manual ed elas2d

ED -ELAS2DPrograma educativo para anlisis de estructuras por el mtodo de elementos finitos.

MANUAL DEL USUARIO

Version 2.0, Noviembre 1999

El programa ED-Elas2D ha sido desarrollado por profesores e investigadores del Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en la Ingeniera en la Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos de la Universidad Politcnica de Catalua, en el marco de un proyecto LEONARDO de la Unin Europea coordinado por el Centro Internacional de Mtodos Numricos en Ingeniera. El equipo de trabajo en el proyecto mencionado ha estado formado por: Elena Blanco Daz Llus Gil Espert Eugenio Oate Ibez de Navarra Benjamn Surez Arroyo Pere Zapata Luna El proyecto ha sido apoyado por: - Programa LEONARDO de la UE. - Programa TEMPUS de la UE. - Asociacin Universidad Empresa para la Formacin en Mtodos de Anlisis y Diseo por Ordenador en Ingeniera (AUEF AMADIS). - Universidad Politcnica de Catalua (UPC). - CIRIT, Generalitat de Catalua. - CICYT, Ministerio de Educacin y Ciencia, Espaa. - UNESCO. Para cualquier informacin adicional contactar con: Centro Internacional de Mtodos Numricos en Ingeniera Edificio C1, Campus Norte UPC Gran Capitn s/n 08034 Barcelona, Espaa. Tel.: (34-3) 205 70 16 Fax: (34-3) 401 65 17 E-mail: cimne @ etseccpb.upc.es ISBN: 84-87867-76-6 Depsito legal:

PRESENTACIONEl mtodo de elementos finitos (MEF) es, sin duda, la tcnica numrica ms potente y utilizada para solucin de una gran variedad de problemas en ciencia y tecnologa con la ayuda del ordenador. Dentro de las aplicaciones cotidianas del MEF destaca el anlisis de slidos y estructuras de los ms diversos tipos en ingeniera civil, mecnica, aeronutica y naval, entre otras. Los principios del MEF se basan en conceptos muy similares a los utilizados en el anlisis de sistemas discretos, tales como estructuras de barras y redes elctricas o de tuberas, mediante mtodos de clculo matricial. La formacin del tcnico en este campo exige el conocimiento de temas tales como la discretizacin en elementos finitos del dominio a analizar, la obtencin y ensamblaje de las matrices y vectores de cada elemento, la imposicin de las condiciones de contorno, la aplicacin de las acciones y la solucin final del sistema matricial de ecuaciones de equilibrio para obtener las incgnitas nodales y otros valores de inters en cada elemento (por ejemplo, desplazamientos, deformaciones y tensiones en un problema estructural). El xito en la aplicacin prctica del MEF se centra, en gran medida, en la organizacin eficiente de las operaciones anteriores en un programa que permita el dilogo sencillo con el usuario en las etapas de preparacin de datos y visualizacin de resultados. El programa educativo ED-Elas2D que aqu se presenta tiene como objetivo introducir al tcnico en la utilizacin prctica del MEF explicando, al mismo tiempo, los detalles de cada una de las etapas del clculo. Aunque el problema que especficamente resuelve el programa es el anlisis de estructuras y slidos elsticos bidimensionales, muchos de los conceptos que aparecen son totalmente generales y extrapolables a la solucin de otros problemas por el MEF en diversos campos de la fsica y la ingeniera.ED-Elas2D es el resultado de varios aos de desarrollo de un grupo de investigadores y

profesores del Departamento de Resistencia de Materiales y Estructuras en Ingeniera de la Escuela Tcnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos en la Universidad Politcnica de Catalua. El proyecto se inici en el marco del programa COMETT de la Comunidad Europea (CE) y prosigue actualmente apoyado por el programa LEONARDO de la CE bajo la coordinacin del Centro Internacional de Mtodos Numricos en Ingeniera, en colaboracin con otros investigadores de las Universidades de Stuttgart (Alemania), Padova (Italia) y Swansea (Pas de Gales). El programa ED-Elas2D se organiza en tres bloques bien diferenciados de Preproceso, Proceso y Postproceso que engloban las tres etapas bsicas del anlisis de una estructura

por el MEF. As, en el bloque de Preproceso se definen de forma grfica y sencilla la geometra de la estructura y todos los datos para el anlisis por el MEF. En el bloque de Proceso se detallan los pasos para la solucin de la estructura, reproduciendo, al mismo tiempo, las tres situaciones ms tpicas de una clase: teora, ejemplos y ejercicios. Finalmente el bloque de Postproceso permite visualizar grficamente los resultados ms representativos del anlisis. La creacin de nuevos problemas es ilimitada, pudiendo incluirse estructuras de inters prctico. En la solucin de cada problema el usuario puede escoger diferentes opciones de acuerdo con su nivel de conocimientos y experiencia en la utilizacin del MEF. Es interesante remarcar que al final de cada sesin el programa evala el trabajo realizado por el usuario. Esperamos sinceramente que Ed-Elas2D sea til tanto para estudiantes que se inician en el estudio de la teora y aplicaciones del MEF, como para profesionales que aplican cotidianamente el MEF para solucin de problemas prcticos.ED-Elas2D es complementario de los programas educativos Vigas y Prticos,

desarrollados por el mismo equipo de trabajo y dirigidos al anlisis de estructuras de barras por mtodos matriciales. Se recomienda un perodo de formacin previa en este campo a los no familiarizados con el mismo antes de utilizar ED-Elas2D. Queremos agradecer finalmente el entusiasmo y dedicacin de todo el equipo de trabajo que ha intervenido en el desarrollo de ED-Elas2D, as como la ayuda recibida de la CE y de los diversos organismos que se listan en la hoja de crditos.

Eugenio Oate Ibez de Navarra Benjamn Surez Arroyo Catedrticos de Mecnica de Medios Continuos y Teora de Estructuras en la UPC. Responsables de la Asociacin UniversidadEmpresa para la Formacin en Mtodos de Diseo y Anlisis por Ordenador en Ingeniera. Programa Leonardo de la CE.

INDICE

1 CONTENIDO DEL ENTORNO EDUCATIVO ED-ELAS2D ...........................................................

1.1

2 CONTENIDO DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : PREPROCESO ....................................................... 2.1 Descripcin de la barra de botones ...................... 2.2 Generacin de un problema (Entrada de datos) 2.2.1 Seleccin del tipo de anlisis ...................... 2.2.2 Seleccin del material y del tipo de elemento ........................................................... 2.2.3 Definicin de la geometra y de la malla ..... 2.2.4 Prescripcin de movimientos nodales ......... 2.2.5 Estados de carga ....................................... 2.2.6 Guardar o Guardar como .......................... 2.3 Barra de mens : men Opciones ...................... 2.4 Barra de mens : men Ayuda ..........................

2.1 2.2 2.6 2.6

2.6 2.7 2.8 2.8 2.10 2.10 2.12

3 EJEMPLO DE APLICACION DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : PREPROCESO ................................

3.1

ii

Manual de usuario del entorno educativo ED-Elas2D

4 CONTENIDO DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : PROCESO ..................................................................... 4.1 4.1 Descripcin de la barra de botones ......................... 4.2 Resolucin de un problema (Proceso de los datos) 4.2.1 Clculo de la matriz de rigidez de la estructura ....................................................... 4.4 4.6

4.7

4.2.2 Clculo del vector de fuerzas de la estructura ........................................................ 4.9 4.2.3 Prescripcin de movimientos nodales ........... 4.2.4 Resolucin del sistema lineal de ecuaciones 4.2.5 Clculo de deformaciones elementales ......... 4.2.6 Clculo de tensiones elementales .................. 4.2.7 Clculo de reacciones .................................... 4.2.8 Representacin grfica de los resultados ...... 4.10 4.11 4.12 4.13 4.13 4.14

5 EJEMPLOS DE APLICACION DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : PROCESO ............................................

5.1

5.1 Ejemplo de aplicacin 1 (Ejemplo) ........................... 5.2 5.1.1 Clculo de la matriz de rigidez de la estructura ........................................................ 5.3 5.1.2 Clculo del vector de fuerzas de la estructura ....................................................... 5.12

INDICE

iii

5.1.3 Prescripcin de movimientos nodales ......... 5.1.4 Resolucin del sistema lineal de ecuaciones 5.1.5 Clculo de deformaciones elementales ........ 5.1.6 Clculo de tensiones elementales ................ 5.1.7 Clculo de reacciones ................................ 5.1.8 Resultados ............................................... 5.2 Ejemplo de aplicacin 2 (Ejercicio) ..................... 5.2.1 Clculo de la matriz de rigidez de la estructura ................................................. 5.2.2 Clculo del vector de fuerzas de la estructura ................................................. 5.2.3 Prescripcin de movimientos nodales ......... 5.2.4 Resolucin del sistema de ecuaciones ......... 5.2.5 Clculo de deformaciones elementales ........ 5.2.6 Clculo de tensiones elementales ................ 5.2.7 Clculo de reacciones ................................ 5.2.8 Resultados ............................................... 5.3 Ejemplo de aplicacin 3 (Ejercicio) ................... 5.3.1 Clculo de la matriz de rigidez de la estructura .................................................

5.18 5.19 5.21 5.25 5.27 5.29 5.30

5.31

5.34 5.38 5.39 5.40 5.41 5.42 5.43 5.44

5.45

iv Manual de usuario del entorno educativo ED-Elas2D

5.3.2 Clculo del vector de fuerzas de la estructura ................................................. 5.3.3 Prescripcin de movimientos nodales ......... 5.3.4 Resolucin del sistema de ecuaciones ......... 5.3.5 Clculo de deformaciones elementales ........ 5.3.6 Clculo de tensiones elementales ................ 5.3.7 Clculo de reacciones ................................ 5.3.8 Resultados ...............................................

5.47 5.49 5.50 5.51 5.51 5.52 5.52

6 CONTENIDO DE LAS LECCIONES TEORICAS ED-ELAS2D : TEORIA .......................................... 6.1 Descripcin de la barra de botones ...................... 6.2 Descripcin de iconos .........................................

6.1 6.2 6.4

7 CONTENIDO DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : POSTPROCESO .................................................... 7.1 Descripcin de la barra de botones ...................... 7.2 Representacin de resultados (Postproceso) 7.2.1 Representacin de la geometra .................. 7.2.2 Representacin de la deformada ................. 7.2.3 Representacin vectorial de los resultados ...

7.1 7.4 7.5 7.7 7.8 7.9

INDICE

v

7.2.4 Isolneas .................................................. 7.2.5 Isoreas ................................................... 7.2.6 Impresin de resultados .............................

7.10 7.11 7.12

ED-Elas2D PREPROCESO

CAPITULO 1

CONTENIDO DEL ENTORNO EDUCATIVO ED-ELAS2DEl entorno educativo ED-Elas2D complementa la lnea de software de apoyo a la enseanza de la Ingeniera Estructural iniciada por CIMNE con los programas VIGAS y PORTICOS para formacin en anlisis lineal de estructuras reticuladas planas mediante mtodos matriciales. El conjunto de programas que se presenta en este manual constituyen una primera fase de aplicacin del mtodo de elementos finitos (MEF) al anlisis de estructuras. La importancia de este mtodo es bien conocida por todos los que se dedican al diseo estructural, pudiendo afirmarse que es la herramienta de clculo ms actual y potente para la resolucin de problemas de ingeniera.

Figura 1.1 Cartula del entorno educativo ED-Elas2D

Para la iniciacin en el estudio del MEF se ha elegido su aplicacin al anlisis elstico de

1.2


estructuras sometidas a tensin o deformacin plana, es decir, aquellas tipologas que satisfacen las hiptesis de la elasticidad bidimensional. En la prctica existen gran nmero de estructuras que pueden encuadrarse dentro este tipo de problemas como son, por ejemplo, las placas con carga en su plano, las vigas de gran canto (tensin plana), los muros de contencin, las presas de gravedad o las tuberas bajo presin interior (deformacin plana). Los conceptos bsicos que se introducen en esta primera fase podrn utilizarse posteriormente en la solucin de otros problemas estructurales clsicos (placas, lminas, elasticidad tridimensional, etc.) que sern objeto de futuros programas. Manteniendo siempre las directrices establecidas en anteriores programas educativos (VIGAS y PORTICOS [1]), con el entorno educativo ED-Elas2D no se pretende sustituir la labor del profesor, sino darle un importante soporte, posibilitando la realizacin de ejemplos y ejercicios, casi siempre difciles de ejecutar con los tiles educativos normales, as como un acceso rpido a los conceptos tericos bsicos para facilitar la compresin del mtodo. Es bien conocido que los conceptos bsicos utilizados en el clculo matricial de estructuras de barras [2] y los del mtodo de elementos finitos presentan gran similitud. Esta circunstancia determina que un buen conocimiento de los mtodos matriciales sea de gran ayuda para interpretar los diferentes pasos que requiere el mtodo de los elementos finitos. El entorno educativo ED-Elas2D comprende tres bloques perfectamente diferenciados que son consecuencia lgica de las etapas bsicas a seguir en el anlisis de una estructura cualquiera mediante el MEF. Cada uno de estos bloques o mdulos son independientes pero relacionan los conceptos con los que trabaja el MEF.

BLOQUE 1 : ED-Elas2D : Preproceso (o Entrada de Datos). Este bloque permite introducir los datos que definen la estructura a analizar, es decir, la geometra, las propiedades mecnicas de los materiales, la generacin de la malla, las condiciones de contorno y las cargas que solicitan a la misma.

Contenido del entorno educativo ED-Elas2D

1.3

BLOQUE 2 : ED-Elas2D : Proceso (o Solucin). Es el bloque principal del entorno educativo, en l se resuelve la estructura de acuerdo con el modelo matemtico adoptado siguiendo las tcnicas especficas del mtodo de los elementos finitos. Incluye la definicin de las funciones de forma, la integracin numrica, el ensamblaje de los distintos trminos en la matriz de rigidez y el vector de cargas, la resolucin de sistemas lineales, etc. Admite tres niveles de resolucin que ajustan el desarrollo del proceso al grado de conocimiento del usuario. El nivel 1 permite seguir el proceso pasivamente como un espectador, siendo el ordenador el que controla la marcha del programa. Este nivel se recomienda para la iniciacin en el mtodo y por ello los casos que pueden ser resueltos se limitan a los ms sencillos (mallas muy pequeas). En el nivel 2 se supone que el usuario ya ha adquirido un conocimiento suficiente para la realizacin de ejercicios, es decir, puede participar activamente en el proceso de resolucin de estructuras sencillas. Por ello, este nivel admite las dos opciones: ejemplos y ejercicios, para el anlisis de estructuras simples. Por ltimo, en el nivel 3 el usuario dirige el proceso de clculo. Esta es la parte ms interactiva del programa y tiene por objeto reforzar los conocimientos adquiridos en los niveles anteriores.

BLOQUE 3 : ED-Elas2D : Postproceso (o Presentacin de Resultados). El programa de postproceso incorporado en el entorno educativo permite mostrar grficamente los resultados obtenidos en el anlisis realizado. Dicha presentacin grfica tiene un alto contenido educativo ya que permite relacionar entre s las distintas variables que intervienen en la solucin y sealar los aspectos de mayor nivel conceptual.

1.4


En el manual de usuario que a continuacin se presenta, se describen con detalle cada una de las etapas que conforman los mdulos del programa educativo diseado.

Figura 1.2 El programa ED-Elas2D dentro del entorno Windows.

El entorno educativo ED-Elas2D se ha desarrollado en el sistema operativo WINDOWS de MICROSOFT, utilizndose como lenguaje de programacin el Microsoft Visual C++. Es importante, por tanto, que el usuario tenga en cuenta que para su correcto funcionamiento, precisa el entorno WINDOWS y el uso del ratn, circunstancia que condiciona los recursos de memoria y disco necesarios.

Referencias [1] Programas Educativos Vigas y Prticos. CIMNE. Barcelona, 1994. [2] Clculo de Estructuras por el Mtodo de Elementos Finitos. E. Oate. CIMNE. Barcelona, 1992.

CAPITULO 2

CONTENIDO DEL PROGRAMA ED-ELAS2D:PreprocesoEl anlisis de una estructura mediante el mtodo de los elementos finitos requiere una preparacin previa de los datos, fase que se conoce con el nombre de Preproceso. Por tanto, se entiende por preproceso la definicin de la geometra y materiales, la imposicin de los movimientos prescritos (condiciones de contorno) y la aplicacin de los diferentes estados de carga. Para iniciar el estudio de un problema determinado, el usuario debe situarse en el mdulo ED-Elas2D:Preproceso y proceder a introducir la informacin necesaria de acuerdo con el esquema programado. En este captulo se describen los pasos necesarios para la generacin del fichero de datos de un problema tpico a resolver.

Figura 2.1 Cartula del programa ED-Elas2D:Preproceso

2.2


2.1 DESCRIPCION DE LA BARRA DE BOTONES. Al activar el programa de preproceso se presenta la pantalla de la Figura 2.2 , en la que puede verse en la parte superior la barra con los mens en cascada propios del entorno Windows (Archivo, Edicin, Ver, etc.) y la barra de de botones que permite el acceso a las herramientas de uso ms frecuente en el programa ED-Elas2D : Preproceso.

Figura 2.2 Barra de botones y mens para la creacin de datos.

Al activar este botn, situando el ratn sobre l y presionando, se abre un nuevo problema.

Mediante este botn el programa permite acceder a los archivos de problemas anteriores. Al activarlo aparece una caja de dilogo que permite seleccionar el archivo deseado.

Este botn es equivalente a la opcin Guardar. Si el archivo no tiene nombre, el programa muestra una caja de dilogo Guardar Como en la que puede definirse el nombre del nuevo archivo.

Contenido del programa ED-Elas2D : Preproceso

2.3

Zoom que permite ampliar y encuadrar la zona de dibujo seleccionada.

Anula el zoom es decir restaura el grfico a sus dimensiones normales.

Al activar este botn el programa dibuja nuevamente la figura, encuadrndola en las nuevas dimensiones. Esta opcin es de utilidad en el caso en que se aadan puntos que se salgan de la ventana o si se han cambiado las dimensiones de la misma. En ese caso el programa adapta la figura a las nuevas dimensiones de la ventana.

El botn coordenadas muestra o elimina el icono de los ejes coordenados, situado en el punto (0,0).

El botn rejilla muestra o elimina la rejilla formada por una serie de puntos equidistantes que facilitan el proceso de definicin de una malla.

Este botn muestra o suprime la escala de las coordenadas.

2.4


Al activar este botn se imprime la pantalla actual.

Al activar este botn se informa del nombre del programa, la fecha y el lugar donde ha sido desarrollado.

Este botn permite seleccionar la ayuda en contexto. Al activarlo el puntero del ratn se transforma en una flecha acompaada de un signo de interrogacin que puede desplazarse permitiendo seleccionar el tema sobre el que se desea informacin.

Con este cuadro de lista puede seleccionarse un material entre los disponibles en la biblioteca de materiales preprogramados. Este cuadro de lista permite seleccionar el tipo de elemento elegido para definir la malla.

Activando este botn y escogiendo un nodo se puede editar su posicin y/o modificar las coordenadas del mismo.

Este botn permite aadir un nuevo elemento. Situando el ratn en cada nodo que define el nuevo elemento y presionndolo consecutivamente se obtiene el elemento deseado.

Contenido del programa ED-Elas2D : Preproceso

2.5

Este botn se utiliza para introducir una fuerza puntual en el nodo seleccionado. El proceso a seguir es el siguiente: se activa el botn y se sita el ratn sobre el nodo elegido, a continuacin aparece una caja de dilogo que permite introducir los valores de las fuerzas que actan en el nodo (en las direcciones x e y).

Al igual que el botn anterior permite definir las fuerzas que actan sobre el elemento, aunque en este caso hace referencia a las fuerzas repartidas sobre un lado del elemento. En la caja de dilogo pueden introducirse los valores de las cargas segn los ejes x e y en cada nodo que define el lado considerado. Al activar este botn se restringen los desplazamientos en las direcciones x e y del nodo seleccionado posteriormente con el ratn.

Con este botn se restringe el desplazamiento en la direccin y.

Idem al anterior pero en la direccin x.

Este conjunto de botones permite trazar lneas auxiliares verticales, horizontales, etc. para facilitar la definicin de la geometra.

El borrador permite, como su nombre indica, eliminar un objeto particular, por ejemplo, un nodo, una fuerza puntual, etc.

2.6


2.2 GENERACION DE UN PROBLEMA (ENTRADA DE DATOS) La generacin de datos de un problema de elasticidad bidimensional se lleva a cabo siguiendo una serie de pasos que comienzan con la asignacin de un nombre al problema a resolver y la seleccin del tipo de anlisis a realizar. El programa ED-ELAS2D : Preproceso se ha estructurado de manera que la secuencia a seguir por el usuario le lleva de forma muy sencilla a la definicin completa de la estructura a estudiar, de acuerdo con el esquema siguiente: 2.2.1.- Seleccin del tipo de anlisis. Activando en el submen Edicin la opcin Problema aparece la caja de dilogo de la Figura 2.3 que permite asignar un nombre al problema a resolver, seleccionar el tipo de anlisis que se va a realizar (tensin o deformacin plana) y adems, indicar al programa si se tendr en cuenta o no, el peso propio de la estructura.

Figura 2.3 Seleccin del tipo de problema.

2.2.2.- Seleccin del material y del tipo de elemento. El programa ED-ELAS2D-Preproceso dispone de una librera de materiales en la que se pueden visualizar los valores de los parmetros y seleccionar el tipo de material deseado (Figura 2.4). Si se desea introducir un nuevo tipo de material, basta con activar el submen Biblioteca y en la caja de dilogo que se genera introducir los nuevos parmetros del material a agregar. El programa no trabaja en un sistema de unidades concreto, es importante, por tanto,introducir los datos en un sistema de unidades coherente.

Figura 2.4 Biblioteca materiales. Caja de dilogo.

de

Contenido del programa ED-Elas2D : Preproceso 2.7

2.2.3.- Definicin de la geometra y de la malla. La generacin de datos del problema contina con la definicin de la geometra del problema y por tanto, de la malla de elementos. Esta definicin se hace creando uno por uno los elementos que forman la malla. Para ello puede seleccionarse en el submen Herramientas la opcin Elemento o bien situar directamente el ratn sobre el icono correspondiente a la edicin de elemento de la barra de botones (ver Apartado 2.1).

Figura 2.5 Definicin de la geometra y de la malla.

Una vez creado un elemento o completada la malla, si se desea modificar la posicin original de un nodo determinado se activa la opcin Nodo del submen Herramientas, o se sita el ratn sobre el icono de edicin de nodo de la barra de botones (ver Apartado 2.1).

Al activarlo y situarse con el ratn sobre el nodo cuyas coordenadas desean modificarse aparece una caja de dilogo que permite introducir los nuevos valores que definen la posicin del mismo.

2.8


2.2.4.- Prescripcin de movimientos nodales. La introduccin de las condiciones de contorno del elemento se hace simplemente seleccionando la restriccin de movimiento que se desea imponer en los nodos. Para ello, basta activar en la opcin Contorno del men Herramientas, el movimiento restringido y presionar con el ratn sobre el nodo elegido (Figura 2.6). Otra forma ms directa es seleccionar el botn especfico de la barra de botones (ver Apartado 2.1) y presionar con el ratn sobre el nodo en cuestin

Figura 2.6 Imposicin de las condiciones de contorno

Las restricciones de los movimientos de los nodos pueden ser : desplazamiento impedido en las direcciones de los ejes coordenados x e y, es decir, apoyo fijo, desplazamiento impedido en la direccin del eje coordenado y (apoyo horizontal) o desplazamiento impedido en la direccin del eje coordenado x (apoyo vertical). 2.2.5.- Estados de carga. El entorno educativo ED-Elas2D permite analizar los elementos bajo las acciones del peso propio, de fuerzas puntuales nodales, y de cargas distribuidas en un lado.

F

Debe recordarse que la consideracin del peso propio o no, es una opcin global del problema y por tanto, ha debido indicarse al comenzar la generacin de datos (ver Apartado 2.2.1).


Figura 2.7 Definicin de cargas puntuales nodales Las fuerzas puntuales nodales se definen en las direcciones de los ejes cartesianos y para introducirlas se selecciona la opcin Cargas del submen Herramientas o de manera ms sencilla se activa en la barra de botones el botn correspondiente a carga puntual (ver Apartado 2.1). En cualquier caso, presionando con el ratn sobre el nudo a cargar se presenta una caja de dilogo que permite introducir los valores de las componentes de la fuerza nodal segn los ejes cartesianos, Fx y Fy . Para introducir la carga repartida en un lado del elemento, se sigue un proceso similar, seleccionando la opcin Repartida en lado, (ver Figura 2.7), o presionando directamente sobre el botn correspondiente de la barra de botones. A continuacin se abre una caja de dilogo que permite definir los valores de la carga repartida en un lado del elemento en base a sus componentes normal y tangencial. La carga repartida normal en un lado se considera positiva cuando su sentido se dirige hacia el interior del elemento y negativa en caso contrario. La carga repartida tangencial se considera positiva si tiene un sentido antihorario.

F

2.10


2.2.6.- Guardar o Guardar como. Una vez terminada la creacin de los datos de un problema, stos deben guardarse en un archivo para su posterior utilizacin mediante el programa ED-Elas2D : Proceso. Para ello se activa la opcin Guardar Como del submen Archivo o de forma ms directa se presiona con el ratn sobre el botn correspondiente de la barra de botones (ver Apartado 2.1).

En la caja de dilogo que se abre se escribe el nombre del problema y se especifica el formato deseado. Si se tratara de una modificacin de un archivo de datos previamente creado y se desea mantener el nombre de identificacin del mismo se activa directamente la opcin Guardar .

2.3. BARRA DE MENUS : MENU OPCIONES El men Opciones est formado por Dibujo, Colores y Fuente, herramientas que permiten modificar algunos aspectos importantes del dibujo de la estructura. Al activar la primera de las opciones, Dibujo, aparece un cuadro de dilogo que da acceso a un conjunto de operaciones que pueden ser muy tiles a la hora de planificar la representacin grfica del problema, como, por ejemplo, cambiar la escala del dibujo, o cambiar la separacin de la rejilla auxiliar del preproceso.Figura 2.8 Men Opciones


En el recuadro asociado a las coordenadas pueden definirse unos valores mnimos y mximos de las mismas, operacin que define la escala del dibujo que posteriormente aparecer en la ventana. El programa toma por defecto, 0 y 10 unidades de longitud, para los valores mnimos y mximos, respectivamente, de las coordenadas x e y. Si se desea cambiar el tamao de la retcula de ayuda que puede aparecer en la pantalla, basta introducir los nuevos valores de x e y en el recuadro vinculado a las distancias de separacin de la rejilla. El valor de esta distancia que el programa toma por defecto es de 3 unidades de longitud. Los recuadros inferiores se refieren a diferentes atributos del dibujo. Es decir, que puedan verse, o no, en pantalla: las fuerzas, la numeracin de los nodos y de los elementos, los apoyos, as como asignar diferentes colores a los distintos materiales empleados.

La opcin Colores permite cambiar los colores del fondo de la ventana, del contorno de los elementos, del interior de los mismos, de los nodos, de las cargas, etc. Al activarla aparece un cuadro de lista en el que el usuario puede seleccionar el aspecto del dibujo que desee cambiar. De esta manera, puede personalizar la representacin grfica segn las necesidades de su monitor e impresora.

2.12


La opcin Fuentes permite cambiar tanto el estilo como el tamao y el color de la letra de los textos que aparecen en la pantalla. Al activar esta opcin aparece una caja de dilogo en la que el usuario puede ver las fuentes que el programa toma por defecto (Tipo: Arial Normal, Tamao 11 color Verde claro) y modificarlas si lo desea.

2.4 BARRA DE MENUS : MENU AYUDA El programa ED-Elas 2D : Preproceso, cuenta con un mdulo de ayuda que permite aclarar todas las dudas que vayan surgiendo durante la edicin del archivo de datos del problema a analizar. Al activar la opcin Indice del men Ayuda se presenta la pantalla de la Figura 2.9, que permite acceder a los diferentes temas que describen el funcionamiento del programa.

Figura 2.9 resentacin del men Ayuda del programa

ED-Elas2D : Preproceso .


Seleccionando con el ratn la opcin Funcionamiento del programa se presenta una pantalla que da acceso al ndice de los distintos temas del mdulo de ayuda, como por ejemplo, archivo, edicin, herramientas, etc. Cada uno de ellos se refiere a aspectos muy concretos del programa de preproceso y facilitan la comprensin para obtener una edicin correcta de los datos.

Figura 2.10 Comandos del programa ED-Elas2D : Preproceso

La opcin Uso de la Ayuda permite aclarar cualquier duda con respecto a la forma de utilizar el mdulo de ayuda del programa y la opcin Acerca del preproceso informa sobre el tipo de versin y donde se ha creado el programa.

CAPITULO 3

EJEMPLO DE APLICACION DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : PREPROCESOEl programa ED-Elas2D : Preproceso cuyo contenido se ha expuesto en el captulo anterior, permite la creacin del archivo de datos de un problema (geometra, definicin de la malla, caractersticas mecnicas, etc) que es la condicin previa para la resolucin del mismo. A continuacin, y con el objeto de complementar lo hasta aqu expuesto, se presenta una aplicacin prctica del programa de preproceso. Es recomendable que el usuario siga el ejemplo como sesin tutorial para familiarizarse con el programa. Se desea estudiar, mediante el mtodo de los elementos finitos, el comportamiento de una presa bajo la accin del peso propio y la presin hidrosttica. Dadas las caractersticas de la estructura (prismtica y de gran longitud en relacin a las otras dimensiones transversales) el problema puede analizarse bajo la hiptesis de deformacin plana. Para su discretizacin se seleccionan elementos triangulares de 3 nodos. El terreno de cimentacin de la presa tambin se discretiza con elementos del mismo tipo. El proceso de anlisis comienza por la creacin del archivo de los datos del problema mediante el programa ED-Elas2D : Preproceso. Una vez situados en dicho programa, el proceso de generacin se inicia activando la opcin Problema del men Edicin. La caja de dilogo que se presenta permite asignar un nombre para identificar posteriormente el problema, seleccionar el tipo de anlisis que se va a realizar (tensin o deformacin plana) y tener en cuenta o no durante la resolucin posterior, el peso propio.

3.2


El problema que se est definiendo se identifica con el nombre presa y dado que se trata de un problema de deformacin plana, en el cuadro de lista Tipo de problema se selecciona dicha opcin. Los datos generales se completan indicando en este cuadro de dilogo que se analizar la presa bajo la accin del peso propio, para ello se presiona con el ratn sobre la opcin Peso propio. Una vez introducidos los datos generales del problema, se define el tipo de material y el elemento que se va a utilizar para el estudio. Activando en el men Biblioteca la opcin Material aparece una caja de dilogo que permite introducir los valores de las caractersticas fsicas de los materiales a emplear. En la construccin de la presa est previsto utilizar un hormign con las siguientes propiedades: mdulo de elasticidad o de Young (E) = 2x106 t/m2, coeficiente de Poisson (v) = 0.2 y densidad igual a 2.6 t/m3 (material 1). El terreno de cimentacin (material 2) se estima que tiene las siguientes caractersticas: E = 106 t/m2, v = 0.2 y densidad igual a 1.83 t/m2. El espesor se toma igual a la unidad de longitud, es decir, 1 m (deformacin plana). F Recurdese que el programa no adopta ningn sistema de unidades, luego, es importante introducir los datos con un sistema de unidades coherentes.

Ejemplo de aplicacin del programa ED-Elas2D : Preproceso

3.3

Introducidas las propiedades mecnicas de los materiales, stas pueden activarse mediante la opcin Material del men Biblioteca o bien, directamente, situando el ratn sobre el cuadro de lista correspondiente. Activando la opcin Elemento en el men Biblioteca se selecciona el tipo de elemento que se desea utilizar en el anlisis posterior del problema. El entorno educativo EDElas2D permite realizar un anlisis mediante elementos triangulares de 3 y 6 nodos y cuadrilteros de 4, 8 y 9 nodos. Para cada tipo de elemento se adopta un tipo de cuadratura o integracin determinada (ver Teora- Tipo de Elemento). Para este ejemplo se elige el sencillo elemento triangular lineal de 3 nodos, que precisa unicamente una regla de integracin numrica con 1 punto de Gauss.

3.4


Al seleccionar el elemento siguiendo este proceso aparece una caja de dilogo en la que se informa de las caractersticas del elemento seleccionado. Una forma alternativa, ms directa, es utilizar el cuadro de lista correspondiente, presionando con el ratn sobre el elemento elegido. En este caso no aparece ninguna informacin acerca del elemento escogido.

Una vez definido el tipo de anlisis a realizar, las propiedades mecnicas de los materiales y el elemento, se puede iniciar el dibujo en la pantalla creando la geometra del problema y la malla deseada. Para ello, previamente se define la escala grfica de representacin que aparecer en la pantalla activando la opcin Dibujo del men Opciones. En el cuadro de dilogo que aparece se fijan los valores mnimos y mximos de las coordenadas x e y, as como los aspectos activados/desactivados que se deseen obtener en la pantalla (tamao de la red auxiliar, numeracin de nodos y elementos, representacin de las fuerzas, etc.).


3.5

Como puede verse en la figura anterior, los valores de x,y mximos y mnimos elegidos para este problema son: x = 0.0 y 25.0 ; y = 0.0 y 40.0 unidades de longitud, respectivamente. Se adopta una separacin de la rejilla de 5.0 unidades de longitud en las dos direcciones, y se activa la numeracin de los elementos y el dibujo de los apoyos y de los nodos. Todos estos aspectos determinan una representacin tipo del problema en pantalla cuando se complete la definicin del mismo. Fijados todos los parmetros anteriores ya se puede comenzar a dibujar la malla necesaria para el estudio de la presa. En primer lugar se define la parte de la presa que se construye con el material 1 (parte superior) y a continuacin, el terreno de cimentacin formado por elementos de material 2 (parte inferior). Para facilitar el trazado de la malla puede activarse la rejilla, el origen de los ejes coordenados y/o utilizar las lineas auxiliares mediante los botones correspondientes.

3.6


Los elementos se van definiendo mediante el ratn activando la opcin Elemento del men Herramientas o bien directamente presionando en el botn correpondiente. Si se desea corregir la posicin de alguno de los nodos dibujados se activa la opcin Nodos del men Herramientas o bien directamente presionando el botn correspondiente. En el cuadro de dilogo que aparece se pueden introducir los nuevos valores de las coordenadas del nodo en cuestin.

En el caso en que se precise modificar alguno de los elementos dibujados se activa el botn correspondiente al borrador y situandolo sobre el elemento en cuestin automticamente queda eliminado.

En la figura siguiente puede verse la malla terminada, con los elementos renumerados y con los distintos materiales utilizados en el anlisis diferenciados.


3.7

El proceso de entrada de datos se completa, introduciendo seguidamente las condiciones de contorno y las fuerzas que actan sobre la estructura. Para reproducir las condiciones de contorno de la presa se suponen impedidos los movimientos horizontal y vertical en los nodos 8 y 12, y el movimiento horizontal en los nodos 7 y 11 de la cimentacin. Activando la opcin Contorno- Coaccionado xy del men Herramientas o el botn correspondiente y situando el ratn sobre los nodos 8 y 12 se obtienen los apoyos fijos en el nivel inferior de la cimentacin.

De igual manera se procede para introducir los apoyos en los nodos 7 y 11, en este caso, activando la opcin Contorno- Coaccionado x del men Herramientas o el botn correspondiente.

Por ltimo, es necesario introducir la hiptesis de carga para la que se desea realizar el anlisis. En el ejemplo que se presenta se pretende estudiar el comportamiento de la presa bajo la accin del peso propio y de la carga hidrosttica. El peso propio ya se ha introducido al iniciar la creacin de los datos, luego slo se debe introducir la carga hidrosttica sobre el paramento aguas arriba de la presa.

3.8


Para materializar esta accin definimos una carga repartida triangular sobre el lado izquierdo de la presa, activando la opcin Carga-Repartida en lado del men Herramientas o bien, de forma directa presionando el botn correspondiente. En la caja de dilogo que se presenta se escriben los valores de las componentes de la carga repartida a representar; en este caso, componente normal 0 en el nodo 1 y 150 t/m en el nodo 2 del elemento 1, y luego 150 t/m en el nodo 2 y 300 t/m del elemento 3.

Con la definicin del estado de carga se ha completado la generacin de datos del problema a resolver. En la figura puede verse la presa con las condiciones de contorno y de carga; para mayor claridad se ha desactivado la representacin grfica de las fuerzas de peso propio. Los datos creados pueden guardarse presionando el botn correspondiente y dando un nombre al archivo, por ejemplo, Presa.gen.

ED-Elas2D PROCESO

CAPITULO 4

CONTENIDO DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : PROCESOEl programa ED-Elas2D : Proceso es la parte ms especfica del entorno educativo, ya que con l pueden resolverse estructuras que satisfacen las hiptesis de la elasticidad bidimensional siguiendo las tcnicas propias del mtodo de los elementos finitos. Un aspecto del programa muy interesante es que admite dos modos de resolucin. Los modos de resolucin permiten realizar el proceso guiados por el ordenador (ejemplos) o sin gua (ejercicios). Manteniendo la estructura general de los programas educativos desarrollados anteriormente, los modos de resolucin de un problema pueden ser abordados segn la resolucin de un ejemplo o bien de un ejercicio.

4.2


En el caso de adoptar la resolucin de un ejemplo, el ordenador resuelve la estructura y el usuario es un espectador del proceso. En ejercicio el usuario participa de forma activa en el control del proceso.

En este captulo se describen los pasos necesarios para la solucin de un problema de elasticidad bidimensional tpico. Al iniciar el programa ED-Elas2D : Proceso aparece una caja de dilogo en la que puede seleccionarse el modo de resolucin. La caja de dilogo tiene una opcin Ayuda que informa acerca de la iniciacin del proceso y de sus caractersticas.

Contenido del programa ED-Elas2D : Proceso

4.3

4.1 DESCRIPCION DE LA BARRA DE BOTONES. Al iniciar el programa de proceso se presenta la pantalla de la figura en la que pueden verse los mens en cascada propios del entorno Windows (Archivo, Ver, Opciones, etc) y la barra de botones que permite el acceso directo a las herramientas que con mayor frecuencia se utilizan en el programa ED-Elas 2D : Proceso.

Los tres primeros botones son idnticos a los descritos en el programa EDElas2D : Preproceso ( ver Apartado 2.1, Captulo 2). El primero de los botones permite generar un nuevo problema, para ello activa el programa ED-Elas2D: Preproceso , es decir situa al usuario en el comienzo del proceso de generacin de un nuevo problema. El segundo botn permite seleccionar una estructura ya creada y archivada en la biblioteca del programa. El tercer botn permite guardar un archivo de resultados para su posterior visualizacin, y no est activo al iniciar el proceso.

Estos botones permiten ampliar y encuadrar una zona determinada de la pantalla, es decir activar el zoom o anularlo, respectivamente.

Este botn ya es especfico del mdulo de resolucin y permite iniciar el clculo y el ensamblaje de la matriz de rigidez de cada elemento.

4.4


Este botn permite iniciar el clculo y el ensamblaje del vector de cargas de cada elemento.

Mediante este botn pueden introducirse las condiciones de contorno del problema.

Con este botn se activa la solucin del sistema lineal de ecuaciones.

Activando este botn se inicia el clculo del vector de deformaciones de cada elemento.

Este botn permite iniciar el clculo del vector tensiones en cada elemento.

El clculo de las reacciones en los nodos coaccionados puede inicarse activando este botn.

Una vez resuelto el problema este botn permite el acceso al programa ED-Elas2D : Postproceso para la obtencin grfica de resultados.


4.5

Los botones de la figura permiten imprimir la pantalla actual, acceder a la informacin sobre el programa, fecha y lugar donde ha sido desarrollado, etc. y ayuda en contexto. Su significado es idntico al descrito en el Apartado 2.1 del Captulo 2.

4.2 RESOLUCION DE UN PROBLEMA ( PROCESO DE LOS DATOS) El esquema de resolucin que sigue el programa ED-Elas 2D : Proceso es siempre el mismo, aunque con diferentes grados de tutora por parte del ordenador, segn el modo elegido al iniciar el proceso (ejemplo o ejercicio). Si se por la resolucin como ejemplo, es guiada totalmente por el ordenador y si se opta por la resolucin como ejercicio es el usuario el que realiza el problema. Una vez seleccionado el modo de resolucin deseado aparece una pantalla que permite el acceso al archivo de datos de la estructura a resolver, previamente generado con el programa de preproceso.

En caso de haber adoptado el modo Ejemplo para iniciar el aprendizaje, el proceso comienza con una pantalla que muestra el flujo de clculo que seguir el ordenador para analizar la estructura segn el mtodo de los elementos finitos.

4.6


4.2.1 Clculo de la matriz de rigidez de la estructura. El proceso comienza con el clculo de la matriz de rigidez de la estructura. Para ello, se selecciona la opcin Matriz rigidez elemental del men Clculo, o bien de forma ms directa, se activa el botn correspondiente ( ver Apartado 4.1). En la pantalla aparece una flecha que permite situar el ratn sobre el elemento para el que se calcular la matriz de rigidez elemental. A continuacin, se procede a ensamblarla en la matriz de rigidez global de la estructura. El proceso se repite para cada elemento de la malla hasta completar la misma.


4.7

La seleccin del elemento 1, por ejemplo, da lugar a la pantalla de la figura en la que pueden verse los botones que permiten calcular los coeficientes de la matriz de rigidez paso a paso, activando el botn superior derecho O.K, o bien directamente mediante el botn Auto.

En este caso, se ha activado el proceso automtico por lo que el ordenador calcula directamente los coeficientes de la matriz de rigidez del elemento sin mostrar los pasos necesarios. Si se activa a continuacin el botn Total pueden visualizarse los valores numricos de los coeficientes calculados (parte inferior de la pantalla). Una vez calculada la matriz de rigidez del elemento debe ensamblarse en la matriz de rigidez global de la estructura. Para ello, presionando el botn superior derecho O.K se activa el botn Ensam que permitir iniciar el proceso de ensamblaje. Tambin en este caso es posible ver el ensamblaje de cada coeficiente activando el botn superior derecho O.K, o bien, ver directamente el ensamblaje total de la matriz de rigidez del elemento, activando el botn Auto. El proceso se repite para todos los elementos que forman la malla, es decir, hasta completar la matriz global de la estructura. En la pantalla aparece representada de forma esquemtica, mostrando el ensamblaje de los elementos que se han utilizado para discretizar la estructura. Pueden apreciarse unas tonalidades ms claras que corresponden a valores nulos de los coeficientes.

4.8


4.2.2 Clculo del vector de fuerzas de la estructura. Una vez calculada la matriz de rigidez global de la estructura, el paso siguiente es calcular el vector de fuerzas nodales equivalentes. Para ello, se activa la opcin Vector cargas elemental del men Clculo o bien, en la barra de botones se selecciona el botn correspondiente (ver Apartado 4.1).

Se selecciona entonces mediante el ratn un elemento cargado y se realiza el clculo del vector de fuerzas nodales equivalentes del elemento. Si el elemento no est bajo la accin de ninguna carga el vector equivalente es cero y el ordenador emite un mensaje de control indicando esta circunstancia.

Al selecionar un elemento cargado aparece una caja de dilogo que permite seleccionar los diferentes tipos de carga que actan sobre el elemento, resolviendo cada una de ellas separadamente. Slo pueden activarse las cargas que realmente actan sobre el mismo. El proceso puede verse paso a paso o bien automticamente, de forma similar al clculo de la matriz de rigidez.


4.9

Terminado el clculo del vector de fuerzas del elemento se procede a ensamblarlo en el vector global de fuerzas de la estructura activando el botn ensamblar (Ensam). El proceso de ensamblaje puede hacerse de forma manual o bien, automticamente, utilizando los botones OK, o Auto, respectivamente. El proceso se repite hasta terminar con todos los elemento cargados.

4.2.3 Prescripcin de movimientos nodales.

La imposicin de los movimientos prescritos se realiza activando la opcin Condiciones de contorno del men Clculo o directamente activando el botn correspondiente de la regla de botones (ver Apartado 2.1). La pantalla presenta entonces una flecha que puede desplazarse con el ratn y permite seleccionar un nodo con movimiento prescrito.

4.10


En la caja de dilogo que aparece se indican las instrucciones a seguir para introducir las condiciones de contorno. Si el modo seleccionado al iniciar la resolucin es el de Ejemplo el ordenador introduce las condiciones de contorno sin participacin del usuario, pudiendo verse los pasos con detalle o bien, el resultado final presionando los botones OK o Auto, respectivamente.

4.2.4 Resolucin del sistema lineal de ecuaciones. Como resultado del ensamblaje de las matrices de rigidez y de los vectores de carga de cada elemento se obtiene un sistema lineal de ecuaciones :

Ka=fPara resolver el sistema se activa la opcin Resolucin sistema del men Clculo y el ordenador ejecuta la solucin, es decir, se obtienen los valores de los desplazamientos, incgnitas del problema.


4.11

4.2.5 Clculo de deformaciones elementales. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se pasa a calcular el vector de deformaciones de cada elemento activando la opcin Deformaciones del men Clculo, o bien, presionando el botn correspondiente de la barra de herramientas (ver Apartado 4.1). Seleccionando un elemento aparece una caja de dilogo en la que pueden verse los distintos pasos del clculo para cada punto de integracin del elemento. En la figura se muestra la pantalla para un elemento triangular de 6 nodos con 3 puntos de integracin.

El proceso debe repetirse para todos los elementos de la estructura y puede seguirse paso a paso, o bien obtenerlo directamente activando los botones OK o Auto, respectivamente.

4.12


4.2.6 Clculo de tensiones elementales. La opcin Tensiones del men Clculo permite obtener el vector de tensiones para cada punto de integracin del elemento seleccionado. De una forma ms directa tambin puede hacerse presionando el botn correspondiente de la barra de herramientas (Apartado 4.1). En cualquiera de los casos se presenta una pantalla que muestra los pasos a seguir, pudiendo desarrollarse de forma detallada o bien directa mediante la seleccin de los botones apropiados, como se ha descrito en los apartados anteriores.

El proceso debe repetirse para cada uno de los elementos de la estructura. 4.2.7 Clculo de reacciones. El programa ED-Elas2D : Proceso finaliza con el clculo de las reacciones en los nodos con movimientos prescritos. Para ello, se activa la opcin Reacciones del men Clculo o el botn correspondiente, y se selecciona uno de los nodos coaccionado.


4.13

La pantalla que se presenta informa sobre los grados de libertad afectados por las restricciones y el clculo que realizar el ordenador. Activando la casilla Frmula aparece en pantalla la ecuacin que resuelve el ordenador para obtener la reaccin seleccionada.

El proceso debe repetirse para cada grado de libertad prescrito y para cada nodo, hasta completar las condiciones de contorno de la estructura. 4.2.8 Representacin grfica de los resultados. Con el clculo de las reacciones finaliza el proceso de anlisis que realiza el programa ED-Elas2D : Proceso. Si se desean guardar los resultados con un nombre determinado puede utilizarse la opcin Guardar Como del men Archivo, o bien se presiona el botn correspondiente (ver Apartado 4.1 ) y en la caja de dilogo se escribe la informacin pedida. Sin embargo, debe sealarse que el programa genera de forma automtica un archivo donde guarda los resultados.

4.14


El entorno educativo ED-Elas2D cuenta con un mdulo de postproceso que permite obtener la representacin grfica de los resultados. Al finalizar el flujo de clculo, puede abrirse el programa ED-Elas2D : Postproceso, directamente desde el programa de proceso, seleccionando la opcin Postproceso del men Clculo o bien el botn de la barra de botones correspondiente (ver Apartado 2.1).

CAPITULO 5

EJEMPLOS DE APLICACION DEL PROGRAMA ED-ELAS2D : PROCESOEl programa ED-Elas2D : Proceso cuyo contenido se ha expuesto en el captulo anterior, permite el anlisis de problemas de elasticidad bidimensional. Como se ha sealado, el programa permite dos modos de resolucin (ejemplos y ejercicios), en cada uno de los casos el ordenador desempea el papel de tutor en mayor o menor grado. Adems, el usuario est asistido por una ayuda accesible desde cualquier punto del programa, as como tambin de un conjunto de lecciones tericas que le permitirn resolver, sobre la marcha, posibles dudas con respecto a los fundamentos del mtodo empleado. A continuacin, y con el objeto de complementar lo hasta aqu expuesto, se presentan algunas aplicaciones prcticas para ilustrar los modos de resolucin que admite el programa. En cada caso se ha seleccionado una estructura adecuada para desarrollar con propiedad el objetivo propuesto. As, para el modo ejemplo se analiza una viga de hormign de gran canto, bajo la accin de una carga uniforme repartida en su borde superior. La sencillez del ejemplo propuesto permite describir los pasos que el ordenador realiza para resolver la estructura mediante el mtodo de los elementos finitos. El objetivo es que el usuario se familiarice tanto con la metodologa de clculo como con el programa educativo. Otra aplicacin prctica, ligeramente ms compleja, se ha seleccionado para el modo ejercicio, con ella se mostrar el procedimiento a seguir para su resolucin. Por ltimo, y para ilustracin del procedimiento seguido por el programa, se estudia la presa anteriormente generada con el programa ED-Elas2D : Preproceso (Captulo 3).

5.2


5.1 EJEMPLO DE APLICACION 1 (EJEMPLO). Se ha estudiado la estructura siguiendo el modo de resolucin de un ejemplo. Es decir, en este caso la tutorizacin por parte del ordenador es mxima y el usuario sigue el proceso de anlisis como espectador. Conviene recordar que en este modo el programa slo admite mallas pequeas, con un nmero mximo de seis elementos. Por esta razn, se elige como primer ejemplo de aplicacin una estructura que se discretiza con una malla de 2 elementos cuadrilteros de 4 nodos. La estructura a resolver es una viga de gran altura de hormign, biapoyada, cuyas dimensiones son: 2.0 m de longitud, 2.0 m de altura y 0.50 m de ancho. Se analiza su respuesta bajo la accin de una carga repartida de 4 t/m en el borde superior y dos cargas puntuales Fx= 2 t y Fy =-4 t aplicadas en el nodo 5 (numeracin global). Los datos completos del problema se introducen mediante el programa de entrada de datos (Captulo 2), y se guardan en el archivo Nivel1.gen

El proceso de anlisis se inicia activando el programa ED-Elas2D : Proceso, indicando el modo de resolucin a seguir y seleccionando el archivo de datos del problema. Para ello, se presiona sobre el botn correspondiente y se busca en la lista de archivos de extensin .gen el que contiene los datos del problema a resolver.

Al activar el archivo Nivel1.gen se presenta un cuadro que informa sobre los pasos que el ordenador va a seguir para resolver la estructura segn el mtodo de los elementos finitos.

Ejemplos de aplicacin del programa ED-Elas2D : Proceso

5.3

5.1.1 Clculo de la matriz de rigidez de la estructura El proceso de anlisis se inicia con el clculo de la matriz de rigidez de la estructura, tal como informa el cuadro que aparece en la pantalla.

Presionando el botn OK, se pasa a dicho clculo que comienza por el clculo de la matriz de rigidez de cada elemento y su posterior ensamblaje en la matriz de rigidez global de la estructura. Para ello, se selecciona la opcin Matriz rigidez elemental del men Clculo, o bien, directamente se presiona sobre el botn correspondiente.

(a) Matriz de rigidez elemental

En la pantalla aparece una flecha y la letra K que puede moverse con ayuda del ratn y que permite seleccionar el elemento cuya matriz de rigidez se desea calcular, por ejemplo, para la viga en estudio se selecciona en primer lugar el elemento 1. La seleccin del elemento 1 da lugar a una pantalla en la que pueden verse los botones que indican los coeficientes de la matriz de rigidez del elemento 1. Presionando el botn superior derecho O.K el programa calcula, paso a paso, cada uno de ellos Si se desea realizar el clculo de la matriz del elemento 1 directamente se presiona el botn Auto.

5.4


El elemento elegido para definir la malla que discretiza la viga es el ms sencillo de los elementos Lagrangianos: el cuadriltero de 4 nodos, cuyas funciones de forma son polinomios de Lagrange unidimensionales en cada direccin, como puede verse en la parte superior de la pantalla. Para la integracin numrica dentro del dominio rectangular se utiliza la cuadratura de 2x2 de Gauss-Legendre, por tanto, el elemento tiene cuatro puntos de integracin o puntos de Gauss (en la figura indicados con 4 cuadrados). El programa completa la informacin indicando el proceso numrico que debe realizarse para calcular cada coeficiente o submatriz de rigidez que se evala en cada punto de integracin. Como el programa adopta 2x2 puntos de Gauss, cada submatriz se calcula para cada uno de ellos.

Al presionar el botn O.K. el ordenandor comienza el clculo de la primera submatriz K11 en el primer punto de Gauss. En la pantalla aparece la expresin anlitica de la matriz de deformacin traspuesta B1T para el nodo 1 del elemento. Presionando el botn Aceptar o bien, el botn Frmula, se accede a los valores numricos de la misma.


5.5

El paso siguiente consiste en calcular la matriz constitutiva del elemento; presionando en O.K aparece su expresin analtica y de igual manera presionando en el botn Aceptar o en Frmula pueden verse los valores numricos correspondientes.

A continuacin, presionando O.K. el ordenador calcula la matriz de deformacin B1 del nodo 1 del elemento y presionando Aceptar aparece un cuadro con sus valores numricos.

Al presionar nuevamente Aceptar prosigue el clculo del primer coeficiente de la matriz de rigidez para el primer punto de Gauss, apareciendo un mensaje donde el programa informa sobre el espesor del elemento cuya matriz de rigidez se est calculando.

5.6


En este punto el ordenador calcula el determinante del jacobiano del elemento 1 y procediendo de manera idntica, es decir, presionando Aceptar, pueden verse en la pantalla sus valores numricos.

A continuacin, presionando sucesivamente Aceptar y O.K. en pantalla se visualizan los valores de las coordenadas del punto de Gauss en el que se est calculando la submatriz y su correspondiente peso. En este caso, el primer punto de Gauss, como puede verse en la figura.

Finalmente, presionando O.K. concluye el clculo de la primera submatriz K11 para el primer punto de Gauss y en la pantalla aparecen los valores numricos de la misma. Ntese que el programa informa que se trata de un resultado parcial. El valor final de dicha submatriz se completar cuando se calcule para los restantes puntos de Gauss.


5.7

El proceso contina, siempre confirmando Aceptar. En la pantalla que se presenta puede verse ahora el cambio de color del coeficiente K11, indicando que su clculo, para el primer punto de Gauss, ha finalizado. Asimismo, se observa que el coeficiente K12, cuyo clculo se inicia, est activado. En la parte superior de la pantalla aparece la funcin de forma N2 correspondiente al nodo 2 y en la parte inferior de la pantalla los distintos coeficientes que se deben calcular para determinar la submatriz K12 para el primer punto de Gauss.

En la figura puede verse que el nico factor distinto, con respecto a la submatriz anteriormente calculada, es el que corresponde a la matriz de deformacin del nodo 2, B2. Por tanto, al comenzar el clculo de la submatriz K12, el ordenador ir mostrando nuevamente la matriz de deformacin traspuesta del nodo 1, la matriz constitutiva del elemento 1 y luego la matriz de deformacin del nodo 2.

5.8


En la figura puede verse la expresin matemtica de la matriz de deformacin del nudo 2 y sus valores numricos. El proceso se repite idnticamente al realizado para el coeficiente K11 y finalmente se obtiene la submatriz K12 para el primer punto de Gauss.

Completando el clculo para los restantes coeficientes y para todos los puntos de Gauss se obtiene la matriz de rigidez del elemento 1. Todos los coeficientes de la matriz presentan un cambio de color y presionando el botn Total el ordenador muestra los valores numricos de la matriz de rigidez del elemento 1. Para acceder a ellos, pueden utilizarse las flechas de la barra de desplazamientos que permiten el movimiento a lo largo de las filas y columnas de la matriz.


5.9

Si el usuario desea obtener directamente la matriz de rigidez del elemento 1, sin ver cada uno de los pasos que realiza el ordenador, puede hacerlo presionando el botn Auto, el resultado es una pantalla similar a la obtenida anteriormente, en la que presionando el botn Total puede visualizar los valores de los coeficientes de la matriz de rigidez correspondiente.

(b) Ensamblaje

Una vez calculada la matriz de rigidez del elemento 1, el paso siguiente consiste en ensamblarla en la matriz de rigidez global de la estructura. Para ello, presionando sobre el botn O.K. se activa el botn Ensam que da paso a la operacin de ensamblaje.

Presionando el botn Ensam se presenta en la pantalla un cuadro en el que el ordenador proceder a colocar los distintos coeficientes de la matriz de rigidez del elemento en el lugar apropiado de la matriz de rigidez global. Este proceso se denomina ensamblaje de la matriz de rigidez.

5.10


Activando ahora el botn O.K. el ordenador coloca en el sitio apropiado la submatriz K11, primer coeficiente de la matriz de rigidez del elemento 1, producindose un cambio de color, como puede verse en la figura siguiente.

Los restantes botones que pueden activarse permiten cancelar el proceso de clculo (Cancel), activar la ayuda del programa para consultar sobre alguna duda acerca del funcionamiento del mismo (Ayuda) y el botn Num. Nodal que permite ver en la pantalla la numeracin local y global de los nodos del elemento que se est ensamblando, lo que posibilita la obtencin de las relaciones del ensamblaje..


5.11

El botn Auto permite realizar el ensamblaje de todos los coeficientes de la matriz del elemento de forma directa, obtenindose en la pantalla el cuadro de la figura, finalizando el clculo correspondiente al elemento 1.

El proceso descrito se repite para el elemento 2 y al ensamblar las submatrices del mismo se obtiene la matriz global de la estructura.

Presionando O.K. dos veces el programa informa que el clculo de la matriz de rigidez de la viga ha terminado y pide confirmacin para proseguir con el paso siguiente.

5.12


5.1.2 Clculo del vector de fuerzas de la estructura. Al aceptar continuar con el clculo de la viga, en la pantalla aparece un cuadro informando que el paso siguiente que va a realizar el ordenador es el clculo del vector de cargas de la estructura. El botn O.K permite seguir con el proceso y el botn complementario de Ayuda tiene siempre el mismo significado que en apartados anteriores, es decir, el acceso a la informacin sobre el programa ED-Elas2D.

Activando O.K. se presenta la pantalla que permite iniciar el clculo seleccionando la opcin Vector de cargas elemental en el men Clculo, o bien, directamente presionando el botn correspondiente.

(a) Vector de cargas elemental

Mediante el ratn se selecciona un elemento cargado, en este caso, el elemento 1, y a continuacin, aparece una caja de dilogo que permite elegir cada uno de los tipos de carga que est aplicada sobre dicho elemento. Dado que la viga en estudio slo est sometida a carga repartida sobre el borde superior, en el cuadro slo aparece activo dicho tipo de carga. Confirmando O.K. el programa pasa a calcular el vector de cargas correspondiente al elemento 1.


5.13

En la pantalla que se presenta aparecen las expresiones analticas utilizadas para el clculo del vector de cargas del elemento y para los subvectores de cada nodo. En la parte superior del cuadro se muestra la numeracin global y local de los nodos del elemento y la funcin de interpolacin utilizada. Ntese que para el clculo del vector de cargas se utiliza una cuadratura unidimensional ya que la integracin se har a lo largo del lado cargado. En el elemento 1 del ejemplo que se est resolviendo, el lado cargado es el superior, definido por los nodos 4,3 en numeracin local (2,3 en numeracin global). Por ello el programa indica que para determinar el vector de cargas del elemento 1 va a calcular los subvectores 3 y 4 (pueden verse activados), utilizando una funcin de interpolacin lineal con un punto de Gauss. Prosiguiendo con el proceso de clculo, es decir, presionando en O.K.el ordenador

comienza a calcular cada uno de los trminos que intervienen en la expresin analtica del subvector de fuerzas del nodo 3 (numeracin local), f3. En primer lugar, indica que la constante c en los problemas de elasticidad plana es igual a la unidad; al aceptar este mensaje y presionar O.K. informa sobre el valor de la funcin de forma del nodo 3 en el punto de Gauss.

5.14


Aceptando el mensaje y siguiendo con el proceso se presenta en pantalla un cuadro donde puede verse la expresin analtica del vector tensiones y presionando Aceptar su valor numrico.

A continuacin, informa sobre el valor del peso en el punto de Gauss y finalmente se presenta un cuadro con los valores numricos del subvector de fuerzas del nodo 3.

El proceso se repite de forma idntica para el clculo del subvector de fuerzas del nodo 4, quedando finalizado el clculo del vector de fuerzas del elemento 1.


5.15

(b) Ensamblaje El paso siguiente es ensamblar este vector elemental en el vector global de fuerzas de la estructura. Al proseguir el proceso, siempre presionando O.K, en la pantalla se presenta un cuadro en el que puede verse el vector global de fuerzas, nuevamente presionando O.K el ordenador sita los subvectores en los lugares globales correspondientes, y lo indica mediante un cambio de color .

A continuacin, repitiendo el proceso, el ordenador calcula el vector de cargas del elemento 2. En este caso, el cuadro que se presenta al iniciar el clculo muestra activadas la carga puntual y la carga repartida, ya que en el elemento 2 estn aplicados los dos tipos de cargas.

5.16


El clculo del vector de fuerzas del elemento 2 comienza por la contribucin de las fuerzas puntuales nodales. En el cuadro que aparece en la pantalla puede verse que dicha contribucin consiste directamente en el valor de las componentes de direccin x,y, de las fuerzas puntuales aplicadas en el nodo. En el caso de las fuerzas puntuales del nodo 5 (numeracin global), puede verse presionando Aceptar, el valor numrico de las fuerzas Fx y Fy aplicadas en el nodo 5.

A continuacin, presionando O.K el ordenador muestra la incorporacin de las fuerzas puntuales nodales del nodo 5 (3 en numeracin local) al vector de fuerzas elemental. Puede verse claramente como la fuerza de direccin x aplicada en el nodo ocupa la posicin 5 y de igual manera la fuerza Fy ocupa la posicin 6 del vector de fuerzas del elemento 2.


5.17

El ordenador completa el clculo del vector de cargas del elemento 2 calculando la contribucin de la carga repartida sobre el lado superior, siguiendo los mismos pasos descritos para el elemento anterior. Una vez obtenido el vector de fuerzas del elemento 2, lo ensambla en el vector global de fuerzas de la viga, finalizando el clculo del mismo.

Al presionar O.K, el ordenador informa que el vector de fuerzas asociado a todos los elementos ha sido calculado y pregunta si se desea pasar a la fase siguiente o cancelar el proceso. Si se presiona Aceptar, el paso siguiente consiste en introducir las condiciones de contorno, tal como indica el mensaje que aparece en la pantalla.

5.18


5.1.3 Prescripcin de movimientos nodales. Seleccionando la opcin Condiciones de contorno del men Clculo o bien, presionando directamente el botn correspondiente de la barra de botones, se presenta en la pantalla una flecha que puede desplazarse con ayuda del ratn.

Situando la misma sobre un nodo coaccionado, aparece el perfil de la matriz de rigidez de la estructura informando que se van a introducir las restricciones que afectan a los grados de libertad del nodo seleccionado, en este caso el nodo 1 (numeracin global y local 1).

El nodo 1 tiene impedidos los movimientos en las direcciones x,y, luego presionando O.K, el ordenador elimina la primera fila y la primera columna de la matriz de rigidez que son las afectadas por el grado de libertad 1; a continuacin, presionando nuevamente O.K elimina la segunda fila y segunda columna, correspondientes al grado de libertad 2.


5.19

Continuando con el nodo 6 (numeracin global) se introducen las condiciones de apoyo de dicho nodo que afectan a los grados de libertad 11 y 12 de la estructura, tal como puede apreciarse si se activa la ayuda numeracin nodal, en la pantalla.

El resultado final de suprimir las correspondientes filas y columnas puede verse en la siguiente figura que muestra el perfil activo final de la matriz de rigidez de la viga.

5.1.4 Resolucin del sistema lineal de ecuaciones.

Presionando O.K. y aceptando seguir con el paso siguiente, el programa informa que proceder a resolver el sistema lineal de ecuaciones planteado.

5.20


Para ello, el usuario debe seleccionar en el men Clculo la opcin Resolucin sistema o bien en la barra de botones el botn correspondiente.

Al hacerlo, aparece el perfil del sistema de ecuaciones que el ordenador resolver al presionar O.K. Si se desea mayor informacin sobre el sistema de ecuaciones resuelto, presionando en el botn Info el programa especifica algunos aspectos interesantes del mismo. Por ejemplo, el mtodo de resolucin empleado (descomposicin de Choleski), el nmero de ecuaciones generado en el ejemplo que se desarrolla (12 ecuaciones con 12 incgnitas), etc.

Los botones de la parte inferior derecha, permiten visualizar los valores numricos de los coeficientes, con slo presionar sobre ellos y a continuacin, sobre el lugar de un coeficiente determinado.


5.21

Es posible que surjan dudas sobre el paso que en este momento el programa est realizando, en ese caso, presionando el botn Ayuda aparece en pantalla un resumen acerca del mismo, com puede verse en la figura siguiente.

5.1.5 Clculo de deformaciones elementales. Una vez resuelto el sistema de ecuaciones lineal, el proceso contina con el clculo del vector de deformaciones de cada elemento.

Seleccionando la opcin Deformaciones del men Clculo, o bien, directamente presionando el botn correspondiente, aparece una flecha con el smbolo e que situada sobre un elemento de la estructura activa el clculo del vector deformaciones del mismo.

5.22


El clculo del vector de deformaciones se realiza para cada punto de integracin sumando las contribuciones de los desplazamientos de cada uno de los nodos del elemento. Al seleccionar, por ejemplo, el elemento 1 el programa presenta un cuadro, muy similar a los que aparecen en pasos anteriores, mostrando la expresin analtica que posibilita el clculo del vector de deformaciones.

Presionando O.K comienza el clculo de B1a1, que es el primer trmino del sumatorio, es decir, el correspondiente al nodo 1 del elemento. Prosiguiendo con el proceso, en pantalla aparece la matriz de deformacin del nodo 1, y presionando Aceptar pueden verse los valores numricos de sus coeficientes en el punto de Gauss 1.


5.23

Presionando nuevamente Aceptar se presentan en la pantalla los desplazamientos del nodo 1. Como puede verse en la figura siguiente, sus coeficientes son nulos ya que el nodo 1 tiene impedidos los desplazamientos en las direcciones x e y.

A continuacin, en pantalla aparece el vector de deformaciones, expresado en forma analtica, presionando Aceptar o bien activando Frmula, pueden verse los valores numricos de cada coeficiente. Ntese que en este caso, al ser los desplazamientos del nodo 1 nulos, la contribucin de este nodo es tambin nula.

En el cuadro del vector de deformaciones pueden verse en la parte derecha las opciones: Parcial, Acumulado y Total. Cada una de ellas permite ver en la pantalla los valores numricos correspondientes al trmino del sumatorio que se acaba de calcular (Parcial), la suma de los coeficientes anteriores ms los que corresponden al trmino de sumatorio que se acaba de calcular (Acumulado) y los coeficientes totales (Total), una vez se hayan completado los trminos del sumatorio. El clculo del vector de deformaciones en el punto de Gauss 1 del elemento 1 contina con el clculo del trmino B2a2, el proceso se repite, presentndose en este caso la matriz de deformacin del nodo 2 y su valor en el punto de Gauss 1. A continuacin aparecen los desplazamientos del nodo 2.

5.24


Por ltimo, presionando Parcial aparecen los coeficientes del vector de deformaciones debidos al trmino que se acaba de calcular, B2a2. Si se desean conocer los valores acumulados de los coeficientes hasta aqu calculados se presiona sobre la opcin Acumulado. El clculo se completa para los restantes trminos del sumatorio obtenindose finalmente el vector de deformaciones del elemento 1 para el primer punto de Gauss. Al seleccionar la opcin Total pueden verse en pantalla los valores numricos de los coeficientes obtenidos para la viga en estudio.

La fase se completa calculando el vector de deformaciones para los restantes puntos de Gauss del elemento 1 y repitiendo el clculo para cada uno de los puntos de Gauss del elemento 2.


5.25

5.1.6 Clculo de tensiones elementales. El programa prosigue el anlisis calculando el vector de tensiones del elemento; presionando Aceptar aparece la pantalla que muestra activado el paso que sigue a continuacin.

Para iniciar el clculo del vector de tensiones del elemento debe seleccionarse la opcin Tensiones del men Clculo, o directamente presionar sobre el botn correspondiente de la barra de botones. Al hacerlo aparece una flecha que se desplaza con el ratn, permitiendo seleccionar un elemento de la malla.

5.26


El programa muestra a continuacin, un cuadro con la expresin analtica utilizada para calcular el vector de tensiones en cada uno de los puntos de Gauss del elemento. Confirmando O.K. aparece en pantalla la expresin analtica de la matriz constitutiva del elemento. Presionando Aceptar o activando Frmula, pueden verse los valores numricos de los coeficientes de la misma para el elemento seleccionado, en este caso, el elemento 1.

Continuando el proceso, puede verse la matriz de deformacin del nodo 1 y sus valores numricos para el primer punto de integracin, los desplazamientos del nodo 1, y finalmente calcula los coeficientes del vector de tensiones en el punto de Gauss 1 asociados al nodo 1. En el ejemplo que se resuelve, estos coeficientes resultan nulos al ser nulos los desplazamientos del nodo 1. Si se contina con el nodo 2, se obtienen los valores siguientes:

Repitiendo el proceso para todos los nodos del elemento se obtiene finalmente el vector de tensiones en el primer punto de Gauss del elemento 1. En la figura pueden verse los valores numricos de los coeficientes. Las opciones Parcial, Acumulado y Total, tienen el mismo sentido que el descrito en el vector de deformaciones.


5.27

5.1.7 Clculo de reacciones. El anlisis del problema finaliza con el clculo de las reacciones en los nodos de la estructura cuyos movimientos estn restringidos, tal como indica la pantalla que se presenta a continuacin.

Activando la opcin Reacciones del men Clculo o presionando el botn correspondiente de la barra de botones, el ordenador inicia la ltima fase del clculo de la estructura. En pantalla aparece una flecha acompaada de la letra R que permite elegir un nodo restringido.

Una vez seleccionado se presenta la matriz de rigidez indicando el grado de libertad afectado y presionando Frmula puede verse la expresin analtica utilizada para el clculo de las reacciones de dicho nodo. En este caso, se ha seleccionado el nodo 1 de la viga que tiene impedidos los movimientos en las direcciones x, y, es decir, los grados de libertad 1 y 2 del elemento 1. En las figuras siguientes puede verse indicado el clculo de las reacciones asociadas al grado de libertad 1 de la estructura.

5.28


De igual manera, seleccionando el nodo 6 (numeracin global) del elemento 2, se calculan las reacciones que en este caso corresponden a los grados de libertad 11 y 12, como puede verse en la figura. Los botones que aparecen en la misma tienen aplicaciones idnticas a las descritas en pasos anteriores. Si se quiere tener acceso a los valores numricos de los coeficientes del sistema de ecuaciones se presiona sobre los botones situados en la parte inferior derecha de la pantalla (botones flechas que permiten direccionar y botn lupa que permite ver). A continuacin, se obtiene la informacin deseada.

En la viga en estudio, los movimientos prescritos son los correspondientes a los nodos 1 y 6 (numeracin global), luego, con el clculo de las reacciones asociadas a los mismos finaliza el anlisis por elementos finitos. Esta circunstancia es confirmada por el programa mediante un mensaje a tal fin.


5.29

5.1.8 Resultados. Una vez resuelto el problema, el programa genera un archivo que posteriormente puede ser abierto desde el programa de postproceso ED-Elas 2D : Postproceso para obtener la representacin grfica de los resultados. Tambin existe la posibilidad de acceder directamente desde el programa ED-Elas2D : Proceso seleccionando la opcin Postproceso del men Clculo o bien, presionando sobre el botn de postproceso de la barra de botones.

En la figura siguiente puede verse la viga pared estudiada, la malla utilizada para su discretizacin, y superpuesta la deformada de la misma bajo el estado de cargas supuesto (carga repartida en el borde superior y dos cargas puntuales en el nodo extremo derecho). Pueden apreciarse tambin las lneas de igual tension sx. En un captulo posterior se describir con mayor detalle la utilizacin del programa de postproceso de resultados.

5.30


5.2 EJEMPLO DE APLICACION 2 (EJERCICIO). El modo ejercicio permite la solucin de estructuras algo ms complicadas que las tratadas con el modo ejemplo. En este caso, se supone que el estudiante ya ha adquirido un cierto conocimiento del mtodo y del programa a utilizar, y por tanto, que est en condiciones de participar interactivamente en la realizacin de las fases que forman el entorno. Teniendo en cuenta estos aspectos, para ilustrar este modo se analiza una viga de gran canto de hormign armado de 0.50 m de espesor, formada por dos tramos de 5 m de luz, con una altura de 10 m el primero, y 5 m el segundo. Para su representacin geomtrica se elige una malla de 6 elementos triangulares de 6 nodos. La estructura se estudia bajo los efectos de peso propio y cargas repartidas en el borde superior y lateral del elemento 1, de valor 2 T/m y 1 T/m, respectivamente. As como, dos cargas puntuales, de direccin x e y, de valor 5 y 10 T, respectivamente, en el nodo 10 (numeracin global) . El archivo de datos del problema, Nivel2.Gen, se ha generado previamente con el programa ED-Elas2D : Preproceso. Al iniciar el anlisis con el programa ED-Elas2D : Proceso debe especificarse el modo a seguir, en este caso se adopta el modo ejemplo. Al abrir el fichero de datos Nivel2.Gen desde el programa de resolucin. se presenta en la pantalla la estructura a resolver.


5.31

A diferencia del modo ejemplo, en el modo ejercicio la estructura se resuelve sin tutora del ordenador, por ello al comenzar el proceso de solucin el programa muestra directamente la estructura sin indicar los pasos a seguir para su anlisis. Se supone que el usuario ya tiene un cierto conocimiento del mtodo y del programa, y es capaz de realizar los distintos pasos sin gua. 5.2.1 Clculo de la matriz de rigidez de la estructura. La resolucin de la viga propuesta comienza por el clculo de la matriz de rigidez de la estructura. Para ello, se activa la opcin Matriz de rigidez del men Clculo o bien, directamente se presiona el botn correspondiente de la barra de botones. A continuacin se presenta en la pantalla un cuadro similar al ya descrito en el ejemplo de aplicacin 1 (Apartado 5.1). Sin embargo, existe una pequea diferencia, el botn O.K no aparece y en su lugar puede verse el botn de Ensam que no podr activarse hasta completar el clculo de la matriz de rigidez del elemento actual. As por ejemplo, si en la viga en estudio se comienza por el clculo de la matriz de rigidez del elemento 1, el procedimiento es muy sencillo, basta presionar con el ratn sobre cada una de las submatrices que son calculadas directamente por el ordenador. En este caso, dado que el modo de resolucin adoptado es el de ejercicio, el programa no muestra cada una de las operaciones que realiza, aunque es posible conocerlas con slo presionar sobre los botones que corresponden a cada trmino auxiliar. (a) Matriz de rigidez elemental

5.32


En la figura puede verse que se est calculando la submatriz K11(1), es decir, el valor de dicha submatriz en el punto de Gauss 1; presionando, por ejemplo, sobre el botn correspondiente a la matriz de deformacin traspuesta B1T aparece en pantalla un cuadro que permite ver su expresin analtica y activando Frmula puede verse su valor numrico. El procedimiento es el mismo para acceder a cualquiera de los trminos que aparecen en la frmula que dirige el proceso de clculo.

Al concluir el clculo de la submatriz el recuadro correspondiente aparece sombreado, y repitiendo el proceso, es decir, presionando sobre cada recuadro se completa el clculo de la matriz de rigidez del elemento 1. El programa tambin permite obtener la matriz de rigidez del elemento actual de forma directa con slo presionar sobre el botn Auto.


5.33

Al finalizar el clculo de la matriz del elemento 1, todas las submatrices aparecen sombreadas y el botn de ensamblar activado. Si se desean ver los valores numricos de los coeficientes basta con presionar sobre el botn Total. En la figura se muestran los valores de los coeficientes de la matriz de rigidez del elemento 1, desde la fila 1 a la 5, y la columna 1 a la 3; desplazando las flechas de la corredera pueden obtenerse los restantes valores.

(b) Ensamblaje El paso siguiente es ensamblar la matriz de rigidez del elemento 1 en la matriz de rigidez global de la estructura. Para ello se presiona sobre el botn Ensam, y en la pantalla que aparece a continuacin, se coloca cada submatriz del elemento 1 en los grados de libertad correspondientes. Los botones que aparecen a la derecha de la pantalla permiten anular el paso que se est realizando, activar la ayuda en caso de desear aclarar alguna duda y activar el zoom para ver con detalle alguna parte de la matriz. El botn Num Nodal es particularmente til para realizar el ensamblaje, ya que permite consultar y relacionar la numeracin global y local del elemento y los grados de libertad asociados a cada nodo del mismo. Para realizar el ensamblaje manualmente se sita el ratn sobre la submatriz que se desea ensamblar y mantenindolo presionado se desplaza hasta situarlo en los grados de libertad globales con ella asociados.

Si la posicin es correcta, en la matriz de rigidez aparece un cambio de color. En la figura pueden verse ensambladas las submatrices K42,K43, K44 y K45 del elemento 1. Debe sealarse que las tonalidades ms claras corresponden a valores nulos de los coeficientes de rigidez.

5.34


El procedimiento se repite hasta completar el ensamblaje del elemento 1. El programa tambin admite el ensamblaje directo; si se presiona el botn Auto, a continuacin, en la pantalla puede verse el resultado de ensamblar la matriz de rigidez del elemento 1. Repitiendo el proceso para los restantes elementos se obtiene como resultado final la matriz de rigidez global de la viga, aunque todava en este punto no se podrn visualizar los valores numricos de sus coeficientes.

5.2.2 Clculo del vector de fuerzas de la estructura. El paso siguiente es el clculo del vector de fuerzas de cada elemento. Para ello, activando Vector de fuerzas elemental en el men Clculo, o bien directamente presionando el botn correspondiente de la barra de botones, se procede a seleccionar el elemento cuyo vector de cargas se va a calcular. (a) Vector de cargas elemental El proceso es idntico al descrito en el ejemplo de aplicacin 1, confirmando en el cuadro que aparece en la pantalla el tipo de carga que acta sobre el elemento. En el caso de actuar diferentes tipos de carga se procede al clculo de cada una de ellas de forma independiente. As, por ejemplo, en la viga en estudio, el vector de cargas del elemento 1 se calcula teniendo en cuenta la contribucin de la carga normal repartida sobre el lado superior definido por los nodos 6,1,3 (numeracin global) y la carga tangencial repartida sobre el lado determinado por los nodos 3,2,15 (numeracin global). El programa pregunta con cal de ellas se desea iniciar el clculo.


5.35

Seleccionando en primer lugar, por ejemplo, la carga normal que acta sobre el lado superior del elemento 1 se presenta una pantalla en la que puede verse la numeracin global del elemento que se va a utilizar para el clculo de los coeficientes y la funcin de interpolacin utilizada. La pantalla es idntica a la que aparece al resolver la estructura siguiendo el modo ejemplo, la nica diferencia estriba en que ahora, el programa no muestra las operaciones intermedias realizadas para el clculo de cada subvector, a menos que el usuario expresamente presione sobre el botn correspondiente. Por ejemplo, si se desea ver el valor de la funcin de forma del nodo 1 en el punto de Gauss activo, se presiona sobre el botn N1 y a continuacin, aparece un cuadro con dicha informacin.

El clculo de los coeficientes asociados a la carga normal repartida sobre el lado superior del elemento 1 se realiza presionando directamente sobre los botones que los representan, f1, f2 y f4, que aparecen activados. Al finalizar, puede tenerse informacin respecto a su valor numrico presionando directamente sobre el botn Total. El vector de fuerzas del elemento 1 de la viga en estudio se completa calculando los coeficientes asociados a la carga tangencial repartida. El proceso a seguir es idntico, en las figuras siguientes pueden verse los valores numricos de algunos de los coeficientes asociados a los dos tipos de carga que actan sobre el elemento 1.

5.36


(b) Ensamblaje La principal diferencia que presenta el modo ejercicio en el ensamblaje es que puede realizarse manualmente. En la pantalla aparece el vector de fuerzas global de la estructura vaco; seleccionando con el ratn un coeficiente determinado se sita sobre el sitio apropiado. El proceso se repite hasta completar todos los coeficientes del subvector del elemento. El programa tambin admite la opcin Auto que realiza este paso automaticamente.

En la figura de la izquierda pueden verse ensamblados los coeficiente

manual ed elas2d

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