonces le pregunto cuál sería la solución del sistema y nos dice:

615. L: Pues el triangulo… así vil (repinta el triángulo que dibujó)

Por lo que pregunto si tiene una solución y responde:

621. L: No, tendría muchas soluciones

623. L: (Escribe: muchas soluciones, son independientes)

Al observar la figura la estudiante afirma que el sistema representado tiene

infinitas soluciones ya que se trata de un triángulo, pero luego cambia su

respuesta y afirma que sólo tiene una solución, la cual es el triángulo en sí.

Luego proporciona un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas, el cual

representa según ella, la figura dada, aunque en realidad son tres rectas con la

misma pendiente.



coordenado, ya que no ha interiorizado sus acciones al proceso de solución del

sistema dado para determinar el conjunto solución del sistema en forma

geométrica. También notamos que la estudiante no puede pasar del modo

geométrico al modo algebraico para los sistemas de tres ecuaciones con dos

variables.

237


Pregunta 8:

Considera el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−−=++

142332

zyxzyx


tiene?



Acerca del conjunto solución del sistema, la estudiante responde:

632. L: Es que otra vez no encuentro… ¿cuál es el conjunto solución?

Entonces le pregunto qué representa el sistema geométricamente y responde:

635. L: Un plano, hay no sé, algo en 3R

Por lo que afirmo que se trata de dos planos y entonces le pregunto cuál sería

su conjunto solución, a lo que responde:

652. L: O sea, un plano tendría que cortar al otro

654. L: Para que fuera un conjunto solución

656. L: Al sistema de ecuaciones

Entonces le pregunto cuántas soluciones habría y responde:

658. L: Una

238


662. L: Pero no veo en donde se podría cortar

665. L: Para tener solución… (Escribe: Dos planos para tener solución uno debe

cortar al otro)

668. L: Según yo lo corta en un punto nada más

671. L: (Escribe: lo corta en un punto. Una solución)

Luego le pregunto si sólo en un punto lo puede cortar y responde:

675. L: Es que según yo, aquí sólo lo corta en un punto

678. L: como no más no encuentro una solución, me quiero imaginar que sí hay

un punto en que lo corta

Por último le pido que represente el conjunto solución del sistema y nos dice:

684. L: No, no tengo idea, la verdad

En esta pregunta la estudiante no puede encontrar el conjunto solución para el

sistema dado, ni tampoco logra interpretar que el sistema dado representa

geométricamente dos planos. Luego se le orienta sobre la representación del

sistema y afirma que dicho sistema tiene una solución, ya que los planos se

cortan en un solo punto. Por último le pido la representación geométrica del

conjunto solución al sistema, pero no tiene idea de lo que se trate.

Con esto observamos que la estudiante no aplica acciones sobre el sistema dado

para determinar el conjunto solución, lo cual nos indica que no presenta ni una

concepción acción para el concepto de solución de un sistema de dos ecuaciones

con tres incógnitas. También observamos que no coordina el objeto de conjunto

239


solución de un sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa

en un sistema coordenado, ya que no sabe de qué se trata.

Pregunta 9:


incógnitas



Acerca del número de soluciones para el sistema, la estudiante responde:

688. L: … tiene una solución

Entonces le pregunto cuál sería esa solución y responde:

690. L: este sistema…

692. L: (Escribe: x y z α+ + = )

694. L: y puede tener muchas soluciones este sistema,… ¿no? Porque todos sus

puntos están... relacionados

240


Luego le pido que pinte las soluciones en la figura dada, por lo que queda:

710. L: O sea, son de los puntos para adentro

Entonces le pregunto qué representarían geométricamente esas soluciones y nos

dice:

717. L: Un triángulo, (risa) un plano, un… no tengo idea…

723. L: Un plano

En esta pregunta la estudiante afirma que existe una solución la cual es el

sistema en sí. Esta respuesta está relacionada con la de la pregunta 7 ya que

también afirma que existe una solución al sistema, el cual es el triángulo. Luego

dice que la solución es x y z α+ + = , es decir, un plano, el cual tiene muchas

soluciones. Posteriormente pinta las soluciones al sistema en la figura dada y

afirma que representan geométricamente un plano o un triángulo, ya que toma

el área entre los planos, pero no está segura de su respuesta.

Entonces observamos que la estudiante no coordina el objeto de sistemas de


coordenado, ya que no logra construir el proceso de solución para el sistema en

forma geométrica.

241


Pregunta 10


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112


i. Solución única?

ii. Infinitas soluciones?

iii. Ninguna solución?

d. Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del

inciso anterior.

Para resolver este problema la estudiante responde:

735. L: (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

bdac

dacb

11213

121

13121

112

737. L: mm… para que exista una solución única a cada valor de c de… es que

le corresponda un solo valor

738. L: Infinitas soluciones es que aquí abajo me dieran 0, 0, 0 (se refiere a la

última fila de la matriz)

740. L: Y… ninguna solución es que no tuviera independencia lineal, o sea que

uno dependiera del otro

Entonces le pregunto si lo puede representar en la matriz y responde:

242


742. L: O sea que tenga solución única sería que me quedara de la forma no

sé… (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

dcb

100010001

Por lo que pregunto qué valor debe tomar a para este caso y nos dice:

750. L: mm… d - a ese tiene que ser el valor de a

Para infinitas soluciones nos dice:

756. L: Y luego infinita solución… (Escribe: ∞ solución ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000010001

cb

757. L: Eso significa que a y d pueden tomar un rango de valores

759. L: (Escribe: a, d pueden tomar ∞ solucion…) siempre y cuando dependan

con b y c

Para el caso de ninguna solución escribe:

769. L: (Escribe: ninguna solución ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112

Entonces le pregunto porqué esa matriz y responde:

771. L: Porque no hay independencia lineal

772. L: ¡Ah! no, sí hay, sí las puedo invertir

243


Luego escribe:


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111100111

778. L: O así… (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001010100

Entonces le pregunto sobre los valores de a, b, c y d, donde responde:

782. L: Son dependientes… (Escribe: Son dependientes)

783. L: No hay independencia lineal y tampoco generan otro

785. L: Entonces le pueden corresponder muchos valores

787. L: Ajá y por eso no hay solución

Luego le pido la representación geométrica del sistema para el caso de solución

única y responde:

795. L: ¿Una recta? (traza una línea)

798. L: Bueno… una recta no, porque hay x, y, z (tacha la línea)

800. L: Pero… para una solución única… ¿podría ser algo así? (Dibuja un plano

en un plano cartesiano)

Entonces le recuerdo que se trata de tres ecuaciones, por lo que nos dice:

803. L: ¿Como el triangulito?

804. L: Es que no sé cómo graficarlo… (Intenta dibujar los tres planos en forma

de triángulo)

805. L: No sé pero que se corte así, ¿sí? (dibuja tres rectas en forma de

244


triángulo)

Luego le pido que represente el sistema para infinitas soluciones y nos dice:

814. L: Tres planos encimados

819. L: ¿Se entiende? (Dibuja:

)

Después le pido para ninguna solución y nos dice:

824. L: ¿Paralelos?

826. L: Así, que se vean así (Dibuja tres planos paralelos)

En esta pregunta la estudiante presenta muchas dificultades para determinar las

condiciones que deben cumplir los parámetros y las representaciones

matriciales para cada caso del conjunto solución del sistema. Esto no es

sorprendente, ya que debido a la presencia de los parámetros y las condiciones a

determinar, esta pregunta requiere una concepción proceso, la cual esta

estudiante todavía no ha alcanzado según sus respuestas anteriores. Al pedirle

245


la representación geométrica para cada caso del conjunto solución, la estudiante

afirma que para el caso de solución única puede ser una recta o un plano, pero

al hacerle ver que se trata de tres ecuaciones entonces afirma que se trata de un

triángulo como en el problema anterior. Para el caso de infinitas soluciones

afirma que se trata de tres planos encimados y para el caso de ninguna solución

nos dice que son tres planos paralelos.

Con esto observamos que la estudiante no aplica acciones sobre la matriz dada

para encontrar un sistema equivalente reducido, aunque proporciona algunas

matrices para cada caso de los conjuntos solución, pero no determina los valores

para los parámetros involucrados. Luego observamos que la estudiante presenta

dificultades para coordinar el objeto de sistema de ecuaciones con el objeto

geométrico que lo representa en el sistema coordenado, ya que su respuesta es

muy general, sin tomar en cuenta las propiedades del sistema en cuestión.

Pregunta 11

X

Y


común.

Para esta pregunta la estudiante responde:

246


833. L: ¿Un par de rectas? O sea ¿dos rectas?

835. L: ¿Puedo poner una parábola y ya?

837. L: Es que es un par de rectas

838. L: No sé… así que se crucen (Dibuja dos rectas que se intersectan en un

punto)

Entonces le pregunto si tienen más de un punto en común y responde:

840. L: No, esas nada más tiene un punto en común

842. L: ¿Pero nada más puedo poner dos rectas?

Al decirle que pueden ser varias rectas, responde:

844. L: ¡Ah! pues así (dibuja una recta en zig-zag encima de la otra recta)

847. L: Una, dos, tres, tres rectas

849. L: Todas se cruzan en un punto con una recta… cuatro, puse cuatro rectas

Entonces le pido que grafique únicamente dos rectas que tengan más de un

punto en común y responde:

247


858. L: ¿Una encima de la otra?

860. L: (Grafica dos rectas encimadas)

Ahora le pido tres rectas y nos dice:

867. L: ¿No sería un triangulito como hace rato?

870. L: (Dibuja tres rectas formando un triángulo)

Aquí observamos que la estudiante al principio pregunta si puede graficar una

parábola ya que representa un par de rectas, pero al orientarla hacia el problema

dado traza cuatro segmentos de recta de modo que se intersecan de dos en dos

en un punto. Luego al pedirle que trabaje con dos rectas, la estudiante las grafica

encimadas, lo cual representa que tienen más de un punto en común. Al pedirle

tres rectas traza las rectas en forma de triángulo como en el problema 7, lo cual

representa para ella más de un punto en común.

Con esto vemos que la estudiante no coordina el objeto de conjunto solución de

un sistema con el objeto geométrico que lo representa en el sistema coordenado

en ℜ2. Tampoco tiene clara la noción de solución a un sistema de ecuaciones.

Pregunta 12


+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.




248


Para este problema la estudiante responde:

890. L: Escalonada reducida es cuando pones qué es x y qué es y, ¿no?

entonces… x es igual a -2t… ¿t es un parámetro cualquiera?

893. L: ¿Por qué, no estaría reducida ahí?

Entonces le explico que queremos la matriz en forma escalonada reducida y

responde:

903. L: (Escribe: 1332

1001

+−+−

)

906. L: (Corrige y escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

1332

1001

tt

)

Ahora le pregunto si puede encontrar el sistema inicial partiendo de esa matriz

y nos dice:

919. L: Pues esta x me está diciendo que es igual a -2t + 3…

921. L: Y aquí mi y es igual a -3t + 1

923. L: O sea, ¿que si podemos encontrar el sistema completo?

925. L: Pues sí, ¿no? ¿no está allí? (se refiere al matriz que dio)

928. L: Es que no entiendo, ¿cómo?

Entonces tomamos un ejemplo particular para explicarle el problema y luego le

preguntamos si puede encontrar el sistema inicial, a lo que responde:

249


947. L: Sí

949. L: Lo haces a la inversa

Entonces le preguntamos qué debe de hacer y responde:

952. L: No sé… multiplicar esto… si esto es igual a esto (señala la matriz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

1332

1001

tt

)… no me acuerdo, pero según yo sí se puede

956. L: ¿Para llegar a la original?

957. L: Nada más sustituir, poner aquí -2t + 3 (señala el 1 del primer renglón de

la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

1332

1001

tt

)… y aquí poner lo que tengo aquí (señala el segundo

renglón de la matriz anterior)

968. L: Pero no sé cómo se hace al revés

969. L: O sea, no sé cómo… de esto (señala la parte aumentada de la matriz)…

sacar esto (señala la matriz del sistema)

Al principio la estudiante no entiende bien el problema, por lo que recurrimos a

un sistema en particular para explicarle lo que pedimos. Luego proporciona la

matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

1332

1001

tt

para la solución dada, ya que toma al parámetro como un

número pues lo pone en la parte aumentada de la matriz. Tomando esa matriz

250


como base le preguntamos si puede encontrar el sistema inicial, por lo que nos

dice que sí haciendo el proceso inverso, pero no puede encontrar el sistema ya

que no tiene idea del procedimiento que debe hacer. Tampoco reconoce que la

solución dada es una recta en R2.

Nuevamente ante una situación que requiere de una concepción proceso la

estudiante no puede hacer nada; la estudiante presenta dificultades para escribir

la matriz aumentada del sistema, para efectuar acciones sobre ella y para

identificar a la solución dada como la ecuación paramétrica de una ecuación en

R2.

Pregunta 13



a) Solución única




997. L: Dos ecuaciones con tres variables

999. L: Es que puede tener solución única, ninguna o más de una solución

Entonces le pido un sistema para cada caso de conjunto solución y nos dice:

1006. L: Alguna solución tendrían que ser paralelos

251


1009. L: (Escribe: ) 6222

3=++

=++zyx

zyx

1010. L: Sería más de una solución, ¿ok?

Al preguntarle por qué, nos dice:

1012. L: Porque el de abajo es dependiente

1017. L: Tienen el mismo… o sea encimados

1021. L: Es que hay más de una solución

Para solución única nos dice:

1028. L: Solución única, tendrían que ser independientes, ¿no? (Escribe: a)

solución única tendrían que ser independientes)

1030. L: (Escribe: ) ¿no? 3232

3=−+

=++zyx

zyx

Al preguntarle sobre su representación geométrica nos dice:

1034. L: Sería un plano que corta a otro

Para ninguna solución nos dice:

1039. L: Serían dos planos paralelos (Escribe: ninguna solución 2 planos

paralelos )

252


1042. L: (Escribe: ) =++

=++zyx

zyx232

)1,1,1(3

1044. L: A ver… (Tacha la última expresión que puso y escribe: ) 5=++ zyx

Al preguntarle porqué puso esas ecuaciones, responde:

1046. L: Porque es la misma ecuación con diferente resultado o sea, aquí

tendría que ser… (Escribe: (1, 2, 2))

1049. L: O sea no se satisface con el mismo… con el mismo…

1051. L: … puntos

En esta pregunta la estudiante afirma que un sistema de dos ecuaciones con tres

incógnitas puede tener solución única, infinitas solución y ninguna solución, lo

cual no es correcto para el caso de solución única. Luego proporciona los

sistemas de ecuaciones para cada caso del conjunto solución pedido y el

significado de su representación geométrica, aunque comete un error en el

sistema para el caso de ninguna solución pero luego lo corrige y da dos planos

paralelos como representación geométrica. En el caso de solución única afirma

que basta con que las dos ecuaciones sean independientes.

Esto nos indica que la estudiante no coordina los procesos de ecuación, conjunto

y conjunto solución de una ecuación, ya que no ha interiorizado sus acciones al

proceso de solución de un sistema de ecuaciones para el caso de solución única,

aunque proporciona los sistemas para los demás casos quizá de forma

memorizada, ya que no muestra en sus respuestas haber comprendido el

significado del concepto solución de un sistema de ecuaciones.

253


Análisis General de Lorena

Al observar las respuestas de la estudiante a cada una de las preguntas de la

entrevista, notamos que presenta muchas dificultades con respecto a la

comprensión y a la construcción de la noción de conjunto solución de una

ecuación o de un sistema de ecuaciones.

Al inicio de la entrevista la estudiante puede aplicar acciones a una ecuación

dada o a un sistema dado, para determinar si los puntos dados son solución o

no. Sin embargo, dichas acciones no han sido interiorizadas en un proceso de

solución, ya que Lorena no tiene claro el número de soluciones para una

ecuación o un sistema dados, pues se limita a la idea de sustitución de puntos

específicos, aunque sean muchos. Tampoco puede definir el concepto de

conjunto solución, aunque proporciona, en algunos casos, el conjunto solución

usando la notación de conjunto. Esto puede deberse a que recurre a ideas

memorizadas en sus respuestas.

También observamos que en el problema 8, la estudiante no puede aplicar

acciones al sistema dado para encontrar el conjunto solución del mismo, lo cual

indica que no presenta ni siquiera una concepción acción para el concepto de

solución en el contexto de este problema.

Para la parte geométrica la estudiante presenta varias dificultades para graficar

e interpretar las ecuaciones y su conjunto solución. Esto indica que no puede

coordinar la representación geométrica y la algebraica para el concepto conjunto

solución. También presenta dificultades con la coordinación del objeto de

conjunto solución de un sistema con el objeto geométrico que lo representa en

un sistema coordenado. Por ejemplo en el problema 5 afirma que la segunda

254


ecuación representa gráficamente una recta. Asimismo presenta dificultades

para construir el proceso de conjunto solución de modo geométrico (puede

verse en las preguntas 7 y 9)

Cuando la estudiante trabaja con matrices no es capaz de aplicar acciones sobre

la matriz dada para encontrar un sistema reducido equivalente, ni para invertir

el proceso de transformación de una matriz escalonada a una inicial. Esto se

debe a que algunos de los problemas incluyen parámetros, y por esta razón su

solución requiere de una concepción de tipo proceso que la estudiante no parece

presentar.

Con todas estas observaciones concluimos que la estudiante presenta una

concepción acción para el concepto de conjunto solución de una ecuación o de

un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, ya que para los sistemas de dos

ecuaciones con tres variables no presenta ni siquiera una concepción acción.

Asimismo para los sistemas de ecuaciones equivalentes observamos que la

estudiante no muestra ni una concepción acción. Esto se debe a las dificultades

que presenta acerca de la parametrización, dado que el trabajo con parámetros

requiere de la construcción de una concepción proceso.

IV.1.5. Análisis Manuel (B2)

Pregunta 1:





255




Para el inciso (a) el estudiante escribe:

1. M: (Escribe: )

6 22(2) 2) (2,6 16 6 12(3) 1) (3,6 42 6 42(1) 4) (1,

62

=+=+=+=+=+

=+ yx

3. M: este... sí, veo que aquí tengo o sea lo que no sé es que si... bueno si sé pero

tengo que... quiero preguntar si tengo que igualar o sea igualo esto (

) y me va a salir diferente no? (silencio)(61)3(2 =+ 616 ≠+ ) cuando sale

diferente ¿qué tengo que hacer, nada? ¿digo que no hay solución?, oh...

Entonces le pregunto qué piensa y dice:

5. M: para mí no hay solución pero... aún no lo sé, o bueno no se cumple la

ecuación, allá hay dos puntos… bueno

Luego nos dice:

6. M: no sé a qué se refieren con "encuentra el conjunto solución de la ecuación"

Entonces le pregunto cuál sería solución en el inciso a y responde:

256


9. M: del ejercicio o sea del inciso a, veo que la solución es el, en el punto (1,4) y

en el punto (2,2) veo que sí se cumple la ecuación y para el (3,1) no, este…

cuando me preguntas encuentra el conjunto solución de la ecuación este...

pues quiero creer que es como... escribir esto como... no sé como...

15. M: este... el conjunto solución lo escribiría como el (1, 4) (2, 2) es el conjunto

solución.

Por lo que pregunto si sólo esos serían solución a la ecuación y responde:

17. M: sí. (Silencio) bueno ese sería también el conjunto solución

20. M: (escribe los puntos (1,4), (2,2) solución del sistema)

Para el número de soluciones nos dice:

21. M: ¿cuántas soluciones tiene? Dos

Acerca de la representación geométrica del conjunto solución nos dice:

26. M: … pues el (1, 4) y el (2, 2)

28. M: una recta, un vector... ( grafica el punto (1, 4) y el (2, 2) los une ) o dos

puntos, una recta o dos puntos

30. M: un vector, una recta... no un vector no sería, una recta, dos puntos (risa)

257


32. M: no, pero (risa), no pero, pero no sé qué significa o sea no sé cuál es la

representación geométrica de esto (del conjunto solución)… la

representación geométrica para mí sería... tu ponle no sé x, y pertenece a los

puntos (1, 4) (2, 2)

34. M: ya, pero no sé cómo se escribe, eso

El estudiante evalúa los puntos en la ecuación dada y verifica cuáles cumplen

con la igualdad. Al encontrar un par que no cumple, no sabe cómo tratarlo ya

que no está seguro si es o no solución, aunque luego afirma sin seguridad que

no lo es porque no cumple la ecuación. Luego vemos que el estudiante no tiene

una idea clara de lo que es el conjunto solución. Él afirma que el conjunto

solución para la ecuación dada son únicamente los dos puntos dados que

cumplieron con la igualdad. En este caso no puede dar la forma general del

conjunto solución, ya que necesita evaluar puntos dados en la ecuación para

decidir si son solución, pero él mismo no puede pensar en otras soluciones. Para

la representación geométrica del conjunto solución el estudiante dice que puede

ser un vector, una recta o dos puntos, aunque en la gráfica se observa un

segmento de recta entre los puntos dados que son solución y luego escribe que

es una recta.

Entonces observamos que el estudiante puede aplicar ciertas acciones a la

ecuación para verificar si los pares dados cumplen con la igualdad, pero no está

convencido de interpretar el caso de desigualdad como no solución. Por lo que

concluimos que este estudiante tiene una concepción pre-acción respecto al

concepto de conjunto solución de una ecuación. De igual manera observamos

que tampoco considera a todas las posibles soluciones para la ecuación sino que

se limita a los pares dados. También observamos que el estudiante no coordina

258


la parte algebraica con la parte geométrica de la ecuación para determinar el

conjunto solución, por no tener apropiado el concepto.

Pregunta 2:



ecuación?






36. M: (escribe: 45)4(2)1(3)5,4,1(

423=+−

=+− zyx)

Luego interrumpe su procedimiento y nos dice:

37. M: Espera, el conjunto solución se refiere a que, o sea, ¿que hay un sistema

de ecuaciones para resolverlo? No

46. M: ... es que todavía no entiendo ¿qué significa el conjunto solución?

Entonces le pregunto cuál sería el conjunto solución de una ecuación y nos

dice:

259


48. M: Pues el x, y, z de esa ecuación, y para sacarlo puedo sacarlo con Gauss

por ejemplo, ¿se puede hacer eso?

50. M: No, ¡ah! no claro, claro, no olvídalo

51. M: No, el conjunto solución sería el resultado de x, y, z, si te da ¿no?, porque

igual y no, no te dan los resultados

52. M: El conjunto solución sería un número

58. M: Pues sí, no sé qué es el conjunto solución, para mí el conjunto solución

sería un conjunto eh...

60. M: … de números, que es la solución

63. M: O que bueno, puede ser nada más uno, ¿no? o sea (continúa escribiendo:

) tendría que ser igual a cuatro pero, aquí me sale cero, cero es

igual a cuatro y es lo que no entiendo, o sea para mí esto no se cumpliría

4583 =+−

66. M: Que al no cumplirse veo que este punto (el punto (1,4,5) ) en esta

ecuación (se refiere a la ecuación dada) no se puede, no tiene solución

Luego continúa evaluando los puntos y al final nos dice:

74. M: Nada más una, el (2,5,8)

Para el número de soluciones, responde:

76. M: ¿Cuántas soluciones tiene? una (Escribe: tiene una solución)

Al preguntarle porqué sólo una, nos dice:

78. M: Porque considero que éstas (el punto (1,4,5) y el (3,1,-3)) no tienen, o sea

260


al no quedar iguales no tienen solución

Entonces le pregunto si sólo una solución tiene esta ecuación y responde:

82. M: Pues en estos puntos sí

Por lo que le digo que si no tuviera esos puntos cuántas soluciones habrían y

responde:

84. M: Ah, no, pues hay más soluciones, está la solución de… sustituyendo

puedes sacar x, puedes sacar y, puedes sacar z

88. M: O sea x… y… así (Escribe:

yxz

xzy

zyx

2342

343

42

+−=−+−

=

−+−=

)

91. M: O sea ésta serían mis… la solución de esta ecuación si no me dieran

nada, si no me dieran ningún punto que sustituir en x, y, z… éste sería la x,

éste sería la y, éste sería la z

Entonces le pregunto cuántas serían las soluciones y nos dice:

93. M: Tres

Para la representación geométrica del conjunto solución, nos dice:

96. M: Aquí como no entiendo ¿qué es el conjunto solución?, si graficáramos

261


todos los puntos del conjunto solución, ¿Cuál sería la representación

geométrica? Pues para mí la única solución sería este punto (se refiere al punto

(2,5,8)), entonces la representación geométrica sería un punto

Luego le pregunto cuál sería la representación de la expresión que dio

anteriormente sobre las soluciones y nos dice:

104. M: O sea… es un punto de x, y, z en un plano en R3 pero no sé que

signifique o sea… no sé, geométricamente no sé que signifique

109. M: Sí, significa un punto de x, y, z…

111. M: … en el espacio pero… no sé… geométricamente no sé… por ejemplo

ésta es una recta (señala la expresión yxz 234 +−= )o sea… no sé, no sé

En esta pregunta el estudiante evalúa los triples ordenados en la ecuación para

determinar los que son solución a ella y encuentra que sólo un triple es solución,

por lo que afirma que la ecuación dada tiene una solución. El lenguaje que

utiliza sugiere poca comprensión del concepto de solución (se refiere a que los

puntos tienen o no solución, según si cumplen con la igualdad). Luego

considera que puede haber más soluciones si no le dieran ningún punto para

sustituir en la ecuación, por lo que despeja las variables de la ecuación dada en

forma circular y afirma que la expresión

yxzxzyzyx 234,2

34,3

42+−=

−+−

=−+−

= sería la solución y en este caso al

ser tres variables serían tres soluciones. Después afirma que la representación

geométrica del conjunto solución sería un punto, ya que sólo un punto de los

proporcionados cumplió con la igualdad, pero al preguntarle sobre la

262


representación geométrica de su expresión anterior no consigue dar algún

argumento, ya que no sabe qué significa geométricamente.

Con esto observamos que el estudiante efectúa algunas acciones sobre la

ecuación para encontrar las soluciones a ella, pero el lenguaje que utiliza y otras

operaciones que realiza (como por ejemplo despejar todas las incógnitas una por

una para decir que hay tres soluciones) indica una concepción pre-acción. Este

estudiante presentó algunas dificultades con respecto al número de soluciones,

porque se basó en los puntos dados y no de una manera general para encontrar

el conjunto solución, ya que no tiene apropiado dicho concepto. También

presenta problemas de parametrización, ya que al tratar de encontrar el

conjunto solución nuevamente, despeja cada una de las variables de la misma

ecuación en términos de las otras dos, es decir de forma circular. Luego

observamos que no existe coordinación entre la parte geométrica y la algebraica

del conjunto solución, ya que el alumno no puede interpretar la expresión que

halló para el conjunto solución y confunde a la ecuación del plano con una recta.

Por lo que decimos que el estudiante se encuentra en una concepción pre-acción

para el concepto de solución de una ecuación lineal con tres variables.

Pregunta 3:




Para el significado del conjunto solución de un sistema, el estudiante responde:

263


120. M: El conjunto solución pues te sale una matriz… en un sistema de

ecuaciones…

122. M: … puedes graficarlo como una matriz, digo representarlo como una

matriz y al momento de hacerla pues te deben dar tres valores, el x, y, z

124. M: No, no si no te sale… alguno, si no te sale por ejemplo… si alguno no te

sale cero totalmente… es lo que significa el sistema de ecuaciones que tenga

solución, que tenga solución única o que tenga infinidad de soluciones

Luego escribe:

131. M: Que… (Escribe: Que al representar el sistema de ecuaciones y

resolverlo, se llega a una solución en donde se pueden obtener los resultados

de x, y, z…)

132. M: Bueno sí, de acuerdo a que la ecuación tenga x, y, z, si no puede ser x, y

nada más o así

134. M: Este… (Continúa escribiendo: … y si alguno de ellos da cero, es como

se obtiene linealmente depend o indepen. Y si existe solución única, infinidad

de soluciones o sin solución)

Luego para la relación de los conjuntos solución nos dice:

136. M: Es que no entiendo ¿qué es el conjunto solución?, entonces ¿qué

relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de

cada una de las ecuaciones?

264


138. M: Para mí la solución de un sistema de ecuaciones… pues van a ser la

solución que te dé al…al evaluar todo, o sea al hacer x procedimientos…

140. M: … para hallar la solución

142. M: Y cuando este solamente… cuando es… y cuando es de una sola

ecuación pues te da lo que hice hace rato, te da el valor de… cada variable

El estudiante afirma que al representar el sistema de ecuaciones y resolverlo por

medio de una matriz, se llega a una solución en donde se obtienen los

resultados de x, y, z o x, y dependiendo de la ecuación que se tenga y se

obtienen los casos para solución única, infinitas soluciones o no solución. Luego

afirma que la solución de un sistema es la solución que te dé al resolverla, es

decir, al hacer algún procedimiento para encontrar la solución. Y para una sola

ecuación te da el valor de cada variable.

Con esto observamos que el estudiante se refiere a un procedimiento para hallar

la solución de un sistema sin poder explicar o dar sentido a ese procedimiento.

Tampoco puede describir la relación entre el conjunto solución de un sistema y

los conjuntos solución de cada una de las ecuaciones que forman ese sistema.

Sus respuestas indican una concepción de a lo más acción para el concepto de

conjunto solución de un sistema de ecuaciones.

Pregunta 4


=−=−

0454

yxyx



tiene?

265





190. M: (Escribe: (0,-5)4(0) - (-5) 5 4(0) - y(-5) 5

==

pero se da cuenta que puso la y de más, pero lo

deja así)

191. M: (Escribe: y luego corrige la segunda ecuación anterior y la

iguala a cero)

(1,4)4(1) - (4) 5 4(1) - (4) 0

==

196. M: ¡Ah! es que esto se puede resolver nada más sacando x y y, ¿así? (señala

las sustituciones que hizo con los puntos en las ecuaciones) o se puede resolver

con matriz… no se puede resolver como matriz porque…. no me hagas caso,

no me hagas caso

Luego continúa escribiendo:

199. M: (Escribe: ) (0,0)4(0) - (0) 5 4(0) - (0) 0

==

Entonces nos dice lo siguiente:

202. M: Al evaluar estos puntos aquí en estas ecuaciones (se refiere a los puntos

dados), veo que unos se van a cumplir y otros no, como en las anteriores

266


204. M: Pero no entiendo cómo, ¿cuál va a ser el resultado?

Por lo que pregunto cuál serían las soluciones para el sistema y responde:

206. M: Las que sí cumplen nada más

208. M: Este (para el primer punto, palomea la primera ecuación), éste (para el

segundo punto, palomea la segunda ecuación), éste (para el tercer punto,

palomea la segunda ecuación)

212. M: Es lo que no entiendo que… que… o sea no entiendo… ahora en un

sistema de ecuaciones, no entiendo cuáles van a ser las soluciones de verdad si

se cumplen sólo uno de cada uno…

215. M: O sea no se van a cumplir en el sistema de ecuaciones, ninguna, porque

sólo se cumplen para un caso de los dos

218. M: No sé si al cumplirse solamente una para los dos, ya es como… si se

cumple, o sea si se cumple para el sistema de ecuaciones

Entonces le pregunto qué se debe cumplir para que sea solución del sistema y

nos dice:

222. M: Que se cumpla en el sistema, en el sistema de ecuaciones, en las dos

ecuaciones


226. M: Que no se cumple para ninguna

267


Acerca del número de soluciones nos dice:

229. M: Pues tiene estas soluciones, pero en el sistema de ecuaciones no tiene

ninguna

Luego le pregunto si no tuviera ningún punto cómo encontraría la solución al

sistema y responde:

240. M: (Escribe:

4 55

45 4

x yyx

y x

= ++

=

= −

)

241. M: Así, y igual para el otro

Pero le digo que eso sería por ecuación, y pregunto entonces cómo encontraría

la solución del sistema y responde:

247. M: Pues una… una pequeña matriz en donde sea esto (Pone en forma de

matriz a los coeficientes del sistema: ) 4 1 54 1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

254. M: Lo resolvería haciendo, bueno como Gauss pero… sería…

263. M: (Escribe: (1) 4 1 5 4 1 5

4 1 0 0 0 5− ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝⎟⎠

)

Entonces le pregunto a qué llegó y dice:

266. M. ¿Que no hay solución?

268


268. M: Porque estos dos… a no, sí, sí… a no, no sí hay solución, ¿no?,

cuando… cuando te deja todo un renglón en ceros… significa que es

linealmente independiente y que… ¿hay infinidad de soluciones?

Para el conjunto solución responde:

293. M: Encuentra el conjunto solución del sistema dado, este es el conjunto

solución (señala la matriz que halló antes)

Por lo que pregunto si la matriz es la solución y responde:

302. M: Ajá

Para el inciso (c) responde:

317. M: No sé cómo graficar el sistema de ecuaciones

Por lo que pregunto qué representan las ecuaciones del sistema y nos dice:

319. M: Rectas, ¿no?

Entonces le pido que las grafique y nos dice:

322. M: No, no sé cómo graficarlas

Luego le pregunto qué necesita para graficar una recta y nos dice:

328. M: El… pues el vector, ¿no? o sea el x, y, z, bueno el x, y y x, y del otro

lado para unirlos

336. M: O sea, x y y nada más necesito… pero no sé cómo graficar una recta sin

puntos

269


Entonces le pregunto qué puntos dados pertenecen a la segunda recta y dice:

374. M: El (0,0)

376. M: El (0,-5)

380. M: No, el (1,4) perdón

Luego le digo si puede graficar la recta ya que tiene dos puntos que pertenecen

a ella y nos dice:

384. M: Pues pongo el (1,4)… ajá y este sería el (0,0) (Grafica:

Entonces le pregunto si lo que graficó representa a la recta, por lo que afirma

que sí.

399. M: Bueno me imagino, o sea, esa es la recta para mí pero me imagino que

crece, depende de los valores que le des

401. M: Sí, que puede irse hacia acá o hacia acá como tú quieras (señala por

arriba y por debajo el segmento trazado), pero depende de los valores que tú le

des

270


Luego le pido que grafique la primera ecuación y le proporciono un par

ordenado más, ya que sólo uno de los dados pertenecía a la recta. Entonces el

estudiante responde:

409. M: O sea el (0,-5) y el…

411. M: El (1,-1) y el ¿qué perdón?

413. M: Esa es mi recta (Trazó el segmento entre esos dos puntos)

Entonces le pido que extienda la gráfica y que grafique en el mismo plano la

gráfica anterior.

419. M: (Traza:

)

421. M: (Extiende las dos rectas) Se intersectarían en un punto… se intersectan

en un punto

Entonces al pedirle que concluya acerca del conjunto solución, nos dice:

443. M: Que… no sé

En esta pregunta el estudiante evalúa los pares dados en cada una de las

ecuaciones del sistema y observa que unos cumplen con una ecuación pero con

271


la otra no, por lo que no puede interpretar el resultado. Al preguntarle sobre las

soluciones del sistema afirma que son las que cumplen únicamente con alguna

ecuación, pero no está convencido de este argumento. Luego afirma que ningún

punto es solución del sistema porque no cumple con las dos ecuaciones.

Para encontrar el conjunto solución el estudiante afirma que puede resolverlo

por medio de la matriz, pero al hacer la reducción interpreta que no tiene

solución. Luego cambia su respuesta y dice que sí tiene solución ya que la fila de

ceros indica que tiene infinitas soluciones, pero no se fija que no toda la fila son

ceros.

Al pedirle que grafique el sistema, el estudiante dice que no sabe cómo graficar

las rectas pues necesita puntos para trazarlas. Con la ayuda de la entrevistadora

traza las rectas tomando dos puntos para cada una y al graficarlos en un mismo

sistema coordenado y prolongarlas, afirma que se intersectan en un punto pero

no puede concluir acerca del conjunto solución del sistema.

Con esto observamos que el estudiante aplica la acción de sustituir los pares

dados en las dos ecuaciones para determinar cuáles cumplen con la igualdad y

cuáles no. Sin embargo no puede interpretar el conjunto solución de un sistema,

ya que no está seguro si el sistema tiene solución cuando un par satisface sólo

una de las ecuaciones. Además notamos que no coordina el objeto de sistemas

de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un sistema

coordenado, ya que para graficar necesita hacerlo punto a punto y no ve a las

ecuaciones como rectas infinitas. Concluimos que el estudiante muestra una

concepción pre-acción respecto al conjunto solución de un sistema de ecuaciones

lineales.

272


Pregunta 5


=+=+

000523

yxyx


tiene?



Para resolver este problema el estudiante escribe:

448. M: (Escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=+=+

05

0023

000523

yxyx

)

449. M: Pero no… esto no… no tiene solución, ¿no?

451. M: Porque todo un renglón es ceros

Entonces le pregunto qué significan los ceros y responde:

454. M: ¿Que el sistema de ecuaciones no tiene solución?

458. M: (Escribe: No tiene solución)

459. M: Bueno es que no… según yo sí, pero no me acuerdo qué significaba que

un renglón sean todos ceros, significaba algo, creo que tenga solución única,

que no tenga solución, que tenga infinidad de soluciones, pero según yo es que

no tenga solución

Al pedirle que grafique el sistema nos dice:

273


461. M: Puedo ver que una está en el origen y otra no, que una ecuación está en

el origen y de ahí partes para sacar la otra…

Al preguntarle cuál está en el origen, responde:

465. M: El cero, cero, cero

Entonces le pregunto si eso representa a la segunda ecuación y nos dice que sí.

Luego le pregunto si puede graficar la primera ecuación y nos dice:

475. M: Sí con… algún valor

482. M: A no, no se puede graficar

484. M: Porque, tampo… o sea no habría, sólo se cumpliría el (1,1) aquí, no se

cumpliría ningún otro

Al preguntarle si habría otro valor para esa recta nos dice:

493. M: Sí, puede ser que sí, pero… pero no sé cómo se puede graficar

495. M: Sí, sí hay otros puntos que sí cumplirían

499. M: El (3, -2) sí cumpliría

Entonces le pido que grafique la recta y dice:

507. M: Quedaría una línea recta paralela al origen, paralela a y

509. M: ¡Ah!, no, quedaría diferente, quedaría así (dibuja:

274


Luego le pregunto si existe otro punto para la segunda ecuación aparte del

origen y nos dice:

512. M: Sí, creo que nada más el (0,0)

514. M: Puede ser que sí… el (1,-1), el (2, -2), el (3,-3)…

Al preguntarle porqué, nos dice:

516. M: Porque serían cero y al momento de sustituir aquí te darían cero, sí

cumplirían

Entonces le pregunto cuántos puntos puede encontrar para esa recta, nos dice:

519. M: Una infinidad de soluciones, muchas

Entonces le pregunto cuál sería su representación geométrica y nos dice:

527. M: ¿Una recta?, muchos puntos, o sea, no sé, un plano, no sé, una recta, no

sé, no sé

539. M: No tengo idea

Entonces acerca del conjunto solución responde:

275


545. M: Que tiene una infinidad de soluciones

Por lo que pregunto cuáles serían esas soluciones y responde:

547. M: Pues todas las de… todas las de x y todas las de y

549. M: No, no, cualquier valor no, todas las que cumplan o sea, cuando se

cumpla esta ecuación

551. M: La segunda ecuación

Entonces le pregunto sobre el conjunto solución del sistema y responde:

553. M: O sea ¿en general, para las dos?

556. M: Todos los… todos los x positivos y todas las y negativos

Al inicio el estudiante proporciona la matriz del sistema, pero al observarla dice

que no puede tener solución ya que tiene un renglón con puros ceros, aunque

luego dice que puede tener infinitas soluciones o solución única. Al pedirle que

grafique el sistema dice que la segunda ecuación está en el origen. Para la

primera ecuación afirma que es una recta pero no puede graficarla porque

necesita de puntos. Luego proporciona dos pares y traza el segmento entre ellas.

Después encuentra varios puntos que cumplen para la segunda ecuación, por lo

que afirma que tiene infinitas soluciones. Al preguntarle sobre su representación

geométrica afirma que se trata de una recta o un plano, pero no se encuentra

convencido de qué se trata. Por último dice que el conjunto solución del sistema

son todos los x positivos y las y negativas.

Entonces observamos que el estudiante presenta varias dificultades para la

resolución de este problema. Notamos que aunque puede construir la matriz del

276


sistema, no puede interpretar correctamente la solución del sistema lo que

indica que ni siquiera tiene una concepción acción. Para la parte geométrica

observamos que el estudiante no puede interpretar la segunda ecuación de

forma correcta, por lo que no coordina el objeto de conjunto solución de un

sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un sistema

coordenado, aunque luego encuentra que dicha ecuación contiene infinitas

soluciones. Por todo lo anterior decimos que el estudiante presenta una

concepción de pre-acción para el sistema dado.

Pregunta 6


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123




ii. Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente.





ii. Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente.


277



Para este problema el estudiante escribe:

567. M: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

k12

2611

13)

568. M: No pos es lo mismo que me está pasando en todas, no sé qué significa o

sea, no sé qué significa que sea k, no sé qué significa, no sé que tenga solución

única, que tenga infinitas soluciones o que no tenga solución, no lo sé

Entonces le pregunto qué representa geométricamente el sistema y responde:

572. M: Pues tres rectas, no sé… tres ecuaciones

Por lo que pregunto si el sistema puede tener solución única y nos responde:

583. M: No, puede tener múltiples soluciones, me imagino

585. M: Porque son tres rectas…

587. M: Pueden tener muchos valores las rectas, o sea… muchas posibles

soluciones cada recta, entonces las tres juntas tienen una infinidad de

soluciones, eso es lo que yo me imagino

588. M: Pero sé que se debe cumplir que alguna se haga cero o algo así para

saber eso

(Esto lo dice porque lo está viendo desde el punto de vista matricial)

278


Entonces le pregunto si al tener tres rectas pueden tener solución única y nos

dice:

595. M: Bueno sí, según… pues supuestamente puede tener cualquiera de las

tres, puede tener solución única, puede tener infinitas soluciones o puede que

no tenga solución

597. M: Depende al resolverla la la matriz… te da… si te da, si se cumple, o

sea, si puedes hacer pivotes, éstos dos y alguno se hace cero (señala la matriz

del sistema) y cosas así, eso depende de si tiene solución única, no tenga

solución, tenga infinidad de soluciones, pero no sé cuál es cuál

Luego le pregunto qué opciones tiene para graficar el sistema y responde:

618. M: Pues que sean paralelas… (Dibuja tres rectas paralelas)

620. M: …ajá, que se intersecten… en un punto (Dibuja tres rectas cortadas en

un punto), que… que no se intersecten (Dibuja tres rectas finitas que no se

tocan pero no en un plano), que se intersecten, ¡ah! pues cuando son paralelas

no se intersectan

622. M: … que se intersecten… que sean… ya, creo que son las únicas dos

279


opciones, que se intersecten y que no se intersecten… que se intersecten dos y

una no…

626. M: Ajá, tres casos

Entonces le pregunto que si tenemos las rectas paralelas qué significa y nos

dice:

629. M: No sé, que no se intersecten, pero no sé que signif, no sé, ¿que no tenga

solución? o que tenga infinidad de soluciones, no sé

Luego le pregunto para el caso de tres rectas que se intersectan en un punto y

nos dice:

632. M: Eso significa que tenga solución única

Por último nos dice:

646. M: Me imagino que uno significa que tenga solución… soluciones

infinitas, otro que no tenga solución y otro que tenga solución única, pero no sé

cuál es cuál

280


En esta pregunta el estudiante construye la matriz aumentada del sistema pero

no sabe qué hacer con ella, y afirma que no sabe cuándo tiene solución única, ni

infinitas soluciones, ni no solución. Luego el estudiante afirma que el sistema

representa tres rectas o tres ecuaciones. Entonces le pido los casos posibles para

la representación geométrica del sistema dado, por lo que el estudiante da tres

casos: rectas paralelas, que se intersecten en un punto o que se intersecten dos y

una no y dibuja cada caso. Enseguida le pregunto cuál es el significado de cada

caso, donde responde que no sabe, aunque en el caso de intersección en un

punto afirma que se trata de solución única.

Esta pregunta requiere una concepción proceso para resolverla correctamente,

debido a la presencia de un parámetro y debido a que se le pide al estudiante

determinar las propiedades que tendría que cumplir el sistema para tener

diferentes tipos de conjunto solución. Sin embargo el estudiante ni siquiera es

capaz de aplicar acciones al sistema dado para opinar sobre las posibles

soluciones para cada caso pedido, lo cual nos indica que el estudiante se

encuentra a lo más en una concepción acción para el conjunto solución de este

sistema. También observamos que presenta dificultades acerca del parámetro

presentado en la tercera ecuación ya que no sabe cómo interpretarlo. Para la

parte geométrica tampoco se observa una coordinación entre el objeto de

sistemas de ecuaciones y el objeto que lo representa, ya que no puede interpretar

las soluciones de cada sistema construido, aunque sí lo consigue para el caso de

tres rectas intersecadas en un solo punto.

281


Pregunta 7


dos incógnitas





observas?

Para este problema el estudiante responde:

661. M: Son tres ecuaciones con dos incógnitas

663. M: ¿Qué significa? bueno aquí se intersectan las tres

Acerca del número de soluciones al sistema, responde:

665. M: Pues tres, ¿no? quiero creer

Entonces le pregunto cuáles serían y responde:

668. M: Los puntos…

282


670. M: … donde se intersectan (marca los tres puntos de intersección)

Luego le pido un sistema que represente la figura y responde:

672. M: No, no sé

673. M: Sí, supongo que sí hay un sistema de ecuaciones que… que sea esto,

pero no sé cómo hacerlo

Entonces le pregunto cuál sería el conjunto solución para el sistema y nos dice:

676. M: Tres puntos, o sea, que te den tres puntos

679. M: Entonces me imagino que aquí tiene que haber tres puntos diferentes…

donde se intersectan las rectas

681. M: Sí, o sea, si supongo que se intersectan tres rectas así (Dibuja:

)

683. M: O sea, hay un solo punto que es solución, ¿no?

686. M: Cuando están así, o sea que se están intersectando en diferentes puntos

283


(Dibuja:

)… hay tres soluciones, ¿no?

688. M: O sea, bueno… tres puntos donde se tiene que marcar la solución

Entonces le pregunto cuántas soluciones hay para este sistema y responde:

690. M: Pues tres

En esta pregunta el estudiante afirma que el sistema representado en la figura

tiene tres soluciones, las cuales son los puntos de intersección de las rectas.

Luego al pedirle que dé un sistema algebraicamente que represente a la figura,

el estudiante dice que no sabe cómo hacerlo, aunque afirma que sí es posible

que exista el sistema.

Por lo tanto vemos que el estudiante no coordina el objeto de conjunto solución

de un sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en un

sistema coordenado, ya que no determina el conjunto solución de manera

correcta, pues toma las intersecciones de cada dos rectas como solución al

sistema. También notamos que el estudiante no puede pasar del modo

geométrico al modo algebraico para los sistemas de tres ecuaciones con dos

variables.

284


Pregunta 8:


=−−=++

142332

zyxzyx


tiene?



Al observar el problema el estudiante responde:

695. M: No, no sé, o sea aquí… son dos ecuaciones con tres incógnitas que…

tiene que tener… o sea que obviamente tiene que tener solución en x, y, z y no

sé cuál sería

Entonces le pregunto cómo encontraría la solución al sistema y responde:

698. M: Este… pues al eval… tienes que encontrar un punto, o sea son dos

rectas que tienes que encontrar su dirección y si se unen, encontrar el punto

donde se unan y esa sería la solución

699. M: Sería el punto en el espacio, donde se unen ),,( zyx

700. M: O puede ser que no se unan, ¿no?

Por lo que pregunto cómo sabe que se intersectan o no y responde:

706. M: Graficar las dos rectas, pero…

285


Entonces le pregunto si son rectas y nos dice:

709. M: Ah no, son planos, ¿no?

711. M: Ah, sí perdón son planos… porque tienen, están en 3R

Entonces le pregunto cómo encontraría la solución y responde:

715. M: Pues donde se unan los planos, puede que nunca se intersecten

717. M: En un punto ),,( zyx

720. M: Bueno en un… muchos, porque son planos

721. M: O sea al momento de intersecarse los planos se intersecan en muchos

puntos

Dibuja:

Por lo que pregunto qué representa ese conjunto solución y responde:

731. M: Pues un… un espacio… un pedazo de… un pedazo del plano

Entonces le pregunto cómo encontraría la solución para este sistema y nos dice:

735. M: Pues al unir los dos planos, el… toda el área que se una, es tu conjunto

286


solución

736. M: O sea son una infinidad de puntos que están… que están en los dos

planos

Entonces le pregunto si puede encontrar el conjunto solución del sistema

algebraicamente y nos dice:

738. M: Algebraicamente sí, dibujado no, tienes que hacerlo me imagino con…

tienes que tener valores en x, y, z… los que se cumplan para x, y, z igual a 3 y x,

y, z igual a 1, son todos esos

743. M: Igual puede ser con matrices, puede ser con… no sé, no sé con qué se

saque

748. M: No, me va a salir, me va a salir x, y, z, ¿no? me va a salir un recta

El estudiante al inicio, observa el problema y dice que no sabe cuál sería la

solución. Luego afirma que se tratan de dos rectas que si se unen, la solución

sería el punto donde se unen, el cual sería (x, y, z). Después de nuestra

intervención dice que se trata de dos planos y que su solución sería el punto (x,

y, z) donde se unan, pero luego cambia su respuesta y afirma que al ser planos

se intersectan en muchos puntos, por lo que grafica la intersección de dos planos

con dimensión. Esta intersección representa según el estudiante un pedazo del

plano. Después el estudiante afirma que el conjunto solución del sistema dado

sería la unión de los dos planos, es decir, una infinidad de puntos que están en

los dos planos. Por último el estudiante busca la manera de encontrar el

conjunto solución algebraicamente pero no consigue resolver el sistema.

287


Por lo tanto observamos que el estudiante no aplica alguna acción sobre el

sistema dado para encontrar el conjunto solución, sino que proporciona

argumentos quizá memorizados y en ocasiones erróneos. Para la parte

geométrica observamos que no coordina el objeto de ecuación con el objeto

geométrico que lo representa, ya que confunde a los planos con rectas. Además

no interpreta de manera correcta el conjunto solución para el sistema dado.

Entonces decimos que el estudiante presenta una concepción pre-acción para el

concepto de solución de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas.

Pregunta 9:


incógnitas



Para el número de soluciones el estudiante responde:

766. M.: ¿cuántas soluciones tiene el sistema? Pues las soluciones en donde se

una, una infinidad de soluciones

288


Entonces le pregunto dónde se unen y dibuja:

Por lo que pregunto cuántas soluciones existen y responde:

770. M: pues una infinidad, todas donde se intersecten, todas

Acerca de la representación geométrica del conjunto solución, nos dice:

775. M.: ¿tres pequeños planos?, o sea, donde se intersecten, va a ser… o sea, se

van a intersectar y donde se intersecten van a formar otro plano, o sea un

pequeño plano... de diferente espacio, de diferente tamaño

Entonces le pregunto qué representan geométricamente esas intersecciones que

marcó y nos dice:

786. M: Pues otro plano, o sea, bueno una unión de puntos, un x, y, z pero no sé

cómo se le llama a eso

791. M: (escribe: otros planos más pequeños)

Al preguntarle cuántos tendría, nos dice:

793. M: Tres

289


En esta pregunta el estudiante afirma que el sistema representado en la figura

tiene infinitas soluciones que son las intersecciones de cada dos planos, por lo

que marca las tres intersecciones. Luego nos dice que la representación

geométrica del conjunto solución son tres pequeños planos, ya que toma a la

intersección de los planos con dimensión como lo hace en el problema anterior.

Con esto observamos que el estudiante no coordina el proceso de conjunto

solución de un sistema de ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa,

ya que no presenta ni una concepción acción para el concepto de conjunto

solución y además presenta dificultades para interpretar el conjunto solución en

forma geométrica.

Pregunta 10


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112






inciso anterior.

Para el inciso (a) el estudiante responde:

800. M: Para que tenga solución única creo… que deben de cumplir que éstos

290


se vuelvan pivotes, los tres (señala la diagonal de la matriz) que tengan ceros

abajo y que te dé un resultado arriba, o sea, que te dé este lado, el b, c y d un

resultado, eso significa que tenga solución única

809. M: Este… (Escribe: Sol. única) esto para mí, esto significa

que tiene solución única, no es que sea la… el resultado verdadero pero…

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dcb

100010001

Entonces le pregunto qué valores deben de tomar a, b, c y d, a lo que responde:

816. M: El a uno

Y para b, c y d, nos dice:

822. M: Los que sean

Para el inciso ii, nos dice:

827. M: Este… para que tenga infinidad de soluciones es que… aquí está mi

súper trauma, no sé cuál es la diferencia entre infinidad de soluciones y

ninguna solución

828. M: Quiero creer que una es cuando te da todos ceros…

830. M: …y una es cuando… solamente te da el cero… ve, ok te lo voy a dibujar

835. M: (Escribe: infinidad de soluciones) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0000010001

cb

838. M: En donde a es cero, d es cero y b y c… (Escribe: a = 0, d = 0, b y c los

291


valores que sean)

Para el inciso iii, nos dice:

843. M: Ninguna solución, perdón, es que por ejemplo aquí te salga esto y aquí

la aumentada… (Escribe: ) que alguno de la aumentada…

(Escribe: algún valor de la matriz aumentada sea 0, Ninguna solución)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dc

100010

0001

Luego le pido que dibuje cada caso del inciso a geométricamente y responde:

859. M: Es que… bueno para mí, la solución única es que los planos se

intersectan en solamente un punto o sea…

862. M: La infinidad de soluciones es que se intersecten en muchos puntos

864. M: No sé, que se intersectan así como… como que en un espacio muy

grande o que posiblemente sean paral… o sean o están en el mismo punto o

sea, si están dos planos pegados…

872. M: Que los tres planos estén unidos

874. M: Y que tenga ninguna solución, es que cada plano están separados y no

se intersecta en ningún punto

Entonces le pido que los dibuje:

884. M: (Dibuja y escribe: Sol. única)

292


885. M: Se intersectan en el mismo punto

890. M: Este… tres planos … están pegados, ¿no? según yo

892. M: (Escribe: infinidad de soluciones)

894. M: Y que tengan ninguna solución es que un plano este acá, otro este por

acá… y un plano que esté por acá (Dibuja:

)

895. M: (Escribe: Ninguna solución)

897. M: No se intersectan en ningún punto

Entonces le pido que dibuje el caso anterior en un sistema coordenado y nos

dice:

293


908. M: … para mí significa que uno esté aquí, otro esté más arriba… ¿cómo lo

puedo hacer?… bueno que no se intersecten (risa), uno por acá y otro más

arriba, bueno aquí se ve como que si se intersectan pero… (Dibuja:

Entonces le pregunto cómo son esos planos y nos dice:

915. M: Paralelos

Luego nos dice:

922. M: Una infinidad de soluciones para mí es que están pegados, ajá… que

son paralelos pero están pegaditos, pegaditos, uno detrás del otro… que en dos

puntos se están intersectando

927. M: Y solución única que se intersecten solamente en uno… los tres se

intersecten en el mismo

Aquí el estudiante afirma que para que el sistema tenga cada uno de las

soluciones pedidas, se tiene que llegar a la reducción de la matriz de cierta

manera, pero no la efectúa. Para el caso de solución única, el estudiante

proporciona una matriz donde los elementos de la diagonal principal sean 1 y

afirma que a es igual a cero y b, c y d pueden ser cualquier valor. Para infinita

soluciones no está convencido de cuál deba de ser, ya que afirma que lo

294


confunde con el caso de no solución, pero da una matriz donde los elementos

del último renglón son ceros, donde afirma que a y d son iguales a cero y b y c

toman cualquier valor. Para ninguna solución proporciona una matriz donde los

elementos de la diagonal principal sean 1 y algún valor de la matriz aumentada

sea cero, en este caso escoge a c igual a cero. Luego dibuja la representación

geométrica para cada caso de inciso a.

Para solución única dibuja tres planos intersecados en una recta, pero él afirma

que se intersectan en un solo punto. Para infinitas soluciones dibuja tres planos

encimados y afirma que son planos paralelos muy pegaditos. Para ninguna

solución dibuja tres planos que no se intersectan pero lo hace sin ejes

coordenados, donde considera que los planos son finitos, por lo que no tiene

una idea geométrica clara de lo que es un plano. Luego le pido que dibuje el

caso anterior en un sistema coordenado y al graficarlos afirma que se trata de

planos paralelos.

Nuevamente tenemos una pregunta que requiere de una concepción proceso

debido a la presencia de parámetros y debido a que se le pide al estudiante

determinar ciertas condiciones para que el sistema tenga diferentes tipos de

conjunto solución. Ante esta situación lo único que hace el estudiante es

proporcionar un ejemplo de cómo debe quedar la reducción según él, para cada

caso de conjunto solución pedido; ni siquiera es capaz de realizar operaciones

de fila para reducir la matriz, Luego observamos que el estudiante presenta

dificultades para coordinar el objeto de conjunto solución de un sistema de

ecuaciones con el objeto geométrico que lo representa en el sistema coordenado,

ya que su respuesta es muy general y no toma en cuenta las propiedades del

sistema en cuestión. Por lo que decimos que el estudiante presenta una

concepción pre-acción respecto al conjunto solución de un sistema dado en su

representación matricial.

295


Pregunta 11

X

Y


común.

Para este problema el estudiante responde:

932. M: ¿Un par de rectas? O sea ¿dos?

936. M: Puede ser… (Dibuja una recta que pasa por el origen)

937. M: Que tengan más de un punto en común significa ¿que sean paralelas?

¿En el mismo punto? O que…

Entonces le pregunto que si al ser paralelas tienen puntos en común y

responde:

939. M: No, ninguno pero… que sean paralelas así… digo no, no…

940. M: No me refiero a que sean paralelas, sino que sean una encima de la otra

942. M: (Dibuja otra recta encima de la recta anterior pero punteada)

296


944. M: Estas son dos rectas que tienen más de un punto en común

Entonces le pido que dibuja tres rectas con más de un punto en común:

951. M: Que tengan más de dos… más de un punto en común pueden ser así,

otra que vaya de aquí hasta acá y otra que vaya de… (Dibuja las tres rectas)

Entonces le pregunto cuáles son los puntos en común y responde:

953. M: Pues ponle, que sea (divide los ejes coordenados)… que sea desde…

desde el (-2,-2) hasta el (-4,-4)

955. M: En estos puntos las tres están unidas, las tres están…

En esta pregunta el estudiante dibuja dos rectas encimadas, las cuales cumplen

con lo pedido. Al pedirle que grafique tres rectas con más de un punto en

297


común, dibuja tres rectas que se intersectan en un pequeño segmento, según él,

el cual contiene muchos puntos.

Esto nos indica que el estudiante no coordina el objeto de conjunto solución de

un sistema con el objeto geométrico que lo representa en el sistema coordenado

en ℜ2.

Pregunta 12


+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.




En esta pregunta el estudiante dice:

965. M: ¿t es un parámetro? ¿Yo le doy el que yo quiera?... o t es una como

constante

968. M: ¿Cómo cuál es la forma escalonada del sistema… escalonada reducida

del sistema?

970. M: No entiendo eso

Al explicarle sobre el problema, le pregunto cuál sería la forma escalonada y

responde:

298


979. M: O sea que… va… no sé a que se refiere pero me imagino que va de…

… 13,32 +−+− tt 25,54 +−+− tt , ¿a eso te refieres?

982. M: O sea… va aumentando, va disminuyendo la… de acuerdo a t

Luego nos dice:

985. M: ¿Qué es una forma escalonada?

Entonces le pregunto si puede decir cuál es la forma escalonada y responde

que no sabe.

Aquí observamos que el estudiante no puede resolver el problema, porque no

reconoce lo que es la forma escalonada reducida de un sistema y tampoco

reconoce lo que significa un parámetro. Por lo que no puede efectuar algún

procedimiento para resolverlo. Tampoco reconoce que la solución dada

representa una ecuación paramétrica en R2

Pregunta 13



a) Solución única



299


El estudiante responde:

998. M: Pues es lo mismo, ¿no? un sistema de dos ecuaciones con tres variables

son… son dos planos en donde… para que tengan solución única es que se

intersectan en un punto, que tengan ninguna solución es que no se intersectan

y que tengan más de una solución es que se intersectan en varios puntos

Entonces le pido un sistema algebraico para cada caso y nos dice:

1005. M: Es que aún… tampoco no entiendo que signif… una representación

algebraica

1007. M: ¡Ah! un sistema donde… podría ser… no sé si esté bien ¿verdad?,

pero…

1008. M: (Escribe: a) 0223

062=++=++zyx

zyx)

Para los demás casos nos dice:

1015. M: Es lo mismo sólo que varía…

1017. M: El resultado éste (señala el sistema que dió)

1021. M: Ándale, el término que no tiene x ni y ni z

Luego escribe:

1032. M: (Escribe: b) 4223

062=++=++zyx

zyx

300


c) 3223

362=++=++zyx

zyx)

Para este problema el estudiante afirma que el sistema son dos planos, que para

que tengan solución única se deben de intersectar en un punto, para que tengan

ninguna solución es que no se intersecten y para que tengan más de una

solución es que se intersectan en varios puntos. Luego proporciona los sistemas

algebraicamente para cada caso, donde da el mismo sistema para todos, sólo

que cambia los términos independientes.

Nuevamente al pedirle que resuelva una pregunta que requiere de una

concepción proceso, el estudiante presenta varias dificultades, como por

ejemplo para coordinar el objeto de sistema de ecuaciones con el objeto

geométrico que lo representa en el sistema coordenado, ya que considera la

posibilidad de que un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas tenga

solución única.

Análisis General de Manuel

Al observar todas las respuestas del estudiante vemos que presenta pocos

argumentos para la resolución de los problemas y varias dificultades a lo largo

de la entrevista respecto al concepto de conjunto solución de un sistema de

ecuaciones, ya que no es capaz siquiera de dar respuestas que pudieran

considerarse a nivel acción.

Por ejemplo al inicio de la entrevista, pudimos observar que el estudiante puede

aplicar ciertas acciones a una ecuación dada o a un sistema dado para verificar si

los puntos dados son solución o no. Sin embargo, muestra una concepción pre-

acción respecto al concepto de conjunto solución, ya que no sabe cómo

301


interpretar el hecho de que un punto no satisfaga la igualdad. También

observamos que el estudiante no considera el conjunto de todas las posibles

soluciones para la ecuación o el sistema dado, sino que se limita a considerar los

puntos dados como posibles soluciones.

Por otro lado al tratar de encontrar el conjunto solución de una ecuación o de un

sistema, Manuel despeja cada una de las variables de la misma ecuación en

términos de las otras dos, es decir de forma circular. En el caso de algunos

problemas que involucran parámetros observamos que el estudiante es incapaz

de interpretarlos y su misma presencia le crea dificultades para la resolución del

problema. Esto se debe a que la solución correcta de estos problemas requiere de

una concepción proceso, debido a la presencia del parámetro.

Asimismo notamos que no coordina el objeto de conjunto solución de una

ecuación con el objeto geométrico que lo representa en un sistema coordenado,

ya que para graficar necesita hacerlo punto a punto y representa a las

ecuaciones como objetos finitos. En varias ocasiones el estudiante no puede

interpretar correctamente la expresión que encontró para el conjunto solución.

En los problemas con representaciones gráficas observamos que el estudiante no

determina el conjunto solución de manera correcta, pues toma las intersecciones

de dos a dos, tanto cuando se trata de rectas como cuando se trata de planos,

como solución al sistema y en algunos casos toma segmentos de rectas o planos

como solución. También notamos que dado que el estudiante presenta serias

dificultades con la interpretación geométrica de las ecuaciones y de los sistemas,

no le es posible coordinar las representaciones geométricas con las algebraicas

para los sistemas de ecuaciones.

302


Respecto a las matrices observamos que el estudiante no puede realizar

operaciones de fila para reducirlas a la forma escalonada, por lo que únicamente

proporciona un ejemplo de cómo debe quedar esa reducción para cada caso de

conjunto solución pedido. Por lo que podemos concluir que el estudiante

presenta una concepción pre-acción respecto al conjunto solución de un sistema

dado en su representación matricial.

Con todas estas observaciones decimos que el estudiante en algunos casos

presenta, a lo más, una concepción acción para el concepto de conjunto solución

de un sistema de ecuaciones, ya que en algunos problemas muestra una

concepción pre-acción. Asimismo para el caso de conjunto solución de una

ecuación el estudiante presenta una concepción pre-acción.

303

Conclusiones Y

Reflexiones finales

Capítulo V Conclusiones y reflexiones finales

En este capítulo presentaré las conclusiones teóricas de nuestro trabajo de

investigación, así como algunas reflexiones y sugerencias para futuras

investigaciones de acuerdo a los resultados obtenidos.

V.1. Conclusiones teóricas

Una de las preguntas de investigación que nos planteamos de acuerdo con

nuestros objetivos es: ¿La descomposición genética inicial que propusimos es

viable para explicar la construcción del concepto de conjunto solución de

sistemas de ecuaciones lineales?

Para poder contestar esta pregunta, tenemos que basarnos en los datos

empíricos, enfocándonos en las construcciones mentales que los estudiantes

presentaron durante la entrevista.

Para ello presento a continuación algunos resultados obtenidos al realizar los

análisis de las respuestas de los estudiantes:

304


Con la excepción de un estudiante, ningún entrevistado presenta dificultades

para realizar acciones de sustituir puntos dados para verificar si éstos satisfacen

alguna ecuación o algún sistema dado (Manuel presenta dificultad para

interpretar el resultado cuando un punto no satisface una ecuación). La mitad

de ellos puede coordinar los procesos de función y ecuación a un nuevo proceso

de solución para una ecuación o un sistema dado, ya que consideran el conjunto

de todas las posibles soluciones para una ecuación lineal, y en el caso de un

sistema, consideran al conjunto solución como las intersecciones de los

conjuntos solución de cada una de las ecuaciones que lo conforman. La otra

mitad de los estudiantes no da evidencia de interiorización de sus acciones en

un proceso de solución, ya que presentaron dificultades para expresar el

conjunto solución dado que para ello necesitan obtener una expresión algebraica

para cada variable y despejan en forma circular, lo cual nos indica además que

los estudiantes no interpretan correctamente el papel de las variables en las

ecuaciones.

Otra evidencia de concepción proceso se observa en la solución de un sistema de

dos ecuaciones con dos incógnitas. En este estudio fue posible observar que

algunos estudiantes no necesitan sustituir los puntos dados en las ecuaciones

para afirmar, por ejemplo, que un sistema no tiene solución, ya que son capaces

de identificar, a primera vista, a las rectas representadas por el sistema como

paralelas y de interpretar el significado de esto en términos de la solución del

sistema, lo cual muestra la interiorización de sus acciones para encontrar el

conjunto solución del sistema.

En la parte geométrica observamos que la mitad de los estudiantes pudieron

construir el proceso de conjunto solución de modo geométrico para un sistema

de tres ecuaciones con dos incógnitas, de manera que las tres rectas se

305


intersecaran de dos en dos formando un triángulo. La otra mitad presentó

dificultades para construir este proceso, ya que consideraban a los puntos de

intersección de cada dos rectas como las soluciones del sistema. Lo mismo

ocurrió para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, el cual

representaba tres planos intersecados de dos en dos formando un triángulo,

para el cual algunos estudiantes consideraban a las rectas de intersección de

cada dos planos como las soluciones al sistema.

También observamos que algunos estudiantes presentaron dificultades para

graficar e interpretar las ecuaciones y su conjunto solución, lo cual indica que no

pueden coordinar la representación geométrica y la algebraica para el concepto

de conjunto solución.

En los problemas con matrices, observamos que la mayoría de los estudiantes

muestra no haber interiorizado sus acciones para construir el proceso de

transformación de la matriz a la forma escalonada reducida, ya que presentan

dificultades para expresar el conjunto solución del sistema equivalente. Algunos

estudiantes tienen problemas para interpretar la equivalencia de sistemas de

ecuaciones, mientras que otros no toman en consideración el papel de los

parámetros en el sistema que resulta importante para poder interpretar las

condiciones que se deben cumplir para que el sistema tenga un determinado

tipo de solución y otros no pueden dar las condiciones que deben cumplir los

parámetros para los casos de solución pedidos. Estas dificultades se deben a la

inclusión de parámetros en los problemas presentados, ya que este tipo de

situaciones requieren de una concepción proceso para ser resueltos de manera

correcta.

306


Luego de observar estos resultados, para responder a la pregunta de

investigación descrita anteriormente, afirmamos que en general la

descomposición genética resulta viable para explicar las construcciones

mentales de los estudiantes, sin embargo, a la luz de los datos empíricos,

consideramos conveniente hacer algunas modificaciones para mejorarla. Es de

particular interés notar que ningún estudiante mostró tener una concepción

objeto para el concepto de conjunto solución y que pocos de ellos muestran

haber construido un proceso de solución, en particular en el caso de los sistemas

con tres variables. Se observa en las respuestas de los estudiantes una gran

inseguridad en la interpretación y en la manipulación de las variables. De hecho,

el que no hayan llegado a construir una estructura de tipo objeto no es

sorprendente, ya que al inicio del curso todavía no contaban con las

herramientas y conceptos necesarios para realizar acciones sobre el conjunto

solución de un sistema de ecuaciones lineales.

Nuestra descomposición genética proponía como conceptos que un estudiante

debe haber construido para comprender el concepto de conjunto solución de un

sistema lineal de ecuaciones: conjunto, función, ecuación, igualdad y espacio

vectorial en una estructura de proceso. Cabe aclarar que cuando realizamos las

entrevistas, los estudiantes acababan de ver el tema de espacios vectoriales en el

curso.

A la luz de los resultados observados en los análisis, pensamos que sería

conveniente incorporar los conceptos de variable y parámetro como conceptos

previos que debe haber construido el estudiante para que, al coordinarse con los

demás conceptos presentados en la descomposición genética, haya una mejor

comprensión del conjunto solución de los sistemas de ecuaciones. Estos

conceptos deben presentar una estructura de proceso.

307


También pensamos que la representación geométrica de los conjuntos solución

de las ecuaciones lineales o los sistemas lineales deben construirse a la par con el

concepto de conjunto solución para que al coordinarse entre sí, den pie a un

mejor entendimiento del concepto de sistemas de ecuaciones y el estudiante

pueda construir dicho concepto en una estructura de objeto.

A partir de los resultados anteriores nos permitimos hacer algunas sugerencias

para la enseñanza-aprendizaje del conjunto solución de los sistemas de

ecuaciones lineales. Dichas sugerencias las encaminaremos hacia la posibilidad

de encapsulación del conjunto solución de los sistemas lineales de ecuaciones.

Para lograr dicha encapsulación es necesario presentar a los estudiantes la

solución de los sistemas de ecuaciones en forma algebraica, en coordinación con

la construcción y solución del sistema en forma geométrica, ya que la

coordinación de estas dos representaciones y la posibilidad de visualizar el

significado geométrico de una ecuación y el significado algebraico de una

representación geométrica, pueden permitir lograr una mejor comprensión en la

solución de los sistemas de ecuaciones.

También es conveniente presentarles a los estudiantes todos los casos posibles

de solución de un sistema de ecuaciones, utilizando diferentes representaciones

y no limitarlos a la solución de algunos ejemplos sencillos que no abordan los

elementos indispensables para la construcción del objeto solución que se

muestra en la descomposición genética que presentamos en este trabajo.

De igual forma deben presentarse a los estudiantes, problemas no triviales para

la resolución de sistemas de ecuaciones, para que se enriquezca su esquema del

concepto de solución, dichos problemas necesitarán al menos de una concepción

308


proceso para resolverse y deben incluir preguntas que den oportunidad de

reflexión a los estudiantes para lograr la encapsulación; un ejemplo claro en esta

investigación, son los problemas que involucran parámetros o los problemas

presentados en un contexto geométrico.

Esta investigación muestra también que los estudiantes tienen dificultades para

coordinar las acciones que realizan sobre la representación de un sistema en

forma de matriz aumentada y lo que le ocurre al sistema en sí cuando se realiza

cada una de estas acciones. La coordinación de estos procesos es importante

para enriquecer el esquema de los estudiantes. Sugerimos, por ello, que durante

las actividades en las que los sistemas se trabajan utilizando la representación

matricial, se enfatice el paso a la representación algebraica y geométrica y

viceversa para brindar a los alumnos mayores oportunidades de reflexión sobre

los efectos de sus acciones sobre el sistema.

Es conveniente utilizar la noción de conjunto solución en la solución de otros

problemas del álgebra lineal en los que se brinde la oportunidad de revertir el

objeto solución en el proceso que le dio origen y de realizar acciones sobre este

objeto y reflexionar sobre ellas.

V.2. Sugerencias para futuras investigaciones

En esta tesis investigamos el aprendizaje del concepto de sistemas de ecuaciones

y su conjunto solución, desde el punto de vista de la teoría APOE. Este trabajo

proporciona resultados interesantes que dan lugar a sugerencias para futuras

investigaciones en la misma dirección.

309


En primer lugar, sugerimos hacer un estudio de los sistemas de ecuaciones y su

conjunto solución con estudiantes que llevan un curso de Algebra Lineal, en

diferentes momentos de su aprendizaje. Esto con el objetivo de poder observar

de manera detallada las posibles etapas de construcción de los estudiantes

respecto al concepto de estudio, y con el fin de apreciar cómo este concepto se

relaciona con los otros conceptos dentro de la estructura de un esquema. Cabe

aclarar que hemos dado un paso en esta dirección, y aunque no forma parte de

esta tesis, hemos realizado entrevistas con los mismos estudiantes al término de

su curso de Álgebra Lineal.

Por otro lado diseñar y aplicar una entrevista que involucra problemas que no

son familiares para los estudiantes, permitiría observar si se ha logrado la

interiorización de sus acciones, y si se presenta la concepción de objeto en

algunos de los estudiantes.

Consideramos que la relación entre lo algebraico y lo geométrico requiere

explicitarse con mayor claridad en términos teóricos y una futura investigación

puede concentrarse en este aspecto. Esto, en su turno, contribuiría al desarrollo

de la teoría misma.

También nos parece importante estudiar los diferentes procesos involucrados en

la construcción del concepto involucrado, en el contexto de diferentes espacios

vectoriales tales como R2, R3, o espacios vectoriales sobre campos finitos.

Finalmente comentamos que hay mucho que queda por investigar para

identificar las construcciones mentales que hacen los estudiantes en camino a

aprender los conceptos del Álgebra Lineal, y esperamos que nuestro trabajo

proporcione datos importantes en esta línea de investigación.

310

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Vargas, X. N. (2007) El estudio de los espacios vectoriales desde el punto de

vista de la teoría APOE. Tesis de Maestría, Cinvestav-IPN.

Weller, K., Montgomery, A., Clark, J., Cottrill, J., Trigueros, M., Arnon, I.,

Dubinsky, E. (2002), Learning Linear Algebra with ISETL, disponible en:

http://www.ilstu.edu/~jfcottr/linear-alg/

314

http://www.ilstu.edu/%7Ejfcottr/linear-alg/

Anexo I Cuestionario

Cuestionario

1. Dada la ecuación 62 =+ yx

a) ¿Son los pares ordenados (1,4),(3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la


2. Dada la ecuación 423 =+− zyx

a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5),(3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la ecuación?

b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la


3. ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones? ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas.

4. Consideremos el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−=−

0454

yxyx

a) ¿Son los pares ordenados (0,-5),(1,4) y (0,0) soluciones del sistema? b) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas soluciones

tiene? c) Grafica el sistema de ecuaciones ¿Qué observas? d) Comenta acerca del conjunto solución.


=+=+

000523

yxyx


tiene? b) Grafica el sistema de ecuaciones ¿Qué observas? c) Comenta acerca del conjunto solución.

315


6. Consideremos el sistema de ecuaciones ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123

a) ¿Es posible que este sistema tenga solución única? Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es la solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente. Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta. b) ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones? Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es el conjunto solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente. Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta. a) ¿Es posible que este sistema no tenga solución? Justifica tu respuesta.

7. Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas

a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? b) Da un sistema de ecuaciones, algebraicamente, que pueda representar a

la figura anterior. c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto?¿Qué observas?

316


8. Considerar el sistema de ecuaciones ⎩⎨⎧

=−−=++

142332

zyxzyx


tiene? b) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la


9. Dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas

a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? b) ¿Cuál es la representación geométrica del conjunto solución?

10. Dada la matriz aumentada de un sistema ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112


i. Solución única? ii. Infinitas soluciones?

iii. Ninguna solución? b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del inciso

anterior.

317


11. Representa gráficamente un par de rectas que tengan más de un punto en común.

X

Y

12. La solución de un sistema de ecuaciones está dada por: donde t

es un parámetro. 1332

+−=+−=

tytx

a) ¿Cuál es la forma escalonada reducida del sistema? b) ¿Puedes encontrar el sistema original? ¿De qué manera? c) ¿Cuál es tu sistema original?

13. Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:

a) Solución única b) Ninguna solución c) Más de una solución

318

Anexo II Entrevista: Wadi

1. Dada la ecuación 62 =+ yx a. ¿Son los pares ordenados (1,4), (3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación? b. Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c. ¿Cuántas soluciones tiene? d. Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la

representación geométrica? 1. W: ¿así está bien indicado?, o ¿no?

2. E: este… ¿porqué esos dos son? (me refiero a los pares ordenados (1,4) y

(2,2) que palomeó) 3. W: porque satisfacen la ecuación 4. E: ¿cómo puedes saber que son puntos de la ecuac…puntos solución de la

ecuación? 5. W: por que 2 por x + y = 6, o sea 2(1) + 4 = 6 6. E: ok 7. W: o sea, te lo indico o ¿así está bien o lo tacho…? 8. E: así está bien 9. W: (Escribe: b) y xy 26 −= ℜ∈x ) 10. W: (Escribe: c) Infinidad de soluciones) 11. W: (Escribe: d) una recta en R2) 12. E: Ok, eh… 13. W: ¿más específico o así? 14. E: A ver… el conjunto solución ¿cuál sería? 15. W: Todas las… las y tal que… yx =− 26 , o sea los pares de x y y tal que y es

igual a esto (señala la ecuación xy 26 −= ) 16. E: Ok, si… ¿puedes poner el conjunto solución en forma de…? 17. W: ¿Como conjunto? 18. W: ¡Ah!, ok 19. E: Ajá, de conjunto 20. W: (Escribe: ( ){ }ℜ∈∧−= xxyyx 26, ) 21. E: Aja, ok 22. E: ok

319


2. Dada la ecuación 423 =+− zyx a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5), (3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la representación geométrica?

23. W: (Escribe: y luego

4810643290583

423

=+−=−−=+−

=+− zyx

) 24. W: (Escribe: b) ( ){ }ℜ∈∧∧∧=+− zyxzyxzyx 423,, ) 25. W: (Escribe: c) infinitas soluciones) 26. W: (Escribe: d) Un plano en R3) 27. E: Ok

3. ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones? ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas.

28. E: si puedes hablar, si quieres… mientras haces tus procedimientos 29. W: (risa) 30. E: digo, si quieres… 31. W: no acostumbro a hablar solo (risa) 32. E: …para que escuchemos los que estás pensando 33. W: ok 34. W: (lee: …el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones) 35. W: el conjunto solución es aquel que satisface el sistema de ecuaciones 36. E: (risa) 37. W: lo escribo o con que te lo diga 38. E: sí, sí escribe 39. W: (Escribe: Conjunto es aquel que satisface el sist. de ecuaciones. Puede ser

único, infinito o no existir) 40. W: ok 41. W: (Escribe: Este conjunto es… contiene soluciones para cada ecuación, para

todas. Pero no necesariamente todas las soluciones de cada ecuación)

320


42. E: a ver, ¿qué paso? explícame 43. W: ah, que… el conjunto solución de un sistema de ecuaciones… 44. E: Ajá 45. W: O sea, es aquel que satisface todas las ecuaciones al mismo tiempo 46. E: Ajá 47. W: O sea, se tienen que satisfacer todas 48. W: Y la diferencia de este conjunto con el conjunto que resuelve cada

ecuación es que… puede ser igual pero puede… cuando no es igual es porque… hay… para una ecuación existe un conjunto que… un conjunto solución y para otra… para otra ecuación existe otra, entonces el conjunto que satisface el sistema es la intersección de todos esos… conjuntos… solución

49. E: Ok 50. W: ¿Está bien? 51. E: Correcto


=−=−

0454

yxyx

a) ¿Son los pares ordenados (0,-5), (1,4) y (0,0) soluciones del sistema? b) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas soluciones


52. W: No pos no, no tiene solución 53. E: ¿Por qué no tiene solución? 54. W: Porque son… son rectas paralelas éstas (señala el sistema dado) y nunca

se intersectan, nunca tienen solución, intersecan 55. E: (risa) 56. W: Que quede claro 57. E: ¿Por qué dices que son paralelas? 58. W: Son paralelas porque aquí existen los mismos coeficientes para x y para y

(se refiere a los coeficientes de las ecuaciones del sistema) 59. E: Ajá 60. W: Por lo tanto nunca se va a lograr esta… que se resuelva este sistema, ¿no? 61. W: ¿Sí o no? 62. E: ¿Tu que crees? 63. W: ¿De la ecuación o del sistema? 64. E: Sí, del sistema 65. E: Perdón

321


66. W: Exactamente 67. W: No tiene solución 68. W: (Lee: Grafica el sistema de ecuaciones) ya 69. W: ¿Por qué preguntas muchas veces si tiene? Son muy redundantes aquí

70. W: (Escribe: y grafica el sistema) xy

xy4

54=

−=

71. W: Se supone que son paralelas (traza la segunda recta paralela a y = 4x) 72. W: Puedo interpretar, ¿cómo se escribe eso? ¿Así? (dibuja dos rectas paralelas

cortadas por una transversal) 73. W: ¿Cómo se escribe que son paralelas? 74. W: ¿Así, no? ¿Cómo? (Tacha su dibujo anterior) 75. W: Bueno son paralelas 76. E: Ok 77. E: ¿Entonces cómo es el conjunto solución? 78. W: Vacío (Escribe: φ ) 79. E: Correcto


=+=+

000523

yxyx



80. W: Mmm, pos este la solución, también es… ésta ¿no? es una recta (señala la primera ecuación)

81. E: ¿Porqué? 82. W: Porque aquí es como el vector cero, lo cual hace que la solución, si haces

el sistema de ésto (señala el sistema dado), la solución va a ser ésto ¿no?

322


83. E: ¿Qué representa la segunda ecuación? 84. W: La segunda ecuación… podrías… 85. E: Si tu graficas ese sistema, ¿cómo lo graficarías? 86. W: ¡Ah!, no… si grafico el sistema… 87. E: Ajá 88. W: Según yo es nada más esta recta (se refiere a la primera ecuación) 89. W: Porque pos ésto se satisface para cualquiera ¿no? en el plano (se refiere a

la segunda ecuación) 90. W: Cero por algo siempre va a ser… 91. W: O sea, sería el plano… ésto es el plano (se refiere a la ecuación

), la solución que satisface el sistema es la recta, esta recta ¿no? (se refiere a la primera ecuación)

000 =+ yx

92. W: Según yo

93. W: El conjunto solución… según yo… (Escribe: ( ){ ℜ∈∧−= xxyyx23

25, )

94. W: ¿Lo grafico? 95. E: Ajá 96. W: Pensé que nos íbamos a ir rápido 97. E: (risa) 98. W: (Grafica la ecuación 523 =+ yx )

99. E: Esa es la primera ecuación, ¿y la segunda? 100. W: Es que la segunda es todo el plano, todo R… 101. W: Entonces para que se… para que se resuelva el sistema se tiene que

cumplir ésta (señala la segunda ecuación) y ésta (señala la primera ecuación) ¿no? Por lo tanto la intersección de esas dos es la recta

102. E: La misma recta ¿no? 103. W: Sí, ¿no? 104. E: ¿Es lo que crees? 105. W: Sí

323


106. W: ¿No? 107. W: Si es lo que crees… 108. E: Este… solo especifica ¿qué representa la segunda ecuación?, o sea ¿lo

puedes escribir? 109. W: (Escribe: La segunda ecuación representa todo el plano XY. La solución

por lo tanto es la intersección de los 2 conjuntos solución. ∴una recta) 110. E: Ok


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123

a) ¿Es posible que este sistema tenga solución única? Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es la solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente. Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta. b) ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones? Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es el conjunto solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente. Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta. c) ¿Es posible que este sistema no tenga solución? Justifica tu respuesta.

111. W: La respuesta va a ser…

112. W: Escribe:

1443

41233

1

−=

=−==++

+=

y

xyyx

yx

113. W: Es… mm… sí (circula donde dice: si la respuesta es sí) 114. E: ¿Porqué sí? 115. W: Porque resolví el sistema, no o sea, bueno éste (se refiere a la tercera

ecuación)… nos va a pedir el valor de k, o ¿no? 116. W: O sea, ah! Bueno 117. W: Sí, si me pide encontrar el valor de k, sí lo podría encontrar

324


118. E: Ajá 119. W: Pero… 120. E: Para que tenga solución única que… 121. W: K tiene que ser… lo tengo que dar… 122. E: Ajá 123. W: Exacto, para que tenga solución única k tendría que ser…

124. W: Escribe: k=−=−=+− 44

1642

418

125. W: Exacto de esa manera habría solución única, si la k es diferente de -4 no habría solución

126. E: ¿Porqué? 127. W: Porque otra vez… encontramos… aquí éste serían dos rectas paralelas

nuevamente (señala la ecuación 1 y 3 del sistema) y se intersectarían con éstas (suponemos que se refiere a la segunda ecuación) pero no serían solución única, o sea, perdón, no sería solución del sistema

128. E: Ajá 129. W: Entonces es sí y solo sí (Escribe: 4−=⇔ k ) 130. E: Ok 131. W: ¿Grafico el sistema? 132. W: No, nos lo imaginamos, ya ¿no? 133. E: (risa) no 134. E: Ok, ¿la solución cuál sería entonces?

135. W: (Circula 43,

41

=−= xy y 4−=k )

136. E: Ajá 137. W: Ya con eso 138. W: Ok, vamos a graficarlo 139. W: Ok, va a ser… dos tercios… 140. W: Pasa como por aquí ¿no? …Sí 141. W: (grafica el sistema:

)

325


142. W: Ese es el punto (señala con una flecha las ecuaciones 43,

41

=−= xy con

el punto de intersección de su gráfica) 143. E: ¿Ahí? 144. W: Ok, después, ¿es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones? 145. W: Mm, no creo 146. W: Infinidad de soluciones, no 147. E: ¿Por qué no puede ser? 148. W: Porque ya encontramos, bueno… o sea solo se cumpliría el sistema si k

es -4, de otra forma no se cumpliría el sistema 149. W: Entonces solo hay una única, por lo tanto no puede haber una infinidad

o ¿sí? 150. E: ¿Aunque le demos cualquier otro valor a k? 151. W: Es que si le das otro valor a k no va a haber solución… para este sistema 152. W: (Escribe para el inciso b: NO, solución única) 153. W: (Escribe: No- Sol única cuando k = -4) 154. W: (Escribe para el inciso c: Si 4−≠k el sistema no tiene solución) 155. E: Ok 7. Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas

a) ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? b) Da un sistema de ecuaciones, algebraicamente, que pueda representar a la

figura anterior. c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué observas? 156. W: Esto sucedería exactamente (señala el ejercicio 7 refiriéndose al

ejercicio anterior) 157. W: Tres ecuaciones… 158. W: (Escribe para el inciso a: Ninguna) 159. W: El pasado, ¿me lo prestas?

326


160. E: (risa) 161. W: Era 2x… no, 3x…

162. W: (Escribe: ) 026

1523

=−−=+=+

yxyx

yx

163. E: ¿Cómo puedes saber que esas tres rectas… representan a esa figura? 164. W: Ah! no, no lo representan de hecho… de hecho… 165. W: No (tacha la tercera ecuación) 166. E: No lo taches, no lo taches 167. W: Esto yo no lo hice nunca (risa) 168. E: (risa) 169. W: Ok, déjame pensar en un sistema que pueda pasar eso 170. W: Que se intersec…sequen 171. W: Ahora si me hiciste pensar 172. E: (risa) 173. W: ¿Qué vamos a hacer…? 174. W: Ok, vamos a inventar uno ¿no?

175. W: (Escribe: ) 2232

1

=−=+=+

yxyx

yx

176. W: ¿Cómo puedo saber…?, ok vamos a ver…

177. W: (Escribe: y señala con una flecha las ecuaciones

y para mostrar que ésas dos resolvió) )12(

321−==

=+−xyyy

1=+ yx 32 =+ yx

178. W: (Escribe: y señala con una flecha las ecuaciones

)11(55

324)22(2

===

=−+−+

yxx

xxxx

32 =+ yx

y para mostrar que ésas dos resolvió) 22 =− yx179. W: Y después éstas (señala con una flecha las ecuaciones y

para mostrar que ésas dos resolverá) 1=+ yx

22 =− yx

180. W: (Escribe:

)10(03

2322)1(2

===

=−=−−

xyy

yyy

)

181. W: ¿Ya estuvo? 182. W: (Encierra en un cuadro su sistema dado)

327


183. W: Tiene tres intersecciones diferentes 184. E: ¿De la manera como está…muestra la gráfica? 185. W: Sí 186. E: ¿Cómo lo puedes saber? 187. W: Porque son tres rectas que se intersectan en tres puntos diferentes 188. E: ¿Formando un triángulo? 189. W: Ciertamente 190. E: A ver, ¿si lo graficas? 191. W: (Risa) 192. E: Oh, grafica los puntos para que veamos 193. E: Ya 194. W: No, hay que simplificar… 195. W: 1, 2 y x -1, entonces aquí… pues x = 1 y = 1 aquí y el (0,1)… (Grafica los

puntos de intersección del sistema) 196. W: Entonces claramente vemos un triángulo… si prolongamos las rectas

vamos a ver un sistema, ¿ya?

197. E: Ajá 198. W: Conjuntos solución no hay (Escribe para el inciso c: No hay sol) 199. E: Ok

328



=−−=++

142332

zyxzyx

a) Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas soluciones tiene?

b) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la representación geométrica?

200. W: A ver… 201. W: (Escribe:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−−

→⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

13

210321

53

1050321

13

412321

)

202. W: Espero estar bien 203. W: Ahora tenemos… que la solución… tiene una infinidad de soluciones 204. W: Entonces… 205. W: (Escribe: (Supongo que de la matriz anterior saca el valor de zy 21−= )

)

zxzzx

zyxzy

+==+−+

=++−=

133)42(

33221

206. W: Entonces… ¿a qué vamos a llegar? 207. W: Tenemos que llegar… a darle un valor de z… para que… ok 208. W: ¡Ah!, ya 209. W: (Escribe: (Sustituye los valores de x y y en la primera ecuación)

03

332221=

=+++−z

zzz)

210. W: tengo que… 3z = 0 211. W: Está mal… ah, no 212. W: (Escribe: 32 =+ yx (que es el resultado de sustituir en la primera

ecuación)) 03 =z

213. W: (Escribe en el inciso a: infinidad, y en el inciso b: recta) 214. E: ¿Cómo sacaste la ecuación de la recta? 215. W: Pues despejando todo esto (se refiere a todo el procedimiento anterior) 216. W: Aunque hubiera sido más fácil si… si termino con todo esto, ¿no?

(señala la matriz aumentada final) 217. W: Yo supongo, pero me tardé mucho 218. W: ¿Está mal?

329


219. E: A ver… ¿qué hiciste aquí? (señalo la ecuación 332221 =+++− zzz ) 220. W: Cancelé -2 +2 221. E: Pero ¿porqué igualaste?… ¿qué hiciste allá, sumaste… qué? 222. W: ¡Ah!, ¿ésto? (circula la primera fila de la matriz aumentada) 223. E: No entendí tu procedimiento 224. W: Aquí le dí valores a x y a y, ¿no? 225. E: Ajá 226. W: ¡Ah! Pero de hecho era x… tenía que ser algo como… x es ésto (encierra

el valor de ) zx +=1227. E: ¡Ah!, ok sustituiste los valores 228. W: Sí, sustituí los valores y sustituí mal de hecho 229. W: (Escribe: zzz 3421 +−++ (Sustituye de nuevo los valores de x e y en la

primera ecuación)) 230. W: De hecho ésto no me sirve de nada (se refiere a la expresión que acaba

de hallar) 231. W: Ok, lo que sé, es que ésto tiene que ser una recta, le puedo dar

cualquier valor a z de hecho… ¿no? 232. E: No borres 233. W: Está mal (tacha la ecuación 32 =+ yx ) 234. W: eh… sea z = t, ¿no? 235. E: ¿Por qué dices que tendría que ser una recta? 236. W: Ah, porque son…tengo tres variables y dos ecuaciones 237. E: Ajá 238. W: Entonces lo más que me puede dar es una recta, ¿sí? Si son

independientes… y sí lo son 239. W: Entonces me va a dar una recta, o sea por ésto (señala la matriz final)

solo que aquí la regué

240. W: Sólo que aquí le puedes dar una t, ¿no? (Escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13

210321tt

)

241. E: ¿Cuál sería tu conjunto solución entonces? 242. W: Una recta (risa) 243. E: ¿Algebraicamente? 244. W: A ver… conjunto solución… 245. W: (Escribe:

) 12

332=+

=++=

tytyx

tz

246. W: Ok, entonces… ¿me vas a hacer despejar otra vez? 247. E: Pos sí (risa) 248. W: (risa)

330


249. W: (Escribe:

)

txtx

ttxty

+==−

=+−+−=

11

334221

250. W: Y sustituyo de nuevo… en la y, ok 251. W: ¿O ya con que se cumpla ésto…? (señala las ecuaciones

) txty +=−= 1,21252. E: ¿Tú que crees? 253. W: Conjunto solución… tal que… (Escribe:

( ){ }ℜ∈∀−=+= tttxyx 21y ,1, )

254. W: ¿Por hay vá? 255. E: ¿Ése sería tu conjunto solución? 256. E: Ok 257. W: (tacha su procedimiento en la primera hoja) 258. E: No lo taches 259. W: (risa) 260. E: ¡Ay! Wadi 9. Dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas


261. W: Ajá, “…representación geométrica…” 262. W: Ok, no hay solución 263. W: (Escribe: ninguna) Ninguna 264. E: ¿Por qué ninguna? 265. W: Porque para que hubiera solución, tendría que haber una intersección

de los tres planos en un punto o en una recta… y no, los tres planos no se interceptan al mismo tiempo

331


266. E: ok 267. W: Representación geométrica… del conjunto solución 268. W: Pues es éste 269. E: ¿Cuál? 270. W: El dibujo 271. E: ¿Del conjunto solución? 272. W: Ahhh del conjunto solución, pues no lo hay, no hay representación

geométrica 273. W: (Escribe: no hay conjunto solución) 274. E: Ok


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112



iii. Ninguna solución? b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del

inciso anterior.

275. W: Ok, vamos a ver… 276. W: Nada más nos la complican ustedes

277. W: (Escribe:⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

dcb

a13121

112)

278. E: (Risa) ¿Por qué? 279. W: No soy una calculadora yo 280. E: (Risa) 281. W: Ok, vamos a ver

282. W: Por -2 (Escribe: ) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+−

+−

−

)3()2(

350350121

dcbc

c

a283. W: Mejor un… una pluma, no porque después… 284. E: No, no, tiene que ser el marcador 285. W: ¿Por?

332


286. E: Porque sino no se vé 287. W: ¡Ay! como no 288. W: No, es que escribo muy grande con ésto 289. E: No importa 290. W: Y no es didáctico, no es… bueno…

291. W: Escribe:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

−

−

53

52

53

10

5310121

dc

bcc

a

292. E: Puedes poner tus… operaciones o puedes decirlas 293. W: Ok 294. W: Voy a restar éste (señala la fila 2) con éste (señala la fila 3), ¿ok? 295. W: Necesito un lápiz 296. E: (risa) 297. W: No estoy acostumbrado a trabajar con plumón, ok

298. W: (Realiza las siguientes operaciones: 5

65

)3(53 aa −−

=+

−− y luego

para llegar a: dbc

dcbc−−

−+−5

32

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−

−−

−→

dbc

bc

a 55

2

5600

5310 )

299. W: ¿Sí lo entiendes, ahí? O ¿no? 300. E: Ajá 301. E: Ahí restaste la… el segundo renglón al tercero, ¿no? 302. W: Ajá 303. W: ¿Sí le entiendes a la letra? 304. E: ¡Ah!, sí 305. W: 5c – b – d, según yo 306. W: Ajá, ok 307. W: Según yo, ya dejo éste como queda (se refiere a la última matriz)

308. W: (Escribe:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−+−

−−

−

−

dbc

bcc

a 55

2

5600

5310121

) Ok

333


309. W: ¿Entonces ésto va a tener solución? (se refiere a la matriz anterior) 310. W: Ok, para que sea solución única… a es igual a -6 (Escribe: ) 6−=a311. W: No, ese no es solución única, a es diferente de -6 (Corrige y escribe:

) 6−≠a312. W: Solución única… 313. E: Si fuera -6, ¿qué pasaría?

314. W: Si fuera -6, ésto sería cero (señala la expresión 5

6 a−− )

315. E: Ajá 316. W: Entonces… igual otra vez habría tres incógnitas y dos ecuaciones,

entonces no habría solución única… podría ser una recta… ¿no? 317. W: ¿Estamos de acuerdo? o ¿no? 318. W: Ahora…para que hubiera infinitas soluciones… tendría que ser 6−=a 319. W: Y para que no hubiera ninguna solución… 320. W: No veo claro… no veo claro 321. W: No hay ninguna solución, según yo… según yo hay una única o una

infinita, pero ¿que no haya ninguna? 322. E: ¿Puede ser posible? o ¿no? 323. W: Según yo no 324. E: ¿Porqué no? 325. W: Porque pues…mínimo éstos dos son independientes… (No se observa

a que se refiere, puede ser que se refiera a las filas 1 y 2 de la matriz aumentada dada)

326. W: O sea mínimo hay una infinidad de soluciones 327. E: ¿No puede haber ninguna solución? 328. E: ¿Qué representa ese… esa matriz? (se refiero a la matriz aumentada

dada) 329. W: Esta matriz vendría siendo una… un sistema de tres ecuaciones con

tres variables 330. E: Ajá 331. W: Si no hubiera… ninguna solución… tendría que ser como… todos los

vectores paralelos o el mismo vector, ¿no? 332. W: Si no hubiera ninguno… 333. E: Serían vectores paralelos… 334. E: Ajá 335. W: O sea aparentemente no puede haber… no puede suceder que no haya

ninguno 336. W: Me parece 337. E: ¿No puede haber ninguna solución? 338. W: (piensa) 339. E: Bueno ya me dijiste si a es diferente de -6

334


340. W: Ajá 341. E: Entonces hay una solución única 342. W: No 343. W: Sí, sí 344. E: Ajá 345. E: Si a es -6, entonces ¿qué pasaría con esto? (le señalo la expresión

56 a−− )

346. W: Es igual a cero 347. E: Es igual a cero 348. W: Se hace cero, entonces hay una infinidad… 349. E: Ajá 350. E: …de soluciones 351. W: Y de otra forma…no hay… no hay otra opción para a, bueno… 352. E: Ajá 353. W: Entonces… 354. E: Ok, ¿y qué pasa con los valores de b, c y d? 355. W: (piensa) 356. E: ¿Tienen que ver… en que haya o no, solución? 357. W: No 358. E: ¿Pueden tomar cualquier valor? 359. W: Sí, o sea con que… pertenezcan a los reales, no le veo ningún

inconveniente… ¿no? 360. E: ¿Eso crees? 361. W: Sí, ¿no? 362. E: ¿Entonces no puede haber, que no haya solución? 363. W: Pues no, me parece que no (risa) 364. E: Ok 365. E: Ahora si dibujamos una posible representación… de este sistema… 366. W: ¿Si tuviera solución única? 367. E: Cuando tiene solución única ¿cómo quedaría? 368. W: Bueno… mejor te lo digo porque no lo voy a poder dibujar, son tres

planos que se intersectan en un solo punto 369. W: Imposible dibujar eso, ¿estás de acuerdo? 370. E: (risa) haz un intento 371. W: ¿Si ni la computadora puede…? 372. W: (Dibuja la intersección de tres planos)

335


373. E: (risa) yo sí puedo 374. W: ¿Tu sí? 375. E: ¿A verdad? ¡Claro! (risa) 376. W: Bueno pues voy a inventar ahí 377. W: Aquí se intersectan según yo, ¿ya? (marca el punto de intersección) 378. W: ¿Es factible?… o ¿no? 379. W: Y si no, pues ya se intersectan en una recta, no pasa nada 380. E: Ok, ese sería para… solución única 381. W: Ajá 382. E: ¿Y para infinitas soluciones? 383. W: Se intersectan en una recta 384. E: Aquí (le proporciono otra hoja) 385. W: Hay que ahorrar papel (risa) 386. W: (Dibuja dos planos intersecados)

387. W: Suponemos que… supongo que un plano es igualito al otro, para

ahorrarme… 388. E: Puede ser un caso… 389. W: Exacto 390. E: Pero vamos a suponer que no… 391. W: Supongamos… 392. E: Supongamos que no 393. W: Déjame suponerlo por favor (risa) 394. E: Vamos a supongamos que no (risa) 395. W: Bueno, vamos a suponer que no, entonces… 396. W: (Dibuja tres planos intersecados)

336


397. W: Vamos a imaginar un plano aquí (se refiere al tercer plano intersecado

con otros dos, entre sí) 398. W: ¿Ya?, ¿te lo imaginaste? 399. E: (risa) vuela tu imaginación 400. W:(risa) 401. W: ¡Ya está!, ya quedó perfecto 402. E: Oh 403. W: ¿Sí te convence? 404. E: Ok 405. W: Sí te convence 406. E: Mas o menos… 407. E: Ok, entonces… ¿no hay ninguna solución? 408. E: Bueno es lo que me dijiste… algebraicamente es lo que me dijiste 409. W: Pues sí 410. E: ¿Geométricamente puede que no haya solución? 411. W: Sí 412. E: ¿Cómo? 413. E: ¿Qué casos tendrías? 414. W: Cuando son paralelos todos los planos 415. E: Ok, una opción 416. W: Una opción… y la única, ¿no? 417. E: ¿Tú crees que sea la única? 418. W: ¿Cuál sería otra? 419. W: Sí, a fuerza 420. E: O sea tienen que ser tres planos paralelos 421. W: Sí, ¿no? 422. E: ¿Sí? 423. W: No, no es cierto (risa) 424. W: No, sí 425. E: ¿Sí? 426. W: Sí 427. E: Ok, entonces me estás diciendo que geométricamente no puede haber

337


solución 428. W: Exacto 429. E: Y algebraicamente me estás diciendo que… lo contrario 430. W: Sí, pero la verdad no sé como… a ver… 431. W: Pues es que… para que sean paralelos…influyen mucho estos

números (señala la matriz aumentada), según yo 432. E: Ajá 433. W: Entonces… dados éstos números no podría no haber… 434. E: Bueno, pensemos en otra matriz, vamos a pensar en la matriz… 435. W: Te escucho 436. E: Si tenemos la matriz identidad… 437. W: Sí 438. E: De tres por tres 439. W: Ajá 440. E: Y… comparémosla con ésta (le señalo la matriz dada), ¿cómo debe ser

la matriz… identidad para que tenga solución única? 441. W: ¿Solución única? (Escribe la matriz identidad) 442. E: Ajá 443. W: Pues si ya es identidad, ¿ya, no? 444. E: ¿Y la aumentada? 445. W: ¿Aquí? 446. E: Sí 447. E: Cero, cero, cero, ¿necesariamente? 448. W: No (risa), no, no necesariamente 449. W: O sea aquí es lo que… o sea cuando a es diferente de cero, puedo

volverlo en una matriz identidad y estos coeficientes serían diferentes de cero (señala la columna aumentada de la matriz)

450. W: No necesariamente son cero 451. E: Ok, serían solución única 452. E: Ahora… ¿cómo debe quedar esta matriz (le señalo la matriz identidad)

para que haya infinitas soluciones?

453. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

zyx

000000001

)

454. W: Cualquier cosa aquí (se refiere a la columna aumentada de la matriz),

cero perdón (modifica la matriz anterior por: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

00

000000001 x

), dá igual

455. W: Tendría que ser así

338


456. E: ¿Porqué? 457. W: Porque el hecho de que… el hecho de… ¿qué estábamos diciendo?

¿Que no hubiera solución? 458. E: Infinitas soluciones 459. W: Ah! ¿Infinitas?

460. W: Aquí un 1(cambia en la matriz anterior por: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

00

000010001 x

), o como te la

dibujé también, perdón, o sea, aquí un 1 o un 0, aquí sería infinitas soluciones en una recta y aquí infinitas soluciones en un plano (señala la matriz anterior, pero no se observa a que se refiere)

461. E: Ajá 462. W: ¿No? 463. E: ¿Necesariamente así tendría que estar la matriz? (me refiero a la matriz

que escribió anteriormente)

464. W: O, así nada más (Escribe de nuevo la matriz: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

00

000000001 x

)

465. W: Así también podría ser infinitas soluciones 466. E: Ok, bueno… ¿y cómo representarías que no haya solución? 467. W: (Piensa) 468. W: Ese es el problema

469. W: Es que si no hay solución… aquí sería como (Escribe: ) y aquí

como que hubiera un vector (Escribe: ), ¿no?

000000

000000121

470. E: ¿Esa sería tu matriz? 471. W: Y además… tendría que ser como 1, 2, 1… y aquí diferentes

números… 4, 5 y 6 (Escribe: 654

121121121

), que ésos serían paralelos, ¿no?,

según yo 472. E: Ajá, serían tres rectas paralelas 473. E: Pero al hacer tu… método de Gauss-Jordan ¿cómo quedaría tu matriz?

339


474. W: Igual, así como te dije, ¿no? (señala la matriz: ) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000000121

475. E: ¿Así quedaría? 476. W: Aquí un…el mismo…aquí un número, no sé cuál 477. E: Ok, x, ¿no? 478. W: x, 0… debe quedar cero y cero (va escribiendo la columna aumentada

en la matriz anterior) 479. W: De hecho no quedaría 0, 0, quedaría y y z 480. E: ¿Porqué? 481. W: Porque esta restando… ponte, resto éste con éste (señala las filas 2 y 3

de su “matriz” 654

121121121

), entonces aquí me daría 4, -1 y -2, entonces esto

es incongruente 482. E: ¿Qué es incongruente? 483. W: Que cero por cero por cero por lo que sea… te de -1 o -2 484. W: ¿Estamos de acuerdo? O ¿no? 485. W: Por lo tanto… 486. E: Entonces ¿qué puedes decir acerca de eso? 487. W: Exacto 488. W: Claro que sí, ya estuvo

489. W: Si esto es cero (se refiere a la expresión 5

6 a−− )… y esto es diferente

de cero (se refiere a la expresión dbc −−5 )… no hay solución 490. E: ¿Porqué? 491. W: Porque se está presentando una incongruencia, ¿no? 492. W: O ya pa que 493. E: Ajá 494. W: ¿Sí? 495. E: Sí, escribe 496. W: (Escribe: ( ) y (6−=a 05 ≠−− dbc ) Incongruencia) 497. E: Ajá 498. E: Y para los casos anteriores… 499. W: Ya 500. E: ¿Qué pasaría con c, b y d? 501. W: Para estos casos… puede ser lo que sea 502. E: ¿Cualquier valor? 503. W: Sí, ¿no? 504. E: ¿Sí eso crees?

340


505. W: Eso creo 506. E: Ok, bueno… ¿falta algo más? No, ¿verdad? 11. Representa gráficamente un par de rectas que tengan más de un punto en común.

X

Y 507. W: ¿Un par de rectas (risa) que tengan un punto en común? 508. W: (Dibuja:

) 509. E: ¿Qué significa eso? 510. W: Que es la misma recta… que se intersec… o sea, una infinidad de

soluciones 511. E: Ajá 512. E: Ok

341


12. La solución de un sistema de ecuaciones está dada por: 1332

+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.

a. ¿Cuál es la forma escalonada reducida del sistema? b. ¿Puedes encontrar el sistema original? ¿De qué manera? c. ¿Cuál es tu sistema original?

513. W: (Chifla) 514. W: Forma… escalonada reducida… 1, 0, 2…

515. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

000310201

)

516. W: A ver, ¿cómo quieren que encuentre el sistema anterior? 517. E: Cuál… 518. W: Pos no… la verdad podría haber diferentes sistemas que lleguen a lo

mismo, ¿no? 519. E: Ajá, sí… es verdad 520. E: ¿De qué manera lo podrías encontrar? 521. W: Pos yéndote pa tras, inventando valores 522. E: mmm… 523. W: Suponiendo muchas cosas que… 524. E: ¿Como qué cosas? 525. W: … no se asemejan a la realidad, ¿no? 526. E: ¿Qué harías? 527. W: ¿Qué haría? 528. W: Ok 529. W: Es que me piden el sistema original 530. W: Y pueden haber muchos sistemas que lleguen a ésto (señala la matriz

anterior) 531. W: Es mas yo puedo decir que éste es el sistema original (señala la matriz

anterior) 532. E: mm… bueno…puede ser 533. W: Este es mi sistema original (se refiere a la matriz anterior) 534. E: Puede ser 535. W: Ya 536. E: Bueno, pero estamos hablando de la forma escalonada reducida 537. W: Ciertamente 538. W: ¿Quieres que lo reduzca?

342


539. E: No (risa) 540. W: Ya no se puede 541. E: Claro que no 542. E: ¿Podrías encontrar un sistema… donde…todos los coeficientes sean

diferentes de cero? 543. W: Sí 544. E: ¿Cómo? 545. W: Igual… igualitos a uno de éstos… de arriba, ¿no? (señala la matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

000310201

)

546. E: ¿Cómo que igualitos? 547. W: Si fuera por ejemplo… 1, 0, 2…

548. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

313

201310201

)

549. E: Ajá 550. W: O múltiplos, ¿no? 551. E: ¿Qué tendrías que hacerle a esta matriz…

552. W: Para llegar a cabo ésta otra vez? (señala la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

000310201

)

553. E: No, a esta matriz (le señalo la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

000310201

), para llegar a una

que todos sus coeficientes sean diferentes de cero? 554. W: ¿Qué tendría que hacerle? 555. E: Ajá 556. W: Ok

557. W: ¿A ésta? (señala la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

313

201310201

)

558. E: A ésta (le señalo la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

000310201

)

343


559. W: Pues empezar a sumar 560. E: ¿Qué vas a sumar? 561. W: Ésta (señala la fila 2) más ésta (señala la fila 3) 562. W: O sea, tendría que ser…sumar… después sumo ésta (señala la fila 2)

más ésta (señala la fila 1)… luego ésta (señala la fila 1) más ésta (señala la fila 2)

563. W: Y así todas quedan diferentes de cero 564. E: A ver… ¿puedes hacerlo? 565. W: Sería…1, 0, 2, 3… sumo ésta y ésta y me queda… 566. E: ¿La primera con la segunda? 567. W: Sí… 1, 1, 5, 4… 1, 0, 2, 3

568. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

343

201511201

)

569. W: Ahora sumo ésta con ésta (se refiere a la fila 1 y 2 de la matriz anterior) y ésta con ésta (se refiere a la fila 2 y 3 de la matriz anterior)

570. W: Me queda 1, 1, 5, 4… me queda 2, 1, 7, 7… y aquí igual 2, 1, 7, 7

571. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

747

712511712

)

572. E: Ok y ¿cómo puedes decir que es o te da la forma escalonada reducida? 573. W: Oh! pos yendo pa tras 574. W: Restando éste a éste (se refiere a la fila 2 y 3 de la matriz anterior) y

éste a éste (se refiere a la fila 1 y 2 de la matriz anterior) 575. W: ¿Ya viste cómo? 576. W: Justo pa tras 577. W: Justito pa tras (risa) 578. W: Sí, ¿no? 579. W: Es lo que acabo de hacer 580. E: Ajá 581. E: ¿Estás seguro? 582. W: Segurísimo 583. E: ¿Cien por ciento seguro? 584. W: Cien por ciento 585. E: ¿Podrías regresarte entonces? 586. W: ¿A donde? 587. E: A la forma escalonada reducida 588. W: Ah! sí, sí claro 589. E: ¿Sí?

344


590. W: Claro 591. E: Regrésate 592. W: ¿Me regreso? 593. E: Sí 594. W: Ok 595. W: Esto no se vale esto

596. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛ 40

511)

597. E: Para comprobar si… en realidad llegamos 598. W: ¿No me crees? 599. E: A ver, a ver pero vamos a hacer una cosa 600. W: No, no 601. E: Este…ve poniendo las operaciones que vas haciendo… 602. W: No se vale, no se vale eso 603. E: Para que vayamos… 604. W: Si ya me están grabando… 605. W: Esta se subió (señala con una flecha la fila 2 de la matriz

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

747

712511712

)… por -2 más el segundo renglón (lo escribe a un lado de la

fila 1 de su nueva matriz) 606. W: ¿Cómo se escribe eso? 607. E: R2

608. W: R2

609. W: Y éste se bajó (señala con una flecha la fila 1 de la matriz ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

747

712511712

)

610. -2… más 1, -1… (Escribe: 22

11

4

310310

511 R+−×

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−−− )

611. W: (Risa) 612. W: Y ya llegue, ya llegue 613. W: ¿No me crees? 614. W: ¿Sí o no? 615. W: Ya me crees 616. E: M…m… (Expresando un no) 617. W: ay, ay, ay

345


618. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+×−

014

000310511

1

3

2

R

R)

619. W: Y se acabó el chistecito 620. W: Y ahora…

621. W: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

013

000310201

)

622. E: Ok (Risa) 13. Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:


623. W: (Escribe: ) 624. W: O sea, ¿quieren que invente un sistemita? 625. E: Ajá 626. W: Ok

627. W: Ninguna solución… 1, 2, 1… (Escribe: ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛10

121121

)b

628. W: Y… más de una solución… (Escribe: ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛21

242121

)c

629. W: ¿no? 630. E: Ajá 631. E: Ahora, ¿por qué tachaste solución única? 632. W: Porque son… dos ecuaciones con tres variables y necesito tres

ecuaciones con tres variables mínimo para que el sistema tenga solución única

633. E: Ajá 634. E: O sea que con dos… planos no puede haber solución única 635. W: No, lo máximo es que se intersecten en una recta

346


636. E: Ajá, ok 637. W: ¿Ya estuvo? 638. E: Sí 639. E: Y eso es todo… 640. W: ¿Eso fue todo? 641. E: Sí

347

Anexo II Entrevista: Mariana

1. Dada la ecuación 62 =+ yx

a) ¿Son los pares ordenados (1,4),(3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la


1. Ma: (Escribe: ) no 2) (2, no 1) (3,

es sí 4) (1, a)

2. Ma: (Escribe: b) { }ℜ∈=+ℜ∈ yxyxyx ,,62),( 2 ) 3. Ma: (Escribe: c) Infinidad ya que es una recta) 4. Ma: (Escribe: d) una recta) 5. Ma: ¡Ah! (risa) 6. E: A ver este… ¿cómo puedes saber que… el punto (1,4) es solución? 7. Ma: Pues si pongo x y y me da seis 8. E: Ajá 9. E: ¿Evalúas? ¿Evalúas, no? 10. Ma: Ajá 11. E: Ok, en la ecuación 12. E: Este…ok tu conjunto solución 13. E: mm… ¿por qué piensas que hay una infinidad de soluciones? 14. Ma: Pues porque es una recta, entonces o sea, dependiendo del valor de x y

y que puede ser… o sea x puede ser todos los reales entonces me va a dar y y ya con eso me da todo

15. E: Ajá 16. E: ¿Y qué recta sería tu conjunto solución? 17. Ma: Una cosa así… (Escribe: 62 +−= xy ) que pase por seis y… (Dibuja la

recta) 18. E: Ok

348



a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5),(3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la ecuación?

b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la

representación geométrica? 19. E: Si quieres puedes hablar en voz alta 20. Ma: ¡Ah!, ok (risa)

21. Ma: (Escribe: )

4810-6es sí (2,5,8)es sí (3,1,-3)es no )5,4,1(4583

=+

≠+−

22. Ma: (Escribe: { 4),( == zyxs ) 23. Ma: No, esto no es (tacha la expresión anterior) 24. Ma: (Escribe: { }ℜ∈=+−= zyxzyxzyxs ,,,423),,( ) 25. Ma: (Escribe: Infinidad) 26. Ma: (Escribe: un plano) 27. E: Ok, este… 28. E: Ok, ¿qué hiciste con los… con los puntos? 29. Ma: Igual los evalué 30. E: Ok, los evaluaste en la ecuación 31. E: Tu conjunto 32. E: Infinidad de soluciones 33. E: mm… ok, un plano 34. E: Este… ¿el conjunto solución lo podrías escribir como… como este… o sea

un… un conjunto… o una este… o un punto? 35. E: ¿Lo podrías escribir? 36. Ma: ¿Como un punto? 37. E: Ajá, ¿como un punto pero así en forma general? 38. Ma: Eh… pero sería como nada más un punto la solución 39. E: mm… 40. Ma: ¿o cómo? 41. E: Bueno, o sea, lo podemos ver como un punto (x, y, z)… 42. Ma: Ajá 43. E: … pero ya de forma general, ya para que todos los puntos estén en ese 44. E: ¿Se podría?

349


45. Ma: Se supone que si cumple esto… (Se refiere al conjunto solución) 46. E: Ajá 47. Ma: … este punto va a estar aquí, ¿no? (se refiere a la ecuación dada) 48. E: ajá 49. E: ¿Y cómo podrías representar eso pero en forma de un punto? 50. Ma: Ah, ok 51. Ma: O sea, poniendo no sé… z igual a… (Escribe: yxz 234 −−= ) 52. Ma: ¿Y te los pongo, o sea como punto? 53. E: Ajá, como punto 54. Ma: O sea como x, y… (Escribe: ( )yxyx 234,, −− ) ¿o no? 55. Ma: ¿A eso te referías o no? 56. E: Ajá, ok 57. E: Sí 58. Ma: ¿Sí o no? 59. Ma: O sea, aquí no es seguro, ¿no? 60. Ma: ¿O no? 61. E: Ajá, ¿eso qué representa? 62. Ma: ¿Qué? ¿Cómo? 63. Ma: Un punto 64. E: Ajá, pero… 65. Ma: Pero depende de los valores de tome x y y z, pues ya me van a dar

todos 66. E: Exactamente 67. E: Entonces eso… 68. Ma: ¿Te lo pongo acá? 69. E: No, así esta bien 70. Ma: ¿Te pongo x, y, z…? 71. E: No, no 72. E: Sí ya me pusiste aquí 3. ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones? ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas.

73. Ma: (Escribe: Conjunto solución- el conjunto de soluciones donde se

cumplen las condiciones establecidas por las ecuaciones dadas) 74. Ma: (Escribe: El conjunto solución del sistema son aquellos valores donde se

cumplen en ambas, o sea su intersección. Y la solución de cada ecuación es el conjunto de soluciones que hacen que le cumpla cada una. Esto es, que no necesariamente una solución de una es solución de la otra y en el caso de

350


que lo sean, será una solución del sistema y coinciden en ese punto, es por eso que se intersectan)

75. E: ¿Qué… significa entonces el conjunto solución? 76. Ma: Conjunto solución es donde… es como que si todas… todos los puntos

que van a… que va a hacer que una ecuación se cumpla, ¿no? 77. Ma: Como lo que estaba haciendo (se refiere a las preguntas anteriores) 78. E: Ajá, ok 79. E: Para… un sistema ¿qué pasaría? 80. Ma: ¡Ah! pues entonces es cuando se cumple… o sea, si ese punto va a ser

solución de los dos… 81. E: Ajá 82. Ma: … de las dos ecuaciones o tres o cuatro las que existan y entonces

quiere decir que coinciden en ese punto y se intersectan 83. E: Ah, ok 84. E: Ok, bueno


=−=−

0454

yxyx



85. Ma: (Escribe: a) ) νν 0) (0,es no 4) (1,es no (0,-5)

86. Ma: (Escribe: b) no hay solución) 4 5 4

4 4 5 0y x y xx x= − == − = −5

87. Ma: ( Para el inciso c) dibuja:

351


y escribe: son paralelas) 88. Ma: (Escribe: d) no hay solución del sistema, aunque cada ecuación tenga

una ∞ de soluciones, ya que al ser paralelas no hay un punto que esté en las dos ecuaciones ya que de lo contrario se intersectarían y entonces no serían paralelas)

89. E: Ok, entonces en los puntos… ¿cómo comprobaste que son o no son solución?

90. Ma: Porque o sea, si los evalúo aquí (señala el sistema dado) o sea tiene… cada punto tiene que satisfacer ésta y ésta (señala cada una de las ecuaciones del sistema dado)

91. E: Las dos… al mismo tiempo 92. Ma: Y no lo hace… nunca 93. E: ¿Y en este caso? 94. Ma: No, o sea digo porque aquí da 5 (señala la primera ecuación del

sistema), o sea porque es igual da 5 y da 0, o sea si satisfacía a una no satisfacía a la otra

95. E: Ok 96. E: ¿Esto que significa? (le señalo unas palomitas que tiene marcado al par

ordenado (0,0)) 97. Ma: ¡Ah! lo mismo, aquí no es, perdón (tacha las palomitas y escribe: no es) 98. E: ¡Ah! Pensé que sí era 99. Ma: ¡Ah, no!, es como… que se repitiera 100. E: Ah, ok 101. E: Este…ok, no hay solución… son rectas paralelas 102. E: Ajá, ok


=+=+

000523

yxyx



103. Ma: (Escribe: a) una, luego lo tacha y escribe: ninguna)

104. Ma: (Escribe para el inciso b: 5 32 2

xy = − − y dibuja la recta anterior)

105. Ma: (Luego tacha la respuesta que da para el inciso a) 106. Ma: (Escribe a un lado de la gráfica: cruza al eje x en 5/3 y el y en -3/2)

352


107. Ma: (Escribe en el inciso a: { }( , ) 3 2 5, ,x y x y x y+ = ∈ℜ ) 108. Ma: ¡Ay! me confundí 109. E: ¿qué paso? 110. Ma: A ver, no, espera… 111. Ma: Es que… pos es que no… no 112. E: ¿Cuántas soluciones hay? 113. Ma: Pues ninguna 114. E: ¿Ninguna? 115. Ma: No, entonces no eran éstos (), éstos siempre van a ser cero (señala la

segunda ecuación del sistema) 116. E: Ajá 117. Ma: ¡Ah! pero cero es cero… sí son todas, todas las que satisface a esto

(señala su conjunto solución), o sea los puntos (se refiere a los puntos de

intersección de la recta 5 32 2

xy = − − con los ejes coordenados) también

satisface a éste y éste también (señala la primera y segunda ecuación del sistema dado)

118. E: Y bueno… ¿gráficamente qué representa? 119. Ma: ¿Qué? 120. E: El… la segunda ecuación 121. Ma: Un punto…aquí (dibuja un punto en el origen), o sea una ordenada 122. E: ¿El (0,0)? 123. Ma: Ni siquiera, bueno sí… es que… 124. Ma: No, no es cierto es todo, son todos 125. E: Puedes utilizar otros colores si quieres 126. Ma: Ok 127. E: A ver ¿cómo? 128. Ma: O sea son todos, todos los puntos satisfacen ésto (señala la ecuación

) 0 0x y+ = 0129. E: ¿Todos los puntos? ¿Cualquier punto? 130. Ma: Sí 131. E: ¿Y qué representaría entonces geométricamente? 132. Ma: Pues el plano XY 133. E: Ok 134. Ma: ¿No? 135. E: Entonces… ¿cuál sería el conjunto solución? 136. Ma: Entonces… (Tacha el conjunto solución escrito en el inciso a) 137. E: No lo taches 138. Ma: ¡Ay! perdón 139. Ma: Bueno ahí se ve, ahí pueden ver que me equivoqué

353


140. Ma: Es… (Escribe: a) 2{ }s = ℜ ) 141. E: Ajá 142. E: ¿Ese sería el conjunto solución del sistema? 143. Ma: Ajá, también 144. E: ¿Entonces cuántas soluciones hay? 145. Ma: O sea, y ésto es todo ésto, o sea si yo grafico… 146. E: Ajá 147. Ma: Es todo ésto, ¿no? (Dibuja rectas verticales sobre el plano XY para

indicar que es todo) 148. E: Ok 149. Ma: Entonces ésto es… (Escribe a un lado de la gráfica: la recta) 150. Ma: (Escribe a un lado de la gráfica: pero la sol. de la segunda ec. es el

plano XY) 151. E: Ajá, ok 152. Ma: (Escribe debajo del inciso a: infinidad de soluciones) 153. Ma: (Escribe: c) el conjunto solución son todas las…) 154. Ma: Esto esta mal (risa) 155. E: A ver ¿qué pasó? 156. Ma: No, lógicamente no, porque no todas, o sea, ésto está mal (tacha la

expresión ) 2{ }s = ℜ157. E: A ver no taches, no taches 158. Ma: Perdón 159. Ma: Que no todas éstas (señala la expresión 2{ }s = ℜ ) van a… van a

solucionar ésta (señala el sistema dado), entonces era ésta (señala el conjunto solución { }( , ) 3 2 5, ,x y x y x y+ = ∈ℜ que tachó anteriormente)

160. E: ¿Por qué dices que es esa?

161. Ma: Porque, o sea, todas las que están aquí (señala la recta 5 32 2

xy = − − )

van a estar acá (señala todo el plano), o sea, van a estar en esta segunda (señala la ecuación ) 0 0x y+ = 0

162. E: Ajá 163. Ma: Entonces la intersección de… de lo todo con un poquito, es lo poquito 164. E: Ok 165. Ma: ¿No? 166. E: En este caso ¿cuál sería el conjunto solución? 167. Ma: O sea las x, y tal que… sucede éste (señala la expresión

{ }( , ) 3 2 5, ,x y x y x y+ = ∈ℜ ) 168. E: Ajá 169. Ma: ¿No?

354


170. Ma: ¡Ay! está todo chachancle 171. E: (Risa) 172. Ma: A ver acá (Escribe: a) ( ){ }ℜ∈=+= yxyxyxs ,,523, , infinidad de

soluciones) 173. Ma: (Continua escribiendo el inciso c: … parejas (x,y) que satisfacen

ya que al ser la otra ecuación todos los puntos (x,y), las soluciones de también son solución)

523 =+ yx523 =+ yx

174. E: Ok 175. E: Gráficamente me puedes marcar… ¿cuál es el conjunto solución… del

sistema? 176. Ma: Es éste (grafica el conjunto solución sobre la grafica de la recta

) 523 =+ yx

177. E: Ok


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123

a) ¿Es posible que este sistema tenga solución única? Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es la solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente. Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta. b) ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones? Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es el conjunto solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente.

355



178. Ma: ¿k aquí es como una variable x o es como z? (señala el sistema dado) 179. E: No, k es una constante 180. Ma: ¡Ah!, ok 181. Ma: Es un… es un número 182. E: Es un número 183. Ma: Aquí la respuesta es sí, ¿no? ¿o no? 184. E: ¿Cómo? 185. E: Si la respuesta es sí… (le señalo donde dice: si la respuesta es “sí”) 186. Ma: No, pero este (señala donde dice: si la respuesta es “no”) si la

respuesta es no… 187. E: Lo que pasa es que es para este mismo (me refiero al mismo inciso) 188. E: O sea para ¿Es posible que este…? Sí o no 189. Ma: ¡Ah!, ok

190. Ma: (Escribe:

xky

xky

xy

32

2632

−−=

−+

=

−=

)

191. Ma: (Luego escribe: No pue)

192. Ma: (Escribe: y luego dibuja tres rectas, dos paralelas y una

transversal a ellas) xy

k−=

−=1

4

193. Ma: (Escribe: a) No puede tener solución única porque sin importar el valor de la k la primera y la tercera ecuación tienen la misma pendiente y por lo tanto son paralelas y no tienen una solución en común)

194. Ma: (Luego traza más rectas paralelas a las dos que dibujó) 195. E: A ver… antes que pases al inciso b 196. E: Este… ¿por qué dices que no puede tener solución única el sistema? 197. Ma: A ver, según yo si nada más tuvieras estas dos… (Señala la primera y

segunda ecuación) 198. E: Ajá 199. Ma: Pues sí tiene una solución, un punto 200. E: Ajá 201. Ma: Pero éstas dos (señala la primera y tercera ecuación) nunca van a

tener una solución… única porque… es la misma pendiente, ésta y ésta (circula el -3x de las ecuaciones que escribió anteriormente)

202. E: Ajá

356


203. Ma: Son paralelas 204. E: ¿Necesariamente? 205. Ma: Pues al menos que sean lo mismo, la misma recta, ¿no? 206. E: ¿Y qué pasaría si fueran la misma recta? 207. Ma: Habría una 208. Ma: O sea… ¡ah! cierto… dependiendo de la k ¿verdad? 209. Ma: No, ésta es la b (cambia el inciso a por el inciso b y modifica lo que

escribió y queda: b) No puede tener ∞ soluciones porque sin importar el valor de la k la primera y la tercera ecuación tienen la misma pendiente y por lo tanto son paralelas y no tienen una solución en común)

210. Ma: ¿Estamos? Sí claro 211. Ma: (Escribe: a) sí hay una solución única en el caso de que k = -4 ya que

así las ecuaciones 1 y 3 serían la misma recta y se intersectan con la segunda en…)

212. Ma: (Escribe:

21

21

12321

==

=+−=−=

yx

xxxy

)

213. Ma: (Luego tacha lo anterior y escribe:

4334

3211

=

=−=+−

+−=

x

xxx

xy

41

431

32

−=

+−=

−=

y

xy

)

214. Ma: (Termina de escribir en el inciso a: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

41,

43 )

215. Ma: (Checa la gráfica que dibujó anteriormente) 216. Ma: Está mal (entre risa) 217. E: Puedes hacer otra gráfica 218. Ma: ¡Ah! claro es que está mal despejada… (Se refiere a la segunda

ecuación del sistema) 219. Ma: (Dibuja:

357


220. Ma: Ya 221. E: Ok 222. E: mm…ok 223. E: Entonces en la segunda parte… me pusiste que no puede haber

infinidad de soluciones, ¿no? 224. Ma: Ajá pero no sé que tanto le puse… es que le cambié… 225. E: Puedes escribir en otra parte 226. Ma: ¡Ah! sí, no 227. Ma: ¿lo tacho? o no lo tacho, ¿verdad? 228. E: No 229. Ma: Solo te pongo que sea no, que no vale (pone una llave a todo el inciso

b y escribe: No) 230. Ma: (Escribe: b) No puede tener infinidad de soluciones ya que las tres

rectas nunca podrían ser la misma sólo dos de ellas (1 y 3) por lo tanto, en el caso de que k = -4 y fueran iguales solo habría una solución)

231. E: Ok 232. E: ¿Solo habría una solución si k es -4? 233. Ma: Sí, porque si k es -4, entonces ésta y ésta (señala la primera y tercera

ecuación) son iguales, ¿no? 234. E: Ajá 235. Ma: Y entonces la intersección es un punto 236. E: Ok 237. Ma: Tienen pendiente distinta 238. E: ¿Y si k toma otros valores diferentes de 4… de -4? 239. Ma: No me acuerdo… o ¿sí?... porque aquí… ésta… a ver…

240. Ma: (Escribe:

xky

xky

kyx

32

26

2

26

−−=

−−=

=−−

)

241. Ma: Se supone que… o sea k no tiene nada que ver con esto (señala el -3x de la ecuación anterior)

242. E: Ajá 243. Ma: ¿No? 244. Ma: Entonces la pendiente nunca cambiaría, nunca podría ser igual a 1 (se

refiere a la pendiente de la recta 1−= xy ) 245. E: Ajá 246. E: O sea que… para cualquier valor que le dé a k… nunca se van a… 247. Ma: ¿Nunca se van a qué? 248. E: O sea no este… 249. Ma: Nunca va a ser…

358


250. E: ¿Nunca va a haber infinidad de soluciones? 251. Ma: No, tendrían que ser la misma recta, para que sea la misma recta

tendrían que tener la misma pendiente 252. E: Ajá 253. E: ¿Y si no fueran… la misma recta? ¿qué pasaría? 254. Ma: ¿Cómo? 255. E: O sea si ésta no fuera la misma que ésta (señalo la primera y tercera

recta), ¿qué pasaría? 256. Ma: No tendría solución 257. Ma: O sea porque está aquí así y por acá está la otra y ésta no se intersecta

con ésta (señala con sus dedos, dos rectas paralelas y una transversal a ellas)

258. E: Ok 7. Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas


figura anterior. c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué observas? 259. Ma: (Escribe: a) ninguna) 260. Ma: (Traza una recta de pendiente negativa que corta a los ejes x y y

positivos)

261. Ma: (Escribe: b) ) 22

00

+−===

xyyx

262. Ma: (Escribe: S = { Ø }) 263. E: Ok 264. E: Em… dices que no tiene solución el sistema 265. Ma: Ajá 266. E: ¿Por qué?

359


267. Ma: Pues porque nunca se va a poder… las tres nunca pasan por el mismo punto o sea, las tres al mismo tiempo, porque aquí pasan éstas dos, éstas dos y éstas dos (señala a las rectas de la figura dada)…

268. E: Ajá 269. Ma: … pero nunca pasan las tres 270. E: Ok 271. E: Este… ¿podrías darme otro sistema que… no tenga que ver con los ejes

coordenados?

272. Ma: Este… (Escribe: 23

3+−=

−=xy

xy)

273. M: (Escribe:

5123

53

5335

322

−=−==

=−=+−

yx

xxx

)

274. Ma: (pensativa) 275. E: ¿Qué pasa Mariana? 276. Ma: Es que éste y éste (señala dos de las rectas que trazó)… no, está mal

277. Ma: (Escribe:

.25

125

1553

3535335

322322

−=−=−=

−=

=

=−=+−

−=+−=

y

x

xxx

xyxy

)

278. Ma: (Traza la gráfica de las rectas anteriores)

279. Ma: (Escribe:

5445

323323

=

=−=+−

−=+−=

x

xxx

xyxy

)

280. Ma: ¡Híjole! 281. E: ¿Qué pasó Mariana? 282. Ma: Es que no me concuerda 283. Ma: Estaba checando… a ver donde… a ver si esto (señala la primera

gráfica que trazó) estaba bien a ver que había hecho… 284. E: Ajá 285. Ma: … pero me queda que ésta y ésta… ésta y ésta (señala dos rectas de la

360


primera gráfica)… 286. E: Ajá 287. Ma: … se intersectan en 3/5 288. E: Ajá 289. Ma: … y está más allá del límite 290. Ma: Aquí está más o menos (señala la segunda gráfica que hizo) 291. Ma: Pero ésta (señala la tercer recta de la segunda gráfica)… pero luego

me sale esto (señala el resultado de x = 4/5) 292. Ma: Ésta con ésta… se intersecta más acá (señala la tercer recta)

293. Ma: (Escribe:

5335

322

=

=−=+−

x

xxx

)

294. Ma: No sé porqué me quedó así 295. Ma: (Tacha la ecuación 23 +−= xy que puso al inicio y escribe:

) 24 +−= xy296. Ma: (Traza nuevamente la gráfica con las tres rectas y las enumera al igual

que a las ecuaciones) 297. Ma: (Las enumera: 1 al 22 +−= xy , 2 al 3−= xy y 3 al 24 +−= xy )

298. Ma: (Escribe:

x

xxxx

=

+=+−=+−

35

232322

)

299. Ma: ¡Qué estúpida soy! 300. Ma: La escribí tres veces… las tres veces la cambié (se refiere a la igualdad

de las ecuaciones de las rectas 1 y 2) 301. E: (risa) 302. Ma: ¡No puede ser! 303. Ma: Esta ya, más o menos… está mejor

304. Ma: (Escribe:

2155

24334

335

===

+−=−

−=

−=

yxx

xx

y

y

)

305. Ma: Ok 306. Ma: Y sí es vacío, ¿no? (señala lo que puso en el inciso c) o sea no es nada,

no hay solución

361


307. E: No hay solución 308. Ma: ¿Sí se pone vacío o no? 309. E: Sí 310. E: Ok


=−−=++

142332

zyxzyx



311. Ma: (Escribe: a) )233(2

233yz

yzx−−−−=

y luego lo tacha)

312. Ma: (Escribe: 5/15

3103

52

01

13

43

12

21

2 21 −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

+− RR

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−≈+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡11

21

10

01

213

23

12

01

12 RR )

313. Ma: (Escribe: tytxzx

tzzy

2111

21

−=+−=+−=

=−=)

314. Ma: (Escribe: { }ℜ∈=−=+−=ℜ∈= ttztytxzyxS ,,21,1),,( 3 ) 315. Ma: ¿Aquí te lo dejo así? O te la pongo en términos de z y algo… 316. E: Ajá, está bien 317. Ma: (Escribe: infinidad de soluciones) 318. Ma: (Escribe: b) una recta) 319. E: Ok, eh… ok 320. E: ¿Cuál sería la representación geométrica del sistema?, o sea… 321. Ma: ¿O sea todo? 322. E: Ajá 323. Ma: Las dos 324. E: Bueno… 325. Ma: Un plano y otro plano intersectados en una recta 326. E: Ajá, ok 327. E: Y eso sería… tu infinidad de soluciones que me dices, ¿no? 328. Ma: Ajá, o sea, porque dependiendo de… de la t 329. E: Ajá

362


330. Ma: O sea, t son todos los reales 331. E: Ok 332. Ma: Me va a dar todos los puntos que forman esa recta 333. E: Ok 9. Dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas


334. Ma:(Escribe: ninguna) 335. Ma: Aquí en éste, si este… 336. E: Sí 337. Ma: No, no tiene sol… no tiene una solu, o sea no tiene ninguna 338. E: ¿Porqué ninguna? 339. Ma: Nunca se intersectan en un mismo punto, o sea, o en los mismos

puntos, digo porque aquí estos dos, aquí estos dos y aquí estos dos (señala las intersecciones de los planos de dos en dos) pero… o sea no los tres

340. E: Ok 341. E: Para que haya solución ¿qué pasaría con… con esos planos? 342. Ma: Ah! para que haya solución tendrían que ser… con esos no, no se

puede 343. E: Bueno, con tres planos 344. Ma: Tendrían que ser… que sean… o sea que se intersecten en un punto 345. E: Ajá 346. Ma: O sea como así y así (señala las intersecciones con sus manos) ¿no? 347. E: Ajá 348. Ma: Que esté así, para que se intersecten en una recta así, así y así, o sea

que uno este aquí y otro acá (señala las intersecciones de tres planos con sus manos)

349. E: Ok 350. Ma: Eh… que sean iguales 351. E: Ajá

363


352. Ma: Que sean dos iguales y uno no 353. Ma: Eh… nada más 354. E: ¿Dos iguales y uno no? 355. Ma: Ajá, bueno dos iguales y uno así (señala con sus manos la intersección)

que los cruce 356. E: Ah, ok 357. Ma: Pero ésta que (señala el inciso b) 358. E: Esta no, ok 359. E: Eh… y… bueno


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112



iii. Ninguna solución? b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del inciso

anterior. 360. Ma: ¡Ay! no (risa) 361. E: (risa) 362. Ma: (pensativa) 363. E: ¿Qué piensas Mariana? 364. Ma: ¡Uy! muchas cosas 365. Ma: No, es que lo puedo sacar con… con esa cosa de que del rango, del

sistema, no sé… que tiene que ser menor, no sé… o algo así 366. E: Ok 367. Ma: Pero… mm…

368. Ma: (Escribe: a) ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ − 112

369. Ma: Esto es un renglón normal, ¿verdad? O sea… 370. E: Sí 371. Ma: ¡Ah!, ok 372. Ma: ¿Lo tomo como en R4? 373. E: ¡Ah! bueno no, no

364


374. E: Sería tu… 375. Ma: ¿La solución? 376. E: … o sea, es la matriz aumentada

377. Ma: ¡Ah! ok así… b, c y d (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

dcb112

378. E: Sí 379. Ma: ¡Ah! ok (tacha la matriz anterior) 380. Ma: Así ya… ¿entonces puedo hacerlo con determinante? 381. E: Ajá, como quieras… como tú creas

382. Ma: A ver… (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

a13121

112

383. Ma: ¡Ay! no quiero sacar el determinante de esto, me voy a tardar muchísimo

384. Ma: O sea le tengo que hacer la cosa de así y así, o sea de irlo tapando… 385. E: Ajá 386. Ma: Es que está bien larga 387. E: Si sacas el determinante ¿qué quieres ver? 388. Ma: O sea si el determinante es este… ¿cómo se dice? 389. Ma: ¡Ah! no, quería sacar la… o sea si yo saco… la normal de estos tres

(señala los tres renglones de la matriz)… y si la cosa esta es este… si es igual, nada más hago que estos planos no sean iguales (señala la matriz dada) y ya tienen ninguna solución, ya son paralelos

390. E: Ajá 391. Ma: Luego infinitas soluciones… pues que el determinante sea… cero

pero eso también lo hago acá… infinitas soluciones… no, lo hago con la matriz

392. Ma: Solución única que sea diferente de cero

365


393. Ma: (Escribe:

dbcdcbc

a

dbc

bcc

a

RRdc

bcc

adcbc

c

a

RRRR

dbc

adcb

a

++−+−+

++−

≠⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++−−+−

−

−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−+−

+−

−

−

≈⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+−

+−−

−

+−+−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

3233

0a

5

2

005310121

535

2

3505310121

32

350350121

32

13112121

13121

112

32

31

21

)

394. Ma: Si es diferente de cero, ya me da solución única, ¿no? 395. Ma: Porque aquí ya… entonces puedo…yo puedo hacer aquí un 1,

entonces me da un valor concreto de a… 396. E: Ajá 397. Ma: Entonces ya puedo sacar ésta y ésta (señala los unos de la matriz),

entonces ya me da un punto 398. E: Ajá, para que haya solución única ¿qué debe cumplir entonces? 399. Ma: Aquí que a sea igual… que sea diferente de cero 400. Ma: O sea porque para que haga… o sea si quiero sacar aquí este valor de

z tengo… (Escribe: dbcaz ++−= ) entonces z lo tengo que dividir entre a, entonces a debe ser diferente de cero

401. E: Ok, ¿sí lo escribes? 402. Ma: Ah 403. Ma: (Escribe: i) a ≠ 0) 404. Ma: ¿Lo explico o nada más pongo esto? 405. E: Como quieras, si quieres explicarlo, mucho mejor 406. E: Sí quieres (risa) 407. Ma: (risa) 408. E: Ok, a es diferente de cero y ¿qué pasa con b, c y d? 409. Ma: Pueden ser… aquí lo que sea 410. E: ¿Cualquier valor? 411. Ma: Pues sí, o sea porque no estoy dividiendo entre ellos ni nada 412. E: Ok 413. Ma: O sea aquí dependiendo de a… o sea a me está dando estos (señala la

expresión ) pero no importa cuales, eso me lo va… me lo va a este… me va a decir este valor y este valor (señala el primer y segundo renglón de la matriz)

dbc ++−

414. E: Ok

366


415. E: ¿Entonces puedes especificar qué pasa con esos? (me refiero a b, c y d) 416. Ma: (Continúa escribiendo en el inciso i: b, c, d ℜ∈ para que z tenga un

valor a ≠ 0. Así, x, y tendrán valores que dependerán de z, pero b, c, d pueden ser cualquier valor en los reales)

417. Ma: (Escribe: ii) a = 0) 418. Ma: Aquí si a es igual a cero… 419. E: Ajá 420. Ma: Entonces esto se me queda así (tapa el tercer renglón)… y entonces

este valor, este… ¿cómo se dice?, o sea, x y y van a… van a estar en términos de z, entonces z va a ser así como… es como la t que puede tomar cualquier valor, entonces tengo infinitas soluciones, ¿no?

421. E: Ok 422. E: Y con respecto a b, c y d ¿qué pasaría? 423. Ma: mm… también tiene que ser cero ¿no? (escribe:

) porque si aquí tengo cero (señala la matriz)… si no tendría como una cosa rara, ¿no?

dbc ++−0=++− dbc

424. Ma: ¿Pero sí se puede tener eso? 425. E: ¿Tú que crees? 426. Ma: O sea si yo tengo cero igual a algo más, es que algo está mal 427. E: ¿Y porqué sería? 428. Ma: Digo porque es una incongruencia, ¿no? 429. E: Ok 430. E: Entonces tú me dices que tiene que ser igual a cero, ¿no? 431. Ma: Ajá 432. E: Para que haya infinitas soluciones 433. Ma: Si 434. E: Ok 435. Ma: (Cambia el signo de la b en la expresión dbc ++− y queda

) dbc +−−436. Ma: (Escribe en el inciso ii): ya que de esa manera z no tiene un valor

determinado y x, y están en términos de z, así que dependiendo del valor de z, x, y variarían)

437. Ma: (Escribe: ) kji

kji

53

)14()12()21(121112

++−=

++−−−−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

438. Ma: (pensativa) 439. E: ¿Qué piensas Mariana? 440. Ma: Muchas cosas 441. E: (risa) 442. Ma: No, es que estoy viendo, esta normal y esta normal… digo este plano

y este plano (simula dos planos con sus manos) tienen una normal, ¿no?

367


443. E: Ajá 444. Ma: No, que estoy… espera… no, no, no (tacha lo que escribió antes) 445. E: Déjalo así 446. Ma: No, eso no tiene nada que ver 447. Ma: Este… ésta… es que… para que sean… ¿qué? 448. Ma: Para ninguna solución pueden pasar muchas cosas, para que no

tengan solución pueden ser así (forma un triángulo con sus manos) 449. E: Ajá 450. Ma: Pueden ser… así (forma planos paralelos con sus manos) 451. Ma: ¡Ah! infinitas soluciones también pueden ser si este… infinitas

soluciones sería… si fuera lo mismo, pero no pueden ser lo mismo 452. E: ¿Por qué no pueden ser lo mismo? 453. Ma: No, sí pueden porque si… si esto está (señala la matriz dada)… si

divido todo, si lo dejo aquí como 1 (señala la columna aumentada)… 454. E: Ajá 455. Ma: Si divido todo entre b, todo entre c, todo entre d (señala los renglones

correspondientes), sí puedo hacer que sean iguales 456. E: Ajá 457. Ma: …los planos, bueno estas cosas, ¿no?

458. Ma: O sea… (Escribe: cccbbb1,2,11,1,2

−=− )

459. Ma: A ver… no se va a poder 460. Ma: O sea digo manipularlos para que… para que den lo mismo… 461. E: Ajá 462. Ma: Pero no porque… aquí tendría que ser… a ver… 463. Ma: ¡Ay! es que esto está muy complicado (risa) 464. E: (risa) 465. Ma: O sea para que sean iguales no 466. Ma: Mejor lo dejo así (risa) 467. E: (risa) 468. Ma: Y ninguna solución, para que no tengan solución, esta

situación…aquí (señala el último renglón de la matriz

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−−−+−

−

−

dbc

bcc

a5

2

005310121

) me debe de dar algo así como…

469. Ma: Voy a hacer el b mientras pienso (pasa al inciso b) 470. E: (risa) 471. Ma: (Escribe: b) Sol única y dibuja:

368


) 472. Ma: Entonces… ¿no se entiende? 473. Ma: O sea estos se cruzan estos dos… 474. E: Ajá 475. Ma: Se cruzan ahí ¿no? en toda la recta… o sea por aquí ¿no? 476. E: Ajá, ¿puedes marcar la intersección? 477. Ma: Bueno la intersección… 478. E: O sea, la… entre los dos primeros planos 479. Ma: No, está mal… no, ya lo vi bien, es que no entendía mi dibujo, ya lo vi

bien 480. Ma: Tiene que ser algo así… que sean así, está bien es una recta, pero

después que sean… no… para que se intersecten en un punto… ni siquiera lo puedo ver…

481. E: (risa) 482. E: ¿Cómo tendría que pasar el tercero? 483. Ma: mm… es que si pasa por ahí, así (coloca su mano perpendicular con

la otra mano) 484. Ma: Si pasa así y si pasa por acá (coloca sus manos entrelazadas y pone un

marcador entre sus manos de forma perpendicular) 485. E: Ok, dibújalo 486. Ma: Apenas lo pude hacer con mis manos (risa) 487. E: (risa) 488. Ma: (Dibuja de nuevo los tres planos: 489. Ma: Pero también pasa por toda la línea… (Se refiere a que el tercer plano

también se intersectará con los otros dos en la misma línea) 490. Ma: (Escribe a un lado de la primera gráfica: Infinita) 491. Ma: Que también pueden ser si son iguales, pero esta complicado que

sean iguales… o sea que sean múltiplos de sí mismos… 492. Ma: A ver… (Checa de nuevo la matriz dada) solo son iguales si son

múltiplos, ¿no? 493. E: ¿Sí? 494. Ma: No es cierto, porque si éste lo divido entre… 5 me da 2… (Señala el

último renglón de la matriz)

369


495. Ma: No, así lo voy a dejar 496. E: A ver… gráficamente vamos a ver 497. Ma: ¿Qué? 498. E: Bueno para que haya solución única ¿cómo quedaría la gráfica

entonces? 499. Ma: ¡Ah!, todavía no la hago 500. Ma: Acá, así… formaría otra recta con esos dos planos pero no son la

misma 501. Ma: No, creo que no 502. E: A ver, dibújalo a ver 503. Ma: A ver… no porque si está así, también tiene esta misma recta 504. E: Al intersectarse esos dos que tienes allá… 505. Ma: Ajá 506. E: … te da una recta, ¿cuál sería esa recta? 507. Ma: (Dibuja la intersección entre los dos planos) 508. E: Ok 509. Ma: Para que sea un punto… lo paso por acá (señala que el plano debe

pasar en forma perpendicular a los otros dos), ahí está, ¿no? 510. E: A ver dibújale 511. Ma: Así nada más… y este pasa por aquí (puntea por donde pasa el tercer

plano), ¿no? 512. Ma: O sea como pasa por aquí, se intersecta aquí (Dibuja un punto entre

las intersecciones de los tres planos)…con los dos… o sea con esa recta que es la intersección de los dos

513. E: Este plano es (señalo el tercer plano que dibujó)… 514. Ma: No, es parado (es decir perpendicular) 515. E: ¡Ah! 516. Ma: Es que (risa)… es que es tercera dimensión en dos dimensiones, no se

puede 517. Ma: No, sí, ¿no? porque es así y luego pasa por aquí (simula la

intersección de los planos con sus manos) 518. E: Ajá

370


519. E: ¿De qué manera pasaría? 520. Ma: Así… esta es la recta que intersecta… (Entrelaza sus manos para

señalar la intersección de dos planos) 521. E: Ajá 522. Ma: … y este es así (con la idea anterior coloca una mano perpendicular a

la otra) 523. E: Ok 524. Ma: Entonces este se intersecta con esta recta (se refiere al tercer plano)

y… nada más 525. E: Ajá y lo toca en un punto, ok 526. Ma: Entonces esta bien lo que había hecho antes 527. Ma: ¡Ay!, ya no sé 528. E: (risa) 529. Ma: Este es un punto 530. E: Ok, este es un punto 531. E: Ahora para… infinitas soluciones ¿qué casos… puedes tener? 532. Ma: (Dibuja:

533. Ma: Y lo pongo más chiquito para que sea el mismo… es el mismo ahí (dibuja:

534. Ma: (Luego dibuja:

371


535. E: Ajá 536. Ma: Ahí está y ya 537. E: ¿Esos serían los tres casos? 538. Ma: ¿Mandé? 539. E: Esos serían para… 540. Ma: Estos serían para no tiene solución 541. E: Ok, no solución… pon allá no solución 542. Ma: (Escribe debajo de las gráficas: no sol.) 543. Ma: Esta es infinita solución (señala la primera gráfica que dibujó) o que

los tres sean iguales pero eso nunca lo voy a hacer aquí 544. Ma: O sea que los tres sean iguales… 545. E: ¿Cómo lo pondrías? 546. Ma: (Dibuja:

y esta es solución única (señala la segunda gráfica que trazó) 547. Ma: Y… nada más me falta… (Regresa al inciso iii)) 548. Ma: Está tardando mucho 549. Ma: A ver… ninguna solución tienen que ser… paralelos… tiene que

tener… la misma normal 550. E: Pero en ese caso… mm… ¿lo puedes ver… o sea, con la matriz que

tienes ahí? 551. Ma: No, es que… o sea estos tres, estos tres tendrían que ser iguales

(señala la matriz) 552. Ma: Sí hay forma de que sean iguales pero igual y serían infinitas

soluciones 553. E: Ajá 554. Ma: ¡Ah! no, sí es lo mismo pero nada más dependerían de esto (señala la

372


columna aumentada de la matriz) 555. Ma: O sea que… la diferencia entre que vayan a ser paralelos y tengan la

misma normal o que vayan a ser el mismo… es que… o sea, si tienen la misma normal… van a ser… o pueden ser lo mismo…

556. E: Ajá 557. Ma: … o pueden ser paralelos, pero la diferencia va ser en estos números

(señala la columna aumentada de la matriz) que… para que no tengan solución tienen que ser distintos unos de otros…

558. E: Ajá 559. Ma: … y para que sean… los mismos tienen que ser iguales, estos

números (señala la misma columna) 560. E: Ajá, ok 561. Ma: Pero no tengo idea qué condiciones… 562. Ma: Es que hay otra, ¿no? lo puedo ver con… es que no sé cuál es 563. E: A ver, si lo vemos… como los anteriores… desde la matriz 564. Ma: Es que… ajá hay una… hay una forma por aquí, ¿no? 565. E: Ajá 566. Ma: … que tienen que ser este… ¿cómo se dice?... si yo los pongo… o sea

si… 567. E: ¿Qué pasará con los valores de a, b, c y d? 568. Ma: Que sean cero, ¿no verdad? 569. Ma: ¡No!... a ver… o sea si yo tengo aquí que… 570. Ma: Es que estos… b, c y d no importan tanto ¿o sí? 571. E: ¿Qué es lo que importa? 572. Ma: a, bueno aquí sí (señala la expresión dbc +−− ) pero se supone que…

para que no tenga solución… 573. E: ¿Puede haber valores de a, b, c y d que te den este… ninguna solución? 574. Ma: Sí, supongo 575. E: ¿Por qué supones? 576. Ma: Porque todo es posible 577. Ma: Pero… que me den ninguna solución 578. E: Ajá 579. Ma: Sí pero tendría que ser… que uno sea igual a cero que uno… ¿no? o

sea una cosa así, una incongruencia 580. E: ¿Y en ese caso… qué… qué te daría una incongruencia con esos valores

de a, b, c y d?

581. Ma: (Escribe: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

+−+−

=

+−−=

adbcbcy

adbcz

53

52

)

582. Ma: ¡Ah! creo que no, eso que dije es mentira

373


583. E: ¿Qué pasó? 584. Ma: O sea si aquí me da un cero (señala a)… y esto es distinto (señala la

expresión )… dbc +−−585. E: Ajá 586. Ma: … es una incongruencia 587. Ma: O sea si esto es cero, este también debe de ser cero (se refiere a las

misma expresiones), ¿no verdad? 588. E: Si piensas que para ninguna solución a debe de ser cero y el otro cero,

pues escríbelo 589. Ma: No, porque entonces… esto nada más me dice… o sea… como que y

y x me va a quedar en términos de z 590. E: Ajá 591. Ma: Entonces dependiendo del valor de z… 592. E: ¿Entonces? 593. Ma: No sé 594. Ma: Este… el rango… si los rangos son distintos es que no hay solución

¿o si? o que hay una infinidad, ok aquí… 595. Ma: (Checa el inciso ii)) 596. Ma: Ash… aquí cero (señala la a de la matriz)… es que para que… o sea

para que pueda poner y en términos de z… 597. E: Ajá 598. Ma: Aquí ¿qué pasa si me da cero igual a algo más?, allá es una

incongruencia, ya no tiene solución, allá z quien sabe qué es 599. E: Ok 600. E: ¿Puedes escribirlo? 601. Ma: ¿Qué hora son? 602. Ma: ¡Ah! no, vamos a pasar a la que sigue (entrega sus hojas) 603. E: Entonces de la última no pudimos concluir nada 604. Ma: No 605. E: ¿Pero sí crees que hay… que no puede haber solución? 606. Ma: Sí 607. E: Ok

374



X

Y 608. Ma: (Dibuja dos rectas encimadas)

609. E: Ok… que tengan más de un punto en común 610. E: ¿Necesariamente así tienen que ser las rectas? 611. Ma: Sí 612. E: ¿Por qué? 613. Ma: Digo, porque son rectas o sea, si no es así… no pueden ser que se

doblen y que luego vuelvan a cruzarse 614. E: Ok


+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro. a. ¿Cuál es la forma escalonada reducida del sistema? b. ¿Puedes encontrar el sistema original? ¿De qué manera? c. ¿Cuál es tu sistema original?

375


615. Ma: (Escribe: ) ),,( zyx

616. Ma: (Luego escribe: a) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

013

000310201

)

617. Ma: (Luego escribe b)) 618. Ma: No, no puedo, no es cierto (risa) 619. E: (risa) 620. Ma: ¿O sea las tres ecuaciones originales? 621. E: Ajá 622. E: ¿De qué manera lo podrías encontrar? 623. Ma: Este… o sea prácticamente… pero es que no, es que ya le hice… no

solamente dividí esto si no que le sumé más cosas (señala la matriz) para dejarla así, ¿no?

624. E: Ajá 625. E: ¿Sí se podría encontrar el sistema? 626. Ma: Según yo no, pero ahora digo que no a todo 627. E: (risa) 628. Ma: Este… a ver… yo hice… para quitar este cero, yo hice que esto

también sea cero (señala los ceros del último renglón de la matriz) entonces este 3… o sea, lo que sea que yo le hice a ésta…

629. E: Ajá 630. Ma: … este 1… no sé… a ver… si lo puse aquí… es que necesito algo, ¿o

no? 631. E: ¿Como qué? 632. Ma: Digo, porque… estos ceros me salieron de que yo intenté de hacer

este cero, entonces esto… por lo que multipliqué todo este renglón me dio lo mismo que éste

633. E: Ajá 634. Ma: Por eso me dio cero 635. E: Ok 636. Ma: Este ¿no necesariamente tiene que ser cero o sí? 637. Ma: Bueno es cero 638. E: ¿Es cero? 639. Ma: Es cero 640. E: Ok 641. E: Entonces ¿qué podrías hacer para… poder tener el sistema? 642. Ma: Pues inventar el sistema, manipularlo para que me diera esto (se

refiere a la matriz que dió) 643. E: O sea ¿agarrar uno nuevo y ver si llegas a eso? 644. Ma: Pues sí

376


645. Ma: ¿En serio tengo que hacer eso? ¡No! 646. E: (risa) 647. E: ¿O qué otra opción tendrías aparte de esa? 648. E: O sea partiendo de ese… de ese sistema… ¿cómo podrías llegar al

original? 649. Ma: mm… no sé 650. Ma: O sea de esto… ¿de aquí? (señala la matriz en forma escalonada

reducida) 651. E: Sí, partiendo de este… que es la forma escalonada reducida 652. Ma: A ver… ¡ay!, no sé 653. Ma: Se supone que… yo aquí quería un cero, ¿no? (señala el cero del

tercer renglón, segunda columna) 654. E: Ajá 655. Ma: Entonces tenía… no, digo, porque aquí podía haber tenido cualquier

cosa 656. E: Ajá, ¿qué… qué pudiste haber hecho para llegar a esa fila… que te dan

ceros? 657. Ma: Esta… por lo que quiera que multipliqué este 1 para sumárselo a este

(se refiere al cero del tercer renglón, segunda columna)… 658. E: Ajá 659. Ma: … multipliqué este 3, igual me dio cero, igual se me anuló, igual eran

múltiplos 660. E: Ajá 661. Ma: O sea, digo si este era 2 (señala el cero del tercer renglón, segunda

columna)… 2 por 3, 6… este era 6 (señala el cero del tercer renglón, tercera columna), ¿no?

662. Ma: Y este era 2 (señala el cero de la parte aumentada de la matriz) ¿o por ahí no va?

663. E: ¿Entonces cómo podrías regresar a eso? 664. Ma: Teniendo ese 2, o sea por el numerito que multipliqué 665. Ma: ¿Sin ese numerito puedo hacer algo? 666. E: No sé, ¿tú que crees? 667. Ma: Yo digo que no… o sea pero supongo que sí se puede 668. Ma: Si supongo… el 1 lo multiplico por algo o sea, por x… -x… o sea voy

a tener muchas más variables 669. Ma: O sea si digo, si lo multipliqué por esto… este era como x, ¿no? (se

refiere al ) 2,30670. Ma: Si digo que este era x (coloca una x abajo del ), este era algo x

entonces… xy (risa) (coloca xy debajo del ) y así me voy hasta la nunca 2,30

3,30671. E: (risa)

377


672. Ma: ¡Ah! no, pero lógicamente era 3… era 3, entonces si yo multipliqué por –x… o sea aquí me queda x… esto es 3x…

673. Ma: Tenía algo así… (Escribe: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xxx13

30310201

) y así me voy hasta…

674. Ma: Y así, este lo dividí por algo… lo multiplico por y (Escribe:

yxxx ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡13

30310201

)

675. E: Ajá 676. Ma: De todas maneras no voy a obtener nada… solo tengo… cosas en

términos de variables, ¿no?


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡≈

xy

xxyy

3

3030201

)

678. E: De la manera como lo estás poniendo sí 679. Ma: Sí, por eso 680. E: Pero le podemos dar valores, ¿no? ¿o no se podría? 681. Ma: Aquí este (señala el )… tenía otro valor 1,20682. E: Ajá 683. Ma: Y este también (señala el ) 1,30684. E: Ajá 685. Ma: Este… multipliqué este 1 por algo… z… qué sé…


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xy

xxwyyz

3

33201

)

687. Ma: ¡Ay! no, esto está mal (Tacha las dos matrices anteriores) 688. E: No lo taches


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡≈

y1)

690. Ma: Es que le sumé algo, ¿no?... da 3 por y… 3 por –y -3y + 2… no… +3y + 2

378



⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ +≈

231 yy)

692. Ma: A ver si yo tengo… para que se me hiciera 2… ok, bueno 693. Ma: Luego… este –y para que se me hiciera 3… 3 + y, ¿no? 694. E: Ok 695. Ma: O sea digo si fue -2 este número para que se hiciera 0, o sea que tenía

un 2, ahora tengo 3 por -2, -6… entonces -6 para que me diera 2 tenía que tener… un 8, entonces…


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ++≈

x

y

xx

yy1

3

30310

231)

697. Ma: Este lo multipli… lo dividí por algo, ¿no? entonces…

698. Ma: (Escribe: ⎢⎢⎢

⎣

⎡≈

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ ++

−

−

xz

y

xxzz

yy

u

w 3

3030

231)

699. Ma: ¡Ay! no, siento como que este no es el camino


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++

+

++++++

+

yuuxywwz

y

uyuxxyuuwywzzwyw

yy

333

233233

231)

701. Ma: Y luego por algo… (Escribe s a un lado de la matriz anterior)


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡++

+

++++

+sywwz

sy

xyuuswywzszwyws

syyss)3(

)3(

)()233()(

)23()

703. Ma: ¡Ay! no (tacha la matriz anterior)


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+++

+

++++++

+

yuuxywwzsy

uyuxxyuuwywzzwyw

syyss

33

)3(

233233

)23()

705. Ma: Y ya, le doy cualquier valores 706. E: Ok 707. E: ¿Y ya tendríamos el sistema? 708. Ma: (risa) supuestamente, entonces… le doy…pero ya cualquier… no sé 709. E: A ver, ¿qué fue lo que fuiste haciendo?

379


710. Ma: Aquí… lo que hice… tenía ésta, ¿no? (señala la matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

013

000310201

)

711. E: Ajá

712. Ma: Entonces para que yo llegara a esto… (Señala la matriz ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

xxx13

30310201

)

713. E: Ajá 714. Ma: Tuvo que haber sido… entonces este número… o sea si yo tengo… si

yo hubiera multiplicado por –x… 715. E: Ajá 716. Ma: … para que me diera 0 tenía que ser x aquí (se refiere al tercer

renglón) 717. E: Ok 718. Ma: … lo puse aquí (se refiere a la x del tercer renglón)… como ésta

también me dió 0 entonces… (Explica el procedimiento que fue haciendo para llegar a la última matriz)

719. E: Ok 720. E: ¿Te faltó uno allá? 721. Ma: (risa) Sí, pero ya no quiero hacerlo 722. Ma: ¿Cuál es tu sistema original? Pues ese (señala la última matriz) 723. E: Sí, sí, ok 13. Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:


724. Ma: (Escribe: a) 02

0=++=++zyx

zyx)

725. Ma: ¡Ay! no… dos ecuaciones con tres incógnitas… 726. E: ¿Qué pasó? 727. Ma: No pos digo, si tienen tres variables pues son dos planos… 728. E: Ajá 729. Ma: … no pueden tener ecuación única, digo solución única 730. E: O sea ¿no se pueden intersectar en un solo punto?

380


731. Ma: No 732. E: ¿Porqué? 733. Ma: Si se intersectan… tiene que ser a fuerzas en una recta, si tengo nada

más dos… aunque sean… es que éstos si se intersectan en (0, 0, 0) (señala el sistema anterior)

734. Ma: (pensativa)

735. Ma: (Escribe: y luego bosqueja como unos triángulos) )2,1,3()2,1,1(

−−

736. Ma: (Luego escribe: ) ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=110

111112111

737. Ma: Igual se intersectan en una recta éstos (se refiere al sistema que dió) 738. E: Ajá 739. Ma: Según yo no puede haber solución única 740. E: ¿No puede haber solución única? 741. Ma: No 742. E: ¿Por qué? Bueno explica porqué no puede haber… según lo que

piensas 743. Ma: (Escribe: a) No puede haber, en todo caso se intersectan en una recta)

744. Ma: (Luego cambia a c) el sistema 02

0=++=++zyx

zyx)

745. Ma: (Escribe: b) 1

20=++

=++=++zyx

zyxzyx)

746. E: Ok 747. E: Entonces este sería para… 748. Ma: Para ninguna solución 749. E: Ninguna solución 750. E: ¿Por qué sería para ninguna solución? 751. Ma: Porque son… son los mismos, nada más que están desplazados, o sea

son paralelos 752. E: Son paralelos, ok 753. E: Ok, pues eso es todo

381

Anexo II Entrevista: Jorge

1. Dada la ecuación 62 =+ yx a) ¿Son los pares ordenados (1,4),(3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la

representación geométrica? 1. J: 6… (Escribe: (1,4) y (2,2) sí resuelven la ecuación 62 =+ yx ) 2. J: Ajá 3. E: Ajá, ok 4. E: ¿Sólo esos dos puntos son solución de… de la ecuación? 5. J: Sí 6. E: ¿Porqué? 7. J: Porque son los únicos que sustituidos en la coordenada x y y me dan el

valor seis 8. E: Ajá, ok 9. E: mm… ¿cuántas soluciones tiene esa ecuación? (me refiero a la ecuación

dada) 10. J: Una Infinidad de soluciones 11. E: Infinidad de soluciones 12. E: mm… ¿podrías encontrar el conjunto solución? 13. J: Sí, nada más despejas por ejemplo y… (Escribe: xy 26 −= ) y x lo

propones como un parámetro… (Escribe: t = x) 14. E: Ajá 15. J: Y ya te queda… para cualquier t, te va a dar una y (Escribe: ) ty 26 −=16. E: Ajá, ok 17. E: Entonces tendríamos… ¿cuántas soluciones? 18. J: Una infinidad, todas las que… o sea, todas las que tu quieras… sustituir

aquí como t, te va a dar la y correspondiente para que se resuelva esta ecuación (señala la ecuación 62 =+ yx )

19. E: Ajá, ¿podrías escribir allá… 20. J: ¿Lo que te acabo de decir? 21. E: O sea, cuántas soluciones…? 22. J: ¡Ah! ya 23. E: Ajá 24. E: Porfas 25. J: (Escribe: tiene una infinidad de soluciones, si sustituyo una t me dará el

corresp. valor de y, así para toda t encontraré una y) 26. J: ¿Sí? 27. E: Ajá, ok

382


28. E: Ahora si graficáramos todos los puntos… este… del conjunto solución, en este caso pues son infinitos, ¿qué representación encontraríamos…

29. J: Una recta 30. E: …en este caso? 31. J: Una recta 32. E: Una recta 33. J: Sí 34. E: Mm ¿y cuál crees que sea esa recta? 35. J: La que está… 6 – 2x entonces… (Escribe: xy 26 −= ) 36. J: ¿La grafico? 37. J: ¿Sí? 38. E: mm, sí 39. J: 1, 2, 3, 4, 5… 6… ajá, así con pendiente negativa (Grafica la recta

) xy 26 −=40. E: Ok 2. Dada la ecuación 423 =+− zyx

a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5),(3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la representación geométrica?

41. E: Bueno, ¿ahora qué pasa… en ésta? (me refiero a la pregunta) 42. J: (Escribe: (3, 1, -3) (2, 5, 8) son soluciones de la ecuación ) 3 2x y z− + = 443. J: Ya 44. E: Ok 45. E: ¿Para encontrarla qué hiciste? 46. J: Sustituí los valores igual que en la otra (se refiere a la pregunta anterior) 47. E: Ok 48. E: Entonces ¿cuántas soluciones tiene esa ecuación? 49. J: Ah pos también tiene infinidad de soluciones, pero éste ya es un plano y

tiene dos parámetros, como solo es una ecuación… 50. E: Ajá 51. J: … tiene dos grados de libertad, entonces como tiene dos grados de

libertad, los grados de libertad me indican la ecuación general de un plano 52. E: Ok 53. E: Entonces… ¿sí puedes escribir allá cuánto es?

383


54. J: Ajá 55. J: (Escribe: tiene infinidad de soluciones dadas por la ecuación con dos

parámetros) 56. E: Ajá 57. E: ¿Cuál sería entonces el conjunto solución?

58. J: (Escribe: 4 2 3

x ty rz r

=== + − t

)

59. J: Todo lo que te dé esto, ¿no? (se refiere a lo anterior que escribió) 60. J: ¿Lo vuelvo a escribir? 61. E: Como este… no sé como tu creas… ¿cómo representarías… el conjunto

solución? 62. E: ¿Así, así esta bien? 63. J: (Silencio) 64. J: mm… es que si tú propones un valor para… para t… 65. E: Ajá 66. J: … y uno para r… esta ecuación te va a dar el valor correspondiente en z,

¿no?, te va a dar el valor que te va a ubicar el punto que tu elegiste dentro del plano

67. E: Ajá 68. J: Entonces… sí, proponiendo cualquier valor r y t pues obtienes el… la

tercera coordenada 69. E: Ajá 70. J: ¿No? 71. E: ¿Sí? 72. E: ¿Entonces ese sería tu conjunto solución? 73. J: mm… 74. J: A ver… mm… (Escribe: (x, y, z)) 75. E: ¿Qué piensas jorge? 76. J: Estoy viendo cómo lo puedes expresar de otra manera 77. J: (Silencio) 78. E: ¿Podrías expresarlo de otra manera? 79. J: Sí, tal vez sí pero… o sea como… mm… con dos vectores, o sea dos

vectores que me generen este plano 80. J: ¡Ah! ya sé 81. E: ¿Y eso cómo lo harías? 82. J: Este es… 3, -2 y 1 es la normal, ¿no? 83. J: Entonces… mm… pues sí, puedo también expresarlo como un vector que

sea 3, -2, 1… 84. E: Ajá 85. J: … es la normal del plano, entonces puedo expresarlo también como un

384


vector tal que producto punto con… con la normal al plano, sea cero 86. E: ¿Y eso qué me daría? 87. J: Eso me daría un vector sobre el plano… un vector perpendicular a la

normal que está sobre el plano 88. J: Entonces… o sea, más bien un vector perpendicular a la normal 89. E: Ajá 90. J: Y si es perpendicular a la normal, está sobre el plano 91. E: Ok 92. E: ¿Y eso… sería el conjunto solución? 93. J: No, o sea ése solo sería un vector que está dentro el plano y puedo…

puedo obtener no sé… a ver espérame… 94. J: Este sería 3… ¡ah! ya sé… 3… por x menos 3… (Escribe:

) 3( 3) 2( 1) ( 3) 4 0x y z− − − + + − =95. J: Así, ¿no? 96. J: Ese sería el producto punto de la normal, éste es la normal (encierra en un

paréntesis el 3 y el 2 de la ecuación anterior), éste es un punto sobre el plano (señala al 3,1, -3 de la ecuación anterior)…

97. E: Ajá 98. J: Y… que más… y éste es cualquier otro vector que pueda generar a partir

de ese (señala las variables x, y, z) 99. E: Ok 100. E: ¿Pero eso que me daría? 101. J: Esto ya me da… mm… es que esto es la representación, ¿no?, de la… de

la ecuación del plano 102. E: Ajá 103. J: mm… 104. E: ¿Y qué estamos buscando? 105. J: Las soluciones 106. J: Ajá 107. E: Ok 108. E: Este… bueno de acá ya llegamos a que hay infinitas soluciones 109. J: Ajá 110. E: y… que lo podemos presentar de esta manera como lo pusiste aquí x,

y, z… (me refiero a la expresión , , 4 2 3x t y r z r t= = = + − ) 111. J: Ajá 112. E: En término de dos parámetros 113. E: Ok 114. E: ¿Esto que me pusiste aquí representa al conjunto solución? (señalo la

expresión , , 4 2 3x t y r z r= = = + − t ) 115. J: mm… sí, ¿no?, yo digo que sí 116. E: ¿sí, crees que sí?

385


117. J: Sí 118. E: ¿Porqué sí? 119. J: Sí, porque todas las… o sea, dentro de un sistema R3 si yo doy una

coordenada x y una en y… 120. E: Ajá 121. J: … cualquiera que sea, a la hora de aplicar esta ecuación (se refiere a la

ecuación dada), la coordenada en z me va a ubicar dentro del plano 122. E: Ajá 123. J: Entonces para cualquier x, y en R3, voy a tener una z en R3 que va a estar

en mi plano que yo tengo… que está dada por esta ecuación (señala la ecuación ) 3 2x y z− + = 4

124. E: ¿Entonces sí es el conjunto solución? 125. J: Sí 126. E: ¿Seguro? 127. J: Es que me haces dudar con tus preguntas (risa) 128. E: (risa) 129. E: ¿Tu qué crees? ¿Es o no es el conjunto solución? 130. J: mm… (Silencio) 131. J: no, a ver, espérame… 132. J: Si hago… también puedo hacer sacar un vector, ¿no?, nuevo, tener un

vector de éstos dos… (Señala los puntos (3, 1, -3) y (2, 5, 8)) 133. E: Ajá 134. J: … que están sobre el plano, luego los hago… junto con la normal… y se

cero… pero eso qué… 135. J: Saco un nuevo vector de éstos dos (se refiere a los mismos puntos), me

va a dar un vector sobre el plano 136. J: mm… le hago así como normal… me va a dar… la representación…

(Dibuja dos vectores unidos en su punto inicial) 137. J: ¡ay! ya no me acuerdo (risa) 138. E: (risa) 139. J: mm… 140. E: ¿Pero qué me dices acerca de… del conjunto solución? 141. J: Es que estoy… o sea, estoy pensando como ponerlo de otra forma que se

ya vea como más claro… para mí también 142. E: Ok 143. J: Para que ya sin preguntas te diga no sí, sí es la solución 144. E: ¿O sea que dudas que eso sea solución? 145. J: Ajá 146. J: Sí, sí, sí 147. E: Ok 148. E: mm… ok

386


149. E: Aquí tenemos dos puntos que son solución de la… (Señalo los puntos (3, 1, -3) y (2, 5, 8)) 150. J: de la ecuación 151. E: … de la ecuación 152. J: Ajá 153. E: Ok 154. E: Pero son dos puntos digamos… específicos 155. E: ¿De qué manera lo puedes poner?, el conjunto solución, este… en esta

forma (le señalo uno de los puntos) 156. E: O sea, como un… punto 157. J: ¿Conmutación de puntos? 158. J: Pues… 159. J: ¿Como si fuera un conjunto? 160. E: Ajá, exacto 161. J: Por ejemplo, el conjunto solución es el x, y, z tal que… 162. J: mm… pues que satisfagan esta ecuación (se refiere a la ecuación dada) 163. J: (Escribe: { }, , 3 2 4S x y z x y z= − + = ) con x, y, z que pertenezcan a R3, ¿no? 164. E: Ok 165. E: Allí… ¿aquí adelante es x y z? 166. J: Sí, ¿esto? (señala la ecuación 3 2 4x y z− + = ) 167. E: No, esto de acá (le señalo lo primero que escribió) 168. J: ¡Ah!, sí 169. E: Ok, el conjunto de los… puntos 170. J: El conjunto de los… de x, y, z tal que x, y, z sustituidos en esta ecuación

te de cuatro 171. E: Ajá, Ok 172. E: ¿Y eso sería el conjunto solución? 173. J: Sí, eso sí 174. E: ¿Y eso que tienes no? (me refiero a la expresión

, , 4 2 3x t y r z r= = = + − t ) 175. J: Sí, es que en realidad es lo mismo porque solo estás despejando la z 176. J: O sea es… es lo que te digo, estás teniendo una x y una y… bueno estás

proponiendo una x y una y y te están dando la z 177. E: Ajá 178. J: En lugar que aquí tu propongas las tres para que te dé cuatro 179. E: Ajá, ok 180. E: Entonces si graficamos todos los puntos del conjunto solución ¿qué

obtenemos geométricamente? 181. J: Un plano 182. E: Un plano

387


183. E: Ok 184. E: Ok, ¿sí puedes escribirlo? 185. J: (Escribe: Graficando los puntos, la solución sería un plano) 186. E: Ok, bien

3. ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones? ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas. 187. J: (Escribe: Todos los puntos que sustituidos en cada ecuación del sistema

hagan válida ésta, así como las otras ecuaciones pertenecientes al sistema) 188. E: A ver, ¿qué significa el conjunto solución de un sistema? 189. J: Conjunto solución de un sistema de ecuaciones son todos los puntos

que sustituidos en cada una de las ecuaciones del sistema… 190. E: Ajá 191. J: … hagan válida tanto esa ecuación como las otras ecuaciones del

sistema 192. E: Ajá, ok 193. E: Ahora entonces… ¿qué relación hay entre las ecuaciones… o sea entre

el conjunto solución de cada una de las ecuaciones y el conjunto solución del sistema?

194. J: Es que puede ser que sean la misma solución para todas las ecuaciones, puede ser que… que no tengan… puede ser que sea la misma solución el sistema y la… conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de la ecuaciones del sistema…

195. E: Ajá 196. J: Si son, no sé, rectas que se hacen chicas o grandes dependiendo del

parámetro 197. J: O puede ser… puede ser incluso que no haya solución 198. E: Ajá 199. J: O que tengan una solución única 200. E: Bueno si… suponemos que hay solución 201. J: Ajá 202. E: Entonces… ¿qué relación hay entre las… entre los conjuntos solución

de las ecuaciones y con el conjunto solución del sistema? 203. J: ¡Ah! que pueden tener un punto en común… 204. E: Ajá 205. J: … el conjunto solución o una infinidad de puntos 206. E: Bueno ¿ése sería el conjunto solución del sistema? 207. J: Ajá

388


208. E: O sea, el conjunto solución del sistema me estás diciendo que puede tener una solución o infinitas

209. J: Ajá 210. E: Pero que relación… 211. J: ¡Ah¡ ya, ya, ok 212. J: ¿Qué relación existe entre el conjunto del sistema… 213. E: Ajá 214. E: Y el de cada una de las ecuaciones 215. J: … y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? 216. J: Ninguna 217. E: ¿Porqué? 218. J: Porque el conjunto solución de un sistema de ecuac… de un sistema de

ecuaciones… 219. E: Ajá 220. J: O sea, el conjunto solución de una ecuación… mm… 221. J: A ver, ¿cómo te lo puedo decir? 222. J: mm… pues es que no tienen relación porque… 223. E: ¿Por qué? 224. J: Porque todas las ecuaciones del si… porque las ecuaciones… todas las

ecuaciones del sistema como que me restringen el… el conjunto solución, bueno no me restringen, sino que me cambian el conjunto solución de alguna manera

225. E: Ajá 226. J: Entonces… no importa que solución tengan cada una de ellas, el

conjunto solución va a ser diferente 227. J: Entonces… 228. E: A ver, a ver (risa) 229. E: Bueno vamos a dar un ejemplo 230. J: Ajá 231. E: Un ejemplo más este… más sencillo 232. E: Si tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas 233. J: Ajá 234. E: Ok 235. E: Para que haya solución ¿qué opciones tenemos? 236. J: ¿Dos ecuaciones con dos incógnitas? 237. E: Ajá 238. J: Para que haya solución que se intersecten en algún lugar o que sean la

misma 239. E: Ok 240. E: em… entonces ¿cuál sería el conjunto solución de cada uno de los

sistemas, digo de cada una de las ecuaciones?

389


241. J: Todos los puntos que sustituidos en la ecuación me den cero, bueno me den… si todos los puntos que sustituidos en la ecuación homogénea sean cero

242. E: mm… 243. J: El conjunto solución de cada una de las ecuaciones 244. E: Ajá 245. J: Ajá 246. E: Ok 247. E: Y… el conjunto solución del sistema ¿cuál sería? 248. J: El punto en donde se intersectan 249. E: Ajá 250. J: O… o una infinidad 251. E: Ok 252. E: Y qué relación… 253. J: Porque pueden tener un punto en común… 254. E: Ajá 255. J: O una infinidad de puntos en común 256. E: Ajá 257. J: O sea que… la solución de… de una ecuación… bueno la solución de

una ecuación y la del conjunto solución están contenidos en los dos, en los dos conjuntos, ¿no?

258. E: Ajá 259. E: Ok, ¿puedes escribirlo? 260. J: (Escribe: La solución de una ecuación del sistema y la del conjunto

solución están contenidas en ambos conjuntos) 261. E: Ok, bueno…


=−=−

0454

yxyx



262. J: (Silencio) 263. J: No, esos no son solución (se refiere a los pares ordenados dados) 264. E: ¿Qué pasó? 265. J: No son solución

390


266. E: No son solución 267. J: a a (expresa un sonido de no) 268. E: ¿Porqué no? 269. J: Porque ningún de los puntos sustituidos en… las dos ecuaciones hace

verdadera las dos 270. E: Ok 271. E: ¿Entonces para que sean solución tienen que estar en las dos? 272. J: Ajá… sí 273. J: Ajá, para que sean solución del punto sustituidos en ambas ecuaciones

me tiene que cumplir la igualad 274. E: Ajá, ok 275. E: Entonces… em… ¿existe alguna solución para ese sistema? (me refiero

al sistema dado) 276. J: No, no porque son rectas paralelas 277. E: ¿Cómo sabes que son rectas paralelas? 278. J: Porque tienen la misma pendiente pero una esta movida del origen 279. E: Ok 280. E: ¿Podrías graficar el sistema? 281. J: Ajá

282. J: (Escribe: xyyxxyyx

4045454

==−−==−

)

283. J: (Dibuja:

) 284. E: Ok 285. E: ¿Entonces qué puedes concluir acerca del conjunto solución de este

sistema? 286. J: Que no existe 287. J: Porque no hay un punto… un punto que… para empezar un punto que

haga verdadera las dos ecuaciones… 288. E: Ajá 289. J: … y no hay un punto… no hay un punto en el conjunto… o sea si, no

hay conjunto solución porque no hay un punto que esté contenido… es lo mismo, que esté contenido en las dos ecuaciones

290. E: ¿Y gráficamente qué puedes decir?

391


291. J: ¿Gráficamente? 292. E: O sea, ajá con respecto… 293. J: ¡Ah! que dos líneas paralelas nunca se intersectan o no tienen un punto

en común 294. E: Ok… ¿podrías escribirlo? 295. J: Ajá 296. J: ¿Todo lo que dije? 297. E: Acerca del conjunto solución 298. J: (Escribe: No existe conjunto solución ya que no existe un punto común

en las rectas) 299. J: Ajá 300. E: Ok


=+=+

000523

yxyx



301. E: Veamos que pasa ahora con este… 302. J: ¿Cuántas soluciones tiene? también una infinidad, ¿no? 303. E: ¿Por qué crees que es una infinidad? 304. J: Porque es una recta y esto… en realidad no afecta qué número le

pongas aquí, esta cosa siempre va a ser cierta (se refiere a la segunda ecuación del sistema dado)

305. E: Ajá

306. J: (Escribe: 235

523xy

yx−

=

=+)

307. J: Y está dado por esta ecuación… con x como parámetro (se refiere a la expresión anterior)

308. E: Ajá

309. J: (Escribe: ty23

25−= , x = t)

310. E: ¿Este sería el conjunto solución? 311. J: Sí 312. E: ¿Por qué?

392


313. J: Porque… cualquier t que yo proponga me va a dar… cualquier t que yo proponga me va a dar su correspondiente en y…

314. E: Ajá 315. J: Y eso me va a ser cierta esta ecuación de aquí arriba y cualquiera y y t,

bueno y y x en este caso sustituida en la ecuación de abajo me va a dar, me va a cumplir la ecuación

316. E: ¿Cualquiera que yo le dé? 317. J: Ajá 318. E: O sea me satis… o sea, que si yo… agarro un punto ¿me satisface las

dos ecuaciones al mismo tiempo? 319. J: No un punto cualquiera, un punto que esté dado por esta ecuación

(señala la ecuación ty23

25−= )

320. E: ¿Por ésta? (señalo la misma ecuación) 321. J: Ajá 322. J: O sea si yo agarro una x… 323. E: Ajá 324. J: … esta ecuación me da la y… (se refiere a la misma ecuación) 325. E: Ajá 326. J: … y esa x y esa y sustituida en la ecuación de arriba me va a hacer cierta

la ecuación… y la ecuación de abajo va a ser cierta para cualquier punto 327. E: Ok 328. E: Entonces ¿cuantas soluciones hay? 329. J: Las mismas que tenga la de arriba, una infinidad 330. E: ¿Me puedes escribir ahí? 331. J: (Escribe: infinidad de soluciones, las mismas que la de la 1ra ecuación) 332. E: Ok 333. E: ¿Podrías graficar el sistema? 334. J: mm… (Dibuja:

) 335. E: ¿Ese sería todo el sistema? 336. J: Sí… el otro no es nada 337. E: ¿No es nada?

393


338. E: Entonces si no sería nada, ¿cómo puedes decir que hay infinitas soluciones?

339. J: Porque pues es una recta, o sea, el sistema solo… solo está siendo afectado por la ecuación de la recta

340. E: ¿De la primera? 341. J: Ajá 342. E: O sea que geométricamente la segunda ecuación no representa nada,

nada 343. J: Pues el origen (dibuja el punto (0,0) en la misma gráfica) 344. E: ¿Solo ese punto? 345. J: mm… no 346. J: ¿Qué me representa eso? 347. J: Puede ser todo el plano también, todas las x y las y… en R2… 348. E: Ajá 349. J: Sí, puede ser todo el plano, cualquier x y cualquier y en R2 que

multiplicada por cero me da cero, ¿no? de hecho no es este punto (se refiere al (0,0)), son todos los puntos

350. E: Todos los puntos… 351. E: ¿Seguro? 352. J: mm… 353. J: Sí porque, si yo sustituyo cualquier punto en R2… 354. E: Ajá 355. J: … en la segunda ecuación siempre va a ser cierta, pero no cualquier

punto de R2 va a hacer cierta la primera 356. E: Ajá 357. J: Entonces como que hay una intersección del… del plano cartesiano con

la recta, donde solo la recta es solución de ambas ecuaciones porque la recta también está en R2

358. E: Ajá, ok 359. E: Entonces… ¿qué puedes concluir acerca del conjunto solución… del

sistema? 360. J: Que el conjunto solución del sistema es la intersección de la… del… de

R2 con la recta 361. E: Ajá, te falto el plano, ¿no? (me refiero a la gráfica) 362. J: Ajá 363. E: Ok 364. E: ¿Sí lo puedes escribir? 365. J: (Escribe: El conjunto solución del sistema es la intersección de el plano

con la recta) 366. E: Ok

394



⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123


367. J: mm… (Pensativo)

368. J: (Escribe:1

23=−=+

yxyx

,

4554333

23)(

=

=

=−=+

−

y

yyx

yx

)

369. J: (Luego escribe:

49

451

=

+=

x

x)

370. J: (Pensativo) 371. E: ¿Crees que sea posible que haya… una solución… única? 372. J: No, creo que no hay 373. E: ¿Por qué? 374. J: Es que… mm… (Pensativo)

395


375. J: (Escribe:

41

3433

4523

=⋅

=

−=

x

x)

376. J: ¡Ay! este está extraño (se refiere a la pregunta)

377. J: (Escribe: y luego grafica: xy

xy321

−=−=

) 378. J: Sí es solución única aunque no tienen la misma pendiente… entonces

son rectas que se intersectan en algún punto… ésta es la misma que ésta (señala la tercera y la primera recta)

379. E: ¿Sí es la misma? 380. J: Sí, solo que multiplicada por… un número, bueno con k igual a… me

imagino que k puede ser lo que tu quieras, ¿qué es k? 381. E: Sí, un valor, una constante cualquiera 382. E: ¿Pero para cualquier valor de k? 383. J: ¡Ah! no, no, para cualquier valor de k no 384. E: ¿Para qué valor de k? 385. J: Para… en esta ecuación sería para k igual a -4 386. E: ¿Por qué? 387. J: Porque… 388. E: ¿Qué pasaría si k es -4? 389. J: Que este sistema sería… que esta recta sería la misma que ésta (Señala la

tercera y la primera recta)… 390. E: Ajá 391. J: … si k es -4 392. E: ¿Y al ser la misma? 393. J: Pues tienen el mismo conjunto solución 394. E: Ajá, ok 395. E: Entonces… si k es -4 tenemos la misma recta, es lo que me dijiste y

entonces ¿sí habría solución única? 396. J: Ajá 397. E: ¿Sí?

396


398. J: Sí 399. E: Ok 400. E: ¿Entonces cuál sería la solución? 401. J: La intersección de esta recta… con ésta (señala la primera y segunda

recta) o de ésta con ésta (señala la tercera y segunda recta) 402. E: Ajá 403. J: ¿No? 404. E: Ok y ¿cuál sería esa solución? 405. J: ¿Numérico? 406. E: Sí, numérico

407. J: ( Escribe: , 1

23=−=+

yxyx

41

4343

132132

−=

=

=−=−

−=−=

y

x

xxx

xyxy

)

408. J: Listo 409. E: Ok 410. E: Este… solo me pones allá ¿qué valor debe tomar k? 411. J: Ok

412. J: (Escribe: para k = -4

41

43

−=

=

y

x )

413. E: Ok, bueno ahora… esto (pasamos al inciso b) 414. J: No es posible que tenga infinitas soluciones porque ya vimos que son

dos rectas diferentes 415. E: Ajá, ok 416. E: ¿Y si le doy otro valor a k? 417. J: ¡Ah! sí, con otro valor de k sí puede ser 418. J: mm… 419. E: Puedes agarrar otra hoja 420. J: Sí 421. J: No, de todas maneras no porque si tienes una k distinta pues ya tendrías

tres rectas diferentes… y tres rectas… para empezar con que estas dos no sean iguales (señala la primera y segunda recta)…

422. E: Ajá 423. J: … pues entonces ya no pueden tener una infinidad de soluciones

397


424. E: Ajá, ¿para cualquier valor de k diferente de -4? 425. J: mm… (Pensativo)… sí 426. E: ¿Seguro? 427. J: mm… sí 428. E: ¿Puedes este… justificar por qué no? 429. J: ¿Lo escribo? 430. E: Sí 431. J: (Escribe: para cualquier 4−≠k tendría 3 rectas distintas, o 2 en caso de

que la 3ra ecuación tomara un valor en k que la hiciera igual a la segunda; de cualquier manera no podría tener infinidad de soluciones ya que nunca serían la misma recta las 3 al mismo tiempo)

432. E: Ok, entonces… me estas diciendo allá que no podría tener infinidad de soluciones… ya que nunca serían la misma recta, ¿no?

433. J: Ajá 434. E: O sea, las tres al mismo tiempo no sería la misma recta… que ¿sería el

único caso donde tendría infinidad de soluciones? 435. J: Sí, el sistema de ecuaciones sí 436. E: Ajá, ok 437. E: ¿Es posible que este sistema no tenga solución? 438. J: Sí, con k distinta de 4, ¿no? 439. E: ¿Porqué? 440. J: Porque al ser… tres rectas… diferentes… 441. E: Ajá 442. J: Este… no se van a intersectar en el mismo punto 443. E: Ajá, ok 444. J: ¿Lo escribo? 445. E: Sí 446. J: (Escribe: porque 3 rectas diferentes no se van a intersectar en el mismo

punto las 3 al mismo tiempo) 447. E: Ok 7. Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas

398



figura anterior. c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué observas? 448. J: (Escribe: Ninguna, no hay un punto en común por el que pasen las 3) 449. E: ¿Por qué… porqué no existe? 450. J: Porque no existe un punto en común por el que pasen las tres al mismo

tiempo 451. E: Ok 452. E: ¿Necesariamente si tenemos las tres rectas tienen que pasar por el

mismo punto? 453. J: Para que exista solución sí, bueno solución del sistema sí 454. E: Ok 455. E: ¿Puedes dar alguna… algún sistema que represente a esa figura?

456. J: (Escribe: ) 0

00

==−=+

yyxyx

457. E: La … 0=y458. E: mm… ¿podrías darme otra que no sea la 0=y ? 459. J: Ok 460. J: mm… puede ser…

461. J: (Escribe: 1

51

−=

+=

xy

bmxy)

462. J: (Luego escribe: 15

−=+− yx y tacha la ecuación 0=y )

463. E: Ok, ese sería el sistema 464. E: ¿Y cómo puedes saber si ese sistema forma… o tiene esa figura más o

menos? 465. J: Por las pendientes, ésta siempre va a ser la pendiente positiva (a un lado

de la primera ecuación dibuja ⁄)… 466. E: Ajá 467. J: … ésta la pendiente negativa (a un lado de la segunda ecuación dibuja

\) y ésta una pendiente positiva pero este… o sea que se acerca a cero (a un lado de la tercera ecuación dibuja ⁄ pero más inclinada)

468. E: Ok 469. E: Ok, muy bien

399



=−−=++

142332

zyxzyx



470. J: (Escribe: ) 142332

=−−=++

zyxzyx

471. J: ¿Cuántas soluciones tiene? Una infinidad ¿no?, son dos ecuaciones, tres incógnitas, un grado en libertad, entonces se intersectan en una recta

472. E: Ajá 473. J: Entonces tiene una infinidad de soluciones 474. J: Lo escribo, ¿verdad? 475. E: Sí 476. J: (Resuelve el sistema dado por el método de suma y resta y obtiene

5105 ,con ,

510z-5y tytz −

=== )

477. J: Ya 478. J: Bueno, la x…

479. J: (Escribe: ttx 3510523 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= )

480. E: Ok, ¿ése sería tu conjunto solución? (me refiero a los valores de x, y y z que encontró)

481. J: Bueno sí, expresado sería… (Escribe: ( ){ }tz y ,, ===xzyx ) tal que x

sería igual a ésto, y y sea igual a ésta… y tz = (señala con una flecha los valores de x y de y que encontró antes)

482. E: Ok, entonces ¿cuántas soluciones tiene? 483. J: Una infinidad 484. E: Infinitas soluciones 485. E: Y si graficamos todos los puntos… 486. J: Una recta 487. E: ¿Qué nos da? 488. J: Una recta 489. J: (Escribe: infinidad de soluciones, si graficáramos los puntos me dará una

recta) 490. E: Ok

400




491. J: Esto no tiene solución 492. E: ¿Por qué no tiene solución? 493. J: Porque no se intersectan a lo largo, bueno no se intersectan en ninguna

recta en común… los tres planos al mismo tiempo 494. E: Ajá, ok 495. E: ¿Seguro, seguro? 496. J: Ajá (mueve la cabeza diciendo sí) 497. E: Ok, entonces… cuántas soluciones… ¿cuántas soluciones tiene? 498. J: (Escribe: ninguna, ya que no hay una recta en común donde se inters. los

3)


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112


i.Solución única? ii.Infinitas soluciones?

iii.Ninguna solución? b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del

inciso anterior.

499. J: (pensativo)

401


500. J: (Escribe: c

bcc

dcbc

c

adbc

a

33 632 3 5 0 22 4 2

32

350350121

13112121

−−−−−−−−

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+−

+−−

−≈

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

)

501. J: (Luego escribe:⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−+−−+−−

−

bdc

bcc

a5

2

005

310121

, bdca −+−= )

502. E: ¿Qué acabas de hacer? 503. J: Este… reduje esto a la forma escalonada reducida para ver cuál era el

valor de a… 504. E: Ajá 505. J: … para ver cuál era la condición que tenía que cumplir a y… ¿qué más?

qué condición debe de cumplir a, b, c y d… mm… por ejemplo… 506. E: ¿Para que haya solución única? 507. J: Ajá, infinitas soluciones y ninguna solución 508. J: mm… para que haya solución única… 509. E: Ajá 510. J: … el determinante debe ser distinto de cero 511. E: Ajá 512. J: Entonces… 513. E: ¿Y en este caso puedes calcularlo? 514. J: Sí… a ver…

515. J: (Escribe:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−−

121112

13121

112

aaa

aa

5)4(45

)62(314−+

+−−−++)

516. J: (Luego escribe: Sol. única Det ≠ 0 a ≠ 0 ) 517. J: ¿Lo escribo atrás? (toma otra hoja) 518. J: (Escribe: Infinitas soluciones a = 0) 519. E: Para que haya solución única entonces a debe ser diferente de cero… 520. J: Ajá 521. E: … es lo que me estás poniendo 522. E: ¿Ahora qué pasa con b, c y d? 523. J: Pues que… b, c y d en realidad no influyen en el determinante 524. E: Ajá 525. J: Y el determinante es el que estoy tomando en cuenta para decir que… la

402


solución que debe tener, o sea, b, c y d pueden ser cualquier valor 526. E: Ok, cualquier valor 527. E: Y entonces para infinitas soluciones me estás diciendo que a debe ser

igual a cero 528. J: Ajá 529. E: ¿Por qué a igual a cero? 530. J: Porque de esto mismo (señala el resultado del determinante), la única

forma en que el determinante se hace cero es cuando a vale cero 531. E: Ajá 532. J: Y b, c y d también pueden tomar cualquier valor 533. E: Para infinitas soluciones 534. J: Ajá 535. E: ¿Y para no solución? 536. J: Para ninguna solución… mm… sería… 537. J: (pensativo) 538. J: Para que no haya solución no tendría que cumplir esta ecuación, ¿no?

(señala la ecuación bdca −+−= ) 539. E: ¿Para que no haya solución? 540. J: Ajá 541. E: ¿Y qué condiciones entonces le darías a… los otros valores? 542. J: Ésta (señala la misma ecuación)… o sea, que fueran solución de esta

ecuación 543. E: mm… para que no haya solución 544. J: Ajá 545. J: (pensativo) 546. E: ¿Qué piensas Jorge? 547. J: ¿Como hacer para que no tenga solución?

548. J: (Escribe: ) dayxczyxbzyx

=++=−+=+−

32

2

549. E: ¿Sí pueden haber esas condiciones para que no haya solución? 550. J: Sí puede existir el que no haya solución, pero… deberían ser planos

paralelos 551. E: ¿Necesariamente? 552. J: ¡Ah! no, para que no haya… no, no, no 553. E: ¿Qué casos tienes geométricamente? 554. J: ¿Para que no haya solución? 555. E: Ajá 556. J: Que sean paralelos o que sean como… que no se intersecten en la

misma recta… mm… ¿qué más?… ya nada más creo 557. E: ¿Podrías dibujar los casos… donde hay una solución, infinitas

403


soluciones y no solución? 558. J: Ajá 559. J: En infinidad de soluciones es cuando es el mismo plano, ¿no? 560. E: Ajá 561. J: (Dibuja:

) 562. J: Solución única… cuando solo se intersecta en un punto, pero… (Dibuja:

) … es que está medio extraño, pero… son dos planos que se intersectan en una recta…

563. E: Ajá 564. J: … y luego un plano perpendicular a esa recta donde se intersectan y

solo se intersectan en un punto 565. E: Ok 566. E: ¿Para no solución? 567. J: Para no solución ¿qué puede ser? 568. J: Algo así como el de hace rato (dibuja:

) 569. E: Ajá 570. J: O que sean paralelas (dibuja:

404


) 571. E: Ok, ¿solo esos dos casos? 572. J: ¿Para que no haya solución? mm… 573. J: También puede ser así como… como estos dos que se intersectan aquí y

éste que sea paralelos a éste o… u otro paralelo a éste (dibuja dos planos intersecados y otro paralelo a cualquiera de ellos dos)

574. E: Entonces… regresando a la última parte… ¿qué condiciones

encontraríamos para que… no haya solución? 575. J: Que… mm… que alguna de las normales… al plano, de las dos

normales o sea, que si la tres normales entre los planos… son las mismas… no hay solución porque son paralelos o alguna normal con… que alguna de la normales sea paralela

576. E: Ok 577. E: ¿Y si lo vemos desde la matriz? ¿Qué condiciones debe de cumplir a, b,

c y d para que no haya solución? 578. J: (pensativo) 579. E: Para el caso de infinitas soluciones aparte de que a es cero, me dijiste

que b, c y d puede tomar cualquier valor 580. J: Ajá 581. J: Sí porque no está influyendo en el determinante, ¿no? 582. E: Ok, si lo ves como el determinante, para que no haya solución ¿qué

debe de cumplir? 583. J: Para que no haya solución… debe de ser… determinante… igual a cero,

¿no? 584. J: No, el determinante distinto de cero puede tener una… o ninguna 585. J: (pensativo) 586. E: ¿Qué paso? 587. J: No sé… no

405


588. J: Para que no tenga solución… 589. E: Este… en este caso solo escribes ¿qué condiciones debe cumplir b, c y d? 590. J: ¿En infinitas? 591. E: Sí 592. J: (Escribe: b, c y d pueden tomar cualquier valor ya que no influye en el

determinante) 593. E: Ok, bueno 11. Representa gráficamente un par de rectas que tengan más de un punto en común.

X

Y 594. J: (Dibuja :

) 595. E: Ok, gráficamente… esas dos rectas representan… que tienen más de un

punto en común 596. E: Ok 597. E: Si tuviéramos tres rectas, ¿qué pasaría? 598. J: ¿Que tengan más de un punto en común? 599. E: Ajá 600. J: Puede ser… podrían ser distintas pero que… ¡Ah! no, más de un punto

en común tendrían que ser la misma otra vez 601. E: O sea, ¿tenemos que… ponerla encima?

406


602. J: Ajá 603. J: (Dibuja la tercera recta) 604. E: Ok, bueno… solo para ese caso, ¿no? 605. J: ¿Cómo? 606. E: ¿No tendríamos otro caso? 607. J: ¿Con tres rectas? 608. E: Ajá 609. J: ¿Que las tres tuvieran más de un punto en común al mismo tiempo? 610. E: Ajá 611. J: mm… sí 612. J: Sí 613. E: Solo este caso, ok


+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.


614. J: mm…

615. J: (Escribe: 1332

−−

13332

=+−=⇒=+

tyxttx

)

616. J: (pensativo) 617. E: ¿Qué pasó Jorge? 618. J: O sea, ¿la forma escalonada de este sistema (señala la expresión

), así tal cual como está? 1332

+−=+−=

tytx

619. E: mm… ¿es un sistema eso? 620. J: No, es que… no es un sistema es una ecuación

621. E: Ajá, que representa… o sea, esto (señalo la expresión ) es la

solución de un sistema de ecuaciones 1332

+−=+−=

tytx

622. J: Ajá 623. E: ¿Sí?... en forma paramétrica este… pero… te están pidiendo la forma

escalonada reducida del sistema dado esta solución (le señalo la misma expresión)

624. E: ¿Cómo representarías esta solución en forma escalonada reducida?

407


625. J: ¡Ah! ya, ya lo entendí, por ejemplo sería…

626. J: (Escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13

3021

)

627. J: Así, ¿no? 628. E: ¿Ese sería el… la forma escalonada del… de esa solución? 629. J: Ajá 630. J: Sí, porque aquí sería… ¡ah! no, mm… (Pensativo)

631. J: (Escribe: ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛13

32

tyx

632. J: (Luego escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 13

31021

t)

633. J: Sí 634. E: Así quedaría la… ¿y la forma escalonada? 635. J: (pensativo) 636. E: ¿Sí o no? 637. J: No 638. E: ¿Porqué no? 639. J: No porque… mm… ya sé

640. J: (Escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

13

310201

)

641. J: Así, sí 642. E: Así sí, ¿por qué así sí? 643. J: Porque como tengo dos sistemas de ecuaciones y tres incógnitas… 644. E: Ajá 645. J: … puedo tener un parámetro, entonces pongamos que éste sea mi

parámetro, z, que esté aquí la coordenada z… 646. E: Ajá 647. J: … mi parámetro, aquí pondría t y al despejar x sería 3 - 2t y al despejar y

sería 1 - 3t 648. E: Ok, bueno ahora con… este… esta forma que tienes eh… escalonada

reducida… ¿puedes encontrar eh… el sistema original? 649. J: mm… 650. E: ¿Tú que crees, se puede o no se puede? 651. J: Sí, sí se puede 652. E: mm… ¿de qué manera lo hallarías?, ¿qué tendrías que hacer? 653. J: Tendría que… como mis x y mis y están… determinadas por un

parámetro… a ver… es que el sistema original no sé, pero un sistema equivalente…

654. E: Ajá

408


655. J: … podría ser, ¿no? 656. J: Tendría que escoger el parámetro… y… obtener las x y las y… mm… 657. J: Sí se puede, pero no me acuerdo como 658. J: mm…

659. J: (Escribe: tytx=

−−=

+−3

12

3 )

660. E: A ver… 661. J: Ajá 662. E: Si…. Si ya entendiste ¿qué es este… o sea, cuál… qué es lo que significa

un sistema original? 663. J: Sí o sea, que un sistema de ecuaciones… 664. E: Ajá 665. J: … tal que todas las soluciones de las ecuaciones están dadas por éstas

(señala la expresión 1332

+−=+−=

tytx

)… paramétricas

666. E: Ok 667. E: Pero ahora… no este… o sea, quiero que partas de… la matriz…

668. J: O sea, ésta (señala la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

13

310201

)

669. E: … escalonada reducida 670. E: ¿Podrías llegar al sistema original? 671. E: ¿Crees que se pueda o… no se puede? 672. J: Sí se puede haciendo el proceso al revés… 673. E: Ajá 674. J: … ¿no?, pero pues no sabes como fuiste reduciendo la matriz 675. E: Ajá 676. E: ¿Entonces no se podría regresar… para obtener el sistema? 677. J: Sí, sí se debe de poder, que no sé cómo es otra cosa 678. E: (risa) 679. J: Pero sí se debe poder 680. E: Cuando tienes el sistema y quieres llegar a la forma escalonada

reducida qué… ¿qué haces? 681. J: Lo vas dividiendo, ¿no?... bueno lo vas multiplicando y sumando por el

de abajo y todo eso para que te queden ceros, todo lo que está abajo del… de la primera entrada

682. E: Ajá 683. E: ¿Y si lo hacemos al revés, se podría? 684. J: Sí se puede hacer al revés pero… pero no sabes como lo fuiste

reduciendo, en qué orden 685. E: Ajá

409


686. J: No sabes que fuiste sumando a qué o… 687. J: Si yo tengo la reducción y a partir de allí quiero volver… quiero

regresarlo pues sí se puede, porque entonces ves qué es lo que hiciste exactamente

688. E: Ajá 689. J: Pero si solamente me dan esto no (señala la matriz escalonada que dió) 690. E: Y pos con ese no podía 691. J: ¿Con este? (señala la misma matriz) 692. E: Ajá 693. J: No creo 694. E: ¿No? 695. E: O sea, para que lleguemos a un sistema… digamos original, porque no

necesariamente tendría que ser uno este… lo que tengo que hacer ¿qué sería?, o sea para, para, digamos para decir que ya llegué a mi sistema…

696. J: Ajá 697. E: ¿Qué tenía yo que hacer? 698. J: Mi sistema… 699. E: ¿Como quedará mi matriz para decir que ya es el sistema? 700. J: ¿El sistema original? 701. E: Ajá 702. J: Quedaría… mm… para empezar tendría que quedar con otra… con otro

renglón, ¿no? J: ¡ah! no, no, no 703. J: ¿Como sabría que ya llegué? 704. J: O sea, que sustituyendo éstas en la… o sea, la x y la y… (Señala la

expresión dada) 705. E: Ajá 706. J: En mi… en mi sistema original… me dieran… ¿qué? 707. J: O sea que haciendo… haciendo la… el sistema homogéneo y

sustituyendo los valores de x y y en cada una de las ecuaciones del sistema me dieran, me dieran igual a cero

708. E: Ajá, ya con eso pues… 709. J: Sabría que llegué a un sistema equivalente 710. E: Ok 711. E: ¿Y si nos basamos en la matriz? 712. J: ¿Si nos basamos en esta matriz? (señala la matriz escalonada que dio) 713. E: Ajá 714. J: ¿Para qué? 715. E: Para saber si ya llegué al… al sistema 716. J: Ah sí, pues sí, sí claro, porque aquí tienes y cero y x cero (señala los

ceros de la matriz) o sea… 717. J: Si haces por ejemplo este renglón de arriba (se refiere al primer renglón

410


de la matriz escalonada)… homogéneo x + 2t – 3… (Escribe: 032 =−+ tx ) 718. J: Es que… o sea sí, pero tendría que obtener un valor en x a partir de esta

ecuación (señala la expresión dada)… 719. E: Ajá 720. J: … sustituyendo una t, obtener una x… y ya que obtuve una x pues

obviamente me cumpliría esta ecuación también (señala la ecuación ) 032 =−+ tx

721. E: Ok, bueno… 722. E: Ok, entonces ¿qué podemos concluir? 723. E: Entonces tú me dices que a partir de esta matriz (señalo la matriz

escalonada que dió) yo no podría… o sea, no podría encontrar el… la matriz original, o sea el sistema original ¿no?, por los pasos que dices que no este…

724. J: ¿Que no tenemos? 725. E: … que no sabes 726. E: Porque de otra manera no, no se podría 727. J: Sí se podría, pero no sé como, es que sí hay alguna forma pero no me

acuerdo bien 728. E: ¿Pero trabajando con la matriz? 729. J: No, yo creo que trabajando con el sistema de ecuaciones, ¿no? 730. E: Ajá, con el sistema de ecuaciones tal vez si encuentres ¿no?, el sistema 731. E: O sea, con las ecuaciones 732. J: Ajá 733. E: Ok, bueno 13. Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:


734. J: Dos ecuaciones con tres variables que tengan solución única no se

puede 735. E: ¿Por qué? 736. J: Porque se tienen que intersectar forzosamente en una recta 737. E: ¿Eso es lo menos? 738. J: Ajá 739. E: Ok 740. J: (Escribe: a) No se puede porque al menos debe intersectarse en una

411


recta) 741. J: Para ninguna solución… mm…

742. J: (Escribe: b) ) 2222

1=++

=++zyx

zyx

743. J: (Escribe: c) ) 3243

1=+−

=++zyx

zyx

744. E: Ok, para ninguna solución… este sería el… el sistema (señalo el sistema que dió en el inciso b) y éste para más de una solución (señalo el sistema que dio en el inciso c)

745. J: Ajá 746. J: (pensativo) 747. E: ¿Sí? 748. J: Creo que si 749. J: (Cambia el término independiente de la segunda ecuación y queda:

) 3222

1=++

=++zyx

zyx

750. J: Ajá 751. E: ¿Por qué? 752. J: Porque si no solo iba a ser múltiplo de éste ¿no? (se refiere a la primera

ecuación del sistema) como que tenía la misma normal, no, sí, sí y como tenía la misma normal pues iba a ser el mismo plano en realidad

753. E: Ok 754. E: Ok, bueno, eso es todo

412

Anexo II Entrevista: Sofía

1. Dada la ecuación 62 =+ yxa) ¿Son los pares ordenados (1,4),(3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la

representación geométrica? 1. S: (Escribe: (1, 4)

2(1) + 4 = 6 √ (3, 1) 2(3) + 1 = 6 √ (2, 2) 2(2) + 2 = 6 √

Sí son soluciones) 2. E: Ok 3. E: ¿Cómo sabes que son solución de… la ecuación? 4. S: Porque si cumplen o sea x y y, o sea… tiene que satisfacer la ecuación

para que te dé seis y evaluando los puntos en… esta ecuación (señala la ecuación dada) sí da seis, todos

5. E: Ah, ok 6. S: Entonces sí son soluciones 7. E: Este… ¿cuántas soluciones tiene… esa ecuación? (me refiero a la ecuación

dada) 8. S: Pues muchísimas 9. E: ¿Porqué muchas? 10. S: Pues porque… es que puedes poner cualquier valor de x y y, bueno con

tal que satisfagan ésta (señala la ecuación 62 =+ yx ) sí hay varias, éstos son unos ejemplos (se refiere a los pares ordenados proporcionados) pero hay más… que satisfacen eso

11. E: Ok 12. E: ¿Puedes encontrar el conjunto solución de esa ecuación? 13. S: Sí 14. S: El conjunto solución es… este… 15. S: ¡Ah! o sea encontrar ¿qué x’s y qué y’s van a ser las soluciones? 16. E: Ajá 17. S: Pues… pues es que despejas por ejemplo y y te va a dar 6 - 2x, entonces

cualquier y que cumpla con eso va a ser igual a x, despejando x, o ¿cómo? 18. E: Ajá 19. E: ¿Cómo podrías poner el conjunto solución? 20. S: Pos expresado… o sea despejando x y despejando y, entonces las

equises… ajá despejo x y y…

413


21. E: Ajá 22. S: Y lo que satisfaga eso… van a ser mis… cualquier número evaluado en

eso (se refiere a la ecuación despejada) van a ser… ajá van a ser soluciones 23. E: Ok 24. E: ¿Y eso te representaría el conjunto solución? 25. S: Sí 26. E: ¿Sí? 27. S: Sí 28. E: ¿Puedes escribirlo? 29. S: Ah, ok 30. S: ¿Lo escribo? 31. E: Sí

32. S: (Escribe: 2

66226

yx

yxxy−

=

−=−=)

33. S: Algo así (Subraya el valor de x y el de y) 34. E: Ajá, ok 35. E: Este… ¿podrías representar el conjunto solución como… como un punto

pero así de manera general donde estén ya todos los puntos que cumplan con esa ecuación?

36. S: Pos… pos es que es ésta (señala la ecuación 62 =+ yx ), ¿no? entonces… o sea, o aparte o sea, donde están todas mis x´s y todas las y’s que puedan ser ésto? (señala de nuevo la ecuación)

37. E: Sí, o sea este… si… este… sé que son éstas… 38. S: Ajá 39. E: … las que tú me has dicho acá (señalo las ecuaciones para y y para x que

escribió) 40. S: Ajá, ¿pero cómo en general? 41. E: O sea, representarlas nada más 42. E: Bueno, ¿ésto… para ti representa el conjunto solución? ¿Estos dos?

(señalo las ecuaciones 2

6,26 yxxy −=−= )

43. S: Pos es que sí 44. E: ¿Sí? 45. S: Sí 46. E: Ok ¿entonces lo dejaríamos así?, ¿no hay otra forma de poner el conjunto

solución?, ¿de representarlo? 47. E: ¿O tu crees que sí? 48. S: Pos no, no sé, igual y no 49. S: No, igual y no (risa) 50. E: ¿No hay otra forma… para ponerlo?

414


51. S: Es que no sé, eso me desespera 52. E: (risa) 53. S: Pos… no, a menos que sea el dominio o algo así, ¿no? 54. S: O el dominio, pero ¡no! 55. E: Bueno, tu me dices que ésto (señalo las ecuaciones

26,26 yxxy −

=−= )…

56. S: Ajá 57. E: … representa el conjunto solución 58. S: Ajá 59. E: ¿Sí? 60. E: Ok 61. E: Bueno, este… si graficáramos todos esos puntos que consideramos que

están en el conjunto solución, ¿qué representación nos daría geométricamente?

62. S: Pos una… recta 63. E: ¿Una recta? 64. S: Ajá 65. E: mm… y ¿cuál recta nos daría? 66. S: Pues es que habría que evaluar… así varios puntos 67. S: O sea una línea recta pero… 68. E: ¿Pero no podemos saber qué recta? 69. S: ¡Ah! pos sí, evaluando… pues haces puntos entonces más o menos vez

como va la recta 70. E: Ajá 71. S: (0,0)… (0, 1)… y así a ver cómo va yendo… y ya más o menos te das una

idea… 72. E: ¿Podrías graficarme la recta? 73. S: Ajá 74. S: ¿Pero te la hago acá? (se refiere a otra hoja) 75. E: Sí, sí en otra 76. S: A ver… (Escribe: 62 =+ yx ) 77. S: Hay no espera, no… 78. S: No, esto no funciona entonces… 79. S: ¡Ah, ya!, espera

x y 0 0

415


80. S: (Escribe: luego ubica los puntos en el plano cartesiano) 224160

======

yxyxyx

81. S: Más o menos así (Dibuja:

) 82. E: Ok 83. E: Ese… representaría… a tu conjunto solución, ¿no? 84. S: Ajá 85. E: Ok, bueno… 86. E: Este… ¿sí puedes escribir ahí que… este… bueno lo que representa en

este caso la recta? 87. E: Solo para que ya quede… 88. S: La recta… o sea lo que me dijiste que es mi conjunto solución o la recta…

muestra los puntos que satisfacen la ecuación, ¿no? 89. E: mm… 90. S: Ah, o sea… 91. E: ¿cómo tú crees? 92. S: Ah, ok sí 93. S: (Escribe: La recta demuestra, representa los puntos que satisfacen a la

ecuación) 94. E: Ajá, ok 2. Dada la ecuación 423 =+− zyx

a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5),(3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la representación geométrica?

416


95. S: (Escribe: )

48481068)5(2)2(3)8,5,2(

4373293)1(2)3(3)3,1,3(

0555835)4(2)1(3)5,4,1(

+=+−=+−=+−∨

=−=−−=−−∨−

=+−=+−=+−×

96. E: Ok, em… ¿ahí qué hiciste? 97. S: Igual este… evaluar estos puntos en x, y, z (señala los puntos dados)

para ver si satisfacen y éste no, no satisface (señala el último punto dado)… ¡ah, no!, éste sí es +4

98. E: Ok, entonces solo los últimos dos… 99. S: Ajá 100. E: … satisfacen la ecuación 101. E: Ok 102. E: Y para esta ecuación ¿cuántas soluciones tendría? (me refiero a la

ecuación dada) 103. S: Pues también… igual despejar x… a ver… cuántas soluciones… 104. S: Ajá, como una infinidad 105. E: Infinidad de soluciones, ok 106. E: ¿Sí me podrías representar al conjunto solución también? 107. S: Ajá

108. S: (Escribe: 3

24243

zyx

zyx−+

=

−+=

234

342

−−−

=

−−=−xzy

xzy xyz 324 −+= )

109. S: Este es mi x, mi y y mi z (subraya las expresiones anteriores) 110. E: Ok 111. E: Este… ¿sí me puedes escribir cuántas soluciones tendría esta ecuación? 112. S: Ajá 113. S: (Escribe: la ecuación tiene una infinidad de soluciones, las que

satisfagan a x, y y z) 114. S: Ya 115. E: Ok 116. E: Entonces… ¿si graficáramos todos los puntos de este conjunto solución

qué nos daría? 117. S: Un plano, es un plano 118. E: Ajá 119. E: Ok, bueno

417


3. ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones? ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas. 120. S: (Escribe: 1. El conjunto solución de un sistema de ecuaciones, son las

soluciones que cumplen o satisfacen la ecuación. Al sustituirlas en la ecuación, la satisface, la cumple.)

121. S: (Escribe: 2. Que tiene que ser solución de la ecuación para ser solución del sistema.)

122. E: Ok 123. E: ¿Qué… significa entonces el conjunto solución de un sistema? 124. S: Pues el conjunto que satisface… la definición de un sistema, ¿qué

más?… que satisface con la ecuación, o sea que… que cumplen, has de cuenta como las que me diste ahí…

125. E: Ajá 126. S: … las sustituyes y sí da el resultado, o sea si pone a otro número que no

daba pos no tiene nada que ver, o sea no te da otra cosa 127. E: Ajá 128. E: Bueno, en ese caso era una ecuación, ¿no? 129. S: Ajá, bueno 130. E: ¿Y para el caso de un sistema? 131. S: Pues también es lo mismo, que tiene que ser, como lo puse aquí, que

tiene que ser… en un sistema hay varias ecuaciones… 132. E: Ajá 133. S: Forzosamente tiene que satisfacer la ecuación para satisfacer todo el

sistema, porque si no es co-solución de una ecuación, pues ya no es solución del sistema, como que la ecuación está en el sistema y si no cumple con la ecuación pues ya no cumple con el sistema

134. E: Ajá 135. E: Y… entonces ¿qué relación encuentras entre… el conjunto solución de

cada una de las ecuaciones que forman el sistema… 136. S: Ajá 137. E: … y el conjunto solución del sistema? 138. S: Pues que es la misma, o sea bueno no es la misma, bueno… sí, ajá 139. E: ¿Cómo? 140. S: Que… ajá, como en un sistema de varias ecuaciones 141. E: Ajá 142. S: ¿No? 143. E: Sí 144. S: Entonces tiene que satisfacer… las ecuaciones, o sea el conjunto

solución tiene que sat… cada unas de las ecuaciones…

418


145. E: Ajá 146. S: … para satisfacer la del sistema, porque si no cumple, con al menos una

ecuación que no la cumpla… ya no es conj… bueno solución del sistema 147. E: Ajá 148. S: Entonces la relación tiene que coincidir 149. E: Gráficamente ¿cómo lo verías? 150. S: ¿Gráficamente? 151. E: O sea si tuvie… 152. S: Pues que están… 153. S: ¿Si tuviera qué? (risa) 154. E: Si tuvieras, o sea un ejemplo este… ¿qué será?… dos ecuaciones con

dos incógnitas 155. S: Ajá 156. E: O sea el sistema 157. E: Este… gráficamente el conjunto solución ¿qué representa o qué sería? 158. E: Del si… bueno el conjunto solución en este caso del sistema 159. S: ¿Del sistema? 160. S: Pues haz de cuenta como… la intersección o sea como… como lo diría,

pues los puntos que estén en las ecuaciones 161. E: ¿Eso qué sería? 162. S: ¿Cómo que qué? 163. E: O sea los puntos que estén en las ecuaciones pero… eso sería… qué? 164. S: (Risa) 165. S: Pues… ajá… cómo… porque haz de cuenta, si tienes dos… como las

que me dijiste dos ecuaciones con dos incóg, son dos rectas… 166. E: Ajá 167. S: Entonces puede ser, que ver si de ahí se intersectan o si son paralelas o

si no tiene nada que ver o si son la misma 168. E: Ok 169. S: Entonces ahí vez… pues qué es, ajá, los puntos que están en la recta

entonces si son del sistema… pues… pues vez eso (risa) 170. E: (risa) 171. S: Si no tiene nada que ver, si son la misma… 172. E: Ok, bueno 173. S: (Risa)

419



=−=−

0454

yxyx



174. S: (Escribe: ) ×≠=

∨+= 0 5(-5) - 4(0)

5 0 (-5) - 4(0)(0,-5)

175. S: (Escribe: ) ∨==×≠=

0 04 - 4(1) 5 0 4 - 4(1)

(1,4)

176. S: (Escribe: ) ∨=

×≠= 0 0 - 0

5 0 0 - 0(0,0)

177. S: Entonces… pos no 178. S: Porque satisfacen a una u otra, entonces no son soluciones del sistema 179. E: No son solución del sistema… ok 180. E: Porque para ser solución del sistema ¿qué tendría que ser? 181. S: Satisfacer a las dos, porque aquí por ejemplo ésta solo satisface a una

(señala la sustitución del primer punto)… 182. E: Ajá 183. S: …y a la otra no, igual acá (señala la sustitución del segundo punto) 184. S: Acá tampoco (señala la sustitución del tercer punto) 185. E: Ok 186. E: Entonces… ¿cuántas soluciones tendría este sistema? 187. S: ¿Cuántas soluciones tendría? 188. S: Pues también… muchas 189. E: ¿Muchas soluciones? 190. S: Sí 191. E: Ok, puedes escribir allá 192. S: ¿Cuáles son las soluciones? ¿Cuántas? 193. E: Sí, ¿cuántas? 194. S: (Escribe: El sist.) 195. S: Espera estoy pensando… 196. E: ¿Qué pasó?

420


197. S. No, sí tiene muchas, sí, ¿no? 198. E: ¿Por qué piensas que tendría muchas soluciones? 199. S: Sí, no, no… 200. S: (risa) No, no, ya ví… no tendría… 201. E: ¿No tendría solución? 202. S: Sí, digo sí es la solución pero… digo va a ser más difícil que en la otra

porque tiene muchas soluciones 203. E: Ajá 204. S: Esa si va a ser más difícil porque como son dos tiene que coincidir con

los dos 205. E: Ajá 206. S: Entonces como que va a ser más difícil que… que sean solución de las

dos ecuaciones 207. E: ¿Pero entonces tendría solución? ¿Y cuántas, cuántas tendría? 208. S: Es que… a ver… 209. S: No más bien no, según yo no, no tiene solución 210. S: Es que… mm… 211. S: Sí, no, no tendría, ¿no? 212. E: ¿Por qué no tendría? 213. S: Porque… pues porque está… a ver… 214. S: Sí, porque como vimos aquí (se refiere a las sustituciones que hizo), va

a ser… puede que satisfaga a una pero a la otra como que no 215. S: Porque está… si está igualada a cero y ésta a cinco, como que son los

mismos… x y y (señala el sistema dado) 216. E: Ajá 217. S: Ajá por eso, porque esto es lo mismo (señala los coeficientes de x y de y

del sistema), pero esto es diferente (señala los términos independientes), o sea como que nunca…

218. E: O sea que cualquier punto que yo tome, ¿nunca va a ser solución del sistema?

219. S: No, porque puede ser que satisfaga a la una o a la otra, pero a las dos… 220. E: Ok, entonces ¿qué es lo que concluyes acerca de las soluciones? 221. S: ¿De las soluciones? 222. E: Ajá 223. S: ¿Del sistema? 224. E: Del sistema exactamente 225. S: Pues que no… tiene solución 226. S: Sí, porque… es esto que (señala el sistema)… es lo mismo lo de acá y el

resultado es diferente, entonces no 227. S: O sea, está igualado a diferentes… términos 228. E: Ajá

421


229. S: Entonces no 230. E: Ok, ponlo entonces 231. S: (Escribe: El sist. no tiene solución) 232. E: Ok, dame unos segundos (cambio de cinta de la cámara de video) 233. E: Ok, entonces… el sistema no tiene solución, es lo que me dices… 234. S: Ajá 235. E: Este… ¿puedes graficar el sistema… este de ecuaciones? (le señalo el

sistema dado) 236. S: ¡Ah! ¿Me estás preguntando o que lo haga? 237. E: Ajá, las dos (risa) 238. S: ¿Quieres que lo haga? 239. S: ¿También las dos? (risa) (se refiere a la pregunta que hizo)

240. S: (Escribe: ) 0454

=−=−

yxyx

241. S: (Escribe:44

50454

yxyx

yxyx

=+

=

+=+=, luego tabula tres puntos por cada

ecuación y dibuja:

) 242. E: Ok, ¿qué puedes observar de la gráfica? 243. S: Bueno un poco bien hecha que (risa)… 244. E: (risa) 245. S: … que son… ¿qué? paralelas 246. E: Son paralelas 247. S: Ajá 248. S: O sea, por eso no tiene solución, porque nunca se cruzan ni nada 249. E: Ajá, ok 250. E: ¿Qué podrías entonces concluir acerca de este conjunto solución del

sistema? 251. S: Que son dos líneas que nunca se cruzan por eso tienen a este igual (se

refiere a los coeficientes de x y y del sistema), pero están igualadas a un diferente coeficiente y entonces nunca se cruzan, por eso no hay solución

252. E: Ok, bueno

422



=+=+

000523

yxyx



253. S: (Escribe: ) 0(1) 00(1)

5 2(1) 3(1)(1,1)

=+=+

254. E: Ya, ¿qué pasó? 255. S: Aquí, éste es el punto que tienen en común (señala el punto (1,1)),

porque satisfacen a las dos ecuaciones 256. E: Ok 257. E: ¿Cuántas, cuántas soluciones puedes encontrar de este sistema? 258. S: Pues este… es que pueden ser… a ver pérame 259. E: Ajá 260. S: Pueden haber varios porque ésta (señala la ecuación ) no

importa porque de todos modos es cero, entonces no le afecta, con que satisfaga ésta (señala la ecuación

000 =+ yx

523 =+ yx ), pues ya… entonces para ésta hay varias que satisfacen… esta ecuación

261. S: Entonces hay varios 262. E: Ajá, ok 263. E: ¿Y cuál crees que sea el conjunto solución de este sistema? 264. S: Pos muchos, muchos, muchos 265. S: Porque por ejemplo aquí (señala la ecuación 523 =+ yx ) puedo poner…

puede ser un 3 y un -2, entonces 9 – 4 = 5 entonces hay varios… muchos 266. E: ¿Muchos, muchos? 267. S: Ajá 268. E: ¿Qué tan muchos? (risa) 269. S: (risa) Infinitos 270. E: Pero bueno en este caso como es un sistema ¿no tendría que cumplir

con los dos? 271. S: Ajá, o sea sí, pero por eso, porque aquí no afecta (se refiere a la ecuación

), cualquier cosa que le ponga como está multiplicando por cero, me va a dar cero, o sea, lo que sea

000 =+ yx

272. S: Entonces con que satisfaga éste (se refiere a la ecuación ) y le pongo los valores de aquí a acá (se refiere a la ecuación ) me va a dar cero de todos modos

523 =+ yx000 =+ yx

423


273. E: Ah, ok 274. S: Ajá 275. E: Ok 276. E: Este… ¿sí puedes darme el conjunto solución del sistema… así

algebraicamente? 277. S: ¿Algebraicamente? 278. S: Pues este… igual las x’s y las y’s 279. E: ¿Cuáles?

280. S: (Escribe: 235

325 xyyx −

=−

= )

281. E: ¿Ese sería tu conjunto solución? 282. S: Ajá 283. E: Ok 284. E: Este… ¿sí puedes escribir cuántas soluciones habría entonces para el

sistema? 285. S: Ajá 286. S: (Escribe: Este sistema tiene una infinidad de soluciones ya que con que

satisfaga la primer ecuación, la segunda con cualquier “x” y “y” la va a cumplir porque está multiplicada por φ y lo va a cumplir)

287. E: Ok, ¿puedes graficar ahora el sistema de ecuaciones? 288. S: Ajá 289. S: (tabula y dibuja:

) 290. E: Ok, ese sería tu… primera ecuación, ¿no? (me refiero a la grafica que

dibujó) 291. S: Ajá 292. E. ¿Y tu segunda ecuación qué representa? 293. S: Es un punto, es el origen 294. E: ¿El (0,0)? 295. S: Ajá 296. E: El origen… 297. E: ¿Y entonces cuál sería tu conjunto solución? 298. S: Es que… pos los de la recta, ¿no? 299. E: Los de la recta…

424


300. S: Bueno el origen esta acá, bueno este punto así es 301. S: Sí, porque valga x lo que sea, valga y lo que sea, siempre va a ser cero 302. E: Ajá 303. S: Sí 304. E: ¿Entonces representaría solo el origen? 305. S: Ajá 306. E: ¿Y cuál sería entonces tu conjunto solución geométricamente? 307. S: Es que no sé, porque éste no tiene nada que ver con esto (señala la

grafica y el origen) 308. S: No sé que haya hecho por ahí (se refiere a los pasos anteriores) 309. S: mm… no sé (risa) 310. E: (risa) 311. S: Es que no sé, está raro 312. S: La recta pero… 313. E: Ok, tú me dices que esta recta, que es la primera ecuación, representa a

tu conjunto solución del sistema 314. S: Ajá, pero no 315. E: Pero pues gráficamente no 316. S: Sí, no tiene nada que ver 317. E: ¿Qué crees entonces? 318. S: Pues que no tenga solución, ¿no? 319. S: Pero no 320. E: No estas muy convencida (risa) 321. S: Sí, no 322. E: ¿Tú crees que tendría solución o que no tendría solución? 323. S: Pues sí, según yo sí 324. S: Pero esto no (señala el punto (0,0)) 325. E: Pero la gráfica no dice lo mismo 326. S: No 327. S: Sí cierto, sí da, o sea sí es lógico 328. E: Ok 329. E: Bueno tu primera ecuación ya la graficaste y tu segunda ecuación pues

en este caso me dices que es el origen 330. S: Aja 331. E: Es un punto 332. S: Sí 333. E: ¿Estás segura? 334. S: Es que… pues es que mi x y y puede valer lo que sea 335. E: Ajá 336. S: Entonces… 337. E: ¿Entonces?

425


338. S: Por eso puede ser… como otras rectas puede ser ésta recta también, ¿no? (se refiere a la primera recta)

339. E: ¿Entonces gráficamente que representaría la ecuación? 340. S: La línea recta, ¿no? (señala la gráfica) 341. S: Ajá, o sea, los puntos… que satisfagan esto (vuelve a señalar la

gráfica)… sí 342. E: Los puntos que satisfagan tu primera ecuación, ¿no? 343. S: Ajá 344. E: Tu línea que tienes allá presentada 345. S: Ajá 346. E: Ok… ¿sí? 347. S: Pues sí, pero… sí según yo mi x y mi y pueden valer lo que sea 348. S: Pues sí, porque si x es cero y y es cero… (señala el origen) 349. E: Ajá 350. S: No sé (risa) 351. E: (risa) 352. E: ¿Entonces a qué llegamos? ¿Qué podemos concluir? 353. S: Pues es que sí tiene solución 354. E: Sí tiene solución… entonces… 355. S: Pero no aquí… (señala la gráfica) 356. E: Ok 357. E: ¿Donde tendríamos… no sé algún… algún problemita o algo así? 358. E: ¿Qué es lo que está mal según tú, la parte algebraica o la parte

geométrica? 359. S: Geométrica 360. S: Sí, porque algebraicamente sí da, o sea, cualquier valor que le des a x o

a y te va a dar esto (señala el sistema), entonces… y… ya con que satisfaga a ésta (señala la expresión 5)1(2)1(3 =+ ) lo va a satisfacer a ésta (señala la expresión ) 0)1(0)1(0 =+

361. E: Ajá 362. S: Sí, ¿no? 363. E: ¿Entonces? 364. S: Entonces… 365. S: A menos que haya graficado mal esto (señala la gráfica) pero no, no lo

pude graficar mal porque de todos modos esto valdría cinco (señala la gráfica)

366. S: Sí, según yo sí es eso 367. E: Bueno entonces… mm… llegamos a que el sistema tiene una infinidad

de soluciones 368. S: (risa) 369. E: Es lo que me estás diciendo (risa)… pero… algebraicamente pues no,

426


este… encontramos esa relación 370. S: No, este… gráficamente 371. E: Digo eso, gráficamente 372. E: Gráficamente no encontramos… 373. S: (risa) algo está mal pero no sé qué es 374. E: (risa) 375. E: Ok, vamos a avanzar


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123


376. S: (Escribe: ) 26

111213

−−−

377. S: Pues esta k es… ¿una constante? 378. E: Una constante cualquiera

427


379. S: (Escribe:

42 16122

16663 )62(2)6(1)2(3

2611

26

111

211

326

111213

−−−+−

−+++−−−++++−

−−−

+−

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

kk

kkkk

kkk

)

380. S: Sí, sí tiene solución única, ¿no? 381. E: ¿Sí puede tener solución única? 382. S: Ajá 383. E: ¿Cuál sería… la solución? 384. S: Es que es ésta (señala la expresión -2k - 4)… ¡ah! no, es que el

determinante es… diferente de cero 385. E: ¿Cómo sabes que es cero o, perdón, que en este caso es diferente de

cero? 386. S: Por el determinante 387. E: ¿Qué valor debe tomar k para que puedas decir que hay solución

única? 388. S: mm… (pensativa) 389. S: ¿Qué valor debe tomar k? 390. E: Ajá 391. E: De lo que llegaste de tu determinante, ¿cómo supiste que tendría

solución única? 392. S: Porque no… porque el determinante nunca te va a dar cero, por más

que k valga cero… 393. E: Ajá 394. S: … hay un -4 395. E: Ok 396. S: ¡Ah! no, espera creo que sí… si es -2, si pones -2 acá (en vez de la k) sí te

da cero 397. S: ¡Ay! no, creo que sí se puede, igual y no… puede dar infinidad de

soluciones 398. E: Ajá, bueno 399. E: Para este caso entonces… para que tenga solución única ¿qué debe

cumplir? 400. S: ¿Para que tenga solución única? 401. E: Ajá 402. S: Que el determinante sea diferente de cero 403. E: Y… ¿k a qué va a ser igual? 404. S: Igual… ¿para que tenga solución única?

428


405. E: Ajá 406. S: k no puede valer -2, o sea si vale -2 ya sería… -4 + 4 ya te da cero 407. E: Cero 408. S: Entonces k debe ser diferente de -2 409. E: Ajá, ¿puedes poner eso? 410. S: (Escribe: k ≠ -2) 411. E: k diferente de -2, ok 412. S: Para que tenga solución única, ¿lo pongo? 413. E: Sí, por favor 414. S: (Escribe: para que tenga solución única) 415. E: Ok 416. E: Entonces si tiene solución única ¿cuál sería la solución de este sistema? 417. S: Solución única… sería… 418. S: Es que también depende del valor de la k, ¿no? 419. E: ¿Por qué? 420. S: Pues porque… es lo que tengo que cumplir con esta ecuación (señala la

tercera ecuación) 421. E: Ajá 422. S: Igual aquí vale 8, 10 o 12… 423. S: Entonces depende de lo que valga la k 424. E: ¿Qué valor le darías a la k entonces? 425. S: Lo más fácil sería igual cero, así solo tendría que checar… sí cero, ¡ah!

no pero sería -4… no, sí cero porque sería cualquier… no, espera… 426. S: A ver, ¿puedo usar esto? (se refiere a otra hoja) 427. E: Sí

428. S: (Escribe:

4/114

243233

2)1(3411 1

−=−=

=+=++=++

−=+=

yyy

yyyy

xyx

)

429. S: (Luego escribe:

k=−=−=−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

5420

42

418

42

436

412

41

446

)

430. S: Ajá, -5

429


431. E: ¿Qué fue lo que hiciste? 432. S: Este… despejé x de acá (señala la segunda ecuación del sistema) y me

queda esto (señala la ecuación x = 1 + y)… sustituí acá para sacar y (señala la primera ecuación del sistema)…

433. E: Ajá 434. S: Entonces aquí (se refiere a la ecuación x = 1 + y) sustituí lo que me

había dado la y… entonces me dió la x… 435. E: Ajá 436. S: … y como ésta ya satisface a las dos… pues nada más evalué x y y y me

salió -5 entonces… ya… ya satisface a las tres 437. E: Ok 438. E: mm… en este caso creo que es menos (le señalo el signo de la tercera

ecuación donde sustituyó x y y) 439. S: ¡Ah! sí, sí

440. S: (Corrige y escribe:

k=−=−=+−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

44

1642

418

42

436

412

41

446

)

441. E: Ok, -4 442. E: ¿Entonces la solución de este sistema cuál es? ¿sí lo puedes poner allá? 443. S: ¿Aquí? (debajo de la expresión anterior) 444. E: Sí

445. S: (Escribe:

41

43

−=

=

y

x)

446. S: Que es única 447. E: Ok, siempre y cuando… 448. S: k valga -4 449. E: k valga -4, ok 450. E: Y… ésta es la primera parte 451. E: Entonces… si graficamos el sistema… ¿cuál sería la solución

geométricamente? 452. S: Pues… un punto 453. E: Ajá, un punto 454. E: ¿Puedes graficarlo? 455. S: Ajá, ¿aquí o atrás? (se refiere a la misma hoja) 456. E: No, en otra

430


457. S: (Traza los ejes de coordenadas)

458. S: (Luego escribe: (1)

248

41

49

241

433

23

==−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

=+ yx

, (2) 1

44

41

43

1

==+

=− yx,

459. (3)

416

42

418

4412

436

−

+−

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

)

460. S: ¡Ay!, no sé que estoy haciendo

461. S: (Escribe: (1) 3

223

yx

yx−

=

−=)

462. S: (Escribe: 3

2 yx −=

) 463. S: (Traza los puntos en el plano cartesiano y traza la recta) 464. S: (Escribe: (2) yx += 1

) 465. S: (Traza los puntos en el mismo plano cartesiano pero no traza la recta)

466. S: (Escribe: (3) 624

246

−+−

=

+−=−yx

yx

) 467. S: ¡Ay! no sé, estoy graficando muy mal… me debería dar un punto, tiene

x y 1/3 1 2/3 0 0 2

x y 1 0 2 1 3 2

x y-2/3 0-2/-6 1

0 2

431


solución única 468. S: (Grafica la recta (2) en el mismo plano cartesiano y la recta (3) la traza

como ajena a la (1))

469. E: ¿Qué pasa? 470. S: No sé, no estoy graficando bien 471. S: Porque esta… se puede decir que es la misma y como yo dije que k es -4

entonces si multiplico esto por -2 (señala la primera ecuación del sistema) me da esto (señala la tercera ecuación)… me da la misma

472. E: Ok 473. S: … dos son la misma y una se intersecta, por eso podría tener solución

única, pero no sé porque no me da 474. E: Ok, algo esta mal 475. S: En mi gráfica 476. E: mm… ¿aquí tu despeje es correcto? (le señalo la ecuación (3) que

despejó)… tus… valores al evaluar chécalos otra vez 477. S: Porque habíamos dicho que la primera y la tercera eran la misma, ¿no?

entonces llevan los mismos puntos 478. S: (Evalúa de nuevo y escribe:

479. S: Pues ya me dio pero este punto no me da, el 2/6… pues sí, es 1/3 y 2/3

sí 480. S: Lo voy a hacer en chiquito (traza nuevamente la recta (1)) 481. S: Es la misma… ésta y ésta (se refiere a la recta (1) y la recta (3)) y la

otra… es ésta (se refiere a la recta (2)) (traza la recta (2))

x y2/6 14/6 00 2

432


482. E: Ok, bueno 483. E: Ahora… del mismo… del mismo sistema (paso al inciso b) 484. S: Pues sí, si la k es -2, ¿no? ¿lo apunto? 485. E: Ok, para que tenga solución única la k… tenía que ser… 486. S: ¿Diferente de… -4? no, eso era el determinante 487. E: Según lo que… a lo que llegaste… la k debe ser igual a… -4 488. S: … a -4, ajá, para que tenga solución única 489. E: Para que tenga solución única 490. S: Entonces tiene que ser diferente de -4 491. E: Si fuera diferente de -4 ¿qué pasaría? 492. S: Tiene… infinidad de soluciones (Escribe: con k ≠ -4 hay una infinidad

de soluciones) 493. E: Ajá 494. E: ¿Cuál sería el conjunto solución? 495. S: ¿Con… la infinidad? 496. E: Ajá

497. S: Pues igual… (Escribe:

4/114

243233

2)1(31

−=−==+

=++=++

+=

yy

yyy

yyyx

)

498. S: (Luego escribe: 43

41

44

=−=x

44

1642

418

412

436

−=−

=+−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

k

k

)

499. S: Pues es que no sé cuál sería la solución 500. S: (pensativa) pues x y y así (señala los resultados de x y y anteriores) 501. E: Pero en este caso, lo que acabas de hacer ¿qué sería? 502. S: No, pues igual saqué… pues sería para que tenga solución única…

433


503. E: Ajá 504. S: …o para que haya infinidad… (pensativa) 505. E: Tú me dices que si k toma cualquier valor que no sea -4… 506. S: Ajá 507. E: … entonces si va a haber una infinidad de soluciones 508. S: Ajá 509. E: mm… no sé, este… ¿si le damos un valor cualquiera? 510. S: ¿a k? 511. E: Ajá 512. S: Ajá 513. E: A ver que pasa… y de allá, buscamos… el conjunto solución 514. S: ¡Ah!, ok 515. S: Puede ser igual a… a 6 516. E: Ajá

517. S: (Escribe:

418

6412

436

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

)

518. S: Pues nunca, no nos va a dar… no porque esto te va a dar -4, ¿no? de todos modos…

519. E: ¿Y qué pasaría entonces? 520. S: Pues que… no nos va a satisfacer ésta (señala la tercera ecuación del

sistema) tiene que ser a fuerza -4 521. E: Ajá, pero si agarramos -4… solo nos da este… la solución única ¿no? 522. S: Ajá 523. E: … que es lo que hallaste ahorita 524. E: ¿Entonces? 525. S: Pues no hay solución 526. E: O sea cualquier valor que yo agarre de k, que no sea -4… 527. S: Ajá 528. E: ¿Ninguna me va a cumplir para infinitas soluciones? 529. S: No 530. E: ¿Entonces es posible que tenga infinitas soluciones? 531. S: No 532. E: Entonces… porque no tendría, ¿sí puedes escribir… porqué no? 533. S: (Escribe: No tiene infinidad de soluciones porque la última ecuación no

se satisface con cualquier “k”…) 534. S: Porque aparte se supone que éstas dos (se refiere a las ecuaciones (1) y

(3)) son la misma, ¿no? entonces no podría tomar cualquier valor 535. E: Bueno en ese caso sería la misma si k es -4 536. S: Ajá (Continúa escribiendo: … solo hay un valor que la satisface y es el -

434


4) 537. S: Ajá 538. E: Ok, bueno 539. E: Ok 540. E: Entonces dijimos que… no puede tener infinidad de soluciones 541. E: Ahora es posible que, este mismo sistema, ¿no tenga solución? (paso al

inciso c) 542. S: Pues sí, si la k no vale -4… 543. E: Ajá 544. S: … pues no va a tener solución 545. E: Ajá, ok 546. E: Y… si lo vemos geométricamente ¿qué me puedes decir acerca de… del

sistema para que no tenga solución? 547. S: Pues que… no tengan nada que ver ninguna de las rectas, o sea puede

que dos sí se intersecten… y la otra no, que sean dos la misma y la otra no 548. E: Y en este caso, si k es diferente de -4 me estás diciendo que… que no

habría solución 549. S: Ajá 550. E: ¿Entonces cómo quedaría el sistema? 551. S: De hecho éstas pueden intersectarse en un mismo punto (señala la

ecuación (1) y (2)), ya las vimos que se intersectan 552. E: Ajá, exacto 553. S: Pero ésta (se refiere a la ecuación (3))… pero como vimos que para que

el sistema tenga solución tiene que cumplir con las tres… entonces puede que cumple con las dos pero con esta ya no

554. E: Ajá 555. E: Ok, ¿puedes escribir? 556. S: (Escribe: Sí es posible ya que si la k es diferente de -4 no va a haber

valores de “x” y “y” que satisfagan a las tres ecuaciones, puede que las 2 primeras se intersecten y la otra no tenga nada que ver con las otras 2)

557. E: Ok

435


7. Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas


figura anterior. c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué observas? 558. S: (pensativa) 559. E: ¿Qué piensas Sofía? 560. S: Que pues tiene aquí… se intersectan las tres rectas en tres puntos 561. E: Ajá 562. S: Entonces sí tiene solución, pues las tres… los tres puntos que

satisfacen… a las tres rectas, bueno no los tres puntos satisfacen a las tres mismas rectas pero…

563. E: Ok ¿dices que los puntos son las soluciones del sistema? 564. S: Ajá 565. E: Ok, ¿entonces cuántas soluciones tiene? 566. S: Pues tres ¿no? 567. S: Lo que pasa es que por ejemplo esta solución (señala un punto de

intersección) no le va a satisfacer a ésta (señala otro punto), ni ésta a ésta (señala el punto mencionado antes con el tercer punto de intersección)…

568. E: Ajá 569. S: Pues sí, son tres soluciones, ¿no? 570. E: Tres soluciones 571. E: Ok, ¿puedes escribirlas? 572. S: Pero qué escribo ¿tres soluciones nada más? (Escribe: 3 soluciones) 573. E: Ajá sí, tres soluciones 574. E: Ok, ¿puedes dar ahora una representación… algebraica, o sea un

sistema algebraico que represente a esta figura? (paso al inciso b) 575. S: A ver… (pensativa)

576. S: (Escribe: ) (pensativa) =+=+=+

yxyxyx 6

436


577. E: ¿Qué pasa Sofía? 578. S: Es que… (risa) 579. S: (Modifica las ecuaciones anteriores y escribe:

580. S: Esta ya, éstas tres 581. E: Estas tres, ok 582. E: Ok 583. E: Y esos serían los puntos… 584. S: Ajá 585. E: … donde se intersectan, ¿no? 586. S: Sí, así los tomé 587. E: Ok


=−−=++

142332

zyxzyx


tiene? b) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la

representación geométrica? 588. S: Escribe:

5105

14)323(2323

−+−

=

=−−−−−−=

zy

zyzyzyx

M

437


5255

35105

3510523

−+−

=

−−+−

=

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−

−=

zx

zzx

zzx

589. (silencio) 590. E: ¿Cuál sería tu conjunto solución? 591. S: Pues es que ya despejé x, y… 592. S: Las x es éstas… (señala la ecuación zyx 323 −−= ) 593. S: y igual a zetas… 594. (silencio) 595. S: Pues sí, ¿no?, y, x… es que las zetas tendría que despejar de aquí (se

refiere a la última ecuación) 596. E: ¿Sí puedes poner entonces cuál es tu conjunto solución? 597. S: Escribe:

zxzx

zy

zyx

=+−

+−=−−+−

=

−−=

2555

25555105

323

598. E: Es tu x, tu y… (me refiero a las que acaba de escribir) 599. E: ¿Ese sería tu conjunto solución del sistema? 600. S: Ajá, sí 601. E: ¿Sí? 602. E: Ok 603. E: Entonces… según este sistema, ¿cuántas soluciones tiene? 604. S: Tiene… ¿qué?... habría que hacer la matriz… 605. E: Bueno… 606. S: No es cuadrada, no 607. E: … si me estás diciendo que éste es tu conjunto solución de tu sistema…

(me refiero a las ecuaciones que dio en el renglón ) 608. S: Ajá 609. E: ¿Cuántas soluciones tendría? 610. S: Pues… muchas, sí 611. E: Muchas 612. S: Ajá, una infinidad 613. E: Infinitas 614. E: Y si… graficamos todos esos… eh… puntos eh… del conjunto solución,

438


¿qué crees que nos representaría geométricamente? 615. S: Una recta 616. E: ¿Porqué una recta? 617. S: Porque puede que… son dos planos que se intersecten, entonces el

conjunto solución va a ser una recta 618. S: Para que sea una recta… 619. E: Sería una recta 620. S: Ajá 621. E: ¿No podría ser otra cosa que no sea una recta? 622. S: Ah! no, sí también 623. S: De hecho puede que sea el mismo, que no creo 624. S: Ajá 625. E: Ajá 626. S: Ajá 627. S: O que sean… sí, que se intersecten… o que sean el mismo 628. E: ¿Sólo para ese caso entonces tendríamos infinitas soluciones? 629. S: Ajá 630. E: Ok, este… si puedes apuntar… 631. S: O que sean paralelos, creo 632. E: Que sean… 633. S: Es que no me acuerdo cuál de esos (risa) 634. E: (risa) 635. S: Es que hay varios casos, habían unos que puede ser que sí sean

paralelos, que corten o que sean el mismo 636. S: Si es una infinidad, que corten y que sea una recta… 637. E: Ajá 638. S: Que sean el mismo… 639. S: Ajá, a ver 640. S: Escribe: “Si hay una infinidad de soluciones puede que la solución del

sistema sea una recta, lo que significa que los dos planos se cortan, o que sean el mismo plano”

641. E: Ajá, ok

439




642. S: Es que aquí igual son tres rectas 643. S: Hay una infinidad de soluciones, ¿no? 644. E: Hay una infinidad de soluciones, ajá 645. S: Bueno… tres infinidades (risa) 646. S: Sí, son tres que se intersectan, entonces… 647. S; Sí, las soluciones son las rectas que son infinitas 648. E: Ajá ¿Entonces? 649. S: ¿Infinidad de soluciones? 650. S: ¿Así lo pongo? 651. E: Ajá 652. S: Infinidad de soluciones… (Escribe: hay una infinidad de soluciones ya

que los planos se intersectan en una recta) 653. E: ¿Y en este caso pues serían? 654. S: ¿Eh? 655. E: Y en este caso pues me estás diciendo que… serían estos, ¿no? (le señalo

las intersecciones de cada dos planos) 656. S: Ajá 657. E: Ajá 658. S: O sea porque éste y éste se intersectan, éste y éste, o sea no… (señala las

intersecciones de cada dos planos) o sea hay una intersección por cada dos, ajá sí

659. E: Ok 660. E: ¿Si puedes marcar las… las soluciones? 661. S: Ajá (marca las intersecciones de los planos)

440


662. E: Entonces serían…una infinidad 663. S: Ajá 664. E: Porque se cortan, en este caso pues serían… 665. S: Tres rectas 666. E: Tres rectas, ¿no? 667. S: Bueno no es una recta, bueno un plan…, dos en una, dos planos en una

recta, pero como son tres planos son tres rectas 668. E: Ok 669. S: (Escribe: 3 rectas ya que cada 2 planos se intersectan) 670. E: Ok, entonces es la solución del sistema 671. S: Ajá


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112


i.Solución única? ii.Infinitas soluciones?

iii.Ninguna solución? b) Dibuja una posible representación geométrica para cada caso del inciso

anterior.

672. S: ¿Para que tenga solución única? 673. S: (pensativa) 674. S: Es que… ¿aquí lo puedo ver como determinantes? 675. S: O sea tengo que ver cuanto vale a, b, c y d, ¿no? 676. E: Ajá, sí 677. S: Pero a la hora de hacer el determinante… quiero que me dé i… 678. S: ¿O sea lo puedo ver como en determinantes?... como el término de… 679. E: Pues ¿tú que crees? 680. S: Creo que sí, es que…

441


681. E: Si hallas el determinante ¿a qué llegarías? 682. S: ¿Si qué? 683. E: Si hallas el determinante ¿a qué llegarías? 684. S: Pues también necesitaría saber los valores… estos (señala las letras b, c

y d de la matriz), ¿no? espera…es que por… 685. S: Pues tiene que ser… diferentes de cero para que haya solución única 686. E: Ajá 687. S: Igual a cero para que haya infinitas soluciones, sí porque por la ley de

cramer… sí, ¿pongo eso? 688. E: Ajá, sí 689. S: (Escribe: i) a, b, c y d tienen que ser diferentes de 0 para que haya

solución única, a, b, c y d = 0 para que haya infinitas soluciones) 690. S: Y para que haya ninguna solución… pues es igual ¿no? que sea igual a

cero 691. S: (Escribe: iii) a, b, c y d = 0 para que no haya solución) 692. E: Ok, bueno (cortamos la entrevista por falta de cinta) 693. E: (Continuamos con el inciso a) 694. S: No hay solución (está pensando en el inciso iii)… espera… 695. S: O sea que el determinante… si el determinante de uno me da cero… 696. E: Ajá 697. S: … es que tiene infinitas soluciones, ¿no? es lo que te puse aquí (se

refiere al inciso ii) 698. E: Ajá 699. S: Entonces… sería que… no hay solución… espera… es que sí, no, no, no

tienen nada que ver… entonces… espera… 700. E: ¿Podrías trabajar con la matriz que te están dando… 701. S: Pues sí 702. E: … y de ahí sacar no sé este… algunas condiciones para… esos valores

de a, b, c y d? 703. S: mm… sí 704. S: Pues que al hacer la… eliminación gausseana… espera… es que

también depende… ajá, al hacer la eliminación si el rango también me da… tiene que ver el rango

705. E: Ajá 706. S: Entonces si no hay solución, el rango de la matriz… el rango también

tiene que ser cero… sí 707. E: ¿Podrías entonces hacer la eliminación gausseana y luego compararlo

con lo que me dices ahorita? 708. S: mm… sí, ¿la hago aquí? (se refiere a otra hoja) 709. E: Ajá, sí

442


710. S: (Escribe: )

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−→

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

05/3100121

05/302

05/31001210112

035001210112

035001210112

001301210112

13121112

dacb

711. S: No, no está bien 712. E: ¿Qué pasó? 713. S: No sé, no sé 714. E: Aquí en la matriz (le señalo la primera matriz que escribió)… te dan los

valores de a, b, c y d… 715. S: Ajá 716. E: … y aquí los pusiste como cero (me refiero al primer paso de su

eliminación) 717. S: Ajá 718. E: ¿Porqué como cero? 719. S: Es lo que me estás tratando, ¿no? el diferencial… que si a, b, c y d son

iguales a cero, tu me quieres decir, o sea me preguntas que ¿cuál es la diferencia entre infinitas soluciones y no hay solución?

720. E: Ajá 721. S: No solo para este caso ya sería 722. E: Ah, ok 723. S: Entonces por eso lo sustituí con cero 724. S: Pero no sé, no me sale la matriz… 725. E: Ok 726. E: Este… bueno 727. E: Geométricamente ¿podrías dibujar alguna representación… para por

ejemplo… para estos tres casos? (le señalo los incisos i, ii y iii) (paso al inciso b)

728. E: Para solución única ¿cuál sería la representación geométrica… 729. S: O sea lo pongo… 730. E: … de este sistema? 731. S: La solución única sería que… coincidan en solo un punto 732. E: Ajá 733. S: ¿Lo pongo? 734. E: ¿Puedes dibujarlo?

443


735. S: Pues has de cuenta que son… tres planos 736. E: Ajá 737. E: ¿Cómo quedarían? 738. S: Pues no sé, que tenga que ver solo en un punto los tres planos 739. S: (Dibuja tres planos que se intersectan en uno de sus vértices) Así

quedan

740. E: Ajá 741. S: Con una intersección en un punto 742. E: Ajá 743. E: ¿Para infinitas soluciones? 744. S: Para infinitas soluciones que sean el mismo plano, o sea que las tres…

sean el mismo plano (Dibuja un plano) 745. E: Ajá 746. S: O que se unan en una recta… los tres planos o sea los… 747. E: ¿Cómo quedaría si se unen en una recta? 748. S: Pues así… (Dibuja tres planos que se intersectan en uno de sus lados)

749. E: Ajá 750. E: ¿Y para no solución? 751. S: Pues que no tengan… que no tengan nada que ver… (Dibuja tres planos

separados)

752. S: Sí que no tengan nada que ver

444


X

Y

753. E: Ajá, ok 754. E: ¿Solo ese caso tenemos para no solución? 755. S: Sí, ajá 756. E: Ok, bueno 11. Representa gráficamente un par de rectas que tengan más de un punto en común.

757. S: Un parte de rectas… 758. S: Pues pueden ser el mismo, la misma recta, no? 759. E: ¿Porqué? 760. S: Porque dice que tengan más de un punto en común 761. E: Ajá 762. S: También puede que sea la misma recta 763. E: Ajá 764. E: O sea si tuviéramos dos rectas… 765. S: Ajá 766. E: … ¿cómo lo graficaríamos de manera que tengan más de un punto en

común? 767. S: Pues haciendo que sea la misma… ahí tiene más de un punto en común 768. E: Ajá 769. S: ¿Lo pongo? 770. E: Sí 771. S: (Dibuja una recta)… y la otra la pondría por arriba (dibuja la segunda

recta encimada)

445


772. E: ¿Y si hablamos de tres rectas? 773. S: Pues también… o sea, tienen que ser la misma 774. E: Ajá 775. S: Son rectas 776. E: Ok

12. La solución de un sistema de ecuaciones está dada por: donde

t es un parámetro. 1332

+−=+−=

tytx


777. S: La solución… está dada…

778. S: (Escribe: )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−÷−÷

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

1001

630042

6342

6306342

2696

9x7x

2696

1332

x2x3

779. S: Ahí está 780. E: Ajá 781. E: ¿Qué acabas de hacer? 782. S: La forma escalonada reducida 783. E: Escalonada reducida, ok 784. E: mm… ¿qué tomaste como...?, en este caso tu sistema ¿cuál sería?

446


785. S: Pues todo esto (señala la expresión 1332

+−=+−=

tytx

), las dos juntas y de ahí

hice una matriz 786. E: ¿Por qué tomaste eso como sistema? 787. S: Pues porque… ¿qué? ¿Por qué tomé esto como sistema? (señala la

misma expresión) 788. E: Ajá 789. S: Pues porque aquí dice la solución de un sistema… entonces ésta es

igual la x y ésta la y (señala los 1 de la matriz) 790. E: Ajá 791. E: O sea a esto que llegaste… qué este… ¿representa que x y y vale uno? 792. S: Ajá 793. E: Ok, bueno 13. Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:


0)2(0)1(=++=++

zyxcba

794. S: (Escribe: )

795. S: (pensativa)

796. S: (Escribe: ) →⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡zyxcba

797. E: Este sistema que acabas de dar… ¿es para solución única? 798. S: mm… no sé para qué… lo estaba poniendo nada más 799. S: (pensativa) 800. E: ¿Qué piensas Sofía? 801. S: Es que no sé como hacerle para que tenga solución única, ni ninguna

solución, ni más de una solución 802. E: O sea ¿no podrías determinar un sistema… 803. S: Jm, jm (sonido de no) 804. E: … algebraicamente? 805. S: Jm, jm (sonido de no) 806. E: Ok, este… 807. E: Bueno geométricamente ¿puedes decirme algo acerca del sistema?

447


808. S: ¿Cómo?… ¿de qué?… ¿si tiene solución única? 809. E: Ajá, si tiene solución única… ¿qué casos serían?… 810. S: O sea igual, son tres variables que tiene que ser un plano 811. E: Ajá 812. S: Y si son dos ecuaciones, pues son dos planos 813. E: Ajá 814. S: Si tiene solución única es que… igual en un punto, coinciden en un

mismo punto 815. E: Ajá 816. E: ¿Geométricamente me los puedes dibujar? 817. S: (Dibuja para a) dos planos intersecados en uno de sus vértices)

818. S: Si no hay solución es igual… no tiene nada que ver (Dibuja para b) dos planos separados)

819. E: Ajá 820. S: Si tiene más de una solución es que es el mismo plano… (Dibuja para c)

dos planos encimados)

821. S: … o es la misma recta y ésta tiene una infinidad de soluciones (Dibuja dos planos intersecados en uno de sus lados y escribe: inf. de soluciones)

822. E: Ajá 823. E: ¿Y algebraicamente? 824. S: Pos el determinante, con el determinante pero no sé cómo poner las

ecuaciones

448


825. E: Ajá 826. E: Me puedes escribir allá qué tiene que ver… ¿cómo tiene que ser el

determinante? 827. S: (Escribe para a): Det ≠ 0, para b): Det = 0 No hay solución, para c): Det =

0) 828. E: Ok, bueno pues… era todo lo que nos faltaba

449

Anexo II Entrevista: Lorena

1. Dada la ecuación 62 =+ yx a) ¿Son los pares ordenados (1,4),(3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la


1. L: (Escribe: , coloca una paloma en la primera y tercera expresión y

una tacha a la segunda expresión) 6 = 2 + 47 = 1 + 66 = 4 + 2

2. L: Aquí nada más el primero y el tercero son… soluciones a la ecuación 3. E: ¿Cómo puedes saber si son soluciones? 4. L: Sustituyendo los valores 5. E: Ajá 6. L: Bueno sustituí los valores 7. E: Ok 8. L: Luego…dos por una, dos más cuatro, igual a seis 9. L: Pero esta vez, dos por tres, seis más una, siete, entonces este

par…ordenado no da 10. E: Ok 11. L: El siguiente, dos por dos, cuatro más dos, seis, sí me dió 12. E: Ok, este… ok 13. E: Ahora… ¿puedes encontrar el conjunto solución de la ecuación? 14. L: ¿Cómo que el conjunto solución? 15. E: Eh… sí 16. E: ¿Qué es… sabes qué es el conjunto solución? 17. E: ¿No? 18. L: O sea, ¿de cuál a cuál… pueden ser soluciones? 19. E: Ajá 20. E: O sea, digamos el conjunto de todas las soluciones 21. L: ¡Oh! ¿Si lo puedo encontrar? 22. L: Supongo que sí, despejando, ¿no? 23. L: ¿Trato de encontrarlo? 24. E: Ajá, sí

25. L: (Escribe: xyxy

=−

=−

26

26)

26. L: O sea, para…para que satisfaga…

450


27. E: Ajá

28. L: … según yo, tiene que ser todos los reales tal que x sea igual a 2

6−y

29. E: Ajá, ok 30. E. ¿Puedes expresar ese conjunto como un este… o sea como la forma…?

31. L: Haz de cuenta si… x, y… para todo… este…x igual a 2

6−y perteneciente

a los reales… (Escribe: ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ℜ∈

−=

26, yxyx )

32. E: Ok 33. L: ¿Sí? 34. E: ¿Eso que significaría?

35. L: El…o sea el conjunto de A es igual a x y tal que x sea igual a 2

6−y

perteneciente a los reales 36. E: ¿Eso sería el conjunto solución? 37. L: ¿Sí? 38. E: ¿Sí? 39. L: Sí 40. E: Ok 41. E: Este… ¿cuántas soluciones tiene esa ecuación? 42. L: Muchas (risa) 43. E: ¿Muchas, muchas? (risa) 44. E: ¿Qué tan muchas? 45. L: ¿Muchas cuántas? 46. L: ¿Cuántas así un número exacto? 47. E: ¡No!, o sea… 48. E: ¿Porqué crees que muchas? 49. L: Por que al menos aquí me salieron más de dos soluciones 50. E: ¿Y no pueden ser… tres o cuatro? 51. L: No, pueden ser muchas porque este… o sea, depende… el 2… 2x

depende de y para que sea 6 52. E: Ajá 53. L: Entonces puede ser… no sé… haz de cuenta 2 por -3 sería -6… más 12, si

y fuera, podría ser (-6, 12), ¿no? este… 54. L: Podría ser (3, 0), (0, 6)… (Escribe: (-6, 12), (3, 0), (0, 6)) 55. E: Ajá 56. L: mm… 57. E: ¿Y entonces cuántas soluciones habrían para esa ecuación? (me refiero a

la ecuación dada) 58. L. ¿n soluciones?, ¿una infinidad de soluciones?

451


59. E: Ajá, escribe, escríbele… lo que pienses cuantas… cuantas creas que haya 60. L. ¿Infinito? (escribe el signo de infinito) (Risa) 61. L: No, infinito no porque también hay negación (tacha el signo anterior) 62. L: Hay… 63. E: ¿Porqué? 64. L: mm… hay tantas soluciones como… tantos pares puedan satisfacer la

ecuación 65. E: Ajá, escríbelo 66. E: Si es lo que crees, escribe 67. L: Hay más de una solución porque… y depende de x… de x… y puede

tomar cualquier valor… que satisfaga la fun la ecuación… la ecuación (Escribe: más de 1 solución xq “y” depende de “x” y puede tomar cualquier valor que satisfaga la ecu.)

68. E: Ajá 69. L: Ajá 70. E: Ok 71. E: Ahora si tu graficas… bueno si graficáramos… 72. L: Ajá 73. E: Un suponer, si graficáramos todos esos puntos, porque tu ya me dijiste

que hay más de una solución… 74. L: Ajá 75. E: Ok y ya me diste éstos por ejemplo (le señalo los puntos que

proporcionó) 76. E: Entonces si graficáramos todos esos puntos eh… ¿qué crees que nos

representa el conjunto solución? 77. L: ¿Probablemente un recta? 78. L: ¿Lo puedo checar? 79. E: Ajá 80. L: Haz de cuenta… 81. L: Sí, una recta, donde está (2,2)… bueno… (Dibuja:

) 82. L: A ver… x… y… 2x + y… 2, 2…3, 0…

452


83. L: (Escribe:

) 84. L: Sí, una recta (Repinta la recta que trazó anteriormente) 85. E: Una recta 86. L: Sí 87. E: ¿Esa sería la recta? (me refiero a la que acaba de trazar) 88. L: Ajá 89. L: Perdón por hacerla medio mal 90. E: (risa) 91. L: Sí 92. E: Ok 93. L: Sí, según yo sí 94. L: A ver… (risa) 95. E: ¿Entonces ese sería tu conjunto solución? 96. L: Ajá 97. E: Ok, bueno… 98. L: (Escribe: conjunto solución) conjunto solución… 99. L: Ajá, perfecto 100. E: Ok

x y 2 2 3 0


a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5), (3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la representación geométrica?

101. E: Bueno, ahora te voy a dar ésta otra (me refiero a la siguiente

pregunta) 102. L: Bueno éste es un plano…

103. L: (Escribe: ) No 4 8 10 - 6Si 4 3 - 2 - 9No 4 5 8 - 3

=+==+

104. L: Solo la segunda fué solución de la ecuación 105. E: Ok, solo la segunda 106. L: Ajá 107. E: Ok

453


108. E: Em… ¿cuántas soluciones crees que tenga esa ecuación? 109. L: ¿La que abarquen el plano? 110. E: ¿Todas las que abarquen el plano? 111. L: Bueno… que satisfaga… también la ecuación o sea… 112. E: Ajá 113. L: ¿Puedo graficar para ver… cuántas soluciones? 114. E: Como quieras 115. L: mm…

116. L: (Escribe: ) 8 - 3 9) 4, (1,

117. L: Por ejemplo (1, 4, 9) podría ser 118. E: Ajá 119. L: Como… z depende de 3… de 3x - 2y para que sea igual a 4…

cualquier solución en la que podamos sustituir los valores… no sé, le puedes dar casi cualquier valor a 3x y a 2y y como z depende de ellos…

120. E: Ajá 121. L: … puedes adecuar z para que tu solución dé el plano igual a cuatro 122. E: Ok 123. E: ¿Entonces cuántas soluciones podríamos tener? 124. L: ¿Tantas como mi z me lo permita? 125. E: Ok 126. E: ¿Podrías poner este… podrías darme el conjunto solución de esa

ecuación? 127. L: Conjunto solución… odio los conjunto solución 128. E: (Risa) 129. L: mm… 130. L: (Escribe: ( ){ }ℜ∈=+− 423,, zyxzyx ) 131. L: ¿Sí? 132. E: Ok 133. E: ¿Y… me podrías representar ese conjunto solución en forma de… 134. L: ¿gráfica? 135. E: No, en forma de este… de un punto en R3 o de una sucesión? 136. L: ¿Esto está en R3 verdad? (corrige su conjunto solución y escribe R3) 137. L: No está en los reales (tacha el 3 en R) 138. L. ¿Cómo? 139. E: O sea representar por ejemplo aquí (le señalo (x, y, z) en su conjunto

solución) como punto x, y, z… pero que quede este… todas las posibles soluciones… de esta forma… como un punto

140. L: ¡Ah! ¿como esto de (1, 4, 9)? 141. E: Ajá 142. E: Pero ya de forma general…

454


143. L: Pero son muchas 144. E: ¿Se podría? 145. L: No, son muchas 146. E: ¿No se podría? 147. L: No 148. L: ¿Como un punto así? (señala el punto (1, 4, 9)) 149. E: Ajá en forma de un punto o sucesión 150. L: mm… 151. E: ¿Sí se podría o no? 152. L: A ver… 153. E: ¿Tú que crees? 154. L: ¿Todo en un punto? 155. E: O sea ¿se podría poner todas las soluciones en forma así de un punto? 156. L: Sí, igual y sí, a ver… 157. L: Tres por una tres… (Escribe: (1, 1, 3)) no sé… no, todas en un punto

no 158. E. ¿No, no se podría? 159. L: No 160. E: Ok 161. E: Ok, entonces éste sería el conjunto solución, ¿no? (le señalo el

conjunto solución que dió antes) 162. L: Ajá 163. E: Ok 164. E: Ahora lo mismo, si graficáramos todos los puntos, suponiendo ¿no?

¿qué… qué nos daría el conjunto solución? 165. L: Según yo un plano pero… a ver… (Dibuja los ejes coordenados en R3) 166. L: ¡Ay, no! que estoy haciendo (intercambia la x con la y de los ejes

coordenados) 167. L: (Dibuja:

) 168. L: ¿No te da un plano? 169. L: O sea a fuerzas te tiene que dar un plano, ¿no?

455


170. L: Porque son… está… 171. E: ¿Por qué crees? 172. L: ¿Eu? 173. E: ¿Por qué crees que nos daría un plano? 174. L: Porque estamos graficando en R3… 175. E: Ajá 176. L: … y tenemos zyx +− 23 (Escribe: R3 zyx +− 23 ) 177. E: ¿Y eso necesariamente nos da un plano? 178. L: Sí, ¿no? (risa) 179. E: ¿Sí? 180. L: ¿Eu? 181. E: ¿Sí nos da un plano? 182. L: No 183. L: Nos da… no sé que nos da, la verdad 184. E: Ok 185. L: (Tacha el dibujo) 186. E: No, no lo taches, no lo taches 187. L: ¡Ay! perdón, perdón 188. E: Ok, bueno 3. ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones? ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas. 189. L: ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de

ecuaciones? 190. E: Ajá 191. L: ¿Lo… lo escribo? 192. E: Sí, escribe 193. L: Es… conjunto de valores que satisfacen correctamente la ecuación

(Escribe: Es el conjunto de valores que satisfacen correctamente la ecuación)

194. E: Ajá 195. L: Correctamente la… ¡no!, el sistema de ecuaciones (tacha lo que

escribió: la ecuación y escribe: el sist. de ecua.) 196. L: ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema… y el

conjunto solución de cada una… de las ecuaciones?... Amplía… tu respuesta.

197. L: (Escribe: sistema) 198. L: El sistema puede ser como más universal… que cada una de las

456


ecuaciones… 199. L: Es que no entiendo bien la pregunta 200. L: ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema…? o sea

¿todo el sistema? 201. E: Ajá 202. E:… con el conjunto solución de cada una de las ecuaciones, por ejemplo

si el sistema… te dan un sistema de dos ecuaciones… con dos incógnitas 203. L: Ajá 204. E: Entonces ¿cuál sería el… la solución del sistema? 205. L: El sistema tiene que satisfacer a las dos ecuaciones 206. E: Ajá 207. L: O sea… 208. E: Sí 209. L: Sí 210. L: Y de ca… y… y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones

puede ser que satisfaga a cada ecuación por separado… pero no al sistema

211. E: Ajá 212. E: Y… ¿qué tendría que ver… este… o sea, el conjunto solución de cada

una de los sistemas con el conjunto solución del sistema? 213. L: ¡Ah! o sea a cada ecuación con la de… 214. E: Ajá 215. E: O sea, tenemos por separado a los conjuntos solución de las

ecuaciones… 216. L: Ajá, sí 217. E: Entonces ¿qué relación hay entre esos conjuntos… y el conjunto del

sistema? 218. E: ¿Existe alguna relación entre ellos? 219. L: Sí, que… que el conjunto solución de cada una de las ecuaciones si se

cumple… si se satisfacen las dos… va a ser un conjunto solución del sistema

220. E: Ajá 221. L: Pero si una se satisface y la otra no, entonces no va a ser conjunto del

sistema 222. E: Sí, ¿puedes escribirlo? 223. L: Ok 224. L: (Escribe: si se satisfacen por igual el conjunto solución de c/u de las

ecuaciones si se satisface el sistema sino se satisfacen las ecuaciones c/mismos valores no corresponden estos al sistema)

225. L: Ajá 226. L: O sea, si se satisfacen por igual el conjunto de cada una de las

457


ecuaciones sí se satisface el sistema 227. E: Ajá 228. L: Si no se satisfacen las ecuaciones con los mismos valores, haz de

cuenta que tengo no sé dos ecuaciones 229. E: Ajá 230. L: Y para las dos ecuaciones si tengo… algo que sea no sé 1, 2 (Escribe:

(1,2)) que satisface a las dos… 231. E: Ajá 232. L: … sí se satisface el sistema 233. L: Pero si nada mas satisface una, no se satisface el sistema 234. E: Ok 235. L: ¿Ok? 236. E: Ok


=−=−

0454

yxyx



237. L: Aquí soluciones de las ecuaciones o del sist… ok (se refiere a la

pregunta del inciso a, ya que escribí soluciones de la ecuación) 238. E: ¡Ay!, perdón pero sí, del sistema… lo corregí en el otro pero no lo

corregí allá (risa) 239. E: Del sistema

240. L: (Escribe: ) ⎩⎨⎧

=−=−

0454

yxyx

241. L: ¿Esto también está bien? (señala el sistema dado) 242. E: Sí 243. L: Ok

244. L: (Escribe: ×∨=

0 5 (-5) - 0

∨=×=

0 4 - 4 0 4 - 4

∨=×=

0 0 - 0 0 0 - 0

)

245. L: No, aquí… los pares ordenados de las soluciones… o sea, no son

458


pares ordenados de la solución del sistema 246. E: ¿Porqué? 247. L: Porque ninguna… de los puntos satisface las dos ecuaciones de mi

sistema 248. E: Ok 249. E: ¿Entonces no serían solución del sistema? 250. L: No 251. E: ¿Ninguna? 252. L: No 253. E: Ok 254. E: Eh… ¿crees que esta solución tenga… digo perdón (risa) que este

sistema tenga solución? 255. L: No 256. E: ¿Porqué? 257. L: Porque es dependiente y aquí estamos poniendo (señala el sistema)…

o sea es la misma ecuación pero con resultados diferentes, entonces no se puede

258. E: ¿Porqué no se puede? 259. L: Porque cualquier valor que le demos… 260. E: Ajá 261. L: … o sea, o me va a dar cinco o me va a dar cero 262. L: No sé, digo no no puede… no puede ser que me dé los dos valores 263. E: Ok, entonces ¿qué puedes decir acerca de…? 264. L: Que no existe un sistema de ecuaciones… aquí (señala el sistema) 265. L: No, bueno que no existe una solución al sistema de ecuaciones 266. E: Ajá, ¿puedes escribirlo? 267. L: (Escribe: No hay solución al sist.) 268. E: Ok, no hay solución 269. E: Em… ¿podrías… graficar el sistema? 270. L: mmm… tendría que hacer… dos gráficas, ¿no? 271. E: O sea poner las dos en un mismo… 272. L: No, es que mi segunda no se puede 273. E: ¿Porqué? 274. L: Porque no tiene solución mi sistema 275. E: ¿Pero podrías graficar eh… o sea cada una de las ecuaciones o ¿no? 276. E: ¿No se puede? 277. L: ¡Ah! sí, sí sí sí 278. L: (Intenta graficar el sistema) 279. L: (Escribe: 4(1) – (-9) = 5) 280. L: ¿Qué era? 281. L: (Dibuja lo siguiente:

459


) 282. L: Ajá, este es una, la primera (marca a la recta 54 =− yx con el #1)… la

segunda (marca a la recta 04 =− yx con el #2) 283. E: Ok, ¿ese serían… cada una de las ecuaciones? (le señalo las

ecuaciones del sistema) 284. L: Ajá 285. L: Entonces según yo, igual y sí hay solución porque tiene que haber un

punto en donde se intersecten, ¿no? 286. L: Sí 287. E: ¿Tú que crees? 288. L: Que sí, como hay un punto donde se intersectan hay una solución

única 289. E: ¿Entonces? 290. L: ¿Entonces cuál es?

291. L: (Escribe: 545

=−

=−

yx

yx )

292. L: mmm… (Escribe varios números de algunos cálculos que hace) 293. E: ¿Qué pasó? 294. L: No, es que nada más no encuentro solución, no se intersectan 295. E: ¿No se intersectan? 296. L: No 297. E: Y este… 298. L: Es que me parece ilógico porque para que ésta (señala el sistema)…

4x menos y sea igual a cero (Escribe: 04 =− yx )… o sea x tiene que ser y

sobre cuatro (Escribe: 4yx = )

299. E: Ajá 300. L: Ajá

301. L: Entonces para que… ¡ah! (Escribe: 54

4 =− yy )

302. L: No, es que la de arriba nunca me va a dar (se refiere a la primera ecuación del sistema)

460


303. L: O sea, para que la de abajo me dé, a fuerzas mi x va a tener que ser igual a y sobre cuatro… a fuerzas

304. E: Ajá, ok 305. L: De aquí nada que tenga y sobre cuatro me va a dar cinco 306. E: ¿Entonces qué concluyes? 307. L: Que no hay solución al sistema 308. E: Ok 309. L: No… 310. E: ¿Y tu gráfica sería… esa? 311. L: Mi grafica… 312. E: Porque ahí me estas diciendo que… 313. L: Que sí hay una solución 314. E: … que si hay 315. L: Es que ay lo complicado, mi grafica no puede estar mintiendo 316. E: (risa) 317. L: Según yo

318. L: A ver, 4y… ok, entonces… (Escribe:

45

4

54

4

=−

=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

yy

yy

y luego tacha la

segunda expresión) 319. L: A ver, voy a volver a graficar 320. E: Ok 321. E: Puedes tomar otra hoja si quieres 322. L: Sí 323. L: ¿La volteo? (se refiere a la primera hoja donde escribió) 324. E: Sí 325. L: Bueno da igual

326. L: Ok… (Escribe: ) ⎩⎨⎧

=−∨=−

0454

yxyx

327. L: Ok, este es de la segunda (grafica la segunda ecuación)… por eso cero cinco y…

328. L: mm… ya entendí 329. L: Sí, sí, sí, ya sé 330. E: ¿Qué pasó? A ver… 331. L: Es que todas las están muy fuertes, pero bueno 332. L: Ok, (0, -5) 333. L: Otro punto para la primera podría ser (2, 3) 334. E: Ajá 335. L: Dos por cuatro, ocho

461


336. L: Y otro punto podría ser 3 y 7 337. L: (Ubica los puntos y dibuja:

) 338. L: Ok entonces ahora tenemos… uno y… cuatro… cero, cero 339. L: Son paralelas 340. E: Ajá 341. E: Y al ser paralelas ¿qué sucede? 342. L: Al ser paralelas ¿qué sucede? 343. E: Ajá 344. L: Pues mi sistema de ecuación no tiene solución… ¡eh! 345. E: Ok, ¿puedes escribir? Escribe allá este… 346. L: (termina de dibujar el sistema) 347. L: (Escribe: sist. de ecuaciones sin solución) 348. L: Ajá 349. E: Ajá 350. E: ¿Y qué puedes decir al respecto con la gráfica? 351. L: Que son paralelas 352. E: Ajá 353. L: Que… que son independientes entre ellas, no son dep, no son

linealmente dependientes, son independientes 354. E: Ajá 355. L: Bueno… 356. E: Bueno, eh… ¿relacionado con el conjunto solución? 357. L: Rel… que pueden tener solución, o sea cada ecuación puede tener

solución pero el sistema de ecuaciones no puede tener solución 358. E: Ajá 359. L: O sea… (Escribe: cada ecuación puede tener varias soluciones pero el

sist. de ecuaciones no tiene solución) 360. E: Ok, ok


=+=+

000523

yxyx

462




361. L: ¿Cuántas soluciones tiene? 362. E: Ajá 363. L: Estas también van a ser paralelas (se refiere a las ecuaciones dadas) 364. L: ¿No? 365. E: ¿Por qué? 366. L: Porque me está pasando lo mismo que en la pasada (se refiere a la

pregunta anterior) 367. L: Porque x… ok, sí es solución y… yx 00 + yx 23 + también es solución 368. E: Ajá 369. L: Pero si pon… ¡ah! 370. E: ¿Qué paso? 371. L: No, sí cierto, éstas sí tienen solución 372. L: Supongamos que tengo (1,1)… 373. E: Ajá

374. L: (Escribe: ) 0 0 0

5 2 3(1,1)

=+=+

375. L: … el primero me daría tres más dos igual a cinco y el segundo me daría tres por cero, cero mas cero igual a cero

376. L: Sí, sí tiene muchas soluciones 377. E: ¿Sí? 378. L: Ajá 379. E: ¿Y cuál sería entonces el conjunto solución… de ese sistema? 380. L: ¿Todos los reales... que satisfagan las ecuaciones? 381. E: Ajá, ¿como lo pondrías? 382. L: ¿Lo puedo graficar? 383. E: Sí, también 384. L: ¿Sí? 385. E: Sí

386. L: (Escribe: ) 5(-1,4)54)- (9,

(3,-2)

==

387. L: (Luego grafica los puntos (-1,4), (1,1), (3,-2) y (9,-4)) 388. L: Bueno se supone que me tendría que dar una recta pero… ok

463


389. L: (Traza la primera recta)

390. L: Me salió chueca porque la tracé mal 391. E: Ok 392. L: Todos los valores que satisfagan la primera ecuación… va a

satisfacer… van a satisfacer mi sistema de ecuaciones 393. E: ¿Porqué solo esos? 394. L: ¿Porqué solo esos? 395. E: Ajá 396. L: Porque mi segunda ecuación está condicionada porque se está

multiplicando por cero, entonces cualquier valor que se multiplique por cero me va a dar cero

397. E: Ajá 398. L: Ajá 399. E: Eh… geométricamente ¿qué representa la segunda ecuación? 400. L: Nada 401. E: ¿Nada? 402. L: ¿Eu? 403. E: Nada, nada 404. L: ¿Una línea recta también? 405. E: ¿Cuál sería? 406. L: Mi línea recta va a pasar por aquí también (señala la recta que trazó) 407. E: ¿Serían la misma? 408. L: Ve… supongo… sí serían la misma, la misma línea recta 409. E: La misma línea recta, ok 410. E: ¿Entonces cuál sería tu conjunto solución… del sistema? 411. L: Conjunto solución es la línea recta que satisface que sea igual

a cinco (escribe: yx 23 +

523 =+ yx ) 412. E: Ok 413. L: Ajá 414. E: ¿Ese sería tu conjunto solución? 415. L: Ajá 416. E: ¿Entonces cuántas soluciones tendría el sistema? 417. L: Muchas

464


418. E: ¿Puedes escribirlo allá? 419. L: Una infinidad de soluciones (Escribe: ∞) 420. E: ¿Sí lo escribes? 421. L: ¿Eu? 422. E: Así con palabras 423. L: (Escribe: { ℜ∈=+= 523),( yxyxA }) pertenecientes a los reales, ¿así? 424. E: Ok, entonces este sería nuestro conjunto solución… 425. L: Ajá 426. E: Y… 427. E: Ok, del sistema, ok 428. E: Y este… entonces estas dos ecuaciones (me refiero a las dadas)

representan a la misma recta, ¿no? 429. L: Ajá 430. L: Sí, la misma 431. E: La misma recta, ok 432. L: Bueno de hecho… o sea, sí representa la misma recta pero la de

abajo… te da todos los números… o sea puedes tener -1, -2,… o sea, abarca a todos, todos los números y la de arriba sí está condicionada, tiene que satisfacer a fuerzas

433. E: Entonces… ¿qué representaría…? 434. L: No, o sea la solución de mi sistema de ecuaciones sí es esta línea

(señala su gráfica) 435. E: Ok 436. L: ¿Ajá? 437. E: ¿Y esta ecuación entonces? (señalo la segunda ecuación del sistema) 438. L: Y esa ecuación serían todos los reales, es más ni siquiera todos lo

reales, todos los números 439. E: Todos los números 440. L: Todos los naturales 441. E: Pero gráficamente ¿qué representa? 442. L: También una línea 443. E: También una línea recta 444. L: Ajá 445. E: Ok

465



⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123


446. L: ¡Ay Dios! 447. L: ¿Es posible que este sistema tenga solución única? 448. L: ¿Aquí se iguala a k? 449. E: Es k, sí 450. L: ¿Es k? 451. E: O sea, k es una constante cualquiera 452. L: mm… 453. L: No, no tiene solución única 454. E: ¿Por qué? 455. L: Porque es dependiente 456. L: Porque … es dependiente de kyx =− 26 23 =+ yx 457. E: ¿Y eso qué significa? 458. L: Que… para que el sistema tenga una solución única tiene que ser

linealmen… tienen que ser linealmente independiente entre ellos, entonces no va a haber una solución única

459. L: Porque al… a cualquier valor de aquí (señala la primera ecuación del sistema)…

460. E: Ajá 461. L: … puede corresponder un valor de acá (señala la tercera ecuación del

466


sistema), porque la primera es dependiente de la segunda (se refiere a la primera y tercera ecuación)

462. E: Ajá 463. L: No, de la tercera 464. E: ¿Y si le das un valor a k? 465. L: Sí, pero le puedo… por ejemplo tengo… (Escribe: 23 =+ yx ) 466. E: Ajá 467. L: ¿Ok? 468. E: Sí 469. L: No sé… y aquí ¿estamos de acuerdo en esto? Es igual a… o sea si

factorizo… 3… no… (Escribe: kyx =−− )3(2 ) 470. L: ¿Ajá? 471. E: Ajá 472. L: La misma 473. L: Si aquí yo decido que mi k es igual a -2, tengo la misma ecuación 474. E: Y si tuvieras la misma ecuación ¿qué pasaría? 475. L: Que no habría nada más una solución al sistema 476. E: Ajá 477. L: Porque una depende de la otra 478. E: Una depende de la otra 479. E: ¿Y si k no fuera ese valor y fuera otro valor? 480. L: Sí habría una solución única 481. E: ¿Para el sistema? 482. L: Para el sistema 483. E: Ok, entonces para este caso ¿no puede haber solución única? 484. L: No porque a k le puedo dar cualquier valor 485. E: Ajá 486. E: Entonces si… pones allá ¿porqué no? 487. L: (Escribe: la tercera ecuación depende de la 1ª considerando que a k le

puedo dar cualquier valor x ello no hay solución única) 488. L: Ajá 489. E: Ok 490. E: Entonces tú dices que si k vale -2… 491. L: Ajá 492. E: O sea, aquí factorizando lo que hiciste… pues tendrías… ¿tendrías la

misma recta? ¿O no? 493. L: Ajá 494. E: Ok 495. E: Y al tener la misma recta no puede haber solución, ¿eso dijiste? 496. L: ¿Si tengo la misma recta? 497. L: Según yo no hay solución única

467


498. E: No hay solución única 499. L: Única 500. E: ¿O sea que tendrías más soluciones? 501. L: Sí 502. E: ¿O no habría solución? 503. L: No, no hay solución única, porque son dependientes, igual y sí puedo

tener más soluciones, pero no solución única 504. E: Ok 505. E: Entonces pasemos al inciso b 506. L: Es posible que este… ¿cuál es el sistema? 507. E: (Le regreso la pregunta donde está el sistema) 508. L: ¡Ah! ok 509. L: (Escribe: si) 510. L: ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones? Sí 511. E: ¿Cuál sería el conjunto solución? 512. L: Sí, siempre y cuando la tercera ecuación sea dependiente con la

primera, ¿no? 513. L: (Escribe: siempre que la 3ª sea dependiente de la 1ª) 514. E: Ajá 515. L: Por ejemplo (1,1) sí es porque…tendríamos 3… (Escribe: (3-1) = 2 (-

6+2) = -4) 516. L: Es que no sé como expresarlo pero ve…por ejemplo aquí esta lo que

decía… 517. E: Ajá 518. L: Has de cuenta, en el primero… puntos tengo 3 y -1, ¿sí? 519. E: Ok 520. L: No, no… si… ¡ah! no 521. L: (pensativa) 522. L: Es que… en este sistema de ecuaciones sí encuentro la solución que

satisfaga a la primera y a la tercera, pero no una que a su vez satisfaga la segunda ecuación

523. E: Ajá 524. E: ¿Entonces? 525. L: Entonces tampoco tiene solución 526. E: Tampoco hay infinitas soluciones 527. L: No 528. L: (tacha los puntos que dio) 529. E: No lo borres 530. L: ¡Ay! perdón 531. L: (Escribe: No hay solución porque no se satisface en el mismo punto la

2ª)

468


532. E: A ver… si graficáramos el sistema que… ¿qué tendríamos? 533. L: Es que… a ver… 534. L: Es que no encuentro una solución que satisfaga a las tres 535. E: Ajá, ok 536. E: A ver… si graficamos cada una de las ecuaciones en el mismo… 537. L: Por eso en el mismo punto… 538. E: … o sea en el mismo eje, no este… o sea, por separado 539. E: ¿Sí puedes graficarla una por una? 540. L: Sí, pero por ejemplo si aquí pongo 1 (señala la primera ecuación), tres

por uno, tres y uno menos uno sí me da dos, pero si aquí pongo uno menos uno (señala la segunda ecuación), no me da uno, me da dos

541. E: Ajá 542. L: O sea, no me satisface esta condición (se refiere a la igualdad) 543. E: Ok, con ese punto que estás… 544. L: Es que no encuentro ningún punto 545. L: Has de cuenta si pongo… 2… 2 y 3 no… al revés 3 y 2… 546. E: Ajá 547. L: Sí me satisface el de en medio, pero no el de arriba 548. E: Ajá, ok 549. E: ¿Y si graficamos esos? (me refiero al sistema dado) 550. L: ¿Como? 551. E: ¿Sí puedes graficar estas dos primeras? 552. L: Es que no encuentro un punto en común 553. E: O sea graficarlas nada mas, no este… por separado 554. L: ¡Ah! ¿por separado? 555. E: Sí, por separado 556. L: Ok

557. L: (Escribe: )8,3()4,2(

)1,1(23

−−

−=+ yx y dibuja la recta)

558. L: Es paralela (dibuja una recta paralela a la anterior)

559. E: ¿Esa sería la segunda ecuación? 560. L: Ajá

469


561. E: Ok, entonces… ¿qué podemos concluir? 562. L: Que por ser paralelas no hay solución, ¿no? 563. L: (Escribe: por ser paralelas no hay solución al sistema de ecu) 564. E: Ok, en dado caso de que… bueno en este caso solo son dos… las

ecuaciones del sistema… 565. L: Ajá 566. E: … que son tres, ok 567. E: Si la tercera ecuación no fuera paralela a estas dos que pintaste ¿qué

pasaría? 568. L: Depende, si las cruzara a las dos, sí habría… sí habría solución 569. E: ¿Sí habría solución? 570. L: Sí 571. E: ¿Porqué? 572. L: Porque cruza a las… a las dos ecuaciones en algún punto, en el

mismo punto 573. E: En el mismo punto 574. L: Ajá 575. E: Ok, ¿solo para ese caso sería? 576. L: Ajá 577. E: Ajá, ok 7. Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas


figura anterior. c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué observas? 578. L: Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones… 579. L: ¿Qué? 580. L: ¿Cuántas soluciones tiene el sistema? 581. E: ¿… tiene el sistema?

470


582. L: mm… tiene una infinidad de soluciones 583. E: ¿Porqué una infinidad? 584. L: Porque es un triángulo o sea, todos los puntos se juntan, se conectan 585. E: Ah… ok son una infinidad y… ¿cuales serían entonces? 586. L: No, no es cierto 587. L: Según yo tiene… tiene nada más una solución 588. L: A ver tenemos un triang… tenemos tres ecuaciones, ¿ok? 589. E: Ajá 590. L: Forman un triángulo… ¿no? 591. E: Ajá 592. L: (Dibuja:

) 593. L: Tiene una solución (Escribe: 1 solución) 594. E: Una solución 595. E: ¿Cuál sería esa solución? 596. L: x más y igual a delta 597. L: O sea, son tres ecuaciones con dos incógnitas ¿no? 598. E: Ajá, sí

599. L: (Escribe: ϕβα

=+=+=+

yxyxyx

)

600. L: Ahí está 601. E: Ok, éstas ¿qué representan? 602. L: Son mis tres ecuaciones con dos incógnitas… 603. E: Tus tres ecuaciones 604. L: … tal que estos tres forman un triángulo (señala las ecuaciones que

dió) 605. E: Ok, entonces… tú me dices que hay una solución, ¿cuál sería entonces

la solución? 606. L: Es que no estoy segura 607. E: A ver… gráficamente ¿cuál sería? 608. E: ¿Me puedes pintar cuál sería la solución? Gráficamente 609. L: ¿No es ésta? 610. E: ¿Cuál?

471


611. L: O sea… 612. E: Píntamela, píntamela 613. L: ¿Como? 614. E: ¿cuál sería? 615. L: Pues el triangulo… así vil (repinta el triángulo que dibujó) 616. E: Ese sería la solución… 617. L: Ajá 618. E: … del sistema 619. L: Ajá 620. E: ¿Entonces tendría una solución? 621. L: No, tendría muchas soluciones 622. E: No taches, escríbelo abajo 623. L: (Escribe: muchas soluciones, son independientes) 624. E: Son independientes, ok 625. E: Entonces para tí estas tres ecuaciones que me diste son… ¿las que

representan este triángulo? 626. L: Ajá 627. E: Y serían… ok, infinidad de soluciones 628. E: Ok, bueno


=−−=++

142332

zyxzyx



629. L: Lee: “Encuentra el conjunto solución del sistema dado. ¿Cuántas soluciones

tiene?” 630. (Silencio)

631. L: Murmura: 2, 1 (Escribe: 34

40)1()2(2 =− y luego lo tacha)

632. L: Es que otra vez no encuentro… ¿cuál es el conjunto solución? 633. E: Mm,ok 634. E: Este... ¿qué representa el sistema geométricamente? 635. L: Un plano, hay no sé, algo en 3R 636. E: Algo en 3R 637. L: ¿Sí? 638. E: Ajá

472


639. L: ¿Estamos de acuerdo? 640. E: Ok 641. L: Ajá 642. E: ¿Cómo qué algo? (risa) 643. L: Es que no sé si es un plano, una silla montada, un cilindro, un… balón,

un… 644. E: (risa) ok 645. E: Este… bueno supongamos que sean dos planos, ¿sí? 646. L: ¿Cómo? 647. E: O sea estas dos ecuaciones… (Señalo las ecuaciones dadas) 648. L: Bueno, sí 649. E: Me representan dos planos 650. L: Ajá 651. E: ¿Cuál sería… el conjunto solución…? 652. L: O sea, un plano tendría que cortar al otro 653. E: Ajá 654. L: Para que fuera un conjunto solución 655. E: Ok, para que haya solución… 656. L: Al sistema de ecuaciones 657. E: Y si se corta, ¿cuántas soluciones tendría? 658. L: Una 659. E: ¿Una solución? 660. L: Ajá 661. E: Ok 662. L: Pero no veo en donde se podría cortar 663. E: Bueno… imaginemos 664. L: No, trato de sustituir y no me dá 665. L: Para tener solución… (Escribe: Dos planos para tener solución uno

debe cortar al otro) 666. E: Debe cortar al otro 667. E: ¿Cuántos… cuántas soluciones entonces puede tener? 668. L: Según yo lo corta en un punto nada más 669. E: Ok, escríbelo 670. L: Hay una solución 671. L: (Escribe: lo corta en un punto. Una solución) 672. L: Tengo que… repasar más sistemas de ecuaciones 673. E: Ok, la corta en un punto 674. E: Entonces sólo… para este…o sea, si tuviéramos dos planos, ¿sólo en

un punto los puede cortar? 675. L: Es que según yo, aquí sólo lo corta en un punto 676. E: ¿Porqué sólo…?

473


677. E: ¿Porqué en este caso…? 678. L: como no más no encuentro una solución, me quiero imaginar que sí

hay un punto en que lo corta 679. E: Ok 680. E: Bueno y… o sea específicamente para este caso, tu dices que hay una

nada más, ¿no puede haber más? 681. L: No, sí puede haber más pero no me imagino cuál 682. E: Ok 683. E: ¿Podrías representar el conjunto solución del sistema? 684. L: No, no tengo idea, la verdad 685. E: Ok 686. L: No tengo idea 687. E: Ok, bueno 9. Dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas


688. L: “Dada… de tres ecuaciones con tres incógnitas, ¿cuántas soluciones

tiene el sistema?”… tiene una solución 689. E: ¿Cuál sería la solución? 690. L: este sistema… 691. E: ajá 692. L: x y z+ + … x y z α+ + = (Escribe: x y z α+ + = ) 693. L: ajá 694. L: y puede tener muchas soluciones este sistema,… ¿no? Porque todos

sus puntos están... relacionados 695. E: ajá, entonces ¿cuántas soluciones? 696. L: Muchas (escribe: ∞ muchas soluciones) 697. E: ajá, muchas soluciones, ok

474


698. E: Allá en la gráfica ¿me puedes pintar cuáles serían esas soluciones? 699. L: ¿donde están? 700. E: ajá 701. L: ok, aquí, aquí y aquí, (marca con círculos las intersecciones de los

planos) ¿no?, o sea todo lo que abarca haz de cuenta que… (Chifla y sombrea la zona de adentro de los planos, es decir, del triángulo formado por los planos)¿Sí?

702. E: Ok, ¿ésas serían las soluciones del sistema? 703. L: Ajá 704. E: ¿Las que están acá en medio me estás mostrando? (le señalo la zona

que sombreó) 705. L: ¿Eu? Sí ¿no? 706. E: deja los visualizo bien… ok 707. E: ¿Sólo éstos de aquí? (le señalo la zona que sombreó) 708. L: Ajá 709. E: ¿Y éstos que encerraste en círculos? ( le señalo las intersecciones que

marcó antes con círculos) 710. L: O sea, son de los puntos para adentro 711. E: Ah, ok 712. L: ¿Ok? 713. L: Ahí está (remarca los puntos de intersección de los planos, pero como

los vértices del triángulo formado entre ellos) 714. E: Ok, entonces ¿esas serían? 715. E: Entonces tendríamos, ok muchas soluciones 716. E: ¿Esas soluciones representarían algo geométricamente? 717. L: Un triángulo, (risa) un plano, un… no tengo idea… 718. E: ¿tú que crees? 719. L: ¿eh? 720. L: ¿pues no es un plano? 721. L: ¿Qué será? Sí, aquí hay algo geométrico ¿no? sí representan algo

geométrico, ¿no? 722. E: ¿Qué representarían? 723. L: Un plano 724. E: un plano… sí lo escribes

475


725. L: es que para mí ya todos son planos 726. E:(risa) 727. L:(escribe: representan un plano) 728. E: muy bien


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112




inciso anterior.

729. L: a, b, c… 730. E: Y d 731. L: a, b, c y d 732. L: Que… tengan solución única, que a cada valor le corresponda… que

tenga solución única… es decir, que sean independ… que exista independencia lineal y… y… generen para que tenga una solución única

733. E: Ajá, solución única 734. E: ¿Y qué valores deben tomar entonces a, b, c y d… para que ocurra eso?

735. L: (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

bdac

dacb

11213

121

13121

112

736. L: Sí, los puedo acomodar como yo quiera, ¿no? 737. L: mm… para que exista una solución única a cada valor de c de… es

que le corresponda un solo valor 738. L: Infinitas soluciones es que aquí abajo me dieran 0, 0, 0 (se refiere a la

última fila de la matriz) 739. E: Ajá 740. L: Y… ninguna solución es que no tuviera independencia lineal, o sea

que uno dependiera del otro 741. E: ¿Podrías representar eso en la matriz?

476


742. L: O sea que tenga solución única sería que me quedara de la forma no

sé… (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

dcb

100010001

743. L: Para que tenga solución única 744. E: Para que tenga solución única, ok 745. E: ¿Puedes escribirlo a un ladito? 746. L: (Escribe: solución única) 747. E: O sea que en ese caso… ¿qué valor debe tomar a? 748. L: ¿a? 749. E: Porque ahí solo me estás poniendo b, c y d, ¿y donde quedó a? 750. L: mm… d - a ese tiene que ser el valor de a 751. E: Ok 752. L: Ajá 753. E: ¿Lo apuntas? 754. L: (Escribe: a = d - a) 755. L: O sea has de cuenta si dos… sí

756. L: Y luego infinita solución… (Escribe: ∞ solución ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0000010001

cb

757. L: Eso significa que a y d pueden tomar un rango de valores 758. E: ¿Como cuáles valores? 759. L: (Escribe: a, d pueden tomar ∞ solucion…) siempre y cuando

dependan con b y c 760. E: Ajá 761. L: (sigue escribiendo: … si corresponden con b c) 762. E: Ok, dependen de b y c, ¿no? 763. L: Ajá 764. E: ¿O sea que cualquier valor pueden tomar? 765. L: Ajá 766. E: Ok 767. E: ¿Y para… no solución? ¿o ninguna solución? 768. L: Es esta, ¿no? (señala la matriz de la pregunta)


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112

770. E: ¿Por qué sería esa? 771. L: Porque no hay independencia lineal 772. L: ¡Ah! no, sí hay, sí las puedo invertir

477


773. L: ¿Eh? 774. L: No, voy a poner… bueno no, voy a tachar esto (se refiere a la última

matriz que dió) 775. E: No, escríbelo aquí (le doy otra hoja)


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

111100111

777. E: mm…

778. L: O así… (Escribe: ) ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

001010100

779. E: ¿Eso sería ninguna solución? 780. L: Ajá 781. E: ¿Y… qué pasa con los valores de a, b, c y d? 782. L: Son dependientes… (Escribe: Son dependientes) 783. L: No hay independencia lineal y tampoco generan otro 784. E: Ajá 785. L: Entonces le pueden corresponder muchos valores 786. E: ¿Cualquier valor? 787. L: Ajá y por eso no hay solución 788. E: Ajá 789. L: (Escribe: puede corresponder un x valor a A, B, C, d por no haber

independencia lineal no generan) 790. L: Ajá 791. E: Ok 792. E: Si graficamos… ese sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas…

¿cómo representarías de que… haya solución única? 793. L: ¿Si lo graficamos? 794. E: Ajá 795. L: ¿Una recta? (traza una línea) 796. E: Una recta 797. E: ¿Esa sería solución única? 798. L: Bueno… una recta no, porque hay x, y, z (tacha la línea) 799. E: Ajá 800. L: Pero… para una solución única… ¿podría ser algo así? (Dibuja un

plano en un plano cartesiano) 801. E: Bueno ese sería… solo uno, ¿no? 802. E: Y si graficamos los tres… para que el sistema tenga una solución

¿cómo quedaría? 803. L: ¿Como el triangulito?

478


804. L: Es que no sé como graficarlo… (Intenta dibujar los tres planos en forma de triángulo)

805. L: No sé pero que se corte así, ¿sí? (dibuja tres rectas en forma de triángulo)

806. E: Ajá, ok 807. E: O sea que… de manera que los tres planos formen… 808. L: Ajá, se crucen todos 809. E: Ajá, ok 810. E: Para ese caso tendríamos solo una solución 811. L: Ajá 812. E: Ok 813. E: ¿Y para infinitas soluciones como lo… cómo sería gráficamente? 814. L: Tres planos encimados 815. E: Tres planos encimados 816. E: A ver, ¿sí lo puedes dibujar? 817. L: Pues nada mas… 818. E: En otro, en otro… en otro eje 819. L: ¿Se entiende? (Dibuja tres planos como encimados)

820. E: Ok, tres planos… que están encimados, ¿no? 821. L: Ajá 822. E: Ok 823. E: ¿Y para que no haya solución? 824. L: ¿Paralelos? 825. E: Ajá 826. L: Así, que se vean así (Dibuja tres planos paralelos) 827. L: ¿Ajá? 828. E: Ok

479


829. E: Ajá, sí 830. E: Ok, muy bien 831. E: Bueno pues… eso es todo

X

Y


832. L: Representa gráficamente un par de rectas que tengan… más… de un

punto en común 833. L: ¿Un par de rectas? O sea ¿dos rectas? 834. E: Ajá, pueden ser dos rectas 835. L: ¿Puedo poner una parábola y ya? 836. E: mm… no 837. L: Es que es un par de rectas 838. L: No sé… así que se crucen (Dibuja dos rectas que se intersectan en un

punto) 839. E: em… ¿tienen más de un punto en común? 840. L: No, esas nada más tiene un punto en común 841. E: Y… 842. L: ¿Pero nada más puedo poner dos rectas? 843. E: No, puedes poner tres, cuatro las que tú quieras 844. L: ¡Ah! pues así (dibuja una recta en zig-zag encima de la otra recta)

480


845. E: Ok 846. E: Ahí ¿cuántas rectas pusiste? 847. L: Una, dos, tres, tres rectas 848. E: Tres rectas 849. L: Todas se cruzan en un punto con una recta… cuatro, puse cuatro

rectas 850. E: Ok, entonces… ¿ahí se están cruzando en más de un punto? 851. L: Ajá 852. E: Pero… ok 853. E: Ok, este… si graficas… por ejemplo dos rectas 854. L: Ajá, dos 855. E: Dos rectas… 856. L: Ajá 857. E: … que tengan más de un punto en común, ¿cómo lo podrías? 858. L: ¿Una encima de la otra? 859. E: A ver, grafícale 860. L: (Grafica dos rectas encimadas) 861. L: Ajá 862. E: Ok 863. E: Ahí tiene más de un punto en común 864. E: Ahora ¿si tuviéramos tres? 865. L: ¿Con más de un punto en común? 866. E: Ajá 867. L: ¿No sería un triangulito como hace rato? 868. E: A ver… ¿sí lo dibujas? 869. E: Puedes poner otro eje… para que no se revuelan 870. L: (Dibuja tres rectas formando un triángulo) 871. L: Ok, allí… 872. E: Ok, esas serían tres rectas con más de un punto en común 873. L: Ajá 874. E: Ok y este sería de cuatro rectas (señalo la primera gráfica que hizo)… 875. L: Ajá 876. E: … también con más de un punto en común 877. L: Ajá 878. E: Ok


+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.

481



879. L: La solución de un sistema de ecuaciones está dada por… donde t es

un parámetro 880. L: ¿Cuál es la forma escalonada reducida… ? 881. L: O sea Gauss-Jordan o ¿qué?… ¿cómo que la forma… 882. E: Ajá sí… exactamente

883. L: (Escribe: 1332

−−

)

884. L: ¡Ay! no… ¿esto es x y esto es y? (señala la expresión dada) 885. E: Ajá, x es igual a esto y y es igual a esto (le señalo la misma

expresión)… donde t pues aquí es un parámetro o una variable libre

886. L: ¡Ah! entonces esto está mal, es… (Escribe: 1332 −−

-2 – (-9) = -2 + 9 =

7) sí, ¿no? 887. L: Determinante es 7 888. E: Ajá, ¿esa sería tu forma… escalonada reducida? 889. L: No 890. L: Escalonada reducida es cuando pones qué es x y qué es y, ¿no?

entonces… x es igual a -2t… ¿t es un parámetro cualquiera? 891. E: Ajá 892. E: O una variable libre 893. L: ¿Por qué, no estaría reducida ahí? 894. E: Ajá, bueno esto representa la solución… 895. L: Ajá 896. E: … de un sistema 897. L: Ajá 898. E: Pero… o sea, aquí ya… ya no está como la matriz 899. L: Ajá 900. E: Entonces tú ¿cómo lo pondrías?… este resultado… ¿cómo lo pondrías

dentro de la matriz… 901. L: O sea, para que me dé… 902. E: … en forma escalonada reducida? 903. L: Me tendría que dar algo como 1, 0, 0, 1, ¿no? que esto fuera igual a -2

+ 3 y -3 + 1 (Escribe: 1332

1001

+−+−

)

904. E: Ajá, esa sería la matriz 905. L: Ajá

482


906. L: (Corrige y escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

1332

1001

tt

)

907. E: Ok, bueno 908. E: Eh… si tuvieras… esta matriz que acabas de poner… 909. L: Ajá 910. E: Bueno acá podemos ver que tienen ceros (le señalo la última

expresión que dió) 911. L: Ajá 912. E: ¿Puedes encontrar…eh… una matriz… partiendo de ésta, donde los

ceros fueran… no sé, otros valores? 913. L: Sí 914. E: ¿Podrías encontrar el sistema?… bueno acá estamos hablando de que

es la forma escalonada reducida 915. L: Ajá 916. E: ¿Entonces podríamos encontrar el sistema… 917. L: Ajá 918. E: … de esta forma escalonada? 919. L: Pues esta x me está diciendo que es igual a -2t + 3… 920. E: Ajá 921. L: Y aquí mi y es igual a -3t + 1 922. E: Ajá 923. L: O sea, ¿que si podemos encontrar el sistema completo? 924. E: Ajá… exacto 925. L: Pues sí, ¿no? ¿no esta allí? (se refiere al matriz que dió) 926. E: ¿Sí? 927. E: ¿Qué tendríamos que hacer para… para encontrar el sistema? 928. L: Es que no entiendo, ¿cómo? 929. E: O sea… bueno este… 930. L: O sea, cuando tú tienes un sistema normal… 931. E: Ajá

932. L: Has de cuenta, 2x + 3y… (Escribe: 7

232=+=+

yxyx

)

933. E: Ajá, ok

934. L: Le pone así… (Escribe: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛72

1132

) has de cuenta

935. E: Exacto 936. E: ¿Este es tu sistema original? (señalo el sistema que escribió) 937. L: Sí 938. E: De este sistema tú partes… 939. L: Ajá

483


940. E: … y vas a hallar la forma escalonada reducida, por Gauss-Jordan que tú dices

941. L: Ajá, sí 942. E: Ok, entonces ahora yo te doy… el método… 943. L: Me estas dando el resultado 944. E: … el resultado, el final pon tú… del método de Gauss-Jordan 945. L: Ajá 946. E: Y ahora ¿tú podrías encontrar… el sistema original? 947. L: Sí 948. E: ¿De qué manera? 949. L: Lo haces a la inversa 950. E: Ajá 951. E: ¿Y qué tendrías que hacer? 952. L: No sé… multiplicar esto… si esto es igual a esto (señala la matriz

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

1332

1001

tt

)… no me acuerdo, pero según yo sí se puede

953. E: ¿Sí se podría? 954. L: Estoy segura que sí se podía, estoy segura 955. E: Y no sé… ¿qué tendrías que hacerle… a esta matriz… para llegar a la

original? 956. L: ¿Para llegar a la original? 957. L: Nada más sustituir, poner aquí -2t + 3 (señala el 1 del primer renglón

de la matriz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−

1332

1001

tt

)… y aquí poner lo que tengo aquí (señala el

segundo renglón de la matriz anterior) 958. L: O sea, has de cuenta, aquí pongo lo que tengo aquí y aquí lo que

tengo acá (se refiere a que puede sustituir los unos por la parte aumentada de la matriz) para que se me vaya y me quede acá, ¿no?

959. E: Ajá, ponlo a ver… 960. L: ¿Puedo poner que mi t es igual a 1? Para que me quede… (Escribe: -2

+ 3 = 1, -3 + 1 = -2) 961. E: ¿Tu crees que… que se pueda? 962. L: Pues t es un parámetro cualquiera 963. E: Ajá 964. L: (pensativa) 965. L: ¿Que no mi vector de dirección está dado por (-3,1)? 966. E: No sé… ¿tu qué piensas? 967. L: No, al revés… esto… (-2,-3), ¿no? 968. L: Pero no sé como se hace al revés 969. L: O sea, no sé como… de esto (señala la parte aumentada de la

484


matriz)… sacar esto (señala la matriz del sistema) 970. E: Ok, no te acuerdas 971. L: No tengo idea 972. E: Bueno… ok 973. E: Esta solución que nos dan del sistema… 974. L: Ajá 975. E: Así como está ¿qué representaría? 976. L: Una recta 977. E: Una recta, ¿por qué crees que una recta? 978. L: Porque tiene un parámetro t, es una suma y tengo dos componentes, x

y y 979. E: Ajá 980. L: Ajá 981. E: Ok y… ¿como podrías representar la recta? o sea, ¿como sabes que es

una recta? 982. L: Porque el parámetro está multiplicando y tiene pendiente 983. E: ¿Cuál sería la recta? 984. L: La… sería… ¿(3,1)? 985. L: Es que no me acuerdo si es (3,1) o (-2,-3) 986. E: ¿Un punto? 987. L: Ajá 988. E: Bueno… ok 13. Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:


989. L: Determina de ser posible un sistema de dos ecuaciones con tres

variables… de modo… 990. L: ¿Dos ecuaciones? 991. E: Ajá 992. L: ¿Nada más dos ecuaciones? ¿No pueden ser tres ecuaciones? 993. E: En este caso no, son dos ecuaciones con tres variables 994. L: O sea, x, y, z 995. E: Ajá 996. E: ¿Entonces es posible o no es posible… encontrar un sistema de dos

485


ecuaciones con tres… perdón… de dos… sí, de dos ecuaciones con tres variables…

997. L: Dos ecuaciones con tres variables 998. E: … de modo que tenga solución única o ninguna solución o más de

una solución? 999. L: Es que puede tener solución única, ninguna o más de una solución 1000. E: ¿Sí se puede? 1001. E: Y… entonces ¿sí podrías encontrar un sistema… 1002. L: Ajá 1003. … que lo cumpla? 1004. L: Ajá 1005. E: Por ejemplo para solución única ¿qué sistema podrías tener…

algebraicamente? 1006. L: Alguna solución tendrían que ser paralelos 1007. E: Ajá 1008. E: ¿Cuáles serían sus ecuaciones?

1009. L: (Escribe: ) 6222

3=++

=++zyx

zyx

1010. L: Sería más de una solución, ¿ok? 1011. E: ¿Porqué más de una solución? 1012. L: Porque el de abajo es dependiente 1013. E: ¿Y eso qué significa? 1014. L: Que no tienen dependencia lineal entonces… o sea es de la forma…

(Escribe: )(2)( zyxczyxc +++++ ) ¿sí? 1015. E: Ajá, ¿cómo son los planos? 1016. E: O sea supongamos… ¿cómo crees que serían esos planos?… que me

acabas de dar las ecuaciones 1017. L: Tienen el mismo… o sea encimados 1018. E: Encimados 1019. L: Ajá 1020. E: Ok y al ser encimados… 1021. L: Es que hay más de una solución 1022. E: Más de una solución, ok 1023. L: ¿Sí? 1024. E: Ajá, ok 1025. L: (Escribe: más de una solución) 1026. L: Ahora solución única… 1027. L: Esta es más de una solución o sea, la c (se refiere al sistema que dió

anteriormente) 1028. L: Solución única, tendrían que ser independientes, ¿no? (Escribe: a)

solución única tendrían que ser independientes)

486


1029. E: ¿Y cuál serían sus ecuaciones?

1030. L: (Escribe: ) ¿no? 3232

3=−+

=++zyx

zyx

1031. L: Has de cuenta aquí… (Escribe a un lado de cada ecuación el punto (1, 1, 1))

1032. E: Ok, esas serían las ecuaciones 1033. E: ¿Y gráficamente cómo serían? 1034. L: Sería un plano que corta a otro 1035. E: Ajá 1036. L: Pongo plano… (Escribe: plano corta a otro) 1037. L: Y… 1038. E: ¿Para ninguna solución? 1039. L: Serían dos planos paralelos (Escribe: ninguna solución 2 planos

paralelos ) 1040. E: Ajá 1041. E: ¿Y cuáles serían sus ecuaciones?

1042. L: (Escribe: ) =++

=++zyx

zyx232

)1,1,1(3

1043. L: (pensativa) 1044. L: A ver… (Tacha la última expresión que puso y escribe: ) 5=++ zyx1045. E: ¿Por qué serían esas ecuaciones? 1046. L: Porque es la misma ecuación con diferente resultado o sea, aquí

tendría que ser… (Escribe: (1, 2, 2)) 1047. E: Ajá 1048. L: Ajá 1049. L: O sea no se satisface con el mismo… con el mismo… 1050. E: Puntos 1051. L: … puntos 1052. E: Ok 1053. L: (Escribe: ≠ puntos) 1054. E: Ok, bueno

487

Anexo II Entrevista: Manuel

1. Dada la ecuación 62 =+ yxa) ¿Son los pares ordenados (1,4), (3,1) y (2,2) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la


1. M: (Escribe: )

6 22(2) 2) (2,6 16 6 12(3) 1) (3,6 42 6 42(1) 4) (1,

62

=+=+=+=+=+

=+ yx

2. E: si quieres hablar puedes hablar para decir… lo que estás haciendo 3. M: este... sí, veo que aquí tengo o sea lo que no sé es que si... bueno si sé

pero tengo que... quiero preguntar si tengo que igualar o sea igualo esto ( ) y me va a salir diferente no? (silencio)(61)3(2 =+ 616 ≠+ ) cuando sale

diferente que tengo que hacer, ¿nada? ¿digo que no hay solución?, oh... 4. E: lo que tú creas... hay solución o no hay solución 5. M: para mí no hay solución pero... aún no lo sé, o bueno no se cumple la

ecuación, allá hay dos puntos… bueno 6. M: no sé a que se refieren con "encuentra el conjunto solución de la

ecuación" 7. E: em... ok 8. E: haber del ejercicio... ósea del inciso a, ¿cuál sería solución según tú? 9. M: del ejercicio o sea del inciso a, veo que la solución es el, en el punto (1,4)

y en el punto (2,2) veo que sí se cumple la ecuación y para el (3,1) no, este… cuando me preguntas encuentra el conjunto solución de la ecuación este... pues quiero creer que es como... escribir esto como... no sé como...

10. E: ¿como qué? 11. M: pues no sé, como así 12. E: escribe, escribe, lo que tú creas escribe... ¿qué es para ti el conjunto

solución? 13. M: el conjunto solución para mí sería... 14. E: de esta ecuación que te dan (silencio) 15. M: este... el conjunto solución lo escribiría como el (1, 4) (2, 2) es el conjunto

solución. 16. E: ¿sólo esos dos? 17. M: si. (Silencio) bueno ese sería también el conjunto solución

488


18. E: bien escríbelo, según lo que tú creas 19. M: ¿segura? 20. M: (escribe los puntos (1,4), (2,2) solución del sistema) 21. M: ¿cuántas soluciones tiene? dos 22. E: pues es lo que tú creas 23. E: o sea que para esta ecuación tu estás diciendo que sólo dos soluciones

habrían ¿no? 24. M: ajá, y... para graficar h puntos 25. E: o sea, ¿si graficáramos? 26. M: ¡ah! si graficáramos ok, si graficáramos todos los puntos del conjunto

solución, ¿Cuál sería la representación geométrica? pues el (1, 4) y el (2, 2) 27. E: ¿y que sería? 28. M: una recta, un vector... ( grafica el punto (1, 4) y el (2, 2) los une ) o dos

puntos, una recta o dos puntos

29. E.: ¿entonces que sería, cuál sería la representación escríbelo allá, qué sería? 30. M: un vector, una recta... no un vector no sería, una recta, dos puntos (risa) 31. E: ¿seguro? 32. M: no, pero (risa), no pero, pero no sé qué significa o sea no sé cuál es la

representación geométrica de esto (del conjunto solución)… la representación geométrica para mí sería... tu ponle no sé x, y pertenece a los puntos (1, 4) (2, 2)

33. E: ajá 34. M: ya, pero no sé cómo se escribe, eso 35. E: ok 2. Dada la ecuación 423 =+− zyx

a) ¿Son los triples ordenados (1,4,5), (3,1,-3) y (2,5,8) soluciones de la ecuación? b) Encuentra el conjunto solución de la ecuación. c) ¿Cuántas soluciones tiene? d) Si graficáramos todos los puntos del conjunto solución, ¿cuál sería la representación geométrica?

489


36. M: (escribe: 45)4(2)1(3)5,4,1(

423=+−

=+− zyx)

37. M: Espera, el conjunto solución se refiere a que, o sea, ¿que hay un sistema de ecuaciones para resolverlo? No

38. E: ¿Cómo? 39. M: ¿El conjunto solución significa que sea un sistema de ecuaciones para

resolverlo? No 40. M: Si me piden un sistema, me pedirían un sistema de ecuaciones 41. E: O sea, ¿acá qué te están dando? (señalo la pregunta) 42. M: nada, me están dando tres puntos 43. E: o sea, ¿aquí que te están dando? (señalo la ecuación) 44. M: una ecuación 45. E: ¿Tu qué crees? 46. M: Y me piden... es que todavía no entiendo ¿qué significa el conjunto

solución? 47. E: Si tienes una ecuación, ¿cuál sería el conjunto solución de esa ecuación? 48. M: Pues el x, y, z de esa ecuación, y para sacarlo puedo sacarlo con Gauss

por ejemplo, ¿se puede hacer eso? 49. E: ¿Con una ecuación? 50. M: No, ¡ah! no claro, claro, no olvídalo 51. M: No, el conjunto solución sería el resultado de x, y, z, si te da ¿no?, porque

igual y no, no te dan los resultados 52. M: El conjunto solución sería un número 53. E: ¿Qué es el conjunto solución? 54. M: Es lo que no sé 55. E: ¿Por qué se le llama conjunto (énfasis) solución? 56. M: Es un conjunto de números que dan la solución 57. E: mm, ¿eso es lo que crees? 58. M: Pues sí, no sé qué es el conjunto solución, para mí el conjunto solución

sería un conjunto eh... 59. E: ¿Un conjunto de qué? 60. M: … de números, que es la solución 61. E: Un conjunto de números... que es la solución 62. M: ajá

63. M: O que bueno, puede ser nada más uno, ¿no? o sea (escribe )

tendría que ser igual a cuatro pero, aquí me sale cero, cero es igual a cuatro y es lo que no entiendo, o sea para mí esto no se cumpliría

4583 =+−

64. E: Ajá 65. E: Y al no cumplirse ¿qué pasa?, o sea, que dices tú que... 66. M: Que al no cumplirse veo que éste punto (el punto (1,4,5) ) en esta

490


ecuación (se refiere a la ecuación dada) no se puede, no tiene solución 67. E: Ajá, ok

68. M: (Escribe: 4323

4)3()1(2)1(3)3,1,3(≠−−

=−+−−)

69. M: Presiento que no se va a cumplir ninguna, bueno no lo sé pero, aquí ésta (se refiere al punto (3,1,-3) ) para mí no se cumple

70. E: Ajá

71. M: (Escribe: 44

481064)8()5(2)2(3)8,5,2(

==+−

=+−)

72. M: Bueno éste sí (se refiere al punto (2,5,8)) 73. E: Entonces para estos tres ¿cuál sería solución de tu ecuación? 74. M: Nada más una, el (2,5,8) 75. E: Ok 76. M: ¿Cuántas soluciones tiene? una (Escribe: tiene una solución) 77. E: ¿Por qué dices que tiene una nada más? 78. M: Porque considero que éstas (el punto (1,4,5) y el (3,1,-3)) no tienen, o sea

al no quedar iguales no tienen solución 79. E: Ajá 80. M: Bueno es lo que yo pienso, o sea al no cumplirse estos puntos (se refiere

a los anteriores mencionados), al sustituir estos puntos en esta ecuación (se refiere a la ecuación dada) no se cumple el resultado de la ecuación

81. E: ¿O sea que sólo una solución puede haber para esta ecuación? 82. M: Pues en estos puntos sí 83. E: ¿Y si no te diéramos esos puntos? 84. M: Ah, no, pues hay más soluciones, está la solución de… sustituyendo

puedes sacar x, puedes sacar y, puedes sacar z 85. E: ¿Y cómo? a ver

86. M: (Escribe: xzy

zyx

342

423−+−

=+−)

87. M: ¡Ay!, esto no, perdón ( tacha xzy

342 −+− )

88. M: O sea x… y… así (Escribe:

yxz

xzy

zyx

2342

343

42

+−=−+−

=

−+−=

)

89. M: Ésta sería mi solución (se refiere a las expresiones anteriores) 90. E: ¿Cuál sería tu solución?

491


91. M: O sea ésta serían mis… la solución de esta ecuación si no me dieran nada, si no me dieran ningún punto que sustituir en x, y, z… éste sería la x, éste sería la y, éste sería la z

92. E: ¿Y cuántas soluciones tendrías? 93. M: Tres 94. E: Tres soluciones… 95. M: Y ya 96. M: Aquí como no entiendo ¿qué es el conjunto solución?, si graficáramos

todos los puntos del conjunto solución, ¿Cuál sería la representación geométrica? Pues para mí la única solución sería este punto (se refiere al punto (2,5,8)), entonces la representación geométrica sería un punto

97. E: ¿Y si lo vemos desde este punto? (le señalo las expresiones

yxzxzyzyx 234,2

34,3

42+−=

−+−

=−+−

= )

98. M: A pos… 99. E: Así como lo manejas aquí (le señalo las mismas expresiones) 100. M: … tenemos tres… o sea, ¿cuál sería la representación geométrica de

esto? (se refiere a las mismas expresiones de x, y y z) 101. E: Ajá 102. M: Buena pregunta 103. M: Tendríamos… no, geométricamente no sé, no sé que sig… no sé que

signifique esto (se refiere a las mismas expresiones) 104. M: O sea… es un punto de x, y, z en un plano en R3 pero no sé que

signifique o sea… no sé, geométricamente no sé que signifique 105. M: Para mí sigue siendo un punto en x, y, z 106. E: O sea esto para tí ¿representa… un punto? 107. M: No, no, no, no 108. E: O sea no sé, es lo que me dijiste 109. M: Sí, significa un punto de x, y, z… 110. E: Ajá 111. M: … en el espacio pero… no sé… geométricamente no sé… por ejemplo

ésta es una recta (señala la expresión yxz 234 +−= )o sea… no sé, no sé 112. E: Ok 3. ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de ecuaciones? ¿Qué relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones? Amplía tus respuestas. 113. E: Bueno, entonces… 114. M: ¿Cuál es el significado del conjunto solución de un sistema de

492


ecuaciones? 115. M: (risa) 116. M: Ese ha sido mi conflicto… ha sido mi conflicto a base de la encuesta 117. E: Ahora estamos hablando del conjunto solución de un sistema de

ecuaciones 118. M: Ajá 119. E: Tu… 120. M: El conjunto solución pues te sale una matriz… en un sistema de

ecuaciones… 121. E: Ajá 122. M: … puedes graficarlo como una matriz, digo representarlo como una

matriz y al momento de hacerla pues te deben dar tres valores, el x, y, z 123. E: ¿Necesariamente? 124. M: No, no si no te sale… alguno, si no te sale por ejemplo… si alguno no

te sale cero totalmente… es lo que significa el sistema de ecuaciones que tenga solución, que tenga solución única o que tenga infinidad de soluciones

125. E: Ajá 126. E: mm… entonces… ¿qué significa el conjunto solución de un sistema? 127. M: ¿El conjunto solución significa x, y, z? 128. M: ¿Ese es el conjunto solución? 129. E: ¿Es lo que tú crees? 130. M: Pues sí, yo, yo… bueno que signif, ¿cuál es el significado del conjunto

solución de un sistema? 131. M: Que… (Escribe: Que al representar el sistema de ecuaciones y

resolverlo, se llega a una solución en donde se pueden obtener los resultados de x, y, z…)

132. M: Bueno sí, de acuerdo a que la ecuación tenga x, y, z, si no puede ser x, y nada más o así

133. E: Ajá 134. M: Este… (Continúa escribiendo: … y si alguno de ellos da cero, es como

se obtiene linealmente depend o indepen. Y si existe solución única, infinidad de soluciones o sin solución)

135. E: Ok 136. M: Es que no entiendo ¿qué es el conjunto solución?, entonces ¿qué

relación existe entre el conjunto solución del sistema y el conjunto solución de cada una de las ecuaciones?

137. M: ¿Cómo qué relación existe? o sea… 138. M: Para mí la solución de un sistema de ecuaciones… pues van a ser la

solución que te dé al…al evaluar todo, o sea al hacer x procedimientos… 139. E: Ajá

493


140. M: … para hallar la solución 141. E: Ajá 142. M: Y cuando este solamente… cuando es… y cuando es de una sola

ecuación pues te da lo que hice hace rato, te da el valor de… cada variable

143. E: Ajá, a ver… 144. E: Si… si lo miras desde el… desde la parte geométrica, que… bueno

vamos a ponerte un… vamos a trabajar en R3 como estás trabajando ahorita

145. M: Ajá 146. E: O sea, tenemos un sistema de tres… 147. M: Ecuaciones 148. E: … ecuaciones con tres incógnitas 149. M: Ajá 150. E: Geométricamente… ¿cuál sería el conjunto solución de esas tres…

ecuaciones? 151. E: ¿Qué opciones tienes? 152. M: Tienes la so… una recta, un plano… ¿eso? 153. M: ¿A qué te refieres?, no entiendo 154. E: Tú dime, o sea… 155. M: Cuando tu… cuando tienes tres ecuaciones… 156. E: Tienes ecuaciones 157. E: A ver… tienes tres ecuaciones… con tres incógnitas 158. E: ¿Cuál sería…? 159. M: ¿Qué representa eso? 160. E: Ajá 161. M: Pues depende de las ecuaciones, ¿no? pueden ser… pueden ser… 162. E: ¿Qué casos podrías tener? 163. M: Pues una recta… 164. E: Ajá 165. M: Este… puedes llegar a tener un… una recta, un plano o puedes llegar

a tener nada más la solución de… o puede que no tenga solución… 166. E: Ajá, ok 167. E: mm… y eso que me estás diciendo ¿qué representa para tí? 168. M: ¡Ay dios mío! 169. M: ¿Cómo qué representa? 170. E: O sea, esa recta, ese plano… 171. M: ¿Qué representa para mí? 172. E: O sea qué viene siendo de… ¿qué relación tiene con las… con las tres

ecuaciones?, por ejemplo una recta ¿qué relación tiene con las tres ecuaciones?

494


173. M: Qué… a ver, a ver ¿cómo va la pregunta? 174. M: ¿Qué representa una recta? 175. E: O sea ¿qué representa la recta que me acabas de decir… 176. M: Ajá 177. E: Eh… con respecto a los tres planos del sistema? 178. M: Pues puede ser que se intersecten, que… no sé 179. E: A ver dibújame un caso, a ver 180. M: Dibujar… un caso… no, no sé 181. E: ¿No? 182. M: No 183. M: ¿O sea que te represente un caso gráfico… de sistemas de ecuaciones? 184. E: De tres ecuaciones 185. M: No, entonces no sé como representarlo 186. E: ¿No? 187. M: No 188. E: Bueno… ok


=−=−

0454

yxyx



189. M: (Escribe: ) 4 54 0

x yx y− =− =

190. M: (Escribe: (0,-5)4(0) - (-5) 5 4(0) - y(-5) 5

==

pero se da cuenta que puso la y de más, pero

lo deja así)

191. M: (Escribe: (1,4)4(1) - (4) 5 4(1) - (4) 0

==

y luego corrige la segunda ecuación anterior y

la iguala a cero) 192. M: ¡Ah! esto es un sistema de ecuaciones, esto se puede resolver así:

495


(escribe: , luego escribe: 44 0

x yx y− =− =

5 50

4 14 1

−−

)

193. M: No, no entiendo… no sé 194. E: A ver, ¿qué pasa? 195. M: O sea, un sistema de ecuaciones… para resolverlo… con gauss o ¿así? 196. M: ¡Ah! es que esto se puede resolver nada más sacando x y y, ¿así?

(señala las sustituciones que hizo con los puntos en las ecuaciones) o se puede resolver con matriz… no se puede resolver como matriz porque…. no me hagas caso, no me hagas caso (tacha lo que escribió anteriormente)

197. E: No lo taches 198. M: No lo tacho, ok

199. M: (Escribe: (0,0)4(0) - (0) 5 4(0) - (0) 0

==

)

200. M: Estoy en un conflicto existencial 201. E: ¿Porqué? ¿Qué pasó? 202. M: Al evaluar estos puntos aquí en estas ecuaciones (se refiere a los

puntos dados), veo que unos se van a cumplir y otros no, como en las anteriores

203. E: Ajá 204. M: Pero no entiendo cómo, ¿cuál va a ser el resultado? 205. E: ¿Cuál crees tu que… es solución… de ese sistema? 206. M: Las que sí cumplen nada más 207. E: ¿Cuál cumple? 208. M: Este (para el primer punto, palomea la primera ecuación), éste (para el

segundo punto, palomea la segunda ecuación), éste (para el tercer punto, palomea la segunda ecuación)

209. M: Esos (se refiere a las ecuaciones que palomeó) 210. E: O sea cumplen para el… 211. M: Para estos puntos 212. M: Es lo que no entiendo que… que… o sea no entiendo… ahora en un

sistema de ecuaciones, no entiendo cuáles van a ser las soluciones de verdad si se cumplen solo uno de cada uno…

213. E: Ajá 214. M: ¿Cuáles van a ser las soluciones?, no entiendo 215. M: O sea no se van a cumplir en el sistema de ecuaciones, ninguna,

porque solo se cumplen para un caso de los dos 216. E: ¿Entonces? 217. M: No sé 218. M: No sé si al cumplirse solamente una para los dos, ya es como… si se

496


cumple, o sea si se cumple para el sistema de ecuaciones 219. E: ¿Tu que crees? 220. M: Que no 221. E: Para que… para que sea solución del sistema ¿qué debe de cumplirse? 222. M: Que se cumpla en el sistema, en el sistema de ecuaciones, en las dos

ecuaciones 223. E: En la dos ecuaciones 224. M: Ajá 225. E: Ok, entonces… ¿qué concluyes? 226. M: Que no se cumple para ninguna 227. E: Ajá 228. M: Entonces el conjunto solución del sistema dado ¿cuántas soluciones

tiene? 229. M: Pues tiene estas soluciones, pero en el sistema de ecuaciones no tiene

ninguna 230. M: Bueno creo yo 231. E: Ok, eh… ¿estás tomando en cuenta estos tres puntos? (señalo los

puntos dados) 232. M: Ajá 233. E: ¿Y si no tomaras en cuenta estos tres puntos? 234. M: No, pos no sabría si se cumple o no, ¿cómo podría saber si se cumple

o no… las diferentes ecuaciones? 235. E: ¿Cómo podrías encontrar este… el conjunto solución de ese sistema? 236. M: ¿Sin ningún… sin ningún valor x y y? 237. E: Sin ningún valor, ajá 238. E: Tienes el sistema… ¿cómo encontrarías la solución? 239. M: Pues también nada más… así, o sea… como la vez pasada… no, no es

necesario…

240. M: (Escribe:

4 55

45 4

x yyx

y x

= ++

=

= −

)

241. M: Así, y igual para el otro 242. E: Pero eso sería… por ecuación, ¿no? 243. M: Ajá 244. E: Pero… ¿la solución del sistema? 245. M: ¿Para el sistema de ecuaciones? 246. E: ¿Qué tendrías que hacer para hallar este… la solución del sistema? 247. M: Pues una… una pequeña matriz en donde sea esto (Pone en forma de

497


matriz a los coeficientes del sistema: ) 4 1 54 1 0

−⎛ ⎞⎜ ⎟−⎝ ⎠

248. E: ¿Y cómo lo resolverías? 249. M: Pues lo resolvería con, con… 250. E: A ver, resuélvelo 251. M: … se puede hacer con… no sé hacer… 252. E: Puedes tomar otra hoja 253. M: Si, gracias 254. M: Lo resolvería haciendo, bueno como gauss pero… sería… 255. M: Multiplicando éste… por -1 (se refiere a multiplicar el segundo

renglón de la matriz por -1)

256. M: (Escribe: 4 1 5

(1) 4 1 0−⎛ ⎞

⎜ ⎟− −⎝ ⎠

1⎛⎜⎝

)

257. M: No, es al revés 258. M: Bueno ¿sí puedo utilizar la otra hoja mejor? (tacha lo que escribió

antes) 259. E: Sí, tómala

260. M: (Escribe: (1) 4 1 5 4 1 5

4 1 0 0− ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜−⎝ ⎠ ⎝⎟⎠

)

261. M: No, no puede ser 262. E: A ver termínalo, ¿cómo quedaría la matriz?

263. M: (Escribe: (1) 4 1 5 4 1 5

4 1 0 0 0 5− ⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞

⎜ ⎟ ⎜− −⎝ ⎠ ⎝⎟⎠

)

264. M: Pero a mi parecer… 265. E: ¿Qué significa? 266. M. ¿Que no hay solución? 267. E: ¿Por qué crees que no hay solución? 268. M: Porque estos dos… a no, sí, sí… a no, no sí hay solución, ¿no?,

cuando… cuando te deja todo un renglón en ceros… significa que es linealmente independiente y que… ¿hay infinidad de soluciones?

269. E: ¿Eso crees? 270. M: No, no me acuerdo, no me acuerdo de eso, pero… bueno sí, sí hay

solución 271. M: La solución es… es ésta (señala la última matriz) y significa que como

cuando hay dos… un renglón de ceros… la solución es… algo que no recuerdo…

272. E: O sea, tú vez el último renglón… 273. M: Espérame un segundo… ¡qué fuerte! (le zumbó el oído) 274. E: (Risa)

498


275. M: Este… 276. E: O sea ¿para tí eso significa? 277. M: Que… es linealmente independiente y que… y que… ¿qué significa

cuando es linealmente independiente? (entre risa) 278. M: Aquí es linealmente independiente y lo que significa cuando es

linealmente independiente (risa) 279. E: (risa) 280. E: ¿Y como cuál sería entonces la solución? 281. M: ¿La solución? 282. E: ¿O no hay solución? 283. M: No, sí pero es que por eso, no me acuerdo, que cuando es linealmente

independiente tienes… una infinidad de soluciones creo, no me acuerdo 284. E: Bueno, vamos a seguir… 285. M: ¿Cuántas soluciones tiene? Esa es mi duda 286. M: No me acuerdo que signifique cuando es linealmente independiente 287. E: Ok 288. M: Pero bueno, eso 289. E: mm… ok 290. M: Esto no sirve (hace a un lado la primera hoja) 291. E: Todavía 292. M: Ahh, bueno 293. M: Encuentra el conjunto solución del sistema dado, este es el conjunto

solución (señala la matriz que halló antes) 294. M: ¿Cuántas soluciones tiene? 295. E: ¿Qué sería el conjunto solución? 296. M: ¿Mande? 297. E: ¿Qué sería el conjunto solución? 298. M: El resultado 299. E: ¿Cuál? 300. M: Este (señala la última matriz) 301. E: O sea, ¿la matriz? 302. M: Ajá 303. E: ¿Ese sería el conjunto solución? 304. M: Ajá 305. E: Ok 306. M: Aquí no se porqué me quedó así, pero… no así me debió quedar

supuestamente 307. E: ¿Qué debió quedar? 308. M: Debió de quedar este… por ejemplo este, o sea cada… cada… o sea

éstos dos (señala el primer coeficiente del primer renglón y el segundo coeficiente del segundo renglón) debió de quedar como puntos…

499


como…ajá, debieron de quedar unos y significa que son los… los puntos, ¿no?, o sea en un momento dado que tenemos los resultados éstos con los resultados de la matriz, la matriz aumentada serían el resultados de… de x y y

309. E: Ajá 310. E: ¿Y en este caso como no te dió unos? 311. M: No me acuerdo qué significa, pero sí tiene algún significado 312. E: Ok, bueno… este… ahora el que sigue (señalo el siguiente inciso) 313. M: ¿No podría venir a hacer esta cosa dos días después? 314. E: (risa) No 315. E: Ahora el inciso c 316. M: ¿Grafica el sistema de ecuaciones? 317. M: No sé cómo graficar el sistema de ecuaciones 318. E: O sea, ¿cómo graficarías éstos (señalo las ecuaciones del sistema)? O

sea ¿qué representa éstos dos? ¿Qué son? 319. M: Rectas, ¿no? 320. E: Ajá, ¿las puedes graficar? 321. E: Una por una… en el mismo eje de coordenadas 322. M: No, no sé cómo graficarlas 323. E: ¿No sabes graficar rectas? 324. M: O sea, ¿con estos valores? (señala los puntos dados en la pregunta) 325. E: No, no, así como están (me refiero a la ecuación) 326. M: No, no sé 327. E: O sea… si graficas una recta, ¿cómo la graficas? O sea, ¿qué necesitas

para graficar una recta? 328. M: El… pues el vector, ¿no? o sea el x, y, z, bueno el x, y y x, y del otro

lado para unirlos 329. E: O sea… 330. M: … y se vuelve una recta 331. E: O sea, ¿estás diciendo que necesitarías dos puntos? 332. M: Ajá, dos puntos exactamente 333. E: ¿Y si das dos puntos cualquiera? 334. M: Pues va a ser una recta desde 4x hasta -y… con los puntos que le des 335. E: O sea, ¿cómo graficarías la primera? (me refiero a la primera ecuación

del sistema), o sea imagínate no sé, lo que necesites para graficar esa recta 336. M: O sea, x y y nada más necesito… pero no sé cómo graficar una recta

sin puntos 337. E: Ajá, ok 338. E: Entonces imagínate dos puntos, inventa dos puntos 339. M: No sé… sería uno aquí y también el –y… entonces por acá (grafica dos

puntos en el plano cartesiano)

500


340. E: A ver, o sea da dos puntos… escríbeme dos puntos los que tú quieras 341. M: Puedo escribir algunos de éstos (señala los puntos (0,5) y (1,4)), el (0,5)

o el (0,-5) 342. E: Ah, ok igual 343. M: El (0, x) puede estar aquí (Grafica un punto sobre el eje x, en el mismo

plano cartesiano)… 344. E: A ver tienes… necesitas dos puntos para graficar la recta… 345. M: Ajá 346. E: …bueno eso es lo que me dijiste, ¿no? 347. E: Entonces agarra este punto y este punto (me refiere al punto (0,5) y el

(1,4)) 348. M: Ah, ok 349. E: Entonces si agarras el primer punto (me refiero al (0,5)) y quieres

graficar esta recta (me refiero a la primera recta del sistema) ¿qué tendrías que hacer?

350. M: Nada más al sacar, sustituir los valores, sacar los valores éstos (señala el resultado que le dio en el inciso a) y nada mas los unes y este sería la recta

351. E: A ver grafica la recta 352. M: Sería (0,-5)… (Ubica el punto en el plano) 353. E: ¿Pero sí son puntos de esa recta? 354. M: Eso no sé 355. E: Bueno más… vamos a hacer una cosa… que… esta parte que hiciste

(me refiero a su procedimiento del inciso a) toma los puntos que son de esta recta (señalo la primera recta del sistema)

356. E: ¿Qué puntos de esos (me refiero a los del inciso a) pertenecen a esta recta?, para que los puedas graficar

357. M: Éste (señala el punto (0,-5)) 358. M: Nada más, ¿no? 359. E: ¿Sólo el (0,-5)? 360. M: Ajá 361. E: ¿No hay otro? 362. E: De ahí creo que no hay otro, pero… 363. E: ¿Qué puntos sacarías de esta recta (señalo la primera recta del

sistema)? 364. M: Un positivo en x y un negativo en y 365. E: ¿Cuál? 366. M: El (3,-8) 367. E: ¿Pero sí, sí es punto de esa recta? 368. M: Sí 369. E: ¿Seguro?

501


370. M: No, no estoy seguro pero… ¡hay qué fuerte! 371. M: No sé cómo graficar una recta 372. E: Bueno, em… 373. E: A ver… para la segunda ecuación, cuales puntos son… cuales puntos

son… de esta recta los que tienes allá (le señalo los puntos que evaluó en el inciso a)

374. M: El (0,0) 375. E: ¿Y qué otro? 376. M: El (0,-5) 377. E: ¿De la segunda? 378. M: Ajá 379. E: ¿Sí cumplió para la segunda? 380. M: No, el (1,4) perdón 381. E: Entonces ahí tienes dos puntos que pertenecen a esta recta 382. M: Ajá 383. E: Entonces ¿cómo graficarías esa recta? 384. M: Pues pongo el (1,4)… ajá y este sería el (0,0) (Grafica los puntos (1,4) y

(0,0) y traza el segmento de recta entre esos puntos)

385. E: Ajá, ¿eso es la recta? 386. M: Ajá 387. M: ¿Te lo hago en limpio? 388. E: Ajá, ponlo más abajo 389. M: Este es el (0,0) y el (1,4) (vuelve a graficar los puntos) 390. E: Ajá, que son puntos de la segunda recta 391. M: Ajá 392. E: Traza la recta 393. M: (Traza el segmento de recta entre los puntos dados)

502


394. M: Bueno eso es lo que yo pienso 395. E: Ok, solo ese… 396. E: ¿Eso es la recta para tí? 397. M: Ajá 398. E: Ok, bueno… de la primera ya tenemos este punto (0,5)… 399. M: Bueno me imagino, o sea, esa es la recta para mi pero me imagino que

crece, depende de los valores que le des 400. E: O sea que… 401. M: Sí, que puede irse hacia acá o hacia acá como tú quieras (señala por

arriba y por debajo el segmento trazado), pero depende de los valores que tú le des

402. E: Ah, ok 403. E: O sea que si yo tengo un punto más para acá (señalo el tercer

cuadrante) ¿la recta crece? 404. M: Ajá 405. E: Ok 406. E: Ahora de la primera ecuación tenemos este punto (señalo el punto (0, -

5)) y te voy a dar otro punto, el (1,-1) que también pertenece a la recta (me refiero a la recta 54 =− yx )

407. M: Sí 408. E: Entonces con esos dos puntos grafícame la recta 409. M: O sea el (0,-5) y el… 410. E: (1,-1) 411. M: El (1,-1) y el ¿qué perdón? 412. E: Y el (0,-5) 413. M: Esa es mi recta (Trazó el segmento entre esos dos puntos) 414. E: Ok, este… ¿ese sería tu otra recta? 415. M: Ajá 416. E: Entonces… bueno ¿qué pasa si extendemos la recta? 417. M: Pues se extiende la recta hacia los positivos de x y hacia los negativos

de y 418. E: Ok, entonces vamos a extenderla y grafica ésta en el mismo (me refiero

a que las dos graficas las coloque en el mismo plano cartesiano) 419. M: (Traza los dos segmentos de recta en un mismo plano)

503


420. E: Vamos a extender las dos, ¿qué pasaría? 421. M: (Extiende las dos rectas) Se intersectarían en un punto… se intersectan

en un punto 422. E: ¿Sí se intersectan? 423. M: Ajá 424. M: Bueno muy lejano pero sí, no como yo lo dibujé 425. E: Ok 426. E: Y… geométricamente ¿qué representa esa intersección según tú? 427. M: Un punto 428. E: Un punto 429. E: Y ese punto ¿qué… qué viene siendo?… o sea ¿qué tiene que ver con

las dos rectas? ¿Qué crees que sea? 430. M: Al intersectarse las dos rectas en un punto, que ¿qué creo que sea? 431. E: Ajá 432. E: ¿Qué significa que las dos rectas se intersequen en un punto? 433. M: No sé, que… no, no sé 434. E: ¿No? 435. E: Ok, mm… 436. E: Entonces… según me decías esto es el… (Señalo la última matriz que

escribió) 437. M: El sistema de ecuaciones 438. E: … el conjunto solución, ¿no? 439. M: Ajá, el conjunto solución del sistema de ecuaciones 440. E: Y pues aquí las dos rectas me dices que se intersectarían en algún

punto 441. M: Ajá 442. E: Ok, entonces… ¿qué puedes comentar acerca del conjunto solución de

este sistema? 443. M: Que… no sé 444. E: Bueno 445. M: ¿Puedo seguir esta cosa después de estudiar? 446. E: No (risa)

504



=+=+

000523

yxyx



447. E: A ver…

448. M: (Escribe:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=+=+

05

0023

000523

yxyx

)

449. M: Pero no… esto no… no tiene solución, ¿no? 450. E: ¿Porqué? 451. M: Porque todo un renglón es ceros 452. E: Ajá 453. E: ¿Y qué significa eso? 454. M: ¿Que el sistema de ecuaciones no tiene solución? 455. E: No tiene solución 456. M: Ajá 457. E: Bueno, si eso es lo que tú piensas… no tiene solución 458. M: (Escribe: No tiene solución) 459. M: Bueno es que no… según yo sí, pero no me acuerdo que significaba

que un renglón sean todos ceros, significaba algo, creo que tenga solución única, que no tenga solución, que tenga infinidad de soluciones, pero según yo es que no tenga solución

460. E: Ok, si graficas el sistema… 461. M: Puedo ver que una está en el origen y otra no, que una ecuación está

en el origen y de ahí partes para sacar la otra… 462. E: ¿Cuál está en el origen? 463. M: ¿Eu? 464. E: ¿Cuál está en el origen? 465. M: El cero, cero, cero 466. E: ¿Gráficamente que… cuál sería? A ver dibújamelo 467. M: Este (Dibuja el origen) 468. E: ¿El… punto? 469. M: Ajá

505


470. E: Eso representa ¿qué cosa? 471. E: ¿Esta ecuación dices tu? (Le señalo la ecuación 000 =+ yx ) 472. M: Ajá 473. E: Ok 474. E: ¿Esta ecuación la puedes graficar? (Le señalo la ecuación ) 523 =+ yx475. M: Sí con… algún valor 476. E: Ok 477. E: ¿Sí la puedes graficar… 478. M: Sí 479. E: …dándole cualquier valor? 480. M: Sí 481. E: ¿Cuál sería la grafica de esa ecuación? 482. M: A no, no se puede graficar 483. E: ¿Por qué? 484. M: Porque, tampo… o sea no habría, solo se cumpliría el (1,1) aquí, no se

cumpliría ningún otro 485. M: Entonces no se podría graficar 486. E: O sea ya encontraste el (1,1) 487. M: Ajá 488. E: Y otro valor, cualquiera… ¿hay o no hay? 489. M: Según yo no 490. E: ¿No habría otro valor para esa recta? 491. M: No, según yo no 492. M: Sí, puede ser que sí 493. M: Sí, puede ser que sí, pero… pero no sé cómo se puede graficar 494. E: Ok 495. M: Sí, sí hay otros puntos que sí cumplirían 496. E: ¿Sí cumpliría para otros puntos? 497. M: Ajá 498. E: ¿Como para qué? 499. M: El (3, -2) si cumpliría 500. E: (3,-2), ajá 501. E: ¿Y con esos dos puntos puedes graficarlo?... ¿O no? 502. M: Pues sí supongo que sí pero… sí supongo que sí pero no sé 503. M: Sí se puede graficar 504. E: ¿Sí? 505. M: Con esos dos puntos 506. E: ¿Y cómo quedaría? 507. M: Quedaría una línea recta paralela al origen, paralela a y 508. E: A ver, dibújala 509. M: ¡Ah!, no, quedaría diferente, quedaría así (dibuja el segmento entre los

506


puntos (1,1) y (3,-2))

510. E: Ajá, ok 511. E: Entonces para la segunda ecuación no hay… ¿no existiría ningún valor

de x y y? ¿o solo el (0,0) como me pusiste? 512. M: Sí, creo que nada más el (0,0) 513. E: O sea ¿para ningún otro valor de x y y, otro que no sea cero? 514. M: Puede ser que sí… el (1,-1), el (2, -2), el (3,-3)… 515. E: ¿Porqué? 516. M: Porque serían cero y al momento de sustituir aquí te darían cero, sí

cumplirían 517. E: Ajá 518. E: ¿Cuántos valores, o sea cuántos puntos puedes encontrar para esa

recta? 519. M: Una infinidad de soluciones, muchas 520. E: Muchas 521. M: (Tacha la palabra “no” que escribió antes) 522. E: Para esta recta, ¿no? (Le señalo la ecuación 523 =+ yx ) 523. M: Ajá 524. E: Entonces… a ver no borres 525. E: ¿Qué representa esta ecuación entonces?, si tú me dices que hay

muchas muchos puntos 526. E: ¿Qué representaría?... geométricamente 527. M: ¿Una recta?, muchos puntos, o sea, no sé, un plano, no sé, una recta,

no sé, no sé 528. E: ¿Una recta? 529. M: Sí 530. E: ¿Eso es lo que crees? 531. M: No estoy seguro 532. E: ¿Y qué recta sería? 533. M: ¿Qué recta sería? no sé, no sé 534. M: ¿Cómo qué recta sería? 535. E: O sea tu…eso para tí representa una recta, ¿no? 536. M: Ajá 537. E: … porque son muchos puntos

507


538. E: ¿Pero qué recta sería… geométricamente? 539. M: No tengo idea 540. E: Pero sí sería una recta según tu, ¿no? 541. M: Sí 542. E: Ok 543. E: Entonces, bueno 544. E: Entonces ¿qué puedes decir acerca de… del conjunto solución? 545. M: Que tiene una infinidad de soluciones 546. E: ¿Y cuáles serían las soluciones? 547. M: Pues todas las de… todas las de x y todas las de y 548. E: ¿Todos, todos? ¿Cualquier valor? 549. M: No, no, cualquier valor no, todas las que cumplan o sea, cuando se

cumpla esta ecuación 550. E: ¿Cuál? 551. M: La segunda ecuación 552. E: ¿Y para el conjunto solución del sistema? 553. M: O sea ¿en general, para las dos? 554. E: Ajá, para las dos 555. E: ¿Cuál sería su conjunto solución de las dos? 556. M: Todos los… todos los x positivos y todas las y negativos 557. E: O sea cualquiera, cualquier positivo y cualquier negativo, cualquiera

¿no? 558. M: Sí 559. E: ¿Sí? 560. M: Sí, creo 561. E: Ok


⎪⎨

⎧

=−−=−=+

kyxyxyx

26123

a) ¿Es posible que este sistema tenga solución única? Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es la solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente. Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta. b) ¿Es posible que este sistema tenga infinidad de soluciones?

508


Si la respuesta es “sí”: i) ¿Cuál es el conjunto solución? ii) Grafica éste sistema y muestra la solución geométricamente. Si la respuesta es “no”, justifica tu respuesta. c) ¿Es posible que este sistema no tenga solución? Justifica tu respuesta.

562. M: ¿Qué significa que esté igualado a una constante, a k? 563. E: ¿Cómo? 564. M: ¿Qué significa que esté igualado a k? 565. E: Que es un… cualquier valor o sea… puede tomar cualquier valor o sea,

es una constante… o sea, no te especifican que valor debe tener 566. M: Ajá

567. M: (Escribe: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

k12

2611

13)

568. M: No pos es lo mismo que me está pasando en todas, no sé qué significa o sea, no sé qué significa que sea k, no sé qué significa, no sé que tenga solución única, que tenga infinitas soluciones o que no tenga solución, no lo sé

569. E: Ok 570. E: ¿Qué representa este sistema? (señalo el sistema dado) 571. E: Geométricamente ¿qué representa? 572. M: Pues tres rectas, no sé… tres ecuaciones 573. E: Ajá, tres rectas como dijiste 574. M: Ajá 575. E: Son tres rectas, solo que en este caso (señalo la constante k) pues no te

están dando… 576. M: El último valor 577. E: … el último valor 578. E: Bueno vamos a… 579. E: ¿Si tienes tres rectas es posible que el sistema tenga solución única? Te

están preguntando en la primera 580. E: O sea, son tres rectas, imagínate, son tres rectas 581. M: Ajá 582. E: ¿Puede tener solución única? 583. M: No, puede tener múltiples soluciones, me imagino 584. E: ¿Por qué? 585. M: Porque son tres rectas…

509


586. E: Ajá 587. M: Pueden tener muchos valores las rectas, o sea… muchas posibles

soluciones cada recta, entonces las tres juntas tienen una infinidad de soluciones, eso es lo que yo me imagino

588. M: Pero sé que se debe cumplir que alguna se haga cero o algo así para saber eso

589. E: Tú lo esta viendo desde el punto de vista matricial 590. M: Bueno pues sí, creo 591. E: Sí 592. E: Entonces si tengo tres rectas ¿no puede tener una sola solución? 593. M: No 594. E: No 595. M: Bueno sí, según… pues supuestamente puede tener cualquiera de las

tres, puede tener solución única, puede tener infinitas soluciones o puede que no tenga solución

596. E: Ajá 597. M: Depende al resolverla la la matriz… te da… si te da, si se cumple, o

sea, si puedes hacer pivotes, éstos dos y alguno se hace cero (señala la matriz del sistema) y cosas así, eso depende de si tiene solución única, no tenga solución, tenga infinidad de soluciones, pero no sé cuál es cuál

598. E: No sabes distinguir las tres 599. M: No 600. E: Ok 601. M: O sea, sé que cuando te da cero alguno de los valores, de… por

ejemplo lo que estábamos haciendo hace rato, en combinaciones lineales (se refiere a su clase de Algebra Lineal), veo que al que te dé uno cero es linealmente dependiente, este…cuando te da todos ceros es linealmente independiente o sea, y sé que uno significa que tenga infinitas soluciones, otro que no tenga solución, otro que tenga solución única, pero no sé cuál es

602. E: Ok 603. M: Igual estudiando posiblemente… 604. E: Risa 605. M: Posiblemente eh, conste que no dije que sí 606. E: Risa, ok 607. M: No lo sé, siento que para hacer esto necesito haber estudiado eso 608. M: Esto no me lo sé (se refiere a la pregunta) 609. E: Ok 610. E: Bueno imaginemos… 611. M: Risa 612. E: O sea, vamos a imaginar la gráfica, tienes tres rectas

510


613. M: Sí 614. E: Este… ¿de qué manera las puedes dibujar? 615. M: ¿En un plano cartesiano? o sea… 616. E: Sí en un plano, las tres juntas 617. E: ¿Qué opciones tienes? 618. M: Pues que sean paralelas… (Dibuja tres rectas paralelas)

619. E: Ajá, las tres paralelas 620. M: …ajá, que se intersecten… en un punto (Dibuja tres rectas cortadas en

un punto), que… que no se intersecten (Dibuja tres rectas finitas que no se tocan pero no en un plano), que se intersecten, ¡ah! pues cuando son paralelas no se intersectan

621. E: Ajá 622. M: … que se intersecten… que sean… ya, creo que son las únicas dos

opciones, que se intersecten y que no se intersecten… que se intersecten dos y una no…

623. E: Ajá 624. M: … que… ya 625. E: ¿Son todas? ¿Serían todos los casos? 626. M: Ajá, tres casos 627. E: Tres casos, ok 628. E: Entonces si tenemos que las tres son paralelas ¿eso qué significa? 629. M: No sé, que no se intersecten, pero no sé que signif, no sé, ¿que no

tenga solución? o que tenga infinidad de soluciones, no sé 630. E: ¿No sabes? 631. E: ¿Y si se intersectan en un… (Señalo la gráfica donde las tres rectas se

intersectan en un punto) 632. M: Eso significa que tenga solución única 633. M: (En la gráfica donde dibujó tres rectas finitas, extiende dos rectas de

manera que se cortan en un punto y escribe: solución única)

511


634. E: ¿Cuál? 635. M: Que se intersecten dos y una no 636. E: ¿Dos y una no? 637. M: Eso puedo creer 638. E: Ajá 639. E: ¿Y si se intersectan… 640. M: Estoy aprendiendo más aquí… 641. E: Risa 642. M: ¿Eu? ¿Mande? 643. E: ¿Y si se intersectan las tres como en este caso? (Señalo la gráfica donde

las tres rectas se intersectan en un punto) 644. M: mm… no, esto no, ya dudé, no, no sé 645. M: No sé qué signifique cada… cada caso 646. M: Me imagino que uno significa que tenga solución… soluciones

infinitas, otro que no tenga solución y otro que tenga solución única, pero no sé cuál es cuál

647. E: Ok, bueno 7. Dado la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas


figura anterior. c) ¿Cuál es el conjunto solución de tu sistema propuesto? ¿Qué observas?

512


648. M: ¡Ay, qué fuerte! 649. M: Risa 650. M: Es lo mismo (entre risa) 651. E: Tranquilo 652. M: ¿No puedo regresar estudiando? 653. E: No 654. M: ¿Y más en un avance? ¿Haciendo el análisis del estudio… del estudio

hecho? 655. E: Risa 656. M: ¿No? ¿Esto me va a ayudar o a perjudicar… en clase? 657. E: No, no tiene nada que ver… con tus clases 658. M: Ok, gracias 659. M: Es… lo mismo 660. E: A ver… 661. M: Son tres ecuaciones con dos incógnitas 662. E: Ajá 663. M: ¿Qué significa? bueno aquí se intersectan las tres 664. E: ¿Cuántas soluciones tiene… el sistema representado con esa gráfica? 665. M: Pues tres, ¿no? quiero creer 666. E: Ajá 667. E: ¿Cuáles serían las soluciones? 668. M: Los puntos… 669. E: Ajá, márcalos 670. M: … donde se intersectan (marca los tres puntos de intersección)

671. E: ¿Podrías dar algún sistema algebraicamente que te representen esas

tres rectas? 672. M: No, no sé 673. M: Sí, supongo que sí hay un sistema de ecuaciones que… que sea esto,

pero no sé cómo hacerlo 674. E: Ok 675. E: ¿Y entonces cuál sería el conjunto solución de este sistema que ves allá,

gráficamente? 676. M: Tres puntos, o sea, que te den tres puntos 677. E: Escríbelo

513


678. M: Sí para que te… para que las tres… bueno por lo menos, lo que pienso para que las tres se intersecten, las tres rectas tiene que haber un punto de x, un punto de y y un punto de z o algo así o sea… ¡ah!, no, pero aquí se están intersectando no en el mismo punto

679. M: Entonces me imagino que aquí tiene que haber tres puntos diferentes… donde se intersectan las rectas

680. E: ¿Cómo? 681. M: Sí, o sea, si supongo que se intersectan tres rectas así (Dibuja tres

rectas que se cortan en un punto)

682. E: Ajá 683. M: O sea, hay un solo punto que es solución, ¿no? 684. M: La solución es ésta (marca el punto de intersección) 685. E: Ajá 686. M: Cuando están así, o sea que se están intersectando en diferentes

puntos… hay tres soluciones, ¿no? (Dibuja un sistema igual al dado)

687. E: Ajá 688. M: O sea, bueno… tres puntos donde se tiene que marcar la solución 689. E: Entonces para este sistema ¿cuántas soluciones habría? (me refiero al

sistema dado) 690. M: Pues tres 691. E: Tres… y serían los… los que marcaste, ¿no? 692. M: Ajá 693. E: Ajá

514



=−−=++

142332

zyxzyx



694. M: No pos es lo mismo, o sea… 695. M: No, no sé, o sea aquí… son dos ecuaciones con tres incógnitas que…

tiene que tener… o sea que obviamente tiene que tener solución en x, y, z y no sé cuál sería

696. E: ¿Porqué? 697. E: ¿Cómo encontrarías la solución de ese sistema? (me refiero al sistema

dado) 698. M: Este… pues al eval… tienes que encontrar un punto, o sea son dos

rectas que tienes que encontrar su dirección y si se unen, encontrar el punto donde se unan y esa sería la solución

699. M: Sería el punto ),,( zyx en el espacio, donde se unen 700. M: O puede ser que no se unan, ¿no? 701. E: Ajá 702. M: Que no se intersecten nunca 703. M: ¿Cómo puedes saber si se intersectan o no? 704. M: Es lo que no sé 705. E: ¿Cómo lo… o sea, cómo lo encontrarías? 706. M: Graficar las dos rectas, pero… 707. E: Eh… ¿son rectas ésas? 708. E: ¿Sí son rectas? 709. M: Ah no, son planos, ¿no? 710. M: Son planos porque tienen… 711. M: Ah, sí perdón son planos… porque tienen, están en 3R 712. E: Ajá 713. M: Bueno… 714. E: Entonces ¿cómo encontrarías la solución? 715. M: Pues donde se unan los planos, puede que nunca se intersecten 716. E: Y si se unen, ¿en qué… en qué se unirían? 717. M: En un punto ),,( zyx 718. E: En un punto 719. M: Ajá 720. M: Bueno en un… muchos, porque son planos 721. M: O sea, al momento de unir planos, o sea, aquí cruza un plano y que

515


aquí cruce otro (dibuja dos planos intersectados) 722. M: Bueno más o menos, ¿no? 723. M: O sea al momento de intersecarse los planos se intersecan en muchos

puntos 724. E: Ajá 725. M: De x, y, z, y ya 726. M: Entonces se intersectarían… en todo ésto (dibuja dos planos y sombrea

su intersección)

727. E: ¿En todos ésos? (me refiero a lo que él sombreó) 728. M: Ajá 729. E: ¿Y qué representa… ese conjunto solución? 730. E: O sea lo que acabas de sombrear ¿qué representaría? 731. M: Pues un… un espacio… un pedazo de… un pedazo del plano 732. E: Un pedazo del plano 733. E: Entonces eso sería la solución de dos planos, ¿no?, que se intersectan 734. E: Y para este caso, para este sistema que tenemos aquí, ¿cómo

encontrarías…el, la solución? 735. M: Pues al unir los dos planos, el… toda el área que se una, es tu conjunto

solución 736. M: O sea son una infinidad de puntos que están… que están en los dos

planos 737. E: ¿Puedes, puedes este…encontrar el conjunto solución

algebraicamente… de esos dos? 738. M: Algebraicamente sí, dibujado no, tienes que hacerlo me imagino con…

tienes que tener valores en x, y, z… los que se cumplan para x, y, z igual a 3 y x, y, z igual a 1, son todos esos

739. E: ¿No hay ningún método… 740. M: Sí debe de haber 741. E: … que tengas para encontrar? 742. M: Sí, debe de haber, pero no lo sé hacer 743. M: Igual puede ser con matrices, puede ser con… no sé, no sé con qué se

saque 744. E: Si lo haces con matrices, ¿cómo lo harías? 745. M: Es 1, 2, 3, lo especificas así como en… vectores y… bueno así, como

516


matriz, o sea así (Escribe la matriz aumentada del sistema) 746. E: A ver 747. M: Y… no, así no me va a salir nunca… ¿o con determinantes puede ser? 748. M: No, me va a salir, me va a salir x, y, z, ¿no? me va a salir un recta 749. E: ¿No puedes resolver la matriz… así como está? 750. M: Sí, ¿no? pero tienes que sacar… o sea tienes como que… hacer

operaciones con matrices 751. E: Así como está ¿no la puedes resolver? 752. M: No 753. E: Ok 754. M: Tiene que ser cuadrada para que se pueda 755. E: ¿Para que la puedas resolver? 756. E: Este… entonces para… 757. (Interrupción de una llamada telefónica) 758. E: Entonces… para este sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas…

sólo tendríamos esta opción de conjunto solución, ¿no? (señalo el dibujo de los dos planos intersecados)

759. M: Sí, donde se intersectan, si es que se intersectan, porque posiblemente no se intersecten

760. E: Ah, sí exacto 761. E: Ok 762. M: Y no sé sacarlo 763. E: Ok 9. Dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas


517


764. M: (Lee "dada la representación geométrica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas...")

765. M: mira si éste es un sistema geométrico de tres ecuaciones con tres incógnitas, aquel salía, así salía así y sí se intersectaban en un mismo espacio y eran dos, nada más dos planos

766. M.: ¿cuántas soluciones tiene el sistema? Pues las soluciones en donde se una, una infinidad de soluciones

767. E.: ¿en donde se une? 768. M: en, aquí (marca las intersecciones de los planos)

769. E: entonces ¿cuántas soluciones tiene? 770. M: pues una infinidad, todas donde se intersecten, todas 771. E: escríbelo, escríbelo 772. M: (Escribe "todas, en donde se intersecten los planos") 773. M.: "¿cuál es la representación geométrica del conjunto solución?" ¿de mi

triángulo? o ¿a qué… a qué se refieren con representación geométrica? 774. E: o sea que, este... 775. M.: tres pequeños planos?, o sea, donde se intersecten, va a ser… o sea, se

van a intersectar y donde se intersecten van a formar otro plano, o sea un pequeño plano... de diferente espacio, de diferente tamaño

776. E.: o sea esten… bueno, aquí... 777. M.: bueno al momento de unir, o sea estás uniendo estos dos (toma el

borrador y una caja de marcadores y los intersecta uno con otro) y todo donde se unen, o sea todo este espacio, ése es el conjunto solución y bueno sí, y la representación geométrica de esto es un plano, un plano más chico

778. E: O sea, éste 779. E: ¿éstos que representan? (le señalo las intersecciones de los planos que

marcó) 780. E: éstos me dijiste que son las soluciones del sistema (me refiero a las

mismas intersecciones) 781. E: ¿Qué representan éstos que me marcaste?, ¿qué son?, Geométricamente

¿qué son? (le señalo las mismas intersecciones)

518


782. M: Uniones, no sé como se diga 783. M: ¿Rectas? No, no 784. E: no sé, para tí ¿qué representan? 785. E: Al unirse los dos planos ¿qué representan? 786. M: Pues otro plano, o sea, bueno una unión de puntos, un x, y, z pero no

sé como se le llama a eso 787. E: Sí, ajá, sólo son puntos 788. E: Pero para tí ¿qué representa esto? (le señalo nuevamente las

intersecciones) 789. M: Representan otros planos, no sé 790. E: Otros planos… 791. M: (escribe: otros planos más pequeños) 792. E: Y en este caso ¿cuántos tendrías? 793. M: Tres 794. M: Bueno no son planos, son espacios, es un espacio, ¿no? 795. M: Es un espacio del plano en donde se intersectan… ¿no? 796. M: (balbucea) 797. E: Ajá, ok, bueno


⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−

dacb

13121

112




inciso anterior.

798. M: ¡Ay, qué fuerte! 799. M: Esto es lo mismo que he dicho desde todo este tiempo pero… 800. M: ¿Qué condiciones deben cumplir a, b, c y d para que el sistema tenga

solución única? Para que tenga solución única creo… que deben de cumplir que éstos se vuelvan pivotes, los tres (señala la diagonal de la matriz) que tengan ceros abajo y que te dé un resultado arriba, o sea, que

519


te dé este lado, el b, c y d un resultado, eso significa que tenga solución única

801. E: Ok 802. M: ¿Que tenga infinidad de soluciones? 803. E: A ver, este… 804. E: ¿Puedes… puedes representar no sé, la matriz como tu… 805. M: Sí

806. M: (Escribe: ) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−

−

dacb

13121

112

807. M: ¡Ay! que idiota, perdón, bueno 808. M: ¿Quien va a ver eso? ¿el salón? perdón

809. M: Este… (Escribe: Sol. única) esto para mí, esto significa

que tiene solución única, no es que sea la… el resultado verdadero pero…

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dcb

100010001

810. E: Ajá, ok 811. M: … esto significa para mí 812. E: Entonces a ver… entonces ¿qué… qué debe cumplir los valores, o

qué… o sea… qué condiciones debe cumplir a, b, c y d para que esto (Señalo la matriz anterior) sea solución única?

813. E: Esto aquí me estas diciendo que es solución única (Me refiero a la matriz anterior)

814. M: Sí 815. E: Entonces… ¿qué valores deben tomar estos tres… estos cuatro…

(Señalo las letras a, b, c y d de la matriz dada) 816. M: El a uno 817. E: Ajá, ¿lo escribes? 818. M: Para que tenga… ¿cuántas? 819. E: Solución única 820. M: El a… (Escribe: a = 1) 821. E: ¿Y b, c y d? 822. M: Los que sean 823. E: ¿Cualquiera? 824. M: Cualquiera (Escribe: b, c y d los valores que sean) 825. E: No importa… los que sean, ¿no? 826. E: Ok 827. M: Este… para que tenga infinidad de soluciones es que… aquí está mi

súper trauma, no sé cuál es la diferencia entre infinidad de soluciones y ninguna solución

520


828. M: Quiero creer que una es cuando te da todos ceros… 829. E: Ajá 830. M: …y una es cuando… solamente te da el cero… ve, ok te lo voy a

dibujar 831. E: Sí, ok 832. M: Bueno voy a eliminar esta matriz (señala la matriz dada) y voy a

escribir ésta 833. E: Sí, la última, ok 834. M: Ajá

835. M: (Escribe: infinidad de soluciones) ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

0000010001

cb

836. M: Esto para mí es que tenga infinidad de soluciones 837. E: Ajá 838. M: En donde a es cero, d es cero y b y c… (Escribe: a = 0, d = 0, b y c los

valores que sean) 839. M: Y para que tenga… 840. E: A ver, toma (le proporciona otra hoja) 841. M: Este… y que tenga solución única… 842. E: Ninguna solución 843. M: Ninguna solución, perdón, es que por ejemplo aquí te salga esto y

aquí la aumentada… (Escribe: ) que alguno de la

aumentada… (Escribe: algún valor de la matriz aumentada sea 0, Ninguna solución)

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

dc

100010

0001

844. E: O sea, cual… 845. M: Para mí 846. E: O sea, cualquier… 847. M: Cualquier valor 848. E: O sea, cualquiera puede tomar ese valor, ¿no? (me refiero a las letras b,

c y d) 849. M: Sí, creo que sí 850. E: ¿Sí? Ok 851. M: Para mí… para mí eso, posiblemente estoy mal, realmente creo que sí

estoy mal pero… bueno eso para mí significa eso 852. E: Ok 853. M: Tengo que estudiar para poder saber cuál es la diferencia entre

infinidad de soluciones, ninguna solución y solución única 854. E: Ok

521


855. E: Ahora… ¿puedes dibujar… una representación geométrica que… para esos tres casos?

856. M: ¿Eh? 857. E: (Risa) 858. E: O sea, si tuvieras solución única ¿cómo sería la… la representación de

este sistema? 859. M: Es que… bueno para mí, la solución única es que los planos se

intersectan en solamente un punto o sea… 860. E: Ajá 861. M: Eso es para mí la solución única 862. M: La infinidad de soluciones es que se intersecten en muchos puntos 863. E: ¿Como qué? 864. M: No sé, que se intersectan así como… como que en un espacio muy

grande o que posiblemente sean paral… o sean o están en el mismo punto o sea, si están dos planos pegados…

865. E: Ajá 866. M: … infinidad de soluciones 867. E: ¿Y en este caso? son… ¿cuántos… cuántos serían? 868. M: Tres planos 869. E: Tres planos 870. M: Sí 871. E: Entonces para infinidad de soluciones ¿qué pasaría entonces? 872. M: Que los tres planos estén unidos 873. E: Ajá, tres unidos 874. M: Y que tenga ninguna solución, es que cada plano están separados y no

se intersecta en ningún punto 875. E: Ajá, ¿y los puedes dibujar? 876. M: Pues sí, si quieres 877. M: No me sale muy bonito pero… 878. E: (Risa) 879. M: Se intersectan en… perdón (sonó su celular) ¿puedo contestar? no 880. M: (Dibuja dos planos intersecados en una recta y escribe: Sol. única) 881. E: Ok, son… son tres planos 882. M: ¡Ah! perdón, perdón 883. E: ¿Sí? 884. M: Sí, claro (Dibuja el tercer plano de manera que los tres se intersecan en

la misma recta)

522


885. M: Se intersectan en el mismo punto 886. M: Bueno esa es mi intersección en un solo punto 887. E: ¿Un solo punto? 888. M: En un… en el mismo 889. E: Ajá 890. M: Este… tres planos (Dibuja tres planos aparentemente encimados)…

están pegados, ¿no? según yo

891. E: (Risa) 892. M: (Escribe: infinidad de soluciones) 893. E: Ajá 894. M: Y que tengan ninguna solución es que un plano este acá, otro este por

acá… y un plano que esté por acá (Dibuja tres planos finitos que no se cortan)

895. M: (Escribe: Ninguna solución) 896. E: Ok, ninguna solución… 897. M: No se intersectan en ningún punto 898. E: … no se intersectan en ningún punto, bueno… 899. E: Este… si no se intersectan en ningún punto… bueno si lo vemos desde

un plano coordenado… ¿cómo dibujarías que no hay solución? 900. M: Si lo vemos desde un…

523


901. E: Desde un plano, perdón desde un… (risa) desde un eje, o sea, desde un eje de coordenadas

902. M: ¡Ah!, ok o sea aquí (Dibuja dos ejes) 903. M: Que no se intersecten en ningún punto… 904. E: Ok, estamos… 905. M: ¡Ah! en x, y, z, hay que… (Dibuja los tres ejes) 906. M: Que no haya solución… 907. E: Ajá 908. M: … para mí significa que uno este aquí, otro este más arriba… ¿cómo lo

puedo hacer?… bueno que no se intersecten (risa), uno por acá y otro más arriba, bueno aquí se ve como que si se intersectan pero… (Dibuja los tres planos en un eje de coordenadas)

909. E: Ajá, bueno imaginemos… 910. M: Ajá, exacto 911. M: O sea, lo estoy levantando en el z… 912. E: Ajá 913. M: Este es el z (señala con su mano el lado izquierdo de la hoja), en el x…

y levantando… estoy poniendo un plano a esta distancia, otro a esta distancia y otro así… (señala con su mano tres planos uno arriba del otro pero a una cierta distancia)

914. E: ¿Y cómo son esos tres planos? 915. M: Paralelos 916. M: (Escribe: planos paralelos) 917. E: ¿En el caso de infinitas soluciones?... igual en un eje de coordenadas 918. M: En infinitas soluciones tú pones… 919. E: Bueno ahí me mostraste este… (le señalo lo que dibujó para este caso) 920. M: Es que sí, ajá 921. E: Sí pero… 922. M: Una infinidad de soluciones para mí es que están pegados, ajá… que

son paralelos pero están pegaditos, pegaditos, uno detrás del otro… que en dos puntos se están intersectando

923. E: Ok, ajá 924. E: Y… pero… bueno, ok 925. M: Y que no tenga ninguna solución es que… ¡ah! bueno…

524


926. E: Sí, es este (señalo la gráfica para este caso) 927. M: Y solución única que se intersecten solamente en uno… los tres se

intersecten en el mismo 928. E: Ajá, como en este caso que dibujaste (señalo la gráfica que dibujó para

solución única) 929. M: Ajá, exacto 930. E: Ok 11. Representa gráficamente un par de rectas que tengan más de un punto en común.

X

Y 931. M: … un par de rectas que tengan más de un punto en común 932. M: ¿Un par de rectas? O sea ¿dos? 933. E: Pueden ser dos 934. M: ¿Que tengan más de un punto en común? 935. E: Ajá 936. M: Puede ser… (Dibuja una recta que pasa por el origen) 937. M: Que tengan más de un punto en común significa ¿que sean paralelas?

¿En el mismo punto? O que… 938. E: ¿Si son paralelas tendrían un punto… en común? 939. M: No, ninguno pero… que sean paralelas así… digo no, no… 940. M: No me refiero a que sean paralelas, sino que sean una encima de la

otra 941. E: Sí 942. M: (Dibuja otra recta encima de la recta anterior pero punteada)

525


943. E: Ajá 944. M: Estas son dos rectas que tienen más de un punto en común 945. E: Ok 946. E: ¿Y si tuviéramos tres? 947. M: ¿Con más de un punto en común? 948. E: Ajá, tres rectas 949. E: Puedes dibujarlo en otro eje 950. M: ¡Ah!, ok 951. M: Que tengan más de dos… más de un punto en común pueden ser así,

otra que vaya de aquí hasta acá y otra que vaya de… (Dibuja las tres rectas)

952. E: Sería… ¿cuales serían los puntos… en común? 953. M: Pues ponle, que sea (Numera los ejes coordenados)… que sea desde…

desde el (-2,-2) hasta el (-4,-4) 954. E: Ajá 955. M: En estos puntos las tres están unidas, las tres están… 956. E: ¿Sería en más de un punto? 957. M: Ajá 958. M: Las tres están como… así 959. E: Ok 960. M: Y ya o sea, esta roja se une en más con la azul en más puntos y la

verde en pocos puntos… 961. E: ¿Pero las tres…? 962. M: Ajá 963. E: …se unen en muchos puntos, ok

526



+−=+−=

tytx

donde t es

un parámetro.


964. M: ¿Cómo que cuál es la forma? 965. M: ¿t es un parámetro? ¿Yo le doy el que yo quiera?... o t es una como

constante 966. E: No, t es un… como una variable más bien 967. M: Ah, ok no la puedo mover yo 968. M: ¿Cómo cuál es la forma escalonada del sistema… escalonada reducida

del sistema? 969. E: Ajá 970. M: No entiendo eso 971. E: O sea… la solución de un sistema de ecuaciones está dada por esta

expresión (señalo las ecuaciones 1332

+−=+−=

tytx

)…

972. M: Ajá 973. E: …donde t es una variable 974. M: Ajá 975. E: ¿Cuál sería la forma escalonada del sistema? 976. E: Sabiendo… teniendo esto (señalo de nuevo la expresión)… 977. M: Ajá 978. E: … ¿Cuál sería la forma escalonada del sistema? 979. M: O sea que… va… no sé a que se refiere pero me imagino que va de…

… 13,32 +−+− tt 25,54 +−+− tt , ¿a eso te refieres? 980. E: mm… a ver… 981. E: Según tú… ¿cuál sería una forma escalonada?, ¿cómo representarías

una forma escalonada de un sistema? 982. M: O sea… va aumentando, va disminuyendo la… de acuerdo a t 983. E: A ver, no, no… no vemos esto (le señalo la pregunta) 984. E: Em… ¿cómo represen… 985. M: ¿Qué es una forma escalonada? 986. E: ¿No sabes qué es una forma escalonada?

527


987. M: No 988. E: No te acuerdas… ya lo viste 989. M: Es que, ¿te digo cuál es mi problema? Yo estuve en Algebra 1 y

Algebra 2 con una maestra que la corrieron… 990. E: No hablemos de eso 991. M: … entonces no sé nada, más lo de este período 992. E: Ok, este… 993. M: Por eso me salieron tan mal, por si te podrás haber dado cuenta 994. E: mm… entonces no… bueno no, ¿no podrías este… decir cuál es la

forma escalonada? 995. M: No 996. E: Bueno 13. Determina de ser posible (y si no es posible, explica porqué) un sistema de dos ecuaciones con tres variables, de modo que tenga:


997. M: ¿Un sistema de dos ecuaciones con tres variables? 998. M: Pues es lo mismo, ¿no? un sistema de dos ecuaciones con tres

variables son… son dos planos en donde… para que tengan solución única es que se intersectan en un punto, que tengan ninguna solución es que no se intersectan y que tengan más de una solución es que se intersectan en varios puntos

999. E: Ajá 1000. M: ¿Escribo eso? 1001. E: Sí 1002. M: (Escribe: un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas significa

que tengan: a) en sol. única que tengan un punto de intersección, b) ninguna solución es que no se intersectan, c) muchas soluciones es que se intersectan en muchos puntos)

1003. E: Ajá, ok 1004. E: ¿Podrías dar alguna… representación algebraica… para cada uno de

los casos? 1005. M: Es que aún… tampoco no entiendo que signif… una representación

algebraica 1006. E: O sea un… un sistema 1007. M: ¡Ah! un sistema donde… podría ser… no sé si este bien verdad,

pero…

528


1008. M: (Escribe: a) 0223

062=++=++zyx

zyx)

1009. E: Ajá 1010. M: No sé si este sistema funcione para esto pero… son dos planos 1011. E: Ok, dos planos y te dan una solución única, ¿no? 1012. M: Sí 1013. E: Ajá, ok 1014. E: ¿Y… para los otros casos? ¿podrías… 1015. M: Es lo mismo solo que varía… 1016. E: ¿Qué varía? 1017. M: El resultado éste (señala el sistema que dió) 1018. E: El término independiente, ¿no? 1019. M: Ajá 1020. E: Ok, este… 1021. M: Ándale, el término que no tiene x ni y ni z 1022. E: ¿Y cómo variarían? 1023. M: Pues para que tenga ninguna solución uno es cero y el otro es x, es

otro número 1024. E: Ajá 1025. M: Y para muchas soluciones puede que sea el mismo 1026. E: ¿El mismo número? 1027. M: Ajá 1028. E: A ver, ¿sí lo puedes escribir? 1029. M: Sí 1030. M: No creo que esté bien o sea… 1031. E: ¿Es lo que crees?

1032. M: (Escribe: b) 4223

062=++=++zyx

zyx

c) 3223

362=++=++zyx

zyx)

1033. E: Ok, entonces… solución única (señalo el sistema del inciso a)… 1034. M: Ninguna solución (señala el sistema del inciso b) 1035. E: … e infinitas soluciones (señalo el sistema del inciso c) 1036. E: Ok, entonces solo depende de… 1037. M: Del término independiente 1038. E: … del término independiente 1039. E: Ok

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manzanero-sistema de ecuaciones

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