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FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS FUNDAMENTOS

DE DE DE DE

GEOMETRÍAGEOMETRÍAGEOMETRÍAGEOMETRÍA

Manual de ejercicios

Elaborado como apoyo para la materia impartida dentro de los programas de estudio de las

carreras de:

Arquitectura y Diseño Gráfico

En la

Campus Tlalpan

Elaboró:

Mtro. Juan José García Quiroz

México DF a 13 de Diciembre de 2010

Fundamentos de Geometría - Guía para ejercicios de aplicación

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I. Introducción

El presente manual reúne una serie explicaciones y ejercicios que son aplicados a los estudiantes del curso de Fundamentos de Geometría, cuyo programa de estudios es coordinado por la academia de artes de la Universidad del Valle de México, campús Tlalpan. Esta es la segunda entrega de este manual que pretende dar muestra y ejemplificar problemas básicos que pueden ser aplicados en el desarrollo de algunos temas de la Unidad 1 del temario de la asignatura. Cabe mencionar que se hizo con anterioridad una primera entrega de ejercicios para el tema “Línea” y esta vez el manual pretende complementar con ejercicios para otro reactivo de la misma unidad, “El Plano”.

II. Objetivo General de la Materia1 El estudiante conocerá los elementos geométricos básicos, características, procedimientos de trazo y métodos de desarrollo, de distintos tipos de superficie dándole solución a problemas específicos de su área. Al finalizar el curso, el alumno será capaz de:

• Identificar los conceptos geométricos básicos con el fin de representar los objetos en el espacio en dos dimensiones

• Aplicar los diferentes métodos de identificación de la verdadera forma y magnitud de los objetos

• Emplear los métodos de intersección con elementos bidimensionales

• Reconocer el concepto general de superficies y su clasificación en elementos volumétricos representándolos en montea y realizando sus desarrollos

• Aplicar los conocimientos adquiridos para definir la doble proyección ortogonal de objetos tridimensionales; en particular poliedros

1 Tomado del programa de estudios de la materia diseñado el día 16 de Octubre de 2009 por los Profesores Rogelio Carrera, Elizabeth Bocas y Pedro Ordóñez Amador.


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III. Generalidades Este Manual muestra algunos ejercicios realizados con base en la experiencia docente durante la impartición de este curso y la revisión e interpretación personal de diverso material bibliográfico. La base de este trabajo y del programa de estudios de la materia es la Geometría Descriptiva, tema indispensable para profesionales que pretenden expresar espacialmente sus ideas y para lo cual, el conocimiento y aplicación de la geometría, les dará las herramientas para poder razonar, formalizar y estructurar sus diseños. La siguiente guía se inicia con una explicación de los conceptos básicos y el método base utilizado para el desarrollo de los ejercicios, en seguida, aparecerán algunas menciones respecto a tópicos que se nombran en el programa de estudios de la materia revisado y diseñado el 16 de Octubre de 2009, el cual será necesario para ubicar los ejercicios en el contenido temático.(ver anexo 1).

Geometría Descriptiva y el Método que utiliza este curso La Geometría Descriptiva se reconoce como la parte de las matemáticas que estudia a los cuerpos en el espacio por medio de sus proyecciones. Entendiendo por “cuerpos en el espacio” cualquier objeto del cual pueda obtenerse su descripción o estudio.2 Para llevar a cabo el estudio de los objetos en el espacio, la geometría descriptiva se apoya de vistas o planos de proyección. Cuando se extienden los ejes X, Y y Z, estos se cruzan y forman 4 planos o cuadrantes3. (ver figura 1) Este curso utiliza los planos del primer cuadrante, espacio formado por tres planos perpendiculares entre sí: dos verticales y uno horizontal, los cuales al “desdoblarse” forman una montea de tres planos o “triplanar” en dos dimensiones, como lo muestra la figura 2. Es con este sistema con el que se explicará el desarrollo de los ejercicios para ubicar espacialmente puntos, líneas y planos, ejercicios básicos que permitirán al estudiante imaginar y familiarizarse con la representación y estudio de los objetos en tres dimensiones apoyado en el dibujo en dos dimensiones.(ver figura 2)

2 González Vázquez José. “Geometría Descriptiva”. Trillas. 1ª Edición. México. 3 Ibid. em


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Además de la montea triplanar, el estudio se apoyará en el armado de esa montea en forma de isométrico. (ver figura 3)

Figura 1 El sistema Europeo o Ingles utiliza el Cuadrante I el sistema americano o latino utiliza el cuadrante III


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Nomenclatura en Montea e Isométrico: PV= Plano Vertical = Vista Frontal = Fachada PL= Plano Lateral = Vista Lateral =Fachada Lateral PH= Plano Horizontal= Vista Superior= Planta

En cuanto a las literales:

El “PUNTO A”, ubicado en el espacio, al proyectarse a los 3 planos auxiliares, mediante líneas de proyección, se identificará con literales de la siguiente manera:

A Ubicado en el espacio, donde se intersectan las 3 líneas de proyección, se identifica con literales mayúsculas. a´ Los puntos que se ubiquen sobre el Plano Vertical se identificarán con una letra minúscula prima. a´´ Los puntos que se ubiquen sobre el Plano Lateral se identificaran con una letra minúscula doble prima. a Los puntos que se ubiquen sobre el Plano Horizontal se identificaran con una letra minúscula.

Figura 2

Con la ayuda de este cuadrante se ubicaran los puntos en el espacio y haciendo 2 “desdobles”: El plano lateral rota hacia atrás 90º sobre el eje “z”, el plano horizontal rota hacia abajo 90º sobre el eje x; de esta forma tenemos una montea triplanar. En el eje Z se marcan alturas En el eje X se marcan anchuras En el eje Y se marcan alejamientos


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Cuando este dibujo isométrico se abre, el eje Y se “parte” de ahí que en la montea triplanar se ubiquen dos alejamientos apoyados de una línea auxiliar a 45º (ver figura 3)

Figura3

Notas: 1.- Código de colores utilizado en figuras 2 y 3: Azul para alturas Rojo para anchuras Verde para alejamientos 2.- El Punto A, ubicado en la montea e isométrico anteriores tiene las siguientes coordenadas y ejemplifica la posición del punto en el espacio:

Punto A altura 7 anchura 7 alejamiento 8

3.- Los ejercicios de las figuras anteriores se muestran sin escala 4.- L.T = Línea de Tierra


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IV. Guía para ejercicios de aplicación Posiciones de Elementos Básicos Para apoyo de los temas: 1.5 El punto en el espacio, 1.6 La Recta en el espacio y 1.7 El Plano en el espacio, del contenido temático de la UNIDAD 1 del plan de estudios de la materia. (ver Anexo 1) 1.5 El punto Único objeto en el espacio que no tiene tres dimensiones y se ubica en la intersección de dos rectas. El punto tiene siete posiciones que son las siguientes: 1.5.1 Cuando se encuentra en el espacio (ver figura 2 y 3, ubicación del Punto A). Su

altura, anchura y alejamiento tienen un valor mayor que cero. 1.5.2 Cuando se encuentra en el suelo: Valor de altura igual a cero, ubicado

en el plano horizontal de proyección. Punto a (ver figura 4) 1.5.3 Cuando se encuentra en la pared: Valor de su alejamiento igual a cero,

ubicado en el plano vertical de proyección. Punto m´ (ver figura 4) 1.5.4 Cuando se encuentra en la pared lateral: Valor de su anchura igual a

cero, ubicado en el plano lateral. Punto w´´ (ver figura 4) 1.5.5 Cuando se encuentra en el eje que mide la altura: Anchura y

Alejamiento valen cero. 1.5.6 Cuando se encuentra en el eje que mide el alejamiento: Altura y

anchura valen cero. 1.5.7 Cuando se encuentra en el eje que mide la anchura: Alejamiento y

altura valen cero. Las últimas tres posiciones no se grafican en el siguiente esquema.

Figura 4


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1.6 La Línea Recta y sus diferentes posiciones en el espacio Las posiciones de la línea se describen en el siguiente cuadro (ver Tabla A). En algunos casos se ejemplificaran los ejercicios y se muestran algunas figuras:

NombreParelala al

Plano

Se observa en VFM en el plano

1.6.1Linea Recta

HORIZONTALHorizontal Altura,

de los puntos que la forman

Horizontal Oblicua alFrontal y Lateral

1.6.2Linea Recta FRONTAL

Frontal Alejamiento,de los puntos que la forman

Frontal Oblicua alHorizontal y Lateral

1.6.3Linea Recta DE PERFIL

Lateral Anchura,de los puntos que la forman

Lateral Oblicua alHorizontal y Frontal

1.6.4Linea Recta VERTICAL

Lateral y Vertical

Anchura y Alejamiento,


Lateral y Vertical De punta al Horizontal

1.6.5Linea Recta DE PUNTA

Lateral y Horizontal

Altura y Anchurade los puntos que la forman

Lateral y Horizontal

De punta al Vertical

1.6.6Linea Recta FRONTO-

HORIZONTAL

Vertical y Horizontal

Altura y Alejameintode los puntos que la forman

Vertical y Horizontal

De punta al Lateral

1.6.7Linea Recta

CUALQUIERANinguno Ninguna


Ninguno Oblicua a Todos

VFM: Verdadera forma y magnitud

Carácteristicas respacto a los otros planos

Son iguales las coordenadas de:

Tabla A

Ejercicios Ejemplo para cada Tipo 1.6.1 Línea Recta Horizontal Punto A Baltura 8 8anchura 8 2alejamiento 2 6 Este ejercicio ejemplifica el traslado de cada uno de los puntos en el espacio los cuales unirse, forman la Recta A-B. A continuación se muestra el desarrollo de la línea recta Frontal en una montea triplanar e isométrico de 10 x 10 cms. (ver figura 5). Para el resto de las líneas se ejemplifica un ejercicio. Los ejercicios pueden modificarse siempre y cuando se respeten las condiciones y características de cada línea según lo explicado en la Tabla A.


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1.6.2 Línea Recta Frontal (ver figura 5) Punto X Yaltura 2 8anchura 4 6alejamiento 8 8 1.6.3 Línea Recta de Perfil Punto E Faltura 2 4anchura 5 5alejamiento 4 9 1.6.4 Línea Recta Vertical Punto G Haltura 9 1anchura 5 5alejamiento 6 6 1.6.5 Línea Recta de Punta Punto I Jaltura 2 1anchura 7 7alejamiento 4 2 1.6.6 Línea Recta

Fronto-Horizontal Punto K Laltura 9 9anchura 5 1alejamiento 1 1 1.6.7 Línea Recta

Cualquiera (ver figura 6)

Punto M Naltura 7 5anchura 3 6alejamiento 5 7

Figura 5 Línea Recta Frontal


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Figura 6 Línea Recta Cualquiera


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1.7 El plano y sus diferentes posiciones en el espacio Las posiciones del plano se describen en el siguiente cuadro (ver Tabla B). En algunos casos se ejemplificaran los ejercicios y se muestran algunas figuras:

NombreParalelo al

Plano

Se observa en VFM en el plano

1.7.1Plano

HORIZONTALHorizontal Altura,


Horizontal Canto alFrontal y Lateral

1.7.2Plano

FRONTALFrontal Alejamiento,


Frontal Canto alHorizontal y Lateral

1.7.3Plano

DE PERFILLateral Anchura,


Lateral Canto alHorizontal y Frontal

1.7.4Plano

VERTICALx Ninguna


Ninguno PERPENDICULAR al Horizontal

1.7.5Plano

DE CANTO AL VERTICAL

x Ningunade los puntos que la forman

Ninguno PERPENDICULAR al Vertical

1.7.6Plano

DE CANTO AL LATERAL

x Ningunade los puntos que la forman

Ninguno PERPENDICULAR al Lateral

1.7.7Plano

CUALQUIERANINGUNO NINGUNO


NINGUNO OBLICUO A TODOS

Son iguales las coordenadas de:Carácteristicas respecto a los otros

planos

Tabla B

Ejercicios Ejemplo para cada Tipo 1.7.1 Plano Horizontal Ejer 1 Plano HorizontalPunto A B C Daltura 8 8 8 8anchura 8 2 2 8alejamiento 2 2 8 8


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1.7.2 Plano Frontal Ejer 2 Plano FrontalPunto W X Y Zaltura 9 7 6 3anchura 5 8 1 6alejamiento8 8 8 8

Figura 1.7.2 1.7.3 Plano de Lateral o de Perfil Ejer 3 Plano Lateral o de Perfil Punto O P Q Raltura 9 9 1 1anchura 5 5 5 5alejamiento2 8 8 2 Figura 1.7.3

1.7.4 Plano Vertical Ejer 1 Plano VerticalPunto A B C Daltura 8 8 2 2anchura 8 2 2 8alejamiento 2 8 8 2

Figura 1.7.4


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1.7.5 Plano de Canto al Vertical Ejer 2 Plano De canto al verticalPunto W X Y Zaltura 2 8 8 2anchura 8 2 2 8alejamiento2 2 8 8 1.7.6 Plano de Canto al Lateral Ejer 3 Plano de canto al lateral Punto O P Q Raltura 9 9 2 2anchura 9 5 1 5alejamiento5 1 5 9

Figura 1.7.5 Para 1.7.6 la figura se invierte

La diagonal se proyecta sobre PL

1.7.7 Plano Cualquiera

Ejer 3 Plano CualquieraPunto O P Q Raltura 9 9 2 2anchura 9 5 1 5alejamiento5 1 5 9

Figura 1.7.7


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V. Anexos

Anexo 1

PROGRAMA DE ESTUDIO Nombre de la asignatura Fundamentos de Geometría Cuatrimestre UNO Pre-requisitos Álgebra elemental, Aritmética y

Trigonometría

Fecha de diseño 16/ 10/ 2009 Prof. Rogelio Carrera/ Profra. Elizabeth Bocas/ Prof. Pedro Ordóñez Amador OBJETIVOS GENERALES: El estudiante conocerá los elementos geométricos básicos, características, procedimientos de trazo y métodos de desarrollo, de distintos tipos de superficie dándole solución a problemas específicos de su área. Al finalizar el curso, el alumno será capaz de:

Identificar los conceptos geométricos básicos con el fin de representar los objetos en el espacio en dos dimensiones Aplicar los diferentes métodos de identificación de la verdadera forma y magnitud de los objetos Emplear los métodos de intersección con elementos bidimensionales Reconocer el concepto general de superficies y su clasificación en elementos volumétricos representándolos en montea y realizando sus desarrollos Aplicar los conocimientos adquiridos para definir la doble proyección ortogonal de objetos tridimensionales; en particular poliedros

CONTENIDO TEMÁTICO UNIDAD 1 Conceptos básicos 1.1 Introducción a la geometría descriptiva 1.2 Proyección y proyectante 1.3 Tipos de proyección 1.4 Monteas 1.5 El punto en el espacio 1.6 Rectas en el espacio 1.7 El plano en el espacio 1.8 Estudio de isométricos UNIDAD 2 Elementos geométricos 2.1 Giros 2.1.1 Giro de una recta 2.1.2 Giro de un plano 2.2 Cambio de planos 2.2.1 Cambio de plano de una recta 2.2.2 Cambio de plano de un plano

UNIDAD 3 Intersección de objetos bidimensionales 3.1 Intersección de recta con recta 3.2 Intersección de recta con plano 3.3 Intersección de plano con plano 3.3 Paralelismo. 3.4 Rotación UNIDAD 4 Desarrollos volumétricos 4.1 Superficies de generación recta 4.1.1 Prismas 4.1.2 Cilindro 4.1.3 Cono 4.1.4 Pirámide 4.2 Casos especiales UNIDAD 5 Poliedros 5.1 Análisis de visibilidad en la proyección de poliedros. 5.2 Doble proyección ortogonal de poliedros. 5.2.1 Tetraedro

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA SUGERIDA POR EL DOCENTE: Giesecke/ Mitchell/ Spencer/ Hill. Dibujo Técnico. México: Limusa, 2002 Hawk, Minor C. Geometría Descriptiva. México: Mc Graw Hilll Kline, Morris. Mathematics for the no mathematician. Nueva York, Dover, 2000. ISBN 0-486-24823-2


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VI. Bibliografía

• Bermejo Herrero, Miguel. Geometría Descriptiva Aplicada. México: Alfa Omega 1999.

• González Vázquez, José. Geometría Descriptiva. México: Trillas, 1ª Edición 2000.

• Fernández Calvo, Silvestre. La Geometría Descriptiva Aplicada al Dibujo Arquitectónico. México: Trillas, 2ª Edición.

• De la Torre Carbo, Miguel. Geometría Descriptiva. México: UNAM, 6ª Reimpresión 1998.

• Holliday Darr, Kathryn. Geometría Descriptiva Aplicada. México: Thomson Editores, 2ª Reimpresión 2000.

• Luzzader Duff. Fundamentos de Dibujo de Ingeniería. México: Prentince Hall 1994.

VII. Ilustraciones

Los esquemas mostrados en este manual son elaboración propia con apoyo bibliográfico, salvo los siguientes: Figura 4, Figura 5 y las que ilustran los ejercicios del tema 1.7 El plano, Que son aportación del Miguel Ángel Ibarra Palacios, alumno de este curso en el ciclo 1-10.

Universidad del Valle de México Campus Tlalpan

Manual de Ejercicios (1ª parte) 15 abril 2010 Manual de Ejercicios (2ª parte) 13 diciembre 2010

FUNDAMENTOS DE GEOMETRÍA

Elaboró: Mtro. Juan José García Quiroz

Cuenta 303416 Como apoyo para esta asignatura

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