ANALISIS NUMERICO 1

UNIDAD 2

SISTEMA NUMERICO Y ANALISIS DE ERRORES

ACTIVIDAD 3

INFLUENCIA DE ERRORES

DETERMINISMO Y EL DEMONIO DE LAPLACE

El matemtico francs Pierre Simn Laplace formul un experimento mental: Afirmaba que si una conciencia fuera capaz de de conocer las posiciones y velocidades iniciales de cada una de las partculas que componen el Universo, podra conocer el futuro por toda la eternidad. Esta conciencia o intelecto es el "demonio de Laplace". Laplace, que era ateo, crea fuertemente en el determinismo causal.

Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podra concebir un intelecto que en cualquier momento dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen; si este intelecto fuera lo suficientemente vasto como para someter los datos a anlisis, podra condensar en una simple frmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del tomo ms ligero; para tal intelecto nada podra ser incierto y el futuro as como el pasado estaran frente sus ojos. -Pierre Simn Laplace.

Este demonio sera una entidad con un infinito poder de clculo y cmputo que podra saber la posicin exacta y velocidad de cada partcula en el universo. Podra entonces conocer el pasado, el presente y el futuro de todo el universo.

Eldeterminismoes unadoctrinafilosfica que sostiene que todo acontecimiento fsico, incluyendo el pensamiento y acciones humanas, estncausalmente determinadospor la irrompible cadena causa-consecuencia, y por tanto, el estado actual "determina" en algn sentido el futuro. Existen diferentes formulaciones de determinismo, que se diferencian en los detalles de sus afirmaciones. Para distinguir las diferentes formas de determinismo conviene clasificarlas acorde al grado de determinismo que postulan:

Eldeterminismo fuertesostiene que no existen sucesos genuinamente aleatorios oazarosos, y en general el futuro es potencialmente predecible a partir del presente. El pasado tambin podra ser "predecible" si conocemos perfectamente una situacin puntual de la cadena de causalidad.

Eldeterminismo dbilsostiene que es la probabilidad lo que est determinado por los hechos presentes, o que existe una fuerte correlacin entre el estado presente y los estados futuros, aun admitiendo la influencia de sucesos esencialmente aleatorios e impredecibles.

Cabe resaltar que existe una diferencia importante entre la determinacin y la predictibilidad de los hechos. La determinacin implica exclusivamente la ausencia de azar en la cadena causa-efecto que da lugar a un suceso concreto.

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE DE HEISSENBERG

El Principio de indeterminacin o incertidumbre deHeisenbergEstablece que es imposible conocer simultneamente laposiciny lavelocidaddelelectrn, y por tanto es imposible determinar su trayectoria. Cuanto mayor sea la exactitud con que se conozca la posicin, mayor ser el error en la velocidad, y viceversa. Solamente es posible determinar laprobabilidadde que el electrn se encuentre en una regin determinada.Este Principio, enunciado en1927, supone un cambio bsico en nuestra forma de estudiar la Naturaleza, ya que se pasa de un conocimiento tericamente exacto (o al menos, que en teora podra llegar a ser exacto con el tiempo) a un conocimiento basado slo en probabilidades y en la imposibilidad terica de superar nunca un cierto nivel de error.El principio de incertidumbre nos dice que hay un lmite en la precisin con el cual podemos determinar al mismo tiempo la posicin y el momento de una partcula.

El hecho de que cada partcula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posicin y su velocidad.

EDWARD N. LORENZ, ATRACTORES EXTRAOS Y LA TEORIA DEL CAOS.

Los atractores extraos son curvas delespacio de fasesque describen la trayectoria elptica de un sistema en movimiento catico. Un sistema con estas caractersticas es impredecible, conocer su configuracin en un momento dado no permite predecirla con certeza en un momento posterior. De todos modos, el movimiento no es absolutamente aleatorio.Los atractores extraos estn presentes tanto en los sistemas continuos dinmicos (tales como el sistema de Lorenz) como en algunos sistemas discretos (por ejemplo elmapa Hnon). Otros sistemas dinmicos discretos tienen una estructura repelente, de tipoConjunto de Julia, la cual se forma en el lmite entre las cuencas de dos puntos de atraccin fijos. Julia puede ser sin embargo un atractor extrao. Ambos, atractores extraos y atractores tipo Conjunto de Julia, tienen tpicamente una estructura defractal.Los atractores son los encargados de que las variables que inician en un punto de partida mantengan una trayectoria establecida, y lo que no se puede establecer de una manera precisa son las oscilaciones que las variables puedan tener al recorrer las rbitas que lleguen a establecer los atractores El atractor de Lorenz es, quiz, uno de los diagramas de sistemas caticos ms conocidos, no slo porque fue uno de los primeros, sino tambin porque es uno de los ms complejos y peculiares, pues desenvuelve una forma muy peculiar ms bien parecida a las alas de una mariposa.

TEORA DEL CAOSes la denominacin popular de la rama de lasmatemticas, lafsicay otrascienciasque trata ciertos tipos desistemas dinmicosmuy sensibles a las variaciones en las condiciones iniciales. Pequeas variaciones en dichas condiciones iniciales pueden implicar grandes diferencias en el comportamiento futuro; complicando la prediccin a largo plazo. Esto sucede aunque estos sistemas son en rigordeterminsticos, es decir; su comportamiento puede ser completamente determinado conociendo sus condiciones iniciales.

En esta Teoria existen tres componentes esenciales: el control, la creatividad y la sutileza. El control por dominar la naturaleza es imposible desde la perspectiva del caos, pactar con el caos significa no dominarlos sino ser un participante creativo. Ms all de nuestros intentos por controlar y definir la realidad se extiende el infinito reino de la sutileza y la ambigedad, mediante el cual nos podemos abrir a dimensiones creativas que vuelven ms profundas y armoniosas nuestras vidas.En este sentido se dice que un sistema visto desde el punto de vista del caos, es decir sistema catico, es un sistema flexible y no lineal, en donde el azar y lo no predecible juegan un papel fundamental. Un ejemplo de sistema catico podra ser un ro, en donde cada partcula de agua sigue una trayectoria aleatoria e impredecible que sin embargo no rompe con la dinmica establecida en el mismo ro.

La Teora del Caos es todo lo anterior y mucho ms. Es encontrar el orden en el desorden, y constituye el principal afn de quienes, en los diversos campos de la ciencia, adoptan esta nueva perspectiva. Por ejemplo en la geometra moderna surgen figuras caticamente raras y bellas como resultado de modelos recursivos que generan comportamientos impredecibles, sin embargo estos conservan un cierto orden.

EL PROBLEMA # 2 DE HILBERT Y EL TEOREMA DE INCOPLETITUD DE GODEL

El segundo problema de Hilbert pretende probar la compatibilidad de los axiomas de la aritetica. Es decir, partiendo de ellos, un numero finito de pasos lgicos, nunca puede conducir a resultados contradictorios.Este teorema establece que en cualquier sistema simbolico formal es posible construir una proposicin que no se puede probar ni refutar en el mismo sistema.

Losteoremas de la incompletitud de Gdelson dos clebres teoremas demostrados porKurt Gdelen1930. Simplificando, el primer teorema afirma:En cualquier formalizacinconsistentede las matemticas que sea lo bastante fuerte para definir el concepto denmeros naturales, se puede construir una afirmacin que ni se puede demostrar ni se puede refutar dentro de ese sistema.

Este teorema es uno de los ms famosos fuera de las matemticas, y uno de los peor comprendidos. Es un teorema enlgica formaly, como tal, fcil de malinterpretar. Hay multitud de afirmaciones que parecen similares, pero que en realidad no son ciertas. El segundo teorema de la incompletud de Gdel, que se demuestra formalizando parte de la prueba del primer teorema dentro del propio sistema, afirma:Ningn sistema consistente se puede usar para demostrarse a s mismo.Este resultado fue devastador para la aproximacin filosfica a las matemticas conocida como elprograma de formalizacin Hilbert.David Hilbertpropuso que la consistencia de los sistemas ms complejos, tales como elanlisis real, se poda probar en trminos de sistemas ms sencillos. Finalmente, la consistencia detodaslas matemticas se podra reducir a la aritmtica bsica. El segundo teorema de la incompletud de Gdel demuestra que la aritmtica bsica no se puede usar para demostrar su propia consistencia, y por lo tanto tampoco puede demostrar la consistencia de nada ms fuerte.

En principio, los teoremas de Gdel todava dejan alguna esperanza: podra ser posible producir unalgoritmogeneral que para una afirmacin dada determine si es indecidible o no, permitiendo a los matemticos evitar completamente los problemas indecidiblesEs de notar que los teoremas de Gdel slo son aplicables a sistemas axiomticossuficientemente fuertes.