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Estadisticas para negciosTRANSCRIPT
Profesor: Mario Coronado R.
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Tabla de Contenido
Unidad I “Algebra aplicada a los Negocios”
Operaciones Algebraicas (enteras y fraccionarias)................................................................................................4
Ecuación Lineal......................................................................................................................................................9
Conceptos............................................................................................................................................................12
Funciones lineales como modelos matemáticos................................................................................................14
Tipos de funciones...............................................................................................................................................20
1. Funciones algebraicas..................................................................................................................................20
1.1 Funciones polinómicas...............................................................................................................................21
1.1.1 Funciones constantes.........................................................................................................................21
1.1.2 Funciones polinómica de primer grado..............................................................................................21
1.1.3 Funciones cuadráticas.........................................................................................................................22
1.2 Funciones racionales..................................................................................................................................22
1.3 Funciones radicales....................................................................................................................................22
1.4 Funciones algebraicas a trozos..................................................................................................................22
2. Funciones trascendentes.............................................................................................................................23
2.1 Funciones exponenciales...........................................................................................................................23
2.2 Funciones logarítmicas..............................................................................................................................23
2.3 Funciones trigonométricas........................................................................................................................24
Funciones exponenciales y logarítmicas..............................................................................................................25
Función exponencial grafica................................................................................................................................28
UNIDAD II “Estadística Descriptiva”.....................................................................................................................33
Función Exponencial de Base “e”........................................................................................................................34
Problemas de Aplicación.....................................................................................................................................37
Funciones Logarítmicas.......................................................................................................................................43
Medias de Tendencia Central..............................................................................................................................45
Ejercicios propuestos de Medidas de tendencia central..............................................................................53
Muestreo Aleatorio.............................................................................................................................................55
Datos No Agrupados............................................................................................................................................56
Medidas de Tendencia Central............................................................................................................................57
Medidas de Variabilidad......................................................................................................................................58
3
Ejercicios propuestos de Medidas de Tendencia Central.............................................................................59
UNIDAD III “Pronósticos”.....................................................................................................................................60
Regresión Lineal..................................................................................................................................................63
Ejercicios propuestos de Regresión Lineal...................................................................................................66
Error Estándar del Ajuste.....................................................................................................................................67
Ejercicios propuestos de Error Estándar......................................................................................................70
Promedio Móvil Simple.......................................................................................................................................71
Promedio Móvil Ponderado.................................................................................................................................72
Suavización Exponencial......................................................................................................................................73
Respuestas de Ejercicios Propuestos...................................................................................................................75
Resultados de los ejercicios propuestos unidad 1...............................................................................................75
Respuestas de Ejercicios Propuestos Estadística Descriptiva...............................................................................78
Respuestas de Ejercicios Propuestos Medida de Tendencia Central...................................................................80
Respuestas de Ejercicios Propuestos “Regresión Lineal”....................................................................................81
Respuestas de Ejercicios Propuestos “Error Estandar”........................................................................................82
Bibliografía...........................................................................................................................................................83
4
Operaciones Algebraicas (enteras y fraccionarias)
Definición:
Una expresión algebraica, en una o más variables (letras), es una combinación cualquiera de estas
variables y números, mediante una cantidad finita de operaciones: suma, resta, división,
multiplicación, potenciación o radicación.
Términos semejantes:
Son aquellos que tienen la misma parte lateral; es decir cuando tienen la misma letra de afectadas de
iguales exponentes.
Suma o adición de expresiones algebraicas
La suma (algebraica) es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o más sumandos
(expresiones algebraicas), en una sola expresión llamada SUMA o ADICION.
Ejemplos:
1) 4 a + 6 a = 10 a
2) X2y + 9x2y = 10x2y
3) 4 ab2+ 7 ab2 + ab2 = 12 ab2
Ejercicios propuestos de suma:
1) 5ab2 + 6ab2 +8ab2
2) 7a + (-8b) +(-15a) + 9b + (-4c) + 8
3)12a+−2
3b
4) 5a+7 a
5) −4 x2y + 38x2y
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Multiplicación de expresiones algebraicas
Para la multiplicación algebraica se mantienen las mismas leyes que para la multiplicación aritmética,
las cuales son:
Ley de signos: el resultado es negativo si la cantidad de factores negativos es impar, de lo contrario
es positivo.
(+) (+) = +(-) (-) = +(+) (-) = -(-) (+) = -
Ley de exponentes: el producto de dos o más potencias de la misma base es igual a la base elevada a
la suma de las potencias.
(an ) (am )= an+m
Ejemplos:
1) (4a) (6a) = 24 a2
2) (x2y) (9x2y) = 9x4y2
3) (4ab2) (7ab2) (ab2) = 28a3b6
4) (23a2b) (
−34a3m) =
−23X 34a5bm =
−12a5bm
Ejercicios propuestos de multiplicación algebraica:
1) (2a2) (3a 3)
2) (2x2) (-3x)
3) (-4a 2b) (-ab2)
4) ¿2) (45a3b)
5) ¿2y2) (−35a2x4y)
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Resta o sustracción de expresiones algebraicas
Funciona igual que la suma solo hay que tener en cuenta que el signo negativo antes de los paréntesis cambia el signo de los términos dentro del paréntesis.
Paso 1: Si un paréntesis tiene antepuesto un signo negativo, los signos dentro del paréntesis se afectan. Los signos se cambian a su opuesto y el signo negativo antepuesto al paréntesis pasa a ser positivo.
Paso 2: Elimine los paréntesis. Para hacerlo sólo escriba los términos que están dentro del paréntesis con sus signos correspondientes e ignore el signo + entre los dos paréntesis.
Paso 3: Agrupe los términos semejantes; es decir los términos con iguales variables e iguales exponentes.
Paso 4: Sume y reste los términos semejantes.
Ejemplos:
1) 4a – 6a = -2a
2) 1x2y – 9 x2y = – 8x2y
3) 4 ab2 – 7 ab2 – ab2 = – 4 ab2
Ejercicios propuestos dela resta o sustracción:
1) 7x3y4 - -8x3y4
2)−12ab−−3
4ab
3) 3a−4 a
4) -6x2y - -x2y
5) 8 ab2 – 14 ab2 – 2ab2
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División de expresiones algebraicas
División de monomios
Para dividir monomios se resta los exponentes de las potencias de misma base siguiendo la ley de los exponentes
Ejemplo:
División de un polinomio por un monomio
Para dividir un polinomio entre un monomio basta con dividir cada uno de los términos del dividendo entre el término del divisor.
Ejemplo:
Restando los exponentes de las potencias de la misma base se obtiene el resultado:
División de polinomios entre polinomios
La división algebraica se realiza de manera semejante a la numérica;
Si se tiene la división
1. Se ordenan de manera decreciente los términos de los polinomios, quedando la división:
2. Se obtiene el primer término del cociente dividiendo el primer término del dividendo (–2x2) por el primer término del divisor (x):
3. Se anota como cociente (-2x) y se multiplica por el divisor (x+4), se anotan los productos debajo del dividendo y se realiza la sustracción.
8
4. se vuelve a dividir el primer término que quedó en el dividendo (3x) por el primero del divisor (x) y se repite el proceso anterior.
Se ha obtenido cociente –2x + 3 y resto 0
Ejercicios propuestos de división:
1) a5
a3
2) X2y ÷ 9x2y
3) 12x ÷ 13x
4) 23 n2m ÷ 310 n
2m
5) 103 xy3÷ 85 xy
3 ÷ 123 xy3
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Ecuación Lineal
Definición:
Las ecuaciones lineales son de primer grado y se relacionan a las ecuación lineal Y= mx+b; en donde b
= ordenada en el origen y m = a la pendiente de la línea recta.
X = variable independiente; Y= variable independiente.
Nota: Cuando la pendiente (m) es positiva (+)es creciente ; cuando es negativa (-) es decreciente.
Ejemplos:
1) Tabular y graficar la línea con la siguiente ecuación, tomando valores para X desde -2 hasta +2.
Y= 3x + 2 Procedimiento
Y= 3(-2) +2 = -4Y= 3(-1) +2 = -1Y= 3(0) +2 = 2Y= 3(1) +2 = 5Y= 3(2) +2 = 8
Grafica
X Y-2 -4-1 -10 21 52 8
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2) Tabular y graficar la línea con la siguientes 2ecuaciones, tomando valores para X desde -2 hasta +2.Y= 4x – 8 Y=-7x+3
ProcedimientoY= 4x – 8 Y= 4(-2) -8 = -16
Y= 4(-1) -8 = -12Y= 4(0) -8= -8Y= 4(1) -8 = -4Y= 4(2) -8 = 0
Y=-7x+3Y= -7(-2) +3 = 17
Y= -7(-1) +3 = 10Y= -7(0) +3 = 3Y= -7(1) +3 = -4Y= -7(2) +3 = -11
Grafica
X Y-2 -16-1 -120 -81 -42 0
X Y-2 17-1 100 31 -42 -11
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Ejercicios propuestos de ecuaciones lineales:
Despeje Yde las siguientes ecuaciones, grafique cada una de ellas y realice la tabulación, tomando valores para Xdesde -2 hasta +2.
1) 3x+y= 10
2x-y=5
2) 7x-15= -2y
5y-3 = -6x
3) 2x+y = 3
5x+3y = 10
12
Conceptos
Estadística:
Es la ciencia que se encarga de diseñar, recolectar y analizar información para encontrar las
principales características de un grupo de individuos a partir de una o más variables.
Estadística Inferencial:
Es una parte de la estadística que comprende los métodos y procedimientos que por medio
de la inducción determina propiedades de una población estadística, a partir de una pequeña
parte de la misma. Esta comprende 5 puntos.
La toma de muestra o muestreo.
La estimación de parámetros o variables estadísticos.
El contraste de la hipótesis.
El diseño experimental.
La inferencia ballesana.
Los métodos no paramétricos.
Estadística descriptiva:
Es una gran parte de la estadística que se dedica a recolectar, ordenar, analizar y representar
un conjunto de datos con el fin de describir apropiadamente las características de este.
Población:
En estadística, también llamado universo o colectivo es el conjunto de elementos de
referencia sobre que se realiza una de las observaciones.
Población es el conjunto sobre el que estamos interesados en obtener conclusiones (hacer
inferencia) y que normalmente es demasiado grande para poder abarcarlo.
Muestra:
La muestra también llamada muestra aleatoria es un subconjunto de casos o individuos de
una población estadística.
Las muestras se obtienen con la intención de inferir propiedades de la totalidad de la
población.
13
Estimación:
Es un conjunto de técnicas que permiten dar un valor aproximado de un parámetro de una
población a partir de los datos proporcionados por una muestra, se divide en 3 bloques:
Estimación puntual.
Estimación por intervalos.
Estimación ballesana.
Muestra grande:
La muestra grande es aquella en la que n >30, es decir que tiene más de 30 datos. Cuando
más grande sea una muestra más significativos serán los resultados obtenidos de ella en
relación con la población.
Muestra pequeña:
Son consideradas aquellas cuyo número de sujeto (N) es inferior a 30 (n<30). El problema de
las muestras pequeñas es que debido a su escaso número de representantes de la población a
estudiar, puede ofrecer unos datos menos representativos de dicha población.
Prueba de hipótesis:
Esto es una proposición o supuesto sobre los parámetros de una o más poblaciones.
Tipos de muestreo:
Inferencia estadística.
Muestreo probalístico.
Muestreo aleatorio simple.
Muestreo aleatorio sistemático.
Muestreo aleatorio estratificado.
Distribución muestral.
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Funciones lineales como modelos matemáticos
En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado;
es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se
puede escribir como:
Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la
recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la
inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia
abajo.
Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:
Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:
“Muchos problemas de la vida real se pueden describir mediante una ecuación de la función lineal”
Formulas a usar:
m= y 2− y 1x 2−x1
Ejemplo 1:
1. Un sistema de computación tiene 10 años de uso y su valor actual es de $23,000, pero hace 4
años su valor era de $41,400. Si el valor del sistema se deprecia linealmente con el tiempo,
determinar:
a) La ecuación particular que relaciona el valor del sistema con el tiempo transcurrido.
b) ¿Cuál fue el valor del sistema cuando era nuevo?
c) ¿Cuánto se deprecia el valor del sistema cada año?
d) ¿Cuál será el valor del sistema después de 12 años de uso?
e) Si se empieza a vender el sistema cuando su valor sea de $4,600 ¿Cuántos años tendrá
de uso?
Y – y1 =m(x – x1)
15
Nota: La variable X se representara con t simulando el tiempo, y la variable Y con ᶷ señalando el valor
monetario.
Formula: m= y 2− y 1x 2−x1
m=23,000−41 ,40010−6
=−18 ,4004
=−4 ,600
Cuando el valor de m es negativo, quiere decir que el valor se deprecia linealmente con el tiempo.
Con el valor de la pendiente (m) y uno de los pares ordenados se encuentra la expresión de función con la siguiente ecuación:
Procedimiento
a) Y- 41, 400 = -4,600 (x-6)y- 41,400 = -4,600x + 27,600y = -4,600x + 27,600 + 41,400y = -4,600x+ 69,000
ᶷ = -4,600 t + 69,000 Ecuación particular
b) t = 0ᶷ= -4,600 (0) + 69,000
ᶷ= $69,000
c) $4,600 porque la pendiente salió negativa.
d) ᶷ= -4,600 (12) + 69,000
Y – y1 =m(x – x1)
Y – y1 =m(x – x1)
t ᶷ(10, 23 000)(6, 41 400)
16
ᶷ= $13,800
e) 4,600 = -4,600 t + 69,0004,600 – 69,000 = -4,600 t4,600 – 69,000 = t 4,600t = 14 años
Gráfica:Y
X
17
Ejemplo 2.-
2. El valor depreciado de un sistema de cómputo es de $76,000 al final de 7 años y de $52,000 al
término de 10 años.
Si el valor del sistema de cómputo varía linealmente con el tiempo de uso, determinar:
a) La ecuación particular que expresa la relación del valor del sistema con su tiempo de uso.
b) El valor del sistema cuando era nuevo.
c) ¿A los cuantos años de uso se deprecia totalmente el valor del sistema?
d) ¿Cuál es el valor del sistema a los 6 y 8 años de uso?
Formula: m= y 2− y 1x 2−x1
m=76,000−52 ,0007−10
=24 ,000−3
=−8 ,000
Procedimiento
a) Y- 52, 000 = -8,000 (x-10)y- 52,000 = -8,000x + 80,000y = -8,000x + 80,000+ 52,000y = -8,000x + 132,000
ᶷ = -8,000 t + 132,000 Ecuación particular
b) t = 0ᶷ= -8,000 (0) + 132,000
ᶷ= $132,000
c) t= -132,000/-8,000= 16.5
t = 16.5 años
Y – y1 =m(x – x1)
t ᶷ(7, 76 000)(10, 52 000)
18
d) ᶷ= -8,000 (6) + 132,000 = $84,000
ᶷ= -8,000 (8) + 132,000 =$68,000
Gráfica:
Y
X
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Ejercicios propuestos:
Graficar ambos ejercicios
Ejercicio #1.-
El valor catastral de una casa que tiene 20 años de uso es de $70,000, pero hace 14 años era de
$119,000. Si dicho valor se deprecia linealmente con el tiempo, determinar:
a) La ecuación particular que relaciona el valor catastral con el número de años de uso.
b) El valor catastral de la asa cuando era nueva.
c) ¿Cuánto varia el valor catastral de la casa por año?
d) ¿Después de cuantos años de uso el valor catastral de la casa es de 0?
e) ¿Cuál es el valor catastral de la casa después de 30 años?
Ejercicio #2.-
A una compañía fabricar 250 relojes le cuesta $17,750, mientras que producir 400 le cuesta $24,500.
Si el costo varía linealmente con la cantidad producida, determinar:
a) La ecuación particular que relacione el costo con la cantidad producida.
b) ¿Cuáles son los costos de la compañía si no fabrica ningún reloj?
c) ¿Cuánto cuesta producir 120 relojes?
d) Si el costo total es de $42,500, ¿Cuántos relojes de produjeron?
20
Tipos de funciones
1. Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable
independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso
efectuar operaciones.
5x − y − 2 = 0
21
1.1 Funciones polinómicas
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es , es decir, cualquier número real tiene imagen.
1.1.1 Funciones constantes
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
1.1.2 Funciones polinómica de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
22
1.1.3 Funciones cuadráticas
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
1.2 Funciones racionales
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
1.3 Funciones radicales
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
1.4 Funciones algebraicas a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
23
2. Funciones trascendentes
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla
afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
2.1 Funciones exponenciales
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la
potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
2.2 Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
24
2.3 Funciones trigonométricas
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
25
Funciones exponenciales y logarítmicas
En la función exponencial la ecuación f (x) = bx donde b > 0 y b≠ 0
El dominio de f es el conjunto de todos los números reales positivos, también se puede mostrar que el rango de f es el conjunto de todos los números reales.
Se requiere que la base sea positiva para evitar los números imaginarios.
Nota: La base nunca debe de ser negativa.
Ejemplos:
1.- Usar los valores para X desde -3 hasta +3 en la función
Y= ½ (4x)
Procedimiento:
Y= ½ (4-3)= 0.01
Y= ½ (4-2)= 0.03
Y= ½ (4-1)= 0.12
Y= ½ (40)= 0.5
Y= ½ (41)= 2
Y= ½ (42)= 8
Y= ½ (43)= 32
Grafica
X Y-3 0.01-2 0.03-1 0.120 0.51 22 83 32
26
Ejemplos:
2.- Despejar la Xde la siguiente ecuación
Nota:Las bases se pondrán con un mismo valor para después eliminarlos y terminar con la igualdad de los exponentes.
Nota 2:Cuando los exponentes son iguales se eliminaran y se dejan solo las bases y viceversa, cuando las bases son iguales se eliminan y se dejan los exponentes.
1) 4x-3 = 8(22)x-3= (23)22x-6 = 23
2x-6 = 32x = 9
X = 92
2) 27 x+1 = 9(33)x+3 = (32)33x+3 = 32
3x+3= 23x= 2-33x=1
X = −13
3) 25x+1 = 1252x
(52)x+1 =(53)2x
52x+2 = 56x
2x + 2 = 6x2= 6x-2x2= 4x
X= 24=12
4) 9x2 = 33x-1
(32)x2 = 33x-1
32x2 = 33x-1
2x2 =3x-12x2 -3x+1 2[ 2x2 -3x+1]4x2-3 (2x) +2
Aquí se usa la formula general
27
(2x−2 ) (2 x−1 )2−1
(x-1) (2x-1) = 0X-1 =0x= 1
2x-1 = 02x= 1X = ½
Nota: En este ejemplo se obtienen dos resultados de X.
Ejercicios propuestos:
Despeje la X de las siguientes ecuaciones
1) 53x = 54x-3 =
2) 7x2 = 72x+3 =
3) (1-x)5 =(2x-1)5 =
4) 2x = 4x+1 =
5) 9x2 = 33x-1 =
6) 102-3x = 105x-6 =
7) 53 = (x+2)3 =
28
Función exponencial grafica
Problemas de aplicación
Nota: se consideran 3 aplicaciones de las funciones exponenciales:
1) Crecimiento demográfico
2) Interés compuesto.
3) Decaimiento radioactivo
Los 2 primeros son ejemplos de crecimiento exponencial; mientras que el decaimiento radioactivo es
un ejemplo del crecimiento exponencial negativo.
Una manera conveniente y fácil de entender la medida de la tasa de crecimiento es el tiempo de
duplicación. En periodos cortos se usa a menudo en modelo del crecimiento del tiempo de
duplicación para modelar el crecimiento demográfico.
Formula:P = Po2t/d
P= población en el tiempo “t”
Po= población en el tiempo = 0
d= tiempo de duplicación
Ejemplos:
Ejercicio #1: (Crecimiento demográfico)
México tiene una población aproximada de 100 millones de personas y se estima que habrá aumentado al doble en 21 años. Si sigue creciendo a la misma tasa. ¿Cuál será la población?
a) En 15 años a partir de ahorab) En 30 años a partir de ahora
P = Po2t/d
a) P= (100) (2) 15/21 = 164.06 millones
b) P= (100) (2) 30/21 = 269.18 millones
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En donde identificamos los datos así:
Po= 100 millones de personas
t= 15 y 30 años
d= 21 años
Ejercicio #2: (Crecimiento demográfico)
La bacteria Ecoli se encuentra naturalmente en los intestinos de muchos mamíferos. En un
experimento de laboratorio, se encuentra que el tiempo de duplicación para esta bacteria es de 25
minutos. Si el experimento comienza con una población de 1,000 y no hay ningún cambio en el
tiempo de duplicación. ¿Cuántas bacterias estarán presentes?
a) En 10 minutos
b) En 5 horas
Aquí primero debemos de convertir todo a la misma unidad, como en el problema nos habla de
minutos, entonces se convierten los datos en minutos, en este caso solo se convierte las 5 horas en
minutos.
5 horas X 60 minutos = 300 minutos
P = Po2t/d
a) P= (1,000) (2) 10/25 = 1,319.50 bacterias
b) P= (1,000) (2) 300/25 = 4,096,000 bacterias
30
Ejercicio #3: (Decaimiento radioactivo)
Formula: A= Ao 2 –t/h
A= cantidad al tiempo “t”
Ao= cantidad al tiempo t=0
h= vida media
El isotopo radioactivo del galio (Ga) usado en el diagnóstico de tumores malignos, tiene una vida de
46.5 horas. Si se empieza cada 100 miligramos del isotopo. ¿Cuántos miligramos quedaran después
de?
a) 24 horas
b) 1 semana
Se convierten las unidades a la misma medida, en este caso a horas.
1 semana tiene 7 días, por lo tanto se multiplican los 7 días por las 24 horas que tiene un día. 7 X 24 =
168 horas
A= Ao 2 –t/h
Ao= 100 mg
h= 46.5 horas
t= 24 y 168 horas
a) (100) (2) -24/46.5 = 69.92 mg
b) (100) (2) -168/46.5 = 8.173 mg
31
Ejercicio #4: (Interés compuesto)
Formula: A= P (1+rn ) nt
P= cantidad inicial de la cuenta
A= cantidad “t” años después
n= # de periodos al año
r= interés
La P se le conoce como valor actual y a la A como valor futuro.
Si se depositan $5,000 en una cuenta que paga el 9% de interés compuesto diariamente, ¿Cuánto
tendrá en su cuenta en 5 años?
A= P (1+rn ) nt
n= 365 días
r= 0.09
P= 5,000
t= 5 años
A= 5,000 (1+ 0.09365 ) (365)(5) = $7,841.12
32
Ejercicios propuestos:
1) Interés compuesto
Si se invierten $1,000 en una cuenta que paga el 10% de interés compuesto mensualmente. ¿Cuánto
habrá en la cuenta después de 10 años?
2) Crecimiento demográfico
En condiciones ideales, se sabe que cierta población de bacterias se duplica cada 3 horas. Suponga
que primero hay 100 bacterias.
a) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 15 horas?
b) ¿Cuál es el tamaño de la población después de 20 horas?
3) Decaimiento radioactivo
La vida media del Estroncio 90, es de 25 años. Esto significa que la mitad de cualquier cantidad dada
de Estroncio 90 se desintegrara en 25 años-
a) Encuentre la masa restante después de 40 años.
33
UNIDAD II “Estadística Descriptiva”
Función Exponencial de Base “e”
Problemas Aplicados
Funciones Logarítmicas
Medidas de Tendencia Central
34
Función Exponencial de Base “e”Concepto:
La función exponencial que tiene como base el número “e” se le denomina como función exponente
natural y es la función expresada por:
Formula: f (x) = ex
En donde el valor de “e” será de 2.718281828459…….
Ejemplos:
Y= 4-ex/2
1°Se realiza la tabulación dándole valores a X desde -4 a +4.
2° Se obtienen los resultados de Y, sustituyendo los valores de X en la ecuación dada.
3°se grafican los datos obtenidos.
Y=4-ex/2
Ejemplo 2:
Graficar y tabular la siguiente ecuación exponencial.
Y= 2ex/2 -5
X Y
-4 3.86
-3 3.77
-2 3.63
-1 3.39
0 3
1 2.35
2 1.28
3 -0.48
4 -3.38
35
Nota: En este caso al resultado que se obtiene sustituyendo la X, se le restara el -5.
Ejercicio propuesto:
1.- Graficar y tabular la siguiente ecuación exponencial, dando valores a X de -5 a +5
X Y
-4 -4.72
-3 -4.55
-2 -4.26
-1 -3.78
0 -3
1 -1.70
2 0.43
3 3.96
4 9.77
36
Y= 10 e 0.2x
Problemas de Aplicación“Medicina y crecimiento bacteriano”
37
Ejemplo 1.-
El cólera es una enfermedad intestinal causada por la bacteria del cólera que se multiplica
exponencialmente por la división de células modelada por la fórmula:
N= N0 e1.386t
En donde:
N: es el número bacterias presente después de “t” horas.
N0: número de bacterias presentes cuando “t” es igual a 0.
Si se empieza con una bacteria, ¿Cuántas bacterias habrá en:
a) 5 horas?
b) 12 horas?
Solución:
a) N= 1e1.386 (5) = 1,022 bacterias.
b) N= 1e1.386 (12) = 16, 778,058 bacterias.
Grafica dando valores a X de -4 a +4
38
“Cálculo de fechas con el carbono 14”
X Y
-4 0.0039
-3 0.01
-2 0.06
-1 0.25
0 1
1 3.99
2 15.99
3 63.94
4 255.69
39
Ejemplo 2.-
Formula: A= A0 e-0.000124t
A: Cantidad de carbono 14 presente después de “t” años.
A0 :cantidad presente de carbono 14 en el tiempo presente.
Si 1,000 miligramos de C14 están presentes en un inicio. ¿Cuántos mg estarán presentes en:
a) 10,000 años
b) 50,000 años
Solución y sustitución de fórmula:
a) A= 1,000 e-0.000124 (10,000) = 289 mg
b) A= 1,000 e-0.000124 (50,000) = 2.02 mg
Grafica dando valores a X de -4 a +4
“Interés compuesto continuamente”
X Y
-4 1000.49
-3 1000.37
-2 1000.24
-1 1000.12
0 1000
1 999.87
2 999.75
3 999.62
4 999.50
40
Ejemplo 3:
Si se invierten $100 a una tasa anual del 8% de interés compuesto continuamente. ¿Qué cantidad
aproximada al centésimo más cercano, estará en la cuenta después de 2 años?
Formula:A= Pert
En donde:
P: capital que se invierte
r: tasa anual compuesta
A: interés compuesto continuamente en “t” años.
t: tiempo transcurrido.
Datos:
P: $100
r: .08
t: 2años
A= 100 e.08(2) = $117.35
Grafica y tabulación:
X Y
-4 72.61
-3 18.66
-2 85.21
-1 92.31
0 100
1 108.32
2 117.35
3 127.12
4 137.71
41
Ejercicios propuestos de problemas de aplicación:
1.- Si la población mundial en la actualidad es aproximadamente de 6,000 mil millones y si la
población crece en forma continua a una tasa anual de 1.7 % . ¿Cuál será la población en 10 años?
2.- En 1996 la población de Rusia era de 148 millones de personas y la de Nigeria de 104 millones. Si
las poblaciones de Rusia y de Nigeria crecen continuamente a tasas anuales de 0.62% y 3%
respectivamente. ¿Cuándo tendrá Nigeria una población mayor a la de Rusia?
42
3.- Si la población actual de México es de alrededor de 100 millones de personas y si la población
crece continuamente a una tasa anual del 2.3%. ¿Cuál será su población en 8 años?
Funciones LogarítmicasDefinición:
Para b > 0 y b ≠ 1, donde b = base.
Forma logarítmica: Y= logbX es equivalente a Forma exponencial X= by
El logaritmo de un número se define como el exponente al que hay que elevar la base para obtener el
número.
Por tanto un logaritmo es un exponente.
Y= Log ex X= ey
Y= Log 10X X= 10y
Ejemplos:
Convertir de forma logarítmica a forma exponencial.
43
1. Log2 8 = 3 8= 23
2. Log25 5 = 1/2 5=(25)1/2 = 5=√25 = 5=5
3. Log2 (1/4) = -2 ¼ = 2-2 =1/4 =1/2 1/4 =1/4
4. Log3 27 = 3 27= 33 27=27
5. Log36 6= ½ 6= (36)1/2 = 6=√36 = 6= 6
6. Log3 (1/9) = -2 1/9 = 3-2 = 1/9= 1/32= 1/9 = 1/9
Convertir de forma exponencial a forma logarítmica:
1. 0.0001= 10-4 Log 10 0.0001 = -4
2. 8 = 4 3/2 Log 4 8 = 3/2
3. ½ = 32-1/5 Log 32 (1/2) = -1/5
4. 7 = √49 Log 49 7= ½
Ejercicios Propuestos de funciones logarítmicas:
Convertir de forma logarítmica a forma exponencial:
1. Log3 81 = 4
2. Log100.001 = -3
3. Log813 =1/4
4. Log1/2 16= -4
5. Log5 125=3
Convertir de forma exponencial a forma logarítmica:
44
1. 10 000 = 104
2. 9 = 272/3
3. 1/8 = 2-3
Medias de Tendencia CentralDefinición:
Las medidas de tendencia central (media, mediana y moda) sirven como puntos de referencia para
interpretar las calificaciones que se obtienen en una prueba.
Ejemplo:
Calcular la medida aritmética (µ); la moda (Mo); la mediana (Md); Histograma; polígono de
frecuencias; percentiles 25, 50 y 75 ; tabla de frecuencias.
Pasos:
1° Paso: “Calcular el Rango”R= VM- Vm
R: Rango
VM: Valor Mayor
Vm: Valor menor
45
Datos del problema: los siguientes son los pesos en mg de 50 capsulas.
40 50 46 54 49
57 66 57 56 51
45 56 41 68 55
60 61 59 62 43
50 52 67 74 63
60 58 54 56 57
41 48 63 52 47
65 61 58 69 59
58 53 45 53 48
42 53 72 64 55
De los datos proporcionados se debe de sacar el rango
R = VM – Vm
R = 74 – 40 = 34 mg
2° Paso: “Calcular el número de intervalos”NI= 1 + 3.3 Log n
NI: Numero de intervalos
Log: logaritmo
n: número de datos
NOTA: el número de intervalos nos dice el número de renglones, es decir el número de columnas
para el histograma.
NI = 1 + 3.3 Log 50 = 6.60 = 7NOTA: el dato obtenido se redondea al número entero más pronto.
3° Paso:“Calculo del ancho del intervalo”C = R /NI
C: Ancho de intervalo, ancho de columna.
C= 34 / 7 = 4.85 = 4.9NOTA: el dato obtenido se redondea a la décima más cercana.
46
4° Paso“Llenado de la tabla de frecuencias”
Li: Límite inferior
Li = Vm – 0.05
Li = 40 – 0.05 = 39.95
Ls: Límite superior
Ls = Li + C
Ls= 39.95 + 4.90 = 44.85
5° Paso“Construir el histograma”
C0
2
4
6
8
10
12
14
Columna 1Columna 2Columna 3Columna 4Columna 5Columna 6Columna 7
6° Paso “Polígono de Frecuencia dentro del histograma”
47
C0
2
4
6
8
10
12
14
Columna 1Columna 2Columna 3Columna 4Columna 5Columna 6Columna 7
7° Paso “Calculo de percentiles 25, 50 y 75”
Se calcula el área total del histograma multiplicando la altura de la columna por el ancho y se suman
los resultados para obtener el área total
4.9 X 4 = 19.6
4.9 X 7 = 34.3
4.9 X 11 = 53.9
4.9 X 13 = 63.7
4.9 X 8 = 39.2
4.9 X 5 = 24.5
4.9 X 2 = 9.8
48
Área total= 245
C0
2
4
6
8
10
12
14
Columna 1Columna 2Columna 3Columna 4Columna 5Columna 6Columna 7
Después se multiplica el área total por el percentil en decimal es decir, si es el percentil 75, lo
multiplicaremos por 0.75, el 50 quedaría como 0.50 y el 25 como 0.25.
Una vez realizada la multiplicación, se busca sumando las columnas un número aproximado al
resultado, sin que este se pase, pero como no será suficiente se tomara un área necesaria de la
columna siguiente, se suman todas las columnas que se utilizaran, incluyendo la del área necesaria y
se le resta al resultado de la multiplicación del área total con el percentil en decimal.
Una vez obteniendo el resultado se pone en práctica la fórmula:
C´ = an/h ; en donde C´ es columna; an es el área necesaria y h es la altura de la columna de donde
tomamos el área necesaria.
Después se suma el límite inferior de la columna de la cual se tomó el área necesaria y se suma con el
resultado de la operación anterior.
Percentil 75 =
49
(245) (0.75) = 183.75
183.75 – 171.5 = 12. 25 (esto es el área necesaria)
C´ = an/h = 12.25/8 = 1.53
59.55 + 1.53 = 61.08
Percentil 50 =
(245) (0.50) = 122.5
122-107.8 = 14.7 (an)
C´ = an/h = 14.7/3 = 1.13
54.65 + 1.13 = 55.78
Percentil 25 =
(245) (0.25) = 61.25
61.25-53.9 = 7.35 (an)
C´ = an/h = 7.35/11 = 0.66
49.75 + 0.66 = 50.41
8° Paso “Calculo de la Moda”
Mo= Li fM + [ F . A . M−F . A . A . M2 (F . A .M )−F . A . A . M−F . A .D .M ](C)
En donde:
Mo: Moda
Li: Límite inferior
fM: frecuencia mayor
F.A.D.M: frecuencia absoluta después de la mayor
F.A.M: frecuencia absoluta mayor
50
F.A.A.M: frecuencia absoluta antes de la mayor.
C: ancho de columna
Mo= 54.65 + [ 13−112 (13 )−11−8 ](4.9)
Mo = 54.65 + (0.28) (4.9) = 56.02 mg
9° Paso “Calculo de la desviación estándar”
En donde
∂: Sigma
n: número de datos
∂=√ 2,823.8250¿
¿ = 7.51 mg
51
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Limites Reales de Clase Li -Lf
Marcas de Clase
Frec. Absolutas
Frec. Acumulada
Frec. Relativas
Frec. Relativas
acumuladas fm |m-µ| f |m-µ| (m-µ)² f(m-µ)²
m (x) f Fa Fr % Fra %
39.95 - 44.85 42.4 4 4 8 8 169.6 13.42 53.68 180.09 720.36
44.85 - 49.75 47.3 7 11 14 22 331.1 8.52 59.64 72.52 508.13
49.75 - 54.65 52.3 11 22 22 44 574.2 3.32 36.52 11.02 144.1
54.65 - 59.55 57.1 13 35 26 70 742.3 1.28 16.64 1.63 21.19
59.55 - 64.45 62 8 43 16 86 496 6.18 49.49 38.19 305.52
64.45 - 69.35 66.8 5 48 10 96 334.5 11.08 55.4 122.76 613.8
69.35 - 74.25 71.8 2 50 4 100 143.6 15.98 31.96 255.36 510.72
∑= 50 ∑= 100 ∑= 2791.3 ∑= 2823.82
52
Ejercicios propuestos de Medidas de tendencia central
1.- Los siguientes datos son los pesos en Kg de los alumnos del grupo IDIE 71; calcular:
Rango.
Numero de intervalos.
Ancho de intervalo.
Llenar la tabla de frecuencias.
Construir el polígono de frecuencias y el histograma.
Calculo de los percentiles, P75, P50 y P25.
Calculo de la moda.
Calculo de la desviación estándar.
56 72 52 80 58 48 78
55 56 67 72 60 61 53
75 62 52 70 70 53 70
80 55 70 72 70 54 78
70 80 90 53 80 51 50
53
2.- Los siguientes datos son las edades de los alumnos del grupo IDIE 71, calcular:
Rango.
Numero de intervalos.
Ancho de intervalo.
Llenar la tabla de frecuencias.
Construir el polígono de frecuencias y el histograma.
Calculo de los percentiles, P75, P50 y P25.
Calculo de la moda.
Calculo de la desviación estándar.
21 21 21 20 26
21 20 23 22 24
21 22 24 20 21
20 24 21 21 21
22 28 21 24 21
21 32 20 23 49
25 21 21 20 24
54
Muestreo Aleatorio
El objetivo de la estadística inferencial, es el obtener información confiable de una población
analizando solo una muestra relativamente pequeña.
Una alternativa práctica para elegir una muestra aleatoria es el ejemplo de las tablas de
números aleatorios.
Ejemplo #1.-
Si deseamos escoger 6 boletos de un total de n= 20 boletos. Utilizar la tabla de números aleatorios.
ri .246194 .361474 .721938 .874239 .588587 .787107
20 *ri 4.92388 7.22998 14.43876 17.48498 11.77174 19.74214
Redondear 5 7 14 17 12 20
Para el llenado de la tabla se utilizó en séptimo renglón con la quinta columna de la tabla de números
aleatorios.
NOTA: Si algún número escogido se repite, entonces se tomara otro número aleatorio siguiente en la
secuencia.
Ejemplo #2.-
Escoger 5 personas del grupo IDIE71M de una muestra de N=29.
ri .818804 .740821 .989363 .64415 .080688
29*ri 23.745316 21.483809 28.691527 18.690935 2.339952
Redondear 24 21 29 19 2
LUPITA WILLY AARON VERO CESAR
55
Datos No Agrupados
En los siguientes datos se analizara la obtención de la media aritmética, desviación media,
mediana, moda y tabla de frecuencias.
Ejemplo #1.-
Durante un determinado mes del verano, 8 vendedores de aparatos eléctricos de una empresa
vendieron los siguientes artículos.
X X - µ ( X - µ) (X- µ) ²5 -5.5 5.5 30.258 -2.5 2.5 6.258 -2.5 2.5 6.25
11 -0.5 0.5 0.2511 -0.5 0.5 0.2511 -0.5 0.5 0.2514 3.5 3.5 12.2516 5.5 5.5 30.25
56
Medidas de Tendencia Central
Cálculos:
Media Aritmética (µ)
µ
µ= 5+11+11++11+8+8+14+16= 10.5
8
Mediana (Md)
NOTA:Se tomará como mediana de acuerdo al número de datos que se tenga en el problema. Por
ejemplo si el número de datos es un número par se ordenan los datos de menor a mayor y se suman
los 2 valores centrales y se dividen entre 2 para el número impar de datos se tomara el número más
central.
Md= 5, 8, 8, 11, 11, 11, 14,16
11 +11 = 2
Supongamos que tenemos los siguientes datos:
Md= 3, 4, 6, 7 ,9
Moda (Mo)
Es el número que se repite con mayor frecuencia en un conjunto de datos.
Mo=
11
11
57
Medidas de Variabilidad
Cálculos:
Desviación Estándar
NOTA:La diferencia entre la media aritmética y la desviación estándar se puede notar con el siguiente ejemplo.
Ejemplo #1.-
Las calificaciones de 2 alumnos son las siguientes:
Alumno A: 8, 9,1
Alumno B: 6, 6,6
MB= 6
¿Cuál es la desviación estándar de los dos?
B= 0 A= 3.56
¿Por qué seria 0?
Porque no hay variación entre los datos
58
Ejercicios propuestos de Medidas de Tendencia Central
Para una muestra de 15 clientes en un restaurant se determinaron las siguientes cuentas en orden de magnitud.
X X- µ (X- µ) (X- µ) ²100010002500250025003500400053009000
125001350024500271003090041000
59
UNIDAD III “Pronósticos”
Introducción a los pronósticos
Clasificación de los pronósticos
Pronósticos Cuantitativos
Modelos Cualitativos
60
Pronósticos
Es un cálculo estimativo del nivel de la demanda de un producto o productos en un periodo futuro.
Todo pronóstico por ende es una hipótesis que nos aporta un parámetro para tomar decisiones.
Importancia
Cualquiera que sea el método o técnica utilizada, lograr tener un pronóstico con mayor exactitud es fundamental ya que de esta forma dependen muchas decisiones futuras en control de materiales, producción y ventas.
Características de los pronósticos
Los pronósticos depende de: Datos históricos “MarketIntelligence
Los pronósticos usualmente están mal. Un buen pronóstico tiene al menos 2 números.
Clasificación de los pronósticos
Cuantitativos Cualitativas
Casuales
Serie temporal
Suavizamiento
Proyeccion de tendencia
Proyeccion de tendencia ajustada por influencia estacional
61
Tipos de Pronósticos
a) Pronósticos subjetivosSon aquellos en que las personas con experiencia en ventas, mercadotecnia o gerentes expresan cuál es su parecer respecto a las ventas que puede expresar para el futuro.
b) Pronósticos basados en un índiceDependen de un índice de base para su presión.
c) Pronósticos basados en promedio Se basan en el promedio de los datos de venta.
d) Pronósticos estadísticosBasado en el análisis estadístico de la demanda.
e) Métodos combinadosCuando se combinan todos estos para tener mayor exactitud.
62
Regresión Lineal
Mínimos cuadrados:
Ejemplo # 1:
De la siguiente tabla tenemos los datos de los índices de productividad de la industria maquiladora en México de 1988 a 1995.
Datos del INEGI
Año 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Productividad 88.5 91.5 94.4 96.7 98.6 100 106.3 106.3
X Y X² XY Y²0 88.5 0 0 7832.251 91.5 1 91.5 8372.252 94.4 4 188.5 8911.363 96.7 9 290.1 9350.894 98.6 16 394.4 9721.965 100 25 500 100006 106.3 36 637.8 11299.697 106.3 49 744.1 11299.69
Suma 28 782.3 140 2846.7 76788.09AÑO PRODUCTIVIDAD
Nota: Para la primer columna (x) cuando sea necesario y los valores sean muy grandes como en este, entonces se podrá empezar desde 0.
63
La ecuación que usaremos es la de la función lineal Y= mx+bdonde:
m= pendiente
b= orden en el origen.
En cada uno de los problemas se graficara los datos, para el cálculo de la pendiente se utilizara la siguiente fórmula:
Para el coeficiente de la correlación:
Nota:Para el coeficiente de correlación se tomara los pronósticos más certeros si el valor de la r es cercando a -1 o a +1.
r
64
Ejemplo #1 Paso a Paso
m 8 (2846.7) - (28)(782.3) = 22773.6 - 21904.4 = 869.2 = 8(140) - (28)2 1120 - 784 336
b= (782.3)(140) - (28)(2846.7) =109522 - 79707.6 = 29914.4 = (8)(140) - (28)2 1120 - 784 336
y = mx+b x= y-b m
Sustitución:
x = 125 – 88.73=
r= (8 ) (2846.7 )−(28 ) (782.3 )
√ (8 ) (140 )− (28 )2∗√ (8 ) (76788.09 )−(782.3 )2
r= (869.2 )√336∗√614304.72−611993.29
r= (869.2 )√336∗√2311.43
r= 869.2(18.33 )(48.07)
= 869.2881.12
=0.98
Las dos preguntas para este problema son las siguientes:
1. ¿Cuándo se espera que la productividad sea 125%?
1998 + 14= 2002 alcanza el 125%.
2. ¿Cual será la productividad en el año 2020?Y=(2.59) (32) + 88.73 = 171.6 % en el año 2020.
2.58
88.73
2.59
65
Ejercicios propuestos de Regresión Lineal
1. La población de México a crecido considerablemente en los últimos años como se puede apreciar en la siguiente tabla:
AÑO 1950 1960 1970 1980 1990 1995
Personas 25.8 34.9 48.2 66.8 81.2 93
Preguntas:
1. ¿Cuándo la población de México tendrá 130 millones?
2. ¿Cuál será la población en el año 2015?
3. ¿Cuál será la población en el año actual?
2. La siguiente tabla muestra los casos de SIDA que han sido registrados en Mexico para la Secretaria de Salud en el periodo de 1989 – 1995.
AÑO 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995CASOS 1605 2587 3155 3210 5057 4112 4310
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Error Estándar del Ajuste
La naturaleza del método de mínimos cuadrados que define una recta (o una curva) que este cerca de todos los puntos como sea posible, lleva implícita una diferencia (o error) entre valores dados de un fenómeno (los puntos de diagrama de dispersión) y valores que resulten al aplicar la ecuación de la recta obtenida.
El error estándar del ajuste es una medida de los errores se incurre al sustituto los valores verdaderos observados por la formula de ajuste, y permite cuantificar una especie de dichas diferencias o errores.
El siguiente ejemplo ilustra la forma de calcular el error estándar del ajuste:
Ejemplo # 1:
La ecuación Y= 3.342x + 3.823 es la recta de mejor ajuste minimo cuadrado de los siguientes puntos:
X 1.5 3.3 4.8 6.5 7.5Y 7 18 20 23 30
Solución:
El error estándar del ajuste se obtiene por medio de la formula que se presenta a continuación:
El valor calculado ( Y’) es el valor de Y calculado con la ecuación de la recta y para este caso es:
Y’(1.5) = (3.342) (1.5) + 3.823= 8.836
Y’(3.3)= (3.342) (3.3) + 3.823= 14.852
Y’(4.8)= (3.342) (4.8) + 3.823= 19.865
Y’(6.5)= (3.342) (6.5) + 3.823= 25.546
Y’(7.5)= (3.342) (7.5) + 3.823= 28.888
= 21.0176
5.2
67
Y 7 18 20 23 30 98Y’ 8.836 14.852 19.865 25.546 28.888 97.987(Y- Y’)2 3.3709 9.9099 0.0182 6.4821 1.2365 21.0176
NOTA:Entre mayor sea el “Syx” mayor serála dispersión de datos pero si es “CERO” los puntos de la grafica estarán concentrados alrededor de la “Línea Recta de Regresión”.
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50
5
10
15
20
25
30
35
Series2
SUMAS
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.50
5
10
15
20
25
30
35
Series2Linear (Series2)
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Año 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Productividad 88.5 91.5 94.4 96.7 98.6 100 106.3 106.3
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Ejercicios propuestos de Error Estándar
1. Realizar el error estándar de ajuste y graficar:
Suma
Y 88.5 91.5 94.4 96.7 98.6 100 106.3 106.3 782.20
Y’
(Y- Y’)2
70
Promedio Móvil Simple
Es recomendable para series de tiempo que no presentan patrones de tendencia, estacionalidad o
ciclisidad en los datos. Se utiliza cuando se quiere dar más importancia a conjuntos de datos más
recientes para obtener datos más recientes para obtener el pronóstico.
El pronóstico se obtiene al graficar la media aritmética del conjunto de datos más recientes
seleccionado. Cada vez que se tiene una nueva observación se agrega a esta el conjunto de datos y
se elimina de este la observación o dato más antiguo. El numero de datos más reciente a considerar
en el conjunto de observaciones del cual se calcula la media aritmética es una decisión de la
sensibilidad a los cambios en el comportamiento de las series, se reduce al utilizar un número mayor
de observaciones en el conjunto de datos este modelo no maneja muy bien los datos con
estacionalidad o con tendencia pero si lo hace mejor la técnica del promedio simple.
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Promedio Móvil Ponderado
Un promedio móvil ponderado permite asignar cualquier importancia a cada elemento, siempre y cuando la suma de todas las ponderaciones sea igual a 1.
Formula: F1=W1 A1-1 + W2+ A1+……
Ejemplo # 1:
Una tienda departamental se da cuenta de que en un periodo de 4 meses el mejor pronostico se deriva utilizando 40% de las ventas reales durante el mes más reciente, 30% de 2 meses antes, 20% de 3 meses y 10% de hace 4 meses, si las ventas reales fueron:
Mes 1 Mes 2 Mes 3 Mes 4 Mes 5100 90 105 95 ?
El pronóstico para el mes 5 sería:
F5= 0.40(95) + 0.30 (105) + 0.20 (90) + 1.10 (100)= 38 + 31.5+ 18+10= 97.5
72
Suavización Exponencial
Estos métodos eliminan las fluctuaciones aleatorias de la serie de tiempo, proporcionando datos
menos distorsionados del comportamiento real de la misma.
El principal objetivo de las series de tiempo es hacer proyecciones o pronósticos sobre una
actividad futura, suponiendo estables las condiciones y variaciones registradas hasta la fecha, lo
cual permite planear y tomar decisiones a corto plazo o largo plazo.
Este método contiene un mecanismo de autocorrección que ajusta los pronósticos a dirección
opuesta a los errores pasados. Se emplea tanto para suavizar como para realizar pronósticos.
Se emplea la siguiente fórmula:
Yt+1= aXt + (1- a) - Yt
Yt + 1 = Pronostico para el periodo futuro.
a= Constante de suavización a la cual se le da un valor entre 0 y 1.
Xt= Valor real para el periodo de tiempo.
Yt= Pronostico para el periodo de tiempo.
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Ejemplo # 1:
Con los siguientes datos acerca de las ventas en miles de dólares de la empresa D & M durante los
últimos 12 meses:
Meses Sep Oct Nov Dic Ene Feb Marz Abr May
Ventas 6 7 6 12 7 10 6 4 9
1) Suavizar los datos empleados al método de suavización exponencial con a= 0.5. Pronosticar
las ventas para el mes de septiembre.
*Calcular el cuadrado medio del error.
*Elaborar un grafico, en el que consten las ventas y los pronósticos.
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Respuestas de Ejercicios Propuestos
Resultados de los ejercicios propuestos unidad 1
Suma:1) 19ab2
2) -8 a + b -4c
3)12a-23b
4) 12 a
5)−298x2y
Multiplicación:
1) 6 a5
2) -6x3
3) 4 a3 b3
4)25a5b
5)−25a2x6y4
Resta:
1) 15x3y4
2)14ab
3) –a
4) -5x2y
75
5) -8ab2
División:
1) a2
2)19
3)32
4)209
5)175144
xy3
Ecuaciones lineales:
1) Y= 10-3x
Y= -5 +2x
2) Y=15−7 x2
Y= −6 x+35
3) Y= 3-2x
Y= 10−5 x3
Funciones lineales
Ejercicio #1
a) ᶷ = -3,500 t + 140,000
b) ᶷ= $149,000
c) $3,500
76
d) 40 años
e) $35,000
Ejercicio #2:
a) Y= 45x+ 6,500
b) $6,500
c) $11,900
d) 800 relojes
Funciones exponenciales y logarítmicas:
1) X=3
2) X= 3 X= 1
3) X= 32
4) X= -2
5) X= 1 X=12
6) X= 1
7) X= -3
Función exponencial grafica, problemas de aplicación:
1) $2,707.04
2) (a) 3,200 bacterias (b) 10,159.36 bacterias
3) 7.92 mg
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Respuestas de Ejercicios Propuestos Estadística Descriptiva
Función exponencial de base “e”:
X Y-5 3.67-4 4.49-3 5.48-2 6.70-1 8.180 101 12.212 14.913 18.224 22.255 27.18
Problemas aplicados:
Ejercicio 1.- 7,111 millones
Ejercicio 2.- año 2006
Ejercicio 3.- 120 millones
Funciones logarítmicas a forma exponencial1- 81
2- 0.001
78
3- 81
4- 16
5- 125
De forma exponencial a logarítmica:
1- Log 10 10,000 = 4
2- Log 27 9 = 2/3
3- Log 2 1/8 = -3
Medidas de tendencia central:
1.-
Rango. = 42 kg
Numero de intervalos.= 6
Ancho de intervalo. = 7
Llenar la tabla de frecuencias.
Construir el polígono de frecuencias y el histograma.
Calculo de los percentiles, P75, P50 y P25. (P25 = 48.14) (P50 = 67.78) (P75 = 74.72)
Calculo de la moda. = 73.76 kg
Calculo de la desviación estándar.=10.90
2.-
Rango. = 29
Numero de intervalos.= 6
Ancho de intervalo. = 4.8
Llenar la tabla de frecuencias.
Construir el polígono de frecuencias y el histograma.
79
Calculo de los percentiles, P75, P50 y P25. (P25 = 23.39) (P50 = 22.04) (P75 = 20.68)
Calculo de la moda. = 22.25
Calculo de la desviación estándar.= 4.34
Respuestas de Ejercicios Propuestos Medida de Tendencia Central
X X- µ (X- µ) (X- µ) ²1000 -11,053.33 11,053.33 122,176,104.101000 -11,053.33 11,053.33 122,176,104.102500 -9,553.33 9,553.33 91,266,114.092500 -9,553.33 9,553.33 91,266,114.092500 -9,553.33 9,553.33 91,266,114.093500 -8,553.33 8,553.33 73,159,454.094000 -8,053.33 8,053.33 64,856,124.095300 -6,753.33 6,753.33 45,607,466.099000 -3,053.33 3,053.33 9,322,824.08
12500 446.67 446.67 199,514.0813500 1,446.67 1,446.67 2,092,854.0824500 12,446.67 12,446.67 154,919,594.1027100 15,046.67 15,046.67 226,402,278.1030900 18,846.67 18,846.67 355,196,970.1041000 28,946.67 28,946.67 837,909,704.10
2,287,817,333.38
M= 180800 = 12053.33
15
Md= 5300
Mo= 2500
80
µ=√228781733315
=12350.09
Respuestas de Ejercicios Propuestos “Regresión Lineal”1.
X Y X² XY Y²0 25.8 0 0 665.641 34.9 1 34.9 1218.012 48.2 4 96.4 2323.243 66.8 9 200.4 4462.244 81.2 16 324.8 6593.445 93 25 465 8649
Suma 15 349.9 55 1121.5 23911.57
m = 14.1
b= 23.06
r= 1
Respuestas a Preguntas:
1. 8
2. 28187 millones
3. 23 millones
2.
X Y X² XY Y²0 1605 0 0 2576025
81
1 2587 1 2587 6692569
2 3155 4 6310 9954025
3 3210 9 9630 10304100
4 5057 16 20228 25573249
5 4112 25 20560 16908544
6 4310 36 25860 18576100
Suma 21 24036 91 85175 90584612
m= 466.67b= 2033.67r= 1.0
Respuestas de Ejercicios Propuestos “Error Estandar”Año 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Productividad 88.5 91.5 94.4 96.7 98.6 100 106.3 106.3
1.
Suma
Y 88.5 91.5 94.4 96.7 98.6 100 106.3 106.3 782.30
Y’ 88.73 91.32 93.91 96.5 99.09 106.68 104.27 106.96 787.46
(Y- Y’)2 0.1849 0.0324 0.2401 0.04 0.2401 18.23 0.313 0.316 19.59
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
20
40
60
80
100
120
Series2
82
0 1 2 3 4 5 6 7 8 90
20
40
60
80
100
120
Series2Linear (Series2)
Bibliografía
Raymond A. Barnett. Libro Algebra. Mc Graw Hill
Berenson M Estadística para Administración. Pearson.
Octavio Sánchez. Probabilidad y estadística.
Guillermo Pastor. Estadística Básica.
Anderson, D.R., Sweeney, D. J. y Williams, T.A. Métodos Cuantitativos para los negocios.
Mario Coronado. Apuntes del maestro.
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