manual del alumno mtsl01
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APUNTES MATEMTICA APLICADA
MTSL01
INACAP
Ciencias Bsicas
Vicerrectora de Acadmica de Pregrado
2014
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2
NDICE
UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS ... 4
UNIDAD 2: ANALISIS DE DATOS....... 158
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PRESENTACIN
Estimado Alumno y Alumna, te damos la ms cordial bienvenida a Matemtica, asignatura
lectiva del rea formativa de Disciplinas Bsicas, del rea del conocimiento de Ciencias
Bsicas.
Matemtica tiene dos propsitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las reas
de Ingeniera en habilidades matemticas necesarias para la vida, mediante estrategias de
clase expositiva, solucin de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formacin
tcnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeo
profesional.
Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genrica de
resolucin de problemas. Competencia que ser desarrollada desde un punto de vista de la
Didctica de la Matemtica.
La asignatura se realizar, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren
metodologas principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del
docente un mediador.
El presente texto, que INACAP pone a tu disposicin, tiene los contenidos que sirven de
base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.
Confa en tus capacidades, te deseamos mucho xito.
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4 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Epitafio en la tumba de Diofanto
Transente, sta es la tumba de Diofanto: Su niez ocup la sexta parte de su vida; despus, durante la doceava parte su mejilla se cubri con el
a necesidad de resolver problemas prcticos, cientficos, filosficos , artsticos o
matemticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar
la matemtica. La actividad matemtica involucra muchos ms aspectos que solo
definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al
conocimiento matemtico, el hombre debi utilizar la intuicin, la inventiva y la
experimentacin, elementos fundamentales de la creacin matemtica, que quedan ocultos
en la exposicin formal que habitualmente se nos presenta en los libros.
Para comprender mejor la esencia de la matemtica, es necesario experimentar los procesos
inherentes a la resolucin de problemas: recolectar informacin, descubrir relaciones,
plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir ms all
de la ejercitacin matemtica y de los problemas aplicados, implica involucrase en
situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos mtodos de
solucin.
La matemtica debe proveer de conocimientos especficos para las aplicaciones futuras,
aunque en la prctica resulta muy difcil ensear, aprender y recordar toda la matemtica
que se requiere para el ejercicio de una profesin. Al desarrollar otro tipo de competencias,
como la resolucin de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones
problemticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las
estrategias matemticas para su solucin.
UNIDAD 1
RESOLUCIN DE
PROBLEMAS
L
primer bozo. Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole, durante cuatro aos ms. De todo esto se deduce su edad.
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5 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
PROGRAMA DE LA ASIGNATURA MTSL01
UNIDAD 1
RESOLUCIN DE PROBLEMAS
APRENDIZAJE ESPERADO
Resolver situaciones problemticas mediante estrategias aritmtico-algebraicas, comunicando sus resultados de manera acorde a la situacin comunicativa e interlocutores.
CRITERIOS DE EVALUACIN
Identificar los datos de un problema, verificando coherencia y falta de informacin. Proponer una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez. Aplicar procedimientos matemticos para la resolucin de problemas. Comunicar los resultados de manera acorde a la situacin comunicativa e interlocutores.
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6 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Introduccin
Qu significa aprender matemtica?
Habitualmente el aprendizaje de las matemticas se visualiza como una
acumulacin de pedazos de informacin (definiciones, propiedades y
procedimientos) que se deben dominar a travs de la memorizacin y la
mecanizacin, una coleccin de conocimientos que esperan ser aplicados en
algn contexto.
Esta es la concepcin predominante, que sin embargo recibe serios
cuestionamientos, cul es el sentido de aprender matemtica por la
matemtica, sin justificacin ni contexto?, es posible acumular
conocimientos matemticos, con la vaga promesa de su utilidad futura?
Esta idea de las matemticas se aleja de la esencia de la disciplina, la
creacin del conocimiento, que se origina a partir de la necesidad de
resolver determinados problemas.
La matemtica es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento
deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este
es solo un aspecto de la matemtica a desarrollar, el formalismo en realidad
debe ser considerado una meta del trabajo matemtico, que tiene su punto
de partida en la intuicin y la creacin.
Desde esta perspectiva, aprender matemtica se relacionara con construir
y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculndose con los procesos,
tanto de creacin, como de formalizacin del conocimiento matemtico.
Este enfoque implica que el estudiante debe actuar como un matemtico en
ciernes, que conjetura, experimenta, descubre, formula, prueba, generaliza,
etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento
matemtico.
Desde esta visin, la resolucin de problemas es fundamental en el
estudio de la matemtica, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de
resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una
reflexin.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
La conjetura de Fermat
El teorema de Pitgoras permite
asegurar que existen enteros x,
y, z, lados de un tringulo
rectngulo, que cumplen
2 2 2x y z
En 1640 Pierre Fermat,
generaliz la pregunta y la
respondi: Para todos los
enteros 2n no es posible
encontrar enteros x, y, z,
distintos de cero, tal que
n n nx y z
Fermat dijo haber encontrado
una demostracin, que no pudo
mostrar por el pequeo espacio
del margen del libro donde
escriba.
El denominado ltimo teorema
de Fermat permaneci sin
demostracin durante ms de
350 aos, hasta que en 1995,
Andrew Wiles, quien dedic
gran parte de su vida a este
tema, logr completar una
demostracin.
Lo realmente importante del
ltimo teorema no es su
demostracin, sino que en su
bsqueda, se aport de manera
significativa al desarrollo de la
aritmtica y lgebra moderna.
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7 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Problema o ejercicio
La distincin entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los
medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los
problemas de aplicacin que aparecen en los libros son en realidad
ejercicios, si despus de comprender el enunciado del problema y reconocer
los datos y la incgnita, el mtodo para resolverlo es alguna de las tcnicas o
procedimientos vistos con anterioridad, se tratara solo de un ejercicio.
Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines,
tal como se muestra en la siguiente figura:
a) Cuntos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaos?
b) Cuntos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaos?
Problema o ejercicio?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
Ejercicio Problema
Situaciones rutinarias,
idnticas o muy similares a
otras que ya fueron resueltas.
Los mtodos para resolverlos
son conocidos.
Situaciones no rutinarias. No
existe un camino inmediato o
evidente para su solucin.
Es necesario explorar distintas
estrategias y nuevos mtodos
de solucin.
Admiten ms de una estrategia
de solucin.
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8 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son
presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y
estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didctico del
texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos.
Solucin:
a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaos y contar los adoquines.
Tambin es posible reconocer que cada peldao es una ms que el anterior,
por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaos es
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55
Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma trmino
a trmino del 1 al 10. Se tratara de un ejercicio.
b) El nmero de adoquines en 100 peldaos es igual a la suma
1 2 3 100
No tiene sentido prctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la
suma trmino a trmino. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos
enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias
que se pueden usar para resolver este problema.
Mtodos generales y particulares
Cmo resolver problemas?
Algunos dicen que la nica manera de aprender a resolver problemas
esresolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es
mucho ms complejo que eso.
Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de
estrategias de resolucin de problemas. Por un lado, si un mtodo es
demasiado especfico y atae a un contenido en particular, puede no ser
transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir
para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido
en particular. Por otro lado, si un mtodo es muy general, no queda claro
cmo aplicarlo en los distintos dominios.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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9 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Esto acarrea la discusin de si es posible aprender a resolver problemas en
general o si solo se pueden estudiar los mtodos de resolucin ligados a
contenidos especficos.
Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la
habilidad de resolucin de problemas. Esto es:
1. Es pertinente conocer los mtodos generales de resolucin de problemas,
ya que aunque no garantizan la solucin de un problema, si pueden
ayudar a atacarlo.
2. Las estrategias estn muy ligadas al contenido matemtico involucrado y
la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la
experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplic. Es
necesario revisar el contenido especfico.
Mtodo general de Plya
Plya (1945) identifica cuatro etapas en la resolucin de problemas:
1. Entender el problema
2. Disear un plan
3. Ejecutar el plan
4. Examinar la solucin
Un aspecto muy relevante para la resolucin de problemas es la posibilidad
de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se
estn realizando, qu estoy haciendo?, me sirve para avanzar en la
solucin?, qu otra cosa puedo hacer?, es correcta la solucin que obtuve?
Las siguientes preguntas te ayudarn a monitorear cada una de las etapas,
adems se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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10 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Estrategias de resolucin de problemas
El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para
resolver problemas matemticos:
1. Descomponer el problema en subproblemas.
2. Resolver problemas ms simples que sean de algn modo similar al
problema principal.
3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
Entender el Problema
Disear un Plan
Ejecutar el Plan
Examinar la Solucin
El problema es similar a otro visto antes?
Existe alguna propiedad matemtica que sea
til para este caso?
Puedo modificar algn mtodo conocido para
aplicarlo en este caso?
Cul es la incgnita?
Cules son los datos?
Cules son las condiciones del problema?
Las condiciones permiten determinar la
incgnita?
Es correcto cada uno de los pasos usados en
la solucin?
El plan permite avanzar en la solucin del
problema?
Reconocer datos e incgnita.
Representar el problema con
grficos, diagramas o dibujos.
Pensar en un problema similar.
Simplificar el problema a casos
particulares.
Revisar cada paso.
Evaluar el plan propuesto.
Se puede comprobar la solucin?
Se puede obtener el resultado de otra forma?
Se puede emplear el mtodo usado en otro
problema? Resolverlo de otra forma para
comprobar la solucin.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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11 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.
5. Buscar analogas.
6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un
problema aritmtico representndolo geomtricamente.
7. Bsqueda por ensayo y error.
8. Mtodo algebraico.
9. Mtodo grfico.
Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras,
algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con
ejemplos el funcionamiento de estas estrategias.
Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaos.
Problema 2: Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal
como se muestra en la siguiente figura:
Cuntos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaos?
Se discuti antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la
suma
1+2+3+...+100
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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12 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Solucin:
Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.
Agrupar en sumas parciales que sean ms sencillas de calcular.
Si colocamos los nmeros del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible
buscar sumas parciales que sean ms simples de calcular. Por ejemplo,
descomponiendo los nmeros de cada fila en decenas y unidades, el
resultado de cada fila es un mltiplo de 100 ms 55:
Estrategia 2: Resolver problemas ms simples que sean de algn modo
similar al problema principal.
Calcular la suma hasta un nmero menor y establecer la analoga con el
problema principal. Por ejemplo, de qu otras maneras podemos sumar
nmeros del 1 al 10?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
55
100 + 55
200 + 55
300 + 55
400 + 55
500 + 55
600 + 55
700 + 55
800 + 55
900 + 55
4500 + 550 = 5050
10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10
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13 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5 veces 11
5 11 55
De la misma forma
1 2 3 98 99 100
50 veces 101
50 101 5050
b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos.
1 2 3 98 99 100
100 99 98 3 2 1
101 101 101 101 101 101
100 veces 101
Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado
por 2, esto es
100 1015050
2
Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema.
Transferir el problema de un dominio a otro.
Representar el problema geomtricamente como un clculo de rea.
Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaos.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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14 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Con dos figuras iguales podemos formar un rectngulo
Con 6 peldaos se tiene un rectngulo de 6 7 , como la escalera es la
mitad, debemos calcular la mitad del rea del rectngulo, es decir
6 721
2
Por tanto, con 100 peldaos se tendra un rectngulo de 100 101 y la
cantidad de adoquines de la escalera sera
100 1015050
2
Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para
resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolucin de
problemas estn implcitas, analicemos en general cmo podran haber sido
planteadas:
1. Entender el problema:
Cul es la incgnita? El resultado de la suma
Cules son los datos? Los nmeros del 1 al 100
Cules son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del 1
al 100.
Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.
2. Disear un plan:
El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de
sumar no es prctica en este caso.
Existe alguna propiedad matemtica que sea til para este caso? En la suma
de nmeros naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La escalera
representa la mitad de un rectngulo, por tanto la mitad su rea.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
6
7
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15 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
3. Ejecutar el plan:
El plan permite avanzar en la solucin del problema? Las sumas parciales
cumplen cierta regularidad que hace ms fcil calcularlas. Sumar los extremos permite
llegar rpidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda de la geometra
permite cambiar el problema de una suma a un clculo de reas.
4. Examinar la solucin:
Se puede comprobar la solucin? Al resolverlo de ms de una forma es posible
comprobar el resultado.
Se puede emplear el mtodo en otro problema? En todos los problemas de
sumas sucesivas de nmeros naturales.
En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemticos es
posible ampliar el abanico de mtodos de resolucin. El siguiente ejemplo
muestra la aplicacin de otros mtodos, aunque los conocimientos
especficos que se aplican en alguno de ellos an no es expuesto en este
texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de
apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan.
Problema 3: Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19
conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, cuntas motos y
autos hay?
Solucin:
Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.
Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de
acuerdo al nmero de conductores y ruedas.
8 motos 16 ruedas
+ 11 autos + 44 ruedas
19 conductores 60 ruedas
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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16 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Estrategia 2: Ensayo y error.
a) Mtodo de conteo: Inicial con cualquier nmero de motos y autos, por
ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son
20 36 56
Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el nmero de motos y autos hasta
coincidir con el total de ruedas.
b) Construir una tabla: Colocar todos los nmeros de motos y autos en
una bsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla:
N motos N autos N ruedas
19 0 38
18 1 40
17 2 42
16 3 44
15 4 46
14 5 48
13 6 50
12 7 52
11 8 54
10 9 56
9 10 58
8 11 60
Estrategia 3: Mtodo algebraico.
a) Ecuacin lineal: Se establece una incgnita y se plantea una ecuacin.
N de motos: x
N de autos: 19 x
N de ruedas: 2 4 19x x
Como el nmero de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresin anterior
a 60 se tiene la ecuacin
2 4 19 60x x
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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17 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Al resolver la ecuacin se tiene
2 4 19 60
2 76 4 60
76 2 60
76 60 2
16 2
8
x x
x x
x
x
x
x
Por tanto, son 8 motos y 11 autos.
b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incgnitas,
plantear y resolver el sistema de ecuaciones.
N de motos: x
N de autos: y
N de conductores: 19x y
N de ruedas: 2 4 60x y
19
2 4 60
x y
x y
Multiplicando la primera ecuacin por 2 y sumando ambas ecuaciones se
tiene
2x 2 38
2
y
x
( ) 2 22 11
4 60y y
y
Luego 8x
Por tanto son 8 motos y 11 autos.
Estrategia 3: Mtodo grfico.
Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de interseccin
entre las rectas es la solucin.
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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18 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
No es necesario que la grfica se haga a mano, podemos ocupar un
software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )
En la lnea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben
ingresar las ecuaciones 19x y y 2 4 60x y , el punto de interseccin
es , 8,11x y , por tanto hay 8x motos y 11y motos.
Problemas Propuestos
Resuelve los problemas y despus describe la estrategia utilizada,
respondiendo las siguientes preguntas: Cul es la incgnita? Cules son
los datos? Cules son las condiciones del problema? Cules son los
mtodos utilizados? Cmo verificaste que la respuesta es correcta?
1. Un piso se disea colocando mosaicos negros y blancos como se muestra
en la siguiente figura:
Cuntos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos
por lado?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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19 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
2. Cul es el valor de la suma de nmeros impares 1 3 5 101 ?
Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relacin que hay entre la suma de impares
y el rea de cuadrados:
3. Colocar los nmeros del 1 al 9 en el cuadrado mgico, de modo que la
suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las
diagonales:
4. Utiliza el resultado del problema anterior para responder la siguiente
pregunta: Dos jugadores A y B seleccionan alternadamente una ficha en
cada turno. El primer jugador que logre juntar 3 fichas que sumen 15 es el
ganador. Existe una estrategia que permita ganar el juego? Cul debe ser
el nmero que necesariamente debe ser elegido para tener la posibilidad de
ganar?
5. Determine los smbolos que siguen en la secuencia: ..
6. Una obra contrata a 1 trabajador el primer da, dos el segundo, tres el
tercero y as continua contratando un trabajador por da, despus de
cuntos das se han contratado un total de 465 trabajadores?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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20 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
7. Cuntos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?
Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema, contando
cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuntos cuadrados de
lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y smalos:
8. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, de qu
manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua?
9. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o
$30.000 en total). Despus, el dueo del hotel se da cuenta de que les ha
cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El
ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide
darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. As el costo
del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los
$27.000 pagados por el cuarto ms los $2.000 que el ayudante tom son
$29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. Qu
pas con los $1.000 faltantes?
10. Coloca en los crculos los nmeros del 1 al 9 sin repetir de modo que la
suma sea igual a 20:
11. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo
pintado se corta en cubos pequeos de 2 cm por lado. Cuntos cubos de 2
cm por lado no tienen pintada ninguna cara?
ESTRATEGIAS DE
RESOLUCIN
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21 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por mtodos,
como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemtico
especfico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo
en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la
matemtica para ampliar el mbito de problemas que se pueden resolver o
contar con mtodos de resolucin ms eficientes.
Nmeros
La aritmtica es la ciencia de los nmeros. La nocin de nmero surgi
inicialmente ante la necesidad prctica de contar, ordenar y medir, lo que
dio origen a los conceptos de nmero natural y racional. Pero otros tipos de
nmeros, como los irracionales, los nmeros negativos y los complejos,
surgen en mbitos matemticos, como abstracciones que toman distancia
de la idea de cantidad, lo que les vali una larga lucha por su legitimidad
como nmeros.
Es necesario entender que los nmeros son esencialmente una abstraccin
y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a travs
de modelos concretos. Es lo que ocurre con los nmeros negativos, por
qu ( ) ( ) ( ) ?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y
ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los nmeros enteros,
as ( ) ( ) ( ) porque la suma de dos deudas es tambin una deuda.
Pero esa interpretacin no es aplicable para el caso de la multiplicacin, ya
que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se
desprende al aceptar la regla de signos ( ) ( ) ( ) .
Los nmeros negativos, reciben su nombre por el estatus de negacin que
tuvieron durante mucho tiempo. La visin de la matemtica que
predominaba hasta antes del siglo XIX exiga una relacin directa con la
realidad, que no tenan los nmeros negativos, que venan a reflejar
cantidades menores a cero. Sin embargo, los nmeros negativos eran
necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos
fueran aceptados como nmeros fue necesario que la matemtica se
convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificacin en el
mundo real.
ARITMTICA
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22 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Nmeros Naturales
El matemtico alemn Leopold Kronecker afirmaba que Dios cre los
nmeros naturales y el resto lo hizo el hombre, como una clara
descripcin de lo fundamental de los nmeros naturales.
Para formar el conjunto de los nmeros naturales se debe adicionar el 0 a
los nmeros 1, 2, 3, que utilizamos para contar.
= {0,1,2,3, }
De los nmeros naturales se puede decir que:
- Tienen un primer elemento: el 0.
- Todos los nmeros naturales tienen un sucesor: Cada natural n
tiene un sucesor 1n . El 1 acta como un generador.
- Es un conjunto que no tiene fin.
Por la importancia de base que tienen los nmeros naturales para el resto de
la matemtica es necesario invertir un tiempo en revisar algunos conceptos
claves.
Los naturales se pueden separar en pares e impares.
0,2,4,6,....Pares
1,3,5,7,....Impares
Los pares son los mltiplos de 2 y los impares el resto, todos ellos
sucesores de un par. Esto permite representar a los pares de la forma 2n y
a los impares como 2 1n .
Orden: Sean a y b dos nmeros naturales, se dice que a es menor a b ,
esto es a b , si existe otro nmero natural c tal que
a c b
Por ejemplo, por qu 2 5 ?, porque existe 3 , tal que: 2 3 5 .
ARITMTICA
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23 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Divisores y Mltiplos:
Sean m y n dos nmeros naturales, se dice que m es divisible por n , 0n ,
si existe otro nmero natural p tal que
m n p
Tambin se dice que n es divisor de m o que m es mltiplo de n.
Por ejemplo,
Por qu 6 es divisible por 3?, porque existe 2 , tal que 6 3 2 .
Entonces se dice que 3 es divisor de 6 o que 6 es mltiplo de 3.
Propiedad: Todo nmero tiene al menos dos divisores, el 1 y s mismo.
Nmeros primos:
Aquellos nmeros, distintos de 1, que tienen como divisores al 1 y a s
mismo, se denominan nmeros primos.
2,3,5,7,11,13,17,19,23,....Primos
Descomposicin en factores primos:
Todo nmero natural o es primo o se puede escribir como producto de
nmeros primos, lo que se conoce como descomposicin en factores
primos, que se obtiene dividendo de forma reiterada.
Por ejemplo: descomponer 60 en factores primos.
En la tabla vamos haciendo la divisin por nmeros primos comenzando
con el 2.
Por tanto, 60 2 2 3 5
ARITMTICA
60 2
30 2 15 3 5 5 1
-
24 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Problema 4: Encontrar dos nmeros enteros positivos cuyo producto sea
un milln y ninguno de los dos nmeros incluya ceros en su
representacin
Solucin:
Aunque puede haber varias formas de resolver este problema, los mtodos
que buscan la solucin por tanteo no resultan muy efectivos. La
aplicacin de un conocimiento especfico, como lo es la descomposicin
en factores primos puede ser de ms ayuda. En efecto, al descomponer se
tiene que
Por tanto 1000000 2 2 2 2 2 2 5 5 5 5 5 5
Otras aplicaciones de la descomposicin en factores primos
Obtencin de divisores: Para obtener todos los divisores de un nmero,
basta descomponerlo y hacer todas las combinaciones posibles entre
factores, cada una de ellas ser un divisor. Por ejemplo, encontrar todos
los divisores de 60:
Por tanto, 60 2 2 3 5
1000000 2
500000 2
250000 2
125000 2
62500 2
31250 2
15625 5
3125 5
625 5
125 5
25 5
5 5
1
Podemos obtener dos nmeros cuyo producto sea
1000000 separando y multiplicando dos grupos de
factores primos. Para que no aparezcan 10 y por
tanto ceros en su representacin, separaremos en
grupos que solo contienen 2 y otro que solo
contiene 5, de esa forma
1000000 64 15625
60 2
30 2 15 3 5 5 1
ARITMTICA
-
25 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Los divisores seran:
1
2
3
5
2 2 4
2 3 6
2 5 10
3 5 15
2 2 3 12
2 2 5 20
2 3 5 30
2 2 3 5 60
Simplificacin de fracciones: En aritmtica las fracciones se pueden
simplificar buscando un divisor en comn para el numerador y el
denominador o descomponiendo en factores primos. La ventaja de lo
segundo es que ese mtodo de simplificacin es transferible a las fracciones
algebraicas que se vern despus. Por ejemplo, simplificar la fraccin:
3528
5292
La descomposicin en factores primos es
3528 2 2 2 3 3 7 7
5292 2 2 3 3 3 7 7
Luego la fraccin es 3528 2 2 2 3 3 7 7
5292 2 2 3 3 3 7 7
los factores iguales se
simplifican obteniendo
3528 2
5292
2 32 3 7 7
2 2 3 3 73 7
2
3
ARITMTICA
-
26 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Estructura algebraica de los naturales
Cuando trabajamos con los nmeros naturales, en realidad involucramos
ms que solo el conjunto de nmeros, le asociamos operaciones que nos
permiten trabajar con ellos. En ese sentido, lo relevante es el sistema que
forma el conjunto , y las operaciones definidas en ese conjunto, suma y la
multiplicacin, lo que entendemos como el sistema numrico de los
naturales, que se denota por
(,+,)
Qu propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una
pregunta de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se
construye el resto de la matemtica. Su comprensin permite reconocer lo
que se puede y no se puede hacer matemticamente.
Para todo , , , se cumple:
Asociatividad: ( ) ( )a b c a b c
( ) ( )a b c a b c
Conmutatividad: a b b a
a b b a
Elementos neutros: Existe 0 , tal que 0 0a
Existe 1 , 1 0 , tal que 1a a
Distributividad: ( )a b c a b a c
La suma y multiplicacin son operaciones binarias, la asociatividad expresa
que para sumar tres nmeros se debe asociar de dos en dos cada vez. La
conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma
o multiplicacin, el resultado es el mismo. El 0 es el nico nmero natural
que acta como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicacin.
La distributividad de la multiplicacin sobre la suma es la propiedad que
muestra que es posible separar en la suma de productos.
ARITMTICA
-
27 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Prioridad en las operaciones aritmticas y uso de parntesis
Los parntesis son recursos del lenguaje matemtico que se utilizan para
explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresin
matemtica. Generalmente, los problemas aritmticos no requieren el uso
de parntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que
se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los
resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo:
Problema 5: Gabriel piensa un nmero, le suma 25, divide el resultado
entre 2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, qu
nmero pens?
Solucin:
Devolvindonos en el razonamiento la descripcin verbal del problema
sera:
Si al final tena 21
Antes de multiplicar por 3 tena 7
Antes de restarle 8 tena 15
Antes de dividir entre 2 tena 30
Antes de sumar 25 tena 5.
Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar parntesis
para definir el orden en que se realizaran. Lo que constituye una forma
habitual de proceder en aritmtica.
Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con
parntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritmticos
provoca problemas en el clculo y en el trnsito hacia el lgebra. Si se cree
que los parntesis o los signos operatorios son solo una convencin que
exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a
cometer errores, que en aritmtica parecen solo de forma, pero que son de
fondo cuando queremos trabajar en lgebra. Por ejemplo, es habitual que el
problema anterior sea escrito de la siguiente forma
21:3 7 8 15 2 30 25 5
ARITMTICA
-
28 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
El error est en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente
iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para
expresar aqu est el resultado, es una relacin de equivalencia, debe
cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para
entender luego como resolver ecuaciones.
Problema 6: Construye los dgitos del 0 al 9 utilizando slo cuatro veces el
nmero 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritmticas bsicas.
Considera los siguientes ejemplos:
0 4 4 4 4
4 41
4 4
Solucin:
Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a
mostrar los errores cometidos al no usar los parntesis.
Supongamos que queremos formar el nmero 6, sumando dos veces el 4,
dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. La respuesta correcta
ser entonces 4 4: 4 4 ?
Al no tener parntesis la pregunta es en qu orden se resuelve la expresin
aritmtica, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una
prioridad que respetar?
Si colocamos esta expresin en la calculadora cientfica el resultado ser 9,
significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad.
Prioridad de las operaciones aritmticas
1 Parntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera.
2 Multiplicacin y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de
multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicacin se
realiza en cualquier orden.
ARITMTICA
-
29 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
.
3 Sumas y restas: De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por
asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden.
Por ejemplo:
a) 4 4: 4 4
4 1 4
9
b) 5 2 1 6: 2 1 8: 2 2
5 2 1 6 :3 4 2
5 2 1 2 8
5 2 3 8
5 6 8
11 8
3
Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se
requiere usar parntesis. En efecto
4 4 : 4 4 6
Ejercicios y Problemas Propuestos:
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:
a) 2 6: 2 3 6 2:3 1
b) 6 2 4 4 : 2 7
c) 2 2 2 2 2 2: 2
d) 1 2 2 1 2 2 2: 2 2
ARITMTICA
-
30 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
2. Coloca los parntesis donde corresponda para que las siguientes
expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los parntesis
estrictamente necesarios:
a) 2 5 1 12
b) 6 2 1 4: 2 7
c) 12:3 2 2 1
d) 16:4 4 16:4 2 12
3. Un empleado de un taller mecnico se le paga $6000 por hora si trabaja
15 horas a la semana. Si trabaja ms de 15 horas, cada hora extra se paga al
valor normal ms la mitad. Cuntas horas debe trabajar para ganar
$135.000 durante una semana?
4. Cules son todos los divisores de 126? Usa descomposicin factores
primos.
5. Se debe llenar una bidn de 72 litros, qu medidas puede tener el jarro
que lo llena de forma exacta?
6. Un libro se abre al azar. El producto de los nmeros de las pginas
donde se abri es 3192. Cules son los nmeros de las pginas en que se
abri el libro?
7. Cules son las ltimas tres cifras de 1234567895 ?
8. Cul es la ltima cifra de 5877 ?
Ayuda: Comienza con casos ms simples y descubre la regularidad
9. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7
monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el
mismo nmero de monedas Cuntas monedas tena al principio cada caja?
10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la
siguiente manera: Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas
equivalen a 1 mala. Cul es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo
15 malas y 9 omitidas?
ARITMTICA
-
31 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Nmeros Enteros
Si al conjunto de los nmeros naturales adicionamos los nmeros negativos
obtenemos el conjunto de los nmeros enteros:
= { ,3,2,1,0,1,2,3, }
Los nmeros negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C
y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos
representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin
embargo, el camino para su aceptacin como nmeros fue largo. En un
mundo en que los nmeros estaban estrechamente relacionados con la
magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que
cero (0).
En realidad los nmeros enteros, a diferencia de los naturales, no solo
expresan medida, adems establecen un sentido respecto de un punto de
referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de
cantidad, as como tampoco se podra asociar el 0 en grados Celsius con
ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De
ese modo 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una
medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de
congelacin.
Decir que un nmero negativo es el que est a la izquierda del cero no es
completamente exacto, lo es solo para la representacin clsica de la recta
numrica, que sin embargo, no es ms que eso, una entre muchas
representaciones posibles. Por ejemplo, si tomramos el modelo de las
temperaturas, los negativos no estaran a la izquierda sino por debajo del
cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos trminos ni justificar sus
propiedades con la interpretacin grfica.
Lo que realmente importa en los enteros es que para todo nmero ,
existe un nico nmero () , tal que:
0a a
Se dice que a es el opuesto o inverso aditivo de a .
ARITMTICA
-
32 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Un nmero entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y
sentido, dado por el signo. El nmero 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo
positivo, mientras que el 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo negativo.
Como se ve, ambos nmeros tienen la misma magnitud, pero en sentidos
opuestos:
Los nmeros enteros deben cumplir las mismas propiedades que los
naturales, adems de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numrico
de los enteros (,+,) tiene la siguiente estructura:
Asociatividad
Conmutatividad
Elementos neutros
Distributividad
Inverso aditivo
Como consecuencia de estas propiedades bsicas, se obtiene algunas cosas
conocidas, por ejemplo que 0 0a . Adems, es posible definir la resta
como una suma, esto es:
a b a b
Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer trmino por el
inverso aditivo del segundo.
Por ejemplo,
a) 3 5 3 5
b) 2 6 2 6
ARITMTICA
-
33 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
No es necesario por tanto definir una regla de signos para la resta, basta la
de la suma. La regla de signos para la suma y la multiplicacin se pueden
justificar con las propiedades descritas anteriormente. No es necesario
recurrir a metforas como la de los amigos y enemigos, que adems de
ocultar la matemtica involucrada, no es cierta, quin puede asegurar que el
enemigo de mi enemigo es mi amigo?
Regla de la adicin
Para explicar esta regla conviene utilizar un modelo concreto, supongamos
que los nmeros positivos estn representados por fichas azules y los
negativos por fichas rojas. Por la propiedad del inverso aditivo, debe ocurrir
que igual nmero de fichas azules y rojas se anulen entre s, esto es
0a a . Veamos que pasa al sumar nmeros enteros de igual signo:
3 2 5 + =
3 2 5 + =
Para la suma de enteros de igual signo se suman los valores absolutos y se
mantiene el signo.
Ahora veamos lo que sucede al sumar enteros de distinto signo:
5 2 + =
5 3 + =
La suma de enteros de distinto signo implica la resta de los valores
absolutos, manteniendo el signo del mayor. Ms all de aprenderse esta
regla de memoria basta aplicar las propiedades, descomponiendo el nmero
para que aparezca el inverso aditivo, esto es
5 + (2) = 3 + 2 + (2) = 3
(5) + 3 = (2) + (3) + 3 = (2)
ARITMTICA
-
34 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Regla de la multiplicacin
La regla de signos de la multiplicacin es
El producto de signos iguales es positivo y el producto de signos distintos es
negativo.
Aceptamos como obvia la regla . A partir de ello
justificaremos el resto, evidenciando la contradiccin matemtica que
implicara no aceptarlas como ciertas, utilizaremos algunos ejemplos.
Supongamos que no es , esto es suponer que ,
por tanto 2 3 6 , si aplicamos esto en la siguiente expresin tendramos
2 3 3 2 3 2 3 6 6 12
Pero la misma expresin puede ser resuelta de esta otra forma
2 3 3 2 0 0
Esto implica que 12 0 , una contradiccin evidente. Por tanto, como esto
un puede ocurrir, no queda ms que aceptar que .
Del mismo modo se puede negar que y llegar a una
contradiccin similar, que obligara aceptarla como cierta.
ARITMTICA
-
35 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Orden en
Por qu 6 2 ?
El argumento que seala que 6 2 porque 6 est a la izquierda
de 2 no es suficiente, ya que se sustentan en la representacin arbitraria
de la recta. Tampoco es correcto justificarlo diciendo que 6 est ms
lejos del cero que 2 , ya que el 8 est an ms lejos del cero y no es
menor que 2 . Todas estas interpretaciones no tienen base matemtica.
Para afirmar que 6 2 hay que recordar que para los naturales se
deca que a b , si existe otro nmero natural c tal que a c b . Si
extendemos esta definicin a los nmeros enteros tendramos que
Si , , entonces: a b , si y solo si existe tal que: a c b
Ahora s, Por qu 6 2 ?
Porque existe 4 , tal que: 6 4 2
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Calcule:
a) 7 2
b) 9 3
c) 6 3
d) 2 5
e) 2 5
f) 1087532
g) 1 1 1 1 1
ARITMTICA
-
36 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
h) 9634523
i) 35 5 14 60:15 16: 4 3 29 7
2. Un avin sube a 5800 metros sobre el nivel del mar, baja 1200 metros y
luego vuelve a subir a 580 metros. Si para aterrizar debe descender 4900
metros, a qu distancia del nivel del mar aterriz?
3. Un clavadista olmpico se lanz verticalmente desde una plataforma de
12 metros de altura. Al tocar el fondo de la piscina haba recorrido 18
metros. Qu profundidad tiene la piscina?
4. Un emperador naci el ao -x a.C y muri el ao y -23 a.C, cul es la
expresin que representa la cantidad de aos que vivi? Escoja una
alternativa y justifique matemticamente:
a) 23-x b) x-23 c) x-23 d) -23+x
5. Si el antecesor de x es 4 y el sucesor de y es 0, cul es el sucesor de
y x ?
6. Rellena las casillas en blanco con nmeros enteros, de modo que la suma
de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las
diagonales:
7. Justifica matemticamente:
a) Por qu 4 1 ?
b) Por qu 4 9 ?
c) Por qu 4 1 ?
d) Por qu ?
4 4
1
0
ARITMTICA
-
37 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Nmeros Racionales
Fracciones
Los nmeros naturales son abstracciones que permiten contar colecciones
finitas de objetos. Pero en lo cotidiano no basta solo con contar, tambin se
necesita medir cantidades, tales como peso, tiempo, distancia, longitud,
rea, volumen, etc.
Cuando una cantidad no se puede medir exactamente con la unidad de
medida utilizada (metro, minutos, kilogramos, litros, segn sea el caso), se
subdivide la unidad original en n partes iguales, cada una de las partes se
denota por
1
n
De ese modo es comn subdividir el metro en 100 partes iguales
denominadas centmetros o el minuto en 60 partes iguales llamadas
segundos. Si una cantidad dada contiene exactamente m de estas
subunidades, su medida se denota con la fraccin
m
n
Donde m es el numerador y n es el denominador.
Problema 7: Encontrar la medida de la longitud de un tornillo, usando
como unidad de medida la pulgada.
ARITMTICA
-
38 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Solucin:
Habitualmente se utilizan fracciones para expresar la medida de los
tornillos. Para medir el largo se divide la pulgada en partes iguales (2, 4, 8,
16 o 32 partes).
En este caso se hace una subdivisin en 8 partes, de las que el tornillo
alcanza a cubrir exactamente 5, se dice por tanto que la medida del tornillo
es 5/8 de pulgada.
Los significados de las fracciones
Las fracciones pueden adquirir distintos significados, de acuerdo al
fenmeno que estn caracterizando. Ampliar este conocimiento permite
identificar el significado que se le debe asignar a las fracciones en un
determinado problema y tratarlas adecuadamente. Revisaremos algunos de
esos significados:
1. Fraccin como parte de un todo
Un todo se divide en partes iguales
m
n
a) Parte todo continuo:
El todo continuo tiene relacin con objetos o situaciones de medicin
(rea, volumen, longitud, tiempo etc. El todo acepta las subdivisiones que
se deseen.
Longitud rea Volumen
Las partes deben tener la misma medida (longitud, rea, volumen, etc.)
ARITMTICA
Numerador: partes que se estn considerando
Denominador: partes en que dividi el todo
considerando
1
3
3
4 2
5 1
4
-
39 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
b) Parte todo discreto:
El todo discreto est asociado a situaciones de conteo. El todo
corresponde a un conjunto de elementos, de los cuales se consideran o
seleccionan un subconjunto de ellos.
Fraccin de crculos rojos
2. La fraccin como operador En este caso la fraccin acta sobre un nmero o magnitud,
multiplicndose con ella.
Por ejemplo, Se pintan 5
8 de una pared de 32 mt2.
5
8 de 32 es equivalente a
532 20
8
Otro ejemplo, se calcula que en una reduccin de personal de una empresa
se despedir a 2
7 de los empleados, de los cuales
5
8son hombres. Si en la
empresa trabajaban 168 empleados, cuntos hombres sern despedidos?
Se debe calcular 5
8 de
2
7 de 168, esto es,
5 2168 30
8 7
3. La fraccin como razn La fraccin puede representar la comparacin entre dos cantidades.
Por ejemplo, la fraccin 2
9 puede representar la razn entre artculos
defectuosos y artculos buenos.
ARITMTICA
3
7
-
40 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
4. La fraccin como resultado de una divisin Este significado est relacionado con la fraccin que expresa el resultado de la divisin de dos nmeros naturales o en un contexto concreto situaciones de reparto equitativo. Por ejemplo, si se quiere repartir 3 cervezas entre 5 amigos, la parte que le
toca a cada uno es 3
5.
Problema 8: El control de calidad revisa 1/4 de los artculos de una lnea
de produccin en el primer turno y la mitad del resto en el segundo turno.
Si en total se revisaron 400 artculos, cuntos quedaron sin revisar?
Solucin:
Procedimiento 1: Uso del significado de parte todo continuo de las
fracciones.
Supongamos que el total de artculos de la lnea de produccin est
representado por un rectngulo
En el primer turno se revisa 1
4
En el segundo turno se revisa 1
2 del resto. El resto son tres partes, que
podemos volver a subdividir en 6 para tomar la mitad de ellas, es decir 3 de
esas partes
ARITMTICA
-
41 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Se observa que la cantidad de artculos revisados corresponde a 5
8 del total
Como los 5
8 corresponden a 400 artculos, cada parte son 80 artculos.
Por tanto, quedan 3 80 240 artculos sin revisar.
Procedimiento 2: Uso del significado fraccin como operador.
N total de artculos: x
Primer turno se revisa: 1
4
Quedan 3
4
Segundo turno se revisa la mitad de lo que queda: 1 3 3
2 4 8
Se revisan en total: 1 3 5
4 8 8
5
8del total corresponden a 400, se plantea la ecuacin
5400
8x
Resolviendo la ecuacin se tiene que el total de artculos es
5400
8
400 8
5
640
x
x
x
ARITMTICA
80 80 80 80
80 80 80 80
-
42 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Por tanto, la cantidad de artculos sin revisar es
640 400 240
Fracciones equivalentes
Se dice que las fracciones a
b y
c
d son equivalentes si y solo si a c b d .
Por ejemplo:
2
3 y
6
9 son equivalentes porque 2 9 3 6
Se pueden obtener fracciones equivalentes amplificando o simplificando:
Amplificar: Multiplicar numerador y denominador por un mismo nmero
2
2
3 3 6
5 5 10
fraccin equivalente, amplificando por 2.
Simplificar: Dividir numerador y denominador por un mismo nmero
: 3
: 3
12 12 4
15 15 5 fraccin equivalente, simplificando por 3.
Para trabajar con las fracciones, muchas veces es conveniente trabajar con
la fraccin equivalente ms simple. Las fracciones que no se pueden
simplificar reciben el nombre de fracciones irreductibles.
Por ejemplo, determinaremos la fraccin irreductible de 36
24.
: 3 : 2 : 2
: 3 : 2 : 2
36 12 6 3
24 8 4 2
ARITMTICA
-
43 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Fracciones propias e impropias
Las fracciones que representan una parte de la unidad se denominan
propias, mientras que las que representan a un entero ms una parte de la
unidad se denominan fracciones impropias.
3 2 7, ,
4 5 8 son fracciones propias (numerador menor que el denominador)
7 9 14, ,
5 4 3 son fracciones impropias (numerador mayor que el denominador)
Las fracciones impropias siempre pueden ser escritas como la suma de un
entero ms una fraccin propia, a travs del algoritmo de la divisin. Por
ejemplo:
14 4:32
214
3 34
Las fracciones impropias describen lo que se conoce como nmeros
mixtos, nmeros que son la suma de un entero ms una fraccin propia,
cuya notacin es
14 2 24
3 3 34
Un error usual es pensar que entre el entero y la fraccin del nmero mixto
hay una multiplicacin, hay que tener presente que se trata de una suma, la
multiplicacin es solo una parte del procedimiento involucrado al
transformar de nmero mixto a fraccin, que justificaremos ms adelante.
5 5 263
7 7 73
ARITMTICA
+
-
44 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Sistema de los nmeros racionales
Ms all de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el
proceso de medir, a
b representa a un tipo de nmero, denominado nmero
racional.
Estos nmeros estn formados por la razn entre dos enteros a y b, con
0b , que se denotan por:
= {
: , ; 0}
El uso de la palabra nmero, que originalmente solo haca referencia a los
nmeros naturales, se justifica en los otros conjuntos numricos porque
siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicacin
de los naturales. El sistema (,+,), cumple:
Asociatividad
Conmutatividad
Elementos neutros
Distributividad
Inverso aditivo
Inverso multiplicativo
En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso
multiplicativo, esto es
Para todo , con 0, existe un nmero 1 =1
, tal que:
1 1a a o lo que es lo mismo: 1
1aa
Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 11
22
, ya que
1 12 2 2 12
ARITMTICA
-
45 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Ntese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe 11
00
.
El inverso multiplicativo de una fraccin a
b es
b
a, en efecto
1
1a a a b ab
b b b a ab
A partir del inverso multiplicativo es posible definir la divisin, como el producto de un nmero por el inverso multiplicativo del otro.
Definicin: Se dice que a est dividi por b, con 0b , cuya notacin es a
b
o :a b si
1a a bb
Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso
multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0.
Por la frecuencia con que se presenta los errores de la divisin por cero,
nos detendremos un instante en ello.
Cul es la diferencia entre estas expresiones? 0
2,
2
0y
0
0
Se ha dicho que no est definida la divisin por cero, sin embargo existe
una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos
que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de
multiplicacin, esto es
a) 0
2x implica 0 2 x , que tiene como solucin a 0x , luego
00
2
Concluimos que 0 dividido por un nmero distinto de cero es igual a 0.
ARITMTICA
-
46 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
b) 2
0x implica 2 0 x , pero todo nmero multiplicado por 0 es 0, por
tanto no existe un nmero x que cumpla esta condicin. Ms an si
existiera, al multiplicar tendramos que 2 0 , un absurdo que contradice las
nociones bsicas de la aritmtica, para evitarlo se dice que 2
0 es indefinido.
c) 0
0x implica 0 0 x , en este caso x puede ser cualquier nmero, todos
ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptramos esto tendramos
que 0
0 1 2 3 ....0 , es decir que todos los nmeros son iguales entre
s, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero
es indeterminado.
Operatoria de fracciones
1. Adicin y sustraccin
Formalmente se definen por
a c ad bc
b d bd
La idea fundamental de la suma de fracciones es obtener fracciones
equivalentes de igual denominador. El denominador comn puede ser el
MCM de los denominadores.
Ejemplo: Calcular 2 5 1
3 4 6
(3,4,6) 12MCM , por tanto
4 3 2
4 3 2
2 5 1 2 5 1 8 15 2 21
3 4 6 3 4 6 12 12 12 12
ARITMTICA
-
47 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
2. Multiplicacin
a c ac
b d bd
Ejemplo: Calcular 6 2
7 5
6 2 6 2 12
7 5 7 5 35
3. Divisin
:a c a d ad
b d b c bc
En la divisin se aplica la definicin, esto es la divisin de dos fracciones es
el producto de la primera por el inverso multiplicativo de la segunda.
Ejemplo: Calcular 3 2
:4 5
3 2 3 5 15:
4 5 4 2 8
Estrategias de clculo para fracciones
Revisemos algunos casos, que por la frecuencia que aparecen, ameritan
revisar procedimientos inmediatos de clculo.
1. Suma de entero y fraccin
Si consideramos al entero como una fraccin con denominador 1,
amplificando y sumando se tiene
5 1
5 1
3 2 3 2 3 2 5 3 132
5 1 5 1 5 5 5
Si observamos bien el penltimo paso, lo que ocurre al sumar un entero
con una fraccin se puede describir como
ARITMTICA
-
48 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
3 132
5 5
De igual forma es posible justificar que
5 163
7 7
2. Simplificar antes de multiplicar
En ocasiones puede resultar ms til simplificar antes de multiplicar
fracciones, Por las propiedades de los racionales esa simplificacin se puede
hacer entre cualquier numerador y denominador, siempre que se trate de
una multiplicacin entre fracciones. Por ejemplo:
48 28 48
35 60
4
355
28
4
605
16
25
El 48 y 60 se simplificaron por 12, mientras que el 28 y el 35 se
simplificaron por 7.
3. Fracciones de fracciones
3
3 5 3 7 214 :5 4 7 4 5 20
7
Si se observa el penltimo paso en el desarrollo se concluye que en las
fracciones de fracciones el resultado ser siempre el producto de los
extremos partido por el producto de los medios.
ARITMTICA
+
-
49 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Lo mismo puede servir para el caso de un entero dividido por una fraccin
o viceversa. Transformando el entero en una fraccin de denominador 1 el
tratamiento es idntico al anterior. Por ejemplo
a)
2
2 1817 7 7
9 9
b)
2 2
27 799 63
1
Problema 9: Calcular el resultado de la siguiente expresin
1 1 1 1 11 1 1 1 1
2 3 4 5 101
Solucin:
Aplicando la suma de enteros y fraccin se tiene
1 1 1 1 11 1 1 1 1
2 3 4 5 101
3 4 5 6 102
2 3 4 5 101
Se trata de un producto de 100 fracciones, claramente la idea no es
multiplicarlos de la forma usual, es mejor simplificar antes de multiplicar.
Como cada numerador es igual al denominador de la fraccin siguiente, la
simplificacin ms conveniente ser:
3 4
2
3
5
4
6
5
102
101
10251
2
ARITMTICA
-
50 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Problema 10: El matemtico Leonhard Euler (1707-1783) desarroll un
procedimiento de aproximacin de un nmero irracional a travs de
fracciones continuas. Para aproximar 2 se usa la fraccin continua
Encontrar una aproximacin de 2 desarrollando hasta el tercer 2 de la
fraccin continua.
Solucin:
Hay que calcular 1
2 11
21
22
Aplicando sucesivamente los procedimientos vistos para la suma de entero
y fraccin y fracciones de fracciones se tiene
1
1 1 1 1 1 12 1 1 1 1 1 11 1 1 2 12 12
2 2 21 5 1 5 5 522
52 2
2
5 171
12 12
Por tanto una aproximacin racional de la raz de 2 es 17
12.
ARITMTICA
-
51 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Determina el valor de las siguientes expresiones:
a) 3 1 5
2 6 12
b) 2 1 7 11
5 12 15 60
c) 1 2 1 2 1 3 5
:2 3 4 5 2 5 6
d) 1 1
2 13 6
e)
21
32
9
4
f) 2
11
23
g)
11
2
33
11
2
h) 15 10 21
28 75 12
i) 48 40 20
:32 27 36
2. Determina la medida de los siguientes tornillos como fraccin de
pulgada:
ARITMTICA
-
52 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
3. Completa el cuadrado mgico, de modo que la suma de las filas sea igual
a la suma de las columnas e igual a la suma de las diagonales:
4. La fraccin de la meta de produccin de cinco operarios de una fbrica
es:
Ordena a los operarios de menor a mayor segn su produccin. (Ayuda:
amplifica las fracciones para igualar denominadores)
5. Una pelota se deja caer de tal forma que cada nuevo rebote alcanza una
altura equivalente a los 2/5 de la altura anterior. Qu altura alcanza al
cuarto rebote si despus del primer rebote alcanza una altura de 125 cm?
6. Claudio llen el estanque de su vehculo para ir a visitar a su amiga
Javiera que vive en una parcela a las afueras de Santiago. Despus de
recorrer los 5
11 del trayecto, se da cuenta que ha consumido los
2
5 de la
gasolina que cabe en el estanque. Si al final del recorrido le sobran 6 litros,
cul es la capacidad del estanque del auto de Claudio?
7. Juan desea aflojar una tuerca de una medida que desconoce. Para probar
utiliza una llave de 1
2 pulgada que le queda chica, luego decide utilizar una
llave de 3
4 pulgada que le queda grande, entonces, se da cuenta que la
medida justa es la que queda en la mitad de las dos llaves anteriores. De
cuntas pulgadas es la llave que debe utilizar Juan?
ARITMTICA
-
53 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
8. Una empresa importadora de rodamientos, tiene convenio con
proveedores de tres pases pertenecientes al MERCOSUR. La mitad se los
compra a un pas A, mientras que a B y C se le compra un cuarto a cada
uno. El departamento de control de calidad de la empresa determin que de
un total de 3.000 unidades que llegaron en un embarque, la fraccin de
rodamientos defectuosos que llegaron de A, B y C es 1
20 ,1
10
3
25,
respectivamente. Cul es la cantidad de unidades defectuosas provenientes
de cada uno de los proveedores?
9. Si el nmero irracional 3 se aproxima con la fraccin continua
Calcule su valor aproximado hasta el 2 de la tercera fila.
10. En una fbrica de automviles se trabaja desde las 8:00 hasta las 20:00.
El proceso para maximizar la produccin es el siguiente:
1
3 del tiempo se destina a construir motores.
1
4 de la jornada para carroceras.
1
2 del tiempo que se ocupa en la construccin de motores se utiliza para la
fabricacin de accesorios.
1
3 del tiempo destinado a la carrocera se usa para afinar detalles finales.
1
2 del tiempo utilizado para los accesorios se usa para almorzar.
El resto del tiempo se dedica a actividades recreativas.
Cunto tiempo se ocupa en cada actividad?
ARITMTICA
-
54 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Representacin de los nmeros Racionales Q
Existen tres formas para representar a los nmeros racionales, la primera
es por medio de cociente o divisin, la segunda es en forma decimal
peridica y en forma de porcentajes (%).
Veamos estas tres formas
1.- Todo nmero racional se puede escribir en forma de cociente o
divisin de nmeros enteros con el denominador diferente de cero, es
decir
=
0
2,6
3,4
5,1
3, 0,1
2,3
2,6
3, 3
2.- Todo nmero racional se puede escribir en forma decimal peridica
(expansin decimal peridica), donde el periodo es la secuencia de dgitos
que se repiten en un momento dado despus del punto decimal. Algunos
nmeros peridicos son:
1.50 = 1.500000 0
3.45 = 3.45555 5
2.10124 = 2.10124124 124
4 = 4.00000000000 0
1.123 = 1.123123123 123
3.- todo nmero racional se puede escribir en forma de porcentaje.
Hay que tomar en cuenta que la unidad equivale al 100%, es decir 1 =
100%. De manera que:
3
4= 0.75 = 75%
1
3= 0. 3 = 33.33 . .%
5
2= 2.5 = 250%
2
3= 0. 6 = (66.66 . . )%
ARITMTICA
-
55 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Conversiones de una forma a otra para los nmeros racionales
Como se acabamos de sealar los nmeros racionales se escriben de tres
formas y por consecuencia es posible pasar de una a la otra. Lo vemos a
travs de los siguientes ejemplos.
Forma de cociente o divisin a decimal peridica
Escribir los siguientes nmeros en racionales en forma decimal peridico.
3
4,2
3,1
6,20
1112
7
Para obtener la forma decimal peridico solo habr que realizar la divisin,
hasta encontrar el periodo.
En el caso de la fraccin3
4 tenemos
3
4= 0.75, ya que 3: 4 = 0.75
De manera anloga con los dems nmeros.
2
3= 0. 6,
1
6= 0.16,
20
11= 1. 81
12
7= 1. 714285
Forma decimal peridico a cociente o divisin
Escribir los siguientes nmeros en forma de cociente o divisin de
enteros.
3.20, 1. 2, 0. 31 , 1. 234 2.854
Para convertir estos nmeros debemos correr el punto decimal las cifras
necesarias para que aparezca incluido el periodo en un nmero entero,
como se muestra a continuacin.
ARITMTICA
-
56 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Por ejemplo asignamos al nmero 3.20 una letra, x
Como el periodo es cero (0), basta que multipliquemos por 10 para
desplazar el punto decimal a donde inicia el periodo y despejamos
directamente el valor de x
= 3.20
10 = 32. 0
10 = 32
=32
10=16
5
3.20 =16
5
Ahora para los nmeros que cuyo periodo es diferente de cero y aparece
inmediatamente despus del punto decimal, primero se multiplica por una
potencia de 10 adecuada de acuerdo al periodo de manera que el punto
decimal se desplazara un periodo y restamos al nuevo nmero el original
para despus despejar fcilmente el valor de x .
1. 2
= 1. 2
10 = 12. 2
= 1. 2
9 = 11
=11
9
1. 2 =11
9
ARITMTICA
-
57 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
0. 31
= 0. 31
100 = 31. 31
= 0. 31
99 = 31
=31
99
0. 31 =31
99
1. 234
= 1. 234
1000 = 1234. 234
= 1. 234
999 = 1233
=1233
999=411
333=137
111
1. 234 =137
111
ARITMTICA
-
58 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Finalmente cuando entre el punto decimal y el periodo se encuentra
alguna o algunas cifras, primero se desplaza el punto decimal hasta
donde inicia el periodo multiplicando por una potencia de 10 adecuada,
despus el punto decimal se desplaza hasta donde termine un periodo y
se resta este ltimo con el anterior para despejar finalmente el valor de x
2.854
= 2.854
10 = 28. 54
1000 = 2854. 54
10 = 28. 54
990 = 2826
=2826
990=314
110=157
55
2.854 =157
55
Forma decimal peridica a porcentajes
Esta conversin es la ms directa, ya que solo hay que multiplicar por
100 el nmero dado en forma decimal.
3
4= 0.750 = 75%
1
3= 0. 3 = 33.33 . .%
5
2= 2.5 = 250%
2
3= 0. 6 = (66.66 . . )%
ARITMTICA
-
59 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Completa la siguiente tabla.
Nmero decimal
Fraccin irreductible
Nmero decimal
Fraccin irreductible
, 23
50
, 1, 24
1
3 0,46
, 0, 08
4
45
2
25
2. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando prioridad de las
operaciones.
a. 5
3
4
0,61
6
+3,25
1
45
20,5
b. 3
7+0,32
32
279
4
3
14
(23
4)12
3
4+2
3
4
+ 2
c. 1
4
2
7(
1
2+4)
22+1
((3
4+0,23)122+5222+1
1
4)1
ARITMTICA
-
60 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Los nmeros Irracionales Q*
Se dice que los nmeros racionales cumplen todas las propiedades antes
estudiadas, adems si consideramos las cuatro operaciones, (suma, resta,
producto y divisin) de nmeros racionales da como resultado un nmero
racional.
Sin embargo existen otro tipo de nmeros distintos a los racionales que no
se pueden representar en forma de divisin de dos nmeros enteros y son
conocidos como Nmeros Irracionales.
Se pueden definir de la siguiente manera:
= {| 0 0}
Se puede apreciar que los nmeros Irracionales son distintos a los
racionales y en consecuencia a los enteros y naturales, es decir su
expansin decimal no es peridica.
Algunos de estos nmeros son:
1.234 ,2,3,5,6,7,8,10, = 2.718,
= 3.1415 ,
La raz cuadrada de nmeros naturales que no da un entero es considerada
como Irracional, el nmero e y , entre otros.
ARITMTICA
-
61 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Estos nmeros en la antigedad no fueron aceptados, porque se crea que
los nmeros racionales eran todos, es decir, que cubran por completo a
la recta numrica si se localizaran en ella y tambin porque entre dos
racionales diferentes siempre existe otro racional.
Ejemplo:
Encontrar un nmero racional que se encuentre entre los nmeros 1
3 y 1
4
En realidad hay una infinidad de nmeros entre estos dos, uno de estos es
su promedio y lo podemos obtener fcilmente usando operaciones
aritmticas.
=
13 +
14
2=
4 + 3122
=
71221
=7
24
Por lo que un nmero entre 1
3 y 1
4 es
7
24
Observar que se pueden ir obteniendo ms nmeros entre estos dos
realizando de manera anloga, tomando el nuevo nmero y uno de los
originales.
Regresando a los nmeros Irracionales Q*, solo basta que recordemos que
no tienen expansin decimal peridica (no hay periodo). Como tambin
las races d algunos nmeros son irracionales, veremos cmo se calcula
una raz cuadrada por el mtodo Babilnico cuando veamos geometra
plana de reas.
ARITMTICA
-
62 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Los nmeros Reales R
Este el conjunto ms importante de nmeros para el desarrollo de la
Aritmtica, el Algebra, la Geometra plana, Analtica y el Clculo
Diferencial e Integral.
Se definen como la unin de los nmeros Racionales Q e Irracionales Q*
( = ) y si cubren por completo a la recta numrica, es por ello
que los Reales se dibujan como la recta sin espacio entre sus elementos.
Los nmeros reales abarcan a todos los dems, como se puede apreciar
Como cada punto sobre la recta es un racional o es un irracional, los reales
cubrirn totalmente a la recta desde el nmero mayor negativo (menos
infinito) hasta el nmero mayor positivo (ms infinito) sin dejar ningn
lugar vaco.
Dado dos nmeros reales C y D se puede determinar siempre si C > D, si
C < D o si C = D. Si se tiene un conjunto finito de nmeros reales uno
puede ordenarlos estrictamente de menor a mayor, o viceversa.
Los reales, al igual que los racionales, cumplen con todas las propiedades
antes estudiadas para las operaciones de suma, resta, multiplicacin y
divisin.
Con los reales se pueden calcular races naturales pares (raz cuadrada, raz
cuarta, raz secta, etc.) de nmeros reales positivos, races naturales
impares (raz cubica, raz quinta, raz sptima, etc.) de reales positivos y
negativos, logaritmos de nmeros reales positivos con base real positiva,
pero los reales no forman un conjunto cerrado con estas operaciones: No
se pueden extraer races pares ni logaritmos de nmeros reales negativos,
ni tampoco se pueden calcular en general todas las races posibles (la raz
ensima tiene n resultados diferentes). Hace falta una ampliacin ms de
los nmeros para cubrir estas deficiencias.
ARITMTICA
-
63 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Propiedades de las operaciones con nmeros Reales.
Si las letras a, b y c representan a nmeros reales ( , )
Se cumple que:
a+ b R Clausura para la suma
a +b= b+ a Conmutativa para la suma
a+( b+ c)=( a+ b) + c Asociativa para la suma
a+ 0= a Neutro para la suma
a+(- a)= a- a Reciproco para la suma
a b R Clausura para el producto
ab= ba Conmutativa para el producto
a (bc)=( ab) c Asociativa para el producto
(1
) =
= 1; 0 Inverso para el producto
**a( b c)= ab ac Distributiva factorizacin
**Esta propiedad es muy til para entender correctamente la factorizacin,
la cual es una herramienta bsica para el lgebra, entre otras ramas de las
Matemticas.
ARITMTICA
-
64 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Potencias y Radicales
Nos falta revisar las potencias y radicales, especialmente con sus leyes o
propiedades que sern trabajadas en el resto del curso.
Cuando se tiene un nmero real cualquiera x (x R), se define la potencia
n-sima de x como:
=
a x se le llama base de la potencia y n exponente.
Ejemplos:
Propiedades de los exponentes
0 = 1 0
= +
= +
() =
(
) =
0
=1
0
ARITMTICA
-
65 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Definicin de Radicacin.
Se dice que y es la raz n-sima del nmero x , si y solo si, =
= =
Propiedades de los radicales.
=
=
=
=
=
; 0
ARITMTICA
-
66 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Ejercicios y Problemas Propuestos
1. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando propiedades de
potencias.
2. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando propiedades de
potencias.
a. 22105201310624
81090850101000
b. (0,000 19 )17 (0,000 0012)15 (0, 00186 )10
c. (0,000 111 )13(0,000 000 0142)
15
10 000 000 00035
d. 3 000 000 000350,000 008 171
2 430 00080
e. (0,000 25104)
30(125 000 0001050)
13
0,000 000 006 254050 000 00053
f. 281540 5 281540 9 + 6 281540
g. 720100 + 720100 15 720100 2 + 35 720100
3. Resuelve los siguientes ejercicios aplicando prioridad de las
operaciones.
(32)2
+ 5 (16 + 72 1 + 60 15 2)
121, 6
25
1
3
ARITMTICA
-
67 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Magnitud y medida
La magnitud de un objeto es su caracterstica medible (longitud, peso,
tiempo, velocidad, rea, volumen, etc.), que puede ser expresada
cuantitativamente.
El proceso de medir consiste en seleccionar una unidad de medida, cubrir el
objeto con unidades y contar el nmero de unidades que se utilizaron, este
nmero corresponde a la medida de la magnitud involucrada.
Problema 11: Medir la longitud del siguiente tornillo:
Solucin:
Debemos elegir nuestra unidad de medida. Supongamos que la unidad es el
centmetro (cm).
La medida de la longitud del tornillo es de 3cm.
Muchas veces la eleccin de la unidad de medida puede ser arbitraria.
Supongamos que adoptamos la pulgada como unidad.
MEDIDA
-
68 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
La longitud del tornillo tiene una medida de 18
1 pulgada.
Unidades de medida
Las primeras unidades de medida para longitudes tenan relacin con el cuerpo
humano y no siempre se subdividan, sino que se usaban otras partes del
cuerpo, por ejemplo para los babilonios se estableca las siguientes
equivalencias entre unidades de medida
1 codo = 30 dedos (53 cm. aprox.)
1 pie = 2/3 de codo
Hasta antes del siglo XVIII no existan sistemas de medidas universales, las
unidades de medidas se establecan de acuerdo a los usos locales, lo que
generaba complicaciones en el intercambio comercial. El primero en proponer
una escala universal fue Gabriel Mouton en 1670, que se basaba en la milla
(largo de un minuto de arco en la tierra). En 1795 se instaura en Francia el
sistema mtrico decimal, fijndose algunas medidas de base (por ejemplo el
metro para las longitudes). Progresivamente muchos pases, a travs de
acuerdos polticos van adoptando y ampliando este sistema, hasta establecer
1960 lo que se conoce como sistema internacional de unidades, que entre
otras magnitudes establece las siguientes unidades de medida:
- Longitud: metro (m)
- Masa: gramo (g)
- Tiempo: segundo (s)
- rea: metro cuadrado (m2)
- Volumen: metro cbico (m3)
- Velocidad: metro por segundo (m/s)
Las unidades aceptan subdivisiones y mltiplos, por ejemplo la longitud
presenta las siguientes equivalencias:
Kilmetro (km) = 1000 m. (103 m)
Decmetro (dm) = 0,1 m. (10-1 m)
Centmetro (cm) = 0,01 m. (10-2 m)
Milmetro (mm) = 0,001 m. (10-3 m)
Micrmetro (m) = 0,000001 m. (10-6 m)
Nanmetro (nm) = 0,000000001 m. (10-9 m)
MEDIDA
-
69 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Algunas unidades de peso:
Kilogramo (kg) = 1000 g (10)
Tonelada (t) = 1000000 g (106)
Decigramo (dg) = 0,1 g (10-1)
Centigramo (cg) = 0,01 g (10-2)
Miligramo (mg) = 0,001 g (10-3)
Microgramo (g) = 0,000001 g (10-6)
Sin embargo, por razones polticas, no todos los pases adhieren al sistema
mtrico. Gran Bretaa desde un comienzo adopt un sistema propio que hoy
comparten otros pases como Estados Unidos y que es ampliamente utilizado
en ingeniera en pases de Latinoamrica. Es el sistema anglosajn de
unidades, del cual destacamos las unidades para medir longitud:
Pulgada (in) = 2,54 cm.
Pie (ft) = 12 in = 30,48 cm.
Yarda (yd) = 3 ft = 91,44 cm.
Milla (mi) = 1,76 yd = 1,609347 km.
Legua = 3 mi = 4,828032 km.
Para convertir unidades de medicipn a oto o convertirlo dentro de un mismo
sistema, las unidades deben manipularse como cantidads algebraicas que se
scancelan mutuamente.
Por ejemplo:
Convertir 5 in en metros
5 2.54
1
1
100 = 0.127
Cuando se opera con numeros que poseen decimales, el resultado puede
generar mas decmales que los inicialemente considerados, es decir, imagine
que desea multiplicar 12.34 con 3.46, si utiliza una calculadora encontrara
como resultado 42.6964. Este numero posee cuatro decimales y
originalmente ambos poseian dos. Cual seria el resultado?
MEDIDA
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70 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Depende.
Si necesito el resltado exacto, el valor seria 42.6964.
Pero si necesito el resultado con dos cifras, tenemos dos alternativas: truncar
o aproximar.
Truncar es eliminar las cifras sin importar elvalor de la ultima. Es decir en
nuestro caso 42.6964, truncado a dos decimales 42.69
Aproximar es el proceso de truncar con criterio. Depende de la cifra siguiente
del truncamiento que no este considerada. Si esta es > 5, se suma 1 a la cifra
anterior. En nuestro caso 42.6964, truncado a dos decimales, resulta que el
tercer decimal es 6 (> 5) asi que 42.69+0.01, lo que resulta que el valor es
42.70
MEDIDA
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71 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Ecuaciones
Entenderemos por ecuacin a toda igualdad entre dos expresiones
algebraicas. Las expresiones algebraicas presentes a cada lado de la igualdad
reciben el nombre de miembros de la ecuacin:
3 17 = 7 9
En este caso 3 17 es el primer miembro de la ecuacin y 7 9 es el
segundo miembro de la ecuacin.
Al reemplazar las variables en una ecuacin por algn nmero real, puede
resultar una igualdad verdadera o falsa.
En nuestra ecuacin, si reemplazamos por = 1 resulta:
3 1 17 = 7 9 1
Es decir: 14 = 2, lo cual es falso.
Por otra parte, si reemplazamos por = 2 resulta:
3 2 17 = 7 9 2
Es decir: 11 = 11, lo cual es verdadero.
Este ltimo caso es de especial inters, dado que la igualdad es verdadera para
un determinado valor de . Cuando encontramos el o los valores numricos
de la variable que hacen verdadera una determinada ecuacin, diremos que
estamos resolviendo una ecuacin. En este proceso dejamos sola la variable
a un lado de la ecuacin, lo cual recibe el nombre de despejar la variable.
Toda ecuacin de la forma + = , con y constantes y 0, recibe
el nombre de ecuacin lineal o ecuacin de primer grado.
Ejemplo:
Pablo tiene un hermano que es 27 centmetros ms alto que l, si el hermano
de Pablo mide 1.55 metros. Qu estatura tiene Pablo?
ECUACIONES
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72 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
Solucin:
La letra P, representa la edad de Pablo. Entonces en virtud del enunciado:
+ 0.27 = 1.55
Restando a ambos lados 0.27:
= 1.55 0.27 = 1.28
Comprobacin: 1.28 + 0.27 = 1.55
Propiedad de la Suma
Esta propiedad seala que al sumar o restar un nmero real a ambos lados de
una ecuacin, esta no se altera.
Sean y dos nmeros reales, y si = , entonces para todo nmero real
se tiene que: + = +
Sean y dos nmeros reales, y si = , entonces para todo nmero real
se tiene que: =
Ejemplo:
Resolver la ecuacin: 2
5= 3
Solucin:
Al considerar la ecuacin: 2
5= 3, observamos que podemos aplicar la
propiedad de la suma, sumando a ambos lados el nmero 2
5, resulta:
2
5+2
5= 3 +
2
5
Como 3 +2
5=17
5, entonces:
=17
5
ECUACIONES
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73 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS
En general, si sumamos un determi