GuaElemental delPaqueteE-ViewsparaelAnlisis EconomtricoDra. Mara de la Paz Guzmn PlataNDICEInstrucciones para estimar y evaluar un Modelo de Regresin Lineal en el paquete E-Views 1Estimacin del modelo en forma logartmica y otras trasformaciones elementales 5Prediccin7Modelos Binarios (Modelos Logit y Probit) 19Anlisis de Series de Tiempo 30Grficas para pronosticar 30Tendencia de una serie 33Estacionalidad de una serie 38Generacin de Modelos AR, MAy ARMAestacionarios y no estacionarios en covarianza 44Raices de los modelos ARMA y su diagnostico 48Modelos ARMAconcomponentes detendencia, estacionalidady ciclo.53Prediccin de modelos ARMA 62Races Unitarias, Modelos ARIMA y Pronstico 64Estimacin de modelos ARCH y GARCH 74Vectores Autorregresivos 80Pruebas de Causalidad de Granger 82FuncinEstmuloRespuestaylaTabladeDescomposicindela Varianza 84Cointegracin y Mtodo de Correccin del Error 95Pruebas para detectar cointegracin entre las variables 96INSTRUCCIONES PARA ESTIMAR Y EVALUAR UN MODELO DE REGRESIN LINEAL EN EL PAQUETE E-VIEWS21.- Haga una hoja de trabajo en el paquete E-Views con la instruccin File/New/Workfile/Frequency/Anual,si los datos de la muestra del modelo a estimar sonanualesconperiodoinicialporejemploen1980 yperiodofinal porejemploen 2010 (siempredejarespaciopara la prediccin); Semianual sisonsemestrales con periodo inicial por ejemplo en1980.1 y periodo final 2010.2;Quanterlysi son trimestrales con periodo inicial por ejemplo en 1980.1 y periodo final 1980.4; Monthly sisonmensualesconperiodoinicialpor ejemplo en 1980.01y 2010.12;Undatedo irregular si son datos diarios, por hora o por minuto (como para el caso de datos de la Bolsa de Valores) con periodo inicial en 1 y periodo final por ejemplo en 20,000. Recomendacin. La muestra debe contener por lo menos 60 datos reciente, evite trabajar condatosanuales. Adems, al estimar unmodelolasvariablesmedidasen puntos o en precios constantes (unidades reales) deben de tener la misma fecha base aunque sus unidades de medida pueden ser diferentes. La fecha base debe pertenecer a un ao estable en trminos econmicos o financieros.2.- Guarde suarchivocon unnombre que sea familiar para ustedconFile/Save as/nombre del archivo3.- Para meter los datos de cada variable escribir la palabra Data dejar espacio y escribir el nombre de la variable que va introducir y despus enter. Estas palabras debern ir en el espacio en blanco donde aparece el cursor. Por ejemplo data PIB y despus que d enter aparece el nombre de la variable y los espacios donde debe introducir los datos. Paraimportar los datos deexcel, unavezqueenEVhayaescritolapalabradata (nombre de la variable) y d enter, importar de excel slo los datos (sin fechas porque estas ya estn en EV) sombreando los datos de la variable en excel y la instruccin copy tambin en excel e irse a EV y hacer clic en Edit/Paste, el cursor debe estar en la fecha del primer dato que debe coincidir con la fecha del primer dato en excel .4.- Unavezqueseintroducenlosdatosdecadavariabledel modeloseprocedea estimarlodandoclicenQuick/EstimateEquation/ dondeapareceunaventanaque tieneunespacioenblancoyenlapartedeabajoapareceel mtododemnimos cuadrados ordinarios o LS (si quiere cambiar de mtodo de estimacin del modelo, de clic en la flecha y aparece, entre otros, el mtodo de mxima verosimilitud). En la parte de la ventana en blanco donde se encuentra el cursor, anotar en primer lugar, el nombre de la variable dependiente, espacio,letrac(letra con la cual el paquete estima a la ordenadaal origen), espacio, ylosnombresdelasvariablesindependientesconsus respectivos espacios entre cada una de ellas y finalmente dar enter, en seguida aparece el resultado de la regresin o la estimacin del modelo. Ese resultado se guarda dando clic en Name/ del men de esa ventana y anotando un nombre familiar a esa estimacin.PARA HACER LAS PRUEBAS DE ESPECIFICACIN Y DE DIAGNSTICO DEL MODELOCONTINUAR CON:5.-Pruebadevariablessobrantesocoeficientesestadsticamentenosignificativosy prueba de variables omitidas. Esta se realiza con el valor de la probabilidad del estadstico t (la cual aparece en la ltima columna de la primera parte de los resultados de la regresin). La hiptesis nula a probar es la no significancia individual de cada una delosestimadores, portantosi el valordel estadsticot esmayor a0.05(5.0%de significancia o95.0%deconfianza) seencuentra enlazonadenorechazodela hiptesis nula al 95.0% de confianza, es decir, el coeficiente particular es estadsticamente nosignificativoobienlavariable respectiva nocontribuye enla explicacin de los cambios de la variable dependiente para este porcentaje de confianza. 3Estavariablepuedeser eliminada del modelo o bien dejarla pero no explicarla en el reporte de los resultados y evaluacin de ste. Lapruebadevariables omitidas serealizaconlaRESET. Lapruebadevariables omitidas es una, de errores en la media del modelo. Para realizar la prueba RESET dar clicsobreelmen delosresultados de la regresin enView/Stability Test/Ramsey Reset Test/OK. Estapruebaarrojadosestadsticosylosresultadosdelaregresin auxiliar. La hiptesis nula a probar es el modelo no tiene problemas en la media- por tanto si el valor de la probabilidad de los estadsticos es mayor que 0.05, se encuentra en la zona de no rechazo de la hiptesis nula al 95.0% de confianza.6.- Prueba de significancia conjunta de los estimadores. Esta prueba se realiza con el valor de la probabilidad del estadstico F, que aparece regularmente en la segunda parte de los resultados de la regresindel lado izquierdo. La hiptesis nula a probar es la no significancia conjunta de los estimadores, por tanto si el valor de la probabilidad del estadstico F es mayor que 0.05, se encuentra en la zona de no rechazo de la hiptesis nula al 95.0%de confianza, en consecuencia ninguno de los estimadores es estadsticamente significativo.7.- Prueba de forma funcional correcta o problemas en el primer momento (en la media X) de la variable dependiente Y. Los problemas en la media del modelo se detectan con la prueba RESET o WHITE, ambas pruebas se encuentran en el paquete EV. Para realizar la prueba RESET dar clic sobre el men de los resultados de la regresin en View/Stability Test/Ramsey Reset Test/OK. Esta prueba arroja dos estadsticos y los resultadosdelaregresinauxiliar.Lahiptesis nulaa probar es -elmodelotienela forma funcional correcta o no tiene problemas en la media- por tanto si el valor de la probabilidaddelosestadsticos esmayor que0.05, seencuentraenlazonadeno rechazodelahiptesisnulaal95.0%deconfianza, esdecir, laformafuncional del modelo es la correcta. Si el valor de la probabilidad de un estadstico no rechaza la nula y otro si la rechaza hay que dudar del resultado de la prueba e irse con otra prueba.Para realizar la prueba White dar clic sobre el men de los resultados de la regresin en View/Residul Test/White Heteroskedasticity/OK. Esta prueba arroja dos estadsticos y los resultados de la regresin auxiliar. La hiptesis nula a probar es -el modelo tiene la forma funcional correcta o no tiene problemas en la media- por tanto si el valor de la probabilidaddelosestadsticos esmayor que0.05, seencuentraenlazonadeno rechazodelahiptesisnulaal95.0%deconfianza, esdecir, laformafuncional del modelo es la correcta. Si el valor de la probabilidad de un estadstico no rechaza la nula y otro si la rechaza hay que dudar del resultado de la prueba e irse con otra prueba.8.- Prueba de normalidad en los errores.- La prueba de normalidad en los errores del modelo, serealizaaldarunclicsobreelmendelosresultadosdelaregresinen View/Residul Test/ Histogram-Normality Test/ OK. Los resultados de esta prueba es unagrficadeladistribucindefrecuencias deloserrores del modeloydel lado derechoseencuentrael clculodelos primeros momentos delavariablealeatoria (media, varianza, simetra y curtosis), el valor del estadstico Jarque-Bera y el valor de suprobabilidad. La hiptesis nula a probar es los errores tiene una distribucin normal- por lo que si el valor de la probabilidad del estadstico Jarque-Bera es mayor que 0.05, se encuentra en la zona de no rechazo de la hiptesis nula, es decir, no se rechaza la hiptesis nula de normalidad enlos errores del modeloa unnivel de confianzadel 95.0%. Es importante destacar, quelapruebadenormalidadsepuedellevar acabopara cualquier variable de la cual se quiera saber si se distribuye en forma normal (sea la 4variable dependiente, independiente o los errores del modelo estimado). Para realizarle la prueba de normalidad a cualquier variable, dar clic en el nombre de la variable de inters, la cual se sombrear y despus dar clic en Show del men de la hoja de trabajo, con esta instruccin la variable aparece en la nueva ventana y sobre el men de sta dar clic en View/Descriptive Estadistic/Histogram Stits/enter. Adems, los errores de la regresin se pueden guardar como cualquier variable dndoles un nombre despus de estimar la regresin del modelo con la instruccin genr espacio cualquier nombre=resid (lapalabra genr genera cualquier operacin) escrita el la seccinblanca, quese encuentra en la parte inferior del men principal de EV. Ejemplo genr residuo=resid. Conel nombrederesiduoocualquier nombreantesdel signoigual, EVguardalos errores de la ltima regresin estimada o de cualquier operacin realizada para transformar una variable. 9.- Prueba de multicolinialidad. Esta prueba se realiza a travs de la matriz de correlacin de las variables involucradas del modelo, esta matriz es simtrica donde la diagonal principal tienevaloresdeuno, porqueel coeficientedecorrelacindeuna variable con ella misma tiene este valor. EV calcular esta matriz dando clic en Show y en la parte blanca de esta ventana, se anota la lista de las variables involucradas en el modelo (se recomienda empezar por el nombre de la variable dependiente seguida por las independientes, pero en realidad no importa el orden) y despus OK, adems sobre el men de la nueva ventana dar clic sobre View/Correlation/OK y aparece la matriz de correlacin. Si los coeficientes de correlacin de los pares de variables es mayor que 0.88, entrminosabsolutos, hayindiciosdemulticolinialidadentrelasvariables. Si adems, la 2Rtiene un valor cercano a uno y el valor de la probabilidad de estadstico t es mayor que 0.05 (coeficientes estadsticamente no significativos) entonces se confirma el problema de multicolinialidad. 10.- Prueba de Homoscedasticidad o de estabilidad del coeficiente 2 . Para saber si los errores son homoscedsticos existe, en el paquete EV, dos pruebas estas son ARCH y White. Los resultados de ambas pruebas se obtienen dando clic sobre los resultados de la regresin enView/Residual Test/ARCH/OKyView/Residual Test/White Heteroskedasticity/OK. Losresultadosdeestasdospruebassonlosvaloresdelos estadsticos, los valores de sus probabilidades y las regresiones auxiliares. La hiptesis nula a probar es los errores del modelo son homoscedsticos-, por tanto si el valor de laprobabilidaddelosestadsticosquearrojacadapruebaesmayorque0.05, nose rechaza la hiptesis nula, es decir, los errores son homocedsticos al 95.0%de confianza. 11.- Prueba de no autocorrelacin en los errores del modelo. Para saber si los errores estn autocorrelacionados, seencuentra el anlisis del estadstico Durbin-Watson (D-W), el anlisis del correlograma delos errores ylapruebadeMultiplicadores de Lagrange. Elestadstico D-Waparece en los resultados de la regresin; si el estadstico D-Wtiene el valor de 2 o muy cercano a este valor, los errores no presentan autocorrelacin de orden uno; sin embargo, este estadstico no puede ser utilizado para detectar autocorrelacincuandoseestimaunmodelodinmico(cuandolavariable dependiente rezagada aparece como explicativa), en este caso se utiliza la prueba H de D-W. El anlisis del correlogramadeloserrores, esunindicador del problemade autocorrelacin; para realizar esta prueba dar clic sobre los resultados de la regresin en View/ ResidulTest/Correlogram-Q Statistics/OK; la hiptesis nula a probar es los erroresnoestnautocorrelacionados- portantosi lasbarrasdel correlogramanose salen de la banda del 95.0% de confianza o del 5.0% de significancia, no se rechaza la hiptesis nula de no autocorrelacin entre los errores, si las barras del correlograma se 5salen de dicha banda esto quiere decir que hay problemas de autocorrelacin entre los errores. La prueba de Multiplicadores de Lagrange (LM) para detectar autocorrelacin en los errores de orden p, se realiza dando clic sobre los resultados de la regresinen Correlation LM/ View/Residul Test/Serial OK; esta prueba llamada Breusch-Golfrey arroja los valores de dos estadsticos y la regresin auxiliar; la hiptesis nula a probar es los errores no estn autocorrelacionados- por tanto si el valor de la probabilidad de los estadsticos es mayor que 0.05 no se rechaza la hiptesis nula al 95.0% de confianza.12.- Prueba de estabilidad en los parmetros beta o prueba de permanencia estructural. Para realizar esta prueba se encuentran los estadsticos CUSUM, CUSUM-Q y Chow. Es recomendable primero obtener a los estadsticos CUSUM y CUSUM-Q, porque si hay cambio estructural, las grficas de estos estadsticos marcan la fecha de quiebre que se requiere para introducirla la prueba Chow. Para obtener a los estadsticos CUSUM darclicenlosresultadosdelaregresinsobreView/RecursiveEstimates/CUSUM Test/OK y aparece una grfica donde, dentro de una banda de 95.0% de confianza, se dibuja a este estadstico; de igual manera para obtener el estadstico CUSUM-Q dar clic en los resultados de la regresin sobreView/Recursive Estimates/CUSUM-Q Test/OKy aparece una grfica donde dentro de una banda de 95.0% de confianza se dibuja a este estadstico.La hiptesis nula a probar es que los estimadores beta son establesatravsdetiempoobienquehaypermanenciaestructural, portantosilos estadsticossesalendelasbandashay cambio estructural ysetieneque recordarla fechaenquelosestadsticoscortanlasbandasparaanotarlasenlapruebaChowy comprobar si en realidad hubo cambio estructural. Para realizar la prueba Chow dar clic sobre los resultados de la regresin enView/Estability Test/ChowBreakpoint Test/enter y aparece una ventanadonde en la parte en blanco hay que anotar la posible fechadel corte, por ejemplosi lamuestraes mensual yel estadsticoCUSUMo CUSUM-Q corto la banda en el mes de marzo de 2001, entonces se anota 2001.03 y clic en OK. Si los valores de la probabilidad de los estadsticos que arroja la prueba son mayores que 0.05 no se rechaza la hiptesis nula que en ese punto no hubo rompimiento.13.- Prueba sobre restriccin en los parmetros. Frecuentemente, en la teora econmica se sostiene que los parmetros individualmente o bajo cualquier operacin matemtica (suma, resta, multiplicacinodivisin), deben de ser igualesentre ellos o acierto valor, para probar esta clase de restricciones sobre los coeficientes se utiliza la prueba Wald.Elejemplomscomnde esto,seobserva enla funcin deproduccin tipo Cobb-Douglas (cuyo modelo se convierte en lineal al estimar las variables por medio de la transformacin logartmica). Si se quiere probar que cierta industria presenta rendimientos constantes a escala, el investigador planea la hiptesis nula y la alternativa (1 : 1 :2 1 1 2 1 0 + + H H) y despus prueba, con el estadstico Wald, de la siguientemanera: dar clicsobrelosresultadosdelaregresinenView/Coefficient Test/WaldCoefficient Restriction/ ysaleunaventana dondehayqueanotar la restriccin con la sintaxis c(2)+c(3)=1y darOK(suponiendo que existe ordenada al origenporqueEVlaguardacomoc(1)). NotequeEVguardacadacoeficientedel modelo con centreparntesis el nmero de cada coeficiente, como aparece en la regresin,por tanto c(1) es el coeficiente de la ordenada al origen, c(2) es el coeficiente delaprimeravariableX, el c(3) es el coeficientedelasegundavariableXyas sucesivamente. El criterio de decisin es, si el valor de la probabilidad de los estadsticos es mayor que 0.05 no se rechaza la hiptesis nula que plante el investigador. Para el caso del ejemplo, no se rechaza que la industria presenta rendimientos constantes a escala.6 ESTIMACIN DEL MODELO EN FORMA LOGARITMICA Y OTRAS TRASFORMACIONES EN LAS VARIABLESUnadelasformasfuncionales quefrecuentementeseutilizanenlaestimacindel modelo de regresin lineal es la forma logartmica. Su uso es recomendable porque los estimadores miden las elasticidades y se interpretan como el cambio porcentual de la variableYanteel cambioporcentual delasvariablesX. Paraestimarelmodeloen logaritmos se tiene que calcular el logaritmo de cada variable o anotarlo directamente en la estimacin. Hay dos pasos para hacer esto en el paquete EV, el primero es calcular el logaritmo de cada variable con el comando genr y el segundo es estimar la regresin anteponiendo la instruccin log al nombre de cada variables en la regresin. Para llevar a cabo la primera, i) ubicar el cursor en la parte blanca debajo del men principal de EVyescribirlapalabra genroii) dar clicenla variablea transformarcon alguna operacin y Show/Genr; despus anotar cualquier nombre=log(el nombre de la variable original); Ejemplo.- i) genr lpib=log(pib) o ii) lpib=log(pib); as EV genera y guarda el logaritmo de cada variable. Para realizar la segunda, i) de clic en Quik/Estimate the Equationy escribir el la ventana blanca log(nombre original de la variable dependiente) c log(nombre original de la variable explicativa) etc. ii) ubicar el cursor el la parte blanca debajo del men principal y escribir las letras ls log(nombre original de la variable dependiente) c log(nombre de la variable independiente) etc. La instruccin ls es para estimar el modelo por el mtodo de MCO. Despus de estimar el modelo en logaritmos, tiene que evaluarlo mediante las pruebas descritas en los puntos del 5 al 12. Note quela transformacinlogartmica decada variable es unatasa devariacin porcentual. Sin embargo, el logaritmo de una variable negativa no se puede calcular.Otras transformaciones en las variables originales se llevan a cabo con la instruccin genr o series. Por ejemplo:1.- El cambio porcentual de una variable de un periodo a otro se realiza escribiendo genr o series cualquier nombre=((nombre de la variable original/nombre de la variable original(-1))-1)*100. Hay que tener cuidado en la sintaxis de la frmulas porque de lo contrario E-W no las calcula. Para estimar la inflacin a partir del ndice nacional de preciosal consumidor, cuyonombredelavariableoriginal fueguardadoconinpc anotar lo siguienteGenr inflacin=((inpc/inpc.(-1))-1)*100 2.-Latasadeintersreal dealgninstrumentofinancieromedidoentasanominal como los cetes, guardado con el nombre original de cetes y creada la variable inflacin, se puede calcular escribiendo Genr tircetes=(((cetes/12)-inflacin)/1+inflacin)3.- Una de las transformaciones recomendables en las variables de un modelo economtricoesladiferencia(Ydel periodot Ydel periodoanterior (t-1)). Esta transformacin midela variacin absoluta de la variable de un periodo a otro. As, si se quiere obtener la diferencia del pib (nombre original de la variable) se escribe Genr dpib=d(pib)Con esta instruccin EV calcula la primera diferencia de la variable llamada pib74.- Las transformaciones de una variable elevada a un exponente, que son frecuentes en la estimacin de un modelo de regresin de una funcin de costos, se estiman escribiendo lo siguiente: Si la variable produccin fue guardada con el nombre original de produc Genr produc2=produc^2 se estima el cuadrado de la variable producGenr produc2=squar(produc)Genr produc3=produc^3 se estima el cubo de la variable produc5.- La raz cuadrada de una variables se calcula comoGenr rcproduc=produc^(1/2)se estima la raz cuadrada de la variable produc6.- Unavariablequeseutilizafrecuentementeenlosmodeloseconomtricos esla variabletiempoquetomavalorde 0 para la primera observacin,1 para la segunda observacin, 2 para la tercera observacin y as sucesivamente hasta agotar el nmero de observaciones. EV calcula esta variable con la siguiente instruccin:Genr tiempo=@trend Note que antes del signo igual va cualquier nombre (se recomienda anotar un nombre que haga referencia a la nueva variable). Adems, que la sintaxis de las operaciones que se realizan paratransformara las variables,son parecidas a las utilizadas en ecxely deben de estar correctamente escritaspara que EV las pueda calcular.7.- Frecuentementesetransformanlas variables del modeloparalograr obtener la forma funcional correctao para mejorar la estimacin. Sin embargo,cuando se predice a la variable dependientese debe explicar y analizarlas observaciones de sta en sus unidades originales, por tanto se hace necesario realizar unas cuanta operaciones para lograrlo. Por ejemplosi el modeloseestimenlogaritmos ysequiereestimar la variable en unidades originales se utiliza el antilogaritmo (e= 2.71828), elevando la base e (e= 2.71828) al logaritmo de cada observacin. Si la variable dependiente se trasform en primeras diferenciasY- Y(t-1)=dY para recuperar a Y se manda del lado derecho de la regresin a Y(t-1) sumando (porque est del lado izquierdo restando). PREDICCINUnavezestimadoel modeloderegresinysi ensuevaluacinresultunbuen modelo, se procede a la prediccin de la variable dependiente para varios periodos fuera de la muestra. Para que se pueda hacer dicha prediccin, debe existir datos supuestos para todas las variables independientes. Estos datos se buscan en los criterios anuales de poltica econmica que edita la Secretara de Hacienda, los cuales se publican en los principales peridicos de circulacin nacional o en algunas revistas como en El Mercado de Valores que editaNafinsa. En estos criterios se expone, por ejemplo, cual ser el crecimiento del PIB, la inflacin, el salario mnimo etc. Si no se encuentran los datos hay que suponerlos y sustentar las cifras. Una vez que se meten los datos de las variables independientes, fuera del periodo original de la muestra, se procede a hacer la prediccindandoclic sobrelos resultados delaregresinenForecast, conesta instruccin aparece una ventana con el nombre de la variable pronosticada (esta variable esYestimadaporel modelooYgorro), el nombresepuedecambiar al gustodel investigador y en la parte de abajo aparece elSample(periodo de la muestra desde la fecha del dato inicial hasta el final), la fecha final hay que cambiarla hasta la fecha que abarque la prediccin y despus dar OK. El resultado de esta instruccin es una grfica 8con una tabla que contiene el Coeficiente de Desigualdad de Theil. Este coeficiente se emplea para hacer la evaluacin del pronstico. Las caractersticas de este coeficiente son:cdt =( )( ) ( ) +TttTttTtt tYTYTY YT121212~11~1dondecdteselcoeficientededistribucindeTheil,Y eselvalordelavariable dependiente pronosticada por el modelo,Y~es el valor real de la variable dependiente y Tesel nmerodeobservaciones. Comosepuedeobservarenestaecuacinel numerador es la raz cuadrada del error de pronsticorcep, pero la escala del denominador es tal que el valor de este coeficiente toma valores entre cero y uno.Si cdt = 0 el valor de la variable dependiente estimada por el modelo y el valor real son iguales o bien el ajuste es perfecto (t tY Y~ ). Si cdt = 1 el valor de la variable dependiente estimada por el modelo difiere por completo del valor real. En este caso el pronstico no es bueno.Adems, el coeficiente de Theil se puede descomponer en tres partes, las cuales proporcionanvaliososindicadoresdeevaluacindel pronstico. Tal descomposicin est dada por( ) ( ) ( ) ( ) + + r p r p r p t tY Y Y YT ~ 1 2~~~12 2dondepYy rY~sonlasmediasdelavariablepronosticadaporel modeloyla variable real respectivamente,Py r~son las desviaciones estndar de las series pY y rY~, respectivamente, es el coeficiente de correlacin entre las variables pY yrY~. La ecuacin anterior muestra que el coeficiente de desigualdad de Theil se descompone en un trmino de sesgo, en uno de varianza y otro de covarianza. Dada tal descomposicin de la desigualdad de Theil, se pueden definir las tres proporciones como( )( ) ( )22~1~Y YTY Ypst( )( ) ( )22~1~Y YTpvt 9( )( ) ( )2~1~1 2Y YTpct dondepses laproporcindesesgo,pves laproporcindevarianzaypces la proporcin de covarianza. La proporcin de sesgo, mide la desviacin entre la variable dependiente estimada por el modelo y la variable dependiente real. Esta proporcin es un indicador del error sistemtico, por lo que se esperara que el valor de la proporcin de sesgo fuera cero. Un valor por arriba de 0.1 o 0.2 significara que hay un sesgo sistemtico, as que es necesario una revisin del modelo. La proporcin de la varianza indica, la capacidad del modelo para replicar el grado devariabilidadenlavariabledeinters. Si laproporcindelavarianzaesgrande, significaquelaseriereal hafluctuadoenformaconsiderable, mientrasquelaserie simulada flucta poco o bien quiere decir que, la serie real flucta poco mientras que la seriesimuladalohaceenmayormedida. Aligual queel valordelaproporcinde sesgo, el valor de la proporcin de la varianza se espera se encuentre entre 0.1 o 0.2 porque de esta manera la serie simulada y la real tendrn una variabilidad muy parecida. La proporcin de la covarianza, mide el error no sistemtico. Este error es el que resulta despus que se ha explicado las desviaciones de los valores promedio, es por ello que no es tan problemtica como las proporciones precedentes, sin embargo no deja de ser importante. El valor de esta proporcin debe serigual a uno o muy prximo a uno ya que se espera que las predicciones se correlacionen a la perfeccin con los resultados reales.ESTIMACIN, EVALUACIN Y PREDICCIN DE UN MODELO EJEMPLOSuponga que una empresa est interesada en introducirse al mercado nacional con la ventadecafcalientedeconsumo inmediato,por lo que desea saber la demanda de tazas diariadecafconsumidas por personaenel pas yel pronsticodedicha demanda hasta el ao 2010. Los datos con los que se cuenta para hacer el estudio son los de la demanda diaria de tazas de caf por persona y los precios promedio de estas taza de 1996 a 2006. La muestra es la siguiente:

DemandaDiariaPrecio1996 2.5700000.77000019972.5000000.74000019982.3500000.72000019992.3000000.73000020002.2500000.76000020012.2000000.75000020022.1100001.08000020031.9400001.81000020041.9700001.39000020052.0600001.2000001020062.0200001.170000 Donde la demanda diaria de caf est medida en tazas y los precios en dlares americanos. Segn la teora microeconmica la demanda de un bien depende inversamente de los precios. Por lo que se puede platear un modelo economtrico, el cual se sustente en esta teora para estimar la demanda de consumo de tazas diarias de caf por persona, de la siguiente manera: t tu P Y + + 1 0 con 0 ; 01 0 Donde la variable Y representa la demanda diaria de tazas de caf consumidas por personayPel preciodedichataza. Lossignostericosesperadosexpresanquela demandaautnomaolademandaquenodependedel precioserpositivayquela demanda de tazas de caf depende inversamente del precio. El error aleatorio estar medido por u.Los resultados de la regresin fueron los siguientes: Dependent Variable: DTAZASMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1996 2006Included observations: 11 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 2.691124 0.121622 22.12686 0.0000PCAFE -0.479529 0.114022 -4.205592 0.0023R-squared 0.662757 Mean dependent var 2.206364Adjusted R-squared 0.625286 S.D. dependent var 0.210251S.E. of regresin 0.128703 Akaike info criterion -1.099656Sum squared resid 0.149080 Schwarz criterion -1.027311Log likelihood 8.048108 F-statistic 17.68700Durban-Watson stat 0.726590 Prob(F-statistic) 0.002288EVALUACIN CUANTITATIVA DEL MODELOElcoeficiente2 2R y Rindicanqueel66.27%yel 62.53%delasvariacionesenla demanda diaria de tazas diarias de caf consumidas por persona estn explicadas por las variaciones en su precio. Lossignosdeloscoeficientescoincidenconlostericosesperadosporque mientraslaordenadaal origenespositiva, el coeficientedelavariableprecioola pendiente tiene el signo negativo. El valor de la ordenada al origen indica que el consumo autnomo fue de 2.69 tazas de caf diario por persona en el periodo de 1996 a 2006 o bien que independientemente del precio de la taza de caf, las personas consumieron en promedio diariamente 2.69 tazas.11 El valor de la pendiente indica que por cada aumento de un dlaren el precio de la taza decaf su consumo bajo en 0.47 de taza, durante el periodo estudiado. EVALUACIN CUALITATIVASignificanciaindividual delos coeficientes. Comoel valor delaprobabilidaddel estadstico t de la ordenada al origen es menor a 0.05, se rechaza la hiptesis nula de no significancia estadstica de este coeficiente al 95.0%de confianza. Este resultado expresa que la lnea de regresin estimada tiene ordenada al origen, es decir, que no es una lnea que parte del origen. Tambin, el valor de la probabilidad de la pendiente es menor0.05, portantoserechazalahiptesisnuladenosignificanciaestadsticade dicho coeficiente o bien que la pendiente es diferente de cero. En trminos econmicos, estoseinterpretacomoquelavariablepreciocontribuyeenlaexplicacindelos cambios en la demanda diaria de tazas de caf consumidas por persona.Es importantedestacar, quelapruebadesignificanciaindividual delos coeficientes forma parte dela prueba de inclusin devariables irrelevantes enel modelo, que a su vez entra en los posibles errores de especificacin en la media de este.Singificancia conjunta de los coeficientes. Segn el valor de la probabilidad del estadstico (0.002288), se rechaza la hiptesis nula de no significancia estadstica conjunta de los estimadores al 95.0%de confianza o bien los coeficientes son conjuntamente diferentes de cero, es decir,las variables independientes conjuntamente ayudan a explicar las variaciones de la demanda del consumo diario de las tazas de caf. Prueba de errores de especificacin en la media del modelo (prueba de forma funcional). Como los valores de la probabilidad de los estadsticos que arroja la prueba Reset son mayores que 0.05, no se rechaza la hiptesis nula al 95.0% de confianza, esto indica que la forma funcional del modelo es la correcta . Ramsey RESET Test:F-statistic 2.443811 Probability0.156617Log likelihood ratio 2.932248 Probability0.086826 Prueba de normalidad. Como se puede observar en la siguiente tabla, el tercer y el cuarto momentos (curtosis y simetra)de los errores del modeloson cercanos a cero y a tres, respectivamente. Este resultado indica que los errores se distribuyen de manera normal. Esto queda confirmado, con el valor de la probabilidad del estadstico Jarque-Bera, ya que este valor es mayor que 0.05 y por lo tanto se encuentra dentro de la zona de no rechazo de la hiptesis nula de normalidad al 95.0% de confianza.12012345-0.1 0.0 0.1 0.2Series: ResidualsSampl e 1996 2006Observations 11Mean2.26E-16Median-0.054579Maximum 0.248113Mini mum-0.131477Std. Dev.0.122098Skewness0.953177Kurtosis2.579671Jarque-Bera1.746645Probabili ty0.417562 Prueba de multicolinialidad. Segn los resultados de matriz de correlacin no hay problemas de multicolinialidad en el modelo de regresin en estudio.MATRIZ DE CORRELACINDTAZAS PCAFEDTAZAS 1 -0.814099004531PCAFE -0.814099004531 1 Pruebas de homoscedasticidad o estabilidad en el coeficiente2 . Segn los resultados de la prueba ARCH los errores del modelo son homoscedsticos porque el valordelaprobabilidaddelosdosestadsticosesmayoresque0.05yportantose encuentranenlazonadenorechazo dela hiptesis nula al 95.0%deconfianza.La prueba White confirma que no se tienen problemas de heteroscedasticidad en los errores del modelo.ARCH Test:F-statistic 3.215472 Probability 0.110702Obs*R-squared 2.866996 Probability 0.090413White Heteroskedasticity Test:F-statistic 0.395279 Probability 0.685953Obs*R-squared 0.989259 Probability 0.609797 Es importante mencionar que la prueba White es una prueba general para detectar errores de especificacin y particular para problemas de heteroscedasticidad. Por tanto, los resultados de esta prueba tambin indican que no hay errores de especificacin en el modelo. Pruebas de noautocorrelacin entre los errores. Uno de los estadsticos para detectar problemas de autocorrelacindeordenunoenlos errores del modeloes estadsticoD-W. El valor de esteestadstico seencuentra enlos resultados dela regresinyparael casodel ejemploesteasciendea0.726590, por tantosegnel estadstico D-W hay problemas de autocorrelacin de primer orden en los errores del modelo.Segnel correlogramadeloserrores, ningncoeficientequepodraestar explicando a stosse sale de las bandas del 5.0% de significancia o es estadsticamente significativo por lo que no se tienen problemas de autocorrelacin.Sample: 1996 200613Included observations: 11Autocorrelation Partial Correlation AC PACQ-StatProb .|*** .|.|*** .| 1 0.390 0.390 2.1706 0.141 .|.|.**|.| 2 -0.055 -0.244 2.2183 0.330 .**|.|. *|.| 3 -0.213 -0.115 3.0323 0.387 . *|.|. *|.| 4 -0.182 -0.064 3.7095 0.447 . *|.|. *|.| 5 -0.144 -0.108 4.2055 0.520 .|* .|.|* .| 6 0.094 0.178 4.4556 0.615 .|* .|.|.| 7 0.163 -0.001 5.4086 0.610 . *|.|. ***|.| 8 -0.155 -0.333 6.5545 0.585 .**|.|.|.| 9 -0.214 0.033 9.8159 0.366 Como se puede observar el valor de la probabilidad de los estadsticos que arroja la prueba LM son mayores que 0.05, es decir, se encuentran en la zona de no rechazo de la hiptesis nula de no autocorrelacin de orden p en los errores del modelo al 95.0% de confianza, lo que indica la ausencia de autocorrelacin en los errores del modelo. Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:F-statistic 0.981423 Probability 0.421000Obs*R-squared 2.408979 Probability 0.299845Pruebas de cambio estructural o estabilidad de los coeficientes beta. Como se puede observar el estadstico CUSUM se sale de las bandas del 95.0% de confianza de estabilidad en los coeficientes beta, esto indica que hubo cambio estructural en la muestra y que el rompimiento se da en el ao2000. -10-5051098 99 00 01 02 03 04 05 06CUSUM 5% Significance Sin embargo, como se puede observar el estadstico CUSUM-Q no se sale de las bandas del 95.0% de confianza, esto significa los coeficientes son estables a lo largo del periodo de la muestra.14-0.50.00.51.01.598 99 00 01 02 03 04 05 06CUSUM of Squares 5% Significance Para verificar el posible cambio estructural que indica el estadstico CUSUM en el ao 2000, se llevo a cabo la prueba Chow simple. Los resultados de esta prueba indican queefectivamentehubocambioestructural enesteao, dadoquelosvaloresdela probabilidad de los estadsticos que arroja esta prueba son menores a 0.05, es decir, se rechazalahiptesisnuladeestabilidadenloscoeficientesbeta. Lasolucinaeste problemaseraestimarelmodelo en dos submuestras pero como lamuestra es muy corta, esto no es posible.Chow Breakpoint Test: 2000 F-statistic 19.88832 Probability 0.001296Log likelihood ratio 20.89421 Probability 0.000029 Conclusin. La evaluacin cuantitativa y cualitativa del modelo sugieren que este es bueno. Sin embargo, esta conclusin hay que tomarla con reserva porque el tamao de la muestra y la anualidad de los datos son elementos poco favorables para realizar inferencia a partir de los resultados, pero este ejemplo ilustra los pasos a seguir para evaluar el modelo. PREDICCINAhora sesuponeque el modelo de demanda de consumo diario de tazas de caf se obtuvodeunamuestramensual, conporlomenosde60datos(5aos) yquelos resultadosdelaevaluacincuantitativa y cualitativo lo favorecen, por lo tanto es un buencandidatopararealizarlaprediccinhasta2010. Pararealizar laprediccinse suponeque los precios promedio anuales de la taza de caf sern de 1.26 dlares para 2007, 1.90 dlares para 2008, 1.55 dlares para 2009 y 1.75 dlares para 2010. En este caso, la muestra ser DemandaDiariaPrecio1996 2.5700000.77000019972.5000000.74000019982.3500000.72000019992.3000000.73000020002.2500000.76000020012.2000000.75000020022.1100001.08000020031.9400001.8100001520041.9700001.39000020052.0600001.20000020062.0200001.1700002007 1.2600002008 1.9000002009 1.5500002010 1.750000ComosepuedeobservarenlatablasiguienteelvalordelCoeficientede Desigualdad de Theil se encuentra en el rango recomendable al igual que la proporcin de sesgo, varianza y covarianza. Estos resultados, indican que la variable real y pronosticada por el modelo se mueven con poco sesgo y que la variable pronosticada est reproduciendo los movimientos de la variables real. COEFICIENTE DE DESIGUALDAD DE THEIL1.41.61.82.02.22.42.62.896 98 00 02 04 06 08 10DTAZASF 2 S.E.Forec ast: DTAZASFAc tual : DTAZASForec ast s ampl e: 1996 2010Inc l uded obs erv ati ons : 11R M S E0.116416M A E0.096873M A P E4.317360Thei l0.026292Bi as % 0.000000Vari anc e %0.102476Cov ari anc e %0.897524Segnlos resultados quesemuestranenlatablasiguiente, lademanda pronosticada de tazas diarias de caf consumidas por personaes muy parecida a la real dentro de la muestra. Pero suponiendo que prevalecern esos precios, la demanda bajara para los cuatro aos siguientes. REALIZACIONES REALES Y PRONSTICO DE LA DEMANDA DE TAZAS DIARIAS DE CAFDemandaRealYDemandaPronsticoY19962.5700002.32188719972.5000002.33627219982.3500002.34586319992.3000002.34106820002.2500002.32668220012.2000002.33147720022.1100002.17323320031.9400001.82317620041.9700002.02457920052.0600002.11568920062.0200002.1300752007 NA 2.0869172008 NA 1.7800192009 NA 1.9478542010 NA 1.85194816 La siguiente grfica ilustra que los movimientos de la demanda pronosticada por el modelo estn reproduciendo los movimientos de la demanda real y que su tendencia es claramente hacia la baja.REALIZACIONES REALES Y PRONSTICO DE LA DEMANDA DE TAZAS DIARIAS DE CAF(1996-2010)1.61.82.02.22.42.696 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10DTAZAS DTAZASFEJERCICIOS1.- Con los siguientes datos contesta lo que se te pide a continuacin:Costo Total ProduccinY X(Dlares) (Produccin)193 1226 2240 3244 4257 5260 6274 7297 8350 9420 10a) Calcula el modelo de produccint i i iu x x x y + + + + 3322 1 0 donde 0 , , 0 , 0 , 03 2 1 0 . Explicael por qulafuncindecostostieneestossignos esperados.b) Analiza los resultados econmicamente.i) Analiza si los signos de los coeficientes son los tericos esperados.ii) Interpreta a los coeficientes beta.c) Analiza los resultados economtricamente.i) Explica 2 2R y R.ii) Determina si los coeficientes beta son individualmente significativos.iii) Determina si los coeficientes beta con conjuntamente significativos.17iv)MediantelapruebaWalddetermina y explica si se cumple la siguiente hiptesis nula y alternativa:3 122 1 3 122 03 : 3 : H Hv) Prueba si los errores del modelo se distribuyen normalmente y explica dicha pruebavi) Prueba si el modelo cumple con el supuesto de forma funcional correcta y explica las pruebas que estas utilizando.vii) Prueba si el modelo tiene problemas de multicolinialidad y explica las pruebas que estas utilizando.viii) Prueba si los errores del modelo son heteroscedsticos y explica dichas pruebas.ix) Pruebasi secumplelapermanenciaestructural yexplicalaspruebasqueestas utilizando.x) Prueba si el modelo no tiene problemas de autocorrelacin y explica las pruebas que estas utilizando.xi) Ahora considera que el modelo de costos estimado cumple con todos los supuestos, predice los costos para cuatro observaciones ms y analiza dicha prediccin.2.- Con los siguientes datos contesta lo que se te pide a continuacin:Y2X3XAo Producto Real(Millones de dlares)Insumo Trabajo(por cada mil personas)Insumo Capital(Millones de dlares)1990 8,911.4 281.5 120,7531991 10.873.2 284.4 122,2421992 11,132.5 289.0 125,2631993 12,086.5 375.8 128,5391994 12,767.5 375.2 131,4271995 16,347.1 402.5 134,2671996 19,542.7 478.0 139,0381997 21,075.9 553.4 146,4501998 23,052.0 616.7 153,7141999 26,128.2 695.7 164,7832000 29,563.7 790.3 176,8642001 33,376.6 816.0 188,1402002 38.354.3 848.4 205,8412003 46,868.3 873.1 221,7482004 54,308.0 902.4 239,7152005 69,824.1 999.2 250,578a) Calcula el modelotu X X y + + + + 3 2 2 2 1ln ln ln donde0 , 0 , 03 2 1 b) Analiza los resultados econmicamente segn el esquema que se anot en la pregunta uno.c)Analiza losresultaseconomtricamentesegnel esquema de la pregunta uno,sin contestar el inciso de la prueba Waldd) Plantea la hiptesis nula y alternativa para probar rendimientos constantes a escala, rendimientos crecientes a escala y rendimientos decrecientes a escala.18e) Mediante la prueba Wald determina qu rendimientos presenta la industria (rendimientos constantes, rendimientos crecientes o rendimientos decrecientes).f) Predice el producto real hasta el ao 2010. Para contestar esta pregunta, las cifras de la prediccin del logaritmo del producto real deben de transformarse a dlares, elevandola basee (e= 2.71828) al logaritmo de cada observacin.MODELOS BINARIOS (modelos Logit y Probit)EJEMPLOSe utilizaron los datos que se muestran en la siguiente tabla, para analizar si una nueva metodologa didctica resultaba eficaz en la enseanza de la economa. En esteestudio la variable dependiente mejora,es la variable que indica si mejor el alumno tras un periodo deaprendizaje. El resto de las variables son CM media de las calificaciones pasadas del alumno, NP nota del alumno en un examen previo al periodo de aprendizaje y PSI, variable binaria que indica si en el periodo de aprendizaje el alumno estudi con el nuevo mtodo didctico.DATOSOBS MEJORA CM NP PSI1 0 2.66 20 02 0 2.89 22 03 0 3.28 24 04 0 2.92 12 05 1 4.00 21 06 0 2.86 17 07 0 2.76 17 08 0 2.87 21 09 0 3.03 25 010 1 3.92 29 011 0 2.63 20 012 0 3.32 23 013 0 3.57 23 014 1 3.26 25 015 0 3.53 26 016 0 2.74 19 017 0 2.75 25 018 0 2.83 19 019 0 3.12 23 120 1 3.16 25 121 0 2.06 22 122 1 3.62 28 123 0 2.89 14 124 0 3.51 26 125 1 3.54 24 126 1 2.83 27 127 1 3.39 17 128 0 2.67 24 129 1 3.65 21 130 1 4.0 23 131 0 3.1 21 132 1 2.39 19 119El modelo fue calculado a travs del mtodo de MCO para el modelo lineal y por el mtodo de Mxima Verosimilitud para el modelo Logit y Probit. Las estimaciones se muestran en las siguiente tres tablas.Resultados del modelo probabilsticoestimado a travs de Mnimos Cuadrados Ordinarios Dependent Variable: MEJORAMethod: Least SquaresSample(adjusted): 1 32Included observations: 32 after adjusting endpointsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -1.498017 0.523889 -2.859419 0.0079CM 0.463852 0.161956 2.864054 0.0078NP 0.010495 0.019483 0.538685 0.5944PSI 0.378555 0.139173 2.720035 0.0111R-squared 0.415900 Mean dependent var 0.343750Adjusted R-squared 0.353318 S.D. dependent var 0.482559S.E. of regression 0.388057 Akaike info criterion 1.061140Sum squared resid 4.216474 Schwarz criterion 1.244357Log likelihood -12.97825 F-statistic 6.645658Durbin-Watson stat 2.346447 Prob(F-statistic) 0.001571Resultados del modelo probabilstico estimado como Logit Dependent Variable: MEJORAMethod: ML - Binary LogitSample: 1 32Included observations: 32Convergence achieved after 5 iterationsCovariance matrix computed using second derivativesVariable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.C -13.02135 4.931317 -2.640541 0.0083CM 2.826113 1.262940 2.237726 0.0252NP 0.095158 0.141554 0.672235 0.5014PSI 2.378688 1.064563 2.234426 0.0255Mean dependent var 0.343750 S.D. dependent var 0.482559S.E. of regression 0.384716 Akaike info criterion 1.055602Sum squared resid 4.144171 Schwarz criterion 1.238819Log likelihood -12.88963 Hannan-Quinn criter. 1.116333Restr. Log likelihood -20.59173 Avg. log likelihood -0.402801LR statistic (3 df) 15.40419 McFadden R-squared 0.374038Probability(LR stat) 0.001502Obs with Dep=0 21Total obs 32Obs with Dep=1 11Resultados de la estimacin del modelo como un Probit20Dependent Variable: MEJORAMethod: ML - Binary ProbitSample(adjusted): 1 32Included observations: 32 after adjusting endpointsConvergence achieved after 5 iterationsCovariance matrix computed using second derivativesVariable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.C -7.452320 2.542472 -2.931131 0.0034CM 1.625810 0.693882 2.343063 0.0191NP 0.051729 0.083890 0.616626 0.5375PSI 1.426332 0.595038 2.397045 0.0165Mean dependent var 0.343750 S.D. dependent var 0.482559S.E. of regression 0.386128 Akaike info criterion 1.051175Sum squared resid 4.174660 Schwarz criterion 1.234392Log likelihood -12.81880 Hannan-Quinn criter. 1.111907Restr. log likelihood -20.59173 Avg. log likelihood -0.400588LR statistic (3 df) 15.54585 McFadden R-squared 0.377478Probability(LR stat) 0.001405Obs with Dep=0 21Total obs 32Obs with Dep=1 11 Los efectos marginales del modelo de probabilidad lineal son los que resultan de la estimacin de los coeficientes. Sin embargo, los coeficientes de los modelos Logit y Probit (loscualesmidenlosefectos marginales) tienenqueestimarseutilizandoun factor de ajuste.Para el modelo Logit, el factor de ajuste, se obtiene al multiplicar funcin Logit (probabilidaddexito)porunomenoslafuncinlogit probabilidaddefracaso. En trminos formales esto esFactor de Ajuste para el Logit=)'

,_

+

,_

+XXXXeeee111Donde Xes el resultado de la regresinpor las mediasde cada variabley e= 2.71828 Los efectos marginales en el modelo Logitse encuentran de la siguiente forma( ))'

,_

+

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+XXXXeeeeXXYE111 Por tanto, los efectos marginales se obtienen multiplicando el factor de ajuste por el vector de coeficientes beta Siguiendo estos pasos, primero se calculan las medias de los datos de las variables explicativas del modelo Logit. Estos resultados se muestran en el siguiente cuadroMEJORA CM NP PSIMedia 3.1171875 21.938 0.437521En segundo lugarse multiplican los coeficientes por las medias de las variables explicativas delmodelo Logit MEJORA =-13.02134684 + 2.826112592*(3.1171875) + 0.09515766115*(21.938) + 2.378687654*(0.4375)MEJORA = X = - 13.02134684+ 11.937766 =-1.08358Se obtiene el factor de ajuste de la siguiente manera( ))'

,_

+

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+08358 . 108358 . 108350 . 108358 . 1111 eeeeXXYE=0.1889562 = 0.1889 Hay otra forma ms simple de obtener este factor de ajuste. Este mtodo consiste entrabajar sobrelosresultadosdelaregresinlogit (probabilidaddexito). Dela siguientemanera: sobrelosresultadosdelaregresinlogit darclicenProcs/Make Model/ e intercambiar los nombres de las variables por sus medias y cambiar el nombre de la variable dependiente por ejemplo por xito. Despus borrar la leyenda que aparece en la parte de arriba de la ventana, es decir, borrar ASSIGN @ALL F, y dar clic en Solve. Esto aparece el la ventanaSSIGN @ALL FMEJORA = 1-@LOGIT(-(-13.02134684 + 2.826112592*CM + 0.09515766115*NP + 2.378687654*PSI))Hay que modificar asexito = 1-@LOGIT(-(-13.02134684 + 2.826112592*3.1171875+ 0.09515766115*21.938 + 2.378687654*0.3475))Con la instruccin Solve EV calcula esa ecuacin con el nombre de xito. Esta variable estar compuesta de un nmero que se repite a lo largo de todas los observaciones y que ser la probabilidad de xito. El factor de ajuste, por tanto, se encuentra al multiplicar este nmero por 1- este nmero. xito= 0.252829factor de ajuste= (0.252829)(1-0.252829)=0.1889064 Para el modelo Probit, el factor de ajuste, se obtiene buscando en las tablas de la distribucin normal el valor que resulta de la funcin Probit. En trminos formales el factor de ajuste esFactor de Ajuste para el Probit =( ) { } X DondeXes el resultado de la regresinpor las mediasde cada variable22 De igual manera, el efecto marginal en el modelo Probit resulta de multiplicar el factor de ajuste por el vector de betas( )( ) { } XXXYE Para obtener el factor de ajuste del modelo probit se procede de la misma manera queel logit. Trabajesobrelosresultadosdelaregresinprobit. Estoapareceenla ventana despus de dar clic en Procs/Make ModelASSIGN @ALL FMEJORA = 1-@CNORM(-(-7.452319647 + 1.625810039*CM + 0.0517289455*NP + 1.426332342*PSI))Se intercambian nombres de las variables por su valor medio, se cambia de nombre la variable dependiente, se borra ASSIGN @ALL F y se da clic en Solve normal = 1-@CNORM(-(-7.452319647 + 1.625810039*3.1171875 + 0.0517289455*21938 + 1.426332342*0.4375)) La variable normal es un nmero=0.265817 que es la probabilidad de xito del modelo probit. La probabilidad de xito por la probabilidad de fracaso es (0.265817)(1-0.265817)=0.171158, valor que al ser restado de 0.5 queda 0.329.Al obtener todosestosvalores, sepuedencalcular laspendientes(efectos marginales) del Logit y Probit y compararlos con los resultados del modelo de regresin lineal, los cuales se resumen en el siguiente cuadroModelo Lineal Modelo Logit Modelo ProbitVariable Coeficiente Pendiente Coeficiente Pendiente Coeficiente PendienteConstante -1.498017 -1.498017 -13.02135 -7.452320CM 0.463852 0.463852 2.826113 0.534 1.625810 0.533NP 0.010495 0.010495 0.095158 0.018 0.051729 0.017PSI 0.378555 0.378555 2.378688 0.499 1.426332 0.468Factor de A 1. 0.189 0.329 Como se puede observar en el cuadro anterior las pendientes que arrojan los modelos Logit y Probit son casi iguales mientras que difieren de las estimadas por el mtodo de mnimos cuadrados ordinarias. Para interpretar el efecto que tiene cada variable sobre la probabilidad, de que las calificaciones delalumno mejoran tras de implantar una nueva metodologa, se utilizan los valores de lapendiente. La interpretacin del coeficiente de CM sera similar en el modelo LogityProbit,es decir, si la calificacin media del alumno aumenta en una unidad, la probabilidad de que el alumno mejore sus calificaciones aumenta 0.53, si ha utilizadoelnuevomtododidctico.La interpretacin del coeficiente NP sera,si la calificacin del alumno en un examen previo aumenta en una unidad, la probabilidad de que el alumno mejore sus calificaciones aumentaen 0.018 si ha utilizado el nuevo mtodo didctico.23 Hay que recordar que uno de los estadsticos tradicionales para analizar la bondad deajustedelosmodeloderegresinesel Rcuadrada. Enestosmodelosdondela variable dependiente es una variable cualitativa el estadstico R cuadrada de Mc Fadden se definecomo sigueRURLLRloglog12 Donde el log de L subndice UR es la funcin de mxima verosimilitud no restringiday el log de L subndice R es la funcin de mxima verosimilitud restringida. Este estadstico, es el que se calcula en los resultados de la regresin y de igual forma que en los modelos de regresin lineal su valor se encuentra entre cero y uno Como se puede observar en los resultados de la regresin del modelo Logit y Probitel estadstico R cuadrada de Mc Fadden es de 0.37, es decir, que un 37.0% de las variaciones en la probabilidad de que el alumno mejore sus calificaciones si ha utilizado el nuevo mtodo didcticoest explicada por el modelo. Hay otros dos estadsticos que miden la bondad de ajuste de este tipo de modelos uno es Hosmer- Lemeshow y el otro es AnDrews. La idea de estas pruebas es comparar el valor esperado ajustado y el valor actual por grupo de series. Si la diferencia entre el valor esperado y actual es muy grande se rechaza el modelo porque ste no se ajusta a los datos. El estadstico Hosmer- Lemeshow trabaja agrupando las observaciones sobre la base de la probabilidad predictiba cuando y=1 ( cuando la variable dependiente toma el valorde1);elestadsticoAnDrewses ms generalya que agrupa lasobservaciones sobre la base de algunas series no importando que y=1 o y=0.Si la diferencia es muy grandeserechaza el modeloporquenoseajusta alos datos. Para calcular estos estadsticos selecciona View/Goodness- of Fit Test / Predicted risk OKy aparece el siguiente cuadro, que para el caso del ejemplo resultaron dos tablas Para el caso del modelo Logit24Dependent Variable: MEJORAMethod: ML - Binary LogitSample: 1 32Included observations: 32Andrews and Hosmer-Lemeshow Goodness-of-Fit TestsGrouping based upon predicted risk (randomize ties)Quantile of Risk Dep=0 Dep=1 Total H-LLow High Actual Expect Actual Expect Obs Value1 0.0245 0.0265 3 2.92312 0 0.07688 3 0.078902 0.0266 0.0349 3 2.90838 0 0.09162 3 0.094513 0.0386 0.0536 3 2.85623 0 0.14377 3 0.151014 0.0595 0.1110 2 2.76809 1 0.23191 3 2.757095 0.1111 0.1932 3 3.31840 1 0.68160 4 0.179296 0.2418 0.3222 3 2.12877 0 0.87123 3 1.227797 0.3610 0.5291 2 1.62876 1 1.37124 3 0.185128 0.5699 0.6354 1 1.20481 2 1.79519 3 0.058189 0.6608 0.8383 0 0.80741 3 2.19259 3 1.1047410 0.8417 0.9453 1 0.45602 3 3.54398 4 0.73241Total 21 21.0000 11 11.0000 32 6.56906H-L Statistic: 6.5691 Prob[Chi-Sq(8 df)]: 0.5838Andrews Statistic: 19.1344 Prob[Chi-Sq(10 df)]: 0.0386Para el caso del modelo ProbitDependent Variable: MEJORAMethod: ML - Binary ProbitSample(adjusted): 1 32Included observations: 32 after adjusting endpointsAndrews and Hosmer-Lemeshow Goodness-of-Fit TestsGrouping based upon predicted risk (randomize ties)Quantile of Risk Dep=0 Dep=1 Total H-LLow High Actual Expect Actual Expect Obs Value1 0.0161 0.0185 3 2.94722 0 0.05278 3 0.053722 0.0186 0.0272 3 2.93223 0 0.06777 3 0.069343 0.0309 0.0457 3 2.87888 0 0.12112 3 0.126214 0.0531 0.1088 3 2.77618 0 0.22382 3 0.241865 0.1235 0.1952 2 3.29779 2 0.70221 4 2.909246 0.2732 0.3287 3 2.07481 0 0.92519 3 1.337757 0.3563 0.5400 2 1.61497 1 1.38503 3 0.198838 0.5546 0.6424 1 1.20962 2 1.79038 3 0.060879 0.6572 0.8342 0 0.84550 3 2.15450 3 1.1773010 0.8400 0.9522 1 0.45575 3 3.54425 4 0.73351Total 21 21.0330 11 10.9670 32 6.90863H-L Statistic: 6.9086 Prob[Chi-Sq(8 df)]: 0.5465Andrews Statistic: 20.6045 Prob[Chi-Sq(10 df)]: 0.0240 Como se puede observar, el valor del estadstico H-L no es muy grande en ambos modelos(esteresultadelasumatoriadelaltimacolumnadel ladoderechodelos cuadros)el valordeestadsticoAndrewssi loes. Portantomientras, unestadstico estara diciendo que el modelo se ajusta a los datos el otro estadstico lo contradice. Esta afirmacin queda confirmada observando el valor de la probabilidad de cada uno de los estadsticos, porque mientras el del estadstico HL tiene un valor mayor 0.05, el de Andrews es menor a este valor. Esta contradiccin entre lo que sugieren los estadsticos hace pensar en que el modelo se tiene que revisar.Una posible causa de que el modelo no se ajuste a los datos es la no significancia estadstica de la variable NP. 25Para un anlisis ms profundo de los modelos binarios, se pueden hacer pruebas de restriccin individuales o generales sobre los coeficientes. Para las pruebas individuales se encuentra el estadstico Wald y el de Razn de Verosimilitud (RV) que aparece en los resultados de la regresindel modelo Logit o Probit. Por ejemplosi se realiza la prueba Wald para saber si el coeficiente de la serie NP esestadsticamentenosignificativoenel modeloProbit, estapruebadael siguiente resultadoWald Test:Equation: PROBINull Hypothesis: C(3)=0F-statistic 0.380228 Probability 0.542463Chi-square 0.380228 Probability 0.537481Comosepuedeobservar enlosresultados deestapruebael valor dela probabilidaddelosdosestadsticos esmayorque0.05 porlo que nose rechazala hiptesis nula de que el coeficiente de la variable NP es estadsticamente no significativo a un nivel de confianza del 95.0%. La pruebaRV es una prueba anloga a la prueba F para los modelos de regresin lineal, esdecir, constasepruebasiconjuntamenteloscoeficientesestimadospor mxima verosimilitud, excluyendo la constante son estadsticamente no significativos. Segn los resultados de esta prueba, en el modelo Probit, el valor de la probabilidad del estadstico RV es menor a 0.05 por lo que se rechaza que conjuntamente los coeficientes sean estadsticamente iguales a cero. Adicionalmente a estas pruebas, existe otra prueba para analizar las propiedades y el funcionamiento de los modelos binarios. Esta prueba se llama tabla de Clasificacin EsperadayPredicha. Latablaclasificael valor esperadoypredichodelavariable dependiente. Para ver esta tabla en el E-Viewdar clic enView/Expectaction-PredictionTablesobrelosresultadosdelaregresinyapareceunatabladondese aslan las observaciones de la variable dependiente en sus valores de 0 y 1. La clasificacin correcta se obtiene cuando la probabilidad pronosticada es menor o igual a la esperada y a la observada (y=0) o cuando la probabilidad pronosticada es mayor que la esperada y la observada (y=1). En la literatura sobre este tema, la tabla de Pronstico-Expectativa se refiere a la tabla de clasificacin. La fraccin y=1 observaciones que son pronosticadascorrectamentedeterminan la sensibilidad,mientras que la fraccin y=0 observaciones que son correctas es conocida como la especificidad. Estas son fracciones quesepresentanenporcentajes.Veamos los resultados de esta tabla para el modelo ProbitDependent Variable: MEJORAMethod: ML - Binary ProbitSample(adjusted): 1 32Included observations: 32 after adjusting endpointsPrediction Evaluation (success cutoff C = 0.5)26 Estimated EquationConstant ProbabilityDep=0 Dep=1 Total Dep=0 Dep=1 TotalP(Dep=1)C 3 8 11 0 0 0Total 21 11 32 21 11 32Correct 18 8 26 21 0 21% Correct 85.71 72.73 81.25 100.00 0.00 65.62% Incorrect 14.29 27.27 18.75 0.00 100.00 34.38Total Gain* -14.29 72.73 15.62Percent Gain** NA72.73 45.45 Estimated EquationConstant ProbabilityDep=0 Dep=1 Total Dep=0 Dep=1 TotalE(# of Dep=0)16.89 4.14 21.03 13.78 7.22 21.00E(# of Dep=1)4.11 6.86 10.97 7.22 3.78 11.00Total 21.00 11.00 32.00 21.00 11.00 32.00Correct 16.89 6.86 23.74 13.78 3.78 17.56% Correct 80.42 62.32 74.20 65.62 34.38 54.88% Incorrect 19.58 37.68 25.80 34.38 65.62 45.12Total Gain* 14.80 27.95 19.32Percent Gain**43.05 42.59 42.82*Change in % correct from default (constant probability)**Percent of incorrect (default) prediction corrected by equation Enel primer cuadrodeestatablasemuestraqueel modeloProbit est pronosticando correctamente el 85.71% de las observaciones cuando y=0 y el 72.73% de las observaciones cuando y=1. Con estos resultados se puede decir que el modelo Probit es bueno en sensibilidad y en especificidad. El anlisis de residuos de la regresintambin se puede llevar a cabo. Sobre el modelo de regresin Probit o Logit. De clic en Procs/Make Residual Seriesy este comandogeneralos residuos ordinarios, los residuos estandarizados ylos residuos generalizados.La prueba de normalidad tambin se puede realizar para los residuos de modelo Probit dandounclicen View/Residual Testsobrelaregresin yEVmuestrael histograma de normalidad para los residuos estandarizados. Veamos el histograma de normalidad para los errores del modelo Probit0481216-2 -1 0 1 2 3Series: Standardized ResidualsSample 1 32Observations 32Mean -0.014303Median-0.158590Maximum 2.663509Minimum-2.356954Std. Dev.0.920117Skewness0.579126Kurtosis4.932971Jarque-Bera6.770566Probability0.03386827 Segn los resultados de la prueba de normalidad los errores del modelo Probit no se distribuyen en forma normal al 95.0%de confianza ya que el valor de la probabilidad del estadstico Jarque Beraes menor que 0.05. Pero se podra decir que al 98.0% de confianza los errores si se distribuyen de forma normal. Otro elemento importante de analizar en los modelos binarios es la grfica de curvasderespuestadelasprobabilidades. Estagrficaestil paraexaminar como varanlasprobabilidadescuandouna de las variables independientes est cambiando mientras las otras variables permanecen fijas en el valor de su media. Para el modelo Logit y Probit que se est manejando en este ejemplo, es todava ms interesanteesta grfica de curva de respuesta a las probabilidades porque se tiene una variable cualitativa como explicativa, es decir, se tiene a la variable PSI (variable binaria que indica si el estudiante estudi con el nuevo mtodo didctico o no). Para obtener esta grfica realice los siguientes pasos(recuerde que estos pasos son para obtener la grfica de respuesta de las probabilidades de cualquier modelo). 1.- Calcule una serie continua de la variable explicativa que va a estar variando, en el casodelejemploserCM(media delascalificacionesdelalumno).Paracalcularla serie continua de CM se observa el dato inferior y superior de la serie, los cuales son 2 y4. Adems seutilizalavariabledetendencia, lacual tomavaloresdeenteros positivos empezando por cero y termina en el nmero que le corresponde al ltimo dato, enel casodel ejemplo la tendencia seruna variable que tome valores de 0, 1, 2,.....hasta32. Estatendenciahacequelaserielevante. LainstruccinenEVpara formar la serie continua CM es: seriescmplot=2+@trend*(4-2)/@obs(@trend)@trend es la instruccin para crear la serie de tendencia en EV2.-Obtengalaecuacinderegresinestimadadel modeloProbit conlainstruccin Procs/Make Model sobre los resultados de la regresin 3.-Trabajesobreestaecuacinygenereotranuevadandounnombrealavariable dependiente,por ejemplo MEJORA0 cuando PSI toma el valor de cero y MEJORA1 paralasiguienteecuacin, cuandoPSI tomael valor de1. Adems, reemplacela variableCMpor cmplot,reemplace tambin a la variable NP por su media y a la variable PSI por 0 en la primera ecuaciny 1 en la segunda ecuacin. MEJORA0 = 1-@CNORM(-(-7.452319647 + 1.625810039*CMPLOT + 0.0517289455*@median(NP)+ 1.426332342*0))MEJORA1 = 1-@CNORM(-(-7.452319647 + 1.625810039*CMPLOT + 0.0517289455*@median(NP) + 1.426332342*1))284.- Borre ASSIGN @ ALL F que aparece en la parte de arriba de la ventana en la cual est trabajando.5.-D clic enSolve, es decir, resuelve las ecuaciones antes anotadas. Con esta instruccin se genera las probabilidades de que el estudiante mejore sus calificaciones cuandovara su calificacinpromedio y si el alumno estudia con el nuevo mtodo didcticoylasprobabilidadesdequeelestudiantemejoresuscalificacionescuando varia su calificacin promedio y no estudia con el nuevo mtodo didctico. EV guarda las dos probabilidades generadas como series, con el nombre de mejora0 y mejora1.6.- Para graficar las serie CMPLOT, MEJORA1 y MEJORA0 en un solo plano d clic en Showy anote los nombres de las variables que quiere graficar (cmplot, mejora1 y mejora0), despus View/Graph/XY Line/. El resultado fue el siguiente0.00.20.40.60.81.02.0 2.5 3.0 3.5CMPLOTMEJORA0MEJORA1 En esta grfica se muestra dos funciones en todo el intervalo de variacin de CM, es decir, de 2 a 4. El efecto de la variable PSI en las probabilidades es considerable. El efecto marginal del muevo mtodo didctico es la diferencia entre estas dos funciones y toma valores tan pequeoscomo 0.06 cuando CM=2, hasta valores prximos a 0.50, cuando CM es igual3.5. Esto muestra que la probabilidad de que la nota del estudiante mejore tras seguir un curso con la nueva metodologa es mucho mayor en alumnos con alta calificacin media que en alumnos con baja calificacin media. ANLISIS DE SERIES DE TIEMPOGRFICAS PARA PRONOSTICARPara realizar un pronstico es recomendable comenzar con un anlisis grfico de la serie de tiempo. El anlisis grfico permite obtener una idea preliminar acerca de los componentes de la serie: tendencia, estacionalidad y ciclo. Es recomendable hacer un banco de datos, stos pueden ser obtenidos de las Estadsticas del Banco de Mxico, de INEGI,de Economtica o de otras fuentes.29Por ejemplo obtenga los datos de una serie de tiempo cuya muestra sea los ms larga posible, por ejemplo la del ndice nacional de precios al consumidor INPC, que est disponible en forma mensual desde 1973 en los indicadores econmicos y financierosdel BancodeMxico. Trabajeconlamuestradeaproximadamente450 observaciones y realice los siguientes pasos: Baje la serie a analizar, generalmente viene en formato ecxel. Genere un archivo con la serie en ecxel. Observe los datos antes de copiarlos al paquete EV. Si los datos no le parecen congruentes trabaje sobre ellos previamente. Por ejemplo, la serie inpc que edita el Banco de Mxico viene en decimales hasta enero de 1985 y para febrero de ese ao se presenta en miles de millones. Pasar de decimales a miles de millones no es congruente, pero pasar de 0.9 a 1.06 si lo es, por tanto hay que desplazar el punto decimal tantas unidades como sea necesario. Aunqueelndicenacional depreciosalconsumidor(inpc)estdisponibledesde 1973 se puede trabajar con l en forma mensual desde 1985 a 2008. Haga una hoja de trabajo en EV para datos mensuales con tamao de la muestra 1985.01 a 2008.12 con la File/New/Workfile/Frequency/Montly. Siempre deje espacio para la prediccin. Genere espacio para copiar la serie de ecxel a EV escribiendo en este ltimo,data inpc debajo del men principal. Regrese a ecxel, copie la serie inpc y pegue en EV. Si no es posible componer la serie en ecxel, intntelo en EV. Ya cargada la serie inpc en EV, de clic sobre ella y despus de que esta variable est sombreada, darclicelShow/ View/Line Graph. Con esta instruccin aparece la grfica de la variable a travs del tiempo. Analice detenidamente la grfica del INPC, para detectar la tendencia,la estacional y el ciclo en la serie.02040608010012014086 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08INPCObserve que esta variable crece en el tiempo con pocas fluctuaciones. Ahora cree la variable diferencia absoluta de inpc, de clic en genr e introduzca la ecuacin dinpc=d(inpc)yclicenOK.Grafiqueestanuevaserieconlasmismas instrucciones que la anterior. Obseve la fluctuacines de la serie, donde sufren un cambio fuerte es en la devaluacin de diciembre de 1994.30-0.8-0.40.00.40.81.21.62.02.42.886 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08DINPC Cree la variable diferencia de los logaritmos del inpc, de clic en genr e introduzca laecuacinlinpc=log(inpc)yOK, despusvuelvaadar clicengenryescribala ecuacin dlinpc=d(linpc) y OK.-.04.00.04.08.12.1686 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08DLINPCObserve los brincos que muestra la serie en 1987 y 1984 y la reduccinde las variaciones despus de 1998 hasta 2008. Como ejercicio conteste las siguientes preguntas. Qurelacinexisteentrelaserieinflacinylaseriediferenciadelos logaritmos? Calcule la inflacin a partir del inpc y gafique.Tambin es importante evaluar la distribucin de la serie a analizar a partir de su histrograma y hacer la prueba de normalidad de la serie. Para ello de clic Show /OK/ View/ Descriptive Statistics/Histrogram/310510152025300 20 40 60 80 100 120Series: INPCSample 1985M01 2008M12Observations 283Mean58.83333Median53.79175Maximum 129.5760Minimum 1.010696Std. Dev.43.21315Skewness0.149291Kurtosis1.452812Jarque-Bera29.27800Probability0.000000 Observe que la serie inpc no se distribuye de manera normal. Haga lo mismo con dinpc0102030405060-0.5 -0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5Series: DINPCSample 1985M01 2008M12Observations 282Mean0.455905Median0.364077Maximum 2.610758Minimum-0.596000Std. Dev.0.408974Skewness1.303036Kurtosis6.428485Jarque-Bera217.9169Probability0.000000Observe que la serie dinpc no se distribuye de manera normal.TENDENCIA DE UNA SERIELa tendencia es la evolucin lenta y a largo plazo de la serie que se desea modelar y pronosticar. Los modelos de tendencia determinista ms utilizados sonTendencia linealTiempo T1 0 + Tendencia cuadrtica22 1 0Tiempo Tiempo T + + Tendencia exponencialTiempoe T10 Observelagrficadel inpcnuevamente, estaseriepresentaunaclasedetendencia deterministaquepodraserlineal, cuadrticaoexponencial. Porloqueselepuede asociar los siguientes modelos.tu Tiempo inpc + + 1 0 iu Tiempo Tiempo inpc + + + 22 1 0 iu Tiempo linpc + + 1 0 Pero como el modelo exponencial lineal, en logaritmos no es comparable con los otrosdos modelos setrabajaconel modeloexponencialu Tiempoe e inpc10 yse calcula por mnimos cuadrados no lineales. 32Analicemos cul de los modelos anteriores podra estar explicando la tendencia determinista de la serie inpc. Genere la variable tiempo dando clic en genr e introduzca la ecuacin tiempo=@trendy OK. Generela variable tiempo al cuadrado dando clic en genr e introduzca la ecuacin tempo2=tiempo^2. Estime el primer modelo escribiendo en el espacio en blanco debajo de la barra de herramientasls inpc c tiempo. Guarde la regresin con un nombre, sobre los resultados de sta, de clic en Name y anote, por ejemplo, inpctl. Dependent Variable: INPCMethod: Least SquaresDate: 09/11/08 Time: 09:24Sample (adjusted): 1985M02 2008M08Included observations: 283 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -15.06310 0.873921 -17.23623 0.0000TIEMPO 0.520397 0.005335 97.55243 0.0000R-squared 0.971319 Mean dependent var 58.83333Adjusted R-squared 0.971217 S.D. dependent var 43.21315S.E. of regression 7.331340 Akaike info criterion 6.829236Sum squared resid 15103.34 Schwarz criterion 6.854999Log likelihood -964.3368 F-statistic 9516.477Durbin-Watson stat 0.003190 Prob(F-statistic) 0.000000 Observe los resultados de la regresin, la variable tiempo es estadsticamente significativa, sin embargo el estadstico DWes bajo lo que estara indicando autocorrelacin. Grafique el inpc estimado por el modelo junto con el inpc y los errores de la regresin, dando clic sobre los resultados de la regresin en View/Actual/Fitted/Residual/Graph-20-1001020-400408012016086 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08Residual Actual Fitted33Notecomolavariablereal sesaledelatendencialineal estimadayloserroresno parecen normales. Haga la prueba de normalidad en los errores.04812162024-15 -10 -5 0 5 10 15Series: ResidualsSample 1985M02 2008M08Observations 283Mean1.73e-15Median0.558612Maximum 15.55340Minimum-18.25873Std. Dev.7.318329Skewness -0.519603Kurtosis2.742966Jarque-Bera13.51343Probability0.001163Los errores no tienen una distribucin normal.Estime el modelo con tendencia cuadrtica escribiendo en el espacio en blanco, debajo de la barra de herramientasls inpc c tiempo teimpo2y guarde la regresin con un nombre por ejemplo inpct2.Dependent Variable: INPCMethod: Least SquaresDate: 09/11/08 Time: 09:28Sample (adjusted): 1985M02 2008M08Included observations: 283 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C -8.083254 1.195368 -6.762146 0.0000TIEMPO 0.373453 0.019436 19.21404 0.0000TIEMPO2 0.000517 6.63E-05 7.806438 0.0000R-squared 0.976446 Mean dependent var 58.83333Adjusted R-squared 0.976277 S.D. dependent var 43.21315S.E. of regression 6.655753 Akaike info criterion 6.639384Sum squared resid 12403.73 Schwarz criterion 6.678029Log likelihood -936.4729 F-statistic 5803.695Durbin-Watson stat 0.003740 Prob(F-statistic) 0.000000 Observe como en el modelo de tendencia cuadrtica la variable tiempo y tiempo al cuadrado son estadsticamente significativas pero el DW indica autocorrelacin, pero el estadstico Schwarz del segundo modelo es ms bajo.34Estime la grfica de la serie real y estimada -20-1001020-400408012016086 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08Residual Actual FittedEs muy parecida a la anteriorHaga la prueba de normalidad en los errores048121620242832-15 -10 -5 0 5 10Series: ResidualsSample 1985M02 2008M08Observations 283Mean5.23e-15Median1.205712Maximum 11.12624Minimum-15.07925Std. Dev.6.632109Skewness -0.217170Kurtosis2.225438Jarque-Bera9.298887Probability0.009567Los errores no son normales Estime el modelo exponencial por mnimos cuadrados no lineales de la siguiente forma: de clic enQuick/Estimate Equatione introduzca la ecuacin inpc=c(1)*exp(C(2)*tiempo). Dependent Variable: INPCMethod: Least SquaresDate: 09/11/08 Time: 09:32Sample (adjusted): 1985M02 2008M08Included observations: 283 after adjustmentsConvergence achieved after 58 iterationsINPC=C(1)*EXP(C(2)*TIEMPO)Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C(1) 15.76667 0.696431 22.63925 0.0000C(2) 0.008041 0.000191 42.04294 0.0000R-squared 0.914354 Mean dependent var 58.83333Adjusted R-squared 0.914049 S.D. dependent var 43.2131535S.E. of regression 12.66899 Akaike info criterion 7.923234Sum squared resid 45101.43 Schwarz criterion 7.948997Log likelihood -1119.138 Durbin-Watson stat 0.001494Grafique la variable real y la estimada-30-20-1001020300408012016086 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08Residual Actual FittedHaga pruebas de normalidad0102030405060-20 -10 0 10 20Series: ResidualsSample 1985M02 2008M08Observations 283Mean -1.928073Median -8.570290Maximum 20.00287Minimum-23.91263Std. Dev.12.49814Skewness0.427954Kurtosis1.762166Jarque-Bera26.70591Probability0.000002Note que los errores en este modelo tampoco son normalesCompare los tres modelos con los criterios de Akaike y Schwarz lineal cuadrtico exponencialAkaike info criterion 6.829236 6.639384 7.923234Schwarz criterion 6.854999 6.678029 7.948997 Observe que tanto el criterio de Akaike como el de Schuarz son ms pequeos en el modelocuadrtico. Elijaestemodeloparapredecir, recuerdehabergeneradoala variabletiempoytiempo2msalldel periododelamuestra, paraellodeclicen Forecast sobre los resultados de la regresin. 36-400408012016086 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08INPCFForecast: INPCFActual: INPCForecast sample: 1985M01 2008M12Included observations: 283Root Mean Squared Error6.620382Mean Absolute Error 5.531359Mean Abs. Percent Error43.97767Theil Inequality Coefficient 0.045468 Bias Proportion0.000000 Variance Proportion 0.005959 Covariance Proportion 0.994041El coeficiente de Desigualdad de Theil est dentro de los lmites permitidos al igual que los otros tres. Grafique la serie real y el pronstico -400408012016086 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08INPC INPCFEsta es la grficade las realizaciones reales y del pronstico de la serie inpc. Note que an siendo el modelo de tendencia cuadrtico el elegido, el pronstico no flucta alrededor a los datos de la variable real. ESTACIONALIDAD DE UNA SERIELaestacionalidaddeterministadeunaseriedetiemposurgecuandolastecnologas, preferencias e instituciones se enlazan con el calendario. Esta parte de la serie se puede modelar con series estacionales indicadoras para cada trimestre si la serie es trimestral o para mes si la serie es mensual. Observe la variable ndice de desempleo en Mxico de 1996 a agosto de 200537123456796 97 98 99 00 01 02 03 04 05IDES La serie muestra efectos estacionales endiciembre y en enero de cada ao. Para modelar la serie, se crean 11 variables indicadoras de estacionalidad si el modelo incluye ordenada al origen o 12 si no lo incluye. Genere estas variables dando clic en genr y escriba la ecuacin d1=@seas(1)para generar la variable estacional de enero y as sucesivamente. Estime la regresinls ides c d1 d2d11Dependent Variable: IDESMethod: Least SquaresDate: 09/10/08 Time: 17:41Sample (adjusted): 1996M01 2005M08Included observations: 116 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 2.666667 0.345527 7.717684 0.0000D1 0.858333 0.476276 1.802177 0.0744D2 0.907333 0.476276 1.905058 0.0595D3 0.750333 0.476276 1.575418 0.1182D4 0.746333 0.476276 1.567019 0.1201D5 0.607333 0.476276 1.275171 0.2051D6 0.557333 0.476276 1.170190 0.2446D7 0.685333 0.476276 1.438942 0.1532D8 0.767333 0.476276 1.611111 0.1102D9 0.711111 0.488649 1.455260 0.1486D10 0.536667 0.488649 1.098267 0.2746D11 0.375556 0.488649 0.768559 0.4439R-squared 0.052077 Mean dependent var 3.299483Adjusted R-squared -0.048184 S.D. dependent var 1.012475S.E. of regression 1.036580 Akaike info criterion 3.007429Sum squared resid 111.7479 Schwarz criterion 3.292283Log likelihood -162.4309 F-statistic 0.519419Durbin-Watson stat 0.093905 Prob(F-statistic) 0.88640938Notequesolamentelasdosprimerasvariablessonestadsticamentesignificativasal 90%. Ahora hagamos una regresin con las 12 variables indicadoras de estacionalidad excluyendo la constante Dependent Variable: IDESMethod: Least SquaresDate: 09/10/08 Time: 17:52Sample (adjusted): 1996M01 2005M08Included observations: 116 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.D1 3.525000 0.327796 10.75366 0.0000D2 3.574000 0.327796 10.90314 0.0000D3 3.417000 0.327796 10.42418 0.0000D4 3.413000 0.327796 10.41198 0.0000D5 3.274000 0.327796 9.987934 0.0000D6 3.224000 0.327796 9.835400 0.0000D7 3.352000 0.327796 10.22589 0.0000D8 3.434000 0.327796 10.47604 0.0000D9 3.377778 0.345527 9.775733 0.0000D10 3.203333 0.345527 9.270867 0.0000D11 3.042222 0.345527 8.804591 0.0000D12 2.666667 0.345527 7.717684 0.0000R-squared 0.052077 Mean dependent var 3.299483Adjusted R-squared -0.048184 S.D. dependent var 1.012475S.E. of regression 1.036580 Akaike info criterion 3.007429Sum squared resid 111.7479 Schwarz criterion 3.292283Log likelihood -162.4309 Durbin-Watson stat 0.093905Observe como todas las variables se vuelven significativas sin embargo, el R cuadrado es muy bajo y el estadstico DW indica autocorrelacin.La grfica de la variable actual y estimada es la siguiente39-2-10123123456796 97 98 99 00 01 02 03 04 05Residual Actual FittedEn ella se percibe que la variable modelada no se ajusta a los datos. Tal vez, faltara introducir unatendenciacuadrticadadalacurvaturadelaseriereal. Veamos los resultados.Dependent Variable: IDESMethod: Least SquaresDate: 09/10/08 Time: 18:11Sample (adjusted): 1996M01 2005M08Included observations: 116 after adjustmentsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.D1 5.826751 0.152927 38.10141 0.0000D2 5.889708 0.153430 38.38684 0.0000D3 5.744928 0.153905 37.32784 0.0000D4 5.751410 0.154350 37.26208 0.0000D5 5.621155 0.154767 36.32005 0.0000D6 5.578162 0.155156 35.95194 0.0000D7 5.711432 0.155517 36.72548 0.0000D8 5.796965 0.155850 37.19577 0.0000D9 5.903774 0.163041 36.21040 0.0000D10 5.739812 0.163465 35.11339 0.0000D11 5.587445 0.163859 34.09913 0.0000D12 5.218897 0.164223 31.77940 0.0000TIEMPO -0.108648 0.004217 -25.76255 0.0000TIEMPO2 0.000869 3.55E-05 24.47281 0.0000R-squared 0.874289 Mean dependent var 3.299483Adjusted R-squared 0.858268 S.D. dependent var 1.012475S.E. of regression 0.381170 Akaike info criterion 1.021621Sum squared resid 14.81966 Schwarz criterion 1.353951Log likelihood -45.25400 Durbin-Watson stat 0.626485Observecomoel Rcuadradoaumenta, al igual quebajanlosestadsticosAkaikey Schwarz40Pero todava el DW indica autocorrelacin. -1.5-1.0-0.50.00.51.0123456796 97 98 99 00 01 02 03 04 05Residual Actual FittedObserve, el ajuste es mejor comparado con los resultados de los otros modelos.Hagamos algunas pruebas a este modelo048121620-1.0 -0.5 -0.0 0.5Series: ResidualsSample 1996M01 2005M08Observations 116Mean2.32e-16Median -0.030171Maximum 0.856107Minimum-1.115479Std. Dev.0.358980Skewness -0.101755Kurtosis3.075346Jarque-Bera0.227617Probability0.892429Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:F-statistic 53.17358 Prob. F(2,100) 0.000000Obs*R-squared 59.78406 Prob. Chi-Square(2) 0.00000041-80-60-40-20020401997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005CUSUM 5% SignificanceSegn los resultados de las prueba este modelo tiene autocorrelacin, los estimadores no son estables pero se distribuyen en forma normal.Suponga que elegimos este modelo, hagamos la prediccin. Recuerdehaber generado a todas las variables X ms all de la muestra. 0123456796 97 98 99 00 01 02 03 04 05IDESFForecast: IDESFActual: IDESForecast sample: 1996M01 2005M12Included observations: 116Root Mean Squared Error0.357429Mean Absolute Error 0.279962Mean Abs. Percent Error8.537715Theil Inequality Coefficient 0.051940 Bias Proportion0.000000 Variance Proportion 0.033573 Covariance Proportion 0.966427El coeficientededesigualdaddeTheil ylos otros tres estndentrodelos lmites permitidos.La grfica de los valores reales y los estimados son123456796 97 98 99 00 01 02 03 04 05IDES IDESF42La tabla de los valores reales y los estimados es2005M01 3.750000 4.2255482005M02 3.930000 4.3683702005M03 3.950000 4.3051912005M04 4.200000 4.3950132005M05 4.290000 4.3498352005M06 3.540000 4.3936572005M07 3.500000 4.6154792005M08 4.050000 4.7913012005M09 NA 4.9901362005M10 NA 4.9199382005M11 NA 4.8630732005M12 NA 4.591764GENERACIN DE MODELOS AR, MA Y ARMA ESTACIONARIOS Y NO ESTACIONARIOS EN COVARIANZAUn modelo ar(1) se expresa como t t ta y y + 1, este proceso es estacionario si la raz caracterstica es de modulo menor que 1, es decir, un decimal cuyo valor est entre menos uno y uno.Un modelo ar(2)seexpresa comot t t ta y y y + + 2 2 1 1 , este modelo es estacionariosi lasracescaractersticasseencuentranfueradecrculounitariooen trminos del valor de los coeficiente si12 ;12 1 + ;12 1 Un modelo ar(p) se expresa comot p t p t t te y y y y + + + + ......2 2 1 1 , este modeloes estacionariosi sus races caractersticas seencuentranfueradel crculo unitario o en trminos del valor de los coeficientes si 1 . . . . . . . . . .3 2 1 + + + +p . Un modelo MA siempre es estacionario, para que sea invertible tiene que cumplir con la condicin de que sus races caractersticas queden dentro del crculo unitario o en trminosdelascondicionessobrelosvaloresdeloscoeficientes, lascualessonlas mismas que enel proceso AR.Un proceso ARMA(p,q) se expresa comot q t t t p t p t t ta a a a y y y y + + + + + + + + 3 2 2 1 1 2 2 1 1.......... ...... Este proceso es estacionario e invertible si431 . . . . . . . . . . . . . .2 1 2 1 + + + + + +p q ParagenerarprocesosAR, MAyARMAestacionariosenelpaqueteE-Views, se presentan algunos ejemplos: Haga una hoja de trabajo en el paquete E-Views con la instruccin File/New/Workfile/Frequency/Undated/ con datos de por ejemplo1 a 2000. Un modelo ar(1) estacionario sera t t ta y y + + 15 . 0 2. Por tanto, genere un espacio para la variable Y dando la instruccin data y en el espacio en blanco, debajo del men principal. A esa variable Y,asgnele el valor cero con la instruccin genr Y=0 Genere una serie con nmeros aleatorioscon la instruccin genr at=nrnd Cambie el Sample en un dato, ahora ser 22000 Genere el proceso estacionario con la instruccin genr y=2+0.5*y(-1)+at Ahoragrafiquealavariable, declicenestavariable, despusShow/View/Line Grafic 02468500 1000 1500 2000YNote como la variable estacionaria flucta alrededor de su mediaObservesucorrelograma. La funcindeautocorrelacinparcial secorta enla primera, mientras que la funcin de autocorrelacin decae ms lentamente. Sample: 2 2000Included observations: 1999Autocorrelation Partial Correlation AC PACQ-StatProb|**** | |**** | 1 0.464 0.464 431.71 0.000|** | | | 2 0.197 -0.023 509.66 0.000|*| | | 3 0.078 -0.007 521.70 0.000| | | | 4 0.032 0.004 523.81 0.000| | | | 5 -0.004 -0.023 523.85 0.000| | | | 6 0.014 0.033 524.26 0.000| | | | 7 0.022 0.008 525.22 0.000| | | | 8 0.000 -0.021 525.22 0.000| | | | 9 -0.009 -0.005 525.40 0.000| | | | 10 -0.001 0.009 525.40 0.00044 Ahora genere un proceso ma(2) invertible, como por ejemplo t t t ta a a z + + 2 12 . 0 3 . 0 3, recuerdelas condiciones sobrelosvaloresdelos coeficientes que debe cumplir el proceso ma(2) invertible. Genere un espacio para la variable Z dando la instruccindata zen el espacio en blanco, debajo del men principal. A esa variable z,asignele el valor cero con la instruccin genr z=0 Genere una serie de nmeros aleatorioscon la instruccin genr at=nrnd Cambie elSampleen dos datos, porque ahora se tienen dos rezagos de la variable at, ahora ser 32000 Genereelprocesoestacionariocon la instruccin genr z=3+0.3*at(-1)-0.2*at(-2)+at Grafiquealavariablezdandoclicenestavariable, despusShow/View/Line Grafic -202468500 1000 1500 2000ZNotela grfica de un proceso invertible que es la contraparte del proceso estacionario.Observesucorrelograma. Lafuncindeautocorrelacinsecortaenlasegunda, mientras que la autocorrelacin parcial decae ms lentamente. Simple: 3 2000Included observations: 1998Autocorrelation Partial Correlation AC PACQ-StatProb|*| |*| 1 0.191 0.191 73.215 0.000**| | **| | 2 -0.217 -0.263 167.43 0.000| | |*| 3 -0.018 0.094 168.10 0.000| |*| | 4 -0.007 -0.092 168.19 0.000| | | | 5 -0.034 0.007 170.45 0.000| | | | 6 0.013 0.001 170.79 0.000| | | | 7 0.038 0.028 173.75 0.000| | | | 8 -0.007 -0.019 173.84 0.000| | | | 9 -0.024 -0.005 175.01 0.000| | | | 10 0.013 0.014 175.37 0.000Genere un proceso ARMA(1,1) estacionario e invertible como por ejemplot t t ta a y y + + + 1 12 . 0 6 . 0 2 Genere un espacio para la variable Y dando la instruccindata y,en el espacio en blanco, debajo del men principal. A esa variable Y,asgnele el valor cero con la instruccin genr Y=0 Genere una serie de nmeros aleatorioscon la instruccin genr at=nrnd Cambie el Sample en un dato, ahora ser 2200045 Genere el proceso ARMA(1,1) estacionario e invertible con la instruccin genr y=2+0.6*y(-1)+0.2*at(-1)+at Ahora grafique a la variable y dando clic en esta variable, despus Show/View/Line Graph 0246810500 1000 1500 2000YNote que la grfica de un proceso ARMA(1,1) estacionario e invertible, es igual a las dos anterioresSimple: 2 2000Included observations: 1999Autocorrelation Partial Correlation AC PACQ-StatProb|*****| |*****| 1 0.670 0.670 897.52 0.000|***|*| | 2 0.366 -0.149 1165.6 0.000|** | | | 3 0.197 0.029 1243.7 0.000|*| | | 4 0.108 -0.003 1267.0 0.000| | | | 5 0.052 -0.012 1272.5 0.000| | | | 6 0.041 0.036 1275.9 0.000| | | | 7 0.034 -0.008 1278.2 0.000| | | | 8 0.011 -0.023 1278.4 0.000| | | | 9 -0.003 0.002 1278.5 0.000| | | | 10 -0.004 0.005 1278.5 0.000Observeel correlogramadeunprocesoARMA(1,1), laautocorrelacinparcial se corta en la primera, mientras que la autocorrelacin decrece ms lentamente. Adems, note que este proceso es ms parecido al ar(1) estacionario visto en el ejemplo 1. Los procesos no estacionarios son aquellos que no cumplen con las condiciones sobre el valor delosparmetros. Unodelosprocesos msconocidos es el decaminata aleatoria, elcualseexpresacomo t t ta y y + 1 ,dondeelcoeficiente de la variable endgena rezagada tiene el valor de uno o bien es de raz unitaria. Para generar este proceso siga los mismos pasos que el ejemplo del modelo ar(1). D la instruccingenry=y(-1)+atdespus de haber cambiado el Sample y grfique46-40-200204060500 1000 1500 2000YNote como la variable no estacionaria, no flucta alrededor de su media.Grafique el correlograma de esta caminata aleatoria Sample: 2 2000Included observations: 1999Autocorrelation Partial Correlation AC PACQ-StatProb|******** |******** 1 0.996 0.996 1987.3 0.000|******** | | 2 0.993 0.015 3961.5 0.000|******** | | 3 0.989 0.007 5922.8 0.000|******** | | 4 0.986 0.024 7872.0 0.000|******** | | 5 0.983 0.004 9809.3 0.000|******** | | 6 0.980 0.012 11735. 0.000|******** | | 7 0.976 -0.008 13649. 0.000|*******| | | 8 0.973 -0.021 15551. 0.000|*******| | | 9 0.970 0.005 17441. 0.000|*******| | | 10 0.966 0.016 19319. 0.000|*******| | | 11 0.963 -0.016 21186. 0.000|*******| | | 12 0.960 -0.016 23040. 0.000|*******| | | 13 0.957 0.029 24883. 0.000|*******| | | 14 0.954 0.015 26715. 0.000|*******| | | 15 0.950 -0.003 28537. 0.000|*******| | | 16 0.948 0.027 30348. 0.000|*******| | | 17 0.945 -0.005 32149. 0.000|*******| | | 18 0.942 -0.004 33940. 0.000|*******| | | 19 0.939 0.024 35721. 0.000|*******| | | 20 0.936 -0.036 37491. 0.000Note como la funcin de autocorrelacin no decae ni an el la autocorrelacin 20 y la autocorrelacin parcial se corta en la primera como el clsico en el modelo ar(1). Este autocorrelograma es caracterstico de los procesos no estacionarios. Como ejercicio genere y analice tres procesos ar, ma, y ARMA estacionarios y dos procesos no estacionarios.RAICES DE LOS MODELOS ARMA Y SU DIAGNSTICOUn proceso AR es estacionario si sus races caractersticas son de modulo menor que unoobienseencuentrandentrodel circulounitario. UnprocesoMAsiemprees estacionaria, para que sea invertible sus races se deben de encontrar fuera del circulo unitario (dentro del circulo unitario).Las races de ambos procesospueden ser reales o imaginaras.47Suponga que se trabaja con la diferencia de los logaritmos del inpc (dlinpc) o con la inflacin de Mxico de 1985 a 2008 con datos mensuales. La grfica respectiva de esta serie es-.04.00.04.08.12.1686 88 90 92 94 96 98 00 02 04 06 08DLINPCUna forma de determinar el modelo ARMA queest explicando a la serie es analizar su correlograma. Portanto, sombreelaserieydeclicenShow/View/Correlogramy OK.Date: 09/11/08 Time: 10:39Sample: 1985M01 2008M12Included observations: 282Autocorrelation Partial Correlation AC PACQ-StatProb .|*******|.|*******| 1 0.915 0.915 238.56 0.000 .|****** |*|.| 2 0.822 -0.090 431.98 0.000 .|****** |.|*| 3 0.758 0.125 596.84 0.000 .|*****|.|.| 4 0.709 0.042 741.54 0.000 .|*****|.|*| 5 0.684 0.145 877.00 0.000 .|*****|*|.| 6 0.648 -0.081 998.98 0.000 .|*****|.|*| 7 0.625 0.126 1112.6 0.000 .|*****|.|.| 8 0.613 0.048 1222.4 0.000 .|*****|.|.| 9 0.592 -0.016 1325.1 0.000 .|**** |.|.| 10 0.576 0.046 1422.9 0.000 .|**** |.|*| 11 0.573 0.105 1519.9 0.000 .|**** |.|.| 12 0.566 -0.016 1614.8 0.000 .|**** | **|.| 13 0.514 -0.267 1693.4 0.000 .|***|.|.| 14 0.459 0.029 1756.3 0.000 .|***|.|.| 15 0.421 0.013 1809.5 0.000 .|***|.|.| 16 0.398 0.010 1857.1 0.000 .|***|*|.| 17 0.372 -0.095 1899.0 0.000 .|***|.|.| 18 0.342 0.044 1934.6 0.00048 .|** |.|.| 19 0.326 0.026 1967.0 0.000 .|** |*|.| 20 0.309 -0.061 1996.2 0.000 .|** |.|*| 21 0.301 0.103 2024.0 0.000 .|** |.|.| 22 0.296 0.014 2051.0 0.000 .|** |.|*| 23 0.316 0.187 2081.8 0.000 .|***|*|.| 24 0.329 -0.079 2115.3 0.000 .|** | **|.| 25 0.281 -0.218 2139.9 0.000 .|** |.|.| 26 0.223 -0.053 2155.5 0.000 .|*|.|*| 27 0.191 0.092 2166.9 0.000 .|*|.|.| 28 0.173 -0.044 2176.3 0.000 .|*|.|.| 29 0.163 -0.001 2184.7 0.000 .|*|.|.| 30 0.140 -0.019 2191.0 0.000 .|*|.|.| 31 0.124 -0.006 2195.9 0.000 .|*|.|.| 32 0.121 0.023 2200.6 0.000 .|*|.|*| 33 0.131 0.118 2206.1 0.000 .|*|.|.| 34 0.135 -0.022 2212.0 0.000 .|*|*|.| 35 0.137 -0.087 2218.1 0.000 .|*|.|.| 36 0.135 0.029 2224.0 0.000Observe como las autocorrelaciones decaen y las autocorrelaciones parciales se cortan abruptamente en el primer rezago, aunque hay picos que se salen de la bandas en el rezago13y25, estosugierequeun modelo AR(1) o un modelo ARMA(1,1) podra estar explicando a la serie y que tiene una tendencia estacional. Hagamos caso omiso de la tendencia estacional y concretmonos a modelar la serie como AR o ARMA.Estime un modelo AR(1) y un ARMA(1,1). Los resultados de la regresin sonDependent Variable: DLINPCMethod: Least SquaresDate: 09/11/08 Time: 10:27Sample (adjusted): 1985M04 2008M08Included observations: 281 after adjustmentsConvergence achieved after 3 iterationsVariable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 0.015889 0.006276 2.531622 0.0119AR(1) 0.915778 0.023883 38.34410 0.0000R-squared 0.840505 Mean dependent var 0.017137Adjusted R-squared 0.839933 S.D. dependent var 0.022106S.E. of regression 0.008844 Akaike info criterion -6.611030Sum squared resid 0.021823 Schwarz criterion -6.585134Log likelihood 930.8497 F-statistic 1470.270Durbin-Watson stat 1.818836 Prob(F-statistic) 0.000000Inverted AR Roots .92Dependent Variable: DLINPC49Method: Least SquaresDate: 09/11/08 Time: 10:29Sample (adjusted): 1985M04 2008M08Included observations: 281 after adjustmentsConvergence achieved after 8 iterationsBackcast: 1985M03Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.C 0.016155 0.005618 2.875694 0.0043AR(1) 0.893240 0.029143 30.64992 0.0000MA(1) 0.140830 0.064562 2.181330 0.0300R-squared 0.842539 Mean dependent var 0.017137Adjusted R-squared 0.8